Г. ПОЛНА, Г. СЕГЕ
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ
ИЗ АНАЛИЗА
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ (специальная часть).
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.
ПОЛИНОМЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Перевод с немецкого
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

S17.2
П50
УДК 517
AUFGABEN UND LEHRSATZE
AUS DER ANALYSIS
von
G. POLYA und G. SZEGO
Professoren an der Stanford University
California, USA.
ZWEITER BAND
FUNK.TIONENTHEORIE.
NULLSTELLEN. POLYNOME.
DETERMINANTEN, ZAHLENTHEORIE
Dritte berichtigte Auflage
Springer—Verlag
Berlin • Gottingen • Heidelberg • New York
1964
J0203-051
053 @2)-78
© Перевод на русский язык,
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения и сокращения 		6
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Глава 1
Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей
Задачи Решения
§ 1 A—40). Аналогия между ц (г) и Af(r), v (г) и N (г) . . . .	10	183
§ 2 D1—47). Дальнейшие свойства функций и (г) и v (/¦)...	15	188
§ 3 D8—66). Связь между ц, (г), v (г), М (г), N (г)		16	191
§ 4 F7—76). (J. (г) и М (г) при специальных предположениях
правильности роста		19	197
Глава 2
Однолистные конформные отображения
§ 1	G7—83). Задачи подготовительного характера		22	201
§ 2	(84—87). Теоремы единственности 		23	203
§ 3	(88—96). Существование отображающей функции		24	204
§ 4	(97—120). Внутренний и внешний радиусы. Нормирован-
Нормированная отображающая функция		25	207
§5	A21—135). Связи между отображениями различных областей	30	211
§ 6	A36—163). Теорема Кёбе об искажении		33	214
Глава 3
Смешанные задачи
§ 1 A64—174). Varia		39	222
§ 2 A75—179). Об одном приеме Э. Ландау		41	227
§ 3 A80—187). Прямолинейное приближение к существенно
особой точке		42	228
§ 4 A88—194). Асимптотические значения целых функций ...	43	229
§ 5 A95—205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена —
Линделёфа 		44	232
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
Глава 1
Теорема Ролля и правило Декарта
§ 1 A—21). Нули функций, перемены знака последовательно-
последовательностей 	 46	238
§ 2 B2—27). Изменения знака функции	 49	241
1*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Задачи Решения
§ 3	B8—41). Первое доказательство правила Декарта		50	242
§ 4	D2—52). .Применения правила Декарта		53	245
§ 5	E3—76). Применения теоремы Ролля 		55	248
§ 6	G7—86). Доказательство правила Декарта, принадлежащее
Лагерру		58	253
§ 7	(87—91). На чем основывается правило Докартз?		61	256
§ 8	(92—100). Обобщения теоремы Ролля 		63	258
Глава 2
Геометрические свойства нулей полиномов
§ 1 A01—110). Центр тяжести системы точек относительно не-
некоторой точки	 65 260
§ 2 A11—127). Центр тяжести полинома относительно некото-
некоторой точки. Теорема Лагерра	 67 262
§ 3 A28—156). Производная полинома относительно некоторой
точки. Теорема Грэйса 	 71 265
Глава 3
Смешанные задачи
§ 1 A57—182). Приближение нулей трансцендентных функций
нулями рациональных	 76 272
§ 2 A83—189). Точное определение числа нулей при помощи
правила Декарта	 81 282
§ 3 A90—196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов 83 284
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
§ 1 A—7). Полиномы Чебышева 		85	286
§ 2 (8—15). Общие сведения о тригонометрических полиномах	86	287
§ 3 A6—28). Специальные тригонометрические полиномы ...	88	289
§ 4 B9—38). Из теории рядов Фурье 		90	292
§ 5 C9—43). Неотрицательные тригонометрические полиномы	92	294
§ 6 D4—49). Неотрицательные полиномы		93	295
§ 7 E0—61). Максимумы и минимумы тригонометрических по-
полиномов 		94	297
§ 8 F2—66). Максимумы и минимумы полиномов		96	301
§ 9 F7—76). Интерполяционная формула Лагранжа		98	304
§ 10 G7—83). Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова 		101	306
§ 11 (84—102). Полиномы Лежандра и родственные им ....	102	307
§ 12 A03—113). Прочие задачи на максимумы и минимумы
полиномов		106	316
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРЛ1Ы
§ 1 A—16). Вычисление определителей. Решение линейных
уравнений		ПО	320
S 2 A7—34). Разложение рациональных функций в степенные
ряды		114	325
§ 3 C5—43). Положительные квадратичные формы		119	328
§ 4 D4—54). Смешанные задачи		122	331
§ 5 E5—72). Определители систем функций		125	337

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Глава 1
Теоретико-числовые функции
Задачи Решения
§ 1	A—11). Задачи на целые части чисел		130	345
§ 2	A2—20). Подсчет целых точек		131	346
§3	B1—27). Одна теорема формальной логики и ее применения	132	348
§ 4	B8—37). Части и делители		133	351
§ 5	C8—42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и
ряды Дирихле		137	353
§ 6	D3—64). Мультипликативные теоретико-числовые функции	139	353
§ 7	F5—78). Ряды Ламберта и родственные им		143	358
§ 8	G9—83). Дальнейшие задачи на подсчет целых точек ...	145	360
Глава 2
Целочисленные полиномы и целозначные функции
§ 1 (84—93). Целочисленность и целозначность полиномов . . . 146 361
§ 2 (94—115). Целозначные функции и их простые делители 147 364
§ 3 A16—129). Неприводимость полиномов 	 150 368
Глава 3
Теоретико-числовые свойства степенных рядов
§ 1 A30—137). Подготовительные задачи о биномиальных ко-
коэффициентах	 152 375
§ 2 A38—148). К теореме Эйзенштейна 	 153 376
§ 3 A49—154). К доказательству теоремы Эйзенштейна .... 155 378
§ 4 A55—164). Целочисленные степенные ряды рациональных
функций	 157 381
§ 5 A65—173). Теоретико-функциональные свойства целочис-
целочисленных степенных рядов	 158 383
§ 6 A74—187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гур-
вица	 159 385
§ 7 A88—193). Значения степенных рядов, сходящихся в ок-
окрестности точки г = со, в целочисленных точках ...... 162 388
Глава 4
Об алгебраических целых числах
§ 1	A94—203). Алгебраические целые числа. Поля		163	391
§ 2	B04—220). Наибольший общий делитель		165	393
§ 3	B21—227). Сравнения		168	398
§ 4	B28—237). Теоретико-числовые свойства степенных рядов	169	399
Глава 5
Смешанные задачи
§ 1 B38—244). Плоская квадратная целая решетка	 171 401
§ 2 B45—266). Смешанные задачи 	 173 404
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ (приложение)
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
A—25)	177 413
Предметный указатель 	428

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
В обозначениях и сокращениях мы старались быть возможно более после-
последовательными и по крайней мере в пределах одного параграфа однотипные
величины обозначали одинаковыми буквами. Отдельные обозначения, сохра-
сохраняемые на протяжении одного-двух параграфов, вводятся специальными пояс-
пояснениями. Независимо от этого значение каждой буквы объясняется заново
в каждой задаче, если только нет ссылки на предыдущую задачу. Если задача
непосредственно примыкает к предшествующей, то она начинается пометкой
«продолжение». Если она примыкает к одной из более ранних задач, то по-
пометка сопровождается номером этой задачи, например «продолжение 286».
В этих двух случаях обозначения заново не разъясняются.
Отделы обозначаются римскими, главы (если это необходимо) — араб-
арабскими цифрами. Нумерация задач в каждом отделе новая. Номера задач
печатаются жирно. При ссылке на задачу указывается только ее номер, если
задача принадлежит тому же отделу; если же задача принадлежит другому
отделу, то указывается также номер отдела. Например, мы пишем IV 123,
если не находимся в отделе IV (задач или решений); но мы пишем просто
123 на протяжении всего отдела IV.
Замечания в квадратных скобках [ ] в задачах обозначают всегда указа-
указания, а в решениях — цитату (особенно в начале решения) или ссылку на
другую задачу, из которой можно использовать ¦ для решения отдельные
заключения. Замечания иного рода заключены в простые скобки. Цитируя
номер задачи, мы имеем в виду как задачу, так и ее решение, обязательно
отмечая иные случаи, например: [решение 38].
Источники, из которых заимствована задача, почти всегда указаны в ре-
решении. Если задача ранее уже публиковалась, то это указывается в цитате.
Если указывается только фамилия автора без указания литературного источ-
источника, то это значит, что задача была нам сообщена в качестве новой. Со-
Сокращения названий журналов приняты те же, что и в «Jahrbuoh fiber die
Fortschritte der Mathematik». Наиболее частые сокращения приводим здесь:
Acta Math. —Acta Mathematica.
Arch. d. Math. u. Phys. — Archiv der Mathematik und Physik.
C. R. —Comptes Rendus de I'Academie des Sciences Paris.
Deutsche Math.-Ver. —Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Verei-
nigung.
Gott. Nachr.. — Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.
J. fur Math. —Journal fur die reine und angewandte Mathematik.
Proc. Lond. M. S. —Proceedings of the London Mathematical Society.
Math. Ann.—Mathematische Annalen.
Math. Zeitschr.—Mathematische Zeitschrift.
Nouv. Ann. — Nouvelles Annales de mathematiques.
Rom. Ace. L. Rend.—Atti della Reale Accademia dei Lincei, Roma.
S. M. F. Bull. —Bulletin de la Societe mathematiqe de-France.
Следующие учебники цитируются наиболее часто, а потому только по
фамилиям авторов (например, Cesar о, Неске и т. д.):

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ	'
E.Cesar о, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der
Infinitesimalrechnung, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1904*).
E. Hecke, Vorlesungen fiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig,
Akademische Verlagsbuchhandlung, 1923 **).
A. Hurwitz-R. С our ant, Allgemeine Funktionentheorie und elliptische
Funktionen. Geometrische Funktionentheorie. Berlin, J. Springer, 1922 ***).
K- Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, изд. 2-е,
Berlin, J. Springer, 1924.
G. Kowalewski, Einfiihrung in die Determinantentheorie, Leipzig,
Veit & Co, 1909.
Далее особо упомянем следующие обозначения:
ап-*-а означает: ап стремится к а'(при п->со).
ап~Ьп (читать: ап асимптотически равно 6„) означает: bn=fc0 при до-
достаточно большом п и ~г~->-1 (при п-^со).
°П
О (а„), соотв. о (ап), ап > 0, означает величину, отношение которой к а„
остается ограниченным или соответственно стремится к нулю (при л->со).
Аналогичные обозначения употребляются и в других предельных пере-
переходах, отличных от л->со.
х-э-a-f-O, соответственно х-*-а—0, означает, что х стремится к а
справа или соответственно слева.
ехрх — ех, где е—основание натуральных логарифмов.
Max (a-i, а2, ... , ап) означает то (или те) из п' чисел ai, a2, ... , ап,
которого не превосходят все остальные. Подобное же значение имеет
Min (a-L, a2, ... , ап). Аналогичный смысл имеют Мах/(х), Min/(;e) для веще-
вещественной функции, определенной в интервале [а, Ь], если она имеет в нем
максимум или минимум. Если их нет, то эти же знаки для удобства сохранены
для обозначения верхней или нижней граней функции / (х). Все это распро-
распространяется и на случай комплексного переменного г.
sgn* означает символ Кронекера:
1+1 при х > 0,
0 при х ~ 0,
— 1 при х <0.
[х] означает наибольшее целое число, не превышающее числа х. Однако,
если это не может вызвать ложного понимания, квадратные скобки без осо-
особых указаний употребляются также и в своем обычном смысле.
z означает комплексное число, сопряженное с числом г, если только идет
речь о комплексных числах.
Определитель с общим элементом а^, X, ц=1, 2, ... , п, сокращенно
обозначается так:
|%|? или |<Vkn=i2	п или Ki> "за. -.в*я|?.
*)Эрнесто Чезаро, Элементарный учебник алгебраического ана-
анализа и исчисления бесконечно малых, ч. I—II, Одесса, 1913 («Матезис»); ч. I,
2-е изд., Л., 1936 (ОНТИ). В дальнейшем ссылки даются на издание 1913 г.
**) Э. Гекке, Лекции по теории алгебраических чисел, Гостехиздат,
1940.
***) А. Гурвиц, Теория аналитических и эллиптических функций,
ГТТИ, 1936; Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексного
переменного, ГТТИ, 1934; А. Г у р в и ц, Р. К у р а н т, Теория функций,
«Наука», 1968.

о	ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
Под областью мы понимаем связное множество, которое состоит из
одних внутренних точек, под замкнутой областью — область, дополненную
ее предельными точками.
Под непрерывной кривой мы понимаем однозначный и непрерывный
образ интервала O^t^l, т. е. совокупность точек z — x-\-iy таких, что
x — y(t), y — ty(f), причем обе функции ф (t) и \р (t) непрерывны в интервале
Os?/s?l. Непрерывная кривая замкнута, если ¦ ф @) = ф A), г|з (О) = г|зA).
Кривая не имеет двойных точек, если из ф(^) = ф(^)> ty(h) — Ф(У
(k<-h) необходимо следует ^ = 0, t2=l- Кривую без двойных точек мы
называем простой. Незамкнутую простую непрерывную кривую мы называем
простой дугой.
Простая замкнутая непрерывная кривая (так называемая кривая Жор-
дана) разбивает плоскость на две области, общей границей которых она
является.
Контуры интегрирования в криволинейных и комплексных интегралах
всегда будут предполагаться непрерывными и спрямляемыми.

ЗАДАЧИ
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА 1
МАКСИМАЛЬНЫЙ ЧЛЕН И ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ИНДЕКС,
МАКСИМУМ МОДУЛЯ И ЧИСЛО НУЛЕЙ
Пусть а0, ах, а2	а„, ... — комплексные числа, не все рав-
равные нулю, и пусть степенной ряд
f(z) = ao + a1z + a2z2 + ... +anzn+ ...
имеет радиус сходимости R > 0. Когда R — оо, f (z) называется
целой функцией. Для всякого г из полузамкнутого интервала
0 sc r < R последовательность чисел
|йо|, \at\r, \a2\r2, ... , \ап\гп, ...
стремится к нулю. Поэтому среди членов этой последовательно-
последовательности есть наибольший, так называемый максимальный член, обо-
обозначаемый через |i(r). Таким образом, имеем:
I an \rn < |i (г)
для п = 0, 1, 2, 3, ..., г^зО [I, гл. 3, § 3].
Центральным индексом v (r) называется индекс (номер) макси-
максимального члена: f-i(V) = \av(r) \rv{r). Если среди чисел \ап\гп
имеется несколько равных (J.(/")( то за v(r) принимается наиболь-1
ший из индексов этих чисел. Здесь предполагается г>0; по
поводу г = 0 см. 15.
Максимум модуля функции / (г) на окружности \г\ = г обо-
обозначается через М (г); М (г) служит одновременно максимумом
модуля f(z) на всем круге |2|=sSr [III 266]. Имеем:
*\an\r"^M(r) (n = 0, 1, 2, ..., г>0);

10	ЗАДАЧИ
равенство достигается только тогда, когда за исключением ап все
коэффициенты а0, аг, а2, ... равны нулю [III 122].
Число нулей функции f(z) в замкнутом круге \г\-^г обозна-
обозначают через N (г); каждый нуль засчитывается соответственно
своей кратности.
Указанные обозначения сохраняют силу на протяжении всей
главы.
§ 1. Аналогия между ц(г) и M(r), v(r) и N(r)
1. Вычислить |i(r) и v(r) для степенного ряда
2. Вычислить М (г) я N (г) для
3> ВЫЧИСЛИТЬ (J, (г) И V (г) ДЛЯ
Л.
" Bл+1)!
J- _L A I t. Л. Л. гП 4-
1! + 3! + 5! "+" •" "г Bл+1)! "г" "•
4. Вычислить УИ (г) и Л/ (г) для
= 1	г_ , _гг__	, (-г)" ¦
1! 3! 5! "	Bл+1)! "
= 	_ ___
УТ	1! 3! 5! "	Bл+1)!
5. Вычислить v (г) для геометрической прогрессии
6.	Вычислить N (г) для
1 + 2 + 22+ ... +2»+...
7.	Для всякого полинома и-й степени
й0 + %г + a2z2 + ... + anzn (ап Ф 0)
имеет место предельное соотношение
8. Для всякого полинома n-й степени
/ B) = ао + агг + а^ + ... + апгп {ап ф.0)
имеет место предельное соотношение
In М
,. In М (г) ,. , г / ч
hm —r—^- = lira N (г) — п.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § I	H
9.	Для всякой целой трансцендентной функции оба указан-
указанных в задаче 7 предела равны бесконечности.
10.	Для целой трансцендентной функции первый из указанных
в задаче 8 пределов'равен бесконечности, второй —не обязательно.
11.	Обозначим максимальный член и центральный индекс ряда
«*+ ... +anz"k+ ... (й=1, 2, 3, ...)
соответственно через |ift (r) и vft (r). Выразить \х.к (г) и v& (r) через
Ы') и 'МО.
12.	Обозначим максимум модуля и число нулей функции
f(zk) в круге |z|==gr соответственно через Mk(r) и Nk(f)~
(k=l, 2, 3, ...). Выразить Mk(r) и A/ft(r) через Мг{г) и ^(г).
13.	Вычислить Jim ,v .. для степенных рядов
г -юо Ш Г V /
, , г2 , г4^ , г»	, г2" , _ е'+е~г
1 "т" 2! "Г" 4! + + +	+
2! "Г" 4! + 6! + • •' + Bп)!
B«)!
14. Пусть теперь Mk(r) и A^fe(r) обозначают максимум мо-
модуля и число нулей в круге z sCr для функции (f(z))k (а не
/(zft), как в задаче 12), k=l, 2, 3, ... Показать, что отношение
Nk(r)	,
—	не зависит от k.
In Л1Й (/•)
15.	Для а0 = аг =... = я^ = 0, адФ0 будем считать v @) = 7.
Функция v(r) кусочно-постоянна, возрастает в точках разрыва
на целые положительные значения и всюду непрерывна справа
[I 120].
16.	Если ао = а1 = ... = а?_1 = О, адф0, то N(O) — q. Функция
Л/(г) кусочно-постоянна, возрастает в точках разрыва на целые
положительные значения и всюду непрерывна справа,
17.	Для ао = 0, 0<r1<r2<R имеем
18. Для /@) = 0, 0<rt<r2<R имеем
М
19. Функция ri = ln(i(e^) представляется в прямоугольной
системе координат 1, т} в виде кривой, не убывающей и не вогну-
вогнутой снизу. [Рассмотреть совокупность прямых
т) = 1п|ао|, т) = | + 1

12	ЗАДАЧИ
предварительно отбросив не имеющие смысла члены с с„ = 0.
Какую интерпретацию допускают здесь \х.(г) и v (/¦)?]
20.	Функция т) = 1пЛ1(е') представляется в прямоугольной
системе координат ?, т| всюду возрастающей и выпуклой снизу
кривой, за исключением некоторых полиномов весьма специаль-
специального вида, для которых кривая вырождается в прямую.
21.	Показать, что отношение ^ \v , где а — фиксированное
число, 0<а<1, нигде не возрастает при возрастании г.
22.	Показать, что отношение дЛ^Г ¦ где а — фиксированное
число, 0<а<1, постоянно убывает с возрастанием г.
23.	Пусть # = оо. Показать, что отношение fl , ^ , где а —
Ц С/
фиксированное, число, 0<а<1, при г->сю стремится к нулю,
если степенной ряд не обрывается, и стремится к а", если он
сводится к полиному п-й степени.
24.	Пусть / (г) — целая функция. Показать, что отношение
'М'/")-> где а — фиксированное число, 0<сс< 1, при г->оо стре-
стремится к нулю, когда / (z) — трансцендентная функция, и к а™,
когда / (г) — рациональная функция степени п.
Будем обозначать точки разрыва функции v{r), расположен-
расположенные в порядке возрастания, через
Pi, р2, • • • у рл. • • •;
Р1 = Рг = ... = рд = 0, рг+1>0, q^sO,
где каждая точка повторена столько раз, сколько единиц содер-
содержится в величине соответствующего скачка; в точке г = 0 за
величину скачка принимаем v@) [15]. Эта последовательность
может обрываться на конечном числе членов.
Будем обозначать нули функции f(z), расположенные в по-
порядке возрастания их модулей, а при равных модулях —в по-
порядке возрастания аргументов, через
wx, w2, ..., wn, ...;
где каждый нуль повторен столько раз, сколько единиц содер-
содержится в его кратности. Пусть \wn\ = rn (п — 1, 2, 3, ...), т. е.
Г]. < Г2 < ... =?? Гп =?? ...
Эта последовательность может обрываться на конечном числе
членов.
Мы будем придерживаться введенных только что обозначений
на протяжении всей главы.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 1	13
25. Если р„ < рл+1> то в полузамкнутом интервале рп «? /"< рл+1
v (л) = п.
5Ш. Если /¦„ < гЛ+1, то в полузамкнутом интервале г„ ¦¦
N(r) = n.
27. Вычислить числа рп для степенных рядов
1+ + + + +
г2 г*	22Л
1 + 2Г + 4!" + • •' + B71)! + • • •
28.	Вычислить числа г„ для функций
«• + /, ^5, cosZ.
29.	Если чисел р„ имеется бесконечное множество, то
n-»oo
30.	Если чисел гп имеется бесконечное множество, то
lim rn — R,
31.	Пусть ао[ф0. Тогда
.	\ао\г"
' Ч '	PlP2-.- Рл
ДЛЯ р„:
р+1
j Пусть ао=т^0. Тогда
М(Л)^_1Ш1?1	[III 120].
Для каких целых функций здесь может стоять знак равенства?
33. Пусть а0Ф§. Показать, что тогда
34. Пусть ао'ф0. Показать, что тогда
In М (г) - In i/@I =

14	ЗАДАЧИ
35. Для всякой целой функции
,.	Inv(r) ,.	In 1П LI (г)
hm sup -" = hms\ip —r~~-
r—>oo "' '	r->со	*" '
r->со
36.	Для всякой целой функции
,.	In Л/(г) ^,.	Ы1пМ(г)
hm sup——- «S hm sup —,- .
oo
37.	Показать, что бесконечный ряд 2 PJfe и несобствен-
ный интеграл
соответствующие некоторому всюду сходящемуся степенному ряду,
одновременно оба сходятся или расходятся.
38. Показать, что. если несобственный интеграл
\ гк~х\ъМ{г)&г (Jfe>0),
1
соответствующий некоторой целой функции, сходится, то сходится
также бесконечный ряд
оо
2 г-
(обратное неверно!).
39. Показать, что ряд
и интеграл
соответствующие некоторому степенному ряду, сходящемуся внутри
единичного круга, либо оба сходятся, либо оба расходятся.
40ш Показать, что если интеграл
1
соответствующий некоторой функции, регулярной внутри единич-
единичного круга, сходится, то сходится также ряд
00
/ I \l	In)

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 2
15
§ 2. Дальнейшие свойства функций (и(г) и \(г)
41.	Наметим на плоскости точки с прямоугольными коорди-
координатами @, - In | а01), A, - In | ах!), B, - In | я21),..., (п, — In | ап |),...
(отбрасывая те точки, для которых а„ = 0) и из каждой точки
восставим луч, направленный вертикально вверх. Наименьшая
выпуклая область &, охватывающая все эти лучи, простирается
в бесконечность. Проведем опорную прямую (т. е. прямую, на
которой лежит по крайней мере одна граничная точка и не со-
содержится ни одной внутренней точки области $) с угловым коэф-
коэффициентом In r. Как можно интерпретировать на полученном чер-
чертеже величины In (а (г), v(r), 1пр„?
42.	Пусть т —одно из целых положительных значений, при-
принимаемых функцией v(r), m>v@). Показать, что
ат
т.— 1
43. Для того чтобы каждый член степенного ряда
играл для некоторого значения г > О роль максимального члена,
необходимо и достаточно выполнение условий
а\
«2
а2
[31, I 117].
44. Показать, что центральный индекс v(r) степенного ряда
1 + ea~haz+ea~l2 V +... + ea~ln V + ••• @ < а < 1),
сходящегося в круге | z | < 1, принимает последовательно все зна-
значения 0, 1, 2, 3, ... Показать далее, что при г-*~1 максималь-
максимальный член этого ряда удовлетворяет асимптотическому соотношению
45. (Продолжение). Показать, что при г-*-\
1 1—а
]2	"
^о	1—а\1-ау L '
Г	со	"I
Рассмотреть \ е**™ rx dx; II 208.
L	о	J
46. Вычислить р1( р2, рз, ... для всюду сходящегося степен-
степенного ряда
-2«z2
n-nazn

16	ЗАДАЧИ
(а>0) и показать, что при г~*- + оо его максимальный член
удовлетворяет асимптотическому соотношению
47. (Продолжение.) Показать, что при фиксированном а>0
и г-*--\-оо
1+ 1 -"/¦ + 2~2(V2 + ... + n-nar" + ...~!-^±[In|i(r)]2 (x(/-). [II 209.]
§ 3. Связь между ц(г), v(r), M(r), N(r)
48.	Пусть для некоторой целой функции f(z)
,.	lnM(r) .
hmsup	— = /.
Показать, что вопрос о сходимости ряда
оэ
^1 dnf (z)
п = 0
решается в положительном или в отрицательном смысле или же
остается открытым, смотря по тому, будет ли
/<1, 1>\ или 1=1.
49.	Показать, что если параллелограмм периодов функции
Вейерштрасса o(z) представляет собой квадрат со стороной 1, то
при r-хэо имеем
[Hurwitz-Courant, стр. 174—175*).]
50. Определить для целых функций
cosz, cos2z, e* + i, ег, o(z)
пределы отношений
г_п Л(_М N (г) у(г)	M(r)	In N (г)
р„' V(r)' lnM(r)' In (х (л)' р (г) УЩЦг)' 1пл
при г~>оо (соответственно п->оо для первого); представить ре-
результат в виде таблицы. [Для ег первое и последнее отношения
не имеют смысла, для а (г) вычислить лишь третье и последнее,
считая параллелограмм периодов квадратом. Последнее отношение
*) Гурвиц, стр. 238—240. Г у р в и ц—К у Р а нт, стр. 180—181.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 3	17
дает показатель сходимости для последовательности нулей (I 113).
Использовать 1—4, 13, 27, 28 и для асимптотического выраже-
выражения A (г) — формулу Стерлинга.]
51 • Для всех целых функций
,.	In In u (г) ,.	InlnAf(r)
hmsup ^w=limsup	v;.
(Что имеет место sg, — тривиально.) Общее значение этих двух
пределов называют порядком целой функции.
52. Порядок целой функции можно также определить как пока-
показатель сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности рх, р2,..., р„,...
оо
53. Порядок целой функции f(z)= ^ anZn с положительными
коэффициентами а0, ах, а2, ..., а„, ... можно также определить как
,.	In [rf (r) f (г)-Ц
lim sup L' дпу v' \
ш Для целых функций конечного порядка имеет место бо-
более сильное, чем в 51, соотношение
55. Интеграл
где to>O и />1, сходится для всякой нерациональной целой
функции.
56.	Все целые функции обладают следующим свойством: для
всякого заданного г > 0 существуют произвольно большие зна-
значения г такие, что
М(г)<A (г)[Inц(г)У+\	[45, I 122.]
57.	Целые функции конечного порядка X обладают следую-
следующим свойством, более сильным, чем 56: для всякого заданного
е>0 существуют произвольно большие значения г такие, что
е) 1/2я In (х (г) (х (г).	[47,1118.]
Пусть с —постоянная, сфО, q — целое число, q^zO, и wlt w2,
w3, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел,
wg
g+11^| wm| < | wg+3
такая, что ряд
',1
I Щ+l I ^ I Wq+2 I * I Щ+3 |

18	ЗАДАЧИ
сходится. Целая функция вида
называется функцией рода нуль. Как доказал Адамар, каждая
целая функция порядка, меньшего единицы, будет рода нуль.
C6, 58, III 332 являются важными опорными пунктами в дока-
доказательстве этой теоремы.)
58.	Порядок каждой целой функции рода нуль равен пока-
показателю сходимости последовательности ее нулей.
59.	Для целой функции конечного порядка А,>0, централь-
центральный индекс которой обладает точками разрыва р1; р2, р3,..., рп, • ¦ •,
распределенными регулярно в смысле II, гл. 4, § 1, lim ^ ,.
существует и равен Я. [II 159.]
60.	Для целых функций конечного порядка к > 0 независимо
от особых предположений относительно регулярности имеют место
неравенства
v(?,.	[II 160.1
61. Пусть k, 0 < k < 1, — показатель сходимости последова-
последовательности rlt r2, ..., rn, ... , регулярной в смысле II, гл. 4, § 1.
Показать, что для целой функции рода нуль
имеет место предельное соотношение
N (г)	sin nK
при всяком фиксированном ¦&, — я<Ф<л;. [II 159.]
62.	Для целой функции задачи 61 независимо от предполо-
предположения регулярности распределения последовательности гг, г2,...
.... гп) ... имеет место неравенство
lim sup г—дгту Sssm .	[II 161.]
63.	Для каждой целой функции, последовательность нулей
которой обладает конечным показателем сходимости Я,
64. Пусть / (г) — целая функция и © (г), соответственно g (r), —
геометрическое среднее модуля / (г) на окружности | г | = г, сеют-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 4
19
ветственно в круге |zjs?r [III 121]. Если модули нулей функ-
функции f(z) распределены регулярно [II, гл. 4, § 1], то тогда
где Я означает показатель сходимости последовательности нулей,
0<А.<оо. Для полиномов интересующий нас предел точно
так же существует и равен е 2.
65> (Продолжение.) Независимо от предположения регуляр-
регулярности распределения нулей имеют место неравенства
66> Пусть /(г) —целая функция конечного порядка X и Ш(г),
соотв. m (r), — арифметическое среднее |/(г)|а на окружности
| г | = г, соответственно в круге | z | ==? г. Тогда
§ 4. jn(r) и Ж (г) при специальных предположениях
правильности роста
67. Пусть целая функция
удовлетворяет условию
lim /~a In M (г) — а,
Г-VOO
где а и а — положительные постоянные. Доказать, что
1)	если Ъ>а, то при достаточно больших я
2)	каковы бы ни были фиксированные k и г, где k вещест-
вещественно, 0<8<1, всегда существует такое 6>0, что, начиная
с некоторого значения г,
faara(l—e)	оо \
2+2 rtfeK|r"<yW(r)e-6'a.
i	г,	/
ccctr (I -J- е)'
Если бы мы взяли k = 0 и произвели суммирование от 0 до оо,
не выбрасывая центральной части ряда, то сумма была бы больше

20
ЗАДАЧИ
или равна М (г). Это означает, что центральная часть ряда зна-
значительно перевешивает оба его «фланга». [Неравенство 1) нужно
для подготовки доказательства утверждения 2).]
68.	Если для целой функции имеет место одно из трех пре-
предельных соотношений
A) 1пМ{г)~ага, B) lnii(r)~ara, C) v(r)~aara,
то имеют место также два других (r-^-оо, а и а — положитель-
положительные постоянные). [C) получается из B) формальным дифферен-
дифференцированием обеих частей, см. 33.] Без предположений о регуляр-
регулярности распределения имеют место 51, 54, 35, 60.
69.	Если коэффициенты а0, а1У а2, ... целой функции f(z)
задачи 67 положительны и удовлетворяют неравенствам
то можно утверждать, что
если же они удовлетворяют неравенствам
SL ;> !?а ;>??_;>. >>?л±1
с0 """ ах о2 "" *'"~"~ ап
то тогда, более того,
70. Присоединим к предположениям задачи 67, что алЭг0
для п = 0, 1, 2, ... Тогда для всякого фиксированного вещест-
вещественного k
оо
I] п»апгп
lim п,~ „,ь,>. == 1.
71. В предположениях задач 67, 70 предельное соотношение
In/ (r) ~ ага
можно «продифференцировать», т. е. заключить из его наличия,
что
72. (Обобщение теоремы I 94.) Пусть

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 4	21
— всюду сходящийся степенной ряд. Показать, что если
&я>0 (л = 0, 1,2, ...), lim Н» In/(/¦) = &, lim-^- = s
(р\ b — положительные, k и s —любые вещественные постоянные),
то
73« Показать, что при г-> + °°
.)
74ш Пусть clt a2, ..., ap, 6^ 62. •••» 6? — вещественные по-
постоянные, отличные от 0, —1, —2, —3, ..., и p<Cq, далее
Показать, что при r-хзо сумма всюду сходящегося степенного
ряда
1 | РОГ | РA)РB)Г2 , ¦ РA)РB)-
+ QA) ri"Q(l)QB) Г +"-Т QA)QB) ...
асимптотически равна
где
[Убеждаемся, что 73 вытекает отсюда после замены переменных
как частный случай. Применяем в качестве «ряда сравнения»
75.	Получить асимптотическую формулу задачи 74 без помощи
теоремы 72, опираясь на I 94 и II 207.
76.	Пусть все коэффициенты а0, аи а2, ..., ап, ... степенного
ряда ao + a1z + a2z2 + ... + anzn + ... положительны и удовлетво-
удовлетворяют условию
Птп(
(Этому условию удовлетворяет, например, ряд 74.)

22	ЗАДАЧИ
Доказать, что
1)	указанный ряд представляет целую функцию порядка X;
2)	v (г) ~ К In ]i (r) при г->со;
3)	намеченные в плоскости х, у точки с прямоугольными
координатами
v<n+l\ i__v(r) _v(r) , 1	—10 12
(_±_
\VV(F)' И')
стремятся в своей совокупности к гауссовой кривой распреде-
распределения ошибок, т. е.
lim *><r4.ifin+l =е~2Я если цт1=. = х.
r-оэ	H'W	r^oo/v(r)
Сравнить с площадью под гауссовой кривой распределения
1
сумму площадей прямоугольников с нижними основаниями v (r) 2
на оси х и с верхними основаниями, делящимися пополам точ-
точками, указанными в 3).
ГЛАВА 2
ОДНОЛИСТНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Задачи подготовительного характера
77. Если целая рациональная функция
однолистна в единичном круге | z \ < 1, то п \ ап \ «^ 1.
78.	Если функция w = f(z) однолистно отображает единич-
единичный круг | z \ < 1 на область ©и ф (w) однолистна в ©, то ср[/ (г)]
однолистна в |z|<l.
79.	Пусть функция /(г) однолистна в единичном круге \г\ < 1
и /@) = 0. Тогда функция
(где взята какая-нибудь определенная ветвь квадратного корня)
также будет однолистна в | z \ < 1. То же самое справедливо для
У f (zn) при любом целом положительном п.
80. Функция ф(г), определенная в задаче 79, является наи-
наиболее общей нечетной функцией, однолистной в единичном
круге |z|<;l. Точнее говоря: какова бы ни была нечетная функ-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 2	23
ция ф(г), однолистная в \г |< 1, существует такая функция /(г),
однолистная в | z | < 1, из которой ср (г) получается указанным
в 79 образом.
81. Пусть открытый круг & взаимно однозначно и конформно
отображается на область ©, и при этом, в частности, содержа-
содержащийся в & концентрический круг f отображается на некоторую
часть g области ©. Обозначим площади соответствующих обла-
областей через | $ |, |®|, |f|, |g|. Тогда
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда отображение
осуществляется с помощью целой линейной функции. [III 124.]
82. Пусть открытый круг & взаимно однозначно и конформно
отображается на область ®, причем центр k круга & переходит
в точку g области ®. Пусть а2 — поверхностное искажение в k
[III, часть I, стр. 123]. Тогда (в обозначениях задачи 81)
=2= Л
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда отображение
осуществляется с помощью целой линейной функции. (Предельный
случай теоремы 81.)
83. Пусть открытое круговое кольцо Sft однозначно и кон-
конформно отображается на двусвязную область <2. Обозначим наи-
наименьший открытый круг, содержащий Ы, через Ш; точки этого
круга, не принадлежащие ЗЯ, заполняют некоторый замкнутый
круг I. Аналогично через © обозначим наименьшую односвязную
область, содержащую ©, и через g — множество точек области ®,
не принадлежащих <2 (д замкнуто). Если окружности кольца Ы,
концентрические с f и t, и кривые области @, в которые пере-
переходят эти окружности при отображении, обходятся в одинаковом
направлении, то для площадей | © |, | g |, | & | и | f | имеет место
соотношение
М -~ Ш "
Равенство достигается только тогда, когда отображение осуще-
осуществляется с помощью целой линейной функции. (Обобщение тео-
теоремы 81, но не ее следствие!)
§ 2. Теоремы единственности
84. Взаимно однозначное конформное отображение, при кото-
котором открытый круг преобразуется сам в себя с сохранением
центра, представляет собой поворот около центра. [82.]

24	ЗАДАЧИ
85.	Пусть два открытых круговых кольца, ограниченных
попарно концентрическими окружностями и имеющих общую
внешнюю границу, взаимно однозначно и конформно отображаются
друг на друга так, что при этом окружности, концентрической
с граничной окружностью в одном кольце, соответствует в дру-
другом кольце кривая, обходимая в том же направлении. Тогда оба
круговых кольца совпадают и конформное отображение представ-
представляет поворот около центра. [83.]
86.	Не существует двух различных функций w — f(z), одно-
однолистно отображающих единичный круг | г | < 1 на заданную
область 03 так, что при этом z — 0 переходит в заданную точку
w = w0 области © и /' @) > 0.
87.	Единственными функциями, однолистно и конформно ото-
отображающими единичный круг | z | < 1 сам на себя, являются
линейные функции
1 —202 '
где а вещественно, | г01 < 1.
§ 3. Существование отображающей функции
88.	При отображении, осуществляемом с помощью формулы
а —г _ / |/а —т)оу
точке плоскости z соответствуют, вообще говоря, две точки пло-
плоскости w. Какие точки z составляют исключение? (а = \а\е'а,
0 <С | а | <С 1, ее вещественно, | г\ | = 1 и г| определено так, что -^ > 0
при ю = 0.) Отображение не зависит от (одного и того же
в числителе и знаменателе) выбора знака при У а.
89- Пусть © — односвязная область плоскости г, лежащая
в круге | z | < 1- и содержащая точку z = 0. Осуществим отобра-
отображение задачи 88, принимая за а ближайшую к г=0 точку на
границе области ©, |а|<1 (если таких точек не одна, то выби-
выбираем из них, скажем, точку с наименьшим аргументом, 0 sS arg a <C
<2я). Тогда это отображение относит области ® две области О*
и ©** плоскости w, из которых одна, ©*, содержит точку w = 0,
а другая, ©**, ее не содержит. ©* и ©** не имеют общих точек,
хотя и обладают по меньшей мере одной общей граничной точ-
точкой; обе они содержатся внутри единичного круга.
Определённая в задаче 89 область ©* в дальнейшем называется
областью Кебе, соответствующей области @. Области © и ©*
удобнее рассматривать в одной и той же плоскости. Между ними
существует взаимно однозначное соответствие с сохранением нуле-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 4	25
вой точки и направления в ней. Как ©, так и ®* представляют
собой правильные части единичного круга,
90.	Исследовать область Кёбе для области, получаемой из
единичного круга |z|<l посредством удаления отрезка a«Sz<l,
0<а<1. Определить, в частности, граничную точку, ближай-
ближайшую к нулевой.
91.	Исследовать область Кёбе для круга |г|<а, 0<а<1
и определить ближайшую к нулевой и наиболее удаленную от
нее граничные точки.
92.	Каждая точка области Кёбе для © более удалена от
нулевой точки, чем соответствующая ей точка области ©.
93.	Пусть ©! — область Кёбе для ©, ®2 —область Кёбе
для @i, ®3 —для ®2 и т. д. Пусть далее а, аг, а2, а3, ... — бли-
ближайшие к нулевой граничные точки соответственно областей ©,
©!, ©2, ©з, ••• Тогда \а\<\а1\<\а2\<\а3\<...
94.	(Продолжение.) При помощи отображения Кёбе © одно-
однозначно и конформно отображается на ®г, ®х — на ©2, ...,©„-!—
на ©„. Пусть результирующее отображение области © на ©„
осуществляется посредством аналитической функции /„ (г) (z про-
пробегает точки области ©). Имеем
/я@) = 0, (Х/НОХ^р
Выразить f'n@) через а, аъ а2, ..., ап^.
95.	Показать на основании 94, что для точек а, аг, щ, ...
..., ап, ... задачи 93 имеет место предельное соотношение
lim | ап\= 1.
л-»оо
96.	(Продолжение задач 93, 94.) В каждой точке г области ©
существует
lim U (г) = f(z),
л-»со
причем во всякой внутренней замкнутой области сходимость
равномерна. Предельная функция /(г) однолистно отображает об-
область © на внутреннюю область единичной окружности. [III 258.]
§ 4. Внутренний и внешний радиусы.
Нормированная отображающая функция
В нижеследующих задачах [97—163] под © понимается произ-
произвольная односвязная область плоскости г, обладающая более чем
одной граничной точкой, под а — произвольная конечная точка
области ©. Бесконечно удаленная точка может быть как внут-
внутренней, так и граничной точкой области ©. Область © одноли-
однолистно и конформно отображается на внутреннюю область некоторой

26	ЗАДАЧИ
окружности в плоскости w так, что при этом а переходит
в центр окружности и линейное искажение в точке а [III, часть I,
стр. 123] равно единице. Радиус окружности однозначно опреде-
определяется заданием области © и точки а. Мы называем его внут-
внутренним конформным радиусом области ® относительно точки а и
обозначаем длину его через га. Существует [96] однозначно опре-
определенная [86] функция w = f(a; z) = f(z), осуществляющая указан-
указанное отображение, т. е. конформно отображающая область ® на
круг | w | < га и разлагающаяся в окрестности точки а в ряд вида
Функцию (*) мы называем нормированной отображающей функ-
функцией, соответствующей точке а. Под конформным радиусом замк-
замкнутой простой непрерывной кривой L (относительно некоторой
лежащей внутри нее точки) мы понимаем внутренний радиус
области, ограничиваемой этой кривой.
Пусть теперь © — односвязная область плоскости г, содержа-
содержащая бесконечно удаленную точку z = oo. Тогда дополнение к ©
представляет собой ограниченную замкнутую область Ъ. Внешний
конформный радиус области 33 мы определяем следующим образом:
отображаем область © конформно и однолистно на внешнюю
область некоторой окружности в плоскости w таким образом, что
при этом бесконечно удаленная точка переходит сама в себя и
модуль производной отображающей функции в точке z = oo (ли-
(линейное искажение в бесконечно удаленной точке) равен единице.
Радиус этой окружности однозначно определяется заданием обла-
области ©. Его мы и называем внешним радиусом области 33 и обо-
обозначаем его длину через г. Существует однозначно определенная
функция w = f(z), осуществляющая это отображение, т. е. кон-
конформно отображающая © на внешнюю круговую область | w | > г
и допускающая в окрестности бесконечно удаленной точки раз-
разложение вида
a» = /(z) = z + ^ + f + ^-f... + -^ + ...	(**)
Функцию (**) мы называем нормированной отображающей функ-
функцией, соответствующей бесконечно удаленной точке. Под внешним
радиусом непрерывной кривой L, которая может частично (или даже
целиком) носить характер «разреза», мы понимаем внешний радиус
замкнутой области, ограничиваемой этой кривой; обозначенная выше
через © область представляет собой внешнюю область кривой L,
если эта кривая замкнутая, или же всю плоскость, разрезанную
по кривой L, если она представляет собой незамкнутую дугу *).
!) Точнее говоря, здесь имеется в виду непрерывная кривая L следую-
следующего рода: та односвязная часть дополнения к L, которая содержит беско-
бесконечно удаленную точку (т. е. область @), обладает границей, целиком совпа-
совпадающей с L. См., например, 101, 105.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 4	2 7
При отображении внутренней (или внешней) области замкну-
замкнутой простой непрерывной кривой L на внутреннюю (внешнюю)
область окружности замкнутая внутренняя (внешняя) область
кривой L взаимно однозначно и непрерывно отображается на
замкнутую внутреннюю (внешнюю) круговую область. (См. С. С а-
ratheodory, Math. Ann., т. 73, стр. 314—320, 1913.)
97.	Вычислить внутренний радиус га и внешний радиус г
окружности |z|=p, p>0, |а|<р.
98.	Вычислить внутренний радиус га внешней круговой обла-
области |г|>р {а конечно, |а|>р), а также \\т га.
а—*-<х>
99.	Вычислить га для угла 0<argz<fto, 0<Фо<2я.
100.	При преобразованиях подобия z' = hz + k с отличным
от нуля линейным искажением \h\ внешний, соотв. внутренний,
радиус увеличивается в отношении 1 :\h\. Точнее: если область ®
переходит в ©', конечная точка а — в a' = ha + k, то между внут-
внутренним радиусом га области ® относительно точки а и внутрен-
внутренним радиусом га' области ©' относительно точки а' имеет место
следующее соотношение:
Га' = | h | Га.
Аналогично для внешнего радиуса.
101.	Внешний радиус отрезка длины / дается равенством
Г~ 4 • .
102.	Внешний радиус эллипса, оси которого в сумме состав-
составляют /, дается равенством
103.	Вычислить внутренний радиус открытой полуплоскости
относительно содержащейся в ней точки, отстоящей от границы
на расстояние d.
104.	Пусть га — внутренний радиус области © плоскости г и
однолистное отображение
преобразует © в некоторую область ©' плоскости г'. Пусть,
далее, г'ь — внутренний радиус области ©' относительно точки
г' = Ь. Тогда
г'ь = \у\га.
Аналогичное соотношение имеет место при отображении вида
ir + 5- +

28
ЗАДАЧИ
105. Вычислить внешний радиус г кривой, составленной из
окружности | z | = 1 и вещественных отрезков
106> Вычислить внутренний радиус бесконечной параллель-
параллельной полосы ширины D относительно содержащейся в ней точки,
кратчайшее расстояние которой до границы полосы равно d Bd==cD).
107. Пусть а—любая конечная точка области © плоскости г.
Дробно-линейное преобразование г' — _а переводит © в об-
область ©', содержащую бесконечно удаленную точку. Показать,
что внутренний радиус области © относительно а равен обратной
величине внешнего радиуса области, дополнительной к ©'.
108» Рассмотрим область ©, получающуюся при удалении из
единичного круга | г | < 1 вещественных , отрезков Ь, =^ г < 1,
—1 < г =г? — Ь2, 0 < Ьх < 1, 0 < Ь2 < 1. Вычислить внутренний
радиус области ® относительно нулевой точки.
109. Неравенства
выделяют в плоскости г круговой двуугольник К; вершинами его
служат zx и 22, а стороны составляют между собой угол Ь„ — б^.
Чему равен внешний радиус области Ю Рассмотреть случаи
110ш Пусть а и Ъ — точки области @, / (г) — нормированная
отображающая функция, соответствующая точке Ь. Тогда
а гь\Г(а)
111. Вычислить нормированную отображающую-функцию пло-
плоскости, разрезанной вдоль прямой -т-=^г < + °о, относительно
нулевой точки и исследовать изменение внутреннего радиуса га,
когда а пробегает все вещественные значения от — оо до -^.
112» Пусть L — замкнутая аналитическая кривая. (Следова-
(Следовательно, нормированная отображающая функция, соответствующая
произвольной точке внутренней области кривой L, продолжаема
за L и в различных точках L принимает различные значения.)
Показать, что если точка а, заключающаяся во внутренней обла-
области кривой L, приближается к некоторой точке этой кривой, то
внутренний радиус га стремится к нулю.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 4	29
113. Пусть в точке а области © внутренний радиус г„ дости-
достигает относительного максимума. Показать, что тогда у нормиро-
нормированной отображающей функции
соответствующей точке а, коэффициент с2 равен нулю.
114.	Каково геометрическое место тех точек а верхней полу-
полуплоскости Зг > 0, для которых внутренний радиус га этой полу-
полуплоскости сохраняет постоянное значение?
115.	Пусть © — конечная область плоскости г, а —произволь-
—произвольная точка этой области и л —целое положительное число. Пре-
образование г' = уг. — а сопоставляет © некоторую область ©',
«n-кратно симметричную» относительно нулевой точки. Точка г'
тогда и только тогда принадлежит области ©', когда z'n-\~a есть
точка области ©. Показать, что внутренний радиус га области ©
относительно точки а и внутренний радиус г'о области ©' отно-
относительно точки г' = 0 связаны соотношением
Аналогичное соотношение имеет место для внешнего радиуса при
преобразовании z' = -\fz, если z — 0 не содержится в ©.
116. Вычислить внутренний радиус га плоскости z, разрезанной
вдоль п лучей
э, argz ——^— (,v — 1, z, о, ..., /г).
К какому пределу стремится га, когда а приближается к концу
соответствующего выреза вдоль отрезка
117.	Вычислить внешний радиус плоскости, разрезанной вдоль
отрезков
— а<2<«, —р<1'г<§ (а>0, р>0).
118.	Пусть © — произвольная область плоскости г и а —неко-
—некоторая конечная точка этой области. Нормированная отображающая
функция /(г), соответствующая точке а, и внутренний радиус га
обладают следующим экстремальным свойством: среди всех функ-
функций вида

30	ЗАДАЧИ
регулярных в области ®, /(г) обладает наименьшим максимумом
модуля в ©; этот „minimum maximorum" равен га. Точнее говоря:
если М — верхняя грань модуля F(z) в области ®, то
Равенство достигается только тогда, когда F(z)s=f(z).
В случае, если © содержит бесконечно удаленную точку, ана-
аналогичным свойством обладают отображающая функция, соответ-
соответствующая бесконечно удаленной точке, и внешний радиус области,
дополнительной к ©; отображение на круг выделяется посредством
"maximum minimorum".
119. Пусть © — область, симметричная относительно веществен-
вещественной оси, а вещественно. Тогда в разложении по степеням z —a
нормированной отображающей функции, соответствующей а, все
коэффициенты вещественны. Если © содержит бесконечно удален-
удаленную точку, то аналогичным свойством обладает нормированная
отображающая функция, соответствующая бесконечно удаленной
точке.
120ш Пусть © — область, симметричная относительно нулевой
точки. Тогда в степенном ряде для нормированной отображающей
функции, соответствующей нулевой точке, содержатся только нечет-
нечетные степени z. Если © содержит бесконечно удаленную точку, то
аналогичным свойством обладает нормированная отображающая
функция, соответствующая бесконечно удаленной точке.
§ 5. Связи между отображениями различных областей
121» Пусть ©* — правильная часть области ©," га и т% — внут-
внутренние радиусы областей © и ©* относительно одной и той же
точки а, лежащей в ©*. Тогда
Г*а < Га.
Аналогичное неравенство имеет место для внешних радиусов.
122. Пусть © — произвольная область, а — некоторая конечная
точка этой области и г, соответственно R, — радиус наибольшей
(соответственно наименьшей) окружности с центром в а, содержа-
содержащейся в © (соответственно содержащей ©). Имеем /¦>(), R
R конечно или бесконечно. Далее
причем равенство имеет место только тогда, когда © — открытый
круг с центром а.
123. Пусть область ® содержит бесконечно удаленную точку
и Ь — точка дополнительной области 33. Обозначим через г, соотв. R,
радиус наибольшего, соотв. наименьшего, замкнутого круга с цент-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 5
31
ром в а, содержащегося в 33, соотв. содержащего 23. Имеем г ^ О,
R^sr, R конечно. Далее
причем равенство имеет место только тогда, когда 23—замкну-
23—замкнутый круг.
124.	Пусть / — длина замкнутой простой непрерывной кривой L.
Показать, что для всякой точки а, лежащей во внутренней обла-
области кривой L,
2лга < /.
Равенство имеет место только для окружностей с центром в а.
Аналогичное неравенство имеет место для внешнего радиуса.
125.	Пусть область ® имеет внутреннюю жорданову меру | © |г.
Показать, что для любой конечной точки а, содержащейся в ©,
Равенство имеет место лишь для круга | z — а | <; га.
126. Пусть дополнение 33 области ®, содержащей бесконечно
удаленную точку, имеет внешнюю жорданову меру |ЭЗ|е. Тогда
Равенство имеет место лишь в том случае, когда 33 — круг.
127. Пусть замкнутая простая непрерывная кривая L имеет
внешний радиус г и внутренний радиус га, где а — произвольная
точка внутренней области кривой L. Тогда
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда L — окруж-
окружность и а —ее центр.
128. Пусть L — замкнутая простая непрерывная кривая, охва-
охватывающая нулевую точку, f— ее внешний радиус и г0 — внутренний
радиус относительно нулевой точки. Пусть, далее, Р (г) — полином
с младшим членом a&zk и старшим членом anzn:
Р (z) = akz* + ag+l2ft+1 +... + anzn,
и М — максимум | Р (г) | на кривой L. Тогда
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда L — окружность
с центром в нулевой точке и полином Р{г) имеет вид czn.

32	задачи
129.	Пусть функция f(z) регулярна, имеет положительную
вещественную часть внутри области, ограниченной замкнутой про-
простой непрерывной кривой L, и непрерывна, включая границу. Если
вещественная часть функции /(г) обращается в нуль на некоторой
дуге I! кривой L, то мнимая часть функции /(г) монотонно убы-
убывает при положительном обходе дуги L'. [III 233.]
130.	Отобразим полосу 0<3z<D на круг |а>|<1 таким
образом, чтобы при этом точка z = t переходила в центр круга
ау = О (D>1). Чему равна длина дуги окружности | w | = 1, отве-
отвечающей при этом отображении вещественной оси 3z = 0? (При
D — 2 и D = co тривиально.) Как изменяется указанная дуга при
возрастании D?
131.	Пусть замкнутые простые непрерывные кривые Lx и L2
имеют конечное число общих дуг и внутренняя область кривой L±
содержится во внутренней области кривой L2. (^состоит из четного
числа дуг, проходящих попеременно внутри и на границе области,
ограничиваемой кривой L2).
Отобразим внутреннюю область кривой Llt а затем кривой L2
на одну и ту же внутреннюю круговую область так, чтобы в том
и другом случае некоторая точка О, принадлежащая внутренней
области кривой Llt переходила в центр круга. Оба отображения
сопоставляют дугам кривых Ьг и L2 вполне определенные дуги
граничной окружности (стр. 27).
Доказать, что длина дуги, круга, соответствующей какой-либо
общей дуге кривых Lx и L2, при отображении меньшей области
(ограниченной Ьг) будет меньше, чем при отображении большей
(ограниченной L2). Пример: 130. [129.]
132.	Дать электростатическую интерпретацию теоремы 131«
133.	Пусть замкнутые простые непрерывные кривые Lx и L2
имеют лишь конечное число общих точек и ограничиваемые ими
области — общую часть S. Пусть далее О — точка области 5 и
§:* —связная часть области S, содержащая О. Дуги кривых Ьг и L2,
лежащие на границе <?*, назовем «видимыми» из О, не лежащие
же на этой границе —«закрытыми». (Слова «видимые» и «закры-
«закрытые» имеют обычный смысл, если кривые Ьг и L2 звездообразны
относительно О.)
Отобразим сначала внутреннюю область кривой Lx, а затем кри-
кривой L2 на внутреннюю область единичного круга так, чтобы
в обоих случаях О переходила в центр круга. Тогда образы «ви-
«видимых» частей кривой Lx займут большую часть единичной окруж-
окружности, чем образы «закрытых» частей кривой L2. (Для большей
наглядности представим себе L2 в виде окружности с центром
в О.) [131.]
134.	Пусть 33 — некоторая замкнутая область, ? — ее внутренняя
точка и 2ft — совокупность граничных точек области S3, отстоящих
от 5 на расстояние, не превышающее р. Пусть дуги окружности

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 6	33
радиуса р с центром в ?, не принадлежащие 23, имеют общую
длину pQ.
Пусть, далее, функция f(z) регулярна и однозначна внутри и
непрерывна на границе области 33, причем в точках множества Sft
имеем |/(z)|«ga, а в остальных граничных точках области 33
|/(г)|<Л, а<А. Тогда
(Более точная оценка, чем в III 276.)
135> Пусть односвязная область ®п плоскости z удовлетворяет
следующим условиям:
1)	®п лежит в круге |z|<a, a>\,
2)	®п содержит круг | z | < 1,
3)	®п содержит дугу единичной окружности
|г] = 1, -an<argz<an @<а„<л),
4)	дополнительная дуга единичной окружности
принадлежит границе области @„.
Пусть, далее, ®п взаимно однозначно и конформно отобра-
отображается с помощью функции w~fn(z) на единичный круг |ш|<1
так, что при этом /„ @) = 0, f'n @) > 0.
Если при возрастании п «перешеек», соединяющий единичный
круг с остальной частью области ®п, все более и более стягива-
стягивается, т. е. если lim сс„ = О, то
п—*-со
lim fn(z) = z
л-*оэ
независимо от того, как ведет себя часть области @„, лежащая
за пределами единичного круга. [Применить метод доказательства
теоремы III 335.]
§ 6. Теорема Кебе об искажении
136. Пусть функция
регулярна во внешней круговой области | z \ > 1 и однолистно
отображает эту область на область ®, содержащую бесконечно
Удаленную точку. Тогда
2 Г. Полна, Г, Сеге, ч. II

34	ЗАДАЧИ
В частности, |ЬХ|^1, причем равенство имеет место тогда и
только тогда, когда © представляет собой плоскость, разрезанную
вдоль отрезка длины 4.
137. (Продолжение.) Во внешней круговой области |г|>1
\в'(г)\-
1 —
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция g (г)
имеет вид
)
(|е I = 1, р>1), и достигается в точке —. Какой вид имеет в этом
случае область ©?
При отображении, указанном в задаче 136, все кривые плоско-
плоскости w, соответствующие концентрическим окружностям радиуса
больше единицы с центром в г = 0, — так называемые линии
уровня — имеют общий конформный центр тяжести Ьо [III 129].
Мы будем называть Ьо конформным центром тяжести области @.
138.	Пусть односвязная область © содержит бесконечно уда-
удаленную точку и симметрична относительно некоторой точки Р.
Тогда Р служит конформным центром тяжести области ®.
139.	(Продолжение задачи 136.) Если область ©несодержит
нулевой точки, то конформный центр тяжести этой области лежит
внутри круга радиуса 2 с центром в нулевой точке. Иными словами,
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда © представляет
собой плоскость, разрезанную вдоль отрезка длины 4, выходящего
из нулевой точки. [Применяем 136 к Vg(z2)-]
140.	(Продолжение.) Расстояние d произвольной граничной
точки области © от конформного центра тяжести не превосходит
двух. Более того, для всех ©, за исключением особого случая,
указанного в конце задачи 136, d<2.
141.	(Продолжение.) Максимальное расстояние D между гра-
граничными точками области © (диаметр границы области ©) заклю-
заключается между двумя и четырьмя:
Равенство в нижней оценке имеет место только тогда, когда ©
представляет собой внешнюю область некоторого круга радиуса 1,
а в верхней оценке — когда © есть плоскость с вырезом вдоль
отрезка длины 4 (см. задачу 136.)

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 6
35
142.	Среди всех непрерывных криволинейных дуг, соединяю-
соединяющих две неподвижные точки, наименьший внешний радиус имеет
прямолинейный отрезок.
143.	Пусть область © задачи 136 имеет конформным центром
тяжести 0. Тогда
KH + ilp М>1.
girt
Равенство имеет место только для отображения до = z H	, а ве-
вещественно.
144.	(Продолжение.) При указанном отображении ни одна
точка г не может сместиться со своего первоначального положения
больше чем на -,—. Иными словами,
\g(z)-z\<^T, \г\>1.
145.	Исследовать смещение [144] при отображении внешней
круговой области на плоскость, разрезанную вдоль подковообраз-
подковообразной кривой, состоящей из трех прямолинейных отрезков, последо-
последовательно соединяющих точки
-a-ib, a — ib\ a>0, 8>0.
Рассмотреть, в частности, случай, когда а-*-2, 8-+-0, и показать
на этом примере, что коэффициент 3 в неравенстве задачи 144
не может быть заменен меньшим.
146> Пусть функция
f(z)
регулярна и однолистна в единичном круге |г|<1. Тогда
причем равенство имеет место лишь для функций вида
/B) = (l+^og)»» a вещественно.	A11.)
[Применить 139 к (/(г-1))-1.]
147. Пусть функция
однолистна в круге \z\<R. Если область ® плоскости w, на кото-
которую отображается этот круг, не содержит бесконечно удаленной
точки, то она целиком содержит открытый круг | до | < -^. Иными
словами, обозначая через d кратчайшее расстояние границы
2*

36	ЗАДАЧИ
области © от точки w = 0, имеем d^-j-. Более того, d>-j-, если
только © не представляет собой плоскости, разрезанной вдоль луча
argw — const., -|-й?|ю| < + сх). [Применяем 146 к 1 _и-цiz\ ' где
h — граничная точка области ©.]
148. Неравенство задачи 147 можно уточнить следующим
образом:
1*2
(См. 146.) Равенство достигается для области, указанной в 147.
149.	(Продолжение задачи 147.) Отрезок, соединяющий две
граничные точки области © и проходящий через нулевую точку,
мы будем называть главной хордой области ©. Всякая главная хорда
области ® имеет длину, не меньшую чем R. Указанная нижняя
граница R достигается лишь в том случае, когда область ® пред-
представляет собой плоскость, разрезанную вдоль обоих лучей w =
—±\w\eicc, а вещественно, -§-«=; | оу| < + оэ. A16.)
150.	(Продолжение задачи 146.) В единичном круге |г|<1
выполняется неравенство
1-!г!2 /"(г)
2 /' (г)
Равенство имеет место только тогда, когда область, в которую
отображается указанный круг, представляет собой плоскость с пря-
прямолинейным вырезом. [Преобразовать единичный круг сам в себя
так, чтобы при этом произвольная фиксированная точка z0 (|zo|<l)
перешла в центр круга, и затем применить 146.]
151. (Теорема Кебе о линейном искажении, так называемый
Verzerrungssatz.) Пусть функция
регулярна и однолистна в единичном круге | z | < 1 и г — положи-
положительное число, г<;1. Тогда в круге |2|s^r имеют место нера-
неравенства
- (I—/-K '
Равенство может достигаться только при отображениях вида
f(z)= A+е«хгJ» а вещественно.	[150.]
152. (Продолжение.) В круге |z|«sr имеет место неравенство
1—/-V2 *

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § S	37
Равенства достигаются только при отображениях, указанных
в задаче 151.
153. Неравенство задачи 152 можно уточнить следующим обра-
образом: в круге | z | g:
Равенства достигаются для тех же отображений, что и в 151.
(Обобщение теоремы 148.) [См. решение 148, кроме того, 143.]
154. Для нечетных функций /(г) = —/(—z) неравенство
задачи 152 можно уточнить следующим образом:
Равенство достигается только для / (г) = l^_ 8,
155> (Продолжение.) Имеем
2я
Д/-е'#I2^^т-
[Площадь области, на которую отображается круг \z\^p <.г,
не превосходит яМах |/(z) |2, |г|=^р; III 128.]
158. (Продолжение задачи 152.) Пусть п — целое положитель-
положительное число. Существует такая функция сол(г), зависящая только от п
и г, 0г^г<1, что для каждой функции f(z) задачи 151
в круге | z | sg: r выполняется неравенство
157. (Продолжение.) Пусть п — целое положительное число,
11^2. Существует такая зависящая только от п постоянная а>п,
что для каждой функции /(г) задачи 151 выполняется неравенство
Пусть сол — наименьшая из этих постоянных. Тогда
"'п^ 4 (n-l)«-i '•
158. (Продолжение.) Имеем
2л
( I / («'*) I d# <-т^—.	[155.1
о
e3
Эта граница <-т"«2.

38	ЗАДАЧИ
159> (Продолжение.) Имеет место следующее уточнение нера-
неравенства задачи 157:
п <; о)„ < еп.
160. Для функций
в единичном круге | г | < 1 однолистных и по модулю меньших,
чем М, неравенство задачи 146 можно уточнить следующим обра-
образом: М ^ 1 (равенство только для / (г) = z) и
Когда достигается равенство? Применить 146 к м , iLm-ih )y •
161. Пусть функция
регулярна в круге j г|<С 1 и отображает его-на область, звездо-
звездообразную относительно нулевой точки [III 109]. Тогда
\ап\^п (п = 2, 3, 4, ...).
Равенство имеет место только для функций вида
/(г) = A_2егагJ. а вещественно.
162. Пусть функция
регулярна в единичном круге | г \ < 1 и отображает его на некото-
некоторую выпуклую область [III 108]. Тогда
Kj<l (л = 2, 3, 4, ...).
Равенство имеет место лишь для функций вида
при этом круг переходит в полуплоскость, которая содержит
нулевую точку и граничная прямая которой отстоит от этой точки
на расстояние у.
163> Если функция f(z) регулярна и однолистна в единич-
единичном круге | z | < 1, то все круги | z \ < г при г < 2 — V3 = 0,26...
отображаются с ее помощью на выпуклые области. Это число
2 — У 3 — граница выпуклости — не может быть заменено меньшим.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 1	39
ГЛАВА 3
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ I. Varia
164. Если функция /(г) в полосе О^Ш^п регулярна,
однозначна и ограничена и обращается в этой полосе в нуль
в точках zlf z2, ..., г„, ... (г„ = хп + iyn), то либо ряд с положи-
положительными членами
l"»l smxn-{-...
сходится, либо/(г) = 0. [III 297.]
165. Пусть коэффициент ^(г) однородного линейного диффе-
дифференциального уравнения
у(п)+h (*) У"-1'+/, (г) у{п~2)+...+Шу = о
является целой функцией. Для того чтобы и общий интеграл
этого уравнения был целой функцией, необходимо и достаточно,
чтобы целыми функциями были все остальные коэффициенты /2 (г),
/з(г), .... hiz).
166. Пусть функция w — q>(z) регулярна (возможно много-
многозначна) в кольцевой области 0<С|г|<р, р>0, и удовлетворяет
в ней тождественно уравнению вида
Fo (г) wl + F± (г) wUl + • • • + Fi-i (z) w + Ft (z) = 0,
где F0(z), Fi(z), ..., Fi^(z), Fi(z) регулярны в некоторой окрест-
окрестности точки z = 0. Если существует степенной ряд со + Схг + ---
такой, что функция (ф(г) — со — с1г — с222 — ... — сл_1гл)г~л огра-
ограничена в окрестности точки г — 0 для бесчисленного множества
значений п, то cp(z) регулярна в окрестности точки г = 0 и <p(z) =
2
о 1 2	( +
167. Пусть функция /(г) регулярна и однозначна в области
•RsS|z|-<co, R>0. Тогда существуют такие целое число р^гО,
целая функция G (г) и сходящийся при | z | Э= R степенной ряд
что
f(z) = z~PG{z)eW) (R^\z \<oo).
При одновременной замене как в предположении, так и в утвер-
утверждении неравенства #г^|г|<оо на /?<|г|<оо теорема стано-
становится уже неверной.
168. Пусть f(z) = f(x-\-iy) — мероморфная периодическая
функция с периодом 2я, имеющая в полосе 0^лКг<;2я лишь

40	ЗАДАЧИ
конечное число нулей и полюсов. Обозначим через М (у) макси-
максимум и через ц, (у) — минимум модуля f(x-\-iy) для 0^х=^2я.
Если
1-	In In М (у) .	.. . с In In ix (и)	,
hmsup—:—г-^-<1 или hmmf—rir^!-> — 1,
то f(z) наверное является рациональной функцией от ёг.
189. Пусть /(г) — аналитическая функция, z = x-\-iy, и квад-
квадрат ее модуля
= ф(*, у)
является алгебраической функцией от вещественных переменных
х и у. Тогда /(г) сама является алгебраической функцией от г.
17О« Не существует аналитической функции, регулярной вдоль
вещественной оси и принимающей для вещественных значений
переменного все значения внутри фиксированного круга. Короче:
не существует «аналитической кривой Пеано»,
171. Исследовать, существует ли п-\~ 1 аналитических функций
Д(г), f2(z), ...»/n(z),/(z), отличающихся друг от друга не просто
на постоянные множители, регулярных в некоторой об-
области S3 и связанных в ней соотношением
172.	Исследовать, существуют ли две аналитические функции
f(z) и g(z), не тождественно постоянные, регулярные в некоторой
области 33 и связанные в ней соотношением
|g(z)| = 9t/(*).	[Ill 58.]
173.	Говорят, что /(г) и g(z) имеют одинаковые а-точки, если
функции
а g(z)-a
И
обе одновременно являются целыми.
Найти две различные целые функции, обладающие одинаковыми
а-, Ь- и оточками. (При этом", конечно, предполагается, что Ьфс,
сфа, афЬ.)
174. Существует ли целая функция G(z), удовлетворяющая
условиям
где последовательность а0, аъ а2, ... задана произвольно? (По
поводу аналогичной интерполяционной задачи для полиномов см.
VI 75, VI 76.)

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 2
§ 2. Об одном приеме Э. Ландау
41
Если теорему, утверждающую, что функция /B), регулярна»
и однозначная в области 33, достигает своего максимума по мо-
модулю на границе, мы хотим вывести непосредственно из интеграла
Коши
(где z заключено во внутренней области кривой L), то мы можем
рассуждать следующим образом. Пусть |/(?)|sgM на L, тогда
м
1/BI-
м г
•ч
= КМ,
где постоянная К зависит только от кривой L и положения
точки г, но не от специального выбора функции /B). Но теперь
эту грубую оценку мы можем улучшить, применяя ее к [f (z)]n,
где п — целое положительное число:
Беря п->оо, мы получим в пределе \f (z)\^.M.
Этот интересный метод доказательства показывает, что грубые
оценки можно иногда преобразовать в точные, если надлежащим
образом воспользоваться их общностью. [Е. Landau; см.
М. Riesz, Acta Math., т. 40, стр. 340, сноска1), 1916.]
175. Пусть J(z) = ao + a1z-\-a2z2-\-... + anzn + ... регулярна
в круге \z\<CR. Положим ЗЛ (г) —|ao|-j-|flil/¦ + |'3:2l''2 + •••
...+|aя|>¦'г-г-••• Тогда
±1	F>0, r + 6<R).
176.	(Продолжение.) Пусть Шп(г) имеет то же значение для
[f(z)]n, какое Ш(г) имеет для f(z) (n=l, 2, 3, ...). Тогда
lim [SSla(r)F=M(r).
п—юэ
177.	Получить с помощью II 123 новое доказательство тео-
теоремы Адамара о трех кругах [III 304].
178.	Доказать следующее обобщение теоремы 160. Пусть а>п
имеет то же значение, что и в задаче 157; тогда в предположе-
предположениях теоремы 160 имеет место оценка
КИюяО-М1^)-
179.	Пусть теорема С. Н. Бернштейна о тригонометрических
полиномах [VI 82] известна в следующей неточной форме: сущест-

42	ЗАДАЧИ
вует такая абсолютная постоянная К, Д">0, что для тригоно-
тригонометрического полинома п-го порядка ф(#), не превосходящего по
модулю единицы, выполняется неравенство
Как от этой оценки перейти к точной оценке
| ф' («¦) | < га?
§ 3. Прямолинейное приближение к существенно особой точке
180.	Существуют целые функции, возрастающие с произвольно
большой скоростью, когда z->co вдоль некоторого луча. Точнее
говоря, какова бы ни была функция ц>(х), положительная и моно-
монотонно возрастающая при xis^O, всегда найдется целая функция
g(z), принимающая вещественные значения при вещественных z
и удовлетворяющая при х^О неравенству g(x)><p(x). (Ill 290.)
181.	Существуют целые функции, которые при z—>co вдоль
положительной вещественной оси стремятся к нулю, а вдоль всех
остальных лучей, исходящих из начала, —к бесконечности. Может
ли вести себя так целая рациональная функция?
182.	Существуют целые трансцендентные функции, стремя-
стремящиеся к бесконечности вдоль всех лучей, исходящих из начала.
Может ли это стремление к бесконечности быть равномерным?
183.	Существуют целые функции, которые вдоль вещественной
положительной оси принимают вещественные значения и стремятся
к +со, а вдоль всех остальных- лучей, исходящих из начала,
стремятся к нулю. Может ли вести себя так целая функция ко-
конечного порядка?
184.	Существуют целые функции ф. О, которые стремятся
к нулю вдоль всех лучей, исходящих из начала.
185.	Существуют целые функции, которые вдоль лучей, выхо-
выходящих из начала в верхнюю (открытую) полуплоскость, стремятся
к -f-1, а вдоль лучей, выходящих из начала в нижнюю (откры-
(открытую) полуплоскость, стремятся к —1. Более того, сходимость
равномерна в каждом угле г<iavgz<iп — е, соотв. — я + е<
<argz< — е, 8>0.
186.	Пусть плоскость разбита п лучами, выходящими из ну-
нулевой точки, на п углов. Существует целая функция, которая
в каждом из этих углов (с тем же уточнением, что и в 185) стре-
стремится соответственно к аъ а2, ..., ап, где ах, а%, ..., а„ — произ-
произвольно заданные комплексные числа.
187.	Разобьем каким-нибудь образом лучи, выходящие из нуле-
нулевой точки, на две категории. Существует ли для каждого такого
разбиения целая функция, которая вдоль лучей первой катего-
категории стремится к нулю, а вдоль лучей второй —к бесконечности?

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 4	43
§ 4. Асимптотические значения целых функций
Если целая функция g(z), не тождественно постоянная, стре-
стремится вдоль некоторой непрерывной, уходящей в бесконеч-
бесконечность кривой к пределу а, то этот предел а называется асимпто-
асимптотическим значением функции g(z). Например, 0 есть асимптотическое
значение функции ег.
188. О и со являются единственными асимптотическими зна-
значениями функции ez.
189. 1/ у, -1/-| и
со являются единственными асимпто-
2 _ *±
тическими значениями функции §е 2 dx.
о
190. Целая функция порядка п (и —целое положительное)
имеет в точности 2и различных конечных асимптотических значений.
191. Пусть последовательность положительных чисел а0, av
аг, ..., ат, ... выбрана так; чтобы ряд
m = 0
равномерно сходился в каждой конечной области плоскости z и
представлял, таким образом, некоторую целую функцию g(z).
[Полагаем, например, ат = ехр(—т&т).]
Показать, что множество асимптотических значений определен-
определенной так целой функции g(z) имеет мощность континуума. Точнее:
все значения вида
2 8/п«« (еот = +1 или —1)
т = 0
являются асимптотическими.
192.	Если целая функция стремится вдоль п лучей, выходя-
выходящих из начала, к п различным конечным пределам, то ее порядок
больше или равен -к.
193.	оо является асимптотическим значением для каждой
целой не тождественно постоянной функции.
194.	Комплексное число а называется исключительным значе-
значением (в смысле Пикара) целой функции g (г), если функция g(z) — a
имеет только конечное число нулей. Показать, что если исключи-
исключительное значение существует, то оно является асимптотическим
значением функции.

44	ЗАДАЧИ
§ 5. Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа
195. Пусть функция /B) неограниченно продолжаема в круго-
круговом кольце 0 < | г | < 1. Если при этом / (z) и все ее производ-
производные /' (г), I" (г), ... остаются ограниченными, то / (z) однозначна
в указанной области и регулярна в точке z = 0.
196а Пусть g(z) — целая функция рода 0 и е — наперед задан-
заданное положительное число. Показать, что на всех окружностях
с достаточно большими радиусами
и на некоторых окружностях с произвольно большими радиусами
197.	Пусть М (г) — максимум и т (г) — минимум модуля целой
функции на окружности \z\-r. Если
,.	In In М (г) д
hmsup—^^
й Я < -у, то тогда также
limsuplnl"m(r) =%.	[196,111332.]
Г -» 00	Ш '
198.	Пусть Ях, Я2, Я3,..., Я„, ... — положительные числа и ряд
A*i	Л2	A3	Лп
расходится. Если функция h (t), собственно интегрируемая в ин-
интервале OsS^sgl, удовлетворяет условию
S/*»А(*) Л = 0 (га=1, 2, 3, ...),
о
то h(t) = O во всякой точке непрерывности t. (Обобщение теоремы
II 139.) § fh(t) dt является аналитической функцией от z, III 298.
199.	Пусть g{z) — целая трансцендентная функция порядка
Я.<у с коэффициентами, отличными от нуля, и простыми нулями
wt, w%, ..., о>„, ... {ткфгюи если кф1). Если функция /i(^),
собственно интегрируемая в интервале 0^^^ 1, удовлетворяет
условию
\g(wnt)h(t)dt = O (ra = l, 2, 3, ...),
о
то h(t)~O во всякой точке непрерывности t,[II 139.]

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 5	^5
200.	Пусть g (z) — целая трансцендентная функция рода О,
имеющая лишь вещественные и простые нули wlt w2, w3, ...,
и>„, ... Если функция h (t), собственно интегрируемая в интервале
О ^ t ^ 1, удовлетворяет условию
\g(wnt)h(t)dt = O («=1,2,3,...),
о
то h(t) = O во всякой точке непрерывности t. [Можно, например,
положить g(z) = Jotyz) или	/^]
201.	Положим
и пусть существуют две такие положительные постоянные р и М,
что
1)	последовательность а0, а^-1, а2р~2, ..., апр-п, ... остается
ограниченной и
2)	|/7(z)|^;M при всех вещественных значениях z.
Тогда для всех вещественных значений z имеет место также не-
неравенство
причем равенство достигается лишь для F(z) = A cospz + iJsinpz,
где А и В — постоянные. (Обобщение теоремы VI 82.) [III 165.]
202. (Продолжение.) Пусть d — расстояние точки г от веще-
ственнрй оси (d = 13z |). Показать, что
(Аналог теоремы III 270.)
203. Пусть целая функция G(z) удовлетворяет тем же усло-
условиям, что и функция F (z) в 201, и, кроме того, является нечет-
нечетной: G(—z) = — G{z). Тогда при вещественных г
Равенство может достигаться лишь для функции G (z) = cM sin pz,
с] = 1, и при 2 = 0. (Аналог теоремы VI 81.) [III 166.]
204.	(Продолжение.) Вывести 201 из 203.
205.	Пусть целая функция f(z) порядка 1,%^-^, ограничена
вдоль положительной вещественной оси. Тогда для всякого поло-
положительного е при х, стремящемся к + оо по положительным
значениям, имеем
lim x1"^f'(x) = O.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
ГЛАВА I
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ И ПРАВИЛО ДЕКАРТА
В настоящей главе мы рассматриваем вещественные функ-
функции вещественного переменного х; в частности, вещественными
предполагаются и коэффициенты а0, а1У а2, ... рассматриваемых
полиномов ао-\-а1х-\-агх2-\-...-\-апхп и степенных рядов а0 + ахх-f-
~\-а2х2-\-... Далее, в случае, если не оговорено противное, все
вводимые функции предполагаются в указанных интервалах ана-
аналитическими. Однако утверждаемые теоремы нуждаются лишь
в небольшом изменении или даже вовсе ни в каком при замене
этого предположения более слабым, например при требовании
существования производных до некоторого порядка включительно.
Всюду в дальнейшем нули считаются по своей кратности.
Далее мы рассматриваем последовательности а0, ах, а2, ...
вещественных чисел, содержащие конечное или бесконечное мно-
множество членов; порядок членов имеет существенное значение.
Индекс т называется местом перемены знака, если
ат^ат<0, т^\,
либо если
Я/л-1 = О/я-а = • • • = Om-ft+i = 0 и am-kam < О,
mS=feS=2. В первом случае ат-х и ат, во втором am-k и ат обра-
образуют перемену знака. Число перемен знака (= число мест пере-
перемены знака) некоторой последовательности останется неизмен-
неизменным, если члены, равные нулю, будут опущены, а оставшиеся
члены сохранят свое взаимное -расположение.
§ 1. Нули функций, перемены знака последовательностей
1< Последовательности
а0, аи а2, ..., а„ и ап, an-lt an^2, .... а0
обладают одним и тем же числом перемен знака.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 1	47
2. При вычеркивании членов последовательности число пере-
перемен Шака не увеличивается.
3> При вставке между членами последовательности любого
количества членов, равных нулю, число перемен знака не изме-
изменяется. Точно так же это число не изменится, если рядом с неко-
некоторым членом последовательности вставить новый, одного с ним
знака.
4.	Последовательность а0, ao-\-au fl^-fo^» ..., an-x-\-an, an
обладает не большим числом перемен знака, чем последователь-
последовательность щ, аъ а2, ..., с„.	.
5.	Пусть бесконечная последовательность а0, аъ а2, ..., ап,...
имеет лишь конечное число W перемен знака. Показать, что
образованная с ее помощью последовательность
«о.
также обладает лишь конечным, притом не большим, чем W,
числом перемен знака. [4.] •
Наметим на плоскости прямоугольных координат точки @, а0)
A, а^, B, а2), ..., (п, ап), ... и соединим их в последователь-
последовательном порядке прямолинейными отрезками (горизонтальные проек-
проекции которых, таким образом, все равны единице). На получаю-
получающемся чертеже чрезвычайно ясно выступают все места перемены
знака. На кривой y = f(x), изображающей вещественную анали-
аналитическую функцию f(x), нули этой функции не выступают так
отчетливо, ибо даже при самом точном чертеже не всегда возможно
отличить между собой нули кратности 2 и 4 или нули кратности 3
и 5 и т. д.
6.	В интервале, в котором всюду ф(х)>0, функции f(x)
и / (х) ф (х) имеют одни и те же нули.
7.	Если Ро>О, Pi>0, р2>0, ..., то последовательности
а0,
и аоро, аарл, агр2
имеют одни и те же места перемены знака.
8.	Пусть значения f(x) в точках а и Ь отличны от нуля.
Тогда интервал а < х < Ъ будет содержать четное или нечетное
число нулей этой функции, смотря по тому, будут ли /(а)и/(й)
иметь одинаковые или же противоположные знаки.
9.	Пусть ctj и aii отличны от нуля. Ограниченная ими часть
последовательности a/, ay+1, ..., а*-1( а* будет иметь четное или
нечетное число перемен знака, смотря по тому, будут ли щ и а^
иметь одинаковые или же разные знаки.
10» (Теорема Ролля.) Если а и Ь— два соседних нуля функ-
функции f{x) [т. е. /(a) = /F) = 0, fix)фа при а<х<Ь], то

48	ЗАДАЧИ
в интервале а < х < Ъ производная /' (х) имеет нечетное число
нулей (следовательно, по меньшей мере один).
11. Если / +1 и /г+1 суть соседние места перемены знака
последовательности а0, аи а2, ..., то разностная последователь-
последовательность
G/+1 — Я/. О/+а ~ aJ+l> ¦ ¦ ¦ » а* ~ a*-l
имеет нечетное число перемен знака (следовательно, по меньшей
мере одну).
12.	Если в интервале a, b функция f(x) имеет N нулей, то
/' (х) имеет в этом же интервале самое меньшее N — 1 нулей.
Теорема справедлива независимо от того, будет ли интервал а, Ь
открытым, замкнутым или полуоткрытым; он может даже при-
приводиться к одной точке.
13.	Если последовательность
а0, alt a2, ..., ап
имеет W перемен знака, то составленная из нее разностная после-
последовательность
ах — а0, a2 — alt ..., ап — ап-х
будет иметь самое меньшее W— 1 перемену знака.
14.	Если f(x) в конечном интервале а<.х<_Ь имеет N нулей
и удовлетворяет одному из условий
sgn / (a) = sgn /' (а)фО, sgn /(&) = — sgn /' (b) Ф 0,
то /' (х) имеет в том же интервале (a, b) не менее N нулей. Если
выполнены оба условия, то /' (х) в (с, Ъ) будет иметь их не менее
чем N -\-\.
15.	Если конечная последовательность
а0, alt a2, ..., ап
имеет W перемен знака, то образованная из нее последовательность
а0, ах — ай, а2 — а1г ..., an — an-lt — an
будет иметь их не менее W-\-l. (За исключением того тривиаль-
тривиального случая, когда все члены av последовательности равны нулю.)
16.	Если lim f(x) = O, то f (х) между а и -ft» имеет не
+
X
+
меньшее количество нулей, чем f(x). (To же, конечно, будет спра-
справедливо, если вместо +со взять —со.)
17. Если lim о„ = 0, то бесконечная последовательность
Л-* СО
а0, ах-а0, а2 — ах, ..., ап — ап-ъ ...
обладает большим числом перемен знака, чем первоначальная
последовательность
«о» ai> а2> •••» «л» •••

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 2	49
18. Пусть f{x) имеет в интервале 0<х<оо N нулей. Тогда
функция
f
где а вещественно, будет иметь в этом интервале по меньшей
М — 1 нулей; более того, если выполнено условие lim e*xf(x) =
= 0, то указанная функция имеет минимум N нулей.
19.	Пусть бесконечная последовательность а0, аи а2, ..., ап, ...
имеет W перемен знака. Тогда последовательность
аа0, аа1 — а0, ааг — аъ ..., аап — ап^, ...,
где а>0, имеет по меньшей мере W перемен знака. Если, кроме
того, выполнено условие lim апап = 0, то указанная последова-
п -> оо
тельность имеет даже минимум W-\-\ перемену знака.
20.	Если функция f (х) имеет в интервале 0 < х < оо N нулей,
X
то функция \\{х) dx имеет в том же интервале не более N нулей,
о
21.	Если последовательность а0, av av ..., ап, ... имеет W
перемен знака, то последовательность
«о, «o + Gi, Oo + ax + Oj, ..., ай-\-а1-\-а^...-\-ап, ...
имеет не более W перемен знака.
§ 2. Изменения знака функции
Мы говорим, что функция f(x) в некотором интервале сохра-
няет знак, в двух случаях, а именно: 1) если она постоянного,
2) если она постоянно 5= 0. Пусть интервал а < х < Ъ разделен
на Z+1 подинтервалов так, что 1) функция f(x) не обращается
тождественно в нуль ни в одном из этих интервалов; 2) в каж-
каждом отдельном интервале она сохраняет постоянный знак и 3)
в каждых двух соседних интервалах / (х) имеет противоположные
знаки. Тогда говорят, что в интервале а < х< b f{x) имеет Z изме-
изменений знака. При переходе через нуль нечетного порядка анали-
аналитическая функция претерпевает изменение знака, при переходе
через нуль четного порядка — нет. Понятие изменения знака ока-
оказывается полезным и при изучении многих неаналитических
функций.
22.	Пусть функция / (х) отлична от нуля и имеет постоян-
постоянный знак как в некоторой окрестности точки а, так и в некото-
некоторой окрестности точки Ь. Показать, что в интервале a<x<b
функция имеет четное или нечетное количество изменений знака,
смотря по тому, будут ли / (а) и / (Ь) иметь одинаковые или же
противоположные знаки.

50	ЗАДАЧИ
23а Если функция f (х) имеет в интервале 0 < х < оо Z изме-
х
нений знака, то функция \if(x)dx имеет в том же интервале не
о
более Z изменений знака.
24.	Пусть Z — число изменений знака и N — число нулей
функции f (х) в одном и том же открытом интервале. Показать,
что тогда N — Z будет неотрицательным четным числом.
25.	Если f(a) = f(b) — O, то в интервале а<.х<.Ь производ-
производная /' (х) имеет нечетное число изменений знака.
26.	Пусть вещественные числа Л1; А2, ..., Ап не равны нулю
и ах < а2 <... < а„. В некоторых случаях можно утверждать, что
дробно-рациональная функция
4 4
f (х) = ^i 4-	-4- . 4-
имеет лишь вещественные нули. В частности, это имеет место
в следующих двух случаях:
1)	Л!>0, Л2>0, ..., Ап1>0;
2)	Ах>0, Л2>0, ..., ЛА_1>0, ЛА+1>0, .... Л„>0,
27« Тригонометрический полином
/ (х) = ао-{-а1 cos л; + й2 cos 2л; +... + а„ cos nx
с вещественными коэффициентами а0, alt a2, ..., ап наверное
имеет лишь вещественные нули, если выполняется неравенство
I «о I +1Щ. I +1 «21 + • • • +1 Оп-1 \<ап-
§ 3. Первое доказательство правила Декарта
Под переменами знака и местами перемены знака полинома
или же степенного ряда
а0 + ахх + а2х2 + a3xs +...
понимают перемены знака и места перемены знака конечной или
бесконечной последовательности
а0, аъ а2, ..., а„, соотв. а0, аи а2, а3) ...
его коэффициентов.
28> Если а положительно, то полиномы Р(х) и Р(ах) имеют
одинаковое число перемен знака.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 3	51
29> Обозначим числа перемен знака полиномов
Р (х) = а0 + ахх + а2х2 + ... + апхп,
Р (-х) = ао-а1х + а2*2-... + (- If апх»
через W+, соотв. W~. Показать, что
ЗО> Пусть а>0. При переходе от полинома
с0 + йхх + а2х2 + • • • + апхп
к полиному
(а - х) (а0 + ахх + а2х2 +... + апхп) =
= ад0 + (а ах -,а0) х + (аа2 — ах) х* +... — апхп+1
число перемен знака возрастает и притом на нечетное число.
[Для случая а=1 см. 15.]
31^ Пусть а>0. При переходе от степенного ряда
«о + ахх + а2х* + а3х3 +...
к степенному ряду
(а - х) (а0 + ахх + а2х2 + а3х3 + •••) =
= аав + {аах - а0) х + (аа2 — fli) ^ + • • •
число перемен знака не уменьшается. Более того, оно наверное
возрастает, если первоначальный ряд fl0 + Oi^ + а^хг-\-... сходится
при х = а.
32. Пусть а>0. При переходе от степенного ряда
«о + Я
к степенному ряду
(a
число перемен знака не может возрасти.
33> При переходе от степенного ряда
к степенному ряду
число перемен знака не может возрасти.

