Г. ПОЛНА, Г. СЕГЕ
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ
ИЗ АНАЛИЗА
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
РЯДЫ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ»
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ
Перевод с немецкого
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1978

517.2
П50
УДК 517
AUFGABEN UND LEHRSATZE
AUS DER ANALYSIS
von
Q. POLYA UND G. SZEGO
Professoren an der Stanford University
California, USA
ERSTER BAND
REIHEN. INTEGRALRECHNUNG.
FUNKTIONENTHEORIE
Dritte berichitigte Auflage
Springer — Verlag
Berlin • Gottingen • Heidelberg ¦ New York
1964
П
20203-013
053 @2)-78
Перевод на русский язык,
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства		7
Предисловие		8
Обозначения и сокращения		16
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Глава 1
Вычисления со степенными рядами
Задачи	Решения
§ 1 A — 31). Задачи из аддитивной теории чисел		19	181
§ 2 C2—43). Биномиальные коэффициенты и прочее		23	188
§ 3 D4 — 49). Дифференцирование степенных рядов		25	189
§ 4 E0 — 60). Определение, коэффициентов при помощи функ-
функциональных уравнений		27	190
§ 5 F1—64). Мажорантные ряды		28	193
Глава 2
Преобразования рядов. Теорема Чезаро
§ 1 F5 — 78). Преобразование последовательностей в последова-
последовательности в случае, когда в каждой строке схемы имеется
только конечное число элементов, отличных от нуля	 29 194
§ 2 G9 — 82). Преобразование последовательностей в последова-
последовательности (общий случай) 	 32 197
§ 3 (83 — 97). Преобразования последовательностей в функции.
Теорема Чезаро	 33 198
Глава 3
Структура вещественных последовательностей и рядов
§ 1 (98—112). Структура-бесконечных последовательностей ...	37	202
§ 2 A13 — 116). Показатель сходимости		40	206
§ 3 A17—123). Максимальный член степенного ряда		40	207
§ 4 A24—132). Части рядов		43	208
§ 5 A33—137). Перестановки членов вещественного ряда ....	44	210
§ 6 A38 — 139). Распределение знаков членов ряда .		46	211
1*

4	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 4
Смешанные задачи
Задачи Решения
§ 1 A40—155). Обвертывающие ряды	 46 212
§2 A56—185). Прочие задачи, относящиеся к вещественным
рядам 	 50 216
ОТДЕЛ ВТОРОЙ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 1
Интеграл как предел сумм площадей прямоугольников
§ 1 A—7). Нижние и верхние суммы		56	227
§ 2 (8—19). Степень приближения		59	228
§ 3 B0 — 29). Несобственные, интегралы в конечных пределах	61	232
§ 4 C0 — 40). Несобственные интегралы в бесконечных пределах	63	234
§ 5 D1—47). Теоретико-числовые применения		65	236
§ 6 D8 — 59). Средние значения. Произведения		67	238
§ 7 F0 — 68). Кратные интегралы		70	241
Глава 2
Неравенства
1 F9 — 97). Неравенства	 72 244
Глава 3
Из теории функций действительного переменного
1	(98 — 111). Интегрируемость в собственном смысле	 82 252
2	A12—118). Несобственные интегралы	 84 256
3	A19 — 127). Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые
функции 	 86 258
4	A28—146). Особые интегралы, теорема Вейерштрасса ... 87 264
Глава 4
Различные типы равномерного распределения
§ 1 A47—161). Числовая функция. Регулярные последователь-
последовательности 		91	269
§ 2 A62—165). Критерии равномерного распределения		94	273
§ 3 A66—173). Распределение кратных иррационального числа	95	275
§4 A74—184). Распределение цифр в таблице логарифмов и
аналогичные задачи 		97	276
§ 5 A85 — 194). Другие типы равномерного распределения ...	99	281

ОГЛАВЛЕНИЕ	5
Глава 5
Функции больших чисел
Задачи	Решения
§ 1 A95 — 209). Метод Лапласа 	 103 283
§ 2 B10 — 217). Модификации метода Лапласа	 106 287
§ 3 B18 — 222). Асимптотическое вычисление некоторых макси-
максимумов 	 108 291
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ОБЩАЯ. ЧАСТЬ
Глава 1
Комплексные числа и последовательности
§ 1 A —15). Области и кривые. Вычисления с комплексными
числами		110	293
§ 2 A6 — 27). Расположение корней алгебраических уравнений	112	296
§ 3 B8 — 35). Продолжение: теорема Гаусса		115	299
§4 C6 — 43). Комплексные числовые последовательности ....	116	302
§ 5 D4 — 50). Продолжение: преобразования рядов		118	304
§ 6 E1 —54). Изменение порядка членов в комплексных рядах	119	308
Глава 2
Отображения и векторные поля
§1 E5 — 59). Дифференциальные уравнения Коши —Римана . . 120 309
§ 2 F0 — 84). Специальные элементарные отображения	 121 310
§ 3 (85—102). Векторные поля .	 126 315
Глава 3
Геометрическое поведение функции
§ 1 A03—116). Отображение окружности Кривизна и опорные
функции ........... '.		131	320
§ 2 A17 — 123). Средние значения вдоль окружности		134	322
§ 3 A24—129). Отображение круга. Площадь области, получае-
получаемой при отображении		136	323
§ 4 A30—144). Поверхность модуля. Принцип максимума . . .	137	324
Глава 4
Интеграл Коши. Принцип аргумента
§ 1 A45—171). Интеграл Коши 		140	328
§ 2 A72—178). Формулы Пуассона и Иенсена		145	338
§ 3 A79 — 193). Принцип аргумента		148	341
§ 4 A94 — 206). Теорема Рушэ 		150	344

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 5
Последовательности аналитических функций
Задача	Решения
§ 1 B07 — 229). Ряд Лагранжа и его применения		152	347
§ 2 B30—240). Вещественная часть степенного ряда		157	355
§ 3 B41—247). Полюсы на границе круга сходимости		159	359
§ 4 B48 — 250). Тождественное обращение в нуль степенных
рядов		160	361
§ 5 B51—258). Распространение сходимости		162	363
§ 6 B59 — 262). Сходимость в разделенных областях		163	365
§ 7 B63—265). Порядок возрастания последовательностей поли-
полиномов 		164	368
Глава 6
Принцип максимума
§ 1 B66—279). Различные формулировки принципа максимума	165 369
§ 2 B80—298). Лемма Шварца . ".		167 372
§ 3 B99—310). Теорема Адамара о трех кругах . . :		171 378
§ 4 C11—321). Гармонические функции . ".		173 381
§ 5 C22 — 340). Метод Фрагмена и Линделёфа		174 383
Предметный указатель ,		389

ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Книга Г. Полна и Г. Сеге «Задачи и теоремы
из анализа», впервые вышедшая на немецком языке
в 1925 г. и в русском переводе в 1937 — 1938 гг.,
давно уже стала настольной книгой математиков,
работающих или только желающих овладеть навыками
научной работы в области теории функций.
Книга неоднократно переиздавалась н была пере-
переведена также на английский язык. В 1956 г. вышло
второе русское издание. Для настоящего третьего изда-
издания перевод заново отредактирован и сверен с третьим
немецким изданием.

ПРЕДИСЛОВИЕ
«Что значит преподавать? — Это
значит систематически побуждать уча-
учащихся к собственным открытиям».
(Спенсер.)
В математической литературе (во французской еще больше,
чем в немецкой) имеется много, частью прекрасных и богатых
по материалу сборников задач, упражнений, повторительных
курсов и т. п. Как нам кажется, настоящая книга от них всех
отличается своей целью, материалом, его расположением, а так-
также методом работы над ней, как мы его мыслим. Все эти мо-
моменты нуждаются поэтому в пояснении.
Главнейшей целью этой книги является приобщение лиц,
достаточно продвинувшихся в изучении математики, к самосто-
самостоятельному мышлению и исследованию в некоторых важных
областях анализа путем решения систематически расположен-
расположенных задач. Она должна служить для самодеятельного, актив-
активного изучения как в руках учащихся, так и преподавателей.
Учащийся может пользоваться этой книгой либо для углубле-
углубления материала, полученного при самостоятельном чтении или
на лекциях, либо независимо от них, полностью прорабатывая
отдельные ее части. Преподаватель может использовать ее для
подготовки упражнений или семинарских занятий.
Настоящая книга отнюдь не представляет собой простого
собрания задач. Главное заключается в расположении ма-
материала: оно должно побуждать читателя к самостоятельной
работе и прививать ему целесообразные навыки математиче-
математического мышления. Мы потратили на достижение возможно более
эффективного расположения материала гораздо больше вре-
времени, старания и скрупулезной работы, чем это на первый
взгляд могло бы показаться необходимым.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Сообщение ряда новых сведений интересовало нас само по
себе лишь во вторую очередь. В первую очередь мы желали бы
способствовать выработке у читателя правильных установок,
известной дисциплины мышления, что при изучении математики
необходимо еще в большей мере, чем при изучении других наук.
Нам не известны какие бы то ни было «regulae cogitandi»
(правила мышления), которые точно предписывали бы мышле-
мышлению наиболее целесообразные пути. Если бы подобные правила
и были возможны, вряд ли они были бы очень полезны. Наилуч-
Наилучшие правила мышления нельзя получить как-то извне, их нужно
выработать так, чтобы они вошли в плоть и в кровь и действо-
действовали с силой инстинкта. Поэтому для развития мышления дей-
действительно полезным является только его упражнение. Само-
Самостоятельное решение трудных и интересных задач больше даст
читателю, чем приводимые нами ниже афоризмы, однако для
начала и они будут небесполезны.
Мы пытаемся все осмыслить: отдельные факты — сопостав-
сопоставлением с родственными фактами, новое — приведением в связь
со старым, непривычное — по аналогии с обычным, частное —
путем обобщения, общее — надлежащим специализированием,
сложное —разложением на отдельные части, единичное — вос-
восхождением к общему.
Есть нечто общее в ориентировании в городе и в какой-ни-
какой-нибудь научной области: нужно из каждого заданного пункта су-
суметь достичь любого другого1). Еще лучше ориентируется тот,
кто может сразу же выбрать наиболее удобный или быстрый
путь. Тот же, кто очень хорошо ориентируется, сможет выпол-
выполнять и более сложные и своеобразные задания, например пред-
предпринять путешествие, заранее исключив как запретные некото-
некоторые обычно используемые пути,— это имеет место, например,
в некоторых аксиоматических исследованиях.
Есть нечто общее в построении полного и связного знания
из разрозненных сведений и стены из необтесанных камней:
каждое новое сведение, как и каждый новый камень, нужно
рассмотреть со всех сторон, приложить к разным местам,
прежде чем новое не найдет себе наиболее подходящего места
в наличном, так чтобы соприкасающаяся поверхность была как
можно большей, пробелы — как можно меньшими и целое было
возведено прочно.
Прямая определяется двумя точками. Но и многие новые
теоремы возникают путем некоторой прямолинейной «интерпо-
') См., например, задачу 92 и соседние с ней в VI отд., далее задачу 64
в VIII отд.

10	ПРЕДИСЛОВИЕ
ляции» из двух крайних частных случаев1). Прямая опреде-
определяется также заданием точки и направления. Точно так же и
новые теоремы часто возникают в результате счастливого сте-
стечения направления работы и отдельного впечатляющего част-
частного случая. Проведение параллелей также является излюблен-
излюбленным методом создания новых теорем2).
Идея, примененная однажды, порождает искусственный
прием, примененная дважды, она становится методом.
При доказательствах, основанных на методе полной индук-
индукции, доказываемое и допущенное прямо пропорциональны: они
относятся, как п-\-\ к п. Поэтому расширение доказываемого
может быть выгодным: оно расширяет допущенное. Да и во-
вообще иной раз бывает легче доказать общее утверждение, чем
частное: именно в формулировании более общего поло-
положения кроется главный успех, выделение существенного, полное
понимание существа дела 3).
«Qui nimium probat, nihil probat» (кто слишком много дока-
доказывает— ничего не доказывает). Каждое доказательство нужно
взять под подозрение: все ли предположения в нем действи-
действительно использованы? Нельзя ли получить тот же результат при
меньшем числе предположений либо при тех же предположе-
предположениях получить более сильный результат? Пусть лишь тогда на-
наступит успокоение, когда контрпример покажет, что границы
возможного достигнуты!
Однако не нужно забывать, что существуют обобщения двух
родов: малоценные и полноценные. Первые — обобщения путем
разрежения, другие — путем сгущен и я. Разредить—зна-
Разредить—значит, наболтав воды, изготовить жиденькую похлебку, сгу-
сгустить— значит составить полезный, питательный экстракт. Со-
Соединение понятий, мало связанных друг с другом для общего
представления, в одно объемлющее есть сгущение; так сгущает,
например, теория групп рассуждения, которые прежде, будучи
рассеянными в алгебре, теории чисел, геометрии, анализе, вы-
выглядели совершенно различными. Привести примеры обобщения
путем разрежения было бы еще легче, но мы не хотим наживать
себе врагов.
Не всякий материал подходит для задач. Сборник, в кото-
котором были бы исчерпывающе представлены все важнейшие об-
области анализа, был бы по необходимости чересчур большим и
') См., например, задачу 139 в I отд.
2)	См., например, IV отд., гл. 1, § 1, в частности задачи 13 и 14.
3)	В дальнейшем сопровождающее задачу указание или группировка при-
прилегающих задач часто указывает на усиление или обобщение, которое могло бы
облегчить решение задачи. Сравнить задачи 1 и 2, 3 и 4, 5 и 7, 6 и 8 в I отд.

ПРЕДИСЛОВИЕ	I»
неудобоваримым. Конечно, выбор можно произвести различ-
различными способами. Мы отдали наибольшее предпочтение цент-
центральной области современного анализа—теории функций ком-
комплексного переменного. Тем самым мы оказались несколько
в стороне от столбовой дороги, которой придерживаются обыч-
обычные курсы лекций, учебники и сборники задач. Caeteris paribus
(при прочих равных условиях) мы предпочли те области, кото-
которые ближе нашим персональным научным интересам. Мы вклю-
включили задачи и из труднейших и притом находящихся в стадии
быстрого развития областей, которые до сих пор совсем не были
представлены в сборниках задач и почти совсем — в учебной ли-
литературе. Подробнее на это укажет оглавление. Отдельные
главы могут представить интерес и для специалистов. Однако
мы нигде не стремились достичь полноты монографии, поскольку
выбор материала был подчинен нашей основой цели —распо-
—расположению, в наибольшей степени возбуждающе-
возбуждающему работу мысли.
По происхождению материал очень разнообразен. Мы чер-
черпали его и из классического достояния математики и из мемуа-
мемуаров последних лет; кроме того, мы собрали задачи, частью уже
опубликованные в различных журналах, частью устно сообщен-
сообщенные нам авторами.
Весь этот материал мы применительно к нашим целям рас-
расширили, переработали и значительно дополнили. Кроме того,
в форме задач здесь впервые опубликовываются некоторые наши
собственные результаты. Мы надеемся, что и знаток найдет
кое-что новое.
Весь материал разделен на две части. Первая охватывает
три отдела более общего, основного характера, вторая содержит
шесть отделов, посвященных более специальным вопросам и
применениям.
Каждая часть содержит в своей первой половине задачи, во
второй — их решения. Среди задач, особенно в начале отдель-
отдельных глав, вкраплены также некоторые пояснения, имеющие
целью напомнить необходимые общие понятия и теоремы. За-
Задачи часто снабжены указаниями. Решения изложены по воз-
возможности кратко, в конспективном стиле, тривиальные заклю-
заключения опущены; однако при серьезном размышлении над зада-
задачей они должны быть вполне ясны. В исключительных случаях
набрасываются лишь основные черты доказательства, и чита-
читатель отсылается к литературе. Иногда тут же при решении
указываются возможные расширения, новые применения, а так-
также не разрешенные еще вопросы.

12	ПРЕДИСЛОВИЕ
Отделы распадаются на главы, последние в свою очередь —
на параграфы. Перед пояснением или же новым циклом задач
оставлены небольшие пробелы *).
Расположение задач внутри главы и параграфа является
тем моментом, который отличает настоящую книгу от всех из-
известных нам аналогичных работ еще больше, чем выбор ма-
материала.
Упражнения в узком смысле, предназначенные для пояснения
новых теорем и понятий на подходяще подобранных примерах,
занимают относительно небольшое место. Обособленные задачи
редки.
Задачи объединены большей частью в длинные ряды, охва-
охватывающие, как правило, целый параграф; их органическое по-
построение было предметом нашей наибольшей заботы.
Задачи можно группировать по различным признакам: по
трудности, по применяемым стредствам, по методу, по резуль-
результату. Ни одному из этих признаков мы не отдали особого пред-
предпочтения; в различных случаях мы придерживаемся различных
принципов расположения материала, так чтобы оно отражало
все перипетии самостоятельного исследования. Один параграф
посвящен, например, некоторому методу; вначале этот метод
вкратце поясняется, затем применяется к решению как можно
более разнообразных задач и при этом сам все более уточняется
и совершенствуется. В другом параграфе аналогично поступлено
с какой-нибудь теоремой; вначале эта теорема формулируется
(и доказывается, если это можно сделать быстро и легко), за-
затем следуют самые разнообразные частные случаи и примене-
применения этой теоремы. Третьи параграфы построены в «восходящем»
порядке: общая теорема появляется лишь после ряда предпо-
предпосылаемых ей частных случаев и отдельных кратких замечаний,
подводящих вплотную к ее формулировке или же подготовляю-
подготовляющих ее доказательство. Местами сложные и трудные доказа-
доказательства разложены в длинный ряд задач; каждая отдельная
задача содержит какую-нибудь лемму либо самостоятельную
часть доказательства, либо новое освещение предмета; в сово-
совокупности эти задачи составляют ряд переходных ступеней, по
которым читатель поднимается, наконец, к доказательству тре-
требуемой теоремы.
В некоторых параграфах (содержащих «смешанные задачи»)
материал расположен без тесной взаимной связи; здесь приве-
приведены либо применения предшествующих теорем к более труд-
трудным случаям, либо отдельные задачи, представляющие само-
самостоятельный интерес.
*) В настоящем издании в этих местах поставлены, кроме того, корот-
короткие черточки.

ПРЕДИСЛОВИЕ
13
Кое-где четыре следующие одна за другой задачи образуют
«пропорцию» в том смысле, что четвертая находится в таком
же отношении к третьей, в каком вторая — к первой (обобще-
(обобщение, обращение, применение). Некоторые параграфы посвя-
посвящены обстоятельному проведению и анализу аналогий1). Они
содержат задачи из двух параллельных областей, расположен-
расположенные парами, по одной задаче из каждой, и образующие, так
сказать, «непрерывную пропорцию». Этот тип расположения, ка-
казалось нам, может натолкнуть читателя на наиболее плодотвор-
плодотворные размышления.
К этой книге можно подходить с разными требованиями:
искать в ней задачи для самостоятельного решения либо мате-
материал для упражнений студентов, либо материал для чтения.
Во всех этих случаях ею можно пользоваться с довольно боль-
большой свободой.
Для понимания первой главы того или иного отдела тре-
требуется большей частью относительно небольшой запас предва-
предварительных сведений. Различные отделы, если и не вполне, то
во всяком случае в значительной степени независимы друг от
друга; точно так же и различные части одного и того же отдела
часто очень слабо связаны между собой, так что при работе
над ними вовсе не требуется точно придерживаться порядка их
следования.
Читатель, желающий решать задачи, должен принимать во
внимание не только что спрашивается, но и к а к и где. Мно-
Многие задачи, которые, будучи предложены изолированно, были
бы неприступны и для подготовленных математиков, здесь
окружены задачами подготовительного и пояснительного харак-
характера и преподнесены в такой связи, что без особого труда могут
быть осилены при некоторой настойчивости самостоятельно.
Правда, встречаются довольно трудные задачи и без предвари-
предварительной подготовки, по большей части в параграфах с более
свободным построением (содержащих смешанные задачи), од-
однако это — единичные случаи.
Указания, стоящие при задачах, конечно, отнюдь не должны
стеснять свободы читателя в выборе пути решения соответству-
соответствующей задачи.
Кому решение не дается сразу, пусть не огорчается; пусть он
вспомнит, что «сократов метод обучения» вовсе не состоит в на-
натаскивании на быстрые ответы. Если и повторные попытки
остались тщетными, то читатель с тем большим вниманием про-
гл. 1, § 4.
См. II отд., гл. 2; IV отд., гл. 1, § 1; V отд., гл. 1, §1; VIII отд.,
>4.

14	ПРЕДИСЛОВИЕ
анализирует решение, приведенное во второй половине тома,
извлечет подлинную суть дела, и эта суть уляжется в его па-
памяти прочным приобретением.
Материал настоящей книги, находившейся еще в процессе
возникновения, уже несколько раз использовался при подго-
подготовке упражнений для студентов средних и старших семестров.
При этом более легкие задачи решались студентами тут же
устно, более же трудные — в письменном виде по истечении не-
некоторого срока; важнейшие, типические задачи решались самим
преподавателем. В течение семестра, считая по два часа в не-
неделю, оказалось возможным проштудировать примерно мате-
материал одной главы. Этим путем было проверено и на основе по-
полученного опыта частично переработано несколько глав. Мы
можем теперь со спокойной совестью рекомендовать руководи-
руководителям семинарских занятий метод, состоящий в том, что сту-
студентам предлагается решать не отдельные разрозненные за-
задачи, а глубоко продуманный связный ряд задач. Почти все
главы этой книги могут быть использованы при ведении заня-
занятий этим методом. Само собой разумеется, что при этом тре-
требуется соблюдать известную осторожность, рекомендуется за-
заменять некоторые задачи сходными с ними, но по тем или иным
причинам более предпочтительными, и т. п.
Непрерывное чтение, когда вслед за задачей тут же про-
просматривается ее решение, мы можем рекомендовать только
искушенному читателю. В целом это не соответствует замыслу
книги. Однако некоторые главы приспособлены для такого чте-
чтения и в сущности могут быть использованы в качестве руковод-
руководства, только изложение покажется в этом случае, может быть,
несколько сжатым и паузы между формулировками и доказа-
доказательствами теорем — слишком резко акцентированными.
Если наше начинание не во всех отношениях удалось так,
как мы этого желали, то к тому имеются два извиняющих об-
обстоятельства: во-первых, мы не имели никаких образцов, по
которым могли бы равняться; во-вторых, дальнейшее расшире-
расширение отдельных глав потребовало бы столько места, а улучше-
улучшение изложения в отдельных нюансах — столько времени, что
было бы поставлено под угрозу выполнение всего плана. Мы
были бы, в интересах дела, очень благодарны критически на-
настроенному читателю, который обратил бы наше внимание на
возможные недостатки и тем самым дал бы нам возможность
выправить их при первой возможности.
Многие специалисты предоставили в наше распоряжение свои
отдельные неопубликованные результаты, другие помогли нам
различного рода советами при проверке рукописи и корректуры.

ПРЕДИСЛОВИЕ	15
Мы с благодарностью упоминаем их имена: A. Aeppli, P. Bernays,
A. Cohn, R. Courant, P. Csillag, L. Fejer, M. Fekete, A. Fleck,
F. Gassmann, A. Haar, A. Hirsch, E. Jacobsthal, L. Kollros,
J. Ktirschak, E. Landau, E. Lasker, K. Lowner, A. Ostrowski,
M. Plancherel, H. Prufer, T. Rado, M. Riesz, A. Stoll, O. Toep-
litz, A. Walther. Мы имели также возможность позаимствовать
кое-что из наследия A. Hurwitz'a, а также у F. и Th. Lukacs.
Особенно же мы хотели бы выразить нашу сердечную благодар-
благодарность Т. Carleman'y и I. Schur'y за их ценные задачи и еще А.
и R. Вгаиег'ам, Н. Rademacher'y и Н. Weyl'io за их поистине
самоотверженную помощь.
Цюрих и Берлин,	Q, РбШа, G. Szegd
октябрь 1924 г.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
В обозначениях и сокращениях мы старались быть возможно более после-
последовательными и по крайней мере в пределах одного параграфа однотипные
величины обозначали одинаковыми буквами. Отдельные обозначения, сохраняе-
сохраняемые на протяжении одного-двух параграфов, вводятся специальными поясне-
пояснениями. Независимо от этого значение каждой буквы объясняется заново
в каждой задаче, если только нет ссылки на предыдущую задачу. Если задача
непосредственно примыкает к предшествующей, то она начинается пометкой
«продолжение». Если она примыкает к одной из более ранних задач, то пометка
сопровождается номером этой задачи, например «продолжение 286». В этих
двух случаях обозначения заново не разъясняются.
Отделы обозначаются римскими, главы (если это необходимо) —арабскими
цифрами. Нумерация отдельных задач в каждом отделе новая. Номера задач
печатаются жирно. При ссылке на задачу указывается только ее номер, если
задача принадлежит тому же отделу; если же задача принадлежит другому
отделу, то указывается также номер отдела. Например, мы пишем II 123, если
не находимся в отделе II (задач или решений); но пишем просто 123 на протя-
протяжении всего отдела II.
Замечания в квадратных скобках [ ] в задачах обозначают всегда указа-
указания, а в решениях — цитату (особенно в начале решения) или ссылку на дру-'
гую задачу, из которой можно использовать для решения отдельные заключе-
заключения. Замечания иного рода заключены в простые скобки. Цитируя номер задачи,
мы имеем в виду как задачу, так . и ее решение, обязательно отмечая иные
случаи, например: [решение 38].
Источники, из которых заимствована задача, почти всегда указаны в реше-
решении. Если задача ранее уже публиковалась, то это указывается в цитате. Если
указывается только фамилия автора без указания литературного источника,
то это значит, что задача была нам сообщена в качестве новой. Сокращения
названий журналов приняты те же, что и в «Jahrbuch iiber die Fortschritte
der Mathematik». Наиболее частые сокращения приводим здесь:
Acta Math. — Acta Mathematica.
Arch. d. Math. u. Phys.— Archiv der Mathematik und Physik.
C. R. —Comptes Rendus de l'Academie des Sciences, Paris.
Deutsche Math.-Ver. — Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung.
G. Batt. —Giornale di matematiche di Battaglini.
Cott. Nachr. — Nachrichten der Gesellschafl der Wissenschaften zu Cot-
tingen.
J. fur Math. —Journal fur die reine und angewandte Mathematik.
Proc. Lond. M. S. — Proceedings of the London Mathematical Society.
Math. Ann. —Mathematische Annalen.
Math. Zeitschr.—Mathematische Zeitschrift.
Nouv. Ann. — Nouvelles Annales de mathematiques.
Rom. Ace. L. Rend.— Atti della Reale Accademia dei Lincei, Roma.
Следующие учебники цитируются наиболее часто, а потому только по фами-
фамилиям авторов (например. Cesar о, Неске и т. д.):

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ	17
Е. С е s a r о, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der
Infinitesimalrechnung, Leipzig und Beilin. B. G. Teubner, 1904 *).
E. Hecke, Vorlesungen fiber die Thcorie der algebraischen Zahlen, Leipzig,
Akademische Verlagsbuchhandlung, 1923 **).
A. Hurwitz —R. Cou rant, Allgemeine Funktionentheorie und ellip-
tische Funktionen. Gcometrische Funktionentheoiie. Berlin, J. Springer,
1922***).
K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, изд. 2-е,
Berlin, J. Springer, 1924.
G. К owa 1 e\v s к i, Einfiihrung in die Determinantentheorie, Leipzig, Veit
& Co, 1909.
Далее особо упомянем следующие обозначения:
ап-> а означает; ап стремится к а (при п -*¦ со).
ап~Ьп (читать: ап асимптотически равно Ьп) означает: Ьп^0 при доста-
достаточно большом ли i-t-1 (при п -> со).
О (ап), соотв. о(ап), ап > 0, означает величину, отношение которой к ап
остается ограниченным или соответственно стремится к нулю (при п-*-со).
Аналогичные обозначения употребляются и в других предельных перехо-
переходах, отличных от п-э-со.
х~>-а-\-0 соответственно х—>-а — 0 означает, что х стремится к а справа
или соответственно слева.
ехр* = е*, где е — основание натуральных логарифмов.
Мах (а1г а2	а„) означает то (или те) из п чисел аг, а2, ... , ап, которого
не превосходят все остальные. Подобное же значение имеет Mm (alt a2. ••¦> оп).
Аналогичный смысл имеют Мах / (х), Min / (х) для вещественной функции, опре-
определенной в интервале >\а, Ь], если она имеет в нем максимум или минимум.
Если их нет, то эти же знаки целесообразно сохранить для обозначения верх.-
ней или нижней граней функции f(x). Все это распространяется и на случай
комплексного переменного х.
sgn х означает символ Кронекера:
1+1 при х > 0,
0 при х = 0,
— 1 при х <. 0.
[х] означает наибольшее целое число, не превышающее числа х. Однако,
если это не может вызвать ложного понимания, квадратные скобки без особых
указаний употребляются также и в своем обычном смысле.
z означает комплексное число, сопряженное с числом г, если только идет
речь о комплексных числах.
Определитель с общим элементом ац±, X, [Л=1, 2, ... , п, сокращенно
обозначается так:
| aUl jj, или | а^ |,-i(l=1> % ... _ „, или ] я^, а>Л, ... , аКп\\.
*) Эрнесто Чезаро, Элементарный учебник алгебраического анализа
и исчисления бесконечно малых, ч. I — II, Одесса, 1913 («Матезис»); ч. I, 2-е изд.,
Л., 1936 (ОНТИ). В дальнейшем ссылки даются на издание 1913 г.
**) Э. Г е к к е, Лекции по теории алгебраических чисел, Гостехиздат,
1940.
***) А. Г у р в и ц, Теория аналитических и эллиптических функций, ГТТИ,
1936; Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексного переменного,
ГТТИ, 1934; А. Г у р в и ц, Р. Курант, Теория функций,-«Наука», 1968.

18	ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
Под областью мы понимаем связное множество, которое состоит из одних
внутренних точек, под замкнутой областью—область, дополненную 'ее пре-
предельными точками.
Под непрерывной кривой мы понимаем однозначный и непрерывный образ
интервала 0^/^:1, т. е. совокупность точек z — x-\-iy, таких, что х = ср(^),
у=я|з(О, причем обе функции ср@ и ty(t) непрерывны в интервале O^t^l.
Непрерывная кривая замкнута, если ф @) = ф A), г|) (О)=я|з A). Кривая не имеет
двойных точек, если из <p(*i)=(p(^)> <j>('i)=V{y lh<h) необходимо следует
t1 = 0, t2—\. Кривую без двойных точек мы называем простой. Незамкнутую
простую непрерывную кривую мы называем простой дугой.
Простая замкнутая непрерывная кривая (так называемая кривая Жордана)
разбивает плоскость на две области, общей границей которых она является.
Контуры интегрирования в криволинейных и комплексных интегралах
всегда предполагаются непрерывными и спрямляемыми.

ЗДДАЧИ
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ГЛАВА I
ВЫЧИСЛЕНИЯ СО СТЕПЕННЫМИ РЯДАМИ
§ 1. Задачи из аддитивной теории чисел
1,	Сколькими способами можно разменять рубль на монеты
достоинством в 1, 2, 5, 10, 20 и 50 копеек?
2.	Обозначим через Ап число решений диофантова уравнения
в неотрицательных целых числах х, у, г, и, v, w. Сумма ряда
является дробной рациональной функцией переменного ?. Какой
именно?
3.	Сколькими способами можно наклеить 40 копеек марками
достоинством в 5, 10, 15 и 20 копеек, расположенными в одну
линию, если рассматривать расположения, отличающиеся друг
от друга порядком следования двух марок неодинакового досто-
достоинства, как различные?
4.	Пусть Вп — число всех возможных представлений целого
положительного числа п в виде суммы слагаемых, имеющих зна-
значения 1, 2,3 и 4 (причем две суммы, отличающиеся лишь поряд-
порядком слагаемых, считаются различными). Тогда ряд
представляет дробную рациональную функцию от ?. Какую?
5« Некто обладает восемью разновесками весом соответственно
в 1, 1, 2, 5, 10, 10, 20, 50 г. Сколькими способами он может
составить из них 78 г, если считать отдельно применение двух
разных разновесок, хотя бы и одного и того же веса?

20	задачи
6.	Сколькими способами можно составить из разновесок пре-
предыдущей задачи вес в 78 г, если пользоваться обеими чашками
весов?
7.	Рассмотрим суммы вида
где каждая из величин ги е2, ..., е8 может принимать лишь
значение 0 или 1. Обозначим число подобных сумм, имеющих
значение п, через Сп. Разложить на множители целую рациональ-
рациональную функцию
8.	Пусть теперь величины ги е2, ..., е8 предыдущей задачи
могут принимать три значения: —1, 0, 1. Обозначим число сумм
указанного в предыдущей задаче вида, имеющих значение п,
через Dn. Разложить на множители выражение
99
2 ад-
п = — 99*
9.	Обобщить предыдущие задачи, беря для меры достоинства
монет, марок и разновесок не определенные числа, а вообще аг,
а2, ..., а,.
10= Сколькими способами можно выделить группу в п лиц
из общего числа р лиц?
11.	Сколькими способами можно распределить п монет между
р лицами?
12.	Сколькими способами можно распределить п монет между
р лицами так, чтобы каждый получил не менее одной монеты?
13.	Сколько членов содержится в общей целой рациональной
и однородной функции п-и степени от р переменных хх, х2, ..., хр?
14.	Имея в распоряжении веса 1, 2, 4, 8, 16, ..., можно
(пользуясь одной чашкой весов) составить любой целый положи-
положительный вес и притом только одним способом. Иными словами:
каждое целое положительное число может быть записано по дво-
двоичной системе и притом только одним способом.
15.	Имея в распоряжении веса 1, 3, 9, 27, 81, ..., можно
составить любой целый положительный вес и притом лишь одним
способом, пользуясь двумя чашками весов.
16.	Определить коэффициент ап в разложении
A + qt) (I + qV) (I + qm A + qt&) A + qZ16) • • • =
17. Каков знак п-го члена в разложении произведения
(l_a)(l-b)(l-c)(l-d)...=
= 1 — a — b + ab — c+ac-j-bc — abc
(n = 0, 1, 2, ...)?

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 1, § 1	21
18. Доказать тождество
х A + ?1	) т^
равносильное утверждению, что всякое целое положительное число
может быть записано по десятичной системе и притом только
одним способом.
19.
20.	Каждое целое положительное число можно представить
в виде суммы различных целых положительных слагаемых
столькими способами, сколькими способами его можно представить
в виде суммы одинаковых или различных, но нечет-
нечетных положительных слагаемых. Например, все возможные пред-
представления числа 6 посредством различных слагаемых будут:
6, 1 + 5, 2 + 4, 1+2 + 3,
посредством нечетных:
1 + 5, 3 + 3, 1 + 1 + 1+3, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
21.	Каждое целое положительное число п может быть 2*~1 — 1
различными способами представлено в виде, суммы меньших
целых положительных слагаемых, если два представления, отли-
отличающихся хотя бы порядком слагаемых, считать различными.
Например, лишь 24 — 1=7 следующих сумм имеют значение 4:
1 + 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2, 1 + 3,
1 + 2+1,	3+1.
2+1 + 1,
22.	Совокупное число неотрицательных целочисленных реше-
решений диофантовых уравнений
х+2у = п,
пх+(п+\)у=1,
(п+\)х +
равно л+ 1.

22	ЗАДАЧИ
23а Совокупное число неотрицательных целочисленных реше-
решений диофантовых уравнений
х-\-2у = п — 1,
2х+3у = п-3,
Зх-\-4у = п — 5,
меньше чем я+ 2, причем разность равна числу делителей числа
я + 2 (см. VIII, гл. 1, § 5).
24. Показать, что совокупное число неотрицательных цело-
целочисленных решений диофантовых уравнений
х + 4у = Зп—\,
4х -f- 9у = 5п — 4,
равно п.
25« Число неотрицательных целочисленных решений диофан-
това уравнения
есть ближайшее к '"j^ '" целое число.
26а Число неотрицательных целочисленных решений уравнения
где а, Ъ, п — положительные целые числа и а, Ь — взаимно про-
простые, равно [J] или [^] + 1-
27. Пусть аг, а2, ..., щ — целые положительные взаимно про-
простые числа. Если Ап — число неотрицательных целых решений
уравнения
+ + + = п,
то имеет место предельное соотношение
28а Целыми точками в пространстве называются точки с цело-
целочисленными декартовыми координатами х, у, z. Сколько целых
точек лежит на плоскости
x-\-y-\-z = n
в замкнутом положительном октанте (х^О, у^О, 2 5=0)?
Сколько их там в открытом октанте (х~>0, г/>0, г>0)?

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 1, § 2
29. Сколько целых точек лежит в «октаэдре»
^-мерного пространства (п — целое)?
30» Число целых точек в замкнутом кубе
—	п<х, у
удовлетворяющих условию
—	S ^X-\-y-\-Z
равно
n, s — целые числа.
31> Число положительных целочисленных решений уравнения
x+y+z=n
(nSs3), удовлетворяющих условиям'
равно
( + 8)(я-2)
или
8 '
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно.
§ 2. Биномиальные коэффициенты и прочее
Биномиальными коэффициентами (н называются коэффици-
коэффициенты разложения
где ц — произвольное число *). Для целых положительных \х число
( ) имеет комбинаторный смысл A0 — 13). В нижеследующих за-
задачах п—целое и неотрицательное.
*) В русской (и французской) литературе вместо ( ) употребительно —
правда, только для целых неотрицательных значений ц — комбинаторное обо-
обозначение Ср («число сочетаний из ц элементов по /¦»).

24
ЗАДАЧИ
«.(;)¦+(;)¦+(;)¦+...+(::)¦-(?
34. Из тождеств
„	со	со
СО	00
вытекает
35. Положим
x'4i' = x(x-h)(x-2h)...[x-(n-l)h].
Тогда имеет место тождество
36. (Продолжение.) Доказать следующее обобщение полино-
полиномиальной теоремы*):
(х1 + х2 + ...+ *,)"> " =	2
37.
п
зэ.
6 = 0
п
2 (^-«J(;
V = 0
*) Под «полиномиальной теоремой» здесь подразумевается тождество,
обобщающее формулу бинома:

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 1, § 3	25
41. Положим
Тогда
и
/0>@)-(';)фA)+(;')фB)-...+(-1)«с)ф(«)=(-1)«<
42.
43. (;)(р)()()(;)()
...+(-,ro-.)-+..-{j :г2:
§ 3, Дифференцирование степенных рядов
Пусть у — неограниченное число раз дифференцируемая функ-
функция от z. Операция (г-И у определяется следующей рекуррент-
ной формулой:
I d\n	d I d\"-i	d	,
Например,
I. AY 7k _ un7k
\Zdz) Z -R Z •
Каждому полиному / (x) = c0 + cLx + сгхг +... -f- cnxn мы будем ста-
ставить в соответствие операцию
44. Показать, что

26	ЗАДАЧИ
45* Показать, что если / (х) — полином с целыми коэффициен-
коэффициентами (см. VIII, гл. 2, § 1), то сумма ряда
представляет собой целое кратное числа е — основания натураль-
натуральных логарифмов.
46. Положим
<я=1, 2, 3, ...).
Показать, что /„ (z) есть полином п-й степени с положительными
коэффициентами (за исключением свободного члена /я@)=0);
далее, что fn(\) = n\.
47. Пусть f (х) и g(x)— два произвольных полинома, причем,
однако, g (x) не имеет неотрицательных целых нулей. Показать,
что ряд
удовлетворяет дифференциальному уравнению
разрвиимому посредством ряда последовательных квадратур.
48. Пусть f(x) и g(x) — два взаимно простых полинома, при-
причем g(x) степени не ниже чем f(x), далее^@) = 0, но^A), gB),
gC), ... отличны от нуля. Показать, что ряд
удовлетворяет однородному линейному дифференциальному урав-
уравнению
49. Ряд
/1-3...BП— 1)\2
удовлетворяет дифференциальному уравнению

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 1, § 4	27
§ 4. Определение коэффициентов
при помощи функциональных уравнений
50а ФуНКЦИЯ
F(z) = (l
разлагается в степенной ряд
Определить коэффициенты Ап этого разложения из функциональ-
функционального уравнения
F(z) = (l-qz)F(qz).
51. Определить коэффициенты в разложении
где F(z) — та же функция, что и в предыдущей задаче.
52. Определить коэффициенты Со, Сх, С2, ..., Сп в тожде-
тождестве
A + qz) (I + qz'1) (I + <?3z) A + q'z1)...
= Co + Cx (z + z-1) + C2 (Z« + z-2) +... + Cn (z«
53. Из тождества задачи 52 предельным переходом вывести
формулу
Зя2 -)-«
/г = 1
57. Показать, что функция
удовлетворяет функциональному уравнению

28	ЗАДАЧИ
58. Определить коэффициенты в разложении
функции G(z) предыдущей задачи.
59.	Доказать тождество
2A_0«)A_а«-1)...A_ад-*+1)
	Ггр	= "• («-1- z> -э. •••)
и вывести из него степенной ряд для — 1пA— х).
[Имеем
G(q-n) — — п (п = 0, 1, 2, ...),
где G (z) — функция, определенная в задаче 57.]
60.	Степенной ряд
Н\ — 1 j г2 _l — -4- — -4-
удовлетворяет функциональному уравнению
[39].
§ 5. Мажорантные ряды
Пусть
й0, #!, #3, • • • > ап, • • •
произвольные комплексные числа и
A» Pi. Pi, • • •, Рп, ¦ ¦ •
неотрицательные вещественные числа. Положим
nzn +.. . = A (z),
Если имеют место одновременно неравенства
то мы будем говорить: «Р (z) есть мажоранта функции Л (z)» или
же: «Л (z) есть миноранта функции Р (г)» и записывать символи-
символически:
61. Если A(z)<^P(z) и Л* (z)<P* (г), то также
Л (г)Л*
62. Для всех положительных целых п

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 2, § 1	29
63. Пусть
Из условия
f'(z)
z
/(г) ^ 1-г
вывести неравенства
\ап\*=кп (тг=1, 2, 3, ...).
64. Пусть ах, аг, ..., at — целые положительные числа. Пока-
Показать а) с помощью 9, Ь) без помощи 9, что
ГЛАВА 2
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РЯДОВ. ТЕОРЕМА ЧЕЗАРО
§ 1. Преобразование последовательностей в последовательности
в случае, когда в каждой строке схемы имеется
только конечное число элементов, отличных от нуля
65. Пусть в треугольной схеме
Роо>
Pit)' Р21> Р'22»
все числа неотрицательны и сумма элементов любой строки равна
единице (/>nv5=0, рПо + Рп + --- + рпп= 1; v = 0, 1, ...,п; п =
= 0, 1, 2, ...). Образуем из заданной последовательности s0, s1;
s2) ..., sn, ... новую последовательность t0, tx, t2, ..., ^„, ... no
следующему правилу:
in = PnoS0 + Pnxh + Pmh + ... + pnnSn-
Тогда tn будет заключено между наименьшим и наибольшим из
чисел s0, s1; s2 ..., sn.
66. (Продолжение.) Показать, что для того, чтобы из суще-
существования lim sn = s вытекало
lim (pnoso + pnlsx + ... + pnnsn) = s,

30	ЗАДАЧИ
необходимо и достаточно, чтобы для каждого фиксированного v
было
(Приведенное условие может быть выражено следующим образом:
числовая схема pnv сохраняет сходимость1). Частный случай
одной важной теоремы О. Toeplitz'a, см. III, гл. 1, § 5.)
67. Из существования lim sn вытекает
л + 1
68.	Если последовательность положительных чисел р9, р1г
Рг, •••» рп> ••• стремится к положительному пределу р, то также
lira yp0PiP<i---Pn = p.
69.	Свести вычисление lim V/ ~ к вычислению lim (Н—] .
70.	Пусть даны две бесконечные последовательности
а0, аг, аг, ..., ап, ...,
Показать, что из трех условий
Ьп>0 (п = 0, 1, 2, ...),
bo + Ьх + Ьг +... + Ьп +... расходится,
lim -jr- = s
п-»со "п
вытекает, что
lim -r
71. Свести вычисление
"ш ^+^+у+... + ^ (а>0)
п-*оо
к вычислению
lim '»+»e-^
na-i
(Этот последний предел известен хотя бы из дифференциального
исчисления.)
!) В более общих рассмотрениях, где равенство обоих пределов заранее
не обусловливается, оказывается удобнее называть такие схемы «регулярно
сохраняющими сходимость».

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 2, § 1	31
72. Пусть р0, рх, р2, ...,~рп, ... — последовательность поло-
положительных чисел, удовлетворяющая условию
lim , ,Ра .—х—= 0.
P + P + P + + P
Показать, что из существования lim sn — s вытекает
и-»оэ
и—, Ул + SiPn-i + НРп-2 + ¦ • ¦ + snPo e
11111 	;	j	;	'—.	''" —— О»
+ P + P + +P
73» Пусть две последовательности положительных чисел
А>. Pi, Р2, •••, Рп, •••; <7о. Qi, %, •••• Япу ¦••
удовлетворяют условиям
lim , ,р",—¦— = 0, lim , , q" , =0.
P0 + Pl+P + +P	<?0 + ?1 + <?2 + + 9
Положим
гп = РоЯп + Pi4n-i + Pa<7«-2 + • • • + Р«<7о (л = 0, 1, 2, .. .)•
Тогда последовательность г0, гх, г2, ..., гп, ... тоже будет удов-
удовлетворять условию
74. Пусть
/V Pi> Рг. •¦•>Рп, ••', Яо, Яъ Яг, •••» ?л» •••
—	последовательности предыдущей задачи и
^о> ^li Sj, •¦•» Sn, ...
—	произвольная последовательность. Показать, что если оба
предела
„"„ Р0+Р1+Р2+-+РП
\[m ЭДд + siQn-i + s2qn-2 + ¦ ¦ ¦ + SnQo
существуют, то они равны между собой. (Эта теорема представ-
представляет особенный интерес в том случае, когда lim sn не суще-
ствует. При существовании lim sn вопрос разрешается в 72.)
75. Показать, что если ряд
ах\~° + а22-° + ОзЗ-" + • • • + апп~а + ... (а > 0)
сходится, то
lim (ах + а2 +... + ап) п~° = 0.
п —* оо
(Ряды указанного вида носят название рядов Дирихле. См. VIII,
гл. 1, § 5.)

32
ЗАДАЧИ
76. Пусть р1>0, /?2>0, /?3>0, .... ряд
...-Ьр„ + ...расходящийся, р1 + р2 + --- + Рп = Рп и lim
И->ОЭ
Тогда
lim
n-»oo
I	ill'
Обобщение соотношения 1 + -^ + -о- + .. H— ~ In я.
77. Пусть plt р2, ..., рп, ... и ft, <72, ..., <?„, ...-две после-
последовательности положительных чисел и
lim Р1+р,+-+р„ ^а
Jim Pi?i + 2Рг?2 + 3Рз?з + ¦ ¦ ¦ + "Рп9я _ «Р
п-»оо	«2Рп9я	а + р *
78. Если выражение
(ах - а„) + (а2 - а„) +... + («„-! - а„)
остается ограниченным при п->со, то ряд а1 + о4 + а3 + - •• отнюдь
не обязан еще сходиться. Но он будет сходиться, если добавить
условия
§ 2. Преобразование последовательностей в последовательности
(общий случай)
79. Пусть бесконечная двойная последовательность
Аю> Ац> Рог» • • •
PlO' Pll' Рп> •••
PiOi Pzi' Р22> • • •
состоящая из неотрицательных чисел, обладает тем свойством,
что ряд, образованный каждой строкой, сходится и его сумма
равна единице (/>nv3=0, pno + Pn + Pnz + --- + Pnv + ..-=l, n, v =
= 0, 1, 2, ...). Образуем из ограниченной числовой последова-
последовательности s0, slt s2, ..., sn, ... новую числовую последователь-
последовательность /0) tlt t2, ..., tn, ... посредством равенств
in == Pnoso + Pnl$l + РпчН + • • • + Pnvsv + • • •
Тогда tn будет заключено между нижней и верхней гранями
последовательности s0, slt s2, ..., sn, ...

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 2, § 3	33
80> (Продолжение.) Для того чтобы из lim sn — s вытекало
п -> со
lim (p/ws0 -f p,nsx + p,;2s2 + • • • + pnvSv + ...) = s»
необходимо и достаточно, чтобы для каждого фи к с и р о в эн-
энного v имело место предельное соотношение
lim pn = 0.
«-¦со
(Двойные последовательности pnv, удовлетворяющие этому усло-
условию, называются сохраняющими сходимость. См. III, гл. 1, § 5.)
81. Если ряд
сходится, то сходится также ряд
с„ + 2сл+1 + Зс„+2 + 4с„+3 + ... = tn,
причем
lim tn = 0.
n-»co
82ш Пусть степенной ряд
/D = G0 + a1x + fl2x2 + ... + fl^" + ...
сходится при А'=1. Показать, что степенной ряд
где 0<а<;1, сходится при /t=l—а.
§ 3. Преобразования последовательностей в функции.
Теорема Чезаро
83> Пусть функции
Фо@. 9i@. Фа@. •••. Ф«@. •••
неотрицательны в интервале 0<^<1, причем выполняется тож-
тождество
Образуем с помощью ограниченной числовой ' последовательно-
последовательности s0, slt s2, ..'., sn, ... функцию
Ф (t) = SQ% (i) + 51ф1 (t) + Sg92 @ + . . . + 5„ф/; @ + . . .
Тогда значения Ф (t) будут заключены между нижней и верхней
гранями последовательности s0, s1; s2, ..., sn, ...
2 Г. Полна, Г. Cere, ч. I

34	ЗАДАЧИ
84. (Продолжение.) Пусть для каждой сходящейся числовой
последовательности s0, s1; s2) ..., sn, ... имеем:
lim {so(po \t) + s^j @ + s2q>2 @ + • • • + «яф« (t) +••¦}= lim sn.
/-.1 — 0	n-»co
Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы для
каждого фиксированного v
lim <pv(i?) = 0.
/- i — o
85> Пусть даны две числовые последовательности:
а0, а^, й2, ..., пп, ...', о0, о1, 0%, ..., оп, ...
Показать, что из трех условий
(л = 0, 1, 2, ...),
сходится при I^1 < 1,
расходится при t=\,
lim -^ = s
n-voo °n
вытекает, что ряд
также сходится при \t < 1 и
(Эта теорема принадлежит Чезаро; ниже она находит много-
многочисленные применения.)
86а Если ряд
сходится и имеет сумму s, то
lim
/->1-0
87. Положим
sn = a0 + a1 + a2 + ... + an (n = 0, 1, 2, ...).
Если существует
lim 	j^r-x	=s,
TO
lim
/->i —
(Эта теорема утверждает нечто новое по сравнению с 86 лишь
в том случае, когда ряд ао + а1 + а2 + ... + а„ + ... расходится
[67]-)

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 2, § 3	35
88. Если выполняются условия
оо
Ьп>0, 2 Ь" расходится,
ТО
11111	|_ i t* 2. I t~ J.O. I	\ t* 4-fl I	——¦ о
->1 — 0
в предположении, что ряд в знаменателе сходится при
89. Если а положительно, то
lim A - ty {\°-Ч + 2а~Ч2 + З3/3 +... + па-Нп +...)
/-¦1 — 0
существует и отличен от нуля.
90. Если 0 < k < 1 и k стремится к единице, то
1
С ¦ dx	— In —J—	[II 202].
91 • Пусть Ап и Вп — соответственно числитель и знаменатель
п-й подходящей дроби для бесконечной непрерывной дроби
| 1 43 "+5 "I"'"»
так что
Ап _ а\ а\ а\	а\
+ Т + Г + + '
Вычислить значение этой непрерывной дроби (в предположе-
предположении ее сходимости) с помощью рядов
1 = 0
основываясь на теореме 85.
[Вследствие рекуррентной формулы, связывающей А„ и Вп,
функции F (х) и G (х) удовлетворяют некоторому однородному
линейному дифференциальному уравнению второго порядка.]
92. Если ряд
где а>0, сходится, то
. + a^n + ...)-=0 [75].
2*

36	ЗАДАЧИ
93. Показать, что
lim 1/Г=1 V (р"-2г2п2)
существует и отрицателен.
94. Пусть даны две числовые последовательности:
а0, alt а2, ..., ап, ...; Ьо, Ьх, Ь2, .... Ьп, ..
Показать, что если они удовлетворяют условиям
2] bntn сходится для всех значений t,
lim a~ = s,
П—> 00 Л
то ряд
точно так же сходится для всех значений t, и
'it"lni'" = s- (См- IV 72-)
95. Показать, что если существует lim sn = s, то
96. Пусть ряд
сходится и имеет сумму s. Положим
Тогда
@ = «о + «i и + «г |f + • • • + ап ~ +...
о
97. Сумму ряда
л
называют бесселевой функцией нулевого порядка. Показать, что

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 3, § 1	37
ГЛАВА 3
СТРУКТУРА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И РЯДОВ
§ 1. Структура бесконечных последовательностей
98а Пусть числовая последовательность а1; а2, а3, ... удов-
удовлетворяет условию
атх.п === ат + ап (т, п=1, 2, 3, ...),
тогда последовательность
ai <Ч as
Л ' 2 ' 3 •
должна либо сходиться, либо расходиться к —со, причем пре-
предел этой последовательности будет равен ее нижней грани.
99. Пусть числовая последовательность а1У а2, а3, ... удовле-
удовлетворяет условию
Тогда существует конечный предел
lim ^ = со,
причем
сом-1<а„<сом+1 (м=1, 2, 3, ...). •
100.	Если общий член ряда, не являющегося ни сходящимся,
ни расходящимся в собственном смысле, стремится к нулю, то
частичные суммы этого ряда расположены всюду плотно между
их нижним и верхним пределами lim inf и lim sup.
101.	Пусть ряд аг + а2 + а3 + ... + ап + ... с положительными
членами расходится, однако Пта„ = 0. Положим а1 + а2 + ...
п —у оо
...-\-an — sn и обозначим через [sn] наибольшее целое число, не
превосходящее sn. Определить совокупность предельных точек
последовательности
Sl LSlJi S2 LS2J> •••» Sn \.Sn\i ¦••
102.	Пусть для последовательности tv tz, ..., tn, ... суще-
существует такая последовательность стремящихся к нулю положи-
положительных чисел е^ е2, ..., гп, ..., что для каждого п
Тогда числа tu i2, ..., tn, ... лежат всюду плотно между их
нижним и верхним пределами.

38	ЗАДАЧИ
103> Пусть vx, v2, ..., vn, ...— положительные целые числа,
vx=^v2sg;v3sg... Совокупность предельных точек последователь-
последовательности
Vt	v2	Уд
1+Vl> 2+v2' ••• ' п+у„' "•
заполняет замкнутый интервал (длина которого равна нулю, если
эта последовательность стремится к пределу).
104.	Показать, что из любой сходящейся последовательности
можно выделить подпоследовательность, члены которой образуют
последовательные частичные суммы некоторого абсолютно сходя-
сходящегося ряда.
105.	Числовая последовательность, стремящаяся к -f- oo, имеет
наименьший член.
106.	Сходящаяся последовательность имеет либо наибольший
член, либо наименьший, либо и тот и другой.
Приводимые ниже теоремы показывают, что даже наиболее
экстравагантные числовые последовательности ведут себя местами
закономерно, т. е. как последовательности монотонные.
107.	Пусть /1( /а, ..., 1т, ...— последовательность положи-
положительных чисел и liminf/m = O. Тогда существует бесконечное мно-
т->оо
жество номеров п, для которых 1п меньше всех предшествующих
ему членов последовательности tlt /2, ..., ln~i-
108.	Пусть lt, /2, ..., 1т, ... — последовательность положи-
положительных чисел и lim lm — 0. Тогда существует бесконечно много
т-»со
номеров п, для которых 1п превосходит все следующие за ним
члены 1п+1, /п+2, /я+а, ... (Не только утверждение, но и предпо-
предположение отлично от соответствующих в теореме 107.)
109> Пусть числовые последовательности
sv s2, ..., sm, ... (s1>0, sm+1>sm, m=l, 2, 3, ...)
обладают тем свойством, что
lim lm — 0, limsup/msm = +oo.
Тогда существует бесконечно много номеров п, для которых
одновременно выполняются неравенства
'п ^> 'я+1> In ^> 'л+2> 'я ^ 'л+3) • • • 1
lnsn > /„-xS^, lnsn > /„_2sB_2, ..., lnsn>lls1 [107, 108].

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 3, § 1	3§
110. Если числовая последовательность -р у> •••> Ц> •••
стремится к + °° и А превышает ее наименьший член [105], то
существует такой номер п (возможно, несколько таких), п^\,
что п отношений
1 '	2 '	3 ' "¦' n
все не больше А, а бесконечное множество отношений
1 '	2 '	3 ' •"
все не меньше А.
[Если наметить в плоскости точки с координатами
(О, l0), (I, L±), B, L2)	(m, Lm), ...,
где Lo = 0, то дело будет идти об угловых коэффициентах. неко-
некоторых отрезков. Желательно также чисто аналитическое доказа-
доказательство.]
111. Пусть относительно числовой последовательности 1Х, /2,...
.... 1т, ... предполагается лишь, что
lim /m= + oo.
ОТ-» 00
Пусть, далее, Л>/х. Тогда существует такой номер п, п^\,
что одновременно выполняются все неравенства
'л-ц+i + •••' + ln-\ + In . ln+i + ^я+2 + ¦ ¦ • + 'n+v
—	^С /\ ^^
V
Oi=l, 2, .... п; v-1, 2, 3, ...).
Если Л->оо, то также п->-оо.
112. Пусть числовая последовательность /ь ^2. •••» 1т, •••
удовлетворяет условиям
Пусть, далее, /Х>Л >0. Тогда существует такой номер п, п~
что одновременно выполняются все неравенства
Если Л->-0, то п->-со.
V
= 1, 2	п; v=l, 2, 3, ...).

40	ЗАДАЧИ
§ 2, Показатель сходимости
Под показателем сходимости последовательности г1? г2, ...
..., гт, ... @<r1"^r2^..., lim rm~oo) понимают число К,
т-»оо
обладающее тем свойством, что ряд
г~а-\-г~°-4- 4- г~а 4-
1 ' 'а ' ~' т I •• •
при всех сг>Я сходится, тогда как при сг < Я. он уже расхо-
расходится. Для сг = А он может сходиться или расходиться. Если
о — О, то ряд расходится; поэтому А^О. Если ряд расходится
для всех а, то полагают А = оо.
In m Л
= Я.
II3< Показать, что
114. Пусть xlt хг, ..., хт, ... — любые вещественные числа,
не равные нулю. Если существует такое положительное расстоя-
расстояние 8, что \Xi — xk\^8 при Z, k=\, 2, 3, ..., 1ф1г, то показа-
показатель сходимости последовательности абсолютных величин 1^1,
\х2\, ..., \хт\, ... не превосходит единицу.
115> Пусть р больше показателя сходимости последователь-
лости г1( г2) ..., гт, ... Тогда существует бесчисленное множе-
множество номеров п, для которых удовлетворяются п — 1 неравенств
116> Пусть показатель сходимости А последовательности гъ
гг, .-., гт, ... положителен и 0<а<А<р\ Тогда существует
бесчисленное множество номеров п, для которых одновременно
выполняются неравенства
^>(-^)а при ii = n-l, Ti-2, ..., 1,
[109].
§ 3. Максимальный член степенного ряда
117а Пусть 0</-1<г2 <г3<... При каких значениях х
О) /п-й член ряда
1 j j f...i[
превосходит все остальные (m = 0, 1, 2, ...)?

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 3, § 3	41
118. Пусть
О < sx «S s2 «g s3 «S...,
lim ^ = оэ
т-»оо °т
Тогда можно найти сколь угодно большие значения п и г, для
которых одновременно выполняются неравенства
ГхН...гь	rn	s^-.-Sft	s? '
(fe = 0, 1, 2, 3, ...) [111].
(По существу здесь, как и в 122, дело сводится к сравнению
двух степенных рядов:
•.. Sm
Пусть РоЗэО. PiSsO, ..., pmSs0, ..., причем р0, рь pa, ...
не все равны нулю. Пусть, далее, степенной ряд
имеет радиус сходимости р>0, причем, возможно, р = со. При
О < х< р последовательность
Ро> Px^t Ръх 1 • • •» Рт.Хт, • •.
стремится к нулю, следовательно, в ней содержится наибольший
по величине член [103], так называемый максимальный член, зна-
значение которого мы будем обозначать через ц(х), так что
ртхт^ц(х) (т = 0, 1, 2, ...).
Центральным индексом v (x) мы будем называть номер макси-
максимального члена:
Если среди чисел ртхт несколько равны |i (x), то под v (x) мы
будем понимать наибольший из соответствующих индексов. По-
Подробнее см. IV, гл. 1.
119> В необрывающемся всюду сходящемся степенном ряде
ни один член не может оставаться максимальным для всех зна-
значений х.

42	ЗАДАЧИ
120.	При возрастании х номер максимального члена посто-
постоянно возрастает.
121.	Пусть ряд
с положительными коэффициентами и конечным радиусом сходи-
сходимости р (рт>0, р>0) обладает тем свойством, что при возра-
возрастании х все его члены последовательно становятся максималь-
максимальными. Тогда ряд
I
имеет радиус сходимости —.
122а Перевес максимального члена во всюду сходящемся сте-
степенном ряде больше, чем в не всюду сходящемся (наибольший
он в полиноме). Точнее говоря: пусть радиус сходимости необры-
вающегося степенного ряда
будет бесконечен, а степенного ряда
— конечен; пусть am^s0, bm>0 (m = O, I, 2, ...), причем коэф-
коэффициенты b0T blt b2, ..., bm, ... второго ряда таковы, что все
члены bmym этого ряда последовательно становятся максималь-
максимальными [120]. Тогда произвольно большим положительным значе-
значениям х можно поставить в соответствие такие положительные зна-
значения у, чтобы сопряженным значениям х и у соответствовали
одинаковые центральные индексы п и при этом одно-
одновременно для всех k — 0, 1, 2, ... выполнялись неравенства
2 И
т=й	J
Рассмотреть максимальный член ряда
123. Исключительные значения х*, которым нельзя поставить
в соответствие (в смысле задачи 122) никакого у, если и суще-
существуют, то во всех случаях «редки»; они ,образуют множество
конечной логарифмической меры, т. е. множество точек 1пх*, где
х* — указанные исключительные значения, может быть заключено
в счетное множество интервалов с конечной общей длиной.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 3, § 4	43
§ 4. Части рядов
Ряд с/1 + с/2 + ... + агя + ..., где tlt t2, ..., tn, ...-целые
числа @ < ti < 4 <... < tn < ...), называется частью ряда
124.	Если в гармоническом ряде
1+1+1+ +1+
вычеркнуть все члены, знаменатели которых, записанные в деся-
десятичной системе, содержат цифру 9, то оставшаяся часть ряда будет
сходящейся [113].
125.	Ряд, каждая часть которого сходится, должен сходиться
абсолютно.
126.	Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд
---1 обладающий тем свойством, что любая его часть
в которой номера составляют арифметическую прогрессию, схо-
сходится?
. 127. Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд
+ + + ---, обладающий тем свойством, что любая его часть
в которой номера составляют геометрическую прогрессию, где
k^\, /5=2, сходится?
128. Пусть ф (х) = сх1 + с^х1'1 +... — целозначный полином, т. е.
полином, принимающий целые значения при целых х [VIII, гл. 2];
пусть( кроме того, степень его /^з=1, а старший коэффициент
с>0. Значения ф@), фA), фB), фC), ... образуют обобщенную
арифметическую прогрессию 1-го порядка; вследствие положитель-
положительности с лишь конечное число членов этой прогрессии может
быть отрицательным.
Обязательно ли абсолютно сходится сходящийся ряд ах + а2 +
+ а3 + ..., обладающий тем свойством, что любая его часть
в которой индексы составляют обобщенную арифметическую про-
прогрессию (члены с отрицательными индексами отбрасываются),
сходится?
129. Если ряд а1 + а2 + «з + --- абсолютно сходится и каждая
его часть вида
а* + аа/ + «и + ... (/=1> 2> 3> •¦•)
имеет сумму 0, то тогда
О-х = а% = «з = • • ¦ == О-

44	ЗАДАЧИ
130а Множест-во точек, образуемое всевозможными частями
ряда
2	+ 1+2-4- +- +
3	^ 9 ^ 27 > "'" * 3я ^
совершенно и нигде не плотно. (Речь идет о всех как конечных,
так и бесконечных частях; сюда, в частности, причисляется и
«пустая» часть, которой нужно приписать сумму 0.)
131ш Пусть члены сходящегося ряда
удовлетворяют неравенствам
PiSsp2^=---. 0<pns?pn+1 + pn+2 + pn+3 + ... (n = l, 2, 3, ...)•
Тогда каждое число а из полузамкнутого интервала 0 < а ^ s
может быть представлено в виде суммы некоторой бесконечной
части:
132. Найти ряд р1 + р2 + -.- + Рп4-..-, удовлетворяющий
условиям
Р	+	+ Р3 + --- (Я=1, 2, 3, ...),
и убедиться, что в этом случае каждое число о задачи 131 может
быть лишь единственным образом представлено посредством беско-
бесконечной части ряда.
§ 5. Перестановки членов вещественного ряда
Пусть Гц /, rs, ...; sx, s2, s3, ... — две монотонно возрастаю-
возрастающие последовательности целых положительных чисел, не имеющие
общих членов и в совокупности исчерпывающие весь натуральный
ряд 1, 2, 3, ... (rm<rm+1, sn<sn+1, rmybsn для любых значений
тип), так что всякое натуральное число входит в одну и только
одну из этих последовательностей. Ряды
называются тогда дополнительными частями ряда а1
Пусть последовательность vx, v2, v3, ... целых положительных
чисел обладает тем свойством, что каждое целое положительное
число 1, 2, 3, ... входит в него один и только один раз (т. е.
Vi, v2, v3, ... — некоторая перестановка натурального ряда). Гово-
Говорят, что ряд
получается из ряда

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 3, § 5	45
путем перестановки членов. Особо отметим те перестановки,
при которых аг (т — 1, 2, 3, ...) остается и после перестановки
гт-т членом, т. е. перестановки, оставляющие часть аГх + 0г2 + •••
... + а, +... на своем месте. Говорят, что перестановка
лишь смещает две дополнительные части одну относитель-
относительно другой (и каждую переводит в самое себя), если как до,
так и после перестановки аг стоит перед аг и as перед as
для любых т, п, где т<.п.
133. Если одна из дополнительных частей сходящегося ряда
сходится, то сходится и другая, и перестановка, лишь смещаю-
смещающая обе части одну относительно другой, не изменяет суммы
ряда.
134< Если одна из дополнительных частей условно сходяще-
сходящегося ряда расходится к +°°. то другая расходится к —со.
Притом, если все члены одной из этих частей имеют одинаковые
знаки, то посредством перестановок, лишь смещающих обе части
одну относительно другой, может быть получена для ряда любая
сумма.
135а Если ряд с положительными монотонно убывающими
членами расходится, то никакими перестановками расходимость
его не может быть усилена.
136* У расходящегося ряда с положительными членами,
стремящимися к нулю, можно сколь угодно ослабить расходи-
расходимость посредством подходящей перестановки. Точнее говоря: пусть
р„>0, Птрл = 0, Нт (/
тогда всегда можно указать такой ряд pVl + Pv2 + --- + Pv +•¦•,
полученный путем подходящей перестановки, что для всех значе-
значений п= 1, 2, 3, ...
1	2	n
137. Пусть
а1 + а2 + •••'+ О-п + ¦ • • = S СХОДИТСЯ,
ai I +1 а21 + • • ¦ +1 о-п I + • • • расходится,
s' <s<s"
(s'.u s" —любые числа, удовлетворяющие указанному неравенству).
При помощи перестановки, оставляющей на месте все отрицатель-
отрицательные члены, можно получить в качестве суммы ряда число s', а при
помощи некоторой другой перестановки, оставляющей на месте
все положительные члены, получить в качестве суммы число
s" [136].

46	ЗАДАЧИ
§ б. Распределение знаков членов ряда
138. Пусть рп>0, Рх^Ръ^Рл^---, ряд
расходится, а ряд
где множители гп могут принимать лишь значения +1 или —1,
сходится. Если при этих условиях положительные члены второго
ряда составляют некоторый определенный процент, то этот по-
последний равен 50. Точнее говоря:
- + e Q Иш
П
139. Пусть рп>0, р1^р2^р3^5... и ряд
в котором множители е1, е2, ,.., гп, ... могут принимать лишь
одно из двух значений —1 или +1, сходится. Тогда
lim (е1 + е2 + ... + ел)р„ = 0.
п-*оо
(Отметим два употребительных крайних случая: e1 — ei = s3 — ...
и гг = — е2 = е3 = — е4 =...)
ГЛАВА 4
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Обвертывающие ряды
Если ряд а0-f <Zi + а2 + ¦ ¦ • находится в таком отношении
к числу А, что для всех п = 0, 1, 2, ... выполняется неравенство
| А -(ао + а1 + а2-\-... + ап)\
то мы будем говорить, что этот ряд обвертывает число А. Обвер-
Обвертывающий ряд может сходиться или расходиться; если он схо-
сходится, то сумма его равна А.
Пусть числа А, а0, ах, аг, ... все вещественны. Если при всех
« = 0, 1, 2, ...
Л - (оо +^ + ^2 +. .. + ап) = Впап+1,
где
о<ея<1,

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 4, § I	47
то число А обвертывается рядом ао-т-а1 + а2 + ... и притом так,
что оно всегда лежит между двумя последовательными частич-
частичными суммами. О таких рядах мы ¦ будем говорить, что они
число А обвертывают в узком смысле. G. A. Scott и G. N. Wat-
Watson употребляют для обозначения одного очень близкого понятия
термин «arithmetically asymptotic»;(Quart. J., т. 47, стр. 312, 1917).
Ряд, обвертывающий в узком смысле некоторое число, необходимо
является знакочередующимся.
140.	Пусть / (х) — вещественная функция вещественного пере-
переменного х. Если функции \f'(x)\, 1Г(*)|» ••¦ ПРИ возрастании
х (лг>0) строго убывают, то f (х) обвертывается своим рядом
Маклорена, и притом в узком смысле.
141.	Функции -
(\+х)р (р>0)
вещественного переменного х при х>0 обвертываются в узком
смысле своими степенными рядами.
142.	(Продолжение.) Показать, что то же справедливо и для
функций *)
cosx, sinx.
143.	(Продолжение.) Показать то же для функций
arctgx, jo(x) = l—rin.(|J + 2T2r(yL-... [141, 142].
144. Пусть члены ряда ао-\-а1-\-а2~\-... попеременно поло-
положительны и отрицательны; далее, пусть существует такое число А,
что разность
А
имеет всегда знак следующего члена ал+1. Тогда А обвертывается
рядом в узком смысле.
145.	Если ряд ао + а1 + а2 + .-. с вещественными членами
обвертывает вещественное число А и при этом | ах | > | а21 >
>| а31>•..., то ах, а2, пз, ... должны иметь чередующиеся знаки
и А будет обвертываться в узком смысле.
146.	Если функция f(x), принимающая для вещественных
х (д:> R^>0) вещественные значения, обвертывается вещественным
рядом
г) Конечно, во внимание принимаются лишь члены степенного ряда, отлич-
отличные от нуля. Например, n-й частичной суммой степенного ряда для 'cos*
считается
i-gr+д—•+<-1>"«й)Г с-о. i. 2. „о.

48	ЗАДАЧИ
для x>.R, то ах, а2, а3, ... должны иметь чередующиеся знаки
и ряд является обвертывающим в узком смысле.
147.	Пусть функция f (t) неограниченно дифференцируема
при /SsO, причем все ее производные f(n) (t) (n = 0, 1, 2, ...) при
t-^-oo убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю.
аэ
Тогда интеграл ^ f (t) cos xt dt будет для вещественных х обвер-
о
тываться в узком смысле рядом
/' @) , /"'-@) /v @) , /v" @)
ж2 ~"~ xi	Xs "г" л:8
(Пример: /@=еЛ)
су
148.	Число -о- обвертывается рядом
3_1___3 _ J, ^ 4- L _ А _ 1 _|_
4" + 4 8 8 + 6 "*" 16 32 32 +' •" '
однако не в узком смысле.
149.	х). Изобразить геометрически последовательное сложение
первых семи членов ряда
е' - 1 4- 1 - ~- - -'" 4- - 4- - - Х -
^11 2! ЗГ^4! ^5! 6!
как комплексных чисел и вычислить этим путем значение е'
с точностью до третьего знака.
150.	Пусть функция / (г) обладает тем свойством, что мак-
максимумы модулей всех ее производных вдоль некоторого луча 1q,
исходящего из точки 2 = 0, достигаются в точке г = 0 и только
в ней. Иными словами, при всех значениях п=\, 2, 3, ...
если z лежит на .§ и | г | > 0. Тогда
а) / (г) обвертывается вдоль луча § степенным рядом
A40);
оэ
b) функция F(z)= \е~'/|--]Л обвертывается вдоль луча
о
получающегося отражением ф от вещественной оси, рядом
A47).
!) В задачах 149—155 членами ряда являются комплексные числа, причем
употребляется их геометрическое изображение [III, 1 и ел.].

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 4, § 1	49
Интеграл, распространенный на положительные значения t, при
указанных предположениях необходимо сходится.
151.	Степенные ряды функций е~г, In A +2) и A +г)~р (р>0)
обвертывают эти функции при Шг^О, гфО.
152.	Пусть z лежит в одном из углов
Тогда функция е2 § e 2 dt обвертывается рядом
2
J__i ¦ ЬЗ 1-3-5
г г«"+ г5	г7 +'"
(и притом в узком смысле при вещественных значениях г).
153. Пусть ап и Ь„ — произвольные комплексные числа, от-
отличные от нуля, причем оба имеют одинаковый аргумент (^ ве-
щественно и положительно). Если в некоторой точке z Ф 0 оба
ряда
обвертывают соответственно значения ц>(г) и i|)(z), то в этой точке
сумма
будет обвертывать значение ф (z) + i|) (z). (To же справедливо и
при обвертывании в узком смысле, если все входящие величины
вещественны.)
154. Для г, лежащих в областях, указанных в задаче 152,
функция zcthz обвертывается своим степенным рядом
(и притом в узком смысле, если z вещественно). Коэффициенты В1г
В2, В3, ... называются числами Бернулли.
155. Функция
-~1пBя) [II 31]
при SRz>0 может быть представлена в интегральной форме

50	ЗАДАЧИ
[см. Е. Lin del of, Le calcul des residus, стр. 88, Paris, Gauthier-
Villars, 1905]. Показать, что получающийся отсюда (расходящийся)
ряд Стирлинга
•Si	В2 . В3
+ ¦
1-2-г 3 • 4 • г3 1 5 • 6 • 2S
обвертывает функцию со (г), если г, кроме условия 8Яг>0, огра-
ограничено еще условием
§ 28 Прочие задачи, относящиеся к вещественным рядам
156» Пусть ф (х) определена для положительных значений х,
причем при достаточно больших х может быть представлена рядом
ф(*)=ао + т + ? + --- + § +
где а0, а1г а2, .... с„, ... вещественны. Бесконечный ряд
тогда и только тогда будет сходящимся, когда ао — 0, ах = 0.
157. (Продолжение.) Пусть ц>(п)^0 (п—1, 2, ...). Беско-
Бесконечное произведение
тогда и только тогда будет сходящимся, когда
ао=1, ах = 0.
158. (Продолжение.) В каких случаях сходится бесконечный
ряд
159. Для каких положительных значений ее сходится ряд
160. \x~xdx= 2 пгп.
161.
r

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 4, § 2	51
162. Пусть clt а2, .... а„, ... — положительные числа и
tn = Y<h + Vaz + --- + Van.
Сходимость последовательности
(/)	ti, ?2> . • • i 're> • • •
определяется числом
,. In In а„
limsup	- = ос
л-ю	п
следующим образом:
если а<1п2, то (t) сходится,
если а>1п2, то (t) расходится.
163> (Продолжение.) Последовательность (t) во всяком случае
сходится, если сходится ряд
164. При 0<<7<1 имеет место равенство
165. Пусть бесконечный в обоих направлениях ряд
О	0 0
равномерно сходится. Какую функцию он представляет?
166. Пусть ц>„(х) и г|)л (х) — полиномы n-й степени (п = 0,
1, 2, ...), определяемые формулами
Фо (Х) = 1, Ц>п (*) = фя-1 (X),	ф„ @) = 0,
(л=1, 2, ...).
Просуммировать ряды
Ф (х) = Фо (*) + 9i (х) +... + Ф« W + •. •,
167. Положим
12л- «/«==«!« " 2еп.
Показать, что интервалы (хх, ух), (х2, уг), (х3, у3), ... вложены
один в другой, т. е. каждый из них содержит последующий как
свою часть.

52	ЗАДАЧИ
168. Последовательность
тогда и только тогда монотонно убывает, когда р^у
169. Последовательность
+!) («=1,2,3,...)
тогда и только тогда монотонно убывает, когда х^у.
170.	Показать, что при целом положительном п
В	(	1 \^	В
12п + 2<~-е~\^~п] "^ 2л + 1 '
171.	Как известно, число е= lim A-]—)" для любого зна-
п — со \	п )
чения п—\, 2, 3, ... заключается в интервале
В какой четверти этого интервала?
172. Последовательность
1 (п==1> 2> 3- ¦••)
тогда и только тогда монотонно убывает, когда 0<x<;2.
173.	Показать, что п-я итерация синуса
sinnx= sin (sinn_1x), sin1A;=sinx
при возрастании п стремится к нулю, причем при х>0 имеет
место предельное соотношение
lim l/ ^-sin4A;= 1.
174.	Пусть в интервале 0 < х < х0 имеем 0 < / (х) < д;,
f(x) = x-axk + Ьх1 + х'г (х), lim e (х) = О,
причем 1 •<&<;/, a, b положительны. Полагаем
Тогда при
1

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 4, § 2	53
175.	Исследовать сходимость ряда
vs_|_vs + vs_|_ t
где
v1 = sinx, v2 = sinsinx, ..., vn = sinvn_1, ...
Очевидно, можно предположить vx>0.
176.	Доказать формулу
ех— 1 =
где
и1=хф0, ил+1 = 1п^-=±- (п=1, 2, 3, ...)•
177» Вычислить
s = cos3 ф — у cos3 Зф + зг" cos3 З2 ф — -дт cos3 33ф + • • •
178. Пусть а„, й„ (Ьл^0, п = 0, 1, 2, ...)—две последова-
последовательности,, удовлетворяющие следующим условиям:
со
a)	Степенной ряд'/(л;)= ^ a«x" обладает радиусом сходимо-
ста г, отличным от нуля.
b)	Существует предел
причем \q\<r.
Положим теперь
lim ¦
n->co
bn-.1-\-... + anbo (п = 0, 1, 2, ...).
Показать, что при возрастании п отношение ^ стремится к
179. Пусть
... (п=1, 2, 3, ...)
— произвольные функции, для которых \апъ\<,А при всех целых
положительных значениях п, k и
при 0<л;-<1. Тогда при произвольном фиксированном k (k=l,
2, 3, ...)
lim ank = Q.

