Альберт Мессиа
КВАНТОВАЯ
МЕХАНИКА
Том I
Перевод с французского В. Т. ХОЗЯИНОВА
под редакцией Л. Д. ФАДДЕЕВА
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1978

530.1
M 53
УДК
Квантовая механика (перевод с французского) под редакцией Л. Д. Фад-
деева. Альберт Мессиа. Монография. Главная редакция физнко-матема-
тнческой литературы издательства «Наука», 1978 г.
Книга содержит изложение общего формализма квантовой механики и его
приложение к простейшим системам. Изложены история возникновения кван-
квантовой теории волновые свойства материи и уравнение Шредннгера, квантова-
квантование системы в одном измерении и туннельный эффект. Большое внимание уде-
уделено статистической интерпретации дуализма волна — частица, соотношению
неопределенности и принципу дополнительности. Разбирается классическое
приближение и метод ВКБ для одномерных задач. Подробно излагается ма-
математический аппарат и его физическая интерпретация, различные представ-
представления, квантовая статистика.
Илл. 39.
., 20402—151 ,,.,„ €> Главная редакция
М псэ/лп то\ ' Ю-78 физико-математической литературы
иЫ(иг-/6) издательстве «Наука». 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу 10
Предисловие И
ЧАСТЬ I. ФОРМАЛИЗМ И ЕГО ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
ГЛАВА I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ 15
§ 1. Введение 15
Раздел I. Конец классического периода 16
§ 2. Классическая теоретический физика 16
§ 3. Успехи в изучении микроскопических явлений и появление квантов
в физике 19
Раздел И. Световые кванты, или фотоны 22
§ 4. Фотоэлектрический эффект 23
§ 5. Эффект Комптона 24
§ 6. Световые кванты и явления интерференции 28
§ 7. Заключение 31
Раздел III. Квантование в атомных системах 32
§ 8. Атомная спектроскопия и трудности классической модели Резер-
форда 32
§ 9. Квантование энергетических уровней атомов 33
§ 10. Другие примеры квантования: пространственное квантование ... 35
Раздел IV. Принцип соответствия и старая квантовая теория .... 37
§ 11. Недостаточность классической корпускулярной теории 37
§ 12. Принцип соответствия 39
§ 13. Применение принципа соответствия при вычислении постоянной
Ридберга 40
§ 14. Лагранжева и гамильтонова формы уравнений классической меха-
механики 41
§ 15. Правила квантования Бора — Зоммерфельда 44
§ 16. Достижения и ограниченность старой теории квантов .49
§ 17. Заключение 50
Задачи н упражнения 52
ГЛАВА II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 54
§ 1. Исторический обзор и общий план последующих глав 54
Раздел I. Волны вещества 58
§ 2. Введение 58
§ 3. Свободный волновой пакет. Фазовая и групповая скорости .... 59
§ 4. Волновой пакет в медленно меняющемся поле 62
§ 5. Квантование уровней энергии атомов 63
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 6. Дифракция волн вещества 64
§ 7. Корпускулярная структура вещества 66
§ 8. Универсальный характер дуализма волна-частица 67
Раздел И. Уравнение Шредингера 68
§ 9. Закон сохранения числа частиц вещества 68
§ 10. Необходимость волнового уравнения и условия, которым оно дол-
должно удовлетворять 69
§11. Понятие оператора 70
§ 12. Волновое уравнение для свободной частицы 71
§ 13. Частица в области действия скалярного потенциала 73
§ 14. Заряженная частица в электромагнитном поле 74
§ 15. Общее правило построения уравнения Шредингера по принципу со-
соответствия 75
Раздел III. Стационарное уравнение Шредиигера 79
§ 16. Исследование стационарных состояний 79
§ 17. Общие свойства уравнения. Структура энергетического спектра . . 79
Задачи и упражнения 81
ГЛАВА III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ 84
§ 1. Введение 84
Раздел I. Прямоугольные потенциалы 85
§ 2. Общие свойства 85
§ 3. Скачок потенциала. Отражение и прохождение воли 87
§ 4. Бесконечно высокий потенциальный барьер 92
§ 5. Бесконечно глубокая потенциальная яма. Дискретный спектр ... 93
§ 6. Конечная потенциальная яма. Резонансы 94
§ 7. Прохождение прямоугольного потенциального барьера. Туннельный
эффект 101
Раздел II. Общие свойства одномерного уравнения Шредиигера . . . 103
§ 8. Свойства вронскиана 103
§ 9. Асимптотическое поведение решений 105
§ 10. Структура спектра собственных значений 108
§ 11. Состояния непрерывного спектра: отражение и прохождение воли . 109
§ 12. Число узлов связанных состояний 112
§ 13. Соотношения ортогональности 113
§ 14. Замечание по поводу четности 115
Задачи и упражнения 116
ГЛАВА IV. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНО-
ВОГО ДУАЛИЗМА И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 118
§ 1. Введение 118
Раздел 1. Статистическая интерпретация волновых функций в волновой
механике 1J9
§ 2. Вероятности результатов измерения координаты и импульса частицы 119
§ 3. Сохранение нормы во времени 122
§ 4. Понятие потока {24
§ 5. Средние значения функций от г и от р 125
§ 6. Системы многих частиц 128
Раздел II. Соотношения неопределенности Гейзенберга . . . ._ . .132
§ 7. Соотношения неопределенности координата-импульс квантовой ча-
частицы ¦ 132
§ 8. Точное выражение соотношений неопределенности коордииата-им-
пульо 135

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 9. Обобщение: соотношения неопределенности для сопряженных пере-
переменных 137
§ 10. Соотношение неопределенности время-энергия 137
§ 11. Соотношения неопределенности для фотонов 140
Раздел III. Соотношения неопределенности и механизм измерения. . 141
§ 12. Неконтролируемое возмущение в процессе измерения .141
§ 13. Измерения положения в пространстве 144
§ 14. Измерения импульса 146
Раздел IV. Описание явлений в квантовой теории. Дополнительность
и причинность 149
§ 15. Проблемы статистической интерпретации 149
§ 16. Описание микроскопических явлений и дополнительность . . . .153
§ 17. Дополнительные переменные. Совместные переменные ...... 153
§ 18. Корпускулярно-волновой дуализм и дополнительность 155
§ 19. Дополнительность и причинность 156
Задачи и упражнения 159
ГЛАВА V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ И ЕГО ИСТОЛКОВАНИЕ 162
§ 1. Введение 162
Раздел I. Эрмитовы операторы и физические величины 163
§ 2. Пространство волновых функций 163
§ 3. Определение средних значений 166
§ 4. Отсутствие флуктуации и проблема собственных значений . . . .168
Раздел II. Исследование дискретного спектра 171
§ 5. Собственные значения и собственные функции эрмитового опера-
оператора 171
§ 6. Разложение волновой функции в ряд по ортонормированным соб-
собственным функциям 173
§ 7. Статистическое распределение результатов измерений величины, опе-
оператор которой обладает полной системой собственных функций с ко-
конечной нормой 176
Раздел III. Статистика измерений в общем случае 179
§ 8. Трудности описания непрерывного спектра. Введение б-функции Ди-
Дирака 179
§ 9. Разложение по собственным функциям в общем случае. Условие
замкнутости 184
§ 10. Статистическое распределение результатов измерения в общем слу-
случае 188
§ 11. Другие методы исследования непрерывного спектра 190
§ 12. Комментарии и примеры 193
Раздел IV. Определение волновой функции 195
§ 13. Операция измерения и редукция волнового пакета. Идеальные из-
измерения 195
§ 14. Коммутирующие наблюдаемые и совместные переменные .... 198
§ 15. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых 201
§ 16. Чистые и смешанные состояния 203
Раздел V. Алгебра коммутаторов и ее приложения 204
§ 17. Алгебра коммутаторов и основные свойства коммутаторов .... 204
§ 18. Соотношения коммутации для момента импульса 207
§ 19. Изменение статистического распределения во времени. Интегралы
движения 208
§ 20. Примеры интегралов движения. Энергия. Четность 209
Задачи и упражнения 210

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ 212
Раздел I. Классический предел волновой механики 212
§ 1. Общие соображения 212
§ 2. Теорема Эренфеста 214
§ 3. Движение и расплывание волновых пакетов 216
§ 4. Классический предел уравнения Шредингера 219
§ 5. Кулоновское рассеяние. Формула Резерфорда 224
Раздел II. Метод ВКБ 226
§ 6. Основная идея метода 226
§ 7. Решения ВКБ в одном измерении 227
§ 8. Условия применимости приближения ВКБ 229
§ 9. Граничные точки и формулы согласования 230
§ 10. Прохождение потенциального барьера 233
§ 11. Уровни энергии в потенциальной яме 234
Задачи и упражнения 236
ГЛАВА VII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ.
А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ 238
§ 1. Принцип суперпозиции и представление динамических состояний
векторами 238
Раздел I. Векторы и операторы 240
§ 2. Векторное пространство. Кет-векторы 240
§ 3. Дуальное пространство. Бра-векторы 241
§ 4. Скалярное произведение 243
§ 5. Линейные операторы 245
§ 6. Тензорное произведение двух векторных пространств 247
Раздел II. Эрмитовы операторы, проекторы и наблюдаемые 249
§ 7. Сопряженные операторы и правила сопряжения 249
§ 8. Эрмитовы (самосопряженные) операторы, положительно опреде-
определенные операторы, унитарные операторы 251
§ 9. Проблема собственных значений и наблюдаемые 252
§ 10. Проекторы (или операторы проектирования) 255
§ 11. Алгебра проекторов 258
§ 12. Наблюдаемые, обладающие только дискретным спектром 261
§ 13. Наблюдаемые в общем случае и обобщенное соотношение замкну-
замкнутости 263
§ 14. Функции наблюдаемых 265
§ 15. Операторы, коммутирующие с наблюдаемой. Коммутирующие на-
наблюдаемые 267
Раздел III. Теория представлений 268
§ 16. Общее понятие о конечных матрицах 268
§ 17. Квадратные матрицы 270
§ 18. Бесконечные матрицы 274
§ 19. Представление векторов и операторов матрицами 275
§ 20. Преобразования матриц 278
§ 21. Смена представления 281
§ 22. Унитарные преобразования операторов и векторов 283
Задачи и упражнения 285
ГЛАВА VIII. ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ.
Б. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ 287
§ 1. Введение 287
Раздел I. Динамические состояния и физические величины 289
§ 2. Определение вероятностей. Постулаты измерения 289

ОГЛАВЛЕНИЕ 7
§ 3. Наблюдаемые квантовой системы и соотношения коммутации . . . 291
§ 4. Соотношения неопределенности Гейзенберга 292
§ 5. Определение состояний и построение пространства <? 294
§ 6. Квантовая одномерная система, обладающая классическим анало-
аналогом 295
§ 7. Построение пространства состояний путем тензорного умножения
более простых пространств 299
Раздел II. Уравнения движения 301
? § 8. Оператор эволюции и уравнение Шредингера 301
§ 9. «Представление» Шредингера 304
§ 10. «Представление» Гейзенберга 306
§ 11. «Представление» Гейзенберга и принцип соответствия 308
§ 12. Интегралы движения 309
§ 13. Уравнение эволюции средних значений и соотношение неопределен-
неопределенности время-энергия 310
§ 14. Промежуточные «представления» 311
Раздел III. Различные представления теории 313
§ 15. Определение представления 313
§ 16. Волновая механика 314
§ 17. Представление {р} 316
§ 18. Пример: движение свободного волнового пакета 318
§ 19. Другие представления. Представление, в котором диагональна
энергия 319
Раздел IV. Квантовая статистика 320
§ 20. Системы с неполной информацией н смешанные состояния .... 320
§ 21. Матрица плотности 321
§ 22. Эволюция смешанного состояния во времени 323
§ 23. Характеристические свойства матрицы плотности . 324
§ 24. Чистые состояния 325
§ 25. Классическая статистика и квантовая статистика 326
Задачи н упражнения 328
ЧАСТЬ II. ПРОСТЫЕ СИСТЕМЫ
ГЛАВА IX РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ
ПЕРЕМЕННЫХ. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ 333
§ 1. Введение . . '. 333
Раздел I. Частица в центрально-симметричном потенциальном поле. Об-
Общее рассмотрение проблемы 334
§ 2, Гамильтониан частицы в сферических координатах 334
§ 3. Отделение угловых переменных. Сферические функции 337
§ 4. Радиальное уравнение 339
§ 5. Собственные решения радиального уравнения. Структура спектра . 341
§ 6. Заключение 342
Раздел II Центрально-симметричный прямоугольный потенциал. Сво-
Свободная частица 344
§ 7. Сферические функции Бесселя 344
§ 8. Свободная частица. Свободные плоские н сферические волны . . . 345
§ 9. Разложение плоской волны по сферическим функциям 346
§ 10. Сферическая прямоугольная яма 348
Раздел III. Задача двух тел. Отделение движения центра масс .... 349
§ 11. Отделение движения центра масс в классической механике . . . . 349

8 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 12. Отделение движения центра масс квантовой системы двух частиц 351
§ 13. Система многих частиц 352
Задачи и упражнения 354
ГЛАВА X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ И МЕТОД
ФАЗОВЫХ СДВИГОВ 356
§ 1. Введение 356
Раздел I. Эффективные сечения и амплитуды рассеяния ...... 356
§ 2. Определение эффективных сечений 356
§ 3. Стационарная волна рассеяния 358
§ 4. Описание рассеяния при помощи пучка волновых пакетов .... 359
§ 5. Рассеяние волнового пакета на потенциале 362
§ 6. Вычисление эффективных сечений 364
§ 7. Столкновение двух частиц. Лабораторная система и система центра
масс 365
Раздел II. Рассеяние центральным потенциалом. Фазовые сдвиги , . . 370
§ 8. Разложение по парциальным волнам. Метод фазовых сдвигов . . . 370
§ 9. Квазиклассическое представление рассеяния. Прицельный параметр 372
Раздел III. Потенциал ограниченного радиуса действия ...... 374
§ 10. Сдвиг фазы и логарифмическая производная 374
§11. Сдвиги фаз при низких энергиях (Х-»-оо) 376
§ 12. Парциальные волны более высокого порядка. Сходимость ряда
A-*оо) 377
§ 13. Рассеяние на твердой сфере 377
Раздел IV. Резонансное рассеяние 380
§ 14? Рассеяние глубокой прямоугольной потенциальной ямой 380
§ 15. Общий закон резонансного рассеяния. Метастабильные состояния . 382
§ 16. Наблюдение времени жизни метастабильных состояний ...... 385
Раздел V. Различные формулы и свойства 387
§ 17. Интегральные представления фазовых сдвигов ......... 387
§ 18. Зависимость фазовых сдвигов от фо.рмы потенциала 388
§ 19. Приближение Бориа 389
§ 20. Теория аффективного радиуса действия. Формула Бете 389
Задачи и упражнения 392
ГЛАВА XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 394
§ 1. Введение 394
Раздел I. Атом водорода 395
§ 2. Уравнение Шредингера для атома водорода 395
§ 3. Порядок величины энергии связи основного состояния 396
§ 4. Решение уравнения Шредингера в сферических координатах . . . 397
$ 5. Спектр энергии. Вырождение 399
§ 6. Собственные функции связанных состояний 401
Раздел П. Кулоновское рассеяние 403
§ 7. Кулоновская функция рассеяния 403
§ 8. Формула Резерфорда 405
§ 9. Разложение по парциальным волнам 407
§ 10. Разложение ifc по сферическим функциям 408
§ 11. Модификация кулоновского потенциала короткодействующим вза-
взаимодействием 410
Задачи и упражнения 412

ОГЛАВЛЕНИЕ 9
ГЛАВА XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР 414
§ 1. Введение 414
Раздел I. Собственные состояния и собственные векторы гамильтониана 415
§ 2. Проблема собственных значений 415
§ 3. Введение операторов а, а+ и N 416
§ 4. Спектр и базисная система оператора N 417
§ 5. Представление {N} 419
§ 6. Операторы рождения и уничтожения 420
§ 7. Представление {Q}. Полиномы Эрмита 422
Раздел II. Приложения и различные свойства 423
§ 8. Производящая функция собственных функций un(Q) 423
§ 9. Интегрирование уравнений Гейзенберга . . . ._ 425
§ 10. Классический и квантовый осцилляторы 426
§ 11. Движение минимизирующего волнового пакета и классический пре-
предел 427
§ 12. Гармонические осцилляторы в термодинамическом равновесии . . 429
Раздел III. Изотропные многомерные гармонические осцилляторы . . 432
§ 13. Общее исследование изотропного осциллятора в р измерениях . . 432
§ 14. Изотропный осциллятор в двух измерениях 434
§ 15. Изотропный осциллятор в трех измерениях 437
Задачи и упражнения 440
Дополнение А. Обобщенные функции, «функция» б и преобразование
Фурье 443
Дополнение Б. Специальные функции и связанные с ними формулы . 457
Предметный указатель 473

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Настоящий двухтомный курс квантовой механики профес-
профессора А. Мессиа впервые вышел во Франции в конце пятидеся-
пятидесятых годов. Вскоре он был переведен на английский язык, не-
несколько раз переиздавался во Франции и приобрел широкую
известность в западных странах. В настоящее время курс яв-
является основным источником ссылок на общие вопросы кванто-
квантовой механики в зарубежных научных журналах. Это обуслов-
обусловлено большим объемом содержащегося в книге материала л
подробным, тщательным его изложением. Наряду с общими
положениями нерелятивистской квантовой механики в курсе
дано введение в теорию Дирака и квантование электромагнит-
электромагнитного поля, развивается необходимый для понимания основного
текста математический аппарат, часть которого выделена в при-
приложения. Большое внимание уделяется истории возникновения
квантовой теории и ее философско-методологическим пробле-
проблемам. Книга является хорошим учебником по квантовой меха-
механике, а объем представленного в ней материала позволяет ис-
использовать ее в справочных целях.
Курс профессора А. Мессиа несомненно будет полезен со-
советским читателям, как тем, кто только начинает свое знаком-
знакомство с квантовой теорией, так и специалистам. Он будет
удачным дополнением к существующей у нас литературе по
квантовой механике.
Л. Д. Фаддеев

ПРЕДИСЛОВИЕ
В наше время нет области физики, в котррой можно было бы
серьезно работать без хорошего знания квантовой механики.
Изложение этого предмета в данной книге, как я надеюсь, до-
достаточно просто, чтобы быть доступным для студентов, и в то
же время обладает необходимой полнотой, чтобы стать спра-
справочным настольным пособием для профессионально работающих
физиков.
Книга явилась результатом курса лекций, читанных в Центре
ядерных исследований в Сакле, начиная с 1953 г. Многочислен-
Многочисленные дискуссии и обсуждения как со студентами, так и с моими
коллегами существенно помогли сделать изложение ряда труд-
трудных мест более ясным и доступным. Некоторые лица, которых
я познакомил с отдельными частями рукописи, сделали ряд
критических замечаний; я хотел бы отметить Эдмона Бауэра
и Жана Ульмо, которым я обязан интересными замечаниями по
поводу изложения основных принципов. Я особенно признате-
признателен Рожеру Балиану за прочтение большей части рукописи и
ряд ценных замечаний, позволивших сделать некоторые улучше-
улучшения текста; ему я хотел бы выразить здесь мою глубокую бла-
благодарность. Наконец, я хотел бы выразить благодарность тем
моим слушателям, которые взяли на себя труд проверки текста
и вычислений в различных главах, а также помогли мне при
чтении корректуры.
Задачи, помещенные в конце каждой главы, выбирались не
только в чисто учебных целях, но также и для того, чтобы

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
указать на некоторые интересные проблемы; это объясняет от-
относительную трудность ряда задач.
Несколько книг и статей, цитированных в сносках, должны
помочь читателю дополнить или углубить его знания в некото-
некоторых разделах. Не могло быть и речи о составлении полной
библиографии предмета. Для этого не хватило бы и целого
дополнительного тома.
Альберт Мессиа
Октябрь 1958 г.

«.. он предложил ему путешествие
в Копенгаген ...>
Кандид
ЧАСТЬ I
ФОРМАЛИЗМ
И ЕГО
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

ГЛАВА I
ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
§ 1. Введение
Согласно классической доктрине, общепринятой среди физи-
физиков до начала XX века, описание эволюции физических систем
производится с помощью некоторого числа величин, так назы-
называемых динамических переменных; все эти переменные в каж-
каждый момент времени имеют вполне определенные значения, так
что задание всей совокупности этих значений определяет дина-
динамическое состояние системы в данный момент времени; при-
принимается, кроме того, что эволюция физической системы во
времени полностью задана, если известно ее состояние в неко-
некоторый начальный момент. Математически эта основная аксиома
выражается тем фактом, что динамические переменные как
функции времени удовлетворяют системе дифференциальных
уравнений первого порядка. Программа классической теорети-
теоретической физики включает, таким образом, определение динами-
динамических переменных исследуемой системы, а затем установление
тех уравнений движения, которые описывают их изменение во
времени в согласии с опытными данными.
С тех времен, когда Ньютон формулировал основные законы
механики, и до конца XIX века эта программа развивалась
вполне успешно, причем появлению новых экспериментальных
фактов в теоретическом плане соответствовало либо введение
новых динамических переменных и новых уравнений, либо из-
изменение старых уравнений, что позволяло без больших затрудне-
затруднений включить новое явление в общую теоретическую схему.
В течение всего этого периода ни один опытный факт, ни одно
физическое открытие не поставили под сомнение строгую обо-
обоснованность самой программы. Напротив, классическая физика
непрерывно прогрессировала в направлении наибольшей про-
простоты и наибольшего согласия и единства в описании всей
совокупности физических явлений. Это счастливое развитие про-
продолжалось примерно до 1900 г., но в дальнейшем, по мере
накопления и углубления знаний о физических явлениях на

16 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
микроскопическом уровне1), классическая теория столкнулась
с целым рядом трудностей и противоречий. Быстро стало очевид-
очевидным, что физические явления на атомном и субатомном уровнях
вообще не могут быть описаны на основе классической доктрины
и для их объяснения нужны совершенно новые принципы. Откры-
Открытие и утверждение этих новых принципов прошло несколько эта-
этапов и только к 1925 году, к моменту появления квантовой меха-
механики, была построена связная и непротиворечивая теория
микроскопических явлений. В этой главе мы познакомимся с ис-
истоками и историческим развитием новой теории.
После краткого очерка основных положений и идей класси-
классической теоретической физики мы представим обзор основных
физических явлений, открытие которих заставило отказаться от
классических идей. Эти явления мы предполагаем известными
читателю2), так что ограничимся напоминанием только основ-
основных особенностей, подчеркивая те аспекты явлений, которые
находятся в противоречии с классической теорией. Конец главы
посвящен краткому обзору первых попыток объяснения этих
явлений, которые известны под именем Старой квантовой теории.
Раздел 1. КОНЕЦ КЛАССИЧЕСКОГО ПЕРИОДА
§ 2. Классическая теоретическая физика
В конце классического периода отдельные ветви физики объ-
объединились в единую и согласованную теоретическую картину
мироздания, основные контуры которой таковы. В окружающей
нас вселенной мы различаем две категории объектов: вещество
и излучение. Вещество состоит из точно локализуемых корпу-
корпускул, движение которых подчиняется законам механики Ньютона;
состояние каждой корпускулы определяется в каждый момент
ее положением и скоростью (или количеством движения —
импульсом), т. е. всего шестью динамическими переменными.
Излучение подчиняется законам электромагнитной теории Мак-
Максвелла; динамические переменные излучения — число их беско-
бесконечно — суть составляющие в каждой точке пространства элек-
') Следует уточнить понятия микроскопических и макроскопических яв-
явлений, которые будут часто использоваться в этой книге. Микроскопическая
шкала соответствует атомным и субатомным явлениям, для которых харак-
характерны длины не более нескольких ангстрем A А = 10~8 см). Макроскопиче-
Макроскопическая же шкала соответствует явлениям, которые можно наблюдать невоору-
невооруженным глазом или с помощью обычного микроскопа с разрешением ие бо-
более микрона A0-* см).
2) Детальное описание этих явлений можно найти в различных книгах,
посвященных атомной физике: например, М. Born, Atomic Physics, Blackie
(Glasgow, 1957) или G. Bruhat, Optique, Masson (Paris, 1954); см. русский
перевод первой книги: М. Борн, Атомная физика, «Мир>, 1965.

§ 2. КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЧИКА 17
трического и магнитного полей. В отличие от вещества излучение
нельзя разделить на отдельные корпускулы, локализованные в
пространстве и сохраняющие эту локализацию с течением вре-
времени; излучение описывается волновыми процессами, которые
находят свое отражение в хорошо известных явлениях интер-
интерференции и дифракции.
Корпускулярная теория вещества развивалась в течение
всего XIX века. Вначале она ограничивалась механикой небес-
небесных тел и объектов макроскопических размеров, но в дальней-
дальнейшем, когда была выдвинута атомная гипотеза строения веще-
вещества, корпускулярная теория стала рассматриваться как основа
объяснения всех физических явлений и на микроскопическом
уровне. Ввиду невозможности прямой проверки атомной гипо-
гипотезы путем изоляции отдельных молекул и изучения их взаи-
взаимодействия большое внимание было уделено косвенным доказа-
доказательствам того, что макроскопические свойства материальных
тел следуют из законов движения отдельных молекул, их состав-
составляющих. Математически эта проблема оказалась чрезвычайно
сложной. Действительно, согласно гипотезе макроскопические
величины должны рассматриваться как средние значения дина-
динамических переменных системы, обладающей очень большим чис-
числом степеней свободы3). Не может быть и речи о точном реше-
решении уравнений Движения такой системы и приходится прибегать
к статистическим методам исследования. Так родилась и стала
развиваться новая дисциплина — статистическая механика. Но-
Новые результаты в исследовании газов (кинетическая теория га-
газов) и термодинамике (статистическая термодинамика) позво-
позволили проверить качественно, а в рамках возможной точности
расчетов и количественно, основные положения корпускулярной
теории вещества4).
Волновая теория излучения также покоилась на солидной
основе. В области оптики старое противоречие между волновой и
корпускулярной природой света было разрешено в первой поло-
половине XIX века, когда решающие успехи в решении проблемы
распространения волн (Френель) позволили исследовать все
следствия волновой гипотезы и объяснить на основании этой
гипотезы всю совокупность известных световых явлений,
8) Напомним, что число N молекул на один моль (число Авогадро) есть
N = 6,02 • 1023. Первое точное определение числа N Лошмидтом A865" г.)
было основано на кинетической теории газов.
4) Следует отметить, что во всех рассуждениях статистической механики
присутствует гипотеза статистического характера, а именно — гипотеза мо-
молекулярного хаоса, от которой нельзя избавиться, оставаясь в рамках стати-
статистического метода. Хотя эта гипотеза и кажется интуитивно правильной, ее
строгое доказательство (эргодическая теорема) оказалось особенно сложным
и до сих пор не может считаться завершенным.

18 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
включая и геометрическую оптику. В то же время быстро разви-
развивалось изучение электрических и магнитных явлений. Решающим
успехом в этой области мы обязаны Максвеллу, который в
1855 г. предложил основные уравнения электромагнитной тео-
теории; основываясь на этих уравнениях, он предсказал существо-
существование электромагнитных волн (это предсказание было наглядно
подтверждено в дальнейшем открытием волн Герца) и доказал,
что световая волна есть электромагнитная волна частного вида.
Так произошел синтез оптики и электричества.
К концу XIX века успехи программы классической физики
производили большое .впечатление. Казалось, что все известные
в природе физические явления находят свое объяснение в общей
теории вещества и излучения; в тех же случаях, когда такое
объяснение не было найдено, неудачу можно было приписать
математическим трудностям, не ставя под сомнение справедли-
справедливость самих основных уравнений. Особенно значительным успе-
успехом казалась достигнутая общность и универсальность теории.
Стремление объединить различные области науки в единой
теории всегда было наиболее плодотворным стремлением целых
поколений физиков. Однако физики описываемой эпохи припи-
приписывали теории гораздо большую степень единства, чем она на
самом деле обладала. Действительно, явление распространения
волн отнюдь не является присущим только электромагнетизму.
Исследования колебательных процессов были проведены вна-
вначале на примерах чисто материальных колебаний (колеблю-
(колеблющиеся струны, волны на поверхности жидкости и т. д.), а вол-
волновой характер акустических явлений стал очевиден задолго
до открытия световых волн. Распространение волн в веще-
веществе никак не противоречит корпускулярной теории: здесь дело
идет о макроскопическом явлении, которое нетрудно объяснить
с точки зрения микроскопического движения, если принять суще-
существование подходящих сил взаимодействия. По аналогии физики
классической эпохи искали соответствующую среду для распро-
распространения электромагнитных волн, некоторый материальный
флюид, получивший наименование эфира, структура и механи-
механические свойства которого оставались неясными. Таким образом,
основной субстанцией оказывалось некоторое вещество, подчи-
подчиняющееся законам механики Ньютона и наделенное такими
силами взаимодействия, что в определенных условиях в этом
веществе проявляются волновые процессы, частным случаем ко-
которых и являются электромагнитные волны.
Эта концепция (в дальнейшем полностью оставленная) в
описываемую нами эпоху привела к постановке целой серии экс-
экспериментов, которые мало что дали для выяснения природы
эфира, но один из них привел к революционному перевороту
всей классической физики. Мы имеем в виду знаменитый опыт

§ 3. ИЗУЧЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ 19
Майкельсона — Морли A887 г.), поставленный с целью обнару-
обнаружить движение Земли относительно эфира по изменению скоро-
скорости света в зависимости от направления этого движения. После
ряда более или менее искусственных попыток объяснить отрица-
отрицательный результат этого опыта парадокс был окончательно раз-
разрешен Эйнштейном в 1905 г. в рамках его теории относительно-
относительности, которая явилась результатом критического анализа понятий
пространства и времени и привела к отказу от понятия абсолют-
абсолютного времени и ряда положений механики Ньютона. Эта послед-
последняя оказалась только некоторым приближением в релятивист-
релятивистской механике, справедливым, когда скорости частиц малы по
сравнению со скоростью света с. Мы не будем рассматри-
рассматривать принцип относительности, но вернемся к нему в конце этой
книги, когда приступим к изучению релятивистской квантовой
механики. Отметим здесь только, что принцип относительности
не ставит под вопрос ни доктрину, ни программу классической
физики, в том виде как они были сформулированы выше.
§ 3. Успехи в изучении микроскопических явлений
и появление квантов в физике
На рубеже нового века усилия экспериментаторов были на-
направлены на разрешение двух тесно связанных проблем: выяс-
выяснения истинной микроскопической структуры вещества и законов
взаимодействия материальных корпускул между собой и с элек-
электромагнитным полем.
Первые данные, касающиеся строения вещества, были полу-
получены при исследовании лучей, возникающих при электрических
разрядах в разреженных газах, так называемых катодных и кана-
ловых лучей, которые в действительности оказались потоками
электрически заряженных корпускул, движущихся с большей
или меньшей скоростью. Так был открыт электрон (Дж. Дж. Том-
сон, 1897 г.) — частица катодного излучения; было изучено его
поведение в присутствии электромагнитного поля и построена
полная теория взаимодействия между электроном и электромаг-
электромагнитными волнами (теория электрона ЛоренцаM).
Постепенно само существование атомов и молекул, которое
долгое время рассматривалось только как удобная рабочая ги-
гипотеза, было осознано как объективная реальность. Наиболее
убедительным доказательством явилось изучение броуновского
движения — беспорядочного движения очень малых частиц, на-
находящихся во взвешенном состоянии в жидкости или газе; это
6) Г. А. Лоренц, Теория электронов и ее применения к явлениям света
и теплового излучения, ОНТИ, 1934; см. также L. Rosenfeld, Theorie des elec-
electrons, Paris, 1951,

20 ГЛ. 1. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
движение возникает благодаря многочисленным беспорядочным
столкновениям частиц с молекулами окружающей среды, оно
как бы воспроизводит наглядно молекулярное движение и мо-
может быть количественно связано (Эйнштейн, Смолуховский,
1905 г.) со статистическими законами движения самих молекул
среды.
Систематические измерения Перрена A908 г.) подтвердили
эту гипотезу и позволили произвести новые и согласующиеся
между собой измерения числа Авогадро6). После этого ре-
решающего успеха физики более не сомневались в существова-
существовании атомных и субатомных частиц. Были разработаны экспе-
экспериментальные методы разной степени сложности, позволяющие
наблюдать отдельные явления на микроскопическом уровне и
считать отдельные микроскопические частицы (измерение эле-
элементарного заряда электрона Милликеном в 1910 г., первые
наблюдения траекторий заряженных частиц в камере Вильсона
в 1912 г., первый счетчик Гейгера в 1913 г.). Эти методы «пря-
«прямого» наблюдения продолжали совершенствоваться в даль-
дальнейшем, они и в наше время составляют важную часть экс-
экспериментальной техники для изучения микроскопических
явлений.
В то же время новая глава физики была открыта при обна-
обнаружении радиоактивности A896 г.)—первого известного прояв-
проявления свойств атомных ядер. Важное само по себе, это открытие
дало в руки физиков мощное орудие исследования структуры
атома, а именно — а-излучение, состоящее из ядер атомов гелия,
движущихся с большой скоростью. Направляя а-излучение на
различные мишени, Резерфорд A911 г.) произвел систематиче-
систематическое исследование рассеяния а-частиц атомами и сумел таким
путем построить первую современную модель атома.
Атом Резерфорда состоит из центрального ядра крайне ма-
малых размеров A0~13—10~12 см), вокруг которого движется не-
некоторое число Z электронов. Почти вся масса атома сосредото-
сосредоточена в его ядре. Ядро обладает положительным электрическим
зарядом Ze, который в точности компенсирует полный заряд
совокупности электронов — Ze, так что в целом атом оказы-
оказывается электрически нейтральным. Атом Резерфорда похож, та-
таким образом, на солнечную систему в миниатюре, где гравита-
гравитационные силы заменены на силы электромагнитные. Под дей-
действием этих сил — кулоновского притяжения со стороны ядра
и кулоновского взаимного отталкивания — электроны движутся
вокруг ядра по устойчивым орбитам, размеры которых порядка
атомных размеров, т. е. 10~8 см.
•) См. /. Perrin, Les Atomes, Paris, 1948.

3. ИЗУЧЕНИЕ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
21
Размер
ядер
10ч0см
Размер
атомов
/0-5см
1см
10'15сн
у-
лучи
Параллельно с упрочением корпускулярных представлений
о строении вещества происходит углубление знаний об электро-
электромагнитном излучении. Спектр известных электромагнитных волн
расширяется в направлении более коротких длин волн с откры-
открытием рентгеновских лучей (Рентген, 1895 г.), волновая природа
которых устанавливается опытами по дифракции в кристаллах
(фон Лауэ, 1912 г.)- Для полноты упомянем еще о у-излучении
радиоактивных веществ, электромагнитная природа которого
была установлена только значительно
позже (на рис. 1 представлена полная
шкала электромагнитного излучения раз-
различных длин волн). Совершенствуются
методы спектрального анализа, позво-
позволившие накопить большое количество
информации относительно процессов
испускания, рассеяния и поглощения
света веществом, т. е. относительно взаи-
взаимодействия между веществом и излучени-
излучением на микроскопическом уровне. Уже упо-
упомянутая теория электронов Лоренца, т. е. и "молекул
теория заряженных частиц во взаимодей-
взаимодействии с электромагнитным полем, позво-
позволяет в принципе объяснить все эти явле-
явления. Но именно в сравнении предсказа-
предсказаний этой теории с результатами экспери-
эксперимента проявились первые противоречия
между классической теорией и опытом.
Первые трудности возникли при изу-
изучении спектрального распределения элек-
электромагнитного излучения, находящегося
в термодинамическом равновесий с ве-
веществом. Типичным примером является
случай абсолютно черного тела; по
определению — это тело, поглощающее
все падающее на него излучение. Самые
общие термодинамические рассуждения
показывают, что излучение, испускаемое
абсолютно черным телом, зависит только
от температуры этого тела. Спектраль-
Спектральное распределение интенсивности излучения абсолютно черного
тела имеет, таким образом, всегда один и тот же вид и может
быть выведено методами статистической термодинамики из
общих законов взаимодействия между веществом и излуче-
излучением. Формула, получаемая классической теорией, находится
в резком противоречии с опытом. В 1900 г. Планку удалось
устранить это противоречие, но ценой отказа от классического
С Рентгвнойсхие
ш лучи
t*
Ультрафиолет
Видимый cbent
Инфракрасные
лучи
РадиоЬолнш
Рис. 1. Шкала длин волн
электромагнитного излу-
излучения.

22 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
закона взаимодействия между веществом и излучением7). Он
выдвинул гипотезу о том, что обмен энергией между веществом
и излучением происходит не непрерывным образом, а путем
передачи дискретных и неделимых порций энергии, или кван-
квантов энергии. Планк показал, что квант энергии пропорционален
частоте v излучения
/
и получил согласующееся с опытом выражение для спектраль-
спектрального распределения, выбирая соответствующим образом по-
постоянную пропорциональности. Эта постоянная h с тех пор
называется постоянной Планка. Она имеет размерность дей-
действия (энергия X время или импульсX длина). В дальнейшем
мы будем использовать постоянную
Л = -^= 1,054 • 1СГ27 эрг ¦ сек.
При появлении гипотезы Планка она казалась неприем-
неприемлемой, подавляющее большинство физиков видело в ней только
удобный математический прием, который в дальнейшем удастся
объяснить на основе классической доктрины. Даже видимый
успех теории Планка в объяснении результатов опыта не мог
служить неопровержимым доказательством того, что обмен
энергией между веществом и излучением действительно проис-
происходит квантами — закон распределения Планка есть макроско-
макроскопический закон, полученный на основе гипотезы о квантах стати-
статистическими методами; он может служить лишь косвенным
подтверждением гипотезы. Можно было поставить под сомнение
квантовую гипотезу, подобно тому как многие годы из-за отсут-
отсутствия прямых экспериментов на микроскопическом уровне вы-
вызывала сомнения гипотеза об атомном строении вещества. Од-
Однако гипотеза Планка была в дальнейшем подтверждена и до-
дополнена целой серией опытов, позволивших анализировать
элементарные процессы и доказать скачкообразность и прерыв-
прерывность эволюции физических систем на микроскопическом
уровне, где классическая теория предсказывала непрерывную
эволюцию.
РазделН. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ, ИЛИ ФОТОНЫ
Первая серия экспериментальных фактов привела к ра-
радикальному пересмотру теории излучения Максвелла — Лоренца
и частичному возврату к старой корпускулярной теории;
имеются в виду фотоэлектрический эффект и эффект Комптона.
7) Подробное изложение теории излучения абсолютно черного тела см.
в книге М. Бориа, цитированной иа стр. 16.

§ 4. ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ 23
§ 4. Фотоэлектрический эффект
Первый шаг в этом направлении был сделан Эйнштейном
в его знаменитой статье 1905 г., посвященной фотоэлектриче-
фотоэлектрическому эффекту. Общее отношение к теории Планка в то время
можно было выразить словами, что «все происходит так, как
если бы обмен энергией между излучением и абсолютно черным
телом происходил отдельными квантами энергии, но задача со-
состоит в том, чтобы согласовать эту гипотезу, сделанную ad hoc,
с волновой теорией». Приняв прямо противоположную точку
зрения и пойдя далее Планка, который ограничился введением
дискретности только в самый механизм поглощения и испуска-
испускания излучения, Эйнштейн постулировал, что само световое излу-
излучение представляет собой поток корпускул, фотонов, обладаю-
обладающих энергией hv и скоростью с (с— скорость света в пустоте =
~- 3-Ю10 cMJceK). Далее он показал, каким образом эта удиви-
удивительная гипотеза позволяет понять целый ряд явлений, до того
времени остававшихся необъяснимыми; среди них фигурирует и
фотоэлектрический эффект.
Под этим названием известно явление, которое состоит в ис-
испускании электронов при облучении щелочного металла в пус-
пустоте ультрафиолетовым излучением. Интенсивность возникаю-
возникающего электрического тока пропорциональна интенсивности
излучения, падающего на металл. Однако скорость испускаемых
электронов не зависит от интенсивности излучения, она зависит
только от частоты света (Ленард, 1902 г.), независимо от того,
на каком расстоянии находится источник света; только число
электронов, испускаемых в секунду, пропорционально интенсив-
интенсивности, т. е. обратно пропорционально квадрату расстояния до ис-
источника.
Объяснение этих фактов Эйнштейном очень просто. Каким
бы ни было расстояние, пройденное светом после его испуска-
испускания, он представляет собой поток корпускул с энергией hv.
Когда один из этих фотонов встречает электрон металла, фотон
полностью поглощается и электрон получает энергию hv; поки-
покидая металл, электрон должен совершить работу, равную его
энергии связи в металле W, так что наблюдаемая кинетическая
анергия электронов оказывается равной
jtnv2 = hv-W. A)
Количественные предсказания теории полностью подтверж-
подтверждаются экспериментом. Постоянная W, согласно предсказаниям
теории, есть некоторая константа, характерная для облучаемого
металла. Что касается постоянной h, то она имеет то же числен-

24 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
ное значение, что и постоянная, фигурирующая в законе спект-
спектрального распределения излучения абсолютно черного тела.
Имея в виду успех корпускулярной теории, следует выяс-
выяснить, может ли классическая волновая теория также объяснить
фотоэлектрический эффект. A priori это не кажется невозмож-
невозможным. Действительно, световая волна переносит некоторое коли-
количество энергии, пропорциональное ее интенсивности, и может
передать всю или часть этой энергии при проникновении в ме-
металл; энергия, аккумулируемая в металле, может сконцентриро-
сконцентрироваться на некоторых электронах, которые таким образом полу-
получают возможность покинуть металл; можно представить себе,
что в результате действия некоторого механизма, который сле-
следует, конечно, уточнить, электрон не может покинуть металл,
пока не получит энергию, равную hv. Основное различие между
таким объяснением и корпускулярной теорией заключено в не-
непрерывном характере накопления энергии в металле; вслед-
вследствие этого фотоэлектрическая эмиссия происходит не мгно-
мгновенно, а спустя некоторый промежуток времени, необходимый
для накопления энергии hv. Это запаздывание эмиссии может
быть зарегистрировано экспериментально.
Опыты по этой схеме были поставлены Мейером и Герлахом
в 1914 г. на распыленных металлах. Зная интенсивность излу-
излучения и размеры частичек «пыли», они могли вычислить мини-
минимальное время облучения, необходимое для того, чтобы пыле-
пылевидные частицы металла поглотили энергию hv, которая нужна
для эмиссии электрона; в условиях их эксперимента это время
равнялось нескольким секундам. Однако во всех случаях они
наблюдали испускание электронов одновременно с началом
облучения.
Следует сделать заключение, что волновая теория света, во
всяком случае в своей классической форме, неспособна дать
объяснение фотоэлектрическому эффекту.
§ 5. Эффект Комптона
Эффект Комптона является другим подтверждением теории
фотонов в ущерб волновой теории. Этот эффект наблюдается
(Комптон, 1924 г.) при рассеянии рентгеновских лучей свобод-
свободными (или слабо связанными) электронами. Длина волны рас-
рассеянного излучения превосходит длину волны падающего излу-
излучения; зависимость разности длин волн от угла 8 между
направлением падающей волны и направлением наблюдения
рассеянного излучения выражается формулой Комптона
ДЯ = 4д-^8т2|. B)

§ 5. ЭФФЕКТ КОМПТОНА 25
где т есть масса покоя электрона8). Отметим, что АХ, не зави-
зависит от длины волны падающего излучения. Комптон и Дебай
показали, что явление Комптона является результатом упру-
упругого столкновения между фотоном падающего излучения и од-
одним из электронов облучаемой мишени.
Чтобы обсудить корпускулярное объяснение эффекта, сле-
следует уточнить некоторые свойства фотонов, непосредственно
вытекающие из гипотезы Эйнштейна. Поскольку фотоны дви-
движутся со скоростью света с, их масса покоя равна нулю9).
Импульс р и энергия е фотона связаны поэтому соотношением
е = рс. C)
Рассмотрим плоскую монохроматическую световую волну
ехр|2я/(-у- — v/J , где и есть единичный вектор в направле-
направлении распространения волны, X — длина волны, v — частота;
Xv = с. В согласии с гипотезой Эйнштейна эта волна представ-
представляет собой пучок фотонов с энергией hv. Импульс этих фотонов,
естественно, имеет направление «, а его абсолютное значение,
согласно C), равно
ftv A
Это соотношение есть частный случай соотношения де Брой-
ля, с которым мы встретимся в гл. II. Часто бывает удобно вве-
ввести круговую частоту со = 2jtv и волновой вектор k = BяД)и
плоской волны. Тогда полученные соотношения запишутся
в виде:
е = йсо, р — hk. D)
Корпускулярная теория эффекта Комптона основана на за-
законах сохранения энергии и импульса при упругом столкнове-
столкновении фотона и электрона. Пусть р и р' — начальный и конечный
импульсы фотона соответственно, Р' — импульс отдачи элек-
электрона после столкновения (рис. 2). Уравнения сохранения за-
записываются в виде:
тс2 + рс = л/р'*с2 + т2с* + р'с. (I)
8) Длина hjmc, промежуточная между средним радиусом атомов и ра-
радиусом ядер атомов (h/mc = 3,86-10~10 см), играет определенную роль в
квантовой теории электрона. Она называется комтоновской длиной волны
электрона.
9) Согласно принципу относительности масса покоя от, энергия е н им-
импульс р частицы связаны соотношением е2 — ргс2 = от2с*; скорость частицы
есть » = тг—=¦——. Если о «и с, то в = рс и от = 0.

26
ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Эти уравнения позволяют полностью описать столкновение,
если известны начальные условия и направление излучения рас-
рассеянного фотона. Учитывая соотношения D), нетрудно вывести
формулу Комптона, которая, таким образом, оказывается тео-
теоретически обоснованной (см. задачу 1). Начиная с первых ра-
работ Комптона, все остальные предсказания теории были экспе-
экспериментально подтверждены. Наблюдались и электроны отдачи,
причем закон изменения их энергии в зависимости от угла 0
оказался именно таким, каким его дают уравнения (I). Экспе-
Эксперименты на совпадении показа-
показали, что испускание рассеянного
фотона и электрона отдачи про-
происходят одновременно, а связь
между углами 0 и 0 соответ-
соответствует предсказаниям теории.
Полезно сопоставить эти ре-
результаты с предсказаниями клас-
классической теории. Теория Максвел-
ла —Лоренца предсказывает по-
глощение части падающей элек-
электромагнитной энергии каждым
электроном в поле излучения и ее последующее испускание
в виде излучения той же частоты. В отличие от поглощаемой
радиации полный импульс испускаемого излучения равен нулю.
Процесс рассеяния света сопровождается, таким образом, не-
непрерывной передачей импульса (давление излучения) от падаю-
падающей радиации к облучаемому электрону, который поэтому
испытывает ускорение в направлении падающей волны. Закон
поглощения и эмиссии радиации с одной частотой справедлив
в системе отсчета, где электрон покоится. Как только электрон
приходит в движение, частоты, наблюдаемые в лабораторной си-
системе, изменяются вследствие эффекта Доплера. Изменение
длины волны АХ зависит от угла, под которым мы наблюдаем
рассеянное излучение. Простое вычисление дает
Рис. 2. Комптоновское рассеяние
фотона на покоящемся электроне.
где X— длина волны падающего излучения, Ркл — импульс элек-
электрона, Екл = ^/т2с* -{- Р2кпс2 —его энергия. Таким образом, АХ
растет с ростом Ркл и регулярно увеличивается в процессе об-
облучения.
Мы видим, что классические предсказания не согласуются
с экспериментальными фактами. Главный недостаток классиче-
классической теории эффекта Комптона состоит в предположении о не-
непрерывной передаче импульса и энергии излучения всем элек-
электронам, подверженным радиации, в то время как наблюдаемые

5 5. ЭФФЕКТ КОМПТОНА 27
факты указывают, что энергия передается дискретным образом
только некоторым из них. Эта трудность той же природы, что
и в случае фотоэлектрического эффекта. Оба явления, вообще
говоря, довольно схожи: комптоновское рассеяние может рас-
рассматриваться как поглощение света, сопровождаемое его по-
повторной эмиссией, в то время как фотоэлектрический эффект
есть чистое поглощение.
Введение квантов света необходимо, если надлежит учесть
дискретный характер процессов передачи импульса и энергии
электронам. Тем не менее, сходство формул E) и B) для эф-
эффекта Комптона указывает, что классическая теория все же
имеет некоторое отношение к реальности. Этот вопрос заслужи-
заслуживает более глубокого изучения.
Формула Комптона была получена выше в предположении,
что электрон первоначально покоился. Но теория остается, ко-
конечно, справедливой, если первоначальная скорость электрона
отлична от нуля. Нетрудно обобщить уравнения (I) и формулу
Комптона на этот случай. Если электрон в начальный мо-
момент движется параллельно падающей волне с импульсом Р
и энергией Е = ^т2с* + Р2с2, то нетрудно получить (см. за-
задачу 1)
ЛА = 2А Е_рс зш2^. F>
Легко заметить сходство этой формулы и классического вы-
выражения E) для смещения ДА.. Вместо импульса Ркл в числи-
числителе формула F) содержит величину Р + р (она имеет порядок
величины импульса после столкновения фотона с электроном),
а в знаменателе вместо РКл стоит Р, т. е. импульс электрона
до столкновения. Однако механизм процесса, отражаемый фор-
формулой F), существенно отличается от классического. Под дей-
действием облучения каждый электрон получает первый толчок,
сопровождаемый передачей импульса и приводящий его в дви-
движение, затем второй толчок и т. д. Передаваемые импульсы
изменяются от столкновения к столкновению, но величины пе-
передаваемого импульса колеблются около некоторого среднего
значения, приближенно равного импульсу р падающих фотонов.
Именно этот процесс скачкообразного изменения импульса на
величину порядка р и результирующего изменения ДА мы мо-
можем сравнить с классическим механизмом непрерывного изме-
изменения величин (рис. 3).
Подобное сравнение имеет смысл, конечно, только в пре-
предельном случае, когда величина квантов энергии может счи-
считаться бесконечно малой, а число их — бесконечно большим,
и мы рассматриваем результирующий средний эффект от очень
большого числа последовательных столкновений. Поскольку

28
ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
электрон при каждом столкновении получает импульс, по
порядку величины равный р, и при большом числе столкновений
флуктуационные отклонения от среднего значения компенси-
компенсируются, то результирующий эффект будет таким, как если бы
электрон при каждом столкновении получал в точности этот
средний импульс р. Тогда импульс электрона Р будет скачко-
скачкообразно увеличиваться в на-
направлении падающего излуче-
излучения. Скачки импульса оказы-
оказываются порядка величины
кванта р = hv/c, и если вели-
величина р достаточно мала, то из-
изменение импульса будет прак-
практически непрерывным. Таким
образом, в указанном прибли-
приближении можно рассматривать
некоторый средний импульс
(Р), непрерывно изменяющий-
изменяющийся с течением времени. Экспе-
Экспериментальное исследование, на
деталях которого мы не будем
здесь останавливаться, пока-
показывает, что изменение этого
среднего импульса во времени
оказывается именно таким,как
это предсказывает классиче-
Рис. 3. Изменение во времени им-
импульса Р электрона под воздействием
монохроматического излучения в ре-
результате последовательных столкно-
столкновений Комптона (это крайне схема-
схематическая картина явления, границы
которой будут обсуждаться в гл. IV
в связи с соотношениями неопреде-
неопределенности). Пунктиром указана функ-
функция Ркл (t), предсказываемая класси-
классической теорией.
екая теория; иными словами,
векторы (Р) и Ркл оказывают-
оказываются равными друг другу в любой
момент времени. Кроме того, поскольку классическая величина
Ркл, определяемая с точностью до р, в каждый момент времени
равна среднему значению Р, то смещение Комптона, предсказы-
предсказываемое классической теорией (уравнение E)), в каждый момент
времени равно усредненному значению действительно наблю-
наблюдаемого смещения Комптона (уравнение F)).
§ 6. Световые кванты и явления интерференции
Вся история развития оптики указывает, что классическая
волновая теория правильно описывает опытные факты в макро-
макроскопических масштабах. В то же время, как мы видели, на
микроскопическом уровне только корпускулярная теория можег
объяснить типичные явления поглощения и рассеяния света,
которыми соответственно являются фотоэлектрический эффекг
и эффект Комптона. Следует поэтому выяснить, каким образом
гипотеза фотонов может быть согласована с такими явлениями

§ 6. СВЕТОВЫЕ КВАНТЫ И ЯВЛЕНИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
29
как интерференция и дифракция света, которые имеют суще-
существенно волновой характер.
Рассмотрим для примера рассеяние пучка монохроматиче-
монохроматического света на параллельной дифракционной решетке (рис. 4).
Подходящим образом расположенный экран позволяет выявить
интерференционную картину. Количественное исследование яв-
явления может быть проведено разными способами — например,
'Т
Рис. 4. Рассеяние света на решетке: S — источник света, R — дифракцион-
дифракционная решетка, Р — фотопластинка. В случае б) правая половина решетки R
устранена
можно поместить на место экрана фотографическую пластинку
и проявить ее после некоторого заданного времени облучения.
В этом случае интерференционная картина на негативе про-
проявится как потемнение отдельных участков пластинки, причем
это потемнение пропорционально количеству падающего на эти
участки света. В действительности поглощение света пластин-
пластинкой происходит отдельными квантами: каждый фотон, проникая
в пластинку, возбуждает светочувствительный микрокристалл,
который при проявлении дает черную точку10). Невооруженным
10) Описание явления здесь предельно упрощено. В действительности па-
падение одного фотона может возбудить микрокристалл только, если энергия
фотона достаточно велика (далекий ультрафиолет или рентгеновские лучи).
Но даже в этом случае нужны специальные условия опыта, чтобы быть уве-
уверенным, что каждый фотон, падающий на пластинку, возбуждает один и
только один микрокрнсталл (нужны микрокристаллы достаточной величины,
достаточно толстый слой эмульсии и т. д.). Однако все эти тонкости экспери-
эксперимента можно не учитывать, так как они ие влияют на существо явления,
которое мы рассматриваем.

30 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
глазом нельзя разрешить отдельные точки, и мы наблю-
наблюдаем более или менее темные области в зависимости от числа
столкновений фотонов с пластинкой на единицу площади. Од-
Однако существование отдельных столкновений может быть выяв-
выявлено, если рассматривать пластинку с помощью достаточно
мощного микроскопа. В обычных условиях опыта число фото-
фотонов, падающих на пластинку, очень велико, так что квазине-
квазинепрерывное распределение сенсибилизированных микрокристал-
микрокристаллов дает обычную картину интерференции, предсказываемую
волновой теорией.
Основываясь только на экспериментальных результатах,
можно a priori отбросить все попытки объяснить явление интер-
интерференции в рамках чисто корпускулярной теории. Заметим
прежде всего, что фотоны движутся в пространстве независимо
друг от друга, их взаимодействие пренебрежимо мало. Действи-
Действительно, интерференционная картина не меняется, если умень-
уменьшить интенсивность источника света и, соответственно, увели-
увеличить продолжительность облучения так, чтобы количество
света, падающее на решетку, оставалось постоянным. Иными
словами, если мы посылаем некоторое (очень большое) число Лг
фотонов на решетку, то распределение сенсибилизированных
точек на пластинке не зависит от группировки падающих фо-
фотонов; это справедливо и в предельном случае очень слабых ин-
тенсивностей, когда фотоны падают на решетку «по одному».
То же самое распределение мы получим, если пошлем на ре-
решетку один-единственный фотон, а затем повторим этот опыт
N раз.
Рассмотрим теперь проблему рассеяния фотона на решетке.
Поскольку в условиях нашего опыта начальное состояние си-
системы (фотон + решетка) точно не известно, не может быть
и речи о том, чтобы определить траекторию фотона и, следова-
следовательно, точку удара фотона на пластинке; можно найти только
статистическое распределение возможных траекторий и, соот-
соответственно, статистическое распределение точек удара. Экспе-
Экспериментально мы действительно наблюдаем статистическое рас-
распределение точек удара: оно соответствует закону распределе-
распределения интенсивности света в интерференционной картине. Хорошо
известно, что разрешающая сила решетки зависит от числа ли-
линий, ее образующих, причем чем больше линий, тем более тон-
тонкими оказываются световые полоски интерференционной кар-
картины; если убрать половину решетки, интерференционная
картина существенно изменится. Именно в этом пункте корпус-
корпускулярная теория оказывается в резком противоречии с экс-
экспериментом. Действительно, какими бы ни были уравнения
движения каждого фотона при взаимодействии с частицами, со-
составляющими решетку, распределение траекторий фотонов, рас-

§ 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 31
сеянных левой половиной решетки, не может зависеть от при-
присутствия (рис. 4, а) или отсутствия (рис. 4, б) правой половины
решетки, если только не приписывать фотону размеры порядка
размеров решетки. Если, кроме того, источник света и чувстви-
чувствительная пластинка достаточно удалены, распределения точек
ударов фотонов, рассеянных обеими половинами, должны быть
одинаковыми. При устранении, скажем, правой половины ре-
решетки измениться должна только интенсивность света, падаю-
падающего на каждый участок пластинки, но не интерференционная
картина. Опыт противоречит этим предсказаниям и заставляет
нас признать, что в процессе рассеяния света принимает участие
вся решетка целиком.
Гипотеза световых корпускул сталкивается с аналогичными
трудностями во всех случаях интерференции или дифракции
(задача 2). С помощью некоторого детектирующего прибора
(экрана или фотографической пластинки) можно эффективно
фиксировать прибытие фотонов одного за другим, но нельзя, не
впадая в противоречие, приписать каждому фотону определен-
определенную траекторию. Таким образом, классическая доктрина, со-
согласно которой всякая корпускула с течением времени непре-
непрерывно перемещается в пространстве, оказывается несостоятель-
несостоятельной. На пути к детектирующему прибору свет распространяется
как волна, корпускулярный аспект фотона проявляется только
в момент детектирования.
§ 7. Заключение
Можно сделать ряд предварительных заключений, вытекаю-
вытекающих из экспериментов, связанных со взаимодействием между
веществом и светом на микроскопическом уровне.
Хотя наблюдаемые нарушения непрерывности могут быть
объяснены только с помощью представления о световых кор-
корпускулах, не может быть и речи об отказе от понятия световой
волны. Свет проявляет себя в двух аспектах: волновом и кор-
корпускулярном, в зависимости от того, какое явление мы изучаем.
Соотношения D) позволяют переходить от одного способа опи»
сания к другому. Тесная связь между двумя способами описа-
описания, как это показывает изучение опыта по рассеянию на ре-
решетке, имеет статистическую природу: вероятность локализации
фотона в некоторой точке пропорциональна интенсивности све-
световой волны в этой точке, вычисленной на основе методов вол-
волновой оптики. Существование дуализма волна — корпускула не-
несовместимо с классической доктриной. Нельзя рассматривать
свет ни как поток классических корпускул, ни как суперпози-
суперпозицию классических волн, не входя в противоречие с опытными
данными.

32 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Ввиду очевидной необходимости ревизии классических пред-
представлений, особенно важно подчеркнуть гот факт, что некоторые
результаты классической волновой теории остаются справедли-
справедливыми. В первую очередь следует отметить, что законы сохране-
сохранения энергии и импульса полностью сохраняют свою силу. Кроме
того, как мы видели на примере эффекта Комптона, классиче-
классическая теория правильно предсказывает усредненное поведение
физических систем в «макроскопическом пределе», когда кван-
квантовые скачки можно считать пренебрежимо малыми.
Раздел III. КВАНТОВАНИЕ В АТОМНЫХ СИСТЕМАХ
§ 8. Атомная спектроскопия и трудности классической
модели Резерфорда
В предшествующем разделе мы познакомились с теми глу-
глубокими потрясениями классической теории света, которые были
вызваны открытием нарушений непрерывности в механизме
взаимодействия между веществом и излучением. Однако дело
не ограничилось теорией света, не меньшие потрясения претер-
претерпела классическая корпускулярная теория вещества. Это стано-
становится очевидным, если пытаться согласовать между собой дан-
данные атомной спектроскопии и результаты, касающиеся струк-
структуры атома, полученные Резерфордом и).
Одним из наиболее выдающихся фактов, обнаруженных
в результате усовершенствования техники исследования спект-
спектров испускания и поглощения света веществом, явилось суще-
существование узких спектральных линий. Частоты испускаемого
и поглощаемого излучения зависят от сорта изучаемых атомов;
для атомов одного сорта спектры поглощения и излучения оди-
одинаковы. Каждый атом может быть идентифицирован по спектру;
спектр дает важнейшую информацию относительно строения
атома и механизма его взаимодействия с излучением.
Особого внимания заслуживает атом водорода, так как он
является простейшим примером атомной системы (один про-
протон + один электрон); все наблюдаемые частоты для атома во-
водорода подчиняются эмпирической формуле Бальмера
ч) Исторически первый аргумент в пользу необходимости «кваитоваиия>
атомных систем был выдвинут Эйнштейном в его теории удельной тепло-
теплоемкости твердых тел A907 г.). Эта теория содержит довольно грубые при-
приближения, неизбежные при рассмотрении столь сложных материальных си-
систем как твердое тело. Кроме того, теория Эйнштейна исполмует результаты
статистической термодинамики. По этим причинам мы не будем подробно рас-
рассматривать эту теорию и отсылаем читателя к другим книгам, например,
книге М. Борна, цитированной иа стр. 16.

§ 9. КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ АТОМОВ 33
причем п и т — положительные целые числа (т>п), a R
есть некоторая характеристическая постоянная (постоянная
Ридберга).
Для более сложных атомов не существует столь простых
формул, однако каждый раз мы обнаруживаем некоторую кор-
корреляцию между различными наблюдаемыми частотами: если
две частоты входят в состав одного спектра, то их сумма или их
разность также довольно часто входят в состав того же спектра.
Точнее говоря, каждому атому можно сопоставить некоторую
таблицу чисел, или спектральных термов, причем все наблюдае-
наблюдаемые частоты излучения выражаются в виде разностей между
какими-либо двумя термами. Это правило, частным случаем
которого и является формула Бальмера, называется комбина-
комбинационным правилом Ридберга — Ритца A905 г.). Отметим, что
не все разности термов обязательно проявляются как частоты,
наблюдаемые в спектре, однако можно формулировать доста-
достаточно простые правила отбора, позволяющие отличать разности
термов, фигурирующие в спектре, от тех, которые не присут-
присутствуют в спектре атома.
Эти экспериментальные факты находятся в явном противо-
противоречии с классической теорией атома Резерфорда; более того,
сама модель атома Резерфорда сталкивается с серьезными про-
противоречиями, если помимо кулоновского взаимодействия учесть
более строгим образом взаимодействие атомных электронов
с электромагнитным полем согласно электронной теории Ло-
Лоренца. Двигаясь по своим орбитам, электроны дол'жны излу-
излучать и, следовательно, терять свою кинетическую энергию, что
неизбежно должно привести к их падению на ядро атома.
В каждый момент времени наблюдаемые частоты излучения
должны соответствовать частотам движения по орбите или бо-
более высоким их гармоникам. Но поскольку частота движения по
орбите изменяется при торможении непрерывно, должно иметь
место излучение с непрерывным спектром частот. Классическая
теория атома Резерфорда не объясняет, следовательно, ни
устойчивости атомов, ни существования линейчатых спектров
излучения. Мы имеем дело с новым проявлением дискретности
или прерывности во взаимодействии между веществом и излу-
излучением, там где классическая теория предсказывает непрерыв-
непрерывное изменение.
§ 9. Квантование энергетических уровней атомов
В 1913 г. Бор предложил общую схему объяснения атомных
спектров, дополнив гипотезу существования квантов света новым
постулатом, несовместимым с классическими понятиями, а имен-
именно постулатом квантования энергетических уровней атомов.
2 А. Мессиа

34 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Согласно Бору атом не ведет себя как классическая система,
способная непрерывно излучать энергию. Он может пребы-
пребывать только в некотором числе стационарных состояний, или
квантовых состояний, характеризуемых вполне определенной
энергией. Говорят, что эйергия атома квантуется. Энергия атома
может изменяться только скачкообразно, причем каждый ска-
скачок соответствует переходу из одного квантового состояния
в другое.
Этот постулат позволяет уточнить механизм поглощения или
испускания кванта света. Атом с энергией Et может претерпеть
переход в состояние с большей энергией ?/(>?,), поглощая
фотон hv, при условии сохранения полной энергии, т. е.
Аналогичным образом атом может совершить переход на более
низкий уровень энергии Ек {<.Ei), испуская фотон hv, при вы-
выполнении соотношения
hv — Ei — Ek.
Атом, находящийся на самом низком уровне энергии (в основ-
основном состоянии), не может излучать: он устойчив.
Таким образом объясняется существование характерного
для атома линейчатого спектра излучения, удовлетворяющего
правилу Ридберга — Ритца: спектральные термы равны, с точ-
точностью до .множителя h, энергиям квантовых состояний атома.
В частном случае атома водорода формула Бальмера полу-
получается, если предположить, что уровни энергии атома даются
формулой
En = -h%: («=1,2,3, ..., оо). G)
Другим подтверждением квантования энергетических уров-
уровней атома является опыт Франка и Герца по неупругому рас-
рассеянию электронов на атомах A914 г.). В этом опыте атомы
бомбардируются монокинетическими электронами, причем изме-
измеряется кинетическая энергия рассеянных электронов. Пусть Ео,
Е\, Е2, ... есть последовательность квантованных энергетических
уровней атома, а Г — кинетическая энергия падающих электро-
электронов. В условиях эксперимента атомы мишени практически все
находятся в основных состояниях. Пока Т не превосходит раз-
разность Е\ — Ео между основным и первым возбужденным уров-
уровнями атома, атом не может поглотить энергию электрона, и все
столкновения являются упругими. Но если Т > Е\ — Ео, оказы-
оказываются возможными и неупругие столкновения, при которых
электрон теряет энергию, равную Е\ — Ео, а атом переходит
в первое возбужденное состояние. Именно это явление и наблю-

§ 10. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ КВАНТОВАНИЕ 35
дается в эксперименте. При Т > Е2 — Ео можно наблюдать
столкновения, сопровождающиеся переходами во второе воз-
возбужденное состояние, и т. д.
Следовательно, квантование энергетических уровней атомов
надо рассматривать как экспериментальный факт. Это свойство
не является присущим только атомам. Многочисленные опыты,
в частности спектроскопические, показали, что квантование
энергетических уровней имеет место в молекулах и в более
сложных системах частиц. Мы имеем дело с самым общим свой-
свойством вещества, которое никак не может быть объяснено клас-
классической корпускулярной теорией.
§ 10. Другие примеры квантования:
пространственное квантование
Другим экспериментально наблюдаемым типом квантования
является «пространственное» квантование атомных систем. Его
наблюдают всякий раз, когда атом оказывается помещенным во
внешнее поле, имеющее некоторое выделенное направление;
в этом случае ориентация атомной системы не произвольна,
а ограничивается некоторыми дискретными значениями.
Наиболее прямым доказательством существования этого
типа квантования является опыт Штерна и Герлаха A922 г.),
е котором исследуется отклонение пучка парамагнитных атомов
(или молекул) в неоднородном магнитном поле. Парамагнит-
Парамагнитные атомы по предположению обладают постоянным .магнитным
моментом ц и могут рассматриваться как маленькие элемен-
элементарные волчки с моментом количества движения /, пропорцио-
пропорциональным ц
Ориентация ц и / определяет ориентацию самого атома.
В магнитном поле 3€ момент количества движения совершает
прецессионное движение вокруг направления X (прецессия
Лармора, см. задачу 3). Если поле X постоянно, то магнитная
энергия — \xffi остается постоянной и не зависит от положения
центра масс атома, так что последний совершает однородное
прямолинейное движение. Если же поле Ж не постоянно в про-
пространстве, на центр масс атома действует сила P^gradn^f
так что атом испытывает некоторое отклонение в своем движе-
движении. Это наблюдается в опыте Штерна и Герлаха, схема кото-
которого приведена на рис. 5. Ввиду наличия прецессионного дви-
движения вокруг направления поля К составляющая \x.z вдоль поля
остается постоянной, а другие компоненты вектора ц колеблются
около нуля. Все происходит так, как если бы атом испытывал
действие усредненной силы nzgrad<3^z. В обычных условиях

36
ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
опыта эта средняя сила направлена вдоль оси Oz и равна
\кг—~. Пусть Id есть расстояние, проходимое атомом в маг-
магнитном поле, Т — кинетическая энергия атомов в первоначаль-
первоначальном пучке; простой расчет показывает, что скорость каждого
атома отклоняется от своего первоначального направления Ох
на угол ~\кг(дЖг1дг) (d/T). Таким образом, отклонение пропор-
пропорционально составляющей вектора ц вдоль поля. Если бы атомы
Рис. 5. Опыт Штерна и Герлаха. а) Общая схема эксперимента: атомный
пучок проходит между полюсами магнита, где действует неоднородное маг-
магнитное поле АА' (направленное на рисунке вертикально); удары атомов
наблюдаются на экране Е. б) Поперечный разрез полюсов магнита; пунк-
пунктиром указаны силовые линии магнитного поля.
были ориентированы произвольно, то \iz принимала бы все зна-
значения от —ц до -\-ц, а угол отклонения — все значения между
крайними значениями. В этом случае на экране мы получили
бы непрерывное пятно, вытянутое в направлении Oz. На самом
же деле на экране наблюдается последовательность отдельных
эквидистантных пятен; при изменении поля (и, следовательно
(d3@z/dz)) изменяются только расстояния между пятнами, а об-
общая картина остается неизменной, в частности число пятен К
постоянно. Каждое пятно соответствует определенному значе-
значению \хг. Следовательно, мы делаем вывод, что значения \лг
квантуются: всего возможно Я дискретных значений \х.г- Оче-
Очевидно, что и составляющая 1г момента количества движения об-
обладает тем же свойством.
Можно выразить сомнение в справедливости подобной ин-
интерпретации опыта Штерна и Герлаха, ибо она основана на
определенной гипотезе относительно природы атомного пара-
парамагнетизма— существования постоянного магнитного момента,
пропорционального моменту количества движения. Мы не будем
останавливаться здесь на опытных фактах и аргументах, оправ-
оправдывающих эту гипотезу (гиромагнитный эффект, теория Ланже-

$ 11. КЛАССИЧЕСКАЯ КОРПУСКУЛЯРНАЯ ТЕОРИЯ 37
вена парамагнитной восприимчивости и т. д.), отметим только,
что последующее развитие квантовой механики полностью под-
подтвердило ее. Но даже если подвергнуть сомнению объяснении
опыта, данное выше, тем не менее существование X дискретных
пятен на детектирующем экране нельзя понять, если не допу-
допустить, что некоторые величины, характеризующие внутренние
движения в атоме, квантуются. Действительно, если движение
центра масс следует законам классической механики, то траек-
траектория атома полностью определяется его динамическим состоя-
состоянием на входе в область, где действует магнитное поле. Появле-
Появление ряда дискретных пятен на экране отражает тот факт, что
атомы не находятся в одинаковых начальных состояниях, а ста-
статистически распределены по К различным дискретным состоя-
состояниям. Иначе говоря, некоторые динамические переменные атома
квантуются. Но поскольку атомы все практически находятся
в основном состоянии (в противном случае они излучали бы),
дело не может идти о квантовании энергии. Далее, наблюдае-
наблюдаемый на экране эффект связан с направлением относительно
магнитного поля, поэтому динамическая переменная,
подверженная квантованию, должна зависеть от ориентации
атома.
Помимо опыта Штерна и Герлаха, известно много других
проявлений пространственного квантования. Отметим, в частно-
частности, так называемый эффект Зеемана A896 г.), о котором нам
еще придется говорить. Все эти явления имеют одно общее про-
происхождение— квантование момента количества движения. Это
будет показано в дальнейшем при изложении результатов кван-
квантовой механики.
Раздел IV. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ И СТАРАЯ
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
§11. Недостаточность классической корпускулярной теории
Квантование некоторых физических величин — и это следует
особенно подчеркнуть — есть экспериментальный факт, совер-
совершенно несовместимый с классической корпускулярной теорией
вещества. Так, энергия системы классических корпускул есть
по самой сути своей величина, изменяющаяся непрерывно. Как
бы мы ни меняли законы взаимодействия, как бы ни выбирали
динамические переменные, это основное положение нельзя из-
изменить: тот факт, что энергия системы частиц может принимать
только ряд определенных дискретных значений, есть резуль-
результат, выходящий за рамки классической механики. То же за-
замечание можно сделать относительно любой квантованной ве-
величины.

38 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
В соответствии с этим и изменение во времени квантованной
величины не может быть описано в строго классических поня-
понятиях. Рассмотрим пример атома, первоначально находящегося
в первом возбужденном состоянии Е\, а затем испускающего
фотон и переходящего в основное состояние. Если, пользуясь
языком классической теории, мы будем пытаться описать изме-
изменение энергии такого атома во времени, то придется сделать
заключение, что в некоторый момент энергия скачкообразно
изменяется от Е\ до Ео, поскольку всякое непрерывное измене-
изменение энергии запрещено. Однако нельзя предсказать, в какой
именно момент времени произойдет этот скачкообразный пере-
переход. Действительно, если динамическое состояние атома остается
строго неизменным в течение всего времени, предшествующего
скачку, то нет никаких оснований утверждать, что скачок про-
произойдет именно в данный, а не в любой последующий момент
времени. Можно говорить только о вероятности (в единицу вре-
времени) того, что скачок вообще произойдет. Классическая фи-
физика, следовательно, неспособна адекватно описать такую ситуа-
ситуацию; само представление о скачке, происходящем в точно опре-
определенный момент времени, оказывается некорректным. Мы не
можем рассматривать энергию системы как вполне определен-
определенную функцию времени. Единственное, что можно определить—•
это вероятность того, что атом, первоначально находившийся
в возбужденном состоянии, в некоторый заданный последующий
момент времени окажется в основном состоянии. Как мы уви-
увидим далее, число атомов, остающихся в возбужденном состоя-
состоянии— подобно числу нераспавшихся радиоактивных ядер—¦
уменьшается по экспоненциальному закону, характеристическая
постоянная которого равна вероятности перехода в единицу
времени или, что по существу одно и то же, обратной величине
среднего времени жизни возбужденного состояния.
Так возникла проблема включения вновь открытых явлений
квантования физических величин (ценой отказа от некоторых
классических концепций) в некую согласованную теорию строе-
строения вещества, которая позволила бы вычислять точные значения
квантованных величин, а также количественно описывать раз-
различные возможные переходы, например, вычислить среднее
время жизни возбужденного состояния атома, которое было
упомянуто выше. Эта программа была полностью осуществлена
только после создания квантовой механики в ее современной
форме. Однако еще ранее Бор и его школа (Крамере, Зоммер-
фельд) создали первый набросок квантовой теории, способной,
в частности, правильно предсказывать спектральные термы во-
дородоподобных атомов. Несмотря на многие принципиальные
трудности и ограниченность этой старой квантовой теории, по^
лезио знать ее основные положения, чтобы лучше понять после-

§ 12. ПРИНЦИП СООТВЕТСТВИЯ 39
дующее развитие теории. Кроме того, в старой квантовой теории
был впервые использован важный эвристический принцип, иг-
игравший большую роль в развитии квантовой механики, а имен-
именно— принцип соответствия. Ему будет уделено основное вни-
внимание в последующем изложении результатов старой кван-
квантовой теории. Она была дополнена полуклассической теорией
взаимодействия между светом и веществом, также основанной
на принципе соответствия, но в данной книге мы не будем ка-
касаться этого вопроса 12).
§ 12. Принцип соответствия
Принцип соответствия был сформулирован Бором только
в 1923 г.13), но он явился руководящей идеей во всех его пред-
предшествующих работах. Этот принцип позволяет выяснить, в ка-
какой мере понятия и результаты классической механики могут
помочь в'построении и интерпретации правильной теории.
Мы уже обсуждали ранее, при введении световых квантов,
область применимости классической теории излучения. То, что
тогда было сказано, справедливо по отношению ко всей класси-
классической теории в целом. Она корректно объясняет очень большой
диапазон физических явлений как в макроскопической области,
так и в некоторых случаях в области микроскопической; отме-
отметим среди последних движение электронов в постоянных элект-
электрических и магнитных полях, тепловое движение атомов и мо-
молекул в газе и т. д. Главная трудность, с которой сталкивается
классическая теория на микроскопическом уровне, состоит в ха-
характерных явлениях дискретности и разрывности значений фи-
физических величин.
Можно поэтому считать установленным, что классическая
теория «.макроскопически корректна», т. е. она правильно опи-
описывает физические явления в том предельном случае, когда
квантовые скачки могут считаться пренебрежимо малыми; во
всех этих случаях предсказания истинной теории должны сов-
совпадать с результатами классической теории. Это очень важное
ограничивающее условие, которому должна подчиняться кван-
квантовая теория. Можно более кратко сформулировать данное тре-
требование, сказав, что асимптотически в пределе больших кванто-
квантовых чисел результаты квантовой и классической теории должны
совпадать.
|2) См. L. de Broglie, Le principe de correspondence et jes interactions
entre matiere et rayonnement, Actualites Scientifiques et Industrielles, Hermann
A938).
13) N. Bohr, Zeitsch. f. Phys. 13, 117 A923).

40 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Для выполнения этого условия мы исходим из существова-
существования формальной аналогии между квантовой и классической тео-
теориями; это «соответствие» прослеживается вплоть до самых тон-
тонких деталей и может служить руководящей идеей при истолко-
истолковании результатов новой теории.
§ 13. Применение принципа соответствия
при вычислении постоянной Ридберга
Проверим, что выражение G) для уровней энергии атома
водорода согласуется с принципом соответствия, и покажем,
что применение этого принципа позволяет однозначно получить
численное значение постоянной R, входящей в эту формулу.
Согласно классической теории Резерфорда атом водорода
состоит из одного электрона и одного протона, взаимодействую-
взаимодействующих по закону Кулона (потенциал —e2lr). В соответствии с за-
законами Кеплера, которые мы предполагаем известными чита-
читателю, электрон движется по эллиптической орбите, в одном из
фокусов которой находится протон (мы предполагаем его беско-
бесконечно тяжелым). Каждой орбите соответствует некоторое зна-
значение энергии Е (<0) и некоторая частота укл движения элек-
электрона по орбите. Эти величины зависят только от размеров
большой оси эллипса и связаны между собой соотношением
где m — масса электрона.
При своем движении электрон испускает электромагнитное
излучение в форме суперпозиции монохроматических волн с час-
частотами укл и кратными гармониками, причем число высших
гармоник тем больше, чем больше эксцентриситет эллиптиче-
эллиптической орбиты. Это излучение происходит непрерывно и сопро-
сопровождается непрерывным уменьшением энергии Е.
Эта картина должна быть сопоставлена со скачкообразным
процессом потери энергии электроном, предсказываемым тео-
теорией Бора. При очень больших п расстояние между уровнями
dE 2Rh
энергии пропорционально-j—= ——\ Для всех оптических пере-
ходов, когда относительное изменение квантового числа Ап/п
очень мало, излучаемая частота, как и в классической теории,
есть гармоника (порядка Дл—1) некоторой основной частоты
!ВД (9)
Rh3 ) " w
В предельном случае больших п энергия Еп изменяется практи-
практически непрерывно путем многочисленных мелких скачков, так
что спектр испускаемых частот (точнее, низкочастотная часть

§ 14. ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМЫ УРАВНЕНИИ 41
этого спектра, соответствующая наиболее малым квантам энер-
энергии) должен по принципу соответствия совпадать с классиче-
классическим спектром. Иначе говоря,
vKB ~ укл(Е). A0)
И->оо
Сравнение выражений (8) и (9) показывает, что это условие
выполняется, если принять
^ (И)
Экспериментальное значение R известно с большой точностью
(с~10-6). Теоретическое значение A1) согласуется с ним с точ-
точностью до 10~4. Это один из наиболее ярких успехов теории
Бора14).
Эти рассуждения нетрудно распространить на случай водо-
родоподобных атомов, состоящих из электрона и ядра заряда
Ze, в частности, иона атома гелия A = 1). Достаточно во всех
формулах заменить е2 на Ze1. Теоретически полученные термы
Не+ с той же удивительной точностью порядка 10~4 совпадают
с наблюдаемыми экспериментально.
§ 14. Лагранжева и гамильтонова формы уравнении
классической механики
Имея в виду дальнейшее обсуждение формального соответ-
соответствия между квантовой и классической теориями, полезно на-
напомнить некоторые результаты классической аналитической ме-
механики.
В самом общем случае динамическое состояние классической
системы определяется переменными положения, т. е. обобщен-
обобщенными координатами q\, q% ..., Ця, и переменными скорости,
т. е. производными по времени обобщенных координат q\, цъ, ...
..., cjr\ число степеней свободы системы обозначим буквой R 15).
Если мы имеем дело с системой из п частиц, то в качестве пере-
переменных положения можно выбрать Ъп декартовых координат
этих частиц, но все последующее справедливо и при другом вы-
>4) Чтобы претендовать на совпадение с экспериментальным значением
столь высокой точности, необходимо учесть, что масса протона М иа самом
деле имеет конечное значение. Для этого следует в формуле A1) заменить
массу т на приведенную массу т' = mMj(m -f- M). Учитывая эту поправку
(сх 5-Ю-4), получаем, что теоретическое значение R несколько меньше экс-
экспериментального. Это различие имеет релятивистскую природу, что на прак-
практике выражается некоторым увеличением массы т'.
15) Мы здесь рассматриваем только системы без связей, иначе говоря,
переменные q могут изменяться без всяких ограничений независимо друг
от друга.

42 ГЛ. Т. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
боре координат. Положение системы в каждый момент времени
может быть представлено в /^-мерном конфигурационном про-
пространстве точкой М, имеющей координаты q\, q2, ..., qR. За-
Задачей классической механики является нахождение законов
эволюции системы во времени или, если угодно, законов дви-
движения точки М в конфигурационном пространстве.
Для очень большого числа динамических систем — только
их мы и будем здесь рассматривать — законы движения можно
написать, вводя некоторую функцию, характеризующую систе-
систему,— функцию Лагранжа:
L = L(qu q2, ..., qR; qit q2, ¦-., qR\ t).
Координаты q удовлетворяют дифференциальным уравне-
уравнениям второго порядка (уравнениям Лагранжа):
dL =0 (г=1,2 R).
d ( dL\
dt \dqr)
dq
Величины
_ dL
Р
называются обобщенными импульсами Лагранжа. В том случае,
когда q, есть одна из декартовых координат частицы с массой пг,
а силы получаются из статического потенциала, величина рг
есть соответствующая компонента количества движения этой
частицы рГ — mqr.
Законы движения могут быть также выражены в форме ва-
вариационного принципа. Действительно, система уравнений Ла-
Лагранжа эквивалентна принципу наименьшего действия (Мопер-
тюи — Гамильтон):
и
б J L dt = 0, ЬМ (/,) = ЬМ (t2) = 0, A2)
и
смысл которого состоит в следующем: из всех законов движе-
движения M(t), позволяющих системе перейти из положения М\ в мо-
момент времени t\ в положение М2 в момент времени t% в дей-
действительности реализуется тот, который соответствует минимуму
и
интеграла \ L dt.
и
Другой чрезвычайно полезной формой выражения законов
классической механики является каноническая форма Гамиль-
Гамильтона. Заметим, что динамическое состояние классической си-
системы в данный момент времени полностью определяется зада-
заданием ее R обобщенных координат ^i, q2, ..., Ця и R обоб-
обобщенных импульсов р\, р2, . • •, Pr- Удобно ввести пространство
2R измерений, так называемое фазовое пространство, где дина-

§ 14. ЛАГРАНЖЕВА И ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМЫ УРАВНЕНИИ 43
мическое состояние представляется точкой Р с координатами q
и р. Если определить функцию Гамильтона формулой
R
H^H{qu ..., qR; ри .... pR; {) = ^^Г1^~ L> ^
г—\
то уравнения движения записываются в канонической форме:
<?' = ^7' Р'=—Щ; (r=1-2 R). A4)
Это дифференциальные уравнения первого порядка. Задания
координат и импульсов в начальный момент времени доста-
достаточно для определения их значений в любой последующий мо-
момент времени. Таким образом, если Н не зависит явно от вре-
времени, то через каждую точку Р фазового пространства прохо-
проходит одна и только одна траектория, представляющая возможное
движение системы.
В обычном случае L представляет собой разность между
кинетической энергией Т (являющейся квадратичной функ-
функцией q) и потенциальной энергией V; функция Я = Т + V есть
полная энергия системы, представленная как функция q и р.
Однако формализм Лагранжа и Гамильтона применим при
описании самого широкого класса динамических систем (см. за-
задачу 4). Во всех случаях можно рассматривать Я как полную
энергию системы. Из уравнений Гамильтона следует, что
Н = dH/dt = dH/dt; это значит, что если функция Гамильтона
не зависит от времени явно, то полная энергия системы есть
интеграл движения. Такие системы называются консерва-
консервативными.
В качестве примера рассмотрим электрон в кулоновском
поле протона (предполагаемого бесконечно тяжелым). Пусть
r(x,y,z) есть радиус-вектор электрона в системе координат
с началом в точке, где находится протон, v = dr/dt — скорость,
р(Рх, Ру, Рг)— импульс электрона. Функция Лагранжа есть
Обобщенный импульс электрона имеет компоненты рх — dL/dvx,
ру = dL/dVy, pz = dL/dvz, которые равны составляющим его ко-
количества движения. Из функции Гамильтона
получаем уравнения Гамильтона
dt m1 dt graQ r ~ e r*

44 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Пользуясь этими уравнениями, легко проверить, что момент
импульса (количества движения) I = [гр] является интегралом
движения: dljdt = О (что является следствием центрально-сим-
центрально-симметричного характера потенциала —е2/г) и что траектория элек-
электрона лежит в плоскости, проходящей через начало координат
и перпендикулярной постоянному вектору I.
Аналогично можно получить уравнения движения, используя
всякую другую систему координат. Для траекторий, располо-
расположенных в плоскости ху (z = 2 = 0), в полярных координа-
координатах получаем (х = г cos q>, у = г sin q>)
" ~ 2m \pr + r2 / r
откуда следуют уравнения Гамильтона:
рф равно абсолютной величине момента количества движения:
это действительно интеграл движения.
§ 15. Правила квантования Бора — Зоммерфельда
Старая квантовая теория по существу представляет собой
общий метод вычисления квантованных величин, основанный
на постулатах Бора и принципе соответствия. Процедура та-
такова: предполагается, что системы материальных частиц подчи-
подчиняются законам классической механики; постулируется, что из
всех возможных решений уравнений движения должны быть
отобраны только те, которые удовлетворяют некоторым прави-
правилам, вводимым ad hoc. Происходит отбор некоторого дискрет-
дискретного семейства движений, причем согласно гипотезе только эти
движения и могут реализоваться на практике. Каждому из воз-
возможных движений соответствует определенное значение энер-
энергии; дискретный ряд получаемых значений энергии представляет
собой спектр квантованных энергетических уровней. Аналогично
получают дискретный спектр разрешенных значений для любого
другого интеграла движения.
Определение «правил квантования» есть центральная проб-
проблема старой квантовой теории. Она решается по существу на
основе интуиции: сначала постулируются правила, а затем
спектры квантованных физических величин, следующие из этих

§ 15. ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ БОРА — ЗОММЕРФЕЛЬДА 45
правил, сравниваются с экспериментальными значениями. При
этом важную роль играет принцип соответствия.
Существует очень простая ситуация, когда этот принцип
позволяет без труда получить искомый результат: это случай,
когда классическое движение является периодическим, причем
частота есть функция одной только энергии
Именно эта ситуация реализуется в атоме водорода (см. урав-
уравнение (8)). Пусть Ей Е2, ..., Еп есть последовательность кван-
квантованных значений энергии. Можно считать, что энергия си-
системы есть непрерывная функция Е(п) квантового числа п,
так что дискретность значений энергии является следствием
дискретности значений аргумента п. Повторяя рассуждения
§ 13, касающиеся вычисления постоянной Ридберга, можно по-
получить соотношение соответствия между классической и кван-
квантовой частотами (см. уравнение A0))
откуда получается правило квантования
Б
справедливое для больших значений п. Естественно распростра-
распространить это правило на все значения п и положить
AE=nh («=1,2 oo) A6)
?min
(?mtn — есть минимальное-значение энергии классической си-
системы). В случае атома водорода это правило квантования
вновь приводит к формуле Бальмера.
Это правило применяется также и к периодическим систе-
системам с одной степенью свободы. В этом случае его можно выра-
выразить в форме, более удобной для обобщений. Пусть q есть
координата положения такой системы, р— ее импульс, H(q,p) —
полная энергия. Фазовое пространство имеет два измерения,
а периодическое движение представлено замкнутыми кривыми
H(q,p) = const в этом пространстве16). Можно показать,
16) Если q есть циклическая переменная (например, угловая переменная),
иначе говоря, если значения q, отличающиеся на целые значения некоторого
периода Q, представляют одинаковые конфигурации системы, то периодиче-
периодическое движение представляется в фазовом пространстве не замкнутой кривой,
а кривой с периодом Q.

46 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
используя уравнения Гамильтона, что
где символ ® означает интегрирование по полному периоду
J
движения с энергией Е (интеграл Ф pdq называется интегралом
действия). Так мы получим правило квантования, эквивалентное
правилу A6):
§dq = nh (n=l,2 оо). A7)
Формула определяет как разрешенные траектории в фазо-
фазовом пространстве, так и соответствующие квантованные значе-
значения энергии. Это правило известно как правило квантования
Бора — Зоммерфельда.
Вильсон и Зоммерфельд обобщили это правило на случай
многопериодических систем. Это системы с несколькими степе-
степенями свободы, движение которых может быть представлено при
соответствующем выборе обобщенных координат q\, q2, ..., qn
и обобщенных импульсов р\, ръ рц с помощью последовав
тельности функций pi(qi), /02(^2), ••¦, /М<7я); иначе говоря,
траектории в фазовом пространстве таковы, что каждый им-
импульс зависит только от соответствующей координаты. Каждая
функция pr(qr) представляет периодическое движение с часто-
частотой vr; движение всей системы является комбинацией периоди-
периодических движений с частотами vi, V2, ..., v#. В этом случае пра-
правилами квантования служат R соотношений
%prdqr = nrh (r=l,2, .... Я); A8)
R целых квантовых чисел пи п2, ..., nR определяют квантован*
ные траектории системы и квантованные значения различных
интегралов движения, таких как энергия, момент количества
движения и т. д. Энергия Е(пьп2, .... nR), рассматриваемая как
функция переменных пь п2, .,., nR, удовлетворяет условиям со-
соответствия
JL „ hVr (r=l,2 R).
В качестве приложения кратко рассмотрим квантование
атома водорода. После выбора плоскости электронной орбиты
мы получаем задачу, уравнения которой в полярных координа-
координатах уже были выписаны (уравнения A5)). Момент импульса

§ 15. ПРАВИЛА КВАНТОВАНИЯ БОРА - ЗОММЕРФЕЛЬДА 47
и энергия являются интегралами движения. Если фиксировать
соответствующие значения L (^0) и ? (<0) этих двух вели-
величин, мы получим возможную траекторию классического движе-
движения: это эллипс с эксцентриситетом Vl + 2L2?/me4.
Компоненты импульса р<$ и р, являются функциями соот-
соответствующих им сопряженных координат. Действительно
Поэтому можно применить правила квантования Бора—Зом-
мерфельда:
rdr = kh,
где / — азимутальное квантовое число и k — радиальное кванто-
квантовое число являются целыми положительными числами (или ну-
нулями). Первое правило дает квантованное значение момента им-
импульса (количества движения)
Второе же правило, после достаточно длинного, но нетрудного
вычисления, приводит к соотношению
<-?)
откуда, вводя «главное квантовое число» п = I -\- k, получаем
формулу Бальмера
„ те4
с тем же значением постоянной Ридберга, что и полученное
ранее (уравнение A1)).
Квантованная энергия зависит только от суммы двух кван-
квантовых чисел Ink. Это свойство, характерное для кулоновского
потенциала, связано с тем обстоятельством, что азимутальная
и радиальная частоты равны друг другу: v,, = vr. Энергии Еп
соответствуют п квантованных орбит, определяемых значениями
/= 1, 2, ..., п (по причинам, которые мы не будем здесь об-
обсуждать, значение / = 0 исключается); это эллипсы с эксцент-
эксцентриситетом д/l — '2/ • Значение I = n соответствует круговой
орбите17) (см. рис. 6).
Те же правила квантования можно применить к релятивист-
релятивистским уравнениям движения и получить таким образом реляти-
и) Квантование круговых орбит позволило Бору уже в 1913 г. получить
формулу Бальмера. Квантование эллиптических орбит было проведено
Зоммерфельдом, который распространил теорию на релятивистский случай
[(см. ниже).

48 ГЛ, I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
вистские поправки в теории атома водорода. Получающееся
значение постоянной Ридберга находится в еще лучшем согла-
согласии с опытом (см. сноску 14)). При этом происходит снятие
«вырождения» уровня энергии: каждому значению п соответ-
соответствуют п близких, но различных значений энергии, соответ-
соответствующих различным значениям момента импульса 1Ъ. На опыте
действительно наблюдается тонкая структура спектра атома
водорода, которая очень хорошо совпадает с теоретическими
предсказаниями.
0
/7=3
Рис. 6. Орбиты Бора основного уровня (»=1) и двух первых возбужден-
возбужденных уровней (я = 2,3) атома водорода. Соблюдены относительные размеры
орбит.
Обратимся теперь к проблеме пространственного квантова-
квантования. Предшествующее рассмотрение, когда квантовались ор-
орбиты, лежащие в одной плоскости, не включало никакого выде-
выделенного направления и позволило определить только квантовые
спектры скалярных величин, таких, как энергия или величина
момента импульса (L = /fi). Существует общее правило прост-
пространственного квантования для систем, обладающих аксиальной
симметрией (например, атом в постоянном магнитном поле).
В этом случае интегралом движения является Lz—составляю-
Lz—составляющая момента импульса по оси симметрии Oz. В классической
механике можно показать, что эта переменная является кано-
канонически сопряженной переменной ф, фиксирующей ориентацию
системы относительно оси Oz. Следовательно,
\ Lz dq> = mh (tn — целое)
и поскольку Lz постоянно
Lz~ mh. A9)
Составляющая момента импульса по направлению оси аксиаль-
аксиальной симметрии системы равна целому числу (положительному
или отрицательному) постоянных Планка Ъ. Число т назы-
называется магнитным квантовым числом.

§ 16. ДОСТИЖЕНИЯ И ОГРАНИЧЕННОСТЬ СТАРОЙ ТЕОРИИ 49
§ 16. Достижения и ограниченность старой теории квантов
На этом мы закончим изложение результатов старой теории
квантов. Она позволила значительно продвинуться в исследо-
исследовании атомных спектров, так как дала общий метод вычисления
спектральных термов большого числа атомных и молекулярных
систем. Результаты, полученные для атома водорода, без труда
обобщаются на случай водородоподобных систем Не+, Li++
и атомов щелочных металлов. Теория применима также к коле-
колебательным и вращательным спектрам молекул, рентгеновским
спектрам атомов, нормальному эффекту Зеемана. Дополненная
полуклассической теорией взаимодействия вещества и излуче-
излучения, старая теория квантов дает также различные правила от-
отбора и вероятности возможных квантовых переходов. Во всех
этих случаях теория находится в прекрасном согласии с опытом,
если не считать отдельных расхождений для очень малых кван-
квантовых чисел; эти расхождения могут быть устранены, если до-
добавить к правилам квантования некоторые эмпирические по-
поправки (примером является запрещение нулевого значения ази-
азимутального квантового числа, / = 0).
Тем не менее эта теория не является полной. Правила
Бора — Зоммерфельда применимы только для периодических
или многопериодических систем. Не существует правила кван-
квантования апериодических движений. Так, механизм одного из
основных экспериментов — опыта Франка и Герца — остается
необъясненным. Теория Бора — Зоммерфельда дает квантовые
уровни энергии атомной мишени, однако она не в состоянии
описать траектории электронов пучка и объяснить в деталях не-
неупругие столкновения электронов и атомов мишени. Вообще го-
говоря, все явления столкновений остаются вне рамок этой теории.
Но даже при вычислении спектральных термов успехи теории
ограничиваются только простейшими системами; многочислен-
многочисленные трудности возникают при попытках строго поставить задачу
о квантовании сложных атомов; имеются случаи резкого рас-
расхождения с опытом, например, при вычислении термов атома
гелия (не ионизованного) или аномального эффекта Зеемана.
Далее, теория не лишена двусмысленностей и противоречий.
Примером являются правила пространственного квантования.
Правило квантования составляющей Lz момента импульса для
системы, имеющей аксиальную симметрию с осью Oz, должно
было бы распространяться и на случай сферической симметрии,
так как это есть случай симметрии относительно любой оси,
проходящей через начало координат. При этом мы пришли бы
к абсурдному выводу, что составляющая момента импульса
по направлению любой оси, проходящей через начало коорди-
координат, должна быть целой кратной h.

50 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Однако принципиальные трудности старой теории квантов
оказываются гораздо более серьезными. Правила квантования
представляют собой чисто формальные ограничения, наклады-
накладываемые на решения классических уравнений движения; они
вводятся эмпирически. Полностью отсутствует более глубокое
обоснование этих правил. В то же время само понятие траек-
траектории частицы трудно согласовать с требованиями правил кван-
квантования. Представление о движении по траектории подразуме-
подразумевает, что частица в каждый момент времени имеет вполне
определенные положение и импульс, причем эти величины
должны быть непрерывными функциями времени. Какой же мо-
может быть при этих условиях траектория частицы, подобной
электрону в опыте Франка и Герца? Если этот электрон дви-
движется по некоторой траектории н его энергия изменяется непре-
непрерывно, то следует отказаться от возможности передачи этой
энергии атому отдельными порциями — квантами, т. е. отка-
отказаться от квантования энергетических уровней атома мишени.
Обратно, постулируя существование дискретных уровней энер-
энергии атома, мы должны оставить идею о движении электрона по
классической траектории и, следуя логике изложения, отбро-
отбросить понятие классической траектории вообще. В дальнейшем,
в гл. II и IV, мы увидим, что отказ от понятия классической
траектории вполне оправдан, и проанализируем его физический
смысл и следствия. Как бы то ни было, мы должны отказаться
от классических уравнений движения частицы, но тогда возни-
возникает вопрос, какой же физический смысл можно приписать ре-
решениям этих уравнений, которыми, по предположению, являются
квантованные траектории движения электрона в атоме?
Старая теория квантов вне всякого сомнения явилась боль-
большим шагом вперед. Предсказывая на основе нескольких простых
правил значительную массу экспериментальных результатов,
она дала общую схему феноменологического объяснения струк-
структуры атомных спектров и ч этом смысле сыграла важную роль
в истории современной физики. Однако эта странная и причуд-
лизая комбинация классической механики и рецептов, вводимых
ad hoc, никак не мох<ет рассматриваться в качестве полной
и законченной теории.
§ 17. Заключение
В этой главе мы проанализировал:? основные трудности, с ко-
которыми столкнулась классическая теория при проникновении
в область микроскопической физики. Эти трудности возникли,
когда была сделана попытка понять и описать механизм взаи-
взаимодействия вещества и излучения. Главная особенность явле-
явлений на микроскопическом уровне состоит в характерной прерыв-

§ 17. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 51
ности, связанной с существованием неделимого кванта дей-
действия А.
Этот атомизм действия, по-видимому, является одним из са-
самых фундаментальных свойств явлений природы. В макро-
макроскопических масштабах можно рассматривать величину Ь как
бесконечно малую и удовлетвориться классическими описанием
физических явлений, когда эволюция физических систем пред-
представляется динамическими переменными, точно определяемыми
в каждый момент и непрерывно изменяющимися во времени.
Напротив, в атомной и субатомной физике мы уже не можем
пренебречь величиной Ь, здесь наблюдаются чисто квантовые
явления. Пошатнулось все здание классической теории.
Классическое волновое описание электромагнитного излуче-
излучения не может быть согласовано с тем опытным фактом, что
передача энергии и импульса между веществом и излучением
происходит неделимыми порциями — квантами. Фотоэлектриче-
Фотоэлектрический эффект, эффект Комптона можно объяснить, только если
представлять себе свет как поток корпускул, однако гипотеза
существования фотонов не согласуется с явлениями интерфе-
интерференции и дифракции, в которых свет ведет себя как суперпози-
суперпозиция волн. Если придерживаться языка классической физики, то
связное и непротиворечивое описание всей совокупности свето-
световых явлений невозможно; в зависимости от условий экспери-
эксперимента для его истолкования приходится прибегать к одному из
двух несовместимых представлений: или потоку корпускул, или
суперпозиции волн. Соответствие между этими представлениями
дается основными соотношениям;: D), которые содержат по-
постоянную Планка А. Возникающий дуализм волна — частица
проще всего интерпретировать на статистической основе, посту-
постулируя, что интенсивность волны в некоторой точке простран-
пространства пропорциональна вероятности обнаружения в этой точке
соответствующего фотона.
Что касается материальных систем, то здесь эффект кван-
квантования значений некоторых физических величин делает несо-
несостоятельной концепцию, согласно которой вещество состоит из
корпускул, движение которых подчиняется законам механики
Ньютона. Примерами экспериментальных фактов, противореча-
противоречащих классической корпускулярной теории, являются квантова-
квантование энергетических уровней атомов, квантование ориентации
атомов и молекул в определенных внешних условиях.
В поисках новой согласованной теории важно учитывать те
элементы классической теории, которые могут быть сохранены.
В первую очередь следует упомянуть фундаментальные законы
сохранения энергии и импульса; ни один из экспериментальных
фактов, обсуждавшихся в этой главе, не противоречит этим за-
законам, поэтому можно сделать обоснованный вывод, что эти

62 ГЛ. I. ИСТОКИ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
основные законы остаются справедливыми и для микроскопиче-
микроскопических явлений. Далее, единственной причиной неудач классиче-
классической теории, по-видимому, является атомизм величины дей-
действия; классическая теория сохраняет свою силу в макроскопи-
макроскопических масштабах или, в более широком смысле, в тех случаях,
когда квантовые скачки могут считаться пренебрежимо малыми.
Это второе утверждение лежит в основе принципа соответствия,
сформулированного в конце главы. Успехи старой квантовой
теории, удивительные для теории со столь противоречивыми
основаниями, хорошо иллюстрируют плодотворность этого фун-
фундаментального эвристического принципа.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассматривается рассеяние монохроматических фотонов свободными
электронами (эффект Комптона). Определить изменение длины волны, вели-
величину и направление импульса отдачи электрона в зависимости от угла рас-
рассеяния фотона, предполагай: а) что электрон первоначально покоится; б) что
электрон первоначально имеет импульс Р в направлении исходного пучка фо-
фотонов. Какова в обоих случаях максимальная величина импульса, передавае-
передаваемого электрону?
2. Обсудить на примере эксперимента Юнга с интерференцией от двух
щелей волновой и корпускулярный аспекты природы света. Показать, что
представление о траектории каждого фотона, проходящей через одну из ще-
щелей, несостоятельно.
3. Гироскоп обладает магнитным моментом ц, пропорциональным мо-
моменту импульса: ц = Ml. Исходя из выражения для магнитной энергии
fijjf, вывести уравнения движения / в постоянном магнитном поле Ж и по-
показать, что гироскоп совершает прецессионное движение с круговой частотой
6>t = МЭИ (частота Лармора).
4. В нерелятивистском пределе классические уравнения движения элек-
электрона в электромагнитном поле суть
A) (а)
Пусть, далее, А и <р являются соответственно векторным и скалярным потен-
потенциалами этого поля:
Показать, что уравнения движения следуют из функции Лагранжа
, mv2 , (vA
Вычислить обобщенный импульс и написать функцию Гамильтона.
5. Уравнения (а) задачи 4 остаются справедливыми и в релятивистской
области, если массу покоя заменить «релятивистской массой» М = т [1 —•

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 53
— (v2/c2)]-'h. Проверить, что формализм Лагранжа и Гамильтона остается
справедливым, причем уравнения получаются из функции Лагранжа
2 IЛ °2 I ( V& ~\
— me1 Л I 1 г 4- I ср 1.
V с V с V
Показать, что функция Гамильтона в этом случае имеет вид
Н = [mV + (р - -1 А)' с2]'/г + eq>,
где р есть обобщенный импульс, т. е. вектор с компонентами рх, ру, Рг-
Заметим, что р = Mv-{ А и Н = Me2 + eq>; Н и рс образуют 4-вектор
С
в пространстве-времени, аналогично q> и А. Имеет место соотношение
(Н — ефJ— (рс — еА)*= т'с*.
6. Материальная точка с массой т вынуждена перемещаться по оси х
под действием возвращающей силы —Кх, пропорциональной расстоянию от
начала координат (гармонический осциллятор). Применить к этой динамиче-
динамической системе правило квантования Бора — Зоммерфельда: вычислить энергию,
период колебаний и амплитуду квантованных траекторий.
7. Проквантовать круговые электронные орбиты водородного атома, при-
применяя правило Бора — Зоммерфельда. Определить энергию, период и раднус
основной орбиты (тс2 = 0,51 Мэв; hc/e2 ^ 137) и найти в этом частном слу-
случае релятивистскую поправку. Проверить, что в пределе больших квантовых
чисел частоты Бора стремится к частотам, предсказываемым классической
электродинамикой (принцип соответствия).

ГЛАВА II
ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 1. Исторический обзор и общий план последующих глав
Основание квантовой механики приходится на период между
1923 и 1927 годами. Почти одновременно были предложены две
•ее эквивалентные формулировки: матричная механика и волно-
волновая механика.
Исходным пунктом матричной механики1) явился критиче-
критический анализ положений старой квантовой теории. Точка зрения
Гейзенберга может быть выражена следующим образом. Во
всякой физической теории следует отличать понятия и вели-
величины, физически наблюдаемые от физически ненаблюдаемых;
первые по необходимости должны фигурировать в теории, вто-
вторые же без ущерба для теории могут быть модифицированы
или вовсе опущены. При построении удовлетворительной теории
микроскопических явлений следует по возможности исходить
только из наблюдаемых величин. В старой квантовой теории
некритически использовались многие понятия, не имеющие
реальной экспериментальной основы; это и явилось причиной ее
неудач.
Примером экспериментально не обоснованного понятия яв-
является электронная орбита. Зададимся вопросом, можно ли на
опыте проследить за движением электрона по боровской орбите
атома водорода?2) При наблюдении движения мы должны фик-
фиксировать последовательные положения электрона в простран-
пространстве, причем ошибка в измерении каждого положения должна,
естественно, быть значительно меньше среднего радиуса а иссле-
исследуемой орбиты. Подобные измерения можно было бы провести
с помощью рентгеновских лучей достаточно малой длины волны
X «С а. Однако столкновение каждого рентгеновского кванта с
электроном, согласно теории эффекта Комптона, сопровождается
передачей импульса порядка h/X B>/г/а), что существенно воз-
возмущает движение наблюдаемого электрона. Читатель без труда
1) W. Heisenberg, Zeitsch. f. Phys. 33, 879 A925); M. Born, P. Jordan,
Zeitsch. f. Phys. 34, 858 A925); M. Born, W. Heisenberg, P. Jordan, Zeitsch.
f. Phys. 35, 557 A926); P. A. M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 109, 642 A925).
2) Ограничения возможностей наблюдения, которые мы имеем в виду,
не связаны с совершенством измерительной техники; эти границы ставит сама
природа вещей.

5 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ОБЩИЙ ПЛАН ПОСЛЕДУЮЩЕГО 55
проверит (см. задачу 1), что возмущение тем значительнее,
чем меньше квантовое число, характеризующее орбиту; на-
например, если электрон находится на основной орбите
(п = 1), то средняя энергия, передаваемая при столкнове-
столкновении, равна по меньшей мере энергии ионизации атома. Эта
неконтролируемое возмущение состояния наблюдаемой системы
измерительным устройством ставит предел точности, которую
можно надеяться получить при измерении орбиты электрона.
При малых квантовых числах любое, даже достаточно грубое
измерение параметров орбиты обречено на неудачу. Но по-
поскольку не существует эксперимента, позволяющего доказать,
что электрон в атоме водорода действительно перемещается по
определенной орбите, ничто не мешает иам отказаться от са-
самого понятия орбиты электрона. Иначе говоря, из того факта,
что атом находится в некотором состоянии с точно фиксирован-
фиксированной энергией, не следует с необходимостью, что его электрон
в каждый момент времени обладает строго определенными по-
положением и импульсом3).
Матричная механика Гейзенберга, Борна и Иордана не вклю-
включает понятия электронной орбиты. Рассматривая только
наблюдаемые на опыте величины, такие как частоты и интен-
интенсивности излучения атомов, теория каждой физической величине
сопоставляет некоторую матрицу. В отличие от алгебры обыч-
обычных величин матричная алгебра в общем случае некоммута-
некоммутативна4), именно это существенное обстоятельство отличает но-
новую матричную механику от механики классической. Уравнения
движения динамических переменных квантовой системы яв-
являются матричными уравнениями. Следуя принципу соответ-
соответствия, мы принимаем, что эти уравнения формально совпадают
с уравнениями (содержащими обычные величины), которые
описывают соответствующую классическую систему.
Волновая механика Шредингера5) внешне выглядит со*
вершенно иной теорией. Истоки ее восходят к работам Луи
де Бройля6), посвященным материальным волнам (волнам
3) Этот вывод следует сравнить с результатами обсуждения опыта Фран-
Франка и Герца в конце первой главы, где было показано, что существование не-
непрерывной траектории бомбардирующего электрона несовместимо с кванто-
квантованием энергетических уровней атома мишени. Признание существования
дискретных квантовых уровней энергии атома ведет к отказу от понятия
траектории электрона.
4) Определение матриц и изложение их основных свойств содержится в-
гл. VII и VIII, где мы увидим, что существует тесная связь между матри-
матрицами и линейными операторами, о которых пойдет речь ниже (§11).
8) Е. Schrodinger, Ann. d. Phys. 79, 361, 489 A925): 80, 437 A926); 81,
109 A926).
6) L. de Broglie, Nature 112, 540 A923); Диссертация A924); Annales de
Physique 2 A925).

56 ГЛ. П. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
вещества). Пытаясь установить основные принципы единой тео-
теории вещества и излучения, де Бройль выдвинул гипотезу, согласно
которой корпускулярно-волновой дуализм выражает фундамен-
фундаментальное свойство всех микроскопических объектов и, следова-
следовательно, вещество, подобно излучению, также обнаруживает и
волновые, и корпускулярные свойства. Установив соответствие
между динамическими переменными корпускулы и величинами,
характеризующими ассоциированную с корпускулой волну, он
сумел с помощью полуколичественных рассуждений получить
правила квантования Бора — Зоммерфельда. Предположение
де Бройля о волновой природе частиц вещества получило непо-
непосредственное подтверждение через несколько лет в результате
открытия явлений дифракции частиц, аналогичных соответ-
соответствующим явлениям волновой оптики. Между тем Шредингер,
развивая и обобщая понятие волн вещества, открыл уравнение
распространения волновой функции, представляющей данную
квантовую систему. Это фундаментальное уравнение может быть
выведено путем применения простого правила соответствия из
функции Гамильтона соответствующей классической системы.
Уравнение Шредингера лежит в основе волновой механики.
Как показал Шредингер7), волновая механика и матричная
механика эквивалентны. Они дают две частные формулировки
одной единой теории, которая может быть представлена в самом
общем виде. Разработка общего формализма квантовой теории
была осуществлена Дираком8). В результате возникла кванто-
квантовая нерелятивистская теория материальных частиц. Она была
дополнена квантовой теорией электромагнитного поля9), что
привело к построению единого согласованного теоретического
метода, позволяющего исследовать все задачи, касающиеся фи-
физики систем материальных частиц в нерелятивистском прибли-
приближении и их взаимодействия с электромагнитным полем. Доба-
Добавим, что внутренняя непротиворечивость теории и глубокое
понимание физического смысла ее формализма были достигнуты
только после работ Борна, Гейзенберга и Бора!0). Основное
7) Е. Schrodinger, Ann. d. Phys. 79, 734 A926).
8) P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford Claren-
Clarendon Press, I изд. 1930, 4 изд. 1958. Русский перевод: П. А. М. Дирак, Прин-
Принципы квантовой механики, пер. с 4-го издания, Физматгиз, 1960.
9) Р. А. М. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 114, 243, 710 A927); P. Jordan,
W. Pauli, Zeitsch. f. Phys. 45, 151 A928).
i°) M. Born, Zeitsch. f. Phys. 38, 803 A926); W. Heisenberg, Zeitsch. f.
Phys. 43, 172 A927); N. Bohr, Naturwiss. 16, 245 A928); 17, 483 A929);
18, 73 A930). Глубокое освещение физической интерпретации теории можно
найтн в книгах: W. Heisenberg, Die physikalischen Prinzipien der Quantentheo-
rie, Mannheim, 1958; N. Bohr, Atomic physics and human knowledge, Wiley,
N. Y., 1958 — русский перевод: H. Бор. Атомная физика и человеческое по-
познание, ИЛ, 1961. В этих работах содержится изложение так называемой

§ 1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР И ОБЩИЙ ПЛАН ПОСЛЕДУЮЩЕГО 57
содержание этой книги посвящено изложению аппарата и при-
приложений нерелятивистской квантовой механики. Проблемы ре-
релятивистской квантовой механики будут рассмотрены только в
последней части; мы ограничимся в основном изложением реля-
релятивистской теории электрона Дирака"), ее основных примене-
применений и трудностей.
Наиболее элегантным и во многих отношениях наиболее
удовлетворительным способом изложения квантовой теории
является тот, который основывается на общем формализме.
Однако при этом сущность физических явлений может ока-
оказаться скрытой за математическим аппаратом, имеющим аб-
абстрактный характер. Волновая механика с ее более привыч-
привычными представлениями о волнах и уравнениях в частных произ-
производных лучше подходит для первого ознакомления с теорией.
Кроме того, именно в этой форме квантовая теория чаще всего
используется в приложениях. Поэтому мы приступим к кванто-
квантовой теории с общего изложения волновой механики. Эту главу
мы начнем обсуждением понятия о волнах вещества, затем полу-
получим уравнение Шредингера и обсудим его основные свойства; в
частности будет показано, каким образом с помощью этого
уравнения определяются уровни энергии стационарных со-
состояний.
Чтобы научиться работать с уравнением Шредингера, мы по-
посвятим гл. III изучению простых задач, касающихся квантовых
систем в одном измерении, и докажем несколько теорем об этих
системах. Это даст возможность подойти к общим пробле-
проблемам истолкования квантовой теории; им будет посвящена гл. IV.
Глава V посвящена развитию формализма волновой механики
и его статистической интерпретации, согласно принципам, сфор-
сформулированным в гл. IV.
статистической интерпретации квантовой механики копенгагенской школы.
Именно этой интерпретации мы будем придерживаться в данной книге. После
резкой борьбы мнений и споров она была принята подавляющим большин-
большинством физиков. Тем не менее, эта интерпретация насчитывала (и насчитывает
до сих пор) немало непримиримых противников, среди которых надлежит от-
отметить Эйнштейна, Шредингера и де Бройля. Речь идет о разногласиях, ко-
которые не могут быть разрешены на основании только результатов эксперимен-
экспериментов. Разногласия касаются общих философско-мировоззренческих вопросов
истолкования наукн, а не физической науки как таковой. Освещение основ-
основных этапов дискуссии можно найти в книгах: Albert Einstein, Philosopher —
Scientist, P. A. Schilpp ed., Tudor Publ. Co., N. Y., 1949 and 1951 (см. в осо-
особенности статьи Бора и Эйнштейна) и L. de Broglie, La Theorie de la Mesure
en Mecanique Ondulatoire, Gauthier — Villars, Paris, 1957. См. также А. Эйн-
Эйнштейн, Собрание научных трудов, том 3, «Наука», 1966. Физические и теоре-
теоретико-познавательные основы квантовой механики рассмотрены в книге:
В. А. Фок, Начала квантовой механики, «Наука», 1976 (см. в особенности
гл. 1 этой книги).
Ч) P. A. M. Dirac, Ргос. Roy. Soc. А117, 610 A928); А118, 351 A928).