52	Задачи
34. Пусть а>0. При переходе от степенного ряда
к степенному ряду
а	а
x4- 1 У ———Aii	г
п — 0
число перемен знака не может возрасти.
35. Пусть рх, р2, ..., рл — положительные числа. Положим

otp1-^1" (Pi-x)(pt-x)
(для достаточно малых х ряд сходится). Показать, что число пере-
перемен знака в конечной последовательности а0, аъ а2, ...,а„ будет
не меньше числа перемен знака в бесконечной последовательно-
последовательности Ао, Av Аг, ... [Полная индукция, 31.]
36» {Правило знаков Декарта.) Пусть N — число положитель-
положительных нулей полинома а0 + ахх + а%хг + • • • + апхп и W — число пере-
перемен знака в последовательности его коэффициентов. Показать, что
W - N 5= 0.	[30.]
37.	(Продолжение.) W — N есть четное число.
38.	Пусть р — радиус сходимости степенного ряда а0 + агх +
-г а2х2 +..., Af — число его нулей в интервале 0<л:<р и W —
число перемен знака в последовательности коэффициентов этого
ряда. Показать, что
Значит, в частности, если W конечно, то N также конечно. [На-
[Наряду с 31 применить некоторые сведения из теории функций.]
39.	Степенной ряд
9 х	х2 — х3 —
1-2 ~~2-3 3-4 ~ •'•
не имеет нулей в своем круге сходимости. (Последовательность
его коэффициентов имеет одну перемену знака — теорема 37 на
степенные ряды автоматически не переносится!)
40.	(Продолжение задачи 38.) Если р = оо или же р конечно,
но ряд a0 + oxp -f- a2p2 -f... расходится, то разность W — N пред-

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 4	63
ставляет собой неотрицательное четное число (здесь предпола-
предполагается, что W конечно).
41. Обозначим наименьшее из вещественных чисел llt ?2,
..., %п через !„, а наибольшее — через \ш. Число нулей полинома
а, + а1(х- У + а2 (х - У (х - У+.. .+ап (х - У (* - У • • • (* - 5»).
лежащих в интервале |м<л;<оо, либо равно, либо на четное
число меньше числа перемен знака в последовательности
#0, flj, Й2> • • • > ^л>
а число нулей этого полинома, лежащих в интервале — со <
<х<На. точно так же либо равно,-либо на четное число меньше
числа перемен знака в последовательности
а0, —alt а2> —а3, .... (— \)пап.
(При ii = la = ... = ?n равносильно 36, 37.) [35.]
§ 4. Применения правила Декарта
42> Трансцендентное уравнение
где К — положительная правильная дробь, имеет единственный
положительный корень; с возрастанием п этот корень монотонно
возрастает до бесконечности.
A V1
43.	Функция х~ъ\ех — 1) положительного переменного х
при х->0 и х->со стремится к нулю, а в промежутке между
нулем и бесконечностью имеет один максимум" и вовсе не имеет
минимума.
44.	Пусть радиус сходимости степенного ряда ао-\-а1х +
+ о2л;2 + .-- будет 5=1. Показать, что число нулей этого степен-
степенного ряда в интервале 0 < х < 1 не превышает числа перемен
знака в последовательности
а0, ao + «i, a
45.	Уравнение
1_
Л 9,
где (¦—] — символ Лежандра*), имеет только один положительный
*) По поводу символа Лежандра см., например, И. М. Виноградов,
Основы теории чисел, изд. 8-е, Гостехиздат, 1972.

54
ЗАДАЧИ
корень, именно х—1. [Уравнение — возвратное, так что доста-
достаточно исследовать нули в интервале 0 < х < 1, применяя 44, 33.]
46. Уравнение 162-й степени
имеет ровно пять положительных корней, причем все эти корни —
простые. [Исследовать точку х = 0,7.]
47.	(Дополнение к 36.) Если полином ай-\-а1х + ...-\-аяхп
имеет лишь вещественные нули, то N=W.
48.	Пусть \1г v2, ..., vn — целые числа, 0^v1<vg<...<vn,
далее 0 < ах < а2 <... < ап. Показать, что
а„2
(Этот определитель является обобщением определителя Вандер-
монда, получающегося при v1 = 0, v2=l, ..., vn = « — 1.) [Дока-
[Доказать сначала, что определитель не равен нулю, 36.]
49.	Пусть а0ф0, а„фО и 2т последовательных ко-
коэффициентов полинома а0 -\- агх -\-... + впХ" равны нулю (т — целое
положительное). Тогда полином имеет по меньшей мере 2т мни-
мнимых нулей.
50.	Пусть полином Р (х) имеет лишь вещественные нули,
причем Р@)—1, Р(х) Фconst Положим
Полиномы 1 -\- Ьхх + Ь2х2 + • • • + bimx2m имеют лишь мнимые
нули. [49.]
51. Пусть т — целое число, большее или равное единице, и
S(xlt x2, ..., хп) = ^х\^...х1п,
где сумма распространена на все системы неотрицательных целых
чисел llt /2, ..., /„, удовлетворяющих соотношению
Показать, что однородная симметрическая функция S (xt, х.г,..., х„)
п вещественных переменных xlt x2, ..., хп является положительно
определенной, т. е. больше нуля при всех системах значений хх,
0
х
г,
кроме х1 = х2 = ... = хп =

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА !, § 5
55
52. Пусть полином Р (х) — х"-\-... имеет лишь положитель-
положительные нули. Показать, что в разложении
Р (х) хп "¦" хп+1 "г" jc"+2 ' •'"
все коэффициенты Вп, Вп+1, ... положительны.
§ 5. Применения теоремы Ролля
53< Производная полинома имеет не больше мнимых нулей,
чем сам полином.
54.	Кратные нули производной полинома, имеющего лишь
вещественные нули, являются также кратными нулями самого по-
полинома.
55.	Все производные полинома, имеющего лишь веществен-
вещественные и притом простые нули, также имеют лишь вещественные и
простые нули, причем каждый нуль (v+l)-fi производной лежит
между двумя соседними нулями v-й производной.
_ j_
56.	Последовательные производные функции A + х2) 2 имеют
лишь вещественные и притом простые нули, причем каждый нуль
v-й производной лежит между двумя соседними нулями (v+l)-fl.
57.	То же, что в 56, имеет место и для последовательных
производных функции x(l -f-jc2)-1.
58.	Полиномы Лежандра, Лагерра и Эрмита можно опреде-
определить посредством формул
РЫ^1? e-xL^e-Xxn
[VI84, VI99, VI100]. Показать, исходя из этого определения,
что указанные полиномы имеют лишь вещественные и притом про-
простые нули, расположенные соответственно в интервалах
(-1, +1), @, +оо), (—оо, +оо).
(VI 97, VI 99, VI 100.)
59. Пусть q — целое число 5=2. Положим
l \_ Qn(x)	jn_ q_ q
Проведем в плоскости комплексного переменного из начала коор-
координат q лучей, делящих полный угол 2я на q равных частей,
причем одним из этих лучей пусть служит положительная вещест-
вещественная полуось. Показать, что нули полиномов Qn (x), Rn (x) лежат

56	ЗАДАЧИ
на этих лучах и распределены на них совершенно одинаково, при-
причем не совпадающие с началом координат являются простыми.
(Частный случай q = 2 рассмотрен уже в 57, 58.)
60. Пусть \х, v —целые числа, 0=s?|.i< |i + v«cn. Показать,
что ни один из полиномов
[2)
не имеет больше мнимых корней, чем полином
V-
(Обобщение теоремы 53.)
61. Пусть alt а2, ..., ап — положительные числа, не все рав-
равные между собой. Положим
\Х ~т* ct-ц \Х -\~ а2) • •. \Х -|- eta):==z *
где mlt m2, ..., тп положительны. Очевидно, т1 есть среднее
арифметическое, а тп — среднее геометрическое чисел ах, аг,..., ап.
Показать, что
т1>т2>т3>...> тп-х > тп.
62.	Пусть а вещественно, Р (х) — произвольный полином. По-
Показать, что полином аР (х)-\-Р'(х) имеет не больше мнимых
нулей, чем первоначальный полином Р (х). (Обобщение тео-
теоремы 53.)
63.	Если уравнение
а2х2 +.. . + апхп = 0
имеет лишь вещественные корни, то полином
где Р (х) — произвольный полином, имеет не более мнимых нулей,
чем сам полином Р (х).
64. Полином
Р'(Х)
1! ~i 2!	3!
имеет не больше мнимых нулей, чем сам полином Р (х).
65. Если уравнение
ао-\-а1х-\-агх2-\-...-\-апхп = Ъ

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА I, § 5
57
имеет лишь вещественные корни, то тем же свойством обладает
и уравнение
66« Пусть Р (х) — полином п-й степени. Если вещественное
число а лежит вне интервала [—п, 0], то аР(х)-\-хР' (х) имеет
не больше мнимых нулей, чем Р (х). (Обобщение теоремы 53, от-
отличное от 60 и 62.)
67. Если все нули полинома Q(x) вещественные и лежат вне
интервала [0, п], то уравнение
имеет не больше мнимых корней, чем уравнение
а0 + ахх + (цх% +... + апхп = 0.
63> Пусть 0<9<1- Показать, что уравнение
а0 + atqx + a2g4x2 +... + anqn'xn = 0
имеет не больше мнимых корней, чем уравнение
а0 + агх + a2x2+. •. + апхп = 0.
69> Пусть ^>0. Показать, что уравнение
2а0+(<7+я-1) (h*+(/2~ + ч~п) ^+• • •+№+q~v'n) an*" = о
имеет не больше мнимых корней, чем уравнение
70.	Если кривая y = f(x) пересекает некоторую прямую в трех
различных точках, то между крайними точками пересечения нахо-
находится по крайней мере одна точка перегиба кривой.
71.	Если данная функция совпадает с некоторым полиномом
(га—1)-й степени в п-\-\ точке, то п-я производная этой функции
обращается в нуль по крайней мере в одной промежуточной точке.
72.	Разность
+«х + ^L x>+...+a{«-ll;;;l:iln)+2) *-=

58	ЗАДАЧИ
где а Ф 0 — вещественное постоянное число, обращается в нуль
в точке х = 0 и больше ни в одной точке интервала (—1, оо).
73.	Остаток показательного ряда
не обращается в нуль ни при каком вещественном значении х
кроме х = 0.
74.	Показать, что п-я частичная сумма показательного ряда
1 + + + +
либо совсем не имеет вещественных нулей, либо имеет только
один, смотря по тому, будет ли п четным или нечетным.
75.	Пусть полиномы Pt(x), P2(x), ..., Pi(x) e?0 и имеют
соответственно степени т1— 1, т2 — 2	mt — l, далее ах, а2. •••
..., аг — отличные друг от друга вещественные числа. Показать, что
g (х) = Р, (х) е^х + Р, (х) е°**-\-... + Р1 (х) еа'х
имеет самое большее mx-\-m2-\-...-\-nii— 1 вещественных нулей.
76.	Пусть а1<а2<...<сся, Pi<pa<...<pn. Тогда
(Обобщение теоремы 48.)
§ 6, Доказательство правила Декарта,
принадлежащее Лагерру
77. Пусть alf a2, ..., а„, %и Х2,..., %„ — вещественные числа,
Я1<Я2<Я3<...<:ЯЯ. Обозначим через N число вещественных
нулей целой функции
F (х) = а/S + а/1* + ... + апехпх
и через W — число перемен знака в последовательности ах, а2,...
..., а„. Показать, что W — N представляет собой неотрицательное
четное число. (Отличное от 41 обобщение теорем 36, 37: заме-
заменить ех на х.)
Доказательство. Без нарушения общности можно при-
принять, что все числа av a2, ..., ап отличны от нуля. Что W — N —
четное, усматриваем из того, что при х-> — оо главным является
член aj€?*x,anpux-+--{-oo — 4jieHaneK>tx. [8, 9, 37.] Что W — N^О,

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 6	59
доказываем посредством полной индукции, от W — 1 к W, с по-
помощью теоремы Ролля [решение 75]. В самом деле, если нет ни
одной перемены знака, то, очевидно, N также равно нулю, и тео-
теорема, таким образом, верна. Примем, что она верна для случая,
когда имеет место W—1 перемена знака. По предположению,
F(x) имеет W перемен знака, W^sl. Пусть сс+1 будет одно из
мест перемены знака, \s^a<in, аааа+1<;0. Выберем некоторое
число X в промежутке Я„ ¦< Я. ¦< Яа+1 и рассмотрим функцию
+ аа+1 (Яа+1 - Я) A+i* +... + а„ (Хп - Я) Л*.
Обозначим число нулей этой функции F* (х) через N*. Имеем
[6, 12]
Далее, обозначим число перемен знака в последовательности ее
коэффициентов —а^Х — Х^, —я2(А, — К)> •••> -*-аа(к — Ха),
«a+i(Vu — ^)> •••> ап(К — ^) через W*. Очевидно,
Но согласно предположению индукции (справедливость теоремы
для W-1)
Отсюда получаем
что и требовалось доказать.
Была ли необходимость заранее принимать, что все av a2, ...
..., ап не равны нулю? Можно ли было бы выбрать Я = Ха или
^ = Яа+1?
78.	Пусть ?11<Я2<Я3<..., НтЯ„ = оо. Показать, что ряд
п—»со
Дирихле
а1в-V + а2е~ V +... + а^" V +...
внутри своей области сходимости (некоторой ограниченной слева
полуплоскости) имеет не больше вещественных нулей, чем после-
последовательность коэффициентов а1? а2	 #«>••• имеет перемен
знака. (Обобщение теоремы 38.)
79.	Пусть av а2, ..., ап, Xlt Я2	Хп — вещественные числа,
удовлетворяющие условиям
«S&2, av#0 (v=l, 2, .... я), ^<Я3<.
Пусть, далее, полином

60	ЗАДАЧИ
(/л— целое положительное число) не обращается тождественно
в нуль. Показать, что число N вещественных нулей полинома Р (х)
не превосходит числа W перемен знака в последовательности
аг, а2, а3,..., ап^, ап, (— Х)^.	[77, 14.]
80. Пусть Z — число изменений знака функции ф (А,) в интер-
интервале 0< А < оо и N — число вещественных нулей интеграла
Показать, что N^Z.
В число N входят, конечно, лишь нули, находящиеся внутри
области сходимости (некоторой ограниченной слева полуплоскости).
[Не предельным переходом от 77, а надлежащим переносом про-
проведенных там доказательств!]
81ш Интегралы
lf(x)x"dx = Mn (я = 0, 1, 2, 3,...)
о
(предполагаемые сходящимися) называются моментами функции
f(x). Рассмотрим случай, когда не все моменты равны нулю [II
139, III 153]. Примем, например, что Мй=^0, и положим
1)	а„= Мп,	если Мпф0,
2)	ап — — sgnan+1, если Мп = 0 и п<|х,
3)	ап = — sgna^x, если Мп — 0 и п>ц.
(Рекуррентное определение последовательности а„; сначала надо
определить знак а^.) Показать, что число изменений знака функ-
функции f (x) не меньше числа перемен знака в последовательности
а0, а1г а2,... (II 140 представляет собой частный случай этого
предложения.)
82* (Продолжение задачи 80.) Число положительных нулей,
лежащих внутри области сходимости, не превосходит числа
изменений знака функции Ф (Я) = $ ср (х) dx. (Аналог теоремы 44.)
о
83. (Продолжение задачи 78.) Число положительных нулей,
лежащих внутри области сходимости, не превышает числа перемен
знака в последовательности
«1.
(Обобщение теоремы 44.) [80.]

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 7	61
84> Число положительных нулей факториального ряда
лежащих внутри его области сходимости, не превосходит числа
перемен знака в последовательности
а0, ao + «i. Oo + «i + 02. ••¦
[Оно не превосходит даже числа нулей степенного ряда
f (х) = ао + а1х + а2х2 + ...,
лежащих в интервале 0 < х < 1; 80, 44.]
85ш Пусть коэффициенты /?0, pj, p2t... бесконечного (необры-
вающегося) ряда
F (х) = Po + PiX + p2x2 + ...,
имеющего радиус сходимости р, неотрицательны. Пусть, далее,
alt а2, ... , ап, аи а2,... , ап вещественны и
0 < ах < а2 <... < ап sg 1.
Тогда число нулей функции
axF(ахх) + ajr (a2x) + ... + anF(anx),
лежащих в интервале 0<х<р, не превышает числа перемен
знака в последовательности
• ••, an + an-!+... + a2 + % [38,83].
86> (Продолжение.) Если 0< рг< Р2<...<ря и ап$п еще
заключено внутри круга сходимости ряда F(x), то
f(atp2) ...
... f (а»Рл)
(Отсюда без труда вытекает 76.)
§ 7. На чем основывается правило Декарта?
Из 36, 41, 77, 84, 85 явствует, что рассматриваемые в них
последовательности функций
1,	л,	X ,	л ,	¦ * * *
1	1
л: '
'(a^), F(a2x),	F(a3x),

62	ЗАДАЧИ
обладают следующим общим свойством: число лежащих в некото-
некотором определенном интервале нулей всякой линейной комбинации
из этих функций с постоянными коэффициентами не превосходит
числа перемен знака в последовательности взятых коэффициентов.
На чем же основывается эта применимость правила Декарта
к столь разнообразным последовательностям функций?
87. Пусть последовательность функций
/?!(*), hs(x),... , hn(x)]
следует правилу Декарта в открытом интервале 'a<.x<lb, т. е.,
точнее говоря, обладает следующим свойством: какова бы ни была
последовательность аъ а2, ..., ап вещественных чисел, не всех
равных нулю, число нулей линейной комбинации
а А (х) + а А (*) + ••• + CLnK (x),
лежащих в интервале a<Z.x<Z.b, не превосходит числа перемен
знака в последовательности av a2, ..., ап.
Показать, что тогда последовательность h1(x),h2{x),..., hn(x)
должна обладать следующим свойством: определители Вронского
[VII, § 5]
W[hVl(x), КЛх), К Ах), ••-. hVl(x)],
образованные для всех систем целых чисел
vlt v2, ..., V; A sc; vx< v2<.. .<.Vi^n),
не должны обращаться в нуль в интервале а<.х<.Ь. Кроме
того, любые два из этих определителей, имеющие один и тот же
порядок, должны иметь и общий знак. A=1, 2, 3, ... — число
строк). [Принять во внимание кратность нулей.]
88.	(Продолжение.) В частности, для применимости правила
Декарта необходимо, чтобы в интервале а<.х<.Ь отношения
М*) h (х)	hn(x)
AiW As(*) ' •••' ViW
были все положительны и либо все постоянно убывали, либо все
постоянно возрастали.
89.	(Продолжение.) Пусть l^a^n. Перечисленным в 87
условиям, налагаемым на определители Вронского, одновременно
с ^(х), h2(x),..., hn(x) удовлетворяют также п—1 функций
т1 	 d hi	rj 	 d h%	Tj 	 d ha_%
1 ~ dxha '	2~ dxha' '" ' a-i~ dx ha '
[VII 58.]

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 8
90.	(Продолжение.) Приведенное в 87 необходимое условие
применимости правила Декарта является также достаточным [77].
91.	Проверить выполнение критерия 87 для рассмотренных
в 77 функций eKlX, е
KlX е%гХ
еК"х
§ 8, Обобщения теоремы Ролля
92. Пусть 0<а<&. Если f(x) обращается в нуль в п-\-\
точке интервала [а, Ь] и все нули полинома ao-\-a1x-{-aixi-\-...
...-\-апхп — вещественные, то в некоторой внутренней точке \
интервала а, Ь имеет место равенство
a<f (I) + ОгГ (|) + а/'
I) = 0.
[63.]
93. (Обобщение теоремы Ролля на однородные линейные
дифференциальные выражения.) Пусть дифференциальное уравне-
уравнение ft-ro порядка
имеет ft—1 решений hx{x), /z2(x),..., An-i(x), удовлетворяю-
удовлетворяющих в интервале а < х < b условиям
h1(x)>0,
AiM h(x)
h2 (x) h'i (x)
*,«
AJI
>0. (**)
Если в интервале а<х<& лежит я + 1 нуль функции f(x),
то в этом интервале существует такая точка \, что
f{n) (i) + «Pi (I) f(n-l) (i) + ф2
-2) (I) + • • •
= о. [vn 62.]
94.	(Продолжение.) Утверждение теоремы сохраняет силу и
при замене предположения менее сильным, именно, что / (х) совпа-
совпадает в п + 1 точке с одним из решений дифференциального уравне-
уравнения (*). (Обобщение теоремы 71, относящейся к уравнению у(п) = 0.)
95.	(Обобщение дифференциальной теоремы о среднем значе-
значении на систему функций.) Отношение определителей
к (хп)
fn{x2) ... fn{xn)
фа

64
ЗАДАЧИ
где xt<Lx2 <Сх3<С-.-<.х„, можно приравнять отношению опре-
определителей
f (t ] (' ({ )	ft" — 1) (p )
/я(У «'
если числам
значения:
!(« - 1) ,
У
-"(У
Фя1
2	\п придать надлежащие промежуточные
Ья-1
96. Пусть хх < х2 <... < д:л. Показать, что
f2 (Xl) h
==
1
i
^2\
1
(х„\
- [l)
л—1
л-1
л-1
f (t )
где 1Х, ?2,..., ^„ — некоторые числа, удовлетворяющие неравен-
неравенствам, приведенным в конце предыдущей задачи.
97. Показать, что
	ИМ
(jcv — xx)...(xv — xv_i)(;tv —
1
v = 1
^ /'"-11 (?)
(л—1)! '
где I — точка, заключенная внутри наименьшего интервала, содер-
содержащего попарно различные точки х1г х2, ..., хп.
98. Показать, что
где ^ заключено между х и x-\-nh (h может принимать и отри-
отрицательные значения). В частности, при /г=1 имеем обычную
теорему о среднем значении.
99. (Отличное от 95 обобщение теоремы о среднем значении
на системы функций.) Пусть функции ht{x), h2(x),..., hn_x{x)
удовлетворяют неравенствам (**) задачи 93, /(х) — произвольная
функция и *!< х2 <...<*„. Показать, что существует такое |,

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 1
65
Л <.Хп,	ЧТО
 V^l)	^2 \X'j)	• • ¦	'^2 V^n)
hn-i (*i)	K-i (xi)	¦ ¦ •	An_i (xn)
f(Xi)	/(As)	...	f(xn)
= sgn
4© ...
[Полной индукцией; принять во внимание 89.]
1ОО> Доказать 76, основываясь на 91.
ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ ПОЛИНОМОВ
§ 1. Центр тяжести системы точек
относительно некоторой точки
101. Пусть гг, г2,..., гп — произвольные конечные точки
комплексной плоскости и в каждой из них сосредоточена соот-
соответственно неотрицательная масса тх, т2,..., тп, где т1-\-т2 +
+ ...-\-тп=1. Показать, что при каждом линейном преобразова-
преобразовании комплексной плоскости, оставляющем бесконечно удаленную
точку неподвижной, центр тяжести ? этих масс также под-
подвергается тому же преобразованию. Иными словами: если со-
сосредоточить массы mY в соответствующих точках z'v, в кото-
которые перешли при преобразовании старые точки zv, то центр
тяжести этого нового распределения масс попадает как раз
в ту точку ?', в которую переходит при преобразовании старый
центр тяжести ?.
В последующем A02—156) под «точкой» комплексной плоскости
будет пониматься любая, безразлично конечная или же бесконечно
удаленная точка; под «окружностью» — окружность или прямая;
последняя будет рассматриваться как окружность, проходящая
через бесконечно удаленную точку; под «круговой областью» —
замкнутая область, ограниченная «окружностью», т. е. либо
замкнутая внутренняя, либо замкнутая внешняя- область окруж-
окружности, либо замкнутая полуплоскость, смотря по тому, будет ли
3 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II

66	ЗАДАЧИ
бесконечно удаленная точка либо совсем не содержаться, либо
содержаться внутри, либо находиться на границе этого «круга».
102. Пусть даны точки гъ z2,..., гп, г, причем z отлично
от всех zlt z2, ... , zn, в то время как среди последних могут
быть и совпадающие. Пусть, далее, даны массы
Требуется найти такую точку ?, чтобы при линейном преобра-
преобразовании плоскости, переводящем п-\~2 точки
Zl» Z2, .. . , Zn, Z, Q
соответственно в точки
Zj, z<i, ¦ ¦ ¦ , zn\ со; с,,
центр тяжести масс mv, сосредоточенных в точках Zv(v=l, 2,...
..., и), попал как раз в ?'.
Существует бесчисленное множество линейных преобразований,
переводящих z в бесконечность. Однако точка t, не зависит
от выбора преобразования.
Точка ? = ?«» однозначно определяемая в задаче 102 системой
точек zx, z2,..., г„, сосредоточенными в них массами тх, т2,...
..., тя (т1 + '«2 + --• + тя= 1) и заданной точкой г, отличной
от всех z1( z2, ... , г„, называется центром тяжести системы
точек Zu za,... , г„ с массами тъ т2, ... , тп относительно г.
Если z — бесконечно удаленная точка со, то ?г = ?ю совпадает
с обыкновенным центром тяжести.
1ОЗ< Будем брать в фиксированных точках zlf z2,..., г„
самые различные распределения масс с общей суммой 1. Показать,
что центры тяжести ?г всех таких распределений, взятые относи-
относительно некоторой точки г, не совпадающей ни с одной из г1(
г2,..., г„, заполнят некоторую область ^, ограниченную дугами
«окружностей».
104.	Пусть $г — определенный в предыдущей задаче «круго-
«круговой» полигон и гюъ w% — две его точки. Рассмотрим «окружность»,
проходящую через wlt w2 и z. Показать, что та из двух дуг wlt
w2, которая не проходит через z, содержится в &г, иными словами,
что область $г «выпукла» относительно г. (Мы будем называть $г
наименьшей «выпуклой» относительно г областью, содержащей
точки zlt z2, ... , zn.)
105.	Если все точки zlt z2,..., zn содержатся в некоторой
круговой области К, а точка г — вне К, то «круговой» полигон $г
задачи 103 целиком содержится внутри К-

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 2	67
Бели в точках гъ z2, ..., г„ сосредоточены р а в н ы е массы—,
то ?г называется центром тяжести системы самих точек zlt z2, ...
..., zn относительно точки z. В нижеследующих задачах имеются
в виду только такие центры тяжести.
106.	Пусть ?г — центр тяжести точек zlt г2, ..., zn относи-
относительно точки z. Показать, что каждая «окружность», проходящая
через z и ?г, разделяет точки zx, z2, ..., zn между собой, т. е.
либо каждая из двух круговых областей, определяемых рассма-
рассматриваемой «окружностью», содержит внутри хотя бы одну из то-
точек Zx, z2, ..., zn, либо все эти точки лежат на самой «окружности».
107.	(Продолжение.) Пусть все точки z1( z2,..., г„ содержатся
в некоторой круговой области К- Показать, что точки z и ?г
не могут одновременно лежат вне К. Если одна из них,
например г, лежит вне К, то тогда другая, ?г, будет нахо-
находиться внутри К", за исключением того случая, когда все точки
zv z2,..., zn лежат на границе К' в этом случае и ?г будет нахо-
находиться на той же «окружности».
108> Рассмотрим все возможные системы чисел zx, z2, ..., zn,
могущих принимать лишь k различных фиксированных значений wv
w2, ... wk. Показать, что центры тяжести всех таких систем,
взятые относительно точки г, не совпадающей ни с одной из точек wlt
w2, ..., wk, лежат всюду плотно в наименьшей области, «выпук-
«выпуклой» относительно г, содержащей точки wlt w2, ..., wk.
109.	Пусть точки zx> z2, ..., zn фиксированы, а переменная
точка z стремится к zx. К какому предельному положению стре-
стремится центр тяжести ?« системы точек zv z2, . ¦., zn относительно
точки z?
110.	Центр тяжести ?г системы конечных фиксированных
точек Zj, z2, ..., г„ относительно переменной точки z может быть
разложен для достаточно больших z по убывающим степеням г.
Вычислить первые два члена разложения.
§ 2. Центр тяжести полинома относительно некоторой точки.
Теорема Лагерра
В последующем A11-—156) под целой рациональной функцией
(полиномом) ft-й степени мы понимаем не равную тождественно
нулю функцию
/ (г) = а0 + A) axz + g) a2z2 + • • ¦ + (я п_ х) ап^п~х + аяг\
При этом коэффициент ап не обязательно отличен от нуля. В слу-
случае, если апфЬ, мы будем говорить, что и есть точн а я степень
полинома / (г). Если ап = ап^х = ...== ап-ьп = 0, а„_А =? 0, то мы
3*

68	ЗАДАЧИ
будем говорить, что f(z) имеет точку z — co нулем кратности k1).
В этом понимании каждая целая рациональная функция п-п сте-
степени имеет вообще п нулей, из которых некоторые могут лежать
в бесконечности. Таким образом, функцией /(г) определяется
в комплексной плоскости некоторая система точек гх, г2, ..., г„ —
нулей этой функции. И обратно, каждой системе точек можно
отнести некоторую целую рациональную функцию, коэффициенты
которой определены с точностью до множителя пропорциональ-
пропорциональности. Мы часто будем отвлекаться от этого несущественного
множителя и говорить просто о полиноме, имеющем нулями гх,
111.	Под центром тяжести ? целой рациональной функции
понимают центр тяжести ее нулей. Выразить центр тяжести f(z)
относительно переменной точки г: 1) через /(г) и /' (г) и 2) через
коэффициенты f(z). Рассмотреть случаи г = оо и f(z) = zn.
112.	Пусть ? —центр тяжести f (z) относительно z. Для того
чтобы f.(z) имела лишь вещественные нули, необходимо и доста-
достаточно, чтобы при всех значениях г мнимые части z и ? имели
противоположные знаки, либо обе одновременно исчезали (z — co
причисляем к вещественным нулям).
113.	Относительно какой точки z плоскости бесконечно уда-
удаленная точка является центром тяжести функции / (г)? Что озна-
означают для этой точки теоремы 106 и 107?
114.	Пусть /(г) —полином точной степени п, К — круговая
область, содержащая нули полинома /(г), ис#0. Показать, что
нули производной от трансцендентной функции е -zi° f (г) лежат
либо в К, либо'в К-{-пс, т. е. в круговой области, получаемой
из К параллельным смещением на вектор пс. [См. III 33; рас-
рассмотреть центр тяжести / (г) относительно одного из интересую-
интересующих нас нулей.]
115.	Пусть гх — один из нулей полинома п-й степени f(z), далее
х (x^=Zi) конечно и /'(л:) = 0. Тогда /(г) имеет в каждом круге,
проходящем через точки х и x — {n~\){z1 — x), по меньшей мере
один нуль.
116.	Пусть /(г) — полином п-й степени, все нули которого
по модулю S& 1 ¦ Пусть, далее, а± и ос2 —- такие положительные
числа, что п~-ф\. Тогда все нули функции axzf (г) — <xj{г) по
модулю Mi(l
!) При введении несобственных элементов и употреблении однородных
координат, что находилось бы в полной гармонии с проективным характером
рассматриваемых здесь вопросов, всех этих специальных разъяснений отно-
относительно бесконечно удаленной точки и связанных с этих отдельных рас-
рассмотрений различных случаев можно было бы избежать вовсе.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 2	69
117. Пусть /(г) —полином п-й степени, все нули которого
лежат в круговом кольце г ^\z\^R. Пусть, далее, ах и ах—
любые положительные числа, для которых п — ф\. Тогда все
нули функции axzf (г) — а2/ (z) лежат в круговом кольце
rMinfl,
1 — п-—
;#МахA,
l-i
118. Пусть гх — один из конечных нулей целой рациональной
функции n-й степени / (г). Показать, что центр тяжести осталь-
остальных п—1 нулей /(г), взятый относительно z1( равен
2 ("-'
1	/" (г!) '
Как нужно изменить эту формулу, если гх — бесконечно удален-
удаленная точка?
119. Полином Эрмита п-ro порядка удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению
[VI 100, решение ж)]. Показать, основываясь на 118, что поли-
полиномы Эрмита имеют лишь вещественные нули [VI 100, решение и)].
[Рассмотреть гипотетический нуль с наибольшей не равной нулю
мнимой частью.]
120. Полином п-й степени, удовлетворяющий дифференциаль-
дифференциальному уравнению
(полином Лежандра n-го порядка, см. VI 90), имеет лишь веще-
вещественные нули. (VI 97.)
121. Теорема Гаусса [III 31] равносильна следующей: если
все нули полинома / (г) лежат в круге К, то и нули его производ-
производной /'(г) лежат в К [ИЗ]. Установить, верна или неверна сле-
следующая теорема: если все нули полинома /(г) лежат в двух
кругах Къ Кг, то и нули производной лежат в Кх или К2-
Пусть Ki и Ко — два круга или даже две любые круговые
области. Совокупность точек
где пг и пг — фиксированные положительные числа, а гг и г2
независимо друг от друга пробегают соответственно Кх и К2,
Условимся называть средней областью круговых областей Кх и К2

70	ЗАДАЧИ
и символически обозначать
К вполне определяется заданием /С1( /С2, пх и п2. [См. Н. Min-
kowski, Werke, т. 2, стр. 176, Leipzig, В. G. Teubner, 1911.]
122. Пусть Кх и /С2 — Два круга с центрами соответственно
z'i' и zij" и радиусами гх и г2. Показать, что тогда
будет тоже кругом, центр которого г*0) и радиус г определяются
равенствами
Круги /Сх, /С2 и /С имеют общий центр подобия.
123> Пусть К,г и /С2— полуплоскости с параллельными кра-
краями, одна из которых содержит другую. Тогда «средняя область»
тоже будет полуплоскостью, край которой параллелен краям плоско-
плоскостей Ki и /С2 и делит расстояние между ними в отношении их: и2.
124. Пусть f(z)=f1(z)f2(z), где /j(г) — полином ягй степени,
а /2 (z) — полином п2"й степени. Пусть, далее, все нули полинома
лежат в круговой области ~'Ki, а все нули полинома /2(г) — в кру-
круговой области /С2. Тогда нули производной /' (г) лежат либо в Klt
либо в /С2, либо в «средней области»
(Здесь под степенями полиномов /а (г) и /2 (г) понимаются их точ-
точные степени.)
125. Пусть /(г) —дробно-рациональная функция, числитель
и знаменатель которой — взаимно простые. Пусть, далее, ее нули
(полюсы) в числе пх лежат в круговой области Кг, а полюсы
(нули) в числе п2 — в круговой области /С2. (Мы рассматриваем
лишь конечные нули и полюсы.) Пусть, наконец, пхфпг. Тогда
нули производной /' (г) лежат или в К1У или в /С2, или в области К,
образованной точками
где гх и гг пробегают независимо друг от друга соответственно
К\ и /С2; в символическом обозначении:

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 3	71
Если пх — пг и круговые области К± и /С2 не пересекаются, то
все нули производной /' (г) лежат либо в Кх, либо в /С2.
126. Пусть все корни уравнения
где / (г) — данный полином, лежат в некотором овале *) Ov Пока-
Показать, что все точки а, для которых это будет иметь место, также
будут находиться в некотором овале О2.
127. Пусть f (z) — некоторый полином, пусть, далее, его а-точки
(нули полинома / (г) — а) лежат в круговой области Kv а его Ъ-
точки —в круговой области /С2. Пусть, наконец,
где пх и л2 — положительные числа. Показать, что с-точки полино-
полинома /(z), не лежащие ни в /С1( ни в К. лежат в «средней области»
[tix и л2 можно предполагать целыми.]
§ 3, Производная полинома относительно некоторой точки.
Теорема Грэйса
Под производной целой рациональной функции л-й степени f(z)
относительно точки ?, символически Atf(z), мы будем понимать
при S = CCl обыкновенную производную, а при конечных значе-
значениях I — выражение
Atj(z) есть целая рациональная функция (л—1)-й степени1).
128.	Пусть коэффициенты функции f(z) (в записи стр. 67)
будут
а0, fli, a2, ..., а„.
Как запишутся л коэффициентов функции ——?
129.	Показать,, что операция Atf(z), где ? произвольно, ли-
линейна: если /x(z) и /2(z) —два полинома л-й степени, а сх и сг —
произвольные постоянные коэффициенты, то
AtfcJi B) + cj2 (г)] = CjAfr {z) + c2AJ2 (z).
*) Под овалом здесь можно подразумевать любое выпуклое множество
точек.
*) При употреблении однородных координат это образование называют
первой, полярой, у старых авторов также emanant; см. Laguerre, Oeuvres,
т.!, стр. 48. Paris, Gauthier-Villars, 1898.

72	ЗАДАЧИ
130. Пусть / (г) = g(z)h (г) — разложение полинома f(z) п-п
степени на два множителя g(z) и h (г) соответственно степеней k
и /, & + ' = я- Показать, что при всех значениях ?
131.	Пусть / (z) — полином я-й степени,- ?х и ?2 ~ произволь-
произвольные постоянные. Показать, что операции A^f (г) и Л^/(г) пере-
перестановочны; иными словами,
132.	Показать, что Л^/(г) = О тогда и только тогда, когда
все нули полинома /(г) совпадают с ?.
Под производной системой системы га точек гх, г2, ... , zn от-
относительно («+ 1)-й точки ? понимают п — 1 нулей z\, z',, ..., z'n~i
функции Atf{z), где /(г) —полином п-й степени, имеющий нулями
zlt г2, ..., гя; нули считаются согласно общему определению
(стр. 68). Производная система вполне определена, за единствен-
единственным исключением того случая, когда все п+ 1 точки zx, г2, ..., гп,
Z, совпадают (см. 132).
133.	Если Z, конечно, то в производной системе относительно
точки ? содержатся вообще точки -четырех родов:
1)	Конечные отличные от гх, z2, ..., zn, t, точки, относительно
которых центром тяжести системы г1г гг, ..., гп служит как раз ?.
2)	Отличные от t. кратные конечные нули функции /(г), каж-
каждый уменьшенной на единицу кратности.
3)	Само. ? лишь в том случае, когда оно является нулем /(г),
и тогда с той же кратностью.
4)	Точка со, либо если она является по меньшей мере дву-
двукратным нулем /(г), либо если она совсем не является нулем
/(г), но зато ?, является обыкновенным, т. е. взятым относительно
точки оо, центром тяжести /(г).
134.	Всякая круговая область, граница которой проходит
через точку ? и одну из точек производной системы, содержит
и точки первоначальной системы.
135.	Всякая круговая область, содержащая точки zlt z2, ...
..., zn и не содержащая точки ?, содержит также все точки про-
производной системы системы точек г1( г2, ..., г„ относительно ?.
136.	Производная система системы точек zx, г2, ..., гп отно-
относительно точки ?, заключается в наименьшем выпуклом относи-
относительно ? круговом полигоне, содержащем zlt za, ..., zn. (Обобще-
(Обобщение теоремы III 31.)

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 3	73
137, Если f(z) п-й степени, то (A^)n-If{z) будет первой сте-
степени. Вычислить единственный нуль функции (Л;)"-1/(г).
{38. Пусть
— произвольный полином п-й степени и ?lt ?2, ..., ^ — произ-
произвольные точки комплексной плоскости. Показать, что выражение
представляет собой симметрическую функцию переменных ?х, ?г,...
..., ?„, линейную относительно каждой из переменных; именно:
А {С ?2> .... &,)/(z) = aoSo + aiSi + aa22 + ... + a«-iS»-1 + ani:«,
где ?о> Si» 2г. •••. Sn-i. S/> — элементарные симметрические функ-
функции от ?х> ?2, ..., Ъп:
2о=1.
Если из чисел ?i, ?г. • ¦ •. ?«> скажем, fe последних (и только они)
лежат в бесконечности, то нужно положить
139. Пусть
/ (г) —ао + г) ахг + гЛ a2z2 +... + ( ^_ {J йл^г"-1 + а„2"
— произвольный полином п-й степени с нулями zlt z2, .,., zn и
— произвольный полином п-й степени с нулями ^г, ?2, ..., ?,„.
Вычислить А(Ъг, ?,2, ..., Q/B) и Л (г^ г3	zn)g(z).
Если оба полинома задачи 139 связаны друг с другом таким
образом, что
АAХ, S8, ..., L)/(г) = О
или, что то же [решение 139],
- A(zlt za, ...» zra

74	ЗАДАЧИ
то они называются столярными. Название имеет своим основа-
основанием обращение в нуль я-й поляры А^ А* ...А% f (z). Условие
аполярности таково:
+ (—1)"а„60 = 0.
[139]. Системы гъ г2, ..., гп и ?х, ?a, ..., ?„ также называются
взаимно столярными.
140.	Истолковать геометрически аполярность zx и ?lt а также
Zx» Z2 И ?lt ?2.
141.	Найти системы ?х, ?2, ..., ?„, аполярные к системе корней
двучленного уравнения zn — 1 = 0.
142.	Пусть zlt z2, ... , гп — произвольная система точек. Су-
Существует п систем совпадающих точек I, ?, ..., ?,, аполярных
к заданной системе. Определить их.
143< Полином л-й степени
аполярен к любой системе чисел, сумма которых равна п, а про-
произведение — нулю.
144.	Пусть /(z) —любой полином п-я степени, все нули кото-
которого лежат в круговой области К- Пусть, далее, t,lt ?2	 ?а
(&<п) — любые точки, лежащие вне К- Показать, что все нули
полинома (n — k)-R степени Л^Л^...Л^/(г) также лежат в К-
145.	Пусть полиномы п-к степени /(г) и g(z) взаимно апо-
лярны. Показать, что каждая круговая область, содержащая все
нули одного полинома, содержит по крайней мере один нуль
другого.
146.	Пусть полиномы я-й степени /(г) и g(z) взаимно апо-
лярны. Показать, что наименьшие выпуклые полигоны, содержа-
содержащие соответственно все нули /(г) или g(z), имеют по меньшей
мере одну общую точку. Вообще: всякие два наименьших «вы-
«выпуклых» относительно одной и той же точки круговых полигона,
содержащих соответственно все нули /(г) или g(z), имеют по
крайней мере одну общую точку.
147.	Полином
1 — 2 + CZ"
всегда имеет нуль в круге | z \ sg 2.
148.	Полином
всегда имеет нуль в круге \z—

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 3	75
149. Показать, что (&+ 1)-членный полином
1 - Z + C2?'* + C3z'* + . . . + CftZV* (I = VX < V2 < V3 < .. .< Vft)
всегда имеет нуль в круге
и, значит, в круге \z\^k. (Обобщение теоремы 147.)
153. Если полином п-н степени в двух точках а и Ь(афЬ)
принимает одинаковые значения, то его производная имеет по
меньшей мере один нуль в круге, имеющем центром середину от-
отрезка ab и радиусом ¦^— ctg ~. (Аналог теоремы Ролля для
комплексной области.)
151. Пусть
/(Z) = flo +
— полином п-й степени, все нули которого лежат в круговой облаете
К, далее
— полином я-й степени с нулями рь |32, ..., рга. Показать, что
каждый нуль у составленного путем их «композиции» полинома
h (z) = aobo + (") a
имеет вид
где v — надлежаще выбранный индекс, a k — надлежаще выбран-
выбранная точка в К (при этом полагаем со • со = со и 0-оо = неопре-
неопределенности).
152. Пусть нули полиномов п-й степени f(z) и g(z) лежат
все в единичном круге J г \ =^ 1 и притом по крайней мере у од-
одного—в |z|<l. Тогда и у полинома, полученного из этих двух
посредством композиции [151], все нули будут лежать внутри
круга |z|<l.
15-3. Пусть все нули полинома n-йстепени /(г) лежат в неко-
некоторой выпуклой замкнутой области §1, содержащей начало коор-
координат- Пусть, далее, полином той же степени g(z) имеет лишь
вещественные нули, лежащие в интервале [—1, 0]. Тогда и у по-
полинома n-й степени h{z), составленного посредством композиции
[151] из /(г) и g(z), все нули будут содержаться Та области $.
154. Если все нули полинома n-й степени
/ (г) = а0 + * axz + П а^ +... + ( п_ 1 j a^z» + anz»

76	ЗАДАЧИ
лежат в вещественном интервале —а, а, все же нули полинома
п-й степени
8 (г) = Ьо + («) Ьхг + (?)
— в интервале — Ь, О (или О, Ь), то нули полинома п-й степени
h (z) = ао&о +
лежат все в интервале — ab, ab- (a, b — положительные числа).
155> Пусть все нули полинома n-й степени
— вещественные, а все нули полинома ft-й степени
—	вещественные и одинакового знака. Тогда все нули полинома
aobo + a±bxz + a2b2z2 + ... + anbnzn
—	точно так же вещественные (г = оо причисляется к вещест-
вещественным нулям).
156а При сохранении предположений задачи 155 все нули
полинома
aobo + I lajbjz + 2!a2b2z2 + ... + nlanbnzn
—	также вещественные.
ГЛАВА 3
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1, Приближение нулей трансцендентных функций
нулями рациональных
157. Показать, исходя из соотношения
lim 1-1—) =zosz-\-ismz,
что cos 2 и sin г не имеют мнимых корней.
158» Показать, исходя из соотношения
lim A-4)"-^.
л —¦ со \	" /
что ни одна из производных от функции е~г2 не имеет мнимых
нулей.

СТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § I	77
159. Функция Бесселя
2!2! \2
не имеет мнимых нулей. Доказать это четырьмя различными спо-
способами, исходя из следующих четырех различных представлений
этой функции:
а)	J0(z)= lim (_lWl+iL	РпГ^Ы [VI 85],
б)	J0(z)= lim LBf^-)	[VI 99, решение б)],
n -* со \4Я/
в)	^o(z) = ^ (e"^.*do	[III 148, 56],
'¦Ldt	[III 205].
—я
1
160. Целая функция
где 9 — целое число 5=2, не имеет мнимых нулей. Опираясь на
59, можно дать этому два различных доказательства.
161. Пустьа=эО, 0<а1<а2=^а3«?---и ряд ^- + —+-f+---
C*i С&2 0^3
сходится. Показать, что целую трансцендентную функцию
) аз/
можно представить в виде предела некоторой последовательности
полиномов, имеющих лишь вещественные положительные нули.
162. (Продолжение.) Пусть
Показать, что полиномы
(я=1, 2, 3, ...) имеют лишь вещественные положительные
нули [63].
1S3. (Продолжение.) В интервале
8(х)]<1
и вообще

78	ЗАДАЧИ
[Таким образом, в интервале 0<a;sCoc1 функция g(x) обверты-
обвертывается своим рядом Маклорена; 55, 72.]
164. (Продолжение.) Пусть ос<1. Показать, что целая функ-
функция от г, определяемая интегралом
\ e-'2g{—f) cos ztdt,
о
имеет лишь вещественные нули [63].
135. Пусть а, р, р\, рг, рз, ... — вещественные числа, а$гО,
pvфО, и ряд pj + рч + ¦•¦ сходится. Показать, что целую транс-
Pi Pi
цендентную функцию
можно тогда представить в виде предела некоторой последова-
последовательности полиномов с вещественными лишь нулями.
166. (Продолжение.) Если
то
(m=l, 2, 3, ...).	[49.]
167. (Продолжение.) Если G(z) не имеет положительных
нулей и а0, ах, о2, ..., а„ — вещественные числа, то полином
не может иметь больше мнимых нулей, чем полином
о0 + a±z + a2z2 + ¦
[68, 69 —частные случаи этой теоремы.]
168.	Показать, основываясь на 167, что функция Бесселя
J0{z) не имеет мнимых нулей [II 31].
169.	Показать, основываясь на 167, что целая функция
задачи 160 не имеет мнимых нулей.
170.	Интеграл
I e~* cosztdt = Fa(z),
о
где а —целое четное число ^=2, представляет собой целую функ-
функцию, не имеющую мнимых нулей. [167.]
171. (Продолжение.) При а>1 интеграл все еще представ-
представляет собой целую функцию; если ос не является четным целым
числом, то эта функция имеет лишь конечное число вещественных
нулей.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 1	79
172.	Уравнение
tgz-z = O
имеет лишь вещественные корни. [26.]
173.	Пусть в интервале 0=^=^1 функция f (t) дважды диф-
дифференцируема, причем f" (t) непрерывна, далее f(/)>0, /' @<0,
/" @ < 0. Тогда четная целая функция
1
cos ztdt
имеет бесконечное множество и притом вещественных нулей. (Это
утверждение связано с теоремой III 205, однако отлично от нее.)
[26, III 165.]
174. Пусть ф@ собственно интегрируема в интервале 0«=;
«??=^ 1. Если
то целая функция
F (г) = sin z — $ ф (t) sin zt dt
имеет лишь вещественные нули. [27.]
175. Пусть функция f(t) вещественна и имеет непрерывную
производную в интервале Osg^s^l. Если
то целая функция
F(z) = \f (t) cos zt dt
о
имеет лишь вещественные нули. (Условие выполняется, в частно-
частности, если /(О)^гО и f (t)^0 в интервале 0=^==^1; см. III 205.)
176. Целая функция
а а* а9 "' а
где а5= 2, равно как и все частичные суммы ее степенного ряда
имеет лишь отрицательные вещественные простые нули. [III 200.]

80	ЗАДАЧИ
177. Пусть функция f(t) положительна и имеет непрерывную
производную в интервале 0<<<1. Пусть, далее, \f{t)dt суще-
о
ствует. Показать, что определяемая интегралом
целая функция не имеет нулей:
в полуплоскости §iz 5з 0, если /' (t) > О,
в полуплоскости $z «с 0, если /' (t) < 0.
[Доказывается не как III 205 предельным переходом из III 22,
а целесообразным перенесением самого доказательства теоремы
III 22.]
178.	Доказать III 189, основываясь на 177.
179.	Остаток показательного ряда
не обращается в нуль ни в одной точке полуплоскости $zsg;it'
(и=1, 2, 3, ...), кроме z = 0. Случай п — 0 представляет исклю-
исключение: все нули лежат на граничной прямой полуплоскости йг=^
«с0, т. е. на оси у. (Отсюда легко вытекает 73.) [177.]
180. Если
сходится, то
— целая функция. Обозначим нули F(z) через zv г2, ¦¦•, гп,
Показать, что ряд
ПТТг + ПГз + • •' + ТТГГг + ¦ • •
СХОДИТСЯ.
181.	Если все нули некоторого полинома с вещественными
коэффициентами — вещественные и простые, то между двумя
соседними нулями полинома лежит лишь один нуль его производ-
производной. Верна ли эта теорема также для целых трансцендентных
функций?
182.	Пусть
где Н (х) — полином степени 5зЗ. Показать, что по крайней мере
dF d*F
одна из двух первых производных ^ и -,~^ имеет не только
вещественные нули.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 2	81
§ 2. Точное определение числа нулей
при помощи правила Декарта
Полиномом m-й степени
f (z) = а0 + агг + аггг + •.. + атгт
с вещественными коэффициентами а0, av а2, ..., ат (ат Ф 0)
порождаются следующие три сопровождающих полинома, завися-
зависящие от параметра со:
Р (z, со) = а0 + axz + a2z (z - со) +... + amz (z - со)... [z - (т - 1) со],
Q(z,a) = flo[l4-z —(m—l)a][l + z —(m—2)а].
+ a2[l+2-(m-l)co][l+2-(m-2)cu]...(z-co)z +
+ flm_1[l+z-(m-1)©] [z-(m-2) сю]... (z-o)z +
+ aOT [2 - (m - 1) со] [z - (m - 2) со]... (z - со) z,
R (z, со) - Oo[l — z+(m-l)co][l — z+(m—2) со].. .A—z+co) A — z) +
+ fl! [1 - z + (m - 1) со] [ 1 - г + (m - 2) со]... A - z + со) z +
+ am [z — (tn — 1) со] [z — (m — 2) со]... (z — со) z.
При одновременной замене г на —г, со на —со и av на (—l)vav
(v = 0, 1, 2, ..., т) Q(z, со) переходит в R(z, со).
183. Положим
k + m—l
Выразить коэффициенты Л^', B,(f, C^ft) через сопровождающие
полиномы P(z, со), Q(z, со), /? (г, со) полинома /(z).

82	ЗАДАЧИ
184. Доказать формулу
Г(^+1)	А	1 + г_г±*
где
со>0, — \ + (т— I)co<9fl2<0.
Найти аналогичные формулы для P(z, со) и /? (г, со).
185. Обозначим число нулей полиномов
/(г), Р(г, со), Q(z, со), /?(z, со)
в открытом интервале a<Cz<Cb соответственно через
Показать, что имеют место неравенства
go
в предположении, что со>0; во второй строке, кроме того, должно
быть (т— 1)со<1 и, наконец, в последнем неравенстве первого
столбца со должно быть целым числом. [38, 80.]
136. (Продолжение.) Если еще предположить, что на концах
соответствующего интервала (т. е. в точке 2 = 0, или 1, или —1)
функция f (z) не обращается в нуль, то по поводу неравенств
предыдущей задачи можно добавить, что разность обеих частей
представляет собой четное число (возможно равное нулю). Почему
нет необходимости вводить новые предположения относительно
точки 2 = + сю?
187.	Три степенных ряда задачи 183 обладают следующими
свойствами:
1.	Они содержат не меньше перемен знака, чем полином /(г)
имеет нулей соответственно в интервалах @, + сю), @, 1), @, + °°)-
2.	С возрастанием k число перемен знака не возрастает.
3.	При достаточно большом k число перемен знака срав-
сравняется с числом нулей f(z) в соответствующем интервале.
188.	Отнесем вещественному полиному т-й степени f(z)
в качестве четвертого сопровождающего полинома
J(z, co) = f(mco)-(JJ/[(m-l)co]2 +
+ B) f [(m - 2) со] г2 -... + (-1)"' / @)

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 3
83
где со>0. Обозначим аналогично 185 через За число нулей поли-
полинома J (z, со) в открытом интервале a<.z<.b. Показать, что
имеют место неравенства
ш< Jo. O-oo^Jl , Ой Ss^-oo"
Если, кроме того, /@)^=0, /(mco)=/=0, то разности двух частей
этих неравенств будут четными числами.
189. Число нулей вещественного полинома т-й степени f(z)
в интервале пин <С г ¦< оо не превышает числа нулей полинома
Д-/ @) + G) А"-1/ @) z + f2n) А-2/ @) г2 + ... + / @) г™
в интервале 0 < z < 1. Здесь
(v = 0, I, 2, .... т).
§ 3, Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов
190.х) Каждый полином можно представить в виде отноше-
отношения двух таких полиномов, что в знаменателе вовсе не будет
содержаться перемен знаков, а в числителе их будет ровно столько,
сколько у заданного полинома положительных нулей.
191.	Пусть полином m-й степени f (х) обладает следующим
свойством: каков бы ни был полином Р (х), произведение Р (х) f (x)
содержит по меньшей мере на т перемен знака больше, чем сам
Р (х). Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы
/ (х) имел лишь положительные вещественные нули.
192.	Пусть полином f(x) обладает следующим свойством:
каков бы ни был полином Р (х), Р (х) f (х) + Р' (х) имеет не больше
мнимых нулей, чем сам Р(х). Показать, что для этого необ-
необходимо и достаточно, чтобы fix) — a — bx, где а произвольно,
193.	Полином f(x), обладающий тем свойством, что уравне-
уравнение f(x) + p = O для всех положительных р имеет лишь вещест-
вещественные корни, может быть самое большее второй степени. Если
все корни уравнений указанного вида будут вещественные и
притом одного знака, то f (х) будет первой степени.
Геометрически это очевидно; найти доказательство, исходящее
из иных принципов.
х) В задачах 190—195 имеются в виду полиномы с вещественными коэф-
коэффициентами.

84	ЗАДАЧИ
194.	Пусть а0, а1У а2, b0, bu Ь2 — вещественные числа. Пока-
Показать, что выражение
а\Ь\ — аоафхЬг + аоаф\ — 2а0афф2 + а\Ъфг — а1афф1 + а\Ы
тогда и только тогда отрицательно, когда оба полинома
f(x) = aox2 + a1x + a2, g {х) = Ь0х2 + Ьхх + Ьг
имеют вещественные и притом простые нули, разделяющие друг
друга, т. е. лежащие так, что между двумя нулями одного поли-
полинома содержится один и только один нуль другого.
195.	Пусть Р (х) — полином, имеющий лишь вещественные
нули. Тогда, вообще говоря, не существует ни одного первооб-
первообразного по отношению к Р (х) полинома, который имел бы лишь
вещественные нули. Точнее говоря, пусть п — точная степень поли-
полинома Р (х); пусть, далее, а —такое вещественное число, для кото-
которого полином (п-\-1)-й степени
имеет максимальное число вещественных нулей. Тогда можно
утверждать лишь, что это максимальное число
= 2 при п—\,
Ss3 » га = 2, 4, 6, 8, ...,
5э=4 » га = 3, 5, 7, 9
и больше ничего утверждать нельзя, ибо при всех значениях га
можно указать такие Р(х), для которых будет достигаться ра-
равенство.
196. Пусть L —максимум модулей коэффициентов полинома
и zlt z2, ..., zn~нули этого полинома. Тогда
y^+Tl. [И 52.]

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОЛИНОМЫ
§ 1. Полиномы Чебышева
Положим cos ¦& = х\ тогда
^tl)±n = 0, 1,2,...)
будут полиномы п-й степени от х (полиномы Чебышева); наивыс-
наивысший коэффициент полинома Тп (х) равен 2п~1, а полинома Vп (х)
равен 2п (п = 1, 2, 3, ...).
1.	Все нули полиномов Тп (х) и Un (x) — вещественные, отличны
друг от друга и лежат внутри интервала [—1, 1]. Определить
эти нули.
2.	Доказать соотношения
7-iW.J („=1,2, 3,...).
3.	Показать, что полиномы Т„ (х) и 1)„ (х) удовлетворяют
следующим дифференциальным уравнениям:
A-х2) Тп (х) -хТ'п (х) + п*Тп (х) = О,
A-х2) Un (х) - 3xU'n (x) + n(n + 2)Un (х) = 0.
4.	Показать, что Т„ (х) и Un (x) удовлетворяют соотношениям
ортогональности
\
(m, n = 0, 1, 2, ...; тфп).
I
— I
Вычислить эти интегралы при т — п.

ЗАДАЧИ
5. Показать, что
	'—I	п —
¦ 3-5 B/2	1) dxn
ZVW_	(	Ul	Ага„П_г2\" 2
+
6а Показать, что если f{x) имеет в интервале —1
непрерывную n-ю производную, то
я	л
\ / (cos ft) cos nft dft = . „ -—я	r. \ /u) (cos ft) sin2" ft dft.
J ' ч	'	1 • 3-5... Bn —1) J '	'
0	0
7. Показать, что при п—\, 2, 3, ..., —l^x^l, имеют
место неравенства
В первом из них равенство достигается ровно в п -\-1 точке,
а именно в п— 1 нулях полинома 11п_л(х) и, кроме того, на кон-
концах, т. е. для х = —\ и х=1. Во втором равенство достигается
только на концах.
§ 2. Общие сведения о тригонометрических полиномах
Под тригонометрическим полиномом п-го порядка понимают
выражение вида
g(ft) = %0 -f %1 cos ft + |ii sin ft + X2 cos 2ft + ц2 sin 20 +...
... + Я„ cos nft + Ия sin nft.
Если все (xv равны нулю, то g{p) —полином п-то порядка по
косинусам, если же все Xv равны нулю, то g (ft) — полином n-ro
порядка по синусам.
8.	Всякий полином п-го порядка по косинусам можно пред-
представить в виде Р (cos ft), где Р (х) — полином n-й степени. Обрат-
Обратное также верно.
9.	Всякий полином п-го порядка по синусам можно предста-
представить в виде sinftP (cosft), где Р(х) — полином (п—1)-й сте-
степени. Обратное также верно.
10.	Произведение двух тригонометрических полиномов т-го
и п-го порядков есть тригонометрический полином (m + n)-ro
порядка.
11.	Всякий тригонометрический полином п-го порядка
... -f %n cos nft + (л„ sin nft,

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 2	87
имеющий лишь вещественные коэффициенты, можно представить
в форме
где G(z) = uo + u1zJrU2z2 + ...-\-u2nz2n — некоторый полином 2«-й
степени, не изменяющийся, если, заменив z на г, умножить
его на z2n и одновременно заменить все коэффициенты сопряжен-
сопряженными:
С (г) = п2п + пгп.хг + 52„_2г2 +...+йо22" = z2nG (г).
Вычислить коэффициенты щ, иг, и2, ..., игп.
12. Обратно, если G (г) — полином 2и-й степени, удовлетво-
удовлетворяющий тождественно для всех значений z соотношению
то
есть тригонометрический полином n-го порядка от ¦&, имеющий
лишь вещественные коэффициенты.
13. Пусть G (г) — полином 2п-й степени, удовлетворяющий
условию
Как распределены его нули в комплексной плоскости?
14. Тригонометрический полином n-го порядка
== Ко -f K± cos ¦& + Hi sin ft + X2 cos 2ft + ц2 sin 2* +...
... + К COS rtft + Цтг Sin «ft,
где коэффициенты вещественные, причем %п и (л„ не равны одно-
одновременно нулю, имеет ровно 2п нулей, если рассматривать все
комплексные значения ft и считать нули по их кратности (ft и
ft n не рассматриваются как различные).
15. Определить все тригонометрические полиномы n-го порядка
n sinnft
с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождественно
при всех значениях аир соотношению

ЗАДАЧИ
§ 3. Специальные тригонометрические полиномы
,	sm
16.
. п . n+1
sm -^- d cos —^—
	3—=
sin у
cosft + cos3ft + cos5* + ... + cosBn- l)O = fiM.,
Ci Sin \JI
	~
sinT
sin ft . sin 3d sin 50	sin Bn— 1) ft /sin
sind ' •><+ sin ¦» ~~ \ sin © J *
Что отсюда вытекает при ft = О?
18.
«4-1
Sin
19. Определить нули тригонометрических полиномов
y-f cos
cos ft + cos 2ft +... + cos nft,
sin ft + sin 2ft +... -f sin nft,
sin3ft + ... + sinBn—l)ft,
+ nco
20. Доказать тождество

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 3	89
21.	Показать, что сумма
• a. i • о а i	1 ¦ а , sin (rt + 1) Ф
sin w-|-sin 2ft+ ...-}-sin nft -I	v g -—
неотрицательна при OsSftsgir.
22.	Средние арифметические отрезков ряда
у + cos ¦& + cos2ft + • • • + cos tt& + ...
неотрицательны при всех значениях ft и с возрастанием п равно-
равномерно стремятся к нулю во всяком интервале es^ft*^2n —e
(е>0).
23> Тригонометрический полином
sin 2Ф . sin 3# .	sin nb
+	1^
» , од .
А(п, #) = si
в интервале Osgftsgn имеет максимумы в точках
(и только в них) и минимумы в точках
(и только в них).
24а (Продолжение.) Максимумы полинома А (п, ¦&) в интер-
интервале О^'&^я монотонно убывают, так что абсолютный макси-
максимум для всего интервала О^'&^я равен A In, " ]. [20.]
25. (Продолжение.) С возрастанием п максимум А[п, —^-т)
V n-^-i j
монотонно возрастает, причем
п»со V	Ч J
26а Тригонометрический полином
В(п, *) =	^
в интервале 0 «g ft eg л имеет максимумы в точках
q 2л 9?5.	?2.
(и только в них) и минимумы в точках
(и только в них).

90	ЗАДАЧИ
27. (Продолжение.) Наименьшее значение полином В (п,
принимает при
а - RL±il _?«_	Г21 1
L 2 Jn + l*	L J
и всех значе
В(п,
28. При всех значениях я и ¦&
COS 2Ф . COS 3U .	. COS пЬ
Ь1Н
§ 4. Из теории рядов Фурье
Пусть /(¦&) — периодическая функция с периодом 2я, собственно
интегрируемая в интервале 0^'&^2я. Числа
2л	2л
в». = йг J / (А) cos n* d#, &„ = ± J / (#) sin n* d*
о	о
(л = 0, 1, 2, ...; &0 = 0)
мы будем называть коэффициентами Фурье, а формально обра-
образованный ряд
а0 + 2ах cos ¦& + 2ЪХ sin ¦& + 2а2 cos 2й + 2b2 sin 2* +...
... + 2а„ cos nft + 2b n sin «¦& + ...
Фурье функции / (¦&). Если / (¦&) — функция с ограниченным
изменением, то этот ряд сходится и имеет сумму
29. Пусть функция /(¦&) — периодическая, f (¦& + 2я) = f (¦&).
Каждое из выписанных уравнений (или пар уравнений)
2)
3)	f (О+ я) = -/(#),
4а)
46)
5)
характеризует какого-либо рода симметрию кривой y = f(x).
Показать, что каждый из этих родов симметрии влечет исчезно-
исчезновение бесчисленного множества коэффициентов Фурье функции

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 4	91
30.	Каков будет ряд Фурье для тригонометрического поли-
полинома / (ft) п-го порядка?
31.	Пусть п и V —целые положительные числа. Показать,
что
я
2я J
— я
32. Пусть последовательность
а0, аъ Ьи а2, Ь2, ..., ап, Ьп, ...
обладает тем свойством, что «тригонометрический ряд»
ао + 2а±cos ft + 2bxsin ft+ 2a3 cos 2* + 2b2 sin2* +...
... + 2an cos nft + 2bn sin nft -f...
равномерно сходится при всех значениях ft и, таким образом,
представляет некоторую непрерывную периодическую функцию /(ft)
с периодом 2л. Каков будет ряд Фурье для функции / (ft)?
1 1 г sin2« [*-M Для нецелых*,
с»
| • о, 	 2 4 V cos 2nd
S1П лУ ¦— "~~	/ "z п
Для целых х.
оо
2nd _8 V sin2rtft
г" —	/ ~л—о	i— •
— 1 л; ^j 4и2 — 1
35. Числа
я
2"
2 С I sin
(находящиеся в тесной связи с так называемыми константами
Лебега ряда Фурье) монотонно возрастают вместе с возраста-
возрастанием т. А именно, их можно представить в виде
16 VI
[Вместо |sinmft| подставить его разложение из 34 и приме-
применить 17.]
36. Пусть функция /(^ — периодическая с периодом я и
«четная», т. е. тождественно при всех значениях ft имеет место
равенство / (— ft) = / (ft). Если в интервале 0 =g: ft s=s я / (ft) выпукла
сверху, то ее ряд Фурье имеет вид
с0 — сх cos 2ft — сг cos 4ft —... — сп cos 2«ft —...,
где все коэффициенты cv сг, ..., сп, ... неотрицательны.

92	ЗАДАЧИ
37. Если функция f(ft) предыдущей задачи удовлетворяет
еще условию /@) = 0 и, кроме того, для некоторого р>0 выра-
выражение ft^"/(ft) ограничено, то последовательность
='• 2,3,...)
монотонно возрастает вместе с т. [Обобщение теоремы 35.]
38а Пусть Мп — максимум функции
г / чл _ I sin ® 1 I I sin 2^ I I I sin 30 |	| sin raft |
1 (n, V)- j 1 2 i з г-.-i ^
по отношению ко всем значениям ft. Показать, что
§ 5. Неотрицательные тригонометрические полиномы
39. Пусть х0, xv x2, ..., ^„ — произвольные комплексные
числа (л:0=5^0, хп^=0) и ft вещественно. Показать, что
представляет неотрицательный тригонометрический полином в точ-
точности n-го порядка. Вычислить его коэффициенты.
40. Всякий тригонометрический полином п-го порядка
#(¦&)= К + К1 cos ft + Hi sin ft + A,2 cos 2ft + ц2 sin2ft + ...
... + K cos nft + Ил sin nft,
принимающий лишь неотрицательные значения, может быть пред-
представлен в форме
где h (z) = л:0 -f ^z + x2z2 + ... + xra2" — некоторый цолином п-й
степени и ft вещественно. [Разложить рассмотренный в задаче 11 по-
полином G(z) на линейные множители.]
41. Всякий неотрицательный полином по косинусам может
быть представлен в виде
g(<>) = |A(z)|» (z^e'%
где h(z) = xo + x1zJrx2z*-\-...JrXnzn — полином с веществен-
вещественными коэффициентами и ft вещественно.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 6	93
42.	Показать, что указанное в задаче 40 представление не-
неотрицательного тригонометрического полинома возможно, вообще
говоря, несколькими способами.
43.	Показать, что в задаче 40 среди всех полиномов h(z)
можно выбрать обладающий следующими свойствами:
1)	при |z| ¦< 1 h(z) отличен от нуля;
2)	h @) — положительное вещественное число.
Предполагается, что (ftH
§ 6. Неотрицательные полиномы
44.	Всякую целую рациональную функцию, имеющую для
всех вещественных х неотрицательные значения, можно предста-
представить в форме [A (x)f + [B (х)]2, где А (х) и В (х) — целые рацио-
рациональные функции с вещественными коэффициентами.
45.	Всякую целую рациональную функцию, неотрицательную
для неотрицательных х, можно представить в форме
[А (х)]' + [В (х)]* + х {[С (x)]> + [D (х)]*},
где А(х), В(х), С(х), D(x) — целке рациональные функции с ве-
вещественными коэффициентами.
46.	Всякую целую рациональную функцию п-й степени, имею-
имеющую в интервале —IsSatscI лишь неотрицательные значения,
можно представить в форме
[А(х)У + A-х*)[В(х)]*,
где А (х) и В (х) — целые рациональные функции соответственно п-й
и (п.— 1)-й степеней, имеющие вещественные коэффициенты. [41.]
47.	Всякую целую рациональную функцию п-й степени Р (х),
принимающую в интервале —l=sS*sgl лишь неотрицательные
значения, можно представить в форме
и притом так, чтобы все четыре слагаемых были самое большее
п-й степени.
Если Р (х) — степени 2т, то можно выбрать такое представле-
представление, при котором В (х) = С(х) — 0, А (х) — степени тя D(x)— сте-
степени т—\.
4S. Можно ли каждую целую рациональную функцию п-й сте-
степени Р (х), положительную в интервале —1 <х<1, представить
в форме
где Л^зО, a + $s^n, а и р —целые неотрицательные числа?

94	ЗАДАЧИ
49. Каждая целая рациональная функция Р (х), положитель-
положительная в интервале —1<х<1, может быть представлена в форме
где А 2г 0, а и |3 — целые неотрицательные числа,
§ 7. Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов
50. Пусть
g (ft) = %0 -f Xx cos ft -f ц.! sin ft + Я2 cos 2ft -f ц2 sin 2ft +...
... + kn cos nft + [г„ sin nft
— неотрицательный тригонометрический полином n-ro порядка со
свободным членом, равным единице, т. е.
2Я
Тогда
Равенство будет достигаться только при условии
l1+2 + 2a + + ^|a
и ft = ft0 (или вообще ft = fto + 2&ix, k = 0, ±l, ±2, ...).
51. (Продолжение.) Показать, что
Равенство достигается лишь когда
g(ft)=l+cosn(ft-ft0).
52. (Продолжение.) Показать, что
53. Среднее геометрическое [II 48] неотрицательного, не рав-
равного тождественно нулю полинома g(ft) есть
2я
-~ ^ In g (¦()) d#
е о
где g (ft) = | Я (е№) |2 — определенное в задаче 43 «нормальное пред-
представление» полинома g (ft).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, §7	95
54. Пусть неотрицательный не равный тождественно нулю
полином га-го порядка
...-\-Кcos«ft-f \in sinnft
имеет в качестве среднего геометрического единицу. Тогда
Равенство достигается только для полинома
и при условии ft = ft0 (или вообще ft=fto + 2&ri, k — 0, ± 1, ±2,...).
55. (Продолжение.) Среднее арифметическое полинома g(ft)
удовлетворяет неравенству
2я
о
Когда достигается равенство?
56. (Продолжение). Показать, что
<У=1' 2> 3' ••" ")'
Когда здесь будет достигаться равенство?
57. Тригонометрический полином без свободного члена
= Кх cos ft + {хх sin ft + Xa cos 2ft + (л2 sin 2ft +...
... + %n cos nb + (л„ sin nft,
не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех зна-
значений ft постоянный знак. Доказать это без применения инте-
интегрального исчисления.
58» Пусть через —т и М обозначены минимум и максимум
тригонометрического полинома п-го порядка
g (ft) = Xi cos ft + ц2 sin ft + Я2 cos 2ft + (л2 sin 2ft +...
... +А,л cos raft+ ц„ sin raft, m2=0, M^O. [57,]
Показать, что
59. Первая интегральная теорема о среднем значении может
быть для тригонометрических полиномов уточнена следующим обра-
образом. Если g (ft) — тригонометрический полином га-го порядка с ми-
минимумом т и максимумом М, то
2л
а ^ ., М — т

96	ЗАДАЧИ
60. Пусть — т есть минимум, а М — максимум тригономет-
тригонометрического полинома п-го порядка
g (ft) = %0 -f %1 cos ft + (Xj, sin ft + К cos 2ft + ц2 sin 2ft +...
... + Kn cos nft + (Л„ sin nft.
Тогда либо т, либо М больше чем У In + \й. Равенство
будет выполняться лишь для полиномов
= ccosn(ft-ft0).
61а Сложим п гармонических движений, периоды которых
находятся в отношениях I :^ :-^:...:—; фазы произвольны. По-
? О	ft
казать, что максимальная элонгация результирующего движения
будет самое меньшее равна среднему арифметическому амплитуд
слагающих гармонических движений.
Вопрос сводится в обозначениях задачи 58 к доказательству
неравенства
(Уточнение теоремы 50.)
§ 8. Максимумы и минимумы полиномов
62. Пусть Р (х) — полином п-й степени со старшим коэффи-
коэффициентом 1. Показать, что максимум | Р (х) \ в интервале —1 sg х ^ 1
не может быть меньше чем -^г- Если в интервале —i
\Р(х)
то Р(х) отличается от определенного на стр, 85 полинома Та(х)
лишь постоянным множителем. [60.]
Рассмотрим совокупность всех полиномов п-й степени со стар-
старшим коэффициентом 1, т. е. полиномов
Р (х) = хп + а^-1 + агхп-* + ... + «„
с любыми комплексными коэффициентами а1( а2, ..., ап. Обозна-
Обозначим через \in (а, E) минимум максимумов всех | Р (х) | в интервале

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 8	97
; р. Теорему 62 можно тогда формулировать следующим
образом: при а =—1, р = 1 этот «minimum maximorum»
.. /	i ]\_____
63a Показать, что
Таким образом, для существования полиномов со старшим коэф-
коэффициентом 1, произвольно малых равномерно во всем заданном
интервале, необходимо и достаточно, чтобы длина / этого интер-
интервала была меньше чем 4.
64. Пусть переменная х изменяется в двух равных интерва-
интервалах, получающихся путем удаления из интервала asgx^p интер-
интервала длины d с центром ^-тг-; d<.$ — a = l. Пусть, далее, |л„ бу-
будет нижняя грань максимумов всех полиномов n-й степени со
старшим коэффициентом 1, взятых в этих двух интервалах. Тогда
у 16
при п четном и
16
при п нечетном. [63.]
65* Рассмотрим совокупность полиномов п-и степени
где коэффициенты Ъх, Ь2, ..., Ьп — произвольные .комплексные
числа. Показать, что максимум | Q (г) \ на единичной окружности
| z | = 1 не может быть меньше единицы и равен единице лишь
для Q(z) = zn.
66. Теоремам 63 и 65 можно дать следующую геометриче-
геометрическую интерпретацию.
Пусть в плоскости Даны п фиксированных точек Pv Р2, .,,, Рп
и переменная точка Р. Тогда функция
РРх-РРг ... РРп
этой точки Р (PPV — расстояние между точками Р и Pv) имеет на
каждом отрезке длины / максимум не меньше чем 2[-т) и на
каждой окружности радиуса г максимум не меньше чем гп. Единст-
Единственный возможный предельный случай будет для отрезка, когда
точки Рг, Р2, ..., Рп распределены на заданном отрезке как нули
4 Г. Полна, Г. Cere, ч. II

98	ЗАДАЧИ
полинома Чебышева Тп(х) [1] в интервале [—1, 1], а для окруж-
окружности — когда все точки Plt Р2, ..., Рп совпадают с ее центром.
Доказать, что эта теорема верна и в том случае, когда точ-
точки Р1( Р2, ..., Р„ произвольно распределены в пространстве.
§ 94 Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть хъ х2, ..., хп — любые отличные друг от друга вещест-
вещественные или комплексные числа. Положим
f(x) = ao(x-x1)(x-x2) ... (х-хп) (аоф0),
f /х)— ' f№ _ (х—х1)...(х — Ху_1)(х х)(х х)
f'(XV)X—Xv	(Xy—X1)(Xy—Xy1)(Xv
(v=l, 2, ..., n).
Тогда каждый полином (п— 1)-й степени можно будет выразить
через его значения в точках хъ х2, ..., хп следующим образом:
Р (X) = Р (Xl) f± (X) + Р (Ха) /2 (X) +. .. + Р (*„) U (X)	(*)
(интерполяционная формула Лагранжа). Полиномы fv(x) будем
называть фундаментальными полиномами интерполяции.
67. Пусть полином n-й степени
/ (х) - аохп + а^-1 + ... + ап-хх + ап
имеет отличные друг от друга нули хх, х2	хп. Тогда
О, если OsS^sSn —2,
йо1. если k = n—\.
Далее при k — n, n-f-1	2n —2 ак не зависит от ап\ при k =
= 2п— 1 оно выражается линейно через ап с коэффициентами — а^2.
68ш (Продолжение.)
^"'/(^-^(х,) ( 0, если 0 =sc&sc2/г-2,
_	I/'(-^v)]3	\ До2, если & = 2ге — 1.
69. (Продолжение.) Пусть хх, х2, ,.., хп отличны от 0 и—1.
Доказать, что
Х±Х2...Хп).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 9
99
70. Пусть х0, х1; х2, ..., х„ — произвольные целые числа,
х0 < xi < хг < • ¦ • < хп- Показать, что каждый полином га-й сте-
степени вида
хп
принимает в точках х0, хъ х2, ..., хп значения, из которых по
крайней мере одно по абсолютной величине больше или равно ~.
71. Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома
Т„{х) [1], т. е. числа
lv~lhn (v = l, 2, .... n).
Тогда фундаментальные полиномы будут
Таким образом, каждый полином (га— 1)-й степени Р(х) может
быть представлен в форме
V = 1
72. Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома
(х) [1], т. е. числа
«v = cosv-5-f (v = l, 2, .... га).
Тогда фундаментальные полиномы будут
Таким образом, каждый полином (га— 1)-й степени Р(х) может
быть представлен в форме
V = 1
73. Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома
Un_1(x)(x2—l), т. е. числа xv — cosv — (v = l, 2	 га —1),
а также точки хй—1, хп — — 1. Тогда фундаментальные полиномы
будут
fAx) = t^4*±W?zh (v=»i, 2, .... га-1),
4*

100	ЗАДАЧИ
Таким образом, каждый полином n-й степени Р (х) может быть
представлен в форме
y(l)p(Xv)
П iaJ V	'	X — Xv
V = 1
74. Возьмем в качестве точек интерполирования корни п-й
2
степени из единицы ev = e " (v= I, 2, ..., п). Тогда фундамен-
фундаментальные полиномы будут
/v — 1 О	П)
Таким образом, для любого полинома Р (х) степени я — 1 имеет
место разложение
V= I
75. Пусть полиномы Р(х) и Q(х) оба п-й степени и х0, хх, х2,...
..., хп — произвольные п + 1 отличных друг от друга или частично
совпадающих вещественных или комплексных чисел. Показать,
что из п+1 уравнения
Р (хо) = Q (Хо), Р1 (хг) = Q' (х,), Р" (х2) = Q" (х2)
вытекает тождественно
P(x) = Q(x).
7в. Для любых п+1 чисел с0, clt сг, ... ,с„ возможно и при-
притом единственным образом построить полином Р (х) степени «?; п,
удовлетворяющий условиям
Р@) = со, P'(l) = c1, P"B) = c2, ...,PW(n) = c, [75].
Показать, что этот полином Р (х) может быть представлен в форме
где
А0(х), At(x), ..., А„(х)
ч
представляют собой численно вполне определенные, не зависящие
от произвольно заданных значений
со = Р(О), с1 = Р'A). .... са = РЫ(п)
полиномы (в известном смысле «фундаментальные полиномы» этой,
существенно отличной от лагранжевой, интерполяции).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 10	101
§ 10, Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова
77. Для совокупности полиномов (п — 1)-й степени
Р (х) = aox»~i + alX"-* + ... + fl_lf
удовлетворяющих в интервале —1^a;=sS1 неравенству
наибольшее значение, которое может принимать коэффициент |ао|,
равно 2"-1, т. е.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда Р (х) — yUn^ (x),
где | у 1 = 1. [71.]
78.	Получить из 73 новое доказательство теоремы 62.
79.	Получить из 74 новое доказательство теоремы 65.
80.	Рассмотрим все полиномы (п—1)-й степени Р(х), удов-
удовлетворяющие в интервале —1«^д;^1 неравенству
Показать, что в этом интервале
Равенство достигается лишь для Р (x) — yUn.x(x), где |у|=^1, и
при х = ±\.
81. Доказать следующее обобщение второго неравенства за-
задачи 7. Пусть
5@) = ^ sin d-(-(xasin2i9' + |i3 sin 30 +.. • + н-л sin гад
— любой полином /г-го порядка по синусам с вещественными коэф-
коэффициентами, удовлетворяющий неравенству'
Тогда
5@)
sin ¦
Равенство достигается только для 5 (¦&) = ± sin «0.
82. Пусть тригонометрический полином га-го порядка с ве-
вещественными коэффициентами
• • • + ^л cos rift + И-л s in

102	ЗАДАЧИ
удовлетворяет при всех вещественных значениях ¦& неравенству
Тогда
[Рассмотреть 5(д) = s(^ + ^)-g(^-^)_ <> = 0 j
83. Пусть полином я-й степени Р(я) удовлетворяет в интер-
интервале—1^д;е=;1 неравенству |P(a;)|sS1. Тогда
| Р' (х) |.< п\
Равенство достигается только для Р (х) = уТп (х), | у | = 1, х = ± 1.
[Рассмотреть /'(cosО).]
§ 11. Полиномы Лежандра и родственные им
Полиномы Лежандра
Р0(х), Рх(х), Р2(х), ..., Рп(х), ...
определяются следующими условиями:
1) Рп {х) — полином п-й степени с вещественными коэффициен-
коэффициентами1), для которого
1
I Pn(x)xvdx = 0 (v = 0, I, 2, ..., n-l; nSsl).
—l
2)
!
J[P«wr^ = 2^pr <ra = 0> *' 2> ••¦)-
3) Коэффициент при x11 в полиноме /э„(л;) (n = 0, 1, 2, ...)
положителен.
Первое условие означает, что, каков бы ни был полином К, (х)
(я—-1)-й степени, имеет место соотношение
1
5 Pn(x)K(x)dx^0.
1
Отсюда следует, что условием 1) полином Рп(х) однозначно опре-
определяется с точностью до постоянного множителя. Действительно,
пусть Р% (х) — полином, удовлетворяющий этому условию; тогда
*) Предположение вещественности коэффициентов можно отбросить, над-
надлежащим образом изменив детали определения. См. также 98, 99, 100.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 11	103
этому же условию будет удовлетворять и аРп(х) — ЬР*п(х) (афО,
Ь Ф 0). Выберем постоянные а и b так, чтобы аРп (х) — ЬР% (х)
было полиномом (п — 1)-й степени; тогда из тождества
1
\ [аРп (х) - ЬР1 (x)Y dx = a \ Рп (х) [аРп (х) - ЪР% (х)] dx -
—1	—1
1
-b \Р% (х)[аРп(х)-ЬР* (х)] dx = О
— 1
будет следовать, что аР,г (х) — ЪР1 (х) — 0. Из 2) следует, далее,
что |а| = |Ь|, а из 3) —что а — Ь.
Интегральные условия 1), 2) можно объединить в следующей
формуле:
1	I 0, если тфп,
Pm(x)Pn(x)dx = { _^_	(m, п = 0, 1, 2, ...)
j ССЛИ ПТ — Т1
(условия ортогональности).
84. Показать, что Рп {х) с точностью до постоянного множи-
множителя равен п-й производной от (л:2—!)":
йп
(формула Род рига).
85. A — t)n P f^1"^^ —
86.	Полином Рп (х) может быть представлен в интегральной
форме
я
Рп (X) =4 J (* + VxT^\ COS ф)» йф
б
(формула Лапласа).
87.	Между тремя последовательными полиномами Лежандра
существует рекуррентное соотношение
Рп(х) = ^хРп-г(х)~"~^Рп^(х) (п = 2, 3,4,...)•
88.	Существует единственный полином n-й степени Sn (x)
с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношению
1
\ Sn(x)K(x)dx = K(\)
-1

Ю4	ЗАДАЧИ
для всех полиномов n-й степени К(х). Представить Sn(x) и
A — x)Sn(x) в виде линейной комбинации полиномов Лежандра.
[Представить так же К (х).]
89» (Продолжение.) Полиномы
Sow. S1(x), S2(x), ..., Sn(x),
удовлетворяют соотношениям ортогональности
1	с 0, если тфп
(l-x)Sm(x)Sn{x)dx = \ п-{Л	_ (т, п = 0, 1, 2,...).
-1	12' если т-п
90.	Показать, что Рп(х) удовлетворяет однородному линей-
линейному дифференциальному уравнению второго порядка
A - х2) Рп (х) - 2хР'п (х) + п(п + 1)Рп (х) = 0.
91.	Для достаточно малого w имеет место разложение в сте-
степенной ряд
VT-
(«производящий ряд» для полиномов Лежандра).
92.	Вывести 84, 86, 87, 90 непосредственно из 91. (91 можно
принять также за определение полиномов Лежандра и притом
за определение, занимающее.«центральное положение», ибо от него
к большинству свойств этих полиномов ведут наиболее удобные
пути.)
93.	Показать, что Рп (cos ft) представляет собой полином по
косинусам с неотрицательными коэффициентами. Определить эти
коэффициенты. Вывести отсюда неравенство
Если п>0, равенство достигается лишь при х=\ или х = — 1.
94.	При х > 1 последовательность
Р0(х), Рх(х), Pt(x), ..., Рп(х), ...
монотонно возрастает.
95.	Сумма п первых полиномов Лежандра неотрицательна
в интервале —1 «?*«?; 1:
Равенство достигается лишь когда п нечетно и х = —1. [III 157.]

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 11	105
96> При четном п сумма п первых полиномов Лежандра
положительна при всех значениях х. При п нечетном эта сумма
имеет в точке х — —1 единственное изменение знака. [94.]
97.	Показать, что n-й полином Лежандра Рп(х) имеет лишь
вещественные и притом простые нули; все эти нули лежат внутри
интервала [—1, 1]. [II 140.]
98.	Обобщить теоремы 84—91, 97 на полиномы Дкоби (гипер-
(гипергеометрические полиномы)
Рр Р) (х), Р?' р)(х), Pf' р) (х), ..., Pf Р)(х), ... (а, Р >-1),
определяемые следующими условиями:
1), 2) Р{?'® {х). есть полином n-й степени с вещественными
коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям
\ A -xf(l +xfP%- Р) (х) Pf- р) (х) dx =
—1
10,	если тфп,
т~п
(т, п = 0, 1, 2, ...)
при п = 0 последнее выражение должно быть заменено следующим:
Г(Р +
3) Коэффициент при хп полинома Р%" й (д;). положителен.
При некоторых специальных значениях ос, р эти полиномы
приводятся к уже известным полиномам Рп(х), Sn(x), Tn(x) и
IIп (х). Именно при
_п	1	i	JL
ОС — U,	1,	~~ 2 '	2 '
Р = о,	о,	-.1,	1,
р(«. »/гч_р (Х) _?_С /v-l ЬЗ...Bп-1)	1-3...Bя+1)
гл V-*/ — ^л v.-*/' ni I °nV-*^> 2.4 2«	^ '' 2-4 Bп + 2) ^'*
[См. стр. 102, 89,	4,	4.]
(Коэффициент при Тп(х) в случае га = 0 заменить на 1.)
99. Распространить теоремы 84, 85, 87—91, 97 на обобщен-
обобщенные полиномы Лагерра
Lf>(х), Lf (x), Lf>(x)	Lf\x), ... (со— 1),
определяемые следующими условиями:

106	ЗАДАЧИ
1), 2) LT (х) есть полином я-и степени с вещественными коэф-
коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям
10,	если тфп,
Г(а+1)( ^ J, если т = п
3) Коэффициент при д;" в полиноме L^ (х) имеет знак (—1)п.
100.	Доказать теоремы, аналогичные 84, 87, 88, 90, 91, 97,
для полиномов Эрмита
Н0(х), Нх{х), Н3(х), .... Нп(х), ....
определяемых следующими условиями:
1), 2) Нп (х) — полином я-й степени с вещественными коэффи-
коэффициентами," удовлетворяющий соотношениям
Х2	@, если тфп,
,~~Тfj (х\н /x)dx—i ,—	(т, я = 0, 1, 2, ...).
I —г^-, если т — п
3) Коэффициент при хп в полиноме Нп(х) имеет знак (—1)".
101.	Для определенных в 98 и 99 функций Р'%' р> (х) и L^ {x)
имеет место предельное соотношение
lim Р*~п' Р> A — е) = L^ (x)
где е при возрастании р стремится к нулю таким образом, что
lim ер=2д:.
102.	Определенные в 99 и 100 функции LT (х) и Нп(х) свя-
связаны между собой соотношениями
Н

Ь3-5...Bо —
ч- 1-3-5...
§ 12. Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов
103. Пусть Р (х) — любой полином п-й степени с веществен-
вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию
i
$ [P(x)]2dx=l.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 12	1°7
Тогда в интервале
Равенство достигается лишь для
P(x) = ±?ZlSn(x) [88] при х=\
или
^n(-x) при х = -\
(я>0). [Интеграл от [Р (x)f представляет собой квадратичную
форму от «+1 определяющих полином величин; постараться
выбрать их так, чтобы эта квадратичная форма привелась к сумме
n-fl квадратов.]
104. Пусть Р (х) — любой полином п-й степени с веществен-
вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию'
1
\ (l-x)[P(x)fdx
—1
Тогда
Эти границы нельзя понизить.
105.	Пусть Р (х) — произвольный полином п-й степени с ве-
вещественными коэффициентами, удовлетворяющий условию
\(l-xy(l+xf[P(x)fdx=\,
—1
где а и р —постоянные >—1. Определить максимумы значений
|РA)| и \Р(—1)| для всей совокупности указанных полиномов.
Как ведут себя эти максимумы для больших значений п?
106.	Определить максимум значения | Р @) | для совокупности
всех полиномов п-й степени Р (х), удовлетворяющих условию
со
\e'xxa[P(x)fdx=l,
о
где а —постоянная > — 1. Как ведет себя этот максимум для
больших значений п?