54	ЗАДАЧИ
180. Пусть ряды
an0 + a,ll + an2 + ... + ank + ... = sn (п = 0, 1, 2, ...)
обладают общей сходящейся мажорантой
т. е. для всех значений п и k выполняются неравенства \an
Пусть, далее, существует
lim ank = ak (k = 0, 1, 2, ...).
п—>оэ
Тогда ряд
сходится и
lim sn =
181.	Обосновать предельные переходы в 53 и 59.
182.	При фиксированном положительном а и п, стремящемся
к + оо по целым значениям,
00 t
v=l
Штрих при знаке суммы означает, что член с v = n, как не имею-
имеющий смысла, отбрасывается. Отметить случай а = 1.
183. Пусть числа е0, ег, е2, ..., е„, ... могут принимать лишь
три значения: — 1, 0, +1. Тогда
^ 2 sin k |
\ n = 0
(Под выражением в левой части понимается предел выражения
гоу 2 + гг }Л
при п->со; это выражение имеет смысл при всех значениях п.)
184. Каждое число х из интервала —2й?;д;й?;2 может быть
представлено в форме
где числа е0, elt e2, ... могут принимать лишь одно из двух зна-
значений — 1 и + 1. Указанное представление может быть осуще-
осуществлено даже единственным образом, если х не имеет вида

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ, ГЛАВА 4, § 2	55
2 cos -—¦ п, где р, q — целые, 0 < р < 2?. Последние числа являются
единственными, могущими быть представленными в-конечной форме
Из этого конечного представления можно получить бесконечное
двояким образом: полагая либо
либо
185. (Продолжение.) Число х тогда и только тогда будет
иметь вид x = 2cqsfot, где k рационально, когда последова-
последовательность е0, elf e2, ..., начиная с некоторого места, становится
периодической.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ГЛАВА 1
ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММ ПЛОЩАДЕЙ
ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ
§ 1. Нижние и верхние суммы
Пусть / (х) — ограниченная функция, заданная в конечном
интервале а^х^Ь. Разобьем этот интервал точками
%0» - 1» 2 > • • • ' ^п — 1 j лп,
где
а = х0 < хх < х2 <... < хп _ х < хп = Ь,
на п подинтервалов; пусть mv и Mv обозначают соответственно
нижнюю и верхнюю грани / (х) в v-м интервале
xv-!^x^xv (v = l, 2, ..., «).
Тогда
v=l
0= |]Afv(*v-Xv-i)
v=l
называются нижней и верхней суммами, соответствующими раз-
разбиению х0, хх, х%, ..., xn_x, xn. Каждая верхняя сумма превос-
превосходит (во всяком случае не меньше, чем) все нижние суммы.
Если существует только одно число, не большее, чем любая
верхняя, и не меньшее, чем любая нижняя сумма, то это число
называют определенным интегралом функции f (х) в интервале
[а, Ь] и обозначают
\f(x)dx.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1. § 1	57
Функцию / (х) называют тогда (собственно) интегрируемой
в смысле Римана в интервале [а, Ь].
Пример.
Имеем
откуда
*v \-ixv
П	П
|l! -^v — %v —
L W
V=I	'	V=l	' X "	У =
Ho
П	П
	 _		 _	a b '
Таким образом, число	г- больше всех нижних и меньше всех
верхних сумм. Однако, для того чтобы отсюда можно было заклю-
заключить, что
ь
J___L- \ *!L
а Ь ~ Ух* '
нужно еще показать, что только — — -j обладает этим свой-
свойством. Вследствие монотонности функции -^ доказать это не пред-
представляет труда [см., например, Cesar о, стр. 692*)].
1ш Пусть а>0, г —целое число, л^=2. Показать аналогич-
аналогичным способом, что
1 , 1 , . 1
2 1 /
vel r~! К Ч-i A >\\	A
1	1__\ _ С dx_
-i br-1j ~ J xr *
XA-
1

~~ r—\\ аГ
2. Пусть а>0 и г — положительное целое число. Показать,
что \хг ах —	ц-т—, т. е. что число 	-j—.— превосходит
а
все нижние суммы и меньше всех верхних.
*) Ч е з а р о, ч. 2, стр. 251.

58	ЗАДАЧИ
Точки деления х0, х1У х2, ..., хп-х, xn образуют арифметиче-
арифметическую прогрессию, если
Xy jf. J Ад> :== Лу """" Лу _ j
при v=l, 2, ..., л—1. Они образуют геометрическую прогрес-
прогрессию, если
Xv	*v-1
при v=l, 2, ..., л—1; в последнем случае предполагается, что
а>0.
3. Составить нижние и верхние суммы для функции е* в ин-
интервале [а, Ь], располагая точки деления в арифметической про-
прогрессии. К какому пределу стремятся эти суммы при п->со?
4ш Составить нижние и верхние суммы для функции — в интер-
интервале [а, Ь] (а>0), когда точки деления образуют геометрическую
прогрессию. К какому пределу стремятся эти суммы при л->сх)?
5> Доказать тождество
1_± + _	+_J	L_L_4-—L_	_L
Найти [предел при п->оо. [Правую часть можно рассматривать
как нижнюю сумму для некоторой функции в интервале [0, 1],
разделенном на равные части.]
6. Бесконечная последовательность, п-й член которой равен л-й
частичной сумме ряда
sin х . sin 2x .	sin nx .
взятой для х= ¦ ¦ ¦:¦¦, стремится к пределу, отличному от нуля.
(Из этого следует, что указанный ряд в окрестности точки х = 0
сходится неравномерно.)
7. Пусть функция f(x), о которой идет речь на стр: 56,
является производной некоторой функции F(x). Тогда для любых
нижних и верхних сумм U и О выполняется неравенство
(Этим, однако, еще не сказано, что F(b)—F(а) есть единствен-
единственное число, удовлетворяющее этому двойному неравенству для
всех U и О.)

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1, § 2	59
§ 2. Степень приближения
8. Пусть 0<?<1, функция f (х) в интервале [0, ?] моно-
монотонно возрастает, в интервале [?, 1] монотонно убывает и макси-
максимум ее / E) = М. Тогда разность
.при п-ь-оо стремится к нулю, как —. Именно
9. Пусть f (х) — функция с ограниченным изменением в интер-
интервале [0, 1]. Показать, что разность
при п->оо стремится к нулю, как —. Именно
где V — полное изменение f (х) на интервале [0, 1].
1О> Пусть f(x) в интервале [а, Ь] имеет ограниченную и
интегрируемую производную. Положим
v= 1
Определить lim пД„.
11. Если f(x) дважды дифференцируема и f" (x) собственно
интегрируема в интервале а^х^Ь, то разность
при п->оо стремится к нулю, как -j. Более того, lim п2Д^суще-
л->со
ствует. Определить этот предел.
12« (Продолжение.) Разность

60	ЗАДАЧИ
стремится к нулю, как —. Более того, lim п2А^ существует. Опре-
делить его.
Кроме того, показать, что если /' (а)^0и /" (х) ^э0 (a«s x«g 6),
то An5=0.
13. Пусть
ип = -j+T + тг+2 + • ¦ • + 7Г'
I
+	+ ••'^ 4л-1 '
Тогда
lim n (In 2-*/„) =-L limn2(ln2-l/4) = ^-.
32
14. Выражение
АгАг
sin — sm —	sm
п	п
при возрастании п остается ограниченным; С —так называемая
эйлерова постоянная [решение 18].
+ 1	1
15. lim етп "О^З3... яя)^= 1.
п -+оо
16а Обозначим через xn (единственный) корень уравнения
в интервале (п, оо). Показать, что
limU»-i	т =°	[12].
17. Пусть х^ обозначает (единственный) корень уравнения
в интервале (п, оо). Показать, что
i±^] = 0	. [12].

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1, § 3	61
18. Если f (х) при Х5з1 дифференцируема и f (х) монотонно
стремится к нулю при х->-оо, то
существует; при этом, если /' (х), скажем, возрастает, имеем:
Рассмотреть, в частности, случаи /(*) = — , f(x) = — In x.
19. Если f(x) при х^\ дифференцируема и f (x) монотонно
и неограниченно возрастает при х->оо, то
Более точно:
J
§ 3. Несобственные интегралы в конечных пределах
Пусть функция / (х) определена в конечном интервале a s^xs^b
за исключением точки х — с (а^с^Ь), в окрестности которой она
принимает сколь угодно большие значения. Пусть, кроме того,
/ (х) собственно интегрируема в любом подинтервале интервала
ь
[а, Ь], не содержащем с. Тогда $ / (х) dx определяется как предел,
а
с —г	Ъ
к которому стремится сумма § f(x)dx-\- § f(x)dx, когда е и е'
а	с + г'
стремятся к нулю:
\f{x)dx= lim l]*f(x)dx+ $ f (x) dx).
a	' e, e' —+ 0\ a	C^_E,	}
(Если с равно а или 6, то соответствующий интеграл в скобках
отпадает.) Аналогично этому определяется интеграл и в случае

62	ЗАДАЧИ
наличия в интервале [а, Ь] нескольких (конечного числа) таких
точек.
Если f (х) определена для х^а и собственно интегрируема
в любом конечном интервале а^х^а, то § f(x) dx определяется
а
оо
как предел, к которому стремится $ / (х) dx при со -> со:
а
]
\ f(x)dx= Urn]f(x)dx.
ю-»соа
Надлежаще выбранной подстановкой всегда можно несобст-
несобственный интеграл одного из этих двух типов преобразовать в не-
несобственный интеграл другого типа.
20. Пусть fix) монотонна в интервале 0<д;<1; пусть,
далее, у одной из точек х = 0 и х = 1 или у обеих функция
не ограничена, но так, что несобственный интеграл Sjf(x)dx cy-
о
ществует. Тогда
lim -
л-юо
21. (Продолжение.) Пусть ф(л:) собственно интегрируема
в интервале 0 sg x sg 1. Тогда
О
22. Показать иным способом, чем в I 71, что при а>0
+... + па~г 1
23> Положим
со	оо	со
Zj ka~ z Zj №~ z = ?j o.nzn (а, р > 0).
k=l	l=l	n=l
Показать, что
lim nx-°-^an
существует и отличен от нуля. (Если 0<а<1, 0<р<1,
а + р^=1, то при z — —1 ряд в правой части будет расходящимся,
хотя оба ряда в левой части сходятся.)

отдел второй, глава i, § 4	63
24.	Утверждение задачи 20, вообще говоря, необратимо: су-
существуют монотонные в интервале 0<д:<1 функции, для кото-
которых предел в левой части существует, и тем не менее несобст-
несобственный интеграл в правой части не существует.
25.	Если f(x) в интервале 0<д:<1 монотонна, имеет конеч-
конечный предел при х-^-0 или д:->1 и, кроме того,
lim
w	^
существует, то существует также ^ / (л:) dx.
о
26. Пусть f(x) монотонна в интервале 0<л:<1. Показать,
что
л	1
1
v= 1
в предположении, что несобственный интеграл справа существует.
27. Для а > О
пш	~	и.
П->00	"
28. Если / (х) в	интервале [0, 1] собственно интегрируема,
то, очевидно,
lim -Ait/	lit/	lit/	L^i_i =0.
n'-oo	n
Показать, что это равенство остается в силе также тогда, когда f(x)
-лишь несобственно интегрируема, но зато монотонна.
29. Если f (х) монотонна при х>0, далее, ея> —,гдес>0,
и lim ея = 0, то
	?-L = \f(x) dx,
lim
J
в предположении, что последний интеграл существует.
§ 4. Несобственные интегралы в бесконечных пределах
30. Пусть при л; 2г 0 функция f(x) монотонна и несобствен-
со
ный интеграл ^ / (х) dx существует. Тогда
о
...]^ lim ft ?/(nft) =?/(*) d*.
Л + 0 ~	5

64	ЗАДАЧИ
31. Гамма-функция Г определяется для а>0 (более обще
для 3Ra>0) как интеграл
со
Г (а) = 5 «г-**0-1 dx.
о
Показать, основываясь на I 89, что
32. Как известно, эйлерову постоянную С можно предста-
представить в виде следующего интеграла:
[см. Cesar о, стр. 782*)]. Показать, что
33.
84.
35.	lim VT^
/-> i —о
Вообще при а > 0
lim ^ГГ7A
t-t 1 — о
36.	Вычислить
2( 1	l 2t
_	I *-1 1
37. Положим
*) В русском издании книги Чезаро эта формула опущена; ее можно
найти, например, в книге Уиттекер и Ватсон, «Курс современного
анализа», Физматгиз, 1963, ч. 2, стр. 30.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1, § S	65
Показать, что
lim ^
38. Исходя из формулы
sin* еи—е~и ТТЛ _ &
справедливой для любого комплексного значения I, посредством
предельного перехода вывести формулу
со
\ ln(l— 2;r2cos2<p-l-;r*)d;<: = 2nsip<p @<ф<я).
о
39. Вычислить интеграл \\nxdx, деля интервал @, а] на
о
части при помощи бесконечной геометрической прогрессии a, aq,
aq2, ... @<^<1) и рассматривая получающиеся бесконеч-
бесконечные суммы прямоугольников.
40а Показать, что при фиксированном положительном k и
целочисленном /г->оо
Сравнить с известными результатами при k=\, k — 2.
§ 5. Теоретико-числовые применения
41. Будем делить целое положительное число п на 1, 2, 3, ...
..., v, ..., п: Остаток от деления п на v обозначим через nv
Так, например, 173 = 2, 1020=10. Очевидно, n=znv (modv), 0^
Какова вероятность*) того, что nv^^
Решение. Имеем:
отсюда
*) Взять в качестве делителя то или иное число v (I ^ v ^ п) считается
равновозможным.
3 Г. Полна, Г. Сеге, ч. I

65
ЗАДАЧИ
Следовательно, в благоприятствующем случае (nv ^ — ] будет:
а в неблагоприятствующем (nv < -у ] будет:
[?]-2й=0	[V»13
Таким образом, для искомой вероятности получаем выражение
При я->оо оно стремится к собственному интегралу
л—1 v	л—1
v+T	\ 2	/
3 4 ' 5 6
42. (Продолжение.) Вычислить
«?т cm+
43i (Продолжение.) Вычислить
-1=0,38629...
44. (Продолжение.) Отношение числа тех дробей
«1 Ла_ п_з •	«я
1 ' 2 ' 3"' ""' « '
которые меньше, чем некоторое фиксированное число а @ sga sg 1),
к общему числу п всех выписанных дробей при п -> со стремится к
^dx	[VIII4].
45. Пусть оа (п) — сумма а-х степеней всех делителей числа п
(VIII, гл. 1, § 5) и
п
2 []	81].

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1, § 6
Тогда для а>0
со
где ?{s) есть ^-функция РиманаУ-5- (см. VIII, гл. 1, § 5).
Для а>1, более того, имеет место неравенство
- ? (ю)	1„ 1 о о \
=	^	 \п=1, ?, о,...).
17	 _-\\ха собственно интегрируема в интервале @, 1], если
а>0 [107]; —я* *сть Функция с ограниченным изменением
при а> 1.
46. Обозначим через т («) = а0 (п) число делителей числа п.
Тогда
V— 1
= «Aп/г + 2С-1) + О(/«) [VIII 79],
где С —эйлерова постоянная. [Применить соображения задачи 9
к функции	|— в интервале(—, 1], где т = []//г]+1; ре-
шение 18.]
47ш Обозначим через Un число нечетных, через С„ —число
четных делителей числа п. Так, например, U20 = 2, G20 = 4. До-
Доказать, что
§ 6. Средние значения. Произведения
Под арифметическим, геометрическим и гармоническим сред-
средними п чисел alt аг, .¦¦, ап понимают соответственно выражения
	'	i V "Х • • • «я» 1	i	i	?—•
"•	¦	_-{_ — + —-+ _)__
В двух последних случаях предполагается, что все числа поло-
положительны. (Более подробно о средних см. гл. 2.)
48. Пусть / (л;)' собственно интегрируема в интервале [а, Ь].
Введем обозначение
3*

68	ЗАДАЧИ
Показать, что
ь
lim fr"+f'"+f»"+-+b'» = ' f f ix\ dx,
n-oo	«	b—a J ' w '
a
6
п.	.		u — uj
Mm л/ т т т	т —Р а
п—* со
..	п	b—а
lim
n^m~ + ^ + ~+...+~ С dx
tin hn Im	Inn \ f. .-
Эти три предела называют соответственно арифметическим,
геометрическим и гармоническим средними функции f(x). В двух
последних случаях предполагается, что нижняя грань функ-
функции f{x) положительна.
49. Способом, иным, чем в I 69, показать, что
lim
п
существует и равен геометрическому среднему от х в интервале
[О, 1], т. е. равен \.
5О> Пусть а и d — положительные числа, а Ап и Ся —ариф-
—арифметическое и геометрическое средние чисел-a, a-j-d, a + 2a, ...
..., а + («— 1)^- Тогда
п->солл е
51.	Обозначим через Ап и Gn арифметическое и геометриче-
геометрическое средние биномиальных коэффициентов
С). С). О'- •••• С)	О-
Показать, что
lim-yrAn — 2, lim >ЛЗЛ =1/7.
П->СО	П-+ОЭ
52.	Показать, что
1 2Р	2 , f 2 In r при гЗэ 1,
2я J	\ 0 при O^rs^l.
53.	Пусть г положительно и меньше единицы, х пробегает
интервал [0, 2л] и | обозначает ближайшее к х число, для ко-
которого
sin (x — Q = rsinx;

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1, § 6	69
тогда
2rt
[Рассмотреть ёх, е'5 и г в комплексной плоскости.]
54. Если функция / (х) собственно интегрируема в интервале
[а, Ь], то, в обозначениях задачи 48,
ь
J / С*) dx
liim A +/1ябя)A + /2я6я)... A +/„ябя) =е°
55» Вычислить
,. (и2+1)(«2+2) ¦•¦ (п2+п)
n-*oo (/l2—!) (ге—2) ••• («2—«)"
56. Доказать тождество
2ля-1
Отсюда вытекает, что если а^О, 1, у, у, -^-, ..., то стоя-
(л + 1)а-1 (я+2)а-1 "' (п + л)а-1*
3
1
щее в левой части произведение при п-*-оо стремится к 2е,
57. Пусть
"*" я ' ~ "*" л '	л'
где а, Р, б фиксированы и 6>0. Показать, что
58. Пусть п и v —целые числа, 0<v<«. Если при n-voo
также v->co и притом так, что
.lim —?J
Л-tco У Л
ТО

70
ЗАДАЧИ
59. Пусть z — 2ne"^n , где ? —фиксированное вещественное
число. Показать, что
2и— 1 2га — 2 2п —3 2га — п _
lim
/J-»co
г—1 ' г —2 г —3 "* г — п
§ 7. Кратные интегралы
60> Пусть функция / (х, у) представляет собой в прямоуголь-
прямоугольнике R
вторую «смешанную» производную некоторой функции F (х, у):
d*F (x, у) ,. .
Проведем через точки
а=хо<х1<х2<...<хт
прямые, параллельные осям координат. Этими прямыми прямо-
прямоугольник R разделится на прямоугольные части R^v:
*и_1«?*«с*ц, #v-i^#<«/v (М>= 1, 2,.... т; v= 1, 2, ..., я).
Обозначим нижнюю и верхнюю грани / (х, у) в R^v соответственно
через т^, М^ и образуем верхнюю сумму
». х)
i= 1 V=l
и нижнюю сумму
2 2 V (и ^i) (г/ Ум i
|X=1 V=l
Показать, что всегда
, d)-F(b, c)-F(a, d)+F(a,
In | sin (x — у) |
61.
[Вычислить двумя способами квадрат модуля определителя
11 1 ... 1
1 е е2	... 6я
1 е2 е4	... e2l«-i'
где в — еп .]

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 1, § 7
62. Пусть f(x, у) собственно интегрируема в квадрате
I. Показать, что
1 1
« "	J J I (x, у) dx dg
71
H=lv=l
63. В том же предположении относительно / (х, у) вычислить
64. Показать, основываясь на 130, что объем \\\dxdydz
2В
трехмерной области S, определенной неравенствами
равен
оо
' sin t \з sin i
65. Пустьаь а2,... ,ар — произвольные положительные числа.
Образуем функции
-y4... (v = l, 2,..., р)
и произведение их
M*)/»(z)...Mz)=f; «я2л.
п = 1
Показать, что
где интеграл распространен на (р—1)-мерный симплекс, опре-
определяемый р неравенствами
66. (Продолжение.) Показать, что
..y;i-l...xap^-l(i-x1-...-xp^fP-1dx1...dx^1 =
Г(«1)Г(а2)...Г(ар)
67. Развернуть выражение, стоящее под знаком предела в 54
и представляющее собой полином л-й степени относительно бя,
по степеням бя. Показать, что коэффициент при р-й степени б„

72
ЗАДАЧИ
при р фиксированном и n-voo стремится к пределу
И\	f (у V f (v \ f /у \ Ay rlу Ау —.
... I	j \™^J I \Л%) • . • / уЬр/ W1-^! WAJ • • ¦ \ЛЛр —~
^~-1 2	^р^
68. Пусть 2т функций
fi(x), h(x), ...,
(
собственно интегрируемы в интервале а
ь	ь	ь
\ h М ф! W ^ J /i (*) Фг W ^ • • • \ h (x) фот (х) dx
. Тогда
W
^ J /2 W
Ф2
... $/2 (*) фт (х) dx
is	и	"
\ fm (x) Ф1W rf* \ fm (x) фз M dx... J fm (x) ф
а а
m
)... fm(xm)
X
X
^ dx2... dxm.
[Вычислить двумя способами «произведение» матриц
'«, = 1, 2	m
v=l, 2	n
IW = 1. 2. ... fm
V = l, 2, ... ( П
где
ГЛАВА 2
НЕРАВЕНСТВА
§ 1.: Неравенства
Пусть alt а2, ..., ап — любые вещественные числа.. Под их
арифметическим средним 21 (а) понимают выражение
И(а)=!

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 2, § 1	73
Если все аъ о2, ..., ап положительны, то их геометрическое и
гармоническое средние определяются соответственно формулами
@(а)=>/а1аа...ая, «§ (а) = -=	р-^	г.
— 4- — 4- |
Обозначим через т наименьшее, через М наибольшее из чисел
alt a2, ..., ап; тогда
Здесь для © (а) и ф (а) предполагается т > 0. Таким образом, три
числа Щ (а), ©(а) и ф (а) представляют собой средние значе-
значения чисел ах, а2, ..., ап. Равенства достигаются только в том
случае, когда все av равны между собой.
Имеем:
= © (a) © (&), ln©(a) =S((lna).
Пусть f(x) собственно интегрируема в интервале хг2
Под арифметическим средним 91 (/) функции f (х) понимают выра-
выражение
Если, кроме того, / (х) существенно положительна, т. е. для всех
значений х превосходит некоторое положительное число, то ее
геометрическое и гармоническое средние определяются соответст-
соответственно формулами
^	[48].
С dx
Xl
Обозначим через т нижнюю, через М верхнюю грани функ-
функции f (х) в интервале хг^х^х2, тогда
Здесь для ©(/) и ^ (/) предполагается, что /л>0. Таким обра-
образом, числа Й(/), ©.(/) и ф (f) являются средними значе-
значениями функции f (х). Имеем:
©У)

74	ЗАДАЧИ
Для любых положительных чисел аг, а2, ..., а„, среди кото-
которых имеются по крайней мере два различных, выполняются нера-
неравенства
-:	;	г<1/а1й2...ая
— + — + ••• + —
ex ' fl2 '	ап
(Теорема об арифметическом, геометрическом и гармоническом
средних.) В своем «Analyse algebrique» (Note 2; Oeuvres completes,
серия 2, т. 3, стр. 375—377, Paris, Gauthier-Villars, 1897) Коши
дал особенно простое и изящное доказательство этой теоремы1).
х) Очевидно, достаточно доказать, что 91 (а) > @ (а). Приводим полностью
перевод соответствующего места у Коши:
Среднее геометрическое нескольких чисел А, В, С, D, ... всегда меньше их
среднего арифметического.
Доказательство. Пусть п будет количество чисел А, В, С, D, ...
Достаточно доказать, что вообще
,	A)
или, что то же,
АВСВ...<(А + В + С+°+-)П.	B)
Но прежде всего для п = 2 мы, очевидно, имеем:
(А-В\г
Отсюда заключаем, полагая последовательно га = 4, п = 8, ..., наконец, п=2т,
что
авсв
ABCDEFGH < (Л + Я + С + Р)' ^
<
C)
Пусть теперь п не принадлежит геометрической прогрессии 2, 4, 8, 16, ...
Обозначим через 2т первый член этой прогрессии, превосходящий п, и положим
к A + B+C+D + ... ^
Полагая теперь в левой части формулы C) 2т — п последних множителей рав-
равными К, мы получим:
ABCD...K*»-»

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 2, § 1	75
69. Пусть функция f(x) собственно интегрируема в интервале
[xlt x2] и имеет в нем положительную нижнюю грань. Тогда
х2
	\ In f (x) dx
v	v	*2 — Х% J	1
(' _dx_
Xl
т. е. во введенных выше обозначениях
70. Пусть ф(/) есть (не обязательно дифференцируемая)
функция, удовлетворяющая для любой пары значений tlt t2 (tx Ф
ф 4) неравенству
(Р
Тогда вообще
2~)
где tlt t2,..., tn — любые числа, не все равные между собой.
Функцию ф(^) называют выпуклой снизу в интервале tn^t^
sgM, если для любой пары значений tlt t2 (^t=/=4) из этого
интервала выполняется неравенство
V 2
Согласно 70 тогда вообще
где tlt t2,..., tn — любые числа из интервала [т, М], не все
равные между собой. Если вместо знака < имеет место знак «g:,
то ф(^) называют невогнутой снизу. Если всюду вместо знака <
(соответственно s^) имеет место знак > (соответственно ^),
то ф (/) называют выпуклой сверху (соответственно невогнутой
сверху). В последующем мы будем рассматривать лишь ограни-
ограниченные выпуклые функции; они непрерывными. 124, часто может
быть полезно также 110].
или, другими словами, ABCD...K2m~n <K2tn. Следовательно,
АВСР...<
что и требовалось доказать.»

76	ЗАДАЧИ
71. Пусть функция f(x) собственно интегрируема в интервале
Xi^xsSXj, причем т==?/(л:) ss:M. Пусть, далее, ф(/) выпукла
(невогнута) в интервале m^t^M. Тогда имеет место нера-
неравенство
или
смотря по тому, будет ли ф(^) выпукла снизу или сверху.
72.	Пусть функция ф(/) определена в интервале [т, М];
пусть, далее, в этом интервале ф" (t) существует и всюду ф" (t) >
>0. Тогда ф(?) выпукла снизу. Если q>" (t) лишь 5=0, то <p(t)
невогнута снизу. (Функция может быть выпуклой или невогну-
невогнутой и в том случае, когда ф" (t) существует не всюду.)
73.	Показать, что
[f @</е<1) или Int
в любом положительном интервале выпуклы сверху,
tk (k<0 или k>\) и tint
в любом положительном интервале выпуклы снизу,
и VJ+P (с>0)
всюду выпуклы снизу.
74ш Пусть функция q(f) выпукла (невогнута) "в интервале
[т, М], далее, рх, рг,..., рп — любые положительные числа и tlt
h, ... , tn — любые точки интервала [т, М]. Тогда
Р1Ф
смотря по тому, будет ли q(t) выпуклой снизу или сверху.
75 Пусть f(x) и р(х) собственно интегрируемы в интервале
Хг
лалее, m^f(x)^M, р(х)^0 и $ p(x) dx>0. Пусть,
Xl
кроме того, ф(^) выпукла (невогнута) в интервале m^t^M.
Тогда
или
) p(x)dx
смотря по тому, будет ли y(t) выпукла снизу или сверху.
76. Если ф@ в интервале [т, М] дважды дифференцируема
и ф"(?)>0, то для любых положительных plt рг, ... , рп
Равенство достигается тогда и только тогда, когда tx = /2 = ¦ .. — tn.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 2, § 1
77
77. Пусть /(х) и р(х) непрерывны в интервале Ху^
далее, ms^f(x)^M и р(х) существенно положительна. Пусть,
кроме того, ф(^) дважды дифференцируема в интервале m^Sit^
s^M, причем в этом интервале <p"(t)>0. Тогда
Ф
$ p(x)f(x)dx
$ p(x)dx
Хг
p (х) dx
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
/ (х) = const.
78. Доказать справедливость следующего обобщения теоремы
об арифметическом, геометрическом и гармоническом средних:
если р1г р2, ..., рп, ах, а2, ... , а„ — любые положительные числа
и а1г а2,..., ап не все между собой равны, то имеют место нера-
неравенства
?i I Ра , , Ря
Кроме того,
In
Pi , Pa , ,Ря
In g2 + ... + pnan In
^t<e
79. Пусть /(л:) и р(х) непрерывны и положительны в интер-
интервале х1^х^х2, причем f (х) не приводится к постоянной. Тогда
J p (*) In / (x)
Xi
Р (х) dx
p (x) dx

78	ЗАДАЧИ
далее,
х2	Xi
\ TTT^f(x)dx	\ p(x)f(x)\nf(x)dx
Xi
Xi	Xi	Х2
¦ dx	j p (x) dx	J p (x) f (x) dx	^ ,
<4	, -^	<e Xi
80. Для любых действительных аг, a2, ..., an, bu b2, ..,, bn
имеет место неравенство
Равенство достигается тогда и только тогда, когда числа av и bv
пропорциональны, т. е. когда для всех v = l, 2, ..., п выпол-
выполняется равенство
(неравенство Коши).
81.	Если f (x) и g (x) собственно интегрируемы в интервале
[хи х2], то имеет место неравенство
S / (х) g (х) dx) < \ [/ (x)f dx \ [g (x)Y dx
(неравенство Шварца *)).
82.	Пусть аг, а2,..., ап — любые положительные числа, не все
равные между собой. Тогда функция
монотонно возрастает при любом значении t. Вычислить значения
о); (—оо), о); (—1), г|)@), tU). t(+°o)-
(Для ^ = 0 г)) (t) определяется требованием непрерывности.)
83. Пусть / (х) собственно интегрируема в интервале х1^х^х2
и имеет в нем положительную нижнюю грань. Тогда функция
является неубывающей для всех значений t. Вычислить значения
?(-со), ?(-1), ?@), ?A), ?(+оо).
*) Значительно ранее Шварца его установил Буняковский.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 2, § 1	79
При вычислении ?(¦—оо) и Y(-f-oo) функцию f (х) предполагать
непрерывной.
84. Для любых положительных чисел av, bv (v == 1, 2, ..., п)
имеет место неравенство
... {ап + Ьп) =э 1/ахаг...ап
т. е.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда
av = kbv (v — 1, 2, ..., п).
85. Если f (х) и g(x) собственно интегрируемы и существенно
положительны в интервале х^^^х^х^ то
—^—г \ In [f (х) + g (х)] dx		!—- [ In f (x) dx	' ¦ \ In g W ^ ,
Л-2 	 И-i J	X2 	 Л1 J	И-2 "~~ Л\ J
86.	Пусть /х (я), /2(а;), ..., /mW собственно интегрируемы и
существенно положительны в интервале [xlt х2]; пусть, далее, рх,
Рг. •••» Рот —любые положительные числа. Тогда
® (Pl/l + Р2/2 + • • ¦ + Рот/от) =5= Pl® (fj + p2® (h) + • • • + Рот© (fm).
87.	Пусть функции fk(x), k=\, 2, ..., /л, имеют ограничен-
ограниченное изменение в интервале х^^х^х^ и р1( р2, ..., рт — любые
положительные числа. Положим
rw ч Pi/i W + Р2/2 (*) + ¦ • ¦ + Pmfm (x)
W
Доказать, что если 1Х, /2, ..., 1т, / — длины дуг графиков функ-
функций fx(x), fi{x), ..-, fm(x), F(х) (в точках разрыва величина
скачка причисляется к длине дуги), то имеет место неравенство
88. Пусть / (х) положительна, непрерывна и имеет период 2я.
Пусть, далее, р(х) неотрицательна и собственно интегрируема
в интервале 0е^д:^2л, причем имеет в нем положительный ин-
интеграл. Тогда функция
2Я

80	задачи
положительна и непрерывна, причем
2я	2я
89. Пусть р(л:) удовлетворяет условиям предыдущей задачи;
если f (x) имеет период 2я и обладает ограниченным изменением,
то тоже справедливо и для функции
2я
о
причем, обозначая через /, L длины дуг графиков функций f (х)
и F (х) в интервале [0, 2я], имеем неравенство
90. Пусть аи аг, ..., ап и Ьъ Ь_г, ..., Ьп — любые положи-
положительные числа. Положим
Показать, что
алж(с + Ь)< или 5гSWX(a) + дЛлф),
смотря по тому, будет ли %^1 илих^1. Равенство достигается
лишь в случаях av — lbv (v = 1, 2, ..., п) или х = 1. (Дать истол-
истолкование теоремы для случая и = 2.)
91 ¦ Пусть / (х) собственно интегрируема и существенно поло-
положительна в интервале х1^х^:хг. Положим
Показать, что если g (я) ¦ подчиняется тем же условиям, что и / (х),
то
2Htf + )< или ^SW
смотря по тому, будет ли %5s 1 или
92. Пусть а, Л, 6, В положительны, а<.А, Ь<.В. Если
числа ах, аг,...,ап лежат между а и А, а числа J^, 62, ..., Ь„ —
между 6 и В, то выполняются неравенства
(g;+q;+-+^)(ft;+ft|+-..+^) [К ^F+К 3g

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 2, § 1	81
Первое неравенство тождественно с 80. Во втором знак равен-
равенства имеет место тогда и только тогда, когда числа
A
a
A
a
В
b
-n,
I
A
a
В
b
в
b
v
целые, причем k из чисел а^ равны а, остальные / из чисел a
равны А, соответствующие же им числа bv равны соответственно В
или Ь.
93. Пусть а, А, Ь, В положительны, а<.А, Ь <В. Если функ-
функций f(x) Hg(x) собственно интегрируемы в интервале ^<x^.t2,
причем значения их заключены соответственно между а и А или
b и В, то выполняются неравенства
\ \f WJ2 dx] [g (x)P dx lf4L + l/j^-\
f(x)g(x)dx
Первое из этих неравенств есть не что иное, как неравенство
Шварца.
94. Пусть f (х) в интервале 0 < х < 1 — неубывающая, неот-
неотрицательная, не тождественно равная нулю функция. Пусть, далее,
0<ia<ib. Показать, что
/'	V
\\xa+bf (х) dx)
^ x%a\ (x) dx J jc2&/ (x) dx
о	' о
при условии существования всех интегралов. Второе из этих
неравенств хорошо известно. В первом равенство достигается тогда
и только тогда, когда f (х) постоянна.
95. Под «удельной емкостью» проводника понимают отношение
его емкости к объему. Показать, что удельная емкость трехосного
эллипсоида всегда заключена между арифметическим и гармони-
гармоническим средними удельных емкостей трех шаров, радиусами кото-
которых служат соответственно три полуоси эллипсоида.
Аналитически это равносильно доказательству справедливости
неравенств
со	-?_4- —-4-JL
du	_ be ~ ca ~ аЬ .
¦2 3
для любых положительных а, Ь, с, исключая случай а — Ь — с.

82	ЗАДАЧИ
96.	Пусть
п	п
U=l	V=l
И
#и = йг11*1 + ацг*2 + --- + Оцл*л 0х' v=1» 2> •••' ")•
Тогда
У1У2 ¦¦¦ Уп^ХуХъ ... xn.
97.	Пусть <ц_, g2) ..., а„ — положительные числа, М — их
арифметическое, G —геометрическое средние и г — положительная
правильная дробь. Показать, что неравенство
влечет неравенства
ff	(t = l, 2, .... п),
где р и р' обозначают соответственно единственный отрицательный
и единственный положительный корни трансцендентного уравнения
ГЛАВА 3
ИЗ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Интегрируемость в собственном смысле
98.	Положим
g (х) =* sin2 nx-\- sin2 nx cos2 пх + sin2 nx cos* ял: -f-...
... + sin2 лх со82*ял:+...
Интегрируема ли функция
G (х) = lim g (nix)?
п—юэ
99.	Пусть функция f (х) (см. также 169, VIII 240) определена
следующим образом:
10 для иррациональных х,
— для рациональных х=—, (р, q) = \, q^l-
Показать, что она непрерывна в каждой иррациональной точке,
разрывна в каждой рациональной и в каждом интервале собст-
собственно интегрируема.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 3, § 1	83
100.	Пусть f(x), y(x) собственно интегрируемы в интервале
Ь; далее,
а = х0 <х1 < хг <... <хп-г < хп = Ь,
Xv-1<yv<Xv, Xv-i<r]v<^v	(V=l, 2, ..., П).
Показать, что при стремлении максимальной длины интервала
разбиения х0, хъ хг, ..., хп^ъ хп к нулю
п	Ь
lim 2 f (t/v) ф Ы (xv - *v-i) = If (x) Ф (x) dx.
v= 1	a
101.	Пусть f (x) собственно интегрируема в интервале a^x^b,
ц>(х) собственно интегрируема в интервале [a, b-\-d]n пусть d>0.
Тогда
ь	ь
lim \f(x)(f(x + 8)dx = \f (x) ц> (х) dx.
102.	Пусть функция f (х) собственно интегрируема в интервале
а^х^Ь. Для любого е>0 можно указать две такие кусочно-
постоянные*) функции ty(x), W (х), что
^(x)^f(x)^V(x)
во всем интервале [a, b] и
ь	ъ
В частности, можно добиться того, чтобы точки разрыва функций
¦§(х) и Ч (х) были равноотстоящими.
103.	(Продолжение.) Если f (х) имеет ограниченное изменение,
то можно г[) (х) и W (х) определить так, чтобы их полные измене-
изменения не превосходили полного изменения функции f(x).
104.	Положим
4[*]-2[2*] + 1=s(jc).
Тогда для любой функции f (x), собственно интегрируемой в интер-
интервале 0 =^ х ^ 1, имеет место предельное соотношение
1
lim \f (x) s(nx) dx = O
п^со 0
(и —целое). [Начертить график функции s(nx), VIII 3.]
105.	Если / (х) собственно интегрируема в интервале [а, Ь], то
ь
lim \f{x) sinnxdx = O.
*) To есть в каждом конечном интервале имеющие не более чем конечное
число точек разрыва, а в промежутках между последними — постоянные.

84	ЗАДАЧИ
106. (Продолжение.)
ь	ь
li m \ / (х) | sin пх | dx = — \ / (х) dx.
Пусть /(х) ограничена в интервале а^х^Ь. Разделим этот
интервал точками
а = х0 < хх < х2 < ... < хп-х < х„ = Ь.
Обозначим через mv нижнюю, через Mv верхнюю грани функции / (х)
в v-м подинтервале \хч..г, xv]. Тогда разность Mv — mv даст коле-
колебание / (х) в этом интервале. Функция f (x) собственно интегрируема
тогда и только тогда, когда для каждой парц положительных
чисел е и г] можно выбрать такое разбиение, чтобы общая длина
тех псщинтервалов, в которых колебание больше е, была меньше т^
(критерий Римана; см. 1. с. решение 105, стр. 226, или, например,
Cesar о, стр. 695*)).
107м Функция (	— ViX7-, где а^О, собственно интегри-
руема в интервале (О, 1].
108а Если / (х) собственно интегрируема в интервале [а, Ь], то
точки непрерывности функции / (х) в интервале [а, Ь] образуют
всюду плотное множество.
109а Если / (х) собственно интегрируема в интервале [а, Ь],
то равенство
а
имеет место тогда и только тогда, когда / (|) = 0 во всех точках |
непрерывности функции f{x)t лежащих внутри данного интервала.
110.	Пусть функция y = f(x) собственно интегрируема в интер-
интервале a s^ х «S&, причем там m^f(x)^M; пусть, далее, у (у)
непрерывна для т^у^М. Тогда Ф[/(#)] также собственно
интегрируема в интервале а^х^Ь.
111.	Если f (х) и ф(у) собственно интегрируемы, то ф [/(*)],
вообще говоря, уже не является собственно интегрируемой [98, 99].
§ 2. Несобственные интегралы
112.	Если / (х) монотонна в интервале 0<д:^1 и t^xaf(x)dx
о
существует, то
lim л^+1/(л:) = О.
		х-+0
*) Б. Риман, Сочинения, стр. 237; Чезаро, ч. 2, стр. 256.

отдел Второй, глава з, § 2	85
со
113.	Если f(x) монотонна в интервале 1 *^л:<аэ и § xdf(x)dx
существует, то
lim x°+1f(x) = 0.
ж-юо
114.	Для каких действительных а, р интеграл
со
$ х* | cos х |*р dx
о
сходится и для каких расходится?
115.	Пусть
fi(x), U(x), ..., fn(x), ...
— функции, собственно интегрируемые в любом конечном интер-
интервале и удовлетворяющие следующим условиям:
lim /„ (x)=f-(x) равномерно в каждом конечном интервале,
(х) и J F(x) dx существует.
—оо
Тогда
СО	00
lim \ fn{x)dx= \ f{x)dx.
л-*°°_ оо	'	—оо
[Аналог теоремы I 180.]
116.	Доказать 58 с помощью VI 31.
117.	Если ряд Дирихле [VIII, гл. 1, § 5]
Oil-* + ъ2-' + а33-°.+... + оппг* +... = D (s)
сходится для s = cr, a>0, то, полагая
будем иметь при s><r:
118. Если / (х) собственно интегрируема в любом конечном
+00
интервале и § | / (х) \ dx существует, то
+
lim \ f (x) sin nxdx = О,
п-»со_ю
+ОО	+СО
lim \ f (x) I sin nx\ dx = — \ f (x) dx.
п-ьоо J	л J

86	ЗАДАЧИ
§ 3. Непрерывные, дифференцируемые, выпуклые функции
119. Существуют ли вообще функции от трех переменных?
Точнее говоря: можно ли или нельзя всякую действительную функ-
функцию / (х, у, г) трех переменных выразить через две функции ф (х, у)
и ^ (и, z) двух переменных следующим образом:
/(*, у, z)=\p(q>(x, у), г)?
Ответить на этот вопрос в предположениях:
1)	что функции f (х, у, z), у(х, у), -ф(«, г) определены для всех
действительных значений аргументов и
2)	что эти функции для всех действительных значений аргу-
аргументов непрерывны.
119а. Положим
= S(x, у), ху = Р(х, у);
тогда
yz + zx + xy = S{P(x, у), P[S(x, у), г]}.
В этой формуле yz-\-zx+xy выражено через четыре «вложен-
«вложенные» друг в друга в качестве аргументов функции двух перемен-
переменных. Показать, что аналогичное представление через три функции
двух переменных невозможно, если принять, что входящие в него
функции должны быть неограниченное число раз дифференцируемы
для всех действительных значений аргументов. [Показать невоз-
невозможность представления yz + zx-\-xy в формах
ф[Ф[х(*. У), г], z}, <р[*|)(х, г), %(у, г)], фИ>[х(*> у), г], х}.]
120. Пусть f (x) имеет непрерывную производную в интервале
a<ix<ib. Можно ли для каждой лежащей в этом интервале точки |
указать две другие точки хх, х2 из этого интервала, такие, что
х2—х1
121. Пусть/(л:) дифференцируема в интервале а^х^Ь, причем,
f (a) = f(b) =0. Тогда в [а, Ь\_существует по крайней мере одна
точка |, в которой выполняется неравенство
122. Если функция f (x) дважды дифференцируема, то суще-
существует точка |, х0 — г <С ? < х0 + г, в которой имеет место равенство
= ^r J [f(x)-f(xo)]dx.
ха — г

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 3, § 4	87
123. Если р0, ръ р2, ..., рп, ... — неотрицательные числа, из
которых по меньшей мере два положительны, то логарифм ряда
будет выпуклой снизу функцией от х в любом интервале сходи-
сходимости ряда.
124.	Ограниченная выпуклая функция (стр. 75) всюду непре-
непрерывна и имеет производные слева и справа.
125.	Пусть действительная функция f (х) имеет в некотором
конечном или бесконечном интервале непрерывную производную
f (х). Рассмотрим точки пересечения всех горизонтальных каса-
касательных кривой y — f(x) с осью ординат, т. е. множество М всех
тех значений y = f(x), для которых /' (х) = 0. Доказать, что точки
множества М не могут заполнять никакого интервала. (Эта тео-
теорема допускает значительное усиление.)
126.	Если монотонная последовательность непрерывных функ-
функций сходится в некотором замкнутом интервале к непрерывной
же функции, то сходимость будет равномерной.
127.	Доказать следующую теорему, напоминающую 126. Если
последовательность монотонных (непрерывных или разрывных)
функций сходится в замкнутом интервале к некоторой непрерыв-
непрерывной функции, то сходимость будет равномерной.
§ 4. Особые интегралы, теорема Вейерштрасса
128.	Пусть непрерывные в интервале [а, Ь] функции
Pi@. р2@. •••> Pn(t), ...
удовлетворяют условиям
ъ
/MOSsO, ]pn(f)dt = l (л=1, 2, 3, ...).
а
Тогда все члены последовательности
I Pl @ / @ dt, \ рг (t) f(t)dt, ..., $ pn(t)f(t) dt,...
a	a	a
содержатся между наименьшим и наибольшим значениями непре-
непрерывной функции /(/). (См. I 65, I 79, I 83.)
129а Пусть л: —некоторая фиксированная точка интервала
[а, Ь] предыдущей задачи. Для того чтобы для каждой непрерыв-
непрерывной в [а, Ь] функции / (t) выполнялось предельное соотношение
lim\pn(f)f(t)dt = f(x),

88	ЗАДАЧИ
необходимо и достаточно, чтобы имело место предельное соотно-
соотношение
\\тГ\ Pn{t)dt+ I pn(t)dt)=O
для всех положительных s, удовлетворяющих условию а < х —
<лг + е<Ь; в случае х = а или х = Ь первый или соответственно
второй интеграл под знаком lim отпадает. (См. I 66, I 80, I 84.)
13Ош Показать, что
lim е^ e~e'f(t)dt = lim fit),
в предположении, что интеграл в левой части н предел в правой
существуют.
131- Если интеграл
сходится при 'к —а и Я = р, а<Р, то он сходится во всем интер-
интервале а^Яй^р и представляет в этом интервале непрерывную
функцию от К.
132. Пусть функции
Pi(x, t), P2(x, t), ..., pn(x, t), ...
двух переменных х и t непрерывны при а^х ^b причем для
каждого п
ь
Рп(Х, t)^0, \Рп{Х, f)dt=\.
а
Показать, что функции
ь
U(x) = \pn(x, t)f(t)dt (n=l, 2, 3,...),
а
где /(^ — некоторая непрерывная функция, заключены между
наименьшим и наибольшим значениями f(t) для всех х.
Далее, показать, что
lim /„ (х) = f (x)
«->со
при a<x<Cb, если для каждого фиксированного положительного
е выполняется предельное соотношение
IX — Е	Ь
\ Рп(х, t)dt+ $ рп(х,
а

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 3, § 4
89
равномерно для а-\-е^х^Ь — е. Сходимость равномерна в любом
замкнутом интервале, содержащемся в a<.x<ib.
133. Пусть / (х) непрерывна в интервале [0, 1]. Показать, что-
и притом равномерно в любом фиксированном интервале
s=SXs=Sl— s, где 0<е<-2-.
134. Если / (t) — непрерывная периодическая функция с перио-
периодом 2я, то
2Я
и притом равномерно для всех х.
135.	Каждая функция, непрерывная в интервале а^х^Ь,
может быть равномерно приближена в этом интервале лолиномами
с любой степенью точности (теорема Вейерштрасса).
136.	Каждая непрерывная периодическая функция с периодом
2я может быть равномерно приближена тригонометрическими
полиномами [VI, § 2] с любой степенью точности (теорема Вей-
Вейерштрасса) .
137.	Пусть f(x) — любая функция, собственно интегрируемая
в [а, Ь] (соответственно в [0, 2я]). Каково бы ни было число е,
можно указать два полинома (тригонометрических полинома) р (х)
и Р (х), удовлетворяющих одновременно неравенствам
во всем интервале а^х^Ь @^л:<2я), а также неравенству
Ь	Ъ	,2л	2я	\
\Р(х) dx — [p(x)dx<e $ P(x)dx- \ p(x)dx<e\.
а	а	\0	0	)
138.	Если у функции f(x), непрерывной в конечном интер-
интервале а^х^Ь, все «моменты» равны нулю:
ь
lf(x)x»dx = 0 (n = 0, 1, 2, ...),
то/(х) = 0.
139.	Если у функции f(x), собственно интегрируемой в конеч-
конечном интервале а^х^Ь, все «момента» равны нулю:
lf(x)xfdx = 0 (n = 0, 1, 2, ...),
а
то / (I) = О во всех точках непрерывности |.

90	ЗАДАЧИ
140.	Если п первых «моментов» функции f(x), непрерывной
в некотором конечном или бесконечном интервале а<.х<Ь,
равны нулю:
ь	ь	ь	ь
\f{x)dx = \f(x)xdx = \f{x)x2dx = ... = \f (x) x"'1 dx = O,
а	а	о.	а
то эта функция меняет знак в интервале а<.х<.Ъ по меньшей
мере п раз (V, гл. 1, § 2), если только она не равна тождественно
нулю.
141.	Если равны нулю 2п-\-\ первых «тригонометрических
моментов» (коэффициентов Фурье, см. VI, ^ 4) непрерывной
периодической функции / (х) с периодом 2я:
2я	2л	2я
5 /(х) dx = ^ / (х) cosхdx = J f (x) sinxdx = ...
0	0	0
2я	2л
...= $/(*) cosnxdx= ^ f (x) sinnxdx = 0,
о	о
то f(x) в любом интервале длины, превосходящей 2я, меняет знак
по меньшей мере 2л+ 2 раза (V, гл. 1, § 2), если только она
не равна тождественно нулю.
142.	Пусть (f(x) непрерывна для всех х^О. Если интеграл
сходится для k — k0 и обращается в нуль для значений k, обра-
образующих возрастающую арифметическую прогрессию:
J (k0) = J (ko + a) = J (ko + 2a) = ... =J(ka + m) = ... =0 (<z>0),
то ф (x) == 0.
143. Доказать, исходя из интегрального представления гам-
гамма-функции
что она не имеет нулей. [Г (s+I) = sr(s), 142.]
Образуем для каждой функции / (х), заданной в интервале
¦"¦"^1, полиномы С. Н. Бернштейна

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 4, § 1	91
Эти полиномы заключены во всем интервале [0, 1] между нижней
и верхней гранями функции f(x), причем на концах совпадают
с этой функцией.
144.	Вычислить полиномы Кп(х), « = 0, 1, 2, ..., для
/(х) = 1, f(x) = x, /(*) = **, f(x)=e\
145.	Пусть л:—произвольная точка интервала O^x^l и
где 7 распространяется на индексы, удовлетворяющие нера-
венству |v — пх\^пА, а > —на индексы, удовлетворяющие
неравенству | v — пх | > п4 (га Ss 1). Тогда
2п
146. Полиномы К п. (*)> образованные для непрерывной в интер-
интервале Osgx«?l функции f(x), равномерно сходятся к ней в этом
интервале. (Новое доказательство теоремы Вейерштрасса, 135.)
ГЛАВА 4
РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ РАВНОМЕРНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
§ 1. Числовая функция. Регулярные последовательности
В нижеследующем A47—161) мы рассматриваем монотонные
последовательности положительных чисел. Под числовой функцией
N (г) такой последовательности гъ г2, ..., гп, ..., О¦<rxsc;г2«=;
-;?.. .^/"„sg..., будем понимать число членов этой последова-
последовательности, не превосходящих г @)
N(r)= 2 1.
rn<r
[Вообще под 2 f(fn), где/(/)— какая-либо функция, задан-
ная для t > 0, мы будем понимать сумму / (гх) + / (г2) + ••¦ + / (гт),
где номер т 'определяется неравенствами rffl=sSr<rm+1].
Например, для гх=1, г2 = 2, г3 = 3, ... имеем N(r)—[r].
N (г) представляет собой кусочно-постоянную неубывающую
функцию с целочисленными скачками, непрерывную справа в точ-
точках разрыва.

^2	ЗАДАЧИ
147.	Пусть / (t) дифференцируема и /' (/) собственно интегри-
интегрируема на каждом конечном интервале значений t > 0. Тогда имеет
место формула
2,- f(ra) = N {r)f(r)-{N (i)f' (t)di.
148.	Если N (г) есть числовая функция монотонно стремящейся
к бесконечности последовательности rlt r2, ..., тп	то
limsup—— = limsup —,	liminf---^ = liminf —,
г — оо г	л-> оо гп	л — со r	n-*co rn
,.	\nN (r) ,.	Inn ,. . clnN (г) .• • с Inn
limsup —-.—~ = limsup -.—, liminf' . ¦ ^liminb—.
r-co1^ I"''	„-оо Г1|1'«	r-co I'1''	л-со 1ПГ„
\
149. Пусть Л^ (г) — числовая функция и Я—показатель схо-
сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности rv r2, ..., гп, ...
Тогда
lnN(r) ,
150. Положительную функцию L(r), определенную для
будем называть медленно возрастающей, если она монотонно воз-
возрастает и удовлетворяет условию
Показать, что для такой функции вообще
151. Пусть функция L(r) задана для г^О, монотонно возра-
возрастает и для достаточно больших значений г определяется формулой
L (г) = (In /¦)«' (ln2 г)««... (In* rfk («i > 0),
где lnftA: = lnft_1(lnA:). Тогда L (г) является медленно возрастаю-
возрастающей функцией.
152. Если L (г) есть медленно возрастающая функция, то
153. Пусть для числовой функции W (г) последовательности
гх, г2, ..., гп, ... выполняется соотношение
N(r)~rxL(r),
где L (г) — медленно возрастающая функция и 0<Я<оо. Тогда К
есть показатель сходимости последовательности гх, г2, ..., гп,...

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 4, § 1	93
Последовательности rlt r2, ..., гп, ..., обладающие указанным
в предыдущей задаче свойством, мы будем называть в дальнейшем
A54—159) регулярными. Позже (например, в IV 59—65) это наи-
наименование будет распространено также на те последовательности,
для которых ./V {г) <~ у-рг. При этом расширении понятия регуляр-
L (г)
ной последовательности теоремы 153—159 сохраняют силу. Под
расширенное понятие регулярной последовательности подходит,
например, последовательность простых чисел 2, 3, б, 7, 11, ...
154. Числовая функция N (г) регулярной последовательности
с показателем сходимости А удовлетворяет соотношению
155. Пусть N (r) — числовая функция регулярной последова-
последовательности г1У г2, ..., гп, • • • с показателем сходимости X я f (х)
кусочно-постоянная функция, заданная в интервале
(с>0). Тогда
lim
/"«woo
156.	Предельное соотношение задачи 155 сохраняет силу
также в том случае, когда / (х) есть функция, собственно интегри-
интегрируемая в интервале О^х^с.
157.	Пусть N (r) — числовая функция регулярной последова-
последовательности Гу, г%, ..., гл, ... с показателем сходимости К, и а —
любое положительное число. Тогда
,.	1 V1 (гп\а-Ь
hm -щ-? > i —j
158.	(Продолжение.)
7 (Л / ,
159. Пусть N (г) — числовая функция регулярной последова-
последовательности гх, г2, ..., гп, ... с показателем сходимости К; функция
f (х) определена для х>0 и собственно интегрируема в каждом
конечном интервале 0<а^х^Ь. Пусть, далее, в окрестности
точки х = 0
а в окрестности бесконечно удаленной точки х — -f

94	ЗАДАЧИ
Тогда
160. Пусть f (x) монотонна в интервале 0<л:«?1 и в неко-
некоторой окрестности точки х = 0 удовлетворяет неравенству
Если N (г) есть числовая функция и к — показатель сходимости
монотонной положительной последовательности гх, г2, ..., гп, ...
@<А<оэ), то
i
[I 115]. Последовательность гп не должна быть обязательно ре-
регулярной.
161. Пусть f (х) (х >0) — положительная убывающая функция,
в окрестности точки х = 0 удовлетворяющая неравенству
а в окрестности бесконечно удаленной точки х = + °° — неравен-
неравенству
Тогда
п = 1
где Af (r) — числовая функция последовательности rlt r2, ...
... , гп, ... предыдущей задачи [I 116].
§ 2. Критерии равномерного распределения
Последовательность чисел
называют равномерно распределенной в интервале Osgxscl, если
все числа этой последовательности лежат в замкнутом интервале
[О, 1], причем для каждой функции fix), собственно интегриру-
интегрируемой в Os^xs=:l, имеет место предельное соотношение
lim /(*.)+/(*>+-+/<««> = С f {x) dx.	(*)
Наименование «равномерно распределенная» оправдывается сле-
следующим критерием.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 4, § 3	95
162. Последовательность xlt х2, ..., хп, ..., 0г?;л:л«^1, тогда
и только тогда является равномерно распределенной в интервале
Os^x==Sl, когда «вероятность» попадания некоторого наудачу
выхваченного числа последовательности в фиксированный под-
интервал интервала [0, 1] равна длине этого подинтервала. Точнее
говоря, пусть а ?^ л: s=: p — подинтервал интервала [0, 1]; обозна-
обозначим через vn(а, р) количество тбх точек ху (v=l, 2, ..., п),
которые лежат в этом подинтервал'е. Тогда должно выполняться
предельное соотношение
каков бы ни был подинтервал [а, Р] [102].
163.	Пусть 0ss;a<p=sc; 1. Обозначим через sn(a, P) сумму
тех из первых п членов последовательности х1У хг, ..., хп, ...,
0^хп^1, которые лежат в интервале а^л:^р. Показать, что
для того, чтобы последовательность была равномерно распреде-
распределенной в интервале 0 sc; x sg 1, необходимо и достаточно выполне-
выполнение предельного соотношения
,. 5„ (к, р) _ р«-а»
каков бы ни был подинтервал [а, р] интервала [0, 1].
164.	Последовательность xlt х2, ..., хп, .... 0^хп^ 1, тогда
и только тогда является равномерно распределенной в интервале
0 ^ х sg; 1, когда для каждого положительного целого k
	^^^	[137].
165.	Последовательность хи х2, ..., хп, ..., 0г^*„^1, тогда
и только тогда является равномерно распределенной в интервале
Osg;xss:l, когда для каждого положительного целого k одно-
одновременно
.. cos 2nkxx -f- cos 2nkx.2 + ... + cos 2nkxn	j-.
Я-.СО	П
И
j. sin 2I^! -f- sin 1nkx2 + ... + sin 2nfen	«	¦- ¦. ппл
§ 3, Распределение кратных иррационального числа
166.	Если 6 — иррациональное число, то последовательность
л:я = «6 — [пВ] (п=\, 2, 3, ...)
является равномерно распределенной в интервале
167. Пусть 8 —иррациональное число. Положим ел= 1 или 0,
смотря по тому, будет ли ближайшее к пЬ целое число лежать

96	ЗАДАЧИ
справа от него или слева. Показать, что для целых чисел а,
d (а=гО, d>0)
]jm Ea + Eg + tf + Ea + 2f?+ ... +ea + (n-l)rf _ JL
168< Пусть б —иррациональное число и а — ирр-ациональное
число вида a = qQ, где q — целое и отличное от нуля. Показать,
что асимптотическое поведение функции
/(г)=2 (п8-[пе]J» (|2|<1)
я =
при радиальном приближении к точке е21"" круга сходимости
характеризуется формулой
lim A-/¦)/(«****)¦= ~	[I 88].
г —> 1 ™* 0	•
169> Вычислить предел
г , s	 |. cos2 пх + cos4 2ях + cos6 Зя* + ... + cos2'1 пял;
п_>со	Я
(л: вещественное).
170.	Показать, что десятичная дробь
8 = 0,12345678910111213...-
(все натуральные числа выписаны одно за другим) представляет
иррациональное число. Согласно 166 числа
п9-[лб] («=1, 2, 3, ...)
расположены тогда всюду плотно в интервале [0, 1]. Показать, что
этим свойством обладает уже подмножество
10«е-[10я8] (п = 0, 1, 2, ...). '
171.	Число е иррационально [VIII 258]. Показать, что после-
последовательность
nle-[n\e] (л=1, 2, 3, ...)
имеет единственную предельную точку 0.
172.	Если полином Р(x) = a1x-\-a2x2jr ...,.-^-arxr имеет по
крайней мере один иррациональный коэффициент, то последова-
последовательность
Р(п)-[Р(п)] (п=1, 2, 3, ...)
обладает бесчисленным множеством предельных точек.
173.	Пусть 6 —иррациональное число, xn = nQ — [nB], л =
= 1, 2, 3, ... и ?%, а2, ..., ая, ... — монотонно убывающая после-
последовательность положительных чисел с расходящейся суммой. Пока-

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 4, § 4
97
¦зать, что для каждой функции f (х), собственно интегрируемой
в интервале 0=^л;^1, имеет место предельное соотношение
n_»co	«1 + «2+ ••• +«Л	J
0
§ 4, Распределение цифр в таблице логарифмов
и аналогичные задачи
174.	Пусть функция g(t) (t^l) удовлетворяет следующим
условиям:
1)	g (t) имеет непрерывную производную;
2)	g (t) монотонно возрастает до бесконечности вместе с t;
3)	g' (t) при t-^-oo монотонно стремится к нулю;
4)	tg' (t)—*-со при t-^-co.
Тогда последовательность
x«=g(n)-\g(n)] (л=1, 2, 3, ...)
является равномерно распределенной в интервале
175.	Последовательность
v	л*,0	Г^уиСЛ	/и	1 О Q	\
Хп ^= ШЬ — \CLii j	\Н = I, Z, О, . . •/>
где л > 0, 0<сг<; 1, является равномерно распределенной в интер-
интервале O^Xs^ 1.
176.	Последовательность
хп = a (In л)" - [a (In л)°] (л = 1, 2, 3, ...),
где а>0, ст> 1, равномерно распределена в интервале О^д:^ 1.
177.	Ряд
sin 1°| , sin 2а| . sin 3pg ,^	, sin я°| ,
р^^ "I 2P I зр г •••  ~ф !"•••»
где 0<а<1, 1фО, абсолютно сходится тогда и только тогда,
когда р > 1.
178.	Запишем бесконечные десятичные дроби, представляющие
квадратные корни из чисел натурального ряда 1, 2, 3, ..., п, ...,
друг под другом в виде бесконечной таблицы. Показать, что среди
цифр, стоящих на у-м месте справа от запятой (/:> 1), все цифры
О, 1, 2, ..., 9 встречаются в среднем одинаково часто. Точнее
говоря: обозначим через vg(n) число тех из п первых целых
чисел 1, 2, 3, ..., п, в десятичном разложении квадратных кор-
корней из которых на у-м месте справа от запятой стоит цифра g.
Тогда
Va (П)	1
IJm			/„	П 1 О	Q\
11111 п ~~ 7б~ Is—и> х> ^> ¦¦-, у;.
4 Г. Полна, Г. Сеге, ч. I

98	ЗАДАЧИ
179. Пусть хп — а\пп — [аЪп], л = 1, 2, 3, ..., я>0. Если
?г->оо так, что при этом х„-*-% (Os^ljss: 1), то для любой,функ-
ции /(х), собственно интегрируемой в интервале 0 sg;х^ 1, имеет
место предельное соотношение
1|т	¦¦¦+/(*,,)
где
^ qx'^x при О
К(х,0) = К{х, l)=j^-qx.
180. (Продолжение.) Предельные точки последовательности
/(*i)+/(*2>+ •¦• + /fa) (л = 1 2 3 )
заполняют целый интервал J — J (a; /), зависящий только от а и
/ (х). Этот интервал приводится к одной точке тогда и только тогда,
когда в каждой своей точке непрерывности / (х) = с, где с — по-
постоянная. Каков будет интервал J (a; f), если а — очень большое
или очень малое число?
181> Представим себе бесконечную таблицу из выписанных
друг под другом десятичных логарифмов чисел натурального
ряда 1, 2,3, ... и рассмотрим столбец цифр, находящихся на
/-м месте справа от запятой (/^=1). Показать, что не существует
никакой определенной вероятности появления среди этих цифр
одной какой-нибудь определенной цифры О, 1, 2, :.., 9. Точнее
говоря: обозначим через vg(n) количество тех из первых п целых
чисел 1, 2, 3, ..., л, в десятичном разложении логарифмов кото-
которых на /-м месте справа от запятой стоит цифра g. Тогда отно-
vg(n)
шение	при л-v со не имеет никакого определенного предела.
Более того, предельные точки последовательности этих отноше-
отношений будут заполнять целый интервал положительной длины.
182. Пусть функция g(t) (t^X) удовлетворяет условиям:
1)	g(t) имеет непрерывную производную;
2)	g (t) монотонно возрастает до бесконечности вместе с t;
3)	ё' (О ПРИ t-*-co монотонно стремится к нулю;
4)	tg'(t)->*0 при t^-co
(ср. 174). Тогда числа
xn = g(n)-\g(n)] («=1,2,3,...)
хотя и лежат в интервале 0 s=: x «S 1 всюду плотно, однако не
являются равномерно распределенными в этом интервале. Распре-

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 4, § 5	99
деление их, напротив, характеризуется следующим асимптотиче-
асимптотическим законом: если п безгранично возрастает так, что при этом
*„-*¦!» 0<К1, то для любой функции f(x), собственно инте-
интегрируемой в интервале 0 sg: x sg; 1,
lim
в предположении, что f(x) в точке | непрерывна. Если же, f (х)
в точке | имеет разрыв первого рода, то множество предельных
точек отношения
п
при указанном характере возрастания п заполняет целиком интер-
интервал от /(? — 0) до /(| + 0). Утверждение будет справедливо
также для 5 = 0 и 1 = 1, если принять дополнительно, что /@) =
= /A), и распространить f(х) за пределы интервала Osgxs^l,
сделав."ее периодической с периодом 1. [Тогда /A+0) =/(+0),
/A-0) = /(-0).]
183» Последовательность
хп = a (In л)° - [a (In п)а] (л=1, 2, 3, ...)
@<(Т<1) является всюду плотной, однако не равномерно рас-
распределенной в интервале OsCx^l. A76, 179.)
184.	Представим себе бесконечную таблицу из квадратных
корней десятичных логарифмов чисел натурального ряда 1, 2, 3, ...,
т. е. из "Klgft, я=1, 2, 3, ..., и рассмотрим столбец из цифр,
стоящих на /-м месте справа от запятой (/^1). Показать, что
не существует никакой определенной вероятности появления среди
этих цифр одной какой-нибудь определенной цифры 0, 1, 2, ..., 9.
Точнее говоря: обозначим через vg (n) количество тех чисел k из
п первых натуральных чисел, для которых в десятичном разло-
разложении V^lgk на /-м месте справа от запятой стоит цифра g. Тогда
vg (п)
значения отношения 	 (п = 1, 2, 3, ...) лежат всюду плотно
в интервале между 0 и 1.
§ 5. Другие типы равномерного распределения
185.	Представим себе в р-мерном пространстве прямолиней-
прямолинейное равномерное движение, определенное уравнениями
xv (() =
где av, 6V —постоянные, v=l, 2, ...,p и t — время. Показать,
что если числа 91, 82, ..., 6р рационально независимы (т. е. из
соотношения п^ + п292 + ... + прВр = 0 с рациональными коэффи-
4*

100	ЗАДАЧИ
циентами пх, п2, ..., пр вытекает, что п1 = п.2= ... =пр = 0), то
для каждой функции / (хх, х%, ..., хр), периодической относительно
xlt х2, ..., хр с.периодом 1 и собственно интегрируемой в единич-
единичном кубе 0^;a:v^;1, v= 1, 2, ...,/?, имеет место предельное
соотношение
lim -j \ f (xx (t), x% (t), ..., xp (t)) dt =
l l
*1» ^2» • ' • » %p) &X\ U-Xq • • • QXp.
1 1
0 0	О
186а Пусть а1( а2, рх, р2 —произвольные числа,
0«х1<а2<1, 0=^р1<р2<1.
Неравенствами
2. Pi <«/-[«/]< Ра
вьщеляется бесчисленное множество прямоугольников со сторонами,
параллельными осям координат, конгруэнтных по модулю 1, т. е.
могущих быть полученными друг из друга смещениями на целые
числа параллельно осям координат. Зададим уравнениями х = а-\-
4-6-^, y = b-\-b%t, где t — время, некоторое равномерное прямо-
прямолинейное движение и обозначим через Т (t) сумму всех тех про-
промежутков времени от начала движения (^ = 0) до момента t,
в течение которых движущаяся точка находилась в каком-либо
из указанных прямоугольников. Показать, что если отношение
6Х: 82 иррационально, то
187. Биллиардный шар движется на идеально гладком квад-
квадратном столе площади 5 прямолинейно и с постоянной скоростью,
причем отскакивает от стенок по закону отражения (угол падения
равен углу отражения). Обозначим через Т(t) общую сумму всех
тех промежутков времени от начала движения (t = 0) до момента t,
в течение которых центр шара находился в некоторой опреде-
определенной области с площадью f. Показать, что если тангенс угла
между направлением движения и одной из сторон биллиардного
стола иррационален, то
lim^>=-i-
*->оо . t	E
Числа
4". ~. I----, v (п= 1,2,3. ...),

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 4, § 5	101
получающиеся при образовании сумм площадей прямоугольников
(именно при делении отрезка [0, 1]в арифметической прогрессии),
представляются в некотором определенном смысле равномерно
распределенными. Аналогичный тип равномерного распределения
показывают две нижеследующие задачи.
188. Обозначим через г1п, ггп, ..., гф„ целые положительные
числа, меньшие, чем п, и взаимно простые с ним; пусть ф = <р(п)
будет их количество [VIII 25]. Показать, что для всякой соб-
собственно интегрируемой функции f(x)
hm	—f-	— = \f(x)dx [VIII 35].
189. Напишем все несократимые дроби, не превосходящие
единицы, числители и знаменатели которых не превосходят п,
в порядке возрастающей величины:
(дроби Фарея:
Показать, что для всякой собственно интегрируемой функции f (х)
hm 	jj	к-^-= \f(x)dx.	[170].
Встречавшиеся в некоторых из предыдущих задач числовые
последовательности являлись равномерно распределенными, по-
поскольку вероятности попадания чисел' этих последовательностей
в заданный интервал были пропорциональны длине этого интер-
интервала [например, 166, 175, 188]. В нижеследующих задачах этого
уже не будет. Но зато для каждой из встречающихся в них
числовых последовательностей будет существовать определенная
«плотность распределения вероятности», которой будет характе-
характеризоваться различная частота попадания в различные места основ-
основного интервала. Впрочем, с аналогичным положением мы уже
встретились в задаче 159.
190> Положим
•' п> п=1> 2> 3- ••¦)•
Если функция f(x), собственно интегрируемая в интервале

102	ЗАДАЧИ
0, 1/ — , такова, что для некоторого положительного р произ-
произведение xrpf(x) ограничено в указанном интервале, то
f(s2n)+...+f(snn) ^ V\ I Г-2	\
Уп	J ' \У я I -
— оо
191. Обозначим через
нули полиномов Лежандра Р„ (х) [VI 97]. Тогда
= In
где Х вещественно и больше единицы. [Применить 203.]
192. (Продолжение.) Показать, что для любого целого поло-
положительного k справедлива формула
4- * -4- 4-л	II?
щ + **п +у+*пп ± 1 Г cos*ftd0,	п 1?9 ,
n-»oo	ft	я J
193> (Продолжение.) Для любой функции f(x), собственно
интегрируемой в интервале —ls^xs^l, справедлива формула
194. Пусть a =g: x «? Р — любой подинтервал основного интер-
интервала — 1 <; х =<; 1 и vn (а, р) — число нулей п-то полинома Ле-
Лежандра, лежащих в [а, Р]. Тогда
,. \'„ (а, 6) arccos a — arccos В
я
Числа xVk распределены в интервале [— 1, +1] неравномерно,
но зато равномерно распределяются в интервале [0, л] числа
arccos xvn. Если мы вообразим себе интервал [—1, + 1] в виде
горизонтального диаметра круга, а каждую точку xvn — как гори-
горизонтальную проекцию пары точек окружности этого круга, то
точки на окружности будут распределены равномерно, в то время
как (и именно поэтому) точки на диаметре будут распределены
уже неравномерно.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 5, § 1	ЮЗ
ГЛАВА 5
ФУНКЦИИ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
§ Ь Метод Лапласа
195. Пусть Pl р2, ..., ph alt аг, ..., а, — произвольные поло-
положительные числа. Тогда
lim
n->co
существует и равен наибольшему из чисел alt a2, ..., щ.
19б> При тех же предположениях имеем также:
lim „, „ ,—, в = МахК- «2. • • ¦. а/)-
197. Пусть /(д:) — произвольная целая рациональная функция,
имеющая лишь действительные положительные корни, и
- IL
Показать, что
У сл
существует и равен наименьшему корню функции /()
198. Пусть ф(х) и f (х) непрерывны и положительные интер-
интервале а^х^Ь. Тогда
"«У J
л —со К _
а
существует и равен максимуму /(х) в интервале
199. При тех же предположениях имеем также:
ь
lim -b	= Мах/(*).
п
200. Пусть a< I < Ь ий- постоянное положительное число*
Показать, что при постоянных а, Ь, Ъ, и
201 • Пусть функции ц>(х), h(x) и f(x) — eh^ определены
в конечном или бесконечном интервале с концами а,Ь vi удовлетво-
удовлетворяют следующим условиям:

104	ЗАДАЧИ
1.	Функция (p(x)[f(x)]n = (p(x)e"hM абсолютно интегрируема
в [а, Ь] при всех целых « = 0, 1, 2, ...
2.	Функция h (x) достигает в некоторой точке | внутри интер-
интервала [а, Ь] максимума, причем верхняя грань h(x) в каждом
замкнутом интервале, не содержащем %, меньше чем h(%). Далее,
/г" (х) в некоторой окрестности точки \ существует и непрерывна
и, наконец, /г"(?)<0.
3.	ц>(х) непрерывна в точке х = \, причем <р(%)фО.
Показать, что при /г->- + оо имеет место следующая асимпто-
асимптотическая формула1):
[Ограничиваемся указанной окрестностью точки | и разверты-
развертываем в ней h (х) по степеням х — \ до члена второй степени вклю-
включительно.]
202. Доказать, основываясь на формуле
it	at
2	2
f ... , f ,„ , 1-3 ... Bл —1) я
J sin2" л:dx = j cos3"xdx = —2~Г~^/~ Т
(n —целое), что при п->- + оо
1-3 ... Bя-1) 1
2-4 ... 2n
х) Лаплас следующим образом высказывается об употреблении подобных
интегралов:
«Мы часто приходим к выражениям, содержащим такое количество членов
и множителей, что числовые подстановки становятся невыполнимыми. Это имеет
место в вопросах о вероятностях, когда рассматривается большое число событий.
Однако тогда бывает важно получить числовое значение формул, чтобы узнать,
какова вероятность результатов, которые события раскрывают по мере увели-
увеличения их числа. Особенно же важно получить закон, по которому эта вероят-
вероятность непрерывно приближается к достоверности, которой она и достигла бы
наконец, если бы число событий стало бесконечным. С этой целью я обратил
внимание на то, что определенные интегралы дифференциалов, умноженных на
множители, возведенные в высокие степени, дают по интегрировании формулы,
состоящие из большого числа членов и множителей...»
Употребленный им прием, первый шаг которого приведен в задаче 201,
он характеризует далее следующим образом:
«...прием, который делает ряд тем быстрее сходящимся, чем сложнее фор-
формула, которая его выражает, так чта этот прием тем более точен, чем более
он необходим...» (Laplace, Essai philosophique sur les probabilites, Oeuvres,
т. 7, стр. XXXVIII, Paris, Gauthier-Villars, 1886. [Лаплас, Опыт философии
теории вероятностей, стр. 52, 53, М., 1908.])

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 5, § 1	105
203. Показать, что для полинома Лежандра Рп (к) п-то
порядка при п->оо имеет место следующая асимптотическая
формула:
где L—вещественное число >1 и корни берутся положительные.
[VI 86.]
204а Вывести из разложения Ганзена
:t cos х =
2 2 iVJV (t) cos vx,
могущего служить для определения функций Бесселя Jy{t),
следующую формулу: при t-^ + oo
205* Показать, что при п-*-со
Г (п + 1) =
более того,
[18, I 167.]
206. При п-+ + со
I nk + l \ (k — l)n/k
(k и I вещественны, k> 1).
207. При вещественном а и
\-v
208. Пусть 0<а<1. Тогда при т
J go-'^-t* ^^ Ут^, %~~ 2{1~а)~' ехр -Ц^-г
о
209. При а>0 и ^-> + оо
СО	 |	. ¦	. .
[ х «4*dx~ Л[~- № ехр [е-га{4.

