Г. ПОЛНА. Г. СЕГЕ
ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ
ИЗ АНАЛИЗА
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ (специальная часть).
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ.
ПОЛИНОМЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Перевод с немецкого
Д. А. РАЙКОВА
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978
517.2
П 50
УДК 517
20203—051 „Q
П-----------23-78
053 (02)-78
AUFGABEN UND LEHRSATZE
AUS DER ANALYSIS
von
G. POLYA und G. SZEGO
Professoren an der Stanford University
California, USA.
ZWEITER BAND
FUNK.TIONENTHEORIE.
NULLSTELLEN. POLYNOME.
DETERMINANTEN, ZAHLENTHEORIE
Dritte berichtigte Auflage
Springer—Verlag
Berlin • Gottingen • Heidelberg • New York
1964
© Перевод на русский язык,
Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1978
ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения и сокращения ........................... 6
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Глава 1
Максимальный член и центральный индекс,
максимум модуля и число нулей
Задачи Решения
§ 1	(1—40). Аналогия между ц (г) и М (г), v (г) и	N	(г)	.	.	.	.	10	183
§ 2	(41—47). Дальнейшие свойства функций р(г)	и	v (г)	.	.	.	15	188
§ 3	(48—66). Связь между р, (г), v (г), М (г), N (г). 16	191
§ 4	(67—76). р (г) и М (г) при специальных предположениях
правильности роста ........................................ 19	197
Глава 2
Однолистные конформные отображения
§ 1	(77—83).	Задачи подготовительного	характера................ 22	201
§ 2	(84—87).	Теоремы единственности ........................... 23	203
§ 3	(88—96).	Существование отображающей	функции........	24	204
§ 4	(97—120). Внутренний и внешний радиусы. Нормирован-
ная отображающая функция................................. 25	207
§5 (	121—135). Связи между отображениями различных областей 30	211
§ 6	(136—163). Теорема Кёбе об искажении...................... 33	214
Глава 3
Смешанные задачи
§ 1	(164—174).	Varia........................................... 39	222
§ 2	(175—179).	Об одном	приеме	Э.	Ландау....................... 41	227
§ 3	(180—187). Прямолинейное приближение к существенно
особой точке............................................. 42	228
§ 4	(188—194).	Асимптотические	значения	целых функций ...	43	229
§ 5	(195—205). Дальнейшие приложения метода Фрагмена —
Линделёфа ................................................. 44	232
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
Глава 1
Теорема Ролля и правило Декарта
§ 1	(1—21). Нули функций, перемены знака последовательно-
стей .................................................... 46	238
§ 2	(22—27). Изменения знака функции.......................... 49	241
1*
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Задачи Решения
§ 3	(28—41). Первое доказательство правила	Декарта....	50	242
§ 4	(42—52). .Применения правила Декарта............... 53	245
§ 5	(53—76). Применения теоремы Ролля ................. 55	248
§ 6	(77—86). Доказательство правила Декарта, принадлежащее
Лагерру................................................. 58	253
§ 7	(87—91). На чем основывается правило	Декарта?.....	61	256
§ 8	(92—100). Обобщения теоремы Ролля ................. 63	258
Глава 2
Геометрические свойства нулей полиномов
§ 1	(101—НО). Центр тяжести системы точек относительно не-
которой точки........................................... 65	260
§ 2	(111—127). Центр тяжести полинома относительно некото-
рой точки. Теорема Лагерра.............................. 67	262
§ 3	(128—156). Производная полинома относительно некоторой
точки. Теорема Грэйса .................................. 71	265
Глава 3
Смешанные задачи
§ 1	(157—182). Приближение нулей трансцендентных функций
нулями рациональных..................................... 76	272
§ 2	(183—189). Точное определение числа нулей при помощи
правила Декарта......................................... 81	282
§ 3	(190—196). Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов 83	284
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ полиномы
§ 1	(1—7). Полиномы Чебышева ........................... 85	286
§ 2	(8—15). Общие сведения о тригонометрических полиномах 86	287
§ 3	(16—28).	Специальные тригонометрические полиномы ...	88	289
§ 4	(29—38).	Из теории рядов Фурье ..................... 90	292
§ 5	(39—43).	Неотрицательные тригонометрические полиномы	92	294
§ 6	(44—49).	Неотрицательные полиномы................... 93	295
§ 7	(50—61).	Максимумы и минимумы тригонометрических по-
линомов ................................................ 94	297
§ 8	(62—66). Максимумы и минимумы полиномов............ 96	301
§ 9	(67—76). Интерполяционная формула Лагранжа........	98	304
§ 10	(77—83). Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова ..... 101	306
§ И	(84—102). Полиномы Лежандра и родственные	им .... 102	307
§ 12	(103—ИЗ). Прочие задачи на максимумы и минимумы
полиномов.............................................. 106	316
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1	(1—16). Вычисление определителей. Решение линейных
уравнений.............................................. 110	320
S 2 (17—34). Разложение рациональных функций в степенные
ряды .................................................. 114	32.5
§ 3	(35—43).	Положительные квадратичные формы......... 119	328
§ 4	(44—54).	Смешанные задачи......................... 122	331
§ 5	(55—72).	Определители систем	функций.............. 125	337
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
Глава 1
Теоретико-числовые функции
Задачи Решения
§ 1	(1—11). Задачи на целые части	чисел..................... 130	345
§ 2	(12—20).	Подсчет целых точек.......................... 131	346
§3	(	21—27).	Одна теорема формальной	логики и ее применения 132	348
§ 4	(28—37).	Части и делители............................... 133	351
§ 5	(38—42). Теоретико-числовые функции. Степенные ряды и
ряды Дирихле........................................ 137	353
§ 6	(43—64).	Мультипликативные	теоретико-числовые	функции	139	353
§ 7	(65—78).	Ряды Ламберта и родственные им.......... 143	358
§ 8	(79—83).	Дальнейшие задачи	на подсчет целых	точек	...	145	360
Глава 2
Целочисленные полиномы и целозначные функции
§ 1	(84—93). Целочисленность и целозначность полиномов . . .	146	361
§ 2	(94—115). Целозначные функции и их простые делители	147	364
§ 3	(116—129). Неприводимость полиномов .................... 150	368
Глава 3
Теоретико-числовые свойства степенных рядов
§ 1	(130—137). Подготовительные задачи о биномиальных ко-
эффициентах	......................................   152	375
§ 2	(138—148).	К	теореме	Эйзенштейна ....................... 153	376
§ 3	(149—154).	К	доказательству	теоремы Эйзенштейна .... 155	378
§ 4	(155—164). Целочисленные степенные ряды рациональных
функций................................................. 157	381
§ 5	(165—173). Теоретико-функциональные свойства целочис-
ленных степенных рядов.................................. 158	383
§ 6	(174—187). Степенные ряды, целочисленные в смысле Гур-
вица ................................................... 159	385
§ 7	(188—193). Значения степенных рядов, сходящихся в ок-
рестности точки г = со, в целочисленных точках ...... 162	388
Глава 4
Об алгебраических целых числах
§ 1	(194—203).	Алгебраические целые числа.	Поля...... 163	391
§ 2	(204—220).	Наибольший общий	делитель.................. 165	393
§ 3	(221—227).	Сравнения.................................... 168	398
§ 4	(228—237).	Теоретико-числовые	свойства	степенных рядов 169	399
Глава 5
Смешанные задачи
§ 1	(238—244). Плоская квадратная целая решетка............. 171	401
§ 2	(245—266). Смешанные задачи ........................... 173	404
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ (приложение)
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(1-25)............................................... 177	413
Предметный указатель ...................................428
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
В обозначениях и сокращениях мы старались быть возможно более после-
довательными и по крайней мере в пределах одного параграфа однотипные
величины обозначали одинаковыми буквами. Отдельные обозначения, сохра-
няемые на протяжении одного-двух параграфов, вводятся специальными пояс-
нениями. Независимо от этого значение каждой буквы объясняется заново
в каждой задаче, если только нет ссылки на предыдущую задачу. Если задача
непосредственно примыкает к предшествующей, то она начинается пометкой
«продолжение». Если она примыкает к одной из более ранних задач, то по-
метка сопровождается номером этой задачи, например «продолжение 286».
В этих двух случаях обозначения заново не разъясняются.
Отделы обозначаются римскими, главы (если это необходимо) — араб-
скими цифрами. Нумерация задач в каждом отделе новая. Номера задач
печатаются жирно. При ссылке на задачу указывается только ее номер, если
задача принадлежит тому же отделу; если же задача принадлежит другому
отделу, то указывается также номер отдела. Например, мы пишем IV 123,
если не находимся в отделе IV (задач или решений); но мы пишем просто
123 на протяжении всего отдела IV.
Замечания в квадратных скобках [ ] в задачах обозначают всегда указа-
ния, а в решениях — цитату (особенно в начале решения) или ссылку на
другую задачу, из которой можно использовать 1 для решения отдельные
заключения. Замечания иного рода заключены в простые скобки. Цитируя
номер задачи, мы имеем в виду как задачу, так и ее решение, обязательно
отмечая иные случаи, например; [решение 38].
Источники, из которых заимствована задача, почти всегда указаны в ре-
шении. Если задача ранее уже публиковалась, то это указывается в цитате.
Если указывается только фамилия автора без указания литературного источ-
ника, то это значит, что задача была нам сообщена в качестве новой. Со-
кращения названий журналов приняты те же, что и в «Jahrbuch uber die
Fortschritte der Mathematik». Наиболее частые сокращения приводим здесь;
Acta Math. —Acta Mathematica.
Arch. d. Math. u. Phys. —Archiv der Mathematik und Physik.
C. R.— Comptes Rendus de I’Academie des Sciences Paris.
Deutsche Math.-Ver. — Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Verei-
nigung.
Gott. Nachr. — Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Gottingen.
J. fur Math. —Journal fur die reine und angewandte Mathematik.
Proc. Lond. M. S. — Proceedings of the London Mathematical Society.
Math. Ann.—Mathematische Annalen.
Math. Zeitschr.—Mathematische Zeitschrift.
Nouv. Ann. —Nouvelles Annales de mathematiques.
Rom. Acc. L. Rend.—Atti della Reale Accademia dei Lincei, Roma.
S. M. F. Bull. — Bulletin de la Society mathematiqe de'France.
Следующие учебники цитируются наиболее часто, а потому только по
фамилиям авторов (например, Cesar о, Неске ит. д.):
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
7
Е. Cesar о, Elementares Lehrbuch der algebraischen Analysis und der
Infinitesimalrechnung, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1904 *).
E. Hecke, Vorlesungen fiber die Theorie der algebraischen Zahlen, Leipzig,
Akademische Verlagsbuchhandlung, 1923 ** ***)).
A. Hurwitz-R. Cour a nt, Allgemeine Funktionentheorie und elliptische
Funktionen. Geometrische Funktionentheorie. Berlin, J. Springer, 1922 ♦*♦).
K. Knopp, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, изд. 2-e,
Berlin, J. Springer, 1924.
G. К owa lewski, Einfiihrung in die Determinantentheorie, Leipzig,
Veit & Co, 1909.
Далее особо упомянем следующие обозначения:
а„->а означает: ап стремится к а'(при п->со).
~ Ьп (читать: ап асимптотически равно &„) означает: Ъп 0 при до-
статочно большом п и —-->1 (при п->со).
О (а„), соотв. о (ап), ап > 0, означает величину, отношение которой к ап
остается ограниченным или соответственно стремится к нулю (при п->со).
Аналогичные обозначения употребляются и в других предельных пере-
ходах, отличных от п->со.
х->а-|-0, соответственно х-^а—0, означает, что х стремится к а
справа или соответственно слева.
expx = e-v, где е—основание натуральных логарифмов.
Мах (аг, а2> ••• . ал) означает то (или те) из п.’ чисел а±, а2, .... ап,
которого не превосходят все остальные. Подобное же значение имеет
Min (а1( а2, ... , а„). Аналогичный смысл имеют Мах/(х), Min/(x) для веще-
ственной функции, определенной в интервале [а, Ь], если она имеет в нем
максимум или минимум. Если их нет, то эти же знаки для удобства сохранены
для обозначения верхней или нижней граней функции / (х). Все это распро-
страняется и на случай комплексного переменного г.
sgnx означает символ Кронекера:
sgnx =
+1 при х > 0,
0 при х = 0,
— 1 при х<0.
[,г] означает наибольшее целое число, не превышающее числа х. Однако,
если это не может вызвать ложного понимания, квадратные скобки без осо-
бых указаний употребляются также и в своем обычном смысле.
z означает комплексное число, сопряженное с числом г, если только идет
речь о комплексных числах.
Определитель с общим элементом К 11= 1> 2, ••• > сокращенно
обозначается так:
I % ИЛИ | % к Ц= к 2.........п или |	%- ••• ’ аКп |1.
*) Эрнесто Чезаро, Элементарный учебник алгебраического ана-
лиза и исчисления бесконечно малых, ч. I—II, Одесса, 1913 («Матезис»); ч. I,
2-е изд., Л., 1936 (ОНТИ). В дальнейшем ссылки даются на издание 1913 г.
**) Э. Гекке, Лекции по теории алгебраических чисел, Гостехиздат,
1940.
***) А. Гурвиц, Теория аналитических и эллиптических функций,
ГТТИ, 1936; Р. Курант, Геометрическая теория функций комплексного
переменного, ГТТИ, 1934; А. Г у р в и ц, Р. К у р а н т, Теория функций,
«Наука», 1968,
8
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ
Под областью мы понимаем связное множество, которое состоит из
одних внутренних точек, под замкнутой областью — область, дополненную
ее предельными точками.
Под непрерывной кривой мы понимаем однозначный и непрерывный
образ интервала Osg/sgl, т. е. совокупность точек z — x-\-iy таких, что
х = ср (/), y = ip(Z), причем обе функции ср (Z) и ф (/) непрерывны в интервале
Osg/sgl. Непрерывная кривая замкнута, если  ср (0) = ср (1), ф(0) = ф(1).
Кривая не имеет двойных точек, если из <р (Zj) = ср (/2), ф (/х) = гр (Z2)
(tt < t2) необходимо следует ^ = 0, t2=l. Кривую без двойных точек мы
называем простой. Незамкнутую простую непрерывную кривую мы называем
простой дугой.
Простая замкнутая непрерывная кривая (так называемая кривая Жор-
дана) разбивает плоскость на две области, общей границей которых она
является.
Контуры интегрирования в криволинейных и комплексных интегралах
всегда будут предполагаться непрерывными и спрямляемыми.
ЗАДАЧИ
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
ГЛАВА 1
МАКСИМАЛЬНЫЙ ЧЛЕН И ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ИНДЕКС,
МАКСИМУМ МОДУЛЯ И ЧИСЛО НУЛЕЙ
Пусть а0, аг, а2....ап, ... — комплексные числа, не все рав-
ные нулю, и пусть степенной ряд
f (?) = йо + alz + a2z2 + • • • + anZn + ...
имеет радиус сходимости R > 0. Когда R — сю, / (z) называется
целой функцией. Для всякого г из полузамкнутого интервала
0 г <. R последовательность чисел
|а01, |дЦг, |а,1г2, ... ,	...
стремится к нулю. Поэтому среди членов этой последовательно-
сти есть наибольший, так называемый максимальный член, обо-
значаемый через р(г). Таким образом, имеем:
I ап | гп < р (г)
для П = 0, 1, 2, 3, ..., Г>-0 [I, гл. 3, § 3].
Центральным индексом v(r) называется индекс (номер) макси-
мального члена: р (г) = | av (r) |rv(/'). Если среди чисел \ап\гп
имеется несколько равных р(г), то за v(r) принимается наиболь-'
ший из индексов этих чисел. Здесь предполагается г > 0; по
поводу г = 0 см. 15.
Максимум модуля функции f (г) на окружности | г | = г обо-
значается через М (г); М (г) служит одновременно максимумом
модуля f(z) на всем круге \z\^r [III 266]. Имеем:
' |ая | гп£сМ (г) (n = 0, 1, 2, ..., г>0);
10
ЗАДАЧИ
равенство достигается только тогда, когда за исключением ап все
коэффициенты а0, ах, а2, ... равны нулю [III 122].
Число нулей функции f(z) в замкнутом круге 1 г обозна-
чают через N (г); каждый нуль засчитывается соответственно
своей кратности.
Указанные обозначения сохраняют силу на протяжении всей
главы.
§ 1.	Аналогия между п(г) и M(r), v(r) и N(r)
1. Вычислить р(г) и v (г) для степенного ряда
2. Вычислить М (г) и А (г) для
3.	Вычислить р(г) и v(r) для
± д. £ 4-	4-	4-__2”	4-
1! ' 3! + 5!	••• "г (2л4-1)!
4.	Вычислить М (г) и N (г) для
sin Кг _ _1__г	,	гг	_	. (—г)"	
УТ ~ 1!	3!	'	5!	+ (2п+1)!	‘	’
5.	Вычислить v (г) для геометрической прогрессии
1 + ? + г2+ ... +zn+ ...
6.	Вычислить N (г) для
1 + ? + Z2+ ... +zn+ ...
7.	Для всякого полинома п-й степени
й0 + arz + a2z2 + ... + anzn (ап ф 0)
имеет место предельное соотношение
lim 1пК— — lim v (г) = п.
г —* со *п	/—►со
8* Для всякого полинома n-й степени
/(z) = G04-a1z + «2z2+ ... 4-a„zre (а„#0)
имеет место предельное соотношение
lim ln.^ ^r~ — lim А (г) — п.
In Г	4 '
Г-*(Х)	'	Г->(Х)
ОТДЕЛ' ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § I
11
9* Для всякой целой трансцендентной функции оба указан-
ных в задаче 7 предела равны бесконечности.
10.	Для целой трансцендентной функции первый из указанных
в задаче 8 пределов1 равен бесконечности, второй —не обязательно.
11.	Обозначим максимальный член и центральный индекс ряда
n0 + iz1zfe4-«2z2ft+ ...	...	(k = 1, 2( 3, ...)
соответственно через р* (г) и vk (г). Выразить р* (г) и vk (г) через
Р1(г) и V1(r).
12.	Обозначим максимум модуля и число нулей функции
f(zk) в круге |z|s=jr соответственно через Mk(r) и У* (г)
(k—l, 2, 3, ...). Выразить Mk(r) и Nk(f) через Мг(г) и Л\(г).
13.	Вычислить Jim v для степенных рядов
г -> оо 1П .ц V )
, . г2 . z4 . г3	. г2п .	ег+е~г
1 + 2! + 4! + 6! + ’ ’ ’ + (2п)! + • • • ~	2
.	2г3 , 23г4	2°г»	23"^ г2л .	_
1 + 2! 'Г 4! + 6! + •1 • + (2п)! + • • • ~
__/ е~ -|- е~г \2	1 . е2г -|- е-2г
—	2	; ~ у 4	•
14.	Пусть теперь М.к (г) и Nk(r) обозначают максимум мо-
дуля и число нулей в круге | г | г для функции (/' (z))ft (а не
f(zk), как в задаче 12), k=l, 2, 3, ... Показать, что отношение
Nk(r)	,
не зависит от k-
15.	Для а0 = аг =... = aq-x = 0, aq =/= 0 будем считать v (0) = q.
Функция v(r) кусочно-постоянна, возрастает в точках разрыва
на целые положительные значения и всюду непрерывна справа
[I 120].
16.	Если ао = гг1 = ... = а?_1 = О, то N[ty — q. Функция
N (г) кусочно-постоянна, возрастает в точках разрыва на целые
положительные значения и всюду непрерывна справа,
17.	Для ао = 0, Qr1<. r2<Z R имеем
цфг) ~ . г2
ph) ri •
18.	Для /(0) — 0, 0<гх<г2<7? имеем
М (г8)	. т2
Л4 (гх) rt '
19.	Функция т] = In ц (е^) представляется в прямоугольной
системе координат 5, ц в виде кривой, не убывающей и не вогну-
той снизу. [Рассмотреть совокупность прямых
ц = 1п|а0|, ц = | + In | аг |,
т] = 2g + In | аг |, .... т] = п£ + 1п| ап |, ....
12
ЗАДАЧИ
предварительно отбросив не имеющие смысла члены с ап = 0.
Какую интерпретацию допускают здесь р(г) и v(r)?]
20.	Функция т] = 1пЛ1(е’) представляется в прямоугольной
системе координат т] всюду возрастающей и выпуклой снизу
кривой, за исключением некоторых полиномов весьма специаль-
ного вида, для которых кривая вырождается в прямую.
21.	Показать, что отношение ~~уу . где « — фиксированное
число, 0<а<1, нигде не возрастает при возрастании г.
22.	Показать, что отношение  где « — фиксированное
число, 0<а<1, постоянно убывает с возрастанием г.
23.	Пусть 7? = оо. Показать, что отношение уу, где а —
фиксированное, число, 0<а<1, при г->оо стремится к нулю,
если степенной ряд не обрывается, и стремится к а", если он
сводится к полиному n-й степени.
24.	Пусть f (z) — целая функция. Показать, что отношение
-щ—-, где « — фиксированное число, 0<а< 1, при г->оо стре-
мится к нулю, когда /(z) — трансцендентная функция, и к «л,
когда f (z) — рациональная функция степени п.
Будем обозначать точки разрыва функции v(r), расположен-
ные в порядке возрастания, через
Pi, р2> • • •> рл, • • • 5
Pi ~ Рг = • • • — Р? = 0> Р?+1>0> 7^0,
где каждая точка повторена столько раз, сколько единиц содер-
жится в величине соответствующего скачка; в точке г = 0 за
величину скачка принимаем v(0) [15]. Эта последовательность
может обрываться на конечном числе членов.
Будем обозначать нули функции /(z), расположенные в по-
рядке возрастания их модулей, а при равных модулях —в по-
рядке возрастания аргументов, через
wlf w2,	, w„, ...;
щх = щ2 = ••• —w9 — Q,	<7^=0,
где каждый нуль повторен столько раз, сколько единиц содер-
жится в его кратности. Пусть \wn\ = rn (п — \, 2, 3, ...), т. е.
G < г2 < ... - гп - ...
Эта последовательность может обрываться на конечном числе
членов.
Мы будем придерживаться введенных только что обозначений
на протяжении всей главы.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 1
13
25.	Если рл < рл+1> то в полузамкнутом интервале рл -С г < рл+1
v (г) = п.
28.	Если rn< r„+i, то в полузамкнутом интервале гл -С г<гл+1
N (г) = п.
27.	Вычислить числа рл для степенных рядов
+зт + 5Т.
>+ir + ff
28* Вычислить числа гп
Zn -
+ "•+ (2n+ 1)!	’
+ ''• + (2n)i+
для функций
sin V z
--COS Z.
Vz
29.	Если чисел рл имеется бесконечное множество, то
lim рл = 7?.
п -> 00
30.	Если чисел гп имеется бесконечное множество, то
lim гл = 7?.
л-* со
3f> Пусть ЯоЧ^О. Тогда
ДЛЯ рл ' ^7 Г '  " рл+1.
32^ Пусть ао=^0. Тогда
[III 120].
Г1Г2 • •• Гп
Для каких целых функций здесь может стоять знак равенства?
33.	Пусть аоу=0. Показать, что тогда
In ц (г) — In | а01 = ~ dt.
о
34.	Пусть ао^0. Показать, что тогда
lnM(r)-ln|f(O)|^
О
14
ЗАДАЧИ
35.	Для всякой целой функции
limsup^^ = limsup -Пуп;(г)-.
36.	Для всякой целой функции
.. 1пЛГ(г)	1п1пЛ4(г)
СО
37.	Показать, что бесконечный ряд 2 P7fe и несобствен-
п=?+1
ный интеграл
r~k~x In р (г) dr (k > 0),
соответствующие некоторому всюду сходящемуся степенному ряду,
одновременно оба сходятся или расходятся.
38.	Показать, что. если несобственный интеграл
f г*"1 In М (г) dr (&>0),
1
соответствующий некоторой целой функции, сходится, то сходится
также бесконечный ряд
(обратное неверно!).
39.	Показать, что ряд
СО
2(1-P„)ft+1 (*>о)
П=1
и интеграл
1
5 (1 — Oft-1In р(0 dt,
о
соответствующие некоторому степенному ряду, сходящемуся внутри
единичного круга, либо оба сходятся, либо оба расходятся.
40.	Показать, что если интеграл
1
5(1—(^>о),
о
соответствующий некоторой функции, регулярной внутри единич-
ного круга, сходится, то сходится также ряд
S (l-r„)*+1.
п±=1
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 2
15
§ 2.	Дальнейшие свойства функций ц(г) и v(r)
41.	Наметим на плоскости точки с прямоугольными коорди-
натами (0, — In|а0!)> О. — In|«гI), (2, —1п|с2|),(п, — 1п|ал|),...
(отбрасывая те точки, для которых ал = 0) и из каждой точки
восставим луч, направленный вертикально вверх. Наименьшая
выпуклая область охватывающая все эти лучи, простирается
в бесконечность. Проведем опорную прямую (т. е. прямую, на
которой лежит по крайней мере одна граничная точка и не со-
держится ни одной внутренней точки области S) с угловым коэф-
фициентом In г. Как можно интерпретировать на полученном чер-
теже величины lnp(r), v(r), 1прл?
42.	Пусть т — одно из целых положительных значений, при-
нимаемых функцией v(r), m>v(0). Показать, что
....'tel)-
43.	Для того чтобы каждый член степенного ряда
а0 + а12 + а2г24-... + ал2п + ...
играл для некоторого значения г > 0 роль максимального члена,
необходимо и достаточно выполнение условий
44.	Показать, что центральный индекс v(r) степенного ряда
1 +	+...++... (0<а< 1),
сходящегося в круге | z | < 1, принимает последовательно все зна-
чения 0, 1, 2, 3, ... Показать далее, что при г->1 максималь-
ный член этого ряда удовлетворяет асимптотическому соотношению
45.	(Продолжение). Показать, что при г->1
со	____ 1 — а	1 . 1 —а
2	“ Hr),
“co
Рассмотреть J e**-1*” rx dx; II 208.
о
46.	Вычислить px, p2, p3, ... для всюду сходящегося степен-
ного ряда
1 + l-“z 4- 2~2«г2 +... + trnazn +...
16
ЗАДАЧИ
(а>0) и показать, что при r-^ + со его максимальный член
удовлетворяет асимптотическому соотношению
р(г)~ехр(ае1г“).
47.	(Продолжение.) Показать, что при фиксированном а>0
и г-> + оо
1+l-“r + 2-2“r24-... + n-n“rn4-...~l^[lnp(r)P (л(г). [II 209.]
§ 3.	Связь между <i (г), v(r), М(г), ЛГ(г)
48.	Пусть для некоторой целой функции f(z)
lim sup1--
Г ->оо г
Показать, что вопрос о сходимости ряда
со
f(z)+f(2)+/"(^) + ...= J
п = О
решается в положительном или в отрицательном смысле или же
остается открытым, смотря по тому, будет ли
/< 1, I > 1 или 1= 1.
49.	Показать, что если параллелограмм периодов функции
Вейерштрасса о (г) представляет собой квадрат со стороной 1, то
при г->оо имеем
N (г) ~ nr2‘, In М (г) Д г2.
[Hurwitz-Courant, стр. 174—175 *).]
50.	Определить для целых функций
sm^~, cos z, cos2z,	е~, o(z)
V г
пределы отношений
rn N (г) N (г) у (г)	М (г) In N (г)
p„’ v (г) ’ In М (г)’ 1пц(л)’ р, (г) jZ 1 л Ц (г) ’ In г
при г->оо (соответственно п->оо для первого); представить ре-
зультат в виде таблицы. [Для ег первое и последнее отношения
не имеют смысла, для а (?) вычислить лишь третье и последнее,
считая параллелограмм периодов квадратом. Последнее отношение
*) Гурвиц, стр. 238—240. Г у р в и ц—К У Р а н т, стр. 180—181.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 3
17
дает показатель сходимости для последовательности нулей (I 113).
Использовать 1—4, 13, 27, 28 и для асимптотического выраже-
ния р (г) —формулу Стирлинга.]
51.	Для всех целых функций
.. In In ц (г)	,. InlnTW(r)
(Что имеет место sg,— тривиально.) Общее значение этих двух
пределов называют порядком целой функции.
52.	Порядок целой функции можно также определить как пока-
затель сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности р1( р2,..., р„,...