108
ЗАДАЧИ
107. Определить максимум значения | Р @) | для совокупности
полиномов п-й степени Р (х), удовлетворяющих условию
СО	X2
\ е 2
— со
Как ведет себя этот максимум для больших значений и?
108. Пусть Р (х) — полином п-й степени, неотрицательный
в интервале —1«^л:<;1 и удовлетворяющий условию
1
\ P(x)dx=l.
—1
Тогда
при нечетном п, n = 2q—l,
т^- при четном п, n = 2q.
Аналогичная оценка имеет место и для Р(—1). Эти границы не
могут быть понижены.
109. Первая интегральная теорема о среднем значении может
быть следующим образом уточнена для полиномов п-й степени.
Пусть Р (х) — полином п-й степени, имеющий в интервале а ^
минимум т и максимум М. Тогда
ь
а„
где при нечетном п, n — 2q—\, имеем
а при четном п, я = 2q,
110. Пусть Р (х) — полином п-й степени, неотрицательный
в интервале —1*?л:^1 и удовлетворяющий условию
1
$ (l-x)a(l+xfP(x)dx=l,
	j

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 12
где а и р —постоянные >—1. Тогда
109
при нечетном п, n = 2q—l,
2а+р+1 Г (а + 1) Г (а + 2) Г (q+l) Г (<? + Р+1)
при четном п, и = 2<7.
Эти границы не могут быть понижены.
Меняя местами аир, получаем соответствующие границы для
Р(-1).
111. Пусть Р (х) — полином п-й степени, принимающий для
неотрицательных х лишь неотрицательные значения и удовлетво-
удовлетворяющий условию
со
\e'xxaP{x)dx=\,
где постоянная а>—1. Тогда
Эта граница не может быть понижена.
112. Пусть Р (х) — полином n-й степени, неотрицательный для
неотрицательных х и удовлетворяющий условию
\e-xP(x)dx=\,
Тогда
(Продолжение.) Вообще при любом неотрицательном !¦
выполняется неравенство

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Вычисление определителей.
Решение линейных уравнений
1.	Перенумеруем п вершин многогранника. в некотором опре-
определенном порядке и зададим затем определитель п-го порядка
| %i I следующими условиями:
Если Я-я и (х-я вершины многогранника представляют собой
концы одного и того же ребра, то а?41 = йй?_ = 1.
Если же отрезок, соединяющий Я-ю и |1-ю вершины, не яв-
является ребром многогранника, то а}^ — 0. В частности, aw. = 0
для всех Я.
Показать, что ^значение этого определителя не зависит от
порядка нумерации вершин. Составить и вычислить указанные
определители для тетраэдра, гексаэдра (т. е. куба) и октаэдра.
2.	Вычислить
1
а2
b3 ... an
3. Доказать тождество
1, 2	n
П (a/-fl*)(b/-6ft)
ik
~~	1, 2	п
п
Обозначим определитель' квадратичной формы
u=l

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 1
111
через Dn. Показать, что
П _ [П2!...(я-1I]»я1
Un (n+l)!(n + 2)!...Bn)! '
Вычислить, кроме того, определитель Dn(a) квадратичной формы
п п
Ld Li A+.l+CC
л—1	1, 2	п
5.	|(а>.-Ьй)"-1|?=П («-v)-2v Ц (a,-ak){b,-bk).
v=l	/>*
6.	Посредством преобразования определителя \F(a}$^)\ свести
доказательство теоремы V 86 к теореме V 48.
7.	Пусть f(x) = (r1 — х){г2 — х)...(гп — х). Показать, что
_ af(b)-bf(d)
~ a-b
ч
ь
b
а
Н
b
а
а
г,
... а
... а
...а
b b
[Прибавить ко всем п2 элементам переменную х; получающийся
таким образом определитель будет линейной функцией от х и,
следовательно, определится заданием двух частных значений.]
8.	Положим А = ad — be. Тогда
д(аА, 6А, сА, dA)
д(а, b, с, d)
где стоящее слева выражение означает функциональный опреде-
определитель Якоби.
9.	Доказать, что выражение
т
п
I
m
Т
П
т
п
п т	"
/=?0,
пфО
делится на р —2. Определить остальные множители.
tO. Определитель
' > Xv t Xv, .. . , Ху	, Ху	, . . . , Xv , Л,у \ V 1,/,...,
как знакопеременная целая рациональная функция п чисел
х2, ..., хп делится во всяком случае на произведение
1, 2, ... , п
П (*/-**>¦

112
ЗАДАЧИ
Показать, что частное от деления определителя на это произве-
произведение равно q-ft элементарной симметричной функции п чисел
11. Пусть числа а0, ах, а2, ..., ап все отличны от нуля. Пока-
Показать, что при любом z имеет место тождество
Z |-
0
0
a.2
at
г
0
a3
a2
0 ...
z
0 ...
an-i
0
0
an_2
a-n
0
0
2
яог
-... + «/!•
12. Система уравнений
— а3д;2 + a2x3 = Ьъ
ахх
1Л1-
где Й!, й2, й3, bv b2, b3, с —вещественные числа, совместна в двух
различных случаях. При этом в одном случае неизвестные х1У х2,
х3 совершенно неопределенны, во втором должны иметь совер-
совершенно определенные значения.
13. Пусть целая функция
имеет лишь различные между собой нули а1; а2, ..., ап, ...,
Рассмотрим систему п уравнений
jww = О,
„1 \	>(«) = 0,
которыми вполне определяются «<,">. Показать, что при сходимости
ряда j^j + j-^j- + • • • + -|^7Г + • • • Iim uin) существует, однако не
обязательно равен ck. (u1 — cl, u2 = c2, ... является одним из
решений бесконечной системы
« + ... = 0 (v=l, 2, 3, ...).)

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 1	ИЗ
14. Пусть в системе уравнений
Cllzl 4" С12г2 4" • • • 4" С\п%п = О»
C21Z1 4" С22г2 4" • • • 4~ С2пЛп = 0.
Сп1%1 4" ^«2^2 4~ • • • 4" Спп^п — "
коэффициенты и неизвестные представляют собой комплексные
числа
с>.ц — й?.й 4" t b?4i > zn = хр. 4" *#ц >
где а^, Ь)^, Хц, у^ вещественны. Чтобы эти уравнения допускали
не только тривиальное нулевое решение
т. е.
xi= Х2= • • •= хп — Hi= У% — ¦ ¦ ¦ = i/« — 0i
необходимо и достаточно, чтобы определитель |с^|" был равен
нулю. Это дает два уравнения между 2я2 вещественными вели-
величинами а^, Ъцу,. С другой стороны, заданные уравнения можно
представить в виде системы 2п однородных линейных уравнений
с 2п вещественными неизвестными. Но тогда необходимым и до-
достаточным условием наличия нетривиального решения будет
являться обращение в нуль некоторого вещественного определи-
определителя, что дает одно уравнение между а-Ч1, b*,^. Как согласо-
согласовать между собой эти два результата?
15.	Все шесть членов в разложении определителя третьего
порядка не могут быть одновременно положительны.
16.	Правило разложения определителя состоит из двух частей:
первая часть указывает, из каких элементов составляются произ-
произведения, тогда как второй частью определяются знаки перед про-
произведениями, образованными указанным образом.
В случае определителей второго порядка вторую часть можно
представить в виде следующего простого правила:
Каждому из элементов
мы сопоставляем соответственно знак
4- 4-
- 4-.
Тогда каждый элемент произведения, составленного согласно
первой части правила, нужно взять с соответствующим знаком.

114	ЗАДАЧИ
Показать теперь, что аналогичное правило для определителей
выше чем второго порядка невозможно; иными словами, невоз-
невозможно п2 элементам определителя так поставить в соответствие па
фиксированных знаков, чтобы у всех произведений, составленных
согласно первой части общего правила разложения, но с учетом
соответствующих знаков, получался в итоге надлежащий знак.
§ 2. Разложение рациональных функций в степенные ряды
В задачах 17—34 рассматриваются определители, обычно на-
называемые определителями Ганкеля или рекуррентными:
ап+г-1 ап+г ап+г+1 ¦¦¦ ап+2г
составленные из коэффициентов степенного ряда
17. Пусть степенной ряд а0 -\- axz -\- a2z2 -\- ¦ ¦ • представляет
рациональную функцию, у которой знаменатель имеет степень q,
а числитель — степень р— 1 (предполагается, что числитель и зна-
знаменатель — взаимно простые; степени — точные). Пусть, далее,
d = Max(O, p — q). Показать, что
18. Пусть d, q — неотрицательные целые числа. Если
то степенной ряд может быть представлен в виде отношения двух
полиномов, из которых стоящий в знаменателе имеет степень q,
а в числителе —степень *^q-\-d—l. [Исследовать зависимость
линейных форм
Ln (х) = аах0 -\- ап+1хх + ап^хъ -}-...-)- an+gxg.]
¦ •»¦ Ап An-\-i — An А\	\А^
20. ЕСЛИ
—... — Лт_(_/_1 — U,
то t определителей
Л (я) л(ч) л(ч)	д(я)

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 2	115
либо все одновременно равны нулю, либо все одновременно не
равны нулю.
21. Если в треугольной схеме
Л'" Л<" Af Af Af *	* *
Af Af Af * *	* *
я(г)	Л^*
построить на произвольном элементе (определителе), как на вер-
вершине, открытый сверху прямой угол с вертикальной биссектри-
биссектрисой, то все определители, содержащиеся в этом угле, будут слу-
служить минорами определителя, находящегося в вершине.
22.	Условимся говорить, что в схеме 21
А(п и А{п\х образуют гори зонтальную пару,
An+i и Ап+1) образуют вертикальную пару,
А(п и А{п+1) образуют ди агон ал ьную пару,
A%\-i и A^—i* образуют точно так же диагональную пару,
накрест лежащую с Ап\ Ап+1).
Показать, что
1)	при обращении в нуль диагональной пары обращается
в нуль и накрест лежащая с ней пара;
2)	при обращении в нуль горизонтальной пары обращается
также в нуль расположенная либо над, либо под ней горизон-
горизонтальная пара;
3)	при обращении в нуль вертикальной пары обращается также
в нуль находящаяся либо слева, либо справа соседняя вертикаль-
вертикальная пара.
Свойства 1), 2), 3) сохраняют силу также на наклонном крае
схемы 21.
23.	Если лишь конечное число определителей бесконечной
последовательности
д(к + \) д(к + 1) д(Ь+1)	л(* + 1)
"О	> 	> ™1	, ...» /1 л	»•••
отлично от нуля, то степенной ряд аа + atz-\-а2гг + ••• + a„zn-\-...
представляет рациональную функцию, степень знаменателя кото-
которой не превосходит k. [20, 18.]
24.	Если лишь конечное число определителей бесконечной
последовательности
лA) я B) дC)	д(.п)

116	ЗАДАЧИ
отлично от нуля, то степенной ряд ao-\-a1z-\-a2z2-\-...-\-anznJr...
представляет рациональную функцию.
25. Если лишь конечное число определителей бесконечной
схемы
Л A)	А B)	ЛC)	л D)	Л A+1)
лA) л оа л(з)	л(«)
¦" 1 » " 2 » " 3 I • • • » " Л 1	•••
отлично от нуля, то, степенной ряд ao-\-alz + a2zi-\-...-\-anzn-{-...
представляет рациональную функцию.
26. Показать, что указанные в задачах 23, 24, 25 достаточ-
достаточные условия рациональности функции, представляемой степенным
рядом au-\-a1z-\-a%ztJr...Jranz'1-{¦..., являются также необхо-
необходимыми.
О бесконечной матрице
Й00 «Of «02
а10 ап аи
говорят, что она конечного ранга г, если все содержащиеся в ней
определители (/¦+ 1)-го порядка равны нулю и хотя бы один опре-
определитель г-го порядка не равен нулю.
У бесконечной матрицы Ганкеля
Gq С1]_ ??2 • ¦ •
ах о2 из •••
о2 а3 а4 ...
(а)^ — а}А11) определенный только что ранг условимся называть
также брутто-рангом. Обозначим через rk ранг матрицы
ak
ak+2
получающейся из .?) вычеркиванием первых k столбцов (или строк).
Имеем
Фо = ?. Г0 = Г, Г0 =г/-! 5г г2 5=...
Минимум последовательности чисел г0, гъ г2, ..., необходимо
достигающийся через конечное число шагов, условимся называть
нетто-рангом матрицы 4?.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 2
117
27.	Ранг матрицы § конечен тогда и только тогда, когда
степенной ряд ао-\- cii? -\-a2z2 -\-... + anzn -\-... представляет рацио-
рациональную функцию.
28.	Брутто-ранг матрицы § равен порядку последнего
не обращающегося в нуль определителя из бесконечной последо-
последовательности
дИ)
"О >
Пусть таковым является Л[,р); тогда нетто-ранг равен порядку
первого не равного нулю определителя из конечной последо-
последовательности
(Если все эти р определителей равны нулю, то и нетто-ранг равен
нулю.)
29. Нетто-ранг матрицы § в случае, если он конечен, равен
степени знаменателя рациональной функции, представляемой рядом
ao-\-a1zJraiz2Jr...-\-anzn-\-... Эта рациональная функция будет
правильной дробью тогда и только тогда, когда брутто-ранг ра-
равен нетто-рангу. Если брутто-ранг больше нетто-ранга, то он пре-
превосходит на единицу степень числителя. (Числитель и знамена-
знаменатель рациональной функции предполагаются, конечно, взаимно
простыми; степень числителя —точной.)
30.	Функция, представляемая степенным рядом
ахг а2г2	апгп
"о + 7Г ' ~W "г ¦ •' ' ~пГ "г • • •'
тогда и только тогда удовлетворяет однородному линейному диф-
дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, когда
все определители
л (О л (а) д<з)	л(п)
за исключением нескольких, равны нулю.
31.	Пусть Qn(z) — полином п-й степени, Qn(O) = l (n = 0, 1,
2, ...). Положим для краткости
z + aiz* + ... = f{z), Qk(z)f(z) =
Qk (г) Qi (г)/ (г) = П*П А> + DuO fix
(П*П Аг есть однородное линейное выражение, составленное из ап,
Показать, что
DiDiO2
DA ?

118
ЗАДАЧИ
32. Пусть
-... будет степенное разложение ра-
рациональной функции со знаменателем zq — qz?-1 — c2z?~2 —... — cq.
Числитель и знаменатель предполагаются взаимно простыми. По-
Показать, что матрицы
0 0 0 0
10 0 0
0 10 0
am+i ••• am+q-l
°тл+2 • • • am+q
\am+q-l am+q
связаны соотношением
... а
¦m+2q-2
0 0 10
= 0, 1, 2, ...).
Обозначим ранг бесконечной матрицы
(ЗЯ)	п2° °21 fl22
а2п ...
0 Сд ¦
0 Cg.i
0 Ся-2
0 Cq_3
0 0 0 0 ... 1
с конечным числом (= т) строк через г0; ранг матрицы, полу-
получающейся из Ш вычеркиванием п первых столбцов, —через гп.
Имеем го;э= г^^г^^... Будем теперь lim rn называть нетто-
П-.00
рангом матрицы Ш.
Матрица Ш принадлежит системе т степенных рядов
f2(z)
=ам +anz+a12z2
!т (г) = ат + amlz + amiz2 + ... + amnzn +...
Эти ряды называются линейно зависимыми, если можно подобрать
такие постоянные съ с2, ..., ст, где 11
что имеет место тождество
Они называются квази-линейно зависимыми между собой, если
б	f|
можно подобрать такие постоянные сг, с2, ..., ст,
• • • +1 ст | > 0, что справедливо тождество
-f-...
B)
= /> (z),
где Р (г) — полином.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 3	П9
Утверждения: «между степенными, рядами f(z), zf (z), z2f (г),...
..., zmf (z) при достаточно большом т существует квази-линейная
зависимость» и «f (г) — рациональная функция» равносильны.
Говорят, что f(z) представляет алгебраическую функцию, если
между (т+1J степенными рядами гй[/г(г)]у (ц., v = 0, 1, 2, ..., т)
при достаточно большом т имеет место линейная зависимость.
Говорят, что f(z) удовлетворяет алгебраическому дифференциаль-
дифференциальному уравнению г-ro порядка, если между {т-\-\)г+г степенными
рядами
(ц, v, v±, v2, ..., vr = 0, 1, 2, ..., т) при достаточно большом т
существует линейная зависимость.
33.	Если ранг матрицы системы конечного числа степенных
рядов равен г, то между этими рядами имеются г линейно неза-
независимых, все же остальные линейно зависят от этих г рядов.
34.	Если нетто-ранг матрицы системы конечного числа сте-
степенных рядов равен г, то между этими рядами имеются г квази-
квазилинейно независимых, все же остальные квази-линейно зависят
от указанных г рядов.
§ 3. Положительные квадратичные формы
35а Если квадратичные формы
и ^ Е
Я = 1 1Л = 1	Л,= 1 |А= 1
положительны, то квадратичная форма
2 2
точно так же положительна. Если, кроме того, одна из этих
двух форм является определенной, а в-матрице другой элементы
главной диагонали отличны от нуля, то третья также будет опре-
определенной.
36. Рассмотрим симметрические матрицы
а12 ... aln\
\ап1 ая3 ... ап
Если квадратичная форма, определяемая матрицей (fl?v!i)> положи-
положительна, то положительной будет и форма, определяемая матри-
матрицей (е%). Если, кроме того, в матрице (а^) нет тождественно

120	ЗАДАЧИ
совпадающих строк, то форма, определяемая матрицей {^h*), будет
даже определенной. [V 76.]
37. Пусть степенной ряд
имеющий неотрицательные коэффициенты, сходится при х = ап,
а12, ..., апп. Если квадратичная форма, определяемая симметри-
симметрической матрицей га-го порядка (а^), положительна, то положи-
положительной также будет форма, принадлежащая матрице (F (а^));
если, кроме того, между коэффициентами р0, р2, р4, ... имеется
по крайней мере п отличных от нуля, а все строки матрицы (одд)
различны, то последняя форма будет даже определенной.
38.	Пусть вещественные числа а0, аъ а2, ..., а2п обладают
следующим свойством: для любого полинома f(x) степени не
выше 2п, неотрицательного и не равного тождественно нулю,
имеет место неравенство
aof(x) + ^f'(x) + lff"(x) + ... + ^f^){x)^o (соотв. >0)
при всех значениях х.
Показать, что необходимым и достаточным условием для этого
является положительность (соотв. положительность и определен-
определенность) квадратичной формы
п п
39.	Пусть числа а0, аи ..., ап (п^1) обладают следующим
свойством: для любого полинома f(x) степени не выше п, неот-
неотрицательного для неотрицательных значений х и не равного тож-
тождественно нулю, имеет место неравенство
«о/ (х) + ff /' (х) + g- /" (х) +... + ^ fb) (Х) ^ 0 (соотв. > 0)
при любых неотрицательных значениях х.
Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы квад-
квадратичные формы
иш
были обе положительны (соотв. положительно определенны).
40. Пусть числа а0, аг, а2, ..., ап (п^\) обладают следую-
следующим свойством: для всякого полинома f(x) степени «?«, неотри-
неотрицательного в интервале —1«^л:^1 и не равного тождественно
нулю, выполняется неравенство

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 3	121
при любых х в интервале —1=сл;==с1. Показать, что тогда не-
непременно
а0 5э 0, аг = а2 =... = ап = 0.
41. Пусть обе квадратичные формы
д
Zj аШх.
положительны. Положим
cv = aobx
Тогда квадратичная
форма
п
V
V-1 +
п
2-
Д,
jVa + --
. + av&0.
будет также положительной и притом определенной, если по край-
крайней мере одна из данных форм определенная.
42. Пусть
cv = aQbv + (]) a A-i + (И aA'-z + •¦¦ + аф0.
Показать, что из положительности четырех квадратичных форм
m m	m — \ т — 1
Я=0 ц = 0
m—lm—i
Zj Zj ">-Ч^-хп> Zj Z
Zj
вытекает положительность двух следующих:
т т	т—\т—\
Zj Zj сиц*?Лн Zj Zj сШ+
Х = 0 ц = 0	Я = 0 ц = 0
Далее из положительности четырех форм
вытекает положительность обеих форм
mm	mm
Zj Zj с^+^х>-х^> Zj Zj O.

122	ЗАДАЧИ
43. Пусть комплексные числа
?-.ч» ?—л+1» • ¦ ¦ > С-1» Со, С±, . . . , C«-i, Cn, C_v = Cv (V = U, 1, Z, . . . , П)
обладают следующим свойством: если любой тригонометрический
полином порядка не выше п вида
= а0 + 2 К cos fl + Pi sin fl + cc2 cos 2§ + P2 sin 2ft +...
(Vv = V-v = «v + fPv, v = 0, 1, 2, ..., n; Po = 0)
неотрицателен и не равен тождественно нулю, то имеет место
неравенство
п
2 cvYve~iv*^0 (соотв. >0).
v = — п
Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы эрми-
эрмитова форма
была положительной (соотв. положительно определенной).
§ 4. Смешанные задачи
44.	Будем рассматривать п2 элементов a?v|X определителя д-го
порядка как независимые переменные. Показать, что между п\
слагаемыми ±alkia2k2...ankn в разложении определителя имеется
лишь N = п2 — 2п-\-2 независимых между собой, и указать N
таких членов, через которые все остальные могут быть выражены
рационально.
45.	Обозначим через s,' число отличных друг от друга поло-
положительных слагаемых в разложении симметрического определителя
д-го порядка (с произвольными элементами), а через s'n — соот-
соответствующее число отрицательных слагаемых. Для sn = s'n-{-Sn уже
Кэли указал рекуррентную формулу
Показать, что для dn — s'n — Sn имеет место рекуррентная формула
4+i = — (п - 1) dn -
и что
L lim
tl\	Уп n-юо	П\

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 4
123
46. Обозначим через о'„ число отличных друг от друга поло-
положительных слагаемых в разложении симметрического определи-
определителя n-го порядка |йхц|, У которого все элементы главной диаго-
диагонали а}Л равны нулю, а через а"п — соответствующее число отри-
отрицательных слагаемых. Положим
Тогда
сгл„2, 6„+1 = — пЬп —
— I 2!
и!
1, 2
47. Обозначим произведение ]^[
/<*
как известно, выражение вида
/г!
п
2 У л
— xk) через А. Тогда,
где сумма распространена на все п\ перестановок из 1, 2, ..., п
и для четных перестановок берется знак плюс, а для нечетных —
минус, будет симметрической функцией от хх, х2, ..., х„. Пока-
Показать, что если
и
~" J_.J.
то тогда
ф = -
¦ 1
1, 2	п
П
V = 1	/ > ft
48. Пусть характеристическое уравнение системы п2 вели-
чин
aii — г
«22 — г ... о2га
•• апп — г
= 0
имеет корни ах, а2, ..., ап, не все равные нулю. Обозначим
через х?.ц (г) алгебраические дополнения элементов определи-
определителя %(z). Доказать, что характеристическое уравнение величин
Хлц (г) имеет корни
?Р = ~зу (Р=1. 2, .... л).

124	задачи
49» Линейные преобразования
sin an vi	х„
sin(p
где а произвольно, образуют группу в том смысле, что
50. Пусть g (¦&) — тригонометрический полином с веществен-
вещественными коэффициентами порядка не выше п. Указать, каким усло-
условиям он должен удовлетворять, чтобы линейные преобразования
(Р = 0, 1, .... п),
где а произвольно, образовывали группу в смысле задачи 49.
51> (Продолжение.) Определитель преобразования 5а тожде-
тождественно равен нулю, за тем единственным исключением, когда
8&)-п+1 sinu	[49],
в этом случае он тождественно равен единице.
52. (Продолжение задачи 49.) Преобразование 5а ортого-
ортогонально, т. е. тождественно для всех х0, хг, х2, ..., хп
yl + yl+yl + ¦ ¦ ¦ + yl=4+х\+4 + ¦ ¦ ¦+xl.
Линейное преобразование
Ух = «li-^i + ап4 + ¦¦¦ + а1пхп + ...,
Уч. — апхх + Ягч^ъ + • • • + йгчхп +...,
Ут
называется ортогональным [этот термин часто относят и к соот-
соответствующей матрице (атп)], если имеют место соотношения
п +... = 1 (/и= 1, 2, 3, ...),
я +... = О
(КФ11, %, ц=1, 2, 3, ...)

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 5	125
и одновременно соотношения
= 1 («=1. 2. 3-•••).
. . . = О
х; Я, [х = 1, 2, 3, ...).
Аналогично определяется ортогональность бесконечной по всем
направлениям матрицы
> а-т> -п> ••• i a~m< -l> a_m, о. в_т> ь •••> а-т< п> ¦
• ят> -л> ¦•• i °т> -1> аш, oi О/п> 1	 °т> л> •
53. Числа Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... опре-
определяются УСЛОВИЯМИ «о = 0, Ux — 1, Un + «n+i = Мя+2 (ft — 0| 1» 2, ...).
Показать, что линейное преобразование
. + UnXn—UnXn+i , _ . 9 о	ч
ортогонально.
54> Линейное преобразование
----. "А -1. U, 1, 2, ...),
где а —не целое вещественное число, ортогонально.
§ 5. Определители систем функций
Определителем Вронского или вронскианом системы функций
/i(*)> /jW. •••, М1) называют определитель
aW fjW AjW ••• h W =WT/iW, h(x),..., fa(x)].
55. При любых постоянных с^
(Сц/х + ^fg ¦+•. . . + Clnfn, C21f1 + Cj2 + ... + C2nfn,
• • • , Cnlfl + CnJ2 + • • ¦ + Cnnfn)

126	ЗАДАЧИ
56. Показать, что
),/a(<p(*)),..., Мф(*))] =
п (п. — 1)
где в правой части надо подставить у = ср(х).
57.	W (ф/i, ф/2, • ¦ ¦ , ф/л)== флW (fi, /о,... ,
58.	--W(fu h	L)=\
d W {f
dx W (/x
. ••• ¦ /n-2.
fn)
'(fi,....f,
[W (,
fl	/h-2>
. fn-,.
fn~l)V
/n-i- fn
60.	Если W(/1; /2, ..., /„-!, fn) обращается в нуль во всех
точках интервала (a, b), a W (/l5 /2>---> fn-ij — ни в одной, то
можно указать п—1 таких постоянных Cj, c2,..., ся^1; чтобы
во всем интервале (а, ?>) соблюдалось тождество
fn (x) = c1fl (x) + c2f2 (x) + ... + c-i/,,-! (х).
61.	Если /i(x), /2(л;),... , fn{x) суть к линейно независимых
интегралов однородного линейного дифференциального уравнения
n-го порядка
У(п) + Фх(х)У(п~х) + Ф2(х) гЛ~2> +.
то для каждой функции у имеет место соотношение
2)+• • •+Ф» (х) у ^ V1
62. (Продолжение.) Положим
1 = Wo, /1= IF1( W (h, f2) = W2,...,W (h, f2,..., fn) = Wn.
Тогда для всех, функций у имеет место соотношение
У{п) + Ф1W г/1"' + Ф2 (*) г/(я'2) + • • • + Фя (х) У =
== ^» .4. f Гя -' ^ Г Zi_ d u?l_ <L уХ\\
~ Гл:, dx \Wn^Wn •••'dx \WiW3 die \W0W2 dx wjjf '
Это представление линейного дифференциального выражения,
предполагающее знание п независимых интегралов, имеет сходство
с разложением на множители полинома n-й степени, предполагаю-
предполагающим знание п его нулей.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 5
127
63. Пусть fx(x), fu(x), ... ,• /„(л;) — вещественные функции,
непрерывные в интервале а, Ь. Показать, что определитель
А, ц = 1, 2, .... п
неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда,
когда между функциями fx(x), f2(x)	fn(x) существует линей-
линейная зависимость.
64. (Продолжение.) Определитель
-\hhdx
Ь	Ь
-\hfidx	Sf
-]hfndx
а
Ь
-\ftfndx
-\fnhdx
неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда,
когда функции fx{x), f2(x), ..., fn(x) отличаются друг от друга
лишь постоянными множителями или, иными словами, все
являются кратными одной из них.
65. (Продолжение.) Определитель
ь
h w
dx
ea
К, ]X = I, 2, ... , n
неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда,
когда какие-нибудь две из функций !г{х), f2(x),..., fn(x) тожде-
тождественно совпадают.
66. Нижеследующая теорема представляет собой обобщение
теоремы, упомянутой по одному поводу Гауссом в его «Theoria
combinationis observationum» [Opera omnia, т. 4, стр. 12, см.
две последние строки в Art. 11].
Пусть / (х) для х > 0 представляет собой функцию невозра-
стающую неотрицательную и вместе с тем не равную тождест-
тождественно нулю. 'Пусть, далее, все числа ах, а2, ... , ап различны
между собой. Показать, что (при допущении существования всех
входящих интегралов) определитель
1,2	п

128	ЗАДАЧИ
неотрицателен; он обращается в нуль тогда и только тогда,
когда f(x) представляет собой кусочно-постоянную функцию с не
более чем п — 1 точкой разрыва.
Пусть функция f(Q) собственно интегрируема в интервале
О «с ft < 2л и имеет ряд Фурье [VI, § 4]
-*ай-\-2 2 (с
п — 1
Эрмитовы формы
г m = V V
образованные посредством чисел
С-п = сп (я = 1, 2, 3,...),
мы будем называть формами Теплица (Toeplitz), принадлежащими
функции f(b). (См. 43.)
67. Образовать формы Теплица, принадлежащие функциям
= с = const., / (О) = ао + 2 К cos й + Ьх sin О),
68. Если функция / ("О"), положительна в интервале 0 s
¦<2л, то все формы Теплица положительно определенны. Более
точно: если /(¦&) в интервале 0=гС'&<2л заключена в границах
/(&)cM, то тогда и
в предположении, что переменные х0, хх, х2,..., хп подчинены
условию Г„A)=1. Равенство может быть достигнуто лишь в том
случае, если /(¦&) = const, у каждой точки непрерывности.
69. Вычислить определитель ?>„(/) формы Tn(f) для функций
задачи 67 и показать, что если fib) всюду положительна, то
lim У
70. Пусть / (-О1) — тригонометрический полином первого порядка
и Л —параметр. Показать, что определитель Dn{j — h) формы
Теплица Tn(f — h), принадлежащей функции /(Ф) — h, представ-
представляет собой целую рациональную функцию (п+1)-й степени от h,
имеющую лишь вещественные нули. Вычислить эти нули.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 5
129
71. (Продолжение.) Все нули hon, hln,..., hnn определителя
Dn(f — h) расположены между минимумом и максимумом функции
/(Ф т. е. если m^f (fy^M в интервале [0, 2л], то также
^M (v = 0, I, 2, ... , п). Далее, для любой функции F(h),
собственно интегрируемой в интервале m^hs^M, имеет место
соотношение
_
n+1
72. Если эрмитова форма
п п
положительно определенная, то все нули полинома
... С
... С
••• с
л
1 г z-
лежат внутри единичного круга.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ГЛАВА 1
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
§ I, Задачи на целые части чисел
Пусть х — вещественное число. Через [х] обозначают целую
часть числа .v, т. е. целое число, удовлетворяющее неравенствам
[х]^х<[х]+1.
Так, например,
[я] = 3, [2] = 2, [-0,73] = -1.
1. Пусть п — целое, х — произвольное. Тогда
2.	В разложении определителя я-го порядка произведение
членов, стоящих в диагоналях, соседних с главной диагональю,
имеет знак (— 1)L^J.
3.	[2х] - 2 [х] = 0 или 1,
смотря по тому, будет ли
г , 1	1
X — 1^} *^ ~~п~ ИЛИ 5^ 'су •
4> Если 0<а<1, то
[х] — [л; — а] = 0 или 1,
смотря по тому, будет ли
x — [x\^sa или ¦< а.
5. В предположении, что х не имеет вида n + у (« — целое),
выразить ближайшее к х целое число посредством символа [ ].

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 2
131
6> [л;] можно было бы назвать целым числом, ближайшим
слева к х. Выразить посредством символа [ ] целое число,
ближайшее справа к х. (Замена данного числа ближайшим
справа целым числом —обычный прием мелких торговых рас-
расчетов.)
7. [а] + [р] либо = [а + р], либо = [« + §]- 1,
8. f] + [p][] + [+p] + [p]
9ш Пусть п — целое положительное число. Тогда
1©. Пусть п — целое положительное число, х произвольно.
Тогда
^J = М-
11. Пусть m —целое положительное число. Показать, что
наивысшей степенью 2, содержащейся в
является 2m+1.
§ 2. Подсчет целых точек
112° Пусть а и я —целые положительные числа. Число тех
из чисел 1, 2, 3,... , п, которые делятся на а, равно |-~ .
13.	Сколько нулей имеет функция sinx в интервале а<х^
^ Ь? Сколько в интервале а ^ д: < &?
14.	Пусть Osga=^K. Обозначим через Vra(a) число перемен
знака в последовательности
1, cosa, cos2a, ..., cos(n —l)a, cosna;
тогда
lim n^a' — —¦.
15.	Пусть 6 — иррациональное число, 0<9<1 и gn равно
нулю или единице, смотря по тому, равны между собой или же
различны числа [пВ] и [(я —1N]. Показать, что
16= Определить число N(r, а, а) нулей целой функции е? —
— ае'а в круге \z\^r (г, a, a — вещественные постоянные числа,
r>0, a>0).

132	ЗАДАЧИ
17. Пусть а и Ь — целые числа, /(х) —функция, определен-
определенная и положительная в интервале а^х^Ь. Выразить посредст-
посредством символа [ ] число целых точек (точек с целочисленными
координатами, I 28), находящихся в области, определяемой нера-
неравенствами
18.	Пусть р и q — взаимно простые целые положительные
числа. Доказать путем подсчета целых точек формулу
7 J+17J+ L р 1+ ¦" + \~р J ~ 2 '
19.	Пусть р и q — нечетные взаимно простые целые положи-
положительные числа. Обозначим —$- — Р > ^г" = Я'• Показать, что
20. Для простого числа р вида 4га +1 имеет место формула
§ 3. Одна теорема формальной логики и ее применения
2t, Пусть дано N любых объектов. Пусть Na — число тех из
них, которые обладают некоторым свойством а, Л^ —число тех,
которые обладают свойством р\ ..., NK, соотв. N>., — число тех,
которые обладают свойством х, соотв. X. Аналогично пусть Na$,
Nas> ¦¦¦ < ^apY, ... , WapY _ух обозначают число тех из этих объек-
объектов, которые одновременно обладают свойствами а и р,
соотв. а и у,..., соотв. а, р и у	 соотв. а, р, у, ... , xhL
Тогда число объектов, которые н е обладают ниоднимиз свойств
ее, р\ у, ..., х, К, равно
N ~ Na- N$~ Ny-...- М-,,- Nk +
22» Пусть дано л объектов (п>1) и пусть свойством а
обладают все кроме первого, свойством р — все кроме второго, ...
..., свойством К — все кроме последнего, «-го объекта. Что дает 21
в этом случае?
23. Сколько из п\ членов в разложении определителя я-го
порядка обращается в нуль, если положить все элементы глав-
главной диагонали равными нулю? [См. 21: свойством а обладают
члены, содержащие множителем аи, и т. д.]

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 4	133
84. Пусть а, Ь, с, ..., к, / — взаимно простые целые положи-
положительные числа. Сколько из чисел 1, 2, 3, ..., п не делится ни на
одно из этих чисел а, Ъ, с, ..., k, /? [12.]
§5. Пусть р, q, r,... будут различные простые множители
числа п. Число чисел, меньших п и взаимно простых с ним, равно
\ Р l\	Ql\	'I
Это число обозначают обычно ц>(п). При этом полагается, по
определению, фA)=1; таким образом, ср(я) представляет число
взаимно простых с п чисел до п включительно; n^sl, ибо 1
взаимно просто само с собой.
28. Пусть дано N произвольных объектов, могущих, как в 21,
обладать свойствами ее, р, у, ..., и, X. Пусть каждому отдельному
объекту приписано некоторое числовое значение. Обозначим через
Wa сумму числовых значений тех объектов, которые обладают
свойством а, через №р сумму числовых значений объектов со свой-
свойством Р и т. д. Аналогично будем обозначать через №аР, Way, •¦•
• ••» Wa$y, ..-, Wa?,y...yx сумму числовых значений тех объектов,
которые одновременно обладают свойствами аир, соотв. а
и у, ..., соотв. а, Р и у, ..., соотв. а, р, у, ..., к и X. Пусть,
наконец, W — сумма числовых значений всех объектов. Тогда сумма
числовых значений объектов, н е обладающих ни одним из свойств
а, р, у	х, К, будет равна
±^aPv...^.	[21.]
27. Пусть rv r2, ..., гф(я) —взаимно простые с п числа, мень-
меньшие, чем п (п>1). Показать, что
• i ' ф \щ — 2
где р, q, г, ... — различные простые множители п, a v —их число.
§ 4. Части и делители
Пусть п — целое неотрицательное число. Под «частью» п мы
будем понимать всякое целое неотрицательное число, которое меньше
или равно п. Числа 0 и п называются «нессбственшлми частями»
числа п. Число 0 содержит в качестве части, и притом несобствен-
несобственной, лишь само себя.

134	ЗАДАЧИ
Пусть п — целее положительное число. Под «делителем» п мы
будем понимать всякое целое положительное число, на которое п
делится без остатка. Числа 1 и п называются «несобственными
делителями». Число 1 содержит в качестве делителя, и притом
несобственного, лишь само себя.
Пусть тип — целые неотрицательные числа. Под наибольшей
общей частью тип мы понимаем число, содержащее в качестве
своей части всякую общую часть чисел т и п. Это будет меньшее
(не большее) из чисел тип или, в символах, Min(m, n).
Пусть /пил — целые положительные числа. Под наибольшим
общим делителем тип понимают число, содержащее в качестве
своего делителя всякий общий делитель чисел т и п. Его симво-
символически обозначают (т, п).
Под Min(/, m, п, ...) понимают вообще наименьшее из чисел
/, т, п, ..., под (/, т, п, ...) —их наибольший общий делитель.
Существует наименьшее число, содержащее в качестве частей
одновременно тип, именно наибольшее (не меньшее) из этих
чисел. Символически: Мах(т, п).
Существует наименьшее число, содержащее в качестве делите-
делителей одновременно m и п, именно их наименьшее общее кратное.
Пусть ао,ах, а2,... — произвольные числа. Под 2 я* понимают
сумму, распространенную на все части числа п (включая и несоб-
несобственные части 0 и п):
= 2 at.
Пусть ctlt а2, ая, ... — произвольные числа. Под ? at пони-
t , п
мают сумму, распространенную на все делители числа п (включая
и -несобственные делители 1 и п). Например,
28. Пусть а, Ь, с, ..., k, / — произвольные неотрицательные
целые числа. Имеем
Мах (а, Ъ, с, ..., k, t) = a +
-Min(a, b)-Min(a, с)-...-Min(?,
+ Min(a, b, c) + ...-
:Min(a, b, c, ..., k, I).

Отдел восьмой, глава i, § 4
135
29. Наименьшее общее кратное М целых положительных чисел
а, Ь, с, ..., k, l можно представить следующим образом:
M=abc...kl{a, byl{a, c)~1...(k> 1)л{а, Ь, с)...(а, Ъ, с	k, /)±>,
30.
J __
1	о о	о	...	с
1	1.0	0	...	О
1	1 1	0	...	О
1	1 1	1	...	О
1111
1
1111
12 2 2
12 3 3
12 3 4
1
2
3
4
12 3 4... п+1
Здесь общий элемент первого определителя r\hl = 1, когда [л явля-
является частью X (собственной или несобственной), и равен нулю
в противном случае; во втором определителе общий элемент с}^
равен числу общих частей чисел «А. и (л, т. е. наименьшему из
чисел ~К-\-1 и fi -f-1 (Я, jli = 0, 1, ..., п).
31.	Определитель, общий элемент которого Ош равен числу
общих делителей чисел К и ц или, иными словами, числу делителей
наибольшего общего делителя чисел % и \х, (к, f.i= 1, 2, ..., п),
равен единице.
32.	Пусть ай, аъ ..., ап — произвольные числа и
= 0, 1, ..., я).
Показать что
q A1
A,
Aq *i-l ¦**2	3 •¦*
Здесь общий элемент с>^ определителя равен Аг, где/¦ = Min (А,, \\)
(к, j.i = O, 1, .... п). (Обобщение тождества 30.)
33а Пусть аъ аг, ..., с„ — произвольные числа и
= l, 2	n).
Показать что
Ах
Ах
Аг
Аг
Аг
Ах
Аг
Ai
Аг
Ал, 2.
Ах
Ах
Аз
Ах
Atr.,3>
Ах
А2
А,
А,
Ащ, i)
Ах
А :2, П)
¦"'3, П)
•, Я)
К
= а1а2а3...ап.

136	ЗАДАЧИ
Здесь общий элемент <\а определителя равен Аг, где г**(к, (л)
(к, \i=l, 2, ..., п). (Обобщение теоремы 31.)
S4. Если а0, аъ аг, ... произвольны и
Лл= Z at (я = 0, 1, 2,...),
то, очевидно,
ао = Ло, а1 = у41-Л0, о2 = Л3-Ль ..., а„ = Л„ —Л»-!, ...
При произвольных аъ а2, а3, ... и
Ая = 2,а( (л=1, 2, 3, ...)
имеем
-Л1( а4=;Л4 — Л2,
и вообще
а» = 2>(')Л„ (л=1, 2, 3, ...),
<i«	7
где [х (п) — функция Мёбиуса (см. определение на стр. 137).
@S. Пусть ij> (z/) — произвольная функция, определенная в интер-
интервале 0 ^ у ^ 1, и
<»>- 2
где последняя сумма распространена на значения г, взаимно про-
простые с п и не превосходящие п. Тогда
36» Как известно,
Положим
П( 2Я1> \
\%	g п у = /( (^)
(г, n)—t

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ. ГЛАВА 1, § 5
137
где произведение распространено на значения г, взаимно простые
с га и не превосходящие л (л-й полином деления круга). Нулями
полинома хп — 1 служат корни л-й степени из единицы, нулями
полинома /(„(х) — примитивные корни л-й степени из еди-
единицы. Доказать формулу
37. Показать, что
Znir
2
(г. n)=l
где (а (л) — функция Мёбиуса.
§ 5. Теоретико-числовые функции.
Степенные ряды и ряды Дирихле
Под теоретико-числовой функцией /(л) понимают функцию,
определенную для целых значений л=1, 2, 3, ... аргумента.
В этом общем смысле задание «теоретико-числовой функции» рав-
равносильно заданию произвольной бесконечной числовой последова-
последовательности. Ниже мы приводим некоторые из таких функций, имею-
имеющие значение в теории чисел:
ф(/г) (функция Эйлера): число чисел, не превосходящих л и
взаимно простых с л [25];
т(п) = 2 1: число делителей числа п;
I п
а (п) =2 t: сумма делителей числа п;
г ,п
°чх (п)= 2 ^*"% сУмма а'х степеней делителей числа п; о1(п) —
t п
—а(п), ао(л) = т(/г);
v (л): число различных простых множителей числа л;
ц(л) (функция Мёбиуса): цA)=1, (я(я)==0, если «делится
на квадрат какого-либо целого числа (кроме единицы), и ц(л) =
= (—l)vu) в остальных случаях;
Х(л) (функция Лиувилля) ХA) = 1, К(п) = (—l)ft, где k — число
простых множителей числа л, засчитываемых соответственно своей
кратности;
Л (л) (функция Мангольдта): Л (л) = \пр, если л — целая степень
простого числа, п = рт; Л(«) = 0 в остальных случаях.
38. Составить таблицы указанных функций от п= 1 до л= 10.
(Для аа (л) ограничиться значениями а = 0, 1, 2.)

138	ЗАДАЧИ
Наряду со степенными рядами
-...= X anz"
мы будем рассматривать ряды Дирихле
71 = 1
Степенные ряды служат мощным орудием в ачдитивной (см. I,
гл. 1), ряды Дирихле — в мультипликативной теории
чисел *).
Произведение (по правилу Коши) двух степенных рядов
2s2
определяется формулой
с„= 2 оЛ=2 flA-/	[134],
где ^ пробегает все части числа п, включая и несобственные 0
и п. Произведение (по правилу Дирихле) двух рядов Дирихле
22	2
k—l	l—l	n=i
определяется формулой
ft/ = n	t, я <"
где ? пробегает все делители числа п, включая и несобственные
1 и я.
Полагая все коэффициенты степенного ряда равными единице,
получаем геометрический ряд
1+Z+Z2 + ...+ 2» + ... = -!_.
Полагая все коэффициенты ряда Дирихле равными единице, полу-
получаем дзета-функцию
!) В настоящей главе мы совершенно отвлекаемся от вопросов сходимости.
В случае абсолютной сходимости все выкладки законны,

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 6	139
39. Число частей п равно ^ 1=л + 1. Число делителей п
равно 2] 1 =*(«). Имеем
2 (п
40> я-й коэффициент в разложении произведения
со
-._ ¦ 2^ anzn, соотв.
n = 0
равен
^ at, соотв.
41. Показать, что
г j л
~ "Г* + 2 i' + 3-4 + ... + T"s + ... ~ ? (s) '
42. Пусть, как в 32, 2 с/ = ^« (« = 0, 1, 2, ...); тогда
Пусть, далее, как в 33, ^at = An (n—l, 2, 3, ...); тогда
t\ п
§ 6. Мультипликативные теоретико-числовые функции
Под мультипликативной теоретико-числовой функцией f(n)
понимают функцию, такую, что /A)— 1, удовлетворяющую для
взаимно простых тип уравнению
f(m)f(n)=f(mn).

140	ЗАДАЧИ
43.	Показать, что
л*, аа(п), 2V<«>, ц(я), Х(«), ф(л)
— мультипликативные теоретико-числовые функции. [Для ф(я)
использовать 25.]
44.	Пусть п = р*1/7*=!... p*v( где /?х, р2, ..., /?v — отличные друг
от друга простые числа. Тогда
а(п) = ''
в частности,
45. Показать, что при п > 30
46.	Пусть а, Ь, с, d, ..., &, / — целые положительные числа,
М —их наименьшее общее кратное, (а, Ь), (а, с), ..., {а, Ъ, с),...,
как обычно, — наибольший общий делитель чисел а и Ь, соотв. а
не	соотв. а, Ъ и с, ... Если f(n) — мультипликативная функ-
функция, то
f(M)f((a, b))f{(a, с)) ...f((k, l))f((a, b, c, d)) ...=
= f(a)f{b)...f(l)f({a, b, c))...
(Аргументами функции f{n) в правой части служат наибольшие
общие делители всевозможных комбинаций из нечетного числа
чисел а, Ь, с, ..., k, I.) [29 представляет собой частный случай,
когда f(n) = n.]
47.	Пусть / (п) — мультипликативная теоретико-числовая функ-
функция. Тогда
п= 1
где бесконечное произведение распространено на все простые
числа р и раскрывается таким образом, что составляются только
произведения из конечного числа множителей, отличных от- l~s.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 6
49. Показать, что
141
л=1
- [43.44,25.]
л=1
50. Обозначим через о (л) наибольший нечетный делитель
числа п. Показать, что
51 • Показать, что
л=1
52.
53.
54.
55.
f 1 при n—\,
\ О при п> 1.
_ ( 1, если п есть точный квадрат,
i, если п —не квадрат.
<Р(я)
л '
t\n
56. 2 А (9 = In я.
57.
A, 1) A, 2) ... A, л)
B, 1) B, 2) ... B, л)
(л, 1) (га, 2) ... (га, л)
58. Рассмотрим все возможные разложения п = оф четного
числа п такие, что а —нечетное (включая а = 1), р —четное. Пока-
Показать, что разность
равна сумме делителей числа -?••

142	ЗАДАЧИ
59
вые
»9. Пусть / (л) и g (л) — мультипликативные теоретико-число-
функции. Тогда теоретико-числовая функция
2	1п \
также мультипликативна.
60« Число различных правильных замкнутых л-угольников
1 , ,
равно у ф(л).
61» Сумма всех положительных правильных дробей, имеющих
в несократимой форме знаменатель л, равна уф (л) (л 5* 2).
62. Пусть а, Ь, с —целые положительные числа. Если
(а, Ь, с)=\, то между с дробями
а + {с—\)Ь
имеется 2i-?L несократимых. Если (а, Ь, с)>1, то все указанные
Ф (у;
дроби, очевидно, сократимы.
63> Сколько несократимых имеется среди л2 дробей
1
Г'
2
1 '
3
1 '
л
Г'
1
Т'
2
Т'
3
"'
л
~2~ >
1
Т'
2
3 '
3
3 '
п
У'
1
Т'
2
4 '
3
т>
л
Т'
1
•¦•' Т'
2
' ¦ • ' л '
3
"•¦ ' п '
¦ ¦ ¦' т?
64. Обозначим через Ф(л) число несократимых среди следую-
следующих л2 дробей:
1+i
л '
2+(
п '
П + 1
п '
1 „ a-\~io
1 +2j
п '
2 + 2г
л *
л + 21
л '
1+ш
• • • > п 1
2 + ш"
"• ' л '
л+ni
••¦ ' л *

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА !, § 7
143
и несократимой, если (а, Ь, /?) = 1.) Функция Ф(п) обладает сле-
следующими свойствами:
Ф(т)Ф(п) = Ф(тп) для (т, п) = \, ФA) = 1,	A)
Ф{рь) — рп — p?s-2, если р — простое число (k—l, 2, 3, ...);
.,	B)
где р, q, г, ... — различные простые множители числа п;
У)Ф (t) = n\	C)
tin
2
п—1
Доказать свойства A), B), C) независимо друг от друга,
исходя непосредственно из определения. Показать, кроме того, что
§ 7. Ряды Ламберта и родственные им
65. Из тождества
2 S
/1=1	Л= 1
где а1; д2, а3> ••• и Лх, Л2 Л3, ... — постоянные коэффициенты,
вытекает
и обратно. (В левой части второго равенства стоит так называе-
называемый ряд Ламберта.)
66а Тождества
п=\
п—1
равносильны.
То есть из A) следует D), из B) следует D) и т. д.

144	ЗАДАЧИ
67. Пусть между числами ах, аг, а3, ... и Аи А.2, А3,
имеет место то же соотношение, что и в задаче 65. Тогда
п
X	П
л=1 '	'	л=1
68. Пусть между числами alt аг, as, ... и Bv 5,, В3,
имеет место то же соотношение, что и в задаче 66.. Тогда
со S
л=1	л=1
69. Показать, что
со
(п) хп ^ \ <р (п) хп
2 V (д) а;"
1-х" и
1-;
являются рациональными функциями от х. Какими именно?
л=1
71. Показать, что
L 1+х° -*-^' Zt
ее
72.
л=1
где 6„ = 1, если п —квадрат, 6Л = — 2, если « — удвоенный квад-
квадрат, и 6„ = 0 во всех остальных случаях.
л=1
л=1
со	со
У Т	(„) Д.Л = У	Х" = д. 1+1 .
И=1	n^"l

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 8	145
I Э> 7 <3 \П) X =
п—1	п-\
Aд;3J"Г
A_д;3J
Показатели степеней в последней дроби составлены по формуле
-к Ck2 ±k). [I 54.] Вывести отсюда рекуррентную формулу для в(п).
76. Значение выражения
не изменяется при перестановке чисел рад.
77 _1_ 4- ii	^	^
78
X	X3 . Х\	X7
2х'3 . Ах*	8л:8 ,
§ 8. Дальнейшие задачи на подсчет целых точек
79. Показать, что
[Обе части представляют число целых точек, заключенных в фигуре
х>0, г/>0, ху^п1).]
80. Пусть v = [|/nj. Показать, что
81. Пусть
Тогда между суммами коэффициентов
!) Разобранную в задачах 28—42 аналогию (часть, делитель) можно было бы
здесь проследить несколько дальше.

146	ЗАДАЧИ
имеет место следующее соотношение:
п	п
r=i [т\ s=i [l\
82. Показать, что
где суммирование распространяется на все простые числа р,
не превосходящие п. [Применить 81 к произведению Дирихле
83< В обозначениях задачи 81 имеет место также соотношение
/¦=1 Lrj s=i
где v = [|/"n].
Г Л А В А 2
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ И ЦЕЛОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Целочисленность и целозначность полиномов
Полином
называется целочисленным, если его коэффициенты а0, аи аг, ...
..., am-j, ат представляют собой целые числа. Полином Р(х)
называется целозначным, если значения Р@), РA), РB), ...
..., Р(п), ... — целые числа. Целочисленный полином всегда цело-
значен.
84. Полином
1-2-3... т	\т
— целозначный, однако не целочисленный, если т^2.
85. Каждый полином Р (х) степени т можно представить
в форме
Полином Р (х) является целозначным тогда и только тогда, когда
все коэффициенты b0, bv ..., bm-v bm — целые числа.

отдел восьмой, Глава 2, § 2
147
86.	Если полином Р (х) степени т — целозначный, то полином
т\Р (х) — целочисленный.
87.	Если целая рациональная функция степени т принимает
целые значения для т-\-\ последовательных целых значений
переменной, то она принимает целые значения для всех вообще
целых значений переменной.
88.	Каждый нечетный полином Р (х) степени 2т — 1 можно
представить в форме
Полином Р (х) тогда и только тогда целозначный, когда все коэф-
коэффициенты с,, а2, ..., Cm-!, ст — целые числа.
89. Каждый четный полином Р(х) степени 2т можно пред-
представить в форме
х Iх Л-1\ t I a
Полином Р (х) тогда и только тогда целозначный, когда все коэф-
коэффициенты d0, dlt d2, ..., dm^1, dm — целые числа.
90.	Целочисленные полиномы степени т, абсолютное значе-
значение которых равно единице при т +1 целых значениях, суще-
существуют, если msg3, и не существуют, если т^=4. [VI 70.]
91.	Если целая рациональная функция степени т принимает
рациональные значения при т-{-\ целых значениях х, то все ее
коэффициенты рациональны.
92.	Если дробная рациональная функция во всех положитель-
положительных целых точках принимает рациональные значения, то она
представляет собой отношение двух взаимно простых целочислен-
целочисленных полиномов. [Решающим обстоятельством является рациональ-
рациональность коэффициентов.]
93.	Рациональная функция, принимающая целые значения
для бесчисленного множества целых значений аргумента, является
целой рациональной функцией.
§ 2. Целозначные функции и их простые делители
94.	В числовой последовательности
241. 22+1, 24+1, 28+1, .... 22Ч1. ...
все члены — попарно взаимно простые. (Отсюда, между прочим,
вытекает, что число простых чисел бесконечно.)
95.	В арифметической прогрессии
a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ...,
где а и d — целые числа, d^O, содержится бесконечное множество
членов, имеющих одни и те же простые множители.

143	ЗАДАЧИ
96.	Каждый член последовательности
5, 11, 17, 23, 29, 35, ..., 6п-1, ...
обладает простым множителем, который == — 1 (mod 6).
97.	Пз'сть Р (х) — целозначный полином. Могут ли все члены
последов ател ьности
РA), РB), РC)	Р(п), ...
представлять собой простые числа? (Как заметил Эйлер, в случае
полинома Р (х) — х2 — л:+ 41 простыми оказываются первые 40
членов.)
Функция f(x), обладающая тем свойством, что все значения
/@), /A), /B), ..., f(n), ...
являются целыми, называется целозначной. Например, функция 2х
целозначна. Дробная рациональная функция не может быть
целозначной [93]. Простое число р называется простым делите-
делителем целозначной функции /(#), если существует такое целое число
п (п^гО), что /(п)^0 и /(п)е2=0 (mod р). 2х обладает одним
единственным простым делителем 2. Согласно 94 функция 2х +1
имеет бесчисленное множество простых делителей.
98.	Полином х2+1 имеет простыми делителями числа 2, 5,
13, 17, ..., т. е. 2 и нечетные простые числа вида 4п + 1. Ни одно
простое число вида 4« + 3 не может служить простым делителем
указанного полинома.
99.	Определить простые делители полинома х2+15.
100.	Каков бы ни был заданный неприводимый полином
второй степени, существует бесчисленное множество простых чисел,
не являющихся его простыми делителями.
[Доказывается путем привлечения довольно глубоких вспомо-
вспомогательных средств. См. сноску к задаче 110.]
101.	Если целозначный полином, не равный тождественно
нулю, имеет рациональный нуль, то все простые числа, за исклю-
исключением, быть может, нескольких, являются его простыми дели-
делителями.
102.	Все простые числа служат простыми делителями поли-
полинома Xе— Их44- 36л:2 — 36, не обладающего вовсе рациональными
нулями.
103.	Нечетные простые делители m-го полинома деления
круга Кт (х) [36] либо делят т, либо == 1 (mod m). [104.]
104.	Если простое число р (р > 2) не делит т и
Кт(а)в=0 (mod p),
то а — взаимно простое ери принадлежит (mod p) показателю т.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 2, § 2	149
105. Существует бесконечное множество простых чисел вида
6п— 1. [Рассмотреть разложение на простые множители числа
ЬР — 1, где Р = 5- 11 ¦ 17• 23• 29-41 ... — произведение уже извест-
известных простых чисел вида 6п— 1.]
106ш Существует бесконечное множество простых чисел вида
4я-1.
107.	Целозначная функция abx-\-c, где а, Ъ, с —целые числа,
аФ=0, Ь^2, сфО, имеет бесконечное множество простых дели-
делителей. [аЬх-{-с периодична по некоторому модулю п, взаимно
простому с Ъ\ абсолютное значение этой функции возрастает до
бесконечности.]
108.	Целозначный полином Р(х), нетождественно постоян-
постоянный, обладает бесконечным множеством простых делителей.
109.	Утверждению, содержащемуся в теореме 108, можно
придать такой вид: если Р (х) — целозначный не тождественно
постоянный полином, то все члены последовательности
Р@), РA), РB)	Р(п), ...
нельзя составить из конечного числа простых чисел. Может ли
какая-нибудь бесконечная часть этой последовательности быть
составлена из конечного числа простых чисел?
110.	Пусть т — целое положительное число. В арифметической
прогрессии
1, 1+/я, 1 + 2т, 1 + Зт, ...
содержится бесконечное множество простых чисел1).
111.	Пусть целозначные полиномы Р (х) и Q(x) взаимно просты.
Тогда существуют произвольно большие целые числа п, обладаю-
обладающие тем свойством, что наименьшее общее кратное чисел Р (п)
и Q(n) содержит простые множители, не входящие в их наиболь-
наибольший общий делитель.
112.	Пусть Р(х) — неприводимый целозначный полином
(см. стр. 150). Тогда существуют произвольно большие целые
числа п, обладающие тем свойством, что в Р (я) по крайней мере
один простой множитель р входит в первой степени, т. е.
P(n)=sO (modp) и Р(п)е?О (modp2).
113.	Пусть Р(х) — целозначный полином, наименьшая
кратность нулей которого равна т. (Все простые множители,
входящие в Р(п), за исключением, быть может, нескольких,
должны тогда входить по меньшей мере в т-й степени, п = 0,
1, 2, ...). Существуют произвольно большие целые числа п, обла-
!) Теоремы 105, 106, 110 являются частными случаями следующей важной
теоремы, доказанной Дирихле: в каждой арифметической прогрессии, первый
член и разность которой взаимно просты, содержится бесконечное множество
простых чисел.

150	ЗАДАЧИ
дающие тем свойством, что по крайней мере один простой дели-
делитель входит в Р(п) не более чем в пг-й степени.
114.	Если целая рациональная функция Р (х) для каждого
целого положительного значения х принимает значение, равное
квадрату целого числа, то Р (х) представляет собой квадрат целой
рациональной функции. (Аналогичная теорема имеет место и для
высших степеней.)
115.	Пусть bx, Ь2, ..., bk — различные целые положительные
числа @<b1<b,<...<bk) и Яг(.г), Рг(х), .... ^(^-цело-
^(^-целочисленные полиномы. Показать, что функция
имеет бесконечное множество простых делителей.
§ 3. Неприводимость полинсмэв
Полином степени п с рациональными коэффициентами назы-
называется приводимым, если он может быть представлен в виде про-
произведения двух полиномов степени меньшей, чем п, с рациональ-
рациональными же коэффициентами. Каждый полином либо приводим, либо
неприводим; в первом случае он представляет собой произведение
неприводимых полиномов.
116- Всякий приводимый целочисленный полином может быть
представлен в виде произведения целочисленных же поли-
полиномов низших степеней.
117. Целочисленный полином f(x) не может обращаться в нуль
ни в одной целой точке, если /@) и /A) —нечетные числа.
118« Целочисленный полином Р (х) п-й степени, принимающий
в п различных целых точках значения, отличные от нуля и по
(""ИI
абсолютной величине меньшие, чем -	L-, J/ .неприводим[VI70].
119. Пусть d — наименьшее расстояние между целыми точками,
указанными в задаче 118. Тогда приведенную в этой задаче гра-
границу можно заменить следующей:
,2,
120* Если целочисленный полином Р (х) при бесконечном
множестве целых х принимает значения, являющиеся простыми
числами, то он должен быть неприводимым и наибольший общий
делитель совокупности его коэффициентов должен быть равен еди-
единице. Зто очевиднее положение не может быть обращено: полином
х(х —

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 2, § 3	151
неприводим и, однако, если /г 5*3, не равен простому числу ни
при каком целом значении х.
121. Полином
где ах, а2, ..., ап — различные целые числа, всегда неприводим.
122.	(Продолжение.) В каких случаях полином
(х-ах)(х-а2)...{х-ап)+1
будет приводимым?
123.	(Продолжение.) Полином
неприводим.
124.	(Продолжение.) Полином
(x-al)*(x-aj*...(x-an)'+l
также неприводим.
125.	(Продолжение.) Если F (z) — z1 + Az3 + Bz--\- Az-\-1 есть
положительно определенный неприводимый целочисленный поли-
полином, то полином
F((x-a1)(x-a2)...(x-an))
приводим лишь в том случае, если F(z) = zi — z2-\-1 A2-й поли-
полином деления круга) и
с целым а.
126. (Продолжение.) Полином
где Л —целое положительное число, приводим лишь в том слу-
А
чае, если -т- является четвертой степенью целого числа.
127.	Пусть Р (х) — целочисленный полином и пусть существует
целое число п, удовлетворяющее следующим трем условиям:
1)	нули полинома Р(х) лежат в полуплоскости Ых<.п — у,
2)	Р{п-\)Ф0,
3)	Р (п) есть простое число.
Тогда полином Р (х) неприводим.
128.	Пусть
— простое число, записанное по десятичной системе
v = 0, I, ..., т; ао5г1). Показать, что полином
айхт + axxm~i +... + ат-хх+ат
неприводим. [127, III 24.J

152	ЗАДАЧИ
129. Пусть г и s —нечетные простые числа, удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношениям
r=l (mods) и (-'-)
Такими простыми числами являются, например, г = 41 и s = 5.
Тогда полином
(х _ у г - VI) (х -Vr+ Vs) (х + УУ- Vs) (х + V7
A)
B)
= {хг - г - sJ - 4rs	C)
в обычном смысле неприводим, однако, как можно элементарно
показать с помощью формул A), B) и C), «приводим» (именно,
может быть разложен на два множителя второй степени) по
любому модулю т.
ГЛАВА 3
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
§ 1. Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах
130.	Произведение любых т последовательных целых чисел
делится на ml.
131.	Произведение т последовательных целых чисел в ариф-
арифметической прогрессии делится на т\, если разность прогрессии
взаимно проста с т\.
132.	Разностное произведение любых т различных целых
чисел всегда делится на разностное произведение первых т целых
1, 2, ... , m
положительных чисел. (Разностное произведение YY (хк — х,)
т величин xlt x2, ..., хт состоит из -„-т(т—1) множителей.)
[Решение V 96.]
133.	Для каких целых п число (п— 1)! не делится на п?
Для каких не делится на п2?
134.	Определить показатель высшей степени простого числа р,
входящей в п\.
135.	Сколькими нулями заканчивается число 1000!, записан-
записанное по десятичной системе?

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3, § 2
153
$36. Пусть а и Ь — целые положительные числа. Тогда про-
произведение Bа)! BЬ)[ делится на а\ (а + Ь)\ Ъ\.
137. Если h и л —целые положительные числа, то — '
(М)п п\
целое число.
§ 2. К теореме Эйзенштейна
Степенной ряд
называется рационально-численным, если все его коэффициенты а0,
alt e2, ..., ап, ... рациональны, и целочисленным, если все коэф-
коэффициенты а0, alt аг, ..., а„, ... — целые числа. Рационально-чис-
Рационально-численный степенной ряд можно представить в форме
где sn, tn — целые рациональные числа, (s,;, tn) — l, tn^s\, sn —
числитель, tn — знаменатель n-ro коэффициента.
138> Пусть s —целое число, t — целое положительное число,
(s, t)=\. Показать, что знаменатели коэффициентов рационально-
численного степенного ряда
содержат лишь простые множители, входящие в t.
1Ё@ш Пусть р — простой множитель числа t и ра, ра°, р*\ ...
..., ра"-, ... — высшие степени р, входящие соответственно в t, t0,
tlt ..., tn, ..., где /„ — знаменатель n-ro коэффициента разложе-
S
ния бинома A+2)г в степенной ряд, (s, /) = 1. Вычислить
lim —.
Функция / (г) называется алгебраической, если она тождест-
тождественно удовлетворяет уравнению вида
Ро (г) U (г)]1 + Pi (г) [/ (г)]11 + ... + Р^ (г) / (г) + Р, (г) = О,
где Рв(г), Рг(г)	Pt(z) - полиномы, Р0(г)^0.
Правильную точку зрения для оценки частных результатов
задач 138, 139 дает следующая общая теорема Эйзенштейна:
«Если рационально-численный степенной ряд

154	Задачи
представляет алгебраическую функцию от г, то существует такое
целое число Т, что ряд
axTz + агТ2г* + aaT3zs + • • • + апТпгп + ...
является целочисленным». [153.]
140.	Найти наименьшее целое число Т, обладающее тем
S
свойством, что Есе коэффициенты ряда для (\-\-Tz)"' являются
целыми числами.
141.	Доказать теорему Эйзенштейна для простейшего случая,
когда ряд представляет рациональную функцию.
Говорят, что ряд
i»+AZ + J-2» + ...+ ?»-*» + ...
с рациональными коэффициентами (sn, tn — целые, tn^\, (sn, tn) =
= 1) удовлетворяет условию Эйзенштейна, если существует такое
целое число Т, что Т" делится на /„ при п—\, 2, 3, ...
142.	Если два рационально-численных степенных ряда /(г)
и g (г) удовлетворяют условию Эйзенштейна, то этому же усло-
условию удовлетворяют также ряды
f(z)+g(z),f(z)-g(z),f(z)g(z),
а кроме того
^ (если g @) ф 0) и / (g (г)) (если g @) = 0).
143.	Если рационально-численные ряды
удовлетворяют условию Эйзенштейна, то ему удовлетворяет так-
также ряд
афй + афу? + агЬ2гг + ... + anbnzn + ...
144.	Показать, что условие Эйзенштейна равносильно одно-
одновременному выполнению двух следующих условий:
1)	Знаменатели tx, t2, t3, ..., tn, ... содержат лишь конечное
число различных простых множителей.
2)	Отношение —— ограничено (п=1, 2, 3, ...).
145.	Разложить по степеням z функции
1— z Т2 — г ^4-г ^-''^г-'—г
г	г-	г3	г"
+	+	+ +

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3, § 3	155
Удовлетворяют ли полученные степенные ряды условиям 1), 2)
задачи 144? Являются ли алгебраическими функции, представля-
представляемые этими рядами?
146. Гипергеометрическим рядом называется ряд
F(a, p, Y; z) = 2c^±-l^±±1-^l^
Если а и Р рациональны, однако не одновременно целые, и у—
целое положительное число, то можно найти такое целое поло-
положительное число Т, чтобы все коэффициенты гипергеометрического
ряда были целыми. (Например,
не является алгебраической функцией [I 90]: условие Эйзен-
Эйзенштейна необходимо, однако не достаточно для того, чтобы
функция была алгебраической.)
147.	Пусть <хФу, р фу и а, р\ у не все одновременно рацио-
рациональны, однако все коэффициенты гипергеометрического ряда
F(a, р, у; г) рациональны. Тогда а и Р являются корнями неко-
некоторого неприводимого квадратного уравнения с рациональными
коэффициентами.
148.	В указанном в задаче 147 случае F(oc, p, у; г) не пред-
представляет алгебраической функции от г. Доказать это, основываясь
на теореме Эйзенштейна.
§ 3. К доказательству теоремы Эйзенштейна
149.	Рациональная функция, Есе коэффициенты разложения
которой по возрастающим степеням z рациональны, представляет
собой отношение двух полиномов с рациональными коэффици-
коэффициентами.
150.	Пусть рационально-численный ряд /(г) удовлетворяет
уравнению вида
^о (г) [/ (z)Y + Pi (г) [/ (г)]' +... + Р1Л (г) f (z) + Pt (z) = 0,
где P0(z), P](z), .... P, (z) — полиномы, Р0(г)щЁ0. Показать, что
/ (г) удовлетворяет также некоторому уравнению того же вида,
в котором указанные полиномы имеют коэффициентами целые
рациональные числа.
151.	Пусть рационально-численный ряд

156
ЗАДАЧИ
удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению,
т. е. уравнению вида
R(z, у, у', у", ..., г/'>) = 0,
где R — целая рациональная функция от своих г+ 2 аргументов.
Показать, что тогда у удовлетворяет также уравнению
Я* (г, у, у', у"	г/") = 0,
где R* — целая рациональная функция с целыми коэффици-
коэффициентами.
152.	Пусть функции /(г) = со + с12+с222 + ..., F0(z), F^z),
F2(z), ..., Ft(z) (F0(z)^=0) регулярны в некоторой окрестности
точки z = 0 и связаны между собой уравнением
^о (г) [f (г)]1 + F1 (г) [/ (z)]« +. • ¦ + Л-i (г) f (z) + FL B) = 0.
Тогда при некотором т степенной ряд
/* (г) = ст + cm+1z + cm+2z2 +...
удовлетворяет уравнению вида
Go (г) \f* B)]ft + Gx (z) \f* (z)]kl + ...+ G^ (z) f* (z) + Gk (z) = 0,
где k^l, Go@) = G1@) = ... = G, 2@) = 0, G,_,@)?=0, Со(г)=?О
и Gx (г) представляет собой рациональное выражение с целыми
коэффициентами относительно t\(z),F1(z),...,Fi(z),z,cQ, clt...,cm..lt
деленное, возможно, на некоторую степень г; и = 0, 1, 2	к.
(Теоретико-функциональная теорема, подготовляющая к задачам
153, 154.)
153.	Если для рационально-численных степенных рядов P0(z),
Рх B),..., Р, (г) выполняется условие Эйзенштейна, а рационально-
численный степенной ряд / (г) тождественно удовлетворяет урав-
уравнению
то для ряда / (г) также выполнено условие Эйзенштейна.
1S4. Пусть s,7, tn — целые, (sn, tn)=l, tn~=^\ и Рп — наиболь-
наибольший простой множитель, входящий в tn. Говорят, что степенной
ряд
р
удовлетворяет условию Чебышева, если отношение — ограничено,
и условию Гурвица, если отношение -^—"- ограничено (/г = 2, 3, 4,...).
Как для условия Чебышева, так и для условия Гурвица имеют
место теоремы, аналогичные теоремам 142, 143, 153 для условия
Эйзенштейна.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3. § 4	157
§ 4. Целочисленные степенные ряды рациональных функций
155.	Целочисленный степенной ряд
называется примитивным, если его коэффициенты а0, ал, аг, ...
..., ап, ... не имеют иных общих делителей кроме единицы. Дока-
Доказать, что произведение двух примитивных степенных рядов снова
представляет собой примитивный степенной ряд.
156.	Если .степенной ряд
с целыми коэффициентами представляет рациональную функцию,
Р (z)
то эта последняя может быть представлена в форме л-рг» где
P(z) и Q (z) — полиномы с целыми коэффициентами и Q(O) = 1.
[]
Пусть
)
[155.]
157.
'—положительное число, не превосходящее единицы, записанное
по десятичной системе (О^Оу^Э, v=l, 2, 3, ...). Целочислен-
Целочисленный степенной ряд
представляет рациональную функцию тогда и только тогда, когда
8 —рациональное число.
158. Пусть бесконечная последовательность а0, av a2, ...
..., ап, ... составлена лишь из конечного числа различных чисел.
Степенной ряд
будет представлять рациональную функцию тогда и только тогда,
когда последовательность его коэффициентов, начиная с некото-
некоторого члена, будет периодической.
159. Пусть / — целое неотрицательное число и Р (г) — цело-
целочисленный полином. Тогда в степенном разложении P(z)(l —zY1
коэффициенты являются целыми числами и образуют периоди-
периодическую последовательность по любому простому модулю р;
длина периода равна некоторой степени р.
160= Пусть D — целое число, не делящееся на заданное нечет-
нечетное простое число р. Тогда коэффициенты в разложении дроби
Л~?Ш1~г) ~ пеРи°Дические п0 модулю р и длина периода
является (собственным или несобственным) делителем числа р—1.

158	ЗАДАЧИ
161.	Пусть D и р — те же числа, что и в задаче 160. В сте-
степенном разложении выражения A — Dz2I коэффициенты — перио-
периодические по модулю р. Длина периода во всех случаях является
делителем 2(р—1); она является делителем р—1 или нет, смотря
по тому, будет ли ( —) = +1 или —1.
162.	Последовательность чисел Фибоначчи (VII 53) —периоди-
—периодическая по любому модулю. Вычислить длину периода для всех
простых чисел, меньших, чем 30.
163.	Если рациональная функция представляется целочислен-
целочисленным степенным рядом, то коэффициенты этого ряда, начиная с не-
некоторого,—периодические по любому модулю т.
164.	Степенной ряд, представляющий алгебраическую функ-
функцию	, имеет целые коэффициенты. Эти коэффициенты не
У 1— 4г
являются периодическими ни по какому нечетному простому мо-
модулю. (Теорема 163 не может быть распространена на алгебраи-
алгебраические функции.)
§ 5. Теоретико-функциональные свойства
целочисленных степенных рядов
105. Радиус сходимости необрывающегося целочисленного
степенного ряда всегда ==? 1.
166.	Необрывающийся целочисленный степенной ряд, сходя-
сходящийся внутри единичного круга, не может представлять ограни-
ограниченную в этом круге функцию.
167.	Если целочисленный степенной ряд представляет алгеб-
алгебраическую иррациональную функцию, то его радиус сходимости
меньше единицы.
168.	Верхнюю границу 1 в теореме 167 нельзя заменить
меньшей. Иными словами, каково бы ни было е>0, всегда су-
существует целочисленный степенной ряд, представляющий алгебраи-
алгебраическую иррациональную функцию и имеющий радиус сходимости,
больший, чем 1-е.
169.	Пусть коэффициенты полинома
(аоф0,
вещественны. Аналитическая функция, определяемая рядом
будет рациональной тогда и только тогда, когда первые г коэф-
коэффициентов а0, с,, ..., ar_j рациональны. (См. II 168.) [185.]
170. Если последовательность целых неотрицательных чи-
чисел alt a2, а3, ..., ап, ... ограничена и содержит бесконечное

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, f ЛАВА 3, § 6	159
множество членов, отличных от нуля, то ряд
z	г2	zn
не может представлять рациональную функцию.
171.	Ряд
z	z2	гп
lj_|_z~T 2]_|_г2~Т"--Г "l^.j/lT"'1
коэффициенты которого подчинены тем же условиям, что и в за-
задаче 170, также не может представлять рациональную функцию.
172.	Обозначим через Qn сумму цифр числа п. Например,
QlS7= 1+3 + 7= 11. Показать, что степенной ряд
имеет единичную окружность своей естественной границей.
173. Пусть логарифмы всех целых положительных чисел
1, 2, 3, ... записаны один под другим в порядке возрастания так,
чтобы при этом единицы одинаковых -разрядов стояли в одном и
том же столбце. Показать, что степенной ряд, имеющий в качестве
коэффициентов цифры любого столбца, имеет единичную окруж-
окружность своей естественной границей.^
Иными словами, пусть в десятичном разложении чисел lnl,
In2, 1пЗ, ..., Inn, ... /-я цифра справа от запятой будет соот-
соответственно dlt dit ds, ..., dn, ... Тогда аналитическая функция,
определенная степенным рядом
имеет своей естественной границей окружность |г| = 1.
§ 6. Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица
Степенной ряд
называется целочисленным в смысле Гурвица, кратко: «целочислен-
«целочисленным (Я)», если а0, ах, а2, ..., ап, ... — целые рациональные числа
[A. Hurwitz, Math. Ann., т. 51, стр. 195—226, 1899].
174. Если функция /(г) целочисленна (Я), то также
целочисленны (Я).
. 17S. Если /(г) и g(z) целочисленны (Я), то также

160	ЗАДАЧИ
целочисленны (Я), а при g@) = ±l еще и отношение
целочисленно (Я).
If©. Если функция f(z) целочисленна (Я) и /@) = 0, то также
\!(г)\т
т\
целочисленно (Я) (т=1, 2, 3, ...) [174].
177. Если /(г) и g(z) целочисленны (Я) и /@) = 0, то функ-
функция g\[(г)] также целочисленна (Я).
178= Функция ф(г), однозначно определяемая дифференциаль-
дифференциальным уравнением
и начальными условиями <р @) = 0, <р' @) > 0, разлагается в сте-
степенной ряд, целочисленный (Я).
Говорят, что два степенных ряда
целочисленных (Я), сравнимы по модулю т:
Z + f
если их коэффициенты удовлетворяют сравнениям
)	апз= Ьп(modm), ...
179.	(r--lKs
180.	При всяком простом р
,0-1	72(Э-1>	7ЪЧУ-\\	\
3i)i + 71^=2^ + W=W + ¦ ¦ •)(mod ">•
181. При каждом составном т, превосходящем 4, получаем
(e'-iy-issO (modm).

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3, § б	161
182. Бернуллиееы числа В„ определяются как коэффициенты
в разложении
п= 1
Имеем
B1 = J = 1— у — -д".	52 = 30==~1+ '2" + Т + У*
°3 ~ 42 ~~ 2 3 7 '	4 ~ 30 ~ "*" 2 ^ 3 ^ 5 ' .
R-5-!-!-!-1	Д _iE.__14-Ij-lj.i J.Ij.1
5~6"™ 2 '3 if	6 2730 т 2 "I" 3 "I" 5 "I" 7 "^ 13'
/J7 —-g--^ 2 з",	Ba- 5Ю -o-t-2 + 3 + 5 +17'
Вообще
где Gn — целое число, а 2, 3, а, р, у, ... — простые числа, на
единицу превосходящие какой-нибудь делитель
числа 2п. [Разложить сначала z, затем тц\ по возрастающим
степеням ег — 1 и применить 179—181.]
183. Коэффициенты С„ ряда
Dл)!
где ф (г) —функция задачи 178, рациональны, причем знаменатели
их не делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат
лишь простые множители, которые =1 (mod 4). Разложить сна-
сначала z, затем —р> по возрастающим степеням ф(г).
184» Дифференциальное уравнение
обладает вполне определенным интегралом вида
1 , V Dn
- Z2 + 2,
л-2
п = 1
(Р(г) есть частная эллиптическая, так называемая «лемнискати-
ческая» функция; параллелограммом периодов служит квадрат).
Коэффициенты Dn рациональны, причем знаменатели их не
6 Г. Полна, Г. Cere, ч. II

162	ЗАДАЧИ
делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат лишь
простые множители, которые s= I (mod 4). [Показать, что $>(z) =
= [ф(г)]~2 A83). Разложить сначала г2, затем г2[ф(г)]2 по воз-
возрастающим степеням ф(г); г2, как функция от ф(г), удовлетво-
удовлетворяет некоторому линейному дифференциальному уравнению вто-
второго порядка.]
со
185. Если степенной ряд У ~ zn, целочисленный (Я), удов-
п = 0
летворяет однородному линейному дифференциальному уравнению
с постоянными коэффициентами, то последовательность а0, а±,
й2, ..., ап, ... коэффициентов этого ряда — периодическая по лю-
любому модулю, начиная с некоторого места. (Примерами этому
служат уже 179, 180.)
186> Степенной ряд
, , 2х . 6х2 . 20х3 , . f2n\xn .
показывает, что теорема 185 не может быть непосредственно рас-
распространена на однородные линейные дифференциальные уравне-
уравнения, коэффициентами которых служат полиномы.
187. Если степенной ряд целой трансцендентной функции g (z)
целочислен (Я), то максимум модуля функции g(z) (IV, гл. 1)
удовлетворяет неравенству
lim sup M (r) e~r Yr S= —
У 2л
§ 7. Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности
точки z = oo, в целочисленных точках
188а Пусть ряд
Ьтг» + Ьт^г^ +... + Ъхг + \ + b-f + *f + ^ +...,
расположенный по убывающим степеням г, сходится вне некото-
некоторого круга, и числа Ьи Ъ2, ..., Ът рациональны. Если этот ряд
принимает целые значения для бесконечного множества целых
значений z, то Ьо рационально и
(Обобщение теоремы 93.) [Н urwi t z-Cour ant, стр. 30*).]
189. Ряд
-t- 4г 32гз ¦+- 12g_, 2048г, ¦+- ...
*) Гурвиц, стр. 46. Гу р в иц —К у р а нт, стр. 37.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 1	163
принимает целые значения для бесконечного множества целых
значений г.
190.	Доказать 114, основываясь на 188.
191.	Если не всюду расходящийся ряд
принимает целые значения при всех достаточно больших целых
значениях z, то F(z) является целозначным полиномом.
192.	Если два полинома принимают целые значения в одних
и тех же точках комплексной числовой плоскости, то либо их
сумма, либо разность является постоянной. (Эта постоянная, ра-
разумеется, представляет собой целое число.)
193.	Если полином g (х) принимает вещественные значения
во всех точках х, в которых другой полином / (х) принимает зна-
значения из некоторого двусторонне-неограниченного множества ве-
вещественных чисел, то полином g(x) вообще всюду вещественный,
раз только веществен полином f(x). (Если f(x) нечетной степени,
то достаточно предположить лишь, что множество односторонне-не-
односторонне-неограниченно.) Именно, тогда имеет место тождественное соотношение
где ф (у) — полином относительно у с вещественными коэффициен-
коэффициентами. (Отсюда, между прочим, легко следует 192.)
ГЛАВА 4
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
§ 1. Алгебраические целые числа. Поля
Вещественное или комплексное число а называется алгебраи-
алгебраическим, если оно служит нулем некоторого целочисленного поли-
полинома [стр. 146], т. е. если при некоторых целых рациональных
а0, аъ- а2, ..., ап (а0Ф0) имеет место равенство
аоап -\- агап ~* -f- a2ani -\-... + an-ia т &п == 0-
Если йо=1, то а называется целым алгебраическим числом или,
короче, «целым числом», как мы будем говорить в 194—237. Сущест-
Существуют, следовательно, иррациональные и комплексные целые числа;
рациональными целыми числами являются обыкновенные целые числа
..., -3, -2, —1, 0, 1, 2, 3, ...
Если аи Р — алгебраические числа, то алгебраическими будут
также числа
а+р\ а-р, ар, *-;
6*

164	ЗАДАЧИ
алгебраические числа образуют поле. Если при этом а и Р — це-
целые алгебраические числа, то целыми будут и
а + р, а-р, ар.
Целые числа образуют область целости.
194.	Если а —целое, то и У а — целое.
195.	Если г и s — рациональные числа и r-\-s~Y—1 —целое,
то г и s должны быть целыми рациональными.
196.	Если г и s —рациональные числа и r-\-sY—5 —целое,
то г и s должно быть целыми рациональными.
197.	Если г и s—рациональные числа и r-\-sY—3—целое,
то 2/- и 2s должны быть целыми рациональными и 2r ss 2s (mod 2);
однако сами г и s могут и не быть целыми.
Алгебраические числа, являющиеся нулями одного и того же
неприводимого полинома [стр. 150], называются сопряжен-
сопряженными. Алгебраические числа, являющиеся нулями неприводимого
полинома п-й степени, называются сами алгебраическими чис-
числами п-й степени. Рациональные числа суть числа первой сте-
степени и сопряжены лишь сами с собой.
198.	Существует лишь ограниченное количество целых чисел
заданной степени п, содержащихся вместе со всеми своими сопря-
сопряженными в фиксированном круге \z\<.k комплексной числовой
плоскости.
199.	Единственным целым числом, содержащимся вместе со
всеми своими сопряженными в открытом единичном круге, является
нуль.
200.	Пусть все нули полинома с целыми рациональными
коэффициентами и старшим коэффициентом 1 лежат в замкнутом
единичном круге. Один из этих нулей должен лежать либо
в центре, либо на периферии единичного круга; в последнем слу-
случае он является корнем из единицы [т. е. один из нулей должен
удовлетворять уравнению вида xh = xk, где h, k — целые рацио-
рациональные, 0<.h<.k; 198].
201.	Если целое число а со всеми своими сопряженными ве-
вещественно и по модулю меньше 2, то а = 2 cos—, где р и q —
целые рациональные числа.
Совокупность чисел, представимых в виде рациональных функ-
функций е рациональными коэффициентами от некоторого алгебраиче-
алгебраического числа ft, называется алгебраическим полем, или просто «по-
«полем», и притом полем, порожденным числом Ф; степень порождаю-

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 2	165
щего числа ft называется также степенью поля. Например, поле,
порожденное числом второй степени, называется квадратичным
и притом вещественно-квадратичным или же мнимо-квадратичным,
смотря по тому, будет ли производящее число вещественным или нет.
202. Иррациональные целые числа
У^л, У^з, У—ь
порождают три различных мнимо-квадратичных поля, в которых
целые числа имеют соответственно вид
где а, Ь — целые рациональные числа.
203. Множество Ш комплексных (в частности, вещественных)
чисел называется «дискретной областью целости», если оно обла-
обладает следующими двумя свойствами:
1)	Если ?' и ?" принадлежат множеству Ш, то и ?' + ?"» V — Г.
?'?" принадлежат этому множеству.
2)	Точка 0 не является предельной точкой множества Ш (соглас-
(согласно свойству 1) сама точка 0 = ?' — ?' принадлежит множеству 3I).
Дискретная область целости состоит либо из всех, либо из
части целых чисел некоторого мнимого квадратичного числового
поля (например, лишь из чисел 0, ±6, ±12, ± 18,... или даже
из одного единственного числа 0).
§ 2. Наибольший общий делитель
Говорят, что целое число а делится на целое число ft, если
существует такое целое число х (частное), что a = xft. Говорят
также, что «ft есть делитель числа а» или же «ft входит в а» и
т. д. Целые числа, являющиеся делителями числа 1, называют
единицами. Число ft называют наибольшим общим делителем т
целых чисел аъ а2, ..., ат, если существуют такие 2т целых
чисел ки х2, ..., %т, Ки Я2, ..., Хт, что
a1 = x1ft, a2 = x2ft, ..., a;n = xmft, a1l1 + a2%.i + ...-{-am%m = &.
Два целых числа a, p, наибольший общий делитель которых
равен единице, называют взаимно простыми.
204> Если бы мы согласились называть «целыми числами»
не любые целые "алгебраические числа, а лишь те, которые при-
принадлежат полю, порождаемому числом ]/—5, то числа 3 и 1 +
+ 2 У—5 совсем не имели бы в смысле приведенного выше опре-
определения наибольшего общего делителя, т. е. в поле, порождае-
порождаемом числом У—5 (и содержащем 3 и 1+2 |/—5), невозможно

166	ЗАДАЧИ
найти такие пять целых чисел а, р, у, б, ft, которые удовлетво-
удовлетворяли бы уравнениям
[Исследовать наименьшее значение, принимаемое произведением
(a-\-b']/r^5)(a — b]/—5), где а, Ь — целые рациональные; 202.]
205.	(Продолжение.) Квадраты 32 = 9 и (l+2]/=5J =
= — 19 + 4]/—5 обладают наибольшим общим делителем даже
при ограничении понятия целого числа, принятом в задаче 204.
206.	(Продолжение.) Найти (не лежащий в поле, порожден-
порожденном числом Y—5) наибольший общий делитель чисел 3 и 1 +
+ 2/1=5. [194.]
Нижеследующие задачи не требуют для своего решения при-
применения глубокой теоремы, что любые два целых числа обла-
обладают некоторым наибольшим общим делителем [Неeke,
стр. 121 *)].
207.	Наибольший общий делитель ft чисел а1( а2, ..., ат
делится на любой общий делитель этих чисел.
208.	Если ft и ft' — два различных наибольших общих дели-
¦&'
теля чисел аи а2, ..., ат, то частное ^- является единицей.
209.	Если ft — наибольший общий делитель чисел alt a2,...
..., ат, то yft является наибольшим общим делителем чисел
ya1; уа2, ..., yam.
210.	Если а взаимно простое с (Зу, то оно взаимно простое
как с р, так и с у.
211.	Если а взаимно простое как с р, так и с у, то оно
взаимно простое и с Ру.
212.	Если а и р —взаимно простые, то наибольший общий
делитель чисел а и у будет также наибольшим общим делителем
чисел а и Ру.
213.	Если б —наибольший общий делитель чисел а и р, то б"
является наибольшим общим делителем ап и Р" при любом п =
= 1, 2, 3, ...
214.	Если б —наибольший общий делитель чисел а и р, то
]/б (л=1, 2, 3, ...) является наибольшим общим делителем чи-
п— п.—"
сел у а и у р.
215.	Если т чисел аъ а2, ..., ат — попарно взаимно простые
и ц = axa3... ат, то 1 является наибольшим общим делителем т
чисел -?, J\ ..., А.
«1 «а'	«от
*) Гекке, стр. 125.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 2	167
216.	Всякое целое число а#0	взаимно просто со всеми
рациональными простыми числами, за	исключением конечного их
числа.
217.	Пусть <хи а2	ап — нули	полинома
хп + а^'1 + а2х"'2 +... + ая.хх + ап,
где аъ аг, ..., an^v an — целые рациональные числа. Тогда
alF a2, ... , ал обладают наибольшим общим делителем б и при-
том 6 = i/d, где N = п\ и d — наибольший общий делитель чисел
ПК	Л.
а	а	а
Под нормой числа а, принадлежащего полю n-й степени К,
символически: N (а), понимают произведение п сопряженных
с ним чисел [Неске, стр. 81*)]. Слово «сопряженные» имеет
здесь другой смысл, чем в пояснении, предшествующем задаче 198
[Неске, стр. 70**)].
218.	Если аир принадлежат К и а —делитель |3, то Af(a)
есть делитель N (jS).
219.	Пусть поле К обладает тем свойством, что вместе с лю-
любыми двумя целыми числами аир оно содержит и их наиболь-
наибольший общий делитель в том смысле, что в К имеются пять целых
чисел а', р', у, б, $, которые удовлетворяют равенствам
(Это имеет место не всегда! См. 204.) Показать, что для этого
необходимо и достаточно выполнение следующего требования:
если аир — два целых числа поля К, не делящихся одно на
другое, то в этом поле существуют два таких целых числа ? и т),
что одновременно
!iV(a)|, 0< \N № + Рл) К |
(Если а и Ъ — целые рациональные числа, |а|>|Ь|, и Ь не яв-
является делителем а, то требуемым здесь свойством выражения
al + P1! обладает остаток от деления а на Ь, т.е. г — а-\—Ь НН-)
220. Любые два целых числа поля, порожденного числом
У—1 , обладают наибольшим общим делителем, принадлежащим
этому же полю.
*)¦ Ге кке, стр. 85.
**) Гекке, стр. 74.