58 ГЛ, II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
В гл. VI рассмотрено квазиклассическое приближение в вол-
волновой механике. И только после того как будет представлена
общая картина теории на языке волновой механики мы перей-
перейдем в гл. VII и VIII к изложению формального аппарата кван-
квантовой теории.
Раздел I. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА
§ 2. Введение
Открытие двойственной — волновой и корпускулярной — при-
природы света явилось одним из наиболее впечатляющих результа-
результатов введения квантов в физику. Предположим, что и вещество
обладает аналогичными свойствами корпускулярно-волнового
дуализма; подобно тому как электромагнитная волна ассо-
ассоциируется с фотоном, допустим, что каждой материальной
частице сопоставлена волна, круговая частота которой <в свя-
связана с энергией частицы Е соотношением Эйнштейна Е = йсо.
Если принять эту точку зрения, то атом должен будет обладать
свойствами резонирующей полости (резонатора) с дискретным
рядом собственных частот; это позволит объяснить эффект
квантования энергетических уровней атома.
При этом открывается возможность построить единую тео-
теорию, в которой вещество и излучение будут выступать как раз-
разновидности объектов одной природы, обладающих свойствами
и волны, и корпускулы. Эти предположения, руководившие
де Бройлем в его теории волн вещества, оказались, как мы
увидим в дальнейшем, полностью оправданными.
Основные свойства волн вещества получаются по аналогии
с оптикой. Как и в случае фотонов, мы допускаем, что значение
интенсивности ассоциированной волны в каждой точке пропор-
пропорционально вероятности обнаружить частицу в этой точке. Ча-
Частица будет локализованной в пространстве тем лучше, чем
меньшую область в пространстве занимает волна. Условия спра-
справедливости классической механики реализуются тогда, когда
в течение всего времени область локализации волны можно рас-
рассматривать как точку и приписать частице определенную траек-
траекторию движения. Аналогичная ситуация встречается в оптике,
если длиной волны света можно пренебречь по сравнению с
другими характерными длинами: это приближение геометриче-
геометрической оптики, когда волновые свойства не проявляются. При-
Приближение справедливо, когда оптические свойства среды, в
которой распространяется свет, остаются практически постоян-
постоянными на расстояниях порядка нескольких длин волн
(|grad Я,| <С 1). Это приводит к заключению, что классическая
теория частиц должна быть применима в случае отсутствия

§ 3. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ 59
внешних полей или медленно меняющихся полей, а также если
мы не стремимся слишком точно локализовать частицу. Эти вы-
выводы находятся в согласии с общеизвестными результатами,
касающимися движения атомных и субатомных частиц в ква-
квазистатических и квазиоднородных полях: траектории заряжен-
заряженных частиц в статических электрических и магнитных полях, от-
отклонения парамагнитных атомов в опыте Штерна — Герлаха и
т. д. В этих предельных случаях теория волн вещества должна
быть эквивалентной классической теории частиц (принцип со-
соответствия) .
§ 3. Свободный волновой пакет. Фазовая
и групповая скорости
Рассмотрим волновое движение в однородной и изотропной
среде. Наиболее простым типом волны является плоская моно-
монохроматическая волна
которая представляет колебание с длиной волны К = 2n/k,
распространяющееся в направлении волнового вектора k с
постоянной скоростью. Скорость, о которой идет речь, есть
скорость перемещения плоскости равной фазы, или фазовая
скорость
оф = со/6.
Частота со не зависит от направления k, но, вообще говоря,
может зависеть от абсолютной величины этого вектора. По-
Поскольку всякая волна может рассматриваться как суперпозиция
плоских монохроматических волн, знания «закона дисперсии»
со (ft) достаточно для исследования поведения любой волны
с течением времени.
Согласно нашей гипотезе каждая частота со соответствует
вполне определенной энергии частицы
Е = /ко. B)
Естественно поэтому сопоставить волну A) прямолинейному
равномерному движению с энергией Е в направлении k.
Изучение классического приближения позволит нам связать
k с импульсом р частицы. Для этого следует сопоставить час-
частице волну конечной протяженности. Волна A), конечно, не
удовлетворяет этому требованию, но ему можно удовлетворить,
если воспользоваться суперпозицией волн с близкими волно-
волновыми векторами. Это значит, что следует рассмотреть волновой
пакет

60 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Обозначим буквами Л и а модуль и фазу амплитуды /, соот-
соответственно. По предположению Л обладает заметной величиной
только в некоторой области, окружающей k. Следует выяснить
в какой мере и при каких условиях «движение» волнового па-
пакета может быть сопоставлено движению классической час-
частицы.
Ради простоты рассмотрим вначале волновой пакет в одном
измерении
0= J
Положим
ф = k'x — (Ort + «I
тогда \J)(x, t) есть интеграл от произведения функции Л, имею-
имеющей резкий максимум в области D шириной Aft, окружающей
точку ft' = k, и осциллирующей функции e'f. Если осцилляции
функции е'ч1 в области D достаточно многочисленны, то вклады
различных частей области аннулируют друг друга, так что
величина ф оказывается крайне малой. Наибольшие абсолютные
значения ф получаются в том случае, когда фаза <р остается
почти постоянной в области D, т. е. dyldk « 0 (символ d/dk
означает производную по ft', когда ft' = ft). Следует потребовать,
чтобы е'ф имела не более одной осцилляции в области D:
Поскольку
Afe dk
dqi . dm . da
~dk~~X~ dk ~*~~dk'
волна Ир(х, t) практически локализована в области с размерами
окружающей «центр волнового пакета», определенный условием
(d<f/dk) = 0, т. е.
, dm da
х~ clk~~dk'
Эта точка равномерно движется со скоростью
dm ,n\
которая называется групповой скоростью волны е'(**-<»0.
Именно эта скорость vg, а не фазовая скорость уф, должна быть
отождествлена со скоростью частицы в классическом приближе-
приближении предельной локализации пакета:
и = -т— (~~ в нерелятивистском приближении^.

§ 3. ВОЛНОВОЙ ПАКЕТ. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ 61
Из условия v = vg и соотношения B) находим 12) соотноше-
соотношение де Бройля
р = /jfc = А/А. D)
Это рассуждение без труда обобщается на волновой пакет
в трех измерениях: центр пакета равномерно перемещается со
скоростью
vg = gradft со, C')
причем групповая скорость должна быть отождествлена со ско-
скоростью частицы
v = gradp E.
Последнее сотношение вместе с соотношением B) позволяет
найти связь13) между динамическими переменными частицы
и величинами, характеризующими ассоциированную ей волну:
E = h®, p = fift. E)
Эти соотношения идентичны соотношениям A.4), полученным
для случая фотона.
В заключение рассмотрим полученные результаты с точки
зрения принципа относительности.
В нерелятивистском приближении энергия Е определяется
только с точностью до некоторой постоянной; изменить начало
отсчета энергии значит добавить к частоте ©(&) некоторую
постоянную частоту соо (уравнение B)), т. е. умножить функцию
¦ф(г, t) на фазовый фактор е~ы«*. Это не меняет предшествую-
предшествующих результатов, касающихся движения волнового пакета, и
соотношений E), которые из них вытекают.
Однако полученные результаты ни в коей мере не зависят
от нерелятивистского приближения. Принцип относительности
позволяет определить точную энергию Е = ^/тРс* + р2с2 и соот-
соответствующую ей частоту со. Энергия Е и импульс р являются
компонентами одного 4-вектора (принимаем с= 1). То же са-
самое можно сказать относительно частоты © и волнового вектора
k. Соотношения E) удовлетворяют принципу относительности:
они означают, что 4-векторы (Е, р) и (со, ft) пропорциональны
друг другу.
12) Строго говоря, эти два условия позволяют определить k как функцию
р только с точностью до аддитивной постоянной. Эта постоянная определяет-
определяется из того условия, что соответствие между р и k не должно зависеть от на-
направления движения по оси координат.
'*) Второе соотношение E) получается с точностью до постоянного век-
вектора, который мы выбираем равным нулю, чтобы соотношение не зависело
от вращения системы координат (см. предшествующую сноску).

62 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 4,. Волновой пакет в медленно меняющемся поле
Предшествующие результаты и, в частности, соотношения
E) справедливы и в случае, когда частицы движутся в мед-
медленно меняющемся поле, причем условие классического прибли-
приближения сводится к требованию, чтобы изменения поля на расстоя-
расстояниях порядка длины волны частицы были пренебрежимо малы.
Законы распространения соответствуют законам геометри-
геометрической оптики. В частности, пакет волн ограниченных размеров,
аналогичный тем, которые рассматривались в предыдущем пара-
параграфе, следует вдоль луча со скоростью, равной групповой ско-
скорости пакета. Чтобы можно было отождествить движения
волнового пакета и классической частицы, необходимо:
а) чтобы лучи, соответствующие (круговой) частоте со, были
идентичны классическим траекториям частоты с энергией E=ha;
б) чтобы групповая скорость вдоль каждого луча была
равна скорости соответствующей классической частицы.
Траектории классической частицы определяются принципом
наименьшего действия A.12); если рассматривать траектории
с заданной энергией Е, то функция Лагранжа, согласно уравне-
уравнению A.13), есть р-~—Е, и принцип записывается в виде
6/12ss6 \ pdr = 0.
м,
Следовательно интеграл 1ц, вычисляемый вдоль некоторой кри-
кривой, соединяющей точки Mi и М2, имеет экстремальное значение,
когда эта кривая есть траектория истинного движения частицы
от Mi к М2. Импульс р14), вообще говоря, есть функция поло-
положения частицы г и ее скорости v = dr/dt, т. е. функция точки
положения на кривой и направления касательной к кривой в
этой точке. В случае нерелятивистской частицы в области дей-
действия скалярного потенциала V(r):
E=-?r+V{r) и p = mv, F)
причем импульсы и скорости параллельны (p\\dr). Но принцип
наименьшего действия имеет силу и в более общих случаях, на-
например, для частицы, движущейся в магнитном поле.
При заданной частоте со лучи в геометрической оптике опре-
определяются другим вариационным принципом, принципом Ферма,
14) Во избежание недоразумений отметим, что под импульсом р мы всю-
всюду подразумеваем вектор, компоненты которого суть производные функции
Лагранжа по компонентам скоростей (этот вектор еще называют обобщен-
обобщенным импульсом или канонически сопряженным импульсом); под количеством
движения мы понимаем произведение скорости на массу1

§ 5. КВАНТОВАНИЕ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ АТОМОВ 63
который может быть выражен в следующей форме:
б/12 е= б \ k dr = 0,
Л1,
где k есть волновой вектор. Интеграл Ji2, вычисленный вдоль
данной кривой, соединяющей точки Mi и Мг, называется оптиче-
оптической длиной пути вдоль этой кривой. Принцип Ферма утверж-
утверждает, что луч, соединяющий Mi и М.% есть кривая, вдоль которой
оптическая длина пути экстремальна. В общем случае волновой
вектор k (перпендикулярный поверхностям равной фазы) зави-
зависит от положения на кривой и от направления касательной к
кривой. В изотропной среде, когда фазовая скорость не зависит
от направления, вектор k направлен по касательной к кривой, а
его абсолютная величина k = 2яД зависит только от положения
на кривой и не зависит от направления распространения. Однако
принцип Ферма применяется и в случае неизотропных сред.
Нетрудно видеть, что оба вариационных принципа совершен-
совершенно аналогичны по форме. Чтобы лучи, соответствующие частоте
о, можно было сопоставить классическим траекториям с энергией
Е (условие а)), достаточно, чтобы k и р были пропорциональны
p = ctfc.
Константа пропорциональности а может быть найдена из
условия б). Групповая скорость vg представляет собой градиент
no k частоты со; следовательно
f g = -у gradft E = -|- gradp E.
Что касается скорости частицы, то она дается формулой
я = gradp?. Эти две скорости равны, если а = Ь.
Таким образом, мы вновь получаем соотношения E).
В случае нерелятивистской частицы в медленно меняющемся
поле скалярного потенциала V(r) волна распространяется в изо-
изотропной среде, и длина волны (см. уравнение F)) дается вы-
выражением
Р V2m (E-V (г)) ' v '
§ 5. Квантование уровней энергии атомов
Теория волн вещества позволяет просто получить условия
квантования уровней энергии атомов.
Рассмотрим, для определенности, задачу об атоме водорода.
Пусть мы имеем эллиптическую орбиту с энергией Е, Соотноше-

64 ГЛ. П. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
ния E) позволяют определить вектор ft в каждой точке орбиты.
При каждом обороте фаза волны увеличивается на 0ft dr.
Чтобы волновая картина была стационарной, необходимо, чтобы
это изменение фазы было равно целому числу 2я. Это дает
условие квантования
& р dr = h & ft dr = nh (n целое > О),
что можно переписать, используя обозначения первой главы, в
следующем виде:
Аналогичные рассуждения позволяют получить правила кванто-
квантования Бора — Зоммерфельда во всех случаях периодических
и многопериодических движений.
Конечно все эти результаты имеют смысл только в прибли-
приближении геометрической оптики, когда понятия длины волны и
волнового вектора сохраняют свое значение. В частности, нельзя
утверждать, что условия квантования сохраняют свою форму
в случае малых квантовых чисел. Установленным является толь-
только факт квантования энергии, обязанный своим происхождением
условию существования стационарной волны.
Для рассмотрения более общих случаев следует отказаться
от приближенной теории, расширить область ее применения,
как это делается в классической оптике при переходе от оптики
геометрической к оптике волновой15). Коль скоро мы постули-
постулировали существование волн вещества, следует найти уравне-
уравнение, описывающее их распространение. Но прежде чем обра-
обратиться к этой проблеме, разберем вопрос об экспериментальных
подтверждениях существования волн вещества.
§ 6. Дифракция волн вещества
Возможности экспериментальных наблюдений зависят, ко-
конечно, от длины волны, соответствующей изучаемому объекту.
Когда мы имеем дело с макроскопическими предметами, длины
волн столь малы, что всякие волновые эффекты практически
ненаблюдаемы. Напротив, в случае объектов атомных размеров
можно образовать пучки с длиной волны, сравнимой с длиной
15) Отсюда и происходит название волновой механики.

§ 6. ДИФРАКЦИЯ ВОЛН ВЕЩЕСТВА 65
волны рентгеновского излучения и, следовательно, осуществить
опыты, аналогичные рентгеновской дифракции на кристаллах16).
Первые опыты по дифракции волн вещества были сделаны
с помощью электронов (дифракция электронов) Дэвисоном и
Джермером A927 г.), Г. П. Томсоном A928 г.) и Руппом
A928 г.).
Дэвисон и Джермер изучали отражение на монокристалле
и наблюдали пятна Лауэ, Г. П. Томсон и Рупп исследовали
кольца Дебая — Шерера, получаемые при прохождении пучка
через тонкую поликристаллическую мишень.
В этих экспериментах первоначальный пучок получался в
результате ускорения электронов в электростатическом потен-
потенциале. Если Е есть энергия электронов в электронвольтах, то
длина волны де Бройля, измеряемая в ангстремах, равна
«- ,12'2 ft
В случае энергий от 1 до 100 кэв мы оказываемся в обла-
области обычной спектрографии кристаллов. Зная параметры
кристаллической решетки, можно из наблюдаемой интерфе-
интерференционной картины получить экспериментальное значение
длины волны электрона; это экспериментальное значение на-
находится в прекрасном согласии с теоретическим значением
де Бройля.
Аналогичные о^пыты по дифракции на кристаллах произво-
производились с моноэнер*гетическими пучками атомов гелия и молекул
водорода (Стерн, 1932 г.), что дало новое подтверждение соот-
соотношениям де Бройля.
В этих опытах длина волны соответствовала движению цент*
ров тяжести каждого атома или молекулы пучка. Те же наблю-
наблюдения могут быть сделаны с использованием пучков медлен-
медленных нейтронов, получаемых в ядерных реакторах. Все эти опыты
показывают, что волновые свойства присущи не только электро-
электронам, а являются общим явлением, характерным для всех мате-
материальных объектов.
16) Рассмотрим для определенности частицу, участвующую в броунов-
броуновском движении. Наиболее мелкие частицы этого рода имеют диаметр порядка
микрона и массу М я* 10~12 г. В термодинамически равновесном состоянии
при обычных температурах их средняя кинетическая энергия 3/г kT равна при-
примерно 0,4-10~13 эрг, что соответствует средней длине волны
При той же энергии атом гелия имеет длину волны Я « 0,9 А, нейтрон —
Я « 1,8 А, а электрон — Я « 77 А.
3 А, Мессиа

66 ГЛ. И. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 7. Корпускулярная структура вещества
Опираясь на аналогию между волнами вещества и классиче-
классической волновой оптикой, можно задаться вопросом, нельзя ли
полностью отказаться от понятия частицы вещества и заменить
классическую теорию чисто волновой теорией, где волна if> (r, t)
играла бы роль, аналогичную роли электромагнитного поля
в теории излучения.
Тогда образы корпускул, порций энергии и локализованных
импульсов будут заменены образом протяженной волны с
непрерывным распределением энергии и импульса. Частицы
классической механики будут представлены волновыми пакетами
конечной протяженности, но в достаточной степени локализо-
локализованными. МьГвидели, что такие пакеты следуют законам дви-
движения классических частиц в некоторых предельных случаях,
когда применимо классическое приближение. Однако даже в
отсутствии поля волновой пакет не может бесконечно долго со-
сохранять это сходство с частицей, так как с течением времени он
расплывается и в конечном счете может занять сколь угодно
большую часть пространства (см. задачу бI7). В этих условиях
вызывает удивление тот факт, что вещество столь часто прояв-
проявляется в форме хорошо локализованных частиц.
Но трудности чисто волновой теории такого рода становятся
еще более ясно видны, если внимательно исследовать сами
эксперименты по дифракции волн вещества. Рассмотрим пучок
моноэнергетических электронов, проходящий через поликристал-
поликристаллическую мишень; на экране, расположенном за мишенью, мы
наблюдаем центральное темное пятно, соответствующее прохо-
дяшей волне, которое окружено концентрическими кольцами,
образованными дифрагировавшей волной. Предположим, что
падающая волна есть волновой пакет ty(r,t), хорошо разграни-
разграниченный в пространстве; этого можно добиться, поместив (рис. 7)
интенсивный источник 5 катодных лучей за диафрагмой D, снаб-
снабженной обтюратором с фиксированным временем пропускания.
Эта волна проходит через пластинку С, разделяется на проходя-
проходящую и дифрагировавшую волны и, наконец, образует на экране
описанную выше интерференционную картину. По предположе-
предположению мы имеем дело с непрерывной протяженной волной, то же
самое можно сказать об интерференционной картине. Если при
прочих равных условиях уменьшать интенсивность падающей
волны (например, удаляя источник 5 от диафрагмы D), то про-
пропорционально должна уменьшаться интенсивность интерферен-
интерференционных пятен, но сами они по-прежнему должны оставаться не-
непрерывно распределенными. Опыт полностью опровергает этот
17) Исключением из »<щег» правила является гармонический осциллятор
(см. гл. VI).

§ 8. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ДУАЛИЗМА ВОЛНА - ЧАСТИЦА
67
вывод. Оказывается, что интерференционная картина образо-
образована большим числом отдельных дискретных точек. При умень-
уменьшении интенсивности падающей волны пропорционально умень-
уменьшается число этих точек. В пределе очень слабой интенсивности
можно наблюдать до одной точки, расположенной либо на месте
центрального пятна, либо же на дифракционных кольцах.
Естественно приписать каждую точку воздействию прошед-
прошедшего через систему одного электрона, т. е. одной частицы веще-
вещества.
Заметна полная аналогия между ситуацией, описанной здесь,
и опытами по рассеянию света на решетке, обсуждавшимися в
Рис. 7. Дифракция электронов на поликрнсталлической пластинке. Пучок
электронов из источника S коллимируется диафрагмой, а затем дифраги-
дифрагирует на поликрнсталлической пластинке С. Дифракционная картина наблю-
наблюдается на экране Е.
первой главе. Можно продолжить эту аналогию и сделать вы-
вывод, что наиболее простое истолкование дуализма волна — час-
частица имеет статистическую основу в том смысле, что интенсив-
интенсивность волны в каждой точке экрана дает вероятность попадания
электрона в эту точку.
§ 8. Универсальный характер дуализма волна — частица
Из всего предшествовавшего мы делаем вывод, что микро-
микроскопические объекты обладают чрезвычайно общим свойством
обнаруживать себя в двух на первый взгляд несовместимых
аспектах: с одной стороны, как суперпозиция волн, с другой —
как частица, т. е. локализованная порция энергии и импульса.
Между этими аспектами поведения микроскопических объектов
существует вполне универсальное соотношение соответствия,
выражаемое формулами E). Кроме того, связь между корпус-
корпускулам^ и ассоциированными волнами имеет статистическую
природу, которую мы уточним в дальнейшем.

68 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРГДИНГЕРА
Раздел II. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 9. Закон сохранения числа частиц вещества
Все, что было сказано ранее, выясняет и подчеркивает заме-
замечательное подобие свойств света и вещества. Следует, однако,
отметить одно очень важное различие. Даже в простейших
ситуациях число присутствующих фотонов может изменяться
во времени благодаря процессам испускания и поглощения. На-
Напротив, число электронов и вообще число элементарных частиц
вещества остается постоянным. На это указывают многие факты
атомной физики, да и сами успехи квантовой механики систем
частиц подтверждают справедливость этого важного закона со-
сохранения. На самом деле мы не имеем здесь абсолютного закона
сохранения, и различие между веществом и светом в этом пункте
не столь очевидно, как это может показаться. С момента откры-
открытия (Андерсон, 1932 г.) позитрона — частицы той же массы, что
и электрон, но противоположного заряда — стало известно, что
в некоторых обстоятельствах возможно образование электрон-
позитронных пар (испускание вещества), с другой стороны элек-
электрон и позитрон при столкновении могут аннигилировать (погло-
(поглощение вещества), освобождая энергию в виде излучения. Со*
гласно закону эквивалентности массы и энергии, энергия, необ-
ходимая для порождения пары электрон — позитрон, по мень-
меньшей мере равна 2пгс2 («1 Мэв). Другой пример испускания
электронов (или позитронов) дает р-распад атомных ядер. Но
если ограничиться явлениями атомной физики, то позитроны от-
отсутствуют, ядра устойчивы, а все передачи энергии по величине
ниже порога образования электрон-позитронных пар; в этой си-
ситуации закон сохранения числа частиц строго соблюдается,
В дальнейшем мы будем рассматривать только этот случай.
Закон сохранения числа частиц существенно упрощает по-
построение и истолкование квантовой теории вещества. Различные
квантовые системы, изучаемые нами, обычно состоят из данного
числа частиц вещества. Простейшая система включает только
одну частицу (например, электрон во внешнем поле); ассоциирог.
ванная волна ^?(г, t) в каждый момент времени есть функция
координат, характеризующих положение этой частицы в про-
пространстве. Атом водорода есть система из двух частиц (элек-
(электрона и протона), находящихся во взаимодействии; соответ-
соответствующая волна Ч?(ге, rp; t) зависит от положений ге и гр этих
двух частиц. Сложный атом состоит из ядра с зарядом Ze в
точке R и Z электронов в точках ги г2, .... rz\ ассоциированная
волна выражается некоторой функцией 4?(R, f\, r2 rz;t).
Сходным образом определяются волновые функции более слож-
сложных систем.

§ 10. НЕОБХОДИМОСТЬ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 69
§ 10. Необходимость волнового уравнения и условия,
которым оно должно удовлетворять
Мы видели, что интенсивность ассоциированной волны в дан-
данной точке в данный момент времени дает вероятность найти
частицу в этой точке в этот момент времени. В квантовой меха-
механике мы постулируем, что волновая функция Ч*1 квантовой си-
системы полностью определяет динамическое состояние системы,
т. е. что все предсказания, которые могут быть сделаны относи-
относительно различных динамических свойств системы в данный
момент времени t, следуют из значения функции Ч*1 в этот мо-
момент времени t. Основная задача теории может быть
сформулирована так: зная волновую функцию в начальный мо-
момент времени to определить ее значения в последующие моменты
времени. Для этого необходимо знать уравнение распростране-
распространения волны ЧЛ
Вполне очевидно, что искомое уравнение не может быть
получено путем какого-либо дедуктивного рассуждения. Как
всякое уравнение математической физики оно должно быть
постулировано; единственным оправданием того или иного вы-
выбора служит сравнение теоретических предсказаний, получаемых
с помощью уравнения, с результатами эксперимента. Тем
не менее выбор уравнения лимитируется a priori некоторыми
условиями, вытекающими из требований, налагаемых на функ-
функцию Ч*1:
А) Уравнение должно быть линейным и однородным; тогда
волна удовлетворяет принципу суперпозиции, характерному для
волновых процессов в общем случае. Именно, если W\ и 4*2
являются решениями уравнения, то и всякая линейная комби-
комбинация Xi^Fi + АгЧ'г этих функций есть решение того же
уравнения.
Б) Уравнение должно быть дифференциальным уравнением
первого порядка относительно времени; именно в этом случае
знание Ч? в данный начальный момент времени оказывается
достаточным для определения последующей эволюции Ч*1, со-
согласно гипотезе о том, что динамическое состояние физической
системы полностью определяется заданием W.
С другой стороны, предсказания теории должны совпадать
с предсказаниями классической механики в области справедли-
справедливости последней. Другими словами, уравнение должно приво-
приводить к тем же законам движения волновых пакетов, что и тео-
теория де Бройля в приближении геометрической оптики. Это зна-
значит, что искомое уравнение должно обладать формальным сход-
сходством с некоторыми уравнениями классической механики (прин-
(принцип соответствия).

70 ' ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Следуя этим указаниям, мы довольно просто придем к
уравнению Шредингера. Но прежде нам следует ввести одно
математическое понятие, которое окажется чрезвычайно полез-
полезным в дальнейшем: понятие оператора.
§ 11. Понятие оператора
Рассмотрим функцию dW/dt, т. е. производную по времени
от Ч*1; можно сказать, что оператор d/dt, действуя на функцию W,
дает функцию dW/dt. В общем случае, если некоторая опера-
операция позволяет сопоставить каждой функции Ч*1 в некотором
функциональном пространстве одну и только одну вполне опре-
определенную функцию W в том же пространстве, то говорят, что
W' есть функция, получаемая в результате действия некоторого
оператора А из этого пространства на функцию W, и записы-
записывают это так:
Оператор А является линейным, если его действие на функ-
функцию Xi^i + VP2, т. е. на линейную комбинацию f i и f 2 с по-
постоянными (комплексными) коэффициентами (Wi и W2 принад-
принадлежат одному пространству), выражается формулой
A (A,?, + VFj) = Я, (/№,) + Я2 (AW2).
Среди операторов, способных действовать на волновые функ-
функции Ч*1 зз 4f(r; t) = W(x, у, z; t), ассоциированные с частицей,
можно выделить два особенно важных типа линейных опера-
операторов:
1° дифференциальные операторы dldx, д/ду, д/dz, d/dt и
2° операторы вида f{r,t), действие которых состоит в умно-
умножении функции W на функцию f(r, t).
Исходя из некоторых линейных операторов, можно получать
другие линейные операторы с помощью следующих алгебраиче-
алгебраических операций:
а) умножения оператора А на постоянную с
б) составления суммы S = А-\- В двух операторов
в) получения произведения Р = АВ, где оператор В умно'
жается на оператор А
Отметим, что, в отличие от суммы, произведение двух опера-
операторов не коммутативно. В этом состоит очень важное различие

§ 12. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ 71
между алгеброй линейных операторов и алгеброй чисел. Произ-
Произведение АВ не обязательно тождественно произведению В А;
в первом случае оператор В первым действует на функцию W,
затем оператор А действует на функцию (б^Р) и дает оконча-
окончательный результат; во втором случае операторы А и В пере-
переставлены между собой. Разность АВ — В А двух произведений
называется коммутатором операторов А я В; коммутатор обо-
обозначается символом
[А,В] = АВ-ВА. (8)
Если указанная разность равна нулю, говорят, что операторы
коммутируют
АВ = ВА.
В качестве примера некоммутирующих операторов укажем
оператор f{x), т. е. оператор умножения на заданную функцию
/(.г), и оператор дифференцирования д/дх. Действительно, ка-
какой бы ни была функция у?:
Иначе говоря,
и, в частности,
ЫЙ-1- <10>
Напротив, все операторы дифференцирования д/дх, д/ду, d/dz,
d/dt коммутируют между собой.
Типичным примером линейного оператора, полученного пу-
путем умножения и суммирования линейных операторов, является
оператор Лапласа
А = div grad = VV = -|V + --гт + -fr,
который можно рассматривать как скалярное произведение са-
самого на себя векторного оператора градиента V = (д/дх, д/ду,
djdz).
§ 12. Волновое уравнение для свободной частицы
Теория волн вещества позволяет без затруднений написать
волновое уравнение для свободной частицы в нерелятивистском
приближении. Действительно, волна Ч^г;/) может быть пред-
представлена как суперпозиций
W (г, 0 = J F {р\# 0"-«w» dp

72 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
плоских монохроматических волн ехр[г(рг — Et)/fi], причем час-
частота E/fi связана с волновым вектором р/fi соотношением, свя-
связывающим энергию и импульс частицы
Р2
Образуя частные производные от обеих частей равенства A1)
(здесь мы не обсуждаем математических вопросов сходимости
соответствующих интегралов), получим последовательно:
ih -|- ? (г, 0 = \ EF (р) е{ и»-™ dp, A3)
LЧцг (г, t) = J pF (p) ё (рг-бш dp, A4)
-h2 A4f (r, t) -= J p2F (p) e1 ipr-вт dp. A5)
Согласно соотношению A2) подынтегральные выражения
в уравнениях A3) и A5) пропорциональны друг другу, то же
можно сказать и о самих интегралах. Поэтому
/А-^-^(г, 0= -~№(r, t). A6)
Это и есть уравнение Шредингера для свободной частицы; оно
удовлетворяет условиям А) и Б), см. § 10; из самого вывода сле-
следует, что уравнение удовлетворяет требованиям принципа со-
соответствия. Имеет место формальная аналогия с классической
механикой: уравнение A6) представляет собой как бы кванто-
квантовый аналог классического уравнения A2). При этом энергия
и импульс на квантовом языке представляются дифференциаль-
дифференциальными операторами, действующими на волновую функцию со-
согласно правилам соответствия
E^th±, p->4V-
Таким образом, величина р2 = р2х + р2у + р\ представляется опе-
оператором
Подобно соотношению A2) уравнение A6) не удовлетво-
удовлетворяет, естественно, принципу относительности. В то же время
теория де Бройля сама по себе не имеет подобного ограничения.
Чтобы получить релятивистское уравнение для свободной час-
частицы, разумно следовать той же схеме рассуждений, что и выше,
но заменить уравнение A2) его релятивистским аналогом. Пра-
Правильное соотношение Б = -у/р2с2 + т2с* не подходит по причине

§ 13. ЧАСТИЦА В ОБЛАСТИ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦИАЛА 73
наличия квадратного корня. Чтобы обойти эту трудность, можно
использовать соотношение
откуда получается, уравнение
которое можно записать в виде
?•)>(', 0 = 0 A9)
1 -д2
с помощью оператора Даламбера Пнз-^--^—А- Между
уравнениями; A8) и A9) существует то же формальное соответ-
соответствие, что и между уравнениями A2) и A6).
Уравнение A9), известное как уравнение Клейна — Гордона,
играет важную роль в релятивистской квантовой теории. По-
Поскольку это уравнение не удовлетворяет критерию Б), оно не
может рассматриваться как волновое уравнение без соответ-
соответствующего изменения интерпретации функции W. Вообще го-
говоря, само утверждение, что волновая функция может пред-
представлять динамическое состояние одной и только одной частицы,
имеет смысл только в нерелятивистском пределе, когда справед-
справедлив закон сохранения числа частиц. Поэтому в дальнейшем мы
будем изучать именно нерелятивистское волновое уравнение.
§ 13. Частица в области действия скалярного потенциала
Чтобы образовать волновое уравнение частицы при наличии
потенциала V{r), начнем с «приближения геометрической
оптики» и попробуем написать уравнение распространения для
волнового пакета Ч^г, t), следующее из теории де Бройля.
Центр пакета перемещается как классическая частица, по-
положение, импульс и энергию которой мы обозначим соответ-
соответственно как гкл, ркл и Екл. Эти величины связаны соотношением
2
?кл = Н (ГКЛ, Ркл) = -^ + У (Гнл), B0)
где Н(гкл,Ркл) есть классическая функция Гамильтона. Предпо-
Предположим, что V(r) явно от времени не зависит (консервативная
система), хотя это требование не является существенно необ-
необходимым в наших рассуждениях. Следовательно, Екл есть ин-
интеграл движения, а гкл и ркл являются вполне определенными
функциями времени. В условиях нашего приближения V(r)

74 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
остается практически постоянным на расстояниях порядка раз-
размеров области протяженности волнового пакета; поэтому
t). B1)
С другой стороны, если ограничиваться малыми интервалами
времени, когда относительные изменения ркл пренебрежимо
малы, то можно рассматривать ^?(r, t) как суперпозицию пло-
плоских монохроматических волн типа A1), причем частоты близки
к ?Кл/й, а волновые векторы близки к ркл/й. Поэтому можно
считать, что
ft B2)
V
а взяв дивергенцию от последнего выражения, получаем
-tfW(r,t)&plj4>(r,t). B3)
Комбинируя соотношения B1), B2) и B3) так, чтобы удовле-
удовлетворить соотношению B0), находим
т it w+ш A4f ~ уУ ~ (?кл - & - v
Волновой пакет ^(г,/) удовлетворяет, по крайней мере при-
приближенно, волновому уравнению искомого типа. Мы приходим
к естественному выводу, что это уравнение можно принять как
уравнение волны частицы при наличии потенциала. Постули-
Постулируем, что в самом общем случае, даже когда не выполняются
условия приближения «геометрической оптики», волна W удов-
удовлетворяет уравнению
(?)(r,0. B4)
Это — уравнение Шредингера для частицы, находящейся в об-
области действия потенциала V(r).
§ 14. Заряженная частица в электромагнитном поле
Предшествующие рассуждения могут быть повторены в более
сложных ситуациях, когда, например, потенциал V явно зави-
зависит от времени или когда частица с зарядом е движется в элек-
электромагнитном поле, описываемом векторным A(r,t) и скаляр-
скалярным ф(г, t) потенциалами. В последнем случае классическое со-
соотношение B0) следует заменить (см. задачу 1.4) на
0' B5)

§ 15. ОБЩЕЕ ПРАВИЛО ПОСТРОЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 75
Изучение движения волнового пакета в приближении «геомет-
«геометрической оптики» заставляет нас принять в качестве волнового
уравнения следующее:
й Ь Ч ('• О - [ гКт V -Т *)" + «Р] ^ (г, 0. B6)
Это — уравнение Шредингера для заряженной частицы в элек-
электромагнитном поле18).
Уравнения B4) и B6) суть обобщения уравнения A6)
и в отношении этих уравнений можно сделать аналогичные за-
замечания. Это линейные однородные уравнения в частных про-
производных первого порядка относительно времени (условия А)
и Б)). Они получаются из классических соотношений B0) и B5)
с помощью операции соответствия, определенной в A7).
§ 15. Общее правило построения уравнения Шредингера
по принципу соответствия
Обобщая операцию соответствия, можно сформулировать
метод получения уравнения Шредингера, приложимый в самых
общих случаях.
Рассмотрим классическую динамическую систему, уравнения
движения которой получаются из функции Гамильтона
H{qi,...,qn\p\,...,PR',t). Эта функция зависит от координат
<7ь ..., qR системы в пространстве конфигураций, от соответ-
соответствующих импульсов ри ..., рц и от времени t. Полная энергия
системы есть
E=H(qu ..., qR; р, pR\ t). B7)
Этой классической системе мы ставим в соответствие кванто-
квантовую систему, динамическое состояние которой представляется
18) В правой части уравнения B6) оператор 1-rV А) есть ска-
Й е
лярный квадрат векторного оператора — V -А; результат действия
I С
этого оператора на W есть сумма выражения
и двух других выражений, получаемых путем замены х на у и г, или
SA42^(AV4) + (
1С \ 1С
Необходимо учитывать, что составляющие оператора V и оператора А
в общем случае не коммутируют.

76 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
волновой функцией 4?(qu •-., qii;t), определенной в конфигура-
конфигурационном пространстве. Волновое уравнение получается путем
замены в обеих частях соотношения B7)
l AL (r=l,2 R). B8)
E^ihlj, p, ^ (r=l,2 R).
Подразумевается, что результат действия обеих частей равен-
равенства B7), рассматриваемых как операторы, на W один и тог
же. Запись этого обстоятельства дает уравнение Шредингера
квантовой системы:
..., qR; /) =
Яя, т-Щ- Т^О4^1' •••• ?*!'). B9)
Оператор fi(qu ..., qR; — 7^ > • • •» Т ?"; ')
?; ') называется
оператором Гамильтона или гамильтонианом рассматриваемой
системы.
Важно отметить, что сформулированное правило соответ-
соответствия не определяет уравнение Шредингера единственным об-
образом. Имеются две причины, приводящие к неоднозначностям.
Первая причина состоит в том, что указанное выше правило
не инвариантно по отношению к замене переменных в конфи-
конфигурационном пространстве. Проиллюстрируем это обстоятель-
обстоятельство на простом примере свободной частицы в пространстве
двух измерений. Исходя из функции Гамильтона х2m y в де-
декартовых координатах, мы получаем уравнение
Если же перейти к полярным координатам (г, ф), то нетрудно
получить после простых вычислений следующее уравнение для
волновой функции Ч?(г, q>;t), рассматриваемой как функция по-
полярных координат:
2 , 1 д . 1 д
Если же правило соответствия применить непосредственно
в функции Гамильтона, выраженной в полярных координатах
(
^—(Pr + 7^"J' т0 мы ПОЛУЧИМ ДРУгое уравнение, а именно

§ 15. ОБЩЕЕ ПРАВИЛО ПОСТРОЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 77
Чтобы избежать подобной неоднозначности, мы условимся при-
применять правило B8) только в том случае, когда координаты q
суть декартовы координаты 19).
Вторая причина неоднозначности связана с тем обстоятель-
обстоятельством, что согласно правилу B8) мы вместо классических вели-
величин, подчиняющихся обычной алгебре, подставляем операторы,
которые в общем случае между собой не коммутируют. По-
Поэтому, вообще говоря, эквивалентным формам функции Гамиль-
Гамильтона могут соответствовать различные гамильтонианы. Так,
двум эквивалентным классическим выражениям для кинетиче-
, ч рг 1 1 I
скои энергии (одномерная задача), -?— и т= PQP—т=- соот-
2/п 2/п V<7 V<7
Й2 дг Л2 ( 1 д д \ \
ветствуют операторы и 1 —=. а =г )=
2/п а?2 2/п W"? дЯ дЯ V<7 /
Ъ2 ( д2 , 1 \ fc2/o ,
н= [ 1 ) которые отличаются на величину nz/omq-.
2m \ dq2 4<72 /
Никакое правило, основанное на соответствии с классиче-
классической механикой, не может разрешить этих противоречий, ибо
они проистекают из некоммутативности операторов, которая,
в свою очередь, связана с существованием кванта действия Ь.
Следует поэтому фиксировать форму функции Гамильтона эм-
эмпирическим путем. Во всех случаях, имеющих практический
интерес, надлежит действовать согласно следующим предпи-
предписаниям.
В декартовых координатах функция Гамильтона представ-
представляется в виде суммы следующих членов: квадратичной по р
формы (не зависящей от q), некоторой функции, зависящей
только от q, и, возможно, линейной по р функции вида
Yipiftiqu • • -, c/r)- Если функция Гамильтона приведена
в этом виде, то последний член в сумме заменяется на «симмет-
ризованное» выражение -i-?[ptft(qu ..., qR)+ft(gu ¦¦¦, <Jr)Pi],
i
а затем применяется правило соответствия B8).
«Симметризация» членов, линейных по р, как мы увидим
в гл. IV, есть необходимое условие согласованности статистиче-
статистического истолкования волновой функции. Примером системы, при
19) Это условие ие произвольно. Оно автоматически обеспечивает инва-
инвариантность формы уравнения Шредингера при повороте осей координат. Мо-
Можно впрочем сиять это ограничение и сформулировать правило соответствия
в ковариантной форме, вводя подходящую метрику в конфигурационном про-
пространстве и заменяя в B8) операцию djdq, на операцию ковариантного диф-
дифференцирования (см. по этому поводу: L. Brillouin, Les Tenseurs en Mecani-
que et en Elasticite, Masson, Paris, 1938, p. 200; см. также: В. Паули, Общие
принципы волновой механики, Гостехиздат, М. 1947, с. 68).

78 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
рассмотрении которой необходима указанная манипуляция,
является частица в электромагнитном поле (уравнения B5)
и B6)).
Закончим этот параграф важным примером. Напишем урав-
уравнение Шредингера для сложного атома, состоящего из ядра
с зарядом Ze и массой М и Z электронов с зарядом —ей мас-
массой т. Функция Гамильтона включает Z + 1 членов кинетиче-
кинетической энергии, Z членов кулоновского взаимодействия электро-
электронов с ядром и -^Z(Z-l) членов кулоновского отталкивания
между парами электронов, т. е.
2 ^
Pi V"< Ze2 . n e2
Urn ~~ 2-j \R — rt\ ' 2-i \rt — ri
P2
2M ~
i=\ i-\
Отсюда мы получаем уравнение Шредингера
ih-^-^iR, rx rz;f) =
где оператор А/? есть оператор Лапласа по отношению к век-
вектору R (т.е. д2/дХ2-\- 02/dY2 + d2/dZ2), а оператор А,-есть опера-
оператор Лапласа по отношению к радиусу-вектору i-ro электрона.
В частности, в случае атома водорода {Z = 1) уравнение
записывается в виде
(здесь М — масса протона, гр — его радиус-вектор, а ге — ра-
радиус-вектор электрона). В первом приближении можно считать,
что протон имеет бесконечную массу, и рассматривать атом водо-
водорода как электрон, находящийся в притягивающем кулоновском
поле —е2/г, причем г обозначает положение электрона в си-
системе координат, начало которой совпадает с положением про-
протона (по предположению — неподвижного). Волновая функция
электрона удовлетворяет уравнению Шредингера:
»?*<'• 4 = (--|гА-4) *<''*>• C2)

§ 17. ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ 79
Раздел III. СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
§ 16. Исследование стационарных состояний
Уравнение Шредингера квантовой системы формально запи-
записывается в виде
ih-^4f=Hy?. C3)
Предположим, что гамильтониан Н от времени явно не зави-
зависит. Это случай консервативных систем, соответствующих клас-
классическим системам, для которых энергия есть интеграл движе-
движения. Образуем решение W, представляющее динамическое со-
состояние с определенной энергией Е.
Такая волновая функция Ч*1 должна обладать вполне опре-
определенной круговой частотой со, соответствующей соотношению
Эйнштейна Е = ha>. Напомним, что это соотношение между
частотой волны и энергией системы составляет основной посту-
постулат теории волн вещества. Функция *Р записывается в виде
-tML
h
C4)
где i|) зависит от координат в конфигурационном пространстве,
но не зависит от времени. Подставляя это выражение в уравне-
уравнение C3), получаем уравнение
Яф = Е$, C5)
которое обычно называется уравнением Шредингера, не зави-
зависящим от времени, или стационарным уравнением Шредингера.
Когда система представляется волновой функцией C4), го-
говорят, что она находится в стационарном состоянии с энер-
энергией Е, а волновая функция i|), не зависящая от времени,
обычно называется волновой функцией стационарного состоя-
состояния, хотя она отличается от истинной волновой функции фазо-
вым множителем е п .
§ 17. Общие свойства уравнения. Структура
энергетического спектра
Чтобы облегчить изложение, продолжим обсуждение на част-
частном примере частицы с массой m при наличии скалярного по-
потенциала V(r). Предположим, кроме того, что V (г)-*•(), когда
г-+оо. Функция 1|з зависит от вектора r(x,y,z), фиксирующего
положение частицы, а уравнение Шредингера, не зависящее от

80 ГЛ. II. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРЛ
времени, запишется в виде
. C6)
На языке теории уравнений с частными производными уравне-
уравнение типа C6) называется уравнением на собственные значения.
Решение $е{г) этого уравнения есть собственная функция, со-
соответствующая собственному значению Е оператора Н.
В действительности задача на собственные значения опреде-
определена только если сформулированы условия «регулярности»
и граничные условия, которым должна удовлетворять функ-
функция i|). Условия, накладываемые на функцию ty{r), должны,
конечно, согласовываться с общей интерпретацией волновой
функции. Мы вернемся в этой теме в гл. IV. Потребуем здесь,
чтобы функция и ее частные производные первого порядка
были непрерывными и ограниченными функциями во всем
пространстве.
В этом случае можно доказать справедливость следующих
результатов, которые мы примем как данные, но будем иметь
возможность проверить их на многочисленных примерах.
а) Если Е < 0, то уравнение C6) имеет решения только
при некоторых определенных значениях Е, образующих дискрет-
дискретный спектр. Собственная функция для любого собственного зна-
значения (или каждая функция, если их несколько) обращается
в нуль на бесконечности. Точнее говоря, интеграл \ | -ф (г) |2 dr,
распространенный на все конфигурационное пространство, схо-
сходится. Согласно статистической интерпретации это значит, что
вероятность найти частицу на бесконечности равна нулю, час-
частица остается локализованной в конечной области простран-
пространства. Говорят, что частица находится в связанном состоянии.
б) Если Е > 0, то уравнение C6) может иметь решения
при любых положительных значениях Е. Говорят, что положи-
положительные энергии образуют непрерывный спектр. Соответствую-
Соответствующие собственные функции не обращаются в нуль на бесконеч-
бесконечности, их асимптотическое поведение аналогично поведению
плоской волны eikr. Точнее говоря, модуль |ij)(r)| стремится
к конечной постоянной или осциллирует между значениями, из
которых по крайней мере одно отлично от нуля. Частица не
остается локализованной в конечной области. Волновые функ-
функции этого типа служат для описания задач столкновения; гово-
говорят, что мы имеем дело с частицей в несвязанном состоянии, или
в стационарном состоянии рассеяния.
Таким образом, мы получаем первый фундаментальный ре-
результат: квантование уровней энергии связанных состояний,
т. е. один из самых впечатляющих экспериментальных фактов,

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 81
обусловивших крушение классической теории. Определение
квантованных уровней энергии представляется здесь как задача
нахождения собственных значений. Решение этой задачи с наи-
наибольшей возможной степенью точности является одной из цент-
центральных задач волновой механики. Для некоторых особенно
простых форм гамильтониана задача может быть решена
строго. Именно таким является случай атома водорода (мы рас-
рассмотрим его подробно в гл. XI), когда уровни энергии оказы-
оказываются собственными значениями оператора [—(Ь2/2т)&—е2/г].
Получаемый спектр совпадает с тем, который предсказывала
старая квантовая теория; мы уже имели случай подчеркнуть
удивительное совпадение этого спектра с экспериментальными
данными. В более сложных ситуациях следует использовать раз-
различные приближенные методы. Но во всех случаях, когда уда-
удавалось вычислить спектр энергий с достаточной степенью точ-
точности, согласие с опытом оказалось настолько хорошим, на-
насколько этого вообще можно было ожидать от нерелятивистской
теории.
Сама собственная функция т|)? может быть подвергнута
в определенной мере экспериментальной проверке. Действи-
Действительно, собственные функции дискретного спектра используются
при вычислениях различных наблюдаемых величин, например,
вероятностей квантовых переходов. Что же касается собствен-
собственных функций непрерывного спектра, то их асимптотическая
форма непосредственно связана с эффективными сечениями,
характеризующими явления рассеяния, что будет подробно вы-
выяснено в дальнейшем. В области нерелятивистской атомной фи-
физики до сих пор не было обнаружено ни одного случая расхож-
расхождения между предсказаниями волновой механики и экспери-
экспериментальными данными.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В эксперименте пытаются наблюдать за движением электрона по кру-
круговой боровской орбите атома водорода, измеряя последовательные положе-
положения электрона с помощью достаточно жестких рентгеновских лучей.
Оценить порядок величины передачи кинетической энергии электрону ДГ
при столкновении с рентгеновским фотоном в зависимости от длины волны
последнего. Чтобы можно било наблюдать движение вдоль орбиты, необхо-
необходимо, во всяком случае, чтобы X была значительно меньше радиуса орбиты.
Сравнить в этом случае AT с расстоянием между соседними уровнями. Что
можно сказать о возможности наблюдения боровски.ч орбит?
2. В релятивистской механике полная энергия Е и импульс р свободной
тс2
частицы с массой покоя т и скоростью v равны соответственно — -

82 ГЛ. П. ВОЛНЫ ВЕЩЕСТВА И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Проверить, что уравнения движения могут быть запн-
V
саны в гамильтоновой форме, если в качестве функции Гамильтона взять
величину Я = Е = л/т2с* + р'гс2.
Получить равенство скорости этой частицы и групповой скорости vg
ассоциированной волны де Бройля. Вычислить фазовую скорость о этой
волны; показать, что она превосходит скорость света с н что о о = с2.
3. Проверить обосиоваииость классического описания движения атома
в двухатомной молекуле. Для этого, предполагая, что атом совершает гар-
гармонические колебания с круговой частотой со и средней кинетической энергией
порядка xlikT, сравнить среднюю длину волны атома с амплитудами этих
колебаний. Рассмотреть сиачала случай молекулы водорода в условиях обыч-
обычных температур: Г = 300 °К, kT — 0,025 эв, Йсо = 0,5 эв, а затем случай
молекулы из тяжелых атомов с массой в 200 масс водорода, предполагая,
что возвращающая сила в обоих случаях одинакова. Сделать это для Г =
= 300°К и 7"= 10 °К.
4. Электрон движется по круговой траектории в постоянном магнитном
поле 2ё. Применить для этого вращательного движения условие резонанса де
Бройля. Показать, что кинетическая энергия электрона квантуется, уровни
энергии эквидистантны и расстояние между ними равно (еН/тс)Ж— этот ре-
результат отличается от результата строгой квантовой теории только смеще-
смещением всех уровней на величину (еЙ/2тс)Ж Вычислить радиус орбит, количе-
количество движения и кинетическую энергию квантованных траекторий для поля
в 104 гс. Сравнить радиус орбиты с квантовым числом единица с радиусом
боровской орбиты атома водорода в основном состоянии. Примечание. Сле-
Следует различать импульс р и количество движения mv в этой задаче. Если А
есть векторный потенциал поля, то
р = mv+ (e/c)A.
5. Используя тот факт, что произвольная волна может рассматриваться
как суперпозиция плоских волн, показать, что в отсутствие поля волна ве-
вещества ^(Гг, t2) в точке г2 в момент t2 может быть получена из значений
i), взятых в момент t\, с помощью операции
V (г», '»)=$* (П ~ ri; h ~ U) ? (г,. /,) rfr,, A)
где
dp.
В этом выражении Е как функция р равна энергии соответствующей частицы
с импульсом р. Показать, что для нерелятивистской частицы с массой /п
*"

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 83
Вывести отсюда, что главный вклад в интеграл A) дает область, около
точки г2 с линейным размером порядка I s 1 .
6. Как изменить метод решения предыдущей задачи, чтобы он мог быть
применен к случаю частицы в одном измерении? Пользуясь этим методом,
найти волновую функцию в момент времени t свободной нерелятивистской ча-
частицы массы т, если волновая функция в момент t = 0 есть
Интенсивность (квадрат модуля) этой волиы в момент / = О выражается
гауссовой кривой ширины go. Показать, что форма кривой интенсивности
остается гауссовой в любой последующий момент времени, но ширина кри-
кривой увеличивается согласно закону
*_* (\ i т* У»
Ь~Ч ли
(расплывание волнового пакета).

ГЛАВА III
КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
§ 1. Введение
Чтобы познакомиться ближе с уравнением Шредингера до
рассмотрения проблем истолкования и интерпретации кванто-
квантовой теории, мы изучим волновую механику физических систем
в одном измерении. Одномерные задачи интересны не только
как простые модели, позволяющие обнаружить некоторые осо-
особенности, которые встретятся нам в более сложных случаях, но
также и потому, что многие задачи после соответствующих пре-
преобразований могут быть сведены к проблеме решения уравне-
уравнений, аналогичных одномерному уравнению Шредингера.
Рассмотрим частицу массы т, способную перемещаться по
оси х под действием некоторого потенциала V(x). Уравнение
Шредингера записывается в виде
)). A)
Мы займемся исследованием стационарных состояний. Если Е
есть энергия стационарного состояния, то
4(x,t) = $(x)e-iEtlh, B)
причем функция ф (х) является решением стационарного урав-
уравнения Шредингера,
В этой главе мы используем обозначения
vw-?-vw, *-,?-.. D)
что позволяет переписать предшествующее уравнение в форме
0. E)
Это дифференциальное уравнение Штурма — Лиувилля; мы ин-
интересуемся ограниченными, непрерывными и дифференцируе-
дифференцируемыми его решениями во всем интервале (—oo,-f-°o).

§ 2. ОБЩИЕ СВОЙСТВА 85
Если такое решение существует, то всякое другое решение,
получаемое умножением на постоянный коэффициент, будет
обладать аналогичными свойствами, поэтому мы не будем раз-
различать решения, отличающиеся на постоянный множитель.
Если допустимы два линейно независимых решения, то всякая
их линейная комбинация также будет допустимым решением.
В этом случае говорят, что собственное значение имеет вырож-
вырождение кратности или порядка 2; по определению кратность или
порядок вырождения есть число линейно независимых собствен-
собственных функций, принадлежащих данному собственному значению.
Уравнение E) вещественно (V(x) есть вещественная функ-
функция л'). Если Ир есть собственная функция, то ее действительная
и мнимая части также являются собственными функциями
(в случае отсутствия вырождения они отличаются только на
постоянный множитель). Поэтому для нахождения всех соб-
собственных функций, соответствующих данному собственному
значению, достаточно знать все действительные собственные
функции. Это замечание существенно упрощает вычисления.
В первом разделе мы рассмотрим точно решаемую задачу
на собственные значения в случае некоторых прямоугольных
потенциалов. Особенное внимание будет обращено на различия
между квантовыми и классическими движениями, а именно на
квантование уровней энергии связанных состояний и явления
отражения волн, резонанса и прохождения потенциальных
барьеров несвязанными «частицами». Во втором разделе мы
подвергнем систематическому изучению уравнение E) для про-
произвольного потенциала U(x). Это позволит нам распространить
на общий случай некоторые результаты, полученные в первом
разделе.
Раздел I. ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ
§ 2. Общие свойства
Для проявления типично квантовых эффектов необходимо,
чтобы потенциал U(x) заметно изменялся на расстояниях по-
порядка длины волны. Наиболее простым типом потенциала, от-
отвечающего этому требованию, является прямоугольный потен-
потенциал: это потенциал, обладающий разрывами непрерывности
первого рода (т. е. резкими скачками конечной величины)
в некоторых точках, а между этими точками постоянный. Ось х
таким образом подразделяется на некоторое число интервалов,
в каждом из которых потенциал имеет вполне определенное
постоянное значение.
Наличие разрывов первого рода у потенциала U(x) не из-
изменяет условия регулярности, которым должна удовлетворять

86 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
функция Пр. Действительно, согласно уравнению Шредингера,
Следовательно, в точках скачков потенциала функция Ир" также
разрывна, но первообразная ар', а также Ир остаются всюду не-
непрерывными функциями.
Пусть теперь Ui есть значение (постоянное) потенциала
U{x) в ?-ом интервале (i = 1,2, ...,п). Общее решение в этой
области есть линейная комбинация экспоненциальных функ-;
ций. Но поведение решения существенно зависит от знака
Если 8 >> Ut, то мы имеем комбинацию экспонент с мнимыми-
показателями: е'*'* и e~lki>'(kt = Vе — Ut), T- e. фактически
комбинацию синуса и косинуса; поведение решения имеет
«осцилляторный» характер.
Если же е < Ui, то имеет место комбинация действитель-
действительных экспонент е*'х и е~у''х (и/ = л/и{ — е) . В этом случае мы
говорим, что решение имеет «экспоненциальный» характер пове-
поведения.
Чтобы написать общее решение дифференциального урав-
уравнения, сначала выражают его в виде линейной комбинации экс-
экспонент (действительных или мнимых) в каждом из п интерва-
интервалов. Параметры этих комбинаций (число их равно 2п) нахо-
находятся из условий непрерывности функции и ее производной
в точках разрыва непрерывности потенциала. Это дает 2(п— 1)
условий, поскольку имеется п—1 точка разрыва. Общее реше-
решение таким образом, оказывается зависящим от двух произволь-
произвольных параметров, что и следовало ожидать. Чтобы получаемое
решение было собственной функцией необходимо, чтобы оно
было ограничено на всей оси, т. е. оказывалось ограниченным
в каждом из пределов я—»-!-00 их-» — оо. Заметим, что если
энергия е меньше значения потенциала во всем интервале
(—оо,+°°), то общее решение всюду имеет экспоненциальный
характер. Вторая производная Ор" всюду имеет тот же знак,
что и сама функция ар. Отсюда нетрудно вывести, что общее ре-
решение экспоненциально растет при х-*- — с» или jc->+°° или
же в обоих случаях. Задача на собственные значения при этом
не имеет решения. Отметим, что и в классической механике
движение возможно только, если энергия превосходит значение
лотенциала хотя бы в некоторой части интервала (—оо,-|-сх>).
Если е превосходит хотя бы одну из величин Ui, то суще-,
¦ствование и число собственных функций зависят от харак-
характера поведения (осцилляторного или экспоненциального) об-
общего решения в двух бесконечно удаленных концах оси х.

§ 3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН 87
§ 3. Скачок потенциала. Отражение и прохождение волн
Простейшим примером прямоугольного потенциала является
резкий скачок потенциала (п = 2), представленный на рис. 8.
( U{, если х > О (область /),
'~1 U2, если х<0 (область //).
Будем считать для определенности, что ?/2 > U\.
Возможны два случая:
a) U2 > е > U\. Общее решение имеет осцилляторный ха-
характер в области / (х > 0) и экспоненциальный характер в об-
области // (х < 0). Чтобы это решение могло явиться приемле-
приемлемой собственной функцией необходимо, чтобы в области // оно
было экспоненциально затухающим. Всегда существует одно-
и только одно решение, удовле-
удовлетворяющее этому условию. Каж-
дое значение е в указанном ин- ,
тервале является невырожден- ' *
ным собственным значением:
спектр энергии непрерывный не-
невырожденный. Общее решение
имеет вид:
A\ sin(fe|jc + 4>) x > 0,
\U(x)
х<0.
Условия непрерывности опреде- Рис. 8. Скачок потенциала,
ляют у с точностью до постоян-
постоянной. Вместо того, чтобы рассматривать непрерывность функции
и ее производной, удобнее потребовать непрерывности функции
и ее логарифмической производной у'/у. Непрерывность лога-
логарифмической производной определяет фазу
Ф определяется с точностью до слагаемого пп, так как за-
замена ф на ф + я эквивалентна замене знака амплитуды Аи
Примем для <р значение
^ = &xz\.g~, Fa>
причем arctg выражает значения этой функции в интервале
(/2/2
+)
Непрерывность функции определяет отношение
именно
k\ /8 — U i гс<\

•88 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
б) е > ?/2. Общее решение имеет осцилляторный характер
во всем пространстве и является поэтому допустимой собствен-
собственной функцией. Каждому значению е соответствуют две линейно
независимые собственные функции; спектр собственных значе-
значений непрерывный двукратно вырожденный.
Образуем собственную функцию, поведение которой в об-
области // имеет вид e~ikiX. Она определяется с точностью до по-
постоянной, которую мы выберем так, чтобы коэффициент при
члене e~iklX в области / был равен единице. Иначе говоря
e-ik,x _|_ %eik,x х>0,
e-ik* x<0. G'
Постоянные (вообще говоря, комплексные) R и 5 определяются
условиями непрерывности в точке х = 0. Непрерывность лога-
логарифмической производной дает
а непрерывность самой функции —
Комплексно сопряженная функция %* есть собственная
функция, линейно независимая с %. Все собственные функции,
соответствующие собственному значению е, могут быть запи-
записаны как линейные комбинации % и %*•
Сравним полученные результаты с теми, которые дает клас-
классическая механика. Движение классической частицы в рассмат-
рассматриваемом потенциале различно в случаях а) и б).
В случае а) классическое движение соответствует движению
частицы с энергией {Ь2/2пг)г. Частица, приходя из +оо, про-
пробегает положительную полуось с постоянной скоростью bki/m
в направлении уменьшения х, затем упруго отражается от
точки х = 0 и уходит обратно с той же скоростью в бесконеч-
бесконечность. Чтобы описать аналогичное движение в волновой меха-
механике, следует построить волновой пакет из волн типа ye~iEtlb
с близкими энергиями. Вместо функции F) удобнее использо-
использовать волну
e-ika _ ei (ft,x+2j>) Х> 0,
х<0 (8)
получаемую, если у разделить на у/Л^""'41; мы пишем индекс
е, чтобы указать, что это собственная функция, соответствующая

§ 3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН 89"
собственному значению е. Рассмотрим волновой пакет
оо
?(*,/)=$/ (*; - ft,) *.. (х) е-ч'Чь dk\. (9>
о
Фуйкция / (k\ — &,) есть достаточно регулярная действи-
действительная функция k[, обладающая резким максимумом при
k[ = kl (штрих у k\ здесь не имеет отношения к производной
по х; смысл величин k\, г', Е' и их взаимные связи очевидны).
Дабы устранить ненужные сложности, примем, кроме того, чта
f(k[ — кЛ обращается в нуль при k[2 > U2 — Ur Таким обра-
образом, функция ^(х, t) образована суперпозицией собственных
функций случая а) с характерным множителем e~iE'ilh, учиты-
учитывающим зависимость от времени. По самому построению W яв-
является решением уравнения Шредингера, зависящего от вре-
времени. Нетрудно представить себе, как эта функция меняется во
времени, если обратиться к исследованию свободных волновых
пакетов (гл. II).
В области I решение W(x, t) есть суперпозиция двух вели-
величин: «падающего волнового пакета»
Y, (x, t)=\jf(k'l- ft,)e~'*i Vi*'«*dkl (tOa>
о
центр которого —(l/Ъ) (dE/dki)t = —vtf перемещается со ско-
скоростью V\ = hki/m в отрицательно» направлении и достигает
точки х = 0 в момент t = 0, и «отраженного волнового пакета»
Wr (х, 0 = - \ f (k[ - kt) e C*iJC+2<P Je-ti'm dk\, A06)
о
центр которого х = V\t — 2dyldk\ перемещается со скоростью Vi
в противоположном направлении и покидает начало координат
в момент
который отличается от момента / = 0 прихода «падающего вол-
волнового пакета» в точку х = 0. Движение центра волнового па-
пакета, таким образом, почти идентично движению классической
частицы. Единственное отличие состоит в запаздывании т, кото-
которое обнаруживает центр пакета при отражении отточки разрыва
непрерывности потенциала х = 0, тогда как отражение класси-
классической частицы происходит мгновенно. Заметим по этому по-
поводу, что само рассмотрение движения центра пакета имеет.

$0 ГЛ. Ш. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
смысл только, если форма пакета не слишком меняется за время
движения. Это условие выполняется в случае падающего волно-
волнового пакета, пока его центр отстоит от начала координат на
расстоянии, большем, чем ширина пакета Ах. Чтобы то же
условие выполнялось для отраженного волнового пакета необ-
необходимо, кроме того, Чтобы ширина А/г максимума функции f
была достаточно малой. При этом фаза ф не меняется заметно
в области, дающей наибольший вклад в интеграл (9), если
Ak(d(f/dk\) -С 1. Поскольку пространственные размеры Ах па-
пакета порядка 1/Afe, это условие можно записать в виде
Ах»^. * A2)
Следовательно, Ax/yi »т. Пакет волн настолько широк, что
время, за которое он пересекает весь некоторую точку на оси,
значительно больше запаздывания, вызванного отражением.
Помимо запаздывания х имеется еще.одно отличие между
движением классической частицы и отражением квантового
волнового пакета. Волна W не всегда равна нулю в области //.
Исследование, аналогичное вышеприведенному, показывает, что
W равна произведению фактора 2A2eK'x/Ai на величину, прини-
принимающую заметные значения в промежуток времени, близкий
моменту <=т/2;г-этот промежуток можно рассматривать как
время столкновения с потенциальной «стенкой» в точке х = 0.
Таким образом, в этот момент времени существует отличная
от нуля вероятность найти частицу в области II, в то время как
классическая частица никогда не проникает в эту область.
Рассмотрим теперь случай б). В этом случае имеются два
возможных классических движения, соответствующих одному
значению энергии1). В одном частица пробегает всю ось от
-f-оо до —оо, причем ее скорость, постоянная и равная V\ =
= hk\/m в области /, меняется скачком от v\ до у2 = Ш^т
в точке разрыва непрерывности потенциала; в дальнейшем
частица движется со скоростью v% до —оо. Другое возможное
движение есть в точности противоположное движение частицы,
пробегающей ось х в положительном направлении со скоростью
v2 в области // и скоростью vi в области /.
Сравним эти классические движения с движениями волно-
волновых пакетов, находящихся в тех же начальных условиях. Сде-
Сделаем это для первого из движений (перемещение в отрица-
отрицательном направлении). Действуя соответственно случаю а),
образуем волновой пакет, аналогичный формуле (9), как супер-
суперпозицию собственных функций, соответствующих собственным
') Этот факт следует сравнить с наличием двукратного вырождения в
¦соответствующей квантовой задаче.

§ 3. ОТРАЖЕНИЕ И ПРОХОЖДЕНИЕ ВОЛН 9!
значениям, близким е. Снабдим собственную функцию % типа
G) индексом е, чтобы отметить, что она зависит от энергии.
A priori пакет должен включать суперпозицию функций хв и уСк.
Но чтобы осуществить желаемые начальные условия, пакет
должен содержать только функции %г, что будет видно из даль-
дальнейшего. Запишем поэтому
оо
0=5 f(k'i-kl)x,(x)e-*'i'4lkfv
Единственное отличие от формулы (9) состоит в том, что мак-
максимум k\ = Vе — ^1 функции f находится в области энергий б),
а не в области а). Эволюция волнового пакета во времени ис-
исследуется аналогично формуле (9) и дает следующие ре-
результаты.
Мы констатируем, что начальные условия удовлетворяются,
а именно при t <C 0 функция W(x,t) практически равна нулю
в области //, а в области / заметный вклад дает только член
g-ife,^ т е шы получаем волновой пакет, центр которого х =
= —v\t перемещается как классическая частица со ско-
скоростью v\ в направлении уменьшения х и достигает начала
в момент t = Q. В дальнейшем W(x,t) разделяется на два па-
пакета: «проходящий волновой пакет»
Wt (x, 0=5 / (k\ - *,) S'e~ik2Xe-'E'"h dk[,
о
центр которого х = —v%t строго следует движению классиче-
классической частицы, и «отраженный волновой пакет»
оо /
4V (х, 0 = J f (*«-*«) Я'*'*1 V«'*/* dk'lt
о
центр которого х = v\t движется так, как классическая частица,
претерпевшая упругое отражение в точке х = 0. Существует,
таким образом, очень важное отличие от классического дви-
движения: квантовая «частица» имеет отличную от нуля вероят-
вероятность «отразиться» при прохождении точки разрыва потенциала.
Чтобы продолжить этот анализ, следует уточнить эту вероят-
вероятность, что будет сделано в гл. IV. Отметим здесь без до-
доказательства, что вероятность найти частицу в отраженной
волне равна
равна (k2fki)
а вероятность найти ее в прошедшей волне
2 (см. задачу IV. 2). Эти результаты согласо-
согласованы, так как сумма этих двух величин равна единице
\R\2 + ^-\S\2=l, A3)
«1

92 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
что легко проверить, подставляя в это уравнение выражения
Gа) и G6).
Величина
т k2 .о 12—
называется коэффициентом прохождения. Эта величина растет
с энергией и стремится к 1, когда е-»-оо. Можно сказать,
что в этом пределе мы получаем результат классической ме-
механики.
Можно заметить, что Т есть симметричная функция k\ и &2.
Следовательно, волна той же энергии, но распространяющаяся
в противоположном направлении (от области // к области /),
имеет одинаковый коэффициент прохождения: он не зависит от
направления движения.
Все эти результаты не могут очень удивить, если принять
во внимание аналогию с распространением световой волны.
Рассматриваемая выше задача вполне эквивалентна задаче
о распространении светового сигнала в непоглощающей среде
с переменным показателем преломления. В случае а) показа-
показатель переходит от действительного значения (среда /) к зна-
значению мнимому (среда //) в точке х = 0: имеет место полное
•отражение. В случае б) показатель остается действительным,
но значения его в средах I и II различны: резкое изменение
локазателя сопровождается частичным отражением.
§ 4. Бесконечно высокий потенциальный барьер
Предельным случаем предшествующей задачи является за-
задача о частице, встречающей бесконечно высокий потенциаль-
потенциальный барьер. Предположим для определенности, что U(x) = "
= +оо, когда х <С 0. Мы находимся в ситуации, аналогичной
случаю а), когда ?/2—*+оо. Из формул F), Fа), F6) в этом
предельном случае (х2->оо) следует, что волна обращается
в нуль в точке х = 0.
Это общий результат, не зависящий от формы функции
U(x) в области х > 0. Действительно, волновая функция в об-
области х < 0 по необходимости принимает форму AeKiX, ее лога-
логарифмическая производная есть *с2. В пределе, когда по-
потенциал V2 стремится к бесконечности, х2 также становится
бесконечным. Значит функция должна иметь бесконечную лога-
логарифмическую производную в точке х = 0, т. е., иными словами,
•обратиться в нуль.
Таким образом, в предельном случае бесконечно высокого
потенциального барьера волновая функция должна обращаться
•в нуль на границе этого барьера.

§ 5. БЕСКОНЕЧНО ГЛУБОКАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА
93
U(x)
§ 5. Бесконечно глубокая потенциальная яма.
Дискретный спектр
В качестве второго простого примера мы рассмотрим случай
бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной ямы. Зна-
Значение потенциала на дне 'ямы будем считать началом отсчета
значений энергии. Эта область ну-
нулевого потенциала занимает некото-
некоторый участок оси (—L/2, +L/2); с
обеих сторон интервал ограничен
бесконечно высокими потенциаль-
потенциальными барьерами (рис. 9).
Задача о собственных значениях
сводится к нахождению функции \|),
обращающейся в нуль в точках
+L/2 и —L/2 и удовлетворяющей
в интервале (—L/2, +L/2) уравне-
уравнению Шредингера
•ф" + еф = 0.
'2
Рис. 9. Бесконечно глубокая
прямоугольная потенциальная
Общее решение есть линейная ком-
комбинация sin&x и cos&x(& = Ve)- яма.
Решения, одновременно удовлетво-
удовлетворяющие двум граничным условиям, существуют только при не-
некоторых дискретных значениях е, а именно:
(п=1, 2, ..., оо)
A5)
(решения, для которых kL = пп). Каждому из этих значений еп
соответствует одна и только одна собственная функция (вы-
(вырождения нет), а именно:
пп
•ф„ —cos-7-jt при п нечетном,
pn — sm-j-x при п четном.
A6а)
A66)
Этот простой результат вызывает целый ряд общих замеча-
замечаний. Во-первых, данный результат принципиально отличается
от результата классической механики. В том же потенциале
классическая частица может двигаться при любой положитель-
положительной энергии. Это будет периодическое движение туда и обратно
между двумя потенциальными стенками, находящимися на кон-
концах интервала (—L/2, +L/2). В квантовой механике движение

94 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
может иметь место только при некоторых определенных дискрет-
дискретных значениях энергии2): энергия частицы, квантуется.
Второе замечание касается четности собственных функций3).
Функции четные, если п нечетно (уравнение A6а)), и нечетные,
если п четно (уравнение A66)). То обстоятельство, что соб-
собственные функции обладают определенной четностью, связано
со свойствами потенциала, который является четной функцией
относительно начала координат:
Проблема четности во всей полноте будет рассмотрена в § 14.
Последнее замечание относится к числу узлов собственных
функций. По определению узлы суть точки, в которых функция
обращается в нуль (за исключением нулей на концах интервала
—L/2 +L/2). Число узлов монотонно растет с ростом собствен-
собственного значения энергии, оно увеличивается на единицу при пе-
переходе от некоторого собственного значения к ближайшему по-
последующему: собственная функция основного состояния ^ не
имеет узлов, ..., собственная функция п—1-го возбужденного
состояния \|)n имеет п— 1 узел и т. д. Полезно подчеркнуть ана-
аналогию с числом узлов стационарных состояний закрепленной
на концах колеблющейся струны. Сходство здесь полное, так
как математически обе задачи тождественны.
§ 6. Конечная потенциальная яма. Резонансы
Результаты, полученные нами на примерах скачка потен-
потенциала и бесконечно глубокой потенциальной ямы, помогут нам
рассмотреть более сложные случаи. В качестве нового примера
возьмем потенциал, изображенный на рис. 10. Здесь функция
U(x) принимает вид:
[ U\ х > а (область /),
1= U,
U(x) = lU2 a>x>b (область//),
( U3 b>x (область ///),
причем U2 < U\ < U3.
Задача о собственных значениях представляется различной
в зависимости от величины е по сравнению с постоянными
Uи U2 и U3.
a) U2 < е < Uи Дискретный спектр и связанные со-
состояния.
2) Период классического движения равен й/Д?, где Д? — расстояние
между ближайшими уровнями, в согласии с принципом соответствия.
3) Функция f(x) есть четная функция, если f(x) = f(—х), и нечетная,
если f(x) = —{(—х).

§ в. КОНЕЧНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. РЕЗОНАНСЫ
95
Общее решение ведет себя экспоненциально во внешних областях / и
///, а во внутренней области характер его поведения осцилляториый. Чтобы
быть приемлемым в качестве собственной функции, решение должно экспонен-
экспоненциально затухать в обеих внешних областях. Существует одно и только одно
решение, экспоненциально затухающее в области /, а также одно и только
одно решение, затухающее в области III; эти два решения согласованно сши-
сшиваются только при некоторых опре-
определенных дискретных значениях е. ^
Мы делаем заключение, что энергети- ^
ческий спектр по необходимости дис-
дискретен и не вырожден.
Функция ij), по предположению
вещественная (ср. стр. 85), в каж-
каждой из трех областей имеет, вид:
ф = { А2 sin (k2x + ф)
х > а,
а > х >
Ь> х.
A7)
Рис. 10. Конечная прямоугольная по-
потенциальная яма.
Если фаза ф известна, то два усло-
условия непрерывности функции опреде-
определяют постоянные А,, А<А, Л3 (с точ-
точностью до постоянного множителя).
Что же касается ф, то она должна удовлетворять одновременно двум уело
виям непрерывности логарифмических производных:
кг ctg (k2a + ф) ¦— — щ, k2 ctg (k2b + ф) =
иными словами
A8)
Ф = — k2a — arctg — + пп (л — целое положительное),
Ф = — k2b + arctg ——
A9)
<Ф определяётф^с точностью до слагаемого ля; мы требуем, чтобы k2b + q>
находилось в интервале (—я/2;+я/2)). Это возможно в том и только в том
случае, когда правые части двух последних уравнений равны. Указанное ра-
равенство может быть реализовано только при некоторых дискретных значе-
значениях е„ величины е, а именно при тех значениях, которые удовлетворяют
уравнению
ля — k2(a — 6)== arctg—- + arctg—. B0)
Введем следующие обозначения:
К = yUi — Uj, L = b — a, cos у = Л I -гг тг-
V Uz— U2
и новую переменную
в— U2
Уравнение может быть записано в виде условия на \:
«я — %K.L = arcsin | + arcsin (| cos v).
Последнее уравнение графически решено на рис. 11. Когда е растет от ?/2
до U\, | растет от 0 до 1, а правая часть уравнения растет от 0 до я — у,
следуя кривой С (которая зависит только от параметра у). В то же время

96
ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
левая часть уравнения уменьшается от ля до пп — KL, следуя отрезку пря-
прямой Dn. Чтобы С и Dn пересекались, необходимо и достаточно, чтобы целое
число л было достаточно малым:
Если KL < у, собственных значений нет; если у =S KL ^ я + У, то сущест-
существует одно собственное значение еь если л + у ^ KL < 2п +у, имеется два
собственных значения ei и 62(ei < е2) и т. д. Легко видеть, что собственные
значения располагаются в порядке возрастающих л. Они образуют дискрет-
дискретную и конечную последовательность — от основного собственного значения ei
Рис. П. Графическое решение задачи о дискретных собственных значениях:
| = [(е — U2)I{U\ — Ui)]'1*. Собственные значения суть точки пересечения
кривой (С), заданной уравнением / (|) =» [arcsin § + arcsin (| cos у)]1л, и
каждой из прямых (Dn): у (?) = » — (КШ)% (принято \ = я/3, KL/я^Ь).
до максимального собственного значения, соответствующего наибольшему це-
целому числу, не превосходящему 1 + (KL— у)/я.
Квантовое число л имеет вполне определенный математический смысл.
Рассмотрение уравнений A9) показывает, что функция sin(ft2* + cp) обра-
обращается в нуль л— 1 раз, когда х пробегает интервал (а, Ь). Но, следуя урав-
уравнению A7), нули этой функции совпадают с нулями i|). Следовательно, число
узлов собственной функции, соответствующей л-ому собственному значению
е„, есть л — 1.
В заключение можно провести сравнение с классической ситуацией, как
это было сделано в случае бесконечно глубокой потенциальной ямы. Теперь
помимо квантования энергии следует отметить дополнительное отличие; по-
поскольку волновая функция сохраняет отличные от нуля зиачения в областях
/ и III, существует отличная от нуля вероятность найти частицу и в этих об-
областях, куда доступ классической частице полностью запрещен.
б) Ui < е < Us- Спектр непрерывный невырожденный. От-
Отражение волны.
Мы находимся в ситуации, аналогичной случаю а) в за-
задаче о скачке потенциала. Каждому значению е соответствует

§ в. КОНЕЧНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. РЕЗОНАНСЫ 97
одно и только одно всюду ограниченное решение, именно то,
которое экспоненциально затухает в области ///: в интервале
(Ui, Uz) спектр собственных значений непрерывный и невырож-
невырожденный.
Мы ищем решение в виде
е-а,х ц_ е1 <*'*+ад х > а,
sin (k2x + <p2) a>x>b, B1)
b>x.
Как и в предшествующих задачах, условия непрерывности ло-
логарифмической производной определяют фазы qpi и ф2. Находим
^ + arctg [-||- tg(*2L + arctg -g-
в то же время непрерывность самой функции позволяет опре-
определить А и В.
Далее мы будем предполагать, что U3 — е > е—U2 откуда
&2 «С Хз и, следовательно, k\ <c из- Все происходит так, как если
бы область /// характеризовалась бесконечно отталкивающим
потенциалом, так что В = 0. Интересующими нас величинами
ЯВЛЯЮТСЯ ф! И А2.
Условимся, что а = 0, b = —L, и положим
Тогда после элементарного расчета
Ф, = arctg (itgE*
Л2 Ч2
¦П2 + cos2 1Kb -
При возрастании энергии фаза ф1 более или менее регулярным
образом растет, в то время как величина А2, измеряющая отно-
относительную интенсивность волны в области //, осциллирует
между значениями r|2/( I -f- rj2) и 1. Осцилляции тем более зна-
значительны, чем больше KL и чем меньше tj. Поэтому предполо-
предположим в дальнейшем, что
KL>n,
В этом случае А2 как функция т]2 (т. е. энергии) обнаруживает
серию острых максимумов ширины 4ц/KL, отстоящих друг от
друга на 2я/KL. На рис. 12 показано это замечательное поведе-
поведение А2, а также ф1 в условиях нашего приближения.
4 А, Мессна

98
ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Мы сталкиваемся с явлением типично волнового характера,
с явлением резонанса. Для некоторых ограниченных областей
изменения энергии (ширины 4ц/КЬ) интенсивность волны во
внутренней области порядка 1: эти резонансные энергии соот-
соответствуют условию фг = (п+1/2)я, т. е. область // содержит
2п
0,2
Рис. 12. Резонансы отражений. Изменение Л2 и q>i (см. уравнение B1)) в за-
зависимости от энергии. Кривые соответствуют KL = (b — а) ¦у/и1 — U2 = 100.
По оси абсцисс отложена переменная тJ = (е — Ui)l(Ui — U2)
я+1/2 «полуволн». Вне этих резонансных областей интенсив-
интенсивность очень мала.
Как и в случае задачи со скачком потенциала, мы можем
сравнить движение волнового пакета типа (9) с движением
классической частицы в том же потенциале. Приходя из +оо
с постоянной скоростью i)i = (ЬК/т)х), классическая частица
испытывает резкое ускорение при х = 0, пробегает область //
со скоростью v2 = (й/C/m) Vl +Л2. отражается в точке х = —L,
движется в противоположном направлении со скоростью v2
в области //, затем со скоростью vi в области /. Время, кото-

§ 6. КОНЕЧНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА. РЕЗОНАНСЫ 99
рое классическая частица проводит в области //, равно ткл =
= 2L/v2. Центр волнового пакета движется аналогичным обра-
образом, по крайней мере в области очень больших х, где па-
пакет не слишком сильно деформирован, так что понятие его
центра сохраняет смысл. Все происходит так, как если бы он
осуществил то же самое движение за исключением того, что
«время, проведенное в области II» равно не ткл, а т =
= B/ui)dcp/d&i = B/viK)d(fi/df]. Мы не будем вдаваться в де-
детали этого исследования, вполне аналогичного проведенному на
стр. 89. Поведение различных величин, упоминавшихся выше,
сведено в следующую таблицу:
Начальная энергия
В резонансе
Посередине между дву-
двумя резонансами
Ф1
пл
(¦+т)«
dk{
L
Lr,2
т
Ткл
1
А2
1
Л2
Между резонансами А2 остается очень малой величиной, вре-
время прохождения области // т мало по сравнению с тКл: волновой
пакет практически не проникает в область //, волна почти пол-
полностью отражается от точки х = 0. Эта ситуация аналогична
оптической, где резкое и значительное изменение показателя
почти всегда вызывает полное отражение. Наоборот, в резо-
резонансе А2 = 1, волна полностью проникает в область // и ос-
остается там относительно долгий промежуток времени, значи-
значительно больший Ткл. Согласно условию A2) полученная кар-
картина справедлива только для достаточно пространственно про-
протяженных пакетов, больших чем размеры области //
((dcpi/d&i) = L в резонансе), и, следовательно, передний фронт
волнового пакета достигает точки отражения х = —L значи-
значительно раньше того, как волна завершит прохождение точки
скачка потенциала х = 0. Этот эффект имеет чисто волновую
природу — происходит интерференция между падающей и отра-
отраженной волнами в области //.
в) е > ?/3- Спектр непрерывный и вырожденный. Отраже-
Отражение и прохождение волн.
Эта ситуация аналогична случаю- б) в задаче со скачком потенциала.
Всякому значению в сответствуют две линейно независимые собственные
Функции: в интервале (?/з, оо) спектр собственных значений непрерывен и
все собственные значения дважды вырождены.
4*

100 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Как и в задаче со скачком потенциала построим собственную функцию
в виде
-ik.x ik.x
е ' + Re l x > а,
Pe-ik*x + Qeik*X a>x>b, B2)
S*-'*»' b>x.
Условия непрерывности в точках а и Ь позволяют определить R, Q, Р и S. Не
входя в детали вычислений, приведем результаты для величин R и S. Исполь-
Используем следующие обозначения:
К К К
Получаем
д _ SOi - S) cos 1Л-/, + г (j2 - T)g) sin
| (t) + ?,) cos |^Ci — i (^2 + Л?) sin
с = ,-WL 2tj|
(т) + g) cos 1/CL - i (I2 + Л?) sin \KL '
Эти выражения позволяют сравнить движение волнового пакета, образован-
образованного из волн типа B2) с близкими энергиями, с движением классической ча-
частицы той же энергии в том же потенциале.
Начальный волновой пакет (образованный в области / из волн е ' )
перемещается в области / с постоянной скоростью Vi = hki/m и встречается
с областью //; после столкновения он разделяется на пакет отраженных волн
ik х
(образованный волнами Re l в области /), перемещающийся со скоростью
v\ к +оо, и пакет проходящих волн (образованный волнами Se 3 в обла-
области ///), перемещающийся со скоростью 1>з к —оо. Таким образом, в отличие
от классической частицы волновой пакет всегда только частично проходит
в область ///, и можно определить коэффициент прохождения
^3 I n |
cos2 \KL + (I2
как мы это уже делали в случае скачка потенциала.
Здесь мы тоже замечаем, что при равной энергии коэффициент прохо-
прохождения не зависит от направления движения (т) и ? входят симметрично в
выражение для Т). Можно проверить и равенство
|fl|i + A|S|»-l. B4)
Относительная величина отраженной и проходящей волн изменяется с
Энергией и можно обнаружить существование явлений резонанса того же
типа, что и в случае б). Они особенно заметны когда KL 3> я, Z, < т) -С 1
(т. е. Б = 1). В этом случае видно при исследовании уравнения B3), что ко-
коэффициент прохождения, рассматриваемый как функция rj2 (т. е. как функция
энергии), остается очень малым (порядка 4т|?) почти всюду, но обнаруживает
серию резких максимумов, равных 4я?/(т| + ?) 2- Ширина этих максимумов
равна примерно 4(т) + ?)IKL. Положения максимумов соответствуют энер-
энергиям, для которых в области // укладывается целое число п «полуволн», а
именно %KL = пп (расстояние между максимумами около 2njKL\.

§ 7. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
101
Можно продолжить это исследование, рассматривая фазы амплитуд R
и S, определить «время прохождения» проходящей волны или «время отра-
отражения» отраженной волны и сравнить эти величины со временем пересече-
пересечения области // классической частицей. Качественно получается следующая
картина: в резонансе волна остается концентрированной в области // в те-
течение промежутка времени, значительно (в (tj + g) —1 раз) превосходящего
классическое время, прежде чем разделиться на проходящую и отраженную
волны; вне резонанса волна практически не проникает в область //, она по-
почти полностью отражается на границе областей I n II причем почти мгно-
мгновенно (см. задачу 1).
§ 7. Прохождение прямоугольного
потенциального барьера. Туннельный эффект
В качестве последнего примера рассмотрим прохождение
прямоугольного потенциального барьера (рис. 13)
{О х > L (область /).
U0(>0) 0<x<L (область //),
0 х < 0 (область ///).
В этом случае все положительные значения е являются соб-
собственными значениями, двукратно вырожденными. Следует
рассмотреть две возможности: е может быть больше или меньше
Uo. В обоих случаях образуем решение, представляющее в об-
области /// волну, распростра-
распространяющуюся в отрицательном
направлении, т. е. решение
вида е~1лГ*х + Re'^ex для х > L
и Se~l^x для х<0.
Ее поведение в области //:
экспоненциальное: Аекх+Ве~кх,
если s < Uо (х = у Uо — 8 );
синусоидальное:
U(xh
у
Ceikx + De~ikx, если е > Uo
Рис. 13. Прямоугольный барьер
Ограничимся тем, что дадим результат вычисления коэффи-
коэффициента прохождения (рис. 14):
48 (8 - Uo)
4е (Uo - е)
sh2
если e > Uo;
если e < Uo.
48(?/0-8)-
Как и в предшествующих параграфах, можно сравнить дви-
движение волнового пакета типа (9),образованного из написанных

102
ГЛ. 111. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
выше волн, с движением классической частицы, приходящей
из +°°-
Наиболее показательное различие имеет место при е< Uo.
Классическая частица отражается от барьера, не имея возмож-
возможности его преодолеть. Волновой пакет разделяется на отражен-
отраженный пакет и пакет проходящий, причем интенсивность послед-
последнего никогда не обращается в нуль. При возрастании е от
0,5
Рис. 14. Изменение коэффициента прохождения в зависимости от энергии
для потенциального барьера, показанного на рис. 13. Принято ?/0L2 = 40.
нуля до Uo коэффициент прохождения монотонно растет от
нуля до значения A + i/0L2/4)-'. Явление прохождения части-
частицей потенциального барьера называется туннельным эффектом
и играет важную роль в теории радиоактивного а-распада. Ве-
Величина туннельного эффекта тем больше, чем меньше высота
барьера и его ширина.
Когда е > Uo, классическая частица замедляется в обла-
области //, но тем не менее пересекает ее и продолжает свой путь
в области /// в направлении —оо. Волновой пакет всегда, хотя
бы частично, отражается. Полное прохождение (Г=1) имеет
место только при некоторых значениях энергии, когда kL равно
целому числу п. При росте энергии коэффициент прохождения
колеблется между этим максимальным значением и минималь-
минимальным, равным 4е(е— ?/0)/Bе— UoJ. Эффект особенно заметен,
когда барьер очень высок или очень широк и когда кинетиче-
кинетическая энергия s — t/o в области // мала. Можно отметить сход-
сходство с резонансными явлениями, обсуждавшимися в предше-
предшествующих параграфах (см. задачу 2).

§ 8. СВОЙСТВА ВРОНСКИАНА 103
Раздел II. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ
ШРЕДИНГЕРА
§ 8. Свойства вронскиана
Вернемся к уравнению
y" + [e-U(x)]y = 0. B5)
Выведем несколько общих свойств этого уравнения на соб-
собственные значения. В дальнейшем будем требовать ограничен-
ограниченности вещественной функции U(x), допуская только конечное
число разрывов первого рода на всем интервале (—оо,-f-oo).
Большое число интересующих нас свойств этого уравнения
непосредственно вытекает из важной теоремы, касающейся
определителя Вронского, составленного из двух решений урав-
уравнения; эту теорему мы будем в дальнейшем называть теоремой
вронскиана.
Определителем Вронского, или вронскианом двух функций
у\ и г/2 называется выражение
Это выражение антисимметрично по отношению к перестановке
функций у\ и г/г- Если вронскиан равен нулю в некоторой точке
на оси х, функции у\ и г/2 имеют в этой точке равные логариф-
логарифмические производные; если вронскиан равен нулю на всем ин-
интервале (—оо,+оо), функции пропорциональны друг другу.
Теорема вронскиана. Если Zi и z2 являются соответ-
соответственно решениями уравнений
г? +ЗД г, = 0, B5')
z'2' + F2(x)z2 = 0 B5")
в интервале (а,Ь), где функции F\{x) и F2{x) непрерывны или
имеют разрывы только первого рода, то изменение вронскиана
на этом интервале дается выражением
W(ги г2) |» = J [Л (д) - F2(*)] zxz2 dx. B6)
а
Чтобы доказать эту теорему, умножим уравнение B5') на
г2, а уравнение B5")—на z\ и вычтем полученные выражения
одно из другого. Получаем
Первый член в круглых скобках есть (с точностью до знака)
производная вронскиана по х. Интегрируя равенство по х в ин*
тервале (а, Ь), получаем соотношение B6).

104 ГЛ. HI. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Эта теорема оказывается особенно полезной, когда уравне-
уравнения B5') или B5") являются уравнениями типа E) с одним
и тем же потенциалом U(x) и с заданными значениями энер-
энергии е. В этом случае получаем три важных следствия:
Следствие 1. Если у\ и у2 являются решениями уравне-
уравнения E), соответствующими значениям &\ и е2 постоянной е, то
для всяких двух значений а и Ь переменной х из области опре-
определения решений имеем
ь
x. B7)
Следствие 2. Если у и z являются двумя решениями
уравнения E), соответствующими одному значению е, их врон-
вронскиан не зависит от х
W (у, г) = const.
Следствие 3. Пусть Y(x;e) есть решение уравнения E),
логарифмическая производная которого (по переменной х)
имеет определенное значение fa в точке х = а, и пусть f(x;e)
есть логарифмическая производная этого решения в произволь-
произвольной точке х. Рассматриваемая как функция е, величина f(x;s)
является монотонной функцией этой переменной, растущей при
х < а и убывающей при х > а, причем производная равна
B8>
(как функция s, величина /(*;e) ведет себя подобно тангенсу
или котангенсу при наличии вертикальной асимптоты в каждой
точке, где Y(x) обращается в нуль).
Следствия 1 и 2 непосредственно вытекают из теоремы вронскиана. До-
Доказательство следствия 3 таково. Если е фиксировано, то решение уравнения
E) полностью определяется прн задании значения решения и его производ-
производной в некоторой точке х = а иа оси х. Пусть У(х; е) есть это частное ре-
решение:
Y(a;e) = ya< Y' (а; е) = у'а.
Если теперь изменять е, сохраняя неизменными указанные условия, то Y(x; e)
будет некоторой непрерывной функцией е (их). Двум бесконечно близким
значениям е, е + бе соответствуют два бесконечно близких выражения У,
У + 6Y. Применим к ним следствие 1 на интервале (а, Ь):
W(Y, Y + 6Y) |* = - бе § Y1 dx

§ 9. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ 105
При х = о согласно предположению W(Y, Y + 6У) = 0. Для всякого другого
значения х
W(Y, Y + 6К) = Y6Y' — Y'bY = К2б (у-) = l^f-
Здесь мы положили / = Y'/Y. Логарифмическая производная /, подобно Y,
является непрерывной функцией в и х. Поэтому
ь
или
что и требовалось доказать.
Свойства решений уравнения Шредингера, вытекающие из
указанных трех следствий теоремы вронскиана, имеют боль-
большое значение, так как эти свойства не зависят от конкретной
формы потенциала U(x).
§ 9. Асимптотическое поведение решений
Асимптотическая форма общего решения уравнения E) на
краях интервала (—оо,-)-оо) существенно зависит от знака
разности е—U при х, стремящемся к одному из пределов ±°о.
Рассмотрим асимптотическую форму решения при *->+оо.
Аналогичные результаты получаются и при х->-—оо. Допустим,
что е—U(х) не меняет знака, когда х превосходит некоторое
значение х0. При этом возможны два случая.
1) г>И{х), когда х>х0. Предположим (так обычно бы-
бывает на практике), что при х—¦оо функция U{x) монотонно
стремится к конечному пределу U+. Положим k = V8 — U + •
Мы покажем, что при х->оо:
— вещественные решения уравнения E) остаются огра-
ограниченными и бесконечно осциллируют между двумя противо-
противоположными значениями;
— если, кроме того, U(x) стремится к U+ быстрее, чем
1/х, то
у x~oA+sin(b + <p+), B9)
где А+ и ф+ суть две вещественные постоянные.
Для доказательства заметим, что уравнение E) «асимптотически стре-
стремится» к уравнению z" -f k2z = 0, общее решение которого есть A sin(fcH-<p),
т. е. зависит от двух произвольных постоянных Л и ф. Чтобы найти

106 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
асимптотическую форму у, введем (метод вариации постоянных) функпии
А(х) и <f(x), определенные равенствами
у = A sin (kx + <р), у' = Ak cos (kx + ф). C0)
Уравнение E) эквивалентно двум дифференциальным уравнениям первого по-
порядка:
4~= U~2k + 5'П2(^ + Ф)> ф' = ~ ^~/+ sfai»(** + q>).
Отсюда интегрированием получаем
ф (хо) ~ )
2k
I Xc
X
+- sin 2 [fel + Ф (?)] d\ |, C1)
Ф (ж) - ф (хо) ~ ) U{1) k U+ ^п2 [k\ + ф (|)] d\. C2)
Интеграл в правой части C1) сходится, поэтому при х-»-сю функция
А(х) стремится к конечному пределу А+. Далее, поскольку ф'-»-0, функция
sin(ftx + q>) в выражении C0) осциллирует с периодом, который асимптоти-
асимптотически стремится к 2n/k. Это доказывает первый из формулированных выше
результатов. Если, кроме того, U(x) стремится к U+ быстрее, чем 1/х, то
сходится и интеграл в правой части уравнения C2); в этом случае обе функ-
функции Лиф стремятся к конечным пределам А+ и ф+, соответственно, что до-
доказывает справедливость асимптотической формы B9).
2) е <?/(*), когда х> х0. Результаты, которые мы полу-
получим, не зависят от поведения U(x) на бесконечности. Предпо-
Предположим только, что
U (х) — е > М2 > 0 при х > х0.
Этот случай соответствует экспоненциальным решениям в за-
задачах с прямоугольным потенциалом.
Мы покажем, что при х—¦оо:
— существует одно частное решение (определенное с точ-
точностью до постоянного множителя) уравнения E), стремящееся
к 0 не медленнее, чем е~Мх;
— все другие решения стремятся к оо не медленнее,
чем еМх.
Поскольку решения определены с точностью до постоянной, фиксируем
эту постоянную условием у(хо) = 1 и рассмотрим поведение решений, удовле-
удовлетворяющих этому условию нормировки. Некоторые из таких решений пред-
представлены на рис. 15.
Обозначим через Y(x) и Z(x) частные решения, определенные условиями
К(хо) = 1, K'(xo)=0 и Z(xo)-O,
тогда искомые решения можно записать в виде
y(x) = Y (х) + fZ (x). C3)
Параметр / = у'(х0) может принимать все значения между —оо и +оо.

§ 9. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ
107
Решения Y(x) и Z(x) остаются положительными во всем интервале (Хо, °°)
и стремятся к бесконечности не медленнее, чем еМх. Действительно, как вся-
всякое решение уравнения E), эти функции всюду имеют тот же знак, что
и их вторые производные. Отсюда следует, если учесть начальные условия,
что они могут только бесконечно расти, причем график все время остается
выпуклым вниз. Чтобы оценить скорость возрастания, заметим, что Y" ^ МгУ
и Z" ~$* M2Z и сравним эти функции с решениями дифференциального уравне-
уравнения и" — М2и = 0, удовлетво-
удовлетворяющими тем же начальным y(x)i
условиям в точке дго, а именно
chM(x — Хо) и shM(x — *о),
соответственно; Y и Z всюду
больше этих решений (или рав-
равны им).
Применяя теорему вронс-
вронскиана, имеем
W(Y, chAf(x
поэтому
¦у- > Л1 th М (х - х0).
Интегрируя, получаем
Y > ch M (х — *„).
, Рис. 15. Диаграмма, представляющая не-
Аналогично доказываем, что которые решения уравнения E), удов-
Z^shM(x-x0). Заметим по- летв^ряющие условию у(хо)=*\ вслу-
ПУТНО- что чае, когда U (х) - в > М2 > 0 для х > хй.
Y' > MY th М (х — х0),
поэтому на бесконечности У ^ MY; аналогично на бесконечности Z' ^ MZ.
С другой стороны (следствие 2)
Z'Y — Y'Z = 1 при любом х. C4)
Введем функции
Y Y'
() ()
Из равенства C4) и того факта, что Y и Z являются решениями уравне-
уравнения E), следует:
Y Y' 1
Y'Z - YZ'
Y"Z' — Y'Z"
U-e
C5)
Z" Z'2
В интервале (х0, °°) и есть убывающая функция, а о — функция воз-
возрастающая, причем их разность на бесконечности обращается в нуль. По-
Поэтому они имеют общий (положительный) предел С при х-*-ао и
а {х)< С < и (х).
Учитывая C5), это неравенство можно переписать в виде
— ТтГ < ° ~ С < 0 < и — С <
1
ZZ''
C6)

108 ГЛ. 111. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Частное решение
К -CZ = [u {х) -C]Z (х)
и его производная
у' (лг)^Г - CZ' = [о (х) - С] 2' (х)
удовлетворяют всюду неравенствам
-^<Р'<0<у<т-
Всюду положительная функция # стремится к нулю не медленнее, чем X/Z' и,
следовательно, не медленнее, чем е~их. Всюду отрицательная функция у'
стремится к нулю не медленнее, чем е~м*. Решение у есть решение, обращаю-
обращающееся в нуль на бесконечности, которое мы ищем.
Не существует других решений, обладающих этим свойством, так как
если f ф —С, то решение у(х) может быть записано в виде
и его асимптотическое поведение совпадает с поведением функции Z с точ-
точностью до отличного от нуля множителя / + С.
§ 10. Структура спектра собственных значений
Пусть U+ и U- являются предельными значениями U(x)
при*->+оо и х—*¦—оо соответственно. Дальнейшие выводы
остаются справедливыми, если одно и (или) другое предельные
значения оказываются равными +оо. Величины U+ и U- делят
область изменения е на три области, в которых спектр соб-
собственных значений имеет различную природу. Положим, для
определенности, что U+ < U—
В области е > U- разность е— U(x) остается положитель-
положительной на обоих концах интервала (—оо,-|-оо). Всякое решение
уравнения E), ограниченное при х—>±°о, допустимо в каче-
качестве собственной функции, поэтому е есть двукратно вырож-
вырожденное собственное значение. Спектр собственных значений
непрерывный и вырожденный. С другой стороны, в обеих асим-
асимптотических областях собственные функции бесконечно осцил-
осциллируют между двумя противоположными конечными предель-
предельными значениями: они представляют несвязанные состояния.
В области U- > е > U+, где разность е—U(x) в пределе
х—*¦—оо отрицательна, существует только одно ограниченное
(экспоненциально убывающее) решение, в отрицательной асим-
асимптотической области. Это решение остается ограниченным и бес-
бесконечно осциллирует в другой асимптотической области, так
как разность е—U(x) в этой области положительна. Следо-
Следовательно, это решение допустимо в качестве собственной функ-
функции и представляет несвязанное состояние. Спектр собственных
значений непрерывный невырожденный.
Когда U+ > е, разность е—U(x) отрицательна в обеих
асимптотических областях. Ограниченное решение, если оно су-

§11. СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 109
ществует, обращается в нуль (эспоненциально) на обоих кон-
концах интервала (—oo,-j-oo) и представляет связанное состояние.
Но оно существует только при некоторых определенных дис-
дискретных значениях е. Действительно, пусть #_ есть решение,
обращающееся в нуль при х —*¦—оо, а у+—решение, обращаю-
обращающееся в нуль при х->--\- оо, f_ и f+ соответственно их логариф-
логарифмические производные в некоторой точке на оси к. Величина е
есть собственное значение в том и только в том случае, если
у- и у+ равны (с точностью до постоянного фактора), т. е. если
/_ = /+. Но, рассматриваемые как функции энергии е, /_ есть
монотонно убывающая функция, а /+—монотонно возрастаю-
возрастающая функция (следствие ЗL). Они могут быть равны друг
другу только при некоторых изолированных значениях е.
Спектр дискретный и невырожденный.
Число собственных значений дискретного спектра суще-
существенно зависит от формы функции U(x). Оно может изме-
изменяться от 0 до бесконечности. Число дискретных собственных
значений очевидно равно нулю, если функция U(x) всюду пре-
превосходит наименьшее (?/+) из двух асимптотических значений.
Вообще же можно показать (здесь мы это примем без доказа-
доказательства), что число дискретных собственных значений оказы-
оказывается порядка величины
где интегрирование распространено на ту область оси х, где
U(x)<.U+. В частности, если этот интеграл расходится, число
собственных значений дискретного спектра бесконечно.
§ 11. Состояния непрерывного спектра: отражение
и прохождение волн
Собственные функции непрерывной и двукратно вырожден-
вырожденной части спектра позволяют представить движение частично
проходящих и частично отраженных волновых пакетов в поле
потенциала U(x). Чтобы избежать трудностей, предполо-
предположим, что U(x) стремится к своим асимптотическим значениям
*) Дело идет о распространении следствия 3 иа случай, когда о = +оо
или о = —оо. Нетрудно видеть, что следствие по-прежнему справедливо, если
только несколько изменить определение функции Y(x, г). Эта функция дол-
должна быть решением уравнения E), обращающемся в нуль (вместе со своей
производной) в точке о( = ±оо). Заметим, что f- и f+ при некоторых значе-
значениях е могут обладать вертикальными асимптотами.

110
ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
U+ и U- быстрее, чем l/х, так чтобы можно было использовать
асимптотическую форму B9) вещественных собственных
функций.
Интересующие нас волновые пакеты могут быть построены
с помощью собственных функций двух типов. Функции первого
типа и(х) суть функции, поведение которых в двух асимптоти-
асимптотических областях выражается соотношениями
и ~ eik~x+Rue
-ik_x
Волновой пакет вида (9) представляет падающую волну eik-x,
движущуюся из —оо в положительном направлении, которая
затем попадает в зону действия
потенциала U(x) и разделяется
на отраженную волну Rue~lk~x>
движущуюся в противополож-
противоположном направлении и прошедшую
волну Suetk+X, распространяю-
распространяющуюся в направлении +°°
(рис. 16, а).
Функции второго типа v(x)
асимптотически представляются
формулами
v ~ S,.e~ik-X.
Рис. 16. Отражение и прохожде-
прохождение волны через потенциал: а) ре-
решение типа и: волна, приходящая
со стороны отрицательных х;
б) решение типа и; волна, прихо-
приходящая со стороны положитель-
положительных X.
e~ik+x ¦
что позволяет описать аналогич-
аналогичный волновой пакет, распростра-
распространяющийся в противоположном
направлении (рис. 16,6).
Функции и, v и комплексно
сопряженные функции и*, v*
являются решениями одного уравнения Шредингера. Рассмот-
Рассмотрим вронскиан, образованный двумя из этих решений, он не
зависит от х (следствие 2). Записывая условие его тождест-
тождественности в двух асимптотических областях, можно получить
соотношение между коэффициентами Ru, Su, Ro, So или комп-
комплексно сопряженными величинами. Существует столько соотно-
соотношений этого вида, сколько можно построить различных пар из
функций и, v, и*, v*, т. е. всего шесть соотношений, не завися-
зависящих от конкретной формы потенциала U(x).

S 11. СОСТОЯНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА JJ]
Получаем5):
- W (и, и') = k. A -1 Ru |2) = k+1Su I2, C7)
±W(v, v*) = -k_\Sv\2=-k+(l-\Rv\*), C8)
±W(u, v) = k_Sv = k+Stt, C9)
-i w («, о = - *_вд = k+sx,
а также еще два соотношения, получаемые из двух последних
переходом к комплексно сопряженным величинам.
Уравнения C7) и C8) называются соотношениями сохра-
сохранения потока; мы их уже проверили ранее в конкретных случаях
(уравнения A3) и B4)). Происхождение названия следует из
следующего истолкования волновой функции ф несвязанного
состояния в асимптотической области (обоснованность этого
истолкования мы подробно рассмотрим в гл. X при изучении
проблем рассеяния). Пусть Aeikx + Be~ikx есть форма волновой
функции ¦§ в одной из асимптотических областей, скажем при
х-*—оо. Если с помощью этой волновой функции образовать
волновой пакет вида (9), то он будет состоять из двух членов:
один, образованный из Aeikx, имеет относительную интенсив-
интенсивность \А\2 и распространяется в направлении возрастающих х
со скоростью bk/tn, другой, образованный из Be~ikx, имеет ин-
интенсивность |В|2 и распространяется с той же скоростью в про-
противоположном направлении. Полный поток частиц в некоторой
точке в направлении возрастающих х есть разность между
потоком (Ыг/т)\А\2 частиц, движущихся в положительном на-
направлении, и потоком {Ыг/т)\В\2 частиц, движущихся в отри-
отрицательном направлении. С точностью до постоянного множи-
множителя он равен вронскиану TF(i|), i|f):
Тот факт, что на концах интервала (—оо, -f-оо) вронскиан имеет
одинаковые значения, означает, что число частиц, входящих в
зону действия потенциала в единицу времени, равно числу ча-
частиц, выходящих из этой зоны в тот же промежуток времени.
Согласно этой интерпретации каждое из уравнений C7) и
C8) может быть записано в виде:
падающий поток — отраженный поток = проходящему потоку.
6) Вычисление особенно упрощается, если учесть свойство антисимметрич-
антисимметричности вронскиана и равенства
W{eikx, eikx) = w(e-ikx, е"ш)=0, IF(«-'**, eikx) = 2ik.

112 ГЛ. III КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
Следуя той же интерпретации, можно определить коэффи-
коэффициент прохождения Т отношением
У проходящий поток
падающий поток
В частности, имеем
k k
Т + I С 12. Т - I О |2
1и—^ 1°ц1> 'с—~^ I ^о I •
Учитывая равенство модулей обеих частей уравнения C9), по-
получаем равенство
TU = TV. D1)
При заданной энергии коэффициент прохождения волны не за-
зависит от направления распространения. Это — свойство взаим-
взаимности коэффициента прохождения, отмеченное уже на стр. 92
и 100. Можно сказать, что проницаемость барьера в обоих на-
направлениях одинакова.
Равенство модулей обеих частей уравнения D0) вместе с
соотношениями сохранения C7) и C8) вновь дает соотноше-
соотношение взаимности D1).
Из уравнений C9) и D0) можно получить также соотношения между
фазами комплексных амплитуд отражения и прохождения:
фаза (Su) = фазе (Sv),
фаза (?) -я- фаза
Эти соотношения могут представить интерес, если связывать фазы с некото-
некоторым «запаздыванием» в распространении волновых пакетов. Мы несколько
раз отмечали, что величина hd (фаза) /дЕ, т. е. умноженная на К производ-
производная фазы комплексных амплитуд отражения или прохождения по энергии
(величина с размерностью времени), может быть интерпретирована как «за-
«запаздывание» волны в явлениях отражения и прохождения. Это истолкование
распространяется и на общий случай.
§ 12. Число узлов связанных состояний
Рассмотрим теперь собственные функции (если они суще-
существуют) дискретного спектра. В этом случае нет вырождения;
следовательно, эти функции наверняка действительны с точно-
точностью до постоянного фазового множителя.
Вернемся к обозначениям на стр. 103. Предположим, что
функции у\ и t/2 действительны, е2 > ei и применим соотноше-
соотношение B7), взяв в качестве пределов интегрирования два после-
последовательных нуля функции ух. Получаем
dx.

8 13. СООТНОШЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ИЗ
В интервале (а, Ь) функция у\ сохраняет свой знак. Предполо-
Предположим, например, что у\ > 0. В этом случае у'1(а)>0, y[{b)<Q.
Следовательно, функция t/2 в интервале (а, Ь) наверняка меняет
знак. Если бы это было не так, то правая часть уравнения
имела бы знак t/2, а левая часть — противоположный знак. По-
Поэтому t/2 обязательно имеет по крайней мере один нуль внутри
интервала (а, Ь). Между двумя узлами у у всегда имеется по
крайней мере один узел уч.
Предположим, что у\ и у2 являются собственными функ-
функциями дискретного спектра. Обе они обращаются в нуль
(«экспоненциально») на границах интервала (—оо, +оо).Узлы
Ух (пусть число нх равно п\) делят весь интервал на щ + 1 ча-
частичных интервалов. К каждому из них можно применить толь-
только что доказанное свойство: функция у2 имеет по крайней мере
щ + 1 узел. Таким образом, собственная функция имеет тем
больше узлов, чем выше собственное значение, которому она
соответствует.
Повторяя рассуждения на стр. 109, касающиеся построения
собственных функций, и учитывая увеличение числа узлов
функций </_ и #+ по мере увеличения энергии е, можно получить
следующее более точное утверждение (задачи 4 и 5).
Если расположить собственные состояния по порядку возра-
возрастания энергии ei, e2, ..., еп, •¦., то собственные функции ока-
оказываются расположенными по возрастающему числу узлов. При
этом п-ая собственная функция имеет п — 1 узел и между каж-
каждыми двумя узлами п-ой функции имеется по крайней мере один
узел следующих по номеру собственных функций.
§ 13. Соотношения ортогональности
Другое важнейшее следствие теоремы вронскиана можно
получить, если в уравнении B7) устремить пределы интегриро-
интегрирования а и Ъ к —оо и +оо соответственно.
Пусть ух и t/2 суть две собственные функции, принадлежа-
принадлежащие двум собственным значениям дискретного спектра. Обе они
обращаются в нуль на бесконечности, вронскиан, составлен-
составленный из них, — тоже и поскольку ег—г\Ф 0, имеем
+ ОО
\ x = 0. D2)
Если интеграл от произведения уф двух действительных функ-
функций, распространенный на все пространство, равен нулю, гово-
говорят, что эти две функции ортогональны. В более общем случае
две комплексные функции действительного переменного у\ и у%

114 ПЧ III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
ортогональны, если
Таким образом, собственные функции дискретного спектра орто-
ортогональны. Ясно, что этот результат справедлив и в том случае,
когда только одна из двух функций принадлежит дискретному
спектру.
Переход к пределу в уравнении B7) оказывается более
деликатным, когда обе функции ух и у2 принадлежат непрерыв-
непрерывному спектру. В этом случае вронскиан W(yi,y2) бесконечно
осциллирует по крайней мере на одном из пределов интегриро-
интегрирования, интеграл \ у\у2 dx, следовательно, обладает тем же свой-
ством. Однако если заменить в интеграле хотя бы одну соб-
собственную функцию, например у2, волновым пакетом, образован-
образованным из собственных функций, соответствующих малой области
энергий бе в окрестности энергии е2, то соотношение ортогональ-
ортогональности оказывается справедливым при условии 6e<C|ei— ег|.
Действительно, запишем у2 в форме у(х; е), чтобы подчеркнуть,
что это функция с энергией е6). Образуем волновой пакет
ег+бе
Y2(x; бе) = ~^ \ У(х; e)de. D3)
Поскольку вронскиан W(yu y2) линейно зависит от функции
у2, получаем, интегрируя обе части уравнения B7);
W(Y2, </,)? =
Ь Ь Г «г+ве -.
= (е2 — »i) \ У\У2 dx + ^yA —j==- \ (е — е2) у (х; е) de dx.
Смысл этого преобразования состоит в том, что Y2 стремится
к нулю (как 1/х) в тех асимптотических областях, где у2 обна-
обнаруживает поведение осцилляторного типа. Поэтому, когда а и Ъ
стремятся, соответственно, к —оо и +оо, левая часть уравнения
стремится к нулю, так что сумма двух сходящихся интегра-
интегралов в правой части равна нулю. Но в предельном случае
6) Задания е ие достаточно для определения решения у(х;г), оно зави-
зависит от одной или двух произвольных постоянных, в зависимости от кратности
вырождения собственного значения. Произвол устраняется заданием асимпто-
асимптотической формы у(х\ г) на одном из пределов (—оо или +оо) интервала ин-
интегрирования.