со
53.	Порядок целой функции f (z) = У, anzn с положительными
п = 0
коэффициентами а0, а1, а2, ..., ап, ... можно также определить как
lirnsup^m
Г-.ОО	1ПГ
54.	Для целых функций конечного порядка имеет место бо-
лее сильное, чем в 51, соотношение
55.	Интеграл
СО
$ р (О [М (OF dt,
—io
где t0>Q и сходится для всякой нерациональной целой
функции.
56.	Все целые функции обладают следующим свойством: для
всякого заданного е>0 существуют произвольно большие зна-
чения г такие, что
М (г) < Р (г) [In Р (г)] 2 +®.	[45, I 122.]
57.	Целые функции конечного порядка % обладают следую-
щим свойством, более сильным, чем 56: для всякого заданного
е>0 существуют произвольно большие значения г такие, что
M(r)<(Z4-s)]/r2n lnp(r)p(r). [47, I 118.]
Пусть с —постоянная, с^=0, <7 —целое число, <7iSsO, и w2,
w3, ... — бесконечная последовательность комплексных чисел,
- W2 = . . . = Wq = 0 < |	|	| щ?+3 | < I щ?+3 | < . . . ,
такая, что ряд
I 11” I ^7+21 'r I ^в+з I ’’’ ‘ '
18
ЗАДАЧИ
сходится. Целая функция вида
CZ?(1----\(1------)...
\	ш<7+1/ \ wqVil
называется функцией рода нуль. Как доказал Адамар, каждая
целая функция порядка, меньшего единицы, будет рода нуль.
(36, 58, III 332 являются важными опорными пунктами в дока-
зательстве этой теоремы.)
58> Порядок каждой целой функции рода нуль равен пока-
зателю сходимости последовательности ее нулей.
59.	Для целой функции конечного порядка %>0, централь-
ный индекс которой обладает точками разрыва рр р2, рз, • • •. Р«, • • • >
распределенными регулярно в смысле II, гл. 4, § 1, lim 7—7-,
существует и равен X. [II 159.]
60.	Для целых функций конечного порядка % > 0 независимо
от особых предположений относительно регулярности имеют место
неравенства
lim inf Л gg Xsglim sup . v . [II 160.]
г-co 1пй)	,-.Д1п1‘Й	L J
61.	Пусть %, 0 < % < 1, — показатель сходимости последова-
тельности Гц г2, ..., г„, ... , регулярной в смысле II, гл. 4, § 1.
Показать, что для целой функции рода нуль
1 v \ >TJ \ г2 ]	\ 1 гп)
имеет место предельное соотношение
.. In f (re1"0)_ e'w-n
N (г) ~ sin лХ
при всяком фиксированном О', — л<0<л. [II 159.]
62.	Для целой функции задачи 61 независимо от предполо-
жения регулярности распределения последовательности г1г г2,...
.... гп, ... имеет место неравенство
‘й’гаи^-г- [п 1611
63.	Для каждой целой функции, последовательность нулей
которой обладает конечным показателем сходимости Л,
I32-]
64.	Пусть/ (z) — целая функция и ® (г), соответственно g (г), —
геометрическое среднее модуля f (z) на окружности | z | = г, соот-
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1, § 4
19
ветственно в круге \г | «= г [III 121]. Если модули нулей функ-
ции f(z) распределены регулярно [II, гл. 4, § 1], то тогда
где X означает показатель сходимости последовательности нулей,
0<А<оо. Для полиномов интересующий нас предел точно
_ £
так же существует и равен е 2 *.
65> (Продолжение.) Независимо от предположения регуляр-
ности распределения нулей имеют место неравенства
Hm lnf («aw iim sup (law.
r-»OO X4 *^ V/ /	Г —* CO X4-, V / /
66> Пусть f(z) — целая функция конечного порядка А и (г),
соотв. m (г),— арифметическое среднее |/ (z) |2 на окружности
121 = г, соответственно в круге | z | ==£ г. Тогда
liminf f П1(г)Упг =е-к
Wr)/
§ 4.	ц(г) и /И (г) при специальных предположениях
правильности роста
67.	Пусть целая функция
/ (z) = а0 4- ajZ + a2z2 +  • • + anzn +...
удовлетворяет условию
lim z~“lnM (г) = а,
г—>со
где а и а — положительные постоянные. Доказать, что
1)	если Ъ>а, то при достаточно больших п
п
।	।	f abe \а
II п } ’
2) каковы бы ни были фиксированные k и е, где k вещест-
венно, 0<е<1, всегда существует такое б > 0, что, начиная
с некоторого значения г,
(аага(1—е)	оо \
2+2 п6|ал|гл<Л4(г)е-вЛ
1 аага(1+е)/
Если бы мы взяли k = 0 и произвели суммирование от 0 до оо,
не выбрасывая центральной части ряда, то сумма была бы больше
20
ЗАДАЧИ
или равна М (г). Это означает, что центральная часть ряда зна-
чительно перевешивает оба его «фланга». [Неравенство 1) нужно
для подготовки доказательства утверждения 2).]
68.	Если для целой функции имеет место одно из трех пре-
дельных соотношений
(1)	In М (г) ~ ага,	(2) In р, (г) ~ ага, (3) v (г) ~ ааг“,
то имеют место также два других (г->оо, а и а — положитель-
ные постоянные). [(3) получается из (2) формальным дифферен-
цированием обеих частей, см. 33.] Без предположений о регуляр-
ности распределения имеют место 51, 54, 35, 60.
69.	Если коэффициенты а0, а1г а2, ... целой функции f(z)
задачи 67 положительны и удовлетворяют неравенствам
то можно утверждать, что
если же они удовлетворяют неравенствам
gi - . а2 ~ . аз	g«+i ~ .
а0 а± а2ап ""
то тогда, более того,
1
70.	Присоединим к предположениям задачи 67, что a„5s0
для n = 0, 1, 2, ... Тогда для всякого фиксированного вещест-
венного k
JS «‘v"
r’l™ (aar“)*f(r) =h
71.	В предположениях задач 67, 70 предельное соотношение
ln/(r)^ar“
можно «продифференцировать», т. е. заключить из его наличия,
что
72.	(Обобщение теоремы I 94.) Пусть
Ьй + btz + Ь2гъ +... + bnzn + ... = f(z)
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 1. § 4
21
— всюду сходящийся степенной ряд. Показать, что если
&л>0 (п = 0, 1,2, ...), lim г ₽ ln/(r) = &, lim -^— — s
- г—>4-оо	п—>оэ
(0, Ь — положительные, k и s — любые вещественные постоянные),
то
lim ao+ai/'+a2^+---+Q^n+--- _s
(₽£-/₽)*/(г)
73.	Показать, что при г-> + оо
74.	Пусть а1г а2, ..., ар, blf Ь2, ...,	— вещественные по-
стоянные, отличные от 0, —1, —2, —3, ..., и p<2q, далее
P(z) = (z+a1-l)(z+a2-l) ...(z+flp-l),
Q(z) = (z + &1-1)(z + &2-1)...(z + &?-1).
Показать, что при г->оо сумма всюду сходящегося степенного
ряда
. , Р(1) , Р(1)Р(2)	Р(1)Р(2) ... Р(п)
Ч- (2(1) Г ' Q(1)Q(2) Г +•••* Q (1)Q (2) ... Q(n)	‘Г-1*
асимптотически равна
Г (&х)г (&2)... Г(&?)
Г (щ) Г (а2) ... Г (ар)
1-1 _2 2Д + 1+ 1 2
(2л) 2 I 2г 21 е1г‘
где
I = q — р, А = аг + а2 +... + ар — b± — b2 -... - Ьд.
[Убеждаемся, что 73 вытекает отсюда после замены переменных
как частный случай. Применяем в качестве «ряда сравнения»
1+ —г-4———г24------rn + е1г‘.]
г i\ ГТ(2()| г -г...-г г -г... t с 1
75.	Получить асимптотическую формулу задачи 74 без помощи
теоремы 72, опираясь на I 94 и II 207.
76.	Пусть все коэффициенты а0, а1; а2, ..., ап, ... степенного
ряда a0 + a1z-i-a2z2 + ...-l-a,!z'l-l-... положительны и удовлетво-
ряют условию
/ (Л	\	1
lim п (------------1) = у (0 < X < оо
п-,00 X an-lan+i	/
(Этому условию удовлетворяет, например, ряд 74.)
22
ЗАДАЧИ
Доказать, что
1)	указанный ряд представляет целую функцию порядка X;
2)	v (г) X In р (г) при г->оо;
3)	намеченные в плоскости х, у точки с прямоугольными
координатами
/	7 п ,rVin+l\
’ / = “VW’ -v(r)+l,	-1,0, 1,2,...
\И v (г) Н vz /
стремятся в своей совокупности к гауссовой кривой распреде-
ления ошибок, т. е.
lim	— = е 2Х, если lim-7zL=- = x.
Г-00 И W	Г-00 /V (г)
Сравнить с площадью под гауссовой кривой распределения
_ ।
сумму площадей прямоугольников с нижними основаниями v (г) 2
на оси х и с верхними основаниями, делящимися пополам точ-
ками, указанными в 3).
ГЛАВА 2
ОДНОЛИСТНЫЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1.	Задачи подготовительного характера
77.	Если целая рациональная функция
г + a^z2 + a3z3 +... + anzn
однолистна в единичном круге | z | < 1, то п | ап | sC 1.
78.	Если функция w = f(z) однолистно отображает единич-
ный круг | z | < 1 на область ® и <р (ш) однолистна в (8, то <р[/ (г)]
однолистна в |г|<1.	'
79.	Пусть функция / (г) однолистна в единичном круге |г| < 1
и f (0) = 0. Тогда функция
<р (г) = /П?) = г
(где взята какая-нибудь определенная ветвь квадратного корня)
также будет однолистна в | z | < 1. То же самое справедливо для
j/ f (zn) при любом целом положительном п.
80.	Функция <р(г), определенная в задаче 79, является наи-
более общей нечетной функцией, однолистной в единичном
круге |z|< 1. Точнее говоря: какова бы ни была нечетная функ-
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 2
23
ция ф(г), однолистная в |z |< 1, существует такая функция /(г),
однолистная в | z | < 1, из которой <р (г) получается указанным
в 79 образом.
81.	Пусть открытый круг К взаимно однозначно и конформно
отображается на область ®, и при этом, в частности, содержа-
щийся в К концентрический круг f отображается на некоторую
часть g области ®. Обозначим площади соответствующих обла-
стей через | Я |, |®|, | f |, |д|. Тогда
|®| |£|
I aJ |f| •
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда отображение
осуществляется с помощью целой линейной функции. [III 124.]
82.	Пусть открытый круг К взаимно однозначно и конформно
отображается на область ®, причем центр k круга К переходит
в точку g области ®. Пусть а2 — поверхностное искажение в k
[III, часть I, стр. 123]. Тогда (в обозначениях задачи 81)
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда отображение
осуществляется с помощью целой линейной функции. (Предельный
случай теоремы 81.)
83.	Пусть открытое круговое кольцо однозначно и кон-
формно отображается на двусвязную область <2. Обозначим наи-
меньший открытый круг, содержащий через 3R; точки этого
круга, не принадлежащие Э1, заполняют некоторый замкнутый
круг f. Аналогично через © обозначим наименьшую односвязную
область, содержащую S, и через g — множество точек области ®,
не принадлежащих <2 (д замкнуто). Если окружности кольца ЭТ,
концентрические с f и К, и кривые области ©, в которые пере-
ходят эти окружности при отображении, обходятся в одинаковом
направлении, то для площадей | ® |, | g |, | Я | и | f | имеет место
соотношение
1®| 1^1
1в1	|f| •
Равенство достигается только тогда, когда отображение осуще-
ствляется с помощью целой линейной функции. (Обобщение тео-
ремы 81, но не ее следствие!)
§ 2.	Теоремы единственности
84.	Взаимно однозначное конформное отображение, при кото-
ром открытый круг преобразуется сам в себя с сохранением
центра, представляет собой поворот около центра. [82.]
24
ЗАДАЧИ
85.	Пусть два открытых круговых кольца, ограниченных
попарно концентрическими окружностями и имеющих общую
внешнюю границу, взаимно однозначно и конформно отображаются
друг на друга так, что при этом окружности, концентрической
с граничной окружностью в одном кольце, соответствует в дру-
гом кольце кривая, обходимая в том же направлении. Тогда оба
круговых кольца совпадают и конформное отображение представ-
ляет поворот около центра. [83.]
86.	Не существует двух различных функций w — f(z), одно-
листно отображающих единичный круг | z | < 1 на заданную
область © так, что при этом г = 0 переходит в заданную точку
w = области ® и /' (0) > 0.
87.	Единственными функциями, однолистно и конформно ото-
бражающими единичный круг | z | < 1 сам на себя, являются
линейные функции
gia г°
1—Z02
где а вещественно, | г01 < 1.
§ 3.	Существование отображающей функции
88.	При отображении, осуществляемом с помощью формулы
а —г __ / |/a —T)sy \2
1 аг	у 1 — уаТ]Ш у
точке плоскости z соответствуют, вообще говоря, две точки пло-
скости w. Какие точки г составляют исключение? (а = | а | eia,
0 < | а | < 1, а вещественно, | ц | = 1 и ц определено так, что > 0
при ю = 0.) Отображение не зависит от (одного и того же
в числителе и знаменателе) выбора знака при У а.
89.	Пусть © — односвязная область плоскости г, лежащая
в круге | z | < 1- и содержащая точку z = 0. Осуществим отобра-
жение задачи 88, принимая за а ближайшую к z = 0 точку на
границе области ®, | а | < 1 (если таких точек не одна, то выби-
раем из них, скажем, точку с наименьшим аргументом, 0 с arg а <
<2л). Тогда это отображение относит области ® две области ®*
и ©** плоскости w, из которых одна, ©*, содержит точку w = Q,
а другая, ©**, ее не содержит. ®* и ©** не имеют общих точек,
хотя и обладают по меньшей мере одной общей граничной точ-
кой; обе они содержатся внутри единичного круга.
Определённая в задаче 89 область ®* в дальнейшем называется
областью Кёбе, соответствующей области ®. Области ® и ®*
удобнее рассматривать в одной и той же плоскости. Между ними
существует взаимно однозначное соответствие с сохранением нуле-
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 4
25
вой точки и направления в ней. Как ®, так и ®* представляют
собой правильные части единичного круга.
90.	Исследовать область Кёбе для области, получаемой из
единичного круга |z|<l посредством удаления отрезка a^z<l,
0<а<1. Определить, в частности, граничную точку, ближай-
шую к нулевой.
91.	Исследовать область Кёбе для круга |г|<я, 0<а<1
и определить ближайшую к нулевой и наиболее удаленную от
нее граничные точки.
92* Каждая точка области Кёбе для ® более удалена от
нулевой точки, чем соответствующая ей точка области ®.
93* Пусть ©х — область Кёбе для ®, ®2 —область Кёбе
для ©1, ®3 —для ®2 и т. д. Пусть далее a, alt а2, а-л, ... — бли-
жайшие к нулевой граничные точки соответственно областей ®,
®i, ©г. ®з, ••• Тогда |а|<|аг|<|о!2[<)гг3[<...
94.	(Продолжение.) При помощи отображения Кёбе ® одно-
значно и конформно отображается на ©j, ®х — на ®2> •••>©«-!—
на ®п. Пусть результирующее отображение области ® на ®п
осуществляется посредством аналитической функции /„(г) (z про-
бегает точки области ®). Имеем
/л(0) = 0, 0</И0)<1|г.
Выразить f'n (0) через а, alt а2, .... ап1.
95.	Показать на основании 94, что для точек a, alt а.2, ...
..., ап, ... задачи 93 имеет место предельное соотношение
lim | ап | = 1.
п-»оо
96.	(Продолжение задач 93, 94.) В каждой точке z области ®
существует
lim fn(z) = f(z),
n-t-CO
причем во всякой внутренней замкнутой области сходимость
равномерна. Предельная функция / (г) однолистно отображает об-
ласть ® на внутреннюю область единичной окружности. [III 258.]
§ 4. Внутренний и внешний радиусы.
Нормированная отображающая функция
В нижеследующих задачах [97—163] под ® понимается произ-
вольная односвязная область плоскости г, обладающая более чем
одной граничной точкой, под а — произвольная конечная точка
области ®. Бесконечно удаленная точка может быть как внут-
ренней, так и граничной точкой области ®. Область © одноли-
стно и конформно отображается на внутреннюю область некоторой
26
ЗАДАЧИ
окружности в плоскости w так, что при этом а переходит
в центр окружности и линейное искажение в точке а [III, часть I,
стр. 123] равно единице. Радиус окружности однозначно опреде-
ляется заданием области ® и точки а. Мы называем его внут-
ренним. конформным радиусом области ® относительно точки а и
обозначаем длину его через га. Существует [96] однозначно опре-
деленная [86] функция w = f(a\ z) = f(z), осуществляющая указан-
ное отображение, т. е. конформно отображающая область ® на
круг | w | < га и разлагающаяся в окрестности точки а в ряд вида
w-f(z) = z — a-\-ci(z — а)2 + с3(г-а)3 + ...	(*)
Функцию (*) мы называем нормированной отображающей функ-
цией, соответствующей точке а. Под конформным радиусом замк-
нутой простой непрерывной кривой L (относительно некоторой
лежащей внутри нее точки) мы понимаем внутренний радиус
области, ограничиваемой этой кривой.
Пусть теперь © — односвязная область плоскости г, содержа-
щая бесконечно удаленную точку z = oo. Тогда дополнение к ®
представляет собой ограниченную замкнутую область S3. Внешний
конформный радиус области S3 мы определяем следующим образом:
отображаем область © конформно и однолистно на внешнюю
область некоторой окружности в плоскости w таким образом, что
при этом бесконечно удаленная точка переходит сама в себя и
модуль производной отображающей функции в точке z = сю (ли-
нейное искажение в бесконечно удаленной точке) равен единице.
Радиус этой окружности однозначно определяется заданием обла-
сти ®. Его мы и называем внешним радиусом области S3 и обо-
значаем его длину через г. Существует однозначно определенная
функция w=f(z), осуществляющая это отображение, т. е. кон-
формно отображающая ® на внешнюю круговую область | w | > г
и допускающая в окрестности бесконечно удаленной точки раз-
ложение вида
ш = /(г) = г + с0 + ^ + >+••• + > + ••.	(**)
Функцию (**) мы называем нормированной отображающей функ-
цией, соответствующей бесконечно удаленной точке. Под внешним
радиусом непрерывной кривой L, которая может частично (или даже
целиком) носить характер «разреза», мы понимаем внешний радиус
замкнутой области, ограничиваемой этой кривой; обозначенная выше
через © область представляет собой внешнюю область кривой L,
если эта кривая замкнутая, или же всю плоскость, разрезанную
по кривой L, если она представляет собой незамкнутую дугу1).
1) Точнее говоря, здесь имеется в виду непрерывная кривая L следую-
щего рода: та односвязная часть дополнения к L, которая содержит беско-
нечно удаленную точку (т. е. область обладает границей, целиком совпа-
дающей с L. См., например, 101, 105.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 4
27
При отображении внутренней (или внешней) области замкну-
той простой непрерывной кривой L на внутреннюю (внешнюю)
область окружности замкнутая внутренняя (внешняя) область
кривой L взаимно однозначно и непрерывно отображается на
замкнутую внутреннюю (внешнюю) круговую область, (См. С. С а-
ratheodory, Math. Ann., т. 73, стр. 314—320, 1913.)
97.	Вычислить внутренний радиус га и внешний радиус г
окружности |г|=р, р>0, |а|<р.
98.	Вычислить внутренний радиус га внешней круговой обла-
сти | z| >р (а конечно, | а\ >р), а также lim га.
99.	Вычислить га для угла 0<argz<Oo, 0<Оо^2л;.
100.	При преобразованиях подобия z' = hz + k с отличным
от нуля линейным искажением \h\ внешний, соотв. внутренний,
радиус увеличивается в отношении 1 :\h\. Точнее: если область ®
переходит в ©', конечная точка а — в a' = ha + k, то между внут-
ренним радиусом га области ® относительно точки а и внутрен-
ним радиусом га- области &' относительно точки а' имеет место
следующее соотношение:
ra' = \h\ Га.
Аналогично для внешнего радиуса.
101.	Внешний радиус отрезка длины I дается равенством
_ I
r = V .
102.	Внешний радиус эллипса, оси которого в сумме состав-
ляют I, дается равенством
_ I
г==т-
103.	Вычислить внутренний радиус открытой полуплоскости
относительно содержащейся в ней точки, отстоящей от границы
на расстояние d.
104.	Пусть га — внутренний радиус области ® плоскости z и
однолистное отображение
г'-& = т(2-а) + у2(г-а)2 + ...
преобразует ® в некоторую область ©' плоскости z'. Пусть,
далее, г* — внутренний радиус области ®' относительно точки
г' = Ь. Тогда
г'ь = | у | га.
Аналогичное соотношение имеет место при отображении вида
г'=уг + у0 + ^ + +
28
ЗАДАЧИ
105.	Вычислить внешни?! радиус г кривой, составленной из
окружности | z | = 1 и вещественных отрезков
1<2г^аг, —a2^z<.—1; ^>1, а2>1.
106.	Вычислить внутренний радиус бесконечной параллель-
ной полосы ширины D относительно содержащейся в ней точки,
кратчайшее расстояние которой до границы полосы равно d (2dg~D).
107.	Пусть а—любая конечная точка области (3 плоскости z.
Дробно-линейное преобразование z'= переводит ® в об-
ласть ©', содержащую бесконечно удаленную точку. Показать,
что внутренний радиус области ® относительно а равен обратной
величине внешнего радиуса области, дополнительной к (3'.
108.	Рассмотрим область (3, получающуюся при удалении из
единичного круга | z | < 1 вещественных , отрезков z < 1,
—1 < z — Ь2, 0 < /у < 1, 0 < b2 < 1. Вычислить внутренний
радиус области ® относительно нулевой точки.
109.	Неравенства
arg ^2
{z^Z^, 0 < О] 'fl’a < 2л)
выделяют в плоскости г круговой двуугольник К; вершинами его
служат и z2, а стороны составляют между собой угол {h — fly.
Чему равен внешний радиус области К? Рассмотреть случаи
,&1 + ,0'2 = 2л; fl'1 = fl'2; 0i = y, А'2 = л.
110.	Пусть а и Ь — точки области ®, f (г) — нормированная
отображающая функция, соответствующая точке Ь. Тогда
Га rb\f'(a)\ •
111.	Вычислить нормированную отображающую-функцию пло-
скости, разрезанной вдоль прямой -^-=cz< + oo, относительно
нулевой точки и исследовать изменение внутреннего радиуса га,
х 1
когда а пробегает все вещественные значения от — оо до
112.	Пусть Л —замкнутая аналитическая кривая. (Следова-
тельно, нормированная отображающая функция, соответствующая
произвольной точке внутренней области кривой L, продолжаема
за L и в различных точках L принимает различные значения.)
Показать, что если точка а, заключающаяся во внутренней обла-
сти кривой L, приближается к некоторой точке этой кривой, то
внутренний радиус га стремится к нулю.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 4
29
113.	Пусть в точке а области © внутренний радиус га дости-
гает относительного максимума. Показать, что тогда у нормиро-
ванной отображающей функции
f (г) = z - а + с2 (г - а)2 + с3 (г - а)® +...,
соответствующей точке а, коэффициент с2 равен нулю.
114.	Каково геометрическое место тех точек а верхней полу-
плоскости 3? > 0, для которых внутренний радиус га этой полу-
плоскости сохраняет постоянное значение?
115.	Пусть © — конечная область плоскости г, а — произволь-
ная точка этой области и п — целое положительное число. Пре-
образование z'= г, —а сопоставляет ® некоторую область ©',
«n-кратно симметричную» относительно нулевой точки. Точка z'
тогда и только тогда принадлежит области ©', когда z'n-\-a есть
точка области ®. Показать, что внутренний радиус га области ®
относительно точки а и внутренний радиус г'а области ©' отно-
сительно точки z' = 0 связаны соотношением
2
г’о = г£.
Аналогичное соотношение имеет место для внешнего радиуса при
преобразовании z' = z , если z = 0 не содержится в ®.
116.	Вычислить внутренний радиус га плоскости г, разрезанной
вдоль п лучей
]/у<|г|< + оо, argz = -^ (v = 1, 2, 3, ..., м).
К какому пределу стремится га, когда а приближается к концу
соответствующего выреза вдоль отрезка
0^|г|<|74-. arg2 = ^?
117« Вычислить внешний радиус плоскости, разрезанной вдоль
отрезков
— a^zs^a, —	(а>0, р>0).
118.	Пусть © — произвольная область плоскости z и а — неко-
торая конечная точка этой области. Нормированная отображающая
функция f(z), соответствующая точке а, и внутренний радиус га
обладают следующим экстремальным свойством: среди всех функ-
ций вида
F(z) = z — a + d2(z-fl)2 + d3(z-a)3 + ...,
30
ЗАДАЧИ
регулярных в области ®, f(z) обладает наименьшим максимумом
модуля в ®; этот „minimum maximorum" равен га. Точнее говоря:
если М — верхняя грань модуля F (z) в области ®, то
М^га.
Равенство достигается только тогда, когда F(z)?sf(z).
В случае, если © содержит бесконечно удаленную точку, ана-
логичным свойством обладают отображающая функция, соответ-
ствующая бесконечно удаленной точке, и внешний радиус области,
дополнительной к ®; отображение на круг выделяется посредством
“maximum minimorum".
119* Пусть © — область, симметричная относительно веществен-
ной оси, а вещественно. Тогда в разложении по степеням г —а
нормированной отображающей функции, соответствующей а, все
коэффициенты вещественны. Если ® содержит бесконечно удален-
ную точку, то аналогичным свойством обладает нормированная
отображающая функция, соответствующая бесконечно удаленной
точке.
120* Пусть © — область, симметричная относительно нулевой
точки. Тогда в степенном ряде для нормированной отображающей
функции, соответствующей нулевой точке, содержатся только нечет-
ные степени z. Если ® содержит бесконечно удаленную точку, то
аналогичным свойством обладает нормированная отображающая
функция, соответствующая бесконечно удаленной точке.
§ 5.	Связи между отображениями различных областей
121.	Пусть ®* — правильная часть области ©,' га и — внут-
ренние радиусы областей ® и ®* относительно одной и той же
точки а, лежащей в ®*. Тогда
г* < Га.
Аналогичное неравенство имеет место для внешних радиусов.
122.	Пусть ® — произвольная область, а — некоторая конечная
точка этой области и г, соответственно R, — радиус наибольшей
(соответственно наименьшей) окружности с центром в а, содержа-
щейся в © (соответственно содержащей ®). Имеем r>0, R^r,
R конечно или бесконечно. Далее
r^ra<R,
причем равенство имеет место только тогда, когда © — открытый
круг с центром а.
123.	Пусть область ® содержит бесконечно удаленную точку
и b — точка дополнительной области 33. Обозначим через г, соотв. R,
радиус наибольшего, соотв. наименьшего, замкнутого круга с цент-
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 5	31
ром в а, содержащегося в S3, соотв. содержащего S3. Имеем г 2s О,
R^sr, jR конечно. Далее
r^r^R,
причем равенство имеет место только тогда, когда S3—замкну-
тый круг.
124.	Пусть / — длина замкнутой простой непрерывной кривой L.
Показать, что для всякой точки а, лежащей во внутренней обла-
сти кривой L,
2пга^1.
Равенство имеет место только для окружностей с центром в а.
Аналогичное неравенство имеет место для внешнего радиуса.
125.	Пусть область ® имеет внутреннюю жорданову меру | © |г.
Показать, что для любой конечной точки а, содержащейся в (8,
| ® |( 2= ЛГа.
Равенство имеет место лишь для круга | z — а | < га.
126.	Пусть дополнение S3 области ®, содержащей бесконечно
удаленную точку, имеет внешнюю жорданову меру |33|е. Тогда
|5В|е< лА
Равенство имеет место лишь в том случае, когда S3 —круг.
127.	Пусть замкнутая простая непрерывная кривая L имеет
внешний радиус г и внутренний радиус га, где а — произвольная
точка внутренней области кривой L. Тогда
га^г.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда А —окруж-
ность и а — ее центр.