106	ЗАДАЧИ
§ 2. Модификации метода Лапласа
210. При п->4-со
e'xxncix = A +
J
где
' "" ¦ " V*l\r з У
а а и р — постоянные вещественные числа.
211. Пусть Я — положительная правильная дробь и х„ — един-
единственный положительный корень трансцендентного уравнения
1 + ТГ + Ж+-- +7? = КеХ	tV42l-
Показать, что при п-+со
где а и р определяются из следующих уравнений:
3
а
212. (Продолжение задачи 201.) При я->4-
а
. 1	.	°?
— со
ас ^р^
е 2 dt.
Здесь а —постоянное вещественное число и
213. Пусть функции ф(дг), /г(х) и f(x) = eh(x) определены
в конечном или бесконечном интервале a, b и подчинены следу-
следующим условиям:
1.	Функция ф (х) [/ (х)]п = ф (л:) era/l(л:) абсолютно интегрируема
в а, Ь; п = 0, 1, 2, ....
2.	Значение функции /г(х) в некоторой точке ? внутри а, 6
превышает ее верхнюю грань в любом замкнутом интервале, лежа-
лежащем слева от | и не содержащем ?. Кроме того, в некоторой

ОТДЕЛ ВТОРОЙ,' ГЛАВА 5, § 2	107
окрестности точки % h" (х) существует и ограничена. Наконец,
А'Й0
)
3. ф(лг) непрерывна в точке х = ?, причем ц{)
Показать, что при п-+-\-оо имеет место следующая асимпто-
асимптотическая формула:
Ф (х) [f (x)f dx ~ ^Щ- #w © • nah' © -' • e"ft ®.
Здесь a и |3 — постоянные вещественные числа.
214. Пусть g — единственный вещественный корень трансцен-
трансцендентного уравнения. e1+i \ = 1. Тогда при n~>-foo
где
А =<
/2я
аир — постоянные вещественные числа.
215. Пусть п нечетно и —хп обозначает единственный веще-
вещественный корень уравнения
Тогда при и->оо
где | имеет значение, определенное в предыдущей задаче, а по-
постоянные аир определяются формулами
216> Пусть g (x) — монотонно возрастающая функция, опре-
определенная для положительных х, причем
lim g(x) = + oo, lim ?^- = 0.
Положим
Показать, что если существует такое положительное у, что
в интервале 1—Y^Sa^l+Y
lim

108	ЗАДАЧИ
существует и представляет собой непрерывную функцию от а, то
,. In а„ ,
lim -~- = 1.
Содержащийся в 201- метод вычисления «функций больших
чисел» можно обобщить следующим образом: пусть нужно вычис-
вычислить интеграл вида
где функции h1(x), /ц(х),..., hn(x) положительны в интер-
интервале а<Сх<с.Ъ и достигают максимума в одной и той же точке \
этого интервала, причем ф (?) Ф 0. Заменяем приближенно
на
К (S) + у ^ ® (х-5J (v = 1, 2,..., п).
Тогда указанный интеграл можно заменить на
где s = •— /г! (|) — h\ (I) —... — Лп (I)• В качестве условий макси-
максимума в точке | имеем /z^(?) = 0, /г(, (|)<0, так что s>0. Закон-
Законность этого метода может быть доказана во многих случаях, сам
метод может быть еще уточнен и обобщен в различных направле-
направлениях.
Я	п.
С	„!O2rt COS W
217.	Jim \	-^	<Ю = 2я.
¦ п-со ^^ | Bпе'«— 1) Bлег<>-2) Bпе'»-3)... Bле'9 —л) |
[Полагаем ¦0 = -^ и принимаем во внимание 59, 115.
Уп	J
§ 3. Асимптотическое вычисление некоторых максимумов
218.	Функция
в интервале (п, +°°) имеет наибольшее значение М„. Показать,
что
^~_L-	!		[16].
я! 1/2я	„+_L	L J

ОТДЕЛ ВТОРОЙ, ГЛАВА 5, § 3	109
219. Функция
х (х2 - I2) (х* - 22)... (х2 - п2) а~х,
где а>1, в интервале (п, +со) имеет наибольшее значение Мп.
Показать, что
(nl)« 2я \а-1
220> Положим
l/x = Q0(x),
_л /уч /„ _ 1 о ч ^
Показать, что последовательность
Qx (x)a-*, Q2 (дг)а-*, ... , Qn(x)а-^,...
для положительных х равномерно ограничена при а^2 и не
остается уже равномерно ограниченной, если
221. Положим
х = Р0(х),
J) ^W (л=1. 2, 3,...).
Показать, что последовательность
Рх (х) а- *, Р2 (х) а-*,.... Ря(х)аг*,...
для положительных х равномерно ограничена при а^З + ]/8 и
не остается уже равномерно ограниченной, если 0<а< 3 + 1/8.
222. Пусть а>0, 0<^<1 и Мп — максимум функции
е-(x+axV) хп в интервале @, +оо). Показать, что

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ОБЩАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА 1
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Области и кривые. Вычисления с комплексными числами
Пусть комплексное переменное z записано в форме
z = x-\-iy = re'*,
где х, у, г, ft вещественны, причем r^sO и 0«gft<2jr. Тогда
x = 5tz называется вещественной частью г, у = 3г — мнимой частью,
г — J г | — модулем и ¦& = arg z — аргументом. Число г = х — iy = re~iff
называется сопряженным к z.
1* z + z — вещественное, z — z — чисто мнимое, zz — веществен-
вещественное и неотрицательное.
2. Какие части плоскости z выделяются условиями
=R; \z-zo\<R;	у ^
(a, b, a, p, R, R' — вещественные, z0 — комплексное, a<.b, a
Р	2я, 0<R<R')?
Какие части плоскости z выделяются условиями
,4. Какая часть плоскости z выделяется условием
Для каких значений R она связная, для каких — нет?
;, 5ш, Пусть |а|<1. Точки плоскости z разбиваются на три
категории сообразно тому, будет ли модуль выражения
г—а
1-йг

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 1, § I	Ш
меньше, равен или больше единицы. Где расположены точки
каждой категории?
6» Пусть $fta>0. Точки плоскости z разбиваются на три
категории сообразно тому, будет ли модуль выражения
а—г
1+7
меньше, равен или больше единицы. Где расположены точки
каждой категории?
"tm Пусть комплексные переменные z1 и г2 связаны соотноше-
соотношением
+ $z2z2 = О,
где a, p — вещественные, а — комплексное, все три постоянные.
Показать, что при ар — аа<0 значения — лежат на некоторой
окружности или прямой. (Левая сторона уравнения называется
эрмитовой формой от переменных zx и z2.)
8.	Какие кривые описываются точками zx = ia-\-at, z2 =
=— ibe~li, z — ia-\-at — iberu, где a, b — положительные постоянные*
а вещественная переменная t обозначает время?
9.	По. какой кривой перемещается точка
(-be b
(a, b — положительные постоянные, t — время)?
10. Пусть радиус-вектор г и аргумент ft — функции от вре-
времени t. Тогда комплексная функция z = re'& вещественного пере-
переменного t представляет движение точки z в плоскости. Вычислить
компоненты скорости и ускорения по направлениям, параллель-
параллельному и перпендикулярному к радиусу-вектору. [Дважды продиф-
продифференцировать 2 ПО t.]
11. Для каких значений z «-й член г-у ряда
+ 1Т "г ^27 ~г • • • "т"ЙГ т • • •
(показательного ряда, распространенного на комплексную пло-
плоскость) превосходит по модулю каждый другой член этого ряда
12> Для каких значений z п-й член ряда
г(г-1)(г-2)
?' i~ 1 * 2 * 3	'" *
1-2
оэ
г(г —
1-2...я	^'" U \п/
п — О

112
ЗАДАЧИ
(биномиальный ряд для A+0* ПРИ t=\ и z комплексном)
превосходит по модулю каждый другой член этого ряда (п = 0,
1, 2,...)?
13< Положим
=1, 2, 3, ...). Для каких значений z число \Pn(z)\ превос-
превос\\	(P()
ходит \Р0(г)\, \Р1(г)
п-е частичное произведение в разложении
\(\ р
Рп-Лг)\, |/>в+1 (z)|,...? (Pa(z) есть
14а Если в интервале a^t^b вещественная функция f(t)
положительна и непрерывна, а вещественная функция <p(t) соб-
собственно интегрируема, то
ь	ь
Равенство достигается тогда и только тогда, когда функция ср (t)
во всех своих точках непрерывности имеет одно и то же значе-
значение тос!2я.
15а Пусть вещественная функция <р@, t^O, собственно
интегрируема во всяком конечном интервале. Показать, что тогда
интегралы
удовлетворяют неравенству
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда функ-
функция ф (t) во всех своих точках непрерывности имеет одно и то же
значение mod 2л.
§ 2. Расположение корней алгебраических уравнений
В нижеследующих задачах мы рассматриваем полиномы п-й
степени
Р (z) = aozn + OiZ»-1 + сцг"-2 + ... + an_1z + an
с произвольными комплексными коэффициентами; в большинстве
случаев предполагается, что а0 -ф 0.
Комплексное число z0 называется нулем этого полинома, если
floz" + а^1 ~' + а2г„ ~2 +... + ап ^ xz0 + ап = 0
(г0 есть корень алгебраического уравнения P(z) = 0).

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 1, § 2	ИЗ
Если гъ z2, ..., zn n нулей полинома P(z), то, как доказы-
доказывается в алгебре,
Р (z) = ao(z-zx) (z — z2)...(z-г„).
16. Полином вида
zn-p1zn-1-p2zn-2-...-pn.-1z-pn,
где
имеет единственный положительный нуль.
17ш Если z0 —любой нуль полинома
то | z01 не может превосходить единственного положительного
нуля ? полинома
—... — ! an \.
18. Нули полинома
P (z) = zn + a^"-1 + a2z»-a +... + an,
где апф0, по модулю не меньше единственного положительного
нуля полинома
19. Все нули полинома zn-\-c лежат на окружности с центром
2 = 0 и радиусом | с \п .
20м Пусть d0, dlt..., dn_1, dn — положительные числа и
dn^\ax\ dn-i +1 a21 dn_2 + ... + |-an | d0.
Нули полинома
1	2
не превосходят по модулю наибольшего из чисел
21ш Корни уравнения
не превосходят по модулю наибольшего из чисел
а также наибольшего из чисел
V
1> 2> 3>••• > ")•

114	ЗАДАЧИ
22. Пусть
Показать, что в единичном круге | z | ^ 1 не содержится ни одного
нуля полинома
Ро + PiZ + Р*? + ¦¦• + PnZn-
23. Если все коэффициенты р0, plt ... , рп полинома
положительны, то нули его лежат в круговом кольце
где а — наименьшее, ар — наибольшее из чисел
Pj_	P2_ P3	Рп
РО ' Pi ' Pi ' ' " ' Pn-1 '
24. Пусть а0, аъ а2, ..., а„, «^1, — цифры некоторого
(«+ 1)-значного числа
Тогда нули полинома
лежат либо внутри левой плоскости, либо в круге
1-1-1/37
Z < 2 •
В последнем случае точная верхняя граница для | z | заключается
между 3 и 4.
25. Пусть все нули полинома
лежат в верхней полуплоскости 3z > 0. Пусть, далее, av = av
+ ipv, av, pv вещественны (v = 0, 1, 2, ..., «). Тогда
t/ (z) =aoz" + aiZ"-1 + .
имеют лишь вещественные нули.
26.	Пусть Р (z) = 0 — алгебраическое уравнение п-й степени,
все корни которого лежат внутри единичного круга |z|<l.
Обозначим через Р (г) полином, полученный из Р (г) заменой
всехкоэффициентов сопряженными числами, и положим Р* (z) =
=znP(z~1). Все корни уравнения P(z) + P*(z) = 0 будут лежать
на окружности единичного круга |z| = l.
27.	Если полином п-й степени, n^s2, принимает при z = a
и z — b соответственно значения а и р, где афЬ, афр, то он

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 1, § 3	П5
принимает каждое значение у, лежащее на отрезке, соединяю-
соединяющем а и р, по крайней мере один раз внутри или на границе
фигуры, образованной двумя круговыми дугами, из которых
отрезок ab виден под углом —.
§ 3. Продолжение: теорема Гаусса
28. Если комплексные числа zlt z2, ... , zn (т. е. представ-
представляющие их точки) лежат все по одну и ту же сторону от некото-
некоторой прямой, проходящей через точку 0, то
+ + ... +
29.	Пусть zu г2, ... , zn — любые комплексные числа с сум-
суммой 0. Тогда каждая прямая g, проходящая через точку 0,
разделяет числа zlt z2, ..., zn, т. е. эти числа расположены
частью по одну, частью по другую сторону от прямой g, если
только они не все лежат на g.
30.	Пусть zx, гг,... , гп~любые точки в комплексной плоско-
плоскости, m1>0, m2>0, ..., т„>0, m1 + m2 + ... + mre= 1. Тогда
каждая прямая, проходящая через точку
разделяет точки zlt za, ... , г„, если только они не все располо-
расположены на этой прямой.
Если рассматривать числа т1, пц, ... , тп задачи 30 как
массы, сосредоточенные в точках zu z2, ... , zn, то определенная
там точка z будет представлять центр тяжести этого распределе-
распределения масс. Зафиксируем точки zlt z2, ..., zn и рассмотрим все-
всевозможные подобные распределения масс; тогда соответствую-
соответствующие им центры тяжести расположатся внутри некоторого
(наименьшего) выпуклого полигона, содержащего точки zt, z2, ...
..., zn. Единственное исключение представляет случай, когда
точки zlt z2, ... , zn все лежат на одной прямой. В этом случае
центры тяжести будут заполнять наименьший отрезок, содержа-
содержащий все рассматриваемые точки.
31 ¦ Производная Р' (z) полинома Р (г) не может иметь нулей
вне наименьшего выпуклого полигона (соответственно наимень-
наименьшего отрезка), содержащего все нули Р (г), причем те нули Р' (г),
которые отличны от нулей Р (г), лежат внутри этого полигона
(отрезка).
32. Пусть zlt z2, ..., zn — любые отличные друг от друга
комплексные числа. Рассмотрим совокупность всех полиномов Р(г),
имеющих нулями (любой кратности) лишь эти точки zx, z2, ...

116
ЗАДАЧИ
... , zn. Показать, что множество нулей всех Р' (z) всюду плотно
в наименьшем выпуклом полигоне, содержащем z1( г2, ¦ • • , zn. .
33.	Нули разности cP'(z) — P(z) [P (z) — полином, с Ф 0]
расположены в наименьшем выпуклом полигоне, содержащем
лучи, проведенные из нулей Р (г) параллельно вектору с. При
этом нуль рассматриваемой разности сР' (г) — Р (г) может лежать
на границе указанной области лишь в двух следующих случаях:
а)	если он одновременно является нулем также полинома Р (г);
б)	если эта область приводится к лучу.
34.	Пусть plt p2, ..., рр —положительные, а1У а2, ..., ар —
любые комплексные числа и полиномы А (г) и В (г) соответственно
/7-й и (р — 1)-й степени определяются тождеством
B(Z) _ Pi	|	Р2 ',	Рр
' —Г" 	 —— ... ——	™ *
1 г>	п. '	I 1	п
А (г) г — ах ~ г — а2
Показать, что нули каждого полинома P(z), являющегося дели-
делителем полинома A (z) P" (г) + 2В (z) P' (г), т. е. для которого
выполняется тождество
где С (г) — полином, расположены в наименьшем выпуклом поли-
полигоне, содержащем числа alt a2, ..., ар.
35. Если полином f(z) с вещественными коэффициентами
имеет лишь вещественные нули, то то же справедливо и для его
производной /' (г). Если f (г) имеет комплексные нули, то эти
последние попарно сопряжены, т. е. попарно симметричны отно-
относительно вещественной оси. Построим на каждом отрезке, соеди-
соединяющем пару сопряженных корней, как на диаметре, круг. Тогда
комплексные корни /' (z), в случае если они имеются, будут
лежать внутри построенных кругов. [Рассмотреть мнимую часть
отношения у]
§ 4. Комплексные числовые последовательности
36.	Если числа zx, z2, ..., zn, ... лежат все в угле —
=?Ca,a<y, то ряды z1 + zi + ... + zn + ... и \z1\ + \z2\ + ...
...+| zn| + ... либо оба сходятся, либо оба расходятся.
37.	Пусть числа zx, z.2, ..., zn, ... лежат все в полуплоскости
3^z^=0. Если сходятся оба ряда
то сходится также ряд

ОТДЕЛ ТРЕТИП, ГЛАВА 1, § 4	117
38.	Существуют такие комплексные последовательности zlt
?,, ..., zn, ..., что все ряды
z* + z* + ... + z* + ... (k=\, 2, 3, ...)
сходятся, тогда как все соответствующие им ряды абсолютных
значений
!z1|* + |z2|ft + ... + |zn|* + ... (*=1, 2, 3, ...)
расходятся.
39.	Пусть zly z-i, ¦¦¦, zn, ... — любые комплексные числа.
Если существует такое положительное расстояние б, что \zt — zft]5s6
для 1фк (I, k—\, 2, 3, ...), то показатель сходимости последо-
последовательности модулей \zi\, |z2|, ..., j zn\, ... не превосходит 2.
[I 114.]
40.	Предельные точки последовательности комплексных чисел
(а ф 0 и вещественно, п—\, 2, 3, ...) заполняют окружность с
центром в точке 0 и с радиусом A-)-а2) 2. [Привести интересую-
интересующее нас выражение в связь с некоторой интегральной суммой.]
41. Где расположены предельные точки последовательности
zx, z2, ..., zn, ... с общим членом
42. Положим
ViA V
и соединим точки zn~\ и гп (л == 2, 3, 4, ...) прямолинейными
отрезками. Эти отрезки имеют все одинаковую длину 1, и обра-
образованная ими ломаная при увеличении л все более приближается
по форме к спирали Архимеда; т. е., полагая zn = rnel<i>n, г„>0,
О <С фл — фя-i < ~2 ' имеем:
43> Пусть г — 2пе^п, где ^ — вещественное число. Показать,
что
~Т	2гп\
У И
ИГг(г-1)(г-2)...(г-п)
[П 59; II 10, в слегка измененном виде.]

118	ЗАДАЧИ
§ 5. Продолжение: преобразования рядов
Из произвольной бесконечной последовательности z0, zt, z2,
..., zn,... строится при помощи треугольной часловой схемы
новая последовательность wu, wlt w2, -.., wn, ... по формуле
. + annzn (« = 0, 1, 2, ...).
Говорят, что эта -числовая схема сохраняет сходимость,
если с "ее помощью каждая сходящаяся последовательность
Zo. zi> г2> •••> zn> ••• преобразуется в сходящуюся же последова-
последовательность w0, te»!, ш2, ..., wn, ... (см. I, гл. 2). Для того чтобы
схема сохраняла сходимость, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись следующие условия:
1. Для каждого фиксированного v существует
lim anv = av.
2. Положим
П -	П
Zj anv — Gn> Zj \
V=0	v=0
тогда последовательность cr0, av a2, ..., an, ... сходится, а после-
последовательность ?0> Si» ?г> •••• S«. ••• ограничена. [О. Toeplitz,
Ргасе mat.-fiz.,' т. 22, стр. 113-119, 1911; Н. Steinhaus,
там же, стр. 121 — 134; Т. Kojima, Tohoku Math. J., т. 12,
стр. 291-326, 1917; I. Schur, J. fur Math., т. 151, стр. 79—111,
1921.]
44.	Доказать более легкую часть указанной теоремы: доста-
достаточность условий 1, 2. [I 66, I 80.]
45.	Каким свойством должен обладать ряд «0-f«i + «2 + -..
. ..-(-«„ + ..., чтобы при умножении его на любой сходящийся
ряд vo4-v1-\-v2-\-. ¦ .-\-Vn-\-... по правилу Коши [I 34, II 23,
VIII, гл. 1, § 5] получающийся ряд
...+ (uovn + «!&„_! +... + ип-ц)х + unv0) +...
был сходящимся?
46. Каким свойством должен обладать ряд «1 + н2 + -..
я + ..., чтобы при умножении его на любой сходящийся ряд
v2-\-... + vn + - ¦¦ по правилу Дирихле (VIII, гл. 1, § 5)

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 1, § 6	119
получающийся ряд
t\n t
был сходящимся?
47. Для того чтобы с помощью последовательности множи-
множителей
Vo. Yi. Тг. ¦•¦- Y«, •••
каждый сходящийся ряд ao-\-a1Jra2-\-...-\-an-\-... преобразо-
преобразовывался в сходящийся же ряд
необходимо и достаточно, чтобы ряд
I То - Yi I + i Yi - Y2 i + • ¦ • +! Y« ~ Y«+i I + • ¦ •
был сходящимся.
48.	Показать, что теорема: «из существования предела
lim (и0 + «1 + •.. + ип-г + сип) = а
п->со
вытекает существование предела
lim (мо + м1 + ... + мя-1 + Ий) = а»
п —* со
верна при с = 0 и при ЭЧс>у и не верна при Sftcsgy
49.	Пусть и0, иг, иг, ..., ип, ... — произвольные комплексные
числа. Для каких значений с из существования предела
п-юо
вытекает существование предела
lim
«->со
50. Если ряд Дирихле
сходится при s = a + Jt (a, т вещественны), где а>0, то
lim A-0ст(^ + ^2 + ^3 + --. + а^л + ---) = 0.	[192.]
/->1—0
§ 6. Изменение порядка членов в комплексных рядах
51.	Ряд из комплексных членов, каждая часть которого схо-
сходится, должен сходиться абсолютно. [I 125.]
52.	Если ряд | zx | +1 z21 + • • • +1 г„ | +... расходится, то суще-
существует по крайней мере одно направление сгущения а,
обладающее тем свойством, что, каково бы ни было е>0, ряд

120	ЗАДАЧИ
абсолютных величин тех членов ряда гг + г2 + ... + ?„ + ..., кото-
которые расположены в угле о: — е< arg z<a + e, является расходя-
расходящимся.
53> Если limzn = 0 и направление положительной вещест-
п —> оо
венной полуоси является направлением сгущения для не абсо-
абсолютно сходящегося ряда z1 + z2 + z3 + - • • > то из этого последнего
можно выбрать ряд zr, + zr, + Z/-3 +..., вещественная часть кото-
которого расходится к -fao, тогда как мнимая часть сходится.
54. Если ряд z1 + z2 + z3 + -.- сходится не абсолютно, то над-
надлежащей перестановкой членов этого ряда можно получить в каче-
качестве его суммы любую точку некоторой прямой в комплексной
плоскости. [Смещения двух дополнительных частей ряда друг
относительно друга; 52, 53, I 133, I 134.]
ГЛАВА 2
ОТОБРАЖЕНИЯ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ
§ 1. Дифференциальные уравнения Коши-Римана
Если каждому значению г, лежащему внутри некоторой
области 23 комплексной плоскости г, поставлено в соответствие
по некоторому определенному закону комплексное значение w,
то w называют функцией от г. Особенно важны два геометри-
геометрических представления функциональной зависимости; в одном
используется одна плоскость, в другом —две. Мы можем пред-
представить себе значение w (или, если это целесообразнее, w), отне-
отнесенное точке z, в виде вектора, приложенного к этой точке. Этим
в области 23 определяется векторное поле. В другом пред-
представлении значение w, отнесенное точке z плоскости г, рассматри-
рассматривается как точка некоторой другой комплексной плоскости
(плоскости w). Этим определяется отображение области 23
на некоторую часть плоскости w.
Пусть и = и(х, у) и v = v (х, у) — две вещественные функции
вещественных переменных х и у. Тогда w = u + iv будет функцией
комплексного переменного z = xJriy. Эту функцию называют
аналитической в некоторой области, если и и и непрерывны вместе
со своими первыми частными производными и удовлетворяют
дифференциальным уравнениям Коши-Римана
ди dv ди	dv
дх ду' ду	дх'
Эти два уравнения объединяются в следующее:
ди , . . 1 () , . dw
-к- (U + IV) — --.- -ь- (U + IV) = ,- .
дх v ' ' i ду v ' ' dz

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 2, § 2	121
¦ Являются ли аналитическими функции
Z,
2?
5®. Найти аналитическую функцию от z — x-\-iy, обращаю-
обращающуюся в нуль при z = 0 и имеющую вещественной частью
57.	Пусть а и Ъ — фиксированные числа, a<.b, z — точка,
изменяющаяся в полуплоскости 3z>0, и со —переменный угол,
под которым виден из точки z отрезок [а, Ь] вещественной
оси. Найти, если это возможно, аналитическую функцию f(z),
имеющую своей вещественной частью со.
58.	Показать, что для каждой аналитической функции /(г) =
59. Пусть / (г) — аналитическая функция от z — x-\-iy. Тогда
§ 2. Специальные элементарные отображения
Как известно, из дифференциальных уравнений Коши-Римана
вытекает, что аналитическая функция осуществляет конформ-
конформное отображение плоскости z на плоскость w (т. е. отображение,
сохраняющее углы и направление вращения).
О геометрическом смысле дифференциальных уравнений Коши-
Римана для векторного поля мы будем говорить впоследствии
(см. § 3).
60> Введем в пространстве прямоугольную систему координат
|, ц, С- Будем проектировать все точки (g, т], ?) шаровой поверх-
поверхности |2-f if* + ?2 = 1 (единичной сферы) из точки @, 0, 1) (север-
(северного полюса шара) на плоскость ? = 0 (экваториальную плоскость).
Пусть проекции точек имеют координаты (х, у, 0). Выразить
x-\-iy через |, ц, ? и обратно |, r\, t, через х и у (стереографи-
(стереографическая проекция).
61» (Продолжение.) Пусть точке Р плоскости ? = 0 посред-
посредством стереографической проекции относится точка Р' единичной
шаровой поверхности. При повороте шара на угол я около оси |
точка Р' займет новое положение Р", которому по стереографи-
стереографической проекции будет соответствовать некоторая точка Р'" пло-
плоскости I, т]. Пусть координатами Р будут х, у, 0, координа-
координатами Р'" будут и, v, 0. Выразить u-\-iv через x-\-iy.

122	ЗАДАЧИ
Введем на поверхности единичного шара географические коор-
координаты ф и б (широту и долготу), причем
Как известно,
I — COS ф COSe, Ц = COS ф Sine, ? = 8Шф.
Рассмотрим круговой цилиндр, касающийся единичной сферы
l2 + yf + ?,2=l вдоль экватора (большого круга в плоскости ? = 0).
Введем на нем координатную систему (и, v), переходящую при
разворачивании цилиндра в прямоугольную декартову, причем
за начало (м = 0, у = 0) выберем точку A, 0, 0). За ось и возь-
возьмем вертикальную образующую, выбрав в качестве положитель-
положительного направления направление вверх; осью v будет служить тогда
линия, совпадающая до разворачивания цилиндра с экватором,
и значения v будут изменяться по экватору в том же направле-
направлении, что и значения 6, от •—л до я. Получающиеся таким обра-
образом точки плоскости и, v будут заполнять тогда вертикальную
полосу ширины 2п, симметричную относительно оси и.
С помощью проекции Меркатора поверхность единичного
шара взаимно однозначно и конформно отобразится на цилиндр и,
v. При этом точке шаровой поверхности с географическими коор-
координатами ф, 6 будет соответствовать на цилиндре точка
и = In tg (-J+ -
62.	На какие линии цилиндра отображаются при проекции
Меркатора меридианы и параллели единичной, сферы? На
какие линии плоскости отображаются они при стереографической
проекции?
63.	(Продолжение.) Пусть точка единичной сферы отобра-
отображается с помощью стереографической проекции на точку (х, у, 0)
плоскости и, с другой стороны, с помощью проекции Мерка-
Меркатора—на точку (и, v) цилиндра. Выразить x-\-iy через u-\-iv.
64.	Пусть z — ew. Каким кривым плоскости z соответствуют
взаимно перпендикулярные прямые Шпи = const., 3>w = const, пло-
плоскости w?
65.	На каких кривых плоскости z вещественная часть функ-
функции г2 постоянна? На каких постоянна мнимая часть? Оба семей-
семейства кривых образуют ортогональную систему; почему?
66.	Каким кривым плоскости z соответствуют при отображе-
отображении w = Yz прямые Шы> = const, плоскости w? Каким —прямые
3>w = const.?. [z = w2.]
67.	Отображение a; = cosz преобразует прямые 3Rz = const,
плоскости z в гиперболы на плоскости w, прямые 3^ = const, пло-
плоскости z — в эллипсы.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 2, § 2	123
68.	Написать уравнения кривых плоскости х, у, соответ-
соответствующих при отображении
z — w + ew (z = x-\-iy\ w — u-j-iv)
линиям и = const., соответственно v = const. Что соответствует
прямым t» = 0, v — n?
69.	Вычислить площадь области, в которую преобразуется
при отображении w — ez квадрат
a — e<Kfl-f е,
(а вещественно, е положительно и <я, z = x + iy). Вычислить
предел отношения площадей двух областей, когда е стремится
к нулю.
Под линейным искажением отображения w = f(z) в точке г,
где f (г) регулярна, понимают отношение линейного элемента
в точке w = f(z) плоскости w к линейному элементу в точке z
плоскости z. Это растяжение равно j/'(z)|. Под поверхностным
искажением понимают аналогичное отношение элементов поверх-
поверхности. Оно равно J /' (z) J2. Таким образом, дуга L кривой в пло-
плоскости z отображается на некоторую дугу в плоскости w, длина
которой равна
области F плоскости z~x-\-iy соответствует некоторая область
в плоскости w, площадь которой равна
\\\f'(z)\*dxdy.
F
Изменение направления линейного элемента при отображении
w — f(z) рявно argf (z). Оно называется углом поворота в точке z
и определено в каждой точке, где f (г) ф 0, с точностью до числа,
кратного 2я. Обычно принимают, что —n<arg/' (z)
7Oi При отображении w = cosz, z = x<\-iy прямоугольник
преобразуется взаимно однозначно и конформно в некоторую
область, ограниченную дугами софокусных гипербол и эллипсов
[67]. Вычислить площадь этой области.
71.	По каким линиям располагаются точки равного линей-
линейного искажения при отображении ш = г2? По каким —точки
с одинаковым углом поворота?
72.	В какую область преобразуется квадрат

124	задачи
при отображении &у = ег, z == л: + г г/? До каких значений положи-
положительного возрастающего параметра а соответствие будет взаимно
однозначным? Для какого значения а область будет покрыта
ровно п раз?
73. Рассмотрим область, в которую переходит круг | z \ ^ г
"при отображении w = e*. Пусть г непрерывно возрастает. Тогда
на каждом луче arga> = <% найдется точка, которая при любой
величине расширяющегося круга будет покрываться его образом
не меньшее число раз, чем любая Другая точка этого луча. Где
находится эта точка?
Регулярную функцию'w = f (z) называют однолистной в неко-
некоторой области ©, если каждое значение, принимаемое ею в этой
области, она принимает в этой области лишь один раз. Напри-
Например, функция г2 однолистна в верхней полуплоскости Зг>0,
функция У г Однолистна в плоскости г с разрезом вдоль поло-
положительной вещественной оси, функция е* однолистна в горизон-
горизонтальной полосе — я < Зг ^ я, но уже неоднолистна в любой
более широкой полосе [72], и т. д.
Однолистная функция w = f(z) осуществляет взаимно одно-
однозначное (однолистное) конформноеч отображение области © на
некоторую область ^ плоскости w. При этом часто бывает целе-
целесообразно бесконечно удаленную точку, которая при стереогра-
стереографической проекции на шаровую поверхность становится ничем
геометрически не отличимой от других точек, рассматривать как
обыкновенную точку. Если функция f(z) однолистна в области ®,
то производная ее /' (г) во всей этой области отлична от нуля.
Обратное неверно [72].
74.	Функция w = z2 -f- 2г + 3 однолистна в открытом круге
М<1- -
75.	Функция w = z2 однолистна в верхней полуплоскости
3z>0 и отображает эту последнюю на плоскость w с разрезом
вдоль неотрицательной вещественной оси.
76.	Показать, что функция
(а вещественно, | а \ < 1) взаимно однозначно отображает единич-
единичный круг |z 1=^,1 на самого себя. [5.] По каким линиям распо-
располагаются точки постоянного линейного искажения?
77. Если /( — произвольная окружность, расположенная
внутри единичного круга, то всегда существует отображение этого
последнего на самого себя вида
г —а
¦ф = eia
1-аг

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 2, § 2	125
(а вещественно, |а|<1), переводящее К в окружность, концен-
концентрическую с единичной.
78.	Отобразить верхнюю полуплоскость Зг>0 на круг'
I w I < 1 так, чтобы z — i перешло в w = 0.
,. .	1 / , 1 \
79.	Функция оу = у1г-|—I является однолистной в незам-
незамкнутом круге | z | < 1 и отображает последний на плоскость w
с разрезом вдоль отрезка —lsga/scl вещественной оси. Какие
кривые при этом соответствуют концентрическим окружностям
\z\ = r, г<1, какие —лучам, выходящим из начала? Как ведет
себя отображение на границе | z \ = 1 круга?
80.	Найти функцию, осуществляющую отображение круго-
кругового кольца 0 < гх < | z j < г2 на кольцеобразную область, заклю-
заключающуюся между софокусными эллипсами
плоскости w. [Искомая функция определяется на основании
задачи 79 в том случае, когда заданные числа rlt r2, av a2 свя-
связаны соотношением
где корни положительны.]
81.	Отобразить верхнюю половину единичного круга |z|<l,
Зг>0 на верхнюю полуплоскость [79]. В каких точках плоско-
плоскости z линейное искажение будет равно -я-? В каких угол пово-
тг
рота будет равен ± ~?
82.	Отобразить верхнюю половину единичного круга |г|<1,
Зг>0 на плоскость w, разрезанную вдоль неотрицательной веще-
вещественной оси, так, чтобы при этом отображении г = 0 перешло
в да = О, z=l— в w=\ и 2 = J —в w = co. В какую точку
перейдет z = — 1?
83.	Посредством функции
2я
где 0«^а<р<2п, угол a<argz<p отображается на пло-
плоскость w, разрезанную вдоль неотрицательной вещественной оси.
84. Пусть 0г^а-<Р-<2я. Отобразить круговой сектор
a<argz<p,
на единичный круг |ш|<1.

126	ЗАДАЧИ .
§ 3. Векторные поля
При изучении векторных полей, определяемых аналитическими
функциями комплексного переменного, мы воспользуемся спе-
специальными обозначениями, несколько отличающимися от приня-
принятых в остальных частях этой главы. Пусть
(х, у, г, ¦& вещественны, г!>=0) обозначает независимое перемен-
переменное и пусть
/ /() + й ( ) + ty(x, у)
— аналитическая функция от z (<p, i|) вещественны). Положим
JL
(и, v вещественны); w = u — iv тоже будет аналитической функ-
функцией; отделяя в соотношении
вещественную и мнимую части, мы получим для этой функции
дифференциальные уравнения Коши-Римана
ди 	 dv ди 	 dv
ду- ~~ дх ' дх ~~ ду '
Пусть к каждой точке z = x-{-iy приложен вектор w = u-\-iv
(не wl). Все эти векторы образуют плоское векторное поле.
Это поле можно представлять себе как часть пространствен-
пространственного векторного поля, получающегося, если к каждой точке
пространства, ортогональной проекцией которой на плоскость z
является точка x-\-iy, приложить (параллельный плоскости г)
вектор, w.
Полученное векторное поле является безвихревым; пер-
первое дифференциальное уравнение Коши-Римана
dv j^«
показывает, что вихрь его всюду равен нулю. (Две остальные
компоненты вихря здесь, очевидно, равны нулю.) Это векторное
поле, кроме того, как показывает второе дифференциальное урав-
уравнение Коши-Римана
ди . dv _ (-.
Ж~т~~ду~~
имеет дивергенцию, тождественно равную нулю. (Третье слагае-
слагаемое, входящее в общее выражение для дивергенции, здесь, оче-
очевидно, равно нулю.) В терминах гидродинамики можно сказать,

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 2, § 3	127
что рассматриваемое поле соответствует течению несжимаемой
жидкости, причем нет ни источников, ни стоков.
85» Доказать, что имеют место равенства
" дх ' V~ ду ¦
(ф (х, у) называют потенциалом векторного поля, линии <р (х, у) =
= const, — эквипотенциальными линиями.)
Далее, выполняются равенства
ду '	дх
(г|з (х, у) называют функцией тока, линии ty(x, у) — const.—
линиями тока или же силовыми линиями в зависимости от физи-
физической интерпретации вектора w.)
86.	Линии (р(х, у) = const, и т|з {х, у) — const, взаимно орто-
ортогональны.
87.	Показать, что <р(л;, у) удовлетворяет уравнению
д2Ф , азФ _ и
d*s * ду2
(уравнение Лапласа).
88.	Соединим точки z1 = x1-\-iyl и г2 —^г + Ч/г кривою L,
проходящей в векторном поле; пусть линейный элемент ds этой
кривой составляет с положительным направлением оси х угол т.
Доказать, что
\ (и cos т + v sin т) ds = ф (Xj, у2) — ф (хи yj,
т. е. криволинейный интеграл тангенциальной компоненты век-
вектора w равен разности потенциалов (работе).
89.	Показать, что в обозначениях задачи 88
\ (и sin т — v cos т) ds = т|з (х2, уг) — ^(х^ уг),
т. е. криволинейный интеграл нормальной компоненты вектора w
равен изменению функции тока (силовой поток). (При продвиже-
продвижении вдоль кривой L нормаль считаем направленной вправо:
— i(cosT-f-i sin т) = sint — i cost.)
Векторное поле, порождаемое некоторой аналитической функ-
функцией, может быть истолковано как электростатическое поле, маг-
магнитное поле или поле тяготения; w означает тогда силу поля. Его
можно представлять себе также как поле стационарного элек-
электрического тока или теплового потока; при этом последнем истол-

128	ЗАДАЧИ
ковании вектор w означает падение потенциала и пропорцио-
пропорционален плотности тока. Наконец, векторное поле можно интер-
интерпретировать как безвихревое стационарное поле потока несжи-
несжимаемой жидкости.
9О> Для свободного стационарного потока несжимаемой
жидкости с постоянной плотностью р и переменным давлением р,
идущего параллельно плоскости x-\~iy, как известно1), имеют
место уравнения
ди . ди . 1 до Л	dv , dv , 1 dp n ди , dv _.
дх ' дг/ ' р й* ' дх ' ду ' р ду ' бд; ' Эг/
Показать, что если w = u — iv есть аналитическая функция, то
компоненты ы, у вектора й; и
{формула Бернулли) (р0 постоянно) удовлетворяют этим уравнениям.
91. Для векторного поля, порождаемого функцией
найти направление и модуль вектора w в точке г = ге1®, а также
потенциал, функцию тока, эквипотенциальные линии и линии тока.
(Часть интересующего нас векторного поля, заключающуюся
в круговом кольце 0 < rx < I z | < г2, можно истблковать как
электростатическое поле между двумя обкладками лейденской
банки или же как поле теплового потока в стенке фабричной
трубы.)
92. Обозначим через q> потенциал и через я|э функцию тока
векторного поля задачи 91. Пусть гх и г2 — произвольные точки
соответственно окружностей | г | = rt и ( z \ = г2, фх и фа — значе-
значения потенциала в этих точках. Вычислить
Ф2-Ф1
(разность потенциалов мел<ду двумя обкладками лейденской банки).
Функция тока ty задачи 91 оказывается бесконечно мно-
многозначной. Проследить изменение ее значений при обходе
произвольной простой замкнутой кривой L, содержащейся между
окружностями | z | = гх и |z| = r2. Пусть г —некоторая точка кри-
кривой L, г|5 — значение функции тока в г до обхода, т|/ — значение
в z после одного обхода кривой L. Вычислить
!) См., например, R i em a n n-Web er, Die partiellen Differentialglci-
chungen der mathematischen Physik, 6-е изд., т. 2, § 164, стр. 416. Braun-
Braunschweig, Fr. Vieweg, 1919.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 2, § 3	129
(силовой поток, переходящий с одной обкладки лейденской банки
на другую). Вычислить, кроме того,
ф2 —ф!
(емкость цилиндрических обкладок на единицу длины образующей).
S3. Ответить на те же вопросы, что и в задаче 91, для век-
векторного поля, определяемого функцией
(стационарное магнитное силовое поле, порожденное бесконечно
протяженным прямолинейным проводником электрического тока,
перпендикулярным к плоскости г). Будут ли в этом поле потен-
потенциал ф и функция тока т|з однозначными функциями?
94.	Два бесконечно протяженных прямолинейных провод-
проводника электрического тока расположены перпендикулярно к пло-
плоскости z и пересекают ее соответственно в точках z = — 1 и
z = l. Через них проходит ток одинаковой силы, но в противо-
противоположных направлениях. Определить эквипотенциальные линии
и линии тока в порождаемом этими проводниками магнитном поле.
95.	Через п прямолинейных проводников, перпендикулярных
к плоскости z и пересекающих ее в точках zlt г2, ..., zn, про-
проходит в одном и том же направлении ток. Показать, что в пло-
плоскости z существует самое большее п — 1 точек, в которых маг-
магнитная сила равна нулю (точки равновесия); они содержатся
в наименьшем выпуклом полигоне, охватывающем точки zlt г.г, ...
..., zn. [Последнее утверждение станет очевидным с точки зре-
зрения механики, если повернуть все векторы поля на 90г. Ср. соот-
соотношение между задачами 91 и 93.]
$@> Пусть даны два софокусных эллипса с фокусами в точ-
точках 2 = — 2 и 2 = 2 и полуосями соответственно 2а ь 2ЬХ и 2а.,, 2Ь2,
а\ — Ь\ --=а\ — Ь\=\.
Построить в заключающейся между этими эллипсами области такое
безвихревое векторное поле с нулевой дивергенцией, чтобы ука-
указанные эллипсы служили для него эквипотенциальными линиями.
(Электростатическое поле в конденсаторе, имеющем в качестве
обкладок конфокальные эллиптические цилиндры.) Какую форму
будут иметь эквипотенциальные линии и линии тока? Определить
емкость [92]. [Отобразить интересующую нас кольцеобразную
область на круговое кольцо между двумя концентрическими
окружностями. См. 80 и 91.]
07. Пусть 0<а<?>, а<р<а + 2л. Указать в области,
определяемой неравенствами
б Г. Полна, Г, Cere. ч. I

130	ЗАДАЧИ
такое безвихревое векторное поле, не имеющее источников и сто-
стоков, для которого граничные круговые дуги служили бы линиями
тока, а прямолинейные отрезки —эквипотенциальными линиями.
(Электрический ток в пластинке постоянной толщины.)
Пусть -фх и г|J будут значения функции тока на окружностях
z | = а и \z\-b, а срх и q>2 — значения потенциала на лучах
argz = oc и argz = p. Вычислить
4>2 — %h
(сопротивление, с точностью до множителя, зависящего от тол-
толщины и удельного сопротивления пластинки).
В более трудных задачах рекомендуется рассматривать три
(возможно даже четыре) плоскости: плоскость z (плоскость потока),
плоскость w (плоскость скоростей) и плоскость f (плоскость потен-
потенциала) (возможно, еще плоскость ш). Наименования в скобках
связаны с гидродинамическими представлениями. Так как / =
= ф-{-и|з и w — u — iv = -~ являются аналитическими функциями
комплексного переменного z — x-\-iy, то плоскости z, w и / ото-
отображаются одна на другую конформно; что касается плоскости w,
то на нее эти плоскости отображаются с сохранением углов,
однако с изменением направления вращения. В частности, пло-
плоскость w получается из плоскости w посредством зеркального
отражения относительно вещественной оси. Эквипотенциальным
линиям и линиям тока в плоскости потока (плоскости z) соот-
соответствуют на плоскости потенциала (плоскости /) прямые, парал-
параллельные осям. Двум произвольным вещественным постоянным,
содержащимся в ф и if, соответствует параллельное смещение
плоскости /.
98.	Указать безвихревое поле с нулевой дивергенцией, запол-
заполняющее все пространство вне единичного круга (|z|s=l) и такое,
что w для г = оо равно единице, а на единичной окружности
направлено по касательной к ней. (Обтекание жидкостью круго-
кругового цилиндра; на достаточном расстоянии от цилиндра поток
равномерен.) [Из соображений симметрии обе части вещественной
оси, содержащиеся в векторном поле, должны быть линиями тока.
Горизонтальная компонента вектора w направлена всюду слева
направо. Найти отображение поля потока на поле потенциала!]
99.	В каких точках векторного поля задачи 98 вектор ско-
скорости w обращается в нуль? (Критические точки.) В скольких
различных точках поля вектор w принимает равные значения?
Где давление р минимально и где максимально? [90.] Какова
результирующая всех давлений, оказываемых на цилиндр? Какой

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 3, § 1	131
физический смысл имеет векторное поле, полученное поворотом
всех векторов нашего поля на 90°?
100.	На рис. 1 изображены контуры векторного поля, опре-
определенного следующими условиями: безвихревое поле с нулевой
дивергенцией распространяется на всю верхнюю полуплоскость
и часть нижней симметрично относительно мнимой оси. Для z = oo
w = — i, для z = 0 w — 0. Известны следую-	с=ао
щие линии тока: положительная мнимая ось
и отрезки вещественной оси от г = 0 до г = /
и от z = 0 до 2 = — / (на рисунке С А, АВ
и AD); соответствующие направления векто-
pa w указаны стрелками. Пусть, кроме того,
две остающиеся еще части контура — кривые,
ниспадающие от z — l и от 2 = — / (на ри-
рисунке от В и от D) несколько в сторону и
круто вниз до бесконечности, — являются од-
повременно линиями тока и линиями посто-	(ки
янства скоростей (т. е. вдоль них векторы w	p ,
направлены по касательным и i w j постоян-
постоянно). Начертить схему отображения этого поля
па плоскостях ы< и /. (Образование неподвижной воды позади щито-
щитообразного препятствия, поставленного перпендикулярно к направ-
направлению потока. Отрезок от z = — / до z = -\-l представляет щит; в
центре его находится критическая точка 2 = 0. В незагороженной
части поле мыслится равномерным с постоянным вектором по-
потока— i. В неподвижной воде давление постоянно; вследствие
формулы Бернулли [90] отсюда следует, что на линиях тока,
отделяющих неподвижную воду от движущейся, \w \ = const.)
101.	(Продолжение.) Выразить w как функцию от / и опре-
определить отсюда г как функцию от / [82]. Определить ширину
неподвижной воды на достаточном удалении.
102.	(Продолжение.) Вычислить общее давление на щит,
предполагая, что плотность р=1. [90.]
ГЛАВА 3
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Отображение окружности.
Кривизна и опорные функции
103. Пусть точка z движется с постоянной угловой скоро-
скоростью 1 по окружности | z | = г. Вычислить величину и направле-
направление вектора скорости движущегося вместе с г ее образа w = f(z)
в плоскости w.
5*

132	ЗАДАЧИ
104.	Рассмотрим отображение окружности \z\ = r на пло-
плоскость w, осуществляемое функцией w — f(z). Как велико рас-
расстояние касательной в точке ш, соответствующей точке г, от
точки ьу = 0?
105.	Точка z движется с постоянной угловой скоростью 1
по окружности | z| = г. Какова угловая скорость вектора, соеди-
соединяющего точку w — 0 плоскости w с движущейся вместе с z точ-
точкой w = f(z)?
106.	Отображение окружности \z\=.r на плоскость ш, осу-
осуществляемое функцией w = f(z), имеет в точке w = f(z) кривизну
Г (г)
Р	1 г/' (г) |
[Сводится к определению угловой скорости вращения касательной.]
107.	(Продолжение.) Знак кривизны зависит от того, будет ли
некоторая фиксированная, не лежащая на кривой точка (скажем,
о> = 0) оставаться справа или слева, с выпуклой или с вогнутой
стороны траектории точки w ==/(.?) [103]. Какова именно эта зави-
зависимость? [Рассмотреть пример w = z'l-\-a, где п вещественное,
а комплексное.]
108.	Точка w = f(z) задачи 103 описывает простую замкну-
замкнутую кривую в положительном направлении. Эта кривая будет
тогда и только тогда всюду выпуклой, когда для \z\-r
^2
109> Простая замкнутая кривая называется звездообразной
относительно некоторой точки, лежащей в ограничиваемой ею
области, если каждым лучом, выходящим из этой точки, кривая
пересекается только один раз (иными словами, если все точки
кривой «видны» из указанной точки).
Пусть окружность | z | — г отображается с помощью функции
w — f(z) на некоторую простую замкнутую кривую, обходимую
в положительном направлении [103]. Показать, что эта кривая
будет тогда и только тогда звездообразной относительно точки
w = 0, если при | 2 | = г
110.	Образ окружности \z\ = r при отображении w — f(z)
тогда и только тогда выпуклый, когда ее образ при отображении
w — zf'(z) звездообразен относительно точки ш = 0.
111.	Точки, относительно которых некоторая замкнутая кри-
кривая звездообразна, образуют выпуклое множество. Эта чисто
геометрическая теорема может быть доказана для аналитических
кривых на основании теоремы 109.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 3, § I	133
Пусть в плоскости w = и + iv дана ограниченная выпуклая
область ?. Тогда выражение
ы cos ф + у sin ф = 3ft (wei(f)
для каждого фиксированного ф имеет в области ? некоторый
определенный максимум, Л(<р). Функция А (ф) — периодическая,
с периодом 2л; ее называют опорной функцией области $. Прямую
«cos ф+asin ф_/г(ф) = О
называют опорной прямой области &; направление ее нормали
в сторону от §. составляет с положительным направлением оси и
как раз угол ф. Если ?—-бесконечно протяженная область, то
наше определение сохраняется с той поправкой, что конечный
максимум h (rp) существует лишь в некотором угле с раствором
«с я. Случаи полуплоскости и полосы, ограниченной параллель-
параллельными прямыми, составляют исключение. Тогда существует только
одна, соответственно две опорные прямые.
112а Определить опорную функцию выпуклой области, состоя-
состоящей из единственной точки а = \а\ е'а.
113> Пусть функция w = f(z) взаимно однозначно отображает
круг \z\^r на выпуклую область &. Пусть, кроме того, в гра-
граничной точке z, | z | = г, функция / (г) регулярна и /' (г) Ф 0.
Тогда через граничную точку w — f(z) области $ проходит одна
вполне определенная опорная прямая (касательная). Выразить
соответствующие значения ц> и Н(ц>) через/(г).
114.	Круг jzj^l отображается с помощью функции w —
= In A+г) на некоторую неограниченную выпуклую область,
содержащуюся в полосе —^ п<3^< я- л плоскости ш. Ее опор-
опорной функцией 'определенной лишь для — у^Ф^т) будет
h (ф) = cos ф • In B cos ф) + ф sin ф.
115.	Круг |z|<;l отображается с помощью функции w —
2	. .
= --.- arcsin iz на некоторую ограниченную двуугольную выпук-
выпуклую область, содержащуюся в полосе — nn^^w^n плоскости w.
Ее опорной функцией является
А(Ф) =
cos ф In (]/cos 2ф + У2 cos фJ + 2 sin ф arcsin (У2 sin ф)
при 0^ф<|-;
зтвтф	при -^ ^ф^у;
я) = Л(-ф)=А(ф).

134	ЗАДАЧИ
116> Если we~w+1 = z, то круг jzjsgl отображается на неко-
некоторую ограниченную выпуклую область с одной вершиной, содер-
содержащуюся в полуплоскости JRm)=s;l. Ее опорной функцией при
—г **= Ф *== ~л СЛУЖИТ ^ (ф) — cos Ф! пРи т < Ф < -j- опорная
функция может быть задана в параметрическом виде
ф —1^-31A —ву),
где w пробегает граничные точки, т. е. \we~w+1\ =
\
§ 2. Средние, значения вдоль окружности
117.	Пусть z = e'*. Тогда
), если кф1,
I, если k = /
Функции 1, z, г2, г3, ... образуют, как говорят, ортогональную
систему на единичной окружности.
118.	Пусть функция f(z) регулярна в круге jzjs^r. Под
арифметическим средним [II 48] функции /(г) на окружности
| г | = г понимают
2Я
-о— \ f (re1®) d® = lim ^(
0
2Л1
где со„ — e n . Доказать, что
2Я
Иначе говоря, доказать, что если аналитическая функция
регулярна в каждой точке некоторого круга (включая и его
границу), то значение ее в центре круга равно арифметическому
среднему ее значений на границе.
119. Пусть f (z) регулярна и отлична от нуля в круге |г|^
«s; r. Показать, что геометрическое среднее модуля \f(z)\ на
окружности \z\-r есть
2я
[Функция In / (z) регулярна в круге | г | =sS г.]

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 3, § 2
135
120. Пусть f (г) регулярна в круге |zj«g;r и отлична от нуля
в точке z = 0. Пусть, далее, нули /(г), лежащие в круге |z|sgr,
будут zx, z2, . • •, г,,, причем кратные нули считаются соответст-
соответственно их кратности. Показать, что геометрическое среднее модуля
\f{z)\ на окружности \z\ = r дается формулой
2Я
г"
• • • г„
[/ (г) = (г - гх) (г — г2)... (г — г„) /* (г), причем /* (г) в круге | г | < г
регулярна и отлична от нуля.]
121. В предположениях задачи 120 геометрическое среднее
модуля | / (г) | в круге | z \ ^ г
г 2я
всегда меньше, чем геометрическое среднее
2Я
модуля |/(г)| на окружности \z\ = r. Именно
122.	Пусть функция
/ (z) •= а0 -f- axz -f- a2z2 +... + anzn -f-...
регулярна в круге j z I =<; г. Показать, что арифметическое сред-
среднее квадрата модуля |/(z)|2 на окружности | г \ = г удовлетворяет
соотношению
2я
2л"
123.	Пусть функция
регулярна в круге |г|<1. Показать, что частичные суммы
степенного ряда функции /(г) обладают следующим свойством
минимальности: интеграл
2Я

136
ЗАДАЧИ
где Р (z) может быть любым полиномом я-й степени, тогда и
только тогда принимает минимальное значение, когда Р (z) = sn (г).
Это минимальное значение равно
§ 3. Отображение круга. Площадь области,
получаемой при отображении
124. Пусть функция
.. .-\anzn +...
регулярна в круге jzi=<sr. Тогда отображение w — f(z) преобра-
преобразует круг | z \ =ss r в некоторую область плоскости w, причем
отдельные части этой области считаются столько раз, сколько
раз принимаются в круге | z | ^ г соответствующие значения w.
Показать, что площадь указанной области равна
п (| ах
+ 2
а3
\ ап |2
(Эта площадь аддитивно составлена из площадей областей, на
которые отображается круг
гаемых w = anzn, л = 0, 1, 2, ...
125. Пусть функция
: г с помощью отдельных сла-
сла' = /B) =
регулярна в круговом кольце r^ | z \ *^R. Тогда площадь обла-
области, на которую отображается &то кольцо, равна
п
(Многократно покрытые части считаются соответствующее число
раз.)
126. Пусть функция
регулярна и однолистна во внешней круговой области j z 15= г.
При отображении да = <р(г) некоторая вполне определенная область
плоскости w остается непокрытой. Показать, что ее площадь
равна
с2
3 | с3 [

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 3, § 4
127> Пусть функция
137
= / (г) =
anz" =...
п —— со
регулярна на окружности \z\-r и в различных ее точках не
принимает одинаковых значений. Показать, что площадь области,
ограничиваемой кривой L, на которую отображается эта окруж-
окружность, равна
л
п\ап\2гг\
п~ — со
При этом площадь считается положительной или отрицательной,
смотря по тому, будет ли точка w — f(z) при положительном
обходе окружности | z j = г обходить внутреннюю область кривой L
в положительном или же отрицательном направлении.
128. Пусть /(г) регулярна в круге \z\^r и J (р) обозна-
обозначает площадь области, в которую переходит круг [г|^р при
отображении w = f(z) (Oscps^r). Тогда
2Я
f /(re'»)|add-2jt|/@)|a.
129> Пусть функция
регулярна во внешней круговой области \z\^=r и отображает ее
взаимно однозначно на замкнутую внешнюю область некоторой
кривой L плоскости w. Представим себе, что на окружности
J z \ = г дано равномерное распределение массы, а на кривой L
плоскости w масса распределена так, что дугам окружности
\z\ = r и кривой L, связанным отображением w = q>(z), соответ-
соответствуют одинаковые массы. Определенное таким образом на кри-
кривой L распределение масс имеет некоторый определенный центр
тяжести | (конформный центр тяжести кривой L). Показать, что
S — со-
§ 4. Поверхность модуля. Принцип максимума
Пусть функция / (z) = и + iv регулярна в некоторой области 93
плоскости z = x-\-iy. Отложим от каждой точки z области 33 по
направлению вверх, перпендикулярно к плоскости z, отрезок
длиной

138	ЗАДАЧИ
Получающаяся таким образом поверхность представляет квадрат
модуля функции /(г). Мы будем называть ее поверхностью модуля;
Иенсен называет эту поверхность «аналитическим ландшафтом»
[Jensen, Acta Math., т. 36, стр. 195, 1912].
130. Объем тела, ограниченного снизу кругом |z|<;r,
сбоку — восставленным на периферии этого круга прямым круго-
круговым цилиндром и сверху — поверхностью модуля функции
f (z) =
равен
3
131. Пусть у — угол между касательной плоскостью к поверх-
поверхности модуля и плоскостью х, у. Тогда
132. Точки поверхности модуля, в которых касательная
плоскость горизонтальна, распадаются на два различных вида
(«ямы» и «седловины»). Если касательной плоскостью служит
плоскость х, у, то на ней лежат лишь изолированные точки
поверхности. Если же касательная плоскость отлична от пло-
плоскости х, у, то она пересекает поверхность вдоль некоторой кри-
кривой (линии уровня), состоящей из 2п ветвей, л ^=2, выходящих
из рассматриваемой точки и образующих между собой равные
углы. Этими 2п ветвями отделяются 2п углообразных областей
на поверхности модуля, которые лежат попеременно выше и ниже
касательной плоскости. (Все «ямы» лежат на плоскости х, у, все
«седловины» — выше, на различных уровнях.)
133> Линия пересечения поверхности модуля полинома,
имеющего лишь вещественные нули, с плоскостью, перпендику-
перпендикулярной к оси х, выпукла снизу, причем наинизшая ее точка
лежит в плоскости х, ?.
134. Пусть f(z) регулярна в круге \z — zo\^r и М обозна-
обозначает максимум модуля |/(г) | на окружности \z — zo\ — r. Тогда
При этом равенство достигается лишь в том случае, когда /(г)
постоянна.
135. Пусть f (z) регулярна и однозначна в некоторой замк-
замкнутой области 33 и М означает максимум модуля /(г) на гра-
границе 33. Тогда внутри 33
если только f (z) не есть постоянная. {Принцип максимума,
см. гл. 6.)

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 3, § 4	Г39
136а С каким свойством поверхности модуля связан принцип
максимума?
137. Пусть в плоскости задано п фиксированных точек Р±,
Р2, . • •, Рп и Р — переменная точка этой плоскости. Показать,
что функция точки Р
рр1-1рТ2...рр~п,
где PPV — расстояние между точками Р и Pv, в каждой замкну-
замкнутой области плоскости принимает свое максимальное значение
на границе области.
138.	Пусть /(г) регулярна и однозначна в некоторой замк-
замкнутой области S3 и отлична в ней от нуля. Если /(г) не есть
постоянная, то | / (г) \ может принимать минимальное значение
только на границе области 23.
139.	Пусть фиксированные точки Ри Р„, ..., Рп лежат
внутри круга радиуса R и переменная точка Р пробегает пери-
периферию этого круга. Тогда
¦x.ppt...ppn
(геометрическое среднее п расстояний PPV) имеет максимум,
больший R, и минимум, меньший R. Единственное исключение
представляет случай, когда все точки Р1г Р2) ..., Рп совпадают
с центром круга.
140. (Продолжение.) Для максимума арифметического сред-
среднего
п расстояний РРУ утверждение задачи 139 справедливо, однако
для минимума оно несправедливо.
141. (Продолжение.) Для минимума гармонического среднего
ррп
п расстояний PPV утверждение задачи 139 справедливо, однако
для максимума оно несправедливо.
142.	Внутри области, ограниченной простой замкнутой линией
уровня (т. е. линией, на всем протяжении которой | / (г) | = const.)
и содержащейся вместе с границей в области регулярности функ-
функции f(z), лежит по крайней мере один нуль этой функции, если
только / (г) не есть постоянная.
143.	Пусть в плоскости задано п фиксированных точек Ри
Р2, ..., Рп и Р — переменная точка этой плоскости. Геометри-

140	ЗАДАЧИ
ческое место тех точек, для которых произведение расстояний
W1Wi...PK^ const.,
называют «лемнискатой с п фокусами». (Обыкновенная лемниската
соответствует случаю п — 2, см. 4.) Показать, что лемниската
с п фокусами не может состоять больше чем из п отдельных
замкнутых кривых.
144.	Пусть функция / (г) регулярна в круге | z | <; г. Обозна-
Обозначим через z0 ту точку окружности этого круга, в которой модуль
функции /(г) достигает своего максимума. Тогда z0 ', ¦;¦ веще-
вещественно и положительно. [103, 132.]
ГЛАВА 4
ИНТЕГРАЛ КОШИ. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА
§ 1. Интеграл Коши
145.	Пусть
2пС
v = l, 2, ..., п; zQ = zn, а фиксировано, а:
Вычислить сумму
Z\ — Zo , Z2 — Zj . Z3—Z2 ,	, Zn—Zn_j
г I г I г г •••i г »
которая при п -> оо стремится к интегралу <Ь —, взятому вдоль
окружности \z\ = \a\.
146> Пусть k — целое число, отличное от —1, и L —простая
замкнутая непрерывная кривая конечной длины, не проходящая
через точку z = 0 при fcsg—2; пусть, кроме того, zlt z2,.... гя-1»
zn — последовательно расположенные точки кривой L. Рассматри-
Рассматривая интеграл §zHdz как предел сумм вида
L
2 (<у ^_ /у \ I <ЧП I >у 	 /у \ I	I у I? ^^ /у	\	1~ 	 ^ \
1 v*i •'о/ ~Г *а v*2 ^1/ Т • • • v ?п \*-п *«-i/ \Zq — *п/
[II 1, II 2], показать, что он равен нулю.
147. Вычислить интеграл
dz
1 + г*'
взятый по эллипсу
z = x+iy, л;2-;

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 4, § 1	141
148. При х>0
я
С xd&
о
149. Доказать формулу
2я
С A+2о
(l+2cosu)"cosnd -g	2я	(\—r — Vi— 2л —
a
О
1
j, n = 0, 1, 2, ...
15О> Вычислить криволинейный интеграл
-х*-уг) у йх
взятый по эллипсу с фокусами @, —1) и @, +1).
151. При 0<3Rs<l
152.
153.
(
1
При п> 1
со
0
При ц>0
2О
со
0
У) ,
г	Цл
Рассмотреть, в частности
154.
менно)
Показать,
lim x^
л:-» со
ЧТО
+ оо
1 f *
*в~*х dx = Г
1 г
п — 1 * \;
:а<у, п =
, случай а
при ц>0,
г'* cos xi di
(s)e
= 0,
1 /
= ця
== * (
tos
2 t
(n-l n\
'I n 2J*
1, 2, ...
n+l\ . (n+i)a
0 (|A постоянно, x nepe-
155. Пусть а>0. Интеграл
распространенный по параллельной мнимой оси прямой s = a-{-it,
о, абсолютно сходится для всех вещественных

142	ЗАДАЧИ
значений а. Показать, что
( О, если а ?^0,
\ а, если aS=0.
156. Обозначим через ц (t) максимальный член ряда
1+1Т + 2Г + --- + ? + -
Пусть г — единственный положительный корень уравнения
где Я > 1. Тогда
s
t(n + \—t)u и
+ co e \	I sm	, j ^ если ^ < ; < ^ _j_ j
-- \ 	du — { n
я J	«	10, если t<n или ^;
— от
157. Полиномы Лежандра Рп(х) могут быть определены как
коэффициенты разложения
1	Ро (X) , />! (X) , Р2 (X) .	, Рп (X) .
Вывести отсюда формулу Лапласа (VI 86)
—1
и формулу Дирихле-Мелера
2 sin (я+ 4-
V 2
2
— cos-d)	л J j/2 (cos ¦»— cos t)
(квадратные корни положительны).
158. Пусть © — полуполоса, выделенная неравенствами
Site > 0, — л<3г<п,
и L — ее граница, состоящая из трех прямолинейных частей.
Интеграл
2га- 3 5-z
(где направление пути интегрирования таково, что © остается
справа) определяет некоторую функцию ? (г) и притом лишь

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 4, § !	143
в точках, лежащих влево от L. Показать, что Е (г) — целая функ-
функция, принимающая для вещественных г вещественные значения.
159. (Продолжение.) Показать, что
160. (Продолжение.) Доказать ограниченность функции
вне © и функции
внутри ©.
161. Положим
	2f	 f (Л
z(z —l)(z —2)...(z —n) lnK>'
Показать, что
§ fn{z)dz
ffi I /„ ( Z) I I dZ
где контуры обходятся в положительном направлении. [II 217.]
162.	Пусть f (г) регулярна в круге \г\ ^г и отлична от нуля
на его границе j z | = г. Тогда максимальное значение, принимае-
принимаемое выражением 3ft i z77t) на ОКРУЖНОСТИ Iг I = г> будет не меньше
числа нулей функции /(г) внутри круга | z | О-
163.	Пусть Zj, z2, ..., zn — произвольные не равные друг
другу комплексные числа и L — простая замкнутая непрерывная
кривая, причем точки zlt z2, ..., zn содержатся внутри области,
ограниченной этой кривой. Пусть, кроме того, функция f(z) ре-
регулярна внутри указанной области и на L. Положив со (г) —
= (z — z1) (z — z2).. .(z —zn), показать, что интеграл
представляет тот однозначно определенный полином (п— 1)-й сте-
степени, который в точках zlt z2, ..., г„ совпадает с /(z).
164. Пусть функция / (г) — аналитическая на отрезке а«ё
=g;zsg& вещественной оси и принимает на нем вещественные зна-
значения. Пусть, далее, L —некоторая простая замкнутая непрерыв-
непрерывная кривая, содержащая внутри области, ограничиваемой ею,
отрезок a^z-^b, причем в этой области /(г) регулярна. Пока-
Показать, что, каковы бы ни были точки z±, z2, ..., zn отрезка

144	ЗАДАЧИ
sgzsgfr, всегда найдется такая точка z0, a^zos^b, что
$ (г-Zl) (г -га)... (г -гп) dZ ~ $ (г - zo)« dZ'
165. Пусть целая функция F (z) удовлетворяет во всей пло-
плоскости z = x-\-iy неравенству
где С и р — положительные постоянные. Тогда
р
dz\sinpz)	Li -(рг — плJ
п = — оо
Пример. F (z) = cos pz.
166> Пусть нечетная целая функция G(z) удовлетворяет во
всей плоскости z = x-\-iy неравенству
где С и р — положительные постоянные. Тогда
G(z)
2pzcospz Li [(n+V2)n]2-p223 *
Пример. G(z) = sinpz.
167.	Пусть функция f (z) регулярна в круге |z|sgl. Пока-
Показать, что
1
С	1С	1 С
\ f (х) dx — tr^ ф / (z) In z dz — rr-. 4) / (z) (In z — in) dz,
0	|2| = 1	|Z|=1
1
\xkf(x)dx = —:	 ф zkf (z) dz {k>—1, /г=^=0, 1, 2, ...).
О	е ~ |zj=l
Здесь интегрирование по х производится по прямолинейному
отрезку, соединяющему 0 и 1, а интегрирование по z —в поло-
положительном направлении вдоль единичной окружности, начинаясь
в точке z=l с той ветви In z, соответственно г*, на которой по-
положительным г соответствуют вещественные, соответственно поло-
положительные, значения этих функций.
168.	Пусть функция f(z), регулярная в единичном круге
j z | sg; 1, подчинена условию

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 4, § 2
145
Пусть, кроме того,
\x*f(x)dx
1. Тогда
1
2~'
1
если k целое,
—, если k нецелое.
2 j sin kn
169. Пусть а > —2. Квадратичная форма бесконечного числа
вещественных переменных хи хг, х3, ...
ограничена, т. е. существует такая постоянная М, не зави-
зависящая от п, что
L _
если переменные х1л х2	хп подчинены условию x\-\-xl-\-...
...-{->$ =1; п—\, 2, 3, ... При этом для целых ос можно взять
М = п, а для нецелых а можно взять М = -, .д—-.
170.	Пусть функции ^(z), /2(z), ..., /„(г), ... регулярны
в области ©ив каждой содержащейся в ней ограниченной замк-
замкнутой области равномерно сходятся к функции f(z). Тогда f(z)
регулярна во всей области @.
171.	Пусть в некоторой области © плоскости z = x-\-iy за-
задана непрерывная комплексная функция / (г) = ы (х, у) -{- iv (x, у)
вещественных переменных х и у. Пусть, кроме того, известно,
что интеграл	г ., . ,
F	§f(z)dz,
взятый по любой окружности, содержащейся в ©, равен нулю.
Тогда /(г) представляет собой аналитическую функцию от ком-
комплексного переменного г, регулярную во всей области ©. [Вы-
[Вычислить изменение двойного интеграла
Fr(z) =
при варьировании вещественной, соответственно мнимой, части г.]
§ 2. Формулы Пуассона и Иенсена
172.	Пусть функция /(г) регулярна в открытом круге \z\
ограничена в замкнутом круге
1 и, за исключением, быть
может, конечного числа точек, непрерывна. Тогда
2л
(Обобщение теоремы 118.)

146
ЗАДАЧИ
173. Пусть функция f(z) регулярна в круге
имеет место формула Пуассона
. Тогда
2я
f с**)=
174. Пусть функция /(г) регулярна и ограничена в полу-
полуплоскости SfteSaO. Тогда при л;>0
+ СО
iy) = ~ J
175. Пусть функция /(г), мероморфная в круге |z|=g:l, ре-
регулярна и отлична от нуля в центре и на окружности этого
круга. Пусть, далее, она имеет в этом круге нули аи аг, ...,ат
и полюсы Ь1г Ь2, ..., Ьп (где нуль или полюс r-й кратности вы-
выписан г раз). Тогда имеет место формула Иенсена
ln|/(O)| + ln-
In-
~"~ iil "т г	1П ~г~7 i . • . 1П ~т~~.—
2л
[Около всех нулей и полюсов функции f(z), находящихся в круге
|г|<1. как около центров, описываются окружности радиуса е
столь малого, чтобы эти окружности
не пересекались ни между собой, ни
с окружностью | z | = 1. Эти окруж-
окружности соединяются с окружностью
| г | = 1 не пересекающимися между
собой путями (например, радиусами
единичного круга, если аргументы
всех нулей и полюсов различны;
рис. 2). После удаления из круга
|z|<l всех е-кружков и соедини-
соединительных путей остается односвязная
область ©е. Нужно взять тогда инте-
" In/(г)
грал
-dz вдоль границы этой
Рис. 2.
области в положительном направле-
направлении.]
176. Пусть функция /(г), мероморфная в круге \z\^R, ре-
регулярна и отлична от нуля на его границе, а внутри него имеет
нули ах, а3, ..., ат и полюсы Ьх, Ь2, ..., Ьп (где нуль или полюс
г-и кратности выписан г раз). Показать, что если точка г = гет,

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 4, § 2	W
r<R, не является ни нулем, ни полюсом функции /(г), то
In I
1п
n=i
/?*-v
v=l
(bv-z)R
2л
i — 2Rr cos (в — •
d®.
177. Пусть функция / (г) мероморфна в полуплоскости 31г2=0,
на границе ее регулярна и отлична от нуля, а внутри имеет
нули ах, а2, ¦ ¦ ¦, ат и полюсы blt Ъг, ..., Ьп (где нуль или по-
полюс г-н кратности выписан г раз). Показать, что если /(z) регу-
регулярна в бесконечности и, кроме того, регулярна и отлична от
нуля в точке z = x-{-iy, x>0, то тогда
ln
2+Й„
v=l
= 1 J ln|7(iTi)|darctg^
Указанная формула справедлива и при менее сильных пред-
предположениях о поведении f (г) в бесконечности.
178. Пусть функция f(z) в области
регулярна, на границе отлична от нуля, а внутри области имеет
нули
аи а2, ..., ат, ам. = г,АЛ, ц=1, 2, ..., /п.
Положим In | / (ре<#) j = U (р, #). Показать, что
l
U(R, d) cos
л
здесь функция %(^) при R-^oo остается ограниченной, г и /(г)
мыслятся постоянными. Взять интеграл Ф ln/(z) (^- + ^
вдоль контура, аналогичного указанному в задаче 175.

148	ЗАДАЧИ
§ 3. Принцип аргумента
179. Доказать теорему 25, исследуя изменение, претерпевае-
претерпеваемое arctg т/Т) • К0ГДа х пробегает вещественную ось от — оо до
-I- оо.
Пусть на плоскости г задана замкнутая ориентированная не-
непрерывная кривая, не проходящая через точку z = 0. Когда г,
начиная с какой-либо произвольной точки кривой, обходит всю
кривую в заданном направлении и возвращается к исходному
пункту, то при этом аргумент точки г, непрерывно изменяясь,
претерпевает в результате изменение на число, кратное 2я, т. е.
на число 2шт. Целое число п называют числом обходов кривой.
180. Каждый луч, исходящий из точки г = 0, при обходе точ-
точкой z указанной кривой пересекается по меньшей мере | п | раз.
В нижеследующих задачах A81—194) под L понимается про-
простая замкнутая непрерывная кривая, под © — ограниченная этой
кривой замкнутая область.
Пусть функция / (z) регулярна в S3, за исключением, быть
может, конечного числа полюсов, а на L конечна и отлична от
нуля. Когда z обходит кривую L в положительном направлении,
то точка w — f(z) описывает некоторую замкнутую непрерывную
кривую. Ее число обходов равно числу нулей функции / (г) в об-
области з#, уменьшенному на число полюсов. [Принцип аргумента,
см. Hurwitz —Courant, стр. 8-4, 102*).]
Теорема остается справедливой и в том случае, когда функ-
функция / (г) на граничной кривой L только непрерывна и отлична
от нуля.
181.	Пусть функции ф (г) и яр (г) регулярны в области Ъ, за
исключением, быть может, конечного числа полюсов, а на гра-
граничной кривой L этой области конечны и отличны от нуля. По-
Показать, что число обходов кривой, в которую переходит L при
отображении w = f (г) = ф (г) г|) (г), равно сумме чисел обходов кри-
кривых, получаемых при отображениях иу = ф(г) и ou = ij)(z) в от-
отдельности.
182.	Доказать принцип аргумента для полинома.
183.	Из принципа аргумента вытекает: если ф (z) в области ©
регулярна и отлична от нуля, то число обходов кривой, описы-
описываемой точкой ф (г), когда г пробегает кривую L, ограничиваю-
*) Гурвиц, стр. 117 и 144. Гурвиц—Курант, стр. 92 и ПО.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 4, § 3	149
щую эту область, равно нулю, т. е., иными словами, аргумент
функции <р (г) является однозначной функцией на кривой L. Вы-
Вывести, обратно, общую формулировку принципа аргумента из этого
частного случая.
184.	Вещественный тригонометрический полином ат cos mp -\-
+ bmsinmft + am+1cos(m+ \)ft + bm+1sin(m+ 1)& +.. . + ancosnb +
-j-brtSinnO1 обладает минимум 2т и максимум 2я нулями в интер-
интервале 0 sg; d < 2я. [Рассмотреть
Р (г) = (am-ibm) zm + (am+t - /&и+1) z^1 +... + (ая - ibn) z".]
185.	Тригонометрический полином
а0 -\- ах cos •& -f- а2 cos 2й +... + ап cos nd,
где 0 < й0 < «! < Яг < • • • < «„, имеет в интервале 0 =^ Ь -< 2я
2я вещественных отличных друг от друга нулей. [22.] (Следова-
(Следовательно, имеет только вещественные нули: VI 14.)
186» Пусть функция / (г) мероморфна внутри области §8 и
регулярна на ее граничной кривой L. Если \а\ превосходит
максимум модуля | / (г) | на кривой L, то внутри области, ограни-
ограничиваемой L, f (г) имеет ровно столько же a-точек (т. е. точек,
в которых f(z) = a), сколько полюсов.
• 187. Функция
w — елг _ е-яг
в полуполосе
принимает каждое значение w с положительной вещественной
частью один и только один раз.
188.	Пусть / (г) регулярна в круге | г \ s? r ив различных
точках контура | г \ = г принимает различные значения. Тогда
кривая, в которую переходит окружность \z\-r при отображе-
отображении w = f(z), обходится в том же направлении, что и эта окруж-
окружность, и функция / (z) однолистна во всем круге | z | < г.
2 _*2
189.	Все нули целой функции § е 2 dx, за исключением
о
точки z==0, содержатся в области 2ft(z2)<0. [Спираль Корню.
См., например, P. Drude, Lehrbuch der Optik, 2-е изд., стр. 180,
Лейпциг, S. Hirzel, 1906.]
190.	Пусть функция f (z) в круговом кольце r<\z\<lR
однозначна, регулярна и «выпускает» некоторое определенное
значение а [т. е. не принимает этого значения]. Тогда все простые
замкнутые непрерывные кривые плоскости г, целиком содержа-
содержащиеся в указанном круговом кольце и охватывающие окруж-
окружность \z\-r, переходят при отображении w — f(z)—a в кривые
плоскости w с одним и тем же числом обходов.

150	ЗАДАЧИ"
191.	Пусть / (z) регулярна в области 33 и постоянна по модулю
на граничной кривой L. Показать, что при обходе точкой г
кривой L аргумент f (z) изменяется монотонно. (Отсюда вытекает
новое доказательство теоремы 142.)
192.	В предположениях задачи 191 функция f (z) имеет в обла-
области, ограниченной кривой L, одним нулем больше, чем /' (г).
(Уточнение теоремы 142.) Этому факту можно дать следующую
геометрическую интерпретацию: число «ям», заключенных внутри
простой замкнутой линии уровня поверхности модуля, на единицу
превышает число «седловин».
193а Если функция f (z) регулярна в области Ъ, a f (г)
в этой области не обращается в нуль, то w = f(z) отнюдь не обя-
обязательно порождает однолистное отображение области 23 [72].
Однако если | / («)! на границе области Ъ постоянно, то в этой
области функция f (z) однолистна.
§ 4. Теорема Рушэ
194. Пусть функции / (г) и ф (г) регулярны внутри области 33
и- непрерывны на граничной кривой L. Пусть, кроме того, на кри-
кривой L выполнено неравенство \f (z) j > |ф (z) |. Тогда функция
f(z)-\-q(z) имеет внутри области Ь столько же нулей, сколько
/()
/()
195.	Показать, что уравнение
где Я вещественно и больше единицы, имеет в единичном круге
г | её 1 один единственный корень. Этот корень является вещест-
вещественным и положительным.
196.	Уравнение
Л-г-е-г = О,
где А, вещественно и больше единицы, имеет в полуплоскости SfJz^O
один единственный корень, являющийся, следовательно, вещест-
вещественным.
197.	Каждое отображение, преобразующее замкнутый еди-
единичный круг в область, целиком содержащуюся внутри единич-
единичного круга (и не обязательно однократно покрытую), имеет
в точности одну неподвижную точку. Иными словами: если f (г)
в круге | z | sg: 1 регулярна и по модулю меньше единицы, то урав-
уравнение f (г) — 2 = 0 имеет в этом круге в точности один корень.
198.	Функция =—г принимает в полуполосе
каждое значение бесконечное множество раз (d произвольно).
199. Пусть /@ — заданная в интервале O^s^^cl веще-
вещественная функция, имеющая непрерывные первую и вторую

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 4, § 4	151
производные. Если | f A) | > | / @) |, то целая функция
1
F(z) =\f{t) sinztdt
о
имеет бесконечное множество вещественных и лишь конечное
число комплексных нулей; если же 0<]/A) | <|/@) ], то она
имеет лишь конечное число вещественных нулей, но затсиуже
бесконечное множество комплексных. [Нули F (г) в отношении
их вещественности или комплексности ведут себя совершенно
так же, как и нули функции f @) — f (\) cos z.]
200. Пусть а —постоянная и |а|>2,5. Показать, что целая
функция, определенная степенным рядом
1 + т + ? + у + - + ? + -в'Чг>'
на границе каждого кругового кольца
|a|2"-2<|z|<|a|2n (n=l, 2, 3, ...)
отлична от нуля, а внутри него имеет в точности один нуль.
[Исследовать максимальный член на окружности | г \ = \ а |2л, I 117.]
201 > (Продолжение задачи 170.) Обозначим через Ш множество
содержащихся в © нулей функций fn(z), n=\, 2, 3, ... Если
предельная функция не равна тождественно нулю, то ее нули,
лежащие внутри &, совпадают с предельными точками множества
Ш, лежащими внутри ©.
202.	Пусть функции
Mz), /2(z)	fn(z), ...
однолистны в единичном круге | z \ < 1 и в каждом внутреннем
круге !г|^г<1 равномерно сходятся к некоторой предельной
функции /(г), не равной тождественно нулю. Тогда и функция
f (z) будет однолистной в круге |г|<1.
203.	Пусть giB), g2(z), ..., gn(z), ... — целые функции,
имеющие лишь вещественные нули. Если существует
\\mgn{z)=g(z),
п->оэ
причем сходимость равномерна в каждой конечной области, то
целая функция g (z) также имеет лишь вещественные нули.
204.	Целая функция
п
2 avcos (a-f-vd) z,
v = 0

152	ЗАДАЧИ
где
0<a0<a1sSa2sS...s?an; a^Q, d>0,
имеет лишь вещественные нули.
205.	Пусть /(^ — положительная неубывающая функция,
заданная в интервале 0^^<1, причем интеграл ^f{t)dt коне-
о
чен. Показать, что целая функция
\ f (t) cos zt dt
0
имеет лишь вещественные нули. [185.]
206.	Пусть область Ъ содержит внутри отрезок а ==? г <; Ь
вещественной оси. Пусть, далее, функции fx (г), /2 (z), ...,/„ (z),...
регулярны в §8, в вещественных точках г принимают веществен-
вещественные значения и на отрезке a^z^b все отличны от нуля. Если
функции /i(z), /2 (г), ..., /л (г), ... равномерно сходятся в области
33 к некоторой предельной функции f(z), не равной тождественно
нулю, то эта предельная функция /(г) точно так же отлична от нуля
на отрезке a^z^b,— Это утверждение не верно.
ГЛАВА 5
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Ряд Лагранжа и его применения
Степенной ряд
+ ... +anzn-\- ... =ш (а^фО),
круг сходимости которого не сводится к точке z = 0, взаимно
однозначно и конформно отображает некоторую окрестность точки
z = 0 на плоскость w. Поэтому зависимость между г и w может
быть представлена в некоторой окрестности точки w = 0 также
разложением
w2 + ... + bnwn + ... = z,
где axbx = 1. Для эффективного вычисления второго ряда посред-
посредством первого полагаем
1, >
Так как ф(г) регулярна в некоторой окрестности точки 2 = 0 и
Ф @) Ф 0, то из равенства

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 5, § 1	153
вытекает, что
оо
VI юл Td" [ф (дг)]гаП
~ Li n\ I dxn~x \x = o'
Вообще, если f(z) регулярна в некоторой окрестности точки
z = 0, то имеем:
п= 1
[Ряд Бюрмана-Лагранжа, см. Н u r w i t z-C о и r a n t, стр. 128 *).]
207. В предположениях и обозначениях предыдущей задачи
имеем:
со
/(z) _ у w" [dnf (x) [ф (х
Вывести эту формулу из формулы Лагранжа или, обратно, фор-
формулу Лагранжа из этой, правильно используя условия, при
которых каждая из этих формул имеет место. [Из справедливости
одной из этих формул для некоторой функции / (г) непосредственно
вытекает вторая формула для некоторой другой функции f(z).]
203ш Доказать формулу задачи 207 непосредственно, выражая
коэффициенты при w4 с помощью интеграла Коши.
209.	Разложить корень трансцендентного уравнения
zerz = w,
обращающийся при ю = 0 в нуль, по возрастающим степеням w.
210.	(Продолжение.) Разложить еаг, где а — произвольная
постоянная, по степеням w.
211ш Разложить по возрастающим степеням w тот корень х
трехчленного уравнения
который при ю = 0 обращается в единицу.
212. (Продолжение.) Разложить ха, где а —произвольная
постоянная, по степеням w. (xa — y является решением трехчлен-
трехчленного уравнения
1 t
\-уа -\-wif- =0.)
213> (Продолжение.) Рассмотреть частные случаи C=0, 1, 2,
— 1, y и вывести разложения 209, 210 путем предельного пере-
перехода из 211, 212.
*) Гурвиц, стр. 184. Г у рв иц-К у р ант, 141.