S И. ЗАМЕЧАНИЕ ПО ПОВОДУ ЧЕТНОСТИ 115
бе<^|б2—ei| второй из этих интегралов пренебрежимо мал.
Можно поэтому написать
lim \ yi(x)Y2(x; 6e)dx = 0. D2')
ве-»О
— оо
Волновой пакет Y2(x; бе), определенный уравнением D3), в
котором бе есть очень малая величина, называется «собствен-
«собственным дифференциалом» функции уг{х). Подразумевается, что
в конце вычислений осуществляется переход к пределу бе—>О.
В заключение делаем вывод, что две собственные функции,
принадлежащие различным собственным значениям, ортого-
ортогональны при условии, что когда обе собственные функции при-
принадлежат непрерывному спектру, по крайней мере одна из них
в соотношении ортогональности (уравнение D2')) должна быть
заменена ее собственным дифференциалом.
Наше определение собственного дифференциала очень схе-
схематично. На практике это понятие никогда не используется.
Мы увидим в дальнейшем, что существуют элегантные матема-
математические методы, позволяющие придать свойству ортогональ-
ортогональности самый общий характер, не прибегая к понятию собствен-
собственного дифференциала.
§ 14. Замечание по поводу четности
Возвратимся к понятию четности, которое нам встретилось
первый раз при рассмотрении примера с бесконечно глубокой
потенциальной ямой. Это свойство имеет самый общий ха-
характер.
Если потенциал U(x) четный, т. е. если
U{x)=U{-x),
то гамильтониан уравнения Шредннгера также инвариантен
относительно замены х на —х: он симметричен относительно
начала координат. Поэтому если \^(х) есть собственная функ-
функция, принадлежащая собственному значению Е,
то уравнение не меняется при замене х на —х, т.е.
Следовательно, -ф (л:) и if>(—х), а также четная функции
¦ф (х) + if> (—х) и нечетная функция ф(х)—tf(—х)—все явля-
являются собственными функциями одного собственного значения Е.
По крайней мере одна из двух последних функций не равна
тождественно нулю. Возможны два случая:

116 ГЛ. III. КВАНТОВЫЕ СИСТЕМЫ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ
1. Собственное значение Е не вырождено. Четыре упомяну-
упомянутые функции равны друг другу с точностью до постоянных мно-
множителей. Функция ty(x) пропорциональна той из функций
ФМ + ^Н—х) и ty(x)—Ф(—х)< которая не равна тождественно
нулю (другая необходимо есть тождественный нуль). Таким
образом, собственные функции невырожденной части спектра
имеют определенную четность: одни четные, другие нечетные.
Кроме того, четная функция обязательно имеет четное число
узлов, а нечетная функция — нечетное число узлов. Следова-
Следовательно, если располагать собственные функции по порядку воз-
возрастающих собственных энергий, то четные и нечетные функция
чередуются, причем функция основного состояния всегда четная.
Результаты § 5 подтверждают эти выводы.
2. Собственное значение Е вырождено. В этом случае все
функции могут быть представлены в виде Яф + р,ф, где ф и ф—¦
две линейно независимые собственные функции. Предположим,
что хотя бы одна из этих функций, например ф, не имеет опре-
определенной четности; в этих условиях ни одна из функций
ф+ = t|) (х) + ф (—х) и \f»_ = \J7 (л:) — if>(—х) не обращается тож-
тождественно в нуль. Эти две функции противоположной четности
обязательно линейно независимы и, как мы видели, являются
собственными функциями одного собственного значения Е. По-
Поэтому можно выразить ф, ф и, следовательно, А/ф + цц> в виде
линейной комбинации г|э+ и ф_. Таким образом, всегда можно
выразить собственные функции вырожденного собственного зна-
значения в виде линейной комбинации двух функций, имеющих
определенную четность.
Можно, впрочем, убедиться в результате простого исследо-
исследования, что собственные значения непрерывного спектра все
двукратно вырождены и каждому из них соответствует одна
собственная функция четная (производная функции равна нулю
в начале координат) и одна функция нечетная (функция равна
нулю в начале координат).
В квантовой механике часто случается, что гамильтониан
исследуемой системы оказывается инвариантным относительно
некоторых преобразований; из этого свойства инвариантности
следуют некоторые свойства симметрии, характеризующие соб-
собственные функции уравнения Шредингера. Четность дает нам
простой пример такой ситуации.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. В задаче о потенциальной яме, определенной в § 6, вычислить постоян-
постоянные Р, Q, R, S, фигурирующие в выражении B2) для решения %, как функ-
функции параметров ямы, проверить выражение B3) для коэффициента прохо-
прохождения и соотношение сохранения B4). Предполагая, что KL >я в ф ¦<

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 117
¦< г\ <С 1, вычислить «время прохождения» проходящей волны и «время от-
отражения» отраженной волны, обнаружить наличие резоиансов и сравнить
движение проходящей волны с движением соответствующей классической
частицы.
2. Вычислить коэффициент прохождения для прямоугольного барьера,,
определенного в § 7. Вычислить «время прохождения» проходящей волны и
сравнить движение этой части волны с движением классической частицы.
3. Изучить движение частицы в прямоугольном потенциале, включающем
бесконечно высокий барьер при * < 0, а при положительных х имеющем
форму
V(x) = Vx 0<х<а,
Vn а<х<Ь,
0 х>Ь
Предполагается, что V: < 0 < Vn. Сравнить движение волнового пакета, ис-
испытывающего отражение в точке х = 0, с движением соответствующей клас-
классической частицы. Исследовать, в частности, «запаздывание отражения», ког-
когда начальная энергия частицы Е меньше Vn-
Обнаружить резонансы и выяснить связь между шириной этих резонан-
сов и запаздыванием отражения в пределе, когда Е <g. Vjj и когда
F — a) ¦)/2mVll > А
4. Спектр энергии частицы, движущейся в одном измерении в некотором
потенциале, содержит, вообще говоря, дискретную часть. Показать, что при
расположении собственных состояний дискретного спектра по возрастающим
значениям энергии собственные функции располагаются по возрастающему
числу узлов, причем n-ая собственная функция имеет п — 1 узел; между каж-
каждыми двумя узлами располагается по крайней мере один узел собственных
функций с более высокими номерами.
5. Частица в одном измерении подвергается в интервале @, оо) действию
потенциала V(x), асимптотически стремящегося к нулю, причем в точке
х = 0 имеется бесконечно высокий отталкивающий барьер. Показать, что
число связанных состояний равно числу узлов решения уравнения Шредин-
гера, обращающегося в нуль в начале координат и соответствующего беско-
бесконечно малой отрицательной энергии.

ГЛАВА IV
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
корпускулярно-волнового дуализма
И СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
§ 1. Введение
Исследуя фундаментальные причины расхождений между
экспериментальными фактами атомной физики и предсказа-
предсказаниями классической теории, можно выделить два основных
аспекта микроскопических явлений самого общего характера.
Первый из них, названный нами атомизмом действия, приво-
приводит к нарушению непрерывности течения процессов на микро-
микроскопическом уровне: изменения действия физической системы,
обмен действием между физическими системами могут происхо-
происходить только в форме дискретных и неделимых квантов. Мы
подробно обсуждали это новое понятие в первой главе и выяс-
выяснили, что описание явлений в рамках классической теории мо-
может быть успешным только в том случае, когда величина кванта
действия может рассматриваться как пренебрежимо малая.
Второй аспект поведения микроскопических объектов связан
с присущим им корпускулярно-волновым дуализмом, т. е. спо-
способностью в различных экспериментальных условиях проявлять
различные и противоречивые свойства волны и частицы. Эта
двойственность поведения тесно связана с атомизмом действия,
на что указывает появление постоянной h в общих формулах
соответствия (П. 5) между волнами и частицами. Мы видели,
что общий характер двойственного поведения микроскопических
объектов был понят довольно поздно и сыграл решающую роль
в построении квантовой теории физических систем.
Анализ результатов дифракционных опытов (см. гл. I, § 5
и 6, гл. II, § 7 и 8) показывает, что наиболее простое мыслимое
истолкование дуализма волна — частица может быть проведено
на статистической основе, т. е. на основе предположения, что
вероятность нахождения частицы в некоторой области простран-
пространства пропорциональна интенсивности волны в этой области.
В этой главе мы уточним указанную статистическую интерпре-
интерпретацию, проверим ее внутреннюю согласованность, а также со-
согласие с экспериментальными результатами.
В первом разделе будет развита статистическая интерпрета-
интерпретация волновой функции как основного понятия волновой
механики систем материальных частиц. Результаты этого раз-

§ 2. КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСЫ ЧАСТИЦЫ Ц9
дела позволят нам во втором разделе вывести соотношения
неопределенности Гейзенберга как следствие статистической
интерпретации корпускулярно-волнового дуализма. Далее, в
разделе III мы покажем, что эти соотношения, сколь бы они
ни казались странными на первый взгляд, вполне согласуются
с опытом, если учесть, что измерительные приборы также яв-
являются квантовыми объектами, подчиняющимися тем же соот-
соотношениям, и что поэтому возмущение, вводимое в состояние
измеряемого объекта вмешательством измерительного прибора,
не может быть сделано ни сколь угодно малым, ни полностью
контролируемым.
Говоря точно, на микроскопическом уровне нельзя строго
разделить измеряемый объект и измерительный прибор. В то же
время, когда в обычных условиях говорят о некоторой про-
процедуре измерения, то всегда неявно предполагают возможность
провести четкое различие между объектом измерения и всеми
теми приспособлениями, которые служат для производства из-
измерения. На микроскопическом уровне вмешательство измери-
измерительного аппарата вносит неконтролируемое возмущение, конеч-
конечная величина которого непосредственно связана с существованием
атомизма действия. Наличие неконтролируемого возмущения
ставнт предел возможности различать субъект и объект и ведет
к пересмотру классических концепций, касающихся описания яв-
явлений. Этот вопрос рассматривается в разделе IV этой главы.
Раздел I. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ВОЛНОВЫХ
ФУНКЦИЙ В ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 2. Вероятности результатов измерения координаты
и импульса частицы
Разберем вначале случай квантовой системы, состоящей из
одной частицы. Пусть 4я (г, t) есть ее волновая функция. Они
удовлетворяет уравнению Шредингера и полностью опре-
определяется в любой момент времени, если известно значение
¦ф(г, t0) в начальный момент t0. Сейчас мы анализируем ситуа-
ситуацию в некоторый данный момент времени t, и обозначим через
^(г) волновую функцию частицы в этот момент.
Динамическое состояние классической частицы определяется
в каждый момент заданием ее положения r(x,y,z) и импульса
Р(Рх, ру, рг). Но поскольку волновая функция имеет некоторую
пространственную протяженность, мы не можем приписывать
квантовой частице точное положение в пространстве. Можно
говорить лишь о вероятности найти частицу в некоторой области
пространства, когда производится измерение ее положения.
Обозначим символом P(r)dr вероятность найти частицу в

120 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
элементе объема (г, г + dr), тогда вероятность найти ее в объеме
V мы получим интегрированием «плотности вероятности» Р(г)
по этому объему: Р (V)= \ Р (г) dr. Подобно этому мы, вообща
v
говоря, не можем приписать квантовой частице точно задан*
ный импульс. Конечно, если сопоставляемая частице волна
является плоской волной eikr, то она, по закону соответствия
де Бройля, действительно представляет частицу с импульсом
р = fife. Однако в общем случае волна Ч*" представляет собой
суперпозицию многих плоских волн с различными волновыми
векторами k. Поэтому можно определить только вероятность
того, что измеряемый импульс окажется в некоторой области
пространства импульсов. Обозначим символом U(p)dp вероят*
ность найти импульс частицы в интервале (р, p-\-dp), тогда
вероятность П(?>) найти импульс в некоторой конечной области
D импульсного пространства получится интегрированием:
И (D) = \ П (р) dp. Плотности вероятности Р(г) и П(р) яв«
D
ляются величинами существенно положительными и должны
удовлетворять очевидным условиям
= 1, A)
где интегрирование распространяется на все конфигурационное
и импульсное пространства, соответственно.
Распределения вероятности Р(г), П(р) должны быть пол-
полностью заданы, если известна волновая функция Wir). Опреде-
Определим Р(г) равенством
Эта формула вполне согласуется с высказанной ранее идеей
о том, что вероятность нахождения частицы в точке должна
¦быть тем больше, чем больше интенсивность волны в этой точке.
Выполнение равенства A) требует, чтобы волновая функция
подчинялась так называемому условию нормировки
N = \j\W(r)\2dr=l. C)
Это предполагает, что функция ?(г) является квадратично ин-
интегрируемой, причем ее норма остается постоянной во времени.
Мы покажем в дальнейшем, что это условие согласованности
статистической интерпретации действительно выполняется.
Чтобы определить П(р), рассмотрим операцию измерения
импульса частицы, сопоставляемой волне Чг. Эта проблема
аналогична спектральному анализу световой волны, причем

§ 2. КООРДИНАТЫ И ИМПУЛЬСЫ ЧАСТИЦЫ 121'
аналогия становится особенно ясной, если измерение импульса
производится с помощью некоторого дифракционного устрой-
устройства; однако все рассуждения имеют общий характер и не за-
зависят от конкретного устройства измерительного аппарата. Вве-
Введем преобразование Фурье волновой функции согласно соотно-
соотношениям ')
' h dp. E>
Следуя уравнению E) функцию ^(г) можно рассматривать-
ipr
как линейную суперпозицию элементарных волн е н с точно
определенным импульсом р, причем каждая элементарная волна
входит с коэффициентом Bлй)~3/2Ф(р). Если бы эта суперпо-
зиция содержала только один член е й , то результат измерения
был бы равен ро. Если Ф(р) отлична от нуля только в малой:
области, окружающей р0, как в случае волновых пакетов, изу-
изучавшихся в гл. II, то значение импульса почти наверняка нахо-
находится вблизи ро. В общем случае можно сказать, что вероят-
вероятность H(p)dp найти значение импульса в элементе объема
(р, р -(- dp) тем больше, чем больше |Ф(р) |. Таким образом, мы
можем положить
П(р) = Ф*(р)Ф(р) = |Ф(р)|2. F),
Поскольку скалярное произведение инвариантно относительно
преобразования Фурье (теорема IV, см. Дополнение А § 16; в
дальнейшем будем обозначать, например, § А. 16, § Б.9 и т.д.):
\U>(p)\*dp=\\4?(r)\*dr,
условие нормировки A) автоматически удовлетворяется, если
функция ^?(г) нормирована на единицу.
Преобразование Фурье устанавливает взаимооднозначное со-
соответствие между функциями Ч^г) и Ф(р). Задания функции
Ф(р), подобно заданию функции ^У(г), достаточно для опреде-
определения динамического состояния частицы. Поэтому Ф(р) назы-
') Если интегралы в правых частях равенств D) и E) не сходятся в
обычном смысле, то понятие сходимости должно быть модифицировано со-
согласно предписаниям теоремы I Дополнения А (§ 16) при учете того обстоя-
обстоятельства, что функция Чг(г) всегда должна быть квадратвчно интегрируемой..
Последующие результаты не зависят от определения сходимости.

122 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
вают волновой функцией в импульсном пространстве, что оправ-
оправдывается еще и тем, что W и Ф играют в определениях B) и
F) вполне аналогичную роль. Иногда говорят, что функции *F
и Ф являются эквивалентными представлениями одного дина-
динамического состояния.
Следует четко представлять себе физический смысл введен-
введенных нами величин Р(г) и П(р). Частица, сопоставляемая волне,
вообще говоря, не обладает ни определенным положением, ни
определенным импульсом; если производить измерение той или
иной динамической переменной в отдельной системе, представ-
представляемой волновой функцией W, то никаких предсказаний резуль-
результата сделать нельзя. Вероятностные предсказания, о которых
шла речь выше, относятся к ансамблю из очень большого числа
Jf эквивалентных систем, не зависимых друг от друга, каждая
из которых представляется одной и той же волновой функцией Ч*1.
Если производить в каждой из этих систем измерение простран-
пространственного положения, то величина Р(г) дает вероятность рас-
распределения Jf результатов измерения в предельном случае,
когда число Jf членов статистического ансамбля стремится к
бесконечности. Если измеряется импульс, то величина П(р) при
тех же условиях дает распределение результатов измерения
импульса.
Чтобы определить Р(г) и П(р), исходя из волновой функ-
функции, мы основывались на соображениях правдоподобности и
внутренней логики определения. Но совершенно не очевидно, что
выражения B) и F) являются единственными, которые можно
получить путем подобных рассуждений. Распределения вероят-
вероятности Р(г) и П(р) могут быть в принципе непосредственно
сопоставлены с опытными данными. Выражения B) и F) по-
получат окончательное подтверждение, если результат такого со-
сопоставления окажется удовлетворительным.
§ 3. Сохранение нормы во времени
Чтобы определения вероятностей, данные выше, были спра-
справедливы, необходимо, чтобы норма ./V волновой функции остава-
оставалась постоянной во времени. Но функции W и W удовлетворяют
соответственно уравнению Шредингера A1.33) и комплексно
сопряженному уравнению, т. е.
мЛ-у
Следовательно,
±. | у р = у* (J- чг) + (Jj- ^) У = -~ [ЧГ (НЧ>)-(НУ)* П G)

§ 3. СОХРАНЕНИЕ НОРМЫ ВО ВРЕМЕНИ 123
Интегрируя обе стороны равенства по всему конфигурационному
пространству, получаем
dN _ 1
dt ih
Норма будет оставаться постоянной во времени, если
(8)
Это равенство должно выполняться каким бы ни было динами-
динамическое состояние частицы, т. е. для всякой функции Ч*1, квадра-
квадратично интегрируемой в пространстве конфигураций.
В математике операторы, удовлетворяющие соотношению
(8) для всякой функции W из функционального пространства,
где определен оператор, называются эрмитовыми операторами.
Основные свойства эрмитовых операторов будут изучены в гл. V.
Проверим, что гамильтониан Шредингера действительно
обладает свойством эрмитовости. Ограничимся здесь случаем
частицы, находящейся в области действия скалярного потен-
потенциала (случай заряженной частицы в электромагнитном поле
является предметом задачи 1). Имеем
Я = — — A+V(r)
Поскольку V(r) есть величина действительная, уравнение (8) в
данном случае принимает вид
[У* (ЛЧО — (ЛЧО* ?] dr = 0.
Если бы интегрирование распространялось на некоторый конеч-
конечный объем, ограниченный поверхностью S, то по известной
теореме Грина объемный интеграл был бы равен интегралу
по поверхности
где символом d/dn обозначена внешняя нормальная производ-
производная. В нашем случае интегрирование распространяется на все
конфигурационное пространство, т. е. все элементы поверхности
5 удаляются в бесконечность. В то же время, поскольку W пред-
представляет динамическое состояние физической системы, она есть
функция квадратично интегрируемая, следовательно, поверхно-
поверхностный интеграл стремится к нулю.
Таким образом, если условие нормировки C) выполняется
в начальный момент времени, оно выполняется и во все после-
последующие моменты времени. Ввиду того, что уравнение Шредин-

124 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
гера есть однородное уравнение, его решения определены только
с точностью до произвольного постоянного комплексного мно-
множителя. Условие нормировки в начальный момент времени
фиксирует абсолютное значение этого множителя; фаза комп-
комплексного постоянного множителя остается произвольной.
§ 4. Понятие потока
Свойство сохранения нормы легко интерпретировать, если
ввести понятие потока. Правая часть уравнения G) всегда мо-
может быть выражена в виде дивергенции некоторого вектора —
вектора плотности потока вероятности или просто вектора по-
потока. Ограничимся здесь случаем частицы, движущейся в поле
скалярного потенциала (см. задачу 1). Определим поток
J(r, t) в точке г в момент времени t выражением
[^] (9)
Нетрудно проверить, что
dWJ = j[4T(H4r) — AГ?)"ЧГ\. A0)
Это позволяет переписать уравнение G) в форме
| A1)
Уравнение типа A1J часто встречается в гидродинамике.
Это есть уравнение сохранения для жидкости с плотностью Р
и потоком / в среде без поглощения, без источников и стоков.
Мы приходим, таким образом, к аналогии между движением
квантовой частицы и классической жидкости2). Масса жидко-
жидкости, содержащаяся в заданном объеме У, равна интегралу от
плотности по этому объему. Из уравнения A1) вытекает тот
общеизвестный факт, что производная по времени от массы
жидкости, заключенной в У, равна
= - \ldS,
s
т. е. потоку вектора / через замкнутую поверхность S, ограни-
ограничивающую объем. Полная масса жидкости во всем пространстве
остается постоянной (сохранение нормы), так как поток через
поверхность S стремится к нулю, когда объем У включает все
пространство.
2) Конечно эта аналогия не может быть распространена слишком далеко.
Все, что можно получить на основе этой аналогии, сводится к закону сохра-
«ения, выражаемому, уравнением A1) (см. гл. VI),

§ 5. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОТ г И ОТ р 125
В определении J сохраняется некоторая степень произвола:
уравнение A1) остается справедливым, если к вектору J при-
прибавить любой вектор с равной нулю дивергенцией. Однако
определение (9) имеет преимущество простоты. Кроме того,
оно может быть получено по принципу соответствия из класси-
классического определения потока. Действительно, согласно принципу
соответствия, оператор (b/im) V представляет величину р/т,
т. е. скорость частицы; величина / соответствует произведению
скорости на плотность, т. е. потоку. В частности, если *F есть
плоская волна A exp[(j/fi) (pr — Et)], то J(r,t) = \A\2(p/m)
действительно равно произведению плотности вероятности на
скорость.
Свойство, выражаемое уравнением A1), есть нечто более
глубокое, чем просто свойство сохранения нормы. Если функция
W является стационарным решением уравнения Шредингера
то свойство сохранения нормы либо тривиально, либо не имеет
смысла. Оно тривиально в случае связанного состояния, оно не
имеет смысла в случае состояния несвязанного, ибо во втором
случае функция if> не является квадратично интегрируемой.
Однако в обоих случаях уравнение A1) остается справедли-
справедливым и, ввиду того, что плотность |ф|2 не зависит от времени,
принимает форму
div/ = 0. A2)
Это свойство собственной функции ф особенно важно, так как
оно не зависит от конкретной формы потенциала V(r), входя-
входящего в гамильтониан Шредингера3).
§ 5. Средние значения функций от г и от р
Убедившись в согласованности определений плотностей ве-
вероятности Р и П, применим их теперь к вычислению средних
значений функций от г и от р.
Зная распределение Р(г) результатов измерения положения
в некоторый момент времени, можно определить среднее значе-
значение (математическое ожидание) для некоторой функции F(r) =
— F(x,y,z) координат частицы. Физический смысл этого сред-
среднего значения совпадает с тем, который мы формулировали при
определении Р(г): это среднее значение измерений F(r), осу-
осуществленных на очень большом числе Jf эквивалентных систем,
8) Это свойство играет в трехмерных задачах роль свойства сохранения
вронскиана W (у*, у) в задачах одномерных (см. III, § 11, в дальнейшем
§111.111.

126 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
независимых друг от друга и представляемых одной и той же
волновой функцией W.
Примем для этой величины обозначение (F(r)y. Очевидно,
что
(F(r))=\jP(r)F(r)dr.
Аналогично для среднего значения некоторой функции импульса
G (р) = G (рх, ру, pz) получим
(G(p))=\u(p)G(p)dp.
Используя определения плотностей вероятности, принятые в
§ 2, получим выражения (при условии, что интегралы схо-
сходятся)
r, A3)
(О(р))=\ф*(р)О(р)Ф(р)с1р. A4)
Так, среднее значение координаты частицы есть
(x)=\4T(r)x4(r)dr, A5)
а среднее значение составляющей рх импульса есть
A6)
Запишем выражение A6) в другой форме, применяя свой-
свойства преобразования Фурье, изложенные в Дополнении А. Если
функция рхФ(р) квадратично интегрируема, что мы предполо-
предположим выполняющимся всегда, ее образ Фурье есть (Ь/^дЧ^/дх
(теорема III § А. 16). Применяя к функциям Ф и рхф свойство
инвариантности скалярного произведения (теорема IV § А. 16),
получаем
\(f§)(r)dr. A7)
Мы видим формальную аналогию между правыми частями урав-
уравнений A6) и A7): переход от первого ко второму осуществляв
ется заменой интегрирования пор интегрированием nor, подста-
подстановкой вместо Ф(р) ее обратного Фурье-образа ^(г), а вместо
ф*(р)—комплексно сопряженной величины и, наконец, заменой
величины рх оператором (Ь/1)д/дх, причем д/дх обозначает
операцию взятия частной производной по х, применяемую к
функции, стоящей справа от символа оператора.

§ 5. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОТ г И ОТ р 127
Аналогично можно перейти от уравнения A5) к выражению
<*> = \ Ф* (р) (ih -?-) ф (р) dp. A8)
Эти результаты могут быть обобщены на функции более
сложной формы. Так, из того факта, что р|Ф(р) (по предполо-
предположению квадратично интегрируемая) есть образ Фурье функции
(•?)¦,(,>--*?
(повторное применение теоремы III § А. 16), выводим
= -ft2 \ V^dr. A9)
Вообще, если G(p) есть полином или функция, представляемая
абсолютно сходящимся рядом по степеням рх, ру, рг, имеем
f
(G (р)> = J ?* (r) G (f- Vr) W (r) dr B0)
при условии выполнения требований сходимости, которые легко
формулировать. При выполнении тех же условий для среднего
значения F(r) находим
(F (г)} = J Ф* (р) F (iAVp) Ф(р) dp. B1)
Получив достаточно результатов, чтобы начать общее об-
обсуждение проблемы, которое является предметом этой главы,
мы не будем более углублять здесь вопросы статистической
интерпретации функции 4е. Ведь помимо статистики измерений
положения и импульса и результатов, касающихся средних зна-
значений величин типа F(r) и G(p), задание Y должно определить
статистику измерения любой измеримой физической величины.
Эти вопросы будут рассматриваться в гл. V. Здесь мы ограни-
ограничимся некоторыми предварительными замечаниями.
Величины <*> и (рху действительны; это следует из их опре-
определения. Поэтому правые части уравнений A5) и A7) также
действительны. Иными словами, операторы х и (h/i) (д/дх) яв-
являются эрмитовыми операторами (это следует из самого опре-
определения эрмитовости в уравнении (8)). Аналогично две другие
составляющие вектора г и две другие составляющие векторного
оператора —j'fiV являются эрмитовыми операторами, а также и
операторы вида F(r), G(—ifiV), если F и G как функции своих
аргументов действительны.
Рассмотрим выражения для средних значений,- полученных
с помощью функции W (уравнения A3), B0), A5) и A7)). Все
они имеют одну форму. Величине, среднее значение которой
мы вычисляем, соответствует некоторый линейный оператор

128 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
(эрмитов) А, и искомое среднее дается выражением вида
B2)
в котором, согласно общему правилу, оператор действует на
функцию, стоящую справа от него. Этот оператор получается
с помощью простого правила соответствия: если речь идет о
функции F(r) координат частицы, то соответствующим опера-
оператором является сама функция; если же мы имеем функцию
G{p), то оператор получается из этой функции подстановкой в
G вместо составляющих р соответствующих составляющих век-
векторного оператора —ifiV. Мы вновь встречаем здесь правило
соответствия A1.17) между импульсом р и оператором —ifiV,
которое нам помогло установить уравнение Шредингера.
Каждое из средних значений может быть вычислено с по-
помощью W или с помощью Ф: выражения B1), A4), A8), A6),
построенные с помощью функции Ф, соответственно эквива-
эквивалентны выражениям A3), B0), A5), A7), в которые входит
функция W. Между первым и вторым рядом формул имеется и
формальная аналогия. Во втором случае величине, среднее зна-
значение которой вычисляется, также соответствует линейный
(эрмитов) оператор В, действующий в данном случае на функ-
функции от р, и искомое среднее дается выражением типа
Ф*ВФ dp. B3)
Оператор В получается на основе правила соответствия, сход-
сходного с тем, которое служит для нахождения А: если речь идет
о функции G(p), то оператором является сама функция, если же
мы имеем функцию F(r), то оператор получается подстановкой
в F вместо г оператора ihVp (Vps=(d/dpx, д/дру, д/дрг).
Как волновые функции Ф и W являются эквивалентными
представлениями одного и того же динамического состояния час-
частицы, так и операторы В я А являются эквивалентными пред-
представлениями одной и той же физической величины, причем вы-
вычисление рассмотренных здесь средних значений может произ-
производиться формально тождественно в том или другом из этих
представлений. Это наводит на мысль, что квантовая теория мо-
может быть формулирована самым общим образом независимо от
конкретного представления. Такая общая формулировка будет
дана в гл. VII и VIII.
§ 6. Системы многих частиц
Определения и результаты предшествующего рассмотрения
без труда могут быть распространены на случай квантовых
систем, состоящих из многих частиц.

§ 6. СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ 129
Пусть в самом общем случае Ч^ь .... <7«; t) есть волновая
функция квантовой системы в /^-мерном пространстве, причем
динамическими переменными системы являются R координат
<7ь ..., <7r и R канонически сопряженных импульсов pi, ..., pR.
Предположим, что мы имеет дело с декартовыми координатами,
и обозначим с помощью dx = dq\ ... dqR и da = dpx ... dpR
элементы объемов в q- и /^-пространствах соответственно. Вол-
Волновая функция в р-пространстве есть
If ?
Ф(ри ..., pR; t)= m )Ч{Яи .-., qR) t)e dx;
есть вероятность найти координаты q в области
(т,т-f-dt); |Ф|2Ло есть вероятность найти импульсы р в обла-
области (со, (o + dco). Исходя из этого, можно повторить все рассуж-
рассуждения предшествующих параграфов.
Рассмотрим в качестве примера систему из двух частиц.
Пусть ri(xu yu zi), r2(x2, y2, z2) суть векторы положения, а
Р\ (/>*,> Ру> pz), р2\рх2, ру,, рг2) — векторы импульсов частиц со-
соответственно. Величина P(ri, r2)dridr2 есть вероятность найти
частицу / в элементе объема (rb ri-\-dr{) и частицу 2 — в эле-
элементе объема (r2, r2-{-dr2). Величина П(рь p2)dpidp2 есть ве-
вероятность найти импульс частицы / в интервале (pi, pi -+- dpi)
и импульс частицы 2— в интервале (р2, р2 + dp2). Можно ввести
также плотность вероятности присутствия частицы 1 в точке
r\, P\{ri), если положение второй частицы не фиксировано; эта
величина есть статистическое распределение, получаемое при
измерении положения частицы ) без учета положения частицы
2. Очевидно, что
" 4rur2)dr2.
Сходным образом можно ввести плотности вероятности Р2(г2),
IIi(pi), П2(р2). Все эти статистические распределения являются
существенно положительными величинами, удовлетворяющими
условиям нормировки
ь r2)dr\ dr2 = I
(символ \\dridr2 означает шестикратный интеграл, распро-
распространенный на все конфигурационное пространство, символ
\ dp2 — тройной интеграл, распространенный на импульсное
пространство частицы 2 и т. д.).
Динамическое состояние системы из двух частиц в данный
момент времени определяется волновой функцией ^(п, г2),
К А. Мессиа

130 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
взятой в тот же момент времени. С помощью преобразования
Фурье мы получаем волновую функцию в импульсном про-
пространстве:
Ф (рь р2) = раит SS e~l <"''+*л)/*Чг (ги г2) drx dr2,
\ \ е' (/"Г1+рл)/Аф (Р Pa) dp, dp2.
Обобщениями определений B) и F) очевидно являются сле-
следующие соотношения:
Р (г,, г2) = | V (г,, г2) |2, П (рь р2) = | Ф (р,, р2) |2, B4)
причем условия нормировки вероятностей приводят к условию
нормировки волновых функций
Это условие нормировки действительно может быть реали-
реализовано в каждый момент времени, если гамильтониан, входя-
входящий в уравнение Шредингера, является эрмитовым оператором.
Легко проверить, что дело обстоит именно так. Волновые функ-
функции ТиФ, таким образом, определяются с точностью до произ-
произвольного постоянного фазового множителя.
Из указанных определений можно получить и другие рас-
распределения, введенные выше. Так, например,
, r2)|2dr2.
Аналогичным путем вводятся определения средних значений
функций F(rx, r2) и G(pbp2) координат или импульсов двух
частиц. Так, например,
\dr2 = - -J \\ Ф* -~ dPx dp2,
=S S ф>
Все замечания, сделанные в конце § 5 сохраняют свою силу.
Когда волновая функция хУ(г\,г2) представима в виде про-
произведения двух функций (факторизуется)
(при этом 4*1 (п) и Ч^Гг) предполагаются нормированными на
единицу), то и волновая функция в пространстве импульсов и
распределения Р и П также оказываются факторизованными:
P{rur2) = Px{r<)P2{r2), П(рь р2) = П,(р1)П2(р2).

§ 6. СИСТЕМЫ МНОГИХ ЧАСТИЦ 131
Это следует непосредственно из самого определения этих вели-
величин. Мы видим, что в этом случае не существует никаких корре-
корреляций между статистическими распределениями результатов
измерений, проведенных для каждой из.этих частиц. Статисти-
Статистические предсказания о результатах измерения величин, относя-
относящихся, например, к частице /, будут такими, как если бы она
находилась в динамическом состоянии, определяемом волновой
функцией ЧМп). Нетрудно проверить, что P1(ri) = |4ri(r1) |2 и
TIi(pi) =^IФ1 (Pi) |2. где ®i(Pi) есть волновая функция в про-
пространстве импульсов, соответствующая W\. Во всех вычисле-
вычислениях, касающихся измерений, проведенных с этой частицей
(средние значения, флуктуации и т. д.), можно просто игнори-
игнорировать существование второй частицы и рассматривать только
одну частицу с волновой функцией W\ (г\).
Если две частицы не взаимодействуют между собой или по
той или иной причине мы можем пренебречь этим взаимодей-
взаимодействием, то свойство факторизации волновой функции сохра-
сохраняется с течением времени. Действительно, гамильтониан си-
системы в этом случае может быть записан в виде суммы двух
членов: Н = #i + Н2, из которых первый — Н\ действует только
на функции переменной г\, а второй-—Н2— на функции пере-
переменной г2. Предположим, что в начальный момент времени
Я пусть W\(r\,t) и Ч'гСгг, t) являются решениями уравнений
Шредингера
с начальными условиями Wi(ri,to) и W2{r2, to) соответственно.
Факторизованная волновая функция
W(r,, г2; 0 = ¦?,(!¦,, t)W2(r2,t)
удовлетворяет уравнению Шредингера системы, так как
ih-§f4 = ih {Ц±- У2 + V, ¦??) = (Яi^Fi) W2 + Wi (tf2W2) -
= tfiWj + H2WiW2 = (//, + H2) Y,W2 = HW.
Движения каждой из частиц, как этого и следовало ожи-
ожидать, остаются совершенно независимыми, так .что никаких
корреляций между статистическими распределениями измере-
измерений, проведенных над каждой из них, ни в какой момент вре-
времени Tie возникает. .
б»

132 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Раздел II. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ГЕЙЗЕНБЕРГА
§ 7. Соотношения неопределенности координата-импульс
квантовой частицы
Вернемся к определениям вероятностей § 2. Распределения
Р(г) и П(р), будучи определены на основе одной и той же
волновой функции W(г), не являются независимыми друг от
друга, хотя функция W (г) может a priori быть любой функцией
с интегрируемым квадратом. Одно из этих распределений
всегда может быть выбрано произвольно с помощью соответ-
соответствующего выбора функции 4я: если, например, мы задаемся
некоторым распределением Р(г), то достаточно выбрать волно-
волновую функцию с абсолютным значением, равным V-P > а именно
4я (г) = <\JP (r) eia (r), при этом фаза а (г) остается, конечно,
полностью неопределенной. Но с помощью соответствующего
выбора а (г) мы уже не можем получить любое наперед задан-
заданное распределение П(р), хотя П(р), рассматриваемое как функ-
функционал а (г), может изменяться в достаточно широких пределах.
Тот факт, что всегда существует некоторая корреляция между
распределениями Р(г) и П(р) является характерным для кван-
квантовой теории4). Эта корреляция количественно выражается со-
соотношениями неопределенности Гейзенберга.
Рассмотрим для начала частицу в одном измерении. Пусть
х есть ее координата, а р — импульс и пусть if(x) и
+ 00
суть волновые функции, представляющие ее динамическое со-
состояние в пространстве х и пространстве р соответственно.
4) В этом пункте имеется существенное отличие между статистическими
распределениями Р(г) и П(р) и соответствующими распределениями Ры{т) и
Пкл(р) в классической статистической механике, сходства с которыми можно
было бы искать. Эти последние получаются с помощью плотности в фазовом
пространстве р(г, р):
Р™ (г) = ^ р (г. р) dp, Пкл (р) = ^ р (г, р) dr.
Здесь р(г, р) есть положительная функция, подчиняющаяся условию
\ \ р (г, р) dr rfp= I. В классической статистической механике можно одно-
одновременно произвольно выбирать распределения Якл(г) и Пкл(р); действитель-
действительно, существует по крайней мере одна плотность в фазовом пространстве
р(г, р) = Ряд (г) Пкл (р), позволяющая это сделать.

§ 7. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 133
Результат Гейзенберга опирается на тот математический
факт, что протяженность волны if и ее образа Фурье ср в соот-
соответствующих пространствах не могут одновременно быть сде-
сделаны произвольно малыми. Если волна if занимает область по-
порядка Ах в пространстве х, а волна ф — область порядка Ар
в пространстве р, то произведение Ах Ар остается все время
больше некоторой величины порядка й
Ax-Ap>,h. B5)
Этот результат мы уже встречали при построении волновых
пакетов в теории волн вещества. Он проявился также, хотя и
не столь явным образом, при обсуждении эволюции волновых
пакетов, построенных с помощью состояний непрерывного спек-
спектра, в гл. III.
В справедливости соотношения B5) можно убедиться путем
следующих полуколичественных рассуждений, которые только
перефразируют аргументы, приведенные на стр. 60. Любая
волна гр(л:) может быть представлена в виде суперпозиции пло-
плоских волн еШх с длиной волны 2n/k. Пусть Ak характеризует
размер области изменения параметра k в этой суперпозиции.
Чтобы волна ^{х) оказалась локализованной в пространствен-
пространственной области Ал:, необходимо, чтобы «конструктивное» согласие
между фазами различных волн в суперпозиции осуществлялось
именно в этой области, а вне ее интерференции между волнами
должна иметь «деструктивный» характер. Число длин волн
2я/&, содержащихся в Ах, равно kAxjin. Чтобы различные пло-
плоские волны, формирующие ty{x), могли взаимно погашать друг
друга на границах интервала Ах, необходимо, чтобы это число
волн изменялось по крайней мере на единицу, когда k пробегает
область своего изменения, т. е. должно выполняться условие
Ах Ak ^ 2я. Поскольку дело идет только о порядке величин,
опустим множитель 2я и напишем просто
Ах- А?>Л.
Отсюда, используя соотношение между импульсом и волновым
вектором (p = hk), получаем неравенство B5).
Обычно величины Ах и Ар называются неопределенностями
координаты и импульса соответственно, и результат Гейзен-
Гейзенберга выражается следующим образом: произведение неопреде-
неопределенностей координаты и импульса частицы всегда остается
больше некоторой величины порядка Ь.
Проиллюстрируем этот результат несколькими примерами. Гауссовый па-
пакет волн (не нормированный на единицу)

134 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
занимает область порядка i; около точки х0 Волна
ф (р)=t/f ехр \т Ха ^Ра ~р) ~ ? If *р ~Ро
в пространстве импульсов, которая ему соответствует, занимает в простран-
пространстве импульсов область порядка fi/g около точки р0. Уменьшая ?, мы умень-
уменьшаем Ах, но при этом увеличиваем Ар, так что их произведение остается по-
порядка h.
В качестве другого примера рассмотрим «прямоугольный сигнал»
ey если ]х\<а,
У I 0 если | * | > а,
который отличен от нуля в области шириной 2а, окружающей точку х = 0.
В этом случае имеем
р —Ро
Функция |ф(р)|2 обнаруживает наличие резкого максимума в точке р0, окру-
окруженного с двух сторон последовательностями нулевых минимумов (при р =
= Ро + nntija), разделенных максимумами, величина которых убывает как
[1/(р — Ро)] • Можно сказать, что волна <р(р) сконцентрирована между пер-
первыми нулями |<р(р)|2 по обе стороны центрального максимума, т. е. в обла-
области Ар як 2nfi/a. Величина Ар тем больше, чем меньше протяженность сиг-
сигнала Д* « 2а, т. е.
Ах ¦ Ар яг 4jtfi.
Ha рис. 17 представлены графики I^M I2 как функции х и |<р(р)|2 как
функции р для двух волновых пакетов, которые мы рассмотрели.
Все рассуждения, касающиеся протяженности волны if a
сравнении с протяженностью ее образа Фурье в соответствую-
соответствующем пространстве, без труда переносятся на трехмерный слу-
случай. Обозначим с помощью \х, At/, Az неопределенности трех
пространственных координат, а с помощью Арх, kpy, \pz — не-
неопределенности составляющих импульса. Корреляции между
статистическими распределениями P(r) — \W(r) \2 и П(р) =
= |Ф(р)|2 проявляются в существовании соотношений неопре-
неопределенности:
АуАру^,К > B6)
Аг • Арг ^. h. )
До настоящего времени мы представляли соотношения не-
неопределенности как соотношения по порядку величины. Это
неизбежно, пока не установлено точное определение величин"
Ах, Арх и т. д., измеряющих различные неопределенности. Уста-
Установив подходящее определение этих величин, мы придем к более
строгим заключениям. Но хотя они и имеют определенные преи-
преимущества, необходимо особенно подчеркнуть, что главный
смысл и значение соотношений неопределенности уже прояв-

§ 8. ТОЧНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ СООТНОШЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
135
ляются в формулах, верных только по порядку величины. Ни
при каких обстоятельствах мы не можем приписать квантовой
частице одновременно строго определенной координаты и строго
определенного импульса. Представлять частицу как объект,
\?ip)\2\
2а
-а о а.
yfirt
а
б)
Рис. 17. Квадраты модулей волновых пакетов -ф (дс) и q>(p) в случаях:
а) гауссова волнового пакета; б) прямоугольного сигнала.
обладающий точно определенными положением и импульсом,
можно только в случае, когда величина кванта действия й
может считаться пренебрежимо малой, т. е. в области справед-
справедливости классической теории.
§ 8. Точное выражение соотношений неопределенности
координата-импульс
Чтобы сократить изложение, мы рассмотрим детально только
случай частицы в одном измерении. Примем следующее оп-
определение 5): Дл: и Др являются средними квадратичными откло-
5) Это несомненно, наиболее удобное определение. В большинстве случаев
определенные так величины Дх и Др дают хорошее представление о неопре-
неопределенностях в х и р. Однако иногда случается, что это математическое опре-
определение существенно отличается от оценок по порядку величины. Примером
может служить разобранный выше случай «прямоугольного сигнала»: вели-
величина Др по формуле B7) оказывается бесконечной, но мы видели, что грубая
оценка дает 2лД/а.

136 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
нениями распределений |г|з(х)|2 и |ф(р)|2. Применяя обозначе-
обозначения § 5, имеем
-{pf- B7)
Величина Ах, таким образом, непосредственно связана с изме-
измерением положения частицы: это статистическая флуктуация
результата измерения около среднего значения <*>; то же за-
замечание относится к Ар, если иметь в виду измерение импульса.
Мы покажем, что при самых общих предположениях
Ах ¦ Ар > А/2. B8)
Рассмотрим положительно определенное выражение
+ ОО
/ (Я) = \ гф + Я/г -— dx (/(Я)^0 при любом Я).
—оо
Раскрывая это выражение и интегрируя по частям, последова-
последовательно получаем
+ О0 +О0
— ОО —00
-foo +оо +оо +оо
что дает, предполагая if нормированной на единицу и используя
результаты § 5,
B9)
Ввиду того, что полином второго порядка 1{К) является поло-
положительно определенным (или равным нулю), его дискриминант
й2 — 4<p2><jc2> отрицателен (или равен нулю), следовательно
(д;2}(р2}>Й2/4. C0)
Условие C0) менее ограничительно, чем объявленное выше
условие B8). Но можно провести аналогичное вычисление,
исходя из слегка отличного выражения для /(А,), а именно,
заменяя в формуле для /(Я) величину х на х—<л:> и П(д/дх)
на Ь(д/дх) — i(p} или, что то же самое, заменяя if (л;) на
е "if(* + (*)). Результат аналогичен уравнению B9):
/ (Я) = (А*J - Ш + Я2 (АрJ > 0.
Условие B8) выражает тот факт, что дискриминант этого мно-
многочлена второго порядка по Я не может быть положительным.

§ 10. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВРЕМЯ ЭНЕРГИЯ 137
Предшествующее доказательство применимо также и к слу-
случаю частицы в трехмерном пространстве. Волновая функция
W(r) есть функция трех координат частицы в этом простран-
пространстве и интегралы, встречающиеся по ходу доказательства, суть
интегралы по трехмерному пространству конфигураций; чита-
читатель легко проверит, что все манипуляции с этими интегралами
остаются в силе. Само определение B7) средних квадратичных
отклонений обобщается без труда. Таким образом, получаются
соотношения неопределенности Гейзенберга
Ах • АРд. > ft/2, 1
Ду.Др„>А/2, > C1)
Аг • Арг > ft/2. J
§ 9. Обобщение: соотношения неопределенности
для сопряженных переменных
В общем случае квантовых систем в 7?-мерных пространствах
имеют место аналогичные соотношения неопределенности.
Используя обозначения § 6 и ^ш_аналогии с определением B7),
будем характеризовать неопределенности qt и р(- квадратичными
отклонениями, соответствующими их статистическим распре-
распределениям:
Рассуждения предшествующего параграфа могут быть повто-
повторены без изменений, и в результате мы получим соотношения
неопределенности между сопряженными (декартовыми) пере-
переменными:
Д<7,-Др,>Й/2 (?=1, 2, ...,/?). C2)
§ 10. Соотношение неопределенности время-энергия
Существование соотношений неопределенности координата-
импульс связано с тем, что импульс с точностью до постоян-
постоянного множителя определяется как характеристическое волновое
число плоской волны, а плоская волна, строго говоря, заполняет
все пространство; попытка локализовать импульс частицы в не-
некоторой определенной точке пространства столь же безуспешна,
как попытка локализовать плоскую волну.
Но подобно тому, как импульс, будучи пропорционален вол-
волновому числу, не может быть локализован в пространстве, так
и энергия, пропорциональная частоте, не может быть локализо-
локализована во времени. Поэтому в соответствии с требованиями прин-
принципа относительности существует соотношение неопределенности

138 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
время-энергия, аналогичное соотношениям неопределенности
координата-импульс, а именно
At • АЕ ^ й. C3)
Однако физическая интерпретация этого соотношения иная.
В соотношениях неопределенности координата-импульс перемен-
переменные положения и импульса входят симметричным образом: как
те, так и другие могут быть подвергнуты измерению в данный
момент времени t. Статистические распределения результатов
измерения, а следовательно, и неопределенности Aqi, Ар, опре-
определяются значением волновой функции системы в данный мо-
момент времени. В противоположность этому энергия и время з
соотношении C3) играют совершенно разные роли: энергия Е
есть динамическая переменная системы, а время t есть пара-
параметр. Соотношение C3) связывает неопределенность АЕ зна-
значения, принимаемого этой динамической переменной с интер-
интервалом времени At, характеристическим для временной эволюции
системы.
Начнем обсуждение этого вопроса с исследования поведения
свободной частицы. Плоская монохроматическая волна е1 (*г-ш0
представляет частицу со строго заданным импульсом fift и энер-
энергией йю. С помощью суперпозиции волн можно получить волно-
волновой пакет типа, представленного в уравнении A1.11). Для упро-
упрощения рассуждений рассмотрим волновой пакет в одном изме-
измерении и вообразим себе некоторый цуг волн, подобный прямо-
прямоугольному сигналу, изображенному на рис. 17. Пусть Ах
обозначает его длину, ас — групповую скорость. Пакет пере*
мещается со скоростью v вдоль оси х, однако момент прохожде-
прохождения таким пакетом заданной точки на оси х не может быть
указан точно: неопределенность в определении этого момента
оказывается порядка At да Ax/v. Кроме того, мы видели, что
указанный волновой пакет характеризуется также размазан-
размазанностью в пространстве импульсов, отчего возникает неопреде-
неопределенность А? в значении энергии частицы
AE&^-Ap = v Ар.
Из этих двух приближенных равенств находим, что
At ¦ АЕ ж Ах ¦ Ар
и, применяя соотношение неопределенности координата-импульс,
получаем неравенство C3), которое ограничивает снизу вели-
величину произведения ширины энергетического спектра частицы
АЕ и неточности At измерения момента прохождения частицей
некоторой точки на оси.

§ 10. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ВРЕМЯ-ЭНЕРГИЯ 139
Подобный подход легко распространяется на случай волно-
волнового пакета в медленно меняющемся поле, но оказывается не-
несостоятельным в более общих случаях. Чтобы получить соотно-
соотношение типа C3), надо, вообще говоря, учитывать временную
зависимость волновой функции.
Наиболее простым является случай системы, обладающей
вполне определенным значением энергии. Мы знаем (см. гл. II,
§ 16), что волновая функция квантовой системы с заданной
энергией Е = йю имеет характерную зависимость от времени
е-ш Рассмотрим в качестве примера частицу, помещенную
в некоторое силовое поле. Если квантовое состояние характери-
характеризуется определенным значением энергии Е = йю, то волновая
функция запишется в виде W(r,t) = ^(r)e~ie>t. Отсюда следует,
что распределение положений этой частицы Р (г) = j if (r) |2 не
зависит от времени. Легко видеть, что распределение по импуль-
импульсам также Ъбладает этим свойством. Следовательно, результат
измерения положения или импульса не зависит от момента вре-
времени, когда производится измерение. Коротко это выражают,
говоря, что физические свойства системы не зависят от времени
или, что система находится в стационарном состоянии.
Предположим теперь, что квантовое состояние частицы есть
суперпозиция двух стационарных состояний с энергиями Е\ и Еч.
Волновая функция имеет вид
ф, (г)
а распределение
Р(г, 0 = |*,(г)\2 + \%ИI2 + 2Re^г|у><(*-*>'/*
осциллирует между двумя крайними значениями (|i|ji| — |*г|J
и (l^il + l^lJ с периодом т= if _? | ¦ Распределение по
импульсам имеет то же свойство.
Таким образом, время т является характеристическим для
эволюции физических свойств системы. Результаты измерений,
точнее статистическое распределение результатов измерений,
проведенных в два различных момента времени t\ и t2, будут
практически одинаковыми, если разность &t = \ti— f2j мала
по сравнению с т. Иными словами, чтобы свойства системы за-
заметно изменились за интервал времени At, необходимо, чтобы
произведение At и неопределенности в значении энергии АЕ =
= |?i — Е2\ было по крайней мере равно величине порядка й:
At-AE ^ й. Выраженный в такой форме этот результат остается
сцраведливым, когда состояние системы есть произвольная
суперпозиция произвольного числа стационарных состояний.

140 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Следовательно, он имеет общее значение. Строгое доказатель-
доказательство будет дано позднее (§ VIII. 13).
Важным приложением соотношения C3) является соотноше-
соотношение среднее время жизни — ширина для радиоактивных и воз-
возбужденных систем (радиоактивные ядра, возбужденные состоя-
состояния атомов, нестабильные элементарные частицы и т. д.). Такие
системы не являются стационарными и не обладают опреде-
определенным значением энергии; они характеризуются спектром энер-
энергий с некоторой шириной АЕ. Среднее время жизни играет
здесь роль характеристического интервала времени, рассмотрен-
рассмотренного выше. Чтобы заметить существенные изменения физических
свойств системы, необходимо ждать указанный промежуток
времени. Поэтому
т•ДЕ да ft.
Другое следствие неравенства C3) относится к измерению
энергии как таковому. Точность АЕ измерения энергии связана
со временем А^, необходимым для измерения, соотношением
C3). Так, можно измерять, например, энергию возбуждения
первого возбужденного уровня атома водорода, бомбардируя
атомы водорода пучком моноэнергетических электронов и изме-
измеряя энергию, теряемую электронами при соответствующих не-
неупругих столкновениях. Время измерения здесь по крайней мере
равно времени столкновения, т. е. времени At прохождения па-
пакета волн, представляющего электрон, через область нахожде-
нахождения атома водорода; ошибка измерения по крайней мере равна
неопределенности АЕ в энергии электронов падающего пучка;
легко видеть, что At-AE ^ fi.
§11. Соотношения неопределенности для фотонов
Соотношения неопределенности для систем материальных
частиц следуют из двойственности физических проявлений
этих частиц как волн и как корпускул. По той же причине соот-
соотношения неопределенности должны иметь место для фотонов.
Однако при выводе этих последних соотношений следует учиты-
учитывать, что число фотонов, содержащихся в физической системе,
обычно не является хорошо определенной величиной и, строго
говоря, эволюцию фотона во времени можно рассматривать
только, если он свободен от всяких взаимодействий.
При этих ограничениях можно представлять свободный фо-
фотон как волновой пакет, составленный из плоских монохромати-
монохроматических волн, распространяющихся со скоростью света6).
6) Чтобы упростить изложение, мы пренебрегаем явлением поляризации
света. Для учета его следует приписать фотону внутреннюю степень свободы.

§ 12. НЕКОНТРОЛИРУЕМОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ 141
Освещая экран, снабженный диафрагмой, способной откры-
открываться на время At, можно получить проходящий световой сиг-
сигнал, который в предельном случае будет содержать только один
квант света. Этот фотон может быть представлен волновым
пакетом, ширина которого в направлениях трех осей координат
(Ax,Ay,Az) будет зависеть от размеров диафрагмы и проме-
промежутка времени At. Такой волновой пакет является некоторой
суперпозицией монохроматических волн и имеет все свойства
пакетов, рассмотренных выше. Составляющие импульса и энер-
энергия пакета отличны от нуля в некоторых конечных областях
с размерами Арх,\Ару, Арг и АЕ. Все эти величины удовлетво-
удовлетворяют соотношениям?
Ах-Арх^Н, Ау • Ару^П, Az-Apz>,ti, At-AE^H.
Эти неравенства позволяют сделать некоторые выводы отно-
относительно механизма взаимодействия фотона с веществом. На-
Например, в процессе поглощения фотона атомом (фотоэлектри-
(фотоэлектрический эффект) произведение неопределенности АЕ величины
энергии, передаваемой атому, и неопределенности At момента
передачи этой энергии по порядку величины в лучшем случае
равно Ь. Если же атом, находящийся в возбужденном состоянии,
испускает фотон, то момент перехода характеризуется неопреде-
неопределенностью, равной примерно среднему времени жизни этого
возбужденного состояния. Фотон представляется волновым па-
пакетом пространственной протяженности сх и, следовательно,
дисперсия энергии АЕ должна быть такова, что х-АЕ да Ь. Этот
результат хорошо подтверждается на опыте. Его можно было
бы получить, исходя из соотношения неопределенности среднее
время жизни-ширина, обсуждавшегося выше, и заметив, что,
согласно закону сохранения энергии дисперсия энергии испу-
испущенного фотона (конечное состояние) должна быть равна дис-
дисперсии энергии возбужденного атома (начальное состояние).
Раздел III. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
И МЕХАНИЗМ ИЗМЕРЕНИЯ
§ 12. Неконтролируемое возмущение в процессе измерения
Ниже мы сосредоточим внимание на соотношениях неопре-
неопределенности типа координата-импульс. Отклонения Ах, Ар, вхо-
входящие в эти соотношения, относятся к измерениям, осуществ-
осуществленным при выполнении условий, которые были указаны выше
при определении квантовых вероятностей. Их не следует смеши-
смешивать с обычными ошибками измерений, источником которых
является несовершенство самого измерительного устройства, не
позволяющее фиксировать измеряемые величины с идеальной

142 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
точностью. Во всех предшествующих рассуждениях мы прене-
пренебрегали ошибками этого рода.
Рассмотрим тщательней, что представляет собой сама опе-
операция измерения, если принять сформулированную выше стати-
статистическую интерпретацию. Пусть мы имеем дело, например, с из-
измерением координат, определяющих положение частицы кванто-
квантовой системы, динамическое состояние которой представляется
волновой функцией W (в дальнейшем для краткости мы будем
говорить, что система находится в состоянии Ч*"). Допустим, что
мы обладаем идеально точным измерительным прибором. Не-
Невозможность точно предсказать показания этого прибора не
связана с его несовершенством. Дело в том, что состояние *Р
в общем случае не соответствует какому-либо точному значению
х; это суперпозиция динамических состояний, каждое из которых
соответствует своему значению х. Непосредственно после того
как измерение выполнено, мы можем утверждать, что система
находится в динамическом состоянии, в котором координата х,
имеет точное значение х', указанное прибором. Но такое состоя-
состояние, очевидно, уже не может быть представлено волновой функ-
функцией Ч*", следовательно, вмешательство измерительного прибора
изменило динамическое состояние измеряемой системы. Более
того, возмущение системы в процессе измерения оказывается в
известной мере неконтролируемым. Это надо понимать в том
смысле, что мы не можем точно предсказать, каким же будет
состояние системы после измерения — мы знаем только вероят-
вероятности того, что система находится в некоторых динамических
состояниях, соответствующих тем или иным значениям х' коор-
координаты х.
В том, что измеряемая система в процессе измерения испы-
испытывает некоторое возмущение, нет ничего удивительного. Ведь
сам процесс измерения предполагает взаимодействие системы
с измерительным прибором, при котором последний претерпе-
претерпевает некоторое изменение своего состояния. Это изменение со-
состояния прибора играет решающую роль, так как именно оно
выражает реакцию прибора, позволяющую зафиксировать опре-
определенное значение измеряемой величины. Естественно, что и
измеряемая система в процессе измерения изменит свое со-
состояние.
В случае макроскопических явлений всегда можно добиться,
чтобы возмущающее действие измерительного прибора на си-
систему было пренебрежимо мало или могло быть учтено с доста-
достаточной степенью точности. Поясним это на примере. Можно
установить положение макроскопического объекта, фиксируя его
образ на фотографической пластинке с помощью какой-либо
оптической системы; динамическое состояние объекта в про-
процессе такого измерения неизбежно изменяется, так как он под-

§ 12. НЕКОНТРОЛИРУЕМОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ 143
вергается воздействию света (давление излучения). В классиче-
классическом приближении, когда падающий свет можно рассматривать
как непрерывную волну (большое число присутствующих фото-
фотонов), изменение состояния объекта может быть в принципе
точно вычислено. При условии, что мы располагаем достаточно
чувствительной пластинкой, можно уменьшить освещенность
объекта настолько, что возмущающее действие световой волны
станет пренебрежимо малым.
Эти рассуждения, очевидно, справедливы только в рамках
классического приближения. На самом деле действие измери-
измерительного инструмента на объект не может быть сделано сколь
угодно малым, так как их взаимодействие осуществляется
дискретными квантами. Угол отклонения кванта света объектом
точно не определен, другими словами, передача импульса в про-
процессе столкновения кванта с объектом должна рассматриваться
как неконтролируемая величина. Таким образом, измерение по-
положения в пространстве сопровождается неконтролируемым
изменением импульса объекта (полуколичественный анализ
этого эффекта будет дан в следующем параграфе). Поскольку
в макроскопических масштабах все изменения величин такого
рода пренебрежимо малы, классическая теория без обсуждения
принимает, что все динамические переменные физической си-
системы могут быть одновременно измерены с произвольно малой
ошибкой, и определяет динамическое состояние системы в любой
момент точным заданием всех этих переменных в этот момент
времени. На микроскопическом уровне этот постулат не имеет
более экспериментального обоснования и должен быть отбро-
отброшен. Квантовая теория принимает, что непредсказуемое и не-
неконтролируемое возмущение, испытываемое физической систе-
системой в процессе измерения, всегда конечно и таково, что
выполняются соотношения неопределенности Гейзенберга. На-
Например, при измерении координаты х, как мы видели выше, си-
система переходит из состояния W в состояние Ч*"'. Уже было
сказано, что состояние W в общем случае не соответствует ни
точному значению х, ни точному значению р, а дает лишь
распределение вероятности Р(х) найти то или иное значение х,
если мы осуществим точное измерение этой величины, и распре-
распределение вероятности П(р) найти то или иное значение р, если
мы осуществим точное измерение р. Новое состояние Ч?' соот-
соответствует новым распределениям Р'(х) и П'(р), при этом откло-
отклонения A'jc, Д'р в этих распределениях обязательно удовлетво-
удовлетворяют соотношению А'х-А'р^ Ь/2. Если, в частности, измерение
х идеально точно (A'jc = O), to величина Д'р должна быть
бесконечно большой. Этот результат часто выражают словами,
что нельзя уменьшить неопределенность в переменной положения

144 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
х, не увеличивая соответствующим образом неопределенность
в переменной импульса р, и наоборот.
Рассмотрим несколько примеров возможных измерений и
покажем, что возмущение, испытываемое измеряемой системой,
всегда именно таково, что выполняются соотношения неопреде-
неопределенности Гейзенберга7).
§ 13. Измерения положения в пространстве
а) Использование диафрагмы. Рассмотрим параллельный
пучок моноэнергетических электронов. Ставится задача опреде-
определить положение электронов вдоль оси Ох, перпендикулярной
направлению Oz пучка электронов. С этой целью на пути пучка
ставится экран с отверстием (рис. 18). Если d есть ширина
отверстия, то положение электрона, проходящего диафрагму,
определяется с точностью Ал;=
= d. Однако этот электрон
представляется волной де
Бройля с длиной к = Ь/р;
прохождение диафрагмы со-
провождается явлением ди-
дифракции, так что пучок «ра-
«раскрывается» на угол а порядка
sin a « X/d = Н/р • Ах.
Отсюда следует, что возникает
составляющая Арх = р sin a
вдоль оси х и выполняется со-
Рис. 18. Измерение положения с по- отношение Ах-Арх « Ъ.
мощью диафрагмы. Импульс электрона рх вдоль
оси х, по предположению точно
известный до операции измерения (рх — 0), неконтролируемо
изменяется на величину порядка fi/Ддс в процессе измерения
(т. е. при прохождении диафрагмы).
Важно убедиться здесь, что импульс, передаваемый электро-
электроном диафрагме в процессе измерения, не может быть определен
7) Именно это имеет место во всех экспериментальных устройствах, по-
позволяющих обнаружить «траекторию» частицы, например, в фотографических
пластинках или камерах Вильсона для наблюдения заряженных частиц. Так,
в камере Вильсона частица ионизирует на своем пути некоторое число ато-
атомов, и возникающие ионы служат центрами конденсации, вокруг которых
образуются видимые капельки. Положение частицы определяется с неопреде-
неопределенностью Aq, по крайней мере равной радиусу ионизованного атома (прак-
(практически она значительно больше). Но в процессе взаимодействия с измери-
измерительным устройством, т. е. в процессе ионизации атома, частица испытывает
непредсказуемую и неконтролируемую передачу импульса Ар порядка H/ts.q.
Поэтому «траектория» частицы может наблюдаться только с точностью
Aq-kp « Й.

§ 13. ИЗМЕРЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ 145
с точностью, превышающей Ь/Ах, иначе наши рассуждения не
будут справедливы. Чтобы осуществить операцию измерения
положения, диафрагма должна оставаться неподвижной, и ее
положение (вдоль Ох) должно быть известно с точностью до
8х, причем бх должно быть значительно меньше ширины отвер-
отверстия: 6л: «С Ах. Однако диафрагма, подобно электрону, также
является квантовым объектом, ее импульс не может быть опре-
определен с точностью, превышающей бр, так что мы имеем
б/7»Й/бд:> ft/Ах.
Диафрагма может практически оставаться неподвижной в
процессе измерения, если она достаточно тяжела; это ограниче-
ограничение не мешает самой операции измерения. Однако невозможно
определить изменение импульса диафрагмы с точностью, пре-
превосходящей бр и, следовательно, bjAx.
Это рассуждение проясняет еще одно важное обстоятель-
обстоятельство. Необходимо принять, что измерительный прибор сам яв~
ляется квантовым объектом и тоже удовлетворяет соотноше-
соотношениям неопределенности. Это
предполагает, что соотношения
неопределенности имеют универ-
универсальный характер. В противном
случае физическая интерпрета-
интерпретация квантовой теории должна
была бы быть подвергнута глу-
глубокой ревизии.
б) Использование микроскопа.
Применение диафрагмы явля-
является, конечно, наиболее простым
способом измерения положения Рис. 19 Измерение положения
объекта. Другой, менее пря- с помощью микроскопа,
мой, но столь же успешный
метод состоит в освещении объекта и наблюдении его изобра-
изображения в микроскоп. Рассмотрим поэтому определение положе-
положения х электрона при наблюдении в микроскоп (рис. 19). Точ-
Точность измерения ограничивается тем, что изображение каждой
точки есть на самом деле дифракционное пятно конечных раз-
размеров. Если при оценке точности измерения Ах исходить из раз-
размеров этого пятна, то Ах ¦х X/sin9, где X есть длина волны
используемого света, а 8 — половина угла раствора пучка,
рассеянного электроном и сфокусированного в микроскопе. Од-
Однако рассеяние света происходит отдельными квантами и сопро-
сопровождается частично неконтролируемой передачей импульса
(эффект Комптона). Этот эффект минимален, когда рассеивае-
рассеиваемый свет содержит только один фотон; импульс последнего
имеет точно определенную величину р = hfk, но направление

146 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
распространения определяется только с точностью до угла 9.
Импульс, передаваемый электрону, характеризуется поэтому
неопределенностью Ар л; ft sin Q/X. Чем точнее измерение поло-
положения, тем больше этот эффект, и мы по-прежнему имеем
Ал:-Ар « ft.
Можно возразить, что точность измерения х определяется не
размерами дифракционного пятна, а точностью измерения цен-
центра этого пятна. Эта точность тем более велика, чем больше
число N фотонов, принимающих участие в образовании пятна.
По законам математической статистики ошибка при вычислении
х должна быть в <\/~N раз меньше, чем приведенная выше
«J N sin 6
Однако если передача импульса каждым фотоном характери-
характеризуется неопределенностью (h sin 8/к), то неопределенность в им-
импульсе, передаваемом N фотонами, будет в л/~й раз больше
(сложение квадратичных ошибок), т. е.
Ар ж У^4 «по-
«последовательно,
Ад; • Ар л; ft.
§ 14. Измерения импульса
Аналогичным образом импульс частицы может a priori быть
измерен с любой наперед заданной точностью, но операция
измерения всегда сопровождается возмущением, которое увели-
увеличивает неопределенность в знании координаты, измеряющей
положение, так что соотношения неопределенности всегда вы-
выполнены. Покажем это на двух примерах.
а) Отклонение в магнитном поле. Импульс заряженной ча-
частицы обычно измеряется по отклонению в постоянном магнит-
магнитном поле. Количество движения р связано с радиусом кривизны
R траектории частицы хорошо известным соотношением
где Ж — величина магнитного поля, а е — заряд частицы.
Исследуем процесс измерения импульса электрона этим ме-
методом. На рис. 20 представлена схема эксперимента. Электрон
попадает в поле магнита через диафрагму А и покидает его
через диафрагму В после отклонения на 180° (этот угол откло-
отклонения выбран для удобства рассуждений). В момент, непосред-
непосредственно предшествующий началу измерения (т. е. непосред-

§ 14. ИЗМЕРЕНИЯ ИМПУЛЬСА
147
ственно перед прохождением диафрагмы), направление движе-
движения (ось Оу) и координата электрона в этом направлении
(Дг/ = 0) по предположению точно известны. Эти начальные
условия рх = рг = 0, у = уА в принципе всегда могут быть реа-
реализованы с помощью коллиматора, снабженного обтюратором
с достаточно коротким «временем пропускания». Радиус кри-
кривизны равен половине расстояния
между двумя диафрагмами: если
2d и 2d' — соответствующие
ширины этих диафрагм, то R
измеряется с точностью до d +
-f- d'. Таким образом, импульс
электрона известен с точно-
точностью до
Др = f Я? (d
') = -?¦(<*
20. Измерение импульса
методом отклонения в магнитном
поле.
Измеряемой в опыте величи-
величиной является составляющая им-
импульса в направлении оси Оу. По- Рис.
кажем, что в результате измере-
измерения координата электрона у бу-
будет характеризоваться неопре-
неопределенностью Дг/, причем Ау-Ар^Ь. Квантовым эффектом, су-
существенным в этом опыте, является дифракция электронной
волны при прохождении диафрагмы А (читатель без труда убе-
убедится в том, что дифракция на диафрагме В роли не играет).
Если бы указанного эффекта не было, то импульс электрона
на входе в область действия поля был бы строго направлен по
Оу, далее электрон описывал бы полукруг, и время движения
от Л к В, равное птс/еЖ, не зависело бы от величины р. Кван-
Квантовый эффект дифракции приводит к тому, что угол между
направлением импульса на входе и осью Оу характеризуется
неопределенностью а « X/d = h/pd; траектория электрона
(в приближении геометрической оптики) есть дуга окружности,
определяемая с точностью до 2а; момент прихода в В характе-
характеризуется неопределенностью At = 2а.тс\еХ, а неопределенность
Дг/ в р/т раз больше, следовательно
Дг/ « 2а
рс
2/г
Отсюда получаем
б) Столкновение с фотоном. Следующий метод измерения
импульса основан на изучении процесса столкновения рассмат-

148 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
ризаемой частицы с другой частицей, например, с фотоном,
начальный импульс которого известен точно; измеряется им-
импульс, передаваемый при столкновении второй частице. Рас-
Рассмотрим электрон из предшествующей задачи с начальными
данными рх = рг = 0, у = уд. Для определения импульса элек-
электрона ру будем облучать его идеально монохроматическим све-
светом частоты v, распространяю-
распространяющимся параллельно оси у.
Один из световых фотонов ис-
испытывает комптоновское столк-
столкновение и измеряется его ко-
*. ^ !Ш. нечный импульс. Чтобы упро-
р стить рассуждения, предполо-
л , жим, что конечный импульс
-*jr —*~ фотона также параллелен оси
у, но направлен в противопо-
Рис. 21. Измерение импульса элек- ложную сторону (рис. 21).
трона при комптоновском столкнове- Пусть v' — частота фотона ПОС-
нии с фотоном. Схема столкновения ле СТОЛКНовения; теория комп-
тоновского рассеяния позво-
позволяет выразить начальный р и конечный р' импульсы электрона
через частоты v и v'. Предположим, что реализуются условия
нерелятивистского приближения (р, р' «С тс и v, v' <С тс2/К).
В результате вычислений находим
v), p = mi
V ~f~ V ?. I» V Т" v A t*
причем точность определения этих величин связана с точностью
определения v' соотношением
Av'
Ар
v' + v •
Положение у электрона после измерения может быть вы-
вычислено, исходя из того, что в начальный момент у — уА, ско-
скорость электрона до столкновения равна р/т, а после столкно-
столкновения р'/tn. Если положение и импульс рассеянного фотона
можно было бы измерить одновременно с большой точностью,
то был бы строго определен и момент столкновения, а тогда
неопределенности в значениях риг/ могли бы быть сделаны
одновременно сколь угодно малыми. Читатель проверит это
без труда. Однако измерение v' есть измерение частоты;
чем точнее это измерение, тем больше неопределенность в опре-
определении момента прохождения фотоном какой-либо точки, в
частности в определении момента столкновения: Av'-A^^l.
В го же время неопределенность Аг/ в положении электрона
после столкновения равна по меньшей мере произведению А/

§ 15. ПРОБЛЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ U9
на изменение скорости, т. е.
IР ~ р' I JL
л
JL
m Av' ~ me Av' '
что дает Аг/-Др и Ау-Ар' >, /г.
В этой измерительной операции, как и в предшествующей,
измеряемая величина ру сама меняется в процессе измерения.
Это изменение не следует смешивать с непредсказуемым и не-
неконтролируемым возмущением, испытываемым системой при
измерении. Действительно, указанное изменение известно точно,
во всяком случае значения р и р' величины ру до и после столк-
столкновения известны с одинаковой точностью, которая может быть
сделана сколь угодно большой. Напротив, ввиду невозможности
предсказать и контролировать возмущение, испытываемое части-
частицей при осуществлении измерения (неопределенность в опреде-
определении момента передачи импульса и энергии), величина у после
столкновения известна только с неопределенностью Аг/, причем
эта неопределенность тем больше, чем точнее измерение р.
Подчеркнем еще раз универсальность характера соотноше-
соотношений неопределенности. Действительно, что бы произошло, если,
величина кванта действия для фотонов была бы равна некото-
некоторой величине Ь', значительно меньшей й? Все наши рассужде-
рассуждения относительно измерения типа б) можно было бы повторить,
заменяя всюду Ь на Ь'; это привело бы нас к соотношению
Аг/ • Ар' » Ь' <С Ъ. Соотношения неопределенности оказались бы
нарушенными и вся развиваемая нами статистическая интерпре-
интерпретация теории пришла бы в противоречие с опытом.
Оба метода измерения импульса, обсуждавшиеся выше, тре-
требуют некоторого временного интервала. Этот интервал может
быть вообще говоря уменьшен (при увеличении поля Ж в пер-
первом случае, при увеличении частоты v во втором; см. задачу 7)
без изменения точности измерения ру. Но как бы то ни было,
вероятности, определенные в §§ 2, 5, вычисляются с помощью
волновой функции, заданной в момент времени t. Поскольку
само измерение не мгновенно, следует точно определить этот
момент времени: t есть момент начала измерения, так что рас-
распределение вероятностей, данное в § 2 (уравнение F)) отно-
относится к импульсу ру, т. е. к импульсу до измерения.
Раздел IV. ОПИСАНИЕ ЯВЛЕНИЙ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ.
ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ И ПРИЧИННОСТЬ
§ 15. Проблемы статистической интерпретации
Несомненно, что представление состояния квантовой системы
волновой функцией имеет абстрактный характер, а статистиче-
статистическая интерпретация теории с трудом поддается интуитивному

150 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
восприятию. Однако попытки описания микроскопических явле-
явлений на основе более конкретных и интуитивно ясных моделей
неизбежно сталкиваются с рядом противоречий.
Рассмотрим, например, атом гелия. Чтобы не усложнять
картины, допустим, что ядро атома неподвижно и масса его
бесконечно велика. Это значит, что мы трактуем атом как
систему, состоящую из двух электронов с волновой функцией
^ (гь *; 0 • Проще всего представить себе две корпускулы (два
электрона), движущиеся более или менее сложным образом
вокруг массивного ядра. Однако при этом подразумевается, что
каждый электрон следует вполне определенной траектории, в то
время как волновая функция W позволяет нам найти только
статистическое распределение координат при измерении поло-
положения и статистическое распределение составляющих им-
импульса при измерении импульса. Поскольку мы допустили, что
динамическое состояние атома полностью определяется волно-
волновой функцией Ч*", неизбежен вывод, что корпускулярная модель
атома частично неверна. Можно, наоборот, мыслить себе два
электрона как непрерывное распределение электричества в про-
пространстве, окружающем ядро, или, лучше, как непрерывную
волну, «заряженную» электричеством. Но эта картина также не
свободна от трудностей. Во-первых, волна Ч*" определена в кон-
конфигурационном, а не в обычном трехмерном пространстве, по-
поэтому она не может быть отождествлена с той конкретной
волной, о которой мы говорим. Точное определение этой послед-
последней есть задача, до сих пор не получившая своего решения.
Во-вторых, образ непрерывной волны не может быть согласован
с некоторыми явлениями, такими как ионизация атома, где
проявляется существование отдельных и в какой-то мере ло-
локализованных корпускул.
Разумеется ничто не доказывает, что согласованное и вполне
предметное представление микроскопических явлений не может
быть сформулировано. Тем не менее, до сих пор никому не
удалось этого сделать. Впрочем, следует отдавать себе отчет
в том, что с точки зрения логики более или менее абстрактные
концепции физической теории вовсе не обязаны выражаться на
конкретном языке. Вся наша интуиция, все наше чувство кон-
конкретного основываются на каждодневном опыте, и понятия и
образы, используемые для конкретного описания явления, каким
бы оно ни было, также взяты из этого опыта. Нет никаких
оснований думать, что язык таких понятий может быть без про-
противоречий использован для описания явлений микроскопической
физики, столь удаленных от повседневного опыта. Эти явления
дают только один пример подобных трудностей. Аналогичным
образом некоторые результаты теории относительности также

§ 15. ПРОБЛЕМЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ИНТЕРПРЕТАЦИИ 15f
противоречат нашей интуиции8), таковы, например, явления
сокращения длин и растяжения времени, когда относительная
скорость двух систем отсчета близка к скорости света с. Не
удивительно поэтому, что конкретные образы микроскопических
явлений при их последовательном развитии приводят к противо-
противоречиям и парадоксам.
Полезно в этой связи отметить аналогию между ролью по-
постоянной Планка h в квантовой теории и ролью постоянной с
в теории относительности. Тот факт, что скорость света с ко-
конечна, приводит к пересмотру понятия одновременности и огра-
ограничивает поэтому область применимости механики Ньютона.
Аналогично тот факт, что постоянная h конечна (а не равна
нулю), приводит к пересмотру понятия одновременных измере-
измерений и ограничивает область применимости классической теории.
Конкретные образы из нашего повседневного опыта относятся
к миру, где с кажется бесконечной, a h кажется равной нулю,
поэтому они не могут быть перенесены как таковые в область,
где то или иное из этих приближений теряет силу.
Таким образом, отсутствие в квантовой теории наглядного
представления явлений ни в коей мере не может рассматри-
рассматриваться как недостаток теории. Однако квантовая теория может
быть подвергнута критике с других позиций.
Вопрос в том, отвечает ли описание явлений в квантовой
теории тем требованиям, которые мы вправе предъявить то
вполне удовлетворительной теории? Первое требование к тео-
теории, конечно, состоит в том, чтобы ее предсказания согласовы-
согласовывались с экспериментальными наблюдениями; совершенно оче-
очевидно, что квантовая теория удовлетворяет этому требованию,
во всяком случае в области атомной и молекулярной физики.
Но физическая теория не может претендовать на полноту, если
она ограничивается только предсказаниями результатов того
или иного эксперимента. В начале всякой научной теории лежит
фундаментальный постулат, что природа обладает объектив-
объективной реальностью, не зависящей от наших чувственных восприя-
восприятий или методов исследования; целью всякой физической тео-
теории является адекватное отражение этой объективной реаль-
реальности.
Однако все выводы квантовой теории всегда выражаются в
форме: «выполняя то или иное наблюдение, мы получим тог
или иной результат». Законно поставить вопрос, дает ли кванто-
квантовая теория полное описание объективной реальности?
8) Примеры противоречий между человеческой интуицией и открытиями
физики гораздо старше теории относительности (вспомним галилеевское
«а все-таки она вертится» и т. Д.).

152 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Вопрос этот тем более обоснован, что предсказания теории
имеют статистическую природу. В классической теории к стати-
статистическим методам прибегают в тех случаях, когда информация,
которой мы обладаем относительно изучаемых систем, является
неполной. Концепции классической статистической теории не
позволяют дать полное описание объективной реальности, они
позволяют только получить некоторые средние величины и не-
некоторые результаты, касающиеся исследуемых физических си-
систем, несмотря на недостаток сведений относительно этих си-
систем. Эти результаты, строго говоря, неприменимы к отдельной
системе, они относятся к ансамблю из очень большого числа JC
•одинаковых и независимых систем. Аналогичным образом кван-
квантовая теория в общем случае не дает с достоверностью резуль-
результат того или иного измерения в отдельной системе, она дает
статистическое распределение результатов, получаемых при
повторении того же самого измерения на совокупности очень
большого числа JF систем, представляемых одной волновой
функцией.
Напрашивается вывод, что квантовая теория дает коррект-
корректное описание статистических ансамблей систем из микроскопи-
микроскопических объектов, но не может претендовать на полное описание
каждой системы, взятой з отдельности. Согласно этой точки
зрения, знания волновой функции недостаточно для полного
описания динамического состояния отдельной физической си-
системы. Для этого потребовалось бы некоторое число дополни-
дополнительных данных, которые мы не можем получить ввиду несо-
несовершенства наших средств наблюдения. Другими словами, дина-
динамическое состояние физической системы должно определяться
в каждый момент времени некоторым числом скрытых парамет-
параметров, эволюция которых во времени определяется строгими зако-
законами. Невозможность предсказать с достоверностью результаты
данного измерения обусловлена невозможностью узнать точные
значения этих скрытых параметров. Волновая функция, следо-
следовательно, не представляет объективное состояние изучаемой
системы, это скорее математический объект, содержащий всю
ту неполную информацию, которую мы имеем относительно
системы.
Хотя это мнение вполне можно защищать, в настоящее
время наибольшее распространение имеет точка зрения, со-
согласно которой квантовая теория дает полное описание явлений
природы (см. сноску на стр. 57). При этом основываются на
анализе, которым мы обязаны Бору A927), особых условий
выполнения наблюдений в микромире, а также на общем прин-
принципе, вытекающем из этого анализа, — принципе дополнитель-
дополнительности.

§ 17. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ 153
§ 16. Описание микроскопических явлений
и дополнительность
Всякое описание природных явлений — при полном призна-
признании их объективной реальности — неизбежно на некотором
этапе включает рассмотрение результатов наблюдений этих
явлений. Между тем, и в этом состоит первое замечание Бора,
как бы ни было далеко от классической механики изучаемое
явление, для его описания мы вынуждены использовать класси-
классическую терминологию. Действительно, дать отчет о некотором
опыте, значит описать недвусмысленно условия эксперимента и
результаты наблюдений, указав, например, что «данная стрелка
в такой-то момент времени остановилась у такого-то деления
шкалы». Особенно важно отметить необходимость использова-
использования точного языка без каких-либо элементов неуверенности со
стороны наблюдателя. Это совершенно необходимо, так как
опыт должен быть воспроизводим, а его течение и результаты
должны оставаться независимыми от наблюдателя.
Однако на микроскопическом уровне мы не можем провести
строгого различия между природным явлением и инструментом^
служащим для его наблюдения, различия, которое подразуме-
подразумевает обычное представление о наблюдении. Описывать объект
и прибор как различные сущности можно только в том предель-
предельном случае, когда величину кванта действия h можно считать
бесконечно малой. Это ограничивает возможности описания и
анализа изучаемого явления на классическом языке. Любая
попытка распространить анализ за эти границы требует моди-
модификации измерительной техники и самих условий эксперимента,
а это вводит новые возможности взаимодействий между объек-
объектами и прибором.
Вследствие этого, результаты наблюдений, полученные в
различных условиях опыта, не могут быть совмещены в единой
картине явления. Они должны рассматриваться как дополняю-
дополняющие друг друга в том смысле, что только вся совокупность
различных экспериментов исчерпывает возможность получения
информации относительно свойств объектов микроскопической
физики.
§ 17. Дополнительные переменные.
Совместные переменные
Описание явлений микроскопической физики осуществляется
на основе дополнительных элементов, т. е. элементов, дополняю-
дополняющих друг друга при составлении классической картины явле-
явления, но определяемых с помощью взаимоисключающих экспери-
экспериментальных устройств.

154 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Координата х и импульс р образуют пару дополнительных
элементов в указанном выше смысле. Точные измерения х и р
требуют использования несовместимых измерительных
устройств, так что одновременное измерение этих двух величин
не может быть осуществлено с точностью превышающей
Ах-Ар « Ь. Это следует из изложенного в §§ 13 и 14 материала.
Взаимоисключающий характер экспериментальных устройств,
служащих для измерения х и р, особенно хорошо проявляется
в случае измерений с диафрагмой (§ 13, а). Диафрагма, при-
применявшаяся для измерения положения электрона, может быть
использована и для измерения импульса: для этого достаточно
определить импульс, передаваемый экрану при столкновении
с электроном. Но поскольку ансамбль электрон + экран обра-
образует неделимую квантовую систему и нет возможности провести
строгое различие между составляющими частями, нельзя ис-
использовать классический язык и говорить о независимой эволю-
эволюции электрона (измеряемая система) и экрана (измерительный
инструмент), не допуская, что их взаимодействие имеет не-
неконтролируемый характер. Если мы хотим знать х с точностью
Ах, то мы не в состоянии контролировать передачу импульса
экрану с точностью, превышающей h/Ax. Если же мы желаем
измерить р с точностью бр и снабжаем экран всеми необходи-
необходимыми приспособлениями для точного измерения передаваемого
импульса, то оказывается невозможным контролировать поло-
положение экрана с точностью, превышающей bjbp, что ограничивает
наши сведения об х (см. задачу 10).
Говорят, что х и р образуют пару дополнительных перемен-
переменных. Сам принцип дополнительности часто выражают в сле-
следующей, более строгой форме:
описание физических свойств микроскопических объектов
на классическом языке требует использования пар дополни-
дополнительных переменных, причем каждый член пары определяется
тем точнее, чем менее точно определяется другой.
Эта формулировка подчеркивает главное отличие между
квантовой и классической механикой, а именно, тот факт, что
все динамические переменные квантовой системы не могут быть
одновременно определены с идеальной точностью.
Мы скажем, что две динамические переменные являются
совместными, если они могут быть одновременно точно опре-
определены. В гл. V мы увидим, что в самом общем случае две
совместные переменные представляются коммутирующими ли-
линейными операторами. Так, координаты частицы х и у являются
совместными переменными. Особенно важную роль играют
полные наборы совместных переменных а, Ь, с ... \ они состав-
составлены из попарно совместных переменных и обладают тем свой-
свойством, что любая другая переменная, совместная с каждой

8 18. КОРПУСКУЛЯРНОВОЛНОВОП ДУАЛИЗМ
155
переменной набора, является функцией а тих переменных
/(а, Ь, с,1 ...). Рассмотрим в качестве примера квантовую си-
систему, состоящую из одной частицы. Три переменных положения
х, у, z образуют полный набор совместных переменных. Действи-
Действительно, все три эти переменные могут быть одновременно изме-
измерены. Далее, всякая динамическая переменная является некото-
некоторой функцией х, у, z и рх, ру, рг, но совместными с х, у, z будут
только те переменные, которые не зависят от рх, ру, рг, так как
каждая из этих последних величин несовместна с х, у, z соот-
соответственно. Таким образом, общий вид динамической перемен-
переменной, совместной с х, у, г, есть F(x, у, г). Переменные х, у, z
образуют полный набор, то же самое можно сказать относи-
относительно переменных рх, у, рг (задание этих трех переменных
полностью определяло динамическое состояние системы до изме-
измерения в примерах § 14). Точное измерение полного набора сов-
совместных переменных системы дает тот максимум информации
о системе, который вообще можно
получить. Это измерение полностью У Е
определяет динамическое состояние
системы; ему соответствует опре-
определенная волновая функция. Мы
вернемся к этому вопросу в гл. V
(§ 15 и 16).
§ 18. Корпускулярио-волновой
дуализм и дополнительность
Рис. 22. Дополнительность
„ корпускулярного и волнового
Если исходить из принципа до- аспектов явления в опыте
полнительности, то корпускулярно-
волновая двойственность квантовых
объектов перестает быть парадок-
Юнга. S — источник, Y — экран
Юнга, Е — экран детектора.
На рисунке S, Y и Е твердо-
фиксированы на общей под-
устройство позволяет выявить
интерференционную картину,
но не позволяет получить ка-
какой-либо информации относи-
относительно траектории каждого фо-
фотона.
сальной: ВОЛНОВОЙ И корпускуляр- ставке Экспериментальное
ный аспекты оказываются дополни-
дополнительными и проявляются во взаимо-
взаимоисключающих экспериментальных
условиях. Всякая попытка выявить
один из аспектов поведения требует
соответствующего эксперименталь-
экспериментального устройства, которое лишает нас возможности наблюдать
другой аспект поведения объекта.
Рассмотрим, например, дифракционный опыт Юнга. Моно-
Монохроматическое излучение от источника 5 проходит через экран
Y с двумя отверстиями^ расстояние между которыми есть й, а
затем образует на экране Е, отстоящем от Y на расстоянии D,
интерференционную картину (рис. 22). Расстояние между поло-
полосами равно KD/d, где К — длина волны излучения, В, этом опыте

156 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
источник S и экраны У и ? жестко укреплены на общем осно-
основании. Сами полосы можно наблюдать только, если положение
(вдоль Ох) экрана У по отношению к S и Е фиксировано с точ-
точностью 8х, причем бл: < %D/d (ради простоты предполагаем, что
источник 5 находится на бесконечности). Корпускулярный
аспект излучения можно выявить в том случае, если известно,
через какое отверстие экрана У прошла частица. Для этого
проще всего измерить импульс, переданный экрану У при про-
прохождении частицы; он будет отличаться на mpd/D в зависи-
зависимости от того, через какое отверстие прошла частица (р = Л/А,
обозначает импульс частицы). Измерение должно быть выпол-
выполнено с такой точностью, чтобы бр <С hd/XD. Но чтобы прояви-
проявились одновременно оба аспекта поведения квантового объекта
необходимо, чтобы оба неравенства удовлетворялись одновре-
одновременно, т. е. 8х-8р <. h, что невозможно, так как измерительное
устройство само является квантовым объектом и удовлетворяет
соотношениям неопределенности. Любая попытка выявить кор-
корпускулярный аспект поведения излучения приведет к смазыва-
смазыванию интерференционной картины (см. задачу 11).
§ 19. Дополнительность и причинность
Особые условия описания явлений в квантовой теории огра-
ограничивают область справедливости принципа причинности и
объясняют, почему предсказания теории имеют статистический
характер 9).
Принцип причинности в строгом смысле может применяться
только по отношению к изолированным системам. Динамическое
состояние такой системы в данный момент представляется ее
волновой функцией в этот момент. Существует причинная (или
каузальная) связь между волновой функцией ty(t0) в данный
момент t0 и волновой функцией ^(t) в любой последующий мо-
момент, и связь эта выражается уравнением Шредингера. Однако
•если мы стремимся осуществить наблюдение над системой, то
не можем пренебречь действием на систему инструмента наблю-
наблюдения. Это действие, как мы знаем, в определенной мере непред-
непредсказуемо и неконтролируемо, ибо мы не можем строго разде-
разделить систему и инструмент. Они образуют единую квантовую
•систему, представляемую волновой функцией Чг(^), зависящей
а) Принцип причинности здесь, конечно, понимается не в философско-ме-
тодологическом смысле как принцип объективной закономерной взаимосвязи
н взаимообусловленности явлений материального мира. Имеется в виду прин-
принцип классической однозначной детерминированности явлений (так называемый
лапласовский детерминизм). Специфический характер законов движения ми-
микрообъектов ведет к расширению и углублению понятия причинности и про-
-явлению статистических илн вероятностных закономерностей. См. по этому
доводу цитированную на стр. 57 кингу В. А. Фока. (Прим. перев.)

§ 19. ДОПОЛНИТЕЛЬНОСТЬ И ПРИЧИННОСТЬ 157
от координат как наблюдаемой системы, так и инструмента.
Всякое описание системы как таковой с помощью одной только
волновой функции гр(^) оказывается невозможным. Таким обра-
образом, вмешательство измерительного аппарата разрушает кау-
каузальную связь между состоянием системы до измерения и со-
состоянием системы после измерения. Это объясняет, почему в
общем случае мы не можем предсказать достоверно, в каком
состоянии окажется система после измерения 10).
Для того чтобы показать, каким образом понятия, исполь-
используемые при описании явления, оказываются связанными с мето-
методом наблюдения, и как это влияет на применение принципа
причинности, рассмотрим пример возбужденного атома, который
испускает фотон при переходе в основное состояние. Этот при-
пример в то же время явится новой иллюстрацией дополнительности
волнового и корпускулярного аспектов поведения квантового
объекта.
Предположим, что атом находится в возбужденном состоя-
состоянии в момент времени t = 0; пусть т — его среднее время жизни,
а йсо — энергия испускаемого фотона. Попытаемся точно опре-
определить момент испускания фотона. Для этого полностью окру-
окружим атом соответствующими счетчиками; один из этих
счетчиков сработает при прохождении фотона. Зная момент
прохождения фотоном счетчика, расстояние, отделяющее атом
от счетчика, и скорость света с, можно без труда вычислить
момент испускания фотона. Однако квантовая теория делает по-
поэтому поводу выводы только статистического характера. Со-
Состояние системы атом -\- фотон легко описать, если иметь в виду
ситуацию, возникающую по истечении времени t ^> т: атом почти
наверняка находится в основном состоянии, а фотон (в хорошем
приближении) — примем это без доказательства — представ-
представляется волновым пакетом г|?(г, t), причем зависимость от t н
г—расстояния от фотона до атома — с точностью до постоян-
постоянной выражается в виде
( 0, если г > ct,
i°) Статистические предсказания, касающиеся результатов измерения, ес-
естественно получаются при исследовании механизма самой измерительной опе-
операции, исследовании, в котором измерительный инструмент рассматривается
как квантовый объект, а совокупность система + измерительный инструмент
изменяется, следуя принципу причинности согласно уравнению Шредингера.
Четкое и простое изложение вопроса о механизме измерения дано в книге
F. London et E. Bauer, La Theorie de l'observation en Mecanique Quantique,
Ed. Hermann (Paris, 1939). Более подробный разбор этой проблемы можно
найти в книгах: И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики,
«Наука>, 1964 г.; Д. Бом, Квантовая теория, «Наука>, 1965.

158 ГЛ TV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
Вероятность детектировать фотон на расстояние R от атома рав-
равна нулю пока t<ZR/c и равна ехр[—(t — R/c)/x] с точностью
до постоянной во все последующие моменты времени, откуда и
следует хорошо известный экспоненциальный закон распада.
Именно этот закон мы наблюдаем экспериментально на
очень большом числе распадов. Однако квантовая теория не
способна предсказать время распада каждого из атомов от-
отдельно. Можно сделать вывод, что квантовая теория хорошо
описывает распад статистических ансамблей возбужденных ато-
атомов, но не описывает полностью отдельное явление распада.
Ответ на это замечание следующий. Понятие времени рас-
распада неотделимо от экспериментального устройства, которое его
измеряет, и не может рассматриваться как свойство, характери-
характеризующее эволюцию атома вне зависимости от этого устройства.
Действительно, существуют и другие экспериментальные
устройства, «дополнительные» к рассмотренному, позволяющие
выявить иные аспекты явления и несовместимые с самим поня-
понятием о моменте испускания фотона. Это все те устройства, в
которых мы наблюдаем интерференционные эффекты света. Здесь
волна C4) оказывается разделенной на два волновых пакета,
которые вновь интерферируют после прохождения различных
оптических путей. Наблюдение интерференционной картины
возможно, если разность оптических путей меньше протяжен-
протяженности волны C4) в пространстве11). Следовательно, простран-
пространственная протяженность волны существенна для самой поста-
постановки опыта, а поэтому понятие момента испускания фотона
теряет всякий смысл.
Принцип причинности в его обычном понимании применим
к системе атом -f- фотон до тех пор, пока она еще не провзаимо-
действовала с измерительным прибором. В течение этого пе-
периода времени возможно описание динамического состояния
системы с помощью волновой функции, подчиняющейся уравне-
уравнению Шредингера. При этом фотон представляется пакетом
расходящихся волн C4), фронт которого, г = ct удаляется от
атома со скоростью с. Однако это причинное описание перестает
быть справедливым как только система атом -f- фотон вступает
во взаимодействие с инструментом наблюдения. Здесь уже
нельзя говорить об изолированной системе, так как ансамбль
система + инструмент наблюдения составляет единую сущность;
свойства, приписываемые системе, в действительности являются
11) Среднее время жизни возбужденного состояния атома при испуска-
испускании видимого света порядка 10-' сек. Поэтому длина сх испускаемого цуга
волн порядка 3 м. Интерференционную картину удавалось наблюдать при
разности оптических путей порядка метра. Это подтверждает наши выводы
Относительна .пространственной протяженности цуга волн и неопределенности
понятия момента испускания. . . .

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 159
свойствами ансамбля. Поэтому не может существовать строгой
причинной связи между состояниями системы до и после изме-
измерения.
Это положение дел резко отличается от классической ситуа-
ситуации, где все динамические переменные системы строго опреде-
определены в любой момент, а их эволюция во времени строго
детерминирована. Динамические переменные квантовой системы
определяются только с учетом соотношений неопределенности
между парами дополнительных переменных, так что их времен-
временная эволюция детерминирована только частично. Сколь бы шо-
шокирующим не выглядело это ограничение принципа причинности,
оно не входит в противоречие ни с одним опытным фактом, ибо
временная эволюция совокупности динамических переменных
системы может экспериментально наблюдаться только в рамках
приближения, соответствующего соотношениям неопределен-
неопределенности.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что гамильтониан частицы в электромагнитном поле (урав-
(уравнение A1.25)) является эрмитовым оператором и что вследствие этого норма
некоторого решения V уравнения Шредингера сохраняется во времени. Пока-
Показать, что в этом случае можно написать уравнение непрерывности типа A1),
если при определении потока выбрать выражение, вытекающее из принципа
соответствия с классической механикой, а именно
im тс
где А — векторный потенциал электромагнитного поля.
2. Частица с массой т перемещается в поле действия потенциала V(x),
который при л;->±оо асимптотически (быстрее 1/|*|) стремится к V+ н V-.
Введем волновые числа k± = -\J'2m (E — V±)fh и рассмотрим решения ue(x),
асимптотическое поведение которых выражается формулами:
ik_x _ -ik х
иЕ~ е + Re при х -> — оо,
иЕ~ Se + при х -> + оо.
Сложив решения этого типа, образуем волновой пакет (нормированный на
единицу), описывающий частицу, движущуюся в направлении возрастания х.
Показать, что по прошествии достаточного интервала времени этот пакет
окажется разделенным на пакет проходящих волн и пакет отраженных, при-
причем вероятности найти частицу в первом и втором пакетах равны соответ-
соответственно (k+/k-)\S\2 a \R\2.

160 ГЛ. IV. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
3. Волна, сопоставляемая частице, движущейся вдоль оси х, выражается
формулой
t (х) = Bя6*Г'л ехр (-?- рох - -^
Вычислить волновую функцию ф(р) в импульсном пространстве. Проверить,
что как ф(х), так и ф(р) нормированы на единицу. Вычислить средние зна-
значения х и х2, используя последовательно выражения A3) и B1), и сравнить
результаты. Вычислить средние р, р2 и exp(ipX/h) (X— заданная веществен-
вещественная постоянная), применяя последовательно выражения A4) и B0) и срав-
сравнить результаты.
4. Показать, что волновой пакет, для которого Ax-Ар = Л/2 (минимизи-
(минимизирующий волновой пакет) имеет вид
Bji|2) ''expj^-g-po*- 4|2
причем (х) = х0, (р) = р0, Ах = |, Ар = й/2|.
5. Пусть (х) и (р) средние значения дг и канонически сопряженного им-
импульса р для системы в динамическом состоянии ф(х). Показать, что в дина-
динамическом состоянии ехр Г =|-(р)х) ф (х + {*)) оба средние значения рав-
равны нулю.
6. Показать, что прн измерении положения частицы в § 13, б главную
роль играет квантовая природа измерительного прибора (пучок света + мн-
кроскоп) и что соотношения неопределенности оказались бы нарушенными,
если бы свет не был квантован. Показать на этом примере, что постоянная Й,
входящая в соотношения неопределенности для электрона, не превышает по-
постоянной, входящей в определение кваита света.
7. Прн измерении импульса методом отклонения в магнитном поле
(§ 14, а) показать, что можно до некоторой степени уменьшить продолжи-
продолжительность измерения т = птс/еЖ, не меняя его точности, ио точность опре-
определения самого времени измерения Ат остается неизменной. Обсудить на
этом примере соотношение неопределенности время-энергия. Выяснить те же
вопросы для длительности l/Av' измерения импульса в процессе столкнове-
столкновения с фотоном (§ 14, б).
8. Измерение импульса в § 14, б может быть осуществлено при замене
фотона любой другой частицей. Это измерение основано на определении им-
импульса, передаваемого этой частице электроном при столкновении. Обсудить
соотношения неопределенности координата-импульс в этом случае в нереля-
нерелятивистском приближении. Показать, что неопределенность, возникающая прн
измерении координаты электрона, зависит от постоянной Й, фигурирующей
в соотношениях неопределенности для нспользуемой частицы.
9. Квантовая частица проходит через диафрагму с отверстием d, снаб-
снабженную обтюратором с рабочим временем т. Показать, что между частицей
и прибором (диафрагма -\- обтюратор) происходит обмен импульсом порядка
Л/d н энергией порядка й/т.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 161
10. При измерении положения электрона с помощью микроскопа (§13,6)
мы стремимся определить и его импульс путем точного измерения импульса,
передаваемого микроскопу в процессе измерения. Показать, что точность из-
измерения импульса может быть повышена только за счет соответствующего
уменьшения точности измерения положения частицы, согласно соотношениям
неопределенности.
11. В эксперименте Юнга используется пучок моноэнергетических частиц,
исследуется интерференционная картина на экране, а в качестве детектора
применяется камера Вильсона. Это возможно только, если камера Вильсона
находится достаточно далеко от экрана Юнга. Показать, что наблюдение
«траектории» каждой частицы в камере Вильсона не позволяет определить от-
отверстие, через которое прошла частица (см. сноску7)).
6 А, Мессиа

ГЛАВА V
ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
И ЕГО ИСТОЛКОВАНИЕ
§ 1. Введение
В предыдущей главе мы изложили основы статистической
интерпретации квантовой теории и с самой общей точки зрения
рассмотрели внутреннюю логическую непротиворечивость тео-
теории, ее согласие с результатами опыта, а также новый специ-
специфический способ описания природных явлений. Теперь, ограни-
ограничиваясь более узкими рамками волновой механики систем
частиц (в нерелятивистском приближении), мы дополним и
уточним статистическую интерпретацию теории в согласии с об-
общими принципами.
Мы принимаем таким образом, что динамическое состояние
физической системы полностью определяется заданием волно-
волновой функции. В отличие от классической теории динамические
переменные системы не могут быть все точно определены в каж-
каждый момент времени. При измерении одной какой-либо динами-
динамической переменной результаты измерения следуют некоторому
вероятностному закону, который полностью определяется волно-
волновой функцией системы.
В гл. IV (раздел I) были сформулированы вероятностные
законы, связанные с измерением координаты и импульса, а так-
также были приведены общие формулы для средних значений
функций координат в конфигурационном пространстве и функ-
функций координат в пространстве импульсов. Однако пока не были
указаны правила, позволяющие получить статистическое распре-
распределение измерений в более общем случае, а именно, когда дина-
динамическая переменная является функцией как пространственных
координат, так и компонент импульса. Это будет сделано в трех
первых разделах данной главы, а основные постулаты изложены
в разделе I.
Каждой динамической переменной s& сопоставляется неко-
некоторый эрмитов оператор А, действующий в пространстве волно-
волновых функций; при этом среднее значение результатов измерения
$4> дается некоторым выражением, получаемым с помощью опе-
оператора А и обобщающим формулы гл. IV (§ 5). Постулируя эти
правила для всех динамических переменных и для всех функций
от этих переменных, мы приходим к искомому статистическому

§ 2. ПРОСТРАНСТВО ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ ]g3
распределению. Его явное выражение тесно связано с решением
задачи на собственные значения для оператора А. В разделе II
будут изучены свойства собственных значений и собственных
функций оператора А в частном случае, когда спектр собствен-
собственных значений является дискретным, а собственные функции
квадратично интегрируемы. Затем вероятностный закон будет
получен при помощи разложения волновой функции физической
системы по полной системе собственных функций оператора А.
В разделе III та же проблема рассматривается в более общем
случае, когда спектр собственных значений оператора содержит
область, где спектр непрерывен.
В разделе IV с формальной точки зрения рассматривается
проблема нахождения волновой функции квантовой системы,
если осуществлено одновременное точное измерение полного
набора совместных переменных. Если такое «максимальное
наблюдение» не реализовано, информации относительно динами-
динамического состояния физической системы является неполной.
В этом случае исследование поведения системы может быть
продолжено на основе статистических методов, причем слово
«статистических» следует понимать уже в обычном смысле.
Операторы, сопоставляемые двум совместным динамическим
переменным, коммутируют между собой. Если бы все операторы
попарно коммутировали, то все динамические переменные могли
бы быть одновременно точно определены. Эта ситуация харак-
характерна для классической теории. В квантовой механике некото-
некоторые пары динамических переменных несовместны и соответ-
соответствующие коммутаторы отличны от нуля. Поэтому коммутаторы
операторов играют первостепенную роль в квантовой теории.
Раздел V посвящен изучению коммутаторов, явному вычислению
некоторых из них, а также выводу и исследованию некоторых
уравнений, в которых понятие коммутатора особенно полезно.
Раздел I. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Всякий раз, когда нам потребуется пример для иллюстрации
излагаемых положений, мы будем обращаться к примерам кван-
квантовых систем в одном измерении (см. гл. III) или в трех изме-
измерениях (системы, содержащие одну частицу). Следует однако
помнить, что все результаты справедливы и в общем случае
квантовых систем с любым числом измерений.
§ 2. Пространство волновых функций
Волновые функции, представляющие состояние квантовой
системы, принадлежат функциональному пространству, которое
следует точно определить. Для того, чтобы вероятностные

164 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
распределения Р(г) и П(р), введенные в § IV. 2, имели смысл,
необходимо и достаточно, чтобы волновая функция удовлетворяла
условию нормировки (IV. 3). Это приводит нас к следующему
определению пространства волновых функций:
волновые функции, рассматриваемые в волновой механике,
являются квадратично интегрируемыми функциями в конфигу-
конфигурационном пространстве, т. е. функциями вида ^(qi, ..., <?«)>
такими, что интеграл \ |iH<7i qR)\2dx сходится1) (здесь
dx обозначает элемент объема конфигурационного пространства:
dx = dqxdqi ... dqR).
Можно было бы еще более ограничить функциональное про-
пространство, требуя выполнения условия нормировки на единицу
(IV. 3). Однако удобнее отказаться от этого ограничения. Как
мы увидим ниже, это можно сделать, несколько модифицируя
определения статистических распределений и вероятностей.
На языке математики определенное нами функциональ-
функциональное пространство называется пространством Гильберта. Дей-
Действительно, оно обладает всеми свойствами, характеризующими
пространство Гильберта. Перечислим эти свойства.
Во-первых, это линейное пространство. Если i|>i и -ф2 квадра-
квадратично интегрируемые функции, то их сумма, произведение каж-
каждой на комплексное число и вообще любые линейные комбина-
комбинации вида Xiil3i + ^2^2, где К\ и Х2 — произвольные заданные
комплексные числа, также являются квадратично интегрируе-
интегрируемыми функциями.
Во-вторых, в этом пространстве можно определить скаляр-
скалярное произведение. По определению скалярное произведение
функции i|> на функцию ф выражается формулой
(ф, i|>> = $ Ф*(<7i <7«Ж?ь •••, qR)dx. A)
Если скалярное произведение равно нулю, говорят, что функции
<р и i|) ортогональны. Норма N^ функции i|> есть скалярное про-
произведение функции саму на себя
Основные свойства скалярного произведения таковы:
а) скалярное произведение ф на -ф есть величина, комп-
комплексно сопряженная скалярному произведению -ф на ф, именно
• <Ф, Ф> = <Ф, Ф>'; B)
') Преобразование Фурье <p(pi, ..., ря) такой функции всегда сущест-
существует: это тоже квадратично интегрируемая функция, обладающая той же
нормой, что и функция ф(<7] qR). Вообще соответствие между ф и ф яв-
является взаимооднозначным, если условиться считать тождественными функ-
функции, отличающиеся значениями только на множестве меры нуль, что мы и
будем делать в дальнейшем (см. Дополнение А).

§ 2. ПРОСТРАНСТВО ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ 165
б) скалярное произведение if на ф линейно по if, иными
словами
<Ф. *i*i + A2if2) = A, <q>, if,) + А2 (ф, if2) C)
в) норма функции if есть неотрицательное вещественное
число
<*, *»0 D)
и если <if, if> = 0, то2) if = 0.
Все эти свойства становятся очевидными, если обратиться
к самому определению скалярного произведения. Пользуясь
свойствами а) и б), легко видеть, что зависимость скалярного
лроизведения (ф, if) от функции ф не линейна, но «антили-
нейна»:
(А1ф1 + А2ф2, ф> = A; (q>lf if) + А2 <ф2, if). C')
Из свойств а), б) и в) следует очень важное свойство ска-
скалярного произведения, а именно неравенство Шварца (см. за-
задачу 1)
>• E)
Знак равенства в формуле E) имет место в том и только в том
случае, когда функции ф и if пропорциональны друг другу. Не-
Неравенство Шварца очевидно, обеспечивает сходимость инте-
интеграла A), если функции ф и if являются квадратично интегри-
интегрируемыми.
Помимо свойства линейности и возможности определения скалярного про-
произведения пространство квадратично интегрируемых функций обладает еще
свойством полноты; именно это обстоятельство позволяет отождествить его
с пространством Гильберта. Свойство полноты означает, что всякая последо-
последовательность квадратично интегрируемых функций, удовлетворяющая крите-
критерию Коши, сходится (в смысле среднего квадратичного) к квадратично ин-
интегрируемой функции. Обратно, всякая квадратично интегрируемая функция
может рассматриваться как предел (в смысле среднего квадратичного) по-
последовательности квадратично интегрируемых функций, сходящейся в смысле
Коши (сепарабельность) 3).
2) Строго говоря, функция ф может принимать значения, отличные от
«уля на множестве значений аргументов меры нуль. По соглашению, упомя-
упомянутому в сноске '), такие функции не отличаются от нуля.
3) Строгое н детальное исследование пространства Гильберта можно най-
найти в книге: М. Н. Stone, Linear transformations in Hilbert Space, Amer. Math.
Soc. (New-York, 1932). Основные свойства пространства Гильберта рассма-
рассматриваются в книгах: A. Lichnerowicz, Algebre et Analyse Lineaire, Masson (Pa-
(Paris, 1947); И. фон Нейман, Математические основы квантовой механики,
«Наука», 1964. Понятие сходимости в смысле среднего квадратичного опреде-
определяется в Дополнении А, сноска4).

166 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 3. Определение средних значений
В § IV. 5 каждой динамической переменной вида F(r) или
G(p) мы сопоставили некоторый линейный оператор А, соот-
соответственно равный F(r) или G(—ifiV); кроме того, было ука-
указано— это следовало из определений Р(г) и П(р),— что среднее
значение каждой динамической переменной определяется выра-
выражением (IV. 22), которое в новых обозначениях может быть
записано в виде С?, AW}. Если волновая функция не нормиро-
нормирована на единицу, то выражения (IV.2) и (IV.6) для Р(г) и
П(р) должны быть разделены на норму {W, у?) волновой функ-
функции и тогда выражение для среднего значения принимает вид
Л/
/
Все это можно обобщить на случай произвольной динамиче-
динамической переменной. Постулируем, что:
а) Любой динамической переменной s? = A(qu ..., ^r;
Pi, •••» Pr) сопоставляется линейный оператор
qR,
б) Если система находится в динамическом состоянии, опре-
определяемом волновой функцией W(qu ••-, Qr), to среднее значе*
ние динамической переменной есть
м,_ (У, AW) ...
Соответствие между классической функцией Гамильтона я
гамильтонианом уравнения Шредингера (§ II. 15) является ча-
частным случаем соответствия а) между динамическими перемен-
переменными и линейными операторами. Замечания, сделанные в
§ II. 15 по поводу этого соответствия, имеют силу и в общем
случае. Следует иметь в виду, что координаты q являются де-
декартовыми координатами. Далее, в самом определении опера-
оператора А имеется некоторая неопределенность, связанная с тем,
что, используя принцип соответствия, мы заменяем величины,
для которых справедливы законы обычной алгебры, операто-
операторами, которые, вообще говоря, могут не коммутировать; на
практике эта неопределенность снимается в соответствии с
эмпирическими правилами, указанными на стр. 77.
Если динамическая переменная s4- представляет физическую
величину, то она является вещественной функцией q и р; все
результаты измерения s4-, а следовательно и среднее значение
<Л> также являются вещественными. Таким образом, (W, АЧ?У
есть вещественная величина

5 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНИХ ЗНАЧЕНИЙ 167
каким бы ни было динамическое состояние системы, т. е. какой
бы ни была волновая функция Ч*". Иначе говоря (ср. стр. 123),
оператор Л должен быть эрмитовым (или самосопряженным).
Нетрудно видеть, и мы это констатируем во всех встречающихся
примерах, что поскольку операторы qi и —ihd/dqi являются эр-
эрмитовыми, по принципу соответствия (а) любой вещественной
динамической переменной всегда можно сопоставить эрмитов
оператор; правило «симметризации» на стр. 77 и было сфор-
сформулировано для этой цели.
Свойства эрмитовых операторов будут систематически изу-
изучены в § 5 и далее. Укажем уже сейчас одно важное свойство
этих операторов. Если оператор А эрмитов,-то среднее значение
переменной s4-, вычисленное с помощью линейной комбинации
Ф + ХЧ? двух функций ф и? из функционального пространства,
в котором действует оператор А, есть величина вещественная.
Следовательно, выражение
<Ф + Ш, А (Ф +
= (Ф, АФ) + А (Ф, ЛЧ') + X* (Ч', ЛФ) +1Я |2 (Чг, AW)
вещественно. Это должно быть так для любого значения комп-
комплексного числа Я. Ввиду того, что (Ф, ЛФ) и (W, ЛЧ*") являются
вещественными величинами, мы делаем заключение, что
е:а(Ф, ЛЧ1}+ ??-'"(Ч*1, ЛФ),
где ос— фаза комплексного числа Я, есть величина веществен-
вещественная. Иными словами,
е'а({Ф, ЛЧГ)-(ЛФ, Ч;» = е-'а((ЛЧг, Ф)-^, ЛФ»
и, поскольку это уравнение должно выполняться при любых ос,
находим, что величины в скобках в обеих частях равенства
равны нулю. Таким образом, если Фи? являются функциями
из функционального пространства, в котором определен опе-
оператор Л, то
(Ф, AW) = (АФ, ?) (8)
или, что то же самое,
= (ЧГ, ЛФ)*. (8')
Равенство (8') часто рассматривается как определение эрмито-
вости оператора Л.
Постулаты а) и б) позволят нам определить статистическое
распределение значений физической величины si. Конец этого
раздела и два последующих посвящены этой задаче.

