В.Е. ТАРАСОВ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
лекции по основам теории
Москва
«Вузовская книга»
2000

ББК 22.313
Т 19
УДК 530.145
Рекомендовано Учебно-методическим объединением
университетов Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности "Прикладная математика"
Тарасов В. Е.
Т19
Квантовая механика: лекции по основам теории.
- М.: Вузовская книга, 2000. - 328 с.
ISBN 5-89522-107-6
В основу книги положены лекции, которые автор читал студентам
старших курсов на факультете прикладной математики и физики
Московского государственного авиационного института. Основное внимание
уделяется последовательному и математически строгому описанию основ
квантовой механики, использующему функциональный анализ и
операторные алгебры. При этом читателю достаточно иметь лишь знания в
объеме обычных курсов математического анализа и линейной алгебры
- все необходимые математические сведения, выходящие за рамки этих
курсов, приводятся в книге.
Для студентов и аспирантов, специализирующихся в области
прикладной математики, математической и теоретической физики.
Рецензенты:
кафедра квантовой статистики и теории поля
Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова;
доктор физ.-мат. наук В. А. Ильин)
доктор физ.-мат. наук, профессор Р. Н. Фаустов.
ISBN 5-89522-107-6 © В. Е. Тарасов, 2000
- © "Вузовская книга", оформление, 2000

ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга написана на основе лекций по квантовой
механике, которые автор читал студентам старших курсов на факультете
"Прикладная математика и физика" Московского государственного
авиационного института. В книге излагаются общие аспекты и
математический аппарат квантовой теории. Основное внимание
уделяется последовательному и математически строгому описанию основ
квантовой механики. Отличием предлагаемой книги от других
является систематическое использование функционального анализа и
операторных алгебр. Изложение построенно так, что от читателя не
требуется предварительных знаний по этим разделам математики.
Все необходимые сведения, выходящие за рамки обычных курсов
математического анализа и линейной алгебры, приводятся в книге.
Книга фактически состоит из двух взаимосвязанных частей.
Первая часть (главы 1-9) посвящена квантовой кинематике,
описывающей свойства наблюдаемых и состояний квантовой системы.
Вторая часть (главы 10-16) содержит изложение квантовой
динамики, задающей эволюцию наблюдаемых и состояний с течением
времени. В основе описания квантовой механики, принятого в
книге, лежит положение о том, что квантовая и классическая теории
связаны не только предельным переходом, но и реализуются
одинаковыми математическими структурами. При построении
квантовой механики используются математические структуры общие как
для квантовых гамильтоновых, так и негамильтоновых систем. Для
описания квантовой динамики в настоящей книге применяется
аппарат теории однопараметрических полугрупп и
дифференциальных уравнений на операторных алгебрах. Это позволяет не
только последовательно изложить квантовую динамику гамильтоновых
систем, но и заложить основы для изучения динамики широкого
класса квантовых систем, таких как открытые квантовые системы,
квантовые негамильтоновы и диссипативные системы. Методы
решения уравнений Шредингера и Гейзенберга для различных
квантовых систем и некоторые другие прикладные задачи изучаются на
практических занятиях, проходящих параллельно с лекциями, и в
данной книге не рассматриваются.

4
Предисловие
Надеюсь, что книга будет полезной не только студентам,
специализирующимся по теоретической физике и прикладной математике,
но и всем интересующимся последовательным и строгим
изложением основ квантовой механики.
Выражаю признательность коллективу кафедры физики
факультета прикладной математики и физики МАИ и сотрудникам
отдела теоретической физики высоких энергий НИИ ядерной
физики МГУ за оказанную поддержку и содействие.
Май 2000 года, г. Москва
В. Е. Тарасов

ГЛАВА 1.
КИНЕМАТИКА ОГРАНИЧЕННЫХ
НАБЛЮДАЕМЫХ
1.1. Наблюдаемая и состояние
Физические теории состоят из двух взаимосвязанных
структур: кинематической структуры, описывающей наблюдаемые и
состояния системы (в некоторый фиксированный момент времени),
и динамической структуры, описывающей эволюцию (изменение)
наблюдаемых и состояний с течением времени.
Одними из основных понятий квантовой кинематики являются
понятия наблюдаемой и состояния, которые обычно описываются
операторами в гильбертовом пространстве.
Наблюдаемой квантовой системы является линейный
самосопряженный оператор, действующий на сепарабельном
гильбертовом пространстве.
Состоянием квантовой системы является самосопряженный
положительный линейный оператор с единичным шпуром,
действующий на сепарабельном гильбертовом пространстве.
Видно, что в качестве математического аппарата квантовой
кинематики используется теория операторов в гильбертовом пространстве.
1.2. Определение гильбертова пространства
Гильбертово пространство является обобщением
конечномерного линейного пространства (например, евклидова пространства W1)
со скалярным произведением на бесконечномерный случай.
Линейным (векторным) пространством называется множество
элементов, для которых определены операция сложения и операция
умножения на комплексное (действительное) число.

g Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Определение. Скалярным произведением на линейном про-
странстве Н называется числовая функция (х,у) Е С от пары
аргументов х^у Е И, для которой выполняются условия:
1. (х + y,z) = (ж, z) + (у, z) Vz, y,zeU.
2. (ах, у) = а(х,у) V#,yE%, а Е С.
3. (ar,y) = (y,s)* Vx^yeH.
4.{х,х)>0 при х ф 0 и (х,х) = 0 <£> х = 0.
Линейное пространство со скалярным произведением
называется предгильбертовым пространством.
Определение. Предгильбертовым пространством называется
множество Н, для которого выполнены следующие условия.
1. % - линейное (векторное) пространство.
2. На % определено скалярное произведение.
Определение. Нормой элемента х линейного пространства %
называется неотрицательное вещественное число \\х\\^}
удовлетворяющее следующим условиям.
1. \\х+у\\и < \\х\\и + \\у\\п Var, у Е И (неравенство треугольника).
2. ||аж||^ = HIMIft Vrr E %, a Е С (однородность).
3- \\%\\и > 0 Vx EH (неотрицательность).
4- \\Х\Ы = 0 <=$> х = 0 (отделимость).
Если выполняются только первые три условия, то число ЦхЦц
называется полунормой или преднормой элемента х Е Н.
Определение. Нормированным пространством называется
линейное пространство И, в котором каждому элементу
пространства % сопоставлена норма.
Каждое нормированное пространство можно рассматривать как
метрическое пространство, метрика которого определяется нормой
по формуле d(x,y) = \\х — у\\н- Всякое предгильбертово
пространство % есть нормированное пространством с нормой ||#||% = у/(х7х).
Следовательно, всякое предгильбертово пространство Н является
метрическим пространство. В предгильбертовом пространстве
можно определить некоторую топологию, то есть определенную
сходимость бесконечной последовательности элементов пространства.
Определение. Сходящейся последовательностью называется
последовательность, для которой существует предел. Пределом
последовательности элементов {х^} Е li называется элемент
х Е % такой, что
lim \\xk - х\\п = 0 .
я—»оо

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых 7
Определение. Фундаментальной последовательностью или
Последовательностью Коти называется последовательность
элементов {xk} € U такая, что
lim \\xk-xi\\<H = 0 .
Известно, что любая сходящаяся последовательность является
фундаментальной.
Теорема. Любая последовательность {хк} € %, которая сходится
к некоторому элементу х £ %, является фундаментальной
последовательностью в пространстве Н.
Однако обратное утверждение в общем случае неверно.
Фундаментальная последовательность не обязала сходиться, то есть не
всякая фундаментальная последовательность имеет предел в %.
Дадим определение пространства, в котором верно и обратное
утверждение.
Определение. Полным пространством называется метрическое
пространство, в котором любая фундаментальная
последовательность является сходящейся последовательностью, а ее предел
принадлежит этому пространству.
Свойство полноты имеет важное значение для многих теорем и
математических утверждений, приводимых здесь.
Замечание. Пространство, не являющееся полным, часто может
быть пополнено особыми элементами так, чтобы оно стало полным.
Эта процедура аналогична процедуре пополнения пространства
рациональных чисел иррациональными числами. Однако в общем
случае трудно определить характер этих особых элементов.
Полное нормированное пространство называется банаховым.
Определение. Банаховым пространством называется
нормированное пространство Н, в котором любая фундаментальная
последовательность {xk} 6 И сходится к элементу этого
пространства Н.
V{xk} eH: lim \\xk-xi\\n = 0 =» 3z в Ч : lim \\хк-х\\ч = 0.
&,J-»oo A;-»oo
Определение. Гильбертовым пространством называется
множество %, удовлетворяющее следующим условиям.
1- И - линейное (векторное) пространство.
%- На % определено скалярное произведение.
3- % - полное нормированное пространство.

8 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Если в банаховом пространстве определено скалярное
произведение, которое задает норму этого пространства, то пространство
является гильбертовым.
Теорема о параллелограмме. Банахово пространство 1-1
является гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда
норма в пространстве Н удовлетворяет условию
\\x + y\\2H + \\x-y\\li = 2\\xfn + 2\\yfH (1)
для любых х,у ЕН.
Норма банахова пространства не обязательно порождается
скалярным произведением. Йордан и фон Нейман доказали, что если
для всех элементов из банахова пространства выполняется правило
параллелограмма (1), то можно определить скалярное
произведение так, что банахово пространство станет гильбертовым. В этом
случае для комплексного банахова пространства скалярное
произведение определяется через норму посредством так называемой
процедуры поляризации
(»,у) = J Х>'||*+ t'y|&, (2)
5=0
(*> У) = 4 ^х + у|& + ^х + iy^ ~ ^ " у,& ~ ^х " iy№) '
Функция (х,у) элементов х,у банахова пространства,
определенная формулой (2), удовлетворяет аксиомам скалярного
произведения лишь при выполнении условия (1). Имеется много банаховых
пространств, для которых равенство параллелограмма неверно.
1.3. Примеры гильбертовых пространств
1 . Конечномерное линейное пространство С1 (Шп) со скалярным
произведением
п
(х,У) = ^2Х*кУк •
к-1

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых 9
2. Пространство l<i последовательностей комплексных чисел {хп},
удовлетворяющих условию
^2\хк\2 <оо
к=1
Скалярное произведение для {хь} и {у к} задается соотношением
оо
{{xkhiVk}) ^^2х1Ук .
3. Пространство квадратично интегрируемых функций L2[a, 6],
точнее, пространство интегрируемых с квадратом модуля по Лебегу
комплекснозначных функций Ф(ж) таких, что
гЬ
\2dx < оо
[ |ф(*ла
J a
Скалярное произведение определяется формулой
гЬ
(ФЬФ2) = / <1хЪ1(х)Ъ2(х)
Ja
4. Пространство L2(Mn) комплекснозначных измеримых функций
Ф(ж) на Кп с мерой Бореля с1ц(х) в К", удовлетворяющих условию
\V(x)\2dfA(x) < оо , ■*
со скалярным произведением
(Ф1>Ф2)= / <1ф)Щх)Щ(х)
5. Примером банахова пространства является пространство LP(M)
бесконечно дифференцируемых функций Ф(аг) € (^^(М), полные
относительно норм
||*(*)||p = (jfj*(*)№(s))
1/р
< сю

10 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Другим примером банахова пространства является пространство
1Р последовательностей комплексных чисел {хп}, удовлетворяющих
условиям
00 i /
Мр= (Х>*Г) Р<оо.
Отметим, что в банаховом пространстве LP(M) или 1р можно
определить скалярное произведение лишь для р = 2.
1.4. Базис гильбертова пространства
Определение. Ортонормированной системой {еа} € И, a £ R
в гильбертовом пространстве И называется система элементов
{еа} в %, для которой (еа, еа) = 1 при всех a £ R и (еа, еь) = 0 при
афЪ.
Определение. Ортонормированная система {еа} £%, а £ R
называется полной, если из (еа,ж) = 0 при всех а € R следует х = 0.
Определение. Ортонормированным базисом называете^
ортонормированная система {еа} £ %, а £ R, для которой любой
элемент х £Н может быть представлен единственным образом
линейными комбинациями элементов еа этой системы:
\/х £ Ч 3\{ха} : X = ^2 Хо.еа Ха = (еа, х) .
a€R
Всякое гильбертово пространство имеет полную ортонормиро-
ванную систему и ортонормированный базис. Однако множество
элементов ортонормированного базиса не обязано быть счетным.
Определим пространство, в котором базис является счетным. Для
этого сначала определим некоторые вспомогательные понятия.
Введение метрики d(x,y) = ||ж - у\\и позволяет определить
понятие окрестности в пространстве Н и понятие предельной точки.
Определение. 5-окрестностью (5 > 0) элемента х £ Н
называется множество всех элементов у £УН) удовлетворяющих
неравенству d(x,y) < 6.
Определение. Предельной точкой множества В с У. называ-
ется точка х £ Н, если любой произвольно малой ^-окрестности
элемента х £ % принадлежит бесконечное число элементов из В.

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых 11
В соответствии с приведенным определением предельная точка
множества не обязана быть элементом этого множества.
Теорема. Элемент х является предельной точкой множества В
в пространстве % тогда и только тогда, когда существует
последовательность элементов х^ £ В, сходящаяся к элементу х Е %.
Определение. Замыканием множества В С Н называется
множество В, полученное объединением множества В с его
предельными точками. Если В = В, то В называется замкнутым в И.
Определение. Всюду плотным множеством в пространстве %
называется множество В, замыкание В которого совпадает со
всем пространством Н, то есть В = %.
Приведенная теорема позволяет сформулировать следующее
эквивалентное определение.
Определение. Всюду плотным множеством называется мно-
эюество В в пространстве %, если для любого элемента х £ %
существует последовательность элементов Xk € В, которая
сходится к элементу х 6 %.
Пространства, в которых имеются счетные, всюду плотные
множества, называются сепарабельными.
Определение. Сепарабельным гильбертовым пространством
называется гильбертово пространство, в котором существует
счетное всюду плотное множество.
Для квантовой механики важное значение имеет утверждение:
гильбертово пространство Н сепарабельно тогда и только тогда,
когда оно имеет счетный ортонормированный базис.
Теорема. В сепарабельном гильбертовом пространстве % всякая
полная ортонормированная система {е&} является базисом, то
есть для любого х Е % имеет место разлоэюение
00
х = ]СХквк' Хк = ^х)'
причем имеет место равенство Парсеваля
00 ОО
Числа Xk = (е^,ж) G С называются коэффициентами Фурье, а
разложение называется рядом Фурье.

12 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
В силу того, что выполняется неравенство
оо
любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство
изоморфно пространству fo.
Отметим, что в сепарабельном банаховом пространстве может
не существовать базиса. Если же пространство гильбертово и сепа-
рабельно, то полная ортонормированная система всегда является
базисом. Как следствие этого получаем важное свойство для
сепарабельных гильбертовых пространств. Между сепарабельными
гильбертовыми пространствами существует изоморфизм, то есть
взаимно однозначное соответствие, сохраняющее все линейные
алгебраические операции и скалярное произведение.
Теорема. Любые два сепарабельных гильбертова пространства
одинаковой размерности изоморфны между собой.
Из данной теоремы вытекают следующие утверждения.
1. Всякое конечномерное (п-мерное) сепарабельное гильбертово
пространство изоморфно СР.
2. Любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертова
пространства изоморфны между собой.
Из второго утверждения следует, что пространства L2[a,6] и
1<1 изоморфны между собой и их можно не различать. Эти
пространства представляют собой различные реализации сепарабель-
ного гильбертова пространства. Изоморфизм L2[—7г,7г] и l<z
осуществляется отображением Фурье, которое определяется формулой
1 Г*
хк = -т= / ^{x)elkxdx .
\/27Г У-тг
1.5. Определение и примеры операторов
Оператором называется отображение, осуществляющее
гомоморфизм линейных пространств.
Определение. Линейным оператором называется
отображение А : Hi —> %2, осуществляющее гомоморфизм линейных
пространств Иь % « удовлетворяющее следующим условиям.

Глава I. Кинематика ограниченных наблюдаемых 13
1. А(х + у) = Ах + Ау \/x,yeHi.
2. A{ax) = a{Ax) Vxe Hi, a £ С.
Линейное пространство Hi называется областью определения
оператора и обозначается D(A), а линейное пространство Н2
называется областью значений оператора. Обозначим множество таких
отображений (линейных операторов) через K,{Hi,H2)-
Оператором, действующим в гильбертовом пространстве Н,
называется отображение гильбертова пространства в себя,
сохраняющее алгебраические операции на этом пространстве.
Пусть А - линейный оператор, определенный на гильбертовом
пространстве Hi и принимающий значения в пространстве 7^2-
Определение. Ограниченным оператором называется
линейный оператор А, для которого существует постоянная С > О
такая, что
\\Ах\\щ < С\\х\\ш , Vz е Hi , (3)
или, что то же самое ЦЛ^И^/ЦяИ?^ < С, для всех х € Hi.
Точная нижняя грань значений постоянной С, удовлетворяющих
условию (3), называется нормой оператора А.
Определение. Нормой оператора называется число \\А\\,
определяемое формулой
||А|| = sup \\Ах\\Н2=8ирЩ&-.
\\x\\=i х^о \m\Hi
В случае, когда нижняя грань значений постоянной С равна
бесконечности оператор А называется неограниченным. В
интуитивном физическом понимании норма оператора представляет
собой наибольшую абсолютную величину измеряемого числового
значения наблюдаемой.
Определение. Непрерывным оператором называется
линейный оператор А, если для любого элемента х 6 Hi
последовательность {xk} £ Hi, сходящаяся кх, отображается в
последовательность {Axk} 6 Н2, сходящуюся к элементу Ах Е %•
\/х ё Hi lim \\xk - x\\Hi = 0 => lim \\Axk - Ax\\U2 = 0 .
k-^oo k-^00
Утверждения. Для того чтобы линейный оператор был
непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

14 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Данное утверждение показывает эквивалентность понятий
линейного непрерывного и линейного ограниченного операторов.
Определение. Следом (шпуром) линейного ограниченного
оператора А называется число Sp[A], определяемое соотношением
оо
Sp[A] = J2< е*Не* > >
*=1
где {\еь >} - ортонормированный базис в сепарабельном
гильбертовом пространстве.
Для обозначения следа иногда вместо Sp[A] используют символ
Тг[А] и называют его "трейсом". Можно доказать, что след
оператора не зависит от выбора базиса в гильбертовом пространстве.
Важным свойством следа является возможность циклической
перестановки операторов внутри шпура:
Sp[AB] = Sp[BA] , Sp[ABC] = Sp[BCA] = Sp[CAB] ,
Приведем примеры линейных операторов.
1. Единичный оператор 1: 1х = х Ух £ Н, или AI = IA = А УА.
2. Обратный оператор А~1 : А"1 А = АА"1 = L
3. Сопряженный оператор А* : (А*х,у) = (х,Ау) Ух,у 6 Н.
4. Самосопряженный оператор А : (Ах, у) = (х,Ау) Ух,у € И
или А* = А.
5. Унитарный оператор А : (Ах, Ау) = (х, у) Ух,у Е T-L или
А* А = АА* = /.
6. Идемпотентный оператор Р : Р2 — Р.
7. Проекционный оператор (проектор) Р : Р2 = Р, Р* = Р.
8. Система ортогональных проекционных операторов
{Р,}: PkPi^hlPu Pk^Pk-
9. Ядерный оператор Л : 5р|Л| = SpVA*A < оо.
10. Оператор Гильберта-Шмидта А : £р(А2) = £р(А*Л) < оо.
11. Неотрицательный оператор А : А* = Л , (х, Ах) > О Ух £%.
12. Положительный оператор А : А* = А, (х, Ах) > 0 УхфЪ.

Глава I. Кинематика ограниченных наблюдаемых
15
1.6. Кинематические постулаты
В основе физических теорий лежат постулаты, которые
связывают основные физические понятия со структурами и понятиями
математических теорий.
Постулат о наблюдаемой. Наблюдаемой квантовой системы
соответствует линейный самосопряженный оператор,
действующий на (комплексном бесконечномерном) сепарабельном
гильбертовом пространстве.
Постулат о состоянии. Состоянию квантовой системы соответ-
Ътвует самосопряженный положительный линейный оператор с
единичным шпуром, называемый оператором матрица плотности
и действующий на сепарабельном гильбертовом пространстве.
Из постулата о состоянии видно, что оператор матрица плотности
является ядерным оператором
Р > 0 => \р\=Р =* Sp\p\ = Spp = 1 < оо .
Состояния квантовой системы часто делятся на два вида:
чистые состояния и смешанные состояния (статистические смеси).
1. Важное значение в квантовой механике имеют чистые
состояния. Чистым состоянием называется состояние, описываемое
оператором матрица плотности р, который удовлетворяет условию
р2 = р (условию идемпотентности). В силу определения, оператор
плотности чистого состояния является оператором проектирования,
так как р* = р и р2 = р, то есть существует ЗФ : р = Рф 6 %.
Видно, что всем условиям, определяющим оператор матрица
плотности чистого состояния, удовлетворяет одномерный проектор Рф,
если ЦФЦ-h = 1- Следовательно, любому чистому состоянию можно
сопоставить элемент гильбертова пространства, нормированный на
единицу. Верно и обратное утверждение.
Утверждение. Любому элементу Ф гильбертова пространства Н,
норма которого равна единице: ||Ф||я = \/(Ф, Ф) = 1, отвечает
чистое состояние р. Это состояние определяется соотношением
р = Рф, где Рф - оператор проектирования на одномерное
подпространство Ну = {аФ| а 6 С}; порожденное элементом Ф.
Таким образом, для чистых состояний существует взаимно
однозначное соответствие с точностью до комплексного множителя

16 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
между операторами матрица плотности р и элементами Ф
гильбертова пространства Н. Это приводит к тому, что гильбертово
пространство (точнее, множество единичных элементов) можно
рассматривать как пространство чистых состояний.
2. В общем случае состояния квантовых систем не могут быть
описаны только чистыми состояниями. При этом любой оператор
матрица плотности представим в виде линейной комбинации
операторов матрица плотности чистых состояний. Следовательно, любой
оператор матрица плотности можно записать в виде
00 ОО
k=0 k=0
Здесь Pfc - оператор проектирования на одномерное
подпространство Hk • Такая линейная комбинация называется статистической
смесью.
Тот факт, что наблюдаемым сопоставляются линейные
операторы ставит проблему связи этих математических объектов с
экспериментальными данными, которые являются вещественными
числами. На опыте измеряются вещественные числовые значения,
соответствующие наблюдаемой в заданном состоянии. Важнейшими
характеристиками распределения числовых значений на
вещественной прямой являются среднее значение < А > наблюдаемой и
дисперсия V{A) наблюдаемой. Таким образом, надо указать способ
вычисления экспериментально измеряемой величины < А >,
называемой средним значением. Третий кинематический постулат задает
способ вычисления среднего значения < А > для наблюдаемой А
квантовой системы в состоянии р.
Постулат о средним значении. Для каждой пары {р,А),
состоящей из состояния р и наблюдаемой А, существует
действительное число < А >=< р\А >. Это число называется средним (ооюи-
даемым) значением наблюдаемой А в состоянии р и вычисляется
по формуле < А >= Sp[pA].
Оператор матрица плотности р можно сопоставить некоторой
наблюдаемой. Естественно потребовать, чтобы среднее значение
такой наблюдаемой было конечным < р>= Sp[p2] < oo. Тогда опера:
тор плотности является оператором Гильберта-Шмидта. Для того
чтобы дать характеристику разброса измеренных средних
значений < А >, вводят новую наблюдаемую (А— < А > I)2. Среднее
значение этой наблюдаемой называется дисперсией.

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых 17
Определение. Дисперсией наблюдаемой А называется
действительное число, определяемое формулой V{A) =< (А— < А > I)2 >.
V(A) = Sp[p{A- <A> I)2} =<А2>-<А>2 .
Говорят, что наблюдаемая А в состоянии р имеет точное значение,
если дисперсия А равна нулю V(А) = 0.
Отметим, что оператор матрица плотности удовлетворяет
соотношению р2 = р тогда и только тогда, когда энтропия системы
равна нулю, то есть S = — < In p >= —Sp[pln p] = 0.
1.7. Определение сопряженного пространства
Рассмотрим оператор У, отображающий гильбертово
пространство Н в пространство комплексных чисел С Такие операторы
называются функционалами.
Определение. Линейным функционалом называется линейный
оператор У : Н\ -> %2, если пространство %% является
пространством комплексных чисел С. За норму на этом множестве
принимают модуль комплексного числа.
Функционалом называется оператор У, областью определения
которого является линейное пространство И, а областью значений
- пространство комплексных чисел С, то есть У € /С(%,С).
Определение. Ограниченным функционалом называется
линейный функционал Y, для которого существует положительная
постоянная С такая, что
\Y{x)\ < C\\x\\H VxeH,
или, что то же самое |У(а;)|/||д;||^ < С Ух ЕН.
Точная нижняя грань значений постоянной С называется нормой
функционала.
Определение. Нормой функционала У е 1С(Н,С) называется
число \\Y\\, определяемое формулой
imi= «ч> £M.

18
Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Определение. Непрерывным функционалом называется
функционал Y, если для любого элемента х € % последовательность
{xk} € Н, сходящаяся к х по норме И, отображается в
последовательность {Y(xk)} € С, сходящуюся к элементу Y(x) £ С.
Ух е Н lim \\хк - х\п = О =» lim \Y{xk) - Y{x)\ = 0 .
Теорема. Необходимым и достаточным условием непрерывности
линейного функционала является его ограниченность.
Любому линейному пространству И можно сопоставить
сопряженное пространство %* = /C(W,C), элементами которого являются
линейные функционалы.
Определение. Дуальным (сопряженным) пространством И*
называется пространство непрерывных линейных функционалов
на линейном пространстве Н.
Всякий элемент у гильбертова пространства % определяет
непрерывный линейный функционал Y € W по формуле Y(х) = (у,я).
Сформулируем теорему, характеризующую пространство Н*,
сопряженное гильбертову пространству И.
Теорема Рисса-Фреше. Для любого линейного ограниченного
функционала Y £ Н*, заданного на гильбертовом пространстве
%, существует единственный элемент у € И такой, что для всех
х G Н имеем Y(x) = (у,х).
Из теоремы Рисса-Фреше следует, что сопряженное
пространство И* всех линейных функционалов на И изоморфно с самим
пространством И, то есть У,* = 71.
Теорема об изоморфизме %* и Ц. Для любого линейного
непрерывного функционала Y € И* на гильбертовом пространстве К
существует единственный элемент у Е К такой, что для всех
х £ Н имеем Y(x) = (у,ж). Обратно, для любого элемента у £.%
гильбертова пространства % существует непрерывный линейный
функционал Y(x) = (у, х) € %*, x E %. Таким образом,
пространства И* и % изоморфны.
В силу изоморфизма И* и V, всякий элемент х можно
рассматривать не только как элемент гильбертова пространства Я, но и
как элемент сопряженного пространства W. В связи с этим
удобно использовать обозначения Дирака. Согласно Дираку элемент
х гильбертова пространства К будем обозначать в виде \х > и
называть кет-вектором. Элемент Y сопряженного гильбертова
пространства W* обозначается символом < у\ и называется бра-векто-

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых 19
ром, где у есть элемент гильбертова пространства %,
соответствующий Y € И*. Следовательно, х как элемент пространства И - это
кет-вектор \х >, а х как элемент сопряженного пространства И* -
это бра-вектор < х\. Очевидно, что определено скалярное
произведение бра- и кет-векторов
< у\х >=< у\\х >= (\у >, \х >) = (у,х) Vjy >, |я? >€ W .
Напомним, что скалярное произведение в гильбертовом
пространстве удовлетворяет условию < у\х >*=< х\у >, где \у >, |# >6 H. В
дальнейшем будем пользоваться в основном обозначением
скалярного произведения в виде < х\у >, как это принято в физической
литературе, а не в виде (х. у), принятом в математике.
Условимся понимать символ Р(х,у) = |д: >< у\ как оператор,
отображающий вектор \z >£~Н в вектор P(x.y)\z >= |# >< y|z >.
Оператор Р{х,у) = |ж >< у| называется оператором ранга 1, или
кет-бра оператором. Этот оператор отображает пространство Н
на одномерное подпространство Нх = {а|# >, а € С}. Если кет-
вектор |я; > нормирован на единицу \\х\\-ц = д/< ж|ж > = 1, тогда
оператор Р(х) = Р(х,х) является оператором проектирования на
вектор |гг >, так как Р*{х) = Р(:г), Р2(я) = Р(:г).
Определение. Оператором конечного ранга
(конечномерным оператором) называется линейный оператор А, который
моЫсно представить в виде конечной суммы операторов ранга 1
N N
A = Y^\xk><Vk\ , A = ^2P(xkiyk) .
Оператор конечного ранга - это оператор А, действие которого на
произвольный элемент \z >€ И пред ставимо в виде
N N
A\z>=Yl\Xk ><Vk\z> , Az-^2xk(Vkyz) , xk,yk€4 .
Конечная линейная комбинация операторов ранга 1 является
оператором конечного ранга. Такой оператор отображает гильбертово
пространство % на некоторое его конечномерное подпространство.
В связи с этим оператор конечного ранга иногда называют
конечномерным оператором. Очевидно, что всякий конечномерный
оператор является ограниченным оператором.

20 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
1.8. Матричное представление оператора
Рассмотрим теперь матричное представление ограниченного
оператора в ортонормированном базисе, играющее важную роль в
квантовой кинематике. Отметим, что оно аналогично матричному
представлению линейного оператора в конечномерном пространстве.
Однако матрица ограниченного оператора, описывающего
наблюдаемую, будет уже бесконечной.
В сепарабельном гильбертовом пространстве % всякая полная
ортонормированная система кет-векторов |е& >: < е&|е/ >= 5ы яв^
ляется базисом, то есть для любого вектора \х >€ Н имеет место
разложение
ос сю
|z>=]T|efc ><ek\x> , |а? >= ])Г |е* > ж* , (4)
k=l k=l
где числа х^ =< е^\х > - коэффициенты Фурье. Заметим, что
оператор Р& — Р(еь,еь) = |е& >< е&| является оператором
проектирования на одномерное подпространство И к — {а|е& >, a € С}
гильбертова пространства %, то есть Р£ = Рк , PkPl = Pk^kl-
Оператор проектирования Pn на конечномерное
подпространство Hn С К является оператором конечного ранга и имеет вид
N N
Рм = ^\ек><еь\^Лрь • (5)
Формула, аналогичная (5), справедлива и для
бесконечномерных подпространств. Однако здесь возникает бесконечный ряд
операторов, и поэтому необходимо определить понятие сходимости.
Очевидно, что сходимость по операторной норме здесь не
подойдет, так как норма слагаемых не стремится к нулю
\\Рк\\ = ||Р(е*,е*)|[ = || \ек X ек\ || = 1 Vfc .
Определение. Последовательность операторов {А^} называется
равномерно сходящейся к оператору А, если
lim||Afc-A||=0.
fc->oo

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых -
21
Таким образом, равномерная сходимость последовательности
линейных операторов - это сходимость по операторной норме.
Определение. Последовательность операторов {Ак} называется
сходящейся сильно к оператору А, если
lim \\Akx - Ах\\п = 0 , Vz € Н ,
fc-*oo
и, сходящейся слабо к оператору А, если
lim < x\Akx >-< х\Ах > , Мх е Н .
к-юо
Отметим, что из сходимости по норме следует сильная
сходимость, а из сильной сходимости следует слабая сходимость.
Поскольку для любого элемента х гильбертова пространства %
ряд векторов
N
\XN > = Y1 \вк ><С вк\Х >== Pn\X > '
сходится сильно к этому элементу, то, следовательно, ряд
операторов Рдг сходится сильно. Для любого ортонормированного базиса
{\ек >} в Н имеем
оо оо
^2\ek><ek\ = I, J^Pk = I .
*=1 к=1
Это является символической записью соотношения (4),
выражающей полноту ортонормированной системы элементов {\ек >}.
Ортонормированная система {(е^ >} позволяет представить
ограниченные операторы в гильбертовом пространстве Н с
помощью бесконечных матриц Aki =< е^|Л|е^ >=< ек\Ае\ >.
Утверждение, Для любого ограниченного линейного оператора А}
действующего на элементы сепарабельного гильбертова
пространства /Н) существует единственное разложение по кет-бра
операторам Pki = Р(е&, ei) = \ек >< ei\ в виде ряда
оо оо
а = J2 Iе*>< ek^ei >< e'i= Л AkiPki ■
к,1=1 к,1=1

22 Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Действительно, в силу полноты системы {je^ >} и А = IAI имеем
оо со со
А= (j2\ek><ek\)A\Y^\ei><ei\) = J2 \ек >< ek\A\ei >< ei\ .
k=l 1=1 Ar,i=l
Операторы P# можно рассматривать как базисные операторы. В
результате получаем матричное представление оператора.
Любой линейный ограниченный оператор, действующий в се-
парабельном гильбертовом пространстве, можно представить в
виде матрицы, то есть существует взаимно однозначное
соответствие: A <& Aki =< е&|А|е/ >.
Отметим, что для любого кет-бра оператора P(efc,ej) можно
определить проектор Р(е&) по формуле Р(е^) = Р(е&,е&). Обратно,
любому проектору Р(е^) можно сопоставить кет-бра оператор Р^ с
помощью процедуры поляризации
- 71=3
Ры = Р(еь е«) = 7 У) isP(efc + г*е<) .
1.9. Унитарно эквивалентные операторы
\
Любая физическая теория должна включать преобразования
наблюдаемых и состояний. Для того чтобы наблюдаемые
(самосопряженные операторы) преобразовывались в наблюдаемые
(самосопряженные операторы), необходимо рассматривать канонические
преобразования, описываемые унитарными операторами.
Определение. Операторы А и Af называются унитарно
эквивалентными, если существует унитарный оператор U такой, что
А' = UAU*. Говорят также, что операторы А и А! связаны
каноническим преобразованием.
Напомним, что унитарным оператором на гильбертовом
пространстве % называется линейный оператор С/, для которого при
всех я,у из % имеет место соотношение < Ux\Uy >=< х\у >.
Унитарный оператор описывает изоморфизм гильбертова пространства.
Теорема. Для того чтобы линейный оператор был унитарным,
необходимо и достаточно, чтобы он отображал ортонормирован-
ный базис в ортонормированный.

Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
23
Из теоремы следует, что, если {\ек >} - ортонормированный базис в
Ну a U - унитарный оператор, то элементы \efk >= |£7е& >= /7|е& >
тоже образуют ортонормированный базис.
Теорема. Для того чтобы линейные операторы были унитарно
эквивалентными, необходимо и достаточно, чтобы существовало
два ортонормированного базиса, в которых эти операторы
выражались бы одной и той же матрицей.
В силу унитарности U для оператор А! в базисе {\е'к >} имеем
<е!к\А'\е'1 >=< Uek\A'Uei >=< ek\U*A'Uei >=< ек\Ае{ >= Аы .
Видно, что матрица оператора А1 в базисе {\е'к >} равна матрице
оператора А в базисе [\ек >}. Следовательно, унитарно
эквивалентные операторы можно рассматривать как реализации одного
оператора в разных базисах.
Понятие канонического преобразования можно обобщить на
случай изоморфизма между различными гильбертовыми
пространствами. Унитарно эквивалентные операторы можно рассматривать как
реализации одного оператора в разных гильбертовых пространствах.
1.10. Задача на собственные значения
Одна из главных задач в теории линейных операторов и в
квантовой механике состоит в отыскании векторов, сохраняющих под
действием оператора свое направление, то есть элементов,
удовлетворяющих уравнению Ах = zx, где z - комплексное число. Задача
на собственные значения для линейного оператора А,
действующего в гильбертовом пространстве Н, заключается в том, чтобы
найти ненулевые элементы \х > из пространства %, являющиеся
решением уравнения вида А\х >= \х > z. Другими словами,
необходимо найти класс таких элементов \х >, действие оператора А
на которые сводится к умножению на число z. Каждый такой
элемент называется собственным вектором оператора. Вообще
говоря, решение этого уравнения существует только для специальных
значений zkl называемых собственными значениями оператора
А\хк >= \хк > zk. Впервые квантовую механику как задачу на
собственные значения в гильбертовом пространстве
сформулировал фон Нейман.

24
Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых
Рассмотрим свойства собственных значений и собственных
векторов для самосопряженных ограниченных операторов.
Определение. Самосопряженным ограниченным оператором
называется линейный ограниченный оператор А, для которого
выполняется равенство < Ах\у >=< х\Ау > для любых элементов
х,у из Н.
Утверждение. Если оператор А является ограниченным
самосопряженным, то соответствующие собственные значения zk
являются вещественными.
Утверждение. Если оператор А является ограниченным
самосопряженным и собственные значения zk и z\ различны, то
соответствующие собственные векторы \хк > и \х\ > ортогональны,
то есть < xk\xi >— 5k[.
Определим нормированные собственные векторы
|е* >= \xk> {<xk\xk >У^2 .
Утверждение. Для всякого непрерывного ограниченного
самосопряженного оператора А на сепарабельном гильбертовом
пространстве И существует ортонормированный базис в %, элементами
которого являются собственные векторы оператора А.
Нормированные собственные векторы образуют базис, в
котором матрица ограниченного самосопряженного оператора А имеет
диагональный вид Ак\ —< ek\A\ei >= z\ < ек\е\ >— z\bk\. Линейный
оператор А можно разложить единственным образом в ряд по кет-
бра операторам Pki = Р(ек,ек). Для самосопряженного оператора
существует более сильное утверждение.
Утверждение. Для любого ограниченного самосопряженного
оператора А существует единственное разложение по операторам
Рк = Ркк = Р{ек, ек) = \ек >< ек\ в виде ряда
оо
A = Y.zkPk. (6)
fc=l
Оператор Рк = Ркк является оператором проектирования на
подпространство %к = {а\ек >. а £ С} С И. При этом
операторы {Рк} образуют полную систему ортогональных проекторов
оо
^

Глава 1 • Кинематика ограниченных наблюдаемых
25
Постулат о средних. Единственными возможными
результатами измерения данной наблюдаемой в заданном состоянии
являются собственные значения сопоставляемого ей оператюра.
со со
< А >= Sp[pA) = ^zkSp\pPk] = Y2zkpk , pk =< eA;i/c»|efe > .
Известно, что каждый ограниченный самосопряженный
оператор можно представить в виде оператора умножения. Это
утверждение является обобщением на бесконечномерный случай
утверждения о том, что для любого самосопряженного оператора А
существует унитарный оператор С/, приводящий матрицу оператора к
диагональному виду (UAU )ы — zkbk\. Другими словами, для
любого самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве
Н существует "единственное разложение единичного оператора / в
ряд из проекционных операторов {Рк} в пространстве Н. При этом
самосопряженный оператор А восстанавливается по системе
проекционных операторов {Рк} формулой (6). Это утверждение
называется спектральной теоремой, или теоремой о спектральном
разложении самосопряженного оператора.

ГЛАВА 2.
КИНЕМАТИКА НЕОГРАНИЧЕННЫХ
НАБЛЮДАЕМЫХ
2.1. Недостаточность гильбертова пространства
Гильбертово пространство бесконечномерно, причем оно
является полным в данной топологии, то есть при определенной
сходимости бесконечной последовательности. Физические измерения могут
дать информацию о произвольно длинных последовательностях, но
ничего не могут сказать о бесконечных последовательностях.
Следовательно, физика не может дать достаточно информации о том,
чтобы сказать, как переходить к бесконечному пределу, то есть
как выбрать топологию. Поэтому топологию можно выбрать из
соображений удобства. Физического обоснования
предпочтительности сходимости в гильбертовом пространстве относительно других
определений сходимости не существует. В квантовой механике
принято использовать гильбертово пространство, а не какое-либо
другое банахово пространство. Никакого физического обоснования для
этого выбора, кроме удобства, не существует.
Отметим, что даже простейшие операторы координат и
импульсов не могут быть реализованы ограниченными операторами на
гильбертовом пространстве. В квантовой механике такие
наблюдаемые, как координаты и импульсы, представляются
дифференциальными операторами в частных производных, которые неограни-
чены в гильбертовом пространстве. Простейший самосопряженный
оператор дифференцирования Р = —ihd/dq, действующий на
бесконечно дифференцируемые функции из Ь2(М), производные
которых имеют интегрируемый квадрат модуля, не имеет ни одного
собственного вектора в L2(R). Действительно, собственные вектора
оператора Р = —ihd/dq, а именно, функция exp {i/h)qp, не
принадлежит 1/2(М), так как функция \\exp {i/h)qp\\2 = 1 неинтегрируема
на всей оси.

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 27
Самосопряженные операторы (даже если они ограничены)
имеют, вообще говоря, не только дискретное, но и непрерывное
множество собственных значений. Однако лишь собственные векторы,
соответствующие дискретному множеству собственных значений,
принадлежат гильбертову пространству. Во многих задачах
квантовой механики используются векторы, которые не являются
элементами гильбертова пространства. Для таких векторов, вообще
говоря, не определено скалярное произведение, и они не могут быть
нормированы на единицу.
2.2. Пространства основных функций
Приведем некоторые определения.
Определение. Полунормой элемента х линейного пространства
% над полем комплексных чисел называется вещественная
функция \\х\\-и, удовлетворяющая следующим условиям.
1- \\х + у\\ч<Ы\ч + \\у\\и Vx,yeH.
2. \\ах\\п = \а\\\х\\и УхвП a G С.
5. \\х\\п>0 Ухе П.
Полунорма (преднорма) будет нормой, если вместо третьего
условия выполняются условия \\х\\-ц > 0 Уж^Ои \Щ\ч = 0.
Определение. Счетно-нормированным пространством
называется линейное пространство %, если каждому элементу х
сопоставлена счетная система норм (полунорм) ||#||т; для которых
выполнены следующие условия.
1. Система норм (полунорм) образует возрастающую
последовательность попарно согласованных норм (полунорм):
Ml < |М|2 < - < \\х\\т < ....
2. Последовательность элементов {х^} € Н сходится к элементу
х линейного пространства Н, то есть Пт&-юо \\xk — х\\т — 0 при
любом т.
Счетная система полунорм определяет на пространстве
топологию, называемую локально выпуклой топологией. Полное счетно-
нормированное пространство называется пространством Фреше. *
Определение. Пространством Фреше называется счетно-нор-
мированное пространство Н, полное относительно метрики
dm{x->y) — \\% "- у\\т> определяемой его нормами, при любом га.

28 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
Пусть М - открытое подмножество вР,а £(М) = С°°(М) -
пространство бесконечно дифференцируемых функций в М.
Пространство £(М) является пространством Фреше, топология
которого может быть задана с помощью полунорм:
пади™ = Yl sup 1я^ф(ж)| < °° •
|fc|<ml€M °Х
Здесь к - мультииндекс, то есть к — (k\, ...,fen), fc» - целые
неотрицательные числа и
дк _ aifci _А
д* = &#...&&' 1*1-]L*i = *! + ■•• + *»•
Пространство V(M) С С°°(М) бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем в М С W1 называется
пространством финитных функций.
Определение. Пространством финитных функций
называется линейное пространство V(M) бесконечно дифференцируемых
комплекснозначных функций Ф(ж) € С°°(М) на М С Кп,
обращающихся в нуль вне некоторой области МсКп.
Ф(я)б2?(М): Щх)\\н = sup \^Щх)\ < оо V*,J.
Видно, что V(M) С £(М). В пространстве Т>(М) можно определить
счетную систему полунорм
Qk
1|Ф||т = |шахвир|5зфИ1 •
Примером финитной функции является функция
ф(ж) = J ^р~^ы? N<|o|
О \х\ > \а\
Определение. Пространством быстро убывающих функций
(пространством Шварца) называется линейное пространство

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 29
J(R), состоящее из бесконечно дифференцируемых комплексно-
значных функций Ф(ж) € C°°(R) на R, убывающих вместе со
своими производными при х -> оо быстрее, чем любая степень \x\~~1.
S
Щх) е J(R) : \\Щх)\\М = SUp |а;*_ф(я)| < ОО VM.
Пространством Шварца ^(Мп) называется линейное
пространство, которое состоит из бесконечно дифференцируемых комплекс-
нозначных функций Ф(х) Е C°°(Rn), убывающих вместе со своими
производными при х -> ос быстрее любой степени 1/\х\.
Ф(а) € J(Kn) : ||*(*)IIim = sup |s*iU(*)| < оо Vk,/-
Здесь А и £ мультииндексы и xk = icf1... я*;71,
п
Е
Видно, что V(Rn) С J(Mn).
Утверждение. Линейное пространство J{Ш1) является
пространством Фреше, топология которого задается системой полунорм
n*(*)iim= Е Еиф(*<о°-
|/fe|<m|J|<m
Топологию можно определить счетной системой полунорм (норм)
1№)11т= та* Ш*)Ы .
\k\<m,\l\<m
Пространство Jm(Rn), полученное из J(Rn) пополнением по
норме ||.||т, является банаховым пространством. Пространство j7m(lRn)
есть пространство всех т раз дифференцируемых функций Ф(я),
для которых существует последовательность (Фп(д:)} Е ^т(Еп)
такая, что
нт над - Ф„(яг)|и = о.

30 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
Пространство J{M) является пространством функций из J {Ж1),
которые обращаются в нуль вне (вообще говоря, неограниченной)
области М С W1. Сходимость в J(M) определяется той же
системой норм (полунорм).
В силу того, что выполняются неравенства
||Ф(ж)Цт<||Ф(х)|и+1 Vrn,
имеют место включения Jm+i (Rn) С Jm(Rn) Vra.
Пространства £(М), V(M) и J(Rn) обычно используются в
качестве пространств основных (пробных) функций, а обобщенные
функции являются линейными функционалами на этих
пространствах. Однако нужно использовать не все линейные функционалы,
а лишь те, которые непрерывны относительно естественных
топологий в этих пространствах.
2.3. Прострадства обобщенных функций
Рассмотрим множество £*(М) линейных непрерывных
функционалов на пространстве £(М), или, как говорят, дуальное
(сопряженное) пространство к пространству 6(М). Значение функционала У
на элементе Ф будем обозначать У(Ф) =< У, Ф >. Непрерывность
функционала У € 6*(М) обычным образом описывается в
терминах топологии или сходимости. В терминах сходимости она
означает, что если Ф^ -> Ф в £(М), то < У, Ф^ >->< У,Ф > в £*(М).
Кроме того, она может быть описана в терминах полунорм. Пусть
существуют такие постоянные С и тп} что
|<У,Ф>|<С||Ф||Ш УФ€£(М),
тогда функционал У является ограниченным и, следовательно,
непрерывным.
Определение, Пространством обобщенных функций
(распределений) называется сопряженное пространство к J(Wl),
обозначаемое через J*(Rn).
Элементы пространства J*(Rn)y сопряженного пространству
J"(Rn), называются обобщенными функциями умеренного роста или
просто обобщенными функциями.

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 31
Определение. Обобщенной функцией (распределением)
называется линейный непрерывный функционал на пространстве
быстро убывающих функций J(Rn).
Примером обобщенной функции является дельта-функция
б(х) : f ${x)S(x)dx = Ф(0) УФ(ж) 6 J{Rn) .
Среди элементов пространства J*(Rn) обобщенных функций
находятся и все обычные измеримые функции Y(x), для которых
выполняется неравенство
\Y(x)\<C(l + \x\)N,
с некоторыми постоянными С и N. Эти функции задают
функционалы У, принадлежащие J*(Rn), по формуле
<У,ф>= fY{x)$(x)dx .
Здесь dx есть стандартная мера Лебега.
Полезно ввести топологию в пространстве обобщенных
функций. Возможны несколько способов определения топологии.
Наиболее важной топологией является слабая топология, определяемая
полунормами
||У||ф = |<У,Ф>| Ф€Я, YGE* ,
где Е ~ £{M),V(M) или J(Rn), a E* - соответствующее
сопряженное пространство обобщенных функций. В большинстве случаев
вместо этой топологии можно использовать слабую сходимость,
которая определяется следующим образом. Последовательность
функционалов {Yk} из Е* называется слабо сходящейся, если < Y&, Ф >—>
->< У, Ф > для любого элемента Ф £ Е. Важный факт, выводимый
из теоремы Банаха-Штейнгауза, состоит в том, что отсюда следует
непрерывность функционала У G Е*.
Вложения пространств V(M) С £{М) и V(Rn) С J(Rn)
индуцируют вложения сопряженных пространств £*(М) С 2?*(М) и
J*{Rn)cV*(Rn).

32 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
2.4. Действия над обобщенными функциями
1. Дифференцирование обобщенных функций можно определять с
помощью равенства
< dkY, Ф >= (-l)W < У, дЧ > .
2. Умножение обобщенной функций У е V*(M) на гладкую
функцию а (яг) € С°°(М) определяется по формуле
<аУ,Ф>=<У,аФ> Ф€£>(М) .
Естественно возникает вопрос: на какие гладкие функции a(x)
можно умножать любые обобщенные функции умеренного роста, не
выходя за пределы класса обобщенных функций умеренного
роста? Для этого необходимо и достаточно, чтобы функция а(х) была
мультипликатором в J(Rn), то есть умножение на а(х) было
линейным непрерывным оператором в J(Rn). Это, в свою очередь,
равносильно тому, что для а(х) выполняются неравенства
\дка(х)\<Ск(1 + \х\)Ъ ,
где к - произвольный мультииндекс, a Ck,Nk - постоянные,
зависящие от мультииндекса.
3. Комбинация умножения и дифференцирования дает
возможность применять к обобщенным функциям из Т)*(М) любые
линейные дифференциальные операторы Л, заданные в области М CW1
и имеющие вид
А = £ ak(x)Dk , Dk = D*lD$*...Dkn , D5 = -td/a^' , (7)
|fc|<m
где к - мультииндекс, то есть к = (fei,...,fen), fc? - целые
неотрицательные числа, |fcj = ki + ... + fcn, а коэффициенты а* (ж) G С°°(М).
К обобщенным функциям из J^R71) можно применять операторы
вида (7) с коэффициентами а^(гс), являющимися
мультипликаторами в J(Mn). Действие линейного дифференциального оператора А

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 33
в пространствах обобщенных функций V*(M) и 17*(КП)
определяется с помощью транспонированного оператора Аь соотношением
< Af, Ф >=< /,4'Ф > Ф G 2?*(М) (Ф G ^*(МП)) .
Здесь транспонированный оператор А* задается формулой
л'Ф(*) = J2 (-1)1к1вкЫ*)Щ*)).
|&|<га
4. Преобразование Фурье обычной функций Ф(#) € ^(К*1)
определяется формулой
Ф(£) = (JTO)(fl = -~щ Je-ix^{x)dx , (8)
где #£ = a?i£i +... + #n£n ~ обычное скалярное произведение.
Оператор Фурье F является изоморфизмом F : J(Rn) -» J(Rn), причем
обратное отображение F~l задается формулой
(^1ф)(ж) = (2^/6^т-
Умножая обе части уравнения (8) на Ф(£) б J(Rn) и интегрируя по
переменной £, получим Fl = F: < ^Ф, Ф >=< Ф, -РФ >. Эта
формула позволяет определить преобразование Фурье F как отображение
F : J*(Rn) -» J*(Rn). Оно является продолжением по
непрерывности отображения F и также является изоморфизмом. Обратное
отображение Р"1 получается продолжением по непрерывности
отображения F~l : J(Rn) -+ J(Rn). В случае Ф 6 £*(Rn)
преобразование. Фурье обобщенной функции Ф(#) может быть задано более
явной формулой
ад = (2^<Ф(ж)'е^е> •
5. Преобразование Фурье и дифференцирование связаны формулой

34 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
легко проверяемой при Ф 6 J(Rn) и верной при Ф е ^(W1). Эта
формула означает, что преобразование Фурье переводит
дифференцирование Dk в умножение на £*. Кроме того, имеет место более
общая формула F(P(D)V)(€) = P(f )(F\I>)(f), где Р(£) -
произвольный полином, P{D) - соответствующий дифференциальный
оператор с постоянными коэффициентами.
2.5, Оснащенное гильбертово пространство
Одна из причин важности именно гильбертова пространства ддя
квантовой механики заключается в том, что наличие скалярного
произведения позволяет ввести понятие самосопряженного
оператора, соответствующего наблюдаемой, и понятие унитарного
оператора, при помощи которого описывается кинематическая симметрия
квантовой системы. В квантовой механике гильбертово
пространство % обычно возникает в результате пополнения (относительно
нормы, определяемой скалярным произведением) некоторого
пространства В достаточно хороших функций (например, J(Rn)). Про-.
странство В обычно считают банаховым, то есть нормированным
пространством, полным относительно нормы || . ||д. Определим в
банаховом пространстве В скалярное произведение (ж, у),
непрерывное относительно сходимости в В. В общем случае пространство
В не является полным относительно сходимости по норме ||ж||^ =
= у/(х, х)у так как оно лишь предгильбертово. Однако
пространство В всегда может быть пополнено относительно этой сходимости,
определяемой нормой || . ||^, до гильбертова пространства.
Из теоремы Рисса-Фреше следует, что сопряженное
пространство %* всех линейных функционалов на % изоморфно самому
гильбертову пространству И. С другой стороны, функционалы из
Н* являются непрерывными линейными функционалами из В*.
Пространство В* всех линейных функционалов на В шире, и оно
включает в себя гильбертово пространство Н* = И.
Определение. Оснащенным гильбертовым пространством
(тройкой Гельфанда) называется тройка вложенных одно в
другое пространств
В С Н = Н* С Б* ,
где И - гильбертово пространство, В - банахово пространство, В*
- банахово пространство линейных функционалов на В.

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 35
Примером оснащенного гильбертова пространства является
следующая тройка пространств:
J(Rn) С L2{Rn) С J*(Rn) .
Эта тройка состоит из банахова пространства <J(Rn) основных
функций, гильбертова пространства L2(Rn) квадратично
интегрируемых функций и банахова пространства 17*(МП) линейных
функционалов на J(Rn)
Часто, используя гильбертово пространство Н, забывают о
пространстве В, пополнением которого оно получено. Поэтому
забывают и о естественном расширении В* пространства Н. Между тем
именно одновременное рассмотрение тройки пространств дает
естественную основу ддя построения общей теории линейных
операторов и квантовой механики.
В общем случае самосопряженные операторы имеют не
только дискретный, но и непрерывный спектр собственных значений.
Однако лишь собственные векторы дискретного спектра
принадлежат гильбертову пространству Н. Если пользоваться
оснащенным гильбертовым пространством, то можно собственные векторы
непрерывного спектра отнести к расширению В* гильбертова
пространства Н = Н*.
Гильбертово пространство может быть оснащено разными
способами, в зависимости от того, какое банахово пространство В
выделяется в пространстве И. Обычно требуют, чтобы пространство В
оставалось инвариантным под действием полного набора
операторов, то есть, чтобы все операторы А были определены в
пространстве В и Ух € В => Ах € В.
2.6. Координатное представление
Из соображений удобства конкретное гильбертово пространство
Н можно выбрать так, чтобы оператор координаты реализовался
наиболее просто. Существует гильбертово пространство L2(R) ком-
плекснозначных функций Ф(д) действительной переменной q, в
котором оператор координаты Q и оператор импульса Р реализуются
как операторы умножения и дифференцирования
ЯЩд) = дЩд) , РЩд) = -ih^-Щд) .

36 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
Оператор импульса Р = -ihd/dq определен для бесконечно
дифференцируемых функций из 1/2(М), производные которых имеют
интегрируемый квадрат модуля. Однако этот оператор не имеет
ни одной собственной функции в L2(M). Собственная функция
< q\p >= (2тгН)~1/2ехр {i/h)qp оператора импульса не принадлежит
пространству L2(M), так как \\exp(i/h)qp\\2 = 1и она неинтегрируе-
ма на оси R В то же время функции < q\p >= (2тгН)~1/2 exp(i/ h)qp
принадлежат пространству линейных функционалов ^7*(R) и
образуют полную систему функционалов в этом пространстве.
Действительно, любой функционал из ^*(М) и, тем более, любая функция
из Ь2(Ш) разлагается в интеграл Фурье по собственным функциям
< q\p >— (2тгК)'~'1^2ехр {i/h)qp оператора импульса Р = —ihd/dq.
Определим пространство функций i7(K), на котором заданы
оператор координаты Q и оператор импульса Р, следующим условием:
Jdq\qk^(q)\<™ Vfc,Z •
Скалярное произведение функций из J{R) определяется формулой
< ФХ|Ф2 >= / dqVl(q)4?2{q) .
В результате имеем оснащенное гильбертово пространство,
состоящее из тройки: J (Ж) С Ь2(Щ С J'* (К). При этом оператор
импульса имеет полную систему собственных функций в этом оснащенном
гильбертовом пространстве.
Такое представление оснащенного гильбертова пространства
называется координатным. Координатное представление является
одним из основных кинематических представлений (помимо
матричного) используемых в квантовой механике. В этом представлении
гильбертовым пространством служит %q = L2(Mn), а оснащенным
гильбертовым пространством является J (Ж1) С L2(Rn) С J*(Rn).
При этом операторы координат Qk и операторы импульса Р&
реализуются как операторы умножения на числа qk и операторы
дифференцирования ~ihd/dqk, заданные на J(Rn) С L2(En).

Глава 2. Кинематика, неограниченных наблюдаемых 37
2.7. Собственные векторы операторов Q и Р
Рассмотрим абстрактное гильбертово пространство Н и
определим в нем собственные векторы \q > и \р > для операторов
координаты Q и импульса Р:
Q\q>=\q>q, Р\р >- \р > р . (9)
Эти векторы удовлетворяют соотношениям ортонормированности
< qW >= % ~ </) , < Р|Р7 >= Я(Р - р') ,
и полноты
j\q>dq<q\^I , Г \р > dp < р\ ^ I .
Соотношения полноты являются сокращенной формой записи
равенств
< Ф1|Ф2 >= / < Ф^ > dq < д|Ф2 > , <
< Ф1|Ф2 >= / < Ф1|р>Ф<р|Ф2 > •
Символам <д|Ф>и<р|Ф> можно придать смысл
равенствами < <?|Ф >= Ф(<?), < р|Ф >= Ф(р), где функции Ф(<?) 6 £2(Е) и
Ф(р) € £2(Е). Данная форма записи подчеркивает, что функции
Ф(#) и Ф(р) представляют один и тот же вектор |Ф >Е ?т£, но в
разных представлениях. В этом случае имеем представление
гильбертова пространства % как пространства £2(Е) - гильбертова
пространства функций, которые интегрируемы с квадратом модуля по
Лебегу и определены на действительном пространстве Е.
Пространство 1-iq функций Ф(д) £ L2(E) называется координатным
представлением гильбертова пространства Н. Пространство Нр функций
Ф(р) 6 Z/2(E) называется его импульсным представлением.
Заметим, что
(АЩд) =< q\A4i > , (АЧ>)(р) =< р|АФ > .
В частности, для операторов координаты и оператора импульса
имеем
(Q*){q) =< q\Q* >=< q\Q\V >= q < ?|Ф >= q*(q) ,

38 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
(РФ)(р) =< р\РУ >=< р|Р|Ф >= Р < р|Ф >= рФ(р) •
Видно, что операторы координат и импульсов действуют как
операторы умножения в пространствах %q и Кр, соответственно. Кроме
того, имеем
(РФ)(д) =< д|РФ >=< д|Р|Ф >= / < д|Р|р > Ф < р|Ф >=
= Jp<q\p>dp< р|Ф >= ,g L/2 j ре>Ф(р)ф ,
Ф(9) = ^~72 / еУ^Шр => (РФ)(9) = -»й^ф(9) •
Следовательно, оператор импульса действует как оператор
дифференцирования в пространстве Tiq) то есть в координатном
представлении.
Рассмотрим задачу на собственные значения для операторов
координаты и импульса (9). В координатном представлении
уравнения (9) для собственных функций < q'\q > и < ql\p > имеют вид
q' < q'\q >= q < <j\q > , -ih— < q'\p >= p < q'\p > .
Решая эти уравнения, получим
<</!«>= %'-«), < q'\p >= —T^eb'P .
Собственная функция < g'lg > оператора координаты Q является
обобщенной функцией, а собственная функция < qf\p >
оператора импульса Р - обычной функцией. Обе эти функции не
являются квадратично интегрируемыми, то есть не принадлежат L2(RR).
Собственных функций из гильбертова пространства Н = L2(E) у
операторов Q и Р нет. Собственные вектора, принадлежащие В*
и не принадлежащие Н} называются обобщенными собственными
векторами. Преобразование Фурье для элемента |Ф >Е В, имеющее
вид
Ф<9)=»/е*"Ф<р)<"'

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 39
можно рассматривать как разложение Ф(д) € J(R) по собственным
функциям < q\p >— (2ъК)~112ехр [i/K)qp оператора импульса Р.
Оператор Q в координатном представлении диагоналей и его ядро
имеет вид < q'\Q\q >=< q'\q > q = q5(qf - q).
2.8. Унитарная эквивалентность представлений
Унитарный оператор, преобразующий координатное
представление в импульсное, можно реализовать в пространстве Z/2(Rn) как
интегральный оператор Фурье. Оператор Фурье F определяется
соотношением
*(р) = F*fo) = —Ljj Ie-t*9(q)dq .
Обратный оператор Фурье задается формулой
Оператор Фурье унитарен в силу равенства Парсеваля:
jmq)\2dq = f\4!(p)?dp.
Преобразование Фурье основной функции Ф(д) € J(Rn) тоже
является основной функцией Ф(р) 6 <?(Шп). Оператор Фурье задает
взаимно однозначное и непрерывное отображение пространства J(Rn)
в себя, то есть осуществляет изоморфизм J(Rn) на J(Wl), Таким
образом, взаимосвязь координатного и импульсного представлений
осуществляется функциями
<ф>=(^)^ехр^р' <р1д>=Ш^ехр-гпдр-
Отметим, что < q'\q >= S(qf — q) можно записать в виде
< Я'\Ч >= / < Я'\Р >dp< p\q >= n I dpexp ^{qf - q)p .
Отметим, что координатное и импульсное представления унитарно
эквивалентны друг другу и иногда называются кинематическими
представлениями Шредингера.

40 Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
2.9. Икс-представление
В гильбертовом пространстве рассматривали векторы с
конечной нормой. В оснащенном гильбертовом пространстве можно
рассматривать систему кет-векторов \х >= \ех >, зависящих от
непрерывного индекса ж, изменяющегося в некоторой области. Эти
векторы могут образовывать базисную систему, если они удовлетворяют
соотношению ортонормированности < х\у >= 5(х — у) и
соотношению замкнутости (условию полноты)
/ \х > dx < х\ = / .
Последнее соотношение является сокращенной формой записи
равенства
/ < Ф|я >< я|Ф > dx =< Ф|Ф > У|Ф >Е Ч ,
||ф||^ =< ф|ф >= / Ъ*{х)Щх)<1х = / V2(x)dx .
Кет-вектор \х > не принадлежит гильбертову пространству. При
этом любые линейные комбинации кет-векторов типа
|ф >= [\х> V(x)dx , Щх) € L2{Rn) (10)
имеют конечную норму, принадлежат гильбертову пространству %
и являются векторами этого пространства. Множество линейных
комбинаций вида (10) образуют подпространство Нх гильбертова
пространства И, натянутое на кет-векторы \х >.
Отметим, что обычно в качестве векторов \х >
рассматриваются собственные векторы операторов, образующих полный набор
коммутирующих наблюдаемых квантовой системы. Система кет-
векторов \х >, удовлетворяющих условиям ортонормированности и
полноты, определяет х-представление гильбертова пространства.
Примерами х-представлений являются координатное представление
(q-представление) и импульсное представление (р-представление).

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 41
В х-представлении оператору А соответствует обобщенная
функция < х\А\у >, которая называется ядром оператора. Ядро
оператора А является функцией а(х,у) =< х\А\у >, с помощью
которой оператор записывается в виде
{АЩх) =< х\АУ >= / < х\А\у >< У|Ф >dy= a(x,y)$(y)dy .
Видно, что оператор А в ^-представлении (координатном,
импульсном) является интегральным оператором с ядром а(х,у).
Произведению операторов соответствует операция интегрирования
(свертка) ядер операторов. В результате любой линейный оператор в икс-
представлении можно представить в виде интегрального
оператора с некоторым ядром.
2.10. Разложение оператора по кет-бра операторам
Перечислим некоторые свойства кет-бра операторов.
1) Закон умножения операторов Р(х, у) имеет вид
P(x,y)P(z,s) =< y\z > P{x,s) .
В частности, если вектора \х >€ Н ортонормированы, то имеем
соотношение < y\z >= 5(y,z). Здесь S(y,z) = 5yZ) если параметры
y,z принимают дискретные значения, и 5(у, z) = 8(у — z), если y,z
принимают непрерывные значения. Кроме того, имеем
JdyP(x,y)P(y,z) = P(x,z) .
2) След оператора Р(х,у). Число < х\у > можно рассматривать как
линейную числовую функцию, соответствующую кет-бра оператору
Р(у)х), Это линейное соответствие между операторами и числами
называется следом (шпуром): < х\у >= Sp[P(y,x)),
3) Операция сопряжения кет-бра оператора обладает свойством
[Р{х,у)У = Р{у,х) .

42
Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых
4) Отметим, что для любого кет-бра оператора Р(#, у) можно
определить оператор Р(х) по формуле Р(х) = Р(х,х). Обратно, любому
оператору Р{х) можно сопоставить кет-бра оператор Р(х,у) с
помощью процедуры поляризации
P(x,y) = \Y,isP{x + isy),
3=0
Операторы Р(ж, у) дают в наше распоряжение базис, а точнее
операторный базис, для представления произвольного
оператора функциями или матрицами. Всякий оператор А может быть
единственным образом представлен в виде разложения по
базисным операторам Р(х,у):
= / dxdy a(x,y)P(x,y)
Коэффициенты разложения а(х,у) =< х\А\у > полностью
определяют оператор А и могут рассматриваться как функции,
соответствующие оператору А в ж-представлении. Функция,
представляющая оператор А, называется ядром оператора и может быть
записана в виде
а(х,у) =< х\А\у >= Sp[P{y,x)A] .
Ядро самосопряженного оператора иногда называется билинейной
эрмитовой формой. Оно обладает рядом замечательных свойств.
Если задана квадратичная форма (диагональные элементы
билинейной формы) а(х) = а(х,х)> то по ней однозначно определяется
вся билинейная эрмитова форма:
5=0
Для самосопряженного оператора А, если кет-векторы \х >
являются собственными векторами А\х >= \х > а(х), имеем
а(х,у) = а(х)8(х - у) , А = / a{x)dP(x) , dP(x) = P(x)dx .

Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 43
Здесь Р(х) = Р(х,х). Приведем следующую важную теорему.
Спектральная теорема. Для любого ограниченного
самосопряженного оператора А на гильбертовом пространстве % существует
положительная мера /i на пространстве М и унитарный
оператор U : И —» L2(M) такие, что
(UAU~-ly){x)=z{x)${x) ,
где z(x) - ограниченная вещественнозначная измеримая функция
на пространстве М.
2.11. Смешанное #р-представление операторов
Пусть {\q >} и {\р >} являются ортонормированными
базисными системами кет-векторов в координатном ицимпульсном
представлениях соответственно. Рассмотрим некоторые свойства кет-
бра операторов P{q,p) = \q >< р\.
1) Закон умножения операторов P(q,p) имеет вид
Р(Я,Р)Р(Я',Р') = \q >< PW >< q'\ = ^пН)"/^'^ 6XP ~УР '
2) След оператора P(q,p) равен
Sp[P(q,p)] =<p\q >= j^~ exp-lgp .
3) Сопряжение кет-бра оператора
[P(q,p)T = P(p,q) ■
Функция, соответствующая оператору А = A(Q,P), в смешанном
gp-представлении определяется равенством
a(q,p) = Sp[P*(q,p)A] =< q\A(Q,P)\p >= ^-±—А(д,р)е&.
Эта функция a(q,p) =< q\A\p >= A(g,p) < q\p > называется ядром
оператора, а функция A(q,p) - символом оператора. Здесь оператор
А = A(Q,P) записан для gp-упорядочения, когда все операторы
координат стоят левее операторов импульса.