168	ЗАДАЧИ
§ 3. Сравнения
Пусть а, р, ц — целые числа. Делимость разности а —р на ц
выражают, как и в теории целых рациональных чисел, в виде
сравнения
а == р (mod fi).
221 • Отношение сравнимости между двумя целыми алгебраи-
алгебраическими числами по некоторому" целому алгебраическому модулю
коммутативно и транзитивно, т. е.
из а = р (modfi) следует р=а (mod(г),
из а = Р, Р=7 (mod(г) следует assy (modfi).
222.	Из
a==P, y = 8 (modfi)
следует
a + v = P-fS, a —у = р —6, ау = рб (modfi).
223.	Если a и fi — взаимно простые и jx не является едини-
единицей, то
a^=0 (modfi).
224.	Пусть а, р, ... — целые числа, f(x, у, ...) —полином
с целыми рациональными коэффициентами и р — рациональное
простое число. Тогда
(/(а, р, ...))* = /(«*, рр, ...) (modp).
225.	Пусть
ах, а2, ... , ат, ©ц со2, .... «>от
при fe^/, ^, /= 1, 2, 3, ... , т)
— целые числа. Тогда не все числа
могут быть целыми. [Выберем надлежащим образом простое число р
и положим п = р, 2р, Зр, ..., гр; 216, 224.]
226. Нули полинома деления круга Кт(х) [36] являются
также нулями полинома x^—l, т.е. целыми числами. Они
2Л1
равны а'1, алз, ,.., arft, где положено еш =а,, ф(т)==/г и
Гх, г2, ..., rh образуют приведенную систему вычетов по мо-
модулю т, т. е. гъ г2, ..., rh — целые рациональные числа, взаимно
простые с т и попарно несравнимые по модулю т.
Является ли полином Кт (х) приводимым или же неприводимым?
Решение. Рассмотрим среди неприводимых целочисленных
множителей полинома Кт(х) [116] множитель f(x), имеющий

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 4	169
нулем а. Нули полинома f(x), т. е. целые числа, сопряженные
с а, имеют все вид ае, где g — целое, и их число не превосхо-
превосходит h [если Km (x) приводим, то меньше h]. Во всех случаях для
любого целого рационального g
I/MK2»,	(*)
так как модули отдельных множителей полинома f(ocs), как длины
хорд единичного круга, не превосходят двух. Пусть теперь р —
простое число. Так как f (а) = 0, то мы получаем [224]
(f(a)y> = 0 (modp).
Значит, '¦ есть целое число. Его сопряженные будут точно
так же целыми числами вида ——-." Если, стало быть, р > 2h,
то все числа, сопряженные с ¦ и , будут в силу неравенства (*)
по модулю меньше единицы, и следовательно [199], f(ap) = O,
что и показывает, что аР является нулем полинома f(x).
По теореме Дирихле [стр. 149, сноска] каждая из cp(m) = h
прогрессий
г
2,
содержит бесконечное множество простых чисел. Следовательно,
можно указать приведенную систему вычетов по модулю т, со-
состоящую исключительно из простых чисел, больших 2h. Но тогда
согласно доказанному выше множитель f{x) полинома Кт(х)
имел бы своими нулями все нули с/*, агг, .... агь этого поли-
полинома, т. е. был бы той же степени, что и Кт(х), и, следова-
следовательно, вообще совпал бы тождественно с Кт(х). Таким образом,
доказано, что полином Кт {х) неприводим.
227.	Доказать неприводимость полинома Кт(х), не опираясь
на теорему Дирихле о простых числах в арифметической про-
прогрессии. Эту теорему можно обойти при помощи, правда, более
громоздкого, но зато и более элементарного построения приве-
приведенной системы вычетов по модулю т.
§ 4. Теоретико-числовые свойства степенных рядов
228.	Если разложения рациональной функции как по воз-
возрастающим, так и по убывающим степеням оба рационально-
численны, то полюсы этой функции, отличные от 0 и оо, явля-
являются единицами (в смысле теории алгебраических чисел).

170	ЗАДАЧИ
229.	Пусть степенной ряд, расположенный по возрастающим
степеням аргумента, сходится в единичном круге и представляет
дробную рациональную функцию. Если его коэффициенты явля-
являются целыми рациональными числами, то полюсы его равны
корням из единицы. [156, 200.]
230.	Если ряд
+ + + +
с целыми алгебраическими коэффициентами а0, alt а2, ... , а„,...
представляет рациональную функцию, то полюсы этой функции
также будут целыми алгебраическими числами.
231. Если
«1. «2, ... , ат, со1, со2, ... , ат
(акф0, (икф0, (?>кф(?ц при кф1\ k, 1= 1, 2, ... , т)
— целые алгебраические числа, то коэффициенты в разложении
выражения
1 —шхг ~ 1—co2z ' '' * ~ 1—штг
по степеням z точно так же являются целыми алгебраическими
числами. Это, однако, не имеет места для разложения, получае-
получаемого отсюда почленным интегрированием.
232.	Пусть функция f(z) представляется рационально-чис-
рационально-численным степенным рядом и производная ее /' (г) — рациональная
функция. Показать, что сама f{z) рациональна, если ее степен-
степенной ряд удовлетворяет условию Эйзенштейна, и трансцендентна
в противном случае.
233.	Пусть алгебраическая функция f (г) определена урав-
уравнением
Ро (г) U B)]' + Pi (г) [/ (г)]1'1 + ... + Рм (г) f (г) + Л (г) = О,
где Р0(г), Рг(г), ..., Pt(г) — полиномы с алгебраическими коэф-
коэффициентами. Если а —алгебраическое число, то коэффициенты
в разложении /(г) по степеням 2 —а будут точно так же алгеб-
алгебраическими числами. [В частности, если z = а — регулярная точка
функции f(z), то /(а) есть алгебраическое число.]
234о Целая рациональная функция F (г, у) двух переменных
г, у с рациональными коэффициентами называется неприводимой,
если.она не может быть представлена в виде произведения двух
целых функций с рациональными коэффициентами, имеющих низ-
низшую степень относительно у.
Если F(z, у) неприводима, то либо ни одно, либо все реше-
решения уравнения
F(z,y) = O
являются рациональными функциями от г.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 5, § 1	171
[Более того: либо ни одно, либо все решения суть целые
рациональные функции от г. Следует принять во внимание 233
и главную характерную особенность неприводимых уравнений:
их корни имеют скверную привычку ходить в гости целой семьей.
См. Неске, стр. 64, теорема 49*).]
235. Если степенное разложение алгебраической функции
имеет алгебраические коэффициенты, то эти последние все содер-
содержатся в некотором конечном поле (т. е. поле, порожденном
одним единственным алгебраическим числом, см. стр. 164). [151,
152.1
236> (Продолжение.) Пусть рассматриваемый степенной ряд
будет
2
Тогда существует такое целое число т, что все числа ахт, а2т2,
а3х3, ... являются целыми (обобщение теоремы Эйзенштейна).
237. Пусть расположенный по убывающим степеням г ряд
сходится вне некоторого круга и принимает целые рациональные
значения для бесконечного множества целых рациональных зна-
значений г. Если все коэффициенты ат, ат_г, ..., аъ а0, а.л, а_2, ...
рациональны, то ряд представляет целую рациональную функцию
(обрывается, 188); если коэффициенты все принадлежат одному
и тому же конечному полю, то ряд представляет алгебраическую
функцию (пример: 189).
ГЛАВА 5
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ I. Плоская квадратная целая решетка
238> Треугольник, вершины которого являются целыми точ-_
ками плоской квадратной решетки, не может быть равносто-
равносторонним.
239. До какой толщины должны вырасти стволы в правильно
засаженном лесе, имеющем форму круга, чтобы они полностью
заслонили вид из центра?
Пусть s —заданное целое положительное число. Опишем возле
каждой целой точки р, q, удовлетворяющей неравенствам 1 ==^р2 +
+ <72=^s2, как из центра, окружность радиуса г. Если г доста-
достаточно мало, то имеются выходящие из нулевой точки лучи, не
*) Г е к к е, стр. 69.

172	ЗАДАЧИ
пересекающие ни одного из описанных кругов (лес имеет «про-
«просветы»); таких лучей уже больше не существует, когда г доста-
достаточно велико (при г — -д- круги соприкасаются). Пусть г = р—¦
значение, разделяющее эти два случая (граница «просвечиваемо-
«просвечиваемости»). Тогда
240° Проведем в плоской квадратной точечной решетке м а-
ксимально широкую прямую бесконечную «дорогу», соста-
составляющую с осью ординат угол arctgx. Обозначая ширину этой
дороги через ц>(х), определить / (х) — ф (х) ]/1 + *а •
241.	Две целые точки х, у и х', у' называются сравнимыми
по модулю п, если
х^х' (mod я), у = у' (mod n).
Среди любых kn2 +1 различных целых точек всегда существует
&+1 сравнимых между собой по модулю п.
242.	Пусть в плоскости, на которую нанесена плоская квад-
квадратная решетка со сторонами квадратов, равными единице, лежит
область с (жордановой) площадью F. Если даже область эта не
содержит ни одной целой точки, то тем не менее ее всегда можно
так передвинуть параллельно самой себе, чтобы на ней оказалось
[Fj+1 целых точек.
243> Целые точки, лежащие в замкнутом первом квадранте,
образуют счетное множество, т.е. существует функция / (х, у),
определенная для целых неотрицательных значений х и у и обла-
обладающая следующими двумя свойствами:
1)	f(х, У) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, ...
2)	f(x, у) — инъективная, т. е. если х, у, х', у' — целые числа,
х^О, г/ЗзО, х'^0, y'S^O, (x-x')* + (y-y'f>0, то f(x, у)Ф
*=/(*'. У')-
Существует даже целая рациональная функция / (х, у),
перенумеровывающая целые точки, т. е. обладающая свойствами
1), 2), а именно функция
а также функция, получающаяся из нее, если поменять местами
х и у (указанная функция последовательно перенумеровывает
целые точки на прямолинейных отрезках
х + у = О, х + у=1, х + у = 2, ..., х^О, г/5зО].
Пусть / (х, у) — целая рациональная функция степени т,
fix, y) = <Poi.X, y) + <Pi(x, У)+ ... +<Рт(х, у),

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 5, § 2	173
где фц (л;, у) обозначает однородную целую рациональную функ-
функцию степени ц. Если f(x, у) перенумеровывает целые точки, то,
очевидно, ут{х, у) 5^0 при х 5= 0, y^sO. Если ут(х, у)>0 при
х5= 0, у5= 0, х + у>0 и f(x, у) перенумеровывает целые точки,
то функция f(x, у) имеет степень т — 2. [Число целых точек,
заключающихся в области, ограничиваемой линией уровня
f (x, y) = const., связано с площадью этой области.]
244. Будем рассматривать квадрат ysgxsgn + y, — ^г/^
sgn + Y как шахматную доску с /г полями, т. е. разделим его
прямыми, параллельными осям, на п2 равных квадратов (полей)
каждый площадью, равной единице. «Проблема п ферзей» состоит
в следующем: из п2 целых точек, образующих центры п2 полей,
требуется выбрать п целых точек (xlf yx), (xt, y2), ..., (хп, у„),
удовлетворяющих 2п{п—\) неравенствам
^	yv, Хц — xvф¦¦ — (t/ц — yv)
(л, v= 1, 2, ... , п.
Заменяя неравенства более ограничительными условиями — «не-
«несравнениями»
— Уч, х^ — Хчф-{ур — уч) (modn),
показать, что эти последние тогда и только тогда имеют решение,
когда п — взаимно простое с 6.
§ 2. Смешанные задачи
245.	Пусть rlt г2,..., rq и slt s2,... , sq — две полные системы
вычетов mod q, где ^ — нечетное простое число. Тогда q чисел rySlt
r2s2,... , rCjsq н е могут образовывать полной системы вычетов mod q.
246.	Пусть ра, где а ^ 1, —наивысшая степень, в которой
нечетное простое число р входит в число я. Показать, что
1Л + 2^ + Зх+ ... +яЛ = — —- или 0 (modpa),
смотря по тому, делится ли Я на р— 1 или нет (Я = 1, 2, 3, '...).
247.	Пусть р — наименьшее простое число, входящее в п.
Тогда существуют две такие полные системы вычетов mod n
/1, Г2, ... , Гп,
что каждая из р —2 строк
r1 + (p-2)s1, r2 + (p-2)s2, ..., rn + (p-2)sn

174	ЗАДАЧИ
также представляет собой полную систему вычетов. Что касается
системы
/¦i + (p-l)s1; r2 + (p-l)s2, ..., rn + (p-l)sn,
то она никак не может быть полной системой вычетов mod п.
248.	Каждая степень может быть представлена в виде суммы
стольких последовательных нечетных чисел, сколько единиц со-
содержится в ее основании.
249.	Число из ряда 2, 3, 4, ... , п (п>2) тогда и только
тогда — взаимно простое со всеми остальными, когда оно пред-
представляет собой простое число, превосходящее у. (Что такое
число всегда существует при «>2, было доказано Чебышевым.
См. Собр. соч., т. I, стр. 63, СПб, 1899.)
250ш Частичные суммы
±4.1 + 1+ 4-1
1 + 2 + 3 + ••• + «
гармонического ряда не могут быть целыми при п>1. Это сразу
же получается из теоремы Чебышева [249], но может быть дока-
доказано и без нее.
251. Сумма двух или большего числа последователь-
последовательных членов гармонического ряда, т. е. сумма вида
Т + ^+Т+-+Ж (л=1, 2, 3, ...; Ж/и),
не может быть целым числом; если представить ее в виде несо-
несократимой дроби, то знаменатель будет четный, числитель —не-
—нечетный.
252» Если целое положительное число п делится на все
числа, меньшие или равные У~п , то п есть либо 24, либо дели-
делитель этого числа.
Доказать элементарными средствами более общую теорему:
каково бы ни было а, 0 << а < 1, имеется лишь конечное число
целых положительных чисел п, делящихся на все числа 1, 2,
3, ..., [па].
253i Пусть Q —простое число, не являющееся делителем ЮР.
Среднее арифметическое цифр в периоде десятичной дроби, в ко-
Р
торую разлагается -^-, будет тогда и только тогда равно 4,5,
когда длина периода представляет собой четное число.
254. Число п = 2Л + 1 (ft ^ 2) в том и только том случае
является простым, когда
п — 1
3 2 ==—1 (modя).

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 5, § 2	175
255. Доказать справедливость следующей теоремы, выска-
высказанной Эйлером в качестве предположения:
Диофантово уравнение
4xyz — x — y—t2 = 0
не имеет решений в положительных целых числах х, у, г, I.
256а Если с/ —простое число ^11, то существуют положи-
положительные нечетные простые числа ръ р2, р3, р4, все меньшие, чем
q, но не обязательно различные, удовлетворяющие соответственно
условиям
<L Wl. Ш = _
-J и т. д.—символы Лежандра.1
257а Десятичная дробь
0,23571113171923...
(все простые числа выписаны одно за другим) иррациональна.
[249, ПО.]
258.	Число
е_14- '- + ±4- l Ф-4-
е— 't|| -Г 2! +зГ~г 4! т •••
иррационально.
259.	Число е не только иррационально, но и не является
квадратической иррациональностью, т. е. не может удовлетворять
никакому уравнению вида
где а, Ь, с —целые числа, не все равные нулю.
260> Если бы постоянная Эйлера-Маскерони С= — Г'A)
была рациональным числом, то Г'(п+ 1) должно было бы быть
целым числом при всех достаточно больших целых п.
261. Неизвестно, обладает ли число it тем свойством, что
среднее арифметическое первых п его десятичных знаков стре-
стремится к 4,5. Однако, если it обладает этим свойством, то им
обладает также 4 —п.
262а Пусть qn обозначает знаменатель n-го числа Бернулли
Вп [182]. Показать, что
feft -Яп = 1
=
п	BлI	2 •
263а Пусть теоретико-числовая функция /(л) мультиплика-
мультипликативна [стр. 139] и стремится к нулю, когда п стремится к беско-

176	ЗАДАЧИ
нечности по простым числам и их степеням. В таком
случае
lim f{n) = O,
если п стремится к бесконечности по всем вообще целым поло-
положительным числам.
264. При всяком положительном б
0, im^o.
ф (п)	«_->. со П°
265. Пусть целочисленный квадратный трехчлен 'ах2-\-Ъх-\-с
представлен целой точкой а, Ь, с в трехмерной кубической число-
числовой решетке. Обозначим число целых точек, содержащихся в кубе
и представляющих приводимый трехчлен, через г„. Дока-
Доказать, что
(Неприводимость квадратного трехчлена представляет в некотором
смысле «нормальный случай».)
266. «Вероятность» того, что целочисленный полином задан-
заданной степени приводим, равна нулю. Точнее говоря: пусть h—
целое число, Л^2, и г„ обозначает число, целых точек (Л1)
мерного пространства, лежащих в кубе
и представляющих приводимые полиномы aoxhJra1xh~1-{-...
... +ah. Тогда
rn = O(nh]n2n).
(Обобщение и уточнение теоремы 265.) [II 46.]

ПРИЛОЖЕНИЕ
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1.	Если бросить тяжелый выпуклый полиэдр с произвольным
внутренним распределением массы на горизонтальную плоскость, то
он останется лежать на одной из своих граней. Иными словами,
для любой точки Р, содержащейся внутри выпуклого полиэдра,
найдется (по меньшей мере) одна грань F такая, что основание
перпендикуляра, опущенного из Р на плоскость грани F, будет
лежать внутри этой грани. Дать чисто геометрическое доказа-
доказательство, независимое от всяких механических представлений.
2.	Если на круглой площадке ссыпано данное количество зерна,
то максимальный «наклон» получающейся кучи будет тогда наимень-
наименьшим, когда этой куче придана форма прямого кругового конуса.
Доказать следующую теорему, являющуюся аналитической перефра-
перефразировкой указанного факта:
Пусть функция f(x, у) обладает обеими частными производными
¦Jx=fx(x, У), ^~ = fv(x, у).
Если/(х, г/) = 0 на границе единичного круга x2-\-y2s^l, то
в единичном круге имеется точка ?, т], в которой
t, г,)]2 + [П(Ъ, л)]2*)>|$ $/(*, y)dxdy,
причем двойной интеграл распространен по единичному кругу.
3.	Если материальная точка, проходя в единицу времени еди-
единицу длины, переходит от состояния покоя к состоянию покоя, то
где-нибудь между двумя этими состояниями она должна испытать
ускорение, по абсолютной величине превышающее 4. Дать анали-
аналитическое истолкование этому факту.
4.	Если кривая всюду выпукла относительно точки О, то она
занимает угол зрения, меньший 180°, если же она относительно О
*) Это и есть «наклон».

1 ?8	ЗАДАЧИ
всюду вогнута и простирается в бесконечность, то угол зрения,
занимаемый ею, будет больше 180°.
Пусть О —полюс полярной системы координат г, ф и г — тг\ —
уравнение кривой, причем / (х) имеет непрерывные первую и вторую
производные. Вычисление радиуса кривизны приводит к следующим
двум теоремам:
1. Если f(x)>0 в интервале а^х^а + п, то существует
такая точка I (а <Ц < а -\- it), что
2. Если / (х) > О, f{x) + f" (*)>0при a<x<b и / (а) = / F) ==
—О, то Ь —а> п.
Доказать эти теоремы чисто аналитически.
Пусть дана замкнутая выпуклая плоская кривая 2 с непрерыв-
непрерывной кривизной. Пусть, далее, h (ф) есть опорная функция кривой 2
(соответственно ограниченной кривою 2 выпуклой области $, см.
ч. I, стр. 133), г (ф) — радиус кривизны этой кривой в точке, где
угловой коэффициент касательной равен Ф + у- Функция /г(ф)
имеет непрерывные первую и вторую производные, г(ф) непре-
непрерывна. Имеем
Для площади / области, ограниченной кривою 2 (т. е. обла-
области к), и для длины I кривой 2 имеют место формулы
f=Y \ h (v)
5> На замкнутой выпуклой кривой с непрерывной кривизной
существуют всегда по меньшей мере три различные пары точек,
обладающие тем свойством, что касательные в обеих точках одной
и той же пары параллельны, а кривизна кривой одинакова.
б. Если выпуклая кривая длины /, охватывающая площадь /,
может свободно катиться по внутренней стороне некоторой другой
кривой длины L, охватывающей площадь F, то
Пусть в пространстве х, у, z дана замкнутая выпуклая поверх-
поверхность g с непрерывной кривизной. Выражение х cos a-\-y cos р +
+zcosy, где cos2 a-j-cos2 р -]- cos2 у = 1, имеет в выпуклой обла-
области &, ограниченной поверхностью §, некоторый определенный

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
179
максимум h(a, р, у). Величина h(a, р, у) является функцией
направления а, р\ у и называется опорной функцией области $.
Плоскость
xcosa-f у cos P + 2 cos у — h(a, Р, v) = 0
есть касательная плоскость (опорная плоскость) поверхности $ и
притом такая, нормаль к которой, направленная в сторону от %,
имеет направляющие косинусы cos a, cos p\ cosy- Пусть гиг' —
главные радиусы кривизны в точке касания. Величины h, r, г'
можно представлять себе как функции точки со, движущейся по
поверхности единичной сферы. Они являются непрерывными функ-
функциями от со. Для объема v, площади о и интеграла т от средней
кривизны поверхности § имеют место формулы
v =~3 \ \
о= J
tn = 7T
где интегрирование распространяется на единичную сферу и dm
обозначает элемент ее поверхности.
7. Пусть объем, поверхность и интеграл от средней кривизны
для двух выпуклых поверхностей будут соответственно v, о, т
и V, О, М. Если первая из этих поверхностей может свободно
катиться по внутренней стороне второй, то имеют место неравенства
тО + оМ ==?12я (V + w),
оМ^ 4л (V — v).
8. Замкнутая поверхность, подвергнутая всестороннему равно-
равномерному давлению, остается в равновесии. Для обоснования этого
факта доказать следующие формулы, справедливые для всех зам-
замкнутых поверхностей:
^ 5 (у cos y — z cos p)dS = O, $5 (z cos a ~ x cos T) 4? = 0,
5 5 (-*-cos f>~ycos a) ^^=o.
Здесь cos a, cosp, cosy обозначают направляющие косинусы
внешней нормали, dS — элемент площади.
9. Если на каждый элемент dS замкнутой твердой поверхности
с непрерывной кривизной действует направленная по внутренней

180	ЗАДАЧИ
нормали сила величиной в -^-(-й- + ¦»-] dS, где Rlt ^2"~главные
радиусы кривизны, то поверхность остается в равновесии.
10. (Продолжение.) Если величина силы, действующей на эле-
элемент dS в направлении внутренней нормали, равна	dS (т. е.
пропорциональна гауссовой кривизне, а не, как выше, средней
кривизне), то поверхность также остается в равновесии.
11.	На каждое ребро k твердого полиэдра действует сила К,
приложенная к центру ребра, перпендикулярная к этому ребру
и лежащая в плоскости, делящей внутренний угол между гранями,
встречающимися в ребре k, пополам. Величина силы К равна
/ cos ~ , где / — длина ребра ha- упомянутый только что внут-
внутренний угол. Наконец, сила К направлена внутрь или вовне, смотря
по тому, является ли ребро k выпуклым или же вдавленным, т. е.
сообразно знаку cos -у.
Система сил К оставляет полиэдр в равновесии.
12.	Если на каждый элемент ds замкнутой твердой простран-
пространственной кривой, имеющей непрерывную кривизну, действует сила,
ds
равная по величине —, где г —радиус кривизны, и направленная
в положительную сторону главной нормали, то кривая остается
в равновесии.
13.	Пусть из начала координат проведены единичные векторы,
параллельные направлению касательной в различных точках непре-
непрерывно дифференцируемой пространственной кривой. Концы этих
единичных векторов описывают сферическую индикатрису прост-
пространственной кривой. Если эта кривая замкнута, то ее сферическая
индикатриса пересекает все главные окружности единичной сферы.
14. Пусть функция f (х) определена в конечном интервале
b и удовлетворяет в нем следующим условиям:
1)	f (х) положительна внутри и равна нулю на концах интер-
интервала [а, Ъ\,
2)	f(x) в интервале а<.х<.Ь имеет непрерывные первую и
вторую производные;
3)	/'(х)-> + со при х-*а, f (х)-> — оо при х-+Ь.
При этих предположениях функция
П*)	=Flx)
/ (*) A + [/' Ml2J w
не может оставаться монотонной во всем интервале а<.х<.Ъ, за
исключением случая
2

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
15. На замкнутой поверхности вращения с непрерывной кри-
кривизной всегда существуют две различные параллели с одинаковой
гауссовой кривизной.
16. Пусть а, Ь, с —стороны, а, р\ у — углы (в радианах) неко-
некоторого треугольника; а лежит против а, Ь — против р\ с —против у.
Тогда
л
~3~ ~~~ a + b+с '~~ *'
Равенство слева имеет место тогда и только тогда, когда треуголь-
треугольник равносторонний, а справа — когда треугольник вырождается
в сложенный вдвое отрезок.
17. Пусть ky, k2, ..., kf. — длины шести ребер тетраэдра и аъ
а2, ..., а6 — соответствующие углы между гранями, выраженные
в радианах. Тогда
я k1aj+k.2a2-{-...-\-klial. л
3 "^ Ai + A2 + ... + ^ "^ 2 •
Указанные границы не могут быть сближены.
18. Пусть Р0РхРг — прямоугольный треугольник с прямым
углом в Р2, Р2Р3 — перпендикуляр из Р2 на P0Pi, точно так же
Р	PPPPa и т. д. Найти предельную точку lim Pn.
П>00
19. Пусть в пространстве даны две окружности К и К', каждая
в виде пересечения шаровой поверхности с плоскостью:
(К)
(К')
Найти целую рациональную функцию от 16 вещественных коэффи-
коэффициентов а, ..., d, А	D, а', ..., d', А',..., D', которая была бы
отрицательна тогда и только тогда, когда обе окружности сце-
сцеплены, т. е. находятся в таком взаимном положении, что хотя
и не имеют общих точек, однако, будучи материализованы (скажем,
изготовлены из проволоки), не могут быть удалены друг от друга
на достаточное расстояние без разрыва.
20. Пусть Xlt X2, Х3 — проективные координаты точки на
плоскости и Хо определено соотношением Хо + Хг-{-Х2-\-Х3 = 0.
В трехпараметрическом семействе конических сечений
l = О
существует двухпараметрическое подсемейство конических сечений,
вырождающихся в пары прямых, причем каждая точка плоскости

182	ЗАДАЧИ
служит особой точкой (вершиной) такой пары. Найти интегральные
кривые этих пар прямых. (Во всякой точке Р искомой кривой
касательная должна совпадать с одной из прямых пары, имеющей
вершиной Р.)
21.	Пусть точка Р описывает плоскую кривую. Пусть, далее,
р —радиус кривизны в точке Р, и отрезок нормали в Р, заклю-
заключающийся между осями прямоугольной системы координат, имеет
длину v. Определить те кривые, для которых р и v находятся
в данном отношении:
р = 2nv.
Постоянная п может считаться положительной, так как п перей-
перейдет в — п, если поменять ролями х и у.
При целом п одно из решений получается в виде рациональ-
рациональной кривой порядка 2п, имеющей с бесконечно удаленной прямой
2п-кратную точку пересечения. [Ввести в качестве параметра угол т.
между осью х и касательной в Р.]
22.	Семейство поверхностей второго порядка
F(xu х,, х,, 0^ + ^г + ^7-< = 0 @<a1<G2<a3)
с параметром t имеет огибающую поверхность Н порядка 10 и
класса 4. Определить линии кривизны поверхности Н. [Составить
дифференциальное уравнение, связывающее один из радиусов кри-
кривизны поверхности Н с параметром t.]
23> (Продолжение.) Вывести параметрическое представление
поверхности Н, в котором параметрическими линиями были бы
линии кривизны. Эти последние представляют собой алгебраические
кривые 12-го порядка.
24.	(Продолжение.) Поверхность центров кривизны поверх-
поверхности Н и параллельные поверхности служат также огибающими
поверхностями некоторого семейства поверхностей второго порядка.
25.	Пусть F (х, /^ — непрерывная функция, периодическая
с периодом 1 относительно обеих переменных х, у:
у).
Пусть, кроме того, функция F (х, у) обладает тем свойством (доста-
(достаточно предположить, например, что она удовлетворяет условию
Липшица), что через каждую точку плоскости проходит одна и
только одна неограниченно продолжаемая интегральная кривая
дифференциального уравнения
" 1Н^. у)-
Тогда функции F (х, у) соответствует такое число со, что для
каждой интегральной кривой y = f(x) разность f(x) — v>x остается
ограниченной при всех значениях х.

РЕШЕНИЯ
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
I. [Относительно 1—76 см. A. Wiman, Acta Math., т. 37,
стр. 305—326, 1914; дальнейшая литература указана в книге
G. V а 1 iron, General theory of integral functions, Toulouse, Ё. Pri-
vat, 1923. См. также 1. с. I 110.] Речь идет о максимальном
числе последовательности
< г г г г г г	г г г
*' Т' ТТ' ТУТ' •••' Т 2~--'?' "•
Множители у, у, ..., ~, ... убывают. При
максимальным членом служит n-й член —-. Поэтому
2ш Так как все коэффициенты положительны, то
М (г) = ег, N (г) = 0.
V
4. Так как коэффициенты имеют чередующиеся знаки, то макси-
максимум модуля достигается для отрицательного г.

184
РЕШЕНИЯ
5.	v(r) = O.
6.	N (г) = 0.
7.	\an\ rn служит максимальным членом для значений г, пре-
превосходящих все числа
а0
Ч
1
п— 1
8а По основной теореме алгебры и вследствие того, что при
\ \
¦ оо модуль полинома
|ап\
9. Что второй предел равен бесконечности, вытекает из I 119,
I 120. Из неравенства ц (г) S== | an \ гп вытекает, далее, если апф0, что
In и (г)	,. In и, (г)
;к--^п, т. е. lim .^ ; =оо.
in/-	'	,_„ in г
lim inf -
1Оа Первую половину утверждения доказываем так же, как
первую половину теоремы 9. По поводу второй половины см.,
например, 2.
Индексом члена anznk считается, естественно, nk.
12а А1ь (г) ^ AIi (г^) Мь (г)== kN 1 (г'г).
13. 1. При Bn-lJn<r2<Bn+i)Brt-
v(r) = 2n^r, [x(r) =
v (г)	In	1
Bя)! '
n
2.
B/г— 1Jл
Г	Г
Bп+1)Bя + 2)
С In x dx
о
V(r)=2n~2r,
1
Inn(r)
2/
In 2	1
" ~^r ynxdx
о
=1.
Казалось бы естественным стараться доказать теорему, содержа-
содержащую этот пример и по аналогии с 14 звучащую примерно так:
«Если f (z) — целая функция и Цл(г), соотв. vk (r), — максимальный
член, соотв. центральный индекс, разложения (/ (z))k (а не f(zk),
как в 11) по возрастающим степеням z, k= I, 2, 3, ..., то
1 •
1п
не зависит от kt>. Однако в такой общей формулировке эта тео-
теорема не верна [предел может вовсе не существовать], хотя и верна

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	185
при некоторых специальных предположениях, например в предпо-
предположениях теоремы 67 [68]. См. также 59, 60.
14.	М,(г) = (М1(/-))л, Nk{r) = kN1(r).
15.	[19.]
16.	N (г) есть числовая функция, см. II, гл. 4, § 1.
17.	Пусть v (гх) = / 5s 1, тогда
18.	[Ill 280.]
19.	Так как максимальный член существует, то существуют
точки, заключающиеся одновременно во всех полуплоскостях
т] 5s га| + In | ап | (п = 0, 1, 2,...). Множество © этих точек про-
простирается в бесконечность и как общая часть бесконечного множе-
множества выпуклых областей (именно полуплоскостей) само представляет
собой выпуклую область. Эту область ограничивает снизу полигон
1 / %\ -п	din и, (еЦ
с уравнением т] = ш(х(е6). Правая производная	^ '¦¦ сущест-
существует также в вершинах и всюду равна v(e»). Производная — ку-
кусочно постоянная функция и вследствие выпуклости нигде не
убывает. Отсюда следует 15.
20.	[III 304.]
21.	Пусть 0<г<г'. Обе пары точек
(lnar, ln[x(ar)), (Inг', 1пц(г'))
и
(Inг, 1пц(г)), (lnar', 1пц(аг'))
лежат на границе области © [решение 19] и притом первая охва-
охватывает вторую. Центры соединяющих их отрезков (секущих) имеют
общую абсциссу
Inar + In/-' 	 Inr + lna/'
' 2	~	2	'
а для ординат вследствие выпуклости [19] имеем
In fi (ow) + ln |x (r1) „^ In \i (r) + In }.t (arr)
22.	Из 20, как 21 из 19.
23.	Для полиномов утверждение очевидно [решение 7]. Для
степенных рядов с бесконечным радиусом сходимости v (r) должно
безгранично возрастать, так как при т<я член \ат\ гт будет прев-
превзойден по величине членом | ап \ г", как только г станет больше чем

186	РЕШЕНИЯ
Пусть fi (ccr) = 1 ат | (аг)т; тогда \i (r) Ss | am | rm и, следовательно,
Ho m->oo при безграничном возрастании г.
24.	Искомый предел существует и меньше единицы для
каждой целой функции, не сводящейся к постоянной [22]. Если
он положителен и равен ak, где к — надлежащим образом выбран-
М (<х~п+1)
ное число, &>0, то тогда ~ м(а-п\ ^а и> значит,
M(crn)^a-nkM(l) (л=1, 2, 3, ...).
Но это показывает, что целая функция представляет собой поли-
полином степени =s=:& [8, 10]. Для полиномов утверждение очевидно.
25.	Среди чисел р1( р2, ... будет равно нулю v @), т. е.
ни одно, если v @) = 0. Пусть Но есть абсцисса вершины полигона,
ограничивающего & [решение 19], в которой сходятся стороны с
угловыми коэффициентами т и п, m<in. Тогда рт+1 = рт+2 =...
,.. = рл_1 = р„ = еЬ, и \ап\гп служит максимальным членом меж-
между рассматриваемой вершиной и ближайшей соседней справа.
26.	Среди чисел rv r%, ... будет равно нулю N @), т. е.
ни одно, если N@) — 0. См. 16.
27.	рп = п, ря = 2пBп+1), р2„_1 = р8я = угBя-1Jп.
28.	wx = — -у, оJ = —, да3 =	2", ..., rn = Bn— l)-g-;
и)л = гга = п2я2; ran-i. = г2п = Bп - 1) —¦.
29.	Имеем р„г^# (я= 1, 2, 3, ...)• В интервале [0, г], г</?,
лежит лишь конечное число, а именно v (r) членов последова-
последовательности рх> р2, рз, ... Точкой сгущения этой последовательности
может быть только правый конец интервала @, R).
30.	Последовательность нулей не может иметь точки сгуще-
сгущения внутри круга сходимости.
31.	Доказательство проводим методом математической индук-
индукции, рассматривая последовательно интервалы, на которые разби-
разбивают числовую прямую точки рх, р2, ... Для 0 ^ г < Рх имеем
|х(г) == |<з01. Пусть 0^т<^п и роль наибольшего члена перехо-
переходит от \ат\гт к \ап\гп. Допустим, что в интервале pm^ r<рОТг1
g° ' Г<П —1/7
и, значит, |ят|=	—-—. Так как \ап\гп вступает в роль наи-
Pi Ра ¦ ¦ • 9 т
большего члена в точке /¦ = pm+1==pm+a = ... = pn_1 = pn [25], то,

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	187
следовательно,
= | а
„ | рп = | йга | p
pm f
Pm+lPm-f2 • • ¦ Ря P1P2 ¦ • • PmPir.+i • ¦ ¦ Ря
и р(г) = \ап\гя для р„<г<р„+1, ч. и тр. д.
32.	Неравенство Иенсена [III 120]. Равенство не может
достигаться ни для какой не тождественно постоянной целой
функции.
33.	Это достигается интегрированием (с некоторыми предосто-
предосторожностями) соотношения
d In ц (/•) _ , .
доказанного в решении 19.
34.	Равносильно теореме 32, так как вследствие II 147
С N (t)	С
I -—• dt = N (r) In г — \ In r aN (r).
о	о
35. Обозначим предел слева через а, предел справа — через E
и примем сначала, что а конечно. Пусть г > 0. При достаточно
больших г имеем v (г) < га+Е, далее | av {r) \ < 1, следовательно,
|х (г) < гу (г) < rra+s,
In In и, (г) ^ , , In In j
In r	' ' In r
Отсюда P^a. Но, с другой стороны [33],
2/"
Для достаточно больших г ц (г) > 1, следовательно,
v (r) In 2 < In f.i Br),
т. е. as^p. Если a бесконечно, то первая половина доказатель-
доказательства излишня.
36.	См. вторую половину доказательства теоремы 35. [34.]
37.	Пусть ао=\. Имеем [33, II 147]
-rkv(r)+ J] p~k=k\rk-\{t)dt = k\tkd\n\i(t) =
= krk In ц (г) + & 5 t~kl In ji (t) dt.
0

188	РЕШЕНИЯ
сю
Если интеграл \ ?-*~Чпц.(?) dt сходится, то lim /-*ln[x(r) = 0
1	г -> оо
п
[II ИЗ], и, значит, сумма ^ (р7* — р^Г*) ограничена[I 78]. Если
V = 1
сю
ряд ^ Р»"' сходится, то доказательство проще.
п = 1
38. [G. Valiron, Bull. d. Sciences Math., серия 2, т. 45,
стр. 258 — 270, 1921.] В предположении / @) = 1 и обозначениях
задачи III 121 получаем, как в 37,
_ г~к N(r)+ 2 rv * = ^~*In® M + fe2 \ f"'1 ln © @ dU
0	<
Из неравенства @(r)=^M(r) заключаем, как в 37.
39.
= (k+l)\(l-i)kv(t)dt [II 147],
0
A - rf ln [X (r) + k \ A - О* In и @ <« = \ A - 0* ^v @ dt [33].
Пусть «0=1. Интегралы в правых частях одинаково ведут
себя при г-*¦!'. Если второй из них сходится, то
lim A-г)*1пц(г) = 0
[II 112] и сумма 2 [A-Pv)ft+1-A-P«)ft+1] ограничена [178].
v= 1
40.	[F. и R. Nevanlinna, Acta Soc. Sc. Fennicae, т. 50,
№ 5, 1922.] Так же относится к 39, как 38 к 37.
41.	[J. Hadamard, Journ. de Math., серия 4, т. 9, стр. 174,
1893.] Прямая, проходящая через точку (л, — 1п|ал|) с угловым
коэффициентом In г, имеет уравнение
¦Л = — In ] ап | + (I - п) In r
и отсекает на оси ri отрезок — 1п(| ап\ г"). Среди всех этих пря-
прямых опорная прямая пересекается с вертикальной осью в наиболее

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
189
низкой точке. Следовательно, отрезок этой прямой на вертикаль-
вертикальной оси равен — lnfi(r), абсцисса вершины, в которой опорная
прямая касается области & (или самой правой из этих вершин,
если их имеется несколько), равна v(r), угловой коэффициент
граничного отрезка области Ф,, за-
заключающегося между абсциссами
п—\ и п, равен 1пр„. Из ри-
рисунка явствует, что lnp,,+1Sslnpn
и что при а0 Ф О
— 1п|а„|=—1п|ао| +
если точка (п, — 1п|а„|) лежит
на границе области к [31]; если
опорная прямая поворачивается
вокруг вершины с абсциссой п
так, что ее угловой коэффициент
изменяется от 1пр„ до 1пр„+1,
то тогда 1пц(р„+1)-1пц(р„) =
= n(lnpn+1 — 1пр„), и т. д.
42. | ат | гт вступает в роль наибольшего члена, начиная
с наименьшего значения г, удовлетворяющего неравенствам
I п I <^ п I гт I п г <г п I г">	1/7 Гт-Х <-~ \ п \ гя
1 "О I *= ит 1 ' 1 I  ' s== ит | ' > • • • > | пщ-l Г *= | От I ' •
Это значение г равно, следовательно, рт. На рисунке решения 41
угловые коэффициенты
I «nl —In | С
п — О
все не превосходят угловой коэффициент 1пр„.
43> Раз а0 служит максимальным членом для некоторого г
(г>0), то а0ф0. Тогда, как было показано в решении 31,
I a» I = •
PiPa•• ¦ Рп
«я-1
а»
(п=1, 2, 3, ...).
На рисунке решения 41 все точки (п, — 1п|а„|) лежат на гра-
границе, неравенство
-\n\an_1\-\n\an+i\ ^ , , ,
	5	=^ — I л I
выражает выпуклость.
44. Кривая у = а'1ха, х>0, выпукла сверху, так как у" =
= (а— 1)л:01 2<С0; отсюда вытекает [43] утверждение относительно

190	РЕШЕНИЯ
v(r). Выражение a~1xajrx\nr, где х — переменная, л;>0 и фикси-
фиксировано, достигает своего максимума при
x = (—lnr) '-«	w
и в этой точке равно
(а-1 - 1) ха = (а-1 - I) (— In г)~ T=^.
Если, стало быть, (*) принимает целое значение п, то я-й член
равен еС^-цл" и является максимальным [второе доказательство
утверждения относительно v (r)], и приведенное для ц (г) асимпто-
асимптотическое значение является точным (в противном случае оно
несколько больше точного значения ц (г)). Что асимптотическое
равенство имеет место, следует из соотношения
п -» оэ е1СХ 1! п
45. Полагаем — In r = т и сравниваем рассматриваемый ряд
с интегралом
x 2°~a) 1ехР^Цг"т '""I f11 208].
Переход от ряда к интегралу дает ошибку порядка максималь-
максимального члена ряда [см. II 8]; отношение этого последнего к интегралу
имеет порядок т2 <' - а> [44]; этим и обосновывается указанный
переход.
46. Кривая у = ах\пх выпукла снизу, так как у" = — >0.
Выражение — axlnx + ^'nr, где л: —переменная, х>0, и г
фиксировано, достигает максимума при a(l+ lnx) = lnr. Если х
при этом принимает целое значение, равное п, то n-й член
является максимальным. Если же x = n-\-t, O^t^l, то
n-narn =etia^jr tn-lya. ^ e	p	j;
PH==(n-")IUa~(Hg)g	[34.]
[4G, 45, II 209.]

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	191
48> Достаточно исследовать рассматриваемый ряд в одной
00
лишь точке, например z = 0 [III 251]. Пусть g(z)— У —^г";
л = 0
00
тогда нужно исследовать ряд 2 ап- Имеем
п = О
а) Пусть /<1, т. е. М (г)< Ле^6", Л>0, е>0, / + е<1.
Для r — T~TZ получаем
\ап\<Ап\(-е~)пA + г)",
оз
и, следовательно [I 69], ряд ^] ал сходится. Значение г следует
я =0
подобрать таким образом, чтобы функция Ап\ r'ne^l+e)r обращалась
в минимум.
со
б)	Если />1, то ряд 2] ап не может сходиться. В противном
случае мы имели бы \ап\<.К, следовательно, |/(z)| </Ce|2', что
противоречит предположению / > 1.
,	со
в)	Если /=1, то ряд 2 ога может как сходиться, так и рас-
расходиться. Выберем, например, ап так, чтобы ол>0, Xvca.^\fan~
п —у со
оо
= 1 и ряд 2 °л сходился. Тогда /*^1 [б)], далее 7И(г)>-^гя
п = О
для всех и. При п = [г] получаем, что /^1, т. е. /==1. Выберем,
оо
с другой стороны, ап так, чтобы Игл ал = 0 и ряд ^] ал расхо-
расходился. Тогда /=sgl [б)], далее /^1 [а)], следовательно, 7= 1.
49. N (г) равно числу целых точек в круге | z \ ^ г. Имеем
^=1, oJ = i; так как iw пробегает одновременно с w все периоды,
то

192
РЕШЕНИЯ
Заменяя в первом уравнении и на ш-1 и умножая полученное
таким образом уравнение на второе, получаем
о (ш) а (и-\-1) = е	2	a[i(u-\-i)]o(u).
Отсюда вследствие равенств (*) и r\1a2 — r\2a1 = 2ni получаем
последовательно
и для любых целых чисел тх, тг
Ограничимся значениями и ФО, лежащими в параллелограмме
периодов, охватывающем точку и = 0. Полагая z = u-\-m1-\-im2
и беря т\-\-т\-*-оо, будем иметь
¦^ т\ + т\, In ] а (г)
5О< Чтобы вычислить \i(r) для sin г , замечаем, что если г
и п связаны неравенствами
(*)
и положено у r — 2n-\-t, то при безграничном возрастании п
t остается ограниченным. В интервале (*) в силу 3
V72n	V72n
._
2п-]/2лBп)

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
193
Гп
Ря
N{r)
v(r)
N(r)
In M (/-)
v(r)
In ц (r)
MM
У 2я In (j, (/-) u (/-)
In ,V (/-)
In r
sin Кг
Кг
я2
~4
2
я
1
я
1
т
1
2
«о|-
cos z
л
2
2
я
о
Я
1
1

1
(cos гJ
я
""
2
я
2
я
1
1
2~
1
ez-\-i
я
1
я
1
я
1
1
1
—
0
0
1
1
—
а (г)
—
—
2
—
—
2
Выступающие в этой таблице зависимости частично разъясняются
последующими теоремами.
51. ц(г)^М(г) [определение]. Если lim sup "¦"¦- = Я,
К конечно, >, < р, то для достаточно больших р | ап \ ря *^ц(р)<ерр,
следовательно [решение 48, а)], беря Р = (-(г) » будем иметь для
П	?!
достаточно больших п [й,(|
. Положим
п — 0
1) В настоящей главе под ^ сп при любых аи Ь, а^Ь, как целых, так
[Ь]
и нецелых, понимается
7 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
— 1+с[Ь].

194
РЕШЕНИЯ
52. [51, 35, II 149, I 113.]
53» Если порядок равен X, то согласно решению 51 при е>0
и достаточно больших г
2 + 2]
л=1 n=krb-*
где А, &' — постоянные, откуда
,.	In (rf (г) f (г))
hmsup —w w / w у
r->oo	ln '
где 8 сколь угодно мало. Если, с другой стороны, при г > г0
rf (г) / (г)'1 < г15, то интегрированием получаем, что при
где С —некоторая постоянная.
54. При достаточно больших
г имеем
где Я —порядок и е>0 [решение 51].
55.	Пусть 0 выбрано так, что сг(/—1)>1. При достаточно
больших t имеем М (t) > ia [10], следовательно,
\x(t)M(t) l<:M{tI-t<ta^-1l
По поводу /=1 ср. частный случай f(z)—es. В этом случае
интеграл в III 156 расходится.
56.	[A. Wiman, 1. с. 1.] Как бы мало ни было ?>0, суще-
существуют такие степенные ряды
с конечным радиусом сходимости и положительными коэффициен-
коэффициентами Ьп, что, обозначая через п центральный индекс, имеем
при всех положительных значениях у, достаточно близких к гра-
нице круга сходимости [45]. Для целой функции 2 ял2п (предпо-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	195
лагая, что ао — 1) в точке г, с которой сопряжено у в смысле
I 122, выполняется неравенство
\an\rn~~- bny"
для всех v = 0, 1, 2, ...; значит, в частности, для v = 0
пУ === | «И ' !
в такой точке г и выполняется требуемое неравенство. Предполо-
Предположение а0— 1 не нарушает общности.
57.	[A. Wiman, 1. с. 1.] Пусть Я< р<Я + е = ^-. Тогда [52]
для достаточно больших п
1пп<рЧпр„,
следовательно,
рпп-па (п - 1)(«-!)« ~ рпе~ап~а > rtP" ""е-"-> со.
Утверждение вытекает теперь из I 118 и 47 таким же образом,
как 58 из I 122 и 45.
58.	Пусть
,. \п N (г) ,. Inn л	гтт ,ЛЛ1
hmsup-—r-!-i- = limsup -.	= Х	[II 149J;
Ш г	ш гя
п-»оо ш
тогда Яй=;1. Из 51, 36 явствует, что порядок 2s Я. Что он вместе
с тем й?А, показываем следующим образом. Имеем
Если Я = 1, то по задании положительного е выбираем целое число
, чтобы N>q, У —<е. Тогда
M(r)<\c\r* П
Если Я<1, то выбираем столь малое положительное т), что
Я + л<1; тогда [I 113] для достаточно большого п —<——.
?п	~	¦
со
К логарифму функции I I (\-\	\—\ применяем II 37.
П= 1 V	и^ + 11 /
7*

196	РЕШЕНИЯ
59. [По поводу 59—63 см. также G. Poly a, Math. Ann.,
т. 88, стр. 177—183, 1923.] Мы можем, нисколько не нарушая
общности, принять как здесь, так и в задачах 60—65, что/@) = 1.
Тогда имеем [31, II 159]
ft,
Примеры в 13.
60. Как 59; вместо II 159 применяем II 160.
л.= 1	О
62» Как 61; применяем II 161 вместо II 159:
63. Согласно 32
I	i
In — Ss \ In л; bdx[U 160].
64. Согласно III 121
i
Но в силу II 159
r^co N (r) L4 \ r j J	л+2
Для полиномов сумма 2 rn остается ограниченной.
35. Как 64; вместо II 159 применяем II 160.
66. Пусть /(г)= 2 й„гп; тогда [III 322, III 130]
п-=0
n=0

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	197
со
-
Положим g(z) = ^ ^q7j-z2n+2; g(z) будет того же порядка Я, что
и f(z), так как
[35, 51]; применяем 53 к
W(r) = /-g'Q-)
ш (г)	2g (r)" *
67. 1) \an\<r-nM(r)<r-nebra, если только /->/•„, где г0 не
зависит от п. Правая часть достигает своего минимума f-^
\ W1' /
2) Приводим доказательство для случая произвольного поло-
положительного k и при достаточно малом е. (Этого вполне доста-
достаточно!) По предположению,
Отсюда и из неравенства
[III 122] вытекает [II 80]
i т	\ 2	j
,п=1	/ я=1 п=\
h Г! ^*	"Г" О
Положим для сокращения
aa/-a(l —E)	Заага	со
V	V1	V	XT'11 V	\"*ш
1	aora A + e)	3aa?a
Из этого определения и (**) вытекает, что при достаточно боль-
k 4- ¦ —
ших г, когда Faara) 2 < ехр [а (е3 — s4) ra],
где суммы в левых частях можно было бы взять от любой неот-
неотрицательной нижней границы до любой верхней, не превосходя-
превосходящей Ьссага. Поэтому мы можем (что имеет решающее значение)
заменить г в обеих частях неравенств —в первом на гA— Л), во

198	РЕШЕНИЯ
втором —на гA+Х) (к — фиксированное число, 0<Я<1), не
меняя границ суммирования. Это дает
2П|ап|nk
Отсюда, привлекая первое (до сих пор не использованное) из
неравенств (*), получаем
<ехр[— аA-е3) га + а A +е3)A - Х)а г* - аага (I -е) In A-Я,)],
<ехр[—аA-е3)га + а
Но разложение по возрастающим степеням е и А, дает
— A—е»)
если только аА. = е и е столь мало, что разложение сходится и
знак суммы ряда определяется знаком члена наинизшей степени.
Тем самым доказательство, поскольку речь идет о ^ и ^]П,
завершено. ^т не играет никакой роли. Действительно, если
е<3/г<3, 3ah = be, имеем на основании 1)
ап | г-
что при г->со как остаточный член сходящегося ряда стремится
к нулю.
68. Пусть имеет место соотношение A). Тогда функция будет
конечного порядка [51], откуда вытекает B) [54]. Соотношение C)
также должно выполняться; действительно, если бы v (r) для
произвольно больших значений г выходило за границы аагаA —г)
и аагяA + 8), то для этих значений должно было бы выполняться
также неравенство In ц (г) < 1пМ (г) — дга [67], в противоречие с B).
Если имеет место B), то функция будет конечного порядка
[51], откуда вытекает A) [54].
Если, наконец, имеет место C), то, предполагая, что аоф0
(это нисколько не нарушает общности), выводим B) с помощью 33.
69в 1) ап убывает. Пусть
/я — 1 =s? aara (I — е)< т < п < шг% A + е) =s? я + 1,

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	199
где 0 < е < 1, тогда согласно 67 2) при достаточно больших г
amrn¦ 2wxara>f{r) A-е), anrm¦ 2sot,ara <f (r) A + e).
Замечая еще, что In г ~ — In m ~ — In n и -r-^- ~ -p^-, получаем
отсюда
m-»oo fflInm	a !—6	/»->ooF "Inn	a 1+8
2) Если —;>: — ;>: —;s=..., то всякий член 'апгп для надлежа-
a0 Qj a2
щего значения г становится максимальным членом [43].
I - -\ 1	1
Отсюда следует, что в выражении \п'хпаа? — — \пп-\—\пап,
подлежащем исследованию, число п можно заменить на v (r). Так
как av(/-) rv(r) = \i(r), то согласно 68 имеем
1 ,	/ ч , 1 1	1 1 V (г) . In U (г)	1 . . . , 1
— Inv (r)-\—гг In av (r) = — In——- -4	тт^~*— ln(aa)-4— .
70.	Как в 2 пкапГп, так и в ^ а„гя центральная часть, т. е.
п=1	л=0
сумма членов с индексами, заключенными между aara(l— e) и
aara(l+e), главенствует над всей остальной частью ряда [67].
71.	Частный случай теоремы 70: k — \. Без предположения
регулярности получаем 53.
72.	Из I 94 и 70:
СО
2 anr«
73. Заменяя г на У г, приходим к 72:
11 , 1 , . . ., г- eV7
t-±. ь-i. *—i. S=7L.
В самом деле, согласно формуле Стирлинга [II 205, также II 202]
а„	Bп)!	1

200	РЕШЕНИЯ
2л
74а Положим со = е'. Тогда при х-*--\-оо
1+7Г + BТ)Т + (ЗТ)Т + --- =
Берем x = lrl. Имеем [II 31]
следовательно, с помощью формулы Стерлинга находим
P(\)PB)...P(n)(nl)\ Y{b1)T(b,)...Y{bq)	±=± jL Д +
Применяем теперь 72.
75. На основании вычислений, проведенных в решении 74,
а также формулы Стерлинга и I 94 получаем
п=1
Г(&1)ГF8)...Г(&<?)	' ^
1
"р.
Заменяя последний ряд интегралом
ег Ч	• • -
— dx — l
х У
а этот интеграл на основании II 207 —выражением
мы и получаем требуемую формулу. Переход от ряда к интегралу
приводит к ошибке порядка максимального члена ряда [II 8];
выражение [ег1 х'1) имеет при фиксированном г максимум e!rl,
1
максимальный член будет порядка г 2l elrl, и, значит, отноше-
отношение его к интегралу —порядка г й; тем самым указанный пере-
переход обоснован. [45, 47.]
76. Мы можем принять, изменяя для этого, если нужно, лишь
конечное число коэффициентов, что ао=1, <?п> а„_1'аг„т1

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	201
(л=1, 2, 3, ...). Тогда [43, 31] р„ = ^ и
1
limnlnTl+f 4
!)!??»	_	Й	Р» ••' Р"-'-»4 [170; 52].
; 1п п	1 1	1	л L	J
!??	_
1п п	. 1 , 1
1 + Т + Т
2) Если рЛ<г<ря+1, то
v(r) n, i*(r) /
PiPa•• • Р»
[25, 31] и
, ..	(«1Iп +(n-2)ln + ...+ lln
1П|Х(Г) , Г	V	P»-l V	Ря-2	Pi
[I 67].
3) Пусть рЛ«?/"<!рг.+1» />0 (аналогично в случае /<0).
Тогда
(/1Iп
Рл+1	Рл+1
Сумма площадей прямоугольников равна
М (г)	М (г)
	;	;т~ r*~S	;
площадь под гауссовой кривой равна "|/2л А,; см. 57.
77. Так как производная функции, однолистной в некоторой
области, в этой области всюду отлична от нуля, то все нули
полинома
лежат вне единичного круга. Поэтому модуль их произведения
больше или равен единице.
78.	Пусть хг и г2 — произвольные точки единичного круга
|г|<1. Положим wl = f{zl), w2 = f(zj. Если ф[/(г1)] = ф[/(г2)],
т. е. fp(w1) — (p(w2), то должно быть w1 = w2 и, значит, z1 = z2.
79.	ф(г) во всяком случае регулярна в единичном круге
|z|<l, ибо в этом круге '-~ регулярна и отлична от нуля.

202
РЕШЕНИЯ
Кроме того, ф (г) — нечетная функция, ф(—г) = — ф(г). Пусть
теперь ф(г3) = ф(г2) для некоторых точек гх и г2 единичного круга
г|<1. Тогда f(z\)=f(zl) и, значит, z\ = z\. Возможность z1 —
= — г2ф0 отпадает, так как тогда мы имели бы ф(гх) = — ф(г2)=й=0.
80i [ф (г)]2 — четная функция, т. е. функция от z2 = t, пусть
/(?)	? 1^1 1
[ф ()]
[ф (г)]2 = /(?). Пусть
|?2|<1, имеем /(У = /(У
21 = ?г- Тогда будем иметь
теперь для некоторых
/(У Вб
и ?2,
1,
[ф (zi)]2 = [Ф
Выберем гх и z2, для которых г^
ф (Zl) = ± Ф (г2) = Ф (± 22),
и, значит, ^ = ±22, ^i = Сг-
81. Примем, что общим центром кругов й и f служит точка
г = 0. Пусть радиус круга §. равен R, радиус круга f равен г
(r<R) и отображение осуществляется функцией
fr2n,
Имеем
©
=
[III
CO
я 2\
124]
n\an\2
0 1
Isl
R
s.
J
= 0.
Равенство может иметь место только тогда, когда a2 = a3 = ai — ,..
.. . = 0. Употребленное для | © | выражение не содержится вЧП 124,
так как там предполагалось, что отображающая функция регу-
регулярна на границе $. Однако можно показать путем предельного
перехода, что эта формула справедлива в более общих предполо-
предположениях, представляя так называемую внутреннюю жорданову меру
области ($. При всяком другом мероопределении теорема была
бы подавно справедлива.
82. |©|==я(||2/?2
Обозначения и дальнейшие рассуждения, как в 81.
83. Пусть рассматриваемое круговое кольцо определяется
неравенствами
функцией
и отображение осуществляется
w =
Образы всех окружностей | г [ = const. обходятся одновременно
с этими окружностями в положительном направлении [III 190] и

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
203
содержат $ в своей внутренней области [решение III 188]. Из
III 127 заключаем (площади положительны!):
где под |®| понимается внутренняя и под |д| —внешняя жорда-
нова мера [решение 81; при других мероопределениях требуемое
неравенство выполняется тем более].
Оставляя в стороне случай |д| = 0, имеем
05 I
= 0,
п | а„
ибо при целых значениях п, за исключением 0 и 1, n(R2n-2—г2п~2)>0.
84> Пусть центром рассматриваемого круга служит точка
z — 0 и отображение осуществляется посредством функции w =
f	2
1) Примем, что /(г) непрерывна на границе круга; так как
функция
/(г)
внутри круга регулярна и (вследствие взаимной
однозначности отображения) отлична от нуля, а на его границе
постоянна по модулю, то она является постоянной [III 142, III 274].
2) Без ограничивающего общность предположения непрерыв-
непрерывности на границе рассуждаем так: согласно 82 в центре круга
fdw\ а , ,, ,„, ,„ _ ,
и так как соотношение между z я w взаимно, то также
fdz_\ 2	1
значит, |/'@)|2=1 и, следовательно [82], / (г) = /' @) г.
85> Зависимость между обоими круговыми кольцами взаимна.
Поэтому в неравенстве задачи 83 в применении к нашему случаю
нужно взять знак равенства. Следовательно, отображение пред-
представляет поворот вокруг центра и гомотетию или, вследствие
совпадения границ, простой поворот. Направление обхода сущест-
существенно: отображение кругового кольца -,y<.\z\<2 на круговое
кольцо у<[ау|-<2 посредством соотношения zw—l не было бы
уже простым поворотом.
86> Если бы существовало два отображения, то мы могли бы
сначала перейти посредством одного из них от единичного круга

204	решения
к области @, затем посредством обращения другого — обратно от
области © к единичному кругу. В совокупности это дало бы
отображение единичного круга на самого себя с сохранением
центра, т. е. поворот [84] и притом поворот на угол 0, так как
/'@)>0.
Доказанное утверждение сохраняет силу и в том случае, если
вместо условия /'@)>0 приписать аргументу/'@) произвольное
фиксированное значение.
87. Функция w — f{z) взаимно однозначно отображает еди-
единичный круг |z[<l сам на себя, f@) = w0, arg/'@)=a. Но то
же самое дает линейная функция
следовательно [86], она совпадает с f(z). Полагаем
— woe~ia = z0.
88.	[По поводу 88-96 см. P. Koebe, J. fur Math., т. 145,
стр. 177 — 225, 1915; см. также Е. Lindelof, Quatrieme congres
des math, scandinaves a Stockholm, 1916, стр. 59 — 75, Upsala,
Almqvist & Wicksells, 1920.] Исключение составляют точки z — a
и z = -- (точки разветвления), которым соответствует лишь по
одной точке плоскости w, именно w = '\/rcny1 и w — —— . Разре-
V а ц
шая относительно г, получаем
22i|-i/о" —A-|-1а1)к;
Z — W\f ——	~—_1_;' ;
1+| а 1 — 21] \/a w
таким образом, г\ нужно выбрать так, чтобы г\У~а >>0. Но одно-
одновременная замена У а и г\ на —У а и —г) оставляет соотноше-
соотношение в силе.
89.	По предположению, |а|<1, т. е. © не совпадает с кру-
кругом |z|<l. Если z лежит в единичном круге, то в этом же
круге лежат оба образа этой точки г, определенные в задаче 88
[III 5]; они отличны друг от друга, если гфа. Но образ точки
г —а, т. е. ю — Уагу1 [88], не принадлежит ни ©*, ни ©**,
а является их общей граничной точкой.
90< В настоящем случае выбрано а>0; стало быть, У а > О,
il=l. Образы w* и w** точки z служат корнями уравнения
A +а) ш2- 2 У а A +z) w + A +а) z -0.
Если г лежит на разрезе, т. е. z вещественно, a<.z<.\, то
A -\-aJz — (I +zJa>0, стало быть, w* и w** имеют сопряжен-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
205
ные комплексные значения, и так как w*w** — z, то \w* \ — У~г.
Значит, ближайшей к нулю точкой на линии, в которую отобра-
отображается разрез, служит Y<*- Это и есть искомая ближайшая гра-
граничная точка, ибо граничные точки, лежащие на окружности
|г| —1, отображаются на точки окружности |до| = 1. Область,
в которую переходит при отображении Кёбе единичный круг,
разрезанный вдоль указанного отрезка, имеет вид лунного серпа;
углу в 360° вокруг конца выреза соответствует в области Кёбе
угол в 180°.
91. Если образы дох и до2 точек zx и z2 окружности \z\ = a
равноудалены от нулевой точки, т. е. оба лежат на одной и той
же окружности | до| = const., то из соотношения
w
г 2\/a-(l+a)w
вытекает, что эти точки дох и до2 лежат также на окружности
1+а—2 ]faw
Va—{
— const.,
т. е. служат точками пересечения этих двух окружностей. Тогда
точки дох и до2, а также гх и z2 расположены симметрично отно-
относительно вещественной оси. Следовательно, когда точка обходит
полуокружность \z\~a, 3z^0 по направлению от z — -\-a
к z = -r-a, то расстояние ее образа до от точки w = 0 изменяется
монотонно и притом, как это вытекает из последнего уравнения,
монотонно убывает. w = V~a, образ точки г = + а, будет наиболее
удаленной, а
до = -
образ точки z = — а, —ближайшей граничной точкой области
Кёбе.
92. По формуле, приведенной в решении 88, ~ является
функцией от до, отображающей круг до|<1 сам на себя [III 5];
это означает, что при | до | < 1 будет
93. Круг
до
а\, целиком содержащийся в области ©,
преобразуется в область, содержащую круг радиуса, большего,
\\ [92]	1 t 11 М
рру
чем \а\ [92]; поэтому 1 «д. t
[91] показать, что
ру ру ру
^1- Можно также и непосредственно
94а Введем вспомогательные переменные z, zlt г2, ..., zn,
пробегающие соответственно области ©, <3lt ©2, ...., ®п- Согласно

206
РЕШЕНИЯ
решению 88 имеют место разложения (выписываем только первые
члены)
Отсюда
|я»1
^ „ 	1 '	¦"¦	(^н_ I —— t • •
2|Kfll
l+|a|
У a 2\y"ai\ 2 У а„.
Так как /„(г) регулярна в круге |z|<|aj и |/„ (г)|<1, то
95> В силу 94 бесконечное произведение
сходится и
2 }'а
1
Г ' 2
. Поэтому
96. Так как отображение взаимно однозначно и точка г
остается неподвижной, то функции
Mi) /2 (г)
г 7 г '
/я (г)
в области © регулярны и отличны от нуля. Модули их в каждой
точке z возрастают с возрастанием индекса [92]. Следовательно,
функции
фх (z) = In
>„ (г) = In Ai?L („ = 2, 3, 4, ...)
/и1 1/
в области ® регулярны и их вещественные части положительны.
При этом логарифмы берутся так, чтобы ^„@) было вещественно.
Далее, во всей области
/«(г)

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	207
[III 278] и, значит,
Щг (г) + Щ% (г) + ... + Ща (z) < - In | с |.
Отсюда непосредственно заключаем, что вещественная часть ряда
2 % (г) сходится, и, применяя III 257, III 258 (учитывая при
этом г = 0), заключаем также, что сходится и мнимая часть. Функ-
Функция /„ (г) принимает значение w, \w\<.\, если |а„|>|ш|. На
основании 95 отсюда следует, что /(г) = Нт/„(г) также принимает
значение w [III 201]. Что /(г) однолистна, вытекает из однолист-
однолистности функций /„(г) [III 202].
97. Нормированной отображающей функцией служит [III 76]
-аг
Имеем
98.
о2 —
Та — '
Т тг= ¦
2 —р2
99. Посредством вспомогательного отображения
ный угол преобразуется в верхнюю полуплоскость
а — в точку ?0 = а®»' Дальнейшее отображение
= г*» задан-
задан3? > 0, точка
"Е-Ь.
преобразует верхнюю полуплоскость в круг | w | ¦< га, где га опре-
определяется из уравнения
dw
dw
dz
= 1.
Полагая a = a e'"'-, 0 < a < ¦б'о, имеем
2щ | . ал
га — —- а\ sin п-.
ЮОш Пусть / (г) — нормированная отображающая функция обла-
области ©, соответствующая точке а, и ср(г') — то же для области &
и точки а'. Тогда /гхср (Лг +/г) обладает всеми характерными
свойствами функции /(г), следовательно, /гхср (Лг + &) =/(z). Ана-
Аналогично для внешнего радиуса.
101. Мы можем принять, что речь идет о вещественном от-
отрезке — 2 ?^2^2 [100]. Нормированной отображающей функцией,

208	РЕШЕНИЯ
соответствующей бесконечно удаленной точке, будет тогда [III 79]
При г — 2cosd имеем w — eib, 0йСф==с2я, т. е. | ш|= 1, f = 1.
102. При отображении, указанном в 101, эллипс с фокусами
— 2, 2 и суммой осей 4R = l переходит в окружность |'до| = /? =
= | [III 80].
1ОЗ> ra — %d. [Ill 6 или частный случай теоремы 99.]
104.	[100.]
105.	Отображение ?, = z-\— преобразует внешнюю область рас-
рассматриваемой кривой в плоскость, разрезанную вдоль веществен-
вещественного отрезка — (а2 + аТ') *S z =sc ax + аТ'. При этом внешний радиус
остается неизменным [104]; т. е. [101]
106. ra = — s'm-jr. При доказательстве мы можем принять,
л
что речь идет о полосе |3z|<~2'* ^> = я и а = 1'(у~^)- Отобра-
Отображение г' = ег преобразует эту полосу в полуплоскость 9te'>0,
а точку а —в точку ie'd [103, 104].
107.	Определение.
108.	Преобразование ? = — вследствие теоремы 107 приводит
задачу к 105; полагая a1 = bj1, а% = Ьтг\ получаем
При отображении ^ — —^г1 внешняя область двууголь-
двуугольника К преобразуется в угол
и точка г = со —в ?=1. Для внутреннего радиуса гх этого угла
относительно ? = 1 получаем [100, 107]
Кроме того, вследствие 99

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	209
Следовательно,
-_
2 B -6) sin ~±j
где л8 = :&2 — ¦&!. Если ¦0'] + '&2 = 2.Tt, то двуугольник Я «симмет-
«симметричен», г = | г2 — 2i j 4у-; см. случаи 01 = л [101], ^i = 4г [97].
При ^2 = ^ К приводится к дуге окружности, г — —-—у
4 sin -±
вводя радиус кривизны р и центральный угол <р дуги К, запи-
записываем г также в форме f = psin-j-. При Ф^-о"» 1&2==я полу-
чается внешний радиус полукруга с диаметром а, г =
3 !• 3
110. Нормированной отображающей функцией, соответствую-
соответствующей точке а, служит [III 76]
/(г) /(а)
. , . п.	г/,	f (г) — f (я)
f(a: z)=c—	 =crbJK '..1v -,
№Ш	nf{a)f{z)
где постоянная с определяется из уравнения
•df(a;z)\ _ crbf (a)
Имеем га — \с\,
111. Отображение % = — — 2 переводит указанную область
в плоскость ?, разрезанную вдоль интервала —2, 2. Поэтому
искомой отображающей функцией является
2i
Согласно 110 для вещественных а
В частности, го = 1. Когда а пробегает интервал —со, у, то г„
монотонно убывает от оо до 0.
112. На основании 110. Когда а приближается изнутри к не-
некоторой точке кривой L, то \f (а)\ остается ограниченным. При
этом | / (й) ! стремится к гь.
1*3. Заменяем в ПО Ъ на а и а на а + е, где е — произволь-
произвольный вектор с модулем, стремящимся к нулю. Обозначая через
((е3)) величину, стремящуюся к нулю не медленнее, чем е2, имеем
| /' (а + е) | = | 1 + 2сгг + ((е*)) | = 1 + Жс2г + ((г%

210	РЕШЕНИЯ
Следовательно,
т. е. для достаточно малых |е| имеет место неравенство Эк2е^0
независимо от arge. Отсюда заключаем, что с2 = 0.
114.	Интересующие нас точки лежат на прямой Зя = const.
[103.1
115.	Из выражения (*), стр. 26, для нормированной отобра-
отображающей функции путем его обращения
z — а = rp (w) — w + c'^w2 + c'iW3 -f-...,
где ф (w) однолистна в круге | w | ¦< га и отображает его на об-
область ©. Тогда функция
wn) — w + c\wX:
1
однолистна в круге \w\<.rna [79] и преобразует его точно в об-
область ©'.
116- Имеем [решение 115]
1—2г« —]Л—
откуда легко вытекает [ПО]
В частности, го=1. Когда а пробегает отрезок argz = —^-,
0 sg; | а | < у -г, то / (а) описывает радиус единичного круга, со-
составляющий с положительной вещественной осью угол —. Иско-
Искомый предел равен нулю для всех значений v.
117* Применяем надлежащим образом 115 к плоскости, раз-
разрезанной вдоль вещественного отрезка — Р2, а2. Последний имеет
внешний радиус J~^ [101], следовательно,
2
118. Функция ф (г) = ,, . ¦ регулярна в области ©, а также
в точке z = а; ф(й) = 1. Пусть 0<e</-Q. Возле каждой гранич-
граничной точки области © существует столь малая окрестность, что
для всех содержащихся в ней точек области © имеет место нера-
неравенство

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	211
М
Тем самым в © [III 278] |ф(г)|==с—, в частности, 1=|ср(а)|<
'а
s?—. Равенство имеет место только для <p(z) = 1, т. е. F (z)=/ (z).
Н9ш Пусть
f(z) = z-a + c2(z-a)* + ... + cn(z-ay + ...
— нормированная отображающая функция. Тогда функция
с сопряженными коэффициентами также регулярна в области ©.
Пусть в самом деле z0 — произвольная точка области © и Fo (z — а) =
= f(z), F1(z-a1), ..^F^iz-a^), F^z-cit), где alt a2,..., a^—
надлежащим образом выбранные точки ©, at = z0 — отдельные
элементы, осуществляющие продолжение / (г) до точки z0. Тогда
fjz) при помощи элементов Fo (z—а) — f(z), Fx (z—ax),..., Fbl (z—abl),
F^z — ui) будет продолжена до точки at = zu. Таким образом,
} (z) регулярна в области, полученной зеркальным отражением
области © относительно вещественной оси, т. е. в самой области ©.
Кроме того, f(z)=f(z), следовательно, |f(z)|<ra в ©. Согласно
118 имеем тогда f(z) = f(z).
120м —/(—г) регулярна в © и |—/(—z)|<ra. Поэтому
согласно 118 имеем —/(—z) = /(z).
121. Пусть f(z), соотв. /* (г) — нормированная отображающая
функция'области ©, соотв. ©*, соответствующая точке а. Тогда [118]
F)	(&*)	(@*)
В обоих неравенствах может достигаться равенство, однако не
одновременно.
122.	Из 121, принимая во внимание 97.
123.	[118, 121, 122.]
124.	[III 309.]
125.	[82.]
126.	III 126; см. также решение 83.
127.	[G. Polya, Deutsche Math.-Ver., т. 31, стр. Ill, сноска,
1922.] Обозначим внешнюю жорданову меру внутренней области
кривой L через \L\e и внутреннюю — через \L\t. Тогда [125, 126]
яг2*? IL \, < ILI «? яг2.

212	РЕШЕНИЯ
128.	Пусть / (г) — нормированная отображающая функция,
Р (г)
соответствующая нулевой точке. Тогда функция ггттп" регулярна
во внутренней области кривой L и равна ак при г = 0. Анало-
Аналогично для второго неравенства.
129.	Пусть z = ср(?) —функция, отображающая круг |t|<l
на внутреннюю область кривой L. Отображение взаимно одно-
однозначно и непрерывно для |?|sSl [стр. 27]. Применяем III 233
/ЫР]
130.
Длина интересующей нас дуги равна 2л A— D~l) и монотонно
возрастает с возрастанием D.
131. [К. Lowner.] Мы можем принять, что как О, так и
центр круга — образа лежат в нулевой точке; пусть радиус
последнего будет г. Обозначим через f1 (z) отображающую функ-
функцию кривой L1 и через /2 (г) — кривой L,. Тогда функция
(Z) h(z)
регулярна и отлична от нуля во внутренней области кривой Lv
Кроме того, на общих дугах кривых Lt и L2
тогда как на дополнительной части кривой
Отсюда следует, что | F (г) \ > 1 во внутренней области кривой Lx.
Регулярная ветвь функции In/7(z), вещественная для 2 = 0, удов-
удовлетворяет предположениям теоремы 129. Поэтому при положи-
положительном обходе какой-нибудь общей дуги кривых Lx и L2 изменение
выражения 3 In F(z) — 3 ln/t (г) — 3 ln/2 (г) отрицательно.
132. Пусть изолированный цилиндрический конденсатор имеет
проволочную внутреннюю обкладку. Деформируем внешнюю об-
обкладку, не нарушая изоляции, так, чтобы новое поперечное сече-
сечение содержало старое в виде части, в некоторых местах выдаваясь
за его пределы, в других — нет. Тогда в этих последних местах,
где, следовательно, стенка конденсатора осталась несдвинутой,
плотность электричества возрастает; этот факт можно сделать
наглядным и посредством соображений физического характера.
133м Область 5* односвязна (замкнутые простые кривые,
содержащиеся внутри §:*, лежат одновременно внутри Lx и внутри
L2). Отобразим также S* на единичный круг так, чтобы при
этом О перешла снова в центр круга. В нижеследующей таблице

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
213
указана общая длина дуг, падающих при отображении I, соотв.
II, соотв. III (внутренняя область кривой Lx, соотв. кривой L3,
соотв. §*) на границу единичного круга.
Длины дуг единичной окружности, соответствующих
I II III
видимым дугам кривой Lx
закрытым »	» Li
видимым » » L2
закрытым
L,
- 0?
Очевидно,
=
Согласно 131
Следовательно,
о*
ог.
т3 = 2л — ст2 s^ 2я — 0.| = 0*
= 2я — ах
2л — of = 0|
Если L3 — окружность с центром в О, то результат можно выра-
выразить несколько неточно, но зато наглядно следующим образом:
при отображении на круг те части граничной кривой, которые
более близко расположены к точке, переходящей в центр, сильнее
растягиваются, чем части, более далеко отстоящие.
134ш Примем, что граница области 33 представляет собой
замкнутую простую кривую, пересекающую окружность 12 —¦ ? | =
= р лишь в конечном числе точек. Удаляя из 33 границу, мы
получаем односвязную область, пересечение которой с кругом
2 — ?|<Р имеет односвязную часть §:, содержащую О в качестве
внутренней точки [решение 133]. Пусть ру — совокупная длина
общей части границы области $L и круга \z — ?|<p. Тогда
При отображении области S на единичный круг | w \ <. 1 точка О
пусть переходит в центр круга и совокупность дуг, засчитанных
в ру, — в совокупность дуг на окружности с общей протяжен-
протяженностью б. Согласно 131
Определяем функцию <p(w), регулярную в круге |ю|<1 и удов-
удовлетворяющую в точках дуг, засчитанных в б, условию
а во внутренних точках прочих дуг окружности —условию
(w) — In a

214	РЕШЕНИЯ
[III 231]. Имеем
= б In А + Bя - б) In a
[III 118]. Положим
еч>(да) = ф(ц>).
Тогда получаем
4)'<a«(
Если отображение области 5; на круг | w | •< 1 осуществляется
функцией
то Ф [г|) (z)] внутри S отлична от нуля и на всех граничных
точках области §, за исключением конечного числа, по модулю
не меньше чем /(г). Отсюда следует [III 335], что
Обращая эти рассуждения, получаем из III 276 часть теорем 131,
133. См. также решение III 177.
135» /„ (г) обращается в нуль только в точке г = 0 (взаимно
однозначное отображение). Применяя III 278 к функциям z~1fn(z)
и zfn (г), регулярным в ©„, находим, что в ©„
1
1
/я (г)
Пусть положительное число е„ определено уравнением
е *-
2
тогда Пте„ = 0. Полагая
и—* со
г ( г —
(
в круге |г|<1 имеем |cpn(z)|<l [III 278]. Из неравенств
\z\\\{z-\)^" <\fn(z)\<\z\
получаем сначала, что в круге |z|<l при п->оо
Принимаем во внимание неравенство /п@)>0 и применяем
III 258 к In (/„(г) г -У).
136. [L. Bieberbach, Bed. Ber. 1916, стр. 940—955;
G. Faber, Munch. Ber. 1916, стр. 39—42.] Из III 126 вытекает,
что для каждого R > 1
D2	1	5J	1	D6	'• ¦ • <. 1)

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
215
следовательно, также n-й отрезок этого ряда меньше единицы.
Полагая R -> 1, видим, что
Так как это неравенство имеет место при всяком и, то 2 п | bn
1. Если
л=1
1 = 1, Ьх = е'р, то тогда Ь3 = Ь3 =... = 0, т. е. g(z) =
137. [К. Low пег, Math. Zeitschr., т. 3, стр. 69—72, 1919.]
Применяя неравенство Коши [II 80], находим [136]
оо	по
I/ Li г|2«+2
W п=1
|
п=1
1 '
Если g' (ре) = -j——а, р > 1, | е | = 1, то — blten+t должно быть
вещественно и неотрицательно, далее,
, где мно-
житель К, не зависящий от п, определяется из уравнения 2 п I
I2 =
= 1. Имеем
л=1
Эта функция однолистна в области | г | > 1, так как при | г | >> 1
и поэтому
Преобразование
показывает, далее, что единичная окружность отображается на
некоторую круговую дугу с центром Ь04-е(р	) и радиусом р.
138. Принимаем во внимание 120.
13Э. [G. Faber, 1. с. 136.] Согласно 79 функция

к
216	РЕШЕНИЯ
регулярна и однолистна в области |z|>l, следовательно [136],
>0 =ss 1. Только в том случае у Ьо = 1, если Yg (г2) = z + —,
где р вещественно, т. е. когда g (г) = z + 2е;р + — •
140.	[L. Bieberbach, 1. с. 136.] Применяем 139 к g(z)—h,
где h — произвольная граничная точка области ®. Тогда нулевая
точка лежит на границе образа. Конформным центром тяжести
является bo — h, следовательно, \Ь0 — А|«^2.
141.	[См. L. Bieberbach, Math. Ann., т. 77, стр. 153—172,
1916.] Нижняя оценка для D получается как в III 239, верхняя
оценка —из 140 следующим образом. Если hx и h2 — граничные
точки области ©, то
\b0 — ft1|=^2, \bo — h2\s^2, следовательно, \h1 — h2\^4.
142.	Пусть d — расстояние между двумя неподвижными точ-
точками и D — диаметр соединяющей дуги. Тогда [141]
143.	[К. Lowner, 1. с. 137, стр. 74—75.] Достаточно доказать,
что |g(p)|sSpH—, р>1. Удаляя из © два криволинейных
отрезка, в которые переходят отрезки l<z«Sp, —р=^г< —1
при отображении g(z) = w, получаем некоторую область ©*. Если
мы разрежем внешнюю круговую область | z | > 1 от 1 до р и
от —1 до —р, то полученная область сможет быть отображена
Р+-
на внешнюю круговую область \?\> 2 [Ю5] и будет иметь
[138] конформный центр тяжести 0. К получаемому при этом
отображению внешней круговой области |?|>—^- на ©* при-
применяем 140.
144.	[G. Faber, Munch. Ber. 1920, стр. 49—64.] Так как
g(z) — z в области |z|>l регулярна и все граничные значения
g(z) — z по модулю «S3 [140], то \g(z) — z|«s3 также во всей
о
области |z|>l; III 280 дает тогда \g(z) — z\ «?пл- Равенство
могло бы достигаться вообще только для g(z) — z = —, а вещест-
вещественно, но тогда |g-(г) — 21 == у—7 и, следовательно, равенство никогда
не достигается.
145.	[К. Lowner.] Внешний радиус г указанной в задаче
кривой превышает внешний радиус отрезка длины 2а [121] и
меньше, чем внешний радиус содержащего этот отрезок эллипса,
сумма осей которого стремится к 4, когда а->2, 6-»-0. Отсюда

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
217
вытекает [101, 102], что г->1 при а->2, 5->0. Из 119 вытекает,
далее, что при рассматриваемом отображении две граничные
точки, находящиеся на противоположных краях выреза в z — — а,
переходят в z — -\- 1 и г = —1, так что одна из граничных точек
претерпевает смещение 1 -f а. При а -> 2 оно становится сколь
угодно близким к 3.
146. [L. Bieberbach, I.e. 136.] Полагая 'Q = --, имеем
при |?|>1 A39). |о2| =
тогда и только тогда, когда
K. a вещественно.
^	(+)
147. [G. Faber, 1. с. 136, 144; L. Bieberbach, 1. с. 136.
Теорема содержится, правда, без приведения точных значений
постоянных, уже у P. Koebe, Gott. Nachr. 1907, стр. 197—210.1
Пусть R = l. Функция
однолистна в круге |г|<1, следовательно,
г -У ~и
[146].
[Этот вариант доказательства принадлежит Ф. Хаусдорфу.] Равен-
Равенство имеет место только для функции
148. Пусть ? = у, g(O = [f(l)]'1 [решение 146]. Применяя
140 к g(Q, находим, что для любой граничной точки h
[См. также решение 147.]
149. [См. G. Szego, Deutsche Math.-Ver., т. 31, стр. 42, 1922;
т. 32, стр. 45, 1923.] Пусть /гх и /г2 — две граничные точки области
© и arg Лх — arg h2 = п. Применяя 147 к узт irn> находим, что
	1__
R
' 4'
т. е.

218	РЕШЕНИЯ
Тем самым по теореме об арифметическом и гармоническом сред-
средних (часть I, стр. 74) и подавно \fh\-\-\h2\^R. Когда имеет
место знак равенства, то должно быть прежде всего j hx j = j h2 \ —
= |, A1==-Aa = 4e'v, и, далее, x_f^f(z) = (J?+X)a. Y, « веще-
ственны. Эта функция в круге |z|=^# достигает модуля -~- лишь
для z — Reria. Отсюда заключаем, что
p-ia —	eiy и f (z)~ 	—
[В указанном месте утверждается, что Мах (| /zj |, |h2 j)^=/?. Заме-
Замечание, что уже j йх | + |/г2 \^R, принадлежит Т. Rado.]
150. [См. G. Pick, 1. с. 151; далее L. Bieberbach, Math.
Zeitschr., т. 4, стр. 295—305, 1919; R. Nevanlinna, Oversikt av
Finska Vetenskaps-Soc. Forh., т. 62 (A), № 7, 1919—1920.] Пусть
го|<1. Применяем 146 к функции
также однолистной в единичном круге | z \ < 1. Постоянные А и
В определяем из условий <p@) = 0, ф'@) = 1.
151. [По поводу 151, 152,156, 157 см. P. Koebe, 1. с. 147;
G. Plemel j, Verb.and 1. d. deutschen Naturforsch., т. 85, III,
стр. 163, 1913; G. Pick, Leipz. Ber., т. 68, стр. 58—64, 1916;
G. Faber, L. Bieberbach, 1. с 136; см., кроме того,
Т. Н. G r on wall, С. R., т. 162, стр. 249—252, 1916.] Имеем
где интегрирование производится вдоль прямолинейного отрезка
от 0 до z, |zj = r<]. Отсюда [150]
о
Отделение вещественной части дает
ч. и тр. д. Отделение мнимой части дает, кроме того,
|31n/'(z)|<21n|±J
(теорема об искажении угла поворота при отображении).
Равенство не достигается. [L. Bieberbach, 1. с. 150.]

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	219
г
152. Из f(z) = \f'{z)dz вытекает, что [151]
Нижняя оценка модуля |/(г)| получается двояким образом:
1) Пусть а; — ближайшая к нулевой точке точка образа окруж-
окружности | z | = г и L — кривая плоскости z, отображающаяся на отрезок,
соединяющий 0 и ш. Тогда из | w \ — J! /' (z) 11 dz | вследствие нера-
L
венства | dz | S= dr вытекает
2) Отображаем круг | z | < 1, разрезанный вдоль вещественного
отрезка, соединяющего г и 1, посредством функции г — g (?,) = Z, +
+ Ь2?2 + Ь3?3 + • • • на круг 11, | < ¦ ' ± [108] и применяем тогда
147 к граничной точке/(г) отображения w — f[g(K)].
153.	[Т. Н. Cronwall, Nat. Acad. Proa, т. 6, стр. 300—302,
1920; R.' N ev an 1 inn a, 1. с 161, стр. 17, сноска.] Полагаем
? = — и применяем 143 к [/ (Z,1)] х + а2-
154.	[Т. R ado, задача; Deutsche Math.-Ver., т. 32, стр. 15,
1923.] Согласно 80 f(z) = Vg{z2), где g(z) регулярна и однолистна
в единичном круге jzj<l. Таким образом, при \z\ = r [152]
155. В обозначениях задачи III 128 имеем
следовательно, так как f @) = 0,
2Я
о	о
156. По теореме Коши

220	РЕШЕНИЯ
где интегрирование производится вдоль окружности |? —z[ = p,
0< р <1 — | г | = 1 — г. Понимая под <ап (г) наименьшую функ-
функцию указанного рода, имеем
@^
157. [L. Bieberbach, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 161 — 152,
сноска 5, 1918.] Имеем
следовательно,
Полагаем здесь р = "—^-г.
г п-\-1
158. Заменяя в 155 /(г) на ]//(гг) [80] и г на J/V, получаем
2я	2Я
159. [J. E. Littlewood. См. Proc. Lond.M. Soc. B), т. 22,
№ 4, 1923.] Что a>n^n, вытекает из рассмотрения функции /(z) =
00
= Tfirju" = Z, пг>1- Верхняя оценка для сол получается из нера-
неравенства
„	j
= -^—. Имеем
160. [G. Pick, Wien. Вег., т. 126, стр. 247—263, 1917.] Утвер-
Утверждение относительно М вытекает из 122 или из III 280. Из раз-
разложения
заключаем, далее, что | а2 — 2е'аМ~1 \ ^ 2 [146]. Выбирая здесь
<x = rc-|-arga2, получаем требуемое неравенство. Равенство имеет
место тогда и только тогда, когда
/(г)	=	г

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	221
$ вещественно. Тогда значения w = ёаМгх\ (г) заполняют ту
часть единичного круга, которая соответствует при отображении
ъ—У? [111] плоскости, разрезанной вдоль луча arg W = а — р,
¦jAf^l W\<.co. Поэтому а должно быть равно E; части -j^f^S
^117^-- выреза соответствует отрезок 2М — 1 — 2У М(М — 1)^
^ш^1. Равенство достигается, когда/(г) осуществляет одно-
однолистное отображение единичного круга на круг радиуса М, раз-
разрезанный вдоль отрезка, идущего от произвольной граничной
точки перпендикулярно внутрь на расстояние
л (Ум -
161. [R. Nevanlinna, Oversikt av Finska Vetenskaps-Soc.
Forh., т. 63 (A), № 6, 1920—1921.] Согласно III 109 функция
регулярна в круге | z ] < 1 и имеет в нем положительную вещест-
вещественную часть. Следовательно [III 235],
Отсюда заключаем [I 63], что
ап\^п (п = 2, 3, 4, ...).
\ап\ = п может быть лишь тогда (и притом тогда уже для всех и),
f (г\ 1 4-е'аг
когда z'-~ = |-_ щг. « вещественно.
162.	[Т. Н. Gronwall, 1. с. 151; К. Lowner, Leipz.
Ber., т. 69, стр. 89—106, 1917.] Если f(z) осуществляет отобра-
отображение на выпуклую область, то образ при отображении w = zf (г)
будет звездообразен [III 110]. Тем самым [161]
z/'(z)<(uil)i. т. е. |а„|<1 (л = 2, 3, 4, ...).
]а„| = 1 тогда и только тогда (и притом тогда уже для всех п),
когда zf (z) = A_g,a2J ¦ / (z) = Г=^2' a вещественно.
163.	[См. Е. Study, Vorlesungen iiber ausgewahlte Gegen-
stande der Geometrie, Heft 2, Leipzig, B. G. Teubner, 1913;
R. Nevanlinna, 1. с 161.] Из 150 заключаем, что при |z|¦<г
7'

222	решения
Для значений г, не превосходящих меньшего корня уравнения
Г2_4г+ 1 =0, правая часть =>— 1. [III 108.]
164а Посредством отображения е; ~^ = ? вопрос приводится
к III 297. Если /(г)^0, то ряд
2 -
n= I
должен сходиться. Далее во всяком случае уп->со. Но для по-
положительных у, стремящихся к оо,
1
1 -
Аналогичным образом для отрицательных у заменяем общий член
выписанного выше ряда через 2e^sin^.
165i Достаточность условия вытекает из общей теоремы су-
существования для линейных дифференциальных уравнений. Но
условие также необходимо. Действительно, пусть ult u2, ..., ип
будут п линейно независимых целых функций, удовлетворяющих
заданному уравнению. Тогда коэффициенты Д, (г) определяются из
уравнений
z)ulf-") + ... + fn(z)uf (/=1, 2, ..., п)
как дроби, в числителях которых стоят целые функции; общим
знаменателем всех этих дробей служит вронскиан функций
иъ щ, ..., ы„, т. е. e~Jfl{z)dz [VII, § 5], значит — целая функция,
не имеющая нулей.
166ш Для достаточно малых ненулевых значений г имеем
fe	fe —I	J	2
__
где q>0, q — целое и для г* выбрана определенная ветвь. Из
предположения вытекает сначала, что при г->-0 функция <р(г)
остается ограниченной, следовательно, 7-ft = Y-a+i = • • ¦ = Y-i = 0.
Кроме того, уо = со. Если бы q было больше единицы и не все
коэффициенты Yi» Y2> • • • - Y<?-i были равны нулю, скажем Yi =
0	О l— 1, то при г->0 функция
оставалась бы по модулю больше некоторого фиксированного по-
положительного числа, откуда следовало бы, что
lim z'1 (ф (г) — с0) = оо,
г ->о

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	223
а это противоречит предположению. Следовательно, Yi = Y2 = ---
... = y?-i = 0. Далее уд = сг, затем снова уд+1 = уд+2 =... = y2?-i = 0
и т. д.
167. Если функция f (г) регулярна и однозначна в полуоткры-
полуоткрытом круговом кольце R «s | z | < со, то ее нули, находящиеся в этой
области, могут сгущаться только в бесконечности. Поэтому можно
построить целую функцию g(z), которая в указанной области
имеет те же нули, что и f(z). Тогда функция In'-— будет в обла-
области R s^ | z | < оо регулярна, однако не необходимо однозначна;
вещественная ее часть однозначна, мнимая изменяется при поло-
положительном обходе окружности \z\ = r, r>R на 2яш, где т — не-
некоторое целое число, не зависящее от г [III 190, а — О]. По-
Поэтому разность
1пЦ^ —m\nz
будет в области R =s; | z | < со однозначна и регулярна и разла-
разлагается в этой области в ряд Лорана
—1
где у (z) — целая функция и ряд а|) (г) сходится при
Можно положить zmg (г) еу (г) =z~pG (z). Если относительно функ-
функции f (z) предположено лишь, что она регулярна в открытом кру-
круговом кольце R < | z | < со, то ее нули могут сгущаться также
на окружности \z\=R.
168. Положим e~iz — w, следовательно, ev — \w\. Вследствие
периодичности функции f (z)
f (i In w) —F(w)
является однозначной функцией от w, имеющей в области 0 <
<| w\ <co лишь конечное число нулей и полюсов. Следовательно,
можно так определить два полинома Р (w), Q(w) и сходящийся
в указанной области степенной ряд ^] сг01 — $ (w>) [реше-
[решение 167], что в этой области
п = — оо
Обозначим через А (г) максимум 5Ri|) (w) на окружности \w\ = r и
через w0 точку, в которой этот максимум А (г) достигается. Имеем
In М (у) - In | Р (w0) \ + In | Q (w0) | ^ А (г).