168 - ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 4. Отсутствие флуктуации и проблема
собственных значений
Флуктуации искомого статистического распределения опреде-
определяются величиной среднего квадратичного отклонения ДЛ
(ДЛJ = ((А - (А)J) = (А2) - (ЛJ > О
(величина Л2 является динамической переменной того же рода,
что и А, поэтому ее среднее значение дается постулатом б)).
Когда отклонение ДЛ равно нулю, флуктуации отсутствуют, и
можно с определенностью утверждать, что эФ принимает зна-
значение, равное <Л>.
Выясним, какие требования на функцию W накладывает
условие ДЛ = 0. Применяя определение F) к средним значе-
значениям операторов А и Л2, можно привести условие к виду
(W, A2W){W, X?) = (W, AWJ.
Однако величина (W, A2W) = <Ч<\ A (AW)} равна (AW, AW).
Для доказательства достаточно применить свойство (8) эрмито-
вого оператора Л к функциям W и AW. Таким образом, имеем
(W, AWJ = (W, W)(AW, AW).
Следовательно, мы находимся в ситуации, когда неравенство
Шварца сводится к равенству, поэтому функции W и AW про-
пропорциональны друг другу. Флуктуации статистического распре-
распределения $$¦ обращаются в нуль для динамических состояний W&
таких, что
где а — некоторая постоянная.
Уравнение (9) есть уравнение задачи на собственные зна-
значения для оператора Л. Примером такого уравнения является-
уже рассмотренное нами уравнение Шредингера, не зависящее
от времени. Таким образом, мы приходим к заключению:
Физическая величина si- обладает с достоверностью (т. е..
с вероятностью, равной 1) определенным значением в том и
только в том случае, когда динамическое состояние физической
системы представляется функцией Wa, т. е. собственной функцией,
эрмитового оператора, сопоставляемого $$¦, и это значение есть-
собственное значение оператора, соответствующее данной соб-
собственной функции.
Сказанное справедливо, в частности, по отношению к энергии H(qr,piy
системы. Соответствующий оператор — гамильтониан Шредингера — действи-
действительно сопоставлялся энергии системы, когда мы рассматривали уравнение
Шредингера, не зависящее от времени (гл. II, раздел III). Тогда мы приняли,
что энергия системы принимает вполне определенное значение Е, когда си-

§ 4. ОТСУТСТВИЕ ФЛУКТУАЦИИ 169
«тема находится в стационарном состоянии, а ее волновая функция есть
собственная функция оператора Н, соответствующая собственному значению
Е\ все это полностью согласуется с общими постулатами, введенными в этом
параграфе.
Во всех рассуждениях, приведших нас к уравнению (9),
предполагалось, что функции W, AW, А2У?, входящие в скаляр-
скалярные произведения, принадлежат пространству Гильберта. Само
уравнение (9) предполагает, что неизвестная функция должна
быть квадратично интегрируемой.
Однако при такой постановке задача на собственные значе-
значения вполне может и не иметь решений. Именно так обстоит
дело в случае уже рассмотренных операторов <у< и —ihd/dqi.
Действительно, исследуем задачи на собственные значения для
этих двух операторов в случае системы в одном измерении. Для
оператора q имеем
что возможно только если г|з(<7) равна нулю всюду, кроме точки
ц = q''. Не существует ни одного квадратично интегрируемого
решения, удовлетворяющего такому условию; искомое решение
должно было бы быть очень странной функцией, равной нулю
всюду, кроме одной точки. Мы вернемся к этому вопросу в § 8.
Для оператора — ibd/dqi задача на собственные значения имеет
вид
~ih4^^ М = Р'Ф fa)-
Она имеет единственное решение, определенное с точностью до
постоянного множителя, каким бы ни было значение р'\ им яв-
является функция eip'qlh. Это решение не является квадратично
интегрируемым.
Мы видим, что для двух рассмотренных операторов указан-
указанная выше постановка задачи на собственные значения не имеет
смысла. Чтобы получить достаточно общие результаты, следует
рассматривать решения задачи на собственные значения (9),
не являющиеся квадратично интегрируемыми. Ранее мы уже
исследовали одно уравнение на собственные значения частного
вида, а именно уравнение Шредингера для одномерных систем
{см. гл. III), и можем основываться на результатах этого иссле-
исследования. Спектр собственных значений гамильтониана Шредин-
Шредингера в общем случае состоит из двух частей: ряда дискретных
собственных значений, собственные функции которых имеют
конечную норму, и непрерывного спектра собственных значений,
собственные функции которого ограничены во всем простран-
пространстве, но имеют бесконечную норму. Путем суперпозиции соб-
собственных функций непрерывного спектра, принадлежащих со-

170 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
седним значениям энергии, можно построить квадратично инте-
интегрируемые функции, соответствующие энергии, которая, как это
подсказывает интуиция, если и не имеет точного значения, то
во всяком случае определяется со сколь угодно малой квадра-
квадратичной ошибкой.
Уточним это утверждение, возвращаясь к обозначениям
§ III. 13. Исходя из собственной функции г/(х;е), принадлежа-
принадлежащей собственному значению е непрерывного спектра опера-
оператора Я
Ну(х;г) = еу(х;е), A0)
мы строим «собственный дифференциал»4)
е+йе
y(x; e')de'. A1)
8
Это — квадратично интегрируемая функция, и вычисленные
с ее помощью величины <Я> и АН имеют вполне определенный
смысл. Пользуясь уравнениями A0) и A1), легко видеть, что
Следовательно, квадратичное отклонение ДЯ^-уРО— (ЯJ
при бе—>0 ведет себя как (ебеI/2. Оно может быть сделано
сколь угодно малым. Этот результат может быть выражен сле-
следующим образом.
С помощью суперпозиции собственных функций (с беско-
бесконечной нормой), принадлежащих собственным значениям, ле-
лежащим в ограниченной области (а, а + 6а) непрерывного спек-
спектра оператора А (если он существует), можно построить квад-
квадратично интегрируемые функции, причем квадратичное откло-
отклонение распределения значений А от среднего значения
(«*а+ОFа)) может быть сделано сколь угодно малым, если
выбрать достаточно малыми размеры бос области.
Ясно, что задача на собственные значения, выражаемая
уравнением (9), должна играть фундаментальную роль не
только в области дискретного спектра, но также и в области
непрерывного спектра, когда собственные функции уже не при-
принадлежат пространству Гильберта. Займемся поэтому система-
систематическим изучением этой задачи на собственные значения.
4) Множитель Fе)~'/г вводится в определение «собственного дифферен-
' циала» для того, чтобы норма оставалась конечной при 6е-»-0.

§ 5. ЭРМИТОВ ОПЕРАТОР 171
Раздел II ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОГО СПЕКТРА
§ 5. Собственные значения и собственные функции
эрмитового оператора
Рассмотрим уравнение на собственные значения
А$а = а$а. (9)
В этом разделе мы будем рассматривать только собственные
функции фа, принадлежащие пространству Гильберта. Следо-
Следовательно, всюду подразумевается только дискретный спектр
собственных значений. Общее исследование, включающее и не-
непрерывный спектр (если он существует), будет проведено в
разделе III.
Поскольку А есть линейный оператор, то:
1. Если фа есть собственная функция, то сфа, где с — произ-
произвольная постоянная, также есть собственная функция, принад-
принадлежащая тому же собственному значению. Чтобы фиксировать
эту постоянную, обычно собственные функции нормируют на
единицу:
После этого функция фа определена с точностью до произволь-
произвольной постоянной фазы.
2. Если две линейно независимые функции ф^, ф(а2M) при-
принадлежат одному и тому же собственному значению, то то же
самое имеет место для любой линейной комбинации этих функ-
функций. Говорят, что в этом случае имеется вырождение. Макси-
Максимальное число линейно независимых собственных функций, при-
принадлежащих одному собственному значению, называется поряд-
порядком (или кратностью) вырождения данного собственного
значения (мы уже встречали примеры вырождения второго по-
порядка в гл. III при изучении непрерывного спектра).
Из определения эрмитовости и свойства (8) получаем два
фундаментальных результата.
1°. Все собственные значения вещественны. В самом деле,
умножая скалярно обе стороны уравнения (9) слева на функ-
функцию ф0, обнаруживаем, что а равно среднему значению А в ди-
динамическом СОСТОЯНИИ фа
,
а эта величина, по определению эрмитовости, вещественна.
5) Две функции i|)i и •фг линейно независимы, если не существует отлич-
отличных от нуля постоянных Xi, Х2 таких, что Xiifi + X2i|J = 0.

172 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
2°. Две собственные функции, принадлежащие различным
собственным значениям, ортогональны друг другу (см. § III. 13)_
Пусть
Умножая первое уравнение слева на $2, а второе уравне-
уравнение— справа на ty и вычитая, получаем, учитывая свойство (8)„
О = ($2, А^) - {АМр2, ifc) = (а, - а2) <ф2) ф,).
Следовательно, если а\ Ф а2, то
Таким образом, две собственные функции ifi, ty2, принадле-
принадлежащие различным собственным значениям, линейно незави-
независимы. Действительно, предположим, что можно найти два числа
Я-i и к2 таких, что
Умножая каждый член левой части уравнения слева на i|)i, по-
получаем, учитывая свойство ортогональности,
и следовательно %i равно нулю. Аналогично показываем, что*
Я2 = 0.
Если собственное значение а вырождено и кратность вырож-
вырождения равна п, то каждая собственная функция, соответствую-
соответствующая этому собственному значению, может быть представлена
в виде линейной комбинации п линейно независимых собствен-
собственных функций i|)A), ¦$>&, ..., 1|з<л) какого-либо частного выбора.
Существует большой произвол в выборе этих базисных соб-
собственных функций. Однако всегда можно добиться, чтобы они
были нормированы на единицу и были ортогональны друг дру-
другу. Для этого, исходя из произвольной совокупности линейно
независимых функций i|)A), 1|зB) \р(л), можно, например, про-
провести следующие операции (процесс ортогонализации Шмидта):
определяем фA) равенством
находим постоянную С\ из условия (ф<п, фП))=1, так что
Определяем фB) равенством
С2фB) = .ф<2> _ q/1) (фП
Левая часть не равна нулю, поскольку if*1* и -ф<2> линейно не-
независимы. Ясно, что (фB), фA>) = 0. Выбираем с2 из условия

§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ В РЯД 173
'(фB), ф<2)) = 1. Далее, определяем фC> равенством
Сзф<3> = фО) — фО (фО, фC)) _ фB) (фB)) фC)^
Эта функция, очевидно, не равна нулю, ортогональна к фA) и
ФB) и может быть нормирована соответствующим выбором с3.
И так далее. Полученные таким образом п функций ф<", ..., ф(">
удовлетворяют п(п-\-\)/2 соотношениям
(/, m= 1, 2 и),
где 6tm — символ Кронекера:
1, если 1 = т,
О, если 1Фт.
-{
Говорят, что эти функции образуют совокупность ортонормиро-
ванных функций.
Изучение вырожденных собственных значений должно быть
дополнено следующим утверждением, которое мы примем без
доказательства3). Если кратность вырождения бесконечна, т.е.
если можно найти произвольно большое число линейно незави-
независимых собственных функций, принадлежащих этому собствен-
собственному значению, то всегда можно построить последовательность
(бесконечную счетную) фA), фB), ..., ф(л>, ... ортонормирован-
ных собственных функций, такую, ¦ что всякая собственная
функция, принадлежащая данному собственному значению, мо-
может быть разложена в ряд по этим функциям.
Можно также показать3), что собственные значения обра-
образуют дискретную последовательность (конечную или бесконеч-
бесконечную счетную) аь а2, ..., ар, ... Это свойство является харак-
характерным для собственных значений, собственные функции кото-
которых принадлежат пространству Гильберта.
§ 6. Разложение волновой функции в ряд
по ортонормированным собственным функциям
Как мы видели, каждому собственному значению ар опера-
оператора А соответствует последовательность ортонормированных
собственных функций
содержащая один элемент, конечное число элементов или бес-
бесконечное число элементов, если собственное значение является
соответственно невырожденным, вырожденным с конечной крат-
кратностью или вырожденным с бесконечной кратностью. Обозна-
Обозначим символом |ф(г)} множество, образованное всеми этими

174 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
функциями. Всякая функция из этого множества удовлетворяет
соотношениям:
==ар??, A2)
Возникает вопрос о возможности представления произволь-
произвольной волновой функции ф из пространства Гильберта в виде
функционального ряда по функциям системы {ф(г)}. Это, оче-
очевидно, возможно, если ty есть собственная функция оператора
Л, и в этом случае единственно отличными от нуля членами
ряда будут члены, соответствующие функциям, принадлежащим
тому же собственному значению. Если это возможно для про-
произвольной функции ф, говорят, что {ф(г)} есть полная система.
Укажем без доказательства3) некоторые свойства разложе-
разложений в ряд по ортонормированным системам функций.
Пусть щ, «2, • • • > чп, ... последовательность ортонормиро-
ванных функций.
1) Если г|) разлагается в ряд по этим функциям
то коэффициенты разложения определяются формулой
' сп = (ип, ф)
и удовлетворяют равенству Парсеваля
Eicj2=<it>, ф>.
п
2) Обратно, если числовой ряд ? I cn f сходится к числу N,
п
то разложение ? спип сходится (в смысле среднего квадратич-
ного) к функции ф с нормой N.
3) Если функциональные ряды ? спип и ? dnun сходятся co-
core п
ответственно к г|) и ф, то ряд ? d*ncn сходится к скалярному
п
произведению ф на ф
4) Какой бы ни была квадратично интегрируемая функция
ряд

§ 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ В РЯД 175
сходится всегда; разность ф — ¦ф ортогональна ко всем функ-
функциям ип, а норма ее равна (ф, \\>)—(ф, ф). Таким образом,
всегда
если реализуется равенство, то -ф = -ф.
Все эти свойства сохраняются при нумерации функции и
несколькими дискретными индексами. Следовательно, они вы-
выполняются и для системы {ф*,г)}. В частности, если система {ср^*}
полна, то любая волновая функция Ч1" может быть представлена
рядом
2> A4)
Р. г р р
коэффициенты которого равны
cW = <q,<r>, Ч?) A5)
и удовлетворяют равенству Парсеваля
Z|c<T'|a = CF, П A6)
p. r
Кроме того скалярное произведение двух волновых функций
4F|, Тг может быть представлено в виде
<?„ %) = 2] <^,. Ф<г)> (??, %)¦ A7)
Если не преследовать целей математической строгости, то
уравнения A5) и A6) легко получаются, если подставить A4)
в правые части этих уравнений и воспользоваться соотноше-
соотношениями ортонормированности A3). Равенство A7) получается
аналогичным образом.
Бросается в глаза аналогия с обычным комплексным вектор-
векторным пространством. Полная ортонормированная система функ-
функций играет роль базисной системы ортогональных друг другу
векторов единичной длины. Функция Ч1" есть вектор в этом про-
пространстве (с бесконечным числом измерений), коэффициенты
(срГ)' ^) СУТЬ компоненты по направлениям базисных векторов
(уравнение A5)), а норма этого вектора раина сумме квадратов
модулей составляющих (уравнение A6)). Скалярное произве-
произведение 4f2 на Ч1"] равно сумме произведений каждой компоненты
Чг2 на величину, комплексно сопряженную соответствующей
компоненте Ч^.

176 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 7. Статистическое распределение результатов измерений
величины, оператор которой обладает полной системой
собственных функций с конечной нормой
Возможность представить всякую волновую функцию Ч1"
разложением типа A4) существенно облегчает изучение всех
проблем, касающихся оператора А. Предположим, что опера-
оператор А обладает полной системой ортонормированных собствен-
собственных функций (примером может служить гамильтониан гармо-
гармонического осциллятора, рассмотренный далее в гл. XII). Выбор
такой системы несомненно не является единственным, всегда
можно изменить фазы функций или, например, заменить орто-
нормированные функции, принадлежащие одному собственному
значению, ортонормированными линейными комбинациями этих
функций. Однако результаты, которые будут получены ниже,
не зависят от конкретного выбора системы.
A priori функция АЧ не обязана быть квадратично интег-
интегрируемой. Однако, согласно A4),
Этот ряд сходится (§ 6, свойства 1) и 2)) в том и только в том
случае, если сходится ряд J] а2|с(г)|2, и тогда сумма число-
Р, г Р1 " '
вого ряда равна норме AW. Мы получаем критерий принадлеж-
принадлежности ЛЧ1" пространству Гильберта.
Аналогичные выводы можно сделать относительно функции
A2W. В самом общем случае, исходя из функции F(x) и осно-
основываясь на разложении A4) при условии его сходимости, мож-
можно определить оператор F(A) как функцию оператора Л. Его
действие на функцию Ч1" определяется равенством
Р. г
Оператор вполне определен, если данный функциональный ряд
сходится, т. е. определен для всех тех функций Ч1", для которых
сходится числовой ряд
Р. г
Читатель легко проверит, что определенная таким образом
функция F(AL не зависит от конкретного выбора системы
В частности, оператор е%А, где | некоторый заданный пара-
параметр, определен для всех функций, принадлежащих пространству

§ 7. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ]77
Гильберта. Действительно,
е16Л?=?Л?>Ф« A8)
Р. г
причем критерий сходимости функционального ряда сводится
к сходимости числового ряда ]? I с(г) I2, что всегда имеет место,
р. г ' р '
если W принадлежит пространству Гильберта.
Теперь мы уже можем определить статистическое распреде-
распределение величины s4- для любого динамического состояния физи-
физической системы. Действительно, характеристическая функция
/(?) этого распределения6), знание которой позволяет пол-
полностью описать распределение, есть, по определению, среднее
значение величины е^А в этом состоянии. Воспользовавшись по-
постулатом б) из § 3, мы определим это среднее значение выра-
выражением
(которое всегда имеет смысл, даже если среднее значение А не
определено).
Пусть теперь W есть волновая функция, представляющая
рассматриваемое динамическое состояние. Пользуясь разложе-
разложениями A4) и A8), а также выражением A7) для скалярного
лроизведения, находим
6) С точностью до постоянного множителя f(%) является образом Фурье
искомого распределения. Пусть X— случайная величина, принимающая все
значения в интервале (—оо, +оо), а Р(х) —вероятность обнаружить X в ин-
интервале (x,x-\-dx). Тогда характеристическая функция /(|) статистического
распределения этой случайной величины есть среднее значение ехр i\X;
+ 0О
f(l)= \ e*xP(x)dx.
Если же X может принимать только некоторые дискретные значения
Xi, ..., хп, • ¦. с вероятностями шь ..., шм, ..., то
В более общей форме: если F(x) есть вероятность того, что X sg: х, то имеем
+ 0О
f(l)= [ eilxdF(x),
__ОО
где интеграл следует понимать в смысле Стильтьеса.

178 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
где мы ввели обозначение
Полученное выражение для характеристической функции рас-
распределения приводит нас к заключению, что:
1. Величина зФ может принимать только значения а\,а2, ...
..., ар, ..., т. е. собственные значения сопоставленного ей опе-
оператора.
2. Вероятность того, что бФ примет значение ар, есть дор.
Нетрудно установить, что ^wp—\ (равенство Парсеваля)
р
и что среднее значение s& дается выражением
при условии сходимости этого ряда и что в общем случае сред-
среднее значение функции f(A), если оно существует, выражается
формулой
?шр/(ар). A9)
В частности, для того чтобы s& с достоверностью принимало
какое-либо заданное значение, необходимо и достаточно, чтобы
л? являлась собственной функцией, принадлежащей этому соб-
собственному значению, в согласии с выводами § 4.
Полученные результаты можно представить в форме, кото-
которая делает еще более наглядным тот факт, что они не зависят
от выбора системы функций {<р'рг)}. Действительно, функция Тр,
определенная равенством
очевидно не зависит от этого выбора (см. задачу 4). Тогда раз-
разложение A4) может быть представлено в форме
Ч' = 2>„. B0)
р
Иначе говоря, можно (и это уже единственным образом) пред-
представить Ч1" в виде суперпозиции собственных функций оператора
А, принадлежащих различным собственным значениям. Тогда
вероятность wp найти значение ар равна отношению норм Тр иТ:

§ 8. ВВЕДЕНИЕ б ФУНКЦИИ ДИРАКА ]79
Раздел III. СТАТИСТИКА ИЗМЕРЕНИЙ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ
§ 8. Трудности описания непрерывного спектра.
Введение 6-функции Дирака
Все полученные нами результаты теряют свою силу, если
система функций {q/p'} не является полной. Мы видели, что это
далеко не исключительный случай. Однако обсуждение в § 4
указывает на возможный путь расширения области примени-
применимости развитой теории. На этом пути мы по-прежнему будем
исходить из уравнения на собственные значения (9), не накла-
накладывая однако на решения строгого требования принадлежности
к пространству Гильберта. Но для этого нам потребуется рас-
распространить на решения, не имеющие конечной нормы, понятия
ортогональности и нормировки.
Рассмотрим два примера, относящиеся к одномерным систе-
системам: определение статистических распределений по положению
и по импульсу. В этом случае статистические распределения
известны, что поможет провести формальное расширение ре-
результатов предыдущего параграфа. Координата сможет прини-
принимать все возможные значения в интервале (—оо, + оо), при-
причем вероятность найти q в интервале (q'', q' + dq') равна
P(q')dq'<=\$(q')\2dq', B2)
где ty{q) есть волновая функция (по предположению нормиро-
нормированная на единицу), представляющая динамическое состояние
физической системы. С другой стороны, импульс р, представ-
представляемый оператором —ib d/dq, может принимать все возможные
значения в интервале (—оо, + оо), и вероятность найти р в
интервале (р'', р' + dp') равна
n(pW = l«P(P')Np'. B3)
где ф(р)—подходящим образом нормированный образ Фурье
волновой функции -ф (<7).
В обоих случаях спектр возможных значений рассматривае-
рассматриваемых величин является непрерывным. В этом и состоит основное
отличие от ситуации, изученной выше, когда мы имели ди-
дискретный спектр и возможность представить всякую волновую
функцию <ф в виде ряда (см. уравнения A4) или B0)), каж-
каждый член которого соответствует одному из возможных значе-
значений из этого спектра. Естественным обобщением на случай не-
непрерывного спектра является представление волновой функции
не в форме ряда, а в форме интеграла.
С формальной точки зрения в случае полностью дискретного
спектра ход рассуждений был таков.

180 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Эрмитов оператор А обладает рядом дискретных собствен*
ных значений, которые мы ради простоты будем считать невьь
рожденными. Каждому собственному значению ап соответствует
собственная функция ф„ (определяемая с точностью до фазы),
причем
Лф„ = а„ф„, B4)
<Ф«. ФП') = 5ПП- B5)
Поскольку ортонормированная система {ф^} полна, всякая функ-
функция (по предположению нормированная на единицу) может
быть представлена рядом
Ф= Z с„ф„, B6)
п
где, вследствие условий ортонормированности B5),
<Ф„, ^)=Zcn,(%, Ф„,) = с„. B7>
Используя те же соотношения, для характеристической функ*
ции находим
<¦. е^) = пХс:сп,е^'{(Рп> фп/)==Х|сп|2^Ч B8)
откуда делается вывод, что вероятность того, что А принимает
значение ап, равна квадрату модуля коэффициента при фл в раз*
ложении B6), т. е. |с«|2.
Действуя по аналогии, обозначим с помощью u(p';q) соб-
собственную функцию оператора р = —ihd/dq, принадлежащую
собственному значению р'\
ри{р'\ <7)=7^"«(р'; <7) = р'«(р'; q)- B4')
Продолжая формальную аналогию, представим волновую функ*
цию ty(q) в виде интеграла по формуле
= [ с(р')и(р'; q)dp'.
Здесь \c(p')\2dp' должно быть вероятностью того, что р на-
находится в интервале (р'', р' + dp'). Поэтому необходимо, чтобы
|с(р')|2= |ф(р')|2. т. е. чтобы с(р') было равным ф(р') с точ-
точностью до фазового множителя. Поскольку собственная функ-
функция сама по себе определяется только с точностью до произ-
произвольного постоянного комплексного множителя, можно всегда
выбрать его так, чтобы аналог уравнения B6) принял

§ 8. ВВЕДЕНИЕ 6-ФУНКЦИИ ДИРАКА 181
форму
J ')«(Р'; q)dp'. B6'>
Коэффициент ф(р')> принадлежащий собственному значению р',
по формуле, обобщающей соотношение B7), должен быть
равен
что при подстановке, вместо ф(<?), интегрального представления
B6') дает •
+ О0
Ф(р')= ) ф(р")(«р,- V>^"- B9)
— оо
Здесь мы используем сокращенное обозначение и , для функ-
функции, являющейся собственной функцией, принадлежащей соб-
собственному значению р'. Соотношение B9) должно выполняться
для любой волновой функции ф(р') в пространстве импульсов
(единственное ограничение на эту функцию состоит в том, что
она должна быть квадратично интегрируемой); это свойство
{ир,,ир,,) обобщает соотношение ортонормированности B5).
Не существует регулярных функций от р' и р", которые могли
бы удовлетворять соотношению B9). Однако, если не очень
заботиться о математической строгости7), можно, следуя Ди-
Дираку, ввести «сингулярную функцию» б(х), определяемую сле-
следующим свойством:
ь
\f{x)b(x~xo)dx =
f (х0), если х0 лежит внутри интервала (а, Ь),
О, если х0 лежит вне интервала (а, Ъ)
для всякой функции f(x), непрерывной в точке х = х0.
Уравнение B9) удовлетворяется, если
- р"), B5')
7) Мы уже нарушили требования математической строгости, когда напи-
написали уравнение B9). Правильная форма уравнения имеет вид
Чтобы получить отсюда уравнение B9), следует поменять порядок интегриро-
интегрирования внутри скалярного произведения и интегрирования по р". Эта опера-
операция, конечно, не является математически строгой, так как скалярное произ-
произведение (ир,, ир,,у расходится

182 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
что и является обобщением соотношений ортонормированпости
B5) на случай непрерывного спектра.
Можно представлять себе «функцию Дирака» б наглядно
как предел функции, равной нулю всюду, кроме маленького ин-
интервала около точки х = 0, где она имеет очень узкий и очень
высокий максимум, причем такой, что интеграл от функции по
всей числовой оси равен 1. В пределе, когда ширина максимума
стремится к нулю, получим
-J-0O
0, если х Ф 0, г
_ и \ 4x)dx=\. C1)
-)-°°, если х = 0 Jx
Конечно, 6(х) не является функцией в обычном смысле, так
как интеграл, если он существует, от функции, равной нулю
всюду, кроме одной точки, должен быъь равен нулю. Мы не бу-
будем здесь обсуждать проблему математического обоснования
использования б-функции Дирака. Оно потребовало бы введе-
введения совершенно нового понятия обобщенных функций, причем
обычные функции (точнее, локально интегрируемые функции)
должны рассматриваться как частный случай обобщенных.
В математике говорят не о функции 6(х — х0), а об обобщен-
обобщенной функции б*„ [/], определяемой как функционал от функции
fix), равный f(x0). Другими словами, определение C0) должно
быть заменено соотношением
В виду того, что понятие обобщенной функции является новым
и возможно незнакомым читателю, мы будем им пользоваться
как можно реже и применять (некорректное) обозначение"
ё(х — х0), которое, впрочем, имеет неоспоримые формальные
преимущества. Основные правила вычислений с б-фуикцией Ди-
Дирака приведены в Дополнении А, где можно найти также об-
общие сведения из теории обобщенных функций.
Вернемся к проблеме измерения р. Собственной функцией
и(р''уЯ) уравнения B4) является функция ceip/qlh. Соотношение
ортонормированности B5) выполняется при с = Bяй)~/а; таким
образом, имеем
Далее, используя уравнение (А.22), находим
+ 0О

§ 8. ВВЕДЕНИЕ 6-ФУНКЦИИ ДИРАКА 185
Собственные функции ир, образуют полную систему, так как
всякая квадратично интегрируемая функция г|)(<?) может быть-
представлена в форме
т. е. в виде интеграла Фурье. Коэффициент ф(р') этого «раз-
«разложения по собственным функциям» равен скалярному произ-
произведению (и „ ч|Л. Действительно,
—оо
+ ОО
Итак, используя обобщенные соотношения ортонормированно-
сти, мы получили известное свойство взаимности преобразова-
преобразования Фурье.
Продолжая аналогию со случаем дискретного спектра, вве-
введем оператор е'&. Имеем
'; q) = eMu(p'; q),
следовательно,
+°о
= \ ф(р')^р'«0/; q)dp',
откуда получаем характеристическую функцию
+ ОО +00
= \ <f*{p")dp"
+оо +оо 4-оо
\ e^\{p')dp'b{p'-p")=
Соответствующее статистическое распределение (см. сноску6))
и есть искомое распределение B3).
Обсуждение измерения координаты может быть проведено по той же-
схеме. Собственной функцией, принадлежащей собственному значению q' урав-
уравнения на собственные значения оператора q с правильной нормировкой, яв-
является 8(q' — q). Действительно по уравнению (А.19)
q6(q'-q)=q'6(q'-q).

184 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Совокупность функций 6(<?' — q), где q' может принимать все возможные
значения от •—°° до +°°, образует ортонормироваиную систему, так как
(см. уравнение (А.21))
б (q - q') б (q - q") dq = 6 (q' - <?").
и эта система является полной, ибо всякая волновая функция ty(q) может
быть представлена в интегральной форме
^(q')b(q' -q)dq. C2)
Легко проверить, что коэффициент ty{q') равен скалярному произведению
F(q' — q),ty(q)). Аналогично находим, что квадрат модуля этого коэффи-
коэффициента, т. е. I'vK?')!2. действительно равен плотности вероятности того, что
q = q' в согласии с уравнением B2).
§ 9. Разложение по собственным функциям в общем случае.
Условие замкнутости
Вернемся вновь к уравнению (9) на собственные значения
Здесь мы уже не будем предполагать, что собственные решения
уравнения имеют ограниченную норму. Потребуем только, чтобы
скалярные произведения этих решений на произвольную вол-
волновую функцию (т. е. на любую функцию с ограниченной
нормой) были ограничены.
В самом общем случае множество собственных значений за-
задачи может содержать:
1°. Дискретный спектр значений ап, которые образуют либо
конечное множество, либо бесконечное, но счетное множество
и могут быть перенумерованы дискретным целым индексом п.
2°. Непрерывный спектр значений a(v), которые нумеруются
непрерывным индексом v, изменяющимся в некоторой области.
Собственные функции дискретного спектра имеют конечную
норму. Все свойства дискретного спектра были изучены в § 5,
и мы не будем к этому возвращаться.
Пусть $(v;qu .... Qr) — собственная функция непрерывного
спектра, принадлежащая собственному значению а(\). Это не-
непрерывная функция параметра v, норма которой, очевидно, не-
ограничена («вектор бесконечной длины» в функциональном
пространстве). Однако будем предполагать, что собственный
дифференциал

§ 9. УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ 185
является функцией с ограниченной нормой, которая стремится
к некоторой постоянной, когда Av стремится к нулю. Мы знаем,
что собственные функции непрерывного спектра гамильтониана
физической системы в одном измерении обладают этим свой-
свойством (ср. гл. III); нетрудно проверить, что собственные функ-
функции операторов q и —ihd/dq предшествующего параграфа также
обладают этим свойством.
Часто говорят, что функция нормируема, если она обладает
ограниченной нормой. Мы будем применять этот термин также
и к функциям с бесконечной нормой, если собственный диффе-
дифференциал, образованный из этих функций, имеет конечную нор-
норму. Таким образом, собственные функции непрерывного спектра
нормируемы (в указанном смысле), хотя они и не принадлежат
пространству Гильберта.
Пользуясь соотношением (8) (которое имеет смысл только
для квадратично интегрируемых Ф и Т), но применяя его не к
собственным функциям как таковым, а к собственным диффе-
дифференциалам, можно получить основные свойства непрерывного
спектра и сопоставить их тем, которые были получены в § 5 для
дискретного спектра:
1°. Всякое собственное значение a(v) вещественно.
2°. Две собственные функции, принадлежащие различным
собственным значениям, ортогональны друг другу. Это свой-
свойство ортогональности должно быть обобщением соотношения
(III. 42'). Неверно было бы писать
так как скалярное произведение (ij>v> ^v')> вообще говоря, рас-
расходится. Однако имеем
v'+Av'
1
если v находится вне интервала (v', v' + dv'). Доказательство
не трудно, и мы предоставляем его читателю.
Если собственные значения непрерывного спектра невырож-
невырождены, всегда можно нормировать функции так, чтобы
Случай вырожденных собственных значений также не пред-
представляет существенных трудностей. Ограничимся формулиров-
формулировкой результатов. Каждому собственному значению принадлежит
в зависимости от характера вырождения либо конечное, либо
бесконечное (счетное или континуальное) множество линейно
независимых собственных функций. Эти функции можно снаб-

186 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
дить либо индексом, принимающим конечное число значений,
либо одним или несколькими индексами, принимающими бес-
бесконечное число дискретных значений, либо одним или несколь-
несколькими индексами, изменяющимися непрерывно, либо даже неко-
некоторым числом дискретных индексов и некоторым числом непре-
непрерывных. Предположим для определенности, что необходимо
использовать один дискретный индекс г и один индекс р, меняю-
меняющийся непрерывно.
Всегда можно сделать так, чтобы собственные функции
<p(r)(v, p) были ортонормированными в обобщенном смысле:
<Ф('> (v, р), фС'> (v't р')> = ЬГЛ (р - р') 6 (v - v'). C3)
Будучи присоединены к ортонормированным собственным функ-
функциям дискретного спектра ф^', они вместе образуют ортонор-
мированную систему собственных функций эрмитового опера-
оператора А; всякая собственная функция оператора Л может быть
лредставлена как линейная комбинация функций этой системы.
Предположим, что некоторая волновая функция W предста-
вима в виде ряда по этим функциям, т. е.
Коэффициенты при каждой функции в этом разложении полу-
получаются при умножении (скалярном) обеих частей равенства
слева на соответствующую собственную функцию; учитывая со-
соотношения ортонормированности, получаем
с<,о = (ф<г>, гр), C5а)
Y(r)(v, p) = <q><r>(v, p), W). C56)
С помощью тех же соотношений получаем обобщенное равен-
равенство Парсеваля
OF, W) = ? | CW |2 + 2] 5 I Yw (v, P) I2 dv dp. C6)
Если такое представление возможно для всех волновых функ-
функций (т. е. для всех квадратично интегрируемых функций), то го-
говорят, что система {ф} является полной ортонормированной
системой функций.
Существует простой способ выразить тот факт, что ортонор-
мированная система является полной: следует записать разло-
разложение C4) для функции

5 9. УСЛОВИЕ ЗАМКНУТОСТИ 187
Коэффициенты такого разложения получатся, если в выраже-
выражениях C6) — C6) вместо функции W(q)s= W(qu qi, ¦¦-, <?«) под-
подставить 8(q— q'). Тогда получается так называемое соотноше-
соотношение замкнутости
ф*<г> (v> p; q/) ф(г> (v> p; q) dv dp- {37)i
Присоединяя его к соотношениям ортонормированности:
<Ф<". ФГ'^А,'. C8а)
(ФМ, <p('')(v, p)> = 0, C86).
(ф(г) (v, Р), Ф(г'> (v', р')> = Ъгг'Ь (р - р') 6 (v - v'), C8в>
получаем совокупность условий, необходимых и достаточных
для того, чтобы система {ф} была ортонормированной и полной.
Разложение C4) с правильными значениями коэффициентов.
C5) получается, если записать
а затем вместо б-функции подставить разложение C7).
Заметим, что полная ортонормированная система, если она'
существует, не является единственной. Действительно, можно
как и в случае полностью дискретного спектра:
1°. Произвольно изменять фазу каждой из собственных,
функций.
2°. Выбирать бесконечным числом различных способов сово-
совокупность ортонормированных функций, принадлежащих одному
вырожденному собственному значению.
3°. Кроме того, существует произвол в нормировке собствен-
собственных функций непрерывного спектра. Действительно можно за-
заменить каждый непрерывный индекс v на индекс ц з= n(v), где
fi(v) есть произвольная непрерывная дифференцируемая моно-
монотонная функция v. Условие нормировки C8в) при этом заме-
заменяется аналогичным условием, в которое входит индекс ц; оно»
будет удовлетворено, если в качестве новой.собственной функ-
функции взять функцию
р;
p; д). C9>

188 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Не все эрмитовы операторы обладают полной ортонормиро-
ванной системой собственных функций8). Однако эрмитовы
операторы, представляющие физические величины, такой си-
системой обладают: по этой причине мы будем называть такие
операторы наблюдаемыми. Доказательство того факта, что не-
некоторый эрмитов оператор есть наблюдаемая, является обычно
сложной математической задачей. Она была решена в ряде
случаев для таких операторов как операторы положения и им-
импульса, гамильтониан системы в одном измерении, оператор мо-
момента импульса и т. д. Это свойство столь тесно связано с фи-
физической интерпретацией указанных операторов, что в случае
его невыполнения потребовалась бы ревизия основ формализма
теории. Мы будем предполагать, что оно всегда выполняется.
§ 10. Статистическое распределение результатов
измерения в общем случае
Предположим, что А — наблюдаемая. Ввиду того, что разло-
разложение C4) существует для любой квадратично интегрируемой
функции Т, можно (при условии сходимости) определить дей-
действие на функцию W оператора вида F(A).
Для сокращения обозначений будем предполагать, что
спектр А не имеет вырождения. Тогда
^. D0)
Можно показать, что необходимым и достаточным условием
сходимости разложения в правой части является сходимость
ряда У*|с„|2 и интеграла \lY(v)'l2dv.
п
В общем случае
F (A) W = ? cnF (ап) Ф„ + \ Y (v) F (av) <p (v) dv,
8) Рассмотрим оператор id/dx, действующий на квадратично интегрируе-
интегрируемые функции ty(x), определенные на полуоси @, + то). Этот оператор эрмитов,
если его применять к функциям, обращающимся в нуль при х = 0. Действи-
Действительно, при этом условии имеем
Тем не менее, оператор не имеет собственных функций. Единственно возмож-
возможными собственными функциями являются функции вида e~ikx (k — собствен-
собственное значение), но эти функции не обращаются в нуль при х = 0.

§ 10. ОБЩИЙ СЛУЧАИ 189
это определение имеет смысл, если
»HF(a»)P и \\v(v)\2\F(av)\2dv
сходятся. В частности, действие оператора е^А всегда опре-
определено, так как выражение
Y (v) eilavy (v) dv D1)
сходится всегда.
Чтобы определить характеристическую функцию распреде-
распределения А, применим соотношение
<?, eiU4) = ? | сп ? eila« + J I y (v) I2 е^ dv,
п
полученное при использовании разложений D0)и D1) и усло-
условий ортонормированности. Характеристическая функция /(?)
принимает форму
f (D = Цгщ1 = Е ^п» + J «(v)
где
Из вида характеристической функции (сноска 6) следует,
что:
1Э. единственными значениями, которые может принимать
величина s4-, являются собственные значения сопоставленного
этой величине оператора Л;
2°. вероятность того, что s4- принимает значение ап, рав-
равна Wn;
3°. вероятность того, что S4- принимает значение из непре-
непрерывного спектра, заключенное в интервале [a(v), a(v + dv)},
равна co(v) dv.
Сумма всех этих вероятностей Vayrt + \ co(v)dv равна еди-
единице (равенство Парсеваля). Находим также, что среднее зна-
значение А, если оно существует, выражается формулой
{W, A4?)I{W, W) в согласии с основным постулатом.
В случае вырожденного спектра получаются те же резуль-
результаты, но следует несколько изменить определение величин wn
и co(v). Так, при замене разложения D0) на разложение C4),

190 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
МЫ ДОЛЖНЫ ВЗЯТЬ
wn= r(W| Y) , D3)
dp I v(r) (v, p) I2
/ш ш\ • D4)
В этих выражениях в явном виде присутствует некоторая
система собственных функций оператора А. Существует боль-
большой произвол в выборе такой системы функций. Очевидно, од-
однако, что закон распределения вероятностей и его характери-
характеристическая функция не зависят от этого выбора. Это свойство
легко проверить непосредственно на выражениях D3) и D4)
(задача 5).
§11. Другие методы исследования непрерывного спектра
Большим преимуществом развитого выше подхода к про-
проблеме непрерывного спектра является его формальная простота.
Это преимущество компенсирует недостаток математической
строгости, возникающий при «использовании б-функции. Впро-
Впрочем, все операции, производимые с б-функцией, могут быть
строго обоснованы на основе теории обобщенных функций (см.
Дополнение А).
Тем не менее, следует иметь в виду, что трудности, возни-
возникающие при трактовке непрерывного спектра собственных зна-
значений, могут быть преодолены и на основе классических мате-
математических приемов. Вместо того, чтобы основываться на проб-
проблеме собственных значений и вводить там, где это необходимо,
собственные функции, не принадлежащие пространству Гиль-
Гильберта, можно, следуя Нейману, рассматривать задачу строго,
не выходя за пределы пространства Гильберта. Метод состоит
в использовании так называемого разложения единицы в про-
пространстве Гильберта, причем показывается, что каждой наблю-
наблюдаемой волновой механики соответствует свое разложение еди-
единицы. Это рассмотрение строго эквивалентно по своим резуль-
результатам приведенному выше. Мы упоминаем о нем только для
полноты изложения9).
Другой способ рассмотрения проблем, относящихся к непре-
непрерывному спектру, состоит в замене задачи на собственные зна-
значения (9) другой задачей, в которой последовательность соб-
8) Читатель, интересующийся математическими аспектами квантовой тео-
теории, найдет их исчерпывающее изложение в книге И. фон Неймана (см.
сноску 3)).

§ И. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНОГО СПЕКТРА 191
ственных значений всюду дискретна, причем первоначальная
задача получается как предельный случай при соответствую-
соответствующей модификации условий. Хотя подобная процедура не может
претендовать на строгость, она имеет достоинство простоты и
интуитивной ясности. Рассмотрим на основании этого метода
операторы q и —ihd/dq. Читатель может сравнить ход рассуж-
рассуждений и результаты с содержанием § 8.
Чтобы подойти к проблеме измерения положения в пространстве, разде-
разделим интервал (—оо, +°°) на равные сегменты длины t) и заменим волновые
функции ty(q) приближенными волновыми функциями >|)Х(<?), постоянными
на каждом сегменте и определяемыми соотношением
где пя обозначает наибольшее целое число, содержащееся в q/r\, иначе го-
говоря: q— ц < пяц ^ q. Аналогичным образом заменим оператор q операто-
оператором <7Х умножение на nqr\. В пределе, когда t)->-0, имеем qx~^q и >|)Х(<?) ->-
Ч()
* Множество функций t|)X образует пространство Гильберта, в котором
оператор <?х вполне определен и обладает дискретным спектром собственных
значений пц (п = 0, ±1, ±2, ±3, ..., ±°о). Каждому собственному значе-
значению яг) принадлежит собственная функция и„, нормированная на единицу
r)~''J, если пт\ <<?<(«+ 1) т),
3 в противном случае.
Собственные функции ортонормированы: (ип, ип^ = дпп,. Кроме того, они
образуют полную систему, ибо всякая функция t|)x может быть представлена
разложением в ряд по «я:
+оо
^Х = X "п'^Ф («л) «п- D5)
П=— оо
Следовательно, можно применить теорию §§ 5, 6 с тем результатом, что ве-
вероятность измерить значение <?х= пг\ равна Т1|г|з(«т1) |2. В пределе т| —*-0 про-
промежутки между соседними собственными значениями стремятся к нулю,
спектр становится непрерывным. Измерение отличной от нуля координаты
q' = пт) соответствует бесконечно большому значению п; однако вероятность
обнаружить это точное значение координаты пропорциональна ц н следова-
следовательно стремится к нулю. В действительности эта вероятность не интересна,
поскольку спектр значений координаты непрерывен. Нам важно знать вероят-
вероятность P(q')bq', найти частицу в интервале (<?', q' + 8q'), т. е.
где суммирование распространено на все те п, при которых пг\ находится в
интервале (q',qr + 8q'). Поскольку 8q' является малой постоянной, члены
этой суммы числом 8q'/r\ все примерно равны ti|i|>(<7') I2- Следовательно, в
лределе т) ->- 0 имеем
P(q')bq' = \y(q')\28q'.
Заметим, что разложение D5) может быть записано еще и в виде
+ 0О

192 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОП МЕХАНИКИ
где сумма по q' обозначает суммирование по дискретной последовательности
значений q' = nr\, a
/ /ч —У, I Т1 , если q — т) < а' ^ а,
«Л (<7) = 1 "ип = 1 „
I 0 в противном случае.
При Ti->-0 данный ряд переходит в интеграл от произведения t|>(<7') на пре-
предел функции v^q'), но этот предел как раз равен 8(q' — q). Мы приходим,
следовательно, к формуле C2).
Аналогичный подход в случае измерения импульса состоит
в том, что мы первоначально ограничиваем область изменения
координаты q интервалом (—L/2, +L/2), где L на завершаю-
завершающем этапе рассуждений будем стремить к бесконечности. Для
того чтобы оператор р = —ib d/dq был эрмитовым в этой конеч-
конечной области, следует наложить на функции ty(q) из функцио-
функционального пространства, где действует оператор, некоторые гра-
граничные условия. Условие эрмитовости записывается в виде
+L/2
С +L/2
/
L/2 L/
-L/2 -L/2
n
«О
для любых функции Ф(9) и гМ?), т. е. ^{LL/2} = \щ/2)
равно постоянной, не зависящей от if и ф.
Другими словами, требуется, чтобы для всякой функции
где е'а — некоторый фиксированный фазовый множитель. Усло-
Условимся принимать его равным единице, что дает условие перио-
периодичности
В этих условиях задача о собственных значениях оператора
—ibd/dq решается без труда. Спектр собственных значений ока-
оказывается дискретным:
pn^-j-n (и = 0, ± 1, ±2, . .., ±00).
Собственному значению рп соответствует нормированная на
единицу собственная функция
п л/Г '
Функции «л взаимно ортогональны, кроме того, они образуют
полную систему, так как согласно теории рядов Фурье всякая

§ 12. КОММЕНТАРИИ И ПРИМЕРЫ 193
квадратично интегрируемая функция ty(q) в интервале (—L/2,
L/) может быть представлена в виде ряда
2 спип; D6)
при этом
-L/2
Мы можем, следовательно, применить теорию §§ 5, 6 и нахо-
находим, что вероятность найти р = рп равна |сл|2.
В пределе L->oo промежуток е = 2nh/L, разделяющий со-
соседние собственные значения, стремится к нулю, и спектр соб-
собственных значений импульса рп = пе становится непрерывным.
Исследование перехода к пределу проводится совершенно ана-
аналогично тому, как это было сделано для -q. При е->0, при ус-
условии, что р' = пг остается постоянным, е~'!зсп стремится к об-
образу Фурье
Мы оставляем читателю возможность самому найти после пре-
предельного перехода статистическое распределение результатов
измерения импульса и показать, что представление ty(q) в виде
ряда Фурье D6) переходит в интегральное представление Фурье
*(</)= \ ф(р')и(р'; я) dp',
— оо
где u(p'\q) есть предельная форма г~Чаип, т. е.
§ 12. Комментарии и примеры
Мы показали, что статистическое распределение результа-
результатов измерения динамической переменной полностью опреде-
определяется заданием волновой функции физической системы. Этот
результат был получен в самом общем виде. Каждой динамичен
ской переменной сопоставляется наблюдаемая А, т. е. эрмитоз
(самосопряженный) оператор, обладающий полной ортонорми~
рованнои системой собственных функций. Отправляясь от есте-
естественного и формально очень простого постулата, касающегося
7 А, Мессиа

194 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
средних значений, мы показали, что единственно возможными
результатами измерений являются собственные значения на-
наблюдаемой А, а искомый закон распределения вероятностей не-
непосредственно выражается через квадраты модулей коэффи-
коэффициентов разложения волновой функции по собственным функ-
функциям.
Среди наиболее часто встречающихся динамических пере-
переменных, помимо пространственных координат и импульса, сле-
следует упомянуть энергию, представляемую гамильтонианом Шре-
дингера, и момент импульса.
Спектр энергии может быть в зависимости от физической
ситуации дискретным (см. § III. 5), непрерывным (см. § III. 3)
или смешанным (см. § III. 6). Проблема собственных значений
гамильтониана Н имеет важное значение в квантовой теории
не только в связи с определением энергии, но и потому, что
она играет определяющую роль при решении уравнения Шре-
дингера. Если Н не зависит от времени, а это единственный
случай, когда понятие энергии имеет действительный смысл,
волновая функция W(t) в момент времени t получается из вол-
волновой функции Ч^о) в начальный момент t0 с помощью преоб-
преобразования
Мы можем вычислить выражение в правой части равенства, ис-
используя разложение Ч^о) в ряде по собственным функциям Н
(частный случай уравнения D1)); нетрудно установить, что
±
W @ = - { Не' * Я('"'Ч (/о) = - { НЧ> (О,
т. е. что Wit) удовлетворяет уравнению Шредингера, а также
начальному условию при t = t0.
Предположим, в целях упрощения записи, что спектр Н яв-
является полностью дискретным и невырожденным; пусть Еп(п =
= 1, 2, ...) собственные значения оператора Н, а ф„ — собствен-
собственные функции, принадлежащие Еп. Разложение ^(to) запишется
в виде
Тогда функция W(t) представляется рядом
*@=Z^?(<-V D7)
п
Заметим, что модуль коэффициента при tyn в этом разложении
не зависит от i. Отсюда получается важное свойство: статисти-

§ 13 ИДЕАЛЬНЫЕ ИЗМГРЕНИЯ 195
ческое распределение энергии физической системы (гамильто-
(гамильтониан которой не зависит от времени) постоянно во времени.
Момент импульса частицы в классической механике выра-
выражается вектором [гр]. В квантовой теории ему сопоставляется
векторный оператор
1=з — Щ[гЩ. D8)
Выпишем явно одну из его компонент
Выберем Oz в качестве полярной оси и обозначим через (г, 0, ф)
сферические координаты частицы; нетрудно проверить, что
с?/<9ф = хд/ду — уд/дх. Следовательно,
'«—Л?- D9)
Задача нахождения собственных значений упрощается, если
искать ^волновую функцию в сферических координатах:
Тогда находим
\р (г, 6, ф) = F (г, 6) е й г ,
где F(r, 8) — некоторая функция г и 8. Чтобы собственная функ-
функция была однозначной, необходимо, чтобы она была периодич-
периодичной по ф с периодом 2л, т. е.
I'z = mh (m — целое). E0)
Следовательно, спектр собственных значений компоненты мо-
момента импульса частицы является полностью дискретным. Этот
результат без труда распространяется на компоненту полного
момента импульса системы частиц в согласии с эксперименталь-
экспериментальными данными по пространственному квантованию.
Раздел IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ
§ 13. Операция измерения и редукция волнового пакета.
Идеальные измерения
Статистические распределения, полученные в предшествую-
предшествующих разделах, могут быть подвергнуты непосредственной экс-
экспериментальной проверке. Так, распределение, сопоставляемое
некоторой динамической переменной зФ, есть распределение ре-
результатов, полученных при измерении $#¦ на очень большом
числе Jf тождественных систем, независимых друг от друга и
находящихся в момент измерения в" одном и том же динами-
7*

196 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
ческом состоянии. Каждая система в этот момент времени 10)
представляется одной и той же функцией W (определяемой с
точностью до постоянного множителя), которой соответствует
вполне определенное теоретическое распределение. Это распре-
распределение можно сравнить с экспериментальным.
Для полноты физического истолкования теории остается
уточнить:
1) каким образом предшествующие измерения системы поз*
воляют установить ее динамическое состояние и, в частности,
как убедиться в том, что все Л" систем, упомянутые выше, дей-
действительно находятся в динамическом состоянии, представляе-
представляемом W;
2) что происходит с каждой из систем ансамбля после
осуществления измерения.
Эти два вопроса тесно связаны между собой. Рассмотрим
сначала второй из них.
После окончания измеренияи) система может вновь рас-
рассматриваться как независимый объект, полностью отделенный
от измерительного прибора, вновь становится возможным опи-
описание физической системы с помощью ее волновой функции.
Волновая функция системы после измерения несомненно отли-
отличается от той волновой функции, которая описывала систему
в момент времени непосредственно перед измерением, кроме,
может быть, того случая, когда волновая функция перед изме-
измерением была собственной функцией наблюдаемой А, сопостав-
сопоставленной измеряемой физической величине. Это (не каузальное)
изменение волновой функции при осуществлении измерения ча-
часто называют редукцией волнового пакета.
Мы знаем, что некаузальное изменение волновой функции
возникает вследствие неконтролируемого возмущения эволюции
системы при взаимодействии с измерительным прибором, при-
причем основной эффект возмущения состоит в том, что значение
переменной, дополнительной к измеряемой переменной, стано-
становится тем менее определенным, чем точнее было проведено из»
нереиие.
Важно отличать это неконтролируемое возмущение от всех
других модификаций физической системы в процессе измерения,
которые в принципе могут быть точно вычислены. Часто бывает,
например, что сама измеряемая величина изменяется в про-
10) Момент времени, о котором идеть речь, это момент начала измерения.
Как только измерение началось, система находится во взаимодействии с из-
измерительным прибором н описание ее эволюции с помощью только волновой
функции системы становится невозможным.
п) Детальное исследование самого механизма измерения находится вне
рамок данной книги. См. в этой связи литературу, цитируемую в гл. IV,
сноска 10.

§ 13. ИДЕАЛЬНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ 197
цессе измерения. Примером такой ситуации могут служить два
способа измерения импульса, которые были разобраны в гл. IV.
Модификация измеряемой величины зависит, конечно, от уст-
устройства используемого измерительного прибора. Так, при изме-
измерении импульса при комптоновском рассеянии, рассмотренном
на стр. 148, разность р'— р тем меньше, чем меньше частота v
фотона, и стремится к нулю при v-> 0. Нельзя поэтому дать
общего рецепта, касающегося модификации динамического со-
состояния системы в процессе измерения, ибо эта модификация
зависит каждый раз от конкретных условий опыта. Однако
можно представить себе идеальные условия опыта, при которых
все упомянутые выше контролируемые модификации строго
компенсированы и проявляются только неконтролируемые мо-
модификации, характерные для квантовых явлений. Мы примем,
что такие идеальные измерения действительно возможны или
что их можно рассматривать как идеальные предельные случаи
реальных измерений (например, измерения положения частицы
в пределе бесконечно малой длительности измерения, обсуж-
обсуждавшиеся в гл. IV, или измерения импульса при рассеянии
Комптона, когда v-»-0).
Рассмотрим теперь идеальное измерение величины М и
предположим сначала, что найденное в результате измерения
значение а,- есть невырожденное собственное значение. Согласно
предположению мы достоверно знаем, что по окончании изме-
измерения s4- = а,-, т. е. что волновая функция системы (с точ-
точностью до произвольной постоянной) \pi — собственная функ-
функция, принадлежащая собственному значению а,-. Произвольная
постоянная не имеет никакого физического смысла, ибо какими
бы ни были предшествующие наблюдения системы, статисти-
статистическое распределение результатов этих наблюдений не зависит
от выбора постоянной. Таким образом, волновая функция си-
системы после измерения точно известна. Измерительный аппарат
действует в некотором смысле как «идеальный фильтр». Волно-
Волновая функция до измерения есть функция ip= J] с„ф„. Имеется
п
вероятность |с,|2 найти в результате измерения величину аи
действие операции измерения сводится к «пропусканию» без
изменения единственного члена cityi в разложении Ч? по соб-
собственным функциям оператора А.
В более общем случае, когда собственные значения наблю-
наблюдаемой Л и, в частности, значение а, вырождены, волновая
функция до измерения (по предположению нормированная на
¦единицу) может быть представлена в форме (ср. уравнение
<20))
?=1>р, Wp=ZcpV?> E1)

198 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Вероятность получить при измерении величину а-, равна
^?t, Ч^) = ? | срЛ) f- В случае идеального измерения волновая
функция после измерения есть собственная функция оператора
А, принадлежащая собственному значению ас это линейная
комбинация функций г|Лг> (г — переменный индекс). Информа-
Информация, содержащаяся в факте обнаружения значения а,-, недо-
недостаточна для определения указанной линейной комбинации, при-
причем неопределенность тем больше, чем больше кратность вы-
вырождения собственного значения. При идеальном измерении из-
измерительный прибор действует как «идеальный фильтр», «про-
«пропускающий» без искажения только часть разложения E1) функ-
функции W, относящуюся к собственному значению а,-, т. е. функцию
Если измерение неидеально, то «прохождение» этих членов со-
сопровождается некоторым искажением; это искажение в прин-
принципе может быть вычислено и зависит от конкретного устрой-
устройства измерительного прибора.
Далее в этой главе мы будем предполагать, что все измере-
измерения, о которых идет речь, являются идеальными. Это сильно
упрощает рассуждения. Такое предположение не ограничивает
общности и не приводит к фундаментальным изменениям физи-
физического истолкования теории.
§ 14. Коммутирующие наблюдаемые
и совместные переменные
Рассмотрим две наблюдаемые А и В. Предположим, что
спектр их собственных значений полностью дискретный, хотя
те свойства, которые мы изучим, справедливы и в общем слу-
случае. Пусть эти наблюдаемые имеют одну общую собственную-
функцию Ч^:
Физический смысл этих двух уравнений следующий. Если фи-
физическая система в данный момент времени находится в состоя-
состоянии Ч'о, то точное измерение величин М и <% с достоверностью
приведет к значениям а и Ь, соответственно. Необходимым усло-
условием того, что эти уравнения удовлетворяются одновременно,
является равенство
(AB-BA)W0^[A, B]W0 = 0, E2)
т. е. коммутатор А и В имеет собственной функцией Wo, при-
принадлежащую собственному значению 0.

§ 14. КОММУТИРУЮЩИЕ НАБЛЮДАЕМЫЕ 199
В качестве примера величин, для которых это условие не
выполняется, могут служить наблюдаемые х и рх, так как их
коммутатор является отличной от нуля постоянной. Именно
(см. уравнение (II. 10)):
[х, рх] = - ih [х, -1L] = ih Ф 0; E3)
действительно, мы хорошо знаем, что эти две величины никогда
не могут быть одновременно точно измерены.
С другой стороны, уравнение E2) автоматически выполняет-
выполняется, когда наблюдаемые А к В коммутируют. В этом случае мы
имеем важную теорему:
Если две наблюдаемые коммутируют, то они обладают общей
полной орт онор миро ванной системой собственных функций, и
наоборот.
Физически это означает, что динамические переменные, пред-
представляемые этими двумя наблюдаемыми, могут быть одновре-
одновременно точно измерены: это совместные переменные. В частности,
можно одновременно произвести идеальное измерение перемен-
переменных s4- и 38 и в этом случае волновая функция после измерения
будет общей собственной функцией А и В.
Доказательство прямой теоремы таково. Предполагаем, что
наблюдаемые А и В коммутируют
[А, В] = 0.
Пусть \|)а есть собственная функция А, принадлежащая соб-
собственному значению а. Функция г^а может быть разложена по
системе ортонормированных собственных функций наблюдаемой
В, т. е. может быть представлена в форме
фв= 2ф(я; ът),
m
где ф(а; Ьт)—собственная функция В, принадлежащая соб-
собственному значению Ьт. Можно всегда сделать так, чтобы все
функции, входящие в эту сумму, принадлежали различным соб-
собственным значениям (см. уравнение B0)). Покажем, что
фтн=(Л — а)ф(а; Ьт) = 0.
Поскольку А и В коммутируют
Вч>т = (А — а) Вер (а; Ьт) = (А — а) 6mq> (а; Ьт) = Ьтфт.
Иными словами, функции фт являются собственными функциями
В, и ввиду того что собственные значения различны, эти функ-
функции линейно независимы. Однако имеем

200 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Это возможно только в том случае, если каждая из функций фда
равна нулю. Следовательно, функции <р(а;6т) одновременно
являются собственными функциями А и В.
Рассмотрим теперь полную ортонормированную систему
{^r)} собственных функций А
По доказанному эти функции можно представить в форме
где <p(r)(am; bm) являются общими собственными функциями А
и В. Совокупность функций ф(г)(а„;6т), соответствующих одной
rape собственных значений ап, Ьт, может не быть линейно не-
независимой, однако всегда можно тем или иным способом (на-
(например, с помощью процесса ортогонализации Шмидта) вы-
выбрать последовательность ортонормированных функций y}s)(an»
bm), соответствующих той же паре собственных значений, при-
причем функции ф(г)(ал;6т) будут линейными комбинациями этих
новых функций:
Ф(г) (а»; Ьт) = ? с«Х<*>(а„; Ьт). E5>
S
Множество {%} всех функций % образует ортонормированную
систему собственных функций, общих для Л и В. При этом по-
полученная система полная, так как всякая волновая функция V
может быть разложена в ряд по функциям %. Чтобы построить-
такое разложение следует разложить W в ряд по функциям пол-
полной системы {^г)}, затем вместо функций г|)<[> подставить их вы-
выражения через %(s) (ап; Ьт), полученные с помощью уравнений"
E4) и E5), что и требовалось доказать.
Обратно, если А и В обладают общей полной ортонормиро-
ванной системой собственных функций %<s> (an; Ьт), то
(an; bm) = anbmts){an, bm) = BAf* (an; bm),
следовательно,
[A,
Действие коммутатора [А, В] на любые функции из системы {%}
дает нуль. Но поскольку, по предположению, всякая волновая
функция W разлагается в ряд по функциям %, имеем при лю-
любой W: [А, В] *? = 0. Следовательно,
[А, В] = 0.
С помощью коммутирующих наблюдаемых А, В можно об-
образовать новые наблюдаемые виды f{A,B), где f{x,y)—произ-

§ 15. ПОЛНЫЕ НАБОРЫ КОММУТИРУЮЩИХ НАБЛЮДАЕМЫХ 201
больно выбранная функция. По определению действие наблю-
наблюдаемой f(A,B) на собственную функцию %(а;Ь), общую для
операторов А и В, дает
f(A, B)x(a; b) = f(a, Ь)%(а; Ь).
Действие новой наблюдаемой на произвольную функцию Ч* по-
получается путем разложения Чг в ряд по % и применения опера-
оператора f{A,B)K каждому члену разложения, если, конечно, полу-
получающийся ряд сходится; в противном случае функция f{A, В) Ч*
не существует. Из самого определения f{A, В) очевидно, что
эта наблюдаемая обладает общей с Л и В полной ортонормиро-
ванной системой собственных функций, а именно системой (х).
Отсюда следует, что f(A, В) коммутирует с А и В.
Все эти результаты очевидно обобщаются на случай произ-
произвольного числа R попарно коммутирующих наблюдаемых. Если
R наблюдаемых все попарно коммутируют, то они обладают (по
крайней мере) одной общей полной ортонормированной систе-
системой собственных функций, и наоборот. Кроме того, любая (ве-
(вещественная) функция этих наблюдаемых есть наблюдаемая, ко-
которая коммутирует с каждой из них и обладает общей с ними
системой собственных функций.
§ 15. Полные наборы коммутирующих наблюдаемых
Рассмотрим наблюдаемую А. Из ее собственных функций
можно образовать полную ортонормированную систему соб-
собственных функций; будем называть эту систему функций базис-
базисной системой наблюдаемой А. Базисная система, вообще говоря,
не единственна. Степень произвола при ее выборе обсуждалась
в § 9. Условимся считать тождественными две системы, состав-
составляющие функции которых отличаются только фазой и (в случае
непрерывного спектра) нормировкой. При этом условии базис-
базисная система наблюдаемой А единственна, если все собственные
значения невырождены. Чтобы исследовать другой случай, при-
примем сначала, что собственное значение а дважды вырождено,
и пусть rpi, $2 суть две собственные ортонормированные функ-
функции, принадлежащие этому собственному значению. Нетрудно
проверить, что функции
ф! = ф[ cos a -f- ^2 sin а>
ф2 = — грх sin а + tf2 cos а
также будут ортонормированными, принадлежащими тому же
собственному значению. Базисная система наблюдаемой А мо-
может быть образована как из функций (грь tp2), так и из функций
{фьфг). Следовательно, базисная система А не является един-
единственной.

202 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Пусть теперь имеется еще одна наблюдаемая В, коммути-
коммутирующая с А. Может случиться, что общая базисная система А
и В, существование которой мы доказали в § 14, будет един-
единственной. Тогда говорят, что наблюдаемые Л и В образуют пол-
полный набор коммутирующих наблюдаемых.
Если Л и В не обладают единственной общей базисной си-
системой, мы вынуждены добавить к ним третью наблюдаемую
С, коммутирующую с первыми двумя и т. д.
В общем случае говорят, что наблюдаемые А, В, ..., L об-
образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых, если они
обладают общей базисной системой и эта система единственна.
В этом случае любая наблюдаемая, коммутирующая с каждой
наблюдаемой полного набора, по необходимости обладает той
же базисной системой, поэтому ее собственные значения яв-
являются вполне определенными функциями собственных значе-
значений а, Ь, ..., / наблюдаемых А, В, ..., L; иными словами, эта
наблюдаемая может рассматриваться как функция наблюдаемых
набора.
Динамические переменные, представляемые полным набо-
набором коммутирующих наблюдаемых, могут быть одновременно
точно измерены и образуют полный набор совместных перемен-
переменных (§ IV. 17). Если осуществить одновременное точное изме-
измерение значений этих переменных, то волновая функция системы
будет собственной функцией наблюдаемых А, В, .... L, при-
принадлежащей собственным значениям а, Ь, ..., /, обнаруженным
в результате измерения. Поскольку существует только одна соб-
собственная функция, обладающая этим свойством, то выполнение
этих измерений полностью определяет волновую функцию фи-
физической системы. Говорят, что динамическое состояние физи-
физической системы полностью определяется заданием квантовых
чисел а, Ь, ..., I. В действительности, эта функция определяет-
определяется только с точностью до постоянного множителя, но поскольку
физически измеряемые величины, а именно статистические рас-
распределения результатов различных возможных измерений не
зависят от выбора этой постоянной, можно придать ей любое
значение, не меняя физической значимости волновой функции.
Обычно волновую функцию нормируют на единицу, что остав-
оставляет произвольной постоянную фазу, не имеющую физического
смысла.
Осуществление физического эксперимента можно описать
следующим образом. В начальный момент времени^ мы «приго-
«приготовляем» систему, выполняя одновременное измерение полного
набора совместных переменных. Таким образом, динамическое
состояние физической системы в начальный момент времени
оказывается полностью определенным.

§ 16. ЧИСТЫЕ И СМЕШАННЫЕ СОСТОЯНИЯ 203
В дальнейшем волновая функция физической системы эво-
эволюционирует во времени, подчиняясь уравнению Шредингера.
В каждый последующий момент времени динамическое состоя-
состояние системы таким образом точно известно, по крайней мере
до того момента, когда оно будет возмущено вмешательством
измерительного прибора. Наконец, в некоторый момент вре-
времени t мы осуществляем данное измерение. Поскольку волновая
функция ^{t) в момент измерения известна, можно точно ука-
указать статистическое распределение результатов измерения. Пов-
Повторяя опыт на очень большом числе Jf тождественных систем,
мы получаем экспериментальное распределение, которое можно
сравнить с теоретическим.
§ 16. Чистые и смешанные состояния
На практике полное «приготовление» системы, упомянутое
выше, осуществляется редко. Чаще всего измеренные динамиче-
динамические переменные не составляют полного набора, и динамическое
состояние системы известно не точно. В этих случаях прибегают
к статистическим методам. Вместо строго заданного динамиче-
динамического состояния системы мы имеем статистическую смесь со-
состояний. Не имея возможности описать состояние системы од-
одной определенной волновой функцией, мы рассматриваем ста-
статистическую смесь волновых функций, причем каждая волновая
функция входит со своим статистическим весом. Подобно клас-
классической статистической механике, существует квантовая стати-
статистическая механика.
Когда «приготовление» полное и, следовательно, динамиче-
динамическое состояние системы известно точно, говорят, что мы имеем
дело с чистым состоянием, в противном случае говорят, о сме-
смешанном состоянии.
В предсказании результатов измерений при смешанном со-
состоянии статистика играет двойную роль: с одной стороны она
отражает наличие чисто квантовых неопределенностей, связан-
связанных с неконтролируемым возмущением системы в операции из-
измерения, с другой стороны — учитывает неполноту информации
о динамическом состоянии физической системы.
Предположим, что в момент «приготовления» системы /0 она
может быть описана совокупностью волновых функций
Ч^'Ч^о)» •••> V*'('o). ••• со статистическими весами р\, ...
...,Рь, ... (Z/>*=1). Пусть 4W>@, ....?<*>(*), ... реше-
решения уравнения Шредингера, соответствующие начальным зна-
значениям Ч^'^/о). •••, Ч^^о). ... В момент времени t система
представляется ансамблем этих функций W-^it), ...
..., Ww(t), ... с теми же статистическими весами р\, ...

204 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
..., pk, ... Пусть (A)k есть среднее значение результатов из-
измерения некоторой величины М- в том случае, когда система
находится в динамическом состоянии W^i)
Тогда среднее значение результатов измерения зФ при стати-
статистической смеси состояний в момент времени t дается формулой
Аналогично, если до;(*> есть вероятность получить результат at,.
когда динамическое состояние системы представляется функ-
функцией Чг(*)@. то вероятность найти этот результат при измере-
измерении на смеси равна
Zik) E6>
Важнейший пример квантовостатистического смешанного со-
состояния дает система, находящаяся в термодинамическом рав-
равновесии с термостатом при температуре Т. Здесь возможными
динамическими состояниями являются собственные состояния
гамильтониана Н системы, статистический вес данного собствен-
собственного состояния зависит исключительно от соответствующего ему
собственного значения Н и равен с точностью до нормировоч-
нормировочной постоянной фактору Больцмана e~ElkT, где Е — собственное
значение Н, a k — постоянная Больцмана.
Раздел V. АЛГЕБРА КОММУТАТОРОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 17. Алгебра коммутаторов
и основные свойства коммутаторов
Пока мы оперируем с коммутирующими наблюдаемыми,
можно без ограничений пользоваться правилами обычной ал-
алгебры. Однако не все наблюдаемые заданной квантовой си-
системы обладают свойством коммутировать друг с другом. На-
Например, наблюдаемые квантовой системы размерности R
являются некоторыми функциями наблюдаемых положения q-t
(/=1,2,...,/?) и-наблюдаемых импульса /зг (t = 1,2,...,/?I2),
т. е. наблюдаемых, не коммутирующих между собой. Коммута-
Коммутаторы <7 и р играют фундаментальную роль в теории. Они имеют
12) Это верно постольку, поскольку квантовая система имеет классиче-
классический аналог. В дальнейшем мы введем дополнительные переменные типа спи-
спина, которые не имеют классического аналога.

§ 17. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КОММУТАТОРОВ 205
вид
[Qi, qi\ = 0. [Pi> Pi] = 0. E7)
[Qh Pi] = ihbi,. E8)
Соотношения E7) очевидны, при этом второе следует из того
факта, что операции дифференцирования переставимы. Соотно-
Соотношение E8) есть обобщение E3), причем подразумевается
Pi = — ih -з •
Ввиду того, что q и р не коммутируют, определение динами-
динамической переменной si> = A(q\, ..., <7/?;/?ь ..., рц) требует ука-
указания порядка расположения q и р при явном выражении функ-
функции A(q\, ..., qR; p\, ..., рц). На практике А обычно выра-
выражается в виде полинома от р или бесконечного ряда по степе-
степеням р, коэффициенты которого суть функции q. Каждый член
имеет вид произведения компонент pi и функций от q, располо-
расположенных в определенном порядке. Функция А, рассматриваемая
как оператор, вполне определена только тогда, когда точно ука-
указан порядок операторов в каждом члене разложения. Важно
установить, какой вид имеют коммутаторы q и р с заданной опе-
операторной функцией А. Если мы имеем дело с функциями только
от q или только от р, то нетрудно получить соотношения:
[qi,F(qu ..., <7*)] = 0; E9)
[pi.Gipu ..., рд)] = 0; F0)
dF
[Ph F (<7i qR)] = — ih -r—', F1)
aq.
[qi,G(Pl PR)] = + ibJ2-. F2)
Соотношения E9) и F0) являются частными случаями общего
правила, установленного в конце § 14. Чтобы доказать равен-
равенство F1), необходимо выписать оператор рь в явном виде и про-
проверить действие левой и правой частей равенства на некоторую
волновую функцию (см. уравнение (II. 9)). Уравнение F2) до-
допускает ту же проверку, но в пространстве импульсов; напом-
напомним, что если Ф(/?ь ..., Pr) есть волновая функция в простран-
пространстве импульсов, соответствующая Чг(^ь ..., qR), то функция
в пространстве импульсов, соответствующая qixP(Qi,..., qR),
имеет вид
Q
ih—^—Ф\Р\, .... рп).
др. ' г«'
Тот же результат можно получить, воспользовавшись прави-
правилами алгебры коммутаторов. Приведем здесь четыре основных

206 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
правила. Они следуют из определения коммутаторов, и чи-
читатель без труда может проверить их непосредственным
вычислением. Пусть А, В, С—некоторые линейные операторы.
Тогда имеем:
[А, В] = - [В, А]; F3)
[А, В + С] = [А, В] + [А, С]; F4)
[А, ВС] = [А, В]С + В[А, С]; F5)
[А, [В, С)] + [В, [С, А]] + [С, [А, В]) = 0. F6)
Повторным применением правила F5) получим также
[A, В"] = "l Bs [А, В] В"-3-1.
0
S-0
В частности, для системы в одном измерении имеем
Соотношение F2) доказано, таким образом, если G представ-
представляет собой одночлен от р, но согласно формуле F4) оно дока-
доказано и для случая, когда G выражается полиномом или, в об-
общем случае, сходящимся рядом по степеням р.
Для произвольных функций от q и р можно написать
F7)
F8)
где правые части получаются формальным дифференцирова-
дифференцированием функции А, причем подразумевается, что порядок опера-
операторов р и q при явном выражении функции А выбран правильно.
Проиллюстрируем это иа примере квантовой системы в одном измерении.
Пусть f(q) есть некоторая функция q. Коммутаторы q и каждой из функций
Pf(q)> Pm)/>. Пя)р2 могут быть получены дифференцированием по р этих
функций, однако это будут различные операторы. Действительно, повторным
применением правила F2) находим:
[q,pfp)=-ih(fp +
[q,fp*]=2ibfp.
Аналогичным образом
[р. Р2П = - ЛрГ;
\Р- Pfp] — — ibpf'p;
[р, fpi] = - Щ'р\

5 18. СООТНОШЕНИЯ КОММУТАЦИИ ДЛЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА 207
§ 18. Соотношения коммутации для момента импульса
В качестве приложения правил F3) — F5) алгебры комму-
коммутаторов вычислим коммутаторы составляющих момента им-
импульса частицы:
Имеем:
['*, 1У] = [уРг — zpy, -zPjc — xpz]
= [ург, zpx]+[zpy, xpz] правило F4)
= У \Рг, z] px + ру [z, рг] х правило F5)
= 'Л (хру — урх)
= ihlz.
lz.
Два других коммутатора могут быть получены циклической пе-
перестановкой. Получаем
[1Х,1«] = Ш2, [1У, У = »А/„ [1г,1х] = Шу. F9)
Три-компоненты момента импульса частицы не коммутируют
друг с другом. Не существует полной ортонормированной си-
системы собственных функций, общей для какой-нибудь пары
компонент. Другими словами, две компоненты момента им-
импульса в общем случае13) не могут быть одновременно точно
определены.
Заметим, с другой стороны, что (правило F5))
Складывая эти равенства, имеем (правило F4))
[/„ I2} = 0, G0)
где оператор
t2=ll + l2y + ll G1)
есть квадрат длины вектора /.
Операторы Р и 1г коммутируют; следовательно, они могут
быть одновременно точно определены. .Пары {I2,1Х) и (I2,1У)
обладают тем же свойством.
13) Слова «в общем случае» имеют важное значение. Три компоненты не
имеют общей базисной системы, ио обладают общими собственными функ-
функциями, теми для которых lx = h = lz — 0; эти функции зависят только
от модуля радиуса-вектора точки г = У*2 -)- у2 + г2, ио не от его на-
направления.

208 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 19. Изменение статистического распределения
во времени. Интегралы движения
Запишем уравнение Шредингера вместе с комплексно сопря-
сопряженным уравнением:
Если W нормирована на единицу в начальный момент времени,
она остается нормированной и в последующие моменты вре-
времени. Среднее значение наблюдаемой А в каждый момент вре-
времени выражается скалярным произведением
(А) = <?, ЛЧ*> = jj ЧГ AW dr.
При этом
Последний член в правой части (dA/dt) равен нулю, если А не
зависит явно от времени.
Используя уравнение Шредингера, а также свойство эрмито-
вости гамильтониана, получаем
Отсюда следует общее уравнение, определяющее изменение во
времени среднего значения А:
ih{T(A) = ([A,H]) + ih(^-). G2)
Заменяя А оператором е'%А, получаем аналогичное уравне-
уравнение для изменения во вр.емени характеристической функции
статистического распределения для А.
В частности, для всякой наблюдаемой С, коммутирующей
с гамильтонианом,
[С, Я]-0,
и от времени явно не зависящей, получаем результат
т. е. среднее значение наблюдаемой С остается постоянным во
времени. Но если наблюдаемая С коммутирует с гамильто-
гамильтонианом Н, то функция е'^с также коммутирует с Я и поэтому

§ 20. ЭНЕРГИЯ. ЧЕТНОСТЬ 209
т. е. характеристическая функция, а, следовательно, и статисти-
статистическое распределение наблюдаемой С остаются постоянными
во чремени.
По аналогии с классической аналитической механикой на-
наблюдаемая С называется постоянной движения (или интегралом
движения). В частности, если в начальный момент времени вол-
волновая функция была собственной функцией С, принадлежащей
данному собственному значению с, то это свойство сохраняется
во времени. Тогда говорят, что с является «хорошим квантовым
числом». Если, в частности, Н от времени явно не зависит
и если динамическое состояние системы в момент времени to
представляется собственной функцией, общей для операторов И
"И С, то волновая функция остается постоянной во времени с точ-
точностью до фазового множителя; энергия и динамическая пере-
переменная С остаются вполне определенными и постоянными во
времени.
§ 20. Примеры интегралов движения. Энергия. Четность
Существует наблюдаемая, всегда коммутирующая с гамиль-
гамильтонианом— это сам гамильтониан. Поэтому энергия является
постоянной движения для всех физических систем, гамильто-
гамильтониан которых от времени явно не зависит. Этот результат уже
был доказан в § 12.
В качестве другой возможной постоянной движения укажем
четность (ср. с § III. 14). Четностью называется наблюдаемая Р,
определяемая равенством
Нетрудно проверить, что Р — эрмитов оператор. Кроме того,
Р2 = 1 и, следовательно, единственно возможными собствен-
собственными значениями Р являются -\-\ и —1; значению +1 соответ-
соответствуют четные функции, а значению —1—функции нечетные.
Если гамильтониан инвариантен относительно замены +<? на
—q, то
[ЛЯ] = 0.
Действительно, если
то для любой функции
=н(Ш-^, ~q)q(-q) = H (-iA^-. q) q>(-q) =
При этих условиях, если волновая функция имела некоторую
•четность в заданный начальный момент времени, то она будет
¦сохранять эту четность и в дальнейшем.

210 ГЛ. V. ФОРМАЛИЗМ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
Это свойство без труда может быть распространено на си-
системы многих частиц, когда операция четности соответствует
инверсии пространства (*¦<—>•—ri), а наблюдаемая четности
определяется равенством
РЧЧг,, г2, ...) = W(-ru -r2, ...)•
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать неравенство Шварца |(ф, г|э) | ^ V(?> ф)СФ> Ф) > основываясь
только на свойствах а), б), в) скалярного произведения (§ 2). (Достаточно
учесть тот факт, что норма некоторой линейной комбинации <р и г|) по опреде-
определению положительна или равна нулю.) Показать, что равенство выполняется
тогда и только тогда, когда функции ф и -ф пропорциональны друг другу.
2. Рассматривается задача на собственные значения оператора р =
— —ih d/dq, действующего на функции г|э(о), определенные иа интервале
(—оо, +оо). Проверить, что спектр оказывается непрерывным и собственные
функции имеют бесконечную норму. Показать, что с помощью суперпозиции
собственных функций, принадлежащих близким собственным значениям, мож-
можно построить функции с конечной нормой (собственные дифференциалы), для
которых квадратичное отклонение Ар может быть сделано сколь угодно ма-
малым. Исследовать тот же вопрос для оператора
р2 = _№ dj_
2т ~ 2т dq2 '
3. Рассматривается оператор о, действующий иа функции г|э(<7) с конеч-
конечной нормой на интервале (—оо,-(-оо). а) Образовать последовательность не-
непрерывных функций, зависящих от параметра ц, таких, что их норма и сред-
среднее значение (о) остаются ие зависящими от т), а квадратичное отклонение
Ао стремится к нулю при ц -*¦ 0 (существует много последовательностей этого
типа). Убедиться, что эта последовательность ие сходится к функции, при-
принадлежащей пространству Гильберта, б) Образовать аналогичным образом
последовательность собственных дифференциалов (это функции с конечной
нормой, ио они не являются непрерывными), зависящую от параметра 8q,
путем суперпозиции собственных «функций» б(о—'О0), соответствующих соб-
собственным значениям, расположенным в интервале бо, и проверить, что
квадратичное отклонение До по отношению к этим собственным дифференциа-
дифференциалам обладает тем же свойством.
4. Проверить, что статистическое распределение измерений некоторой
данной величины определяется единственным образом, несмотря иа большой
произвол в выборе полной ортоиормированиой системы собственных функций
оператора, представляющего эту физическую величину (произвол в выборе
фаз собственных функций, произвол в выборе собственных функций выро-
вырожденного собственного значения, произвол в нормировке функций непрерыв-
непрерывного спектра).
5. Каким образом распространить уравнения B0) и B1) этой главы на
случай непрерывного спектра?

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 211
6. В полярных координатах (г, 9, <р) компонента U момента импульса ча-
частицы имеет внд — Ш д/ду. Это наводит на мысль, что 12иф образуют пару
дополнительных переменных. Однако, соотношение неопределенности Д/г-Лф?3
рз h не имеет смысла. Объяснить почему. Показать, что когда Д/г = 0, угол
Ф полностью неопределен. Разложить в ряд по собственным функциям U вол-
волновой пакет
Сравнить неопределенность по ф и неопределенность по L на этом примере
и обсудить характер дополнительности указанных двух переменных.

ГЛАВА VI
КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
И МЕТОД ВКБ
Раздел I. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ ВОЛНОВОЙ МЕХАНИКИ
§ 1. Общие соображения
При переходе к пределу Ъ—+0 законы квантовой механики
должны переходить в законы механики классической. Принцип
соответствия, игравший столь значительную роль при построе-
построении новой теории, и был призван обеспечить выполнение этого
основного условия.
Классическая механика, следовательно, должна хорошо опи-
описывать физические явления во всех случаях, когда величиной
кванта действия можно пренебречь. Предметом данной главы
является выяснение вопроса о том, при каких условиях и в ка-
какой мере это' классическое приближение оказывается спра-
справедливым.
Одним из проявлений конечной величины кванта действия
является существование дискретного спектра собственных зна-
значений для некоторых наблюдаемых; интервалы между сосед-
соседними собственными значениями оказываются порядка fi1).
Классическое приближение будет справедливым, если можно
пренебречь величиной этих интервалов, что имеет место в слу-
случае достаточно больших квантовых чисел. Это условие, осно-
основанное на принципе соответствия, было использовано уже
в старой квантовой теории при вычислении постоянной Ридбер-
га и выводе правил квантования Бора — Зоммерфельда (см.
§ I. 13 и § 1.15). Однако указанное условие несомненно не яв-
является достаточным: некоторые чисто квантовые эффекты, та*
кие, например, как соотношения неопределенности, никак не
связаны с дискретной природой спектров. С более общей точки
') Так, в атоме водорода Е„ =—— I -j—) —5—, ^ = Е„,, — Е =
2 V лс J it "+* л
= — -.— ..2 ?„. При й->0расстояние от заданного уровня энергии Е = ?п до
ближайшего соседнего оказывается равным-^— ..2 Я; при этом предельном
переходе ra2fi2 = const и, следовательно, я-> оо как Й~', поэтому ЛЯ ~
р
~ ° (тг)+ °(й)-

§ 1. ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ 213
зрения условия применимости классического приближения со-
совпадают с условиями применимости геометрической оптики.
Классическое приближение может быть сформулирована
двумя различными способами.
Первый способ, интуитивно наиболее ясный, основан на
приближенном описании динамического состояния каждой час-
частицы в любой момент времени заданием ее положения и ско-
скорости. Если бы постоянная fi была равна нулю, то это описание
было бы вполне строгим, так как компоненты векторов положе-
положения и импульса частицы представлялись бы попарно коммути-
коммутирующими наблюдаемыми. В действительности коммутаторы от-
отличны от нуля
[qi,p,] = iMu, A)
что ограничивает точность такого описания, ибо соотношения
неопределенности делают невозможным одновременное опреде-
определение координаты и импульса частицы. Поскольку динамиче-
динамическое состояние системы представляется волновой функцией, са-
самое лучшее, что можно сделать на этом пути — это построить
минимизирующий волновой пакет, для которого Aqt-Apt = fi/2.
В классическом приближении мы приписываем каждой частице
координату и импульс, равные средним значениям этих величин
в соответствующем квантовом состоянии, полностью пренебре-
пренебрегая всеми флуктуациями около средних значений. Для получе-
получения удовлетворительных результатов необходимо:
а) чтобы указанные средние значения в хорошем приближе-
приближении следовали классическим законам движения;
б) чтобы пространственная протяженность волнового пакета
была мала по сравнению с характерной длиной рассматривае-
рассматриваемой задачи и оставалась таковой с течением времени.
Этот подход станет предметом обсуждения двух последую-
последующих параграфов. Мы увидим, что, исключая некоторые особые
случаи, сопоставляемый частице волновой пакет с течением вре-
времени «расплывается» и через достаточно большой промежуток
времени может занимать сколь угодно значительную область
пространства. Поэтому полученный классический образ частицы
приемлем только на конечных интервалах времени.
Другой подход основан на отождествлении квантовой си-
системы со статистическим ансамблем классических систем. Точ-
Точнее, с помощью волновой функции определяется классический
статистический ансамбль, плотность которого в каждой точке
пространства конфигураций равна плотности вероятности при-
присутствия в данной точке квантовой системы, а затем доказы-
доказывается, что в пределе Й —*0 эволюция этого ансамбля подчи-
подчиняется законам классической механики. Этот подход мы
рассмотрим в § 4. С математической точки зрения эта формули-

214 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
ровка классического приближения2) имеет ряд преимуществ,
так как уравнения классической механики при этом подходе по-
получаются как предельный случай уравнения Шредингера; усло-
условия применимости этого приближения совпадают с условиями
справедливости приближения геометрической оптики.
Классическое приближение тесно связано с одним методом
приближенного решения уравнения Шредингера, известного как
метод ВКБ 3) и применимого, когда уравнение Шредингера мо-
может быть заменено своим классическим пределом всюду, кроме
некоторых областей пространства около сингулярных точек.
Метод ВКБ излагается во втором разделе этой главы.
§ 2. Теорема Эренфеста
Теорема Эренфеста выражает закон изменения во времени
средних значений координат q и сопряженных импульсов р
квантовой системы. Теорема утверждает, что уравнения движе-
движения этих средних величин формально тождественны уравнениям
Гамильтона классической механики, если только все величины,
фигурирующие в обеих частях классических уравнений, заме-
заменить на соответствующие средние значения.
Теорема Эренфеста непосредственно следует из общего урав-
уравнения (V. 72), если применить его к переменным положения
и импульса.
Пусть <7i, ..., qR — координаты (декартовы), ри ..., pR —
сопряженные им импульсы и #(<7ь ¦. •, <7«; Рь • • •, Pr)— гамиль-
гамильтониан системы. Согласно уравнению (V. 72),
^ 57
Вычисление коммутаторов в правых частях уравнений было
проведено в гл. V (уравнения (V. 67), (V. 68)). Отсюда следует .
результат 4):
-^Н^г) с=ь2 *>.
2) Существует несколько вариантов указанной формулировки, ибо опреде-
определение классического статистического ансамбля по заданной волновом функции
неоднозначно (см. задачу 4). В § 4 приводится простейший из этих вариаитов.
3) Математические приемы метода ВКБ были введены лордом Рэлеем
A912 г.) при решении некоторых проблем распространения волн. Первые при-
применения к задачам квантовой механики принадлежат Г. Джеффрису A923 г.);
в дальнейшем метод был одновременно развит Г. Вентцелем, Г. А. Крамер-
¦сом и Л. Бриллюэном A926 г.).
дН дН
4) С учетом правильного определения операторов —z—, -т—, см. стр. 206.
"Pi "Ч/

§ 2. ТЕОРЕМА ЭРЕНФЕСТА 215'
Следует хорошо понимать связь между системой уравне-
уравнений A) и канонической системой Гамильтона. Вообще говоря,,
нельзя утверждать, что средние значения <<7/> и <р/> следуют
законом классической механики. Производные по времени клас-
классических величин qi и р/ являются вполне определенными функ-
функциями дН/dpi, —dH/dqj этих величин; эволюция последних с те-
течением времени полностью определяется заданием их значений
в начальный момент. Согласно же уравнениям A) производные-
d(qd/dt, d(pi)/dt равны некоторым средним значениям, вычис-
вычисление которых в общем случае требует знания волновой функ-
функции ^(t). Средние значения <<7i>, <p/> следуют законам класси-
классической механики только в той мере, в какой можно заменить
в правых частях A) средние значения функций на функции:
средних значений, именно
?; pi, ¦¦-, p
на -ч— H({qi) ... (qR); (pi) ... (pR)), Ba)-
r'> Pi> • • •> Pr))
.. (pR)). B6>
Эта подстановка справедлива только в том случае, если га-
гамильтониан есть полином второго порядка по q и р (свободна»
частица, гармонический осциллятор, заряженная частица в по-
постоянных электрическом и магнитном полях, см. задачи 1 и 2).
Во всех остальных случаях, делая подстановку, мы пренебре-
пренебрегаем флуктуациями q и р около их средних значений.
Рассмотрим в качестве примера случай частицы в потенциальном поле:
Введем силу
F = -gradV(r).
Уравнения Эренфеста в этом случае таковы:
НЛИ
rf2
W~"'n rf/2 (Г)'
что является квантовым аналогом уравнения Ньютона.
Чтобы среднее положение
(г) ^ [ У* (г, 0 г? (г, /) dr

•216 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
действительно удовлетворяло классическому уравнению Ньютона, необходимо
в уравнении C) заменить среднее значение силы
(F)=[ Ч" (г. t)F (г) W (г, /) dr
на значение F((г)) силы в точке (г). Если сила вообще равна нулю (свобод-
(свободная частица) или линейно зависит от радиуса-вектора г (гармонический ос-
осциллятор), то справедливо точное равенство (F) = F((r)). Во всех осталь-
остальных случаях указанная замена оправдана только, если волновая функция
остается локализованной в достаточно малой области пространства,, где вели-
величину силы можно считать практически постоянной.
§ 3. Движение и расплывание волновых пакетов
Для того чтобы движение волнового пакета можно было со-
сопоставлять движению классической частицы необходимо, во-
первых, чтобы изменения во времени положения пакета в про-
пространстве и его импульса следовали законам классической ме-
механики, а во-вторых, чтобы размеры пакета в пространстве
были достаточно малыми в любой момент времени. В действи-
действительности, как это предсказывает теорема Эренфеста, первое
условие редко выполняется без второго; рассмотрим поэтому
второе условие.
Основные результаты можно получить, исследуя движение
волнового пакета в одном измерении \|з(<7, t). Пусть гамильто-
гамильтониан имеет вид
Выясним, как изменяются во времени средние значения
и <р>, а также соответствующие дисперсии
X ^ (А?J = (^ - {q)\ 0 - (Ар2) = <р2) - <р>2.
Б классическом приближении пакет представляет частицу,
имеющую координату и импульс
<7кл = (<7>. Ркл = (Р>
соответственно5). Отметим, что энергия этой классической час-
частицы
не равна среднему значению <#>. Если классическое прибли-
приближение справедливо, ?Кл постоянна во времени вместе с раз-
разностью
?кл. D)
5) При рассмотрении волнового пакета в одном измерении в гл. II поло-
положение центра пакета определялось из условия стационарности фазы; здесь
же применяется среднее значение (q). В классическом приближении различие
.мегкду этими определениями пренебрежимо мало.

§ 3. ДВИЖЕНИЕ И РАСПЛЫВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ 217"
Если протяженность пакета -\f% остается малой, естественно заменить
функции V(q), V'(q) их разложениями Тейлора около точки (q), именно
V (q) = V^ +(q- (q)) Уы + у (q ~ W K* + ~ •• E>
v (?) = К* + (я- <?» К* + у (? - ш С + • • • • №)
Здесь Ккл, VK1V ... равны значениям функций V, V, ... в точке q —
== (</). Если усреднить обе части равенств E) и F), то получится своего
рода разложение средних величин в ряд по степеням величины х;
Используя эти разложения, можно получить общие результаты, не зависящие-
от конкретной формы потенциала V{q).
Величины (q) и {р} подчиняются уравнениям Эренфеста:
¦§f<p)*--<V). (96).
Эти уравнения будут тождественны классическим, если правая часть уравне-
уравнения (96) может быть заменена первым членом своего разложения (8), т. е.
когда можно пренебречь членом %V'кл/2 н членами более высокого порядка ма-
лостн. Соответствующие члены исчезают, если V'"(q) всюду равно нулю, т. е.
если V(q) является полиномом самое большее второго порядка по q и, в
частности, при V(q) — cq2 (гармонический осциллятор) или V(q) =0 (сво-
(свободная частица). В общем случае необходимо, чтобы потенциал V(q) доста-
достаточно медленно изменялся на расстояниях порядка Vx > т- е- на расстояниях
порядка протяженности волнового пакета, так чтобы влияние V" н произ-
производных более высокого порядка в разложении (8) было достаточно мало.
Если предположить выполнение этих условий (что эквивалентно предпо-
предположению о быстрой сходимости разложений G) и (8)), то для постоянной е
(см. уравнение D)) получаем выражение
е s ~ш +{v) - v™ - ш (ш + тУ'клХ)= const> (|0)
связывающее квадраты флуктуации и и /.
Ограничимся исследованием эволюции % с течением времени. Величина х.
есть среднее значение оператора q2 — (qJ, явно зависящего от времени, так
как (q) есть функция времени. Применяя соотношение (V. 72) к этому опе-
оператору, получаем после вычислений
¦j-t г = ^ ((pq + qP)- 2 (р) <<?)).
Повторяя такие же вычисления для d~fjdt, находим
IF =Э " i {{v'q + qT)

218 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
.Заменяя в скобках в правой части уравнения оператор V на два первых
члена его разложения F), получаем приближенное уравнение
iKOTopoe мы можем записать, учитывая A0), в виде
Зная дисперсии Хо и ш0, а также производную «fa = d%0/dt в начальный
^момент t0, можно получить дисперсию / в любой последующий момент вре-
времени, решая уравнение A2) (учитывая, конечно, что величина V"n может
зависеть от времени); после этого дисперсия ш находится из уравнения A0).
Можно оценить и ошибку, возникающую при замене (V) па VKJI в уравне-
уравнении (96). Таким образом, присутствуют все необходимые элементы для ре-
решения вопроса о возможности сопоставления волнового пакета и классиче-
классической частицы.
Наиболее интересными примерами являются гармонический
осциллятор и свободная частица, так как в этих случаях дви-
движение центра пакета совпадает с движением классической час-
частицы. Для гармонического осциллятора (V = /псо2<72/2) среднее
значение <<7> колеблется около нуля с частотой со/2я, а диспер-
дисперсия % колеблется около значения е/тсо2 с удвоенной частотой
{см. задачу 1).
В случае свободной частицы (V = 0) среднее значение <<7>
•следует закону равномерного прямолинейного движения со ско-
скоростью <р>//я, дисперсия со остается постоянной (со = со0 =
= 2me), а для дисперсии % имеем уравнение d2%/dt2 — 2coo/m2
{уравнения A1) и A2) в этом случае являются точными). Ре-
Решая это уравнение, находим
Х = Хо + ^+5-^2. A3)
¦Мы видим, что по истечении достаточно большого промежутка
времени дисперсия пакета % становится сколь угодно большой:
волновой пакет для свободной частицы «расплывается».
Явление бесконечного расплывания пакета имеет важное
значение, ибо ограничивает тот промежуток времени, в течение
которого волновой пакет может быть сопоставлен классической
частице. Кроме некоторых специальных случаев (гармониче-
(гармонический осциллятор) расплывание пакета происходит всегда, на-
например, в задачах о рассеянии, когда вдали от рассеивающего
центра волновой пакет движется как волновой пакет для сво-
свободной частицы.
Закон расплывания волнового пакета для свободной час-
частицы упрощается, если предположить, что в начальный момент
.времени мы имеем так называемый «минимизирующий» пакет,

§ 4- КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 219'
т. е. пакет, для которого левая часть соотношения неопределен-
неопределенности имеет минимально возможное значение; в этом случае
е>о%о = й2/4 и хо = 0 (см. задачу IV. 4). Тогда
или
A4).
Форма члена, вызывающего расплывание, (Ap<ytlm), подска-
подсказывает простой классический образ, позволяющий описать про-
процесс расплывания пакета. Можно представить себе группу час-
частиц, сконцентрированных в начальный момент времени окола
среднего значения <<7о> в области с размерами Aq0, причем ско-
скорости частиц также распределены в интервале Аи = Аро/т
около групповой скорости пакета v = (ро}/т. Дисперсия по ско-
скорости приводит к тому, что частицы, первоначально находив-
находившиеся в одной точке, к моменту времени t равномерно распре-
распределятся по области Аи-/; следовательно, первоначальная кон-
концентрация не сохраняется, и размеры «сгустка» частиц Aq
увеличиваются, следуя закону A4).
Этот закон, впрочем, может быть записан и в другой форме:.
2Т/.
где D = vt есть расстояние, проходимое волновым пакетом за
время t, a \=ti/mv — средняя длина волны. Расплывание вол-
волнового пакета свободной частицы пренебрежимо мало, если
V^«A<7o- A5)
Нетрудно показать, что протяженность пакета Aq всегда пре-
превосходит длину л/DX (заметим, что D\ = bt/m).
§ 4. Классический предел уравнения Шредингера
Разберем теперь вторую формулировку классического при-
приближения, упомянутую во введении к этой главе.
Для определенности рассмотрим случай частицы, движу-
движущейся в поле потенциала V(r). Выделим модуль и фазу волно-
волновой функции:

220 ГЛ. VI, КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
Подставляя это выражение в уравнение Шредингера и прирав-
приравнивая действительные и мнимые части, получаем два уравнения:
dt ^ 2т ^ 1т А '
m-^-+VA-VS + ^-AS = 0. A8)
Эта система вещественных уравнений полностью эквива-
эквивалентна уравнению Шредингера. Отметим, что уравнение A8)
есть ни что иное, как уравнение непрерывности (IV. 11). Дей-
Действительно, плотность вероятности Р(г) и плотность потока
J{r) (см. § IV. 2 и § IV. 4) выражаются формулами
а уравнение A8) умножением обеих частей на 2А приводится
к виду
m-§7A2+div{A2VS) = 0. A9)
В классическом приближении мы опускаем член, пропорцио-
пропорциональный Ь2 в правой части уравнения A7), что дает
Таким образом, получаем следующий результат:
В классическом приближении функция W описывает «жид-
«жидкость» из классических невзаимодействующих частиц массы ш
(статистический ансамбль), подверженных действию потенциала
V(r); плотность и плотность потока этой жидкости в каждой
точке пространства в каждый момент времени соответственно
равны плотности вероятности Р и плотности потока вероятности
J квантовой частицы в этой точке6).
Действительно, поскольку верно уравнение непрерывности
этой жидкости (уравнение A9)), достаточно показать, что поле
скоростей
Р m
6) Плотность этого классического статистического ансамбля в фазовом
пространстве довольно специфична, так как любой точке конфигурационного
пространства соответствует определенный импульс VS. Решение S этого ура-
уравнения B0) есть функция действия Гамильтона, используемая в формули-
формулировке классической механики Гамильтона — Якоби.

§ 4. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 221
жидкости удовлетворяет классическим законам движения жид-
жидкости. Но, учитывая определение B1), можно переписать урав-
уравнение B0) в виде
±!L ^!i F = 0
dt ^ 2
Далее, записывая условие равенства нулю градиента левой ча-
части, получим
("дГ "*"v &rad) mv + Srad V = 0;
отсюда следует, что частицы жидкости подчиняются уравнению
движения
dv , т/
m-jf= — grad V,
что и требовалось доказать.
Важно подчеркнуть большую общность этого результата, так
как он остается справедливым для систем с любым числом из-
измерений. Плотность Р = l^l2 есть вполне определенная функ-
функция в конфигурационном пространстве; аналогично, / есть впол-
вполне определенное векторное поле в этом пространстве. Читатель
без труда повторит доказательство для общего случая.
Когда 4я представляет стационарное состояние с энергией Е,
дА ~ _<5S_ F
dt ~U) dt ~~ '
уравнения A7) и A8) сводятся к
(VSJ -2m{E-V) = h2~, B2)
div (Л2 VS) = 0. B3)
В классическом приближении мы опускаем правую часть урав-
уравнения B2) и вновь приходим к доказанному выше результату.
В этом случае 4я описывает стационарное течение жидкости
классических частиц.
Оптическая аналогия более наглядна, чем аналогия гидроди-
гидродинамическая, в особенности для стационарных решений. По-
Поскольку скорости частиц пропорциональны градиенту S, траек-
траектории частиц ортогональны поверхностям равных фаз 5 = const.
В оптике последние являются волновыми поверхностями, а тра-
траектории частиц совпадают с оптическими лучами7). Классиче-
7) В присутствии векторного потенциала электромагнитного поля А опре-
определение B1) классической скорости должно быть изменено следующим об-
образом: г> = —fVS Л). При этом доказанная выше теорема остается
верной. Понятия волновой поверхности н лучей остаются в силе, но лучи
более не ортогональны волновым поверхностям; эта ситуация аналогична гео-
геометрической оптике в анизотропных средах.

222
ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКВ
ское приближение таким образом совпадает с приближением
геометрической оптики: здесь в качестве следствия уравнения
Шредиигера мы вновь получаем тот постулат, на котором была
основана теория волн вещества.
Оптическая аналогия оказывается чрезвычайно полезной при
проверке условий справедливости классического приближения.
Пусть приведенная длина волны X является заданной функцией
точки г
Х= ,, Ь =.
л/2ш (Е — V (г))
Тогда уравнение B2) можно записать в форме
B2')
Классическое приближение требует, чтобы условие
B4)
выполнялось во всем пространстве; точнее говоря, области, в ко-
которых данное условие не выполняется, должны быть настолько
малы, чтобы уравнение B2) можно
было заменить приближенным урав-
уравнением
(VSJ = -|1 B5)
почти всюду. Последнее уравнение
есть уравнение волновых поверхно-
поверхностей геометрической оптики.
Если V = 0 во всем пространстве, то X
является постоянной, и частное решение
уравнения B5) может быть записано в ви-
виде S = pr +const, где р—заданный век-
вектор длины Й/Х (семейпво функций этого ти-
типа образует полный интеграл уравнения в
частных производных первого порядка B5)).
" '"" В этом случае волновые поверхности суть
плоскости, перпендикулярные р, а лучи —
прямые, параллельные р. В общем случае, конечно, волновые поверхности и
лучи криволинейны.
При заданной энергии Е уравнение волновой поверхности S(x, у, г) = S&
определяет одно н только одно решение уравнения B5). Его можно построить
следующим образом. Поверхности (So) сопоставляется двухпараметрическое
семейство траекторий классической частицы, соответствующих энергии Е, ко-
которые ортогональны (So) и всем другим волновым поверхностям (рис. 23).
Чтобы найти значение S на каждой из этих поверхностей, рассмотрим одну
из траекторий G"). Каждая точка на G") определяется криволинейной коор-
координатой s; начало отсчета s = 0 совпадает с точкой пересечения G") и (So).
Рис. 23. Семейство траекторий
(с заданной энергией Е), свя-
связанных с волновой поверхно-
поверхностью (So) в приближении гео-
геометрической оптики: (VSJ =
?2А2

§ 4. КЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА 223
Согласно уравнению B5)
Таким образом, S оказывается определенной во всем пространстве, но тогда
и задание А на поверхности (So) определяет функцию А во всем простран-
пространстве единственным образом. Уравнение B3) связывает только значения A(s),
взятые вдоль одной траектории, оно может быть записано в виде:
А А. (Аг) + Л2 • AS = 0.
Функции X и AS вполне определены вдоль рассматриваемой траектории, по-
поэтому это уравнение однозначно определяет функцию A(s) при любых s, если
задано значение Л@) на пересечении траектории (Т) и поверхности (So).
Зная решения Л и 5 в классическом приближении, можно
оценить возмущение, вносимое присутствием члена Х2ДЛ/Л в
точном уравнении B2). Это возмущение зависит не только от
«оптических» свойств среды, в которой распространяется волна,
но также и от формы рассматриваемого решения волнового
уравнения.
Классическое приближение применимо, вообще говоря, если «поперечные»
размеры волны всюду велики по сравнению с X и если
I grad X | < 1 B6)
во всяком случае в тех областях пространства, где плотность А2 существенно
отлична от нуля.
Эти условия получаются путем следующих полуколичественных рассу-
рассуждений. Как указывает оптическая аналогия, кривизна световых лучей, т. е.
траекторий частиц, должна быть мала в масштабах длины волны. Но ра-
радиус кривизны R связан со скоростью частиц v и поперечной составляющей
силы— (grad V)j_ соотношением
Необходимо поэтому, чтобы
X Xl(gradF). I mX2
Учитывая выражение для X как функции потенциала V, это условие можно
записать так:
I (grad XL I < 1
Таким образом, кривизна волновых поверхностей должна быть мала по срав-
сравнению с 1/Х (кроме, может быть, некоторых ограниченных областей про-
пространства вблизи фокальных поверхностей). Это в общем случае достигается
если и траектории обладают тем же свойством при надлежащем выборе по-
поверхности (So). Аналогичным образом относительное изменение А на каждой
волновой поверхности должно быть пренебрежимо малым на расстояниях по-
порядка X; иначе говоря, «поперечные размеры» волны должны быть большими

224 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
по сравнению с X. Если эти условия выполнены, то функция A(s) вдоль
траектории G") приближенно даетсн соотношением
Х@) '
что после небольшого вычисления дает
A- A rfs2 ~ 4 L rfs2
Чтобы это выражение было малб, нужно, чтобы dX/ds нХ d2X/ds2 были зна-
значительно меньше 1; практически второе условие выполнено всегда, когда вы-
выполнено первое, т. е. когда составляющая grad X вдоль траектории
| (grad Х)„ | «: 1.
§ 5. Кулоновское рассеяние. Формула Резерфорда
В качестве приложения рассмотрим кратко классическую
теорию кулоновского рассеяния и условия ее применимости.
Это задача о рассеянии частиц с массой т кулоновским
Ze2
потенциалом V = . где г — расстояние частицы от сило-
силового центра С; этой частицей может быть, например, протон с
зарядом е, который движется в кулоновском поле ядра с заря-
зарядом Ze (отталкивающий потенциал). Теория применима также
и в том случае, когда заряды имеют противоположные знаки
(притягивающий потенциал). Поэтому мы будем рассматривать
постоянную Ze2 как алгебраическую величину, обладающую не-
некоторым знаком.
Пусть Е — энергия частицы:
Р
С 2т 2 '
задается также направление движения падающей частицы и
прицельный параметр (прицельное расстояние) Ь, что фикси-
фиксирует начальные условия движения. Положим
а =4^Ь B7)
Известно, что траектория является ветвью гиперболы (рис. 24)
с фокусом С, полуосью О А = \а\ и фокальным расстоянием
ОС = л/а2 + Ь2. Угол отклонения дается соотношением
ft = |a|ctg| B8)
(знак отклонения зависит от знака потенциала, но абсолютное
значение угла зависит только от абсолютного значения потен»
циала).

§ 5. КУЛОНОВСКОЕ -РАССЕЯНИЕ. ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА
225
На практике важное значение имеет величина da/dQ, назы-
называемая дифференциальным эффективным сечением. Предполо-
Предположим, что силовой центр бомбардируется пучком частиц одной
энергии Е и одного направления движения; мы желаем знать
число частиц, рассеиваемых в некотором телесном угле (Q,
Q -\- cfQ). Тогда da/d?i, по определению, есть число частиц, рас-
рассеиваемых в этом направлении на
единицу телесного угла в единицу
времени, когда распределение ча-
частиц в первоначальном пучке равно-
равномерно, а поток постоянен во вре-
времени и равен единице, т. е. если че-
через всякую поверхность, далекую
от С и перпендикулярную направле-
направлению движения, проходит одна части-
частица в единицу времени и на единицу
поверхности.
Выберем первоначальное на-
направление пучка в качестве поляр-
полярной оси и обозначим через Э и ср
сферические углы направления дви-
движения рассеянной частицы; при этом
в есть введенный выше угол откло-
отклонения, связанный с прицельным па-
параметром соотношением B8). Элемент телесного угла в на-
направлении (Э, ф) равен dQ = sin Э dQ cfcp. Число о!а частиц, рассеи-
рассеиваемых в единицу времени в этом телесном угле, равно числу
падающих частиц, пересекающих в единицу времени поверхность
Ь db dcp, т. е. поскольку первоначальный падающий поток равен 1
Рис. 24. Траектория (жирная
линия) частицы в кулоновском
поле: а) отталкивающий по-
потенциал; б) притягивающий
потенциал.
db
da = b db dy = b -тд- dQ dq> =
db
sine dQ
dQ.
Заменяя в этом уравнении величины b и db/dQ их выражениями,
вычисленными с помощью соотношения B8), получаем формул:/
Резерфорда8)
da а* _ (ZeY (щ
4sin4-^-
16?2 sin* j
Нам остается обосновать применение классического прибли-
приближения. Заметим, что характерной длиной задачи здесь является
\а\. Кроме того, длина волны частицы
— Л — Л. A _ 2«
~P~PoV г
") Эта формула, которой мы обязаны Резерфорду, имела большое исто-
историческое значение, так как на ней была основана интерпретация его знаме-
знаменитых опытов по рассеянию а-частиц.
8 А, Мессиа

226 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
по порядку величины равна своему первоначальному значению
Хо= fi/mvo. Отношение двух величин имеет порядок
Y==M = I|?ii. C0)
Можно ожидать, что классическое приближение справедливо,
когда
Y»l- CD
Выясним, в какой мере выполняется условие B6). Имеем
1 а'
!gradX| =
dr
Y л/г (г —2аK
jgradX| тем больше, чем меньше г. Поскольку классическая
траектория тем ближе подходит к рассеивающему центру, чем
больше угол отклонения, мы делаем вывод, что классическое
приближение оправдано для малых углов отклонения (т. е. для
больших прицельных параметров), но отказывается служить при
больших углах отклонения. Чтобы получить количественную
оценку, рассмотрим выражение для максимума | grad X | (т. е.
его значения на вершине гиперболической траектории) как
функции Э; вычисление дает
| 2
° 2 9
1 1 — (sign а) sin y
(здесь sign a = |а|/а). Когда 9 увеличивается от 0 до я, функ-
функция F(Q) увеличивается от 0 до + °°- Пусть угол 0С определяет-
ся равенством
Классическое приближение справедливо при Э < Эс и неприме-
неприменимо при 9 > 9С. Заметим, что 9С тем ближе к я, чем больше у.
в согласии с грубой оценкой, сделанной выше.
Раздел II. МЕТОД ВКБ3.9)
§ 6. Основная идея метода
Как и всякий квазиклассический метод, метод ВКБ основан
на разложении всех величин по степеням постоянной й и пре-
пренебрежении членами более высокого порядка. Таким образом,
9) Более подробное изложение метода см. в работах R. E. Langer, Phys.
Rev. 51, 669 A937); W. H. Furry, Phys. Rev. 71, 360 A947). См. также
Ф. М. Морс и Г. Фешбах, Методы теоретической физики, ИЛ, 1960, т. II,
стр. 90 и далее.

§ 7. РЕШЕНИЯ ВКБ В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ 227
уравнение Шредингера заменяется (по крайней мере, в некото-
некоторых областях пространства) своим классическим пределом. Од-
Однако область применимости метода ВКБ шире, чем область при-
применимости классического приближения как такового, ибо
указанное разложение может проводиться и в тех областях про-
пространства, где классическое приближение не имеет смысла (об-
(области Е < V, куда доступ классическим частицам запрещен).
Для того чтобы включить в рассмотрение и эти области, следует
несколько изменить определения функций Л и 5 из § 4, полагая
C2)
T{r), C3)
Л(г) = ехрГ(г). C4)
Потребуем, чтобы 5 и 7 были четными функциями Ь, что од-
однозначно определяет Л и S. Уравнения A7) — A8) и B2) — B3)
остаются в силе, но величины Л и 5 более не являются обяза-
обязательно вещественными. Приближение ВКБ состоит в разложе-
разложении W(r) по степеням fi и пренебрежении в уравнении Шредин-
Шредингера членами порядка fi2 и выше.
§ 7. Решения ВКБ в одном измерении
Наиболее интересные применения метода ВКБ дают одно-
одномерные задачи. Поэтому мы ограничимся рассмотрением одно-
одномерных задач и будем искать стационарные решения уравнения
Шредингера, не зависящего от времени (уравнения B2) — B3)).
Метод, развитый здесь, может, вообще говоря, служить и для
решения уравнения Шредингера в трех измерениях, ибо в боль-
большинстве случаев оно сводится к решению волновых уравнений
в одном измерении путем разделения угловых и радиальных пе-
переменных (см. гл. IX).
Пусть у (х) есть волновая функция, удовлетворяющая урав-
уравнению Шредингера,
Полагая
= е"*, w==S + ~\
(S и In Л — четные функции й), получаем эквивалентную си-
систему уравнений
S'2-2m(E-V) = H2~, C5)
2A'S'-\-AS" = 0. C6)
8*

228 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКВ
Уравнение непрерывности C6) интегрируется и дает
Л=7Г- C7)
Подставляя это выражение для А в уравнение C5), получаем
уравнение
! [А(|;J1^] C8)
Это дифференциальное уравнение третьего порядка строго эк-
эквивалентно уравнению Шредингера, из которого мы исходили.
Приближение ВКБ состоит в разложении 5 в ряд по степе-
степеням fi2
С I fc2O I (V\\
— OQ | ft, OJ | • ¦ • f \*J%sj
подстановки этого разложения в уравнение C8) и сохранении
только членов нулевого порядка
S'2 ел S'o2 = 2m(E-V (x)). D0)
Это приближенное уравнение интегрируется без затруднений.
Следует различать два случая:
1. Случай ?> V(x).
Определим длину волны
X(s)= v__L_-. D1)
Уравнение D0) удовлетворяется, если S' =* ±fi/X. Решение ВКБ
представляет собой линейную комбинацию осциллирующих
функций
Y + Ф ) D2)
(а и ф — произвольные постоянные).
2. Случай Е < V(x) (область, запрещенная для классиче-
классических частиц).
Пусть
/ (х) = h =. D3)
V2m (К (х) —Е)
Уравнение D0) удовлетворяется, если 5' =* ±ibjl. Решение ВКБ
представляет собой линейную комбинацию действительных экс-
экспонент
D4)
*/(*)= V/ lye J ' +6e J ' J .