128.	Пусть Л —замкнутая простая непрерывная кривая, охва-
тывающая нулевую точку, г —ее внешний радиус и г0 — внутренний
радиус относительно нулевой точки. Пусть, далее, Р (?) — полином
с младшим членом abzk и старшим членом anzn-.
Р (z) =	+ as+1?fc+1 +... + anzn,
и М — максимум | Р (г) | на кривой L. Тогда
M^\ak\r^ М^\ап\г\
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда L — окружность
с центром в нулевой точке и полином P(z) имеет вид czn.
32
ЗАДАЧИ
129.	Пусть функция /(?) регулярна, имеет положительную
вещественную часть внутри области, ограниченной замкнутой про-
стой непрерывной кривой L, и непрерывна, включая границу. Если
вещественная часть функции f(z) обращается в нуль на некоторой
дуге L' кривой L, то мнимая часть функции f(z) монотонно убы-
вает при положительном обходе дуги L'. [III 233.]
130.	Отобразим полосу 0<3z<£> на круг |ш|<1 таким
образом, чтобы при этом точка z = i переходила в центр круга
ш = 0 (Е>>1). Чему равна длина дуги окружности | w | = 1, отве-
чающей при этом отображении вещественной оси 3z = 0? (При
0 = 2 и О = со тривиально.) Как изменяется указанная дуга при
возрастании О?
131.	Пусть замкнутые простые непрерывные кривые и L2
имеют конечное число общих дуг и внутренняя область кривой L±
содержится во внутренней области кривой L,. (/^состоит из четного
числа дуг, проходящих попеременно внутри и на границе области,
ограничиваемой кривой Л2).
Отобразим внутреннюю область кривой Llt а затем кривой L2
на одну и ту же внутреннюю круговую область так, чтобы в том
и другом случае некоторая точка О, принадлежащая внутренней
области кривой Llt переходила в центр круга. Оба отображения
сопоставляют дугам кривых Lr и Ьг вполне определенные дуги
граничной окружности (стр. 27).
Доказать, что длина дуги, круга, соответствующей какой-либо
общей дуге кривых Lx и L2, при отображении меньшей области
(ограниченной будет меньше, чем при отображении большей
(ограниченной L2). Пример: 130. [129.]
132.	Дать -электростатическую интерпретацию теоремы 131.
133.	Пусть замкнутые простые непрерывные кривые L± и L2
имеют лишь конечное число общих точек и ограничиваемые ими
области — общую часть Пусть далее О —точка области £ и
— связная часть области содержащая О. Дуги кривых LT и L2,
лежащие на границе £*, назовем «видимыми» из О, не лежащие
же на этой границе —«закрытыми». (Слова «видимые» и «закры-
тые» имеют обычный смысл, если кривые L± и /2 звездообразны
относительно О.)
Отобразим сначала внутреннюю область кривой Lt, а затем кри-
вой 12 на внутреннюю область единичного круга так, чтобы
в обоих случаях О переходила в центр круга. Тогда образы «ви-
димых» частей кривой займут большую часть единичной окруж-
ности, чем образы «закрытых» частей кривой Л2. (Для большей
наглядности представим себе Л2 в виде окружности с центром
в О.) [131.]
134.	Пусть 33 — некоторая замкнутая область, £ —ее внутренняя
точка и ^ — совокупность граничных точек области 33, отстоящих
от g на расстояние, не превышающее р. Пусть дуги окружности
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § б
33
радиуса р с центром в С, не принадлежащие S3, имеют общую
длину рЙ.
Пусть, далее, функция /(?) регулярна и однозначна внутри и
непрерывна на границе области 33, причем в точках множества 91
имеем \f(z)\^a, а в остальных граничных точках области®
|/(z)J ==SА, а<А. Тогда
о ____о
|/(С)|^а2яЛ	2я.
(Более точная оценка, чем в III 276.)
135> Пусть односвязная область ®п плоскости z удовлетворяет
следующим условиям:
1)	®л лежит в круге \z\<.a, а>1,
2)	®п содержит круг | z I < 1,
3)	®л содержит дугу единичной окружности
|г|==1, — a„<argz<a„ (0<ссл<л),
4)	дополнительная дуга единичной окружности
|z| = l, arg?sC2n — ап
принадлежит границе области ®л.
Пусть, далее, ®п взаимно однозначно и конформно отобра-
жается с помощью функции w — fn(z) на единичный круг | w | < 1
так, что при этом fn (0) = 0, f'n (0) > 0.
Если при возрастании п «перешеек», соединяющий единичный
круг с остальной частью области ®л, все более и более стягива-
ется, т. е. если lim а„ = 0, то
л—>со
lim fn(z) = z
П-+СО
независимо от того, как ведет себя часть области ®„, лежащая
за пределами единичного круга. [Применить метод доказательства
теоремы III 335.]
§ 6. Теорема Кебе об искажении
136. Пусть функция
^ = g(z) = z + 60 + ^ + |^ + ...
регулярна во внешней круговой области | z | > 1 и однолистно
отображает эту область на область ®, содержащую бесконечно
Удаленную точку. Тогда
1М2 + 2|М? + 3|Ь3|2 + ...^1.
2 Г. Полна, Г, Сеге, ч. II
34
ЗАДАЧИ
В частности,	причем равенство имеет место тогда и
только тогда, когда ® представляет собой плоскость, разрезанную
вдоль отрезка длины 4.
137.	(Продолжение.) Во внешней круговой области | г | > 1
|g' (z)|^--------------------Ц-.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда функция g (?)
имеет вид
^(г) = г + &0-4(р-|)^=Л-
(|е | = 1, р>1), и достигается в точке Какой вид имеет в этом
случае область ®?
При отображении, указанном в задаче 136, все кривые плоско-
сти w, соответствующие концентрическим окружностям радиуса
больше единицы с центром в г — 0, — так называемые линии
уровня — имеют общий конформный центр тяжести b0 [III 129].
Мы будем называть Ьо конформным центром тяжести области ®.
138.	Пусть односвязная область © содержит бесконечно уда-
ленную точку и симметрична относительно некоторой точки Р.
Тогда Р служит конформным центром тяжести области ®.
139.	(Продолжение задачи 136.) Если область ©несодержит
нулевой точки, то конформный центр тяжести этой области лежит
внутри круга радиуса 2 с центром в нулевой точке. Иными словами,
1М^2.
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда © представляет
собой плоскость, разрезанную вдоль отрезка длины 4, выходящего
из нулевой точки. [Применяем 136 к j/g(г2)-]
140.	(Продолжение.) Расстояние d произвольной граничной
точки области © от конформного центра тяжести не превосходит
двух. Более того, для всех ®, за исключением особого случая,
указанного в конце задачи 136, d<2.
141.	(Продолжение.) Максимальное расстояние D между гра-
ничными точками области ® (диаметр границы области ®) заклю-
чается между двумя и четырьмя:
2 <0^4.
Равенство в нижней оценке имеет место только тогда, когда ©
представляет собой внешнюю область некоторого круга радиуса 1,
а в верхней оценке —когда © есть плоскость с вырезом вдоль
отрезка длины 4 (см. задачу 136.)
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 6
35
142.	Среди всех непрерывных криволинейных дуг, соединяю-
щих две неподвижные точки, наименьший внешний радиус имеет
прямолинейный отрезок.
143.	Пусть область © задачи 136 имеет конформным центром
тяжести 0. Тогда
Равенство имеет место только для отображения w = г + —, а ве-
щественно.
144.	(Продолжение.) При указанном отображении ни одна
точка z не может сместиться со своего первоначального положения
з
больше чем на -]—г. Иными словами,
1 z I
145.	Исследовать смещение [144] при отображении внешней
круговой области на плоскость, разрезанную вдоль подковообраз-
ной кривой, состоящей из трех прямолинейных отрезков, последо-
вательно соединяющих точки
a + i6, —a + i6, —a —i6, a —16; a>0, 6>0.
Рассмотреть, в частности, случай, когда a->2, 6->-0, и показать
на этом примере, что коэффициент 3 в неравенстве задачи 144
не может быть заменен меньшим.
146.	Пусть функция
/(г) = г + а2г2 + а3г3 + ...
регулярна и однолистна в единичном круге |z| < 1. Тогда
| а21 с 2,
причем равенство имеет место лишь для функций вида
/ (г) = ~0~_|_giaz)2  a вещественно.	(111.)
[Применить 139 к (f(z_1))_1.]
147.	Пусть функция
u> = /(z) = z + a2z24-a3z3 + --.
однолистна в круге | z | <Р. Если область ® плоскости ш, на кото-
рую отображается этот круг, не содержит бесконечно удаленной
точки, то она целиком содержит открытый круг | w | < ~. Иными
словами, обозначая через d кратчайшее расстояние границы
2*
36
ЗАДАЧИ
D	В
области ® от точки цу = О, имеем d^-т-. Более того, d>-r-, если
только © не представляет собой плоскости, разрезанной вдоль луча
arg w = const., -у-^|ау| < + со. [Применяем 146 к .	, где
h — граничная точка области ©.]
148.	Неравенство задачи 147 можно уточнить следующим
образом:
(См. 146.) Равенство достигается для области, указанной в 147.
149.	(Продолжение задачи 147.) Отрезок, соединяющий две
граничные точки области ® и проходящий через нулевую точку,
мы будем называть главной хордой области ®. Всякая главная хорда
области ® имеет длину, не меньшую чем R. Указанная нижняя
граница R достигается лишь в том случае, когда область ® пред-
ставляет собой плоскость, разрезанную вдоль обоих лучей w =
—± | w | е‘а, а вещественно, y-eg | < + со. (116.)
150.	(Продолжение задачи 146.) В единичном круге | z | < 1
выполняется неравенство
LL. Г J
I 2	/'(г)	•
Равенство имеет место только тогда, когда область, в которую
отображается указанный круг, представляет собой плоскость с пря-
молинейным вырезом. [Преобразовать единичный круг сам в себя
так, чтобы при этом произвольная фиксированная точка г0 (|г0|<11)
перешла в центр круга, и затем применить 146.]
151.	(Теорема Кебе о линейном искажении, так называемый
Verzerrungssatz.) Пусть функция
f(z) = z + a222 + o3z3 + ...
регулярна и однолистна в единичном круге | z | < 1 и г — положи-
тельное число, г<1. Тогда в круге |z|«sr имеют место нера-
венства
(1+г)?	-г)» ’
Равенство может достигаться только при отображениях вида
Нг) = -(Г4-^аг)2, а вещественно.	[150.]
152.	(Продолжение.) В круге |z|sgr имеет место неравенство
(1+г)2 И (1—Г)2 *
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 2, § 6
37
Равенства достигаются только при отображениях, указанных
в задаче 151.
153* Неравенство задачи 152 можно уточнить следующим обра-
зом: в круге \z\^r
14-|a2!r + r2	। f ।	(1-/-2) •
Равенства достигаются для тех же отображений, что и в 151.
(Обобщение теоремы 148.) [См. решение 148, кроме того, 143.]
154.	Для нечетных функций f(z) = —/(—z) неравенство
задачи 152 можно уточнить следующим образом:
1 + А! Н2) Т-ДД'
Равенство достигается только для f (z) = -р^ а.
155.	(Продолжение.) Имеем
2л
о
[Площадь области, на которую отображается круг | z | р <Z г,
не превосходит лМах|/(г)|2, |z|=Cp; III 128.]
156.	(Продолжение задачи 152.) Пусть п — целое положитель-
ное число. Существует такая функция сол(г), зависящая только от п
и г, OsCr<I, что для каждой функции f(z) задачи 151
в круге | z | «S г выполняется неравенство
|/(«4z)|<w„ (г).
157.	(Продолжение.) Пусть п — целое положительное число,
п~д-2. Существует такая зависящая только от п постоянная
что для каждой функции /(z) задачи 151 выполняется неравенство
I ап | Д (оя.
Пусть юл — наименьшая из этих постоянных. Тогда
158.	(Продолжение.) Имеем
2л
1155.]
О
е2
х) Эта граница <-т-п2.
4
38
ЗАДАЧИ
159.	(Продолжение.) Имеет место следующее уточнение нера-
венства задачи 157:
< еп.
160.	Для функций
f (z) = z + a2z2 + a3zs +... + anzn +...,
в единичном круге | z | < 1 однолистных и по модулю меньших,
чем Л4, неравенство задачи 146 можно уточнить следующим обра-
зом: М 2s 1 (равенство только для f (г) = z) и
|а2	(1 —
121	\ М)
Когда достигается равенство? ^Применить 146 к	•]
161.	Пусть функция
И?) = z + a2z2 + a3z3 + -•• + ««£" Не-
регулярна в круге Jz|<l и отображает его-на область, звездо-
образную относительно нулевой точки [III 109]. Тогда
| ап | «с п (п = 2, 3, 4, ...).
Равенство имеет место только для функций вида
Лг) = -(1 _Х)2» a вещественно.
162.	Пусть функция
/(2) = г + а222 + й3г3 + ... + ал2л + ...
регулярна в единичном круге | z | < 1 и отображает его на некото-
рую выпуклую область [III 108]. Тогда
]ara|< 1 (п = 2, 3, 4, ...).
Равенство имеет место лишь для функций вида
при этом круг переходит в полуплоскость, которая содержит
нулевую точку и граничная прямая которой отстоит от этой точки
на расстояние у.
163.	Если функция /(г) регулярна и однолистна в единич-
ном круге | z | < 1, то все круги | z | < г при г 2 — ]/3 = 0,26...
отображаются с ее помощью на выпуклые области. Это число
2 — [/ з — граница выпуклости — не может быть заменено меньшим.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 1
39
ГЛАВА 3
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1.	Varia
164.	Если функция f(z) в полосе O-cSRzscn регулярна,
однозначна и ограничена и обращается в этой полосе в нуль
в точках гъ г2, гл, ... (z„ = хп + iyn), то либо ряд с положи-
тельными членами
sinXi + e-!^ sinx2-j-.,.	sinx„4-...
сходится, либо f(z) = O. [Ill 297.]
165.	Пусть коэффициент /\(2) однородного линейного диффе-
ренциального уравнения
Ум + fi (г)У"-1’ + /2(г)у^ +...+fn(z)y = Q
является целой функцией. Для того чтобы и общий интеграл
этого уравнения был целой функцией, необходимо и достаточно,
чтобы целыми функциями были все остальные коэффициенты f2 (г),
/з(г), .... /л(г).
166* Пусть функция ш = <р(г) регулярна (возможно много-
значна) в кольцевой области 0<| z| <р, р>0, и удовлетворяет
в ней тождественно уравнению вида
Fo (г) wl + Fr (г) w1-1 +. • •+F^ (г) w + Ft (z) = О,
где F0(z), Fr(z), ..., Fz-i(z), Ft(z) регулярны в некоторой окрест-
ности точки г = 0. Если существует степенной ряд Со + ^гф-...
такой, что функция (<р(г) — с0 — сгг — с2г2 —... — сл_1гл“1)г~л огра-
ничена в окрестности точки 2 = 0 для бесчисленного множества
значений п, то ср (г) регулярна в окрестности точки 2 = 0 и <р(г) =
= с0 + ci2 + с2г2 +... + cnzn +...
167.	Пусть функция /(г) регулярна и однозначна в области
/?-С] z | < со, R>0. Тогда существуют такие целое число p2s0,
целая функция G(z) и сходящийся при | z | 5= R степенной ряд
что
f (г) = z~pG (г) е'1’1г) (R | г | < со).
При одновременной замене как в предположении, так и в утвер-
ждении неравенства R «С | г | < со на R < | г | <Z со теорема стано-
вится уже неверной.
168.	Пусть f(z) = f(x + iy) — мероморфная периодическая
функция с периодом 2л, имеющая в полосе 0^сШг<;2л лишь
40
ЗАДАЧИ
конечное число нулей и полюсов. Обозначим через М (у) макси-
мум и через р (у)- минимум модуля f(x-\-iy) для 0^Xsg2n.
Если
,. In In М (у)	_ .	, In In LI (у) _	,
lim sup —i—г-^ < 1 или lim inf —> — 1,
I у I -ЮТ I У I	| у | -»CO	I У I
to f(z) наверное является рациональной функцией от ёг.
189.	Пусть f (z) — аналитическая функция, z = x-\-iy, и квад-
рат ее модуля
|/(z)i2 = <₽(x, у)
является алгебраической функцией от вещественных переменных
х и у. Тогда /(г) сама является алгебраической функцией от z.
170.	Не существует аналитической функции, регулярной вдоль
вещественной оси и принимающей для вещественных значений
переменного все значения внутри фиксированного круга. Короче:
не существует «аналитической кривой Пеано»,
171.	Исследовать, существует ли п-\-1 аналитических функций
Л(г),/2(г), • ••>	f(z), отличающихся друг от друга не просто
на постоянные множители, регулярных в некоторой об-
ласти 33 и связанных в ней соотношением
1Ш1Ш(г)1 + --- + 1Мг)МНг)|.
172.	Исследовать, существуют ли две аналитические функции
/(г) и £(?), не тождественно постоянные, регулярные в некоторой
области 33 и связанные в ней соотношением
|g(z)| = 3i/(z).	[Ill 58.]
173.	Говорят, что f(z) и g(z) имеют одинаковые a-точки, если
функции
Цг)-д g(z)~a
g(z)-a f(z)~~a
обе одновременно являются целыми.
Найти две различные целые функции, обладающие одинаковыми
а-, Ь- и с-точками. (При этом, конечно, предполагается, что Ь=^=с,
са, a Ь.)
174.	Существует ли целая функция G(z), удовлетворяющая
условиям
G(0) = ao, G'(l) = ax, G"(2) = a2, .... О^(п) = а„.....
где последовательность а0, аъ а2, ... задана произвольно? (По
поводу аналогичной интерполяционной задачи для полиномов см.
VI 75, VI 76.)
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 2
41
§ 2.	Об одном приеме Э. Ландау
Если теорему, утверждающую, что функция f(z), регулярная
и однозначная в области 03, достигает своего максимума по мо-
дулю на границе, мы хотим вывести непосредственно из интеграла
Коши
L
(где г заключено во внутренней области кривой L), то мы можем
рассуждать следующим образом. Пусть |/(£)|«^Л1 на L, тогда
где постоянная К зависит только от кривой L и положения
точки г, но не от специального выбора функции f(z). Но теперь
эту грубую оценку мы можем улучшить, применяя ее к [/ (г)р,
где /г —целое положительное число:
|f (z) \п^КМп,
Беря п->оо, мы получим в пределе | f (z) | М.
Этот интересный метод доказательства показывает, что грубые
оценки можно иногда преобразовать в точные, если надлежащим
образом воспользоваться их общностью. [Е. Landau; см.
М. Riesz, Acta Math., т. 40, стр. 340, сноска1), 1916.]
175.	Пусть 7(z) = co + aiz + a2z2 + --- + flnz" + .-. регулярна
в круге |z|<R. Положим 9)1 (г) — | о01 + 1^1 r + |ha| г2 + ...
...+ |ая|г/г + ... Тогда
Л4(г)<;9)1(г)<^-Л4(г + 6) (б > О, r + 6<R).
176.	(Продолжение.) Пусть Э)1„(г) имеет то же значение для
[f(z)]ra, какое 9)1 (г) имеет для f(z) (п=1, 2, 3, ...). Тогда
£
lim [Э)1„(г)]п =А1(г).
П—>00
177.	Получить с помощью II 123 новое доказательство тео-
ремы Адамара о трех кругах [III 304].
178.	Доказать следующее обобщение теоремы 160. Пусть
имеет то же значение, что и в задаче 157; тогда в предположе-
ниях теоремы 160 имеет место оценка
|ая|г=с®я(1 - М1п).
170.	Пусть теорема С. Н. Бернштейна о тригонометрических
полиномах [VI 82] известна в следующей неточной форме: сущест-
42
ЗАДАЧИ
вует такая абсолютная постоянная Д’, Д > О, что для тригоно-
метрического полинома n-го порядка <р (О'), не превосходящего по
модулю единицы, выполняется неравенство
| <р' (О) | п + Д.
Как от этой оценки перейти к точной оценке
| ср' (О) | п?
§ 3.	Прямолинейное приближение к существенно особой точке
180.	Существуют целые функции, возрастающие с произвольно
большой скоростью, когда z->co вдоль некоторого луча. Точнее
говоря, какова бы ни была функция <р(х), положительная и моно-
тонно возрастающая при всегда найдется целая функция
g(z), принимающая вещественные значения при вещественных z
и удовлетворяющая при х 5= 0 неравенству g(x)> ср (х). (III 290.)
181.	Существуют целые функции, которые при z->oo вдоль
положительной вещественной оси стремятся к нулю, а вдоль всех
остальных лучей, исходящих из начала,— к бесконечности. Может
ли вести себя так целая рациональная функция?
182.	Существуют целые трансцендентные функции, стремя-
щиеся к бесконечности вдоль всех лучей, исходящих из начала.
Может ли это стремление к бесконечности быть равномерным?
183.	Существуют целые функции, которые вдоль вещественной
положительной оси принимают вещественные значения и стремятся
к 4-оо, а вдоль всех остальных- лучей, исходящих из начала,
стремятся к нулю. Может ли вести себя так целая функция ко-
нечного порядка?
184.	Существуют целые функции 0, которые стремятся
к нулю вдоль всех лучей, исходящих из начала.
185.	Существуют целые функции, которые вдоль лучей, выхо-
дящих из начала в верхнюю (открытую) полуплоскость, стремятся
к 4-1, а вдоль лучей, выходящих из начала в нижнюю (откры-
тую) полуплоскость, стремятся к —1. Более того, сходимость
равномерна в каждом угле е <; arg z < л — е, соотв. — л4-е<
<argz< —8, е > 0.
186.	Пусть плоскость разбита п лучами, выходящими из ну-
левой точки, на п углов. Существует целая функция, которая
в каждом из этих углов (с тем же уточнением, что и в 185) стре-
мится соответственно к а1г а2, ..., а„, где alt а2, ..., ап — произ-
вольно заданные комплексйые числа.
187.	Разобьем каким-нибудь образом лучи, выходящие из нуле-
вой точки, на две категории. Существует ли для каждого такого
разбиения целая функция, которая вдоль лучей первой катего-
рии стремится к нулю, а вдоль лучей второй —к бесконечности?
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ, ГЛАВА 3, § 4
43
§ 4.	Асимптотические значения целых функций
Если целая функция g(z), не тождественно постоянная, стре-
мится вдоль некоторой непрерывной, уходящей в бесконеч-
ность кривой к пределу а, то этот предел а называется асимпто-
тическим значением функции g(z). Например, 0 есть асимптотическое
значение функции ег.
188.	О и оо являются единственными асимптотическими зна-
чениями функции ег.
189.	"j/"у, — "j/"f и оо являются единственными асимпто-
Z _____________________________ х2_
тическими значениями функции ^е 2 dx.
о
190.	Целая функция порядка п (п — целое положительное)
£2п+1
2 ~ 3! (2n-f- 1) + 5! (4n-f- 1) ~ ‘' •
имеет в точности 2п различных конечных асимптотических значений.
191.	Пусть последовательность положительных чисел а0, av
а2, ат, ... выбрана так; чтобы ряд
___ со г*т х2
2ат j e~Tdx
т = 0 О
равномерно сходился в каждой конечной области плоскости z и
представлял, таким образом, некоторую целую функцию g(z).
[Полагаем, например, ат = ехр(—т8"1).]
Показать, что множество асимптотических значений определен-
ной так целой функции g(z) имеет мощность континуума. Точнее:
все значения вида
У, tmam (еот = +1 или —1)
т = 0
являются асимптотическими.
192.	Если целая функция стремится вдоль п лучей, выходя-
щих из начала, к п различным конечным пределам, то ее порядок
больше или равен -у.
193.	оо является асимптотическим значением для каждой
целой не тождественно постоянной функции.
194.	Комплексное число а называется исключительным значе-
нием (в смысле Пикара) целой функции g (г), если функция g(z) — а
имеет только конечное число нулей. Показать, что если исключи-
тельное значение существует, то оно является асимптотическим
значением функции.
44
ЗАДАЧИ
§ 5. Дальнейшие приложения метода Фрагмена-Линделёфа
195.	Пусть функция f (г) неограниченно продолжаема в круго-
вом кольце 0 < | z | < 1. Если при этом / (z) и все ее производ-
ные f (z), f (z), ... остаются ограниченными, то f (z) однозначна
в указанной области и регулярна в точке z = 0.
196а Пусть g(z) — целая функция рода 0 и е —наперед задан-
ное положительное число. Показать, что на всех окружностях
с достаточно большими радиусами
|g(z)|<es!zl
и на некоторых окружностях с произвольно большими радиусами
|g(z) |>е-е!г1.
197а Пусть М (г) — максимум и m (г) —минимум модуля целой
функции на окружности | z | = г. Если
In Г
, 1
и л <-у, то тогда также
limsup-!2^^-=X.	[196,111 332.]
198а Пусть Л1( Х2, Х3,..., Лл, ... — положительные числа и ряд
расходится. Если функция h(t), собственно интегрируемая в ин-
тервале О t sS 1, удовлетворяет условию
1
= 0	(п=1, 2, 3, ...),
о
то h (f) — 0 во всякой точке непрерывности t. (Обобщение теоремы
II 139.) § tzh (/) dt является аналитической функцией от z, III 298.
to
199а Пусть g(z) — целая трансцендентная функция порядка
А.<у с коэффициентами, отличными от нуля, и простыми нулями
wu w2, ..., &уя, ... (wk=£wh если	Если функция h(t),
собственно интегрируемая в интервале 0	1, удовлетворяет
условию
1
\g(wnt)h(t)dt — Q (п = 1, 2, 3, ...),
о
то /г(/) = 0 во всякой точке непрерывности /.[II 139.]
Отдел четвертый, глава з, § s
45
200.	Пусть g (z) — целая трансцендентная функция рода О,
имеющая лишь вещественные и простые нули wt, w2, w3, ...»
wn, ... Если функция h (t), собственно интегрируемая в интервале
О t 1, удовлетворяет условию
1
\g(wnt)h(t)di = G (п=1, 2, 3, ...),
о
то /г(/) = 0 во всякой точке непрерывности t. [Можно, например,
положить g (z) = Jo (Кz) или cos л У z. ]
201.	Положим
+	+ f z2 + ,.. + >z" + ,.. = E(z),
и пусть существуют две такие положительные постоянные р и М,
что
1)	последовательность а0, а^р-1, а2р~2, ..., апр~п, ... остается
ограниченной и
2)	|F(z)| при всех вещественных значениях z.
Тогда для всех вещественных значений z имеет место также не-
равенство
|F' (z)|<pM,
причем равенство достигается лишь для F(z) = A cospz-J-Bsinpz,
где А и В — постоянные. (Обобщение теоремы VI 82.) [III 165.]
202.	(Продолжение.) Пусть d — расстояние точки z от веще-
ственной оси (d = 13z I). Показать, что
|F(z)|=sS
(Аналог теоремы III 270.)
203.	Пусть целая функция G(z) удовлетворяет тем же усло-
виям, что и функция F(z) в 201, и, кроме того, является нечет-
ной: G(—z) = — G(z). Тогда при вещественных z
Равенство может достигаться лишь для функции G(z) = cM sin pz,
|с| = 1, и при z = 0. (Аналог теоремы VI 81.) [III 166.]
204.	(Продолжение.) Вывести 201 из 203.
205.	Пусть целая функция f (z) порядка X, ограничена
вдоль положительной вещественной оси. Тогда для всякого поло-
жительного е при х, стремящемся к + оо по положительным
значениям, имеем
lim x^-^'tx) = 0.
ж —4-00
ОТДЕЛ пятый
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
ГЛАВА 1
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ И ПРАВИЛО ДЕКАРТА
В настоящей главе мы рассматриваем вещественн ые функ-
ции вещественного переменного х; в частности, вещественными
предполагаются и коэффициенты а0, аи а2, ... рассматриваемых
полиномов а0 + аух + а2х2 -ф... -ф апхп и степенных рядов а0 + а1х-|-
-ф«2х2 + ... Далее, в случае, если не оговорено противное, все
вводимые функции предполагаются в указанных интервалах ана-
литическими. Однако утверждаемые теоремы нуждаются лишь
в небольшом изменении или даже вовсе ни в каком при замене
этого предположения более слабым, например при требовании
существования производных до некоторого порядка включительно.
Всюду в дальнейшем нули считаются по своей кратности.