154	ЗАДАЧИ
214. Найти сумму степенного ряда
га!
Каков радиус сходимости этого ряда?
215» Доказать теорему 156, опираясь на результаты задачи 214.
218. Ряд
в случае, если а и р — рациональные числа, представляет алгеб-
алгебраическую функцию от w.
217. Выпишем последовательные степени трехчлена 1+^ +
+ w2 в треугольную таблицу
1
1 + W + W2
1 + 2ш + 3«0
1 + 3w + 6ш2 + 7w3
Тогда сумма средних членов (набранных в таблице жирным шриф-
шрифтом) равна
1
218. Выпишем последовательные степени бинома 1+шв тре-
треугольную таблицу
1
1 + 2w + w2
(треугольник Паскаля). Определить сумму средних членов (набран-
(набранных в таблице жирным шрифтом) и вообще сумму членов любого
вертикального ряда.
21Э. Чему равны производящие функции полиномов Рп(х),
Рп (х), L^a) (x), определенных следующими формулами:
(полиномы Лежандра);
2. A-х)*(\-х)»№ Р)(х) = Щл?
(полиномы Якоби);

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 5, § 1	155
3. e-*x*I™ W = ^(rv+a)	(a>-
(обобщенные полиномы Лагерра).
(См. VI 84, VI 98, VI 99. Под производящей функцией поли-
полиномов Лежандра понимают ряд
сумму которого как функцию от х и w нужно определить. Ана-
Аналогично для остальных случаев.)
В следующих задачах будем пользоваться обычными обозначе-
обозначениями:
()	)
A*F (z) = A [AF (г)] = F (z + 2) - 2F (z + 1) + F (z),
A«F (z)=F (z + n) -
+ (n)F(z + n-2) -... + (- 1Г F (z),
220. Для F (z) = esz, где s — достаточно малое по модулю
постоянное число, имеют место следующие формулы:
2. F (z) =
= AF (z)~\ A2F B) + |A3F (г)- ... +(—1)»-11дя/
3.	,РB) = ^@) + ^() + ^()
...+^=^^)(п)+... [210].
4.	F(z) = F(O)+ 2 г2'г2-1г>'г2-^Г'г2-(в-"а1А^(-я) +
/!= 1
B/г—1I	2
[212, 216].

156	ЗАДАЧИ
221а Формулы 1, 2, 3 и 4 задачи 220 справедливы для любой
целой рациональной функции F (г) (в этом случае, конечно, ряды
обрываются).
222. Формулы 1, 2 задачи 220 справедливы также для любой
дробной рациональной функции F (г), если только вещественная
часть z превосходит вещественные части всех полюсов F (г),
расположенных на конечном расстоянии. При этом для справедли-
справедливости формулы 1 необходимо наложить еще то ограничение,
что F(г) регулярна в точках 2 = 0, 1, 2, 3, ...
Справедливы ли и формулы 3, 4 для дробных рациональных
функций?
В задачах 223—228 положено
223. При произвольных коэффициентах ak, k = 0, ±1,
±2,...,
?= — оо	k= — оо
224.	Пусть
F(z) = ao + a1z + a2z2+ ... -\-anzn-\- ...
Показать, что
гЬ F (тЬ)=
225.	Пусть
Показать, что
i F
\
где положено а-п — ап.
226. Для
F (г) = 2axz + 2a2z2 + 2a3z3 + ...
имеет место формула
— ]f'l +4Л	. ..,	Л2
где положено а_я = — а„.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 5, § 2	157
п= 1
228.	sin яг является однозначной функцией от w — z(l —г).
Показать, что все коэффициенты разложения sin яг по степеням
w (за исключением свободного члена) положительны [227].
229.	Показать, что
[dn{n-x);rcos%o>° <«=<>, 1.2,...).
§ 2. Вещественная часть степенного ряда
230.	Пусть функция
регулярна в круге |z|<#. Выразить коэффициенты аи <%, ...
..., ап, ... через вещественную, соответственно мнимую, часть
f(z) на окружности |z| = r, 0<г<Я.
231. (Продолжение.) Положим Щ (re1*) = U (г, ¦»). Если /@)
вещественно, то в круге | z | < г
2я
= r не
232. (Продолжение.) Если /(z) на окружности |z|
обращается в нуль, а в круге |z|<r имеет нули сх, с2, ..., с
то в этом круге
где у — некоторое вещественное постоянное число. [Получается
из 231 так же, как 120 из 119.]
233.	Пусть функция f (z) регулярна и имеет положительную
вещественную часть в открытом круге \z\<C.R и, кроме того,
непрерывна в замкнутом круге |z|s^#. Если вещественная часть
функции f(z) тождественно равна нулю на некоторой дуге гра-
граничной окружности, то мнимая часть f(z) на этой дуге монотонно
изменяется, а именно убывает при возрастании аргумента г.
234.	Пусть функция
f(z)=ao + aiz-\-... + anzn-\-...
регулярна в круге \г\ <R. Положим /(/-ew) = (/ (г, d) + tl/(r, ft),
где U (г, ¦&) я V (г, ¦&) вещественны. Тогда соотношение
2я	2я
(г, 0)]2<i0= J [V(r, 0)]2dft
о

158
ЗАДАЧИ
будет иметь место для всех г в интервале 0<ir<iR, если оно
удовлетворяется для г = 0.
235. Пусть функция
регулярна в круге |zj<l и имеет в нем положительную веще-
вещественную часть. Тогда
}ап\^1 (п=1, 2, 3, ...).
Ни в одном из этих неравенств нельзя заменить единицу мень-
меньшим числом.
236. Пусть функция
f (z) =ao + a1z + aiz2 -\-... + апгп +...
регулярна в круге \z\<iR, причем в этом круге Щ(z)<iA.
Тогда для всех г в интервале 0</-<# имеет место неравенство
Пример.
-, Я=1, Л = 0.
237. Пусть ряд Лорана
сходится в кольцеобразной области 0 < | г | < оо (шаровая поверх-
поверхность с изъятыми полюсами) и в точках г = 0 и г = оо имеет
существенные особенности. Обозначим максимум вещественной
части функции i|)(г) на окружности \г\ = г через Л (г). Тогда А (г)
при г—>-оо возрастает быстрее любой сколь угодно большой сте-
степени г, а при г ->• 0 — быстрее любой сколь угодно большой сте-
степени —. Более точно
In Л (i
lim
238. Пусть функция
ЫА(г)
	P
г
регулярна в круге \z\<.R. Обозначим через Д(/) наибольшее
колебание вещественной части /(г) в круге \z\<C.R, т. е. верх-
верхнюю грань для | Щ (Zj) - Щ (z2) | при \z1\<R, \z2\<R. Тогда
_2_
я

отдел третий, глава 5, § з	159
При этом постоянная — здесь не может быть заменена меньшей.
Какую геометрическую интерпретацию можно дать этой теореме?
239. Пусть функция
регулярна в круге \z\<iR. Обозначим через D(f) наибольшее
колебание f(г) в круге \z\<lR, т. е. верхнюю грань для
l/(Zi)-/(z2)| при \z1\<R, \z2\<R. Тогда
При этом -у не может быть заменена здесь меньшей постоянной.
Каков геометрический смысл этой теоремы?
240. Пусть функция f(z) подчинена следующим условиям:
1.	f(г) регулярна и \f(z)\^M в круге \z — s|sg:r.
2.	f (z) не обращается в нуль в замкнутом полукруге
|z-s|«sr, 91(z-s)SsO.
3.	f (z) в круге \z — s|ss-g-r имеет нули clt сг, ..., ct.
Тогда
i
со /' (s) _ 2 , М
[Можно принять, что s = 0; 232, 120.]
§ 3. Полюсы на границе круга сходимости
241.	Если степенной ряд имеет своим кругом сходимости
единичный круг, причем на границе этого круга лежат лишь
полюсы первого порядка (и нет никаких других особенностей),
то тогда последовательность коэффициента ограничена.
242.	Если на границе круга сходимости степенного ряда
оо
2 anzn лежит лишь одна особая точка z0, а именно полюс, то
«=о
тогда
1 111!		 ^О"
п-»со ал+1
со
243.	Пусть 2 ап^п — степенное разложение рациональной
/1=0
функции, знаменатель которой (предположенный взаимно простым
с числителем) имеет степень q. Пусть р будет радиус сходимости
и Ап — наибольшее из q чисел \ап\, \ап-х\, ..., \ап-д+1\. Тогда
lim Уа
(lim, а не lim sup!).

160	ЗАДАЧИ
244. Пусть vn —число не равных нулю из п чисел а0, av ...
..., а„_х. Если на границе круга сходимости степенной ряд
ао -\-aiz -\-агг2 -|- • • • + anZn + • • • имеет лишь полюсы (и никаких дру-
других особенностей), то число этих полюсов ^limsup—.
П—У СО ^1
Пример.
1 —2й
245» Пусть коэффициенты а0, аи ..., а„, ... степенного ряда"
ao + «1z + -..-\-anzn-\-... вещественны и на границе его круга
сходимости имеются лишь два полюса ре/сс.и ре'а @<!а<;я) и
никаких других особенностей. Обозначим число перемен знаков
в последовательности а0, ах, аг, ..., an-lt an через Vп. Тогда
lim ?п-=*-.	[VIII 14.1
Л
246» Если среди особых точек на границе круга сходимости
имеется хотя бы один полюс, то степенной ряд не может схо-
сходиться ни в одной граничной точке.
247. Если степенной ряд
сходящийся в единичном круге, представляет функцию, регуляр-
регулярную в точке z=l, то ряд Дирихле
(предполагаемый сходящимся для некоторых значений s) пред-
представляет целую функцию. Если / (г) имеет в точке г = 1 полюс
/г-го порядка, то D (s) представляет мероморфную функцию, полю-
полюсами которой могут служить лишь точки s= 1, 2, 3, ..., h (лишь
последняя необходимо будет полюсом), причем все полюсы —пер-
со
вого порядка. [Имеем D(s)T(s)= ^xs-1f(e~x)dx, см. II 117;
о
оо
интеграл §Xs ~х/(е~х) dx при р>0 представляет собой целую
о
функцию от s.]
§ 4. Тождественное обращение в нуль степенных рядов
248. Пусть числовая последовательность а0, alt a2, ..., ап,...
подчинена условию
i2^ = — h	(ft>0).
П
У П

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 5, § 4
Тогда ряд
Ф (s) = 2а0 + ах (е* + е-*) + а2 (e^s + ег
сходится в бесконечной полосе
плоскости s и притом абсолютно и равномерно в каждой внут-
внутренней полосе —/г + е^Швй^/г — е, е>0, и представляет в этой
бесконечной полосе аналитическую функцию O(s). Эта функция
может быть тождественно равна нулю лишь в том случае, если
все коэффициенты а0, alt а2, .;., ап, ... равны нулю. [Вычислить
О+ «00
1	С	'•¦ 0-us
^(«)=2НГ J O(s)-Vds @<a<h, u>0); 155.]
а — «со
249. Пусть степенной ряд
сходится внутри единичного круга, причем его значение вместе
со значениями всех его производных стремится к нулю, когДа z
приближается по вещественной оси к точке z = 1, т. е. lim /(n)(z) =
= 0, п = 0, 1, 2, ... Тогда либо
1)	f (z) тождественно равна нулю, т. е. а„ = 0, п = 0, 1, 2, ...,
либо
2)	2=1 есть особая точка функции /(г).
Если указанный степенной ряд сходится в некотором круге,
большем, чем единичный, т. е. если
hmsup—~-<0,
то необходимо имеет место случай 1). Вывести то же заключе-
заключение из более слабого предположения
У П
[Составить функцию O(s) задачи 248.]
250. Последнее утверждение задачи 249 уже несправедливо,
если на коэффициенты а0, ах, а2, ..., ап, ... ряда /(г) вместо
условия lim sup—L«_L<;0 наложено более слабое [условие
я»со
[Положить
со
f(z)=f\je-x*Xc°!ii"tsin()Psm\in)e-x<'1-!!'>dx; 153, II 222.]
о
о
6 Г. Пэлиа, Г. Cere, ч, I

162	ЗАДАЧИ
§ 5. Распространение сходимости
Нижеследующие примеры показывают, что у последователь-
последовательностей аналитических функций сходимость зачастую обладает
свойством своеобразной «заразительности».
251. Если ряд
сходится хотя бы в одной точке регулярности функции g(z), то
эта функция является целой и ряд сходится в каждой точке,
притом равномерно во всякой ограниченной области плоскости г.
252. Если последовательность
\g'(z)\, V\g"(z)\, .... V\gM(z)\, ...
ограничена хотя бы в одной точке, то g(z) является целой функ-
функцией и последовательность остается ограниченной во всех точках
плоскости z, причем всюду имеет один и тот же верхний предел.
253.	Пусть
о0, alt оа> • • • > ®п> • • • >
С0> С1> С2> • • • > Ся> • ¦ •
— две бесконечные числовые последовательности, из которых
вторая последовательность произвольна, а в первой ап Ф О, атфа„
для т, я = 0, 1, 2, ..., тфп, и ряд '
J_ + _L + JL+ +_L+
«О	«1	«2	'	вя ~ ¦ ' *
абсолютно сходится. Уравнениями
Qn (а0) = со, Qn Ю = Ci, .... Qn (an) = с„
однозначно определяется полином Qn (z) степени ^ п. Если после-
последовательность
Qo(z), Qi(z), Q*(z), ,.., Qn(z), ...
сходится хотя бы в одной точке, отличной от а0, ах, а2, ..., то
она сходится во всех точках z и притом- равномерно во всякой
ограниченной области плоскости z.
254.	Пусть
— произвольная бесконечная в обе стороны числовая последо-
последовательность и Q2n (z) — полином степени 2п, удовлетворяющий
условиям
Q..., Q2n@) = с0, ...

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 5, § 6	163
Если последовательность полиномов
Qo(z), QtB), Qt(z), •••- Qtn(z), ¦••
сходится хотя бы в двух различных нецелочисленных точках, то
она сходится в каждой точке z и притом равномерно во всякой
ограниченной области плоскости z.
255. Пусть даны произвольная числовая последовательность
со, съ С2. • • •. сп, ¦ ¦¦ и полином Qn (z) степени ==Sn, однозначно
определенный п +1 условиями
<Эя@)=*о. Q«(l) = q. QnB) = c2, .... Qf (п) = с„ [VI 76, VI 75].
Если последовательность
Qa(z). QiW, Q,(z)	Qn (г)
сходится хотя бы в одной точке, отличной от 2 = 0, то она схо-
сходится во всех точках z и притом равномерно во всякой ограни-
ограниченной области плоскости г.
256.	Пусть функции fo(z), fx{z), f2(z), ..., fn{z), ... в круге
¦< 1 регулярны, отличны от нуля и все по модулю меньше
единицы. Если lim /я@) = 0, то -lim fn(z) — O во всем круге
я-юо	л-*оо
|z|<l и притом равномерно во всяком внутреннем круге.
257.	Пусть гармонические функции
щ(х, у), их(х, у), и2(х, у), ..., ип(х, у), ...
регулярны и всюду положительны в некоторой области © пло-
плоскости х, у. Если ряд
ио(х, у) + и1(х, у)+.и2(х, у) + ... + иа(х, */) + ...
сходится хотя бы в одной точке области @, то он сходится во
всей этой области и притом равномерно в каждой ее ограни-
ограниченной замкнутой подобласти.
258.	Пусть функции /0(г), fr{z), /2(г), ..., fn{z), ...регу-
...регулярны в области ©,, причем вещественные части их в каждой
ограниченной замкнутой подобласти равномерно сходятся. Тогда
последовательность мнимых частей либо не сходится ни в одной
точке, либо равномерно сходится в каждой ограниченной замк-
замкнутой подобласти.
§ 6, Сходимость в разделенных областях
259.	Ряд
|
1+2 ^ A+2) A+2*) ~Г A+2)A+22)A+г*) Т
_,	!!	 I
~т A +г) A + 2^) A +2*) A +2') т'' •
6*

164	ЗАДАЧИ
равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей цели-
целиком внутри или целиком вне единичного круга, и имеет сум-
суммой z или 1, смотря по тому, будет ли |z|<l или |z|>l. [I 14.]
260. Ряд
'+2
-1 уПр- ПХ
a (aJrri)n-1xne
где а — произвольное постоянное число Ф О, равномерно сходится
для всех положительных значений х. В интервале 0 ==?: х ^ 1 он
представляет функцию еах, а в интервале 1 <х«<оо — от лич-
личную от нее аналитическую функцию.
261. Последовательность функций с общим членом
равномерно сходится в каждой ограниченной замкнутой области,
не содержащей точек мнимой оси.
262.	Пусть
Z
где
а>0, р>0, а + р = 1.
Последовательность «итерированных функций»
Ф(г), ф[ф(г)], ф{ф[ф(г)]}, ...
сходится к + 1 для 3ftz>0, сходится к —1 для 3f?2<0, нако-
наконец, расходится для Ш = 0.
§ 7. Порядок возрастания последовательностей полиномов
263.	Пусть z = rei(f и h (ф) — опорная функция неограничен-
неограниченной выпуклой области, рассмотренной в задаче 114. Показать,
что последовательность
УАг(г-1)(г-2)...(г-я+1)(г-я) ^rh(m , __ . „ „ ,
~\	с	\п~- *. *, о, . ..)
ограничена во всей полуплоскости Шг 5* 0 [12, II 220]; h (ф) является
наименьшей функцией угла ф, обладающей этим свойством.
264.	Пусть h (ф) — опорная функция выпуклой области
задачи 115; показать, что последовательность
z( 1 — ?1\( I — .1Л (i-.lL)P~rhW (п—\ 9 3	7 — rpi(f\
ограничена во всей плоскости [13, II 221]; h (ф) является наи-
наименьшей функцией угла ф, обладающей этим свойством.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 1	165
265. Пусть h (ф) — опорная функция выпуклой области за-
задачи 116. Показать, что во всей плоскости z выполняется нера-
неравенство
lV! (п=\, 2, 3	2 = гв'ф).
ГЛАВА 6
ПРИНЦИП МАКСИМУМА
§ 1. Различные формулировки принципа максимума
На основе принципа аналитического продолжения значения,
принимаемые аналитической функцией в различных частях ее
области существования, связаны между'собой теснейшим образом.
Нельзя изменить течение функции в одной, сколь угодно малой
части, чтобы вместе с этим не изменилось ее течение всюду. Мы
можем, таким образом, сравнить аналитическую функцию с орга-
организмом, отличительной особенностью которого является как раз
то, что воздействие на любую его часть вызывает солидарную
реакцию всего целого. Мы могли, например, сравнить продолже-
продолжение области сходимости [251—258] ? распространением инфекции
и т. д. Французский математик Борель сделал подобные срав-
сравнения предметом специальных; остроумных рассмотрений1). Мы
сейчас ознакомимся с тем, каким образом связаны между собой
модули значений, принимаемых функцией в различных областях.
Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<.R. Через М(г)
обозначают максимум ее модуля на окружности |z| = r, r<R.
266.	Максимум модуля / (z) во всем круге г \ ^ г равен
М(г).
267.	М (г) монотонно возрастает вместе с г, если только /(г)
не есть постоянная.
268.	Пусть функция / (г) регулярна в односвязной *) внеш-
внешней круговой области \z\>R. Обозначим через М(г) максимум
модуля /(г) на окружности \z\ = r, r>R. Тогда М(г) служит
также максимумом модуля / (z) для всей внешней круговой
области z^r, причем М(г) монотонно убывает вместе с г,
если только / (г) не есть постоянная.
269.	Пусть / (г) — полином п-тл. степени. Тогда
ri	гг
Равенство имеет место только для полиномов вида czn.
!) Ё. В orel Methodes et problemes de theorie des fonctions, Paris, Gau-
thier-Villars, 1922., Introduction.
*) То-есть f (z)' регулярна также в точке г = оо.

166	ЗАДАЧИ
270. Пусть / (z) — полином и-й степени, причем в веществен-
вещественном интервале —1 sgzsg 1
\f(z)\<,M.
Тогда при всяком z за пределами этого интервала
где а и Ь — полуоси эллипса с фокусами —1 и +1, проходящего
через точку г.
Что дает эта теорема при г->оо?
271. Пусть /(z) —полином n-й степени, Ех и Е2 — два софо-
кусных эллипса с полуосями аг, Ьх и а2, Ь2 (а1<а2, fe1<fe2)-
Тогда, обозначая максимумы \f(z)\ на ?-х и ?2 соотвественно
через Мх и М2, имеем:
мх	м2
Вывести отсюда теоремы 269, 270.
272.	Если аналитическая функция регулярна в замкнутом
круге и не приводится к постоянной, то ее модуль в центре
круга меньше арифметического среднего ее модулей на контуре.
273.	Если модуль аналитической функции сохраняет посто-
постоянное значение на целой области (например, на круге), то сама
функция является постоянной.
274.	Пусть функции ср (г) и я|) (z) регулярны в замкнутом
круге | г | «=? 1 и не обращаются в нуль в открытом круге | z \ < 1.
Пусть, кроме того, <р@) и я|) @) вещественны и положительны.
Если модули ф (г) и ty (г) на окружности | z | = 1 совпадают, то
тождественно ср (г) = г|> г).
275.	Пусть функция f (z) регулярна и однозначна внутри
некоторой замкнутой области 33 и • непрерывна во всех точках
ее границы. Пусть М есть максимум модуля f(z) на границе 33.
Тогда внутри области 23
1/B) |< М,
если только /(г) не есть постоянная. [Сильнее, чем 135.]
276.	Пусть С — внутренняя точка замкнутой области 58 и Ш —
совокупность тех граничных точек, расстояние которых от ? не
превышает р. Пусть, далее, на окружности радиуса р с центром
в точке ? имеется дуга, не принадлежащая к 33, длина которой
iSs-^-, где п — целое число. Показать, что если функция /(г)
регулярна и однозначна внутри и непрерывна во всех точках
границы области 33 и притом в точках Ш \f(z)\^a, а в остальных
граничных точках |/(г)|==^Л, а<Л, то имеет место неравенство

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 2	167
г-	п -1	2Я1"
Рассмотреть произведение JJ /[? + (г — ?) co~v], co = e", в надле-
L	v=o
жаще выбранной области.
277.	Пусть функция f (z) регулярна и ограничена в угле
О < arg г<«и непрерывна в точках вещественной оси, причем при
неограниченном возрастании х по положительным значениям
lim/ (x) = 0. Тогда
lim /(z)=0
j г | -> со
равномерно в каждом угле O^argz^a — e<a.
278.	Пусть аналитическая функция /(г) обладает следую-
следующими свойствами:
1)	/(г) регулярна во всех точках некоторой области @;
2)	/(г) однозначна в @;
3)	существует такое постоянное положительное число М, что,
какова бы ни была точка на границе © и сколь бы мало ни
было положительное е, всегда найдется такая окрестность рас-
рассматриваемой граничной точки, что для всех г, принадлежащих ©
и попадающих в указанную окрестность, выполняется неравенство
Тогда во всей области ©
и даже |/(г)|<УИ, если только /(г) не есть постоянная. [Точнее,
чем 275.]
279.	Пусть функция /(г) регулярна и ограничена в круге
| г | < 1, причем в некотором секторе a«cr&sc[},a<p> равномерно
lim/(re'*) = O.
Г-+ 1
Тогда / (г) == 0.
§ 2. Лемма Шварца
280.	Пусть в круге j z | < 1 функция / (г) регулярна и
| / (г) \ < 1. Если / @) = 0, то либо имеет место более сильное
неравенство |/(г)|<|2|, либо f(z) = e':az, где а вещественно.
281.	Пусть г = ф(?), ?41==т|)(?)— два однолистных отображения
единичного круга j t, j < 1 на области © и ф плоскостей z и ш,
причем центру круга ? = 0 соответствуют точки z = z0 и w = w0.
Пусть, далее, д и (; — замкнутые области, в которые переходит
при указанных отображениях круг |?|<;р, 0<р<1. Если w =
= / (z) есть регулярная в © аналитическая функция, значения
которой лежат в области Jp, причем / (г0) = w0, то эта функция / (г)
принимает в части д области © значения, лежащие в части \

168	ЗАДАЧИ
области <?>. Более того, эти значения лежат строго внутри f),
если только / (г) не совпадает с функцией, однолистно отобра-
отображающей & на Ь.
282. Пусть в круге | г | < 1 функция / (z) регулярна и | / (г) | <
< 1. Тогда
\f (г)-
Равенство может иметь место только для линейной функции вида
(а вещественно).
283* Пусть f (z) регулярна в круге \z\<zR. Обозначим через
А (г) максимум вещественной части / (г) в круге | z | ==с г, QR
Тогда имеет место неравенство
%J	gA(R) @<r<R),
где положено Hiii A{r) = A(R). [A (r) монотонно возрастает
вместе с г, 313.] Равенство имеет место только для линейной
функции вида
[
Rez
(а вещественно).
284. (Продолжение.) Для максимума модуля f(z) в круге
|г)==^г имеет место неравенство
285. Пусть в круге \z\<.R функция /(г) регулярна, отлична
от нуля и ограничена. Тогда
R-r	1r
@<r<R),
где положено lim M (r) = M (R).
r-*R-0
286. Пусть функции fx{z), /2(z), ..., fn{z), ... регулярны,
отличны от нуля и по модулю меньше единицы в круге |г|<1.
Если ряд
0
абсолютно сходится, то сходится также ряд
Ux W]2 + [/2B)]2 + ••• + [/«(г)]2 + ...
и притом абсолютно при | г | sg —.
287. Пусть в круге | z | < 1 функция / (г) регулярна и ее
вещественная часть положительна. Пусть, кроме того, /@) веще-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 2	169
ственно. Тогда
Равенство может иметь место только для функции вида
где w0 и а вещественны и w0 > 0.
288. Пусть в круге | z | < 1 функция / (г) регулярна и
IЩ (z) I < 1 • Если / @) = 0, то выполняется более сильное нера-
неравенство
Кроме того,
Равенство может иметь место только для функции
,, ч 2 . l+eta2
^z) = iHlnT=i^
(а вещественно).
289. Пусть /(г) регулярна в круге ]z\<.R и А — колебание
ее вещественной части в этом круге, следовательно, для \z1\<.R,
\\R
Тогда наибольшее колебание ее вещественной части во внутрен-
внутреннем круге |г |=??/\ r<R, подчинено неравенству
Для наибольшего колебания мнимой части в том же круге имеем
оценку
290. Обозначим через 3 неограниченную область плоскости z =
= x-{-iy, симметричную относительно вещественной оси, выделяе-
выделяемую неравенствами
где k (x) — положительная непрерывная функция, определенная
для х^О. Тогда существует положительная непрерывная функ-

170	ЗАДАЧИ
ция h(x), зависящая только от 3> обладающая следующим свой-
свойством: для всякой функции F (z), регулярной и ограниченной
снизу в области 3, l^(z)|>c, c>0, отношение
h(x)
остается ограниченным сверху при возрастании х по положитель-
положительным значениям до бесконечности. (Эта теорема особенно интересна
в том случае, когда k(x), монотонно убывая, стремится к нулю,
так что область 3 принимает «языкообразную» форму; в самом
деле, в то время как вдоль изолированно взятого луча аналити-
аналитическая функция может возрастать сколь угодно сильно (IV 180),
быстроте ее возрастания кладется определенный предел, поскольку
оно происходит на пространстве целой «языкообразной» области.
Этот результат можно несколько грубо выразить так: если ни одна
из точек поверхности модуля в области 3 не должна опускаться
ниже определенного уровня, то ни одна не сможет и слишком
высоко подняться.)
291.	Пусть функция / (z) в единичном круге |г|<1 регу-
регулярна и по модулю меньше единицы, пусть, далее, она регулярна
в точке 2=1, наконец, пусть /@) = 0, /A) = 1. Тогда /'A) ве-
вещественно и 3= 1.
292.	Пусть функция / (z) в единичном круге | z | < 1 регу-
регулярна и по модулю меньше единицы. Пусть, кроме того, f(z)
регулярна для г=1 и /A) = 1. Тогда /'A) вещественно и
293.	Пусть в верхней полуплоскости 3z>0 функция /(г)
регулярна и имеет положительную мнимую часть, 3/ (г) > 0.
Пусть, кроме того, / (г) регулярна в некоторой точке z = а ве-
вещественной оси, причем f(a) = b, где Ь вещественно. Тогда /' (а)
вещественно и положительно, и в верхней полуплоскости Зг > 0
выполняется неравенство
•° 6-/B) --¦o (в-гO'(а) '
294. Пусть в круге | z | < 1 функция / (z) регулярна, имеет
нули zu г2, ..., г„ и по модулю не превосходит М. Тогда в этом
круге выполняется более сильное неравенство
' — г, z — z2 г — гп
-zzz'"\—znz
М,
причем равенство может выполняться либо для всех'точек круга
г|<1, либо ни для одной. (Теорема 280 получается отсюда
как частный случай при л=1, zx = 0.)
295. Пусть в полуплоскости 3ftz>0 функция f(z) регулярна,
имеет нули zv za, ..., zn и удовлетворяет неравенству |/(z)|scM,

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 3	171
Тогда в этой полуплоскости имеет место более сильное неравенство
,—z~ г, —г г„ — г
М,
причем равенство может либо выполняться для всех точек ука-
указанной полуплоскости, либо не выполняться ни для одной.
296.	Функция, мероморфная в замкнутом круге и постоян-
постоянная по модулю на его границе, является рациональной, а именно
с точностью до постоянного множителя совпадает с произведением
дробно-линейных функций, отображающих рассматриваемый круг
на внутреннюю или внешнюю области единичной окружности.
297.	Если в круге | z < 1 функция / (z) регулярна и огра-
ограничена и обращается в нуль в точках zx, za, z3, ..., то тогда
либо ряд
(сумма расстояний- нулей до окружности единичного круга) —
сходящийся, либо / (г) == 0.
298.	Если в полуплоскости Шг > 0 функция / (г) регулярна
и ограничена и обращается в нуль в точках zlt z2, z8, ..., ле-
лежащих внутри этой полуплоскости, но вне единичного круга:
0izffl>0, |г„|>1, п=1, 2, 3, ..., то тогда либо ряд
Zx	Z2	23
•—сходящийся, либо /(г)=0.
§ 3. Теорема Адамара о трех кругах
299.	Сумма модулей нескольких аналитических функций
достигает св'оего максимума на границе. Более подробно: пусть
функции /x(z), /3(z), ..., fn(z) регулярны и однозначны в огра-
ограниченной замкнутой области S3. Тогда функция
непрерывная в этой области, на ее границе достигает максимума.
300.	(Продолжение.) Если функции fx(z), /2(z), ..., fn(z) не
все постоянны, то ф(г) достигает максимума строго на границе
области 33, т. е. значения ее внутри этой области будут по мо-
модулю меньше указанного максимума.
301.	Пусть в пространстве заданы п фиксированных точек Р1(
Р2, ..., Рп и переменная точка Р. Показать, что функция
точки Р
tp(P) = PP1-PPi...PPn
(PPV есть расстояние между Р и /\) в каждой ограниченной замк-
замкнутой области достигает максимума на границе. (Обобщение тео-
теоремы 137.)

I72	ЗАДАЧИ
302.	Пусть функции f1(z), /2(г), ..., fn(z) регулярны и
однозначны в ограниченной замкнутой области Ъ. Показать, что
функция
Ф (Z) = I к (Z) I + I /. (Z) Г2 + • • •+ I fn (Z) |Ч
где рг, р2> ..., рп — положительные числа, непрерывная в об-
области Ъ, достигает максимума на границе этой области и притом
только на границе, если функции /х(г), f2 (г), ..., /„ (z) не все
постоянные.
303.	Пусть функция f(z) регулярна в многосвязной ограни-
ограниченной замкнутой области *Ъ и, кроме того, |/(г)| [но не обяза-
обязательно /(г)!] является в 33 однозначной функцией. Тогда максимум
модуля / (z) достигается в одной из граничных точек области 8.
При этом, если f(z) не постоянная, максимум не может дости-
достигаться ни в какой внутренней точке.
304.	Пусть /(г) регулярна в круге \z\<.R. Показать, что
при 0 < гх < гг < r3 < R выполняется неравенство
Иными словами, изображая 1пУИ(г) как функцию от In r
в прямоугольной системе координат, мы получаем кривую, невог-
невогнутую снизу (теорема Адамара о трех кругах). [Исследовать
zaf(z), подобрав надлежащим образом а.]
305.	(Продолжение.) In M (г) является строго выпуклой
функцией от In г, если только / (z) не имеет вида aza, где а и
а — постоянные и а вещественно. Иными словами, лишь для
этого исключительного случая в неравенстве задачи 304 может
достигаться равенство.
306.	Пусть /(z) регулярна в круге \z\<.R и не имеет вида czn,
где с —постоянная. Показать, что функция
(арифметическое среднее квадрата модуля |/(г)|2 на окружности
\z\ = r, r<^R) монотонно возрастает вместе с г, причем 1п-/2(г)
является выпуклой функцией от In r.
307. Пусть f (z) регулярна в круге | z\ <CR- Показать, что
функция
2Я
± $1
©(/•) =
(геометрическое среднее модуля / (z) на окружности | г \ = г,
r<R) не убывает при возрастании г, причем In ©(г) есть невог-
невогнутая снизу функция от In г.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 4	173
308. Пусть f (z) не тождественно постоянна и регулярна
в круге \z\<C.R. Показать, что функция
2Я
монотонно возрастает при возрастании г, причем In / (г) есть не-
невогнутая снизу функция от In г. [299, 304.]
309. Отображение w = f(z), где f (z) не есть постоянная и
регулярна в круге \z\<.R, преобразует окружность | г | = г (г <CR)
плоскости г в некоторую кривую плоскости w с длиной /(^.По-
/(^.Показать, "что отношение -^- монотонно возрастает вместе с г.
310» Пусть / (z) не есть постоянная и регулярна в круге
z\<cR. Показать, что функция
где р — положительное число, монотонно возрастает вместе с г,
причем \nlp(r) есть невогнутая снизу функция от In г. (Ср. част-
частные случаи р = 2 и р = 1 и предельные случаи р = 0 и р — оо
в задачах 306, 308, 307, 267 и 304; аналогичный случай см. в IV 19.)
§ 4. Гармонические функции
311> Значения аналитической функции, регулярной в замкну-
замкнутом круге $, не могут быть вещественны во всех точках на гра-
границе этого круга, если только функция не приводится к по-
постоянной.
312а Если гармоническая функция регулярна в замкнутом
круге, то ее абсолютное значение в центре круга не превосходит
среднего арифметического ее абсолютных значений на границе.
Когда идоеет место равенство?
313.	Пусть гармоническая функция регулярна и однозначна
в некоторой ограниченной замкнутой области $3. Показать, что
она принимает как максимальное, так и минимальное значения
на границе 33 и притом только на границе, если не является
тождественно постоянной.
314.	Если гармоническая функция, регулярная и однознач-
однозначная в некоторой ограниченной замкнутой области 33, равна нулю
во всех граничных точках этой области, то она тождественно
равна нулю.
315« Описанное в решении 31 положение равновесия не-
неустойчиво.
316. Пусть гармоническая функция, не приводящаяся к по-
постоянной, однозначна в ограниченной замкнутой области S3.

174	задачи
Пусть, кроме того, она регулярна в этой области, за исключе-
исключением конечного числа точек, в которых обращается в — оо
(т. е. при приближении к этим точкам стремится к — оо). В та-
таком случае эта функция достигает максимума на границе.
31 /. Пусть функция / (z) регулярна в круге | z \ s^R и отобра-
отображает его на некоторую область плоскости w, граница которой
звездообразна относительно точки а> = 0. Пусть, кроме того,
/@) = 0. Тогда и образы концентрических окружностей \z\ = r,
r<LR будут звездообразны относительно а> = 0.
318.	Пусть функция / (г) регулярна в круге | z \ sg R и отобра-
отображает его на некоторую выпуклую область плоскости w. Тогда
каждая окружность, лежащая внутри круга \z\<lR, отображается
в выпуклую кривую.
319.	Пусть
Ui(x, у), щ(х, у), ..., ип(х, у) {z = x+iy)
— произвольные гармонические функции, регулярные и однознач-
однозначные в некоторой ограниченной замкнутой области S3. Показать,
что функция
«i.(*. «OI + IM*. у)\ + ... + \ип(х, у)\,
непрерывная в 23, достигает максимума на границе этой области.
320.	Пусть А (г) — максимум, принимаемый на окружности
|zj = r гармонической функцией, регулярной в круге \z\<C.R
(r<.R). Показать, что при 0<С гг <i r2 <L r3 <C R выполняется не-
неравенство
иными словами, что А (г) есть невогнутая снизу функция от In г.
321.	Вывести теорему Адамара о трех кругах C04) из тео-
теоремы 320 и обратно 320 из теоремы Адамара о трех кругах.
§ 5. Метод Фрагмена и Линделёфа
322.	Пусть функция f(z) регулярна в угловой области
— а^^^а (г = ге'°) с заданным а, 0<а<у. Пусть, кроме
того:
1) существуют такие две положительные постоянные А и В,
что в указанном угле — a«?$==sa выполняется неравенство
2) на границе угла (т. е. вдоль лучей ¦& = — а и Ф = а) вы-
выполняется неравенство
1/BI^1-
Тогда | / (г) | < 1 во всем угле.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 5	175
Доказательство. Пусть к — фиксированное число, удов-
удовлетворяющее неравенствам 1 <А, < =--• Рассмотрим функцию срав-
сравнения ег', где имеется в виду та ветвь z\ для которой положи-
положительным z соответствуют положительные значения z%. Эта функция
регулярна во всем замкнутом угле, за исключением точки 2 = 0,
где, однако, она непрерывна. На обоих крайних лучах, т. е. для
Ь = — а и Ь = а, имеем:
[ pz** 	РЛ cos Яа —¦-. 1
так как 0 <^hx<i-:w. На дуге окружности |z| = r, — a^'frsga,
имеем:
I gp* I _ gr^ cos M j> gr^ cos Aa#
(Функция сравнения е* почти удовлетворяет предположениям
теоремы, не подходя, однако, под ее утверждение. Предполо-
Предположим,—что запрещено, — что А,= 1 или Х="—; в первом из этих
недозволенных предельных случаев выполнялось бы предположе-
предположение 1), во втором — предположение 2), однако ни водном случае
оба предположения не выполняются одновременно и ни в одном
случае функция ez не будет ограничена в рассматриваемом угле.)
Рассмотрим теперь функцию / (z) e-tzX, где е — положительное
число, в некоторой фиксированной точке z0, лежащей внутри
угла. Заключим эту точку в круговой сектор, ограниченный лу-
лучами-ft =— а, Ф = а и отсекаемой ими дугой окружности \z | = r,
где
_i
2В \^ГТ ^ In Л
) > г-> в •
На прямолинейной части границы сектора имеем согласно пред-
предположению 2)
| / (г) <гЁгА | < 1 • е-гг% c
На дуге | z | = г сектора вследствие предположения 1) и неравенств
ггх cos Ясс > 2Вг, еВг>А имеем:
1 f (v\ р~ъг I <--' АаВгр-Ег*'cos Ла <---- йр—Вг <^- 1
Следовательно, по принципу максимума также во внутренней
точке z0 сектора
Так как это неравенство справедливо для любого сколь угодно
малого положительного е, то теорема 322 доказана.
323. Утверждение предыдущей теоремы, а именно, что
|/(z)|sgl во всем угле, сохраняет силу, если предположение 1)

176	ЗАДАЧИ
заменить следующим, более слабым: требуется, чтобы неравенство
выполнялось не во всем угле, а лишь на заключенных в этом
угле дугах окружностей \z\ = rx, |z| = r2, ..., \z\ = rn, ..., где
lim rn = сю. Какими более общими кривыми можно заменить эти
п —> оо
круговые дуги?
324. Пусть предположение 2) задачи 322 изменено следую-
следующим образом: требуется, чтобы внутри угла — а^ •& =g;а сущест-
существовали две выходящие из начала и в дальнейшем не пересекаю-
пересекающиеся кривые Гх и Г2, простирающиеся в бесконечность, вдоль
|/()|1 Т	1)
О
которых |/|
равенство |/(z)
й
2 рр
. Тогда при сохранении предположения 1) не-
нер	|/)l выполняется также во всей области, заклю-
заключенной между 1\ и Г2.
325. Пусть функция / (г) регулярна в полуплоскости Шг
и удовлетворяет следующим" трем условиям:
1) существуют две такие положительные постоянные Л, В, что
во всей полуплоскости
2) для
з;
1. I/(-»>) 1^1;
lim sup
In | / (г)
;0.
Тогда во всей полуплоскости Ш
Доказательство. При доказательстве теоремы 322 мы
применили принцип максимума, введя один переменный параметр
(число е); теперь введем два параметра. Функция \f(r)\e~w
(г}>-0) переменного г при г->со стремится согласно условию 3)
к нулю. Следовательно, она достигает своего максимума — обозна-
обозначим его через F.q — B некоторой точке r0 (roS&0). Если /"„ = 0, то
согласно условию 2) Fy, sg: I. Выберем некоторое фиксированное
/	3 \
число X, 1<А,<2 (например, ^ = у). и рассмотрим аналитиче-
аналитическую функцию
iXst
f(z)erv
(е>0) в квадранте 0 «ей <у- (Ветвь2хопределяется, какв 322.)
Тогда в указанном квадранте
дх-т
cos

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 5	177
Отсюда на основании условий 1), 2), 3) тем же способом, как и
при доказательстве теоремы 322 (е->0), заключаем, что в квад-
квадранте 0 =sg •& sg -g- модуль / (z) е~пг не превосходит большего из
чисел 1 и Fn. Но то же можно доказать и для квадранта
—--s-^fl'^O- Мы утверждаем теперь, что Fn ^ 1. Действительно,
если бы было Fn > 1, то во всей полуплоскости мы имели бы
I f (г) e^z j «? F,,, а в некоторой точке z = г0 > 0 вещественной оси
было бы \f(ro)e-^r«\ = Fn (см. выше). Но этого не может быть,
так как максимум не может достигаться во внутренней точке
z = г0. Таким образом, остается лишь одна возможность Fn^l.
В соединении е предыдущим это дает, что во всей полуплоскости
3t0
Так как. это неравенство выполняется для всех ri > 0, то тем
самым теорема доказана.
Заметим еще, что в условии 3) положительную вещественную
ось можно было бы заменить любым лучом, выходящим из
2 = 0 и лежащим в полуплоскости Шг5*0. Каждый такой луч
делит полуплоскость на два угла, оба с раствором меньше я,
а только это и существенно [322, также 330].
326. Пусть функция f (z) регулярна в полуплоскости Шг ЗэО
и удовлетворяет следующим условиям:
1)	существуют две такие положительные постоянные А и В,
что во всей полуплоскости
\f(z)\<AeB\*\;
2)	при O
3) существует такой угол а, —д~ < а < у, что
,. In | / (reia) |
lim ' —— = — oo.
r
n -» + oo
Показать, что такая функция должна быть тождественно равна
нулю. [Рассмотреть eazf(z), co>0.]
327. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Шг Зэ0
и удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют две такие положительные постоянные А и В,
что во всей полуплоскости
2) существуют две такие положительные постоянные Сиу.
что для Q

178	ЗАДАЧИ
Показать, что такая функция должна быть тождественно равна
нулю. [Рассмотреть /(г)е~Рг1п (г+''.]
328. Функция sin яг является наименьшей из класса аналити-
аналитических в полуплоскости ЙЯг^гО и обращающихся в нуль в точках
2 = 0, 1, 2, 3, ... Точнее говоря, имеет место следующая теорема:
Пусть функция / (г) — аналитическая в полуплоскости $йг ^= О
и удовлетворяет следующим условиям:
1) существуют две такие положительные постоянные А я В,
что для ШгЗэО
2)	существуют две такие положительные постоянные Сиу.
что для г^О
\f(±ir)\^Ce^~y)r;
3)	/@) = /A)=/B) = ... = /(«) = ... = 0.
Тогда / (г) = 0.
329. Пусть ю (х) — положительная функция положительной
переменной х, возрастающая с возрастанием х и вместе с х стре-
стремящаяся к бесконечности. Показать, что не существует функ-
функции /(г), регулярной в полуплоскости ЭЧг^0 и удовлетворяющей
во всех точках этой полуплоскости неравенству
330. Пусть функция /(г) регулярна во всех конечных точ-
точках угла asgftsgp и | / (г) j sg 1 на лучах ¦б1 = а и 0 = р. Пусть,
кроме того, существует такая положительная постоянная б, что
выражение
ехр V—
ограничено в угле asgft^p.
Тогда во всякой внутренней точке этого угла
|/(г)|*=:1.
Взять в качестве функции сравнения exp\zP~a /.]
331> Пусть /(г) регулярна в угле а^дйср. Пусть, кроме
того, |/B)|^1 на крайних лучах Ф = а и Ф = р, и для каждого
е > 0 можно найти такое г0, что для всех г > г0 в нашем угле
выполняется неравенство
Тогда, сверх того, во всем угле
|/B) |< 1.
[Применить метод доказательства теоремы 325.]

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ, ГЛАВА 6, § 5	179
332.	Пусть g (z) — целая функция и М(г) — максимум модуля
g (г) на окружности | г | = г. Если
lim XnMSr) =0,
r-*co V Г
то g (г) не ограничена ни на каком луче. [В частности, также
на отрицательной вещественной осн.]
333.	Пусть функция /(г) не есть постоянная и регулярна
в полуполосе ©, определяемой неравенствами
(z = x-\-iy). Если существуют две такие постоянные А ий (Л>0,
0<а<<1), что в полуполосе © выполняется неравенство
и если, кроме того, на границе © (т. е. для х = 0, —
и для х ^ О, у = ± —
то внутри полосы ©
[Функция сравнения вида ее .]
334. Пусть (о(х) обладает теми же свойствами, что и в за-
задаче 329. Показать, что каждая функция f{z), регулярная в полу-
полуполосе
(z — x-\-iy), должна по крайней мере в одной точке z = x-\-iy
этрй полуполосы удовлетворять неравенству
335. Пусть в задаче 278 условия, с одной стороны, ослаб-
ослаблены требованием, чтобы предположение 3) выполнялось не во
всех без исключения граничных точках области @, а с возмож-
возможным исключением конечного числа их zv гг, ..., zn, но, с дру-
другой стороны, усилены требованием существования такого поло-
положительного числа М', чтобы во всех внутренних точках области ©
выполнялось неравенство
(Интерес представляет лишь случай М' > М.) Показать, что при
этих измененных условиях утверждение теоремы 278 \f(z)\^M,
соответственно |/(z)|<yW, остается в силе. [В случае, когда ©
содержит бесконечно удаленную точку, а все граничные точки

180	ЗАДАЧИ
области (В лежат в круге | г \ <С г, рассмотреть в качестве функ-
п
ции сравнения Br)"JJ (z — zv)~l.'\
v=l
336. Пусть замкнутая область 23 расположена в полупло-
полуплоскости 32 S* 0, причем та часть ее границы, которая лежит на
вещественной оси, состоит из конечного числа отрезков. Обозна-
Обозначим через Q сумму углов, под которыми видны эти отрезки из
внутренней точки ?. Если f(z) регулярна и однозначна внутри
области 23 и непрерывна на ее границе и если в вещественных
граничных точках \f(z)\^A, а в остальных граничных точках
|/(z)|«?o, 0<а<Л, то тогда
1	t57]
337.	Пусть функция /(г) регулярна в той части римановой
поверхности функции In z, которая лежит над круговым кольцом
0<C|z|sgl. Если f (z) ограничена в этом кольце и, в частности,
|/ (z) | *? 1 на окружности | z | = 1, то и во всем кольце | / (z) | sg 1.
338.	Пусть g (z) — целая функция, не равная тождественно
постоянной, и © — область, на границе которой (точнее: в гра-
граничных точках, отличных от z = oo) \g(z)\ — k, а во внутренних
точках \g(z)\>k, й>0. Тогда @ необходимо содержит в каче-
качестве граничной точки z = co и g (г) не ограничена в @.
339.	Пусть 1\ и Г2 —две непрерывные кривые, исходящие
из некоторой общей начальной точки и простирающиеся в беско-
бесконечность, ограничивая вместе с точкой z = оо некоторую область
(например, два луча, ограничивающие угол), причем эта область
не имеет общих точек с отрицательной вещественной осью.
Пусть функция / (z) регулярна на 1\, Г2 и в заключенной между
ними области. Пусть, кроме того, lim/(z) = 0, когда z-^-сю вдоль
Гг или Г2. Если / (г) ограничена в области между 1\ и Г2, то
тогда lim/(z) = 0, когда г->оо по этой области.
[Рассмотреть -j^—jf (г)]
340.	Пусть 1\ и Г2 — кривые задачи 339. Если /(г) регу-
регулярна и ограничена в области между 1\ и Г2 и если, кроме того,
lim/(z) = a, когда г->оо вдоль Тъ и \imf(z) = b, когда
вдоль Г2, то тогда а = Ь.
[Рассмотреть (/(,,_?+*)•_(?=*.)•.]

РЕШЕНИЯ
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. [См., например, W. Ahrens, Altes und Neues aus der
Unterhaltungsmathematik, стр. 34—40, Berlin, Julius Springer, 1918.]
'"" =^o« 12].
x(l+C2
0 i ?*2O |_ J-30 i_
l
Чтобы получить числовой результат, располагаем нужные члены
разложений
A - S50)-1. A - S50) A - С20), A - С50)-1 A - С20)'1 A - С10), • • •
в виде таблицы.
3.	108=В8 [4].
4.	Число представлений числа п в виде суммы s слагаемых
(с учетом их порядка), из которых каждое может принимать одно
из четырех значений 1, 2, 3, 4, равно коэффициенту при ?" в раз-
разложении выражения
Поэтому имеем:
л— 1
Для вычисления В„ пользуемся рекуррентной формулой

182	решения
вытекающей как из последнего результата, так и из самого смысла
величин Вп.
5.	4 = С78 [7].
6.	20 = D78 [8].
' 99
7.	2 № = 0 + О2 A+ V) A + С5) A + ?10J A + ?м) A + С60).
п = —99
х a io+
9. [См. Euler, Introductio in Analysin infinitorum*), гл. 16,
De partitione numerorum; Opera Omnia, Серия 1, т. 8, стр. 313—
338, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1922; далее, например,
W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und Spiele, 2-е изда-
издание, т. 1, стр. 88—98, т. 2, стр. 329, Leipzig, В. G. Teubner,
1910, 1918.] «Задача на размен денег»:
со
	 V А гп
сво~-е„ ¦"
Здесь Ап дает число решений диофантова уравнения
в неотрицательных целых числах.
«Задача на почтовые марки»:
1
Первая «задача на взвешивание» (все разновески на одной
чашке весов):
Вторая «задача на взвешивание» (можно пользоваться обеими
чашками весов):
п — — со
10. Задача равносильна следующей: из р гирь весом в единицу
каждая (однако отличающихся одна от другой, скажем, формой)
составить различными способами вес в п единиц, пользуясь при
этом одной чашкой весов. Согласно 9 искомое число Сп равно
*) Имеется русский перевод: Леонард Эйлер, Введение в анализ
бесконечно малых, ОНТИ, 1936.

. ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	183
коэффициенту при ?" в биномиальном разложении
(
т. е. равно
п!(р — п)\ '
11. Задача равносильна следующей: некто имеет монеты р раз-
различных лет чеканки; сколькими способами он может отсчитать
п монет? Согласно 9 искомое число равно Л„, коэффициенту при
?" в разложении	-	.
т. е. равно
р(р+1) ... (р-\-п— 1) _ I р-\-п — 1
~	1-2 ... я	=^ р —1
12.	Согласно 11 искомое число равно
+ (я-р)-1 \ _ ! п-\
р-\ ) — [р-\
Можно было бы также непосредственно рассмотреть (? + ?2+ ...)р.
13.	Тождественно с 11. Можно было бы также рассмотреть
р-кратный ряд
„VI V2
Ху Х-2
р
V	VV1 V2
v2, .... vp = 0, 1, 2, 3,
в котором затем положить все х1г х2, ..., хр равными ?.
14. Согласно первой «задаче на взвешивание» [задача 9, рас-
распространенная на бесконечное множество гирь] речь идет о
См. также 16, 17.
15. (?"х+
5-3
3"+i —1
где N = —^—.
16.	an = qE", где Еп обозначает число единиц в представлении
числа п по двоичной системе.
17.	[Е. Catalan, задача; Nouv. Corresp. Math., т. 6, стр. 143,
1880. Решение —Е. Cesar о, там же, стр. 276.] Интересующий

184	РЕШЕНИЯ
нас ряд может быть получен из
если положить ?=1. При определении знака можно положить
a = b = c = d—...=1. Тогда искомый знак будет согласно 16
равен (— 1)?», где через Еп обозначено число единиц в представ-
представлении числа п по двоичной системе.
Эта задача н е заключается в 9. Она может быть перефразирована
следующим образом: имеем в первой коробке гири в 1, 2, 3, ..., 9
единиц веса, во второй —в 10, 20, 30, ..., 90 и т. д. Сколькими
способами можно составить из этих гирь, пользуясь одной лишь
чашкой весов, заданный вес, беря из каждой коробки не более
чем по одной гире?
19. [Euler, 1. с. 9.J
Первое решение. Согласно решению 14
A+т A+v°) A+с20) A+?40)
и т. д.
Второе решение. Произведение
не меняется при замене ? на ?2, ибо
I _ ?*д-а == A +12"-1)
Следовательно [| ? J < 1],
2О> [Euler, 1. с. 9.] Опираемся на смысл коэффициентов
функций в 19. Результат означает, что первая задача на взвеши-
взвешивание со всеми целыми положительными числами в качестве весов
гирь допускает ровно столько решений, сколько задача на раз-
размен денег, где в качестве нарицательных стоимостей монет служат
все нечетные числа.
21. Если мы отбросим ограничение «меньших», т. е. допустим
еще представление п — п, то будем иметь перед собой «задачу на
почтовые марки» [9]. Искомое число равно коэффициенту при ?"
в разложении

ОТДЕЛ' ПЕРВЫЙ	185
или
€3+ ... +2" *?«+ ...
22. [Е. Catalan, задача; Mathesis, т. 2, стр. 158, 1882.
Решение — Е. Cesar о, там же, т. 3, стр. 87, 1883.] Искомое
число равно коэффициенту при ?" в разложении
+
A -0A -С3) + A-?)(!-С3) + О-С8) О-С4)
С0-E) U-C
23. [Е. Catalan, Nouv. Ann., серия 3, т. 1, стр. 528, 1882.
Решение —Е. Cesar о, там же, серия 3, т. 2, стр. 380, 1883.]
Искомое число равно коэффициенту при t,nJl в разложении
со
_ __!_ у r^i ( '
0
оо
l-Sv"
Имеем:
V=l
где т (v) обозначает количество делителей числа v [VIII 74].
24. [Е. Cesar о, задача; Mathesis, т. 2, стр. 208, 1882.]
Речь идет о свободном (т. е. не зависящем от Q члене выражения
f-v2 — (av +1) n
1
I [I T2V+1 4- Г2 BV+1) 1	Л

186	РЕШЕНИЯ
Следовательно, достаточно показать, что при ?s=l свободный
член в сумме
оо	со
2
|_
V = ]	V — I
равен единице. Но Bv+l)fe, соответственно Bv—-\)k, будет
тогда и только тогда кратным v2, когда k делится на v2. Поэтому
свободный член в сумме, стоящей в правой части, равен нулю,
чем и доказана справедливость утверждения задачи.
25. [См. G. H. Hardy, Some famous problems of the theory
of numbers and in particular Waring's problem, стр. 9, 10,
Oxford, 1920.] «Задача на размен денег» [9]. Полагаем со = е 3 ;
тогда
	1
1	. *1	. 17 , 1 ,	1	,	1
~ «Л—Г\з TifiraT
4A-уа "Г 72A-?) ^8A+?) ' 9 A -со?) ^ 9 A -
Имеем:
JL
¦ к cos -
1
72'
72 ' 8 ~ 9 ^ 3
26.	[Теорема P. Paoli; см. Intermed. desmath.,T. 1, стр. 247—
248; Ch. Hermite, задача; Nouv. Ann., серия 1, т. 17, стр. 32,
1858. Решение—L. Rassicod, там же, серия 1, т. 17, стр. 126—
130. 1858.] Доказывается труднее рассмотрениями типа 25 или
.27 и легче на основании теоретико-числовых соображений. [Полезно
также использовать VIII 7.]
27.	[См. Laguerre, Oeuvres, т. 1, стр. 218—220, Paris,
Gauthier-Villars, 1898.] Разложением на простейшие дроби, подоб-
подобным проведенному в 25, получаем для
со
«главный член»
1	1
.. аг A— II "
Так как аъ а2, ..., щ не имеют общего делителя, то знаменатели
остальных членов будут самое большее степени 1-Х. Отсюда
[решение Ш 242] и вытекает утверждение. См. 28. Следует заме-
заметить также, что /-мерная область, выделенная неравенствами
п,

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	187
имеет /-мерный объем
1 п п	п
l\ ai a2	ui
И
Ап~ dn[l\ а, а2 ¦¦¦^Г)-
28.	Полагаем в 11, соответственно 12, р = 3.
29.	Пусть k — целое неотрицательное. Число решений урав-
уравнения
I *i I + \Ч I + • • • +1 хР I = k
равно коэффициенту ак при t,k в разложении
со
(l + 2S + 2?3 + 2?3 +...У = (i±if= У aA?ft.
Следовательно, искомое число будет равно коэффициенту
при ?га в разложении
т. е. равно
30. G. Polya, Math. Ann., т. 74, стр. 204, 1913]. Искомое
число равно сумме коэффициентов при ?~s, ?~s+1, ..., 1, ..., t,^1,
tf в разложении
Имеем вообще
2Я / k
. 2/Л+1
S1"
2 sv==
- 2
31. [Cm. Ch. Hermite, задача; Nouv. Ann., серия 2, т. 7,
стр 335, 1868. Решение —V. Schlegel, там же, серия 2, т. 8,
стр. 91, 1869.] Так как z = n — x — у, то
п, х>0, г/>0;

188	РЕШЕНИЯ
далее,
Отсюда следует, что искомое число равно числу решений
неравенств
| Jy, у>0, х + у<п.
32. Сравнением средних коэффициентов в тождестве
33< Сравнением средних коэффициентов в тождестве
(l+zJ"(l-zJre = (l -z2J".
34. Ясно.
35.	Так как xVk = hnn\\h \, то 2d~nT~ z" = A +hz)k •
Применяем 34.
36.	См. 35.
37.	Дифференцируем тождество
и полагаем х= 1.
38. [Задача из Ed. Times, см. Mathesis, серия 2, т. 1, стр. 104,
1891. Решение—Greenstreet и др., там же, стр. 236.] Рас-
Рассматриваемое выражение равно
39. Общий член суммы, стоящей в левой части равенства,
служит коэффициентом при х2п+1 в уA +2л:)'!+'!+1 (—л:2)""*. Сле-
Следовательно, дело сводится к вычислению коэффициента при x2nJrl
в сумме
или, иначе, в степенном ряде для выражения
уA+2хJ"+2A+^)-2.
Производя деление, получаем в качестве частного полином 2п-й

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	189
степени и в качестве остатка у [1 — Bft + 2) Bх + 2)]. Коэффициент
при	^^
40. Разбиваем предложенную сумму на три части сообразно
формуле
(v - паJ = ft2a2 - Bna - 1) v + v (v - 1).
Из формулы
2
V=0
и двух других, получающихся из нее последовательным диффе-
дифференцированием по р, получаем, полагая р — х, q= 1 — х, значения
указанных трех частей. См. II 144.
41. Достаточно взять, в частности,
и ft 5= р- Тогда
n	n
yf"UV ,;n! „ У
imi \Vj\pj	p\(n — p)\ h—
v-p
V=p	V~p
n	'	n
n!
)
= |
р!(я-р)!
V=p	V=p
О, если ft>p,
(—1)", если п = р.
42.	Частный случай задачи 40 при х=а = у; также частный
случай задачи 41 при
Ф (х) — Bх — ftJ = п2 — 4xft + 4л:2 = ft2 — 4 (ft — 1) д: + 4л: (л:— 1),
^(х) = п2 — 2(п—\)х-\-х(х—\).
Имеем г|з (п) = п.
43.	Частный случай задачи 41 при ф (х) = Bх—пJ [42]. Имеем
а„ = 0 при «^=2 и ап = 4 при ft = 2.
44.	Пусть
/ \Х) = C/j (a X-^j [X Л2/ • • • \Х Xnj.
Имеем:
45. [G. Darboux, задача; Nouv. Ann., серия 2, т. 7, стр. 138,
1868.] Имеем [44]: ^ -^г г* = / (z ~)е* = е^ (z), Где g (z) - цело-
численный полином.

190	РЕШЕНИЯ
46. [Gesaro, стр. 872*)]. Из рекуррентной формулы
/л+1 (г) = г [f'n (z) A - z) + (п+ 1) f» WJ
получаем для коэффициентов полинома fn (z) = a^z + «?n)z2 + • • •
z" соотношение
(v=l, 2, ....
fl(n)=arn)]=0.
Отсюда следует утверждение задачи, если принять во внимание,
что /i(z) = z. Значение для /пA) получается из соотношения
47. [См. N. Н. Abel, Oeuvres, т. 2, Nouvelleedition, стр. 14,
Christiania, Grendahl & Son, 1881.] Если g (x) = const., то утвер-
утверждение задачи вытекает из 44. Если оно справедливо для поли-
полиномов низшей степени, чем g(x), то полагаем:
g(x) = (x-x1)g1(x).
Имеем:
Указанное дифференциальное уравнение разрешимо в квадра-
квадратурах, ибо разрешимо в квадратурах уравнение
z А _ х) у = zt)' _ хоу = (р (z).
dz /
48. Согласно 44 обе части равны
49. Положить в 48
50. Из функционального уравнения сравнением коэффициентов
при zn в обеих частях получаем:
An(qn-\) = Anlq" (п = 1, 2, 3, ...; Ло=1),
откуда	«(«+D
2
*) Ч е з а р о, ч. 2, стр. 467.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
191
51. Из функционального уравнения задачи 50 получаем:
Bn(l-q") = Bn_iq (Л=1, 2, 3, ...; Яо = 1),
В=	(Л1 А 3 )
52. [Ch. Biehler; см. Р. Ар ре 11 et E. L а со u r, Principes
de la theorie des fonctions elliptiques et applications, стр. 398, Paris,
Gauthier-Villars, 1897.] Обозначим рассматриваемое выражение
через ф„(г). Имеем:
1 L Фп + l
Отсюда
следовательно,
Г ( q '( q '"'( q ' ay2 (v = 0 I	n—\)
53.	[Jacob i, Fundamenta nova theoriae functionum elliptl-
carum, § 64, Werke, т. 1, стр. 234, Berlin, G. Reimer, 1881.]
Предельным переходом при я->-оо из 52. [181.]
54.	[Euler, Commentationes arithmeticae, т. 1; Opera Omnia,
серия 1, т. 2, стр. 249—250, Leipzig und Berlin, В. G. Teubner,
1915.] Частный случай задачи 53 при г = — q2 и с заменой ^
з
на <72.
55.	[Gauss, Summatio quarumdam serierum singularium,
Werke, т. 2, стр. 9—45, Gottingen, Ges. d. Wiss., 1863]. Частный
2	1
случай задачи 53 при z = q2 и с заменой q на q2; применяем 19.
56.	[Jacobi, 1. с. 53, §66; Werke, т. 1, стр. 237.] Полагаем
в 53 z = —1 и принимаем во внимание 19.
57.	Положим ап = — qnz. Тогда
1 + G (г) - G (qz) =
+ а3 A +ях) A
= A +fll) A +a2)
и т. д.

192	РЕШЕНИЯ
58. Имеем:
Принимая во внимание 50 и 57, получаем:
со
G(z)-G(<7z)-= 2 А^
п= 1
G(</z)-G(<78z)= 2
откуда, складывая т первых уравнений и затем безгранично
увеличивая т, находим:
л=1
59> Имеем G(l) —0. Из функционального уравнения 57 по-
посредством полной индукции получаем:
п
Положим A — q)n = y, 1 —~==<?; из равенства
п
1
фиксируя у, получаем при /г->оо, т. е. при q->\,
L.(i_e»)* = _4,.	[181.]
60> Для справедливости формулы
оо	со
Л1 1	BгJ" _
п=0
необходимо (сравнение коэффициентов при г2"), чтобы
п
4-А\	1
2А+1 \n — kj 2и+1 "

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	193
Имеем:
2я + 1 (	_
\n — k)~\ 2k+\
Применяем 39. И без употребления степенных рядов очевидно из
формулы
61.	Из определения; для произведения принять во внимание 34.
62.	Если aL, а2, ..., ап положительны, то
г (V=l, 2,..., л).
На основании теоремы 61
(\+aiz)(l+a2z) ...	(++
Полагаем теперь cu=Oi = ... = an = — .
63. Из Л(г)<Р(г) вытекает
Z	2
^ Л (г) dz < \ Р (z) dz и
о	о
Основываясь на этом, из
/'(г) 1 ^ 2
/(г) 2 ^ 1-г
выводим:
1п-^-<1п , ' . . ¦^-<-7г-^-
64. а) Из комбинаторного смысла определенных в 9 величин
вытекает, что
0^С„<Л„<В„.
б) Первую половину утверждения выводим, перемножая соот-
соотношения
для a = a!, a2. •••¦ a/ f61J.
Вторая половина получается посредством перемножения соот-
соотношений
1— га'п
7 Г. Полна, Г. Cere, ч. I

194	решения
при т = 2, 3, ..., /, что дает:
Умножаем дальше обе части получившегося соотношения на
	1
A_Л)A-2а*)...A-га0'	.
65.	Ясно.
66.	Пусть sn = 0 для пф\ и sv == 1; тогда tn — pnv для пSsv.
Если и для этой специальной последовательности lim ^„ = limsn,
п->со	п—>со
то lim pnv = 0; условие, таким образом, необходимо. Пусть, с дру*
л—* со
гой стороны, это условие выполнено. Выберем такое ./V, чтобы
для всех n>N выполнялось неравенство | sn — s | ¦<-s-» где б —
некоторое произвольное положительное число; возьмем, кроме того,
п столь большим, чтобы все числа рп0, рп1, ..., pnN были меньше
i м ' где ^~максимум абсолютной величины \sv\. Тогда из
/„ — s = pn0 (s0 — s) + pnl(s1 — s) + ... + pnn (sn — s)
мы получим:
\tn-s\<(N+lJM4(Ne+l)M +
4" "о" (P«, A' + l + Pn, N + 2~\- ¦ ¦ --\- Pnn) *C"9" + "
67. Частный случай теоремы 66 для рП\ = —т
л+1 "
68. Равносильно теореме 67: \npn — sn. Часто употребляется
в следующей формулировке: если а„>0 и lim a"+1 =a>0, то
также lim у ап =а.
п—кх>
69. Частный случай теоремы 68. Положим:
тогда
70» Частный случай теоремы 66. Полагая
получаем:
lim pnv = 0.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	195
71. Частный случай теоремы 70 при
Имеем:
lim —
1 \а
^7 ~
„»	1	xjx-i
п
откуда
1р
72. [По поводу задач 72—74 см. N. Е. Norlund, Lunds
Universitets Arsskrift, N. F., Avd. 2, т. 16, № з, 1919.] Частный
случай теоремы 66 для
Р	Рп-У	^-	Рп-У
73> Частный случай теоремы 66. Полагаем:
Тогда [см. 74]
PnnQn
где
_	Pn - vQv	_<-	Pn-v
74. Полагая
(rn имеет то же значение, что и в 73), имеем:
_
и, следовательно [66, 73], lim р„= lim qn= lim гя.
n—>co	/г~>оо	га—>co
Для вывода вышестоящих тождеств пользуемся степенными
рядами, коэффициентами которых служат интересующие нас
7*

'96
РЕШЕНИЯ
последовательности [34]:
оо	оо	со	со	со
2 z* 2 /V' = 2; л.*\ 2 2* 2 ^ =
0 1	/
1 = 0
со	оэ
2 ^2^'= 2 ^ге= 2 *v* 2<7,z'= 2 ^
* = 0 / = 0	п = 0	А = 0	/=0	к = 0	1 = 0
2 явряг»= 2 р^ 2s^'' 2 Q»<r»z»= 2 ^ 2s^'-
/г = 0	k = 0	1 = 0	/г=*0	А = 0	/ = 0
со	оо	оо	оо
2 Rn*nzn= 2 Pkz" 2^' 2 s-2m =
n = 6	k=0	1 = 0	m = 0
со	оо	со	со
= 2 p^ 2Q^'= -2 w
75. Положим:
Тогда, обозначая сумму ряда через s, будем иметь:
^п - пг° (п + 1)° (sn - s) = n-e 2 (sv - s) [v° ~ (v + 1L + n-as;
v=l
это выражение стремится к нулю [66].
76» [Е. Cesar о, Nouv. Ann., серия 3, т. 9, стр. 353 — 367,
1890.] Согласно 70 искомый предел равен
lim Р»Р»У =ЦщР^
1Р1Р
77. [I. Schur.] Положим:
2	2
v=l	v=l
и пусть Р > 0. Имеем:
lim Qn— lim nqn — co;
га—>оэ	л -*-со
действительно, в противном случае мы имели бы:
qn~ ~> 9>0,
т. е. [76] Qnr^g\nn-*-oo, в противоречие с предположением.
Также и НтР„ = Нтяр„ = оо. (Для а>0 доказываем это
как выше; для а = 0 имеем lim прпР^' = оо, следовательно,
прпр
п-*со

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	197
со
lim прга = оо, следовательно, У^ рп расходится.) Поэтому ряд
n-оо	п=1
со
2 пРпЦп расходится. В случае а = 0, вследствие пдп < Щп, где К
п= 1
не зависит от п, получаем:
п	п	п
2 vpvqv<K 2 PvQv^KQn ^P^KPnQn,
V = 1	V = 1	V—1
т. е.
п
lim ^	= lim -^- • lim &- = 0.
В случае а > 0 заменяем утверждение следующим:
lim „PQ
2
v =
Применяем 70 к
bn npn nqn n
78. Пример:
ai = aa = a3 = ...=
Примем теперь, что an^ara+1, а„->0 и
для всех п=1, 2, 3, ... Пусть задано т; определим п так, чтобы
выполнялось неравенство ап^-^-ат. Из
-... + an)-(n-m)an^
__ m (am an) _^_ 2 mam
вытекает, что
Мы имеем перед собой случай преобразования ряда при спе-
специальных условиях, к которым теорема 66 неприменима.
79.	Содержит 65 как частный случай; доказательство анало-
аналогично. Если ры = 0 при / > k, то преобразование последовательно-
последовательности sn в последовательность tn называется конечным по строкам
(см. 65, 66); если р*; = 0 при l<k, то — конечным по столбцам.
80.	Содержит 66 как частный случай; доказательство анало-
аналогично.

198	решения
81. Положим sn — ncn-\-(n+ I)Cn +1 + • •• Тогда
, 1 , / 2	1 \	i/3	2 \	,
Принимая во внимание, что lim sn = 0, получаем отсюда, что и
lim tn = 0 [80].
""""82. [G. H. Hardy and J. E. Li tt lew о о d, Palermo Rend.,
т. 41, стр. 50 — 51, 1916; см. также Т. Carleman, Ark. for
Mat., Astron. och Fys., т. 15, № Ц, 1920.] Пусть
/"" (с)
В теории функций доказывается [Н urwi tz-Cour ant, стр. 32 —
33*)], что при | у | < 1 — а имеем тождественно:
Отсюда
¦a)n~kyk 7 b,yl = -,—
1=0
1 = 0
Коэффициент при уп в левой части есть tn и в правой части есть
Сумма в строке равна единице (биномиальная формула); преобра-
преобразование конечно, по столбцам (см. 79, решение).
83.	См. аналогичные теоремы 65 и 79.
84.	См. аналогичные теоремы 66 и 80.
85.	Полагаем в 84
Пусть заданы v и е, е>0; выберем п столь большим, чтобы
выполнялось неравенство
*) Гурвиц, стр. 48 — 50. Гу р в иц —Ку р ан т, стр. 39 — 41.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
Тогда
Ф(O<
Предел последнего выражения при /~>-1 будет меньше е.
Теорема сохраняет силу при любом радиусе сходимости р > 0.
86. [N. H. Abel, 1. с. 47, т. 1, стр. 223.] На основании 85
имеем:
87. [G. Frobeni us, J. fur Math., т. 89, стр. 262-264,
1880.] Из предположения вытекает, что п~1ап ограничено. Поэтому
оо
при 111 < 1 ряд 2 antn сходится. На основании 85 получаем:
оо
1]	-...+<!„)/»
"+1
n = 0
88. Умножая числитель и знаменатель на j—* ~ ^ +1 + ^ + • • •
получаем:
00
UQ-\-a1t-\-a2P-\....-\-antn->r... _ n = o
89. Применение теоремы 156 к <p(z) = lnfl +~) — а\п( 1 + -
показывает, что ряд
_
v=l

200	РЕШЕНИЯ
сходится; это означает, что предел
lim
существует и положителен. Полагаем в 85
а _„а-1 и - «(« + !) —(«+Д-1)
ип — '*• » ип —	^j	•
90> Рассматриваемый интеграл раскладывается по степеням k
в следующий степенной ряд:
я у П-3...B»-1)\а
2 Ad \ 2-4...2я
п=0
Частный случай теоремы 85 для а„=уГ '2'4Ч 2~ М , Ъп = — ,
уГ 24 2 М , Ъп =
4
91 • [См. О. Perron, Die Lehre von den Kettenbriichen,
стр. 353, формула B4), Leipzig, В. С. Teubner, 1913.] Из рекур-
рекуррентных формул
п = 0, 1, 2,..., Л0 = В1==1, Л1 = В0 = 0
получаем для функций F (x), G(x) дифференциальное уравнение
Подстановкой а(\— 2x) = v2 приводим его к г\ — у = 0; следова-
следовательно, у = суё°-{¦ с%е~ v, cu с2 — постоянные. Отсюда
Полагаем 2x = t. Тогда теорема 85 применяется следующим об-
образом:
ап l t-*\-0Q'IL.
Степенной ряд функции G' \-Л расходится при /=1, так как все
его коэффициенты неотрицательны и lim G' f-=-) = оо.
92. Частный случай теоремы 88. Имеем:
п = 0

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	201
Так как
ТО
[решение 89]. Тем самым согласно 75
93> Согласно решению 89
t-*l—G
2 4 6 * • • 2«
Этот предел равен — ~~2 , ибо
Т-Т'1---^^-~21/ -•	[II 202.]-
94. Утверждение теоремы 85 сохраняет силу и в том случае,
когда t стремится не к 1, а к +оо. См. 84. Сумма ряда
при ?-> + °° неограниченно возрастает, ибо все Ьп положительны.
95.	Применение теоремы 94 при an = Sj~, Ьп = -г. [Борелев-
ское суммирование; Кпорр, стр. 471*).]
96.	Положим sn = a0-\-a1 + . .. + an, s^ = 0. Тогда
J er*g (х) dx=2 ^^ J e-*^ dx =
0	v = 0	0
со	t	со
е Ах= 1 Svl^T}Te
v=0 0	v=0
(проинтегрировать вычитаемое по частям) [95].
97. Полагаем в 96
*) См. по этому поводу также Е. Т. Уиттекер и Г. Н. Ватсон
Курс современного анализа, ч. I, стр. 196—198, Физматгиз, 1963,

202	решения
если п нечетно, и
a f_iy±..JL
если ft = 2m. Имеем:
Аналогично для —lsgxsgl получаем:
оо
98. [Частный случай теоремы у М. Fekete, Math. Zeitschr.,
т. 17, стр. 233, 1923.] Достаточно рассмотреть случай, когда
нижняя грань се конечна. Пусть е>0 и _2L<a + 8- Всякое целое
число п может быть представлено в форме n = qm-\-r, где г = 0,
или 1, или 2, ..., или т— 1. Полагая для единообразия а0 —0,
имеем:
qm
n qm-j-r 7 qm-\-r m
rqm
a ¦¦
	i_ "r
n ^v ' ' qm + i
99. Из неравенств 2аот—1 <ааот<2ага+1 получаем:
——	t*\
2т т
Ряд
сходится, ибо в силу неравенства (*) он мажорируется сходя-
сходящимся рядом
г-г i-g пт14 ~т)+ т~т)+----„Ит~н;г-0)
Запишем целое число п по двоичной системе:
ft = 2'" + ei2"I-1 + e22m-2 + ... + em (е1; и,, .... гт = 0 или 1).
Согласно предположению
а2т
ет ai	m In ?г
~п Г ~л~ ~~~ n In 2

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	203
Применяя теорему 66 для данных
Рпо~"> Pni~-jf, • ••> Pn,m-i=—Jt—. Pnm~—^~> P/i,m+i = u> •••>
мы заключаем, что lim гг1а„ = (о. Наконец, в силу (*) имеем:
т
Чт _ «т
_
2т /л
<hm_
0) — «= -ггг- — -1- -г— — -ST— t"'V.nrtx;T ¦••~^Г-
Am 2m
_L_i_JL_i_ =±
100. [L. Fejer, С. R., т. 142, стр. 501-503, 1906.] Как будет
видно из доказательства, достаточно рассмотреть случай, когда
частичные суммы su s2,..., sn, ... ограничены. Пусть lim inf sn = m,
/z-*co
lim sup sn~M, / — целое положительное число, />2 и б = —-.—.
Разобьем числовую прямую на / интервалов точками
— оо, m + S, m + 26, .... М-28, М — б, + °о-
Выберем столь большое Л/, чтобы для n>N выполнялось нера-
неравенство | sn — вя+11 < б. Пусть, далее, sn, (п1>Л^) лежит в первом
(бесконечном) интервале и Sn2 ('i2 > «i) — в последнем (тоже беско-
бесконечном). Тогда числа конечной последовательности s,u, sn, + 1, ....
..., sn,-lt sni не смогут «перепрыгнуть» ни один из 1 — 2 проме-
промежуточных интервалов длиной б. Аналогично рассуждаем и в том
случае, когда последовательность будет не «медленно восходящей»,
а «медленно нисходящей».
101.	[См. G. Szego, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 23, стр. 361, 1914. Решение— P. Veress там же, серия 3,
т. 25, стр. 88, 1917.] Интервал [0, 1]. См. 102.
102.	[G. Poly a, Palermo Rend., т. 34, стр. 108-109, 1912.]
Существуют в сколь угодно большом удалении конечные после-
последовательности /n,, tn1+1, ..., tn2, произвольно медленно нисходя-
нисходящие от верхнего предела последовательности к ее нижнему пре-
пределу. Подробнее — как в решении 100.
103.
104. Пусть рассматриваемая последовательность будет:
su sa, ..., sn, ... (lim sn = s).
п—*оэ
Выберем sVl произвольно в интервале \s — -j, s + -^-I, вообще
sVn — произвольно в интервале \s — -^г, s + -p- ; v1<va<v3<...