ГЛАВА 3.
КИНЕМАТИКА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
СТРУКТУРЫ
3.1. Математические структуры
В 1936 году группа французских математиков,
объединившихся под псевдонимом Никола Бурбаки, поставила перед собой
задачу построения математики как целостной системы знаний.
Группа Бурбаки успешно доказала то, в чем были глубоко убеждены
многие математики: если принять аксиоматику теории множеств
и принципы логики, то на них можно построить всю математику.
Вместо точно разграниченных разделов упорядочивающим
принципом для всей математики ими была взята концепция иерархии
математических структур, идущей от простого к сложному, от
общего к частному. Математические объекты рассматриваются как
множества, наделенные некоторой структурой. При этом одна и та
же структура может фигурировать в связи с разными
математическими объектами. Общее определение математической структуры
достаточно громоздко, поэтому ограничимся простым пояснением.
Математической структурой М называется следующий па-
бор данных.
1. Множество М элементов.
2. Отношения R между элементами множества М.
3. Аксиомы А, которым удовлетворяют отношения R.
Аксиомы определяют свойства абстрактных математических
объектов, отвлекаясь от их конкретного содержания. Отношения
являются исходным пунктом в определении математической
структуры. Когда отношения в определешш структуры являются
законами композиции, соответствующая структура является
алгебраической. Отношения, связанные с интуитивными понятиями
окрестности, предела и непрерывности, дают другой тип структур -
топологические структуры. Еще один тип представляют структуры,

fjjana 3. Кинематика и математические структуры 45
определенные отношением порядка. Группа Бурбаки показала, что
в основании математики лежат три основных типа структур
(порождающие структуры): алгебраические структуры, топологические
и структуры порядка. За пределами этого первоначального ядра
появляются структуры, которые можно назвать сложными. В
сложные структуры входят одновременно одна или несколько
порождающих структур, которые органически скомбинированы при
помощи связывающих их аксиом. Далее идут частные математические
структуры, в которых элементы рассматриваемых множеств
получают определенную индивидуальность.
Приведем определения некоторых из основных математических
структур, которые могут быть заданы кинематическими
постулатами на множестве наблюдаемых.
Сначала дадим определение одной из основных структур
порядка - структуры частичной упорядоченности.
Определение. Структурой частичной упорядоченности
множества М называется бинарное отношение на множестве М,
обозначаемое символом < и удовлетворяющее условиям:
1. Рефлективность: А < А для всех A £ М.
2. Транзитивность: если А < В и А < В, то А < С.
3. Антисимметричность: если А < В и В < А, то А = В.
Отношение < называется отношением частичной упорядоченности.
Топологической структурой (топологией) на множестве М
называется семейство (система) Т подмножеств этого множества,
которое удовлетворяет следующим условиям.
1. Пустое множество и все множество М являются элементами Т.
2. Пересечение любого конечного числа элементов из Т
принадлежит Т.
3. Пересечение любого (не обязательно конечного) множества
элементов Т принадлежит Т.
Топологическим пространством называется упорядоченная
пара (М,Т), состоящая из множества М с фиксированной
топологией Т на нем. Элементы топологии Т называются открытыми
множествами. Окрестностью элемента А множества М
называется открытое множество, родержащее элемент А. Базой топологии Т
н&зывается семейство В открытых подмножеств топологии Т, если
каждое открытое подмножество М представимо в виде
объединения элементов из семейства В. Топология Т состоит из множеств,
^Редставимых в виде объединения некоторого множества элементов
^азы q Таким образом, топологию на множестве М можно задать

46 Глава 3, Кинематика и математические структуры
посредством базы. Отметим, что топология Т своей базой В
определяется однозначно. Важное значение для квантовой механики имеет
метрическая топология.
Метрическим пространством называется пара (М, d),
состоящая из множества М и метрики d. Метрикой называется
неотрицательная функция d на произведении М х М, для которой
выполнены следующие условия.
1. d(A, В) = 0 ^ Л.= В (условие тождества).
2. d(A,B) = d(J3, А) (условие симметрии).
3. d(A,B) + d(B,C) > d(A,C) (неравенство треугольника).
В метрическом пространстве М с метрикой d естественным
образом можно ввести топологию. Совокупность всех окрестностей
Ue{A) — {В : d(A,B) < е} образует базу топологии на множестве
ft = {Ue(A) : AeM, eGRf}. Эта топология называется
метрической топологией.
Под алгебраической структурой понимается множество с
некоторыми определенными на нем алгебраическими операциями.
Алгебраической операцией на множестве М называется
отображение a : Мп —> М, которое сопоставляет упорядоченной системе из
п элементов Ai,A2,...,An £ М однозначно определенный элемент
а(АьА2,...,Ап) € М.
3.2. Алгебраические структуры
Рассмотрим более подробно алгебраические структуры,
поскольку они играют одну из основных ролей в квантовой кинематике.
Отображением / множества М в множество N называется
правило, сопоставляющее каждому элементу А £ М некоторый
элемент f(A) £ N. Образом отображения / называется множество
/га/, определенное соотношением Imf = {/(-А), А £ М}.
Определения.
1. Сюръективным отображением (отображением на)
называется отображение / : М -+ N, если Imf = N. ■
2. Инъективным отображением называется отображение /,
если Аф В => f{A) ф f(B) или, если f{A) = f{B) =* А = В.
3. Биективным (взаимно однозначным) отображением
называется отображение f, если оно сюрьективно и инъективно.

Глава 3. Кинематика и математические структуры 47
Пусть дано произвольное множество М и натуральное число п.
Дадим определение понятия алгебраической операции.
Определение, n-арной операцией на множестве М называется
отобраоюение д : Мп -> М. п-арная операция сопоставляет
упорядоченной системе из п элементов А\,А2, ..-,Ап € М однозначно
определенный элемент д{А\^А2^..., Ап) £ М.
В случае п = 1, алгебраическая операция (унарная операция)
является отображением множества М в себя. В случае п = 0,
алгебраическая операция (нульарная операция) фиксирует в множестве
М некоторый определенный элемент. Нульарная операция ставит в
соответствие каждому элементу А множества М один и тот же
элемент (например, единичный).
Определение. Внутренним (n-арным) законом композиции
элементов мноэюества М называется отобраоюение f некоторого
подмножества U произведения Мп в М.
Бинарной алгебраической операцией (законом композиции)
называется отображение g : М х М -» М, которое любой
упорядоченной паре элементов А,В е М ставит в соответствие однозначно
определенный элемент д(А, В) £ М.
Бинарную операцию обозначают каким-нибудь специальным
символом: *, •, о, или +. Мы будем обозначать А -В или просто АВ без
всякого знака между А и J3, и называть эту операцию
произведением, умножением, мультипликативной операцией, а А + В - суммой
элементов. Бинарная операция д на множестве М называется
ассоциативной, если для любых трех элементов Л, В, С € М
выполняется условие (закон ассоциативности) д(д(АуВ), С) = д(А,д(В, С)).
Если для бинарной операции использовать обозначение без
всякого знака между Л и 5, то условие ассоциативности имеет вид
(АВ)С = А(ВС). Бинарная операция называется
коммутативной, если для любых двух элементов Л, В 6 М выполняется
условие д(А, В) = д(В, А) или АВ = В А. Для обозначения
коммутативной ассоциативной операции часто используют аддитивную запись
д{А,В)=А + В : А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С).
Единичным элементом (нейтральным элементом, или единицей)
относительно бинарной операции называется элемент обозначаемый
/, и обладающий свойством, что д(А, I) = д(1,А) = А для любого
Л е М или AI = L4 = А.
Далее, будут рассматриваться множества с некоторыми
определенными на нем алгебраическими операциями (внутренними
законами композиции).
ь^

48
Глава 3. Кинематика и математические структуры
Определение. Универсальной алгеброй называется мноэюество
М, на котором задана система п-арных операций д,
отображающих упорядоченный набор элементов А\, А^ ..., Ап £ М в
однозначно определенный элемент g(Ai,A2,..., Ап) 6 М.
Определение. Внешним законом композиции элементов
множества R, называемого множеством операторов, и элементов
множества М называется отображение f некоторого подмноже-
ства U произведения их М в М. Элементы множества R часто
называются операторами.
Алгебраические структуры определяются заданием внутренних
и внешних законов композиции элементов одного или нескольких
множеств.
Определение. Алгебраической структурой на множестве М
называется всякая структура, определенная на М следующим
набором данных.
1. Одним или несколькими внутренними (п-арными) законами
композиции элементов из множества М.
2. Одним или несколькими внешними законами композиции
операторов из множеств операторов i?i, J?2? ••• и элементов из М.
3. Условия, которым подчинены внутренние и внегиние законы
композиции, и (или) отношения, связывающие законы композиции друг
с другом.
3.3. Примеры алгебраических структур
А.1. Группоидом называется множество с заданной в нем
единственной бинарной операцией такой что для всех ДВ Е М
существует д(А, В) = АВ € М.
А.2. Полугруппой называется группоид, бинарная операция
которого является ассоциативной.
А.З. Группоидом с единицей называется множество с
двумя бинарными операциями, а именно, бинарной д и нульарной е.
Нульарная операция е ставит в соответствие каждому элементу
один и тот же единичный элемент I.
А.4. Моноидом называется полугруппа с единицей. Другими
словами, моноидом называется группоид с единицей, бинарная
операция которого удовлетворяет условию ассоциативности.

Глава 3. Кинематика и математические структуры 49
Обратным элементом моноида М для единичного элемента
В £ М называется элемент А € М, для которого выполняется усло-
вие д{А,В) = д(В,А) = /, АВ = В А = /. Понятно, что элемент
В тоже является обратным. Обратный элемент моноида является
единственным. Действительно, пусть А\ ф I и А\В = ВА± = J,
тогда -Ai = /Ai = (AB)j4i = A(BAi) = AI = А. Обратный элемент
для элемента А € М обозначается А~1. Отметим, что (Л"1)"1 = А
для любых А е М.
А.5. Группой называется множество со следующими тремя
алгебраическими операциями.
1 Бинарная операция #, которая ассоциативна
9(д(А, В),С)= д(А, д(В, С)) У А, В, С 6 М.
2. Нульарная операция е, которая ставит в соответствию любому
элементу А Е М единичный элемент /.
3. Унарная операция д\ которая ставит в соответствие любому
элементу A £ М обратный элемент А"1 € М, то есть gf(A) = A~l.
Отметим, что в силу определений единичного и обратного
элементов, имеем условия на согласование алгебраических операций.
д(1, А) = д(А, I) = А , д(д'(А),А) = д(А,д\А)) = / .
IA = Л/ = А , Л-1^ = АЛ"1 = 7 .
Таким образом, группой называется группоид с единицей (моноид),
все элементы которого обратимы. Группа называется абелевой,
если бинарная операция является коммутативной.
А.6. Квазигруппой называется группоид, в котором любое из
уравнений АХ = В, У А = В имеет единственное решение для всех
А и В. Обозначим решения уравнения АХ = В через В\А, а
решения и уравнения YA = В через Б/Л. Можно считать, что это
еще две бинарные операции определенные на группоиде,
называемые левым и правым делением. Квазигруппой является множество
с тремя бинарными операциями умножения АВ, правым делением
В\А и левым делением В /А, связанными между собой
тождествами
А(В\А) = В , (АВ)\А = Б , (J3/A)4 =* В , (ВА)/А = Б .
А.7. Лупой-называется квазигруппа с единицей. Для всякого
элемента А лупа содержит элементы 1\А и //Л, однако эти
элементы не являются обратными.

50 Глава 3. Кинематика и математические структуры
А.8. Лупой с обратимостью называется лупа, в которой для
любых элементов А,ВеМ элементы 1\А и 7/А, являются
обратными, то есть удовлетворяют тождествам
(ВА){1\А) = В, (1/А)(АВ)=В.
Подставляя во второе равенство вместо В элемент 1\А получаем
I\A = I/A. Поэтому любой элемент лупы с обратимостью обладает
однозначно определенным обратным элементом А~х = I\A = I/A
А~1А — АА~1 = /. Можно дать другое определение лупы с
обратимостью. Лупой с обратимостью называется лупа М, в которой для
любого элемента А Е М существует элемент А"1 6 М (обратный
элемент) такой, что А~1(АВ) = (ВА)А"1 = I VА, В € М.
Группой называется лупа с обратимостью, бинарная операция которой
ассоциативна.
А.9. Лупой Валя (коммутантно ассоциативной луной)
называется лупа с обратимостью, коммутант (множество элементов вида
{АВ){ВА)~1 ) которой является ассоциативной подлупой, то есть
группой.
Рассмотрим некоторые универсальные алгебры с двумя
бинарными операциями.
8.1. Кольцом (М, +,•) называется множество с двумя
бинарными алгебраическими операциями + (сложения) и • (умножения),
удовлетворяющими следующим условиям.
1. (М,+) есть коммутативная (абелева) группа.
2. (М, •) есть группоид.
3. Операции сложения и умножения связаны законами
дистрибутивности
(А + В)-С = А-С + В-С , С-{А + В) = С-А + С-В \/А,В,С .
Кольцо можно определить как множество являющееся абелевой
группой по сложению и группоидом по умножению. Поэтому такие
кольца иногда называют неассоциативными кольцами. Если (М, •)
является полугруппой, то кольцо называется ассоциативным.
8.2. Телом называется кольцо (М,+, •), мультипликативный
группоид (М, •) которого является группой.
Отметим, что единичный элемент 0 абелевой группы (М, +)
называется нулем, и предполагается отличным от единичного
элемента I мультипликативной группы (М, •) тела (М, +, •).

Глава 3. Кинематика и математические структуры 51
В.З. Полем называется кольцо (М, +,•)> мультипликативный
группоид (М, •) которого является коммутативной группой.
Поле является коммутативным телом. Примерами полей могут
служить числовые поля. Мы будем использовать лишь поле
действительных чисел и поле комплексных чисел. Отметим, что квар-
тенионы образуют тело, но не образуют поля.
Приведем теперь алгебраические структуры с внешними
законами композиции.
С.1. Модуль Mr = (М,+)(я|+г). Пусть (Д,+,-) - кольцо, а
(М,+) -абелева (коммутативная) группа. Коммутативная группа
{по сложению) М называется левым модулем над кольцом R или
левым Д-модулем, если для любого оЕйи любого А € М
определен элемент aA E Ми при этом выполнены условия
(аха2)А = аг(а2А) , (ai + аг)Л = а\А + а2А ,
а(А + В) = аА + аВ , /#Л = А ,
если в кольце R существует единичный элемент.
Кольцо Д, в определении модуля, может быть полем или телом.
Мы в качестве кольца будем использовать поле действительных или
комплексных чисел.
Аналогично определяется правый модуль над кольцом S
А(с\с2) = {Aci)c2 , A(ci + с2) = Aci + Ас2 ,
(Л + J3)c = Ac + Bc , Л/,9 = Л , c,ci,c2E5.
С.2. Бимодулем называется абелева группа М, которая
является левым модулем над кольцом R и правым модулем над кольцом
5, и выполняется (аА)с == а(Ас) для любых а £ R,c £ S к А& М.
С.З. Линейным (векторным) пространством называется
модуль над телом R (над полем R). Если тело является
коммутативным (по умножению), то тело называется полем. Мы будем
рассматривать в качестве линейных пространств в основном
модули над полем комплексных или действительных чисел. Линейным
пространством является множество элементов любой природы, для
которых определены операции сложения и операция умножения на
действительное (или комплексное) число. Понятие векторного
пространства позволяет рассматривать вместо числовых полей, поля
любой и тела любой природы. Понятие модуля отличается от
векторного пространства лишь тем, что допускается операция
умножения элементов модуля не на элементы тела, а на элементы кольца.

52 Глава 3. Кинематика и математические структуры
Таким образом, модуль есть обобщение понятия векторного
пространства на случай, когда вместо числовых полей или цолей другой
природы рассматриваются множества элементов с произвольными
по умножению свойствами.
Линейным пространством над телом (полем) R называется
универсальная алгебра М, в которой задан следующий набор данных.
1. Бинарная операция сложения, удовлетворяющая условиям абе-
левой группы.
2. Бесконечное число унарных операций /а, соответствующих
умножению (слева) элементов А € М на элементы тела (поля) Я, то есть
Va £ Rla: la(A) = aA.
3. Выполняются условия a(A + В) = aA + aJ5, (a + с)А = aA + cA,
(ac)A = a(cA).
Линейным пространством называется множество М,
удовлетворяющее следующим условиям.
1. Для любых элементов А, В £ М однозначно определен элемент
(А + В) Е М, называемый суммой элементов. При этом сумма
элементов коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.
2. Для любого (действительного) числа а и любого элемента А 6 М
однозначно определен элемент а А £ М, называемый
произведением элемента на число.
3. Существует элемент 0 € М такой, что для любого элемента
А € М верно соотношение 0 + А = А + 0 = А.
С.4. Алгеброй (линейной алгеброй) М над полем R
называется кольцо (М,+,•), аддитивная группа которого является
также и линейным пространством над полем R, если для любого
a 6 R и любых Л,В G М имеем а(АВ) = (аА)В = А(аВ).
Понятие алгебры есть обобщение векторного пространства, в котором
определены произведения элементов пространства (векторов). То
есть в определении векторного пространства коммутативную
группу (М, +) заменили кольцом (М, +,•). Элементам группы (М,-}-),
и, следовательно, элементам линейного пространства, разрешили не
только складываться, но и образовывать произведение с
произвольными свойствами (образовывать мультипликативный группоид).
Подалгеброй N универсальной алгебры М называется
подмножество N множества М, которое замкнуто относительно всех
алгебраических (гг-арных) операций. Подмножество Mq называется
системой образующих алгебры М, если применяя к элементам
из Mq алгебраические операции получим все элементы алгебры М.
Независимые элементы системы образующих векторного простран-

3. Кинематика и математические структуры 53
jtf называются базисными элементами. Произвольный эле-
ент векторного пространства М можно представить в виде
линейной кохмбинации базисных элементов с коэффициентами из тела R.
С.5. Дуальным (векторным) пространством L по
отношению к векторному пространству М называется множество
линейных отображений (функций) / : М —>• R векторного пространства
1/1 в тело (поле) Д, V7L € М f(A) G Д, которые сами образу-
jot векторное пространство над телом (полем) R и удовлетворяют
условиям f(aA + cB)=af(A) + cf(B).
D.l. Ассоциативным называется кольцо, если
мультипликативный группоид является полугруппой. В ассоциативном
кольце мультипликативная бинарная операция удовлетворяет условию
ассоциативности (А, В, С) = д(д(А,В),С) - д(Ауд{В,С) = 0, где
(А, В, С) называется ассоциатором.
В алгебраическом описании динамических систем большое
значение имеют неассоциативные кольца, модули и алгебры. Приведем
основные определения.
D.2. Лиевым называется кольцо М, в котором бинарная
операция умножения д удовлетворяет следующим условиям.
1. Условия кососимметричности д(А,В) = —д(В,А).
2. Тождеству Якоби, то есть для любых Л,5,СбМ имеем
J(A,B,C) = g(g(A,B),C) + g(g(B,C),A) + g(g(C,A),B) = 0.
D.3. Йордановым называется кольцо М, в котором бинарная
операция умножения g удовлетворяет следующим условиям.
L Условия симметричности (коммутативности) д(А,В) = д(В,А).
2. Тождеству Йордана, то есть для любых A, J5, С € М выполнено
равенство 1{А,В) = д(д{д{А,А),В),А) -д(д(А,А)9д(В,А)) =0.
В общем случае йорданово умножение коммутативно, но не
является ассоциативным.
D.4. Лиевы и йордановы кольца составляют важный класс
колец, в общем случае неассоциативных. Между этими этими
кольцами и ассоциативными кольцами существует взаимосвязь. Пусть М
есть произвольное ассоциативное кольцо. Воспользуемся для
операции умножения в этом кольце обозначение АВ без всякого знака
между А и В. Если сохранить аддитивную группу ассоциативного
кольца М, а операцию умножения АВ заменить операцией
лиева умножения (коммутирования) д(А,В) = АВ — В А, то мы
получим лиево кольцо М^ = L(M). Для обозначения лиева
умножения часто используется символ коммутатора [А, В] = АВ — ВА.
Условие кососимметричности (антикоммутативности) выполняется

54 Глава 3. Кинематика и математические структуры
в силу свойств аддитивности бинарной операции д(А, В)+д(В, А) =?
== АВ — В А + В А — АВ = 0. Однако в общем случае лиево
умножение с ассоциативным умножением не связано. Для случая алгебр
обобщением результата о взаимосвязи ассоциативных и и лиевых
колец является теорема Пуанкаре-Биркгофа-Вита: Для любой
лиевой алгебры L над полем R существует такая ассоциативная
алгебра М над полем R, что лиева алгебра L изоморфна некоторой
подалгебре лиевой алгебры М^-) = L(M).
В ассоциативном кольце можно ввести операцию йорданова
(симметрического) умножения по формуле д(А)В) = АВ + В А. Для
обозначения йорданова умножения иногда используют символ
антикоммутатора [A, J3]+ = АВ + В А. Легко проверить, что условия,
определяющие йорданово кольцо, и условие дистрибутивности
выполняются. Таким образом, если в ассоциативном кольце М
сохранить его аддитивную группу, а операцию умножения АВ заменить
на операцию йорданова умножения, то полученное кольцо AfW
будет йордановым.
Алгебры М(+) для ассоциативной алгебры М называются
специальными йордановыми алгебрами. Они уже не являются
столь универсальными примерами йордановых алгебр, как алгебры
М(*~) в случае лиевых алгебр. Существуют йордановы алгебры,
которые не изоморфны подалгебрам Af'+' ни для какой
ассоциативной алгебры М. Такие алгебры называются исключительными
йордановыми алгебрами.
D.5. Изучение исключительных йордановых алгебр
существенно опирается на знание свойств альтернативных алгебр, которые
являются некоторым обобщением ассоциативных алгебр.
Альтернативные алгебры определяются тождествами правой и левой
ассоциативности (А, А, В) = О, (В, А, А) = 0. Ясно, что любая
ассоциативная алгебра удовлетворяет условию альтернативности. С
другой стороны, любые два элемента альтернативной алгебры
порождают ассоциативную подалгебру. Поэтому альтернативные
алгебры довольно близки к ассоциативным.
D.6. Алгеброй Мальцева называется алгебра, операция
умножения которой удовлетворяет следующим условиям.
1. Кососимметричности (антикоммутативности)
д(А, А) = 0 или д(А, В) = -д(В, А), то есть А2 = 0 или АВ = -ВА.
2. Тождеству Мальцева J(A,B,g{A,C)) = g(J(A,B,C),A), то есть
J{A,B,AC) = J(A,B,C)A.

Глава 3. Кинематика и математические структуры
55
Ясно, что любая лиева алгебра является алгеброй Мальцева. С
другой стороны, любые два элемента алгебры Мальцева порождают
лиеву подалгебру. Между алгебрами Мальцева и альтернативными
алгебрами существует взаимосвязь. Пусть М есть альтернативная
алгебра, тогда алгебра М^ является йордановой, и даже
специальной йордановой алгеброй. Коммутаторная алгебра М^ уже не
является лиевой алгеброй, а есть алгебра Мальцева.
D.7. Алгеброй Валя называется алгебра, операция
умножения которой удовлетворяет следующим условиям.
1. Кососимметричности д(А,В) =-- —д(В)А).
2. Тождеству Валя J{g{Au A2),g(As, A4),g(AbjA6)) = 0.
Очевидно, что любая лиева алгебра является алгеброй Валя.
Алгебра Валя является аналогом алгебры Ли для квантовых негамиль-
тоновых и диссипативных системах. Подробнее см. статью автора
в "Теор. мат. физ.м Том ПО (1997) стр. 214-227.
3.4. Эндоморфизм алгебраической структуры
Пусть М и N является универсальными алгебрами, в которых
число алгебраических операций одинаковой арности совпадают и
общее число операций равно. Такие алгебры называются
однотипными. Отображение / : М -» N называется сюръективным, инъ-
ективным или биективным, если сюръективно, инъективно или
биективно отображение соответствующих множеств. Множество всех
отображений обозначается в виде Map(M,N).
Гомоморфизмом однотипных алгебр М и N называется
отображение / : М —> N, если для любой n-арной операции дм в N>
соответствующей ей операции дн в N и любых Ai, Лг,..., Дп
выполняется условие
f(gM(AuAb...,An))=gN(f(Ai)J{A2),...J(An)) .
Множество всех гомоморфизмов алгебры М в алгебру N
обозначается Hom{M,N).
Эндоморфизмом называется отображение / алгебры М в
себя, являющееся гомоморфизмом. Если использовать обозначения
А\А2:.Ап для n-арной операции д(А\, А2,..., Ап) в М, то условие
того, что отображение / является эндоморфизмом имеет вид
f{AxA2...An) = f(Al)f(A2)...f(An) .

56 Глава 3. Кинематика и математические структуры
Для бинарной операции д это условие имеет вид
f(g(A,B))=g(f(A),f(B)) f(AB) = f{A)f(B) VA,BeM.
Множество всех возможных эндоморфизмов алгебры М
обозначают в виде End(M) = Hom(M^M). Отметим, что End(M)
образует полугруппу. Единицей в этой полугруппе является
тождественное отображение элемента А € М, то есть id(A) = А \/А € М.
Сюръективный гомоморфизм называется эпиморфизмом, инъек-
тивный - мономорфизмом, биективный - изоморфизмом. Если
для алгебр М и N существует изоморфизм, то они называются
изоморфными.
Инъективный эндоморфизм является изоморфизмом и
называется автоморфизмом. Автоморфизм - изоморфное отображение
универсальной алгебры в себя. Множество всех автоморфизмов
алгебры М обозначается Aut(M) и является группой.
Пусть М и N алгебры с единицей. Прообраз единичного
элемента называется ядром Kerf = {А 6 М : f(A) — Ipj}. Образ
Imf отображения / : М —» N есть подмножество в N, а ядро
Kerf - подмножество в М. Инъективным является отображение,
ядро которого тривиально Kerf = /м- Сюръективным является
отображение / : М -+ N, образом которого является все
множество Imf = N. Биективным отображением является отображение,
в котором Kerf = 1м и Imf = N.
3.5. Математические структуры в физике
Современная математика рассматривает абстрактные
математические структуры, отвлекаясь при этом от конкретного содержания
рассматриваемых объектов. В противоположность этому в физике
изучаются такие структуры, для которых можно установить
соответствие с наблюдаемыми на опыте объектами.
Физические теории сопоставляют реальному физическому
объекту некоторую физическую модель, называемую физической
системой. Понятие физической модели включает в себя
математическую модель (набор математических структур) и физическую
интерпретацию используемых математических структур и понятий.
В основе любой физической теории лежит система постулатов.
Постулаты связывают основные физические понятия и принципы,

Глава 3. Кинематика и математические структуры
57
описывающие свойства реальных физических объектов, с
математическими структурами и их свойствами. При этом физическая
система не эквивалентна реальному объекту. Один и тот же объект
может описываться различными физическими системами, а одна и
та же физическая система может описывать разные объекты.
Видно, что одним из основных понятий физической теории
является понятие физической системы. Обычно предполагают, что
любой физической системе сопоставляется пара, образованная
кинематической структурой и динамической структурой.
Кинематическая структура отображает мгновенную картину состояний и
наблюдаемых физической системы в фиксированный момент
времени. Динамическая структура описывает изменение кинематической
структуры, то есть состояний и наблюдаемых, во времени.
Постулат о физической системе.
Любая физическая система определяется заданием упорядоченной
пары (/С, V), состоящей из следующих физических структур:
1. Кинематическая структура /С, заданная на кинематическом
множестве К,
2. Динамическая структура V, заданная на динамическом
множестве D.
Упорядоченная пара (/С, V) иногда называется математической
моделью физической системы.
3.6. Математические структуры в кинематике
Кинематическая структура определяется заданием (через
постулаты) математических структур на множествах наблюдаемых и
состояний, а также понятия измеряемого числового (среднего)
значения наблюдаемой для некоторого состояния.
Постулат о кинематической структуре.
Всякая кинематическая структура /С состоит из следующего
набора данных.
1. Упорядоченная тройка лгножеств (М, 5, В), называемая
кинематическим множеством и образованная множествами:
1.1. Множество М, элементы которого интерпретируются как
физические переменные (наблюдаемые).
1.2. Множество 5, элементы которого интерпретируются как
состояния.

58
Глава 3. Кинематика и математические структуры
1.3. Множество В, элементы которого интерпретируются как
результаты измерения. При этом предполагается
существование отображения < .|. >, которое каждой паре (р, А)
элементов из (5, М) ставит в соответствие (действительное) число
< р\А >Е В, называемое измеряемым числовым значением.
2. Математические структуры (A4)S,B), заданные на
кинематическом множестве К = (М, 5,В).
Отметим, что элементы р множества S состояний часто можно
рассматривать как отображения < р\. > множества М
наблюдаемых в множество (действительных) чисел В. Поэтому множество
S состояний представляет собой множество функционалов, то есть
множество, дуальное к множеству наблюдаемых М.
Конкретная кинематическая структура /С задается при
конкретизации кинематического множества (М, 5, J5) и структур на нем.
1) На множестве М всех возможных наблюдаемых обычно
вводятся следующие структуры: структура частично упорядоченного
множества, структура линейного пространства; структуры лиевой и
йордановой алгебр; структура универсальной обертывающей
(универсальной ассоциативной) алгебры; структуры нормированного,
банахова, гильбертова пространств; структура С*-алгебры или
алгебры фон Неймана, и другие.
2) На множестве S всех возможных состояний обычно вводятся
следующие структуры: структура сопряженного (дуального)
гильбертова пространства; структура выпуклого множества; структура
конуса банахова пространства и другие.
3) На множестве В значений отображений < .|. >,
интерпретируемом как множество результатов измерений, обычно вводятся
следующие структуры: структура борелева пространства В
(структура а-алгебры подмножеств); структура линейного пространства;
структура вероятностного пространства; структура поля
действительных чисел.
3.7. Кинематические постулаты
В квантовой механике наблюдаемые описываются
самосопряженными операторами в некотором гильбертовом пространстве. В
предыдущих главах рассматривались пространства, в которых эти
операторы действуют. Теперь основное внимание уделим свойствам
самого множества операторов.

Глава 3. Кинематика и математические структуры
59
На множестве наблюдаемых можно ввести структуру порядка,
точнее структуру частично упорядоченного множества.
Постулат о структуре порядка.
Отношение А < В частичной упорядоченности имеет место для
элементов А и В множества наблюдаемых М, если для всех
состояний р Е S справедливо неравенство < р\А > < < р\В >.
Причем, если А < В и В < А} то А = В.
В частности, соотношение неотрицательности А > 0 выполнено
тогда и только тогда, когда для всех состояний р Е S
справедливо неравенство < р\А >> 0. Отметим важное следствие из
данного постулата. Множество состояний S таково, что из равенства
< А >=< В > для всех состояний следует тождество А = В. Это
утверждение означает, что множество S содержит достаточно много
состояний и можно различать две наблюдаемые, измеряя их
средние значения. Другими словами, постулат отождествляет
наблюдаемые, средние значения которых совпадают для всех состояний.
Следствие. Два элемента А и В множества наблюдаемых равны
тогда и только тогда, когда равны их средние значения для всех
состояний р из S: < р\А >=< р\В > V/> G S <* А = В.
Множество наблюдаемых можно наделить алгебраической
структурой действительного линейного пространства. Рассмотрим
постулат о алгебраической структуре на множестве наблюдаемых.,
Постулат об алгебраической структуре.
1. Для любой пары наблюдаемых А и В из М существует элемент
(А + В) Е М такой, что для всех состояний р Е S выполняется
равенство < р\А + В >=< р\А > + < р\В >.
2. Для любой наблюдаемой А Е М и любого (действительного)
числа а Е М существует элемент аА такой, что для всех
состояний р Е S выполняется равенство < р\аА >— а < р\А >.
3. На множестве наблюдаемых М существует два элемента 0 и
I такие, что для всех состояний р Е S выполняются равенства
< р\0 >= 0 и < р\1 >= 1.
В силу приведенного постулата о структуре порядка
операторы 0, /, аА, (А + В) определены однозначно. Кроме того, сумма
операторов коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна.
Постулат об алгебраической структуре наделяет множество наблюдаемых
структурой (действительного) линейного пространства.
Множество наблюдаемых можно снабдить естественной
топологической структурой. Для этого определим цдя каждой
наблюдаемой А Е М неотрицательное число \\А\\Р = supp€s | < р\А > |.

60 Глава 3. Кинематика и математические структуры
Можно доказать, что выполняются следующие соотношения.
1. \\aA\\p = |o|||i4|L для всех а € R и А 6 М.
2. \\А + В\\р < \\А\\р\\В\\р для всех А, В е М.
3. \\А\\р = 0 тогда и только тогда, когда А = 0.
Следовательно, введенное число ||Л|| является нормой на множестве
М. В силу определения выполнено неравенство | < р\А > \ < \\А\\р
для всех пар {А,р) из (М, S). В интуитивном физическом
понимании норма представляет собой наибольшую абсолютную
величину измеряемого значение наблюдаемой. Введенная норма позволяет
определить на множестве М топологическую структуру,
называемую естественной слабой топологией. Окрестностями элемента
А 6 М в этой топологии служат множества U€(A) = {В Е М :
||5 — Л||р < е}. Обычно полагают, что линейное пространство М
является полным в естественной слабой топологии, то есть любая
фундаментальная последовательность наблюдаемых из М
предполагается сходящейся по норме к предельному элементу,
принадлежащему М. В результате на множестве наблюдаемых М определена
структура (действительного) банахова пространства относительно
естественной нормы.
В силу неравенства | < р\А > \р < \\А\\ функционалы,
индуцированные отображением < р\. >, являются ограниченными.
Поскольку любой ограниченный функционал непрерывен, состояния
являются непрерывными функционалами на М относительно
естественной слабой топологии.
Постулат о топологической структуре.
1. Для любой наблюдаемой А £ М норма \\А\\р = suppeS \ < р\А > \
является конечной.
2. Множество наблюдаемых М является метрическим
пространством, в котором метрика для элементов А, В € М определяется
формулой d(A, В) = ||А - В\\р.
3. Пространство М является полным нормированным
(банаховым) пространством.
4- Множество состояний S можно рассматривать как
множество всех непрерывных (положительных) линейных функционалов
шр =< р\. > таких, что шр(1) =< р\1 >= 1.

ГЛАВА 4.
КИНЕМАТИКА ПРОСТРАНСТВ
НАБЛЮДАЕМЫХ
4.1. Пространство ограниченных операторов
В квантовой механике наблюдаемые описываются
самосопряженными операторами в некотором гильбертовом пространстве.
Будем теперь рассматривались не пространства, в которых эти
операторы действуют, а пространства самих операторов.
Определим некоторые математические структуры на множестве
наблюдаемых. Для наблюдаемых можно определить
алгебраические операции, построить линейные пространства операторов и
алгебры операторов.
Определение. Пространством линейных операторов
называется MHOOicecmeo К^Н\^%2) линейных операторов, определенных
на линейном пространстве Н\ и принимающих значения в
линейном пространстве %2- Операции сложения операторов и
умножения оператора на число определяются соотношениями:
1. {А + В)х = Ах + Вх Vxe Hi.
2. (аА)х = а(Ах) Ух € Н\ , а е С.
Если пространства % и% являются нормированными
пространствами, то в операторном пространстве /C(7^i, H2) тоже можно
ввести норму. В этом пространстве норма можно задать
различными способами. Принято вводить ее следующим образом:
|И|| = sup \\Ах\\Ч2 = sup ij^ .
1И|=1 хепих^о \\Х\\П1
Индуцированная ею топология на пространстве /C(7^i,7/2)
называется равномерной операторрюй топологией.
Определение. Ограниченным оператором называется
линейный оператор А, норма которого конечна \\А\\ < оо.

62 Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
Линейное пространство ограниченных операторов /C(%i,%2)
является нормированным. Отметим условия, при которые пространство
К,{Н\,%2) является банаховым.
Теорема. Если Н\ - нормированное пространство, а%2 - банахово
пространство, то пространство K,(Ji\,'H2) линейных
ограниченных операторов является банаховым пространством.
Множество линейных ограниченных операторов в комплексном
(действительном) банаховом пространстве % образует банахово
пространство В(Н). Важнейшим пространством операторов,
используемым в квантовой механике, является линейное пространство B{V)
ограниченных операторов, определенных на всем гильбертовом
пространстве %. Важность' этого пространства вытекает из того факта,
что В{Н) представляет собой алгебру и эта алгебра описывает
наблюдаемые квантовой системы.
4.2. Пространство конечномерных операторов
Рассмотрим конечномерные операторы в гильбертовом
пространстве Н.
Определение. Оператором ранга 1 (кет-бра оператором)
называется оператор Р{х,у) = \х >< у\, отобраэюйющий вектор
\z >6 % в вектор P(x,y)\z >— \х >< y\z >.
Оператор ранга 1 отображает пространство У. на одномерное
подпространство %х = {a\x >, a G С}. Если кет-вектор \х >
нормирован на единицу \\х\\п = л/< х\х > = 1, тогда оператор
Р(х) =.Р(х,х) является оператором проектирования на вектор
\х >, так как Р*(х) = Р{х) и Р2(х) = Р(х).
Определение. Оператором конечного ранга
(конечномерным оператором^ называется линейный оператор А, который
можно представить в виде конечной суммы операторов ранга 1:
N N
Ь=1 А=1
где Xk,yk £ %.

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых 63
Следовательно, действие оператора конечного ранга на
произвольный элемент \z >E H описывается формулой
N
A\z>=^2\xk><yk\z> VzeU,' хк,укеП.
k=l
Оператор конечного ранга (конечномерный оператор) в
гильбертовом пространстве Н отображает все пространство % на
некоторое его конечномерное подпространство. Другими словами, область
значений оператора конечного ранга конечномерна.
Теорема. Сумма диагональных элементов матрицы < ek\A\ei >
конечномерного оператора А, где \ек > - ортонррмированный базис
гильбертова пространства Н, равна сумме собственных значений
zk этого оператора.
Всякий конечномерный оператор является ограниченным
операторов. Множество операторов конечного ранга является
нормированным пространством.
Теорема. Линейное пространство fC(H) конечномерных непрерыв-
ных операторов является нормированным пространством.
Данное пространство имеет важное значение, так как,
замыкая пространство /С(Я) конечномерных непрерывных операторов в
равномерной операторной топологии (по операторной норме в
пространстве #(%)), получаем пространство /Со(Я) компактных
операторов. Можно замыкать множество К{%) конечномерных
операторов по нормам, более сильным, чем норма пространства В{%).
В результате получим пространство К\(%) ядерных операторов и
пространство ^('Н) операторов Гильберта-Шмидта, описывающие
в квантовой механике множество состояний.
4.3. Пространство вполне непрерывных операторов
Вполне непрерывные операторы занимают промежуточное
место между конечномерными операторами (операторами конечного
ранга) и ограниченными линейными операторами. Они являются
равномерными пределами конечномерных операторов.
Определение. Вполне непрерывным (компактным)
оператором называется линейный оператор А, который можно сколь

64
Глава. 4. Кинематика пространств наблюдаемых
угодно точно аппроксимировать конечномерными операторами, то
есть существует такая последовательность конечномерных
операторов {Ак}, что lim^oo \\Ак - А\\ = 0.
Часто компактный оператор определяется как оператор А,
отображающий открытое подмножество банахова пространства в
множество, замыкание которого компактно, то есть в предкомпактное
множество. Очевидно, что всякий вполне непрерывный оператор
является ограниченным.
Утверждение.
1. Если область значений линейного оператора конечномерна, то
оператор является компактным.
2. Для компактного оператора замкнутая область определения
является конечномерной.
Поскольку единичный оператор не является вполне
непрерывным оператором, то вполне непрерывный оператор не может иметь
ограниченного обратного оператора. Примером вполне
непрерывного оператора является интегральный оператор вида
АЪ{х)= / A{x,y)${y)dy
Jm
где М С Кп, А(х,у) - непрерывная функция из С(М х М). Данный
оператор, рассматриваемый как отображение пространства
непрерывных функций С(М) в себя, является вполне непрерывным
оператором относительно нормы
||Ф(Ж)||2 = (^|Ф(*)|2<ь)
Множество вполне непрерывных операторов на гильбертовом
пространстве Н является замыканием множества конечномерных
операторов 1С(Н) относительно нормы пространства 1С(Н.Н):
\\А\\ = sup \\Ax\\n .
1М1<1
Теорема. Замыкая пространство JC{%) конечномерных
непрерывных операторов по операторной норме (равномерной топологии) в
пространстве КСН,Н), получаем пространство Kq{%) компакт-
ных операторов.

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
65
Оказывается, что замыкая множество 1С(Н) конечномерных
операторов по норме, более сильной, чем норма пространства £(%,%),
можно выделить в классе вполне непрерывных операторов
интересные подклассы /СП(Н). Например, подкласс К2{%) операторов
Гильберта-Шмидта.
Перечислим некоторые свойства компактных операторов.
1. Всякий конечномерный оператор является вполне непрерывным
оператором.
2. Если А и В - вполне непрерывные операторы, то их линейные
комбинации аА + ЪВ являются вполне непрерывными операторами.
3. Если А - вполне непрерывный оператор, аВ- ограниченный
оператор, то АВ и В А - вполне непрерывные операторы.
4.4. Пространство ядерных операторов
Состояния квантовых систем описываются специальным
классом ядерных операторов, называемых операторами матрица
плотности. Для того чтобы определить ядерные операторы, необходимо
ввести понятие следа оператора. Понятие следа оператора является
обобщением понятия суммы диагональных элементов матрицы.
Однако из-за бесконечности сумм не все операторы обладают следом.
Кроме того, в конечномерных линейных пространствах сумма
диагональных элементов матрицы линейного оператора равна сумме
собственных значений этого оператора. Существует класс
операторов в гильбертовом пространстве, для которых справедливо
аналогичное утверждение (теорема Лидского).
Определим некоммутативные аналоги пространств 1\ и l<i (или
£X(]R) и £2(R)), пополняя по соответствующим нормам линейное
пространство К{%) операторов конечного ранга. Рассмотрим
аналог пространства 1\. Для произвольного ограниченного оператора
^4, который принадлежит линейному пространству ограниченных
операторов 6(71), определим норму
\\A\h = Sp\A\, \А\=уШ,
называемую ядерной нормой. Абсолютную величину \А\ оператора
4 определяется по аналогии с формулой модуля комплексного
числа \z\ = y/z*z. Таким образом, следом оператора А называется след

66 Глава 4, Кинематика пространств наблюдаемых
положительного оператора |Л| = (А*А)1/2. Собственные значения
оператора \А\ называются s-числами оператора А.
Определение. Ядерным оператором (оператором с
конечным следом) называется линейный ограниченный оператор Ау
удовлетворяющий условию
P||i = Sp\A\ = SpVA^A = Sp{A*A)1'2 < oo .
Теорема Лидского. След ядерного оператора А равен сумме соб-
ственных значений zk этого оператора
ОО ОО
Sp[A] = ]Г < ек\А\ек >= ]Г^ .
fc=l k-l
Теорема. Замыкая пространство K(Ji) конечномерных
непрерывных операторов по ядерной норме ||A||i = Spy/А*А в пространстве
В(Н), получаем пространство К1 ((H) ядерных операторов.
Теорема. Пополнение пространства /С(%) конечномерных
операторов по норме ||A||i = Spy/А*А является банаховым
пространством 1С1 (И) ядерных операторов.
, Множество ядерных операторов К\{%) является банаховым
пространством. Сопряженным к этому пространству является банахово
пространство ограниченных операторов.
Теорема о пространстве, сопряженном к №{%). Банахово
пространство В(Н) является сопряженным к банахову пространству
К,1 (ft). Всякий непрерывный линейный функционал на К1 (И)
имеет вид и {А) = Sp(AB), где А е 1С1 (К), В € В(Н), то есть имеем
изоморфизм (/С1 (?-/))* = В{Н).
4.5. Пространство операторов Гильберта-Шмидта
Рассмотрим некоммутативный аналог пространства fa и L2(R).
На линейном операторном пространстве В (И) введем скалярное
произведение
< А\В >= Sp[A*B]. (11)

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых 67
Этому скалярному произведению можно сопоставить норму в этом
пространстве
||Л||2 = ^<А\А> , (12)
называемую нормой Гильберта-Шмидта (абсолютной нормой) для
оператора А.
Определение. Оператором Гильберта-Шмидта называется
линейный ограниченный оператор А £ £(%), удовлетворяющий
условию
\\А\\2 = yf< А\А > = (Sp[A*A]) V2 < оо .
Оператор А называется оператором Гильберта-Шмидта, если А*А
является ядерным оператором (оператором с конечным следом).
Теорема. Замыкая пространство К{%) конечномерных
непрерывных операторов по абсолютной норме (норме Гильберта-Шмидта)
в пространстве В(Н), получаем пространство К2(Н) операторов
Гильберта-Шмидта.
Множество операторов Гильберта-Шмидта К2(Н) является
банаховым пространством, а относительно скалярного произведения
< А\В >= 5р[А*Б] - гильбертовым пространством. Пространство
операторов Гильберта-Шмидта получается из пространства
операторов конечного ранга пополнением по норме ||.||2.
Теорема. Пополнение линейного пространства К{%) со скалярным
произведением (11) по норме (12) является гильбертовым
пространством К?{Н) операторов Гильберта-Шмидта.
Гильбертово пространство К2{%) операторов Гильберта-Шмидта
сепарабельно. Из теоремы Рисса-Фреше для сепарабельного
гильбертова пространства К2(Н) следует, что сопряженное
пространство )С2*СН): то есть пространство непрерывных линейных
функционалов на К?(И), изоморфно /С2(Н).
Теорема о пространстве, сопряженном к К2{%). Пространство
£2*(?■/), сопряженное к гильбертову пространству К?l(H)
изоморфно пространству К?{Н). Всякий линейный непрерывный
функционал на К?{Н) представим в виде
и(А) = Sp[B*A] ,
где А е !С2{Н), В £ 1С2*(Н), то есть (£2{Н))* = /С2*(Н).

68 Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
4.6. Свойства операторов из №(%) и К2(Н)
Перечислим некоторые свойства ядерных операторов и
операторов Гильберта-Шмидта.
1) Произведение операторов Гильберта-Шмидта является ядерным
оператором.
2) Произведение ограниченного оператора на оператор Гильберта-
Шмидта является оператором Гильберта-Шмидта.
3) Произведение ограниченного оператора на ядерный оператор
является ядерным оператором.
4) Ядерный оператор представим в виде конечной суммы
произведения операторов Гильберта-Шмидта.
5) Ядерный оператор является оператором Гильберта-Шмидта.
6) Имеют место следующие включения операторных
нормированных пространств: К(Н) С К1{Н) С К2{%) С В{П).
Утверждение о матричном представлении.
Всякий самосопряэюенный оператор Гильберта-Шмидта (всякий
самосопряэюенный ядерный оператор) можно представить в виде
ОО 00
Л = Yl Zk\ek >к ek\= YlzkPk •
Если Н = L2(M), то пространство К?{Н) имеет конкретное
представление в виде пространства интегральных операторов.
Утверждение о координатном представлении.
Если Н = Ь2(М), то ограниченный оператор A G В(%)
является оператором Гильберта-Шмидта тогда и только тогда, когда
существует функция а(х^у) Е 1?{М х М) такая, что
(АЩх) = Jйр{у)а{х,у)Щу) , ЦАЦ! = jdfi(x)dn(y)\a(x,y)\2 .
Любой оператор Гильбертьа-Шмидта в Ь2(М) является
интегральным оператором Гильберта-Шмидта с ядром из L2(M x M).
Ядро а(х, х1) =< аф4|:г' > любого оператора Гильберта-Шмидта
А является квадратично-интегрируемой функцией:
Sp[A2} = / dx < x\A2\x >= / dxdx\ < x\A\x > |2 <
ос

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых 69
Если А - ядерный оператор, то функция а(х,х) =< х\А\х >
интегрируема:
Sp[A] = / dx < х\А\х >= / dxa(x,x) < оо .
Напомним, что оператор матрица плотности является
положительным самосопряженным ядерным оператором
Р* = Р > Р > 0 => \р\ = р => Sp\p\ = Spp = 1 < оо .
В силу этого его можно представить в виде
оо оо
P = YlPkPk> Pk>0> Х^Л==1'
4,7, Множество операторов плотности
Состояния квантовой системы описываются оператором
матрица плотности. Обычно оператором матрица плотности называется
положительный самосопряженный оператор с единичным шпуром.
Определение. Оператором матрица плотности (или
оператором плотности^ называется ядерный оператор или оператор
Гильберта-Шмидта р, удовлетворяющий следующим условиям.
1. р - положительный оператор, р>0.
2. р - самосопряженный оператор, р — р*',
Часто на оператор р накладывается условие нормированности.
3. р - нормированный оператор, Sp[p] = 1.
Пусть S(H) есть множество всех операторов плотности,
действующих в пространстве Н. Множество S(H) играет роль
множества возможных состояний квантовой системы. Очевидно, что
множество операторов плотности не является линейным операторным
пространством, так как положительные операторы не образуют
линейного пространства. Однако они образуют конус. Определим
понятие выпуклого множества иг конуса банахова пространства.
Определение. Выпуклым множеством называется множество
S С Мг вещественного линейного пространства Мг, если для лю-
бых А,В £ S и для любого числа a £ [0,1] элемент аА + (1 — а)В
Принадлежит множеству S.

70 Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
Определение. Выпуклой оболочкой множества S С Мг
называется наименьшее выпуклое мнооюество, содероюащее Sf то есть
мнооюество всех конечных линейных комбинаций
п п
У] &kPk • Pk € S , ak > 0 , У^ ак = 1 .
*=i fc=i
Множество 5(?^) операторов плотности, действующих в
пространстве %, является выпуклым множеством.
Определение. Конусом банахова пространства М
называется мнооюество М+ элементов вещественной линейной оболочки,
если это мнооюество удовлетворяет следующим условиям.
1. М+ - выпуклое множество} замкнутое относительно нормы
банахова пространства.
2. Если А Е М+ то все элементы tA принадлежат М+ при t > 0.
3. Если А € М+ и (-А) е М+, то А = 0.
В вещественном пространстве ограниченных линейных
самосопряженных операторов #г(%), действующих в гильбертовом
пространстве %, множество положительных операторов образует
конус. Например, /С*+(%) = {А е ^{Н) : А > 0}. Здесь и далее
нижний индекс г обозначает вещественные пространства
самосопряжённых операторов.
Вещественная линейная оболочка (невыпуклая) множества
состояний S{T-L) является вещественным пространством К,\(^Н)
самосопряженных ядерных операторов:
п
А = ]£а*рЛ, Pk€S{H), akeR =* AelCl(H).
fc=i
Следовательно, в качестве S{%) можно взять положительный
конус 1С1+(Н) вещественного банахова пространства JCl{H)
самосопряженных ядерных операторов. S(H) = {p £ К\Щ) : р > 0}.
Вместо банахова пространства К\{Н) можно взять вещественное
пространство самосопряженных операторов Гильберта-Шмидта JC^(H),
В общем случае надо различать следующие множества
операторов плотности:
1. Sl>2(H) = {д Е Klt2{H) : £>0}.
2.Sb2(H) = {PeSl>2(H): 5pW = l}.

Глава 4. Кинематика, пространств наблюдаемых 71
Множество возможных состояний квантовой системы обычно
отождествляют с одним из этих пространств. Очевидно, что имеют
меСто включения Sln{H) С S*(H) С S2(U) и Sl{U) С S2{4).
4.8. Пространство Лиувилля
Наблюдаемые квантовой системы реализуются как
сопряженные операторы. Но операторы и сами по себе образуют линейное
пространство, поскольку множество операторов замкнуто
относительно сложения и умножения на числа. Рассмотрим линейное
операторное пространство М. Определим в этом пространстве
скалярное произведение: < А\В >= Sp[A*B]. Оно обладает следующими
свойствами.
1. < aA\B >=a<A\B> VAyBeM a 6 С.
2. < А + В\С >=< А\С> + < В\С > VA, В,СеМ.
3. < А\В >*=< В\А > WA.Be М.
4. < А\А >> О хф 0.
Таким образом, операторное пространство М становится
предгильбертовым. В предгильбертовом пространстве М можно определить
норму Щ||2 = \/< А\А > для тех операторов А Е М, для
которых существует < А\А >. Эта норма является нормой Гильберта-
Шмидта для оператора А. Можно рассматривать нормированные
операторные пространства с нормой
\\А\\Р = (SplA'Ay'2)1'' .
Если пространство М является полным нормированным
пространством относительно этой нормы при р = 2, то оно является оде-
раторным гильбертовым пространством. Это гильбертово
операторное пространство обозначим %. Элементы А операторного
пространства % будем обозначать \А > и называть кет-вектором
пространства Лиувилля %.
Определение. Пространством Лиувилля называется
множеству Й операторов, удовлетворяющее следующим условиям.
1. Н является линейным операторным пространством.
2. ВЦ определено скалярное произведение < А\В >= Sp[A*B].
3. Н является полным нормированным пространством с нормой

72 Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
Пространство Лиувилля является гильбертовым операторным
пространством. Линейные операторы, действующие на элементы
гильбертова пространства К, сами образуют гильбертово
пространство %, которое называется пространством Лиувилля
присоединенным к К, или ассоциированным гильбертовым пространством.
Определение. Ассоциированным гильбертовым
пространством называется пространство Лиувилля ft, элементы которого
являются операторами на гильбертовом пространстве Н.
Сформулируем теорему Рисса-Фреше для гильбертова
операторного пространства %. Для любого линейного ограниченного
функционала и Е И*, заданного на гильбертовом пространстве ft^
существует единственный элемент р Е И такой, что для всех А еИ
имеем и(А) =< р\А >= Sp(pA).
Для произвольных операторных алгебр данное утверждение
неверно. Однако данное утверждение обычно принимается в
качестве постулата о состояниях квантовой системы. Для обозначения
состояния и можно использовать бра-вектор < р|, как элемент
сопряженного пространства ft*. Элемент А пространства ft можно
обозначать как кет-вектор \_А >. В силу теоремы об изоморфизме
гильбертова пространства ft и сопряженного пространства ft*
операция сопряжения элементов \А > пространства ft определена на
том же пространстве ft.
4.9, Корреляционные функции
Отметим, что скалярное произведение < А\В > элементов А и
В в пространстве ft часто называется внутренним произведением
пространства Лиувилля и может быть записано в виде
< А\В >=< 1\А*В > , <А\В >== Sp[A*B] .
Здесь I - единичный оператор |/ > : А|1 >= |А >. Можно
определить скалярное произведение для некоторого выделенного
оператора Р по формуле < А\В >р=< Р\А*В >. В квантовой механике
существует естественный и выделенный для данной квантовой
системы оператор - оператор матрица плотности р. Это позволяет

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых 73
для линейного операторного пространства (пространства
наблюдаемых) определить скалярные произведения, отличные от
внутреннего произведения < А\В > пространства Лиувилля. Такие
скалярные произведения часто называются корреляционными функциями
и определяются по заданному оператору матрица плотности р.
Приведем примеры.
1. Естественная корреляционная функция (коррелятор)
определяется формулой
{А-В)р =< А"В >= Sp[pA*B] ,
или формулой (А;В)'р =< А*В > - < А* >< В >.
2. А-корреляционная функция
<A;B>x%p=Sp{pxA*pl~xB].
3. Симметризованная корреляционная функция
< А-В >SiP=< А; В >1/2>р= Sp[p^2A*p^2B] .
4. Каноническая корреляционная функция
< А; В >,= / d\Sp{pxA*pl~xB] .
Если В = А, то первая формула для естественной
корреляционной функции (А;В)р дает среднее квадрата наблюдаемой, а вторая
формула - дисперсию наблюдаемой. Каноническая корреляционная
функция < А] В >р по каноническому равновесному состоянию
р = Z~1exp(-/3H), где Z = 5р[еяр(-~/3#)], известна как
произведение Мори.
Заметим, что все приведенные корреляционные функции можно
выразить через А-корреляционные функции. Например, при А = 1
получаем естественную корреляционную функцию (А\В)Р, а при
А = 1/2 задает симметризованную корреляционную функцию
< А; В >Sip- Кроме того, корреляционные функции для
фиксированного оператора матрица плотности р допускают определение
через внутреннее произведение в пространстве Лиувилля. В терминах
этих скалярных произведений среднее значение наблюдаемой
может быть записано как
< А >= (/; А)р = (/; A)s,p =< I; А >\:Р=< 1\А>Р .

74 Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
Определение скалярного произведения на операторном
пространстве позволяет использовать структуру гильбертова пространства
на множестве операторов. Гильбертово операторное пространство
со скалярным произведением, индуцированным естественной
корреляционной функцией, активно используется в конструкции ГНС.
Основная идея конструкции ГНС в том, что гильбертово
пространство %, на котором наблюдаемые действуют как операторы, не
является неотъемлемой частью теории, а определяется состоянием
системы.
4.10. Базисы в операторном пространстве Лиувилля
Определим кет-вектор \ху > в операторном пространстве Ц}
соответствующий кет-бра оператору Р(х,у), соотношением
\ху>=\Р(х,у) >=||я><у|> .
Ортонормированный базис {\х >} в гильбертовом пространстве Н
порождает ортонормированный базис {\ху >} в пространстве
Лиувилля Й. Действительно, вычисление скалярного произведения кет-
векторов \ху >= |Р(ж,у) >€ W, то есть соответствующего следа
кет-бра операторов, вида
< xy\xfyf >=< Р(х,у)\Р(х\у') >= Sp[P*(x,y)P(x',y')] =
= Sp[P(y,x)P{x\y')] =< яг^' X у'\у >= 5(х,*')%',у)
характеризует базис {\ху >} как ортонормированный. Условие
полноты операторного базиса {\ху >}, имеющее вид
/ dxdy\xy ><xy\ = I , / dxdyP(x,y)P*{x,y) = / , (13)
верно в силу условия полноты базиса {\х >}. Операторы Р(х,у)
образуют базис в операторном пространстве и позволяют представить
произвольный оператор А в виде
А = / dxdy a(x,y)P{x,y) .

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых 75
разложение оператора А относительно ортонормированного базиса
р(х,у) определяется функцией - ядром а(х,у) оператора А в ху~
представлении
а(х,у) =< х\А\у >= Sp[P{y,x)A] =
- 5pfP*(rr, у)4] =< P(z, у)|Л >=< ху\А > .
Для произвольного элемента \А >еЙ имеем
\А >— I dxdy \ху X ху\А > .
Заметим, что это соотношение следует понимать как сокращенную
запись формулы
< xfy'\A >= / dxdy < xfy'\xy >< ху\А > ,
< Р{х',у')\А >= J dxdy < P(xW)\Pfav) >< Н*,У)\А > ,
< x'\A\y' >= / аЫу < х'\х X х\А\у >< y\yf > .
Последнее соотношение верно в силу полноты базиса {\х >}. В
результате символические соотношения вида (13) и
\А >= / dxdy\xy >< ху\А > , Л = / dxdyP(x, y)Sp[P*(x, у)А] ,
можно интерпретировать как условие полноты операторного базиса
{\ху >}. Шпур оператора можно записать в виде
Sp[A] = 5р[/Л] = fdxSp[P(x,x)A] = /ds < жж|4 > .
Ядро оператора А в операторном базисе {\ху >} имеет вид
< ху\А\х'у' >=< Р(х,у)\АР{х\у') >= а(*, #')%', ?/) •

76 Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых
Отметим, что и соотношения
/ dxdy < ху\А\ху >= Sp[A] , / dxdyP*{x,y)AP{x,y) = 5p[A]
можно интерпретировать как условие полноты операторного базиса
в пространстве Л иу вилл я.
Пусть операторы Е(а) являются элементами произвольного
ортонормированного операторного базиса \а >= \Е(а) > в
пространстве Лиувилля Й:
< а\а! >=< Е(а)\Е{а') >= 5(а,а') .
Его связь с базисом {\ху >}, построенным из кет-бра операторов
Р(х,у), описывается функцией преобразования < ху\а >, имеющей
вид
< ху\а >=< Р{х,у)\Е{а) >= Sp[P*{x,y)E(a)} =< х\Е{а)\у > .
Сопряженная функция преобразования
< а\ху >=< ху\а >*=< х\Е{а)\у >*=< у\Е*(а)\х > .
Условие полноты операторного базиса \а >= \Е(а) > приводит к
следующему свойству функции преобразования:
/ da < ху\а X а\х'у' >=< ху\х'у' > ,
где < ху\х'у! >= 5(х,х')5(у1,у)у то есть
fda< х\Е(а)\у X у'\Е*(а)\х' >= 6(x,a/)6tf,y) .
Умножим последнее соотношение на ядро < уЩг/ > некоторого
оператора .4 и проинтегрируем по у и у'. В результате получим
соотношение
[ daE{a)AE*{a) = Sp[A] .
1 j

Глава 4. Кинематика пространств наблюдаемых 77
Справедливость этого равенства для произвольного оператора А
эквивалентна условию полноты операторного базиса Е(а). Для
частного случая А — I имеем
I da < х\Е(а)Е*(а)\х' >= 5(x}xf) , fdaE(a)E*(a) = / .
Разложение произвольного оператора относительно операторного
базиса Е(а)
>
Л = / daA(a)E(a) , \А >= / da\a >< а\А
определяет соответствующие компоненты
А(а) =< а\А >=< Е(а)\А >- 5р[^*(а)Л] .
Так, для базиса P(q,p) имеем ядро оператора А в до-представлении
<qp\A>=Sp[P*(q,p)A]=<q\A\p>=a(q,p).
Скалярное произведение в операторном пространстве Й
вычисляется по формуле
< А\В >= fdaA*(a)B(a) .
При замене базиса компоненты данного оператора изменяются:
Л(о)= fdb<a\b>A(b) .

ГЛАВА 5.
КИНЕМАТИКА АЛГЕБР
НАБЛЮДАЕМЫХ
5.1. Линейная алгебра
Линейным пространством является множество элементов
любой природы, для которых определены операции сложения и
операция умножения на действительное (или комплексное) число.
Дуальным (сопряженным) пространством М* по
отношению к линейному пространству М называется множество
линейных отображений и : М —> С линейного пространства ЛЛ в поле
С которые сами образуют линейное пространство над полем С и
удовлетворяют условиям и;(аА + сВ) = аш(А) + cu(B) WL, В £ М..
Определение. Алгеброй (линейной алгеброй) М называется
линейное пространство М над полем комплексных чисел, в
котором определена билинейная операция умножения,
удовлетворяющая для любых А, В, С € М следующим условиям.
1 А{В + С)=АВ + АС} (А.+ В)С = АС + ВС или,
q(A,B + C)=g(AB)+g(A,C), g(A + В,С) = д(А9С) + д(В,С).
\ {аА)В = А{аВ) = а(АВ) или д{аА,В) = д{А,аВ) = ад(А,В).
Часто предполагают, что существуют единичный элемент I £ М
такой, что IA = AI = А для всех A £ М. Понятие алгебры есть
обобщение векторного пространства, в котором определены
произведения элементов пространства (векторов).
Подмножество Mq С М называется системой образующих
алгебры М, если, применяя к элементам из Mq алгебраические
оперздии, можно получить все элементы алгебры М. Независимые
элементы системы образующих линейного пространства М
называются базисными элементами. Произвольный элемент линейного
пространства М представим в виде линейной комбинации базисных
элементов с числовыми коэффициентами из поля С.

Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
79
5.2. Ассоциативные, лиевы и йордановы алгебры
Определение. Ассоциативной алгеброй называется алгебра, в
которой ассоциатор любых трех элементов алгебры равен нулю:
(А, В, С) = (АВ)С - А{ВС) = 0 ,
(А, В, С) = g(g(A, В), С) - <?(Д д{В, С) = 0 .
Определение. Коммутативной алгеброй называется алгебра, в
которой коммутатор любых двух элементов равен нулю:
[А,В]==АВ-ВА = 0, [А,В] = 0(4,2?) -$(В,Л) = 0 .
Определение. Лиевой алгеброй (алгеброй Ли) называется
алгебра М, в которой билинейная операция умножения g
удовлетворяет условию кососимметричности и тождеству Якоби.
1. Условие кососимметричности: д(А, В) = —д(В, A) V4, В £ М.
2. Тождество Якоби: для всех А, В, С 6 М
J(A, В,С) = g(g(A, В), С) + g(g(B, С), А) + g(g(C, А), В) = 0.
Здесь J(A, В, С) называется якобианом элементов А, В, С.
Часто билинейную операция умножения g в лиевой алгебре
обозначают так же, как коммутатор [.,.]. Это обусловлено тесной
связью лиевой алгебры и ассоциативной, о которой будет сказано чуть
позже. В этих обозначениях условие кососимметричности и
тождество Якоби выглядят следующим образом:
1. [А,В] = -[В,А] VA,BeM.
2. р, В], С] + [[В, С], А] + [[С, А], В] = 0 УД В,СеМ.
Чтобы определить структуру алгебры Ли на пространстве М,
достаточно знать попарные коммутаторы образующих элементов {Еь}:
п
[£,•,£;] = £ 4-i?*- (14)
*=1
Коэффициенты cf7- называются структурными константами.

80
Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
Определение. Йордановой алгеброй называется алгебра М, в
которой бинарная операция умножения g удовлетворяет условию
симметричности (коммутативности) и тождеству Йордана.
1. Условие симметричности: д(А,В) = д(В,А) УА}В е М.
2. Тождество Йордана: для всех А,В Е М
I(A,B)=9(g(9(A,A),B),A) - g(g(A,A),g(B,A)) =0.
В общем случае йорданово умножение коммутативно, но не
ассоциативно.
5.3. Связь неассоциативных и ассоциативных алгебр
Лиевы и йордановы алгебры составляют важный класс алгебр,
которые в общем случае неассоциативны. Между этими алгебрами и
ассоциативными алгебрами существует взаимосвязь. Пусть М есть
произвольная ассоциативная алгебра. Воспользуемся для операции
умножения в ассоциативной алгебре обозначением АВ без всякого
знака между А и В. Если операцию умножения АВ заменить
операцией лиева умножения (коммутирования) gi{A,B) = АВ — ВА,
то получим лиеву алгебру L(M) = М^~\ Для обозначения
лиева умножения часто используется символ коммутатора [А, В] =
= АВ - В А:
Теорема. Всякая ассоциативная алгебра М является алгеброй Ли
L(M) = М^ относительно новой операции умножения gi{A, В) =
= [А,В] = АВ-ВА.
Из условия ассоциативности следует тождество Якоби. Условие'
кососимметричности (антикоммутативности) выполняется в силу
свойств аддитивности бинарной операции. Справедливость законов
дистрибутивности для лиевой алгебры Л'г ' следует из
дистрибутивности ассоциативной алгебры М. Важным результатом в теории
лиевых алгебр является теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта,
которая устанавливает взаимосвязь лиевых и ассоциативных алгебр.
Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта. Для любой лиевой алгебры
L существует такая ассоциативная алгебра М, что лиева алгебра
L изоморфна некоторой подалгебре лиевой алгебры MS' = L.
Определение. Обертывающей алгеброй для алгебры Ли L на-
зывается ассоциативная алгебра Ai, если алгебра L является
подалгеброй алгебры Ли L{M) = .M'"'.

Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых 81
Операция умножения в лиевой алгебре L сводится теперь к
коммутатору в алгебре М.
Определим важное понятие универсальной обертывающей
алгебры для алгебры Ли L.
Определение. Универсальной обертывающей алгеброй для
алгебры Ли L называется ассоциативная алгебра U(L) с единицей,
порожденная образующими {Е^} и соотношениями
п
E{Ej - EjEi = 2^ CijEk .
По теореме Пуанкаре-Биркгофа-Витта, алгебра Ли L
вкладывается в универсальную обертывающую алгебру U{L) этой алгебры
Ли. Пусть (Ei,...,En) - некоторый базис алгебры Ли £, тогда
одночлены вида Ех1...Епп (&!,.♦.,&п - неотрицательные целые числа)
образуют базис векторного пространства U{L). Видно, что
универсальная обертывающая алгебра является бесконечномерной
алгеброй. Переходя от алгебры Ли L к ее универсальной обертывающей
алгебре U(L), мы рассматриваем вместо конечномерной
неассоциативной алгебры бесконечномерную ассоциативную алгебру. Хотя
переход от L к U(L) неприятен тем, что возникает
бесконечномерная алгебра, однако он предоставляет в наше распоряжение методы
ассоциативной алгебры.
В ассоциативной алгебре можно ввести операцию йорданова
(симметрического) умножения по формуле д(А,В) = АВ + В А.
Для обозначения йорданова умножения иногда используют символ
антикоммутатора [Л, В]+ — АВ + В А. Легко проверить, что
условия, определяющие йорданову алгебру, и условие дистрибутивности
выполняются. Таким образом, если в ассоциативной алгебре
операцию умножения АВ заменить на операцию йорданова умножения,
то полученная алгебра М^ будет йордановой.
Йордановы алгебры, изоморфные подалгебре М^
ассоциативной алгебры М, называются специальными йордановыми
алгебрами. Они уже не являются столь универсальными примерами
йордановых алгебр, как алгебры М^ в случае лиевых алгебр.
Существуют йордановы алгебры, которые не изоморфны подалгебрам
М^ ни для какой ассоциативной алгебры М. Такие алгебры
называются исключительными йордановыми алгебрами.

82
Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
Определим произведение линейных операторов А и J5, которые
принадлежат линейному пространству операторов К,(Н}'Н),
полагая (АВ)х = А(Вх), где х 6 У.. Очевидны следующие соотношения.
1. А{В + С) = АВ + АС У А, В,Се К{П, Н).
2. (А + В)С = АС + ВС VA,В, С е ЦП,П).
3. (аА)В = А(аЯ) = а(АВ) VA,£ e /C(W,«).
4. (АВ)С = 4(ВС) VA,B,CeK(H,H).
Существует единичный оператор /, который определяется
равенством 1х = х Ух £ Ч, то есть IA ^ AI = А\/А е К(Н,Н). Таким
образом, линейное пространство операторов К{НЖ) образует
линейную алгебру операторов на пространстве %, Линейная
алгебра операторов является ассоциативной алгеброй с единицей.
Определение. Представление 7г алгебры Ли L в гильбертовом
пространстве Н называется гомоморфизм А —> 7г(Л), А 6 L, из
алгебры L в алгебру линейных операторов, действующих на
гильбертовом пространстве %.
Для йроизвольных А, В G L и чисел а, Ь 6 С имеем следующее.
1. п{аА + ЪВ) = атг(А) + Ьтс(В).
2. n(gi(A,B)) = [тгСА),тг(В)] = (тг(А)тг(В) - тг(В)тг(А)).
Из последнего соотношения следует, что тождество Якоби для
операторов выполняется автоматически.
5.4, Инволютивные, нормированные и банаховы
алгебры
Определение. Инволютивной алгеброй (^-алгеброй^
называется алгебра М, в которой определена операция сопряжения
(инволюции), то есть отображение (эндоморфизм) алгебры М, в себя
такое, что выполнены следующие условия.
1. (А*)*=А УАеМ.
2:(АВ)* = В*А* УА,ВеМ.
3. {А + В)* = А* +В* VA,B'eM.
4. (аЛ)* = аМ* MA G М, а € С.
Здесь а* есть число, комплексно сопряженное с а.
Алгебра называется нормированной, если каждому элементу
А € М сопоставленное действительное число ||Д||, называемое
нормой элемента алгебры.

Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
83
Определение. Нормированной алгеброй называется
множество М, которое удовлетворяет следующим условиям.
1. М ~ нормированное пространство.
2. М - линейная алгебра.
3. \\АВ\\ < \\А\\ \\В\\ (неравенство для нормы произведения).
Определение. Унитальной нормированной алгеброй
называется нормированная алгебра М с единицей I, если \\1\\ = 1.
Определение. Нормой элемента А алгебры М называется число
||А||; удовлетворяющее следующим условиям.
1. \\А\\ > 0 (неотрицательность нормы).
2. ||Л||| = О Ф> А — 0 (отделимость нормы).
3. \\сА\\ = |с| |Щ| (положительная однородность).
^. \\А + В\\ < \\А\\ + \\В\\ (неравенство треугольника).
5. \\АВ\\ < \\А\\ \\В\\ (неравенство для нормы произведения).
В интуитивном физическом понимании норма представляет
собой наибольшую из возможных абсолютных величин наблюдаемой.
В квантовой механике постулируется существование для любой
наблюдаемой А некоторого числа \\А\\} являющегося нормой. Норма
определяет на алгебре М равномерную топологию. Окрестностями
элемента А £ М в этой топологии служат множества Ue(A),
определяемые в виде Ue(A) = {В : В в М, \\В - А\\ < е, е > 0}.
Определение. Банаховой алгеброй называется множество Mj
которое удовлетворяет следующим условиям.
1. М ~ банахово пространство.
2. М - линейная алгебра.
3. \\АВ\\ < \\А\\ \\В\\ (неравенство для нормы произведения).
Банахова алгебра - банахово пространство, являющееся
линейной алгеброй, в которой норма удовлетворяет неравенству для
нормы произведения. Банаховой алгеброй называется нормированная
алгебра М, линейное пространство М которой является полным
нормированным пространством. Часто предполагают, что
банахова алгебра является ассоциативной и содержит единичный элемент
(IA = AI = А), норма которого равна единице ||/|| = 1, то есть
является унитальной.

84
Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
5.5. С*-алгебра
Вопрос о существовании представлений для банаховых алгебр с
инволюцией был решен Гельфандом и Наймарком. Известная
теорема Гельфанда-Наймарка выделяет специальный класс банаховых
алгебр, а именно С*- алгебры.
Теорема Гельфанда-Наймарка. Всякая банахова алгебра с
инволюцией, удовлетворяющая соотношению \\А*А\\ = \\А*\\ \\А\\,
изоморфна подалгебре алгебры линейных ограниченных операторов
В(Н) в гильбертовом пространстве %.
Определение. С*- алгеброй называется банахова алгебра М с
инволюцией, для которой выполнено соотношение
\\А*А\\ = \\А\\2 VAeM.
Это соотношение означает, что норма квадрата оператора равна
квадрату нормы, то есть ||А2|| = ||А||2. Характеризующее С*-
алгебру свойство нормы несет на себе отпечаток связи со структурой
гильбертова пространства. Это свойство в сочетании с неравенством
для нормы произведения дает утверждение.
Утверждение.
Норма элемента С*- алгебры М и норма сопряженного ему
элемента равны, то есть \\А*\\ = ||Л|| для'всех A £ М.
Напомним, что спектральным радиусом га ограниченного
оператора А называется верхняя грань значений \z\ при z € сг(А).
Теорема. Спектральный радиус га для любого
самосопряженного оператора из С*-алгебры М равен норме оператора, то есть
га = \\А\\ для всех А Е М .
Доказательство основано на соотношении ||А2|| = ||А||2,
определяющем С*-алгебру. Этот простой результат имеет важное следствие.
Утверждение. На инволютивной алгебре М существует не более
одной нормы, превращающей ее в С*-алгебру.
Поскольку все сепарабельные гильбертовы пространства Н
изоморфны между собой, все алгебры В(Н) линейных ограниченных
операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Щ, также
изоморфны друг другу. Оказывается, что алгебра В(Н) является в
некотором смысле максимальной С*-алгеброй. Более точную
формулировку этого факта дает теорема Гельфанда-Наймарка в
следующей форме.

Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
85
Теорема Гельфанда-Наймарка. Всякая С*-алгебра изоморфна
некоторой подалгебре С*-алгебры B(fl) линейных ограниченных
операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве %.
Выбор условий, которые определяют С*-алгебру, в
значительной мере мотивирован тем, что этим условиям удовлетворяет
алгебра B{V) всех линейных ограниченных операторов в
гильбертовом пространстве И. При этом в качестве нормы принимается
операторная норма, а в качестве инволюции - эрмитово сопряжение.
Поэтому всякая подалгебра алгебры В{%), замкнутая
относительно топологии нормы и операции эрмитова сопряжения, является
С*- алгеброй. Оказывается, что алгебра операторов в гильбертовом
пространстве является самой общей С*- алгеброй. Согласно теореме
Гельфанда-Наймарка любая С*- алгебра может быть реализована
как С*- алгебра в В(Н) при подходящем выборе гильбертова
пространства Н. Более того, существует много, вообще говоря,
неэквивалентных представлений такого рода.
Множество К{%) всех операторов конечного ранга
(конечномерных операторов) образует *-подалгебру в С*-алгебре В(Н).
Равномерное замыкание К(Н) представляет собой С*-алгебру 1Со(Н)
всех компактных (вполне непрерывных) операторов в В(Н) и
является двухсторонним замкнутым *-идеалом алгебры В(Н).
Множество К?{%) всех операторов Гильберта-Шмидта является банаховой
инволютивной алгеброй относительно нормы \\А\\2 = (5р[Л*А])х/2.
Имеют место включения ЦП) С К?{К) С Kq{U) С В(Н).
Приведем определения идеала и замкнутого идеала..
Определение. Идеалом (двухсторонним идеалом) алгебры М
называется подалгебра X, обладающая следующими свойствами.
i.VA,Bei =» A + Bei.
2.VAei VBeM =* ABel, BAei.
3.1^{0} , ХфМ.
Идеал X С М называется замкнутым, если он совпадает со своим
замыканием.

86 Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
5.6. Алгебра фон Неймана (W-алгебра)
В нормированном операторном пространстве М естественным
образом можно ввести топологию. Совокупность всех окрестностей
Ue(A) == {J5 £ М : Ц-А — ВЦ < е} элемента А £ М образует базу
топологии, которая называется равномерной топологией. Однако
эта топология иногда оказывается очень сильной и вносит
слишком большие ограничения. Поэтому для операторных С*-алгебр
М С В (И) помимо равномерной топологии, определяемой
операторной нормой, вводят ряд специальных топологий. Приведем
определения таких топологий.
1) Слабой операторной топологией (или И^-топологией)
называется топология на В(Л), определяемая полунормами
\\A\\Win = max | < xk\Ayk > \ .
Здесь n - произвольное натуральное число, а^иу^- произвольные
элементы из гильбертова пространства %. Другими словами,
слабой операторной топологией (И^-топологией) называется топология,
порожденная семейством полунорм
WMww = \ < х\Ау > \ ж,уе« .
2) Сильной операторной топологией (или S-топологией)
называется топология на В(Н)} определяемая полунормами
\\Ms,n = f max \\Axk\\n .
fc=l,...,n
Здесь п - произвольное натуральное число, а хк - произвольные
элементы из гильбертова пространства И. Другими словами, сильная
операторная топология порождается семейством полунорм
Икх,у = | <х\Ау>\ х,уеН .
3) Ультраслабой операторной топологией (или сг-слабой
топологией) называется топология на В(Н), определяемая
полунормами
Р|ЦП= sup \Sp{ABk)\.
fc=l,...,n

Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых
87
Здесь В^ - произвольный конечный набор ядерных операторов
(операторов с конечным следом), то есть Bk 6 К,1 {И). Другими словами,
ультраслабой операторной топологией (или сг-топологией)
называется топология, порожденная полунормами
\\A\UP = \Sp{PA)\ ре/С'СН),
или полунормами
оо
оо оо
4) Ультрасильной операторной топологией называется
топология на B(H)j определяемая полунормами
ОО 1 ley ОО
Очевидно, что W-топология слабее, чем 5-топология и а-слабая
топология, а все эти топологии слабее топологии нормы. Выше
говорилось, что инволютивная подалгебра в В(Н), замкнутая
относительно топологии нормы, является С*-алгеброй.
Определение. Алгеброй фон Неймана (или И^-алгеброй,} на-
зывается всякая инволютивная подалгебра в В(Н), замкнутая в
слабой операторной топологии (W-топологии).
Термин мИ^*-алгебраминогда используется применительно к
абстрактно определенным линейным алгебрам, а термин "алгебра фон
Нейманапрезервируется для операторных алгебр. Алгебры фон
Неймана берут свое начало в работе фон Неймана, где он ввел эти
алгебры под названием колец операторов. Очевидно, что всякая алгебра
фон Неймана является С*-алгеброй. Отметим некоторые важные
свойства алгебры, фон Неймана.
Во-первых, условие замкнутости инволютивной подалгебры
относительно И^-топологии эквивалентно.условию замкнутости в S-
тополргии или в <т-слабой топологии. Замыкание С*-алгебры от
конкретного выбора операторной топологии не зависит. Алгебра
операторов, полученная в результате этой процедуры замыкания,
является алгеброй фон Неймана (И/Г*-алгеброй).

88
Глава 5. Кинематика, алгебр наблюдаемых
Во-вторых, всякая алгебра фон Неймана как банахово
пространство сопряжена некоторому банахову пространству. Другими
словами, пространство .М*, сопряженное к пространству алгебры фон
Неймана Л4, является банаховым. Это свойство является
характеристическим и может служить определением алгебры фон Неймана.
Теорема Сакаи. С*-алгебр М изоморфна алгебре фон Неймана
тогда и только тогда, когда пространство алгебры М является
сопряженным к некоторому банахову пространству.
В-третьих, выделенность понятия алгебры фон Неймана
обусловлена еще и возможностью чисто алгебраического (не
топологического) ее определения. Алгебраическим коммутантом
подмножества М в В(Н) называется множество М всех ограниченных
операторов А Е В{%), которые коммутируют со всеми операторами
А б М. Мс = {А € В{П) : [А, В] = О \/В £ М].
Алгебраическим бикоммутантом называется коммутант коммутанта.
Алгеброй фон Неймана называется инволютивная подалгебра Л4
алгебры B(H)j которая совпадает со своим алгебраическим
бикоммутантом, то есть (Мс)с ~ М.. В явном виде условия, налагаемые на
алгебру фон Неймана, означают следующее.
1.А,ВбМ, а,б£С =» аА + ЪВеМ, АВ Е М.
2.АеМ^А*еМ УАеМ.
3. М = (Мс)с s {С : [В, С) = О VB 6 Мс} :
VA € СМс)с =* ^ е М.
Теорема фон Неймана о бикоммутанте.
Произвольная инволютивная подалгебра М в B(/H)J замкнутая в
слабой операторной топологии (W-топологии), совпадает со
своим с алгебраическим бикоммутантом.
Иногда W*-алгеброй называют инволютивную подалгебру, заг
мкнутую в W- топологии, а алгеброй фон Неймана называют
подалгебру С*-алгебры В(Н), совпадающую со своим алгебраическим
бикоммутантом. Данная теорема утверждает, что всякая И^*-алгебра
является алгеброй фон Неймана, С*-алгебры и алгебры фон
Неймана (W* -алгебры) играют роль алгебры наблюдаемых квантовой
системы. Различие между описанием квантовых наблюдаемых при
помощи С*-алгебры и их описанием при помощи И^*-алгебры в
случае систем с конечным числом степеней свободы несущественно.
Выбор между этими алгебрами диктуется, по сути дела, лишь
соображениями технического удобства.

Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых 89
В-четвертых, алгебра фон Неймана выделяется, с физической
точки зрения, при описании состояний, задаваемых линейными
функционалами на алгебрах наблюдаемых. Для алгебры фон
Неймана М. состояния, непрерывные в ультраслабой топологии,
таковы, что кинематический постулат становится теоремой: Для любого
функционала ш € М* на алгебре фон Неймана Л4, описывающего
состояние и непрерывного в ультраслабой топологии, существует
оператор матрица плотности р Е М такой, что функционал и
представим в виде ш(А) = Sp[pA].
5.7. Алгебра Гильберта
Определим достаточно общую инволютивную (операторную)
алгебру с некоторым скалярным произведением (операторов).
Определение. Алгеброй Гильберта называется инволютивная
алгебра М, в которой выполнены следующие условия.
1. Определено скалярное произведение < А\В > для VA,B Е М.
2. М является предгильбертовым пространством относительно
этого скалярного произведения.
3. < А\В >=< В*\А* > \/А}Ве М.
I < СА\В >=< А\С*В > УА,В,СеМ.
5. При фиксированном С € М отображение А —> С А является
непрерывным.
Отметим, что в качестве скалярного произведения алгебры
Гильберта можно взять внутреннее произведение пространства Лиувил-
ля < А\В >= Sp[A*B]. Однако в качестве скалярного произведения
алгебры Гильберта нельзя брать корреляционные функции, так как
для них не выполняются условия (4-5). Если множество операторов
является пространством Лиувилля и инволютивной алгеброй
одновременно, то оно является алгеброй Гильберта. Видно, что
примером алгебры Гильберта является инволютивная банахова алгебра
К?(Н) операторов Гильберта-Шмидта из В{%), снабженная
скалярным произведением вида < А\В >= Sp[A*B].

ГЛАВА 6.
КВАНТОВАНИЕ В КИНЕМАТИКЕ
6.1. Пуассоновы и симплектические структуры
Пусть М есть гладкое вещественное многообразие, а Т{М) есть
пространство всех гладких вещественных функций на М.
Наблюдаемые классической системы отождествляются с элементами Т(М)
и образуют линейное пространство. Относительно обычного
умножения Т{М) образует коммутативную ассоциативную алгебру.
Пуассоновой структурой называется операция {.,.},
сопоставляющая паре функций А(х) и В(х) из Т(М) новую функцию
{А(х),В(х)} € Т{М), удовлетворяющую следующим условиям.
1. Билинейность:
{аА(х) + ЬВ(х),С(х)} = а{А{х), С(х)} + Ь{В{х), С(х)} а, Ь 6 R
2. Кососимметричность: {А(х)^В(х)} = —{В(х), А(х)}.
3. Тождество Якоби: {{А, £}, С} + {{В, С}, А} + {{С, А}, В} = 0.
4. Правило Лейбница:
{А{х),В{х)С{х)} = {А{х),В{х)}С{х) + В{х){А{х),С{х)}.
Билинейная операция {.,.} называется скобкой Пуассона.
Многообразия М, снабженные пуассоновой структурой, называются пуас-
соновыми многообразиями. Заметим, что равенства (1)-(3) есть
не что иное, как условия, определяющие алгебру Ли. Таким
образом, пространство гладких функций Т(М), снабженное скобкой
Пуассона, превращается в бесконечномерную алгебру Ли.
Структура лиевой алгебры на множестве наблюдаемых Т{М) в
классической механике задается скобкой Пуассона {.,.}. Если в алгебре Ли
выполняется правило Лейбница, то получаем алгебру Пуассона.
Алгеброй Пуассона называется пространство Т(М), если на
нем задана билинейная кососимметрическая операция, которая
является дифференцированием по отношению к умножению функций
и удовлетворяет тождеству Якоби.

Глава 6. Квантование в кинематике 91
Пуассонова структура может быть задана скобкой Пуассона,
определенной бивекторным полем: {А, В} = Ф(сЫ., бШ), где Ф
контрвариантный кососимметричный тензор степени 2. В локальной
системе координат {хк} скобка Пуассона записывается в виде
ИМ,*М>-«"М^^. (15)
По повторяющимся индексам везде подразумевается суммирование,
функции Я?к1(х) называются структурными функциями и
определяются базисными скобками Пуассона {хк,х1} = Фк1(х). Соотношение
(15) задает пуассонову структуру, если структурные функции
удовлетворяют следующим условиям.
1. Кососимметричность: $к1(х) = — $1к(х).
2. Условие обращения в нуль скобки Схоутена:
[Ф, ф]^т = \&к{д^1т + \£lidi<&mk + ф™^фы = 0 .
Пуассонова структура на многообразии М в инвариантном виде
определяется бивектором Ф = Фк1(х)дк Л д\, где дк = д/дхк.
Ранг тензора Ф, вообще говоря, меньше размерности
многообразия М и может меняться от точки к точке. Если ранг тензора Ф
постоянен и равен размерности многообразия М, то скобка
Пуассона называется невырожденной. В этом случае размерность
многообразия М обязательно четная. Многообразия, для которых
тензор $к1(х) невырожден, называются симплектическим
многообразием. Если скобка Пуассона является невырожденной, то есть
тензор $к1(х) невырожден (det[tykt(x)] Ф 0), то ей однозначно
сопоставляется замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма. В
локальных координатах {хк} эта 2-форма и имеет вид
w = ujki{x)dxk Л dxl , [шы] = [Ф*']~д .
Здесь Л - внешнее произведение базисных форм dxk. Из условий
(1)-(4) следует, что 2-форма ш билинейна, кососимметрична,
невырождена и замкнута. Если форма и является невырожденной и
замкнутой, то она называется симплектической структурой.
Условие невырожденности означает, что det[u>ki(x)] Ф 0 во всех точках
многообразия. Условием замкнутости называется равенство нулю

92
Глава 6. Квантование в кинематике
внешней производной формы du = 0, которое в локальных
координатах имеет вид дти)ы{х) + dk^imix) + di^mk{x) — 0.
Симплектическим многообразием (М2п,со) называется
дифференцируемое многообразие четной размерности, на котором
задана замкнутая невырожденная дифференциальная 2-форма и.
Ковариантный тензор и>ы{х) можно рассматривать как кососим-
метрическую метрику wkl{x) = -щк(х). Следовательно, симплек-
тическое многообразие является многообразием четной
размерности с кососимметрической метрикой шы(х). Бивекторное поле Ф =
= $к1(х)дк Adt, соответствующее невырожденной симплектической
форме, часто называется косимплектической структурой. При
этом кососимметричные матрицы [и>ы(х)] и [Ук1(х)] взаимно обрат-
ны: [Фы] = [шк1]~1. Тензор Ф*' является обратной метрикой для
метрики ики то есть ик1(х)¥т{х) = S£. В силу свойства
замкнутости симплектической формы ш для матрицы <Ьк1(х) имеем условие
обращения в нуль скобки Схоутена.
Отметим, что все симплектические многообразия локально
устроены одинаково. Каждое симплектическое многообразие
имеет локальные координаты, в которых симплектическая структура
записывается наиболее просто. Точную формулировку этого
утверждения дает теорема Дарбу. Согласно этой теореме, в некоторой
окрестности точки х можно выбрать такую систему локальных
координат {x2i~l = Pi,x2i = ql), что невырожденная замкнутая
дифференциальная 2-форма ш симплектического многообразия (М2п,о;)
примет канонический вид и = dpi Л dq\ В классической
механике локальные координаты {хк} обычно называются каноническими
координатами, а (р»,д*) - импульсами и координатами классической
системы. Мы будем записывать канонический вид 2-формы и
формулой ш = ujkidxk Adx\ где хк есть канонические координаты, а все
элементы матрицы шы равны нулю, кроме элементов Lo2i-\ 2i = -1 и
U2i 2»-i = ~1- Матрицу, обратную к постоянной матрице ики
обозначим Фы. Легко видеть, что всякая постоянная кососимметрич-
ная матрица Фы(ж) = Фы задает пуассонову структуру, так как
скобка Схоутена [Ф,Ф]Ш тождественно равна нулю.

Глава 6. Квантование в кинематике 93
Скобка Пуассона для двух функций А(х) и В (х) в канонических
координатах {хк} имеет вид (15), где Ф(я) = Ф. В координатах
(q\Pi) она выражается формулой
Скобка Пуассона удовлетворяет правилу Лейбница для
произведения гладких функций. Следовательно, она полностью определяется
заданием скобок Пуассона от канонических координат:
{хк,х1} = Ф*1 или для (р*,?<) : {^,^} = \p\jP) = 0, {^р*} = №.
6.2. Классические наблюдаемые
Физические теории состоят из кинематической структуры,
описывающей свойства наблюдаемых и состояний в фиксированный
момент времени, и динамической структуры, характеризующей
изменение этих наблюдаемых и состояний с течением времени. При
квантовании обычно предполагается сохранение математических
структур на множестве наблюдаемых и состояний, описывающих
классические системы.
Определение. Наблюдаемой классической системы называется
вещественная гладкая функция, определенная на гладком
вещественном мно?о(?бразии М.
Перечислим «основные алгебраические структуры, определенные
на множестве наблюдаемых.
1. Множество наблюдаемых является линейным пространством. В
качестве пространства наблюдаемых рассматривают линейное
пространство гладких функций Т(М), определенных на гладком
вещественном многообразии М.
2. Множество наблюдаемых является гильбертовым пространством.
В пространстве наблюдаемых Т(М) можно определить скалярное
произведение для наблюдаемых А(х) и В(х) в виде
{А,В) = {А{х),В{х)) = [ A*{x)B{x)dfi(x) .

94 Глава б. Квантование в кинематике
Следовательно, линейное пространство наблюдаемых является пред-
гильбертовым пространством. Его можно пополнить по норме
||.А|| = лУ(А,А)у определяемой скалярным произведением, до
гильбертова пространства.
3. Множество наблюдаемых является коммутативной
ассоциативной алгеброй. Это обусловленно тем, что обычное умножение
функций А(х)В(х) является коммутативным и ассоциативным:
[А(х),В(х)]=0, (А,В,С) = 0.
4. Множество наблюдаемых является ассоциативной йордановой
алгеброй. Йорданово умножение Лоб = АВ двух гладких
функций А = А(х) и В = В(х) определяется по следующей формуле:
ioB = gi(A}B) = (1/2)(АВ + В А). Отсюда с учетом
коммутативности умножения функций следует, что йорданово умножение
совпадает с обычным (ассоциативным) умножением.
5. Множество наблюдаемых является алгеброй Ли. Скобка
Пуассона вводит на множестве наблюдаемых структуру алгебры Ли.
Лиево произведение наблюдаемых определяется с помощью скобок
Пуассона по формуле gi(A,B) = {Л,В}. Отметим, что лиево и
ассоциативное (йорданово) умножения связаны соотношениями
{А, ВС} = {А,В}С+В{А,В} , {А,ВоС} = {А,В}оС+Во{А,В} ,
называемыми правилами Лейбница.
6. Множество наблюдаемых является коммутативной С*-алгеброй.
При этом имеет место следующая теорема: Любая
коммутативная С* -алгебра изоморфна С* -алгебре всех непрерывных функций,
определенных на некотором локально-компактном пространстве
и стремящихся к нулю на бесконечности.
Использование понятия С*-алгебры позволяет сформулировать
классическую и квантовую механики через одни и те же
математические структуры.
6.3. Классические состояния
Пусть на множество наблюдаемых задан структура линейного
пространства - пространства гладких функций Т(М),
определенных на вещественном многообразии М.

Глава 6. Квантование в кинематике 95
Определение. Состоянием классической системы называется
линейный положительный функционал, определенный на
пространстве F{M) наблюдаемых.
Положительными функционалами называются такие линейные
функционалы cjo, что и${А) > О, если А(х) > 0 и А(х) 6 !F(M).
Определение. Состоянием классической системы называется эле-
мент шо пространства, сопряженного к линейному пространству
наблюдаемых Т(М), удовлетворяющий следующим условиям.
1. ujq(A + В) = ио(А) + соо(В) Vi4, В е f{M) (линейность),
g. и>о(сА) = си>о(А) VAef(M).
3. u>q{A) — соо(А*) VA G Т{М) (эрмитовость).
J. и>о(1) = 1 (нормализованность).
5. шо(0) =0 .
6. и>о(А2) > 0 V'{А ф 0} € ^"(М) (положительность).
Отметим связь состояний классической системы с мерами на
многообразии.
Утверждение. Всякой борелевской мере ц на гладком
вещественном многообразии М однозначно соответствует положительный
линейный функционал шо на пространстве гладких функций F(M)
по формуле
ио(А) = [ A(x)dfx{x) . (16)
Jm
Следовательно, меры на гладком многообразии задают состояния
классической системы. Обратное утверждение тоже верно и
является теоремой Рисса-Маркова.
Теорема Рисса-Маркова. Пусть М есть компактное
топологическое (хаусдорфово) пространство. Всякому положительному
линейному функционалу coq на пространстве непрерывных функций
F(M) отвечает единственная регулярная борелевская мера р> на
М такая, что функционал имеет вид (16).
Следовательно, состояния классической системы можно
описывать мерами на фазовом пространстве. Мера на гладком 2п-мерном
многообразии М может быть задана дифференциальной формой
и>2п размерности In. Для интегрирования функции А[х) по
пространству М необходимо иметь фиксированную
дифференциальную форму Ш'Щч называемую формой объема. В локальной
системе координат эта форма записывается в виде U2n = ^12 2ndx1 Л
dx2 Л ... Л dx2n', или Ш2п = wi2...2ndx1dx2...dx2n, если не писать
значка Л. Тогда интегралом от функции А(х), по определению, являет-

96
Глава 6. Квантование в кинематике
ся интеграл от формы A(x)u)2n- Дифференциальная 2п-форма и)2П
на 2п-мерном многообразии М порождает непрерывный линейный
функционал на пространстве гладких функций Т(М) по формуле
шо(А) = / А{х)ш2п-
На симплектическом многообразии (М, ш) существует естественная
мера, порожденная дифференциальной формой объема, а именно,
2п-й степенью симплектической формы о/, то есть
п
u)2n = (u)2n = П^*Ф* , (w)2n = dqlAdpiAdq2Adp2/\.../\dqnAdpn .
i-i
Данная мера носит название меры Л иу вил ля. Отметим, что
соответствующее фазовое пространство некомпактно, и поэтому мера
Лиуьилля не является конечной на этом пространстве. Общая
форма линейного положительного функционала, описывающего
состояние, согласно теореме Рисса-Маркова имеет вид
wo (А) = / A{q,p)dp{q,p) , / d/i{q,p) = ц(М) = 1 .
JM JM
Требование гладкости означает, что в локальной системе координат
мера \х задается своей плотностью р(х), то есть дифференциал меры
/2 имеет вид dp(x) = p(x)dx. В локальной системе координат форма
Ш2п задается неотрицательной измеримой (или интегрируемой по
Лебегу) функцией плотности р(х) такой, что
2п
и2п — p{x)dxl Л dx2 Л ... Л dx2n U2n = p(x)dx — р(х) ТТ dxk .
Другими словами, локально существует такая положительная
измеримая функция р(х), что для любого измеримого множества В
мера определяется в виде
ц(В) = / p{x)dx .
JB

Глава 6. Квантование в кинематике
97
Следовательно, состояния могут задаваться функциями плотности,
которые часто называются функциями распределения. Состояние
классических систем описывается функцией распределения p(q,p)
на фазовом пространстве, для которой dp(q,p) = p(q,p)dqdp.
Условием нормировки функции распределения
/ p(q,p)dqdp= 1 .
jm
Чистому состоянию классической системы соответствует мера,
сосредоточенная в точке пространства и функция распределения
р0(х) = 6(х — xq). Чистое состояние определяется заданием
точки пространства. В связи с этим фазовое пространство можно
рассматривать как пространство чистых состояний. Среднее значение
наблюдаемой в чистом состоянии равно значению наблюдаемой в
точке
щ(А) = / A(x)po(x)dx = / A(x)S(x - xo)dx = A(xq) .
Jm jm
Дисперсия наблюдаемой D(A) = u>o(A2)— coq(A) в чистом состоянии
равна нулю: D(A) = 0.
6.4. Определение квантования по Дираку
Квантованием называется алгоритм, с помощью которого
классической системе сопоставляется квантовая система. Понятие
физической системы включает в себя кинематическую и динамическую
структуры. Поэтому в общем случае необходимо задать процедуру
квантования кинематической и динамической структур
классической системы.
Существует несколько различных схем квантования
кинематической структуры: асимптотическое, деформационное,
геометрическое и другие квантования. Общей основой всех этих схем является
предположение о том, что классическая и квантовая
кинематическая структура являются различными реализациями
(представлениями) одного и того же набора математических структур.

98
Глава 6. Квантование в кинематике
Обычно полагают, что задать процедуру квантования означает
установить правило, согласно которому каждой наблюдаемой
классической системы, то есть функции на гладком многообразии,
ставится в соответствие некоторая квантовая наблюдаемая. В
квантовой механике наблюдаемыми считаются операторы в
гильбертовом пространстве. В качестве гильбертова пространства обычно
выбирают комплексное бесконечномерное сепарабельное гильбертово
пространство. Сама функция, соответствующая данному
оператору, называется символом оператора.
Напомним, что одним из основных кинематических
постулатов квантовой механики является постулат о наблюдаемых.
Согласно этому постулату каоюдой наблюдаемой А классической системы
ставится в соответствие линейный самосопряоюенныи оператор
7г(А); действующий на некотором гильбертовом пространстве.
Приведем определение квантования согласно Полю Дираку.
Определение. Квантованием по Дираку называется
отображение 7г алгебры наблюдаемых классической системы в алгебру
операторов на гильбертовом пространстве, обладающее следую-
щими свойствами.
1. п(А + В) = <1г{А)+тг{В).
2. тг{аА) = ап(А) аеШ.
3. тг(1) - / , тг(0) = 0.
4. тг(Л*) = [тг(А)]*.
5.7г({А,В}) = (1М)[тг(А),7г(В)].
Отображение тг, удовлетворяющее этим свойствам и задающее
квантование кинематической структуры классической механики, в
математической литературе часто называют предквантованием.
При построении квантовой кинематики обычно предполагают
сохранение некоторых математических структур на множестве
наблюдаемых классической системы.
6.5. Свойства квантования
Перечислим следствия, вытекающие определения квантования.
1) Из первого и второго свойств следует, что любая конечная
линейная комбинация наблюдаемых будет наблюдаемой:
п п
k=l ' fc=l

Глава 6. Квантование в кинематике 99
2) Любая функция f(A) наблюдаемой А (в частности, квадрат
наблюдаемой) при квантовании переходит в функцию от
соответствующей квантовой наблюдаемой п(А).
3) Если А и В есть две произвольные наблюдаемые
классической системы, то в общем случае оператор 7г(А)7г(В) не является
наблюдаемой, поскольку он не удовлетворяет условию
самосопряженности.
Поскольку обычное умножение двух самосопряженных
операторов не является самосопряженным оператором, то ассоциативное
умножение наблюдаемых в квантовой механике в общем случае
не определено. Это означает, что квантование не является
гомоморфизмом структуры ассоциативной алгебры на множестве
наблюдаемых. Отметим, что симметризованное произведение
(антикоммутатор) операторов 7г(Л)7г(В) + тт{В)тс(А) является
самосопряженным оператором.
4) Йорданово произведение операторов
тф4) о тг(В) = \{п{А)<к{В) + 7г(£)тг(Л))
можно интерпретировать как наблюдаемую. Это обусловленно тем,
что введение йорданова произведения не требует знания обычного
произведения двух наблюдаемых и может быть определено одним
из равенств
ж{А) о *(В) s \ ((тг(Л) + тг(Б))2 - (тг(Л) - ж{В))2) .
Правые части этих равенств содержат лишь линейные комбинации
и функции (а именно квадрат) одной переменной. Наличие йордано-
вой алгебраической структуры можно считать характеристическим
свойством множества наблюдаемых квантовой системы.
5) Алгебра наблюдаемых классической системы относительно
скобки Пуассона (алгебра Пуассона) является алгеброй Ли. Лиево
умножение наблюдаемых в квантовой механике определяется
квантовым аналогом скобки Пуассона по формуле
л<л,в)»±ц,в]-1<л>-лч.
Заметим, что мнимая единица г вносится для того, чтобы лиево
произведение наблюдаемых было самосопряженным оператором, то

100
Глава 6. Квантование в кинематике
есть снова наблюдаемой. В силу последнего (шестого) свойства про-
цедуры квантования получаем, что алгебра наблюдаемых
квантовой системы является алгеброй Ли. Согласно теореме Пуанкаре-
Биркгофа-Витта, для любой лиевой алгебры L существует такая
ассоциативная алгебра М, что лиева алгебра L изоморфна
некоторой подалгебре лиевой алгебры М^ = L(M). Следовательно,
данная теорема позволяет ввести структуру ассоциативной алгебры на
множестве наблюдаемых квантовой системы.
6) Определим теперь алгебру наблюдаемых, в которой
определены одновременно лиево д\ и йорданово д{ умножения. Из свойств
этих умножений имеем соотношения, связывающие их.
Во -первых, правило Лейбница для йорданова произведения
9l(9i(A,B),C) = 9i(A,9l(B,C)) + 9i(B,9l(A,C)) ,
[А о В, С] = А о [В, С] + [А, С] о В .
Во-вторых, ассоциатор йорданова произведения
ft(ft(A,J?),C)-ft(Aft(B,C)) = ^gi{B,9l{A,C)) , (17)
{А о В) о С - А о (В о С) = ~[£, [А, С]] . (18)
Отметим, что в классической механике из-за ассоциативности
йорданова умножения в правой части (17) следует положить h = 0.
Алгебры, в которых определены лиево и йорданово умножения,
связанные между собой приведенными соотношениями,
называются лиево-йордановыми алгебрами.
Лиево-йордановы алгебры наблюдаемых лежат в основе
алгебраической структуры, дающей единое описание классических и
квантовых систем. При этом постоянная Планка Н, согласно (17),
приобретает алгебраический смысл. Переход к случаю h = 0
соответствует переходу от неассоциативной йордановой алгебры к
ассоциативной. Общими алгебраическими свойствами классических
и квантовых систем являются те свойства алгебры наблюдаемых,
которые не зависят от тождественности соотношения (17).
7) Лиево-йорданова алгебра наблюдаемых однозначно
определяет ассоциативную алгебру. Ассоциативное произведение
наблюдаемых выражается через йорданово и лиево произведения по формуле
ih
9a(A,B)=9i(A,B) + j9i(A,B).

я 6 Квантование в кинематике 101
лассической механике h = 0 и второе слагаемое следует пало-
ЖИТфактГчЬески все предположения сводятся к тому, что при по,
пении квантовой механики следует сохранить математическую
СТп гуру алгебры наблюдаемых классической механики, но сле-
т отказаться от реализации этой алгебры, как алгебры функ-
ДУ- на фазовом пространстве. Реализация алгебры наблюдаемых,
^личная от реализации классической механики, существует.
Призером такой реализации алгебры наблюдаемых является алгебра
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
8) Множество наблюдаемых квантовой системы является о -
алгеброй. Сформулируем основной постулат квантовой механики.
Постулат 1. Наблюдаемыми квантовой системы являются само-
'Сопряженные элементы С*-алгебры.
Использование структуры С*-алгебры позволяет
сформулировать классическую механику аналогично квантовой. При этом для
некоммутативных С*-алгебрах, описывающих квантовые
наблюдаемые, имеет место теорема Гельфанда-Наймарка: любая С*-алгебра
может быть реализована алгеброй ограниченны? операторов,
действующих в некотором гильбертовом пространстве. Для
коммутативных С*-алгебр, описывающих классические.наблюдаемые,
имеем следующую теорему: всякая коммутативная С*-алгебра М
изоморфна алгебре непрерывных функций, заданных на компактном
множестве максимальных идеалав алгебры М.
В квантовой механике часто постулируется следующее
утверждение. Каждой паре наблюдаемых А я В соответствует
наблюдаемая С, устанавливающая нижнюю грань одновременной (для
одного и того же состояния) измеримости А и В, в том смысле,
что V(A)V(B) > < С >2. Здесь V{A) - дисперсия наблюдаемой,
равная < А2 > - < Л >2- Это утверждение, называемое
принципом неопределенности, выполняется автоматически, если А к В
самосопряженные элементы С*-алгебры. Для С*-алгебры пришцш
неопределенности принимает свою обычную форму, где С = г[А, В].

^
202 Глава 6. Квантование в кинематике
6.6. Состояние как функционал операторной алгебре
Для описания систем необходимо установить связь между
алгебрами наблюдаемых и определяемыми на опыте действительными
числовыми значениями, которые называются средними значениями
наблюдаемых. С этой целью для алгебры наблюдаемых вводится
понятие состояния.
Пусть М - алгебра наблюдаемых квантовой системы.
Обозначим через М* сопряжещюе (дуальное) к М линейное
пространство, то есть пространство непрерывных линейных функционалов
на Л4. Состоянием па алгебре наблюдаемых М называется
элемент и линейного пространства М*, дуального по отношению кг
линейному пространству алгебры М. Числовое значение элемента
А € М в состоянии о;, по определению, характеризуется
действительным числом ш(А). Если / есть единица в алгебре М (например
единица по отношению к йорданову умножению), то среднее
значение наблюдаемой А е М в состоянии ш определяется по формуле
< А >= и{А)/ш(1). Обычно вместо состояния и рассматривают
состояние, удовлетворяющее условию нормализованности. Норма-
лизованность означает, что значение, принимаемое функционалом
со на единичном элементе, равно единице, то есть ш : u(I) =» L
Приведенное определение состояния показывает
дополнительность (дуальность) понятий наблюдаемых и состояний. Эта
дуальность связана с тем, что в опыте определяются лишь средние
значения наблюдаемых, а в это понятие входит и понятие
наблюдаемой, и понятие состояния.
Естественно наложить дополнительное ограничение на
состояние и в виде условия неотрицательности функционала: ш(А2) > О
для всех А € М. Можно ввести более жесткое условие - условие
положительности. Положительность означает, что функционал
принимает положительные значения на положительных элементах
алгебры. Это условие можно записать в виде и;(А2) > 0 для всех А ф О
или в виде оо(А2) = 0 ^ А = 0.
Заметим, что в результате для алгебры М наблюдаемых можно
определить норму по формуле \\А\\Ш = у/и(А2). Это дает
возможность задать на алгебре наблюдаемых топологическую структуру
и использовать результаты теории операторных алгебр и
функционального анализа.

Глава б. Квантование в кинематике 103
Таким образом, в качестве состояний квантовой системы
рассматривают положительные нормализованные линейные функционалы
на алгебре наблюдаемых. Приведем определение состояния.
Определение. Состоянием квантовой системы называется
элемент oj сопряженного пространства М*, то есть функционал
07 € М* на линейном пространстве алгебры наблюдаемых М,
удовлетворяющий следующим, условиям.
1. ш{А + В) = и{А) + w{B) V-4, В € М (линейность).
2. и>(сА) = сы{А) УЛеМ.
3. w*{A) = а>(А*) VA € М (эрмитовость).
4. о;(Л = 1 ("порл«алг*зованпостъ^.
5. 4/(0) = 0 .
6. w(A2) > 0 V{A т^ 0} € М (положительность).
Задать состояние - это значит задать функционал w(A) на
алгебре наблюдаемых со свойствами (1-6). Функционал, имеющий вид
w(A) = Sp\pA], является состоянием, если оператор р
удовлетворяет условиям: р* = р, Sp\p] = 1, Sp\pA2] > 0. Оператор р
называется матрицей плотности (оператором плотности). Выражение вида
oj{A) = 5р[рЛ] определяет состояние о; на алгебре М^ а и)(А) есть
среднее значение наблюдаемой А. Тадкие состояния описываются
положительными самосопряженными операторами со следом, равным
единице. Заметим, что не для любого пространства или алгебры
наблюдаемых состояние можно представить с помощью оператора
матрица плотности. Однако такие экзотические состояния не
представляют для нас особого интереса. Мы будем исходить из
постулата, согласно которому всякому состоянию квантовой системы
сопоставляется оператор матрица плотности. Сформулируем второй
основной постулат квантовой кинематики.
Постулат 2. Для любого состояния и € М* "квантовой системы
существует оператор матрица плотности р € М такой, что
среднее значение < А > можно вычислить по формуле
< А >= w(A) = Sp[pA] .
8 силу теоремы Рисса-Фреше любое состояние и на пространстве
Лиувилля М = Н имеет вид ш(А) =< р\А >= 5р[рА], где р есть
оператор матрица плотности, Данный постулат расширяет утве]>
ждение теоремы Рисса-Фреше с гильбертова пространства М = Н
наблюдаемых на произвольную алгебру наблюдаемых М квантовой
системы. v .Г

104 Глава 6. Квантование в кинематике
Отметим свойства среднего значения наблюдаемой.
1. <А + В>*=<А> + <В> *УА,ВеМ.
2. <сА>=.с<А> УАеМ.
3. < A* >f=< А>* \/Ае М.
4. <7>=1. .
5. < 0 >= 0.
6. < А2 » 0 У A G М : А ф 0.
Приведенные свойства среднего, определенного постулатом 2,
выполняются, если оператор плотности р является линейным
самосопряженным положительным оператором с единичным шпуром.
Если в алгебре наблюдаемых М состоянию ш £ Ad*
соответствует оператор плотности р £ М такой, что со (А) = Sp[pA]9 to в
операторном пространстве алгебры М можно определить различи
ные скалярные произведения. В пространстве Лиувилля М. среднее
значение определяется естественным образом как скалярное
(внутреннее) произведение оператора матрица плотности и оператора
наблюдаемой по форйуле < А >=< р\А >= Sp[pA]. Другие
скалярные произведения в операторном пространстве алгебры Л4,
определяются через корреляционными функциями.
6-7. Состояние на С*-алгебре
Пусть М* есть сопряженное (дуальное) линейное пространство,
то есть пространство непрерывных линейных функционалов на Л4.
Введем норму для функционала о; € Л4*, полагая
• М = «up ПГЗТГ \Н = ™рЫЖ \\А\\ = 1}.
Аем \\А\\ ■ АеМ - •
Линейный функционал и на С*-алгебре М называется
положительным функционалом, если он принимает неотрицательные значения
на положительных элементах алгебры Му то есть со (А2) > 0 для
всех А £ М.
Перечислим некоторые свойства лидейных функционалов,
определенных на инволютивной алгебре.
Свойство !.- Всякий положительный функционал на
инволютивной алгебре принимает вещественные значения на
самосопряженных элементах алгебры. >

Глава 6. Квантование в кинематике 105
Свойство 2. Для всякого полооюительного функционала и,
определенного на инволютивной нормированной алгебре М., неравенство
Коши-Буняковского \ш{А*В)\1 < и{А*А)ш{В*В) УА,В еМ.
Свойство 3. Всякий положительный функционал и на С* -алгебре
М непрерывен по норме.
Известно, что необходимым и достаточным условием
непрерывности линейного функционала является его ограниченность.
Поэтому имеет место следующее свойство.
Свойство 4. Всякий положительный линейный функционал и на
С*-алгебре М является ограниченным и его норма равна ш(1), то
есть \\ш\\ = и(1) < оо.
Свойство 5. Для любого полооюительного линейного функционала
со на С*-алгебре М выполнены соотношения
и(А*) = (и>(А))* , \и{А)\2 < \\А\\ ш{А*А) VAeM.
Теорема Хана-Банаха гарантирует, что в банаховом
пространстве М для любого ненулевого элемента А существует по
крайней мере один линейный непрерывный функционал и а такой, что
\\oja\\ = 1 и ид(А) = ||А||. В результате получаем утверждение.
Утверждение. Для любого элемента А в С*-алгебре М
существует положительный функционал ua на М такой, что его норма
равна единице, \\и)д\\ = 1, и ша(А*А) = \\А\\2.
Приведем теперь определение одного из основных понятий
квантовой механики.
Определение. Состоянием на С* -алгебре М с единицей I
называется линейный функционал и) на М, для которого выполнены
следующие условия.
1. и - положительный функционал.
2. ш{1) = 1.
Величина ш(А) при А* = А интерпретируется как среднее
значение наблюдаемой А в состоянии w. Сформулируем необходимое
и достаточное условие того, чтобы функционал был состоянием.
Утверждение. Пусть непрерывный линейный функционал и наС*-
алгебре М с единицей I удовлетворяет условию и(1) = 1.
Функционал uj является положительным, то есть является состоянием,
тогда и только тогда, когда норма этого функционала paqna
единице: \\и)\\ = 1.
Как следствие этого утверждения имеем другое определение
состояния. Состоянием является непрерывный функционал, норма
которого равна единице.

106
Глава 6. Квантование в кинематике
Определение. Состоянием на С*-алгебре М с единицей I
называется линейный функционал и на М, для которого выполнены
следующие условия.
1. и - непрерывный функционал.
2. |М1 = 1-
Множество всех состояний на С*-алгебре М с единицей будем
обозначать через S(A4). Опишем основные математические
структуры на множестве S{M).
1) Множество S(M) является подмножеством дуального
пространстве Л1*.
2) Множество S(M) является подмножеством единичного шара в
сопряженном пространстве М*. Напомним, что единичным
шаром в нормированном пространстве М называется -множество В
элементов из М, норма которых не больше единицы:
S(M)cB = {AeM: N|<1}.
3) Множество S(M) компактно в *-слабой топологии на А4*. Это
свойство является следствием теоремы Алаоглу, иногда
называемой теоремой Тихонова-Алаоглу, теоремой Алаоглу-Бурбаки или
Банаха-Алаоглу. Согласно этой теореме единичный шар В С М.*
компактен в *-слабой топологии на М*, определяемой
полунормами
IMIn= sup \u(Ak)\ AkeM Vn.
Эти полунормы превращают сопряженное пространство М* в
счетно-нормированное пространство.
4) Выпуклой оболочкой множества S{M) является множество
линейных комбинаций
т т
^2 ak^k , о* > 0 , ^ ал = 1 , uk <G S(M) ,
которые называются выпуклыми линейными комбинациями.
Известно, что для произвольных положительных функционалов u>i,
... , ит на С*-алгебре М функционал
т т
w = ]Р а№к , ak > 0 , ]Р ак = 1 ,

Глава 6. Квантование в кинематике
107
то есть выпуклая линейная комбинация функционалов, является
положительным. Следовательно, выпуклая линейная комбинация
состояний является состоянием. Однако не всякое состояние может
быть представлено как выпуклая линейная комбинация состояний.
Состояния, которые непредставимы в виде выпуклой линейной
комбинации (двух) других состояний, называются чистыми. Приведем
другое определение выпуклой оболочки. Выпуклой оболочкой
множества S(M) в линейном пространстве М* называется наименьшее
выпуклое множество, содержащее S(M).
5) Множество состояний S(A4) является выпуклым множеством, то
есть WbOfc e S(M) , 0 < a < 1 => ашг + (1 - а)ш2 € S(M).
Крайней точкой выпуклого множества S(M) называется элемент
со € S(M), который нельзя представить в виде ш — аи)\ + (1 — a)u)2,
где a;i,u;2 € S(M), 0 < а < 1. Чистые состояния являются
крайними точками выпуклого множества S(M). Можно сказать, что
множество S(M) порождается своими крайними точками.
6) Множество S(M) является замкнутой выпуклой оболочкой
множества Sq(M) всех чистых состояний. Другими словами, множество
S{M) совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой множества
своих крайних точек. Данное свойство следует из теоремы Крейна-
Мильмана. Сформулируем эту теорему в следующем виде.
Всякое компактное выпуклое подмножество счетно-нормированного
пространства совпадает с замкнутой выпуклой оболочкой
множества своих крайних точек. Другими словами, если
подпространство компактно в *-слабой топологии на М* и выпукло, то оно
является замкнутой выпуклой оболочкой множества своих крайних
точек. Поэтому множество S(M) всех состояний можно получить
как замыкание *-слабой топологии на М* всех конечных выпуклых
линейных комбинаций его чистых состояний So(M).
Учитывая введенные математические структуры на множестве
состояний, можно сформулировать следующее утверждение.
Утверждение. Мноэюество S(M) всех состояний на С*-алгебре
ЛЛ является выпуклым подмножеством единичного шара в
сопряженном пространстве М*.
Множество S(M) всех состояний для алгебры наблюдаемых Л4
достаточно велико. Обычно множество рассматриваемых состояний
ограничивают в зависимости от конкретной задачи и ее граничных
условий.

108 Глава 6. Квантование в кинематике
6.8. Представления С*-алгебры и состояния
Понятие состояния квантовой системы тесно связано с понятием
представления С*-алгебры Л4.
Определение. Представлением С*-алгебры М называется
пара (Н>тс), состоящая из комплексного гильбертова пространства
% и гомоморфизма тг алгебры М в алгебру В{%) ограниченных
операторов, действующих в гильбертовом пространстве %.
. Обычно постулируется, что множеством состояний S(M)
является множество состояний, ассоциированных с конкретным
представлением 7Г алгебры Л4 в гильбертовом пространстве И. Пусть 7Г
есть некоторое представление алгебры Л4 в гильбертовом
пространстве %, а ж\р) есть оператор матрица плотности. Тогда выражение
ш(А) = Sp(7r(p)n(A)) определяет состояние ш алгебры М} а ш{А)
есть среднее значение наблюдаемой А. Обратное утверждение
принимается в качестве основного постулата кинематики постулата.
Постулат. Всякому состоянию ш 6 М* квантовой системы
соответствует оператор матрица плотности тг(р) 6 М = В{%)
такой, что среднее значение < А > вычисляется по формуле
<А>= ш{А) = Sp[n(p)n(A)] .
Данный постулат выполняется автоматически не только для
пространства Лиувилля, но и для некоторого класса С*-алгебр.
Алгебрами, для которых этот постулат превращается в теорему,
являются алгебры фон Неймана или W*- алгебры.
Приведем определение важного для квантовой кинематики
понятия циклического вектора.
Определение. Циклическим представлением алгебры М
называется тройка (Я,тг, Ф), состоящая из представления (Ji,к)
алгебры М и циклического вектора ФЕН. Циклическим вектором
Ф G И называется элемент гильбертова пространства % такой,
что ||Ф||?£ = 1 и множество тг(.М)Ф плотно в Н.
Циклические представления играют важную роль в теории
представлений. В частности, любое представление можно разложить в
прямую сумму циклических представлений. Известно, что
всякому циклическому вектору Ф € Н можно сопоставить функционал
Шф(А) =< Ф|7г(А)Ф > для любых А € М. Этот функционал
называется векторным функционалом.

Глава 6. Квантование в кинематике 109
Утверждение. Если тройка (%,тг, Ф) является циклическим
представлением С*-алгебры Му где вектор Ф Е И с ЦФЦ-h = 1, то век-
торный функционал Ш\у(А) =< Ф|7г(Л)Ф > является состоянием
на С*-алгебре М.
Состояние, соответствующее линейному векторному
функционалу, называется векторным состоянием. В общем случае верно и
обратное утверждение. Любое состояние на С*-алгебре М
является векторным функционалом в некотором представлении этой
алгебры. Следовательно, отправляясь от состояния и можно построить
представление (Т^тг^) алгебры М и циклический вектор Ф^ € %^.
При этом и можно отождествить с векторным состоянием, то есть
и(А) =< Фш\пи(А)Ч?ш > для всех А 6 М. Процедура построения
представления по состоянию предложена Гельфандом, Наймарком
и Сигалом, поэтому ее называют конструкцией ГНС.
6.9. Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала
Опишем процесс получения представления алгебры
наблюдаемых и соответствующего гильбертова пространства по состоянию
квантовой системы, согласно конструкции ГНС
1. Скалярное произведение.
В квантовой механике для любого состояния и на С*-алгебре М
можно определить естественное скалярное произведение,
называемое корреляционной функцией. Естественная корреляционная
функция (коррелятор) по состоянию ш определяется формулой
(А;В)ш = и(А*В).
Иногда естественный коррелятор определяется в виде
(А;В)'ы = ш(А'В)-и(А*МВ) .
Определение скалярного произведения на операторной алгебре М.
позволяет использовать структуру гильбертова пространства на
линейном пространстве алгебры М.
2. Полунорма.
Введем на алгебре М полунорму по формуле
\\А\\Ш = [Ш(А*А)]1/2 = [(А;А)Ш)^.

по
Глава 6. Квантование в кинематике
В общем случае данная полунорма не является нормой.
3. От полунормы к норме.
Множество элементов А £ М, для которых наблюдаемая А2 имеет
нулевое среднее, образует замкнутый левый идеал 1{Л4) в алгебре
М: 1{М) = {А е М : ш(А*А) = 0}. На фактор-алгебре М/Х(М)
можно определить скалярное произведение формулой
([А),[В]) = (А;В)ш=и>(А*В), (19)
где [А] - элемент фактор-алгебры М/1{М), соответствующий
элементу А € М и называемый классом смежности.
Фактор-пространство алгебры М/1(М) является предгильбертовым пространством.
4- Гильбертово пространство.
Пополнение этого предгильбертова пространства по норме
\\[A]\\W = ({А),[А})1/2 = (A,A)lJ* = [и(А*А)}1/2
является гильбертовым операторным пространством %ш. В
результате получили искомое гильбертово пространство, используемое в
конструкции ГНС.
Обозначим через \А >ы элемент гильбертова пространства HUi
соответствующий элементу [А] фактор-пространства М/1{М).
Скалярное произведение (19) элементов пространства %ш
перепишется в виде (\А >Ш\\В >J) = си (А* В). В результате имеем
линейное отображение С*-алгёбры наблюдаемых М на плотное линейное
подпространство М/1(Л4) гильбертова пространства Нш.
5. Представление тг^ алгебры М.
Для этого рассмотрим морфизм 7rw алгебры М в алгебру В(НШ).
Каждому оператору А 6 М можно сопоставить оператор ttw(A) на
плотном линейном пространстве М/Х{М) С %ш по формуле
жш(А)\В >w= \АВ >ш пш{А)[В] = [АВ] .
Это определение корректно в силу того, что X является левым
идеалом М. Воспользуемся неравенством и)(В*АВ) < ||A||u;(.B*B),
имеющим место для положительного функционала на (7*-алгебре М.
Из формулы скалярного произведения
{\В>ы;*ы(А)\В>ы) = ш(В*АВ)
следует, что оператор Пи(А) является ограниченным. Норма
оператора 1ГШ(А) в В(Чи) удовлетворяет неравенству тги(А) < \\А\\Ы.

Глава 6. Квантование в кинематике
111
Оператор пш(А) можно продолжить по непрерывности на все
гильбертово пространство H,w, Определим вектор Ф^, = |/ >а;, который
является циклическим вектором для представления тг^. Видно, что
для этого вектора имеет место формула (Фа,;тга;(А)Фа,) = ш(А), то
есть функционал и является векторным состоянием. В результате
получаем важную теорему, согласно которой гильбертово
пространство, на котором действуют наблюдаемые квантовой системы,
может быть реализовано как операторное гильбертово пространство,
определяемое состоянием системы.
Теорема о конструкции ГНС.
Для любого полооюительпого функционала и на С*-алгебре М
можно определить представление тгш алгебры М. в гильбертовом
пространстве с циклическим вектором Фш так, что
и,(А) = {*„;*„№)*„) VAeM.
Конструкция ГНС вносит в квантовую механику важную и
принципиальную идею, которая отсутствует в традиционном
формализме квантовой механики. Согласно теореме о конструкции ГНС
гильбертово пространство, в котором наблюдаемые действуют как
операторы, не является неотъемлемой частью квантовой механики, а
целиком определяется состоянием системы.
Следствие. Всякому состоянию и на С* -алгебре М конструкция
ГНС ставит в .соответствие некоторое циклическое представлен
ние ишш алгебры М.
Пусть отображение тг : М —> В(Н) реализует представление
С*-алгебре Л4. Подмножество М.$ пространства М называется
инвариантным (устойчивым) относительно всех операторов 7г(А), если
7г(Л)Ф € Mq для любого А е М и всех Ф Е М$.
Определение. Неприводимым представлением С* -алгебры М
в гильбертовом пространствен называется представление (Н,п),
для которого всякое замкнутое подпространство в Н,
инвариантное относительно всех операторов 7г(А), А € М, является
тривиальным {0} или самим пространством %.
Морфизм 7г : М -* В{Н) С*-алгебры М в алгебру В (И)
является неприводимым представлением, если выполнено одно из
следующих условий.
1. Всякий элемент В 6 #(%), коммутирующий с любым элементом
7г(Л), где А 6 Л4, имеет вид В = а/, а € С.
2. Любой вектор Ф Е Н является циклическим для 7г.

112
Глава 6. Квантование в кинематике
Неприводимые представления играют очень важную роль в
квантовой механике. Они позволяют описывать основные стацирнарные
состояния квантовой системы. Если пространство состояний
квантовой системы описывается неприводимым представлением, то
такая система часто называется элементарной.
Приведем условия лри которых возникают неприводимые
представления. Для этого используется понятие чистого состояния на
С*-алгебре. Напомним, что состояние ш на С*-алгебре М
называется чистым, если его нельзя представить в виде выпуклой линейной
комбинации двух других состояний на М. Сформулируем теорему,
устанавливающую связь между чистыми состояниями и
неприводимыми представлениями.
Теорема. Представление Гельфанда-Наймарка-Сигала С*-алгебры
М, ассоциированное с состоянием и на алгебре М, неприводимо
тогда и только тогда, когда и является чистым состоянием.
Следовательно, всякое состояние о>, ассоциированное с
неприводимым представлением С*-алгебре Л1, является чистым.
6.10. Состояние на алгебре фон Неймана
Все свойства состояний и функционалов на С*-алгебре верны
и для алгебры фон Неймана. Это обусловленно тем, что алгебра
фон Неймана является С*-алгеброй. При этом алгебра фон
Неймана выделяется среди других операторных алгебр дополнительной
возможностью при описании состояний на ней. Для алгебры фон
Неймана состояния, непрерывные в ультраслабой топологии,
таковы, что второй кинематический постулат становится теоремой.
Пусть М* - множество, дуальное к алгебре фон Неймана М<
Поэтому М* состоит из линейных функционалов ш : М —> С,
непрерывных относительно топологии, индуцированной на М
нормой. Состояние на алгебре фон Неймана М определяется так же,
как на С*-алгебре: состояние есть линейный функционал и на
алгебре Му для которого и)(А*А) > 0 при всех А Е М и ||и>|| — 1.
Оказывается, что для алгебр фон Неймана имеет место аналог
теоремы Рисса-Фреше для гильбертова пространства.

Глава 6. Квантование в кинематике ИЗ
Теорема. Для состояния со Е М* на алгебре фон Неймана Л4 эк-
"вивалентны следующие условия.
1, функционал со непрерывен в ультраслабой топологии.
2. Существует положительный оператор р Е М, имеющий
конечный (единичный) шпур Sp[p] < со (Sp[p) = 1) такой, что
функционал оо представим в виде и>(А) = Sp[pA].
Условие (2) эквивалентно условию полной аддитивности
функционала и Е М*. Функционал ш € М* удовлетворяет условию
полной аддитивности, если для любого семейства {Рк} ортогональных
операторов проектирования в М. имеет место равенство
k=l fc=l
Состояния, удовлетворяющие условию полной аддитивности,
обычно называются нормальными состояниями. Условие полной
аддитивности часто формулируется в следующем виде: состояние
является нормальным.

ГЛАВА 7.
КВАНТОВАНИЕ И СИМВОЛЫ
ОПЕРАТОРОВ
7.1. Алгебра Гейзенберга
После того, как определены алгебраические операции для
наблюдаемых, различные конкретные алгебры наблюдаемых
определяются заданием системы образующих. Образующими алгебры
называются элементы, применяя к которым алгебраические операции
можно получить все элементы алгебры. В качестве образующих
алгебры наблюдаемых обычно используют операторы координат и
импульсов. Пусть (Qi,..., <3n? Pi,..., Рп, I) - базис в (2п+ 1)-мерном
линейном пространстве Н. Это пространство превращается в алгебру
Ли Яп, если положить [Qk->Pk] = *ftJ, а все остальные
коммутаторы базисных элементов равными нулю. Алгебры Ли такого типа
называются алгебрами Гейзенберга.
Определение. Алгеброй Гейзенберга называется вещественная
(2п + 1)-параметрическая алгебра Ли Нп, задаваемая
перестановочными соотношениями
[Qk, Щ = ifi8klI , [Qk, Qi] = [Pk, РЦ = [I, Qk) = [I, Pk] = 0 , (20)
гдек,1 = 1,2, ...,n.
Эти перестановочные соотношения называются
каноническими коммутационными соотношениями (ККС). Общий элемент
алгебры Гейзенберга Нп имеет вид А = a^Qk -f bfcPfc + cL
Большинство наблюдаемых в квантовой механике являются
элементами обертывающей алгебры для некоторой алгебры Ли. В
качестве алгебры наблюдаемых можно рассматривать алгебру
операторов, порожденную каноническими операторами Qk и Р&.
Универсальная обертывающая алгебра Un гейзенберговой алгебры Ли Нп
является алгеброй полиномиальных операторов от 2п образующих
^

Глава 7. Квантование и символы операторов 115
QfaPkik = 1>-чп> которые удовлетворяют каноническим коммута-
ционным соотношениям. Алгебры f/n в математической литературе
иногда называются алгебрами Вейля. Мы зарезервируем это
название для алгебр другого типа. Используя универсальную
обертывающую алгебру Un, наблюдаемые можно описывать операторами,
которые являются полиномами от образующих Qk,Pk,k = 1,...,п.
Элементы Q^P^.-.Q^Pn" порождают линейное пространство Un и
образуют базис этого пространства. Введем в алгебре Un базис.
Определение. Универсальная обертывающая алгебра Un гейзенбер-
говой алгебры Ли Нп имеет базис, состоящий из всех одночленов
вида
*=i 1=г
В результате каждому полиному
Мял) = Yl a^qtpj
можно сопоставить оператор с полиномиальными коэффициентами
A(Q,P)= Y, <*ijQipJ •
Шз\<т
Здесь используем обозначения q = (дь<й? —>f?n)> P == (Pi»P2? —»Рп)»
Q = (Qi,Q2,-.,Qn), P = (ft,Pb,...,P„)
и обычные мультииндексы
t = (tbt2,...,in) , ^ = (ffi1,^2.—»9пл) , Р* = (р^Р2*>-->Рпп) - •
Определение. Кинематическим представлением Гейзенбер-
га ККС называется представление алгебры Гейзенберга
самосопряженными операторами Qk и Р&; действующими на сепарабельном
гильбертовом пространстве Н, если выполнены условия:
1. В гильбертовом пространстве % существует всюду плотное
множество В : В С D(Q) П D(P).
2. На множестве В выполнены соотношения (20).

116
Глава 7. Квантование и символы операторов
Кинематическое представление Гейзенберга единственно лишь
при наложении некоторых условий на область определения и
свойства замкнутых самосопряженных операторов Qk и Рд.. Например,
необходимо и достаточно, чтобы на множестве В, всюду плотном в
гильбертовом пространстве %, выполнялись следующие условия:
В С D{QP - PQ), {Q ± И) В с A (P ± И)В с D .
Тот факт, что операторы координат и импульсов являются
неограниченными операторами, обусловлен следующей теоремой.
Теорема. Не существует представления канонических коммута-
ционных соотношений ограниченными операторами.
Согласно этой теореме нельзя реализовать кинематические
представления Гейзенберга ограниченными операторами. Элементы
алгебры Un являются неограниченными операторами A(Q,P).
Однако сопоставление между полиномами и полиномиальными
операторами можно продолжить до соответствия между функциями
и операторами более общего вида. Это позволяет определить
алгебру наблюдаемых как алгебру ограниченных операторов,
порожденную каноническими операторами Qk и Р&. Обычно в качестве
алгебры наблюдаемых рассматривают операторную алгебру фон
Неймана, порожденную образующими операторами Qk и Р^. Эта
алгебра строится из всех ограниченных функций Aw = Aw{Q^P)
от образующих операторов. Если А(а,Ь) - интегрируемая функция
вещественных переменных а и 6, то оператор
1 /* ~ i
Aw = ,0 fc4„ / dadb A{a, b)W{a, b) , W(a, b) = exp-{aQ + bP)
{Z7rn)n J П
будет корректно определенным ограниченным оператором.
Множество всех таких операторов Aw вместе с их равномерными
пределами образует алгебру наблюдаемых М для квантовой системы с
п степенями свободы.
7.2. Система Вейля
Обычно в качестве наблюдаемых рассматриваются
ограниченные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве.
Рассмотрим ограниченные операторы (наблюдаемые), которые
должны быть ассоциированы с каноническими операторами Qk и Р&.

Глава 7. Квантование и символы операторов
117
Поскольку в ККС входят неограниченные операторы Qk и Р^,
эти соотношения плохо определены, так как возникают проблемы
с областью определения этих операторов. Для преодоления этой
трудности можно перейти к ограниченным функциям от Q и Р.
ККС могут пониматься как соотношения алгебры Ли для
некоторой непрерывной группы операторов {U(a),V(b)}. Введем две п-
параметрические абелевы группы унитарных операторов
71 П
tf(a) = e**e, V(b) = eibp, aQ = £a*Q*, ЬР = Х>П ,
которые непрерывны по параметрам а и Ь. Абелевость групп
операторов U (а) и V(b) эквивалентна прежнему условию
коммутативности операторов Q и Р и записывается соотношениями
U(a)U(a!) = U(a + a') , V(b)V(b') = 7(6 + 6') . (21)
Оставшееся коммутационное соотношение между Q и Р можно
выразить уравнением
U{a)V{b) = V{b)U(a)e~iiab , (22)
которое получается из формулы Хаусдорфа-Бэйкера-Кэмпбелла
еАеВ=еА+Ве1[А,В)
Представление ККС в экспоненциальной форме (21) и (22)
называется системой Вейля. Самосопряженные унитарные
операторы C/(a), V(b) являются ограниченными и, следовательно,
принадлежат С*-алгебре ограниченных операторов в гильбертовом
пространстве И.
Возникает вопрос: существуют ли различные унитарно
неэквивалентные представления ККС алгебры Гейзенберга
эрмитовыми операторами на гильбертовом пространстве? Канонические
коммутационные соотношения алгебры Гейзенберга могут пониматься
как соотношения некоторой алгебры Ли для непрерывной группы
(группы Ли), заданной системой Вейля. Поэтому вопрос о
представлениях алгебры Гейзенберга связан с вопросом о представлении
группы Ли, определяемой системой Вейля. Из теории
представлений групп Ли известно, что в общем случае можно ожидать
множество неэквивалентных представлений. Определим представления
системы Вейля в гильбертовом пространстве.

118
Глава 7. Квантование и символы операторов
Определение. Кинематическим представлением Шрединге-
pa KKC в L2(Rn) называется такое представление операторов
U(a) и V(b) в гильбертовом пространстве Н = L2(Rn), что
выполнены соотношения
U{a)y(q) = e^a^{q) , V(b)V(q) = Ф(д + b)
для любой функции Ф(д) =< д|Ф >G L2(Rn), то есть
U(a)\q>=\q>e>q , V(b)\q >= \q - b > . (23)
Справедлива теорема фон Неймана, утверждающая, что с
точностью до унитарной эквивалентности операторов существует
единственная система Вейля.
Теорема единственности фон Неймана.
Всякая неприводимая система Вейля для квантовой системыгс
п степенями свободы унитарно эквивалентна кинематическому
представлению Шредингера в L2(Mn).
Система Вейля называется неприводимой, если не существует
нетривиального замкнутого подпространства пространства %,
инвариантного относительно всех операторов U(a) и V(b).
Переход от операторов U(а) и V(b) к операторам координат Qk
и импульсов Pk осуществляется на основе теоремы Стоуна,
позволяющей записать U(a) и V(b) в экспоненциальном виде. В случае,
когда U(а) и V(b) слабо непрерывны по а^ и Ь^, соответствующие
операторы Qfc и Pk получаются по формулам
Qk = -ift— , Pk = -гп д, .
oak obk
Приведем теорему Стоуна для однопараметрической группы.
Теорема Стоуна. Для любой сильно непрерывной группы
ограниченных унитарных операторов U(ak) € Bffi), действующих в
гильбертовом пространстве %, существует самосопряженный
оператор Qk такой, что U(ak) = exp iakQk-
Под сильной непрерывностью группы унитарных операторов
{U(ak)\ ak 6 К} понимается выполнение следующего условия:
limajfe_»o \\U{ak)x - х\\-и = 0 для всех х € Я. Унитарность группы
означает, что < U(ak)x\U(ak)y >=< х\у > для любого х,у eti.