Далее мы рассматриваем последовательности а0, alt а2, ...
вещественных чисел, содержащие конечное или бесконечное мно-
жество членов; порядок членов имеет существенное значение.
Индекс т называется местом перемены знака, если
ат^ат<0, m^l,
либо если
am^i — ат~2 —... — ат-.к+1 = 0 и ат-^ат < 0,
В первом случае ат-х и ат, во втором ат_к и ат обра-
зуют перемену знака. Число перемен знака (= число мест пере-
мены знака) некоторой последовательности останется неизмен-
ным, если члены, равные нулю, будут опущены, а оставшиеся
члены сохранят свое взаимное -расположение.
§ 1.	Нули функций, перемены знака последовательностей
! Последовательности
^о>	^2> •••» И ап, ап-г, ап2, ••> во
обладают одним и тем же числом перемен знака.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 1
47
2.	При вычеркивании членов последовательности число пере-
мен знака не увеличивается.
3.	При вставке между членами последовательности любого
количества членов, равных нулю, число перемен знака не изме-
няется. Точно так же это число не изменится, если рядом с неко-
торым членом последовательности вставить новый, одного с ним
знака.
4.	Последовательность а0, a04-Oi> «1 + 02» •••« Ол-х + Од» «л
обладает не большим числом перемен знака, чем последователь-
ность а0, й1; й2, ...» йл.
5* Пусть бесконечная последовательность а0, alf а2,
имеет лишь конечное число W перемен знака. Показать, что
образованная с ее помощью последовательность
й0. Оо + аХ> й0 + 2й1 + йа, й0 + ^Й!-}-й34-. . •4-й„, ...
также обладает лишь конечным, притом не большим, чем W,
числом перемен знака. [4.] •
Наметим на плоскости прямоугольных координат точки (0, а0)
(1, й^, (2, й2), ..., (п, ап), ... и соединим их в последователь-
ном порядке прямолинейными отрезками (горизонтальные проек-
ции которых, таким образом, все равны единице). На получаю-
щемся чертеже чрезвычайно ясно выступают все места перемены
знака. На кривой y = f(x), изображающей вещественную анали-
тическую функцию /(х), нули этой функции не выступают так
отчетливо, ибо даже при самом точном чертеже не всегда возможно
отличить между собой нули кратности 2 и 4 или нули кратности 3
и 5 и т. д.
6> В интервале, в котором всюду ср(х)>0, функции f(x)
и f (х) ср (х) имеют одни и те же нули.
7.	Если р0>0, рх>0, Рз>0> •••> т0 последовательности
й0, йх, й2 ... и аоро, агрг, агрг, ...
имеют одни и те же места перемены знака.
8.	Пусть значения f(x) в точках а и b отличны от нуля.
То1*да интервал а<х<Ь будет содержать четное или нечетное
число нулей этой функции, смотря по тому, будут ли f(a)nf(b)
иметь одинаковые или же противоположные знаки.
9.	Пусть ау и й* отличны от нуля. Ограниченная ими часть
последовательности Ду, Ду+1, ..., й*_1( д* будет иметь четное или
нечетное число перемен знака, смотря по тому, будут ли Ду и ак
иметь одинаковые или же разные знаки.
10.	(Теорема Ролля.) Если а и Ь— два соседних нуля функ-
ции f(x) [т. е. — f(Ь) = 0, f(x)y=O при д<х<й], то
48
ЗАДАЧИ
в интервале а < х < b производная /' (х) имеет нечетное число
нулей (следовательно, по меньшей мере один).
11.	Если /4-1 и Й4-1 суть соседние места перемены знака
последовательности с0, alt а.,, то разностная последователь-
ность
Я/+1 aj< Oj+% fy+v • • •, ak ak-i> dk+i ak
имеет нечетное число перемен знака (следовательно, по меньшей
мере одну).
12.	Если в интервале о, Ъ функция /(х) имеет N нулей, то
f (х) имеет в этом же интервале самое меньшее N — 1 нулей.
Теорема справедлива независимо от того, будет ли интервал а, b
открытым, замкнутым или полуоткрытым; он может даже при-
водиться к одной точке.
13.	Если последовательность
Go, Gj, G2, • • • , Gn
имеет W перемен знака, то составленная из нее разностная после-
довательность
в!-Go, G2-G1( ..., G„-G„-!
будет иметь самое меньшее W — 1 перемену знака.
14.	Если /(х) в конечном интервале а<х<& имеет N нулей
и удовлетворяет одному из условий
sgn / (а) = sgn/' (а)=#0, sgn/(&) = — sgn/'(&)=£О,
то f (х) имеет в том же интервале (а, Ь) не менее N нулей. Если
выполнены оба условия, то /' (х) в (а, Ь) будет иметь их не менее
чем N 4-1 •
15.	Если конечная последовательность
^01	» ^2» • • • 9
имеет W перемен знака, то образованная из нее последовательность
^0»	^0> ^2	^1» • • • >	&Л-11
будет иметь их не менее №4-1- (За исключением того тривиаль-
ного случая, когда все члены gv последовательности равны нулю.)
16.	Если lim /(х) = 0, то f (х) между а и имеет не
X -♦ 4- СО
меньшее количество нулей, чем /(х). (То же, конечно, будет спра-
ведливо, если вместо 4-оо взять — сю.)
17.	Если lim a„ = 0, то бесконечная последовательность
л —* СО
Go, Gj g0, g2 Gj, ..., an an-i, ...
обладает большим числом перемен знака, чем первоначальная
последовательность
Gq> ^2> • • • »
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 2
49
18.	Пусть f(x) имеет в интервале 0 < х < оо N нулей. Тогда
функция
af(x) + f' (х),
где а вещественно, будет иметь в этом интервале по меньшей
мереМ— 1 нулей; более того, если выполнено условие lim e^fix) —
х ->4-оо
= 0, то указанная функция имеет минимум N нулей.
19.	Пусть бесконечная последовательность о0, а1, а2, ..., ап,...
имеет W перемен знака. Тогда последовательность
аа0, аах — а0, aa2 — alt ..., аа„ —ая_х, ...,
где а>0, имеет по меньшей мере W перемен знака. Если, кроме
того, выполнено условие lim апап = 0, то указанная последова-
п —► оо
дельность имеет даже минимум W4-1 перемену знака.
20.	Если функция f (х) имеет в интервале 0 < х <Z оо N нулей,
X
то функция у (х) dx имеет в том же интервале не более N нулей,
о
21.	Если последовательность а0, alt as, ..., ап, ... имеет W
перемен знака, то последовательность
ао> qo4"gi, °о4~ai-|-°2> •••> a04-ai4-a24-...4-a„, ...
имеет не более W перемен знака.
§ 2.	Изменения знака функции
Мы говорим, что функция f(x) в некотором интервале сохра-
няет знак., в двух случаях, а именно: 1) если она постоянно sgO,
2) если она постоянно 5=0. Пусть интервал a<Zx<Z.b разделен
на Z 4-1 подинтервалов так, что 1) функция f (х) не обращается
тождественно в нуль ни в одном из этих интервалов; 2) в каж-
дом отдельном интервале она сохраняет постоянный знак и 3)
в каждых двух соседних интервалах f (х) имеет противоположные
знаки. Тогда говорят, что в интервале а < х< b f(x) имеет Z изме-
нений знака. При переходе через нуль нечетного порядка анали-
тическая функция претерпевает изменение знака, при переходе
через нуль четного порядка — нет. Понятие изменения знака ока-
зывается полезным и при изучении многих неаналитических
функций.
22.	Пусть функция f (х) отлична от нуля и имеет постоян-
ный знак как в некоторой окрестности точки а, так и в некото-
рой окрестности точки Ь. Показать, что в интервале a<Zx<Zb
функция имеет четное или нечетное количество изменений знака,
смотря по тому, будут ли f (а) и f (b) иметь одинаковые или же
противоположные знаки.
50
ЗАДАЧИ
23* Если функция f (х) имеет в интервале 0 < х <_ оо Z изме-
X
нений знака, то функция §/(x)dx имеет в том же интервале не
о
более Z изменений знака.
24.	Пусть Z — число изменений знака и N — число нулей
функции f(x) в одном и том же открытом интервале. Показать,
что тогда N — Z будет неотрицательным четным числом.
25.	Если f (а) = f (b) — 0, то в интервале а<х<& производ-
ная f (х) имеет нечетное число изменений знака.
26.	Пусть вещественные числа Лх, Л2, ..., Ап не равны нулю
и ах < а2 < • • • < ап- В некоторых случаях можно утверждать, что
дробно-рациональная функция
Л	Л (*2	Л
имеет лишь вещественные нули. В частности, это имеет место
в следующих двух случаях:
1) Лх>0, Л2>0, ..., Ля_.х>0;
2) Лх>0, Л2>0, .... ЛА_х>0, Л*+1>0, .... Л„>0,
Л х -ф Л 2 -ф... -ф Ап < 0, 1 <С k <Z. п.
27.	Тригонометрический полином
f (х) = а0 -ф ах cos х -ф с2 cos 2х -ф... -ф ап cos пх
с вещественными коэффициентами а0, ах, а2, ..., ап наверное
имеет лишь вещественные нули, если выполняется неравенство
I ао 1 + I а1 I + I а2 I + • • • + I 0/1-11 < ап-
§ 3.	Первое доказательство правила Декарта
Под переменами знака и местами перемены знака полинома
«о + охх -ф «2х2 -ф...-ф апхп
или же степенного ряда
°о Н- охх -ф а2х2 -ф ОдХ3 -ф...
понимают перемены знака и места перемены знака конечной или
бесконечной последовательности
а0, alt а2, ..., ап, соотв. а0, аъ а2, а3, ...
его коэффициентов.
28.	Если а положительно, то полиномы Р(х) и Р(ах) имеют
одинаковое число перемен знака.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 3
51
29.	Обозначим числа перемен знака полиномов
Р (х) = а0 + агх + а2х2 +... + апхп,
Р(—х) = а0 — а1х-^а2х2 — ...-\-(— 1)папхя
через W+, соотв. W~. Показать, что
W++W~^n.
30.	Пусть а>0. При переходе от полинома
а04-о1х4-а2х24-...4-«,гх'1
к полиному
(а - х) (а0 + а±х + а2х2 +... + апхп) =
= аа0 + (а «1 —До)х + (ааг — Qi) х2 +... — апхп+1
число перемен знака возрастает и притом на нечетное число.
[Для случая а=1 см. 15.]
31.	Пусть а>0. При переходе от степенного ряда
Gq G^X 4" (Z2X2 4” О3Х3 4" ...
к степенному ряду
(а — х) (а0+ахх + а2х2 + а3х3 + -..) =
= аа0 + (аа! — а0) х 4- (аа2 — <Д) х2 4-  •.
число перемен знака не уменьшается. Более того, оно наверное
возрастает, если первоначальный ряд й04~О1Х4-й2х2 + --- сходится
при х = а.
32.	Пусть а>0. При переходе от степенного ряда
«о + <дх + о2х2 + а3х3 4-...
к степенному ряду
(а + х) (а0+а2х + а2х2+с3х3 + ...) =
= аа0 + (аа! + а0) х + (аа2 + а2) х2 +...
число перемен знака не может возрасти.
33.	При переходе от степенного ряда
Gq 4" G-^X 4" G2X2 4" G3X3 4" • • •
к степенному ряду
«о+aix+a^+^	Qfl + (flo + fll) х + (а0 + Q14-а2) х2 4-  »
число перемен знака не может возрасти.
52
ЗАДАЧИ
34.	Пусть а>0. При переходе от степенного ряда
ао + itх + 2f%2 4“ зг %3 + • • •
к степенному ряду
еУХ
СО
(ао + if X + 2^ & + • •	2
п = 0
Ooa«+("ja1a"-i + ... + a„
nl
хп
число перемен знака не может возрасти.
35.	Пусть рх, р2, рп — положительные числа. Положим
а -L а1Х ]	а2-^2_____|_	. ,_________апхп_______•	_
—-s’1- (Pl— х)(р2— x)	(px — x)(p2 — x)...(pn — x)
= A о -ф A jX -ф A 2x2 4-...
(для достаточно малых x ряд сходится). Показать, что число пере-
мен знака в конечной последовательности а0, а1; а2,...,ап будет
не меньше числа перемен знака в бесконечной последовательно-
сти Ао, Alt А2, ... [Полная индукция, 31.]
36.	{Правило знаков Декарта.) Пусть N — число положитель-
ных нулей полинома а0 -ф агх -ф а2х2 -ф... + апхп nW — число пере-
мен знака в последовательности его коэффициентов. Показать, что
W-N^Q.	[30.]
37.	(Продолжение.) W — N есть четное число.
38.	Пусть р — радиус сходимости степенного ряда а0 -ф агх -ф
-фа2х2-ф..., N — число его нулей в интервале 0<х<р и W—
число перемен знака в последовательности коэффициентов этого
ряда. Показать, что
N^W.
Значит, в частности, если W конечно, то N также конечно. [На-
ряду с 31 применить некоторые сведения из теории функций.]
39.	Степенной ряд
у	у2	уЗ
хч	Л	А>	А-
ГЗГ — 2^3 ~ £ПТ “ •••
не имеет нулей в своем круге сходимости. (Последовательность
его коэффициентов имеет одну перемену знака — теорема 37 на
степенные ряды автоматически не переносится!)
40.	(Продолжение задачи 38.) Если р = оо или же р конечно,
но ряд а0 -фахр -ф«2р2 + • • • расходится, то разность W — N пред-
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 4
53
ставляет собой неотрицательное четное число (здесь предпола-
гается, что W конечно).
41.	Обозначим наименьшее из вещественных чисел 5Х, |2, ...
..., через 5а, а наибольшее — через	Число нулей полинома
аа + Й1 (х — 51) + «2 (х — 51) (х — 5а)“Н • -+ал (х ~ 51) (х — 5г) • • • (х —- 5п),
лежащих в интервале 1а<.х<.со, либо равно, либо на четное
число меньше числа перемен знака в последовательности
Йо, <7j, Йо, • • • > ®л,
а число нулей этого полинома, лежащих в интервале — оо <
<х<5а, точно так же либо равно; либо на четное число меньше
числа перемен знака в последовательности
а0, — alt а2, —а3, .... (— 1)пап.
(При В1 = Ва = ... = 5л равносильно 36, 37.) [35.]
§ 4. Применения правила Декарта
42.	Трансцендентное уравнение
1 + к + ^г + --- + яг=АгХ’
где % — положительная правильная дробь, имеет единственный
положительный корень; с возрастанием п этот корень монотонно
возрастает до бесконечности.
/ _! \-1
43.	Функция —1) положительного переменного х
при х->0 и х->оо стремится к нулю, а в промежутке между
нулем и бесконечностью имеет один максимум^ и вовсе не имеет
минимума.
44.	Пусть радиус сходимости степенного ряда а0-^-а1х +
4-о2х2 + ... будет э=1. Показать, что число нулей этого степен-
ного ряда в интервале 0 < х <_ 1 не превышает числа перемен
знака в последовательности
«о, #о4~а1> а0 + а1 + а2 >	°0 + Q1 + а2 4" • • -"Ь^л,
45.	Уравнение
(19)х "* (щ)%2 + (1э)%3 + •  • + (ig) *18 ~ О,
где (yj —символ Лежандра*), имеет только один положительный
*) По поводу символа Лежандра см., например, И. М. Виноградов,
Основы теории чисел, изд. 8-е, Гостехиздат, 1972.
54
ЗАДАЧИ
корень, именно х=1. [Уравнение —возвратное, так что доста-
точно исследовать нули в интервале 0 < х< 1, применяя 44, 33.]
46. Уравнение 162-й степени
/ 1 \ I / 2 \ 2 , / 3 \	, /162\ 1й, Л
(163Г+ \1бз}* + \1бз)х +••• + (тбз)х “°
имеет ровно пять положительных корней, причем все эти корни —
простые. [Исследовать точку х = 0,7.]
47. (Дополнение к 36.) Если полином а0 -ф а±х + ••• +
имеет лишь вещественные нули, то N=W.
48. Пусть vx, v2, ..., v„ —целые числа, 0^v1<v2<...<v„,
далее 0 < < <х2 <...< Показать, что
а/ с^2 ... af
V  v	v
а* а2 ... а."
1 а 2	а п
'п ап	ап
(Этот определитель является обобщением определителя Вандер-
монда, получающегося при Vj = 0, v2=l..vn = n— 1.) [Дока-
зать сначала, что определитель не равен нулю, 36.]
49.	Пусть а0 =£-(), ап^=0 и 2m последовательных ко-
эффициентов полинома а0 -ф с^х -ф... -ф апхп равны нулю (т — целое
положительное). Тогда полином имеет по меньшей мере 2m мни-
мых нулей.
50.	Пусть полином Р (х) имеет лишь вещественные нули,
причем Р(0)=1, Р (х) const. Положим
= 1 + Ь±х -ф Ь^х2 -ф... -ф Ьпхп -ф...
Полиномы 1 -ф btx -ф b2x2 -ф ... -ф Ь2тх2т имеют лишь мнимые
нули. [49.]
51.	Пусть пг — целое число, большее или равное единице, и
S(X!, х2, ..., х„) = ^х^х2...х^,
где сумма распространена на все системы неотрицательных целых
чисел llt 1г,	, 1п, удовлетворяющих соотношению
4 + 4 • • • + In = 2m.
Показать, что однородная симметрическая функция S (х^ х2,..., х„)
п вещественных переменных х1( х2, ..., хп является положительно
определенной, т. е. больше нуля при всех системах значений хх,
х2, .... х„, кроме хх = х2 =... = х„ = О,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 5
55
52.	Пусть полином Р (х) — хп -ф. •. имеет лишь положитель-
ные нули. Показать, что в разложении
1 _ J । Вп I Дд+Г 1
Р (х) ~ хп ‘ xn+1	х,1+2 ' ’' 
все коэффициенты Вп, Вп+1, ... положительны.
§ 5. Применения теоремы Ролля
53.	Производная полинома имеет не больше мнимых нулей,
чем сам полином.
54.	Кратные нули производной полинома, имеющего лишь
вещественные нули, являются также кратными нулями самого по-
линома.
55.	Все производные полинома, имеющего лишь веществен-
ные и притом простые нули, также имеют лишь вещественные и
простые нули, причем каждый нуль (у-ф1)-й производной лежит
между двумя соседними нулями v-й производной.
_ у
56.	Последовательные производные функции (1 +%2) 2 имеют
лишь вещественные и притом простые нули, причем каждый нуль
v-й производной лежит между двумя соседними нулями (v+l)-fl.
57.	То же, что в 56, имеет место и для последовательных
производных функции х(1+х2)-х.
58.	Полиномы Лежандра, Лагерра и Эрмита можно опреде-
лить посредством формул
Рп  2^пГ dF	е Хрп^ = 7л'^е~ХхПг
[VI84, VI99, VI100]. Показать, исходя из этого определения,
что указанные полиномы имеют лишь вещественные и притом про-
стые нули, расположенные соответственно в интервалах
(—1, +1), (0, -ф со), (—оо, + оо).
(VI 97, VI 99, VI 100.)
59.	Пусть q — целое число 5г 2. Положим
/ х?-1 \ _ Qn (х) dn д _ хЧр / \
dx«-i \l+xV ~ (1+х«)я ’ dx*K ~е
Проведем в плоскости комплексного переменного из начала коор-
динат q лучей, делящих полный угол 2л на q равных частей,
причем одним из этих лучей пусть служит положительная вещест-
венная полуось. Показать, что нули полиномов Q„ (х), Rn (х) лежат
56
ЗАДАЧИ
на этих лучах и распределены на них совершенно одинаково, при-
чем не совпадающие с началом координат являются простыми.
(Частный случай q = 2 рассмотрен уже в 57, 58.)
60> Пусть р, V —целые числа, 0^p<p + v^«. Показать,
что ни один из полиномов
аи 4~
+ (2)	+ •• • +
не имеет больше мнимых корней, чем полином
. / tl\ . / ti\	91	\ I Л \ п 1 1 и
а0 + у агх + у а2х- +... +	J ап^хп 1 + апхп.
(Обобщение теоремы 53.)
61* Пусть ах, а2, ..., ап — положительные числа, не все рав-
ные между собой. Положим
(х + ах) (х 4- а2)... (х 4- ап) = хп + Q mtxn^ 4- Q т?х"-2 4-... 4- тпп,
где mlt т2, ..., т„ положительны. Очевидно, тг есть среднее
арифметическое, а тп — среднее геометрическое чисел ох, оа,..., ап.
Показать, что
тх > т2 > т3 >... > /п„_х > тп.
62. Пусть а вещественно, Р (х) — произвольный полином. По-
казать, что полином аР (х) 4- Р' (х) имеет не больше мнимых
нулей, чем первоначальный полином Р (х). (Обобщение тео-
ремы 53.)
63а Если уравнение
4* flj.x 4”	4" • • • 4” &пхП ~ Q
имеет лишь вещественные корни, то полином
а0Р (х) 4- atP' (х) 4-... 4- апР!п> (х),
где Р (х) — произвольный полином, имеет не более мнимых нулей,
чем сам полином Р (х).
64. Полином
,	Р"(Х) P<IV>(X) P<V1>(X) ,
и “Г 21	3!
имеет не больше мнимых нулей, чем сам полином Р (х).
65. Если уравнение
а0 4- «Хх 4- «2Х2 4-. • • 4- апхП = О
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 5
57
имеет лишь вещественные корни, то тем же свойством обладает
и уравнение
°о+1!Х + Йх2 + --- + п!ХП==О-
66« Пусть Р (х) — полином n-й степени. Если вещественное
число а лежит вне интервала [—п, 0], то аР (х)ф-хР' (х) имеет
не больше мнимых нулей, чем Р (х). (Обобщение теоремы 53, от-
личное от 60 и 62.)
67а Если все нули полинома Q(x) вещественные и лежат вне
интервала [0, nJ, то уравнение
a0Q (°) + OiQ U)х + <hQ. (2) х2(n) хп = 0
имеет не больше мнимых корней, чем уравнение
«о + «хх + а2х3 +... + а„хл = 0.
68а Пусть 0<9<1. Показать, что уравнение
«о +	+ я2<74х2 4-... + anqn2xn = 0
имеет не больше мнимых корней, чем уравнение
а0 + aix +	+... + апхп = 0.
68а Пусть </>0. Показать, что уравнение
2«o + (<7 + ?-1)aix + G/2 + q~V2}a2x2 + ,.. + (qVn + q-Vn)anxn =0
имеет не больше мнимых корней, чем уравнение
«о + aix + агх2 + • • • + апхП = °-
7Оа Если кривая y = f(x) пересекает некоторую прямую в трех
различных точках, то между крайними точками пересечения нахо-
дится по крайней мере одна точка перегиба кривой.
71а Если данная функция совпадает с некоторым полиномом
(п—1)-й степени в n-J-1 точке, то n-я производная этой функции
обращается в нуль по крайней мере в одной промежуточной точке.
72а Разность
58
ЗАДАЧИ
где а ф 0 — вещественное постоянное число, обращается в нуль
в точке х = 0 и больше ни в одной точке интервала (—1, оо).
73. Остаток показательного ряда
уП	уП+1	уП+2
Л । Л	1 Л	1
пГ + (« + 1)1“ + («4-2)1 ‘	•
не обращается в нуль ни при каком вещественном значении х
кроме х = 0.
74.	Показать, что п-я частичная сумма показательного ряда
+ 11 ^2!
либо совсем не имеет вещественных нулей, либо имеет только
один, смотря по тому, будет ли п четным или нечетным.
75.	Пусть полиномы Р1(х), Р2(х), Pi(x) =£0 и имеют
соответственно степени mr — 1, т2 —2.....гщ — 1, далее а1г а2,...
..., aL — отличные друг от друга вещественные числа. Показать, что
g (х) = Pr (х) ea‘x + Р2 (х) ^*х + • • • + Pi (х) e°lX
имеет самое большее тх + т2mz — 1 вещественных нулей.
76.	Пусть a1<a2<...<a„, Рх<Р2<...<рл. Тогда
ea2^i еа2^а ... еа£п
eanh еаЛ ... е“А
(Обобщение теоремы 48.)
§ 6, Доказательство правила Декарта,
принадлежащее Лагерру
77.	Пусть ах, «2, ..., ап, Лх, Л2,..., л„ — вещественные числа,
Zx<X2<XaОбозначим через N число вещественных
нулей целой функции
F (х) = а/^х + а/*х +... + апе'-°х
и через W — число перемен знака в последовательности ох, а2, ...
..., ап. Показать, что W — N представляет собой неотрицательное
четное число. (Отличное от 41 обобщение теорем 36, 37: заме-
нить ех на х.)
Доказательство. Без нарушения общности можно при-
нять, что все числа ах, о2, ..., ап отличны от нуля. Что W — N —
четное, усматриваем из того, что при х~>—-оо главным является
член ахе'-‘х, а прих->4-со — член aneK'ix, [8, 9, 37.] Что W — N ^0,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 6
59
доказываем посредством полной индукции, от W — 1 к W, с по-
мощью теоремы Ролля [решение 75]. В самом деле, если нет ни
одной перемены знака, то, очевидно, N также равно нулю, и тео-
рема, таким образом, верна. Примем, что она верна для случая,
когда имеет место W — 1 перемена знака. По предположению,
F(х) имеет W перемен знака,	Пусть а+1 будет одно из
мест перемены знака,	аааа+1<^0. Выберем некоторое
число X в промежутке ^а<А,<%а+1 и рассмотрим функцию
F * (х) = d te~^(x)] = ах (Хх - X) № +... -ф аа (Ао - %) А* +
+ Gct+1 (^а+1 — ty еКМХ -ф... -ф «„(%„— X) еКпХ.
Обозначим число нулей этой функции F* (х) через N*. Имеем
[6, 12]
Далее, обозначим число перемен знака в последовательности ее
коэффициентов —ах(% —%х), —c?2(Z —Х2), ..., —-аа(Л — Ха),
аа+х(%o+i — л), ..., ап(Кп — Z) через W*. Очевидно,
Но согласно предположению индукции (справедливость теоремы
для №-1)
W* 2s N*.
Отсюда получаем
W^N,
что и требовалось доказать.
Была ли необходимость заранее принимать, что все а1( а2, ...
..., ап не равны нулю? Можно ли было бы выбрать Л = %а или
= ^а+1?
78.	Пусть X1<Z2<Z3<..., limX„ = oo. Показать, что ряд
Я-* СО
Дирихле
-ф а2е ^ +... + arft *"пХ + • • •
внутри своей области сходимости (некоторой ограниченной слева
полуплоскости) имеет не больше вещественных нулей, чем после-
довательность коэффициентов ах, а2... ап, ... имеет перемен
знака. (Обобщение теоремы 38.)
79.	Пусть ах, а2, ..., ап, %х, \.—вещественные числа,
удовлетворяющие условиям
«2=2, av^=0 (v = 1, 2, ..., п),
Пусть, далее, полином
Р (х) = ах (х — Z1)m-ф а2 (х — Z2)m-ф...-ф (х —лф'"
60
ЗАДАЧИ
(т — целое положительное число) не обращается тождественно
в нуль. Показать, что число N вещественных нулей полинома Р (х)
не превосходит числа W перемен знака в последовательности
alt а2, а3,..., an_lt ап, (—[77, 14.]
80* Пусть Z — число изменений знака функции <р (л) в интер-
вале 0 < X •< оо и N — число вещественных нулей интеграла
F (х) = j <р (%) е~Кх dk.
о
Показать, что N^Z.
В число N входят, конечно, лишь нули, находящиеся внутри
области сходимости (некоторой ограниченной слева полуплоскости).
[Не предельным переходом от 77, а надлежащим переносом про-
веденных там доказательств!]
81. Интегралы
§ f (х)хпdx = Мп (n = 0, 1, 2, 3,...)
о
(предполагаемые сходящимися) называются моментами функции
/(х). Рассмотрим случай, когда не все моменты равны нулю [II
139, III 153]. Примем, например, что Л1и=^0, и положим
1)	ап— Мп, если Л4„#^0,
2)	ап — — sgno„+1, если Л4п = 0 и п<р,
3)	ап = — sgna^-i, если Л4„ = 0 и п>р.
(Рекуррентное определение последовательности ап; сначала надо
определить знак а^.) Показать, что число изменений знака функ-
ции /(х) не меньше числа перемен знака в последовательности
а0, alt а2>... (II 140 представляет собой частный случай этого
предложения.)