204	решения
Члены ряда
Sv, + (Svs - SV.) + (Sv3 - SVz) + • ¦ •
не будут превышать соответственно членов сходящегося ряда
105.	Какое бы число мы ни задали, слева от него будет
находиться лишь конечное число членов последовательности,
а среди конечного множества чисел существует одно или несколько
наименьших.
106.	При совпадении верхней и нижней граней рассматри-
рассматриваемой последовательности теорема тривиальна. Пусть поэтому
они различны. Тогда по крайней мере одна из них отличается
от предела последовательности. Она и будет равна наибольшему,
соответственно наименьшему, члену последовательности.
107.	Пусть задано целое положительное число т и ^ — наи-
наименьшее из чисел 1и /2, ..., /от; т]>0. Согласно предположению
в рассматриваемой последовательности существуют члены, мень-
меньшие, чем г). Пусть п —наименьший номер, для которого 1п<.Ц-
Тогда
п>т; ln<li, ln<k, •••, ln<ln-i-
108.	Применяем 105 к последовательности lil, lll+u №+2, ¦¦¦
109.	[G. Poly a, Math Ann., т. 88, стр. 170-171, 1923.]
Мы будем называть 1т «выступающим» членом последовательно-
последовательности, если 1т больше всех последующих членов. Согласно предпо-
предположению и 108 в первой последовательности содержится беско-
бесконечно много выступающих членов; пусть это будут:
1по 1пг, /п3, ... \lnl^> 1п2^> 'п3^> • ¦•)•
Каждый невыступающий член /v заключается (для v > па) между
двумя последовательными выступающими членами, скажем пг_^ <
<.у<.пг- Имеем последовательно:
значит,
lvsv<lnrsnr.	(*)
Отсюда заключаем, что
lim sup ln sn = +oo.
Л-»оа	r r
Действительно, в противном случае lnSnr, значит, в силу (*) и вся
последовательность l^, l2s.2, /3S3. ¦ • • были бы ограничены, что
противоречит предположению. Применяем 107 к последователь-
последовательности
7-1 в-1 /-1с-1	/"Ч
и принимаем во внимание (*).

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
205
110. [По поводу задач ПО —112 см. A. Wiman, Acta Math.,
т. 37, стр. 305 — 326, 1914; G. Pol у а, там же, т. 40, стр. 311 —
319, 1916; G. Valiron, Ann. de ГЕс. Norm. Sup., серия 3,
т. 37, стр. 221—225, 1920; W. Saxer, Math. Zeitschr., т. 17,
стр. 206-227, 1923.]
Аналитически: имеем lim (Lrn — тЛ) = + оэ. Пусть мини-
т-»оа
мум последовательности
будет Ln — пА [105]; тогда
ц=1, 2, ..., ft; v=l, 2, 3, ...; ft = 0 исключено в силу предпо-
предположений относительно А.
Геометрически: проведем из заданных точек лучи, напра-
направленные вертикально вверх, образуем наименьшую выпуклую об-
область (бесконечный полигон), охватывающую их, и проведем к ней
опорную прямую с угловым коэффициентом Л1).
Пусть вершины (или одна из вершин), через которые прохо-
проходят эти опорные прямые, будут (п, Ln). Прямые, соединяющие
точки (п, Ь„) с точками выпуклой области, лежащими слева, бу-
будут иметь меньший наклон, а соединяющие с точками, лежащими
справа, — больший наклон, чем опорная прямая.
111.	[См. G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 24, стр. 282, 1916.] Пусть
k + l2 + --- + lm^U, m=l, 2, 3	 L0 = 0	[110].
Так как Lx — Л<0, то Lo — 0 не является минимумом в реше-
решении 110. /Л+1Э=Л; поэтому 1п+1, а следовательно, и п должны
стремиться к бесконечности одновременно с А.
112.	Положим l1 + l2 + ... + lm = Lm, m=l, 2, 3, ...,L0 = 0.
Тогда lim m~m == — А [67]. Последовательность
m->co m
L0-0, 1г-А, L2-2A, ..., Lm-mA, ...
стремится к — оо. Пусть ее наибольший член будет Ln — пА.
Тогда интересующие нас неравенства будут выполняться для этого
х) Под опорной прямой замкнутого множества Ш понимают прямую, имею-
имеющую все множество Ш1 с какой-нибудь одной своей стороны и вместе с тем
обладающую по крайней мере одной общей точкой с 5И. Таким образом, каж-
каждая опорная прямая определяет некоторую замкнутую полуплоскость, содержа-
содержащую Ш. Общая часть (пересечение) всех этих полуплоскостей представляет собой
выпуклую область S\, — наименьшую, охватывающую Ш. Каждая опорная пря-
прямая множества Ш будет опорной прямой области К и обратно. Аналогично
обстоит дело и тогда, когда множество Эй, как в данном случае, содержит
бесконечно удаленную точку. См. III, гл, 3, § 1.

206	РЕШЕНИЯ
номера п. В последовательности Lo, Lx, .... Lm, ... содержится
бесконечно много членов, превышающих все предыдущие {107];
пусть Ls будет один из них. Тогда числа
1 ' 2	s
все положительны: коль скоро А меньше наименьшего из них,
соответствующий А номер п больше или равен s. Точки (п, Ln)
должны быть обтянуты теперь бесконечным выпуклым сверху
полигоном.
113. Пусть S — интересующий нас верхний предел. Тогда
a) S^X. Для S = oo это ясно. Пусть S коиечно. Тогда для
любого е > 0 и достаточно больших т имеем In т < (S + е) 1° гт,
следовательно,
		03
r-s-e<m~1, r-s-2*<m~ s+e , 2 rmS~2* сходится,
m= l
т. e. S-\-2&^X, Ss=A,. С другой стороны, 6) SsgA,. Для Я=оо
со
это ясно. Пусть % конечно. Тогда для любого е>0 ряд ^] гт%~е
сходится, следовательно [139, гп~ 1], тг-%-е ->0, т. е. для доста-
достаточно больших т
lnm
Ш7
т
114. Пусть \хт\ = гт, 0 <ггsgr2^ г3^... Заключим каждое
из чисел jcv (v= 1, 2, ..., /л) в интервал длины б с центром в xv.
Эти интервалы не имеют общих внутренних точек и содержатся
все целиком в —rm — -j, rm-\--^\. Поэтому
т. е.
Тт
115. Согласно 113 lim m/~P = O. Полагаем в 107 1т-
116» Имеем lim sup mr~a= + °о- В противном случае суще-
/п->ео
ствовало бы такое постоянное число К, что при всех т
тг-«<К
и, значит, для а<аA +е)<Х
в противоречие с определением % как показателя сходимости
последовательности г1( гг	rm, ... Имеем, далее, &0

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	207
Полагаем теперь в 109
т г » т	» rn m -.
nt	'nt
117.	Для 0sgx¦</"!, если m = 0, и для rm<Cx<irm+1, если
«1 = 1, 2, 3, ... Члены ряда, начиная с первого члена 1, после-
последовательно возрастают до m-го (максимального) члена, а затем
все время убывают.
118.	Полагаем в 111 lm = Inrm — Insm, k — n — ii, соответ-
соответственно n-\-v, задаем А и определяем затем сначала п по 111 и
потом г так, чтобы A = \nr — \nsn. Что для y = sn я-й член
является по абсолютной величине наибольшим во втором ряде, —
ясно [117].
119.	Пусть рпхп — произвольный член ряда. Выбираем т так,
чтобы т>п и рот>0.Для х> 1/ —будем иметь ртхт~>рпхп.
120.	Если при некотором значении х член рпхп превосходит
все предыдущие, т. е. выполняются одновременно неравенства
хч(pnxn~v — pv) =г0 (v = 0, 1, ..., п),
то то же будет иметь место и при всех больших значениях х.
121.	Пусть m произвольно, х выбрано так, что pmxm является
максимальным членом. Тогда
Pm	Po
С другой стороны, pm (9p)m, где 0 < 8 < 1, ограничено при т-> оо.
Из этих двух замечаний заключаем, что
hm у р« = -.
т-юо	к
122. [L. с. 110.] Пусть п будет центральной индекс ряда
2-^~-гт для некоторого определенного положительного 2 [121]
и у > 0 —значение, для которого п является также центральным
со
индексом ряда 2 Ьтут. При x = zy будем иметь:
-» (k-0, 1, 2, ...).
123. [L. с. 110.] Пусть пи п2, ..., ftfe, ... — последовательные
-~zm.
m = 0
Пусть, далее, члены с указанными номерами являются макси-

208	решения
мальными соответственно в интервалах @, ?х), (?lt ?2)> (?г> ?з)> •••
• ¦•, (Sft-i, ?*)> .... и ylf y2, y3, .... у*, ... — значения, для которых
максимальными являются члены с теми же номерами в ряде
со
2] &тУт- Способом, примененным в решении 122, этим значениям
т = 0
yk относятся значения х, лежащие соответственно в интервалах
Тогда исключительные значения л;*, которые не могут быть отне-
отнесены ни одному у, будут заключены во всяком случае в интер-
интервалах
и, следовательно, значения In х* — в интервалах, общая длина
которых равна
где р —радиус сходимости ряда ^] Ьпуп-
п = 0
124. [A. J. Kempner, Amer. Math. Monthly, т. 21, февраль
1914.] Для определения тех неотрицательных целых чисел, рас-
расположенных между 0 = 00 ... 000 и 10m — 1 = 99 ... 999, которые
записываются лишь при помощи цифр 0, 1, 2, ..., 8, распреде-
распределяем эти 9 цифр между т местами всеми возможными способами.
Этим путем получается в совокупности 9т чисел. Пусть теперь гп
есть п-е неотрицательное число, записываемое без цифры 9. Если
IQi 1	ю _ 1) то п ===; 9т, следовательно,
^<^0<1.	[113.]
Или проще: число чисел, записываемых без цифры 9 и заклю-
заключенных между Ю—1 и 10™— 1, равно 9т —Э^1. Следова-
Следовательно, сумма интересующей нас части гармонического ряда
меньше чем
9-Zli + 9±l9, 93-92	_8Л ,1, 92	х
125.	Разбиваем ряд на две части, образованные соответственно
всеми положительными и всеми отрицательными членами.
126.	[К. Knopp, J. fiir Math., т. 142, стр. 292—293, 1913.]
Нет. Пример: пусть Ь1-\-Ь2-\-Ья-\- ... сходится, между тем как
+ I Ь21 +1 &з I + • • ¦ расходится. Полагаем

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	209
Так как я1 при п^1 делится на /, то часть ak-\-ak + i +
+ я* + гг+--- после приведения членов, соответствующих одному
и тому же Ьт, будет, за исключением конечного числа членов,
совпадать с у&i + yh + -jЬ3 + ...
127.	Нет [128].
128.	Нет. Пусть ф(х), Ф (х) — положительные, постоянно
возрастающие целозначные функции, т. е. 0<фA)<фB)<
<ФC)<..., 0<ФA)<ФB)<ФC)<..., причем ф(и), Ф(п)—
целые числа. Образуем из ряда &1 + 62 + ^з+ ••• решения 126 ряд
где av= щ^Щ^ц ПРИ
= ф-щ. Неравенством
1) целое число tm определяется однозначно. После
приведения членов, соответствующих одному и тому же Ът,
ряд афA) + афB) + а(Р(з,+ ... перейдет в	^щ)
т— 1
Полагая Ф(х) = 2Х\ мы получим ряд a1-\-ai-\-a3+ ..., служащий
контрпримером одновременно для 126 и 128.
Действительно, если ф (х) — полином степени ^ 2 или ф (х) —
= Ых, то числа ф-/оту_ГфУ_ п будут, начиная с некоторого,
монотонно убывать [Кпорр, стр. 316]. Если ,ф(х) = k + lx, то
составленный ряд преобразуется после прибавления к нему
некоторого абсолютного сходящегося ряда в 1~х (Ьг + Ь2 + Ь3 + • • ¦)
[126].
129. [А. Нааг.] Так как ряд s/ = a/ + a2i + %+••• — того же
типа, что и slt то достаточно показать, что а1 = 0. Пусть plt
Pt, ••¦, рт суть т первых простых чисел. Тогда ряд
j + (sPlPl + sPlPs +...)-...+(— 1)
OT sPi
содержит лишь ax и те члены ап, номер которых п не делится
ни на одно из простых чисел ри р2, ..., рт, притом каждое
такое ап лишь один раз [VIII 26]. Следовательно,
«1 = 0.
В том, что предположение абсолютной сходимости сущест-
венно, можно убедиться на примере \ —— [VIII, гл. 1, § 5].
п= 1

210
РЕШЕНИЯ
130.	[G. Cantor; см. С. Car atheodory, Vorlesungen iiber
reelle Funkionen, стр. 286—287, Leipzip und Berlin, B. G. Teub-
ner, 1918*).] Интересующее нас множество точек получается, если
из замкнутого интервала [О, 1] удаляется открытая средняя
третья часть, затем та же операция проделывается бесконечно
с остающимися замкнутыми интервалами.
131.	[См. S. К a key a, Journ. Тбкуо math. Soc. B), т. 7,
стр. 250, 1914; Tohoku Sc. Rep., т. 3, стр. 159, 1915.] Полагаем:
Рп
(л=1, 2, 3, ...; v = 0, 1, 2, ...).
Пусть рП1 — первый член, меньший о; тогда либо существует
такое vlt что Pn,,Vl<or, Pni>Vl +1>= ст, v^O, либо Рщ^о.
Во втором случае, принимая во внимание, что Р„, ;з= рП1 _ i ^ a
(для nj=l эти неравенства следует читать: P1 = s^so), имеем
Р,н = о, т. е. а можно представить некоторой бесконечной частью
рассматриваемого ряда. В первом случае определяем дальше
первый член рПг, для которого na>rti + v1, РПи v, + рп, < о-; тогда
либо существует такое va, что Рп„ Vl-r-^na', va<a'» ^«,. v,+
+ Pih, v, +1 S= c. v2>=0, либо РПи Vl-\-Pn^<y. Во втором случае,
принимая во внимание, что
РП1, v, + Рп2 >= РПи Vl + Рп, -15* ст
(л2 > пх 4- vx 4-1, ибо Р„„ v, 4- pni+v,+1 = РПи Vl +15» <т), будем иметь:
т. е. а снова можно представить требуемым образом. Если этот
процесс нигде не обрывается (т. е. если все время имеет место
первый случай), то
G = 'л,, V: 4" "л,, Va 4" Рп3, v3 4" • • •
132. Из
Рп
получаем рп = 2рп + 1, следовательно, р^ — -^, Рг = ~^, •¦-, рп**
— —-, ... Представление посредством необрывающейся дво-
двоичной дроби однозначно.
133.	Посредством включения членов, равных нулю, приво-
приводим теорему к почленному сложению двух сходящихся рядов.
134.	Пусть все члены расходящегося ряда аГ1 + аГ2 + аГз+ ...
неотрицательны. Тогда дополнительный ряд aSl + aS2 + aS3 + • • •
*) См. также П. С. Александров, Введение в общую теорию мно-
множеств и функций, Гостехиздат, 1948, стр. 140—141.

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
211
обладает тем свойством, что всякому е (s > 0) можно сопоставить
такое N, что при n>tn>N будем иметь:
Дальнейшие рассуждения в существенной части совпадают с обыч-
обычным доказательством теоремы Римана об изменении суммы
условно сходящегося ряда*) (Кпорр, стр. 319**)).
185. Из Pi^Pa^paSs..., 0<m1<m2<m3<... вытекает:
+ ¦•¦+Ртп.
136.	Выделим часть рГ[ + рГг + рГа-+- ... так, чтобы
/7Гл<МтB-«, Qn-Qn-г) (п=1, 2, 3, .... Q0 = 0).
Имеем рг, + рГг + •. • + pr s^Qn. вся выделенная часть ряда схо-
сходится, следовательно, разность Qn — (рп-{-РггЛ- ••• +Р/- ) неогра-
неограниченно возрастает. В той мере, в какой возрастающая величина
этой разности будет позволять, мы будем подбавлять члены
из оставшейся части первоначального ряда. Указанное построе-
построение лишь смещает обе дополнительные части друг относительно
друга.'
137.	[W. Sierpinski, Ann. Soc. Polon. Math., 1911, стр. 149.]
Для достижения s' замедляем расходимость положительной части
ряда по примеру 136.
138.	[Е. Cesaro, Rom. Асе. L. Rend. D), т. 4, 2-й сем.,
стр. 133, 1888; J. Bagnera, Bull, des Sciences Math. B), т. 12,
стр. 227, 1888. См. также G. H. Hardy, Messenger of Math. B),
т. 41, стр. 17, 1911; Н. Rademacher, Math. Zeitschr., т. 11,
стр. 276—288, 1921.] Положим ?„ = 81 + е2+ ... +е„, ?0 = 0.
Тогда
п
ЧР\ + ЧР-1. + • • • + ?прп = 2 (?v - Ev-l) Pv =
v= 1
n—\
«= 2 ?v (Pv - Pv+l) + EnPn-
v= 1
Если бы при n>N было En>an (a>0), то мы имели бы
N	n—l
> 2] ?v(pv—Pv+i)+a 2 v(pv—pv+1)+anpn=/C+oc
*) Эта теорема на самом деле принадлежит Дирихле.
**) См. также А. Я. X и н ч и н, Краткий курс математического анализа,
Гостехиздат, 1953, стр. 308 — 309.

212
РЕШЕНИЯ
где К не зависит от п, и, следовательно, правая часть стре-
стремится К +ОО.
139. [Е. Lasker.] Пусть ?я = Ег + е2-f... + ея, как в 138.
Последовательность
?ц Ег, Е3, ..., Еп, ...	(Е)
обладает тем свойством, что между двумя членами с противополож-
противоположными знаками содержится по крайней мере один, равный нулю.
Мы будем различать два случая: 1) в последовательности (Е)
бесконечно много членов, равных нулю; 2) все члены последова-
последовательности (Е), за исключением конечного числа, имеют общий знак,
пусть, скажем, положительный. В первом случае выберем такой
номер М, чтобы ?д1 = 0 и при М^т<_п
ev/?v
n— 1
[(E4-Em)-(EV^-Em)]pv
- Em) (pv - pv+1) + (?„ - Em) pn
Пусть fm — ближайший слева к Еп член последовательности,
равный нулю, так что Ет+1, Em+i, ..., Еп имеют все одина-
одинаковый знак. Тогда из неравенства (*) получаем:
(?„ — Ет) р„ | = | Епрп | <е.
Во втором случае выбираем М так, чтобы неравенство (*) имело
место для М^т<п и все числа Ем, Ем + \, Ем + ч, ...
были положительны. Пусть Ет будет их минимум. Так как
в этом случае Еч — Ет^0 при v>m, то из неравенства (*)
получаем (?„ — ?т)ря<е, следовательно,
Так как m фиксировано и рга стремится к нулю, то при доста-
достаточно больших п также Enpn<i&.
140. Вытекает из известной формулы остаточного члена
так как
, где 0<9„<1.
141.	Из 140.
142.	Из неравенства cosx^l (где равенство достигается
лишь в точках х = 0, ±2я, ±4л, ±6л, ...) посредством интег-

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	213
рирования получаем, что при положительных х
sinx<ix; I —cosx<2y, т. е. cosx>l — ^,
и т. д.
143.
х — sinx<|j-, т. е. si
„*,_(,-*+*-...+<_,,.
??
)_ Jt
2я + 1/ .
о
т / \	Z С COS Xt
J0 \Х) = V
144. Пусть, скажем, ао>0, стало быть, а1<0, а2>0, а3<
<0, ... Тогда А— ао<О, Л —а0—а1>0, Л—а0—aj—а2<0, ...,
т. е.
аг < Л - а0 < О,
0<Л-а0-а1<а2,
а3 < А — а0 — ах - а% < О,
откуда и вытекает утверждение. Аналогично рассуждаем и в слу-
случае а0 < 0.
145> Пусть, например, ао^Л; тогда % не может быть отри-
отрицательным, ибо в этом случае мы имели бы
А - (Oo + fli) = | Л - (а0 + а1) \ >= | ах \ > | а2 \,
что противоречит предположению. Стало быть, а1>0. Так как
О^Л— flo<|a1|, имеем, далее, Л — (flo + %) = Л — а0 —а2<0.
Аналогично заключаем, что а2<0 и ao + fli + fl2<M> далее,
а3>0 и а0 + О1 + а2 + йз>-^ и т. д. Вообще говоря, обвертываю-
обвертывающий ряд не обязательно является знакочередующимся [148],
однако обвертывающий в узком смысле —уже безусловно знако-
знакочередующийся.
146ш Если в 145 предположено лишь, что | ах|> \а2 ]>...>
>\ап\, то аналогичным путем заключаем, что аг, а2, ..., а„-1
имеют чередующиеся знаки и постольку частичные суммы до (п —
— 1)-й включительно обвертывают в узком смысле, п — 2, 3, 4, ...
Но, каково бы ни было фиксированное п, всегда для до-
достаточно больших значений х будут выполняться неравенства
хп
откуда вытекает утверждение до номера
п — 1 включительно. Тем самым оно имеет место вообще.

214
РЕШЕНИЯ
147. Из предположения вытекает, что производные /(я> (/)
попеременно положительны и монотонно убывают, соответственно
отрицательны и монотонно возрастают. Пусть, скажем, f(t), f" (t),
/IV (t), ... положительны и монотонно убывают, f (t), f" (t),
/v (t), ... отрицательны и монотонно возрастают. Из
sin a dt =
4-/(««+
вытекает, что Rn и (— l)n+1-—2п+\ ' имеют общие знаки. При-
Применяем 144.
148. Сумма 2п — 2 первых членов равна
2	, (-1)"	1^3.
3	"¦" 3-2Я-2' 3-2""8 2Л+1'
сумма 2и — 1 первых членов равна
2 , (-i)"+i 1	1
3 ~*~ 3-2га+1 ' 3-2Л+1 2Л+1"
Ряд — не знакочередующийся.
149.	Чертеж дает спиралевидную ломаную линию, стягива-
стягивающуюся к некоторой точке; он некоторым образом обосновывает
наименование ряда «обвертывающим». Имеем:
ei=m + lmi+8' где |fi|<|,<2-io-4
[чертеж или 151]. Отсюда получаем для первых трех десятичных
знаков точно (не округленно):
е' = 0,540... + 0,841.. X.
150.	[Н. Weyl.] а) Пусть г лежит на .?>, |z|>0. Оста-
Остаточный член

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
215
по модулю меньше, чем
1*1
f<n+1) @)
(n + 1)!
б) Пусть вообще предположено, что f(z) вдоль $j обвертыва-
обвертывается рядом ao + a1z + fl2za+... Пусть, далее, z лежит на ф,
z | > 0 и ? — положительное вещественное число. Тогда tz~x рас-
расположено на .§, следовательно,
г
откуда вытекает, что интеграл, представляющий F(z), сходится.
Далее,
— "о ~ г	^5~ • • •
151. [По поводу e~z см. Е. Landau, Arch. d. Math. u. Phys.,
серия З, т. 24, стр. 104, 1915.] См. 150.
(При 8ftz = 0, гфО модули производных от e~z постоянны,
однако сама е~г непостоянна, так что остается в силе сказанное
в 150.) A41.)
152.
е2 \ е
г
Так как Sft-jS&O, то применимо 151 (соответственно 141).
153.	\an + bn\ = \an\ + \bn\. См. определение.
154.	[Cauchy, С. R., т. 17, стр. 370—376, 1843; см. также
G. N. Watson, Quart. J., т. 47, стр. 302—310, 1917.]
zcthz=l+
2z2
п=\
[151, 153].
155. [Ср. Cauchy, 1. с. 154.] При ?Яг3=э=0, гфО arctgz
обвертывается своим степенным рядом. Дл вещественных z это
уже доказано в 143; для интересующих нас комплексных z заклю-
заключаем на основании той же формулы так же, как в 143,

216	РЕШЕНИЯ
156. Достаточно рассмотреть ф(х) = ао + ^-- Имеем:
157. Для сходимости необходимо, что lim ф(п) = ао = 1.
л->со
Применяем 156 к
158. Рассматриваемый ряд во всяком случае сходится, если
ф(я) = 0 для некоторого целого положительного п. Примем
поэтому, что ф (я) ФО, п=\, 2, 3, ... Имеем [68]:
Нт/|фA)фB)...ф(л)
n-*oo
Получаем, таким образом, для | а0 | •< 1 сходимость, для | а01 >
> 1—расходимость. Пусть теперь ао = 1. далее (ради простоты)
ф(п)>0 (я=1, 2, 3, ...). Тогда [157]
In [ф A) ф B)... ф (ft)] = Oj, In « + b + е„,
т. е.
lim е„ = 0, Ъ не зависит от «. Следовательно, при a1<i— 1 имеет
место сходимость, при ах ^ — 1 — расходимость. Для ао = —1
полагаем:
Ф(л) = —i|)(n), ФA)фB)...ф(«) = (-1)яг1)A)г1)B)...г1)(я).
Остаточный член ряда 2И^3 будет O(ft~l), откуда (см. также ре-
решение II 18)
1|з A) г|з B)... \|з (п) = есгг^ + О (гг^-1),
где с не зависит от п. Следовательно, рассматриваемый ряд схо-
со
дится одновременно с 2 (—1)"/г% т. е. когда ах>0 и только
тогда. В итоге получаем, что для сходимости заданного ряда
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось по крайней мере
одно из следующих четырех условий: а) ф (п) = 0 для некоторого
целого положительного п; б) |ао|<1; B)ao=l,ax<; — 1; г) Oq =
= —1, а1>0.
159> Частный случай задачи 158 для
/ \ о т 1 а а2 1 ,
Ф(х) = 2-^ = 1---5г? + ...
Сходимость имеет место при а>1 и a = ln2; In4, In8, ... все
1

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	217
160.
1	,	00	1
*ln— .
п = 0
Замена переменной хп+1 = е~у.
161. Полагаем V 1 +У\ + ... + Vl=tn, тогда t*n = l + tn-1,
^=1, tn--i<.tn,,n==2, 3, 4, ... Для положительных х неравен-
неравенство хг<.\-\-х выполняется тогда и только тогда, когда х<
•<—т>—, т. е. меньше положительного корня квадратного урав-
уравнения х'г — х—1=0. Отсюда вытекает, так как fn = \-\-tn~x<~
< 1 -f tn, что tn-x < tn < —j--, ft = 2, 3, 4, ..., откуда заклю-
заключаем, что существует lim tn — t и 0<.t*gi +' ; далее, Р=--
/I—>СО
т. е. ^ — g . Аналогично определяется значение непрерывной
дроби, где рекуррентной формулой будет:
«я=1+««1-ь «i=l (ft = 2, 3, 4, ...).
162. [G. Pol у а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 24, стр. 84, 1916. Решение —G. Szeg б, там же, серия 3, т. 25,
стр. 88—89, 1917.] Если (ради простоты для vSsl) lnlnav<
<vln2, av<e2V, то tn < \ e
[161]. Если, напротив, ал>ер , где Р>2, то tn>e^2' . Для
а„^1 под па" естественно понимается —оо.
п
163. Для доказательства неравенства
^л+1 In <^. Z
Од+1
предполагаем, что соответствующее соотношение для п величин
Oj, a3, ..., а„+1 уже доказано, т. е. что
У
где
tV + V^ + V^, s=
2^уа2а3...ап+1
Отсюда
164. [Jacobi, 1. с. 53, § 52; Corollarium; Werke, т. 1,
стр. 200—201.] Полагаем 1-17 = 00, l+qm = am (m=l, 2, 4, 8,

218	РЕШЕНИЯ
16, ...); тогда (п-\-\)-е частичное произведение принимает вид
ill	L
2" /\T /	а
ах \ а2 / \ а4 / \ as У
и произведение а^а^в... сходится. См. также VIII 78,
165. Обозначим сумму ряда через F (х). Тогда
F' (x) = F{x), F (х) = const. e\
166.
Ф'(л) = ср(х), Ф@) = 1,
(*) ** 1 + + f + + +
для х>—1. Имеем:
(«=1, 2, 3,
167.
разложение
дает при л; =
,	1	i ,
T Q Г/О,, 1_П2_11 — ' Т
следовательно, хп<.хп+1, yn>yn+i- Часть задачи 155, соответст-
соответственно II 205. Из 167 в совокупности с II 202 вытекает II 205
для целочисленных п.
168. [I. Schur.] Что ап убывает при рэгу, вытекает из
разложения
_2(п+р)

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	219
[решение 167]. Отсюда, далее, заключаем, что
1
~2~Р
значит,
так что при р < y , начиная с некоторого п, ап будет возрастать.
При ps^O это будет иметь место уже начиная с п=\, как по-
показывает разложение A 4.—) по биномиальной формуле.
169.
1 1 Л- ¦*
1\"+2	+"^Г
1 •
Первый множитель убывает [168], квадрат второго есть
, , 2х—1 , х2
Поэтому условие *^у достаточно для убывания ап. Из разло-
разложения
In аа = 2п (^гг + 3Bn+lK + 5(
2 L2^+7 + У \2^+l) + Ъ\Ш+7}
~ 2/г+1
получаем в силу
4^
что это условие также необходимо.
170. [См. задачу № 1098 в Nouv. Ann., серия 2, т. 11,
стр. 480, 1872. Решение —С. More а и, там же, серия 2, т. 13,
стр. 61, 1874.] Первое неравенство, утверждающее, что
вытекает из неравенства
0 (О

220	РЕШЕНИЯ
[Имеем:
- In ^±?_>-^Ь--^+1=0,
Второе неравенство равносильно неравенству
171. [I. Schur.] Во второй четверти, так как
Первое неравенство вытекает из 170, ибо
второе содержится в 169.
172. [I. Schur.] Из разложения
^2v-l _ ,
—\ Bn+xJV-aT^ K ' Ld 2v— 1 Bn + x)av^
v=l	v=l
при 0<х^2 заключаем, что ап убывает. Далее,
l , х{2 — х) ,
U3
2л: B —ж)	. п/1
+ Q^
In an — In ая+1 =
т. е. меньше нуля при достаточно больших п, если х<0 или
х>2. При х = 0а„ = 1,п=1, 2, 3, ...
173. [Доказательство сообщил Е. Jacobsthal.] По поводу
предела выражения sinrax см. 174. Имеем
х— ~<sinA:<A; — y + ш (х>0) [142];
далее, при фиксированном с и достаточно больших п, n>N(c)
(биномиальный ряд!), имеем:
_?	1_ /_?_\3 ^ С
У~п 6 \\'~п) Vn+\'
соответственно
jL._1/_?_\84- — (—\s " с
120,--1 <;

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	221
смотря по тому, будет ли с<^3 или с>^3. Пусть
а>0 фиксировано и столь велико, что sinyy.!t:>> v c Тогда
у N —f- ot
с	с	1
6\VN + a
значит, sin,, r>	, n^N. Отсюда lim inf]/n sin,, *:>=c, т. e.
^V~3. В случае c>]/3 выбираем m столь большим, чтобы
sinm*<	Тогда аналогично предыдущему заключаем, что
174. Последовательность vn убывает, vn>0, следовательно,
существует limvn = v; из v = /(v) заключаем, 4tov = 0. Таким
п —> со
образом, достаточно доказать утверждение для произвольно ма-
малого х. Пусть V фиксировано, V > Ь. При достаточно малом х
имеем:
х — ахк < / (л;) < х — axk + Ь'х\
а при достаточно большом п, n>N(c),
	!_ /	!
en k-x — a *
соответственно
' /	1
сп k-\_a[cn k-
	_		_
смотря по тому, будет ли с<[(&—\)a] *-' или с>[(&—l)a] *-'.
Cm. 173. Предположение относительно знака b несущественно.
175.	[J. Ouspensky, задача; Arch. d. Math. u. Phys.,
серия З, т. 20, стр. 83, 1913.] Сходимость при s>2, расходи-
расходимость при s==s2 [173].
176.	[См. Е. Cesaro, задача; Nouv. Ann., серия 3, т. 7,
стр. 400, 1888. Решение — Audi bert, там же, серия 3, т. 11,
стр. 35*, 1892.] Из неравенств
^—^->0 при х>0; *<ln-^—!-<0 при
X	X
заключаем, что последовательность ип в первом случае монотонно
убывает и ыя>0, во втором — возрастает и ы„-<0. Имеем:
lim ип — и =
П-+ОО
ибо иф\пе^—— при и

222	РЕШЕНИЯ
Рекуррентная формула
дает:
e"i = 1 + и, + и^,, + • • ¦ + «i«8 ...«»i + «i«2 • ¦ • uj'n*
и
1 im uxu,L.., unea"+i = 0.
п -*-со
177.	[С. A. Laisant, задача; Nouv. Ann., серия 2, т. 9,
стр. 144, 1870. Решение —Н. Rump en, там же, серия 2, т. 11,
стр. 232, 1872.] s= ^-cos ф. Принимаем во внимание тождество
4 cos3 ф = 3 cos ф -f cos Зф.
178.	[I. Schur, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 27, стр. 162, 1918. См. О. Szasz, Sitzungsber. Berl. Math. Ges.,
т. 21, стр. 25—29, 1922.] Если е>0 так мало, что |^| + е<Л
то существует такое постояннее число А, не зависящее от п и v,
что
я—у ^* А 1\ /•% I p\v /<%j __ П 1	*i • и -—- 0 1*? 1
—7	*^^ г\ у j и р о^ ^ V — \J, If ...,/{', 11 — V, 1, ^», ...у»
°я
При п>т имеем:
m	n	n
обе последние суммы по абсолютной величине меньше чем
оо	оо
™ / I "v | \ ! Ч I ~г / i / i I "¦v I i 4 I >
т. е. произвольно малы вместе с тг1. Выбираем т столь боль-
большим, чтобы это выражение было меньше е, затем при постоян-
постоянном т выбираем п столь большим, чтобы первая сумма была по
абсолютной величине меньше е.
179.	[Частный случай одной важной теоремы из теории функ-
функций, принадлежащей Витали. См. Е. Lin del of, Bull. S. M. F.,
т. 41, стр. 171, 1913.] Мы покажем лишь, что lim anl — 0. (Затем
я->со
образовываем x~xfn (x) — ап1 и т, д,) Пусть х столь мало, что вы-
выполняется неравенство 0 < Л у-^ < е, где е — произвольное по-
положительное число. Тогда
Выбираем теперь, при фиксированном х, столь большое п чтобы
1М*)|<е*

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ
223
180. Так как \ak\^Ak (k — 0, I, 2, ...), то 2 а* сходится.
Имеем:
Пусть е — произвольное положительное число. Возьмем т столь
большим, чтобы последняя сумма была меньше е. Затем зафикси-
зафиксируем т и возьмем столь большое п, чтобы \anh — ah\<
(k — 0, I, ..., mN. Тогда получим:
\sn — s\ <3е.
оо
181> а) Так как бесконечное произведение XJA— д2к) схо-
k= 1
дится. при | q\ •< 1, то все его частичные произведения заключены
между двумя положительными числами аи Ь, а < Ь. Поэтому
для вычисляемых в 52 величин Cv имеет место оценка
Применяем 180.
б) Пусть в 59 г/<0,, стало быть, ^> 1. Тогда
qk
далее,
(l-fp><* (v-0, 1,2,...),
поэтому
Применяем 180.
182. Речь идет о пределе суммы ряда
2	j
*=1 — п	4=1—л
при п->-со; член с номером & = 0 опущен; положено
(лс) = A + лс)"-1 (A + х)«— l)
Полагая еще ф@)=а~а, получаем, что ср(х) непрерывна в интер-
интервале— 1<;л:<;оо. При сс = 1 имеем ф(х)^1, при остальных
значениях а
<р (я) ^я1"™ при х->-оо, ф (х)~(\ + л;)™-1 при л;-»	1.

224	решения
Для случая а = 1 предел получается уже из тождества
Если аф\, то при п->оо и ^ фиксированном общий член
стремится к &-2ф@).
В случае а>1 ц>(х) ограничена в интервале —1<л:<оэ.
Обозначим максимум ср (х) в этом интервале через М. Тогда рас-
рассматриваемый ряд для п=\, 2, 3, ... будет мажорироваться ря-
рядом V' Mk 2. [180.]
В случае 0<а< 1 существует такое положительное число М,
что
. ф(х)<М	при — у =s? л: 5SS 2,
ц>(х)^М{1+х)аЛ при — 1<*<-у,
Ф (х) < Мх1-**	при х ^ 2.
Отсюда вытекает:
Т Т	"г1
(п=\, 2, 3, ...; ft = 2п,
Тем самым остающаяся часть ряда (от —^п до со J будет мажо-
мажо'M\k\l []
рироваться рядом ^'M\k\'l~a. [180.]
183. Имеем:
2+K2+V
так что выражение
а„ = ео|/ 2 + e1
всегда имеет смысл. Для доказательства равенства
a -
\ v=o
применяем метод полной индукции. Имеем:
sgn ап = sgn 2 sin U 2 Щ^-) = е0;

ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ	225
далее, для е0 ф О
Я V4 ЕоЁ]^ ... Ev \
v = O	)
_ О cos I я + я V gie2---e^
v=l	;
Переходим к пределу при n-voo.
184. [См. S. Pincherle, Atti Torino, т. 53, стр. 745—763,
1917—1918; Rom. Асе. L. Rend. E), т. 27, 2-й сем., стр. 177—183,
1918.] Положим x = 2cos(p, Qsccpsgn. Тогда двоичное разло-
разложение
^ = ?o+f+§¦ + ¦• • + ! + ••• fe = 0 или 1)
будет однозначно определено, за исключением случая, когда
где р и q — целые, 0 <! р < 2д; в этом случае существуют два
разложения. Равенство
2 cos ф = e0 У 2 + ex V 2 + e2 j/ + ...
равносильно [183] равенству
I со	.
:oei ... е„ \
2"
я я
или, так как обе дуги заключены между —у и у, —равенству
со	со 1 —е0Е1...вя
2	ISP =
2" ' я' Zj	2»
Итак, оставляя предварительно в стороне упомянутый исключи-
исключительный случай, имеем:
1 soej... еп

/я п 1 9 %
иг = и> '. ^» •••)¦
Этими уравнениями вполне однозначно определяются е„ (как и
обратно gn через е„).
8 Г. Полна, Г. Cere, ч. I

226	РЕШЕНИЯ
В исключительном случае, когда ср = ~я, где р и q — целые,
0-<p<2f/, имеем два разложения для ---:
л §о i 2 ~f" " ' ' 2^~2 ' 2"/ ' 21 ' 2«+1 ~r"''"
— go - 2 ¦ • • • ' 2^2 "r 2?^ ' 2« "г 2TtT + • • •
(GS= 2). В этом случае е0, е1 ..., е?_2, как и прежде, определены
однозначно, 8,j = —1, е?+1 = е(/42 = ... = 1, а е?_х можно по произ-
произволу выбрать равным как —1, так и +1. Имеем, следовательно,
гау
Из 183, обратно, вытекает, что каждое число последнего вида
равно 2 cos ^я, где р и q — целые и 0<р<2?.
При q = 1 сказанное выше нуждается в небольшой модифи-
модификации: цифры g0, ..., gq__2, e0, .Л ,е?_2 отсутствуют, ф = у, л;=0.
185ш Последовательность gn будет тогда и только тогда пе-
периодической, . начиная с некоторого п, когда этим свойством
обладает последовательность е„.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
" —7—<С г _ ] I г— 2 2 Г'-'Т г— 1 "~~- ~7~
Xv xv xv~i xv xv—l XvXv — 1 XV — 1
2. (r+l)KlX
3. 2 heaHv~1)h> S /iea+vft, где положено
v=l	v=l
= -^^. Пределом выражения
1	ptih	pb	act
является еь — еа, так как
,. eh — 1
lim —r—
h
-.— =1.
dx /x=o
0s-1
v=l	v=
где положено ^ = —— = у —. Имеем [3]:
¦™V—1	'
> — Ina
5. Положим Нп = 1 4- ъ~ + о + ¦ • • Л— • Тогда
U -2{Х-Н ) = Н. -Я
Далее,
п	1
" я 1 • f_^ = in2.
8*

228
РЕШЕНИЯ
= \^dx>0.
(VI 25.)
7. По дифференциальной теореме о среднем значении
«	п
F{b)-F (а) = 2" [F (xv) - F (xv^)] = У! / fo) (xv -^ xv-
v=l	v=l
Однако при приписываемом здесь знаку интегра-
интеграла смысле вовсе не обязательно должно выполняться равенство
[См. V. Vol terra, Giorn. di Math., т. 19, стр. 335, 1881.]
8. Пусть^<|<А. Тогда
V
1
' +
v=1v—1
Z
9. [Cm. G. Pol у a, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 26,
стр. 198, 1917.] Под полным изменением функции ){х) в интер-
интервале [а, Ь] понимают верхнюю грань выражения
составленного для всех возможных разбиений интервала [а, Ь]
(обозначения те же, что и в начале настоящей главы). Функции,

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
229
имеющие конечное полное изменение, называют функциями с огра-
ограниченным изменением.
о Lv=i
a+v
10. — Дл =
где a+(v—\)
V — J
b — а
Ъ-а
b — a
Следовательно,
v=1	v=1
где Мч и mv обозначают соответственно верхнюю и нижнюю
грани производной /' (л;) в v-м подинтервале. Имеем:
11. lim п^'п = ^^[/' (й) -/' (а)], ибо
24
f{x)-f[a+Bv~\)b-^a
Член, линейно зависящий от х, уничтожается при интегрировании
Г\ i - 1\ Ь — а . Ь — а\ п 1П
a-j-(v— I) ——, a-\-v—^— . См. 10.
12. Имеем [11]:
Ъ-а
2/1+ 1
а
, ,, Ь — а
2 S
2/1+1
Ъ — а
л + 1
i\ \

230	РЕШЕНИЯ
Искомым пределом служит
В случае, когда f'(a) = O, этот результат вытекает из 11, если
рассматриваемую там функцию / (х) зеркально продолжить влево
от а и заменить п на 2п + 1.
13» В 10 и 11 подставить / (х) =-г-—, а= 0, й = 1. См. также 5.
1 —j— X
14. [Подробнее см. в статье G. N. Watsori\, Phil. Mag. C),
т. 31, стр. 111-118, 1916.]
	 . v.n
. _ 1 Sin
'	n
n—\
(га — v)n п '
а это выражение, принимая во внимание 9, равно
J
ш п(\—х)
15.	[E. Cesaro, задача; Nouv. Ann., серия З, т. 17, стр. 112,
1888. Решение —G. Pol у а, там же, серия 4, т. 11, стр. 377 —
381, 1911.] Подставить в 10 /(х) = хInх, а = 0, Ь=\. Хотя пред-
предположения задачи 10 и не вполне удовлетворены, тем не менее
утверждение сохраняет силу.
- п
16.	Полагаем Р (х) = 2~ + ^ I~v Р == С1 ~е а)~1- Тогда
V — 1
Р(х) = а есть уравнение («+1)-й степени. Оно имеет в каждом
из 'интервалов @, 1), (-1, 2), B, 3), ..., (п—1, п), (п, со) по
одному корню. Пусть последний будет хп. Полагая в 12 f(x) =
= о—, а = 0, 6 = 1, получим:
Так как Р (х) убывает при х>п, имеем xa<l(n + -д-1 p. По тео-

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	231
реме о среднем значении заключаем, далее, что
Последняя дробь стремится к нулю [12], ибо
1
17.	Из а — \ „ р , dx получаем р== . .„ и дальше, как в 16.
О
18.	[J. Franel, см. Cesar о, стр. 273*); ср. с эйлеровой
X
формулой суммирования.] Полагаем F (х) = ^ / (х) dx. Из равенств
1	1
где
v <iv<'v + "<Tlv<v+ I (v=l, 2, ..., п— 1),
посредством сложения получаем:
= 1 [/' (ЛО - /' (Si) + /' (Tie) - /' (SO + • • • + Г (n»-i) - /' (S-i)]-
Ряд
- /' (Si) + Г (Tli) - /' (h) + Г Ы - Г (Sa) + /' (т]з) -... = 8s
сходится, как знакочередующийся ряд с монотонно убывающими
по абсолютной величине членами, стремящимися к нулю. При
/' (а:) < 0 имеем:
У'(п)<У' (Ы <-jW Ы - Г (In)+Г (ть+1) - f (Inu) + ¦ ¦ ¦} <о.
Отсюда при f(x) = — вытекает существование предела
*) Чезаро, ч. I, стр. 336.

232	решения
(эйлерова постоянная), а также неравенство
¦2п
^""^г^Т + У+З^	^n ~ln tl~C<2h-
При f(x) =— \пх получаем:
In п\ = (« + у) In /г —/г + 1 — 5 + ея,
где s —постоянная и 0<е„<„-. Формула Стирлинга [205]
утверждает, что 1—s = ln]^2n.
19.	См. решение 18. Рассмотренная там сумма
| [/' Ы - Г (ii) + Г Ы - Г Ы + ¦ ¦ ¦+/' (л-i) - Г (L-i)]
в данном случае положительна. Далее,
Г (Tli) - Г (Ы < 0, /' Ы - /' (|з) < 0,...,/' (гь-О - /' (?л..а) < 0,
/'(Si) >/'(!). Г (Лл-iX/'(")•
20.	[См., например, I. с. 9.] Пусть /(*),¦ скажем, монотонно
возрастает (в противном случае достаточно было бы рассмотреть
— /(л:)); т,огда
0	1
п
Предположение монотонности существенно лишь для точек, в окрест-
окрестности которых функция I (х) не ограничена.
21. Мы можем принять, что / (х) возрастает [20] и /(лJэО
(в противном случае достаточно было бы разложить / (х) на сумму
jj.x)-r\i(x) I _|_ I \х) —^ IW 1 и рассмотреть в отдельности оба слага-
слагаемых). Выберем е>0 и т) @<т)<1) так, чтобы выполнялось
неравенство \ f {x) dx<e. Тогда
1 *V1	/ v \ / v \ С
"~>0°	v = 1	О
С другой стороны, обозначая через М верхнюю грань |ср(х)|,
имеем:
п—1
1
— 1

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
22.	Положить в 20 f(x)=xa-1.
23.	ап= l» (л- 1)Р
233
/г— 1
=«а+м 2 ^(яГ1!1-^-»
См. 20.
24.
v=l
л: 1 —ж'
25. Пусть f (х) имеет конечный предел, скажем, при
и монотонно убывает. Из неравенства [20]
вытекает, что левая часть ограничена, т. е.
lim ^ f (л:) с^л;
конечен.
26. Пусть, например, f(x) убывает. Тогда
2/г— 1
T
1
Ш
следовательно, тем более
2/1
2 J f(x)dx+ J
2n"— 1
2n
J
~2n
Впрочем, имеем также:
v = 1
v = 1
2v-l
L
2я—1
f
2л
2 ft— 1
f
f f{x)dx.
1

234	решения
27. См. 28 для f(x) = &~1.
28. |"f(-i)«/0=4i (Kz
v=l	v=l	v=l
[20 и решение 26.]
29.	См. 26.
30.	Так как lim f (х) — 0, то / (х) должна сохранять постоянно
один и тот же знак. Предполагая f (x) положительной и убываю-
убывающей, получаем:
(m+l)ft	mh
\ f (x) dx^h\J (h) + f (Щ + ... + f (mh)]^ \ f(x)dx,
h	0
откуда, переходя к пределу при т-^-оо,
/1= 1
Предположение монотонности существенно лишь для больших х.
31.	Полагая в 30 f (x) = е хха'г, e~h — t, получаем:
Г(а)= lim
= lim A-0а2 Да"^ге= lim a(a+1)"""fa+H-l) [I 89].
~*	n= i	~*
32.	Из 30 при f(x)=e-x(-,——; — ~), e~h — t, принимая во
внимание, что
со
e~"h , 1
h
2
33. Из 30 при f(x) — Л -х,.е h = t, принимая во внимание,
что
С е~х	С
о	о
или из 32 на основании тождества
00
у л_
ш, \~\-tn
СО

отдел второй	235
34> На основании равенства
СО / ОО
Можно было бы вести доказательство также следующим образом:
имеем [VIII 49, VIII 65]
Л=1
n—1	п=1
Применяя 45 и I 88, получаем требуемый результат.
35а Из 30 при f(x)=e~x\ е~*а; подстановка е~нг —t, соот-
соответственно е~н<1 = t.
3@. Предел равен п. Из 30 при /(*) = гг-а, h~1 = t. Ср. фор-
формулу
1 . It . It , , 2t ,	ent+e-nt
t i ^a-(-l2 ' f2 + 22 ¦'" ' t%Jt-rfi '" e™	е~лг
[Hurwitz-Courant, стр. 120,*)].
37. Из 30 при f(x) = InA +xa), h—t a. Производя замену
переменных и интегрируя по частям, находим:
00	00
38. Применяем 30 при f{x) = \n A — 2х~2 cos 2ф + ^~4). Пола-
Полагая ^ = уе1Ср в формуле для -^- и беря в обеих частях квадрат
абсолютной величины, получаем:
п= 1
39а Имеем:
П(. 2cos2q> . Л \ да Г ^sin<p -^sin<p	/2л
1
а	оо
7Л+1 In а < ] In л; dx < 2 (а^Л - а^"+1) Яп 1п а =
0	л=0
*) Гурвиц, стр. 164. Fy р ви ц—К у Р ан т, стр. 124.

236
РЕШЕНИЯ
при q-*-\. Можно извлечь отсюда результат общего характера,
аналогичный теореме 30.
40. Принимая во внимание 58, получаем:
V = 0
k— 1 °°
По поводу деталей предельных переходов см., например, С. Jor-
Jordan, Cours d'analyse, т. 2, 3-е изд., стр. 218 — 221, Paris,
Gauthier-Villars, 1913.
41. [По поводу задач 41—47 см. G. Polya, Arch. d. Math,
u. Phys., серия З, т. 26, стр. 196-201, 1917.]
42.
«я, I i а - ш) - i а - ш) *.- >?. i (т -
где С —эйлерова постоянная. Полагая
1
Ф. (Об) = 1 —*	(XX = ~^ч"
замечаем, что также
1
JadO
о
Иными словами [44], операции образования среднего значения и
предельного перехода оказываются перестановочными.
43. [См. Cesar о, задача; Nouv. Ann., серия 3, т. 2, стр. 239,
1883.]
v=l
__ J
44. [G. L. Dirichlet, Werke, т. 2, стр. 97-104, Berlin,
G. Reimer, 1897; см. G. Polya, L-c, 41, стр. 197 и Gott. Nachr.,

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	237
1917, стр: 149—159.] Задача приводится [VIII 4] к вычислению
предела
v = 1
J	j
j	r» j	xa
0
При а = у согласуется с 41.
45. [L. с. 41, стр. 199 — 200.] Пусть сначала а>1; тогда
I
oo	n
:= Zn _
Я=1 _J_
n+i
Полное изменение функции --(¦«" = /(*) [см. решение 9] есть
Отсюда вытекают оба утверждения задачи [9]. Первое из них
справедливо также для а=1. При 0<а-<1 рассматриваем
(	— )л;а и принимаем во внимание 22.
46. [L. с. 41, стр. 200-201.] Полагая --\-]=f(x),
имеем [42]:
\f{x)dx=\-C;
о
кроме того, полное изменение f(x) в интервале (—-, 1) равно

238-
2(m— 1). Имеем:
РЕШЕНИЯ
v=l
W*-! 2 /ft
m ^ 1
V= 1 О
2(m—1
Так как — >—, то первый член не превосходит п—- [9],
второй меньше —.
47.
v=l
(- i)v~
V=l	V=l
Отношение первой суммы к п стремится к нулю [28].
48.	Вытекает из определения определенного интеграла.
49.	Вытекает из 20 при f(x) — lnx. Относительно интеграла
1
§ In х dx см. 394
о
50. Полагая с — -т, имеем:
51.
!п\(п\ln\ In
"/с с+1 с+2 с + п—1 '
Ък — V п п . п '" п
Ап~	л, и-1
. Далее,
[29].
2га
A!2!3!...лГ
\n+l-2v.
v= 1
ибо 2 (я+1 —2v) = 0. Применяя 20, получаем:
у=1
(-7T+T-J
-2V
= С A —2x)In

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
239
52.	В 48 полагаем fix) = 1 — 2r cos л: + г2 = | г — eix\2, я = 0,
b — 2я. Из тождества
п I	2jtfv\
г" - 1 = YI [г - e~J
v=l
заключаем:
/lnfin • • • Inn — V 1) •
При г=\ отбрасываем обращающийся в нуль множитель fnn и
основываемся на 20.
53.	[G. Szego, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 25, стр. 196, 1917. Решение —J. Mahrenholz, там же,
серия 3, т. 28, стр. 79 — 80, 1920.] Предположение задачи озна^
чает, что е'х(е'^ — г) вещественно, т. е. что аргументы у ёх и
е'^ — г либо совпадают, либо дополняют друг друга до 2л. Так
как | есть ближайшее к х число, обладающее этим свойством,
тр. должен иметь место первый случай, откуда е'% есть точка пере-
пересечения луча, выходящего из г параллельно вектору е'х, с окруж-
окружностью единичного круга. Если поэтому 0^л;<я и |' соответ-
соответствует х-\-п, то е1^, г и е%' лежат на одной прямой. Так как
произведение отрезков на хорде, проходящей через фиксирован-
фиксированную точку, не изменяется при вращении хорды, то имеем:
| ес? _ г |21 е* - г |2 = A - 2r cos I' + г2) A - 2r cos | + г2) = A - г2J
и, следовательно,
л
~ J [In (I - 2r cos I + г2) + In (I - 2r cos g' + r2)] dx =
о
54. Из степенного ряда для ln^-j-*) получаем, что при
, ' 1
Пусть \f(х)\<М. Тогда при 6ПМ^-^ будем иметь:
п
V=l

240	РЕШЕНИЯ
Стоящая справа сумма при я-»-оо стремится к некоторому инте-
интегралу. См. также 67. Вместо разбиения интервала [а, Ь] на рав-
равные части можно рассматривать и другие разбиения, беря при
этом ординаты вообще в любых точках получающихся подинтер-
валов,— совершенно так же, как при определении интеграла.
Рассматриваемые образования стоят в таком же отношении к интег-
интегралам, в каком бесконечные произведения находятся к беско-
бесконечным рядам.
55. Согласно 54
1
- 1+™ i"*
1
~\xdx
„ о
= е.
58. Рассматриваемое произведение равно
1-3-5 ... Bга —1)к"-2ге
n
(га + 2)а
(п+1)а—1 (га+2)а — 1 '' * (п+п) а —1
1	1
ц\.--Л-L
[54].
ЫИ
Частный случай, когда а = 2, т. е. тождество
2_ A A A A 21 __!_
2 ' 2 ' 6 ' 6 ' 10 ' 10	1/2'
получается также из разложения cos* в произведение при #=-^-;
[Eulet, Opera Omnia, серия 1, т. 17, стр. 419, Leipzig und
Berlin, В. G. Teubner, 1915.]
j__ a + vd _, , a — P	1	б
"& + vd~~r" б , . P + v6 n *
Замечание к решению 54 применяем к функции f(x) = к б ¦ 1,х-
в интервале [0, б].

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
241
58. Пусть п четно, п = 2m,
v>m. Тогда
vT--
У т
m m — \ -m— (v — m — 1)
V
L'"
A,yr2; далее,
_ J
Ч2
J *
Дальше замечаем, что
2m
т
у
[54].
[202] и что в случае л нечет-
ного, n =
/2m+l\	/ 2m
\ v / m + 1 U-l
П
/2m + l\
U + l/
n
IT
v /2яЛ •
Bn-vJ
t
П
v= 1
B«_VJ
1
(a - д
dx
v — 1 H
4n
Правомерность замены sin—-^ на /— обосновывается путем
^ на /
разложения в ряд по ——• и логарифмирования произведения, как
в 54.
60. Введем для интересующей нас второй разности обозна-
обозначение
F(b, d)-F(b, c)-F(a, d) + F(a, c)=A*F(x, у).
R
Тогда
, у).

242
РЕШЕНИЯ
Применяя дифференциальную теорему о среднем значении к функ-
функции
Gv(x) = F(x, yy)-F(x, yv^),
получаем:
A2F (х, у) = Gv (д^) - Gv (х^г) =
= \%\i ^-1) \У\ Ум-i) / (ьц> 1v)
Hl i %. Уч-1 <4v< Ум)¦
См. 7.
61. Умножая по строкам указанный определитель на опреде-
определитель, получающийся из него заменой е на е, находим:
| l+e^ + e2(^) + ... + 8("-1)(^)|?lt(i==o, 1, ....11-1= я".
С другой стороны,
О, 1	п— 1	0, 1	л— 1
П
2 sin
1
я
i <k	j<k
Сравнивая эти два выражения, получаем:
О, 1,...., п— 1
2	я2	. / /я kzt \ я2
Принять во внимание 20!
62.	См." 54.
63.	Обозначим интересующее нас выражение через П„. При-
Примененное в решении 54 неравенство дает:
i if i'№•¦?
(n достаточно велико). Неравенство Коши [80] дает для правой
части верхнюю границу"
**2« 2 ['(*•*)]¦•
v=1 ц=1
при возрастающем п стремящуюся к нулю. Следовательно,
11
,| J f (х, у) dx dy
lim Un = e°°
rt->oo
64. [См. G. Polya, Math. Ann., т. 74, стр. .204 — 208, 19r3.]
Разобьем пространство тремя рядами плоскостей
х, у, г
_5_	з_
2п' 2п'
1 1
2и ' 2л

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	243
на кубы объемом пгъ каждый. Интеграл задачи I 30 при s = [na]
представляет количество кубов, центры которых лежат в обла-
области 33. Умноженный на п~3, он стремится к указанному простому
интегралу, как к пределу.
65. Имеем:
p
Zj Zj ••• Zj vi v2 •' p —i
vx + v2+ ... + vp_1<n
откуда
X (я — vx — va —... — vp^)ap ~ ,
On
= _L_ V V	У Ш * l?i
ПР-1 Zj Zj	' ' - Zj \ n )	\ П
D4^Г
66. В обозначениях предыдущей задачи, имеем согласно реше-
решению 31
h(t)~T(ak){\-t)-ab (fe=l, 2, ..., р)
при t-+l— 0. Далее, полагая
имеем:
т. е.
lim Mlh{th--fP(t) Г(а1)Г(о8)...Г(ор)
С другой стороны, согласно I 85 и II 65 этот предел равен
указанному интегралу. Отсюда можно вывести без труда и р-крат-
ный интеграл Дирихле-Жордана (см. С. Jordan, Cours
d'analyse, т. 2, 3-е изд., стр. 223, Paris, Gauthier-Villar-s, 1913).
67. Интересующий нас член
Zj • • • Zj h^h^n ¦ ¦ ¦ /v n
V< V<	< V^n
" Zj
V2< . .
= ^T J .J • • • J

244	РЕШЕНИЯ
Между прочим [I 62], мы имеем:
В соединении с полученным результатом это дает [I 180]:
Ъ	I Ь	. 2
Метод, лежащий в основе этого нового решения задачи 54, может
быть также применен для обоснования предельного перехода,
встречающегося при -решении интегрального уравнения типа
Фредгольма. Можно, обратно, вывести 67 из 54, основываясь-
на I 179.
68. Построчное перемножение дает определитель т-т'о по-
порядка Р с общим членом
v=l
Ь
^е \ h(x)% (x)dx
= 1, 2,
m).
С другой стороны
"Г"
jp
I
iS)
v2n
си
Km) Hm)	t(m)
'v,n lvan ••• 1у„п
у-п
qj(
(m)
Придавая здесь vlf v2, ¦••, vOT независимо друг от друга все
значения 1, 2, ..., п, мы получим слева пг\Р. Сумма в правой
части будет асимптотически равна указанному в задаче т-крат-
I п \т
ному интегралу, умноженному на [-<——! .
69.	Вытекает из теоремы об арифметическом, геометрическом
и гармоническом средних путем предельного перехода [48].
70.	[J. L. W. V. Jensen, Acta Math., т.' 30, стр. 175,
1906.] Поступаем аналогично приведенному в примечании на
стр. 74—75 доказательству Коши теоремы об арифметическом гео-
геометрическом и гармоническом средних (соответствующей случаю
(p(t) = \nt): доказываем утверждение сначала для случая п = 2т,
затем вообще.

отдел второй	245
71. [J. L. W. V. Jensen, 1. с. 70.] В обозначениях за-
задачи 48 имеем для каждого п:
^ ф (Ы + ф (fin) + • ¦ ¦ + ф (fnn)
Безгранично увеличиваем п и принимаем во внимание 124, ПО.
72.- Если tx и t2 — произвольные две точки интервала [т, М],
причем tx=/=t2, то
Ф&) = <
где тх и т2 —две надлежащим образом выбранные точки соответ-
соответственно между ty и iiiA и между t2 и ¦/l"^-?-. Если всюду
ф"@>0. то отсюда получаем:
v
73.	[72.]
74.	[J. L. W. V. Jensen, 1. с. 70.] Для целочисленных pv
утверждение вытекает из 70, в применении к Рх + р2+ ¦•• +Рп
точкам, из которых рх совпадают с tlt p.2 — с t2, ..., рп —с /„.
Это доказывает теорему также для рациональных pv; отсюда без
труда получается теорема для произвольных pv, если принять во
внимание непрерывность <р(^) [124].
75.	[J. L. W. V. Jensen, 1. с. 70.] Вводим обозначения
(v = l, 2, ...,»),
тогда по 73
„ ( Plnfln ~Ь Pznhn -\- • ¦ ¦ Ч~ Pnnfnn
ИЛИ
-> Ршф (fin) + АгяФ (/ад) + • • • + Р/шф (fnn)
~"	Pln + P2rt+ ••¦ +Р/г/г
Теперь безгранично увеличиваем п.
76. [О. Holder, Gott. Nachr. 1889, стр. 38.] Положим
¦¦¦ +Pnfn _.Д|.
Р1 + Р2+ ¦¦¦ +Рп	'
тогда
Ф (f?) = Ф (УИ) + (tv - М) Ф' (М) + (^V~MJ Ф" (tv)

246	решения
и, значит,
Р1 + Р2+ ¦¦¦ +Рп
2
если по'крайней мере одно из чисел tv — M отлично от нуля.
77.	[См. G. Polya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 21, стр. 370—371, 1913.] Аналогично 76.
78.	Полагаем в 76 <р@ = —1п^> соответственно tint, УИ>
>т>0, и заменяем av На — (v= 1, 2, ... , п).
79.	Полагаем в 77 ф(/) = —1п^, соответственно tint, M>
> т > 0, и заменяем f (x) на -гт-г •
80.	Первое доказательство.
1, 2	п
2
v=.l v= 1	4 = 1	/	i<.k
Второе доказательство. Форма
квадратичная относительно переменных X и ц, будет для всех X
и ц, Я2 + ц2>0, положительна (соответственно неотрицательна,
если можно подобрать такую пару значений X, \i, чтобы удовлет-
удовлетворялись уравнения hxv-{-^bv — b (v = l, 2, ..., п)). Отсюда выте-
вытекает, что дискриминант АС —В2 должен быть положителен (неот-
(неотрицателен).
81. Получается предельным переходом из 80. Полагая
получаем [80]:
2n+ ¦¦¦ +fnngnn\2
l
\n'l<in
п	п
Теперь безгранично увеличиваем п. Можно, впрочем, непосред-
непосредственно перенести методы доказательства теоремы 80; по поводу
первого см. 68.
82. Пусть t^=0. Положим a^ = Av (v=l, 2, ..., п). При-
Применяя 78, получаем:

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	247
Имеем:
), 4>(-1) = ф(а), Ч>@) = @(а), ^A) = Щ (а).
Тем самым мы получили новое доказательство теоремы об ариф-
арифметическом, геометрическом и гармоническом средних.
83> Полагаем [f(x)Y = F(x) ((фО). Применяя 79, получаем:
(To же можно получить и посредством предельного перехода
из 82.) Имеем: '
Т (-1) = ?(/), ^@) = ©(/), ?A) = Я0).
Желая вычислить ?(+0x3), обозначим через М наибольшее
значение функции / (х) в интервале х±^х^х2 и через б — длину
подинтервала,"в котором f(x)>M-*-e. Тогда при />0
откуда ?(+оо)= lim W(t) = M. Аналогично вычисляется и
Чг(—схэ). Мы получили, между прочим, новое доказательство
теоремы 69.
84л [См. Н. Minkowski, Geometrie der Zahlen, стр. 117,
сноска, Leipzig und Berlin, В. G. Teubner, 1910.]
Первое доказательство. Пусть Q^t^l. Положим
v = l
тогда [80]
Ф" @ _ _L / V	av-&v V _'± V -/ av-&v \2 ^ n
»! L tav + (l-t)bv\ n jL \tav+iy-t)bv) ^ '
L v + ()v
v = 1	/	v = 1
если только av не пропорциональны 6V (v= 1, 2, ... , n). Част-
Частный случай теоремы 90.
Второе доказательство. Положим In bv — In av = tv.
Тогда интересующее нас неравенство перепишется так:
,

248
РЕШЕНИЯ
Справедливость его следует теперь из того, что ln(l-fe') пред-
представляет собой функцию, выпуклую снизу [73].
85. [См. W. Blaschke, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3
т. 24, стр. 281, 1916.] Полагаем
In [tf (x) + A -1) g (x)] dx
тогда согласно 81 имеем:
\2
-t)g(x)
	L_f
(Можно получить также с помощью предельного перехода из 84.)
Частный случай теоремы 91.
86.	Последовательно применяем 85 к функциям
Pl/lW. P2/2W	Pmfm(x).
87.	Имеем:
= SUp
для всех возможных разбиений интервала [xlt а'2] точками ^ =
= xw < хA) < ... <xu~x) <A:(n> =х3. Следовательно, для любого
разбиения будем иметь:
2j
Так-как функция ]/с3 + ^ в любом интервале выпукла снизу
[73], то правая часть
v = l
откуда вытекает утверждение.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
249
88. Полагаем
2Я
P(l)dl' (v=l, 2, .... п),
(V-D
2я
Тогда
\imFn(x) =
равномерно относительно х. Действительно, обозначая через
со„ максимум колебания / (л:) в интервале длины —¦ (стр. 84),
будем иметь:
2Я
2я
Тем самым @(F)= lim &(Fn); согласно 86 ©I
п ->ео
89. Прежде всего в обозначениях решения 88 lim Fn (x) = F (x)
п ~> со
и притом равномерно относительно х в интервале
А именно
2я
V = l . .. 2Я
(V - 1) —
2я
~Мах(р)
откуда
где V обозначает полное изменение f(x) в интервале [0, 2л].
Так как длина дуги кривой y = f (v—1)—• -\-х) для всех v
2я
равна /, то [87] для длины Ln кривой y = Fn(x) имеет место

250	РЕШЕНИЯ
оценка Lns^L Кроме того, при любом разбиении 0 = д;@)
< ... <л:(^1)<хE) = 2я интервала [0, 2л] имеем:
2	(xfa)) -F (*
a=l
= lim 2] K(x(a)-*(a-1)
F. Lukacs рассмотрел следующий интересный случай этой
теоремы: длины дуг кривых, соответствующих средним (в смысле
Фейера) ряда Фурье функции f(x) [134], не могут превос-
превосходить длины самой кривой y = f(x), О^л^Зя. (В точках раз-
разрыва функции / (х) скачок причисляется к длине дуги; равным
образом и |/(+0)-/Bя-0)|.)
90. Пусть хфО [84]. Полагаем Av = tav-\-(\—f)bv, 0 < t ==? 1,
v = l, 2, ..., п и ф(О = ЭЛи(Л). Тогда
X [(а1-Ь1)*АГ°- + (а2-Ь2уАГг+ ¦¦¦ +(ап-ЬпуА%-°-\-
-U<h-b1)A*r1 + ((h-bt)A?-1+ ... +(an-bn)Arn-1f}.
Выражение, стоящее в фигурных скобках, всегда положительно,
если только av не пропорциональны bv (v = I, 2, ..., п) [80].
Поэтому sgri9"(/) = sgn (х—1) и, значит,
2 ,^ или
смотря по тому, будет лих^1 или =s;l. При х = 2 5ЛИ (с) пред-
представляет расстояние точки (аг, а2, ..., аг) «-мерного простран-
пространства от начала. В этом случае теорема утверждает, что длина
одной из сторон треугольника не превышает суммы длин двух
других.
91.	Полагаем в 90 av — f(x-,-{-v *2~Xl) bv = g [x, 4-v *2~~Xi)
(v = l, 2, ..., п) и безгранично увеличиваем п.
92.	[По поводу частного случая, когда awbv=l, v = l, 2, ...
..., п, см. P. Schweitzer, Math, es phys. lapok, т. 23,
стр. 257—261, 1914.] Перенумеруем числа av в порядке возра-
возрастания: ^^а^^. ... ?^ап. Тогда при разыскании максимума мы
можем ограничиться системами значений bu b2, ..., Ьп, распо-
расположенных в убывающем порядке: Ьг ^ Ь2 5= ... 5s bn. В самом
деле, если Ь^<сЬ^, a v<|i, то Ьу-^-Ь^^Ь^-^-Щ, avbv-\-avb]X^
5га^ц + 0(А' и можно поменять местами bv и йй. Далее, мы
можем предположить, что не все av, как и не все bv, совпадают,
т. е. что
anbi — <hPn = (о» — Oi) bx 4- ах (Ьг — bn) > 0.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	251
Считая, что п > 2, определяем числа «а, м3> • • •» "я-i» 02» уз»
..., оп_! уравнениями
al = uva\ + vva\, b$ = uvb\ + vvb% (v = 2, 3, .... п— 1).
Имеем «v^0, i>v^0; далее, a^v 3» «vO^ + 1>уа„&я [80]. Равен-
Равенство «V=D справедливо тогда и только тогда, когда ov=l,
av = Ov+1= ... = а„, bv — bv+1= ... = йл. Таким же точно обра-
образом из t>v = 0 вытекает, что «v=l, и т. д. Если «v>0, uv>0,
то av6v>Mva161 + yvfln&n.
Полагая 1+ы2 + «3+ ... +««-i = P. с2 + с3 + ... + с>„_1 + 1 =<7»
получаем, что интересующее нас выражение не превосходит
Совпадение может быть тогда и только тогда, когда «v, убудут
частью нули, частью единицы, р и q — целые и ах = а3 = ...
... == ар, ар+1 = ap+2 = ... = ап, Ь1 = Ь2= ... = bp, 6P+1 = &р+2 = ...
... —bn. Но последнее выражение равно
\+рп
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда
раф-L = qanbn- Заменяя под знаками корней alt an, blt bn соот-
соответственно на а, А, В> Ъ, отчего величина корней может только
увеличиться, мы и получаем искомый результат.
93ш [По поводу частного случая а = Ь, А = В см. J. К й г-
schak, Math, es phys. lapok, т. 23, стр. 378, 1914.] Полагаем
в 92
( iif)	( ^S) (v=l, 2, .... я)
и безгранично увеличиваем п.
94. [G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 28, стр. 174, 1920.] Пусть функция f(x) не равна постоянной.
Покажем, что квадратичная форма
Q(x, y) =
+ Bb + 1) f У] dt = Ax2 + 2Bxy -fc С^г
является неопределенной, т. е. что ЛС —52<;0. Интегрируя по

252	РЕШЕНИЯ
частям, получаем:
1
в предположении, что /A)= Hm f(t) конечно; это дает:
t-*i—о
1
Q(x* y) = f(l) (x + yf — \{tax + tbyJ1df (f),
о
откуда Q(l, l)>0, Q(l, —1)<0. В случае /A) = оо мы также
получаем с соблюдением некоторых предосторожностей [112], что
)<
95а [G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 26, стр. 65, 1917. Решение —G. Szego, там же, серия 3,
т. 28, стр. 81—82, 1920.]
96.	[См. I. Schur, Sitzungsber. Berl. Math. Ges., т. 22,
стр. 16—17, 1923.] Пусть хи х2, ..., хп положительны. Так как
In л: есть функция, выпуклая сверху в любом положительном
интервале, имеем:
1пг/A2гой11пл;1 + ай21пл;2+ ...'+ атInxn (jli = 1, 2, ..., п).
Складывая эти неравенства, получаем требуемый результат.
97.	[G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 20, стр. 272, 1913. Решение —G. Szego, там же, серия 3,
т. 22, стр. 361—362, 1914.]
98.	[См. Е. Steinitz, задача; Arch., d. Math. u. Phys.,
серия-3, т. 19, стр. 361, 1912. Решение —G. Pol у а, там же,
серия 3, т. 21, Стр. 290, 1913.] Имеем g(x) = 0 при целом х и
g (х) = 1 при нецелом х. Отсюда G (х) = 0 для х рационального и
G(x) = i для х иррационального. Все нижние суммы равны нулю,
все верхние в любом интервале а^х^Ь равны Ь — а. Таким
образом, G(x) не интегрируема ни в каком интервале.
99.	Пусть х иррационально, /(х) = 0; тогда x + h либо ирра-
иррационально, т. е. f(x-{-h) = O, либо, . если х-\-h рационально,
x-\-h = ~, имеем f(x-{-h) = -, что стремится к. нулю вместе
с h. Если х рационально, х=-, то f(x) = q~x, и при x-\-h ирра-
иррациональном, f(x-\-h) = O, имеем f(x-\-h) — f(x) — — q1. Все ниж-
нижние суммы равны нулю. Разобьем теперь интервал 0^x=s;l на
k3 равных частей. Так как имеется самое большее 1+2+...