Глава 7. Квантование я символы операторов 119
В результате ответ на поставленный вопрос дают теоремы
Стоуна и фон Неймана. Они утверждают, что для квантовых систем
с конечным числом степеней свободы неприводимое представление
ККС алгебры Гейзенберга эрмитовыми операторами определяется
единственным образом с точностью до унитарной эквивалентности,
Такое представление эквивалентно координатному представлению,
в котором оператор координаты Q^ является умножением на
координату qk, а оператор Р^ является дифференцированием —ihd/dqk-
Напомним, что импульсное представление унитарно эквивалентно
координатному и изоморфизм этих представлений осуществляется
оператором Фурье. Таким образом, формулировка квантовой
кинематики систем с конечным числом степеней свободы в терминах
операторов координат и импульсов в гильбертовом пространстве
является единственной с точностью до унитарной эквивалентности
операторов.
7.3. Алгебра Вейля
Учитывая экспоненциальную форму ККС, можно определить
операторы
W(a,b) = U{a)V{b)e-&ab = V{b)U(a)e^ab = e^aQ+bP^ ,
которые называются операторами Вейля. Эти операторы
удовлетворяют закону композиции
W(aubl)W(a2,b2) = W{ax + a2M + Ь^е-^6*-*^] . (24)
Поскольку
W{a,0) = U{a) , W(0,b) = V(b) ,
очевидно, что соотношение (24) содержит в себе все соотношения
системы Вейля (21) и (22). Закон композиции (24) называется
каноническим коммутационным соотношением в форме Вейля.
Кроме того, для эрмитова сопряжения имеем
W*{a,b) = W{-a,-b) , W*{a,b)W(a,b) = I . (25)

120
Глава 7. Квантование и символы операторов
Как следствие соотношений (24) в форме Вейля комплексное
линейное пространство, натянутое на конечные линейные комбинации
га
5>^кль (26)
становится алгеброй, которая называется алгеброй Вейля.
Определение. Алгеброй Вейля Wn называется 2п-параметриче-
ская алгебра, задаваемая соотношениями (24) w (25),
Алгебру операторов, порожденных неограниченными
операторами Q и Р, можно определить как множество конечных линейных
комбинаций (26), то есть как алгебру Вейля. Мы сопоставляем
системе канонических коммутационных соотношений алгебру Вейля
Wn для операторов W(a,b), которые удовлетворяют соотношениям
(24) и (25). Алгебра Вейля Wn является инволютивной алгеброй с
инволюцией, соответствующей эрмитов сопряжению (25). Алгебра
Wn является инволютивной подалгеброй в В(%). Операторная
норма определяет норму в алгебре Вейля, которая становится
нормированной *-инволютивной алгеброй. Можно построить С*-алгебру,
порожденную каноническими коммутационными соотношениями в
форме Вейля. Алгебру наблюдаемых М, соответствующую ККС,
обычно определяют как минимальную С*^алгебру в В(Н)}
содержащую все операторы W(a, b). Алгебра наблюдаемых М является
замыканием алгебры Wn всех линейных комбинаций (26) операторов
W(a,b) в топологии нормы (в слабой топологии). Это обусловленно
тем, что сама алгебра Вейля Wn является инволютивной
подалгеброй в В(Н). Заметим, что на С*-алгебре Вейля можно построить
конструкцию ГНС. При этом состояние на этой алгебре полностью
определяется функцией и)аь = u;(W(a, Ь)), которая обычно
называется характеристической функцией.
7.4. Операторный базис Вейля
Операторы Вейля являются базисом в операторном
пространстве со скалярным произведением < А\В >= Sp(A*B). Они
аналогичны функциям Фурье w(a,b) = (2тг)~пехрi(aq + 6р),
образующим базис в пространстве функций со скалярным произведением

Глава 7. Квантование и символы операторов 121
(ФЬФ2) = /dqdp^\{q,p)^2(q*p)
Рассмотрим нормированные операторы Вейля
Утверждение. Нормированные операторы Вейля образуют
ортонормированный операторный базис в пространстве Лиувилля.
< W{a,b)\W{a\b') >*= {2nh)n6{a! - а)8(Ъ' - 6) .
Утверждение. Ортонормированный операторный базис W(a, b) в
пространстве Лиувилля является полным. Условие полноты one-
раторного базиса W(a,b) выражается условием
< W(a,b)\A\W{a,b) >= Sp[A) .
Условие полноты для базиса W(a, Ь), аналогично условию для
базиса {£?(а)}, имеет вид:
IdadbW(a}b)AW(a,b) = f ^^W{a,b)AW{a,b) = Sp[A] .
Заметим, что единичный оператор можно представить не только
вд-ир- представлениях
/ = j\q>dq<q\, I = J \p > dp < p\ ,
но также и в смешанных, qp- или pq- представлениях
Утверждение. Коммутаторы оператора Вейля с операторами
координат и импульсов задаются соотношениями
[Р,W{a,b)] = aW{a,b) , [Q,Ж(а,Ь)] = bW(a,b) .

122 Глава 7. Квантование и символы операторов
В силу того, что операторы Вейля являются базисом в
операторном пространстве, любой ограниченный оператор А можно
разложить по этому базису
А = -^щ^ J dadb A(a, b)W(a, b) ,
где Л (a, b) - некоторая интегрируемая функция вещественных
переменных а и Ь.
7.5. Дифференциальные операторы и символы
Рассмотрим дифференциальный оператор в области Mcln.
Определение. Линейным дифференциальным оператором А
называется оператор, заданный в области М CW1 и имеющий вид
А= J^ <*k(x)Dk , Dk = DklD%2...Dkn , Dj = -id/dx* , (27)
|A;|<m
где к - мулътииндекс, то есть к — ук\^ ,.,^кп), kj - целые
неотрицательные числа, , \к\ = к\ + ... + кп, а^{х) - функции на М,
Определение. Главным символом линейного дифференциального
оператора (27) называется функция, определяемая формулой
<Ъп(х,0 = Y1 °* (*■)£* •
\k\=m
Например, главным символом дифференциального оператора
второго порядка
п п
А = ]Г akl(x)DkDl + J2h(x)Dk + с(х)
является квадратичная форма
k,l=l

Глава 7. Квантование и символы операторов 123
Определение. Символом (полным символом) линейного
дифференциального оператора (27) называется функция, определяемая
формулой
|Л|<т
Запишем функцию Ф(ж) £ J(W)) используя обратное
преобразование Фурье, которое дается формулой
*(*) = Щф / е<**«)* - *«) = (^/2 / ^*ЫФ •
Применяя дифференциальный оператор А к обеим частям этой
формулы, получим
ЛЩХ) - (2^72
Функция а(ж,£) является символом (полным символом) оператора
А, а сам оператор часто обозначается а(х, Dx). Видно, что а(#,£) €
Е С°°(М х W1) и а(я,£) есть многочлен по £ с коэффициентами из
C°°(IRn). Соответствие между операторами и символами является
однозначным.
Подставляя выражение для Ф(£) в (28), можно записать
оператор А в виде
АЩх) = ^^е<(*-^ф,ОФ(у)<« . (29)
Можно рассматривать формулы (28) или (29) как определение
дифференциального оператора и брать под знаком интеграла функции
а(х:£) более общего вида, чем многочлены по £. В результате
получим обобщение дифференциальных операторов, которое обычно
называют псевдодифференциальными операторами. •
Рассмотрим операторы вида (28) или (29), но с символами а(ж, £),
более общего вида, чем многочлены по £. Например, удобный класс
символов получается, если потребовать выполнения неравенств
\ЩаЫ)\<Сы{1 + \£\)т-М УхеМ, £eRn. (30)
Jе**а(х,$ЩО<% . (28)

124 Глава 7. Квантование и символы операторов
Класс символов а(#,£) £ С°°(М х!71), удовлетворяющих
неравенству (30), обозначается Sm. Оператор с таким символом
является примером псевдодифференциального оператора. Заметим, что
если функция а(я,£) является многочленом степени га, то
неравенство (30) выполнено, и a(r£,£).€ Sm. Другой пример функции
а(#,£) € Sm задается интегральным преобразованием с гладким
ядром. Пусть К(х,у) 6 С°°(М х М). Тогда интегральный оператор
АЩх)= К(х,у)Ъ{у)(1у
можно записать в виде (28) или (29), где а(я, £) G Sm. Чтобы в этом
убедиться, воспользуемся формулой обратного преобразования
Фурье и напишем
АЩх) = J K(x, y)*(y)dy = J К(х, у) (щ^ J eM*{№)dy =
= щ^ Jeixi (/ «^-Ktffo v)dy) *(0« =
= Щ^2 1»Ы)е^Щ)^ , a(x,0^je^-^K(x,y)dy .
Таким образом, а(х,£) при каждом фиксированном х является, с
точностью до множителя exp—ix(} преобразованием Фурье
некоторой функции К(х,у) Е С°°(М х М). Определим в локальной
форме простейший псевдодифференциальный оператор. Каноническим
псевдодифференциальным оператором порядка га на пространстве
М называется лицейный оператор А, который для любой функции
а(#,£) € Sm и Ф(я) 6 V(M) представим в виде
ЛФ(ж)=(2^/а(Ж'°е^Ф(^-
Этот оператор А является линейным оператором, отображающим
V{M) в Е(М).
Если а(ж,£) е Sm и га < —п, то интеграл в (29) абсолютно
сходится и можно, поменяв порядок интегрирования, записать
оператор А = а(х, Dx) в виде
АЩх) = f KA(x, y)V(y)dy . (31)

Глава 7. Квантование и символы операторов 125
Здесь функция Ка{х,у) определяется соотношением
КА(х,у) = щ; f &-*Хф,№ ■
В интегральном операторе, имеющем вид (31), функция Ка(х,у)
называется ядром оператора. В общем случае любой линейный
непрерывный оператор А имеет ядро К а, которое является
обобщенной функцией на М х М, согласно теореме Шварца о ядре.
Умножая обе части равенства (31) на Ф(х) и интегрируя, получим
< АФ,Ф>=<#а,Ф®Ф> . (32)
Это равенство служит основой определения обобщенного ядра
оператора А: если дан линейный оператор А : Т>(М) —> U*(M), то
его обобщенным ядром (ядром в смысле Шварца) называется
такая обобщенная функция К а € V*(M х M), что равенство (32)
выполнено при всех Ф £ V(M) и Ф € V(M).
Приведем важную теорему о линейных непрерывных
операторах в пространстве обобщенных функций (распределений).
Теорема Шварца о ядре. Каждому непрерывному линейному one-
pamopy (отображению) А : V(M) —> V*(M) соответствует
единственная обобщенная функция Ка{х,у) € V*(M x M) такая, что
оператор А представляется в виде интегрального оператора (31)
для любых Ф е V(M).
Пусть оператор имеет обобщенное ядро К а € V*(M x M),
тогда он непрерывен как оператор из V(M) в £>*(М), если в V(M)
рассматривать обычную топологию, а в V*(M) - слабую
топологию. Обратно, если оператор непрерывен, то он имеет обобщенное
ядро. Отметим, что по любому ядру К а € V*(M x M) формула
(32) позволяет задать оператор А : V{M) -* Х>*(М). Кроме
того, ядро К а определяется оператором А однозначно.
Следовательно, имеется взаимно однозначное соответствие между линейными
непрерывными операторами А : V(M) -» D*(M) и обобщенными
функциями К а € Т>*(М х М). Например, тождественный оператор
имеет в качестве ядра дельта-функцию 8(х — у), а
дифференциальный оператор (27) в области М CW1 имеет ядро
КА(х, у) = ^Г ak(x)Dk6(x - у) .
|fc|<m

126 Глава 7. Квантование и символы операторов
7.6. Отображение квантования
Существует несколько методов квантования классических
систем. Наиболее часто используется операторный метод
квантования. Суть этого метода заключается в том, что задается прави-^
ло (отображение тг), которое каждой классической наблюдаемой
А(</,р), то есть функции на фазовом пространстве, ставит в
соответствие квантовую наблюдаемую A(Q,P) = тг(Л(д,р)), то есть
оператор в сепарабельном гильбертовом пространстве Й. Функция
A(q,p) называется символом оператора A(Q^ P). Рассмотрим
правило, позволяющее по функции A(q,p) на фазовом пространстве
строить оператор A(Q,P). Пусть преобразование Фурье функции
A(q,p) имеет вид
A{q,p) = —^ J dsdtA{s,t)
ei(sq+tp)
Переопределим параметры s и t таким образом, что a = Hs и Ь = ht.
Тогда имеем
А(д,р) = j^ Jdadb A(a,b)e^ е1^ .
Здесь Фурье-образ A(a,b) функции A(q,p) можно выразить в виде
М*>Ь) = J^JdQdp A{q,p)e-№ е~Й> .
Тогда оператор A(Q,P), соответствующий функции A(q,p),
задается формулой
*"*
A(Q,P) = —^Jdadb A(a,b)e№ e*
Данный оператор соответствует ^-упорядочению. Для
^-упорядочения и для вейлевского (симметричного) упорядочения
оператор задается формулами
А(Р, Q) = -~^ J dadb A{a, b)eibpe№ ,

Глава 7. Квантование и символы операторов 127
Aw(Q>P) = J^fdadb M*,b)W{a,b) , W(a,b) = e№+bp) .
Видно, что оператор A(Q,P) для gp-упорядочения однозначно
задается по функции A(q,p) на фазовом пространстве соотношением
A(Q, Р) = -^щъ; J dadb WP MQ,p)eiaiQ-q) е№р'^ . (33)
Аналогично можно определить отображение квантования для
симметричного (вейлевского) и pg-упорядочения. Видно, что
отображение квантования является неоднозначной операцией. Существует
несколько вариантов квантования. Вещественной функции A(q,p)
на фазовом пространстве можно различными способами
сопоставить оператор. Эти способы называются упорядочением, или
квантованием.
Определение. QP-квантованием называется отображение,
сопоставляющее функции A(q,p) оператор A(Q,P), определяемый по
формуле (33).
Определение. PQ-квантованием называется отображение,
сопоставляющее функции A(q,p) оператор А(Р, Q), определяемый по
формуле
Л(Р, Q) = j^~ J dadb dqdp A(q,p)eWp-ri eie«-«> .
Определение. Вейлевским (симметричным) квантованием
называется отображение, сопоставляющее функции A(q,p)
оператор Ay/{Q<>P), определяемый по формуле
Aw(Q, Р) = рр /dadb dqdp A(q,p)e^^)+b(P-P)] . ,
Эту формулу можно переписать, используя операторы W(a, Ь), в
виде
Aw(Q,P) = j^^Jdadb dqdp A(q,p)W(a,b)e-^+bp)
Приведем примеры для простейших функций A(q,p). Для
функции A(q,p) = qp данные способы квантования дают операторы
A(Q,P) = QP, A(P,Q)=PQ, AW(Q,P) = ±(QP + PQ).

128 Глава 7. Квантование и символы операторов
Функции A(q,p) = q2p данные способы квантования сопоставляют
операторы A(QyP)y A(P,Q) и Aw{Q,P), определяемые формулами
A(Q,P) = Q2P, A(P,Q)=PQ2, AW(Q,P) = ±(Q2P+QPQ+PQ2).
7.7. Связь символов и ядер операторов
Рассмотрим связь между символами и ядрами операторов. Для
этого возьмем ядро a(q',q,f) =< q'\A\qn > оператора A(Q>P) в q-
представлении и выделим символ A(q,p) этого оператора для др-
упорядочения.
<.(,',?") =< ,W >= J dp < </\A\v >< р\я" >=
Учитывая, что оператор А = A(Q, P) имеет gp-упорядоченную
форму, воспользуемся соотношением
< q'\A(Q%P)\p >= A(q',p) < q'\p >= A(q',p)j~^e1^ .
Подставляя это соотношение в выражение для ядра a(g/,g//),
получаем связь между символами и ядрами оператора для др-упорядочения:
a(q', q") = j^ J dp А^рИ^"-*')? .
A(q,p) = Jdq'a(q,q')ei«-^-.
Выпишем некоторые полезные формулы.
1. Воспользуемся формулой Хаусдорфа-Бэйкера-Кэмпбелла
W(a,b) = ei(a«+bp) = e^ eibPe&
ab

Глава 7. Квантование и символы операторов 129
Ядр° оператора Вейля W(a,6) можно записать в виде
< </\W{a,b)tf' >=< q'\e^aQ+bP)\q" >= е^'+12ЬЧ(Ь +q' - q") .
В результате для симметричного (вейлевского) упорядочения
можно получить
2. Символы операторов А = ВС,В,С для до-упорядочения связаны
соотношением
A(q,p) = J^Erfdq'dp' B(q,p')C(q',р)е-^-«')(Р-Р') .
Эта формула служит основой для получения континуального
интеграла Фейнмана (интеграла по траекториям).
3. Формула для шпура оператора
Sp[A] = / dxa{x,x) = / dqdpA(q,p) .
4. Связь между qp- и pg-символами задается формулой
If г
А(РЛ) = (27гПчп / dgirfpi^(«bPr)ea;p-(g-gi)(p-pi) ,
1 Г г
4(д,р) = /27гГчп / rfgirfpi^(Pb9i)ea?p-^(g-9i)(P-Pi) >
или
92
А(р,д) = exp(^ih^—\A{q,p) .
dpdg>
Заметим, что символ сопряженного оператора Л для др-упорядоче-
ния равен комплексному сопряжению символа оператора А для pq-
упорядочения А(д,р) = [А(р, g)]*. Следовательно, символ оператора
А для pg-упорядочения равен комплексному сопряжению символа

130 Глава 7. Квантование и символы операторов
сопряженного оператора А для др-упорядочения А(р, q) = [A(g,p)]*.
Для самосопряженного оператора А = А имеем A{p^q) = [A(g,p)j*.
Если оператор А не содержит перекрестных произведений
операторов Q и Р, то есть А = Ai(Q) + ^(Р), тогда символы этого
оператора для qp и pg-упорядочений совпадают А(^,р) = A(p,q).
7.8. Символ оператора плотности
Вейлевское квантования есть отображение ir\y функций A(q,p)
па фазовом пространстве в операторы на гильбертовом
пространстве. Это отображение определяется следующим образом
AW(Q,P) = J2^)2njdadb ^Ф A(q,p)W(a,b)e-№+W .
Для любого оператора плотности р имеем
Sp[pAw] = ^L-jdadb dqdp A(q,p)e-№+WSp{pW(a,b)} .
С другой стороны,.шпур произведения операторов имеет вид
Sp[pAw] = <2<кК)2п J dqdp р(м)Щ'р} *
где p(q,p) и A(q,p) - вейлевские символы операторов р и Aw- В
результате символ оператора плотности представим в виде
. Р(0> Р) = / dadb e~ Haq+bp)Sp[pW(a, Ь)] . .
Заметим, что функция p{q,p) не является функцией
распределения на фазовом пространстве и может принимать положительные
и отрицательные значения.
Оцределение. Характеристической функцией называется
среднее значение оператора Вейля, определяемое соотношением
..".; w(W(bb)) =< W(a,b) >=< p\W(a,b) >^ Sp[pW{a,b)] .

Глаза 7. Квантование и символы операторов 131
Оператор Вейля W(a, b) иногда называется оператором
характеристической функции. Используя формулы (23), можно получить
представление оператора Вейля в виде
W(a, b) = l \q' -\b> dq' e W < q' + \b\ .
В результате имеем
Pw(Q,P) = j2^jdadb e~lhiaq+bp)W(a,b) ,
1 Г 1 * 1
Pw{Q, P) = -пщ^ j \Q~2X> dxdqe-fc* < q+ -x\ .
7,9. Вейлевские символы и представление Вигнера
Определение. Вейлевским символом оператора А = Aw{Q,P)
называется функция на фазовом пространстве, определяемая
соотношением
/1 1
dx<q- ^x\Aw\q + -х > eJxp . (34)
Соотношение (34) описывает отображение операторов гильбертова
пространства й функции фазового пространства. Для любого
оператора Aw имеем •■'-■^
< q\Aw(Q,P)\q >= —Щ^ J dp Aw(q,p) ,
< p\Aw(Q,P)\p >= —^- J dq Aw(q,p) ,
Sp[Aw] = / dq< q\Aw\q >= T^yT / dVdP Aw(q,p) ■

132
Глава 7. Квантование и символы операторов
Определение. Функция распределения Вигнера
представляет собой вейлевский символ оператора матрица плотности и
определяется через преобразование Фурье недиагональных элементов
ядра оператора матрица плотности:
\ г \ \ i
pwip,q) = ^ftldz<q~ 2Z\pw\q +2Z> ^ ' ^
Ясно, что уравнение (35) является специальным случаем
уравнения (34) для оператора плотности. Другими словами, р\у(р> я)
является функцией в фазовом пространстве, которая соответствует
оператору pw/27rfi. Функция распределения Вигнера
удовлетворяет следующим свойствам.
1. pw(p,q) является действительной функцией.
2. J dp pw(p,q) =<q\pw\q> fdq pw(p,q) -<p\pw\p>-
3. f fdqdp pw(p,q) = Sp[pw] = 1.
Вигнер показал, что любая действительная функция
распределения, обладающая свойствами (2-3), может иметь отрицательные
значения для некоторых р и q.
Квантовые системы описываются оператором матрица
плотности. В терминах функции распределения Вигнера pw{p\q) среднее
значение < Aw >= Sp\pwA\v] оператора Aw записывается в виде
<AW>= dpdq Aw(p,q)pw{pJq) , (36)
где Aw(p, q) ~ символ оператора Aw(P, Q). Это позволяет
представить квантовую механику в форме, похожей на классическую.
Соотношение, которое выражает вейлевский символ
произведения операторов С = Aw{Q,P)Bw(Q->P) B терминах вейлевских
символов этих операторов, имеет вид
ftP
Cwfaq) = Aw{p,q)(exp —)Bw(p,q) . (37)
Здесь V есть оператор взятия скобок Пуассона, имеющий вид
<г> ir*> Ь~& д д д д

Глава 7. Квантование и символы операторов 133
Стрелки указывают, в каком направлении действуют операторы:
Aw(PiQ)°pdqBw(p,q) = dpAwdqBw , А^РВ^ = -{AW,BW} .
Из уравнения (37) получаем вейлевский символ коммутатора [А, В]:
ftp
{[A,B))w(p,q) = -2iAiy(p,g)(sin — )Bw(p,g) .
7.10. Отображение, обратное квантованию
Соотношение (34) описывает отображение операторов
гильбертова пространства в функции фазового пространства. Обратное
отображение можно выполнить, используя оператор
/1 г 1
dy \р-^У> е*м < р + -у\ .
Вейлевский символ этого оператора P(q,p) записывается в виде
(P(Q,p))wW,p') = {^h)4{q - q,)5{p-p') .
Видно, что оператор P(q,p) отображается в дельта-функцию на
фазовом "пространстве. Удобно обозначить точку в фазовом
пространстве одним символом z = {q,p} и соответствующий элемент объема
dz = {2-xh)-ndqdp.
.Отметим некоторые полезные свойства P{z).
l.fdzP(z)=I, Sp[P{z)] = l.
2. P*(z) = P(z).
3. Aw(z) =< P(z)\A >.
4. <P{z)\P(z')>=d(z,z').
b.(P(z))w(z') = 8(z,z')
Оператор А можно рассматривать как элемент линейного
пространства и записывать в обозначениях Дирака как \А >. Введем
обозначение \z >= \P{z) >. Перечислим свойства этих кет-векторов \z >.
1. f\z > dz < z\ = I.
2. Aw{z) =< z\A >.
Z:<z\zf>=6(z,zf).
В этих обозначениях скалярное произведение операторов имеет вид
<
А\В >= / dzA*w(z)Bw{z)

ГЛАВА 8.
СПЕКТРАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ
8.1. Спектр оператора
Одной из важнейших задач в квантовой механике является
задача на собственные значения для самосопряженных операторов,
описывающих наблюдаемые. Это обусловленно тем, что обычно
постулируют следующее утверждение: единственно возможными
измеряемыми числовыми значениями (средними значениями)
наблюдаемых квантовой системы являются собственные значения
оператора, сопоставляемого наблюдаемой.
Определение. Задачей на собственные значения для
линейного оператора А, действующего в гильбертовом пространстве Н,
называется нахождение ненулевых элементов \х > из
пространства Н и комплексных чисел z, удовлетворяющих уравнению
(zI-A)\x>=0. (38)
Другими словами, необходимо найти такие элементы \х >£ К, ддя
которых действие оператора А сводится к умножению на число г,
то есть решить уравнение вида А\х >= \х > z. Элемент \х >6 И\
отличный от нуля и удовлетворяющий уравнению (38)
называется, собственным вектором оператора. Числа z G С, при которых
уравнение (38) имеет решение, называются собственными значен
ниями оператора.
Рассмотрим разбиение множества комплексных чисел z € G на
подмножества в зависимости от свойств оператора B(z) = zl — Д
связанного с задачей на собственные значения. Комплексная
плоскость разбивается на две части: спектр оператора, обозначаемый
через а (А), и резольвентное множество, обозначаемое через р(А).
Для конечномерного пространства спектр оператора совпадает с
множеством его собственных значений. Существенное отличие
бесконечномерного случая в том, что спектр а(А) оператора может

Главя 8. Спектральные методы
135
содержать точки, не являющиеся собственными значениями. В
общем случае спектр а (А) линейного оператора делится на точечный
спектр, непрерывный спектр и остаточный спектр. Таким образом,
спектр линейного оператора разбиваемся на следующие множества.
1) Точечный спектр. Точечным спектром оператора А
называется множество собственных значений этого оператора. Точечный
спектр образуют числа z 6 С, при которых для уравнения А\х >=
= \х > z существует ненулевой элемент \х >€ W, являющийся его
решением. Другими словами, точечным спектром является
множество значений z e С, для которых оператор B(z) = zl — А не имеет
обратного оператора.
2) Непрерывный спектр. Непрерывным спектром оператора А
называется множество значений z € С, при которых оператор В(z)
имеет неограниченный обратный оператор R(z, A) = (zl — A)~l с
плотной областью определения. Неограниченность обратного
оператора означает, что область его определения не совпадает со всем
пространством Н. Для конечномерного случая непрерывный спектр
пуст.
3) Остаточный спектр. Остаточным спектром оператора А
называется множество значений z £ С, при которых оператор B{z) =
— zl — А имеет ограниченный или неограниченный обратный
оператор R(z, A) = (zl — А)"1, но его область определения не
является плотной в %. Для многих операторов, используемых в
квантовой механике, остаточный спектр пуст. Например, спектр
самосопряженного и унитарного операторов делится лишь на точечный и
непрерывный спектры.
Резольвентным множеством р(А) называется множество
значений z € С, при которых оператор B(z) имеет ограниченный
обратный оператор R(z,A) = (zl — A)~l с плотной в % областью
определения. Для значений z € р(А) оператор R(z,A) ограничен, то
есть ||Д(г,>1)|| < оо. Точки z 6 С, принадлежащие резольвентному
множеству р(А), называются регулярными. Совокупность всех
значений г, не относящихся к регулярным, является спектром
оператора о (А). Поэтому сцектр оператора иногда определяется как
множество комплексной плоскости, дополнительное к
резольвентному множеству а {А) = С\р£А).

136
Глава 8. Спектральные методы
8.2. Резольвента и ее свойства
Важное значение при изучении спектра наблюдаемых имеет
оператор R(zyA), определяемый соотношениями (zl—A)R(z, A) = /
hR(z}A){zI-A) = I.
Определение. Резольвентным оператором (резольвентой^ для
оператора А называется оператор R(z,A) = (zl — A)~l, обратный
к оператору B(z) = zl — А.
Рассмотрим некоторые свойства резольвенты на резольвентном
множестве. В силу определения резольвентного множества р(А)
оператор резольвенты R(z,A) при z 6 р(А) является ограниченным
оператором, определенным во всем пространстве Н. Кроме
этого, резольвента удовлетворяет двум очень важным соотношениям.
Первое соотношение содержится в следующей теореме.
Теорема. Пусть А - ограниченный или замкнутый плотно
определенный линейный оператор. Для любых двух точек z\ и z<i из
резольвентного множества р(А),операторы резольвенты R(z,A}
удовлетворяют первому резольвентному уравнению (тождеству
Гильберта)
R(zuA)-R(z2,A) = {z2-zi)R(zuA)R{z2,A) 4zuz2ep{A) ,
и условию коммутативности
R(zuA)R{z2,A) = R(z2,A)R{zuA) Vzuz2 e p{A) .
Можно изучать резольвенту R(z, А) и как функцию от оператора
А. Это приводит ко второму резольвентному уравнению, заданному
следующей теоремой.
Теорема. Пусть А и В - операторы из комплексной банаховой
алгебры с единицей. Для любого значения z из резольвентного
множества р(А) Г) р(В) резольвентные операторы R(z,A) и R(z,B)
удовлетворяют второму резольвентному уравнению
R{z, А) - R{z, В) = R(z, А) (А - B)R(z, В) Vz 6 р(А) П р(В) .
Теорема. В комплексной банаховой алгебры с единицей оператор А
коммутирует с оператором В тогда и только тогда, когда
оператор А коммутирует с резольвентой R(z, В) для любых
регулярных точек z G р{В).
АВ = ВА =* AR{z, В) = R{z, В)A V* e р{В) .

Глава 8. Спектральные методы
137
Теорема. Операторы А и В из комплексной банаховой алгебры с
единицей коммутируют тогда и только тогда, когда
коммутируют их резольвенты R{z\,A) и R(z2,B) для любых точек z\:Z2 из
резольвентного множества р(А) П р{В).
Теорию аналитических функций можно обобщить на операторы,
действующие в гильбертовом пространстве, точнее на операторно-
значные функции R(zy А) от z 6 С
Определение. Ог1ераторнозначная функция Д(г, А) от z Е С
называется аналитической функцией в точке zq, если существует
элемент R'(zo,A) no операторной норме, то есть
\im\\R{z>A)-R{Z(»A)-R>(z0,A)\\ = 0.
z-+zo Z — Zo
Из тождества Гильберта следует, что резольвента в области
регулярных точек является аналитической функцией от z)
значениями которой являются линейные ограниченные операторы.
Другими словами, резольвента является аналитической операторнознач-
ной функцией. Спектр оператора можно интерпретировать как
множество особенностей аналитической функции R(z,A). Аналогично
можно обобщить на операторнозначный случай большинство
стандартных результатов теории аналитических функций. Все
изменения в доказательствах сводятся к замене модулей нормами.
8.3. Спектр ограниченного оператора
Определение. Спектральным радиусом га ограниченного
оператора А называется число
ГА = SUp \z\ .
zea{A)
Теорема Гельфанда. Спектр о {А) ограниченного линейного
оператора А лежит в круге, радиус га которого равен
гА = Hm VlM •

138 Глава 8. Спектральные методы
Подпространства, соответствующие различным собственным
значениям самосопряженного оператора, взаимно ортогональны.
Если пространство % сепарабельно, то оно содержит счетное
множество попарно ортогональных элементов. Следовательно, точечный
спектр самосопряженного оператора может содержать только
счетное множество.
8.4. Спектр компактного оператора
Одной из главных особенностей компактного оператора
является возможность простого описания его спектра. Из теоремы Фред-
гольма известно, что всякая ненулевая точка спектра сг(А)
компактного оператора А является собственным значением. Согласно
теореме о спектре компактного оператора вне любой окрестности нуля
лежит лишь конечное число точек спектра сг(А). Таким образом,
за исключением области, близкой к нулю, спектр компактного
оператора качественно не отличается от спектра оператора в
конечномерном случае. В окрестности нуля ситуация несколько сложнее и
могут реализовываться различные возможности.
Теорема. Спектр компактного линейного оператора А, действу-
ющего на банаховом пространстве, состоит из нуля,, ц ненулевых
собственных значений. Множество ненулевых собственных
значений этого оператора либо конечно, либо образует счетную
последовательность с пределом нуль.
Линейный оператор является вполне непрерывным
(компактным) оператором тогда и только тогда, когда его спектр не имеет
предельных точек, отличных от нуля, а все ненулевые точки
спектра являются собственными значениями конечной кратности.
Дальнейшее упрощение в описании спектральных свойств
компактного линейного оператора вносит предположение о
самосопряженности. Центральным результатом теории компактных
операторов является теорема Гильберта-Шмидта, согласно которой из
собственных функций самосопряженного компактного оператора
можно построить ортонормированный базис гильбертова пространства.
Теорема Гильберта-Шмидта. Из собственных функций
компактного линейного самосопряоюенного оператора А, действующего на
гильбертовом пространстве %, можно составить
ортонормированный базис пространства %.

Глава 8. Спектральные методы
139
Применение теоремы Гильберта-Шмидта к конкретным
операторам дает простой способ построения базисов в пространстве Ь2(Ш).
В этих пространствах большинство базисов получается при помощи
дифференциальных операторов, которые, хотя сами не компактны,
имеют компактные обратные.
Приведем некоторые утверждения, вытекающие из теоремы
Гильберта-Шмидта. Известно, что самосопряженный компактный
оператор можно диагонализовать. Матрица Аы =< е^|А|е^ >
оператора А относительно базиса {е&}, состоящего из собственных его
векторов оператора, диагональна. При этом на диагонали стоят
собственные числа оператора А.
Теорема. Всякий компактный самосопряженный оператор А,
действующий на гильбертовом пространстве %, можно представить
в дийёональном виде:
оо оо
A = Y^ZkP(ek) =X!lefc >Zk <e*I ' '
k-l fc=l
Здесь {\ek >} - ортонормированные собственные векторы
оператора Af a Zk - его собственные значения: А\ец >= |е& > z^.
Данная теорема является обобщением хорошо известного
результата для эрмитовых матриц. Кроме того, имеем теорему о
резольвенте компактного оператора.
Тео]р,ема. Для любого компактного самосопряженного оперйтора
А} действующего на гильбертовом пространстве И, и любого
значения z € р(А) решение уравнения (zl — А)\х >= \у > можно
представить в виде
\х >= R(z,A)\y >= f; \ek > <H&L> .
Ы z~Zk
ОО j
£lz~Zk
Этот результат проясняет структуру резольвенты. Резольвента
компактного самосопряженного оператора является операторнознач-
ной аналитической функцией от г с простыми полюсами в
собственных значениях, причем вычеты в этих полюсах дают собственные
векторы.

140
Глава 8. Спектральные методы
8.5. Неограниченные операторы
В квантовой механике активно используются не только
ограниченные операторы, но и различные неограниченные операторы.
Среди неограниченных операторов выделяются такие, которые
имеют ограниченную резольвенту. Этим свойством обладают
замкнутые и самосопряженные операторы.
Определение. Неограниченным оператором называется
линейный оператор А, определенный на области D(A) гильбертова
пространства %, если точная верхняя грань snpxeD^ ЦАхЦ^ц/ЦхЦ^
равна бесконечности, то есть, если норма оператора не
ограничена сверху.
Таким образом, неограниченные операторы не образуют
нормированного пространства. Кроме того, они сами определены не на
всем гильбертовом (банаховом) пространстве, а только на его
подмножестве.
Теорема Хеллингера-Теплица. Любой линейный оператор А}
определенный на всем гильбертовом пространстве % и
удовлетворяющий условию самосопряженности < Ах\у >—< х\Ау > для
всех х,у ЕН, является ограниченным.
Из теоремы видно, что произвольный неограниченный оператор
определен лишь на плотном линейном подмножестве гильбертова
пространства. Подчеркнем важный момент, что оператор нельзя
считать полностью определенным, пока не задана его область
определения. Операторы с несовпадающими областями определения
следует рассматривать как разные операторы.
Неограниченные линейные операторы А не обладают свойством
непрерывности. Из того, что хп -» х, вообще говоря, не следует, что
Ахп стремится к какому-либо пределу. Однако некоторые
неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством,
отчасти заменяющим свойство непрерывности.
Определение. Замкнутым оператором называется оператор А,
для которого из условий существования пределов
lim \\xk - х\\п = 0 , lim \\Axk - Вх\\п = 0 ,
А;->оо к—нх>
где хк £ D(A), следует, что х Е D(A) и А = В.

Глава 8. Спектральные методы
141
Очевидно, что всякий непрерывный и всякий ограниченный
оператор является замкнутым. Обратное, вообще говоря, неверно.
Верно лишь то, что замкнутый оператор, определенный на всем
пространстве, является ограниченным. Примером замкнутого
оператора может служить оператор, сопряженный с произвольным
линейным оператором. Вместе с оператором А замкнут или не заг
мкнут оператор zl - А с областью определения D(A). Поэтому,
если существует ограниченный резольвентный оператор R{z,A) =
= {zl — А)-1, то оператор А замкнут. Другими словами, оператор,
имеющий хотя бы одну регулярную точку, является замкнутым.
Рассмотрим спектр и резольвенту неограниченного оператора.
Определения точечного спектра, непрерывного спектра и
остаточного спектра для неограниченных операторов такие же, как и для
ограниченных. Важные классы неограниченных операторов
образуют операторы, резольвенты которых является ограниченными
операторами. К таким неограниченным операторам относятся
самосопряженные операторы и замкнутые операторы.
Спектр самосопряженного оператора лежит на вещественной
оси, остаточный спектр пуст, верхняя и нижняя полуплоскости
находятся в резольвентном множестве.
Теорема. Для любого самосопряженного оператора А
резольвента R{z, А) — {zl - А)'1 является ограниченным оператором, для
которого выполнено неравенство
\\R{z,A)\\ <{Imz)~l Vzep(A) .
Резольвентное множество р(А) состоит из всех комплексных
чисел z, для которых Imz ф О, то есть р{А) = {z 6 С : Im z ф 0}.
Теорема. Для любого замкнутого оператора А на гильбертовом
пространстве И и любого z из резольвентного множества р{А)
резольвента R{z,A) = {zl - A)~l является непрерывным
ограниченным оператором, определенным во всем %.
Одна из основных трудностей, связанных с неограниченными
операторами, состоит в том, что они определены не всюду, а лишь
на плотном подмножестве пространства. Эта трудность
проявляется при введении понятия сходимости для последовательности {Ап}
неограниченных операторов. Пересечение областей определения
операторов Ап может состоять из одного нуля. Для определения сходи- '
мости замкнутых (или самосопряженных) неограниченных
операторов Ап можно использовать тот факт, что их резольвенты R{z, An)
являются ограниченными операторами.

142
Глава 8. Спектральные методы
Определение. Замкнутые (самосопряженные) операторы Ап
называются сходящимися к оператору А в смысле обобщенной
равномерной сходимости (обобщенной сходимости по
норме), если
lim \\R{z,An) - R(z,A)\\ = 0 \fz e p(A) .
к—юо
Аналогично вводятся определения обобщенной слабой и сильной
сходимостей замкнутых (самосопряженных) неограниченных
операторов. Отметим, что обобщенная слабая сходимость влечет за
собой обобщенную сильную сходимость. Обобщенная (резольвентная)
сходимость связана со сходимостью других ограниченных
операторных функций следующей теоремой.
Теорема Троттера. Последовательность неограниченных
операторов {Ап} сходится к оператору А в смысле обобщенной сильной
сходимости тогда и только тогда, когда последовательность
ограниченных операторов {exp itAn} сильно сходится к {expitA} при
всех t.
8.6. Алгебра операторных функций
Используя теорию аналитических функций, можно определить
функции от операторов. Для произвольной рациональной функции
/(*) = £>** (39)
fc=0
и оператора А, действующего в банаховом пространстве Н, можно
однозначно определить операторнозначную функцию
f{A) = £akAk. (40)
fc=0
Операторнозначные функции f(A) можно определить и для
других аналитических функций f(z). Для функции, аналитической в
некоторой открытой области спектрального множества &(А)У имеет

Глава 8. Спектральные методы 143
место обобщенная формула Коши. Обычная формула Коши задает
представление функций, аналитических в компактной области, при
помощи интеграла по границе этой области
/(а) i/lifU.
То обстоятельство, что резольвентный оператор i?(z, А) ведет себя
как обыкновенная аналитическая функция, позволяет определить
обобщение формулы Коши
nA) = idff{z)R{z'A)dz' R{z'A) = {zI' A)~l ■ (41)
Эта формула преобразует аналитические функции на открытом
подмножестве комплексной плоскости в операторнозначные
функции, заданные на открытом подмножестве спектра а(А) оператора.
Пусть А - линейный ограниченный оператор на банаховом
пространстве. Обозначим через К а класс всех функций f(z)
комплексного переменного z, которые являются кусочно аналитическими на
спектре сг(А) данного оператора А. В классе К а естественным
образом можно определить сложение, умножение и умножение на
число, после чего К а превращается в алгебру с единицей. По
правилу Ф. Рисса, существует алгебраический изоморфизм между
алгеброй К а и некоторой коммутативной алгеброй операторов, при
котором функции f(z)=z соответствует оператор А, а функции
f(z) = (a — z)"1, z £ cr(A) соответствует резольвента R(z',A) =
= (z'l — А)"1. Этот изоморфизм устанавливается следующим
образом. Для f(z) e К а всегда найдется гладкий контур С,
охватывающий спектр а (А). Каждый контур, входящий в состав С,
ориентируем так, что при движении по контуру в положительном
направлении соответствующее открытое множество остается слева
(движение по контуру против часовой стрелки). После этого полагаем,
что операторнозначная функция f(A) для f(z) € К а задается
формулой (41). Из теоремы Коши следует независимость интеграла от
выбора контура. Соответствие f(z) <-> f{A) является линейным и
мультипликативным, что вытекает из следующей теоремы.
Теорема Данфорда. Пусть функции fi{z) и /2(2) являются
кусочно аналитическими на спектре сг{А), то есть /ь/гОгг) 6 К а, и
а, Ь - произвольные комплексные числа. Тогда функции (af\ + 6/2)

144
Глава 8. Спектральные методы
и /1/2 являются кусочно аналитическими на спектре а(А).
Операторы, соответствующие этим функциям, удовлетворяют
следующим соотношениям.
{ah + bf2)(A) = afM) + bf2(A) , (/i/2)(A) = h(A)f2(A) .
Первое соотношение очевидно. Второе соотношение означает, что
для операторов f\{A) и /2^4) справедливо равенство
{2b£/i(2)^'A)^}{2b£/2Wi?(z,A)dz}=
= {^-fch(z)Mz)R{z,A)dz}.
Следовательно,-из соотношения f(z) = f\{z)J2{z) следует
соотношение для операторов f(A) = fi(A)f2(A). Соответствие функции
f(z) = z оператора А следует из соотношения
-^ { z(zl - A)"ldz = A ,
2тгг J с
которое получается из ряда для резольвенты, если в качестве
контура С а взять любой контур, содержащий круг \z\ < га- Из
линейности и мультипликативности соответствия f(z) «-» f{A) следует
(39) «-» (40). При помощи предельного перехода эту формулу
можно перенести на степенные ряды, сходящиеся в круге, содержащем
спектр а{А). В частности, функции exp tz соответствует оператор
exp At = S^ akAk = —7 ф eztR(z, A)dz .
fc 2mfc
Известно, что существует простая связь между спектром о{А)
оператора А и спектром a(f(A)) оператора f(A) для функции f(z)
класса Ка- Эта связь, согласно теореме об отображении спектра,
описывается соотношением a(f(A)) = f(a(A)).

Глава 8. Спектральные методы 145
8.7. Спектральный проектор
Рассмотрим проектор Рисса (спектральный проектор),
являющийся важным средством спектральной теории операторов.
Пусть спектр сг(А) замкнутого оператора А в гильбертовом
пространстве?^ имеет компактное замкнутое подмножество А, не
связанное с остальной частью спектра. Тогда существует такой кусочно-
гладкий замкнутый контур С(А) на комплексной плоскости,
который не пересекается с сг(А). Положим, что все точки спектра сг(А),
лежащие внутри С (А), принадлежат А. Контур*будем считать
ориентированным против часовой стрелки.
Определение. Спектральным проектором (^проектором
Рисса j, соответствующим части А спектра о {А), называется
оператор
Рь = —Л R(z, A)dz , R(z, A) = (zl - A)~l .
Видно, что Рд не зависит от выбора контура С при заданном Д.
Поскольку резольвента R(z,A) является аналитической операторной
функцией z, то проектор Рисса является ограниченным линейным
оператором в И.
8.8. Спектральное разложение элемента алгебры
Рисе показал, что, используя теорию аналитических функций
для произвольного оператора, можно получить разложение
оператора, соответствующее разложению спектра на непересекающиеся
части. Разложение произвольного оператора, соответствующее
разложению спектра на произвольные (пересекающиеся) части,
представляет собой сложную задачу, не решенную до сих пор.
Одной из главных целей, стоящих перед спектральной теорией,
является получение спектрального разложения элемента банаховой
алгебры М. Для описания спектрального разложения наблюдаемой
введем понятие спектрального множества.

146
Глава 8. Спектральные методы
Спектральным множеством элемента А 6 М называется
подмножество а спектра о-(А), являющееся одновременно
замкнутым в М и открытым во(А). Рассмотрим кривую С(<т), огибающую
спектральные множества и удовлетворяющую условиям:
1. С (а) состоит из конечного числа замкнутых простых
спрямляемых кривых, не имеющих общих точек.
2. С(а) лежит в резольвентном множестве р(А) оператора А.
3. С(а) ограничивает открытое множество, содержащее а.
4. С(а) ориентирован так, что при обходе С(а) множество о лежит
слева от С (а).
Следующая теорема ставит в соответствие любому разбиению
спектра на непересекающиеся спектральные множества разложения
оператора.
Теорема. Пусть спектр линейный оператор А образует несвязан-
ное множество такое, что
а(А) = (J ak{A) , (42)
где (Тк(А) - все ограниченные непересекающиеся спектральные
множества оператора А, причем сг&(А) П cri(A) = 0 при к ф I.
Определим операторы
Pk = ^Tif R(z'A)dz> (43)
где Ck - непересекающиеся контура, содержащие спектральные
множества о&(А). Тогда эти операторы образуют систему
ортогональных проекторов, то есть справедливы равенства
т
£ib = /, Pt^Pk, ВД = о {кф1).
Если обозначить Ak — PkA, то выполняются соотношения:
т
Jfe=i
Спектр оператора Ak есть множество аь(А)и{0}. Операторы Ak
являются ограниченными.

Глава 8. Спектральные методы
147
Рассмотрим ограниченный линейный оператор Л, спектр сг{А)
которого состоит из несвязанных непересекающихся спектральных
множеств (7k(A) так, что имеем (42). Введем С* -
непересекающиеся контура, содержащие <7к(А). Пусть функции fk(z) таковы, что
принимают значение, равное единице внутри контура С^, и равны
нулю вне данного контура. Эти функции принадлежат классу Кд,
и поэтому имеют смысл операторы
Рк = fk(A) = ~ j h(z)R(z, A)dz = ^т <j> R(z, A)dz .
Поскольку для функции fk(z) выполняются соотношения
m
Х>(*) = 1, fk(z)fi(*) = Skifk(z),
A?=l
то для операторов Pk = fk {А) справедливы равенства
m
^Рк = 1, PkPi = 5klPk.
Таким образом, операторы Pk образуют разложение единицы в
сумму ортогональных проекторов. Операторы проектирования,
определяемые соотношением (43), являются спектральными
проекторами, соответствующими спектральному множеству ск{А), Из
формулы (43) следует, что операторы Рк и оператор А коммутируют:
РкА = АРк. Следовательно, каждое из подпространств Нк = РкМ
банахова пространства % инвариантно по отношению к действию
оператора А. Спектр оператора Ак = РкА, действующего на
подпространстве Нк) совпадает со спектральным множеством сгк{А).
Банахово пространство Н является прямой суммой Нк-
Аналогичная теорема выполняется не только для
ограниченных, но и для замкнутых неограниченных операторов. Для
неограниченного оператора А резольвента R(z,A) имеет особую точку
на бесконечности z := со. Рассматривается расширение спектра
о А = a(A) U {°°}- Неограниченный замкнутый оператор А
разлагается на га ограниченных операторов Ак = АРк и замкнутый
оператор Aqq.
^

148
Глава 8. Спектральные методы
8,9. Симметрические и самосопряженные операторы
Разложение оператора, соответствующее разложению спектра
на произвольные части, осуществлено Гильбертом и Нейманом для
самосопряженных операторов. Это разложение имеет большое
значение в квантовой механике в силу того, что наблюдаемые
описываются самосопряженными операторами. Дадим определение
самосопряженности для неограниченного оператора.
Ограниченный оператор называется эрмитовым оператором,
если < Ах\у >=< х\Ау > для всех х,у е %• Такой оператор
имеет полную систему собственных векторов в смысле теоремы о
спектральном разложении ограниченного оператора, которая будет
сформулирована ниже. Однако многие из операторов в квантовой
механике неограничены, следовательно, определены не на всем
пространстве Ну а лишь на некоторой своей области определения D(A).
Если выполнено соотношение < Ах\у >=< х\Ау > для всех хуу из
D(A), которая плотна в И, то оператор А в математике называют
симметрическим, а в физике - эрмитовым.
Определение. Симметрическим (или эрмитовым,) оператором
называется оператор А в гильбертовом пространстве %, для
которого выполнено равенство < Ах\у >=< х\Ау > при всех х,у из
области определения D(A), плотной в Н.
Утверждение. Оператор является симметрическим тогда и
только тогда, когда выполнены следующие условия.
1. D(A) - плотное множество в Н.
2.D(A)cD(A*).
3. А\х >= А*\х > для всех \х >€ D(A).
Для симметрического оператора D(A) С D(A**) С D(A*). Для
замкнутого симметрического оператора D(A) = D(A**) С D(A*)<
Определение. Самосопряженным оператором называется
оператор А, для которого А* = А, то есть выполнены условия:
1. D(A) - плотное множество в Н.
2. D(A) = D{A*).
3. А\х >= А*\х > для всех \х >€ D(A).
Самосопряженный оператор - это симметрический оператор, для
которого D(A) = D(A*). Для самосопряженного оператора имеем
D(A) = D(A**) = D(A*). Замкнутый симметрический оператор А
является самосопряженным тогда и только тогда, когда А* - сим-

Глава 8. Спектральные методы 149
метрический. Для ограниченных операторов условия
симметричности и самосопряженности, очевидно, совпадают. Различие между
замкнутыми симметрическими операторами и самосопряженными
операторами очень существенно. Могут возникать недоразумения,
когда с операторами, являющимися всего лишь симметрическими,
обращаются как с самосопряженными. Именно для
самосопряженных операторов выполняется спектральная теорема.
Симметрический оператор может иметь, а может и не иметь полную систему
собственных векторов в смысле теоремы о спектральном
разложении. Если оператор имеет полную систему собственных векторов,
то он является самосопряженным оператором и описывает
наблюдаемые в квантовой механике.
8* 10. Разложение единицы оператора
Дадим определение спектральной меры и разбиения единицы.
Пусть М есть а-алгебра подмножеств множества М, а В{%) -
алгебра ограниченных операторов на гильбертовом пространстве %.
Определение. Спектральной мерой называется отобраэюение
Е : М —> B(Ti)7 обладающее следующими свойствами.
1. Е(А), где А С М', является самосопряженным проектором.
2. "'"""
3.
Е(Щ = 0, Е(М) = I.
Е{АХ П Д2) = E{Ai)E{A2).
4. E{Ai U Д2) = jE?(Ai) + Е(А2), если Аг П Д2 = 0.
Для любых х,у € Н функция /^(Д) = EXiV(A) =< х\Е(А)у >
является комплексной мерой на М.
Наломним определения а-алгебры и меры, а-алгеброй
называется непустое семейство М подмножеств некоторого множества М,
если выполнены следующие условия.
1.0 6М.
2. Если Ак в М, то U£Li Ak 6 М.
3. Если Ак е М, то njfeLi АкеМ.
сг-алгебра замкнута относительно счетного числа операций
объединений, пересечений и взятия дополнения. Мерой на множестве М
с алгеброй М называется отображение /i : М -» [0;+оо),
обладающее следующими свойствами.
1. /i(0)=O.
2- A*(UfcLi Ak) = E*Li М4ь)> если Д П Aj; = 0 для всех г ф j.

150
Глава 8. Спектральные методы
Определим спектральное множество для оператора А как
множество А, для которого А П сг(А) открыто в С и замкнуто в а(А).
Для всякого А из сг-алгебры подмножеств комплексной плоскости
можно определить самосопряженный проектор Е(А) по формуле
Е{А) = ^-;<( R(z0,A)dz0,
Ж1 Jc{A)
где C(z) г спрямляемая жорданова дуга, содержащая А Па(А)у но
не содержащая других точек спектра сг(А) внутри себя. В
результате получаем отображение А -» S(A), являющееся спектральной
мерой для оператора А.
Важным классом функций f(A) от оператора А являются
функции, соответствующие характеристическим функциям интервалов
вещественной оси. Характеристической функцией полуоси (—oo;z)
называется функция Хевисайда 9(z — А), равная нулю при А > z и.
единице при А < z. Обозначим через Ez = E(z, А) оператор,
соответствующий по формуле(41) функции 9(z — А):
Ez = -L / d(z - A)#(A, A)d\ = ~ / Д(А, A)d\ .
27Гг JС 27Г1 Ус((оо;г])
Иногда оператор Ez обозначают в виде 9(zl - A).
Поскольку квадрат характеристической функции равен ей
самой, то и квадрат самосопряженного оператора Ez равен ему
самому. Следовательно, оператор Ez является проекционным, то есть
Е\ = Ez и Е* = Ez. Приведем определение разложения единицы.
Определение. Разложением единицы называется семейство
проекционных операторов {Ez\z £ R}, удовлетворяющих
следующим условиям.
1. EZlEZ2 = EZ2EZ1 = EZl при zi < z2.
2. Оператор Ez сильно непрерывен по z слева, то есть
lim \\Ех+ех - Егх\\и =0 УхеН.
е>0 е->0.
3. Е-оо = 0, Е+оо — I, где пределы берутся в сильной операторной
топологии, то есть
lim \\Ezx\\u = 0 , lim \\Ezx - х\\п = 0 \/х€-Н.

Гдава 8. Спектральные методы 151
Семейство операторов Ez позволяет построить спектральную
меру. Для полуинтервала Д = [21,22) спектральной мерой является
оператор -Е(А) = EZ2 — EZ1. Спектральную меру естественным
образом можно распространить на наименьшую а-алгебру множеств,
содержащую все точки и полуинтервалы.
Операторы Ez, задающие разложения единицы
самосопряженного оператора А, можно определить через оператор резольвенты
R(zq,A) по формуле
*™ Jc(A)
спрямляемая жорданова дуга, содержащая точки спектра из
отрезка Д = (—оо; z] С К, но не содержащая других точек спектра внутри
себя. Обращением этого равенства является соотношение
/+0О 1
dEz . (44)
-оо z0 ~ Z
Чтобы применять спектральную теорему, нужно иметь в
распоряжении удобный метод построения спектральных проекторов.
Отправной точной анализа можно брать формулу (44),
выражающую резольвенту через оператор Ez.
Рассмотрим спектральные проекторы (проекторы Рисса)
PA = -L/ R(z,A)dz (45)
2™ JC(A)
на изолированных участках спектра. Пусть интеграл Д = (21,22)
содержит изолированный участок спектра, если концы интервала
z\ и z<z не принадлежат спектру. В этом случае часть спектра,
заключенная в Д, может быть отделена от остальной части спектра
замкнутой спрямляемой жордановой кривой С(Д), лежащей
целиком в резольвентном множестве оператора А. Можно положить
С (А) окружностью, для которой отрезок [21,22] служит
диаметром. Пусть z обозначает переменную точку контура С (А).
Подставим выражение для резольвенты (44) самосопряженного оператора
А в интеграл (45). В результате получаем
Ра = тг"7 9 Я(20, A)dz0 = —7 ф dz0 dEz =
2кг Jc(A) 2тгг JC(A) J.^ z0 - z

152
Глава 8. Спектральные методы
= /+0°(Л f -^—dzo)dEx = EZ2 - JS?Z1 - Д(Д) .
У_оо \27гг Ус(А) ^о - z '
Выражение в скобках, как функция г, равно единице внутри С(Д)
и равно нулю вне (7(A). Это приводит к тому, что Рд = jE(A), to
есть операторы J5(A) являются спектральными проекторами.
Если самосопряженный оператор А входит в алгебру фон
Неймана М, то любая непрерывная функция f(A) принадлежит М..
Спектральная функция Ez из разложения единицы оператора А
также принадлежит алгебре фон Неймана.
Теорема. Если V мнооюество всех операторов проектирования на
алгебре фон Неймана М, то Ad = {{V)c)c-
Фактически теорема утверждает, что алгебра фон Неймана
порождается своими операторами проектирования.
Спектральные операторы Ez позволяют определить интеграл
Стилтьеса. Пусть функция /(г), заданная на вещественной оси М,
конечна и измерима относительно всех мер, порожденных
функциями вида
lix,y(z) = EXiV{z) =< x\Ezy > z£R.
Эти функции связаны со слабой операторной топологией,
определенной семейством полунорм ||А||Ж„ =< х\Ау >. В этом случае
интеграл Стилтьеса на отрезке [а, 6] определяется формулой
fb N
/ f(z)dfxXiy(z) = lim J2f(zk){Px9y(zk+i) ~Мх,г/Ы) >
где а < z\ < ... < zm < b,
В гильбертовом пространстве 7i в силу соотношения
поляризации
< х\Егу >= \Y,is\\Ez{x + isy)fH ,
s=0
достаточно предполагать измеримость относительно мер,
порожденных функциями
lht(z) = A>*,x(«) = Ex,x{z) =< x\Ezx >= \\Ezx\\^ г 6 R .
Интеграл Стилтьеса на отрезке [а, Ь] можно определить формулой
f{z)d\\B,x\\n = „*!£,£Я**ЖЯ**+1 " ЕЖк)х\& . .
Ja

Глава 8. Спектральные методы
153
В этом случае интеграл на отрезке [а, Ь] определяется формулой
/
J a
b N
f(z)dEz = Jim Tf(zk)(EZk+1 - EZk) ,
N->oo
k=Q
E(Ak) = EZk+1 - EZk , Ak = [zfc+ь^] ,
где предел понимается в смысле сильной операторной топологии.
Поскольку операторы Ez являются ограниченными
операторами •
ИМ-.*>%!!«< со.
хеп \\Щ\ч
то интеграл можно определять для мер, порожденных функцией
fi{z) = ||Дг||, являющейся нормой оператора Д^. Пусть функция
/(z), заданная на вещественной оси К, конечна и измерима
относительно всех мер, порожденных функциями вида /л(г) = \\EZ\\. Для
любой такой функции интеграл Стилтьеса на отрезке [а, 6]
определяется формулой
/
J a
b N
f(z)dEz = Jim J]/(zfc)E(Afc),
fc=0
где предел понимается по операторной норме, то есть в равномерной
топологии.
В результате определение интеграла можно сформулировать
относительно равномерной топологии, сильной операторной
топологии и слабой операторной топологии.
8.11. Спектральная теорема
Известно, что всякую эрмитову матрицу конечномерного
оператора можно диагонализовать при помощи подходящего выбора
базиса. Спектральная теорема, принадлежащая Гильберту и фон
Нейману, представляет обобщение этого результата на случал
самосопряженных операторов в бесконечномерном гильбертовом
пространстве И. На пути к этому обобщению важную роль играет
теорема Гильберта-Шмидта о компактных самосопряженных
операторах, действующих на гильбертовом пространстве. Согласно этой

154 Глава 8. Спектральные методы
теореме ортонормированные собственные векторы {\ек >}
компактного самосопряженного оператора А образуют базис пространства
% и позволяют представить этот оператор в диагональном виде:
оо оо
A = ^\ek> zk<ek\ = Y^zkP{tk) ,
k=l k=l
где Zk - собственные значения оператора А, отвечающие
собственным векторам \ек >. Спектральная теорема обобщает этот
результат с компактных самосопряженных операторов на произвольные
самосопряженные операторы.
Спектральная теорема.
Для любого самосопряженного линейного оператора А в сепара-
бельном гильбертовом пространстве % существует разлоэюение
единицы {Ez\ z € Щ такое, что оператор А восстанавливается
по семейству {Ez} формулой
/+оо
z < x\dEzy > ye D(A) . (46)
-оо
Элемент х £ И принадлежит D(A) тогда и только тогда,
когда сходится интеграл
/+00 /»+О0
z2d < x\Ezx >= / z2d\\Ezx\\lc < оо .
-оо J — оо
Для х е D{A).
/+00
z2d < x\Ezx > . (47)
-оо
Несобственный интеграл (46) понимается как предел собственного
интеграла
/+оо рЬ
z < x\dEzy >= lim lim / z < x\dEzy > .
-co a->-oo6-K50./a
Формула (47) часто записывается в символическом виде
-Г
J —с
г+оо
А = I zdEz .
-оо

рлава 8. Спектральные методы 155
Для единичного оператора / имеем
/Н-оо
dEz.
-оо
Это соотношение означает, что любой элемент \х > гильбертова
пространства % можно представить в виде
'*>=/
dEz\x >
оо
Данная формула является обобщением на произвольные
самосопряженные операторы разложения
сю
\х >= ]П Iе* > xk j xk =< ek\x > ,
k=l
элемента |,т >Е М в ряд по ортогональному базису {|е& >}^
элементы которого являются собственными векторами непрерывного
ограниченного самосопряженного оператора.
Если оператор ограничен, а га и М - точные нижняя и верхняя'
грани его спектра, то Ez = 0 при z < m и Ez = I при z > М, и,
следовательно,
А= zdEz .
Jm
8.12. Спектральный оператор через кет-бра оператор
Операторы Ez из разложения единицы можно определить через
операторы Р{х) = Р(х,х) = \х ><х\. В случае, когда
собственные значения самосопряженного оператора А образуют дискретное
множество, можно определить оператор
оо
ez= Y1 ^ы = 2>(*-**№)•
к: Zk<z к=1

156
Глава 8. Спектральные методы
Здесь 9{z) - функция Хевисайда, то есть 6{z) = 1 при z > О и
Q(z) = 0 при z < 0. В этом случае разложение самосопряженного
оператора
оо
A==£^P(efc)
можно записать в виде интеграла Стилтьеса
г>+00
-I
z dEz
Z
ОО
В общем случае, когда собственные значения самосопряженного
оператора А образуют несчетное множество, можно определить
операторы Ег по формуле
/z г-гоо
P{x)dx = / 9{z- x)P(x)dx . (48)
-оо J —оо
Дифференцируя по г, видно, что dEz = P(z)dz, то есть
J5(dz) = dEz = P(z)dz = P(z,2)dz = |г > cb < z\ .
Рассмотрим теперь, используя (48), операторы Е(А) = Дг2 — Дг2:
P(x)dx - / P(z)cte = / P(x)dx .
-оо «/—оо Jz\
В результате имеем
Е(А) = Г' P(z)dz .
8,13, Кет-бра оператор через спектральный оператор
Сами операторы Р{х). можно определять через операторы Ez из
спектрального разложения единицы по формуле
fdEz
™-.(£)-

Глава 8. Спектральные методы - 157
Первое условие E(z\)E(z2) = E{min{zi,z2}), определяющее
разложение единицы, можно переписать в виде
E(zl)E(z2) = е(гг - z2)E(z2) + 0(z2 - zl)E(z2) . (49)
формальное дифференцирование (49) no z\ и z2 приводит к
соотношению
P(x)P(xf) = 5(х - х1)Р{х) .
Напомним, что любому оператору Р(х) можно сопоставить кет-бра
оператор Р(х, у) с помощью процедуры поляризации
- п=3
5=0
Таким образом, операторы Ez позволяют однозначно построить
операторы Р(х,у).
Множество кет-бра операторов Р(х,у) образует операторный
базис. Всякий оператор А единственным образом можно
представить в виде разложения по базисным операторам Р(х, у) формулой
А= dxdy a(x:y)P(x,y) .
Функция a(x,y) =< x\A\y >, определяющая оператор А,
называется ядром оператора и записывается в виде
а(х,у) =< х\А\у >= Sp[P{y,x)A] .
Для самосопряженного оператора Л, когда векторы \х > являются
собственными векторами А\х >= \х > а(х), имеем
а(х,у) — а(х)ё(х — у) , А = / a(x)dP(x) , dP(x) = P(x)dx .

158
Глава 8. Спектральные методы
8.14. Функции от самосопряженного оператора
Спектральное разложение позволяет определить широкий класс
функций от неограниченного самосопряженного оператора. Если
функция f(z) конечна и измерима по отношению к мерам,
порожденным функциями /J>x(z) —< x\Ezx >= ||£?гд;||^, где х € %, то
можно определить оператор f(A). Для любой такой функции f(z)
естественно положить, что оператор f(A) задается формулой
/+00
f(z)d\\Ezx\\2H х Е D(f(A)) ,
-оо
/+оо
f(z)dEz , (50)
■оо
где {Ez\z 6 Щ - спектральное разложение единицы, отвечающее
оператору А. Этот оператор, вообще говоря, неограничен. Его
областью определения D(f(A)) служит множество элементов ж, для
которых
r»-foo
\f(z)\2 d\\Ezxfn < оо .
/
J — (
Множество D(f(A)) является плотным в И.
Операциям сложения и умножения функций соответствуют
сложение и умножение соответствующих операторов.
1. Если f(z) = ah(z) + bf2(z), то f(A) = afx{A) + bf2(A).
2. Если f(z) = h(z)h(z), то f(A) = h{A)f2{A).
3. Если [/(*)]* = /V), то [f{A)Y = f{A*).
4.f(a(A)) = a(f(A)).
Если f(z) — z) то, очевидно, f(A) = А и формула (50)
превращается в уже известную формулу (46). Для вещественной
функции f(z) оператор f(A) является самосопряженным. Для функции
f(z) = exp iz оператор ^
/+оо
eizdEz (51)
-00
будет унитарным оператором. Кроме того, всякий унитарный
оператор представим в виде (51). Для ограниченной функции f(z)

Глава, 8. Спектральные методы 159
оператор f(A) является ограниченным. Важным примером
ограниченного оператора /(^4) является резольвента самосопряженного
оператора. Если zq - регулярная точка оператора Ау то функции
f(z) =.(20.— z)~l соответствует резольвента f(A) = R(zq,A) по
формуле
+°° l jv ^ in/ л\ ^- f+°°d<x\Ezy>
/+00 | /•■
dEz , < я| Д(г0, А)у >= /
^0
Эта формула выражает резольвенту оператора А через оператор Ez
разложения единицы оператора А. Используя (50), можно записать
оператор Ezo, соответствующий функции Хевисайда e(zQ—z), в виде
+00 rZQ
/ + ОО Р
в(г0 - z)dEz = J
00
Таким образом, характеристической функции f(z) = 6(zq — z),
соответствует проектор f(A) — EZQ.

ГЛАВА 9.
СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
НАБЛЮДАЕМЫХ
9.1. Коммутирующие и перестановочные операторы
В квантовой механике важную роль играют наблюдаемые,
которым соответствуют коммутирующие и перестановочные
самосопряженные операторы. Система таких операторов позволяет
построить гильбертово пространство, в котором действуют наблюдаемые.
Приведем определения коммутирующих и перестановочных
операторов.
Ограниченные операторы называются коммутирующими,
если АВ\х >— ВА\х > для всех \х >& Н. Если принять это
определение для всех операторов, то тогда даже ограниченный оператор
А не коммутировал бы со своим обратным, если обратный оператор
определен не во всем пространстве T-L. Действительно, в этом случае
В"1В\х >= \х > для всех \х >6 %, то есть В~1В = /. Однако
соотношение ВВ~1\х >= \х > имеет место только для \х >£ D(B~1)J
поэтому ВВ~~1 ф I. Чтобы избежать этого неудобства, используют
следующее определение.
Определение. Ограниченный оператор А назчвается
перестановочным с произвольным линейным оператором В, если выполнены
следующие условия.
1. А\х >е D{B) для любого \х >е D{B).
2. АВ\х >= ВА\х > для любого \х >€ D(B).
Для произвольных двух неограниченных операторов
затруднительно ввести понятие перестановочности. Казалось бы,
неограниченные операторы можно назвать перестановочными, если
выполняются условия:
1. А\х >Е D(B) для любого \х >G D(A).
2. В\х >6 D{A) для любого \х >£ D{B).
3. АВ\х >= ВА\х > для любого \х >£ D(A) D D{B).

Глава, 9. Спектральное представление наблюдаемых 161
Однако области определения операторов могут не иметь общих
элементов, то есть D(A) П D(B) = 0. Эту трудность можно избежать
для неограниченных операторов, резольвенты которых являются
ограниченными операторами. Напомним, что такими операторами
являются самосопряженные и замкнутые операторы. Операторы
можно назвать перестановочными, если коммутируют резольвенты
этих операторов. Поскольку резольвента связана с ограниченными
операторами Ez, входящими в разложение единицы
самосопряженного оператора А, то можно ввести понятие перестановочности для
самосопряженного оператора через проекторы Ez. Для этого
приведем следующие утверждения.
Утверждение. Ограниченные самосопряженные операторы
перестановочны тогда и только тогда, когда перестановочны любые
два проектора из разложения единицы этих операторов.
Утверждение. Ограниченный оператор А перестановочен с
неограниченным самосопряженным оператором В тогда и только
тогда, когда он перестановочен с каждым, проектором из
разложения единицы оператора В.
Эти утверждения позволяют сформулировать определение
перестановочности для самосопряженных неограниченных операторов.
Определение. Перестановочными операторами называются
самосопряженные операторы, для которых перестановочны
проекторы из разложения единицы этих операторов.
Отметим, что перестановочные операторы иногда называют
коммутирующими.
Введем важное понятие порождающего (циклического) вектора
для системы перестановочных операторов. Существует несколько
способов определения, а именно через резольвенту и через
проекторы из разложения единицы.
Порождающим, или циклическим, вектором для оператора А
называется элемент Ф гильбертова пространства 7i, для которого
замкнутая оболочка элементов {Ez$\ z € Ш} совпадает с %.
Очевидно обобщение этого определения на случай нескольких
перестановочных операторов.
Определение. Порождающим (циклическим) вектором для
системы перестановочных операторов JYi,...,Xn называется
элемент Ф гильбертова пространства Н, для которого замкнутая
оболочка элементов {EZl...EZn4!\ z ЕЩ совпадает со всем
гильбертовым пространством Ti.
Приведем определение циклического вектора через резольвенту.