82* (Продолжение задачи 80.) Число положительных нулей,
лежащих внутри области сходимости, не превосходит числа
к
изменений знака функции Ф (%) = ф (х) dx. (Аналог теоремы 44.)
о
83.	(Продолжение задачи 78.) Число положительных нулей,
лежащих внутри области сходимости, не превышает числа перемен
знака в последовательности
Oj + Og, Oi + Og + Оз, ...
(Обобщение теоремы 44.) [80.]
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 7
61
84* Число положительных нулей факториального ряда
. 1 !ах- ।	2!а2	.____З!а3_____.
х f x(x+l) f х(х+1) (х+2) *
лежащих внутри его области сходимости, не превосходит числа
перемен знака в последовательности
а0>	4*^1 Ч~ й2> • • 
[Оно не превосходит даже числа нулей степенного ряда
/(х) = «0 + П1Х + а2х3 + ...,
лежащих в интервале 0 < х < I; 80, 44.]
85а Пусть коэффициенты р0, pt, р2,... бесконечного (необры-
вающегося) ряда
F (х) = р0 + ргх + р2х2 +...,
имеющего радиус сходимости р, неотрицательны. Пусть, далее,
пх, а2, ... , ап, а1; а2,  • • , rj-n вещественны и
0 < < а2 <... < a„ sg 1.
Тогда число нулей функции
atF (ахх) 4- a2F (а2х) +... 4- anF (апх),
лежащих в интервале 0<х<р, не превышает числа перемен
знака в последовательности
й-т Ял4*йл-1> ап 4~ ап-+ ап-2, . . .
• ••> ctn4*ап-г+  • 4-а24*[38, 83].
86а (Продолжение.) Если 0<	. .< р„ и ослр„ еще
заключено внутри круга сходимости ряда F (х), то
f(ai₽i) F («1₽г) ••• ^(афл)
F(aA) F(a2p2) ... F (а2₽л)
f(a«₽i) ^(афг) ••• F (an₽«)
=#0.
(Отсюда без труда вытекает 76.)
§ 7.	На чем основывается правило Декарта?
Из 36, 41, 77, 84, 85 явствует, что рассматриваемые в них
последовательности функций
1,	X,	X2,	Xs,	....
1,	Х-h, (x-h)(.x-l2),	• • • 9
е^'-,		• • • ,
1,	1 1	1
	x ’	x(x+l)’	x(x+ 1) (x+2) ’ •••’
Е'^х),	F (cc2x),	F(a3x),	..«
62
ЗАДАЧИ
обладают следующим общим свойством: число лежащих в некото-
ром определенном интервале нулей всякой линейной комбинации
из этих функций с постоянными коэффициентами не превосходит
числа перемен знака в последовательности взятых коэффициентов.
На чем же основывается эта применимость правила Декарта
к столь разнообразным последовательностям функций?
87.	Пусть последовательность функций
hi(x), h2(x),..., A„(x)]
следует правилу Декарта в открытом интервале 'a<Zx<Zb, т. е.,
точнее говоря, обладает следующим свойством: какова бы ни была
последовательность alt а2, ... , ап вещественных чисел, не всех
равных нулю, число нулей линейной комбинации
aJh (х) + a2h2 (х) +... + anhn (х),
лежащих в интервале а<х<&, не превосходит числа перемен
знака в последовательности at, а2,	, ап.
Показать, что тогда последовательность (х),/г2 (х),..., /г„(х)
должна обладать следующим свойством: определители Вронского
[VII, § 5]
W[hV1(x), /й>2(х), h^ix), ..., hXl(x)],
образованные для всех систем целых чисел
Vi, V3,... , vz (1 <v1<v2<...<v2=^n),
не должны обращаться в нуль в интервале a<Zx<Zb. Кроме
того, любые два из этих определителей, имеющие один и тот же
порядок, должны иметь и общий знак. (/=1, 2, 3, ... — число
строк). [Принять во внимание кратность нулей.]
88.	(Продолжение.) В частности, для применимости правила
Декарта необходимо, чтобы в интервале а<х<.Ь отношения
Мх) h3 (х) hn{x)
hi (х) ’ Л3 (х) ’ " ’ ’ hn_i (х)
были все положительны и либо все постоянно убывали, либо все
постоянно возрастали.
89.	(Продолжение.) Пусть	Перечисленным в 87
условиям, налагаемым на определители Вронского, одновременно
с /?i(x), Л2(х),.... hn(x) удовлетворяют также п— 1 функций
lj ____ d hf	tj _d h2	tj ____ d h^^f
1 dxha ’	2 — dx ha ’ “ ’ ’	a'1 dx ha ’
tj __ d haJri	j, ___ d hn_j	rj ___ d hn
a dx ha ’ ‘ ‘ ‘ ’	dx ha ’	”~1 — dx ha ’
[VII 58.]
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 1, § 8
63
90. (Продолжение.) Приведенное в 87 необходимое условие
применимости правила Декарта является также достаточным [77].
91.	Проверить выполнение критерия 87 для рассмотренных
в 77 функций еК1Х, ек*х, ... ,
§ 8, Обобщения теоремы Ролля
92.	Пусть Q<_a<Zb. Если /(х) обращается в нуль в «4-1
точке интервала [а, Ь] и все нули полинома а0-j-atxа2х2 +...
... 4-слх'' — вещественные, то в некоторой внутренней точке £
интервала а, Ъ имеет место равенство
й0/ (?) 4- «1/' (?) + й/' (?)+..• 4- anfM ® = о.
[63.]
93.	(Обобщение теоремы Ролля на однородные линейные
дифференциальные выражения.) Пусть дифференциальное уравне-
ние «-го порядка
yw + Фх W у{п-1} 4- Ф-2 W #(я-2) 4- •  -4- Ф« (х) у = 0.	(*)
имеет «—1 решений /гДх), /г2(х),..., hn.1(x), удовлетворяю-
щих в интервале а < х < b условиям
(х) > О,
Й1 (х) hi (х)
й2 (х) hi (х)
О, ...
... ^""^(х)
••• А^-2)(х)
\(х)
h\ (х)
Й.2 (X)
0. (**)
лл-1(х) h’n_x(x) ... h^_^(x)
Если в интервале а<х<& лежит «4-1 нуль функции/(х),
то в этом интервале существует такая точка £, что
(£) 4- Ф1 (?)	(?) 4- ф2 (?) /(я-г) (?) 4-..-
... + ФЛ(?)/(?) = О. [VII 62.]
94.	(Продолжение.) Утверждение теоремы сохраняет силу и
при замене предположения менее сильным, именно, что / (х) совпа-
дает в « 4- 1 точке с одним из решений дифференциального уравне-
ния (*). (Обобщение теоремы 71, относящейся к уравнению у^п> = 0.)
95.	(Обобщение дифференциальной теоремы о среднем значе-
нии на систему функций.) Отношение определителей
А(Х1) /i(x2) ... fi(xn)
fz(xl) fi(x2) ... /2(х„)
Ф1(Х1)	Ф1(х2) ... Ф1(ХЯ)
фа(Х1) ф2(х2) ... ф2(х„)
fn (Xj) fn(xz) fn(xn)
ф/г(Х1) фл(х2) ... ф„(Х„)
64
ЗАДАЧИ
где Xj<x2 <х3<...<хя, можно приравнять отношению опре-
делителей
W /;(?3) ... /'"-«(и
W /.ПУ -
W /'(У - ДП-,)(ВЙ)
Ф1(у Ф;с?2) ... фЧ’Чр
Ф2(у Ф'(Ц ... ФГ”и
ф„(У ф;й2) - Ф^-1)(и
если числам 5?.......5«	придать надлежащие промежуточные
значения:
— ^1>	51 <^52 < Х2’
5-2 < 5з < х3> • • • ’ 5га-1 < 5га < хп*
96.	Пусть х1 < х2 <... < хп. Показать, что
f 1 (*1) /1 (хг)   • fl (хл)
/г (х1) /г (хг) ••• fz (хп) =
fra (х1) fra (хг) ••• fn(xn)
где |j, £2,...,	—некоторые числа, удовлетворяющие неравен-
ствам, приведенным в конце предыдущей задачи.
97.	Показать, что
________________f (Xv)______________ fln-v (S)
(Ху— xi)...(Xv — Xy-i) (Xy— Xy+i) ... (Xy — хл)	(fl—1)! ’
v = 1
где g —точка, заключенная внутри наименьшего интервала, содер-
жащего попарно различные точки х1; х2, ... , хп.
98.	Показать, что
f(x + n/z)-(;)f(x + (n-l)^) + Qf(x+(n-2)A)-...
...+(-l)»f(x) = AV(n) (5),
где заключено между х и x + nh (h может принимать и отри-
цательные значения). В частности, при п—1 имеем обычную
теорему о среднем значении.
99.	(Отличное от 95 обобщение теоремы о среднем значении
на системы функций.) Пусть функции ht(x), h^x),..., hn^(x)
удовлетворяют неравенствам (**) задачи 93, f (х) — произвольная
функция и Xj < х2 <... < хя. Показать, что существует такое g,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 1
65
Х1<£<ХЯ, ЧТО
hi to)	hi to)	... hi (xn)
to)	й2 to)	... /12(Х„)
hn-i to)	hn-i to)	••• hn-l(xn)
/to)	/to)	•• /to)
= sgn
M)	л;© ...	» g)
h2 (?)	h^Q	hf ~ ° ©
hn-r©		fc1’ ©
/©	f ©	••	
[Полной индукцией; принять во внимание 89.]
1ОО> Доказать 76, основываясь на 91.
ГЛАВА 2
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НУЛЕЙ ПОЛИНОМОВ
§ 1. Центр тяжести системы точек
относительно некоторой точки
101- Пусть zlt z2,2п — произвольные конечные точки
комплексной плоскости и в каждой из них сосредоточена соот-
ветственно неотрицательная масса т^, т2,..., тп,
= 1- Показать, что при каждом линейном преобразова-
нии комплексной плоскости, оставляющем бесконечно удаленную
точку неподвижной, центр тяжести £ этих масс также под-
вергается тому же преобразованию. Иными словами: если со-
средоточить массы mY в соответствующих точках в кото-
рые перешли при преобразовании старые точки zv, то центр
тяжести этого нового распределения масс попадает как раз
в ту точку в которую переходит при преобразовании старый
центр тяжести £.
В последующем (102—156) под «точкой» комплексной плоскости
будет пониматься любая, безразлично конечная или же бесконечно
удаленная точка; под «окружностью» — окружность или прямая;
последняя будет рассматриваться как окружность, проходящая
через бесконечно удаленную точку; под «круговой областью» —
замкнутая область, ограниченная «окружностью», т. е. либо
замкнутая внутренняя, либо замкнутая внешняя область окруж-
ности, либо замкнутая полуплоскость, смотря по тому, будет ли
3 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
66
ЗАДАЧИ
бесконечно удаленная точка либо совсем не содержаться, либо
содержаться внутри, либо находиться на границе этого «круга».
102. Пусть даны точки z2,..., zn, г, причем г отлично
от всех zlt z2, ... , zn, в то время как среди последних могут
быть и совпадающие. Пусть, далее, даны массы
/?2хг>0, /?2.2г>0... mn^sQ, m1-[-m2-\-...-[-mn = 'l.
Требуется найти такую точку £, чтобы при линейном преобра-
зовании плоскости, переводящем п-\~2 точки
zn z2,... , zn-, z; g
соответственно в точки
zj, z2, ... , Zn, co; %,
центр тяжести масс mv, сосредоточенных в точках Zv(v=I, 2,...
..., п), попал как раз в
Существует бесчисленное множество линейных преобразований,
переводящих z в бесконечность. Однако точка £ не зависит
от выбора преобразования.
Точка — однозначно определяемая в задаче 102 системой
точек zx, z2,..., z„, сосредоточенными в них массами /их, т2,...
..., тп (т1 + /и2 + .. .-\-тп = 1) и заданной точкой z, отличной
от всех zx, z2, ... , zn, называется центром тяжести системы
точек zx, z2,... , z„ с массами тъ т2, ... , тп относительно z.
Если z —бесконечно удаленная точка со, то £г = £оо совпадает
с обыкновенным центром тяжести.
1ОЗ> Будем брать в фиксированных точках гх, г2,..., г„
самые различные распределения масс с общей суммой 1. Показать,
что центры тяжести £г всех таких распределений, взятые относи-
тельно некоторой точки z, не совпадающей ни с одной из zx,
z2,..., z„, заполнят некоторую область ограниченную дугами
«окружностей».
104.	Пусть — определенный в предыдущей задаче «круго-
вой» полигон и wlt w2 — две его точки. Рассмотрим «окружность»,
проходящую через wlt w2 и z. Показать, что та из двух дуг wlt
w2, которая не проходит через z, содержится в $г, иными словами,
что область «выпукла» относительно z. (Мы будем называть
наименьшей «выпуклой» относительно г областью, содержащей
точки zx, z2, ... , zn.)
105.	Если все точки zlt z2,..., zn содержатся в некоторой
круговой области К, а точка z —вне К, то «круговой» полигон &г
задачи 103 целиком содержится внутри К.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 2
67
г?	1
Бели в точках zlr z2, .... zn сосредоточены р а в н ы е массы—,
то £г называется центром тяжести системы самих точек z1( z2, ...
..., zn относительно точки г. В нижеследующих задачах имеются
в виду только такие центры тяжести.
106.	Пусть Ц-центр тяжести точек z1( z2, .... zn относи-
тельно точки z. Показать, что каждая «окружность», проходящая
через z и £?, разделяет точки zv z2, ..., zn между собой, т. е.
либо каждая из двух круговых областей, определяемых рассма-
триваемой «окружностью», содержит внутри хотя бы одну из то-
чек Zi, z2,..., zn, либо все эти точки лежат на самой «окружности».
107.	(Продолжение.) Пусть все точки zn z2,..., zn содержатся
в некоторой круговой области Д. Показать, что точки z и
не могут одновременно лежат вне Д. Если одна из них,
например z, лежит вне Д, то тогда другая, £г, будет нахо-
диться внутри Д, за исключением того случая, когда все точки
zp z2,..., zn лежат на границе Д: в этом случае и будет нахо-
диться на той же «окружности».
108.	Рассмотрим все возможные системы чисел Zj, z2, ..., zn,
могущих принимать лишь k различных фиксированных значений wlt
w2, ... wh. Показать, что центры тяжести всех таких систем,
взятые относительно точки z, не совпадающей ни с одной из точек wt,
w2, ..., wk, лежат всюду плотно в наименьшей области, «выпук-
лой» относительно г, содержащей точки wlt w2, wk.
109.	Пусть точки zx, z2, ..., zn фиксированы, а переменная
точка z стремится к zx. К какому предельному положению стре-
мится центр тяжести системы точек zlt z2, ..., zn относительно
точки z?
110.	Центр тяжести Ц, системы конечных фиксированных
точек Zj, z2, ..., zn относительно переменной точки z может быть
разложен для достаточно больших z по убывающим степеням г.
Вычислить первые два члена разложения.
§ 2. Центр тяжести полинома относительно некоторой точки.
Теорема Лагерра
В последующем (111-—156) под целой рациональной функцией
(полиномом) ft-й степени мы понимаем не равную тождественно
нулю функцию
/ (г) = а0 + ("j axz + Q c2z2 + • • • + (n 2 j) an^znl + anzn.
При этом коэффициент an не обязательно отличен от нуля. В слу-
чае, если ая=#0, мы будем говорить, что п есть т о ч н а я степень
полинома /(г). Если ап = апЛ = ...== ап_к+1 = 0,	то мы
3*
68
ЗАДАЧИ
будем говорить, что f(z) имеет точку z = oo нулем кратности fe1).
В этом понимании каждая целая рациональная функция н-й сте-
пени имеет вообще п нулей, из которых некоторые могут лежать
в бесконечности. Таким образом, функцией /(г) определяется
в комплексной плоскости некоторая система точек z15 г2, ..., zn —
нулей этой функции. И обратно, каждой системе точек можно
отнести некоторую целую рациональную функцию, коэффициенты
которой определены с точностью до множителя пропорциональ-
ности. Мы часто будем отвлекаться от этого несущественного
множителя и говорить просто о полиноме, имеющем нулями zx,
z3....гп.
111.	Под центром тяжести £ целой рациональной функции
понимают центр тяжести ее нулей. Выразить центр тяжести f(z)
относительно переменной точки z: 1) через f(z) и f (z) и 2) через
коэффициенты f(z). Рассмотреть случаи z = oo и f(z) = zn.
112.	Пусть £ —центр тяжести /(z) относительно г. Для того
чтобы /.(г) имела лишь вещественные нули, необходимо и доста-
точно, чтобы при всех значениях z мнимые части z и £ имели
противоположные знаки, либо обе одновременно исчезали (г— со
причисляем к вещественным нулям).
113.	Относительно какой точки z плоскости бесконечно уда-
ленная точка является центром тяжести функции f (г)? Что озна-
чают для этой точки теоремы 106 и 107?
114.	Пусть f (z) — полином точной степени п, Д’ —круговая
область, содержащая нули полинома f (г), и с^О. Показать, что
нули производной от трансцендентной функции е ~zic f (z) лежат
либо в К, либо'в К. + пс, т. е. в круговой области, получаемой
из К параллельным смещением на вектор пс. [См. III 33; рас-
смотреть центр тяжести /(z) относительно одного из интересую-
щих нас нулей.]
115.	Пусть zx —один из нулей полинома п-й степени /(z), далее
х (x^=Zf) конечно и f'(x) = O. Тогда f(z) имеет в каждом круге,
проходящем через точки х и х — (п — 1)^ — х), по меньшей мере
один нуль.
116.	Пусть f (z) — полином ft-й степени, все нули которого
по модулю 1. Пусть, далее, ос1 и — такие положительные
числа, что	Тогда все нули функции a^f (z) — aj (z) по
модулю 5= Min (1, 1 — ft k
x) При введении несобственных элементов и употреблении однородных
координат, что находилось бы в полной гармонии с проективным характером
рассматриваемых здесь вопросов, всех этих специальных разъяснений отно-
сительно бесконечно удаленной точки и связанных с этих отдельных рас-
смотрений различных случаев можно было бы избежать вовсе.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 2
69
117.	Пусть /(г) — полином п-й степени, все нули которого
лежат в круговом кольце гsg|z|sgR. Пусть, далее, а( и «1—
любые положительные числа, для которых п~=/=1. Тогда все
нули функции apzf (z) — a2f (?) лежат в круговом кольце
г Min (1,11 — n--1 ) sg I z I sg: R Max (1, 11 — n — I 1'j.
\ I «2 I 1	' '	\ I «21/
118.	Пусть z, —один из конечных нулей целой рациональной
функции n-й степени f (z). Показать, что центр тяжести осталь-
ных п— 1 нулей f(z), взятый относительно zx, равен
1 Г (*х)
Как нужно изменить эту формулу, если zv — бесконечно удален-
ная точка?
119.	Полином Эрмита «-го порядка удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению
f"^-zf' (z) + «f(z)=O
[VI 100, решение ж)]. Показать, основываясь на 118, что поли-
номы Эрмита имеют лишь вещественные нули [VI 100, решение и)].
[Рассмотреть гипотетический нуль с наибольшей не равной нулю
мнимой частью.]
120.	Полином n-й степени, удовлетворяющий дифференциаль-
ному уравнению
(1 - г2) /" (z) - 2zf (г) + п (п + 1) / (z) = О
(полином Лежандра n-го порядка, см. VI 90), имеет лишь веще-
ственные нули. (VI 97.)
121.	Теорема Гаусса [III 31] равносильна следующей: если
все нули полинома / (г) лежат в круге К, то и нули его производ-
ной f (г) лежат в К [ИЗ]. Установить, верна или неверна сле-
дующая теорема: если все нули полинома /(г) лежат в двух
кругах Кх, К2, то и нули производной лежат в или /<2.
Пусть и 7<, — два круга или даже две любые круговые
области. Совокупность точек
z=n^ + n^i
п1 + я2 ’
где п1 и п2 — фиксированные положительные числа, a zt и z2
независимо друг от друга пробегают соответственно /Q и К2,
Условимся называть средней областью круговых областей и М2
70
ЗАДАЧИ
и символически обозначать
д __
«1 + »л
К вполне определяется заданием /С1( /С2, ni и пг- [См. Н. Min-
kowski, Werke, т. 2, стр. 176, Leipzig, В. G. Teubner, 1911.]
122.	Пусть и К2 — Два круга с центрами соответственно
z)01 и z201 и радиусами г± и г2. Показать, что тогда
дг __ ~Ь n.\Ki
п1 +п2
будет тоже кругом, центр которого г'0) и радиус г определяются
равенствами
(о) = п^+п^’ г =
п1 + пг ’	n-i^-n2
Круги /Cl /С2 и К имеют общий центр подобия.
123* Пусть и /С2— полуплоскости с параллельными кра-
ями, одна из которых содержит другую. Тогда «средняя область»
Пу +«2
тоже будет полуплоскостью, край которой параллелен краям плоско-
стей Ki и /С2 и делит расстояние между ними в отношении п1: п2.
124.	Пусть /(z) = /х(z)/2(z), где /у(?) — полином п1-й степени,
а /2 (z) — полином п2-й степени. Пусть, далее, все нули полинома
лежат в круговой области/^, а все нули полинома f2(z) —в кру-
говой области К2. Тогда нули производной f (z) лежат либо в К1(
либо в /<2, либо в «средней области»
д _
Щ + п2
(Здесь под степенями полиномов (z) и /2 (z) понимаются их точ-
ные степени.)
125.	Пусть f(z) —дробно-рациональная функция, числитель
и знаменатель которой — взаимно простые. Пусть, далее, ее нули
(полюсы) в числе пг лежат в круговой области /Ср а полюсы
(нули) в числе п2 — в круговой области К2. (Мы рассматриваем
лишь конечные нули и полюсы.) Пусть, наконец, пг^=п2. Тогда
нули производной f (z) лежат или в или в К2, или в области К,
образованной точками
Щ —«2	’
где zx и z2 пробегают независимо друг от друга соответственно
Ki и /<2; в символическом обозначении:
П1 — П2 ’
ОТДЕЛ Пятый, ГЛАВА 2, § 3
71
Если пх = п2 и круговые области и К2 не пересекаются, то
все нули производной f (z) лежат либо в Klt либо в /С2.
126.	Пусть все корни уравнения
где / (?) — данный полином, лежат в некотором овале *) Ох. Пока-
зать, что все точки а, для которых это будет иметь место, также
будут находиться в некотором овале О2.
127.	Пусть f (z) — некоторый полином, пусть, далее, его а-точки
(нули полинома /(z) — а) лежат в круговой области Ki, а его ft-
точки—в круговой области /<2. Пусть, наконец,
с пх& + /г2а
П1 + П2 ’
где пх и п2 — положительные числа. Показать, что с-точки полино-
ма f(z), не лежащие ни в ни в /<2, лежат в «средней области»
yz__я1^2 ~Ь
rtf -f"^2
[/ij и п2 можно предполагать целыми.]
§ 3. Производная полинома относительно некоторой точки.
Теорема Грэйса
Под производной целой рациональной функции п-й степени f(z)
относительно точки £, символически Atf(z), мы будем понимать
при ? = сю обыкновенную производную, а при конечных значе-
ниях £ — выражение
^(гМ-г)Г (z)4-n/(z);
Atf(z) есть целая рациональная функция (п— 1)-й степени* 1).
128.	Пусть коэффициенты функции f(z) (в записи стр. 67)
будут
а0, аи а2, ..., ап,
AJ(z)
Как запишутся п коэффициентов функции —-—?
129.	Показать,, что операция Atf(z), где t, произвольно, ли-
нейна: если Л(г) и f2(z) —два полинома n-й степени, а сг и с2—
произвольные постоянные коэффициенты, то
A z [С1Л (z) + cj2 (z)] = с±А (г) + с2А tf2 (г).
*) Под овалом здесь можно подразумевать любое выпуклое множество
точек.
1) При употреблении однородных координат это образование называют
первой, полярой, у старых авторов также emanant; см. Laguerre, Oeuvres,
т. 1, стр. 48. Paris, Gauthier-Villars, 1898.
72
ЗАДАЧИ
130а Пусть f(z) = g(z) h (г) — разложение полинома f(z) п-й
степени на два множителя g(z) и h (г) соответственно степеней k
и I, k + 1—п. Показать, что при всех значениях £
A zf (z) = g (г) A (z) + h (z) A tg (z).
131a Пусть /(z) —полином n-й степени,- и ^ — произволь-
ные постоянные. Показать, что операции Л;,/(г) и A^f(z) пере-
становочны; иными словами,
[Лtj (г)] = А[AzJ (г)] = AM (г).
1321 Показать, что Л^(г) = О тогда и только тогда, когда
все нули полинома / (г) совпадают с £.
Под производной системой системы п точек zx, z2, ... , zn от-
носительно («+ 1)-й точки t, понимают п — 1 нулей z't, z',, ..., z'n-i
функции А^(г), где f (z) — полином n-й степени, имеющий нулями
zx, z2, ..., zn; нули считаются согласно общему определению
(стр. 68). Производная система вполне определена, за единствен-
ным исключением того случая, когда все п-\-1 точки zx, z2, ..., zn,
совпадают (см. 132).
133.	Если конечно, то в производной системе относительно
точки С содержатся вообще точки четырех родов:
1)	Конечные отличные от zlt z2, ..., z„, £ точки, относительно
которых центром тяжести системы гх, г2, ..., гп служит как раз £.
2)	Отличные от £ кратные конечные нули функции /(z), каж-
дый уменьшенной на единицу кратности.
3)	Само, t, лишь в том случае, когда оно является нулем / (г),
и тогда с той же кратностью.
4)	Точка оо, либо если она является по меньшей мере дву-
кратным нулем /(г), либо если она совсем не является нулем
f(z), но зато £ является обыкновенным, т. е. взятым относительно
точки оо, центром тяжести /(г).
134.	Всякая круговая область, граница которой проходит
через точку £ и одну из точек производной системы, содержит
и точки первоначальной системы.
135.	Всякая круговая область, содержащая точки zx, z2, ...
..., zn и не содержащая точки £, содержит также все точки про-
изводной системы системы точек zx, z2, ..., z„ относительно £.
136.	Производная система системы точек гх, z2, ..., z„ отно-
сительно точки С заключается в наименьшем выпуклом относи-
тельно £ круговом полигоне, содержащем zx, z2, ..., zn. (Обобще-
ние теоремы III 31.)
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 3
73
137.	Если f(z) n-й степени, то (Xs)n-y(z) будет первой сте-
пени. Вычислить единственный нуль функции (Ar)'l-1f (z).
138.	Пусть
/ (г) = а0 + a±z +	а2г2 +.. • + 11 ] an^zn^ -f- anzn
— произвольный полином n-й степени и Ск Ц, ...,	—произ-
вольные точки комплексной плоскости. Показать, что выражение
А&, С2, ... , ^)/(г)=^Л£ЛЕа...Д^(г)
представляет собой симметрическую функцию переменных £х, £г,...
..., линейную относительно каждой из переменных; именно:
Л (£р ?2» •••> ^)/(2) = аоХо + «1^1 + й2И2 + '-- + |2п-1Хп-1 + «п]1л,
где v0, Si, 2г,..., S«-i, S« — элементарные симметрические функ-
ции от £х, £2, • ••, &•
So=l.
Si = Ci+£2+•  •+
S2 = C1C2 + C1C3 + • • • + Сл-1Сл,
Sn — C1C2 • • • C«.
Если из чисел Ci, C2, •  •. Сл, скажем, k последних (и только они)
лежат в бесконечности, то нужно положить
So= Si= • • •= S&-1 — 0> Ss=l> Sa+i — CiH-С2 + .• •+Сл-а»
Sft+2 = С1С2 + С1С3 + • •  + Сл-*-1Сп-*» • • • > Sn — С1С2 • • • Сл-Й.
139.	Пусть
/ (г) = а0 + Q axz -ф + • • • + (га 21) ^-i2"-1 + апгп
— произвольный полином n-й степени с нулями zlf z2, .... zn и
g (2) = b0 + (") brz 4- (”) b2z2 +  • • + (n 21) bn-^"-1 + bnzn
— произвольный полином п-й степени с нулями Ci. • • • > Сл-
Вычислить Л (Ср с2, ..., Сл)/(г) и A(zlt г2....zn)g(z).