224	РЕШЕНИЯ
Из предположения следует, кроме того, что существует такое
число 8, 0 < 8 < 1, что
w
при |ш|5з1,
При J W\ =sC 1.
Отсюда заключаем, что А (г) г"9 ограничено для г > 1 и А (г) г°*
ограничено для г<1. Согласно решению III 237 отсюда следует,
что ty(w) = const.
169< [Н. A. Schwarz; по устной передаче.] Пусть функция
регулярна и не тождественно постоянна в некотором круге | г | < р
с центром в нулевой точке. Тогда в этом круге также функция
регулярна и не тождественно постоянна, кроме того, для вещест-
вещественных х и у, х2-\- у2 <ра,
оо оо
Ф (*, У) = / (* + iy) F(x- iy) =2 2 akat (x + iy)" (x - iyI.
Этот ряд сходится также для комплексных х и у с доста-
достаточно малыми модулями. Так как он представляет алгебраическую
функцию от х и у, то имеет место, тождественно относительно х
и у, равенство
v=0	v=0
где Фу (х, у) — некоторые полиномы относительно х и у и Фя (х, у) "ф.
^0. Мы можем принять, что Ф„@, 0)=^0, ибо в противном слу-
случае можно было бы вместо / (г) заранее рассматривать / (г — а)
с надлежаще выбранным а.
Пусть переменная ? ограничена единичным кругом и постоян-
постоянная t выбрана следующим образом:
1)	^0,
2)	рассматриваемый степенной ряд функции ср(х, у) сходится
для jxj==c|f|, | г/К |*|,
3)	F(i)^0,
4)	полином Фл( - \ ' , ^кД-j не равен нулю тождественно
для всех ?. Этому условию можно всегда удовлетворить, ибо сво-
свободный член этого полинома относительно ?, п t совпадает со сво-
свободным членом полинома Ф„ (х, у) и, значит, отличен от нуля.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
225
Тогда в круге
п
тождественно
2t
17Ош [Е. Landau.] Пусть указанным в задаче кругом служит
единичный круг. Он содержит вещественный отрезок — 1 < w < 1.
Рассмотрим множество тех вещественных точек г, в которых w =
= / B) вещественно и по модулю меньше единицы. Эти точки
имеют по крайней мере одну конечную предельную точку z0,
в противном случае их было бы лишь счетное множество, и, сле-
следовательно, функция / (г) не могла бы принимать всех значений
из отрезка —1<м><1, имеющего мощность континуума. Значе-
Значение / (г0) вещественно, и точно так же вещественно
Пг0) = 1
ибо ведь мы можем ограничиться выбором для z тех веществен-
вещественных значений, для которых /(г) также вещественно. Аналогично
убеждаемся в том, что все коэффициенты в разложении f (z) no
степеням г — г0 вещественны. Продолжая степенной ряд, мы на-
находим, что функция / (z) вещественна для всех вещественных z,
что противоречит предположению. ¦
171. Таких функций не существует. Пусть, в самом деле, тре-
требуемое соотношение выполнено. Если / (z) тождественно равно
нулю, то тогда, очевидно, fi(z), /2(z)> •••> fn(z) также тождест-
тождественно равны нулю. Если же /(г) её О, то мы можем принять,
что /(г) в области 33 вообще не обращается в нуль ни в одной
точке (заменяя в противном случае эту область некоторой ее
частью). Но тогда функции fv{z)f(z)~l регулярны в S3 и функция
/i(z)
i(z)
+
f-z (г)
/(г)
/я (г)
/(г)
достигает максимума также внутри области 33; следовательно
[III 300],
U(z)/B)-1-const. (v=l, 2, ...,«).
172» Таких функций не существует. В самом деле, ограни-
ограничимся некоторой частью области 33, в которой g B) Ф 0 и Уц (г) =
Т	| | |2
р	р g ()	ц ()
= ф (z) — регулярная функция. Тогда | g B) | = | ф (z) |2. Согласно
предположению | ф (г) |2 является регулярной гармонической функ-
функцией, т. е. IIII 87]
2 "Г Й1/5
В силу III 58 отсюда вытекает, что ф(г) = const., g(г) = const.,
/ (г) = const.
8 Г. Полна, Г. Cere, ч. II

226	РЕШЕНИЯ
173. Пусть h{z) — целая функция; f(z) = eh{z) и g(z) = <гй(г)
удовлетворяют указанным условиям для a—I, b = — 1, с = 0, ибо
е-'' — 1~	' e~ft+l ' е~й —О
суть целые функции без нулей. Двух различных целых функций
конечного рода, имеющих одни и те же а-, Ь-, с- и d-точки, где
а, Ъ, с як различны, вообще не существует [G. Poly a, Nyt
Tidsskr. for Math. (В), т. 32, стр. 21, 1921].
174. Опираясь на уже доказанные положения, легче решить
следующую, более сильную интерполяционную задачу. Дана тре-
треугольная числовая схема
найти целую функцию G(z), удовлетворяющую уравнениям
GM(n) = v!cnv (v = 0, I, 2, ..., n; n = 0, 1, 2, 3, ...),
где п\апп — ап. Для решения пользуемся целой функцией
п=1
[Hurwi tz-Courant, стр. 123*)]. В окрестности точки z — n
имеет место разложение
&л0 ^& 0. Полагаем
Clntpnv Т Q-nlPn, v-1 Т &п<Рп, v-2 "Т" • • • ~Г апФпо == cnv
и ищем мероморфную функцию Т7 (г), регулярную всюду, за исклю-
исключением точек 2 = 0, 1, 2, ..., и такую, что разность
F (z) -(z- п)"-! [спо + С/!1 (г -«)+... + сЙЛ (г - я)»]
остается регулярной также в точке г = п, « = 0, 1, 2, ... [Hur-
[Hurwi tz-Cou ran t, стр. 108—111**)]. Тогда искомая целая функ-
функция G(z) = F(z)W(z).
*) Г у р в и ц, стр. 168. Г у р в иц —К у р а нт, стр. 127.
**) Г у рвиц, стр. 147—151. Гурвиц —Курант, стр. 113—115.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	227
175. Первое неравенство очевидно. Из неравенства
I'-K^F <я = °. ». 2, ...)
вытекает, далее,
176. [E. Landau.] Имеем [175]
[М (г)]п < 5Ю„ (г) < —^ [М (г + б)]",
поэтому
I
1
Берем и-»-оо; 6>0 произвольно мало, Л! (/¦) является непрерыв-
непрерывной функцией от г, как легко усмотреть из определения.
177.	[Е. Landau.] — ЫШп(г) является невогнутой функцией
от In r [II 123]. Предел невогнутой кривой представляет собой
также невогнутую кривую.
178.	[I. Schur.] Функция
-1/(г)] = г + Лаг2 + Л3г3+ ... +Ааг"+ ...
в круге | г | < 1 однолистна и по модулю меньше М2. Коэффи-
Коэффициент Ап является полиномом (п— 1)-й степени от е со свободным
членом ап и старшим коэффициентом М~п+1 ап. Подставляя вместо е
последовательно все корни («—1)-й степени из единицы, склады-
складывая и принимая во внимание неравенство | Лл|^ш„[М2], получаем
т. е.
Здесь (он [М] обозначает верхнюю грань модуля | ап \ в предполо-
предположениях задачи 160. Повторное применение этого неравенства
дает, так как о„[Л1] ==?«„,
[решение I 14].
179. Пусть т — произвольное целое положительное число.
Тогда ф(тФ) является тригонометрическим поликомом тп-то по-
порядка, удовлетворяющим предположению. Тем самым при всех
значениях О выполняется неравенство
| mcp'(m#) | =??/шг +/С, т.е. | ф' (Щ \ <n-f.~¦•
Берем теперь пг-^-со.

228	РЕШЕНИЯ
180. [Н. Poincare, American J., т. 14, стр. 214, r1892;
см. Н. Bohr, Nyt Tidsskr. for Math. (В), т. 27, стр. 73—78,
1916.] Определим целые положительные числа klt k2, ..., %п, ...
так, чтобы было
{^)><9{п+\) (п = 2, 3, 4, ...).
Функция
/1 = 2
является целой; при n^x-^n-\-l, n^2, имеем
181.	Пример: sm Lz = 1— — -f-	...; целые рациональ-
у z	3!	51
ные функции (не являющиеся тождественно постоянными) стре-
стремятся по всем направлениям к бесконечности.
182.	[Н. von Koch, Ark. for Mat., Astron. och Fys., т. 1,
стр. 627—641, 1903.] Пример.: ez-{- z. При доказательстве нужно
различать два случая: — у < arg z <-д- и "о"^ar§z*== ~о~• Рав"
номерность исключена. [Hurwitz-Courant, стр. 96*).]
183.	[См. J. Malmquist, Acta Math., т. 29, стр. 203—215,
1905.] [Ill 158, III 160.] Целые функции конечного порядка не
могут себя так вести [III 330].
184.	[G. Mittag-Leffler, Verhandlungen des III. interna-
tionalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, 1904, стр. 258—
264, Leipzig, B. G. Teubner, 1905; Atti del IV. congr. internaz.
dei mat. Roma 1908, т. 1, стр. 67—85, Roma, Tip. della Ace.
dei Lincei, 1909.]
e-E(z)_e-EBz)
где ? (г) —функция задачи 183.
185. Функция Е(г) [III 158] либо совсем не имеет, либо
обладает, самое большее конечным числом отрицательных нулей
[III 160]. Полагаем в первом случае
F(z) = E(z),
во втором
где — alt — a2, ..., — а, — все имеющиеся в наличии отрица-
отрицательные нули функции Е(г). В том и другом случае F (z) при
*) Г у р в н ц, стр. 136. Гурвиц — Курант, стр. 104—105.

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	229
вещественных отрицательных г вещественна и сохраняет постоян-
постоянный знак. Следовательно,
l\ F(—t2)dt = C=?0;
о
существование интеграла вытекает из III 160. Нечетная целая
функция
и доставляет требуемый пример, как нетрудно показать путем
изменения контура интегрирования [III 160].
186. [G. Poly a, Intermed. des math., серия 2, т. 1, стр.
81—82, 1922.] Пусть 0<а<2я и g(z) — нечетная целая функ-
функция, построенная в задаче 185. Функция
2
-^ целая и при должном выборе знаков перед обоими радикалами
в угле 0 < arg z < 2я — а стремится к единице, а в угле 2я — а <
¦< arg z <L 2я — к нулю. Остается составить надлежащую линей-
линейную комбинацию таких функций.
187.	Нет, ибо множество всех разбиений имеет мощность 2е,
высшую, чем мощность континуума с, тогда как множество всех
целых функций имеет мощность с ° = с, т. е. мощность континуума.
188.	Допустим, напротив, что существует простирающаяся
в бесконечность непрерывная кривая L, вдоль которой ег стре-
стремится к пределу, отличному Ьт нуля и бесконечности. Тогда для
всякого положительного е на кривой L можно указать такую
точку г0, что | arg ег — arg ez° | .< е для всех точек z кривой L, сле-
следующих за z0. Цели е<я, то вследствие непрерывности аргу-
аргумента должно быть также |3z —3zo|<e и, следовательно, начи-
начиная с z0, L заключается внутри полосы шириной в 2е, парал-
параллельной вещественной оси. Но внутри такой полосы z может
стремиться к бесконечности лишь двумя способами: либо так, что
ег->оо, либо так, что ег->-0.
189.	Функция
f,-T,r_ V (-1)
У пХ~ Li n\
0	0
У	2» Bл+1)
0	л = 0
стремится к бесконечности, когда г-*-<х> вдоль положительной
или отрицательной мнимой оси. Она, далее, равномерно сходится
к у--, соотв. — у ¦— , когда z -> оо в угле — -^ < arg г <-^,

230	РЕШЕНИЯ
соотв. ~ «S arg г «g ~. В самом деле, например, в первом слу-
случае, г = ге'Л г>0, — -^=??¦0^^-, имеем
4 " " 4
Т
dx-\- ^ e 2 dx,
4 _____
и второй член по модулю меньше чем г \ е 2 от [решение
6
III 151]. Если бы существовала простирающаяся в бесконечность
непрерывная кривая, вдоль которой рассматриваемая функция
стремилась бы к конечному пределу, отличному от ± 1/ ~ , то
на достаточном удалении эта кривая не могла бы ил5еть точек
в указанных углах и на мнимой оси. Мы могли бы, таким обра-
образом, принять, что она целиком содержится, например, в угле
-"-< arg г <-^-_ Но тогда функция была бы ограниченной в обла-
области, заключающейся между этой кривой и лучом argz = 4- [опи-
[опираемся на некоторое расширение теоремы III 330, относящееся
к этой последней, как III 324 к III 322], и, следовательно,
должна была бы [III 340] и вдоль указанной кривой стремиться
к ]/~у. [См. A. Hurwitz, С. R., т. 143, стр. 879, 1906 и
т. 144, стр. 65, 1907.]
190» Рассматриваемая функция вдоль 2п лучей
ЯГ?, г _ /oh _ 1 \ JL lh— 1 9	9п\
стремится к бесконечности, а вдоль биссектрис 2п углов, обра-
образуемых этими лучами, стремится к конечным пределам, а именно
вдоль луча &rgz = k— к пределу
п
(п-
\п)*т[—Т) <*=!. 2. ...,2я).
о
[III 152.] Дальше рассуждаем, как в решении- 189.
191. [P. Iversen, Ofversikt av Finska Vetenskaps-Soc. Forh.,
т. 58 (A), № 3, 1915—1916.] Пусть 6m = 2(l-em), тогда 6m = 0
или 4, смотря по тому, будет ли ет=+1 или —1. Когда z стре-
стремится к оо вдоль луча
arg z — 2j

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	231
то тогда для т = 0, 1, 2, ...
Так как Ьт может принимать лишь значения 0 и 4, то z%m лежит
либо в угле (о, -jj, либо в угле (я, -^М и именно в первом,
когда ет=4-1, и во втором, когда е„, = — 1. Полагая для сокра-
сокращения
имеем, таким образом [189],
Кроме того, существует [решение 189] такое число G, что для
всех z на указанном луче и для всех значений т
Пусть теперь е>0 и т столь велико, что am+i-f-#m+2~Ь ••¦ <е-
Тогда функция
при указанном выше способе стремления г к со стремится к пре-
пределу
Остаточный член по модулю меньше Ge при всех г.
192.	Пусть интересующая нас целая функция g(z) будет
конечного порядка Я, X > 0, т. е. | g (z) | < Лев Iг I +Е, е > О, А > О,
5>0, е, Л, 5 — постоянные. Пусть, далее, limg(z) = a, когда
г->со вдоль некоторого луча, и limgB) = b-7^a, когда z->oo
вдоль некоторого другого луча (оба выходят из точки г = 0),
составляющего с первым угол у. Из III 330 [y = |J — а) вытекает,
что если (Я-j-s) y< я, то g(z) остается ограниченной в угле
между обоими лучами. Но тогда согласно III 340 должно было
бы быть а — b, что противоречит предположению. Следовательно,
(Я-f-e) yS^jt. Так как это справедливо при любом положитель-
положительном е, то ЯY52Я, т. е. Я^= —. Но в силу предположения имеется
по крайней мере одно у^ —. Следовательно, Я 5= -$- ¦ [По поводу
дальнейших обобщений см. Т. Carleman, Ark. for Mat., Astron.
och Fys., т. 15, № 10, 1920.]
193.	[Cm. F. Iversen, These, Helsingfors, 1914.] Пусть
g (г) — заданная целая функция, z 1[g(z) — g@)] = h(z) не тожде-

232
РЕШЕНИЯ
ственно постоянно. Обозначим через © некоторую область,
в конечных граничных точках которой \h(z)\ = \, а внутри
|Л(г)|>1. Точка г = оо лежит на границе области © [III 33S].
Вдоль линии, лежащей в © или на ее границе и простирающейся
в бесконечность, имеем
\g(z)\^\zh(z)\-\g@)\^\Z\-\g@)\.
194. Пусть т — число нулей функции g(z)—a. Определяем
Р (z)
полином /n-й степени Р (г) так, чтобы отношение —j-~_— было
регулярно во всей плоскости z, и затем полином самое большее
/n-й степени Q (г) так, чтобы также выражение
Р(г)
— Q(z)
g(z) —
было регулярно во всей плоскости z. Тогда существует [193] про-
простирающаяся в бесконечность непрерывная кривая, вдоль которой
на достаточном удалении
Р(г)
> \г
Irn+l
Так как там | Q (z) | < А \ г \
жительные постоянные, то
P(z)\-<B\z\m, где А и В — поло-
Р(г)
(г)-а
\m+1
— Аг\
\г\-А
195. [Т. Carleman.] Пусть |/(г)|^
Для \го\ = -? имеем неравенство Коши
в кольце 0<|г|<1.
Гп) (го)
М
п\
Так как, по предположению, /(я)(г) ограничена, то [III 337]
в кольце 0< z I =ss-н- и, значит, в частности, в точке г = -г-
Следовательно,
Z--4
причем ряд сходится в круге
тором круге с центром в точке 2 =
и!
;~5-, а значит и в неко-

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ	233
196. Пусть wv=?0 (v=l, 2, 3, ...) и
)
Тогда при |z| = r, очевидно,
m*(rX
Мы, разумеется, нисколько не нарушим общности, если предпо-
предположим, что имеет место самый неблагоприятный случай, а именно
что все нули функции g{z) вещественны и отрицательны, т. е.
Утверждение гласит тогда: g (r) < егг при всех достаточно боль-
больших г и | g (— г) | > е~ег при произвольно больших г, где е — любое.
наперед заданное положительное число. С первым неравенством
справляемся так же, как в решении 58 со случаем К=\. Для
доказательства второго применяем к g(z)g(—z) как функции
от г2 теорему III 332. Для произвольно больших г имеем
\g(r)g(-r)\>l, \g(-)\>
197. [A. Wiman, Ark. for Mat., Astron. och Fys., т. 2, № 14,
1905; см. Е. Lindelof, Rend. Palermo, т. 25, стр. 228, 1908.]
Предположим, что нули рассматриваемой целой функции g(z),
которая, по Адамару (стр. 18), должна быть рода нуль, вещест-
вещественны и отрицательны [решение 196]. Рассмотрим функцию
g(z)e~*l~e в угле —л ¦<'&< + я, где она регулярна. Она непре-
непрерывна на—л^'&^-т-я; и принимает на положительной веще-
вещественной оси произвольно большие значения [предположение
относительно М (/¦)]. Если бы она была ограничена на веществен-
вещественной отрицательной оси, скажем, не превосходила единицы, то она
была бы вообще' ограниченной [III 332], что, как выше было
указано, не имеет места. Следовательно, для некоторых произ-
произвольно больших значений г
ч. и тр. д.
198. [Ch. H. Miintz; см. Math. Abhd.,H. A.Schwarz gewidmet,
стр. 303—312, Berlin, J. Sringer, 1914; T. Carleman, Ark. for
Mat., Astron. och Fys., т. 17, № 9, стр. 15, 1923.] В полуплоскости
9$z > — 1 интеграл

234	РЕШЕНИЯ
сходится и функция f(z) регулярна. Для SRziSsO интеграл будет
собственным и J/(г) | ограниченным, |f (z)|=ssjj \h(t)\ dt. Еслибеско-
о
нечное множество чисел Хх ^ 1, то они имеют на отрезке 0 sg: z ^ 1
предельную точку и f (z) = 0; если все Av, за исключением конеч-
со
ного числа, ^=1, то из расходимости ряда 2 ^п1 точно так же
следует, что /(г) = 0 [III 298]. В том и другом случае /(«) =
= \tnh(t)dt = O, я = 0, 1, 2,... [II 139].
о
1
199.	[Т. Carleman.] Функция § g (zt) h (t) dt — целая и по-
о
рядка ==?Л, следовательно, согласно предположению также функ-
функция
1
\g{zf)h{t)dt
— целая и порядка «с Я. Пусть М (г) — максимум | g (z) | на окруж-
окружности \z\ = r. Минимум \у (г) | на окружности \z\-r не будет
а.	1
превосходить дЛ"ч ¦ \ \h{t)\dt-\- \ | /г @1 dt, где 0 < а < 1, а сколь
О	а
угодно близко к единице, и, следовательно, при r-voo стремится
к нулю [24], тогда как он должен был бы быть [см. 197] неог-
неограниченным. Значит, у (г) тождественно постоянна и именно равна
1
нулю. Следовательно, все коэффициенты функции § g (zt) h (t) dt
о
i
равны нулю, и, стало быть, согласно предположению ^tnh (t) dt =e
= 0, n = 0, 1, 2, ... [II 139.]
со
200.	[Т. Carleman.] Пусть g (z) = JJ f 1 - ~), wv Ф 0 (доста-
v = l
точно рассмотреть только этот случай). Тогда |gD/)
. Из этой формулы вытекает, что lim -~^т
. V v /	и —> оо
V = 1	"
при постоянном а, 0 < et < 1 [24]. Поэтому функция
1
g(zt)h{t)dt

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
235
вдоль положительной и отрицательной мнимых осей стремится
к нулю. Кроме того, согласно предположению она —целая. На
всех достаточно больших окружностях \z\~r имеем \ g(z)\ <.егг
и на произвольно больших | g (г) | >¦ е~ЕГ [196]. Кроме того, при
всех достаточно больших г
g\re
Действительно,
g\re
3/я
4
,-er
1-
П('
n	Я	Зя
при 0 = т, т.
Применяем III 325 в слегка измененном виде к функции y(z)
в обеих полуплоскостях $2 3=0 и Шг^О. Предположение 1)
нужно здесь расширить в смысле III 323; вместо луча ft = 0 берем
теперь O' = J7-, соотв. #==-j-. [Заключительное замечание в реше-
решении III 325.] Получаем, что во всей плоскости | у (г) | ^ const.
1
и, значит, у (г) г= const., i>(z)==0. Следовательно, § tnh (t) dt — 0,
если в разложении g (г) =
коэффициент ап Ф 0. Но так
п = 0
как корни вещественны, то из коэффициентов ап, ап+1 по край-
крайней мере один отличен от нуля [V 166]. В заключение приме-
применяем 198.
201. [S. Bernstein, С. R., т. 176, стр. 1603—1605,1923*).]
Из \ап\^:Крп вытекает, что
\F(z)
п\
Функция F(z)eipz в обоих углах О^д^-^- и -^^fts^n удов-
удовлетворяет условиям, которые аналогичны указанным в III 322,
ибо (х, у вещественны, г/>0)
|F(x)e^
, \F(iy)
К.
*) С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, т. I, Изд. АН СССР, 1952,
стр. 269—270.