162 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
Определение. Циклическим (порождающим) вектором для
системы перестановочных операторов Xk называется элемент Ф
гильбертова пространства %у если выполнены условия:
1. Наименьшее замкнутое подпространство Но в %
инвариантно относительно операторов резольвенты R(zk>Xk), то есть из
\х >Е Но следует R(zk,Xk)\x >€ 'Но-
2. Подпространство Но совпадает со всем пространством %.
Приведем еще одно определение циклического вектора. Вектор
Ф называется циклическим для неограниченного оператора X, если
множество {д(Х)Щ д 6 С°°(К)} плотно в Ч.
Определение. Операторами с простым спектром называются
перестановочные самосопряженные операторы, для которых
существует циклический вектор.
Для оператора с простым спектром существует элемент Ф
гильбертова пространства И такой, что замкнутая оболочка элементов
{ДгФ| z € Щ совпадает с И. Перестановочные операторы Jfi, ...,Xn
имеют простой совместный спектр, если в гильбертовом
пространстве % существует элемент Ф (порождающий вектор) такой, что
замкнутая оболочка элементов {Ег1...ЕгпЩ Zk E Щ совпадает с
пространством И,.
Оператор умножения на х в пространстве L2(R) есть оператор с
простым спектром. В качестве циклического вектора можно взять
функцию, тождественно равную единице. Самосопряженный
оператор Х^ является оператором с простым спектром, если он унитарно
эквивалентен оператору умножения на х^ в L2(Mn,/x) для
некоторой меры днаМ.
9.2. Обобщенная задача на собственные значения
При решении задачи на собственные значения для оператора А,
действующего в гильбертовом пространстве %, ищут ненулевые
элементы \х > из пространства Н, для которых разрешимо уравнение
А\х >— \х > z. Такие элементы \х >6 И называются собственными
векторами оператора. Однако многие самосопряженные операторы,
используемые в квантовой механике (например, операторы
умножения на число в L2(Mn,/i) или дифференциальные операторы в
I?{Mn,fj)), не имеют собственных векторов в гильбертовом
пространстве И. Можно сформулировать обобщенную задачу на соб-

Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых 163
ственные значения и искать собственные элементы \х >, не
принадлежащие пространству Ч. Основная трудность заключается в том,
чтобы строить элементы, не принадлежащие гильбертову
пространству Ну используя только понятия, связанные с Н. Эту трудность
можно преодолеть следующим образом. В исходном гильбертовом
пространстве % строится более узкое банахово пространство В,
Топология в В вводится так, чтобы функционалы являлись бы
непрерывными на В. В этом случае сопряженное пространство И* = %
оказывается подпространством более широкого сопряженного
пространства В*, в котором и ищутся собственные векторы оператора
Л. Собственные векторы оператора А, принадлежащие В* и не
принадлежащие И* = %, называются обобщенными собственными
векторами. Тройка пространств В СУ, = И* С В* называется тройкой
Гельфанда, или оснащенным гильбертовым пространством.
Банахово пространство В* может быть построено по
пространству И так, чтобы любой самосопряженный в % оператор имел в
£?* полную систему собственных векторов (элементов). Для
самосопряженного оператора с простым спектром и порождающим
(циклическим) вектором Ф разложение любого элемента \х >€ В по
обобщенным собственным векторам имеет вид
/+оо
\ez > x(z)dfj1{z) , (52)
-оо
где /j,(z) =< Ф|.Б^Ф >, элемент \ez > удовлетворяет уравнению
A\ez >= \ez > z, а функция x(z) определяется из равенства
x(z) =< ez\x >. Формула (£2) аналогична формуле обратного
преобразования Фурье, где роль \ez > играет функция exp(izx) и мера
f.t(z) = z. Для элемента \х >€ В справедливо равенство
\x{z)\2dix{z) = | < ez\x > \2dn{z) ,
-оо ./-оо
являющееся аналогом равенства Парсеваля. Для оператора с
произвольным спектром разложение произвольного элемента \х >Е В
по обобщенным собственным векторам имеет вид
/+оо
|е* > xk{z)dfik{z) , xk{z) =< ekz\x > .
-оо

164 Глава, 9. Спектральное представление наблюдаемых
9.3. Классификация точек спектра
Пусть А - самосопряженный оператор в гильбертовом
пространстве И, a Ez - отвечающие ему спектральные операторы из
разложения единицы. Элемент \х >£ % называется регулярным
относительно оператора Л, если функция рх ==< x\Ezx > является
абсолютно непрерывной при z Е К, и сингулярным элементом,
если абсолютно непрерывная часть функции рх =< x\Ezx >
равна нулю. Гильбертово пространство разбивается в прямую
сумму взаимно ортогональных подпространств: подпространство Tiac
абсолютно непрерывных элементов и подпространство Using
сингулярных элементов. Спектр оператора А, определенного на
подпространстве Нао называется абсолютно непрерывным
спектром сгас(Л) оператора. Спектр оператора А, определенного на
подпространстве Using) называется сингулярным спектром asing{A)
оператора. Собственные значения оператора А принадлежат
сингулярному спектру osing(A). В общем случае сингулярный спектр
разбивается на чисто точечный спектр и чисто непрерывный спектр.
Пространство Hsing может быть разбито в прямую сумму
взаимно ортогональных подпространств: подпространство Нрр, в
котором собственные векторы оператора образуют полную систему, и
подпространство %рС1 в котором оператор не имеет собственных
векторов. Спектр оператора А в подпространстве Wpp
называется чисто точечным спектром арр(А), а в подпространстве Нрс
- чисто непрерывным спектром арс(А). Обычно дискретным
спектром называют все собственные значения конечной
кратности, не принадлежащие предельному спектру. Предельным
спектром самосопряженного оператора называют точки абсолютно
непрерывного спектра, предельные точки множества собственных
значений и собственные значения бесконечной кратности.
Спектр самосопряженного оператора называется лебеговым
спектром, если функции ц(г) =< Ф|£^Ф >, где Ф € %,
измеримы по Лебегу. В этом случае мера, порожденная функциями /i(z),
может быть представлена в виде p(z)dz с суммируемой на любом
конечном интервале функцией p(z). Воспользуемся взаимосвязью
операторов Ez и P(z)9 имеющей вид dEz = P(z)dz. Меру dp(z) на
действительной оси (z € К) можно записать следующим образом:
dp{z) =< Ф|#*Ф >=< Ф|Р(г)|Ф > dz = | < *|Ф > \2dz .

Глава 9- Спектральное представление наблюдаемых 165
Следовательно, функцию p{z)} суммируемую по Лебегу, можно
представить в виде p(z) = | < *|Ф > |2 = |Ф(^)|2.
9.4. Спектральное представление
Пусть операторы Х\}..., Хп образуют систему перестановочных
операторов с простым спектром, тогда мера в пространстве zi,..., zn
порождается функцией
IM{zu...,zn) =<ЩЕХ1...ЕгпЪ > ,
называемой спектральной функцией операторов Х\,..^ХП.
Теорема о спектральном представлении.
Существует единственный изоморфизм (представление)
гильбертова пространства И, в котором действуют самосопряженные
операторы Xi,...,Xn с простым спектром, на пространство
L2(Mn) квадратично интегрируемых функций, при котором
выполнены следующие условия.
L Циклическому вектору соответствует функция,
тождественно равная единице.
2. Оператору Хь соответствует оператор умножения на
независимую переменную х^, который переводит функцию 4>(xi)...,xn)
из L2(Rn) в функцию Xkty(xi,...,xn).
Данный изоморфизм гильбертова пространства на пространство
L2(Rn) называется спектральным представлением.
Ограниченный и самосопряженный операторы, перестановочные со всеми
операторами с простым спектром, в спектральном представлении
реализуются как операторы умножения на функцию.
Утверждение. Любой самосопряженный (ограниченный) оператор
А, перестановочный со всеми операторами с простым спектром,
переходит при изоморфизме в оператор умножения на
измеримую вещественнозначную (ограниченную) функцию f(xi,...,xn),
который переводит функцию Ф(^1, .-.,хп) из L2(Rn) в функцию
/(si,...,&п)Ф(я1,...,&п).
Сформулируем теорему о спектральном представлении в более
общем виде.
Теорема. Существует изоморфизм гильбертова пространства И
на пространство L2(Mn,/i) комплекснозначных, суммируемых с

166 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
квадратом функций на и-мерном пространстве с положительной
мерой /i. При этом перестановочные операторы переходят в
операторы умножения на измеримые, вещественнозначные и почти
везде конечные функции на пространстве М.
Пусть функция f{z\, ...,£n), измеримая относительно мер,
порожденных спектральной функцией jJ>(zi,...,zn) операторов Х\,...,Хп.
Любой такой функции /(2i,...,2n) можно сопоставить оператор
f(Xi,...,Xn) от семейства перестановочных самосопряженных
операторов Xi,...,Xn по формуле
< Ф|/(ХЬ...Х)Ф >= / f(zu...,zn) < V\dEXl...dEXn* > ,
которая часто записывается более кратко в виде
f(Xu...,Xn) = [ f{zu...,zn)dEZl...dEZn.
JRri
Областью определения оператора f(Xi,...Xn) является множество
£(/) = {* 6 «| / \\f(zu...,zn)\\2 <x\dEZl...dEZnx ><оо} .
JRn
Для ограниченной функции f{zi,...,zn) оператор /(-Yi, ...,Xn)
является ограниченным, а для вещественной функции f{zi,...,zn)
оператор f(Xi,...,Xn) является самосопряженным.
Теорема. Пусть {Х\,..., Хп} - перестановочные самосопряэюенные
операторы с простым спектром. Если А - самосопряженный или
ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами
Xk, то существует такая функция /(2i,...,zn), что оператор
A = f(Xu...,Xn).
Теорема Неймана. Если {-X"i,...,Jfn} - семейство перестановоч-
ных самосопряженных операторов, то существует такой
самосопряженный оператор X, что все операторы Xk являются его
функциями: Xk — fk{X)-
Утверждение. Если {Х\,...,Хп} - семейство перестановочных
самосопряженных операторов, то существует общая полная
система собственных векторов всех этих операторов
причем каждой совокупности собственных значений х\,...^хп
соответствует один собственный вектор \х-\,...,хп >.

рлава 9. Спектральное представление наблюдаемых 167
9.5. Полные системы коммутирующих наблюдаемых
После определения наблюдаемых квантовой системы и
установления коммутационных соотношений необходимо построить
гильбертово пространство, в котором действуют эти наблюдаемые. Для
этого достаточно задать систему базисных векторов пространства и
установить действие наблюдаемых на эти векторы. Чтобы
определить базисную систему векторов, из всего множества наблюдаемых
выделяют полный набор коммутирующих наблюдаемых - систему
перестановочных операторов Х\, ...,-Х"п. Базисные векторы
определяются как собственные векторы этих операторов. Каждый набор
собственных значений х\,...,хп этих наблюдаемых определяет
вектор Ф(#1, ...,жп) в пространстве % с точностью до постоянного
множителя. Фиксируя этот множитель, находим вектор \xi,...,xn >.
Множество всех таких векторов \х\, ...,хп > образует полную
ортогональную систему векторов в гильбертовом пространстве %. Если
же фиксировать нормировку векторов |#i,..., хп >, то получим
полную ортонормированную систему базисных векторов:
< x,u...,x,n\xi>...,xn >= 6(x,i,xi)...8(x'n,xn) •
Здесь 5(xfk,Xk) является символом Кронекера SxfkXk, если
собственные значения х^ из дискретного спектра, и дельта-функцией 5(x'k —
Xk)y если собственные значения Xk из непрерывного спектра.
Таким образом, базисная система векторов в пространстве Н
определяется при задании спектров наблюдаемых. Алгебра
наблюдаемых квантовой системы позволяет определить гильбертово
пространство %, в котором наблюдаемые действуют как операторы.
Для одномерной квантовой системы достаточно одного числа,
чтобы перенумеровать базисные векторы в гильбертовом
пространстве, на котором определены наблюдаемые. Для базисного
вектора \х > обычно существует оператор X, для которого этот
вектор является собственным вектором. Для квантовой системы с п
степенями свободы обычно необходимо п чисел для нумерации
базисных векторов. Набор перестановочных самосопряженных
операторов Х\,...,ХП, который полностью определяет базис,
называется полной системой коммутирующих наблюдаемых. Собственные
значения xi}...,xn операторов Xi,...,Xn называются квантовыми
числами.

168 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
Определение. Полной системой коммутирующих
наблюдаемых (ПСКН) называется система самосопряженных операторов
Xi,...,Xn, для которой выполняются следующие условия.
1. Перестановочность (коммутативность): операторы Х{ и Xj
являются перестановочными для всех % и j.
2. Взаимная независимость: ни один из операторов Хк не
является функцией остальных.
3. Полнота: любой оператор А, перестановочный со всеми
операторами Хь, является функцией от этих операторов.
Алгебра наблюдаемых должна удовлетворять требованию
существования полной системы коммутирующих наблюдаемых. Это
требование является, безусловно, ограничительным. Задача о том,
для каких инволютивных операторных алгебр существует полная
система коммутирующих наблюдаемых, до настоящего времени в
общем виде не решена. Эта задача решена лишь для некоторых
типов операторных алгебр. Известно, что для обертывающей алгебры
нильпотентной или полупростой группы ПСКН существует.
В теоретической физике часто задача состоит не в нахождении
ПСКН для заданной операторной алгебры, а в решении обратной
задачи. На основе экспериментальных данных определяют, сколько
квантовых чисел необходимо и каковы их возможные значения.
Постулат. Оператор, отвечающий наблюдаемой, надо выбирать
так, чтобы все измеряемые числовые значения (средние значения)
этой наблюдаемой являлись бы собственными значениями этого
оператора.
Это предположение позволяет получить ПСКН и ее спектр.
Таким образом, вопрос о том, что представляет собой ПСКН для.
рассматриваемой конкретной квантовой системы, а также вопрос о
том, когда набор перестановочных операторов можно считать
полным, являются чисто физическими вопросами. Если эксперимент
дает больше значений, чем имеется в данной системе
перестановочных операторов, то эта система неполная. В этом случае необходимо
расширить систему коммутирующих наблюдаемых и ввести новое
квантовое число, что приводит к расширению алгебры.
Обычно в квантовой механике предполагают, что для алгебры
наблюдаемых квантовой системы, всегда существует ПСКН.
Следовательно, перестановочные операторы Х\у ...,ХП обладают набором
собственных векторов \xi...xn >:
Xk\xi...xn >= \xi...xn > xk .

рлава 9. Спектральное представление наблюдаемых 169
Эти собственные вектора таковы, что любой вектор |Ф >
пространства % может быть представлен в виде
|Ф >= / йц{х\...хп)\х\...хп >< х\...хп\*$ > .
Математически это предположение означает, что выполнены
условия спектральной теоремы.
Все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы
пространства изоморфны друг другу. Гильбертово пространство квантовой
системы можно описывать абстрактным гильбертовым
пространством. Однако часто бывает удобным использовать конкретную
реализацию, например в виде пространства L2(M). Это аналогично
использованию в классической механике некоторой системы
координат вместо бескоординатной формы записи. Если задана ПСКН,
то гильбертово пространство % может быть реализовано как
пространство функций Ф = Ф(:&1,...,а;п) со скалярным произведением,
определенным мерой /i = /a(xi, ...,жп) по формуле
<Ф!|Ф2>= / Ф*(яь...,яп)Ф(яь ...,xn)dtA{xi,...,xn) .
JM
При этом операторы Х\,...,ХП являются операторами умножения
на соответствующие переменные
XkV(xu...,xn) = аг*Ф(ж1,...,я;п) .
Описанную конструкцию называют икс-представлением (X-
представлением). Такую реализацию абстрактного гильбертова
пространства часто называют спектральным представлением,
связанным с заданной полной системой коммутирующих
наблюдаемых. В квантовой механике оно иногда называется
представлением, в котором операторы Х\,...,ХП диагональны. Можно сказать,
что такое представление реализуется как пространство функций на
спектре наблюдаемых, образующих полную систему.
Если образующие ПСКН наблюдаемых Х^ одновременно
принимают точные значения хь, то это означает, что квантовая система
находится в чистом состоянии. Поэтому полная система
коммутирующих наблюдаемых часто называется полным набором совместно
измеримых наблюдаемых.

270 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
9.6. Операторы рождения и уничтожения
В квантовой механике часто используются следующие
кинематические представления: матричное, координатное, импульсное, икс,
спектральное, смешанное, qp—, pq—, голоморфное, представление.
Опишем теперь голоморфное кинематическое представление. Для
этого нам понадобятся операторы рождения и уничтожения,
которые будут сейчас определены.
При замене классических переменных qk и рк комплексными
переменными
Zk = ~J2<qk~ iPk^ ' Z*k = ^Qk + iPk^
двойная система канонических уравнений Гамильтона
£ "_'ая ^ ___£# *
dt9k " dpk ' dtPk " dqk
заменяется одной системой комплексных уравнений, а именно
dtZk" %dzi'
Рассмотрим операторы, соответствующие переменным а& и а*к
при квантовании тг:
Определим операторы рождения а^ и операторы
уничтожения dfc следующим образом:
а* = 7Ш^к ~iPk^' а* = ТИ^ + iPk>>'
Эти операторы эрмитово сопряжены друг другу ajj" = (%)*. Из
канонических коммутационных соотношений (ККС) Гейзенберга (20)
следуют коммутационные соотношения для операторов а^:

г ява 9. Спектральное представление наблюдаемых 171
Алгебра операторов {а£, а^, 1} изоморфна алгебре Гейзенберга Н^.
Операторы ajf, так же как и операторы Qk,Pk-> действуют в
гильбертовом пространстве К. Как известно, в гильбертовом пространстве
fl существует вектор |0 >, который является нормированным век-
хором. Этот вектор аннулируется всеми операторами уничтожения
а-|0>=0 , <0|0>=1 .
Вектор |0 > называется вакуумным вектором. Действуя на этот
вектор операторами рождения ajj", получаем набор нормированных
векторов
\п >= ^~-\0 > , < n\ri >= 6(n,ri) . (53)
vn!
Здесь
N
>=\тц...пм>, п\ = Цпк\, (а+)я = (о+Г...(а+)ЛГ
\п .....
fc=i
Рассмотрим оператор Щ = %ак% Вектор
(at)71*
\пк>=Щ1т\0>
является собственным вектором оператора JVfc, а числа п& (п& > 0)
являются соответствующими собственными значениями
Щщ >= |па. > nfc , Nk\n >= |n > nfc .
Операторы {iVfc} образуют полный набор коммутирующих
наблюдаемых, так как [iVfc, JVj] = 0. Множество векторов {\п >} образует
ортонормированный базис в гильбертовом пространстве Н:
оо
< n\nf >= 8nni , ^2 \n >< n\ = ^ • (54)
71=1
Действие операторов а^1 в гильбертовом пространстве % дается
формулами
ак \Пк >== \Пк ~ 1 > \АЙ , ^fc \Пк >= |ПЛ + 1 > Vn^TT .

172 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
Координатное представление базисных векторов \п > имеет вид
N N
< q\n >= П < 9k\nk >= П фп*(%) >
k=l A;=l
Вакуумный вектор |0 > в координатном представлении
У7ГЛ
Пусть {\п >} является ортонормированным базисом (54) в
гильбертовом пространстве Н, тогда система {|n, га >} кет-бра векторов
|п, га >= ||п >< га| >= |Р(п,га) > является ортонормированным
базисом в пространстве Лиувилля Н:
оо
< n, ra|n',ra' >= Snnt5mmt , V", |гс»тгс >< n,ra| = 1 .
n,m=l
Для произвольного элемента |Л >€ % имеем
|;4 >= ^2 КгаХп,га|А>, < п,т\А >=< n\A\m >= А(п,га).
n,m=l
9.7. Нормальное упорядочение
Полином А(д,р) можно переписать через переменные z^ и z\ в виде
|t|,|j|<m
Здесь используем обозначение z = (^1,^2, ...,я#), и мультииндексы

рлава 9. Спектральное представление наблюдаемых 173
Этому полиному A(z,z*) можно сопоставить оператор A(a+,a~) в
виковской (нормальной) форме, в которой операторы
рождения стоят слева от операторов уничтожения. Этот оператор
представляется в виде суммы ряда
Л(а+,а-)= ]Г Ац{а+У(а~У , (55)
Шз\<т
слабо сходящейся на области определения операторов а±.
Если сумма конечна, то оператор А(а+, а~) называется
полиномиальным. Оператору, представимому в виковской форме, можно
сопоставить формальный ряд
A{z,z*)= J2 >MV)J\
где я = (21,22? -"»2#) - комплексные переменные. Этот ряд
называется виковским символом оператора Л(а+,а~).
Утверждения.
1) Любой ограниченный оператор представим в виковской
(нормальной) форме.
2) Ряды, определяющие виковские символы линейных ограниченных
операторов, являются сходящимися.
3) Виковский символ A(z,z*) ограниченного оператора А(а+,а~)
является значением при v = z* целой функции 2N комплексных
переменных
A(z,v) = ]P AijZlvj .
Действие оператора Л(а+,а~) выражается через его виковский
символ A(zr z*), формулой
(A(a+,a-)$)(z) = (A{zy)<H{z)ev^z-v4vdv\
Отметим, что виковский символ A{z,z*) любого вполне
непрерывного оператора А(а+)а~) стремится к нулю при \z\ —> оо.
Замечание. Вейлевское квантование в случае квантовых систем с
бесконечным числом степеней свободы не позволяет сопоставить

174 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
символ для оператора Гильберта-Шмидта. Виковское квантование
замечательно тем, что хорошо переносится на случай бесконечного
числа степеней свободы. С помощью виковского квантования
можно сопоставить символ любому ограниченному оператору. При этом
ряд для виковского символа A(z,z*) превращается в бесконечный
ряд, сходящийся при любых Zk и z\ с суммируемыми квадратами.
9.8. Голоморфное представление
Перепишем оператор Вейля через операторы а± в виде
г % у/2Н
W{a,b) = exp-(aQ + bP) = exp-—-(a(a+ + a~) +ib(a+ - a~)) =
i
= exp—j==z((a + ib)a+ + (a — ib)a~) .
Введем комплексный параметр
a = —7= (a + ib) ,
тогда оператор Вейля можно записать в виде
W(a) = exp[aa+ - a*a"] = е'**"* eaa*e~a*a~ .
Закон умножения этих операторов
W{a)W(0) = eiImW>W(a 4- j3) .
Когерентным вектором (когерентным состоянием)
называется вектор
\a>=W(a)\0> .
Этот вектор иногда называют пуассоновым вектором.
Учитывая вид оператора W(a) и определение вакуумного вектора,
получаем
оо п
\a>=e-*aa'eaa+\0>=e-1*aa'T-^=\n> . (56)

Глава #• Спектральное представление наблюдаемых 175
Отметим, что векторы Баргмана
оо п
являются аналитическими (голоморфными) функциями от а.
Когерентные векторы являются собственными векторами оператора
a~\a >= |а > a , < а|а+ = а* < а| .
Эти равенства доказываются непосредственно, исходя из
определения. Из формулы (56) сразу следует
<a\P>=exp[a*P-±c?-±02].
Это соотношение показывает, что когерентные векторы не
ортогональны для различных параметров а, /?. При а = /3 имеем
< a\a >= 1 и , следовательно, норма вектора \а > равна
единице. Разложение единицы
/ = / \а > dp(a) < а\ , dp(a) = dada* = —dRea dlma .
J к
Поскольку в мере стоит множитель тг, когерентные векторы
образуют переполненную систему. Пусть а — гехргв, ф(а) = v~lrdrd9.
Фактически для любого г можно написать выражение
\n >= exp{^r2)\Vni. [(Юе~ш\а > ,
которое указывает на то, что векторы для любого
фиксированного г образуют полную систему. Когерентные векторы не являются
линейно независимыми. Так, один когерентный вектор \а > может
быть выражен через другой вектор |/3 >:
\а >= Jd№) |/3 > ехр(ар* - 1-е? - ±/?2) .
Таким образом, когерентные векторы образуют переполненную
систему, и поэтому разложение по ним не является однозначным.

176 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
Рассмотрим произвольный вектор |Ф >£ Н. Используя
соотношение полноты, получаем
|Ф >= / ф(а) \а >< а|Ф >= / ф(а) |а > Ф(а*)еН<**<*) . (57)
Здесь функция
Ф(а*) =< а|Ф > ехр(-а*а) =< а||Ф >
является аналитической функцией от а*. При этом условии
разложение (57) единственно. Если допускаются функции, зависящие как
от а*, так и от а, то разложение не будет единственным. Скалярное
произведение двух векторов |Фх > и |Ф2 > определяется формулой
< фх|ф2 >= /ф(а)[Ф!(а*)]*Ф2(а)е~а*а .
Можно показать, что это соотношение удовлетворяет всем условиям
скалярного произведения. Вследствие этого имеем представление %
как гильбертова пространства целых аналитических функций
комплексных переменных а, называемое голоморфным
представлением или представлением Фока-Баргмана.
Рассмотрим произвольный оператор А, действующий в
гильбертовом пространстве T-L. Используя дважды разложение единицы,
находим
А = f dti{a)dfi(fi)\a >< а\А\р >< Р\ =
= f dp(a)dp{/3)\a > A(a\p)e"2^^PmP) < /3| .
Здесь
А(а*,/3) = expha*a + p*p) < а\А\р >=< а\\А\\Р > .
Из аналитичности векторов \\а > и ||/3 > следует, что А(а*,Р)
является аналитической функцией от а* и /3, и при этом условии
единственной. '

Глява 9. Спектральное представление наблюдаемых 177
Вместо суммирования по векторам базиса \п > можно провести
интегрирование по комплексной плоскости, что часто оказывается
значительно более простой задачей. Например, для оператора,
записанного в нормальной (виковской) форме
А = ^Апт(а+)П(а~)т
имеем
A(a*,p) = J^Anm< a\(a+)n(a-)m\l3 > expect*a + /?*/?) =
• = ]T Anm(a*)n(P)m < a\0 > exp±(a*a + /3*{3) =
= J2Anm(c*T(P)mexp(a*p).
n,m
Шпур оператора можно представить в виде
Sp[A] = / dfi(a) < a\A\a > ,
Sp[A] = fdp{a) У <n\A\m > exp(-a*a) (a*^T .
J tt \/n\m\
n,m
9.9. Вероятностное пространство
Пусть В есть некоторое множество. Алгеброй множеств
называется класс подмножеств В множества В, для которой выполнены
следующие условия.
1. 0 еВ и В е В.
2. Если Дх € В и А2 £ В, то Д]. П А2 € Б и Д2 U Д2 € Б.
3. Если Д € 5, то (М \ Д) G 5, где М \ Д - дополнение к Д .
Класс множеств называется cr-алгеброй, если второе условие
выполняется для любых счетных последовательностей множеств:
4. Если все Ак Е В, то f|£i Ак £ В и \J^=1 Ак е В.

178 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
В этом условии достаточно потребовать выполнения лишь одного
из приведенных двух соотношений.
Таким образом, алгебра множеств есть класс множеств,
замкнутый относительно конечного числа операций дополнения,
объединения и пересечения; <т-алгебра есть класс множеств замкнутый
относительно счетного числа этих операций. Пара (В, В),
состоящая из множества В и сг-алгебры Б, называется измеримым
пространством. Минимальная а-алгебра, содержащая интервалы
действительной прямой, называется борелевской. Множества,
принадлежащие сг-алгебре, порожденной всеми открытыми и замкнутыми
подмножествами пространства действительных чисел, называются
борелевскими множествами.
Вероятностной мерой (вероятность) на измеримом
пространстве (В, В) называется отображение р : В -» [0; 1], для которой
выполнены следующие условия
1.р(0)=Оир(В) = 1,
2. Если Дь е В и ДЛПД/ = 0 при к ф /, то pflJ^U A*) = ££Li р(Д*)-
3. Существует последовательность {Вк} подмножеств В^ из В
такая, что UjfeLi Вк = В.
Вероятностным пространством называется набор (В,В}р),
состоящий из множества В, cr-алгебры В и вероятностной меры р на
(В, В).
Рассмотрим кинематическое множество, то есть упорядоченную
тройку (М,5, S), образованную следующими множествами.
1. Множество М всех наблюдаемых квантовой системы.
2. Множество S всех состояний квантовой системы.
3. Множество В всех измеряемых числовых значений.
На множестве В часто определяют структуру измеримого
пространства. В качестве В обычно рассматривают множество борелевских
подмножеств действительной прямой или Шп с сг-алгеброй
борелевских множеств. Постулируется, что существует функция р,
которая каждой тройке (Да;, Д), где А 6 М, и € S и Д € В , ставит
в соответствие некоторое действительное число р(Л,а;,Д) G [0;1].
Предполагают, что функция р(А, о;, Д) обладает свойствами,
которые определены следующими постулатами.
1. Для любой наблюдаемой А 6 М и любого состояния и Е S
функция р(Да;,.) : Д —> [0; 1] является вероятностной мерой, то есть
выполняются следующие условия:
a. р(А, о;, 0) = 0 и р(А, ш,В) = 1.
b. Если Д*ПД; = 0 при к ф /, то р(А, иу (J£Li A*) = ££Li р(Д w, Д*)■

Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых 179
2- Две различные наблюдаемые имеют разные вероятности хотя бы
в одном из состояний:
Если р(А, ш, А) = р(А\ а;, А) ддя всех и € S и А 6 J3, то А = А!.
3. Двум различным состояниям соответствуют разные вероятности
хотя бы для одной из наблюдаемых:
Если р(А, ш, А) = р(А, и/, А) для всех 4gMhAgB,tow = w/,
4. Для измерения наблюдаемой f(A) нужно измерить наблюдаемую
Лик результату применить функцию /: Если / - действительная
борелевская функция, то р(/(Л),о;, А) = р(А^и}/"г(А)) для всех
u&S я АеВ.
5. Выполняется аналог принципа суперпозиции для смешанных
состояний: Если и = Y!kL\a^k, где Y!kLiak = 1 и ak € (0;1), то
р(А,и, А) = Y%Li akP(A,Uki А) для всех Ае В и Ае М.
Приведенные постулаты означают, что функция р(А, о;, А) есть
вероятность того, что при измерении наблюдаемой А в состоянии
си получим значение, принадлежащее множеству А С В.
Опишем взаимосвязь функции р(А, о;, А) и разложения единицы
оператора, описывающего наблюдаемую.
Для любого самосопряженного оператора Л, описывающего
наблюдаемую, и всякого спектрального множества А из а-алгебры
подмножеств множества В (действительной прямой) можно
определить самосопряженный проектор Е(А) - проектор Рисса. Можно
проверить, что функция, определенная формулой
р(А,ш,А)=ш(Е(А))
задает искомую вероятностную меру. В результате имеем
утверждение.
Утверждение. Состояние квантовой системы сопоставляет
каждой наблюдаемой вероятностное распределение ее возможных
измеряемых числовых значений, то есть меру на вещественной оси.
Математическое ожидание (среднее значение) наблюдаемой А в
состоянии ш можно записать в виде
< А >= w(i4) = / zduj(Ez) = / zdp(A,LO,z) .
Функция р(А, о;, z) = u(Ez) = Sp[pEz] является функцией
распределения наблюдаемой А квантовой системы, находящейся в состоянии
и). Для конечномерного оператора эта функция является кусочно-
постоянной функцией, имеющей скачки в точках z, совпадающих

180 Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых
с собственными значениями оператора А. В общем случае
функция р(А,ш,г) не обязана быть функцией скачков. Множество
измеряемых числовых значений наблюдаемой А совпадает с
множеством точек возрастания функции p(A,u,z) для всех возможных
состояний и. Знание математических ожиданий для всех
наблюдаемых эквивалентно знанию вероятностных распределений, так как
p(A}u,z) = u(Ez)=<Ez >.
Приведем определение важного для квантовой механики
понятия измерения.
Определение. Измерением со значением в множестве В
называется отображение множества состояний S в множество
вероятностных мер на В.
Имеет место утверждение, позволяющее описывать измерения в
терминах разложения единицы оператора.
Утверждение. Существует взаимно однозначное соответствие
между измерениями и разлооюением единицы, которое задается
соотношением
p(A,u,z)=u{Ez) = Sp[pEz}.
Функция распределения р(А, о;, z) интерпретируется как
распределение вероятностей результатов измерений наблюдаемой А
относительно состояния и 6 S.

ГЛАВА 10,
ДИНАМИКА И СУПЕРОПЕРАТОРЫ
10.1. Динамическая структура
Динамическая структура описывает эволюцию кинематической
структуры. Эволюция наблюдаемых задается дифференциальными
уравнениями в банаховом операторном пространстве или на
операторной алгебре. Эволюция состояний задается
дифференциальными уравнениями на множестве операторов "плотности S(H). Таким
образом, динамическая структура задается дифференциальными
уравнениями dAt/dt = С At на некотором подмножестве банахова
операторного пространства или алгебры М,. В каждом данном
случае оператор At будет соответствовать или наблюдаемой, или
состоянию системы. При этом оператор At является элементом
подмножества банахова операторного пространства или алгебры М.
Супероператор С представляет собой отображение этого
операторного пространства (алгебры) в себя, порождающий бесконечно
малое изменение At. Решение At = Ф*А задачи Коши для
дифференциального уравнения с начальным условием At=o = А описывается
полугруппой супероператоров Ф*. Следовательно, основными
математическими понятиями динамической структуры квантовой
механики являются супероператоры, полугруппы и дифференциальные
уравнения на операторном пространстве (алгебре).
Динамическая структура V определяется математической
структурой на множестве (дифференциальных, интегральных,
разностных) уравнений, заданных на кинематическом множестве К. Эти
уравнения описывают эволюцию элементов кинематической
структуры. Динамическую структуру обычно определяют, используя
математические структуры, связанные с дифференциальными
уравнениями. Определение в общем виде математической структуры
дифференциальных уравнений связано с некоторыми сложностями.
Эти сложности обусловлены тем, что дифференциальные
уравнения не относятся к тем изначальным математическим структурам,
которые можно определить обозримой системой аксиом.

182
Глава 10. Динамика и супероператоры
В большинстве физических теорий динамическая структура
задается некоторой совокупностью дифференциальных уравнений,
определяющих поведение состояний р G S и наблюдаемых A £ М.
Мы будем записывать такие дифференциальные уравнения в виде
Es{p) — 0 и Ем(А) = 0 соответственно.
Для описания динамической структуры квантовой механики и
многих других физических теорий можно ограничиться
линейными дифференциальными уравнениями в банаховом пространстве.
В этом случае Е$ — d/dt — Л$ и Ем — d/dt — Ct, где отображение
At называется супероператором Лиувилля, a Ct - линейным
супероператором Гейзенберга. Линейным дифференциальным уравнением
называется соотношение вида dA/dt = CtA, где А = A(t) - искомая
функция со значениями в банаховом пространстве. Для каждого
фиксированного t супероператор Ct представляет собой линейное
отображение банахова пространства /С в себя. Производная dA/dt
понимается как предел по норме банахова пространства
разностного отношения r~*[A(t + т) — A(t)] при т -> 0.
Постулат о динамической структуре.
Любая динамическая структура Veq определяется заданием
следующих данных.
1. Упорядоченная тройка множеств, называемая динамическим
множеством Deq и образованная следующими множествами.
1.1. Множество Dm уравнений Ем(А) = 0 для элементов
подмножества мнооюества М, решения которых интерпретируются как
эволюция наблюдаемых.
1.2. Множество Ds уравнений Es{p) = 0 для элементов
подмножества мнооюества S, решения которых интерпретируются как
эволюция состояний.
1.3. Множество Db уравнений Е&(< р\А >) = 0 для элементов
подмножества мнооюества В, решения которых
интерпретируются как эволюция измеряемых числовых значений.
2. Математические структуры {Vm^s^b), заданные на
динамическом множестве Deq = (Dm,Ds,Db)-
В общем случае множество динамическая структура определена
не на всем кинематическом множестве. Дифференциальное
уравнение обычно определяется не на всем множестве К, а на некотором
его подмножестве, являющемся областью определения
отображения Cf Уравнения, заданные на кинематической структуре,
называются динамическими уравнениями (уравнениями движения или
эволюционными уравнениями).

fjjaBa, 10. Динамика и супероператоры
183
Во многих физические теорий динамические структуры обычно
задается постулированием дифференциальных уравнений на
кинематическом множестве. Сами эти уравнения, как правило,
подчинены некоторым фундаментальным принципам, имеющим
геометрическую, либо алгебраическую, либо функционально-аналитическую
природу. Эти принципы фактически определяют на динамическом
множестве математическую структуру.
Если кинематическая структура задана некоторым постулатом,
то явное нахождение кинематического множества и его структуры
является задачей динамики. Основной задачей при рассмотрении
динамической структуры, заданной дифференциальным
уравнением, является решение задачи Коши. Задачей Коши для
дифференциального уравнения Е(А) = 0 называется задача о нахождении
решения А = Ф(£,£о)^4о) этого уравнения, удовлетворяющего
начальному условию Ф(£о>*о? А)) = Аь При этом множество всех решений
динамических уравнений отождествляются с реальным
кинематическим множеством физической системы. Таким образом,
реальным кинематическим множеством является тройка множеств,
состоящая из множеств решений уравнений для наблюдаемых, для
состояний и для измеряемых числовых значений.
С динамической структурой, а точнее с решениями
динамических уравнений, связаны отображения на кинематическом
множестве. Поэтому динамическую структуру можно определять через
отображения Ф кинематической структуры. Отображения,
соответствующие реально наблюдаемым движениям, обладает рядом
общих свойств. Эти свойства отличают отображения Ф, которые
могут являться движениями (эволюцией) физической системы, от
отображений, которые таковыми быть не могут. Отображения, которые
могут описывать эволюцию кинематической структуры, называют
динамическими (эволюционным).
Определение. Динамическим (эволюционным)
отображением называется отобраэюение Ф: Т хТ х К —> К такое, что
(t,to,A) -+ Ф(Ь^о,А) и удовлетворяет следующим условиям.
1. Начальное условие: Ф(4, £, А) = А для всех А Е К и всех t ET.
2. Композиция двиснсений: Ф(*,£', $(*'j*o>-<4.)) = Ф(Мо>^4) для всех
АеК ute [tQ,tf].
Если какое-либо отображение не удовлетворяет аксиомам
движения, то это означает, что его нельзя рассматривать как
движение. Приведем определение динамической структуры,
использующее эволюционные отображения.

184
Глава 10. Динамика и супероператоры
Постулат о динамической структуре.
Всякая динамическая структура Vmap на подмножестве
кинематического множества К состоит из следующего набора данных.
1, Упорядоченная четверка множеств, называемая динамическим
множеством и образованная следующими множествами.
1.1. Множество динамических отображений множества М}
элементы которого интерпретируются как эволюция наблюдаемых.
1.2. Множество динамических отображений множества S,
элементы которого интерпретируются как эволюция состояний.
1.3. Множество динамических отображений, которые
интерпретируются как эволюция измеряемых числовых значений.
1.4. Множество всех возможных моментов времени.
2. Математические структуры на динамическом множестве.
Кинематическая и динамическая структуры в общем случае
независимы, хотя и связаны друг с другом. Независимость
обусловлена тем, что для одной и той же кинематической структуры
можно определить различные динамические структуры.
Следовательно, определение динамических отображений как морфизмов
кинематической структуры, сохраняющих эту структуру, является не
совсем корректным. Динамические отображения в общем случае не
сохраняют кинематическую структуру. Эволюция не обязана быть
морфизмом кинематической структуры. Динамические
отображения могут быть отличны от автоморфизмов и эндоморфизмов
кинематической структуры /С. Часто в квантовой механике исходят
из допущения, что динамическое отображение задается некоторой
группой автоморфизмов С*-алгебры наблюдаемых. Это предполо-4
жение выполняется только для самых простых физических систем,
и в общем случае неверно. Рассмотрение структуры сжимающей
полугруппы на множестве динамических отображений приводит к
тому, что эволюция во времени не является даже эндоморфизмом
структуры С*-алгебры. Например, динамическое отображение для
негамильтоновой системы не является эндоморфизмом С*-алгебры
ограниченных операторов, описывающих наблюдаемые.
Эволюционные отображения Ф для квантовых негамильтоновых систем не
сохраняют структуру алгебры на кинематическом множестве, так
как $(t,to,AB) ф Ф(*,^о,А)Ф(б,^о,В). Хотя структура линейного
пространства может сохраняться. Динамические отображения не
являются морфизмами кинематического множества К со
структурой /С; В общем случае динамическое отображение является
морфизмом множества К с более бедной структурой /Со-

рлава, 10. Динамика и супероператоры 185
Кинематическая структура может рассматриваться как
множество всех возможных начальных и граничных условий для
динамического уравнения, то есть для динамической структуры.
10.2, Определения супероператоров
Описание эволюции возможно лишь в рамках супероператорного
формализма. Это обусловленно тем, что эволюция есть
отображение операторного пространства (алгебры) на себя. Производящий
(инфинитезимальный) оператор этого отображения является
оператором на пространстве операторов, то есть супероператор. При
этом квантовая механика гамильтоновых систем использует лишь
специальный класс супероператоров, а именно гамильтоновы
супероператоры. В квантовой теории открытых систем часто
используется некоторый класс негамильтоновых супероператоров -
супероператоры Линдблада. Эти супероператоры являются инфинитези-
мальными генераторами (производящими супероператорами)
квантовых динамических полугрупп.
Пусть Л4 есть некоторое операторное пространство. Элементы
пространства М будем обозначать через \В > или В. Элементы
пространства М*, сопряженного (дуального) М, будем обозначать
< А\ или и) а- Значение элемента со а на элементе В будем записывать
в виде < А\В > или о>д(В).
Определение1 Супероператором (трансформатором)
называется оператор С на линейном операторном пространства М.
Другими словами, супероператором называется морфизм множества
операторов, наделенного структурой линейного пространства.
В математической литературе принято использовать термин
"трансформаторы". В литературе по квантовой механике и
статистической физике используют термин "супероператоры".
Множество D(C) С М, для которого супероператор С существует,
называется областью определения супероператора С.
Определение. Линейным супероператором называется
отображение С операторного пространства М в себя, для которого
выполнены следующие условия.
1.С{А + В)^С{А) + ЦВ) \fA,B£D{C)cM.
2. С(аА) = аС(А) VА <Е £>(£) СМ а € С.

186
Глава 10. Динамика и супероператоры
Определение. Формально сопряженным супероператором к
супероператору С называется супероператор С на пространстве
М*, если выполнено следующее условие. Для супероператора С но
М существует единственный супероператор С на М.*,
удовлетворяющий равенству < С(А)\В >=< А\С(В) > для любых
В £ D(£) С М и некоторых А 6 М*-
Множество D(C) всех элементов А 6 М*, для которых
супероператор С существует, называется областью определения
формально сопряженного супероператора. В гильбертовом пространстве
операторов Гильберта-Шмидта Кг(Н) формально сопряженным
супероператором является супероператор, который удовлетворяет
соотношению Sp[(C{A))*B] = Sp[A*C(B)].
Если операторное пространство М является нормированным,
тогда можно ввести понятие супероператорной нормы (нормы
супероператора).
Определение. Нормой супероператора С на нормированном
операторном пространстве М называется число \\С\\,
определяемое формулой
■ Щ = sup 1ШИ . (58)
AeV{£) \\Л\\М
Если М является нормированным пространством, а суперопера-
toj) С есть ограниченный супероператор, то справедливо равенство
1141 = №
Если существует изоморфизм между пространством М и
дуальным (сопряженным) ему пространством Ai*} тогда можно
определить понятия симметрического и самосопряженного операторов.
Пусть М есть гильбертово пространство. По теореме Рисса-Фреше
пространства М и М* изоморфны.
Определение. Симметрическим супероператором называется
супероператор С на гильбертовом операторном пространстве М,
если < С(А)\В >=< А\С(В) > для любых линейных операторов
A,BeD{C)cM.
Определение. Самосопряженным супероператором
называется супероператор С на гильбертовом операторном
пространстве М., если он удовлетворяет следующим условиям.
1. С - симметрический супероператор.
2. Областиопределения супероператоров С и С совпадают:
D(£) = D(C).

Глава 10. Динамика и супероператоры
187
Определение. Вещественным супероператором называется
супероператор С па операторном пространстве А4, если для
любого А € D(C) С М выполнено равенство [С(А)]* = £{А*) .
Вещественный супероператор характеризуется тем, что он
трансформирует всякий самосопряженный оператор в самосопряженный.
Следовательно, наблюдаемые в процессе эволюции остаются
наблюдаемыми лишь при условии, что супероператор, описывающий
эволюцию, является вещественным. Супероператор £, формально
сопряженный к вещественному супероператору £, также является
вещественным.
10.3. Левые и правые супероператоры
На операторном пространстве М алгебры М можно определить
линейные супероператоры А1 и Вг, порождающие умножение
произвольного оператора С 6 М на оператор А слева и оператор В
справа соответственно.
Определение. Левым супероператором, соответствующим
оператору А € М, называется супероператор А1 на операторном
пространстве М такой, что А1 С = АС для любого С е D(Al).
Здесь D(Al) - области определения супероператоров А1, то есть
D(Al) = {CeM: ACtM}.
Определение. Правым супероператором, соответствующим
оператору В £ М, называется супероператор Вг на операторном
пространстве М такой, что ВГС = С В для любого С 6 D(Br).
Здесь D(Br) - области определения супероператоров Вг, то есть
D{Br) = {CeM: СВеМ).
Супероператоры А1 и Вг иногда обозначаются в виде £д и Дв,
соответственно. Парой ассоциативных операторов будем называть
два элемента А и В операторной алгебры М, ассоциаторы которых
с любым элементом С из алгебры М равны нулю:
(А,С,В) = (В,С,А) = (А,В,С) = 0 ,
(В,А,С) = (С,А,В) = (С,В,А)=0.
Очевидно, что любые два элемента ассоциативной алгебры М
являются ассоциативными операторами.

188 ч Глава 10. Динамика и супероператоры
Перечислим свойства левых и правых супероператоров.
1) Супероператоры А1 и Вт являются линейными.
2) Действие супероператоров на линейные операторы пространства
М ассоциативно.
(AlBl)Cl = Al{BlCl) , {ArBr)Cr = Ar{BrCr) ,
(ArBl)Cl = Ar(Bl)Cl) , ... .
Это свойство выполняется в независимости от того, ассоциативна
алгебра М или нет.
3) Левые и правые супероператоры А1 и Вг, соответствующие паре
ассоциативных операторов А и J5, коммутируют AlBr = J3rA* на
множестве Р(^) П jD(J5r).
А*ВГС - £г А*С VC б D(^) П 1)(БГ) .
4) Левые (правые) супероператоры, соответствующие разным
ассоциативным операторам в общем случае не коммутируют:
А1 В1 ф В1 А1 , {АГВГ ф ВГАГ) .
Супероператоры А1 и В1, соответствующие ассоциативным
операторам ЛиВ, коммутируют тогда и только тогда, когда коммутируют
сами операторы А и В:
А1 В1 = В1 А1 V € jD(A') П D(JB')
Аналогично правые супероператоры Аг иВг, соответствующие
ассоциативным операторам А и J5, коммутируют АГБГ = ВГЛГ на
множестве D(Ar) П D(Br) тогда и только тогда, когда
коммутируют Л и В.
5) Неассоциативность операторов, определяющих супероператоры,
проявляется в следующих свойствах супероператоров.
(AB)l=AlBl <* (А,В,С)=0 VC. (59)
(АБ)Г=£ГАГ «Ф (С,АБ)=0 VC. (60)
AlBr = BrAl <* (ДС,В)=0 VC. (61)

Глава 10. Динамика и супероператоры 189
Если операторы А и В являются элементами неассоциативной
алгебры, то соответствующие им левые и правые супероператоры не
перестановочны (не коммутируют), а левый (правый) супероператор
произведения не равен (обратному) произведению левых (правых)
супероператоров.
{АВ)1 ф А1 В1 , {АВ)Г ф ВГАГ , А1ВГ ф ВГА1 .
6) Определим супероператор J сопряжения (инволюции)
соотношением: J А = А* для любых А € М. Имеют место следующие два
тождества J A1 J = {JA)r и JArJ = {J А)1 для любых А € М.
7) Определим операцию сопряжения для супероператоров.
Сопряженные суиероператоры А1* и Аг* на алгебре Л4 зададим
соотношениями А1* = J A1 J и Ar* = JArJ. Очевидно, что выполняются
следующие свойства.
a. А1* = (А*)г , Аг* = (А*)1 для любых АеМ
b. (А1 В1)* = А1*В1* для любых Д В е М.
c. {АГВГУ = АГ*ВГ* для любых Д 5 € Л4.
8) Можно доказать, что для всех А € М
\\А\\М = sup pB|U = sup ||£Л||.м ,
ЦВ||=1 ||В||=1
и поэтому нормы (58) левого pi правого супероператоров
удовлетворяют равенству \\А1\\ = ||АГ|| = \\А\\м-
В качестве операторного пространства М можно
рассматривать линейное операторное пространство со скалярным
произведением < А\В > операторов А, В е М, бпределенным
соотношением < А\В >— Sp[A*B]. В этом случае операторное пространство
М становится предгильбертовым. Для элементов пространства М
можно определить норму \\А\\ = у/< А\А > для тех операторов
A е Л4, для которых существует < А\А >. Если пространство
Л4 является полным нормированным пространством, то М
является гильбертовым операторным пространством. Оно называется
пространством Лиувилля и обозначается %. Линейному оператору
АеМ можно сопоставить супероператоры А1 и Аг на пространстве
Лиувилля *W, являющиеся левым и правым супероператорами.
Теорема. Пусть операторная алгебра М является ассоциативной,
то есть все ассоциаторы (А, В, С) ~ О элементов алгебры равны

190 Глава 10. Динамика и супероператоры
нулю. Тогда супероператоры А1 и Аг', соответствующие
самосопряженному оператору А из алгебры М, являются формально
самосопряженными на плотном множестве D(Al) П D(Ar) в
пространстве Лиувилля И.
< А1В\С >=< В\А1С > , < АГВ\С >=< В\АГС > .
Отметим, что спектры супероператоров А1 и Аг и спектр оператора
А совпадают, то есть сг(А1) = сг(Аг) = о-(А).
Для неассоциативной операторной алгебры выполняется
соотношение
< А1В\С >=< В\А*1 > +Sp[{B\A\C)} .
Отсюда видно, что условие ассоциативности операторной алгебры
М в теореме можно ослабить. Достаточно потребовать, чтобы для
всех элементов алгебры М шпуры ассоциаторов Sp[(A, В,С)] = 0
были равны нулю. Примером такой алгебры является
неассоциативная йорданова алгебра, для которой шпур ассоциатора равен
нулю в силу тождества (18). Кроме того, в силу коммутативности
йорданова произведения имеет место соотношение А1 В = АГВ:
А1В = АоВ = ВоА = АГВ .
10.4. Алгебра супероператоров
Пусть М есть некоторая операторная алгебра. В общем случае
супероператор не является эндоморфизмом алгебры М, так как
не выполняется условие С(АВ) — £(А)С(В) для всех операторов
А, В' € V{£) С М. Линейный супероператор является
эндоморфизмом лишь линейного пространства алгебры М,.
Множество А{М) всех супероператоров, определенных на
операторном пространстве алгебры <М, само является линейным
пространством. Действительно, очевидны следующие свойства.
1. СъС2еА{М) =» Ci + C2eA(M).
2.££А{М) аеС => аСеЛ{М).
Определим в супероператорном пространстве А{М) умножение
супероператоров £\ и £2 по формуле {С\С2)А = {С\(С2{А)) для

Глава 10. Динамика и супероператоры 191
А € М. Таким образом, произведение супероператоров само
является супероператором. А, £2 € Л{М) =Ф> С\ о £2 6 Л(Л1).
Очевидно, что алгебра А{М) супероператоров, определенных на
операторном пространстве алгебры Л4} является ассоциативной, то есть
(CiC2)Cs = АССг^з). Лиево произведение супероператоров
является супероператором. Заменяя в ассоциативной алгебре операцию
умножения операцией лиева произведения С\ о £2 = £i^2 ~ £2А>
получаем лиеву алгебру L(A(M)) супероператоров.
Каждой С*-алгебре М можно сопоставить некоторую С*-алгебру
А2(М), которая содержит М в качестве своего идеала. Для
того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим свойства двойного
централизатора.
Определение. Двойным централизатором алгебры М
называется пара (L, R) ограниченных линейных отображений
(супероператоров) на Л4 таких, что для любых двух элементов А и В
алгебры М выполняются соотношения
L(AB) = L(A)B , R(AB) = AR(B) , R(A)B = AL(B) .
Отметим, что для алгебр М с единицей / из приведенных
соотношений следуют упрощающие тождества:
L{AB) = L(A)B , Л = / =* L(B) = ВДВ ,
Д(АВ) = AR(B) , J5 = / => Д(Л) = AR(I) ,
Д(4)В = 4ВД) , А = В = 1 =» ВД = ВД .
Ясно, что отображения L и R являются линейными операторами
на алгебре М. Если алгебра М является операторной алгеброй, то
отображения L и R являются супероператорами.
Приведем пример двойного централизатора. Пусть С есть
некоторый фиксированный.элемент алгебры М, а С1 и Сг
представляют собой линейные отображения на Му определенные формулами
С1 А = С А и Сг А — АС. Тогда пара {С1,СГ) является двойным
централизатором алгебры М. Более того, в силу упрощающих
тождеств, отображения L и R любого двойного централизатора (L, R)
можно представить в виде
L{A) = С1 А , R(A) = ClA МАеМ ,

192 Глава 10, Динамика и супероператоры
Здесь С = L(I) = R(I). Другими словами, имеют место тождества
L{A) = {L(I))lA , R(A) = {R(I))lA УАеМ .
Условия^ определяющие двойной централизатор алгебры М)
эквивалентны условиям (59 - 61).
Рассмотрим банахову алгебру М и определим нормы
отображений L и R формулами
||£[| = sup \\L(A)\\M , Pll = ^р \\R(A)\\M •
||Л||=1 ||A||=1
Для норм отображений L и R справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Для любого двойного централизатора (L,R)
банаховой алгебры Л4 нормы ограниченных отображений L и R равныу
то есть \\L\\ = ||i?||.
Множество всех двойных централизаторов алгебры М
обозначим через А2(Л4). Множество А(М) является линейным
пространством относительно операций сложения пары отображений и
умножения пары отображений на число.
1. (ЬиЯг) + (L2,R2) = {Lx + L2,Ri + Д2).
2. a(L, R) = (aL, aR) Va 6 С
Если алгебра М являются нормированной алгеброй, то в линейном
пространстве А2(М) таже можно ввести норму. Норму двойного
централизатора (L, R) можно определить как
\\(L,R)\\A = \\L\\ = \\R\\.
Легко проверить, что линейное нормированное пространство А2{М)
двойных централизаторов является замкнутым подпространством
прямой суммы В(Л4) Ф В(М) двух нормированных пространств
В(М) ограниченных операторов на алгебре М.
Пространство двойных централизаторов А2(М) можно
превратить в алгебру. Для этого определим произведение двух элементов
(Li,Ri) £ А2{М) и {L2,R2) e А2(М): положив
{LuRi){L2,R2) = {LiLbR*Ri) .
Непосредственные вычисления показывают, что так определенное
произведение есть снова двойной централизатор алгебры М..
Поэтому А2(М) является алгеброй относительно этого умножения.

Глава, 10. Динамика и супероператоры
193
Пусть алгебра М является инволютивной алгеброй (*-алгеброй).
Введем оператор J, порождающий отображение J : А —» А*
сопряжения (инволюции), то есть J А = А* для любых А е М. Поскольку
отображение J является инволюцией, то выполняются условия:
L (А*)* =А =* </(«^)) = -А VA е At , J J = L
2. (AB)* = £*A* =* J(AB) = J(S)J(A) WL,ВбМ.
3. (A + B)* = A*+B* =* J(A + B) = J{A) + J(B) VA,BeM.
4. {aAY = a*A* =* J(aA) = а*7(Л) VA 6 M.
Здесь a* есть число, комплексно сопряженное к a.
Определим отображение L* : .М —> М, положив L* = JLJ, то
есть L*(A) - J(L(J(A))) или £*(А) = [£(А*)]*. Аналогично
определим отображение R* : .М —> А4, положив R* — JRJ, то есть
R*(A) = [R(A*)]*. Отображения L* и R* линейны. Кроме того,
отображение L -» L* обладает свойствами L** = L} (L1L2)* = ^1^2-
Заметим, что справа стоит произведение L\L\, а не как для
обычных операторов L\L\.
Определим для двойного централизатора (L,JR) отображение
инволюции (L, J?) -* (L,R)* соотношением {L,R)* = (R*,L*). Это
отображение является инволюцией алгебры А.2(Л4).
Определение. Алгеброй мультипликаторов алгебры М
называется множество Аъ{М) ее двойных централизаторов, являющее-
ся инволютивной нормированной алгеброй относительно операций
умножения, нормы и инволюции.
1. Умножение: (Iq,R\)(£2,-^2) = (^1^2»ife-Ri)-
«.Яорлса: ||(Lf/E)|U = ||L|| = ||iJ||.
5. Инволюция: (L,R)* = (JRJ.JLJ).
Приведем важное утверждение.
Утверждение. #а/ш .М есть некоторая С*-алгебра, то
соответствующая алгебра мультипликаторов А2(М) также является
С*-алгеброй относительно определенных выше умножения,
инволюции и нормы.
Отображение М —> А2(М) такое, что А —► (А\ВГ), является
изометрическим *-гомоморфизмом. Поэтому можно отождествить
М с некоторой подалгеброй С*-алгебры А2(М). На самом деле М
является идеалом алгебры А2(М). Кроме того, алгебра А2(М)
является унитальной алгеброй, в которой единичным элементом
служит двойной централизатор (tflU>ieU)- Напомним, что алгебра М
называется унитальной, если М - нормированная алгебра с
единицей (/ : 1А = А1 = А для всех А € :/Й), причем \\1\\м = 1- Поэтому
М = А2{М) лишь при условии, что алгебра М унитальна.

194
Глава 10. Динамика и супероператоры
Рассмотрим левый и правый ограниченные супероператоры А1
и Вт на И, то есть элементы супероператорного пространства В(Ц)%
Тогда отображение А —» А1 реализует невырожденное
представление алгебры М в пространстве И. Супероператоры А1
перестановочны с супероператорами Вг. Кроме того, имеем равенство J A1 J =
= [JA)r для всех А 6 М, где А* = J A
Утверждение. Слабое замыкание мноэюества всех левых (правых)
супероператоров А1 (Аг) из В{%) является супероператорной
алгеброй фон Неймана А\(М) (АГ{М))} которая называется связанной
слева (справа) с алгеброй М.
Другими словами, имеют место следующие соотношения:
АГ{М) = {ММ))с = JAi{M)J, ММ) = {ММ))с = JAr{M)J.
Очевидно, что алгебры Ai(M) и АГ(М) совпадают со своими би-
коммутантами
((ММ))с)с = ММ), ((АСМ))С)С = мм).
Отображения А -+ А1 и А -+ Аг часто называются каноническими
отображениями алгебры М в соответствующие алгебры фон
Неймана Ai(M) и Аг(М).
10.5. Функция от левого и правого супероператоров
С помощью полинома от двух переменных х и у
п
1(х,у) = ^ JyzY ,
образуем супероператорный полином (полиномиальный
супероператор)
iA>B = i[Al,Br}=J2li№lY(Br)j-

Глава 10. Динамика и супероператоры
195
Пусть z 6 р{А), то есть z 0 сг{А). Тогда существует
супероператор R{ziAl), обратный к супероператору (z/ — А1) и называемый
резольвентой супероператора, причем
R{z, А1) = (г/ - Л')"1 - [(г/ - А)-1)1 = Rl(z, A) .
Мы можем теперь явно выразить супероператор l[Al,Br] через
полином 1(х,у). Действительно, подставляя в определение
супероператора l[Al,Br] выражения для степеней супероператоров А1 и i?r,
получающиеся из обобщенной формулы Коши (41), имеем
l[AL,Br) = j-Kb<f I l{x,y){xI-Al)-l{yI-Br)-ldxdy.
{2my JCa JCb
Здесь х, у 6 С, а С а и С в - гладкие контуры, охватывающие спектр
а (А) и спектр сг(В), соответственно. Эта формула позволяет
обобщить соответствие между полиномами и суперопеуэаторными
полиномами на аналитические функции. Пусть Ка,в - множество
однозначных функций L(x,y), определяемых в окрестности множества
о [А) х а (В) и аналитических по х (у) в окрестности каждой точки
а (А) (сг(В)) при фиксированном у € (т(В) (х 6 о {В)). Определим
для каждой функции L(x,y) супероператор в банаховом
пространстве М по формуле
C[Al,Br] = j-^<f <f L(x,y)Rl(x,A)Rr(y,B)dxdy,
{2my JCa JCb
Rl(x,A) = (xI-A1)'1 , Rr{y,B)^{yI-Brr\ x,y€C:''
Эта формула устанавливает соответствие между функциями класса
Ка,в и некоторым множеством коммутирующих операторов в
операторном пространстве Л1, обладающее следующими свойствами.
1) Если L{x,y) = 1, то С[А\ВГ) = I.
2) Если L(x,y) = aiLi(x,y) +02^2(^1/), где ai,02 € С, то
' £[^,ВГ] =ai£i[^,Br] + o2£2[^,Br] •
3) Если L(x,y) = Li(x,y)L2{x,y), тогда из теоремы о произведении
операторных функций имеем
£[А1,Вг] = £1[Л',Вг]£2[Л',Вг].

196 Глава 10. Динамика и супероператорЬ1
4) Если limfc^00Lk(x^y) = L(x,y) равномерно в некоторой окрест-
ности произведения множеств &{А) х о(В), то
lim Ck[Al,Br] = C[Al,Br] .
А;->оо
Заметим, что для лщбого оператора X € М действие на него су-
пероператора С[А1,ВГ] представимо в виде
£[Al,Br]X = 7-KrS<( & L(x,y)R(x,A)XR(y,B)dxdy. (62)
(2my JcA JcB
Здесь
R(x,A) = (xI-A)-1 , Щу,В) = (у1-ВГ1 .
Получим еще одно представление для супероператорной функции
используя преобразование для функции L(x,y) £ К^в-
Пусть функция L(x} у) из класса К^в, где (я, у) € cr(A) х сг(В).
Кроме того, пусть L(x,y) является преобразованием Лапласа
некоторой функции А(а, Ь) в R2 такой, что функция А(а, b)expi(ax + by)
абсолютно интегрируема по а и Ь, то есть
L(x,y) = f dadbe^ax+byh{a,b) .
Подставляя это выражение в (62) и меняя порядок интегрирования,
получаем
С{Х) = —^2 f dadb\{a, b)U I e^ax+by^R(x, A)XR{y, B)dxdy},
£(X) = _2_ fdadb\{a,b)U eiaxR{x,A)dx>jxU eibyR(y,B)dyj-
В результате имеем
C{X) = —Ко [ dadb\(a,b)eiaAXeibB .
(2m)z J

Глава Ю- Динамика и супероператоры 197
10.6. Обратная супероператорная функция
Выясним условия существования супероператора, являющегося
обратным к С[А\ВГ].
Утверждение. Пусть функция L(x,y) из класса Ка,в пе
обращается в нуль при (х, у) 6 а(А) х а(В). Тогда супероператор С[А\ Вг]
имеет обратный супероператор F[Al,Br], для которого функция
F[x,y) = 1/L(x,y).
Иными словами, в этом случае уравнение С[А1,ВГ]Х = У при
каждом Y Е М. имеет единственное решение X € М. Это решение
представимо в виде
hf i
™Y JcA Jc
R(x,A)YR(y,B)
{2m?JcJcB Hx,y)
x = лГ^2 f f V ^—tdxdy . (63)
Пусть функция L(x,y) из класса Кд^в не обращается в нуль при
(х, у) € о {А) х а(В). Кроме того, пусть 1/L(x,y) является
преобразованием Лапласа
^—т=[ dadbe^ax+^G(a,b) ,
с, У) J
L(x,y)
функции G(a, b) в R2 такой, что функция G(a, b)expi(ax + by) -
абсолютно интегрируема по о и ft. Подставляя это выражение в (63)
и меняя порядок интегрирования, получаем
X = -J-j f dadb G(a, Ь)Ы I e^ax+b^R(x, A)YR(y, B)dxdyj ,
X = —^-2 f dadbG(a,Ъ)(& eiaxR{x,A)dxjyU eibyR{y,B)dyj
В результате имеем следующее представление решения уравнения
C[Al,Br]X = Y
X = —L- Г dadb G(a, Ь)е*аАУе1
{2ту JR2
ЛаАл/ ЛЬВ

198 Глава 10. Динамика и супероператорь
10.7. Экспоненциальные супероператорные функции
Супероператоры А1 и Вг порождают экспоненциальные
супероператорные функции ехр га А1 и ехр ibBr> которые действуют по
формулам
eiaA< c = eiaAc ^ eibBr c = eibB' c
Эти супероиераторные функции ехр гаА1 и ехр гЬВг можно
определить соотношениями
eiaAl
= vb?lf'*(z'A)dz' ei4fl'=(^£ «*rf<»^)*'
icA \*™r JcB
или соотношениями вида
k=0 ' k=0
Определение. Однопараметрической группой на алгебре М
называется семейство линейных супероператоров {U(a)\ а € Ш}
на операторном пространстве алгебры М, удовлетворяющих
следующим условиям.
1. U(a)U(a')A = U{a + a!)A VAeM Va, a' e R.
2. U(0)A = A VAeM.
Из мультипликативности соответствия L(z) -* £[А] следует, что
супероператорные функции ехр гаА1 и ехр гЬВТ удовлетворяют
соотношениям
еицА<е»а2Л' = е<(а1+а2)Л* ? [eia^]a=0 = / ,
Эти соотношения показывают, что супероператорные функции
ехр гаА1 и ежр %ЬВГ образуют однопараметрические группы.
Рассмотрим супероператорную функцию
J(aAl+bBr) . iaA1 гЬВг

Глава 10. Динамика, и супероператоры 199
Для любого оператора С 6 D(Al) П D(Br) имеем
да
дЬ
Семейство супероператорных функций {ехр i(aAl +bBr))\ a, b € Ш}
образует двухпараметрическую группу.
Пусть А1 - некоторый супероператор, действующий в
операторном пространстве %. Существует отображение функции L(x)}
определенной на некотором плотном подмножестве Е, в
супероператорные функции:
L[Al] = ^= f L(a)eiaAlda .
V 27г Ju
Здесь символом L(a) обозначено преобразование Фурье функции
L(x). Таким образом, супероператоры А1 и Вг являются набором
образующих супероператоров. В результате произвольную
супероператорную функцию С[А\ВГ] можно записать в виде
С[А\Вг) = —±=- [ L{a,b)e*aAl+bB^dadb .
(л/2тг)2 J&
Для любого оператора С 6 D(Al) П D(Br) имеем
С[А\ ВГ]С = ^ I L(o, b)eiaACeibBdadb .
2тг JR2
Рассмотрим эти соотношения более подробно для функций от
образующих супероператоров.