§ 8. УСЛОВИЯ ПРИМЕНИМОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ВКБ
229
§ 8. Условия применимости приближения В КБ
Теория приближения ВКБ довольно сложна. Ограничимся
^(без доказательства) указанием того, что разложение C9) по
степеням fi2 в общем случае не сходится, а представляет собой
так называемый асимптотический ряд, конечное число членов
которого дает хорошее приближение для S, если fi достаточно
мало.
Чтобы найти критерий справедливости приближения ВКБ,
можно вычислить второй член fi2Si разложения C9). Поправка
порядка fi2 выражается в умножении решения ВКБ на множи-
множитель eihsK Поправка пренебрежимо мала, если fiSj <^ 1.
Если подставить разложение C9) в уравнение C8) и при-
приравнять друг другу члены порядка fi2, то для S\ получим диф-
дифференциальное уравнение
01
'
Когда Е > V, S'o = ± hfk. Это после соответствующих вычисле-
вычислений приводит к
bS' = ±ir
откуда получаем
Когда же Е < V, получаем то же выражение с заменой
на 1(х). Условие fiSi «4; 1 выполняется, если
Х'(*)«1 при E>V(x),
Г(х)<1 при E<V{x).
D5)
{ '
Можно связать критерий D6) и условие B6) справедливости
классического приближения в общем случае.
Этот критерий выражается также с помощью неравенства,
включающего потенциал V(x) и его первую производную
D7)

230 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
§ 9. Граничные точки и формулы согласования
Обычно при использовании приближения ВКБ условие D7)
выполняется повсюду кроме малых окрестностей точек Е —
= V(x). Это так называемые граничные точки классического
движения, где скорость движения частицы обращается в нуль
и меняет знак (точки поворота).
С математической точки зрения приближение ВКБ сводится
к замене уравнения Шредингера
уравнением
= 0 D8)
(как в области Е > V, так и в области Е < V, где Х= И). Дей-
Действительно, нетрудно проверить, что выражения D2) и D4)
представляют собой общие решения именно уравнения D8).
Оно имеет особенность типа (х— а)~2 в тех точках, где длина
волны становится бесконечно большой, т. е. в каждой из гра-
граничных точек. В окрестностях таких точек замена уравнения
Шредингера на уравнение D8) очевидно неоправдана. Чтобы
получить полное решение, вообще говоря, следует решить урав-
уравнение Шредингера в малых областях вблизи граничных точек и
сшить эти решения с решениями D2) и D4), которые представ-
представляют волновую функцию в областях, где справедливо прибли-
приближение ВКБ.
На практике, однако, нет большой необходимости знать ис-
истинную форму решения в окрестности граничной точки, если мы
умеем сшивать решения ВКБ по обе стороны окрестности. Про-
Проблема сшивания решений математически довольно трудна, под-
подробна она рассматривается в указанной статье Лангера9); ме-
метод, предложенный Лангером, основан на замене уравнения
Шредингера не уравнением D8), а другим уравнением (не
имеющим особенностей в граничных точках), которое асимпто-
асимптотически переходит в уравнение D8) по обе стороны точки пово-
поворота. Ограничимся тем, что укажем формулы согласования
между решениями ВКБ экспоненциального и осцилляторного
типов.
Предположим ради определенности, что Е > V при х > а и
Е < V при х < а (барьер слева). Общее решение является ли-
линейной комбинацией двух решений у\ и у2, асимптотические

§ 9. ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ И ФОРМУЛЫ СОГЛАСОВАНИЯ
формы которых даются выражениями:
/ г \
ух~ УГехр[ + ^-у),
.. л/Г
231
т
при х <С а,
D9)
при
а.
E0)
Условимся определять «число длин волн», содержащихся в
Хг
заданном интервале (xi,x2), интегралом A/2я) \ dx/K или
Х\
Хг
{1/2я) \ dxjl соответственно справа и слева от граничной точки.
х,
Условия справедливости формул согласования таковы:
1) В граничной точке кинетическая энергия Е—V стремит-
стремится к нулю как х—аи остается в хорошем приближении про-
пропорциональной х — а в области, простирающейся на одну, а
еще лучше — на несколько «длин волн» по обе стороны точки
поворота.
2) Каждая из «граничных областей» сшивается с «асимпто-
«асимптотическими областями», простирающимися на много «длин
волн», в которых выполняется приближьние ВКБ.
При использовании формул D9) и E0) требуется известная
осторожность. Дело в том, что решение Ау\ -\- Ву2 как таковое
в области х<а имеет асимптотическую форму Ау\, так как
«экспоненциально растущий» член всегда превосходит «экспо-
«экспоненциально убывающий», каким бы малым по сравнению с В
ни был коэффициент А, если только он не равен тождественно
нулю. Поэтому задание асимптотической формы будет иметь
смысл, только если она действительно «экспоненциально убы-
убывающая» (тип у2); если коэффициенты А и В известны только
приближенно и |Л|«С|5|, то никакое даже приближенное
определение асимптотической формы решения становится невоз-
невозможным.
Предположим, что мы знаем решение ВКБ в асимптотиче-
асимптотической области (х < о) и желаем найти то осцилляторное реше-

232 ГЛ. VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
ние, с которым оно сшивается. Это можно сделать только если
указанное асимптотическое решение экспоненциально затухает
при ^<а, т. е. имеет форму
тогда в окрестности граничной точки решение, очевидно, будет
иметь вид Ву2, а его поведение в области х ^> а будет выра-
выражаться формулой E0). Результат можно записать в форме
причем стрелка указывает направление согласования.
Предположим, напротив, что мы задаемся решением ВКБ
в «осцилляторной области» (х^>а). Оно должно иметь форму
D2), что можно записать в виде
(С и ф — комплексные постоянные). Согласно формулам
D9) — E0) это есть асимптотическая форма решения с коэффи-
коэффициентами
/4~Csinq>, В ~ С cosqp.
Следует учитывать, что постоянные А и В указанной асимпто-
асимптотической формой определяются только приближенно. По этой
причине, если |tg<p| «С 1, любое определение асимптотической
формы данного решения в области ^<а становится невозмож-
невозможным; в противном случае она дается формулой D9). Результат
запишем в виде
j?)' E2>
стрелка здесь также указывает направление согласования.
В случае барьера справа, т. е. если Е > V при а > х и»
Е <. V при а < х, формулы согласования E1) и E2) остаются
в силе, если в интегралах и неравенствах переставить х и а;
Направление стрелок сохраняется.

§ 10. ПРОХОЖДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО БАРЬЕРА
233
§ 10. Прохождение потенциального барьера
В качестве иллюстрации применим метод ВКБ к вычисле-
вычислению коэффициента прохождения частицей потенциального
барьера, изображенного на рис. 25. В области х < а (область I)
V(x)= Vo = const, при х > а потенциал V(x) представляет со-
собой положительную функцию,
убывающую монотонно от значе-
значения Va = V(a) до У(оо) = 0.
Пусть Е — энергия частицы,
b (>о.) — точка на оси х, где
E=V(b). Точка разрыва а и
граничная точка Ъ делят ось х
на три области /, // и ///. Пред-
Предполагаем, что метод ВКБ приме-
применим в областях // и ///.
Чтобы найти коэффициент
прохождения, следует построить
решение уравнения Щредингера,
асимптотическая форма кото-
которого в области /// выражается только прошедшей волной (рас-
(распространяющейся в направлении возрастающих х). В этой об-
области решение ВКБ имеет форму D2). Условие, налагаемое на
<рорму асимптотического решения, фиксирует его (с точностью
до постоянного множителя) в виде
Ут =
х
Рис. 25. Потенциальный барьер
-i^\ (x>b)
'(фаза я/4 добавлена для удобства последующих вычислений)
или
Согласно формулам согласования D9) — E0) это решение про-
продолжается в область // решением
(а < х < Ь)
в этом выражении

234 ГЛ, VI. КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
Положим
В области / точное решение уравнения Шредингера имеет вид
У\ — A sin [k (x — а) + 6].
Постоянные Л и б определяются условиями непрерывности вол-
волновой функции и ее логарифмической производной в точке а, т. е.
?ctg в = — -/-, Asm6 = —i-y/T^e\ E3)
при этом г/i есть сумма падающей и отраженной волн. Посколь-
Поскольку б вещественна, падающая волна — -^ А ехр {i [k (х — а) + 6]}
дает поток -т|Л|2 —. Согласно уравнениям E3),
Так как поток в прошедшей волне уш равен Ь/т, коэффициент
прохождения есть
__ Шд от _ , V'(Уд -Е)(Е- Уо) _9Т
Чтобы указанный метод вычисления был допустим, требует-
требуется, чтобы потенциал V(x) достаточно медленно изменялся в об-
областях // и ///, где использовалось приближение ВКБ (усло-
(условие D7)), и чтобы в окрестности граничной точки с размерами
в несколько «длин волн» потенциал V(x) мог быть представ-
представлен линейной функцией х. Тем самым требуется, чтобы барьер
имел «ширину» по меньшей мере в несколько «длин волн», т. е.
чтобы т 5>2я, а следовательно, чтобы коэффициент Т был очень
малым (^10~5).
§ 11. Уровни энергии в потенциальной яме
В качестве второго примера рассмотрим потенциальную яму,
представленную на рис. 26, и поставим задачу нахождения уров-
уровней энергии дискретного спектра.
Каждой энергии Е соответствуют две граничные точки а и b
классического движения. Они делят ось х на три области: /, // и
///. Будем искать решение ВКБ, экспоненциально затухающее

§. II. УРОВНИ ЭНЕРГИИ В ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
в областях / и ///, т. е.
235
г/ш = -о-
(с и с'—постоянные). Согласно формуле согласования E0) и
аналогичной формуле, соответствующей барьеру справа, эти
функции имеют следующие продолжения в область //:
COS
( J-Y"—7*
(а <С х < Ъ).
Эти функции равны у
= Уь{х) = Уп, если
E4)
\
где N — целое число (^0). Требование E4) фиксирует дис-
дискретные уровни энергии спектра. В этом случае имеем с' =
= (—l)Nc. Таким образом, по-
получаем (с точностью до произ-
вольного постоянного множи-
множителя) выражения у\, уи и г/ш
для соответствующей соб-
собственной функции в каждой
из трех областей за исключе-
исключением двух окрестностей точек
а и Ь.
Условия применимости ме-
метода требуют, чтобы гранич-
граничные области около точек а и
Ь, где потенциал V(x) должен
представляться в хорошем при-
приближении линейной функцией х, имели размеры порядка не-
нескольких длин волн; поэтому метод применим только для очень
больших квантовых чисел N 3> 1.
В некоторых особых случаях, например, в случае гармони-
гармонического осциллятора, метод дает точные значения всех уровней
Рис. 26. Потенциальная яма V (х).

236 ГЛ. VI, КЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И МЕТОД ВКБ
энергии, включая и основное состояние (см. задачу 6). Это сле-
следует считать случайным обстоятельством.
Правило квантования E4) можно рассматривать как усло-
условие стационарности волны: интервал (а, Ь) должен содержать-
«полуцелое» (т. е. целое +1/2) число «полудлин» волн. Оно от-
отличается от правила квантования Бора — Зоммерфельда толь-
только присутствием «полуцелых» квантовых чисел: с точностью до-
множителя 2й интеграл / есть интеграл действия & р dq в соот-
соответствующем классическом фазовом пространстве. Между про-
прочим этот интеграл равен площади той части фазового простран-
пространства, где энергия меньше Е
©(?)= \\ dpdq.
Поэтому правила E4) можно записать в форме
§ ( \). E5>
Н-Е
Согласно формуле E5), область фазового пространства
<й(Е) при переходе с одного уровня энергии на следующий уве-
увеличивается на h. Отсюда мы получаем следующий важный ре-
результат, касающийся распределения уровней энергии:
Объем области фазового пространства, соответствующей ин-
интервалу (Е, Е -\- 8Е) в единицах h равна числу связанных со-
состояний квантовой системы, энергия которых лежит в указанном,
интервале.
Условия справедливости этого результата в действительности
менее ограничительны, чем условия применимости метода ВКБ;
практически он всегда имеет место «в пределе больших кван-
квантовых чисел». Обычно принимают (и доказывают в простейших
случаях), что этот результат применим и для систем, число сте-
степеней свободы которых R превышает единицу, если только »
качестве единицы измерения объема фазового пространства
взять hR.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Гамильтониан гармонического осциллятора выражается формулой
И = (р* + m2<osi72) /2m. Показать, что средние значения (q) и (р) колеб-
колеблются по синусоидальному закону с частотой <а/2я около начала координат,
а дисперсии <а, % (обозначения § 3) колеблются с половинным периодом око-
около некоторого среднего значения (положительного), которое следует опреде-
определить. При каких условиях <о и % остаются постоянными?

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 237
2. Показать, что движение центра волнового пакета, представляющего
заряженную частицу в электромагнитном поле, строго совпадает с движе-
движением классической частицы в двух следующих случаях: а) постоянное элек-
электрическое поле н б) постоянное магнитное поле.
3. Показать, что «расплывание» волнового пакета, представляющего за-
заряженную частицу в постоянном электрическом поле, происходит по тому же
закону, что и пакета свободной частицы (ш = const, % — квадратичная функ-
функция времени t).
4. С помощью волновой функции частицы t|)(r) образуем функцию
которую (согласно Вигнеру) можно интерпретировать как плотность в фазо-
фазовом пространстве классического статистического ансамбля, сопоставляемого
этой волновой функции 10). Показать, что:
1) распределения по положению и по импульсу совпадают с соответст-
соответствующими распределениями квантовой частицы в состоянии t|) (r):
D (R, J») dP = | « (R) |», J D(R, P) dR = | Ф (J») |2,
где <f(P) —волновая функция в пространстве импульсов;
2) если частица свободна, то эволюция ансамбля во времени строго сов-
совпадает с эволюцией статистического ансамбля классических частиц той же
массы;
3) найтн закон «расплывання» волнового пакета свободной частицы.
5. С помощью метода ВКБ вычисляется коэффициент прохождения Т ча-
стнцы массы m и энергии Е через барьер потенциала V(x), который медленно
меняется в пространстве и на двух концах интервала (—оо, +°°) стремится
к значениям, меньшим Е. Предполагается, что имеются только две граничные
точки а и Ь. Показать, что
>
T = exp — 2 \ v L Г' ^i- dx
6. Вычислить с помощью метода ВКБ уровни энергии гармонического ос-
осциллятора (гамильтониан задачи 1). Обсудить условия применимости метода.
10) Однако в отличие от плотности в фазовом пространстве классического
статистического ансамбля величина D(R,P) может принимать и отрицатель-
отрицательные значения.

ГЛАВА VII
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
А. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 1. Принцип суперпозиции и представление
динамических состояний векторами
Изложение основ волновой механики в гл. IV и V начина-
начиналось с определения плотностей вероятности положения и им-
импульса с помощью волновых функций W и Ф, относящихся, со-
соответственно, к пространству конфигураций и пространству им-
импульсов. Мы уже указывали, что эти функции соответствуют
эквивалентным представлениям. Параллелизм здесь может
быть доведен до конца. Действительно, основные постулаты,
касающиеся средних значений (§ V. 3), могут быть с тем же
успехом выражены с помощью операций, производимых в им-
импульсном пространстве. Обобщение (IV. 13) и (IV. 20) средних
значений функций вида F{r) и G(p) может быть проведено,
исходя из соответствующих выражений (IV.21) и (IV. 14), по-
построенных с помощью функций Ф. Вместо постулатов а), б) из
§ V. 3 можно принять эквивалентные постулаты:
а') Всякой динамической переменной зФ = A(qit ..., qR;
р\, ..., Pr) сопоставляется линейный оператор
р„
б') Среднее значение, принимаемое этой динамической пе-
переменной, когда система находится в динамическом состоянии,
представляемом функцией Ф(р\, ..., Pr), дается выражением
/in <ф- Аф)
\л/ — (ф_ ф) >
где скобки в правой части обозначают скалярные произведения
в пространстве импульсов:
(Ф, ЛФ)= J ... J Ф*(ЛФ) dp, ... dpR,
*ФйгР1... dpR.
Эквивалентность постулатов а) и б) и постулатов а') и б')
основана на свойствах преобразования Фурье (см. Дополне-

§ I. ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ 239
ние А). Доказательство не составляет труда и мы не будем про-
проводить его здесь.
Если функции Фи? дают эквивалентные представления од-
одного и того же динамического состояния, то наблюдаемые
^1П />
л ( h д
А [ЧЯ
дают эквивалентные представления одной и той же динамиче-
динамической переменной (см. гл. IV и замечание в конце § 5). Вся тео-
теория наблюдаемых может быть с равным успехом развита как
в одном, так и в другом из этих представлений. Таким образом,
мы получаем две вполне эквивалентные формулировки кванто-
квантовой теории.
Все это становится очевидным, если принять, что волновые
функции Фи? представляют один и тот же вектор в простран-
пространстве с бесконечным числом измерений. Тогда все понятия, вве-
введенные в гл. V: функциональное пространство, скалярное про-
произведение, норма, ортогональность и т. д., получают простое гео-
геометрическое истолкование. Согласно этой картине значения,
принимаемые функцией x?(q\, ..., qR) в каждой точке конфи-
конфигурационного пространства, являются составляющими данного
вектора по некоторой системе ортогональных осей координат.
Аналогично значения, принимаемые функцией Ф{р\, ..., Pr)
в каждой точке импульсного пространства, являются составляю-
составляющими указанного вектора по другой системе ортогональных осей
координат. Что же касается коэффициентов с{р разложения
(V. 14) функции W в ряд по собственным функциям некоторой
заданной полной ортонормированной системы, то они являются
составляющими указанного вектора по некоторой третьей си-
системе координат и т. д.
Таким образом, можно построить всю квантовую теорию,
исходя непосредственно из понятия вектора без ссылок на конк-
конкретное представление. В качестве основного принципа теории
принимается принцип суперпозиции динамических состояний,
согласно которому возможные динамические состояния кванто-
квантовой системы должны обладать свойством, характерным в общем
случае для всяких волн, а именно, допускать линейное сложе-
сложение, и поэтому могут быть представлены как векторы в неко-
некотором линейном пространстве. Следовательно, каждому дина-
динамическому состоянию сопоставляется некоторый вектор в аб-
абстрактном пространстве, а каждой динамической переменной
сопоставляется линейный оператор, действующий в этом про-
пространстве. При таком подходе теория оказывается формально

240 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
проще и элегантнее волновой механики; она к тому же имеет
и более широкую область применения, так как может быть ис-
использована для изучения квантовых систем, не имеющих класси-
классических аналогов.
В изложении этой общей формулировки квантовой теории
мы будем следовать Дираку, используя введенные им чрезвы-
чрезвычайно удобные обозначения1). Содержание данной главы по-
посвящено понятиям линейной алгебры2), которые составляют ма-
математический аппарат теории. Описание физических явлений с
помощью этого формализма и будет предметом гл. VIII.
Раздел I. ВЕКТОРЫ И ОПЕРАТОРЫ
§ 2. Векторное пространство. Кет-векторы
Согласно идеям предшествующего параграфа, каждому ди-
динамическому состоянию мы сопоставляем вектор, который, со-
согласно Дираку, будем называть кет-вектором или просто кет и
обозначать символом |). Чтобы отличать кет-векторы один от
другого, мы снабдим каждый символ либо некоторой буквой,
либо одним или несколькими индексами, могущими принимать
как дискретные, так и непрерывно изменяющиеся значения в
зависимости от конкретной ситуации. Так, кет и представляет-
представляется символом \и).
Кет-векторы образуют линейное векторное пространство: вся-
всякая линейная комбинация нескольких кет-векторов также яв-
является кет-вектором. Пусть, например, заданы два кет-вектора
jl) и |2) и два произвольных комплексных числа \\, Х2, тогда
линейная комбинация
\v) = K\\) + X2\2) ' A)
есть вектор в пространстве кет-векторов.
Аналогично, если ||) зависит от непрерывно изменяющегося
индекса |, а Щ)—некоторая комплекснозначная функция
|, то интеграл
\w)=\l(l)\l)dl B)
5,
есть вектор в пространстве кет-векторов. Мы также будем го-
говорить, что \w) есть линейная комбинация (или линейная су-
суперпозиция) кет-векторов ||).
') P. A. M. Dirac, loc. cit., сноска II 8.
2) Строгое и полное изложение всех этих вопросов можно найти в книгах
A. Lichnerowicz н М. Н. Stone, loc. cit., сноска V 3.

§ 3. ДУАЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО. БРА ВЕКТОРЫ 241
По определению кет-векторы из некоторой совокупности яв-
являются линейно независимыми, если ни один из них не может
быть представлен в виде линейной комбинации остальных (эта
линейная комбинация может быть вида A) или B) или сме-
смешанного вида).
Если векторное пространство содержит максимум п линейно
независимых векторов, то это конечномерное пространство и
число его измерений по определению равно п. Если в таком
векторном пространстве как-то выбрать п линейно независимых
векторов, то все остальные векторы пространства могут быть
представлены как линейные комбинации данных п векторов.
Если число линейно независимых векторов рассматриваемого
линейного векторного пространства неограничено, то простран-
пространство является бесконечномерным. Таково пространство Гиль-
Гильберта, а также, как мы видели ранее, пространство волновых
функций волновой механики. Однако всегда можно выбрать та-
такую последовательность (бесконечную счетную или континуаль-
континуальную) линейно независимых векторов, что каждый вектор про-
пространства может быть представлен как линейная комбинация
(бесконечный ряд или интеграл) этих «базисных векторов».
Пусть задано пространство кет-векторов <8\ рассмотрим по-
последовательность кет-векторов из этого пространства. Множе-
Множество кет-векторов последовательности и всех их линейных ком-
комбинаций образуют линейное векторное пространство &'. По оп-
определению Ж' есть пространство, натянутое на кет-векторы
последовательности. Всякий кет-вектор пространства &' принад-
принадлежит и пространству <8\ говорят, что &' является подпростран-
подпространством <?. Если пространство & имеет конечное число измерений
л, то число измерений пространства &', очевидно, конечно и не
превосходит п. Если же пространство 8 бесконечномерно, то
никаких ограничений на число измерений пространства &' не
существует.
§ 3. Дуальное пространство. Бра-векторы
В линейной алгебре хорошо известно, что каждому вектор-
векторному пространству можно сопоставить дуальное векторное про-
пространство. Действительно, всякая линейная функция х(\и))
кет-векторов \и) удовлетворяет принципу суперпозиции, харак-
характерному для векторов линейного пространства3), и определяет,
3) Свойство линейности % выражается соотношением
Очевидно, что если две функции %\, & обладают этим свойством, то всякая
линейнан комбинация типа ftiXi + VUfo также им обладает.

242 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
следовательно, вектор нового типа, который мы, согласно Ди-
Дираку, будем называть бра-вектором или просто бра, а представ-
представлять его будем символом ( |. Так, функция х(|ы)) определяет
бра-вектор (%\\ значение, принимаемое этой функцией при не-
некотором данном кет-векторе |«), есть некоторое число (в об-
общем случае комплексное), которое мы будем обозначать симво-
символом (%\и).
По определению бра-вектор (Ф| равен нулю, если функция
(Ф|«) равна нулю при любом \и):
(Ф | = 0, если <Ф|«) = 0 при любом |«). C)
Аналогично два бра-вектора равны
(ф, | = (ф21, если (Ф, | и) = <Ф2 j и) при любом | и).
Если пространство кет-векторов имеет конечное число изме-
измерений, то дуальное пространство имеет то же число измерений.
Если число измерений пространства кет-векторов бесконечно, то
пространство, дуальное ему, обладает тем же свойством.
Чтобы ввести метрику в определенное выше векторное про-
пространство, предположим, что существует взаимооднозначное
соответствие между векторами пространства и векторами ду-
дуального пространства. Бра- и кет-векторы, сопоставляемые друг
другу в этом взаимооднозначном соответствии, называются
сопряженными друг другу и отмечаются одной буквой (или оди-
одинаковыми индексами): так, бра-вектор, сопряженный кет-век-
тору |«), обозначается символом (и\.
Предположим кроме того, что это соответствие антилинейно.
Иначе говоря, бра-вектор, сопряженный кет-вектору
|„) = Я1|1) + Я2|2}) D)
есть
<о| = л;<1| + я;<2|. E)
Аналогично бра-вектор, сопряженный кет-вектору
И=$М1I1><*1, F)
есть
ь
$|. G)
Таким образом, соответствие между кет- и бра-векторами ана-
аналогично соответствию между волновыми функциями волновой
механики и комплексно сопряженными функциями. Заметим,

§ 4. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ 243
кстати, что если кет-вектор равен нулю, то сопряженный ему
бра-вектор также равен нулю и наоборот.
Совокупность бра-векторов, сопряженных кет-векторам из
подпространства &' пространства &', образует подпространство,
дуальное 8'.
§ 4. Скалярное произведение
По определению скалярное произведение кет-вектора | и) на
кет-вектор \v) есть число (в общем случае комплексное)
(v\u), т. е. значение v(\u)), принимаемое линейной функцией,
ассоциированной с бра-вектором, сопряженным \v).
Как следствие самого определения скалярное произведение
является линейным по отношению к \и) и антилинейным по от-
отношению к | у). Мы предполагаем, что скалярное произведение
обладает всеми остальными свойствами, характерными для ска-
скалярного произведения волновых функций в волновой механике
(§ V. 2), а именно:
1°. Скалярное произведение \v) на \и) есть величина, комп-
комплексно сопряженная скалярному произведению |«) на \v):
(u\v) = (v\u)\ (8)
2°. Всякий вектор и имеет вещественную неотрицательную
норму Nu ==<«|«>*)
(и\и)>0. (9)
Она равна нулю в том и только в том случае, когда вектор | и)
равен нулю. Из этих свойств вытекает неравенство Шварца: ка-
какими бы ни были |м) и \v), всегда
\(u\v)\2<=(u\u)(v\v). A0)
Равенство имеет место в том и только в том случае, когда век-
векторы |«> и |у> коллинеарны (т. е. пропорциональны).
Эти аксиомы должны быть дополнены предположением, что
пространство кет-векторов S8 (а также дуальное ему простран-
пространство бра-векторов) является полным и сепарабельным
(см. § V. 2): это пространство Гильберта.
По определению два вектора ортогональны, если их скаляр-
скалярное произведение равно нулю. Два подпространства S\ и &г
ортогональны, если каждый из векторов одного подпростран-
подпространства ортогонален каждому вектору другого подпространства.
Очевидно, что в этом случае подпространства <8\ и Si не имеют
ни одного общего вектора; действительно, любой вектор, при-
принадлежащий обоим подпространствам, может быть только рав-
*) В математической литературе норма вектора определяется как
V(" I ")• (Прим. перев.)

244 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ным нулю, ибо он должен быть ортогонален сам себе, а следо-
следовательно, иметь нулевую норму.
Множество векторов, ортогональных к S\, образует подпро-
подпространство <?^, ортогональное &\, — это подпространство, допол-
дополнительное к В\. Подпространство «?* сводится к нулю, если
подпространство $\ совпадает с самим пространством Ш'.
Можно показать2), что всякий вектор пространства & может
быть единственным образом представлен как сумма вектора
из Ж\ и вектора из дополнительного подпространства:
Вектор |«i>, по определению, есть проекция |ы> на подпро-
подпространство &\. Мы еще вернемся подробно к понятию проекции
в разделе II.
Во всех рассуждениях, касающихся скалярного произведе-
произведения, молчаливо предполагалось, что векторы (и кет, и бра) об-
обладают конечной нормой, в противном случае аксиома о норме
теряет всякий смысл. Если это действительно так, то рассмат-
рассматриваемое пространство кет-векторов есть пространство Гиль-
Гильберта. В гл. V мы видели, что векторы, способные представлять
динамические состояния, действительно должны иметь конеч-
конечную норму, но что рассмотрение проблемы непрерывного
спектра в задачах на собственные значения требует введения
собственных векторов с бесконечной нормой. Поэтому мы,
должны ввести в наше пространство & также и векторы | %У
с бесконечной нормой, зависящие от одного (по крайней мере)
непрерывного индекса, и распространить на эту категорию век-
векторов понятие скалярного произведения.
Мы принимаем, что Ц> имеет конечное скалярное произве-
произведение <«|?> со всяким вектором |«> с конечной нормой и что
это скалярное произведение линейно по отношению к ||> и ан-
тилинейно по отношению к |«>. Аналогично определяется ска-
скалярное произведение <Ц«>, причем принимается, что
<1 |и> = <и II)*.
В противоположность этому скалярное произведение двух век-
векторов типа ||> может и не сходиться. В частности, норма Ц>
расходится. Но мы предположим, что собственный диффе-
дифференциал
1+в|
обладает положительно определенной нормой, которая стре-
стремится к конечному пределу, когда б| —> 0. Строго говоря, вектор-

§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 245
||> не входит в пространство &, но его собственные дифферен-
дифференциалы или, в более общем случае, линейные комбинации типа
B) принадлежат этому пространству и удовлетворяют всем тре-
требованиям, характеризующим векторы пространства Гильберта.
§ 5. Линейные операторы
Определив пространство кет-векторов, можно перейти к опре-
определению линейных операторов, действующих в этом простран-
пространстве (см. § II. 11).
Предположим, что каждому кет-вектору | «> векторного про-
пространства соответствует некоторый кет-вектор |и>: говорят, что
|у> получается в результате действия на |ы> некоторого опе-
оператора. Если, кроме того, это соответствие линейно, то оно
определяет некоторый линейный оператор А. Пишут
\v) = A\u).
Такой оператор равен нулю, если вектор |у> равен нулю при
любом векторе |ы>.
Чтобы оператор А был равен нулю, необходимо и доста-
достаточно, чтобы каким бы ни был вектор | ы>,
Доказательство этого свойства не представляет серьезных труд-
трудностей, мы не будем на нем останавливаться. Отсюда немед-
немедленно следует:
Чтобы два оператора А и В были равны, необходимо и до-
достаточно, чтобы, каким бы ни был вектор | «>,
Основные операции алгебры операторов были уже указаны
(§ 11.11): умножение на постоянную, сумма и произведение.
Сложение линейных операторов является операцией ассоциа-
ассоциативной и коммутативной. Умножение ассоциативно, дистрибу-
дистрибутивно по отношению к сумме, но — ив этом основное различие
между обычной алгеброй и алгеброй линейных операторов —
умножение не коммутативно. Напомним, что коммутатор двух
линейных операторов А и В обозначается символом
[А, В] = АВ-ВА.
Основные свойства алгебры коммутаторов изучались в § V. 17
(уравнения (V. 63—66)); они все остаются в силе и не будут
вновь излагаться здесь.
Заметим, что операция умножения кет-вектора на заданную
постояннную с также выражает действие линейного оператора.
Этот оператор с коммутирует со всеми линейными операторами,.

•246 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
какими бы они ни были: [Л,с] = 0. В частности, умножение
на 1 есть единичный оператор.
Если соответствие между | «> и | у>, определенное выше,
является взаимооднозначным, то оно определяет два линей-
линейных оператора А и В:
\v) = A\u), |«> = B|o>. A3)
.Эти операторы, по определению, обратны друг другу. Говорят
еще, что операторы А и В обратны друг другу, если они одно-
одновременно удовлетворяют уравнениям
АВ=\, ВА = \. A4)
Эти два определения эквивалентны.
Оператор, обратный данному, существует не всегда. Когда
он существует, его обычно выражают символом А~1. Пользуясь
соотношениями A4), легко получить следующее свойство. Если
операторы Р, Q имеют обратные операторы, то произведение
PQ также имеет обратный оператор, причем
(PQ)~l =Q-lP~l A5)
(отметим перестановку порядка сомножителей в правой
части A5)).
Если действие линейного оператора А в пространстве кет-
векторов известно, то его действие в дуальном векторном про-
пространстве однозначно определяется следующим образом. При
задании бра-вектора <х| скалярное произведение <х|(Л|«>)
есть несомненно линейная функция | «>, так как оператор А
линеен. Пусть (ц\ есть бра-вектор, определяемый этой функ-
функцией; тогда каждому бра-вектору <%| соответствует бра-вектор
<г||. Ясно, что это соответствие линейно (свойства скалярного
произведения). Говорят, что (ц\ получается в результате дей-
действия А на <х| и пишут
A6)
Следуя этому определению, получаем тождество
(<X\A)\u)*b<x\(A\u)). A7)
Скобки в этих двух выражениях оказываются, таким образом,
лишними и мы будем писать просто <х|Л|«> для обоих равных
скалярных произведений.
С помощью тождества A7) можно определить различные
операции алгебры линейных операторов, действующих на бра-
векторы. В частности, для трех основных операций имеем:
(а) умножение А на комплексную постоянную с:
(сА) | ы) = с (А |«)), откуда {%\(сА) =

§ 6. ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 247"
(б) сумма операторов S = A-\-B:
S\u) = A\u) + B\u), откуда <x\S = <x\A + <x\B;
(в) произведение операторов Р = АВ:
Р\и) = А(В\и), откуда (х\Р = ({%\А)В.
При этом действует условие, что бра-векторы пишутся слева,
а кет-векторы — справа от символа оператора, тогда алгебраи-
алгебраические манипуляции с линейными операторами в обоих слу-
случаях производятся одинаково.
Некоторые операторы при использовании указанных выше
обозначений оказываются особенно простыми в обращении: это
операторы типа |«><i>|, действие которых на кет |ш> дает кет,
пропорциональный |м>, а именно кет |«><у|йу> (множитель
пропорциональности <у|оу>), а действие на любой бра <ау|
дает бра, пропорциональный <и|, а именно бра {w\u)(v\. Опе-
Оператор |«><у| не имеет обратного.
§ 6. Тензорное произведение 4) двух векторных пространств
Чтобы завершить это введение в векторную алгебру, остается
определить часто используемую операцию образования тензор-
тензорного произведения двух векторных пространств.
Смысл и интерес этой операции можно иллюстрировать сле-
следующим примером. Рассмотрим квантовую систему, состоящую
из двух частиц. Произведение х?\(г\)Чг2(г2) волновой функции
4ri (ri), относящейся к первой частице, на волновую функцию
4^2 (гг), относящуюся ко второй частице, представляет некото-
некоторое частное состояние этой системы (§ IV. 6). Самая общая
волновая функция W(ri,r2) не есть указанное произведение
функций, но может быть всегда представлена как линейная ком-
комбинация волновых функций такого вида. Одним из многочис-
многочисленных способов добиться этого является разложение W в ряд
по полной системе ортонормированных функций гп поскольку
коэффициенты такого ряда являются функциями г2, каждый
член ряда имеет форму указанного выше произведения. Таким
образом, полное пространство волновых функций системы об-
образовано линейными комбинациями произведений волновых
функций, относящихся к каждой из отдельных систем ^(ri)
и ^(гг). Говорят, что пространство функций Ч^Г], гг) является
тензорным произведением пространства функций ^(п) и про-
пространства функций 4*2 (г2).
Произведения x?i(ri)xir2(t'2) играют особую роль при изуче-
изучении полной системы. Действительно, динамические переменные
*) Произведение этого типа часто называется кронекеровым произве-
произведением.

248 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
частицы / представляются некоторыми наблюдаемыми Ait дей-
действующими на функцию xV(ri,r2), рассматриваемую как функ-
функция Г\\ динамические переменные частицы 2 представляются на-
наблюдаемыми А2, действующими на ту же функцию, но рассмат-
рассматриваемую как функция г2. Ясно, что каждая наблюдаемая А\
коммутирует с каждой наблюдаемой А2. Когда W имеет вид
^MnJ^tah действие наблюдаемых этого типа особенно про-
просто; так, например, Л^Ч^Ч^) равно произведению AiWi на Ч^.
Предшествующие замечания относятся к любым квантовым
системам, допускающим разделение на две более простые си-
системы.
На абстрактном математическом языке, которым мы поль-
пользуемся в этой главе, тензорное произведение может быть опре-
определено следующим образом. Пусть мы имеем два векторных
пространства <§\ и &2. Взяв один кет-вектор |ы>(" из первого
и один кет-вектор | «><2) из второго пространства, можно обра-
образовать произведение кет-векторов |«>A)|«>B). Операция образо-
образования такого произведения коммутативна и мы используем обо-
обозначение
\и^и^) = \и){1)\и){2). A8)
Кроме того, предположим, что эта операция дистрибутивна по
отношению к сумме. Если
то
Аналогично, если
то
| ЫA)ЫB>) = я | u^vW) + ц
На кет-векторы |ыA'мB)> натянуто новое векторное простран-
пространство, пространство ifi®^, которое называется тензорным про-
произведением векторных пространств «f*1* и «fB). Если размерно-
-сти этих пространств равны соответственно Afi и N2, то число
измерений пространства-произведения равно Л^2. Однако опе-
операция образования тензорного произведения возможна и когда
пространства обладают бесконечным числом измерений, как это
показывает разобранный выше пример.
Каждому линейному оператору Л'1* пространства &^ соот-
соответствует линейный оператор пространства-произведения, кото-
который мы обозначим тем же символом. Если действие оператора
А С» на любой кет |ы>A) известно

§ 7. СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ПРАВИЛА СОПРЯЖЕНИЯ 249"
то действие этого оператора на кет-векторы |иA)ыB)> простран-
пространства-произведения определяется формулой
а его действие на произвольный кет-вектор пространства-про-
пространства-произведения получается с помощью линейной суперпозиции. Ана-
Аналогично каждый линейный оператор ЛB> пространства «f<2) поз-
позволяет определить линейный оператор в пространстве-произ-
пространстве-произведении.
Каждый из операторов Л'1' коммутирует с каждым из опе-
операторов Л<2)
[ЛA), Л<2)] = 0.
Нетрудно проверить, пользуясь самими определениями опе-
операторов ЛA) и ЛB>, что действие коммутатора на всякий вектор
\и11)и{2)у дает нуль:
Л("ЛB) | «A)«B)> = 1t/1 V2)> = А™А" | «AУ2)>.
В пространстве-произведении можно определить соответ-
соответствие между кет- и бра-векторами, действие линейных операто-
операторов на бра-векторы и т. д. Алгебраические правила, указанные
выше, остаются справедливыми для всех алгебраических опе-
операций в пространстве-произведении. Доказательство этих ре-
результатов не составляет труда и будет здесь опущено.
РазделП. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ,
ПРОЕКТОРЫ И НАБЛЮДАЕМЫЕ
§ 7. Сопряженные операторы и правила сопряжения
Исходя из взаимооднозначного соответствия между сопря-
сопряженными бра- и кет-векторами, можно получить аналогичное
правило сопряжения между линейными операторами.
Пусть А — линейный оператор. Пусть \v) есть кет-вектор,.
сопряженный бра-вектору <«|Л. Вектор |i>> зависит от бра-
вектора <«| антилинейно, следовательно, это линейная функ-
функция |«>. Такое линейное соответствие определяет линейный
оператор, который называют оператором, эрмитово сопряжен-
сопряженным А, или оператором, присоединенным к А, и обозначают
символом Л+:
Ясно, что Л+ = 0, если А = 0, и наоборот.
Поскольку Л+|«> есть кет-вектор, сопряженный бра-вектору
|Л скалярное произведение этого кет-вектора на произволь-

50 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
ный бра-вектор </| есть величина, комплексно сопряженная,
-скалярному произведению \t} на {и\А (свойство (8)). Отсюда
лолучаем чрезвычайно важное соотношение
{t\A*\u) = {u\A\t)\ B0)
Так как это равенство справедливо, какими бы ни были | м>
я |/>, кет-вектор, сопряженный <^|Л+, равен A\ty. Следова-
Следовательно, оператор, эрмитово сопряженный оператору Л+, есть
•сам оператор А:
(А"У = А. B1)
Аналогичным образом получаем следующие фундаменталь-
фундаментальные соотношения:
{с А? = с*А\ B2)
(А + В)+ = А+ + В\ B3)
{ABf = BfA\ B4)
Отметим перемену порядка сомножителей в правой части B4),
дающей выражение для оператора, присоединенного к АВ. Да-
Далее, оператор, присоединенный к оператору |«><у|, есть
(\u)(v\f = \v)(u\. B5)
Эрмитово сопряжение для операторов играет ту же роль, что
и сопряжение между бра- и кет-векторами и комплексное со-
сопряжение для чисел. Все эти операции сопряжения имеют боль-
большое значение в развиваемом формализме. Обозначения Дирака
позволяют производить их без труда в любом алгебраическом
выражении. Достаточно следовать таким простым правилам:
see числа заменяются на комплексно сопряженные, все бра на
сопряженные кет и наоборот, все операторы — на эрмитово со-
сопряженные, а порядок символов в каждом члене меняется на
противоположный (т. е. порядок бра-векторов, кет-векторов
и операторов).
Этн правила являются очевидным обобщением соотношений
B0), B4) и B5). Дадим несколько примеров. Оператор, эрми-
эрмитово сопряженный оператору AB\u){v\C, есть оператор
С+|и><ы|В+А+; бра-вектор, сопряженный кет-вектору
AB\uy(v\C\wy, есть вектор <ш|С+|у><«|В+Л+; величина, ком-
комплексно сопряженная </|/4В|«><у|С|ш>, есть
и т. д.

§ 8. ЭРМИТОВЫ ОПЕРАТОРЫ 25Г
§ 8. Эрмитовы (самосопряженные) операторы, положительна
определенные операторы, унитарные операторы
По определению линейный оператор Н называется эрмито-
эрмитовым, если он является сопряженным самому себе
Оператор / называется антиэрмитовым, если
Из этих определений нетрудно получить следующие свой-
свойства операторов.
Всякий линейный оператор может быть представлен (и един-
единственным образом) в виде суммы двух операторов, одного эр-
митового, а другого антиэрмитового
А = НА + 1А> B6>
причем
»a = ±^L. 1а=^г^-- B7>
Всякая линейная комбинация эрмитовых операторов с ве-
вещественными коэффициентами есть эрмитов оператор. Произ-
Произведение НК двух эрмитовых операторов Н и К не обязательно
эрмитово, ибо, согласно B4),
(Я/С)+ = /СЯ. B8>
Оператор НК эрмитов только при условии, что Н и К комму-
коммутируют. Впрочем, коммутатор [Н,К] есть антиэрмитов опера-
оператор, и разложение B6) произведения НК записывается в виде
= о г-п[^Д]. B9>
Оператор | а}(а | является эрмитовым оператором. С по-
помощью двух различных кет-векторов можно образовать два-
эрмитовых оператора |а><а| и |&><&|, но произведение этих-
двух операторов |а><а|&><&| пропорционально оператору
|а><&|, который не является эрмитовым; таким образом, это
произведение не эрмитов оператор (кроме случая, когда | а>
и \ЬУ ортогональны друг другу, но в этом случае произведение
равно нулю).
Говорят, что эрмитов оператор Н является положительно
определенным, если
(и\ Н\и)^0, каким бы ни был | и).
Оператор |а><а| есть положительно определенный эрмитов
оператор.

252 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Операторы этого типа обладают замечательными свойствами
(см. задачи 7 и 8). В частности, если Н — положительно опре-
определенный эрмитов оператор, имеет место обобщенное неравен-
неравенство Шварца
при любых |м> и |о>; равенство реализуется в том и только
в том случае, когда Н\иУ и #|у> пропорциональны друг другу.
Кроме того, из равенства
(и\Н\и) = 0
необходимо следует Н | «> = 0.
Оператор U называется унитарным, если он является об-
обратным к своему сопряженному:
Произведение W = UV двух унитарных операторов U, V есть
унитарный оператор. Действительно (свойства A5) и B4)),
§ 9. Проблема собственных значений и наблюдаемые
Пусть А—линейный оператор. Тогда, по определению,
комплексное число а есть собственное значение А, а кет-вектор
| «> есть собственный кет-вектор, принадлежащий а, если
Л | «> = а | «>.
Аналогично <«'| есть собственный бра-вектор, принадлежащий
а', если
(и'\А = а'(и'\.
Если \и) — собственный кет-вектор А, то любой вектор
типа с | и> также есть собственный кет-вектор, принадлежащий
тому же собственному значению; если существует несколько
линейно независимых векторов, относящихся к одному соб-
собственному значению, то всякая линейная комбинация этих кет-
векторов также принадлежит тому же собственному значению.
Иными словами, множество собственных кет-векторов, принад-
принадлежащих одному данному собственному значению, образует
векторное пространство; будем называть его подпррстранством,
относящимся к собственному значению а. Если это подпрост-
подпространство одномерно, говорят, что собственное значение простое,
или невырожденное. В противном случае имеет место вырож-

§ 9. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ И НАБЛЮДАЕМЫЕ 253
дение, причем порядок вырождения по определению равен числу:
измерений соответствующего подпространства; может слу-
случиться, что вырождение имеет и бесконечный порядок.
Те же замечания относятся к собственным бра-векторам.
Если А — произвольный линейный оператор, то никакой простой
связи между проблемой собственных значений для кет-векторов
и проблемой собственных значений для бра-векторов не суще-
существует. Однако в практически важном случае эрмитового опе-
оператора А эти проблемы тесно связаны между собой.
Если А эрмитов оператор, то:
1) оба спектра собственных значений идентичны;
2) все собственные значения вещественны;
3) всякий бра-вектор, сопряженный собственному кет-век-
тору оператора А, является собственным бра-вектором, относя-
относящимся к тому же собственному значению, и наоборот; иными
словами, подпространство собственных- бра-векторов, относя-
относящееся к данному собственному значению, дуально подпростран-
подпространству собственных кет-векторов, относящемуся к тому же соб-
собственному значению.
Доказательство свойства 2) с точностью до обозначений
совпадает с приведенным в § V. 5. Если А — Л+ и Л|м> = а|«>,
то
(и\А\и) = а(и\и)
я, поскольку,
<«|Л|«> вещественно вместе с <«|«>, поэтому а вещественно.
То же доказательство можно провести для собственного значе-
значения, относящегося к бра-вектору.
Кроме того, поскольку всякое собственное значение веще-
вещественно, равенство Л|«> = а|«> влечет за собой <«|Л = а<и|
и обратно; отсюда без труда получаются свойства 1) и 3).
Другим важным свойством собственных векторов, принад-
принадлежащих различным собственным значениям, является свой-
свойство их ортогональности. Доказательство не отличается от при-
приведенного в § V. 5. Если | «> и | у> — собственные кет-векторы,
лринадлежащие различным собственным значениям а и Ь:
А\и) = а\и), (v\A = b(v],
то, умножая первое уравнение скалярно слева на <у|, а вто-
второе— справа на |«) и вычитая одно из другого, получим
0 = (a-b){v\u).

254 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Поэтому, если а =? Ь, то
Во всех этих рассуждениях молчаливо предполагается, что
собственные векторы принадлежат пространству Гильберта. Но
такая постановка проблемы собственных значений оказывается
слишком ограниченной и не может удовлетворить всем потреб-
потребностям квантовой теории. В качестве допустимых собственных
решений мы должны рассматривать также и векторы с беско-
бесконечной нормой, удовлетворяющие условиям, упомянутым
в конце § 4. Эти векторы принадлежат собственным значениям
из непрерывного спектра.
Трудности, возникающие при исследовании непрерывного
спектра, подробно обсуждались в гл. V и мы не будем возвра-
возвращаться к ним здесь. Основные результаты могут быть без труда
выражены в наших новых обозначениях. Свойства 1), 2) и 3)
остаются справедливыми в случае непрерывного спектра. Что
же касается свойства ортогональности, то его удобно записы-
записывать с помощью б-функции Дирака.
Вернемся в качестве примера к эрмитовому оператору из
§ V. 9, спектр собственных значений которого содержит ряд ди-
дискретных значений ап и непрерывную часть a(v). Собственные
функции ф^', относящиеся к собственному значению ап, пред-
представляют ортонормированные кет-векторы, которые мы обозна-
обозначаем символом \пг). Аналогично собственные функции (p<r>(v, p)
представляют кет-векторы |vpr). Соотношения ортонормирован-
ности между различными кет-векторами записываются в виде
(уравнение (V. 38)):
<яг|я'/-/> = впя'вГг'. C0а)
(nr\v'p'r') = 0, C06)
(vpr | vVг') = 8 (v - v') 8 (p - p') Ъ„.. C0b)
Если множество собственных векторов растягивает все про-
пространство, иначе говоря, если всякий вектор с конечной нор-
нормой может быть разложен в ряд (или интеграл) по этим
собственным векторам, то говорят, что они образуют полную
систему и что эрмитов оператор является наблюдаемой. Среди
эрмитовых операторов пространства $ только наблюдаемые до-
пускают физическую интерпретацию.
Выяснение вопроса о том, является ли заданный эрмитов
оператор наблюдаемой, часто является сложной математиче-
математической задачей. Однако существует очень важный класс опера-
операторов, для которых эта задача решается просто — это опера-
операторы проектирования.

§ 10. ПРОЕКТОРЫ (ИЛИ ОПЕРАТОРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ) 255
§ 10. Проекторы (или операторы проектирования)
Пусть S — подпространство пространства Гильберта 8, а
5х—его дополнение. Всякий кет-вектор |«) обладает проек-
проекцией на подпространство S и проекцией на подпространство 5х;
эти два вектора \us\ и |мх\ определяются единственным обра-
образом, так что
Каждому кет-вектору \и) соответствует, таким образом, один
и только один кет-вектор \us). Легко видеть, что это соответ-
соответствие линейно. Оно определяет некоторый линейный оператор
Ps, который называется оператором проектирования на под-
подпространство S (или проектором на S):
Это эрмитов оператор. Действительно, каким бы ни был
\v).
(и | Ps | v) = (и | vs) = (us | vs) = {us I v),
следовательно,
(m|Ps = («s|.
Очевидно, что Ps является наблюдаемой с двумя собственными
значениями 0 и 1, подпространствами которых являются, соот-
соответственно, Sx и 5.
Кроме того, поскольку при любом |и),
Pl\u) = Ps(Ps\u)) = Ps\us) = \us) = Ps\u),
Ps удовлетворяет операторному уравнению
P| = PS-
Обратно, можно утверждать, что всякий эрмитов оператор
Р, удовлетворяющий уравнению
Р2 = Р, C2)
является проектором. Подпространство S, на которое он проек-
проектирует, является подпространством, принадлежащим его соб-
собственному значению 1.
Действительно, если р есть собственное значение этого оператора, а
\р) —одни из соответствующих собственных векторов
Р\р)^р\р),
то, согласно уравнению C2),
0 = (Я - Р) | р) = (р* - р) | р>,
и, поскольку кет-вектор \р) не равен нулю, р2-~р=0. Иначе говоря, воз-
возможными собственными значениями являются только 0 и 1.

256 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Оператор Р есть наблюдаемая, так как всякий вектор \и) может быть
представлен в виде суммы собственных векторов оператора Р. Действительно,
можно написать
\и)=Р\и)+(\-Р)\и). C3)
Вектор Р\и) есть собственный кет-вектор оператора Р, принадлежащий соб-
собственному значению 1, так как по уравнению C2)
Р2 | и) = Р (Р | ц» = Р | и).
Вектор же A — Р)\и) есть собственный вектор, принадлежащий собствен-
собственному значению 0, ибо
Р A - Р) \ и) = (Р - Рг) | и) == 0.
Нетрудно проверить, что векторы Р\и) и A—Р)\и) ортогональны друг
другу, а поэтому сумма их норм равна норме вектора |ц). Таким образом,
это векторы с конечной нормой, они принадлежат пространству Гильберта.
Пусть S есть подпространство собственных векторов Р, относящихся к
собственному значению 1. Дополнительное к S подпространство 5х есть под-
подпространство векторов, ортогональных векторам подпространства 5; оно об-
образовано множеством собственных векторов Р, принадлежащих собственному
значению 0. Согласно разложению C3), действие Р на произвольный вектор
\и) сводится к проектированию этого вектора иа S. Поэтому оператор Р и
называется оператором проектирования на S. Тогда ясно, что оператор
A — Р) есть оператор проектирования на Sx.
Свойство, касающееся нормы Р.\и), упомянутое выше, мо-
может быть переписано в виде
0<(«|Р|«><(«|«). C4)
Если (ы|Р|«) = 0, то вектор |«) содержится целиком в Sx.
Если (м|Р|«) = («|«), то вектор |«) содержится целиком
в S.
Заслуживают упоминания два предельных случая. Когда
подпространство S совпадает с самим пространством &', всякий
кет-вектор | и) является своей собственной проекцией: имеем
(«|Р|«) — (м|м) при любых |«); подпространство Sx пусто.
Это случай Р = 1.
Другой крайний случай реализуется тогда, когда подпростран-
подпространство S пусто (дополнительное подпространство Sx совпадает с
самим пространством &): («|Р|м) = 0 при любом |«). Это
случай Р = 0.
Приведем несколько типичных примеров операторов проек-
проектирования.
Пусть кет-вектор \а) нормирован на единицу. Он растягивает
одномерное подпространство. Обозначим символом \иа) проек-
проекцию произвольного вектора |«) на это подпространство
1"> = К> + КХ>. C5)
Согласно предположению

§ 10. ПРОЕКТОРЫ (ИЛИ ОПЕРАТОРЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ) 257
Умножая слева обе стороны уравнения C5) на <а|, получаем
с = <а | и>. Следовательно
\иа) = \а)(а\и).
Таким образом, оператором проектирования на \а) является
оператор
Ра^|а><а| (<а|о>=1), C6)
Операторы проектирования этого типа мы будем называть эле-
элементарными проекторами.
Рассмотрим теперь последовательность ортонормированных
векторов 11), |2), ..., \N)
{m\n) = bmn (tn, n=\,2 N).
На эти векторы натягивается некоторое подпространство &\
(с числом измерений N) того пространства, которому принад-
принадлежат указанные векторы. Нетрудно показать, что оператор
N
Р,е= Е|/п)<т! C7>
m=l
является оператором проектирования на <$х.
До сих пор рассматривались только векторы с конечной нор-
нормой. Но как мы знаем, можно рассматривать и последователь-
последовательности кет-векторов ||), зависящих от непрерывного индекса,
изменяющегося в некоторой области (|ь|2). Предположим, что
собственные дифференциалы, образованные из этих кет-векто-
кет-векторов, имеют конечную норму и принадлежат исследуемому про-
пространству Гильберта. Поэтому, как было выяснено ранее,
любая линейная комбинация этих векторов также принадлежит
пространству Гильберта, а множество линейных комбинаций
образует подпространство полного пространства Гильберта;это
подпространство &2 натянуто на кет-векторы ||). Предполо-
Предположим, далее, что векторы ||). удовлетворяют условию «ортонор-
мированности»
<Г1|> = а(Г-?). C8)
Очевидно, что оператор
U
Р2^ \\l)dl(l\ C9)
I,
есть оператор проектирования на <§Г2- На самом деле, вектор
J
9 А. Мессиа

258 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
получаемый при действии оператора Рг на произвольный век-
вектор \и), несомненно принадлежит <§ъ, ибо выражается в виде
линейной комбинации векторов ||); напротив, разность
A — Р2)\и) ортогональна каждому вектору последовательно-
последовательности ||):
$
t,
и, следовательно, ортогональна Sz-
§ 11. Алгебра проекторов
Проекторы, действующие в пространстве Гильберта, имеют
простой геометрический смысл и поэтому представляют боль-
большой интерес5). Приведем здесь основные положения алгебры
этих операторов. Ввиду того, что доказательства в большинстве
случаев вполне элементарны, мы ограничимся указанием толь-
только принципа, оставляя читателю возможность провести рассуж-
рассуждения до конца.
Пусть Pi, P, — операторы проектирования на подпростран-
подпространства Si, <§i пространства Гильберта S'. Чтобы произведение
также было оператором проектирования необходимо и доста-
достаточно, чтобы Pi и Pj коммутировали.
Условие это необходимо, ибо без него Рщ] не был бы эрми-
эрмитовым оператором. Но оно и достаточно, так как в этом случае
Рщ] эрмитов оператор, причем
Р2т = PiPjPiP, = Р)Р) = PiPi = Рт.
Соответствующее подпространство <?\ц\ есть пересечение
подпространств !Г, и !Г,, т. е. подпространство векторов, общих
для Si и S,-. Здесь возможны два крайних случая: тот, когда
&щ\ идентично одному из двух указанных подпространств, и
тот, когда <S\u\ пусто. В первом случае, например, Si является
подпространством Su во втором — подпространства Si и S, ор-
ортогональны.
Нетрудно, далее, доказать следующие два положения.
5) Рассмотрение проблемы непрерывного спектра методом фон Неймана
основано на систематическом изучении свойств проекторов в пространстве
Гильберта; этот метод дает возможность преодолеть все трудности непрерыв-
непрерывного спектра, не выходя из пространства Гильберта (см. книги, цитированные
в сноске V.3).

§11. АЛГЕБРА ПРОЕКТОРОВ 259
Чтобы S, было подпространстом Si (т. е. чтобы каждый
вектор подпространства S',- был вектором подпространства Si)
необходимо и достаточно, чтобы
Чтобы Si и Sj были ортогональны, необходимо и достаточно
выполнение равенства
Р,Р, = 0. D0)
В этом случае говорят, что проекторы ортогональны.
Что касается суммы проекторов, то здесь мы имеем важную
теорему:
Пусть Pi, Pj, Рл, ... операторы проектирования на подпро-
подпространства Si, Sj, Sk, • • • соответственно. Чтобы их сумма Р« +
4- Pj + Р* + • • • также была оператором проектирования, необ-
необходимо и достаточно чтобы эти операторы были попарно орто-
ортогональны. Подпространство, на которое осуществляется проек-
проекция, есть в этом случае прямая сумма, или объединение
подпространств Si, S'/, Sk, ... (т. е. множество векторов, полу-
получаемое линейной суперпозицией векторов, принадлежащих каж-
каждому из этих подпространств).
Условие ортогональности, очевидно, достаточно. Чтобы доказать его не-
необходимость, достаточно доказать его для случая сумм двух операторов
S = Pi + Р/- Оператор S, очевидно, эрмитов. Чтобы выполнялось условие
S2 = S, необходимо, чтобы PtPj + P/Pi = 0. Умножная это уравнение на Pi
сначала слева, а потом справа, получаем
Vz + Wi-Wi + V*-0-
откуда
Оператор Pi из уравнения C7) является примером суммы
ортогональных проекторов. Операторы проектирования \пг)(пг\,
фигурирующие в этой сумме, являются элементарными проек-
проекторами. Ясно, что пространство S\, на которое осуществляется
проектирование, является объединением пространств, на кото-
которые проектируют отдельные операторы, входящие в сумму. Бу-
Будучи объединением N одномерных пространств, пространство S\
имеет N измерений, а оператор Pi является суммой N элемен-
элементарных ортогональных проекторов.
Если N Ф 1, то Р\ представляется в этой форме бесчислен-
бесчисленным числом способов. Действительно, обозначим символом {л}
последовательность |1), |2), ..., \N) из N ортонормированных
векторов, принадлежащих S\. Последовательность {п} образует
базисную систему векторов в Si в том смысле, что каждый век-
вектор из S\ может быть линейно выражен через эти N векторов;
условимся считать тождественными базисные системы, векторы

260 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
которых отличаются только фазовыми множителями или по-
порядком расположения в последовательности. При этом очевидно,
что
Pi=t\n)(n\
и существует столько выражений для Р1( сколько существует
различных базисных систем.
Эти рассуждения без труда обобщаются на случай, когда
подпространство S, на которое осуществляется проектирование,
обладает бесконечным числом измерений. В теории пространства
Гильберта доказывается, что всегда можно сделать выбор в &
(и бесчисленным числом способов) базисной системы {п} =
s= |1), |2) \п), ..., содержащей бесконечную счетную
последовательность ортонормированных векторов. Проектор Р
на S может быть представлен в виде ряда из элементарных ор-
ортогональных проекторов
Однако в S можно построить и базисную систему, содержа-
содержащую кет-векторы, зависящие от непрерывного индекса. Пред-
Предположим, например, что существует множество (бесконечное
континуальное) векторов \%) с бесконечной нормой, зависящих
от непрерывно изменяющегося индекса и удовлетворяющих ус-
условиям «ортонормированности» C8), и предположим также,
что подпространство S образовано множеством векторов с ко-
конечной нормой, образованных путем линейной суперпозиции
кет-векторов ||) из некоторой области (|i, |г). В этом случае Р
можно также представить в виде C9):
В этой форме Р все еще можно рассматривать как сумму орто-
ортогональных проекторов. Разделим .область интегрирования (gi, |2)
на некоторое число частичных областей. Тогда Р есть сумма
проекторов, полученных при интегрировании |g)dg(g| по каж-
каждой из этих частичных областей. Эти подобласти могут быть
выбраны сколь угодно малыми. Обозначим символом 8Р опера-
оператор, полученный интегрированием по бесконечно малому интер-
интервалу (|, g + dg):

§ 12. НАБЛЮДАЕМЫЕ. С ДИСКРЕТНЫМ СПЕКТРОМ 261
тогда Р есть сумма бесконечно большого числа операторов ЬР.
Мы будем называть операторы типа ЬР дифференциальными
проекторами; пространство проекции, соответствующее опера-
оператору этого типа, имеет бесконечное число измерений.
§ 12. Наблюдаемые, обладающие только дискретным
спектром
Пусть А — эрмитов оператор. В этом параграфе мы рас-
рассмотрим проблему собственных значений, органичиваясь слу-
случаем, когда собственные векторы принадлежат пространству
Гильберта. Собственные значения образуют дискретную после-
последовательность а\, п2, ..., ап, ... . Пусть Sп есть подпростран-
подпространство, принадлежащее собственному значению ап, Рп—проектор
на это подпространство. Если собственное значение а„ невы-
невырождено, то &„ имеет одно .измерение и Рп — элементарный
проектор. В противном случае всегда можно сделать выбор
(и бесчисленным числом способов) базисной системы в 8п:
|«1), |«2) \пг), •¦-, так, что
Pn=Z\nr)(nr\. D1)
г
Подпространства, принадлежащие различным собственным
значениям ап, а'п, ортогональны, следовательно
РПРП' = О (пФ л'). D2)
¦Суммируя проекторы, принадлежащие всем собственным значе-
значениям дискретного спектра, получаем проектор
Ра = ? Рп, D3)
л
подпространство проекции которого Sа есть объединение всех
¦&'„; & а есть пространство векторов, образованных линейной су-
суперпозицией собственных кет-векторов А, принадлежащих про-
пространству Гильберта.
Если А — наблюдаемая, имеющая только дискретный спектр,
то 8а> по определению, совпадает с полным пространством 8,
иначе говоря
Л4^2>„=1. D4)
л
Иногда левую часть этого равенства называют разложением
единицы по отношению к собственным значениям оператора А.
Ясно, что это разложение единственно, т. е. что всякий кет-век-
тор \и) единственным образом может быть представлен в виде
суммы собственных кет-векторов \ип), каждый из которых

262 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
принадлежит одному определенному собственному значению.
Чтобы написать эту сумму, достаточно применить к \и) каждый
член равенства D4):
1«>=?Р»|и>. D5)
п
Согласно определению Р„ вектор Рп\и) либо равен нулю,
либо есть собственный кет-вектор А, принадлежащий собствен-
собственному значению ап, причем это имеет место для любого кет-век-
тора \и); поэтому имеем
(А~ап)Рп = 0. D6)
Умножая почленно уравнение D4) на А, получим, принимая во
внимание D6):
А = ? апРп. D7)
п
Из этого равенства следует, что наблюдаемая А полностью оп-
определяется заданием ее собственных значений и соответствую-
соответствующих подпространств. Выражение D7) для оператора А показы-
показывает, кроме того, что оператор А коммутирует со всеми проек-
проекторами Р„.
Соотношения D4), D5), D7) характерны для наблюдаемых,
обладающих только дискретным спектром, при этом число
собственных значений может быть как конечным, так и беско-
бесконечным. Мы не будем исследовать здесь вопроса о сходимости
соответствующих рядов, эта сходимость всегда имеется.
Особенно удобные выражения получаются, если всюду вме-
вместо Р„ подставить выражение D1). Так, левая часть уравнения
D4) выражается в виде суммы элементарных проекторов и мы
получаем соотношение замкнутости
PA^Z\nr)(nr\=l. D8)
п, г
Вместе с соотношениями ортонормированности
(пг | п'г') = Ьпп'ЬГг' D9)
это условие выражает тот факт, что множество кет-векторов
\пг) образует полную ортонормированную систему.
Применяя оператор из D8) к некоторому вектору, получаем
разложение
п, г
в ряд по собственным векторам \пг). Коэффициенты разложе-
разложения равны скалярным произведениям (пг\и) (ср. уравнения

§ 13. НАБЛЮДАЕМЫЕ В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ 263
(V.A4—15)). Кроме того
(и\и) = (и \РА \и)= Z (и\пг)(пг\и) = ?\{пг\и) Р. E1)
п. г п, г
Норма \и) равна сумме квадратов модулей коэффициентов раз-
разложения: это есть равенство Парсеваля (ср. уравнение (V.16)).
Наблюдаемая А может быть представлена в виде ряда ор-
ортогональных элементарных проекторов. Производя те же опе-
операции, которые привели к уравнению D7), получаем
— А' А — Za \ ПГ)ип\ПГ \. \р?)
§ 13. Наблюдаемые в общем случае и обобщенное
соотношение замкнутости
Эрмитов оператор А является наблюдаемой, если векторное
пространство 8л с ограниченной нормой, образованное суперпо-
суперпозицией собственных векторов А, совпадает с полным простран-
пространством Гильберта S или, что то же самое, если оператор Рл про-
проектирования на Sа равен единице.
Когда спектр полностью дискретен, оператор РА может быть
представлен в виде разложения по элементарным ортогональ-
ортогональным проекторам, полученным с помощью собственных векторов
А, и условие того, что А есть наблюдаемая, удобно записывать
в форме соотношения замкнутости D8). Распространение этого
соотношения на общий случай требует введения дифференци-
дифференциальных проекторов — они в случае непрерывного спектра играют
ту же роль, что элементарные проекторы при дискретном
спектре.
Рассмотрим сначала случай, когда спектр А невырожден.
Предполагаем, что спектр содержит непрерывную область, обо-
обозначаемую непрерывно изменяющимся индексом v, и дискрет-
дискретную область с дискретным индексом п. Таким образом, ап есть
собственное значение из дискретной части спектра, а(у)—соб-
а(у)—собственное значение из непрерывной части; a(v) есть монотон-
монотонная функция v, принимающая все промежуточные значения в
некотором интервале (a(vi), a(v2)). Обозначим с помощью \п)
и |v) собственные кет-векторы, принадлежащие собственным
значениям а„ и a(v). Эти кет-векторы ортонормированы, в ча-
частности
<v|v'> = 6(v-v').
Оператор
v+6v
= J \v')dv'(v'\

264 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИП АППАРАТ
является оператором проектирования на подпространство, натя-
натянутое на кет-векторы |v') из интервала (v, v + dv). Складывая
проекторы этого типа, образуем проектор
который проектирует на подпространство <?с, натянутое на соб-
собственные кет-векторы, принадлежащие непрерывному спектру.
Это подпространство ортогонально подпространству & d, натяну-
натянутому на собственные кет-векторы дискретного спектра, причем
проектор на это подпространство равен
Условие того, что А есть наблюдаемая, записывается в виде
РА**Рс + Ра=1
или подробнее
v2
? \ |v)dv(v|=l. E3>
Выполнение соотношения замкнутости E3) является необходи-
необходимым и достаточным условием того, что множество ортонормиро-
ванных векторов \п), |v) образует полную систему.
Распространение этого результата на случай, когда весь
спектр или часть спектра А оказываются вырожденными, не
вызывает трудностей. Возьмем в качестве примера случай, рас-
рассмотренный в конце § 9. Собственные кет-векторы \nr), |vpr)
удовлетворяют условиям ортонормированности C0). Если кро-
кроме того А есть наблюдаемая, т. е. собственные кет-векторы
этого оператора составляют полную систему, то они удовлетво-
удовлетворяют условию замкнутости
л, г
Z S S'vpr) dv dp (vpr l== L E4>
Как и в случае полностью дискретного спектра удобно ис-
использовать соотношение замкнутости при разложении произ-
произвольного вектора \и) пространства Гильберта в ряд по базис-
базисным кет-векторам наблюдаемой А. Для сокращения записи
примем, что спектр А невырожден (соотношение E3)). Тогда
|v)dv(v|«>. E5>

§ 14. ФУНКЦИИ НАБЛЮДАЕМЫХ 265
Аналогично находим обобщенное равенство Парсеваля
<v|«)l2rfv E6)
П V,
:н разложение А в ряд по проекторам
Л = ЛРд = ?|п>а„(п| + $|v>fl(v)dv(v|. E7)
П Vi
В заключение укажем, что часто бывает удобно заменить
условие ортонормированности собственных векторов непрерыв-
непрерывного спектра на более общее условие
где f(v)—вещественная положительная функция v. Это эквива-
эквивалентно умножению каждого вектора на постоянную с модулем
Vf- В этом случае все предшествующее остается справедли-
справедливым, но только во всех формулах |v) dv(v| следует заменить на
') v) , , . (v |. Аналогично, если условие нормировки (ЗОв) заме-
заменить на
(vpr I v'pV> = Fr (v, p) 6 (v - v') б (p - p') 6rr',
то выражение для РА в соотношении замкнутости E4) полу-
получается путем деления подынтегрального выражения на /v(v, p).
§ 14. Функции наблюдаемых
Линейный оператор полностью определен, если известно его
действие на векторы, составляющие полную ортонормированную
систему собственных векторов; тогда его действие на любую ли-
линейную суперпозицию этих векторов получается непосредствен-
непосредственно, если, конечно, выполняется условие сходимости в случае
бесконечного ряда (условия сходимости уже рассматривались
в гл. V). В частности, всякая функция f(a) собственных значе-
значений наблюдаемой А позволяет определить линейный оператор
f(A) как функцию этой наблюдаемой. Действие f(A) на соб-
собственный вектор | а) оператора А, принадлежащий значению а,
по определению, есть
f(A)\a) = f(a)\a). E8)
Когда функция f выражается полиномом, это определение
получается непосредственным применением правил алгебры
операторов, но оно справедливо и в более общих случаях.

266 ГЛ. VII МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Из самого определения следует, что всякий собственный век-
вектор А является собственным вектором f(A). Обратно, если вся*
кий собственный вектор наблюдаемой А есть также собствен*
ный вектор линейного оператора F, то этот оператор есть опе-
операторная функция А.
Это вполне очевидно, если все собственные значения оператора А невыро-
невырождены. Поэтому рассмотрим некоторое вырожденное собственное значение и
пусть \а\), \а2) суть два линейно независимых собственных вектора, при-
принадлежащих этому собственному значению. По предположению они являются
также собственными векторами F:
Всякая линейная комбинация данных двух векторов также является собствен-
собственным вектором F
F (Л, | а\) + Х2 | а2>) = /?> (Я,, | а!) + Л2 | аЩ,
следовательно,
н поскольку \а\) и \а2) линейно независимы,
f(U _ f<*) _ fB)
la la la •
Таким образом, все собственные функции А, принадлежащие
одному собственному значению а, являются собственными функ-
функциями F, принадлежащими одному собственному значению /:
последнее есть некоторая функция а, т. е. /(а); следовательно,
действительно F = f(A).
Всякая функция f (А) наблюдаемой А может быть выражена,
как и сама наблюдаемая А, в форме линейной комбинации эле-
элементарных или дифференциальных проекторов. Предположим
для определенности, что А удовлетворяет уравнению E7). Тогда
$|v>/[a(v)]rfv<v|. E9)
В качестве примеров функций наблюдаемой А укажем про-
проектор на подпространство некоторого собственного значения,
проектор на пространство, натянутое на собственные вектора,
принадлежащие собственным значениям, лежащим в некоторой
области и т. п. Укажем также экспоненциальный оператор е'Ъ4
(| — заданная постоянная) и обратный оператор А~1. Функция
е'бл определена всегда, обратный оператор А~х определен толь-
только, если среди собственных значений оператора А нет нулевого.

§ 15 ОПЕРАТОРЫ. КОММУТИРУЮЩИЕ С НАБЛЮДАЕМОЙ 267
§ 15. Операторы, коммутирующие с наблюдаемой.
Коммутирующие наблюдаемые
Операторные функции наблюдаемой А принадлежат, вообще
говоря, к более широкому классу операторов, а именно опера-
операторов, коммутирующих с А. Действие таких операторов на соб-
собственные векторы А особенно просто. Действительно, если \а)
есть собственный вектор
А\а) = а\а)
и если
[А, Х) = 0,
то
О = (АХ-ХА)\а) = (А-а)Х\а).
Таким образом Х\а) есть собственный вектор А, принадлежа-
принадлежащий тому же собственному значению (если только вектор не
равен нулю).
Обратно, для того чтобы оператор X коммутировал с наблю-
наблюдаемой А, достаточно, чтобы его действие на каждый вектор
полной ортонормированной системы собственных векторов А да-
давало вектор, также являющийся собственным вектором А, при-
принадлежащим тому же собственному значению.
На самом деле если выполняется сказанное, то действие ком-
коммутатора [А, X] на каждый вектор этой полной системы дает
нуль, поэтому выполняется операторное равенство [А, X] — 0.
Все это применимо, конечно, и к коммутирующим наблюдае-
наблюдаемым. Кроме того, все сказанное в гл. V (§§ 14, 15) относительно
коммутирующих наблюдаемых, можно повторить здесь с не-
некоторым изменением терминологии. Приведем еще раз основные
результаты.
Базисной системой наблюдаемой мы называем всякую пол-
полную ортонормированную систему собственных векторов этой
наблюдаемой, причем считаем тождественными системы, от-
отличающиеся только фазовыми множителями при собственных
векторах, порядком расположения векторов дискретного спект-
спектра и выбором непрерывных индексов в случае непрерывного
спектра.
Имеем следующую важную теорему:
Если две наблюдаемые А и В коммутируют, то они обладают
по крайней мере одной общей базисной системой, и обратно,
если две наблюдаемые А и В обладают общей базисной систе-
системой, то они коммутируют.
Всякая функция f(a,b) собственных значений двух комму-
коммутирующих наблюдаемых А и В позволяет определить линейный
оператор f(A,B) — функцию этих двух наблюдаемых с помощью
естественного обобщения понятия операторной функции одной

268
ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
наблюдаемой. Легко показать, что если каждый общий соб-
собственный вектор наблюдаемых А и В есть собственный вектор
линейного оператора F, то последний есть некоторая оператор-
операторная функция А и В.
Все это без труда обобщается на случай любого числа ком-
коммутирующих между собой наблюдаемых.
Наконец, говорят, что последовательность А, В, С, ... на-
наблюдаемых составляет полный набор коммутирующих наблю-
наблюдаемых, если эти наблюдаемые все коммутируют между собой
и если их общая базисная система определяется единственным
образом. Каждому множеству собственных значений а, Ь, с, ...
соответствует один и только один общий собственный вектор-
определенный с точностью до постоянного множителя). Этот
вектор может рассматриваться как функция собственных зна-
значений а, Ъ, с Его обычно обозначают символом \abc ...)..
Раздел III. ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
§ 16. Общее понятие о конечных матрицах
По определению матрица А типа My^N есть совокупность
MN элементов Amn (m=l, 2, ..., М; л=1, 2, ..., N), кото-
которые обычно располагают в виде прямоугольной таблицы с М
строками и N столбцами
42
Атп есть элемент матрицы, расположенный на пересечении:
m-й строки и п-го столбца.
Если М = N, то мы имеем квадратную матрицу, число ее
строк и столбцов дает число измерений, или порядок матрицы.
Если одно из двух целых чисел М или N равно 1, то элементы-
матрицы могут рассматриваться как компоненты вектора. Мы
будем называть правым вектором матрицу с одним столбцом
(М = размерности вектора, N = 1) и левым вектором — матрицу
с одной строкой (М = 1, N = размерности вектора). Тогда ска-
скаляр есть матрица с М = N = 1.
Из матрицы А типа М~Х N можно получить новые матрицы
с помощью некоторых операций сопряжения, именно:
а) комплексно сопряженную матрицу А* — это матрица типа
М X N, элементы которой суть величины, комплексно сопря-
сопряженные элементам матрицы А : {A*)kt = A*kl;

§ 16. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ О КОНЕЧНЫХ МАТРИЦАХ 269
б) транспонированную матрицу А — это матрица типа N~X.Mr
получаемая перестановкой строк и столбцов: {А)ы = Аш',
в) эрмитово сопряженную матрицу Л+ — это матрица типа
Л/Х-М, получаемая применением обеих указанных выше опера-
операций: (л%=л;*.
Комплексно сопряженный правый вектор есть правый вектор.
Транспонированный правый вектор и эрмитово сопряженный
правый вектор суть левые векторы и наоборот. Комплексно сопря-
сопряженная, транспонированная и эрмитово сопряженная квадрат-
квадратные матрицы порядка N суть квадратные матрицы порядка N.
Определяют следующие операции матричной алгебры:
а) умножение матрицы А на постоянную с; произведение
с А есть матрица того же типа, что и А:
б) сумма S = А + В двух матриц одного типа; 5 есть мат-
матрица того же типа, что А и В:
^>тп== Атп-{- Втп;
в) произведение (справа) Р = АВ матрицы В типа Мв X NB
на матрицу А типа Ma^Na, причем число столбцов матрицы/!
должно быть равно числу строк матрицы В: NA = Мв — К- Это
матрица типа Ма X NB, элементы которой даются формулой
к
Ртп^2 2j AmkBkn.
k=\
Имеют место следующие равенства
Отметим изменение порядка сомножителей в правых частях
двух последних равенств.
Умножение слева Л/-мерного левого вектора на Л/-мерный
правый вектор дает скаляр. Умножение слева М-мерного пра-
правого вектора на Л/-мерный левый вектор дает квадратную мат-
матрицу порядка N.
Другой важной операцией является тензорное произведение
двух матриц. С помощью матрицы /4<'> типа Mi'XNi и матрицы
Л<2> типа М2 X ^2 можно образовать матрицу Л<12) = ЛA><2) Л<2>
типа MiM2 X NiN2- MiM2 строк этой матрицы обозначаются
двумя индексами Ш\ и m2 (mi = 1, 2 Ми т2 = 1, 2, ....
..., М2), N\N2 столбцов матрицы обозначаются двумя индек-
индексами «1 и п2 {п=\, 2, ..., Nu п2= 1, 2 Af2). При этом
Л A2) _ л О) л B)

270 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 17. Квадратные матрицы
В этом параграфе мы дадим несколько определений и пере-
перечислим ряд свойств квадратных матриц.
В квадратной матрице А порядка N мы различаем N диаго-
диагональных элементов Апп (п = 1, 2, ... , N) и недиагональные
элементы Аы (k =^= I). Шпур (или след) матрицы А есть сумма
ее диагональных элементов:
SpA = TrA^ZAnn. F0)
п
Детерминант или определитель матрицы A, det А, есть детер-
детерминант, образованный таблицей ее элементов.
Единичная матрица I есть матрица, все диагональные эле-
элементы которой равны 1, а все недиагональные элементы равны
нулю
Произведение единичной матрицы на постоянную есть, по опре-
определению, постоянная матрица. Диагональная матрица есть мат-
матрица, все недиагональные элементы которой равны нулю.
Квадратная матрица является вещественной, симметричной
или эрмитовой, если она равна своей комплексно сопряженной,
своей транспонированной или своей эрмитово сопряженной, со-
соответственно.
Сумма и произведение двух матриц порядка N всегда опре-
определены— это также матрицы порядка N. Сумма ассоциативна
и коммутативна. Произведение ассоциативно, дистрибутивно по
отношению к сумме, но не обязательно коммутативно. Алгебра
матриц порядка N есть некоммутативная алгебра.
Чтобы матрица порядка N коммутировала со всеми матри-
матрицами порядка N необходимо и достаточно, чтобы она была по-
постоянной (пропорциональной единичной) (задача 4). В частно-
частности, единичная матрица / такова, что
1А = А1 = А ¦ F1)
при любой матрице А.
Две диагональные матрицы всегда коммутируют. Чтобы мат-
матрица порядка N коммутировала со всеми диагональными мат-
матрицами порядка N необходимо и достаточно, чтобы она была
диагональной (задача 4).
Шпур (или след) произведения ряда матриц инвариантен
относительно циклической перестановки сомножителей
F2)

§ 17. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ 271
Детерминант произведения матриц равен произведению де-
детерминантов этих матриц
det ЛВС = det Л • detB-detC. F3)
Матрица В, по определению, является обратной к матрице
Л, если
АВ = 1 и ВА = 1. F4)
Впрочем, если выполняется одно из этих равенств, то другое
выполняется также. Обратную матрицу обычно обозначают сим-
символом
Чтобы данная матрица Л имела обратную необходимо и до-
достаточно, чтобы детерминант матрицы был отличен от нуля:
del А ф 0. Если detA = 0, то матрица называется сингулярной.
Нетрудно проверить, что
1.4)-= (Р), (AT^iA-1)*, (Л+)-' = (Л-')+
и что
Матрица О называется ортогональной, если транспонирован-
транспонированная матрица б равна обратной
Матрица U называется унитарной, если эрмитово сопряженная
матрица W равна обратной
ии* = иЮ = I.
Если мы умножим слева матрицу размерности N на правый
А?-мерный вектор, то получим правый /V-мерный вектор. Если
умножить справа матрицу размерности N на левый /V-мерный
вектор, то получим левый Химерный вектор.
Особенно просто действие диагональной матрицы. Пусть
^mn U-rrfitnn
суть элементы такой матрицы, а ип — компоненты правого век-
вектора и, тогда
(Du)n = dnun.

¦272 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Аналогично, если vn — компоненты левого вектора v, то
(vD)n = vndn.
Если матрица сингулярна, то существует по крайней мере
один правый вектор и такой, что Аи = О, и обратно. Из этого
факта вытекает важная теорема:
Пусть А и В две матрицы порядка N. Для того, чтобы суще-
существовал правый N-мерный вектор и, удовлетворяющий уравне-
уравнению
Аи = ХВи,
необходимо и достаточно, чтобы постоянная X являлась реше-
решением уравнения
det (А - ХВ) = 0.
В частности, если А есть матрица порядка N, то для того,
чтобы существовал правый вектор и, удовлетворяющий уравне-
Аи = Хи,
необходимо и достаточно, чтобы постоянная X являлась реше-
решением уравнения
det (А — XI) = 0.
Это алгебраическое уравнение порядка, не превосходящего
N называется секулярным уравнением.
Аналогичные результаты имеют место для левых векторов.
Тензорное произведение двух матриц порядка N\ и N2 есть
матрица порядка N\N2. В частности, тензорное произведение
единичных матриц /о, /<2) также представляет собой единич-
единичную матрицу /A2) размерности N\N2-
В качестве примера рассмотрим матрицы порядка 4, получающиеся в ре-
результате тензорного умножения матриц порядка 2 иа матрицы порядка 2.
В теории часто используются следующие матрицы второго порядка (матрицы
Паули):
0 1 \ / 0 — / \ /1 0\
1 .)• ff2=G о} а°4о -J- F5)
Всякая матрица второго порядка может быть представлена как линейная
комбинация этих четырех эрмитовых матриц. Рассмотрим теперь матрицы
Паули в другом двумерном пространстве:
-(; :> --с :> *-с "»> -с _:>
F6)

§ 17. КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ
273
Производя тензорное умножение матрицы типа (а) на матрицу типа (р), мы
получим матрицу типа DX4). Дадим явное выражение нескольких матриц
типа (ро):
0 0 0
0 0 10
0 10 0
Vor, 0 )
10 0 0
0 <Х2
0
0
0
i
1
0
0
0
0
— i
0
0
1
0
0
I
0
0
0
0
—1
0
0
0
0
0
0
о о
0 —1
Полученные матрицы можно рассматривать как матрицы, принадлежащие од-
одному из пространств, скажем пространству (р), но тогда каждый элемент
матрицы есть матрица из другого пространства: это выражено в средних ча-
частях равенств. Правые части равенства представляют матрицы в явном виде;
если условиться отмечать строки (и столбцы) двумя индексами трта, причем
первый относится к составляющим пространства р, а второй — к составляю-
составляющим пространства (а), то строки (и столбцы) располагаются в порядке: 11,
12, 21, 22.
Линейно комбинируя тензорные произведения матриц, по-
получают квадратные матрицы с двойными индексами Amim,- „,„,
{т\, «i = l, 2, ..., N\, та, «2 = 1, 2, ..., N2), размерности N\N2-
Как показывает рассмотренный пример, можно считать их мат-
матрицами типа A), элементы которых суть матрицы типа B). Сум-
Суммируя диагональные элементы такой матрицы, получаем мат-
матрицу типа B) в обычном смысле; по определению это частич-
частичный шпур в пространстве A) исходной матрицы:
(SpM^ES ZAnmr.nn,.
п=\
F7)
Аналогично можно определить частичный шпур в пространстве
B). Очевидно, что
), F8)
я если матрица А есть тензорное произведение ЛО <gM<2), то
Sp (ДО ® Л<2>) = CSp! ДО) (Sp2 Д<2>). F9)

274 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
§ 18. Бесконечные матрицы
Большую часть результатов, относящихся к конечным мат-
матрицам, можно распространить и на бесконечные матрицы.
В этом случае также строки и столбцы нумеруются одним или
несколькими индексами, но эти индексы могут составлять бес-
бесконечное счетное множество или даже континуальное множество
значений в некоторой области. Бесконечная матрица является
квадратной, если ее строки и столбцы отмечаются одной систе-
системой индексов. При наличии только одного столбца мы име-
имеем правый вектор, при наличии только одной строки — левый
вектор.
Операции комплексного сопряжения, транспонирования и
эрмитового сопряжения без изменений переносятся на случай
бесконечных матриц. То же самое можно сказать относительно
умножения на постоянную и операции суммирования. Что же
касается умножения А на В, то подразумевается, естественно,
что строки В и столбцы А отмечаются одной системой индексов.
Если, кроме того, некоторые индексы являются непрерывными,
суммирование должно быть заменено интегрированием. Пред-
Предположим, например, что А и В являются квадратными матри-
матрицами, элементы которых зависят от некоторого непрерывного
индекса q, изменяющегося в интервале (qi,q2)- Тогда элемент
матрицы Р — АВ выражается формулой
P{q;q')=\A(q;q")B(q";q')dq".
Произведение определено, конечно, только в том случае, если
суммы и интегралы, входящие в формулу, сходятся.
Если отвлечься от проблем сходимости, то все результаты
§ 17, относящиеся к квадратным матрицам, переносятся без
изменения на случай бесконечных матриц, за исключением по-
понятия детерминанта. Следует уточнить только определение диа-
диагональной матрицы в случае непрерывно изменяющихся индек-
индексов и условия существования обратной матрицы.
По определению непрерывная матрица D(q; q') диагональна,
если она имеет форму
D(q; q') = d(q)b(q-q'), G0)
где d(q) есть произвольная функция индекса q. При этом ока-
оказываются справедливыми два основных характерных свойства
диагональных матриц: их свойство коммутировать друг с дру-
другом и то свойство, что действие диагональной матрицы на век-
вектор состоит в умножении каждой компоненты вектора на соот-
соответствующий диагональный элемент матрицы. Так, при действии

§ 13. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ 275
диагональной матрицы G0) на правый вектор g с компонен-
компонентами g(q) получается вектор h — Dg с компонентами
A (q) = J D (q;, q') g (qf) dq' = d(q)g (q).
Заметим, что непрерывная матрица б'(q — qf) не является диа-
диагональной.
Что же касается существования матрицы, обратной к дан-
данной, то, в противоположность случаю конечных матриц, выпол-
выполнение условия
АВ = [ G1а)
не влечет за собой, вообще говоря, выполнения равенства
ВА = 1. G16)
Для утверждения, что матрицы А и В обратны друг другу, тре-
требуется одновременное выполнение равенств G1а, б).
Для того чтобы матрица А имела обратную, вовсе не обяза-
обязательно, чтобы она была квадратной. Например, возможен слу-
случай, когда строки матрицы А нумеруются дискретным индек-
индексом, а столбцы — непрерывным, и тем не менее она имеет об-
обратную матрицу; в этом случае обратная матрица А~1 будет
иметь дискретным индекс столбца и непрерывным — индекс
строки. В частном случае унитарной матрицы U, которая, по
определению, удовлетворяет двум уравнениям
Ш+ = /, С/*С/ = /, G2)
индексы строк и столбцов не обязательно имеют одинаковую
природу. Однако единичные матрицы, стоящие в правых частях
этих равенств, необходимо являются квадратными матрицами.
Если матрица U не квадратна, то системы индексов единичных
матриц в правых частях G2) различны.
§ 19. Представление векторов и операторов матрицами
Рассмотрим векторное пространство & и выберем в этом про-
пространстве полную ортонормированную систему векторов; эта
система может, вообще говоря, состоять из собственных векто-
векторов полного набора коммутирующих наблюдаемых. Для крат-
краткости будем использовать в рассуждениях базисную систему с
дискретным индексом п. Предположим, например, что мы име-
имеем дело с собственными векторами некоторой наблюдае-
наблюдаемой Q
Q\n) = qn\ n).
Будем говорить, что это базисные векторы в представлении {Q}.

276 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Эти векторы образуют полную ортонормированную систему:
(т|«) = 6т„, G3)
PQ^Z\n)(n\=l. G4)
п
Уравнения G3) и G4) являются основными уравнениями пред-
представления {Q}.
Для всякого кет-вектора | и) имеем
Величины ип — (п\и) можно рассматривать как элементы мат-
матрицы с одним столбцом, причем п есть индекс, нумерующий
строки. Задание этого правого вектора полностью определяет
кет-вектор \и): это матрица, представляющая \и) в представ-
представлении {Q}.
Для всякого бра-вектора (v\ имеем
Величины {v\n) являются комплексно сопряженными по отно-
отношению к компонентам vn правого вектора, представляющего
кет-вектор \v) в представлении {Q}. Они могут рассматриваться
также как компоненты левого вектора; задание этого левого
вектора полностью определяет бра-вектор (о|: это вектор, пред-
представляющий (у| в представлении {Q}. Таким образом, бра-век-
бра-вектор, сопряженный данному кет-вектору, представляется векто-
вектором, эрмитово сопряженным вектору, представляющему кет-
вектор.
Всякий линейный оператор А может быть единственным об-
образом представлен в виде двойного ряда по базисным операто-
операторам |m)(n|:
А = PQAPQ =Z\m){m\A\n) (n |.
т п
т, п
Коэффициенты разложения Ат„— (т\А\п) полностью опреде-
определяют А и могут рассматриваться как элементы квадратной мат-
матрицы, причем т есть индекс строки, а п — индекс столбца: это
матрица, представляющая оператор А в представлении {Q}.
Установив таким образом взаимооднозначное соответствие
между векторами и операторами, с одной стороны, и матри-
матрицами — с другой стороны, выясним теперь, каким образом каж-
каждая операция с операторами и векторами в пространстве & пе-
переводится на язык представляющих их матриц.
Соотношениям сопряжения между векторами и операторами,
соответствуют соотношения эрмитового сопряжения между мат-

§ 19. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЕКТОРОВ И ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ 277
рицами. Мы это уже отмечали на примере сопряжения
между бра- и кет-векторами. Подобно этому матрицы, пред-
представляющие два эрмитово сопряженных оператора А и Л+, сами
эрмитово сопряжены: их элементы удовлетворяют соотношениям
Aln ^(т | Л+| п) = (п | А \т)' = А'пт.
Что же касается различных алгебраических операций с век-
векторами и операторами, то им соответствуют различные опера-
операции матричной алгебры. Чтобы убедиться в этом, следует рас-
рассмотреть каждую из элементарных операций, упомянутых в
двух предшествующих параграфах.
Наиболее просто дело обстоит в случае умножения на по-
постоянную и операции суммирования; так, всякой линейной
комбинации Ai^i + ^2-^2 двух операторов соответствует та же
линейная комбинация двух представляющих матриц:
(т | A,Л, + %2А2) | п) = X, (т \ А, | п) + Х2 (т \ А21 л).
Различные произведения векторов и операторов представ-
представляются произведениями соответствующих матриц. Именно:
а) скалярное произведение \и) на \v):
таким образом, (v\u) равно произведению (справа) матрицы
(правого вектора), представляющей \и), на матрицу, эрмитова
сопряженную матрице, представляющей |и);
б) действие оператора А на кет-вектор \и) или бра-век-
бра-вектор (v\:
Матрица (правый вектор), представляющая Л|м), есть произве-
произведение (справа) матрицы, представляющей |м>, на матрицу,
представляющую А. Матрица (левый вектор), представляющая
<у|Л, есть произведение (слева) матрицы, представляющей <у|,
на матрицу, представляющую Л;
в) произведение АВ:
матрица, представляющая АВ, выражается в виде произведения
(справа) матрицы, представляющей В, на матрицу, представ-»
ляющую Л;

•278 ГЛ. VII МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
г) оператор \u){v\: (tn,n) — элемент матрицы, представляю-
представляющей этот оператор, есть (m\u){v\n); искомая матрица, следо-
следовательно, получается при умножении (справа) матрицы (левый
вектор), представляющей (v\, на матрицу (правый вектор),
лредставляющую \и) (это дает квадратную матрицу).
Таким образом, определено представление векторов и опе-
операторов из пространства & матрицами, причем установлены
простые правила соответствия между различными действиями
с векторами и операторами и действиями с матрицами. Любую
геометрическую задачу в пространстве 8 можно решать либо
-чисто геометрическими методами, рассматривая векторы и опе-
операторы, о которых идет речь, либо методами алгебры и анализа,
оперируя с матрицами в подходящем представлении.
В последнем случае соответствующий выбор представления
может привести к упрощению задачи, подобно тому как подхо-
подходящий выбор системы координат позволяет упростить решение
задачи в аналитической геометрии. На практике следует выби-
выбирать представление, в котором данные векторы и операторы
представляются матрицами наиболее простой формы.
Заметим в этой связи, что в представлении {Q} наиболее
простой вид имеет наблюдаемая Q: она представляется диаго-
диагональной матрицей. Вообще всякая функция f(Q) в этом пред-
представлении выражается диагональной матрицей
Операторы, коммутирующие с Q, также представляются про-
простыми матрицами. Действительно, если [X, Q] = 0, то
и поэтому (m|Z|n) = 0 для всякой пары индексов (т, п) та-
таких, что qm ф qn. Иными словами, все элементы матрицы, ин-
индекс строки и индекс столбца которых относятся к различным
¦собственным значениям Q, равны нулю (ср. § 15).
Все результаты без труда распространяются на всякое про-
пространство &\ (g) &2, получающееся путем тензорного умножения
пространств &\ и &2. Векторы и операторы, образованные тен-
тензорным умножением, могут быть представлены матрицами, ко-
которые являются тензорными произведениями матриц, представ-
представляющих векторы и операторы пространств S\ и &г.
§ 20. Преобразования матриц
Рассмотрим вновь матрицы конечного порядка. Будем обо-
обозначать прописной буквой квадратные матрицы порядка N, а
строчной буквой — /V-мерные векторы (правые и левые). Пусть
Т— несингулярная матрица (Т~1 существует). Эта матрица

§ 20. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ
позволяет определить преобразование подобия матрицы А по
формуле
А' = ТАТ~Х. G5)
Соответствие между А и А' взаимооднозначно; матрица А
получается из А' в результате обратного преобразования
А = Т~ ХА 'Т. G6>
Такое преобразование сохраняет след (шпур) и детерминант
матрицы
Sp A = Sp A', det A = det А' G7)-
(это следует непосредственно из указанных выше свойств шпура
и детерминанта произведения матриц). Равным образом оче-
очевидно, что такое преобразование сохраняет всякое алгебраиче-
алгебраическое соотношение между матрицами. Если, например, мы имее№
А = ХВС + \iDEF,
то умножая почленно слева на Г и справа на Т~1 и вставляя
там, где это нужно, произведение Т~1Т, получим
ТАТ'1 = ХТВТ~ХТСТ~Х + \iTDT~xTET"'TFT~\
т. е.
А' = ХВ'С + v-D'E'F'.
Аналогично можно определить преобразование правого век-
вектора и
u' = Tu, u = T~W G8)
и левого вектора v
v' = vT~\ v = v'T. G9)-
Нетрудно проверить, что указанное преобразование в самом
общем случае сохраняет все алгебраические уравнения, в кото-
которые входят квадратные матрицы и векторы обоих типов. Заме-
Заметим также, что если с — произвольная постоянная, то квадрат-
квадратная матрица преобразуется с помощью Т и сТ одинаково; пра-
правый вектор при этом умножается на с, а левый — на 1/с.
В то же время это преобразование в общем случае не сохра-
сохраняет соотношений сопряженности между матрицами (задача 5).
Посмотрим, например, какому условию должна удовлетворять
матрица Т, чтобы преобразование сохраняло эрмитовую сопря-
сопряженность. Чтобы из А' = ТАТ~1 следовало
какой бы ни была матрица А, необходимо, чтобы
ТАТ-' = (гл+Г-1)+ = (г-')+ АГ,

-280 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
или, если умножить равенство слева на Г1" и справа на Т,
Необходимо, следовательно, чтобы матрица Т^Т коммутировала
«с всеми матрицами А, т. е. чтобы она была единичной с точ-
точностью до постоянного множителя
Г+Г = с/.
Далее, для того чтобы из и'"= Ти следовало м'1" = и^Т~1 при
любом и необходимо, чтобы и = 7"Тм при любом и, т. е.
с= 1. Это значит, что матрица Т должна быть унитарной. Оче-
Очевидно, что это условие, необходимое для сохранения условия
эрмитовой сопряженности, является также и достаточным.
Преобразование, матрица которого является унитарной, на-
называется унитарным преобразованием. Поскольку в этом слу-
случае С/-1 = С/+ преобразования матрицы А, правого вектора и и
левого вектора v выражаются формулами:
A' = UAU*. A = U*A'U,
и' = Uu, u = t/V, (80)
v' = vU\ v = v'U.
Как и всякое преобразование подобия, унитарное преобразо-
преобразование сохраняет след и детерминант матриц и все алгебраиче-
алгебраические уравнения между матрицами и векторами. Но, кроме этого,
юно сохраняет и эрмитово сопряжение.
Далее, имеют место две следующие фундаментальные тео-
теоремы, которые мы приведем без доказательства.
А) Всякая эрмитова матрица Н может быть приведена к
диагональному виду с помощью унитарного преобразования
Н' = UHUf, Я'— диагональная.
Диагональные элементы Н' суть «собственные значения» Н.
Все они вещественны (#' — эрмитова матрица) и являются
решениями секулярного уравнения
Б) Чтобы две эрмитовы матрицы Н, К могли быть одновре-
одновременно приведены к диагональному виду с помощью одного уни-
унитарного преобразования необходимо и достаточно, чтобы они
коммутировали.
Все эти определения и свойства, относящиеся к матрицам ко-
конечного порядка, без труда распространяются на случай бес-
бесконечных матриц. Всякая бесконечная матрица Т, обладающая
•обратной матрицей Т~\ определяет преобразование подобия

§21. СМЕНА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 281'
квадратных матриц и векторов (правых и левых) при выполне-
выполнении условий сходимости соответствующих сумм и интегралов.
Б противоположность случаю конечных матриц нет необходимо-
необходимости, чтобы 7 была обязательно квадратной матрицей. Конечно,
строки и столбцы матрицы (квадратной), подвергающейся пре-
преобразованию, должны нумероваться той же системой индексов^
что и столбцы Т, а также компоненты правых и левых векторов.
Но строки и столбцы преобразованной матрицы и компоненты
преобразованных векторов нумеруются той системой индексов,
которой нумеруются строки Т.
Свойства сохранения следа (при условии его сходимости),
алгебраических уравнений и эрмитового сопряжения (для уни-
унитарных матриц преобразования) справедливы и для бесконеч-
бесконечных матриц. Что же касается фундаментальных теорем о диаго-
нализации эрмитовых матриц унитарным преобразованием, то
они не справедливы для всех эрмитовых матриц, но мы будем
предполагать, что они выполняются в рассматриваемых нами
случаях.
§ 21. Смена представления
Вернемся к проблеме матричного представления операторов
и векторов векторного пространства &. Каждой базисной си-
системе векторов в этом пространстве соответствует некоторое
представление. Следует научиться переходить от одного такого
представления к другому. Имеются в виду, конечно, различные
представления одного и того же вектора или оператора. Мы
увидим, что переход от одного представления к другому совер-
совершается с помощью унитарного преобразования.
Возьмем для определенности две базисные системы: одну,
образованную собственными векторами \п) (п = 1,2 со)
наблюдаемой Q из § 19, и вторую, образованную собственными
векторами ||) другой наблюдаемой S, спектр которой будем
предполагать непрерывным. Две эти системы определяют пред-
представления {Q} и {В}. Основные уравнения представления {Q}
уже были выписаны ранее (уравнения G3) и G4)). Аналогич-
Аналогичные уравнения для представления {Н} записываются в форме
(II Г) = 6A-Г), (81)
g)rf|<||=l. (82).
Базисные векторы одного представления могут быть раз-
разложены по базисным векторам другого представления в виде
\n)=\\l)dl(l\n), I6> = ?|n><n|6>. (83),

82 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
Скалярное произведение (?|я), фигурирующее в качестве коэф-
коэффициента разложения \п), может рассматриваться как элемент
•S{%,', п) матрицы S, причем ? есть индекс строки, а п — индекс
столбца; скалярное произведение (гс||) во втором разложении
может рассматриваться как элемент Т{п;\) матрицы Т, причем
п есть индекс строки, а |— индекс столбца. Впрочем, поскольку
A\п) = (п\1)*, имеем
T = Sf.
Хроме того,
Иначе говоря,
SS+ = /, (84а)
7Т+ = SfS = /, (846)
матрица S унитарна.
Удобно обозначить символом (u)Q правый вектор с компо-
компонентами A|«), B|и), ..., представляющий кет-вектор \и) в
представлении {Q}, и символом (и)в правый вектор с компо-
компонентами (||«), представляющий тот же вектор \и) в представ-
представлении {Е}. Применяя соотношение G4), имеем
другими словами,
(u)s = S(u)Q. (85)
Обозначим также с помощью (A)Q и (Л)н матрицы, соот-
соответствующие заданному оператору А в представлениях {Q} и
{S}; тогда
(Z\A\Z')=Z(Z\k)(k\A\l)(l\Z')
k, t
или
D)S = SD)QS+. (86)
Аналогично для левых векторов (v)Q и (у)а, представляющих
один и тот же бра-вектор (у|, имеем
(v)s = (v)QS*. (87)
Уравнения (85), (86), (87) являются искомыми уравнениями,
характеризующими унитарное преобразование S (ср. формулы
-(80)).

§ 22. УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ОПЕРАТОРОВ И ВЕКТОРОВ 283-
Таким образом, переход от представления {Q} к представле-
представлению {S} осуществляется при помощи унитарного преобразова-
преобразования S.
Элементы полученной матрицы S обладают следующими за-
замечательными свойствами:
— рассматриваемые как функции индекса столбца п эле-
элементы <||/г> ?-й строки являются компонентами левого век-
вектора (?)q, представляющего собственный бра-вектор <?| опера-
оператора S в представлении {Q};
¦— рассматриваемые как функции индекса строки | эле-
элементы (Е|я) п-го столбца являются компонентами правого век-
вектора (n)s, представляющего собственный кет-вектор \п) опера-
оператора Q в представлении {Н}.
В частности, решение в представлении {Q} проблемы соб-
собственных значений оператора Н есть задача, математически эк-
эквивалентная нахождению преобразования S, диагонализующего
матрицу (S)q. Аналогично решение в представлении {3} про-
проблемы собственных значений оператора Q эквивалентно нахож-
нахождению преобразования S+, диагонализующего матрицу (Q)a.
Важно выделить те величины и те соотношения, которые мо-
могут быть определены независимо от вида представления. Этим
качеством обладают величины и соотношения, определяемые не-
непосредственно с помощью векторов и операторов. Так, скаляр-
скалярное произведение двух векторов есть величина, инвариантная:
относительно изменения представления. Соотношения эрмито-
вого сопряжения и все алгебраические уравнения между векто-
векторами и между операторами также обладают этим свойством ин-
инвариантности.
Отметим еще сохранение следа: след (если он сходится) мат-
матрицы, представляющей оператор, сохраняет свое значение неза-
независимо от выбранного представления; эта величина характери-
характеризует сам оператор. Нетрудно показать, что (задача 6)
Sp|«><«| = <«|«>, (88)
Sp|u><o| = <0|u>. (89Х-
§ 22. Унитарные преобразования операторов и векторов
Матрица S, введенная в предшествующем параграфе, не
представляет никакого оператора. Матрица, представляющая
некоторый оператор, определена в заданном представлении, в--
то время как матрица преобразования зависит как бы сразу от
двух представлений. Это хорошо видно на примере, разобранном
выше, ибо матрица S не является квадратной.
Тем не менее в некоторых случаях может оказаться, что су-
существует взаимооднозначное соответствие между базисными?

•284 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
векторами двух разных представлений. В этом случае векторы
обеих базисных систем нумеруются одной системой индексов.
Рассмотрим, например, представление {Q} с базисной системой
\п), нумеруемой дискретным индексом п, и представление {Q}
с базисной системой \п), нумеруемой тем же самым индексом.
Два кет-вектора \п) и \п), нумеруемые одним индексом, как-то
соответствуют один другому. Пусть это соответствие выражается
оператором U:
\n) = U\n).
Тогда
U = U(Z\n)(n\) = Z\n){n\ (90)
\л / п
поэтому, учитывая условия ортонормированности \п) и \п), по-
получаем
Ш+ = ?/+?/=1. ' (91)
Следовательно, U есть унитарный оператор. Вообще же унитар-
унитарная матрица <m|n>, определяющая переход от представления
{Q} к представлению {Q}, есть матрица, представляющая U в
представлении {Q}.
В том случае когда можно построить унитарный оператор
U, можно определить операцию, которая является в некотором
смысле дополнительной к операции изменения представления.
Вместо того чтобы преобразовывать базисную систему {Q} в
новую базисную систему {Q}, векторы которой даются уравне-
уравнением
\n) = uUn), (92)
можно осуществить преобразование самих векторов и операто-
операторов пространства $, поставив в соответствие каждому вектору
|и) вектор \й) = U\u), а каждому оператору А — оператор
л = или*.
Ввиду того что оператор U унитарен, очевидно, что преоб-
преобразование U сохраняет соотношения сопряжения и уравнения
между векторами и операторами. В частности:
а) сохраняется скалярное произведение: (u\A\v) = {u\A\v);
б) сохраняется эрмитовость.
Если А — наблюдаемая, то А есть наблюдаемая с тем
же спектром собственных значений, ибо уравнение на собствен-
собственные значения
А\а) = а\а)
переходит в уравнение
А\й)=а\й). (93)

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 285
Собственные кет-векторы А, принадлежащие заданному соб-
собственному значению а, являются преобразованными собствен-
собственными кет-векторами А, принадлежащими тому же собственному
значению. Заметим, что матрица, представляющая А в {Q}, со-
совпадает с той, которая представляет А в {Q}. Аналогично век-
вектор \а) имеет в {Q} те же компоненты, что и вектор \а) в {Q}.
Произвести последовательно два преобразования с операто-
операторами U и V значит то же самое, что произвести одно преобра-
преобразование с оператором W = VU. Поскольку оператор W унита-
унитарен, результирующее преобразование будет унитарным. Иными
словами, произведение двух унитарных преобразований есть
унитарное преобразование.
Если оператор U, определяющий унитарное преобразование,
-«бесконечно близок» единице, то преобразование называется
инфинитезимальным. Оператор U принимает вид
?/ = 1 + ieF, (94)
где е есть бесконечно малое вещественное число. Условие уни-
унитарности (91) принимает вид
(I - ieF*) (I + ieF) = A + ieF) (l - ieF*) = 1
или, сохраняя только члены первого порядка по е, F = F^.
Следовательно, оператор F эрмитов.
При инфинитезимальном преобразовании векторы и опера-
операторы преобразуются по формулам
A e= A + 6A = A + /ef) Л A - ieF) = Л + /e[F, Л]
или
6 I u) = feF | «), (95)
6Л = /е[/;', Л]. (96)
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть заданы два проектора Pi, P,. По определению Р; не превосхо-
превосходит Р/, если Р(Р; = Рг, при этом пишут Р; ^ Р/. Показать, что если Pi ^ Р/,
то (u\Pt\u) sg: (u|P/|u) при любом \и), и обратно. Показать либо непосред-
непосредственно, либо используя это последнее свойство, что установленное неравен-
неравенство действительно удовлетворяет аксиомам неравенств, а именно: а) если*
Р, s? Р/ и Р/ s? Р(, то Р; = Р, и б) если Pi s? Р, и Р,- < Pft, то Рг s? Pft.
2. Пусть Р], Рг, ..., Р/с — проекторы. Показать, что их сумма также
является проектором в том и только том случае, если
К
для каждого вектора \и) в пространстве Гильберта.

286 ГЛ. VII. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ
3. а) Наблюдаемая А обладает конечным числом N собственных значе-
значений. Обозначим эти собственные значения буквами аь о2, ..., аы и положим
Показать, что {(А) = 0 и что оператор проектирования Р„ иа подпростран-
подпространство n-го собственного значения дается выражением
Ра = ga (A)/gn (ап)
б) Доказать обратное свойство, а именно: если А есть эрмитов опера-
оператор, удовлетворяющий алгебраическому уравнению порядка N
и если он не удовлетворяет никакому другому алгебраическому уравнению бо-
более низкого порядка, то это наблюдаемая, обладающая N собственными зна-
значениями, которые суть корни (обязательно вещественные и различные) урав-
уравнения f(x) = 0.
4. Показать, что матрица порядка N:
а) есть матрица, кратная единичной, если она коммутирует со всеми мат-
матрицами порядка N;
б) есть диагональная матрица, если она коммутирует со всеми диагональ-
диагональными матрицами порядка N.
5. Показать, что:
а) для того чтобы преобразование сохраняло комплексную сопряжен-
сопряженность матриц необходимо и достаточно, чтобы матрица преобразования была
вещественной;
б) для того чтобы преобразование сохраняло транспонироваиность мат-
матриц необходимо и достаточно, чтобы матрица преобразования была ортого-
ортогональной.
6. Пусть |ы) и |у) —два вектора с конечной нормой. Показать, что
7. Пусть Н есть положительно определенный эрмитов оператор. Показать,
что при любых \и) и |у>
\{u\H\v)\2^{u\ff\u){v\H\v),
и что равенство {и\Н\и) = 0 необходимо влечет за собой Н\и) =0. Пока-
Показать, кроме того, что Sp H ^ 0, причем знак равенства реализуется только,
если Н = 0.
* 8. Показать, что если Н и К являются двумя положительно определен-
определенными наблюдаемыми, то Sp НК ^ 0, а равенство влечет за собой НК = 0.
9. Пусть А — некоторый линейный оператор. Показать, что Л+Л есть
положительно определенный эрмитов оператор и его след равен сумме квад-
квадратов модулей элементов матрицы, представляющей А в некотором произ-
произвольно выбранном представлении. Вывести отсюда, что Sp А*А Г5г 0, а равен-
равенство выполняется только, если А = 0.

ГЛАВА VIII
ОБЩИЙ ФОРМАЛИЗМ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
Б. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
§ 1 Введение
В классической физике динамическое состояние физической
системы в каждый момент времени определено, если известны
значения динамических переменных, характеризующих систему.
Эти значения могут быть в принципе определены все одновре-
одновременно с любой степенью точности. Поэтому задачей классиче-
классической теории является определение динамических переменных
физической системы и исследование уравнений движения, кото-
которым они подчиняются.
В квантовой теории соответствие между динамическим со-
состоянием и динамическими переменными оказывается далеко
не столь прямым. В процессе измерения какой-либо динамиче-
динамической переменной динамическое состояние системы изменяется
под воздействием измерительного прибора. Если в классической
физике этим изменением обычно пренебрегают, то на микроско-
микроскопическом уровне этого сделать уже нельзя; модификация со-
состояния системы предстает как непредсказуемое и неконтроли-
неконтролируемое возмущение, ограничивающее возможность одновремен-
одновременного измерения всех динамических переменных. Поэтому
приходится отказаться от основного постулата классической фи-
физики о том, что различные физические величины, характеризую-
характеризующие систему, могут в любой момент времени принимать вполне
определенные значения. Для каждой из этих величин можно
указать только статистическое распределение значений, выра-
выражающее вероятность того или иного результата в случае воз-
возможного измерения.
Согласно установившейся терминологии (§ IV. 17) говорят,
что динамические переменные квантовой системы не все по-
попарно совместны. Однако к заданной динамической переменной
можно присовокупить некоторое число других, пока не обра-#
зуется полный набор совместных динамических переменных. По
определению все члены такого набора совместны друг с другом,
но вне набора не существует динамических переменных, совме-
совместных с каждым членом набора, кроме, конечно, каких-либо
функций от переменных-—членов набора. Точное измерение
динамических переменных полного набора дает наиболее пол-

288 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
ную информацию, какую только можно иметь относительно ди-
динамического состояния физической системы. Таким образом, ди-
динамическое состояние квантовой системы определяется не зада-
заданием всех динамических переменных, присущих системе (как
в классической теории), но заданием тех из них, которые вхо-
входят в какой-либо полный набор совместных переменных.
В качестве основного принципа принимается, что динамиче-
динамические состояния квантовой системы допускают линейную супер-
суперпозицию. В согласии с этим принципом (см. § VII. 1) кванто-
квантовой системе сопоставляется некоторое векторное пространство
8', так что каждое динамическое состояние представляется
вектором в этом пространстве. Предполагается, кроме того, что
& есть пространство Гильберта. В дальнейшем мы используем
обозначения и свойства пространства Гильберта, как они были
изложены в гл. VII. Таким образом, каждому динамическому
состоянию соответствует некоторый кет-вектор \и) пространства
ё'. В то же время каждой динамической переменной сопостав-
сопоставляется некоторая наблюдаемая, действующая в пространстве
<§х). Если динамические переменные совместны, соответствую-
соответствующие им наблюдаемые коммутируют, если переменные несо-
несовместны, наблюдаемые не коммутируют.
Общий формализм квантовой теории основан на указанном
соответствии между динамическими состояниями и векторами,
физическими величинами и операторами. В разделе I мы уточ-
уточним это соответствие, покажем, как строить пространство Гиль-
Гильберта, и какой физический смысл имеют векторы и операторы
из этого пространства. Далее, в разделе II общая теоретиче-
теоретическая схема дополняется введением уравнений движения. В раз-
разделе III будет показано, что существует столько конкретных
формулировок теории, сколько есть различных конкретных мат-
матричных представлений векторов и операторов пространства <§\
волновая механика является одним из таких частных представ-
представлений. Когда динамическое состояние квантовой системы изве-
известно не полностью, можно, следуя обычным методам статистиче-
статистической механики, представлять его статистическим ансамблем век-
векторов гильбертова пространства. Эквивалентная процедура
состоит во введении оператора особого типа — матрицы плотно-
плотности; эти вопросы рассматриваются в последнем, четвертом раз-
разделе главы.
') Пространство <8 играет в квантовой теории роль, аналогичную роли
фазового пространства классической теории. Каждая точка фазового про-
пространства представляет классическое динамическое состояние, каждый век-
вектор пространства <8 представляет квантовое динамическое состояние. Во вто-
втором случае, однако, соответствие не является взаимооднозначным: два
коллинеарных вектора пространства «? представляют одно состояние; см.
ниже, § 2.