Если оба полинома задачи 139 связаны друг с другом таким
образом, что
Л (Ср С2, ..., Сл)/(г) = 0
или, что то же [решение 139],
. Л (zx> z2, ..., z„)g(z) = 0,
74
ЗАДАЧИ
то они называются аполярными. Название имеет своим основа-
нием обращение в нуль n-й поляры Л^ Л^ ... Л^ f (z). Условие
аполярности таково:
~ (i)+(2) а-Ьп~^—1 (п 21)- А+
+ (—l)nfl„&0 = 0.
[139]	. Системы zx, z2, .... zn и £х, С2, также называются
взаимно аполярными.
140* Истолковать геометрически аполярность zx и £х, а также
2Х, Z2 И £х, £2.
141.	Найти системы £х,	..., t,n, аполярные к системе корней
двучленного уравнения zn — 1= 0.
142.	Пусть zx, z2,	, zn — произвольная система точек. Су-
ществует п систем совпадающих точек £,	..., £, аполярных
к заданной системе. Определить их.
143.	Полином n-й степени
f (z) = 1 — z + czn
аполярен к любой системе чисел, сумма которых равна п, а про-
изведение — нулю.
144.	Пусть f(z) —любой полином д-й степени, все нули кото-
рого лежат в круговой области К. Пусть, далее, £х, £2...
(k<.п) — любые точки, лежащие вне Д'. Показать, что все нули
полинома (д — k)-n степени Л£ Ле ... Л^/(г) также лежат в Д.
145.	Пусть полиномы д-й степени /(z) и g(z) взаимно апо-
лярны. Показать, что каждая круговая область, содержащая все
нули одного полинома, содержит по крайней мере один нуль
другого.
146.	Пусть полиномы п-н степени /(z) и g(z) взаимно апо-
лярны. Показать, что наименьшие выпуклые полигоны, содержа-
щие соответственно все нули f(z) или g(z), имеют по меньшей
мере одну общую точку. Вообще: всякие два наименьших «вы-
пуклых» относительно одной и той же точки круговых полигона,
содержащих соответственно все нули f(z) или g(z), имеют по
крайней мере одну общую точку.
147.	Полином
1 — Z + czn
всегда имеет нуль в круге | z | sg 2.
148.	Полином
1 — Z 4- czn
всегда имеет нуль в круге
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 2, § 3
75
149.	Показать, что (^+ 1)-членный полином
1~г + с2г^ + с3г^ + ... + с/^	(1 =vx<v2< v3<...< vA)
всегда имеет нуль в круге
и, значит, в круге \z\^k. (Обобщение теоремы 147.)
150.	Если полином n-й степени в двух точках а и b(a=^b)
принимает одинаковые значения, то его производная имеет по
меньшей мере один нуль в круге, имеющем центром середину от-
резка ab и радиусом - а—2~  ctg —. (Аналог теоремы Ролля для
комплексной области.)
151.	Пусть
f (z) = а0 + (J)	Q a2z2 +... + (rt21)	+ anzn
—	полином /г-й степени, все нули которого лежат в круговой области
А, далее
g(?) = Ьо + (") bxz + Q) &2z2 + • • • +	+ bnzn
—	полином ft-й степени с нулями р1( fJ2, ..., fJra. Показать, что
каждый нуль у составленного путем их «композиции» полинома
/1(2)= aobo + a^z +	+ ••• + („21) ^n-ibn-iZ^1 + anbnzn
имеет вид
V = —
где v — надлежаще выбранный индекс, a k — надлежаще выбран-
ная точка в К. (при этом полагаем сю  сю = сю и 0-оо = неопре-
деленности).
152.	Пусть нули полиномов n-й степени /(z) и g(z) лежат
все в единичном круге | z | -С 1 й притом по крайней мере у од-
ного—в |zj<l. Тогда и у полинома, полученного из этих двух
посредством композиции [151], все нули будут лежать внутри
круга | z | < 1.
153.	Пусть все нули полинома ц-й степени /(г) лежат в неко-
торой выпуклой замкнутой области ft, содержащей начало коор-
динат,- Пусть, далее, полином той же степени g(z) имеет лишь
вещественные нули, лежащие в интервале [—1, 0]. Тогда и у по-
линома n-й степени /i(z), составленного посредством композиции
[151] из / (z) и g(z), все нули будут содержаться Тв области ft.
154.	Если все нули полинома n-й степени
/ (z) = а0 + Q axz + Q а2г2+•• + („ 21) an-iZn~l + anzn
76
ЗАДАЧИ
лежат в вещественном интервале — а, а, все же нули полинома
n-й степени
g (г) = Ьо + bxz + Q b2z2 + • • • + (n,2! ) bn-xzn~l + btlzn
— в интервале — b, 0 (или О, Ь), то нули полинома п-й степени
h (z) = aobo + a&z + Q a2b2z2 + ••• + („ 21) вп-ib+ anbnzn
лежат все в интервале —ab, ab- (а, b — положительные числа).
155» Пусть все нули полинома п-й степени
а0 + axz + a2z2 +... + anzn
— вещественные, а все нули полинома п-й степени
bo + bi? + b2z2 4- bnzn
— вещественные и одинакового знака. Тогда все нули полинома
aobo + a^z + a2b2z2 +... + anbnzn
— точно так же вещественные (z = co причисляется к вещест-
венным нулям).
156» При сохранении предположений задачи 155 все нули
полинома
aobo + 1 Ic^z + 2 la2b2z2 +... + п\anbnzn
— также вещественные.
ГЛАВА 3
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1, Приближение нулей трансцендентных функций
нулями рациональных
157. Показать, исходя из соотношения
/ iz \п
lim 1 4—1 =cosz + isinz,
П —» со \	п /
что cos z и sin z не имеют мнимых корней.
158» Показать, исходя из соотношения
Пт =
л->со\ п>
что ни одна из производных от функции е~г2 не имеет мнимых
нулей.
СТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 1
77
159. Функция Бесселя
г / \ i	1 f2 V I 1 (2 V 1 /'z\6,
Jo\z)— 1 111! 2/ "г 2!2! \ 2 /	З.'З! \ 2 J + • • •
не имеет мнимых нулей. Доказать это четырьмя различными спо-
собами, исходя из следующих четырех различных представлений
этой функции:
a)	^(z) = Jim (-1)л(1+ЙР«(&+5)	tVI 85Ь
б)	J0(z)= Hm	[VI 99, решение б)],
В)	jo (z) = ~ j е/г S* о d&	[III 148, 56],
—Л
г)	dt	[III 205].
160.	Целая функция
^) = 1+ц + (‘&+(Йг + ---’
где q — целое число ^2, не имеет мнимых нулей. Опираясь на
59, можно дать этому два различных доказательства.
161.	Пустьа=эО, О<а1<ос2-Сос3<... и ряд ^ + ~+“+•••
сходится. Показать, что целую трансцендентную функцию
=	--W1 --V1 --V .•
° ' 7	\	«1/ \	а2/ \	а3/
можно представить в виде предела некоторой последовательности
полиномов, имеющих лишь вещественные положительные нули.
162.	(Продолжение.) Пусть
g(z) = l+^z + f z2 + fp + ...
Показать, что полиномы
1 + ^1 j а12-Н 2J й2г2 + - • •+	1 j an-lZ X+anZ
(/i=l, 2, 3, ...) имеют лишь вещественные положительные
нули [63].
163.	(Продолжение.) В интервале 0 < х аг
и вообще
Cl+^+^ + .-. + g^"”	(m-1. 2, 3. ...).
78
ЗАДАЧИ
[Таким образом, в интервале 0 <2x^04 функция g(x) обверты-
вается своим рядом Маклорена; 55, 72.]
164.	(Продолжение.) Пусть а<1. Показать, что целая функ-
ция от г, определяемая интегралом
5	—t2)cosztdt,
о
имеет лишь вещественные нули [63].
165.	Пусть а, р, р1( р2, рз, ... — вещественные числа, a$sO,
pv 0, и ряд Л + Л + •. • сходится. Показать, что целую транс-
Р1 Рз
цендентную функцию
.	\ ~ /	\ ._
G(z) = е-«2г+рг [ J Ui /1 _ 2 U, t >t
\	Р1/	\	₽2/
можно тогда представить в виде предела некоторой последова-
тельности полиномов с вещественными лишь нулями.
166.	(Продолжение.) Если
G (z) = 1 + jy- z + gl z2 -J- z3 4-...,
то
%4-%+i>0	(m=l, 2, 3, ...).	[49.]
167.	(Продолжение.) Если G(z) не имеет положительных
нулей и а0, alt а2, •••> ап — вещественные числа, то полином
a0G (0)4-c1G (1) z4*«2G (2) z24*- •  +anG (ft) zn
не может иметь больше мнимых нулей, чем полином
«о "4*	"4* аг^ + • • • + anZn-
[68, 69 —частные случаи этой теоремы.]
168.	Показать, основываясь на 167, что функция Бесселя
J0(z) не имеет мнимых нулей [II 31].
169.	Показать, основываясь на 167, что целая функция
задачи 160 не имеет мнимых нулей.
170.	Интеграл
cosztdt = Fa(z),
о
где а —целое четное число >;2, представляет собой целую функ-
цию, не имеющую мнимых нулей. [167.]
171.	(Продолжение.) При а2>1 интеграл все еще представ-
ляет собой целую функцию; если а не является четным целым
числом, то эта функция имеет лишь конечное число вещественных
нулей.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 1
79
172.	Уравнение
tg z — z = О
имеет лишь вещественные корни. [26.]
173.	Пусть в интервале 0“<Х-С1 функция f (t) дважды диф-
ференцируема, причем/"(О непрерывна, далее/(/)> 0,/'(/)< О,
Тогда четная целая функция
1
E(z) = §f(O coszt dt
о
имеет бесконечное множество и притом вещественных нулей. (Это
утверждение связано с теоремой III 205, однако отлично от нее.)
[26, III 165.]
174.	Пусть <р(/) собственно интегрируема в интервале 0s=;
/ss: 1. Если
Si <р(ои< 1,
о
то целая функция
1
F (z) = sin z — $ <р (f) sin zt dt
о
имеет лишь вещественные нули. [27.]
175.	Пусть функция f(t) вещественна и имеет непрерывную
производную в интервале 0 sg t-c 1. Если
о
то целая функция
1
F(z) = $/(/) cos ztdt
о
имеет лишь вещественные нули. (Условие выполняется, в частно-
сти, если /(0)2з0 и f(/)^0 в интервале 0-с/'С1; см. III 205.)
176. Целая функция
/?(г) = 1+- + г| + ^ + ... + 5 + ...,
а а* а3	ап
где а 2, равно как и все частичные суммы ее степенного ряда
имеет лишь отрицательные вещественные простые нули. [III 200.]
80
ЗАДАЧИ
177.	Пусть функция f(t) положительна и имеет непрерывную
производную в интервале	Пусть, далее,	суще-
о
ствует. Показать, что определяемая интегралом
1
о
целая функция не имеет нулей:
в полуплоскости Кг 0, если f (t) > О,
в полуплоскости Кг-сО, если /'(()<().
[Доказывается не как III 205 предельным переходом из III 22,
а целесообразным перенесением самого доказательства теоремы
III 22.]
178.	Доказать III 189, основываясь на 177.
179.	Остаток показательного ряда
гл+2 2п+3
(п + 1)! + (п+2)! + (п+3)! + • ’ •
не обращается в нуль ни в одной точке полуплоскости
(п=1, 2, 3, ...), кроме z = 0. Случай п = 0 представляет исклю-
чение: все нули лежат на граничной прямой полуплоскости Кг+;
•+0, т. е. на оси у. (Отсюда легко вытекает 73.) [177.]
со
180.	Если У сходится, то
I ап I
п = 0
/4z) = a0 + ai2 + a3z24-... + a„z', + --.
— целая функция. Обозначим нули F(z) через zx, z2, ..., zn, ....
Показать, что ряд
Kp + KF + --' + ri + ’--
сходится.
181.	Если все нули некоторого полинома с вещественными
коэффициентами — вещественные и простые, то между двумя
соседними нулями полинома лежит лишь один нуль его производ-
ной. Верна ли эта теорема также для целых трансцендентных
функций?
182.	Пусть
F(x) = e«W,
где Н (х) — полином степени ++. Показать, что по крайней мере
dF d2F
одна из двух первых производных и имеет не только
Lt-Л	Lt Л
вещественные нули.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 2
81
§ 2. Точное определение числа нулей
при помощи правила Декарта
Полиномом m-й степени
f (z) == а0 + atz + а?? +... + amzm
с вещественными коэффициентами а0, аг, а2, ..., ат (ат 0)
порождаются следующие три сопровождающих полинома, завися-
щие от параметра и:
P(z, K>') = aa-\-a1z-\-a2z(,z — vi)-\-...-\-amz(.z — и)... [z — (m — I) и],
Q(z, со) = с0[1 +z — (m—1) и][ 1-рz —— (ш—2)и]...(1-pz—со)(1-J-z)-J-
+ «1(1 4-z — (m — 1) и][1 +z —(m —2) co],. .(1 -}-z —co) z +
+ a.2 [ 1 + z — (m — 1) и] [1 + z — (m — 2) co]... (z — и) z +
+ am_t[l 4-z —(m— 1) co][z —(m —2) co],.. (z —co) z +
+ am [z — (m — 1) co] [z — (m — 2) co]... (z — co) z,
R(z, co) = ao[l—-z+(m—l)co][l —z+(m—-2)co]...(l—z+co) (l — z) +
+ a1[l—z + (^—l)co][l — z + (m — 2)co]...(l—z + co)z +
+ a2 [I — z + (m — 1) co] [1 — z + (m — 2) co]... (z — co) z +
—z + (m — l)co][z — (m — 2)co]...(z — co)z +
4- am [z — (m — 1) co] [z — (m — 2) co]... (z — co) z.
При одновременной замене г на —z, со на —со и av на (—l)vav
(v = 0, 1, 2, .... т) Q(z, со) переходит в R(z, со).
183> Положим
СО
ft —о
со
f (г) (1 _ zyk-i у	V (k_ целое > т- 1),
п=0
k-j-tn— 1
/(г)(1+г)*->= 2	C'V (Л-далое S.1).
ft —О
Выразить коэффициенты B(nk), C(nk) через сопровождающие
полиномы P(z, со), Q(z, со), R (z, со) полинома /(z).
82
ЗАДАЧИ
184. Доказать формулу
гf— 4-1)	1 i+z z+® , , .
,,+г Л г, (d-o “t »? л,
где
и>0, — 1 4-(т—1)(о<Э1г<;0.
Найти аналогичные формулы для Р(г, со) и R (г, со).
185. Обозначим число нулей полиномов
/(z), Р (г, и), Q(z, и), /? (z, со)
в открытом интервале а < z < b соответственно через
Й, < Dt С
Показать, что имеют место неравенства
8“^^+(т-1)и
^ooS^loo,
8-00 5= П- 1 + (т- 1) ®,
81,5^00, 8=^Э?Г+(т-1)<0
в предположении, что со>0; во второй строке, кроме того, должно
быть (т — 1)ю<1 и, наконец, в последнем неравенстве первого
столбца or1 должно быть целым числом. [38, 80.]
186. (Продолжение.) Если еще предположить, что на концах
соответствующего интервала (т. е. в точке z = 0, или 1, или —1)
функция f(z) не обращается в нуль, то по поводу неравенств
предыдущей задачи можно добавить, что разность обеих частей
представляет собой четное число (возможно равное нулю). Почему
нет необходимости вводить новые предположения относительно
точки z = -|- ОС?
187. Три степенных ряда задачи 183 обладают следующими
свойствами:
1.	Они содержат не меньше перемен знака, чем полином /(z)
имеет нулей соответственно в интервалах (0, + оо), (О, 1), (0, 4- со).
2.	С возрастанием k число перемен знака не возрастает.
3.	При достаточно большом k число перемен знака срав-
няется с числом нулей /(z) в соответствующем интервале.
188. Отнесем вещественному полиному m-й степени f (z)
в качестве четвертого сопровождающего полинома
J (z, со) = f (mco) —^j/[(m—1) со] z4-
+ $ f[(m - 2) со] z2 -... + (—1)от f (0) zm,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ, ГЛАВА 3, § 3
83
где и>0. Обозначим аналогично 185 через За число нулей поли-
нома </(z, со) в открытом интервале a<.z<.b. Показать, что
имеют место неравенства
Sco	cyl с>0	су со <>^<0 суО
т® ivO, d — co	1 , ОО	со*
Если, кроме того, f (0)у=0, f(mco)y=0, то разности двух частей
этих неравенств будут четными числами.
189. Число нулей вещественного полинома m-й степени f (z)
в интервале та < z < оо не превышает числа нулей полинома
Д'”/ (0) +	Д'”-1/ (0) z + Л (0) z2 +... + / (0) zm
в интервале 0 < z < 1. Здесь
А7(0) =
==/(vco)-(i)h(v-l)®] + g)/[(v-2)co]-... + (- 1Н(0)
(v = 0, 1, 2, ..., m).
§ 3, Прочие задачи, относящиеся к нулям полиномов
190.	х) Каждый полином можно представить в виде отноше-
ния двух таких полиномов, что в знаменателе вовсе не будет
содержаться перемен знаков, а в числителе их будет ровно столько,
сколько у заданного полинома положительных нулей.
191.	Пусть полином m-й степени /(х) обладает следующим
свойством: каков бы ни был полином Р (х), произведение Р (х) / (х)
содержит по меньшей мере на т перемен знака больше, чем сам
Р (х). Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы
f (х) имел лишь положительные вещественные нули.
192.	Пусть полином /(х) обладает следующим свойством:
каков бы ни был полином Р (х), Р (х) f (х) + Р' (х) имеет не больше
мнимых нулей, чем сам Р(х). Показать, что для этого необ-
ходимо и достаточно, чтобы f(x) = a — bx, где а произвольно,
193.	Полином /(х), обладающий тем свойством, что уравне-
ние f (х) + р = 0 для всех положительных р имеет лишь вещест-
венные корни, может быть самое большее второй степени. Если
все корни уравнений указанного вида будут вещественные и
притом одного знака, то f(х) будет первой степени.
Геометрически это очевидно; найти доказательство, исходящее
из иных принципов.
J) В задачах 190—195 имеются в виду полиномы с вещественными коэф-
фициентами.
84
ЗАДАЧИ
194.	Пусть а0, й1> й2, Ьо, Ъ1У Ь2 — вещественные числа. Пока-
зать, что выражение
а20Ь1 — а^Ь^ 4- сос2Ь] — 2аиагЬ0Ь2 + й]Ь0Ь2 -
тогда и только тогда отрицательно, когда оба полинома
f(x) = aox2 + a1x + a2, g (х) = bQx2 4- brx + b2
имеют вещественные и притом простые нули, разделяющие друг
друга, т. е. лежащие так, что между двумя нулями одного поли-
нома содержится один и только один нуль другого.
195.	Пусть Р (х) — полином, имеющий лишь вещественные
нули. Тогда, вообще говоря, не существует ни одного первооб-
разного по отношению к Р (х) полинома, который имел бы лишь
вещественные нули. Точнее говоря, пусть п — точная степень поли-
нома Р(х); пусть, далее, а —такое вещественное число, для кото-
рого полином (п+1)-й степени
Q (х) = J Р (х) dx
а
имеет максимальное число вещественных нулей. Тогда можно
утверждать лишь, что это максимальное число
= 2 при п — 1,
Ss3 » п = 2, 4, 6, 8, ...,
^4 » п = 3, 5, 7, 9, ...,
и больше ничего утверждать нельзя, ибо при всех значениях п
можно указать такие Р(х), для которых будет достигаться ра-
венство.
199.	Пусть L — максимум модулей коэффициентов полинома
f (z) = zn 4- а^-1 + a2zn-2 +... 4- ап
и zn z2, ..., zn — нули этого полинома. Тогда
(1 + |zx|)(14-|га|)...(1 4-|г„1)^2'’/ЯгТ£. [II 52.]
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПОЛИНОМЫ
§ 1.	Полиномы Чебышева
Положим cos,& = x; тогда
T„(x) = cosn«, С7„(х) = ;4т7;+1(х) = ^Ь1)±(п = 0, 1,2,...)
будут полиномы n-й степени от х (полиномы Чебышева)-, наивыс-
ший коэффициент полинома Тп (х) равен 2/г1, а полинома Un (х)
равен 2п (n = 1, 2, 3, ...).
1.	Все нули полиномов Тп (х) и Un (х) — вещественные, отличны
друг от друга и лежат внутри интервала [—1, 1]. Определить
эти нули.
2> Доказать соотношения
Tn+1(x) = xTn(x)-(l-x^Un^(x), 1
Un(x) — xUn^1(x) + Tn(x)	J {П ’’’>
3.	Показать, что полиномы Тп (х) и Un (х) удовлетворяют
следующим дифференциальным уравнениям:
(1-х2) Т"п (х) - хТ'п (х) + пгТп (х) = О,
(1 — х2) Un (х) — 3xU'n (х) + п (п ч- 2) ип (х) = 0.
4.	Показать, что Тп (х) и Un (х) удовлетворяют соотношениям
ортогональности
J y===Tm(x)Tn(x) dx — Q,
$ Vr^?Um(x)Un(x)dx = 0
—i
m Ф п).
(m, п = 0, 1, 2,
Вычислить эти интегралы при m = n.
86
ЗАДАЧИ
5.	Показать, что
Тп (X) _	(-1)" М _ X - 4
1.3-5...(2n-l)dx'»'-1	'
т/" 1 х2 и (х\ — ( 0” (ге+1) 42. /1 х2\п + т
J/ 1 X U п \Х) — 1.3.5_ ,.(2n+l)dx«'-1 х '
6. Показать, что если /(х) имеет в интервале —1 х 1
непрерывную п-ю производную, то
Л	л
f f (cos ft) cos п& d& = . q с 1 --и ( (cos '8') s*n2” d®-
о	о
7. Показать, что при п—1, 2, 3,	—IsCx^cl, имеют
место неравенства
|7\(х)|^1,
В первом из них равенство достигается ровно в п 4-1 точке,
а именно в п—1 нулях полинома С/Я_1(х) и, кроме того, на кон-
цах, т. е. для х =—1 и х=1. Во втором равенство достигается
только на концах.
§ 2.	Общие сведения о тригонометрических полиномах
Под тригонометрическим полиномом n-го порядка понимают
выражение вида
g'(ft) = %04-A.1cos ft 4-Pi sin ft + Z2 cos 2ft 4-Рг sin 2ft 4-...
cos nft + p.„ sin nft.
Если все pv равны нулю, то g (ft) — полином n-го порядка по
косинусам, если же все Zv равны нулю, то g (ft) — полином п-го
порядка по синусам.
8и Всякий полином n-го порядка по косинусам можно пред-
ставить в виде Р (cos ft), где Р (х) — полином n-й степени. Обрат-
ное также верно.
9.	Всякий полином n-го порядка по синусам можно предста-
вить в виде sinftP (cosft), где P(x) —полином (n—1)-й сте-
пени. Обратное также верно.
10.	Произведение двух тригонометрических полиномов ш-го
и n-го порядков есть тригонометрический полином (т-\-п)-го
порядка.
11.	Всякий тригонометрический полином n-го порядка
g (ft) = Zo 4- cos ft + Pi sin ft + cos 2ft + p2 sin 2ft +...
... + Ля cos nft 4- p„ sin nft,
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 2
87
имеющий лишь вещественные коэффициенты, можно представить
в форме
g (й) = e"in^G
где G(z) = h0 + h1z4-«222 + ...4-«2zi22" — некоторый полином 2/г-й
степени, не изменяющийся, если, заменив z на г1, умножить
его на zin и одновременно заменить все коэффициенты сопряжен-
ными:
G (z) =	4- a^z + й2„_2г2 4-  • +a0z2n = z2nG (z-1).
Вычислить коэффициенты и0, ult н2, ..., «2Л.
12.	Обратно, если G(z) —полином 2п-й степени, удовлетво-
ряющий тождественно для всех значений z соотношению
z2«G(z-1) = G(z),
то
e-m«G(efe') = £(й)
есть тригонометрический полином n-го порядка от й, имеющий
лишь вещественные коэффициенты.
13.	Пусть G(z) — полином 2п-й степени, удовлетворяющий
условию
z2raG (z-1) = G (z).
Как распределены его нули в комплексной плоскости?
14.	Тригонометрический полином n-го порядка
g (й) = Хо + 4 cos й 4-Pi sin "О' 4-Л2 cos 2'S’ 4~pi2 зт2й4-...
... 4- Ki COS ПЙ 4- Pti sin
где коэффициенты вещественные, причем 4 и р„ не равны одно-
временно нулю, имеет ровно 2п нулей, если рассматривать все
комплексные значения й и считать нули по их кратности (й и
й4-2л не рассматриваются как различные).
15.	Определить все тригонометрические полиномы n-го порядка
g(0) = Хо4-cos й -ф Pi sin й 4- 4 cos 2й 4- р2 sin 2й -ф...
.. .4“4 COS ПЙ4-р„ 8ШПЙ
с вещественными коэффициентами, удовлетворяющие тождественно
при всех значениях аир соотношению
v = o
88
ЗАДАЧИ
§ 3.	Специальные тригонометрические полиномы
sm —а
16.	-s- + cos ft + cos 2ft +...+cos nft =-5,
~	л • V
2sinT
sin у ft cos -у~ ft
cos ft + cos 2ft + cos 3ft + • • • + cos nft =-,
sin у
cos ft + cos 3ft + cos 5ft +... + cos (2n — 1) ft —	.
. n „ . n+1 .
sm ft sm —ft
sin ft sin 2ft -f- sin 3ft +... + sin nft =-.
Sin у
-— sin ft , sin 3ft sin 5ft	sin (2n— 1) ft _ /sin nft \2
‘ sin ft * sin ft "t" sin ft * ’ ’' sin ft \ sin ft / ’
Что отсюда вытекает при ft = 0?
18.
n-H	./sm(n + l)v\
-y- + n COS ft + (n — 1) COS 2ft +... + cos nft = у -----y-^- .
\ S,n 2'	/
19.	Определить нули тригонометрических полиномов
у 4- cos ft + cos 2ft +... 4- cos nft,
cos ft4- cos 2ft4-.  -4-cos nft,
cos ft 4-cos 3ft 4-cos 5ft4-.--4-cos (2n— l)ft,
sin ft 4- sin 2ft 4- ••• 4- sin n®,
sin ft 4-sin 3ft 4--.-4“ sin (2n— l)ft,
^yl + n cos ft4-(« — 1) cos 2ft 4-... 4- cos nft.
20.	Доказать тождество
cos ft 4-cos 2ft 4-•• -4- cos nft = у sin (n4- 1) ft ctg у — cos2 ft.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 3
89
21.	Показать, что сумма
sinft + sin2'&-j-... + sinn,& -f- —
неотрицательна при Osg'&sgn.
22.	Средние арифметические отрезков ряда
+ cos & + cos 2'0' 4-... -f- cos nO+...
неотрицательны при всех значениях Фис возрастанием п равно-
мерно стремятся к нулю во всяком интервале е <=() 2л — е
23* Тригонометрический полином
л , од . q. sin 20 . sin 30 ,	, sin nO
Л(п, '&) = sin'& + —g—+	,
в интервале OsgjOsgn имеет максимумы в точках
эт о я с л	,	1\Л	/ Гп + 1 ”]\
--Г-7, 3—-Г-Т, 5  ~7,	(2^—1) 7-j- v== —М
п+1	п+1’ п+Р	’ ' 7	' п+1 + L 2 J/
(и только в них) и минимумы в точках
2л о 2л п 2л ,	.. 2л
—, 2 —, 3 — , .... (о — 1) —
п п п ’	' п
(и только в них).
24.	(Продолжение.) Максимумы полинома А (п, О) в интер-
вале О^'&^л монотонно убывают, так что абсолютный макси-
мум для всего интервала Оесйг^л равен А[п, +7)- [20.]
25.	(Продолжение.) С возрастанием п максимум А
монотонно возрастает, причем
lim А (п, +т)= ( —^=1,8519...