ГЛАВА 11.
ДИНАМИКА И СУПЕРОПЕРАТОРНЫЕ
ФУНКЦИИ
11.1. Супероператорная алгебра Гейзенберга
После того, как определены в общем виде супероператорные
функции, конкретные супероператорные функции определяются
заданием системы образующих супероператоров. В качестве
образующих супероператоров можно рассматривать супероператоры,
соответствующие образующим операторам Qk^Pk->I гейзенберговой
алгебры Ли. Алгебра Гейзенберга Яп, задаваемая перестановочными
соотношениями
[Qk, Рт] = ihSkmI , [Qk, Qm] = [Рь Рт] = [/, Qk] = [/, Рк] = 0 ,
где к,т ~ 1,2,...,п, порождает коммутационные соотношения для
супероператоров Qlk, Qrk,'Pk, Рк. Эти соотношения имеют вид
Q\Plm - PlmQlk = mkmIl , Q\Prm ~ PrmQ\ = -Ш6ктГ , (64)
а все остальные коммутаторы супероператоров равны нулю. Здесь
Il} F - левый и правый супероператоры, соответствующие
единичному оператору /. Отметим, что во втором соотношении по
является знак минус, так как (АВ)Г = ВГАГ.
Большинство супероператоров в квантовой механике
являются элементами обертывающей алгебры некоторой лиевой алгебры.
В качестве супероператоров можно рассматривать
супероператорные функции, порожденные образующими супероператорами Qlk,
Qrk, Plk, Рк. Супероператоры Qlk, Qrk, Pk, Pk можно рассматривать
как базис линейного пространства. Коммутационные соотношения
превращают это линейное пространство в алгебру Ли Н^
которую можно назвать супероператорной алгеброй Гейзенберга.
Универсальная обертывающая алгебра Щ лиевой алгебры Щ является

рдава 11- Динамика и супероператорные функции 201
алгеброй полиномиальных супероператоров от 4п образующих QL
Qrk,PhPk (& = 1, ...,п), которые удовлетворяют коммутационным
соотношениям (64). Используя универсальную обертывающую
алгебру UZ, супероператоры можно описывать как полиномы от
образующих Ql Ql Pi Ртк (к = 1,...,п). Элементы (Q')e, {Qr)\ (Pl)c,
lpr)h порождают линейное пространство Щ и являются базисом
этого пространства. В результате каждому полиному
£(ж, у, z,s)= Yl Labchxaybzcse
\a\t\b\t\c\,\h\<m
можно сопоставить супероператорный полином
£(Q/,P',Or,Fr) = £ Labch(Qlr(Pl)b(Qnc(Pr)e .
|а|,|6|,|с|,|Л|<ш
Здесь используем х = х\Х2..-хп, у = у\уъ~Уп, ••• > и мультиин-
дексы а = (аь^г?—>вп): яа = ж£1Ж22...ж£п. Известно, что элементы
алгебры Щ являются неограниченными супероператорами.
Сопоставление между полиномами и полиномиальными
супероператорами можно продолжить до соответствия между функциями
и супероператорами более общего вида. Это позволяет определить
супероператрры C(QlJPl^Qr7Pr) как функции от образующих
супероператоров Q[, P^Ql,
Pill.2. Супероператорная система Вей л я
Супероператоры Qlky Plk, Qrk, Pk являются неограниченными
супероператорами. Перейдем к ограниченным функциям от
образующих Qlk, PkJ Qrk, Pk. Коммутационные соотношения для
супероператоров будем понимать как соотношения алгебры Ли для
непрерывных групп супероператоров {Ul{a), Vl(b),Ur(c), Vr(h)}. Введем
четыре n-параметрические абелевы группы супероператоров
Ul(a) = exp-aQl = (exp-aQ)1 , Ur(c) = exp-cQr = (exp-cQ)r ,
n n n n

202 Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Vl(b) = expZ-bPl = {ехр1-ЬР)1 , Vr{h) = exp\hPr = {exp^hPY
n n n n . '
n n
aQ = J^ a^Q* , bP = J2 bkPk -
fc=l Л=1
Эти группы непрерывны по параметрам а, 6,, /i. Абелевость групп
супероператоров {Ul(a), Vl(b),Ur(c), Vr(h)} эквивалентна прежним
условиям коммутативности супероператоров Qlky Pk, Qrk, Pk, и
записывается соотношениями
Ul(a)Ul(a') = l/'(a + a') , C/r(c)[/r(c') = Ur(c + cf) ,
^(Ь)^(б') = У*(Ь +Ъ') , Уг(/г)Уг(/0 = 7г(Л + Л') , ,
J7<(a)[/r(c) = Ur(c)Ul(a) , У'(Ь)7Г(Л) = Fr(/i)7r(6) .
Коммутационные соотношения между Ql,Qr и Р19 Рт выражаются
соотношениями
Ul(a)Vl(b) = ^(Ь)^(а)е-Ьь , СГ(с)Уг(Л) = Vr{h)Ur{c)e+&h ,
которые получаются из формулы Хаусдорфа-Бэйкера-Кэмпбелла.
Представление коммутационных соотношений для образующих в
экспоненциальной форме через {Ul(a),Vl(b),Ur(c). Vr(h)} назовем
супероператорной системой Вейля. Коммутационные соотношения
лиевой алгебры Я* можно рассматривать как соотношения алгебры
Ли для группы Ли, заданной суперонераторной системой Вейля.
Переход от супероператоров Ul(a), Ur(c), Vl(b), Vr(h) к
супероператорам Qlk, Qrk) Pk, Pk осуществляется на основе теоремы
Стоуна. Если группа супероператоры Ul(a), Vl(b)y Ur{c), Vr(h) слабо
непрерывна по параметрам, то соответствующие образующие
супероператоры Qfc,Qfc>^,-P£ получаются как
, _ ,dUl(a) _ dUr(c)
pi - -+?х^1 Pr _ _{д_хж
. n" dbk ' n~ dhk ■

Глава И- Динамика и супероператорные функции 203
Приведем формулировку теоремы Стоуна: для любой сильно
непрерывной группы ограниченных унитарных супероператоров Ul{a),
действующих в гильбертовом операторном пространстве Л,
существует самосопряженный супероператор Q1 такой, что Ul{a) =
^ exp io>Ql • Под сильной непрерывностью группы супероператоров
Ш1(а)} понимается выполнение условия: lima_>o \\U(a)A — А\\м = 0
УА £ *Н- Унитарность означает, что < Ul(a)A\Ul{a)B >=< А\В >
для любого А, В ЕЙ.
11.3. Алгебра супероператоров Вейля
Операторам Вейля можно W(a,b) сопоставить левый и правый
супероператоры. В силу коммутативности левых супероператоров с
правыми,имеем Wl(a,b)Wr(c,h) = Wr(с,h)Wl{a,b). Введем
супероператоры
W{a,b,c,h)=e№l+bpl+cQr+hP^ ,
которые будем называть супероператорами Вейля. Заметим, что в
силу соотношений QlPr — PrQl и QrPl = PlQr супероператоры
Вейля можно определить W(a,b,c,h) = Wl(a,b)Wr(c,h).
Супероператоры Вейля удовлетворяют закону композиции
W(ai,b1,ci,hi)W(a2jb2,c2M) =
= W(ax +a2,6i + Ъ2,сх +c2M + h2)e~^aib2~a2blh+^lc^-^hi] .
Для эрмитова сопряжения имеем соотношения
№*(а,Ь,с,/0 = W{-a,-b,~c,-h) , W*(a,b,c,h)W(a,b,c,h) =1 .
Кроме того, имеем
W(a, 0,0,0) = Ul(a) , W(0,6,0,0) - У'(Ь) ,
W(0,0, с, 0) = СГ(с) , W(Q, 0,0, /г) = Vr(h) ,
W(a, 6,0,0) = Wl(a, Ь) , W(0,0, с, Л) = Wr(c, h) .

204 Глава 11. Динамика и супероператорные функцИи
Как следствие закона композиции для супероператоров Вейля
комплексное линейное пространство, натянутое на конечные
линейные комбинации
Y^LiW(ai,bi,Cj,,hi) ,
становится алгеброй, которую будем называть алгеброй
супероператоров Вейля.
Алгебру супероператорных функций, порожденных
супероператорами Ql, Qr и Р\ Рг, можно определить как множество конечных
линейных комбинаций супероператоров Вейля W(a,fc, с, h).
Алгебра супероператоров является замыканием алгебры всех линейных
комбинаций супероператоров W(a)b^c^h) в топологии
супероператорной нормы.
11.4. Супероператорные функции и упорядочение
Рассмотрим правило, позволяющее по функции Ь{х, y,z,s)
строить супероператорную функцию C[Ql, Pl,Qr, Pr]- Пусть
преобразование Фурье функции L(x^y1z^s)) определенной на R4n, имеет вид
L(x,y,z,s) = /п * [dadbdcdh L{a,b,c,h)e^ax+by+cz+hs^ .
(27rh)zn J
Фурье-образ L(a./ Ь, с, h) функции L(x, у, z, s) выражается формулой
L(a,b,c,h) = j^-n Jdxdydzds L(x,y,z,s)e-№+by+cz+hs) .
Супероператорную функцию С — C[Ql,Pl,Qr,Pr],
соответствующую интегрируемой функции L(x,y^z.s) вещественных
переменных я, у, z, 5, для вейлевского упорядочения можно определить
формулой
Cw = —I— [dadbdcdh L{aAc,h)e*{aQi+bpl+cQT+hpr) .
(2тгЯ)^п у

Глава 11- Динамика и супероператорные функции 205
Используя супероператоры Вейля, эту формулу записываем в
виде
Cw[Ql>P*> Qr>рГ] = 72^Г / dadbdcdh L(a, Ь, с, h)W(a, 6, с, Л) '.
Данный супероператор соответствует вейлевскому
(симметричному) упорядочению. Множество всех таких супероператоров Cw
вместе с их равномерными пределами образует алгебру
супероператорных функций для квантовой системы с п степенями свободы.
Процедура построения супероператорной функции C[Ql, P\Qr', Pr]
по заданной функции L(x,y>z,s) не является однозначной.
Очевидно, что помимо вейлевского упорядочения существуют и
другие упорядочения образующих супероператоров. Введем
следующие обозначения Gqv{a,b) = U(a)V(b), Gpq(a,b) = V(b)U(a) и
Gw{a,b) = W(a, b). Будем обозначать символами a и /5 одно из gp,
pq или w упорядочений. Выбор а//3-упорядочения позволяет задать
для функции L(x, у, z, s) супероператорную функцию Са/р}
определяемую супероператором Wajp{a,b,с,К) = Gla(a,b)Grp(c,h). В этом
случае супероператорная функция записывается в виде
Ca/0[Ql,Pl,Qr,Pr] = -^щ^ Jdadbdcdh L(a,b,c,h)Wa/p(a,b,c,h) .
При этом в силу коммутативности левых и правых супероператоров
(А1ВГ = ВтА1) различаются девять упорядочений.
Супероператоры £а/р = £>a/p[Q\Pl->Qr ,РТ], соответствующие
qp/pq- и pq/qp- упорядочениям, задаются формулами
Cqp/pq = -—^ Idadbdcdh L{aAc,h)e№l^ThWpl+hpT^ ,
Cmlqp = ^p f'dadbdcdh L(aAc,h)e№pl+hpr)e№l+^ .
Видно, что супероператор Cw[Q\ Pl,QT', Рт) для вейлевского (w/w)
упорядочения однозначно задается по функции L(x, у, г, s),
определенной на пространстве Е4п следующим соотношением.

206 Глава 11. Динамика и супероператорные функции
£>w[Ql, Р1 ,Qr, Рг] = ,2п / dadbdcdh dxdydzds L(x,y,z,s)-
teJrla(Ql-x)+b(Pl-y)+c(Qr-z)+h(Pr-s)] ^
Эту формулу можно переписать, используя супероператоры Вейля,
в виде
£>w[Ql,Pl>Qr,Pr] = , ч2п / dadbdcdh dxdydzds L(x)y^zJs)' ■■
Аналогично можно определить супероператорные функции для
других типов упорядочений образующих супероператоров.
11.5. Дифференциальные супероператоры
Пусть М есть некоторая операторная алгебра. В качестве
алгебры М рассматриваются ассоциативная, лиева и йорданова
операторные алгебры. В основном нас интересует ассоциативная алгебра
М, (например, С*-алгебра или алгебра фон Неймана) и
соответствующие ей лиева алгебра L(M) = МГ и специальная йордалова
алгебра М+.
В качестве супероператоров С будут рассматриваться функции
С = £[Alk, Ark] от конечного числа независимых образующих
супероператоров Alk и Ark) где к = 1,...,п.
Определение. Дифференциальным супероператором
(супероператором дифференцирования) называется отображение С
алгебры Л4, для которого выполнены следующие условия.
1.С{А + В) = С{А) + С(В) VABeV{C)cM.
2. С{аА) = аС(А) VA е £>(£) С М, а 6 С.
3. С{АВ) = С{А)В + АС(В) V4,В е V(C) С М.
Видно, что супероператор дифференцирования не является
эндоморфизмом алгебры М. Другими словами, дифференциальный
супероператор является эндоморфизмом линейного пространства

Глава 11. Динамика и супероператорные функции
207
алгебры М, но для него не выполнено условие С(АВ) = £(А)£(В)
для всех А, В € V(C) С М. Приведем другое определение
супероператора дифференцирования.
Определение. Дифференциальным супероператором (супер-
оператором дифференцирования) называется эндоморфизм С
линейного пространства операторной алгебры М, для которого
выполнено условие Zc(A, В) = С(АВ) — С(А)В — АС(В) = 0 для всех
A,BeV(C)cM.
Множество всех супероператоров дифференцирования
обозначим через Der(M).
Алгебра А(М) эндоморфизмов линейного пространства
алгебры М является ассоциативной, (С\С2)С^ = А1АА)- Заменяя в
этой алгебре операцию умножения операцией лиева произведения
А о £2 = А А ~~ А А,,получаем лиеву алгебру L(A(M))
эндоморфизмов.
Множество Der(M) дифференциальных супероператоров на
алгебре М является подалгеброй в лиевой алгебре L{A{M))
эндоморфизмов линейного пространства алгебры М. Действительно,
очевидны следующие свойства.
1. А, А 6 Der(M) =* А + А Е Der(M).
2. Се Der(M) => (-£) в Der(M).
3.CeDer(M) aeR =* aCeDer(M).
4. А, А € Der(M) =» А ° А £ Der{M).
Лиево произведение супероператоров дифференцирования само
является супероператбром дифференцирования. Обозначим лиеву
алгебру всех Супероператоров дифференцирования L(Der(M)).
Пусть М есть ассоциативная операторная алгебра. Для
любого элемента Н £ М можно определить супероператор £я>
полагая Сн{А) = НА - АН , \/А € ТЭ(Сн) С М- Этот супероператор
£# = Н1 — Нг является дифференциальным и называется
супероператором внутреннего дифференцирования ассоциативной алгебры.
Пусть М есть лиева операторная алгебра. Для любого элемента
Н € М можно определить супероператор £#, являющийся левым
умножением, то есть СнА = Н * А для всех A £ М. Этот
супероператор Сн = Н1 является дифференциальным супероператором и
называется супероператором внутреннего дифференцирования
лиевой алгебры М. Супероператор £# можно определить
соотношением Сц(А) = (1/2)(Я * А - А * Я), так как А * В = -J3 * А.
Следовательно, супероператор А/ = Н1 — Яг, действующий на лиевой
операторной алгебре, является внутренним дифференцированием.

208
Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Определение. Супероператором внутреннего
дифференцирования называется супероператор дифференцирования С, для
которого существует элемент Н из операторной алгебры АЛ такой}
что СН{А) = НА - АН для всех А <Е Т>(СН) С М.
Множество Int(M) супероператоров внутреннего
дифференцирования составляет идеал в лиевой алгебре L(Der(M)) всех
супероператоров дифференцирования лиевой алгебры Ad.
Отображение Н -» £#, Н € АЛ является гомоморфизмом
лиевой алгебры М на лиеву алгебру супероператоров внутренних
дифференцирований.
СА+в{С) = £А(С) + СВ(С) , £а*в(С) = (Са°£в)(С).
Пусть М есть ассоциативная алгебра, a Ь{АЛ) есть лиева алгебра,
соответствующая М. Всякий супероператор дифференцирования
алгебры М будет супероператором дифференцирования и для
алгебры L(M), то есть С € Der(M) => С € Der(L(M)). Обратное,
вообще говоря, не верно. Однако для супероператоров внутреннего
дифференцирования имеет место более сильное утверждение.
Утверждение. Всякий супероператор внутреннего
дифференцирования для алгебры АЛ является супероператором внутреннего
дифференцирования и для алгебры L(M), и обратно.
Множество Int(Ad) супероператоров внутреннего
дифференцирования для ассоциативной алгебры М составляет идеал в
лиевой алгебре L(Der(M)) всех супероператоров дифференцирования
ассоциативной алгебры АЛ. Понятие супероператора внутреннего
дифференцирования может быть распространено со случай
ассоциативных и лиевых алгебр на случай произвольных алгебр АЛ.
При этом множество Int(M) супероператоров внутренних
дифференцирований образует идеал в лиевой алгебре L(Der(M)) всех
супероператоров дифференцирования. Элементы фактор-алгебры
Out(M) = = Der(M)IInt(M) называются супероператорами
внешних дифференцирований.
Определение. Дефектом Лейбница (диссипативной
функцией) для супероператора С на алгебре М называется билинейное
отображение Z& : Ad х Ad -> АЛ, определяемое формулой
ZC{A, В) = С(АВ) - £{А)В - АС(В) .
Супероператор дифференцирования на операторной алгебре АЛ
можно определить как линейный супероператор £, для которого

рлава 11. Динамика и супероператорные функции 209
дефект Лейбница равен нулю, то есть Zc(A,B) = 0 для любых
Д, В € М. Дефект Лейбница характеризует степень отклонения
супероператора от супероператора дифференцирования.
В дальнейшем будем обозначать Zc(A, В) для различных
алгебр различными символами. Для ассоциативной алгебры М оста-
вим символ Zc(A)B). Для соответствующей М, лиевой алгебры
L(M) = M~ воспользуемся обозначением
Jc(A,B) = С([А,В)) - [С(А),В] - [А, С(В)} ,
а для специальной йордановой алгебры М+ используем
Кс(АВ) = £([Л,В]+) - [С(А),В)+ - [Л,£(В)1+ .
11.6. Гамильтоновы супероператорные функции
Большое значение в квантовой динамике имеют гамильтоновы
супероператоры.
Определение, Гамильтоновым супероператором
(супероператором * -дифференцирования) на инволютивной алгебре М,
называется вещественный супероператор дифференцирования.
В качестве алгебры М могут рассматриваться ассоциативная,
лиева и йорданова операторные алгебры. Важную смысловую
нагрузку условие гамильтоновости имеет для лиевых алгебр, так как
именно оно для классических систем на симплектических и пуассо-
новых многообразиях связано с условием Гельмгольца.
Вещественным супероператором дифференцирования
называется супероператор £, для которого выполнены условия
С(АВ) = ЦА)В + АС(В) , [С{А)]* = С(А*) VA e D(C) .
Это позволяет привести более полное определение.
Определение. Гамильтоновым супероператором называется
эндоморфизм С линейного проетранства инволютивной алгебры
М, если выполнены следующие условия.
1. ZC{A,B) = 0 для всех А,В,АВ eV(C) С М.
2. [С(А)]* = £(А*) для всех А, А* е V(C) С М.

208
Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Определение. Супероператором внутреннего
дифференцирования называется супероператор дифференцирования С} для
которого существует элемент Н из операторной алгебры Л4 такой,
что СН{А) = НА - АН для всех А € Т>(СН) С М.
Множество Int(M) супероператоров внутреннего
дифференцирования составляет идеал в лиевой алгебре L(Der(M)) всех
супероператоров дифференцирования лиевой алгебры ЛЛ.
Отображение Н -> £#, НЕМ является гомоморфизмом
лиевой алгебры М на лиеву алгебру супероператоров внутренних
дифференцирований.
СА+В(С) =■ СА(С) + СВ(С) , £а*в(С) = (СА о СВ)(С) .
Пусть М есть ассоциативная алгебра, a L(M) есть лиева алгебра,
соответствующая М. Всякий супероператор дифференцирования
алгебры М будет супероператором дифференцирования и для
алгебры L(M), то есть С € Der(M) => С € Der(L(M)). Обратное,
вообще говоря, не верно. Однако для супероператоров внутреннего
дифференцирования имеет место более сильное утверждение.
Утверждение. Всякий супероператор внутреннего
дифференцирования для алгебры Л4 является супероператором внутреннего
дифференцирования и для алгебры L(M), и обратно.
Множество Int(M) супероператоров внутреннего
дифференцирования для ассоциативной алгебры М составляет идеал в
лиевой алгебре L(Der(M)) всех супероператоров дифференцирования
ассоциативной алгебры М. Понятие супероператора внутреннего
дифференцирования может быть распространено со случай
ассоциативных и лиевых алгебр на случай произвольных алгебр М.
При этом множество lnt(M) супероператоров внутренних
дифференцирований образует идеал в лиевой алгебре L(Der(M)) всех
супероператоров дифференцирования. Элементы фактор-алгебры
Out(M) = = Der(M)IInt(M) называются супероператорами
внешних дифференцирований.
Определение. Дефектом Лейбница (диссипативной
функцией) для супероператора С на алгебре М называется билинейное
отображение Zc : М х М -> М, определяемое формулой
ZC(A,B) = С{АВ) - С(А)В - АС(В) .
Супероператор дифференцирования на операторной алгебре М
можно определить как линейный супероператор £, для которого

Глава 11. Динамика и супероператорные функции
209
дефект Лейбница равен нулю, то есть Zc{A,B) = 0 для любых
А> В € М. Дефект Лейбница характеризует степень отклонения
супероператора от супероператора дифференцирования.
В дальнейшем будем обозначать Zc(A,B) для различных
алгебр различными символами. Для ассоциативной алгебры Л4
оставим символ Zc(A,B). Для соответствующей М, лиевой алгебры
L(M) = М"" воспользуемся обозначением
Jc(A,B) = С([А,В]) - [С(А),В] - [А,С(В)} ,
а для специальной йордановой алгебры Л4+ используем
КС{А,В) s С{[А,В]+) - [С(А),В}+ - [А,ЦВ)]+ .
11.6. Гамильтоновы супероператорные функции
Большое значение в квантовой динамике имеют гамильтоновы
супероператоры.
Определение. Гамильтоновым супероператором
(супероператором ^-дифференцирования) на инволютивной алгебре М
называется вещественный супероператор дифференцирования.
В качестве алгебры М могут рассматриваться ассоциативная,
лиева и йорданова операторные алгебры. Важную смысловую
нагрузку условие гамильтоновости имеет для лиевых алгебр, так как
именно оно для классических систем на симплектических и пуассо-
новых многообразиях связано с условием Гельмгольца.
Вещественным супероператором дифференцирования
называется супероператор £, для которого выполнены условия
С(АВ) = С{А)В + АС(В) , [C{A)Y = C{A*) VA е D(C) .
Это позволяет привести более полное определение.
Определение. Гамильтоновым супероператором называется
эндоморфизм С линейного пространства инволютивной алгебры
М, если выполнены следующие условия.
1. ZC{A,B) = 0 для всех А,В,АВ €Т>(С) С М.
2. [£(А)\* = С(А*) для всех А, А* е V(C) С М.

210 Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Вещественным супероператором внутреннего
дифференцирования (супероператором внутреннего ^-дифференцирования) или
локально гамильтоновым супероператором называется гамиль-
тонов супероператор £, для которого существует эрмитов
(самосопряженный) элемент Н е М такой, что С(А) = ad(iH) = г [Я, А]. В
этом случае Sp[C(A)] = 0 для всех А е М.
Приведем важную теорему о дифференцированиях на алгебре
фон Неймана.
Теорема. Всякий ограниченный супероператор дифференцирования,
действующий на алгебре фон Неймана, является супероператором
внутреннего дифференцирования.
Следовательно, на алгебре фон Неймана любой гамильтонов
супероператор является локально гамильтоновым. Эта теорема
позволяет сформулировать довольно слабые условия на супероператор
£, при которых он является локально гамильтоновым
супероператором.
Утверждение. Следующие утверждения эквивалентны.
1. Дефект Лейбница для вещественного супероператора С на
алгебре фон Неймана ЛЛ тождественно равен нулю, то есть
£*{А) = £(А*), ZC(A,B) = 0, для всех А,ВеМ.
2. Супероператор С на алгебре фон Неймана М является
вещественным супероператором внутреннего дифференцирования, то
есть С{А) = г [Я, А), для всех АеМ, где = Я* € М.
Важное значение имеют гамильтоновы супероператоры на
операторной алгебре Ли М~, полученной из ассоциативной алгебры
М с помощью нового умножения gi(A,B) = [А,В]. Это
обусловлена тем, что аналогичные условия для классических систем на
симплектических и пуассоновых многообразиях связаны с
условиями потенциальности уравнений движения (с условиями Гельмголь-
ца). Приведем важное для квантовой механики определение.
Определение. Гамильтоновой супероператорной функцией
называется супероператорная функция С = C[Alk, Ark] на линейном
пространстве ассоциативной операторной алгебры М, если для
всех А,В} (АВ — В А) 6 D(C) выполняются условия:
1. Якобиан для супероператорной функции С равен нулю:
JC(A, В) = С([А, В}} - [С(А), В] - [А, С{В)\ = 0 .
2. Вещественность супероператорной функции С:
(£(А)У = С(А*) .

Глава 11. Динамика и супероператорные функции 211
Другими словами, гамильтоновой супероператорной функцией
является вещественный супероператор дифференцирования.
Простота квантового описания гамильтоновых систем во многом
обусловлена возможностью записать оператор С(А) через
коммутатор в виде (г/Й)[Я, А], где Н - ассоциативный оператор. Для
квантовых гамильтоновых систем супероператор С представим в виде
гь
Обычно накладываются следующие условия на супероператорную
функцию £, описывающую квантовые гамильтоновы системы.
1. Якобиан равен нулю: Jc{A, В) = 0.
2. Дефект Лейбница равен нулю: Zc (А, В) = 0.
3. Линейность С по коммутатору.
4. Вещественность : (С{А))* = £{А*).
5. Шпур равен нулю: Sp[C(A)] = 0.
11.7. Супероператорный полином
В силу коммутативности левых и правых супероператоров друг
относительно друга AlkA? = ArkA\ любой супероператорный
полином £[А^,А£] для ассоциативной операторной алгебры представим
в упорядоченном виде:
C[Alk,Al} = J2Mm[Alk}Nm{Ark].
га=1
Кроме того, для ассоциативных операторов А^ и Ai выполняются
соотношения
А{А\ = (AkAi)1 , ArkA\ = (А{Аку .
Поэтому супероператорный полином, зависящий только от левых
(правых) супероператоров, можно представить как левый (правый)
супероператор некоторого полинома
Mm[Alk] = (Mm[Ak})1 , Nm[A%] = (N^[A*k]Y .

212
Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Обозначив Trojylfc] = Nm[A*k]y получаем
S
C[AlAl) = Y, Mlm[Ak)Trm[Ak) . (65)
В результате имеем следующее утверждение.
Утверждение. Для ассоциативной операторной алгебры
произвольный многочлен от супероператоров Alk и Ark, k = 1, ...,п;
представим в виде суммы слагаемых, состоящих из произведения
левого и правого супероператоров
S
га=1
где Мт = Mm[Ak] uTm = Tm[Ak] - операторные полиномы.
Пусть супероператорная функция (65) такова, что операторные
полиномы Мт = Mm[Afc] иТт = Tm|/lfc] не могут быть отличны от
единичного оператора одновременно. Тогда имеем
m=l m=l га=1 m=l
то есть существуют операторные полиномы Hi(Ak) и #2(^/0 такие,
что
С[4,А1)=Н{[Ак)-Щ[Ак].
Следовательно, при #i[>lfc] = #2[-<4fc] супероператор С является
лиевым супероператорным полиномом.
Важное значение имеют супероператоры, линейные по
коммутатору. Условие линейности супероператорного полинома по
коммутатору приводит к представимости супероператорного полинома
в виде
т
C = Y^MlT[(Vl-V[).
г=1
Эта соотношение дает общий вид полиномиальной
супероператорной функции, определенной на ассоциативной операторной алгебре.

w
Гл&ва 11. Динамика и супероператорные функции 213
11.8. Билинейные супероператоры
В операторном пространстве М (например, в пространстве Ли-
убилля %) можно определить не только линейный супероператор,
но и билинейный супероператор. Напомним, что линейным
супероператором называется отображение С линейного операторного
пространства М в себя, если выполнены следующие условия.
1. £(А + В)=С{А) + С(В) VA,BeV{C)cM.
2. C(aA) = a£(A) У А е V{C) CM a E С.
Определение. Билинейным супероператором называется
отображение Z линейного пространства Ai x A4, являющегося
прямым произведением пары линейных пространств М, в линейное
пространство М, если выполнены следующие условия.
1. Для каэюдого А 6 М отобрасисение Z(A,.) является линейным
супероператором.
2. Для каэюдого В 6 М отобрасисение Z(.)B) является линейным
супероператором.
3. Выполняется соотношение Z(A, .)B = Z(.,B)A = Z(A, В).
Якобиан J с и дефект Лейбница Z& являются билинейными
супероператорами, так как для любых А}В,АВ,ВА G V(C) С М
отображения Zc{A,.)9 Zc(-,B), Jc{A,.), Jc{.,B) являются
линейными супероператорами.
Заметим, что билинейные супероператоры Zc, J с и К с можно
рассматривать как билинейные алгебраические операции на
пространстве Лиувилля %, ассоциированные с супероператором £,
причем J с - антисимметричная (кососимметричная) операция, а К с -
симметричная операция^ Свойства кососимметричности и
симметричности обусловлены соотношениями
Jc(A,B) - ZC{A,B)-ZC(B,A) , КС(А,В) = ZC(A,B)+ZC(B,A).
11.9. Ядра супероператоров
Пусть кет-векторы \х >— \ех > образуют ортонормированный
базис в гильбертовом пространстве И, то есть
< х\у >— 6(х — у) , / dx\x X х\ = I .

214
Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Тогда система кет-бра операторов Р(х,у) — \х X у\)
действующих в гильбертовом пространстве %, образует ортонормированный
базис \ху >— \Р(х,у) > в операторном пространстве М
< ху\х'у' >= 6(х,х')8(у\у) , / dxdy\xy >< ху\ = I .
Для произвольного элемента \А >€ И имеем
\А >= / dxdy \ху >< ху\А > ,
где < ху\А >—< х\А\у >= а(х,у) есть ядро оператора А.
Левый супероператор А1 и правый супероператор Аг,
соответствующие оператору А и действующие на элементы пространства
Лиувилля Н, определяются соотношениями
А1\В >= \АВ > V|B ><E V{Al) С Ч ,
Ar|B >= |J5i4 > V|B >G V(Ar) С # . (66)
В частности, имеем
А1\ху >- \АР{х,у) > , Л>>у >= И*,у)А > . (67)
Супероператором С является оператор, действующий в
гильбертовом операторном пространстве % (в пространстве Лиувилля)
согласно формуле
С\А >= \С(А) > \/\А >е V(C) С Н .
Для того чтобы найти объект, соответствующий супероператору С в
х-представлении, можно рассмотреть ядро < х|£(А)|?/ > оператора
С(А) и его взаимосвязь с ядром a(x',yf) =< :r'|A|?/ > оператора А.
< х\С{А)\у >= [dx'di/C{x,y,x',i/)a(x',i/) . (68)
Это соотношение можно переписать для супероператора £,
действующего на элемент \А >Е Л, в виде
< хуЩА >= /dxdy1 < ху\£\х'у' >< х'у'\А > \/\А >6 V(C) ,

Глава 11. Динамика, и супероператорные функции 215
< ху\С(А) >= j dx'dy'C{x,y,x',y')a{x',yf) .
Здесь а{х\у') —< х'у'\А >=< х'\А\у' > есть ядро оператора А, а
символом < ху\С(А) >=< х\£(А)\у > обозначено ядро оператора
С(А).
Определение. Ядром супероператора С в х-представлении
называется функция С(Х) у,х', у1), определяемая соотношениями
С(х, у, я', у1) =< хуЩх'у' >=< ху\С(Р{х'7 у')) > . (69)
C(x,y,x',i/)=<P(x,y)\C(P(x',i/))> •
Следовательно, в х-представлении супероператору С
соответствует интегральный оператор с ядром С(х,у,х1,у')>
преобразующий ядра операторов согласно формуле (68). Видно, что действие
супероператора С на элемент \А >£ Й целиком определяется его.
действием на базисные операторы Р(х, у)
С\А >= / dxdy С\ху >< ху\А >= / dxdy\C(P(x,y)) > а(х,у) .
11.10. Примеры ядер супероператоров
Рассмотрим ядра некоторых супероператоров, используя
формулу для ядра произведения операторов в ^-представлении и
определение ядра супероператора.
1) Левый супероператор А1 и правый супероператор Лг,
соответствующие оператору 4еН, определяются соотношениями (69)
или
А1 В = АВ WBe V{Al) с U , АГВ = В A V£ 6 V{Ar) С « .
В силу соотношения (68) имеем
< х\А1В\х' >= [(1у*1у'А1(х,х',уУ1/)Ь(у,1/) . .

216 Глава 11. Динамика и супероператорные функции
С другой стороны, согласно определению супероператора А1, имеем
< х\А1В\х' >=< х\АВ\х' >= / dy < х\А\у >< у\В\х' >==
= / dydy' < х\А\у >< у\В\у' >< у'\х' >=
= / dyds/aix^biy^Siy' - х') .
Сравнивая полученные соотношения, получаем ядро левого
супероператора
Al{x,x\y,y') = a(x}y)6{y' -х') .
Это выражение для ядра левого супероператора А1 можно
получить, используя определение супероператора (67) и ядра
супероператора (69):
А1(х,х',у,у') =< xx'\Al\yt/ >=< xx'\AP(y,yf) >=
= Sp{P(xf,x)AP(y,yf)} = Sp[P(y,i/)Ptf,x)A] =
= 8(y' - x?)Sp[P(y,x)A] = %' - x') < xy\A >= a(x,y)5{yf - a/) .
Здесь воспользовались свойством шпура и соотношением
Аналогично для ядра правого супероператора Аг получаем
Аг{х,х',у,у') =< жж'|Аг|уу' >=< хх'\Р{у,у')А >=
= 5p[P(a;',x)P(y,i/')A] = Ф - у)5р[Р(х',у')^] =
= 6(х -у)< у'х'\А >= o(j/, х'Щх - у) .
2) Рассмотрим суиероператор, соответствующий взятию
коммутатора:
Co=UHl-ir), Со(А)=1-[Н,А) \/AeV(C0).

Глава 11. Динамика и супероператорные функции
217
Здесь Н - оператор Гамильтона (гамильтониан). Супероператор Со
является гамильтоновым супероператором. Ядро супероператора
Со имеет вид
Со(х,х',у,у') =< хх'\С\уу' >= 1-[< хх'\Н1\уу' > - < хх'\Нг\уу' >] ,
Со(х,х',у,у') = ^[h(x}x')6(j/ ~-x')-h(j/x')6(x-y)] .
В приведенных примерах ядра супероператоров являются
обобщенными функциями.
3) Рассмотрим случай полиномиального супероператора С,
имеющего вид
га m
Ядро С(х,х',у,у') полиномиального супероператора, линейного
по коммутатору, имеет вид
m p
^2 / dz\mk{x,z)vk(z,y)tk(y ,x') ~mk(x,y)vk(y',z)tk(z,x')} .
Заметим, что супероператор будет гамильтоновым, если
интегрирование по z можно снять:
™>k{x, z) = mkS(x - z) , tk(z, x') - tk6(z - яг') .
Если, кроме того, mk = tk = 1 и Vk = (i/Й)/, тогда £& = £q-
11.11. Условие гамильтоновости супероператора
Сформулируем необходимое и достаточное условие
гамильтоновости супероператора в .^-представлении. Супероператор С
является гамильтоновым тогда и только тогда, когда якобиан этого
супероператора тождественно равен нулю, то есть
Jc(A,B) = Ц[А,В}) - [С(А),В] - [А,С(В)} = 0 (70)

218 Глава 11. Динамика и супероператорные функщи
для всех Д J5, (АВ — В А) Е £>(£) С Н. Напомним, что якобиан
можно представить в виде
МА,В) = ZC(A,B) - ZC(B,A,B) .
Ядра операторов Jc(A,B) и Zc(A,B) можно выразить через ядра
операторов А и В:
< xxf\Jc(A,B) >= / dydy'dzdz1' J(x,x' ,y,y' ^,^)а(у,у')Ъ^,^) ,
< xxf\Zc(A,B) >= / dydy,dzdz'Z(xix'1y,y,,ziz')a(y,yt)b(ziz') .
Ясно, что условие гамильтоновости означает выполнение
уравнения (70) для всех операторов А и В. Следовательно, требование
гамильтоновости приводит к тождественному равенству нулю ядра
якобиана
J(xyx,,y,y,,z)zt) = 0 .
Функция, которая является ядром билинейного супероператора J с,
определяется соотношением
J{x,x\y,y9,z,z') =< xx'\Jc{P{y,y'),P{z,z')) > .
Аналогично определяется ядро билинейного оператора Zc
формулой
Z{x,x\yd,zj) =<xx'\Zc(P(y,l/),P(z,z')) > .
Ядро билинейного супероператора Zc имеет вид
Z(x, х\ у, у', z, z1) = С{х,х\ у, z')%' - z)-
-£(s, z, у, y')S(z' - x') - £(y', x1, z, zf)5(x - y) .
Ядро билинейного супероператора Jc{-,-) связано с ядром
супероператора Zc формулой
J(x, х!, у, у', z, zf) = Z{x, х\ у, у', *, z1) - Z(x, х1, z, zl, у, у') .
Эти выражения можно получить из определения ядра
билинейного супероператора, используя базис \ху >= Р(х,у) в пространстве
Лиувилля, однако эти преобразования более громоздки.

Глава И- Динамика и супероператорные функции 219
11.12. Однопараметрические операторы
В квантовой механике большое значение имеют операторы,
зависящие от параметра. В качестве параметра обычно рассматривается
время. Приведем определение однопараметрического оператора.
Определение. Однопараметрическим оператором или
оператором, зависящим от параметра, называется следующий набор
данных.
1. Пара (T,D(At)), состоящая из множества TcR возможных
значений параметра t и подмножества D(At) множества
операторов М.
2. Отображение Т —> D(At), которое каждому t € Т ставит в
соответствие не более одного элемента At € D{At).
В качестве множества Т будем рассматривать отрезок
вещественной числовой прямой М. Можно определить понятие
непрерывности и дифференцируемости, если задана топологическая
структура на множестве М. Пусть на множестве операторов М
определена структура банахова пространства М. Однопараметри-
ческий оператор At 6 D(At) называется непрерывным, если для
каждой точки to ET имеем
lim \\At-Ato\\M =0 .
c->tO
Множество всех непрерывных однопараметрических операторов
образует линейное пространство, обозначаемое через С(М,Т). В
этом пространстве можно определить норму по формуле
1И11с(м,г) =пшх||А*||л< •
Относительно этой нормы пространство С(М,Т) является
банаховым пространством.
Однопараметрический оператор At € D(At) называется
дифференцируемым при t = to в подпространстве D{At) С М , если
существует элемент A!(to) £ М такой, что

220 Глава 11. Динамика и супероператорные функции
Оператор A!(to) называется производной оператора A(t) при t = jQ
и обозначается dA(t)/dt. Однопараметрический оператор диффе.
ренцируем на отрезке Т С К, если он дифференцируем в каждой
точке t е Т. В этом случае производная -A'(i) является однопара-
метрическим оператором из операторного пространства Л4.
11.13. Однопараметрические супероператоры
Аналогично определяются однопараметрические
супероператоры. Если пространство супероператоров является банаховым, то на
однопараметрические супероператоры переносятся понятия
непрерывности и дифференцируемости. Эти понятия можно
сформулировать и для сильной сходимости супероператоров. Сильно
непрерывным однопараметрическим супероператором называется
ограниченный линейный супероператор £*> для которого
lim \\Ct(A)-Cto(A)\\M=0.
t—Но
Если супероператор непрерывен по норме, то он является сильно
непрерывным. Обратное утверждение неверно. Из теоремы Банаха-
Штейнгауза вытекает, что сильно непрерывный на отрезке Гс1
супероператор Ct равномерно ограничен \\Ct\\ < с. В силу этого
сильно непрерывный супероператор является ограниченным
супероператором, отображающим операторное пространство М в
пространство (7(М,Т) непрерывных однопараметрических операторов.
Непосредственно проверяется следующее утверждение. Если At
- непрерывный однопараметрический оператор на Т со значениями
в М, a Ct - сильно непрерывный супероиератор на Л4, то Ct(At) -
однопараметрический оператор непрерывный в М.
Сильно непрерывно дифференцируемым супероператором
называется линейный ограниченный супероператор Ф*, для которого
однопараметрический оператор ФДА) непрерывно
дифференцируем для каждого А € D($t) С М\
i->£o t — in

Глава 11- Динамика и супероператорные функции 221
Утверждение. Если cyneponepamop Ct является сильно
непрерывно дифференцируемымj то он непрерывен по супероператорной нор-
lim HA-Aol! =0 ,
С—КО
и удовлетворяет условию Липшица
ИА-Ао11<Ф-*о|.
Утверждение. Если однопараметрический оператор At
непрерывно дифференцируем в М и супероператор Ct сильно непрерывно
дифференцируемj то однопараметрический оператор Ct(At)
непрерывно дифференцируем и выполняется следующее правило
дифференцирования:
11.14. Интегралы Бохнера и Петтиса
Если однопараметрический оператор A(t) = At,
принадлежащий банахову операторному пространству М, непрерывен на
отрезке Г = [а,Ь], то для него можно определить интеграл Римана
как предел интегральных сумм
N
lim J2A{tk)Atk= f A(t)dt
k=l
Здесь предел понимается в смысле равномерной операторной
топологии на пространстве М, когда диаметр разбиения интервала
Т = [а, 6]: а = to < h < ••• < In = Ь стремится к нулю.
Для однопараметрических операторов можно определить
обобщение интеграла Лебега на банаховы пространства. Наиболее часто
используемыми обобщениями являются интеграл Бохнера и
интеграл Петтиса. Приведем некоторые олределения.
Однопараметрический оператор, определенный на интервале Т = [а, Ь] и
принимающий значения в банаховом пространстве М называется счет-
нозначным, если он принимает не более чем счетное число
ненулевых значений Ак, причем множества Mk = {t : A(t) = Ak}
измеримы по Лебегу. Счетнозначный однопараметрический оператор

222 Глава 11. Динамика и супероператорные функции
A(t) называется интегрируемым по Бохнеру (Петтису) на
интервале Т = [а, Ь], если числовая функция ||A(t)|| интегрируема по Лебегу
на [а,Ь]. Интеграл в этом случае полагается равным
N
[ A(t)dt = lim J]Akii(Mk) ,
fc=l
где ц(Мь) мера Лебега множества на М&, а предел понимается в
смысле сильной (слабой) операторной топологии на пространстве
М.
Однопараметрический оператор A(t) называется сильно
измеримым на [а, 6], если он является пределом почти везде
сходящейся последовательности счетнозначных однопараметрических
операторов A^(t). Если оператор A(t) является сильно измеримым, то
функция ||-А(*)|| измерима по Лебегу. Если ||А(£)|| является
интегрируемым по Лебегу, то A(t) называется интегрируемой по Бохнеру
(сильно интегрируемой). Интегралом Бохнера полагают равным по
определению
' A(t)dt= lim A^(t)dt.
f
J a
n-+oo
Предел понимается в смысле сильной операторной топологии.
Построенный интеграл не зависит от выбора последовательности
операторов A^n\t), сходящейся к A(t)} и для него выполняется
неравенство
| / A(t)dt\\ < f \\A(t)\\dt
Аналогично определяется интеграл Петтиса, если
рассматривать вместо сильной операторной тоцологии слабую операторную
топологию. Возникает вопрос, как связаны между собой интегралы
Бохнера и Петтиса. Ответ дается следующим утверждение: если
существует интеграл Бохнера от оператора A(t) 6 Л4, то существует
и интеграл Петтиса, совпадающий с интегралом Бохнера. Однако
интеграл Петтиса может существовать и тогда, когда интеграл
Бохнера не существует.
Отметим важное соотношение для супероператора
С I A(t)dt = [ £{A{t))dt .
J a J a

Глава, 11. Динамика и супероператорные функции
223
Бели оператор A(t) интегрируем по Бохнеру, то почти для всех
значений t € [а, Ь] однопараметрический
B(t) = f A{r)dr
J a
непрерывен и дифференцируем.
В квантовой динамике рассматриваются дифференциальные
уравнения
jtAt = Ct{At), te[a,b] (71)
в банаховом операторном пространстве М. При этом будем
предполагать, что однопараметрический супероператор Ct из банахова
пространства супероператоров измерим и интегрируем по Бохнеру
на интервале [а, Ь]. Решением дифференциального уравнения (71)
обычно называется непрерывный и дифференцируемый
однопараметрический оператор j4(t), удовлетворяющий этому уравнению
почти везде. Таким образом, решение уравнения (71) совпадает с
решением интегрального уравнения
At = Л0 + /* Cr{AT)dr .
Jto
Такие уравнения часто называются интегральными уравнениями
Вольтерра.

ГЛАВА 12.
ДИНАМИКА И ПОЛУГРУППЫ
СУПЕРОПЕРАТОРОВ
11.1. Группы супероператоров
Рассмотрим гильбертово пространство М с некоторым
скалярным произведением < А\В > элементов А, В этого пространства.
Мы будем подразумевать, что пространство М является
операторным пространством, то есть М = %, но не будем пока использовать
этот факт явно.
Определение. Однопараметрической группой
супероператоров называется семейство отобрасисений {Ф^| t Е R} пространств
М в себя, удовлетворяющих следующим условиям.
1. Фь{аА) = аФг{А) МАеМ , Va € С , Vt e R.
2. Ф1{А + В) = Ф1(А)+Фг{В) \/А£М, V* е R.
5. ФДФДА)) = Фь+з{А) VA е М yt.se R
4. Ф*=о(А) = 4 VAG.M.
Первые два условия означают линейность супероператора Фt
на пространстве Л4, третье условие - групповой закон, а четвертое
условие - существование единицы.
Определение. Сильно непрерывной однопараметрической
группой супероператоров называется семейство отобрасисений
{Фг| t € Ш} пространств М в себя, удовлетворяющих следующим
условиям.
1. Фг{аА) = аФг{А) VA е М , а е С , W6K.
«. Фг{А + В) = Фг(А)+Фг{В) УАеМ, \fteR.
3. Фt(Фs(A)) = Фц.а(А) VAeM Vt, s 6 М.
4. Ф*=о(А) = А WLeM
5. Шщ-,о||Ф«(А)-Л||Л1=0 VAG.M.
Определение. Унитарной группой супероператоров называется
группа однопараметрических супероператоров {Ф$| i 6 Щ на
гильбертовом операторном пространстве М, для которых выполнено
условие < Фг(А)\Фь(В) >=< А\В > при любых А,В € М.

Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 225
Согласно теореме Стоуна, между самосопряженными суперо-
ператорами и непрерывными однопараметрическими унитарными
группами супероператоров существует взаимно однозначное
соответствие.
Теорема Стоуна. Пусть Ф^ есть сильно непрерывная унитарная
однопараметрическая группа супероператоров на гильбертовом
операторном пространстве М. Тогда существует
самосопряженный супероператор С в М такой, что Ф^ = exp it С.
Определение. Инфинитезимальным генератором сильно
непрерывной однопараметрической группы {Ф^| t € Щ,
действующей на гильбертовом операторном пространстве М, называется
супероператор С в М такой, что Фг = exp it С.
12.2. Полугруппы супероператоров
Рассмотрим теперь банахово операторное пространство М и
некоторые супероператоры на нем.
Определение. Однопараметрической полугруппой
супероператоров называется семейство однопараметрических
супероператоров {Ф*1 t > 0} на банаховом пространстве М,
удовлетворяющих следующим условиям.
1. Фь{аА) = аФг{А) УАеМ , а € С , V< > 0.
2.Фг(А + В) = Фг{А) + Фг{В) УАеМ, Ш > 0.
З.Фг{Ф8(А)) = Фг+8(А) УАеМ Vi>0, Vs>0.
l*t=o(A) = A ЧАеМ.
Однопараметрическая полугруппа - это эволюционное
отображение, являющееся линейным и однопараметрическим. Видно, что
определение полугруппы отличается от определения группы
условием t 6 [0, оо) вместо условия t 6 (—оо, оо). Полугруппа отличается
от группы лишь неотрицательностью параметров.
Однопараметрические полугруппы допускают экспоненциальное
представление при условии, что отображение t —> Ф* удовлетворяет
условию непрерывности. Полугруппа называется сильно
непрерывной, если отображение t -» Ф$ непрерывно по норме для любого
оператора А б М.

226 Глава 12. Динамика и полугруппы сулероператоров
Определение. Сильно непрерывной однопараметрической
полугруппой супероператоров называется семейство однопара-
метрических супероператоров {Ф^| t > 0} на банаховом
операторном пространстве М, удовлетворяющих следующим условиям.
1. Фь{аА) = аФь{А) У А е М , a £ С , Vt > 0.
2.Ф1(А + В) = ФЬ(А) + Ф1{В) VAeM, Vt >0.
5. Ф*(Ф,(Л)) - Ф*+5(А) VA 6 M Vt > 0, s > 0.
4- Ф4=0А = .А VA6.M.
5Aimt^+o\\MA)-A\\M=0 VAeM.
Сильно непрерывная полугруппа иногда называется
полугруппой класса Со- Приведем определение супероператорной нормы
(нормы супероператора).
Определение. Нормой супероператора Ф* в банаховом
пространстве М называется число ||Ф$||, определяемое формулой
т = SUP !№ .
Аем \\А\\м
Определение. Сжимающей полугруппой называется однопара-
метрическая полугруппа супероператоров {Ф^| t > 0} на банаховом
пространстве М, удовлетворяющая условию \\Фь\\ < 1 при всех
£>0.
Определение. Полугруппой изометрий называется однопара-
метрическая полугруппа супероператоров {Ф^| t > 0} на банаховом
пространстве М, для которой выполнено условие
ША)\\м = \\А\\М Vf>0, VAeM.
Теорема. Для любой сильно непрерывной однопараметрической по-
лугруппы супероператоров {Ф^| t > 0} существуют
положительные постоянные С и а такие, что
\Ш\ < Ceat Vt > 0 .
Определение. Показателем степени роста
(экспоненциальным типом) полугруппы {Ф^| t > 0} называется точная нижняя
грань тех значений а, для которых существует такая
постоянная, что выполнено неравенство \\Фь\\ < Cexp{at} для всех
неотрицательных i, то есть
а = ~ШГ1\\Фь\\ .

/>ава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 227
Умножая супероператоры полугруппы {Ф$| t > 0} на
множитель ехр{—at}, получим новую сильно непрерывную полугруппу
{Фе| * > 0}, которая будет удовлетворять условию равномерной
ограниченности ||Ф$|| < С Vi > 0. Если С < 1, то полугруппа
становится сжимающей полугруппой, ||Ф^|| < 1. Сильно
непрерывная полугруппа супероператоров допускает представление в виде
экспоненты Ф* = exptC от супероператора из некоторого класса
суиероператоров на банаховом операторном пространстве. Таким
образом, теорема Стоуна допускает обобщение взаимосвязи между
унитарными группами и самосопряженными операторами на
сильно непрерывные полугруппы и их генераторы.
12.3. Производящий супероператор полугрупп
С полугруппой {Фг| t > 0} можно связать супероператоры С6,
определенные формулой
Се(А) = ~[Ф£(А) -А] УАеМ , е > 0 .
Определение. Инфинитезимальным генератором
(производящим супероператором) сильно непрерывной полугруппы
{<&t\t > 0} называется линейный супероператор С на банаховом
пространстве М, определяемый равенством
С(А) = ПтСе(А) .
Равенство должно выполняться для всех операторов Л, для
которых данный предел существует в смысле сильной топологии
пространства М (топологии, индуцированной нормой пространства):
lim \\С{А) - 1(Ф4(Л) - А)\\м = 0 УА е D(C) .
Определение. Областью определения производящего
супероператора С в банаховом пространстве М называется
подмножество D(C) этого пространства, определенное в виде
D(C) = {А Е М : lim Се(А) = С(А)} .

228 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров
Многие теоремы о производящих супероператорах полугрупп
допускают обобщение с ограниченных супероператоров на
неограниченные. Неограниченные линейные супероператоры С не
обладают свойством непрерывности. Из условия Ап -> А, вообще говоря,
не следует, что С(АП) стремится к какому-либо пределу.
Некоторые неограниченные супероператоры обладают более слабым
свойством, отчасти заменяющим свойство непрерывности.
Определение. Замкнутым супероператором называется супер-
оператор С, для которого из условий существования пределов
lim Ak = A , lim C(Ak) = В ,
k->oo fc->oo
где Ak € D{£), следует, что A G D(C) и В = ЦА).
Очевидно, что любой непрерывный и любой ограниченный
супероператор является замкнутым. Обратное, вообще говоря,
неверно. Замкнутый супероператор, определенный на всем пространстве,
является ограниченным. Примером замкнутого супероператора
может служить супероператор, сопряженный с произвольным
линейным супероператором.
Вместе с супероператором. £ замкнут или не замкнут
супероператор zI-C, с областью определения D(C). Поэтому, если
существует ограниченный резольвентный супероператор R(z) = (zl - С)"1,
то супероператор С замкнут. Следовательно, супероператор,
имеющий хотя бы одну регулярную точку, является замкнутым.
Теорема. Если {Ф*| t > 0} - сильно непрерывная полугруппа на ба-
паховом операторном пространстве М и С - инфинитезимальный
генератор полугруппы, тогда выполнены следующие условия.
1. С является замкнутым супероператором.
2. Область определения D(C) является плотной.
Другими словами, производящий супероператор сильно
непрерывной полугруппы на банаховом операторном пространстве является
замкнутым супероператором с плотной областью определения..
Утверждение. Для сильно непрерывной полугруппы
супероператоров Ф* функция Ф*(Л) на банаховом пространстве М
удовлетворяет дифференциальному уравнению
±-МА) = £>*№) ЧА 6 D(C) ,
at
и оператор At = Ф*(А) представим в виде
ФЬ{А) = (exp tC)A VAeM .

fjjaBa 12. Динамика и полугруппы супероператоров 229
Видно, что C<frt(A) = $tC(A) и область определения D(C) ин-
Бариантна относительно Ф^. Кроме того, согласно этому
утверждению, для любого А € D(C) функция At = $t{A) является
единственным решением задачи Коши:
-At = C(At) , At=o = А , t > 0 .
Пусть #(Л4) есть множество ограниченных линейных
супероператоров на банаховом пространстве М.
Утверждение. Для сильно непрерывной полугруппы супердперато-
ров Ф* на банаховом пространстве М эквивалентны следующие
три условия.
l.D(C)=M.
2. lim^o ||Ф* - 1\\ = 0.
S.$t = exptCi t>0 Се В(М).
Другими словами, инфинитезимальный генератор сильно
непрерывной полугруппы ограничен (и всюду определен) тогда и только
тогда, когда полугруппа равномерно непрерывна.
12.4. Сжимающие полугруппы и ее генераторы
Приведем теорему, являющуюся некоторым аналогом теоремы
Стоуна для самосопряженных супероператоров. Эта теорема
позволяет определить, при каких условиях супероператор С порождает
сжимающую полугруппу.
Теорема Хилле-Иосиды. Замкнутый линейный супероператор С
на банаховом операторном пространстве М, является инфини-
тезимальным генератором сжимающей сильно непрерывной
полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены условия:
1. \\zl — С\\ < z"1 для всех z > 0.
2. Все z с полоэюительной вещественной частью принадлеоюат
резольвентному множеству р(С). Другими словами, для всех z
таких, что Rez > 0, существует резольвента R{z, С) = (zI-C)~l
и {z£C: Rez>a} Cp(C).
При выполнении условий теоремы имеет место соотношение
РОО
R{z,C)A= e~z%(A)dt, (72)
L

230 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров
для всех А е М и всех z таких, что Rez > 0. Данная формула
выражает резольвенту производящего супероператора через
супероператор полугруппы Фг = exptC. Таким образом, резольвента R(zy£)
супероператора С при Rez > а является преобразованием Лапласа
полугруппы Ф*. Приведем другую формулировку теоремы.
Теорема Хилле-Иосиды. Пусть С - замкнутый линейный
супероператор с областью определения D(C), плотной в банаховом
пространстве М. Для того чтобы супероператор С был инфините-
зимальным генератором некоторой сжимающей сильно
непрерывной полугруппы, необходимо и достаточно, выполнения следующих
условий.
1. Для каждого z > 0 супероператор zl — С обладает
ограниченным обратным супероператором, то есть существует ограничен
пая резольвента R(z,C).
2. Для всех целых п > 1 выполняется неравенство
||№,£)]1<1 2>о.
Z
Теорема Хилле-Иосида характеризует генераторы через
свойства их резольвент. Трудность применения теоремы Хилле-Иосиды
состоит в необходимости строить резольвенту R(z^C) = (zl — C)~l
замкнутого супероператора С для проверки условий (1) и (2).
Поэтому хотелось бы иметь условия непосредственно на
супероператор £, то есть аналоги условий симметричности и
самосопряженности супероператора, используемые в теореме Стоуна. Для этого
введем понятие диссипативного супероператора.
Определение. Касательным функционалом к элементу А
банахова пространства М называется элемент wGM*,
удовлетворяющий условию и(А) = \\и\\\\А\\м-
Определение. Нормированным касательным функционалом
к элементу А банахова пространства М называется элемент и) €
Е М*, удовлетворяющий условиям \\ш\\ = \\А\\м и ш(А) = )|41)л4 *
Определение. Диссипативным супероператором называется
супероператор С на банаховом операторном пространстве М,
если для любого А Е D(C) найдется такой ненулевой касательный
функционал со от А, что Яе[ш(СА)] < 0.
Теорема Хана-Банаха гарантирует, что в банаховом
пространстве М для любого А (Е М существует по крайней мере один
ненулевой касательный функционал к элементу А.

Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 231
Касательным функционатом к элементу А гильбертова
пространства М является элемент ш £ М* такой, что и(СА) =< А\СА >.
Определение. Диссипативным супероператором на гильбер-
пговом операторном пространстве называется замкнутый
супероператор С на гильбертовом пространстве М, если для любого
А 6 D(C) С М выполнено неравенство
< СА\А > + < А\СА >< О А е D{C) С Н .
В этом случае будем писать С Е Dis(M).
Приведем теорему, дающую ответ на важный вопрос: в каких
случаях супероператор С порождает сжимающую полугруппу?
Теорема. Замкнутый супероператор С на банаховом операторном
пространстве М является инфинитезимальным генератором
сжимающей сильно непрерывной полугруппы тогда и только
тогда, когда выполнены следующие условия.
1. С является диссипативным супероператором: С € Dis{M).
2. Множество значений супероператора I — С совпадает со всем
пространством Л4, то есть R(I — С) = М.
12.5. Экспоненциальные и позитивные полугруппы
Для полугрупп, не являющихся сжимающими и имеющих
экспоненциальный тип а, имеет место следующая теорема.
Теорема Хилле-Иосиды-Филлипса. Пусть С - замкнутый
линейный супероператор с областью определения D(£) плотной в
банаховом пространстве М. Необходимые и достаточные условия
того, чтобы супероператор С являлся инфинитезимальным
генератором сильно непрерывной полугруппы, состоят в следующем.
1. Существует число а (экспоненциальный тип полугруппы)
такое, что все z > а лежат в резольвентном множестве р(С).
2. Существует постоянная С такая, что при всех Rez > а и всех
положительных целых п выполняется неравенство
11№'£)П1 - (Rez°-a)" ' Z > ° ' Щ*'С) = {ZI ~C)'1 ■

232 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров
В этом случае при всех z таких, что Re(z — a) > О выполняется
неравенство
Кроме того, для любого значения z > а выполняется равенство (72),
где <&t = exp tC.
Важное значение для описания эволюции оператора матрица
плотности имеют положительные (позитивные) полугруппы
супероператоров.
Определение. Положительной полугруппой (позитивной
полугруппой) называется полугруппа {Ф^| t > 0}, если все
супероператоры Ф* в банаховом операторном пространстве М при t > 0
являются полооюительными супероператорами, то есть имеем
ФгМ+ С Л4+, где М+ - положительный конус пространства М.
Сформулируем критерий положительности (позитивности)
полугруппы.
Теорема. Сильно непрерывная полугруппа {Ф^| t > 0} с
генератором С является позитивной тогда и только тогда, когда
резольвента R(Z)C) = (zl — £)~~1 является положительным
супероператором при всех z > а, где а - экспоненциальный тип полугруппы.
Кроме того, для любого z > а выполняется равенство
/»оо
R{zy С) А = / e~z%{A)dt VAeM.
Jo
12.6. Стационарные дифференциальные уравнения
Динамическая структура квантовой механики обычно задается
дифференциальными уравнениями в банаховом операторном
пространстве или на некоторой операторной (инволютивной банаховой)
алгебре. Рассмотрим в банаховом пространстве М
дифференциальное уравнение
±At = C{At) AteD(C)cM. (73)
at
Здесь At = A(t) является искомой операторнозначной функцией со
значениями в банаховом операторном пространстве М. С -
линейный супероператор, действующий в операторном пространстве М
^1

Глава 12. Динамика, и полугруппы супероператоров 233
и имеющий всюду плотную в М область определения D(£).
Производной однопараметрического оператора A(t) по параметру t
называется элемент A'(t) = dA(t)/dt, для которого существует предел
lim \\r-\A(t + r) - A(t)) - A'(t)\\M = 0 .
Определение. Решением дифференциального уравнения (73)
при t E [0,£'] называется функция A(t), удовлетворяющая
следующим условиям.
1. Значения функции A(t) принадлежат области D(C) для всех
te[o,tf].
2. Существует производная Af(t) функции A(t) для всех t G [0,£'].
3. Производная удовлетворяет уравнению A .'(£) — CA(t) при всех
te[o,t'}.
Определение. Задачей Коши называется задача о нахождении
решения A(t) дифференциального уравнения (73) при t G [О,*'],
удовлетворяющего заданному начальному условию: А(0) = Aq.
Рассмотрим сначала ограниченный супероператор £. Для
дифференциального уравнения (73) с ограниченным супероператором
С решение задачи Коши существует, единственно и может быть
записано в виде
A(t)=etcA0.
Супероператор Ф^ = exp tC определяется рядом
exp tC = Y -Cn
71=0
который сходится по норме супероператоров. Используя
неравенство для нормы произведения и оценивая каждое слагаемое ряда
по норме, получаем неравенство
\\exp tC\\ < exp t\\C\\ . . (74)
Супероператоры Ф* = exp tC при t е [0,оо) образуют однопара-
метрическую полугруппу ограниченных супероператоров. Оценка
нормы ||Фг|| неравенством (74) является грубой, так как учитывает
лишь норму супероператора £ и не учитывает расположение его
спектра. Более точная оценка дается следующим утверждением.

234 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров
Утверждение. Если вещественные части всех точек z спектра
супероператора С меньше числа а, то есть Rez < а , СА = zA
тогда имеет место неравенство
\\exp tC\\ < eat .
Обратно} из выполнения неравенства \\exp tC\\ < exp at следует
что действительные части точек спектра супероператора С не
превосходят a (Re z <a).
Для ограниченности всех решений стационарного
дифференциального уравнения (73) на полуоси t £ [0, оо) необходимо, чтобы
спектр супероператора С лежал в замкнутой левой полуоси
р(С) С [0;оо), и достаточно, чтобы он лежал в открытой левой
полуоси р(С) С (0;оо).
12.7. Корректная задача Коши
Определение. Корректной задачей Коши называется задача
Коши для уравнения (73) на отрезке t E [0,i']; если выполняются
следующие условия.
1. Для любого Aq G D(C) существует единственное решение
задачи Коши. > ?
2. Решение непрерывно зависит от начальных данных: для
решений Ak{t) уравнения (73) с начальными условиями Ак(0) = Ак
имеем
lim \\Ak\\M = 0 =* lim \\Ak{t)\\M = 0 Vt>0.
Для постоянного супероператора С из корректности задачи Коши
на каком-либо отрезке [0, t1] следует ее корректность на всей
вещественной полуоси [0, оо).
Теорема. Если задача Коши для дифференциального уравнения (73)
корректна, то ее решение задается сильно непрерывной
полугруппой супероператоров Ф* по формуле A(t) = Ф^о для Aq € D(C)-
Рассмотрим поведение полугруппы Ф* при t -* оо. Дли это-
го введем * функцию f(t) = ?п||Ф^||. Из полугруппового свойства
Ф*1+*2 = ®h$t2 следует неравенство
ll$t1+t2ll<ll<MIHM-

Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 235
Оно приводит к полуаддитивности функции f(t):
№+t2)<№)f(t2).
Для всякой полуаддитивной при t > 0 функции f(t) существует
предел
lim t~lf{t) = a < оо , lim £-1/п||Фг|| = a < оо .
t—»оо £—юо
Теорема, #слгл задача Коши для дифференциального уравнения (73)
корректна, то каждое его решение Ф^Ао растет на
бесконечности не быстрее экспоненты, то есть существуют такие
положительные постоянные С и а, что
||Ф*4>Ы < Ceat V*>0.
Точная нижняя грань тех значений а, для которых имеет место
это неравенство, называется экспоненциальным типом
(показателем степени роста) полугруппы Ф^. Из этой теоремы следует, что
для корректной задачи Коши необходимо, чтобы супероператор С
не имел собственных чисел в полуплоскости Rez > а.
Действительно, если А является собственным элементом супероператора
С : СА — zA} то ему отвечает решение ФtA = exp{zt}A,
экспоненциальный тип которого равен Rez < а. При Rez < а любой
супероператор zl — С имеет на своей области значений обратный
супероператор R(z,£) = (zl — С)"1.
Ограниченность экспоненциальных типов а < оо всех решений
позволяет применять преобразования Лапласа. При Aq Е D(C) и
Rez > а определен интеграл
гоо
R(z,C)A0= / e~z%(AQ)dt . (75)
Jo
Утверждение. Пусть задача Коши для дифференциального
уравнения (73) корректна и имеет экспонет^иальный тип а < оо. Если
супероператор С имеет хотя бы одну регулярную точку, то при
Rez > а он имеет резольвенту, которая выражается через
полугруппу Ф* по формуле (15). Для решений задачи Коши при t > О
имеем
1 rx+ioo
фг(А) = — dzeztR(z,C)A.
ЯК1' J x—ioo

236 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров
Требование корректности задачи Коши налагает сильные
ограничения на резольвенту супероператора С.
Утверждение. Если задача Коши для дифференциального
уравнения (73) корректна и супероператор С имеет хотя бы одну
регулярную точку, то для резольвенты справедлива оценка
||Д(*,£)|| < £7(1 + 1*1) , Rez>a.
Приведем утверждение о решении неоднородного
дифференциального уравнения с постоянным супероператором С,
Утверждение. Пусть задача Коши для однородного уравнения (73)
корректна на D(C) и супероператор С имеет хотя бы одну
регулярную точку. Тогда для решения неоднородного уравнения
jtAt = CAt + Ft,
где Ft - заданная непрерывная операторная функция со значениями
в банаховом пространстве М, имеем интегральное уравнение
А{Ь) = Фг(Ад)+ I *t-T{FT)dT.
Jo
12.8. Нестационарные дифференциальные уравнения
Рассмотрим нестационарное дифференциальное уравнение
^-At = £tAt AteD(C)cM (76)
at
на банаховом операторном пространстве М. Здесь Ct - линейный
супероператор, действующие в банаховом операторном
пространстве М и зависящий от параметра t.
Пусть линейный супероператор Ct в уравнении (76) является
ограниченным и сильно непрерывным по t супероператором. Из
сильной непрерывности супероператора Ct следует его равномерная
ограниченность при t E [0,£;]. Поэтому для нестационарного
уравнения (76) задача Коши разрешима при любом начальном условии

рдава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 237
д(0) = Ао Е М. Решение задачи Коши для уравнения (76) с
ограниченным супероператором существует и единственно.
Рассмотрим случай нестационарного дифференциального
уравнения (76) с неограниченным супероператором. Пусть
супероператоры Ct при всех t Е [0, t'] замкнуты и имеют общую плотную в М
область определения D(Ct) = D(C). Общая область определения
супероператоров Ct позволяет определять непрерывность
супероператоров Ct на D(C) через непрерывность оператора Ct(A).
Для дифференциального уравнения (76) можно определить
более обшую задачу Коши, в которой начальное условие задается не
в момент времени t = 0, а в некоторый момент to.
Определение. Общей задачей Коши называется задача о
нахождении при каждом to Е [0, £'] решения At = A(t,to)
дифференциального уравнения (76) на отрезке [£о>*']>
удовлетворяющего заданному начальному условию: Л(<о,*о) = Ato E D(C), где
0<to<t<f.
Определение. Равномерно корректной задачей Коши
называется общая задача Коши на отрезке [to,tf], если выполняются
следующие условия.
1. Для каэ/сдого to E [0, £'] и для любого At0 E D(C) существует
единственное решение общей задачи Коши.
2. Решение A(t, to) и его производная dA(t, to)/dt непрерывны по
переменным t, to, где 0 < to < t <tf.
3. Решение непрерывно зависит от начальных данных, то есть из
сходимости Ato^ E D(C) к нулю следует равномерная сходимость
к нулю соответствующих решений Ak (t, to) E D(C) уравнения (76)
с начальными условиями Ak(to,to) = At0yk-
Если общая задача Коши равномерно корректна, то можно
ввести линейный супероператор Ф^0, 0 < to < t < t!, который ставит в
соответствие каждому Ац Е D(C) решение At0 E D(C) общей
задачи Коши на отрезке [to>t]. Супероператор Фц0 определен на D(C)
и является линейным отображением D(C) в себя. При
фиксированных t и to он ограничен и, следовательно, допускает расширение по
непрерывности на все пространство М.
Для дифференциального уравнения в банаховом операторном
пространстве с зависящим от времени супероператором необходимо
определить аналог однопараметрической полугруппы.