236	РЕШЕНИЯ
Рассматривая еще F(z)e~i9z в нижней полуплоскости, находим на
основании III 322, что во всей плоскости г
где L = Max(M, К). При вещественных значениях х получаем
[Ш 165]
F'(x)
sinp*
со (Ппр(П3
(д;) cos рх	VI _	V 9
П-— СО
^ р | F (x) cos рх \ щ у	1 _p\F(x)cospx\+pM ,*
~~~ sin2 рх	^J (рх— ляJ	sin2 p.v	'
л = — со
Отсюда заключаем прежде всего, что
F'f~) UspAf. Но теперь
те же рассуждения мы можем применить также к функции
7-1 /	ЗХ 1
/7 [ 2 | v* — —
где х0 — вещественная постоянная, ибо
Если в (*) имеет место знак =, то (-^\)пF (пп) = А (независимо
d I F() \	A
. d I F(z) \	pA
202. F' (г) есть функция того же типа, что и F{z). После-
Последовательным применением теоремы 201 получаем, что для всех
вещественных значений х
и, значит,
203. Условия теоремы III 166 выполняются [решение 201].
Следовательно, для вещественных значений z, p|z|<y,
со
10 (г) I < V	М	.. sinpz	.. plz|
2р | г | cosрг ~~-^()/'/'/г+1\я\2_р2г2	2ргсоврг ^ 2р | г | созрг '
При г = 0 считаем -~ = G' @), ^HL??= i \ Если здесь имеет место
знак =, то (—1)"G^ p ; J^cM (|с| = 1, п = 0, 1, 2, 3

ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
237
~ = 0). При р!г|2г-я- интересующее нас неравенство (даже
со знаком ¦<) тривиально.
204. Применяем 203 к функции
z0 вещественно. (См. VI 82.)
205. Пусть Я<ц<2Я. Функция f{z)ez]X ограничена на лу-
лучах argz = O и argz = ^ и, следовательно [III 330], также в обре-
ви-
визованном ими угле с раствором Yi^u" ^я" Находим, что функ-
функция / (г) (sin zu)~x ограничена на лучах argz = — ^- и argz = -x-,
а также на дугах окружностей \гf = fft-f- у]я (и==1, 2, 3, ...),
содержащихся в угле — s—^аг§z^5~• Следовательно,
** 1—1
n=4i(mt) Rl(*-'
где интегрирование производится в положительном направлении
вдоль границы бесконечного сектора —~<argz<?-, |г|>р,
причем 0 <р < п^ . Так как ряд 2 п ц сходится и /(х)
п= 1
ограничена при х">0, то на основании I 182 находим, что/' (х) —
— О (х^'1), когда х стремится к бесконечности по интервалам
1	1
\ —
С помощью аналогичной формулы, с заменой sin z!t на cos z^1, на-
находим, что /' (х) = О (х^1) также в дополнительных интервалах.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
1.	[По поводу всей главы см. Laguerre, Oeuvres, т. 1, Paris,
Gauthier-Villars, 1898.] Ясно.
2.	Пусть вычеркнут член аа ф О, причем, например,
<V* ^ ^> ai*-*+i = • • • = °v-i= аи-+1 = • • • = Яц+г-i= 0' аи-+г ^ 0.
Последовательность а0, аъ.,., а^-ъ а^+1,... будет иметь на две
перемены знака меньше, чем последовательность а0, alt..., ам_х,
ай, йй+1,..., если
sgn ай_* = - sgn aR = sgn а^г,
и одинаковое количество перемен знака при других комбинациях
знаков. В случае, если а^ является первым или последним
не равным нулю членом, при его вычеркивании либо пропа-
пропадет одна перемена знака, либо число перемен знака не изме-
изменится.
3> Последовательность а0, аъ..., а^, ай+1)... и а0, аъ..., ай,
Ь, а^+1,... будут иметь одинаковое число перемен знака в следую-
следующих трех случаях: 1) 6 = 0, 2) sgn b = sgn aR, 3) sgn b = sgn йц+1.
Ясно!
4.	Последовательность a0, ao-\-alt аг, йл + Яг. <h> й2 + йз,..., «ц,
йц + йц+i, Яц+1,. ¦• будет иметь столько же перемен знака, сколько
и последовательность а0, аг, ait..., ай>..., ибо, полагая а^ + а^ — Ь,
видим, что должен встретиться один из трех случаев, перечислен-
перечисленных в решении 3. Принять во внимание 2.
5.	[A. Hurwitz. ] Количество перемен знака не увеличится
при перебирании таблицы последовательностей
а0, аг, а2	а3,	...., аи	ам, ...
(к, ao-\-alf a1 + a2,	a2 + a3, ..., ahl + ah at-\-am>...
а0, ao-\-alt
сверху вниз [решение 4]. Но «-я строка этой таблицы совпадает
с интересующей нас последовательностью до своего n-го члена

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	239
включительно. Значит, в этих п членах не может быть больше
чем W перемен знака. Так как п произвольно, то все доказано.
6а Ясно, также для случая кратных корней.
7.	Ясно.
8.	Так как / (х) — аналитическая функция, интервал а, Ъ
может содержать лишь конечное число нулей. При переходе
через нуль знак / (х) меняется или нет, смотря по тому, будет ли
рассматриваемый нуль нечетной или четной кратности.
9.	Ясно. См. 8.
10. Пусть е (е>0) достаточно мало; имеем
E) = ef'(b-eJ @<e2<e).
Из
вытекает, что
sgn /' (а + Ё1) = - sgn /' F - е2) ф 0.
Применяем 8 к /' (х) в интервале (a-\-elt Ъ — е2). Приведенная
формулировка теоремы Ролля имеет то преимущество перед обычно
излагаемой в дифференциальном исчислении, что, относясь к более
тесному классу функций, содержит и более точный результат.
11.	По предположению
sgn am = sgn (am — aj), sgn aft+1 = sgn (aft+1 - ak).
Из sgn a/+1 = — sgn aft+1 Ф О вытекает, что sgn (aJ+1 — aj) —
= — sgn (all+1 — ak) Ф 0. Применяем 9 к последовательности раз-
разностей.
12.	а) Если/(х) в точке х — ху имеет нуль кратности N > О,
то f (х) имеет в той же точке нуль кратности N — \. Это—для
' случая, когда интервал свелся к одной точке.
Р) Пусть теперь а<.Ь и xlt х2, ..., xt — нули функции f(x),
flsgXi <x2 <L...<.xt^b. Разделим замкнутый интервал х^х^Х/
на следующие I частей: 1) точку хх и 2) 1—1 полуоткрытых
интервалов x1<x=s^x2, x2<.x^x3,..., ^,1<х^х/. При пере-
переходе от f(x) к f (х) в точке хх теряется один нуль [случайа)],
а в полуоткрытых интервалах хх <х^хг,..., Xi-X<Lx^Xi —
ни один [10 и случай а)].
13. Обозначим интересующие нас места перемены знака через
Vj_+ I, v2-f I, ..., vn7-H> 0<v1<v2<...<vu7^ft—1. Тогда
каждая из W — 1 подпоследовательностей
av, + i — aV2, ctv, + 2 — av, + i, ..., aV3 + i — aV3,
будет иметь по меньшей мере одну перемену знака [11]=

240	РЕШЕНИЯ
14. Пусть sgn / (a) = sgn /' (а) Ф 0 и хг, х2, ..., х: — нули функ-
функции /(х), а<х1<л:2<;...<X/<b. Разобьем интервал
на подинтервалы
При достаточно малом е > 0 имеем
откуда, по предположению,
sgn/' (a) = sgn/ (а) = sgn/(^ -е) = — sgn/' fo - х\) Ф 0,
следовательно, /' (х) между а и ^ — г] имеет по крайней мере
один нуль [8]. По поводу точки Xj и других подинтервалов см.
решение 12. Подобньм же образом доказываем, что если sgn/ (b) =
= — sgn /' (b) Ф0, то в интервале xt < х < Ь прибавляется еще
один нуль производной /' (х).
15. Придерживаемся обозначений задачи 13. Последовательности
а0,
— aV
прибавляют каждая еще по одной перемене знака к переменам
знака, содержащимся в W — 1 подпоследовательностях, рассмотрен-
рассмотренных в задаче 13. Действительно, пусть аа — первый не рав-
равный нулю член первой последовательности, тогда 0^a^vx,
sgn (aa — аа-г) = sgn аа = — sgn aVl +1 = — sgn (aVl +1 — aVl); приме-
применяем 9. Аналогично рассуждаем относительно второй из написан-
написанных последовательностей.
16.	В случае бесконечного количества нулей утверждение
ясно [10]. Пусть теперь х1 — последний нуль функции f(x). Тогда
/' (х) будет иметь в интервале a^xsQx, самое большее на один
со
нуль меньше, чем / (х) [12]. Так как lim/(x) = ^ f (x)dx = 0, то
xl
f (x) не может сохранять в интервале xt <ix < со постоянный знак.
17.	В случае бесконечного количества перемен знака утвер-
утверждение ясно [11]. Пусть теперь последовательность а0, alt a.-,, ...
имеет W перемен знака и v^+1—последнее место перемены
знака. Тогда последовательность
будет содержать по меньшей мере W перемен знака [решение 13,
15]. Далее,
sgn aVff.+1 = sgn {aVw.vl - a^ Ф 0.

ОТДЕЛ ПЯТЫП	241
Но так как бесконечный ряд
то члены его, отличные от нуля, не могут быть все одного знака.
18.	Применяем 12, соотв. 16, к функции €J-X\(x) [6]; произ-
производная ее есть erix[af (x)-\-f (х)].
19.	Рассматриваем последовательности
<2и, Q-i,	пл	..., Оп,	• ¦•>
и^, и^СС п^у й^Х ujpt, . . . , ClnCC urt_jCC , ¦ . • ,
и применяем 7, затем решения 15 и 17, затем снова 7.
X
20.	Полагаем ]f(x) dx = F(x); тогда F (х) и F'(x)=f(x) в
о
окрестности справа от точки х = 0 имеют одинаковый знак. [14.]
21.	Полагаем ао + а1 + й2 + . .. + ол = An (ft = O, 1, 2,...) и
применяем первую половину теоремы 19 (приняв а=1) к после-
последовательности Ао, А1У А2, ..., Ап, ...
22.	Ясно.
X
23.	Непрерывная кривая y = \)f(x)dx состоит из 2+1 моно-
о
тонных дуг. Первая дуга начинается в точке х = 0, г/ = 0, так что
на ней не может произойти перемены знака. Каждая из остальных Z
дуг может самое большее один раз пересечь ось х, перейдя с одной
ее стороны на другую. (Это легко уточнить.) Для аналитической
функции / (а;) см. еще 20, 24.
24.	Пусть интервал будет а < х < Ъ. Если функция / (х) — ана-
аналитическая, то существует. такое е (s>0), что f(x)^O при <з-<
<*<a + e и при b-&<x<:b [8, 22].
25.	См. 10, 24.
26.	/ (х) = ^Ц,где Q(x) = (x — a1)(x-a^)...(x — an) и Р(х) —
вещественный полином степени sg n — 1.
1. При достаточно малом е > 0 имеем
sgn/(a1 + e) = +l, sgn/(aa-e) = —I;
следовательно, f(x), а значит, и Р (х) имеют нуль в интервале
cii<.x<ia2 [8]. Так как это рассуждение сохраняет силу и для
остальных интервалов, то получаем, что в интервалах а^^х^а^
a2<x<a3, ..., а„„2-<х<.а„^ полином Р (х) имеет в совокуп-
совокупности ft —2 нуля. Но остающийся еще один нуль должен быть

242	решения
тогда также вещественным, ибо полиномы с вещественными коэф-
коэффициентами имеют лишь попарно сопряженные комплексные
нули.
2. Как и выше, показываем, что / (х) в каждом из п — 3 интер-
интервалов (fly, а2), (а2, а3), ..., (aft_2, ak-y), (ak+1, aA+2), ..., (an~i, ап)
имеет по одному нулю. При достаточно малом е>0и достаточно
большом а > 0 имеем
sgn/ (—©) = ¦— sgn/ {ах - е) = sgn/ (ап + е) = — sgn/ (а) = +1.
Отсюда следует, что и внутри интервалов (—аз, ах) и (ап, +оо)
имеется также по нулю [8].
27. Имеем
Следовательно [8], f (x) в полосе 0<3U<2n имеет 2я веи!ествен-
ных нулей. Но большего количества нулей / (х) в этой полосе
иметь не может [VI 14].
28.	См 7.
29.	Пусть ао — ау~. .. = са_1 = 0, аа#0. Будем обозначать
через ukXk и агх1 два члена, для которых
Таким образом, а есть частное значение k. Если / —fe нечетно,
то пара akxk-\-a,iXl привносит единицу либо в W+, либо в \?~.
Если l — k четно, то от akxk-\-aiXl либо обе величины W+ и IF'
получают по единице, либо обе ничего. Отсюда следует, что
при апф0
(п - а) - (W+ + W-) = Ц1 (/ - 6 - 1) + ЦП {/ - k - [1 - sgn (ад)]}.
2' распространяется на нечетные / — &, ^]И~на четные; дейст-
действительно, я~а= 21 (^-^) + 2]11 (/-А). Какв 21. так и в 2"
все члены — неотрицательные.
30.	Заменяем х на ах [28] и применяем 15.
31.	[G. Polya, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 23, стр. 22,
1914.] Из 19 вытекает еще несколько больше: для справедливости
со
второго утверждения вместо сходимости ^ anan достаточно уже,
чтобы limana" = 0.
я-»со
32.	При а = 1 вытекает из 4. См. 28.
33.	Тождественно с 21. Вытекает также из 31.

отдел пятый	243
34> [Laguerre, 1. с. 1, стр. 22. В доказательстве имеются
пробелы.] При а=1 вытекает из 5 [28].
35. Если среди чисел а0, ах, а2, ..., ап лишь одно, скажем аа,
отлично от нуля, то выражение слева приводится к произведению
PiPi---Pa \ Pi Pi	J\ Pi PI
Ряд, получающийся в результате перемножения, очевидно, совсем
не будет содержать перемен знака. Примем теперь, что теорема
доказана для всех последовательностей, содержащих одним (нену-
(ненулевым) членом меньше, чем интересующая нас последовательность
а0, av а2, •••> ап. Пусть аа будет первый ненулевой член этой
последовательности, 0 s^ a •< п. Положим
(Pi — x)(Pa+2 — x) ' -<
Обозначим число перемен знака в последовательности
0, a i, aa+ ..., an	» \b\t
Ao> ^\i A2, As, ...	» \"}>
0, Blt Bg, B3) ...	» {В}.
Согласно предположению
Пусть ар будет первый ненулевой член последовательности 0,
oa+i. «а+2. • • •. ап- Тогда
\а\ = Щ -\	т,	.
Но первый ненулевой член последовательности 0, Blt B2, ...
совпадает по знаку с ag. Поэтому число перемен знака в после-
последовательности аа, Blt B2, В3, ... равно
l-sgn(aaap)
1ВИ	2	'
Теперь

244
следовательно [31],
Отсюда {A} =s? {a},
36. Пусть alt
Имеем
ч. и тр.
а2, ...,
= Q(x)(c
РЕШЕНИЯ
l-sgnfo,^,
д.
aN — положительные
нули полинома
х),
где Q(х) — полином (n-N)-ft степени с вещественными коэффи-
коэффициентами. Но теперь у Q(x) количество перамен знака ^гО, у
Q(x)(a1 — x) оно Ssl [30], у Q(x) (at — х) (а2 — х) оно Зг=2, ....
наконец, у Q (д:) (ах — х) (а2 — я) ... (а,у — х) оно :>=iV, ч. и тр. д.
37.	Пусть аа будет первый и аа — последний ненулевой
коэффициент полинома Р{х),а^и> (интерес представляет лишь
случай а < со), далее 0 < | < ах *s а2 «S.. .«S a,v < X < оо. Для |,
достаточно близкого к нулю, и X достаточно большого, очевидно,
sgnP(t)=sgnaa, sgnP(X) = sgnaa	[8, 9].
В соединении с 36 получаем: если W — 1, то также и N — I.
Впрочем, это нетрудно усмотреть и непосредственно [III 16].
38.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 5.] Если W конечно (а только этот
случай нас здесь и интересует), то все ненулевые коэффициенты
должны сохранять, начиная с некоторого аа, постоянный знак.
Отсюда следует, что ш-я производная степенного ряда вообще
не обращается в нуль в интервале 0<х<р, значит, в этом интер-
интервале степенной ряд имеет лишь конечное число положительных ну-
нулей [12]; обозначим их через аи а2, ..., аЛ-. Тогда степенной ряд
будет представлять функцию, регулярную в круге сходимости ряда
aQJra1x-\-a2x2-{-..., и, значит, будет сам сходиться в том же
круге [Hurwitz-Courant, стр. 49,266 *)]. Число перемен знака
в ряде . bo-[-bi#+ Ь*х2-\т... неотрицательно, и утверждение тео-
теоремы выводится теперь из второго случая теоремы 31 совершенно
таким же образом, как 36 из 30.
39. Радиус сходимости равен единице. Степенной ряд при х = 0
имеет значение 2, а при х = 1 — значение
I-1 W1 --)- -1
Таким образом, число нулей в интервале 0 < х •< 1 — четное [8].
Но, с другой стороны, оно не превосходит единицы [38]. Следова-
*) Г у р в и ц, стр. 75 и Курант, стр. 92. Г у р в и ц — Курант,
стр. 62, 341-342.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	245
тельно, оно равно нулю. Также и непосредственно видно, что для
всех комплексных значений г внутри единичного круга | z | < 1
г2
2-
Ь2. 2-3
J_LL_ 1LE
Ь2 2-3
40. Пусть аа — первый ненулевой коэффициент и со — послед-
последнее место перемены знака. Тогда
lim
lim (по + ахх + а2х2 + ...) = + со • sgn aQ	[8, 9].
О
— О
41. [С., Runge, см. 1. с. 31, стр. 25.] Случай нулей <\а за-
заменой х на —х приводим к случаю нулей >• 5Ш, а последний заме-
заменой х на я -f- const, — к тому частному случаю, когда |а>0. В этом
частном случае полагаем
In X
a0 1	1
*"т 6i&.-in *» (_L_±\(_L_±\ /J	1
Полученный степенной ряд сходится при х>?ш и обладает всеми
требуемыми нулями, число их не превосходит числа перемен знака
в последовательности Ао, Ах, А.г, ... [38], последнее же не превос-
превосходит числа перемен знака в последовательности а0, ах, а%, ...
..., ап-х, ап [35, 6, 7], что и требовалось доказать. Что разность
между обоими числами не может быть нечетной —доказываем,
как в 37.
4Шш Для степенного ряда
у	v2	yTI
' l n\ ~ (п+1)!
в обозначениях 38, 40 имеем W=l, следовательно, jV^sI [38],
далее, так как р = со, то 1 — jV — четное [40], следовательно,
1 — N = 0. Пусть хп будет теперь единственный нуль функции /„ (х).
При прохождении х через хп sgnfn(x) переходит от +1 к — 1

246	решения
[решение 40], следовательно, при /л(а)>0 также хп — а>»0. Но
при фиксированном a lim /„ (а) = A —%)еа. Так как а произвольно,
л-* со
то отсюда lim xn — со. Наконец,
л-»оо
In (Xn-l) — fn-l (Xn-l) -\ ^j = ~\ > 0»
т. e.
43. х~ъ (ex — 1) имеет один минимум и ни одного максимума,
ибо
со
п=1
а этот ряд имеет лишь одно место перемены знака, именно «
[38, 40]. (Закон излучения Планка.)
44. Рассматриваемые нули принадлежат также ряду
1 + а,)х2+ ... [38].
45.	[См. М. Fekete, Rend. Palermo, т. 34, стр. 89, 1912.]
Полином имеет нулем х=1 и при умножении на A — я) дает
степенной ряд с неотрицательными коэффициентами.
46.	[G. Poly a, Deutsche Math.-Ver., т. 28, стр. 37, 1919.]
Положим
163
Произведение
имеет две перемены знака. Отсюда следует, что число нулей
в интервале 0<Сл;<;1 должно быть равно 0 или 2 [38, 40]. Что
оно равно 2, убеждаемся следующим образом: при 0<*< 1 имеем
ю
10
<2
последнее же выражение при х = 0,7 будет равно —0,00995...

ОТДЕЛ ПЯТЫП	247
47.	Пусть ЛГ" —число отрицательных нулей, N+ — число поло-
положительных нулей, значит, в обозначениях решения 29 n = N~ +
4-а + Л^+. Имеем [решение 29]
п - (W + а + W+) = (ЛГ - W~) + (jV+ - W+) Ss 0
и [36]
ЛГ-JP-sSO, tf+
следовательно,
N~-W~ = 0, N+-W+ = 0,
ч. и тр. д.
48.	Если бы определитель был равен нулю, то соответствую-
соответствующая однородная система имела бы нетривиальные решения, т. е.
существовали бы такие п вещественных чисел (\, с2, ..., сп,
!	0 что ПОЛИНОМ
обращался бы в нуль для x — at, а2	ап. Но это противоре-
противоречит теореме 36, ибо последовательность коэффициентов содержит
не более п отличных от нуля членов, значит, не может иметь
п перемен знака, и тем менее указанный полином может иметь
п положительных корней а1( а2, • • • > ап- Итак, определитель не
равен нулю. Если я = 1, он больше нуля. Предположим, что того
же вида определитель (п— 1)-го порядка больше нуля. Будем
считать ап переменным. Так как при возрастании ап от ап^г до
+ со определитель не равен нулю, то он сохраняет постоянный
знак. Но при ая->-4-со знак определителя^ будет совпадать со
знаком его главного минора, являющегося определителем такого
же вида, но (п— 1)-го порядка. Следовательно, согласно предпо-
предположению это будет знак плюс.
49. Согласно 36 число вещественных нулей в обозначениях
решения 29 будет меньше или равно W~-{-a +W+, следовательно,
число мнимых нулей больше или равно
Если акф0, ak+1 — ak+2 — ... = ak+2m = 0, то l — k либо нечетно и
2m\\, либо четно и ^=2т + 2.
50. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 111.] Имеем
Р (х) A + Ъхх + Ь2лг2 +... + Ъгтх*т) = 1 - &2т+1л:2т1-1 +...
Выражение в правой части не равно постоянной, ибо Р (х) не есть
постоянная. Следовательно, это есть полином, наверное имеющий
2т мнимых нулей [49]; так как Р (х), по предположению, имеет
лишь вещественные нули, то все эти мнимые' нули должны при-
принадлежать полиному 1 4-Ь]Л: + Ь2л;2 +... Ь2
51 [ G	J f Mth
у 4] + 2 + + 2т
51. ,[J. Grommer, J. fur Math., т. 144, стр. 130—131,1914.]
Для полинома Р (х) = A — ххх) A — х2х)... A — хпх) имеем [50]

248	РЕШЕНИЯ
b2m = S(xlt хг, ..., хп). Если бы Ь21П было неположительно, то
полином I Jrb1x-{-b2x2-\-...-\-b2rnx2m не мог бы иметь 2т мнимых
корней.
52» Первое доказательство. Явствует из представле-
представления через нули полинома Р (х) [51].
Второе доказательство. Примем для упрощения, что
Р(х) = (х — aj (x-а„)...(х-ап),
где
Тогда [VI, § 9]
1 = у _J_ LML
?± Р' (av) х — av '
стало быть,
в у К
Рассмотрим полином р-и степени
пР р (y\
v=l
Lp(x) обращается в нуль для х — ах, д2, ..., а„ и, следовательно
[36], имеет по меньшей мере п перемен знака. Но число его коэф-
коэффициентов «?п+1. Следовательно Вр>0.
53> Если для полинома степень, число вещественных нулей
и число мнимых нулей будут соответственно равны п, г, п — г, то
для его производной те же величины будут —п — 1,$гг— 1 [12],
==Sn-l-(r-l).
54ш Пусть полином будет я-й степени. Кроме п— 1 нулей,
существование которых доказано в решении 12, производная не
имеет никаких других.
55.	[53, 54.]
56.	Положим
Тогда
Qo {x) = \, Qv+1 (х) = -Bv + 1) a;Qv W + A + ^2) QC
Следовательно, Qv (л;) есть полином v-й степени. Примем, что Qv (^)
имеет v вещественных отличных друг от друга нулей. Тогда
Qv+i(x) будет иметь по одному нулю между каждыми двумя ну-
нулями Qv(x) [10], между —с» и наименьшим из нулей Qv(x) и

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
249
между наибольшим и ¦+ со. Кроме этих (v— l) + 2 нулей иных
нулей полином Qv+1 (а;) иметь не может.
57. Ход доказательства — тот же, что в 56. Возможна также
и непосредственная проверка, так как п корней уравнения
dn-l x	(_l)»-l(n-l)l/ I	I \ Q
имеют следующие значения:
, я , Зя , Bп—1) я
ста - ста	 ста -	-
СХ§ 2л ' CIg 2л ' - *' ' § 2л
58.	Для Нп (х) доказывается, как в 56, в остальных двух
случаях требуются некоторые модификации [16].
Функции	A— х2)"; егххп\	е~*' '
имеют нули в точках х — —Г, +1; 0, + со; —оо, + оо,
соответственно порядка	п, п; я, оо; оо, с».
59.	Qn(x) имеет степень n(q— 1) [получаем с помощью рекур-
рекуррентной формулы, как 56]. Пусть рп — число положительных ну-
нулей и vn — кратность нуля х = 0. Из соотношения
получаем
v1 = (?-l, v2 = <7 —2, ..., v, = 0, vg+1 = q-l, ...
и т. д. с периодом <?• Так как, далее, положив со = е1? , имеем
Q4(cDA;) = cov«Qre(^), то каждому нулю, лежащему на положитель-
положительной вещественной оси, соответствует аналогично расположенный
нуль на каждом из q— 1 остальных лучей.
Пусть теперь теорема верна для некоторого п, тогда
Так как (п— 1)-я производная от хч-1 (\-\-х?)-1 при х=
обращается в нуль, то [16] pn+i^Pn, если vn = Q; ря+15*р„
если vn>0. И в том и в другом случае
.+ 1. eomvn>0.
Поэтому знак ssS нужно всюду заменить знаком равенства, и
По' поводу простоты нулей см. 55, 56. Аналогично проводится
Доказательство для Ra{x). Введенные q лучей представляют собой

250	решения
симметрали соседних полюсов функции . , тем отличаю-
щиеся от других лучей, проходящих через начало координат, что
вдоль них функция ег*9 наиболее быстро убывает. (См. G. Р о 1 у а,
Math. Zeitschr., т. 12, стр. 38, 1922.)
60. При переходе от
к
аохп -
число мнимых нулей не изменяется, при переходе к
не увеличивается [53].
61. Уточняя теорему 60 [см. 54], находим, что полиномы
имеют вещественные и притом простые нули. Поэтому
ml > от», от* > /га,/?!», ..., mf-f > /п^К>
откуда последовательно получаем
62.	Приводится к исследованию нулей функции е~ал; ^- [еаА1Р (х)]
[6, 16].
63.	Не нарушая общности, можно предположить, что ап Ф 0.
Положим
\-...-\-апхп = ап (х + о^) (х + а2)...
задача приводится тогда к исследованию нулей функции
апе-%* f e(«n-«n-i)*f... A e«h-*0* * e<h*p (x).
"	dx	dx dx	dx	v '
Повторное применение 62.
64. Предельный случай теоремы 63; принимая-во внимание
III 201 и полагая п — 2т, имеем
при т->оо.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	251
t. И аохп-{-а1хпл + ...-\-ап имеет лишь вещественные нули,
следовательно, также [63]
и! \	-1 ал ' " * „„
— ?л у" _J- a"'-f v«-l 4- _?"=?— ул-2 _L
66. Полином
обладает не меньшим (соответственно) числом нулей >0, =0 и
< 0, чем полином Р (х). Действительно, при а<. — п lim x"J-P(x) = 0
[16] и при а>0 lim хаР(х) = 0.
67. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 200.] Уравнение
имеет не меньше мнимых корней, чем уравнение
а0 -f а±х + агх2 +... + апхп — 0
[66]. Здесь Q(x) = x-\-a. Применяем повторно.
68« Предельный случай теоремы 67. Полагаем
69. [Laguerre, задача; решение —G. Poly a, Intermed. des
math., т. 20, стр. 127, 1913.] Пусть а вещественно. Полином
1 m / ' \	m
имеет лишь вещественные отрицательные нули, именно [57]
При q — еа уравнение задачи является предельным случаем урав-
уравнения
a0Q @) + а?A)х + a,Q B) х* +... + anQ (я) .^ - 0,
когда m-voo [67, III 201].
70. Полагаем Ф (х) = / (х) — а — Ьх, ф(х1) = Ф(х2) = Ф(ха) = 0,
xl<Cx2<.х3. Тогда Ф' (х) имеет по одному нулю в каждом из ин-
интервалов хх ==схs^хг и х^^х^Хг [10], и, следовательно, Ф" (*) =
= /" (л:) имеет одно изменение знака между л^ и х3 [25].

252	РЕШЕНИЯ
71. По предположению,
Ф (х) = / (х) - а0 - ахх -... - ап.лхпЛ
(а0, аг, ..., ап_х — постоянные коэффициенты) имеет в интервале
a^x^b rt+1 нуль. Применяя последовательно п раз 10, нахо-
находим, что внутри указанного интервала существует такая точка |,
72« Рассматриваемая разность имеет в точке х = 0 п совпа-
совпадающих нулей. Если бы она имела в интервале — 1 <л;-<оо еще
один, (п+1)-й нуль, то в этом интервале должна была бы обра-
обращаться в нуль функция A-\-х)а~п [71], что неверно.
У	у2	yfl—1
73.	Разность ех — 1 — -.-. — ъ-. —... — -.	ггт имеет в точке х = 0
нуль кратности п, тогда как ех вообще не имеет нулей. Утверж-
Утверждение вытекает из 71 тем же путем, что и 72; впрочем, по суще-
существу оно равносильно тому факту, что функция ех при х<сО
обвертывается своим степенным рядом [I 141].
74.	[J. J. Sylvester, Mathematical Papers, т. 2, стр. 516,
Cambridge, University Press, 1908.] Достаточно показать, что
не может иметь двух соседних отрицательных нулей. Дей-
Действительно, если бы а и Ь были таковыми, то мы имели бы
f'n(x) имела бы в интервале a<Zx<.b согласно 8 четное, а со-
согласно 10 нечетное число нулей!
75. При 1-Х ясно. Пусть теорема доказана для случая/—1
показательных функций. Если g(x) имеет N и
т,	т,
t W = -^ ЬГ'Ъ (*)] = -^ [е'*Ъ (х) - Р, (х)]
dx l	dx l
N* вещественных нулей, то
N*^sN-ml	[12].
Но, с другой стороны, в g* (x) входят лишь 1—1 показательных
функций [с показателями (аг — аг)х, ..., (а^г — at)x; относительно
степеней входящих полиномов см. 62]. Отсюда согласно предполо-
предположению получаем

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	253
7®. [См. G. P61 у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 28, стр. 173, 1920.] Если бы определитель обращался в нуль,
то соответствующая однородная система имела бы нетривиальное
решение, т. е. существовали бы такие п вещественных чисел сх,
с2 ..., сп, Ci + C2 + --- + Cn>0, что целая функция
не будучи тождественно равной нулю, обращалась бы в нуль для
д- = а1; а2, ..., ап. Но это противоречит доказанной в 75 теореме,
по которой так построенная функция имеет самое большое п— 1
вещественный нуль. По поводу знака см. 48.
77. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 3.]
от
78х). «Ряд Дирихле» ^ ane~~xns можно внутри его области
сходимости дифференцировать почленно; следуем без всяких изме-
изменений ходу доказательства теоремы 77.
79. [J. J. Sylvester, 1. с. 74, стр. 360, 401; см. 1. с. 31,
стр. 30.]
1.	Если аг, а2, ..., «„ — все одного знака и т — четное, то
117 = 0 и, очевидно, также N — 0.
2.	Если аъ а2, ..., ап — все одного знака и т — нечетное, то
W = 1, и так как
Р' {х) = т [ах (х — Х1)т~1 -f- а2 (х — ki)m'x + • • • + оп (х — %)т л]
нигде не обращается в нуль (см. случай 1), то N^1 [10].
3.	Пусть аааа+1<0, 1^а<«, и теорема доказана для случая
W — 1 перемены знака. Пусть Р (х) = Ьохт + Ь^™-1 + ... -\- Ът.
Выберем к так, чтобы ^а<^<^а+и РЩфО и Ь1-\-ктЬ0ф0
в предположении, что Ь0ф0. Положим
(х - %y**F' (х) = а?(х- ЪГ'1 +... + а* (х - К)т~1 = Р* (х),
где а* = т(Xv — Я)av (v=l, 2, ..., п). Число перемен знака
в последовательности а*, а*, ..., о«, (—\)mlat равно
Обозначая через N* число вещественных нулей полинома Р* (х),
будем иметь, по предположению,
') В решениях 78, 80 — 84 необходимые рассмотрения вопросов сходимости
не проводятся, однако результат их используется. По поводу их рассмотрений
см., например, Е. Landau, Munch. Вег., т. 36, стр. 151, 1906.

254	решения
За. При Ь0~ф0
lim F№ = —
Тогда либо sgnf(jc) = sgnf (х) в окрестности точки х = —¦ оо,
либо sgn F (х) = ^- sgn /•"' (л:) в окрестности точки х = + оо. Приме-
Применяя либо 14 к (—оо, к) (надлежащим образом) и одновременно
12 к (к, +оо), либо в случае необходимости наоборот, в том и
другом случае получаем
36. При &„ = &! = ... = V1 =
Теперь при #-> — oo имеем sgnF (x) = sgnF' (x), при
имеем sgnF(x) = — sgn/7' (x). Применяя 14 к (—оо, к) и (Я, +со),
получаем даже, что N*^N.
80. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 29; см. G. Polya, С. R., т.156,
стр. 996, 1913.] Если Z = 0, то, очевидно, № = 0. Пусть теперь
Z>0 и к0 — общий конец двух соседних интервалов, в которых
ц>(к) имеем постоянные, но противоположные знаки [стр. 49].
Тогда число изменений знака функции
будет Z* = Z—1. Число N* нулей функции
со
F* (х) = е-^х ~ [ex°xF (х)] = J Ф* (к)
будет больше или равно jV — 1 [12]. Дальше применяем рассуж-
рассуждение по методу полной индукции, как в 77, 79.
81. [См. L. Fejer, С. R., т. 158, стр. 1328-1331, 1914.]
Число N вещественных нулей функции
со	со
dt= \ e~l f (e-'-) e->-x dk
не меньше числа перемен знака в последовательности а0, аг, а2...,
в чем убеждаемся прямым подсчетом [8, 9]. В случае 1 имеем
F(ri) — an, в случаях 2, 3 F(ri) = 0. Выбор пределов интегрирова-
интегрирования @, оо или — оо, оо) не оказывает влияния на доказатель-
доказательство 80.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	255
82. Интегрированием по частям получаем
со	оэ
\ Ф(к)e-hxй1 = х\Ф(К)е~Ххdl
в случае, если интеграл в левой части сходится и х>0 [80].
83. Суммируя по частям, получаем
n=l	n=l
если ряд в левой части сходится и х>0. Положим
Тогда рассматриваемый ряд принимает вид
со	^7i+i	со
а = 1	К	Ki
Число изменений знака кусочно-постоянной функции ф(Я) равно
числу перемен знака в последовательности а±, at-\-a2, ax -\-a2 -f- <^з, • • •
[80].
84* Имеем
со	со
Г (х) Г (п
со	1
У	™*	= У дпт^т^п
L± x{x + \) ... (х + п) jL. n Г(х + п-
1	со
[l-t)ndt = ]t*-1f(l-t)dt= \(
я=0 0
[80, 24, 44.]
85. [Laguerre, 1. с 1, стр. 28.] Положим
Тогда будет существовать самое большее п — 1 целое число к,
для которого f(k) = O [75, также 48]. Поэтому ряд
!1	СО
Ф (х) - 2 Ovf («v*) = Ц Pk (^a* + о8а* + • • • + а„О ^* =
не может тождественно обращаться в нуль. Применяя 38, 8, 83,
получаем, что число положительных нулей функции Ф (х) не пре-

256	РЕШЕНИЯ
восходит числа перемен знака в последовательности pof@), pj(l),
p2fB), ..., число положительных нулей функции f (х) не превос-
превосходит числа перемен знака в последовательности ап, an\-an..lt
86. Функция вида
cxF Ш + c,F (дф2) + .
не может иметь более п—1 положительного нуля [85], следова-
следовательно, наверное не может обращаться в нуль при всех значениях
х = а1, а2, ..., ап. Теперь рассуждаем, как в 48, 76. Можно
показать, что определитель больше нуля. Это утверждение в слу-
случае av = Pv вытекает на основании теории квадратичных форм
из того, что
87. Примем, что правило Декарта применимо.
1. Пусть
1 < v2 < v3 <... < vi < n;
тогда W[hVl(x), ..., hV[(a:)] =?t0 в интервале а<.х<.Ъ. Действи-
Действительно, если бы этот вронскиан обращался в нуль в некоторой
точке х = ха, то можно было бы найти / постоянных.с1( с2, ..., с,,
ci + ci + -¦- + с!> 0> удовлетворяющих системе однородных урав-
уравнений
(x0) =0,
(x0) =0,
<	° (*0) = 0,
и, значит, функция cxhVi (x) + c2/iVa (я) -]-...-]- C;AV/ (x) имела бы
в точке х0 нуль /-го порядка. Но это противоречит тому, что коэф-
коэффициенты си сг, ..., С[ могут иметь самое большее 1—1 перемену
знака.
2. Докажем, например, что все вронскианы (я— 1)-го порядка
имеют общий знак. Пусть а<.хо<Ь; определим alt аг, ..., а„
из системы уравнений
-f aji'i (x0) +... + ааК (x0) = 0,

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	257
определитель которой не равен нулю (см. 1). Функция
я А М + «А (*) + ..• + а„1гп (х)
внутри интервала [а, Ь] имеет я—1 нуль (именно нуль (п— 1)-го
порядка в точке х0). Поэтому последовательность коэффициентов
ао #2> •••> ая имеет в точности п—\ перемену знака. Положим
(—ly-^fMso), М*о). •••- K{xu)] = W. Тогда все числа
GlW- W(h,, h3, ... hn), -a2W= W(hlt h3, ..., K),
a3W^W(hv fta> hlt ..., hn), ...
(т. е. вронскианы (п— 1)-го порядка, взятые в точке х = х0) будут
иметь одинаковый знак, ч. и тр. д.
88. Признак 87 для случаев /=1, 2 означает, что, с одной
стороны, hx{x), h2(x), ..., hn{x) имеют одинаковые-знаки, с дру-
другой стороны, также
имеют одинаковые знаки. В этом можно убедиться также и непо-
непосредственно.
89. Пусть ls^n—1, I sCv1<... <v/-<a<;v/J-1<;..."<V;sSrt.
Имеем [VII 57]
W(hVi, Ц, .... К., ha, hv.+i, ..., /iV/) =
,, , Гhv Av,	V.	V. f	Kt
a	Aa ' Ла ' ••¦' ha • x' ka •••' ла
S] f^L) (МП
Ua/ ' \ /«a / •¦"' \hu)Y
90. Пусть правило Декарта применимо к системе п — 1 любых
функций, удовлетворяющих условиям, наложенным на составлен-
составленные из них вронскианы. Пусть функция
F (х) = ajxx (х) + a2h2 (*) + ... + ajin (x)
имеет jV нулей внутри интервала [а, Ь], а последовательность
коэффициентов аг, а2, ..., а„ имеет W перемен знака. Случай
W = 0 ясен. Пусть теперь а+1 —какое-нибудь место перемены
знака. В обозначениях 89 имеем
d Г(х)
dx ha(x)
—c^H^x)—...-Ов-^иМ + аа+1На(х) + ... + апНп^{х) = F*(х).
9 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II

258	решения
Если N* — число нулей функции F* (х) в интервале a<.x<Cb и
W* — число перемен знака в последовательности
или, что то же [3], —в последовательности
то [12]
Вронскианы, составленные из функций Я1(а;), Н2(х), ..., Hn^{x),
удовлетворяют условиям 87 [89]. Поэтому по принципу полной
индукции
91 ¦ Имеем
92. В обозначениях решения 63 имеем
dx	dx dx	dx
Применяем 12 n раз, бл + 1 раз.
93. [G. Polya, Tsans. American M. S., т. 24, стр. 312—324,
1922; см. H. Poincare, Intermed. des math., т. 1, стр. 141—144,
1894.] Применяя формулу VII 62, доказываем, как 92.
94Ш Предположение равносильно тому, что имеет место тож-
тождество
h{U) (X) + ф! (X) h№ (Х) _|_ ф2 (X) h{» 2» (X) +. . . + ф„ (X) h (X) = О,
и разность f(x) — h{x) в указанном интервале п-\-1 раз обра-
обращается в нуль. Применяем 93 к функции f{x) — h (x).
95. [См. Н. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhand-
lungen, т. 2, стр. 296, Berlin, J. Springer, 1890; T. J. Stieltjes,
Oeuvres, т. 2, стр. 110, Groningen, P. Noordhoff, 1918.] Прини-
Принимаем, что | Фл, (a:jj,) I =t^= 0. Обозначим через Q значение отношения
|A(*h)|:|<P;i(*m.)|- Функция от х
I fk (*i) fk (Xi) ---Ik (xn-i) fk(x)\-Q\ Фа {xt) щ (x2)... ф* (*„-!) Ф* (x) |
обращается в нуль в точках х — хп-х и х = хп. По теореме Ролля
будем иметь
\fk{x1)fk{xi)...fk{Xn-1)f'k{y\n)\~
— Q I Ф* (^i) Фа (хг) ... Ф* (хп^) ц'к (цп) | = 0,

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
259
где
Заменим теперь в левой части этого уравнения хп^х на х. Полу-
Получающаяся функция, от х будет обращаться в нуль в точках
# = х„_2 и x — Xn-i и т- Д- Затем заменим т\п через х и т. д. Таким
образом, после [(п — 1) + (п — 2) -{-... -f- 2 + 1]-кратного применения
теоремы Ролля мы придем к требуемому соотношению для Q.
96а Частный случай теоремы 95 при
Посредством сложения строк получаем
1 1 1 ... 1
1
... .<:,,
rt —1
1
а
*j
X
)
.)
п-1
1
(?
(»-
x"~l
) -
... хпп
1
ll
/¦ «я
Л-
-
)
.)
1,2, ...,ч
1, 2	п
97ш Частный случай теоремы 98:
/l W = 1, /2 (X) = X, /3 (X) - Х\ ..., /„_!
98> Частный случай теоремы 97:
99. [L. с. 93.] Неравенства 93 (**) при п — 2 дают лишь одно
условие: h (х) > 0. По теореме о среднем значении
1
A (.Vi) ft I
Полагаем
h (x2)
h{Xl)
¦h(l) h'{%)
fil) f'(l)
dx hi (x)
9*
d f{x)
dx hx(x)

260
РЕШЕНИЯ
После (п—1)-кратного	применения теоремы Ролля получаем
[решение 95]
. fa)	hi (xz) ••• hi (xn)
, fa)	/z2 (x2) ... h2 (xn)
K-i fa) Л„_! (
/fa) /fa)
1— (•*¦/» %n-V \Xn-l xn-2/ • ¦ ¦ [X2
hn_i (xn
/(*„)
1
h» fa)
Ai fa)
x (It) ..
hi(xi) "n-^l>	»-^»-
/fa) F(l)	Fa )
Ajfa) ^ ¦" lS" "
где jt1<|1<.v2<;|3<...<^n-!<ЁЯ-1<^П. Преобразуем вронс-
вронскиан, стоящий в правой части доказываемого соотношения, соглас-
согласно VII 58. Условия 93 (**) функциями Н1(х), Н2(х), ..., Нп_2(х)
удовлетворяются. [89.] Если мы примем, что теорема доказана
для п—1 функции Н1(х), Н2(х), ..., Нп-2{х), F(x), то из ука-
указанного преобразования будет вытекать, что она справедлива
также для п функций hx(x), h2(x), ..., hn..x{x), f(x).
IOOi Частный случай теоремы 99:
hv(x) = e^x (v=l, 2, ..., л-1),
Соответствующие вронскианы положительны [91].
101» Линейные преобразования плоскости Z в плоскость Z',
оставляющие бесконечно удаленную точку неподвижной, имеют
вид
Из соотношений
„= 1),
?' = mxz[ + m2z',
mnz'n
получаем
102. Пусть сначала z, zx, z2, ..., zn конечны. Требуемое
преобразование имеет вид
Z' —
Z-z

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	261
Из соотношений
i _ д ,t t __ a ,t	» _ я , t
Ь...+тя = 1),
получаем
—г zt — г ' г2 — г
Л- _L
i • • • "Г
независимо от а и Ь. Если zv = oo для некоторого v, так что г
конечно, то v-й член в правой части формулы (*) пропадает. Если
2 = оо, следовательно, zlf z2, ..., zn конечны, то преобразование
приводится к повороту и растяжению и ? совпадает с обыкновен-
обыкновенным центром тяжести [101].
103.	При z = оо ясно. Отсюда в результате линейного отобра-
отображения получаем: прямые, проходящие через zit zk {zi^zk), отобра-
отображаются в «окружности», проходящие через zi? zk и z; каждая
такая окружность ограничивает две круговые области; выбрасы-
выбрасываются внутренние области всех таких круговых областей, которые
не содержат ни одной точки zu z2, ¦¦¦, za. Оставшаяся невыбро-
шенной замкнутая часть плоскости и составляет как раз $z. Если
все точки zlf г2, ..., zn, z лежат на одной «окружности», то ^г
приводится к дуге этой «окружности», содержащей zlf z2, ..., zn
и не содержащей г.
104.	См. 103 или же непосредственно с помощью отображе-
отображения фигуры, соответствующей случаю z = со.
105.	[103.]
106ш Обобщение случая z = 00 посредством линейного отобра-
отображения.
107. Если бы z и t,z обе лежали вне /С, то «окружность», про-
проходящая через z и ?г вне К, не разделяла бы точки гг, 22, ..., zn —
в противоречие с 106. Если г лежит вне К, а ?* —на его гра-
границе, то применяем 106 к «окружности», проходящей через z и
?г и касающейся извне К-
108ш Так как теперь все массы равны —, то согласно 102
центр тяжести t,z определяется формулой
1 1/1,1
где через пх, п%,..., nk обозначено число тех из точек zly z2, ..., г,,
которые совпадают соответственно с wx, o>2, ..., wk. Точки wlt

262	РЕШЕНИЯ
w2, ..., wk, г предполагаются конечными. Но рациональными мас-
массами —, ^-, ..., у можно аппроксимировать с произвольной сте-
степенью точности любые k масс с суммой 1. Относительно случаев
wv = oo или г = оо см. решение 102.
109.	К точке ги также в том случае, когда г1 = оэ. См. фор-
формулу в решении 102.
110.	Так как теперь все массы равны —, то согласно 102
имеем
1
г — Zi
Zi + 22 + .
1
' г —г
... + гп
+
п
Я
' ;
п
у>— 1
1
111. Согласно решению 110
¦если z конечно, и ? = — —"—, если г = оо; предполагается, что
полином /(г) записан, как на стр. 67. Для случая f(z) — zn имеем
? = 0, что и само по себе ясно [107]. Лагерр называет ? «произ-
«производной точкой точки г» [1. с. 1, стр. 56].
112. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 61.] Если все нули функции
/ (г)—вещественные, то их можно рассматривать как лежащие в замк-
замкнутой нижней (верхней) полуплоскости, внутри которой должна
содержаться также ?, если мнимая часть точки z положительна
(отрицательна), за исключением того случая, когда все нули f(z)
совпадают [107]. Если же /(г) имеет комплексный нуль гх, то z
и С одновременно приближаются к z± [109] и, следовательно, их
мнимые части в достаточной близости точки zx принимают один
и тот же знак.
113> На основании 111 заключаем, что при апФ0 ? = оо тогда
и только тогда, когда z есть нуль производной /'(г), не совпа-
совпадающий ни с одним нулем самой функции f(z). Каждая прямая,
проходящая через такой нуль производной /'(г), разделяет нули
функции /(г) [106], и, значит, всякая круговая область, покры-
покрывающая все нули функции f(z), содержит в себе также нули про-
производной /'(г) [107]. Таким образом, как из 108, так и из 107
получается новое доказательство теоремы Гаусса [III 31]; в част-
частности, из 107 эта теорема вытекает на основании того замечания,
что наибольшей общей частью (или «пересечением») всех собственно

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	263
кругов (т. е. круговых областей, не содержащих оо), покрыва-
покрывающих точки ги z2, .... гп, является наименьший выпуклый поли-
полигон, обтягивающий эти точки.
114» Если х есть нуль функции е с [— —+ /'(z)j и f(x)^O,
\	}
а следовательно, и f (х) ф 0, то центр тяжести f (z) относительно х
[111] будет равен
nf (х)	«.
Если бы точка х не лежала ни в К, ни в К-\-пс, то х и ? обе
находились бы вне К, что, однако, согласно 107 невозможно.
115. [ J. v. Sz. N a g у; см. L. F e j ё г, Deutsche Math.-Ver., т. 26,
стр. 119, 1917.] Пусть гх конечно. Полагая / (г) = {z — zx) g(z),
будем иметь (х — гх) g' (x) + g(x) = 0. Центр тяжести Z, функции
g(z) относительно х определится тогда по формуле [111]
«.	(п— I)g (х)	/ ,, ,	ч
l = x-L-^LJ==x-(n-l)(z1-x)
[106]. Относительно г^оо см. III 31.
116> [Laguerre, 1. с. 1, стр. 56, 133.] Пусть z — один из нулей
функции axzf (г) — a2f (г) и / (z) Ф 0, следовательно, г конечно,
/' (г) =? 0. Центр тяжести f (г) относительно z будет
Если бы поэтому имело место неравенство
|z|<Minfl, \-n^~
то должно было бы быть также | ? | •< 1 в противоречие с 107.
117.	[116.]
118.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 161.] Чтобы интересующий нас
центр тяжести вообще имел смысл, необходимо, чтобы zx был про-
простым нулем. Полагая f (z) = (z — zx)g (г), имеем
и центр тяжести [111] равен
При zx — со остальные нули должны быть конечны, ап — 0, an_x ф 0.
Центр тяжести тогда [111] равен —о--^-
119. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 142.] По отношению к гипоте-
гипотетическому нулю 2х = а+ф с наибольшей мнимой частью |3 > 0
центр тяжести остальных п — 1 нулей имел бы мнимую часть,

264
РЕШЕНИЯ
меньшую, чем Р [107]. С другой стороны, из дифференциального
уравнения при Р>0 в случае f(z1) = O, следовательно,
Г МФО, Г МФО,
мы имели бы [118]
2(n-\)f'(z1)\ ПЛ, _2(я-1)\_й ,_2(я-1)р.
120. При /(гг) = 0, 21 = а + ф, Р>0, мы имели бы
(я-1)(г?-1)\
См. 119.
121. Неверна. Пусть афЬ и Klt Кг — два круга с цен-
центрами соответственно в а и Ь, радиусы которых настолько малы,
что эти круги не содержат точку Чр. Достаточно рассмотреть
тогда / (z) = (г — а)(г — Ь).
122.
Имеем
/JO) ,@)\ . /@) @)\ _ /	s . ,	ч
123> Мы можем принять, что /Сх и Л — полуплоскости
и Шг^с2. Тогда
С помощью надлежащего выбора чисел zx и z2 можно добиться,
ение	2 г
щественной частью
чтобы среднее значение 1?'ъ ' 2 г было равно любому числу с с ве-
ве124. [J. L. Walsh, Trans. American M. S., т. 22, стр. 115,
1921.] Пусть 2 —один из нулей функции f[{z)f<l{z)-\-fi(z)f'i(z) и
притом z лежит вне Кх и К2- Таким образом, fi(z)^O, f[{z)^=O,
f2 (z) ф 0, /^ (г) фО,г конечно. Обозначим центр тяжести fx (z) отно-
относительно 2 через Zi и центр тяжести f2 B) относительно 2 через ?а.
Имеем

отдел пятый	265
?i лежит в Ki, ?2~B К* [Ю7]. Но отсюда
2 —
125. [J. L. Walsh, 1. с. 124.] Полагаем аналогично 124
Если г есть нуль производной /' (г), лежащий вне Ki и К2, далее,
?i и ?2 ~~ центры тяжести соответственно /х (г) и f3 (г) относительно
точки г, то при пгфпг будем иметь [124]
При п1 = п2 мы получили бы из нашего предположения, что ?j =
= ?2, что невозможно, если Ki и К2 не имеют общих точек.
126. [R. Jentzsch, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 25,
стр. 196, 1917; см. М. Fekete, Deutsche Math.-Ver., т. 31,
стр. 42—48, 1922.] Пусть а и Ъ — два числа, для которых все
нули разностей f(z) — a и f(z) — b лежат в Ох. Нужно доказать,
что если с лежит на отрезке, соединяющем а и Ь, то все нули
разности f B) — с также лежат в Ох. [Определение выпуклости!]
Но нули функции F (z) = [f B) — а]т [/ (г) — Ь]п, где m и п — поло-
положительные целке числа, наверное лежат в Ох. Имеем
откуда все нули разности f(z) — na.m также должны лежать
"	lit —j- it
в Ох [III 31]. Числа nc^j"ln лежат всюду плотно на отрезке,
соединяющем а и Ь, когда тип пробегают независимо друг от
друга все целые положительные значения.
127. Применяем 124 к F (z) = [/ (г) — а] [/ (г) — Ь]п [решение
126].
128ш Коэффициенты полинома —— будут
или
аъ а2, а3, ..., а„,
смотря по тому, будет ли ? конечно или бесконечно. Таким обра-
образом, для конечного ?
га-1
v=o

266	РЕШЕНИЯ
129.	Следует из определения.
130.	При ? = со тривиально. При гфоо получаем
g (z) [(? -z)h'(z) + lh (г)] + h (z) [(? - z) g' (z) + kg (г)] =
= &-z)[g(z)h' (z) + gr (z)h(z)] + (k + l)g(z)h(z).
131.	Если Ci и ?2 оба равны бесконечности, —непосредственно
ясно. Если оба конечны, то вытекает из симметричности выра-
выражения
(Si - г) [(& - г) f (z) + nf (г)]' + (п-1) [(?, - z) f (z) + nf (г)] =
относительно ^ и ?2. Если, наконец, ?х = ? конечно, ?2 — со, то
вытекает из соотношения
[(? - г) /' (г) + л/ (z)]' = (? - z) /" (г) + (п - 1) f (г).
Представить также в терминах символического исчисления за-
задачи 137.
132.	Если ? = °°. то из/'(г) = 0 вытекает, что f{z) — кон-
константа, т. е. все ее п нулей равны бесконечности. Если ? конечно,
то решением однородного линейного дифференциального уравнения
первого порядка
(S-z)f + nf(z) = O
будет f(z) — c(z — ?)", где с — постоянная.
133.	Пусть z' — точка производной системы.
1) z' конечна, f{z')=?O, г'' ф?, значит, также f (г')ФО. Имеем
t-z f,(zl)
2)	z' конечна, 7(z') = 0, f (г) = (z-L() ф()	g
Тогда (z — z')k+lAzf(z) приводится при z = z' к ?(? —z')tp(z')=H=O.
3)	z' = S, f (г) = (г — ?)* Ф (г), ф (9 ^= 0, ft < п. Тогда
(z — ?)-Ms/(z) приводится при 2 = ^ к (п — й)ф@#О.
4)	Если апф0 и а^ + а^-0 [128], то ? = — ¦^ [Ш].
134.	При ^ = оо см. III 31. При конечном ? рассматриваем
случаи, перечисленные в 133. Либо t есть центр тяжести /(г) отно-
относительно г', как в 1 и 4, и тогда применимо 106, либо z' сама
является нулем f(z), и тогда z' лежит в указанной круговой
области, а именно на ее границе.
135.	Вытекает из 107 посредством тех же рассуждений,
какими 134 выводится из 106.
136.	На основании 135. Рассматриваемый круговой полигон
представляет собой наибольшую общую часть всех круговых
областей, содержащих zlt z2, ..., zn и не содержащих ? [реше-
[решение 113].
137.	Если ? = О0> то уравнение /l"-1)(z) = 0 дает либо обыкно-
обыкновенный центр тяжести функции /(г), либо сю, либо ничего опре-

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	267
деленного, смотря по тому, будет ли точная степень f (z) п, п— \
или же «?п — 2. Пусть теперь g конечно. Будем говорить, что
m	со
j
полином /п-й степени У (^ j ftvzv и степенной ряд У cvuv co-
пряжены, и символически записывать:
,. , 1т'
если с0 = Ьо, с1 = Ь1, .... ст = Ът, c_lt с_2, ..., сот+1, ст+2, ...произ-
...произвольны. Тогда имеем [128]
f (z) = a 4- (п) а ? 4- (п^а г2 4- 4- о -=•" Л
Д а0 + а^м + а.2и2 +... + ал«я,
Л (а0 + аги + а.2и2 +... + апип) ~ ,
г) = п [(а0 + а±0 + (" 7') (fli + °г9 z +... + (««-i + a«S) г"]Л
'.t+Ci'
Отсюда видим, что интересующим нас нулем будет центр тяже-
тяжести функции f(z) относительно ? [Ш].
138. Согласно решению 137 при конечных t,lt ?2, ..., ^я
в остальных же случаях

270	РЕШЕНИЯ
При &>2 необходимо повторное применение теоремы 135,
т. е. полная индукция. Обозначим рассматриваемый полином через
f{z). Тогда
(г) = vft - (yk - 1) z + с2 Ы - v2) zv< + .
По крайней мере одна точка производной системы лежит в круге
Чтобы убедиться в этом, заменяем г на —^уМ и применяем к по-
получающемуся уравнению относительно и предположение индукции.
Имеем
Заметим, что (&-)- 1)-членный полином
обладает единственным нулем k.
150. [J. Н. Grace, I.e. 145, стр. 356; см. также P. J. Hea-
wood, Quart. J., т. 38, стр. 84—107, 1907.] Пусть
— производная рассматриваемого полинома. Тогда
ь
Т
/ (z) dz = афп-i - ("Т )Й1&" + ("г"!) а2Ь"-3 + • • •
где Ьо, Ь1, ..., &га^х сохраняют постоянные значения для всех поли-
полиномов f(z), т. е. независимо от изменения коэффициентов о0, Oj,...
.... ап-х. Тем самым полиномы (и—1)-й степени f(г) и
аполярны. Явное выражение для g(x) получаем, полагая, в част-
частности, flv = (— l)v^ra^1-v, т. е. / (г) = (х — z)n-1. Из равенства

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	271
получаем нули функции g(x):
с. а-\-Ь . .а — b , vn
(v=l, 2,
Применяем теперь 145.
151.	[См. G. Szego, 1. с. 145, стр. 35.] Если у = 0. то либо
между нулями f (г), либо между нулями g(z) должно содержаться
2 = 0. Тогда утверждение ясно. (Для р\ = C2 =... = р„ = сю нужно
положить ? = 0: 0-оо неопределенно.) Аналогично рассуждаем и
при y = oo. Пусть теперь уфО, со. Тогда полиномы f(z) и
zng{—уг^1) будут аполярны. Следовательно, среди нулей послед-
последнего, именно —ypv1 (v=l, 2, ..., п) (принимаем —у-(Н = со,
— у.оо~1 = 0), согласно 145 по крайней мере один лежит в К,
т. е. — yPv ' = k.
152.	[151.]
153.	[I. Schur, см. G. Szego, 1. с. 145, стр. 37.] Пусть
§. — пересечение всех замкнутых кругов, содержащих начало коор-
координат и все нули функции f(z). Согласно 151 каждый нуль у
тампонированного полинома имеет форму %k, где O^'frsSl, a k
лежит в К. Но тогда у должно лежать во всех К, следовательно,
также в $.
154.	[По поводу постановки вопроса см. Laguerre, 1. с. 1,
стр. 199—200, 1898; G. Polya, Interned, des math., т. 20, стр.
145—146, 1913. G. Szego, 1. с. 145, стр. 38 и J. Egervary,
1. с. 145.] Заменяем g(z) на g(bz) или g(—bz), смотря по тому,
будут ли нули g(z) лежать в — Ъ, 0 или в 0, Ь, затем приме-
применяем 153.
155.	[Е. Mai о, Journ. de math, spec, серия 4, т. 4, стр. 7,
1895.] Согласно VI 85
где Рп (х) обозначает га-й полином Лежандра. Поэтому Qn (z) имеет
лишь отрицательные нули [VI 97]. Компонируем сначала первый
полином с Qn(cz), а затем получающийся полином
со вторым, в котором необходимо заменить z на dz, причем с и d
выбираются так, чтобы все нули соответствующих полиномов
лежали в интервале —1, 0. При этом в обоих случаях приме-
применяем 153, беря за Ш в первом случае верхнюю, во втором —
нижнюю (замкнутую) полуплоскость. Тогда получается, что нули

268	решения
139. Пусть ?lt ?2, ..., tn все конечны, т. е. Ъп Ф 0. Тогда [138]
2v=(-l)v(rt!.v)^f (v-°- 1.2,...,»).
следовательно,
А {?,!, ?2, • • •. ?») f (г) = ^[яо&я ~ (J)flibe-i + B
Если же k и только /г последних из ?х, ?2» ¦ • • > S« равны беско-
бесконечности, то [138]
2jo — 2л — • • • — 2jft 1 = и.
n,
следовательно,
^(Si. ?2, ••.. &.
(-0*
[при й = п следует читать: (—l)ft<v]. Таким образом, во всех
случаях
•••+(- ^^n-i^n-Lh + i- 1)яся60],
где Я^1 = (— l)ft (") Ьп-к и &га_й — наивысший отличный от нуля
\к]
\]
коэффициент функции g(z). Имеем
= Ki1A(z1, га, ....
140. Аполярность точек zx и ?г означает, что гх = ^. Аполяр-
Аполярность пар 2Х, z2 и ?х, ^2 означает (за некоторыми легко выделяе-
выделяемыми исключениями), что
т. е. обе пары расположены на одной и той же окружности и
притом гармонически одна по отношению к другой.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	269
141. Согласно 139 ?0 — ?л = 0, т. е. ?1( ?2, ..., ?,„ все ко-
конечны и
Ci?2 ¦ • • ?л — 1•
142ш 5==2xi 22, ..., 2„.
143.
144.	Повторно применить 135.
145.	[J. H. Grace, Proc. Cambr. Phil. Soc, т. 11, стр.
352—357, 1900—1902; см. G. Szego, Math. Zeitschr., т. 13,
стр. 31, 1922; J. Egervary, Acta Univ. Hung. Francisco-Jose-
phinae, т. 1, стр. 39—45; Math, es phys. lapok, т. 29, стр. 21—43,
1922.] Пусть zlt z2, ..., zn лежат внутри, а ?х, ?2, ..., ?<. —вне
круговой области К, далее Л^ А^ ...А^ /(z)=?0, тогда как уже
4/v..^/4?/i+i/B)==0, ^-cn1-!. Согласно 144 нули АиАи...
...AiJ(z) также лежат внутри К, а по 132 все они должны
совпадать с точкой ?А+1; следовательно, последняя лежит внутри К-
146.	[145.] Если два выпуклых полигона не имеют общих
точек, то существует прямая, разделяющая эти два полигона.
Такой прямой будет, например, служить перпендикуляр к сере-
середине линии кратчайшего расстояния между полигонами.
147.	[Е. Landau, Ann. de ГЁс. Norm., т. 24, стр. 180,
1907.] "[148.]
148.	[A. Hurwitz; см. Е. Landau, 1. с. 147.] Согласно 143
рассматриваемый полином аполярен полиному с нулями
2ni\
?v=l-e~ (v = l, 2, ..., л);
последние лежат в круге \z— I |«? 1 [145].
149.	[L. Fejer, С. R., т. 145, стр. 459, 1907; Math. Ann.,
т. 65, стр. 413—423, 1908; Deutsche Math.-Ver., т. 26, стр. 114—
128, 1917; см. также S. S arantopoulos, С. R., т. 174, стр. 592,
1922; P. Mont el, С. R., т. 174, стр. 851, 1220, 1922; Ann. de
ГЁс. Norm., серия 3, т. 40, стр. 1—34, 1923.] При k = 2 приме-
применяем 135, где положено ? = 0. Имеем
откуда производная система состоит из точки —-^к и кратной
бесконечно удаленной точки. Поэтому вне круга |z|>-—^Ц- не
могут содержаться все нули функции 1 — z + c22Va.

272	решения
рассматриваемых полиномов лежат все одновременно в верхней
и в нижней замкнутой полуплоскости. Вытекает также из 154
с двукратным применением теоремы 65.
156. [I. Senur, J. fur Math., т. 144, стр. 75—88, 1914.]
Доказательство ведется аналогично 155, причем опирается на то,
что полиномы [VI 99]
1 + AJI г + B j 2i+• • •+(п -1 j (^=T)T+ it
имеют лишь положительные вещественные нули.
157а Так как нули выражения (l-f—) лежат в полупло-
полуплоскости 3z>0, то нули полиномов
•-—вещественные [III 25]. Принимаем во внимание III 203.
158.	Утверждение вытекает из того, что j^(l — — j имеет
лишь вещественные нули [58] и при фиксированном v и п -*¦ оэ
в каждой конечной области стремится к —ту— [Н u r w 11 z-
Courant, стр. 63*)] [III 203].
159.	a) A. Hurwitz, Math. Ges. Hamburg, Festschrift, стр.
25, 1890.]
\) \2n) +\2) \2n) \3) \2n
Pn (z) имеет лишь вещественные нули, лежащие в интервале —1,
+ 1 [VI 97].
2-4-6-2-4-6
Ln (г) имеет лишь положительные вещественные нули [VI 99,
решение и)].
в) Следует из соотношения
2м
sin и — iz
*) Г у р в и ц, стр. 91. Гурвиц — Курант, стр. 71.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	273
[III 148]; посредством «-кратного дифференцирования и замены
переменных получаем
— я
при /г->оо; Qn(z) есть рассмотренный в решении 56 полином,
обладающий лишь вещественными нулями.
_ 1
г) Получаем из III 205, полагая /(^) = A— t2) ^. а), б), в)
опираются непосредственно, г) не непосредственно на III 203.
160. [G. Poly a, Tohoku Math. J., т. 19, стр. 241, 1921.]
Положим
г?'1 \ Qn (г)	^?fl_D i7\ zq
2,4 — \ I (z.1— 1)п ' dzn	^"' '
Тогда нули полиномов Qn (г) и Rn (z) располагаются на q исхо-
исходящих из начала координат лучах, делящих всю плоскость на q
равных углов, из которых один делится положительной вещест-
вещественной полуосью пополам [59]. Но нули функции F(z9) лежат на
тех же лучах, ибо
2
п\
2qn + \ qn + 2	qn + k !. k+\\f.
q(n+\) q(n + 2) ••¦ q(n + l')V~t qn IV
Zj
1 qnj(qk)\^ ^{qk)\~l ^ >
при rt->oo [III 203]. Второе доказательство оперирует аналогично
с Qn (г).
161. [G. Polya und I. Schur, J. fur Math., т. 144, стр.
89-413, 1914.] Положим
Имеем lim Рк (z) ~g(z) равномерно во всякой ограниченной
области.

274	РЕШЕНИЯ
162. [J. L. W. V. Jensen, Acta Math., т. 36, стр. 181,
1912.] Пусть рассмотренный в предыдущем решении полином
Тогда [Hurwitz-Courant, стр. 61—64 *I
lim ank = ап,
й-»со
И ПОЛИНОМ
l- a'lk ^ I "'* db'" 1 ••• =
I
= aokzn + (
имеет лишь вещественные нули [63]. Посредством перехода к пре-
пределу при k-^-аэ [III 203] и замены z на — получаем, что нули
рассматриваемых полиномов вещественны. Что они, кроме
того, положительны, вытекает из того, что в разложении
g(_z) = l_^z + f г2-...
все коэффициенты, очевидно, положительны, стало быть,
flx<0, с2>0, fl3<0, ...	[47].
163. Из 161, 55 (с некоторым изменением) и III 201 вытекает,
что ни одна производная от g(x) не обращается в нуль в интер-
интервале — со < •*<«!. Отсюда, как и в 72, заключаем, что разность
в
)
в интервале — оо<л;^а1, кроме точки л: = 0, нигде не обра-
обращается в нуль. Следовательно, знак ее совпадает в интервале 0<
<х<ах со знаком ап. [I 144.]
164» Выражение
cos 2ztdt
можно рассматривать как предел последовательности полиномов
лишь с вещественными нулями [158]. Отсюда следует [63], если
р>0, что
со
Т= \ е-'2 A +Apt2) cos 2ztdt
*) Г у р в и ц, стр. 88—92. Гурвиц — Курант, стр. 69—72.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	275
имеет лишь вещественные нули. Повторяя это рассуждение, при-
приходим под знаком интеграла к полиномам, затем, переходя к пре-
пределу [161], к g(z).
165ш [L. с. 161.] Определим целое число mk так, чтобы, пола-
полагая Р + РГ1 + РГ1+ ••• +РаГ1==.В*, мы в круге \z\^k имели
Тогда
равномерно в каждой конечной области.
166а Показываем, как в 162, что полином
имеет лишь вещественные нули. Поэтому, если он в точности сте-
степени п, у него могут обращаться в нуль два соседних коэф-
коэффициента [49]; G (г) трансцендентна; определяем п>/л+1 так,
чтобы Ьпф0.
167. По предположению, pv<O(v=l, 2, 3, ...). Пусть
>nj/a; положим
При переходе от уравнения
к уравнению
й0 + axeBz + a.,e2Bz2 +...-)- anenBzn = О
число мнимых корней не изменяется, а при дальнейшем переходе
к уравнению
аД @) + а± Q A) eBz + аД B) е2Вг2 +...+аД (п) e"Bz" = 0
оно не возрастает [67]. Теперь берем fe-=>co [III 201].
168ш Функция
, г\ -4
имеет форму 165 и нули ее отрицательны. Так как полином

276	РЕШЕНИЯ
имеет лишь вещественные нули, то 167, G(z)— Ffy+lj Ч
то же будет справедливо и для полинома
1 '^.-L_^Vi-!)-...-we(z)
ГA) Г BI! \~2) т Г CJ! \2] \* п.
при п->-оэ [III 203]. Как видим, 65 есть также частный случай
теоремы 167.
169. [L. с. 160.] Если q — целое положительное число, то
отношение
представляет собой целую функцию, ибо полюсы числителя —-,
2а	1	2
	—,... содержатся между полюсами знаменателя	,	,... ,
причем функция имеет форму 165 [решение 168]. Применяем 167
к этой функции G (г) и полиному
Затем берем п->оэ [III 203].
170. [G. Poly a, Messenger, т. 52, стр. 185—188, 1923.] Имеем
aFa (z) =
. . .	г B6 + 1)
к=й	0	k=0
Применяем 167 к полиному
п
и целой, функции
Г(г + 1)	--W
(a — 2q, q — целое). Затем переходим к пределу [III 203]. Функ-
Функция G (г) — целая, ибо полюсы
-2, -4, -6, ...; -1, —A+2*7), -A+4?), ...
числителя содержатся среди полюсов —1, —2, —3, ... знамена-
знаменателя; кроме того, С (г) имеет форму 165 [решение 168]. Функция
Уп - -
ft (z) = ~~2~ е 4 в0°6щ'е не имеет нулей.

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
277
171.	Если аФ2, 4, 6, ... и х стремится к +оо, пробегая
вещественные значения, то lim xa+1 Fa(x)^0 [III 154]. Поучи-
тельно, что функция Fa (x) при а Ф 2 имеет бесчисленное множе-
множество нулей [1. с. 170]; таким образом, при а = 4, 6, 8, ...она
имеет бесчисленное множество вещественных нулей и ни одного
мнимого, в других же случаях — конечное число вещественных и
бесчисленное множество мнимых. См. III 201.
172.	[Cauch у, Exercices de mathematiques (anciens exercices),
1826, Oeuvres, серия 2, т. 6, стр. 354—400, Paris, Gauthier-Villars,
1887.]
a) [A. Hurwitz, 1. с 159.] За исключением корня z = 0 речь
идет в нулях мероморфной функции
Под знаком предела стоит правильная дробно-рациональная функ-
функция, числитель которой имеет степень, меньшую или равную
2«—1. Между 2п нулями знаменателя лежит 2п—1 интервалов,
и в каждом из них содержится по одному нулю числителя [26].
Следовательно, числитель в точности степени 2п — 1 и не имеет
мнимых нулей. Переходим к пределу [III 203].
б)	Имеем
1
2г2 cos z(igz — z) = \t sin zt dt.
о
Теорема III 185, относящаяся к полиномам по косинусам, может
быть распространена и на полиномы по синусам (доказательство
то же). Отсюда посредством предельного перехода получаем аналог
теоремы III 205, который и применяем к интегралу в правой части.
в)	Имеем
1
2z-3 cos z (tg z - z) = I A - f) cos zt dt.
0
Теорема 173 позволяет утверждать, кроме вещественности, также
существование бесконечного множества нулей.
173. Двукратное интегрирование по частям дает
z2F (z) = zf A) sin z - f @) A - cos z) + $ f" (t) (cos z - cos zt) dt,
0
откуда вытекает
F[{2m—\)n]>0, FBinn)<0 (m= 1, 2, 3, ...),

278
решения
следовательно, существование бесчисленного множества нулей.
Имеем F @) > 0. Поэтому правильная дробно-рациональная функция
F (- пп)
г + пп
' "¦ "¦"
F(-2n)
F(-n) , F@)
г + л ' г
F (л)
г —л
(— 1)" f(
имеет 2п — 2 вещественных и самое большее два мнимых нуля
[см. 26]. Так как она стремится к
Sill Z
[см. III 165], то [III 201]
F (г) либо не имеет ни одного, либо имеет два мнимых нуля. Но
F(z) есть четная функция; если бы она имела ровно два мнимых
нуля, то они были бы чисто мнимыми, однако для вещественного у
имеем
о
174. Достаточно рассмотреть случай
Тогда для достаточно большого целого п
[III 203].
ф —
ф
д-1
следовательно, функция
. пг 1
sin	ф
. г 1 / 2 \ . 2г
sin	ф — sin
1 /п—
...	ф
/г т \ /г
1 \ . (п— 1)г
Sin -———
я
не имеет мнимых нулей. [Доказывается тем же рассуждением, что
и в 27.] Теперь п-+оо [III 203].
175. Оставляя в стороне тривиальный случай /A) = 0, имеем
f (t) cos zt dt = sin z -
sin zt dt
[174].
176. Модули членов ряда монотонно возрастают от началь-
начального члена 1 до максимального члена и затем от максимального
члена до бесконечности монотонно убывают [I 117]. Пусть п — цент-
центральный индекс, т. е. (—х)псгпг обозначает максимальный член
для г — — х, л;>0. Тогда на основании вышесказанного
хпа~ п2 — х^ат ("~1J -

Если
отдел пятый	279
: = а2л, то п — центральный индекс [III 200]. Получаем
(— \)nF (— а2п) > а - 2ап°-' S& 0.
Те же соображения с соответствующими изменениями распро-
распространяются также на частичные суммы
находим
Fn@)>0, Fn(-a2)<0,
(_1)^„ (_^) >0
(во втором неравенстве при п = 2, а = 2 знак < следует заменить
знаком =), откуда вытекает, что Fn(x) имеет лишь вещественные
и простые нули и притом ровно по одному внутри каждого из
интервалов (—а2, 0), (—а4, —а2), (—а\ —а4),..., (—а2п, —а2*-").
Переходя к пределу [III 201], получаем требуемый результат
относительно F(z). (См. III 200.)
177. [См. G. Poly а, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 355-358,
1918.] Преобразование полинома />0 + Piz + • • • + Ря2" в доказатель-
доказательстве теоремы III 22 представляет собой в существенной части
суммирование по частям. Функция F (г) не имеет вещественных
кулей. Пусть /'@>0, z = x + iy, x^0, y>0, extf{t) = fx{t),
следовательно, также /х (t) > 0, f[ (t) > 0; пусть, далее, 0 < т < 1.
Интегрирование по частям дает
iyF (z) - iy
откуда
y\F(z)\+y
@
h (t) ^ _ fl @) _ j /; (t) & dt,
Правая часть равна ^ f[ (t) dt —
и при возраста-
1
нии т возрастает [III 14]. Второй член в левой части при х
стремится к нулю. Поэтому у\ F (z) \ >0.
178. Имеем
-«2d« = y \ е-*Ч 2 dt.
Так как t 2 убывает, то [177] в области Ш{—
жится нулей.
не содер-

содер280
РЕШЕНИЯ
179. Имеем
1
И-i Чи+1H*+2)
п=0
l)(H + 2)(n+'3)^-'-
со	1
гI A"'
Но в интервале 0<^<С1 функция е?(\ — 1) возрастает (продиф-
(продифференцировать). Поэтому [177] нули ряда
при (д. > 0	лежат все в полуплоскости Шг > ц,
при —1<|1<0 лежат все в полуплоскости 31г<ц,
при |.i = 0	лежат все на прямой 9te = 0.
В нашей задаче ц = п — целое.
180. a) [G. Poly a, Ens. math., т. 21, стр. 217, 1920.] Опи-
Опираемся на следующую важную теорему [I. Schur, Math. Ann.,
т. 66, стр. 489 — 501, 1909]: корни со1( со2, ..., со„ уравнения
г—«if —«12 ••• — о1п
—	а21 г — агг... — а2,,
—	ani —апг ... г — апп
= 0
n re
2	 VI V/l
^= Zj Zj
x=in=i
удовлетворяют неравенству
Отсюда, обозначая нули полинома
через zln, z2n, .... 2ПЛ, получаем [VII 11]
|г,я|а + |гая1г ^''""^ I гпл; I» ^
ail»
о, !2
Переходим к пределу [III 201].
б) [G. Valiron, Bull. d. Sc. Math., серия 2, т. 45, стр. 269,
1921.] Полагаем \aa-.1cfcl\ = ln, n—\, 2, 3, ... Так как lim/ra = oo,
«->со
то из /1( /2, ..., /р, ... перестановкой можно получить монотонно
возрастающую последовательность /„,, 1Пг, 1Пз, .... /„ , ...:

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ	281
Имеем
*1»2 '/> ''•'
Г ^71Т
Обозначим через Л4 (г) максимум |f B) | при | z | sg r и через
|.i (г) — максимальный член всюду сходящегося ряда [IV 29]
Из предположения, соответственно из IV 37, IV 54, IV 38, выте-
вытекает последовательно сходимость выражений
f	f	f
Я, f Ц (г) г-» dr, f Ф (г) г3 dr, f М (г) г
1	1	1
I «р
2
Этот способ доказательства, в противоположность изложенному
в п. а), может быть распространен на показатели, отличные от
Двух.
г«	z=
181.	Нет. Пример: f (г) = (г2-4)е3, /'(г) = |гB2-1)е3.
Н. М. Macdonald (Proc. Lond. M. Soc, т. 29, стр. 578, 1898)
утверждал противоположное *).
182.	[G. Poly a, Arch, der Math. u. Phys., серия З, т. 25,
стр. 337, 1917. Решение —Н. Prtifer, там же, серия 3, т. 27,
стр. 92 — 94, 1918.] Пусть Н' (x)—g(x). Утверждение задачи
содержится в следующей, более точной, теореме: если полином
/г-й степени g(x) имеет лишь вещественные нули, то G(x) =
= [g(x)]2 + g' (х) имеет самое большее «+1 вещественный нуль
B/г>п+1 для п^2). Пусть xlt х2, ..-, Xk — различные нули
полинома g(x),
g(x) = a(x- Xl)mi (x - xtf1* ...(x- xk)mK
а)	Нулей G(x), являющихся одновременно нулями g(x), будет
n-k.
б)	Вещественный нуль G(x), не являющийся нулем g(x), удо-
удовлетворяет уравнению
4 = -1 или (±)«1^_
Если, следовательно, имеется по крайней мере один такой нуль,
то а — вещественное. Но теперь
\2
щ	щ__щ__ _ fg^y ^n
(x-xtf
*) Этим вопросом занимался уже Лагерр, см. Oeuvres, т. 1.

282	РЕШЕНИЯ
Нули g(x) разбивают вещественную ось на k-\-\ интервалов.
В каждом из этих интервалов кривая y = g' (x)[g(x)]~2 монотонна
и пересекает прямую у ——1 самое большее один раз. Таким
образом, общее количество перечисленных в пп. а) и б) нулей
полинома G(x) будет ^(п — k)-\-k-\-\.
183.	Имеем
Выражение для В(® остается в силе также при нецелых значе-
значениях k > m — 1.
184.	Имеем
со
m
'+2 ..	г
Далее,
„(	1 — Z\ 1
, . . Г т-\	Д г ,	1
при ю>0, Шг<0;
при со>0, Шг> 1 -\-{т— 1)а
Р(г, со) = . ' < \е-Н ш 'f(—at)dt
г
при со>0, 3te<0.
185. [См. Laguerre, 1. с. 1, стр. 23; G. Poly а, задача,
Arch, der Math. u. Phys., серия З, т. 24, стр. 84, 1916.] Три
неравенства первого столбца получаются из 183, 38, 8, четыре
остальных —из 184, 80 (замена переменных!), 24.

отдел пятый	283
186. Мы уже предположили, что ат<=0. Пусть запись а||р
означает, что вещественные числа аир имеют одинаковый знак.
Тогда
(—оо),	/(О)ЦЯ(О),
l + (m-l)a>),	/(оо)ЦР(оо),
/(_1)||/? (-оо),	/(l)HQ(-f- оо),
/= (— оо)||(— 1)»ДA + (/га-1)со),	f(+oo)||/?(H-(m-l)(D),
/(О)ЦР(О),	/ (—1)||(—I)" /? (Ч- ос).
/(O)llQ(O),
187. [La guerre, 1. с. 1, стр. 13-25; М. Fekete und
G. Polya, Rend. Palermo, т. 34, стр. 89-120, 1912; E. Balint,
Diss., Budapest, 1916; D. R. Curtiss, Annals of Math. B), т. 19,
стр. 251-278, 1918.] 1 следует из 38, 2-из 34, 33, 32, 3-из
183, 24, III 201, причем принимаем во внимание, что Р (г, о),
Q(z, со), R (г, со) непрерывны по со и
Р(г, O)=f(z), Q(z, 0) = (l + z)m/(i4-i),/?(z, O) = (!-2)'«ffTi-).
Вторая из доказанных теорем теоретически позволяет точно опре-
определить число нулей / (г) в интервале 0 < х < 1. Что этот метод
часто бывает практически полезен, показывают задачи 45, 46.
188. [G. Polya, 1. с. 80.] Из формулы
т
m\f (г)	___ "V / 1 Nm^v (m\ f (™) _
— 	1 ...	m) v=0
...
со \ со У \ со
CO
= w\ J(e-?-a, o)e-?-(«-mo» dl,
0
справедливой для Э!г>тсо [VI, § 9], вытекает ft~wss3o [80, 24];
из аналогичной формулы
, ©)
справедливой для 5Кг>0, вытекает таким же образом З-от^ЗГ»
наконец, из определения J (г, со) следует [36], что 3-ет не пре-
превосходит числа перемен знака в последовательности /@), /(со), ...
..., flna>). Замечаем, наконец, что (см. решение 186)
/(— оо)||(—l)mJ(l, со), /@)||(—iy/(+oo, co)||J(—оо, со),
/(/и, со)||/@, со),	/( + оо)||УA, и).

284	решения
189. Находим [188]
Отсюда рассматриваемый полином равен J(l—z, со).
190. [Н. Poincare, С. R.,t. 97, стр. 1418, 1883; Е. Meiss-
ner, Math Ann., т. 70, стр. 223-235, 1911.]
Выбираем fe достаточно большим [187, 3].
191.	Условие достаточно [30]; для доказательства необходи-
необходимости выбираем Р (x) = (l-\-x)k, где k достаточно велико [187, 3].
192.	Условие достаточно, ибо е~ах+тЬх1 ^(р (х)еах~тЬхг\
имеет не более мнимых нулей, чем Р (х) (доказательство, как в 58).
Для доказательства необходимости выбираем сначала Р (х) = 1 -\-гх,
получаем, что (I-\-гх) f (х)-\~г и [е->0] f(x) имеют лишь вещест-
вещественные нули. Затем выбираем P(x) = f(x); тогда приходим к зак-
заключению, что степень / (х) равна либо нулю, либо единице.
В последнем случае, когда, стало быть, f{x) — a — bx, полагаем
снова P(x) = f(x); всегда {a — bx) {a — bx) — &>0 при Ь<0.
193.	[G. Р б 1 у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys, серия З, т. 21,
стр. 289, 1913. Решение —G. Szego, там же, серия 3, т. 23,
стр. 81-82, 1915.]
194.	Интересующее нас выражение представляет собой резуль-
результант полиномов f(x) и g(x), т. е. равно bo/(Pi)/(Pss), где plf E2—
нули полиномаg (x). Если EХ — не вещественное, стало быть, р2 = Ри
то результант будет неотрицателен. Если plf р2 — вещественные
и результант меньше нуля, то sgn/(pi)= — sgn/(p2) =5^0 [8].
195.	Случай я=1 ясен. Пусть п = 2. Обозначая нули поли-
полинома Р(х) через хх, х2, хх^хг, определяем а так, чтобы было
+
2
^ P(x)dx = O. Таким образом достаточно рассмотреть
а
случай гС^Ъ. Примем сначала, что первые три из нулей хх, х2,..., хп
полинома Р(х), %< х2 «?•••«? *п. отличны друг от друга,
% < *2 < *з- Определим такое б, чтобы было хх < хг — б < хг <
< хг -\- б < х3 и ^ P(x)dx = 0, затем а так, чтобы было а<.хх и
Р (х) dx = 0. Тогда полином Q (д;) имеет во всяком случае нули
а
х — а, х = х2 — Ь, х = х2 + 8. Если кроме того, п — нечетное, то
существование четвертого вещественного нуля полинома Q (х) обес-
обеспечивается тем, что мнимые нули входят в Q (х) попарно. Если

ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
285
теперь Р (х) имеет нуль кратности mS=2, то достаточно выбрать
этот нуль за а, чтобы Q (х) имел по меньшей мере т-\-1 5=3 нулей.
Знак равенства будет иметь место, например, для
Р (х) = х (х- IJ (х — 2J (х — ЗJ... (х — ^J2, n — нечетное,
р (Х) = (x-\f(x- 2J (х - ЗJ... [х - ~J, п - четное.
196. [I. Schur;cM. С. Si eg el, Math. Zeitschr., т. 10, стр. 175,
1921.] Посредством перемножения неравенств
2я
l + |zv|^2 Max(l,
[II 52] получаем
(v = 1, 2,.
2я
¦к Iln'
[II 69, III 122].

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ
1.	Тп (х) имеет нули cos Bv — 1) ?-, Un (х) имеет нули cos v j^r
(v=l, 2, ..., n).
2.	Вытекает из соотношений
cos (n -j-1) ft = cos ft cos «ft — sin ft sin nft,
sin (n-f- 1) ft = sinft cosnft + cos ftsin/rch
3.	Вводим в дифференциальных уравнениях
d2 cos «¦&	,	q. d2 sin «#	9 • a
—^p— = — n2 cos «ft, —^p— = — n2sinnt>
новую независимую переменную cosO'^a:. (Частный случай тео-
теоремы 98; см. решение ж.)
4. Положим х = cos ft. Тогда рассматриваемые интегралы пре-
преобразуются в
я	я
1„ = $ cos mft cos nfr <id, ытп = $ sin (m+ 1) usin («-f-
о	о
Отсюда
tmn = Umn~0 При Шфп,
'00 ==
=!? При
Указанное в задаче условие ортогональности определяет поли-
полиномы Тп(х) и [/„ (х) с точностью до постоянного множителя. Оно
равносильно условию
1	1
y±HL2K{x)dx = 0, соотв. J VT^x~2Un(x)K(x)dx = 0
для всех полиномов /С(л:) (я—1)-й степени (см. стр. 102).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	287
5> Частный случай теоремы 98; см. решение а).
6. [С. G. J. J ас obi, J. fur Math., т. 15, стр. 3, 1836.] Так
п-У
как все производные от A-х2) 2 ниже «-го порядка обраща-
обращаются в нуль в точках х = — 1 и х= 1, то из 5, интегрируя по час-
частям, получаем
7. | cosnu|г^1 («=1, 2, 3, ...). Равенство достигается лишь
для пй, кратных п [1]. Далее, второе неравенство выводим посред-
посредством полной индукции из соотношения
sin (n+l)#	„sin
— cosnfl + cosa-
Здесь равенство достигается лишь для | cos ¦& | = 1.
3. cosvu есть полином v-й степени от cosu; cosvd есть поли-
полином v-ro порядка по косинусам.
9> sm J— есть полином v-й степени от cos "&: sin ¦& cosv •&
sin xr
есть полином (v-j-l)-ro порядка по синусам.
10. cos p®cosq'&, cosp&smqft, sin pft sin q&, где р и q — целые
неотрицательные числа, представляют собой тригонометрические
полиномы (р-\- q)-ro порядка.
11а Имеем
^-^~^,z=:e'* (v = 0, I, 2, .... п).
Подставляя эти выражения в g{&) и умножая на е'"*, получаем
п
G (г) = V + 2 [у
V = l
Имеем
^у + <>у /v_n 1 9	я — IV
далее ы„ = Я0. Если g(u) точно «-го порядка, то G(z) будет точно
2п-й степени (и не будет обращаться в нуль при 2 = 0). Обратное
также справедливо.
12. Пусть G(z) = uo + u1z + u2z2-\- ... +игчг**. Тогда
Wv = S24_v (v = 0, I, 2, .... 2/г),
так что «„ — вещественное и
g (¦&) -ип = е-"»*"^ (Hve'vd + ы2»-^ Bn"v) °) = 23И ^ «v-e' lv"n) *
v=0	v=0

288	решения
представляет собой тригонометрический полином n-го порядка с ве-
вещественными коэффициентами.
13.	Пусть 20 —отличный от 2 = 0 нуль полинома G(z). Тогда
2o(zo"') = 0, т.е. GBo~') = O, так что г^1 (а это —не что иное,
как результат отражения точки z0 в единичном круге) также
является нулем полинома G(z). С помощью дифференцирования
получаем аналогично, что если г0 есть нуль кратности k, то таковым
же будет и гсГ1. Далее^ если G(z) имеет 2 = 0 нулем кратности k,
то при переходе к г2пд (г'1) степень понизится ровно на k единиц
[т. е. z2nG (z J), рассматриваемый как полином 2я-й степени, будет
иметь k нулей в бесконечности].
Таким образом, нули полинома G (г) разбиваются на пары,
такие, что нуль, входящий в одну из них, является результатом
отражения другого в единичном круге.
14.	Обозначим нули полинома G(z), определенного в задаче 11,
через 2ц z2,..., z2n {2уф®\ v = l, 2,..., 2и). Тогда нули тригоно-
тригонометрического полинома g (ft) будут
1
15.	В обозначениях задачи 11 должно иметь место тождественна
для всех аир соотношение
2/1п	/ v:t \	{ уп \	2л
V иkui У ес(*~"Ча~пФту+'('~n) \,S+T~P) = У ukeiik~~n){a'V).
Но
+1	при k — l,
1-е' "+1
Следовательно,
2n	2/г
(и + 1) 2 м*е' (*-п) (а"Р) S
0
А, '=0
2/г
{k'n) (а^
Очевидно, уы — 0 для четного и уы Ф 0 для нечетного / — &. Так
как сумма
In

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	289
должна являться полиномом относительно е'(а~р\.то отсюда заклю-
заключаем, что ukUi = 0 для нечетных l — k и, кроме того, что
откуда
мл = 0 или =^.
Таким образом, интересующие нас полиномы характеризуются
следующими условиями:
1.	Они представляют собой полиномы по косинусам и содержат
члены либо лишь с нечетными, либо лишь с четными кратными ¦&.
2.	Действительно содержащиеся в них члены имеют все один
и тот же коэффициент ^тр за исключением свободного члена, ко-
1
торыи, в случае, если он имеется, равен ^тр
Таких тригонометрических полиномов будет
2L 2 J _j_ 2L 2 J —1.
Пример.
16> Положим г — ёь; тогда первая сумма будет равна
Аналогично вычисляем другие три суммы. Можно провести доказа-
доказательство также путем полной индукции.
Им Из последней формулы предыдущей задачи получаем, что
рассматриваемое выражение равно
/ . „ .
sin nir sin
-. / out i(-w sin 	п w	•	ft ¦
1	.2	sm rtO sm
. хУ	sin#
sin 
(Либо непосредственным вычислением.) При '& = 0 отсюда полу-
получается, что сумма п первых нечетных чисел равна п2.
10 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II

290	РЕШЕНИЯ
18. Комбинируя 16 и 17, получаем
п
• 2л>+1
sin—j—
19. Из 16—18:
2)	v^, v = l, 2	n-l и ^v-l)^, v=l, 2, ..., л
3)	v^, v=l, 2, .... 2л-1, 2л + 1, ..., 4л-1;
5)	v—, v= 1, 2, ..., 2л, все двукратные, за исключением v = «
и v — 2n;
6)	v—A, v=l, 2, ..., л, все двукратные.
20.	Из 16, 2 или 1.
21.	Рассматриваемая сумма равна
п	п+1
2 sin vfr-f- ^ s'n V1^
V=l	V=l	¦ 9 /	I 1 \ Ф 1 Ф	Тч л 1
—	2^	= sin2(« + l)^-ctg-2-.	[16.]
22.	[L. Fejer, Math. Ann., т. 58, стр. 53, 1903.] Из 18.
23.	[См. Т. Н. Gronwall, Math. Ann., т. 72, стр. 229—230,
1912.] Согласно 16
j л , ал SHI -к- ft COS 	Ir-
dA (п, Щ	2	2^
. #
БШу
Это выражение обращается в нуль в интервале 0 ^ й < п лишь
в указанных в задаче точках, причем переходит в этих точках по-
.переменно от положительных к отрицательным и от отрицательных
к положительным значениям. Оно обращается в нуль также при
¦в' = п, если п — четное. Однако точка х = а, у = 0 является цен-
центром симметрии для кривой, у — А (л, х), следовательно, в ней нет
ни минимума, ни максимума.
24. [D. Jackson, Rend. Palermo, т. 32, стр. 257—258, 1911;
Т. Н. Gronwall, 1. с. 23, стр. 231; равенство МахЛ(л, ф) =

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	291
(
= А(п, ^-j] было найдено L. Fejer'oM, см. D. Jackson, 1. с].
Согласно формуле 20
sin (n ^ 1) -& (ctg |- - ctg—
(v = l, 2, .... q-\; п5зЗ).
В последнем интеграле sin (n+1) *^0, а выражение в скобках
положительно, так как ctg х в интервале 0 < х < -^ монотонно
убывает.
25. [L. Fejer; см. D. Jackson, I.e. 24, стр. 259; Т. H.Gr on-
wall, 1. с. 23, стр. 233.] Согласно 24
По поводу Urn A In, —77т) см. II 6.
26. [W. H. Young, Proc. Lond. M. S. B), т. 11, стр. 359,
1913.] Согласно 16
. П „ . Я-Н о,
in /	од	S1I1 Тл' v Sill pr U
27. [W. H. Young, 1. с 26.] Пусть n=2=3, a, X-целые,
[±^]. Тогда [21]
2п
.-rSiii«v-r.sin(n+1)*
ю*
"-Я+Г

292	РЕШЕНИЯ
28. [W. H. Young, 1. с. 26.] Согласно 27
IB (п, л),	если п — нечетное,
Bin, n ill. если п — четное.
В первом случае имеем
При нечетном п 5= 5 имеем даже
Во втором случае
/	К \	f	Я \	1
Bin, п—гт)~В[п4-1, п—г-?	гт»
т. е. при четном п 75? 4 имеем
„/	я \ 	14-—	!
При п = 2
29. В нижеследующем п = 0, ±1, ±2, ±3, ...; мы отмечаем
особо те элементы симметрии, которые не могут быть приведены
в совпадение вращениями в себе плоскости кривой y = f{x).
1)	Прямые х = 2пп и х—Bп— 1)л являются осями симметрии;
Ь1 = Ь2 = Ь3 = ... = 0.
2)	Точки х = 2/т и л;=Bп— 1)п оси абсцисс у — О являются
центрами симметрии; ao = a1 = a2 — as = ... = O.
3)	Кривая y — f(x) приводится в совпадение сама с собой гори-
горизонтальным смещением на л и последующим отражением от оси
абсцисс (ось абсцисс — «скользящая ось отражения»); йо = й2 = Ь2=
= a4 = b4 = ae = fr6 = ... = 0.
4а) Вертикальные прямые х = пп являются осями симметрии;
точки x = th-\--An, у —0 являются центрами симметрии; Ьх =
= Ь2 = Ь3 =... = 0, а0 = а2 = а4 =... = 0.
46) Вертикальные прямые х = (п-\-^)п являются осями сим-
симметрии, точки х = пп, у = 0 — центрами симметрии; ао = ах = аг =
= а3 = ... — 0, bi = bi = be = .. . = 0. (С чисто геометрической точки
зрения ничего нового по сравнению с 4а.)
5) Периодом является уже половина 2л; a1 — b1 = a3 — bs=
= аь = Ь5 = ... = 0. Симметрия состоит лишь в инвариантности
при горизонтальных смещениях на целые кратные л. (С чисто
геометрической точки зрения — никакого нового вида симметрии
по сравнению с общим рядом Фурье.)

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	293
(Кроме пяти перечисленных, существуют еще два (получающихся
отражением от оси х), следовательно, всего семь типов симметрии
для периодического «бордюрного узора», т. е. семь различных
групп движений, переводящих неограниченный ряд равноотстоя-
равноотстоящих точек и проходящую через них плоскость в самих себя.)
30.	2п +1 первых коэффициентов Фурье полинома / (ft) сов-
совпадают с соответствующими коэффициентами этого полинома
(в обозначениях задачи 11: ао = Хо, 2av = Av, 2bv = fiv, v = l, 2, ...
..., я), все остальные равны нулю.
31.	Имеем
2COS-2-J =[е 2+е 2 j == i L
v=o
(J
v=0	v=0
32а Умножая на cosnft, соотв. sinnO1 (n = 0, 1, 2, ...) и инте-
интегрируя в пределах от 0 до 2л, получаем, что коэффициенты Фурье
функции /(¦&) совпадают с а0, alt blt a2, b2,..., т. е. что ряд Фурье
функции / (Щ совпадает с заданным тригонометрическим рядом.
33> Раскладываем функцию, заданную равенствами
0 при ft = O,
в ряд Фурье.
34.	Первый ряд получается в результате непосредственного
вычисления коэффициентов Фурье. Полагая в нем й = 0 и вычи-
вычитая полученный таким образом ряд, получаем второй.
35.	[G. S z eg о, Math. Zeitschr.,т. 9, стр. 163,. 1921.]Согласно 34
я
от	~2
16 VI I С sin2ft/n# ,„
л=1
36. Что члены с синусами, а также члены с косинусами, сто-
стоящими на нечетных местах, отсутствуют, вытекает из 29, 1), 5).
Далее, имеем
2я	'	Я
cos

294
решения
Но в интервале (о, ?ч, очевидно, cos2nft;>0. С другой стороны,
для любой функции f(x), выпуклой сверху в интервале а, Ь,
при а<.х — v<x — u<.x-\-u<.x-\-v<.b имеем
f, .л^ (v+u) f (x-v) + (v-u)f (x+v)
I (X II) =5=	2t)	>
следовательно, что геометрически также ясно,
37.	Доказательство как для частного случая 35 с примене-
применением теоремы 36.
38.	В обозначениях задач 26—28 имеем [34]
Tin Ь\-~ У --- У i^i_M)<l X! .- У—
v=1
n Li v + n
v=l
Далее,
v=i
39. Положим z = e'* и
tz + x2z2 +... -f xnzn
2 =
-f Я2 cos 2ft-f И-2
Тогда
cos ft + fix sin •
2'& +... + К cos nft + jxra sin «ft.
(v = l, 2, ..., n);
К + Фл = 2x0xn ФО. (При x0 = x1 = x2 =... = xn получаем новое
доказательство формулы 18.)
40. [F. Riesz, см. L. Fejer, J. fur Math., т. 146, стр. 53—
82, 1916.] Определенный в задаче 11 полином G(z) состоит из
следующих трех множителей, из которых один или два могут и
отсутствовать [13]:
Fv

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	295
где k + 2l-\-r — 2n; k, I, г —целые неотрицательные числа, | t|t | =
= 1, 0 < j 2V | < 1, (х = 1, 2, ..., k, v = 1, 2, ..., / и с — произ-
произвольное комплексное число. Нулям ^ — е№^ полинома G(z), лежа-
лежащим на границе единичного круга, соответствуют нули % поли-
полинома g(ft) в вещественном интервале 0й^0'<2я. И притом, как
можно убедиться дифференцированием соотношения g(ft) =
= e~in9G (е№), каждому нулю ^ = е№м. полинома G (z) соответствует
нуль \ полинома g{&) с той же кратностью. Так как g(fr);ssO,
то каждый нуль ^ должен входить с четной кратностью. Пусть
тогда
nfl
ц=1	Ц=1
Отсюда следует
ц=1	v=l
41.	[40.] В этом случае полином G (z) имеет вещественные
коэффициенты, так что комплексные нули ?и и 2V являются попарно
сопряженными.
42.	Любой линейный множитель z — z0 полинома h (z) можно
заменить на l—zoz, ибо на окружности единичного круга \z —
— zo| = |l— zoz\ [III 5]. При этом 20, в частности, может быть
равно нулю.-
43а Способом, указанным в решении 42, можно избавиться
от-всех нулей h(z), меньших по абсолютной величине, чем 1.
Условию 2 можно удовлетворить умножением на некоторую посто-
постоянную у, |у| = 1. И тогда из III 274 вытекает, что этот полином
h (z) однозначно определен.
44.	Рассматриваемая целая рациональная функция разла-
разлагается на множители вида (х — хоJ-\-у'о, где х0, у0 — вещественные
числа. Теперь принимаем во внимание тождество
(р\ + <??) (pb + ql) = (Ргр2 + <МзJ + (Ptf, - PtfiJ-
45.	Рассматриваемая целая рациональная функция разла-
разлагается на множители вида
(х-хо)* + уЬ (х0, у0 — вещественные), х-\-хг (х^О).
Принимаем во внимание тождество
[Р\ + Я\ + х (r\ + si)] [pi -f ql + х (rl + s%)] -
= [(pi + q\) (Pi + q'i)+x2 (r\ + sf) (r2 + si)] +
+ X [(pi + q\) (r?2 + si) + (n + s!) (pi + ql)].
Далее применяем дважды теорему 44.

296	РЕШЕНИЯ
46.	[М. Fekete.] Обозначим рассматриваемый полином через
Р (х). Применяем к Р (cos ft) теорему 41 и принимаем во внима-
внимание 8, 9. Имеем
Р (cos ft) = | A (cos ft) + i В (cos ft) sin ft |3,
где А (x) и В (х) — полиномы с вещественными коэффициентами.
47.	[F. Lukacs.] Пусть Р (х) — полином степени 2т. Согласно 41
Р (cos ft) = | h (ew) |a = | e'im4 (ew) |2,
e-imVh (gi0) = Д (CQS ft) _|_ l D (CQS ft) sin ft>
где /i (z) — полином 2т-й степени с вещественными коэффициен-
коэффициентами, Л (л;) степени т, D(x) степени т—\. Если Р(х) степени
2т + 1, то имеем
или
Р (х) = (Р - х) Рх (х) = (Р - 1) Pi W + A -
где a sg: — 1, соотв. Р ^ 1, затем к Рх (х) применяем предыдущие
рассуждения.
48. [Ch. Hermite, задача, Intermed. des math., т. 1, стр. 65,
1894. Решение —J. Franel, Ё. Goursat, J. Sadier, там же,
т. 1, стр. 251, 1894.] Нет. Действительно,, в противном случае
можно было бы написать
где е> О, А FM=0, а и р пробегают все целые неотрицатель-
неотрицательные числа, для которых a-fPss;2. Таким образом, при любом е
в этой сумме будет содержаться ровно шесть членов. Полагая
здесь х = 0, получаем, что А (г) ограничено для 0<е^1. Будем
теперь так приближать е к нулю, чтобы существовал ПтЛ(е) = Л
и при том во всех шести членах; тогда в пределе получим
Но при х~0 это тождество невозможно.
49. [F. Hausdorff, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 98—99,
1921.]
Первое решение. Достаточно рассмотреть следукщие два
частных случая:
1. Р (л;) — линейная функция:
2. Р (х) — полином второй степени:
P(x) = a + 2b(l~x) + c(l-xJ, c>0, ас-Ь2>0.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	297
Имеем при любом целом р5=2
v=o
р
v = 0
Ho
/ (v) = ap (p -1) + 4b (p-l)v + 4cv(v-l) =
= 4cv2 -f 2 Bfrp - 2b - 2c) v + (ap2 - ap)
как полином второй степени относительно v будет положительно
определенным при достаточно больших р, именно при р, удовлет-
удовлетворяющих неравенству
4с (ар2 - ар) - BЬр -2Ь- 2сJ = 4 (ас- Ь2) р2 +... > 0.
Второе решение. Введем новое переменное z посредством
уравнения
)
Пусть Р (х) — полином п-н степени. Тогда и
также будет полиномом п-н. степени, причем при z>0 будет
/ (г) > 0. Следовательно, для достаточно большого целого р будет
иметь место разложение
а=0
где все Ла5=0 (а = 0, 1, 2, ..., р) [решение V 187]. А отсюда
будем .иметь
а=0
50. Первое доказательство. [L. Fejer, С. R., т. 157,
стр. 506—509, 1913; вопрос об условиях достижения равенства
не разбирается.] Положим
= v^T (v = l, 2, .... n).
2?
=i 1—2e v

298	решения
Тогда [см. III 6] при |z|< 1
далее [см. второе доказательство],
QB) = l + 22 + 222 + ... + 2z"
Таким образом, при 0^г<1 имеем
2я
о
2я
g(Щ (I + 2r cosft +... + 2rn cosnft) d® =
о
2Я	2я
о
Для получения требуемой оценки g@) устремляем г к 1. Рас-
Рассматриваем, далее, g^ + fto). где $0 фиксировано.
Второе доказательство. [L. Fejer, С. R., т. 157,
стр. 571—572, 1913.] Достаточно доказать, что g@)^nJr 1. Поло-
Положим Gv=v^ (v = 0, I, 2, ..., п). Тогда
п	п
2 cosfcftv= 2 sin/2ftv = O (&=1, 2, ..., л),
v=0	v=0
так как
v=0	\—e
Имеем, следовательно,
т. е. g@)s?;ft+l. Для того чтобы имело место равенство, необ-
необходимо, чтобы g(ftj — g(й2) = ... = g(¦&„) = 0. Так как g(ft)^0, то
^v = v^i (v = l, 2, ..., п)
будут двукратными нулями. Это условие вместе с начальным
условием Яо=1 вполне однозначно определяет g(ft). [18.]
Т ретье док азательство. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 65—
66.] Согласно теореме 40 всякий тригонометрический полином
gift) рассматриваемого типа может быть представлен в форме
g(G) =! х0 + ххг + x2z* + ... + xnzn [2 (z = eib),
где
>-о = 1^13+1^|2 + |хг|2 + ... + |^|2=1.	[39.]

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
299
Применяя неравенство II 80, получаем, что для каждого значе-
значения ¦& = $0
Равенство достигается лишь при xv = Ye"~(vfll° (v = 0, I, 2, ..., я);
+
51. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 73.] Имеем
К + Щп = 2хох„
Равенство будет иметь место лишь для случая хг — х2 =... = хп^ =
= 0, | х0 j = | хп | = --, т. е. когда
где |у|=1.
52. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 79.] Согласно 39, 40 задача
приводится к отысканию максимума выражения
4\ хох
п.гхп
при дополнительном условии | х012 +1 xL |2 -
Мы можем ограничиться вещественными х0, хи х2, ..., хп. Макси-
Максимум выражения
О !	t	I	I
будет равен [см. Kowalewski, стр. 275] наибольшему по абсо-
абсолютной величине нулю определителя Dn{f — h) задачи VII 70 при
/(¦&) = 2 cos ft, т. е. равен hn, „ = 2 cos —^j.
53. nycTbfc(z) = c(l+ZiZ)(l+z2z) ... (l+znz), |zv|<l,v =
= 1, 2, ..., я, с вещественно и больше нуля. Согласно II 52
2л
следовательно,
2я
2^ f l
54. Все тригонометрические полиномы g(p) интересующего
нас типа имеют вид

300	РЕШЕНИЯ
где h(z) = (l+z1z)(l+z2z)..:(l+znz) = xa + x1z + x2z2 + ... + xnzn
и zx, z2, ..., zn независимо друг от друга пробегают все ком*
плексные значения, по модулю не превосходящие единицы. По-
Поэтому при | г | «ё 1 имеем
|ft (z) |< A + 1)» =.2»
Равенство достигается лишь в том случае, когда все zv равны
между собой, |zv| = l и, кроме того, z — zv.
55. Имеем
следовательно,
[I 32]. Относительно достижения равенства рассуждаем, как в 54.
56. Как в 55:
v | = 21 хоху + ХхХу+х +... + xn.vxn | ^
57. Первое доказательство. На основании 40 и 39
из g (ft) 15= 0 и А,0 = 0 вытекает
Т. б. Xq === Х^ === Л^2 "^ ¦ • • == лд — U.
Второе доказательство. [L. Fejer, 1. с. 50, второе
доказательство. Как и во втором доказательстве в решении 50,
заключаем что при
*v = v^ (v=l, 2, .... и)
будем иметь
т. е.
Таким образом, g($) имеет нули 0,' &и $2, ...,&„ и притом
вследствие условия ц{Щ^0 все —двукратные. Согласно теореме 14
отсюда следует, что g D) ^ 0.
Третье доказательство. Полная индукция. При л=1

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
301
и справедливость утверждения очевидна. Так как
при п > 1 функция
, то
= g«tt+g«H-") = я2 cos
cos
sin
cos
гдер= у, представляет собой неотрицательный тригонометри-
тригонометрический полином р-го порядка от 2'в', не имеющий свободного
члена. Из g*('&) = 0, gity^O вытекает, что также gf(-&)^0.
58. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 67—68; 1. с. 50, второе дока-
доказательство, стр. 573—574.] Если g(&)^0, то m>0,M>0 [57].
Применяем теорему 50 к. ¦ —, соотв.
59. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 69.] Применяем теорему 58
к тригонометрическому полиному •
60. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 80—81.] Пусть g(•&) =?const.
Применение теоремы 51 к ё). '' , соотв. ¦ м_^ -, дает
, М).
61. [О. Szasz, Munch. Ber., 1917, стр. 307—320.] Согласно
теореме 40 можно положить
М
(kv cos v
sin vd) =
nzn
v= 1
= e'9. Отсюда [39]
Так как, далее, М =
. [II 80.]
62. [П. Л. Чебышев, Собр. соч., т. I, стр. 387—469, СПб,
1899; см. L. Fejer, 1. с. 40, стр. 81—82.] Если Р (х) имеет лишь

302	РЕШЕНИЯ
вещественные коэффициенты, то применяем теорему 60 к три-
тригонометрическому полиному Р (cos4) = 2x~rtcosn$ + ...*). Пусть
теперь Р (х) имеет произвольные комплексные коэффициенты.
Тогда, отделяя вещественную и мнимую части, мы разобьем его
на два полинома с вещественными коэффициентами:
Здесь коэффициент при хп у Рх (х) будет снова 1, а Р2 (х) будет
(п ¦-- 1)-й степени. Из соотношения | Р (х) |2 = [Рх (х)]2 + [^2 (x)f вы"
текает, что в интервале—1 sgxsg 1
Мах |Р (х) | ss Max |PX (х) | ^ —.
Для того чтобы здесь достигалось равенство, необходимо, чтобы
Pi (х) = 21~пТп (х) и, кроме того, в каждой точке, в которой | Рх (х) \
достигает максимума (т. е. вд-fl точке), должно быть /52(х) = 0,
откуда Р2 (х) = 0. Несколька сильнее, чем предельный случай
в III 270.
63« При линейном преобразовании •*	(х — а) — 1 = у интер-
интервал ccsgxsSP переходит в интервал — 1 ===: у sg 1, далее, Р (х)
преобразуется в (р „ ¦ j Q(y), где Q(y) так же выражено через г/,
как Р(х) через х.
64. Мы можем предположить, что |3>0, а — —р, (i<2p.
Для любого из «допустимых» полиномов Р (х) имеем
/>(*)_!_(_ 1)л/>(_я) J Q(x2) при четном п,
2	| xQ (x2) при нечетном п,
где Q (?) — полином степени -|- от ?¦ = х2 со старшим коэффи-