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 289
Раздел I. ДИНАМИЧЕСКИЕ СОСТОЯНИЯ
И ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
§ 2. Определение вероятностей. Постулаты измерения
Каждому динамическому состоянию соответствует некоторое
статистическое распределение значений каждой из динамиче-
динамических переменных, характеризующих систему. Вычисление рас-
распределений основано на постулате:
Среднее значение некоторой функции F(A) от заданной фи-
физической величины А дается выражением
(F(A)) = (u\F(A)\u), (l>
где кет-вектор |ы> представляет динамическое состояние, а на-
наблюдаемая А — заданную физическую величину.
В частности, характеристическая функция /(?) статистиче-
статистического распределения А есть среднее значение функции е^А:
Ш = <«|в*Ч*>. B)
Поскольку статистическое распределение полностью опреде-
определяется заданием характеристической функции, указанный посту-
постулат позволяет вычислить статистические распределения всех ди-
динамических переменных системы.
Выясним, как основной постулат влияет на соответствие
между динамическими состояниями и кет-векторами. Каким бы
ни был оператор F(A), выражение A) не меняется при умно-
умножении вектора |и> на произвольный фазовый множитель е'%
(а — некоторое вещественное число). Следовательно, статисти-
статистические распределения, относящиеся к двум векторам, различаю-
различающимся на фазовый множитель, строго одинаковы: два таких век-
вектора представляют одно динамическое состояние. Другими сло-
словами, каждому динамическому состоянию соответствует вектор,
определенный с точностью до фазового множителя. С другой"
стороны, поскольку /@)= 1 (среднее значение 1 равно 1), не-
необходимо, чтобы вектор |и> был нормирован на единицу
<и|«>=1. C)
Часто бывает удобно отказаться от последнего условия.
С этой целью определение A) для средних значений заменяют
более общим выражением
™. D)
При таком определении два пропорциональные друг другу век-
вектора представляют одно и то же динамическое состояние (под-
(подразумевается, конечно, что векторы, о которых идет речь, имеют
ограниченную норму).

290 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
Чтобы получить статистическое распределение Л в явном
виде, следует вычислить выражение B) для характеристиче-
характеристической функции /(?) (или выражение D), если |и> не нормирован
на единицу) в представлении, где наблюдаемая Л диагональна.
Этот метод уже был изложен в гл. V, правда, с незначительными
отличиями в терминологии. Здесь мы не будем вновь повторять
сказанное там. Ограничимся формулировкой результатов2):
1) Значения, которые может принимать величина А, принад-
принадлежат спектру собственных значений соответствующей наблю-
наблюдаемой.
2) Пусть <8'd есть подпространство, натянутое на собствен-
собственные векторы Л, принадлежащие собственным значениям, лежа-
лежащим в некоторой области D спектра А; обозначим с помощью
\ud) = Pd\u) проекцию кет-вектора |и> на &d. Вероятность шв
того.что результат измерения Л принадлежит области D равна3)
„. _/р V- (ир1иР> /cv
Выражение E) объединяет все результаты, полученные в ча-
частных случаях, рассмотренных в гл. V (задача 1). Действи-
Действительно, D может быть одним собственным значением
дискретного спектра и тогда E) совпадает с формулой (V. 21).
Но D может быть также образована совокупностью нескольких
различных дискретных собственных значений или быть частью
непрерывного спектра, или же некоторой комбинацией двух
предшествующих случаев. В частности, если D есть бесконечно
малый интервал (a(v), a(v + dv)) непрерывного спектра, как
в примере в конце § V. 10, то wd = со (v) dv, и плотность ве-
вероятности co(v), вычисленная с помощью формулы E), совпа-
совпадает с той, которая получилась из (V. 44).
Остается определить динамическое состояние системы по
окончании измерения. Оно, конечно, будет зависеть от конкрет-
конкретных условий эксперимента, но может быть просто получено
в случае идеального измерения (см. § V. 13). Если в предполо-
предположении идеального измерения наблюдение показывает, что си-
система находится в собственном состоянии А, принадлежащем
указанной выше области D, то динамическое состояние системы
после измерения представляется проекцией вектора |и> на
пространство <8d. Иными словами, изменение (некаузальное)
2) В некоторых книгах по квантовой теории два нижеследующих свой-
свойства называются соответственно принципом квантования и принципом спек-
спектрального разложения.
3) Wd есть среднее значение проектора Pd, т. е. функции А, равной 1 для
всех собственных векторов А, находящихся в &d, и равной нулю для всех
собственных векторов А, ортогональных к &'о.

§ 3. НАБЛЮДАЕМЫЕ КВАНТОВОЙ СИСТЕМЫ 291
вектора состояния в процессе измерения соответствует схеме:
|и) -> идеальное измерение, дающее результат D-±PD\u).
Этот постулат редукции волнового пакета может рассматри-
рассматриваться как определение идеального измерения.
Если условиться всегда представлять динамические состоя-
состояния векторами, нормированными на единицу, то вектор состоя-
состояния системы после измерения есть Рв\и), умноженный на фак-
фактор нормировки, определяемый с точностью до фазы, квадрат
модуля которого равен 1/wd или 1/<u|Pd|">.
§ 3. Наблюдаемые квантовой системы и соотношения
коммутации
На первом этапе исследования квантовой системы следует
установить динамические переменные системы и построить ал-
алгебру соответствующих наблюдаемых. На деле различные на-
наблюдаемые системы могут быть выражены как функции неко-
некоторого числа «основных наблюдаемых»; тогда искомые правила
алгебры наблюдаемых можно получить с помощью правил ком-
коммутации этих основных наблюдаемых.
Когда квантовая система обладает классическим аналогом,
что имело место во всех рассмотренных до сих пор случаях,
можно установить самые общие правила, основанные на прин-
принципе соответствия.
В классической системе N измерений самой общей динами-
динамической переменной будет функция 2Л/-независимых перемен-
переменных— N пространственных координат q\, q2, ..., qu и N им-
импульсов р\, /02, • • •, Ры- Те же самые динамические переменные
приписываются квантовой системе. Вводятся N переменных по-
положения и N переменных импульса. Этим переменным соответ-
соответствуют наблюдаемые, которые мы обозначим теми же симво-
символами <7ь ..., Цы и р\, ..., pN. Постулируем, что единственными
некоммутирующими наблюдаемыми являются N пар, в которые
входят пространственная координата и ее канонически сопря-
сопряженный импульс; для этих пар имеем [qr, pr] = гй. Таким об-
образом,
[qr, <7J = 0, [Рпр,] = 0, F)
[qn p,] = iMr, (r, s=l, 2, .... N), G)
Поскольку произвольные наблюдаемые являются функциями
q и р, коммутаторы наблюдаемых находятся с помощью соот-
соотношений F) и G); их можно вычислить явно, пользуясь пра-
правилами алгебры коммутаторов (§ V. 17). Это соответствие
между наблюдаемыми квантовой системы и величинами клас-
классической системы — аналога уже неоднократно комментировя-
10*

292 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯ
лось (§ II. 15 и § V. 3). Чтобы избежать неопределенности, еле-*
дует всегда исходить из декартовых координат в конфигура*
ционном пространстве и руководствоваться эмпирическими
правилами § II. 15. В частности, правило «симметризации», дан-
данное в этом параграфе, гарантирует, что всякой вещественной
величине, принадлежащей системе, сопоставляется эрмитов one'
ратор.
Однако не все квантовые системы могут рассматриваться на
основе принципа соответствия. Часто оказывается, что динами-
динамические переменные, вводимые на основе принципа соответствия
с классической системой, не исчерпывают физических свойств
исследуемой квантовой системы. В этом случае необходимо вво-
вводить дополнительные переменные. Выбор этих новых перемен-
переменных и правил коммутации для них основывается на чисто ин-
интуитивных соображениях.
Среди физических величин, характеризующих систему, особо
следует отметить энергию. Представляющая ее наблюдаемая Н
называется гамильтонианом системы. Если система имеет клас-
классический аналог, то Н получается на основе принципа соответ-
соответствия из функции Гамильтона классической механики.
§ 4. Соотношения неопределенности Гейзенберга
Соотношения неопределенности для координаты и импульса
следуют непосредственно из соотношений коммутации G).
Покажем в самом общем случае, что если две наблюдаемые
А, В удовлетворяют уравнению
[А,В] = Ш, (8)
то произведение их средних квадратичных отклонений всегда
удовлетворяет неравенству
ДЛ-ДВ>/г/2. (9)
Доказательство по существу аналогично рассмотрению § IV. 8,
По определению
ЛЛ = ((Л2) - (А)*)'1', ДВ = «В2> - <В>2)\
Введем наблюдаемые
А = А-(А), В = В-{В)\
тогда очевидно, что
[А, В]=*1Н
и что
ДЛ = ДЛ = (Л2O', ДВ = ДВ =

§ 4. СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ГЕИЗЕНБЕРГА 293
Допустим, что динамическое состояние системы представляется
кет-вектором |ы>, нормированным на единицу, и применим не-
неравенство Шварца к векторам А\и} и В\и}:
(АЛJ (АВJ -ш {и | Л21 «><и | В21 и> >|<и | АВ | и) |2.
Выделяя в Л23 эрмитову и антиэрмитову части (ср. уравнение
(VII. 29))
т s л в + в А , ав — в А Ав + вА . . п
АВ = g 1 2 ^ 2 ¦"' 2"'
можно выделить в (и\А8\иУ вещественную и мнимую части
АВ + SA \ . . Ъ
и переписать неравенство Шварца в виде
т. е.
АЛ • ЛВ > А/2,
что и требовалось доказать.
Чтобы произведение АЛ-АВ стало равным своему наимень-
наименьшему значению Ь/2 необходимо с одной стороны, чтобы нера-
неравенство Шварца свелось к равенству, т. е. чтобы А\и}= сВ\иУ
(с — произвольная постоянная), а с другой стороны, чтобы сред-
среднее значение АВ + ВА было равно нулю, т. е.
откуда Rec = 0. Резюмируя, находим, что неравенство (9) сво-
сводится к равенству в том и только в том случае, когда |ы> удов-
удовлетворяет уравнению
(Д-а)|и> = /у(В-РI«>, (Ю)
где а, р и у суть произвольные вещественные постоянные.
Приложение этого результата к паре координата — импульс
(qr, pr) предшествующего параграфа дает соотношение неопре-
неопределенности
(r=l,2 N), A1)

294 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
причем равенство выполняется, если |и> есть решение
уравнения
(рг — iyqr) | и) = (а — /YP) I и)
(а, C и y — произвольные вещественные постоянные).
§ 5. Определение состояний и построение пространства <§
После определения наблюдаемых нашей квантовой системы
и установления коммутационных соотношений необходимо точно
определить различные возможные квантовые состояния, т. е.
необходимо построить гильбертово пространство, в котором дей-
действуют наблюдаемые. Для этого достаточно задать систему ба-
базисных векторов пространства и установить действие наблю-
наблюдаемых на эти векторы. Следует, конечно, убедиться, что все
операторы, представляющие физические величины, действи-
действительно являются наблюдаемыми, удовлетворяющими коммута-
коммутационным соотношениям.
Чтобы определить базисную систему векторов, из всей сово-
совокупности наблюдаемых выделяют полный набор коммутирую-
коммутирующих наблюдаемых А, В, С, ... Одновременное измерение со-
соответствующих динамических переменных дает максимально
возможную информацию о состоянии системы, т. е. полностью
определяет некоторое динамическое состояние системы. Следо-
Следовательно, каждый набор собственных значений а, Ь, с, ... этих
наблюдаемых определяет вектор в пространстве Ж с точностью
до постоянного множителя; произвольно фиксируя этот множи-
множитель, находим некоторый вектор \abc...). Множество вектороа
\abc...}, получаемое при изменении каждого собственного зна-
значения а, Ъ, с, ... на всем протяжении спектров Л, В, С, ... об-
образует полную ортогональную систему векторов в простран-
пространстве $'. Если же фиксировать подходящим образом нормировку
векторов \аЬс...у — нормировку на единицу для векторов с ко-
конечной нормой, нормировку с помощью б-функции Дирака для
векторов, соответствующих непрерывному спектру, — то мы по-
получим полную ортонормированную систему в &. Таким обра-
образом, базисная система векторов в <% определяется при задании
спектров наблюдаемых А, В, С, ...
Действие базисных наблюдаемых А, В, С, ... на каждый
из этих векторов оказывается автоматически определенным.
Остается выяснить, как действуют на них другие наблюдаемые,
способные представлять физические величины.
Рассмотрение одних только соотношений коммутации позво-
позволяет, вообще говоря:
а) убедиться в том, что набор А, В, С, ... составляет полный
набор коммутирующих наблюдаемых;

§ 6. КВАНТОВАЯ ОДНОМЕРНАЯ СИСТЕМА 295
б) определить структуру спектров этих наблюдаемых;
в) установить действие других наблюдаемых на векторы ба-
базисной системы.
Иначе говоря, знания алгебры наблюдаемых системы почти
всегда достаточно для однозначного определения пространства
ё', в котором они действуют4).
Остается еще убедиться во внутренней согласованности по-
полученной схемы, т. е. проверить, что операторы, представляю-
представляющие физические величины, действительно являются наблю-
наблюдаемыми.
Заметим, что на этом этапе теория уже допускает экспери-
экспериментальную проверку. Физические величины определяются
в принципе с помощью точных операций измерения, так что
спектры их значений могут быть проверены на опыте. Необхо-
Необходимо, чтобы теоретический спектр, т. е. спектр собственных зна-
значений наблюдаемой, сопоставленной каждой физической вели-
величине, совпадал с результатами эксперимента.
§ 6. Квантовая одномерная система, обладающая
классическим аналогом
Применим метод построения пространства Ж из § 5 к одно-
одномерной квантовой системе, обладающей классическим анало-
аналогом; наблюдаемые такой системы являются функциями двух из
них, а именно q и р, связанных соотношением коммутации
[q,p] = ih. A2)
Величина q сама по себе образует полный набор коммути-
коммутирующих наблюдаемых. Действительно, коммутатор q и задан-
заданной функции A(q, р) согласно уравнению (V. 68) равен
[q, A] = iHJt, A3)
следовательно, q коммутирует с А только, если А не зависит
от р; иными словами, единственными наблюдаемыми, коммути-
коммутирующими с q, являются функции от q.
Простые соображения внутренней согласованности наклады-
накладывают очень строгие условия на собственные функции и спектр
собственных значений q. Пусть |^0> есть собственный кет-век-
тор q
4) Это справедливо только, если пространство & является неприводимым
по отношению к указанным наблюдаемым; это условие, которое мы отмечаем
здесь для полноты, всегда считается выполненным в дальнейших рассужде-
рассуждениях. Понятие неприводимости и его физический <;мысл будут подробно обсу-
обсуждаться в гл. XV (§ 6).

296 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Запишем условие того, что обе части равенства A2) имеют
один и тот же диагональный элемент, соответствующий |<70):
ik <<7о I <7о> = <<7о I ЯР I <7о> — (<7о IРЯ 1<7о>;
(<7о) не может иметь конечной нормы, так как в противном слу*
чае правая часть равенства была бы равна нулю, а левая часть
конечна и не равна нулю.
Рассмотрим далее оператор сдвига
Это функция наблюдаемой р, зависящая от параметра |. Ясно,
что это унитарный оператор
так как эрмитово сопряженный оператор есть
Применяя уравнение A2), находим
т. е.
qS = S(q + l) A5)
и, следовательно,
qS\qo) = S(q + t)\qo)=(qo + t)S\qo). A6)
Таким образом, S|<7o> есть собственный вектор q, принадлежа-
принадлежащий собственному значению qo + |. Этот вектор, очевидно, не-
неравен нулю (в противном случае не существовало бы опера-
оператора, обратного S); его норма (бесконечная) та же, что и |<7о>»
ибо S — унитарный оператор
Все это справедливо, каким бы ни было значение | во всем
интервале (—оо, +°°). Так, с помощью унитарного преобразо-
преобразования |<7о> с подходящим параметром можно образовать соб-
собственный кет-вектор q, соответствующий любому наперед за-
заданному собственному значению в интервале (—oo,-f-oo).
Мы приходим к заключению, что спектр q непрерывный, не-
невырожденный и заполняет весь интервал (—оо, -|- оо); собствен-
собственные векторы имеют бесконечную норму.
Обозначим с помощью | q") один из собственных кет-векто-
кет-векторов q, принадлежащий собственному значению q'

§ 6. КВАНТОВАЯ ОДНОМЕРНАЯ СИСТЕМА 297
\q'y определяется с точностью до постоянного множителя, аб-
абсолютную величину которого фиксируем условием нормировки
q"). A7)
Пространство &, по определению, образовано линейными ком-
комбинациями векторов \q'}-
Величина q очевидно является наблюдаемой этого простран-
пространства. Векторы \q'y суть базисные векторы некоторого представ-
представления векторов и операторов S', а именно представления {q},
в котором оператор q диагоналей
q"). A8)
Покажем, что р есть вполне определенный эрмитов оператор
в пространстве 8; для этого достаточно найти его матрицу
в представлении {q}.
Рассмотрим вначале унитарный оператор S(Q, определен-
определенный уравнением A4). Поскольку этот оператор удовлетворяет
уравнению A5), S(g)|<7'> есть собственный вектор q, принад-
принадлежащий собственному значению (q' + ?) '¦
где с — фазовый множитель5), который может зависеть от |
и q'. Выберем фазы базисных векторов так, чтобы
При этом фазовый множитель с будет равен 1, какими бы ни
были | и q'. Действительно,
S (g) \q') = S (I) S (</') 10> = е~т Vт РЧ> | 0> =
k' + i> A9)
или
W15(?) | q") = (<?' \q" + I) = б (</' - q" - |).
Зная таким образом матричные элементы S(|) для любых
значений параметра g и учитывая, что в пределе бесконечно
малых значений этого параметра (g-ve)
можем написать
5) Ввиду того, что S — унитарный оператор, имеем
(<?" | S+ (|) S (|) | q') = с' (|, q") О (|, q') 6 {q" -q')=*6 (<?" - <?').
откуда | с (|, q') | = 1.

298 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
откуда
{q'\p\ q") = ^ Иш W-<П-Ня'-<Г-*) в | у ^ _ ^ B0)
Поскольку «функция» б' нечетна, ясно, что (q"\p\q'y —
= <<7'|р|<7">\ т. е. оператор р эрмитов.
Проверим также, что q и р удовлетворяют условию комму-
коммутации A2):
W | (qp - pq) | q") = (9' - q") (q' \ p \ q") =
= j(q'~ q") 6' W - q") = ihb (q' - q")
(здесь использовано тождество (А. 30) из дополнения А).
Остается показать, что р есть наблюдаемая. Для этого ре-
решим задачу о собственных значениях р в представлении {q}.
Пусть |р'> — собственный кет-вектор, принадлежащий собствен-
собственному значению р'. Уравнение
в представлении {q}, с учетом уравнения B0), записывается
в форме
Р' W IР') = W IР IР') = \ W IР I Ц") dq" {q" I p') =
= 4 \ 6' (q' - q") {q" \ p'> dq- = \-±r (WI p'%
Это дифференциальное уравнение для функции <<7'1р'> ог
переменной q'\ общее его решение есть
где а — произвольная постоянная. Оказывается, таким образом,
что р имеет непрерывный спектр собственных значений р', про-
простирающийся от —оо до +оо. Собственные векторы имеют бес-
бесконечную норму, они удовлетворяют условиям ортонормировки
если принять а = Bяй)~1/2. Теперь ясно, что р наблюдаемая,
ибо векторы |р'> удовлетворяют соотношению замкнутости.
Действительно, оператор проектирования
Рр^ \ \p')dp'(p'\

§ 7. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ 299
в представлении {q} имеет матричные элементы
{q'\Pp\q")= \ {q'\p')dp'{p'\q") =
1
Следовательно,
С помощью основных наблюдаемых р и q можно построить
любой оператор F(p,q), представляющий различные динамиче-
динамические переменные системы. Всякий раз нетрудно проверить, что
эти операторы эрмитовы. Для полноты следует показать, что
они являются наблюдаемыми. Обычно в квантовой теории про-
проходят мимо этих тонкостей и принимают без обсуждения, что
все эрмитовы операторы, представляющие физические вели-
величины, являются наблюдаемыми.
§ 7. Построение пространства состояний путем тензорного
умножения более простых пространств
Умея строить пространство <§ для одномерной системы, об-
обладающей классическим аналогом, нетрудно решить ту же за-
задачу для системы, также обладающей классическим аналогом,
но уже с числом степеней свободы N.
В этом случае динамические переменные будут функциями
2/V основных переменных положения и импульса. Представляю-
Представляющие их наблюдаемые подчиняются коммутационным соотноше-
соотношениям F) и G). Их можно подразделить на N пар (<7i,pi).
(^2, Рг), •¦•, {qN,Pf/), каждая из которых состоит из некоторой
координаты и соответствующего канонически сопряженного им-
импульса. Каждая пара наблюдаемых коммутирует со всеми на-
наблюдаемыми из других пар.
Наблюдаемые данной пары, например (qi,Pi), могут рас-
рассматриваться как основные наблюдаемые одномерной системы
того типа, который изучался в предшествующем параграфе. Мы
уже умеем строить пространство состояний Si такой системы:
согласно результатам § 6, Si образовано линейной суперпози-
суперпозицией ортонормированных кет-векторов \q'^, причем индекс q\
изменяется непрерывно во всем интервале (—оо, +оо).
Пространство <§ динамических состояний системы с N степе-
степенями свободы получается как тензорное произведение
(см. § VII. 6) одномерных пространств S\, Si, ..., Su'

300 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
иными словами, это пространство натянуто на кет-векторы
Каждой паре операторов qi, pi пространства Si соответствует
вполне определенная пара операторов qi, р,- пространства — про-
произведения <§. Таким образом, для представления 2N основных
переменных мы получаем 2N вполне определенных операторов,,
действующих в <§. Согласно правилам тензорного умножения
каждой наблюдаемой парциального пространства соответствует
наблюдаемая полного пространства, две наблюдаемые из раз-
различных парциальных пространств коммутируют между собой,,
две наблюдаемые из одного парциального пространства Si под-
подчиняются в & тем же соотношениям коммутации, которым они
подчиняются в <%i. Следовательно, построенные нами в & опе-
операторы q\, ..., qN; р\, ..., pN являются наблюдаемыми и подчи-
подчиняются коммутационным соотношениям F) и G).
Множество векторов \q'v ..., q'N\, получающееся при изме-
изменении каждого собственного значения q\, ..., q'H в интервале
(—оо,-(-оо), образует базисную систему в 8 и определяет неко-
некоторое представление, а именно представление {q}. Полезно вы-
выписать в явном виде матричные элементы q и р в этом пред-
представлении. Для этого используем сокращенные обозначения:
\q\qf2... q'N), B2)
<2з>
-А- [б iff - Я")\ - б' (q'n - <) П б (q't - <). B4)
Символ Ц обозначает произведение N—1 сомножителей, ис-
1фП
ключая множитель с индексом п.
Применяя соотношения A7), A8) и B0) из § 6, получим по-
последовательно: условия ортонормированности
<?' I Я") = П {q[ | q'l) = б (?' - ?"); B5)
матричные элементы (диагональные) координат
| q") = {q'n | qn | ?) П^ {<ft \ q'f) = <?fi (<?' - q") B6)

§ 8. ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 301
и матричные элементы (недиагональные) импульсов
i ф п
= 76'(<-<') П 6«-<7f) = 7
77^
i ф п Чп
Выполнение коммутационных соотношений F) и G) нетрудно
проверить, пользуясь приведенными здесь явными выражениями
элементов матриц, представляющих q и р.
Любая динамическая переменная системы является функ-
функцией q и р, поэтому ей соответствует некоторый оператор,
вполне определенный в пространстве 8. Следует, конечно, убе-
убедиться в том, что этот оператор является наблюдаемой. Однако
согласно сделанному выше замечанию этот пункт в квантовой
теории обычно приннмают без обсуждения.
Метод построения пространства состояний системы путем
тензорного умножения более простых пространств имеет самое
широкое применение. На практике динамические переменные
системы всегда можно представить в виде функций от некото-
некоторого числа «основных» переменных, а эти переменные часто
можно классифицировать по отдельным подмножествам, так что
переменная, принадлежащая одному подмножеству, совместна
со всеми переменными других подмножеств. Предполо-
Предположим, например, что нам удалось разделить «основные» пере-
переменные на два подмножества (АиВ\,...) и (Л2, В2,...) и что
каждая переменная A) совместна с каждой переменной B).
Каждое подмножество само по себе определяет парциальную
систему, пространство состояний которой мы умеем строить.
Пусть <§\ и Si суть пространства состояний, относящиеся к пар-
парциальным системам A) и B). Тогда очевидно, что простран-
пространство состояний t% полной системы есть тензорное произведение
двух парциальных пространств
СО СО jr~. СО
0 =01® <&%.
РазделП. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
§ 8. Оператор эволюции и уравнение Шредингера
Мы хорошо знаем, что на микроскопическом уровне нельзя
четко отделить физическую систему от измерительного аппа-
аппарата, поэтому эволюция квантовой системы, подвергнутой не-
некоторому измерению, перестает быть каузальной. Напротив,
эволюция системы, изолированной от всяких внешних воздей-
воздействий, может быть точно предсказана. Пусть |ф(?о)) — кет-век~

302 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
тор, представляющий динамическое состояние системы в мо-
момент времени to, тогда кет-вектор |i|)(?)>, представляющий со-
состояние в некоторый последующий момент t, вполне опреде-
определяется заданием |i|)(^o)>, если, что мы и будем предполагать
в дальнейшем, система не подвергается измерению в промежу-
промежуток времени (to, t). В данном параграфе мы изучим этот фун-
фундаментальный закон эволюции системы.
В первую очередь постулируем, что линейная суперпозиция
состояний сохраняется во времени. Отсюда следует, что соот-
соответствие между |г|)(^о)> и |^@> является линейным и опреде-
определяет некоторый линейный оператор U(t,to), который называется
оператором эволюции
Если система консервативна, т. е. ее энергия, представляе-
представляемая гамильтонианом Я, явно не зависит от времени, то оператор
U(t,t0) можно найти, если потребовать, чтобы движение системы
с энергией Е было периодическим и чтобы соответствующая
(круговая) частота со выражалась законом Эйнштейна
Е = А©. B9)
Действительно, поскольку пространство ё" натянуто на соб-
собственные векторы Я, для определения оператора U достаточно
знать его действие на каждый из этих векторов. Пусть \uE(to)}
есть собственный вектор Я, соответствующий энергии Е
H\uE(t0)) = E\uE(t0)). C0)
В согласии с законом Эйнштейна постулируем, что эволюция
вектора во времени определяется формулой
i
I ид @> = *-'• {i~U) I ид (*<>)> = е~Т Е ~h I ид (/<>)>
или, учитывая уравнение C0),
Следовательно,
-J-H(t-n)
Дифференцируя6) обе части этого уравнения по t, получаем
6) Производная оператора X(t), зависящего от непрерывно изменяюще-
изменяющегося параметра t, определяется подобно производной обычной функции:
dX .. X(t + e)-X(f) .
—rr = Mm —i—' J— (см. задачу 3).
at e_»o 8

§ 8. ОПЕРАТОР ЭВОЛЮЦИИ И УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА 303
дифференциальное уравнение
ih-^U(t,to)=HU(t,to), C2)
при этом U(t, t0) есть решение этого уравнения, удовлетворяю-
удовлетворяющее начальному условию
U(to,to)=L C3)
Обобщая этот результат, принимаем, что оператор U{t,U)
удовлетворяет уравнению C2) и начальному условию C3)
даже, когда квантовая система не является консервативной.
В последнем случае оператор Н явно зависит от времени,
поэтому, разумеется, соотношение B9) теряет всякий смысл
и оператор U более не выражается формулой C1).
Отметим, что U может быть определен также интегральным
уравнением
t
\\tQ)df. C4)
Уравнения C2)—C3) или интегральное уравнение C4)
выражают фундаментальный закон эволюции квантовой си-
системы. Эквивалентным выражением этого закона является урав-
уравнение Шредингера или дифференциальное уравнение эволюции
динамических состояний системы. Это уравнение можно полу-
получить, дифференцируя почленно уравнение B8)
и подставляя вместо ~jt^{U to) выражение C2). Находим
*А-?|Ч>@> = Я|ф(')>. C5)
Чтобы норма вектора |iH0> оставалась постоянной во вре-
времени необходимо и достаточно, чтобы оператор Н был эрмито-
эрмитовым; это легко показать, исходя из уравнения Шредингера. Эр-
митовость гамильтониана, естественно, всегда предполагается.
Заметим, что поскольку Н эрмитов, оператор U(t,to) унита-
унитарен. Когда Н не зависит от времени, это непосредственно сле-
следует из выражения C1). Но даже если Н явно зависит от вре-
времени, имеем согласно уравнению Шредингера
Поскольку Н — эрмитов оператор, оператор
U{t + dt, t)^l — jH dt

304 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
является инфинитезимальным унитарным оператором (см.
§ VII. 22): переход от кет-вектора в момент времени t к кет-
вектору в момент времени t -\- dt осуществляется с помощью ин-
фннитезимального унитарного преобразования. Преобразование
U(t,t0), переводящее |i|>(/o)> в |i|)(?)>, есть, следовательно, по-
последовательность инфинитезимальных унитарных преобразова-
преобразований; тогда U(t,to), как произведение инфинитезимальных уни-
унитарных операторов, является унитарным оператором.
§ 9. «Представление» Шредингера
Вывод уравнения Шредингера завершает изложение общей
схемы описания квантовых явлений, которую мы привели в
этой главе. Резюмируем эту схему следующим образом.
1°. Определение динамических состояний
Динамическое состояние квантовой системы определяется
заданием точных значений динамических переменных, входя-
входящих в полный набор совместных переменных. Осуществляя
одновременное измерение переменных полного набора, мы од-
однозначно определяем состояние системы в момент t, когда про-
производится измерение.
2°. Определение пространства состояний
Каждое состояние может быть представлено (принцип су-
суперпозиции) кет-вектором |%> (нормированным на единицу
и определяемым с точностью до фазового множителя) некото-
некоторого векторного пространства t%. Каждая динамическая пере-
переменная представляется наблюдаемой нз этого пространства; со-
состояниями, в которых динамическая переменная имеет опреде-
определенные значения, являются состояния, представляемые соб-
собственными векторами этой наблюдаемой, причем значения
динамической переменной равны собственным значениям наблю-
наблюдаемой, соответствующим указанным собственным векторам.
Наблюдаемые удовлетворяют однородным алгебраическим соот-
соотношениям, которые можно установить, исходя из соотношений
коммутации. Совместные переменные представляются коммути-i
рующими наблюдаемыми.
3°. Определение вероятностей
Если произвести одновременное измерение полного набора
совместных динамических переменных квантовой системы, то
вероятность найтн систему в состоянии |%>, т. е. найти те зна-
значения динамических переменных, которые соответствуют состоя-
состоянию |х>. равна квадрату абсолютного значения скалярного про-
произведения вектора |ф> (нормированного на единицу), представ-
представляющего динамическое состояние системы в момент измерения,
на вектор \у), т. е. |<%|ij3>|2, В более общем случае вероятность

§ 9. «ПРЕДСТАВЛЕНИЕ» ШРЕДИНГЕРА 305
найти систему в подпространстве &D (т. е. найти систему в од-
одном из состояний этого подпространства) равна среднему зна-
значению оператора проектирования на это подпространство Ро,
именно
4°. Уравнение эволюции
В отсутствие всяких внешних воздействий динамическое со-
состояние системы эволюционирует во времени строго причинным
образом. Вектор |ф@>> представляющий это состояние в про-
пространстве <§, непрерывно изменяется, подчиняясь уравнению
Шредингера C5). Другими словами, переход от состояния
|-ф(^о)> к состоянию |i|)@> осуществляется с помощью унитар-
унитарного преобразования B8), где U(t,t0) есть унитарный опера-
оператор, определяемый уравнениями C2) и C3).
Зная динамическое состояние | ф> системы в начальный мо-
момент времени ^о, мы можем предсказать статистическое распре-
распределение результатов любых измерений системы в любой мо-
момент времени U, следующий за to. Действительно, динамическое
состояние системы в момент начала измерения есть
и, следовательно, вероятность найти систему в наперед задан-
лом состоянии |%> равна
Kxl*W=ltt>lt/(^o)l^>l2. C6)
В принятой выше схеме описания явлений состояние физи-
физической системы представляется изменяющимся во времени кет-
вектором |ф@>- Напротив, физические величины, по крайней
мере те из них, которые не зависят явно от времени, представ-
представляются фиксированными наблюдаемыми пространства ё". Ана-
Аналогично, собственные векторы наблюдаемых являются фикси-
фиксированными векторами пространства <%- именно таковы векторы
|х). |^> в выражении C6). Этот способ описания квантовых
явлений обычно называется «представлением.-»7) Шредингера.
7) Не следует смешивать это «представление» с понятием представления
векторов и операторов векторного пространства матрицами. «Представление»,
о котором идет речь, есть представление движения квантовой системы. Чтобы
исключить недоразумения, следовало бы говорить о «способе описания» Шре-
Шредингера. К сожалению, исторически утвердился термин «представление». Мы
<5удем ставить его в кавычки всякий раз, когда он будет употребляться в
данном смысле. Различие, которое мы должны делать здесь, аналогично
различию между унитарными преобразованиями матриц и унитарными пре-
преобразованиями векторов и операторов (см. гл. VII, раздел III).

306 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
§ 10. ^Представление» Гейзенберга
Если произвести унитарное преобразование кет-векторов
и наблюдаемых «представления» Шредингера и приписать пре-
образованным величинам тот же физический смысл, что и ранее,
то мы получим некоторый новый способ описания явлений,
строго эквивалентный первоначальному. При таком преобразо-
преобразовании наблюдаемые преобразуются в наблюдаемые, обладаю-
обладающие тем же спектром собственных значений, собственные век-
векторы переходят в собственные векторы, алгебраические соотно-
соотношения, соотношения сопряжения и скалярные произведения
сохраняются. Поскольку измеряемыми величинами являются
только модули скалярных произведений (см. уравнение C0)),
очевидно, что все предсказания на основе новых величин
тождественны предсказаниям, сделанным на основе старых.
В частном случае можно определить «представление» Гей-
Гейзенберга, производя унитарное преобразование, зависящее от
времени и осуществляемое оператором U^(t,t0). Будем обо-
обозначать старые величины индексом S, а новые — индексом Н,
Кет-вектор
представляющий динамическое состояние системы в момент
времени t, преобразуется в «неподвижный» кет-вектор
= | i|>s (to)). C7)
Напротив, наблюдаемая As «представления» Шредингера пре-
преобразуется в
AH(f) = U*(t,t0)AsU(t,t0). C8)
Мы видим, что даже если ^4S не зависела явно от времени,
наблюдаемая Ан непрерывно изменяется. Если использовать
дифференциальное уравнение C2) и эрмитово сопряженное
уравнение, можно путем почленного дифференцирования C8i
получить
Ш ^jL = - U*HASU + ihUf -^f-U + U*ASHU =
dA
= Uf [As, H]U + ihU* -zf- U. C9)
В этом уравнении Н есть гамильтониан в «представлении» Шре-
Шредингера. Вводя гамильтониан «представления» Гейзенберга
НИ = U* HU,
находим
и*[А3, H]U = [AH, Нн\.

§ 10. «ПРЕДСТАВЛЕНИЕ» ГЕЙЗЕНБЕРГА 307
Наблюдаемая As — некоторая функция основных наблюдае-
наблюдаемых «представления» Шредингера — может и явно зависеть от
времени; второй член в правой части C9) учитывает это об-
обстоятельство. Наблюдаемая dAs/dt есть также некоторая функ-
функция наблюдаемых «представления» Шредингера. Если обозна-
обозначить с помощью дАн/dt функцию, получаемую из предшествую-
предшествующей путем замены всех наблюдаемых на соответствующие на-
наблюдаемые «представления» Гейзенберга, то получим
dt — dt "•
Поэтому уравнение C9) записывается в форме
ih —-^j- = [Ан, Нн] + iti —г^-. D0)
Это уравнение известно как уравнение Гейзенберга.
В заключение можно сделать вывод, что «представление»
Гейзенберга получается путем придания пространству векторов
«представления» Шредингера некоторого общего движения, вы-
выбираемого таким образом, чтобы динамическое состояние кван-
квантовой системы было представлено неподвижным кет-вектором
|ij)tf). Другими словами, всякий неподвижный кет-вектор
«представления» Гейзенберга описывает возможное движение
квантовой системы. В противоположность этому различные фи-
физические величины представляются наблюдаемыми, изменяю-
изменяющимися во времени согласно закону C8) или, что то же самое,
согласно уравнению Гейзенберга D0) с начальным условием
AH(t0) = As(t0).
Уравнения C8) и D0) применимы, разумеется, к любой
функции наблюдаемых «представления» Гейзенберга и, в част-
частности, к выражению е'?Ля или оператору проектирования Р{р
на подпространство собственных векторов, принадлежащих соб-
собственным значениям в некоторой области D спектра Ан.
Точно так же, кет-вектор \%н), представляющий точное за-
задание набора совместных переменных, вообще говоря, зависит
от времени и получается нз своего аналога \%s) «представления»
Шредингера с помощью формулы
Предположим, что движение квантовой системы представ-
представляется, начиная с момента времени to, неподвижным кет-векто-
кет-вектором |фя>. Тогда вероятность найтн ее в состоянии \%нУ в ре-
результате измерения, производимого в последующий момент вре-
времени U, есть

308 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
Эта величина равна той, которая получается с помощью соот-
соответствующих кет-векторов «представления» Шредингера (урав-
(уравнение C6)), ибо скалярное произведение инвариантно относи-
относительно унитарного преобразования U*(tt)
§11. «Представление» Гейзенберга
и принцип соответствия
Как мы видели, «представления» Шредингера и Гейзенберга
строго эквивалентны. На практике чаще используется «пред-
«представление» Шредингера, так как оно более удобно для вычис-
вычислений. Решение уравнения Шредингера, т. е. уравнения для век-
векторов, a priori должно быть проще решения уравнения Гейзен-
Гейзенберга, которое является операторным уравнением. Однако
некоторые свойства квантовых систем наиболее отчетливо про-
проявляются в «представлении» Гейзенберга.
Особенно ярко проявляется в «представлении» Гейзенберга
формальная аналогия между классической и квантовой тео-
теориями. Подобно движению классической системы движение
квантовой системы в «представлении» Гейзенберга описывается
зависимостью от времени характеризующих систему динамиче-
динамических переменных.
Рассмотрим поэтому квантовую систему, обладающую клас-
классическим аналогом, и сравним описание движения двух систем-
Каждой физической величине классической системы соответ-
соответствует физическая величина квантовой системы. Единственное
различие состоит в том, что физические величины классической
системы' подчиняются правилам обычной алгебры, в то время
как их квантовые аналоги представляют собой операторы и под-
подчиняются законам некоммутативной алгебры. Но в тех случаях,
когда можно отождествить выражения некоммутативной ал-
алгебры с выражениями обычной алгебры, уравнения движения
квантовых величин совпадают с уравнениями для их классиче-
классических аналогов. Действительно, уравнения Гейзенберга для пе-
переменных qi, ..., qn n pi, ..., р/1 могут быть записаны в форме-
i?L ![ Я1 ^L \ Я1 (IV
i?L __!_[, Я1-— ^L- — \o Я1 —— (IV
dt — ih [qi' "* — dPi • dt — a [Ph "l ~~ dqt w
(/=1,2, .,., N).
При выводе этих уравнений учитывались основные коммута-
коммутационные соотношения между q и р и свойства (V. 67) и (V. 68),.
которые из них следуют. Система уравнений (I) формальна
идентична канонической системе уравнений Гамильтона клас-
классической механики.

§ 12. ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ 309
Всякая классическая динамическая переменная
Pi, ¦ ¦ ¦, Pn\ t) подчиняется уравнению движения
D2)
dt - Мкл. Нш) + ^,
где {Лкл, Якл} обозначает так называемые скобки Пуассона
Мы видим, что классическое уравнение D2) совпадает с уравнением Гейзен-
берга, если можно отождествить скобки Пуассона {А, Н) с коммутатором
[Ля, HH]/ih. Пользуясь основными коммутационными соотношениями и сход-
сходством правил алгебры коммутаторов и алгебры скобок Пуассона, можно дей-
действительно показать идентичность этих двух выражений, выбирая соответст-
соответствующим образом порядок q и р в явном выражении скобок Пуассона.
§ 12. Интегралы движения
Понятие постоянной или интеграла движения наиболее ясно
и прозрачно именно в «представлении» Гейзенберга. Динамиче-
Динамическая переменная, не зависящая явно от времени, является по-
постоянной движения, если соответствующая наблюдаемая Сч
в «представлении» Гейзенберга остается постоянной во вре-
времени. Вследствие этого ее система собственных векторов ос-
остается неподвижной, так что статистическое распределение ре-
результатов наблюдения этой величины при всех условиях не за-
зависит от времени осуществления измерения.
Следуя этому определению постоянной движения, можем
написать
Таким образом, постоянные движения представляются наблю-
наблюдаемыми, которые коммутируют с гамильтонианом. Этот резуль-
результат, впрочем, равным образом справедлив и в «представлении»
Шредингера, так как соотношения коммутации сохраняются при
унитарном преобразовании.
Будучи независимой от времени, наблюдаемая Сн остается
равной своему начальному значению:
Если, в частности, динамическое состояние системы представ-
представляется в «представлении» Гейзенберга собственным вектором С
Сн I
то переменная С сохраняет определенное значение с в течение
всего времени; говорят, что собственное значение с является хо-
хорошим квантовым числом. Нетрудно, впрочем, показать, что С

310 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
коммутирует с оператором эволюции U(t,to); вследствие этого
кет-вектор l^s@> «представления» Шредингера остается по-
постоянно в подпространстве собственного значения с
§ 13. Уравнение эволюции средних значений и соотношение
неопределенности время-энергия
Исходя из «представления» Гейзенберга, особенно просто
написать дифференциальное уравнение для среднего значения
заданной наблюдаемой Ан. Действительно, поскольку \i$h) не
зависит от времени, имеем
d(A) d dAH
Пользуясь уравнением Гейзенберга, вновь получаем уравнение
(V.72)
* ± ф). D3)
Если же воспользоваться системой (I), то получаются уравне-
уравнения Эренфеста (§ VI. 2).
В качестве приложения уравнения D3) дадим точный вывод
соотношения неопределенности время-энергия (см. § IV. 10).
Рассмотрим систему, гамильтониан которой не зависит явно от
времени, и пусть А есть некоторая другая наблюдаемая этой
-системы, также не зависящая от времени. Мы анализируем ди-
динамическое состояние системы в заданный момент времени /.
Пусть |i|)> есть вектор, представляющий это состояние. Обозна-
Обозначим с помощью АЛ, Д? средние квадратичные отклонения А
и Н соответственно. Применим неравенство Шварца к векторам
(А—(Л))|ф) и (Я—(#))|ф) и повторим слово в слово рас-
рассуждения § 4. Мы найдем после вычислений, что
± Н])\, D4)
причем равенство реализуется, если |т|)> удовлетворяет урав-
уравнению
где ос, у и е — некоторые вещественные постоянные (ср. урав-
уравнение (Ю)). Однако согласно уравнению D3)

§14. ПРОМЕЖУТОЧНЫЕ «ПРЕДСТАВЛЕНИЯ» 311
неравенство D4) можно поэтому записать в форме
АЛ , о^^ Ъ
I d {A)ldt | "~ ^ 2
ИЛИ
D5>
если положить
л л
D6).
где ха — характеристическое время эволюции статистического
распределения Л. Это время, необходимое для того, чтобы центр
(Л) распределения сместился на ширину распределения АЛ,
т. е. время, необходимое для заметного изменения распределе-
распределения. Таким образом, для каждой динамической переменной
можно ввести характеристическое время эволюции.
Пусть теперь т есть наименьшее из так определенных харак-
характеристических времен; т можно рассматривать как характери-
характеристическое время эволюции самой физической системы: каким бы
ни было измерение, осуществляемое в системе в момент времени
t', его статистическое распределение будет практически одинако-
одинаковым с распределением измерения в момент /, если разность.
\t — t'\ меньше т.
Согласно неравенству D5), т и Д? удовлетворяют соотно-
соотношению неопределенности время-энергия
т-А?>Й/2. D7):
Если, в частности, система находится в стационарном состоя-
состоянии, то d(A}/dt = 0 каким бы ни было А и, следовательно, т
бесконечно велико; при этом А? = 0 в согласии с соотноше-
соотношением D7).
, § 14. Промежуточные «представления»
«Представления» Шредингера и Гейзенберга не являются
единственно возможными. Всякое унитарное преобразование
векторов и наблюдаемых «представления» Шредингера (ил№
Гейзенберга) приводит к новому «представлению». Все эта
«представления» дают строго эквивалентные описания кванто-
квантовых явлений. Для каждой конкретной проблемы выбирают то
«представление», которое наилучшим образом подходит для ее
разрешения.
Всякая проблема квантовой механики в конечном счете сво-
сводится к более или менее полному и более или менее точному
определению свойств унитарного оператора U(t,U); действи-
действительно, все предсказания теории заключены в элементах..

312 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
матрицы U(t,t0), таких как в уравнении C6).. Решение уравне-
уравнения C2) является поэтому центральной проблемой теории. Если
известно некоторое приближенное решение этого уравнения
?/<°>(/ ^о), то часто бывает удобно положить
D8)
Подставляя это выражение в уравнение C2) и умножая обе
стороны уравнения на унитарный оператор ?/<°>+ слева, полу-
получаем дифференциальное уравнение
- ih -^-) ?/'. D9)
Решение V этого уравнения удовлетворяет начальному условию
U'(to,t0) = l.
Если приближение удачно, оператор U' медленно меняется во
времени; это хорошо видно из уравнения D9), так как при
аиФ)
удачном выборе Um оператор Я?/@) — ih —jf- мал. Поэтому
уравнение D9) легко (лучше, чем C2)) допускает приближен-
приближенное решение8).
Поскольку оператор ?Л0) унитарен, оператор
(О ^ ih [-§t V™ С 'о)] ?/@)+ (/, t0)
эрмитов (задача 6). Таким образом, оператор U^(t,t0) яв-
является строгим решением уравнения Шредингера
Ш-~ ?/<°> = WW°\ ?/<°> fo, h) = \. E0)
Гамильтониан Н можно представить в виде суммы двух опе-
операторов
Я = Я<°> + Я',
один из которых —Н' — в наших предположениях можно рас-
рассматривать как малое возмущение, а второй — //<°> есть гамиль-
гамильтониан уравнения Шредингера, которое мы умеем интегриро-
интегрировать. В этих обозначениях уравнение D9) записывается просто
ih^U'^H'p', E1)
причем H'j получается из Н' с помощью унитарного преобра-
преобразования, зависящего от времени
f E2)
8) Обсуждаемые манипуляции являются обобщением иа случай диффе-
дифференциальных операторных уравнений известного метода вариации произволь-
яой постоянной в элементарной теории дифференциальных уравнений.

§ 15. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 313
Мы видим, что удобно ввести «представление», промежуточ-
промежуточное между «представлениями» Шредингера и Гейзенберга^
а именно то, которое получается при действии на векторы и на-
наблюдаемые «представления» Шредингера унитарного оператора
?/<0)+(/, ?о). Обозначим с помощью индекса / векторы и наблю-
наблюдаемые этого нового «представления»:
E3>
E4)
В промежуточном «представлении» вектор |i|>/@)> представ-
представляющий возможное движение квантовой системы, равен
U'\i![)s(to)y. Согласно уравнению E1), этот вектор эволюцио-
эволюционирует (медленно) во времени, подчиняясь уравнению Шре-
Шредингера с гамильтонианом, выражающим энергию возмуще-
возмущения н\
ih-^\^{t))= H'^^t))- E5)
С другой стороны, физические величины представляются по-
подвижными наблюдаемыми; эти наблюдаемые подчиняются
уравнениям движения Гейзенберга с «невозмущенным» гамиль-
гамильтонианом Н°г.
ih4iAi = U/. #'0)] +lh Чг • <56>
что легко показать, производя с уравнением E4) те же манипу-
манипуляции, которые в случае уравнения C8) привели к выводу
уравнения Гейзенберга.
Раздел III. РАЗЛИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТЕОРИИ
§ 15. Определение представления
Согласно теории, развитой в двух первых разделах, все необ-
необходимые для описания квантовой системы элементы оказы-
оказываются в наличии, если определены ее основные динамические
переменные, коммутационные соотношения, которым подчи-
подчиняются представляющие их наблюдаемые, и явное выражение
через эти основные наблюдаемые гамильтониана, который
определяет эволюция системы во времени. Тогда можно по-
построить пространство 8 Еекторов, представляющих различные
возможные динамические состояния системы, определить фи-
физический смысл векторов пространства, решая задачи на соб-
собственные значения для различных наблюдаемых, выписать
и решить фундаментальные уравнения эволюции и, наконец,.

314 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
осуществить вычисление статистических распределений резуль-
результатов измерений, которые теория должна предсказать.
Чтобы решить все эти проблемы анализа и алгебры в про-
пространстве &, всегда можно выбрать (и бесконечным числом спо-
способов) полную ортонормированную систему векторов и пред-
представить операторы и векторы в <S с помощью матриц в пред-
представлении, где базисом служит выбранная полная система
векторов.
Таким образом, всякая динамическая переменная системы
представляется квадратной эрмитовой матрицей, всякое дина-
динамическое состояние — правым вектором (или эрмитово сопря-
сопряженным левым вектором), определенным с точностью до по-
¦стоянного множителя.
Существует столько возможных представлений теории,
•сколько имеется различных базисных систем векторов. Переход
от одного представления к другому осуществляется с помощью
унитарного преобразования. Эти унитарные преобразования
матриц не следует смешивать с унитарными преобразованиями
¦операторов и векторов, которые позволяют, согласно разделу II,
изменять «представление» движения самой квантовой системы.
Чаще всего представление определяется заданием полного
набора коммутирующих наблюдаемых: общие собственные век-
векторы этих наблюдаемых как раз и являются базисными векто-
векторами представления. Базисные наблюдаемые представления
и все функции этих наблюдаемых в этом представлении выра-
выражаются диагональными матрицами.
§16. Волновая механика
Волновая механика является частной формулировкой кван-
квантовой теории, когда принимается «представление» Шредингера
и выбирается представление, в котором диагональными яв-
являются операторы координат.
Вернемся к квантовой системе, обладающей классическим
аналогом, с TV степенями свободы, которая рассматривалась
в § 7. Координаты q\, 92 Яы образуют полный набор комму-
коммутирующих наблюдаемых и определяют представление {q}. Это
представление уже использовалось выше при построении самого
пространства 8. При подходящем выборе фаз и нормировки ба-
базисных векторов мы получили очень простые выражения для
матричных элементов операторов дар (уравнения B6—27)).
Основными уравнениями представления {q} являются соот-
соотношения ортонормированности B5) и соотношение замкнутости,
которое в сокращенных обозначениях § 7 записывается в форме
Р„=\\ q') dq' {q'\=\ (dq = dq, dq2 ... dqN). E7)

§ 16. ВОЛНОВАЯ МЕХАНИКА 315;
Каждый кет-вектор |ф> представляется матрицей с одним
столбцом и компонентами <д'|ф>. Эта функция координат
q[, q'2, ..., q'N в конфигурационном пространстве, которую-
можно записать в виде ty(q[, q'v ..., q'N^, и есть волновая функ-
функция, представляющая динамическое состояние системы на языке
волновой механики:
W | ф> - {q[q'2 ... q'N | ф) - ф (q\, q'2,..., q'H). E8)
Скалярное произведение |ф) на |ф) равно скалярному про-
произведению соответствующих волновых функций в том виде, как
оно определялось в волновой механике:
<Ф | ф> = <Ф | Ря | ф) = \ <Ф | q') dq' (q' | ф> = J ф* (/) ф (9') rf9'. E9)
Проверим тождественность операторов волновой механики
и матриц, представляющих наблюдаемые в {^-представлении.
Пользуясь выражением B6) для матрицы наблюдаемой qn,.
убеждаемся, что gnl1!') представляется волновой функцией
и вообще действие некоторой функции V(q) = V(q\, 92, • • •, ?)
от координат пространства конфигураций на кет-вектор ]ф> сво-
сводится к умножению ф(д') на V(q')
(q'\V(q)W>=V(q')Ti>(q'). F0).
Далее, пользуясь явным выражением B7) для матрицы,
представляющей наблюдаемую р„, убеждаемся, что состояние-
р„|ф> представляется волновой функцией:
WI Рп I Ф> = \ WI р п\ q") dq" {q" I ф> =
Следовательно, наблюдаемая р„ представляется операцией част-
частного дифференцирования —ih d/dqn волновой функции, стоящей
справа от оператора рп.
Таким образом, интересующая нас тождественность без-
труда проверяется для функций координат (уравнение F0)) и
для составляющих импульса (уравнение F1)). Но поскольку вся-
всякая наблюдаемая выражается некоторой алгебраической функ-
функцией от р и q, мы приходим к общему заключению: любая

316 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
физическая величина A (q; p) в волновой механике представляет-
представляется оператором A (q; -г- —) •
В качестве примера рассмотрим энергию Я. Если предполо-
предположить, что потенциальная энергия не зависит от времени, то на-
наблюдаемая Я имеет вид
i '
Матрица, задающая энергию в представлении {q}, имеет форму:
Выражение в квадратных скобках является оператором, дей-
действующим на 6{q' — q") как функцию q'. Следовательно, век-
вектор Я|г|:> представляется волновой функцией:
Я | ф>
') = Г- У ^-
Если, наконец, в «представлении» Шредингера, написать
фундаментальное уравнение движения C5) в представлении
{q}, то мы получим уравнение Шредингера в его обычной
форме
Это завершает доказательство того, что волновая механика
представляет собой, формулировку квантовой теории в пред-
представлении {q} и «представлении» Шредингера.
§ 17. Представление {р}
В качестве следующего примера возьмем представление {р},
в котором диагональными являются составляющие импульса.
Пусть | р') зз | р'^ | р^) . •. | p'N) суть базисные векторы этого
представления. Это общие собственные векторы наблюдаемых
Ри Рт. Ры, принадлежащие собственным значениям p[t
,pr2 p'N. Будем предполагать, что они ортонормированы
я удовлетворяют соотношению замкнутости

§ 17. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 1р) 317
Х используем здесь сокращенные обозначения индексов, по-
подобно §§ 7, 16).
Согласно результатам § 6 волновая функция вектора |р'>
в представлении {q} есть
iff IР') - П {Q't | р;> - <2яАГ ™*"*
Эта величина <р'|<7'> = <9'|р')*. если ее рассматривать как
функцию д' и //, является элементом унитарной матрицы S,
преобразующей матрицы представления {q} в матрицы пред-
представления {р}. Кет-вектор |я|?> в этом последнем представлении
описывается «волновой функцией в импульсном пространстве»
Очевидно, что Ф(р') есть образ Фурье (соответствующим обра-
образом нормированный) волновой функции y?(q'')^{q/\^) в кон-
конфигурационном пространстве:
(/>') = ? 11> = J (P' I Я') dq'
Нетрудно проверить (это можно сделать и непосредственно),
что действие оператора р„ на функцию Ф(р') сводится к умно-
умножению на р'п, а действие оператора qn выражается взятием част-
частной производной ihd/dp'n.
Для иллюстрации выпишем в представлении {р} уравнение
Шредингера для частицы с массой т в поле статического по-
потенциала V(r). Энергия системы представляется наблюдаемой
H(r, p)^^L+V(r).
Базисные векторы |р'> зависят от трех компонент импульса
Рх' Ру> Р'г и удовлетворяют условиям ортонормированности и
замкнутости:
' - р") s б (Р; - Р"х) б (Р; - Р"и) б (р'г - Р"г)=<р' i р">,
Унитарная матрица S, преобразующая матрицы представления
{г} в матрицы представления {р}, дается формулой

318 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
Поэтому элементы матрицы V(r) в представлении {р} можно
записать в явном виде так:
(p'W\ р") = \ \ <р' I r') dr' (г' \V{r)\ г") dr" {г" | р"> =
= Bяй) J jj e~~P'r' dr'V {г') б (г' — г") d^'e* ""'"' =
= BпП)~3 J V (г') е~^ <Р'~"") т' dr'.
Положим
Г («) = Bлй)~3 J V (г) е" " dr,
тогда
{p'\V\p") = T{p'-p"),
так что элементы матрицы оператора Н в представлении {р}
записываются в форме
<Р'I я I р"> = |^ б (р'- р") + зпр'- р'О-
Пусть Ф(р') есть волновая функция в импульсном простран-
пространстве динамического состояния |г)?>
h 4(r')dr'.
Тогда уравнение Шредингера, имеющее в волновой механике
вид
ih -^Ч (г; 0 = [—^"А + V (r)]4?(r; t),
в представлении {р} принимает форму интегро-дифференциаль-
ного уравнения
ih -§f Ф (р; 0 = ¦?¦ Ф (р; 0 + J У (р - Р') Ф (р'; 0 dp'.
§ 18. Пример: движение свободного волнового пакета
В качестве приложения вышеприведенных результатов изучим движение
свободного волнового пакета (V = 0).
Пусть |1|з) есть вектор состояния в момент времени t = 0, а г|з(г) и
<р(р)—волновые функции, выражающие этот вектор в представлениях {г} и
{р} соответственно. В момент времени t динамическое состояние системы
дается вектором

§ 19. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ, В КОТОРОМ ДИАГОНАЛЬНА ЭНЕРГИЯ 319
где Н = р?/2т есть гамильтониан свободной частицы. Поскольку импульс
является постоянной движения, его среднее значение остается неизменным во
времени; то же самое верно относительио групповой скорости
v = {рIт.
Мы знаем, что расплыванием пакета можно пренебречь при достаточно
малых промежутках времени (§ VI. 3). Уточним здесь этот результат и по-
покажем, что при выполнении условий слабого расплывания волновой пакет
распространяется практически без искажений и может быть в очень хоро-
хорошем приближенин описан функцией ф(г — vt).
Эта приближенная волновая функция представляет вектор
в чем нетрудно убедиться, используя и обобщая свойство A6) или исследуя
соответствующую волновую функцию в представлении {р}. Приближение тем
лучше, чем ближе к единице вероятность для системы находится в состоянии
\Ч*) ; иными словами, необходимо, чтобы
Заменяя | V) и | W) выражениями, приведенными выше, находим
Матричный элемент в правой части просто вычислить в представлении
{р)\ получаем
S (p-mv)'
I ф (р) I2 e dp.
Если предположить, что мы имеем дело с волновым пакетом типа приведен-
приведенного на рис. 17, то функция ф(р) имеет острый максимум линейных разме-
размеров Ар около среднего значения р = mv\ Ар есть модуль вектора Ар, даю-
дающего среднее квадратичное отклонение импульса частицы р, В этом предпо-
предположении экспонента в правой части равенства близка к единице в области
максимума, т. е. при
ЧтЪ ^
или
т. Ар
Приближение справедливо, пока выполнено это условие. Но это неравенство
выражает условие:
расплывание <С ширины пакета,
которое мы уже получили при изучении расплывания волнового пакета в
§ VI. 3 (условие (VI. 15)).
§ 19. Другие представления. Представление, в котором
диагональна энергия
Примеры, приведенные выше, показывают, что уравнения
теории имеют различную форму в зависимости от выбранного
представления; ввиду этого и вычисления в разных представле-
представлениях могут быть существенно различными.

320 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
вреди представлений квантовой теории некоторые оказы-
оказываются особенно удобными при рассмотрении консервативных
систем из-за простой формы уравнения Шредингера: это те-
представления, в которых энергия Я диагональна 9). Базисные
векторы |?а> такого представления отмечаются собственным
значением энергии Е и набором а собственных значений других
постоянных или интегралов движения, которые вместе с Н со-
составляют полный набор наблюдаемых. Вектор |г|>(/)) «пред-
«представления» Шредингера, описывающий динамическое состоя-
состояние системы, в этом представлении дается «волновой функцией»
которая удовлетворяет уравнению Шредингера
Таким образом, имеем
i_ E .t_t.
1 = ф(?<х;/0)е *
Зная вектор состояния {Еа} в начальный момент времени,
легко определить его эволюцию с течением времени. На прак-
практике вектор в начальный момент времени часто дается в дру-
другом представлении, например, представлении {q}. Уравнение
движения будет, следовательно, решено, если мы сумеем пе-
перейти от представления {q} к представлению, где Я диагоналей.
С математической точки зрения задача построения унитарной
матрицы, обеспечивающей эту смену представления, эквива-
эквивалентна задаче о собственных значениях оператора Я в пред-
представлении {<?}, т. е. решению в этом представлении стационар-
стационарного уравнения Шредингера.
Раздел IV. КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА
§ 20. Системы с неполной информацией
и смешанные состояния
Когда динамическое состояние системы известно не полно-
полностью, некоторые предсказания о ее поведении все же могут
быть сделаны, если прибегнуть к обычным статистическим мето-
методам. Обсуждение этого вопроса, начатое в гл. V (§ 16), без
труда можно изложить в рамках общего формализма.
s) В своей первоначальной форме матричная механика Борна, Гейзен-
берга и Иордана была частной формулировкой квантовой теории в «пред-
«представлении» Гейзенберга, выраженной в представлении, где диагональна
энергия.

§ 21 МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 321
Динамическое состояние квантовой системы известно пол-
полностью, если удалось точно определить значения переменных,
составляющих какой-либо полный набор совместных наблюдае-
наблюдаемых; в этом случае состояние системы может быть представлено
некоторым вектором | >. Если же сведения, которыми мы распо-
располагаем относительно системы, не являются полными, то можно
только указать некоторые вероятности р\, pi, ..., рт ... того,
что система находится в динамических состояниях, представляе-
представляемых кет-векторами 11>, |2>, ..., |т>, ... Иначе говоря, состоя-
состояние системы представляется не единственным вектором, а ста-
статистической смесью векторов.
Предположим, что мы измеряем некоторую величину А.
Среднее значение <Л> результатов измерения имеет вероятность
рт быть равным (А}т = <7л|А\т}/(т\т}. Поэтому, предпо-
предполагая, что векторы |1>, |2>, ..., |т>, ... нормированы на еди-
единицу, можно написать
(А)=?рт{т\А\т). F2)
т
Та же формула дает среднее значение произвольной функции
F(A), если заменить А на F(A); отсюда мы получаем статисти-
статистическое распределение результатов измерения.
§ 21. Матрица плотности 10)
Смешанные состояния особенно удобно описывать с помощью
оператора
Р=-И\т)рт(т\. F3)
т
В этом выражении векторы \т) нормированы на единицу (но
не обязательно ортогональны), а величины рт имеют характер-
характерные свойства статистических весов, т. е.
Рт>0, ?р«=1. F4)
т
Оператор р называется матрицей плотности или статистическим
оператором.
Среднее значение наблюдаемой А есть след рА
(A> = SppA. F5)
Действительно,
SppA —?pmSp(|m></n|4>,
10) Полное изложение свойств матрицы плотности можно найтн в ра-
работе U. Fano, Rev. Mod. Phys. 29, 74 A957),
11 А, Мессиа

322 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
и чтобы доказать эквивалентность формул F2) и F5) доста-
достаточно показать, что
Sp (\т)(т\А) = (т}А\т).
Поскольку оператор Pm = |m><m| есть оператор проектиро-
проектирования и его след равен 1 (уравнение (VII. 88)), имеем
Sp РтА = Sp РтА = Sp РтАРт = Sp| т){т\ А \т)(т I =
= (т\ A \m)SpPm = {m\ А \т).
Те же выкладки, но в случае А — 1, дают условие нормировки
Spp=l.
Конечно все эти выводы относятся и к любой функции наблю-
наблюдаемой А, так что можно написать
Зная р, можно вывести статистическое распределение резуль-
результатов измерения А.
Если Pd — оператор проектирования на подпространство, на-
натянутое на собственные векторы А, принадлежащие собственным
значениям, располагающимся в некоторой области D спектра А,
то вероятность wd. найти результат измерения в области D есть
? pm(m\PD | т) (см. уравнение E)), т. е.
т
wD = SppPD. F6)
В частности, вероятность найти систему в квантовом состоянии,
представляемом вектором |%> (с нормой, равной 1), есть
(xlplx>- F7)
Задания оператора р вполне достаточно для вычисления всех
измеряемых на опыте величин, их средних значений и стати-
статистических распределений результатов измерения, поэтому в
дальнейшем мы будем считать вполне одинаковыми два сме-
смешанных состояния, имеющих одну матрицу плотности: всякое
смешанное состояние полностью определяется своей матрицей
плотности.
Чтобы завершить исследование случая смешанных состояний
и применения к нему постулатов § 2, остается выяснить, какая
матрица плотности представляет динамическое состояние си-
системы после окончания некоторого измерения. Ограничимся, как
и в § 2, случаем идеального измерения. Если измерение пока-
показало, что система находится в собственном состоянии наблюдае-
наблюдаемой А, принадлежащем некоторой области спектра D, то мат-
матрица плотности после измерения равна с точностью до нормиро-

§ 22, ЭВОЛЮЦИЯ СМЕШАННОГО СОСТОЯНИЯ ВО ВРЕМЕНИ 323
вочной постоянной проекции PdqPd оператора р, который пред-
представлял смешанное состояние до измерения. Соответствующая
постоянная должна находиться из условия равенства единице
следа оператора; таким образом, она равна величине, обратной
Sp PdqPd = Sp рРй = wD. Изменение (некаузальное) матрицы
плотности в процессе измерения может быть поэтому выражено
схемой ")
Р рР
р->идеальное измерение, дающее результат D-> SD pD .
§ 22. Эволюция смешанного состояния во времени
Для начала обратимся к «представлению» Шредингера.
Предположим, что в момент времени ^о динамическое состояние
системы представляется статистической смесью векторов (с нор-
нормой 1) 11>о, |2>о, .... \т}0, ... со статистическими весами
Рь Pi, • • • > рт, ¦.. Каждый член смеси эволюционирует согласно
закону
\m)i = U(t, to)\m)o,
и в момент времени / система представляется смесью векторов
| l}t, \2}t, ..., \tn}t, ... с теми же статистическими весами
pi, р2, .... рт, ¦¦• Оператор эволюции U(t,to) определен в § 8.
Отсюда можно получить закон эволюции оператора плот-
плотности:
Pi = ZI tn)tPmt(tn\ = lLU(t, tQ)| m\pm0{m\ [/+ (t, /0) =
m tn
= U (t, g (Z | m\ pm 0(m |)?/+ (/, /0) = U (t, t0) pof/+ (t, t0).
Оператор матрицы плотности в момент времени t получается
из оператора матрицы плотности в начальный момент с по-
помощью унитарного преобразования U(t,t0).
Принимая во внимание уравнение эволюции оператора U
C2) и эрмитово сопряженное уравнение, находим
/Л-^Р( = [Я>Р/]. F8)
Это уравнение Шредингера для матрицы плотности. Его не сле-
следует смешивать с уравнением Гейзенберга D0), несмотря на
формальное сходство (отличие только в знаке перед коммута-
") Чтобы оправдать это расширение постулата редукции волнового па-
пакета, следует обратиться к детальному исследованию механизма измерения
в квантовой механике. См. по этому поводу литературу, цитированную в
сноске IV.10; см. также работу У. Фано (U. Fano, loc. cit.).
И*

324 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
тором). Величины, входящие в уравнение F8), являются опе-
операторами в «представлении» Шредингера.
Переход от «представления» Шредингера к «представлению»
Гейзенберга осуществляется при помощи унитарного преобразо-
преобразования ?/+(/, t0). Вследствие этого в «представлении» Гейзенберга
оператор матрицы плотности остается «неподвижным» (рн = р0),
в то время как наблюдаемые изменяются во времени, следуя
уравнению Гейзенберга D0).
§ 23. Характеристические свойства матрицы плотности
Оператор матрицы плотности р является положительно опре-
определенным эрмитовым оператором (ср. § VII. 8), след его равен 1.
Действительно, исходя из самого определения р по уравне-
уравнению F3), находим при любых ]ы>
<и|р|и>=Ер«1<и|т>8>0, F9)
пг
Spp=?pmSp(|m><m|)=Epm=l- G0)
m m
Кроме того, поскольку все рт положительны и поскольку
(неравенство Шварца) \(и\т)\2 ^. {и\и), имеем
<и|р|и>«и|и>. G1)
Иначе говоря, оператор 1—р также является положительно
определенным.
В общей теории гильбертова пространства показывается, что
положительно определенный эрмитов оператор с конечным сле-
следом является наблюдаемой с чисто дискретным спектром. Соб-
Собственные значения р все заключены между 0 и 1.
Обратно, всякий положительно определенный эрмитов опера-
оператор р со следом 1 можно рассматривать как оператор матрицы
плотности. Действительно, такой оператор есть наблюдаемая и
его можно записать в виде
Р=Е<й„Р„, G2)
m
где ©ь а>2, ..., ®„, ... —отличные от нуля собственные значе-
значения, a Pi, Рг, ¦ • •, Рп, ¦ • • — операторы проектирования на соот-
соответствующие подпространства. Если ни одно из собственных зна-
значений не вырождено, то каждое Рп есть элементарный проектор
Р„ = |Я><Я|, так что
Р=?ю»|п)<й1. G3)

$ 24. ЧИСТЫЕ СОСТОЯНИЯ 325
Поскольку ?©„ = Spp и ©„ = <Я|р|Я> ^ 0, величины ©л обла-
п
дают свойствами статистических весов
следовательно, р есть оператор плотности смешанного состояния,
образованного из векторов |Я> со статистическими весами шл12).
Читатель может сам распространить это рассуждение на случай,
когда некоторые собственные значения р оказываются вырож-
вырожденными.
§ 24. Чистые состояния
Формализм оператора матрицы плотности позволяет рас-
рассматривать чистые состояния как частные случаи смешанных
состояний.
Если известно, что система находится в чистом состоянии
(%), то можно представлять это состояние как смешанное, но с
одним единственным членом смеси |%> (по предположению нор-
нормированным на 1); оператором матрицы плотности явится
проектор
РХ = 1Х>(Х1, G4)
при этом
Р^ = РХ. G5)
Обратно, если оператор матрицы плотности есть проектор,
он представляет чистое состояние; это то состояние, на которое
совершается проектирование.
Можно дать два других критерия, позволяющих выяснить,
представляет ли оператор матрицы плотности чистое состояние:
1°. Оператор матрицы плотности р может быть представлен
в виде линейной комбинации проекторов разными способами:
выражение F3) не единственно. Но чтобы оператор р, опреде-
определенный уравнением F3), представлял чистое состояние, необ-
необходимо (и достаточно), чтобы все \т} были равны между собой
с точностью до фазы; тогда они представляют одно и то же
динамическое состояние, которое и является искомым чистым
состоянием (задача 7).
2°. Всякий оператор матрицы плотности р, т. е. всякий поло-
положительно определенный эрмитов оператор со следом, равным
1, обладает свойством
Spp2<l.
12) В формуле G3) векторы |Я) попарно ортогональны. Однако векторы
\т), фигурирующие в F3), могут и не обладать этим свойством.

326 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
Чтобы он представлял чистое состояние достаточно (и необхо-
необходимо), чтобы (задача 8)
Spp2=l. G6)
В заключение укажем, что всегда можно представлять дина-
динамическое состояние системы с помощью оператора матрицы
плотности, независимо от того, полные или неполные сведения
мы имеем об этом состоянии. Задание этого оператора позволяет
определить все физически измеряемые величины, которые
должна дать квантовая теория; при этом уравнение F6) играет
ту же роль, что и уравнение E) при векторном представлении
состояний. Этот метод имеет то преимущество, что он позволяет
единым образом рассматривать как чистые, так и смешанные
состояния. Кроме того, оператор матрицы плотности, представ-
представляющий состояние системы, определяется единственным обра-
образом, в то время как вектор, представляющий чистое состояние,
определен только с точностью до фазового множителя, а опре-
определение смеси векторов, представляющих состояние с неполной
информацией, допускает еще больший произвол.
§ 25. Классическая статистика и квантовая статистика
В классической механике динамическое состояние опре-
определяется точкой в фазовом пространстве; статистическая смесь
состояний представляется некоторым «флюидом» в фазовом
пространстве, плотность которого ркл в точке равна вероятно-
вероятности найти систему в состоянии, определяемом этой точкой.
Существует замечательный параллелизм между плотностью
в фазовом пространстве ркл и оператором матрицы плотности р
квантовой теории. Плотность ркл является вещественной поло-
положительной величиной, причем интеграл от нее по всему фазо-
фазовому пространству равен единице
=l; G7)
с другой стороны, р есть эрмитов оператор с положительными
собственными значениями (положительно определенный опера-
тор), след которого равен 1.
Зная ркл в некоторый момент времени, можно получить сред-
среднее значение <Л>КЛ любой функции Лкл динамических перемен-
переменных q и р, интегрируя ркл-Дкл по всему фазовому пространству
G8)

§ 25, КЛАССИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА И КВАНТОВАЯ СТАТИСТИКА 327
Эволюция ркл во времени дается уравнением
gt — { "кл> Ркл} G9)
(это уравнение не следует смешивать с уравнением D2)).
Уравнения G8) и G9) являются классическими аналогами
уравнений F5) и F8) соответственно. Мы переходим от выра-
выражений классической теории к выражениям теории квантовой,
заменяя обычные величины наблюдаемыми, скобки Пуассона —
коммутаторами (с учетом множителя Ш), а интегрирование по
всему фазовому пространству заменяется операцией вычисле-
вычисления следа оператора.
Эта новая формулировка принципа соответствия оказы-
оказывается чрезвычайно полезной при распространении на кванто-
квантовую область основных результатов классической статистической
термодинамики. Большинство классических выводов могут быть
воспроизведены без изменения. Ограничимся тем, что укажем
основные результаты.
Состояние квантовой системы в термодинамическом равно-
равновесии при температуре Т представляется оператором
р = jVe-tf/ftr, (80),
где Н — гамильтониан системы, k — постоянная Больцмана. По-
Постоянная нормировки определяется из условия Sp p = 1. Раз-
Различные термодинамические функции системы вычисляются, как
и в классической теории, с помощью статистической суммы
Z(|i) = Spe-i*ff. (81)
Так, для свободной энергии У, энтропии S и энергии Е полу-
получаем следующие выражения, записанные для ц = 1/kT:
ST = -kT\nZ, (82)
(83)
^ (84)
Энтропия системы согласно принципу соответствия, вообще
говоря, равна среднему значению оператора —ftlnp; это значит
S=*-?Sp(plnp). (85)
Равновесное распределение (80) получается без труда: это
распределение, соответствующее заданному среднему значению
энергии, для которого энтропия имеет максимальное значение.

328 ГЛ, VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Вывести из основного постулата о средних значениях выражение E)
для закона распределения вероятностей результатов измерения данной вели-
величины.
2. Рассматривается квантовая система, обладающая одномерным класси-
классическим аналогом. Вывести из соотношения коммутации [q, р] = ih, что спектр
р — непрерывный, простой и заполняет интервал (—оо, +оо). Соответствую-
Соответствующим образом нормированные собственные векторы р образуют полную орто-
нормированную систему в $'. Показать, что при подходящем выборе фаз век-
векторов \р') этой системы действие унитарного оператора exp(iaqfft) (со—
произвольная постоянная) на эти векторы дает
и что матричные элементы q даются формулой
{p>\q\p")=ibb'(p'-p").
Решить проблему собственных значений q в этом представлении.
3. Производная оператора А(\), зависящего явно от непрерывного пара-
параметра \, по определению равна
M... Пт Л (? + в) - Л F)
d% е->0 е
Показать, что:
Г. Если Л(|) есть функция наблюдаемой или нескольких коммутирую-
коммутирующих наблюдаемых, то производная находится по обычным правилам диффе-
дифференцирования. В частности, если О — наблюдаемая, то
2°. Если два оператора дифференцируемы, то
в частности,
d ., dA . , . dA
-ут- А2 = -7г- А + Л
d\ d\
3°. Если А дифференцируем и обладает обратным оператором, то
dl dl Л •
4. Показать, что оператор В (/), определяемый выражением
B{t)=eiAtBae-iAt,

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 329
где Л и Во суть операторы, не зависящие от времени, является решением
интегрального уравнения
i А, [ B(x)dx .
Решая это уравнение методом итераций, можно получить разложение
оператора B(t) по степеням t. Доказать операторное тождество
eiABe~iA = B + i[A, B]+~[A, [А, В]] + ...
п скобок
... ++J.IA, [А, ... [А, [А, В]\ ...]}+ ... .
Замечание. Условимся рассматривать [А, В] как оператор, получающийся
при действии А на В, и обозначим этот оператор символом А{В], тогда
А"{В} выражает действие А, повторенное п раз. Согласно этим обозначениям
А" {В} s В, А {В} = [А, В], А2 {В} = [А, [А, В\] и т. д.,
поэтому тождество можно записать в форме
ft!
л=0
5. Пусть А (%) — оператор, зависящий от непрерывного параметра §,
— производная оператора по |. Доказать операторное тождество
ц
n=0
(обозначения из замечания к задаче 4).
6. Если оператор U(t), дифференцируемый по t, унитарен, то оператор
будет эрмитов. Обратно, если U(t) подчиняется уравнению
где Н есть эрмитов оператор, возможно зависящий от t, то UWJ не зависит
от времени t, a UUf есть решение уравнения
JL

330 ГЛ. VIII. ОПИСАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИИ
В частности, если U унитарен при t = to, то он остается унитарным при лю-
любых t
7. Пусть |1), |2), .,., \М) —последовательность векторов с нормой 1,
но не обязательно ортогональных. Показать, что необходимым и достаточным
условием того, что оператор матрицы плотности
м
t=i
представляет чистое состояние, является равенство всех векторов с точ-
точностью до фазового множителя.
8. Показать, что для того, чтобы положительно определенный эрмитов
оператор р со следом 1 представлял чистое состояние, необходимо и доста-
достаточно, чтобы Sp р2 = 1.

Премудрость построила себе дом, вытесала
семь столбов его,
Заколола жертву, смешала вино с водой
и приготовила у себя трапезу;
Послала слуг своих провозгласить
с возвышенностей городских:
«Тот, кто прост, обратись сюда!»
Притчи, IX, 1—4.
ЧАСТЬ II
ПРОСТЫЕ
СИСТЕМЫ

ГЛАВА IX
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА
МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ.
ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
§ 1. Введение
Исследование физической системы по существу сводится к
решению соответствующего стационарного уравнения Шредин-
гера. В частности, с этим уравнением мы сталкиваемся при
решении двух наиболее часто встречающихся задач квантовой
физики, а именно:
а) определения уровней энергии связанных состояний, т. е.
собственных значений дискретного спектра гамильтониана;
б) вычисления эффективных поперечных сечений рассея-
рассеяния— как будет показано ниже (гл. X), они находятся при
исследовании асимптотической формы собственных функций,
принадлежащих непрерывному спектру.
Уравнение Шредингера волновой механики является уравне-
уравнением в частных производных второго порядка. Для одномерной
системы оно сводится к обыкновенному дифференциальному
уравнению; исследование проблемы собственных значений в
этом простом случае уже было проведено в гл. III. Задача ста-
становится гораздо более трудной, если физическая система обла-
обладает многими степенями свободы. Однако свойства симметрии,
которыми может обладать гамильтониан, существенно облегчает
решение уравнения. Может оказаться, что удачная замена пере-
переменных приведет к уравнению в частных производных с разде-
разделяющимися переменными; задача на собственные значения в
этом случае распадается на несколько задач с меньшим числом
переменных, т. е. более простых.
Именно это имеет место при решении задачи о частице, дви-
движущейся в центрально-симметричном потенциальном поле,
когда потенциал зависит только от расстояния до центра г, но
не от направления радиуса-вектора г. Если гамильтониан обла-
обладает сферической симметрией, то переменные полностью раз-
разделяются в сферических координатах; после отделения угло-
угловых переменных уравнение Шредингера сводится к обыкновен-
обыкновенному дифференциальному уравнению относительно радиаль-
радиальной переменной, которое всегда может быть проинтегрировано,
хотя бы численными методами.

334 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Основная часть этой главы посвящена решению уравнения
Шредингера для частицы в центрально-симметричном потен-
потенциальном поле. Общее обсуждение задачи проводится в раз-
разделе I. В разделе II рассматривается задача о свободной ча-
частице и частице в центрально-симметричной потенциальной яме.
В разделе III исследуется еще один простой пример
разделения переменных при описании движения центра масс
системы частиц; как и в классической механике, это движение
отделяется от относительного движения, если взаимодействие
между частицами зависит только от относительного расстояния
между ними.
Раздел I. ЧАСТИЦА В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ
ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОЛЕ. ОБЩЕЕ РАССМОТРЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ
§ 2. Гамильтониан частицы в сферических координатах
В этом разделе мы изучим уравнение Шредингера для ча-
частицы с массой т, движущейся в поле центрально-симметрич-
центрально-симметричного потенциала V(r). Если р — импульс частицы, а г — ее
радиус-вектор, то гамильтониан частицы выражается формулой
и тогда стационарное уравнение Шредингера принимает вид
s [" Ш А + V (
Ввиду того, что гамильтониан обладает сферической симмет-
симметрией, проведем исследование в сферических координатах.
В качестве полярной оси, как обычно, выберем ось г, тогда
декартовы координаты (х, у, z) выражаются через сферические
координаты (г, 0, ср) известными формулами (см. рис. 27):
х = г sin 8 cos ф, у = г sin 8 sin <p, z = r cos 8. (I)
Выражение для потенциальной энергии V в сферических
координатах нам дано; надо найти выражение для кинетической
энергии р2/2т, иначе говоря, выразить в сферических коорди-
координатах дифференциальный оператор
__й1_д = *L(JL + JL + JL\
2т 2т V. дх2 ~ ду2 ~ дгг ) '
Это можно сделать непосредственно с помощью формул преоб-
преобразования (I). Вычисление довольно длинно, но не представляет
серьезных трудностей; мы не будем его здесь приводить. Вме-
Вместо этого, чтобы лучше понять физический смысл результата,
мы попытаемся выразить кинетическую энергию р2/2т не через
дифференциальные операторы д/дг, д/дд, д/ду, а через построен-

§ 2. ГАМИЛЬТОНИАН ЧАСТИЦЫ
335
ные из этих дифференциальных операторов эрмитовы онера-
торы, которые имеют более наглядный физический смысл.
Так, вместо того, чтобы использовать дифференциальный
оператор д/ду, удобнее иметь дело с г-компонентой момента
импульса, которая согласно уравнению
(V. 49) выражается формулой
Ъ д
урх = —--.
М
C)
Поскольку V(r) не зависит от ф, очевид-
очевидно, что 1г коммутирует с потенциальной
энергией. Однако 1г коммутирует также
и с кинетической энергией р2/2т, что
можно легко проверить (задача 4), поль-
пользуясь определением 1г и соотношениями
коммутации')
[ri, Pi] = ihbif D)
Таким образом, lz коммутирует с га- 27 С4епические
мильтонианом Я. Выбирая в качестве по- декартовы координаты,
лярных осей оси Ох и Оу, можно прийти
к тому же заключению относительно 1Х и 1У. Следовательно три
составляющие lx, ly, lz момента импульса
коммутируют с гамильтонианом. По этой причине мы будем ис-
использовать именно эти операторы, а не операторы d/dQ, д/ду.
По тем же соображениям мы используем радиальный им
пульс
Ь1д В ( д
вместо оператора — г'й д/дг, который не является эрмитовым
(см. задачу 1).
Чтобы уточнить свойство эрмитовости рг, выясним при каких условиях
среднее <\|), prty), где \|)(г) квадратично интегрируемая функция, является ве-
вещественным. Мы должны иметь
О
dr ¦¦
О
О
') В дальнейшем индексы i, ]= 1, 2, 3 служат для обозначения компо-
компонент векторов в декартовых координатах Ох, Оу, Oz; так, например, Г\ = х%
р\ = Р* И т. д.

336 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛЬНО СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Поскольку гф обращается в нуль при г-*оо, мы должны выяснить поведение
функции ф в начале координат. Очевидно, что оператор р, является эрмито-
эрмитовым только, если ограничиться квадратично интегрируемыми функциями, ко-
которые подчиняются дополнительному условию 2)
lim гф (г) = 0. G)
г-»0
Из определения рг следует, что этот оператор коммутирует
с любой функцией 9 и ф, а также с тремя компонентами /, но
[r,pr) = ih. (8)
Существует операторное тождество
р2 = р2 + /2/г2 (гфО), (9)
согласно которому действие на функцию г|з(г) операторов р2 и
Рг + (^2/г2) дает одинаковый результат при г Ф 0.
Чтобы его доказать, применим для вычисления I2 тождество
[4В]2 = Л2В2-DВJ,
подставляя вместо векторов Л и В операторы г и р. Разумеется,
поскольку компоненты г и р не обязательно коммутируют
между собой, это тождество остается справедливым только при
сохранении порядка следования операторов, именно
*2= [Гр] [Гр] = ? {ripjTipj — TiPfiPi).
Повторное применение коммутационных соотношений D) по-
позволяет переписать это тождество в виде
F = r2p2-(rpJ + r7irp, A0)
но поскольку г= (х2 + у2 + г2)Ч *-^7+ y^JtZ~bI:=r'lF'
следовательно,
и, учитывая соотношение коммутации (8), получаем
- ih (rP) = (Гр - ih) (гр) = гРг (гРг + ih) = г2р2.
2) Оператор рг эрмитов, но ие является наблюдаемой. Какой бы ни была
постоянная а, решение дифференциального уравнения
есть, с точностью до постоянного множителя, exp (tor/ft) [r. Это решение не
удовлетворяет условию G); задача на собственные значения рг ие имеет ре-
решения (Оператор рг эрмитов (симметричен) на функциях, удовлетворяющих
условию G), но его нельзя расширить до самосопряженного — Прим. перев.).

§ 3. ОТДЕЛЕНИЕ УГЛОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 337
Правая часть тождества A0) поэтому равна г2(р* — pf). Разде-
Разделив обе части уравнения на г2, получаем искомое тождество (9),
справедливое всюду, кроме, быть может, точки г = 0.
Далее, разделив обе части тождества (9) на 2т, находим
выражение для кинетической энергии, а затем и выражение га-
гамильтониана в сферических координатах
Подобно энергии классической частицы гамильтониан есть
сумма трех членов: «радиальной кинетической энергии»
p2J2m, «вращательной кинетической энергии» 12/2тг2 (заме-
(заметим, что тг2 есть момент инерции относительно начала коорди-
координат) и потенциальной энергии V(r).
Непосредственное вычисление с заменой переменных, упомя-
упомянутое в начале параграфа, приводит к тому же выражению, при-
причем оператор I2 представляется в виде
В заключение выпишем уравнение Шредингера в сфериче-
сферических координатах:
Pf j [_ и
Разумеется, решения этого уравнения могут рассматри-
рассматриваться как решения уравнения Шредингера только лосле изу-
изучения их поведения в начале координат. Не следует забывать,
что справедливость выражения A1) в начале координат не
является автоматически обеспеченной, независимо от вида функ-
функции, на которую действует гамильтониан Н. Не приводя дока-
доказательства, ограничимся здесь указанием того, что уравнение
A3) эквивалентно уравнению Шредингера во всем простран-
пространстве, включая начало координат, если только г|з удовлетворяет
условию G), т. е. условию эрмитовости оператора рг.
§ 3. Отделение угловых переменных. Сферические функции
Из выражений A1) и A2) видно, что операторы Hut2 ком-
коммутируют. Это можно было предвидеть: поскольку Я коммути-
коммутирует с 1Х, 1У, lz, он коммутирует и с любой функцией от этих
операторов и, в частности, с I2. Наблюдаемые Я и I2 имеют
(по крайней мере одну) общую базисную систему. Поэтому
решение проблемы собственных значений Я следует проводить
в два этапа: решить проблему собственных значений I2, а затем

338 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
искать собственные функции оператора I2, удовлетворяющие
уравнению Шредингера. Конкретная форма потенциала V(r)
будет играть роль только на втором этапе вычислений.
При нахождении полной системы собственных функций
оператора I2 переменная г является параметром и может быть
временно опущена, так как оператор I2 действует только на
угловые переменные 8 и ф.
Оператор I2 коммутирует с каждой компонентой момента
импульса (см. уравнение (V. 70)), в частности, он коммутирует
с lz. В теории специальных функций показывается, что общими
собственными функциями операторов I2 и lz, определенных
выражениями A2) и C), являются сферические функции
УГ(8, ф). Основные свойства этих функций даны в Дополнении
Б (§ 10). Их построение будет подробно обсуждаться при систе-
систематическом изучении момента импульса в квантовой механике
(гл. XIII). Различные сферические функции отмечаются индек-
индексами I я т, причем I может принимать все целые положительные
значения и нуль, а т — все целые значения от —/ до +/. Имеем:
*2гГ(е,ф) = /(/+1)/г2гГ(е, ф), A4)
«Т(е, «p) = mftj?(e, Ф) A5)
A = 0, 1, 2, ..., °о; m=-t, -/+1, ..., + /).
В пространстве квадратично интегрируемых функций от Э и
Ф, т. е. в пространстве квадратично интегрируемых функций,
определенных на сфере радиуса 1, сферические функции обра-
образуют полную ортонормированную систему. Следует учитывать,
что скалярное произведение определяется в этом случае как
интеграл по сфере единичного радиуса3), причем элемент по-
поверхности выражается формулой
dQ = sin 6 dQ dq>.
Соотношения ортонормированности записываются в виде
2Л Я
J YTVP' dQ = J rfq> J sin 6 ЖГ (в, Ф) Yf (G, q>) = 6n'6mm-. A6)
о о
Каждой паре квантовых чисел (/, т) соответствует одна сфе-
сферическая функция. Требуя, чтобы функция г|з(г, Э, ф) была
общей собственной функцией операторов I2 и lz, принадлежащей
собственным значениям l(l-\-\)h2 и тЬ соответственно, мы
определяем ее угловую зависимость: функция ty(r, 8, ф) имеет
форму f(r)Y?(B, Ф).
s) См. обсуждение в конце § VII. 13. Аналогичные соображения следует
иметь в виду при написании соотношения замкнутости в представлении (8, ф)'
(уравнение (Б.88)).

§ 4, РАДИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 339
§ 4. Радиальное уравнение
Перейдем теперь ко второму этапу решения уравнения Шре-
Шредингера. Мы должны найти общие собственные функции комму-
коммутирующих операторов Н, I2 и lz. Они являются решениями урав-
уравнения Шредингера вида:
гр^ (г, 8, <р) = У)"(8, у)%[(г). A7)
Из того, что г|э™ есть решение уравнения A3), а У™— собствен-
собственная функция I2 (уравнение A4)) следует, что %t{r) удовлетво-
удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению второго по-
порядка
;(г) = 0, A8)
где р?= -h2T1Fr.
Удобно ввести обозначение
yi(r) = r%i(n A9)
и заменить уравнение A8) эквивалентным радиальным урав-
уравнением
которое имеет большое сходство с одномерным уравнением
Шредингера. Отметим, что норма г|э™, после проведения интегри-
интегрирования по углам, определяется выражением
со оо
«, ФГ> =\г2\%1 (г) \2dr=\\yt (r) p dr B1)
о о
и что условие G) эрмитовости рг эквивалентно условию
у,@) = 0. B2)
Нас будут интересовать не все возможные решения ра-
радиального уравнения B0), так как для того, чтобы функция
¦ф™ была приемлема в качестве собственной функции необхо-
необходимо, чтобы yi удовлетворяла некоторым условиям регуляр-
регулярности. Нужно: а) исследуя поведение yi в начале координат,
убедиться в том, что г|з|" действительно является решением
уравнения Шредингера во всем пространстве, включая начало
координат; б) потребовать, чтобы решение было нормируемым
(в смысле, определенном на стр. 185).

340 ГЛ, IX, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
В целях уточнения условий регулярности рассмотрим под-
подробнее поведение решений уравнения B0) вблизи начала коор-
координат. Будем предполагать, что потенциал V(r) ограничен во
всем интервале, кроме, быть может, начала координат, где
допустима сингулярность типа 1/г. Эти предположения выпол-
выполняются во всех практически интересных случаях. При таких
условиях уравнение B0) допускает одно «регулярное» решение
Ri (определенное с точностью до постоянного множителя), ко-
которое в начале координат обращается в нуль как rl+l; другое
решение вблизи начала координат ведет себя как A/г)'4).
Для доказательства предположим, что функция V{r) является аналити-
аналитической в окрестности начала координат, и будем искать частное решение
уравнения B0) в виде ряда rs(\ + а.\Г а^г2 + ...). Подставляя это разло-
разложение в уравнение, разлагая функцию V(r) в ряд Тейлора и приравнивая
нулю коэффициенты при равных степенях г в левой части уравнения, полу-
получим бесконечную последовательность алгебраических уравнений, из которых
первое
s(s— 1) — /(/+ 1) = 0
определяет s, а последующие — коэффициенты аи Дг, • • • • В нашем случае
уравнение для s имеет два решения: /+ 1 и —/. Если s = /+ 1, вычисление
коэффициентов ряда может быть продолжено до бесконечности и мы полу-
получаем «регулярное» решение Ri. Если же s = —/, то вычисление коэффициен-
коэффициентов невозможно. Однако, нетрудно показать, что если Ri является решением
уравнения B0), то функция
которая вблизи начала координат ведет себя как A/гI, также является ре-
решением уравнения. Общее решение есть линейная комбинация этих двух
частных решений.
Всякое решение типа A/г)' должно быть отброшено, так как
оно не удовлетворяет по крайней мере одному из условий а) и
б). Действительно, если / Ф 0, интеграл от квадрата модуля
такого решения расходится в нуле и согласно уравнению B1)
функция if™ образованная из такого решения, не принадлежит
пространству Гильберта (условие б)). Заметим, что расходи-
расходимость в нуле имеет место и для собственного дифференциала
функции г|э™. Поэтому данное решение должно быть отброшено
*) Это естественно, так как общее решение уравнения B0) в окрестности
нуля приближенно может быть представлено решением уравнения
а общее решение последнего уравнения есть v (r) = arl+1 -\—j (а и 6 —
произвольные постоянные).

§ 5. СОБСТВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ РАДИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 341
как в случае дискретного спектра Е, так и в случае непрерыв-
непрерывного спектра.
Это рассуждение неприменимо при I = 0. Но в этом случае
соответствующая волновая функция i|H не удовлетворяет урав-
уравнению Шредингера (условие (а)). Действительно, вблизи на-
начала координат эта функция ведет себя как 1/г и, поскольку
ДA/г) = —4яб(г) (см. уравнение (А. 12)), имеем
Таким образом, мы должны сохранить только «регулярные»
решения или, что то же самое, решения, удовлетворяющие усло-
условию B2). При этом функция ty™ является решением уравнения
Шредингера всюду, включая начало (условие а)). Далее, по-
поскольку интеграл нормировки сходится в начале координат, вы-
выполнение условия принадлежности г|>" или ее собственного
дифференциала пространству Гильберта (условие б)) будет
зависеть исключительно от поведения этого решения на беско-
бесконечности.
Дополненное условием B2) радиальное уравнение B0) пред-
представляет собой уравнение Шредингера, описывающее одномер-
одномерное движение частицы с массой т при наличии потенциала
В2
V (г) + I (I + 1) о—г в области @, оо) и бесконечно большого
отталкивающего потенциала в области (—оо, 0). Решение урав-
уравнения Шредингера в трех измерениях свелось, таким образом,
к одномерному уравнению Шредингера. Все свойства такого
уравнения, разобранные в гл. III (свойства вронскиана, асимп-
асимптотическое поведение решений, соотношения ортогональности
и т. д.), остаются справедливыми и в нашем случае, несмотря
на сингулярность «эквивалентного потенциала» типа 1A+1)/г2
в начале координат.
§ 5. Собственные решения радиального уравнения.
Структура спектра.
Природа спектра энергии и собственных функции радиаль-
радиального уравнения B0) при заданном значении I зависит от асимп-
асимптотического поведения решений уравнения, регулярных в начале
координат. Все выводы § III. 10 могут быть повторены здесь
без изменения.
Предположим, например, что при /--¦оо потенциал V(r)
стремится к нулю быстрее 1/г:
litn rV(r) = 0.
Энергетический спектр состоит из двух частей:

342 ГЛ, IX, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
а) если Е < О, то будучи регулярным в начале решение
бесконечно растет по абсолютной величине как ё*г, где
Нк= <\/—2тЕ, кроме некоторых дискретных значений Е\1К
Е?\ • • •. для которых
Эти значения и являются единственно возможными собствен-
собственными значениями. Каждому из них соответствует радиальная
функция с ограниченной нормой;
б) если Е >> 0, то регулярное в начале координат решение
бесконечно осциллирует согласно закону
Уi.~ sin I ftr — -5- я
Оно приемлемо в качестве собственного решения при любых зна-
значениях ?>0 и представляет состояние непрерывного спектра.
Постоянная бг называется сдвигом фазы или просто фазой (до-
(дополнительный член —/я/2 добавлен для того, чтобы при V(r)=0
выполнялось равенство 6/ = 0; см. § 7). Фаза бг является важ-
важной величиной: она характеризует асимптотическое поведение
регулярного решения в случае непрерывного спектра и играет
существенную роль в задачах о рассеянии (гл. X).
Если потенциал V при г->оо стремится к нулю как 1/г или
еще медленнее (но монотонным образом), то асимптотическое
поведение решений не столь просто, однако основной результат,
касающийся природы спектра, остается в силе: это всюду не-
невырожденный спектр, включающий непрерывную область для
положительных энергий и последовательность (бесконечную
счетную) отрицательных дискретных уровней энергии.
Остается показать, что при заданном значении / множество
построенных нами собственных функций yi(r) образует полную
систему в том смысле, что любая квадратично интегрируемая
функция от г, определенная на полуоси @, оо), может быть
разложена в ряд по этим собственным функциям. Мы примем,
что это так для всех рассматриваемых в дальнейшем потен-
потенциалов; в противном случае гамильтониан Н не являлся бы
наблюдаемой.
§ 6. Заключение
Подводя итоги, констатируем, что наблюдаемые Я, /2 и 1г
составляют полный набор коммутирующих наблюдаемых. За-
Задача построения общих собственных функций Я, I2 и 1г сводится
к разделению в уравнении Шредингера угловых переменных и

§ 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 343
радиальной переменной. Если фиксировать собственные значе-
значения l(l+\)h2 и тЬ операторов I2 и 1г соответственно, то соб-
собственные функции имеют вид
^ _,,„?*«.. B3)
где yi (r) есть решение радиального уравнения B0), которое
обращается в нуль в начале координат и остается ограниченным
во всем пространстве.
Часто говорят, что такая собственная функция представляет
состояние с моментом импульса I или, точнее, что частица обла-
обладает моментом импульса I с компонентой т относительно оси г.
Напомним, что I и т целые числа и что I ^ 0, —I ^.т^.1.
Согласно традиционной спектроскопической терминологии I на-
называется азимутальным квантовым числом, a m — магнитным
квантовым числом. По традиции более низкие состояния мо-
момента импульса отмечаются буквами алфавита, а не числен-
численными значениями азимутального квантового числа: значениям
Z = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... соответствуют буквы s, p, d, f, g, h, ...
Природа спектра Н зависит от поведения потенциала V{r)
на бесконечности. В частности, если V(r) стремится (монотон-
(монотонно) к нулю, энергетический спектр содержит некоторое число
отрицательных дискретных значений и множество (континуаль-
(континуальное) положительных значений.
Каждое из собственных значений непрерывного спектра бес-
бесконечно вырождено. Действительно, для любых возможных зна-
значений (lm) момента импульса существует собственная функция
с положительной энергией Е.
Уровни энергии дискретного спектра Еы могут быть отме-
отмечены двумя индексами, азимутальным квантовым числом I и
радиальным квантовым числом k, позволяющим различать соб-
собственные значения радиального уравнения при заданном I.
A priori нет никаких причин, по которым радиальные уравнения,
соответствующие различным значениям квантового числа I,
могли бы иметь одинаковые собственные значения: в общем
случае собственные значения Еы все различны, но каждое
B/ + 1) раз вырождено, так как каждому соответствует столько
линейно независимых собственных функций, сколько при данном
I имеется возможных значений магнитного квантового числа
т, т.е.—1,-1+1, ...,+/•
Для некоторых частных форм потенциала V(r) может слу-
случиться, что некоторые из собственных значений Еы совпадают;
в этом случае вырождение увеличивается. Мы встретимся с вы-
вырождением этого рода при изучении атома водорода (гл. XI) и
трехмерного изотропного гармонического осциллятора (гл. XII).

344 ГЛ. IX, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Раздел II. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ
ПОТЕНЦИАЛ. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА
§ 7. Сферические функции Бесселя
Если в интервале @, оо) существуют области, где потенциал
V{r) имеет постоянное значение
то в этих областях радиальное уравнение принимает особенно
простую форму и его общее решение является линейной комби-
комбинацией хорошо известных функций, а именно сферических функ-
функций Бесселя.
Предположим, что Е > Vo. Если положить
то уравнение B0) принимает вид
Тогда радиальная функция fi — t/i/r, рассматриваемая как функ-
функция от р, является решением «сферического уравнения Бесселя»
-0- <25>
Общее решение уравнения B5) есть линейная комбинация двух
частных решений. Наиболее часто применяемые частные реше-
решения приведены в Дополнении Б (§6); это функции ji, m5),
А;+>, Н\~\ Из них только ji является регулярной в начале коор-
координат (ведет себя как р'); три остальные имеют в начале коор-
координат полюс порядка /+ 1. Функции ji и щ являются веществен-
вещественными и на бесконечности ведут себя как стоячие волны:
B6)
Функции h\+) = nl + ijl и /г';"* = nt — ijl асимптотически ведут
себя как расходящаяся и сходящаяся волны соответственно:
А+> _ 1 , ft-> _ 1 . B7)
р-»°о
В случае Е < Vo полагаем
B8)
6) Большинство авторов под щ понимают функцию с противоположным
знаком.

§ 8. СВОБОДНАЯ ЧАСТИЦА 345
и все сказанное выше остается справедливым, если только
заменить всюду k на ix. В частности, асимптотические формулы
B6) и B7) остаются в силе. Единственной радиальной функ-
функцией, ограниченной на бесконечности, является функция
h\+) (ixr); она экспоненциально стремится к нулю. Точнее, функ-
функция ilh\+) (Ш) является вещественной, равной произведению
е~*г1кг на полином степени / от 1/хг, так что асимптотически
§ 8. Свободная частица. Свободные плоские
и сферические волиы
Вышеприведенные результаты применимы и к случаю сво-
свободной частицы. В этом случае V(r) = 0 во всем интервале
(О, оо), и гамильтониан сводится к члену кинетической энергии
Будем искать общие собственные решения Н, I2 и 1г. Решение
с моментом импульса Aт) и энергией Е имеет видУ^(8, cp)f;(r),
где fi есть решение уравнения B5), ограниченное во всем ин-
интервале @, оо).
Если Е < 0, то единственное решение, ограниченное на бес-
бесконечности, а именно hi (мг), в начале координат имеет полюс
порядка /+!• Задача на собственные значения не имеет реше-
решения; как и следовало ожидать, не существует собственных со-
состояний с отрицательной энергией.
Если Е > 0, то уравнение B5) имеет одно и только одно
всюду ограниченное решение, а именно функцию ji(kr). Таким
образом, существует одно собственное решение с моментом
импульса Aт) для каждого положительного значения Е =
= b2k2/2m энергии — это функция
Y?(Q,<t)!t(kr). C0)
Каждое такое собственное решение отмечается двумя ди-
дискретными индексами /, т и непрерывным индексом k, который
может принимать все значения в интервале @, оо); множество
полученных сферических волн образует полную ортонормирован-
ную систему (см. задачу 3).
Совокупность плоских волн eikr составляет другую полную
ортонормированную систему собственных функций энергии
свободной частицы. Это общие собственные функции наблюдае-
наблюдаемых рх, ру, рх, т. е. решения, соответствующие определенному

346 ГЛ, IX, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
заданному значению импульса р. Каждая плоская волна опре-
определяется тремя непрерывно изменяющимися параметрами —
тремя компонентами вектора k, которые могут принимать все
значения от —оо до +°°-
Волна eikr представляет свободную частицу с импульсом
hk и энергией Е = b2k2/2m. В то же время она не представляет
состояния с определенным моментом импульса, подобно тому
как сферическая волна C0) не представляет состояния с опре-
определенным импульсом. Это не удивительно, так как три компо-
компоненты импульса рх, ру, рг не коммутируют одновременно с I2 и 1г.
§ 9. Разложение плоской волны по сферическим функциям
Каждое собственное значение энергии свободной частицы
бесконечно вырождено. Поскольку сферические волны C0)
образуют полную систему, счетное множество сферических
волн, соответствующее заданному волновому числу, k растяги-
растягивает пространство собственных функций с энергией Е =
= h2k2/2m. Следовательно, плоская волна eikr может быть
разложена в ряд по этим функциям:
аш(к)Г?ф, Ф)/;(И- C1)
Если выбрать ось z в направлении k, то плоская волна
может быть записана в форме eikrcose; она не зависит от ф и
разложение C1) содержит только члены с т = 06). Положим
p = kr, u = cos9.
Разложение плоской волны сводится к разложению в ряд по
полиномам Лежандра (см. уравнение (Б. 94)):
1=0
C2)
Для определения коэффициентов си можно действовать следую-
следующим образом. Дифференцируя почленно ряд C2) по р, находим
,-^-Pz. C3)
6) Действительно,
1г exp (ikr cos 9) = -г- -г— exp (ikr cos 9) = 0.

§ 9. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ 347
Но это же разложение может быть записано и в другом виде,
если учесть рекуррентные соотношения для полиномов Ле-
жандра (Б. 78):
C4)
Приравнивая коэффициенты при Pi в разложениях C3) и C4)
и используя рекуррентные соотношения (Б.53—54) для сфери-
сферических функций Бесселя, получаем соотношения:
Чтобы они выполнялись при любом р необходимо и достаточно,
чтобы выражения в скобках равнялись нулю, т. е. чтобы
1Г+ТС'+1 = ^ТГС; (/ = 0, 1, 2, .... оо),
откуда
с, == B/ + 1) t1 • со-
Коэффициент Со можно найти, записывая разложение для случая
р = 0; тогда поскольку /г@) = б/, получим с0 = 1.
В заключение выпишем формулу разложения плоской волны.•
оо
eikz ==eikr cos е s ? B/ + 1)»«/, (kr) Pi (cos 9). C5)
1=0
Для того чтобы получить это разложение в произвольной
системе сферических координат, заметим, что угол 9, фигурирую-
фигурирующий в разложении C5), есть угол между k и г. Обозначим сим-
символами k и г угловые координаты этих векторов. Согласно тео-
теореме сложения сферических функций (Б. 98)
+i
m—l
Подставляя это выражение в разложение C5), имеем
е'*г«4я|; X ilii(kr)Yf{k)Y?fy C6)
;=от=-(

348 ГЛ. IX, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
§ 10. Сферическая прямоугольная яма
В качестве иллюстрации решения задачи о частице в цент-
центрально-симметричном поле сил, рассмотрим «прямоугольную
яму» (рис. 28):
{""•::
Решение радиального уравнения совершенно аналогично
случаю одномерной прямоугольной ямы. Мы умеем писать об-
общее решение уравнения Шредингера в
каждой из областей @, а) и (а, оо);
ыто линейная комбинация сферических
функций Бесселя. Условия регулярности
в начале и на бесконечности и условие
непрерывности функции и ее логарифми-
логарифмической производной в точке г — а по-
позволяют определить допустимые реше-
решения.
Пусть Е — энергия частицы. Поло-
Положим К = [2т (Е + Vo) ] '/z/fi- Во внутрен-
внутренней области @ < г < а) радиальное
уравнение имеет вид
Рис. 28. Сферическая Г-^- + f -j- + (К2 - ' ('rt ° I ft (г) - 0.
прямоугольная потен-
циальная яма. Положив р = Кг, приходим к уравне-
уравнению B5). Существует только одно ре-
решение, регулярное в начале: Aji(Kr) (A — постоянная норми-
нормировки).
Во внешней области (г > а) уравнение Шредингера есть
уравнение для свободной частицы. Следует рассмотреть два
случая:
А) Е < 0. Дискретный спектр, связанные состояния.
Положим я = V~ 2mE/h. Единственным решением, ограни-
ограниченным на бесконечности, является функция Bh[+) (mr), харак-
характерная для связанного состояния. Условие непрерывности функ-
функции при г = а фиксирует отношение В/А. Непрерывность лога-
логарифмической производной дает
\dr ')\г=а /,(/Cr) dr
h {Kr)
C8)
Это условие может быть выполнено только для некоторых ди-
дискретных значений Е. Оно определяет уровни энергии связанных
состояний частицы в яме. Если речь идет об s-состояниях

§ 11. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС В КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ 349
(/ = 0), то уравнение имеет простой вид
— xa = /Cactg/Ca. C8 а)
Это уравнение подобно уравнению (III. 18) одномерной задачи
из § III. 6. Обсуждение вопроса о числе корней уравнения и
числе узлов решений может быть повторено здесь без больших
изменений. Аналогичные выводы можно сделать относительно
значений момента импульса (задача 5).
Б) Е > 0. Непрерывный спектр, несвязанные состояния.
Положим k = -\/2tnE/h. Общее решение уравнения Шре-
дингера во внешней области всюду ограничено. Это линейная
комбинация функций ji(kr) и tii(kr). Условия непрерывности в
точке г = а фиксируют коэффициенты линейной комбинации.
Каждому значению Е соответствует одна и только одна волно-
волновая функция (с точностью до постоянного множителя).
Если внешнее решение представить в форме
В [cos 6; • ji (kr) + sin 6; • n, (kr)], C9)
то условие непрерывности функции в точке г = а определяет
отношение В/А, Величина бг находится из условия непрерыв-
непрерывности логарифмической производной
cos 6; ¦ j\ (ka) + sin 6; • n, (ka)
jt (Ka) cos (>[ • jt (ka) + sin 6( • n[ (ka) '
81 — действительная величина и может быть названа сдвигом
фазы сферической волны с моментом импульса I. Пользуясь
выражениями B6), нетрудно проверить, что асимптотический
вид решения C9) выражается формулой
D sin (kr — /я/2 + Ь{)
В Fr •
В случае s-волны уравнение D0) принимает простую форму:
- во). D0а)
Раздел III. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ. ОТДЕЛЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
ЦЕНТРА МАСС
§ 11. Отделение движения центра масс в классической
механике
При изучении системы двух частиц в квантовой механике
мы, вообще говоря, имеем дело с задачей в 6 измерениях. Од-
Однако если частицы не испытывают никаких других воздействий
кроме их взаимодействия, зависящего только от вектора отно-
относительного положения частиц г = г\ — г%, то задача распадается

350 ГЛ. IX, ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
на две трехмерные задачи: задачу о свободной частице и задачу
о частице в статическом потенциальном поле. Пусть mi, m% —
массы, ри рч — импульсы, t\, r<i— векторы положения этих двух
частиц. Гамильтониан рассматриваемой системы имеет вид
Метод решения задачи состоит в отделении движения центра
масс от относительного движения — в полной аналогии с соот-
соответствующим методом классической механики.
Напомним вкратце, как выглядит классическое рассмотрение
задачи. Положим:
от, + отг
' (И)
отгр1 — отгрг v '
При замене динамических переменных, согласно этим форму-
формулам, движение пары частиц представляется как движение двух
фиктивных частиц. Одна из них есть центр масс, положение ко-
которого дается вектором R, импульс Р равен полному импульсу
системы, а масса М равна полной массе системы. Другая час-
частица, сопоставляется относительному движению; ее положе-
положение г есть относительное положение первой частицы по отноше-
отношению ко второй, скорость р/пг равна относительной скорости
pi/mi — Р2/ГП2, масса m этой относительной частицы называется
приведенной массой.
Отметим несколько замечательных свойств преобразова-
преобразования (II):
mlm2 = mM, D2 а)
р2 р2 р2 Р2
2от, ~ 2от2 2от ~ 2М ' ^°'
mxr\ + m2r2 = mr2 + MR2, D2в)
Р1П + Р2Г2 = pr + PR, D2r)
lx + l2 = l + L. D2д)
В уравнении D2д) мы ввели моменты импульса двух частиц
U и h, момент импульса относительной частицы I = [гр] и
центра масс L = [RP] ¦
Нетрудно видеть, что преобразование сохраняет скобки Пуас-
Пуассона; это — каноническое преобразование. Поэтому уравнения
движения в новых переменных являются каноническими урчав-

§ 12. СИСТЕМА ДВУХ ЧАСТИЦ 351
нениями, полученными, исходя из функции Гамильтона, выра-
выраженной в новых переменных, т. е.
Находим
Уравнения движения центра масс и относительной частицы
полностью разделились. Движение центра масс является равно-
равномерным и прямолинейным — это движение свободной частицы
с массой М. Движение относительной частицы есть движение
частицы с массой т в поле действия потенциала V(r).
§ 12. Отделение движения центра масс квантовой
системы двух частиц
Чтобы рассмотреть ту же задачу в квантовой механике, мы
вводим новые динамические переменные г, R, р и Р, определен-
определенные уравнениями (II). Гамильтониан, в старых переменных вы-
выражавшийся формулой D1), теперь принимает форму D3). Со-
Соотношения коммутации таковы, как если бы мы имели две
частицы в точках г и R с импульсами р и Р; единственно отлич-
отличными от нуля коммутаторами являются
['"/. Р/] = »Й, [Rj, Pt] = ih {j = x, у, z).
Все эти свойства чисто алгебраические и без труда проверяются
с помощью уравнений (II).
Аналогично проверяется и выполнение уравнений D2) в
квантовой механике, включая уравнение D2д), причем нет необ-
необходимости изменять порядок фигурирующих в этих формулах
операторов.
В новых динамических переменных гамильтониан может
быть представлен как сумма двух членов: Н — HR-\-Hr, из
которых первый,
р2
зависит только от переменных центра масс, а второй,
только от переменных относительного движения. Векторы, обра-
образованные путем тензорного умножения собственных векторов
наблюдаемой Нг на собственные векторы наблюдаемой Hr, об-
образуют полную систему собственных векторов наблюдаемой Н.