238 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператор0ъ
Определение. Эволюционным супероператором (пропагато-
ром) называется двухпараметрическое семейство
супероператоров Фп0, О < to < t7 удовлетворяющих следующим условиям.
1- ®ts$st0 = Ф«0 V*> *<Ь s : 0 < t0 < s < t.
2. Ф^0 = I , V«o : 0 < t0 < t.
3. Супероператоры Фщ являются сильно непрерывными по
переменным t и to.
В случае, когда ограниченный супероператор Ct является
постоянным (Ct = С)) эволюционный супероператор Ф^0 = exp(t — to)C
Если супероператор Ct равномерно ограничен (||А]| < С)> то для
решения нестационарного уравнения (76) справедлива оценка
\\А(Ш\\м<е<ь-^\\А(Ь0М\\м ■
Утверждение. Супероператор Фщ, задающий решение равномерно
корректной задачи Коши для дифференциального уравнения (76),
является эволюционным супероператором (пропагатором).
Пусть супероператор Ct является сильно непрерывным на D(C)
и имеет ограниченный обратный, для которого выполнено условие
\\Ct0Cjl\\<C, 0<s<t'.
Утверждение. Супероператор Ф^0, задающий решение равномерно
корректной задачи Коши для дифференциального уравнения (76),
обладает следующими свойствами.
1. Супероператор Фи0 является равномерно ограниченным в
пространстве М по переменным t и to, то есть ||Ф«0|| ^ С•
2. На области D(C) супероператор Фц0 дифференцируем по
переменной t, причем
дФи° - Г ф
12.9. Хронологическая экспонента
Решение общей задачи Коши для нестационарного
дифференциального уравнения (76) можно построить методом
последовательных приближений, примененным к интегральному уравнению Воль-
терра
/'
A{t,t0) = At0+ / dtiCtlA(ti,to)

Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 239
Это интегральное уравнение эквивалентно дифференциальному
уравнению (76) с начальным условием А(£о,*о) = Мо-
Решение дифференциального уравнения (76) будем искать в
виде A(t, to) = Ф^о^о* используя сокращенные обозначения А = Ato,
Ф4(Л) = Ф«0^0. Интегральное уравнение Вольтерра перепишется
в виде
Фг(А) = А+ / &&&№)> (77)
J t0
где Фь0(А) = А. Заменяя t на ti, a t\ на £2, имеем
Ф41(А) = А+ ! l dt2Ct2$tM) •
J to
Подставляя это уравнение в формулу (77), получаем
/*t t*t /*£i
ФМ)=А+ dtlCh(A)+ dtidd dt2£t2$t2(A)) . (78)
•'to •'to Jto
Продолжая подставлять в уравнение (78) уравнение (77),
записанное в виде
ftn+l
Ф1п+1(А) = А+ / dtnCtn$tn{A) ,
«/to
получаем
Ф4(А)=А+ [ dt1£tl(A)+ f dti Г dt2Ctl{Ct2{A)) + --
J to J to J to
В результате имеем
°2^ ft fti ftn-i
Фг(А) =A + J2 dhCtl / dt2£b... / dtnCtn{A) ,
n—\ ^° ^° to
*«o = ' + Z, / dt4 dt*- / dtn£tl£t2..Xtn .
n—\ J to J to J to

240 Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров
Эта формула называется разложением Неймана-Лиувилля для
интегрального уравнения (77). Интегрирование ведется по всему
интервалу времени от to до t с тем ограничением, что момент
времени £j+i лежит раньше момента tj. Это ограничение можно
устранить введением хронологического оператора Т, который
обладает тем свойством, что действуя на произведение супероператоров,
зависящих от времени, располагает их в хронологическом порядке,
то есть в порядке невозрастания аргументов слева направо:
T{CtlCt2..Xtn} = CtaCtb...Ctc , ta>tb> ... > tc .
Для хронологического произведения двух супероператоров имеем
Ji^i^>-| Ct2Ctl *2>*i *
В общем случае супероператоры Ct для разных t не только не
равны друг другу, но и не обязаны друг с другом коммутировать.
Используя симметрию подынтегрального выражения и тот факт, что
возможное число перестановок упорядочения равно п!, получаем
00 1 ft ft ft
Ф«о = J + У)-? / dti / dt2- / dtnT{CtlCt2..Xtn} . (79)
^[ nl J t0 J to J t0
Если можно было бы вынести символ Т из-под интегрирования, то,
просуммировав ряд, получили бы экспоненту
ф«о = Г(Е ~Т ( / dTj4 } = Т{ехр / drCT} . (80)
Используя такие обозначения, нужно помнить, что всегда следует
сначала выполнить операцию хронологического упорядочения
произведения, а затем уже интегрировать по времени. Например,
Т{( [ drCT)2} = [ dh\ dt2T{CtlCt2} .
V*0 J to Jto

Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 241
Таким образом, операции Т{...} и f dr нельзя переставлять и
запись вида (80) является чисто символической. В результате
получаем выражение для супероператора Фщ в виде так называемой
хронологической экспоненты (Г-экспоненты)
Фно = Т{ехр [ drCT} ,
J t0
являющейся символом, смысл которого расшифровывается явным
выражением (79). В математической литературе хронологическая
экспонента обычно называется мультипликативным
интегралом Стилтьеса. Таким образом, решение обобщенной задачи Ко-
ши для дифференциального уравнения (76) представимо в виде
At = Ф«И*о , Ф«о = Т{ехр / drCr] .
Jto

ГЛАВА 13.
КВАНТОВЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ
ПОЛУГРУППЫ
13.1. Динамические (положительные) полугруппы
Одним из способом построения математических структур в
квантовой динамике является аксиоматический метод, который явно не
связан с процедурой канонического квантования. В этом методе в
качестве фундаментального динамического закона рассматривается
наиболее общие отображения множеств состояний и наблюдаемых
в себя. Динамическая структура может быть задана полугруппой
супероператоров, являющейся линейными эволюционными
отображениями. Динамической группой называется однопараметрическая
группа выпуклых автоморфизмов множества состояний Si(H).
Динамической полугруппой будем называть однопараметрическую
полугруппу линейных отображений множества состояний S(H) в
себя (выпуклый эндоморфизм множества состояний), В общем
случае можно рассматривать и нелинейные отображения. Поскольку
рассматривается отображение множества состояний, данный
способ описания квантовой системы называется динамическим
представлением Шредингера.
В качестве множества состояний, описываемых операторами
матрица плотности, можно взять положительный конус банахова
пространства К,1(Н) ,ядерных операторов или положительный конус
К%+(Н) гильбертова пространства К%(Н) операторов Гильберта-
Шмидта.
Определение. Динамической полугруппой называется
однопараметрическая полугруппа {St\ t > 0} линейных супероператоров
па банаховом операторном пространстве /С*СН), для которой
выполнены следующие условия.
1. St{p) G K>T+{U) V* > 0, Vp е К%+{Н).
2. ||St(p)lli = IIpIIi vt>o, vPe^+(H).

рдава 13. Квантовые динамические полугруппы
243
$. StS,p = St+sP Vt,s>0, ЧрЫС\{Н).
/. Отображение р —> Stp непрерывно в слабой операторной
топологии, то есть
lim Sp[A{St{p) -p)] = 0 VAe B{H) Vp G Klr {%) .
t—^-f-U
g данном случае слабый предел эквивалентен сильному пределу, то
есть
\im\\St(p)-p\U=0 ЧреККн).
Первое условие определения означает, что полугруппа {Ф$| t > 0}
является положительной (позитивной).
Теорема. Семейство супероператоров {St\ t > 0} является дина-
"мической полугруппой тогда и только тогда, когда выполняются
следующие условия.
l.Sp{St(p)}=Sp[p} Vi>0, VpelCHH).
2. \\St(p)\\i < \\p\\i Vi>0, VpeKlr(H), mo есть ||Ф*|| < 1.
5. S*Ssp - &+ep Vt,e>0, VpeJCHH).
4.]hat^+0Sp[A(St(p)-p)] = 0 VAeB{H) VpbKl(%).
Новые условия записаны для всего пространства /С*(%), а не
только для положительного конуса К\+{Н). Первое условие
теоремы выражает сохранение шпура отображения St, второе -
полугруппа является сжимающей, третье - закон композиции
полугруппы, четвертое - полугруппа является слабо (сильно) непрерывной.
Третье условие в теореме о динамической полугруппе означает, что
полугруппа является сжимающей, то есть \\St\\ < 1. Содержание
данной теоремы может быть сформулировано в следующем виде:
динамическая полугруппа является сильно непрерывной однопара-
метрической сжимающей полугруппой линейных супероператоров
на tCl(H), сохраняющих шпур.
Динамические полугруппы, аналогично динамическим группам,
однозначно определяются своими генераторами. Рассмотрим
необходимые и достаточные условия для производящих
супероператоров (генераторов) динамических полугрупп.
Применяя теорему Хилле-Иосида для динамической
полугруппы, получаем, что существует.линейный супероператор Л на /С*(Н),
являющийся генератором полугруппы, область определения D(A)
которого плотна в К\{%). Кроме того, имеем
4ЗД = A(StP) = St(Ap) Vp 6 D(A) .
\

244 Глава 13. Квантовые динамические полугруппы
Пусть ps(t) = St(p), тогда ps(t) является решением задачи Кощи
для уравнения
jtpa{t) = Aps(t) t>0 (81)
с начальным условием р5(0) — р при всех р Е £>(Л). Генератор Л
называется супероператором Лиувплля или лиувиллианом. Одна из
проблем заключается в том, чтобы определить условия, при
которых сохраняется положительность оператора матрица плотности в
процессе эволюции.
Используя теорему Хилле-Иосида, получим следующее.
Теорема. Линейный супероператор А с областью определения
D(A) С K,\{W) и областью значения R{A) С /С*(%); является
производящим супероператором динамической полугруппы тогда
и только тогда, когда выполнены следующие условия.
1. D(A) плотна в К).{Н).
2. R{zl - Л) = К>Г{П) Vz>0.
3. \\(zl - A)p||i > z||p||i Vz > 0 \/pe JD(A).
lSp[A(p)} = 0 \/peD(A).
13.2. Динамика и полускалярное произведение
Другие необходимые и достаточные условия того, чтобы
супероператор Л был генератором динамической полугруппы, можно
получить, используя понятие полускалярного произведения,
определенного Люмером и Филлипсом.
При изучении сжимающей полугруппы (||St|| < 1) Люмер и Фил-
липе использовали аналог скалярного произведения -
полускалярное произведение. Инфинитезимальный производящий
супероператор таких полугрупп оказывается диссипативным супероператором
относительно полускалярного произведения.
Определение. Полускалярным произведением в банаховом
пространстве hA называется число (А\В), которое ставится в
соответствие каждой паре элементов A, JB из М. и удовлетворяет
следующим условиям.
1. {А\аВ + ЪС) = а{А\В) + Ъ{А\С) a.beR УА,В,СеЛ4.
2. (А\А) = \\А\\2М , \(А\В)\ < \\А\\м\\В\\м У А В е М.

рхава 13. Квантовые динамические полугруппы 245
Теорема Люмера. Для любых двух элементов А и В банахова
пространства М существует полускалярное произведение (А\В).
Действительно, для всякого A £ М. существует по крайней мере
один ограниченный линейный функционал w^EM* такой, что
|М| = \\А\\М , ыл(А) = \\AfM ,
то есть ша - нормированный касательный функционал. Тогда
полускалярное произведение можно определить в виде (Л|В) = ив(А).
Теорема Филлипса-Люмера. Линейный супероператор А с
областью определения D(A) С Л4 и областью значения R(A) С М
является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и
только тогда, когда выполнены следующие условия.
1. Область определения D(A) плотна в М.
2. Область значений R(I — А) — М.
3. А - диссипативный супероператор относительно
полускалярного произведения.
Супероператор Л называется диссипативным по отношению к
полускалярному произведению, если (Л|ЛА) < 0 для всех А € D(A).
Необходимые и достаточные условия того, чтобы супероператор
Л был генератором динамической полугруппы, видны из теоремы
Филлипса-Люмера.
Теорема. Линейный супероператор А с областью определения
D(A) С /Сг('Н) и областью значения R{A) С /С*(%) является
генератором динамической полугруппы тогда и только тогда, когда
выполнены следующие условия.
1. Область определения D(A) плотна в £*(%).
2. Область значений R(I — Л) = /С*(%).
3. А - диссипативный супероператор относительно
полускалярного произведения.
4- Sp[A(p)] = 0 для всех р€ D(A).
Первые два условия теоремы для ограниченного супероператора
выполнены всегда. Поэтому для ограниченного супероператора Л
из теоремы вытекает следующее.
Утверждение. Ограниченный линейный супероператор А на JC^Ii)
является генератором динамической полугруппы на 1СЦН) тогда
и только тогда, когда выполнены следующие условия.
1- А - диссипативный супероператор относительно полускалярно-
го произведения.
г.5р[Л(р)] = о VpeicUH).

246 Глава 13. Квантовые динамические полугруппы
13.3. Динамика и ортогональные проекторы
Необходимые и достаточные условия того, чтобы супероператор
Л был генератором динамической полугруппы, можно найти,
используя систему ортогональных проекторов. Пусть задана полная
система ортогональных проекционных операторов {Р/ь} на
замкнутые подпространства гильбертова пространства %\
оо
fc=l
Сформулируем теорему, следующую из данного утверждения.
Теорема. Ограниченный линейный супероператор А на К,\(%)
является генератором динамической полугруппы на Kl(H) тогда и
только тогда, когда для любой полной системы ортогональных
проекционных операторов выполнены следующие условия:
Afcfc<0 Vfc, Лы<0 VMJ, ]£AW = 0<0 VI ,-
где матрица Л^ определена формулой Аы = Sp[PkA(Pi)].
Заметим, что в определении Л/и операторы Р& и Pi нельзя
переставить, так как Л является супероператором. Приведенные
условия являются квантовыми аналогами классических условий
Колмогорова для дискретных процессов Маркова. Известно, что полная
система ортогональных проекторов определяет измерение
некоторых квантовых наблюдаемых с дискретным спектром, и, наоборот,
любые такие наблюдаемые определяют некоторую полную систему
ортогональных проекторов. Следовательно, квантовая эволюция,
описываемая динамической полугруппой, порождает
неограниченную группу классических дискретных процессов Маркова,
соответствующих некоторым фиксированным дискретным наблюдаемым.
Можно сказать, что квантовая теория систем, основанная на
динамической полугруппе, описывает квантовые процессы Маркова.
Рассмотрим условия, при которых динамическая полугруппа St
представима через унитарные операторы в виде St = и\Щг.

Глава 13. Квантовые динамические полугруппы 247
Утверждение. Пусть динамическая полугруппа {St\ t > 0}
удовлетворяет следующим условиям.
1. Супероператор St является эпиморфизмом (отображением на),
то есть St{Klr{4)) = К\{Н).
2. Сохранение нормы: ||St(p)||i = IHIi для всех р G JCji(H) Vt > 0.
Тогда существует сильно непрерывная однопараметрическая
группа {Щ\ t E Ш} унитарных операторов на гильбертовом
пространстве, Н таких, что
st(p) = utpu; w>o, vpeJcKn),
то есть существует оператор Гамильтона Н, генерирующий
группу Щ = ехр — (i/h)tH.
Первое условие здесь заменяет утверждение о том, что St является
эндоморфизмом, а второе условие содержит все банахово
пространство К,1(Н), а не его положительный конус. В этом случае уравнение
(81) имеет вид
±Ps{t) = -i{H,Ps(t)].
13.4. Сопряженная динамическая полугруппа
Аксиомы динамической полугруппы можно сформулировать в
динамическом представлении Гейзенберга, используя понятия
сопряженного оператора и ультраслабой (а-слабой) топологии. Для
того чтобы перейти к представлению Гейзенберга, воспользуемся
пространством /С**(%), дуальным (сопряженным) к банахову
пространству K,l(U). Так как каждый оператор A £ B{V)
определяет линейный непрерывный функционал на /С*(%) по формуле
< р\А >— Sp[pA]} то дуальное (сопряженное) пространство /С**(Н)
состоит из всех ограниченных линейных операторов. Иначе говоря,
отображение А -» Sp[A . ] является изометрическим
изоморфизмом между В(Н) и /С**(Н). Воспользуемся тем, что любой
линейный непрерывный функционал на /С*(%) для оператора A G B(V)
имеет вид
< р\А >= Sp[pA] Vp б К\(Н) .

248
Глава 13. Квантовые динамические полугруппы
Определение. Сопряженной динамической полугруппой
называется семейство линейных супероператоров {Ф*| t > 0} на
К,1*(Н), сопряженных к динамической полугруппе {St\ t > 0} на
K\(Ji) относительно скалярного произведения < А\В >= Sp[A*B],
то есть
Ф,: < St(p)\A >=< р\Фь(А) > VA e B{H) Vp e К\{Н) .
Часто полугруппа, сопряженная к полугруппе {Ф$| t > 0},
обозначается {Фг| t > 0}, то есть Ф^ = £$ = £(*).
Утверждение. Сопряоюенная динамическая полугруппа линейных
супероператоров {Ф*| t > 0} на М = В(Н)} сопряоюенная к
динамической полугруппе {St\ t >0} на /С* (К), удовлетворяет следующим
условиям.
1. Фг{А) Е В+(И) Vi>0, VAeB+(H).
в. ||Ф*(А)||М < |И||М Vt>0, VA6B(«).
5. Ф*Ф5А = Ф*+5A Vt,s>0, VAGS(H).
^. lim^+o 5р[р(Ф«Л - А)} = 0 VA G В(«) \/PeKlr(U). ■
Пусть супероператор С является сопряженным (дуальным) к
супероператору Л - генератору полугруппы {St\ t > 0}, то есть
< р\С(А) >=< А(р)\А >. Уравнения эволюции наблюдаемых в
динамическом представлении Гейзенберга имеют вид
jtAt = C(At) VAeD(C)
с начальным условием At-Q = А, где At = Фь(А) и i > 0.
13,5. Квантовые динамические полугруппы
Пусть М алгебра наблюдаемых квантовой системы описывается
С*-алгеброй или алгеброй фон Неймана (W-алгебра). Эволюция
такой системы может быть задана (динамической) полугруппой на
этой алгебре. Если М является С*-алгеброй, то полугруппа обычно
предполагается сильно непрерывной, то есть отображение t -*
Фг(Л) непрерывно по операторной норме для любого A £ М-
lim \\Фг(А) - А\\м = 0 У А е М .

Глава 13. Квантовые динамические полугруппы 249
Бели М является алгеброй фон Неймана (И^-алгеброй), то
предполагается, что отображение А —> Фг(А) непрерывно в ультраслабой
(ет-слабой) операторной топологии для любого t > 0:
lim \\Ak - A\\a = 0 => lim \\Ф^Ак) - Ф*(4)||, - 0 W > 0
к-+оо к-*оо
и что отображение £ —»• Фг(-А) непрерывно в ультраслабой
операторной топологии для любого А £ М:
lim \\Фг(А) - A\\a = 0 VAeM.
В определении инфинитезимального производящего
супероператора, определяемого равенством
lim ЩА) - j($t(A) - А)\\м =0 Vie D(C) ,
пределы берутся в топологии нормы, если М есть *-алгебра, и в
ультраслабой операторной топологии, если Л4 является алгеброй
фон Неймана.
Приведем теперь аксиомы динамической полугруппы,
предложенные Ингарденом и Коссаковским, в динамическом
представлении Гейзенберга для алгебры фон Неймана.
Определение. Динамической полугруппой называется однопа-
раметрическое семейство {Ф^| t > 0} отображений алгебры фон
Неймана М в себя, удовлетворяющее следующим условиям.
1. Супероператор Ф^ является положительным супероператором,
то есть ФЬ(А) е М+ Vt > 0 VA6M+.
2. Фг(1) = / W > 0.
3. Ф,ф5л = ФЬ+$А \/t,s>0 А еМ.
I lim^+o Sp\p(QtA - А)) - 0 VA e M VpE КЦН).
& Отображение А —> Ф^А) является непрерывным в ульт,расла-
бой топологии.
Линдбладом была получена явная форма производящего
супероператора для некоторого класса динамических полугрупп. Для
Этого им были рассмотрены динамические полугруппы,
удовлетворяющие следующим двум ограничениям. Во-первых,
предполагайся, что полугруппа непрерывна по норме, то есть генератор
является ограниченным супероператором. Это приводит к тому, что
Условие (4) заменяется на условие

250 Глава 13. Квантовые динамические полугруппы
4'. lim^+o ||Ф* - 1\\ = 0.
Известно, что в этом случае существует ограниченный
супероператор С такой, что выполнены следующие условия.
а) Ф* = exp tC .
b)limt-,+o||£-t-1(**-/)ll=0.
с) £ - непрерывно в ультраслабой (супероператорной) топологии.
Во-вторых, предполагается, что супероператор <&t является вполне
положительным, то есть условие (3) заменяется условием
3'. Фь Е СР{М).
Введенное в работе Стайнспринга понятие вполне
положительного отображения (супероператора) благодаря работам Линдбла-
да стало играть ключевую роль в теории квантовых динамических
полугрупп. Супероператор Ф, отображающий С*-алгебру М в
себя, называется вполне положительным, если всякая положительная
матрица [Ау] с элементами Ац € М переходит в положительную
матрицу [Ф(Лг?)] с элементами Ф(Ау) 6 М.
Определение. Квантовой динамической полугруппой
называется сильно непрерывная (ультраслабо непрерывная) однопара-
метрическая полугруппа супероператоров {Ф^| t > 0}; являющихся
отображениями С*-алгебры (алгебры фон Неймана) в себя, если
выполнены следующие условия.
1. Ф^ - сжилгающая полугруппа супероператоров.
2. Фг - вполне положительные супероператоры.
13.6. Вполне положительные супероператоры
Обозначим через Мп(М) алгебру матриц пхпна С*-алгебре
М, то есть Мп(М) - алгебра матриц [Ац], с элементами А^ из
С*-алгебры ЛЛ. Если Ф$ есть линейное отображение алгебры Xi в
себя, то Ф^ можно расширить до отображения Фпг алгебры Мп(М)
в себя. Для этого определим отображение Фп^ в виде Фпг = Ф^ ®1п\
Фпг{А®Ец)^Фь{А)®Ец .
Здесь Eij есть матрица, состоящая из единиц из МП(С).
Определение. Положительным супероператором называется
линейный супероператор Ф* на операторной алгебре М., для
которого &t(A) E M+ при всех A Е Л1+, тпо есть если Фг(АМ) > 0 для
всех А € М.

Глава. 13. Квантовые динамические полугруппы 251
В этом случае будем писать Ф^ Е Р{М).
Определение. Вполне положительным супероператором
называется отобраоюение Ф^ операторной алгебры М в себя) для
которого расширенное отобраоюение Фпг алгебры Мп{М)
положительно при всех п.
В этом случае пишут Ф* G СР(М). Приведем другое
эквивалентное определение вполне положительного супероператора.
Определение. Вполне положительным супероператором
называется отобраоюение Ф^ : Л4 —> М, для которого выполняется
условие
п п
Y^J2B^t(AlAi)Bi>^ VAk,BkGM Vn. (82)
Отметим, что примером вполне положительного супероператора
является эндоморфизм С*-алгебры.
Утверждение. Если отобраоюение Ф^ является эндоморфизмом
С*-алгебры М, то супероператор Ф^ является вполне
положительным супероператором: Ф4 6 End(M) => Ф^ 6 СР{М).
13.7. Биположительные супероператоры
Определение. Биположительным супероператором
называется отображение Ф* операторной алгебры М, если для любого
оператора A £ М и любого t > 0 выполняется соотношение
ФЦ*А) > Ф*(Л*)Ф*(Л) .
В этом случае пишут: Ф* G СР2{М).
Утверждение. Если супероператор Ф* является вполне
положительным супероператором на С* -алгебре Ai, то для любого опера-
шора A G Л4 имеет место неравенство
Фг{А*А) > Фь(А*)Ф;г(1)*№) •
Если Фг(1) = I, то имеем Фг(А*А) > Ф$(А*)Ф*(А), то есть
супероператор Фг является биположительпым, Ф* G СРъ{М) .

252 Глава 13. Квантовые динамические полугруцПь
Перечислим свойства биположительных супероператоров.
Во-первых, биположительный супероператор Ф* является
положительным, то есть выполняется неравенство Ф^А2) > 0 для всех
АеМ.
Во-вторых, для биположительного супероператора Ф^ имеет
место неравенство:
В*Фг{А*А)В>0 УДВеМ.
Аналогично имеем
п
ФьеСР2(М) => Т£в*МА1Ак)Вк>0 Vn.
Однако из биположительности супероператора Ф^ не следует, что
этот супероператор является вполне положительным, то есть
неравенство (82) не выполняется.
12.8. Инфинитезимальные генераторы
Рассмотрим инфинитезимальные генераторы, соответствующие
вполне положительным и биположительным полугруппам
супероператоров. Пусть Ф* = exptC есть непрерывная по норме
полугруппа на алгебре фон Неймана М такая, что Ф*(1) = J. Определим
расширение Сп генератора С на Мп(М) в виде
Cn^C®In: Cn(A ® E{j) = С{А) ® Ец УАеМ .
В этом случае можно определить отображение Фп* = Ф* ® ImrRe
$nt = exptCn.
Напомним, что дефектом Лейбница на алгебре М называется
билинейный супероператор Zc : М х М —» М, определяемый
формулой
ZC{A, В) = ЦАВ) - С{А)В - АЦВ) .
Супероператором дифференцирования алгебры М называется
линейный супероператор £, для которого дефект Лейбница равен
нулю, то есть Zc{Ay В) = 0 для любых А, В 6 М.

fjjaBa 13. Квантовые динамические полугруппы 253
Утверждение. Для однопараметрической группы автоморфизмов
фь £ Aut(M), в которой выполненно условие Ф^"1 = ф_Ь} инфини-
тезимальный генератор С является вещественным
дифференцированием, то есть
С(АВ) = С(А)В + АС(В) , С(А*) = £{А)* VА € D(C) .
Супероператором внутреннего дифференцирования называется
супероператор дифференцирования £, для которого существует
оператор У £ М такой, что С{А) = [У,-А]. При некоторых довольно
слабых условиях производящий супероператор С полугруппы
является вещественным супероператором внутреннего
дифференцирования, то есть существует самосопряженный оператор такой, что
С(А) = <[#, А] для всех Ае М.
Утверждение. Супероператор С на алгебре фон Неймана является
вещественным супероператором внутреннего дифференцирования
тогда и только тогда, когда дефект Лейбница вещественного
супероператора С тождественно равен нулю.
Согласно данному утверждению всякий вещественный
дифференциальный супероператор является супероператором
внутреннего дифференцирования. Инфинитезимальный генератор квантовой
динамической полугруппы уже не является супероператором
дифференцирования и, тем более, оператором внутреннего
дифференцирования. Как было показано Линдбладом, производящий
супероператор С непрерывной по норме квантовой динамической
полугруппы Ф^ является ограниченным вполне диссипативным
супероператором, который отображает алгебру фон Неймана М в себя.
Определение. Диссипативным супероператором называется
отображение С алгебры М в себя, если оно удовлетворяет
следующим условиям.
1. Вещественность относительно инволюции: С* (А) = С(А*) для
всех операторов А € М.
2. Неотрицательность дефекта Лейбница: Zc(A*,A) > О для всех
операторов А 6 М.
Супероператор С называется вполне диссипативным, если
выполняется еще и условие неотрицательности на алгебре Мп{М):
3. Zc{A*,A)>0 VA€Mn(M) Vn.
В этих случаях будем писать С € Dis(M) и £ € CDis(M),
соответственно. Приведем другое определение вполне диссипативного
супероператора.

254 Глава 13. Квантовые динамические полугруцПы
Определение. Вполне диссипативным супероператором
называется отображение С алгебры М в себя, если оно
удовлетворяет следующим условиям.
1. Вещественности относительно инволюции:
[£{А)}* = С(А*) VA, A* e V{£) С М.
2. Неотрицательности дефекта Лейбница:
ZciAlAt) > О VAlAt e D(C) : A*kAt € D(£).
Приведем необходимые и достаточные условия биположитель-
ности квантовой динамической полугруппы.
Утверждение. Пусть С есть ограниченный вещественный
супероператор, а Фг = exptC является непрерывной по норме
квантовой динамической полугруппой. Супероператор Ф* является бипо*
лооюительным тогда и только тогда, когда С есть диссипатив-
ный супероператор. Это означает, что следующие утверждения
эквивалентны.
1. ФМ*А) > Фг{А*)Фь(А) VА е М, Фг(1) = I.
2. Zc(AB)>0 \/А,ВеМ, '£(/) = /.
Доказательство. Продифференцируем, по правилу почленного
дифференцирования, неравенство
Ф*(А*А) - Фг(А*)Фг(А) > О
по переменной t. При t = О получаем неравенство
С(А*А) - С{А*)А - А*С{А) > О =» ZC{A*, А) > О .
Доказательство обратного утверждения (2 =Ф> 1) приведено в
основополагающей статье Линдблада. В результате имеем для биполо-
жительного супероператора искомую эквивалентность
Z£(A, А*) > 0 , Ф* = exptC <=* Фг(А*А) > Фг{А*)Фг{А) .
Утверждение. Пусть С есть ограниченный вещественный супер-
оператор, а Фг = exptC является непрерывной по норме квантовой
динамической полугруппой. Супероператор Ф* является вполне
положительным Ф* Е СР(М) тогда и только тогда, когда С есть
вполне диссипативный супероператор, С £ CD(M).
Данное утверждение задает необходимое и достаточное
условие того, чтобы супероператоры Ф^ динамической полугруппы были
вполне положительными отображениями С*-алгебры наблюдаемых

fjjaBa 13. Квантовые динамические полугруппы
255
в себя. Это условие заключается в том, что производящий
генератор полугруппы С должен быть вполне диссипативным
супероператором (Ф^ е СР(М) <=> С € CD(M)). Для доказательства
используется предыдущее утверждение и определения расширений
Сп и ®ш супероператоров С и Ф* на Mn(M), Vn.
13.9. Супероператор Линдблада
Приведем без доказательства структурную теорему Линдблада,
которая дает наиболее общую форму вполне диссипативного
супероператора.
Теорема Линдблада. Супероператор С является вполне
диссипативным, а супероператор Ф^ = exptC - вполне полооюительпыми
непрерывным в ультраслабой топологии тогда и только тогда,
когда он имеет форму
- т
С(А) = l-[H,A} + -Y,(vk*lA,Vk] + [Vk*,A}Vk) , (83)
k—l
или
С{А) = l-[H,A] + -J2(vk*AVk - JKVbAU) ,
k=l
где операторы Т4, V^*, V£Vk £ M, а символ [ , ]+ обозначает
антикоммутатор (йорданово произведение) операторов.
Другими словами, согласно теореме Линдблада, структура
ограниченного вполне диссипативного супероператора, который
является отображением алгебры фон Неймана в себя, в общем случае
имеет вид
C(A) = ^[H,A]+K(A)~l-[R,A]+ .
Здесь H,R- самосопряженные операторы, действующие в
гильбертовом пространстве Н и принадлежащие алгебре фон Неймана М.
Символом К обозначен линейный ограниченный вполне
положительный супероператор на алгебре фон Неймана М. Кроме того,

256 Глава 13. Квантовые динамические полугруцПЬ1
имеется взаимосвязь R = К(1), а супероператор К представим в
виде
га
K(A) = Y,Vk*AVk.
k-l
Операторы R и Н, входящие в состав инфинитезимального
супероператора £, принадлежат алгебре М и порождают сжимающую
полугруппу однопараметрических операторов
Ut = ехр - [{i/h)H + (l/2)R]t , (84)
действующую в гильбертовом пространстве %.
Квантовые системы, эволюция которых описывается вполне
диссипативной супероператорами, называются квантовыми
системами Линдблада. Уравнение эволюции наблюдаемых такой
системы называется уравнением Линдблада и имеет вид
jt$t{A) = £(*t(A)) , Ф«=о(Л) = А .
Это уравнение можно записать в интегральной форме
Фг(А) = U?AUt + [ dr и;_тК(Фг(А))Щ-т ,
Jo
где Ut - сжимающая полугруппа (84), действующая в
гильбертовом пространстве И. Используя однопараметрическую полугруппу
супероператоров Nt = ЩЩ> интегральное уравнение Линдблада
можно переписать в виде
ФЬ(А) = Nt(A) + I dr Nt-rK{*t{A)) .•
Jo
Теорема Линдблада доказана лишь для непрерывных по норме
полугрупп, то есть для ограниченных производящих
супероператоров. Трудности, возникающие для квантовых
динамических..полугрупп с неограниченными производящими супероператорами £,
проявляются в том, что область определения супероператоров С и
Фг может не быть алгеброй.
Динамическую структуру можно задавать эволюционными
отображениями на себя рассматриваемой кинематической структуры.

Глава 13. Квантовые динамические полугруппы 257
g квантовой механике гамильтоновых систем используется группа
супероператоров, которая связана с группой унитарных операторов
в гильбертовом пространстве. Движение гамильтоновой системы
можно описывать в терминах бесконечно малых изменений,
определяемых внутренними дифференцированиями алгебры
наблюдаемых. В более общем случае для описания эволюции квантовых
систем можно использовать понятие квантовой динамической
поду группы, которая представляет собой полугруппу вполне
положительных супероператоров Ф^ = exp{tC} на алгебре наблюдаемых.
Супероператор С является генератором вполне положительной
полугруппы тогда и только тогда, когда С является вполне диссипа-
тивным супероператором. Общий вид таких супероператоров
задается теоремой Линдблада.
Отметим, что теория квантовых динамических полугрупп
послужила одним из истоков для новых математических теорий,
таких как теория некоммутативных (квантовых) случайных
процессов и теория квантовых вероятностей. Это связано с тем, что
квантовую дийамическую полугруппу, введенную Линдбладом, можно
считать некоммутативным обобщением полугрупп, порождаемых
марковскими процессами в теории вероятности.
13.10. Пример уравнения Линдблада
Рассмотрим уравнение эволюции операторов координаты и
импульса, описывающих квантовую систему Линдблада. Пусть операторы
Vk являются полиномами первой степени по операторам
координаты и импульса, а гамильтониан Н полиномом второй степени по
этим операторам
Vk=akP + bkQ, H=^P2 + ^f-Q2 + ^(PQ + QP), (85)
где а&,Ь& - комплексные числа, к = 1,2. Видно, что
[Q,Vk)-=ihak, [P,Vk] = -mkl \Vk*,Q] = -iha*k, {Vk*,P] = m*k,
- . 71=2
JC(Q) = -P + nQ + ^Q^2(akbl-atbk),
ТТЬ &
*=1

258 Глава 13. Квантовые динамические полугруППь
п-2
С(Р) = -mw2Q -iiP+rP 5>,Ь£ - albk) .
Введя обозначения
n=2 n-2
A = Im{J2akbl) = -ImC^albk) ,
fc=i fc=i
получаем
C(Q) = —P + /iQ - AQ , £(P) = -mw2Q - /xP - AP .
m
Определим две следующие матрицы
\ Р / \ —mar —/i — A
В этом случае уравнение Линдблада для операторов координаты и
импульса принимает вид
jtXt = MXt , £(X) - MX , (86)
где
1
л п! *--; п!
п=0 п=0
Матрицу М можно записать в виде М — N~lFN, где F есть
диагональная матрица, тогда решение уравнения (86) имеет вид
Xt = N-^NXq ,
так как
Xt = Фг{Х) = V ^MnX = N~l[J2 ~Fn]NX .
"^ 77»! 1 77»!
Определим комплексный параметр i/ такой, что v2 = /i2 — о;2. В
этом случае имеем
N=(rnu2 fi + u\ N-i = 1 f -{ц-v) ц + v
\ mu2 [i-u J ' 2mu)2v \ rnu2 mu)2

Глава 13. Квантовые динамические полугруппы 259
( -(Х + и) 0 \
Тогда супероператор Ф{ можно представить в виде
ф-t-e - у -m^.8h{vt) ch{vt) - $sh{vt) )
Здесь sh и ch - гиперболические синус и косинус.
( Qt\ = p-xt ( ch(vt) + $3h{vt) ^sh(vt) \(Q\
{ Pt ) \ -*£8h(vt) Ch{vt) - $8h(vt) )\P ) '
Qt = e~xt[ch(ut) + ^sh(vt)]Q + —e-xtsh(ut)P ,
v mv
2
Pt = ~rI^Le-Msh(vt)Q + e~xt[ch{vt) - ^sh(vt)]P .
Рассмотрим якобиан Jc{Qt, Pt) операторов координат Qt = &t(Q)
и импульсов Pt = Ф*(-Р). Пусть
Qt = ai(t)Q + h(t)P , Pt = a2(t)Q + b2(t)P ,
тогда
JciQuPt) = [ai(t)b2(t)Jc(Q,P)+a2(t)b1(t)Jc(P2Q)} =
= [о1(*)Й2(«)-«2(0Ь1(«)]Л:(<г,^).
Таким образом, для системы (85) имеем
ai(t)b2(t) - a2(t)bi(t) = det(N~leFN) =
= e-xt[ch2{ut) - ^sh2{ut) + ^sh2(vt)} = e~xt ,
«Ш*,#) = [det(N-1eFN)]Jc(Q,P) = e-xtJ£(Q,P) .
i

ГЛАВА 14.
КВАНТОВАНИЕ В ДИНАМИКЕ
14.1. Введение в классическую динамику
Помимо квантования кинематической структуры, важно
описать процедуру квантования динамической структуры. При этом
обычно постулируется следующее: взаимосвязь лиевой операции с
эволюцией в квантовой механике такая же, как и в классической
механике. Поэтому изложение начнем с краткого описания
основных понятий классической динамики.
Состояния классической системы можно отождествлять с
точками х некоторого гладкого многообразия М, называемого фазовым
пространством. Пусть в начальный момент времени t = 0
классическая система находилась в точке х. Закон эволюции состояния в
локальной системе координатами задается системой обыкновенных
дифференциальных уравнений
jtxkt=Fk{xt). (87)
Функции х\ = (рк(хЛ), удовлетворяющие уравнениям (87),
являются решениями системы (87) с начальными условиями tpk(x,0) = х .
Наблюдаемые классической системы, находящейся в начальный
момент времени в точке я, описываются гладкими вещественными
функциями A(xt) € Т(М) на многообразии М. Уравнение
эволюции наблюдаемой At — -А(же), являющейся функцией координат
х\ = (pk(x,t), имеет вид
^± = C(At), C = Fk(xt)^, Fk(xt) = C(xkt). (88)

Глава 14. Квантование в динамике 261
14.2. Консервативные и диссипативные системы
Пусть фазовое пространство М является метрическим
пространством. В любом пространстве М с метрикой ды{х) можно
определить скалярное произведение векторов и опускание
индексов. В пространстве с метрикой ды{х) для любого векторного поля
Fk(x) существует ковекторное поле F^{x) = gki(x)Fl(x). Заметим,
что метрика ды{х) не предполагается симметричной. Если метрика
ды{х) невырождена, то есть det[gki(x)] ф 0, то можно определить
обратную метрику gkl(x): gkl{x)glm(x) = 6^.
Определение. Консервативной системой называется
классическая система (87) в фазовом пространстве М с метрикой ды(х),
если обобщенный вихрь (ротор) векторного поля Fk(x) равен нулю:
nkl(x) = (rotF)kl = diFk(x) - адос) = о, №(*) = ^^ •
Градиентной (локально консервативной) системой называется
классическая система (87) в фазовом пространстве М с метрикой ды{х),
если векторное поле Fk(x) является градиентом
Fk(x) = (gradH)k = дк1(хЩН(х)
некоторой гладкой функции Н(х). В этом случае сила Fk(x)
называется потенциальной силой, а векторное поле - потенциальным
полем. Видно, что классическая система является консервативной
лишь при довольно жестких ограничениях на правую часть
уравнений движения (87).
Для описания свойств классической системы (87), помимо
обобщенного ротора, можно рассмотреть дивергенцию векторного поля
Fk(x), то есть Q(x) = divF.
Определение. Диссипативной системой называется
классическая система (87) в фазовом пространстве Мп, если дивергенция
Щх) = divF векторного поля Fk(x) отлична от нуля.
Для многообразия со связностью можно определить
дивергенцию векторного поля Fk(x) формулой divF = V^F*. Для
аффинной симметричной связности имеем VkFk = dkFk(x) +Tll(x)Fl(x).

262
Глава 14. Квантование в динамике
Для связности, согласованной с симметрической (римановой, псев-
доримановой) метрикой gk\ : Vkgij(x) — 0 имеем
VkFk = -*dk(y/MFk(*)) . 9(х) = \det[gkl(x)}\ .
Дивергенция VkFk векторного поля Fk(x) в фазовом пространстве
с метрикой ды(х) имеет обычную форму divF = dkFk(x) тогда и
только тогда, когда д(х) — 1.
Важную роль в классической динамике играют вариационные
уравнения и принципы. Известно, что дифференциальное
уравнение можно получить из вариационного принципа стационарности
функционала, если выполнены условия потенциальности (условия
Гельмгольца). Приведем условие потенциальности для
дифференциального уравнения
gki{x)—xk-Fk(x) = 0 ,
описывающего классическую систему в пространстве М с метрикой
gki(x). Необходимыми и достаточными условиями потенциальности
этого уравнения являются следующие:
9hi(x) + gik{x) = 0 ,
дды{х) dgis(x) dgsk(x) _Q
dxs dxk dxl
dFk(x) ЭЩх) =Q
dxl dxk
Первое условие означает кососимметричность метрики
пространства М. Второе условие называется тождеством Якоби для метрики
фазового пространства и означает замкнутость дифференциальной
2-формы, порожденной кососимметричной метрикой дк[.
Пространство М с кососимметричной метрикой, удовлетворяющей
тождеству Якоби, является симплектическим пространством, а метрика
называется симплектической. Третье условие есть условие
консервативности классической системы (87).

Глава 14. Квантование в динамике
14.3. Системы на симплектическом многообразии
Пусть многообразие М является симплектическим
многообразием, а ды{х) = и>ы(х) - симплектическая метрика. Приведем
некоторые определения.
Определение. Гамильтоновой системой называется
консервативная классическая система на симплектическом многообразии
(M2n,bj), тпо есть, если для (87) выполняются условия
Пф) = д1(шкт{х)Рт(х)) - dk{u>Ux)Fm{x)) = 0 . (89)
Потенциал Н(х) консервативной классической системы на
симплектическом многообразии называется функцией Гамильтона,
или гамильтонианом. В этом случае векторное поле Fk(x)
можно представить в виде Fk(x) = ^kl(x)dkH(x), где [Ф*'] = [о;^]"1, а
классическая система называется локально гамильтоновой.
Определение. Негамильтоновой системой называется
классическая система на симплектическом многообразии (М2гг,и>),
эволюция которой описывается системой дифференциальных
уравнений (87), а векторное поле Fk(x) не удовлетворяет хотя бы
одному из условий (89).
Важный класс негамильтоновых систем составляют диссипатив-
ные системы.
Определение. Диссипативной системой на симплектическом
многообразии называется классическая система, эволюция
которой описывается уравнениями (87), а дивергенция Q(x) = divF
векторного поля Fk(x) отлична от нуля.
Уравнения эволюции локально гамильтоновой системы
на.симплектическом многообразии в локальных канонических
координатах {хк} и {qk,pk} имеют вид
dxk =ykldH(xt) dqk = дН{диР%) drf = dH{qupt)
dt дх[ dt dpkt ' dt dq\
Эти уравнения называются каноническими уравнениями
Гамильтона. Уравнения Гамильтона для наблюдаемой A(xt) локально
гамильтоновой системы имеют вид
dA{xt) _ 0A{xt) kldH{xt)
dt ~ dxkt дх\ / ; { >

264
Глава 14. Квантование в динамике
14.4. Системы на пуассоновом многообразии
Важной проблемой теоретической физики является сведение
изучения свойств классических и квантовых систем к исследованию
математических структур. Одними из главных структур в
классической механике являются пуассоновы структуры и алгебры Ли.
Эти структуры имеют важное значение для построения процедуры
квантования. Для переноса определения гамильтоновой системы в
квантовую механику, уравнения движения и условия гамильтоно-
вости надо записать, используя скобки Пуассона. Кинематическая
структура классической механики описывается с помощью скобок
Пуассона. Наблюдаемые образуют алгебру, которая является
алгеброй Ли относительно операции взятия скобки Пуассона.
Динамическая структура определяется свойствами оператора С. Лишь для
гамильтоновых систем оператор С тривиально выражается через
скобку Пуассона от некоторой функции Гамильтона Я, а именно
С(А) = {А,Н}.
Канонические уравнения Гамильтона можно переписать в виде
В локальных координатах (#\рг) имеем
^ = {qlH(qt,pt)} , М = {PlH(qt,pt)} .
Уравнение эволюции (90) наблюдаемой A(xt) локально
гамильтоновой системы можно записать, используя скобки Пуассона, в виде
±A(xt) = {A(xt),H(xt)}.
Для классических негамильтоновых систем эволюция наблюдаемых
не имеет тривиальной взаимосвязи с пуассоновой структурой, то
есть С(А) ф {А,Н}. Связь лиевой операции, называемой скобкой
Пуассона, с динамикой негамильтоновой системы имеет более
сложный вид. Найдем связь оператора С со скобкой Пуассона. Для этого

Глава 14, Квантование в динамике 265
воспользуемся уравнением эволюции (88) наблюдаемой At == Фг(А)
кЛассической яегамильтоновой системы. Используя тождества
уравнение движения (88) можно представить в виде
—At = Fk(xt)u)kl{xlt,At} .
Перепишем это уравнение в более общей форме:
2га 2т
А. =
dt
j±At = Y, Ua{Va, At} , Va = \alXl , J2 U^ = Fk(x)ukl ■
a=l a=l
В результате получаем искомую взаимосвязь эволюции и пуассоно-
вой структуры:
2т
C(At) = Fk(xt)u>kl{xlt,At} C(At) = J2ua{Va,At} . (91)
При построении процедуры квантования динамической
структуры обычно постулируется, что взаимосвязь лиевой операции с
эволюцией в квантовой механике такая же, как и в классической.
Квантование не является однозначной процедурой, поэтому
оператор, описывающий эволюцию классической системы, следует
представить в виде
2т
C(At) = £ Ma{Va, At}Ta , TaMa = Ua .
a-l
После квантования данного оператора получим супероператор
2га
n{C(At)) = £*(Ma)[*(Va)MAt)MTa) .
а=1
Примером такого супероператора является супероператор Линд-
блада (83).

266
Глава 14. Квантование в динамике
14.5- Характеристические свойства систем
Введем контрвариантный тензор №{х) для ковариантного
тензора ПмО*0, определяющего негамильтонову систему (89), форму-
W(x) = Vik{x)*jl(x)Slkl{x) .
Утверждение. Условие консервативности (89) классической си-
стемы на симплектическом многообразии представимо в виде
Ф(х) = {x^F\x)}-{x\F^x)} + ¥k(x)¥l(x)C(ujkl(x)) = 0 . (92)
Здесь С = Fk{x)dk- При иы{х) - const в канонических координатах
{**} имеем n«(s) = {**, !*(*)} - {x\F^(x)}.
Определение. Гамильтоновой системой называется классиче-
екая система, эволюция которой описывается уравнениями (87),
если правые части этих уравнений удовлетворяют условиям (92).
Определим алгебраический якобиан
JC{A, В} = С({А, В}) - {С(А),В} - {А, С(В)} .
Алгебраический якобиан JC{A,B} характеризует степень
отклонения оператора С от оператора дифференцирования. Рассмотрим
случай, когда А = хг и В = х3\
jc{x\xi} = С{{х\х*}) - {С{х%аР} - {х\С&)) =
= C(¥j) - {Г{х),х>} - {x\F>(x))} .
Определение. Гамильтоновой системой называется классиче-
'екая система, эволюция наблюдаемых которой задается
уравнением (88), если для любых наблюдаемых АиВ этой системы
выполняется условие
Jc{A,B} = £({А,В}) - {С(А),В} - {А,С(В)} = 0 (93)
или если выполняются все условия
Jc{xh,x1} ^ С({х\х1}) - {С(хк),хк} - {х\С{х1)} = 0 . (94)

Глава 14. Квантование в динамике 267
Условия (93) и (94) эквивалентны, так как
Jc{A,B} = Jc{xk,xl}dkAdlB.
Условия (94) фактически являются условиями Гельмгольца и
эквивалентны условиям (92), так как Qkl(x) = Jc{xk,x1}. Поскольку
алгебраический якобиан Jc{A, В} характеризует степень
отклонения оператора С от оператора дифференцирования, то можно дать
следующее определение.
Определение. Классическая система (88) на многообразии М
называется (локально) гамильтоновой системой, если оператор
С = Fk(x)dk является оператором (внутреннего)
дифференцирования на алгебре Пуассона Т(М).
Определение. Негамильтоновой системой называется
классическая система, эволюция которой задается уравнениями (88),
если существуют такие наблюдаемые А и В, что не выполняется
условие (93) или если не выполняется хотя бы одно из условий
вида (94).
Очевидно, что для негамильтоновой системы функцию С(А) нельзя
представить в виде скобки Пуассона {Д %}, где W, есть некоторая
фуькция (функция Гамильтона).
Подчеркнем, что для определения того, является ли данная
классическая система гамильтоновой или негамильтоновой, не нужно
иметь явное решение х\ — (pk(x,t) уравнений движения (87). Для
этого достаточно рассмотреть свойства оператора эволюции С =
= Fk{x)dk или свойства векторного поля Fh{x) = С(хк).
14.6, Картины Гамильтона и Лиувилля
Существуют два способа описания движения классической
системы в рамках классической механики. Эти способы называются
картиной Гамильтона и картиной Лиувилля. Они аналогичны
способам описания Лагранжа и Эйлера в механике сплошных сред.
Кратко опишем основные элементы этих картин, которые при
квантовании порождают картины (динамические представления) Гей-
зенберга и Шредингера соответственно. Для этого воспользуемся

268
Глава 14. Квантование в динамике
статистической формой классической механики. Рассмотрим
множество классических систем, описываемых одинаковыми
уравнениями движения с разными начальными условиями, отличающимися
друг от друга на любые возможные (не только бесконечно малые)
значения. В результате приходим к следующему определению.
Определение. Статистическим ансамблем называется
множество классических систем, описываемых одинаковыми
уравнениями движения (87) и отличающихся друг от друга лишь
начальными условиями.
Картина Гамильтона. Первой способ описания классической
динамики заключается в следующем. Выбирается (фиксируется)
некоторая классическая система из статического ансамбля,
описываемого уравнением движения (87). При этом изучается изменение
наблюдаемых вдоль траектории движения выбранной системы, то
есть при изменении как точек фазового пространства с течением
времени, так и явной зависимости от времени. Уравнение
эволюции наблюдаемой вдоль траектории движения имеет вид
d.A{xut) _ dA{xt,t) k ^dA(xut)
dt ~ dt +* [ U }~ dxkt '
Данное описание аналогично описанию динамики в собственной
(сопутствующей) системе отсчета, то есть когда тело отсчета и
изучаемое тело совпадают. В этом случае рассматривается изменение
состояния вдоль траектории движения системы в тех точках
фазового пространства, в которых данная система находится в момент
времени t. Состояние системы описывается функцией
распределения p(xt)t) вдоль траектории в момент времени £. Функция
распределения характеризует вероятность нахождения произвольной
системы в некоторой точке xt траектории, соответствующей
выбранной (фиксированной) классической системе. Уравнение эволюции
функции распределения вдоль траектории называется уравнением
Лиувилля и имеет вид
d dFk(xt t)
ftPixut) = -n(xut)p(xut) , Sl(xut) = —]уГ~ •
Здесь d/dt есть полная производная по времени, описывающая
скорость изменения вдоль траектории,
d д k .x д
= ^2 + Fk{xut)
dt dt ' дхЪ

Глава 14. Квантование в динамике 269
0О повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.
Ответим, что если правая часть уравнения Лиувилля отлична от
нуля ? то классическая система называется диссипативной.
Следовательно, для диссипативных систем функция распределения вдоль
траектории не остается постоянной величиной. В этом заключается
Одно из принципиальных отличий диссипативных и негамильтоно-
Бых систем от консервативных и гамильтоновых.
Для недиссипативных систем Q(xt,t) = 0 в любой момент
времени. Поэтому функция распределения выбранной системы не
изменяется вдоль траектории движения
—p{xu t) = 0 => p(xti t) = const .
at
Следовательно, в данном способе описания динамики для
недиссипативных систем функция распределения не изменяется с
течением времени (вдоль траектории), изменяются лишь наблюдаемые.
Такой способ описания гамильтоновых (недиссипативных) систем в
квантовой механике называется динамическим представлением Гей-
зенберга, а в классической механике - картиной Гамильтона.
Картина Лиувилля. Второй способ заключается в том, что
в фазовом пространстве выбирают некоторую точку х)
зафиксировав ее. При этом рассматривается изменение наблюдаемой A(x,t)
и функции распределения p{x,t) в этой точке с течением времени.
Эволюция наблюдаемой описывается уравнением
±A(x,t) = ±A(x,t) ,
поскольку точка х фиксирована и не зависит от времени. Если
наблюдаемая не зависит явно от времени, то она является постоянной
величиной dA(x)/dt = 0. Состояние классической системы
описывается функцией распределения р(х^). Эта функция характеризует
вероятность p(x,t)5x нахождения классической системы в
фиксированной точке д:. Изменение этой функции в окрестности 5х
фиксированной точки х с течением времени задается уравнением
неразрывности (уравнение Лиувилля в переменных Эйлера)
-p(x,t) + -^(Fk(x,t)p(x,t)) =0 .

270 Глава 14. Квантование в динамике
Здесь Fk(x,t) есть значение векторного поля в выбранной
фиксированной точке х в момент времени t. Уравнение неразрывности
можно записать в виде
i-Q^p(x,t) = Atp(x,t) ,
где использовали оператор Лиувилля (лиувиллиан)
8 dFk(r t)
At = -i(Fk(x,t)-~ + Q{x,t)) , ПОМ) = q£ ■
Заметим, что dp(x,t)/dt = dp(x,t)/dt, поскольку точка х
фиксирована и не зависит от времени.
14.7, Квантовая гамильтонова система
Пусть исходной картиной для квантования динамики будет
картина Гамильтона. В квантовой механике картине Гамильтона
соответствует динамическое представление Гейзенберга.
Если эволюция квантовой системы во времени полностью
характеризуется ее гамильтонианом if, то уравнение эволюции
наблюдаемой (уравнение Гейзенберга) имеет вид
dAt dAt л г А ( ,
где Н есть некоторый ассоциативный оператор, называемый
оператором Гамильтона (гамильтонианом) системы, а [А, В] = АВ — В А
есть коммутатор операторов А я В. Квантовые системы, уравнения
движения которых имеют вид (95), обычно называются (локально)
гамильтоновыми системами.
Пусть эволюция наблюдаемой At описывается уравнением
в котором оператор С{А) нельзя представить в виде (i/h)[H, А], где
Н - ассоциативный самосопряженный оператор. При этом С
является супероператором, действующим на оператор А.

Глава 14. Квантование в динамике
271
Определение. Квантовой гамильтоновой системой
называется квантовая система, для которой эволюция наблюдаемой зада-
етпся уравнением (96) и для любой пары наблюдаемых А и В
выполняется условие
JC(A, В) = Ц[А, В]) - [С(А), В] - [А, С(В)] = 0 ,
или если для любых k,l = 1, .,.,п выполняются условия
JC(X\X1) = £([Хк,X1}) - [£(**), X1] - [Хк, С(Х1)) = О . (97)
Здесь через Хк, к = 1,...,2п обозначены операторы,
соответствующие локальным каноническим координатам хк, к = 1,...,2п,
причем Х2г = Pi, Х2г+1 — Qi, где г = 1, ...,га.
Определение. Квантовой негамильтоновой системой
называется квантовая система, эволюция которой задается
уравнениями (96), если существуют такие наблюдаемые А и В, что не
выполняется условие
Jc(A,B) = С([А,В}) - [<С(А),В] - [А,С{В)] = 0 ,
или если не выполняется хотя бы одно из условий
Jc{Xh,Xl) = С([Хк,Х1]) - [С(Хк),Х1] - [ХкХ(Х1)] = 0 .
Определение. Квантовой диссипативной системой
называется квантовая система, эволюция которой задается уравнениями
(96) и правые части этого уравнения удовлетворяют условию
. п
n=FZ)^(Qfc,A)^o.
Квантовые диссипативные системы являются важным, но частным
случаем квантовых негамильтоновых систем.
В силу определения, любые наблюдаемые А и В квантовой
гамильтоновой системы удовлетворяют соотношению Jc(A, В) = 0.
При этом дефект Лейбница ZC(A, В) = ЦАВ) - С{А)В - АС(В) не
обязан быть равным нулю, так как
ZC(A,B) = l-Jc{A,B) + \кс{А,В) ,

272
Глава 14. Квантование в динамике
Jc(A,B) = Zc{A,B)-Zc(B,A), КС(А,В) = ZC{A,B)+ZC{B,A),
КС(А, В) = С([А, В]+) - [ЦА), В]+ - [А, £(В)}+ .
где [А, В]+ = -AJ5 + J3А В общем случае могут существовать га-
мильтоновы системы, для которых Кс(А, В) ф 0. Такие квантовые
системы мы рассматривать не будем.
Для квантовых гамильтоновых систем супероператор С
является супероператором дифференцирования, то есть для него имеет
место правило Лейбница. В этом проявляется одно из существенных
отличий гамильтоновых систем от негамильтоновых систем. Для
квантовых негамильтоновых систем правило Лейбница
деформируется. Так, действие супероператора на произведение операторов
деформирует правило Лейбница на величину, которую называем
дефектом Лейбница:
ЦАВ) = С(А)В + АС{В) + ZC(A, В):
Действие супероператора на коммутатор операторов приводит к
деформации правила Лейбница за счет возникновения
алгебраического якобиана операторов
С{[А, В}) = [С(А), В] + [А, С(В)] + JC(A, В) .
14.8. Решение уравнения Гейзенберга
Уравнение Гейзенберга для наблюдаемой величины At = Ф^(-А)
имеет вид
±At = ^At + Ct(At).
Мы будем полагать, что наблюдаемая At не содержит явной
зависимости от времени, которая не имеет отношения к динамике.
Решение уравнения Гейзенберга будем искать в виде At = Ф^0Л^07
используя сокращенные обозначения А = AtQ) Фг(А) = ФщА^.
Уравнение движения записывается в виде
^-Фг(А) = £t$t(A) => ёФг(А) = Ct*t(A)dt .

pza#a 14. Квантование в динамике 273
0олучим формальное решение этого уравнения при начальном усло-
рий Фь(А) = А. Для этого проинтегрируем уравнение по переменной
1в интервале [*о > *]
| фг(А) - Фь{А) = [ dhCt&M) > *t(-A) = ^ + / &&&№)'•
I «/to •'to
j решение уравнения Гейзенберга можно найти методом
последовательных приближений, примененным к данному интегральному
уравнению Вольтерра.
В результате получаем выражение для оператора Ф^0 в виде
хронологической экспоненты (мультипликативного интеграла)
ФПо - Т{ехр [ drCr} . (98)
Напомним, что здесь всегда следует сначала выполнить операцию
хронологического упорядочения произведения, а затем уже
интегрировать по времени. Операции Т{...} и f dr нельзя переставлять
и запись вида (98) является символом, смысл которого
расшифровывается явным выражением
°° -j nt ft ft
Ф«о =7 + Е-Т / dt^ / л*" / dtnT{CtlCt2..Xtn} .
n=l Jt° Jt° Jt°
В результате решение уравнения эволюции наблюдаемой предста-
вимо в виде
At = ФЬ(А) = Ф^оЛо , Ф* = Ф«о = Г{ежр / drCr} .
•'to
14.9. Эволюция как отображение
В квантовой механика гамильтоновых систем в качестве
динамического постулата принимается, что эволюционное отображение
порождается унитарным (или антиунитарным) оператором. Такие
отображения переводят наблюдаемую А в наблюдаемую U"1AU,

274
Глава 14. Квантование в
Эволюция квантовой гамильтоновой системы описывается рднопа
раметрическим семейством операторов Щ таких, что наблюдаемая
At = &t(A) задается формулой Фг{А) = U^AUt- Если внешние
силы, действующие на систему, не зависят от времени, то семейство
Фг будет однопараметрической группой автоморфизмов алгебры
наблюдаемых.
Главное свойство эволюции гамильтоновых систем состоит в том
что она сохраняет алгебру наблюдаемых. Другими словами,
эволюционное отображение гамильтоновых систем является
автоморфизмом алгебры наблюдаемых. Каждый автоморфизм алгебры
наблюдаемых квантовой гамильтоновой системы порождается некоторым
унитарным или антиунитарным оператором, который определяется
с точностью до умножения на скаляр. В случае квантовых нега-
мильтоновых систем соответствующие утверждения неверны.
Особенно важным оказывается то, что нельзя представить каждое
эволюционное отображение унитарным или антиунитарным
оператором. Это вызвано не усложненными аналитическими
обстоятельствами (типа недифференцируемости некоторых функций), а
фундаментальными и простыми в аналитическом плане причинами.
В общем случае в квантовой механике к унитарным операторам
можно свести лишь кинематические преобразования, а не
динамические отображения, которые задают эволюцию системы.
Эволюция наблюдаемых квантовой негамильтоновой системы
является динамическим отображением С*-алгебры М,
наблюдаемых в себя. Динамическое отображение Ф^ не является
эндоморфизмом относительно мультипликативной операции и
относительно операции инверсии (сопряжения):
ФЬ(АВ) ф Фг(А)Фг(В) , Фг(А*А) ф Фг(А*)Фг(А) А, А\В е В(П).
Эволюция наблюдаемых является эндоморфизмом, если
эволюция есть отображение множества наблюдаемых в себя сохраняющее
алгебраические операции на этом множестве. Отображение Ф*
является эндоморфизмом Ф^ 6 End(M) алгебры М. если
выполняются следующие условия.
1. Фг{А + В) = ФЬ(А) + Фг(В) для любых А, В е М.
2. Фг(сА) = c&t(A) для любых А € М.
3. Фг(А)* = Фг{А*) для любых А Е М.
4. Ф*(/) = 1.-
5. Ф*(0) = 0:-
6. ФЬ(АВУ-.Ф^А)Ф^(В) для любых А,В е М.

Глава, 14. Квантование в динамике 275
Эволюция квантовых гамильтоновых систем удовлетворяет всем
перечисленным соотношениям. Одно из важнейших свойств
квантовых негамильтоновых систем заключается в том, что
эволюционное преобразование не является эндоморфизмом алгебры
наблюдаемых. Для негамильтоновых систем эволюция наблюдаемых
является эндоморфизмом лишь линейного пространства наблюдаемых.
Это означает, что выполнены лишь первые пять условий.
Эволюция не является эндоморфизмом относительно мультипликативной
операции.
Утверждение. Эволюция наблюдаемых квантовой системы в
общем случае не является эндоморфизмом относительно всех трех
мультипликативных операций, а именно относительно лиева,
йорданова и ассоциативного умножений.
Ф*([Л,В])^[Ф4(4),Ф,(В)] , ЫАоВ)^МА)оФ1(В) ,
<bt(AB) ф ЫА)Фь(В) .
Эволюция квантовой системы является эндоморфизмом
относительно всех трех мультипликативных операций (лиева,
йорданова и ассоциативного умножений), если квантовая система
является гамильтоновой.
Эволюция наблюдаемых квантовой негамильтоновой системы,
описываемая отображением Ф^, не является эндоморфизмом
относительно операции умножения, то есть существуют такие
наблюдаемые А и В, для которых имеет место неравенство:
ДФ*(ДВ) = Фь(АВ) - Фг(А)Фг(В) ф 0 .
Для простоты можно рассмотреть случай, когда супероператор Ct
не содержит явной зависимости от времени. В результате получаем
ДФ*(А В) = tZc(A, В) + 0(t2) .
Видно, что если ДФ$(А, В) = 0 для всех £, то Zc{A,B) = 0.
Одной из особенностей динамики квантовых негамильтоновых
систем является эффект возникающей некоммутативности.
Существование этого эффекта следствие того, что эволюция
квантовых систем не является эндоморфизмом и поэтому эволюция не
обязана сохранять коммутационные соотношения.

276 Глава 14. Квантование в динамике
1) Две наблюдаемые величины, которые в начальный момент
времени удовлетворяют соотношению [А, В] = О, могут
эволюционировать таким образом, что [At,Bt] Ф 0, то есть [Ф^(А),Ф4(Л)] ф 0.
2) Два начальных состояния, удовлетворяющие соотношению
[pi(0),p2(0)] = 0, могут эволюционировать таким образом, что.
[pi(t),p2{t)] ф 0. Данное свойство иногда называется
"некоммутативностью, индуцированной окружающей средой".
14.10. Правило почленного дифференцирования
Рассмотрим вопрос о совместимости квантовых уравнений
эволюции и квантовых коммутационных соотношений.
Утверждение. Выполнимость правила почленного
дифференцирования по времени для квантовых систем и квантовых
коммутационных соотношений для всех моментов времени
[Qk(t),Pi(t)\ = ih6klI, [Qk(t),Qi(t)\ = [Pk{t),W)] = 0 , (99)
где к, I = 1,..п эквивалентно выполнению соотношений (97) га-
мильтоновости квантовой системы.
Доказательство. Рассматривая производную по времени от
первого соотношения из (99), имеющего вид
[Qk(t),W)] = ib6kiI,
получим
jtlQk(t),W)} = o.
Правило почленного дифференцирования коммутатора по времени
имеет вид
ft[Qk(t),W)} = [jtQk(t),Pi(t)} + [Qk(t), ftW)}.
Следовательно,
[^Qk(t),Pi{t)) + [Qk{t),jtW)) = o.

Глава 14. Квантование в динамике 277
Лспользуя уравнения движения, описывающие эволюцию кванто-
вой системы, имеем
[C(Qk(t))tPi(t)] + [Qk(t),£(Pi(t))} = 0 .
В результате, в силу свойства С(1) = 0, получаем тождество
C([Qk(t),Pi(t)]) ~ [C(Qk(t)),Pi(t)] ~ [Qk(t)X(Pi(t))] = 0 .
Jc(Qk(t),Pi(t)) = 0.
Аналогично рассматривая другие квантовые коммутационные
соотношения (99), можно получить все тождества (97), то есть имеем
Jc(Xk(t),Xl(t)) = 0, где Xk = Qk,Pk.
Таким образом, утверждение о применимости правила
почленного дифференцирования по времени для квантовых систем вместе
с предположением о выполнимости квантовых коммутационных
соотношений (99) для всех моментов времени приводит к
соотношениям (97), то есть выполнению условий гамильтоновости квантовой
системы. Следовательно, для квантовых систем в общем случае
квантовые коммутационные соотношения (99) для всех
моментов времени не выполняются. В этом проявляется существенное
отличие негамильтоновых систем от гамильтоновых систем.
В связи с тем, что уравнения эволюции квантовых
негамильтоновых систем вступают в противоречие с каноническими
коммутационными соотношениями важно также найти обобщение
коммутатора, для которого во все моменты времени выполняются
соотношения
[Qk(t),Qi(t)]t = 0, [Pk(t),W)]t = 0, [Qk(t),Pi(t)]t=ihSki Vt.
Здесь Q(t) ~ &t(Q). В силу выполнимости канонических
коммутационных соотношений для квантовых гамильтоновых систем
должно выполняться равенство
[At,Bt)t = [At,Bt], Jc(AuBt) = 0.
В общем случае обобщение коммутатора допускает следующее
определение:

278 Глава 14. Квантование в динамике
Это соотношение для супероператора, не зависящего от времени
явно, можно записать в виде
[At, Bt]t = [Au Bt] + Jc(At, Bt)t + Oit2) .
Заметим, что для отображений Ф^, являющихся автоморфизмом и
описывающих гамильтонову систему, имеют место равенства
Фг(Ф^(А)) = А, Ф1(АВ) = Ф^АЩ(В). '
В этом случае обобщенный коммутатор [, ]* и обычный коммутатор
[ , ] совпадают.
Ф^ФГЧМФГЧ^)]) = [At,Bt] =» [At,Bt)t = [AuBt] .
Если отображение Ф^ не является гомоморфизмом, но
существует для него обратное, то есть множество отображений Ф$ образует
группу, то
Ф^Ш^А =* Фг([Ф;1(Аг))ф-1(В1)}) = Ф1([АВ)) .
14.11. Вспомогательные уравнения Гейзенберга
1. Рассмотрим уравнение Гейзенберга для кет-бра оператора.
Введем кет-бра оператор Pt{x}y) = Ф$(Р(ж,у)), тогда
-Pt(x,y) = -Pt(x,y)+£(Pt(x,y)) , Pt=o(ar,y) = P(x,i/) .
Утверждение. Kem-бра операторы Pt(x,y) — Ф^(Р(а;,у)) в общем
случае не являются базисными операторами. Другими словами,
для квантовых негамильтоновых систем операторы Pt(x, у) не
удовлетворяют условиям ортонормированности и полноты.
Операторы Pt(x,y) являются базисными в любые моменты времени
лишь для квантовых гамильтоновых систем.
Для простоты рассмотрим случай, когда супероператор £t не
содержит явной зависимости от времени. Условие, при котором
выполняется соотношение Pt(x, y)Pt(z, s) — 5(у, z)Pt(x: з), в первом
порядке по t имеет вид Jc(P(x, y),P(z, s)) = 0. Видно, что полученное

Глава 14. Квантование в динамике 279
условие выполняется только для гамильтоновых систем.
Следовательно, условие ортогональности и условие полноты для операторов
pt(x,y) в общем случае не выполняются.
2. Рассмотрим уравнение Гейзенберга для ядра оператора.
Утверждение. Производная ядра оператора At равна ядру
производной этого оператора.
ft<X\At\y>=<x\±At\y> .
Отметим, что эти утверждения выполняется в силу соотношения
dP{x,y)/dt = 0. Кроме того
±<n\At\m>=<n\±At\m> =* ±Anm{t) = (1*)^ .
3. Получим уравнение Гейзенберга для шпура оператора. Поскольку
шпур оператора представим в виде
/00 ОО
dx < х\А\х > , Sp[A] = J2< n\A\n >= J2 5птЛ„т ,
71=1 ПуГП
получаем из свойства ядра оператора утверждение для шпура.
Утверждение. Производная шпура равна шпуру производной.