коэффициентом 1. Когда переменная х пробегает любой из интервалов
d d
~ — о". ~^^х^$> то переменная \ пробегает * интервал
j sg^sgp2. Тем самым [63], полагая 2\	j—1-] =Ц» бу-
будем иметь .
Мах | Р (х) 155
= Мах |
(*)
*) Рекомендуем читателю вывести основное свойство полиномов Чебышева
Тп (х), формулированное в этой задаче, непосредственно, не обращаясь к три-
тригонометрическим полиномам (от противного).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
303
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно. Та же оценка
остается в силе и для \in. С другой стороны, пусть Qo(?) будет
полином степени \~\ со старшим коэффициентом 1, для кото-
которого Мах | Qo (|) | = ц [62, 63]. Положим Ро (х) = Qo (л:2) или xQ0 (x2),
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно. Тогда будем иметь
рп^Жьх\Р0{х)\\ ~1'
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно.
В первом случае ц.„ будет достигаться и притом только для
Р (х) = Ро (х). Действительно, если Мах \Р (х) | = ^, то согласно (*)
будет также
следовательно,
Далее, будем иметь
в --Н- + 1 различных точках xv интервала у-
. Но теперь
откуда P(xv) — P(—xv). Тем самым полином (п—1)-й степени
Р(х) — Р(—х) обращается в нуль в и-f 2 точках, следовательно,
65. Пусть М = Мах|<2(г)| при |г| = 1. Тригонометрический
полином (п+1)-го порядка
неотрицателен, имеет свободный член 1 и член наивысшего по-
порядка — cos(n+l)^ [51]. См. III 269.
66. Если точка Р пробегает любой отрезок прямой g, а Ро —
любая фиксированная точка пространства, то PP0^sPP'a, где Р'о
означает проекцию Ро на g. Таким образом, интересующий нас
«minimum maximorum» может достигаться лишь для тех систем
точек Ри Рг, ..., Рп, которые лежат в одной плоскости с задан-
заданным отрезком, соотв. кругом.

304	РЕШЕНИЯ
67. Из интерполяционной формулы Лагранжа получаем
„ А /да х\ /(*)	4 /(*)
(Й = 0, 1, 2, .... П-1).
о>, определяем сравнением коэффициентов 'при л:1*-1. Далее, при
к —0 имеем, разлагая по убывающим степеням х,
Рассматривая ^коэффициент при xhl, получаем рекуррентную
формулу
aoan+h + а^п^ + ... + ап^ош + anah = 0 (h ^ 0),
так что имеем
= 0,.
-^!	=0,
«о^л 2 + й^гл-з + • • - + ^-1^-1	= О,
Оо^л-г + «1С2л-2 + • • • + а-п-ъРп-г + апоп-\ = 0.
68.	[I. Schur.] Пусть нули полинома /(х) + е будут xv — xv (e)
(v=l, 2, ..., га); при достаточно малом е они представляют собой
дифференцируемые функции от е. Имеем xv@)=xv, далее из
/ [*v (е)] + е = 0 посредством дифференцирования получаем
/' (xvL@) = — 1- Применяем к /(х) + е теорему 67, дифференци-
дифференцируем по е и полагаем затем е = 0.
69.	Полагаем в (*) (стр. 98) P(x) = xnf(x1) + (—l)n-1x1x.i...
...xnf(x) и х = — 1. Тогда
P(xv) ___ P(-l)_( 1)я., , п
7Oi Пусть Р (х) — рассматриваемый полином,
f(x) = (x-xo)(x-x1)(x-x2)...(x-xn).
Из тождества
сравнивая коэффициенты при хп, получаем
Г (*v) '
V ^0

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	305
откуда
п
1 <м У 1
V=0
где М — наибольшая из абсолютных величин | Р (xv) | (v = 0, 1,
2, .... п). Имеем дальше
\f'(v\\	\ (у 	у \(у 	 Y \ (у 	 у \1у 	 у \ (у у \\~>
| / VAV/ I I \ЛУ л0/ \ЛУ Л1/ • • * \ЛУ л\~\) VAV ЛУ-Ы/ • • • \л\ лп) | =^
(n-v)i,
п	п
I
2
v! (n —v)!
v=0	v=0
71.
72.	I/;(^) = (_l)v-iiL±^. (V=l, 2,...,n).
73.	[Cm. I. Schur, Math/zeitschr., т. 4, стр. 273—274, 1919.]
При v = 1, 2,..., n — 1 имеем
далее,
] ±l = ±2t/,_1(±l) = 2n, соотв. (-1)«2п.
^ = пе«-1 = де-1 (v=i, 2	n).
75. Последнее уравнение утверждает, что старшие члены обоих
полиномов равны между собой. Тогда из предпоследнего уравнения
заключаем, что также вторые члены совпадают, и т. д. Иначе
говоря: положим
Р (х) = аохп + ахх"-1 + ... + ап-гх + ап
и зададим произвольные числа с0, съ..., с„. Тогда из уравнений
=cnt
(n - 1) fl!At«-« +... + я»-! = clt

306	РЕШЕНИЯ
коэффициенты а0, а1} а2,..., ап последовательно определятся
однозначно.
76. [G. H. Halphen, Oeuvres, т. 2, стр. 520, Paris, Gauthier-
Villars, 1918.] Ап(х) вполне определяется условиями
Очевидно, А0(х) — \, А1(х) = х и вообще АпA-{-х) удовлетворяет
всем условиям, наложенным на полином Ап-1(х). Следовательно,
Из этой рекуррентной формулы посредством повторного интегри-
интегрирования получаем
l)n~l (n=l, 2,3,...).
п\
Последующая проверка дифференцированием совсем проста. Иным
способом то же доказано в III 221.
77. Из теоремы 71 в ее обозначениях имеем
v = l
2«l
следовательно, ] а01 s^ — n = 2nl. Равенство достигается здесь
тогда и только тогда, когда
Этими п-условиями полином (п.— 1)-й степени Р (х) определяется
однозначно. Так как, с другой стороны, этим условиям удовлет-
удовлетворяет yUn-!(x), то Р (х) необходимо равно yUn_1(x).
78. Сравнивая члены высших степеней в интерполяционной
формуле 73, получаем для высшего коэффициента а0 полинома Р (х)
представление
п-1
v = l
Если, следовательно, \Р(х)\^1 в интервале —ls^^s^l, то
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда
Р{\)=у, P(-l) = (-l)»v, ^(^v) = (-l)vY, lvl=l
(v=l, 2,..., n-1).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	307
Этими п-\-\ условиями Р (х) определяется однозначно. Так как,
однако, и уТп(х) удовлетворяет этим условиям, то Р(х) = уТ„(х).
79. Пусть Р(г) — полином (/г— 1)-й степени со старшим коэф-
коэффициентом а0. Тогда [74]
п
1
G,, = —
v= 1
Если, следовательно, | Р (z) | *s 1 при | z | = 1, то
-
Равенство будет иметь место только тогда, когда P(ev) =
(v=l, 2, ..., п), |y| = 1, т. е. для Р (г) = yz"-1.
80. Из теоремы 71 при л^ = cos ^ «S л: ^ 1 получаем
п ju x—xv	п	л iv /»
v= 1
т. е. согласно 7 | Р (х) | «S п. Равенство достигается лишь для
Р (x) = yUn_1(x), |v| = l, x=l. Аналогичное положение и при
— 1 «сл:sg;л:„ = — xL. Если же xn^x^xv п>1, то
81.	[См. М. Riesz, Deutsche Math.-Ver., т. 23, стр. 354,
1914.] Применяем теорему 80 к полиному
Р (*) = /> (cos #) = !Ц-.	[9.]
82.	[S. Bernstein, Mem. Belg. 1912,стр. 19 *); см.М. R iesz,
1. с. 81; указываемый здесь прием принадлежит Fejer'y. См.
М. Fekete, J. fur Math., т. 146, стр. 88—94, 1915.] Согласно
теореме 81
83.	[А. А. Марков, Изв. Акад. наук, т. 62, стр. 1—24,
1889.] Применяем теорему 82 к P(cos-fr) и 80 к плР'(х). Равен-
Равенство может иметь место, лишь когда п~хР' {х) = уип^(х), \y\-l,
т. е. когда Р (х)=с-\-уТп(х), где с —постоянная. Из неравенства
| с ± y | *S 1 получаем с = 0.
84.	Интегрируя по частям, получаем
*) С. Н. Берн штейн, Собрание сочинений, т. I, Изд. АН СССР, 1952,
стр. 25.

308	РЕШЕНИЯ
ибо все производные от (л:2— 1)" низшего чем п порядка в точках
х= 1 и х— — 1 обращаются в нуль. Отсюда вытекает, что выпол-
выполняется условие 1) [(стр. 102) и точно так же условие 2), так как
вследствие условия 1)
J \2"n\ dxnK	' ) "¦ 2«(я!J J \2"n\dx"
— 1
Условие З) очевидно. Коэффициент при х" в полиноме Р„ (л:) будет
k
п 2" (п!J •
85« Из теоремы 84 по правилу Лейбница получаем
5
v=0
86. Имеем [III 117]
2я ,	>_ ,	_	.
2л i n	n — k	k
-ij Effll^r'^1""
га
г
87. Пусть &„ —коэффициент при х" в полиноме Рп(х), kn =
Р4]. Представим полином (/г — 1)-й степени Ря (х) —
= 9я/ i\a
k
—-—— хРп-г (х) в виде линейной комбинации полиномов Лежандра:
"¦п-1
Рп (х) - р- хРп-г (х) = с0Р0 (х) + сЛ (х) +... + с^Р^! (х).
«/1-1
Условие 1) (стр. 102) дает
со = С]. =... = с„-3 = О-
Из РяA)=1, Ря(— !) = (— 1)га [85] получаем ся_2 и с^.

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	309
88ш Если бы существовал еще полином S%(x), обладающий
тем же свойством, то мы имели бы
\
— 1
- \ Sa(x)[Sn(x)-S%(x)]dx- \ S%(x)[Sa(x)-S%(x)]dx =
— 1	—1
= S» A) — S* A) — [5„ A) — SS A)] = 0,
т. е. Sn (x) = Sn (x). Положим теперь
1 п	п
Sn (X) = 2 SVPV (X), К (X) = 2 ^v (X).
v=0	v=0
Для того чтобы уравнение
1	п	п
—1	v=0	v=0
удовлетворялось тождественно для всех t0, ilt ..., tn, необходимо,
^	2v+l
чтобы sv = —g—, т. e.
Пусть, далее,
(l-x)Sn (x) = u0P0(x) + u1P1 (x) +... + UnPn (x) + «n+1Pn+1 (x).
Из уравнений
i
^ (l-x)Sn(x)xvdx = 0 (v = 0, 1, 2, ..., n-l; n^sl)
-l
заключаем, что «„ = «! = ... = м„_! = 0. Полагая затем х = 1 и
х = — 1 и замечая, что
получаем
2v+'p /г^_
2 ^vv*^~"
(формула Кристоффеля),

310	РЕШЕНИЯ
89. Полагаем в 88 K(x) = (\—x)xv. Тогда будем иметь
$ (l-x)Sn(x)xvdx = 0 (v = 0, I, 2, .... n-1; л3=1).
— i
Далее [решение 88]
1
$ (l-x)[Sn(x)Ydx =
n
\p (x\ — P <Vil ( \ "v~ri P
\_rn \л) г n+i \л)] I ^ 2 * v
v=0
1
f rn / \-r j «+1
— 1	v=0
2 ' 2 j
90i Интегрирование по частям дает
l
=- J A - x?)P'n (x) vx^1 dx =
x^)dx = O (v = 0, 1, 2, ..., n-1),
J	J
— 1
т. e.
где с—постоянная. Эту постоянную определяем, например, срав-
сравнивая члены я-й степени.
_i_
91. Коэффициент при wn в разложении A — 2xw-\-w2) 2
по возрастающим степеням w будет во всяком случае полиномом
п-й степени от х с положительным старшим коэффициентом
[стр. 102, условие 3)]. Обозначив его через Рп(х), будем иметь
тождественно относительно и и v
00 00 1
2 У
Pk(x)Pl(x)dx-uuvl=
1-2*0 + 0»
1 = 0
[стр. 102, условия 1), 2)]. Производящий ряд можно вывести
также непосредственно из 84 [III 219].

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	311
92. а) Читаем III 219 в обратном направлении,
б) [III 157.] В обратном направлении вычисление производится
следующим образом:
оо	Я	Л
2
У	п J 1-(* + ]/>-1 cos ср) да
Но при достаточно малых w и д:>1 этот последний интеграл
равен (l-2xw + w2f r [III 149, п = 0].
со
в) Положим F (x, w)= ^ Рп (х) wn. Тогда
[лР„ (*) - Bл - 1) хРп !
г) Е [A - а;2) Р'п (х) - 2хР'п (х) + п (л + 1) Рп (х)] ш» =
93> Из 91 вытекает
1	1
k=0
оо
1-3...B*-1) Ш) Л / у 1-3. ..B/-1)i „Л
-2-4... 2k в j\Zi 2- 4...21 в U Г
10
Отсюда, перемножая [I 34] и сравнивая коэффициенты, будем
иметь
Рп (cos 0) = gogn cos nfl + gig^ cos (n - 2) ^ +
g»-2 cos (м - 4) d +... + gr^,, cos n#,
где для краткости положено
,	1 ¦ 3... Bn — 1) , , о о \
^=1> g"= 2-4...2/1	A=1,2,3,...).
Отсюда
га (cos 0) |
Равенство может иметь место только в том случае, когда п$,
(п — 2) Ф, ... все одновременно будут четными или нечетными
кратными я, т. е. только при д = йя, где fe —целое.

312	РЕШЕНИЯ
94к Положим *=l+g, ?>0. Тогда
_ VI
1.3...Bn—.1)
2-4...2n
Степенной ряд w A — &у)" = ш + 2ш2 + 3ау3 + ... имеет лишь поло-
положительные коэффициенты.
95. [L. Fejer, Math Ann., т. 67, стр. 83, 1909.] Согласно 17
и III 157
Ро (cos Ь) + Рх (cos 0) + Р2 (cos #) + ... + Ря (cos %) =
2
Я ^ sin-j/2 (cos*-cos0
96.	При x^l Рл(х)>0. При л:<-1 sgnРп(х) = (— 1 )п и
Р„ (л:) | = | Р„ (—л:) | монотонно возрастает вместе с п [94]. Р„ (—1) =
= (- 1)» [85].
97.	Частный случай теоремы II 140 для а = —1, b — +l,
f(x) — Pn(x). Можно другим способом: из 84-и V 58, или из 85
и V 65, или из 90 и III 34, или же из 90 и V 120.
98.
а) A -*)«A +*)РР«* й (*)= Щё
Коэффициент при л;" в Р^ р) (л:) дается равенством
б) ^-i)^p)(-si)i(
откуда

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	313
где х лежит в любой точке плоскости вне интервала [—1, +1].
При этом для квадратных корней, а также сс-х и C-х степеней
берутся те ветви, уна которых эти корни, соотв. степени, при
х>1 и ф = 0 положительны; при Sftx^O а должно иметь целое
значение ф произвольно), при SRxs^O р должно иметь целое зна-
значение (а произвольно), при мнимых значениях х формула спра-
справедлива без ограничений.
г) р<?. е> (х) = {№ ®х + Bf'р)) Р№ (х) -
. (а, Р) _ (
я ""
п(а, р)_
2л (n+а + Р)
д) Пусть Sia> Р) (х) — полином я-й степени, обладающий тем
свойством, что для любого полинома К (х) л-й степени
• —1
тогда
п
Q<a, Р) / \ 	 \^ 2v + a + p-|-l Г (v —}— (X —{— C —[— 1) р(а, Р) / \
"я ч1*/ ^\ 2a+|5+i Г (к I 1) Г (v I В 1 1)	^' '
v = О
р(а. Р) АЛ "+1 р(«, Р)
(формула Кристофелля).
е) $ (l-^ro+^sl
—1
10, если тфп,
2-«-Р
1

[Г(о+1)РBп
если т — п; т, п = 0, 1, 2, ...
ж)	A - х2) Pf'р>" (х) + [р - а - (а + Р + 2) х] Р,(?'рг (х) +
з)	.
-Pf' Р). (х) + /><«•р) (х) ш + Pf' Р) (х)
- P)

314	РЕШЕНИЯ
и) Нули полиномов Якоби —вещественные, простые и лежат
внутри интервала [—1, 1].
Доказательства аналогичны приведенным в 84 — 91, 97, При
доказательстве в) записываем сначала б) в форме
t )\n-vj[~r~
v=0
интегрирование производится вдоль окружности | z | = 21 х2 — 11 2'
подинтегральная функция регулярна внутри и непрерывна на этой
окружности (п^:1).
99.
'	п \ ' п\ dxn X
Коэффициент при хп у полинома L™ (х) есть
п
v=0
отсюда
I«@) = («+«).
г)	f1	f2()
(л = 2, 3, 4, ...).
д)	Пусть Sia) (л:) — полином /г-й степени, обладающий тем свой-
свойством, что для любого полинома К (х) /г-й степени
Тогда
v
v=0
(формула Кристоффеля).

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	315
е) $ е- хх*+! SJW (л:) S<«> (x)'dx =
о
(О,	если тфп,
а + 1 /и+а + lV	(т, п = 0, 1, 2, ...).
ж)	*Lf >" (х) + (а + 1 - х) Lf >' (х) + nLM (х) = 0.
и) Нули (обобщенных) полиномов Лагерра — вещественные,
положительные и простые.
Доказательства аналогичны приведенным в 84, 85, 87 — 91, 97.
100.
	f_	I Atl 	 _
а)	е ^Нп(х)=^е > .
Отсюда посредством дифференцирования получаем
Я; (х) - хНп (х) = (п + 1) Нп+1 (х),
откуда вытекает, что у полинома "#„ (л;) коэффициент при хп есть
k = (~ 1)Ч
я nl "
г)	пЯ„ (х) = — *ЯВ.! (х) -Я„_я (х) (п = 2, 3, 4,...).
д)	Пусть Sn (х) — полином п-й степени, обладающий тем свой-
свойством, что для любого полинома n-й степени К (х)
Тогда
где Р = Г^1 (формула Кристоффеля)
ж)	Н'^(х)-хН'п
8
)	о() + 1()	()	() +
и) Все нули полиномов Эрмита — вещественные и простые.
Доказательства а), г), д), з), и) аналогичны приведенным в 84,
87, 88, 91, 97; ж) вытекает из а).

316	РЕШЕНИЯ
101. Следует из решения 98 6); именно, полагая
имеем
lim
^ + -v)(t-l)"- (n-v)\
[решение 99 6)].
(
102. J e 24 s)(?-)x**+4x = 0 (k = 0, 1, 2, ..., q-l),
так как подинтегральное выражение представляет собой нечетную
функцию и
А-1-1
2
¦ =2 MfL) ^(*/)# '^ = 0 (A = 0, I, 2, ..., 7-1)
согласно определению полинома L, u/)- Следовательно,
D-) = const. Hig(x).
Аналогично показываем, что
Постоянные множители определяются путем сравнения коэффи-
коэффициентов при х2?, соотв. л;2?+1 [решение 99 а), 100 а)].
103а Полагаем
v = o
Тогда
Далее, согласно II 80
«2
v=0

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	317
Равенство при произвольном х = х0 достигается здесь лишь при
условии
'v = '/^r-pvW (v = 0, 1, 2, ..., п),
где t определяется так, чтобы выполнялось условие
См., кроме того, 93.
104. Полагаем
Тогда
i
$ (l-x)[P{x)Ydx=tl + t\ + tl+ ... +fc=l	[89].
— l
Далее, согласно II 80
n	n-	n
j ^ ^ rv ^ v+1 PvWJ -
V =: 0	V =0
Имеем [решение 88]
Границы достигаются при tv — tl/ v,l- Sv(±l) (v = 0, 1, 2, ...
..., n), где t в обоих случаях определяется так, чтобы выпол-
выполнялось условие
« + *! + «+...+tt=l.
105. Имеем [103, решение 98 д)]
п+Г
Х Г(а+1)Г(п
Из решения 98 ж) и б) получаем
р(а. Р)'/П _ n(n + a + ^+l) n(g, р) /
^" ^>~ 2(о	^ il
и следовательно
Г[а+1)Г(а

318	РЕШЕНИЯ
Далее
Мах[Р(— l)]2 = S<f'a)(l) =
1	Г
2а+р+1 г (р+ 1) Г (р + 2) Г (л+ 1) Г (л + а+ 1)
При сс=1, р = 0 получаем 104.
106. Получаем так же, как в 103 [99],
Мах [Р (О)]2 = Sf'(()) =
Г(а+1)Г(а + 2)Г(л+1) Г(а+1)Г(а
107. Имеем [103, 100]
Max [Р (О)]2 = Sn @) = -bI2f!i <2Р+')' я.'+l @) =
1 1-3 ... Bр+1)
|/2я 2-4 ... 2р ' Р
Согласно II 202
-и-
108.	[F. Lukacs, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 299, 304, 1918.]
Частный случай неравенства 110 для а=[} = 0. При доказатель-
доказательстве опираться на 103, 104, но не 105.
109.	[F. Lukacs, 1. с. 108.] Достаточно доказать одно из
этих неравенств: заменяя Р (х) на —Р(х), получим другое. Далее
можем принять, что т = 0. Пусть а< |<?>, тогда [108]
Отсюда следует
ь
110. Полагаем [47]
P(x)^[A(x)Y + (l-x
где А (х), В(х), С(х), D (х) — полиномы соответственно степеней

ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	319
Полагая SfpW(l)=SflW, согласно 105 имеем
-1
P(x)
111. Полагаем [45]
P W = [A (x)f + [B {x)f + x{[C (x)f + [D (x)f},
где A(x) и В (x) — полиномы степени |4-| = P, С (х) и D (x) — сте-
степени I n~^ 1. Полагая 5^@) = Spa), согласно 106 имеем, следо-
следовательно,
P @) = [А (О)]2 + [В (О)]2 < Sf> \ е~* х* {[A (x)f + [В (х)]2} dx <
112. Частный случай неравенства 111 при а = 0.
113- Применяем 112 к полиному
Имеем

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1ш Перестановка номеров двух вершин сводится к одновремен-
одновременной перестановке пары строк и пары столбцов. Приписывая про-
противоположным вершинам октаэдра номера, отличающиеся на 3,
получаем определитель
0 110 11
10 110 1
110 110
0 110 11
10 110 1
1 0
110 1
= 0.
Определитель для тетраэдра равен — 3, для куба равен 9.
2. Умножаем первую строку на — а1 и складываем со второй.
Посредством полной индукции получаем
(а1-Ь1)(а2-Ь2)...(ап-Ьп).
3« [Cauchy, Exercices d'analyse et de phys. math., т. 2,
2-е изд., стр. 151—159, Paris, Bachelier, 1841.] Вычитаем послед-
последнюю строку из всех предшествующих. Тогда из столбцов выносятся
за знак определителя множители
1	1	1	1
ап — а.п-_г, 1.
а из строк — множители
ап — аъ
В остающемся определителе вычитаем последний столбец из всех
предшествующих и выносим из столбцов и строк соответственно
множители
1
1.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
321
Тогда остается главный минор, имеющий тот же вид, что и задан-
заданный определитель, только порядком на единицу меньше. Затем
применяем полную индукцию.
4. Частный случай задачи 3 для а^ = К, Ь^ = [1-\-а. Имеем
...Г(Я
г(л + 3+а)...ГBл+1+а) •
5. Построчное перемножение [см. также II 51, VIII 2] опреде-
определителей дает
,. ,	(П— 1\ „ 9 1П— 1\ „ о
"л ' \ 1 I ик ' \ 2 ) А '
f
X
6.
| Ро
Po
Р2а'!
1 р2 pi ...
р:*-р:-
Суммирование распространяется на все группы неотрицательных
целых чисел vlt v2, ..., vn, 0sCv1<v2<...<Vn. Все слагаемые
последней суммы неотрицательны. Если среди чисел р0, ри р2. •••
по крайней мере п не равны нулю, то в числе слагаемых будут
также положительные.
7. [A. Hurwitz; см. О. Holder, Leipz. Ber., т. 65, стр. 110—
120, 1913.] Вычтем в определителе D(x), полученном в резуль-
результате прибавления х ко всем элементам исходного определителя, пер-
первый столбец из всех последующих. Тогда х останется только
в первом столбце, и поэтому D(x) есть линейная функция от х,
D(x) — D-\-xk. При х — —а и х = —b D(x) приводится к произ-
произведению элементов главной диагонали:
D - Да = (/-J - а) (г2 - а)... (гп - а) = / (а),
' D-bb = (r1-b)(rt-b)...(ra-b)=f(b).
В случае b = a [M. Roberts, задача, Nouv. Ann., серия 2, т. 3,
стр. 139, 1864] определитель равен f{a)—af (а), что, впрочем, и
непосредственно нетрудно усмотреть.
11 Г. Полна, Г. Cere, ч. II

322
РЕШЕНИЯ
3. [Т. Muir, Amer. Math. Monthly, т. 29, стр. 12, 1922.]
Вообще имеем
Ф h к ••¦ fn
дц> dfi d/3 dfn
дх^ dxi dxi '" dxi
dcp dfi df2 dfn
d(<ffi, 4>k	ф/п) _ „n-i
О (Xi, Х%, .. • ,. Xn)
дх2
dx9, '" дхй
дер
дк_
дх„
dfn
В применении к нашему случаю определитель равен А3, умножен-
умноженному на
ad —be а Ъ с d
— d I 0 0 0
с 0 1 О О
6 0 0 10
— а О О О 1
= ЗЛ.
9. [Задача, College d'Aberystwyth; Mathesis B), т. 3, стр. 79,
1893. Решение —Re tal i и др., там же, стр. 172.] Рассматривае-
Рассматриваемый определитель в случае вещественных /, т, п принадлежит
квадратичной форме
при р = 2 равной
Таким образом, ранг ее при р = 2 меньше чем 3 (он равен 2, за
исключением того случая, когда 12 = т2 = п2; тогда он равен 1).
Полагаем, далее, р = (р —2) + 2 и разлагаем по степеням р — 2.
Получаем
2 — +
m
— + — 2
••• (р-2) + 0 =

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ	323
где
Два остальных множителя суть
p + i-Vp, р+1+1/р.
10. Определяем значение неизвестной (—l)*"^ из системы
уравнений
(v=l, 2, .... л).
11. Из соображений непрерывности можно ограничиться случаем,
когда полином anzn-\-a1z"-1-\-...-\-an имеет я различных нулей.
Обозначим какой-либо из этих нулей через z и положим
Тогда числа х0, %,..., хп-г удовлетворяют однородной системе
JI/7	1/7	21***1 (~i	fl~~& i /у	ft X	'
определитель которой должен быть равен нулю. Таким образом,
предложенный определитель представляет собой полином n-й сте-
степени относительно z со старшим коэффициентом 1, имеющий те же
ну ли, что и aozn + a^z"-1 +... + ап.
12а Дело сводится к исследованию ранга матриц
0	— а3 аг
а3	0	—af
а2	oj О
ах-	а2 а3
Первая из этих матриц содержит четыре определителя третьего
порядка со значениями соответственно
ai(al + al + al), -а2(а\ + а1 + ф, ая(а\-\-а\-\-а%), 0;
очевидно, она имеет либо ранг 0, либо ранг 3. В первом случае
условием совместности является Ь1 = Ь2 = Ь3= с —0, во втором
a1b1-{-a2b2-\-a3b3 = Q. Если четыре уравнения совместны, то в пер-
первом случае хг, х2, х3 совершенно неопределенны, во втором — имеют
вполне определенные значения. При знакомстве с векторным умно-
умножением результат очевиден.
11*

324	РЕШЕНИЯ
13> Имеем тождественно по z
Так как бесконечное произведение |j A —-—) равномерно схо-
A= 1
дится в каждой ограниченной области, то то же имеет место и для
последовательности полиномов
1 + «<n)z + a(^z2-)-...-\-u^zn (n = l, 2, 3, ...).
Отсюда вытекает, что
lim uf> =u.
существует для всех k {k=\, 2, 3, ...) и
—|-) [I 179].
Эта функция, вообще говоря, отличается от заданной множите-
множителем e?{z), где g(z) — целая функция.
14. Мы получаем (имеются в виду определители 2я-го порядка,
а не 2-го, с элементами \аХи.\, \ — Ьки,\, \bXv,\, |«^|)
где положено \axil + ib^\ = AJriB, А и В — вещественные. Обра-
Обращение в нуль суммы Л2 -f- В2 равносильно одновременному обраще-
обращению Л и В в нуль.
15.	[G. Rados, задача, Math, es phys. lapok, т. 15, стр. 389,
1906. Решение —М. Fekete и др., там же, т. 16, стр. 310, 1907.]
Произведение слагаемых ana2ia33, a12a2?ja3l, a13a2laS2 равно по абсо-
абсолютной величине и противоположно по знаку произведению трех
остальных.
16.	[G. Р б 1 у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 20,
стр. 271, 1913. Решение —G. Szego, там же, серия 3, т. 21,
стр. 291, 1913.] Если бы е^ были требуемые знаки, то согласно
гипотетическому закону мы имели бы | e^|?,i,J-1,2)...>n = rt! в проти-
противоречие с неравенством Адамара, согласно которому |еЛм,[>w;^_х>2	,<
п
sgn2 [Kowalewski, стр. 460], ибо, начиная с п = 3, nn<i(n\J.
Впрочем, достаточно доказать невозможность лишь для опреде-
определителей третьего порядка [15].

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ	325
17. Пусть знаменатель будет z? —qz?-1—-c2z?-2 —... —сг. Про-
Произведение
(ао + a±z + а2г2 +... + anzn +...) (г? - с^-1 -...- сд)
есть не что иное, как полином степени р— 1. Поэтому в разложе-
разложении этого произведения коэффициент при 2?+я
ап — йл+Л — ап+2р2 —... — а„+?с? = 0	(*)
при n = p — q, p — q-\-l, ..., если p^q, и при п = 0, 1, 2, ...,
если p^q. Из совместности <у+1 линейных уравнений (*) при
n = k, k+l, k + 2, ..., k + q вытекает, что Aig+1) = 0.
13. Из Л1?+1) = 0, Л(^'#0 вытекает, что Ln+q{x) линейно за-
зависит от Ln(x), Ln+iW. •••, ^„+?-iW [Kowalewski, стр. 53].
Поэтому при n^d Ln(x) линейно зависит от La(x), Lrf+1(x), ...
..., Ld+g-i(x), и уравнение Ln(x) = 0 удовлетворяется общим ре-
решением q уравнений
U (х) = 0, Lrf+1 (х) = 0, ..., Lrf+?_! (x) = 0.
Так как Л^+1#0, то эти уравнения имеют решение вида
Х() = 1 , X J =	С]^, Х2 =	С2) . •., Хд=^ 	 Сд,
Но это означает обращение в нуль коэффициентов при zq+d,
zq4-dJrl, ... в произведении
(а0 + axz + а2г2 +...) B* - cxz^ - с22? -... - сд).
19.	[Kowalewski, стр. 80, 109.]
20.	В силу теоремы 19 из предположения вытекает
Таким образом, обращение в нуль одного из t рассматриваемых
определителей <?-го порядка влечет обращение в нуль каждого
соседнего определителя. Еще нагляднее —из 22.
21.	Ясно. Пример: Af\
22.	[A. Stoll.] 1) вытекает из 19, 2), 3) —из 19 и 1). Сле-
Следует обратить внимание на «крестообразное» расположение пяти
определителей задачи 19 в схеме 21. Для доказательства сохране-
сохранения в силе свойств- 1), 2), 3) также на крае схемы, приписываем
Я-х перед а0, ах, а2, ... и соответствующий наклонный ряд перед
схемой 21.
23.	[См. Ё. В or el, Bull. d. Sc. Math., серия 2, т. 18,
стр. 22—25, 1894.] Если в первой строке схемы 21 содержится

326	РЕШЕНИЯ
лишь конечное число элементов, отличных от нуля, то степенной
ряд ao + «iZ + a222 + --- приводится к целой рациональной функ-
функции. В остальных случаях в результате повторного применения
рассуждения задачи 20 получаем, что существуют два таких це-
целых числа d и q, l^q^k, для которых выполняются предпо-
предположения задачи 18.
24.	[L. Kronecker, Monatsber. d. Akad. Berlin, 1881,
стр. 566—567.] Посредством повторного применения 22, 1) при-
привести к 23.
25.	[G. Poly a, Math. Ann., т. 77, стр. 507, 1916.] Посред-
Посредством повторного применения 22, 1) привести к 23. Условия, на-
налагаемые на определители в задачах 23, 24, 25, перевести на язык
схемы 21.
26.	См. 27.
27.	Если ранг конечен, то все определители задачи 23 для
достаточно большого k обращаются в нуль и, следовательно, сте-
степенной ряд представляет рациональную функцию. Пусть, обратно,
степенной ряд представляет рациональную функцию. Будем при-
придерживаться обозначений задачи 17 и рассмотрим линейную форму
Лл (х) = апх0 -f- an+1Xi -f- #л+2х2 + • • •
с произвольным (однако не бесконечно большим) числом перемен-
переменных. Вследствие уравнений (*) решения 17 будем иметь
Ял = CjKn+1 -f- c2Kn+2 -{-... -f- cqXn+q
для n = d, d+1, d + 2, ..., поэтому формы Xd, Arf+1, ..., krf+v
(v ^= q) зависят от q последних из них. Так как, таким образом,
между любыми q +1 из этих форм существует линейная зависи-
зависимость, то все содержащиеся в $а определители порядка q-\-l
равны нулю.
23. См. 29.
29. Пусть, согласно предположению задачи 28,
Примем для определенности, что
0<<7<р.
Из этих предположений, принимая во внимание положение выше-
вышестоящих определителей в схеме 21, получаем согласно 22, 1), что
Д(Я) _> Л Д(Я)	,(\	/t(<7)	-J-(\	1
1+1) -U- О	Д(Я+1)__(\	Д(,Я+1)	А	I	К '

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ	327
Иными словами, в окаймлении бесконечной трапециевидной, состоя-
состоящей лишь из нулей полосы в схеме 21 все определители отличны
от нуля.
Согласно 23 степень знаменателя ^q; см. вторую строку в (**).
Согласно 7 степень знаменателя 5* q\ см. первую стро-
строку в (**).
Нетто-ранг ==g ранга матрицы $p-q, следовательно, <; <7 согласно
решению 27.
Нетто-ранг ~5^q\ см. первую строку в (**).
Согласно 18 степень числителя scq-\-(р — q) — 1; см. (**).
Согласно 17 степень числителя >q-\-{p — q— 1) — 1, так как
Ранг матрицы фр_? равен точно q, следовательно, ранг §„ во
всяком случае «s q -j- (р — q).
Брутто-ранг, равный рангу ?„, будет ;s=p, ибо
30.	[Е. Веке, Math, es term, ert., т. 34, стр. 25, 1916.] Ука-
оэ
занное свойство степенной ряд У °~zn имеет тогда и только тог-
со
да, когда ряд У «„г" представляет рациональную функцию. [24,
п = 0
26.] В обоих случаях речь идет об одних и тех же рекуррентных
формулах между коэффициентами а0, аг, а2, ...
31.	ГС Poly a, Proc. Lond. M. S. B), т. 21, стр. 25—26, 1922.]
Сложением строк и столбцов. По поводу случая Qn(z) — (l — z)n,
n = 0, 1, 2, ..., см. Kowalewski, стр. 112.
32.	Так как числитель имеет степень ^q— 1, то. aHcq +
+ «„+iC?_! + ап+2с7-2 +... + пп+q-iCt == а„+? (п = 0, 1, 2, ...). Таким
образом, в результате умножения %-й строки (столбца) матрицы
Шт на (х-й столбец матрицы 6 получаемam-A+M,-i> ^> \i=l, 2, ..., q,
и следовательно Slm<S = Stm+i.
33.	Пусть ранг будет г и
arvr
0s=v1<v2<...<v/.. Если c1f1(z) + c2f2(z) + ... + crfr(z) = 0, то,
в частности, коэффициенты при zVi, г\ ..., zvf в левой части
должны быть равны нулю. Это дает г однородных линейных
уравнений с не равным нулю определителем, откуда с1 = с2 = ...
... = сг = 0. Если /п>/-, то полагаем alvx1-{-a2Vx2-\-...-{-arvxr +
+ ar+1,vxr+1 = Lv(x). Любое число линейных форм Lx, L2, ..., Ln,
по предположению, линейно зависит от Lv LVa, ..., LVr

328	РЕШЕНИЯ
[Kowalewski, стр. 53]. Существует система значений х1 = с1У
х2 = с2, ..., хг = сг, хг+1 — —1, удовлетворяющая уравнениям
LVi (х) = О, LV2 (х) = 0, ..., Ur (х) = 0.	(*)
Для этой системы любая форма Lv (x) обращается в нуль, т. е.
тождественно относительно г
Ci/i (z) + С2/2 B) +. . . + Crfr (Z) = fr+1 (z).
34.	Из 33 и определений. В частности, принимаем во внима-
внимание, что существует такое N, что матрицы, получающиеся из Ж
(стр. 118) путем вычеркивания N, соотв. N-\-1, N-\-2,... столбцов,
все имеют один и тот же ранг, а именно нетто-ранг матрицы SDt.
35.	[I. Schur, J. fur Math., т. 140, стр. 14, 1911.] Доказа-
Доказательство изложим при более ограничительных предположениях.
Существует такая ортогональная матрица (/Л(Я), что первая форма
допускает разложение
п п	п
2 2 ачЪ.Ч = 1] ^v (*vА + ;v2*2 + • • • + 'vАJ>
Я=1ц=1	v=l
где Aj, /i2, ..., /г„ — положительные, однозначно определяемые фор-
формой числа —ее собственные значения [Kowalewski, стр. 275].
Из равенств
ГС
°V= 2 ^vWvn	(^. ^=1. 2, ..., П),
v=l
полагая /i = Min(/z1, /г2, ..., hn), получаем
ГСП	ГС	/ ГС	П
П	ГС	in
/г 2 2	(
36. Из формулы
/1	ГС
СО	П П
в силу 35 вытекает первая часть теоремы. Вследствие положи-
положительности формы имеем
2 2
где

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ	329
Если в матрице (а}])) никакие две строки не совпадают, то будут
различными между собой и все п /-мерных векторов (а^, а'^, ...
^) (v=l, 2, ..., п). Следовательно, можно подобрать I та-
таких чисел Р', Р", ..., ${1), удовлетворяющих условию P'2 + fT2 + ...
,..-}-Р</J = 1, что все я чисел yv = a'v$'+ a'$"-\-... + aW$V (v =
= 1, 2, ..., п) будут между собой различны; или геометрически:
проекции п различных векторов на единичный вектор (р", {Г, ...
..., р<'') все между собой различны; или (Р', Р", ..., р(/)) лежит
вне определенных -кп{п— 1) плоскостей. Надлежащим образом
выбирая ортогональное преобразование переменных ^ ?2	Ег
в переменные %, т]2, ..., т]?, причем
получаем
п п
обе формы в правой части ^гО. Разность ехр (у^ц + а^ч) — ехР (YTh)
составляется из произведений степеней величин у^Уи и а%^ с по-
положительными коэффициентами. Отсюда на основании 35, анало-
аналогично доказанной уже первой части утверждения, вытекает, что
вторая форма в правой части равенства
положительна; первая даже определенна [V 76].
37. Аналогично 36 [35, V 86]. Что ограничения не излишни,
/ 1-1
убеждаемся на примере матрицы I
33. [R. Re та k, Math. Ann., т. 72, стр. 153, 1912; см.
также A. Hurwitz, там же, т. 73, стр. 173, 1913.] Так как
одновременно с f(x) также f(x-{-x0), где х0 — любое число, удов-
удовлетворяет условию задачи, то выставленное требование приводится
к следующему:
Л (/) = aof @) + f /' @) + § /" @) +... + -%fW @) 5s 0 (соотв. >0).
Согласно VI 44 достаточно положить
/ (х) = (to +	^

330	РЕШЕНИЯ
при произвольных i0, tp t2, ..., tn. Тогда
39. [См. Gi Pol у a, Math, es term, ert., т. 32, стр. 662—665,
1914.] Так как одновременно с f (х) условию задачи удовлетворяет
и f(x + x0), xo^sO, то выставленное требование приводится к сле-
следующему:
А (/) = «о/(О)+^/'(О) + |Г(О)+... +|РЧ0)^0 (соотв. >0).
Полагаем [VI 45]
Тогда
р р	(?— 1 ? —1
2
40а Полагаем, во-первых,
f(x) = {l-x) *2 *Ё
Я=0д=0
во-вторых,
где
Тогда согласно предположению получаем
q—lg—l	q— I 17 —1
откуда ах — а2= ... =a2?-;i = 0. В случае нечетного «утверждение
доказано. В случае четного п должны еще выполняться неравенства
а0 (to + tlX+...+ tpxPf + antl ss 0,	A)
a0 A - х2) («0 + Ы1л; + ... + up^xp-^ - аям» _2 5s 0	B)
при всех значениях t0, tlt ..., tp, и0, их	ир_1( где р = |и
— l^x^l. Полагая в A) ^ = ^= ... =tp-1 = 0, tp=\, x = 0,
получаем, что а„^0. С другой стороны, полагая в B) х=\,
ир-х=\, получаем, что а„^0.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ	331
41. [См. 1. с. 39, стр. 665—667. См. также М. Fuji war а,
Tohoku Math. J., т. 6, стр. 20—26, 1914—1915.] Обе системы
значений а0, аъ а2. • • ¦. агп и Ьо, Ъъ ..., Ъгп обладают свойством,
формулированным в задаче 38. Если / (х) удовлетворяет условию
задачи 38, то
также удовлетворяет этому условию. Значит,
bof*(x)+%f*'(x) + ± Г (х)+. .. + ^f* B">(*) =
^	fg^O (соотв. >0)
при всех значениях х. Следовательно, и система с0, съ с2, ..., с2 ,
обладает тем же свойством.
42.	[См. 1. с. 39, стр. 667—668.] Получается из 39, как 41
из 38. Полагаем п = 2т, соотв. п = 2т-\-\.
43.	[См. О. Szasz, Math. Zeitschr, т. 1, стр. 150—152, 1918.]
Так как вместе с g(§) также g($ + $o)> ПРИ произвольном $0,
удовлетворяет условию задачи, то требование задачи равносильно
следующему:
п
A(g)= 2 cvyvS2 0 (соотв. >0).
V = — П
Полагаем [VI 40]
Тогда
Л (g) - S 2 А
44.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 19,
стр. 276, 1912. Решение —G. Pol у а, там же, серия 3, т. 24,
стр. 369, 1916.]
45.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 27, стр. 162, 1918.] См. 46.
46.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 163, 1918.] Рассматриваем совместно четыре случая:
а) определители произвольны; б) элементы главной диагонали
равны нулю, все прочие произвольны; в) определители симметричны

332
РЕШЕНИЯ
[45]; г) определители симметричны и элементы главной диагонали
равны нулю [46]. Введем обозначения, указываемые в следующей
таблице:
Число независи- Число различных
мых элементов
а) п2
б) /г2— п
п* + п
слагаемых
положи- отрица-
отрицательных тельных
Sn Sn
Sn Sn
Hn + I
Sn + Sn =
=sn
]л=1!.
Sn — Sn =
a Sn-v;;
Sn — 5n =
= D
= ,
Каждому члену разложения alkla2k2...ankn мы ставим в соответ-
соответствие подстановку (, .'"?)• Если такой член содержит произ-
ведение аарар^...ак>„аяа) то соответствующая подстановка содержит
цикл (аРу...хЯ); если рассматриваемый член входит в разложение
симметрического определителя, то подстановка, соответствующая
другому, равному ему члену, будет содержать либо цикл (ару-••
...%%), либо обратный цикл (кх...у$а).
Число подстановок я элементов, содержащих kL одночленных, k2
двучленных, k3 трехчленных, ... циклов, как известно [см. J. А.
Serret, Handbuch der hb'heren Algebra, т. 2, стр. 188 — 189,
Leipzig, В. G. Teubner, 1868], равно
n|7
где 1^ + 2^2 + 3^3 + . .. = n. Умножая это число на +1 или — 1,
смотря по тому, будут ли рассматриваемые подстановки четными
или нечетными, получаем
[Kowalewski, стр. 16] (нужно для вычисления D^, Д„). Если
подстановки, получающиеся одна из другой заменой некоторых
циклов обратными, рассматривать как тождественные, то число
различных будет

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ	333
(нужно для вычисления4 sn, dnt an, 6„). Очевидно,
dn=S(-l)*« + *« +-2-*•-*¦--Z*lM,...,
б„ = 2 * (~ l)*' + ** + -2- *•-*•- -Zoft,*,....
Здесь суммы ^ распространяются на все системы положительных
чисел klt k2, k3, ..., удовлетворяющие условию k1-\-2k%-\-
+ 3^3+... = rt, а суммы 2*~на те из них> Для которых кг = 0
(и, значит, 2й2 + 3й3+... = «). Имеем
и! Lik\
у 5^_
Li n\ L\ ил lAi ' L\ ы 2*2 ' L\ k3\
n = 0	ft. = 0 x	ft2 = 0	ft. = 0
... = e,
1 —~~ X
откуда Sn~n\, что может служить подтверждением правильности
изложенных соображений. Тем же способом получаем
n = 0
(ясно),
^j я!
n =0
51
3
+2Г---- + Цг-	[VIII 23],
Г
2
п =0
(частный случай теоремы 7 при r1 = r2 = ... = rn = 0, a = 6 = l).

334	РЕШЕНИЯ
Далее
00	п.	4-~+— (— + — 4- *\	1	-+*!
2 sir = e 2 2 4 =fT^e2 4-
П=0
, _	я2 , 1 /х3 х* , \	хха
у s^ =
Четыре последних ряда удовлетворяют соответственно диффе-
дифференциальным уравнениям1
Откуда и вытекают требуемые рекуррентные соотношения. Асим-
Асимптотические формулы получаем из I 178, полагая
х_ х2	х _х2	?ii! _il_^!
f(x) = e2+Tt соотв. e2~S е~ т, е ^~т,
, 1-3...Bм—1)	1	. ,.„ , Ь3...Bя — 3) (— 1)л-1
Ь„ =	:—	'-~—г=-, соотв. (—I)"'1	J	i/-^-i—i——
2-4...2л	Vnn	V '	2.4...2ft	1
2/n.n2
[II 202],
q— 1, соотв. —1.
47. [I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 163, 1918.] Полагаем
Ф-
Т l—XiX2...Xn
Тогда
п
- i-xL..Xn 2
где сумма 2V распространяется на все перестановки переменных х1г
х2, ..., Xv-l xv+1, ..., хп и знак определяется так же, как для
слагаемых в левой части.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
335
Следовательно, в предположении, что утверждение справедливо
для и —1, тождество, которое мы доказываем, можно представить
в таком виде:
1
V =1
где Av и Ф„ образованы из хх, х2, ..., xv-lt xv+1, ..., хп анало-
аналогично тому, как А и Ф —из хи х2, ..., xnt причем Ф предпола-
предполагается взятым в форме произведения, стоящего в конце задачи;
Ф? содержат меньшее количество множителей. Применяем теперь
VI 69, принимая во внимание уравнения (в обозначениях и пред-
предположениях задачи VI 69, а0 = 1)
Av	I	(-l)v-i
\Л\ —**V/ • • * v^V—1 — ^V) v*V — ^V+l/ • • • VAV —ЛП7	I v*"V/
~~ 1+Jtv ¦
48. {P. Epstein, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
n
т. 8, стр. 262, 1905.] Из системы равенств архх— ^ а^х^ (к — 1,
2, ..., я), принимая во внимание, что 2 ая.Дха (z) = zy^ (z)
+ еиаХ(г), где емст=1 при [х = а, вма = 0 при ц=^а, получаем
систему равенств
п
(otp-2) 2 Щю(г) = ад(г) @=1, 2	я).
Я=1
49.	[М. Riesz.] См. 50.
50.	Требование задачи равносильно условиям
См. VI 15. В задаче 49 (после замены хр на (—1)рхр и ур на
(—\)р ур) получаем
51. Определитель ?>(а) преобразования Sa удовлетворяет
функциональному уравнению

336
РЕШЕНИЯ
Кроме того, он веществен, непрерывен и периодичен (с периодом
2/2 + 2). Следовательно, D(a) — 0 или 1. Первый случай имеет
место тогда и только тогда, когда система линейных уравнений
имеет ненулевое решение. А это будет во всяком случае иметь
место, если х0, хи ..., хп удовлетворяют уравнениям
2v	2?
G = 0	9 = 0
где & пробегает все те значения, для которых коэффициент в g(¦&)
при cos&ft отличен от нуля. (При k = 0 указанные два уравне-
уравнения приводятся к одному.) Согласно решению VI 15 k имеет либо
только четные, либо только нечетные значения, следовательно,
число указанных коэффициентов будет ==g 1 + у . соотв. ==? ^у- .
В первом случае число уравнений (*) будет ^1 + 2 -| <й+1,
во втором случае оно будет sg2 ру— Us«+1. Равенство дости-
достигается лишь в случае, когда
' «»" (" + ')»	[49]
и п четно, соотв. нечетно. За исключением этого случая, число урав-
уравнений (*) будет всегда меньше п -\-1, т. е. числа неизвестных. Следова-
Следовательно, решения указанного рода существуют.
В 49 получаем постоянное значение определителя, беря а->0.
52a [M. Riesz.] Положим
+	sinfl
Речь идет о сумме
р^О k, 1=0
k, 1 = 0	р = 0
Согласно VI 15 она равна
п
У (-i)XkXlg(ik
к, 1 = 0	V
п
и, значит, 2 у-р не зависит от а. Полагаем теперь

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
337
53» [I. Schur.] Нужно доказать следующие равенства:
(«1 + «а + • • • + «л + Чп = ипипл.2,
u\ + ul-\-... + u% = и„ип+1,
Un-i , u» /__L_ I	*	1.	*	I )
	" \иЛг ' «+Аз «+г Т
;м1	\Лиг «л+А+з	я+гл+
__L, ы (	!_,—	4-	-
И/1+2	"+1\«/г+1«л+з ""*" «л+2"л+1 «л+з«я+5
(л = 1, 2, 3, ...).
Из определения чисел мл получаем
ля	п	л —1
2 "v=2 "v(«v+l~ «v-i) = 2 wv«v+l— 2 "v«v+l = Ил«л+и
v= 1	v=l	'	v = l	v=l
т. е. второе равенство. Первое получается из второго посредством
замены ип+1==ип+2 — ип. Замечаем, далее, что
_. _2__^	1	L
«л+1 V ип «л+2 У «л+2 \ «л+1 «я-:-з
л+З \«л+2
54. [Е. С. Т itch march, Proc. Lond. M. Soc. B), т. 22,
вып. 5, III, 1924.] Очевидно,
+ ОО
д + n-a
г = —со
; К, ц = ..., —1, 0, 1, ...). Как известно,
4-оо	+оо
VI	1	_ у	1	_ / Я \2
Z* (m-J-n— aJ	Jm, (п — аJ \ sin ал/ "
55.	Теорема умножения определителей.
56.	Сложение столбцов.
57.	Правило Лейбница для {uv){n), сложение столбцов.
58.	Положить в 57 Ф = /11.
59.	После выполнения дифференцирования получаем в числи-
числителе определитель второго порядка, имеющий в качестве элемен-
элементов определители (п— 1)-го порядка — алгебраические дополнения
определителя W (flt f2, ..., fn) [Kowa lew ski, стр. 80, 109].

338	РЕШЕНИЯ
60. Определяем п—\ функцию ух{х), Ф2(*), ...» флхС*) из
п— 1 уравнения
Ф2/
2
Ф1/1	+Ф2/2	+--- + фя-Х/л-1 =/л »
определитель которых	не	равен нулю. Согласно 59 и предполо-
предположению
Лфя-l	d	W (/j, .... /и_2, /„) _ »
dx	d*	Wifi, ...,/„-2, /„-1)
и аналогично
Ф1 = ф-2 = • • • = фл 2 = О-
61. Исключаем фл, ф^ц ..., ф1( 1 изп+1 однородного урав-
уравнения
Фл/Х + Фя-х/; +...+<р/Г1} +1 • /1Л) - о,
Фл/л + Ф»-!^ + • • • + Фх/л"-° + 1 • /?' ^	= О,
Фл У + Фя-ii/' + • • • + Ф1«/(я-2) + 1 ¦ {У{п) - Ц = О
и вычисляем L через нули определителя.
62. Полагаем
Тогда согласно 59
у
Отсюда определяем^-. [61.]
63. [J. P. Gram" J. fur Math., т. 94, стр. 41—73, 1883.]
Указанному определителю соответствует квадратичная форма
\ Шх (X) + Uh (x)+... + tnfn (X)T dX.
а
Этот интеграл неотрицателен и равен нулю тогда и только тогда,
когда во всем интервале а^х-=с_Ь имеет место тождественно
J) h(x) + --- + tnfn(x) = O- См. также II 68.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
339
64. [G. Pofya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 20, стр. 271, 1913.] Соответствующая квадратичная форма
\ {(tl+tl+...+th)[(h(x)Y+(h(x)J+---+(fn(xm-
-UJi(x) + Яг (*) + ... + Lfn {x)f} dx =
a j>k
положительна. Она обращается в нуль при t\-\-t\-^-.
тогда и только тогда, когда fv(x) = tv(p(x) (v = l, 2, ..., я), где
(р(х) не зависит от v.
65. [Е. Н. Moore, задача, Amer. Math. Monthly, т. 24,
стр. 293, 1916. Решение —С. F. Gummer, там же, стр. 293,
333—334 (как указано на стр. 333, первое решение на стр. 293
неправильно).] [36, 63.] Если совпадают, например, две первые
строки, то имеем
ь
66. [G. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 28,
стр. 174, 1920.] Вследствие II 112, II 113 имеем
о
о
где последний интеграл взят в смысле Стилтьеса. Следовательно,
2 SS
со
= — S (hx4 + ttx** + ...+ tnxanf xdf (x)^0.
о
Если /(*) — кусочно-постоянная функция и существует по меньшей
мере я точек с отрицательными скачками, то последний интеграл
может обратиться в нуль лишь тогда, когда t1 = L = ... = tn = O
[V 76].
67. [По поводу 67, 68 см. О. Toeplitz, Gott. Nachr. 1907,
стр. 110—115; 1910, стр. 489—506.] Для
= а0 + 2 {aL cos ft + bx sin ft)

340
получаем
Для
РЕШЕНИЯ
I ' ) = 1 —
получаем
68. Имеем
2Я
+ 2Ш (ах + iby
= 1 + 2r cos ¦& + 2/-2 cos 2^ -f... + 2rn cos
(л = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
о
Следовательно, для формы Теплица Тп (/) имеет место представление
2я
J / @)! х0 + ^г-» + х2е-^ +... + хле-'^ |2 db.
о
~
Утверждение вытекает отсюда, если принять во внимание равенство
2я
„ A) =
~
o-inb
69. [По поводу 69 — 71 см G. Szego, Math. Ann., т. 76,
стр. 490-503, 1915; Math, es term, ert., т. 35, стр. 185-222, 1917;
Math. Zeitschr., т. 6, стр. 167-202, 1920.] Для /(fl)
4- 2 (ах cos О + bx sin ¦&) имеем
a0
0 ... 0
a0 ai + ibx ... 0
— iby по ... 0
О
о
• а0
Разлагая определитель по последней строке, получаем отсюда рекур-
рекуррентную формулу
Dn-2(f) (тг = 2, 3, 4,...),

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
Пусть а и р — корни квадратного уравнения
341
Применяя полную индукцию, получаем
если
а ^+1
-^-J , если а = р.
В случае, когда
имеем
ад> =
l — 2r cos
т т^
1 г
2 /•	1
гп
Вычитая r-кратную вторую строку из первой, r-кратную третью
из второй и т. д., получаем Dll(f) = (l — г2)".
Если функция / (#) = а0 + 2 (ах cos Ф + Ь^ш'в') положительна,
то а и Р положительны, а#р. Пусть, скажем, а > р > 0; тогда
lim " yDn{f) —а. Во втором случае этот предел равен 1 —г2.
Геометрическое среднее [II 48] ©(/) функции я0 + 2 (ах cos ¦& +
+ Ьг sin #) в интервале [0, 2л] совпадает с геометрическим сред-
средним функции а0 — 2Yа\-\-Ъ\ cos# = a(l +p2 — 2pcos #), где р
определено условием i/fl";-f-bj = ap; 0=sSp<l, ao = a(l + p2). По
поводу © A + р2 —2рс08#) см. II 52.
70. Вследствие того, что Dn (/) — определитель Эрмита, все
нули определителя Dn (f — h) вещественны и при | х012 +1 х112 +...
...+ |^л|2=1 расположены между минимумом и максимумом
формы Tn(f) [К ow а lews k i, стр. 130, 283]. Следовательно,
согласно 68 они имеют вид
h = аи — 2У<х\ + Ь\ cos ф @<ф<л).
Отсюда, заменяя в решении 69 всюду а0 на ao — h, получаем
Поэтому нули определителя Dn(j — h) будут
/	^	(v = 0, 1, 2, .... п).

342
71.
См. 70.
n+l
п
1 VI „
п
1 С*
->— \ Fit
0
РЕШЕНИЯ
[ Qq ~"~ JL у CL\ —|-
7 , О 1/ #| -4— Ь
/?I cos —¦
i cos Ъ)&
Указанное в задаче свойство чисел hvm имеет место не только
в этом частном случае, когда / (#) представляет собой тригоно-
тригонометрический полином первого порядка, но и вообще для любой
собственно интегрируемой функции f{&). [См. G. Szego, 1. с. 69.]
72. Первое решение. Мы будем пользоваться следующим
символическим способом записи [см. М. Riesz, Ark. for Mat.,
Astron. och Fys., т. 17, № 16, стр. 1, 1923]. Пусть
где йлц — произвольные числа. Мы будем тогда писать
Так, предположение задачи записывается теперь следующим обра-
образом: если полином х0 -\- ххг -\- хггг +... + хпгп не равен тождественно
нулю, то
Обозначим полином, рассматриваемый в задаче, через Р (г). Пусть
z0 будет один из его нулей, Р (г) = (г — zo)Q(z). Положим
где Q (z) — полином, сопряженный с Q(z). Тогда при произволь-
произвольных х0, хи |Jfol24-|^i|2>O,
Со A ^о I2 + I Ху |2) + C^XoXi + CjoXj. =
= Q (с) Q (с) (| х0 \'_+ \х^ + cxoxt + cxoXl) =
= Q (с) (х0 + Xjc) Q (с) (а0 + ххс) > 0.
Следовательно, | Сх | < Со.

ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
343
Но теперь
следовательно,
0 (v = 0, 1, 2, .... n-1),
(c-zo)Q(c)Q(c) = O,
" Q(c)Q(c) C,
Второе решение. Согласно одной теореме С. Caratheo-
dory [Rend. Palermo, т. 32, стр. 205, 1911] существуют такие 2я
чисел
Pi, Р2> •••» Рл1
=l, 2, ..., n).
что pv5s0, ]ev|=l (v=l, 2, ..., п) и
Имеем
где h обозначает минимум рассматриваемой в задаче формы при
дополнительном условии |^ol2+i^il2 + --- + |^«|2= 1. В нашем
случае h > 0. Отсюда вытекает
"Ё "s ^-^?.^=^ (I ч ?+ki I2+• • •+! *„-! I3) +
я—1 л—1
следовательно,
v=l
п — 1 га-1
n —1n —1
в предположении, что не все числа х0, хи ..., хп-} равны нулю.
Но наше уравнение можно записать так:
I Ot-n+l — 2Ся-ц ]а, ц = 0, 1	п-1 = 0.

344	РЕШЕНИЯ
Если, стало быть, z0 —корень полинома, то существуют числа
х0, хх, ..., хп-г, не равные одновременно нулю, удовлетворяющие
системе уравнений
Получаем
л—Iп-1
2 2 с>.-Ц+1*/.*М.
Х=0ц=0

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
[]	, х— [ ]
следовательно, так как [х-\-п\ — п есть целое число,
2а Нужно показать, что
(n_l) + (n_2) + ...+ l = !fci) = [|] (mod 2).
При n = 0, I, 2, 3 убеждаемся в этом прямым подсчетом. При
переходе же от п к я+ 4 обе части увеличиваются на четное
число.
3.	Если х-[х]<~, то 0<2*-2[х]<1. Если х-[х]^^,
то 1 sc 2х — 2 [х] < 2. Согласно 1
[2*-2[*]] = [2*]-2М.
4.	На основании I, так же как 3.
5.	На основании 3
6.	Искомое целое число п удовлетворяет неравенствам
п—К.х^п, т. е. —
следовательно, п = — [—х\.
7.	0<а + р-[а]-[Р] = а-
8. На основании 1 при изменении а и р на целое число обе
части изменяются на равные количества. Поэтому достаточно
доказать теорему для случая 0*са<1, 0«ср<;1. В этом случае
теорема утверждает, что
Если [а + р] = 0, то доказывать нечего; если же [а + р]=1, то
+ Pslt значит, по крайней мере одно из обоих слагаемых,
4
скажем а, ^у; следовательно, [2а]-f [2|3J ^ [2а] ^ 1.

346
РЕШЕНИЯ
9. [Ch. Hermite, Act a Math., т. 5, стр. 315, 1884.] Доста-
Достаточно рассмотреть случай 0=s?x<;l [решение 8]. Пусть k опре-
определено так, что
1{' т- е- —k = [nx-n] = [nx]-n.
Тогда обе части равны n — k.
10.	Мы можем принять, что Oscx< I [решение 8, решение 9].
При 0^д;<;1 в правой части стоит 0, далее
Inx\ < tix [пх] <х<Г\ \[пхЦ - О
11.	[J. J. Sylvester, задача, Nouv. Ann., серия 1, т. 16,
стр. 125, 1857. Решения —Е. Prouhet, Lebesgue, там же,
серия 1, т. 16, стр. 184, 262, 1857.]
[A + УЗ Jm+1] = A + УзJт+1 + A - /3Jm+1,
ибо —1 <(l — ]/3Jm+1<0 и в правой части стоит целое число.
Получаем, далее,
A + V%) D + 2 ]/3)т + A -1^3) D - 2 VW =
= 2т {A + ]/3) B + У)т + A - УЗ) B - Уз)т}.
Выражение в фигурных скобках имеет вид
2 (а + Ъ V3) + A + УЗ) (У 3)т + 2 (а - Ь УЗ) + A - УЗ) (- Уз)т,
где а, Ь —целые рациональные числа, и, следовательно, содержит
только первую степень числа 2.
12.	Интересующими нас числами являются а, 2а, За, ..., ka,
где ka^n<i{k+ \)а, следовательно, fe = |— 1.
Можно поставить вопрос также следующим образом: сколько
- „ 1 2	п
среди дробей —, --, ..., — целых чисел, т. е. сколько целых
чисел содержится в интервале	^
13.
ние 12]
13. Число целых чисел в интервале — <xsS— равно [реше-
[решеЫ L"J:
число целых чисел в интервале	<. х ==с — — равно

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	347
14. [J. Konig, Math. Ann., т. 9, стр. 530, 1876. Задача;
Nouv. Corresp. Math., т. 5, стр. 222, 1879. Решение — R a d i с к е,
там же, т. 6, стр., 82, 1880.] При а = 0 и а = я утверждение
очевидно; пусть, стало быть, 0<Ссс<Сл. Тогда два соседних члена
последовательности не могут одновременно обращаться в нуль.
Если два соседних члена cosva, cos(v+1)а образуют.пере-
образуют.перемену знака, то между va и (v-fl)a лежит только один нуль
функции cosx. Два несоседних члена cos(v— I) a и
cos(v+l)ct, также могут образовывать перемену знака, а именно,
когда cosva = 0. Таким образом, Vn (a) равно числу нулей функ-
функции cosx в интервале 0 «?.*•<; па, т. е. числу нулей функции
sin л; в интервале
Это число равно — у~п
15.	gn = [nS]~[(n-l)S\.
16.	N (г, а, а) = 0 при r<|lna|; N (r, a, a) = l — k при
г^\1па\, где
т. е. в этом случае
N (г, а,а)=\+ [	2Н	J + [	2^	J-
См. III 73.
17.	[f(a)] + [f(a+ !)] + [/(а+ 2)]+ ... +[f(b- 1)] + [/(Ь)].
18.	Левая часть дает [17] число целых точек в области
ls^xsgp—I, 0<y^— х. Во всем прямоугольнике
l^scx^p— I, l==SysS?—1
лежит (р— l)(q~ 1) целых точек. Они расположены симметрично
относительно точки x=j, У — -^ и находятся как выше, так и
ниже прямой у — --х в одинаковом числе; на самой же прямой
их нет ни одной, ибо точка этой прямой может быть целой, лишь
когда х — целое кратное р.
19.	[Gauss, Theorematis arithmetic! demonstratio nova, 1808,
Opera omnia, т. 2, стр. 1—8; Gottingen, Konigl. Ges. der Wiss.,
1863; G. Eisenstein, задача, J. fur Math., т. 27, стр. 281,
1844.] Речь идет о целых точках в прямоугольнике

348	РЕШЕНИЯ
Общее количество их равно p'q'. Первые р' членов в левой
части дают число целых точек, лежащих ниже прямой у = ^-х,
последние q' членов —число целых точек, лежащих выше этой
прямой [17].
20. [V. Bouniakowski, С. R., т. 94, стр. 1459—1461,
1882.] Пусть переменная х пробегает значения 1, 2, ..., п,
переменная у при заданном х — значения [У (х— 1) р ] + 1,
[У"(х—1) р ] + 2, ... , [Т/л:р]. Положим г = г(х,у) = хр — у2-
тогда 0<г<ри — г есть квадратичный вычет mod p. Так Kai
—1 — также квадратичный вычет, то то же имеет место и для г
Так как 4д = р — 1, то число всех г равно
х=\
что составляет столько же, сколько вообще существует квадра-
квадратичных вычетов mod р. Далее, все г различны: из ххр — г/| =
= х2р — у\ вытекает, что р входит множителем в у\ — у\ =
— (У1 + У2) (#i — #г)> т- е- #i = #2 и> следовательно, также х1 = х2.
Сумма всех г
2я
2
у=\	х=\
равна, стало быть, сумме всех наименьших положительных квад-
квадратичных вычетов modp, т. е. равна р~ р.
21. [J. J. Sylvester, С. R., т. 96, стр. 463, 1883.] Пусть
п — число свойств а, р, у, ..., х, X. Если некоторый объект
имеет k из этих свойств (lsgus^n), то в сумму, приведенную
в задаче, он привносит ровно
единиц. Если, напротив, объект не обладает вообще ни одним из
свойств а, р, у, ... , и, X, то он вносит ровно единицу, а именно
в первое слагаемое N. По поводу доказательства этой теоремы,
принадлежащей собственно к формальной логике, методом мате-
математической индукции см., например, U. Yule, An introduction
to the theory of statistics, Ch. 2, London, Griffin 1916.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	349
22. N
получаем
так как объектов, не обладающих ни одним из свойств а, р,
у, ... , к, Я, не существует [I 37].
23. [В другой формулировке, как «jeu de rencontre», у Mont-
mort A. de Moivre. См. Euler, Opera omnia, серия 1, т. 7,
стр. 11, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1923.] Общее число
членов в разложении определителя равно п\. Число членов,
содержащих avv, равно (л—1)!, содержащих amavv равно (п — 2)!
и т. д. Значит, согласно 21 искомое число равно
(См. также решение VII 46.)
24. Число чисел, не превосходящих п и делящихся на а
(свойство а), равно -|ч [12]. Число делящихся одновременно
на а и & (свойства аир) равно числу делящихся на ab, т. е.
-^ , и т. д. Поэтому [21] искомое число равно
«-И-И-И--И-И+
+И+И+-+Н-
[abcj ¦¦¦
Г	«__1
L абс... Ы J '
25. [Euler.] Полагаем в 24 а — р, b = q, с = г, ... Искомое
число равно
п п п
pqr
. п 1 п .
рд рл т • • •
п	.
~Pqr~"

350	РЕШЕНИЯ
26.	Доказывается рассуждениями, аналогичными примененным
к частному случаю 21, где всем объектам приписано значение 1.
27.	Применяем 26. Объекты — числа 1, 2, 3, ... , п, свойство
а —делимость на р, свойство |i— делимость на q и т. д. Под
числовым значением объекта понимаем квадрат соответству-
соответствующего числа. Имеем
Следовательно, интересующая нас сумма равна
' ^ L \pqr...J ^ \pqr...
где
pgr-
A -p) A-9) A -/")... =

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
351
28. Пусть Af = Max(a, b, с,..., k, I). При N = 0 доказывать
нечего. При iV>0 применяем 21 к числам 1, 2,..., N в качестве
объектов. Здесь свойство а состоит в том, что число является
частью числа а (т. е. ^а), свойство {5 — вхождение как часть в Ъ
и т. д. Число объектов, не обладающих ни одним из свойств а,
р\ ... , очевидно, равно нулю. Переносим N в другую сторону.
29> Пусть р — какое-нибудь простое число и
а = раа', Ь = рРЪ', с = рУс',..., k = pvk', 1 = рЧ,
где а', Ь', с', ... , k', l' уже не делятся на р. Показателем сте-
степени р в левой части служит Мах (а, р, у, ... , х, Я), в правой
части
-Мт(а, P)-Min(a, y)-...-Min(x, Я) -f
+ Min(a, p
d=Min(a, P, 7, ... , x, A,).
Согласно 28 эти выражения равны между' собой. Так как это
имеет место для любого простого числа р, то мы и получаем
требуемое утверждение. См. 46.
30.	Доказывается с помощью умножения по строкам.
31.	Определитель задачи равен квадрату определителя, общий
элемент которого т^ равен единице, если уь — делитель К, и равен
нулю в противном случае. Возвести в квадрат, перемножая
по строкам.
32.	Перемножаем по строкам определители
10 0 0
110 0
1110
1111
1111
а„
а»
а0
а0
а0
0
Ч
ч
Ч
0
0
а2
а2
а3
0
0
0
а3
«3
... 0
... 0
... 0
... 0
... ап
33. Перемножаем по строкам определители
I	0	0	0
II	0	0
10	1	0
11	0	1
1
сц	0	О	О
at	a2	0	О
ах	0	а3	О
Of	a2	0	а4
гДе Ллм, имеет то же значение, что и в 31; второй определитель
получается из первого заменой г\к]1 на

352
решения
34. Первая половина тривиальна. Пусть р, q, r,... — простые
множители числа п. Применяем 26 к делителям t числа п. При
этом объекту t приписываем числовое значение at. Свойство а
состоит в том, что делитель входит не только в п, но и в —,
свойство р, —что он входит не только в п, но и в —, и т. д.
Сумма числовых значений, приписанных тем делителям t, которые
не входят ни в —, ни в —, ни в у, ..., равна тогда
t\n
t -
\p
t -
I q
i>+...-
— t
pq
n
pT
pqr
tin
pqr ...
согласно определению функции ц(п). Но единственным делителем,
не обладающим ни свойством а, ни р, ни у, ... , является п, и
ему приписано значение ап.
35. [A. Hurwitz.] Согласно 34 достаточно показать, что
t | п.
тт	^ 1 2 3	п
Но это очевидно: приводя дроби —, --, - , ... , — к несократи-
несократимому виду, получаем дроби вида ~, где r^t, (r, t) = \, / — дели-
делитель числа п, причем каждую один раз.
36. Положим в 35
тогда g(ri) = ln(xn— I), f (n) = In Кп(х) и, следовательно,
In Я„ (*) = !>(') In (*т-1).
37. Положим в 35 гр(г/) = еея'^; тогда g-(l) = l, g-(n) = 0 при
п>1, следовательно,
2Я»>
2
(г, п.) = 1

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
353
38.
п
1
2
з
5
6
7
8
о
10
ф (Я)
1
1
2
2
4
2
6
4
6
4
т(я)
1
2
2
3
2
4
2
4
3
4
О (Я)
1
3
4
7
6
12
8
15
13
18
с2 (л)
1
5
10
21
26
50
50
85
91
130
V (Л)
0
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
— 1
-1
0
	j
1
— 1
0
0
1
>. (л)
1
	1
— 1
1
-1
1
— 1
	\
1
1
еЛ(п)
1
2
3
2
5
1
7
2
3
1
39.	На основании правила умножения Коши, соответственно
Дирихле, см. стр. 138, а„ = Ь„ = 1.
40.	На основании правила умножения Коши, соответственно
Дирихле, см. стр. 138, Ьп—\.
41.	Частный случай формулы 42 при
42.	На основании правила умножения Коши, соответственно
Дирихле, и 34.
43.	Если тип — взаимно простые, то все делители произве-
произведения тп получаются от умножения каждого делителя числа т
на каждый делитель числа п. Поэтому
т. е.
сга (п) = аа (тп).
Для ф(/г) утверждение вытекает из 25. Для других функций
утверждение очевидно. Для f(n) = na, K(n) соотношение f (тп)—
= /(т)/(«) имеет место не только при взаимно простых, но и
вообще при всех т и п.
44. Согласно 43 достаточно рассмотреть случай n = pk, где
р — простое число. Делителями являются тогда 1, р, р2, ..., рк,
следовательно,
45. Расположим значения отношения
x(Pk) = k+\
12 Г. Полна. Г. Сеге, ч. II

354
РЕШЕНИЯ
в виде таблицы с двумя входами. В прилагаемой таблице непра-
неправильные дроби выделены жирным шрифтом:
о
о
1
2
1
2
2
2
4
2
3
2
3
6
3
20
3
4
4
4
18
4
100
4
5
8
5
54
5
500
Значения указанного отношения убывают при возрастании
как р, так и k (продифференцировать!) и стремятся к нулю. Так
как —~— мультипликативная функция от п, то дело сводится
к разысканию всех произведений, имеющих значение 5=1, множи-
множители которых (в числе, большем или равном единице) принадлежат
различным строкам таблицы. Таких произведений имеется
лишь 10 соответственно числам п — 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 24,
30; вместе с п = 1 эти числа дают все решения неравенства
46. Достаточно рассмотреть одно лишь фиксированное простое
число р и мультипликативную функцию, связанную с р следую-
следующим образом: f(n) = g(k), когда pk — высшая степень р, содержа-
содержащаяся в п, g@)=l, в остальном g(k) — произвольная функция
показателя k. Все мультипликативные функции могут быть состав-
составлены путем умножения из функций такого вида. Но для такой
функции теорема гласит
g(Max(a, P, V. в, .... х, X))g(Min(a, p))g(Min(a, у))...
(a, P, ?))•••
где a, p, Yt S, ... , x, Я — неотрицательные показатели наивысших
степеней р, входящих соответственно в а, Ъ, с, d, ... , k, I. А это
представляет собой обобщение формулы 28, допускающее анало-
аналогичное доказательство, с тем отличием, что при этом нужно
использовать не 21, а 26, приписывая рассматриваемому как
объект числу т числовое значение Ing (т.) — \пе(т— 1), причем
l(l) 0
()
47. Каждое целое положительное число может быть одним
и только одним способом представлено в виде произведения сте-
степеней простых чисел. Таким образом, по самому закону образо-
образования рассматриваемого бесконечного произведения мы получаем

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	355
каждый член f(n)n~s, где п = р*1р*2, ... , р*\ один и только один
раз, а именно как / (р^)р~^ f (р\*) р~"^ ... /:(p*v) р~'V!. Теорема
совершенно равносильна свойству мультипликативности функции
fin).
48.	[Е и 1 е г, Introductio in analysin inf initorum, т. 1, Opera omni a,
серия 1, т. 8, стр. 288, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1922 *).]
/(«) = 1 (n=l, 2, 3, 4, ...) —мультипликативная функция [47].
49.	Вследствие мультипликативности имеем
00
L а ('п ~
1— p~2s
(I-P-*J
tl = I	P	P
= 1
со
п= 1	р
1-p-s
n
р
50. [Е. Cesar о, задача, Mathesis, т. 6, стр. 192, 1886.
Решение —М ante 1, там же, т. 8, стр. 208, 1888.] а(п) — мульти-
мультипликативная функция, поэтому [47]
|] а(п)п°^Ц[\ +а(р)р-° + а(р*)р-** + ...] =
= (A + 2^ + 2-2s + ...) П
р>2
П1
р>2
51. Вследствие 48
р
оо	со
52.	^ д-* 2 ц
п= 1	л = 1
*) Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, ОНТИ, 1936.
12-

356	решения
Равносильно второй формуле задачи 41. 52>—56, 58 можно дока-
доказать также без помощи рядов Дирихле.
53. На основании 49
оо	со	оэ
2 и-'=2 я-* 2 я («)«"'•
га= 1	п— 1	п= 1
54а На основании 49
2 2
«= 1	«= 1 п= 1
55.	На основании 49
ОО	ОЭ	00
2 п-п-* 2 ц(я)я-* = 2 ф («)«-';
«=1	л= 1	л=I
тот же результат получаем, применяя 34 к 54. Равносильно
формуле 25.
56.	_ns)
т. е.
оо	со	оэ
2 \nn-n~s = 2 h{n)n-s 2 «"*•
n= 1	n= 1	n= 1
57.	Из 33, 54. Другие частные случаи формулы 33 полу-
получаются из 52—56.
58.	[Jacobi, задача, Nouv. Ann., т. 11, стр. 45, 1852. Ре-
Решение—А. Da Hot и др., там же, т. 11, стр. 126, 186, 1852.]
+ ... ==A—2-*)S(s).
следовательно,
= A -2-0 ?(s) 21-* С(s- 1) - A -21-) ? (s- 1) 2-Е (s) =
ОЭ
= 2"s ? (s) ? (s - 1) = 2 о (m) {2m)~s.
m— 1
59. Согласно 47 функция /i(«) мультипликативна, если
*)p-*s+ ...)= 2 h(n)n->.
л=1

отдел восьмой	357
Но в нашем случае
откуда и вытекает утверждение.
60. Пусть вершины выпуклого правильного д-угольника
в порядке их следования будут Ах, Л2, А3, ..., Ап. Отрезок,
соединяющий вершины Ak и Аь принадлежит некоторому пра-
п
вильному (выпуклому или звездчатому) у-угольнику, где t —
= (п, l — k); откладывая указанный отрезок -г раз, мы возвра-
возвращаемся к исходному пункту. Тем самым из каждой вершины
неходит при *=1 ф(«) отрезков, принадлежащих различным п-
угольникам; эти последние имеют, следовательно, в совокупности
-j П(( (и) СТОрОН.
61.	Если — несократимо, то несократимо также ~ . Обе
дроби в сумме составляют 1.
62.	[G. Frobenius; см. A. Errera, Rend. Palermo, т. 35,
стр. ПО, 1913.] Пусть (b, c) — d. Если (а, Ь, с)=1, то сократи-
сократимыми будут лишь те дроби, числитель которых делится на простые
числа, входящие в с, но не входящие в Ь, а значит — иве/. Отсюда
следует аналогично тому, как в 25, что число несократимых
дробей
Но у (be) = dtp (-^), ибо be и -j содержат одинаковые простые
множители; кроме того, согласно 46 (p(~)(p(d) = ф(Ь) ф(с).
63.	фA) + 2[фB) + фC)+ ... +Ф(л)].
64.	A) Число столбцов, в которых мнимые части числителя
имеют с п фиксированный наибольший общий делитель t, равно
ц[~г). В каждом из этих столбцов число несократимых дробей
равно числу чисел, меньших чем п и взаимно простых с t, т. е.
равно 4-ф@- Поэтому число всех несократимых дробей будет
равно
i\n

358	РЕШЕНИЯ
и представляет, следовательно [43, 59], мультипликативную функ-
функцию. При n = pk число сократимых дробей равно pk~x-pk~x, и,
значит, число несократимых равно ры_р2к-2_
Из формулы Ф (п) = Л ф (t) y ф (у), между прочим, вытекает
t | п
сразу также D), ибо имеем
л= 1	k= 1	/ = 1
B)	Вытекает из 21, как 25.
C)	Число дробей, числитель и знаменатель которых можно
сократить ровно на t, равно Ф(у). Суммируя по всем —, полу-
получаем
()
t\n	t\n
Из D) вследствие 47 вытекает A) и обратно.
Из D) вытекает B) и обратно. В самом деле,
п= 1 .	п= I d In
[41], следовательно,
Из D) на основании правила умножения рядов Дирихле вы-
вытекает C) и обратно.
65. Из первого тождества имеем
из второго
апх 	 %' „ i..m i „2m i л/im I	\	¦%'/%'«! yti
+ ...)= 2 B
л =1 V|п
66. Имеем
A - 21-*) ? (s) = l"s - 2-* + 3-* - 4~s+ ...
Первое тождество дает, таким образом,
t\n

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	359
а второе
оо	оо
2 т&= 2 м*т-*2
п -— 1	m — 1
67. Записывая Л„ в форме Л„=2а* и объединяя множи-
t\n
тели с показателем ат, получаем в правой части произведение
т
trfln* j \ ¦ BотJ ц2 / \ (ЗотJ л2
которому в левой соответствует ат-я степень члена
x	m~\x mWjy (Щг&)у (ЗтJя2У"'
68.	См. решение 66:
П. \1 ~ (km)*я?)	= lm Ctg 1т '
69.	Из 65 на основании 41 и 49 вытекает, что, интересующие
нас функции суть х и ^ .
70.	[Baschwitz, задача, Mathesis B), т. 3, стр. 80, 1893.
Решение—Е. Cesar о, там же B), т. 3, стр. 205, 1893; La-
guerre, Oeuvres, т. 1, стр. 216, Paris, Gauthier-Villars, 1898.]
Из 65 и 49.
71.	Из 66 с помощью 41, 49.
72.	Из 66 с помощью 49. Согласно I 93 сумма ряда
Ал v ' 1+х"
л= 1
при jc-^-1 стремится к — схэ. Если бы удалось доказать анало-
оо
гичное утверждение для ряда ^ h(n)xn, то тем самым была бы
п— 1
доказана известная гипотеза Римана о нулях ^-функции.
73.	См. 64, 65, 66.
74.	Согласно 39, 65
П=1	П—\

360	РЕШЕНИЯ
Суммируем ряд по членам, стоящим справа и ниже каждого
диагонального элемента х, х4, х9, ... См. также II 32.
75. [Euler, Opera omnia, серия 1, т. 2, стр. 373, Leipzig,
В. G. Teubner, 1915.] Согласно 49, 65
оо
т (и)*» =2 "т?^г= х+ х*+ х3+ xi + ¦•• +
Суммируем этот двойной ряд по столбцам. С другой стороны,
рассматриваемый ряд представляет собой (с точностью до множи-
множителя — х) логарифмическую производную от эйлерова произведения
оо	3k2+ k
A-х) A-х2) A-х3) ... A-х") ... = 21 (—1)"х~г~ [154].
Умножая на знаменатель 1 — х — х2-\-хъ-\-х7 — ... и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
or (га) - or (га-1)-or (га-2) +or (га-5)-for (га-7)- ... =0.
Слева стоят выражения (— 1)» о га - 2 ), 0 ==с *" 2~ < га,
где вместо не определенного еще символа а@) в случае его по-
появления следует поставить число га.
со	со оо	оо
7В У Р"	У У пл„тутл_ У 9"'
^ 1 — (?*" i_j ^ r v	Ami 1 — рхт
77.	Заменяем в 76 р на х, # на — х2, х на х2.
78.	В разложении дроби ._ 3 содержатся в качестве пока-
показателей степеней нечетные числа, в разложении дроби -y^ri—
числа, делящиеся на 2, но не на 4, в разложении дроби -\^Гл ~~
числа, делящиеся на 4, но не на 8, и т. д. См. решение I 19,
где также играет роль разбиение всех чисел сообразно содержа-
содержащейся в них высшей степени двойки. Интересующее нас тожде-
тождество получается также посредством логарифмического дифферен-
дифференцирования из I 164. Второе тождество получается из 66 или же
посредством логарифмического дифференцирования из решения I 14.
79.	[См. P. G. Lejeune-Dirichlet, Werke, т. 2, стр.52,
Berlin, G. Reimer, 1897.] Указанные целые точки можно подсчи-
подсчитать двумя различными способами. Число целых точек на гипер-

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	361
боле xy = k равно т (k)\ полагая k=\, 2, ... , п и	складывая,
получаем левую часть. Число целых точек на прямой	x = k, па-
параллельной оси у, равно \~ ; полагая k—\, 2, ...,	п и скла-
складывая, получаем правую часть. См. II 46.
80. Указанные в задаче 79 целые точки можно	подсчитать
также, беря число целых точек в обеих полосах
и вычитая из него число целых точек в квадрате lsgx^v,
lsc«/^v, т. е. v2. [В области x>v, «/>v, xys^n не содер-
содержится ни одной целой точки, ибо (v+lJ>ft.]
81.	Припишем каждой целой точке (k, l) в области л:>>0,
z/>0, ху^п «числовое значение» akbt. Подсчетами, аналогич-
аналогичными проведенным в 79, получаем различные представления для
суммы «числовых значений» Г„ всех указанных целых точек.
82.	Полагаем в 81 ап = А(п), Ъп= 1; тогда сп = \пп и Вп = п,
Гя = In n\, следовательно,
83.	[80.]
84.	Биномиальные коэффициенты являются целыми числами.
\ является целым также и для отрицательных целых х, ибо
\ т ) v ; \ т I
85. Функции 1, х, хг, ... , хп можно последовательно выра-
выразить в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициен-
, х х(х — 1) х (х—1) ... (х — п+1) м- j.,
тами через 1,-]-, —^— > ••• > ~^	—^Г	^- Коэффициенты
fc0, blt ..., bm *) определяются из уравнений
/2\	/2
PB) = bm + (i)bm.l + fl
*) Последовательные (но в обратном порядке) конечные разности поли-
полинома Р (х), взятые в точке х = 0. Аналогичные замечания можно сделать и
относительно задач 88 и 89.

362	РЕШЕНИЯ
Если Р@), РA), ...,, Р(т) — целые числа, то, как показывают
приведенные уравнения, и Ьо, Ьх> ..., Ът будут целыми числами.
86.	[85.]
87.	Мы можем принять, что точками, в которых Р (х) при-
принимает согласно предположению целые значения, служат 0, 1, ...
..., т; тогда утверждение вытекает из решения 85.
88.	[G. Poly a, Rend. Palermo, т. 40, стр. 5, 1915.]
(х + т—1\ х(х? — 12)(х2 — 22) ... [х-2 — (т — Щ
\ 2т — 1 У	Bт — 1)!
Коэффициенты clt сг, ..., ст последовательно определяются из
уравнений
[Решение 85.]
89. Полином степени 2т
~Ш\ 2т-} I-1'	w«	•••' 0> Ol °' •••' 0>
при
х — — т, — т+1, ..., — 1, О, 1, .... т— 1, т
и, стало быть, целозначен [87]. Далее,
[Решение 85, 88.]
90. [G. Pol у a, Deutsche Math.-Ver., т. 28, стр. 31—40,
1919.] Согласно VI 70 целочисленный полином Р(х) = аохт-\-
+ аххт-х + ... + ат, а0Ф0, в m+l различных целых точках
принимает по меньшей мере один раз значение, которое по мо-
модулю Ss|s-|ao|Ss|sr- При mSs4 имеем |^->1. Для т<3
можно указать следующие примеры:
т=\, Р(х) = х	для х = — 1, 1,
m = 2, P(x) = x(x-l) — l	для х = — 1, 0, 1,
т = 3, Р(д:) = (д:+1)д:(д:-2) + 1 для х =—1, 0, 1, 2.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	363
91.	Из интерполяционной формулы Лагранжа, см. стр. 98.
92.	Первое решение. Пусть интересующая нас функция
Р (х)
будет R(x)—-Q(i> где Р (х) и Q(x)— взаимно простые полиномы
и г —сумма их степеней. Для случая г = 0 теорема тривиальна.
Предположим, что степень Р (х) не ниже степени Q (х) [в про-
противном случае мы взяли бы R (х)~х вместо R (х)]. Пусть для
некоторого целого положительного а (±(а)Ф0. Тогда отношение
^-|у рационально и -— [R (х) — ^Ц-) = —^ представляет собой
рациональную функцию, принимающую рациональные значения
для целых х, х>а, причем степень числителя
P(x)Q(a)-Q(x)P(a)
р* м _
Q(a)(x-a)
меньше чем степень Р(х), так что сумма степеней Р* (х) и Q(x)
меньше суммы степеней Р (х) и Q (л:). Утверждение получается
теперь методом математической индукции.
Второе решение. Пусть интересующая нас функция будет
Р (х)
R (х) = У+-!-, где Р (х) и Q (х) — взаимно простые полиномы степеней
с/ ух)
соответственно т и п. Пусть, далее, в точках х = 0, 1, 2,...
..., т-\-п эта функция принимает рациональные значения r0, rv
г2, ..., гт+п. Рассмотрим систему т-\-п-\-\ однородных линей-
линейных уравнений
+umkm — vork —
...—vnrkkn = 0 (k = 0, I, 2, ..., m + n)
с m + n + 2 неизвестными и0, ult ..., um, v0, vlt ..., vn. Двум
решениям этой системы соответствуют две пары полиномов Р (х),
Q(x) и Р*(х), Q*(x), где Р (х) и Р* (х)-степени <m, Q(x) и
Q* (х) — степени sgn такие, что
P(k)-rkQ(k) = 0, P*(k)-rkQ*(k) = 0 (k = 0, 1, 2	m + n).
Но из обращения в нуль функции Р (х) Q* (х) — Р* (х) Q (х) степени
^т + п в точках х = 0, 1, 2, ..., т + п вытекает, что она тож-
тождественно равна нулю. Так как Р (х) и Q (х) — взаимно простые,
то Р (х) должно делить Р*(х), т. е. Р* (х) — сР(х), Q* (x) = cQ(x),
с —постоянная. Следовательно, указанная система имеет, с точ-
точностью до множителя пропорциональности, лишь одно решение.
Ее ранг равен, таким образом, т + п+1, и, значит, в матрице
системы содержится по крайней мере один определитель порядка
т + п+1, не равный нулю. Но все элементы матрицы являются
рациональными числами. Следовательно, среди решений и0, иъ ...
..., ит, v0, vlt ..., vn будут содержаться целочисленные.

364	РЕШЕНИЯ
Было бы достаточно предположить, что R (х) принимает
рациональные конечные значения при т-\-п-\-\ различных
рациональных значениях х.
93.	Интересующая нас функция / (х) [решение 92, см. послед-
Р (х)
нее замечание] равна тггт> где Р (х) и Q (я) — целочисленные поли-
полису (ж)
номы. Но тогда можно найти такое целое число g, что gf (x) =
= G(х) + г(х), где G(х) — целочисленный полином, а г(х) —
правильная рациональная дробь. Функция г (х) должна принимать
целые значения в бесконечном множестве целых точек. Но так
как lim r(x) = 0, то, начиная с некоторого х, будем иметь
X—*-СО
|r(je)|<l, следовательно, г(х) = 0 и, значит, г(х)==О, ибо
рациональная функция, не равная тождественно нулю, может
обращаться в нуль лишь в конечном числе точек.
94.	Из сравнения
2т = — 1 (mod/?)
имеем
22*m=l, 22"m+l=2 (mod/?),
m и k — целые положительные, р — нечетное простое число. Отсюда
вытекает, что число простых чисел, не превосходящих х, во вся-
всяком случае ^sconst. -InInx.
95.	[G. Pol у a, Math. Zeitschr., т. 1, стр. 144, 1918.] Мы
можем предположить, отбрасывая тривиальный случай а = 0, что
(a, d)=\, d^sl, a>d. Числа
являются целыми при всех v=l, 2, 3, ..., а числа
содержат лишь простые множители, входящие в а.
96.	Произведение чисел вида 6п+ 1 представляет собой число
снова того же вида.
97.	[Goldbach; см. Euler, Opera omnia, серия 1, т. 3, стр. 4,
337, Leipzig, В. G. Teubner, 1917.]
Первое решение. Пусть [85]
Ьт = Р(п),
где Ьо положительно и п выбрано столь большим, что простое
число Р(п) = р больше чем т и Р{р-\-п)>р. [Р(х) возрастает
до бесконечности и притом монотонно, начиная с достаточно

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
365
большого значения х,] Тогда при х = р все члены будут делиться
на р, и р будет входить собственным множителем в Р(р-\-п).
Второе решение. Если Р (х) — полином степени т, то
т\ Р (х) будет целочисленным полиномом [86]. Пусть при целых
положительных значениях а и b имеем F' (а) = р и Р (b) = q, где
р, q — простые числа, q>р>т. Выберем с = а (mod/?), c^b
(modi?). Тогда т\Р(с) = 0 (modpq) и, следовательно, Р(с) = 0
(mod pq).
98. Нечетное простое число р является простым делителем
полинома х2+1 тогда и только тогда, когда
99. Простое число р, рф2, 3, 5, является делителем поли-
нома х2-\-15 тогда и только тогда, когда I	] = (— J ( —
= 1. Так как
(—W(—1Г^~ (—) = (— 1)?^~(-р-) (—) = (--
\ Р I	\Р I	I 3 у' V р/ \5
' Р \ _ „ /	А О\	[Р_
f)sp(mod3), (f j^p3 (mod5),
то 	 = [ -?- -v- = 1 тогда и только тогда, когда о либо содер-
* Р I \й I \ ° /
жится одновременно в обеих последовательностях
4, 7, 10, 13, 16, 19, ...,
4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 26, ....
либо не содержится ни в одной из них. Искомыми простыми дели-
делителями служат 3, 5 и все простые числа вида 15х-\-у, где у=1,
2, 4, 8.
100. Полином ах2-\-Ьх + с неприводим тогда и только тогда,
когда Ьг — 4ас не является квадратом. Пусть р не делит Ь2 — 4ас.
Из сравнения
4а (ах2 + Ьх + с) = Bах + bf + 4ac-b2 = 0 (mod p)
/б2— 4ас\ , ,-,
вытекает, что 	 = 1. По закону взаимности, примененному
. Р )
как в решении 99, и теореме Дирихле о простых числах в ариф-
арифметической прогрессии [см. примечание к задаче 110] существует
бесконечное множество простых чисел р, для которых (—~ ас\ =
= — 1. С помощью более тонких средств эту теорему можно рас-
распространить на неприводимые полиномы любой степени. См. G. Fro-
benius, Bed. Ber. 1896, I, стр. 689-703.
101. После умножения на некоторое целое число, не равное
нулю, мы можем записать рассматриваемый полином в виде

366	РЕШЕНИЯ
(ах+ b)Q(x), где а, Ь — целые, аФО, Q(x) целозначен, Q(x)^0.
Если р — простое число, не входящее в а, то существует бесчис-
бесчисленное множество х, для которых ax + bssQ (modp), т. е.
(ax+b)Q(x)^0(modp).
102.
у» _ 11Л*_|_ Збх2 - 36 = (х2 - 2) (х2 - 3) (х2 - 6).
При р>3 равенства ( — ) = ( —) = (—) =—1 не могут одновре-
менно выполняться, ибо ( — )(—)( —) = 1.
103.	Из 104 следует, что m входит множителем в р— 1.
104.	Из равенства
t\m, t<m
[36] вытекает, что ат— 1^0 (modp), следовательно, а взаимно
просто с р. Если бы а не принадлежало показателю т (modp),
то мы имели бы а'— 1=0 (modp) уже для некоторого собствен-
собственного делителя t числа т. Так как
t'\t
то тогда по крайней мере еще один множитель полинома хт—1,
кроме Кт(х), делился бы на р. Мы имели бы тем самым а'п — 1 =
= 0 (modp2) и точно так же (а-\-р)т— 1=0 (modp2), что невоз-
невозможно, так как (а-\-р)т— 1 =am— I -\-mpam~x (modp2).
105.	6Р — 1 обладает простым множителем вида 6/г — 1 [96],
этот последний не может входить множителем в Р и, стало быть,
отличен от всех уже известных простых чисел вида 6л—1.
106.	См. решение 105.
107.	[Q. Polya, J. fur Math., т. 151, стр. 19—21, 1921.]
Пусть ри р2, ..., pk, qu q2, ..., qt — простые делители функции
abx-\-c, причем в b входят множителем все q и ни одно р. Тогда
каждое q должно будет входить также в с; если ^v — высшая
степень, в которой qv входит в с, то ^v при лг>ру будет также
высшей степенью, в которой qv входит в abx-\-c. Пусть х0 —
целое число, для которого abx" + с^О, и р^ —высшая степень,
в которой р^, входит в аЬх«-\-с. Полагая
будем иметь для всех целых х^О и ц=1, 2, ..., k

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	367
Если бы теперь числами рх, р2, ..., р*, glf q2, •••. qi исчерпы-
исчерпывались все простые делители функции abx-\-c, то для всех до-
достаточно больших целых х было бы
О (mcdp?1+1), (modp?2+1), ....
т. е. функция abXJrC была бы ограниченной, что на самом деле
не имеет места.
108.	Каждый не тождественно постоянный целозначный поли-
полином имеет по крайней мере один простой делитель, ибо он прини-
принимает значения О, 1, —1 лишь в конечном числе точек. Пусть
Р (х) есть целочисленный полином [86], Р (а) = Ь ф 0, и известны
уже его простые делители р1( р2, ..., pt. Тогда полином
b'1P(a + bp1p2...plx)
является целочисленным и == 1 (mod рхр2... р{) для целых х и име-
имеет, таким образом, хотя бы один простой делитель, от л и ч н ы й от
Pi, р2,..., pt\ но таковой служит простым делителем также для Р (х).
Можно доказать и методом, примененным в 107 [см. 1. с. 107].
109.	Да, если Р (х) — линейная функция или степень линей-
линейной функции [95J, и, как можно доказать с помощью более тон-
тонких средств, ни в каком другом случае. См. 1. с. 95 и С. Siegel,
Math. Zeitschr., т. 10, стр. 204—205, 1921.
11Ош [J. A. Serret и др.; см. Е. Landau, Handbuch der
Lehre von der Verteilung der Primzahlen, стр. 436, 897, Leipzig
und Berlin, B. G. Teubner, 1909.] [108, 103.]
111.	Существуют два таких целочисленных полинома р (х) и
q(x), что р (х) Р (х) + q (x) Q (х) = т Ф 0, где т — целое число. Сле-
Следовательно, (Р(п), Q(n)) делит т, тогда как Р (х) и Q(x) имеют
простые делители, не входящие в т [108].
112.	Предположим сначала, что полином Р (х) — целочислен-
целочисленный. Р (х) — взаимно простой с Р' (х). Существует бесконечное
множество простых делителей р полинома Р (х), для которых
^0 (modp) и Р'{п)ф0 (modp) [ill].
Так как Р (п + р) - Р (п) =рР' (п) (mod p2) [130J, то оба числа
Р(п), Р(п-\-р) не могут одновременно делиться на р2. В общем
случае рассматриваем т\ Р (х), где т есть степень Р (х).
113. Пусть J (x), Ji(x), J2(x),... — различные неприводимые
множители Р (х), расположенные в порядке возрастания их крат-
кратности, так что
Р (х) = [J (х)]т [А (х)]т' [J2 (х)У»>.... т «s m, ^ m2 <...
Существует [111] бесконечное множество простых делителей р
полинома J (х) таких, что из J (п) == 0 (modp) необходимо ел еду ет,

368	РЕШЕНИЯ
что J' (п)фО, /х(л)фО, J2(п)фО, ... (modр). Тогда одно из двух
чисел J (п) и J(n + p) делится лишь на первую степень р [112J
и, следовательно, одно из двух чисел Р (п) и Р(я + р) —лишь на
рт и ни на какую более высокую степень р.
114.	[Ch. Brisse, задача, Interned, des math., т. 1, стр. 10,
1894; R. Jentzsch, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 19, ст. 361, 1912. Решение —W. Grosch, там же, серия 3,
т. 21, стр. 368, 1913; см. также серия 3, т. 25, стр. 86, 1917.]
Если Р (х) не представляет собой точной k-и степени, то сущест-
существуют такое целое число а и два таких целочисленных полинома
Q(x), R(x), что аиР (x) = [Q(x)]k R(x), где Q(x) может быть равно
единице, a R (х) во всех случаях обладает нулем кратности, мень-
меньшей k (это явствует из разложения Р (х) на неприводимые мно-
множители). Существуют произвольно большие целые п, для которых
R (п) делится на простое число р, не делясь на pk [113]; следо-
следовательно, ни R(n), ни Р (п) не представляют точной k-й степени.
Другое решение —в 190.
115.	Обобщение метода, примененного в 107. [См. 1. с. 107,
стр. 19—21.]
116.	[Gauss. См. Неске, стр. 14, 78*).]
117.	[Gauss. См. Nouv. Ann. de math., серия 1, т. 15,
стр. 383, 1856. Решение —De Rochas и др., там же, серия 1,
т. 16, стр. 9, 10, 71, 1857.] Если /(я) = 0, а-целое, то/(*) =
= (х — а) ф (х), где ф (х) — целочисленный полином [116]. Из чисел
— а, \—а одно, и поэтому из чисел /@) = — аф@), /A) =
= A—а)фA) по крайней мере одно, —четное.
118.	[L. с. 90.] Пусть/(л:) = аол:т + а1л:т-1 + ... + ат, а0 ф 0, —
целочисленный множитель полинома Р (х) с наивысшей степенью т.
Тогда
Согласно предположению полином f (х) должен принимать в п,
следовательно, самое меньшее в т-\-\ точках целые значения, по
модулю меньшие, чем
.т\
п —
2
Из интерполяционной формулы Лагранжа (стр. 98) вытекает
тогда [VI 70], что |ао|<1, т. е. ао = О, в противоречие с пред-
предположением. См. 116.
119. [L. с. 90.] Видоизменением метода доказательства тео-
теоремы 118.
*) Гек ке, стр. 19 и 82.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	369
120. [P. Stackel, J. fur Math., т. 148, стр. 104, 1918;
G. Pol у а, 1. с. 90.] Обозначая указанный полином через Р (х),
имеем при всех целых х
P(x)szX(x-l)(x-2)...(x-n+l)s=0 (mod n\) [130].
Неприводимость Р (х) вытекает из 119, так как
n-[|
ral + 1
Указанный неприводимый полином при всех х делится на п\.
Этот множитель п\ является наибольшим, какой только вообще
может иметь при всех х целочисленный полином п-й степени
с взаимно простыми коэффициентами [86]. Другой противоречащий
пример [А. и R. Вгаиег'ы]: полином хи+105х+12 делится при
всех целых х на 2, являясь вместе с тем по известному критерию Эй-
Эйзенштейна неприводимым. Он не может принимать и значений ±2,
ибо по тому же критерию полиномы
105х+ 14
также неприводимы.
121.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 13, стр. 367, 1908. Решение —W. Fltigel, там же, серия 3,
т. 15, стр. 271—272, 1909.] Если у(х), г|з (л:) — целочисленные
полиномы [116] и
(х-а^ (х-а2)... (х-ап) - 1 = ф(д:) г|з (х),
то должно быть cp(av) = — г|з(ал,)=±1 при всех v=l, 2, ..., п.
Но если бы полиномы ф(л;), -ф (л:) и, значит, также их сумма
Ф (л:) + г|з (л:) были степени =s; п — 1, то эта сумма ф (х) + гр (х),
обращаясь в нуль в п точках, должна была бы быть тождественно
равна нулю, и следовательно, мы имели бы
(х - аг) (х - а2)... (х - ап) - 1 = - [Ф (д:)]2,
что невозможно вследствие различия знаков у коэффициентов
при хп.
122.	[L. с. 121.] Если ф(л;), г|з (х) — целочисленные полиномы
степени s? n — 1 и
F (х) = х (х - aj) (* — я2) ...(* — <va) -f I = ф (х) г|з (х),
где 0<а1<а2<. ..<а„_1, то так же, как в 121, заключаем, что
Ф(х) = 1?(х), /?•(*) ==[ф(*)]а, п = 2т,
где т — целое. Но
1) 11 2п1~
-1 2 2	2 •••
113 Am — 3
^l~~2'Y '~2'" 2
13 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II

370	РЕШЕНИЯ
при m^3, следовательно, F(х) не может быть квадратом. Даль-
Дальнейшее исследование необходимо лишь в случае ^(у)>>0. Поли-
Полином F (х) приводим (и, значит, является квадратом) лишь в сле-
следующих двух случаях:
т = 2, л = 4, at=l, a2 = 2, fls = 3,
т=\, л = 2,	а1 = 2.
123. [I. Sch ur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 15,
стр. 259, 1909.] Если ср(л-), г|з (х) — целочисленные полиномы соот-
соответственно степеней k, l и если, кроме того, старший коэффициент
полинома ф (л:) положителен и
(х-atf(х-а2J...(х-апу + 1 == Ф(х)f (x),
то тогда ф(л:), г|э (х) положительны для всех вещественных значений
х, <p(av) = i|>(flv) = l, <р(лг) = ** + ..., 1|)(дг) = х' + ..., ?+1=2я.
Если k <Cl, то ф(х) = 1, ибо ф(л:) принимает значение 1 в n^k+l
точках. Если k — l = n, то полином (я—1)-й степени ф(х) — о|з(х)
обращается в нуль в п точках, и, следовательно, тождественно.
Но тождество
1 = [Ф (х)Г - (х - atf (х - a,f... (х - anf =
= [Ф(х)+(х-ах) (х-а2)...{х-л„)][ф(х) -(х-аг)(х-а2)...(х-ап)]
невозможно.
124ш[1. Sch ur, задача, I.e. 123. Решение —А. и R. Вгаиег'ы.]
Положим
Ро (х) = (х- Oi) (x — a2)...(x- ап).
Если бы полином ро (х) + 1 был приводимым, то его можно было бы
представить в форме
рЪ (х) + 1 = [1 - р0 (х) р_г (х)] [1 - р0 (х) Pl (х)],	A)
гДе Р-1 (х) и рх {х) — целочисленные полиномы со старшим коэффи-
коэффициентом — 1. Из A) вытекает
Ро (х) = — \р-х (х) + рг (х)] р0 (х) + р_! (х) pl (х) рх (х),
' Р-1 (х) + Pi (х) = — р0 (х) t (x),	B)
где t (x) — некоторый целочисленный полином. Следовательно,
pl(x) = t(x) + p.1(x)p1(x).-	C)
Если теперь степени п^, пх полиномов р-г(х), рг(х) равны, то из
равенства A) вытекает, что л_1 = л1 = л. Приравнивая тогда
старшие коэффициенты в равенстве B), заключаем, что t(x)=2.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	3?1
Из B) вытекает, далее, что p_1(av) = — Pi(av) и. значит, по фор-
формуле C) р\ (av) = 2 (v = 1, 2, ..., п). Но это невозможно, ибо р1 (av)—
целые рациональные числа. Пусть, стало быть, п._1>л1. Имеем
l=pi(x)pt(x) (mod l-ft(*)po(*))-
Из тождества A) вытекает поэтому, что
р\ (*) + 1 з= р\ (х) + р\ (х) pi (х) == 0 (mod 1 - Pl (х) р0 (х)),
p\(x)+l=[l-Pl(х)р0(х)][1 -Pl (х)р2 (х)],	D)
где р2(х), как в последующем вообще рх(х), tx(x), означает
целочисленный полином. При выводе D) из A) мы не опирались
на свойства корней полинома ро(х); поэтому получаем по аналогии
с равенствами D), B) и C)
pl (х) + 1 = [1 - рх (х) рХ-г (х)] [1 - Рх (х) р1+1 (х)],	E)
Px-i (*) + Рл+1 (х) -= — pi(x)h (х),	F)
pl (х) = tk (х) + /vi (х) Рш (х) (Я = 0, 1, 2, ...).	G)
Исключение полинома Ря-iW» соотв. р%±%{х), из F) и G) дает
-PA W PUi W	Л W ~~ 1 -PA W PA-i (*)
Степени % полиномов р% (х) постоянно убывают на одно и то же
число, ибо из E) вследствие неравенства п^^п^ вытекает
. «А-1 — «А == П% —
Поэтому имеется первый тождественно равный нулю полином
pm(jt). Положим pv(x) — y. Из G) при A = v получаем y2 = t(x),
следовательно, из F)
Pv-i (х) = — У3, pv-2 (х) = — Pv-i (х) У1 - pv W = Уь - У, ¦..
Из соотношения F) вытекает, далее, что все рк являются полино-
полиномами относительно у, рх (х) = qx (у); при этом в каждом полиноме qx
все показатели сравнимы по модулю 4. Поэтому вместе с а также ta
является корнем уравнения qx(y) — Q- За исключением qv(y) и
Яч-х(у) все qx(y) имеют отличные от нуля и, значит, также не
вещественные нули. То же имеет место и для рх(х), так каку(х)
имеет рациональные коэффициенты. Так как р0 (х) имеет лишь ве-
вещественные нули, то v должно быть равно единице или нулю.
Первая возможность отпадает, так как тогда было бы р0 (х) =
= —pl(x), что невозможно, ибо все нули полинома р0 (х) различны.
13*

372
РЕШЕНИЯ
125. [А. и R. Вгаиег'ы.] Так же как и в 124, получаем ряд
целочисленных полиномов р..г{х), po(x), Рх(х), ..., удовлетворяю-
удовлетворяющих уравнениям
] = {l-fb(x)p*.-i(x)} {\-рк{х)рм(х)},	A)
/Vi (х) + рш (х) ^-рх (х) t(x)-A,	B)
pi (x) + Арх (x) + B = t (х) + рх_г (х) рх+1 (х) (Л = 0, 1, 2, ...), C)
где t(x) обозначает некоторый целочисленный полином, не зави-
зависящий от Я. Если. /?„! (л:) и р± (х) имеют одинаковую степень, то
аналогично тому, как в 124, получаем
(k=l, 2, .... п).
Следовательно, должно быть Л2 —4Б + 8 = С2. Но если бы это
было так, то полином F (z) был бы приводимым:
+ ~(A + Cyz + l}{z* + ±-(A-C)z+l}.	D)
Если «_!>%, то пусть снова pvfl (x) — первый полином, тожде-
тождественно равный нулю, и pv(x)=y. Тогда будем иметь
и р% (х) — qx (у) будут целочисленными полиномами относительно у.
Полином q0 (у) вместе с р0 (х) имеет лишь различные целочисленные
нули Ьи Ь2,.,., Ът. При г/ = Ьй(}х = 1, 2, ...,т), полагая gi(b^) =
=Ьд, будем иметь
q\ (bP) + Aq, (b{l) + В = и FМ) = 6Ь + ЛЬМ + 5	E)
[из C) для Я=1], следовательно,
F)
Таким образом, либо Ь^ — Ь^, либо 6^ = — Л — Ъ^. Но теперь
(^) = ^+1(^)==О, ^ = ^1(Ьц) = ^№), так как qv(y) = y. Из
Ьц) = <7^а+1(ьй). <7ш (V = <7v-x №) и B) вытекает, что
- — А - q^xibl) и ФЪ) - 9v-A+i (Ь^) = qv-K-i (&S)
(Я = 0, 1,..., v-1),
и, следовательно,
^ = ?v(^) = 9i(^).	G)
Те by,, для которых ^ = ЬЙ, удовлетворяют соотношению
Я1(У)=У,	(8)

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	373
те же, для которых Ь? =— А — Ь^, удовлетворяют соотношению
4iiy) = — y-A.	(9)
При v> 1 уравнения (8) и (9) будут степени т — 1. Стало быть,
по крайней мере два из Ь^, скажем Ьх и Ьг, удовлетворяют урав-
уравнению (8) и по крайней мере два, скажем Ь3 и bt, — уравнению (9).
Так как Ь3фЬц, то мы можем предположить, что Ь3Ф—я- и, зна-
значит, Ь3фЬ*. Но теперь согласно G)
являются целыми числами; следовательно, Щ — Ь1 = ±{Ь3 — Ь1).
Знак + не годится, так как ЩфЬ3. Таким образом, мы получаем
< bt -4- b*	* bf-4-.b<t	i i тт
bx — J и аналогичн0 о2— 2 ' слеД°вательн0> bx = b2. Но
это невозможно. Значит,
v= I, qo(y) — — У (У2 + Ау -f- В) — А = — (г/3 + ^^/2 + ^ + ^)-
Из равенства 6Х + Ь2 + 6Э = — А = 6^,63 при надлежащей нуме-
нумерации получаем, что ^=1, Ь2 = 2, Ь3 = 3, или 6Г = —1, Ь2 = —2,
й3 = — 3, или Ьх = — 62 >» 0, &3 = 0. В первых двух случаях
полином F(z) = zi±6z3+ Ilz2±6z+ 1 будет согласно D) приво-
приводимым, в последнем полином Т7 (г) = г4 — b^z2 + 1 будет положительно
определенным лишь при Ь|=1. Значит,
п
Cjq \У) == — У \У — 1 / \У -\~ 1) == Pq \Х) ^11 \Х — йу).
у(х) может содержать лишь один линейный множитель, так как
в противном случае у (х) и у(х) — \ имели бы не только целочи-
целочисленные корни av. Следовательно,
ро(х) = (х - а) (х - а - I) (х - а - 2).
В этом случае полином F [р0 (х)] действительно приводим.
126. [А. и R. Вгаиег'ы.] См. решение 124, 125. Рекуррентные
формулы будут здесь таковы:
Apt(х) + 1 = [1 -рх(х) px-i (х)] [\-рх (х) рх+г (х)],
рх-х (х) + рк+1 (х) = — рх {х) t (х),
Apl(x) = t(x) + px-1(x)pxn(x)
\ pi (х) + 1 = [1 - Рх (х) Рх-г (х)] [1 - Рк(х) Рм_ (х)],
. при
четных К;
РХ-1 (X) + Рл+1 (X) = —РХ (X) ¦ -J t (X)
¦х /* W = хt
при
нечетных Я.

374	РЕШЕНИЯ
р_! (л:) и рх (л:) — целочисленные полиномы со старшими коэффициен-
коэффициентами, скажем Л_х и Лх; остальные рх (х) не обязательно цело-
численны. Несмотря на это, в случае «_!>% заключаем, как
в 124, 125.
В случае п-1 = п1 из рекуррентных формул вытекает, так как
Л_1Л1 = Л>0, что
[/Ч (х) - л (х)]2 = pj (х) (Л-! - Л^ - 4 (Л
{р_х {х) - Pl (х) + р0 (х) (Л_х - Л J} х
X {/?-! W -Pl (*)-/>„ (*) И-!- Лх)} =- 4 (Л_х +Л,).
Из неравенства Л_1Л1>0 вытекает, что А^1 + А1ФО; оба мно-
множителя в левой части постоянны; старший коэффициент в первом
множителе будет, таким образом, 2Л_Х — 2Л1 = 0. Следовательно,
Обратно, полином 40*2* +1 = BD2z2 + 2Dz + 1) {2Dh2 - 2Dz + 1),
т. е. приводим.
127. [Обобщение одного замечания, принадлежащего О. Gme-
lin'y, см. P. Stackel, 1. с. 120, стр. 109—110.] Пусть ф(л:)—
целочисленный множитель полинома Р (х) = ф (х) г|? (л:) [116]; тогда
также все нули полинома ф (л:) лежат в полуплоскости JRjcO — -к.
Отсюда следует, что ц>(п— -0-— t) < q>(n—-~--\-t)\ при ^>0.
Так как ф(я—1)=?0 и целое, то |ф(я— 1I^1 и ф(л) —целое,
|ф(л)|>1. Аналогично для г|з(д:). Но тогда Р (п) имело бы собст-
собственные делители ц>(п) и ч|з(п), что противоречит предположению.