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	253
о„о -\-(k—\)=— ~ положительных правильных дробей со
знаменателями s^k, то верхняя сумма < ~ ' -^ -f- ~ш Л~п • 1 •
100. Обозначим колебание f (х) в интервале [xv-lt *v] через
Qv. Пусть, кроме того, |ф(дс)|<М. Тогда
п	п
Yl f (У*) Ф (Tlv) (-«v ~ *v-i) - I] / Ы Ф (T)v) (-«v - V
v=1	v=l
v = l
Выражение в правой части стремится к нулю..
101. Обозначим через Qv колебание <р(х) в интервале
(v=l, 2, .... л).
Пусть, кроме того, |ф(х)|<;Л1. Беря 6< ~~, будем иметь:
6	п — 1
2	^
v = 1
102. Образуем, как на стр. 56, верхнюю и нижнюю суммы
О = 2 Mv (xv - Xv-i), i/=]]fflv(^- Xv i),
выбирая разбиение a — xo<Zx1<i ... <xn_1<xn = fc так, чтобы
выполнялось неравенство О —f/<e. Функцию Ч'(х) определим
следующим образом: ?(x) = 7Wv в полуоткрытых подинтервалах
xvlsgA;<-v:v (v = 1, 2, ... , п—1) и ?(х) = УИ„ в замкнутом
и-м интервале x^^x-s^Xn. Аналогично определим ty{x) через
mv. Очевидно, будем иметь:
Выбор точек разбиения подчинен лишь тому единственному огра-
ограничению, что максимальная длина лодинтервалов xv_x sg; x sg xv
(v= 1, 2, ... , п) с возрастанием п должна стремиться к нулю.
Таким образом, эти точки можно взять, в частности, на равных
расстояниях друг от друга. Определенные только что функции
ty(x), ? (x) непрерывны справа, но можно было бы сделать их
непрерывными слева.
103. Определим ? (х) и \|з (х), как в решении 102. Полное
изменение функции ? (х) равно
1^-^!+ ... +\ Мп-Мп^,

25*	решения
а полное изменение ty (x) равно
3 — rn2\+ ... +|тл-тл_1[.
Оба они не превышают полного изменения функции f(x), так как
в каждом частичном интервале х^г ^ х <: xv функция f(x) при-
принимает значения, сколь угодно близкие как к Mv, так и к mv.
104. Разобьем интервал [О, 1] на п равных частей и рас-
рассмотрим какой-либо из подинтервалов 1^^—, —-1. В левой его
половине s (пх) = + 1, в правой s (пх) = — 1. Поэтому
In n
v=l
Выражение в скобках по абсолютной величине не превышает
колебания f (х) в интервале ¦	=^х=^—.
105. [Riemann, Werke, стр. 240, Leipzig, В. G. Teubner,
1876*).] Мы можем положить а = 0, Ь = 2п. Имеем:
2л
\ f (x) sin nxdx =
Выражение в скобках по абсолютной величине не превышает
колебания f (х) в интервале (v— I) ~^-^x^v -~.
106. [L. Fejer, J. fur Math., т. 138, стр. 27, 1910.] Можно
положить а = 0, Ь = 2п. Имеем:
2я
$
0
f(x)
sin nx
dx —
п
v=I
V
(V-
п
\
1)
2я
2я
^ 2 /v-л . \ isinn^j dx,
n
где /v« — некоторое значение, заключающееся между верхней и
нижней гранями f (х) в интервале (v— 1) — г^х-==; v —.
*) Б. Риман, Сочинения, Гостехиздат, 1948, стр. 250—251.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	255
107.	Если множество точек разрыва ограниченной функ-
функции f(x), заданной в интервале а, Ь, имеет лишь конечное число
предельных точек, то все точки разрыва можно заключить в конеч-
конечное число интервалов, сумма длин которых как угодно мала, так,
чтобы вне этих интервалов / (х) была непрерывна. Но тогда,
очевидно, f(x) будет собственно интегрируема. Интересующая нас
,	111.1
функция имеет точками разрыва -к-, -~-, -.-,...,—,..., к кото-
рым при а = 0 прибавляется еще точка 0.
108.	Согласно критерию Римана в каждом подинтервале
[а0, Ьо] интервала [а, Ь] можно указать такой еще меньший под-
интервал [aL, fcj, frx — ах<. °"^°0 , чтобы колебание в нем было
меньше половины колебания в [а0, Ьо]. Таким образом, мы полу-
получаем последовательность вложенных друг в друга интервалов
[аа, Ьп] (п= 1, 2, 3, ...), таких,'что Ьп — а„< °~а° , причем коле-
колебание / (х) в [ап, Ьп] меньше -к^ колебания в [а0, Ьо]. Точка а —
= lim а„= lim bn лежит в [а0, Ьо], причем в этой точке f(x)
л->со	п-»оо
непрерывна,
109.	Пусть /(?)=*Q в каждой точке непрерывности ? функции
/(х), а<с\<.Ь. Имеем:
\ U (х)? dx = lim J] [/ (lv)f (xv - xv^),
a	v= 1
где ^v — произвольная точка интервала xv-1<.l<,xv, а макси-
максимальная длина этих интервалов с возрастанием п стремится к нулю.
Согласно 108 можно ?v выбрать так, чтобы / (х) была непрерывна
при x = ?v и, значит, /(?v) = 0.
Пусть, с другой стороны, /(|)=^0 в некоторой точке непре-
непрерывности | функции f{x), a<i\<ib. Тогда можно будет указать
такое достаточно малое б, 6>0, чтобы при \х — Е|<б выполня-
выполнялось неравенство [/(*)]2> п • Отсюда будем иметь:
fdx^ \ [f(x)fdx^8[f(m2>0.
1-6
110> Зададим произвольно малые s и rj (s, т]>0). Выберем
прежде всего такое б, чтобы при |г/х — г/2|<^ выполнялось нера-
неравенство | ф(#х) — ф((/2) I <8- Далее, так как f (х) интегрируема,
то можно указать такое подразбиение интервала asc;xs^b, чтобы
общая длина тех подинтервалов, в которых колебание больше
или равно б, была меньше г\. Тогда в других интервалах коле-
колебание функции ф[/(х)] не будет превышать s.

256	РЕШЕНИЯ
111. [См. С. Caratheodory, Vorlesungen uber reelle Funk-
tionen, стр. 379—380, Leipzig und Berlin, A. G. Teubner, 1918.]
Пусть f (x) определена, как в 99, G(x) — как в 98, и
Для// = 0,
\ для
Тогда (p[f(x)] = ()
112. Пусть f{x), скажем, не возрастает. При 0 <*<-,,- имеем:
х) dx ^ / (*) $ ха dx = x^f (х)
?.	?.
2	2
2x	2x
xa f (x) dx < / (x) J x- dx = xa+4 (x) 2^=1.
x	x
При a — —1 заменяем оба последних множителя (являющихся,
между прочим, положительными) на In 2.
113.	Заменой л: на — в 112 или непосредственно как в 112.
114.	Интеграл между 0 и е (е>0) сходится тогда и только
тогда, когда сходится интеграл от хаA—к-) или также от
хае 2 , т. е. для Р< — 2 при любых а, а для р^= — 2 тогда
и только тогда, когда а> — 1. Интеграл между со и сю (со>-О)
для Р=сО сходится тогда и только тогда, когда «¦<—1. Пусть
теперь р>0 и п — целое. Тогда при л->оо будем иметь:
(л+1)я	я
^ д;а | cos х | *р ^а; <~ (пя)а ^ | cos х \{х+пЯ'р t/x.
ля	О
Последний интеграл заключен между интегралами
я
и J|cos*|i(n+1)«]pdx,
о	о
_А
которые оба возрастают, как л 2 [202]. Таким образом, для
сходимости необходимо, чтобы было а —у< —1. В итоге полу-
получаем, что интересующий нас интеграл сходится тогда и только
тогда, когда а<—1, Р< — 2 или же когда —1<а<| — 1.
115. Предельная, функция f(x) собственно интегрируема в каж-
каждом конечном интервале —со=сд:=ссй и
(О	О)
lim \ fn{x)dx= ^ f(x)dx.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
257
Так как |/ (х) | ^F (л;), то \ f (x) их также существует. Имеем:
\ f(x)dx- $ fn(x)dx
— со
— О)
$ f(x)dx
F(x)dx+\ F(x)dx +
f(x)dx
] f(x)dx- ] fn(x)dx
Первые четыре члена в правой части можно сделать сколь угодно
малыми, выбирая достаточно большое ш. Фиксируя затем со, мы
можем взять столь большое п, чтобы и последний член сделался
сколь угодно малым.
116. Из VI 31, полагая v = у + Ял'У*г, Кп->-К, получаем:
ятГп
Уп[п\ 1 С I	х \п
тГ
Уп[п\ 1 С
-nYn
Полагаем в 115
cosKxdx.
/„(*) = ~(cos-
cos Кх
при | х | ^ я V~n и /„ (д;) = 0 при j х | > зх 1/"л. Тогда / (а;) =
1 -
= -^-е 8 cos кх. Мажорантную функцию F (я) получаем следую-
во всем открытом интервале 0<
щим образом: так как
In cos х
у представляет собой непрерывную отрицательную функ-
1	л
цию, при x-+'-\-Q стремящуюся к —^~, а при я-*--,— 0 стремя-
стремящуюся к —сю, то можно указать такую постоянную i(>0, что
In cos х	v-
В качестве F {x) можно взять -„— e 4
117. Полагая
имеем:
\ Рп (У) У* dy = (ах1- + а22-^ + ... + аяя-*) Г (s) = Dre (s) Г (s).
о
Согласно 115 достаточно показать, что \Рп(у) ys'1\ <.F(y), при-
9 Г. Полна, Г. Сете, ч. 1

258
РЕШЕНИЯ
чем интеграл § F (у) dy должен существовать. Суммируя по частям,
о
получаем:
л —1
Рп (у) =
v (о) Ьае
(v
n°Dn (о)
Так как функция хае~ху возрастает в интервале
— и убы-
У
вает в интервале --
Отсюда следует:
| Рп (у) |
л:<Ссо, то максимум ее равен {ое~х)ау
~х)ау~°
Ау-°, | Рп (у) у
*-1
где А не зависит от га и г/. Полагаем F (у) = Aysal в интервале
0<г/<1 и F (у) = Ве~у при //51	Б0
118. Пусть со>0. Имеем:
где Б>0 не зависит от у.
/ (х) sin «х c/,v
| f (x) I
i / (x) I d*+ \ f (x) sin /w dx
Оба первых интеграла в правой части стремятся к нулю при
со-»-оо. Если со фиксировано, то при n-vco третий интеграл
стремится к нулю [105]. Аналогично рассуждаем при доказа-
доказательстве второго утверждения задачи:
f(x)\smnx\dx-? j f(x)dx
CO
+~)^\f(x)\dx+
f(x)\smnx\dx-~ ^ f(x)dx
^	[106].
— @	— 0)
119. 1. Указанное представление возможно. Пусть ц>(х, у)
для различных пар х, у принимает различные же значения и =
= ф (х, у) (например, осуществляет взаимно однозначное отобра-
отображение плоскости х, у на прямую и). Для заданной функции
/ (х, у, г) определяем Ир (и, г) следующим образом:
Если и* не принадлежит к значениям, принимаемым функцией
ф(х, у), то т|з(и*, г) придаем произвольное значение, пусть, ска-
скажем, в этом случае всегда г|з(«*, z) = l.
Если же и* принадлежит к значениям функции ф(х, у), то,
по определению этой функции, числом и* вполне однозначно
определяется пара значений х*, у*, для которой выполняется
равенство u* — ip(x*, у'*); в этом случае полагаем ty(u*, z) =
= /(**, у*, г).
Тогда для всех х, у, г имеем:
1|з(ф(х, у), z) = f(x, у, г).

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	259
2. Требуемое представление невозможно. Например, для функ-
функции / (х, у, г) — yz + zx + ху.
Если ф (х, у) — непрерывная функция, то существует сколько
угодно различных пар хх, уг\ х2, у2, ...; хп, уп, для которых
ср(д;, у) принимает одинаковые значения:
Уъ)= ••• =4>(хп, Уп)
(«точки равного уровня»). Если ф(х, у) = const., то утверждение
очевидно. Если ср(х, «/)^const. и, например, ц>(х', г/') = 1,
(р(х'", у'") = 3, то на каждой из бесчисленного множества окруж-
окружностей, соединяющих точки х', у' и х'", у'", существует промежу-
промежуточная точка х", у", в которой <р(х", у") = 2.
Если функция f(x, у, z) представлена требуемым образом, т. е.
f(x, у, z) = -ф (ф(дс, у), z), причем ф(х, у) непрерывна, то суще-
существует сколько угодно пар хи у{, х2, у2; ...; хп, у„, для которых
тождественно относительно z выполняются равенства
/(*i> Уъ г) = f(x2, г/2, z)= ... =f{xn, yn, z).
Пусть, в частности, тождественно относительно г
тогда
и, по исключении
= 0.
Для того чтобы пара х2, у2 вообще отличалась от пары xlt уг,
необходимо должно быть х1 = у2, x2 = yv Но тогда при л = 3
условия, необходимые для требуемого представления, уже не будут
выполнены. Так как yz -\-zx-\-xy — симметрическая функция, то
одновременно доказана и невозможность представлении в формах
(( г), х) и г|з(ф(г, х), у).
Таким же образом можно доказать, что непрерывная функция
ху-\-уг-\-г не может быть представлена через две непрерывные
функции- двух переменных, из которых одна служит другой аргу-
аргументом. Однако через три такие функции она уже может быть
представлена, именно:
xy + yz + z = (x + z)y + z = S{P[S{x + 2), у], z}
(обозначения задачи 119а).
Для более узких классов функций аналогичные вопросы раз-
разрешаются легче [119а]. Аналитическая функция трех переменных,
не удовлетворяющая никакому алгебраическому уравнению в част-
частных производных, не может быть представлена через конечное
число «вложенных друг в друга» аналитических функций двух
9*

260
РЕШЕНИЯ
переменных. См. 13-ю из «математических проблем» Гильберта.
(D. Hilbert, Gott. Nachr. 1900, стр. 280.)
119а. Положим yz-\-zx-\-xy = f(x, у, г); частные производные
будем обозначать соответствующими индексами.
1.	Из представления f (х, у, z) = (p{ip[%(x, у), г], г} получаем,
что для всех значений х, у, г с fy = г + х Ф 0 будет:
д (fx |_ д
дг \ fyj дг
следовательно, fxzfy — fxfyz — ®- Но yz + zx-\-xy не удовлетворяет
этому уравнению.
2.	Первое доказательство. Из представления f (х, у, г) =
= ср[-ф(х, г), %(у, г)], дифференцируя по х, у, z и исключая фф
и фх, получаем:
U Uv 0
= 0.
fx
fy
U
¦§>x
0
¦\рг
0
ly
tz
Мы можем предположить, что г|зА. и х« не равны тождественно
нулю. При у>хф0, %уф0 полагаем
А _ _ о Jk. - _ ц.
** ~ V' ty ~ "'
тогда с = у(л;, г), и = и(у, г), следовательно, vy = ux = 0. Далее,
Но это находится в противоречии с тем, что F = fyU-\-fxv+fg
при / = yz + zx + ху удовлетворяет уравнению.
F aF f dF f l d*F f f -
Второе доказательство. Дифференцируем снова по х,
у, г и полагаем в получающихся трех уравнениях г = — г/. Тогда
первое уравнение дает 0 = 9,^. Мы можем предположить, что
•ф^^О, так что для указанных значений аргументов, если еще
jfx Ф 0,. будем иметь фф = 0, или
Если хфу, то (рхф0, %уф'О и
х—У
Но это равенство противоречиво, ибо правая часть его зависит
только от у и z, следовательно, так как г — — у, — только от у.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	261
3. Из представления f (х, у, г) = cp {ip [% (х, у), г], х] после
дифференцирования получаем:
fx =
fy =
fz =
fxy = • • •
/
В двух последних равенствах не выписаны члены, содержащие i|}x.
Полагая г = — х, будем иметь щ^>х%у = 0. Так как мы можем
принять, что %уЩ?0, то, принимая во внимание третье равенство,
получаем, что при х+уФО, %уф0 будет i|)x = 0. Поэтому для
указанных значений будем иметь:
Но эти равенства противоречивы, так как вследствие второго по
крайней мере одна из трех функций ср^, %у, я|)хх должна быть
равна нулю.
120.	Нет. Пример: f(x) = x3; | = 0 — точка перегиба.
121.	[См. G. Pol у a, Tohoku Math. J., т. 19, стр. 3, 1921.]
Пусть М будет верхняя грань \f (х)\. Имеем: •
f (x) = f (i\) (х-Ь)^М (Ь-х) при Ц^-^x^b (x<i\<b).
В обеих формулах не может тождественно стоять знак равенства,
ибо определяемая этим условием функция уже не являлась бы
дифференцируемой в точке х— а^ -. Таким образом,
а + Ь
6	2	Ь
[
f{x)dx<M ^ (x-a)dx + M ^ {b-x)dx =
а
122. [W. В 1 aschke, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 25, стр. 273, 1917.] По формуле Тейлора имеем при хфх0:
f(x)-f(xo) = (x~xo)r(xo)+(x~Xfri*) (xo-r<x<xo + r).
Интегрируя почленно и применяя первую интегральную теорему
о среднем значении, получаем:

262	решения
так как функция f'(x), будучи производной, принимает все зна-
значения между своими нижней и верхней гранями.
оо
123> Первое доказательство. Пусть ряд ^ рпепх — f (х)
сходится в интервале а<.х<.Ь; тогда он неограниченно диффе-
дифференцируем в этом интервале, и
оо	оо
/' (х) = Ц прпе»*, f" (х) = ^ п*рпе»*,
п = 0	п=^0
ОО	ОО
f (*) Г (х) - [f' (x)f =2 2 Т (/П - "J /W
Второе доказательство. Полагая в 80
e 2 (Xi<xa)> получаем:
124. [См. J. L. W. V. Jensen, 1. с. 70, стр. 187—190.]
Пусть функция ф (х) выпукла снизу в интервале [а, Ь], причем
в этом интервале ф (х) < G. Полагая в неравенстве
*1 + *2+ •¦¦ +хп
Xj = х2 = ... == хт = х+«б, хт+1 = ... =хп — х, где д; — любая внут-
внутренняя точка интервала [а, Ь], |б| достаточно мало и т<.п,
получаем:
Ф(*+п6)—ф(*) ^ ф(*+т6) —ф(*)
m
Заменим здесь б на —б, тогда, принимая во внимание неравен-
неравенство ф (х + тб) — ф (х) :3s ф (л-) — ф (х — тб), будем иметь:
у{х) ^ ф(*+тб) — ф(дс) ^
^ ф(л:) —ф(л: —тб) ^ ф(ж) —ф(ж —пб)
"^	т
Беря здесь, в частности, /и=1, получим:
Приближая б к нулю и безгранично увеличивая п с тем, однако,
чтобы х ± пб не выходило за пределы интервала [а, 6], мы и полу-
получаем, что ф(х) непрерывна.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
Пусть теперь б>0. Заменим в (*) б на —:
г <!\ /л ф (^Н	б) — ф(*)
263
п
(х)-Ф[х- —
Отсюда вследствие непрерывности ф (х) имеем вообще:
б'
При б -v 0 как первое, так и последнее выражения имеют предел.
125. [Q. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Plys., серия З,
т. 24, стр. 283, 1916.] Значения, принимаемые функцией f (х)
в некотором интервале длины /, заполняют замкнутый интервал,
длина которого
L = Мах | / (хг) - f (х2) | = Мах
\f'{x)dx
JMax\f'(x)\.
Пусть е >¦ 0. Покроем каждую точку х, в которой f (х) = 0, наи-
наибольшим интервалом, внутри которого | /' (х)\ <; е. Обозначим
длину такого интервала через 1Х. Значения, принимаемые f(x)
в этом интервале, заполняют интервал самое большее длины 1хг.
Таким образом, точки г/, принадлежащие множеству М, могут
быть заключены в счетное множество интервалов, сумма длин
которых =^еF — а). Тем самым приведенное доказательство пока-
показывает даже, что множество М имеет меру нуль.
126. [U. Dini; ср. С. Caratheodor у, 1. с. 111,
стр. 176 — 177 *).] Достаточно рассмотреть случай, когда М*)^
5sf2 (x)^...^sfn(x)^..., fn(x) непрерывны, lim fn(x) = 0, 0<
n->oo
sgjxs^l. Если бы сходимость была неравномерной, то можно
было бы указать бесконечную последовательность точек хп,
в которых /„ (я„) > а >¦ 0, 0 ==g *„ ==S 1, причем а от п не зависит.
Пусть \ будет одной из предельных точек последовательности х„.
Выберем такое т, что /,„ (|) < а, и выделим затем окрестность
точки %, в которой всюду fm(x)<.a, значит, fn{x)<C.a для всех
n^sm. Но в этой окрестности должно лежать бесчисленное мно-
множество точек х„, а для них /„ (хп) > а. Мы получили противоречие.
*) См. также ' Г. М. Фихтенгольц, Курс дифферерциального и
интегрального исчисления, т. II, Гостехиздат, 197&," стр. 431—432.

264	РЕШЕНИЯ
127.	[См. G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 28, стр. 174, 1920.] Предельная функция также монотонна,
например монотонно возрастающая. Разобьем интервал сходимо-
сходимости последовательности fn(x) (n=l, 2, 3, ...) на столь мелкие
части [*v-i> *v] (v = l, 2, ..., N), что f (л\,) — / (*v-i) <8- Затем
выберем п столь большим, чтобы для каждого v мы имели
\fn (xv) —f(xv) | <e. Тогда для х, лежащего между Arv_x и %v, будем
иметь:
f (xv^) -e<fn (x^) ss fn (x) < /n (*v) < / (xv) + e,
следовательно,
|M*W(*)l<2e.
Мы предполагали здесь, что и /„ (х) есть возрастающая функция.
128.	Ясно.
129.	Пусть а<.х<.Ь. (Из приводимого доказательства
явствует, какие изменения нужно внести, если х = а или х — Ь.)
Имеем:
Ь	*-)-8	X—8	Ь
\pa(f)f(f)dt-f{x)= ] Pn(t)[f(t)-f(x)]dt+ \ + \ .
а	х — е	а х-{-е
Предполагая, что \f (t) —f (х)\<.& при x — es^t^x-\-s, заключаем,
что первый интеграл в правой части по абсолютной величине
х+г
<б Jj pn(t)dt^8. Так как оба последних члена по абсолютной
х — г
величине меньше, чем
2 Max \f(t)\[]Spn(t)dt+ \ pnlt)dt\
то условие достаточно. Положим теперь (предполагая, что 0<т)<е)
О при х — e-f-Tisi^s^x + e — ц,
/ if) = 1 при as^ts^x — г и x-\-e^t ^b,
линейно при х—е^.ts^x — е + т] и х-\-г — г[^1^х-\-г.
Тогда f(t) непрерывна, и необходимость условия вытекает из
того, что
+	х+в
lPn(t)f(t)dt-f(x)= \ Pn(t)f(t)dt+ j Pn(t)f(t)dt +
а	х—Ё	х+с—ц
+ ] Pn(t)dt+ ] pH{f)dt.-+O,
а	х-\- е
поскольку здесь все члены неотрицательны.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	265
13О« Утверждение задачи 129 может быть распространено и
на случай Ь = оо, х = оо. Положим в 129 п — — , рл{г) — ге~г*.
Тогда при любом фиксированном положительном со
(О	со
lime \e ztdt = O, e\e~Btdt = l.
Е-0 g	g
131> При замене t на е* интервал интегрирования преобра-
преобразуется в (— сю, со). Разбиваем новый интеграл на две части,
от — со до 0 и от 0 до оо, и исследуем оба интеграла в отдель-
отдельности. Если интеграл
со	со
\ elif (е<) edt = \ е"ф (t) dt
о	о
сходится при Я = р, то он сходится и при любом меньшем Я,
% — $ — е, е>0. Действительно, полагая e$fq>(t) = \|) (/), имеем:
(О	(О	СО	it	\
\ e-vy (О Л = е-№ U г|) @ d/ + е $ <rE' J ф (т)
О	0	0	\0
откуда, переходя к пределу при со->оо, получаем:
СО	СО	it	\
\ eEt^ (t) Л = е J e~zt К ф (т) dx) Л.
о	о \о	/
Этот интеграл, рассматриваемый как функция от е, в точке е = О
непрерывен справа [130].
132а См. 128 и первую часть доказательства 129. Опреде-
Определенное там число б может быть сделано вместе с е сколь угодно
малым, независимо от х (равномерная непрерывность!).
133. [Е. Landau, Rend. Palermo, т. 25, стр. 337-345,
1908.] Применяем 132, полагая а = 0, Ь — \,
Имеем (О
I
pn (x, t) dt+ i pn (x, t) dt < jj^—^	= -^—^—
x+s	i y\ — (x-ty-}ndt \ A—tYdt
Согласно 201, 202 это выражение при п-+оо стремится к нулю,
ибо

266	РЕШЕНИЯ
134. [L. Fejer, Math. Ann., т. 58, стр. 51-69, 1904.] При-
Применяем 132 при а = 0, 6 = 2я,
/ . x—t \2
j / smn—у-
V sin -2~
Согласно VI 18 имеем:
2Я
\ рп(х, t)dt=l,
о
далее @<е=^л;^2я —е)
ря(х, t)dt<
Вследствие периодичности подинтегрального выражения каждый
интервал длины < 2я можно рассматривать как целиком лежащий
внутри интервала @, 2я).
135.	См. 133.
136.	См. 134.
137.	Мы можем принять, что наша функция неотрицательная
и, кроме того [102], кусочно-постоянная. Каждую такую функцию
можно посредством сложения и умножения на положительные
постоянные коэффициенты выразить через функции следующего
специального типа:
Мв некотором подинтервале [а, E] (a=^a<p=s:b),
'	1 0 вне [а, р].
Пусть для простоты а<а, $<.Ь. Определим при достаточно
малом г| (ц > 0) функцию fn (x) следующим образом:
I" 1+11 при a=s?*<p,
Ai(*) = i Л ПРИ а^х^а — г\ и
[ линейна при а — у]=^.х^а и
Тогда fy](x) — f(x)^r\, далее,
что бесконечно мало вместе с т]. Функция fn(x) всюду непре-
непрерывна. Выберем теперь полином Р (х), удовлетворяющий условию
| f4 (х) — Р (х) \ < ц. Тогда / (х) sg/,, (х) — т]< Р (х), и мы будем иметь:
Ь	ь	ь	ь

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	267
В случае а = а или р = Ь необходимо произвести лишь незначи-
незначительные изменения. Аналогичная теорема имеет место и для три-
тригонометрических полиномов при а = 0, 6 = 2я.
138. [М. Lerch, Acta Math., т. 27, стр. 345-347, 1903;
Е. Phragmen, там же, т. 28, стр. 360 — 364, 1904.] Для
произвольного полинома Р (х)
l
а	а	а
= \f(x)[f(x)-P(x)]dx
а
и, значит,
[f (x)f dx < Max \f(x)-P(x)\l\f(x)\ dx. [135, 109.]
a	a^x^b	I
Аналогичная теорема имеет место и для «тригонометриче-
«тригонометрических моментов» (коэффициентов Фурье)
\f(xf2nxdx (я = 0, 1, 2, ...).
139. Определяем р (х), как в 137. Пусть | / (*) | <: М. Тогда
[см. решение 138]
ь	ь
\ [f (x)f dx^M\[f(x)-p (x)] dx< Мг.
а	а
140> Пусть / (х) не равна тождественно нулю и имеет менее п
ь
изменений знака. По первому из условий, J / (х) dx — 0, суще-
а
ствуют такие числа хи х2, ..., хк, а<.х1<хг <... <.xk<.b,
что f (x) 1) не обращается в нуль тождественно ни в одном из
интервалов (a, xt), (хг, Хо), ..., (**-1( xk), (xk, b) н 2) в каждом
из этих интервалов имеет постоянный знак (V, гл. 1, § 2) и при-
притом попеременно положительный или отрицательный. Отсюда
вытекает, что f (х) (х — xt) (x — х2) ...(х — х^) будет во всем интер-
интервале а<.х<.Ь иметь постоянный знак, не приводясь тождественно
к нулю. Однако, так как мы предположили, что k^n — 1, должно
выполняться равенство
ь
\ f (х) (х-хг) {х — х2)...(х — хк) dx = 0,
т. е. [109]
f(x)(x-x1)(x-x2) ... (х-Хь) = 0 или
Мы пришли, таким образом, к противоречию.

268
РЕШЕНИЯ
141. [См. A. Hurwitz, Math. Ann., т. 57, стр. 425-446,
1903.] Пусть / @) > 0 и / (х) имеет в интервале 0 < х < 2я менее чем
2п + 2 изменений знака. Число последних, являющееся четным,
положим равным 2k. Пусть хъ х[, х2, х'.г, ..., xk, x'k @<л:1<
<.x[<.x2<.x'i<...<.xk<.x'k<2n), как в решении 140, суть
точки изменения знака. Образуем аналогично предыдущей задаче
выражение
• х~ х\ х—х'. х-** х~х'>	x~xk x~x'k
I (x) sin —-^ sin —^— sin —^ sin —к—... sin —5— sin —-x—
и замечаем, что функция
. x — a . x — $ 1	а —В 1 /
sin—g— sin—Tf- = -j cos —jZ- — -g- cos yx
(a, p — постоянные, 0<а<2л, 0<р<2я) меняет знак в интер-
интервале 0<х<2я лишь в точках а и р.,Применяем далее VI 10.
Если f@) = 0, то рассматриваем f(x-\-d), где [(а)фО.
X
142. [L. с. 138.] Полагая jje-*°'(p(/) с1( = Ф(х), имеемдля
J (k) = [Ф (х) е- <* - *•> х]5° + (jfe - fe0) ^ Ф (х) е~ (*
о
Положим, далее,
Тогда ^ (у) непрерывна в интервале O^y^l и
\dy = O (л=1, 2, ...).
Следовательно [138], ijj(#)==O, откуда Ф(х) = 0, ф(х) = б.
143. [М. Lerch, no сообщению М. Р1апсЬегеГя.] Если гам-
гамма-функция имеет нуль s0, то нулями ее будут также so+l,
so + 2, ..., so-{-tn, ... [функциональное уравнение]. Возьмем т
столь большим, чтобы so-\-m имело положительную веществен-
вещественную часть, и положим s = so + m+1 = a-\-it, a>l. Из соот-
соотношений
00
^ е~пхха'г cos (t In x) dx =M \ e~nxxs~x dx =
о	о
= gtl?L = o («=i, 2,3, ...)
мы получим тогда [142] х°~г cos (Лпх) ^0, что представляет
собой противоречие.

отдел второй	269
144.	По поводу /(л;) = 1, х, х2 см. I 40. Для f(x) — ex имеем:
" v ( ¦. .	I •	\л Г	/ 1
145.	Имеем [I 40]:
п
(V — ПХ)
следовательно,
146. [См. С. Н. Бернштейн, Сообщения Харьк. матем. о-ва,
серия 2, т. 13, стр. 1 — 2, 1912*).] Пусть е„ (х) — максимум
,. ,/v\	v
(х) — / (—J для всех х, удовлетворяющих неравенству
< п 4. Тогда1 равномерно для всех х имеем lim гп(х) = 0, т. е.
п->оо
е„ (х) < е„, lim е„ = 0. Далее,
п->со
f(x)-Ka(x)=
v=0
Согласно 145 при |/(х)|<М будем иметь:
147. [См. J. Franel.Math. Ann., т. 52, стр. 529—531, 1899.]
Для Osgrsg/-! ясно. Пусть rm^r<.rm+1. Тогда правая часть
равна
mf (г) - 1 [/ (г2) - f (г,)] - 2 [f (гв) - f (r,)] -...
... - (т - 1) [/ (г™) - f (rm-x)\ -m[f(r)-f (rm)],
что совпадает с левой частью. Доказанная формула представляет
собой не что иное, как формулу интегрирования по частям (для
интеграла Стилтьеса):
о	о
148. Если
f/i-ft-l ^ rn-k== ¦ ¦ • — гп — Тп + \ = - ••= Гп+l
*) С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений т. 1, Изд. АН СССР, 1952,
стр. 105—106.

270	РЕШЕНИЯ
(где, возможно, & = 0 или 1=0; го = О), то
N(rn-Q)+\ ^n-k ^ п ^n + l _N(rn)^ ,lm_L = Ot
Если rm<r<rOT+1, то N(r) = m и
m-\-\	1 	 m	N (r) m
rm+i	rnu-l rm+l	T	rm
Во втором случае поступаем аналогично.
149.	См. 148 и I ИЗ.
150.	[Е. Landau, Bull. Acad. Belgique, 1911, стр. 443—472.
См. G. Polya, Gott. Nachr., 1917, стр. 149—159.] Пусть с> 1.
Выберем целое положительное m, удовлетворяющее условию 1 <
<c-<2m. Тогда
1 ^ L (fir) _^ L BT) _ L Br) L (Уг)	LB"'r)	.
l<- L(r) "^ Цг)	l(r) LBr) ••• Z.B>»-V)
Утверждение для с<1 получится, если перевернуть отношение
—у, заменить сг на г и заметить, что L (сг) также является
медленно возрастающей функцией.
151. Применение полной индукции показывает, что для целого
положительного k
Именно, для k= 1 это ясно; для k~> 1 при достаточно большом г
имеем:
1 \nk Br) jn^_ = lnfe_iB1n/-)
J^-' In*/- "^ \nkr lnt_
152. Достаточно доказать, что
lim lnL^^0.
L <2m)
Это вытекает из неравенства LBm_/, < 1 + 6, выполняющегося
при заданном б>0 для всех достаточно больших т.
153.	[149, 152.]
154.	Имеем:
N(cr) , L(cr)
N{r) C Цг) •
155.	Каждую кусочно-постоянную непрерывную слева функ-
функцию можно выразить (посредством умножения на постоянные
коэффициенты и сложения) через функции следующего типа:
> при других значениях х.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	271
Но для последних утверждение теоремы гласит:
Относительно других функций см. 156.
156. Заключим f (x) между двумя кусочно-постоянными непре-
непрерывными слева функциями:
так, чтобы выполнялось неравенство
сХ	с1 ¦
1 XL) \ уЛ / /у V	 1 ill \ \*Л j л v ^-^"" p
J	J
о	о
где е> 0 — произвольно малое число [102]. Тогда
1 у yfijL^—L- \ ffin-^-l— у
Таким образом, верхний и нижний пределы среднего выражения
заключены между границами \ ^\x%)dx и \ W\xK)dx, которые
от интеграла \ f\xl)dx отличаются меньше, чем на е.
о
157. Согласно 147 имеем:
Таким образом, при 0<с<1
откуда верхний и нижний пределы среднего выражения заклю-
\	\	м.
чены между — и 	. Но с произвольно мало.
158. На основании 147
л
2 r~a-x = N (R)R-a-}--N (r) r-a-}- + (a + X) \ N (t) t^^1 dt.

272	РЕШЕНИЯ
Следовательно [152, 153],
N(r)
r, >r	г
Пусть теперь 0<е<2х — 1; для достаточно больших г будем
иметь L Br) < L (г) A +е) и, значит, L BVV) < L (г) A +e)v (v = 1,
2, 3, ...)• Отсюда
v = l
jig 2<i	|
v= 1
159. [Относительно задач 159—161 см. G. Poly a, Math. Ann.,
т. 88, стр. 173—177, 1923.] Обобщение теорем 155—158. Как и
в 156, заключаем f (x) между двумя функциями ty(x) и W (х),
заданными следующим образом: между 0 и б они равны — Xй к,
соответственно *°-\ между б и со совпадают с f (х) и от со до
+ оо равны —дга-\ соответственно лга-\ Имеем [157]
г^т^(г) 1лж\г)	,^ю N (г) N фг) ^\Ьг)	а
и [158]
N (г) ?i \ г
lim ' ^ "¦»^а"
(r) Af (cor) ^j \шг
rn>ar
Таким образом, верхний и нижний пределы выражения
со
1 У f(rn\
N(r) L '[г j
n= 1
заключены между

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
273
Устремляем б к нулю и безгранично увеличиваем ю.
16О> Пусть f (х) — убывающая функция, Р>А. Существует
бесчисленное множество значений п, для которых
(И=1, 2, ...,/1-1)	[1115].
Выберем число г (rn-1<.r<.rn) так, чтобы выполнялись еще
неравенства
откуда вследствие убывания / (х) вытекает, что
Так как jV (г) == /г — 1, то
п—
n \f{xi)dx,
п— 1 J ' v ' '
п
Интеграл \f \x&) dx представляет собой непрерывную функцию
о
от р [131]. Если /(^ — возрастающая функция, то заменяем
ее на —f(x).
161. Пусть 0<а<Я<р. Применяя Г 116, получаем совер-
совершенно аналогично 160, что существуют сколь угодно большие п,
для которых
k=l
Берем затем аир достаточно близкими к Я [131].
162. [Относительно задач 162—166 см. Н. Weyl, Gott.
Nachr., 1914, стр. 235-236; Math Ann., т. 77, стр. 313-315,
. 1916.] Указанное условие утверждает, что равенство (*) на стр. 94

274
РЕШЕНИЯ
удовлетворяется для функции f(x), которая в подинтервале asg
=^;л:=ср равна единице, а вне его —нулю; таким образом, это
условие необходимо. С другой стороны, предположим, что оно
выполнено. Заметим сначала, что безразлично, будет ли интер-
интервал а, р замкнутым, полуоткрытым или открытым. Так как
из справедливости равенства (*) для нескольких функций fx (x),
/2(ж), ... , fi (x) вытекает справедливость его для любой линейной
комбинации этих функций cjt (x)-\-cJ2 (*)+•• - + cifi (x) (ci> ci> ¦¦¦
..., Ci — постоянные), то мы получаем, что равенство (*) имеет
место также для всех кусочно-постоянных функций.
Пусть теперь f(x) собственно интегрируема. Применяя 102
(полагая а = 0, b=l), получаем:
1
Первое и третье выражения стремятся соответственно к \ty(x) dx
о
!	1
и § W (x) dx, отличающимся сколь угодно мало от § / (х) dx.
о	о
И менее сильное условие
или также
lim
является достаточны^. Можно даже предположить, что одно
из этих условий выполняется для всюду плотного в [0, 1] мно-
множества значений р.
163< Условие, очевидно, необходимо. Чтобы доказать его
достаточность, заметим сначала, что и здесь, как в решении 162,
замкнутость интервала а, р роли не играет. Но теперь в 102
при а>0 можно заменить кусочно-постоянные функции ty(x) и
? (х) некоторыми кусочно-лине иными функциями, графики кото-
которых составляются из отрезков прямых, проходящих через начало
координат (y = kx). Отсюда заключаем, как и в решении 162, что
равенство (*) выполняется для всех функций f(x), собственно
интегрируемых в интервале [0, 1] и обращающихся в нуль
в некоторой окрестности точки х — Ь. Так, например,
lim v"(p' 1} = 1-р @<р<1)
п -» со п
[решение 162].
164.	См. 162. Вместо 102 применяем 137.
165.	См. 162. Вместо 102 применяем 137.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	275
166. Условие задачи 165 выполнено, ибо
v = 1
167. Речь идет, в обозначениях задачи 166, о
п —*¦ со
где ф(г/) = 1 или 0, смотря по тому, будет ли ближайшее к у
целое число лежать справа или слева от у. [Для у — п, п-\-у,
где n — целое, можно положить, например, ф(г/)=у.) Из 166
вытекает, что этот предел равен
1	1
То же справедливо и для арифметических прогрессий высших
порядков [I 128], как можно доказать применением более тонких
средств [Н. Weyl, 1. с: 162, стр. 326]. Этот результат можно
рассматривать как выражение своего рода «отсутствия закономер-
закономерности» в последовательности е1, е2, е3, ..., е„, ... (см. R. v.
Mises, Math. Zeitschr., т. 5, стр. 57, 1919).
168. [Е. Hecke, Abhdl. Math. Sem. Hamburg, т. 1, стр.
57-58, 1922.] Согласно I 88
00
lim A — г) У anrn— lim-
r _» 1 _ 0	¦",	n ->co
n = 1
в предположении, что предел в правой части существует. Но при
ап — (лб — [nQ])e2Mna согласно 166 этот предел существует и равен
1
о
169.	[Е. Steinitz, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 19, стр. 361, 1912. Решение —G. Pol у a, Tajvi же, серия 3,
т. 21, стр. 290, 1913.] Пределом служит функция f(x), определен-
определенная в 99. Для иррациональных х см. 166, для рациональных х
проще.
170.	10"8 •—[10я6] получается при перенесении запятой в деся-
десятичном разложении 8 на п мест вправо и зачеркивании всех
цифр, очутившихся слева от запятой. Пусть ее = 0,а1а2.. .<xh —
конечная десятичная дробь. Выберем п так,-чтобы 10я9 —[10я8]
начиналось цифрами alt а2, ... , ak, за которыми следовало бы г

276	РЕШЕНИЯ
нулей; тогда
I ю-6-[ice]-о
171. По формуле Тейлора
«1 + + + + +
откуда
Для «5*2 имеем -^-щ < ТПЛ"^* слеД°вательно,
172. [По сообщению Н. Prufer'a; H. Weyl A. с. 162)
доказал, что рассматриваемое множество всюду плотно и даже
является равномерно распределенным в интервале O^xsgl.]
При г—\ утверждение вытекает из 166. Пусть г>1. Мы можем
принять, что аг иррационально [в ' противном случае высшие
рациональные члены полинома Р (х), являющиеся периодическими
по модулю 1, можно было бы просто откинуть]. Если бы рассмат-
рассматриваемые числа имели лишь конечное количество предельных
точек, то то же самое можно было бы утверждать и относительно
«вычетов» чисел
по модулю 1, что однако, противоречит 166.
173. Пусть k — целое положительное число. Тогда
ограничено [166]; суммируя по частям, получаем, что и
ограничено [165].
174. [L. Fejer.] Пусть ^V (x) — числовая функция последо-
последовательности g(l), gB), ..., g(n),... Обозначая через t = y(x)
функцию, обратную к x — g(t), будем иметь N {х) = [у(х)]. Соот-
Соответственно условиям 1 — 4 функция у (х) при x^sg(\) обладает
следующими свойствами: у (х) имеет непрерывную производную и
вместе с х монотонно стремится к бесконечности, у' (х) также

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	277
монотонно стремится к бесконечности вместе с х, "!—~^-0. Отсюда
заключаем, так как
х
Y	*\? (у \ ¦ PI
что —Т-Г-+-0; далее, ¦,.->-1, если е фиксировано или по край-
Y (х)	У \х)
ней мере ограничено при возрастании х.
Пусть 0<ос< 1. Достаточно доказать [162], что
т~ 1
?	Xn)~N (т)
где m = \g (n)], кп = Min (xn, а), стремится к а при n->- oo. Заменяя
N (x) через у (х) и принимая во внимание сказанное относительно
¦у(*), получаем, что требуемое соотношение равносильно следую-
следующему:
1^ш 2
На основании 19 это отношение равно
+
х.
f ( {х + а) _ {х)) dx+0 Ш«г) \ =
Y(m)
гДе g(l) = *<» ^<? = IW <л; + а- Так как у' (х) монотонна,
то
т	т	т
y(m)-y(xo) = \y'(x)dx<l y'(t)dx<\) y'
Xq	Xq	Xq
= y(m + cc)-y(xo+a).
175.	Частный случай задачи 174 для g(t) = ata.
176.	Частный случай задачи 174 для g(t) = a(lnt)a.
177.	Пусть 0<рй^1. Положим
sn = | sin 1°| | +1 sin 2°| | +..,+1 sin
Тогда из 174 для

278	РЕШЕНИЯ
вытекает, что
1
s	С	2
lim — = 1 sin 2ях| dx =—.
«
П
о
Таким образом (so = 0),
sv-Sy_i _ у /1 .
178. [J. Franel, Zurich. Naturf. Ges., т. 62, стр. 295, 1917.
Пусть по десятичной системе
ЛГ^—Л") Л") (п) (п)
у п — с , Сх с2 с3 ...
(случай, когда все cf\ начиная с некоторого /, равны 9, исклю-
исключен). Положим в 175 в = ~2> о = 10'~1; тогда
т. е. с)п> = [10хга]. Следовательно, с)п> будет равно g тогда и только
о- "	g-4-1
тогда, когда #^ sg jcn < ^j^—, а это означает, что
g+i
10
lim
n
10
179. В обозначениях решения 174, нужно доказать, что при
п->оо, т-уоо, Хп-^'Е,
т— 1
a
о
где Л^ (x) = [q*]. Заменяя в написанном выражении N (х) через qx,
что правомерно, так как mq~m-^0, получаем:
т— 1
2]
а
Последнее выражение равно ^ К (х, |) с?х, в чем убеждаемся,
о
интегрируя или, лучше, дифференцируя по а.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	279
180. Функция
непрерывна в интервале 0=^|^1, далее, ф@) = фA). Эта функ-
функция постоянна тогда и только тогда, когда f (x) во всех точках
непрерывности принимает одно и то же значение (продифферен-
(продифференцировать!). При а-усо имеем q-*-\, при а->0 будем иметь q—>-
->оо. Соответственно этому
limjf(x)K(x, l)dx = \f{x)dx.
4^ 1 О	О
Таким образом, при неограниченном возрастании а интервал
J (а; /) будет стягиваться к единственной точке $ / (х) dx; следова-
о
тельно, при больших а распределение будет почти равномерно [176].
Далее, если 0<^<<1 и ? — точка непрерывности функции f{x),
то
1
\\m\f(x)K.{x,l)dx = f{Q	[132].
<7~.со0
Для точки \, в которой f (х) имеет разрыв первого рода, этот
предел равен /(? —0). Наконец, для '| = 0 или 1 этот предел
равен /A—0). Таким образом, если, например, функция f{x)
имеет ограниченное изменение, то при а->-0 J (а; /) будет
стремиться ко всей области изменения f (x) в открытом интер-
интервале 0<*<1 (включая также отрезки между пределами справа
и слева в точках разрыва первого рода). При малых а распреде-
распределение будет близко к распределению в 182.
181. [J. Franel, 1. с. 178, стр. 285-295.] Пусть
1§ П — In 10	' 1 * з • • *
— разложение десятичного логарифма числа п в десятичную дробь.
Положим в 179, 180 а= 1п 10 • Тогда
т. е. с/")==[10хл]. Таким образом, речь идет о совокупности

280	РЕШЕНИЯ
значений непрерывной функции
~ТсГ
То"
в интервале 0=^|^:1, причем К(х, ?) определяется, как в 179,
In 10
, l)dx
a q = el°/1
182. Пусть [решение 174]
= g(t), t = y(x), N(x)=[y(x)].
В силу условий 1 — 4 функция у (х) при x^g(\) имеет непре-
непрерывную производную и монотонно возрастает до бесконечности
вместе с х; далее, у' (х)-*¦ -f-со , v J—»--!-00- Отсюда заключаем,
что при х-*- оо и е, остающемся больше некоторого фиксирован-
фиксированного положительного числа, будем иметь	-V 0 и также
'	VW
М\г7\-*~°- Пусть 0<^<1, f(x) непрерывна в I, е>0 произ-
[)
вольно и S>0 таково, что при \х — Е|<б имеет место неравен-
неравенство \f (x) — f(l) | <е. Тогда, выбирая п так, чтобы |*л —
[1101], и предполагая |f(x)|<M, будем иметь:
|
п
Но согласно предположению
N (ni + lЪ) Q
Пусть теперь f (х) в точке ? имеет разрыв первого рода и
пусть снова \хп — ?j<y. Обозначая через |хF) и М (б) нижнюю
и верхнюю грани f (х) в интервале \х — E|<6, будем иметь:
— + ц (б)«
Из этих неравенств вытекает, что интересующие нас предельные
точки лежат во всяком случае между / (| — 0) и / (| -f- 0). Что

ОТДЕЛ ВТОРОЙ
281
этими предельными точками заполнен действительно весь отрезок
между /(? — 0) и /(? + 0), убеждаемся следующим образом. Так
как f(x) собственно интегрируема, то в любой близости от %
существуют точки непрерывности функции f (х) [108]; пусть %' и ?"
будут две такие точки, 0<?''<?<?"< 1- Пусть, далее, индексы
я', п" пробегают каждый последовательности целых значений,
для которых хП'-*¦%', xn~-*-l", [g(n')] = [g(n")]. Положим f(x1) +
+ f(x2) + ... + f(xtt) = nFn. Тогда Fn<-+f{l'), Fn«->f(l"). Но для
каждого я
f
П+1	П+1
ш_
и+Г
Последовательность Fn>, Fn' + \, Fn'+2, .-., /v будет «медленно
восходящей или нисходящей» в смысле решения I 100.
Для ? = 0 и \ = \ доказательство требует лишь небольших
изменений.
183.	Частный случай 182 при g(t) = a(\n t)a.
184.	Вытекает из 182, 183, если положить
f(x) = \ при [\0x]=g, f(x) = O при [\0x]^g. См. 178, 181.
185. [Н. Weyl, 1. с. 162, стр. 319-320.] Достаточно дока-
доказать теорему для f(xlt x2t ..., xp) = e2"l^xi+k^+-+kpxo)y где
ku k2	kp — целые числа, не все равные нулю [165]. Положим:
a + • • •+ Мр = а>
Тогда
о
186.	Частный случай задачи 185 для р = 2, причем f (xlt хг) =
= 1, если a1^.x1^ai, рх ==s хг =s? E2> и /(*i> *2) = 0 во всех осталь-
остальных точках единичного квадрата.
187.	[См. D. Konig и A. Sziics, Rend. Palermo, т. 36,
стр. 79 — 83, 1913.] Мы можем принять, что рассматриваемое
движение происходит в квадрате 0=g:jt=g:--, О^у^-^-. Зеркаль-
11
ным отражением от прямых х — -^ и У= ^ получаем, кроме f,
еще три области, составляющие вместе с f некоторую часть f*
единичного квадрата 0й?хй?1, O^y^l. Смещая f* параллельно
осям координат на целые числа, получаем, как в 186, бесчислен-
бесчисленное множество областей. Зигзагообразное движение в первона-
первоначальном квадрате O^xss;-»-, Osgy^y может быть теперь заме-
заменено прямолинейным. Частный случай задачи 185 при р = 2,

282	РЕШЕНИЯ
/4*i> xz) = 1 Для точек хг, х2, лежащих в f*, и f (xlt х2) = 0
в остальных точках единичного квадрата.
188. [G. Poly a, Gott. Nachr., 1918, стр. 28-29]. Полагаем
в VIII 35 о)? (у) = егяШу, k — целое положительное ^число. Тогда,
в обозначениях VIII 35, имеем g(n) = 0 для всех «>•&, откуда
(г, л) = 1
ч>(-
т 1 п
для всех целых п [165]. Относительно ф(л)->оо см. VIII 264.
189. Полагаем в I 70, в обозначениях 188,
(л=1, 2, 3, ...).
190.	Применяем 137 к x~Pf(x). По поводу частного случая-
/ (х) = аохР + а1л:;)+1 + • • • + аг*р+' (%, а1( ..., «; — постоянные коэф-
коэффициенты) см. 40. Результат этой задачи представляет собой обоб-
обобщение известной теоремы теории вероятностей [см., например,
A. A. Markoff, Wahrscheinlichkeitsrechnung, стр. 33 —34, Leip-
Leipzig, В. G. Teubner, 1912*)].
191.	Пусть kn — старший коэффициент полинома Рп (х); kn =
= ^гщ! [решение VI 84]. Имеем:
х
) A + х) • ¦ • (J -+х)
[49, 203].
19S. Имеем [52]
Полагаем в I 179
о
193.	[См. G. Szego, Math, es term. tud. ert., т. 36, стр. 531,
1918.] Получается из 192 аналогично 164.
194.	Частный случай задачи 193 для функции f(x), равной
единице в интервале а^х^р и нулю в остальной части интер-
интервала — 1 sg JC=<C 1.
*) А. А. Марков, Исчисление вероятностей, изд. 4-е, стр. 53, ГИЗ,
1924. См. также С. Н. Берн штейн, Теория вероятностей, стр. 241 и ел.
Гостехиздат, 1946.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	283
195. Мы можем принять, что а1>а2>...>а1. Тогда
Выражение в скобках стремится к единице. Другое доказательство
получим из 196 и I 68. См. 82.
196.	[Решение 195.]
197.	Пусть f(x) — c(x — a1)(x — a2)...(x — cii), с^О. Из
Г (*) _ _J	1	1
имеем:
Cn==ar + a + -i. + a	(„ = 0> {> 2( }-
Применяем затем 195, 196. (III 242.)
198. Пусть f (х) достигает в точке х — \ максимума, a^ls^b,
е>0 и 6>0 взято настолько малым, чтобы при \х — ?|<6,
a^xs^b выполнялось неравенство
Тогда
[/(Е)-е]я \ 4>(x)dx^^
g —б	а	а
(если I — 6<а, то нижний предел интегрирования ? — б заменяем
на а; аналогично, если | + 6>&. то верхний предел интегриро-
интегрирования 1 + 8 заменяем на Ь). Извлекаем корень n-й степени, пере-
переходим к пределу при п-^оо и затем устремляем е к нулю. См. 83.
199. Первое доказательство [P. Csillag]. Пусть
0<е<УИ=Мах/(л:). Тогда.
\ Ф (х) [f (x)]n+1 dx^ \ Ф (х) [/ (я)]»*1 dx =s
а	/(х)>Л1-Е
где с _ положительное постоянное число, не зависящее от п.
Отсюда

. (f{x)[f{x)rdx+ J Ф (х)

284	РЕШЕНИЯ
Последнее отношение при п-*-оо стремится к единице, ибо
$ Ф (*) U Ml" dx (Af - в)» J ф (х) dx
f(x)<M—R	^^ 	а
Доказательство это существенно опирается на понятие интеграле
Лебега.
Второе доказательство. Положим
In = $ Ф (*) [/ (*)]" dx =
a	'	a
Тогда [81]
/J<W»+i (n=l, 2, 3, ...).
Таким образом, последовательность -~i монотонно возрастает;
предел ее получается из 198 и I 68.
200. После введения новой переменной Ykn(x — ^) = t наш
интеграл преобразуется в
X kn _
— Ykn(l — a)
со
При tt->-oo этот интеграл стремится к \ ert% dt = yrn.
— с»
201. [Laplace, Theorie analytique des probabilites, т. 1, ч. 2,
гл. 1; Oeuvres, т. 7, стр. 89, Paris, Gauthier-Villars, 1886;
G. Darboux, Journ. de Math., серия З, т. 4, стр. 5 — 56,
377-416, 1878; Т. J. Stieltjes, Ch. Hermite, Correspon-
Correspondence d'Hermite et de Stieltjes, т. 2, стр. 185, 315-317, 333,
Paris, Gauthier-Villars, 1905; H. Lebesgue, Ann. de Toulouse,
серия 3, т. 1, стр. 119-128, 1909; H. Burkhardt, Munch.
Ber., 1914, стр. 1 — 11; О. Perron, Munch. Ber., 1917, стр.
191 — 219.] Пусть е>0. Выберем положительное б столь малым, ¦
чтобы a<il~6<g + 8<& и при | —б<х<| + б выполнялись
неравенства
ф(?)-е<ф(х)<Ф(?) + е,
ft" (S)-e </*"(*)< Л" (?) + е<0;
тогда
ь	1+б
\ Ф (х) еп tft (*> - h ©] dx = \ ф (л;) еп & м - h ®Я dx + О (а11) =
а	|-б

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	285
где а @<а< 1) зависит только от 8, но не от п, и ? —б<?'<
<С| + б, g — б <?"<?+6. Первый член в правой части заключен
между границами
2	-d* и (ф(?) + е) \ е2
е) } е2	, -d* и (ф(?) + е) \ е
1-е	l-б .
которые согласно 200 асимптотически равны соответственно
Теорема сохраняет силу и при непрерывном возрастании п до
бесконечности.
202. [Формула Валлиса.] Имеем:
2-4...2«
Частный случай задачи 201 при а — О, b — n, q>(x)=—,f(x) =
= sin2x, ? = 4г. (Вытекает также из 205.)
203. Имеем:
я
Частный случай задачи 201 при а = — я, b — п,
1 — 1 cos л:, ? = 0.
204. Имеем:
2Я
-tcosxcosvxdx.
Частный случай задачи 201 при а = 0, Ь = 2п, ф (х) = ^ cos \x,
205.	[Формула Стирлинга.] Имеем:
оо
v (п Ц-\\ — rin+1 ^ (ё~хх)п dx
о
Частный случай задачи 201 при а = 0, Ь — оо, ф(х) = 1, f(x) =
= ехх, | = 1.
Более точная формула вытекает из решения 18 или I 167.
206.	Согласно 205 имеем:
nk + l\	Y(nk + l+\)	I nk \l	T(nk+\)
A \l !nk\"-k / e \n I e. \nk-n-tf 2nnk
^J] \~e) \n) \nk — n) • V 2лп ¦ 2л (nk—n)'

286	РЕШЕНИЯ
207. Заменим х на tx. Тогда рассматриваемый интеграл пре-
преобразуется в
Пусть t~l<.~2. Тогда интеграл
ф
можно опустить, ибо функция f (л:) = (—j в интервале 0 <д: •==;--
возрастает, следовательно, в этом интервале f (х) ^ ]/2е < е.
К остающемуся интегралу
применяем 201, полагая там
1
а — 2~, — оо, ф( ) — Л , i \~/ ~\х
208. Заменяя л: на х~х-аA+х), получаем:
Ь	ф(л:)=ха-1, /(*)==(-Г, ?==1,
-1
Частный случай задачи 201 при
, , . , A +д:)а— 1 — ах
а
,	г 1 —а
209. Заменяя х на е~На A+*). получаем:
- ( ХЛТ ! ¦ -	лХ
e^ta exp \e~1ataj j ехр\е 1сс^а [л: — A +л:) In A +•*)])
— 1

отдел второй	287
Частный случай задачи 201 при
а = — 1, Ь = оэ, ф(л:) = 1, h (х) = х — A -\-х) In (I -\-х),
210> Рассматриваемое выражение равно [205]
1
an 
1
] S
_ +е	1
где У] = и 2 , 0<е<;-7г. Действительно, при отрицательных
значениях х функция ех{\-\-х) является возрастающей, так что
в опускаемой части подинтегральное выражение меньше чем
[е"A-т1)]л.
Разложим е А" A -J-х) в оставшемся интервале интегрирования:
Xе X3 Xх
+	A + ад @ < G = 0 (х)< 1).
Но е 4	=1+0 (/х~1+4е). Мы получаем таким образом:
1_
nX-3-	Y3	аП 2[.+ |3/! __„*2
Далее, e 3 = 1 +n*--f 0(/r1+6E). Так как	i e " 2 tfx есть
— Л

288	РЕШЕНИЯ
1
величина порядка п 2, то мы получаем дальше:
1
[1 + 0(п-1+4е)] \ е 2(l + n~)dx+O
1/2я J
— ¦л
~2
4
а
1
211. [См. A. de Moivre, The doctrine of chances, 2-е изд.,
стр. 41-42, London, 1738.] Имеем:
так что хп есть единственный положительный корень трансцен-
трансцендентного уравнения Кп(х) = 1— Я. Согласно 210
где Л и В имеют указанное в 210 значение. Определим аир так,
чтобы Л = 1— %, В = 0. Тогда лс„ — (п + а ]/я + р) будет стре-
стремиться к нулю. Действительно, если бы для бесчисленного мно-
множества значений п выполнялось, скажем, неравенство
то отсюда следовало бы, что

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	289
где В' составлено из аи Р + с так же, как В из а и р\ Именно
1 -21. 1 -2L
В' = В-\—~се 2 =-^=гсе 2 >0
В В\се
и последнее неравенство противоречит предположению А = 1
Аналогично убеждаемся, что и неравенство
не может выполняться для бесчисленного множества значений п.
212. Доказывается аналогично 201; вместо 200 опираемся на
формулу
Vn	a Y2k tz
где а вещественно, k>0> и оба постоянны.
Отсюда 210 вытекает не полностью.
213. Посредством вычисления, аналогичного проведенному
в 201, получаем:
a Inn p
6 +-й- + 1Г
|-6
где е„ == ая-1 In /г + рга, б — положительное постоянное число,
причем б выбрано столь малым и п столь большим, что в интер-
интервале интегрирования <р(х) непрерывна, h(x) имеет непрерывную
вторую производную h" (x) и h' (х)>0. Далее, | — б<|' <Е + е„.-
_ з
Положим ч)п~п ^ и возьмем п столь большим, чтобы выполнялись
также неравенства е„<;т]л<; б. Тогда подинтегральное выражение
_i_
в интервале [| —б, g —т)„] будет порядка e~n^"h' = erni Л',где/г'—
положительная нижняя граница функции К' (х). В оставшейся
части интервала разлагаем h (x) по степеням х — % до второй
включительно; получаем:
Здесь /г" (g") ограничено и п (х — |J s^ nrfn = /г 2. Наконец,
nh' (I) _ e- nt)nh' A)	g(ot in rt + Э) A' (
и/г' ©	пЛ' (I)
1J, 10 Г. Полна, Г. Cere, ч. I

290	РЕШЕНИЯ
214. Замена переменной дает:
п\
215. Согласно решению 211
(ex+xx)"dx	B05, 213].
. \ е-~ххп dx = \ [ еххп dx=\.
о
Определим в 214 постоянные аир так, чтобы Л=0, В = 1.
Тогда хп — (gn + alnrt + P) должно будет стремиться к нулю
[решение 211].
216. Пусть при х>1 имеем iL^-<G = const. Разобьем инте-
интеграл
-„„„
— \ \г	пк х) dx
л!
О
на четыре части: от 0 до е, от е до 1-е, от 1-е до 1-fe и
от 1+е до+оо. При этом мы будем предполагать, что г не
зависит от п, 0<е<- , 8<7 и столь мало, что в первом интер-
интервале xel—x + Oe < 1. Во втором и четвертом интервалах будем иметь
xel~x<ci; выберем столь малое б = б(е), чтобы, более того, там
выполнялось неравенство xel~x+6x <. 1, и далее, возьмем п столь
большим, п> N = N (e), чтобы в этих двух интервалах выполнялось
также неравенство 8 ™' <б и, кроме того, было /ге>1. Тогда
подинтегральное выражение, за исключением третьего интервала,
будет 0(8"), где б не зависит от х и п, 0<0<1, 6 = 6 (е). Из
интегральной теоремы о среднем значении получаем [принимая во
внимание еще 205]:
i" (e>-xx)ndx-\-O(V~n%n)
1—8
Таким образом,
\пап _ g(nl) . ,..
*(п) ~ г (л) +0^'-
Но lim g ,а"^ существует, притом равномерно для 1 — esgcs^l -f e,
и значение его для достаточно малых е сколь угодно мало отли-
отличается от единицы.

ОТДЕЛ ВТОРОЙ	291
217. Рассматриваемый интеграл можно записать следующим
образом:
д!22л	1 С 2п cos A= —
Bл —1) Bn — 2) Bn — 3) ...n ]/n
—nYn
—v
IX
' n —v
их.
Применяем 115. Пределом подинтегрального выражения служит
е~*2 [59] и притом равномерно в каждом конечном интервале, что
можно показать, развивая доказательство теоремы 59. [По поводу
определения мажоранты F (х) в смысле 115 см. G. Poly a, Gott.
Nachr., 1920, стр. 6—7. Относительно обобщенной формулы
Лапласа см. также R. v. Mises, Math. Zeitschr., т. 4, стр. 9,
1919.1
218. [См. G. Р 61 у а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 24, стр. 282, 1916.] Пусть х„, хп^>п, будет точка, в которой
достигается максимум Мп. Имеем:
—l)(xn — 2) ... (х„ — п) -х, _ хп — п /х„\
п\	VT \n)a
п\	п\	VTn \n
)a П
Отсюда на основании 16 заключаем, что хп ==(п4-у)^ + е„, где
й = A — аг1)'1 и lim е„ = 0. Очевидно, Ь>\. Таким образом,
п—*оо
каково бы ни было положительное е, при достаточно больших п
будем иметь:
Обе эти границы согласно 206 асимптотически равны соответственно
/2лп \ * — 1
и
{b — \)n I b
Ь — \
219.	Доказывается аналогично предыдущей задаче с приме-
применением 17.
220.	Положим / (п, х) = | Qn (х) | сгх. Тогда при т — 1 ss x<m,
где m —целое положительное число, имеем:
f(tn— I, x)^f(m, x)^f(m-{-\, x)^:.,. [Ill 12],
l/, 10*

292	РЕШЕНИЯ
так что верхняя грань функции /(я, х) для фиксированного х>О
и изменяющегося «достигается при п<.х. См. 218.
221.	[219, 220.]
222.	Точка х„, в которой достигается максимум Мп, опреде-
определяется из уравнения n = xn-\~a\ix^. Имеем:
п>хп, lim -^-=1,
Отсюда
х„ = я — a\w? + о (
In xn = In я — afm^1 + о
следовательно,
\п^ = п\п хп- хп- ах* - п\х\пе +

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
ОБЩАЯ ЧАСТЬ
+ = 2х, z — z = 2iy, zz = r2.
2. Открытая правая полуплоскость; замкнутая правая полупло-
полуплоскость; открытая полоса, ограниченная параллельными прямыми,
отстоящими от вещественной оси на расстояниях а и Ь; замкнутый
угол между лучами, составляющими с положительной вещественной
осью соответственно углы а, Р; мнимая ось; окружность радиуса R
с центром в г0; внутренняя часть, соответственно внутренняя часть
вместе с контуром — того же круга; замкнутое круговое кольцо
между концентрическими окружностями радиусов R и R' с центром
R	R
в точке 2 = 0; окружность радиуса -у с центром в -у.
3> Если | а — b | sg k — эллипс с фокусами а и b и большой
осью k, соответственно ограничиваемая им область. (При | а — b \ = k
эллипс вырождается в отрезок между фокусами.) Если k<C\a — b\,
то условию задачи не удовлетворяет ни одна точка г.
4. Открытая область, ограниченная кривой | z — zx\ \ z — z21 = R*
с «фокусами» гг и z2, где гу и z2 — корни уравнения z2-)-az + 6 = 0.
Эта кривая представляет собой геометрическое место точек, произ-
произведение расстояний которых от гх и z2 постоянно и равно R2. Она
состоит из двух отдельных кусков, если /?=^ "г"*2'» и из одного
куска, если R > - ZlTZ2 ¦ При R = Zl~^ имеем обыкновенную
лемнискату.
5р Условие задачи равносильно условию
z — a*= 1 —<
ИЛИ
Точки первой категории лежат внутри единичного круга |z|<l,
второй категории —на единичной окружности |z| = l, третьей
10 Г. Полна, Г. Сеге, ч. I

294	РЕШЕНИЯ
категории— вне единичного круга. (При z — oo рассматриваемое
выражение равно — --; г = оо принадлежит к точкам третьей ка-
категории.)
6.	Условие задачи равносильно условию
— z Р | = | а + z j2 или —;
Так как а 4-й вещественно и положительно, то условие приводится
к Э?г = О. Точки первой категории лежат справа, третьей — слева
от мнимой оси. (При z = oo рассматриваемое выражение равно— 1;
z = oo принадлежит к точкам второй категории.)
7.	Положим a = y-\-ib, — = x-\-iy, тогда уравнение прини-.
мает вид	•
8.	Пусть колесо радиуса а катится по вещественной оси и с этим
колесом неподвижно связана некоторая точка Р, находящаяся на
расстоянии Ь от центра. Тогда точка zx описывает прямую —траек-
—траекторию центра колеса; точка г., — окружность, описываемую точкой Р,
когда колесо вращается вокруг неподвижного центра; точка z =
=z1Jrzi — удлиненную, t обыкновенную или укороченную циклоиду,
смотря по тому, будет ли а=^Ь.
9.	По эпициклоиде.
Шdz dr ,-л . ;,ч d$
• Ж = !Ге +tre ИГ>
d^z d2r 1Л , „. dr d$ ;л
dt dt" ' \dt ^"ь dfi
аи \° , . -
dP \dt ) Г ^ r dt \' dt
Коэффициент при е'в представляет радиальную, коэффициент при
ie'^ — перпендикулярную к ней компоненту.
11. В круговом кольце
©„:	n<|z|<rt + l (л = 0, 1, 2, ...)
имеем:
гп + \
1 <-
Z
ТУ
<-
г2
~2\
zn~l
(я-1I
<-
гп
(и+1)!
т. е. в %п наибольшим по модулю является п-п член. На границе
между ©„ и @„ + 1 n-й и (п+1)-й члены по модулю совпадают
и превосходят все остальные.
Если вообще
есть всюду сходящийся не обрывающийся степенной ряд, то мы

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
295
можем разбить всю плоскость z концентрическими окружностями с
центром в z = 0 на круговые кольца так, чтобы в каждом
отдельном кольце наибольшим по модулю был один определенный
член ряда (максимальный член). При переходе от одного кольца
к следующему, охватывающему его, номера максимальных членов
возрастают. [I 119, I 120.]
12. Периферии кругов
?„:	[г-«|<и+1 (л = 0, 1, 2, ...)
взаимно соприкасаются в точке z — — 1, пересекают в ней. веще-
вещественную ось под прямым углом и вторично пересекаются с веще-
вещественной осью соответственно в точках 2га+1 (га = 0, 1, 2,- -...).
8п+1 содержит ?„. В серповидной области ©„, заключающейся
между окружностями кругов $п и $п-1, имеем:
Поэтому там
(г
г
1
—*
1
2
п
>
— Г
1
2
1
-
—,
2
9 • • . ,
-л-1
п + 2
2-
-n-f-1
п
- ' ¦"
1,
К
(.-.)
<
>
т. е. в ©„ наибольшим по модулю является п-й член ряда. На
границе между ®п и ®n + i n-& и (/г+1)-й члены по модулю сов-
совпадают и превосходят все остальные. (В точке г = —1 все члены
ряда по модулю равны единице.)
Области &„ и их граничные линии исчерпывают всю полупло-
полуплоскость Шг > — 1 вместе с точкой г = — 1. В полуплоскости Шг-^—1,
гф—1 модули членов ряда монотонно возрастают, так что нет
максимального члена.
13. Периферии лемнискат
8Я:	|г2-п2|<п3 (п-1, 2, 3, ...)
соприкасаются между собой и с прямыми Sftz = rh3z в точке г = 0
и пересекают вещественную ось в точках ±nY2. in+1 содержит 8„.
В серповидной области ®п. заключенной между перифериями
лемнискат ?я+1 и 2„ (©о —^i). имеем:
'-?
1,
1 -
(П +1J
1_И
22
1 -
1 —¦
Поэтому там
10*
<|Pa(z)|<...
...<|Pe-1(z)|<|PB(z)|>l^» + lB)l>.-,

296
РЕШЕНИЯ
т. е. в ®п наибольшим по модулю среди всех частичных произ-
произведений является Pn(z)- На границе между ©„ и ®n+i n~e и
(n-fl)-e частичные произведения по модулю совпадают и превос-
превосходят все остальные. (В точке z = 0 все частичные произведения
равны нулю.)
Области <Зп и их граничные линии исчерпывают углы
я _	я Зя	5л
-T<argz<T, T-<argz<^-r
вместе с точкой z = 0. Для других z модули монотонно возрастают
и, значит, максимального не существует.
14. Пусть Ф = arg I f (t) e'f w dt. Тогда
за исключением того случая, когда ср (/) = О (mod 2я) во всех
точках непрерывности функции ф(/).
15. [К. L owner. Math. Ann., т. 89, стр. 120, 1923.] Доста-
Достаточно доказать, что 9? D/32 — 2Q) =sS 3. [Заменяем q>(t) на ф@ + у.
где $ = argDP2 — 2Q); см. решение 14.] Но теперь [II 81]
'со
\6
/
- 2 $ е-2^ cos 2ф (О
О
о
2 \ е 2t cos 2ф (/) dt =
о
| cos <р $
=sS 4 ^ е'соь2 ф (/)
о	¦
со
= 4 5 (в '-в 20с
Если 2ft DP2 — 2Q) = 3, то cos2 ф (/) = 1 и cos ф (/) должен сохра-
сохранять постоянный знак во всех точках непрерывности функции ф (t),
т. е. ф (t) = 0 или ф (^) = я (mod 2эт).
16. Функция р1г-1 + р22~2 + .. .-\-рпг~п монотонно убывает
от оо до 0, когда z монотонно возрастает вдоль положительной

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
297
оси, следовательно, она принимает значение 1 в одной и только
одной точке ?. Имеем:
гп — pxzn~x — p:2zn-2 —... — рп > 0 или
^ или t
О,
смотря по тому, будет ли
17. Имеем:
n-2
ап\,
следовательно, согласно 16 |г0 ]=<;?.
18.	Применить 17 к an~lznP (г г).
19.	Вспомогательные полиномы, рассматриваемые в задачах
17 и 18, в данном случае тождественно совпадают и равны
zn — \c\.
20.	Пусть | ах | +1 аг \ +... +1 ап ] > 0 (в противном случае
утверждение тривиально). Согласно 17 достаточно доказать, что
положительное число ?, для которого
удовлетворяет неравенству
Из неравенства
вытекает, что
i • • * »
A= 1
Следовательно, среди чисел t,~k— '^~ имеется по крайней мере
"л
k = \ak\-1 для ак--ф0
одно неотрицательное.
21. а) Полагаем в 20 dn = n, далее,
и d^k — e1 для Й? = 0 (е>0). Имеем:
k \ для ак"Ф О,
ПБ	ДЛЯ Я/, = О.
Беря теперь е->0, получаем наше утверждение,
б) Полагаем в 20

298	решения
далее, dn-k = (" )| ak \-г для акф0 и dn_ft = e^x для ак = О (e>Q).
w
w
Дальше рассуждаем, как в а).
22. [G. Enestrom, Ofv.af vet.-akad. forh. 1893, стр.405—415;
Tohoku Math. J., т. 18, стр. 34—36, 1920; S. К a key a, Tohoku
Math. J., т. 2, стр. 140—142, 1912; A. Hurwitz, там же, т. 4,
стр. 89, 1913.] При |г|й=1, z^\ имеем:
= \Ро-(Ро~ Pi) z ~ (Pi ~ Р-г) z2-...-(pnl- pn) zn -
00— (Po- Pl + Pi- Pi + ¦ • ¦ + Pn) =0,
так как (p0 — рг) z, (pt — p2)z2, ..., PnZ'1*1 не могут все иметь оди-
одинаковый аргумент (за исключением случая zS==0, когда утверж-
утверждение и без того очевидно). Более слабый результат (< вместо =g;)
прямо вытекает из 17.
23.	Заменяем г на --, соответственно на ~ (р положи-
положительно), и к полученному таким образом уравнению, подобрав
соответственным образом р, применяем 22 (во втором случае пред-
предварительно умножив обе части уравнения на г").
24.	Обозначим рассматриваемый полином через /(г). Для
9te :>= О, I z I > 1 имеем Sft — !Э= 0, следовательно,
/(г)
1*1"
9	9
• ' г
Это последнее число неотрицательно, когда | z | Зг г, где г — поло-
положительный корень уравнения г2 —г = 9, г = —, 3<г<4.
Полином, соответствующий числу 109, обращается в нуль в точ-
точках ± 3t.
25. [С h. Hermite и Ch. Biehler; см. L agu err e,
Oeuvres, т. 1, стр. 109, Paris, Gauthier-Villars, 1898.] Пусть
P (z) = U (z) + i V (z) = ao(z — Zi) (z — z2) ... (z — zn) (aa Ф 0)
и х-корень уравнения U(x) = 0 или V(x)~0. Тогда имеем:
U(х) + iV (x) = !/(*)- iV (х) или U (х) + iV (x) = -[U (x) - iV (x)],
смотря по тому, имеет ли место второй или первый случай. Сле-
Следовательно,
°о(х — zi) (X — Z2) •¦¦ {х — zn) = ±ao(x — Zj) (x — z2) ... (х — zn).
Но равенство такого вида возможно лишь тогда, когда х веще-
вещественно. В самом деле, если бы х лежало, скажем, в верхней

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
299
полуплоскости, то мы имели бы
значит,
- zv)
v= 1
x — zv I <| x — zv| для всех v и,
. Аналогично убеждаемся
V= 1
в том, что х не может лежать и в нижней полуплоскости.
26. [См. I. Schur, J. fur Math., т. 147, стр. 230, 1917.] Пусть
и х — корень уравнения Р (х) + Р* (х) = 0. Тогда \Р (х) \ = \ Р* (х)
и, значит, так как Р* (г) = аоA — 2xz) A — 22г) ... A —2„г),
п	п
п
— Zx
= ПИ
¦ ZVX
Но уравнение такого вида возможно лишь когда |х| = 1. В са-
самом деле, если бы, скажем, было |jc|<1, то тогда для каждого v
мы имели бы \х — zv| < | 1 — zvx \ [5], и первое произведение
было бы меньше второго. Совершенно так же убеждаемся в том,
что не может быть и | х | > 1.
Аналогичные рассуждения можно провести и для уравнения
P(z) + yP*(z) = Q (|vl=l)-.
27. [М. Fekete*).] Пусть у = ХР (а) + р.Р ф), 0<А,<1, Ь +
-f [л = 1. Если бы все нули полинома Р (z) — у = а0 (z — zx) (z — z2)...
...(z — zn) лежали вне указанной фигуры, то мы имели бы:
и, следовательно,
что противоречит тождеству
)-Y ... _i
28. Мы можем принять, что прямой, рассматриваемой в за-
задаче, служит мнимая ось, и dizv > 0 при всех значениях v (этого
всегда можно добиться путем умножения на множитель вида ёа).
Тогда также 9? — >0 и
-... + г„)>0, s
Утверждение сохраняет силу и тогда, когда все точки распо-
расположены в замкнутой полуплоскости, определяемой заданной
прямой, если только не все они лежат на этой прямой.
*) См. Acta Litter, ас Scient. (Szeged), т. 1, стр. 98—100, 1923.