352 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
Таким образом, уравнение Шредингера в представлении
{/?, г} записывается в виде
ш А«) + (- -ш Аг + v (
где Ад и Аг обозначают операторы Лапласа по координатам R
и г соответственно7). Это уравнение обладает полной системой
собственных решений W (R, г) = Ф (R) ср (г), причем функции Ф
и ф удовлетворяют соответственно уравнениям:
НКФ (/?) ^ (- ~ Ая) Ф (/?) = ?*Ф (*),
#,ф (г)= [- -?- Аг + У (г)] Ф(г) = ?гФ (г).
Собственная энергия полной системы равна сумме собственных
энергий «отделенных» систем: E = ER-\- ET.
Если в начальный момент времени t0 волновая функция яв-
является произведением вида F(R)f(r), то это свойство фактори-
факторизации сохраняется с течением времени; функция F(R) эволю-
эволюционирует как волновой пакет, представляющий свободную ча-
частицу с массой М, а функция f(r)—как волна, представляющая
частицу с массой m в поле действия потенциала V(r)s).
На практике рассмотрение задачи двух тел, таким образом,
сводится к исследованию движения частицы в поле потенциала
V(r), т. е. к задаче, которую мы уже умеем решать в случае,
когда этот потенциал является центрально-симметричным.
§ 13. Система многих частиц
Отделение движения центра масс может быть осуществлено и в системах
с несколькими частицами всякий раз, когда потенциал взаимодействия V за-
зависит только от взаимного положения частиц и не зависит от их абсолютного
положения; иными словами, когда взаимодействие инвариантно относительно
общей трансляции всех частиц.
Рассмотрим квантовую систему из N + 1 частицы, гамильтониан которой
обладает указанным свойством инвариантности. Мы всегда можем выполнить
операцию редукции к центру масс на любой паре частиц, т. е. заменить их
динамические переменные на переменные их центра масс и «относительной
частицы». Этот процесс может быть продолжен; после первой редукции на
двух частицах можно выполнить редукцию на центре масс этих двух частиц
и некоторой третьей частицы: После этих двух последовательных замен дина-
динамических переменных три частицы заменяются «относительной частицей» ча-
частиц 1 и 2, «частицей», связанной с относительным движением центра масс
7) Это уравнение можно было бы получить непосредственно, исходя из
уравнения Шредингера в представлении {г,, г2} и производя в этом уравнении
с частными производными замену переменных (гьг2) -+¦ (г, R).
8) Если ГП\ <С т2, то m ~ т.\ и Af~m2 (пример: атом водорода, Ш\ —
масса электрона, т2 — масса протона); если ту ~ т2, то т~т,/2 и Af~ 2mt
(пример: ядро дейтерия, Ш\ — масса протона, mj — масса нейтрона).

§ 13. СИСТЕМА МНОГИХ ЧАСТИЦ 353
двух первых частиц 1 и 2 и третьей частицы и, наконец, центром масс трех
частиц. В общем случае с помощью N замен переменных можно заменить
N + 1 частицу на N «относительных частиц» и центр масс совокупности из
N -|- 1 частицы. Эта редукция к центру масс совокупности может быть про-
проведена многими способами: либо от частицы к частице ((ЛГ + 1) 1/2 возмож-
возможных вариантов), либо разделяя систему из N-\-I частицы на две группы
из iVi и N2 частиц, производя редукцию к центру масс в каждой из этих
групп, а затем заменяя их центры масс Rt и R2 на «относительную частицу»
R,— R2 и центр масс всей системы (Af,/?! + M2R2)/(Mi + М2), либо разде-
разделяя первоначальную систему из N + 1 частицы на три группы и т. д.
Пусть ru pi и пц — соответственно, положение, импульс и масса 1-Я, ча-
частицы, a R, Р и М — соответствующие величины, относящиеся к центру масс
системы из N -\- 1 частицы:
ЛГ+1 ЛЧ-1 ЛГ+1
и пусть pi, <В/ и ц/ (/ = 1, 2, ..., ЛГ) соответствующие величины, принадле-
принадлежащие /-й «относительной частице», появляющейся в процессе редукции к
центру масс, описанном выше. Поскольку такая редукция есть последова-
последовательность N редукций к центру масс двух частиц, равенства D2) без труда
обобщаются и дают:
--M\ix\i,2 ... yN, D5a)
2^ WZ2ib <45б>
Л + 1 N
ЛГ+1 JV
ЛГ+1 N
Е Е D5д)
С другой стороны и по той же причине, новые динамические переменные под-
подчиняются соотношениям коммутации, характерным для динамических пере-
переменных квантовой системы из Л/ + 1 частицы. Наконец, ясно, что потенциал V
зависит только от относительных координат р, р2, ..., ри и что полная
кинетическая энергия является суммой кинетической энергии центра масс
Р2/2М и кинетических энергий «относительных частиц» согласно D56), т. е.
р2 Г N
-1=1 '
Таким образом, движение центра масс отделяется и решение задачи N -\-1
тела сводится к задаче Л/ тел.
Все эти результаты не зависят от конкретной процедуры редукции к цен-
центру масс. В частности, каким бы ни был выбор N «относительных частиц»,
произведение их приведенных масс Ц1Ц2 • • ¦ \in, сумма их кинетических энер-
энергий V u)^/'2[i. и сумма их моментов импульса У, Гр ,шу1 остаются неизменными:
У / ' '
уравнения D5а), D56) и D5д) (задача 7).

354 ГЛ. IX. ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что определяемый уравнением F) эрмитов оператор ра-
радиального импульса рг удовлетворяет уравнению
2. Рассматривается частица, движущаяся в центрально-симметричном по-
потенциале V(r) и обладающая некоторым числом связанных состояний. Пока-
Показать, что основным состоянием является состояние s. Показать также, что
если существует связанное состояние с моментом импульса L, то существует
связанное состояние, принадлежащее каждому из значений / момента им-
импульса, где / < L, и что если обозначить с помощью Et наиболее низкий уро-
уровень энергии, принадлежащий /, то Ео < Et < ... < El-
3. Выписывая явно соотношения ортогональности и замкнутости, пока-
показать, что собственные функции свободной частицы
зависящие от непрерывного индекса ?@ < k < то) и целых индексов / и
тA ~^х 0, —/ ^ т ^ /), образуют полную ортогональную систему.
Для этого следует доказать соотношение
\ /, (кг) /, (k'r) r*dr = j^-6(k- ft'),
о
принимая во внимание, что функция б (г — г') = 6(* — х')б(у — y')d(z-z')
в сферических координатах имеет вид
б (г - г') = (г2 sin G)~l б (г - г') б (G - G') б (ф - ф').
Показать, что если (k, 0», ф*) — сферические координаты вектора к, то
e-{*Y? (G, Ф) /, (k'r) dr = "!?-(- О' У? (Bft, <Pfc) S (ft - ft')-
4. Вычислить коммутаторы каждой из составляющих гире компонен-
компонентой ul момента импульса I = [гр] вдоль направления единичного вектора и.
Показать, что они могут быть записаны в общем виде:
[(ul), р] = A [up], Kul), r]=-ylur].
Вывести отсюда, что всякая компонента I коммутирует со скалярными вели-
величинами р2, г2 и гр.
5. Какому условию должны удовлетворять характеристические пара-
параметры прямоугольной потенциальной ямы Va и а нз § 10, чтобы: а) не суще-
существовало ни одного связанного s-состояния; б) существовало заданное число
связанных s-состояний? Имеется ли связь между числом связанных s-состоя-
ний и числом узлов радиальной функции, соответствующей нулевой энергии?
Те же вопросы для случая произвольного /.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 355
6. Радиальное уравнение для частицы в поле центрально-симметричного
потенциала V(r) рассматривается методом ВКБ. Чтобы применение метода
было оправданным, требуется не только, чтобы потенциал V(г) мало изме-
изменялся на расстояниях порядка длины волны, но и чтобы /2> 1. Опыт пока-
показывает — и этому можно дать некоторое теоретическое обоснование (см. Lan-
ger, loc. cit. в сноске VI. 9) —, что метод дает хорошие результаты и при ма-
малых значениях /, если заменить /(/ + 1) на (/+ 1/2J в выражении /(/+ 1>/г2
(так называемый центробежный барьер) радиального уравнения. Показать,
что после этой модификации метод ВКБ при любых / правильно дает:
а) асимптотическую форму sinffcr——пЛ/т свободной сферической
волны (V{r) = 0);
б) спектр атома водорода (V(r) = —е2/г);
в) спектр изотропного гармонического осциллятора V (г) = тг гпаРг2
(строгие решения задач на собственные значения б) и в) содержатся, соот-
соответственно, в гл. XI и XII).
7. В системе из N + 1 частицы осуществляется отделение движения цен-
центра масс двумя различными путями. Векторы положения Р[, ..., рд. «относи-
«относительных частиц», полученные вторым путем, связани с векторами положения
pi, ..-, рл(, полученными первым путем, линейным соотношением
Р/ = L
Пусть iij, ..., n,v и Ц[ nv — приведенные массы этих «относительных
частиц». Показать, что матрица (N X N) с элементами
является ортогональной.
8. Рассматривается двумерное уравнение Шредингера в случае, когда
потенциальная энергия V(r) зависит только от радиальной переменной (х =
= г cos Ь, у = г sin d). Доказать тождество
д2 д2 д2 1 д , 1 д2
Ix2' + ~ду~2~ ~~ Ifr* +T~dF + lJ" дЪ1'
Из этого результата вывести, что существует полная система собственных
функций вида т
причем радиальная часть является решением уравнения
d2 , 1 d t2 , 2т
обращающимся в нуль в начале координат.
Замечание. Если V = 0, то этим регулярным решением является функция
Бесселя /| (( (kr), где k = -\/2mE/h.
12*

ГЛАВА X
ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ
ПОТЕНЦИАЛ И МЕТОД ФАЗОВЫХ СДВИГОВ
§ 1. Введение
Эта глава посвящена элементарным понятиям теории столк-
столкновений. Результаты опытов по столкновению частиц выра-
выражаются при помощи так называемых эффективных сечений, не-
непосредственно связанных с асимптотическим поведением ста-
стационарных решений уравнения Шредингера. Поэтому, опреде-
определив понятие эффективного сечения, мы посвятим большую часть
раздела I выяснению этой связи на простом примере рассеяния
частицы на потенциале, который достаточно быстро стремится
к нулю на бесконечности (быстрее 1/г); далее будет показано,
каким образом, с помощью метода отделения движения центра
масс, применить полученные результаты к случаю столкновения
двух взаимодействующих частиц.
Все остальное содержание главы относится к рассеянию ча-
частицы на центральном потенциале и методу решения этой за-
задачи, известному как метод фазовых сдвигов. Этот метод изла-
излагается в разделе II. Он особенно удобен, если потенциал имеет
конечный радиус действия, ибо в этом случае особенно четко
проявляются замечательные свойства фазовых сдвигов, что бу-
будет разобрано в разделе III. Особо следует отметить резонанс-
резонансные явления, проявляющиеся при столкновениях квантовых ча-
частиц— аналогичные явления имеют место в любой задаче о
распространении волн. Обсуждению и физическому истолкова-
истолкованию резонансных явлений посвящен раздел IV. Наконец, в по-
последнем разделе V будут приведены некоторые полезные выра-
выражения для фазовых сдвигов и выведены две приближенные фор-
формулы: формула Борна и формула Бете, или формула эффектив-
эффективного радиуса действия.
Раздел I. ЭФФЕКТИВНЫЕ СЕЧЕНИЯ
И АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ
§ 2. Определение эффективных сечений
Рассмотрим типичный эксперимент по рассеянию, когда
монокинетический пучок частиц бомбардирует заданную ми-
мишень. Пусть / — величина первоначального потока, т. е. число

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ СЕЧЕНИЙ 357
частиц пучка, пересекающих в единицу времени единицу пло-
площади поверхности, перпендикулярной направлению пучка и не-
неподвижной относительно мишени. Если Р — число частиц в еди-
единице объема падающего пучка, a v — скорость частиц пучка по
отношению к мишени, то
J = Pv.
В обычных условиях опыта Р столь мало, что можно пренебречь
взаимодействием частиц в первоначальном пучке и считать, что
столкновения отдельных частиц с мишенью происходят незави-
независимо друг от друга. Счетчики измеряют число Jf частиц, рас-
рассеиваемых в единицу времени в телесном угле dQ в направле-
направлении Q = (9, ф). Это число прямо пропорционально потоку частиц
JT = J2 (Q) dQ.
Величина E(Q), имеющая размерность площади, является пара-
параметром, характеризующим столкновение частицы, обладающей
скоростью v, с мишенью: это эффективное сечение рассеяния
частицы мишенью в направлении Q.
В большинстве случаев мишень состоит из большого числа N
атомных или ядерных рассеивателей, причем расстояния между
этими атомами или ядрами атомов достаточно велики по срав-
сравнению с длиной волны падающих частиц, так что можно пре-
пренебречь всеми явлениями интерференции между волнами, рас-
рассеянными различными центрами1); каждый центр рассеяния
действует независимо от других. Если, кроме того, мишень вы-
выбирается достаточно тонкой, чтобы можно было пренебречь
многократным рассеянием, то /С оказывается прямо пропор-
пропорциональным N
Ж = JNa (Q) dQ.
Площадь cr(Q) называется эффективным сечением рассеяния
частицы на рассеивающем центре в направлении Q или, короче,
дифференциальным эффективным сечением рассеяния.
Полное число частиц, рассеиваемых в единицу времени, по-
получается интегрированием по углам. Оно равно /МтПолн, где
— полное эффективное сечение рассеяния.
В ядерной физике центры рассеяния имеют линейные раз-
размеры порядка 10~12—1СН3 см, эффективные сечения обычно
') Эта ситуация реализуется не всегда. Например, при различных дифрак-
дифракционных явлениях в кристаллах — дифракции электронов, тепловых нейтронов
или рентгеновских лучей — важнейшую роль играет именно указанная выше
интерференция.

358 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
измеряются в барнах или миллибарнах:
1 барн — 10~24 см2, 1 миллибарн (мб)= 10~27 см2.
Во всех этих рассуждениях мы молчаливо предполагали, что
рассеяние происходит в результате упругих столкновений, т. е.
столкновений, при которых квантовое состояние рассеивателя
не изменяется и не происходит передачи энергии внутренним
степеням свободы рассеивателя. Пока мы ограничимся только
упругим рассеянием. Кроме того, мы не будем рассматривать
рассеивающий центр (атом или ядро атома) во всей его слож-
сложности, а будем описывать его статическим потенциалом, зави-
зависящим от радиуса-вектора г частицы.
§ 3. Стационарная волна рассеяния
' Исследуем задачу о рассеянии частицы с массой т на потен-
потенциале V(r), причем в этой главе ограничимся только такими
потенциалами, которые при г->оо стремятся к нулю быстрее
1/г. Рассеяние на кулоновском потенциале будет рассмотрено
в гл. XI.
Пусть Е — энергия, a p=ttk — начальный импульс частицы.
Эффективное сечение сг(Я) можно связать с таким решением
уравнения Шредингера
-шд+v
которое на бесконечности имеет асимптотическую форму
Акт
ettr+f(Q)^-. A)
Примем без обсуждения 2), что для каждого значения k имеется
одно и только одно решение этого типа. Будем называть это
решение -фА (г) стационарной волной рассеяния с волновым век-
вектором к.
Физический смысл обоих членов асимптотической формы ре-
решения легко понять, если обратиться к определению (IV. 9) век-
вектора плотности потока3)
1 (г) = -Ш W (r) (V*(г) ~ ^(г))*ф (г)]-
2) Это утверждение будет доказано в разделе II для случая, когда цен-
центрально-симметричный потенциал V обнаруживает достаточно регулярное по-
поведение в начале координат.
3) Можно определить эрмитов оператор /(г0), представляющий плот-
плотность потока в точке г0:
1 (Го) = ~Ш [рб (Г - ro) + S (г - го) р];
тогда плотность потока, определенная выше, есть среднее значение этого опе-
оператора в некотором заданном квантовом состоянии.

§ 4. ПУЧОК ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ 356
Плоская волна eikr представляет волну с плотностью 1 и плот-
eikr
ностью потока bkjm. Член f (Q) , если учитывать только
члены наинизшего порядка по 1/г, описывает волну с плотностью
|/(Я)|2/72 и плотностью потока, по направлению Я в сторону
увеличивающихся г (расходящаяся волна), равной '* --
m г'
Ввиду того, что влияние потенциала V в асимптотической зоне
пренебрежимо мало, можно, следуя классическому приближе-
приближению (см. § VI. 4), интерпретировать член etkr как пучок моно-
монокинетических частиц с импульсом bk и плотностью 1 ( начальный
пучок). Тогда член / (Q,)eikr/r интерпретируется как радиальный
пучок частиц, исходящих из центра, т. е. представляет поток
рассеянных частиц.
В согласии с этой интерпретацией найдем число частиц, рас-
рассеянных в единицу времени в телесный угол <з?Я в направлении
Я: это поток частиц, проходящих через участок сферической
поверхности очень большого радиуса, который виден из начала
координат под телесным углом (Я, Я + dQ), т. е. — | f (Я) |2 dQ.
Разделив это число на величину первоначального потока
/ = hk/m, получим эффективное сечение рассеяния
а (Я)-|f (Я) р. B)
Функция /(Я) называется амплитудой рассеяния.
§ 4. Описание рассеяния
при помощи пучка волновых пакетов4)
Интуитивные рассуждения предыдущего параграфа некорректны по двум
причинам.
Во-первых, вектор плотности потока не является простой суммой потоков
от плоской волны и рассеянной волны. Необходимо учесть вклад интерферен-
интерференции между exp(ifer) и /(Q) exp(ikr)/r. В предшествующих рассуждениях яв-
явление интерференции не учитывалось.
Во-вторых, представленне физической ситуации стационарной волной рас-
рассеяния
**(')« C)
является идеализированным. На самом деле каждая частица, подвергающаяся
рассеянию, должна представляться волновым пакетом, образованным супер-
суперпозицией стационарных волн типа C), соответствующих волновым векторам,
несколько отличающимся по величине и направлению от k. Этот пакет дол-
должен быть построен так, чтобы правильно учесть начальные условия задачи.
Вследствие дисперсии по направлению импульса его поперечные размеры ог-
4) Рассмотрение проблемы рассеяния в § 4, 5 и 6 основано на работах
Чу н Лоу по теории рассеяния. Вычисления § 16 также заимствованы из
этих работ.

360
ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
раничены и не превосходят размеров диафрагмы источника первоначального
пучка. Вследствие же дисперсии по энергии пакет ограничен также и в про-
продольном направлении и распространяется прямолинейно в направлении ми-
мишени со скоростью, равной групповой скорости v = hk/m.
Удобно характеризовать траекторию частицы положением Ь точки ее пере-
пересечения с плоскостью (S), проходящей через рассеивающий центр перпендику-
перпендикулярно направлению распространения. Пусть to— момент времени пересечения
плоскости (S) центром пакета в том случае, когда его движение не возму-
возмущается рассеивающим потенциалом; тогда закон движения центра пакета до
столкновения может быть записан в форме
(г) = Ь + v (t - t0).
Начальный поток является в действительности потоком волновых пакетов
указанного выше типа, перемещающихся параллельно друг другу со ско-
скоростью v и отличающихся друг от друга только значениями параметров 6 н
to, фиксирующих движение центров пакетов до столкновения.
Детектор
V
Zd
21
Л
Рассеивающий
центр
Рис. 29. Схема эксперимента по рассеянию и характеристические длины в этом
опыте.
В дальнейшем обсуждении будут рассматриваться следующие харак-
характеристические длины (рис. 29):
\=h/mv — средняя длина волны падающего волнового пакета;
d, I — поперечные и продольные размеры падающего пакета;
а — размеры зоны рассеянии;
D — расстояние регистрирующего прибора от зоны рассеяния.
Длины d и I связаны соотношениями неопределенности с дисперсиями па-
падающего пакета волн соответственно по направлению н энергии. Поскольку
мы предполагаем, что направление распространения пакета и его энергия хо-
хорошо определены, необходимо
X<d и %<1. D)
Чтобы само рассеяние не зависело существенным образом от конкретной фор-
формы волнового пакета, необходимо, кроме того, чтобы его размеры значитель-
значительно превосходили размеры зоны рассеяния, т. е. той области пространства, где
потенциал имеет отличную от нуля величину, т. е.
a<d, / E)
(а ^ 10~8 см при рассеянии на атоме и а 2^ 10~13 см при рассеянии на ядре).
При этих предположениях, если прицельный параметр превосходит попе-
поперечные размеры пакета F > d)y то падающий волновой пакет не касается

§ 4. ПУЧОК ВОЛНОВЫХ ПАКЕТОВ
361
зоны рассеяния и движется все время как свободный волновой пакет. Если,
напротив, Ъ < d, он достигает зоны рассеяния в некоторый момент t\ c~ t0 —
— l/v. В этот момент начинается собственно столкновение. Через достаточно
большой промежуток времени волновой пакет вновь оказывается полностью
вне зоны рассеяния, но теперь он состоит, вообще говоря, нз двух частей:
проходящего волнового пакета, форма и закон движения которого мало от-
отличаются от первоначальных, и пакета волн,
рассеянных в разных направлениях относи-
относительно первоначального (рис. 30N).
Детектирование рассеянных частиц осу-
осуществляется некоторым регистрирующим
устройством (счетчики, фотопластинки
и т. д.) в заданном направлении Q = (9, ф)
на некотором расстоянии порядка D от
центра рассеяния. Это расстояние не дол-
должно быть слишком большим, если мы не
хотим принимать во внимание расплывание
волнового пакета в ходе эксперимента (см.
§ VI.3):
VXD<d, /. F)
Но это расстояние все же должно быть
достаточно большим, чтобы распростране-
распространение детектируемой волны не возмущалось
присутствием потенциала зоны рассеяния,
т. е.
a,%<D, G)
н чтобы детектор не мог регистрировать ча-
частицы проходящего волнового пакета:
d < D sin 9. (8)
Заметим, что волна, рассеянная вперед
(9 = 0), не может быть отделена от прохо-
проходящей волны.
Объединяя условия D) — (8), получаем
неравенства 6):
я, VXD < I,
< d < D.
Рис. 30. Схема процесса рас-
рассеяния волнового пакета:
а) — до столкновения; б) — в мо-
момент столкновения; в) — после
столкновения (заштрихована
область, где действует отлич-
отличный от нуля потенциал).
(9a)
a, VKO < d < ?>. (96)
Формула B) выражает эффективное сечение рассеяния только при том
условии, что экспериментальное устройство, предназначенное для измерения
этой величины, обеспечивает выполнение неравенств (9).
Кроме этого необходимо, чтобы волновые пакеты имели достаточно хо-
хорошо определенные направление движения и энергию, так как только в этом
случае амплитуда рассеяния вообще имеет смысл. Функция f(Q) должна
оставаться практически постоянной и по модулю, н по фазе при изменении
5) Это явление аналогично явлениям отражения н прохождения волн в
одномерной задаче, рассмотренной в гл. III (§§ 3, 6 и 7).
6) В экспериментах атомной и ядерной физики длина d равна самое
большее ширине входной диафрагмы (d ~ 1 мм); длина I может быть за-
заметно больше; D — обычно порядка 1 л._Если а~ Ю-8 см и К сх 10~8 см, что
является максимальной величиной, то J 3 7 //
/V 2 3
~ Ю~3 см н I/a ex I07,
^/V
бытком.
— 102, djD г* 10~3. Таким образом, условия (9) выполняются с из-

из362 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
энергии на величину порядка 6Е ~ hv/l, а угла падения — на величину по-
порядка %Jd вблизи соответствующих средних значений.
Доказательство этого результата будет проведено в двух последующих
параграфах.
§ 5. Рассеяние волнового пакета на потенциале
В предполагаемых условиях (l,d^>a) эволюция волновых пакетов па-
падающего пучка практически не зависит от их конкретной формы. Будем счи-
считать, что все они имеют одинаковую форму, причем каждый характеризуется
параметрами Ь и t0, которые определяют движение центра пакета. Примем
ta за начало отсчета времени (^о = 0), что не ограничивает общности рассу-
рассуждений. Для определения формы падающего пакета введем функцию ()
с единичной нормой
\. A0)
Пусть А (и) —фурье-образ этой функции, так что
X (р) = J А (м) в"* dx. A1)
По предположению х(р) — вещественная функция, принимающая существенно
отличные от нуля значения, когда р находится вблизи точки р = 0 в области
с продольными размерами ~ I и поперечными размерами ~ d. Функция А (и)
также вещественная и отлична от нуля в области с продольными размерами
~ 1// н поперечными размерами ~ \/d вблизи точки и = 0. Для упрощения
будем считать, что d ~ I.
Задолго до столкновения (<<С —l/v) исследуемый нами волновой пакет
Чгй(г, 0 тождествен волновому пакету для свободной частицы Фь(г, t), центр
которого движется по закону
а форма в момент времени t = 0 выражается формулой
фь (г, 0) = е'* {г~ь)х (r-b)=\A(k'~ k) eik' (r-b)dk'.
В момент времени t:
фь (г, 0 = \ А (*' - k) e n dk'. A2)
Если пренебречь расплыванием, то свободный волновой пакет может быть
представлен выражением (см. § XIII. 18)
( (к -—Л
Фь (г, 0 т e~lkbe ^ Г h)x(r-vt-b), A3)
которое получается, если в A2) заменить энергию Е' =Й2й' /2от двумя пер-
первыми членами ее разложения по степеням к — k:
E' = E + hv (k' - k).
Волновой пакет Уь получится, если вместо плоской волны в подынте-
подынтегральном выражении формулы A2) мы подставим стационарную волну рас-
рассеяния:
_ -MIL
(*'-*)Г"\'(г)е ' Н dk'. A4)

§ 5. РАССЕЯНИЕ ВОЛНОВОГО ПАКЕТА НА ПОТЕНЦИАЛЕ 363
Это выражение является решением уравнения Шредингера, так как представ-
представляет собой суперпозицию решений этого уравнения. Нам достаточно пока-
показать, что до столкновения это выражение тождественно свободному волно-
волновому пакету Ф&.
Поскольку функция А (к' — к) имеет острый максимум вблизи точки
k' = к, вклад в интеграл дает только малая область около этой точки.
Когда t <С —l/v, фаза подынтегрального выражения ввиду присутствия экс-
потенциального фактора ехр(/?7/Й) быстро изменяется именно в этой обла-
области, и интеграл практически равен нулю, кроме тех значений г, при которых
фаза оказывается стационарной. Это может иметь место только для г по-
порядка v\t\, иначе говоря для тех областей пространства конфигураций, где
i|)ft, (r) может быть заменена своей асимптотической формой
A5)
Подставляя это выражение в интеграл A4), находим
Чь (г, t) t _^то Фь (г, t) + 4f > (r, 0, A6)
где
4f > = ) A (ft' - ft) e-lk % (Q) - rfft'; A7)
при t-*-—oo фаза подынтегрального выражения не может быть сделана ста-
стационарной в области к' = к н интеграл Ч^' практически равен нулю, каким
бы ни было г. Волновой пакет, таким образом, в этом пределе действительно
совпадает со свободным волновым пакетом.
Исследуем теперь эволюцию волнового пакета в зоне детектирования
(r~^?>D). В этой области пространства подстановка асимптотической формы
A5) несомненно оправдана, выражение A6) вновь обретает силу.
Мы предположим, что дисперсии по направлению н энергии столь малы,
что fki (Q) остается практически постоянной в области с размерами \/dc^.
са 1// около точки к' = ft и что в интеграле A7) модуль fk, (Q) можно за-
заменить его значением в точке ft, а фазу этой функции — двумя первыми чле-
членами разложения:
arg fh, (Q) ~ arg fk (Q) + (ft' - ft) * @),
s(Q) = gradft[argfft(Q)] (s<d, I). A8)
Фазы других сомножителей также заменим двумя первыми членами разло-
разложения вблизи ft:
ft'«ft + a(ft'-ft), E'~E + ?iv(k'-k) A9)
(и = v/v — единичный вектор в направлении начальной скорости). Тогда вы-
вычисление по методу стационарной фазы приводит нас к результату, аналогич-
аналогичному формуле A3) для случая Фь:
gi (kr-Et/ti)
Поведение функции Ч^' существенно зависит от величины прицельного
параметра Ь.
Если Ь > d, то аргумент функции % все время находится в области, где
значение, этой функции пренебрежимо мало: *Р^ все время остается практи-
практически равной нулю, волновой пакет движется как свободный.

364 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Если Ь < d, т. е. если падающий волновой пакет попадает в зону эффек-
эффективного действия потенциала, то функция % существенно отлична от нуля в
сферическом слое толщины / по обе стороны сферы г = vt. Функция Ч?\, ,
практически равная нулю до столкновения, после столкновения представляет
собой пакет сферических волн, расходящихся нз центра с радиальной ско-
скоростью v. При t ^ D/v волна Ч*^ достигает зоны детектирования, к этому
моменту она уже полностью отделена от проходящей волны Ф6 по всем на-
направлениям, кроме направления вперед (9<d/D), где эти две волны оказы-
оказываются сравнимыми по величине н могут интерферировать7). Мы приходим
к качественным результатам, изложенным в § 4.
§ 6. Вычисление эффективных сечений
До вычисления эффективных сеченнй следует уточнить, в чем состоит опе-
операция детектирования. Каковы бы ни были детали экспериментального уст-
устройства, оно обязательно включает некоторую диафрагму, расположенную на
расстоянии D и в направлении Q от мншени. Отверстие диафрагмы пропу-
пропускает без искажения волну в телесном угле (Q, Q + dQ), остальная часть
излучения отсекается. Регистрирующее устройство за диафрагмой детектирует
все частицы, проходящие через отверстие. Вероятность Pb(Q)dQ регистрации
частицы, движение которой перед детектированием описывалось волной V6 (г, t),
равна полному потоку через отверстие диафрагмы за все время столкно-
столкновения8), нли, что то же самое, вероятности нахождения рассеянной частицы
в телесном угле (Q, Q + dQ) по окончании столкновения (t = Т » l/v).
Ввиду того, что детектор достаточно удален в поперечном направлении
и проходящая волна не может на него действовать (условие (8)), вычисление
указанной выше вероятности должно производиться с помощью рассеянной
волны ЧГ{^. Пользуясь выражением B0), находим
оо оо
Pb (Q) - J | 4f (г. Т) |V dr-\fk (Q) р 5 I X (в (г- vT) + а - Ь) |« dr. B1)
о о
Поскольку vT >> I, можно сделать замену переменной
z = r — vT
и распространить предел интегрирования до —оо, что дает
Рассмотрим теперь пучок частиц с потоком, равным 1: в единицу времени
на элемент поверхности F, Ь + db) падает db частиц и каждая нз них имеет
7) Этим интерференционным членом нельзя пренебречь, нбо он обеспе-
обеспечивает сохранение нормы (задача 1).
8) Момент пересечения диафрагмы частицей равен в среднем (D + us)/v.
Он не может быть указан с точностью, превышающей l/v, в согласии с со-
соотношением неопределенности время-энергня; величина us/v может рассма-
рассматриваться как запаздывание прохождения рассеянной волны. Однако наше
экспериментальное устройство, очевидно, не может учесть такое запаздыва-
запаздывание, так как s <С I (см. обсуждение запаздывания отражения в § III. 6). На-
Наблюдение запаздывания этого рода предполагает значительную погрешность
определения энергии (см. § 16).

§ 7. СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ 365
вероятность Pb(Q) dQ быть рассеянной в направлении (Я, Q + dQ). Вероят-
Вероятность рассеяния в телесном угле (Я, Я + dQ) в единицу времени и на еди-
единицу потока получается интегрированием этого выражения по Ь:
а (Я) = | fk (Я) р ^ dz jj db | % (uz + s - Ь) |2.
— oo
Область интегрирования по Ь представляет собой плоскость, перпендикуляр-
перпендикулярную а. Заменой переменных р = uz + s—b тройной интеграл сводится к ин-
интегралу нормировки функции % (уравнение A0)). Тогда действительно полу-
получаем выражение B):
а (Я) = | fk (Я) |2.
§ 7. Столкновение двух частиц. Лабораторная система
и система центра масс
Метод отделения движения центра масс позволяет рассмот-
рассмотреть задачу о столкновении двух частиц при наличии потенциала
взаимодействия, зависящего только от взаимного положения
частиц V(r), путем сведения ее к задаче рассеяния одной части-
частицы на потенциале. Как было показано в разделе III гл. IX (мы
будем следовать обозначениям этого раздела), движение двух
частиц состоит из двух раздельных движений — движения
центра масс как свободной частицы и движения «относительной
частицы» с массой т = т1т.2/{т.\ + тг) под действием потен-
потенциала V(r).
В типичном эксперименте по рассеянию мишень, состоящая
из частиц типа 2, бомбардируется монокинетическим пучком
частиц типа 1 и производится подсчет частиц какого-либо типа,
например, типа 1, испускаемых в заданном направлении Qi =
= Fi,<Pi)- До столкновения частица 2 находилась в покое, ча-
частица 1 двигалась со скоростью о, так что скорость центра масс
равна
Полная энергия системы является суммой энергий движения
центра масс и относительного движения
Ь = bR -\- br;
здесь
Р mitJ „ МУ2 т\ р р mv2 т2
т2
Во время столкновения центр масс продолжает оставаться в
состоянии равномерного и прямолинейного движения. Очевидно,
что величина эффективного сечения рассеяния связана с асимп-
асимптотическим поведением функций стационарных состояний энер-
энергии Ег, зависящих от относительных координат.

366 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Чтобы установить эту связь, удобно изменить систему от-
отсчета и рассматривать явление рассеяния в той системе коорди-
координат, в которой покоится центр масс частиц. Обычно лаборатор-
лабораторной системой называется система отсчета, в которой неподвижна
частица-мишень до столкновения, а системой центра масс—та
система, в которой покоится центр масс; первая система рас-
рассматривалась выше, вторая равномерно и прямолинейно дви-
движется относительно первой со скоростью V. Переход от одной
системы к другой изменяет описание движения центра масс,
движение «относительной частицы» остается неизменным.
Определение эффективного сечения, данное в § 2, не обяза-
обязательно предполагает, что частица мишени первоначально по-
покоится.
Отметим, что падающий поток, входящий в это определение,
есть поток частиц относительно мишени; эта величина не зависит
от выбранной системы отсчета. Можно определить эффективное
сечение a(Q) в системе центра масс, подобно тому как опре-
определялось эффективное сечение ai(Q) в лабораторной системе
для того же процесса. Величина а(п) равна числу частиц типа 1,
испускаемых в единицу времени на единицу телесного угла в
направлении Q, когда частица типа 2 бомбардируется относи-
относительным потоком частиц типа 1, равным единице, причем все
наблюдения производятся в системе центра масс и углы рассея-
рассеяния также измеряются в этой системе отсчета.
Из этого определения следует, что
где Qi — направление движения рассеянной частицы 1 в ла-
лабораторной системе отсчета, если в системе центра масс она
движется в направлении Q. Отметим равенство полных эффек-
эффективных сечений
a (Q) dQ = о{ полН.
Это, разумеется, было ясно a priori, ибо полное эффективное
сечение дает полное число частиц, рассеянных на единицу па-
падающего потока, а эта величина не зависит от системы от-
отсчета.
Величина a(Q) по сравнению с ai(Qi) более непосредственно
связана с трехмерной задачей о рассеянии «относительной ча-
частицы» потенциалом V(r). Действительно, в системе центра
масс направление движения частицы 1 совпадает с направле-
направлением движения «относительной частицы» (частица 2 движется
в противоположном направлении). Поскольку, кроме того, па-
падающий поток «относительной частицы» по отношению к сило-
силовому центру (г = 0) равен падающему потоку в нашей задаче

§ 7, СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ
367
о рассеянии, величина a(Q) есть эффективное сечение рассеяния
«относительной частицы» в направлении Q, т. е. дифферен-
дифференциальное эффективное сечение рассеяния в направлении Q ча-
частицы с массой т и начальной скоростью v на потенциале V{r).
и
До стоппноЬент
После столкновения
v-V
м
После
столкновения
До столкновения
Рис. 31. а) Столкновение в лабораторной системе (^==~77"°); б) то же
столкновение в системе центра масс.
В частности, если потенциал V(r) асимптотически стремится
к нулю быстрее, чем 1/г, уравнение Шредингера для «относи-
«относительной частицы»
обладает собственным решением с энергией Ег, асимптотическая
форма которого имеет вид
Akr
где Ег = h2k2/2m, k = mv/h —m2ki/M, k\ — начальный волновой
векюр в лабораторной системе координат. В этом случае

368
ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Чтобы перейти от этого выражения9) к эффективному се-
сечению cri(Qi) в лабораторной системе координат, необходимо
найти связь между Q и Qi. В качестве полярной оси в обеих
системах отсчета выберем ось, параллельную направлению дви-
движения. На рис. 31, а представлена схема столкновения в лабора-
лабораторной системе, а на рис. 31,6 — схема того же столкновения в
системе центра масс. Начальные и конечные скорости двух
частиц в сферических координатах представлены в следующей
таблице.
Лаборатор-
Лабораторная система
Система
центра масс
V
Начальные скорости
1
v (v, 0, 0)
V—V (v—V, 0, 0)
-V
V-
2
0
(V.
т
Я,
+
0)
т2
1
Vl (VU
v' (v',
vt v"-
Конечные
e, Ф)
v"
i/ m
скорости
2
t>2 (^2> 02)
(f", я-е,
_
фг)
Ф+я)
Направление (бь фО связано с направлением (б, ф) векторным
равенством 10)
Vl = v' + V, B3)
т. е.
Ф1 = ф| t>isin6i = t>'sin6, vi cos б! = v' cos б + V,
откуда
sin 6
cosG
9) Все эти вычисления справедливы только в нерелятивистском прибли-
приближении. Однако понятие системы центра масс сохраняет свою силу и в реля-
релятивистской механике: это система отсчета, в которой полный импульс (нм-
пульс частицы 1 + нмпульс частицы 2) равен нулю, Переход от системы цен-
центра масс к лабораторной системе осуществляется преобразованиями Лоренца.
В нерелятивистском приближении преобразования Лоренца переходят в пре-
преобразования Галилея, т. е.
Vt'
miV-
10) Связь между направлениями @2 фг) и @, ф) определяется равен-
равенством х>2 — v" + V. Поскольку х>" = V, нетрудно показать, что 0г = -~- (я — 6),
(fj = ф -)- Л,

§ 7. СТОЛКНОВЕНИЕ ДВУХ ЧАСТИЦ
369
ИЛИ
cos 0] =
cos 9 + х
A + 2т cos 6 + т2)
в этих выражениях мы положили
т = V/v' = mi/m2.
B4)
B5)
Векторную сумму B3) можно представить графически, тогда
соотношение B4) легко получить из чертежа (рис. 32). Возмож-
Возможны два случая:
Рис. 32. Геометрическое построение б, в зависимости от 9: О А — т, ОМ = 1
( V7' /)
а) т < 1 (т\<Ст2). Угол 0! монотонно увеличивается ог
О до я, когда 0 увеличивается от 0 до я. Заметим, что
-2-6<8i<6 при любом 8. В пределе т\ <§; т2 имеем 0i~0
(центр масс практически совпадает с частицей 2, т. е. остается
неподвижным в лабораторной системе).
б) т > 1 (/ni>m2). Когда 0 увеличивается от 0 до я, 0i
сначала увеличивается от 0 до некоторой максимальной вели-
величины, меньшей я/2 f 0imax= arcsin —J, затем угол 0i умень-
уменьшается от 0i max до 0. Каждому значению 0i соответствуют,
таким образом, два значения 0: 0< и 0>, связанные между
собой соотношением 6] = у F< + 0> — я); каждому из этих
значений соответствуют два различных значения v\, причем
меньшему значению угла соответствует большее значение v\.
Когда т = 1 (mi = m2), имеем просто 0i = 0/2.
Из соотношения B4) получаем
1 + т cos 8
d (cosBi)
4 (cos 6) ~~ A + 2т cos 6 + T2)Yi

370 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
и поскольку
d (cos 9Q
dQ.
d (cos 9)
находим, применяя соотношение B2):
а, (У,) — a(U) dQi — |1+TCOse|
Раздел II. РАССЕЯНИЕ ЦЕНТРАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ.
ФАЗОВЫЕ СДВИГИ
§ 8. Разложение по парциальным волнам. Метод фазовых
сдвигов
Рассмотрим рассеяние частицы центрально-симметричным
потенциалом V{r). Для вычисления эффективного сечения не-
необходимо найти асимптотическую форму стационарной волны
рассеяния \|э. С этой целью будем решать уравнение Шредингера
в сферических координатах.
Направление начального волнового вектора k в данном слу-
случае является осью вращательной симметрии задачи. Если вы-
выбрать это направление в качестве полярной оси, то волна \|) и
амплитуда рассеяния / не будут зависеть от угла ф. Разложим
эти величины в ряды по полиномам Лежандра:
У (г, 6) =
А
I
/@)=E/^(cos6). B8)
i
Введем следующие обозначения:
Тогда tji есть регулярное решение радиального уравнения
-U{г)— 1{1^]) )]г/;=0 B9)
с асимптотическим поведением
г/,~ ai sin (kr — 4" л +S(). C0)
Фазовые сдвиги б/ определяются единственным образом по ра-
радиальному уравнению. Постоянная ai должна быть выбрана
так, чтобы функция г|з(г, 0) имела надлежащую асимптотиче-
асимптотическую форму. Пользуясь разложениями (IX. 35) и B8), можно

§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ 371
выразить асимптотическую форму ty в виде ряда по полиномам
Лежандра:
ikr »_. Г Jkr
f ? ? у U ?
Jkr -\
^ (/гг) + U _?_J P/ (cos e).
Если учесть также асимптотическое выражение для ji(kr), то
можно переписать этот ряд, разделяя сходящиеся и расходя-
расходящиеся волны, в форме
г*(г, 6)~ ?[(-D'+1 ^i^^r + (^2JFL+ /z)e«']P,(cose).
В асимптотической области функция yi должна быть равна вы-
выражению в квадратных скобках в правой части этой формулы.
Это условие фиксирует ui однозначно и позволяет выразить /;
как функцию фазовых сдвигов. Последовательно имеем
Подставляя последнее соотношение в B8), находим искомое
выражение
оо
f (9) = X Z B/ + 1) eibi smbtPt (cos 9), C1)
г=о
здесь X—начальная длина волны (Х= l/k).
Полезно сравнить асимптотическую форму yjr, т. е. коэф-
коэффициента разложения по полиномам Лежандра функции ip,
соответствующего моменту импульса /, с соответствующим коэф-
коэффициентом разложения плоской волны е1Ьг, а именно
B/l)'M)
B/ + 1)ilu {кг)~Ц±+-((-1)'+>е-*' +
Обе эти функции, как видим, являются суперпозициями сходя-
сходящейся и расходящейся волн равной интенсивности. Сходящиеся
волны, очевидно, одинаковы для обеих функций. Однако член
расходящейся волны в стационарном состоянии рассеяния от-
отличается от соответствующего члена в плоской волне фазовым
множителем ехр B/бг): влияние рассеивающего потенциала сво-
сводится к сдвигу фазы каждой парциальной расходящейся волны.

372 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Дифференциальное эффективное сечение рассеяния полу-
получается как квадрат модуля функции fF):
or (Q) = К2 Z, B/ + 1) {21' +l)e{ (&t~6i') sin 6; X
X sin bfPi (cos 6) Pr (cos 6). C2)
Интегрируя по углам F, ф), получаем полное эффективное
сечение. Учитывая соотношения ортогональности полиномов
Лежандра, полное сечение можно выразить в виде ряда
C3)
г-о
каждый член которого
cr, = 4JtB/+l)X2sin28, C4)
дает вклад в рассеяние парциальной волны с моментом импуль-
импульса /. Отметим неравенство
а, < An {21 + 1) К2. C5)
Максимальное значение at достигается при
б; = {п -f- 1/2) я {п — целое число).
§ 9. Квазиклассическое представление рассеяния.
Прицельный параметр
Рассмотрим рассеяние классической частицы в поле цент-
центральной силы. Если энергия падающей частицы фиксирована
Е = р2/2т, то каждая траектория характеризуется своим при-
прицельным параметром Ъ, опреде-
определяемым как расстояние от сило-
Траектория/ вого центра С до прямой,
"^ положение которой определя-
ется начальным импульсом р0
(рис. 33). При таком столкнове-
столкновении момент импульса L является
постоянной движения, причем Ь
Рис 33. Рассеяние классической прямо пропорционален L
частицы на силовом центре С; . ,
ро — начальный импульс, 6 — прн- ^ ^Р-
цельный параметр. Есди поле сид имеет ограни.
ченный радиус действия г0:
V{r) = 0 для г > го, то падающая частица испытывает отклоне-
отклонение траектории при Ъ < г0 и не испытывает его при Ъ > г0. От-
Отклоняются частицы с достаточно малым моментом импульса.
Столкновение в квантовой теории имеет существенно иную
природу: это в основе своей явление рассеяния волн. Однако

§ 9, КВАЗИКЛАССИЧЁСКОЁ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
373
в тех случаях, когда рассеивающий потенциал оказывается
пренебрежимо малым на расстояниях, превышающих некоторый
радиус го (причем не требуется точного обращения в нуль),
квантовое рассеяние имеет много общего с явлением рассеяния
пучка классических частиц потенциалом конечного радиуса
действия г0. Как общее правило, вклад Oi парциальной волны I
пренебрежимо мали), если /К^,г0; если же /Х<Сг0, то эта
величина может принимать все значения от 0 до максимального
8
10
12 р
Рис. 34. График функции р2/г2(р) для 1 = 0 (кривая /), 3 (кривая 2) и 6
(кривая 3).
значения 4яB/+ 1) К2. Согласно этому правилу существует не-
некоторое сходство между вкладом волны / в рассеяние квантовой
частицы и вкладом частиц с прицельным параметром между
/К и (/-(- 1)/Х, т. е. моментом импульса от 1Ъ до (/+ 1)й, при
рассеянии пучка классических частиц.
Это правило основано на следующем полуклассическом рас-
рассуждении. Падающая волна представляет собой суперпозицию
сферических волн с заданным моментом импульса. Радиальная
часть члена, соответствующего парциальной волне /, пропорцио-
пропорциональна ji(r/K), следовательно, относительная вероятность на-
нахождения частицы в сферическом слое (г, r-\-dr) равна
г2/? (г/К). Эта вероятность очень мала, пока г< ^1{1-\-\)\, и
колеблется между 0 и 1, когда г > д//(/+ 1) \ (см. рис. 34).
") Это правило не является абсолютным; мы встретим исключения из
него при рассмотрении резонансного рассеяния в § 14.

374 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Если г0 < /X, то волна практически не проникает в область
действия потенциала и поэтому не испытывает его влияния.
Это рассуждение не является строгим. Более точные резуль-
результаты относительно сходимости рядов C1) и C2) будут приве-
приведены в § 12. Но как бы то ни было, метод фазовых сдвигов
особенно удобен при вычислении эффективных сечений в слу-
случае, когда радиус действия потенциала не превосходит несколь-
нескольких длин волн.
Раздел III. ПОТЕНЦИАЛ ОГРАНИЧЕННОГО РАДИУСА
ДЕЙСТВИЯ
§ 10. Сдвиг фазы и логарифмическая производная
Предположим, что потенциал V(r) отличен от нуля только
в некоторой ограниченной области пространства: V(r) = 0 при
г > г0.
Пусть qt — значение в точке г0 логарифмической производ-
производной регулярного в начале координат решения радиального урав-
уравнения B9):
А..
C6)
41 ~ У, dr
(это определение отличается от обычного множителем г). Мы
знаем, что qi — монотонно убывающая функция энергии
(§ III. 8), детальный вид этой функции зависит, естественно, от
формы потенциала V(r).
Однако условие равенства нулю потенциала при г > го
позволяет установить соотношение между qi и б;, которое не
зависит от конкретной формы потенциала V(r): задания qi до-
достаточно для определения асимптотического поведения решения.
В дальнейшем предполагаем, что нормировка щ выбирается
так, чтобы
yt ~_ sin (kr - /я/2 + в,). C7)
Поэтому во внешней области
yi = kr [cos 6[ji (kr) + sin bitit (kr)] (r > r0).
Для дальнейших выкладок удобно ввести обозначение t = kr
и ввести сходящиеся и расходящиеся волны
вронскиан которых не зависит от | и равен
t«<-» = 2t. C8)

§ 10. СДВИГ ФАЗЫ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ 375
Во внешней области
У — _i_/'u(+)e'e; \i(~^e~it>l'\ = Im ы(+>е'*г ('">'') C9)
Условие непрерывности логарифмической производной в точке
г = го дает соотношение
Im e
D0)
Это и есть искомое соотношение между qi и б;.
Чтобы представить данное соотношение в более удобной
форме, введем обозначения:
Р1з уравнения C8) следует (см. задачу 3)
lmq\+) =
Здесь vi — положительная величина, не превосходящая 1, она
называется фактором проникновения.
В этих обозначениях условие непрерывности D0) записы-
записывается так:
ql~ ql
p
Ь - ЧУ'
или же
б/ - xi + Р/, D2)
где
^. D3)
Мы видим, что фазовый сдвиг б; выражается в виде суммы двух
членов, из которых первый, п, не зависит от конкретной формы
рассеивающего потенциала, а второй, рг, зависит от нее через
qi согласно уравнению D3).
Заметим, между прочим, что
^А D4)

376 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
§ 11. Сдвиги фаз при низких энергиях (Х-»-оо)
Зная поведение сферических функций Бесселя при малых
значениях аргумента (уравнение (Б.52)), можно из уравнений
D2) — D3) найти поведение бг, когда kr0 <C U т. е. или при очень
малых энергиях или при очень больших значениях момента им-
импульса. Действительно, если kr0 <C /, то
B/4-ПМB/ )!! D5)
(эти выражения справедливы и при /= 0, если kr0 <C 1).
Рассмотрим поведение эффективных сечений, когда энергия
частицы стремится к нулю. При этом вещественная величина qi
увеличивается до некоторого предельного значения ф. В общем
случае qi ф —/, так что фазовый сдвиг б; стремится к нулю как
k2l+K Находим
/ + 1 — A. (kr \2/+1
X ~ Ч1УК'0>
Таким образом, амплитуда ft, пропорциональная 8i/k, стремится
к нулю как k2t. Следовательно, в пределе очень малых энергий
эффективное сечение становится изотропным, так как все пар-
парциальные сечения oi стремятся к нулю как k41 (уравнение C4)),
кроме сечения s-волны ао, которое стремится к некоторой по-
постоянной, вообще говоря, отличной от нуля.
По определению длиной рассеяния называется величина
а = -lim /0 = -Пт \ = A - ±) г0. D7)
Длина рассеяния а получается при решении радиального урав-
уравнения, соответствующего нулевой энергии:
Это расстояние от начала координат до точки, в которой
асимптота у0 пересекает ось г. В пределе очень малых энергий
Если окажется, что qt = —/, то при стремлении энергии к нулю
амплитуда fi ведет себя как k2t~2 (кроме случая / = 0, когда из
$0 = 0 следует /0 ~ ilk). Говорят, что имеется резонанс с нуле-
нулевой энергией в состоянии /. Предшествующие выводы должны
быть изменены следующим образом. Если это резонанс s(l = 0),
то а бесконечно и стПолн стремится к бесконечности как 1/Е. Если

§ 13. РАССЕЯНИЕ НА ТВЕРДОЙ СФЕРЕ 377
это резонанс рA = 1), то /(9) имеет вид —а + Ь cos 0, а эффек-
эффективное сечение остается ограниченным, но не является изотроп-
изотропным. Если же резонанс имеет более высокий порядок, то он не
влияет на общее поведение эффективных сечений в пределе ма-
малых энергий.
§ 12. Парциальные волны более высокого порядка.
Сходимость ряда (/->-оо)
Асимптотические формулы D5) позволяют также найти
асимптотический вид фазовых сдвигов высокого порядка при
заданном (ненулевом) значении энергии. Если / достаточно ве-
велико, выражение
остается отрицательным в интервале @, г0); следовательно, ре-
решение yi уравнения B9) в этом интервале ведет себя экспонен-
экспоненциально: величина qi, очевидно, положительна. Кроме того, при
/ Э> kr0 можно использовать выражения D5) и ввиду того что
qi -\-1 несомненно отлично от нуля, получаем следующее асимп-
асимптотическое выражение, сходное с формулой D6):
"'??> l+Ql B/ — 1) !1 B/ + 1)!! •
Выражение D8) определяет скорость сходимости разложения
по парциальным волнам в случае, когда рассеивающий
потенциал имеет ограниченный радиус действия. Это подтверж-
подтверждает оценки по порядку величины, сделанные в § 9.
§ 13. Рассеяние на твердой сфере
Если потенциал ограниченного радиуса действия соответст-
соответствует потенциалу твердой сферы
-|-оо, если г<г0,
О, если г > г0,
то все формулы § 10 упрощаются. Волновая функция должна
обращаться в нуль на поверхности сферы, т. е. уг(го)=О при
любых l(qi = — оо), что дает (уравнение D4)) рг = 0, т. е.
б; = T,; = arguJ~>. D9)
После соответствующих вычислений получаем
_ _

378 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
и, в частности,
При очень малых энергиях, в согласии с результатами § 11,
дифференциальное эффективное сечение становится изотропным,
и полное эффективное сечение имеет предел
lim ааоля = lim <r0 = Апг\, E1)
ft0 ft0
соответствующий длине рассеяния а = г0.
При возрастании энергии вклад парциальных волн высокого
порядка становится все более значительным, а анизотропия рас-
рассеяния— все более выраженной. При очень больших энергиях
(X <С г0) дифференциальные и полные эффективные сечения мо-
могут быть вычислены при использовании асимптотического пове-
поведения функций Бесселя больших порядков. Таким путем полу-
получаем 12):
E2)
lim <тпол„ = 2лг20. E3)
fc-»oo
Дадим упрощенное доказательство соотношения E3). Зиая функции
) и «/(|), нетрудно установить поведение функции
/1F)
в, F)
it (i) + nj (l)
Эта функция ведет себя как |4'+2/B/ + I)!!B/—1)!! вблизи | = 0, затем
монотонно растет до окрестности | = /, а затем бесконечно осциллирует по
закону
?/A) ~ sin2 (б о" я )• E4)
Поэтому в сумме
оо оо
Е4зх ч ^
(Т. = , о / \?1 -г 1П
12) См. книгу Морса и Фешбаха, loc, cit., сноска VI.9 !\(х) есть функ-
функция Бесселя первого порядка. При изменении л от 0 до +со функция 1\(х)
сначала растет от нуля (J\(x) ~ х/2), до первого максимума ЛA,84)~ 0,58,
затем уменьшается и первый раз обращается в нуль при х ^^ 3,83; далее
функция бесконечно осциллирует, согласно формуле
t 2 у/г ( гп \
( ) cos ( х j—).
\ ЛХ J V, 4 У

§ 13. РАССЕЯНИЕ НА ТВЕРДОЙ СФЕРЕ 379
вклад членов I > kr0 пренебрежимо мал по сравнению со вкладом членов
/ •< krq, которй б ф
E4), что дает
вклад членов I > kr0 пренебрежимо мал по сравнению со вкладом членов
/ •< krq, который можно грубо оценить, используя асимптотическую форму
E4), что дае
kr
1 k^x>
г-о
Эту сумму можно оценить, группируя попарно последовательные члены, что
в пределе очень больших k дает
кГц
откуда и получается выражение E3).
Таким образом, в пределе малых длин волн (kr0 >¦ 1) мы не
получаем эффективного сечения рассеяния классической час-
частицы твердой сферой радиуса г0. Полное классическое эффек-
эффективное сечение
равно только половине квантового результата в пределе малых
длин волн. Аналогичным образом, дифференциальное классиче-
классическое эффективное сечение изотропно и равно гЦ4: оно соответ-
соответствует первому члену асимптотической формы E2) для a(Q).
Эти результаты показывают, что в рассматриваемом случае
нельзя пренебречь волновым аспектом явления, так как даже в
предельной ситуации очень малых длин волн потенциал нельзя
считать медленно меняющимся в пространстве ввиду наличия
разрыва в точке г = г0. Наблюдаемое явление совершенно ана-
аналогично явлению дифракции в оптике, на что указывает иссле-
исследование асимптотической формы E2) дифференциального эф-
эффективного сечения. Это выражение содержит два члена. Пер-
Первый член изотропного «отражения» идентичен классическому
дифференциальному эффективному сечению. Второй,
является резко анизотропным: он дает существенный вклад)
только при малых углах порядка Х/г0; это член «дифракции»
(теневое рассеяние), связанный с наличием тени от идеально
отражающей сферы на пути падающей волны.

380 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Раздел IV. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ
§ 14. Рассеяние глубокой прямоугольной
потенциальной ямой
В качестве другого примера потенциала конечного радиуса
действия рассмотрим прямоугольную потенциальную яму из
§ IX. 10. Положим
и выясним поведение различных парциальных волн в зависимо-
зависимости от энергии в случае очень глубокой ямы. Точнее говоря,
предположим, что
Кг0 > /, E5)
K>k. E6)
В этом случае величину qt в правой части уравнения D3) в
хорошем приближении можно выразить в виде
qt~Kr0ctg(Kr0-ln/2). E7)
Нетрудно проанализировать общее поведение 8i(E) при ма-
малых энергиях (т. е., согласно E6), при Е <?. Vo). По формулам
D2) и D3) бг зависит от энергии посредством величин п, krovi,
Req\+) и qi. Первые три величины являются монотонными
функциями kr0 (%i убывает, две другие функции растут), причем
поведение их вблизи нуля определяется формулами D5), а
в асимптотической области (kr0 ^> /) выражениями
/cm
limu,= l, HmRe7<+> 0
В интересующей нас области энергий эти три функции изме-
изменяются относительно медленно. Напротив, логарифмическая
производная qi, как это видно из формулы E7), меняется бы-
быстро, имея при этом серию вертикальных асимптот, со-
соответствующих тем энергиям, для которых Кго = /я/2 + tin
(п — целое). Разность энергий между соседними асимптотами
равна примерно
Dczn^-^n^-. E9)
tnr0 i\ oro
Когда энергия изменяется на эту величину, \qt\ почти всюду
оказывается порядка или больше Кг0, так что почти на всем
интервале

§ 14, ГЛУБОКАЯ ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА 381
Второй член в правой части формулы D2)—р/ — остается ма-
малым (с точностью до слагаемого пп):
krovt k
в то же время a priori нет никаких ограничений на величину т/.
Поэтому справедливо приближенное равенство б/ =~ т/. Фазовые
сдвиги практически совпадают с теми, которые наблюдаются
при рассеянии на твердой сфере того же радиуса. В большей
части области изменения энергии потенциал рассеивает каждую
парциальную волну подобно твердой сфере: мы имеем дело с
«потенциальным рассеянием»; падающая волна практически не
проникает во внутреннюю область потенциальной ямы.
Однако существует небольшая область энергий, окружающая
точку Ер, где gt = Re q\+)\ для этой области
Определим величины
_ dE
Y rln
при этом Г есть ширина указанной области. Замечаем, что13)
Г 2 k .. л
При изменении энергии на несколько Г в обе стороны от Ер ве-
величина qt — Re q\+) уменьшается от значений, существенно пре-
превосходящих krovi, до значений, существенно меньших —krovi, a
р/ быстро переходит от значений, соседних с пп, к значениям,
близким (л + 1)я. Эффективное сечение at претерпевает резкое
изменение, достигая максимального значения 4яB/+1)Х2: го-
говорят, что имеет место резонанс I. По определению ЕР есть энер-
(у > 0) и Г = 2kr0vty; F0)
13) Действительно, согласно уравнению E7):
d (Kr0) x<
. . . dq.
Поскольку Kr0 » / и I Re <7)+) | ^ /, то -j^r- ~ — Kr0, когда ? = Ep, откуда
v^—г- и Г~2о, .

382 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
гия резонанса14), Г —ширина резонанса, причем Г есть произве-
произведение величины у. зависящей от общего поведения потенциала
во внутренней области (и практически не зависящей от /), и
фактора krovi, зависящего от поведения волны во внешней об-
области (и малого при больших /).
Область резонанса достаточно мала, так что можно заменить
кривую qi{E) ее касательной в точке Е = Ер, откуда
Рг»arctg Г_ . F1)
Используя условие непрерывности D4) для нормировки ради-
радиальной функции во внутренней области, находим в том же при-
приближении (справедливом в интервале энергии, охватывающем
резонанс, причем Г <С Д? <С D):
Прохождение энергетической области резонанса / сопровож-
сопровождается, таким образом, резким увеличением интенсивности пар-
парциальной /-волны во внутренней области потенциальной ямы.
Весь анализ значительно упрощается в случае s-волны, когда
т0 = — kr0, 0О=1, Re (/{,' = 0, q0 = Kr0 ctg Кгц,
о0 = — kr0 + arctg I -тг tg K,r0 1.
Для функции у0 находим явное выражение:
/ ->in (kr + б0) г > г0,
У° =" k sin Kr r < г„.
+ /Со cos2 Kr0
С учетом замены .начений (L~*-ru, K-+Ko, r\K-+k, g/C —^- /С, q>. -»- р0 —
—я/2) задача об .хеянии эквивалентна задаче об отражении волн пря-
прямоугольной потег .ьной ямой в одномерном случае из § III. 6 (случай
б))—обсуждениг .ения резонанса может быть повторено здесь без изме-
изменений.
§ 15. Обг л закон резонансного рассеяния.
;ьные состояния
Явление резонанса довольно часто встречается в микроско-
микроскопической физике. Резонансное рассеяние, которое мы рассмот-
14) Ввиду присутствия потенциального рассеяния максимальное значение
О; достигается при значении энергии, несколько отличающемся от резонанс-
резонансного, которое определяется условием р; = я/2 (с точностью до слагаемого
пп). Может даже оказаться, что в точке резонанса Т; = я/2, и поэтому О;
обращается в нуль при Е = ?р; тогда прохождение резонансной области
энергии сопровождается резким падением до нуля функции С;(?).

§ 15. МЕТАСТАБИЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ 383
рели на примере прямоугольной потенциальной ямы, будет иметь
место и с потенциалами другой формы, если только в некото-
некоторой области пространства потенциал становится резко притяги-
притягивающим. Ввиду особой важности этого явления дадим здесь
более подробное описание резонансного рассеяния /-типа. Мы
по-прежнему будем рассматривать прямоугольную яму, однако
результаты без труда переносятся на потенциалы более общего
вида, так как форма потенциала влияет только на закон изме-
изменения логарифмической производной qt.
Ради простоты изложения предположим, что резонансы до-
достаточно узки и достаточно хорошо отделены друг от друга, так
что в изучаемой области энергии присутствует только один ре-
резонанс данной парциальной волны. Кроме того, будем считать
энергию резонанса столь малой, что
krQ < 1 F3)
и что, следовательно, вкладом потенциального рассеяния можно
полностью пренебречь15). Иными словами, все фазовые сдвиги,
кроме бь практически равны нулю, а фаза б;, как функция на-
начальной энергии Е, изменяется по закону
Следовательно,
е'6/ Sin б< = 1 —g/ tg 6f ~ - 2(?-Др) + Я"
и амплитуда рассеяния записывается в форме
f (9) « - «±i P,(cos0) 2{EJEp) + iT • F4)
При прохождении резонанса модуль и производная фазы
комплексной функции /(9) обнаруживают острые максимумы.
Имеем
^4(?_^J + r2, F5)
у + Г <66>
Уравнение F5) показывает, что вблизи резонанса — в той
мере, в какой можно пренебречь эффектом потенциального
рассеяния, — угловое распределение рассеяния не зависит от
энергии, а определяется только моментом импульса /; при
15) Вклад этих членов в эффективное сечение порядка 4ял2, а члена /-ре-
/-резонанса в точке резонанса — порядка 4яB/ + 1)Х2 = 4nBl -\- \)[k2.

384 ГЛ. X ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
этом полное эффективное сечение, как функция энергии, следует
«закону Лоренца»:
Стполн = 4я B/ + 1) X2 4 Е _ Е J + г2. F7)
Для выяснения смысла уравнения F6) следует вернуться к
исследованию рассеяния волнового пакета, проведенного в
§§ 4, 5. В принятых там обозначениях можно написать
а
Следовательно, формула F6) выражает запаздывание в про-
прохождении рассеянной волны (см. сноску8)). Мы видим, что это
запаздывание зависит от энергии падающей частицы по тому
же закону Лоренца, что и полное сечение, и достигает макси-
максимума 2fi/r в точке резонанса.
Полученные результаты позволяют описать явление резо-
резонанса следующим образом. В случае энергий, далеких от резо-
резонансной, падающая волна практически не проникает во внут-
внутреннюю область действия потенциала (ср. уравнение F2)) и
все происходит так, как если бы она встретила на своем пути
твердую сферу: рассеивается только малая фракция волны,
причем рассеяние происходит без запаздывания (запаздывание
порядка — ro/v). Если же энергия частицы близка к резонансной
энергии, то падающая волна глубоко проникает во внутреннюю
область действия потенциала: при этом значительная часть
волнового пакета в течение промежутка времени порядка Ь/Т
удерживается во внутренней зоне, а затем испукается в виде
рассеянной волны. Этим объясняется большое резонансное эф-
эффективное сечение рассеяния. В течение указанного промежутка
времени перед испусканием рассеянной волны вероятность при-
присутствия частицы во внутренней области действия потенциала
оказывается очень большой и по порядку величины равной со-
соответствующей вероятности для связанного состояния. Однако
если связанное состояние является стационарным и имеет бес-
бесконечно большое время жизни, то рассматриваемое метаста-
бильное состояние имеет конечное время жизни порядка Ь/Г.
Учитывая соотношение неопределенности время-энергия, мы
приходим к выводу, что такое состояние не имеет точно опреде-
определенной энергии и должно быть представлено волновым паке-
пакетом с дисперсией по энергии порядка Г. Таким образом, каж-
каждому резонансу сопоставляется метастабильное состояние с ко-
конечным временем жизни fi/Г, причем среднее значение энергии
состояния равно энергии резонанса ЕР, а дисперсия энергии
равна ширине резонанса Г,

§ 16. ВРЕМЯ ЖИЗНИ МЕТАСТАБИЛЬНЬТХ СОСТОЯНИЙ 385
§ 16. Наблюдение времени жизни метастабильных состояний
Приведенное выше полуклассическое описание резонансного рассеяния не
свободно от противоречий. Дело в том, что в обычных экспериментальных ус-
условиях измерения эффективных сечений (указанных в §§ 4—6) выявление ме-
метастабильных состояний, о которых шла речь выше, невозможно. Для измере-
измерения эффективного сечения рассеяния при заданной энергии частицы необхо-
необходимо, чтобы дисперсия энергии АЕ была настолько мала, чтобы амплитуда
рассеяния на интервале Д? оставалась практически постоянной; в резонанс-
резонансной области это означает ДЯ <С Г. Только при выполнении этого условия
можно действительно измерить ход изменения эффективного сечения в резо-
резонансной области, Однако при этом время столкновения й/Д?, т. е. время, не-
необходимое для полного проникновения волнового пакета во внутреннюю об-
область действия потенциала, оказывается значительно больше времени жизни
Й/Г метастабильного состояния. Это последнее становится таким образом не-
ненаблюдаемым (см. сноску 8).
Чтобы выявить метастабильное состояние, следует осуществить «дополни-
«дополнительные» (в смысле Бора) условия эксперимента
Д? > Г. F8)
Для определенности (см. сноску 4) рассмотрим волновой пакет изучен-
изученного в § 5 типа, который удовлетворяет одновременно условиям (9) и усло-
условию F8). Предположим, кроме того, что ?р>Д?»Г1в). Мы используем
обозначения §§ 4—6 и примем, что Ъ = 0 и U = 0. Подставляя в A7) выра-
выражение F4) для f@), получим следующую асимптотическую форму рассеян-
рассеянного волнового пакета:
' — B/+ l)Pj(cose) — • ¦
где
(
I здесь мы обозначили ?р = _
Основной вклад в интеграл / дает область, где велико значение
А (к' — fe)/f •?" — Б + -г- Г J. Переходя к сферическим координатам, положим
dk' = k'2 du' dk' = -^|1 du' dE'
и k' = k'uf. Интегрирование по углам касается только функции A{k' — k).
Что касается интегрирования по Ё', то согласно предположению F8) сущест-
существенной областью является \Е' — ЕР\ ^ Г, где функция А (к' — к) может быть
16) Это предположение, а также условие F3) не являются существен-
существенными, но они позволяют выразить окончательный результат в более простой
форме. Для выполнения этих условий совместно с (9) и F8) необходимо по-
потребовать О; < kr0 < 1.
13 А, Мессиа

386 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
заменена на A(kvu' — k), a k' — на первые два члена разложения Тейлора
(считаем Г < ?р):
Поэтому можно написать
где мы обозначили
p V vpr
dE>.
Читатель без труда проверит, что это выражение для / справедливо только,
если |т[ ^$> h/AE. Заметим, что
. rx
¦1 Т7Г-*
г + .
dz.
Поскольку |т| > Н/АЕр, нижний предел интегрирования можно заменить на
—оо и тогда интеграл F{%) вычисляется по теории вычетов; именно
{О, если т < — И/АЕ < 0;
-ЪИе-Г*, если т > Ь/АЕ > 0. F9)
n, если т > h/AE > 0.
Окончательно получаем
' — B1+ 1) Р, (cos 9) -Г ¦ Fit ) G0)
2Й2 \ °р / г
Общее поведение этой волновой функции определяется свойствами функции
F{%), вытекающими из F9). Это расходящаяся волна, ограниченная спереди
волновым фронтом, перемещающимся по закону г = vpt. В каждой данной
точке интенсивность волны сначала равна нулю, затем она резко изменяется
от 0 до некоторого положительного значения — это соответствует прохождению
волнового фронта, оно продолжается примерно в течение времени h/AE, что
значительно меньше ft/Г; затем интенсивность уменьшается по закону
ехр (—17/Й).
На опыте, чтобы обнаружить этот закон экспоненциального затухания,
в течение короткого промежутка времени посылают пучок волновых пакетов,
отвечающих указанным выше условиям, и регистрируют с помощью детектора
иа расстоянии D от рассеивающего центра число частиц, рассеянных в на-
направлении телесного угла (Q, Q + dQ). Поскольку дисперсия энергии17) па-
падающих волновых пакетов очень велика (АЕ > Г), момент столкновения t = 0
определяется точно: Д? <S ft/Г. Количество детектируемых частиц определяет-
17) Это дисперсия энергии каждого волнового пакета отдельно.

§ 17. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ 387
ся величиной |4r(<i)|2 в точке нахождения счетчика; согласно уравнению G0),
она пропорциональна F2(t — D/v). Частицы не регистрируются до момента
времени D/vv, когда фронт волны достигает счетчика; это время, необходи-
необходимое для того, чтобы частица, испущенная центром с «резонансной скоростью»
Вр, достигла счетчика. В дальнейшем число регистрации частиц определяется
законом ехр(—Tt/h), что и соответствует образованию в момент времени
t = 0 метастабильного состояния со временем жизни fi/Г.
Указанные выше условия эксперимента обычно осуществляются при ра-
радиоактивном распаде ядер (а- и р-радиоактивность, у-РаДиоактивность изо-
изомерных ядер).
РазделУ. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА
§ 17. Интегральные представления фазовых сдвигов
Некоторые свойства и методы вычисления фазовых сдвигов
могут быть получены из соответствующих интегральных пред-
представлений. Интегральные представления фазовых сдвигов очень
разнообразны. Чаще всего они получаются простым примене-
применением теоремы вронскиана к подходящим образом выбранным
решениям радиального уравнения. Одно такое представление
мы дадим в этом параграфе. Другое будет изучено в § 20.
Наша цель состоит в сравнении фазовых сдвигов 8t и 8/, со-
соответствующих потенциалам V(г) и V(г) при одной и той же
энергии. Вернемся к обозначениям § 8 и положим О = 2mV/ti2.
Пусть yi — регулярное решение уравнения B9), причем асимп-
асимптотическая форма yi дается формулой' C7). Тогда yi — регуляр-
регулярное решение радиального уравнения
с асимптотической формой
9, r~ sin
Вронскиан W(yt,yi) равен нулю в начале координат и стре-
стремится асимптотически к пределу
\imW(yh 0,) = *sin(fi,-6,).
Г->оо
Согласно теореме вронскиана
ь
а
Устремляя пределы интегрирования а и Ъ к 0 и сю соответствен-
соответственно, находим
оо
sin F, - 6,) = - Jg- \yt (V - V) у i dr. G2)
о
13*

388 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
Это важное соотношение справедливо независимо от вида
потенциалов V и V, если только оба они на бесконечности стре-
стремятся к нулю быстрее \\г и не имеют сингулярности в нуле типа
1/г2 и выше.
Если V = 0, то б, = 0 и yi = krji(kr) соотношение G2) в
этом частном случае записывается в виде
r. G3)
§ 18. Зависимость фазовых сдвигов от формы потенциала
Уравнение G2) позволяет сделать некоторые выводы об из-
изменении фазовых сдвигов при модификации рассеивающего по-
потенциала. При бесконечно малом изменении потенциала AV =
= V—V величина Дб/ = б/— 6г также будет бесконечно малой;
если при этом пренебречь различием между tji и ()i в правой
части уравнения G2), то получим
G4)
Если изменение потенциала AF(r) сохраняет некоторый знак
на всем интервале @, оо), то изменение фазового сдвига Дбг
имеет противоположный знак. Следовательно, всякое увеличе-
увеличение потенциала (большее отталкивание) уменьшает фазовый
сдвиг, всякое уменьшение потенциала (большее притяжение)
увеличивает сдвиг фазы.
До сих пор сдвиг фазы б/ был определен только с точностью
до слагаемого Чип. Чтобы снять эту неоднозначность, рассмот-
рассмотрим непрерывное изменение потенциала от 0 до V(r), при этом
фазовый сдвиг изменяется также непрерывно от 0 до некоторого
значения б;, которое, как можно показать, не зависит от пути
изменения потенциала от нуля до V(r). Именно это значение б/
мы примем в качестве истинной величины фазового сдвига.
Если потенциал V(r) всюду отталкивающий, то переход от
нуля к V(r) можно осуществить путем последовательного при-
прибавления бесконечно малых положительных добавок. Согласно
уравнению G4) каждая из этих добавок уменьшает фазовый
сдвиг, поэтому б; отрицательно. Аналогичным образом, если
потенциал V(r) всюду притягивающий, то 6* положительно.
В общем случае:
если V(r)>V(r) при любых г, то 6, < бг,
если V (г)< V (г) при любых г, то б, > 6,.

§ 20. ФОРМУЛА БЕТЕ 389
§ 19. Приближение Борна
Для того чтобы точно вычислить фазовый сдвиг 8i, надо, во-
вообще говоря, решить уравнение B9). Однако если V(r) доста-
достаточно мал, регулярное решение tji этого уравнения мало отли-
отличается от свободной сферической волны krjt(kr), и фазовый
сдвиг близок к нулю. Поэтому приближенно можно в уравнении
G3) заменить tji на свободную волну, что дает
\]V{r)r^dr. G5)
о
Это выражение для фазового сдвига в «приближении Борная.
Ошибка мала, если потенциал V(r) достаточно мал по срав-
сравнению с Е /— в большей части области изменения г.
Можно ожидать поэтому, что приближение Борна будет оправ-
оправдано при высоких энергиях или (при условии, что V(r) доста-
достаточно быстро уменьшается на бесконечности) при больших зна-
значениях /. В действительности выражение G5) является только
первым членом в разложении по степеням потенциала V, по-
поэтому ошибку можно оценить, вычисляя следующие члены раз-
разложения. Исходя из соотношения G2), можно получить анало-
аналогичное приближенное выражение для б/ — бг, а именно
_F)dr. Gб)
Эта «обобщенная формула Борна» полезна, когда известно ре-
регулярное решение Qt радиального уравнения с потенциалом V,
мало отличающимся от потенциала V. Она позволяет получить
в хорошем приближении б;, не решая точно радиальное уравне-
уравнение с потенциалом F18).
§ 20. Теория эффективного радиуса действия. Формула Бете
Формулы § 17 позволяют исследовать изменение фазовых
сдвигов при модификации потенциала при данном значении
энергии. В этом параграфе мы рассмотрим изменение фазовых
>*) Формулой G6) можно воспользоваться также, чтобы изучить влияние
«хвоста» потенциала V. Достаточно в качестве Р выбрать потенциал
' (г), если г < л„,
, если т > г0,
где Го — подходящим образом выбранное расстояние. Р есть потенциал с огра-
ограниченным радиусом действия и обладает всеми его свойствами. V — Р — хвост
потенциала V. Влияние «хвоста», если оно мало, может быть учтено с по-
помощью формулы G6).

390 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
сдвигов в зависимости от изменения энергии. Полученные фор-
формулы будут особенно полезны в предельном случае малых энер-
энергий, когда потенциал имеет короткий радиус действия.
Пусть и — одно из регулярных решений уравнения B9); пока
мы не будем уточнять его нормировку. Пусть й есть решение
(нерегулярное) уравнения G1), соответствующее тому же зна-
значению энергии и имеющее ту же асимптотическую форму, что
и и, включая нормировку. Рассмотрим теперь два различных
значения энергии Е\ и Е2\ будем отмечать индексами 1 и 2 все
величины, относящиеся к этим энергиям. По теореме врон-
вронскиана (III.27) имеем'
W («ь и2) t = (ei — е2) ^ щи2 dr,
а
и соответствующее выражение для й, откуда
ь
W («ь й2) - W («,, и2) |* = (е, - е2) J (й,й2 - щи2) dr.
Когда b-^оо, то поскольку и и и имеют одну асимптотическую
форму, интеграл в правой части уравнения сходится, а разность
вронскианов на верхнем пределе обращается в нуль. Поскольку,
кроме того, lim W (щ, и2) = 0, написанная формула при Ь -> оо,
а->0
а->0 переходит в
W (й„ й2) + (е, - е2) \ (Й!Й2 - щи2) dr\ = 0. G7)
i J
Выбирая подходящим образом нормировку и, можно из этой
формулы найти значения разности б — б при энергиях Е\ и Е2.
Ограничимся случаем s-волны (/ = 0I9). Кроме этого, по-
положим 9 = 0 и обозначим через v\, v2 значения й\, й2 в этом
частном случае. Фиксируем нормировку и условием v @) = 1,т. е.
v = cos kr + ctg б • sin kr.
Тогда формула G7) запишется в виде
= (ei — е2) ^ (viv2 — щщ) dr. G8)
19) Когда I Ф 0, функции щ и й2 имеют особенность в начале координат
типа A/гI. В формуле G7) члены W(uu й2) и (ei — e2) \uiutdr расходятся
как A/аJ'-1, однако сумма их стремится к конечному пределу.

§ 20. ФОРМУЛА БЕТЕ
391
В предположении, что V{r) стремится к нулю при г->оо доста-
достаточно быстро, так чтобы интеграл в правой части сходился, эта
формула остается справедливой в пределе Ег->0. Обозначим с
помощью «о, i>o функции и, v при энергии равной нулю. Заме-
Замечаем, что
=1 и Iim&ctg6 = ,
8->U
где а — длина рассеяния, определяемая уравнением D7). Вы-
Выбирая значения ei — е, ег — 0 в соотношении G8) (см. рис. 35),
получаем формулу Бете:
] г
k ctg 6 = (- е \ (vv0 — «Но) dr.
G9)
Это строгое соотношение. Оно полезно, когда интеграл
в правой части медленно меняется как функция энергии.
1
1
а
(
п,
VM
-Vfrl
5)
ч/И
Рис. 35. Волновые s-функцни нулевой энергии в теории эффективного ра-
радиуса действия для последовательно увеличивающейся глубины потенциала
ограниченного радиуса действия V (г) — <aW (r) («в — параметр глубины ямы,
при этом @=1 соответствует глубине, необходимой для образования свя-;
занного состояния): а) а> < 1 (а < 0); б) а> = 1 (а = оо); в) а> > 1 (а > 0).
Замечание, а является убывающей функцией и, имеющей вертикальную
асимптоту при каждом значении «в, для которого существует связанное со-
состояние с нулевой энергией.
Именно это имеет место в случае короткодействующего потен-
потенциала V(r) того типа, что мы встречаем в ядерной физике, когда
можно разделить все пространство на внутреннюю область
(г < 'о, kro<& 1), для которой \V\ ^> E, и внешнюю область
(г > го), где потенциал V пренебрежимо мал. Основной вклад в
интеграл дает внутренняя область, где без большой ошибки мож-
можно заменить и на «0 и v на Vo, так как в начале координат и =
= «о = Оии = »о=1 и относительная кривизна функций и и.
и0 практически одинакова («"/«=^2тК/й2) во всей этой обла-
области (рис. 35). Таким образом, в очень хорошем приближении

392 ГЛ. X. ПРОБЛЕМА РАССЕЯНИЯ
имеем
Г vl-ul)dr. (80)
Величина гэфф = 2 \ (w^ — и%) dr обычно называется эффекте-
о
ным радиусом — это параметр, характеризующий свойства по-
потенциала.
Правая часть уравнения (80) по существу представляет два
первых члена в разложении k ctg S по степеням энергии. Чтобы
выписать члены более высокого порядка, надо получить разло-
разложения «иов виде рядов по степеням е и подставить эти ряды
в правую часть G9J0). Основываясь на аргументах, приведен-
приведенных выше, следует ожидать, что получающиеся ряды быстро
сходятся во внутренней области, поэтому и сходимость разло-
разложения для k ctg 6 также будет хорошей.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Рассматривается рассеяние частицы с длиной волны % на потенциале
V(r), который прн г->оо стремится к нулю быстрее 1/г. Пусть f(Q)—ам-
f(Q)—амплитуда рассеяния в направлении Q = F,<р). Показать, что
- J I / (Q) № = 4яХ Im / @)
где f@) обозначает амплитуду рассеяния вперед (В = 0). Это соотношение
Бора — Пайерлса — Плачека.
2. При бомбардировке ядер типа А ядрами типа а могут образовываться
ядра b н В: а + А^- b -\-B. В лабораторной системе мишень А покоится.
Пусть та, Ша, тпь, тв — массы частиц, участвующих в реакции. В нереляти-
нерелятивистском приближении та + т* = ть + тв. Пусть ?/ и Ej — полные кине-
кинетические энергии начального (а-\- А) и конечного F -}- В) состояний в си-
системе центра масс, а В и Bi — углы испускания частицы b в системе центра
масс и в лабораторной системе соответственно. Показать, что зависимость
Bi от В дается соотношением B4), если т представляет отношение скорости
центра масс V к скорости и» частицы Ь в системе центра масс, т. е. .
V Л mamb Et Т!г
vb ^ L mAmB Ef J '
20) См. G. Chew, M. Goldberger, Phys, Rev, 75, 1637 A949); Н, A, Bethe,
Phys. Rev, 76, 38 A949).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 393
3. Вывести следующие соотношения между величинами тг, vt н д\+\ вве-
введенными в § 10 (определение D1)):
4. Показать, что в приближении ВКБ фазовый сдвиг б/ выражается фор-
формулой
Определения бг, & и U(r) те же, что и в § 8; нижние пределы интегрирования
а и а0 являются нулями подынтегральных выражений (если 6s—^(f)—
—1A+ 1)/г2 имеет несколько корней, то а равен наибольшему из них). Об-
Обсудить условия справедливости этого приближения. Для того чтобы формула
была применима для малых значений /, нужно, следуя рекомендации Лан-
гера (см. задачу 1Х.6), заменить в обоих интегралах /(/+1) на (/+1/2J.
5. Примеиить теорию эффективного радиуса действия к р-рассеянню. По-
Показать, что она дает разложение k3 ctg б, в ряд по степеням энергии н найти
два первых члена разложения Fj — сдвнг />-фазы).

ГЛАВА XI
КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
§ 1. Введение
Пусть г — взаимное расстояние между двумя частицами с
электрическими зарядами Z^e и Ztf соответственно, тогда элек-
электростатический потенциал взаимодействия частиц
называется кулоновским потенциалом. Пусть рь р2 — импульсы,
Г\, ъ — векторы положения этих двух частиц (г = Г\—Гг).
Если их взаимодействие чисто кулоновское, то движение частиц
определяется гамильтонианом
Чтх * 2га2 ¦ г
Движение центра масс отделяется методом, изложенным в
гл. IX. Движению «относительной частицы» соответствует га-
гамильтониан
причем m есть приведенная масса
Исследование поведения квантовой системы из двух частиц,
находящихся в кулоновском взаимодействии, сводится к задаче
о движении частицы в поле потенциала ZxZ^lr.
Ввиду медленности спадания при больших значениях г не-
некоторые свойства центрально-симметричных потенциалов, полу-
полученные в гл. IX и X, несправедливы для кулоновского потен-
потенциала. В задачах о рассеянии, например, асимптотическое по-
поведение стационарных решений оказывается менее простым, чем
в случае потенциалов ограниченного радиуса действия, поэтому
определение фазовых сдвигов должно быть соответственно из-
изменено. Само рассмотрение задачи методом разделения угло-
угловых и радиальных переменных оказывается не столь полезным.

§ 2. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ АТОМА ВОДОРОДА 395
так как разложение амплитуды рассеяния по сферическим функ-
функциям сходится очень медленно.
Но, с другой стороны, решение уравнения Шредингера для
частицы в кулоновском поле может быть во всех случаях све-
сведено к решению дифференциального уравнения Лапласа, хо-
хорошо известного в математической физике. Поэтому наиболее
интересные величины — спектр энергии связанных состояний и
эффективное сечение рассеяния — могут быть вычислены точно.
Эта глава содержит два раздела. Первый посвящен изуче-
изучению связанных состояний атома водорода; исследование без
труда распространяется на водородоподобные атомы и вообще
системы из двух частиц, взаимодействующих по закону 1/г.
Во втором разделе рассматривается задача о кулоновском
рассеянии.
Раздел I. АТОМ ВОДОРОДА
§ 2. Уравнение Шредингера для атома водорода
Наиболее простой системой двух частиц, взаимодействующих
по закону Кулона, является атом водорода. Две частицы, про-
протон и электрон, имеют потенциал взаимодействия —е2/г. Приве-
Приведенная масса системы электрон-протон несколько меньше мас-
массы электрона: (те — т)/те ~ 5-10~4.
Пусть Е — энергия системы электрон-протон в системе цент-
центра масс, тогда волновая функция «относительной частицы» яв-
является решением уравнения Шредингера
[-1ST А-4] ¦<'> =
Свойства регулярных решений этого уравнения выясняются
без труда, если произвести разделение угловых и радиальных
переменных. Так, собственное решение, соответствующее энер-
энергии Е и моменту импульса Aт), выражается функцией
где yi — обращающееся в нуль в начале координат решение ра-
радиального уравнения (ср. уравнение (IX. 20))
^l^O. D)
Здесь мы ввели обозначение
E)
Если Е > 0, то решение бесконечно осциллирует в асимптоти-
асимптотической области и может быть принято в качестве собственного

896 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
решения при любых положительных Е. Решение описывает не-
несвязанное состояние и используется при построении стационар-
стационарного состояния рассеяния системы электрон-протон при энер-
энергии Е.
Если Е < 0, то асимптотическая форма регулярного в на-
начале координат решения представляет собой линейную комбина-
комбинацию экспоненциальных функций енг и е~хг, где
и=л/_е=-Х_ . F)
Это решение допустимо в качестве собственного только при не-
некоторых привилегированных значениях Е, когда присутствует
только затухающая экспонента. Указанные значения образуют
дискретный спектр атома водорода, а соответствующие волно-
волновые функции представляют возможные связанные состояния
этого атома.
В этом разделе мы рассматриваем связанные состояния ато-
атома водорода, но результаты исследования без труда переносятся
на случай водородоподобных атомов (Не+, Li++ и т. д.), в ко-
которых протон заменяется более тяжелым ядром. Пусть Мд —
масса этого ядра, Мр — масса протона. Приведенная масса во-
дородоподобного атома
несколько отличается от приведенной массы атома водорода
теМр
т== .•,,-.
те + Мр
Если заряд ядра равен Ze, то потенциал кулоновского взаимо-
взаимодействия есть Ze2/r. Все формулы, относящиеся, к атому водо-
водорода, могут быть применены и в случае водородоподобного ато-
атома, если сделать замену т—*т' и е2—>Ze2.
§ 3. Порядок величины энергии связи основного состояния
Пустб г0 — «радиус» атома в его основном состоянии. Мы
имеем в виду, что волновая функция «концентрируется» внутри
сферы радиуса г0, иначе говоря, что вероятность присутствия
электрона на расстоянии г от протона очень мала при г > г0, но
принимает отличные от нуля значения при г < г0. В качестве
очень грубой модели можно представлять себе, что плотность
вероятности является постоянной внутри сферы радиуса го-
Ясно, что среднее значение потенциальной энергии тем
меньше (в алгебраическом смысле), чем меньше г0: это вели-
величина порядка —е2/г0. Напротив, среднее значение кинетической

§ 4, УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ 397
энергии тем больше, чем меньше г0. Если электрон локализован
в сфере радиуса г0, то соотношения неопределенности ставят
нижний предел значению его импульса; среднее квадратичное
отклонение импульса не может быть меньше fi/r0, следовательно,
кинетическая энергия равна, по меньшей мере, ff/Zwl- Пол-
Полная энергия, таким образом, равна по меньшей мере сумме
двух величин -=—^ и . Минимум достигается при г0 =
2mr0 r0 t
= Ь2/те2. Мы должны ожидать, что значение энергии при этом
минимуме
С" ' тв* I ГО Г \ /4
?i=—~2 р- (=— 13,5 эв) G)
по порядку величины равно энергии основного состояния, а со-
соответствующее значение радиуса
а = Н21те2 (= 0,529 • 1(Г8сж) (8)
дает порядок величины протяженности волновой функции в ос-
основном состоянии.
По случайному совпадению оказывается, что энергия основ-
основного состояния точно равна формуле G). Длина а называется
радиусом Бора или «радиусом атома водорода».
§ 4. Решение уравнения Шредингера
в сферических координатах
Для решения уравнение Шредингера воспользуемся сфериче-
сферическими координатами; как и в случае любого центрально-симмет-
центрально-симметричного потенциала угловые и радиальные переменные в этой
системе координат разделяются, и проблема сводится к нахож-
нахождению регулярных решений радиального уравнения D). Реше-
Решение уравнения Шредингера можно осуществить также в пара-
параболических координатах — в этой системе координат перемен-
переменные также разделяются. Здесь мы ограничимся только упоми-
упоминанием этого важного обстоятельства и рассмотрим задачу в
сферических координатах.
Если произвести замену переменной
х = 2кг, (9)
то уравнение D) будет зависеть только от безразмерного пара*
метра
1 е2

398 ГЛ. XI. КУЛОИОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
где х и а определяются уравнениями F) и (8) соответственно.
Уравнение D) эквивалентно уравнению
где yi — решение, пропорциональное xl+l в окрестности начала
координат. При очень больших х это решение растет экспонен-
экспоненциально, за исключением ряда дискретных значений v, при кото-
которых оно ведет себя как ехр(—х/2). Наша цель состоит в опреде-
определении этих особых значений v и соответствующих собственных
функций.
Будем искать решение уравнения в виде
yt = xi+ie-xi2VtMi
что дает
г- J9 J -«
; = 0. A2)
Это дифференциальное уравнение есть уравнение Лапласа (см.
Дополнение Б, § 1). Оно имеет, с точностью до постоянного мно-
множителя, только одно решение, конечное в начале координат; все
остальные решения имеют сингулярность типа (l/xJl+1. Ука-
Указанное регулярное решение представляется вырожденной ги-
гипергеометрической функцией
F(l+l-v, 21 + 2; х) =
Y(l+\+p-v) B1+ 1)! хР_
Г (/ + I - V) ' B1 + 1 + р) ! р\
Чтобы доказать это, будем искать решение уравнения A2) в виде ряда
Тейлора вблизи начала координат:
Подставляя это разложение в уравнение A2) и приравнивая нулю коэффи-
коэффициенты прн степенях х в левой части уравнения, находим
B1 + 2) а, = (I + 1 - v),
р B1 + 1 + р) ар = (I + р - v) вр_ь
откуда получаем
(p + l-v)(p-\ + l-v) ... A+/-у) J
аР
(р + 21 + 1) (р - 1 + 21 + 1) . .. A + 21 + 1) ' р\
следовательно, ар действительно является коэффициентом прн хр в гипергео-
гипергеометрическом ряде A3).
В общем случае ряд A3) является бесконечным и при х->оо
ведет себя как x~l~1~JVex (уравнения (Б.9—11)), Поэтому yi в

§ 5. СПЕКТР ЭНЕРГИИ. ВЫРОЖДЕНИЕ 399
асимптотической области ведет себя как x~vexl2 и задача на соб-
собственные значения не имеет решения.
Однако при некоторых особых значениях v коэффициенты
ряда, начиная с некоторого, обращаются в нуль, и гипергео-
гипергеометрический ряд сводится к полиному. Для этого необходимо,
чтобы /+ 1—v было равно целому отрицательному числу или
нулю, т. е.
v = n = l+l+n' («' = 0, 1, 2, ..., оо). A4)
В этом случае гипергеометрический ряд сводится к полиному
степени п', радиальная функция при х -> оо ведет себя как
хпе-х/2 и решение уравнения Шредингера оказывается приемле-
приемлемым в качестве собственного решения.
Условие квантования A4) дает уровни энергии связанных
состояний с моментом импульса Aт). Каждый из них опреде-
определяется значением целого числа п'. Волновая функция соответ-
соответствующего связанного состояния (не нормированная) строится
с помощью радиального решения
(p)( + + P) p
р-0
Полином степени п' в правой части этого равенства, есть (с точ-
точностью до постоянного множителя) обобщенный полином Ла-
герра Ll'+l(x), определение которого и основные свойства при-
приводятся в дополнении Б (§2).
§ 5. Спектр энергии. Вырождение
Заменяя в равенстве A4) параметр v его выражением A0),
находим спектр энергии состояний с моментом импульса /:
F ( е* V mg2 AR\
причем радиальное квантовое число п' равно числу узлов ради-
радиальной части волновой функции. Спектр содержит бесконечное
счетное множество уровней, так как число п' может принимать
все целые значения от 0 до + °°- Когда га'->оо, уровни стано-
становятся все более близкими друг другу и в пределе стремятся к
значению Е — 0, с которого начинается непрерывный спектр.
Это обстоятельство характерно для потенциалов с большим радиусом
действия. Напротив, короткодействующие потенциалы, например, типа прямо-
прямоугольной потенциальной ямы, приводят к конечному числу связанных состоя-
состоянии (а иногда и к полному отсутствию их). Можно показать в самом общем
случае, что множество уровней энергии является бесконечным счетным (с

400 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
точкой накопления Е = 0), если потенциал, будучи отрицательным, асимпто-
асимптотически стремится к нулю медленней функции 1/г2:
и это множество конечно нлн, может быть, пусто, если потенциал асимптоти-
асимптотически стремится к нулю быстрее 1/г2.
Объединение спектров, относящихся к различным возмож-
возможным значениям / = О, 1, 2, ..., оо, дает полный спектр атома
водорода согласно теории Шредингера. Полный спектр, таким
образом, образуется последовательностью чисел ?/„„ определен-
определенных .уравнением A6), причем Inn' могут принимать все целые
неотрицательные значения. Замечаем, что значения энергии за-
зависят, в действительности, от суммы / -f- га', или, что то же са-
самое, от «главного квантового числа»
Имеем
Еп~~ V"
При каждом значении энергии ?„, т. е. при каждом значении
главного квантового числа га, момент импульса / может прини-
принимать все целые значения от 0 до га—1. Поэтому вырождение
уровня Еп имеет кратность
п-1
? B1 + 1) = я(я- 1) + п = га2.
Подпространство собственных функций с числом измерений
п2 натянуто на га2 функций, каждая из которых соответствует
определенному состоянию момента импульса Aт); при этом
«азимутальное квантовое число» I может принимать га значений
/ = 0, 1, 2, ..., п-1,
а «магнитное квантовое число» — B1-\-1) значений
т = -1, -1+1, ..., +/.
По спектроскопической традиции различные собственные зна-
значения энергии обозначаются целым положительным числом га
и сопровождающей буквой (s,p,d,f,g, ...), указывающей на
значение I в соответствии с принятым соглашением, о котором
мы говорили в предшествующей главе; квантовое число т, ука-
указывающее на ориентацию системы, опускается. Так, основное
состояние есть состояние Is. Первое возбужденное состояние
четырехкратно вырождено и включает одно состояние 2s и три
состояния 2р; второе возбужденное состояние девятикратно вы-

5 6. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
401
рождено и включает одно состояние 3s, три состояния Зр и пять
состояний 3d и т. д. (рис. 36).
Этот спектр совпадает с тем, который предсказывала старая
квантовая теория; мы уже указывали на замечательное совпа-
совпадение этого результата с экспериментальными данными. Настоя-
Настоящая теория хорошо предсказывает расположение спектраль-
спектральных линий, но не может объяснить тонкую структуру спектра.
Недостаток теории в том, что она нерелятивистская. Релятивист-
Релятивистские эффекты в определении положения уровней оказывают-
оказываются порядка v2/c2, т. е. примерно Еп/тс2: релятивистские поправки
1=2 1=3
Рис. 36. Спектр атома водорода.
должны быть порядка 10~4—10~5. С другой стороны, теория
Шредингера не учитывает спин электрона, т. е. внутреннюю сте-
степень свободы электрона, не имеющую классического аналога —
этот вопрос будет обсуждаться в гл. XIII (т. II). К анализу тош
кой структуры спектра атома водорода мы вернемся в гл. XX
(т. II) при изложении основ релятивистской квантовой меха-
механики электрона.
§ 6. Собственные функции связанных состояний
Собственные функции, принадлежащие уровню энергии Еп,
являются линейными комбинациями п2 линейно независимых
функций. Результаты § 4 дают нам п2 собственных ортогональ-
ортогональных функций, принадлежащих заданным значениям момента

402 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
импульса. Так, волновая функция квантового состояния (nlm)
записывается в виде
(^)T(Q,^ A8)
где
Fnt(x) = xte-1I*±lx-1{x), A8')
a Nni — постоянная нормировки. Норму tynim можно вычислить,
воспользовавшись производящей функцией полиномов Лагерра
(Б. 15). Норма будет равна 1, если взять
[(n+\W • ( ]
Поучительно найти средние значения последовательных сте-
степеней г в квантовом состоянии (nlm). Мы не будем здесь про-
производить подробных вычислений (задача 1), результаты даны в
дополнении Б, § 3. В частности, имеем
(r)ni = j[3n*-1A+1)]. A9)
Следовательно, электрон в среднем находится тем дальше от
протона, чем больше п. Для основного состояния находим
(г)и = За/2 в согласии с грубой оценкой § 3.
Когда / принимает свое наибольшее значение п—1, волно-
волновая функция имеет особенно простой вид: это есть произведение
Уг*F, ф) на радиальную функцию
Среднее значение г в этом состоянии равно
* \ (Л)-» е->г,пагг df = п (п + 1\ а
) J V па ) \ ' 2 J
о
х ' BпI \ па) J
о
в согласии с общей формулой, приведенной выше. Аналогичное
вычисление дает: #
<г2) = п2(п+1/2)(п+1)о2,
откуда получаем выражение для радиального среднего квадра-
квадратичного отклонения:
При очень больших значениях п величина Дг/(г) становится ма-
малой, так что электрон оказывается практически локализованным
вблизи сферы радиуса п2а, в то время как энергия уровня

§ 7. КУЛОНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ РАССЕЯНИЯ 403
—е2/2п2а совпадает с энергией классического электрона на кру-
круговой орбите радиуса п2а.
Этот частный пример подтверждает общее правило соответ-
соответствия, по которому в пределе больших квантовых чисел должны
быть справедливы классические законы движения. Чтобы де-
детально сравнивать результаты квантовой и классической тео-
теорий, следует исследовать движение волновых пакетов. Мы не
будем здесь проводить этого исследования. Ограничимся ука-
указанием того, что состояния с максимальным /(/= п— 1) соот-
соответствуют классическим круговым орбитам; это следует срав-
сравнивать с результатом старой квантовой теории, согласно кото-
которой эксцентриситет квантованных орбит равен V1 — 12/п2 и об-
обращается в нуль, когда / принимает свое наибольшее значение
(см. стр. 47).
Раздел II. КУЛОНОВСКОЕ РАССЕЯНИЕ
§ 7. Кулоновская функция рассеяния
После отделения движения центра масс уравнение Шредин-
гера задачи о рассеянии двух частиц, взаимодействующих по
закону Кулона, записывается, следуя обозначениям § 1, в виде
[- ? А + ^-] Ф (г) = Ец (г), B0)
где Е — энергия в системе центра масс. Эффективное сечение
рассеяния связывается с асимптотическим поведением собствен-
собственных функций положительной энергии уравнения B0). Обозна-
Обозначим ')
*-%--*?¦ <2»
y=-4f; B2)
тогда уравнение B0) записывается в форме
(г) = 0. B3)
Это уравнение обладает одним регулярным решением вида
eikzf{r-z). B4)
') Параметр у аналогичен параметру v из задачи об атоме водорода,
положить а = tfijl^Zjme1, то получим y == l/ka (см, уравнение A0)).

404 ГЛ. XI, КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Действительно, если подставить это выражение в уравнение B3)
и положить и = г — z, то получим дифференциальное урав-
уравнение
или, полагая v = iku = ik{r — z),
Это уравнение типа Лапласа, решение которого, регулярное в
начале, есть вырожденная гипергеометрическая функция
F(—iy, 1; а).Таким образом,уравнение Шредингера действитель-
действительно обладает регулярным решением в форме B4), а именно
Ч>„ = AeikzF (- iy, I; ik (r - z)), B5)
где А — нормировочная постоянная.
Согласно исследованию, приведенному в дополнении Б, § 1,
гипергеометрическая функция, фигурирующая в равенстве B5),
является суммой двух функций, асимптотические формы кото-
ft
рых при больших значениях | v | = 2kr sin2 ^- даются уравнениями
(Б.10) и (Б.11). Используем обозначения дополнения Б и по-
положим
*t<=Aeik'Wi{-ly, I; iku), B6)
1pd = AeikzW2(-iv, 1; iku). B7)
Тогда
*e = ** + *!• B8)
Функции tyi и \|)<i являются решениями (нерегулярными) урав-
уравнения B0). Выбирая
A = T{l+iy)e-^'2, B9)
находим следующие асимптотические формы для \|з; и г^:
1j, _ ei\kz+ylnk(r-z)\\i + V2 i 1 C0)
тНг-г|->с<. L ' ik(r — z) г J' v '
•ф
Г С
[fcr-y in > (r-«
____ e [y ()] \i
*lr-z) r(l-iY) L1 + /fe(r-z)
Поскольку z = r cos 6, первый член асимптотического представ-
представления i|>d можно записать в виде
_ ex

§ 8. ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА 405
где
U F) = Z-ir • ехр Г- iy In (sin2 4) + 2шо1; C3)
2ft sin8 у L v J л
здесь
ao = argr(H-jY). C4)
§ 8. Формула Резерфорда
Волновая функция i|>c представляет стационарное состояние
рассеяния для частицы с начальным импульсом bk, направлен-
направленным вдоль оси Oz. Мы знаем, что в случае потенциала, стремя-
стремящегося к нулю не медленнее 1/г2 при г->оо, аналогичное со-
состояние рассеяния представляется волновой функцией с асимп-
асимптотической формой
которая интерпретируется как сумма падающей и рассеянной
расходящейся волн. Волновая функция \рс также представляется
в виде суммы двух членов ijn, tya асимптотические формы ко-
которых похожи соответственно на плоскую и расходящуюся
волны.
Однако даже на бесконечно больших расстояниях от начала
координат функция грг не может быть уподоблена плоской вол-
волне, ввиду присутствия фактора exp[iyln k(r — г)]; радиус дей-
действия кулоновского поля столь велик, что оно влияет на падаю-
падающую волну даже в асимптотической области. Тем не менее, при
очень больших отрицательных z функция tyt представляет волну
с плотностью 1; причем соответствующая плотность потока
направлена по оси Oz и равна v = Ыг/m (логарифмический
член дает поправки порядка 1/г, которыми можно пренебречь).
Это оправдывает истолкование tyt как падающей волны.
Аналогичным образом радиальная зависимость функции \pd
при очень больших г выражается не формой exp(ikr)/r, харак-
характерной для расходящихся волн, но более сложным выражением
ехр[г(йг — yln2kr)]/r. Однако в асимптотической области
(кроме близкой окрестности полуоси положительных z, где раз-
разделение на падающую и рассеянную волны не имеет смысла)
функцию \|)d можно интерпретировать как рассеянную волну, так
как вектор плотности потока jd, вычисленный с этой функцией,
действительно направлен по радиусу в направлении возрастаю-
возрастающих г, а влиянием фактора ехр(—iyln2kr) можно пренебречь

406 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
в самом нижнем порядке по 1/г; в этом приближении т!ра есть
волна с плотностью |Ы8)|2/г2 и плотностью потока v\fc(Q)\2/r2.
Составляя отношение плотности рассеянного потока в телес-
телесном угле (Q, Q + dQ) и плотности падающего потока, получаем
дифференциальное эффективное сечение рассеяния
ac(Q) = lfcF)l2. C5)
Эта формула аналогична формуле (X. 2), относящейся к рассея-
рассеянию на потенциале более короткого радиуса действия. Конечно,
вышеприведенные рассуждения могут быть подвергнуты той же
критике, что и в § X. 3, однако, нетрудно провести и более стро-
строгое доказательство, подобное выводу §§ 4—6 гл. X.
Функция fc (8) называется амплитудой кулоновского рассея-
рассеяния. В явном виде она дается выражением C3). Отсюда полу-
получаем формулу для эффективного сечения кулоновского рас-
рассеяния:
^С^ГтЬ- <36)
Полученное строгое выражение, как видим, тождественно клас-
классической формуле эффективного сечения кулоновского рассея-
рассеяния, полученной в гл. VI (уравнение (VI. 29)): классическая
формула Резерфорда остается верной, даже когда классическое
приближение перестает быть справедливым. Это следует рас-
рассматривать как случайное совпадение.
Из формулы C6) находим следующие замечательные свой-
свойства эффективного сечения кулоновского рассеяния:
а) оно зависит только от абсолютного значения потенциала,
но не от его знака;
б) угловое распределение не зависит от энергии;
в) при заданном угле эффективное сечение при возрастании
энергии падает как 1/Е2;
г) полное эффективное сечение бесконечно: интеграл \.oc(Q)dQ
расходится при малых углах.
Эта расходимость характерна для чисто кулоновского поля. На опыте
такое поле не встречается никогда; так, при рассеянии заряженной частицы
на атомном ядре кулоновское поле ядра на больших расстояниях нейтрали-
нейтрализуется полем электронов оболочек и потенциал обращается в нуль на рас-
расстояниях, достаточно больших по сравнению с радиусом атома. Эффект экра-
экранирования приводит к модификации рассеянной волны при малых углах, так
что дифференциальное эффективное сечение более не расходится при 6-*-0.
Можно показать, что указанное изменение волновой функции пренебрежимо
мало при углах, превосходящих одновременно 2y/ka и \/ka (здесь а — радиус
атома). При энергиях, обычно используемых в ядерной физике, эти предель-
предельные углы столь малы, что экранированием кулоновского поля можно пол-
полностью пренебречь.

5 9. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ ВОЛНАМ 407
§ 9. Разложение по парциальным волнам
Уравнение Шредингера B0) может быть решено методом
разделения угловых и радиальных переменных. Этот метод не
представляет большого интереса для чисто кулоновского рас-
рассеяния, так как мы обладаем более прямым методом. Кроме
того, имея дело с потенциалом дальнего действия, мы заранее
знаем, что разложение амплитуды рассеяния fc(Q) по сфериче-
сферическим функциям будет плохо сходиться. Однако разложение по
парциальным волнам оказывается полезным в таких задачах,
когда к чисто кулоновскому взаимодействию добавляется неко-
некоторое взаимодействие с ограниченным радиусом, ибо присут-
присутствие этого дополнительного взаимодействия влияет только на
первые члены разложения по сферическим гармоникам и, сле-
следовательно, разложение разности f(8) — fc(Q) быстро сходится.
Разделение угловых и радиальных переменных уже было
проведено для случая атома водорода. В наших новых обозна-
обозначениях уравнение D) записывается в форме
|в0. C7)
Чтобы построить решения этого уравнения, действуем как
в задаче об атоме водорода, производя замену искомой функ-
функции и переменной:
тогда vi есть решение уравнения Лапласа (см. уравнение A2))
[1-4L + B1 + 2 -D-щ -(I + I +iy)]vt = 0. C9)
Известны асимптотические разложения (Б. 10—11) двух нерегу-
нерегулярных решений этого уравнения W\#(l+ I + iy, 2/+ 2; g). На
их основе можно получить асимптотическую форму общего ре-
решения C9) и в результате короткого вычисления — асимптоти-
асимптотическую форму общего решения C7): это линейная комбинация
двух экспоненциальных функций
g± i (kr-y In Ikr)
Мы знаем, что решение C9), регулярное в начале коорди-
координат, есть гипергеометрическая функция Г(/+ 1 +iy, 21 + 2; |);
это сумма двух функций W{ и W2 (уравнение (Б.9)). Соответ-
Соответствующее решение уравнения C7) в асимптотической области
пропорционально функции sin(kr — у \n2kr —1л/2 +ы), где
о, = arg Г (/ + 1 + iy). D0)

408 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Величина oi называется кулоновским фазовым сдвигом. По оп-
определению регулярной кулоновской волновой функцией Fi(y;kr)
является регулярное решение уравнения C7) с асимптотической
формой
Ft ~ sin(kr — y\n2kr — ln/2 + at). Dl)
Г~> оо
Согласно предыдущему
F, (v; kr) = ct (y) eikr (kr)l+l F(l+l+ iy, 2/ + 2; - 2ikr), D2)
при этом постоянная ci(y) должна быть выбрана так, чтобы Fi
удовлетворяла условию D1), а именно
С1 — B/ + 1)! •
Вещественная функция Fi часто называется регулярной сфери-
сферической кулоновской функцией; это функция kr, зависящая от
параметра у.
Можно определить также «нерегулярные сферические куло-
новские функции». Это решения уравнения C7), нерегулярные
в начале координат. Наиболее часто употребляемые функции
определены в § Б.5. Укажем здесь только сходящуюся и расхо-
расходящуюся волны и\~] и и\+) с асимптотическими формами
ц(±) ^ e±i(kr-y\n2kr-lnl2) ^
1 г-»оо
Эти функции являются комплексно сопряженными, причем
F, = Ime'e'ul+). D4)
§ 10. Разложение i|>c по сферическим функциям
Кулоновская волновая функция \рС) определенная в § 7,
^с==е-пу,2Т A + iy) eik?F (_ /Y> 1; ik (r _ z))> D5)
может быть представлена в виде разложения в ряд по полино-
полиномам Лежандра:
оо
Ь = jp Y, W + 1) W'F, (у; kr) P, (cos 6). D6)
1=0
Это разложение аналогично разложению плоской волны
в которое оно переходит при у -> 0,

§ 10. РАЗЛОЖЕНИЕ фс ПО СФЕРИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ 409
Чтобы доказать соотношение D6), следует использовать интегральное
представление {Б.6) гипергеометрической функции, фигурирующей в опреде-
определении т|)с, что дает
г (—
Если разложить экспоненту exp[ikz(\—/)] в подынтегральном выражении
в ряд по полиномам Лежандра по формуле D7) и изменить порядок сум-
суммирования и интегрирования, получим
оо
Ч>„ = ? B1 + 1) С'ф, (г) Р (cos в), D8)
Z = 0
где
С другой стороны, мы знаем, что
III (I) =-Fl @; D= Bl2+\)\ $Ше11р С + 1. 2/ + 2; - 2/g),
откуда
hW-'S, в ^ B/+1+Р)! р! *
Подставляя это выражение для /; в интеграл в правой части D9} и вновь
меняя порядок суммирования н интегрирования, находим
p-0 ¦¦¦>._
(~2'v
и поскольку, следуя (Б.5),
С t-iy-l A _ лЛ-P+iY л — (\ _ Л-2луЧ Г (— 'Y) Г (Г
Го
имеем
rI eikr V
B/ + 1 + р)!
р-0
eikrp {l+l+iy> 2i+2> -2ikr)-
При учете определений D0), D2) и D3) это дает
*r<p,(r) = eft4Fz(Y; kr).