26.	Тригонометрический полином
о / ад	n , COS 2'0' , COS ЗФ
В (п, ,&) = cos'fl4
cos пФ
п
2
3
в интервале	имеет
О, — 2--
п п
(и только в них) и минимумы
2л 2 2л о 2я
П - I - 1 ’ п I 1 * п .1 1 1
максимумы в точках
2 л	(	Гп 1 \
Мт])
в точках
2л
(и только в них).
90
ЗАДАЧИ
27.	(Продолжение.) Наименьшее значение полином В(п,
принимает при
» = [Ч-]^Г-	I21']
28.	При всех значениях п и d
r> i ОЛ	а . cus
В (fl, V) = cos d ------------g----
, cos ЗФ
cos nd
п
§ 4. Из теории рядов Фурье
Пусть /(d) — периодическая функция с периодом 2л, собственно
интегрируемая в интервале 0sSdsg2n. Числа
ап = Л- ( cos nd dd, bn = f f (d) sin nd dd
о	о
(n = 0, 1, 2, &o = O)
мы будем называть коэффициентами Фурье, а формально обра-
зованный ряд
а0 ф- 2а± cos d 4- 2b1 sin d + 2a2 cos 2d + 2b2 sin 2d -J-...
... + 2an cos nd + 2bn sin nd 4-...
— рядом Фурье функции f (d). Если f (d) — функция с ограниченным
изменением, то этот ряд сходится и имеет сумму
Hd4-0)4-Hd-0)
2
29. Пусть функция f (d) — периодическая, f (d 4- 2л) = / (d).
Каждое из выписанных уравнений (или пар уравнений)
1)	/(-d) = /(d),	
2)	/(-^) = -/М	
3)	f(d4-n) =—/(d),	
4а)	/(—d) = /(d),	f(fl-K) = -f(d),
46)	/(-«) = -/(«),	/(a + jl) = -/(d),
5)	/(d + n) = /(d)	
характеризует	какого-либо рода	симметрию кривой y = f(x).
Показать, что каждый из этих родов симметрии влечет исчезно-
вение бесчисленного множества коэффициентов Фурье функции
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 4
91
30. Каков будет ряд Фурье для тригонометрического поли-
нома f (ft) n-го порядка?
31* Пусть п и V —целые положительные числа. Показать,
что
2?F J (2 cos cos (4 - v) ft dft = (;).
— л
32. Пусть последовательность
а0, alt blt а2, Ь2, ап, Ьп, ...
обладает тем свойством, что «тригонометрический ряд»
aQ + 2а± cos ft -j- 2ЬХ sin ft -ф 2«3 cos 2ft + 262 sin 2ft -ф...
... + 2ап cos tr& + 2bn sin nft -ф...
равномерно сходится при всех значениях ft и, таким образом,
представляет некоторую непрерывную периодическую функцию / (ft)
с периодом 2л. Каков будет ряд Фурье для функции / (ft)?
СО
, 1 'V sin 2лпх
*2 л	п
П = 1
х — [х] для нецелых х,
1
-х- для целых х.
34.	I sin ft I = — — —
71 JX
VI cos 2zi'&
£4 4n2 — 1
n= 1
8 VI sin2/ift
л Aj 4ra2 — 1 ’
n= 1
35.	Числа
__2
Pm~ л
ft
2
J sin и
о
(m = l, 2, 3, ...)
(находящиеся в тесной связи с так называемыми константами
Лебега ряда Фурье) монотонно возрастают вместе с возраста-
нием т. А именно, их можно представить в виде
_ 16 VI 1	3	5 '"'^2пт — 1
Рт“ л2	4га2 — 1
п = 1
[Вместо | sinmft | подставить его разложение из 34 и приме-
нить 17.]
36.	Пусть функция / (ft) — периодическая с периодом л и
«четная», т. е. тождественно при всех значениях ft имеет место
равенство / (— ft) = / (ft). Если в интервале 0 ft<x л / (ft) выпукла
сверху, то ее ряд Фурье имеет вид
с0 — с± cos 2ft — с2 cos 4ft —... — сп cos 2nft —...,
где все коэффициенты сх, с2, ..., сп, ... неотрицательны.
92
ЗАДАЧИ
37.	Если функция f(&) предыдущей задачи удовлетворяет
еще условию f(0) = 0 и, кроме того, для некоторого р>0 выра-
жение	ограничено, то последовательность
Л
2
р	(m=l, 2, 3, ...)
r	J Sin V	'	'
о
монотонно возрастает вместе с т. [Обобщение теоремы 35.]
38.	Пусть Мп — максимум функции
„ ,	„. I sin ft | , ] sin 2ft | , I sin 3ft |	| sin nft I
Г(п,	Ц-1—+ —у—+ ••• + —7Г-1
по отношению ко всем значениям Показать, что
п	п
- У --< М„< -- У - + -•	[34, 28.]
Л V	.n V 1 л	L ’ J
v= 1	v== 1
§ 5. Неотрицательные тригонометрические полиномы
39.	Пусть х0, xlt х2, ..., хп — произвольные комплексные
числа (xo=0=O, и fl вещественно. Показать, что
[x0 + x^ + x2z2 + ... + xnzn[2	(z — eift)
представляет неотрицательный тригонометрический полином в точ-
ности n-го порядка. Вычислить его коэффициенты.
40.	Всякий тригонометрический полином n-го порядка
g (fl) = Хо + cos fl -j- Ц1 sin 6- + Z2 cos 2fl + |i2 sin 2fl +...
... + Ля cos nfl -ф (i„ sin nfl,
принимающий лишь неотрицательные значения, может быть пред-
ставлен в форме
g- (fl) = | h (z) |а (z = e'°),
где h (z) = x0 4- %iZ + x2z2 +... + xnzn — некоторый полином n-й
степени и fl вещественно. [Разложить рассмотренный в задаче 11 по-
лином G(z) на линейные множители.]
41.	Всякий неотрицательный полином по косинусам может
быть представлен в виде
g (fl) = | h (z) |2 (z = ef{>),
где /г(z) = x0 + *iZ + x2z2 +... + x„zra — полином с веществен-
ными коэффициентами и fl вещественно.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 6
93
42* Показать, что указанное в задаче 40 представление не-
отрицательного тригонометрического полинома возможно, вообще
говоря, несколькими способами.
43. Показать, что в задаче 40 среди всех полиномов h (2)
можно выбрать обладающий следующими свойствами:
1) при |z|<l h(z) отличен от нуля;
2) h (0) — положительное вещественное число.
Предполагается, что
§ 6.	Неотрицательные полиномы
44.	Всякую целую рациональную функцию, имеющую для
всех вещественных х неотрицательные значения, можно предста-
вить в форме [А (х)]2 + [В (х)]2, где А (х) и В (х) — целые рацио-
нальные функции с вещественными коэффициентами.
45.	Всякую целую рациональную функцию, неотрицательную
для неотрицательных х, можно представить в форме
[4 (х)]2 + [В (х)]2 + х {[С (x)]2 + [D (х)]2},
где А (х), В(х), С(х), £>(х) —целые рациональные функции с ве-
щественными коэффициентами.
46.	Всякую целую рациональную функцию n-й степени, имею-
щую в интервале —IsgxsSl лишь неотрицательные значения,
можно представить в форме
[4 « + (1 - х2) [В (х)]2,
где 4 (х) и В (х) — целые рациональные функции соответственно п-й
и (п—1)-й степеней, имеющие вещественные коэффициенты. [41.]
47.	Всякую целую рациональную функцию n-й степени Р (х),
принимающую в интервале —1-ДЖ 1 лишь неотрицательные
значения, можно представить в форме
[4 (х)]2 + (1 - х) [В (х)]2 + (1 + х) [С (х)]2 + (1 - х2) [О (х)]2
и притом так, чтобы все четыре слагаемых были самое большее
n-й степени.
Если Р (х) — степени 2m, то можно выбрать такое представле-
ние, при котором В (х) = С (х) = 0, 4 (х) — степени т и D (х) — сте-
пени т — 1.
48.	Можно ли каждую целую рациональную функцию n-й сте-
пени Р(х), положительную в интервале —1 <х<1, представить
в форме
P(x) = 2J4(l-x)a(l-]-x)₽,
где 4 >2 0, a-j-psgn, а и р —целые неотрицательные числа?
94
ЗАДАЧИ
49.	Каждая целая рациональная функция Р (х), положитель-
ная в интервале —1 < х < 1, может быть представлена в форме
Р(х) = £А (1 — х)“(1 4-х)₽,
где А 5s 0, а и 0 — целые неотрицательные числа.
§ 7.	Максимумы и минимумы тригонометрических полиномов
50.	Пусть
g (fl) = Хо 4- \ cos fl 4* Pi sin fl 4- /..2 cos 2fl 4* Р2 sin 2fl 4~ • • •
...4- К cos nft 4- p-я sin nft
— неотрицательный тригонометрический полином n-го порядка со
свободным членом, равным единице, т. е.
2Л
=
о
Тогда
g(ft)^n+ К
Равенство будет достигаться только при условии
Я(^) = Лт114-г4-га4-... + г№=1 +2^ cos (fl-fl0)4-
4- 2 ^=4 cos 2 (fl - fl0) 4-... 4- 2 —J-r cos n(ft — ft0)	(z = el^~ e»>)
f 4 " 1— 1	fir “I-" 1
и fl = fl0 (или вообще fl = fl04-2kn, k = 0, ±1, ±2, ...)•
51.	(Продолжение.) Показать, что
t-п 4“ Рл 1 •
Равенство достигается лишь когда
g (fl) = 1 4- cos n (fl — fl0).
52.	(Продолжение.) Показать, что
4-Pi <4 cos2
53.	Среднее геометрическое [И 48] неотрицательного, не рав-
ного тождественно нулю полинома g(ft~) есть
2л
§ In g (fl) dfl
e о = | h (0) |2 = [h (0)]3,
где g (fl) = | h |2 — определенное в задаче 43 «нормальное пред-
ставление» полинома g (fl).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 1
95
S4.	Пусть неотрицательный не равный тождественно нулю
полином n-го порядка
g(fl) =Л0-|-А,1 cos '0'4-рх sin-0- + Х2cos20-4-sin 20-4-...
... 4- Ki cos «О- 4- Hn sin
имеет в качестве среднего геометрического единицу. Тогда
£(&)==£ 4я.
Равенство достигается только для полинома
О —Оо\2п
g(fl) = (2 cos ~2-^)
и при условии О’ = О0 (или вообще О'=О’о4-2Ьг, k = 0, ± 1, ± 2,...).
55.	(Продолжение.) Среднее арифметическое полинома g(O)
удовлетворяет неравенству
2л
о
Когда достигается равенство?
56.	(Продолжение). Показать, что
(v = l, 2, 3, .... n).
Когда здесь будет достигаться равенство?
57.	Тригонометрический полином без свободного члена
g (б-) = cos & 4* Pi sin & 4* Ч cos 2'&4-P'2sin219’4_---
... 4- 4 cos nfl 4- Цл sin «&,
не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех зна-
чений & постоянный знак. Доказать это без применения инте-
грального исчисления.
58.	Пусть через — т и М обозначены минимум и максимум
тригонометрического полинома n-го порядка
g('fr) =2^ cos &4-Р1 sin А 4-^2 cos 2'&4“P'2 sin2'0,4-...
...4-^cosn'&4-Pnsinrt'&, tn^Q, [57,]
Показать, что
Ms^ntn, m^nM.
59.	Первая интегральная теорема о среднем значении может
быть для тригонометрических полиномов уточнена следующим обра-
зом. Если §•($)— тригонометрический полином n-го порядка с ми-
нимумом т и максимумом М, то
2л
, Л4 — т _ 1  С /л, jq, „ ,, М — т
т +	J g(V)d$^M—7Г[Т.
о
96
ЗАДАЧИ
60.	Пусть — т есть минимум, а М — максимум тригономет-
рического полинома n-го порядка
g (&) = Хо + Zj cos ft + рх sin ft + Z2 cos 2ft -ф p2 sin 2ft +...
... + cos nft + p„ sin nft.
Тогда либо m, либо M больше чем ]/1п + Р'«. Равенство
пг = М=/ХГН4
будет выполняться лишь для полиномов
g (ft) = с cos n (ft — ft0).
61a Сложим n гармонических движений, периоды которых
находятся в отношениях 1: у : у:...: —; фазы произвольны. По-
казать, что максимальная элонгация результирующего движения
будет самое меньшее равна среднему арифметическому амплитуд
слагающих гармонических движений.
Вопрос сводится в обозначениях задачи 58 к доказательству
неравенства
п
(Уточнение теоремы 50.)
§ 8. Максимумы и минимумы полиномов
62а Пусть Р(х)~ полином n-й степени со старшим коэффи-
циентом 1. Показать, что максимум | Р (х) | в интервале —1 sg хС 1
не может быть меньше чем у^у. Если в интервале —l^x^l
\Р(х)\^~,
то Р (х) отличается от определенного на стр, 85 полинома Та(х~)
лишь постоянным множителем. [60.]
Рассмотрим совокупность всех полиномов n-й степени со стар-
шим коэффициентом 1, т. е. полиномов
Р (х) = хп + ауХ"-1 -ф а.гхп2 +... + ап
с любыми комплексными коэффициентами а1( а2, ..., ап. Обозна-
чим через р„ (а, Р) минимум максимумов всех | Р (х) | в интервале
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 8
97
ct-czsgp. Теорему 62 можно тогда формулировать следующим
образом: при а = —1, р = 1 этот «minimum maximorum»
Ип (	0 = 2«-i •
63. Показать, что
р) = 2 ^у = 2[4)'1.
Таким образом, для существования полиномов со старшим коэф-
фициентом 1, произвольно малых равномерно во всем заданном
интервале, необходимо и достаточно, чтобы длина I этого интер-
вала была меньше чем 4.
64. Пусть переменная х изменяется в двух равных интерва-
лах, получающихся путем удаления из интервала	интер-
вала длины d с центром ——<% = /. Пусть, далее, бу-
дет нижняя грань максимумов всех полиномов п-й степени со
старшим коэффициентом 1, взятых в этих двух интервалах. Тогда
при п четном и
п — 1	п — 1
d[—)
при п нечетном. [63.]
65» Рассмотрим совокупность полиномов п-й степени
Q (z) = zn + b^1 + &2z”-2 + ... + bn,
где коэффициенты blf b2, ..., bn — произвольные .комплексные
числа. Показать, что максимум | Q (z) | на единичной окружности
| z | = 1 не может быть меньше единицы и равен единице лишь
для Q(z) = zra.
66а Теоремам 63 и 65 можно дать следующую геометриче-
скую интерпретацию.
Пусть в плоскости Даны п фиксированных точек Р1г Р2, ..., Рп
и переменная точка Р. Тогда функция
ppi-pp2 ... рр;
этой точки Р (PPV — расстояние между точками Р и Pv) имеет на
каждом отрезке длины I максимум не меньше чем 2 fи на
каждой окружности радиуса г максимум не меньше чем гп. Единст-
венный возможный предельный случай будет для отрезка, когда
точки Рь Р2, ..., Рп распределены на заданном отрезке как нули
4 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
98
ЗАДАЧИ
полинома Чебышева Тп(х) [1] в интервале [-1, 1], а для окруж-
ности — когда все точки Р1г Р2, ..., Рп совпадают с ее центром.
Доказать, что эта теорема верна и в том случае, когда точ-
ки Plt Р2, ..., Рп произвольно распределены в пространстве.
§ 9. Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть хх, х2, ..., хп — любые отличные друг от друга вещест-
венные или комплексные числа. Положим
f(x) = a0(x-x1)(x-x2) ... (х-хп) (a0=£ty,
f /дА _	1	/(*) _ (Х —Хх) ... (х —Xy_t) (х —xv+1),.. (х—х„)
f'(xv)x—xv	(xv—X1)...(XV—XV-1) (xv—XV+1) ... (xv—x„)
(v= 1, 2, ..., n).
Тогда каждый полином (n — 1)-й степени можно будет выразить
через его значения в точках х1( х2, .... хп следующим образом:
Р(х) = Р(х1)/1(х) + Р(х2)/2(х) + ... + Р(х„)Д(х)	(*)
(интерполяционная формула Лагранжа'). Полиномы fv(x) будем
называть фундаментальными полиномами интерполяции.
67. Пусть полином n-й степени
f (х) - аохп + а^-1 +... + а^х + ап
имеет отличные друг от друга нули х1; х2,	, хп. Тогда
X* Г 0, если	—2,
2^ f (xv) | д-1 еСЛИ =	1.
Далее при k — n, n-f-l.....2n — 2 ak не зависит от an; при k =
= 2n — 1 оно выражается линейно через an с коэффициентами — aj2.
68» (Продолжение.)
у foe*-1/(xv)—х*/"(xv)	JO,	если 0 -с Z? 2/z — 2,
[/'(xv)P	(До2, если k = 2n — 1.
V = 1	V У ”
69.	(Продолжение.) Пусть хх, х2, хп отличны от 0 и—1.
Доказать, что
/'(ху) (14-Ху) -* Ч И Х^.^Хп).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 9
99
70.	Пусть х0, Xj, хг, хп — произвольные целые числа,
х0 < xi <• х2 < •  • < хп- Показать, что каждый полином п-й сте-
пени вида
хп + аухп~1 + a2x4~2 +... 4- ап
принимает в точках х0, xlt х2, ..., хп значения, из которых по
крайней мере одно по абсолютной величине больше или равно
71.	Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома
Тп(х) [1], т. е. числа
xv = cos(2v — 1)2^-	(v = l, 2, ..., п).
Тогда фундаментальные полиномы будут
2....
ft	л л у
Таким образом, каждый полином (п-1)-й степени Р(х) может
быть представлен в форме
п
Р(х^1п 2
it £aa	X—Ху
V •= 1
72.	Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома
Un(x) [1], т. е. числа
xv = cosv^j (v = l, 2, .... n).
Тогда фундаментальные полиномы будут
fv(x) = (_l)v-ilz^^.W.. (v = l, 2,	n).
' ' ’ 4	'	«+ 1 X— xv	’
Таким образом, каждый полином (п—1)-й степени Р (х) может
быть представлен в форме
'*•	1	Л Лу
V = 1
73.	Возьмем в качестве точек интерполяции нули полинома
ип-г(х) (х2 — 1), т. е. числа xv = cos (v = l, 2... n	— 1),
а также точки x0=l, xn —— 1. Тогда фундаментальные полиномы
будут
'v v ' n x — xv v
f0 W^Un-itx) (x+1),
4*
100
ЗАДАЧИ
Таким образом, каждый полином /г-й степени Р (х) может быть
представлен в форме
Р(х) = 1ум(х)[Р(1)(х+1) + (-1)"Р(-1)(х-1)] +
V-- 1
74.	Возьмем в качестве точек интерполирования корни п-й
2 л/v
степени из единицы ev = e п (v= 1, 2, ..., п). Тогда фундамен-
тальные полиномы будут
(v=l, 2,	п).
Таким образом, для любого полинома Р (х) степени п — 1 имеет
место разложение
п
v= 1
75.	Пусть полиномы Р (х) и Q (х) оба n-й степени и х0, xt, х2,...
..., хп — произвольные п + 1 отличных друг от друга или частично
совпадающих вещественных или комплексных чисел. Показать,
что из n-j-1 уравнения
^(х0) = <Ж),	=	P"(x2) = Q"(x,2).....
вытекает тождественно
P(x) = Q(x).
76.	Для любых п-ф1 чисел с0, clt с2, ,сп возможно и при-
том единственным образом построить полином Р (х) степени п,
удовлетворяющий условиям
Р(0) = со, P'(l) = q, Р"(2) = с2, ...,РМ(п)=сп	[75].
Показать, что этот полином Р (х) может быть представлен в форме
Р (х) = Р (0) Ао W + Р' (1) Ах (х) + Р" (2) А2 (х) +. .. + ?<«) (и) Ап (х),
где
А0(х), Ах(х), ..., Ал(х)
представляют собой численно вполне определенные, не зависящие
от произвольно заданных значений
со = Р(О),	.... сл = Р«(п)
полиномы (в известном смысле «фундаментальные полиномы» этой,
существенно отличной от лагранжевой, интерполяции).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 10
101
§ 10, Теоремы С. Бернштейна и А. Маркова
77.	Для совокупности полиномов (п —1)-й степени
Р (х) = аохп1 + а^-2 +... +
удовлетворяющих в интервале —неравенству
/Г^Г31 р (х) I < 1,
наибольшее значение, которое может принимать коэффициент |а0|,
равно 2Л-1, т. е.
Равенство достигается тогда и только тогда, когда Р (х) —	(х),
где jy| = 1. [711
78.	Получить из 73 новое доказательство теоремы 62.
79.	Получить из 74 новое доказательство теоремы 65.
80.	Рассмотрим все полиномы (п — 1)-й степени Р(х), удов-
летворяющие в интервале —1 «g х=с 1 неравенству
| Р (х) |	1.
Показать, что в этом интервале
|Р(х)|<п	(-10^1).
Равенство достигается лишь для Р (х) = у!7л_1(х), где | у | =. 1, и
при х = ±1.
81.	Доказать следующее обобщение второго неравенства за-
дачи 7. Пусть
S (ft) = рх sin ft 4- ра sin 2ft 4- р3 sin 3ft 4-...4- рл sin nft
— любой полином n-го порядка по синусам с вещественными коэф-
фициентами, удовлетворяющий неравенству'
Тогда
| sin ft |
Равенство достигается только для S (ft) = ± sin nft.
82.	Пусть тригонометрический полином n-го порядка с ве-
щественными коэффициентами
g (ft) = Хо + cos ft + рх sin ft 4- X2 cos 2ft 4- p2 sin 2ft +...
... 4- cos nft 4- рл sin nft
102
ЗАДАЧИ
удовлетворяет при всех вещественных значениях fl неравенству
Тогда
^Рассмотреть S (fl) =	+	gfflo—ty, $ _ q ]
83.	Пусть полином п-й степени Р (х) удовлетворяет в интер-
вале —неравенству | Р (х) | «g 1. Тогда
I(*) |j< п2-
Равенство достигается только для Р (х) = уТп (х), | у | = 1, х = ± 1.
[Рассмотреть Р (cos fl).]
§ 11. Полиномы Лежандра и родственные им
Полиномы Лежандра
Р0(х), РДх), Р2(х), Рп(х), ...
определяются следующими условиями:
1)	Рп (х) — полином п-й степени с вещественными коэффициен-
тами1), для которого
1
§ P„(x)xvdx = 0 (v = 0, 1, 2, п — 1; n>sl).
—1
2)
1
Р	9
J [Р„(х)]Чх = ^п (n = 0, 1, 2, ...).
—1
3)	Коэффициент при хп в полиноме Р„(х) (п = 0, I, 2, ...)
положителен.
Первое условие означает, что, каков бы ни был полином К (х)
(и—1)-й степени, имеет место соотношение
1
J Рп (х) К (х) dx = 0.
—1
Отсюда следует, что условием 1) полином Р„(х) однозначно опре-
деляется с точностью до постоянного множителя. Действительно,
пусть Р„ (х) — полином, удовлетворяющий этому условию; тогда
г) Предположение вещественности коэффициентов можно отбросить, над-
лежащим образом изменив детали определения. См. также 98, 99, 100.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 11
103
этому же условию будет удовлетворять и аРп (х) — ЬР^ (х) (а=^0,
Ь=£0). Выберем постоянные а и b так, чтобы аРп(х) — ЬРп(х)
было полиномом (и —1)-й степени; тогда из тождества
1 1
$ [аР„ (х) — ЬР„ (х)]2 dx = а $ Рп (х) [аР,. (х) — ЬРп (х)] dx —
—1	—1
1
— b $	(х) [аРп (х) — ЬРп (х)] dx = 0
— 1
будет следовать, что аРп (х) — ЬРп (х) = 0, Из 2) следует, далее,
что |а| = |&|, а из 3) —что а — Ь.
Интегральные условия 1), 2) можно объединить в следующей
формуле:
4	[ 0, если т п,
» Рт(х) Рп (х) dx — <	2	(m, n = 0, 1, 2, ...)
J 7 v ’	о—если т = п v	'
—i	L 2n+1 ’
(условия ортогональности).
84.	Показать, что Р„ (х) с точностью до постоянного множи-
теля равен n-й производной от (х2— I)'2:
1 Ап
?п = 2^г! dxn ~ 1)’
(формула Родрига).
85.	=
=1 + (z;P+("Р2+(зрз+...+р i )2 +tn-
\ 1 1	\^/	\	1	\ fL ~~ 1 /
86.	Полином Рп (х) может быть представлен в интегральной
форме
Р„ (х) = -i- (х ]/х2 — 1 cos ф)л d<p
б
(формула Лапласа).
87.	Между тремя последовательными полиномами Лежандра
существует рекуррентное соотношение
Рп (х) = хРп-г (X) -П-^Рп-, (X) (п = 2, 3,4,...).
88.	Существует единственный полином n-й степени Sn(x)
с вещественными коэффициентами, удовлетворяющий соотношению
Sn (х) К (х) dx == К (1)
-1
104
ЗАДАЧИ
для всех полиномов n-й степени К (х). Представить Sn (х) и
(1— x)Sn(x) в виде линейной комбинации полиномов Лежандра.
[Представить так же К (х).]
89а (Продолжение.) Полиномы
So(х), S1(x), S2(x), ..., Sra(x), л,
удовлетворяют соотношениям ортогональности
1	г	0,	если	т ф	п
(1 — х) $т W Sn W dx = |	n-|-l	если	т = п	П = 0’ 1
—1	I	2
90a Показать, что Pn(x) удовлетворяет однородному линей-
ному дифференциальному уравнению второго порядка
(1-х2) Рп (х) - 2хР'п (х) + п (п +1) Рп (х) = 0.
91.	Для достаточно малого w имеет место разложение в сте-
пенной ряд
Zl а1 , =ро (х) + р1 (*) ® 4- Л, (х) +. .. + Р„ (х)	+... -
]/ 1 — 2хш+ш2
(«производящий ряд» для полиномов Лежандра).
92.	Вывести 84, 86, 87, 90 непосредственно из 91. (91 можно
принять также за определение полиномов Лежандра и притом
за определение, занимающее, «центра ль ное положение», ибо от него
к большинству свойств этих полиномов ведут наиболее удобные
пути.)
93.	Показать, что Р„ (cos О) представляет собой полином по
косинусам с неотрицательд>1ми коэффициентами. Определить эти
коэффициенты. Вывести отсюда неравенство
|Р„(х)|<1	(- 1^х<1).
Если п>0, равенство достигается лишь при х=1 или х = —1.
94.	При х > 1 последовательность
Р0(х), РДх), Р2(х), ..., Р„(х), ...
монотонно возрастает.
95.	Сумма п первых полиномов Лежандра неотрицательна
в интервале —Isgx^l:
Po(x) + P1(x) + P2(x) + ... + Pra(x)5sO.
Равенство достигается лишь когда п нечетно и х = —1. [III 157.]
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 11
105
96.	При четном п сумма п первых полиномов Лежандра
Ро (х) + Рг (х) 4- Р2 (х) +... + Рп (х)
положительна при всех значениях х. При п нечетном эта сумма
имеет в точке х = —1 единственное изменение знака. [94.]
97.	Показать, что п-й полином Лежандра Рп(х) имеет лишь
вещественные и притом простые нули; все эти нули лежат внутри
интервала [—1, 1]. [II 140.]
98.	Обобщить теоремы 84—91, 97 на полиномы Якоби (гипер-
геометрические полиномы)
₽) (х), Р^' 6) (х), Р^ & (х), .... Р%’ ₽) (х), ... (а, р > —1),
определяемые следующими условиями:
1), 2) Рпа,|3)(х). есть полином п-й степени с вещественными
коэффициентами, удовлетворяющий соотношениям
$ (1 -х)“(1 +Х)ЭР^ р) (X) Р^ (X) dx =
—1
' 0,	если my=n,
=' 2а+Р+х	Г(п + а+1)Г(п + Р + 1)	_
2п+а + р + 1 Г(п+1)Г(п+а + р+1)’
(т, п = 0, 1, 2, ...)
шри п = 0 последнее выражение должно быть заменено следующим:
оа+З+1 Г (а + 1) Г (р +1) \
Г(а + р + 2) Г
3) Коэффициент при хп полинома Р?’й (х) положителен.
При некоторых специальных значениях а, р эти полиномы
приводятся к уже известным полиномам Ря(х), S„(x), Тп(х) и
Un (х). Именно при
а = 0,	1,	— 2,	у,
₽=о,	О,	-ф	ф
р?-в W-P.	I'M.
lb 1	At * “ . . .	Ъ	~т~
[См. стр. 102,	89,	4,	4.]