300	РЕШЕНИЯ
29.	См. 28.
30.	Применяем 29 к m1(z1 — z), mi{zi — z),...,mn(zn — z).
Какова бы ни была прямая g', проходящая через 2 = 0, точка zv
всегда лежит по ту же сторону . прямой g, проходящей через г
параллельно g', по какую mv(zv — z) лежит относительно пря-
прямой g'.
31.	[Gauss, Opera omnia, т. 3, стр. 112, Gottingen, Ges. d. Wiss.,
1886; т. 8, стр. 32, 1900; Ch. F. Lucas, С R., т. 67, стр. 163—164,
1868; т. 106, стр. 121—122, 1888. См. также L. Fejer, С. R.,
т. 145, стр. 460, 1907 и Math. Ann., т. 65, стр. 417, 1907.]
Первое решение. Вектор, определяемый комплексным
числом	, представляет силу, приложенную к а в направлении г,
z — a
обратно пропорциональную расстоянию между этими двумя точ-
точками. Пусть z,, z2, .:., zn — нули Р (г) и г —отличный от них
нуль Р' (г). Тогда
У
Р(г) Li z-zv
v= l
т. е.
Z — Z1	Z—22	Z—Zn
назначит, z представляет положение равновесия мате-
материальной точки, притягиваемой неподвижными точками г1г z2, ..., г„
с силами, обратно пропорциональными расстоянию. Если бы те-
теперь z лежала вне наименьшего выпуклого полигона, содержа-
содержащего все zv, то силы, с которыми действуют на z отдельные точки,
давали бы результирующую, отличную от нуля, что невоз-
невозможно. C15.)
Второе решение. В тех же обозначениях, что и выше,
имеем:
откуда
z = m1z1Jrm2z2 + ... + mnzn (m1 + /n2 + ... + mn= 1),
где v-я «масса» mv пропорциональна-	^ (v=l, 2, ..., п).
I ^ ^ V [
3S. [L.Fejer, О. Toeplitz.] Пусть ?, — произвольная внутрен-
внутренняя точка указанного выпуклого полигона. Имеем:
Х1>0, Я2>0
и, стало быть, для
С—*

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	301
при
Будем аппроксимировать mv рациональными числами
g (V=l, 2, .... п;
и примем во внимание, что корни алгебраических уравнений
непрерывно изменяются при непрерывном изменении коэффициен-
п
тов. Тогда производная полинома Y\ (z ~ zv)Pv будет иметь нуль,
v= 1
сколь угодно близкий к ?.
Так как Z, лежит внутри или на границе по крайней мере
одного из треугольников, образуемых тройками чисел zv, то для
наших целей достаточно опираться на непрерывную зависимость
нулей от коэффициентов для полиномов второй степени, а это
свойство тривиально. [Последнее замечание принадлежит
А. и R. Вгаиег'ам.]
33. [М. F и j i w а г a, Tohoku Math. J., т. 9, стр. 102—108, 1916;
Т. Takagi, Proc. Phys.-Math. Soc. of Japan C), т. З, стр. 175—179,
1921.] Пусть P (z)=ao(z — z1)(z — zi) ... (z — zn) и 2 —точка, для
которой
Р (z) ~°Р' (г) = 0. Р (г) Ф 0-
Тогда имеем:
Р(г) с z-z^ z-z^ •••^¦z-zn с v'	V)
что с помощью величин
1	1	1
'Х-|г_г ,2.
можна записать в виде
В правой части формулы B) стоят два члена: первый представ-
представляет собой центр тяжести некоторого распределения масс в точ-
точках zx, 22, ..., г„, т. е. наверняка лежит в наименьшем выпуклом
полигоне, охватывающем эти точки; второй член представляет
вектор, параллельный вектору с. Отсюда и вытекает наше утверж-
утверждение. См. V 114.
34. [Т. J. Stieltjes, Ada Math., т. 6, стр. 321—326, 1885;
G. Pol у а, С. R., т. 155, стр. 767, 1912.] Пусть 2V (v = l, 2, ...
..., и) — какой-либо нуль Р (г) и А (гу) Ф 0. Тогда также и
р' BV) Ф 0. Действительно, в противном случае из дифференциаль-

302	РЕШЕНИЯ
ного уравнения для Р (г) вытекало бы, что и Р" (zv) = 0, откуда
в результате дальнейшего дифференцирования следовало бы, что
Р (z) вообще тождественно равно нулю. Уравнение
Р" (zv) , B(zv)
"Г
zv — аг	zv — ар
показывает [31], что zv лежит внутри наименьшего выпуклого
полигона (соответственно отрезка), содержащего числа zlt z2> ¦••
..., zv-i, гу+1, • • •, zn, alt a2, ..., ap. Рассмотрим теперь наимень-
наименьший выпуклый полигон, содержащий числа гъ z2, ..., zn, alt аг, ...
..., ар. Из предыдущего следует, что на его границе могут ле-
лежать только av и лишь те нули Р (г), которые одновременно слу-
служили бы нулями А B\ но таких среди zv нет.
35. [J. L. W. V. Jensen, Acta Math., т. 36, стр. 190, 1913;
J. v. Sz. Nagy, Deutsche Math.-Ver., т. 31, стр. 239—240, 1922.]
ПуСТЬ Zlt 22, . . . , 2„ - НуЛИ / (Z) И
i	1	L	, гфг, (v=l,2, .... я).
Отсюда вследствие симметричного расположения нулей имеем:
1
что, как показывает формула
г-zo ' z-z
B = л; + гг/, zo=x0 + iyo),
невозможно, если z лежит вне всех указанных кругов.
36. Полагая zn = xn-\-iyn, имеем \^п\^~^- Тем самым из
сходимости ряда ^ хп вытекает и сходимость ряда ^] \zn
п = 1	га = 1
Обратное очевидно.
37. Положим г„ = *„ + «/«• Из предположения задачи выте-
вытекает последовательно сходимость рядов
/1=1	/2 = 1	д= I
со	со	оо
л = 1	п — 1	п — 1

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	303
38.	Пример: г„ = е2л'"9 (In (и + I)), б иррационально. Сумма
еаял*е ПрИ д-уоо остается ограниченной [решение II 166,
v= 1
Киор'р, стр. 316].
39.	Пусть все числа гп отличны от нуля и расположены
в порядке возрастания модулей:
Заключим каждое из zv (v = 1, 2, ..., /я) в круг диаметра 6
с центром в zv. Эти круги не имеют общих внутренних точек и
целиком содержатся в круге | г | ^ | гт | + -j. Поэтому
и, следовательно,
40а Рассматриваемое выражение равно
Множитель пш всюду плотно заполняет единичную окружность
[I 101]; остаточный множитель сходится к интегралу
1 + к* •
о
41. Имеем:
1
xiadx=-
	 /sin пд:\ 	 ея — е~п
~ \ лх ) х = 1 ~ 2я
Положим 1 + п = УТ+г?е2яШ", 0<О„<-^, тогда tg2n*n = ~
следовательно, ряд ^Ч-^гЧ- •¦• +*«+••• расходится, причем
lim ^„ = 0. Имеем:
В силу I 101 предельные точки последовательности гп заполняют
окружность
г =
2я

304
РЕШЕНИЯ
42. Имеем:
n+l
lZn
	 1
Фл—Фи-l	i 1
Тл Yn I	arctg
К"
Отсюда гп~~срп [I 70].
43* В силу II 59 и II 202 модуль интересующего нас выра-
выражения сходится к е-'2. Поэтому достаточно доказать, что
п.
2nsin-7-ln2- У arctg
In sin -тг=
J
где arctgx в точке х = 0 равен нулю. Пусть n>t2. Тогда [I 142]
2д sin -ттг
2ncos —=—v
¦*(.-!)-,¦
.2Vn\t \
2 n-t*.
= O[n
Поэтому arctg а; = л: —-д-+ • • • можно заменить на х. Требуемое
утверждение полностью вытекает тогда из соотношения
л
Это последнее получается с помощью небольшого расширения
теоремы II 10 при замене в рассматриваемой там сумме Ап
члена f[a-\-v-—\ на f(a + v—~ + &п)\ результат Ап = 0(пг1)
остается в силе, если е„ = О (п.-1). (При этом предполагается, что
функция f (х) определена и ограничена еще несколько влево
от а и вправо от Ь.)
44. Пусть lim ст„ = а, %п<.К, Далее, \im zn = z, \zn\<M,
п -* оо	п —> со
SM, К и М не зависят от п. Ряды
... +anzn+ ...
абсолютно сходятся. Пусть е — произвольное положительное число

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
305
и N = Nfe) столь велико, что \zn — z|<e для всех n~>N.
Из равенства
I	П	П	П
»» = @Г« - S flv) Z + 2 «v2v + Е (a»v ~.flv) («v - Z).
\	v=0 /	v=0	v=0
полагая w = (a — a)z-\-$t получаем:
оо
со
2 avZv
+ 2М 2 l^nv-flv
V = 0
45. [Cm. I. Schur, J. fur Math., т.. 151, стр. 100—101, 1921;
F. Mertens, J. fur Math., т. 79, стр. 182—184, 1875.] Пусть
Vn и Wn — частичные суммы рядов
Vn,
••• +UnV0).
п=0
Тогда
V» = «»V0 + «,_1V1+...+u0Vr (» = 0, 1, 2, ...).
Для того чтобы сходящаяся последовательность Vп преобра-
преобразовывалась в сходящуюся же последовательность Wn, во всяком
случае необходимо, чтобы суммы \и„ \-\-\ «л_а |+ ... + \ио\ были
ограничены, т. е. ряд щ-\-их-\-иг-\- ... абсолютно сходился.
Но тогда остальные условия 1, 2 (см. стр. 118) выполняются
автоматически. Тем самым искомым необходимым и достаточным
условием является абсолютная сходимость ряда
46. [См. I. Schur, 1. с. 45, стр. 103—104; T.J. Stieltjes,
Nouv. Ann., серия 3, т. 6, стр. 210—213, 1887.] Обозначим частич-
частичные суммы рядов
со	со
2 о- SlEwn)
¦ п= 1	n—l\t\n	11
через Vn и Wn. Тогда [VIII 81]
^Wn = u1Vn + uiVrn-\ + UaVrn-i+ ... +unVrn-\ (л=1, 2, 3	).
Коэффициент при Vk равен сумме тех щ, для которых -у- \ — k.
В частност», коэффициенты при Vn, У\пл, У\пл, •¦-, У\пл, где
LaJ L зJ	H
v = [У"/г], равны соответственно иу, щ, ..., hv, ибо для 2 ^ / ^
;v имеем:
л
т
г (г—1)

306
РЕШЕНИЯ
Если сумма модулей коэффициентов в n-й строке ограничена,
это подавно имеет место для )Mil+ 1 Н21+•• •+1 "v I, T- е- РЯД
и1 + "г+•••+ ия+... абсолютно сходится. Искомым необходи-
необходимым и достаточным условием служит поэтому абсолютная схо-
сходимость ряда и1-\-и2+ ... +ип+ ...
47.	[R. Dedekind, см. P. G. Le j eune- D iri ch 1 et, Vorle-
sungen iiber Zahlentheorie, 4-е изд., стр. 376, Braunschweig, Fr.
Vieweg, 1894*); J. Hadamard, Acta Math., т. 27, стр. 177—183,
1903. Ср. I. Schur, 1. с. 45, стр. 104—105.] Положим:
An = «о + «i + <h + • • • + я».
Вп = YiA) + Yifli + Y2«2 + • • • + Уг,ап.
Тогда
п— 1
. Вп= 2 (Yv- Yv+i)^v + yH».
v= 1
48.	[См. G. P61 у а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 24, стр. 282, 1916. Решение —S. Si don, там же, серия 3,
т. 26, стр. 68, 1917.] Полагаем:
сщ = 20, ио + и1 + -...+ ип _t + сип = zn (п = 1, 2, 3, ...),
«o + «i+ ... +««-i + «n = ^n (« = 0, 1, 2, ...),
Сравнение коэффициентов дает:
и, следовательно,
№©=,
Пусть с ф§. Из последнего уравнения сравнением коэффици-
коэффициентов получаем:
Применяя критерий, указанный на стр. 118, видим, что ряд
' с„+1 должен абсолютно сходиться. Но это возможно в том
с	\
1
и только том случае, когда 	 <1, т. е. ^^- „ .
49. [I. Schur, Math. Ann., т. 74, стр. 453—456, 1913.]
Случай, когда с~—k есть целое отрицательное число, можно
*) П. Г. Л ежен Д и р и х л е, Лекции по теории чисел, ОНТИ, 1936,
стр. 323.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
307
Uo+Ul+ '•• + ""
заранее исключить; пример:
_! п
ДЛЯ &3г2,
для /г=1 [I 69]. Случай с = 0 не представляет затруднений.
Положим:
и пусть, как на стр. 118,
wn = а„ог
Из соотношений
n — nwn...1 + cwn (n=l, 2, 3, ...)
с помощью умножения на jf. ^_Т. и сложения п первых ра-
равенств вытекает:
l^±p.Wn-T(c + 2)w0 =
v=l
(n-\-\)zn — c
т. е.
n-fl
v= 1
/г— t
При фиксированном v
так что lim anv существует тогда и только тогда, когда
п —> го
>—1. Пусть, следовательно, Шс> — 1. Положим:
_ _ _ _ 1
и0 — их — и2 — ... — [ _|_с•
Тогда
и, следовательно,
апо "г йщ "Г ^л2 Т • • • ~Г апп ==
Пусть, далее,

308
РЕШЕНИЯ
где Шс = у> a & и В —некоторые постоянные, не зависящие от п.
Эти неравенства дают
ап1\+ ... +\ап, „
л —1
v = О
1
={-^ [II 22].
Таким образом, искомым необходимым и достаточным условием
является Ыс > — 1.
• 50. Пусть а„ = ал+ф„, ап, р„ —вещественные. Замечая, что
п	п
vs-(v+l)s
— 7 V
v= 1
(биномиальный ряд!), путем обобщения доказательства теоремы
I 75 получаем, что lim (о^ + агЧ- ... -\-ап) пга = 0, т. е.
lim
/1 —» ОЭ
аа+...+ал)/г° = Нт (р\ + р\2+ ...
Но теперь к каждому из степенных рядов
в отдельности мы можем применить I 92. Это дает:
lim
= lim
/-> l —о
51.	Если четыре части ряда, состоящие каждая из членов,
содержащихся в одном и том же замкнутом квадранте (Шг ^ О,
Зг^О и т. д.), сходятся, то ряд сходится абсолютно.
52.	Устанавливается последовательным разбиением угла
пополам: если члены zrt, zri, ... лежат все в одном угле ^sg;
==S arg z =ssiO2 и ряд j zri | + | 2r, |+ • •• расходится, то выделяем
из них в один ряд члены, лежащие в уле Ох ^ arg г< ' "Г 2,
в другой — члены, лежащие в угле
<;arg2s.c&2
^.c&2; один
из этих двух рядов должен быть расходящимся.
53. Для каждого из вложенных друг в друга углов
Л Л
2' ~2
л л
4' "
• • • ' \ 2"'
выбираем из ряда конечное число членов

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	309
содержащихся в этом угле (для различных углов различные
члены), так, чтобы их вещественные части удовлетворяли нера-
неравенству
1	+	+
54.	[Дальнейшие результаты у P. Lev у, Nouv. Ann., серия 4,
т. 5, стр. 506—511, 1905; Е. Steinitz, J. fur Math., т. 143,
стр. 128—175, 1913.] Пусть положительное направление веще-
вещественной оси является направлением сгущения; этого всегда
можно достичь умножением на множитель вида eia. Пусть, далее,
Z/-, + zri + • • • — часть этого ряда, выбранная, как в 53. Тогда
к вещественной ее части применяем I 134, к мнимой—I 133.
55.	Функции z = x-\-iy, z2 — x2 — у2-\-2ixy — аналитические,
\г\ = Ух2-\-у2, z = x — iy — неаналитические.
56.	1. Пусть f (x + iy)=u-\-iv. Здесь и известно и функция
/ (x + iy) = u(x, y) + in v'x (x, 0) dx+ $ v'y (х, у) dy\ =
\о	о	/
ix	у	\
= u(x, y) + i[-\u'y (х, 0) dx+ \ и'х (х, у) dy)
\ о	о	/
тем самым однозначно определяется.
2. Станем теперь искать функцию /(г) среди тех, которые
при сопряженных комплексных значениях аргумента принимают
сопряженные значения. Имеем:
Но согласно 1 функция / (z) однозначно определена своей веще-
вещественной частью; с другой стороны, рациональные функции от г —
аналитические [Hurwi tz-Courant, стр. 46*)]. Поэтому
57. Первое решение. Выражаем со через х и у, убеж-
даемся в том, что уравнение -^ + -^ = q удовлетворяется, а затем
определяем 3/B) с помощью интегрирования [56].
Второе решение. Часть вещественной оси между аи +оо
видна из z под углом
л — 3 In B — а) = л -(- Ш [i In (z — а)].
Поэтому
/ (z) = я +Пп (г-а) - [я+'Пп (z —6)] + ic=tc +tin L=|,
где с —вещественная постоянная.
Г у р в и ц, стр. 69; Гур виц-Курант, стр. 5S.

310	РЕШЕНИЯ
58. Пусть f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, у). Дифференцируя
и обозначая частные производные от и и v через их, иу, ихх, •••,
получаем:
? («2 + v2) = 2 (и» + vl + ш,хх + vvxx),
Теперь складываем и принимаем во внимание соотношения
ul + v% = ul + v*y = \f' (x-\-iy)\2, uxx + uyy = vxx + vyy = 0,
вытекающие из дифференциальных уравнений Коши-Римана.
59.	См. решение 58. Кроме того, принимаем во внимание, что
(Шх + VVхJ + (UUy + VVyf = (Н2 + V2) itll + V\) =
60.	Из подобия треугольников вытекает:
х:1 = у:ц=\ : 1-g,
откуда
61. Имеем [60]:
Р: x+iy = ^^, Р': I, л, С, Р": |, —г,,
следовательно,
*-{У
62. При проекции Меркатора: на прямые, параллельные
осям, в плоскости, на которую разворачивается цилиндр, или на
образующие прямые и направляющие круги самого цилиндра.
Этим свойством и требованием конформности • проекция Мерка-
Меркатора определяется однозначно [см., например, Ё. Goursat,
Cours d'analyse mathematique, т. 2, 3-е изд., стр. 58, Paris,
Gauthier-Vi liars, 1918*)]. При стереографической проекции: на
лучи, исходящие из начала, и на ортогонально пересекающие их
концентрические окружности.
63.
следовательно
*) Э. Гурса, Курс математического анализа, т. II, ч. 2, стр. 227.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	311
64. Полагая w = u-\-iv, имеем:
Таким образом, искомыми кривыми служат концентрические окруж-
окружности с центром в начале координат и ортогонально пересекающие
их прямолинейные лучи. [62, 63.]
65.	Из равенства w •¦= и + iv = z2 = (х -f- и/J, отделяя веще-
вещественную и мнимую части, получаем:
и = х2 — у2, v = 2ху.
Искомыми кривыми служат поэтому два семейства гипербол. Они
взаимно ортогональны как конформные образы двух взаимно
ортогональных семейств прямых и — const., v = const, плоскости w.
66.	Пусть z = х + iy, w = u-\-iv; тогда х = и2 — у2, у = 2ыу .
Исключением у, соответственном, получаем, что прямым и = const,
соответствуют параболы у1 = 4ы2 (и2 --х), прямым у = const. — пара-
параболы г/2 = 4и2 (у2 + х). Все эти параболы имеют общие ось г/ = 0
и фокус х = г/ = 0. Через каждую точку плоскости г, за исклю-
исключением г = 0, проходят две параболы, пересекая друг друга под
прямым углом.
67.	Пусть 2 = х + iy, w — u + iv, тогда
откуда
ее
и — —^—cosx, V — ^
Прямым х — const, соответствуют гиперболы —\—¦	^— = 1,
прямым у = const. - эллипсы ,еУ^е-у^ + 1е-Т_еУхъ = 1- все эти
кривые имеют общие фокусы w = —1, w=\. Эти семейства взаимно
ортогональны (софокусные конические сечения).
68.	Из х — и + е" cosy, у = v-\-е"sin v исключением у, соот-
соответственно и, получаем:
х — и — е" cos (у — ]/"е2ы — (л: — иJ),
у — V = е*-(у-и) ctg v sjn v_
Прямая у = 0 переходит в (/ = 0, прямая у = л дважды покрывает
бесконечный отрезок у — п, —со<;х==?;—1.
69.	При отображении получается область, ограниченная
лучами arg w — e, arg w = —-ей окружностями | w \ — еа+е, \w\ = ea~e.
Отсюда площадь ее равна е (е2а+2е — е2а>2е). Искомым пределом будет
lim —	 е	/>2а

312
РЕШЕНИЯ
70. Имеем:
? \ I /' B) I2 dx dy = J1 jj" | sin (x + iy) I* dx Л/.
Пользуясь соотношением
| sin (x + i(/) j2 = sin (x + /(/) sin (x — iy) = — у cos 2.t + ^ (e2y -4-
получаем для площади величину
4~Xl (е*У* - еы -е~9-У' + е~^) - ¦Hs~- (sin 2x2 - sin 2xl).
Для ^ = 0, х2 = -п-, Ух —0, Уъ~у получаем уменьшенную в четыре
раза площадь эллипса с полуосями
а —
71.	f (z) = 2г. На окружностях с центром в начале, где
| г | = const., соответственно на лучах, выходящих из начала, вдоль
которых argz = const.
72.	Для 0<asQn: отображение взаимно однозначно; образом
служит область, ограниченная окружностями радиусов еа и е~а и
лучами, составляющими с положительной вещественной осью
углы аи —а. Для а>я эта область покрыта несколько раз,
частично или полностью. Для a = tm она покрыта ровно п раз,
за исключением некоторых точек вещественной оси, покрытых
лишь п—\ раз.
73.	Точка пересечения луча с окружностью |ш| = 1. Действи-
Действительно, тот из вертикальных отрезков, содержащихся в круге
| z j ^с г, который пересекает максимально возможное число парал-
параллелей %z=a, а + 2я, а — 2я, a-f-4n, а — 4я, ..., лежит на прямой
Sfe = 0, которой соответствует окружность |ш|=1. (VIII 16;
Af (г, а, а) при фиксированных г и а принимает наибольшее зна-
значение, когда lna = 0.)
74.	При г±фгг, \гх\<.\, |г2|<1 имеем:
75.	Пусть z = rei&, r>0, 0<*<я; тогда w = /?е'е = г2е2''*,
значит, /? = г2, в = 2*, т. е. /?>0, О<0<2я. Если, обратно,
заданы R, 0, то г и # определяются однозначно.
76.	Рассматриваемая функция однолистна в единичном круге
|z|sSl, кроме того, в нем |до|==^1 [5]. То, что каждое из значе-
значений w, |ш|^1 принимается, вытекает из того, что обратная
функция
a-\-e~iaw
Z ¦	 ~i"
¦e-law

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	313
ябЛяется относительно e~taw функцией того же вида, что и задан-
заданная. Точки постоянного линейного искажения расположены на
кривой
1 - I a [2	,
, .'_ ,2 = Const.
Если аФ 0, то они лежат на некоторой дуге окружности с цент-
центром в точке — (сопряженной с а относительно единичной окруж-
окружности).
77. [См. A. W inter nitz, Monatshefte d. Math., т. 30,
стр. 123, 1920.] Когда z пробегает окружность К, то согласно
предположению *~а = const., т. е. точки а и — (если а = 0,
то 0 и со) гармонически сопряжены как относительно К, так и
относительно единичной окружности. Пусть теперь г0 — центр и
г —радиус окружности К, гоф0, г<1 — |го|. Тогда а, |а|<1,
определяется из квадратного уравнения
или
(I а, | -1 г01) (j^y - | z01] = г2, arg a = arg z0;
а произвольно.
78.
г —I
w = const. -
79. Пусть z = reib. Имеем:
W =	к	cos ® —
-Окружностям \z\ = r, 0<г<1, соответствуют софокусные эллипсы
-у- Т	~~~ Г
с полуосями —р— и —2— и общими фокусами w = -{- 1, w — — 1.
Лучам $== const, соответствуют софокусные гиперболы с теми же
фокусами -+-1, —1, ортогональные к определенным выше эллипсам.
Для [21 = 1, z = ei& имеем w = cos¦&. Таким образом, когда г
пробегает единичную окружность |z| = l, то w дважды описывает
вещественный отрезок — 1 sSiwsS 1.
80. Функция
где
0<kr1<kr2<l, k= "i~V«
r1

314
РЕШЕНИЯ
отображает рассматриваемое круговое кольцо на кольцеобразную
область между эллипсами с фокусами —2 и 2 с большими полу-
|	J
осями
81 • Положим w — —
да = ¦
•cos
Для
— re№, тогда [79]
_l__
i -^-s— sin 0:
Линейное искажение равно
в тех точках z — x-\-iy, для которых
х2
у2 - 1 + 2i*# i2 = | х2 - у2 + 2ixy \2,
т. е. х2 — у2 —-к. Эти точки.заполняют равностороннюю гиперболу,
1
пересекающую вещественную ось в точках z — ±
Для точек с углом поворота
— — 1
V2'
arg-
J
имеем <п -х- =
Z
т. е. г2 = cos 2ft; эти точки лежат на лемнискате
1 II , 1
82. Посредством вспомогательного отображения ? =	~—
рассматриваемая область плоскости 2 преобразуется в верхнюю
полуплоскость 3?>0 плоскости ? [81]; при этом г==0 переходит
в ? = оо, z == t — в ? = 0 и z = ±i —в ? = rpl. Если мы теперь
произведем отображение w = ~^-, то верхняя полуплоскость 3? > 0
преобразуется на основании 75 в плоскость да с разрезом вдоль
неотрицательной вещественной оси, причем ? = со перейдет в да = О,
? = 0 — в да = оо и ? = ±1—в да—1. Таким образом, искомым
отображением является:
/ 2

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	315
Точки z — ± 1 обе отображаются в точку w=l, но на различных
«краях» разреза.
83.
т. е.
О < arg w < 2я.
84.	Посредством первого вспомогательного отображения ? =
я
= (e~!'az)P~a круговой сектор преобразуется в верхнюю половину
круга |?|<1, последняя же посредством второго вспомогатель-
ного отображения s =	—- [81] —в верхнюю полуплоскость
3s >0. Применяем теперь 78.
85.	Следует из равенства
¦отделением вещественной и мнимой частей.
86> В эти линии преобразовываются взаимно ортогональные
прямые Щ = const., 3/ = const, при конформном отображении
/ /
/ /()
87.	Из 85 с помощью дифференциального уравнения Коши-
Римана -з—(--ч—= 0. Функция i|? также удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению Лапласа.
88.	ucosr + v sin т = Sft [(u — iv)etx], так что рассматриваемый
интеграл равен
±
«ds = m J
Здесь dz обозначает «ориентированный» линейный элемент с моду-
модулем ds и аргументом т.
89.	Msint — ycost = 3[(u — iv)ix\, см. 88.
90.	Третье уравнение совпадает со вторым дифференциальным
уравнением Коши-Римана. Оба первых получаются непосредствен-
непосредственным дифференцированием с привлечением первого дифференциаль-
дифференциального уравнения Коши-Римана:
1 др 	 ди dv _ ди ди
1 dp _ ди dv 	 dv dv
p dy ay dy dx dy

316	РЕШЕНИЯ
91. Вектор w — — ёь "составляет с положительной веществен-
вещественной осью угол ft и имеет длину —. Имеем, с точностью до адди-
аддитивной постоянной,
У	г|5(лг, у) = ft = |
Эквипотенциальными линиями служат концентрические окруж-
окружности с центром в точке 2 = 0, линиями тока — ортогональные
к ним лучи.
А А
щр/Св Фо ~"~ т1_ =
93а Аргумент вектора w равен Ф + у, длина равна —. Далее,
с точностью до аддитивной постоянной, имеем:
\|5(х, г/) = — 1 it г = — In ]/х2 + г/2-
Эквипотенциальными линиями служат лучи, выходящие из начала,
линиями тока — ортогональные к ним концентрические окружности
(обратно тому, как в 91). Потенциал ф бесконечнозначен. •
94ш Согласно 93 имеем, с точностью до вещественного постоян-
2(
ного множителя, до = ——г-, следовательно,
-1
г-1
2+1
— Ф = arg
г-1
2+1 •
Эквипотенциальными линиями уровня служат окружности, про-
проходящие через точки z = — 1,2 = 1. Линиями тока также являются
окружности — те, относительно которых точки z = — 1 и 2 = 1 гар-
гармонически сопряжены (окружности Аполлония).
95. Речь идет о тех точках г, для которых [93]
т. е.
г—г2 г — г2 '	' г — г
_L ^я — Г)
где положительные числа %ъ Я2, ..., Я„ пропорциональны силам
тока. См. 31, особенно первое из приведенных там решений.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
317
96. Нужно так определить w — f'(z), чтобы на заданных
эллипсах было SR/ = const. С помощью отображения
^	= z- Yz1 - 4	[80]
указанная кольцеобразная область преобразуется в круговое
кольцо r1<|Z|</-2. Здесь
г2 а2~уат2—1	rt	r2
\а1->аг)'
Тем самым вопрос приводится к 91: с помощью формулы w — -j
на плоскости Z определяется векторное поле, имеющее своими
эквипотенциальными линиями концентрические окружности с цент-
центром в Z = 0; вдоль этих линий Ш i -j- = const. Отсюда получаем
аналогичные результаты для
С dZ J^ , _ _ Г
3 й7хй2- 3
на заданных эллипсах плоскости z, т. е.
Линиями тока служат софокусные гиперболы, эквипотенциаль-
эквипотенциальными линиями — софокусные эллипсы с фокусами —2, 2. Имеем:
Го	а.2 — V а-, — 1
Емкость равна
21
97. Полагаем [93]:
/	1	1 i.	о
W =	f Wi 'z=zz — In Ct9 Wv = — 111 О, ф^ ^ Otj Ф2 == P»
Сопротивление (знак здесь несуществен!) равно
1п6 —lna*
98. Согласно 85 единичная окружность | z \ — 1 является ли-
линией тока. Если принять, что вдоль единичной окружности и на
части вещественной оси, лежащей в векторном поле, функция тока
принимает постоянное значение, равное нулю, то с помощью
отображения / = /(г) окружность |z|=l преобразуется в вещест-

318
РЕШЕНИЯ
венный отрезок. Согласно 79 полагаем:
= k(z-\
, kQ вещественны),
причем вследствие того, что w—\ при г = оо, постоянная k = l,
т. е.
ю = 1-р-.
99. Критические точки z = ±l; ж> принимает в точках, сим-
симметрично расположенных относительно z — О, равные значения;
поэтому результирующая всех давлений, оказываемых на цилиндр,
будет равна нулю [см. 90]. Давление достигает минимума, соот-
ветственно максимума, когда
1-
достигает максимума, соот-
соответственно минимума, т. е. в точках z = ±i, соответственно
z = ± 1. Силовое поле, получаемое после поворота всех векторов
на 90°, можно интерпретировать как поле, полученное посредст-
посредством возмущения однородного электростатического поля перпен-
перпендикулярным к его направлению круглым цилиндрическим изоли-
изолированным незаряженным проводником (простейший пример элек-
электростатической индукции).
100. [G. Kirchhoff, Vorlesungen iiber Mechanik, 4-е изд.,
стр. 303—307, 1897.] Вводим дополнительное условие непрерыв-
непрерывности: граница неподвижной воды простирается до бесконечности,
В
Gf (Плоскость и>)
Рис. 3.
В
С=оо
D
д) (Плоскость f)
где | w | = 1, поэтому вдоль всей границы неподвижной воды инте-
интересующее нас постоянное значение \w\=\. На отрезках АВ, AD
границы (рис. 3, о; щит) известно направление, на линиях
ВС, DC (граница неподвижной воды) — мод у л ь вектора w; в точ-
точках А, В, С, D вектор w полностью известен. Принимая во вни-
внимание постоянство направления, соответственно модуля, на
указанных частях границы поля потока, видим, что образом этой
границы служит в плоскости w граница полукруга (рис. 3, б).
Если мы выберем аддитивную постоянную, входящую в /
[стр. 131], так, чтобы критической точке 2 = 0 соответство-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	319
вало значение f = 0" то линиям тока ABC и ADC будут в пло-
плоскости / соответствовать противоположные края положительной
вещественной оси. Всему полю потока будет соответствовать пло-
плоскость /, разрезанная вдоль вещественной положительной оси, и
притом вся плоскость целиком, ибо при г -*- оо должно быть w —
= ^~! и, следовательно, f~iz. Точкам В, D поля потока соот-
соответствует вследствие симметрии одна и та же точка плоскости f,
причисленная к верхнему,, соответственно нижнему, краю разреза
(рис. 3, е). Замечаем, что при фиксированном Ш растяжение пло-
плоскости / вызывает такое,-же растяжение плоскости г, так как
df = w -"dz. Растягиваем теперь плоскость / так, чтобы точка / = 1
соответствовала точкам z = ±l; тем самым определяется числовое
значение /. Если взаимно однозначное соответствие соответствен-
соответственных частей плоскостей z, w и / возможно, то мы можем опре-
определить [см. 188], будет ли при прохождении контура в направле-
направлении ABCDA ограничиваемая им область оставаться слева или
справа (последняя строка таблицы). На рис. 3 и в приводимой
ниже таблице соответствующие точкам А, В, С, D плоскости г
точки других плоскостей обозначены теми же буквами:
А
В
С
D
z
0
/
оо
W
0
1
— i
	1
w
0
1
i
— 1
I
0
1
со
1
Область остается: слева справа слева слева.
101. Согласно 82
,_ 4ш2
т. е.
VI
здесь берется та ветвь функции 1^1— f, -где эта функция при
/ = 0 принимает значение 1; исследуем значение w на обоих краях
разреза в плоскости /! Мы получаем:
Первая из этих формул пригодна для 0<.f<.\, вторая —для
/> 1 (корень положителен!) и дает форму границы неподвижной

РЕШЕНИЯ
320
воды: г = / = 2 + у ПРИ /=Ь x^^Vf, y^-' — f- Это показывает,
что на достаточно большом расстоянии от щита ширина непо-
неподвижной воды 2х~4]/| г/|.
102. Если в произвольной точке z давление р — с—?>"|®|2
[90], то, в частности, на границе, а следовательно, и на всем
протяжении неподвижной воды оно равно Р\ = с— к- Искомое
общее давление равно
(p-Pl)dz =
л
103.	Положим г=гег*. Так как угловая скорость положи-
положительна, то Ф возрастает, т. е. z описывает окружность в поло-
положительном направлении. Имеем -тк = iz, и искомый вектор ско-
скорости есть
. df(z) = df(z)dz . ., . .
d$ dz dd ' \ ''
104.	Обозначим через со угол, на который нужно повернуть
в положительном направлении вектор w (радиус-вектор), чтобы
он совпал по направлению с вектором izf (z) [касательным век-
вектором; 103]. Искомое расстояние будет равно
Л '*/' (г)
f B)
/B)
г/'
105. Аргумент интересующего нас вектора равен 31п/(г).
Следовательно, искомая угловая скорость равна (z = re1®)
dz
1	HQk
106. Кривизна — = т^> где ^® обозначает изменение напра-
вления скорости f (z), следовательно, согласно 103,— изменение
выражения 3 In [izf (г)], a dS — линейный элемент кривой, опи-
описываемой точкой /(г). Согласно 103

следовательно
l
Р
(z = re«>
d&
dft
dS
ОТДЕЛ
),
1 izf (z)
ТРЕТИЙ
(zJj
!d\
[
n
2
[zf (г)) dz \
dz d&)
/' (z) 1
321
Кривизна по определению положительна или отрицательна,
смотря по тому, положительно или отрицательно направление
вращения вектора скорости izf (г).
107.
Слева
Вогнутость
+
Спрааа —
Выпуклость
—
+
Для ш =
имеем — =
Перечисленные четыре
возможности представляются уже при г=1, |а|>1, п=\ или
— 1, если рассматриваемой фиксированной точкой служит w = 0.
108.	[106, 107.]
109.	Угловая скорость вектора w = f (z) всюду положительна.
[Ю5.1
110.	Получается из 108 и 109 или же прямо на основании
того соображения, что при отображении w = f(z) угол между dw
и положительной вещественной осью равен аргументу функции
izf (z) [103]. Выпуклость означает, что этот аргумент изменяется
все время в одном и том же направлении, но это и дает звездо-
образность при отображении w — zf'(z).
111.	[Thekla Lukacs.] Пусть а и Ъ — две точки указанного
рода на плоскости хю. Тогда при | z \ = г
т. е.
Ш {гГ \г) f (г) - а} > 0; Ш {zf (z) f (z) - b] > 0.
Отсюда вытекает при А,>0, fi>0, А, + (г=1, что
m{zf{z)fiz) -
f'(z)
следовательно,
Рассматриваемую теорему нетрудно доказать и средствами
элементарной геометрии.
112. /i(9)=^3t(ae'4)) = |a|cos(9-a).

322
РЕШЕНИЯ
113. 1. Вычисленный в 103 вектор скорости izf (z) составляет
с положительной вещественной осью угол ф + у:
2. Имеем:
с учетом знака.
и>
114.	ф = 31п—- = 31n-i-дг==у, z = eif>	[113].
2cosT
¦TT	Q_,
115.	Для -^-==^ф<^- опорная функция тождественно совпа-
совпадает со значением опорной функции для ni [112]. Для значе-
значений ф, не удовлетворяющих этому неравенству, на основании
113 имеем:
116. Если опорная прямая является касательной к гранич-
граничной кривой, то
Если опорная прямая проходит через вершину до=1, то /1(ф) =
= СОБф.
117.
2Я	2я
о
= 0 или
смотря по тому, будет ли целое число n — k — l отлично от нуля
или нет.
118> Получаем требуемый результат из разложения
интегрируя и принимая во внимание 117.
119> Применяем 118 к In/ (г) и отделяем вещественную часть.
120.	[Формула Иенсена, см. 175.] Геометрические средние
множителей |z — zv\ вычисляем по II 52, геометрическое среднее
выражения |/*(z)| —по 119.
121.	Если f(z)=?O в круге |z|=s?r, то б(г) = ® (г) = |/@)|
[119]. Если f (z) представляет собой произведение двух регуляр-
регулярных в круге \z\^r функций, f(z)=f1{z)fi(z), то средние зна-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
323
чения g(r), @(r) равны произведениям соответствующих средних
значений множителей ^(г), /2(г)- Таким образом, достаточно рас-
рассмотреть случай f(z) = z — z0, \za\s^r. Имеем [II 52]:
± j in I г.'»-* I Л>
@(r)=e °	= Max(r, \zo\) = r,
—
Г2Я
0 0
122. [См. М. A. Parseval, Mem. par divers savans, т. 1,
стр. 639—648, 1805; A. Gutzmer, Math. Ann., т. 32, стр. 596—
600, 1888.] Имеем:
2Я
0
2я
fe=0/=0
е''(* "
123. Пусть Р (г) = .*„ + л^г + .v2 +.. . + л-„г", где коэффици-
коэффициенты х0, хи х2, ..., хп — произвольные комплексные числа. Тогда
2я
Это выражение тогда и только тогда достигает минимума, когда
первые п-\-\ членов обращаются в нуль.
124.	[По поводу 124—127 см. L. Bieberbach, Rend. Pa-
Palermo, т. 38, стр. 98—112, 1914; Bed. Ber., 1916, стр. 940—955,
и Т. Carleman, Math. Zeitschr., т. 1, стр. 208—212, 1918.]
Частный случай теоремы 125; заменяем там г, R на 0, г.
125.	Положим w = f(x-\-iy) = u-\-iv. Тогда интересующая нас
площадь
- и
д(и, у)
д (х, у)
dxdy =
R 2.1
-И
0
д{и, v)
д(х, у)
р dp dfl.
Имеем (см. стр. 123):
д {и, v) 	ди ди ди ди 	 j v» г . . w ,
д (х, у) дх ду ду дх \dv ' ' ' ^" '
дх

324
РЕШЕНИЯ
откуда
F = \\\f (pe':&) |2 p dp d& = 2n
г й
r yt = — со
I2 P2" Ф -
n~ — со
126.	Частный случай теоремы 127. По поводу направления
обхода см. 188 или 190.
Что означает найденное выражение при с — О? [124.]
127.	Представляем площадь в виде суммы (взятых со знака-
знаками) площадей элементарных треугольников, ограниченных линей-
линейными элементами кривой L и радиусами-векторами, выходящими
из начала. При этом знак берется положительный или отрица-
отрицательный, смотря по тому, слева или справа от ориентированного
линейного элемента расположена точка w — О. Он совпадает со
знаком sin со в обозначениях решения 104. Таким образом, иско-
искомая площадь равна
2Я	2я
| $ I izf (z)\\f (г) | sin со db = 1 J 3t [zf (z) Щ] d$ =
о	о
2jt со	со
= i-Sft С
0 k = — со
128. Согласно 124
[122],
n—\
129. [См. К. Lowner und Ph. Frank, Math. Zeitschr., т. 3,
стр. 84, 1919.] „Функция распределения плотности" в интересую-
интересующем нас распределении масс пропорциональна \q>' (z}]'1, ибо инте-
интеграл ^ |'ф' (г) I1 dw\, взятый вдоль произвольной дуги кривой L,
дает длину соответствующей дуги окружности
образом,
l\\y'(z)\-i\dw\ = \y(z)\y'(z)\-i
г. Таким
т. е.
2я
2я
= \ ф
130. Положим 2 = ре''*. Тогда интересующий нас объем будет
равен
0 0
с„
$(
0 \п = 0
ф.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	325
131. [J. L. W. V. Jensen, Acta Math., т. 36, стр. 195,
1912.]
i
Из t, — u2-\-v2 получаем с помощью дифференциальных уравне-
уравнений Коши-Римана
-Г Щ У = « 3	г-»3- + «5	Г У 5" = (" + У ) Г" + К" ¦
4 ь ' \ ох	ад;/ \ оу	ау/ ч ' ' \_\дх j \дх/ J
132. Пусть z0 — точка с горизонтальной касательной пло-
плоскостью. Тогда согласно 133 либо /(zo) = O, либо /(го)^0,
f (z0) — 0. В первом случае замечаем, что аналитическая функция
имеет только изолированные нули *).
Пусть во втором случае
Г (z0) = Г (г.) =.. - = р~» (г0) = 0, fо (z0) ^ 0
[/5э2, седловина (/—1)-го порядка], стало быть,
где h = \h\ е'ф, Л, а (Л Ф0) — вещественные постоянные, зависящие
бт f(z0) и fU) (г0). 21 значений аргумента ф, соответствующие
направлениям 21 ветвей, суть
Ф = у + ^-я (fe=l, 2, .... 2/).
Выражение Л cos (/ф — а) при переходе через эти направления
меняет знак.
133» Пусть а0(z — аг) (z — аг) ... (z — ап) — рассматриваемый
полином (alt oca, ..., ап вещественны). Тогда
v=l
*) Следует заметить, что в случае f(?0)=0 касательная плоскость, строго
говоря, существует только при /'(го) = О. Если же f(zo)=0, Г(г0)ф0, то
соответствующая точка поверхности модуля будет конической.

326
РЕШЕНИЯ
134. Из 122 вытекает:
/' Ы
11
2 2
/"(г.)
2!
r%n _L. =
2л
т. е. !/(zo)|figM. Если имеет место равенство, то
т. е. f(z) ==/B0) — постоянная.
135.	Непрерывная функция |/(z)| в замкнутой ограничен-
ограниченной области достигает своего максимума. Согласно 134]/(г) не
может принять максимальное значение во внутренней точке г0
области 33.
136.	В куске, вырезаемом из поверхности модуля произволь-
произвольным цилиндром, перпендикулярным к плоскости х, у, наивысшая
точка лежит на границе, если только поверхность уровня не
представляет собой плоскости, параллельной плоскости х, у.
«Аналитический ландшафт» не содержит ни одной «вершины».
137.	Геометрическая формулировка теоремы о том, что модуль
полинома (z — z1)(z — z2)...(z — zn) принимает максимальное зна-
значение на границе [135].
138.	T7JT регулярна в 33 [135].
139.	Пусть \zv\<R (v—1, 2, ..., л). Функция
/W—A-^-ZvW-
.(R*- xnz)
имеет ветвь, регулярную в круге |z|a^#; кроме того, /(г)
отлична от нуля в этом круге. Значит, согласно 135 и 138 | / @) | = R
заключается между минимумом и максимумом модуля f(z) на
окружности \z\-R. На этой окружности
\f(z)\ = V\ г - ?! 11 z - z21... | z — zn
[5].
Единственное исключение представляет случай, когда / (г) г= const.,
т. е. гх = 22 = ... = г„ = 0.
140. Для \z\-R имеем:
R-
1 (Л2-
^ Мах
гхг)
+ (Я2-г2г) + ...+
п
(W
?2г
я
а-2„г)
[5].
Равенство может иметь место только тогда, когда, с одной сто-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
327
роны, z1 + z2 + ...4-2n = 0, а с другой, — все zv имеют одинаковые
аргументы, иными словами, когда zv = 0 (v = l, 2 ..., п).
Отметим случай n = 4, zx = l, z2 — i, z3 = — 1, z4 =— I, R>\.
Арифметическое среднее п р о е к ц и й рассматриваемых расстояний
на диаметр, проходящий через точку Р, уже равно R.
141. Функция
регулярна в круге |z|<;/?. Следовательно [135], для |z| = #
п	...	п	-	п
Min-
В случае
для
получаем:
= Min
i
\z — zv
. 4?t
v = l, 2, 3
i
|z-zvj
где Pk(x) обозначает k-й полином Лежандра [VI, § 11]. Имеем:
P0(cosG)-l,
Рх (cos Щ = cos Ф,
Отсюда вытекает [VI 91]
v= 1
J
i z — zv I
1
tcos (d -
tcos (° -
R
__L I
142. Если внутри области, ограничиваемой рассматриваемой
кривой, всюду f(z)=fcO, то по 135 и 138 \f(z)\ достигает как
своего максимального, так и минимального значения на этой
кривой; отсюда следует, что |/(z)j должно быть всюду внутри

328
РЕШЕНИЯ
области постоянно, так что / (г) г= const. Геометрически: так как
внутри области, ограничиваемой на поверхности модуля замкну-
замкнутой линией уровня, не может содержаться ни одной «вершины»,
то там должна лежать по крайней мере одна «яма», если только
поверхность модуля не представляет собой горизонтальной пло-
плоскости.
143> Внутри каждой замкнутой линии, вдоль которой модуль
полинома (z — zt) (z — z2)...(z — zn) сохраняет постоянное значе-
значение, должен лежать по крайней мере один нуль этого полинома
[142]. Но имеется лишь п нулей.
144. Теорема не верна, если / (г) = const. Пусть, следова-
следовательно, / (г) Ф const. Тогда [(го)фО. Если бы на окружности
\z\~r лежала «седловина», то проекция по крайней мере одной
углообразной области, точки которой лежат выше седловины [132],
вдавалась бы внутрь круга | z \ =s; г. Поэтому z0 не может быть
седловиной, т. е. /' (z0) Ф 0.
Положим /(z) — w и рассмотрим образ окружности \z\ = r на
плоскости w. Наиболее удаленной от w — 0 точкой этой кривой
будет wo = f(z0); так как /'(го)=^=О, то в точке w0 существует
определенная касательная; эта касательная, т. е. вектор izof (z0)
[103], перпендикулярна к вектору wo = f(z0) (геометрически оче-
очевидно). Поэтому отношение i^-i-2i—чисто мнимое. Согласно
предположению обращенной к г = 0 стороне окружности соответ-
соответствует в окрестности точки w0 обращенная к w = 0 сторона той
кривой, в которую отображается окружность. Поэтому отноше-
отношение 3lJ^L _ положительное мнимое.
г)
/ \о)
145. [См. A. Pringsheim, Munch. Ber., 1920, стр. 145;
1921, стр. 255.]
1	1
"о ~о
a(wv —со"-1) о V а — а>
f = 2 >
a(a>v+cov
=1 (O2+0)
146. [A. Pringsheim, 1. с. 145.] Положим
JL	s /,	i/ii	\	i /i\
при k = 0, 1, 2, ....
i
при k = — 2, —3,
Тогда
Й* (Zx -z0) + С (г2 -Zl) +... + С (г, - г„) =
*

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
329
Пусть / — длина кривой L, R — наибольшее, г —наименьшее
расстояние ее точек от точки г = 0. Сумма
г1 -
Zn -
представляет собой длину вписанного полигона; следовательно,
она не превосходит /. Каково бы ни было б > 0, всегда для
достаточно большого п возможно выбрать такие z0, zx, z2, .... г„,
чтобы ]zv —Zv-il *s;6 (v=l, 2, ..., n). Тогда при k^sO получим:
следовательно,
n
2 7k G	7 \
v=1
7	I2
v=1
Если &sg —2, то для оценки используем г.
147. [См. G. N. Watson, Complex Integration and Cauchy's
Theorem. Cambr. Math. Tracts, № 15, стр. 66, 1914.] Область,
заключенная внутри рассматриваемого эллипса, определяется
неравенством
*	2	0
Из четырех полюсов rt —— ± —— подинтегрального выражения
ТОЛЬКО 2С
образом,
только г0 = —-^-	-=" лежит в указанной области. Таким
1-fz4 4г03 2/2
148. Имеем:
4,- Г	^dd = f ixdb	С dd __ Г 2dz
J дта + япав	J sin^ + ^a J sinfl-f* ^
0
где 2г = е№. Интегрирование производится вдоль окружности
|z|=J_,	внутри которой содержится лишь полюс го = — х+
-\-Ухг-\-\. Таким образом, мы получаем:
4л;	2лг
VT+lfi '
149. [G. Pol у а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 24, стр. 84, 1916. Решение J. Mahren hoi z' а, там же,
11 Г. Полна, Г. Cere, ч. I

330	РЕШЕНИЯ
серия 3, т. 26, стр. 66, 1917.]
2Я
»	A+г+г5)"
l-/--2/-cosd
где интегрирование производится вдоль окружности |z| = l. При
0, — 1 < г < g имеем
> 2, так что один из корней
— — 1
квадратного уравнения A — r)z — r(I + z2) = 0 лежит внутри,
другой — вне единичной окружности. Пусть р будет корень, лежа-
лежащий во внутренней области, т. е. ,
Имеем:
¦ г [г—-	г\	р
\ P/Jz = p	\Р
р вещественно и равно
1— r—Vl— 2r — 3/-2
2/-	'
15О> Положим z — x + iy, тогда интересующий нас интеграл
может быть записан следующим образом:
-1 ?, zrfz — gd2-fz;(grfz-zdg) _. 1 С A +22) г dz —(I +z2) г dg _
Фокусы эллипса служат полюсами подинтегрального выражения.
151. Имеем (со>0):
я
<Д	2	1Я5 И
\ \*S—1/5 ~Х A у I (,\S{ \ s)lSv~(&?liJ /-/iT* 	 л 2 \ \*S—\a—lX А у ^^ М
I Л t ил — ш tic	U U 	 с	\ А С	UA 	 \J.
0	0	0	.
Когда co-v + oo," то первый интеграл сходится к T(s), а тре-
третий—к интересующему нас интегралу. Второй же интеграл по
модулю меньше чем
л _
А-п
Я с?~
где Л=е2 , 0<е<-~. Полагая е = -р-, Ш§<^<1, видим,
что второй интеграл стремится к нулю.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	331
152ш Рассматриваемый интеграл равен
°° А-2 • л
п smxdx.
о
Из 151 вытекает, что при вещественных значениях s, 0<s<l,
со
V Xs-1 sin x dx = Г (s) sin -~.
о
Интеграл в левой части сходится для — I<2fts-<1, а правая
часть в этой полосе регулярна. Поэтому выписанная формула
справедлива и для — 1 < ?Hs < 1.
153. [См. Correspondence d'Hermite et de Stieltjes, т. 2,
стр. 337, Paris, Gauthier-Villars, 1905; см. G. H. Hardy, Mes-
Messenger, т. 46, стр. 175-182, 1917.]
\ ex>xe V dx = — e	»¦ \ еггг » dz;
о
последний интеграл взят вдоль луча argz = a и равен
С	I
ибо подинтегральное выражение после подстановки z — rei0,
^OsSia, стремится к нулю вместе с — и притом равномерно
относительно ¦д.
При а = цл, 0<ц-<-2-, получаем функцию
все «моменты Стилтьеса» которой равны нулю, тогда как
сама она не равна тождественно нулю (это не противоречит
II 138, II 139).
Борель показал [Lecons sur les series divergentes, стр. 73—75,
Paris, Gauthier-Villars, 1901; см. также G. Polya, Astr. Nachr.,
т. 208, стр. 185, 1919], что подобного явления не может наблю-
наблюдаться для функции f (х) с \j(x) \ <ie~kVx, где к — постоянное
положительное число. Наша формула показывает, что в этой
теореме Бореля ух нельзя заменить более низкой степенью ху\
ц<.~2- Н. Hamburger показал даже [Math. Zeitschr., т. 4,
11*

332	РЕШЕНИЯ
-	Vx
стр. 209 — 211, 1919], что ух нельзя заменить и на (inxJ-, ибо,
как им доказано,
nYx— In лЛ . (угх\пх-{-п\ „, л
(п = 0, 1, 2, ...)•
154. Имеем:
Cos
где в качестве переменной интегрирования взято z = xrtr и для
сокращения положено jj,-1 = v, дг11 = 6. Поворачиваем прямую, по
которой производится интегрирование, на небольшой положи-
положительный угол, полагаем 6 = 0, затем поворачиваем прямую инте-
интегрирования дальше в положительном направлении до arg2 = ~-.
155. Заменяем в интеграле
а+1Т
-sr ds (T>a)
a-IT
прямолинейный путь интегрирования правой, соответственно
левой, половиной окружности, построенной на отрезке a —IT,
a-\-iT, как на диаметре, смотря по тому, будет ли а-^0 или
а>0. В первом случае интеграл не изменится и по модулю
1 еаа	еаа
будет меньше -^—=j-яГ =-д=-; во втором случае он уменьшится
на а (вычет, соответствующий полюсу s = 0), и новый интеграл
1 еаа
по модулю будет меньше -=—, ,2- лТ. Теперь увеличиваем Т
до +со.
156. [Случай А,= 1+е-1 рассмотрен Г. Вейлем.] Имеем:
ц @ = ~^г для tirs^t^n+l, ¦
следовательно (справедливость конечного результата перемены
порядка интегрирования может быть обоснована различными

способами),
+СО
0
i
со ¦
т — 0
I
Л
и -
-fco
со
-(-со
С i
J '
0
+0О
n+l
J
> га
+СО
J
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
tn
( -boo « '-(«+21-
\ —со
sin ~ e.5 ет
" га^0
¦eina
п!
4-го
333
+со [со
2л» ,1 J и
—=о 0	_оо
Этот интеграл равен сумме вычетов в верхней полуплоскости,
ибо интеграл от ц iU — eta) ' взятый вдоль полуокружности
и — ге'ь, О^^^я, с возрастанием г стремится к нулю. Но
единственным полюсом в верхней полуплоскости является и = iz
[196] с вычетом -~. (См. 215, IV 55.)
157. [Dirichlet, J. fur Math., т. 17, стр. 35, 1837; Me ti-
tile r, Math. Ann., т. 5, стр. 141, 1872.] Пусть -1<л-<1, х =
= cosd, 0<'&.<n:. Имеем:
Рп (cos 0) = — $	гП - dz,
где интегрирование распространено по произвольному контуру,
обходящему в положительном направлении обе особые точки eif>
и е-«*. Но этот контур можно стянуть либо к прямолинейному
отрезку, соединяющему точки ет и eif> (формула Лапласа),
либо к дуге — 0 «с argz s^ Ф единичной окружности (формула
Дирихле-Мелера). (В том и другом случаях с некоторыми
предосторожностями, так как подинтегральное выражение на
концах обращается в бесконечность, хотя и обладая при этом
порядком у). После обхода особых точек подинтегральное выра-
выражение меняет только знак, поэтому
1
D /,„„л\ 2 ?	(cos ft + /a sin Ь)п i sin ¦& rfa
j га (COS lj) — ~^—^ I —-	===
2m J (/ i_ 2(cosft + Jccsin ft) cos d + (cos ft + «a sin 0J
1/1—

334
РЕШЕНИЯ
Третья формула получается либо путем стягивания контура
интегрирования к дуге 0 =е; arg г <: 2я — # единичной окружно-
окружности, либо из второй путем замены переменных и одновременной
замены 0 на л —¦д. [Рп(—cosd) = (—1)" Рп (cos ft).]
158а Если z вещественно и отрицательно, то любая пара
элементов| кривой L, симметричных относительно вещественной
оси, дает сопряженную пару элементов интеграла. Обозначим
через La границу полуполосы чЛг>а, —я <3z <я (в частности,
Lt) = L). Если z лежит вне © и а > О, то интегралы вдоль любой
кривой La имеют одинаковые значения. С увеличением а до' + оо
Е (г) может быть последовательно продолжена на всю плоскость.
159. Интеграл, взятый вдоль L = L0, имеет то же значение,
что и взятый вдоль любой La, a=^0. Так как ееХ+1Л = ееХ~~т =
= е'еХ, то интегралы по обоим горизонтальным кускам контура La
взаимно уничтожаются. Вертикальный отрезок контура La дает:
Значение этого интеграла не зависит от а и, следовательно, равно
единице, как в этом убеждаемся, беря а-> — оо.
160. 1. Пусть г лежит вне &. Имеем [159]:
Производим интегрирование не вдоль L, а вдоль внутренней
параллельной кривой L', отстоящей на расстояние б, 0<Сб<^
(граница области 9tz>S, —л + б<Лг<я —6), и замечаем, что
вещественный интеграл
$
о
сходится.
2. Пусть z лежит в прямоугольнике —1 <9iz<0, —n<3z
Тогда по теореме о вычетах
Отсюда получаем сначала для прямоугольника, а затем путем
аналитического продолжения и для полуполосы ©
В качестве контура интегрирования выбираем вместо L_A внеш-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	335
нюю параллельную кривую, отстоящую от прежней на расстоя-
расстояние б, 0<6<~.
161. Числитель равен
; vl (я —v)! nl '
V = 0
знаменатель равен
22«cosO
(b	nlM COS t»	n
Пояснение: доминирующая по величине часть обоих интегралов
падает на дугу с центром в z — 2n и длиной порядка У п. На
ней аргумент dz близок к у, аргумент [п(г) — к нулю. [43.]
162. Число нулей в круге |г|<г равно
2л
г|=г	О	О
есть полином (п—1)-й степени от г. Далее,
.|
§^®7«==/(zv) (v=l, 2, ...,«).
164.	Обе части равенства, вычисленные с помощью теоремы
о вычетах, совпадают с V 97.
165.	Рассмотрим часть плоскости z, в которой выполняются
неравенства г —— >е>0 (я = 0, ±1, ±2, ...). Существует
такая постоянная л, зависящая от е, что во всей указанной части
плоскости г
s\r\ р (х + iy)\> К^еР\У\.
Достаточно убедиться в этом для области —у~
|z|>e, 0<e<^-. Интеграл
Р 1
1т У p? С
взятый вдоль окружности j ? | = ( п + -д-) - -, при п -> оо стремится
к нулю, так как вдоль контура интегрирования \F(?) (sinpQ-11 <
<.СК. Вычисляем сумму вычетов. [Н u r w i t z-C о и г а п t,
стр. 115—120*).]
*) Гурвиц, стр. 158—164. Гурвиц —Курант, стр. 120—1,25.

336
РЕШЕНИЯ
166. Заменяя в 165 F(z) на G\z-\-~) и затем z на z — ~,
получаем:
. 1
d О (г)
р (-1)» G
dz cospz
п=-оо (рг-
Объединение членов с индексами п и — п — 1 дает:
d G(z)
cos pz
рг— n +
+ •
)-] L
рг+
или после интегрирования
С (г) д
созрг
Постоянная интегрирования равна нулю, так как с обеих сторон
должна стоять нечетная функция.
167.	Функция f (z) In z, соответственно
zkf(z), регулярна в области, указанной на
рис. 4.
168.	Так как | In z — ш | =~s п при | z \ = 1,
то из 167 вытекает, что
Рис. 4.
f(x)dx
При целочисленных k заменяем f(z) на zkf(z). При нецелочи-
нецелочисленных k применяем вторую формулу задачи 167.
169. [D. Hilbert. См. Н. Weyl, Diss. Gottingen, 1908,
стр.83; F. Wiener, Math. Ann., т. 68, стр. 361, 1910; I. Schur,
J. fur Math., т. 140, стр. 16, 1911; L. Fej er und F. Riesz, Math.
Zeitschr., т. 11, стр. 305—314, 1921.] Полагаем в 168:
Тогда [122]
2Я

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	337
1
170. Пусть L — замкнутая простая непрерывная кривая, цели-
целиком заключенная в области ©, и г лежит во внутренней обла-
области кривой L. По теореме Коши
Так как равномерно на всей L
М?_ -
то отсюда следует, что /(?) непрерывна на L. Далее имеем:
Последняя функция регулярна внутри области, ограниченной
кривой L.
171. [Т. Carleman.] Fr(z) есть поверхностный интеграл от f,
распространенный по кругу, контур которого Кг имеет центр z
и радиус г. Пусть
dz = eix | dz |
— элемент дуги на Кг- Когда х изменяется на Ах, т. е. когда
поверхность интегрирования смещается в положительном направ-
направлении оси х на Ал", то, как это геометрически очевидно, измене-
изменение площади на элемент дуги составляет \dz\-Ахsinx. Следо-
Следовательно,
дх
dz\,
где интеграл берется вдоль окружности Кг- Аналогично получаем:
dFr (z)	С t	,
-j~= -<у fcost\dz\,
откуда на основании предположения вытекает, что
dFr (г) 1 dFr (z) _ 1
дх	i ду
Поэтому (стр. 120) интеграл Fr(z), а значит, и произведение
r2Fr (z) — аналитические функции и, наконец, также [170]

338	РЕШЕНИЯ
Вместо окружностей мы могли бы рассмотреть также кривые,
подобные и подобно расположенные относительно некоторой задан-
заданной замкнутой простой кривой.
172.	Чтобы показать, что разность
2я	2Я
$ / (в1*) d# - 2л/ @) = j [f (e*<>) - / (re'*)] d<> @ *? r < 1) [118]
о	о
равна нулю, докажем, что она может быть сделана сколь угодно
малой вместе с 1 — г. Покроем возможные точки разрыва откры-
открытыми кругами с центрами в этих точках и радиусом е настолько
малым, чтобы круги не пересекались. После удаления этих кру-
кругов из единичного круга | г \ ^ 1 останется замкнутая область,
внутри которой / (г) равномерно непрерывна. Разобьем теперь пос-
последний интеграл на два: первый, распространенный на те части
контура, которые попали в построенные е-круги, и второй, взя-
взятый по остальной части контура. Первый интеграл будет произ-
произвольно мал вместе с е [/ (z) ограничена], второй же интеграл тоже
может быть сделан сколь угодно малым, если зафиксировать е и
взять \ — г достаточно малым.
173.	См. 17^. См. также 231 и Hurwitz-Courant.cTp. 286*).
174.	Для быстрейшего решения предпочтительнее рассмотреть
вопрос в следующей общей постановке. Пусть односвязная область Ъ
плоскости ? посредством функции г|) (Q = Z однозначно отобража-
отображается на круг | Z | <: 1, конформно внутри и непрерывно на контуре
(кроме, может быть, конечного числа точек), причем точка ? = г
переходит в 2 = 0. Обозначая функцию, обратную гр, через гр,
имеем Z,~ty~l (Z).
Определим функцию F (Z) в круге | Z \ <; 1 посредством равен-
равенства
f(S)
Тогда будем иметь:
F@)=
где интегрирование производится в положительном направлении
вдоль окружности \Z\ = l [172]. Производя, замену переменных
Z (Q и принимая во внимание, что
I = /E).
получаем отсюда:
где интеграл взят в положительном направлении вдоль границы
Курант, стр. 95. Г у р виц —Кура нт, стр. 344 — 345.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	339
области 93. 173 и 174 представляют собой частные случаи:
2xdy]
t = tT|, z = x-\-iy.
175. [J.L. W. V. Jensen, Acta Math., т. 22, стр. 359-364,
1899. См. Ё. Goursat, Cours d'analyse mathematique, т. 2,
3-е изд., стр. 121-123, Paris, Gauthier-Villars, 1918 *).] Подинте-
гральное выражение однозначно в ®8. Для е достаточно малого @е
содержит точку л = 0 [предположение], и тогда интеграл равен
2ш'1п/@). Пусть аъ соответственно а2, ..., ат, р\, ..., р„ —ко-
—конец пути, соединяющего кружок, покрывающий точку av соответ-
соответственно а2, ..., ат, Ьи ..., Ьп, с окружностью |г| = 1 (@^) = ...
... = | ат | = | р\ | =... = | р„ | = 1). Петля, начинающаяся в а^, обхо-
обходящая е-кружок е центром а^ и снова возвращающаяся в о^, дает
при интегрировании, как в этом убеждаемся, беря е->-0,
аг	_ .. ац
— = —2ш1п-^-
(для'определенности иули а, предположены простыми). Окруж-
ность | г | = 1 дает \ In / (е'е) i &Ъ. Отделяем теперь мнимые части
о
в обеих частях равенства
2Я	т	П
[ \nf(re*)idb - 2ni У In^ + 2го' У In -^ = 2ш# In /@).
0	(!=)¦	V = l
Можно провести другое доказательство методом задачи 120.
176.	См. 177; см. также 232.
177.	[F. u. R. Nevanlinna, Acta Soc. Sc. Fennicae, т. 50,
№ 5, 1922.] Придерживаемся обозначений решения 174. Рассмотрим
функцию /(?), мероморфную в области 33, отличную от нуля и
бесконечности на ее границе и во внутренней точке z и имеющую
внутри 33 нули аъ а2, ..., ат и полюсы Ьи Ьг ..., Ьп. Функция
F(Z)—f[f^-1(Z)] имеет нули Лц*=1|)(ац) и полюсы fiv = i(b)
Получаем [175]:
*) Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. II, ч. 1, стр. 99.

340	РЕШЕНИЯ
где интегрирование производится вдоль \Z\-\. Отсюда путем
замены переменных получаем [174]:
У In , ] ., - У In -j^jrr = 4 In I / (Q 1-^Щ-, = In I / (z) I ,
ц=1	v=l
где интегрирование производится вдоль границы области S3. Знаки
в левой части очевидны: 11|> (ам) |< 1, |г|) (bv)| < 1; 11) поло"
жительно. Если мы представим себе, что / (?) — переменная, а зна-
значение | / (z) | фиксировано, то содержание формулы можно, несколько
грубо, сформулировать следующим образом: нули внутри контура
увеличивают, полюсы внутри контура уменьшают (по модулю)
значение функции на контуре. Из этой общей формулы Иен-
сена вытекают теоремы 176, 177 таким же образом, как теоремы
173, 174 из общей формулы, данной в решении 174. Можно также
обобщить на наш случай доказательство теоремы 120 [174]. Пред-
Предположение, что / (z) на контуре отлична от нуля, можно отбросить
всегда [120], что она на контуре регулярна —во многих случаях,
178. [См. F. Nevanlinna, С. R., т. 175, стр. 676, 1922;
Т. Car I em а п, Ark. for Mat., Astron. och Fys., т. 17, № 9,
стр. 5, 1923.] Описываем вокруг а^ окружность достаточно малого
радиуса е и соединяем ее с полуокружностью \z\ = R, — у^
^ arg z sg: -f- y так, чтобы соединительные линии ((х = 1, 2, ..., п)
не пересекались. После удаления из 35 е-кружков и соединитель-
соединительных путей остается односвязная область ®е. Вдоль контура этой
области в положительном направлении берем указанный интеграл.
Петля около cl с началом и концом в точке z», \zA = R, дает:
Берем теперь вещественную часть выражения
Простота формулы объясняется тем обстоятельством, что на гра-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	341
нице полукруга | z | <R, 5Rz> 0 дифференциал ( —^ + -~)-4- всюду
вещественен, а функция	Ш~~чист0 мнимая.
179. Пусть ао = \ао\ eiy Ф О, г — zv = rveltfv, стало быть
Когда г = х вещественно и возрастает от —оо до + оо, то все
углы <pv (v = 1, 2, ..., п) возрастают от — я до 0 и, значит,
, V (х) , , , .
arctg j,. , = Т + Ф1 + Ф2 + ¦ ¦ • + ф« также возрастает и притом
в целом на rat. Отсюда следует, что отношение
во всем интервале т— оо =^ л; sg;-|-оо п раз принимает значение О
и п раз оо. Это рассуждение показывает одновременно, что нули
U (х) и V (х) чередуются.
180.	В силу непрерывности аргумента ясно.
181.	Явствует из принципа аргумента, так как соответствую-
соответствующая формулировка, касающаяся числа нулей и полюсов, оче-
очевидно, справедлива, не исключая и того случая, когда имеются
точки, в которых нуль или полюс ф(г) совпадает с нулем ил»
полюсом i|) (z).
Иначе:
arg f (z) = arg ф (z) + arg г|> (z).
182.	Полином может быть представлен в виде произведения
линейных множителей z — z0, где z0 — нуль полинома. Поэтому
согласно 181 достаточно доказать теорему для линейной функции
z — z0. При отображении w — z — zQ кривая L смещается на век-
вектор — zQ. Если поэтому z0 лежит внутри области, ограниченной
кривой L, то точка w = Q находится внутри области, полученной
в результате отображения, и число обходов равно единице. В дру-
других случаях" число обходов равно нулю.
183.	Если f (z) в области 33 регулярна, за исключением, воз-
возможно, нескольких полюсов, и на граничной кривой L конечна и
отлична от нуля, то тогда f (z) = R B) ф (г), где R (г) — рациональ-
рациональная функция, а ф (г) удовлетворяет условиям приведенного в
задаче частного случая принципа аргумента. [181, 182.]
184.	[A. Hurwitz, Math. Ann., т. 57, стр. 444, 1903.
См. также Ch. Sturm, Journ. de Math., т. 1, стр. 431, 1836.]
Что число нулей не превосходит 2п, вытекает из VI 14. Число
обходов кривой, описываемой P(z), где z = re№, r>0 и О изменя-
изменяется от 0 до 2я, больше или равно т, ибо Р (г) имеет точку
2 = 0 нулем m-й кратности. Поэтому кривая пересекает мнимую

342	РЕШЕНИЯ
ось по меньшей мере 1т раз. Если Р (г) имеет на окружности
|г| = 1 нули, берем г—\— е, где е —выбранное надлежащим об-
образом положительное число; если же на г \ — 1 полином Р (г)
нулей не имеет, то берем г—\. Существенно отличное доказатель-
доказательство вытекает из II 141.
185.	Полином Р (z) -=a0Jra1z-\-a.,z2jr. ..-\-anzn имеет в еди-
единичном круге |г| < 1 п нулей [22]. Поэтому число обходов кривой,
в которую переходит единичная окружность при отображении
w — P(z), равно п. Применяем 180 к положительной, соответст-
соответственно отрицательной, половине вещественной оси.
186.	[A. Ostrowski.] Описываем в плоскости w круг с
центром в ш = а и с радиусом, равным максимуму |/(г)| на L.
Этот круг не содержит точку ш = 0. Кривая, в которую перехо-
переходит'L при отображении w — a — f(z), вся содержится в указан-
указанном круге и имеет поэтому число обходов 0.
187.	При z = iy, — 2-- sg у sS g- имеем:
w — еМу __ e~xiy __ 2/ sill Щ.
При z~x±-~- i, x^s-0, имеем:
Если, стало быть, z обходит в положительном направлении границу
заданной полуполосы, то w описывает мнимую ось и именно от
+ г'ээ до — too. Пусть, далее, z = x-\-'iy, x — фиксированное
положительное число, — -к ^у^-~. Из формулы
w = еЯх ¦ eniy — е~пх ¦ е~'я1у = (еЯх — е~Ях) cos щ + i (еЯх + е~Ях) sin ny
с очевидностью следует, что когда z пробегает отрезок 5?г = х, — у ^
^;3г ^ к~, то w описывает правую половину эллипса с центром в на-
начале и полуосями еЯх — е~Пх и еЯх-{-е~Ях.
Таким образом, каково бы ни было число w0 в правой полу-
полуплоскости Ыш > 0, можно выбрать столь большое х, чтобы число
обходов кривой, описываемой разностью w — w0, когда г обходит
границу четырехугольной области
было равно единице. См. также 188.
IS8. Пусть w0 — произвольная внутренняя точка области, огра-
ограничиваемой кривой /(, в которую переходит при отображении
окружность | г | = г. Рассмотрим кривую К', получаемую смеще-
смещением К на вектор — ш0. В кривую К' преобразуется окружность
\z\-r при отображении w = f(z) — w0. Согласно предположению

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	343
ее число обходов может быть равно лишь +1 или — 1. Но так
как f(z) — w0 регулярна, то [принцип аргумента] это число неот-
неотрицательно и, следовательно, равно +1. Таким образом, в круге
z\<Zr функция f(z) — w0 имеет ровно один нуль. Аналогично
показываем, что функция / (г) в круге | z | ^ г не может прини-
принимать значения w0, лежащего за пределами К (соответствующее
число обходов равно нулю).
189.	Рассмотрим кривую, в которую переходит при отображе-
г _хг
нии w =в= $ е 2 dx граница кругового сектора, крайние радиусы
о
которого составляют с положительной вещественной осью углы
+ ~т и — т- Образы обоих радиусов можно построить пу-
путем поворота на 45° (соответственно зеркального отражения
и поворота) спирали Корню (чертеж у Drude, 1. с. в тексте
задачи). Образ ограничивающей сектор дуги окружности проходит
вблизи точки w = 1/ y [IV 189]. Пусть положительное число г
взято столь малым, чтобы образ дуги ~z — reiu, —-^-^¦OsS^,
встречал образы радиусов лишь в двух точках, соответствующих
in	in
концам дуги re4, re 4 . Рассматриваем тогда кривую, в кото-
которую отображается граница той части упомянутого сектора, кото-
которая лежит вне круга |г|<г, т. е. для которой | z\ ;з=/\ Эта кри-
кривая имеет число обходов О. Отсюда заключаем, что ы)фО при
—^-<argz<-^. Другое доказательство —в V 178.
190.	Интеграл
1
имеет целое значение и поэтому вообще не может изменяться при_
непрерывной деформации контура интегрирования. Ко рассмат-
рассматриваемые кривые плоскости г можно непрерывно преобразовывать
одну в другую.
191. Пусть Цг)фО, тогда Цг)ФО на L, и функция In f(z)—
= lni?4-/e регулярна во всех точках кривой L. Поэтому имеем:
d\nR __ дв ^
dv ~ as >'
*) Если элемент дуги ds образует с осью ОХ угол а, то, обозначая
через и и v действительную и мнимую части регулярной функции, будем иметь:
gj = !;xcosa + otfsma, ^- = «^cos la—^-j + Uysrn la—j i,
откуда с помощью условий Коши-Римана и вытекает равенство
du dv

344	РЕШЕНИЯ
где дифференцирование производится по внешней нормали, соот«
ветственно по положительному направлению касательной в точке z
кривой L. Производная, стоящая в левой части, положительна
[принцип максимума]; то же самое, следовательно, справедливо
и для производной в правой части.¦
Образом крийой L служит окружность (возможно, обходимая
несколько раз в одном и том же направлении).
192. [В. Riemann, Werke.cTp. 106-107, Leipzig, В. G. Teub-
ner, 1876*), H. M. Ma с don a Id, Proc. Lond. M. S., т. 29,
стр. 576 — 577, 1898; см. такжеG. N. Watson, там же, B), т. 15,
стр. 227 — 242. 1916**).] Пусть на L (обозначения решения 191)
f (z) = Rie -г-ФО. Пусть, далее, W и W — числа обходов кри-
кривых, описываемых точками /(г), соответственно f'(z) (W есть чис-
число обходов окружности, вообще говоря, обходимой в постоянном
направлении несколько раз). Тогда 2n(W' — W) будет равно изме-
изменению аргумента -г-, когда z обходит кривую Ь. Пусть ds — \dz —
о г т*	dS d@ ds r-i «
элемент дуги кривой L. Тогда ^r = -j~~T- Первый множитель посто-
постоянно сохраняет вещественное значение; следовательно, дело сво-
сводится к исследованию изменения аргумента второго множителя.
Но аргумент ~ = ,z ¦ равен аргументу dz, взятому с обрат-
обратным знаком. Изменение направления dz, т. е. касательного век-
вектора, при положительном обходе замкнутой простой кривой
составляет 2я, как это интуитивно очевидно хотя бы на примере
полигона. Если f'(z) обращается на L в нуль, то вместо L берем
достаточно близкую к ней линию уровня, содержащуюся внутри
области, ограничиваемой кривой L.
Нетрудно придти и к геометрической интерпретации этой тео-
теоремы [см. Н. М. Mac don a Id, 1. с].
193.' Так как 1'(г)ф0, то f (z) не равна тождественно посто-
постоянной. Внутри области 33 /(г) имеет точно один нуль [192]. Поэ-
Поэтому число обходов (кругообразного) пути, описываемого точкой
w = f(z), когда z обходит границу S3, равно 1. Число обходов
кривой, описываемой точкой / (г) — w0, будет равно 1 или 0, смотря
по тому, будет ли \wo\ меньше или больше постоянного значения
модуля f(z) на границе S3.
194. [Е, Rouche, J. de l'Ec. Pol., т. 39, стр 217, 1862.]
Так как в точках, лежащих в области, ограничиваемой L, доста-
достаточно близко к этой кривой, f (z) и f(z) +ф(г) отличны от нуля
*) Б. Риман, Сочинения, Гостехиздат, 1940, стр. 111—112.
**) Укажем еще: Dell'Agnola, Atti Lincei E), т. 12, 1903 и т. 13,
1904; A. Den jo у, Comptes Rendus, т. 166, стр. 31—33, 1918; Vallee-Pous-
sin, Ann. S. M. Bruxelles, т. 26, стр. 1-^12, 1902; E. Т. Уиттекер и
Г. Н. В а тс он, Курс современного анализа, ч. I, стр. 170, Физматгиз, 1963.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	345
и имеет место неравенство |/(z)|>|<p(z)|, то мы можем принять,
что f (z) и ф (z) регулярны на L. Функция 1 + ^у имеет на всем
протяжении кривой Ь положительную вещественную часть, поэ-
поэтому изменение ее аргумента после обхода L равно нулю. Но
так что [181] число обходов кривой, получаемой при отображе-
отображении f(z), должно совпадать с числом обходов кривой, получае-
получаемой при отображении f(z)-\-<p(z).
195.	Частный случай теоремы 194: f(z) = ze%~z, ф(г) = 1, L —
единичная окружность |z| = l. Что на вещественном отрезке
Osc;z=g; 1 лежит по крайней мере один корень, явствует из того,
что ze%~z на этом отрезке возрастает при возрастании z и притом
от 0 до е1'1 > 1.
196.	Если z = iy, у вещественно, то
Если \г\ достаточно велико и SRz^O, то
Уравнение % — 2 = 0 имеет в правой полуплоскости корень г = к.
Частный случай теоремы 194: f(z) = K — z, <p(z) = — er", L —
достаточно большая полуокружность в полуплоскости Sftz^sO.
Вещественность единственного корня вытекает из симметрии
поверхности модуля относительно вертикальной плоскости, прохо-
проходящей через вещественную ось.
197.	[См. G. Julia, Journ. de Math., серия 8, т. 1, стр. 63,
1918.] Частный случай теоремы 194: на единичной окружности
имеем |z| = i>|/(z)|.
198.	[Пример на одну общую теорему, принадлежащую G. J u-
lia, Ann, be ГЕс. Norm., серия 3, т. 36, стр 104—108, 1919.]
Пусть Rn—прямоугольник с вершинами n±-j±id, n — целое,
d—фиксированное положительное число. Положим z = x-\-iy —
= rei9. Согласно I 155 на границе Rn при и-> + оэ
так что на Rn минимум модуля Г (г) стремится к -\-оэ при
п->--\-оо. С другой стороны, на границе Rn модуль sifinz оста-
остается больше некоторого с (с>0), не зависящего от п. Поэтому
минимум выражения
1
Г (г)
I sin nz I
It
на границе R-n 'при п-> + со стремится к -J-oo.