410 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Искомое разложение получается при подстановке этого выражения в урав-
уравнение D8).
Можно бычо, впрочем, ожидать этого результата заранее. Действительно,
поскольку tyc есть регулярное решение уравнения Шредингера B0), ripi(r)
необходимо есть регулярное решение радиального уравнения C7), т. е. про-
пропорционально Fi(y;kr). Цель нашего вычисления состояла в определнии кон-
константы пропорциональности.
Полезно выразить разложение D6) при помощи расходя-
расходящихся и сходящихся кулоновских волновых функций. Подстав-
Подставляя вместо Fi ее выражение через функции и\+) и иу~} (уравне-
(уравнение D4)), находим
B/+l) *'+I («Г ~ Л{+)) Рг (cos 6). E0)
§ 11. Модификация кулоновского потенциала
короткодействующим взаимодействием
Когда к кулоновскому полю Vc(r) добавляется некоторое
короткодействующее взаимодействие V'(r), стационарное со-
состояние рассеяния более не представляется чисто кулоновской
волновой функцией, но функцией \р, разложение которой в ряд
по полиномам Лежандра имеет вид
2/+l)/'x;(r)/Mcos6). E1)
1 = 0
Метод фазовых сдвигов, позволяющий описывать рассеяние
частицы потенциалом V(г), почти без изменений переносится
на случай рассеяния потенциалом V'(r)-\- Vc(r); следует только
на каждом этапе вычислений заменить свободные волны на со-
соответствующие кулоновские волновые функции.
Функция %i(r) является решением радиального уравнения
,(г) = 0. E2)
Можно показать (задача 2), что, если V'(г) стремится к нулю
в асимптотической области не медленнее 1/г2, то решения ра-
радиального уравнения асимптотически переходят в линейные
комбинации экспонент е± Hkr—v\n2kr) ИЛИ) чт0 то же самое, в ли-
линейные комбинации расходящихся и сходящихся кулоновских
функций и\+) и и\~К В частности, регулярное решение этого
уравнения асимптотически переходит в некоторую линейную
комбинацию указанных двух функций. Пусть

§ 11. КОРОТКОДЕЙСТВУЮЩЕЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 411
есть эта линейная комбинация (At — постоянная нормировки).
Фазовый сдвиг б; характеризует действие потенциала V'{r), до-
добавленного к кулоновскому. Фазовый сдвиг б/ равен нулю, если
\" = 0, и в дальнейшем играет роль, совершенно аналогичную
роли фазовых сдвигов при рассмотрении короткодействующих
потенциалов.
Регулярное решение радиального уравнения х/ должно быть
выбрано так, чтобы функция гр представляла стационарное со-
состояние рассеяния; для этого необходимо, чтобы \р — \\tc асимпто-
асимптотически вела себя как расходящаяся волна, т. е. как
ei(kr-y\n2kr)lr_
Это условие выполняется, если Л/ = i/2 при всех значениях
/, как это можно видеть, сравнивая E0) и E1). В асимптотиче-
асимптотической области, т. е. для значений г, достаточно больших, чтобы
можно было полностью пренебречь потенциалом V'(r), полу-
получаем разложение
¦,r-TS
I
. тс 2 к/*
Как и в § 7, можно представить ty в виде суммы
¦ф = 'Фг + tyd> E4)
где ijj,- — функция, определенная уравнением B6) и представ-
представляющая падающую волну. Напротив, гр<* отличается от функции
B7), ее асимптотическая форма, после соответствующих вычис-
вычислений, может быть представлена в виде
1 '-'kr — Yln2/er)]X
где
/(8) = fe (8) +Г (8), E5)
причем
U (б) = ^-§- ехр [— iy In (sin2 ^) + 2iao], E5a)
Y (9) = W У Bl + *)e2i0?2'6' — 0 pi (cos 9)- E56)
ill К I I
I
Нетрудно установить с помощью тех же аргументов, что и
в § 8, что эффективное сечение рассеяния равно
a (Q) = i / F) |2. E6)

412 ГЛ. XI. КУЛОНОВСКОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ
Можно выразить его в виде суммы трех членов, воспользовав»
шись равенством E5)
a(Q) = ас(Q) + 2Re/;/'+1/'(9) I2-
Многие характерные свойства обычных фазовых сдвигов при-
присущи и фазовым сдвигам, введенным в этом параграфе. В ча-
частности, ряд E56) сходится тем быстрее, чем короче радиус
действия дополнительного потенциала V'. Формулы (X. 39—44)
из § X. 10 остаются справедливыми, если только учесть, что
функции «<*' представляют теперь не свободные волны, а вол-
волны кулоновские (задача 3). Однако численные значения вели-
величин тг, 1>г, q^ могут сильно отличаться от соответствующих
значений для свободных волновых функций, так что результаты
обсуждения поведения при малых энергиях, а также сходимо-
сходимости ряда должны быть пересмотрены. В частности, если мы
имеем дело с отталкивающим кулоновским потенциалом, то
фактор проникновения тем меньше, чем меньше начальная
энергия, так что vi «С 1, каким бы ни было /, если только Е ,<С
.<; Z\Z2e2lr0 (т. е. энергия меньше кулоновского барьера в точке
го)- За исключением этого все обсуждение резонансного рассея-
рассеяния может быть повторено без изменения. При некотором изме-
изменении определений входящих величин (задача 4) формулы
(X. 72—73), исходные для приближения Борна, и формула
(X. 77), исходная для приближения «эффективного радиуса дей-
действия», остаются в силе.
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Пользуясь радиальным уравнением для атома водорода, доказать ре-
рекуррентное соотношение (соотношение Крамерса):
в котором (rs) обозначает среднее значение rs, когда атом находится в кван-
квантовом состоянии (nlm)(a>—21 — 3). Вывести отсюда выражение для (г-1),
(г), (г2), приведенные в § Б.З. Это соотношение не позволяет найти (г-2).
Показать, что во всяком стационарном состоянии водородоподобного
атома среднее значение кинетической энергии равно с обратным знаком соб-
собственному значению энергии
Еп <pV2m>n/m.
2. Рассматривается рассеяние частицы с массой m центрально-симметрич-
центрально-симметричным потенциалом V(r) = Ze2/r + V'{r), где V'(r) при г->оо стремится к
нулю не медленнее 1/г2. Показать, что решения радиального уравнения асим-

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 413
птотически переходят в линейные комбинации экспоненциальных функций
exp [±i(kr — Y 1п2?г)] (k = ^2mE//г, y = Ze2/hv; v и Е — начальные ско-
скорость и энергия).
3. Показать, что формулы (X. 39—44) остаются верными, если к коротко-
короткодействующему потенциалу прибавить член кулоновского взаимодействия
Z[Z2e2/r (необходимо только изменить определение функций «;+) н И;~').
4. Как должны быть изменены интегральные представления (X. 72) н
(X. 73), если рассеивающий потенциал есть сумма кулоновского и коротко-
короткодействующего потенциалов? Тот же вопрос относительно формулы (X. 77).
Рассмотреть теорию эффективного радиуса для s-рассеяния, когда коротко-
короткодействующий потенциал обладает свойствами, указанными на стр. 391 (см.
Н. A. Bethe, loc. cit., сноска X.20).

Г Л А В АХИ
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
§ 1. Введение
В классической механике гармонический осциллятор — это
частица, способная перемещаться вдоль некоторой оси и под-
подверженная действию возвращающей силы, пропорциональной
расстоянию частицы от начала координат. Решение этой задачи
хорошо известно. Пусть q — координата положения частицы на
оси, р — её импульс, т —масса, — muP-q— возвращающая сила.
Уравнения движения частицы выводятся из функции Гамиль-
Гамильтона (р2 -\- ni2a,2q2) /2m; легко показать, что частица синусои-
синусоидально колеблется с (круговой) частотой со около начала ко-
координат.
Соответствующая квантовая задача формулируется как за-
задача об одномерной частице с массой тис гамильтонианом
^=i(p2 + mW), A)
причем переменные положения q и импульса р связаны соотно-
соотношением коммутации
[q, p] = Л. B)
Здесь мы имеем дело с очень простой квантовой системой, урав-
уравнение Шредингера которой может быть точно решено; система
обладает целым рядом замечательных свойств.
Исследование гармонического осциллятора имеет большое
значение в квантовой теории, так как гамильтониан типа A)
встречается во всех задачах, где имеют место квантованные ко-
колебания: мы находим его в квантовой электродинамике и кван-
квантовой теории поля, в теории молекулярных и кристаллических
колебаний. С другой стороны, проблемы, относящиеся к гармо-
гармоническому осциллятору, служат прекрасной иллюстрацией ос-
основных принципов и формализма квантовой теории. Поэтому
вполне оправдано подробное изучение этой задачи, которому и
посвящена данная глава.
Два первых раздела посвящены одномерному осциллятору.
Общее решение проблемы собственных значений гамильтониана
содержится в разделе I. Раздел II посвящен различным прило-

§ 2. ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ 415
жениям: нахождению производящей функции стационарных со-
состояний, решению уравнений движения Гейзенберга, сравнению
квантового и классического осцилляторов и изучению движения
волнового пакета — что дает хорошую иллюстрацию как прин-
принципа соответствия, так и соотношений неопределенности —
и, наконец, исследованию свойств ансамбля гармонических ос-
осцилляторов в термодинамическом равновесии.
В разделе III рассматривается гармонический осциллятор
в нескольких измерениях. Основной характеристикой этой за-
задачи является наличие вырожденных собственных значений.
Следствия вырождения детально изучаются в двух частных слу-
случаях изотропного осциллятора в двух и трех измерениях.
Раздел I. СОБСТВЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ ГАМИЛЬТОНИАНА
§ 2. Проблема собственных значений
Чтобы не загромождать вычисления ненужными постоян-
постоянными, положим
Ж = #/гсо, C)
р = (mhe>)ll> P. E)
Проблема состоит в нахождении собственных значений и по-
построении собственных векторов оператора
H = ±(P2 + Q\ F)
где эрмитовы операторы Р и Q удовлетворяют коммутацион-
коммутационному соотношению
[Q,P] = i. G)
Чтобы решить эту задачу, можно выбрать некоторое пред-
представление, например, {Q}, и решить уравнение Шредингера в
этом представлении. Поскольку в {Q}-представлении Р выра-
выражается дифференциальным оператором (—id/dQ), мы приходим
к одномерному уравнению Шредингера
i[--j$r + Q2]"(Q) = ™(Q)- (8)
Мы воспользуемся более прямым методом, принадлежащим
Дираку; построим собственные векторы Н, действуя на один из
них соответствующими операторами. Этот метод дает возмож-
возможность решить задачу на собственные значения в общем виде

416 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
без ссылок на какое-либо конкретное представление, основы-
основываясь исключительно на основных постулатах пространства
Гильберта и коммутационном соотношении G). Его можно рас-
рассматривать как метод построения векторного пространства $
динамических состояний системы, подобный описанному
в § VIII. 6.
§ 3. Введение операторов а, а? и N
Определим операторы а и а+ формулами
a = -^-(Q + iP), (9a)
a^ = ^-(Q-iP), (96)
операторы а и а+ эрмитово сопряжены друг другу. Соотношение
коммутации G) эквивалентно соотношению
[а,а+] = 1. A0)
Если в определении F) выразить Q и Р через а и а+, то по-
получим
H=j(aa* + a*a). A1)
Положим
N = a4, A2)
тогда из A0) и A1) находим
H = N+ 1/2. A3)
Из уравнений A0) и A2) получаем важные соотношения:
Na = a(N-l), A4а)
l). A46)
Задача на собственные значения, которую мы решаем, экви-
эквивалентна задаче построения собственных векторов оператора N,
определенного формулой A2), причем операторы а и а+ эрми-
эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют условию A0).
Докажем основную теорему.
Если \v) есть собственный вектор оператора N, a v — соот-
соответствующее собственное значение, то
а) v>0;
б) если v = 0, то a|v) = 0, в остальных же случаях a\v)
есть отличный от нуля вектор с нормой
v<v|v>,

§ 4 СПЕКТР И БАЗИСНАЯ СИСТЕМА ОПЕРАТОРА V 417
причем это собственный вектор оператора N, принадлежащий
собственному значению v — 1;
в) вектор a^\v) отличен от нуля, его норма равна
причем это собственный вектор оператора N, принадлежащий
собственному значению v-f- 1.
По предположению
AMv> = v|v>, (v|v}>0.
Пользуясь определением A2) и коммутационным соотношением
A0), находим нормы векторов a\v) и a+|v):
(v|a+aiv> = (v|W|v> = v<v|v>, A5а)
<v|aa+|v> = <v|(tf+l)|v> = (v+l)<v|v>. A56)
Однако, норма вектора в пространстве Гильберта либо поло-
положительна, либо равна нулю, причем равенство нулю нормы яв-
является необходимым и достаточным условием равенства нулю
вектора. Чтобы этот основной постулат выполнялся в нашем
случае, необходимо и достаточно, чтобы v^O (свойство а)I).
Условие равенства нулю вектора a|v) есть частный случай урав-
уравнения A5а). С другой стороны, векторы a\v) и a+|v\ действи-
действительно удовлетворяют уравнениям на собственные значения тео-
теоремы, так как, согласно A4а) и A46),
Na\v) = a(N- 1)| v) = (v - l)a| v),
/Va+|v> = a+(JV+ l)|v) = (v-f l)a+|v>,
что и требовалось доказать.
§ 4. Спектр и базисная система оператора N
Если v > 0, то предшествующая теорема применима и к
вектору a|v), принадлежащему собственному значению v—1.
Это убеждает нас в том, что v ^ 1. Если v > 1, то теорема при-
применима также к вектору a2\v). Так мы образуем последователь-
последовательность собственных векторов
a|v>, a2|v), .... ap|v>
принадлежащих собственным значениям
V— 1, V — 2, .... V — р
') См. задачу VII. 9.
14 А, Мессиа

418 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Эта последовательность обязательно конечна, так как собствен-
собственные значения N ограничены снизу нулем. Иначе говоря, век-
векторы последовательности все равны нулю, начиная с некоторого
п + 1: действие а на собственный отличный от нуля вектор
g"|v), принадлежащий собственному значению v — п, дает 0;
согласно в) это значит, что v = п.
Аналогичным образом можно применить нашу теорему к век-
вектору a+|v), который очевидно не равен нулю и принадлежит
собственному значению (v + 1)> затем к вектору a+2|v) и т. д.
Так получается неограниченная последовательность отличных
от нуля векторов
которые являются собственными векторами N, принадлежащими
соответственно собственным значениям
v+1, v + 2, ..., v + p
Приходим к заключению, что спектр собственных значений
оператора N образован последовательностью целых неотрица-
неотрицательных чисел. Последовательность собственных векторов, при-
принадлежащих каждый одному из значений спектра, получается
повторным действием операторов а или а+ на один из этих век-
векторов. Отношение норм двух соседних векторов дается соотно-
соотношениями A5а) или A56). Это множеств векторов образует
полную систему. Действительно, можно показать, что всякая
функция от а и а+, коммутирующая с N, является функцией N
(задача 1). Поэтому оператор N образует сам по себе полный
набор коммутирующих наблюдаемых и ни одно из его собствен-
собственных значений не может быть вырождено.
Построенные нами векторы не являются нормированными на
единицу. Но чтобы получить ортонормированный базис наблю-
наблюдаемой N, достаточно умножить каждый вектор на соответ-
соответствующую постоянную, которую следует выбрать, исходя из со-
соотношений A5а) и A56). Требование нормировки определяет
указанную постоянную только с точностью до фазы, которую
мы еще можем выбрать так, чтобы максимально упростить по-
получающиеся формулы. В результате находим последователь-
последовательность ортонормированных векторов
Ю>, |1> \п) A6)
принадлежащих, соответственно, следующим собственным зна-
значениям N:
О, 1 п

§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ fJV)
419
Векторы связаны друг с другом рекуррентными соотношениями:
а+|л>=л/лТТ|л+1>, A7)
а\п) = '\/п\п—1} (л =7^=0), A8)
а | 0> = 0. A9)
Нетрудно проверить, что все они получаются из вектора |0)
согласно формуле
0), B0)
удовлетворяют уравнению на собственные значения
N\n) = n\n) B1)
и нормированы на единицу, т. е. удовлетворяют соотношениям
(Л|п/) = в/и,. B2)
Поскольку оператор N сам по себе составляет полный на-
набор, последовательность векторов A6) образует полную си-
систему векторов пространства динамических состояний изучае-
изучаемой квантовой системы <§¦ Остается проверить внутреннюю со-
согласованность нашего построения ё', а именно, убедиться, что
векторы из & удовлетворяют всем требованиям, предъявляемым
к векторам пространства Гильберта, а физические величины
представлены наблюдаемыми, которые подчиняются правилам
соответствующей алгебры. Мы не будем заниматься здесь этими
тонкостями (задача 3).
§ 5. Представление {N}
Векторы последовательности A6) образуют базисную си-
систему некоторого представления, которое будем называть пред-
представлением {N}. Из уравнений A7), A8), A9) и B1) нетрудно
получить матрицы, соответствующие в этом представлении опе-
операторам N, а а а+. Если условиться располагать строки и столб-
столбцы этих матриц по порядку возрастающих квантовых чисел п
(верхняя строка соответствует п = 0, следующая строка — п =
= 1 и т. д.; левый столбец соответствует п = 0, следующий
столбец— п = 1 и т. д.), то для оператора N получим диаго-
диагональную матрицу
О О
О 1
. о
о
3 О
0.

420
ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
для оператора а — вещественную
а =
0
0
0
Vf
0
0
0
и
0
матрицу
0
0
л/з*
0
0
V4".
0
где отличные от нуля элементы располагаются на диагонали,
ближайшей сверху по отношению к главной диагонали, а для
оператора а+ — эрмитово сопряженную матрицу
0
Г
0
0
0
0
V2"
0
0
0
0
V3~
0
0
д/Т 0
где отличные от нуля элементы располагаются на диагонали,
ближайшей снизу по отношению к главной. Ввиду того, что
наблюдаемые квантовой системы выражаются как функции
а и а+, нетрудно построить матрицы, соответствующие им в
представлении {N}. В частности, имеем
^=(ЛГ+ 1/2)/гсо, B3)
B5)
Оператор Ж диагоналей в этом представлении, и его собствен-
собственные значения равны
(п+1/2)/гсо (п = 0, 1, 2 оо);
наблюдаемые q и р выражаются как линейные функции а и а+,
так что отличные от нуля элементы представляющих их мат-
матриц располагаются на двух диагоналях, соседних с главной диа-
диагональю. Читатель сам без труда построит эти матрицы.
§ 6. Операторы рождения и уничтожения
Операторы N, а и а+ были введены для упрощения решения
задачи на собственные значения. Если оператор Ж является
гамильтонианом одной частицы в одном измерении, то эти опе-
операторы не имеют непосредственного физического смысла.

§ 6. ОПЕРАТОРЫ РОЖДЕНИЯ И УНИЧТОЖЕНИЯ 421
Однако задача на собственные значения Ж допускает и дру-
другую интерпретацию. Ввиду того, что уровни энергии эквиди-
эквидистантны с промежутком йсо, можно рассматривать Ж как га-
гамильтониан системы тождественных частиц, находящихся в од-
одном энергетическом состоянии йсо, число которых N может из-
изменяться, так что каждое собственное состояние Ж соответ-
соответствует определенному значению N и, следовательно, определен-
определенному значению полной энергии. Тогда вектор \п) представляет
состояние, в котором присутствует п частиц: вектор |0) пред-
представляет состояние без частиц (вакуум). При переходе от состоя-
состояния \п) к состоянию |п+1) число частиц увеличивается на
единицу, а полная энергия системы возрастает на величину йсо.
Замечаем, однако, что энергия пустого состояния равна не
нулю, а величине йсо/2; этой аномалии можно избежать, если
в качестве оператора энергии системы взять не Ж, но Ж — йсо/2.
Согласно этой интерпретации, оператор N представляет чис-
число частиц, и его собственные значения суть целые числа от О
до + с». Оператор а+ преобразует состояние с п частицами в
состояние с (п+ 1) частицей: а+ есть оператор рождения. Опе-
Оператор а наоборот уменьшает на единицу число присутствующих
частиц: а есть оператор уничтожения.
Подобная интерпретация гармонического осциллятора ши-
широко используется в квантовой теории поля и в теории кристал-
кристаллических и молекулярных колебаний. Электромагнитное поле,
например, может быть представлено в виде суперпозиции пло-
плоских волн, характеризуемых вектором поляризации е и волно-
волновым вектором ft, соответствующая частота равна о = k/c. Клас-
Классически интенсивность каждой составляющей может изменяться
непрерывно, но в квантовой теории эти изменения происходят
скачкообразно целыми световыми квантами или фотонами с
энергией йсо. Гамильтониан квантового электромагнитного поля
выражается совокупностью членов, относящихся к фотонам оп-
определенного типа, который характеризуется е и ft (пусть индекс
s обозначает комбинированный индекс (е, ft)):
Н = 2j 2@s-
Каждый парциальный гамильтониан может быть записан в
форме
Операторы as и afs эрмитово сопряжены друг другу и удовлет-
удовлетворяют коммутационным соотношениям

422 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
которые являются простым обобщением соотношения A0). При
этом операторы а] и as интерпретируются соответственно,
как операторы рождения и уничтожения фотона типа s (см.
гл. XXI, т. II).
§ 7. Представление {Q}. Полиномы Эрмита
На языке волновой механики задача на собственные значе-
значения оператора Ж сводится к нахождению значений Е, при ко-
которых уравнение
** W s (- ш-зр + т
обладает решением, регулярным на обоих концах интервала
(—оо, -j-oo). Если воспользоваться в этой задаче рассуждениями
гл. III (§ 10), то можно констатировать, что значение Е, удов-
удовлетворяющие указанному выше условию, образуют дискретный
спектр, причем каждому из значений Е соответствует одно и
только одно решение (определяемое с точностью до постоян-
постоянного множителя); это решение имеет ограниченную норму. Этот
результат вполне согласуется с выводами предшествующего
параграфа о том, что спектр оператора полностью дискретен и
невырожден. Решая задачу на собственные значения в указан-
указанной выше постановке, мы найдем вновь последовательность соб-
собственных значений оператора Ж:
у/ко, j /г©, ..., (п + у) /г©
Принадлежащие этим значениям собственные функции t|)n(<7)ss
= (<7|п) описывают собственные состояния \п) в представле-
представлении {q}.
В дальнейшем мы воспользуемся представлением {Q}, кото-
которое получается из {q} заменой переменных D). Собственные
функции un(Q) и tyn(q), относящиеся к одному собственному
состоянию \п) в представлениях {Q} и {q} соответственно свя-
связаны соотношением
Уравнение (8) является уравнением Шредингера в представле-
представлении {Q} (с точностью до множителя й©).
Собственные функции uo(Q), «i(Q), .... un(Q), ... полу-
получаются без труда с помощью соотношений A7—19). Собствен-
Собственная функция основного состояния удовлетворяет уравнению
A9), т. е.
[w+Q]"o(Q)=o-

§ 8. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ 423
Нормированное на единицу решение этого уравнения имеет вид
«0(Q) = jt->/4e-QV2. B6)
Из A7) и A8) можно получить соотношения, связывающие нор-
нормированные собственные функции, принадлежащие соседним
собственным значениям (см. дополнение Б, раздел III). В ча-
частности, повторное применение A7) позволяет построить все
собственные функции, исходя из функции и0. Вместо A7) удоб-
удобнее использовать соотношение B0), которое полностью эквива-
эквивалентно ему, что дает
и» (Q) = CV« 2ге"!Г1/2 (Q - -щ)П e-W. B7)
Пользуясь операторным тождеством
можно переписать уравнение B7) в форме (Б.70), где Hn(Q) —
полином Эрмита порядка п в соответствии с определением
(Б.59). Таким образом, получаем, что un(Q) выражается как
произведение ехр(—Q2/2) на полином степени п и четности
(—1)". Главные свойства этих полиномов указаны в дополне-
дополнении Б, § 7.
Раздел II. ПРИЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ СВОЙСТВА
§ 8. Производящая функция собственных функций ип (Q)
В качестве примера приложения результатов теории найдем
производящую функцию собственных функций un(Q), т. е. функ-
функцию
со
F(t,Q)=Z cnun(Q)tn,
где сп — соответствующие постоянные нормировки. Ввиду того
что un(Q) представляет вектор (n!)~1/2 a+"Jo) (уравнение B0)),
функция F(t,Q) представляет вектор
Если выбрать
то F (t, Q) будет представлять вектор ехр
F(t, Q) = <Q|e«+'/0). B8>

424 ГЛ. XI1. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Для вычисления последнего выражения воспользуемся сле-
следующей леммой.
Лемма. Если коммутатор двух операторов А и В коммути-
коммутирует с каждым из них
[А,[А, В]] = [В, [А, В}] = 0,
то имеет место тождество
-7]АВ] B9)
лежит Глауберу. Рассмо
1(х)=еАхеВх.
Имеем
iL = АеАхеВх + еАхВеВх = (А + еАхВе~Ах) I (х).
Но поскольку [В, А] коммутирует с А:
[В, Ап]-=пАп~1 [В, А],
[в, е- ?4^
Приводимое нами доказательство принадлежит Глауберу. Рассмотрим
оператор, зависящий от параметра х
n n
Следовательно (см задачу VIII. 4),
еАхВе~Ах = В — [В, А] х,
так что
-У- = (А + В + [А, B]x)f(x).
Оператор J(x) является решением этого дифференциального уравнения, при-
причем /@) = 1. Поскольку операторы А +В и [В, А] коммутируют, они могут
рассматриваться здесь согласно обычным правилам алгебры. Дифференциаль-
Дифференциальное уравнение интегрируется без труда н дает
Тождество B9) следует, если положить х = 1
Взяв A = Qtl*j2, 3= — iPt/-y/2. [A B]=/2/2, применим тождество B9)
к оператору exp (a^t), тогда
ехр (Л) = ехр {Qtl-^Д) exp (- iPt/^2) exp (- t2/4),
Перенося это выражение в уравнение B8), получаем
Но

§ 9. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА 425
Воспользовавшись выражением B6) для ы,„ после вычислений получим
оо
rt=0
§ 9. Интегрирование уравнений Гейзенберга
Рассмотрим гармонический осциллятор в «.представлении»
Гейзенберга. Все операторы в этом параграфе будут операто-
операторами в «представлении» Гейзенберга, поэтому опустим индекс
Н, который мы использовали в гл. VIII. Все операторы изме-
изменяются во времени. Индексом «О» будем отмечать их значения
в момент времени / = 0.
Учитывая уравнение B3) и соотношения A4), можно запи-
записать уравнения Гейзенберга для операторов а и а+:
ih 4± = [а, Щ = Аюа, Л -^ = [а\ Щ = - Й©а+.
Уравнения интегрируются без труда, что дает
а{1) = аф~ш, C1а)
аЦ() = а*еш. C1б)
Используя соотношения B4) и B5), выражающие q и р че-
через а и а+, находим
^««(^""Ke'-' + 'V-'*). C2)
р W = t- (J^.)m (а*еш _ ае-ш). C3)
Наконец, выражая а0 и aj через начальную координату <7о и
начальный импульс ро, получаем
p0sm<nt, C4)
Р @ = Ро cos ©/ — ш©Gо sin <at. • C5)
В этих операторных уравнениях появляются те же самые триго-
тригонометрические функиии, что и в случае классического гармони-
гармонического осциллятора. В частности, средние значения {q)t, {p)t
подчиняются классическим законам движения:
(<7>/ = (<7>о cos ©/ + -^ (рH sin erf, C6)
(p)t = (Ро) cos at — ты (qH sin at. C7)
Это свойство гармонического осциллятора уже отмечалось
§ ГЛ. VI-

426 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
§ 10. Классический и квантовый осцилляторы
В целях иллюстрации соответствия между классической и
квантовой механиками сравним в этом и следующем парагра-
параграфах законы движения классического и квантового осцилляторов.
Общее решение уравнений движения классического гармо-
гармонического осциллятора можно записать в виде:
<7КЛ = A sin (Ш + ф), ркл = гшА cos (at -f ф)-
Это чисто синусоидальное колебательное движение с (круговой)
частотой со. Закон движения зависит от двух параметров А и ф.
Энергия осциллятора связана с амплитудой колебания А соот-
соотношением
?кл = -^-. C8)
Если фиксировать энергию Екл, то различные возможные дви-
движения отличаются фазовым сдвигом ф.
Пусть Ркя — некоторая динамическая переменная системы.
Будучи функцией qKA и ркл она периодически (но не обязательно
синусоидально) изменяется во времени с частотой со. Закон из-
изменения Ркл для двух возможных движений с одной и той же
энергией одинаков с точностью до фазового сдвига. Среднее
Ркл, взятое по всем возможным движениям с одинаковой энер-
энергией (микроканонический ансамбль), получается путем усред-
усреднения по сдвигам фаз; Ркл не зависит от времени и равно сред-
среднему по периоду 2я/ю от значений, принимаемых FKn в течение
одного периода. В частности, находим
fc=P™ = 0, C9)
~а2 — — = Екл
q™ 2 тсо2 '
D1)
(средняя кинетическая и средняя потенциальная энергия осцил-
осциллятора равны друг другу).
Сравним эти результаты с поведением квантового осцилля-
осциллятора в стационарном состоянии. В состоянии \п) квантовый ос-
осциллятор имеет определенную и постоянную во времени энер-
энергию: (п + 1/2)йсо = Еп. Напротив, наблюдаемые положения q
и импульса р не имеют определенных значений; можно только
определить статистическое распределение результатов измере-
измерения той или иной из этих величин. Поскольку состояние стацио-
стационарно, эти статистические распределения постоянны во времени.
В частности, средние значения q и р равны соответствующим
диагональным элементам матриц представления {N}:
(ti\q\n) = {n\p\n) = 0. D2)

§ 11. ДВИЖЕНИЕ МИНИМИЗИРУЮЩЕГО ВОЛНОВОГО ПАКЕТА 427
Средние значения q2 и р2 вычисляются без труда, если выразить
эти операторы через а и а+ (уравнения B4)—B5)) и исполь-
использовать соотношения A7—19). Получаем
^ ^ D3)
(п | р21 п) = И^- (п | (tfa + аа*) | п) = тЕа. D4)
Принцип соответствия требует (см. задачу 4), чтобы в пределе
п -> оо выражения для средних значений D2) — D4) переходили
соответственно в классические выражения C9) — D1) для того
же значения энергии (Еп = Екл). Тот факт, что искомое равен-
равенство осуществляется при любых значениях п, является свой-
свойством, характерным именно для гармонического осциллятора.
Заметим, между прочим, что в состоянии \п)
Др • Д? = ?> =(п+ 1/2) Й D5)
в согласии с соотношениями неопределенности координата-им-
координата-импульс.
§ 11. Движение минимизирующего волнового пакета
и классический предел
Рассмотрим волновой пакет в одном измерении:
D6)
Это минимизирующий волновой пакет (задача IV. 4): он пред-
представляет частицу, локализованную в конфигурационном про-
пространстве около среднего положения <<7> со среднеквадратич-
среднеквадратичным отклонением kq = (й/2тю)'/2 и локализованную в простран-
пространстве импульсов около среднего значения <р> со среднеквадра-
среднеквадратичным отклонением Др = (йтсо/2)'/а.
Если движение частицы определяется гамильтонианом Ж, то
можно показать (задача 6), что волновой пакет остается мини-
минимизирующим и осциллирует с частотой со. Точнее говоря, ста-
статистическое распределение p(q,t) величины q изменяется по
закону
Р(<7. 0-
Следовательно, оно осциллирует, не деформируясь, причем
центр распределения {q)t осуществляет гармоническое движе-
движение, предсказываемое классической теорией. Статистическое
распределение р ведет себя аналогичным образом.

428 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
В противоположность этому статистическое распределение
наблюдаемой Ж остается постоянным во времени. Вероятность
найти систему в состоянии с энергией (п -f- 1/2) fito в каждый
момент времени равна (задача 6):
1 ^кИ е *и'.
л1 V 6а>
где использовано обозначение
Закон распределения вероятностей позволяет найти среднее зна-
значение энергии
п=0
и среднее квадратичное отклонение
АЕ = ^(Ж2) - (ЖJ = У/гсо?кл . D8)
Рассматриваемый волновой пакет хорошо иллюстрирует со-
соотношения неопределенности. Он выбран таким образом, что
произведение неопределенностей Ap-Aq постоянно равно своему
минимальному значению Ъ\2.
Что же касается соотношения время-энергия, то АЕ можно
сравнить с промежутком времени rq, характеризующим ритм
эволюции статистического распределения q. Пусть xq есть вре-
время, необходимое для того, чтобы центр распределения (q)t сме-
сместился на ширину распределения Aq. Поскольку скорость цент-
центра пакета равна (p)tlm, имеем
т .
т« 77л7 ЛG '
(P)t ч ~~ <p)t
Величина xq периодически проходит через минимум, когда {pt)
достигает своего наибольшего значения ^/2тЕкл. В этом случае
имеем
= ь ( 1 у/2
Используя D8), получим
D9)
в согласии с соотношением (VIII. 47) неопределенности время-
энергия.

§ 12. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 429
Амплитуда А колебаний центра волнового пакета выражает-
выражается классическим соотношением C8)
/
1'2
В пределе, когда эта амплитуда велика по сравнению с протя-
протяженностью пакета (й/2тш)'/г и в той мере, в какой можно пре-
пренебречь длинами порядка (й/2то))'/г, классический образ точеч-
точечной частицы, осциллирующей по закону (q)t дает удовлетвори-
удовлетворительное описание явления. Этот предел является пределом
достаточно больших квантовых чисел в согласии с общим прин-
принципом соответствия. Действительно, он реализуется при ЕКЛ ~>
;$> йсо, но число квантованных уровней энергии, дающих замет-
заметный вклад при образовании волнового пакета, по порядку ве-
величины равно отношению \Е к расстоянию между уровнями, т. е.
fico v hat
Конечно, указанный классический образ предполагает также,
что дисперсия по импульсам Ар = (fimw/2I/г и дисперсия по
энергии \Е = (йю^клI'2 рассматриваются как пренебрежимо ма-
малые величины.
Что касается энергии, то с указанной выше точностью
' Екл; действительно
Поэтому мы можем приписать системе энергию ?кл соответ-
соответствующей классической частицы.
§ 12. Гармонические осцилляторы
в термодинамическом равновесии
Рассмотрим'гармонический осциллятор, находящийся в тер-
термодинамическом равновесии с термостатом при температуре Т.
Его динамическое состояние является смешанным и согласно за-
закону Больцмана описывается матрицей плотности
Spe"
E0)
Изучим свойства такого смешанного состояния.
Вычислим сначала статистическую сумму

430 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Вычисление следа легко производится в представлении, где дна*
тональна наблюдаемая Ж:
п=0
откуда, суммируя геометрическую прогрессию в правой части
уравнения, находим
, 1 .-.о» •
Средняя энергия
получается из статистической суммы с учетом уравнения
(VIII. 84). Имеем
lnZ = --=-ln(l-e-
откуда
(?> =_?]"? I = ^сш^ = ^ + *°> . E2)
' a-- l о 9&71 9 „niuiKi ___ i v '
Следовательно, для средней энергии квантового осциллятора по-
получаем формулу Планка (с точностью до слагаемого йсо/2).
При очень низких температурах (kT <C Ьа) осциллятор почти
с полной достоверностью находится в своем основном состоянии
При очень высоких температурах (kT >> fico) средняя энергия
стремится к значению, определяемому классической статисти-
статистикой Максвелла — Больцмана:
В качестве важного свойства квантового осциллятора в тер-
термодинамическом равновесии отметим следующую теорему Блоха.
Теорема. Распределение вероятности заданной комбинации
aq + Рр координаты и импульса выражается законом Гаусса.
Чтобы доказать эту теорему, вычислим характеристическую функцию .
Ф(|) этого распределения. Функция <р(|), по определению, есть среднее зна-
значение exp [i% (aq + Pp) ]:
E3)
E4)
Вычислим этот след в представлении {N}, где оператор р диагоналей.
Найдем сначала величины
Имеем, учитывая B4—25),
= Ya + Y*a+>

§ 12. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЕ РАВНОВЕСИЕ 431
где
1/2
Согласно тождеству B9)
откуда
Разлагая в ряд экспоненты и учитывая соотношение B0), получаем
s=0
В скалярном произведении этих двух векторов недиагональные члены (s # t)
двойной суммы все равны нулю по условиям ортогональности, так что
остается
Обозначим
x = -fyy*, y = e-h°>lkT. E6)
В представлении {N} оператор р диагоналей и я-й элемент его матрицы
равен
E7)
Из уравнений E3—57) находим
Эта двойная сумма может быть вычислена точно. Суммирование по я произ-
производится с помощью разложения в ряд
п=о

432 ГЛ. ХН. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Учитывая определения х и у, это можно записать в виде
~-е ¦
фA) = е 2 ' E8)
где
E9)
Поскольку характеристическая функция распределения является гауссовой,
само распределение также выражается законом Гаусса: это распределение
со средним квадратичным отклонением а, что и требовалось доказать.
Раздел III. ИЗОТРОПНЫЕ МНОГОМЕРНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ
ОСЦИЛЛЯТОРЫ
§ 13. Общее исследование
изотропного осциллятора в р измерениях
Гармонический изотропный осциллятор в р измерениях есть
р-мерная система с гамильтонианом
Ж = ? 5К|, F0)
где
Пусть &\ — пространство динамических состояний, относя-
относящееся к паре переменных (Pi.^i), <^2 — пространство состояний,
относящееся к паре (р2, #г) и т. д. Пространство S динамиче-
динамических состояний рассматриваемой системы есть тензорное произ-
произведение пространств S\, ef2, ..., &р:
S = SX%&,® ... ®%р. F2)
Обозначим с помощью |я,) (i фиксировано, tii == 0, 1 со)
собственные векторы гамильтониана Ж[, рассматриваемого как
оператор в пространстве &с эти векторы образуют полную ор-
тонормированную систему в Si. В дальнейшем будем предпо-
предполагать, что фазы векторов выбраны так, что выполняются со-
соотношения A7—20), где операторы рождения и уничтожения
относятся к переменным типа и Векторы
\п1п2 ... /гр) = |«,)|/г2) ... |яр> F3)
(«1 = 0, 1, ..., оо; «2 = 0, 1 оо; . . .; пр = 0, 1, . . ., се),
образованные тензорным умножением векторов, принадлежа-
принадлежащих соответственно пространствам S\, Si, ..., SP, образую!

$ 13. ИЗОТРОПНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР В Р ИЗМЕРЕНИЯХ 433
полную ортонормированную систему в &2). Ясно, что эти век-
векторы являются собственными векторами Ж. Далее, поскольку
имеем
Ш |п, ... пр) = ES, + ... + Жр)\ щ ... пр) =
= (я, + ... +пр + р/2) ftcal щ •¦¦ пр).
Векторы базисной системы Ж, которые мы построили, нуме-
нумеруются р квантовыми числами П\, Пг, .."., пр, которые могут
принимать все целые значения от 0 до + °°- Однако соответ-
соответствующее собственное значение энергии
зависит только от суммы
П = tli + «2 + • • • + Пр
этих р чисел. При заданном значении п (^0) существует
(я + р — 1)!
различных наборов чисел щ, n<i, ¦¦¦, пр. Собственное значение
(п + р/2)йш, таким образом, Cn+p-i-кратно вырождено.
Введем операторы поглощения и рождения квантов типа t:
a, = (
1/2 F5)
1/2 ,womfe^-'/2
ft-
Они удовлетворяют коммутационным соотношениям (см. A0))
[о,, а+] = в,7 (г, / — 1 р). F6)
Согласно определению векторов |л,-), данному выше, векторы
\ti\ ... пр) удовлетворяют соотношениям, обобщающим A7—
20). В частности, если обозначить символом |0) собственный
вектор основного состояния
2) В представлении {<?} г= {д, <?2-.-<7п} вектор |Я] я?... пр) выражается
произведением

434 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
то можно написать
а1|0)---а2|0)= ... =ор|0> = 0, F7)
|n,.../ip> = (n1! ...np\yxl2a^...af"\0). F8)
Спектр наблюдаемых
Ni^a\ai (i=l, 2, .... />) F9)
состоит из целых неотрицательных чисел; эти наблюдаемые ин-
интерпретируются как число квантов типа 1, 2, ..., р соответ-
соответственно. Сумма
есть полное число квантов. Имеем
Ж = (N + р/2) ftco.
Ясно, что Ni, N2, ... , Afp образуют полный набор коммутирую-
коммутирующих наблюдаемых, причем их базисная система совпадает с
базисной системой Ж, которую мы построили.
Операторы Ni, очевидно, не являются единственными по-
постоянными движения, образующими полный набор. Всякий опе-
оператор вида afij коммутирует с Ж; с помощью линейных ком-
комбинаций операторов этого типа и им сопряженных можно по-
построить р2 независимых эрмитовых операторов. Среди функ-
функций от этих р2 постоянных движения существует несколько
полных наборов коммутирующих наблюдаемых. Проиллюстри-
Проиллюстрируем это обстоятельство на примере двух частных случаев р = 2
и /? = 3.
§ 14. Изотропный осциллятор в двух измерениях
Рассмотрим систему в двух измерениях с гамильтонианом
Исследование предшествующего параграфа полностью приме-
применимо к этому частному случаю. Следующая таблица дает соб-
собственные значения Ж (первый столбец), кратность вырождения
(второй столбец) и последовательность общих собственных век-
векторов N\ и Af?, растягивающих соответствующие подпространства

§ 14. ИЗОТРОПНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР В ДВУХ ИЗМЕРЕНИЯХ 435
(третий столбец):
ft© I |00)
2ftco 2 | 10), 101)
3ftco 3 120), |11), 102) G0)
(n+l)ft© (я+1) \п0), |(п-1I>, .... \(n-s)s), .... |0п>
Оператор «момента импульса» L, определенный формулой
Z(
является постоянной движения. Покажем, что N и L образуют
другой полный набор коммутирующих наблюдаемых. С этой
целью введем операторы
G2)
Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям,
тождественным F6):
[Аг, А,] = [А*, АП = 0,
[Ло ЛХ\ = б„ (г = + или —, s = + или —).
Операторы А+ и А+ можно считать операторами уничтожения
и рождения квантов типа (+), операторы А- и At — операто-
операторами уничтожения и рождения квантов типа (—); согласно этой
интерпретации операторы
N+ = AlA+ и N- = AtA- G4)
представляют число квантов (+) и число квантов (—) соответ-
соответственно. Поскольку соотношения коммутации G3) идентичны
соотношениям F6) задача построения общих собственных век-
векторов N+ и N- математически идентична задаче построения об-
общих собственных векторов JVi и N^. Следовательно, наблюдае-
наблюдаемые JV+ и N- каждая имеют спектр собственных значений из
целых неотрицательных чисел
п+ = 0, 1, 2, ..., п_ = 0, 1, 2, ...,
и эти две наблюдаемые образуют полный набор коммутирую-
коммутирующих наблюдаемых: каждой паре квантовых чисел (п+, п-) со-
соответствует единственный общий собственный вектор (с точ-
точностью до постоянного множителя),

436 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Из соотношений F7) следует
А+1 00) = А_ | 00) = 0. G5)
Следовательно, вектор |00) из таблицы G0) есть собственный
вектор основного состояния (/г+ = п_ = 0). Векторы
n+nj) = (я+!я_ !)" Af+n+Af_n- | 00) G6)
образуют полную ортонормированную последовательность об-
общих собственных векторов N+ и /V_:
N+\n+n_) = n+\n+nJ),
N_ | n+n_) = n_ | n+n_).
Однако если выразить N и L через А и Л+, то можно пока-
показать, что
Ввиду того что наблюдаемые N+ и Л/_ образуют полный набор
коммутирующих наблюдаемых, их сумма ^ и их разность L
также обладают этим свойством. Именно это мы и хотели по-
показать.
Мы приходим к выводу, что обладаем другой полной орто-
нормированной последовательностью собственных векторов 36,
а именно \п+п-). Они удовлетворяют уравнениям на собствен-
собственные значения:
3IS | п+п_) = (п+ + п- + 1) П& | п+п_), G7)
L | п+п_) = {п+ — п_) | n+nj). G8)
Определим соотношения коммутации L с А и Л+. Простое
вычисление дает:
[?, Д±] = ±Л±. G9)
[L, Л±] = ТЛ±. (80)
Отсюда следует, что при действии на собственный вектор опера-
оператора L операторы А\ и Л_ увеличивают собственное значение L
на единицу, a At. n A+ уменьшают L на единицу. Это можно ис-
истолковать разными способами. В квантовой теории заряженных
полей, где поле представляется как последовательность изотроп-
изотропных осцилляторов в двух измерениях, N+ выражает число поло-
положительных частиц, JV_ — число отрицательных частиц, L—пол-
L—полный заряд (с точностью до постоянного множителя). Согласно
этой интерпретации А\ порождает положительный заряд, Л-
уничтожает отрицательный заряд, поэтому и тот и другой one-

§ 15. ИЗОТРОПНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ 437
раторы изменяют заряд на плюс единицу; At и А+ изменяют за-
заряд на минус единицу.
В теории колебаний кристаллов движения решетки также
представляются набором изотропных двумерных осцилляторов;
кванты колебаний решетки называются фононами. Представ-
Представление с фононами типа 1 и 2 дает классификацию по стацио-
стационарным волнам; представление с фононами типа (+) и (—)
соответствует бегущим волнам, «распространяющимся» в том
или ином направлении. В задачах о рассеянии (нейтронов, рент-
рентгеновских лучей и т. д.) на кристаллической решетке пред-
представление с бегущими волнами приводит к более простым вы-
вычислениям.
§ 15. Изотропный осциллятор в трех измерениях
Изотропный гармонический осциллятор в трех измерениях
есть частица в поле центрально-симметричного потенциала, про-
пропорционального квадрату расстояния от центра. Гамильтониан
выражается формулой
он является суммой трех членов
^ЧЛ ^ЧЛ I ^ЧЛ I ^ЧЛ
СПО = СПОх ~\~ <7&у ~\~ <?&z>
где
ж1=-ш W + mV/D <*'=х> у> 2>-
Согласно результатам § 13 собственные значения оператора
Ж выражаются формулой
(n + 3/2)to (я = 0, 1, 2, ..., оо); (83)
порядок вырождения собственных значений равен («+1)Х
X (я + 2)/2. Наблюдаемые Nx, Ny, Nz образуют полный набор по-
постоянных движения, и собственные векторы" \nxnytiz) их базис-
базисной системы нумеруются тремя собственными значениями пх,
пу и п2. Все эти векторы получаются по формуле
|nxnynz) = (nxlny\nz\у112а+ХХ"*I 000> (84)
из вектора основного состояния j 000), который с точностью
до постоянного множителя определяется тремя уравнениями
ах | 000) = ау | 000> = а21 000) = 0. (85)
Введем момент импульса

438 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
По хорошо известным свойствам (гл. IX) гамильтониана с цент-
центрально-симметричным потенциалом операторы Ж, I2 и 1г также
образуют полный набор коммутирующих наблюдаемых: общие
этим трем наблюдаемым собственные векторы | nlm) отмечают-
отмечаются тремя квантовыми числами п, I, т, причем собственные зна-
значения Ж, I2, lz соответственно равны: (n + 3/2)fico, 1{1-\-\)Ь2 и
тЬ. Векторы \nlrn) составляют полную ортонормированную си-
систему собственных векторов Ж; они получаются из векторов
\пхПуП2) с помощью унитарного преобразования. Мы не будем
проводить здесь явного вычисления этих векторов3). Ограни-
Ограничимся тем, что найдем значения, которые могут принимать
квантовые числа / и т при заданном п, иначе говоря, найдем
различные возможные состояния момента импульса для каж-
каждого уровня энергии.
Большое сходство между оператором 1г и оператором L, вве-
введенным в предыдущем параграфе, наводит на мысль об анало-
аналогичной замене переменных. Вводим операторы Ат (т=1, О,
—1) по формулам
(86)
и соответствующие эрмитово сопряженные операторы Ат. Опе-
Операторы Ат и A%i удовлетворяют коммутационным соотноше-
соотношениям, аналогичным G3), и могут быть истолкованы как опера-
операторы уничтожения и рождения квантов типа т. Число квантов
типа т представляется оператором Nm = AtiAm. Очевидно, что
Ni, No и Af_i составляют полный набор коммутирующих наблю-
наблюдаемых и что
Ж= (N{ + N0 + N_i + 3/2) Йш,'
3) В представлении {г} состоянию \nxnynz) соответствует волновая функ-
функция 1|з„ (х) 1|з (у) Фп (z), состояние же \tilm) представляется функцией
где tjni есть решение, обращающееся в нуль в начале координат и регулярное
на бесконечности следующего дифференциального уравнения:
г ь1 d2 . щ + \)ь2 , \ ,л ^ ,

§ 15. ИЗОТРОПНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР В ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЯХ 439
Каждой тройке собственных значений (яь л0, п~\) соответствует
общий собственный вектор трех наблюдаемых, а именно, вектор
Множество всех этих векторов образует полную систему соб-
собственных векторов Ж. Находим
Ж\п1поп_1) = (п-\- 3/2)ft(u|ninott-i), n = tii + tto + «-1.
Построенные нами векторы в общем случае не являются соб-
собственными векторами I2, но это собственные векторы 1г, так как
lz = (Nl — N_i)h (87)
и, следовательно,
т = л, —п_,. (88)
Рассмотрим подпространство собственных векторов Ж, при-
принадлежащих собственному значению (п + 3/2)йсо. Оно натянуто
на {п~\-\)(п + 2)/2 векторов \п.\ПъП-\) (при этом «i + rto +
-f- ti-i = л), которые образуют полную ортонормированную по-
последовательность собственных векторов lz. Согласно уравнению
¦jfiw
35
2s
fs
1=0
.Зр
3d
.2р
¦¦1 1=2 1=3 1=4
Рис. 37. Спектр трехмерного гармонического осциллятора.
(88), квантовое число т может принимать все целые значения
между — п и + л. Нетрудно найти число ст линейно независи-
независимых векторов, принадлежащих каждому значению т; резуль-
результат приведен в следующей таблице:
| т | = п п — 1 п — 2 ... п — 2s п — Bs + \) га — Bs + 2) ... ,Ясл
ст=\ 1 2 ... s+1 s+\ s + 2 ... ^
Однако по свойствам момента импульса каждому собственному
значению I2, т. е. каждому значению /, соответствует некоторое
число серий из 2/-f-l векторов с заданными {1т), при этом в

440 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
каждой серии число т принимает 2/ + 1 целых значений от —/
до +/. Пусть di это число серий. Очевидно, что
и поэтому
Обращаясь к таблице (89), мы видим, что dt = 1 для I = п,
п — 2 п — 2s, ..., т. е. для всех целых значений / четно-
четности (—1)", заключенных между 0 и и (включая крайние зна-
значения) и что di = 0 для всех остальных значений /.
В заключение отметим, что каждому собственному зна-
значению (п -\- 3/2) йш энергии соответствует (п+ 1)(« + 2)/2 со-
состояний момента импульса Aт). Для каждого возможного зна-
значения / существует 11 -\- 1 собственных состояний, соответствую-
соответствующих 21+ 1 значениям т от — / до -f-/. Значения, которые может
принимать квантовое число /, таковы:
п, /г—2, ..., 0, если (—1)"=1 Г^~2— различных значенийJ,
п, п—2, ..., 1, если (—1)"=—1 Г^~2— различных значений).
Спектроскопическая диаграмма на рис. 37 представляет ос-
основное и первые возбужденные состояния трехмерного изотроп-
изотропного гармонического осциллятора. Полезно сравнить эту диа-
диаграмму с соответствующей диаграммой для атома водорода
(рис. 36).
ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть а и а+— два эрмитово сопряженных оператора, причем [а, а+] =
= 1. Полагаем N = а*а. Показать, что:
а) [N, а"] = — pa"; [N, afp] = + ра+р (р целое > 0);
б) единственными алгебраическими функциями от а и а4-, коммутирую-
коммутирующими с N, являются функции от N.
2. Показать, что операторы а и и+ задачи 1 не имеют обратных.
3. Построить матрицы, представляющие операторы q и р в представлении
{N} (обозначения § 5). Проверить, что они являются эрмитовыми и удовле-
удовлетворяют условиям коммутации B). Рассмотреть проблему собственных значе-
значений q в этом представлении, проверить, что спектр q является простым, не-
непрерывным и распространяется от —оо до +<», выписать в явном виде соб-
собственный вектор, принадлежащий собственному значению 0.
4. Сравниваются свойства квантового осциллятора в состоянии \п) и ми-
микроканонического ансамбля классических осцилляторов при той же энергии
(§ 10). Показать, что статистическре распределение переменной q в этом

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ 441
квантовом состоянии обнаруживает осцилляции, тем более частые, чем боль-
больше квантовое число п, и в пределе п-*- оо его среднее значение на нескольких
периодах стремится к соответствующему распределению для ансамбля клас-
классических осцилляторов (использовать метод ВКБ).
5. Пусть Хо, Wo, т)о—начальные значения следующих средних величин:
% = {q>) - (q)\
® = {р')-{р)\
r\ = {pq + qp) — 2 (р) (q),
относящихся к волновому пакету гармонического осциллятора. Установить
закон эволюции во времени этих средних величин. Показать, что он выра-
выражается функциями вида A -f Bxos 2a/ -f С sin 2со/ и что % и со остаются по-
постоянными во времени в том и только в том случае, если
¦По = 0, со0 = mWx0.
6. Состояние гармонического осциллятора в начальный момент времени 0
представляется минимизирующим волновым пакетом
I (q) = BяаГ''' exp [± (p) q - {" ~gWJ ] ¦
Показать, что этот пакет остается минимизирующим в том и только в том слу-
случае, если а = ft/2mco (см. задачу 5).
Пусть это условие выполнено. Показать, что в этом случае f(q) есть вол-
иовая функция, представляющая состояние
| {) = exp (-^- (p) q] exp (- j- (q) p) 10).
Вывести отсюда (пользуясь тождеством B9)), что функция f(q,t) получается
с точностью до фазового множителя, если подставить в f(q), вместо значе-
значений (q) и (р) в момент времени 0, их значения в момент времени /. Опреде-
Определить коэффициенты сп разложения |/) в ряд по собственным векторам гамиль-
гамильтониана и показать, что
c«l2=
о-
?кл =
Ем.
йсо
1
~ш
а"
п\
•«Р>
2 + т2ш2
7. Проверить, что теорема Блоха (§ 12) применима также и к классиче-
классическому гармоническому осциллятору и что статистическое распределение вели-
величины <xq -f Pp для квантового гармонического осциллятора в термодинамиче-
термодинамическом равновесии стремится к классическому распределению при достаточно
больших температурах kT >> Асо.

442 ГЛ. XII. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
8. Показать, что гамильтониан частицы с массой т и зарядом е в по-
постоянном магнитном поле Ж, направленном по оси Ог, имеет вид
где
Показать, что операторы рг, U, Яр образуют полный набор коммутирую-
коммутирующих постоянных движения и что их общие собственные функции в цилиндри-
цилиндрических координатах (г, р, 0) могут быть представлены в виде exp (ikz) X
X ехр (гХ,0) -v^n(p). Здесь k — некоторое вещественное число; А,=0, ±1, ±2,...
..., ±оо; п = 0, 1, 2, ..., оо. Соответствующими собственными значениями
являются
Ыг, ЬХ,
Сравнить эти результаты с выводами задачи II. 4.

ДОПОЛНЕНИЕ А
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ, «ФУНКЦИЯ» 6
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
Раздел I. КРАТКИЙ ОБЗОР ТЕОРИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ1)
§ 1. Понятие функционала и строгий подход
к проблеме непрерывного спектра
«Функция» б Дирака, применение которой позволяет трактовать непре-
непрерывный спектр в полной аналогии с дискретным спектром, по существу не
является строго определенным математическим объектом. Корректное тео-
теоретическое исследование наблюдаемых, обладающих непрерывным спектром,
требует иной постановки проблемы собственных значений.
Собственные функции наблюдаемых в волновой механике встречаются
только в форме скалярных произведений с волновыми функциями, т. е. в форме
скалярных произведений с функциями, квадрат модуля которых интегрируем.
Пусть F — одна из собственных функций, а я|) — произвольно выбранная вол-
волновая функция, тогда скалярное произведение (ф, F) (обозначения гл. V)
можно рассматривать как антилинейный функционал ф или, лучше, как ли-
линейный функционал ф*. Обозначим последний символом Р, тогда по опреде-
определению
Следовательно, теория оперирует не с собственными функциями как тако-
таковыми, а с некоторыми функционалами, сопоставленными каждой собственной
функции.
Функционалы волновой механики принадлежат некоторому классу функ-
функционалов, называемых обобщенными функциями, относительно которых мо-
можно с некоторыми ограничениями определить те же операции алгебры и ана-
анализа, что и относительно обыкновенных функций. Поэтому можно строго
формулировать волновую механику, рассматривая операторы теории как опе-
операторы, действующие на обобщенные функции; при этом собственные реше-
решения эрмитового оператора суть обобщенные функции частного вида; это ли-
линейные и непрерывные функционалы от ограниченных квадратично интегри-
интегрируемых функций, которые удовлетворяют уравнению на собственные значения
этого оператора.
Пусть X и S — две наблюдаемые, спектр которых ради простоты будем
предполагать всюду непрерывным и невырожденным, и пусть (%\х) есть мат-
матрица унитарного преобразования, связывающего представление {X) и пред-
представление {S}. В строгой формулировке квантовой теории (||ж) представ-
представляет одновременно:
') См. L. Schwartz, Th'eorie des distributions, Hermann (Paris, 1950—
1951); см. также того же автора, Les. Methodes Mathematiques de Physique,
Cours de Sorbonne (Paris, 1955); см. также В. С. Владимиров, Обобщенные
функции в математической физике, «Наука», 1976; В. С. Владимиров, Урав-
Уравнения математической физики, «Наука», 1971.

444 ДОПОЛНЕНИЕ А
а) множество собственных решений X в представлении {В}, т. е. неко-
некоторую последовательность функционалов от функций переменной %, отмечае-
отмечаемую непрерывным индексом х;
б) множество собственных решений Н в представлении {X}, т. е. некото-
некоторую последовательность функционалов от функций переменной х, отмечаемую
непрерывным индексом %.
В этом разделе мы дадим точное определение обобщенных функций и
укажем без доказательства их основные свойства.
§ 2. Определение обобщенных функций
Обозначим с помощью ср(*ь х2, ..., хп), или просто <р(х), некоторую
функцию п непрерывных переменных хи ..., х„, отличные от нуля значения
которой принадлежат ограниченной области изменения этих переменных и
которая дифференцируема по этим переменным сколько угодно раз (беско-
(бесконечно дифференцируемая функция с ограниченным носителем).
По определению обобщенная функция Т [ф] есть линейный и непрерыв-
непрерывный функционал функций ф.
Линейность означает, что для всех линейных комбинаций А.1ф] + А.2ф2
имеем
Т [Х,,ф, + Х,2ф2] = А.,Г [ф,] + К2Т [ф2].
Непрерывность же означает, что для всякой последовательности фь ф2, ...
..., Ф/, ... функций ф, такой что lim ф,- = ф, имеем
/->оо
lim Г [Ф ] = Г [Ф].
Всякой локально интегрируемой функции f (т. е. функции, интеграл от
которой 2) по конечному интервалу существует) соответствует обобщенная
функция /, определяемая скалярным произведением
f[q>l= \t(x)<t(x)dx = (<t', j). A)
Две локально интегрируемые функции определяют одну обобщенную функ-
функцию, если они равны почти всюду (т. е. всюду, кроме множества точек меры
нуль). В частности, волновые функции волновой механики (квадратично ин-
интегрируемые функции) определяют обобщенные функции.
Функция 1/х не может соответствовать никакой обобщенной функции,
так как эта функция не интегрируема в точке х = 0. Но можно определить
обобщенную функцию
B)
где символ v. p. обозначает главное значение интеграла в смысле Коши:
+<х> /¦ -е +
2) Интегралы, о которых идет речь, суть интегралы в смысле Лебега.
Интеграл Лебега сводится к интегралу в обычном смысле, т. е. к интегралу
Римана, каждый раз, когда последний имеет смысл, однако, интеграл Лебега
может существовать и тогда, когда интеграл Римана не определен.

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 445
«Функция» Дирака б определяет обобщенную функцию согласно ра-
равенству
° [ф] = Ф @). C)
Аналогичным образом «функция» 8(х — х0) определяет обобщенную функцию
6*0 [Ф] = Ф (х0). D)
Замечание. Обобщенная функция может быть, вообще говоря, опре-
определена на более широком функциональном пространстве, чем пространство
функций ф. Действительно, если U [ф] является линейным и непрерывным
функционалом функций ф из функционального пространства, более широкого,
чем пространство функций ф, то функционал U [ф] вполне определен, линеен
и непрерывен в пространстве функций ф: следовательно, U есть обобщенная
функция.
Примеры: 8Xq определена на пространстве функций а(х), непрерывных
в точке х = х0:
Обобщенная функция W, соответствующая квадратично интегрируемой функ-
функции, определена на пространстве квадратично интегрируемых функций:
= С
dx
Линейные и непрерывные функционалы волновых функций волновой ме-
механики являются обобщенными функциями частного вида.
§ 3. Линейная комбинация обобщенных функций
Т = %,[Т\ + ЪъТг является обобщенной функцией, определяемой равен-
равенством
Г[ф] = А.1Г, [ф]+А2Г2 [ф]
(Х,1, Я.2 — заданные комплексные постоянные).
§ 4. Произведение двух обобщенных функций
Если / есть обобщенная функция, соответствующая локально интегри-
интегрируемой функции f, a T — некоторая обобщенная функция, то обобщенная
функция
определена, если Т есть лииейиый иепрерывный функционал функций /ср и по
определению
Р [ф] = Т [/Ф]. E)
Произведение двух обобщенных функций существует не всегда. Если f
бесконечно дифференцируема, то fT существует при любых Т. Если f непре-
непрерывна в точке дго, то
(/*лг0) [ф] =П^о) Ф(*о)- F)
Если / и g обе являются квадратично интегрируемыми функциями, то произ-
произведение fg определено. Напротив, [б(д:)]2 ие имеет смысла, (l/Vl x \J — также.

446 ДОПОЛНЕНИЕ А
В качестве частного случая уравнения F) имеем соотношение
д;б (*) «= 0. G)
Обратно, если хТ = 0, то Т пропорционально 6: Т = сЬ (с— постоянная).
Вследствие этого, если f(x) и g(x) связаны соотношением
то необходимо имеем
1(х>— - г-с (х), ()
где с — произвольная постоянная.
§ 5. Ряды и интегралы обобщенных функций
Если последовательность обобщенных функций Т\, 7"г, ..., Т/, ... такова,
что при / -*¦ оо при любой ф Tj [ф] имеет предел, то этот предел является об-
обобщенной функцией (т. е. линейным и непрерывным функционалом от ф):
Г = Шп7\.
/->оо '
Эквивалентное утверждение: если бесконечный ряд ? 7", [ф] сходится
<
при любой ф, то сумма ряда определяет обобщенную функцию; говорят, что
ряд обобщенных функций 21 7",- сходится.
I
Если Т(Х) —обобщенная функция, зависящая от параметра X, изменяю-
изменяющегося непрерывно в некоторой области Л, и если интеграл
/ [Ф] = jj T (X) [ф] dX
Л
сходится при любой функции ф, то интеграл определяет обобщениую фуикцию
Т (X) dX.
Л
Аналогичное определение имеет место для многократных интегралов.
В частности, если f(x,X) интегрируема по х (локально) и по X, то обоб-
обобщенная функция f(X) интегрируема по X и ее интеграл есть обобщенная
функция g, соответствующая функции
g (х) = \ f (х, X) dX.
J
Если функция a(k) при |fe|->oo мажорируется некоторой положитель-
положительной степенью |6|: \a(k)\ ^ A\k\a (А и а — положительные постоянные), то
+0О
интеграл \ е a (k) dk является обобщенной функцией.
— ос
В частности,

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 447
§ 6. Дифференцирование обобщенных функций
По определению производная dT/dxt обобщенной функции есть
В частности, если локально интегрируемая функция дифференцируема,
то производная соответствующей обобщенной функции есть обобщенная
функция, соответствующая ее производной. Действительно, интегрируя по ча-
частям, имеем
V [ф] = 5 Г (*) Ф U) dx = - J / (х) Ф' (*) dx = -\ [Ф'1.
Все свойства производных обычных функций переносятся на производ-
производные обобщенных функций. Например, производная произведения Р = fT есть
P' = fT + fr. A0)
Но, кроме того, некоторые результаты, относящиеся к более или менее
ограниченным классам функций, справедливы по отношению ко всем обоб-
обобщенным функциям без ограничений. Именно:
Г. Обобщенные функции бесконечно дифференцируемы.
В частности, локально интегрируемые функции lg \х\, — (г =
= л/х2 + у2 + z2) дифференцируемы как обобщенные функции произволь-
произвольное число раз:
Д— =-4я6 Fs6(iN(}ND A2)
г
2°. Дифференцирование является линейной непрерывной операцией в про-
пространстве обобщенных функций:
если lim Т. = Т, то lim T, = Т .
Следовательно, если ряд сходится, то он дифференцируем почленно под
знаком суммы. Аналогично, если Т(Х) интегрируема по параметру X:
[=[ T(X)dX,
Л
то дТ (X)/dXi обязательно интегрируема в той же области X и ее интеграл ра-
равен
Раздел II. СВОЙСТВА «ФУНКЦИИ» 6
§ 7. Определение 6 (х)
В физике принято использовать обозначение б(* — х0) вместо более кор-
корректного обозначения Ьх„ [<р]. При этом не упоминают понятия обобщенной
функции, а, соблюдая некоторые предосторожности, манипулируют с симво-
символом 8(х — Хо) как с обычной функцией. Это значительно упрощает все фор-
формулы.

448 ДОПОЛНЕНИЕ А
По определению, если f(x) определена в точке х = хОу то
(*N(* - *0) dx в ЬХа Ц {х)) = / (х0). A3)
Таким образом, формально
( +00
I 0 если х Ф х0, Г
б (х - х0) = i и \6(x-xo)dx =
I +оо если х = х0 J
+ 00
A4)
Символ 6 (х — х0) является обобщением символа Кронекера
f 0, если т Ф п.
о — <
тп (. 1, если т = п.
§ 8. Представление в виде предела ядра
интегрального оператора
б(* — *о) можно рассматривать как предельную форму функции, прини-
принимающей отличные от нуля значения только в некоторой малой области около
точки х0, где она обнаруживает резкий положительный максимум, причем
интеграл от функции по всему пространству остается все время равным 1.
Например:
,, . 1 ,. sin L (х — х0)
б {х _ Хо) = _ и^ х_^
(,5а)
_± Mm 1cosh(^-^)= (|5б)
я х+х v. {х — хоу
A5в)
В последнем выражении Е (х) есть функция Хевнсайда:
Е, v f !> если
(. О,
если х < О
(обобщенная функция 6 есть производная обобщенной функции Хевисайда).
Отметим еще важное предельное свойство (формула Сохоцкого)
Ига — = Р =F inb (x — *?>)¦ A5д)
+0 х — xQ ± ге дс — дг0 0/ к '

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 449
§ 9. Основные свойства
Основные свойства «функции» б таковы:
в (ж)-*(-*). A6)
±{x) (афО). A7)
6 {з {х))=Z 6|(g'^I)"i(g {Хп)=0> 3'{Хп) *0)> A8)
хд(х)*=0, A9)
f(x)d(x-a)=*f(aN(x-a), B0)
a)dy = 6(x-a), B1)
+ 00
\eikXdk- <22>
—oo
Смысл этих равенств состоит в том, что одни из членов равенства может
быть заменен другим, когда они фигурируют в качестве множителей в подын-
подынтегральном выражении некоторого интеграла по *. Все равенства могут
быть строго доказаны в теории обобщенных функций (см. раздел I). Фор-
Формальное (но не строгое) доказательство состоит в умножении обеих частей
равенств на достаточно регулярную функцию f(x) и интегрирование по х,
тогда результаты должны быть одинаковы в левой и правой частях. Так, со-
соотношения A6), A7) и A8) доказываются путем замены переменной в ии-
теграле. В равенстве A8) суммирование идет по всем нулям функции g(x);
выражение имеет смысл только, если нули g(x) и g'{x) не совпадают; напри-
например, б(х2) смысла не имеет.
§ 10. Производные Ь (х)
«Функция» б имеет производные всех порядков. При этом т-я производ-
производная определяется равенством
+°°
[ 6(m) (x) f(x) dx = (-1 )т f <m) @), B3)
справедливым для всякой функции f(x), m раз дифференцируемой в точке
х=0. «Функция» б(т)(* — *о) может рассматриваться как соответствующий
предел т-х производных функций в правых частях уравнений A5а), A56),
A5в). Следующие свойства могут быть строго доказаны методами теории
обобщенных функций:
-A:), B4)
\ б(т) (х - у) б(п> (у -a)dy= бСп+") (* - а), B5)
xm+Io<m)(;0=0. B6)
15 Л, Мессиа

450 ДОПОЛНЕНИЕ А
Первая производная б' (х) обладает свойствами:
в'(ж)Н*)«*ж--П0), B7)
б' (ж) = - б' (- х). B8)
6'(x-a). B9)
ХЬ' (х) = - б (х), C0)
*26'(*) = 0, C1)
+ 00
6'(x)=JL Jte*****. C2)
Раздел III. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ8)
§ 11. Преобразование Фурье. Определение
Если f(x) есть функция (вещественная или комплексно-зиачиая) пере-
переменной х, то ее пребразование Фурье, если оио существует, выражается
формулой
+оо
Р{и)-Г If] = (-?-)  [ e~laux l (х) dx, C3)
где a—некоторая постоянная (в волновой механике выбирают a = 1/Й).
При некоторых условиях сходимости, которые должны быть уточнены, /(*)
может быть получена из F(u) в результате обратного преобразования Фурье
+ 0О
/ (х) = ^-] [F] = (-|L) Щ J ef««* F (и) du. C3')
— ОО
В более общем случае, если f(xu х2, ..., хп)—функция л переменных
..., хп, то ее преобразование Фурье имеет вид
+оо 4*°°
гГГ" J*-|e(B>ei + -+e*r-)f(x1 xn)dXl...dxn, C4)
— QD —00
а обратное преобразование определяется формулой
.. C40
— ОО —00
8) См. сноску '; см. также Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов
Фурье, Гостехиздат, 1948 г.

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 451
При условии, что преобразование Фурье f существует, имеем
<T[f(cxv.... cxn)] = ~r
(с — произвольная постоянная).
При тех же условиях
1 / Г У \
= —— П— —I
\с\п \ с с У
C5')
В дальнейшем мы без доказательства укажем основные свойства преобразо-
преобразований Фурье функций (или обобщенных функций) одной переменной. Все ре-
результаты без труда обобщаются иа случай любого числа измерений.
§ 12. Абсолютно интегрируемые функции / (х)
Всякая абсолютно интегрируемая функция f(x),
| f (х) | dx < оо,
обладает преобразованием Фурье
Преобразование Фурье F (и):
(а) непрерывно;
+ 00
(б) ограничено: | F (и) | ^ \ | f (x) \ dx при любых и;
— оо
(в) обращается в нуль иа бесконечности: F (и) —j—^ 0.
Если f(x) m раз непрерывно дифференцируема и ее га производных аб-
абсолютно интегрируемы, то
д- [/("»] = (iau)m F (и). C6)
Если xmf(x) абсолютно интегрируема, то F(u) m раз непрерывно диффе-
дифференцируема и
M[} C7)
Свойства обратного преобразования у-1 получаются из предыдущих, если
во всех формулах заменить / на —L
§ 13. Функции х (основные функции)
Символом %(х) будем обозначать бесконечно дифференцируемую функ-
функцию, асимптотически стремящуюся к нулю вместе со всеми своими произ-
производными, быстрее любой степени |х|:
I x t %'"^ (х) ~,—. *" 0 какими бы ни были т и /.
15*

452 ДОПОЛНЕНИЕ А
В общем случае х(*ь •••> х") обозначает функцию п переменных, беско-
бесконечно дифференцируемую и такую, что
при любых /, т и любом выборе индексов at, <хг, • •., <xn (ai + аа + ...
... + ап — т).
Функции ф из раздела I являются частным случаем функций %; напро-
напротив, функции х не являются обязательно функциями ф (пример: е~^')-
Поскольку функции х являются абсолютно интегрируемыми, то к ним
применимы все результаты предшествующего параграфа. Но, кроме того, имеем
следующий результат:
Преобразование Фурье SF% и обратное преобразование Фурье 3~~х% функ-
функции х также являются функциями % (переменных щ, иг и„). Кроме
того, преобразование Фурье обладает свойством взаимности:
~{% означает преобразование Фурье от 8Г-1%).
§ 14. Преобразование Фурье обобщенных функций.
Определение
Если Г — обобщенная функция, то преобразование Фурье STT есть функ-
функционал, определяемый формулой
а обратное преобразование Фурье есть функционал
Г-1Г[Ф] = Г[Г-1(р].
Поскольку б^ф, ^"-'ф не обязательно являются функциями типа ф, может
случиться, что функционалы T[3Tip], Г^-'ф] не существуют; в этом случае
Т не обладает преобразованием Фурье или обратным преобразованием Фурье.
Если / — обобщенная функция, соответствующая функции f(x), и если
F(u), в предположении, что оно существует, есть преобразование Фурье функ-
функции f (х), то
+ 00 ( +00 V
rf [ф] = f КГФ] = 5 / (х) | (^-)'/2 5 e~iauxФ (и) du\dx =
+0О , +00
\ | \
0О , +00 »
\ Ф (и) | (^)'/! \ e~laUX f {х) dx
ОО ^ —00 '
Следовательно, преобразование Фурье обобщенной функции f есть обобщен-
обобщенная функция Р, соответствующая преобразованию Фурье функции f.
§ 15. Обобщенные функции медленного роста
Обобщенные функции медленного роста (или умеренные обобщенные
функции) по определению являются линейными и непрерывными функцио-
функционалами от функций х. т. е. основных функций.

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 453
Все свойства обобщенных функций, указанные в разделе I, распростра-
распространяются на обобщенные функцни медленного роста. Достаточно всюду вместо
функций ф подставить функции %. В частности, обобщенные функции мед-
медленного роста бесконечно дифференцируемы и все их производные являются
обобщенными функциями медленного роста.
Квадратично интегрируемые функции, функции, ограниченные во всем
пространстве, и вообще все локально интегрируемые медленно растущие
функции f(x) (для которых можно найти два таких положительных числа А
н а, что \f(x)\ < Л |х|а прн |*|-»-oo) определяют обобщенные функции мед-
медленного роста; б, &х0 и все нх производные являются обобщенными функ-
функциями медленного роста.
Решения задач волновой механики иа собственные значения являются
линейными и непрерывными функционалами волновых функций, т. е. квадра-
квадратично интегрируемых функций ty(q\, ..., qR). Следовательно, это суть линей-
линейные н непрерывные функционалы функций %, т. е. обобщенные функцни мед-
медленного роста.
Интерес к обобщенным функциям медленного роста связан с замечатель-
замечательными свойствами их преобразований Фурье.
Если Ux есть обобщенная функция медленного роста (определенная на
функциях типа х(*))> т0:
Iе. Ее преобразование Фурье VM и обратное преобразование Фурье V
существуют всегда и являются обобщенными функциями медленного роста
(определенными на функциях х(и))- О™ определяются формулами:
Vu[x)^!TUxh)=Ux[!rxl C8)
V~l [%] - Р~1их IX) = Ux kr-'x]. C8')
2е. Преобразования 9" и 9 ' взаимны:
=*U, C9)
= u. D0)
3е. Производные преобразуются согласно закоиу:
!Г(и™)=Aаи)тУи, D1)
*r((-ja*)m ?/.,.) = V[f). D2)
§ 16. Квадратично интегрируемые функции
Квадратично интегрируемые функции определяют обобщенные функции
медленного роста.
Если условиться не считать различными две функции, равные почти всю-
всюду (т. е. всюду, кроме множества точек меры нуль), то свойства преобразо-
преобразования Фурье обобщенных функций медленного роста распространяются на
квадратично интегрируемые функции. Но к этим свойствам добавляются еще
и свойства, специфические для квадратично интегрируемых функций. Оснон-
ные теоремы таковы:
Теорема I. Если f(x) — квадратично интегрируемая функция, то ин-
интеграл

454 ДОПОЛНЕНИЕ А
сходится в смысле среднего квадратичного*) к квадратично интегрируемой
функции:
+1
D3)
-1
Теорема II. Соответствие между f(x) и F(u) взаимно в том смысле,
что
f (х) = Г~1 F (и) = (у-)''* lmq \ eiaux F (и) du. D3')
Для всякого значения х, в окрестности которого f(x) имеет ограниченную
вариацию,
Sr~If(«) = lim—- 6) —. D4)
е->0 *
Теорема III. Пусть квадратично интегрируемые функции f(x) и F(u)
являются фурье-преобразованиями друг друга. Если производная f'(x) есть
квадратично интегрируемая функция, то ее преобразование Фурье iauF(u)
есть квадратично интегрируемая функция и, наоборот, если iauF(u) есть
квадратично интегрируемая функция, то f(x) дифференцируема и f'(x) есть
обратное преобразование Фурье от iauF(u). Аналогичное соответствие связы-
связывает пару xf(x) и (l/a)F'(«).
Замечание. Даже если f(x) как функция не всюду дифференцируема,
обобщенная функция (медленного роста) Yx существует всегда; ее преобра-
преобразование Фурье есть обобщенная функция (медленного роста) iauP(u); как
функция, эта последняя может не быть квадратично интегрируемой функ-
функцией.
Преобразование Фурье сохраняет скалярное произведение квадратично
интегрируемых функций (Парсеваль).
Теорема IV. Если г (и) и G(u) являются преобразованиями Фурье
квадратично интегрируемых функций f(x) и g(x), то
(g, f) = (G, F), D5)
иначе говоря:
= [ G* («) F (и) du.
4) Сходимость в смысле среднего квадратичного (менее строгая, чем про-
просто сходимость) функции ф(«, 1) к ф(«) при |->Х означает, что
lim
иначе говоря, ф(«, 1) стремится к ф(«) почти всюду. Эту сходимость обычно
обозначают символом:
1тяф («, |) = ф (и).

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Таблица преобразований Фурье
455
f(*)=(^-I/2 \ ei<"**F Ы) du
— 00
'Ш
f(-x)
Г(х)
F(x)
xf(x)
fix)
f (x — x0)
eiaulXf (x)
6 (* - Xo)
jmJ J ПРИ *>0'
(. 0 при x < 0
CVS") б
? (д; + a) - E (x - a)
J^' <а:
^ 0, | x | > a
Vve~vUI
i ^2y e~yxE (x)—
= ( 1 V2y e-V* д; > 0;
= I 0, д; < О
+ сх>
f(«) = (^-)I/2 S .-'««/(*> At
— 00
1 с | F (си)
F(-«)
/=•*(-")
/(-«)
if («)
muF («)
e-iauxtF (a)
F (u — «o)
(^r)"!
J_ Глб («) - /P-l
g'u»
f—^7=Y 2 e 2"' <Re « > 0. Re x2 > 0)
Замечание. Функции четырех последних примеров нормированы на единицу:
+ 00 +Л.
^ If (*) I1 dx= ^ |f(e)|»da —I.
— ОО — DO

456 ДОПОЛНЕНИЕ А
Частным случаем (/ = g) этой теоремы является сохранение нормы
+оо 4"°°
\f(x)\*dx = J \F(u)\*du. D6)
§ 17. Преобразование свертки
По определению сверткой двух функций называется выражение (если оно
существует):
+ 00
f»«=" \ f(x-t)g(t)dt. D7)
— 00
Можно также определить') свертку двух обобщенных функций. В частности.
6 * Т — Т (Т — некоторая обобщенная функция),
+ 00
б *f = \ 6 (* — /) / (t) dt — f (x) (/ — некоторая функция).
—оо
Образование свертки является коммутативной операцией: / * g = g *f.
Имеет место следующая теорема:
Теорема V. Свертка двух функций f(x) и g(x) (при условии, что она
существует) имеет преобразованием Фурье выражение
У2я/а р (и) Q (и),
где F(u) и G(u) являются преобразованиями Фурье f(x) и g(x) соответст-
соответственно; это преобразование взаимно. В частности, имеем:
Теорема V. Если f(x) — квадратично интегрируемая функция, g(x) —
абсолютно интегрируемая функция, F(u) и G(u) —их преобразования Фурье,
то свертка f*g и произведение Л/ FG являются квадратично интегри-
интегрируемыми функциями, причем второе является преобразованием Фурье первого,

ДОПОЛНЕНИЕ Б
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
И СВЯЗАННЫЕ С НИМИ ФОРМУЛЫ
Раздел I. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА, ПОЛИНОМЫ ЛАГЕРРА,
КУЛОНОВСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Уравнение Лапласа и вырожденная
гипергеометрическая функция
Уравнением Лапласа называется уравнение типа
W-o A)
(здесь аир — произвольные комплексные постоянные). Решение уравнения
A) можно искать в виде степенного ряда. Обычно вырожденной гипергеоме-
гипергеометрической функцией называется ряд вида
Г (а + в) Г (Р) z^_
" п\ # К '
Г(а)Г(Р + п) " п\
ге=0
Этот ряд:
1) вполне определен для произвольных аир при р#—р (р целое
2) сходится во всей комплексной плоскости z;
3) является полиномом степени р (р целое ^ 0), если а = —р, имеет
существенно особую точку на бесконечности, если а Ф —р;
4) удовлетворяет соотношению Куммера:
F (а, Р; z) = e*F (р - а, Р; - z). C)
Нетрудно видеть, что если функции
F(a, P; z) и zl~^F (а - Р + 1, 2 - Р; z)
существуют'), то они являются двумя линейно независимыми решениями ура-
уравнения A),
По методу Лапласа решения уравнения A) могут быть также представ-
представлены в виде контурных интегралов. Если Г некоторый контур в комплексной
') Если р ие целое, то эти две функции существуют и различны. Если
Р == 1, то онн тождественны друг другу. Если р = 0, —1, —2, ..., то суще-
существует только функция z'~^F (а — Р + 1, 2 — Р; г). Если E = 2, 3, ..., то
существует только функция ^(а, Р; г).

458
ДОЛОЛНЕНИЕ Б
плоскости t, такой, что функция
чения на его концах, то интеграл
Р а ег{ принимает одинаковые зна-
зна[ eztta~l A -
dt
D)
является частным решением уравнения A).
Предположим, что а не целое, Р = Ь (Ь целое > 0). Замкнутому кон-
контуру Го, охватывающему точки / = 0 и t = 1 (рис. 38J), соответствует реше-
решение типа D). По соглашению arg t—arg(l — t) = 0 на той части контура, где t
изменяется вдоль действительной осн между 0 и 1 в направлении возрастаю-
возрастающих t. Это решение, будучи целой функцией г, пропорционально F(a, |5; г).
t=0
гв
о *
t=0
Ь*Л-1
Рис. 38.
Рис. 39.
Коэффициент пропорциональиости получается при разложеиии ezt под знаком
интеграла н применении формулы
в (х>у)
+ У) rJ
dt
(x + У == целое, у не целое).
Находим
F (а, *;
E)
F)
Двум петлям Т{ н Га, обходящим точки t = 0 и < = 1 соответственно
(рис. 39)8), отвечают два решения типа D), нерегулярные в начале, именно
-1
Г F)
„ГКи., „,<.,-^ - / r(o)r(ft.
rr
(г-1, 2).
Условие сходимости интеграла есть
я/2 < arg z + т + 2пя < Зя/2
(t — аргумент бесконечной точки на петлях Т\ н Г2).
—г [ ег'<а-! A - О* dt G)
¦ a) J
s) Контур Го обходнтся в положительном направлении.
3) Т\ и Г? проходятся в положительном направлении.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 459
По соглашению 4):
— я < arg z < я, — Ж т < + я (знак т = знаку arg z).
В конце петлн Г| н в начале петли Г2:
При этих условиях
arg t = x,
— я, если 0 < т < я,
если — я < т < 0.
Г, F-a, ft; ~z) = e~zW2(a, ft; z), (8a)
Wi F — a, ft; — z) = е~гГ i (a, 6; z) (86)
(— я<а^г<+я; — я< arg (—z) < + я);
F (a, ft; z) = Wi (a, 6; z) + W2 (a, 6; z). (9)
Асимптотические разложения решений Wt и W2 (они получаются мето-
методом скорейшего спуска):
W (* Ь- А - Т(Ь) ( ;1-aY Г(я + а> V
^^a- °> z'|z|-»«, Г (ft-a) l ' Zj Г (a) A
re=0
x r(r"(t_7tlI) (~»f' A0>
(— я < arg (— z)< + я)
X
-a)
Г(» + 6-а) z
Х Г F-а) п! U1)
(— я < arg г < + л).
§ 2. Полиномы JIareppa
Определение 5):
(k, p = 0, 1, 2, ..., оо)
4) Это соглашение предполагает Im г Ф 0. Чтобы определить Й7, и П?г
иа действительной осн, необходимо осуществить аналитическое продолжение.
Прн этом результаты будут различными в случаях Imz-»-0+ и Imz-»-0~.
5) Некоторые авторы символом L* обозначают полином (—1) ^-р_^ в на-
наших обозначениях.

460 ДОПОЛНЕНИЕ Б
Lp есть полином степени р, обладающий р нулями между 0 и + °°:
В частности, L§ = k\
Дифференциальное уравнение (Лапласа):
(И)
Производящая функция:
zt
^"E^*» l"l<l)- 05)
p=0
Соотношения ортонормированности:
оо
С .-г ferftfft ^ _ [(Р + fe)l]3 .
0
§ 3. Собственные функции водородоподобных атомов
(теория Шредингера)
Введем обозначения
aa _ a2
Z ~ Zm'e2 '
по — радиус орбиты Бора, Ze — заряд ядра, т'—приведенная масса элек-
электрона.
Собственные значения энергии:
р/ Ze2 \2 m'ct 1 /еа
р
п~ \Ъс ) 2п2 ~ п2 2а'
Нормированные на единицу собственные функции в сферических коор-
координатах выражаются формулами:
¦irf» ('• в- Ф) = «-3l2Nnfnl (?) *Г (^ Ф). A7)
N 2 /(„-/-1I
N«* ~ п* У [(n + ОН3 ' ( 3)
^(*) = ^'Щ'-|М A76)
(rt=l, 2 оо; 1 = 0, 1, .... ft—1; m = — l, —l+l /).

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 461
Приведем также рекуррентное соотношение между средними значениями
степеней г, относящимися к одиому собственному состоянию (nlm):
^±L (r°) - Bs + 1) a(rs-') + ± [B/ + IJ - s2] a2 <r*> = 0
()
/_L\. L_. /_L\____J__.
\r/~nia' \гЧ~ B/+l)«3a2>
<r> = у [Зя» - / (/ + 1)] a; (r2> = -I [5«2 + 1 - 3/(/ + 1)] «2a2.
Таблица первых радиальных функций:
„-2
§ 4. Чисто кулоновская волна
Пусть tyc(r) есть стационарная волновая функция рассеяния частицы
чисто кулоновским потенциалом ZZ'e2/rt k == mt>/ft = волновое число, v = на-
начальная скорость.
Пусть также
Ч
Тогда:
Ч»в —в 2 Г A + /у) е'*2/1 (- /у, 1; м (г - г)) = A9)
= Ч», + 4>d> B0)
ф, = е 2 V A + /у) elkzWl (- /у, 1; ik (г - г)), B1)
я_
i|)d = в 2 Г (I + ty) eiA2W2 (~ *Y. J; '* (г - г)). B2)
Асимптотическая форма:
е* (ft/—v In 2ftr)

462 ДОПОЛНЕНИЕ Б
где
М6) = ^^«Yln^ln J+2,0^ ^
2k sin2 -?-
Поведение вблизи начала координат:
фв@) = е Т*ГA + /у), ibWr- gJt*_l ¦ B7)
§ 5. Сферические кулоновские функции
Дифференциальное уравнение.
В сферических координатах проблема рассеяния из § 4 приводит для ка-
каждого значения I момента импульса к радиальному уравнению
Сферические кулоновские функции являются частными решениями этого
уравнения. Это функции аргумента р = kr. Они зависят от энергии частицы
через t и у. Определяют регулярное (~rt+l) в начале решение Fy(y, kr)
и нерегулярные решения Gj, и[+' и «["' (сингулярность типа 1 /г').
При помощи замены
уравнение B8) сводится к уравнению Лапласа:
регулярное в начале решение F(l + 1 + ty, 2/ + 2; z) и два нерегулярных ре-
решения Wi,i(l+ 1 + ty> 2' + 2; z) которого нам известны.
Определения и соотношения между функциями:
Ft (у; р) = с,е V+1* С + 1 + 'Y. 2/ + 2; - 2/р) =
= cie-lDpt+lF (I + 1 - /у. 2/ + 2; 2(р), B96)
«<±> (Y; р) = ± 2iefl\e±i^l+lWx (I + 1 ± /у. 2/ + 2; =F 2«р) = C0а)
= ± 2ieF %eT lppt+iW2 (I + 1 =F /у. 2/ + 2; ± 2/р), C06)
о* (v; р) =4" W+>e'af + «i">e
Величины ci и а/ (кулоновский фазовый сдвиг) являются следующими функ-
функциями у:
C2)

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 463
или:
для / = 0
для / ф U
2 2
с0 - ( eJ"l t )'/2, о. - arg Г A +
' B/ + 1)!!
и Gj вещественны,
Асимптотические формы (г -> оо, р S> / (/ + 1) + Y8):
/ = 0;
C2а)
• П A +1?) Ш' ст< = а° + Е arctg T-- C2б)
C3)
C4)
C6)
4+) рГ. «Р [' (Р - V * 2Р " тО] вРолС„ХаГЩЗЯСЯ C?)
«Г рГ- ехр [- / (р - V Ш 2р - %)] (™)Щаяся C8)
Поведение вблизи начала координат (/-->0):
TTP+] <39>
°(YPlnp), если / = 0;
если /^0] D0)
Общее поведение функции Ft.
Когда р растет от 0 до оо, функция Ft растет сначала как р'+1, затем все
быстрее (экспоненциально) до точки р = у + Vv2 + ' С + 1). затем функция
бесконечно осциллирует между двумя экстремальными значениями, которые
асимптотически стремятся к +1 и —1; период осцилляции асимптотически
стремится к 2л.
Рекуррентные формулы:
D1)

464 ДОПОЛНЕНИЕ Б
Эти соотношения остаются справедливыми, если заменить Fi на Ui = aFi +
+ bQt (a, b — произвольно выбранные коэффициенты, не зависящие от /).
Определитель Вронского для функций О/ и Ft равен
dF, dG,
G,—r±--F.-T!-=\, D4)
1 dp ' dp v '
откуда (/ ф 0)
Если у = 0. то с точностью до множителя р получаем сферические функ-
функции Бесселя:
Ft @; р) = р/, (р), Gl @; р) = ря, (р),
. . D6)
и\ ' @; р) = ph\ (р), «4 @; Р) = РЩ ' (р)
(определение fj, /t^, A^*' см. в следующем разделе).
Раздел II. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
§ 6. Сферические функции Бесселя
Дифференциальное уравнение.
В сферических координатах уравнение Шредиигера для свободной ча-
частицы для каждого значения / момента импульса приводит к радиальному
уравнению6)
В комплексной плоскости ft имеет существенно особую точку в бесконечности
и, в общем случае, полюс порядка / + 1 в начале р = 0.
Сферические функции Бесселя являются частными решениями этого ура-
уравнения; оии определяют регулярную (~г1) в начале функцию /< (собственно
сферическую функцию Бесселя) и нерегулярные решения щ (функция Ней-
Неймана), h[ (функция Ганкеля первого рода) и h\~^ (функция Ганкеля вто-
второго рода).
Определение7):
(/v обозначает обычную функцию Бесселя порядка v); /г и nt вещественны,
А<-> = А<+>\ D8)
6) Уравнение B8) для частного случая у = 0 получается при р = kr,
yi = krfi(kr).
7) Большинство авторов символом щ обозначают ту же самую функцию,
но с противоположным знаком, а в качестве сферических функций Гаикеля
первого и второго рода принимают соответственно функции
= - (А<+> и hf = ih\~\

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 465
В явном виде:
sinp cosp _ cosp sinp
^
D9)
Здесь Ri — полином по 1 /p степени / с вещественными коэффициентами н чет-
четностью (—1)!; Si — полином по 1/р степени /—1 с вещественными коэффи-
коэффициентами и четностью (—I)',
2ss! (I — s)!
e±X>
P " P '
sin p cos p cos p . sin p
'» = ~* p~~' ni = -?~ + —
Асимптотические формы (p -> то, p > / (/ + 1)):
_L • ( _ i?L^ _1_ / /я
E1)
Поведение вблизи начала координат (р->0):
рг ¦
Bг+1)м /i y+ir p' - E2)
f+ 1)!! L 2B/
j)
Общее поведение ji.
При возрастании pi+l от 0 до +оо функция р/< сначала растет как p'+i,
затем все быстрее (экспоненциально) до точки р = ¦yjl (I + 1), затем она
бесконечно осциллирует между двумя экстремальными значениями, которые
асимптотически стремятся к +1 и —1 соответственно. Асимптотическая фор-
формула E1) является хорошим приближением, когда р ;§>/(?-f-1)/2, однако
амплитуда осцилляции практически достигает своего асимптотического значе-
значения (с точностью до 10%) уже при р^3 2/.
Рекуррентные формулы.
Ниже будем считать, что fi es сц\ + Ьщ, где а и 6 — произвольно вы-
браиные коэффициенты, не зависящие от /. Имеем (/ ф 0):
B/+l)f,-p[fl+I+?,_,], E3)
E4)

466 ДОПОЛНЕНИЕ Б
так что
f, = [V (--^)]/о. E6)
Определитель Вронского:
¦¦ 1- E7)
от куда (/ Ф 0)
Раздел III. ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
И ПОЛИНОМЫ ЭРМИТА
§ 7. Полиномы Эрмита
Определение:
Hn(z) = (-\)ne*2(-j^-e-z*\ (« = 0, 1. 2 оо): E9)
Нп есть полином степени п четности (— 1)", обладающий п нулями:
если п = 2р;
{_l)P2VR±DLzFf з Л есди F0)
р\ \ 2
Дифференциальное уравнение:
Производящая функция:
п=0
Рекуррентные соотношения:
F3)
1> F4)
l. F5)
Явные выражения шести первых полиномов Эрмита:
tfo=l. Hl=2z,
Я2 = 422-1, Я з = 821 - 12z,
Я4 = 1бг4 - 48г2 + 12, Я6 = 32?5 - 160г3 + 120z.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 467
§ 8. Собственные функции гармонического осциллятора
un(Q) есть собственная функция, нормированная на единицу и принад-
принадлежащая собственному значению Еп = (я+1/2)Йсо (я = 0, 1, ..., оо); фаза
выбирается так, чтобы выполнялось соотношение F8), и чтобы Ыо@) была
вещественной и положительной.
Уравнение на собственные значения \Q= Л/ <¦ QJ-
Производящая функция:
Соотношения ортонормированности и замкнутости:
«„ (Q) «„№')-= «(Q-QO-
i
Рекуррентные соотношения:
" ' ' F7)
F8)
««(— Q) ¦= (— О* «»(Q).
Выражение через полиномы Эрмита:
2«я!)-1/2 е-«'/»Я„ (Q). G0)
Раздел IV. ПОЛИНОМЫ И ФУНКЦИИ ЛЕЖАНДРА,
СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 9. Полиномы и функции Лежандра
Определения:
Полином Лежандра
0,1,2 ос) G1)

468 ДОПОЛНЕНИЕ Б
есть полином степени /, четности (— 1)г, обладающий / нулями в интер-
интервале (—1, +1).
Функция Лежандра
(—1<«<+1; / = 0, 1,2,.... оо; т = 0. 1 I)
есть произведение A — и2)'2 на полином степени / — т и четности (— \I~т,
обладающий 1 — т нулями в интервале (— 1, + 1) В частности,
m = l Pl, = Bl-l)V.(l-u2),
G3)
т = О Р°, = Р1 («);
Р1 (и) есть частный случай функции Лежандра
Дифференциальное уравнение:
Производящие функции:
VI - 2/и
1 = У tlPt (и), G5)
' „4-1/2° Z ''^
(соотношения верны и при 1 = 0, если принять Р_,=0).
Частные значения
PjOJ-l, Pt (- 1) = (- 1)',
Pf(l) = P™(—l) = 0 (m^=0),
(— •У-ГГТ:—Г~> если / —m = 2p;
G6)
Соотношения ортонормированности:
+1
Рекуррентные соотношения:
B1 + 1) иР^1 = (/ + 1 - т) Р?+х + (I + т) Р?_х, G8)
G9)
(80)
(81)
0, если / — т = 2р + 1.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ 469
Первые пять полиномов Лежаидра:
ро=1, Р1 = «, Р2=1C«2-1),
Р3 = 1E«3-3«), Р4 = j C5«4 - 30«2 + 3),
§ 10. Сферические функции
Операторы Lx, Ly, Lz в сферических координатах. Операторы Lx, Ly, Lz
являются дифференциальными эрмитовыми операторами, определенными (в
системе единиц, где ft = 1) формулой
В качестве полярной оси выбираем Ог\ (г, 6, ф)—сферические коорди-
координаты точки г; Q = F, <р) обозначает совокупность двух угловых координат
(ф = 0 есть плоскость гОх, ф = я/2 — плоскость гОу). Элемент телесного
угла есть dQ = sin 6 dQ dq>,
В сферических координатах имеем:
(84)
sin2 6
Определение сферических функций Yf1 @, q>).
Общие собственные функции операторов ?2 и Lz:
(85)
LZY™ = mY'" (86)
(/ = 0,1,2,..., oo; m = — I, —/ + 1. ...,+/).
Завершают определения условия:
а) Y™ нормированы на единицу на сфере радиуса 1;
б) фазы выбраны так, чтобы удовлетворялись рекуррентные соотношения
(89) н чтобы 'j@, 0) была действительной и положительной величиной.
Соотношения ортонормированности и замкнутости-.
in я
т'
- \ d<f J sin 6 dQYf F, Ф)) *' (9, ф) = bmm,bu,, . (87)
о о
иг(е', фО-&(е"е1^ф~ф/) -*(u-fl7. W
(-От—1
Функции Yf1 образуют полную ортонормированную систему квадратично ин-
интегрируемых функций на сфере радиуса 1.

470 ДОПОЛНЕНИЕ Б
Рекуррентные соотношения:
L±Yf =[l(l+\)-m{m± I)]1'2 Yf±l = [(/ Tm)](l+1+ m)]I/2 Yf±l, (89)
, -|_ B/+i)B/ + 3) J +LB/+l)B/-l)J '
(90)
Четность при пространственном отражении (9, <р) -> (я — 6, <р + я):
Г? (я - 6, ф + я) = ( - 1)' Yf (9, Ф). (91)
Комплексное сопряжение:
Yf (8, ф) = ( - I)?,"mF, ф). (92)
Связь с функциями Лежандра (от ^ 0):
С(в. ф) = (-
Таким образом, Yf есть произведение eim4>sin'm'8 иа полином степени 1—\ш\
и четности (— \)l~m от cos 8. В частности,
\ (95)
Гармонические полиномы и сферические функции.
Однородные полиномы степени / от х, у, z
<Vf (r) = rlY? F, Ф) (m=-;, -/+1 +0 (96)
образуют последовательность 2/ + 1 линейно независимых гармонических по-
полиномов степени /8):
(97)
8) Формула (97) следует из операторного соотиошения, верного для всякой
функции, ограниченной при г = 0:
.Id2 U
Л ^__ ^^_ г ——
г аг2 г2
По определению полином h(x,y,z) есть гармонический полином, если он од-
однороден по х, у, z и удовлетворяет уравнению ДЛ = 0; существует 2/ + 1 ли-
линейно независимых полиномов.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Несколько первых сферических функций:
471
Y\ = -
-2-cose, й-a/JL. Ccos2e-i),
4я 2 V 1бя
=а/-т|- E cos39 — 3 cosе),
V '«я
К' = - д/-§| sin 9 cos ее"",
sin2
sin е E cos2 е - ° •*"•
Жsin2 e cos ев2лр'
Раздел V РАЗЛОЖЕНИЯ И РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМУЛЫ
Теорема сложения:
+1
-Ш- • Pt (cos a) - ? КГ (в„ Ф,) У? F2, Ф2)
т—1
(а —угол между направлениями (9ь фО и (бг,
Функции Грина операторов ДнД + 428)
= * J] B/
<) A^+) {kr>)Pl (cos a),
*' (*'>) Я'(COS а)
(98)
(99)
A00)
(cs — угол между направлениями rt и Гг; г<— меньшаи из длин п и г% г>—
большая из длин г\ и г2).
Формулы A00) и A01) верны при любых k, в том числе и при комплекс-
комплексных k.
t>lkr
(Д +
- 4яб (f).

472 ДОПОЛНЕНИЕ Б
Разложение плоской волны и чисто кулоновской волновой функции рас-
рассеяния.
Полярная ось направлена по оси г, совпадающей с направлением началь-
начального волнового вектора ft:
oo
1 = 0
к>
cos 9), A03)
C°4)
Определения у, 1рс, fc(Q), Ft, Oi даны в § 4 и 5 (уравнения A8), A9), B5), B9)
и C2)).
При другом выборе полярной оси разложения A02), A03) и A04)
остаются верными, если под 9 подразумевать угол между направлениями
ft и г.
Пользуясь теоремой сложения, можно получить разложения по сфериче-
сферическим функциям от аргументов (9«, <р«) и (9Г, qv). Например,
оо +1
еш = 4я? ? *'/, (kr) Yf (9A> Vk) Yf (9r, Фг). A05)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно интегрируемые функции
450
— черное тело 21
Алгебра коммутаторов 204
— проекторов 258
Амплитуда рассеяния 359
кулоновская 406
Антилииейное соответствие 242
Атом Бора 33
— водорода 32, 395
— Резерфорда 20, 32
Атомизм действия 51, 118
Атомная спектроскопия 32
Атомный спектр 32
Базисная система функций 201
наблюдаемой 267
Барн 358
Барьер потенциальный 92, 101,
Бра-вектор 242
233
Вакуум 421
Вектор базисный 241
— волновой 25
— плотности потока вероятности 124
— правый, левый 268
Векторное пространство 240
Вероятность 58, 119, 178, 189, 289,
322
— перехода 38
Взаимности свойство 92, 112
В КБ метод 226
Водородоподобиые атомы 396
Волновая механика 55, 314
— теория излучения 17
— функция 68, 119
в импульсном пространстве 122
Волновое уравнение 68, 76, 303, 395
для свободной частицы 71
Волновой пакет 59, 89
гауссовый 133
и его расплываиие 83, 218
минимизирующий НО, 427
Волны вещества 58
Время жизни 385
Вронскиан 103, 463
Вырождение собственного значения
85, 171, 252, 343, 399, 433
Вырождения кратность 85, 343
— порядок 252
Гамильтониан 76, 123
— атома водорода 78
— в сферических координатах 334
— гармонического осциллятора 414
— электромагнитного поля 421
Гармонический осциллятор 66, 414
Гипергеометрическая функция 334
вырожденная 398, 404, 456
Гипергеометрический ряд 334, 398
Гипотеза Эйнштейна 23
Главное квантовое число 400
Граничные точки 230
Групповая скорость 60
Дебая — Шерера кольца 65
Де Бройля соотношения 25, 61
Действие 22
Действия интеграл 46
б-функция Дирака 182, 444, 446
Диагонализация 280
Динамические переменные 15, 166
Динамическое состояние 79, 289
Дискретный спектр 80, 93, 95, 343
Дисперсии закон 59
Дифракция на твердой сфере 379
— электронов 65, 155
Дифференциальное эффективное сече-
сечение 357
Дифференциальный проектор 261

474
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Длина волиы 25
— рассеяния 376
Дополнительное подпространство 244
Дополнительность 149, 153, 385
Дополнительные переменные 153,
Дуализм волна — частица 31, 67, 155
Дуальное пространство 241
Задача двух тел 348
— на собственные значения 169
Закон распределения Планка 22
Законы сохранения числа частиц 68
энергии и импульса 32
Замкнутости соотношение 187, 262
«Запаздывание» волны 112
Идеальное измерение 197, 290
Измерение импульса 146
— положения 144
Измерительный прибор 145
Изотропный осциллятор 432, 434, 437
Импульс обобщенный 42
Интеграл действия 46
Интегралы движения 209, 309
Интерференция света 29
и световые кванты 30
Инфииитезимальное преобразование
285
Коммутатор 71, 205, 245, 292
Коммутирующие наблюдаемые 198
Комптоиа эффект 22, 24
Комптоиовская длина волиы 25
Координаты обобщенные 41
— параболические 397
— сферические 397
Корпускулярная теория вещества 17,
37
Корпускулярио-волиовой дуализм 118
и дополнительность 155
Коэффициент прохождения 92, 112
Кратность вырождения 85
Кулоиовское взаимодействие 394
Лабораторная система 366
Лапласиан 71
Лармора частота 52
Лауэ пятиа 65
Левый вектор 268
Линейная суперпозиция 288 i
Линейное пространство 164
Линейно независимые векторы 241
Линейные операторы 245
Линии спектральные 32
Логарифмическая производная 87,
375
Лореица теория электронов 19, 33
Квант световой 22
— энергии 22
Квантование в атомных системах 32
— момента количества движения 37
— пространственное 35, 48
— энергетических уровней 33, 64
Квантовая статистическая механика
203
Квантовое число 202
азимутальное 343, 400
главное 400
магнитное 48, 343
радиальное 399
хорошее 309
Кет-векторы 240
Классическая доктрина 15
Классическое приближение 58, 210,
372, 403, 427
Комбинационное правило 33
Магнитное квантовое число 48
Матрица 268
— бесконечная 274
— диагональная 271
— единичная 270
— квадратная 270
— комплексно сопряженная 268
— ортогональная 271
— плотности 321
— постоянная 270
— сингулярная 271
— транспонированная 268
— унитарная 271
— эрмитово сопряженная 269
Матричная алгебра 269
— механика 54
Метастабильиые состояния 384, 385
Метод В КБ 226
условия применимости 229
Модель атома Резерфорда 20, 32
Момент импульса 335

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
475
Наблюдаемые 188, 254
— коммутирующие 198
Невырожденный спектр 96
Некоммутативная алгебра 270
Непрерывный спектр 96, 190, 254
Неравенство Шварца 165, 243
Несвязанные состояния 80, 348
Норма вектора 243
— функции 164
Обобщенная функция 442
— — медленного роста 451
Обобщенной функции дифференциро-
дифференцирование 446
— — преобразование Фурье 451
Обобщенные импульсы Лагранжа 42
— координаты 41
Обратный оператор 246
Оператор 70
— аитиэрмитов 251
— Даламбера 73
— дифференциальный 70
— Лапласа 71
— линейный 70
— положительно определенный 324
— присоединенный 249
— проектирования 255
— рождения 421, 435
— самосопряженный 251
— унитарный 252, 284
— уничтожения 421, 435
— эволюции 302
— эрмитов 123, 251
— эрмитово сопряженный 249
Определитель Вронского 103, 463
— матрицы 271
Опыт Франка и Герца 34
— Штерна и Герлаха 35
Опыты Мейера и Герлаха 24
Орбита квантованная 47, 403
Ортогональные проекторы 259, 260
— функции 113, 164
Ортонормированные функции 173
Основное состояние-34, 396
Отбора правила 33
Отделение движения центра масс 349,
- 351, 353
Отражение волнового пакета 91, 109
Падающая волна 405
Параболические координаты 397
Парциальные волны 370, 407
Переменные динамические 15
Переменные дополнительные 153
— совместные 154
Периодичности условие 192
Планка гипотеза 22
— закон распределения 22
— постоянная 22
Плоская волна 345, 347
Плотность вероятности 120
— потока вероятности 124
Подпространств пересечение 258
Подпространство 252
— собственных функций 400
Позитрон 68
Полиномы Лагерра 399, 458
— Лежандра 467
— Эрмнта 423, 465
Полная система векторов 262
функций 174, 186
Полное пространство 165
Полнота теории 151
Полный набор коммутирующих на-
наблюдаемых 202, 268, 418, 437
совместных переменных 155,
287
Постоянная Больцмана 204
— движения 209, 309
— Планка 22
— Ридберга 33, 41
Постулаты Бора 34
Потенциал прямоугольный 85
Потенциала скачок 87
Потенциальная яма 93, 234
Потенциальный барьер 92, 101, 233
Правила квантования 44, 46
— отбора 33
— сопряжения 249
Правило Ридберга — Ритца 33
Правый вектор 268
Представление 268, 313
— {О} 275, 422
— М 316
— {Щ 419
«Представление» Гейзенберга 306, 425
— промежуточное 311
— Шредингера 305
Представления эквивалентные 122, 239
Преобразование Галилея 368
¦— инфинитезимальное 285
— матриц 278
— подобия 279
— унитарное 283, 284
— Фурье 449
обобщенных функций 451
Прецессия Лармора 35
Приближение Борна 389
— геометрической оптики 58, 73
— классическое 58, 210, 372, 403, 427

476
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Приведенная масса 394
Принцип дополнительности 152
— наименьшего действия 42
— причинности 156
— соответствия 37, 39, 45, 69, 308,
403
— суперпозиции 239
— Ферма 63
Прицельный параметр 372
Причинность 149
Проекторы 255
— дифференциальные 261
— ортогональные 260
— элементарные 257
Производящая функция 423, 459
Пространствеииое квантование 35, 48
Пространство векторное 240
— волновых функций 163
— Гильберта 164, 243
— дуальное 241
— конфигурационное 42, 75
— линейное 164
— неприводимое 295
— полное 165
— сепарабельное 165
— состояний 288, 294
— фазовое 42
Прохождения коэффициент 92, 237
Процесс ортогонализации Шмидта 172
Прямоугольная яма сферическая 348
Прямоугольный потенциал 85, 344
Пучок волновых пакетов 359
Равенство Парсеваля 178, 186
Равновесие термодинамическое 429
Радиальное уравнение 339
Радиус Бора 397
Разложение единицы 190, 261
— кулоновской волиы 408
.'— плоской волиы 347
— по собственным векторам 262
функциям 173, 184
Расплываиие волнового пакета 83,218
Рассеяние волнового пакета 362
— глубокой прямоугольной ямой 380
— кулоновское 224, 403
— иа твердой сфере 377
— потенциалом ограниченного радиу-
радиуса 374
— «потенциальное» 381
— резонансное 380
— центральным потенциалом 370
Рассеянная волна 405
Редукция волнового пакета 196
Резонансное рассеяние 380, 382
Резонансы иа прямоугольной яме 94
Ридберга постоянная 33, 41
Свертка обобщенных функций 455
Световые кванты 22
и явление интерференции 29
Свободная частица 345
Секулярное уравнение 272
Сепарабельное пространство 165
Симметризация 77, 292
Система центра масс 365
Скалярное произведение 164, 243
Скачок потенциала 87
Скобки Пуассона 309
Скрытые параметры 152
След матрицы 270
частичный 273
Смешанное состояние 320
Собственное значение оператора 171
Собственные векторы 415
— функции 112, 171
Собственный дифференциал 115, 170
Совместные переменные 153, 198
Соотношения де Бройля 25, 61
— замкнутости 187
— коммутации 207
— неопределенности время-эиергия
137, 310
координата-импульс 133, 137
— ортонормированиости 254, 262
— среднее время жизни — ширина 140
Сопряженные операторы 249
Состояние метастабильное 384
— несвязанное 80
— основное 34, 396
— рассеяния 404
— связанное 80, 94, 348
— смешанное 203
— собственное 415
— стационарное 37, 79
— чистое 203, 325
Сохранение нормы 122
— потока 111
Спектр дискретный 80, 93, 109
— непрерывный 80, 108
— энергии вырожденный 99, 108, 399
невырожденный 96, 108
Спектра тонкая структура 401
Спектральные линии 32
— термы 34
Спектроскопия атомная 32
Спин электрона 401
Среднее значение динамической пере-
переменной 166, 289

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
477
Среднее значение функций координат
и импульсов 125, 126
Старая квантовая теория 37
Статистическая интерпретация кван-
квантовой теории 149
предсказаний результатов из-
измерений 157
— механика 17
Статистический оператор 321
Статистическое распределение 122,
132, 177
и характеристическая функция
177
результатов измерения 193
Стационарная волна рассеяния 358
Стационарное состояние 34, 79
— уравнение Шредингера 79
Сумма проекторов 259
Сферические координаты 397
— функции 338, 468
Бесселя 344, 463
кулоновские 461
Тензорное произведение векторных
пространств 248, 299
матриц 269, 273
Теорема вронскиана 103
— Эреифеста 214
Теория Бора 39
— классическая 16
Термодинамическое равновесие 429
Термы спектральные 33
Тонкая структура спектра 401
Точки поворота 230
Туннельный эффект 101
Узлы собственной функции 112
Умножение матриц 269
Унитарное преобразование 283
Унитарный оператор 252, 284
Уравнение Гейзенберга 307
— Клейна — Гордона 73
— Лапласа 398, 404, 456
— иа собственные значения 80
— радиальное 339, 410
— секулярное 272
— Шредингера 68, 76, 303, 395
Уравнения движения 301
канонические 43
— Лагранжа 42
Условие замкнутости 184
— нормировки 120
— периодичности 192
Фазовая скорость 59
Фазовое пространство 42
и число связанных состояний
236
Фазовый множитель 124, 289
— сдвиг 370
в борцовском приближении 389
и зависимость от формы потен-
потенциала 388
, интегральное представление
387
— — кулоновский 408
Фактор проникновения 375
Флуктуации статистического распре-
распределения 168
Фонон 435
Формула Бальмера 32, 47
— Бете 391
— Бора — Пайерлса — Плачека 392
— Комптона 24
— Планка 430
— Резерфорда 225
Формулы согласования 230
Фотон 22, 140, 147, 157, 421
Фотоэлектрический эффект 22
Функции абсолютно интегрируемые
450
— квадратично интегрируемые 452
— наблюдаемых 265
— обобщенные 442
медленного роста 451
Функционал 442
Функциональное пространство 163
Функция Гамильтона 43
— Лагранжа 42
Характеристическая функция распре-
распределения 177, 189, 432
Хорошее квантовое число 309
Центр волнового пакета 89
— масс 350
Цеитральио-симметричиый потенциал
334
Частица «относительная» 350, 366
Частота Лармора 52
Четности наблюдаемая 209
Четность 115, 209
— волновых функций 94
— сферических функций 469
Чистое состояние 203, 325

478 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ширина резонанса 382 Энергия связи 396
Шпур матрицы 270 Эргодическая теорема 17
Эренфеста теорема 214
Эрмитов оператор 123, 165, 249
Эффект Комптона 20, 24
Эйнштейна гипотеза 23 — фотоэлектрический
Электрон 19 Эффективное сечеиие рассеяния 356,
Электрона теория Лореица 19, 33 403
Электрон-позитронная пара 68 — кулоновское 406
Элементарный проектор 257 полное 366
Энергия 209 Эффективный радиус действия 392