ГЛАВА 15.
ДИНАМИКА СОСТОЯНИЯ
15.1. Уравнение Гейзенберга для нормированного
оператора
В квантовой механике состояние обычно описывается
нормированным оператором матрица плотности. Рассмотрим сначала
уравнение Гейзенберга для нормированного оператора.
Пусть At — &t{A) - произвольный оператор, удовлетворяющий
уравнению
!*-!* + £(*). (100)
Рассмотрим нормированный оператор At:
^■oV^' Sp[At] = l Vt.
bpAt
Полная производная этого оператора по времени имеет вид
jtAt = jtAt + C(At) - AtSp[C(At)} , (101)
jfAt = ^At + C(At) , C(A) = C(A) - ASp[C(A)} .
Заметим, что оператор C(At) имеет нулевой шпур Sp[C(At)] = 0
для всех t. Если Sp[C(A)] = 0 для всех Л е D(£), то С(А) = С(А)
для всех А е D(C).
Уравнение (101) будем называть уравнением Гейзенберга для
нормированного оператора. Примером нормированного
оператора является нормированный оператор плотности pt = gt.
Уравнение Гейзенберга (100) не применимо для нормированного оператора
плотности. Имеет место уравнение
jtPt = ^Pt + £{*) jtPt = |p, + C(Pt) - ptSp[C{Pt)\ ■

Глава 15. Динамика состояния 281
Следует помнить отличие оператора At = $t(A) от At Ф Ф*(.А),
^ак как из нормированности оператора А : 5р[Л] = 1 не следует
нормированности оператора А%, то есть 5p[At] ф 1. Р1спользуя At =
ф#0Аг0, получаем для нормированного оператора
Jt0
Видно, что Фщ - нелинейный оператор эволюции.
15.2. Эволюция состояния в представлении
Гейзенберга
Классическое уравнение Лиувилля в картине Гамильтона имеет
вид
d n
7£[<£,РЙ = £({rf,rf» - {£(rf),rf} - {rf.Arf)}) •
Квантовый аналог этого уравнения Лиувилля для диссипативных
систем в картине Гамильтона можно записать в представлении
Гейзенберга в виде
jtQt = -\{tttQt + QtSlt), Пг = Фг(П), (102)
k=X
Jc{Qk,Pk) = £([Qk,Pk]) - [C(Qk),Pk] - [Qk,£(Pk)] •
Это уравнение (102) называется уравнением Лиувилля-фон
Неймана. Если выполняется условие Q ф 0, то операторы Qk и Р^ таковы,
что Jc(QkiPi) Ф 0, и, следовательно, квантовая система негамиль-
тонова. Поэтому условие £] ф 0 является достаточным условием для
негамильтоновости квантовой системы.

284
Глава 15. Динамика состояния
Соответствующее стационарное уравнение Шредингера в
координатном представлении имеет вид
2га dq
аЩд) + {У(д)-Е)Щд)=0
15.4. Средние значения наблюдаемых
В квантовой механике обычно используют следующий постулат
о средних значениях наблюдаемой квантовой системы .
Постулат о средних. Всякому состоянию в момент времени t
квантовой системы соответствует оператор матрица
плотности pt такой, что среднее значение < At >t наблюдаемой At
можно вычислить по формуле
< At >t=< pt\At >= Sp[ptAt] .
В данном определении среднее в момент времени t определяется
наблюдаемой в момент времени t и состоянием в тот же самый момент
времени t. Отметим, что
Ф*(/)=/, Sp[pt] = l =» </>t=L
Рассмотрим производную среднего для наблюдаемой гамильто-
новой системы
~<At >t= ftSp[PtAt] = Sp[jt{PtAt)] = Sp[(ftpt)At + pt(ftAt)}.
Утверждение. Для квантовых гамильтоповых систем
производная среднего значения наблюдаемой равна среднему от
производной
d л d л
Jt<^>t=<JtAt>t.
В результате имеем уравнение эволюции для среднего значения
наблюдаемой
— < At >t=< C{At) >t .

Глава, 15. Динамика состояния 285
Перечислим свойства средних значений наблюдаемых.
1. < At + Bt >t=< At>t + < Bt >t.
% < cAt >t= с < At >t.
3. < At >*t=< A\ >t.
4. < / >t= 1.
5. < 0 >t= 0.
Часто, помимо указанных свойств средних значений, добавляют
свойство неотрицательности < А*А >> 0. Это свойство является
нелинейным, и получить общий вид производящего супероператора,
удовлетворяющего данному неравенству, представляется довольно
сложной задачей.
Свойства средних значений наблюдаемых At = Ф^А) приводят
к следующим свойствам динамических отображений Ф^.
1.Фг(А + В) = Фг(А) + Фг{В).
2. Фг(сА) = сФг(А).
3. Фг(А)* - Фг(А*).
4. Фь(1) - 1.
5. Ф*(0) - 0.
Свойства динамического отображения Ф^ связаны со свойствам
производящего супероператора С.
l.C(At + Bt) = C(At) + C(Bt).
2.C(cAt) = cC(At).
3. C(At)* = СЩ).
4. C(I) = 0.
5. £(0) = 0.
15.5. Сопряженный супероператор
Рассмотрим сначала процесс получения динамического
представления Шредингера из представления Гейзенберга.
Пусть С - супероператор в пространстве Лиувилля %.
Скалярное произведение операторов в этом пространстве определяется в
виде < А\В >= Sp[A*B]. Напомним, что супероператор С будет
называться сопряженным, если < С(А)\В >=< А\С(В) >. В
пространстве Лиувилля сопряженный супероператор С определяется
соотношением
Sp[C{A)B] = Sp[A*C{B)} VBeD{C)cH АеН.

286 Глава 15. Динамика состояния
Используя обобщение правила Лейбница
£(А*В) = £(А*)В + А*£(В) + ZC{A\ В) ,
получаем
Sp[A*£{B)} = Sp[-£(A*)B + £(А*В) - ZC(A\B)} .
При выполнении условия
Sp[C(A*B)-Zc{A\B)} = 0 VA*,B,A*BeD(C)cH,
или более сильных условий вида
Sp[C(A)]=Q, Zc(A,B)=0 \/A,B,ABeD{C)cii,
супероператор С является антисимметрическим:
< С(А)\В >= - < А|£(В) > VB e £>(£) А 6 Н .
Обычно для квантовых гамильтоновых систем супероператор £
является антисимметрическим, а сопряженный супероператор можно
представить в виде С(А) — —С(А) У A £ D(C).
Пусть Ф^ : < Ф$(А)|В >=< А|Ф$(В) >, тогда для квантовых
гамильтоновых систем имеем
$t = T{exp drCT}=T{exp dr{-CT)}, $t = T{exp drCr}.
«/ to ^ to •'to
В этом случае отображение Ф^ является обратным для Ф^, то есть
ф^ = Ф^"1. Если для однозначного гомоморфного отображения Фг
существует однозначное обратное отображение Ф~[1 такое, что
Ф~1{Фг(А)) = А УАеП, (103)
то Ф^ образуют группу автоморфизмов, производящий
супероператор С является оператором дифференцирования, а квантовая си1
стема будет гамильтоновой. В общем случае для квантовых систем
(Zc{A,B) Ф 0) сопряженный супероператор таков, что С ф -£,

Глава 15. Динамика состояния 287
Если же отображение Ф* не является гомоморфизмом и
существует обратное отобраэюение Ф^"1 такое, что верно (103), то
отображения Ф^ образуют группу. Однако производящий
супероператор С уже не является оператором дифференцирования, а
квантовая система будет негамильтоновой.
Для гамильтонова супероператора
c = Unl-nr).
п
имеем
Sp(ptMA)) = Sp(Mpt)A) , Ф* = Т{ехр f dT(-CT)} , £ = -£ .
Jo
15.6. Динамическое представление Шредингера
Определим представление Шредингера в виде
As(t) = ФгАг = Фг(Аг) , Ф* = Т{ехр [ drCr} .
Jo
Запишем в этом представлении производную по времени для
оператора плотности
d , ч d /- \ d&t z d , ч - , ч
где р^ = Ф$(р). Воспользуемся уравнением (102) и соотношением
для случая, когда супероператор С не содержит явной зависимости
от времени, то есть будем пренебрегать частной производной по
времени дФг/dt. В результате получим уравнение для оператора
матрица плотности квантовых гамильтоновых систем (Qt = 0) в
представлении Шредингера:
jtp8(t) = HCpt) ■ . (105)

288 Глава 15. Динамика состояния
Если для отображения Ф* существует обратное Ф^ 1, то можно опре-*
делить супероператор Cs = Ф^Ф^""1. Тогда уравнение Лиувилля-
Неймана в представлении Шредингера (105) для квантовых
гамильтоновых систем перепишется в виде
-ps(t) = Cs(Ps{t)) . (106)
Отметим, что выполняются соотношения Ф*£ = £Ф^ и Cs = С.
Рассмотрим наблюдаемую в представлении Шредингера.
Производную по времени для оператора наблюдаемой величины As(t) =
$tAt можно записать в виде
d Л , ч d ,- л ч с?Ф+ . = dAt
Используя соотношение (104), получаем
±As(t) = ^As(t) + <bt(£(At) + C(At)).
Если существует обратное отображение Ф^Г : Ф^"1(Ф^(А)) = А для
всех А Е Й, то можно определить супероператоры С8 = Ф^Ф^1,
Cs = Ф^Ф^"1 = £. В этом случае
-4,(0 = ^A(i) + £в(Л.) + £8{Аа) . (107)
Видно, что если существует обратное отображение, то отображения
Ф* образуют группу. Однако, если С не является
дифференцированием, то отображение Ф* не является эндоморфизмом.
Если же отображение Ф* является эндоморфизмом, то С = *-С
и Cs = С. Поэтому для квантовых гамильтоновых систем имеем
уравнение
jtAM = l-tA,(i) •
Используя формулу (107), уравнение Лиувилля-Неймана (106) для
квантовых гамильтоновых систем можно переписать в виде
-ps(t) = -Cs(Ps(t)) .

Глава 15. Динамика состояния 289
Это уравнение похоже на уравнение неразрывности в переменных
Эйлера, записанное для классических гамильтоновых систем и
имеющее вид
В общем случае все операторы могут быть записаны в
представлении Шредингера, если выполнено условие Фг(АВ) = Ф^(А)Ф^(5)
для любого t. Для гамильтоновых систем это соотношение
выполняется, поскольку эволюция квантовых гамильтоновых систем
является эндоморфизмом, то есть Ф^(АВ) *= ФДЛ)Ф^(В).
15.7. Эволюция состояния в представлении
Шредингера
В предыдущих параграфах исходной картиной для построения
квантового описания динамики систем была картина Гамильтона и
переменные Лагранжа. Пусть теперь исходной картиной для
квантования динамической структуры является картина Лиувилля и
переменные Эйлера. В результате получаем представление квантовой
механики, которое называется динамическим представлением
Шредингера.
Важным свойством эволюции гамильтоновых систем является
постоянство энтропии < S >= —Sp(gs{t)ln gs{t))- Квантовое
уравнение эволюции для оператора плотности gs(t) гамильтоновой
системы, называемое уравнением фон Неймана, имеет вид
|ft(t) =-l-[H,6s(t)} (108)
Для описания квантовых негамильтоновых и диссипативных систем
используются различные обобщения этого уравнения. Уравнение
Лиувилля для классических негамильтоновых и диссипативных
систем в картине Лиувилля имеет вид
Q].e(P,Я, t) = -Cq(p,q, t) - П{р,q,t)g(p, q, t) , (109)
П
n(p,q,t) ее -£(£({«V}) - {C(qk),pk} - {qk,£(pk)}) •

290
Глава 15. Динамика состояния
Данное уравнение записано в переменных Эйлера и соответствует
картине Лиувилля. Эволюция наблюдаемых классической системы
описывается уравнением
В квантовой механике картина Лиувилля соответствует картине
Шредингера. Наблюдаемые As = к (А) в представлении Шрединге-
ра не эволюционируют
~А,Щ = 1-4,(0 , (ПО)
и если нет явной зависимости наблюдаемой от времени, то As(t) =
= As. Квантовый аналог уравнения Лиувилля (109) имеет вид
-Qs(t) = -Ca(g,{t)) - -(Пв(*Ы«) + Q,(t)il,(t)) , (111)
. П
Подчеркнем, что данное уравнение Лиувилля-фон Неймана
получено непосредственно из уравнения Лиувилля для диссипативных
систем (109) и является его квантовым аналогом.
В результате, можно сформулировать определение квантовой
диссипативной системы на основе уравнения эволюции состояния.
Определение. Пусть состояние квантовой системы описывается
самосопряженным оператором матрица плотности, эволюция
которого во времени задается уравнением вида (111)- Тогда
квантовая система называется квантовой диссипативной системой,
если оператор £ls{t)> представимый в виде
. п
отличен от нуля.
Эволюция оператора плотности gs = тг(о) в картине
Шредингера описывается уравнением
jtQs{t) = -с.Ы$) - \[aa(t), Qs(t)}+ . (U2)

Глава 15. Динамика состояния 291
Если супероператор Cs не содержит явной зависимости от времени,
то таковая отсутствует и в операторе Qs — 7г(Л). Введем левый и
правый супероператоры fi{ и П[, которые определяются формулами
Q[A = tts(t)A и Щ.А = Afis(£), и супероператор
Л, = -£в-±(П[ + ОД, (ИЗ)
который называется супероператором Лиувилля. В этом
случае ..уравнение (112)j используя введенный супероператор, можно
записать в виде
jtQs(t) = At6s(t) . (114)
Данное уравнение является линейным уравнением. Формальное
решение этого уравнения (114) представимо через Т-экспоненту:
g8(t) = 5(*,i0)ft(*o) , #(Мо) = Т{ехр f drAT} . (115)
J to
Если супероператор Cs явно не зависит от времени, то fls и Л^ не
зависят от времени и супероператор эволюции S(t,to) можно
записать в виде S(t, to) = exp(t — to)A.
15.8. Эволюция нормированного оператора плотности
Рассмотрим нормированный оператор плотности
Уравнение эволюции этого оператора
jtps{t) = Atp,(t) -p,(t)Sp[Atps(t)] .

292 Глава 15. Динамика состояния
Используя явный вид супероператора Лиувилля (113), получаем
Atps(t) - ps(t)Sp[AtPs(t)] =
= -(£.Ы*)) - Ps(t)Sp[Cs(Ps(t))}) - |[(fit - Sp[Sla(t)pa(t)]),Ps(t)]+ .
Введем следующие обозначения для нелинейных супероперато-
ров:
Ut = ns{t) - Sp[Q8{t)pa(t)] = Sla(t)- < Sla(t) >t ,
Cs = Cs - Sp[Cs(Ps(t))) = Cs- < Ca(I) >t .
Здесь < A >t - среднее по состоянию ps(t), определенное формулой
< A >t=< ps{t)\A >= Sp[p8(t)A] ,
a Cs - сопряженный суиероператор. Видно, что шпуры операторов
Utps(t) и Cs(ps(t)) равны нулю:
Sp[fte(t)p,(t)] = 0, Sp[Cs(ps(t))} = 0.
Определим супероператоры щ и £2£ формулами щА = а^Л, fi£A =
= A$V В результате уравнение эволюции нормированного
оператора плотности имеет вид
ftps(t) = -Ды*)) - |(й{ + й«гЫ*) • (ив)
Данное уравнение является нелинейным относительно оператора
плотности. Используя нелинейный супероператор Лиувилля
А, = -Д - ±(Й£ + Й£) = At - Sp[Atp8{t)] = А«- < At(J) >t / ,
уравнение (116) можно записать в форме
j
-Ps{t) =: AtPs{t) •
Однако решение этого уравнения, в силу его нелинейности, нельзя
представить в виде
pa(t) = S(t,t0)ps{tQ) , S(Mo) = T{esp / drAT} .
J to

г
Глава 15. Динамика состояния 293
Супероператор эволюции Д(Мо) Для нормированного
оператора плотности ps(t) можно найти, воспользовавшись формальным
решением (115) линейного уравнения эволюции для оператора ps(t).
В результате получаем
Ps(t) = R{t,to)pa(to) , /2(i,to) = (%S(Mo)p^o)])_1S(Mo) .
15.9, Уравнение Лиувилля-фон Неймана в
икс-представлении
Рассмотрим уравнение Лиувилля-фон Неймана (114) &пя
ненормированного оператора плотности g8(t) и запишем его в виде
-\gs{t) >= At\gs{t) > .
Поскольку кет-бра операторы \ху >= \Р(х,у) > не зависят от
времени имеем
— < xy\gs{t) >=< xy\At\gs(t) > ,
dt
< xy\gs{t) >= / dx'dy1 < xy\At\xfyf >< xy'\gs{t) > ,
—gs{x,y,t) = / dx'dy'At{x,y,x',y')gs{x',y ,t) .
Данное уравнение является уравнением Лиувилля-фон Неймана,
записанным в икс-представлении. Здесь gs{x,y,t) - ядро оператора
матрица плотности, а функция At(x, у, х'} у') является ядром
супероператора Лиувилля.

294 Глава 15. Динамика состояния
15.10. Уравнение Шредингера
Уравнение Лиувилля-фон Неймана (114) для квантовой гамиль-
тоновой системы в представлении Шредингера имеет вид
±Qs{t) = -l-(Hlt-H{)Qs(t). (117)
Если оператор Гамильтона Ht не содержит явной зависимости от
времени, то формальное решение уравнения (117) записывается в
форме
Q8(t) = S(tfto)g9(tb) , 5(t, to) - exp{^{t - t0)(Hl - tfr)} .
Эволюционный супероператор S(t, to) Для квантовой гамильтоно-
вой системы можно переписать в виде произведения левого и
правого судароператоров
S{t,tQ) = Ul{t,tQ)U*r(t,t0) , U{t,t0) = exp{~{t-t0)H}.
Пусть состояние в начальный момент времени to является чистым
состоянием, то есть gs(to) = |Ф >< Ф|. Тогда состояние квантовой
гамильтоновой системы для любого момента времени t остается
чистым
gs(t) = |Ф(*) X Ф(*)| , \Щ) >= U{t,t0)\* > .
.Квантовая гамильтонова система обладает следующими
свойствами:
1. Эволюционный оператор l7(t,to) является унитарным, то есть
tf*(MoMt,t0) = J.
2. След оператора матрица плотности gs(t) остается постоянным в
процессе эволюции Sp[gs(i)] = Sp[gs{to)].
3. В силу сохранения следа эволюционные супероператоры i?(t,to)
и 5(Мо) совпадают, то есть i?(t,to) = *S(t,to).
4. Квантовая гам'ольтонова система характеризуется тем, что
чистые состояния остаются в процессе эволюции чистыми.

Глава 15. Динамика состояния
295
Уравнение эволюции кет-вектора |Ф(£) > называется
уравнением Шредингера и имеет вид
£|»(в >. -i*i»w > .
Рассмотрим это уравнение в координатном представлении
jt < q\V(t) >± -г- < q\H\*(t) > , (118)
Используя полноту базиса \q >, получим
| < д\Щ >= -г- Jdq' < q)H\q> X q>Mt) > ,
jtV(q,t) = ^-Jdq'H(q,q')nq',t),
где Ф(<?,£) =< q\^{t) > называется волновой функцией и
описывает чистое состояние квантовой гамильтонбвой системы в момент
времени £, a H{q,q*) - ядро оператора Гамильтона. Для
большинства квантовых систем ядро гамильтониана имеет диагональный
вид H(q^q') = H(q)S(q — q1). Для таких систем уравнение
Шредингера можно записать в виде
Например, для квантового гармонического осциллятора
Н~ъкР +~2~Q ' H{q) - -Ъ^гдф + "Г" •
• *. d Т , ч h2 д2 ^ , ' mu)2q2 Т, ч
Уравнение Шредингера (118) можно записать в виде
^<9|ф(*)>=-^ Jdp<q\H\p><p№{t)> .

296
Глава 15, Динамика состояния
Воспользуемся символом H(q,p) оператора Гамильтона Н,
определяемым соотношением
1 г
< Я\ЩР >= H{q,p) < q\p >- f2nh)n/2eXPhqP '
Например, символ гамильтониана H(q,p) для квантового
гармонического осциллятора имеет такой же вид, как и функция
Гамильтона для классического осциллятора:
9 9 9
В результате уравнение Шредингера в координатном
представлении через символ гамильтониана можно записать формулой
.. Унитарный эволюционный оператор U(t,to) описывает
эволюцию кет-вектора. |Ф(*) >= ?7(£,*о)|Ф(£о) > при t > t0- Пользуясь
обозначением Ф(д,*) =< д|Ф(*) > и U(q,q',t,t0) =< q\U{t,to)\tf >,
в координатном представлении имеем
<
Ч\Щ) >=< q\U(t,t0)№(t0) >= jdqf < q\U(t,to)W >< д'|Ф(*о) > ,
Ф(9,*) = Jdq'U^q'it^iq'^o) , t > t0 .
Это соотношение совместно с условием t > to задает формальное
решение задачи Коши для уравнения Шредингера. Для того, чтобы
автоматически выполнялось условие t > to, воспользуемся
функцией Хевисайда и определим функцию Грина для
дифференциального уравнения Шредингера
G{q^\t,t0) = U(q,<j\t,t0)6{t-t0) •

Глава 15. Динамика состояния
297
функция Грина не зависит от начального состояния квантовой га-
мильтоновой системы, то есть от выбора кет-вектора |Ф(£о) > и
определяется только ее гамильтонианом. С помощью функции
Грина решение уравнения Шредингера представляется в виде
Получим дифференциальное уравнение для функции Грина. Легко
проверить, что ядро эволюционного оператора удовлетворяет
уравнениям
jtU(q,q',t,t0) = -l-H(q)U(q,q',t,to) , U(q,q',to,t0) = 6{q - q') .
Воспользовавшись определение функции Грина, получаем
^G(q,q',t,t0) + lH(q)G(q,q',t,to) - S(q - q')S(t - tQ) .

ГЛАВА 16.
ДИНАМИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Математическое описание динамики квантовой системы
состоит в нахождении ее супероператора эволюции или по крайней
мере в определении основных свойств этого супероператора.
Наиболее распространенными методами исследований задач квантовой
динамики являются метод резольвенты, метод континуального
интеграла и метод функции Вигнера.
16,1. Метод резольвенты
Уравнение Лиувилля-фон Неймана (114) можно записать в виде
dtQs{t) = Atgs{t) .
Обозначим через gs{0) оператор плотности в момент времени t = 0.
Формальное решение уравнения Лиувилля-фон Неймана с таким
начальным значением имеет вид
A(i) = S(t,tu)fo(0).
Это выражение является определением супероператора 5(i, to),
именуемого функцией Грина или, при отсутствии взаимодействий, про-
пагатором. Формально его можно представить как
S(t,t0) = Т{ехр / drAr} , S(Mo) = exp(t - to) A .
Jto
Другой способ определения супероператора S(£,*o) основан на том,
что он должен удовлетворять уравнению Лиувилля-фон Неймана
ftS(Mo) = A*S(Mo)
с начальным условием 5(<о?*о) ^ ^ где ^ ~ еДиничный оператор.

Глава 16. Динамические методы 299
Удобный способ записи решения уравнения Лиувилля-фон
Неймана основан на использовании супероператора резольвенты. Этот
оператор появляется при применении преобразования Лапласа к
операторам (функциям на банаховом пространстве), зависящим от
времени. Преобразование Лапласа A(z) оператора A(t)y
являющегося достаточно гладкой функции от времени, определяется
соотношением
A{z) = / A(t)e-Ztdt = Lap[A(t)] ,
Jo
где z - комплексная переменная. Обратное преобразование
описывается формулой
A{t) = ±J dze*A(z),
где С - контур в комплексной плоскости z = х + гу,
образованный прямой, параллельной мнимой оси и проходящей правее
прямой Rez = а, то есть правее всех сингулярностей функции A(z).
При преобразовании Лапласа дифференцирование по времени
заменяется простой алгебраической операцией
Lhp[dtA(t)] = / dte~ztdtA(t) = [e~ztA{t))%> + / dte~ztzA(t) =
Jo Jo
= - A(0) + zA(z) .
Рассмотрим уравнение Лиувилля-фон Неймана dtQs{t) = A^5(t)
для случая, когда супероператор Лиувилля не зависит явно от
времени и to = 0. Преобразование Лапласа для этого уравнения имеет
вид
zQ*(z) = Qs(0) + Ags{z) .
Поэтому формально можно записать
(zl - A)qs(z) = gs(0) =»• gs(z) = (zl - A)~Vs(0) .
С учетом формулы обратного преобразования Лапласа
Qs(t) = 2^ / <fee**(zl - Л)"1^) . (119)

300 Глава 16. Динамические методы
Таким образом, имеем новую форму решения начальной задачи Ко-
ши, эквивалентную решению gs(t) = (exp tA)gs(0). Введем
супероператор резольвенты как
Л(г,Л) = (^1-Л)-1
Иногда супероператор резольвенты определяется в виде R(z,A) =
= (Л — zl)~l. С помощью этого супероператора решение (119)
можно представить в виде
Qs(t) = ^:J dzeztR(z,A)gs(0).
Сравнивая это выражение с g8(t) = 5(<,0)^(0), видим, что
резольвента, представляет собой преобразование Лапласа функции Грина
(пропагатора)
5(4,о)=~ [ dzeztR(z,A) .
2m J с
Рассмотрим решение неоднородного уравнения Лиувилля-фон
Неймана
dtQ$(t) = A0s(t)+F(t) ,
где F(t) - заданная функция со значениями на операторном
банаховом пространстве, играющая в уравнении роль члена источника.
Для линейных дифференциальных уравнений на банаховом
пространстве известно, что в случаях, когда пропагатор однородного
уравнения So(t) задан, решение начальной задачи для этого
уравнения записывается в виде
Qs(t) = So(t)e$(0) + f dr S0(r)F{t - т) .
Jo
Чтобы получить удобные приближенные выражения для
пропагатора S(t) = S(i,0), воспользуемся его определением dtS(t) = AS(t)
и выделим в супероператоре Лиувилля Л кинетическую часть Ло и
супероператор Л^, отвечающий за взаимодействие. В уравнении
dtS(t) = A0S{t) + AintS(t)
член с взаимодействием можно формально рассматривать как
источник, а уравнение по своей форме будет совпадать с
неоднородным уравнением Лиувилля-фон Неймана.

Глава 16. Динамические методы 301
В случаях, когда пропагатор So{t) : dfS^t) = AoSo(t) задан,
решение начальной задачи для уравнения с взаимодействием
записывается в виде интегрального уравнения
S(t) = S0(t) + I drSo(r)AintS(t - т) .
Jo
Другая эквивалентная форма, получаемая в результате замены
переменной интегрирования, имеет вид
S(t) = S0(t) + [ drS0(t - r)AintS(r) .
Jo
Ясно, что это уравнение не является решением, так как второй член
в правой части содержит неизвестную функцию S(t). Это
интегральное уравнение Лиувилля-фон Неймана эквивалентно
дифференциальному уравнению Лиувилля-фон Неймана, но более удобно
для решения методом итераций. Для применения метода итераций
запишем интегральное уравнение через свертку. Свертка
определяется соотношением
А*£= / drA(t - т)В{т) = [ drA{r)B{t-r)
Jo Jo
и обладает, как обычное произведение, свойством ассоциативности
и дистрибутивности:
А * {В * С) = {А * В) * С , А * {В + С) = А * В + В * С .
С помощью свертки интегральное уравнение запишется в виде
S{t) = So(t) + S0{t)*{AintS(t)).
Легко можно получить приближение первого и второго порядка:
S(t) = SQ{t) + S0{t) * (AintSoit)) ,
S{t) = S0{t) + S0{t) * {AintSo{t)) + S0{t) * {AintSoit)) * {AintS0{t)) .
Общий член разложения имеет вид
оо
S(t1t0) = ^lSo{t)[*(AintSo(t))]k -
fc=0

302
Глава 16. Динамические методы
Это выражение представляет собой формальное решение уравнения
Лиувилля-фон Неймана в виде бесконечного рада, каждый член
которого содержит лишь супероператоры S'o(t), Kint и может быть
вычислен явно. Подобное разложение совпадает с формальным
разложением теории возмущений по взаимодействию. Разумеется,
разложение имеет смысл лишь в случае сходимости ряда. В общем случае
доказать его сходимость невозможно.
Воспользуемся соотношением, связывающим пропагатор и
резольвенту
s^ = hlcdze"R^
Для того чтобы придать смысл резольвенте R(z,A) = {zl - Л)"1
супероператора Лиувилля Л = Ло + AinU нужно воспользоваться
соотношением между полной и невозмущенной резольвентами. Для
этого воспользуемся тождеством, справедливым даже для неком-
мутирующих операторов А и В
1 = 1 /г о 1 \
+ В А + В\ A + BJ '
А + .
и запишем супероператорное уравнение для резольвенты
R(z, Л) = R(z, Ло) + R(zy AQ)AintR{z, Л) , R(z, Л0) = (zl - ЛоГ1 .
Это супероператорное уравнение представляет собой, другую
форму записи интегрального уравнения Лиувилля-фон Неймана. Фор-
ма уравнения для резольвенты отражает хорошо известное свойство
преобразования Лапласа: при преобразовании Лапласа свертка
переходит в обычное произведение. Формальное разложение
супероператорного уравнения для резольвенты методом итераций имеет
вид
оо
Я(*,А) = X)№i Ао)^№^ Ао) •
Это выражение проще, чем интегральное, так как оно имеет форму
обычного произведения, а не свертки.

Глава 16. Динамические методы 303
16.2. Квантовые марковские уравнения
В формализме квантовых (вполне^положительных)
динамических полугрупп уравнение Лиувилля-фон Неймана имеет вид
марковского производящего уравнения для оператора плотности ps(t)
в динамическом представлении Шредингера:
^ = лыО), Pa(t) = s(t,t0)Ps(to) ■
Здесь S{t,to) обозначает динамическую полугруппу, описывающую
эволюцию квантовой системы в представлении Шредингера, а
супероператор Л является инфинитезимальным генератором
динамической полугруппы £(£, to). Используя теорему Линдблада, которая
дает наиболее общую форму ограниченных вполне диссипативных
генераторов Л, получаем общий вид квантового уравнения
марковского типа:
^ = -^[я>Рв(*)] + 1х;([цЛ(*),^+[к*,рв(<)П1) • (ад
Здесь Н есть оператор Гамильтона, a Vfc,Vfc* - ограниченные
операторы на гильбертовом пространстве И, Часто квантовые
марковские уравнения записываются в такой же форме и для
неограниченных операторов. В дальнейшем будем исходить из предположения,
что общая форма (120) марковского уравнения с ограниченными
операторами также имеет силу и для неограниченных генераторов.
Рассмотрим одномерный случай, когда операторы if, Vjb,V£
являются функциями наблюдаемых Р и Q: [Q, Р] = гЫ. Для простоты
в качестве операторов V&, V£ возьмем полиномы первой степени по
Р и Q. Так как операторы Р и Q образуют базис в линейном
пространстве полиномов первой степени по Р и Q, то существует только
два С-линейных независимых оператора Vi, V^, которые могут быть
записаны в виде V* = a^P + hQ, k — 1,2, где <Xk,hk - комплексные
числа. Постоянные члены опущены, так как их вклад в генератор Л
эквивалентен линейным по Р и Q членам в Н. Эти члены в Н для
простоты положим равными нулю. Пусть гамильтониан Н имеет
форму
H = H0 + ^(PQ + QP), H0 = ±P2 + U(Q). (121)

304
Глава 16. Динамические методы
Здесь U(Q) есть оператор потенциальной энергии, am- масса
частицы. Введем обозначения:
dpg = d^ = --Re{ Y^ ath) , A = -Jm( ]T a£6fc) .
fc=l,2 fc=l,2
В этом случае квантовое марковское уравнение (120) для ps = ps(£)
принимает следующую форму.
-^[Q.[Q.p.11 - |?[*[Лр-Л + ^1Л[З.рЛ • (122)
Здесь квантовые диффузионные коэффициенты dpp, dqqi dpq и
постоянная трения А удовлетворяют фундаментальным
ограничениям:
dpp > 0 , dqq > 0 , dppdw - dpq2 > А2/г2/4 . (123)
Отметим, что необходимым и достаточным условием
трансляционной инвариантности для Л является \х = А.
16в3. Метод функций распределения Вигнера
Метод функций распределения играет большую роль в изучении
квантовых систем. Он полезен не только как метод вычисления, но и
для понимания взаимосвязи между классической и квантовой
механиками. Впервые функция распределения была введена Вигнером
для изучения квантовых поправок к классической статистической
механике. Функции распределения Вигнера имеют множество
приложений в статистической механике и в таких областях, как
квантовая химия и квантовая оптика, теория столкновений, квантовый
хаос, динамика квантовых жидкостей. В квантовой оптике
используются и другие функции распределений, наиболее известным из
которых является распределение Глаубера-Сударшана.

Глава 16. Динамические методы
305
Рассмотрим функцию распределения Вигнера для одномерной
системы в рамках теории квантовых динамических полугрупп.
Функцией распределения Вигнера называется вейлевский
символ р(р, g, t) оператора плотности р5(£). Опишем зависимость
функции распределения Вигнера р(р, g, t) от времени для квантовых га-
мильтоновых систем. Вместо уравнений Лиувилля-фон Неймана
имеем уравнение Лиувилля для функции распределения Вигнера.
*'fi P q^ = H(Pi ?)(ехР ~2i)P^ 9, *) - pfa Ъ *)(ехР "^)Я(Р» 9'') ■'
или
S^.-^sK-nf)^,.!), (124)
где H(p,q) есть вейлевский символ оператора Гамильтона Н.
Заметим, что в пределе Н —» 0 из данного уравнения получим
классическое уравнение Лиувилля для гамильтоновых систем. В случае,
когда сила не действует на систему, уравнения движения являются
классическими уравнениями
dp(p,Q,t) = P dp{p,q4t)
dt m dq
Получим теперь уравнение эволюции функции Вигнера для
одномерных систем Линдблада. Эволюцию во времени для функции
распределения Вигнера, соответствующую уравнению Линдблада
(120), можно получить из уравнения (124) путем добавления
вейлевских символов, соответствующих негамильтоновои части уравнения
(120), то есть символа суммы коммутаторов. Используя формулы
для произведения и коммутатора, получаем эволюционное
уравнение для распределения Вигнера р = /з(р, g, t):
dp
dt
= -f Я(р, ,)(sin Ц. )p + 1 f;(2^(exp f )p(exp %Щ
-WJ(ep Щ)Wk(exp Щ)р - p(exV ^)WJ(ep ^-)Wk) ,
где Wk и W£ есть вейлевские символы операторов Vk и V£
соответственно, a w£ есть комплексное сопряжение Wk-

306
Глава 16. Динамические методы
Если операторы V& имеют линейную форму V& = a^P + b^Q^ To
это уравнение становится эволюционным уравнением для функции
Вигнера, соответствующим уравнению (122):
52р с?2р 92р
Здесь первый член с правой стороны генерирует эволюцию гамиль-
тоновых систем в фазовом пространстве и дает скобки Пуассона
и высшие производные, содержащие квантовые поправки. Другие
члены описывают вклад, обусловленный тем, что система является
негами льтоновой.
Рассмотрим оператор Гамильтона в форме (121) и
воспользуемся разложением потенциала U(q) в ряд Тейлора. В этом случае
уравнение (125) принимает вид
dp _ p dp dU dp
dt mdq dq dp
+ lj2*42r»+l)! d<l2n+l dp^+D{p)- (126)
Здесь использовали обозначение
r\ r\ o2 q2 д2
D{p) = {\-^)~{qp) + {X + li) — {pp) + dqq^+d^ + 2dpq-^q.
Если уравнение (126) имеет только первые два слагаемых в правой
части, то функция Вигнера р = p(p,q,t) будет эволюционировать
как классическая функция плотности в фазовом пространстве.
Члены, содержащие Аид, являются диссипативными членами. Они
модифицируют функцию плотности р и приводят к сжатию
элементарного объема в фазовом пространстве. Члены, содержащие
dpp, dqq и dvqy являются диффузионными членами и приводят к
расширению элементарного фазового объема. Диффузионные члены
ответственны за сглаживание функции Вигнера на малых
расстояниях. Член, содержащий сумму (степенной ряд), вместе с первыми

Глава 16. Динамические методы 307
двумя членами составляют унитарную (гамильтонову) часть
эволюции. Следовательно, вплоть до поправок порядка К1 унитарная
эволюция соответствует классической эволюции функции Вигнера.
Это одна из причин, по которой эволюцию квантовых систем более
удобно описывать в представлении Вигнера. Высшими поправками
иногда можно пренебречь как незначительными. Однако
существуют важные примеры, в которых высшими поправками нельзя
пренебречь, например, в системах, движущихся хаотически. Из
уравнения (126) ясно, что вследствие квантовых поправок с высшими
производными функции Вигнера для нелинейных систем не
описываются классической функцией плотности в фазовом пространстве.
Существует два хорошо известных предела, в которых
уравнения (126) могут приводить к классическим уравнениям. Во-первых,
когда U(q) не более чем квадратична по q и, во-вторых, когда h —У 0.
В силу наличия дополнительных диффузионных членов получаем
третий классический предел. В пределе больших dpP
диффузионное сглаживание становится столь сильным, что оно заглушает все
производные по импульсам в бесконечной сумме и уравнение (126)
становиться уравнением Лиувилля с диффузией, то есть
уравнением типа Фоккера-Планка. Таким образом, система эволюционирует
согласно законам классической динамики, если она имеет сильное
взаимодействие с окружающей средой.
16.4. Частные случаи систем Линдблада
Рассмотрим уравнение (126) для некоторых частных случаев.
1) В случае свободной частицы, то есть U(q) = 0, уравнение
(126) имеет форму
*.-»2г+вм. (127)
at m oq
Это уравнение является уравнением движения свободной негамиль-
тоновой системы (свободной частицы, движущейся в окружающей
среде).

308
Глава 16. Динамические методы
2) В случае линейного потенциала U = jq (например, 7 = m9 Для
свободного падения или j = eE для движения в однородном
электрическом поле) получаем
&__£*+7& + BW. (128)
at maq op
3) Для гармонического осциллятора с U — mu2q2/2 уравнение (126)
имеет вид
at mag Эр \
Аналогичное уравнение можно получить для обратного
параболического потенциала U(q) = —mn2q2/2.
В этих частных случаях коэффициенты дрейфа линейны по
переменным р и д, а диффузионные коэффициенты постоянны
относительно р и д. Поэтому уравнения (127-129) описывают
процесс Орнштейна-Уленбека и являются уравнениями типа Фоккера-
Планка.
Подчеркнем, что не любая функция р(р, д,0) на фазовом
пространстве может рассматриваться как функция распределения Виг-
нера (вейлевского символа оператора плотности). Квантовая
механика проявляется в наложении ограничений на возможные
начальные условия р(р, д, 0) для уравнения (126). Наиболее часто
используемое начальное условие заключается в том,, что р(р, д, 0) является
функцией Гаусса. Уравнения (127-129) сохраняют гауссов вид
функции Вигнера в процессе эволюции. То есть р(р, g, t) является всегда
гауссовой функцией для любых моментов, так что различие между
квантовой и классической механиками полностью теряется в этом
представлении производящих уравнений.
4) Для экспоненциального потенциала U(q) = aexp(—/3q)
уравнение (126) является дифференциальным уравнением в частных
производных бесконечного порядка:
dt m dq dp
+ V(-l)3n+1 — aff2n+1e-^d2n+1P , D, )
+ 2-Л l> 22»(2n + l)! P dp2n+l (P>

Глава 16. Динамические методы
309
5) В случае, когда потенциал является конечным полиномом
U(<l) == X)n=i апЯПу сумма сохраняет только определенное
конечное число членов с производными. Например, для
ангармонического осциллятора с потенциалом Uanh(q) = murq1!/2+i/g4/4 уравнение
(126) имеет вид
Данное уравнение имеет один член с производной третьего
порядка, обусловленный нелинейностью потенциала Uanh- Фактически
первые три слагаемых дают обычное уравнение эволюции
функции Вигнера для ангармонического осциллятора. Член с третьей
производной имеет порядок h2 и является квантовой поправкой. В
классическом пределе, когда этим членом пренебрегают, уравнение
эволюции функции Вигнера становится уравнением типа Фоккера-
Планка.
Из примеров 1)-3) видно, что для гамильтонианов, не более чем
квадратичных по q и р, уравнение движения функции Вигнера
содержит только классическую часть и вклады, обусловленное нега-
мильтоновостью системы. Тогда функция Вигнера удовлетворяет
классическим уравнениям движения Фоккера-Планка (127-129).
Если потенциал U(q) содержит члены порядка, большего чем д2, то
имеем дифференциальные уравнения в частных производных более
второго порядка или вообще бесконечного порядка. Когда
потенциал отклоняется только слегка от гармонического потенциала, можно
взять классический предел Ть ~» 0 в уравнении (126), как
приближение низшего порядка к квантовому движению, и построить
приближения более высокого порядка, которое содержит квантовые
поправки к классической траектории, используя теорию возмущений.
Иногда считают, что степенной ряд включает третий член, а
высшими членами можно пренебречь. Диффузионные члены могут
сглаживать функцию Вигнера, подавляя вклады от членов
высшего порядка. Если членами высшего порядка можно пренебречь, то
уравнение эволюции (126) функции Вигнера принимает вид
dp ^ p dp | dU dp [
dt mdq dq dp
Рассмотрим случай, когда А = /i = 7? dqq = dpq = 0, dpp = 2rn^kT,

310 Глава 16. Динамические методы
Получаем уравнением Крамерса:
dp pdp dUdp п д, ч п ,д2р
. м=-шъ+irqi+27фы+2mikT4 ■ (13°)
Стационарное решение этого уравнения имеет вид
р2 щяу
p(p,q) =Nexp
2mkT kT
(131)
где N есть нормировочный множитель. Известно, что это решение
является функцией Вигнера только при условии, что ехр[—U(q)/kT]
нормируемое. Это означает, что потенциал U(q) ~» оо возрастает
при q -> ±oo быстрее, чем \n\q\. В этом случае стационарное
распределение является функцией Вигнера для оператора плотности
рт = Z~l ехр(—Но/кТ) с Z — Sp[exp(—Ho/kT)] для больших
температур. Все решения уравнения (130) аппроксимируют стационарное
решение (131) при t -* оо. Следовательно, уравнение (130) законно
для всех начальных состояний, которые стремятся к состоянию рт
в пределе больших времен.
Формулировка квантовой механики в фазовом пространстве
представляет собой альтернативную формулировку этой теории.
Основная трудность этой формулировки заключается в том, что
эволюция функции распределения Вигнера задается
дифференциальным уравнением в частных производных бесконечного
порядка. Однако для такого уравнения можно рассматривать
различные приближения. Вигнеровская формулировка квантовой
механики особенно полезна для случаев, когда классическое описание
системы практически верно, а квантовые поправки к классическому
описанию необходимы для повышения точности вычислений.
16.5. Метод континуального интеграла
Супероператор эволюции является важнейшим понятием
квантовой механики. Существует метод, принадлежащий Р. Фейнману,
который позволяет записать его в терминах классической механики
в виде так называемого интеграла по траекториям (континуального
интеграла).

Глава 16. Динамические методы
311
Пусть исходной картиной для квантования является картина
Лиувилля, тогда получаем представление Шредингера. Рассмотрим
супероператор эволюции 5(i, Jo) ненормированного оператора
плотности gs(t):
gs(t) = S(t,t0)Qs(to) .
Ядро gs(x,xf,t) =< x\gs(t)\xf > оператора gs(t) эволюционирует
согласно формуле
Qs(x,x',t) = / dXQdXQS(X)X\x^Xfytitb)Q8{xQ)Xfyt) .
Ядро S(x, x1', #о, #о, *, *o) супероператора S(£, to) называется
амплитудой перехода и описывает эволюцию состояния системы с
течением времени. Супероператор эволюции S(t,to) представим
через супероператор Лиувилля Л в виде S(Mo) = exp(t — <о)Л,
если супероператор Л не содержит явной зависимости от времени.
Существует несколько методов квантования динамических
структур. Наиболее часто используется операторный метод квантования.
Согласно другому методу квантовая динамика описывается
континуальным интегралом Фейнмана - интегралом по траекториям в
фазовом пространстве. Цель этого метода состоит в том, что
записать амплитуду перехода S(x,x*,жо,#о>Мо) в терминах
классических функций без обращения к операторам в гильбертовом
пространстве. Разделим временной интервал [i, to] на п + 1 равных
частей т = (* - t0)/(n + 1). В силу свойства S(t,t/)S{t',t0) = £(*,*<>)
эволюционного супероператора 5(£, £о)> его можно записать в виде:
S(t,to) = S(Mn)£(tn,tn-i)...£(ti,to) '
S(x,x,,xo,xf0,t,to) =
= / dxndxfn...dxidx[S(x,x\xn,xfn,t,tn)...S(xi)X[)XQ,XQ,ti,to) ,
/П 7l-f 1
Д dxkdxlkY\LS{xk,xlk,xk^i,xlk^l,tk,tk^i),
k=l k=l
Здесь xn+i = X)X'n+l = x'. Интеграл берется по всем возможным
траекториям (путям). Однако они не являются траекториями в

312 Глава 16. Динамические методы
обычном смысле слова, поскольку каждый интервал [tfcjfyc-i]
может быть разбит еще на меньшие интервалы, то есть здесь не
существуют производные. Траектории, по которым берется интеграл
представляют собой марковские цепи.
Вычислим амплитуду перехода S{xk^xlk,xk-i^x,k_vtk^tk^{)^ то
есть ядро супероператора эволюции, в координатном представлении
(д- представлении) для малого интервала [tk,tk-i].
Во-первых, имеем
Во-вторых, используя представление супероператора эволюции
5(£fc,£fc_i) через супероператор Лиувилля, получаем
e(ft,9fc,*fc) =< Qk\Qa(tk)Wk >=< Qk\S(ik,tk-i)Q8(tk-i)Wk >==
= ]Г < qk\AnQa{tk-i)tfk > -^ =< qk\Qa(tk-l)Wk > +
n=0
+ < qk\&Qa(tk-i)Wk >r + 0{r2) = Qs(qk,qkrtk-i)+
= / dqk-idq'k-i\6(qk - 9fc-i)<S(9fc-i - <?&)+
+тЛ(%,4, qk_u q'^) + 0{r2yjfo(ft-i, вл-i, **-i) •
В результате имеем
S{qk,<fk,qk-u<{k-btk,tk-i) = *(ft - ft-.i)*(«fc-i -4)+
Запишем ядра дельта-функций через интеграл

Глава 16. Динамические методы
313
Обозначим ядро супероператора Лиувилля
MQk,qk-i\q'k-bQk) = A(Qk,q'k^k-i,q'k-i) ■
Получим символ супероператора Лиувилля из его ядра:
A(<?b<?fc-ik*-i,<7fc) = j^^ JdPkMqk,Pk\q'k-i,q'k)e^qk-qk-l)Pk =
= (2^p /'**^A(9*'Pfclf4.fli)e*l(*"*-l)Pb'(,i"gt-l)pl1 •
Для амплитуды перехода получаем
s(qk,q'k,qk-i,q'k-i^k,tk-i) = ^,-кК)2п
jdPkdp'k(l+
+TA(qk,pk\p'k,q'k) + 0{T2))exp%j.{{qk - qk-i)pk - (q'k - q'k-i)p'k) ■
В результате ядро супероператора эволюции S(t, to) имеет вид
/П П+1 J J / • "+]■
П*л П тВ^ехр%п S^ -<&-i)^-
k=l Ь=1 ^ ' ' fc=l
n+1
-(<?* - 9fc-i)Pfc] П 0 - ^bPfcbU*) + 0(r2)) .
Воспользуемся соотношением
lim TT(1 H- —) = lim TTexp(^).
fc=l A;=l

314 Глава 16. Динамические методе
Ядро супероператора эволюции принимает вид
п П 71 + 1
dpkdp'k
^КЧ^Ч ,4
n+1
u,*/o,
-gfc-
r
ь>ч);
-l
-Pk~
~J
_«L
fc=i
-A.
r
^*II.(2*»)3»
V*] + A(gfc,pfc|j/fc
При переходе к пределу n -+ оо ( т -» 0) будем считать, что
значения qjc, q'k, Pk, р'ь являются последовательными значениями некото-
рых функций q(t)} q'{t), p(t), pf{t), которые могут быть
неразрывными. Введем обозначения
tk = *о + кг , ^ = q{tk) , 9* = 9'(*fc) » PA: = р(*л) , Pk = P'(*fc) ,
где fc = 0,1,2, ...,n,n + 1, и запишем
Um gfc ~ 9fc~1 = g(«*-i) , lim ]T Mtk)r = f dtA(t) .
fc=l
Следовательно, амплитуда перехода записывается в виде
континуального интеграла (интеграла Фейнмана):
Qf ' > + + \ Г-П Т> /<п'<П / /t^fi^-^l+ACMlp'^))
5(9,9 , 9о, 9о, *» 'о) = / ^9^9 ^Р^Р е ° v Л .
Здесь д(*о) = 9о, ?(*) — 9, 9;('о) = 9о> 9х(*) = 9'- В этом выражении
интегрирование осуществляется по всем траекториям в импульсном
пространстве p(t) и всем траекториям в координатном
пространстве q(t) на временном интервале от to до t при фиксированных
значениях координат в моменты времени to и t. Элемент объема в
пространстве траекторий имеет вид
Здесь символ Л(д,р|р',</) супероператора Лиувилля Л определяется
соотношением вида
ЧяМЛ) = J^^ J dpdp'A(qMp',Q')e^9-y)p-{9'-y')p,] ■

]~>тава 16. Динамические методы 315
16.6. Континуальный интеграл для гамильтоновых
систем
Супероператор Лиувилля в представлении Шредингера для
квантовых гамильтоновых систем имеет вид
А = ~(Н1-НГ) .
Воспользуемся тем фактом, что ядром супероператора Лиувилля Л
является ядро оператора Л(Р(у,у')):
Мя,я',У,у') =< P(q,q')\A(P(y,y')) >=< q\A(P(y,y'W > ,
В результате символ супероператора Лиувилля для квантовых
гамильтоновых систем можно записать в виде
Afo.plpV) = ~[H(q,p) - H(p',q')} . (132)
Амплитуда перехода для ненормированного оператора матрица
плотности для квантовых гамильтоновых систем имеет вид
S(q,q',qo,q'o,t,to) = / VqVp expJ / dt{qp - H{q,p))-
■ J Vq'Vp' exp-1-J dt(q'p' - H(p', q')) .
Перепишем амплитуду перехода в виде
S(g,<z',<?o,</o,Mo) = fvqVpVq'Vp' expZ-{A(q,p) - A{p\qf)) ,
где воспользовались функционалами
A(q,p) = f dt(qp-H(q,p)) , A{p\q') = [ dt(q'p'- H(p',q')) .
Jto Jto

316
Глава 16. Динамические методы
Эти функционалы называются действием по Гамильтону. Видно,
что для гамильтоновых систем амплитуда перехода распадается на
два независимых интеграла Фейнмана:
S(<2,g',4(h<?'o,Mo) = U(q,qo,t,to)U*{tf,4Q,t,to) ,
U(q,qoit,tQ) = / VqVp exp~A{q,p) .
16.7. Континуальный интеграл для систем Линдблада
Супероператор Лиувилля в представлении Шредингера для
квантовых систем Линдблада имеет вид
.. га
л = -1(я» - нг) + -г J2mr - v?)vi + {vik - vjm1,
fc=i
то есть
1 m
Л(р) = -l-[H,p] +-J2([VkP,Vk*} + \yk,pVZ\) .
Рассмотрим ядро супероператора Л как ядро оператора Л(Р(у,у')):
ЧЯ,У\У',Я') = Цч,я',У,у') =< P(q,q')\K(P(y,y')) >=
= Sp[P(q',q)A(P(y,y'))} =< q\A(P(y,y'))\q' >=
= -]■:(< y'W >< q\h\v >-<я\у >< у'\н\я' >)+
i m
+-ьТ,<яШу><у'\Ук*\д'>
k=i
jr £(< ^ >< 9|V?V3fe|y > - < 9||/ X y'\Vk*Vk\q' >) .
2ft,
fc=i

Глава 16. Динамические методы 317
Получим символ супероператора Лиувилля
A(g,i/|yW) = J dpdp'{-*-(< у'\р' ><p'\q' >< q\Hx\p >< р\у > -
- < q\p >< р\у >< у'\р' >< p'\H2\q' >)+
+тЛ<чШр><р\у><vV><p'I W>)}.
где ввели обозначения
m . m
г
Hi = H--Y,vk*vk, н2 = н +-*£vk*vk,
*=1 Jfc=l
то есть Щ — Щ. Далее, имеем формулу
-4q,y\y',q') = /ФФ' < ?1р ><р|у >< у'\р' ><pV > •
га
Воспользуемся определением символа супероператора Лиувилля:
1 f i
ЧяМЛ) = (2?гМ2п / dPdP'A(9iP|^,9l)ea;P^[(ef"-y)p--(9,-y/)P/] •
В результате получаем искомый символ супероператора Лиувилля
для систем Линдблада:
m
г
Л(<?,р|р',</) = -г[Я!(д,р) - Я2(^дО +i£^p)W,9')] ,
. m
AfapfeV) = ~\[H{q,p) -H(p',q') - i ]Г>Л4)(<?,р)-
771 771
-5E(v;v*)(p'>g') + i^Vt(g>p)vtvf9')].
fc=l fc=l

318 Глава 16. Динамические методы
Для гамильтоновой системы, когда Vk = 0, символ
супероператора Лиувилля имеет вид (132). Амплитуда перехода для квантовых
систем Линдблада записывается в виде
S(<7,</,<?o,<z'o,Mo) = jVqVpVq'Vp1 T(q,q>\р,р') e*(^P)-4(pV)) .
Здесь используются функционалы
A{q,p) = f dt(qp-H(q,p)) , Atf'J) = f dt{q'p'- H{p\q')) ,
JtQ J to
являющиеся действиями по Гамильтону, и функционал F{q, qf^p^pf),
называемый функционалом влияния. Функционал влияния для
систем Линдблада имеет вид
?{q,q',P,p') = е"^*^^* v*^ .
Для квантовых систем, описываемых уравнением (122),
функционал влияния имеет вид
1 [г
f{Q,q\p>Pf) = exPtf / dti2dQp(Q -'V)(P -* p') - dqqiP ■" p')2~
-dpp(g - g')2 + ih\{pqf ~ ЯР') + *M'tfV - ЯР)] •

ЛИТЕРАТУРА
1. Березин Ф.А.; Шубин М.А. Уравнение Шредингера. - М.:
Изд-во МГУ, 1983.
2. Боголюбов Н.Н., Логунов А.А., Оксак А.И., Тодоров И.Т.
Общие принципы квантовой теории поля. - М.: Наука,
1987.
3. Брагпелли У., Робинсон Д. Операторные алгебры и
квантовая статистическая механика. - М.: Мир, 1982.
4. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в
банаховом пространстве. - М.: Наука, 1967.
5. Мерфи Дж. С*-алгебра и теория операторов. - М.:
Факториал, 1997.
6. Мессиа А. Квантовая механика. - М.: Наука, 1978.
7. Пугачев B.C. Лекции но функциональному анализу. -
Учебное пособие. М.: Изд-во МАИ, 1996.
8. Pud M., Саймон Б. Методы современной математической
физики. Т. 1. - М.: Мир, 1977.
9. Рихтпмайер Р. Принципы современной математической
физики. Т. 1. - М.: Мир, 1982.
10. Садовничий В.А. Теория операторов. Учебник. - 3-е изд.
- М.: Высшая школа, 1999.
11. Тарасов В.Е. Математическое введение в квантовую
механику. Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2000.
12. Фадеев Л.Д., Якубовский О.А. Лекции по квантовой
механике для студентов-математиков. - Л.: Изд-во ЛГУ,
1980.
13. Функциональный анализ. 2-е изд. / Под ред. Крейна С.Г.
(Серия "Справочная математическая библиотека") - М.:
Наука, 1972.
14. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и
полугруппы. - М.: ИИЛ, 1962.
15. Холево А. С Вероятностные и статистические аспекты
квантовой теории. - М.: Наука, 1980.
16. Эмх Ж. Алгебраические методы в статистической
механике и квантовой теории поля. - М.: Мир, 1976.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Банаха 83
— Валя 55
— Вейля 120, 203
— Гейзенберга 114, 200
— Гильберта 89
— Йордана 80
— Ли 79
— Мальцева 54
— Неймана 87
— Пуассона 90
Дефект Лейбница 208
Задача Коши 233, 234, 237
Интеграл Бохнера 221, 222
— Петтиса 221, 222
— Стилтьеса 152, 153, 241
— ФейнманаЗН
Картина Гамильтона 268
— Л иу вилл я 269
Квантование по Дираку 98
Конструкция ГНС 109
Обозначения Дирака 18
Оператор Вейля 119, 121
— Гильберта-Шмидта 67
— Лиувилля 270
Представление Фока-Баргмана 176
— Гейзенберга 115, 275
— Шредингера 118, 287
Проектор Рисса 145
Произведение Мори 73
Пространство Банаха 7
— Гильберта 7
— Лиувилля 71
— Фреше 27
— Шварца 28
Скобка Пуассона 90, 91, 93
Символ Вейля 131
Система Вейля 117, 201
— Гамильтона 266, 271
Супероператор Вейля 203
— Гамильтона 209, 210 *
— Лиувилля 270
— Линдблада 255
Теорема Алаоглу 106
— Данфорда 143
— Гельфанда 137
— Гельфанда-Наймарка 84
— Гельфанда-Наймарка-
-Сигала 111
— Гильберта-Шмидта 138
— Крейна-Мильмана 107
— Линдблада 255
— Люмера 245
— Неймана 88, 118, 166
— Пуанкаре-Биркгофа-
-Витта54?80
— Рисса-Маркова 95
— Рисса-Фреше 18
— Сакаи 87
— Стоуна 118, 203, 225
— Троттера 142
— Филлипса-Люмера 245
— Хеллингера-Теплица 140
— Хилле-Иосиды 230
— Хилле-Иосиды-Филлипса 231
— Шварца 125
Тройка Гельфанда 34
Тождество Гильберта 136
Уравнение Гейзенберга 270, 280
— Лиувилля 280
— Лиувилля-фон Неймана
288, 293
— Линдблада 256
— Шредингера 295
Функция Вигнера 132
320

Содержание
Предисловие 3
Глава 1. Кинематика ограниченных наблюдаемых . 5
1.1. Наблюдаемая и состояние 5
1.2. Определение гильбертова пространства 5
1.3. Примеры гильбертовых пространств 8
1.4. Базис гильбертова пространства 10
1.5. Определение и примеры операторов 12
1.6. Кинематические постулаты 15
1.7. Определение сопряженного пространства 17
1.8. Матричное представление оператора 20
1.9. Унитарно эквивалентные операторы 22
1.10. Задала на собственные значения . . . 23
Глава 2. Кинематика неограниченных наблюдаемых 26
2.1. Недостаточность гильбертова пространства . ... 26
2.2. Пространства основных функций 27
2.3. Пространства обобщенных функций 30
2.4. Действия над обобщенными функциями 32
2.5. Оснащенное гильбертово пространство 34
2.6. Координатное представление 35
2.7. Собственные векторы операторов Q и Р 37
2.8. Унитарная эквивалентность представлений . . . . 39
2.9. Икс-представление 40
2.10. Разложение оператора по кет-бра операторам . . 41
2.11. Смешанное gp-представление операторов .... 43
Глава 3. Кинематика и математические структуры 44
3.1. Математические структуры 44
3.2. Алгебраические структуры 46
3.3. Примеры алгебраических структур 48
321

3.4. Эндоморфизм алгебраической структуры 55
3.5. Математические структуры в физике 56
3.6. Математические структуры в кинематике 57
3.7. Кинематические постулаты 58
Глава 4, Кинематика пространств наблюдаемых . . 61
4.1. Пространство ограниченных операторов 61
4.2. Пространство конечномерных операторов 62
4.3. Пространств® вполне непрерывных операторов . 63
4.4. Пространство ядерных операторов 65
4.5. Пространство операторов Гильберта-Шмидта . . 66
4.6. Свойства операторов из К,1(Н) и К,2(Н) 68
4.7. Множество операторов плотности 69
4.8. Пространство Лиувилля 71
4.9. Корреляционные функции 72
4.10. Базисы в операторном пространстве Лиувилля . 74
Глава 5. Кинематика алгебр наблюдаемых 78
5.1. Линейная алгебра 78
5.2. Ассоциатршные, лиевы и йордаковы алгебры ... 79
5.3. Связь неассоциативных и ассоциативных алгебр . 80
5.4. Инволютивные и банаховы алгебры 82
5.5. С*-алгебра 84
5.6. Алгебра фон Неймана (Иг*-алгебра) 86
5.7. Алгебра Гильберта 89
Глава 6. Квантование в кинематике 90
6.L Пуассоновы и симплектические структуры .... 90
6.2. Классические наблюдаемые 93
6.3. Классические состояния 94
6.4. Определение квантования по Дираку 97
6.5. Свойства квантования 98
6.6. Состояние как функционал на алгебре 102
6.7. Состояние на С*-алгебре .д 104
6.8. Представления С*-алгебры и состояния 108
6.9. Конструкция Гельфанда-Наймарка-Сигала .... 109
6.10. Состояние на алгебре фон Неймана 112
Глава 7. Квантование и символы операторов 114
7.1. Алгебра Гейзенберга 114
7.2. Система Вейля 116
7.3. Алгебра Вейля 119
7.4. Операторный базис Вейля 120
7.5. Дифференциальные операторы и символы .... 122

7.6. Отображение квантования 126
7.7. Связь символов и ядер операторов 128
7.8. Символ оператора плотности 130
7.9. Вейлевские символы и представление Вигнсра . . 131
7.10. Отображение, обратное квантованию 133
Глава 8. Спектральные методы 134
8.1. Спектр оператора 134
8.2. Резольвента и ее свойства 136
8.3. Спектр ограниченного оператора у 137
8.4. Спектр компактного оператора 138
8.5. Неограниченные операторы 140
8.6. Алгебра операторных функций 142
8.7. Спектральный проектор 145
8.8. Спектральное разложение* элемента алгебры . . ,. 145
8.9. Симметрические и самосопряженные операторы . 148
8.10. Разложение единицы оператора 149
8.11. Спектральная теорема . . . : 153
8.12. Спектральный оператор через кет-бра оператор 155
8.13. Кет-бра оператор через спектральный оператор 156
8.14. Функции от самосопряженного оператора .... 158
Глава 9. Спектральное представление наблюдаемых 160
9.1. Коммутирующие и перестановочные операторы . 160
9.2. Обобщенная задача на собственные значения . . . 162
9.3. Классификация точек спектра ...... 164
9.4. Спектральное представление 165
9.5. Полные системы коммутирующих наблюдаемых . 167
9.6. Операторы рождения и уничтожения 170
9.7. Нормальное упорядочение 172
9.8. Голоморфное представление 174
9.9. Вероятностное пространство 177
Глава 10. Динамика и супероператоры 181
10.1. Динамическая структура 181
10.2. Определения супероператоров 185
10.3. Левые и правые супероператоры 187
10.4. Алгебра супероператоров 190
10.5. Функция от левого и правого супероператоров . 194
10.6. Обратная супероператорная функция 197
,т , 10.7. Экспоненциальные супероператорные функции . 198
Глава 11. Динамика и супероператорные функции . 200
11.1. Супероператорная алгебра Гейзенберга 200

11.2. Супероператорная система Вейля 201
11.3. Алгебра супероператоров Вейля 203
11.4. Супероператорные функции и упорядочение . . 204
11.5. Дифференциальные супероператоры 206
11.6. Гамилътоновы супероператорные функции , . . 209
11.7. Супероператорный полином 211
11.8. Билинейные супероператоры 213
11.9. Ядра супероператоров 213
11.10. Примеры ядер супероператоров 215
11.11. Условие гамильтоновости супероператора . . . 217
11.12. Однопараметрические операторы 219
11.13. Однопараметрические супероператоры 220
11.14. Интегралы Бохнера и Петтиса 221
Глава 12. Динамика и полугруппы супероператоров 224
12.1. Группы супероператоров 224
12.2. Полугруппы супероператоров 225
12.3. Производящий супероператор полугрупп . . . . 227
12.4. Сжимающие полугруппы и ее генераторы .... 229
12.5. Экспоненциальные и позитивные полугруппы . . 231
12.6. Стационарные дифференциальные уравнения . . 232
12.7. Корректная задача Коши 234
12:8. Нестационарные дифференциальные уравнения 236
12.9. Хронологическая экспонента : 238
Глава 13. Квантовые динамические полугруппы . . 242
13.1. Динамические (положительные) полугруппы . . 242
13.2. Динамика и полускалярное произведение .... 244
13.3. Динамика и ортогональные проекторы 246
13.4. Сопряженная динамическая полугруппа 247
13.5. Квантовые динамические полугруппы 248
13.6. Вполне положительные супероператоры 250
13.7. Биположительные супероиераторы . : 251
13.8. Инфинитезимальные генераторы 252
13.9. Супероператор Линдблада 255
13.10. Пример уравнения Линдблада 257
Глава 14. Квантование в динамике 260
14.1. Введение в классическую динамику 260
14.2. Консервативные и диссипативные системы . . . 261
14.3. Системы на симплектическом многообразии . . 263
14.4. Системы на пуассоновом многообразии 264
14.5. Характеристические свойства систем 266

14.6. Картины Гамильтона и Лиувилля 267
14.7. Квантовая гамильтонова система 270
14.8. Решение уравнения Гейзенберга 272
14.9. Эволюция как отображение 273
14.10. Правило почленного дифференцирования . . . 276
14.11. Вспомогательные уравнения Гейзенберга .... 278
Глава 15. Динамика состояния 280
15.1. Эволюция нормированного оператора 280
15.2. Эволюция состояния по Гейзенбергу 281
15.3. Уравнение Гейзенберга для гамильтониана . . . 282
15.4. Средние значения наблюдаемых 284
15.5. Сопряженный супероператор 285
15.6. Динамическое представление Шредингера .... 287
15.7. Эволюция состояния по Шредингеру 289
15.8. Эволюция нормированного состояния плотности 291
15.9. Эволюция состояния в икс-представлении .... 293
15.10. Уравнение Шредингера 294
Глава 16, Динамические методы 298
16.1. Метод резольвенты 298
16.2. Квантовые марковские уравнения 303
16.3. Метод функций распределения Вигнера 304
16.4. Частные случаи систем Линдблада . . . ■ 307
16.5. Метод континуального интеграла , 310
16.6. Континуальный интеграл для систем Гамильтона 315
16.7. Континуальный интеграл для систем Линдблада 316
Литература . 319
Предметный указатель 320

ТАРАСОВ ВАСИЛИЙ ЕВГЕНЬЕВИЧ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА:
лекции по основам теории
Замечания и предложения по содержанию и оформлению данной книги
просьба направлять, автору по электронному адресу:
TARASOV@THEORY.NPI.MSU.SU
или по почтовому адресу:
119899, г. Москва, Ленинские горы, Московский гос. университет
НИИ ядерной физики, Отдел ТФВЭ, Тарасову В.Е.
Редактирование и компьютерная верстка выполнены автором
Лицензия на издательскую деятельность ЛП № 071370 от 30.12.1996 г.
Подписано в печать 22.05.2000.
Печать офсетная. Формат 60 х 84 1/16.
Печ.л.20,5. Тираж 1000.
Издательство «Вузовская книга»
125871, Москва, Волоколамское шоссе, д. 4
Т/ф 158-02-35
E-mail: vbook @ mai. ru

На складе ЗАО «Вузовская книга»
имеются следующие книги по математике:
Абгарян К.А. Матричное исчисление с приложениями в теории
динамических систем.
ДубинскийЮ.А. Задача Коши в комплексной области.
Елизаров А.М. и др. Обратные краевые задачи аэродинамики.
Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи,
приложения.
Каменский В.А. Линейные краевые задачи для
дифференциально-разностных уравнений.
Лебедев В.А. Мартингалы, сходимость вероятностных мер и
стохастические уравнения.
Летова Т.А., Пантелеев А.В. Экстремум функций в примерах и
задачах.
Лесин В.В., Лисовец ЮМ. Основы методов оптимизации.
Локшин А.А. Нелинейное волновое уравнение.
Локшин А.А., и др. Элементарная теория кривых.
Могилевский В.Д. Формализация динамических систем.
Нефедов B.IL, Осипова В.А. Курс дискретной математики.
Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика.
Пантелеев А.В. и др. Обыкновенные дифференциальные
уравнения в приложениях к анализу динамических систем.
Пантелеев А.В. и др. Теория функций комплексного
переменного и операционное исчисление в примерах и задачах.
Попов Т.Н. Исторические задачи по элементарной математике.
Потабенко Н.А. Численные методы. Решение задач линейной
алгебры и уравнений в частных производных.
Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу.
Семенов В.В., и др. Математическая теория управления в
примерах и задачах.
Силин В.Б. Поиск структурных решений комбинаторными
методами.
Стельманшук Н.Т., Шилинец В.А. Элементы теории
аналитических функций.
Чернецкий В.И. Математическое моделирование стохастических
систем.
и другие.

Издательство «Вузовская книга»
специализируется на выпуске
учебной, методической, научной
и научно-популярной литературы.
Приглашаем к сотрудничеству
торговые организации,
а также авторов и спонсоров.
Обращаться по адресу:
125871, Москва, Волоколамское шоссе, д. 4.
Главный административный корпус МАИ,
комн. 406.
Тел. 158—02—35
158-42-12.