346
РЕШЕНИЯ
Таким образом, каково бы ни было а, для достаточно боль-
больших п на границе R_n будем иметь:
|гЫ>М.
тогда как в центре R~n имеем р-т-т =0. Применяем 194 к
/(^)= p-pj, <p(z) = — a.
199. Повторное интегрирование по частям дает:
zf (Z) = f(O)-f A) cos г +y I /' @ sin z ~ J /" @ sin ^ d4 =
= /@)-/(l)cosz
Заключаем все нули периодической функции /@) — /A) cos г в
кружки радиуса е с центрами в этих нулях так, чтобы 2б было
меньше любого из расстояний между двумя нулями. В части
плоскости г, оставшейся после удаления этих е-кружков, фун-
функция . ,ф. _^f,\, будет при г->оэ стремиться к нулю. [Пока-
[Показываем это сначала для полосы — яг^Эк^я.] Таким образом,
zF (z) имеет в каждом е-круге, за исключением нескольких, столько
же нулей, сколько и функция /@) — /A) cosz [194], т. е. один.
Этот последний необходимо вещественен в случае | / A) | > | f @) |,
когда круг делится вещественной осью пополам: комплексные нули
вещественной функции F(z) попарно сопряжены [реше-
[решение 196].
200. Член z"a-nS ряда
а а3
а? ф.~
становится максимальным на окружности г|= a I2"" и перестает
быть таковым на окружности | г | = |а|2ге+1 [I 117]. Для изучения
перевеса максимального члена над другими между этими грани-
границами пользуемся формулой
F(z)-zng-n2 _ z
,2п+1
1
а2п-3
На окружности J г \ = | а \2п соответствующие члены обоих рядов
в правой части по модулю совпадают; таким образом, имеем:
1,1 1,1 1 1
I Г Т
(z)-zniTn2
\а\ \а\3 \а[ь
1
\а\ 1-
2ja[3
I а ]з— 1

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	347
ибо единственный положительный корень уравнения z3 — 2z2 —1=0
меньше чем 2,5 [20: d0 — 0,5, dx = 2,5, d2 == 1, d3 = 2,5]. Следователь-
Следовательно, F (z) имеет внутри круга | г | «S | а \2п столько же нулей, сколько
и гпа~п', т. е. п. Из них на круг [ г | ^ | а \2" по тому же доказа-
доказательству падает и—1 нулей. См. V 176.
201.	[A. Hurwitz, Math. Ann., т. 33, стр. 246-266, 1889.]
Пусть К — замкнутый круг с центром в точке а, содержащийся
в © и не содержащий, исключая, быть может, а, ни одного нуля
функции f(z). Тогда на границе К для достаточно большого п
будем иметь \f(z)\>\fn(z) — f(z)\. Применяем 194 к функции
ф(г) =/„ (z) — f(z). Более общо: каждая часть области @, не
имеющая на своей границе нулей функции / (г), содержит оди-
одинаковое количество нулей как функции fn{z), так и /(г), если
только п достаточно велико. Важно для приложений!
202.	/(г) регулярна в единичном круге |z|< 1 [170]. Пусть,
в противоречие с утверждением, /(z1)=/(z2) для некоторой пары
2ц г2, г1фг2, |z1|<l, |z2|<Cb Рассмотрим последовательность
fn(z) — fn(Zi) («=1, 2, 3, ...), сходящуюся к f(z)-f(z1). В каж-
каждом из кругов, описанных около z2, целиком содержащихся
внутри единичного круга и не содержащих zlt разность /„ (z) —
— fn (zi) Должна была бы для достаточно больших п обращаться
в нуль [201], что представляет противоречие.
203.	[170, 201.]
204.	При а и d целых утверждение теоремы получается так
же, как в решении 185, ибо нули полинома
za+nd
aoza + агга+а + аггаШ +... + anz
лежат в круге |г|«с 1 [23]. При рациональных а и d заменяем г
некоторым его кратным. При иррациональных а и d аппрокси-
аппроксимируем их рациональными числами и применяем 203.
205.	[G. Polya, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 354, 1918.1
Имеем [II 21]:
1	п-1
С f(t)cosztdt= lim 2 7Г ^ Н cos ? 2 t185. 203]-
206.	Контрпример:
/„B)=z2 + ~. л-1, 2, 3, ...;
Ъ: |z|<2; а = —1, Ь==+ 1.
207.	Из соотношения z — wcp(z) — O вытекает:

348
РЕШЕНИЯ
Следовательно, дифференцируя формулу Лагранжа (L) (стр. 153)
по w, получаем:
со
/'(г)ф(г) = V а."-1 Г rf"-y (х) ф (х) [ф (х)]»-1 1
1—Шф'(г) «L (я —1)! [	dxn~l	J v—о *
что и требовалось доказать. Так как ф @)^-0, то /'(г)ф(г) при-
принадлежит к классу «допустимых» функций вместе с /(г). Поэтому
интегрирование приводит от 207 обратно к формуле Лаг-
Лагранжа (L).
208. Имеем:
1 Г d'4 (х) [ф [х)
n!
)[фд(дг)]	1 (! / (
2nf T C"	t
CO
(Q rfg VI / шф Q \"
где интеграл берется вдоль окружности с центром в ^ = 0 и зна-
значения w достаточно малы, так что вдоль контура интегрирова-
интегрирования | ?|>| доф(Р |. Но тогда внутри круга, ограниченною этим
контуром, -функция t, — w(f(L) имеет такое же количество нулей,
как и ? [194], т. е. лишь один. Обозначая этот единственный
нуль через z, имеем далее:
у w»_Г d"f (х) [ф (х)Г I = _1_ ? _/_(?ЫС_ = /(г)
Li n\ L dx" \х-о 2я» У ?-инр® 1-щ>ф'(г)*
п = 0
209. [L. Euler, De serie Lambertiana, Opera Omnia, серия 1,
т. 6, стр. 354, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1921.] Полагаем
в (L) (стр. 153) Ф(г) = е*, f(z) = z,
210. Полагаем в (L) (стр. 153)
п= 1
211. Полагаем x=l+z, фB) = A+г)р, f(z) = \+z; фор-
формула (L) (стр. 153) дает:
п=\

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	349
212. [См. 1. с. 209, стр. 350.] Полагаем x=l+z, ф(г) =
= (l+z)p, /(z) = (l+z)°. Формула (L) (стр. 153) дает:
п = 1
213> Для Р = 0, р = 1 получаем биномиальный ряд, для
2
—1
в 1
для р = —1 в существенном тот же ряд, для Р = у
оо /	П
л = 1 *
Полагая х=1+4-, ю=-^-, a = ap, фиксируем |, со, с и берем
P-> + °Q- Уравнение задачи 211 дает:
214. Применяя 207 к ср(г) = ег, f(z)—exZ, получаем:
VI
„I	l-we* ~ 1-г '
n = 0
где г имеет то же значение, что и в 209. Радиус сходимости
равен
215> Дело сводится к доказательству того, что
со п+ 1	со 1
n=0 n	n=0 0
Имеем равномерно в
п\
где z определяется из уравнения ze-" = erx, |г|<1 [21-4, 209].
Таким образом, интересующий нас интеграл равен
$-

350	РЕШЕНИЯ
Непосредственно убеждаемся в том, что t — K—z удовлетворяет
уравнению К— ?, — ег^ — 0; К — z вещественно и положительно.
216. [По поводу 216—218, 225, 226 см. G. P61 у a, Ens. Math.,
т. 22, стр. 38—47, 1922.] Применяя 207 к
имеем:
где \-\-z-x и х —корень уравнения 211, алгебраического для
рациональных значений р.
217. [L. Euler, Opuscula analytica, т. 1, стр. 48—62, Pet-
ropoli, 1783.] Применяя 207 к cp(z) = I+z + z2, f(z) = l, имеем:
_ 1— ai — у 1 — 2ш — За>2
^J n! L	dxn ]x-0 1 —даA + 2г) у \—2w — 3wZ
218. СкладЫвая по &-му столбцу влево от среднего, получаем:
»' + ... + (*+2я) *• + ...=
2ш /
219. [См. Jacobi, Werke, т. 6, стр. 22, Berlin, G. Reimer,
1891.] Достаточно рассмотреть случаи 2, 3.
2. Пусть \ф—\, \Ф\. Для нецелых аир выбираем опре-
определенные ветви функций A —?)а и A+?)р. Положим в 207:
Тогда правая часть даст:
тогда как из ш = —р- вытекает:
/(г) =
X
1 -ауф' (г) = Vl-

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	351
и, значит,
со
У Р(п'р) (?) wn = -2—	(l-w + "|/1
X A +
В случаях | = —1, |=1 требуемая формула доказывается
непосредственно [решение VI 98].
3. Пусть 1фО. Положим в 207:
Тогда в правой части будет стоять е'^а ^ ^"^ (?) йуЛ> тогда как
п=о
вследствие ю = —^-г- будем иметь:
Следовательно, мы получим:
со	|т
21 <СС) ^Ч Г(?)л	С011 - '
ь„ (у да -^^е
В случае \ — 0 требуемая формула может быть доказана непо-
непосредственно [решение VI 99].
220. Де« = е" (es — 1), Але" = е" (е5 - \)п.
1. Имеем:
/ii \, 1 i z 1 2B — 1) о , , г (г — 1)..-. (г— ге + 1) „ .
A+^)г-1 + т^+ 2!- 'aJ + -.-+-	~^т	~wn + ...,
где полагаем ю = е*— 1. Ряд сходится при \es— 1|<1 и произ-
произвольном г.
2.
3.
B10, с 2 = — s, a = — z). В силу II 205 имеем:
1	3
г(г~")"~1 (se5)» — (—l)»-^"* Bя)~ 2/г~ г (sem)«.
Итак, при |ses+1|sgl ряд сходится; в окрестности точки
формула во всяком случае справедлива.

352
РЕШЕНИЯ
1	i. _i.
4. Полагая в 212 x = es, Р = -<Г' следовательно, w = e2 — е 2\
a — z, будем иметь:
2
n— 1
Заменяя s на — s и складывая обе формулы, получаем:
V
Z
		2т —1
m=l
1	-? _-1
Аналогично, полагая в 216 x = es, Р=-2~, w — e^ — e ~*, а =а
1
= г —у, заменяя s на —s и вычитая, получаем после некото-
некоторого преобразования:
Т
/п= 1
Сумма обоих последних равенств и дает требуемое разложение
для esz. На основании формулы Стерлинга и разложения
функции sin пг в бесконечное произведение имеем:
г (г + т - 1 \ { ~ - |Jт	г sin лг / й \2>п -
2т ^ 2т-1 J^e e .j ~ ^_ \s\n 2 j m
Ряд сходится при
sin-тг
<1. В окрестности точки s — 0 фор-
формула во всяком случае справедлива.
221. [По поводу формул 2, 3 см. N. Н. Abel, Oeuvres, т. 2,
Nouvelle edition, стр. 72, 73, Christiania, Grendahl & Son, 1881.]
Развертываем в 220, F (z) = esz, обе части по возрастающим сте-
пеням s и приравниваем коэффициенты при |j- в левой и правой
частях. Имеем:
222. Достаточно доказать 1, 2 для F (z) = (z — w)~1; что
касается остальных рациональных функций, то сначала диффе-
дифференцируем по w и разлагаем на простейшие дроби, затем приме-
применяем 221. Формулы 1, 2 справедливы для F{z)—esz, когда s
вещественно и отрицательно. [Решение 220.] Отсюда, умножая
на e~sw ds и интегрируя от s = — оо до s = 0, получаем формулы
1, 2 для F(z) — (z — wy1. Область применимости этих формул

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	353
удобнее определить следующим образом: так как
то нужно доказать, что
1 _ У г(г-\)...(г-п)
Z — ДО ДО	^d ДО (ДО—1)...(ДО — П—1) '
00
1 = __ у 	я!
B — Щ<)а ^hJ	(Z— ДО) (Z — ДО-f- 1) ... (Z — ДО + Д
n = 0
Формула 2) получается из 1) посредством замены w и г соответ-
соответственно на w — z — l и — 1. Формула 1) получается после пре-
предельного перехода из тождества
и_2 ш~до(до—1) ' до (до— 1) (ш — 2) '
z(z-l)...(z-n+l)	z г-1 г-п 1
''' до (ш— 1) (до — 2)...(до — п) до. до—• 1 " до — пдо—г '
которое нетрудно проверить методом математической индукции.
Предполагая, что w и z отличны друг от друга и от О, 1, 2, 3,...,
получаем для остаточного члена соотношение [см. II 31]
(— z) (— z + 1)... (— z + n)	n~wn\	 nw~s Г (— до) nw~s

n~zn\	—до(—до+1)...(—w-\-n)w—z Г(—z) до—г'
Формулы 3 и 4 для дробных функций F (z) не выполняются ни
в какой области. Действительно, в противном случае частичные
суммы и-го, соответственно 2/г-го, порядков должны были бы со-
согласно 255 и 254 равномерно сходиться в к а ж д о й, конечной
области, т. е. F (z) должна была бы быть регулярной всюду,
что противоречит предположению.
223.	Указанное тождество надлежит понимать чисто фор-
формально; оно объединяет в одном соотношении бесконечное мно-
множество уравнений, определяющих величины A"aft (k = 0, ± 1,
±2,...).	;
224.	Так как в разложении для у— нет свободного члена, то
коэффициент при Р1 в разложении для YTJ^\T+}jзависит только
от do, au..., а„. Мы можем, таким образом, ограничиться случаем,
когда F (z) — полином. Но каждый полином может быть пред-
представлен в виде линейной комбинации степеней A — г)т (т-=0, 1,
2,...), а оператор А" линеен, т. е. если ak и bk — две числовые
последовательности и сх и с2 — постоянные числа, то
А" (схак + сфк) = CiA"ak + c2Anbk.

354	решения
Поэтому достаточно доказать утверждение для функции
F(z) = (l-z)" (m = 0, I, 2, ...)•
Но тогда [223] Апа0 равно коэффициенту при гп в разложении
произведения A — г)" A — z)m — A — z)re+m, т. е. равно (— 1)" /"+m j.
Имеем:
n = 0	'	"	'	'	l
225. Достаточно доказать утверждение для F (z) = A — z)m
(tn = 0, 1, 2, ...) [решение 224]. В этом случае [223] А2па^п равно
коэффициенту при zn в разложении выражения
со
т. е равно (—l)"Bn + mV [Решение 218.]
226. Полагаем F(z) = (l — z)m—l (m=l, 2, 3, ...) [решения
224, 225]. Тогда [223] А2па-п+1 —А2па.п^ будет равно коэффици-
коэффициенту при zn в разложении выражения
^
т. е. равно
Полагаем в решении 213 р = 2, а — т, w — — t.
227. Пусть a = z, P = 1 — z. Тогда для всех п
откуда
П = 1	1.A = 1
Замечая, что
со

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	355
где С —Эйлерова постоянная, получаем следующий результат:
Г (а)-1 Г F) -1 е~с (аЪ) -1 ес - '	1 _ sinjtz
* W UV * W) <- г (г) Г A-г) г A-г) ~пг{\-г) '
228.	[I. Schur.] Выполняем перемножение в бесконечном
произведении, приведенном в решении 227.
229.	Полагая в формуле (L) (стр. 153)
1
<p(z)=-j	, / (z) = sin nz, w — z(l—z),
находим:
230. Пусть f(reiij) = U(r, ®) + iV(r, §), U (г, fl), У (л §)
вещественны, an = bn + icn, Ъп, сп вещественны. Из разложений
U(r, Щ = Ь0+ X
n =
oo
V(r, Щ=со+?
n —
равномерно сходящихся при
2л
ап — bn + icn — —\ U (r, fl1) e
0
2я
231 ¦ Согласно решению
оо
f I \ -L ^ (h Л-'r \ "¦
1 У ) О 1 / , \ п 1 я) ^
п= 1
1г"
1
230
d®
d)
2Я
0
cos nw — cn sin nfl
cos «^-|-Ьга sin rafl
^ 2л, получаем
=
/(r, O)[l + 2 У
/»
/ »
[117]:
= 1, %
I _
232. 1. Частный случай: f(z) не имеет нулей в круге
z\s^r. Применяем 231 не к f(z), а к регулярной в круге
г | «S г функции In / (z).
2. Частный случай: /(z) = <^~, \с\<г. Так как \n\f(re№)| = О
[5J, то интеграл в правой части обращается в нуль.
Но каждая функция, регулярная в круге | z \ ^ г и отличная
от нуля на его границе, может быть составлена посредством
умножения из функций вида 1 и 2. Условие, что / (z) ф 0 на
границе, можно теперь также отбросить, так как обе стороны
непрерывно зависят от г. Другое решение получаем из 176 по
образцу решения 56.

356
РЕШЕНИЯ
233. Пусть 0<а<2я и Re№, 0 < О < а — одна из точек
рассматриваемой дуги. U (г, Щ — О для 0 < ¦& <; а. В обозначе-
обозначениях задачи 231 получаем после двукратного предельного
перехода, предполагая, что /@) вещественно:
I(R, в)
а
2я
1
''Ш
sin
^ 3/ (^в) = - ~ J f/ (Я, в) (si
а
234. В обозначениях решения 230
2я	с
J
0
2Я
n= 1
235. [См. С. Caratheodory, Rend. Palermo, т. 32,
стр. 193 — 217, 1911.] В обозначениях решения 230 R = 1, ао = у и
2Я	2Я
; п=1, 2, 3, ...).
Берем г->1. Пример:
236. Функция
2 А — Шо	2 '2 Li A — 9ia0
п— 1
удовлетворяет предположениям задачи 235. Тем самым
т. е.
со	со
j
2
П= 1	1=1
В примере граница достигается.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	357
237. Достаточно доказать первое равенство (второе получается
заменой z на -). Функция У anzn остается ограниченной для
г | Ss 1; пусть, скажем,
п = — со
— 1
<УИ. Обозначим через А* (г)
максимум вещественной части целой функции ^ anzn на ОКруЖ-
ности | z | = г. Тогда при г > 1 [решение 236]
А*{г)^Ш0 + \~\ап\г" (л = 1, 2, 3, ...)•
Кроме того, А (г)"^г А* (г) — М, значит,
А()^ШМ +
Если ап отлично от нуля, то заключаем отсюда, что
Но существуют сколь угодно большие п, для которых апФ§.
238. [Е. Landau, Arch. d. Math. u. Phys., серия З, т. 11,
стр. 32-34, 1907; см. F. Schottky, J. fur Math., т. 117,
стр. 225 — 253, 1897.] Достаточно доказать только неравенство
2
13A% \R^ — A (/). Действительно, А(/) будет служить наиболь-
наибольшим колебанием вещественной части функции / (eiaz) при всех
вещественных постоянных значениях а, а из справедливости
2
неравенства | Ше'^ \ R ^ — А (/) при любом а вытекает, что также
Пусть теперь А — арифметическое среднее верхней и нижней
граней Щ (г) в круге |z|</?. Тогда в этом круге
Далее [230],
nra, = f [Щ («'*)] (г<* dO @ < г < Д),
о
следовательно,
2я
^ [?й/ (r<?'°) - Л] cos О dO,
о
2Я
| cos d | dd = 2A(/).
о

358	РЕШЕНИЯ
Затем берем r-*-R. При R=\,
имеем:
Теорема допускает следующую геометрическую формулировку.
Пусть круг конформно отображается на некоторую область (не обя-
обязательно однолистно). Тогда ширина этой области в любом направ-
направлении будет не меньше, чем увеличенное в -«- раз произведе-
произведение радиуса круга на линейное искажение в его центре. В ука-
указанном частном случае областью, на которую отображается круг,
¦тт	ТГ
служит полоса — -.- < Ш/ (г) < -.-.
239.	[Е. Landau, О. Toeplitz, Arch.d. Math. u. Phys., се-
серия 3, т. 11, стр. 302—307, 1907.] Пусть D* (/) — верхняя грань мо-
модуля \fB)-f(—z)\ в круге >z\<R. Тогда D* (f)^D(f). Пусть
0 </¦</?. Из формулы
2я
0
заключаем, что Anr \a11 «?_?** (f)-2n^D(f)-2n. Теперь берем
r-+R. Если f(г) линейна, f(z) = a0JraiZ, то D(f) — 2\a1\R. Рас-
Рассматриваемой теореме можно дать следующую геометрическую
формулировку. Пусть круг конформно отображается на некото-
некоторую, область (не обязательно однолистно). Тогда максимальное
расстояние между граничными точками этой области (ее диаметр)
будет не меньше, чем произведение диаметра круга на линейное
искажение в его центре. В указанном частном случае образом
служит 'открытый круг.
240.	[См. Е. Landau, Math. Zeitschr., т. 20, стр. 99—100,
1924.] Дифференцируя формулу 232 и полагая z = 0, получаем [117]:
2Л

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
Согласно предположению 2 2flcM,<0, значит,
359
Этим неравенством пользуемся при [х>/. При |xss/ получаем:
2
Действительно, при 0<%«s-g- имеем х-\- 2 In х < 0, так как ле-
вая часть возрастает с возрастанием х и е3 у) ¦< 1, т. е. 8е<27.
241. Интересующий нас ряд можно представить в форме
П=0
где
. Отсюда
П -*¦ со
-Л
242. Пусть радиус сходимости равен единице и
оо	со
2„ тп..._ C0-bCl2 + --- + CfeZfe , V,
G«z	Bo_z)*+i + Z nZ '
n=0
Отсюда при п > /г получаем:
При и->-оо выражение в скобках сходится к
См. также I 178.
243. G. Poly a, J. fur Math., т. 151, стр. 24—25, 1921.] Под-
Подходящим выбором полинома Р (z) = с0 + qz1 -f-... + c?_2z? + zq л
оо	оо
можно добиться того, чтобы степенной ряд Р (z) ^ anzn = 2 bnzn
п—й	п=0

360	РЕШЕНИЯ
удовлетворял условиям задачи 242. Из -\ п' .¦ -> р вытекает
V+\ [168]. Далее,
244. Пусть k — искомое число. Полагаем ап = <хп-{-Ьп, где
lim sup Y\ bn | = Ь< —,
rt-»co	H
CO
a 2 anzn — рациональная функция, имеющая в точности /г пр-
люсов на границе круга сходимости |г| = р. Пусть е столь мало,
что й + е<	8. Согласно 243 при достаточно больших п
Мах(|а„|,
т. е. по крайней мере для одного п, п^п^п — /г+1, будет:
Следовательно, а-==а- + &-=И=0. Отсюда вытекает, что
~Ssz-r — c, где с не зависит от п.
Теорема справедлива и в том случае, когда при подсчете полю-
полюсов не принимается во внимание их кратность; однако для ее
доказательства в этом случае требуются другие средства.
245. [J. Кб nig, Math. Ann., т. 9, стр. 530—540, 1876.]
Если полюсы k-то порядка, то ап — Апк~х^гп (sin (na + 6) + en),
А, а, б вещественны, lim е„ = 0 [решение 242]. Пусть Л>0,
П -»оо
0<2г|<а<я — 2т| и |en|<sinT] для всех n>N. Если рас-
расстояние между fta + б и ближайшим целым кратным я превы-
превышает т], то ап имеет тот же знак, что и sin {па + б). Если n>N
и а„ по знаку не совпадает с sin (па + б), то тогда можно
с уверенностью утверждать, что ап-г и ап+1 имеют те же знаки,
что й
sin ((«-I) a+ 6) и sin ((n+ 1) a+ 6),
и притом знаки ап^ и сл+1 противоположны, ибо из
— т] < па + б — тп < ц
вытекает
+ <(— 1)а + б — тл<- т],
(« +1)а + б — тя<С я — т).

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	361
Поэтому число перемен знака между
будет то же, что и между
sin ((я—1)а+ 8), sin (па + 6), sin ((я-f- 1)а + 8).
Теперь применяем VIII 14.
со
246. Пусть ряд 2 anZn имеет радиус сходимости 1. Если бы
п = 0
ряд сходился в какой-нибудь точке на границе круга сходимости,
то мы имели бы lim an — 0, следовательно [185],
rt->co
lim (l-z)(ao + aiz + ... + anz" + ...)= lim "f = 0,
и, значит, точка z=l не могла бы быть полюсом.
247. [М. Fekete, С. R., т. 150, стр. 1033—1036, 1910.
G. H. Hardy, Proc. Lond. M. S. B), т. 8, стр. 277—294, 1910.]
Пусть
/	^ +1*-*« -f... (h ss 0, c_A Ф 0)
и 0-<р<1, причем р взято достаточно малым, так, чтобы этот
ряд абсолютно и равномерно сходился для |х|=^р. Тогда имеем,
сначала для ?Rs>A:
Умножение на Г (s) уничтожает здесь все полюсы, могущие иметь-
иметься в точках s = /z, h— I, ..., 1, когда яЭ=1. В настоящем
случае в точке s — h полюс во всяком случае налицо, так как
О
со
248. Ряд 2 e~aVn (a>0) сходится. Интеграл F (и) схо-
л=1	¦	¦
дится, так как Ф(а-\-Н) ограничено для всех t. Интегрируя по-
почленно, получаем [II 115]:
со	а 4- too / ,— \	/ ,— \
/г = 0
В силу 155 при Ym — I n^us^yin имеем:
F (и) = ат (У1п -и) + ат+1 (Ут + Т -и) + ат+2 (Ут + 2- и) + ...,
т. е. F (и) является линейной функцией в каждом из назван-
названных интервалов и притом в интервале Ут — 1 < и < Ут имеет
12 Г. Полна, Г. Cere, ч. I

362	РЕШЕНИЯ
производную, равную
Если Ф (s) тождественно равно нулю, то F (и) = 0 при и > 0 и,
следовательно, ат + ат+1 + ат+в + • • • = О (m=l, 2, 3, ...).
249. Л>B*+1) @) = 0; ФB*> @) также равно нулю, так как
lim 2 annuzn= ^ a«"*;
следовательно, Ф (s) = 0.
250. Указанная в задаче функция / (г) обладает следующими
свойствами:
1. Она регулярна в круге |z|<l, так как при Sftzsgl инте-
интеграл абсолютно сходится. Имеем:
\	^-dx (n = 0, 1, 2, ...)•
о
2.	ап не может быть равно нулю для п = 0, 1, 2, ..., ибо
| g_(* + ^cos дя) gin (XH si
[решение 153].
3.	При | г\ < 1 имеем:
оо
/<«)(z) = ^ e-^cos>utsin(A^sinnn)e-JC<1-z)A^dA; (n = 0, 1, 2, ...).
о
В полуплоскости 9tz ^ 1 этот интеграл абсолютно и равномерно
сходится. Когда г стремится к единице вдоль вещественной оси,
получаем:
/()
г-» 1
со
"dx = 0 [153].
со
4. 1 ап | < ~y f er
о
о
< -Г + -т
til	til
< -г + -i- Мах (е- (x + *•* c<>s ^ xn+2) \ л-2 dx,
следовательно [II 222],
lim si
Применив вместо e~J(!lc0S*lItsin(*M'sin^jr) указанную в решении 153
lim sup ln [ ^" I ^ — cos }хя < 0.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
363
.	т, -	/ пУх—In x\ • /Ух\пх4-л\	,
функцию Гамбургера ехр(^- {{пх?+л,)^[^пхГ^^)' Убе-
Убеждаемся аналогичным образом, что в 249 " a"
нельзя заменить
In a
даже на (In n)'1
у п
251. [G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 25, стр. 337, 1917. Решение —Н. Prtifer, К. Scholl, там же,
серия 3, т. 28, стр. 177, 1920.] Пусть
и ряд, приведенный в задаче, сходится в точке z = a, т. е. с0+
+ ... сходится, и, значит, | ст+к + cm+k+1 +...
0
+ 2 + + п +	| т+к	1
cm+*+n! <е Для достаточно больших т и всех k, п = 0, 1,
!
2, 3, ... Тогда
\g
(m)
+n) (z)
I
"T c
252. Пусть
и последовательность
^j, "|/|fl2l. •••. T^l^
ограничена,
lim sup У |Я/Л= ^- Тогда для каждого е (е>0) можно указать
такое N, что при n>N будет ]ал |< {А-\-е)л; следовательно,
Отсюда вытекает, что
lim sup Y\
(z) | < A = lim su
-("> (z0) |,
и, значит, ни в одной точке z интересующий нас верхний предел
не может превосходить верхнего предела в какой бы то ни было
другой точке г0.
253. [J. Bendixson, Acta Math., т. 9, стр. 1, 1887.]
Так же, как в 254, с помощью соотношения
12*

364
РЕШЕНИЯ
254. [См. N. Е. Norlund, Differenzenrechung, стр. 210,
Berlin, Julius Springer, 1924.] Имеем:
<22л+2 (z) - Qw (z) = (у „г + б„) Рп (г),
где Рп (г) имеет то же значение, что и в 13, а у, и б„ — постоян-
ные. Пусть а и Ъ — две точки сходимости. Тогда ряды ^ Ап,
/1 = 0
00
2 Вп, где положено (упа + б„) Рп (а) = Ап, (ynb + бл) Р„ ф) = В„,
/! = 0
сходятся. Так как ряд
п= 1
(г) P»_i (г)
Vi (г) г2- «2
где а = а или а = Ь и z — любая конечная точка, равномерно схо-
сходится (рп (г) -+¦ sm^lz ), то то же имеет место и для рядов
00
2 л fnVL
Лп Ря(а) '
п = 0
[Кпорр, стр. 349]. Но
...	"n
n=0	n=0
А Рп(г) I г~а У В Р"(г)
п=0	п=0 л=0
255» Согласно VI 76	имеем:
П м-	сB) ( )"
Чп (z) =
оо
Пусть а (аФ 0) — точка сходимости, с"а^а~п>— = ап, У ап схо-
дится. При n>|z|, n>ja| имеем разложение
где A', A", ... зависят от a, z, но не зависят от п. Ряд с общим
членом
п) \ п) ~\ «+1 j \ ~~ л+1 j = " /»-i-M + • • •
абсолютно сходится и поэтому сходится также [Кпорр, стр. 349]
ряд
оо
VI г I. а \-п+1 I г \ п-1
л —О
г \ п
--

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	365
256.	См. 285. Имеет место более общая теорема: если функции
/„ (г) регулярны, отличны от нуля и по модулю меньше единицы
в области © и если в некоторой точке а этой области Нт/„ (а) = 0,
п—юо
то всюду в области Нт /„ (г) = 0, притом равномерно во всякой
п~>со
внутренней замкнутой ограниченной области. Доказательство про-
проводится путем последовательного «черепичного» покрытия всей
области @ кругами.
257.	[А. Нагnack, Math. Ann., т. 35, стр. 23, 1890.] Пусть
Vn (x> у) — сопряженная с ип (х, у) функция и
Ёя{г)=ё-ип*'»-"п«'», z = x+iy.
со	,
Если бы ряд 2 ип (х> У) расходился хотя бы в одной точке
2о = *о + Ч/о области @, то, полагая fn (z) = g0 (z) gx (z) ... gn (z),
мы имели бы liin/„ (г0) = 0, откуда [решение 256] lim/n(z) = 0
П~voo	П~)-СО
во всей области @, что представляет противоречие. (Более полно
используя III 285, убеждаемся в том, что сходимость равномерна
сначала в замкнутом круге с центром z0, содержащемся в @; затем
доводим доказательство до конца посредством «черепичного» пере-
перекрытия области кругами.)
'258. Положим fn{z) = un(x, y)-\-ivn{x, у). Тогда
v (х u\-v (х и \ I *'{ ди" {х' у) йи дип {х' у) dx
vn [X, У) — vn (х0, у0) -j- I Q^ ay	-щ- ах,
где интегрирование производится вдоль любой кривой, соединяю-
соединяющей произвольно выбранную фиксированную точку х0, у0 с пере-
переменной точкой х, у и лежащей целиком в области ®. При n-voo
интеграл равномерно сходится в каждой замкнутой ограниченной
части области ©, -ибо этим свойством обладают последователь-
последовательности производных -Jj-, -j1- [см. 230]. Таким образом, последо-
последовательность vn (x, у) сходится тогда и только тогда, когда схо-
сходится последовательность vn(x0, y0), и притом тогда уже равно-
равномерно во всякой внутренней замкнутой ограниченной области.
259. Пусть а0, аи а2,... — любые числа. Из тождества
а0 A — а0 + аоах{\ — а.2) + айахаг A — а3) +...
... + ааах. ..ап^1A—ап) = а0 — а^а^.. ,а„
заключаем, что
оо
а0аха2.. .ап A — ап + 1) = а0— lim аоагаг.. .ап,

366
РЕШЕНИЯ
в предположении, что последний предел существует. Полагаем:
гг (л=1, 2, 3, ...)	[Ц4].
260. Степенной ряд
«—	п!
имеет радиус сходимости е х [214]; поэтому интересующий нас
ряд сходится в каждой области плоскости х, где \хе~ х \ <.е х,
и представляет там аналитическую функцию. Каждый из интер-
интервалов 0=гсл:<1 и 1<л:< + со заключен в области @1( соответ-
соответственно @2 указанного типа, однако того же нельзя утверждать
насчет их объединения. Согласно 210 сумма ряда для доста-
достаточно малых х равна еах и поэтому вообще равна еах для всех х
в ¦©!¦ Пусть теперь 1<<х<< + оо и х' определяется уравнением
хе~х — х'е~х', 0<х'<<1. Заданный ряд остается неизменным при
замене х на х'. Поэтому суммой его служит еах'Фелх. Ряд схо-
сходится также для х = 1 [220, 3] и согласно теореме Абеля [1 86]
имеет свой суммой е°\
261.
При Шг > 0 имеем:
1.
lim U B) =
V A.Y-4.
-+1 =
v=l
¦+l=z(z+l)-4(z+l) [И 45].
При 9lz<;0, ?Rz = x имеем:
/ = 1
Anx+1, если
Л Inn, если л; =— 1,

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
где А не зависит от п. Далее, существует предел
367
lim 2
Таким образом, в этом случае
lim/„(*) = 1.
= ?(l-z)#0 [VIII 48].
262. [G. Poly а, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия З,
т. 25, стр. 337, 1917. Решение —Н. Prufer, там же, серия 3,
т. 28, стр. 179-180, 1920.] Положим:
г-1
Тогда
3»	„
ф(г) + 1
ф[ф(г)] +
{ф[ф(г)]1
и утверждение состоит в том, что последовательность
стремится к нулю для | ? | < 1, стремится к бесконечности для
'?|>1 и стремится к единице или расходится, когда |?|=. 1.
Пусть |^| — г, г<1; обозначим через М (г) максимум модуля
в круге
: — 8) т
. Имеем М (г) < 1 [5] и М (г) монотонно возрастает
И	(Q
ру | |	() [] ()
вместе с г [267]. Из определения ij; (Q следует:
(г),
М [гМ (г)] ^ г [ЛГ (г)]\
г)]»
и т. д. Аналогично рассуждаем, когда
Пусть, наконец, |?| = 1. Тогда
Если рассматриваемая последовательность стремится к некоторому
пределу ?0» I to I = 1. ТР тогда
. т. е.
¦1.

368
РЕШЕНИЯ
263. Положим (? *)(? J*)--(z я) =ря(г). Тогда на положи-
положительной мнимой оси z=*iy, г/>0,
. sin щ(/
¦ гя
2л
При фиксированном г имеем:
lim (—1)"
Тем самым последовательность является ограниченной, например
в полукруге SRz^O, |z|^l. В серповидной области
Z-Л
¦n,
\z — п—
Л,(г) по модулю больше чем Pn_1(z), Я„_2(г),..., Рл + 1(г),...
[12]. На внутренней границе указанной серповидной области
\z — n\ — n, z = 2net4>costp. В предположении | z \ s> 1 имеем
[по поводу доказательства формулы Стирлинга при принятых
здесь условиях см., например, Е. Landau, Elementare und
analytische Theorie der algebraischen Zahlen, стр. 77 — 79, Leipzig
und Berlin, B. G. Teubner, 1918*)]:
Vz Г (z)
Г(г-п)Г
V;
zz
2 e-
B-Я)
z — n	--
2 е-«
^
) B, ft) __
\г-я
г — /г
n
> cos
где iji (z, n) остается ограниченной для всех рассматриваемых
значений z, п. На внешней границе серповидной области та же
оценка имеет место и для Pn + 1(z), а так как там \Pn(z)\ =
— \Pn + i(z)\> то и Для Pn(z). Если мы проведем из точки z = 0
луч под углом ф, 0 ^ ф eg -5-, к вещественной оси, то на отрезке
этого луча, заключенном в, серповидной области, модуль Pn(z)
будет возрастать, так как там возрастают все множители z — 1,
z —2, ..., z — n, как это явствует хотя бы из геометрических
соображений.
264. [См. N. Е. Norlund, 1. с. 254, стр. 214.] Рассмотрим
замкнутую область, заключенную между двумя лемнискатами:
2n2 cos 2ф «S г2 < 2 (n + IJ cos 2ф.
*) См. также Е. Т. УиттекериГ. Н. Ватсон. Курс современного
анализа, ч. 2, § 12, 33 и § 13, 6, Физматгиз, 1963.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ
369
Для тех точек внутренней границы этой области, которые лежат
вне единичного круга, имеем:
\\г — п1
Z2 —
М> (г, л) _
(г, п) __
= | (е-
i))(z, n) ограничено [13, 263]»
п
265. Максимум модуля A4- —) вдоль луча 2 = ге1ф, <р фикси-
фиксировано, не зависит от п; полагаем г = п?,,'? = ре"*. Максимум
выражения
Vln I +'SI = cosф — -§-cos2ф4--^-cosЗф —...
находится с помощью дифференцирования по р; этот максимум
равен cos ф и достигается при р = 0, когда — х"^Ф^-г. Когда
я
же х
7я
~4~' то он Д°стигаетСя ПРИ условии
(I С 4-1 [ > 1) и равен
— 8tln(?+l) = — 3t/l- =
Положим =—- — w. Тогда w удовлетворяет уравнению] we-™*11 =
= 1. Имеем:
, .	-	1	w
I w I < 1, ф = arg — = arg	,
и интересующий нас максимум равен
w
1— W
5И A-
Исследование знака производной можно заменить исследованием
области 116.
Наличие в 263—265 выпуклых кривых не является случай-
случайностью; см. G. Poly a, Math. Ann., т. 89, стр. 179-191, 1923.
266. [135.]

370
РЕШЕНИЯ
267.	[135.]
268.	/(z) = f Gr1) регулярна внутри круга |?|^п- и M(f)
является максимумом модуля fit,'1) на окружности |?|=— [266,
267].
269.	-~ регулярна в проколотой плоскости |г|>0 (включая
и z = со) [268].
270.	[С. Н. Бернштейн, Сообщ. Харьк. матем. общ. B),
т. 14*); М. Riesz, Ada Math., т. 40, стр. 337, 1916.] Применяем
268 к С""/^"!") [79]. При \t,\ = r, r>\, r = a + b имеем:
. 1
<Мах
\М.
В пределе при z->oo теорема утверждает: максимум модуля
полинома п-й степени в интервале — l==gzsgl по меньшей мере
равен модулю его старшего коэффициента, умноженному на 2~п.
271.	Мы можем принять, что оси эллипсов Е1 и ?2 совпадают
с осями координат, а фокусы их лежат в точках z = ± 1. Если
отображение 2 = —Ф- приводит в соответствие с эллипсами Ег,
?2 окружности 1^1 = ^, |^| = г2, 1<гх<г2, то тогда r1 = a1 + blt
г2 = а2 4- Ьй. Рассуждаем, как в 270, принимая во внимание 268.
Предельный случай, когда эллипс Ег стягивается в дважды
обходимый вещественный отрезок [—1, 1], дает 270. Если фокусы
совпадают, т. е. эллипсы приводятся к окружностям, то полу-
получаем 269.
272.	Мы можем без ограничения общности принять, что
/@)>0. Полагая / (г) = / (ре'#) = U (p, ft) + iV(p, ¦&), имеем:
2л
2Я
2я
= 2ST J V
о
Если здесь имеет место знак равенства, то V (р, ¦&)=0 для
<д*с2я, и, следовательно, /(г)=/@) [230].
273. [134.]
*) С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, т. I, Изд. АН СССР, 1952,
стр. 146—150.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	371
274.	Функция f(z) = Qj\ регулярна в круге |z|<l. Она
регулярна также на окружности jz|=l, причем там |/(z)| = l,
если ij>(z)=?O. Если z0 — нуль функции i|j(z), то ф(г) также
должно иметь своим нулем точку z0 и притом той же кратности
[в противном случае функция / (z) имела бы в точке z = z0 нуль
или полюс, что, очевидно, невозможно, так как в сколь угодно
близких к z0 точках окружности | f (z) | = 1]. Сократим общие
множители функций ф(г) и ip(z). Тогда f(z) будет регулярна и
отлична от нуля в круге |z|«s;l, причем на окружности |z| = l
будет |/(z)| = l. Следовательно [138], Дг)==с, |с| = 1. Так как
ф@) и ч|э@) вещественны и положительны, то с—1.
275.	\f(z)\ является вещественной непрерывной функцией
в области 53 и, следовательно, достигает в % своего максимума.
Но этот последний не может приниматься ни в какой внутрен-
внутренней точке [134].
276.	[См. Е. Lindelof, Acta Soc. Sc. Fennicae, т. 46, №4,
стр. 6, 1915.] Посредством поворота вокруг точки ? на угол -^
S3 переходит в некоторую область S3V, и 3d — в точечное множество
9tv (v = 0, I, 2,:.., п—\, 230 = i8, 3fto = 3t). Точка ? содержится
внутри пересечения (наибольшей общей части) D областей Ъо,
33Г, ... , 33Я _ х. Внутренние точки множества Ъ, которые можно соеди-
соединить с ? непрерывной кривой, целиком лежащей в X;, образуют связ-
связное множество Ъ*. Граница области Ъ* состоит согласно предполо-
предположению и построению из точек, принадлежащих множествам Шо,
ЭДх, ..., Ш„_х. Функция /(?-f-(z — ?) arv) по модулю меньше или
равна А на всей границе области Ф* [275] и меньше или равна а
в граничных точках, принадлежащих &v. Таким образом, модуль
функции
не превосходит а-Ап~1 на всей границе области 3)* и, следова-
следовательно, также [275] и во внутренней точке г = ?.
277» [См. Е. Lindelof, 1. с. 276.] Примем, чтоа<я;это
не представляет ограничения общности, так как в противном слу-
случае мы могли бы вместо f (z) рассмотреть f{z^), где Р —надлежа-
—надлежащим образом выбранное число, Р>0. Опишем вокруг произволь-
произвольной точки луча argz= „(а —е) окружность, касающуюся луча
argz = a. При перемещении центра окружности вдоль луча argz =
= у(а — s) хорда, образованная при пересечении этой окруж-
окружности с вещественной осью, будет видна из центра под посто-
постоянным углом. Применяя 276, где за Ъ принята часть круга,
лежащая в верхней полуплоскости, а за Я-хорда, лежащая

372
РЕШЕНИЯ
на вещественной оси, получаем, что lim/(z) = 0 вдоль луча argz =
— -^(а — г). Путем небольшого изменения хода рассуждений
обнаруживаем, что lim/(z) = 0 равномерно в угле Osgargzsg:
г^у(а — е). Применяем тот же метод доказательства к лучам
3	7	15
T(a-e), ~(a-e), jg(a-e), ...
278.	[См. Е. L in del of, 1. с. 276.] Пусть G —верхняя грань
модуля / (г) в области @. Тогда внутри или на границе @
имеется по крайней мере одна такая точка Р, что в части
области ©, содержащейся в достаточно малом круге, описанном
около Р, верхняя грань модуля / (г) равна G.
Если в @ .такой точки нет, то в этой области | / (z) | < G.
Тогда точка Р указанного рода лежит на границе и согласно
предположению 3 G<M, т. е. в области © |/ (z) \ <.М.
Пусть- в @ содержится хотя бы одна точка указанного рода
P = z0. Тогда |/(z0) —G, и так как на достаточно малой окруж-
окружности, описанной около z0, выполняется неравенство | f (z) \ s=: G,
то вследствие 134 /(z) = const.
279.	[P. Fatou, Acta Math., т. 30, стр. 395, 1906.] Пусть
a = e" . При достаточно большом п имеем (z = re'?):
lim /
/•->1 — 0
и притом равномерно в.о всем единичном круге 0^'в'^2я. Сле-
Следовательно, согласно 278 функция
должна быть тождественно равна нулю. [Теорема непосредственно
из 275 не вытекает.]
280а [Н. A. Sen war z, Gesammelte mathematische Abhandlun-
gen, т. 2, стр. 110—111, Berlin, J. Springer, 1890.] Применяем 278
к функции '—, регулярной в круге |z|<l*).
281. [См. Е. Lindelof, Acta Soc. Sc. Fennicae, т. 35, № 7,
1908. По поводу задач 282—289 см. Р. Кое be, Math. Zeitschr.,
т. 6, стр. 52, 1920. К этой последней статье приложен подроб-
подробный указатель литературы.] Пусть t> = ip~1 (w) — функция, обрат-
обратная к до = 1р(?). Тогда
удовлетворяет условиям теоремы 280. Поэтому при | ? | sg p имеем
|F(Q|	где знак равенства имеет место только в том случае,
*) Предложение 280 этого отдела общеизвестно под названием «леммы
Шварца».

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	373
когда F(t,) = e'a'C, с вещественным а. Из этого неравенства видим,
что значения F (?) содержатся в круге Jtl^Sp и, следовательно,
значения i|i [F (?)] = / [<р (?)] — в области f), причем г = ф(?) прини-
принимает любые значения из области д. В экстремальном случае имеем:
Ф(е'"°?) = /[Ф(?)],
/(г) = ф[е'«ф-1B)],
где ^ = ф~1 (г)— функция, обратная к г = ф(?), и а вещественно.
Это —наиболее общая функция, взаимно однозначно отображаю-
отображающая © на .§ так, что при этом z = z0 переходит в w = w0 [IV 86].
282. [С. Caratheodory, Math. Ann., т. 72, стр. 107, 1912.]
Применяем 281 к следующему частному случаю: © — круг | г | < 1,
?-круг ||1	0
д — круг |z|sgp, f) — область, в которую переходит круг |?|sg:p
при отображении a; = iJ)(Q, т. е. также круг. Для точек этого
круга имеем:
0? I
Равенство достигается лишь при .условии
f (z) = ty [е'^ф (z)] = ip (e'az) = у
при этом
11 + woeiaz | = 1 — [ w011 z
т. e.
283. Частный случай теоремы 281:
©: круг \z\<R,
$: полуплоскость 3iw<.A(R), 20 = 0, юо = /(О), Шмо =
==B,o + [a
круг 12г | ==s рТ? == г, t) — область, в которую переходит круг
sg; p при отображении до = -ф (Q. Для точек этой области имеем:
Равенство достигается лишь при условии

374	РЕШЕНИЯ
284. Имеем [решение 283]:
\w
р
Слабее, чем 236.
285. Применяем 283 к ln/(z):
286. Из 285 вытекает:
При |z|sSy имеем: 2 j . ' 15--1, следовательно,
287. Применяем 281 к следующему частному случаю: © — круг
| г | < 1, ф — полуплоскость d\w > О, z0 = О, ю0 = / @) > 0,
g — круг | z | s? p, f) — круг, контур которого ортогонально пересе-
l-Lp	l_p
кает вещественную ось в точках woj~- и ^оттг^; РаДиУс его
равен w01 _р 2 • Для точек круга f; выполняются неравенства
Равенство может иметь место лишь при f (z) = i^>[eia(p~1 (z)]
= i|)(e'az), где a вещественно.
288. Частный случай теоремы 281:
@: круг |z|< U
?	I
полоса
g —круг |z|=scp. Значения выражения -~j при |?|sgp запол-
заполняют круг, ортогонально пересекающий вещественную ось в точ-
точках у^ и ]-х^- Этот круг целиком содержится в угле с полу-
полураствором arctg t _f 2 = 2 arctg p, имеющем своей биссектрисой ве-
вещественную ось. Поэтому область I; целиком заключена в полосе
; — arctg p. Далее, в точках I; имеем:
я 1 —р

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	375
Равенство имеет место лишь при f(г) = ty[eia<p-1 (z)] = ty(eiaz),
где а вещественно.
289. Мы можем принять, что R = l, A = 2 и | 9?/(z) j < 1
в круге | z | < 1, как в 288; напротив, / @) = w0 может получать
произвольные значения из полосы —1 < Шш «<; 1. В зависимости
от выбора w0 мы, получаем в этой полосе для каждого р<1
область, где могут лежать значения /(z). Речь идет об определе-
определении максимальной ширины такой области в направлении, перпен-
перпендикулярном к вещественной, соответственно мнимой, оси, когда w0
пробегает все точки указанной полосы. Очевидно, достаточно огра-
ограничиться вещественными wQ, —1<шо<1. В этом случае имеем:
_„. ,2 , l+ie Tl
i-ie 2 ?	1-fe 2 С
Образ окружности |?|=p в плоскости да выпуклый [318] и сим-
симметричный относительно вещественной оси, ибо г|з (?) принимает
вещественные значения для вещественных ?. Поэтому максимум
и минимум Шы) достигаются в вещественных точках ?, = ± р.
Ширина в горизонтальном направлении равна тем самым
l-ie~~p
. 2 , \+ie г р	, 2 ,
l-ie 2 р \	1+«е 2
4 Г , pC0S— , , PC0S-2-
= ^Г arctg	zzr + arctg ¦
1	' *
При изменении w0 между —1 и 1 производная по w0 совпадает
по знаку с — siir^p. Поэтому максимум достигается при шо = О
и равен —arctgр.
Колебание Зк> не может превосходить удвоенную верхнюю
границу для \%w\, указанную в 288. Доказательство аналогично.
290. [Н. Bohr, Nyt Tidsskr. for Math. (В), т. 27, стр. 73—78,
1916.] Выберем т] так, чтобы |т]| = 1, t]FA)>0. Понимая под
ln[riF(z)] ту ветвь, на которой эта функция вещественна в точке
z=l, полагаем:
г , N In fnF (z)l — In с
W — г (z) =	 .	.
Имеем Д1) = 1, Щ'(г)>0. Применяем теперь 281 к случаю, ког-
когда @^3> ф —правая полуплоскость, го=1, wo=\. Пусть функ-
функции г = ф(?)> ^ = |Ф(9 так нормированы, что вещественным

376
РЕШЕНИЯ
значениям ? соответствуют вещественные значения г и w, кроме
того, <рA) = оо, -ф A) = оо [IV 119]. Мы имеем тогда:
Пусть *>1 и х = ф(р), 0<р<1. Согласно 281 f(x) лежит
в той области плоскости до, в которую преобразуется круг | Z, | <: р
при отображении w = ty(Z). Но этой областью служит круг, наи-
наибольшее расстояние точек которого от нулевой точки равно ip (p),
и, значит, |/ (х) | *Sip(p). Тем самым мы можем положить h(x) —
И. [К. Lowner.] Согласно 280 в круге -1 z | < 1 должно
быть !/(z) | sg:| z\. Следовательно, для положительных z, 0«<2«<
¦< 1, имеем:
si.
Отсюда, переходя к пределу при z->l, получаем:
Пусть arg/'(l) = a. Тогда достаточно малый вектор с аргумен-
аргументом Ь, ¦?- < ¦& < -^, направленный от z = 1 во внутреннюю часть
единичного круга, переходит при отображении до = /(г), /'A) ?=0,
в дугу аналитической кривой, также выходящую из z = 1 и
имеющую направление d + a.'Ho так как j/(z)|<l при|г|<1,
то для всех выделенных выше значений О должны также удов-
удовлетворяться неравенства
Зя
что возможно только в том случае, когда а = 0.
292. Пусть z0 —фиксированное число, |го[<1, f(zQ) — w0,
|доо|<1. Выберем постоянные е и t] так, чтобы имели место ра-
равенства
и положим:
Тогда функция W = F(Z), определенная с помощью функциональ-
функционального соотношения w = f(z), удовлетворяет условиям теоремы 291,
следовательнр, имеем:
dw )w-X\te}z-i\dZlz*=\ (l-a*oJ ' v ; e(l-| zop) V
293. [G. Julia, Acta Math., т. 42, стр. 349, 1920.] Пусть
г0 — фиксированное число, 3zo>0, /B0)==до0, Зо>о>0- Выберем

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	377
постоянные е и t\ так, чтобы имели место равенства
й —-Zn	Ь — Wn	|	i i
		=1, I e I = Г)
a — z0 ' b — w0
Полагая
2-
будем иметь [291, 292]:
294. Функция
f (г
г —г2 '¦' г — zn
регулярна в..круге |г|<;1 и модуль ее в достаточной близости
от любой граничной точки меньше М-\-г (е>0) [5]. Приме-
Применяем 278. Другое доказательство основывается на применении 176
с соблюдением некоторых предосторожностей.
295. Функция
' ^ ' zj— z z2 — z "¦ гп — г
регулярна в полуплоскости diz>0 и модуль ее в достаточной
близости от любой граничной точки меньше М + е (е>0) [6].
Применяем 278. Другое доказательство на основании 177. Оба
метода доказательства применимы не только к полуплоскости
Э1г>0 и легко приводят к теореме, обобщающей 294 аналогично
тому, как 281 обобщает лемму Шварца 280.
296. Пусть функция / (z) мероморфна в круге | z | sg 1 и имеет
в нем нули alt а2, ¦¦., ат и полюсы Ьъ Ь2, ..., Ьп (нуль или по-
полюс кратности г выписан г раз), и пусть |/(z) | =с>0 на \z\ = 1.
Функция
m - п
1—On
П
v=l
в круге | z j < 1 регулярна и отлична от нуля, а на | г \ = 1 мо-
модуль ее сохраняет постоянное значение, равное с. Следовательно
[142], ф (z) есть постоянная.
297. [W. Blaschke, Leipz. Ber., т. 67, стр. 194, 1915.]
Пусть а вещественно, 0-sga<l, /(а)=^0; из 294 вытекает, что
оо
произведение JJ^ f~f не расходится к нулю. Следовательно,

378
ряд
РЕШЕНИЯ
1 — azv
= У
1-а
2 o-i
v=1
v =1
сходится.
298. Пусть а вещественно, а> 1, /(а) фО. Из 295 вытекает,
что произведение I I
V == 1
тельно, ряд
со
2(>-
zv—a
2v+a
не расходится к нулю. Следова-
Следова-2
4a
4a
2 22V2V
v2 i-i	Zv
СХОДИТСЯ.
299. [Т. Carleman; см. также Р. Csillag, Math, es phys.
lapok, т. 26, стр. 74—80, 1917.] Пусть z0 — внутренняя точка
области S3. Положим \fv(z0)\ = Bvfv(z0), v = l, 2, ..., п. (При
/v(zo) = O берем ev=l.) Функция
F (z) = еЛ (г) + 82/2 (z) +... + е„/л (г),
регулярная и однозначная в области 53, достигает по модулю
максимума в некоторой граничной точке zlt поэтому
ЗОО> Утверждение теоремы можно доказать путем соответ-
соответствующего усиления метода, примененного в решении 299. Однако
проще доказательство проводится следующим методом. Пусть
z0 — внутренняя точка области 23 и круг \z — zo\^r целиком
лежит внутри S3. Складывая неравенства [272]
2л
1Ыг„)|'
получаем:
(v=l, 2, ..., л),
2л
причем здесь стоит знак <, если он имеет место хотя бы в одном
из неравенств (*), т. е. если по крайней мере одна из функций
fv (z) не постоянна; значит, в этом последнем случае максимум
не может достигаться в z0, т. е. в какой бы то ни было внут-
внутренней точке.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	379
301. [Q. Szego, задача; Jahresber. Deutsch. Math.-Ver.,
т. 32, стр. 16, 1923.] Достаточно доказать, что в каждой пло-
плоской ограниченной замкнутой области 23 максимум функции
Ф (Р) достигается на границе, причем точки Pv не обязательно
лежат в той же плоскости. Введем в плоскости области 93 прямо-
прямоугольные координаты х, у, z = x-\-iy. Тогда нужно будет дока-
доказать, что функция вида
v=l
где av — любые комплексные, а ^ — вещественные постоянные (v=
= 1, 2, ..., п), в любой области плоскости z достигает максимума
на границе. Раскрываем произведение. [299.]
302. Пусть z0 — внутренняя точка области 53 и в ней некото-
некоторые из заданных функций — будем обозначать их вообще через
fyi (z) — не обращаются в нуль, другие же, обозначаемые через fv (z),
райны нулю. (Функции одной из этих категорий могут отсутство-
отсутствовать.) Пусть г столь мало, что круг \z — zo\s^r лежит целиком
в 33 и не содержит нулей наших функций, отличных от z0. В этом
круге функции /ц(г)ри регулярны. Согласно 299 существует такая
точка zlt \z1 — z0\ = r, что
Кроме того, очевидно,
Таким образом, ф(г1)^ф(г0), и при этом равенство исключено
либо когда по крайней мере одна из функций /^ (г) не тождественно
постоянна, либо, в противном случае, когда по крайней мере одна
из /v (z) не равна тождественно нулю. Так как область 93 огра-
ограничена и замкнута, а функция ф (z) непрерывна, то в 33 существует
точка, в которой ф(г) достигает максимума. Эта точка не может
лежать внутри области, за исключением случая, указанного
в задаче.
303.	Так как область S ограничена и замкнута, то непре-
непрерывная и однозначная в 93 функция | / (z) | достигает в ней своего
максимума. Что он не может, за исключением случая / (z) = const.,
достигаться во внутренней точке, показывает 134.
304.	[J. Hadamard, Bull. S. M. F., т. 24, стр. 186, 1896;
О. Blumenthal, Jahresber. Deutsch. Math.-Ver., т. 16, стр. 108,
1907; G. Fa be r, Math. Ann., т. 63, стр. 549, 1907.] Хотя сама
функция zaf (z) вообще it неоднозначна, однако модуль ее во всяком
случае однозначен в круговом кольце r1 ^ j z \ ^ г3. Следовательно,
в этом кольце максимум модуля zaf(z) будет- равен либо г^М{гх),

380	решения
либо rfM (гз) [303]. Выберем а так, чтобы имело место равенство
Рассматривая' отдельную точку окружности | г | = г2, видим, что
Подставим сюда значение а, взятое из (*). (Достаточно, чтобы
функция f(z) была регулярна и модуль ее |/(г)| был однозначен
в области 0<|z|<^.)
305.	zaf (z) может достигать своего максимума на окружности
|z| = r2, т. е. внутри кругового кольца ггsc= |г| ^rs, только если
zaf(z) тождественно постоянно.
306.	Полагая
имеем:
/!=0
где р„5гО и по крайней мере два из коэффициентов рп положи-
положительны [II 123].
307.	Пусть f (z) Ф const. Обозначим через zlt z2, .... zn нули
функции f(z) в круге j г | =ss г, отличные от z = 0. Тогда [120] (для
простоты предположено /@)=1)
In ® (г) = п In г — In | zx | — In I z21 —... — In I zn |.
Отсюда следует,, что In © (г) как функция от In т состоит из не-
непрерывно примыкающих друг к другу прямолинейных кусков с моно-
монотонно возрастающим наклоном. Точка излома для lnr==lnr0 полу-
получается при появлении новых нулей- на окружности \г\ = г0. При
этом приращение тангенса угла наклона равно числу новых нулей,
засчитываемых с их кратностью.
308.	[G. H. Hardy, Proc. Lond. M. S. B), т. 14, стр. 270,
1915.] Пусть 0<r1<r2</-3<i?. Определим функции e (d), F (z)
равенствами
2л
г (О) / (rj*) = | / (г2е») |, 0 < О === 2я, F (z) = ± J
о
Функция / (z) регулярна в круге | z \ sg r3 и модуль ее достигает
максимума на его границе, скажем, в точке гзв'*». Поэтому
т. е. / (г) не убывает. Выберем вещественное а так, чтобы удов-
удовлетворялось равенство

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	381
Модуль функции zaF (z), регулярной в круговом кольце rx «=S | z \^rs,
однозначен в нем. Отсюда заключаем [303], что
г?/ (г2) = ra2F {гг) <г Мах^ | z-F (z) | < г?1 (г,) = г?/ (г3),
а это показывает, что функция / (г) выпукла [304].
2я
309.	I (г) = ^ | /' (re**) | г dd	[308].
.0
2я;у
310.	Положим е п = cov (v == 1, 2, ..., п); пусть 0<r1<r2</?.
На окружности | z | = ^ существует такая точка /^e'**, что [302]
v=l	v = l
Взяв п->оо, получаем отсюда:
h (ri) *? h (rt).
Пусть 0<г1</-2</'з<^, а вещественно. Хотя в круговом
кольце гх =^ 12 | =^ г3 функции
ZPf(<iSxz), ZP /((O22), ..., ZPf{V)nZ)
регулярны и не обязательно однозначны, однако их модули одно-
однозначны. Поэтому [303, 302] мы можем утверждать, что сумма р-х
степеней их модулей достигает максимума на границе кольца.
Отсюда методом решений 304, 308 и посредством предельного'^
перехода убеждаемся в выпуклости функции 1р(г). По поводу
предельных случаев р = 0 и р = оо см. II 83.
311.	Мы можем принять, что центром & служит нулевая точка.
Применяем тогда 230. В другой формулировке теорема утверждает:
если гармоническая функция регулярна в каждой точке некоторого'
замкнутого круга и равна нулю в каждой граничной точке, то-
она равна нулю тождественно.
312.	Пусть и (х, у), z = х + iy, — гармоническая функция,
регулярная в круге (х — хоJ-\-(у — г/оJ^/- Имеем:
2Я
0
откуда
2я
I« (*о> Уо) I =s2-o7 \ I « (*о + r cos '

382	РЕШЕНИЯ
Если здесь стоит знак равенства, то
2л
о
± и (х0 + г cos ft, yo + r sin ¦&)]?/¦& = О,
причем нужно взять — или +, смотря по тому, будет ли и (х0, у0)
5г 0 или sg 0. Подинтегральное выражение должно быть тожде-
тождественно равно нулю, откуда вытекает, что и(х, у) сохраняет на
заданной окружности постоянный знак (быть может, обращаясь
в некоторых точках в нуль).
313.	Пусть точка х0, у0, в которой достигается максимум,
лежит внутри 33. Выбираем такое г, чтобы круг радиуса г с цен-
центром в хп, г/0 лежал целиком внутри 23. Из равенства
~ \ [и (х0, г/0) -u(xo + r cos ¦&, г/0 + /• sin ¦»)] dft = 0
[решение 312] вытекает тогда
и(х0, y0) — u(x0-\-r-cosft, г/o + rsin ¦д) = 0, 0^1&^2я,
т. е. [311]
и (х, у) я= const.
314.	Из 313.
315.
In 1 г — zx | + In | z — г21 +... + In | z — zn I = 5R In P (z),
потенциал системы сил, как гармоническая функция не достигает
максимума или минимума ни в какой регулярной точке.
316.	Покрываем особые точки конечным числом столь малых
кругов без общих точек, чтобы значения функции в этих кругах
были меньше максимума во всей области. К области, остающейся
после удаления из 53 этих кругов, применяем 313.
317.	Согласно 188 линия, в которую отображается окружность
z\ = R, обходится в том же направлении, что и эта окружность.
Поэтому применима теорема 109. Гармоническая функция
регулярная в круге | z | ==:./? [вследствие однолистности f (z) имеет
единственный простой нуль z = 0], положительна на окружности
\z\ = R. Поэтому она положительна и на любой внутренней
концентрической окружности \z\ = r-<R [313]. Следовательно,
согласно 109 кривые, на которые отображаются окружности \z\ = r,
— звездообразные относительно нулевой точки.
318. Согласно 188 граничная линия рассматриваемого образа
обходится в том же направлении, что и окружность |z| = i?.

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	383
Поэтому применима теорема 108. Гармоническая функция
регулярная в круге |z|«S.R [/' B)ф0 вследствие однолистности],
на окружности \z\ = R положительна. Поэтому она положительна
и на любой внутренней концентрической окружности \z\ — r <CR.
Следовательно, согласно 108 кривые, в которые отображаются
окружности \z\-r, выпуклы. Тем самым утверждение доказано
для случая, когда внутренние окружности концентричны с
кругом \z\<R.	.
Пусть теперь мы имеем случай, когда внутренняя окружность
расположена как угодно в круге \z\<.R. Разлагаем заданное
отображение w — f(z) на два других: такое линейное преобразование
круга jz| ==;./? в самого себя, при котором интересующая нас
внутренняя окружность получает центр 2 = 0 [77], и второе отобра-
отображение, определенное так, чтобы оба в совокупности приводили к
тому же результату, что и одно отображение w — f(z). Тогда
задача приводится к уже разрешенному выше частному случаю.
319.	Доказывается, как 299.
320.	[См. A. Walt her, Math. Zeitschr., т. 11, стр. 158, 1921.]
Пусть и (х, у)—рассматриваемая гармоническая функция, z—x + iy.
Тогда функция и (х, у)-\-a In г, где а — произвольное постоянное
число, регулярна в круговом кольце rx ==S | z ] ^ г3. Максимумом ее
в этом кольце будет служить либо А (г^+аЫг^ либо А (г3)-\-а\пг3.
Выбираем а так, чтобы
A(rx) + alnr1 = A(r3)+alnr3	[313, 304].
321.	[См. A. Walt her, 1. с. 320.] 1. Доказанная в 320 теорема
о трех кругах справедлива также для гармонических функций,
имеющих в круге \z\<cR конечное или бесконечное множество
изолированных особых точек, в предположении, что их предельные
точки лежат только на границе и что при приближении к такой
особой точке функция стремится к — оэ [316]. Применяем расши-
расширенную таким образом теорему о трех кругах к JR ln/(z) = ln |/(z) | .
2. Пусть и(х, у), z = x-\-iy, — гармоническая функция, регу-
регулярная в круге \z\<cR, и v(x, у)—функция, сопряженная с и(х, у).
Применяем тогда 304 к/(z) =?"<•*¦ *>+««(*. у); |/(z) |=e"<*> *", поэтому
\М() А()
() ()
322.	[Относительно принятого в задачах 322 — 340 метода см.
E.PhragmenundE. Lindelof, ActaMath.,T. 31, стр. 386,1908,
а также P. Persson, These (Uppsala, 1908) и Е. Lindelof,
Rend. Palermo, т. 25, стр. 228, 1908.]
323.	Произвольными непрерывными кривыми, соединяющими
внутри угла одну из ограничивающих его сторон с другой, мини-
минимальные расстояния которых от нулевой точки бесконечно
возрастают.

384
РЕШЕНИЯ
324. В промежуточном пространстве сохраняют силу все
оценки, приведенные в решении 322.
325а Решение —в тексте задачи.
326.-Функция ewzf(z) удовлетворяет условиям 1, 2 и видоиз-
видоизмененному условию 3 теоремы 325 [см. последнее замечание в дока-
доказательстве], как бы велико ни было со. Следовательно, для 9iz=0
имеем | / (z) | «Sе~ах. Берем со ->- + оо.
327. Положим arctg-^-j-= \|). Тогда
ft + l) + nl>l;
следовательно, при —-^ «S Ф =^ у, г> 1,
Щ— zlnB+l)]r$sin0
Функция
1
Пусть 0<Р
удовлетворяет условиям 1, 2, 3 теоремы 326 для а = 0. Можно
было бы вместо ссылки на 326, 325 применить метод доказатель-
доказательства этих теорем непосредственно к функции
/(z)exp [ш-$г\п(г+\)-?е 4 zx
и затем взять сначала е = 0, затем со-> + оо.
328. [F. Carlson, Math. Zeitschr., т. 11, стр. 14, 1921;
These, Uppsala, 1914.]
Первое решение. К s[n^-- применима теорема 327. На-
Наличие неравенства
целесообразнее всего показать сначала вне, а затем внутри
круга \г — n\^Y> n = 0, 1, 2, ... [решение 165].
Второе решение. Из • 178 вытекает, если принять во
внимание положительность слагаемых в левой части, что
Ц=1
где С и С — постоянные. Но это неравенство противоречиво,

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	385
так как левая часть ^\пп, а правая <-~-> п~^ Inn. Этот метод
я
может быть обобщен [F. и R. Nevanlinna, 1. с. 177].
329. Функция ф (z) = rr*Lie. где е>0, регулярна в полу-
полуплоскости 9te Ss 0. Имеем | <р (z) | =sg 1 для Шг = О и | <р (z) | =sg 1
для | г | = г, если только г настолько велико, что со (/•) ><—.
Отсюда вытекает, что | ф (z) | ==? 1 во всей полуплоскости Шг ^ 0.
Но, беря е->0, мы получаем отсюда |ez|sg;l, что представляет
противоречие. Можно рассматривать эту теорему также как пре-
предельный случай теоремы 290, когда областью 3 служит вся
полуплоскость.
330. Пусть е>0, h = ee 2 , 0<ст<б, аф — а)<л.
Применяя к функции
F(z)=/(z)exp\— (/zz)P-a
метод, которым мы уже пользовались в доказательстве тео-
теоремы. 322, получаем, что во всем угле ] Т7 (г) | =^ 1. Берем теперь
е-»0.
Мы могли бы также свести настоящую теорему к 322 путем
замены переменных, отображая угол a sg; arg z =s; E на угол
V = y	2 ' так' чт0^ы ПРИ этом тОЧКИ
z = 0, z = оо остались неподвижными.
331. При а = —к", Р —у это дает несколько меньше, чем
доказано в 325. Доказываем теорему с помощью функции
/(z)exp\—у\е Р-а 2 zp-aJ.
Показываем сначала с помощью 330, что максимум модуля вдоль
биссектрисы не превосходит единицу [325].
332а Если имеет место неравенство \g(—г)\^С, то при-
применяем 331 к функции S-?L в угле _ яг^й^я. Это дает, что
\g(z)\^C во всей плоскости, т. е. g(г) — постоянная. Можно
также рассмотреть непосредственно
Эта функция регулярна внутри угла 0==S'&s=cn и непрерывна,
включая границу. См. 325. Можно также применить 325
к C^1g(z2). Насколько эта теорема является точной, видно из
примера функции S1" _ .

386	РЕШЕНИЯ
333. Г
равенством
333. Пусть а<.Ъ<. 1. Модуль функции сравнения ее г дается
cosb?-
На границе области © он больше или равен е 2 > 1. Пусть
1 А
/> b_- In	—. Тогда на границе прямоугольника
е cos Ъ -^
~~~2t^y^:Y имеет место неравенство
\f(z)e~™bz\<\.
334ш Приняв противное, рассмотрим функцию
ц> (z) = ee" [f (z)] ё (е>0, z = :
в прямоугольнике
где Ху выбрано так, что есо(л:1)>1. На границе этого прямо-
прямоугольника
1,
Ф Ш
поэтому внутри него l<p(z)|<;e. Беря 8-^-0, получаем:
что представляет противоречие (например, ее^е). Роль функ-
функции ее\ объясняется теоремами 290, 187.
335. Достаточно рассмотреть случай, отмеченный в указании
[линейное преобразование]. Функция
где 8>0, в общей части ©,- области © и круга |z|sSr регу-
регулярна и однозначна по модулю {303]. Пусть максимум модуля
/(z) на окружности \z\ = r будет М(г). Принимая во внимание
условия на границе © [278], находим, что в (Зг
|ф(г)|<Мах[Л1, Л! (г)].
При е-»-0 получаем отсюда:
|/(z)|<Max[AI, М{г)].

ОТДЕЛ ТРЕТИЙ	387
В частности, если г' также допустимо [см. указание] и г.'</•,
имеем:
М(/•')<Max[Af, M(r)].
Но, с другой стороны [268],
М(г)^М (/•')•
Отсюда вытекает альтернатива: либо M(r)^sM, значит, М(г) —
= М (г') и / (г) =з const. [268], либо М(г)<М, | / (г) | ==: М, откуда,
больше того, следует, что | / (г) | < М [278].
336. Пусть на вещественной оси лежат п граничных отрез-
отрезков области 23, видных из движущейся точки z верхней полу-
полуплоскости соответственно под углами со1, о>2, ... , (о„. Определим
регулярные в полуплоскости 3z>0 аналитические функции q>v(z)
так, чтобы было rcSftcpv (z) = cov [57], и положим:
ФB)=сD
Функция /B)Ф(г)~1 регулярна и ограничена внутри и не пре-
превосходит единицы на границе области 23, за возможным исклю-
исключением 2п граничных точек [335].
337.	f (е") однозначна, регулярна и ограничена в полупло-
полуплоскости SR«^:O. В каждой точке на границе этой полуплоскости,
за исключением единственной граничной точки и = со, имеем
|/(e«)|=s?l [335].
338.	Если бы z = oo не была граничной точкой, то в обла-
области @ должно было бы [как это видно уже из теоремы 135]
выполняться неравенство ]^(;г) jss;?, что представляет противоре-
чие. Следовательно, 2 = оо является граничной точкой области ©.
Если бы g(z) было ограничено в @, то мы могли бы применить
335 (с единственной исключительной точкой z = оо), и это опять
дало бы, что |g(z)|^& в области ©.
339.	Согласно предположению существует такая постоян-
постоянная М, М > О, что в области, заключенной между Т1 и Г2,
| / (z) J < М. Пусть R > 1 и ^ столь велико, что вдоль частей кри-
кривых Т1 и Г2, лежащих вне окружности \z\ = R, имеет место
неравенство \f(z)\<C.z- Рассматриваем ветвь функции In z, опре-
определяемую из условия, что эта функция вещественна для положи-
положительных г. Эта ветвь регулярна и однозначна между Тг и Г2,
причем там | In г | < ln| z | + я. Имеем:
где для \z\~^zR оба слагаемых в правой части положительны.
Поэтому для точек окружности \z\ = R, заключенных между
Гх и Г2, имеем:
	In г	j. , ч I ^ In R-\-n „
М (lnR + n) + 8{lnz + n) I ^ ' I ЩМ+я)" "" 1'

388
РЕШЕНИЯ
Если же \z\^R, a z лежит на Гх или Г2, то
In г
М
Следовательно, согласно 335
1п[
е=1.
e (In I г I- .
во всех точках между Гх и Г2
лежащих вне окружности \z\'=R, имеем:
z(lnz + n) + M(lnR + n)
In г
Это выражение при достаточно больших | z \ будет меньше 2е.
340. Пусть, в противоречие с утверждением, аФЬ, Опишем
на плоскости w около точек а и Ъ два взаимно не пересекаю-
пересекающихся круга Кг и /С2. Тогда вне этих кругов выражение
\w —
\
имеет положительный минимум, равный 8. Применяя 339 к функ-
функции \f(.z) — ^Y~) — [ п~2 ') > БИДИМ> что модуль ее в области
между-Гх и Г2 будет меньше е при \z\>R = R (г); этими значе-
значениями z мы и ограничимся. Возьмем на Гх такую точку гх>и на
Г2 такую точку z2, чтобы w1 = f(z1) лежало в /fx, а да2==/B.2)—•¦
в /С2, и соединим zx и z2 кривой, содержащейся между Гх и Г2.
Но тогда образ этой кривой на плоскости w должен будет выхо-
выходить из Ki и входить в /С2 и, значит, содержать некоторую
точку w — f(z), для которой
W —
2 /
пришли, таким образом, к противоречию.
Мы

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
I. Определения. Теоремы. Формулы
Адамара теорема о трех кругах 171,
172
Аналитическая функция 120
Аналитический ландшафт 138
Бернулли формула 128
— числа 49
Бесселевы функции 36, 105
Биномиальные коэффициенты 23
Бюрмана — Лагранжа ряд 153
Вейерштрасса теорема об аппроксима-
аппроксимации непрерывных функций 89, 91
Векторное поле 120
	 безвихревое 126
	 без источников и стоков 127
Гамма-функция 64
Колебание функции 84
Конформное отображение 121
Конформный центр тяжести кривой
137
Коши неравенство 78
— теорема об арифметическом и гео-
геометрическом средних 74
Кодш — Римана дифференциальные
уравнения 120
Коэффициенты Фурье 90
Критерий Римана интегрируемости 84
Лагерра обобщенные полиномы 155
Лапласа уравнение 127
— формула 142
Лежандра полиномы 142, 154
Лемма Шварца 167
Лемниската с и фокусами 140
Линейное искажение 123
Линии тока 127
Дирихле — Мелера формула 142
Дирихле ряды 31
Дифференциальные уравнения Коши •
Римана 120 '
Дополнительные части ряда 44, 45
Дроби Фарея 101
Задача на взвешивание 182, 183
	почтовые марки 182
— — размен денег 182
Звездообразная относительно точки
кривая 132
Иенсена формула 145, 146, 325
Мажоранта 28
Максимальный член 41
Меркаторская проекция 122
Миноранта 28
Моменты функции 89
Неравенство,Коши 78
— Шварца 78
Нули полинома 112—114
Обвертывающий ряд 46
Опорная прямая 133, 205.
г- функция 133

390
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Определенный интеграл несобственный
61
— — собственный 56, 57
Ортогональные функции 134
Отображение 120
Паскаля треугольник 154
Плоскость потенциала 130
—	потока 130
—	скоростей 130
Поверхностное искажение 123
Поверхность модуля 137, 138
Показатель сходимости 40
Полиномы Лагерра обобщенные 155
—	Лежандра 142, 154
—	—, производящая функция 155
—	Якоби 154—155
Полное изменение функции 228
Последовательность равномерно рас-
распределенная 94, 96
—	регулярная 93	,
Постоянная Эйлера 60, 231—232
Потенциал векторного поля 127
Преобразование последовательностей,
сохраняющее сходимость 29, 30, 33,
118
Принцип аргумента 148, 149
—	максимума 138, 139
Производящая функция полиномов Ле-
Лежандра 155
Пуассона формула 145, 146
Теорема Коши об арифметическом и
геометрическом средних 74
—	Рушэ 150
—	Чезаро о степенных рядах 33
Треугольник Паскаля 154
Тригонометрические моменты 90
Угол поворота 123
Уравнение Лапласа 127
Фарея дроби 101 ¦
Форма Эрмита 111
Формула Бернулли 128
—	Дирихле — Мелера 142
—	Иенсена 145, 146, 325
—	Лапласа 142
—	Пуассона 145, 146
Функции Бесселя 36, 105
—	интегрируемые в смысле Римана 57
—	ортогональные 134
—	с ограниченным изменением 228,
229
Функция аналитическая 120
—	выпуклая снизу (сверху) 75
—	кусочно-постоянная 83
—	медленно возрастающая 92
—	невогнутая снизу (сверху) 75
—	однолистная 124
—	опорная 133
—	тока 127 .
Фурье коэффициенты 90
Римана критерий интегрируемости 84
Рушэ теорема 150
Ряд Бюрмана — Лагранжа 153
—, обвертывающий число 46
Ряды Дирихле 31
Силовые линии 127
Среднее (арифметическое, геометриче-
геометрическое, гармоническое) функции 68,
73—75
—	(арифметическое, геометрическое,
гармоническое) чисел 67, 72—73
Степенной ряд примитивный 157 •>
Стереографическая проекция 121—122
Сумма верхняя, нижняя 56—58, 70
Теорема Адамара о трех кругах 171,
172
—	Вейерштрасса об аппроксимации
непрерывных функций 89, 91
Целые точки 22
Центральный индекс 41
Часть ряда 43
Чезаро теорема о степенных рядах 33
Числа Б.ернулли 49
Число оборотов кривой 148
Числовая функция последовательности
91
Шварца лемма 167
— неравенство 78
Эйлерова постоянная 60, 231—232
Эквипотенциальные линии 127
Эрмитова форма 111
Якоби полиномы 154, 155

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
П. Тем ы
391
Ниже приводятся группы задач, связанных между собой по теме, но
расположенных разрозненно. Римскими цифрами указаны отделы, следующими
за ними жирными арабскими — номера задач.
Арифметическое, геометрическое и гар-
гармоническое средние: II 49, 50,
51, гл. 2; ИГ 139—141
Арифметическое, геометрическое и гар-
гармоническое средние аналитических
функций на окружностях и в кругах
III 118, 119—122, 306—308, 310
(См. также «Формула Иенсена».)
Асимптотическое поведение' сумм (ин-
(интегралов) степеней: II 82, 83, 195—¦
201, 212, 213.
Бернуллиевы числа: I 154, 155
Бесселевы функции: I 97, 143; II 204
Биномиальные коэффициенты. Асимп-
Асимптотическое поведение: II 40, 51, 58.
190, 206
Выпуклое отображение: III 108, 110,
111, 318
Гамма-функция: I 89, 155; II 31, 35,
42, 65, 66, 117, 143; III 151 — 154,
198, 227, 247
Гармонический ряд: I 124; II 5, 13,
18
Звездообразное отображение: III 109—
111, 117
Показательный ряд, показательная
функция н число е: I 45, 62, 141,
149, 151, 168—172; II 171, 211,
215; III 11, 116, 156, 195, 196, 209,
210, 214, 260, 265
Полиномы Лежандра и др.: II 191 —
194, 203; III 157, 219
Теорема Гаусса о нулях производной
полинома: III 31—33, 35
Теорема Чезаро о степенных рядах:
I 85—97; II 31, 34, 65, 66, 168;
III 246
Теоремы о среднем значении, обобще-
обобщения и аналогии: II 120—122; III
142, 192
Формула Иенсена и связанные с нею
задачи: II 52; III 119—121, 172—
178, 230—233, 240, 307
Формула Стирлинга: I 155, 167; II 18,
65, 66, 202, 205, 206; III 263, 264
в
Функции вида j / (t) cos zt dt: I 147,
a
III, 199, 205
Функции точки: III 137, 139—141, 143,
301
Функции распределения Гаусса: I 152;
II 40, 58, 59, 190, 200, 201, 212,
217; III 43, 189
Максимальный член степенного ряда:
I 117—123; III 11
Цифры в систематических дробях: I 16,
17; II 170, 178, 181, 184
Обвертывающие ряды: I, гл. 4, § 1
Эйлерова постоянная: II 18, 32, 42,
46