. 128. [A. Cohn.] Применим 127 с « = 10 [III 24].
129. [D. H i I bert, Gott. Nachr., 1897, стр. 53; доказательство
A. Hurwitz'a.] Числа j/V, |/"s , l/Vs, Yr-\-Ys> Yr ~Ys —
иррациональные. Поэтому в каждом линейном множителе коэффи-
коэффициенты будут находиться в иррациональном отношении, и то же
будет иметь место в каждом множителе второй степени, получае-
получаемом комбинированием двух линейных множителей. Следовательно,
рассматриваемый полином неприводим в обычном смысле [стр. 150].
Если имеет место функциональное сравнение [Неске, стр. 11—12*)]
Р (х) = (х2 + ахх -f а2) (х2 + а3х+а4) (mod a),
Р (х) == (х2 + Ьхх + Ь2) (х2 + bgx + bt) (mod b)
*) Г е к к е, стр. 17,

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	375
и (а, Ъ) — 1, то существуют такие числа clt c2, с3, с4, что
Cv = av (mod a), cv = 6v (mod b) (v==l, 2, 3, 4),
P (x) = (x2 + cxx + c2) (r= + c3x + Ci) (mod ab).
Таким образом, достаточно доказать разложимость по модулям,
представляющим собой степени простых чисел, г является квадра-
квадратичным вычетом mod 8, следовательно, также mod 2" при любом п;
Р (х) представлено в равенстве A) в виде разности двух квадра-
квадратов mod 2п и распадается поэтому на два множителя второй сте-
степени. Вследствие B) Р (х) приводимо mod г'8, вследствие A) — mod sn.
Если р — простое число, рФ2, рфг, рфь, то по крайней мере
I г \ (s \ I rs\ л	,
один из символов ( —), 1~)> I— будет равен единице, ибо
(НтИтЬ15 смотря по тому> будет {т) (i){f )
A), B) или C) будет показывать разложимость modp". Основания
для возможности таких примеров см. у Frobenius'a, 1. с. 100.
130.
a(a+l)...(a-fm—I) _ /a+tn—V
m!	~ \ m
[84, решение 136.]
131. Пусть рассматриваемые числа будут a, a-\-d, a+2d, ...
..., a-\-(m— \)d и (d, m!) = l. Тогда существует такое d!',
(d', ml)=l, что dd'==l (modml). Полагая ad' = а', имеем
d'ma (a + d) (a + 2d)... (a+ (m - 1) d) =
= a' (a'+l)(a' + 2)...(a' + m-l) (modm!) [130].
132.	[K. Hensel, J. fur Math., т. 116, стр. 354, 1895.]
[Решение V 96.]
133.	a) n = 4 или простое число. Действительно, если п — состав-
составное, n = ab и а<.Ь <.п— 1, то (л—1)! делится на п. Если п есть
квадрат простого числа, п = р2 и р>2, то п— 1>2р и (п— 1)!
снова делится на р2.
б) п = 8, 9, р, 2р, где р — произвольное простое число. Если п
не имеет вида р, 2р, р2 и пф8, 16, то n — ab, где 3«?а<6.
Либо числа а, 2а, b, 2b все различны, либо все различны числа а,
Ъ, За, 2Ъ; в том и другом случае из 2Ь<.п вытекает, что (п — 1)!
делится на a2b2. Теперь
] = р — 1 S2= 4 при р^Ъ,
... = 2«-1-„>2« при «
и, таким образом, вследствие 134 остаются лишь перечисленные
случаи.

376	РЕШЕНИЯ
134. Согласно 82 искомый показатель равен
где сумма обрывается на 1-м члене, для которого р1 sg n < рг+1.
135. [Е. Lucas, Theorie des nombres, т. 1, стр. 363, Paris,
Gauthier-Villars, 1891.] Высшая степень десяти, делящая 1000!,
имеет, очевидно, тот же показатель, что и высшая степень пяти.
Этот показатель равен [134]
136. [Е. Catalan, Nouv. Ann., серия 2, т. 13, стр. 207, 1874;
Е. Landau, там же, серия 3, т. 19, стр. 344—362, 1900.] Пусть
р — простое число, v —целое положительное; положим ap~v = a',
bp^v = b'. Тогда достаточно [134] доказать, что
См. 8,
137. [F. G. Teixeira, С. R., т. 92, стр. 1066, 1881; М. Weil 1,
Bull. S. M. F., т. 9, стр. 172, 1881.] Достаточно [134] дока-
доказать, что
"I , Г Are 1 . _ /Г« "I i Г Al
где р — простое число.
a) (h, p) = l; /i;3s — />V+I, следовательно,
б) h = pah', (hr, p) — l. Тогда в левой и правой частях пер-
первые а членов отпадают, и утверждение принимает вид
См. а).
138.	Пусть т\~хМ, где т содержит лишь те простые мно-
множители, которые входят в /, и (М, t)=l. Пусть tt's=l (modM).
Тогда аналогично тому, как в 131,
t'ms (s - t) (s - 2t)... [s - (m - 1) t] ==
= t's (t's- 1)...[t's- (in-1)]e0 (modM).
139.	Согласно 134 и 138

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	377
140. Если t = paq$ry ..., где р, q, г, ... — различные простые
числа, то г = ра+V+1/"Y+1 ••• [139], ибо
...<я(Р+1),...ит. д.
141.	Имеем/B) = -^-, Q@)#0, P (z) и Q(z) - полиномы
с целыми коэффициентами [149]. Q@)/[zQ@)] можно по сокраще-
сокращении на Q @) представить в виде отношения двух целочисленных
полиномов, причем знаменатель в точке г = 0 принимает значение 1.
См. конец решения 142.
142.	Если /(г), g(z) удовлетворяют условию Эйзенштейна, то
/(г)—/@) и g(z) — g@) .можно также одновременно преобра-
преобразовать в целочисленные ряды подстановкой Tz вместо z, выбирая
надлежащим образом целое положительное Т.
Если F(z) и G(г) — целочисленные ряды, то целочислен-
целочисленными являются также ряды F(z)-\-G(z), F(z) — G(z), F(z)G(z) и,
наконец, F[G(z)], если G@) = 0, и-^Ц-, если G @) == 1. В самом
деле, если
где ах, а2, ... — целые числа, то функция
разлагается в ряд по возрастающим степеням z с целыми коэффи-
коэффициентами.
143.	Следует из определения.
144.	[См. G. Poly а, Acta Math., т. 42, стр. 314, 1920.] Усло-
Условия 1), 2) непосредственно вытекают из условия Эйзенштейна. Что
они, обратно, имеют его своим следствием, убеждаемся следующим
образом. Пусть
^<А (я=1, 2, 3, ...)
и простой множитель р входит в tn ровно vn раз. Тогда
Обозначая через Р произведение простых чисел, входящих в tlt
t2, t3, .... мы можем положить Т = Рк, где k — целое число, k>B.
Действительно, каждый множитель р произведения Р входит в Тп
ровно kn раз, a kn>xn при п—1, 2, 3, ...

378	РЕШЕНИЯ
п=1
где -\ — yy,—ti следовательно, «„ — нечетное. Первый ряд удовле-
творяет условию 2), но не 1) [107], второй — условию 1), но не2);
ни один не удовлетворяет полностью условию Эйзенштейна,
ни один не представляет алгебраической функции.
146. Полагая
2
имеем
f>	[140, 143].
По поводу дальнейших исследований и литературы см. A. Err era,
Rend. Palermo, т. 35, стр. 107-144, 1913.
147. Отношение двух последовательных коэффициентов равно
Если афЧ, Р^ТиШ|^; рационально при
д: = 0, 1, 2, ..., то ар, а + Р и у — рациональные числа [92].
148.	Пусть афО выбрано так, что а (а + х) (р + х) = ах2 +
+ Ьх + с, где а, Ь и с—целые числа. Если бы F(a, p, 7; z) было
алгебраической функцией, то [144, 1] каждое простое число р (за
исключением, быть может, конечного их числа) должно было бы
быть простым делителем квадратного трехчлена ах"-\-bx-\-c. См.,
однако, 100.
149.	Частный случай теоремы 150.
150.	Частный случай теоремы 151.
151.	[См. Е. Heine, J. fur Math., т. 48, стр. 269-271, 1854;
Theorie der Kugelfunktionen, 2-е изд., стр. 52 — 53, Berlin, Reimer,
1878.]
Первое доказательство. Рассмотрим коэффициенты
функции R. Если эта функция не равна тождественно нулю, то
ее можно представить в форме
где Ro, Rlt R2, ..., Rt — целые рациональные функции от z, у,
у', ..., у{п с рациональными коэффициентами и 1, аъ а2, ...,at
рационально независимы, т. е. из соотношения п0 + «!«!+
-|- п2сс3 + • • • + niai — 0 с рациональными коэффициентами п0, nv

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	379
п2, ...., щ вытекает, что no-=«i = «2 = ••• — п( = 0. Если в Ro, Rlf
Rv ..., Rl вместо. у подставить степенной ряд ао-\-ахг + ...
...-\-anzn-\-..., то получатся соответственно степенные ряды
со
У] ^nJ'*(v = 0, 1,2,..'., /) с рациональными коэффициентами ^v>.
Сравнение коэффициентов при 2" даст tT + a^ -j- .. . + «/,!' = О,
т. е. ^0)=й1) = ... = Й)а=О, так что yj#V = ° при v = 0, 1,
п=0
2, ...,./.
Второе доказательство. Рассмотрим коэффициенты у у.
Соотношение R = 0 означает, что степенные ряды некоторого конеч-
конечного числа функций вида z^y4 (y')Vl {у"У2.. ¦ {y(r))Vr линейно зависимы
[стр. 118]. Выражаем один из этих степенных рядов линейно
через другие, линейно независимые; необходимые для этого постоян-
постоянные множители в силу системы уравнений (*), приведенной в реше-
решении VII 33, составлены из коэффициентов степенного ряда для у
рационально и, значит, в нашем случае рациональны.
152. [Е. Heine, 1. с. 151, стр. 50.] Дискриминант уравнения
1-й степени относительно до
Fo (z) wl + Fx{z) wl-1 + ... + Fl.i (г) w + Ft(z) = 0	(*)
представляет собой целое рациональное выражение относительно
Fo, Flt ..., F/_!, Ft и является, следовательно, аналитической
функцией, регулярной в некоторой окрестности точки 2 = 0. Если
он тождественно равен нулю, то при помощи рациональных опе-
операций можно составить уравнение, которому удовлетворяет f(z)
и дискриминант которого уже не будет тождественно равен нулю.
Предположим поэтому, что уже дискриминант уравнения (*) не
равен. тождественно нулю. Тогда существует I различных функций
w1 = f(z)> w2,..., wh регулярных в некотором круговом кольце
0<|z|<p, p>0, возможно, многозначных и удовлетворяющих
уравнению (*); в точке 2 = 0 они могут иметь алгебраическую
особенность. Если какая-нибудь функция ф(г), построенная, как
Wi, обладает тем свойством, что
(ф (Z) - СЬ - СХ2 - .. . - C^Z11'1) Z~n
в окрестности точки 2 = 0 остается ограниченным для произвольно
больших значений п, то имеем тождественно ер (г) = /B) [IV 166].
Рассмотрим некоторое значение т, для которого / — 1 функция
(WK -Co-dZ-...- Ст-iZ1»-1) Z"т	(Я = 2, 3	 /)
является неограниченной в окрестности точки 2 = 0. Полагая
в уравнении (*)
w = с0 + cxz +... + cm^zm-1 + zmy,

380
РЕШЕНИЯ
мы получим уравнение относительно у такого же вида, как и (*);
путем* деления коэффициентов на некоторую степень г мы можем
представить это уравнение в форме
Со B) у1 + Gx B) у'-1 + ... + G,_! (г) y + G, (г) = 0,	(**)
где не все числа Go@), G1@), ..., бЬ1@), G/@) равны нулю. Если
Go @) = Gx @) =... = GA_! @) = 0, Gh @) Ф 0, то уравнение (**) имеет
[хотя бы по «подготовительной теореме» Вейерштрасса *)] l — h
решений, ограниченных в окрестности точки 2 = 0. Но (**) имеет
на самом деле лишь одно решение, ограниченное в окрестности
точки 2 = 0, а именно ст -\- cm+1z -\- cm+2z2 +...; следовательно,
1	— h—1, h — l—\, ч. и тр. д.
153» [L. с. 151.] Мы можем принять, что Ро@) = Р1@) = ...
... = Л-2@)=0, Р,.1@) = аф0 [152], Ра(г), Px(z), ..., Pt(z)
целочисленны, и в / (г) = с0 -\- cxz ¦+- сггг +... с0 ф 0 и целое. Полагая
2	= 0, получим ас„ + Р/@) = 0, так что Р/@) делится на а. Следо-
Следовательно, a^Pxiaz) целочисленно, % — 0, 1, 2,,..,/, и, в частности,
arxPi-x @) = 1. Поэтому мы можем положить
/ (ах) = Qo B) + Q3 B) [/ (аг)Р +... + Q, (г) [/ (аг)]г,	(*)
где Qi (г) = — Д_1р/~я ^аг! снова будет целочисленным [решение 142],
Х = 0, 2, 3, ...//и Qx@) = 0 для Х = 2, 3, ..., I. Из тождества
(*) путем сравнения коэффициентов получаем, что апсп есть целая
рациональная функция от с0, асъ а2с2, ..., ап~хсп-х и, значит
[рекуррентное заключение], — целое число.
154. Пусть Р (z), Q(z), Q%(z), Q3(z), ... — рационально-числен-
рационально-численные степенные ряды, и положим у — со-\-схг-\-czz2 + ... Если имеет
место одно из шести уравнений
y = P(z) + Q(z), y = P(z)~Q(z), y = P(z)Q(z),
</ = Щ, причем Q@) = 1 [142],
y = P[Q(z)], причем Q@) = 0,
У = Q(г) + Q2(г)уг + Q3(z)y3 + ... + Ql(г)у1, причем
Q8@) = Qs@) = ...= Q,@) = 0	[152],
то сп является однозначно определенным рациональным числом,
рационально- и ц е л о составленным из коэффициентов при 1, z,
г2, ..., г" в разложениях функций Р (г), Q(г), Q2(z),... и, значит,
может содержать в знаменателе лишь те простые числа, которые
входят в знаменатели указанных коэффициентов. [См. 1. с. 144.]
*) См. Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. 2, гл. XVII, § 355,
ОНТИ, 1936, или Б. В. Ш а б а т, Введение в комплексный анализ, ч. II, § 8,
«Наука», 1976.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	381
155. [A. Hurwitz; см. G. Pol у a, Math. Ann., т. 77, стр. 510 —
п
dbn-\,
512, 1916.] Пустьр — простое число, входящее во все с„= ^] dy,b
V = 0
но не во все ап, п = 0, 1, 2, ... Пусть, скажем, а0, аг, ..., fls^ = 0,
й/,^0 (modp). Из cks==aitb0 (modp) вытекает тогда, что Ьо==
= 0 (mod р), из, сА+1 = a^bj = 0 (mod р) вытекает, что Ъх = 0 (modp),
из ск+2=а/,Ь2 = 0 (modp) вытекает, что Ь2 = 0 (modp), и .т. д.
156.	[P. F a t о u, Acta Math., т. 30, стр. 369, 1906. Приведенное
здесь решение принадлежит A. Hurwitz'y, см. G. P6 1 у а, 1. с. 155.]
Достаточно доказать теорему для примитивных степенных рядов
/(z) = ao + al2 + fl2z2 + ... [155]. Согласно 149 /(г) = -J|j-, гдеР(г)
и Q (г) — целочисленные, с взаимно простыми, коэффициентами.
Обрывающийся степенной ряд Q(z) примитивен; действительно,
если бы его коэффициенты имели общий делитель t, то, вследст-
вследствие равенства Р{z) — t-^~- /(г), t входило бы делителем и в коэф-
коэффициенты ряда Р (г). Определим два целочисленных полинома
p(z), q{z) так, чтобы р (г) P(z) + q (z)Q(z) = m=?0, m — целое.
Полагая q(z) + p(z)f(z) = R(z), имеем m = Q(z)R(z). Здесь ряд
R (z) — целочисленный и непримитивный, если тФ±1 (в про-
противном случае т было бы [155] также примитивным); его коэф-
коэффициенты во всех случаях делятся на т. Из равенства 1 =
= Q@) ^- вытекает, что Q@) = ± 1.
157.	При рациональном 9 последовательность аъ я2, а3, ...,
начиная с некоторого места,— периодическая и, следовательно,
функция f(z) = alz-\-aizi-\-...-\-anzn-\-... рациональна. При ирра-
иррациональном 6 f (z) не может быть рациональной функцией, ибо
тогда [149] она представляла бы собой отношение двух целочис-
целочисленных полиномов, и следовательно, число /(уд) было бы рацио-
рациоуд)
нальным.
158. [См. Е. Landau, Nouv. Ann., серия 4, т. 3, стр.
333—336, 1903; R. J en tzsch, Math. Ann., т. 78, стр. 277, 1918.]
То, что функция, представляемая рядом, последовательность
коэффициентов которого — периодическая, является рациональной,
получается без труда (геометрическая прогрессия). Обратно: пусть
а0, аи а2, ... могут принимать лишь т различных значений и
пусть знаменатель рациональной функции будет равен 1 + lxz +
+ /2z2-f ...-f//;2ft. Тогда при достаточно больших я art-f/1an_1 +
+ /2ая-2 + ' • •-М*я-я-* = 0- Так как существует лишь тк различных
комбинаций значений коэффициентов an-Y, а„_2, ..., an-k, то су-
существуют два числа \i, v, [x<vsg[x -\-mk, таких, что

382	РЕШЕНИЯ
Но тогда и a^ — av и, следовательно, также
159а Коэффициенты ряда
являются периодическими по любому простому модулю р. Если
р>1, то Л — взаимно простое с р, и
(modp).
Если р</, /!=p°L, (L, р)=1, то ("+/p0+1W"y(mod/>), ибо
символические «числители» этих биномиальных коэффициентов
сравнимы mod p"+1. Последовательность коэффициентов в ряде,
получаемом при умножении на P(z), начиная с некоторого места —
периодическая.
16O.	(Р-1)г _ у тп_ 1ч zn
Если ^—наименьшее число, для которого Dn+fe = Dra (modp), т. е.
Dk=s\ (modp), то k входит множителем в р— 1.
СО
161.	A
Длина периода k является четным числом, & = 2&'; k' есть
наименьшее целое положительное число, для которого U1' =^
= 1 (mod р). Так как Dp-1 == 1 (modp), то k' входит множителем
в р— 1. Далее при нечетном р имеем
р-1
D 2 =1 (modp),
если (—)= 1> и. значит, тогда k' входит в ^у-; и обратно, если
и &' является делителем ^(р— 1), то
р-1
D 2 г 1 (mod />).
162.
р 2 3 5 7	11	13 17 19 23 29
Длина периода 3 8 20~ 16	10	28 36 18 48 14
р—1 _____	ю	— _ 18 — 28
р2_1 3 8 — 48	—	168 288 — 528 —

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
383
Из двух чисел р—1 и р2 — 1 в этой таблице дано р — 1, когда
р— 1 есть кратное длины периода, и р2 — 1, когда кратным длины
периода является р2 — 1, но не р—1. Имеет ли место первый или
второй случай, зависит от того, является ли р квадратичным
вычетом (mod 5) или нет. Число 5 составляет исключение.
См. A. Speiser, Transact. American M. S., т. 23, стр. 177, 1922.
163а Пусть ап — коэффициенты интересующего нас разложе-
разложения. Тогда для достаточно больших п
ап + 1&п-\ + кап -2 + • • • + ltfln-k = 0;
/х, /2, ..., 4 —целые [156]. Так как существуют лишь mk различ-
различных систем ап-г, ап-2, ¦ ¦¦, ап-.к, не сравнимых по модулю т, то
существуют такие два числа \i, v, что
fl|i-i = flv-i. a,H = flv-2' •••» V* = av-A (.modm), рфч.
Но тогда также at^av и, следовательно, a,l+1 = av+1, ••• (modm)
[158].
164. [G. Pol у a, Tohoku Math. J., т. 22, стр. 79, 1922.]
Имеем
Пусть р — нечетное простое число и рг~г — его высшая степень,
входящая в B&—1)!, k^l, r^l. Из 134 заключаем, что
С другой стороны,
2 2pr-\ 2pr-22pr-?, 2рг-2д-\-2 2рг-2д-\-\ 12 (рг -д)
рг]~ 1 рг рг-\ рг-\ "• pr-q + l pr-q+l \ pr~q
при 9=1, 2, 3, ..., k. Так как k, а потому и г могут быть сколь
угодно большими, то в последовательности коэффициентов, приве-
приведенных по модулю р, содержатся сколь угодно длинные конечные
последовательности нулей.
165.	При 2=1 общий член не стремится к нулю.
166.	[P. Fatou, Acta Math., т. 30, стр. 368-371, 1906.]
СО
Пусть f (г) = 2 anzn. Тогда ряд |ао|« + |с1|2 + ...+ |ая|я + ...
п = 0
должен был бы [III 122] сходиться.
167.	[P. Fatou, 1. с. 166.] Согласно 150 рассматриваемая
алгебраическая функция удовлетворяет уравнению вида
Л. (г) U (г)]1 + Рх (г) [/ (г)]'-1 +... + />Ь1 (г) / (г) + Р, (г) = 0,

384	РЕШЕНИЙ
где Ро (г), Pi (z),..., Pi (z) имеют целые рациональные коэффициен-
коэффициенты. Отсюда вытекает, что у = P0(z)f (z) удовлетворяет уравнению
у1 + Р, (z) у1-1 + Р2 (г) Ро (г) у1-2 + ... + P,(z)P0 (z)'-1 = 0.
у не может обращаться в бесконечность ни для какого конечного
z, ибо в противном случае у1 в левой части перевешивало бы все
остальные слагаемые и. уравнение не могло бы удовлетворяться.
Однако y — P0(z)f(z), по предположению, является необрываю-
щимся целочисленным степенным рядом [166].
168. [F. Carlson, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 1, 1921.]
/ — произвольно большое целое число.
169. [G. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 23, стр. 289, 1915.] Если все коэффициенты а0, аг, ..., аг-х
рациональны, то числа Р (га) — [Р (га)] — периодические [158]. Пусть
теперь не все коэффициенты рациональны, и предположим, что функ-
функция f(z), определенная указанным рядом, рациональна. Мы можем
принять, что а0 иррационально; в противном случае рассматриваем
/ 2л<"\ / ,. ,,2лА
l\Z)-ri\ze j-\-...-\-j\ze	i __ Ж1 гр/и„\-\ 7kn
выбирая k так, чтобы aokr было целым и, следовательно,
[Р (kn)] = aokrnr + [aikr-1nr~x + ...].
Применяя I 85, получаем
lim A-г)г+1/B)= lim
что невозможно, так как [149] предел в левой части должен быть
рациональным.
170.	[См. D. Han sen, These, стр. G5, Kopenhagen, 1904;
G. Pol у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 27,
стр. 161-162, 1918; Proc. Lond. M. S. B), т. 21, стр. 36-38,
1922.] Что нельзя попросту отказаться от ограничения, наложен-
наложенного на коэффициенты ап, показывает 69.
171.	[L. с. 170.] См. 71.
172.	[Имеем Qn — Qn-i= I — 9Л„, где Ап есть число нулей
в конце десятичного представления числа п. Следовательно,
со	со
A-г) 2Q/= 2 (Qn-Q«-i)z» =
гд / г10 , г100 , г1000 , \
~т~ 1_гюо г 1_21ооо ~Г • ¦•)•
_	д
1—г и—г10~т~ 1_гюо г 1_21ооо

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	^85
Функция
г гю zioo 2iooo
/ '*•/ ~ 1 _г ~Т j	гю Т 1 _гк>8 "Т j	гюоо "Т • • •
имеет своей естественной границей окружность |z| —1. Действи-
Действительно, 2=1 есть особая точка [ lim /(z) = + ool, далее также
Z-+1 —0
2ягу
z = el"m , v=l, 2, ..., 10m— 1, является особой точкой, ибо функ-
функция, получаемая при отбрасывании первых т членов, переходит
в / (z) при замене z10 на г, тогда как отброшенные члены регу-
регулярны в корнях КУ-й степени из единицы, не являющихся кор-
корнями 10т~1-й степени.
173.	[G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 25, стр. 85, 1917. Решение—R. Jentzsch, там же, серия 3,
т. 27, стр. 90 — 91, 1918.] Применение теоремы Адамара о «про-
«просо
пусках»*) к функции A—г) ^ dnzn.
п = \
174.	Дифференцирование заменяет последовательность коэф-
коэффициентов а0, alt a2, а3, ... на ах, аг, а3, а4, ..., интегрирование
в указанных пределах —на 0, а0, ах, а2, ...
175.	По поводу умножения см. I 34. Если
то h (z) целочисленно (Я), равно как и
176.	Если ¦ , целочисленно (Я), то то же справедливо
[174, 175] и относительно
о
177.	?(z) = bo+,i Z+ о? 22 +... + ;:
целочисленно (Я) на основании 176.
178. Вообще: если у определяется дифференциальным урав-
уравнением вида
dxn \ ' У' dx' dx*' •••' dx"'1
*) E. Титчмарш, Теория функций, Гостехиздат, 1951, стр. 253.

386	РЕШЕНИЯ
и начальными условиями у — т0, у' — Щ, •¦•, у{п~х) — тп_х в точке
х = 0, причем Р — целая рациональная функция с целыми коэф-
коэффициентами и tn0, mlt ..., »!„_]_ — целые числа, то все производные
от у целочисленны в точке х = 0, т. е. у имеет степенной ряд,
целочисленный (Я). В данном случае
Ф" = -2ф3, «р@) = 0, ф'(Р)=1.
179. {ег - IK = е8* - Зе2г + Зе* — 1 =
П=2	П=2
180.
^
n = l
В первой строке использована теорема Вильсона {р—\)\==
=^— 1 (modp). Из третьей строки (где, кстати, предполагается,
что р Ss= 3) вытекает, что коэффициенты при ~ — периодические
modp с периодом р— 1, п=1, 2, 3, ..., р—1, р, ... Теперь
еще раз возвращаемся к первой строке.
181.	Из 176 и 133 или из I 41 и 133.
182.	[Теорема К. G. Ch. v. Staudt'a и Th. Clausen'a.
Доказательство см. в J. С. Kluyver, Math. Ann., т. 53,
стр. 591-592, 1900.] Из
3
вытекает [179 — 181], что
г	, ч г 1 /г2 . г4 , гв
21 / гР'1
р Up-l)!
где g(z) — ряд, целочисленный (Я), и сумма ^] распространена
р
на все нечетные простые числа р = 3, 5, 7, 11, ...

183.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	387
со
1
Ф(г) ^| \п
о
2я\ D»I [Ф (г)]*
Dл)! делится на 22" [134], а также на 4п-\-1, если 4/г +1 не есть
простое число [133]; ^Hf*- целочисленно (Я) [178, 176].
184. Из дифференциального уравнения задачи 178 получаем
= 4
ф2 ) J	ф
6
1	л,
следовательно, —-г — F; далее
В качестве интеграла z2, удовлетворяющего при ф = 0 начальным
условиям za = -j—= 0, находим
[ф
Dn)i '
« = о
G;J=3 -7-11.. .(in - 1), Я„=2 • 3 • 4 ¦ б • 7 • 8.. .Dл—2)Dл—;1) 4л. Если
2л+1^—1 (mod 4), то 2и+1 входит множителем в Gn. Пусть
2л + 1 = 1 (mod 4) и 2л+1=а&, а>1, Ь>1; если а = Ы
= —1 (mod 4), то числа а и Ь входят множителями в Gn и Я„
и, следовательно, аЬ входит в GnHn\ если же a = b=l (mod 4),
то среди множителей числа Я„ содержатся как 2а, так и 4&.
Поэтому 2л+1 лишь тогда не входит в GnHn, когда оно является
простым числом и == 1 (mod 4); то же имеет место и для 4л+1.
Впрочем, 2п-{-1 и 4п + 1 ~~ взаимно простые, следовательно, если
они оба в отдельности входят в GnHn, то входит и их произведе-
произведение. Более глубокие и точные результаты см. у A. Hurwitz'a,
1. с, стр. 145.
135. [Дальнейшее у М. Fujiwara, Tohoku Math. J., т. 2,
стр. 57, 1912.] Степенной ряд
а jl
— 24- -t--2^
2! * -Т-...-Т- „,

388	РЕШЕНИЯ
тогда и только тогда удовлетворяет дифференциальному уравне-
уравнению указанного вида, когда ао-\-агг-{-a2z2-\-.. .-\-anzn +... является
рациональной функцией. И то и другое связано с одним и тем же
рекуррентным соотношением между коэффициентами а0, аъ а0, ...
См. 163,
186.	[G. Polya, Tohoku Math. J., т. 22, стр. 79, 1922.]
См. 164; у удовлетворяет [I 48] дифференциальному уравнению
ху" + A-4х)у' -2у = 0.
187.	[S. Kakeya, Tohoku Math. J., т. 10, стр. 70, 1916;
G. Polya, там же, т. 19, стр. 65, 1921.] Если
« = 0
то
п\	п\ V 2дя
Равенство достигается, например, для функции
н 2
IL
Л=0
188. [Th. Skolem, Videnskapsselskapets Skrifter, 1921, № 17,
теорема 8.] Пусть g — общий знаменатель рациональных чисел Ъъ
Ь2, ..., Ьт. Тогда ряд
также принимает целые значения в рассматриваемом бесконечном
множестве целых значений 2. Так как lim r (z) = 0, то gb0 должно
г -* со
быть сколь угодно близким к целым числам, т. е. должно быть
целым. Поэтому также г (z) принимает целые значения для беско-
бесконечного множества целых z, и так как lim r(z) = 0, то r(z) = O
г -»оо
для бесконечного множества целых г, откуда г (г) == 0, ибо функ-
функция г (г^1) регулярна в некотором замкнутом круге с центром
z = 0, равна нулю в бесконечном множестве точек этого круга
и, следовательно, тождественно равна нулю.
189. Уравнение г/2 — 2г2 = 1 имеет бесчисленное множество
решений в целых числах, как это явствует из формул
C - 2 /2)" = уп -
(9-8)« = г/я-22д
(Уп, г„ —целые, я = 0, 1, 2, 3, ...).

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	389
190. [J. Franel, Interned, des math., т. 2, стр. 94, 1895.]
Если целозначный и, следовательно, рационально-численный поли-
полином
при всех достаточно больших целых х принимает значения, рав-
равные k-u степеням целых чисел, и, однако, сам не является k-ii
степенью некоторого полинома, то теми же двумя свойствами
обладает и полином
Р (x + k) Р (х + 12).. .Р (x + tk) = а**
где целые числа llt 12,..., lk выбраны так, что Р (x + tj), P (х + 4). • • •
..., Р(х-\-1ь) не имеют общих нулей; пусть 1Х</2<...</*
и разности /2 —/i, U — /2. ..., 4 —4^1 достаточно велики. Но тогда
рационально-численный степенной ряд
y
yP(x+l1)P(x+l2)...P(x + lk) =
принимает целые значения для всех достаточно больших целых х,
не являясь сам рациональной функцией, что противоречит тео-
теореме 188.
191. [Доказательство Н. Prufer'a. Дальнейшие результаты
см. 1. с. 188.] Если коэффициенты Ът, bm_j, ...,bl все рацио-
рациональны, то применяем 188. В противном случае мы можем при-
принять, что Ьт иррационально. (Если бы bm, bm_x> ..., &т_А+1 были
рациональны, имея общим знаменателем g, тогда как Ьт-Ь было бы
уже иррациональным, k 5= 1, то мы рассмотрели бы -
g [F (z) - bmzm - Ь^г^1 -... - bm^xzm-^].)
т-я разность
также целозначна при достаточно больших целых г, а отсюда
согласно 188 вытекает, что Ьт рационально, в противоречие с пред-
предположением.
192. [G. Poly а, задача, Deutsche Math.-Ver., т. 32, стр. 16,
1923. Решение —Т. R ado, там же, т. 33, стр. 30, 1924.] По поводу
доказательства по методу 188, 191 см. 193. Пусть / (г), g (г) —
рассматриваемые полиномы. Целые функции

390	РЕШЕНИЯ
обладают одинаковыми нулями, быть может, только различной
кратности. Их кратные нули содержатся соответственно среди нулей
полиномов f (z), g'(z). Поэтому функция
,, е2№7сг> —1
является целой и имеет лишь конечное число нулей, притом она
конечного рода. Следовательно, она равна к(г)ек{г), где k{z),
h (г) — полиномы. Из тождества
g' (г) е2я^(г) - g' (г) = k (z) е'»и)+2ягг(г) _ k (г) eh{z)'
следует, что одна из функций h(z) + 2nig(z), h(z) равна const.,
другая равна 2nif (z) + const. [См. G. Pol у a, Nyt Tidsskr. for
Math. (В), т. 32, стр. 21, 1921.]
193. [G. Pick, задача, Deutsche Math.-Ver., т. 32, стр. 45,
1923. Решение —G. Szego, там же, т. 33, стр. 31, 1924.] Пусть
т — степень полинома y = f(x) и « — степень полинома z = g(x).
Тогда при достаточно больших | у \ имеем
ут упг
ут
где для ут могут быть взяты все т ветвей.
Согласно предположению ряды Лорана
? Ь*е'"*"У? (v = 0, 1, 2,..., т-1),	A)
равно как и ряды Лорана
п . .2V+1
2] bke - Y\ (v = 0, 1, 2,...,/n-l),	B)
принимают вещественные значения, когда Yx и У2 пробегают
каждое некоторую последовательность положительных чисел, имею-
имеющую пределом бесконечность, т. е. числа
ЬкеТпкЯ, Ъке~кЛ (v = 0, I, 2,...,m-l)
— вещественные, следовательно, bk = 0, когда k не делится на т.
[В случае нечетных m достаточно рассмотреть лишь ряды A).]

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	391
Поэтому g(x) = ф (у)-\-Р (it1), где ф (у) — некоторый полином
относительно у, Р (у1) — степенной ряд без свободного члена, оба
с вещественными коэффициентами. Значит, полином g (х) — ф [/ (х)\
при #->co стремится к нулю, т. е. g (x) — ср [f (x)] == 0. В предпо-
предположениях задачи 192 функция, обратная по отношению к поли-
полиному ф(#), также должна быть полиномом. Поэтому ц>(у) будет
первой степени. Кроме того, как ф (у), так и обратная функция
должны быть целозначны.
194. Из
следует
195. Случай s = 0 тривиален; пусть, стало быть, s=^=0. Если
Y^—1 удовлетворяет уравнению с целыми рациональными
коэффициентами и старшим коэффициентом 1, то этому же уравне-
уравнению удовлетворяет и сопряженное комплексное число г — s\^ — 1;
значит, оно —также целое. Поэтому целыми являются и числа
(г + s у-=Г\) + (г - s V=i), (г + sy—\)(r-s yZTj).
они, кроме того, рациональны. Коэффициенты полинома
(х - г - sV^l)(x - r + sV~^l) = х2 -2гх + г2 + s2
являются поэтому обыкновенными целыми числами. Так как г2 + s2,
2г —целые, то целые также 4(r2 + s2), 2s. Положим 2r = a, 2s = Ь.
Сравнение а2 + Ь2 = 4 (r2 + s2) = 0 (mod 4) не может иметь места
в следующих трех случаях:
а=1, b = l; a=\, bssO; a = 0, b=l (mod 2).
Поэтому должно быть a==bs=0 (mod 2), т. е-. r — ~, s — -^~
целые.
18@ш Как в 195, получаем, что коэффициенты полинома
(х - г - s /^5) (х - г + s /^5),
т. е. 2г и r2 + 5s2, а значит, также 5 BsJ = 4 (r2 + 5s2) — B/-J, —
целые. Если бы, однако, рациональное число 2s не было целым,
то в знаменатель числа BsJ входил бы квадрат простого числа,
н он не мог бы сократиться с 5. Следовательно, 2s = 6 —целое,
точно так же 2г = а — целое. Дальше заключаем, как в 195, исходя
из сравнений
a2 + ^2 = a2 + 5&2 = 4(r2 + 5s2)=0 (mod 4).
197> Как в 195, 196t получаем, что 2г и r2-\-3s2, а значит,
также 2r = a, 2s = b — целые. Что а^=Ь (mod 2), показывают
сравнения
) = 0 (mod 4).

392	РЕШЕНИЯ
у( — 1 + V — З) является целым числом, как нуль полинома
х* + х+1.
198. Пусть а1? а2,..., а„ — сопряженные целые числа, | av I < k
при v= I, 2,..., п, и
(я-ах) (х-а2)... (х-ал) = л;'г + а1л:'г-:1 + ... + а„.
Тогда | av | < ( j &v, v = 1, 2,..., и. Таким образом, существует
лишь ограниченное число систем возможных значений целых
рациональных чисел аи а%, ..., ап.
f99. Сохраняем обозначения решения 198. Согласно предпо-
предположению | ап j = | йха2 ... а„ | < 1, следовательно, ап = 0. Един-
Единственным неприводимым полиномом со старшим коэффициен-
коэффициентом 1 и без свободного члена является х.
200. [L. Krone eke г, Werke, т. 1, стр. 105, Leipzig,
В. G. Teubner, 1895.] Пусть интересующий нас полином будет F(x),
и его нули (с учетом кратности) a1( a2, ..., ап. Положим
(х - а?) (х-аТ)...(х- aj) = Fh (x),
h—\, 2,...; F1{x)=F(x)\ Fh(x) имеет целые рациональные
коэффициенты. В бесконечной последовательности /^(лг), F2(x),...
...,Fh(x),... содержится лишь конечное число различных полино-
полиномов [198]. Если Fh(x)ss=Fk(x), lsg/i<&, то системы а\, ahv...
..., ahn и а!\, a*, ...,«* совпадают с точностью до порядка. Если
aj = a*, то все, что нужно, уже доказано. Пусть при надлежа-
надлежащей нумерации
Г/^ = Г/,^ Н^1 = CL^	Н^1 = Cl}1 H^ *—r-fk
Тогда
ahl =
1
201. Уравнение х2 — алг+1 имеет, по предположению, два
комплексных корня с модулем 1. Пусть alt a2,..., «„ — рассма-
рассматриваемые сопряженные числа, ax = a. Полином
имеет целые рациональные коэффициенты, и все его нули имеют
модуль 1, т. е. суть корни из единицы [200]. Пусть корень из
2лф
единицы, обращающий в нуль первый множитель, будет е q ; имеем
ae~«~-f 1 =0.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	393
202. Числа поля, порожденного числом ¦& второй степени,
имеют вид r-fsft, где г, s рациональны [Неске, теорема 53,
стр. 68*)]. Ср. 195 — 197. Равенство
с рациональными а и & не может иметь места, так как из него
вытекало бы а = 0, Ь — 1/ -g-, а этот последний квадратный корень,
как известно, иррационален. То же рассуждение показывает, что
все три поля различны.
203. [G. Poly a, Proc. Lond. M. S. B), т. 21, стр. 27,
1921.] Если мы предварительно оставим в стороне требование отно-
относительно С'?"» то, как известно [Н urwitz-Coura nt, стр. 134—
138**)], для Ш имеются лишь следующие две возможности:
а)	WI состоит из чисел пА, п — 0, ± 1, ±2, ...;
б)	ЭЛ состоит из чисел тА-{-пВ, АфО, -j- не вещественно,
т, п = 0, ±1, ±2, ...
Если мы теперь присовокупим еще требование относительно ?'?",
то в случае а) будем иметь Аг = пА, т. е. если АфО, то Л = №,
где п — некоторое целое рациональное число. В случае б) имеем
I, V, т, т', п, п'— целые рациональные. Исключая из этих трех
линейных уравнений 1, В, В2, получаем
тА2 + (Im' -l'm-n)A= In' - 1'п.
tn' — l'n принадлежит, стало быть, ЭЛ; если In' — 1'п = 0, т 1т' —
— 1'т — п принадлежит Ш. Если, далее, и это число равно нулю,
то /п = 0, т' = ВфО, и т' принадлежит Эй, Во всех случаях ЭЛ
содержит целые рациональные числа помимо нуля. Если R = rA +
+ г'В есть наименьшее из них по абсолютной величине, то г и
г' —взаимно простые. Пусть s, s'— целые рациональные числа,
такие, что rs' — r's=l. Тогда S = sA-\-s'B есть число из множе-
множества ЭЛ, а каждое число этого множества может быть предста-
представлено в форме pR-{-qS, p, q = 0, ±1, ±2, ...; 5 во всяком
случае не вещественно. Имеем
204. Из 3 = 0+ bV^b){c + dY~=b) следует
*) Гек к е, стр. 72.
**) Гурвиц, стр. 196 — 202. Г у р в иц — К у р а нт, стр. 149—155.

394	РЕШЕНИЯ
Значит, возможны лишь случаи
а2+5&2 = 1, 3, 9,
т. е.
а, Ь = ±\, 0; ±2, ±1; ±3, 0.
Второй из них исключается, ибо в этом случае было бы с2 + 5d2 = 1,
а 3 Ф ± 2 ± У — 5. Число 3 имеет лишь делители ±1 и ± 3.
Точно так же получаем, что 1 + 2 У — 5 имеет лишь делители ± 1
и ±A + 2]/ —5). Таким образом, наибольшим общим делителем
могло бы быть лишь число 1. Однако равенство
3 (d + D/^5) + A + 2/^5) (с + С |Л=Ъ) = 1
невозможно, так как из равенств
c-10C=l,
вытекало бы 3 (— Id + D + 7C) = — 2, что несовместимо с целостью
чисел d, D, С.
205. В поле содержатся следующие делители числа 9: 1,3, 9,
2 + ]/ —5, 2 —"К — 5 [204]. На основании 196 находим, что
—19+41/" — 5 не делится лишь на'3, 9 и 2 — 1/ —5, тогда как
на 2 + ")/ —5 делится:
— 19 + 4 У^Ь = B +1/"^5) (— 2 + 31/^5).
Постараемся теперь определить | = x + «"j/" —5и т) = t/+ a J/"—5
так, чтобы выполнялось равенство
9? + (— 19 + 4 К^В) л = 2 + j/~=5.
Последовательные преобразования дают
B --^35) g+ (
5и-2г/-15и=1,
Так как наибольший общий делитель чисел 9, 4, 19 действительно
равен единице, то задача разрешима; например, можно взять
и—\, у = — 2, у = 0, х = — 4:
19 + 4 У5 = B + К^5) (-2 + 3/^

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	395
206. Принимая во внимание 194 и три последних равенства
в решении 205, получаем
Наибольший общий делитель чисел 3 и 1+2]/ —5 равен, таким
образом, У
207. Из равенств ах = YiS, а2 = 7г§> • ¦ •. «я = Ym6 и
«А + «2^2 + • • • + ОлАи = ®
(определение наибольшего общего делителя) вытекает
208.	Оба частных -тр- и -г- являются целыми [207] и, следо-
д #'
вательно, ^делителями единицы, так как -^Г--^Г = 1.
209.	Умножаем все т-\-\ равенства в определении наиболь-
наибольшего общего делителя (стр. J65) на у.
210.	Равенство скх' + РтР' = 1 можно переписать также в виде
ая' + Р(Р'У) = 1 или же аа'+у(РР') = 1-
211> Частный случай теоремы 212.
212. Наибольший общий делитель б чисел а и у входит дели-
делителем и в (Зу. Из равенств
вытекает
213. ¦?- и -— — взаимно простые [определение!, см. также 209],
поэтому [211] взаимно просты также f-^-j", f-g-j ; следовательно,
б" является наибольшим общим делителем чисел а", р« [209].
214. у ее является целым числом; см. 194. Из равенств а == х'б,
Р = Р'б, аа" + РР" = б получаем
.— /г .	п ,—.
« = /«'/б,
/г .— /г .	п ,—. п .— п i	п /—-
/	/'/б /PP'/6

396
РЕШЕНИЯ
215. При т = 2 очевидно. Проводим математическую индукцию
от т к т -\-1. Пусть
и ат+1 взаимно просто с каждым из чисел ах, а2, ..., ат. Тогда
сст+1 взаимно просто также с аха2...ат [211]. Подставляем
в Xam+i + ^'aia2 ...am=l значение
216. Всякое целое число а ^= 0 удовлетворяет уравнению вида
а„ = — a (an
где а1( с2, ..., а,,-!, а„ —целые рациональные и а„=#0. Пусть
р —рациональное простое число, не входящее в ап. Подставляем в
апи -{¦ pv — \
значение ап из уравнения, определяющего а.
217. [D. Hilbert, Die Theorie der algebraischen ZahlkSrper,
Deutsche Math.-Ver., т. 4, стр. 218, 1897.] Из a^ = dvb^t где
bv — целое рациональное, вытекает, что av = 6vpv, где pv —целое.
Пусть а —любое из чисел ах, а2, ..., а„. Тогда
а" + бр^-1 + б2р2а"-2 + • • • + 6ЯР„ = О,
+ U +Р	44р 0
и, следовательно, -?¦ —целое [Неeke, стр. 79, теорема 62 *)].
С другой стороны, так как ax, a2, ..., ап — целые рациональные
числа, то существуют такие целые рациональные числа сх, с2, ..., с„,
что
К JL	Е.
CiCh +c2a? +с3аз + ••• 4-с„а^ =d.
Но аъ о2, ..., а„ являются однородными функциями от аи сс2, ...
.... а„. Поэтому
где Cftlftj!i._*„ — целые рациональные числа, kx-\-k%Ar ¦¦• -{-kn
Деля обе части равенства
*) Г е к к е, стр. 83.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	397
на б^-1 и принимая во внимание, что б входит множителем в с^,
сс2,..., ап, получаем
где yv у2,..., у„ —целые числа. См. также 214.
218.	Из р = ау получаем аналогичные равенства для сопряжен-
сопряженных чисел. Перемножение их дает N ($) — N (а) N (у).
219.	[G. Rabinowitsch, J. fur Math., т. 142, стр. 153—164,
1913.] Необходимость: если наибольший общий делитель $
чисел аир существует, т. е. если
причем а' и Р' — не единицы, то | N (а') | > 1, \N (Р') | "> 1, и так
как N(a) = N(a')N($), N (Р) = N($')N (ft), то, следовательно,
О < | N (д) | = | N (ay -f- рб) | < ] Af (a) | и также < j N (Р) |.
Достаточность: пусть | и rj пробегают всевозможные пары
принадлежащих полю целых чисел, для которых линейная форма
сс^ + Рт] отлична от нуля. Среди всех получаемых при этом целых
рациональных положительных чисел | Л/" (ccg + Рт]) | будет иметься
наименьшее, скажем, | N (а?0-\- $х\0) |. Положим a^0-f-P% = 'fl'» следо-
следовательно, $фО. Здесь нужнЪ различать два случая:
1)	а —делитель ¦&; полагая ¦& = ®'а, будем иметь |ЛГ('й1)| =
= \N ('&') | j N(а) | ;>= \N (а) |. Но, с другой стороны, по самому
выбору числа Ф, |W(д) |=^| 7VA «ос-т-О-Р) | = [ W (а) [. Значит,
| N (¦&) \ = \N(a) |, А/(#') = — 1» т- е- ^' есть единица и й в свою
очередь является делителем числа а.
2)	а не есть делитель Ф. Если бы и Ф не было делителем а,
то мы могли бы в силу требования теоремы определить I и г\ так,
чтобы было 0< | N (а^-'г'&ц) \ < | iV (Ф) |; но это противоречит вы-
выбору числа Ф, ибо сс| +'б'Т] = а (^ + "П^о) + РтПо также является
числом семейства, из которого было выбрано О = ag0 + Pri0. Таким
образом, в обоих случаях Ф является делителем а и на том же
основании делителем р. Следовательно, Ф есть наибольший общий
делитель.
220. Пусть а, р —целые числа поля, не делящиеся друг на
друга, и N (Р) ^iV (a), -g- есть число поля, однако не целое; поэтому
^-= г + sV — 1, где г, s рациональны, однако не одновременно
целые [202]. Определим два целых рациональных числа R и S так,
чтобы [г —^[sgy, \s — S|=sS^j-. r — Я, s —5 не равны одновре-
одновременно нулю, поэтому,
иметь
полагая y = r — R + (s — S)]/ — 1,

398	РЕШЕНИЯ
Положим а —р (R-\-SV— l) = <5; согласно своему определению
б —целое. С другой стороны,
б = р (г + s/^1 _ (я + S\T=1)) = ру;
следовательно,
tf (б) = N (у) N (Р) < -1 ЛГ (Р) < 1tf (а).
При 5=1» Л — — ^ ~^]/ — 1 требование теоремы 219 выполняется.
221.	Как в теории целых рациональных чисел.
222.	Как в теории целых рациональных чисел.
223.	Из aot1 + nni=l, ass0 (mod ц) вытекает lssac^ssO-
(mod [i), т. е. \l есть делитель числа 1.
224.	Повторно применяем сравнение
очевидно, выполняющееся для любых двух целых чисел р, у.
225. [G.Polya, J. fur Math., т. 151, стр. 7, 1921.] Обозна-
Обозначим определитель со; k,i=i,2	т через А. Пусть р — рациональное
простое число, взаимно простое как с аъ так и с А [216]. Тогда
т сравнений
ахщр + а-2»2Р + • • • + От»™ = 0 (mod р) (г=1, 2,..., т)
не могут одновременно выполняться. Действительно, из их одно-
одновременного выполнения вытекало бы [222, 224], что
а11со?р 1 = ^ = 0 (modp),
тогда как, с другой стороны, аг\р взаимно просто с р [211];
одно другому противоречит [223].
226.	[См. 1. с. 227.] Решение см. на стр. 168—169.
227.	[F. Мег tens, Wien. Ber., т. 117, стр. 689—690, 1908.
См. К. Grandjot, Math. Zeitschr., т. 19, стр. 128—129, 1924.]
Обозначения — те же, что и на стр. 168—169. Пусть Р будет
произведение всех простых чисел, не превосходящих 2Л, ^ —наи-
—наибольший делитель Р, взаимно простой с т, г — произвольное число,
взаимно простое с т. Пусть, кроме того, у есть совместное реше-
решение сравнений
у == г (mod m), г/ = 1 (mod t).
у взаимно просто с т и t, следовательно, с Р и содержит, таким
образом, лишь простые множители, большие, чем 2h.
Методом решения задачи 226 находим, что для простого мно-
множителя р числа у будет f(a,p) — Q. Если у>р, то те же рассу-

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	399
ждения повторяем для произвольного простого множителя q
j/
Р
наконец,
числа —; получае.м /(сс?"?) = О. Продолжая так далее, получаем,
/(а*) = /(«') = О,
следовательно, f(x) имеет своими нулями все числа а% a'2,-.., arfi,
и потому f (x)=sKm(x).
228.	Рассматриваемая рациональная функция представляет
собой отношение двух рационально-численных полиномов [149],
причем как первый, так и последний не равный нулю коэффициент
знаменателя равен ± 1 [156].
229.	[P. Fatou, С. R., т. 138, стр. 342—344, 1904.] Вслед-
Вследствие сходимости в единичном круге модули всех полюсов :з= 1.
В силу 156 произведение этих модулей sgl, следовательно, все
они равны единице, и старший коэффициент знаменателя равен ± 1.
Теперь утверждение вытекает из 200. 157 представляет частный
случай.
230.	В силу 235 или также на основании непосредственных
соображений, аналогичных 149, рассматриваемая функция пред-
представляет собой отношение двух полиномов, коэффициентами кото-
которых служат целые алгебраические числа; конечному полю К,
в котором содержатся эти числа, принадлежат также а0, av а2>...
Заменяя все коэффициенты соответствующими числами из полей,
сопряженных с /С, и перемножая полученные таким образом сте-
степенные ряды по правилу Коши, мы получим справа целочислен-
целочисленный степенной ряд относительно z~x, а слева — рациональную
функцию, в числителе и знаменателе которой стоят целочисленные
полиномы, причем полином в знаменателе со старшим коэффици-
коэффициентом 1 [156]. Значит, нули этого знаменателя будут целыми
алгебраическими числами.
231.	Другое толкование теоремы 225.
232.	[G. Poly a, I.e. 225, стр. 3—9.] Посредством разложе-
разложения рациональной функции f (г) на элементарные дроби (связан-
(связанного с некоторыми предосторожностями: не вводить иррациональ-
ностей!) утверждение приводится к 231.
233.	Мы можем принять, что алгебраическая функция f(z)
является целой; действительно, Ро (z) f (г) удовлетворяет уравнению
указанного вида со старшим коэффициентом 1. Мы можем, далее,
принять, что г = а есть регулярная точка целой алгебраической
функции /(г): если эта функция разложена по возрастающим сте-
степеням выражения {г — а)т (где т — натуральное число), то пола-
полагаем z = a + ?m; при этом точка разветвления z = a преобразуется
в регулярную точку ? = 0, новое разложение по степеням ? имеет
те же коэффициенты, что и прежнее по степеням (г — а)т; задан-

400
РЕШЕНИЯ
ное уравнение после замены z на а-\-?,т преобразуется в некото-
некоторое другое уравнение того же типа. Если
то функция
B - а)~т [f(z)-ao-a1(z-a)~...- a^ (z - а)т~%] =
регулярна в точке г = а и удовлетворяет уравнению, где коэффи-
коэффициентами интересующих нас полиномов служат лишь алгебраичес-
алгебраические числа, если только доказано, что а0, alt..., ат..г являются
алгебраическими числами: нужно доказать, что
является алгебраическим числом. Тем самым вся теорема приво-
приводится к выделенному частному ее случаю; этот последний, однако,
очевиден, так как можно заранее предположить, что не все поли-
полиномы P0(z), P1(z),..., Pi(z) делятся на z — a. [Hecke, стр. 66,
теорема 51*)].
234. [Н. WeyL] Пусть уравнение F(z, у) = 0 обладает рацио-
рациональным решением f(z). Мы можем без всякого ограничения общ-
общности предположить, что f (г) есть целая функция [решение 233].
Коэффициенты этой функции являются алгебраическими числами
[233], принадлежащими одному и тому же конечному полю
[Hecke, стр. 67, теорема 52**)]; пусть степень его будет п.
Заменяя коэффициенты полинома / (г) сопряженными числами,
получаем полиномы fi(z), /2(z)> •••>/n-i(z). Уравнение
имеет рациональные коэффициенты и обладает общим корнем
с неприводимым уравнением F(z, г/) = 0. Поэтому корни этого
последнего содержатся среди f(z), fx(z),...,fn-i(z) и являются,
следовательно, рациональными функциями от z.
235. Если ряд у = щ -\- ахг +_а2г2 + • • • представляет алгеб-
алгебраическую функцию и а0, alt a2, ... — алгебраические числа, то
этот ряд удовлетворяет некоторому уравнению F(z, y) = 0, где
F(z, у) — целая рациональная функция, F(г, у) =?0, с алгебраи-
алгебраическими коэффициентами [151; оба доказательства могут
быть распространены на рассматриваемый случай]. Коэффициенты
aft, ax, a2, ..., начиная с некоторого, рекуррентно определяются
из уравнения вида
У_Р1(г) гР2 (г) уг zP3 (г) уя	zPn (г) уп	.„..
У ~ Q(z) + Q(z) T QB) -T-----T- q(z) Г ,	{ )
*) Гекке, стр. 70.
**) Гекке, стр. 71.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	401
где Y = ат -f- ат+1г + • • • с надлежаще выбранным т, Рг (г),
Яа (г), ..., Рп (г), Q (г) — полиномы с алгебраическими коэффициен-
коэффициентами и Q @) Ф 0 [152]. Следовательно, все коэффициенты рацио-
рационально зависят от конечного числа алгебраических чисел [Неске,
стр. 67, теорема 52 *)].
236.	Дальнейшее использование уравнения (*) решения 235,
аналогичное проводимому в 153.
237.	[Th. S к о 1 е га, Videnskapsselskapets Skrifter, 1921, № 17,
теорема 41.]
238.	[Е. Lucas, Bull. S. M. F., т. 6, стр. 9, 1878.] Пустьх,
у, ?, т] —целые числа с наибольшим общим делителем 1 и
= (* -1J
Тогда
^0 (mod 4).
Так как х==г/==|==г|==О (mod 2) исключено, то остается лишь
возможностьл:з=у==!==г|==1 (mod 2). Но это противоречит урав-
уравнению
ибо его левая и правая части оказываются несравнимыми по
модулю 4.
239. [G. Pol у a, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 27,
стр. 135, 1918; принятая здесь редакция доказательства принад-
принадлежит A. Speiser'y.] Назовем целую точку р, q примитивной,
если она видна из нулевой точки, т. е. если р и q — взаимно про-
простые. Если имеет место соотношение pv — qu = 1, то обе точки р,
q и и, v примитивны, и параллелограмм, построенный на соответ-
соответствующих радиусах-векторах, имеет площадь 1 (остальными двумя
вершинами параллелограмма служат 0, 0 и р-\-и, q-\-v); назовем и,
v левым соседом точки р, q и р, q — правым соседом
точки и, v. Говоря о диагонали построенного на этих точках
параллелограмма, мы будет иметь в'виду диагональ, выходящую
из нулевой точки. Если диагональ параллелограмма, построенного
на точках р, q и и, v, имеет длину d, то р, q и и, v лежат от
нее на одинаковых расстояниях -j. Каждая примитивная целая
точка имеет бесконечно много левых соседей, все они лежат на
одной прямой и притом на равных расстояниях.
1) 1, 0 и s—1, 1 являются соседями. Диагональ построен-
построенного на них параллелограмма имеет длину ]/sa + I2. Эта диагональ
*) Гек к е, стр, 71.
14 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II

402	РЕШЕНИЯ
может быть задержана в своем продолжении лишь кругом радиуса р
с центром в 1, 0 или s—1, 1. Поэтому р^= __=-.
2) Исходя из произвольной примитивной целой точки р, q, лежа-
лежащей в круге x2-\-y2s^s2, отыскиваем самого крайнего из ее
левых соседей, лежащих в этом круге; пусть это будет р', q'
(значит, р' + р, <7' + <7 лежит уже вне круга x2-\-y2^s2). Таким же
образом пусть р", q" будет самый крайний левый сосед точки р', q';
р", q'" — самый крайний левый сосед точки р", q" и т. д. После
некоторого числа п шагов мы приходим к такой точке р(я), q{"\
что параллелограммы, построенные на р, q и р', q', на р', q' и
р", q", ..., на p{n'l\ q(n~l) и р(п), q(n\ полностью покрывают круг
х2-\-у2^ 1. Диагональ параллелограмма, построенного на точках р,
q и р', q', больше s, расстояния точек р, q и р', д' от этой диа-
диагонали меньше —. Если поэтому мы опишем возле каждой точки
р, q; р', q'; ...; р(п), qin) круг радиуса —, то каждый луч, выходя-
выходящий из точки 0, 0, будет задержан одним из этих кругов, а диа-
диагонали—даже двумя. Следовательно, р< — •
240. [A. J. Kemp ner, Annals of Math. B), т. 19, стр. 127—
136, 1917.] Пусть х рационально, равно —, где р, (/ — прими-
примитивная целая точка [решение 239]. Если указанная дорога имеет
точку 0, 0 на своем правом крае, то справа она ограничена пря-
прямой, соединяющей 0, 0 и р, q, слева —прямой, на которой лежат
левые соседи точки р, q [решение 239]. Ширина дороги равна
высоте параллелограмма площади 1 с основанием "Кр2 + <72» т- е-
равна г-.. = ш — Тем самым
В случае иррационального х имеем f(x) — i$(x) = 0 [II 166]. (II 99,
II 169.)
241.	Соединим все целые точки, сравнимые по модулю п,
в один класс. Тогда получится п2 различных классов. Но kn?+l
объектов нельзя так распределить по п2 клеткам, чтобы по край-
крайней мере в одной не оказалось более чем k объектов.
242.	[Н. F. Blichfeldt, Trans. American M. S., т. 15,
стр. 227-235, 1914; W. Scherrer, Math. Ann., т. 86, стр. 99,
1922.] Рассмотрим решетку со сторонами квадратов -тр, т. е. сово-
совокупность чисел -^-, —, где х, у, N — целые числа. Пусть zN точек

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	403
этой решетки падают на область с площадью F. Тогда lim — = F.
Пусть F>[F]. Среди zN точек существует [F]+l сравнимых
mod N, если N достаточно велико [241]. Отбирая их (пользуясь
тем, что N-*-co), приходим к требуемому результату. Случай
F = [F] приводится по непрерывности к уже разобранному; можно
рассмотреть и непосредственно, надлежащим образом изменив про-
проведенные рассуждения.
243. [Дальнейшие результаты см. у R. Fueter und G. Po-
Poly a, Zurich. Naturf. Ges., т. 68, стр. 380, 1923.] Пусть TV-целое
число, N > 1..В части плоскости, где одновременно удовлетворяются
три неравенства
fix, y)^N, х^О, у^О,	(*)
лежит в силу условий 1), 2) ровно N целых точек, т. е. точек,
для которых х и у — целые числа. Первое из неравенств (*) можно
записать следующим образом:
__L\ __L / _J_ _JL\
yN mj + N 1П<ртл\хЫ m, yN m) +
	1_		1_\
m, yN mj+...<l.
Обозначим через F площадь области, выделяемой неравенствами
<Рт(х, t/)<l, х^О, у^О	(**)
m
(F, по предположению, конечно), и рассмотрим точки xN m , yN
с целыми х, у (эти точки образуют очень мелкую решетку).
В области (**) лежит приблизительно FNт точек этой мелкой
решетки; заключаем, что число точек решетки со сторонами 1,
заключающихся в области (*), при бесконечно возрастающем N
2
асимптотически равно FNm. Но, как уже сказано, число этих
точек в точности равно N. Из асимптотического соотношения
2
FN1" ~N
заключаем, что
m = 2, F=l.
244. [См. W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und
Spiele, т. 2, стр. 364, Leipzig, В. G. Teubner, 1918.] Пусть четыре
числовые системы
J*X'	2 *	* ' ' ' ti»
Ух,	Уг,	¦¦¦, У и,
X] У\, Х% у 2 > • • ¦ 1 Хп уп,
и*

404	решения
образуют полную систему вычетов mod п. Полагая х^ — г/ц = /•,*,
Уи = ^» приходим к простейшим случаям р = 2, р = 3, соотв. р^5
теоремы 247.
245.	[A. Hurwitz, задача, Nouv. Ann., серия 3, т. 1,
стр. 384, 1882.] Г&, r2s2, ..., rqsq, очевидно, не образует полной
системы вычетов mod д, если ra = sp = 0 (mod q) иа^р. Примем
поэтому, что /-? = s?==0 (mod q); тогда
гхг2 ... rq-x = SiSa ... s?_x = 1 • 2 ... (q — 1) = — 1 (mod q)
и, значит,
rxst¦ r2s3 ... rg^s9-t = 1 ф 1 • 2 ... (q - 1) (mod q).
Беря приведенную систему вычетов 1, 2, ..., q — 1 в форме g,
g2, •••.g?-1 (g — примитивный корень mod q), видим, что наша
теорема представляет собой частный случай теоремы 247 при п =
= q-l, p = 2.
246.	[A. Hurwitz.] Достаточно рассмотреть сумму
Если К не кратно р — 1 и g — примитивный корень mod p, то
gk— 1 не делится на р; из сравнений
S(gk-1) = Q (mod pa)
вытекает, что S = 0 (mod pa). Если % кратно р—\, то сравнение
+ ••• +(ра)х = -р(*-1 (mod pa)
выполняется при а = 1. Пусть оно выполняется при некотором а.
Тогда
"	... + (р*
р-1
s=-pa (mod pa+1).
247. [A. Hurwitz, см. 1. с. 244.]
1) Положим r^^s^; тогда
= Br),
будут полными системами вычетов mod n, ибо числа 2, 3,
..., р — 1 — взаимно простые с п.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	405
2) Если р — 2, следовательно, п — четное, и если бы (г), (s),
(r-j-s) одновременно являлись полными системами вычетов, то мы
имели бы
^.s-J (modn),
откуда
(^ + Sa) + (r2 + s2) + ...+ (rrt + srt) = 0 = | (modn),
что, очевидно, невозможно.
3) Пусть р — нечетное и ра — высшая степень р, входящая в п.
Положим
Если бы (г), (s), (r + s), .... (r + (p— l)s) являлись одновременно
полными системами вычетов, то мы имели бы
^sS (mod я)
V=l
и, следовательно, полагая для сокращения
пришли бы к системе сравнений
kSx + &S2 +... + kP~2Sp-2 + kP-xS = 0 (mod я)
(k=l, 2, ..., p-1).
Определитель этой системы составлен из множителей, больших 0
и меньших р, и, значит, взаимно прост с п. Но отсюда мы
получили бы, наконец,
S1 = S2s... = Sp-2 = S = 0 (modn),
что невозможно, так как S не делится на ра [246].
248.
п — четное:
па = п • па~х = (/*•-»+ 1) + (п* + 3) +... + (яа-х + п - 1) +
+ („а-1 _ 1) + („«-1 _ 3) + .. . + (Д-1 - Я + 1);
п — нечетное:
па = па-\ + („а-1 -f 2) + (п*'1 + 4) +. . . + (па~1 + П - 1) +
п*-1 - 2) + (п0-1 - 4) +...+ (и'1 - п + 1).

406	РЕШЕНИЯ
249ш Каждый собственный делитель одного из чисел 2, 3,
4, ..., п содержится в этой же числовой последовательности;
значит, интересующее нас число должно быть простым. Умножая
на 2 число, меньшее или равное -„-, мы получаем число из ука-
указанной последовательности; значит, интересующее нас число должно
быть больше ¦—.
250.	По теореме Чебышева: пусть п>2, р — простое число,
nSsp>|- Тогда
. 1	,2.4-	1 _ 1 М _ N + pM
1 ¦+- 2- + ...+ р +...+ п — -р -\--N — pN >
где (М, N)=l, (p, N) = l, откуда (pN, N + pM)=l. Дробь не-
несократима. Без теоремы Чебышева: см. 251.
251.	[J. Kurschak, Math, es phys. lapok, т. 27, стр. 299—
300, 1918.] Мы будем говорить, что а есть «степень четности
числа я», если п делится на 2а, но уже не делится на 2а+1.
2а, 3 • 2га, 5 • 2а, 7 • 2а, ... — числа степени четности а. Между
ними лежат числа 2• 2а, 4• 2а, 6• 2а, ...; таким образом, между
любыми двумя числами одинаковой степени четности лежит число
большей степени четности. Поэтому среди чисел п, п-\-1, ...
..., т—1, т имеется в точности одно с максимальной степенью
четности |л. Множитель 211 в знаменателе не сокращается.
252.	[G. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 23, стр. 289, 1915. Решение —S. Si don, там же, серия 3,
т. 24, стр. 284, 1916; излагаемое ниже решение принадлежит
A. Fleck'y.] Достаточно рассмотреть случай а = -.г, где&—целое.1
Пусть п делится на 1, 2, 3, ..., V~n\ и> значит, также на наи-
наименьшее общее кратное V этих чисел. Пусть, далее,
где ру обозначает v-e простое число. Показатель m-L определяется
неравенством р"'1 «сyrn <pp-+1; в частности, Yn </\"Ч ^ ==
= 1, 2, ..., /. Перемножая все эти последние неравенства, полу-
получаем n*<V2. Из предположения вытекает, далее, что V^n,
таким образом, окончательно
Х<2> Vn<p2k, n<plk.
Например, при k = 2 имеем п<49. К результату 24 приходим,
перебирая эти значения п. При k = 3 наибольшим допустимым
значением для п служит 420.

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	407
253. [L. Kollros.] Пусть наименьшие положительные вычеты
чисел Р, ЮР, 102Р, ... (modQ) будут р0, ри р2	Если
где аъ о2, а3, ... — десятичные знаки, то
= Q,ata2a3..., ^ = 0,a2a3a4... , ^- = 0,a3a4a5...
Отсюда вытекает, что длина кратчайшего периода / равна пока-
показателю десяти по модулю Q, т. е. 10'=1 (modQ) и всякая
низшая степень десяти =?1 (modQ). Если / — четное, 1 = 2Х, стало
быть, A0?--1)A0>-+1)=;0 (modQ), то 10* = -1 (modQ), следо-
следовательно,
-?<>-. + jfc = o)Qla2a3 ... Щах... + 0,аыаш ... а,ах... ак = 0,999....
т. е.
Если напротив, 1-^ нечетное, то, очевидно,
gi + g2+ ...+ai_/_ 9
I	=F 2 •
254. [E. Lucas; см. A. Hurwitz, Intermed. des math.,
т. З, стр 214, 1896.]
1)	Если 32 l = — 1 (mod n), значит, 32 ^1 (mod n), то З при-
принадлежит (mod n) к показателю 2h — n — 1. Но показатель является
делителем числа <р(п), значит, (p(n)^n—1. Отсюда следует,
что ф(п) = я—1 и п — простое число.
2)	Если n — 2h-\-l есть простое число, ft3=2, то п=г 1 (mod 4),
ибо h должно быть четным, /i = 2v. (В противном случае было бы
22v+x-|-l=4v-2+l==0 (mod 3).) По закону взаимности
255. [Euler, Opera Postuma, т. 1, стр. 220, Petropoli,
1862; G. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 24,
стр. 84, 1916. Решение — G. Szego, там же, серия 3, т. 25,
стр. 340, 1917.] Если бы х, у, г, t было решением, то число
было бы целым, т. е.
Bг0аз= = z (mod 4i/2-

408	Решения
Пусть z = 2az', aS==0 — целое, г' — нечетное. Тогда
\4yz-lJ-\4yz~lJ\4yz~lJ\4yz-\J-
Первый множитель равен —1. Третий множитель равен
г' — 1	г'—1
Второй множитель, если а = 2&+1> k^0 — целое, z — 2z", равен
/ 2 \ / 2 \ _
и если сс = 2&, й^ 0 —целое, равен
1
\4yz-l
Итак,
W
	1
в противоречие с выписанным выше сравнением.
256. [G. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 24, стр. 84, 1916. См. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae,
стр. 125; Opera omnia, т. 1, стр. 94—95, Gottingen, Konigliche
Gesellschaft der Wissenschaften, 1863. Решение —P. Bernays.]
1) q=\ (mod4). Если p — простой делитель числа q — 4, то
— =(--)= 1; используется то, что q>b.
Далее, должно существовать нечетное простое число р < q, для
которого (~) = (") =—1- Действительно, в противном случае
все нечетные числа и, меньшие чем q, значит, и все четные числа
q — u и, наконец, все вообще числа 1, 2, 3, ..., q— 1 были бы
квадратичными вычетами числа q.
2) q = —1 (mod 4). По крайней мере один простой делитель р
<7\_ (Р
числа q — A также ==—1 (mod4); для него (—) = — ( — )=1.
2а) ? = 7 (mod8). Из четырех чисел ^Ф-, ^Ф^, ^—,
О	О	О	v
одно и только одно имеет вид 4п + 3; оно обладает простым де-
делителем р того же вида и притом p<iq, если q>7. Имеем
26) q?=3 (mod8). Из Двух нечетных чисел ^Ц_ и ^-i- одной
только одно будет вида 4п + 3; оно обладает простым делителем р
того же вида, и p<.q, если q > 3; имеем (—) — (—-) =—1 = — (—

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	409
257. [G. Pol у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 21, стр. 288, 1913. Решение —О. Szasz, G. Szego, L. Ne-
der, там же, серия 3, т. 22, стр. 366, 1914. См. W. H. Young
and Grace Chisholm Young, The theory of sets of points,
стр. 3, Cambridge, University Press, 1906.]
Первое решение. Пусть п — целое положительное число.
Существуют простые числа, в десятичном представлении которых
содержится по меньшей мере п нулей, следующих один за дру-
другим. [Арифметическая прогрессия 10л+1#+1 содержит бесконечное
множество простых чисел, ПО.] Поэтому указанная десятичная
дробь не может быть периодической.
Второе решение. В силу теоремы Чебышева [1. с. 249]
существует по крайней мере одно простое число, имеющее задан-
заданное число десятичных знаков. Если указанная дробь периодиче-
периодическая с периодом ах, а2, ..., ak, k 5= 2, то выбираем г столь боль-
большим, чтобы простые числа с kr цифрами лежали за цифрой ах
первого периода. Пусть х будет наименьшее из простых чисел
с kr цифрами. Тогда возможны два случая:
1	2	'г
1)	х = ахаг ... akaxa%... ak ... аха2 ... ak,
12	г
2)	х = ai+1al+2 ... akaxa2 ,..ak ... аха% ... акахаг ... cth I> 0.
В первом случае предполагаемое простое число х делилось бы на
аха2 ... ak, во втором — на amaU2... akax ... at\
253. Из формулы Тейлора получаем
п — 0, 1, 2, ... Если бы е было равно — (г, s — целые положи-
S
тельные взаимно простые числа, s^2), то, положив п — s и умно-
умножая обе части на s!, мы получили бы, что
1! 2! ••• s)J ~ s+l
есть целое число. Но
259. Если бы для некоторых целых а, Ь, с (|а| + |&|>0)
удовлетворялось уравнение ае + Ье-1-^ с = 0, то формула Тейлора
для функции аех-\-Ье~х дала бы
¦vl
v = o

410
РЕШЕНИЯ
n = 0, 1, 2, ... Пусть п5эЗ | a| + |b|—1 выбрано так, чтобы знак
числа {-^-Х)пЬ совпадал со знаком числа —с. Тогда [см. 258]
было бы целым. Но
0<-
п+1
п + 1
п+1
260а [A. Hurwitz.] При целых п
1
2 "•" 3
Г (и) ~~ ГA) "г 1
Следовательно,
1,1 ,i
1 "^ 2 "•" 3
•••т
п_1
+
261.	я+ D-л) = 3,9999...
262.	[G. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 27, стр. 161, 1918.] Интересующее нас выражение равно
[182, 82]
- П j&ifflmY
Р>2
где Y] распространено на все простые числа, меньшие или равные
р>2
2n+l, Oi~Ha пР0Стые числа, удовлетворяющие неравенствам
3s^psS]/2n, Ц3 —на простые числа, удовлетворяющие неравен-
неравенствам У~2п < р «с 2п + 1. Если п->оо, то
При p>Vin имеем -^ == |-^| = ... = о. Как знакочередующийся
ряд с убывающими членами,
2*
Отсюда получаем
2га
и следовательно,

ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ	411
Пусть т = ао + а1р + а2р2 + •••¦ + atpl — натуральное число, запи-
записанное в р-ичной системе, стало быть,
0<ая<р-1, Я = 0, 1, ...,/, а,>0.
Тогда
— _ Г—1 — 2°
р 1р\~р'
Г
Сложение этой бесконечной последовательности равенств дает
т \тЛ Г/п]	_
7^ ~ L7J " Ы "'•' ~
последнее — вследствие того, что /lnp^lnm. Следовательно, при
р < 1/п
Г 2
2я I pni Г2'П	In 2/i . t	2 In 2га
Jl	]	<ршр =BnJ,
263. [G. Pol у a, Gott. Nachr., 1918, стр. 26.] Согласно пред-
предположению существует лишь конечное число степеней простых
чисел р'а', для которых \f (р'а')\^\. Пусть произведение ПДр'0')
будет равно С. Каково бы ни было е, 0 < е < 1, существует опять-
таки лишь конечное число степеней простых чисел р"а", для
которых
| С Г.
Следовательно, каждое натуральное число п за конечным числом
исключений содержит в своем разложении по простым числам
по меньшей мере одну степень простого числа РА, для которой
\f{P*)\<z\C\~\
Тогда
1/(пI = 1/(Р°^---^---I = 1/(РаI1/(^I"-1/(^I-.-<
<|С|-е|С|-1=е.
264.	Применение теоремы 263 [25, 44]. См. 45.
265.	Трехчлен ах*-\-Ьх-{-с приводим тогда и только тогда,
когда Ь2 — 4ас равно квадрату и2 целого числа. Оценим г„. Прежде
всего мы оставим совершенно в стороне координатные плоскости
(а = 0, Ь = 0, с = 0), которые могут привнести в гп самое большее
3Bп+1J единиц. Таким образом, Ь может принимать 2п

412
РЕШЕНИЯ
значений — я, ..., — 1, 1, ..., п. При фиксированном Ъ должны
выполняться неравенства
поэтому и может принимать самое большее 2 "|/5я значений, и2 =
= Ь2 недопустимо. При фиксированных Ъ и и, Ъ2 — и2 — 4ас, а
принимает 2т!—j—I значении; ими с уже вполне определяется.
Таким образом, обозначая через Т (п) наибольшее из чисел тA),
т B), ..., т(п), имеем
г„ < 3 Bл + IJ + 2п • 2 Кбя • 2Г (п2).
Но т(я)-я~8->0 для каждого фиксированного е>0 [264].
266. Пусть /е>0, />0, k + l = h,
... +akxk,
— два целочисленных полинома, в произведении которых
а (х) р (х) — А (х) все коэффициенты по модулю не превосходят п.
Пусть, кроме того, а0, ак, р^, р, отличны от нуля. Так как число
указанных в задаче полиномов, для которых а0 = 0 или ah = О,
будет порядка nh, то достаточно показать, что число допустимых
систем (а0, ах, ..., ak, р0, рх, ..., р,) равно O(ttftln2n).
- Пусть х2 < хг <... < xh будут Л наименьших натуральных
чисел, для которых А (х) не равно нулю. Тогда, очевидно, х^^
sg2/i. Далее |a(*v)|, | p (xv) | — целые положительные числа, оба
входящие в |Л(Ху)|. Следовательно,
|a (jg | ^ \А (xv) | ^ {1 + Bh) + {2hf +...+ Bh)h}n
(v = l, 2, .... A).
Такое же неравенство имеет место и для р (xv). Отсюда по интер-
интерполяционной формуле Лагранжа (стр. 98) вытекает, что все коэф-
коэффициенты полиномов а (я) и р (х) по модулю меньше чем Сп, где
С зависит только от h. Имеем, далее, lsgjaopo|^n, I sg | aftpz |=s^
sgn. Число допустимых систем (a0, po), соотв. (ak, Рг), будет
поэтому [79, II 46] равно 0(п1пп), значит, число систем (а0, р0,
a*i Р/) будет равно О (п2 In2 n) и, наконец, искомое число равно
О (л*"лп1 - Ч2 In2 я) = О (nh In2 я).

ПРИЛОЖЕНИЕ
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1.	Точки поверхности полиэдра образуют замкнутое множество
С1, так что расстояние точки Р от различных точек ?> достигает
минимума. Это минимальное расстояние может достигаться только
в такой точке М поверхности, где прямая, соединяющая М с Р,
перпендикулярна ко всем направлениям, выходящим из М по поверх-
поверхности D. Поэтому М не может находиться ни в вершине, ни на
ребре поверхности, а должно лежать внутри какой-либо грани.
2.	[G. Polya, Tohoku Math. J., т. 19, стр. 1-3, 1921.]
3.	[II 121.]
4.	[См. Н. Del lac, Interned, des math., т. 1, стр. 69—70,
1894; см. также Н. Poincare, там же, т. 1, стр. 141—144, 1894.]
Положим A cosx-{-B smx = u, где А, В — постоянные. Имеем
отсюда следует
а + я
1- \ [f"(x
а
Ь
2. \ [Г (х) + / (х)] sin (x - a) dx = f (b) sin ф-а).
a
Ho f'(b)s?O [решение V 10]; если бы было Ь — с^л, то левая
часть была бы положительна, а правая неотрицательна.
5. [W. Blaschke, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 26, стр. 65, 1917. Решение —G. Szego, так же, серия 3,
т. 28, стр. 183—184, 1920; см. также W. Suss, Deutsche Math.-
Ver., т. 33, стр. 32—33, 1924.] Пусть
оо
Л (ф) ~ у + 2 ^ COS П(? + k» Sin ft4>)

414	РЕШЕНИЯ
есть ряд Фурье функции А(ф). Тогда г(ф) имеет ряд Фурье
со
г(ф)~
ибо вследствие периодичности функций h (ф) и Л' (ф)
2л	2я
^ г (ф) в"" йф = A - я2) 5 Л (ф) е''* йф (л = 0, 1, 2, ...).
о	о
Далее
со
6. [G. Pol у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 27,
стр. 162, 1918.] Пусть #(Ф), /i (ф) — опорные функции, Я(Ф),
г (ф) —радиусы кривизны указанных кривых. Тогда
2л 2я
$ S [Я (Ф) - h (Ф)] [7? (Ф) - г (Ф)] dO d9 =
о о
2л 2Я
= \ $ [Я(Ф)Я(Ф) + А(ф)г(ф)-А(ф)#(Ф)-
о о
2n-2f-lL-Ll.
Согласно предположению Я (Ф) ^ h (ф), ^(Ф)^г(ф) для всех пар
значений Ф, ф. Следовательно, последнее выражение неотрица-
неотрицательно.
7. [С. Poly а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 27, стр. 162, 1918.] Пусть #(Q), h(ш)-опорные функции,
R(Q), R' (Q), г (а), г' (ш) — главные радиусы кривизны указанных
выпуклых поверхностей. Тогда
\\[H(u)-h (со)] [R (Q) R' (Q) - г (со) г' (со)] dQ cfco =
= 5$ [Я (й) /? (Q) 7?' (Q) + /г И г (со) г' (со) - А (<о) Я (Q) Я' (Q) -
- Я (Q) г (со) г' (со)] dQ doa = 4л • 3 V + 4п • Зо - /иО - Мо,
$ $ [Я (Q) - А (со)] {[Я (Q) - г (со)] [/?' (Q) - г' (со)] +
+ [R (Q) - г' (со)] [/?' (Q) - г (со)]} dQ da =
= ^ {2Я (Q) ^ (Q) Я' (Q) - 2/1 (од) г (со) г' (со) + 2Я (Q) г (со) г' (со) +
+ [R (Q) + Я' (Q)] Д (со) [г (со) + г' (со)] - 2А (со) R (Q) /?' (Q) -
- [г (со) + г' (со)] Я (Q) [R (Q) + Я''(Q)]} dQ dco =
= 6 • 4nV - 6 • 4яу + 2Мо + 2М ¦ 2о - 2тО - 2т • 20.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ	415
Согласно предположению
#(Q)SsA((b), Min[/?(Q), ^'(Q)]5sMax[r(co), r' (со)]
для всех пар значений Q, со. Следовательно, оба выписанных
двойных интеграла неотрицательны.
8. В формуле Гаусса
(X cos a + У cos р + Z cos Y) dS = J J j (g + f + §
J J j ( f §
полагаем
X-l, F = 0, Z = 0, соотв. X = 0, r = —2, Z = #.
9.	Cm. 10.
10.	[Cm. Nouv. Ann. de Math., серия 4, т. 16, стр. 140,
1916.] Рассмотрим параллельную поверхность на расстоянии р,
точки которой так сопряжены с точками заданной поверхности,
что в соответствующих друг другу точках нормаль общая. Коор-
Координаты, направляющие косинусы нормали, главные радиусы кри-
кривизны и элементы поверхности в сопряженных точках заданной и
параллельной к ней поверхностей будут соответственно равны
х, у, г, дг + pcosa, y + pcosp, z + pcosv
cos a, cosp, cosy cos a cosp	cosy
dS	(Ri
Применяя 8 к параллельной поверхности, получаем
Рассматривая р как переменное и приравнивая коэффициенты
при р2, р, 1 нулю, снова получаем 10, 9, соотв. 8.
11.	Совершаем предельный переход из 9, или применяем 8
к «параллельной поверхности» полиэдра и рассматриваем коэффи-
коэффициенты при р, или же, наконец, следующим образом: разлагаем
силу К на две компоненты по граням полиэдра, сходящимся на
ребре к, получаемая при этом новая система сил оставляет каж-
каждую грань в отдельности в равновесии, по аналогу теоремы 8
для плоскости.
12.	[G. Pol у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 25, стр. 337, 1917. Решение —К. Scholl, там же, серия 3,
т. 28, стр. 180, 1920.]

416	РЕШЕНИЯ
Первое решение. Пусть координаты и направляющие
косинусы главных нормалей будут соответственно
ds	ds	ds
при описывании кривой s изменяется от 0 до L; х, у, z и их про-
производные принимают при s = 0 и s = L одинаковые значения.
Имеем
L	L
о
L
о	о
Второе решение. Семейство сфер с радиусом р и точками
кривой в качестве центров имеет огибающей «канальную поверх-
поверхность»; применяем к ней 8 и заменяем систему сил, действующих
на поверхность, системой сил, действующих на кривую.
13. [К. Lowner.] В обозначениях первого решения задачи 12
текущие координаты сферической индикатрисы имеют вид
dx	dy r_dz
ds' ]~ ds' fe ds'
Имеем
Следовательно, вообще для любой системы вещественных чисел а,
Р, V
Существуют по меньшей мере два значения s, для которых а\
+ Ptj + y? O
+ Pj + y
14. [К. Lowner.] Вследствие условия 3) F(x) принимает
как вблизи точки а, так и вблизи точки b отрицательные значе-
значения. Если бы поэтому F(x) была монотонной, то тогда мы имели
бы F(x)<.0, f"{x)<.0 во всем интервале a<.x<.b. Пусть |,
а <|<Ь, — единственный нуль производной f (x), так что /' (х)
от а до | положительна и от g до р отрицательна. Интеграл

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
417
сходится, и вследствие условия 3)
\F{x)f{x)f'{x)dxJ\F{x)f{x)f'{x)dx + \F{x)f(x)f'(x)dx = O.
а	а	6
Отсюда следует, поскольку все множители сохраняют между а и |,
соотв. между | и Ь, постоянный знак, что
	/P (Y \ 	 F (y W " '"'^ 	 П	n <— Y *-" ? ^-' v *-" h
— \Г \X]J — Г \A%)) 2	 — u> " ^^ *1 <~~ б <;~ *2 ^^ yi
т.е./7 (л:х) = F (x2) = — с, с > 0. Значит, F(x) = — с в интервале
xxs^x^x2. Из двух последних равенств следует, что
](F(x)-F(x1))f(x)f'(x)dx+ I (F(x)-F(x2))f(x)f'(x)dx = 0.
а	х2
Так как оба подинтегральных выражения имеют один и тот же
постоянный знак, то F(x)= — с во всем интервале а<Сх<С.Ь.
Из (*) получаем
где знак + принимается х в интервале а < х < | и знак — прини-
принимается в интервале | < х <. Ъ. Во всем интервале интегрирования
должно выполняться неравенство [/ (я)]2^^1. Интегрирование дает
Из непрерывности функции f(x)	вытекает, что g — а — Ь — |,
g — ~2 ; далее |/(^)]2 = с~1, ибо в	противном случае дифферен-
дифференцирование по х дало бы 1=—1.	Следовательно, | — c = )/crf,
откуда
IS. [К. Lowner. См. также формулы (89) в Н. Minkowski,
Ges. Abhandlungen, т. 2, стр. 263, Leipzig und Berlin, B. G. Teub-
ner, 1911.] Пусть меридианная кривая задана уравнением y = f(x),

418	РЕШЕНИЯ
a sg х «? Ъ. Для вычисления гауссовой кривизны К (х) — Ki (x) К2 (х)
в точках параллели, соответствующей данному значению х,
замечаем, что меридианное сечение дает в качестве одной из глав-
главных кривизн
вторая же главная кривизна получается [теорема Менье; см.
W. Blaschke, VorlesungeniiberDifferentialgeometrie, 2-е изд., т. 1,
стр. 57—58, Berlin, J. Springer, 1924-*)] путем умножения кри-
кривизны соответствующей параллели на косинус угла между пло-
плоскостью этого сечения и нормалью к поверхности:
К (х)= '	1
f(x) удовлетворяет условиям теоремы 14.
16. [По J. Kurschak'y-]
17. [G. P 61 у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 27,
стр. 162, 1918.] Обозначим ребра замкнутого выпуклого полиэдра
через klt k2, ..., km, внутренние углы при этих ребрах, образо-
образованные сходящимися в них гранями, —через ах, сс2, ..., ат.
Мерой М совокупности всех плоскостей, пересекающих полиэдр,
будет
м = у [(л - ai) К + (л - аг) К + ¦ ¦ ¦ + (^ — ат) km].
[G. Polya, Wien. Ber., т. 126, стр. 319, 1917.] В качестве пре-
предельного случая получаем, что мера совокупности всех плоскостей
в пространстве, пересекающих выпуклый плоский полигон, равна
¦у X периметр этого полигона. Обратимся теперь к тетраэдру,
т = 6. Пусть площади четырех граней этого тетраэдра будут Ult
U2, U3, U4,. Мера совокупности всех плоскостей, пересекающих
тетраэдр, не задевая его первой грани, будет равна М — i ?/x
и т. д. Пусть мера совокупности тех плоскостей, которые пере-
пересекают все четыре грани, будет Т. Тогда
*) В. Бляшке, Дифференциальная геометрия, т. I, ОНТИ, 1935,
стр. 100—101.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
419
Требуемое неравенство получается путем преобразования нера-
неравенства
Выражение, стоящее в середине этого неравенства, прибли-
приближается к его крайним членам, когда тетраэдр стягивается в отре-
отрезок: к правому, когда к каждому концу отрезка стремятся две
вершины тетраэдра, к левому — когда к одному из концов отрезка
стремятся три вершины.
18. [Е. Steinitz, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 19, стр. 361, 1912. Решение —W. Gaedecke, там же, серия 3,
т. 21, стр. 290, 1913.] Поместим Р2 в нулевую точку, Ро — на
положительную вещественную ось, Рг — на положительную мни-
мнимую ось. Пусть гипотенуза РйРх имеет длину d, d>0, угол P2P0Pi
равен а, 0<а<-у, вектор Pn-iPn представляется комплексным
числом zn (п = 0, 1, 2,...); P_x — P3. Далее, пусть zn = rne®n,
гя>0, 0г=С'&„<2л. r0, rlt /%,> ... будут иметь соответственно
значения
dcosa, d, d sin a, d sin a cos a, d sin2 a cos a,
а ft0, Ф1( Ф2, ..
О, я — a, -ft
d sin2 a cos2 а, d sin3 а cos2 а, ...,
. — значения
Jt	п	Я Зя	п
, -s—а, л, 2я —а,-^, -,	а, 0, я —а, ...
Задача приводится к вычислению суммы бесконечного ряда
d cos3 a sin2 a , . d cos2 a sin а
0 ' l+cos2asin2a l + cos2asin2a ' l+cos2a sin2a'
19. [По A. Hirsch'y.] Пусть Plt P2, P\, Aj —точки, в кото-
которых прямая пересечения обеих плоскостей встречает заданные
шаровые поверхности. Указанная прямая имеет уравнения
-D -Ах С
— D' — A'x С
В
В'
— D
-D
В
В'
—
Ах
	 Л А
С
с
в с
в' с
Подставив эти выражения в уравнения шаровых поверхностей,
получим квадратные уравнения
из которых последовательно получаем координаты х точек Ри Р2,
Р[, Р!2. Аналогичным образом получаем уравнения, доставляющие

420
РЕШЕНИЯ
соответственно координаты у и z этих точек:
B)
C)
Здесь
В С
В' С
С А
С А'
А В
А' В'
Это выражение тогда и только тогда равно нулю, когда плоскости
параллельны. Пусть 81, 33, б будут соответственно результанты
уравнений A), B), C). Тогда сумма 31 + 33 + 6 удовлетворяет
требованию задачи.
^ а) Пусть, в самом деле, обе окружности сцеплены. Тогда пара
точек РгР2 будет разделяться парой точек Р'\Р'ъ', то же имеет,
следовательно, места и для проекций этих точек на каждую из
координатных осей, за исключением, быть может, одной оси или
двух, если прямая Р^Р2 перпендикулярна к ним: тогда все проекции
сливаются в одну точку. Как явствует из взаимного расположения
корней квадратных уравнений A), B), C), все результанты 81, 93,
6 во всяком случае отрицательны (в крайнем случае 'один или
два равны нулю) [V 194] и, значит, отрицательна и их сумма.
б) Пусть, обратно, 21 + 23 + б<0. Тогда по крайней мере один
из трех результантов отрицателен; пусть, скажем, 81 <0. Тогда
Ао> О, А'о > 0, следовательно, плоскости не параллельны, и точки
Ръ Р2, Р[, Р'ч однозначно определены. Проекция пары точек РгР2
на ось х разделяет аналогичную проекцию пары Р[Р[ [V 1-94],
и то же имеет место и для- самих точек.
20. [A. Hirsch.] Особая точка (xlt хг, л:3) конического сечения
r=ls=l
удовлетворяет уравнениям
п^]Х\ "г йу2^а ~г ^v3^3— О (v = 1, 2, 3).
[G. Kowalewski, Einfiihrung in die analytische Geometrie, стр. 202,
Leipzig, Veit, 1910.] В нашем случае, полагая хг + х2-\-х3 = — х0,
получаем %Qx0 — 'k-ix1 = tkix2 — 'k3x3 и уравнение интересующего нас
выродившегося конического сечения (пары прямых) будет
причем Х0 + Х1 + Х2 + Х3 = 0. Пусть dxv (v = 0, I, 2, 3), dxo +
+dxt + dx2 + dx3 = 0 — элемент интегральной кривой; тогда, полагая
Xv = xv-\-dxv, находим
ххх2х3 (dx0J + x0x2x3
x2f
(dx3J = 0. A)

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ	421
Это и является дифференциальным уравнением искомого семейства
кривых. Замена переменных xv = y% дает
(М«J {{dyof + (dy1J + {dy2f + [dy3f] = О,	(Г)
откуда прежде всего в качестве особого решения получаем
Ху — 0 (v = 0, 1, 2, 3). Общее решение получается из уравнений
(dyof + (dytf + (dy2? + (dya)* = 0,
yody0 + yxdyx + y2dy2 + ysdy3 = 0.
Исключая z/0, получаем
(yodyoJ = (y: + y\ +1® [{dyif + (dy2y + (dyay] =
= (yidyi + yzdy.2 + y3dys)l
и, значит,
(y^dy3 — ysdy2J + (Узйуг - yxdy3f + (У^у2 — У-idytf = 0.
Положим
*i = УгУъ - Ms. 4 = ysy'i - УхУъ, г3 = уху'г - У$\,
где штрихи обозначают дифференцирование по параметру. Тогда
%yrzr = o, 2>,z;=o, |
Ц	0	2; 0 ]
причем суммирование производится по г=1, 2, 3. Отсюда заклю-
заключаем, что z[: z'i: z's — Zj^: z2: z3, за исключением того случая, когда
z1: z2 '¦ z3 = ух: у2 '¦ У3- Но в этом последнем случае у0 = 0, что снова
приводит к хо — О. В общем случае интегрирование дает
fir — постоянные, ^1 + ,ч| + Нз>0, значит, вследствие уравнений B)
Н1^1 + 112^2 + ^зг/з = 0. Полагая ц? = х, (г = 1, 2, 3), после освобо-
освобождения от иррациональностей получаем
- 2 (у.\х\ + щх\ + х14) = 0,
Это уравнение представляет семейство конических сечений, вписан-
вписанных в четырехсторонник Х0 = 0, Х^О, Х2 = 0, Х3 = 0. Действи-
Действительно, уравнение касательной в точке (хг, х2, х3) будет
Xl + х2Х2 + х3Х3) —
- 2 (фхХх + %\х2Х2 + у.1х3Х3) = 0.

422	РЕШЕНИЯ
При xlt х2, Из, отличных от нуля, берем вместо {хг, х2, х3) после-
последовательно (щ, щ, х3) @, и.21, Из1), {щ\ 0, х3'), (хг1, щ1, 0).
21. [A. Hirsch.]
sin т ' cos т
-т~ — Р cos т = 2n (x ctg t + y),
-f|- = psinT = 2«(x + z/tgT).
Исключение у дает
		I 	. у —_ Q
Л2 sin т cos t di sin2 т
Вводим сначала и — — tg2t в качестве независимого, затем \ =
= хи 2 в качестве зависимого переменного. Мы получаем тогда
дифференциальное уравнение
которому удовлетворяет гипергеометрический ряд [VIII 146]
1	,	з
2	'	'2
Этим задача принципиально разрешена. На основании получен-
полученного мы можем теперь, в частности, рассмотреть вопрос о рацио-
рациональных решениях. Чтобы получить их, введем в качестве новой
зависимой переменной z — x(igx)-n, а затем в качестве независи-
независимой переменной v — i ctg 2т. Это дает дифференциальное уравнение
одним из частных решений которого является z = Рп~г (v) (п = 1,
2, 3, ...) [VI 90]. Мы получаем, таким образом, выражения
x = -j-(ttgT)«/>„_!(/ctg 2т),
У = (i tgx)" Pn(i ctg 2x),
рациональные относительно tgr. В частности, при я=1 получаем
в качестве частного решения параболу
*=tgT, y= tg2l~l , 2у = х2-1.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ	423
22. [A. Hirsch.]
1. Уравнение поверхности Н получается путем исключения t
из уравнений
F = 0,	A)
Запишем A) в форме
где индексы при суммировании циклически чередуются, и пусть А.
будет дискриминант полученного полинома относительно t. Тогда
Д = 0 будет уравнением поверхности Н. Но теперь, полагая
А о Af A 2
— /iy/12** 4 "T" "**\**2 3 *~* 2 ~~ 0 3 ™"~ 14
2-
^2 ^3
[Cesarо, стр. 387*)], будем иметь
= 27Л' (Л0Л4 - 4ЛХЛ а) + 54Л32 (A0A2Ai+2A1A2A3 - Л0Л1) + Q,
где Q самое большее степени 8. Поэтому старший член дискри-
дискриминанта А будет совпадать со старшим членом выражения
27Л33(ЗЛ2Л4-2Л33),
т. е. будет равен
= - -щ- B *'K [2 ^а ~а
2. Пусть dxlt dx2, ^ — линейный элемент поверхности Я;
тогда [B)]
*) Чезаро, ч. I, стр. 501.

424	РЕШЕНИЯ
Отсюда для направляющих косинусов Xv Х2, Х3 надлежащим
образом ориентированной нормали к поверхности Н получаем
*v = ^ (v=l, 2, 3).	D)
Координаты касательной плоскости в точке хх, хг, х3 будут иметь
вид
Вследствие уравнения A) xv = t(av — t)uv (v=l, 2, 3). Подстав-
Подставляя эти значения в A), B) и исключая t, получаем
3
) -4 2 «v = 0.
\v=l	/	v=l
3. Пусть р (=5^0)— один из главных радиусов кривизны поверх-
поверхности Н в точке (хи х2, x-i). Тогда линейный элемент вдоль соот-
соответствующей линии кривизны на Н удовлетворяет уравнениям
[W. Blaschke, 1. с. 15, стр. 63*)]
v = 0 (v = l, 2, 3)
или согласно 2
2	0 (v=l. 2, 3).	E)
Вследствие уравнения C) отсюда вытекает
з
= 0.	F)
(v0(v
v=l
Это —квадратное уравнение для обоих главных радиусов кривизны.
Оно может быть в силу тождества
1	1 1 1 1 j 1 1
и уравнений A), B) записано так:
з
-—^.-(f-pHO.	F)
V— 1
*) В. Бляшке, Дифференциальная геометрия, т. I, ОНТИ, 1935,
стр. 107.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ	425
Комбинируя полный дифференциал левой части уравнения F')
с E), получаем
о
Решение уравнения G), получающееся при приравнивании нулю
первого множителя, не годится: оно означало бы, что уравнение
F (х, у, г, X) = О обладает двумя различными двукратными кор-
корнями t, t — p (p=?0), что невозможно, ибо F(K) имеет нечетное
количество нулей как в интервале (%, а2), так и в интервале
(«о, а3). Следовательно, вдоль линии кривизны, соответствующей р,
имеем р = 3? +const. Другой радиус кривизны [F)] равен t-\- const.
Полученный результат можно интерпретировать следующим
образом: если w = u, w = v означают корни уравнения
3	3 %
27	яЙ	г = 0 или У -^	w = 0,	(8)
fa,— tJ(av—w)	Ал av — w	'	ч ;
v=l	v=i
то линии кривизны будут иметь уравнения и = const., v = const.
Параметры и, v являются теми двумя корнями уравнения
F (х, у, z, w) = 0, которыми это последнее обладает наряду
с двукратным корнем w = t.
Линия кривизны и = и0 лежит на поверхности t = u0: поверх-
поверхности семейства касаются огибающей поверхности Н вдоль своих
линий кривизны.
23. [A. Hirsch.] В силу 22 (8), B) имеем
х\ _. fa —u)(gj —о),
fa-О2 fa-e2) fa-из)' •"
Комбинируя это с 22 A), получаем
21 + и + v — ах + а2 + а3
и
_-i/* fa —u)fa-t>) / , •И-}-р
Xl~ У fa-a2)fa-a3)\ai+
Определение точек пересечения линии кривизны v = const, с пло-
плоскостью приводит к уравнению вида
где с0, Ov, bv, cv — постоянные, что после освобождения от ирра-
циональностей приводится к уравнению 12-й степени относительно и.

426	РЕШЕНИЯ
24. [A. Hirsch.]
1. Пусть |ь ?2, 1з — координаты центра кривизны, соответ-
соответствующего р; тогда [W. Blaschke, 1. с. 15, стр. 63, D7)*)]
(v = 1,2,3)
v av — t
[22 D)], следовательно [22 B), F)],
2к
v=l
3
У —J
U (ev-
v=.l
Центральная поверхность для Н является, таким образом, оги-
огибающей поверхностью семейства эллипсоидов
з
2?v	1 _п
(av — sJ	*
v=l
2. Пусть h — постоянная и
Тогда [22 A), B)]
v=l
Параллельная поверхность для Н на расстоянии ft является, таким
образом, огибающей поверхностью семейства поверхностей вто-
второго порядка
з
v= 1
25. [E. E. Levi, С R., т. 153, стр. 799, 1911.] Пусть х"-х',
tj' — y' суть целые числа; тогда через точки х', у' и х", у" про-
проходят равные и равнорасположенные, т. е. получаемые друг из
друга простым смещением, интегральные кривые. Рассмотрим
*) В. Бляшке, Дифференциальная геометрия, т. I, ОНТИ, 1935, стр. 107.

ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ	427
интегральную кривую y = f(x), проходящую через начало коор-
координат [т. е. для которой /@) = 0], и обе конгруэнтные с ней кри-
кривые, проходящие через целые точки х = т, y — [f(m)] и х = т,
у = [/ (т)] + 1. Так как две различные интегральные кривые не
пересекаются, то
[/И]+/(«)</(т+ «)<[/И]+1+/(я) (т,п= 1,2, 3, ...).
Последовательность /A), /B), ..., f(n), ... удовлетворяет пред-
предположениям задачи I 99. Добавим, что на тех же основаниях
J ^/(«) , П-п) о fBn) 1
л ^ п ~Т —п	2п ^~ п
и далее \f(x) — f([x])\<.M, где М — максимум функции \F(x, y)\
в квадрате Osl 0l

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
I. Определения. Теоремы. Формулы
Алгебраическая функция 119, 153
Алгебраические числа n-й степени 164
	сопряженные 164, 167
Алгебраическое поле 164
—	число 163
	 целое 163, 165
Аполярности условие 74
Аполярность пар точек 268
—	полиномов 73, 74
—	точек 268
Асимптотическое значение функции 43
Дирихле ряды 138
— теорема 149
Дискретная область целости 165
Единицы 165
Закон излучения Планка 246
Бернуллиевы числа 161
Бернштейна теорема о тригонометриче-
тригонометрических полиномах 41, 42, 101
Бесселевы функции 77
Брутто-ранг 116
Иенсена неравенство 187
Изменение знака 49
Интерполяционная формула Лагран-
жа 98
Исключительное значение (в смысле
Пикара) 43
Вандермонда определитель 54
Взаимно аполярные системы 74
Вронского определитель 125
Ганкеля матрица 116
¦— определитель 114
Гаусса теорема о нулях производной
полинома 69
Гипергеометрический ряд 155
Главная хорда области 36
Гурвица условие 156
Кёбе область 24
—	теорема о линейном искажении 36
Константы Лебега 91
Конформный радиус внешний, внут-
внутренний 26
—	центр тяжести области 34
Коши правило перемножения рядов 138
Коэффициенты Фурье 90
Кристоффеля формула 309, 313, 314
Круговая область 65, 66
Делители несобственные 134
Делитель 134, 165
Дзета'функция 138
Дирихле правило перемножения рядов
138
Лагерра обобщенные полиномы 55, 105
Лагранжа интерполяционная формула
98
Ламберта ряд 143
Лапласа формула 103
Лебега константы 91

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
429
Лежандра полиномы 55, 102, 104
Лиувилля функция 137
Максимальный член 9
Максимум модуля 9
Мангольдта функция 137
Матрица Ганкеля 116
— ортогональная бесконечная 125
Мёбиуса функция 137
Место перемены знака 46
Моменты функции 60
Наибольшая общая часть 134
Наибольший общий делитель 134, 165
Наименьшая «выпуклая» область 66
Наименьшее общее кратное 135
Неприводимая целая рациональная
функция двух переменных 170
Неприводимый полином 150
Неравенство Иенсена 187
Несобственные делители 134
— части 133
Нетто-ранг 116, 118
Норма 167
Нули полинома 68
Область «выпуклая» 66
—	Кёбе 24
—	рациональности 164
—	целости 164, 165
Овал 71
«Окружность» 65
Опорная плоскость 179
—	прямая 15
—	функция 179
Определители рекуррентные 114
Определитель Вандермонда 54
—	Вронского 125
—	Ганкеля (рекуррентный) 114
Ортогональная бесконечная матрица
125
Ортогональное преобразование 124
Ортогональные функции 103
Полином деления круга 137-
—	неприводимый 150
—	приводимый 150
—	целозначный 146
—	целочисленный 146
Полиномы аполярные 73, 74
—	Лагерра обобщенные 55, 105
—	Лежандра 55, 102, 104
—, — производящий ряд 104
—	сопровождающие 81
—	Чебышева 85
—	Эрмита 55, 106
—	Якоби 105
Поляра первая 71
Порядок целой функции 17
Постоянная Эйлера—Маскеронй 175
Преобразование ортогональное 124
Примитивная точка 401
Производная относительно точки 71
—	система точек 72
Производящий ряд полиномов Лежан-
Лежандра 104
Простой делитель целозначной функ-
функции 148
Ранг бесконечной матрицы 116
Рекуррентные определители 114
Родрига формула 103
Ролля теорема 47, 48
Ряд гипергеометрический 155
—	Ламберта 143
—	Фурье 90
Ряды Дирихле 138
Символ Лежандра 175
Средняя область 69, 70
Степенной ряд рационально-численный
153
	целочисленный 153
	(Я) 159, 160
Степенные ряды квазилинейно зави-
зависимые 118
	линейно зависимые 118
Степень поля 164, 165
Сумма делителей 137
Сферическая индикатриса 180
Перемена знака 46
Перемножение рядов, правило Дирихле
138
	, — Коши 138
Планка закон излучения 246
Теорема Бернштейна о тригонометри-
тригонометрических полиномах 41, 42, 101
— Гаусса о нулях производной поли-
полинома 69

430
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Дирихле 149
—	Кёбе о линейном искажении 36
—	Ролля 47, 48
—	Эйзенштейна 153, 154
—	—, обобщение 171
Теоретико-числовая функция 137
Теплица форма 128
Тригонометрический полином 86
Условие аполярности 74
—	Гурвица 156
—	Чебышева 156
—	Эйзенштейна 154, 155
Фибоначчи числа 125
Форма Теплица 128
Формула Кристоффеля 309, 313, 314
—	Лапласа 103
—	Родрига 103
Фундаментальные полиномы интерпо-
интерполяции 98
Функции Бесселя 77
—	ортогональные 103
—	целые рода нуль 18
Функция, асимптотическое значение 43
—	Лиувилля 137
—	Мангольдта 137
—	Мёбиуса 137
—	мультипликативная теоретико-чис-
теоретико-числовая 139
—	нормированная отображающая 26
—	опорная 179
—	рода нуль 18
—	теоретико-числовая 137
—	целая 9
—	целозначная 148
—	Эйлера 137
Фурье коэффициенты 90
— ряд 90
Целая функция 9
—	часть числа 130
Целое алгебраическое число 163, 165
Целозначная функция 148
Целозначный полином 146
Целочисленный полином 146
—	степенной ряд 153
—• (Я) степенной ряд 159, 160
Целые алгебраические числа взаимно
простые 165
—	точки 132
	, сравнимые по модулю 172
—	функции рода нуль 18
Центр тяжести системы относительно
точки 66
	целой рациональной функции 68
Центральный индекс 9
Часть (числа) 134
Чебышева полиномы 85
—	условие 156
Числа Бернулли 161
—	Фибоначчи 125
Число делителей 137
—	нулей 10
Эйзенштейна теорема 153, 154, 171
— условие 154, 155
Эйлера функция 137
Эрмита полиномы 55, 106
Якоби полиномы 105
II. Темы
Ниже приводятся группы задач, связанных между собой по теме, но
расположенных разрозненно *). Римскими цифрами указаны отделы, следую-
следующими за ними жирными арабскими — номера задач.
Арифметическое, геометрическое и гар-
гармоническое средние: V 61.
Арифметическое, геометрическое и гар-
гармоническое средние аналитических
функций на окружностях и кругах:
IV 64—66 (См. также «Формула
Иенсена».)
Бернуллиевы числа: VIII 182, 262.
Бесселевы функции: IV 73; V 159, 168.
Биномиальные коэффициенты. Теоре-
Теоретико-числовые свойства: VIII, гл. 3,
§§ 1-2.
Выпуклое отображение: IV 162, 163.
) См. также задачи на те же темы в первой части.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
431
Гамма-функция: V 168 — 170. (См.
также «Эйлерова постоянная» и
«Формула Стерлинга».)
Гармонический ряд: VIII 250, 251.
Звездообразное отображение: IV 161.
Теорема Гаусса о нулях производной
полинома: V 113, 114, 121, 124,
125—127, 134—136.
Теорема Чезаро о степенных рядах:
IV 67, 70—75; VIII 72, 169—171.
Теоремы о среднем значении, обобще-
обобщения и аналогии: V 92—100, 150;
VI 59, 109; IX 2, 3.
Максимальный член степенного ряда:
V 176, 180.
Обвертывающие ряды: V 72, 73, 163.
Показательный ряд, показательная
функция и число е IV, 1, 2, 13,
27, 188; V 42, 73, 74, 179; VIII
179, 180, 258, 259.
Полиномы деления круга VIII 36, 98,
103, 104, НО, 226, 227.
Полиномы Лежандра и др.: V 58, 119,
120, 159; VI, §§ 1, 8-12.
Формула Иенсена и связанные с нею
задачи: IV 32, 34.
Формула Стерлинга: IV 50.
ь
Функции вида ^ / @ cos zt dt: V 164,
170—175.
Функции точки: VI 66.
Функция распределения Гаусса: IV 76,
189, 191; V 178.
Цифры в систематических дробях: VIII
172, 173, 253, 257, 262.
Эйлерова постоянная: VIII 260.