(Коэффициент при Т„(х) в случае п = 0 заменить на 1.)
99. Распространить теоремы 84, 85, 87—91, 97 на обобщен-
ные полиномы Лагерра
L™ (х),	(х), Lf (х)......L<“’(x), ... (а > - 1),
определяемые следующими условиями:
106
ЗАДАЧИ
1), 2) L(,? (к) есть полином n-й степени с вещественными коэф-
фициентами, удовлетворяющий соотношениям
СО
$ e-xxaL^(x)L(^ (x)dx =
О
' 0,	если т я,
=— ' т» /	. «\ f п, 4- ос \
Г(сс+1)( п , если m = n
(т, п = 0, I, 2, ...).
3) Коэффициент при хп в
100.	Доказать теоремы,
для полиномов Эрмита
полиноме L(n} (х) имеет знак (—I)'1.
аналогичные 84, 87, 88, 90, 91, 97,
Н0(х), Н1(х), Нг(х), .... Нп(х), ....
определяемых следующими условиями:
1), 2) Нп (х) — полином n-й степени с вещественными коэффи-
циентами,' удовлетворяющий соотношениям
от хг	Г 0, если п,
[ e~^Hm(x)Hn(x)dx = \ у^	(m,n = 0, 1,2,...).
J	I -Н—, если /п = и
3) Коэффициент при хп в полиноме Нп(х) имеет знак (—1)".
101.	Для определенных в 98 и 99 функций Р'п’ р! (х) и L„a) (х)
имеет место предельное соотношение
lim P'“’₽)(l-e) = Ua)(x),
₽-> + со
где е при возрастании 0 стремится к нулю таким образом, что
lim е0=2х.
₽-»+<»
102.	Определенные в 99 и 100 функции L«“'(x) и Д„(х) свя-
заны между собой соотношениями
= 1 • 3 • 5 ... (2<у —1) Д 2	) ’
^+1W = 1 •3-(5..)(29+1)	(? = 0’ 11 2> •••)•
§ 12, Прочие задачи на максимумы и минимумы полиномов
103.	Пусть Р (х) — любой полином n-й степени с веществен-
ными коэффициентами, удовлетворяющий условию
1
5 [Р (х)]2 dx= 1.
—1
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 12
107
Тогда в интервале —IsgxsCl
Равенство достигается лишь для
р (X) = ± ^01 sn (х) [88] при х = 1
или
P('x) = ±^JTS,i(—х) при х — — 1
П “j“ 1
(«>0). [Интеграл от [Р(х)]2 представляет собой квадратичную
форму от «4-1 определяющих полином величин; постараться
выбрать их так, чтобы эта квадратичная форма привелась к сумме
«4-1 квадратов.]
104.	Пусть Р (х) — любой полином «-й степени с веществен-
ными коэффициентами, удовлетворяющий условию’
1
(1 — х)[Р (х)]2 dx= 1.
—1
Тогда
|р<-
Эти границы нельзя понизить.
105.	Пусть Р (х) — произвольный полином n-й степени с ве-
щественными коэффициентами, удовлетворяющий условию
1
$ (l-x)K(14-x)₽[P(x)]2dx=l,
—1
где а и 0 —постоянные >—1. Определить максимумы значений
|Р(1)| и \ Р(—1)| для всей совокупности указанных полиномов.
Как ведут себя эти максимумы для больших значений «?
106.	Определить максимум значения | Р (0) j для совокупности
всех полиномов «-й степени Р (х), удовлетворяющих условию
§ e A'xz/ [Р (х)]3 dx = 1,
о
где а —постоянная > — 1. Как ведет себя этот максимум для
больших значений «?
108
ЗАДАЧИ
107.	Определить максимум значения | Р (0) | для совокупности
полиномов п-й степени Р (х), удовлетворяющих условию
СО __ X2
5 e~^[P(x)]2dx = l.
— со
Как ведет себя этот максимум для больших значений п?
108.	Пусть Р (х) — полином п-й степени, неотрицательный
в интервале —и удовлетворяющий условию
1
§ Р (х) dx = 1.
—1
Тогда
Р(1)<
? 2-- при нечетном п, n = 2q—l,
 '  - при четном п, n = 2q.
Аналогичная оценка имеет место и для Р(—1). Эти границы не
могут быть понижены.
109.	Первая интегральная теорема о среднем значении может
быть следующим образом уточнена для полиномов я-й степени.
Пусть Р (х) — полином я-й степени, имеющий в интервале а
минимум т и максимум М. Тогда
М — т
где при нечетном и, я = 2^—1, имеем
an = q(q+l),
а при четном я, n = 2q,
= (7+ I)3-
110.	Пусть Р(х) — полином п-й степени, неотрицательный
в интервале —l^sx^l и удовлетворяющий условию
(1 -x)“(l + x)₽P(x)dx = 1,
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ, § 12
109
где а и 0 — постоянные >—I. Тогда
1	Г(? + « + 1)Г(? + а + 0 + 2)
2а+|3+1 Г (а + 1) Г (а + 2) Г (<?) Г (<? + 0 +1)
при нечетном п, n = 2q—l,
1	Г(? + « + 2)Г(? + « + 0 + 2)
2а+₽+1 Г (а + 1) Г (а + 2) Г (<? +1) Г (<? + ₽+1)
при четном п, n — 2q.
Эти границы не могут быть понижены.
Меняя местами а и 0, получаем соответствующие границы для
111.	Пусть Р (х) — полином n-й степени, принимающий для
неотрицательных х лишь неотрицательные значения и удовлетво-
ряющий условию
е~ххаР (х) dx = 1,
о
где постоянная а>—1. Тогда
Р (0) <_____г(р+«+2)’______ (л = [2L1 \
Г (а+1) Г (а + 2) Г (р + 1)	L 2 _1Г
Эта граница не может быть понижена.
112.	Пусть Р(х) — полином n-й степени, неотрицательный для
неотрицательных х и удовлетворяющий условию
СО
§ е~хР (х) dx = 1.
о
Тогда
Р(0)^[|]+1.
113.	(Продолжение.) Вообще при любом неотрицательном J-
выполняется неравенство
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Вычисление определителей.
Решение линейных уравнений
1.	Перенумеруем п вершин многогранника. в некотором опре-
деленном порядке и зададим затем определитель п-го порядка
|	| следующими условиями:
Если /.-я и p-я вершины многогранника представляют собой
концы одного и того же ребра, то с?41 = см? = 1.
Если же отрезок, соединяющий л-ю и р-ю вершины, не яв-
ляется ребром многогранника, то а;.и = 0. В частности, = 0
для всех Д
Показать, что "значение этого определителя не зависит от
порядка нумерации вершин. Составить и вычислить указанные
определители для тетраэдра, гексаэдра (т. е. куба) и октаэдра.
2.	Вычислить
1	1	1	...	1
61	а1	а1	•••	°1
t'2	0-2 •' • ^2
4>i	Ь2	Ь3	...	ап
3.	Доказать тождество
п
{bj—bk)
(ак + Д)
4.	Обозначим определитель' квадратичной формы
Х+р
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 1
111
через Dn. Показать, что
Л _ [И 2!...(л-1)!рп!
п (п+1)! (п + 2)! ... (2л)! ’
Вычислить, кроме того, определитель Dn(a) квадратичной формы
у У	(а>—2).
4-1 Л + (1+<х
Л=1ц=1
п— I	1,2.п
5.	! (а, -	= П (« - V)"'2v П («/ - «*) (Ь/ - bJ-
V= 1	/>А
6.	Посредством преобразования определителя | F (аАРц) I свести
доказательство теоремы V 86 к теореме V 48.
7.	Пусть /(x) = (ri — х)(г2 — х)...(гп — х). Показать, что
Г[	<с	а	...а
Ь	г2	а	...а
b	b	г3	...а
b	b	b	... гп
af(b)-bf(a)
a — b
[Прибавить ко всем п2 элементам переменную х; получающийся
таким образом определитель будет линейной функцией от х и,
следовательно, определится заданием двух частных значений.]
8.	Положим A = ad — bc. Тогда
5(аД, &Д, сД, JA) 0А4
д(а, Ь, с, d) ~	’
где стоящее слева выражение означает функциональный опреде-
литель Якоби.
9.	Доказать, что выражение
Р
I т
~in+T
п I
I ' п
/=5^0, Л?+= 0, /Г =+0
делится на р —2. Определить остальные множители.
ЕО.	Определитель
11,	xv, х*, ....	..., х^~\ х"| (v= 1, 2, ..., п)
как знакопеременная целая рациональная функция п чисел xlt
х2, ..., хп делится во всяком случае на произведение
1, 2, ..., п
П
/ >*
112
ЗАДАЧИ
Показать, что частное от деления определителя на это произве-
дение равно 7-й элементарной симметричной функции п чисел
^1» -^2’ • • • »
11. Пусть числа а0,	а2, .ап все отличны от нуля. Пока-
зать, что при любом z имеет место тождество
а0	Щ	°2	й3	ап-1 ап ад	щ	а2	ап_2	ct/i-i г 0	...	0	0 Оо 0	г	...	0	0	= aozn+ а^-14-... + ап.
	0	0	0 ...	г аП-2	
12. Система уравнений
-a3x2-{-a2xs = br,
а3хг -агх3 = Ь2,
--^2Л'1 ~Ь ^1^-2	= ^3>
йхлу 4-а2х2 4-й3а3 = с,
где alt а2, а3, blt b2, Ь3, с —вещественные числа, совместна в двух
различных случаях. При этом в одном случае неизвестные х1У х2,
х3 совершенно неопределенны, во втором должны иметь совер-
шенно определенные значения.
13. Пусть целая функция
1+c1z + c2z2 + c3z3 + ...
имеет лишь различные между собой нули а1; а2, ..., ап, ...»
О < | аг | < | а21 <... < | ап | <...
Рассмотрим систему п уравнений
1 +	+... + а"и™ = О,
1 +	4-	+...= О,
1 + апи1л) + ап u(il) +  • • + апипп) = °>
которыми вполне определяются и^\ Показать, что при сходимости
ряда	+... +	+... Иш существует, однако не
обязательно равен ck. — и2 = с2, ... является одним из
решений бесконечной системы
1CZV^1 ”Ь • • • ” 0 (v = 1, 2, 3, ...).)
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 1
113
14.	Пусть в системе уравнений
С1121 "Ь С12г2 "Ь • • • ~Ь С1п^п — О»
C21Z1 “Г С22г2 + • • • + С2пгп = О,
^zilzl “Ь £/z2Z2 ~Т • • • “Ь CnnZn. ~ О
коэффициенты и неизвестные представляют собой комплексные
числа
— й?.ц +	2 и = х» + iy^it
где пуц, b)^, вещественны. Чтобы эти уравнения допускали
не только тривиальное нулевое решение
21 = 22 = ... = 2л = 0,
т. е.
х1 = х2 = ... = х„ = «/1 = г/2 ==... = «/„ = О,
необходимо и достаточно, чтобы определитель | с?411" был равен
нулю. Это дает два уравнения между 2п2 вещественными вели-
чинами Пхц, b^. С другой стороны, заданные уравнения можно
представить в виде системы 2п однородных линейных уравнений
с 2п вещественными неизвестными. Но тогда необходимым и до-
статочным условием наличия нетривиального решения будет
являться обращение в нуль некоторого вещественного определи-
теля, что дает одно уравнение между Ь}^. Как согласо-
вать между собой эти два результата?
15.	Все шесть членов в разложении определителя третьего
порядка не могут быть одновременно положительны.
16.	Правило разложения определителя состоит из двух частей:
первая часть указывает, из каких элементов составляются произ-
ведения, тогда как второй частью определяются знаки перед про-
изведениями, образованными указанным образом.
В случае определителей второго порядка вторую часть можно
представить в виде следующего простого правила:
Каждому из элементов
а11 а12
Й21 °22
мы сопоставляем соответственно знак
+ +
- +•
Тогда каждый элемент произведения, составленного согласно
первой части правила, нужно взять с соответствующим знаком.
114
ЗАДАЧИ
Показать теперь, что аналогичное правило для определителей
выше чем второго порядка невозможно; иными словами, невоз-
можно п2 элементам определителя так поставить в соответствие п2
фиксированных знаков, чтобы у всех произведений, составленных
согласно первой части общего правила разложения, но с учетом
соответствующих знаков, получался в итоге надлежащий знак.
§ 2. Разложение рациональных функций в степенные ряды
В задачах 17—34 рассматриваются определители, обычно на-
зываемые определителями Ганкеля или рекуррентными'.
аП	an+i ап+2	• • • аП-':-Г-1
^/г+1	Чя+2 ^,’гч-З	• • •
Щ-!-2	ап+3 ^/г+4	• • •	1
ап+г-1 ап+г ап+г-И an+2r-Z
(Г)
п »
составленные из коэффициентов степенного ряда
a0 + alz + a2z2 + ... + a!lzn + ...
17.	Пусть степенной ряд ^-[-а^Д-а^г2 Д-... представляет
рациональную функцию, у которой знаменатель имеет степень q,
а числитель — степень р— 1 (предполагается, что числитель и зна-
менатель — взаимно простые; степени — точные). Пусть, далее,
d = Max(0, p — q). Показать, что
д</+1> = д^+11’ = д^+;> = ...=о.
18.	Пусть d, q — неотрицательные целые числа. Если
^’=#0,	л^а^о, д^з^о,...,
Д^+1) = 0, Д^“11) = 0, дда = о, ...,
то степенной ряд может быть представлен в виде отношения двух
полиномов, из которых стоящий в знаменателе имеет степень q,
а в числителе--степень	1. [Исследовать зависимость
линейных форм
l^n (-^) = “Е	"Ь ®л+2^2 “Ь • • • “Ь
19.	= (д'го2-
20.	Если
д(?+1) _ ДЫ + 1)_ д(? + 1) _ д(? + 1) _	_ д(? + 0 _А
/1^1	—/1^4-1 ——••• —	— 1 — U,
то t определителей
д (?) д (?) д (?)	д (?)
•••>
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 2
115
либо все одновременно равны нулю, либо все одновременно не
равны нулю.
21.	Если в треугольной схеме
Д'1* Д<*>	д<’>	д<”	д?’	*	*	*
До")	Д1")	д?>	*	*	*	*	*
До“)	*	*	*	Д^-/)	*	*
Я	*	Д(г)	4 И	Д(г>,	а
*	*	Л {пг "I”	*	*
построить на произвольном элементе (определителе), как на вер-
шине, открытый сверху прямой угол с вертикальной биссектри-
сой, то все определители, содержащиеся в этом угле, будут слу-
жить минорами определителя, находящегося в вершине.
22.	Условимся говорить, что в схеме 21
Дп’	и	Д(Д1	образуют	го р и з о нт ал ь ну ю пару,
Д«4-1	и	^«+1)	образуют	в е р ти к а л ь н у ю пару,
А(„г)	и	Дга+1)	образуют	д и а го н ал ь н у ю пару,
Дл41	и	образуют	точно так же диагональную пару,
накрест лежащую с А(пг), Д«+1>.
Показать, что
1)	при обращении в нуль диагональной пары обращается
в нуль и накрест лежащая с ней пара;
2)	при обращении в нуль горизонтальной пары обращается
также в нуль расположенная либо над, либо под ней горизон-
тальная пара;
3)	при обращении в нуль вертикальной пары обращается также
в нуль находящаяся либо слева, либо справа соседняя вертикаль-
ная пара.
Свойства I), 2), 3) сохраняют силу также на наклонном крае
схемы 21.
23.	Если лишь конечное число определителей бесконечной
последовательности
д (* +1)	Д (* + D	Д (k +1)	д(^ + 1)
/10	, /11	, /1-2	, ...» /1га , ...
отлично от нуля, то степенной ряд а0 A-А-А-  -А-апгп +...
представляет рациональную функцию, степень знаменателя кото-
рой не превосходит k. [20, 18.]
24.	Если лишь конечное число определителей бесконечной
последовательности
Д (О /1(2)	Д(3)	Д(Л)
/10 I /10 »	/10 , ..., /10 , ...
116
ЗАДАЧИ
отлично от нуля, то степенной ряд a0-\-a1z-\-a2zi-\-...-\-allz'l-\-...
представляет рациональную функцию.
25.	Если лишь конечное число определителей бесконечной
схемы
До0 Д)'2)	Д!2”	Д*1’	, Ди!+1)
д(1)	д(Д	д(3)	д(»)
/11, /1-2 > Л з , . , . , л л }	...
отлично от нуля, то, степенной ряд а0 +	+ a2z2 +... + anzn-j-...
представляет рациональную функцию.
26.	Показать, что указанные в задачах 23, 24, 25 достаточ-
ные условия рациональности функции, представляемой степенным
рядом й0 +	+ а222 + • • -“И/Ч..., являются также необхо-
димыми.
О бесконечной матрице
Coo a0i а02 • • •
CZ1O Яд Я12 ...
говорят, что она конечного ранга г, если все содержащиеся в ней
определители (г+ 1)-го порядка равны нулю и хотя бы один опре-
делитель г-го порядка не равен нулю.
У бесконечной матрицы Ганкеля
(£)
Cq
Ci
«2
Щ С2
«2 «з
а3 а4
(а,?ц = а?лц) определенный только
также брутто-рангом. Обозначим
что ранг условимся называть
через гк ранг матрицы

dk
ak+i
ak+2
аА+2
Я&+3
«а+1
Щг-!-2
аА+3
получающейся из <£) вычеркиванием первых k столбцов (или строк).
Имеем
£о = £> г0 = г, Го^Г^Г^...
Минимум последовательности чисел r0, rlt г2, необходимо
достигающийся через конечное число шагов, условимся называть
нетто-рангом матрицы <£>.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 2
117
27.	Ранг матрицы § конечен тогда и только тогда, когда
степенной ряд а0ахг + а2г2 + -\-anzn + представляет рацио-
нальную функцию.
28.	Брутто-ранг матрицы § равен порядку последнего
не обращающегося в нуль определителя из бесконечной последо-
вательности
Д(1) Д (2)	д(3)	Д (4)
do > 	I -«0 , .
Пусть таковым является Дур); тогда нетто-ранг равен порядку
первого не равного нулю определителя из конечной последо-
вательности
Лхр)	/Цр-2)	, Лр1'-
(Если все эти р определителей равны нулю, то и нетто-ранг равен
нулю.)
29* Нетто-ранг матрицы § в случае, если он конечен, равен
степени знаменателя рациональной функции, представляемой рядом
а0 + а1г + а2г2 + ...-\-апгл + ... Эта рациональная функция будет
правильной дробью тогда и только тогда, когда брутто-ранг ра-
вен нетто-рангу. Если брутто-ранг больше нетто-ранга, то он пре-
восходит на единицу степень числителя. (Числитель и знамена-
тель рациональной функции предполагаются, конечно, взаимно
простыми; степень числителя —точной.)
30.	Функция, представляемая степенным рядом
„ ।	। а2г2 , anzn ,
«о+ 'уг + ~2Г +  • • +	+ • • • ’
тогда и только тогда удовлетворяет однородному линейному диф-
ференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, когда
все определители
д(П л(2)	Д(3) д(п)
за исключением нескольких, равны нулю.
31.	Пусть Q„(z) —полином n-й степени, Qn (0) = 1 (n = 0, 1,
2, ...). Положим для краткости
a0 + a1z + a2z2-\-... = f(z'), Qk(z)f(z) = ЕМ0+ П/Агф- П/^г2-)-...,
Qk (z) 0.1 (z)f (г)= □ А.+	• •
(□*□/«« есть однородное линейное выражение, составленное из ап,
Cln-V> •••>
Показать, что
«О	•••
д(п4-1)__	□1С/гбгл-1-1
О/г О ••• ОлО/г^2/г
118
ЗАДАЧИ
32.	Пусть у 4- 4~ fl 4- • • • будет степенное разложение ра-
циональной функции со знаменателем z? — с^1 — с2гг/~2 — ... — cq.
Числитель' и знаменатель предполагаются взаимно простыми. По-
казать, что матрицы
ат
ат+1
am+i ••• am+?-l
°тп+2 • •  am-.-q
0	0	0	0	...	0	Cq '
1	0	0	0	...	0	c?_i
0	1	0	0	...	0	c?_2
0	0	1	0	...	0	c?_3
am+q-l am+q •   am+2q-2.
0 0 0 0 ... 1 Cj.
связаны соотношением
3(m = !«o6'n (m = 0, 1, 2, ...).
Обозначим ранг бесконечной матрицы
(ЭЛ)
а10	а21	а12	•••	...
а20	°21	а22	•••	а2П •••
ато	ami	ат2	•••	атп---
с конечным числом (= т) строк через г0; ранг матрицы, полу-
чающейся из ЭЭТ вычеркиванием п первых столбцов,— через гп.
Имеем г05= Ч5= О 5=  • • Будем теперь lim гп называть нетто-
п-*со
рангом матрицы ЭЭ1.
Матрица ЭЛ принадлежит системе т степенных рядов
fl (Z) — а10 + ailZ 4" й12г2 + • • • + ain.Zn +. •.,
fi (2) = a20 4" й21г 4" a22z2 4"• • • 4" a2nZ’‘ + • • • ,
fm (z) — am9 4- amlz -j- am2z2 4-... 4- ctmnzn 4* • • •
Эти ряды называются линейно зависимыми, если можно подобрать
такие постоянные с2, ..., ст, где | q 14~|с214*- • -4* 1 ст) > О,
что имеет место тождество
Clf 1 (2) 4" С2$2 (Z) 4" • • • 4" Cmfm (2) = 0.
Они называются квази-линейно зависимыми между собой, если
можно подобрать такие постоянные clt с2, ..., ст, |с1]4-[са14----
• • • 4-1 ст I > 0, что справедливо тождество
Cifi (г) 4- c2f2 (г) 4-... 4- cmfm (г) = Р (г),
где Р (z) — полином.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 3
119
Утверждения: «между степенными, рядами f (z), zf (z), z2f(z),...
..., zmf (z) при достаточно большом m существует квази-линейная
зависимость» и «f (г) — рациональная функция» равносильны.
Говорят, что /(z) представляет алгебраическую функцию, если
между (тф-1)2 степенными рядами zg[f (z)]v (ц, v = 0, 1,2, ..., т)
при достаточно большом т имеет место линейная зависимость.
Говорят, что f(z) удовлетворяет алгебраическому дифференциаль-
ному уравнению г-го порядка, если между (m+l)r+a степенными
рядами
z4f(zW' (г)ГЧГ (г)р...[Г(г)р
(р, v, vlt v2, ..., vr = 0, 1, 2, ..., th) при достаточно большом т
существует линейная зависимость.
33.	Если ранг матрицы системы конечного числа степенных
рядов равен г, то между этими рядами имеются г линейно неза-
висимых, все же остальные линейно зависят от этих г рядов.
34.	Если нетто-ранг матрицы системы конечного числа сте-
пенных рядов равен г, то между этими рядами имеются г квази-
линейно независимых, все же остальные квази-линейно зависят
от указанных г рядов.
§ 3.	Положительные квадратичные формы
35.	Если квадратичные формы
У У, и у у
X — 1 |л = 1	Х= 1	1
положительны, то квадратичная форма
У У
К = 1ц= 1
точно так же положительна. Если, кроме того, одна из этих
двух форм является определенной, а в-матрице другой элементы
главной диагонали отличны от нуля, то третья также будет опре-
деленной.
36.	Рассмотрим симметрические матрицы
/ац	а12	... а1п\	/еаИ	е“12 ... e°i« \
/ cz21	а22	• •  а2п |	еа21	еа22 ... е агп I
Wi	а«2 а-пп/	\eani	еап2 "еапп!
Если квадратичная форма, определяемая матрицей (ащ), положи-
тельна, то положительной будет и форма, определяемая матри-
цей (е%). Если, кроме того, в матрице (а^) нет тождественно
120
ЗАДАЧИ
совпадающих строк, то форма, определяемая матрицей будет
даже определенной. [V 76.]
37.	Пусть степенной ряд
Po+Pix+p^ + .-- = F(x),
имеющий неотрицательные коэффициенты, сходится при х = йи,
а12, ..., апп. Если квадратичная форма, определяемая симметри-
ческой матрицей n-го порядка (я^ц)» положительна, то положи-
тельной также будет форма, принадлежащая матрице (F (а^)\
если, кроме того, между коэффициентами р0, р2, pt, ... имеется
по крайней мере п отличных от нуля, а все строки матрицы (а£д)
различны, то последняя форма будет даже определенной.
38.	Пусть вещественные числа а0, ал, а2, ..., а2п обладают
следующим свойством: для любого полинома f (х) степени не
выше 2п, неотрицательного и не равного тождественно нулю,
имеет место неравенство
^f(x) + ^rW + ^f"(x) + ... + ^f^(x)^O (соотв. >0)
при всех значениях х.
Показать, что необходимым и достаточным условием для этого
является положительность (соотв. положительность и определен-
ность) квадратичной формы
п п
У 2 ахщХ-^Хр.
К = 0 ц = 0
39.	Пусть числа а0, аи ..., ап (n2sl) обладают следующим
свойством: для любого полинома /(х) степени не выше п, неот-
рицательного для неотрицательных значений х и не равного тож-
дественно нулю, имеет место неравенство
«o/W + п-Л W + §/"(x) + ... + %fM (х)^0 (соотв. >0)
при любых неотрицательных значениях х.
Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы квад-
ратичные формы
НИ нм
2 2
Х=0ц=0	Л=0	ц=0
были обе положительны (соотв. положительно определенны).
40.	Пусть числа а0, ах, а2, ..., ап (О1) обладают следую-
щим свойством: для всякого полинома f(х) степени п, неотри-
цательного в интервале —и не равного тождественно
нулю, выполняется неравенство
aof (х) +	(х) +	(х) +... +	(x)0
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 3
121
при любых х в интервале —Показать, что тогда не-
пременно
о()	0, аг = я2 =... = ап = 0.
41.	Пусть обе квадратичные формы
2 zlj ^А+(ЛЛ|1> V Vi ^Л+(ЛЛц
Х = 0|1=0	?. = 0(i = 0
положительны. Положим
Cv = aobv + J + (^) ft2^V2'l~- • • + ov&o-
Тогда квадратичная форма
7. == 0 |1— О
будет также положительной и притом определенной, если по край-
ней мере одна из данных форм определенная.
42.	Пусть
cv = aobv + L J 4“ О ... + avbg.
Показать, что из положительности четырех квадратичных форм
	т т	т—1m — 1 Х~0	X=0 |Л = О m m	m— Im— 1 Vi V	V V	^А+ц+1^Лц ?. = 0 (1=0	A = 0 ц = 0
вытекает	положительность двух следующих: m m	m—\m—1 X — 0 |i — 0	7. - 0 ц,—0
Далее из	положительности четырех форм mm	mm V V а/=|ЛЛи V V С;.4-11-1^/Л|1> 7. = 0(1=0	2. = 0(i=0 mm	mm V V ^а+(1^?Л|1, V V ^.+(1+1^/Л(1 ). = 0(1 = 0	А = 0(1=0
вытекает	положительность обеих форм т	т	т	т V V сА+мЛ?Л(1, V V Са+н+хЯаЛц. А = 0 (1 = 0	'	А = 0 (1 = 0
122
ЗАДАЧИ
43.	Пусть комплексные числа
С-я» £-л+1> •   > С-1, Со- Ci, . •  , Сп-у, Сп, C_v — Cv (v — 0, 1, 2, . . . , fl)
обладают следующим свойством: если любой тригонометрический
полином порядка не выше п вида
g(-ft) = а04-2 (cqcos -& + PiSin-ft -}-а2 cos 2O-]-P2sin2'&-|-...
... + a„cosn'0' + p„sinn'S')= 2 Vve-1'”3'
v= — n
(7v = 7-v = av + tPv, v = 0, 1, 2, ..., n; po = 0)
неотрицателен и не равен тождественно нулю, то имеет место
неравенство
У, cvyve~iv& ^0 (соотв. >0).
у = — п
Показать, что для этого необходимо и достаточно, чтобы эрми-
това форма
У У
Z — 0 ц = 0
была положительной (соотв. цоложительно определенной).
§ 4.	Смешанные задачи
44.	Будем рассматривать п2 элементов определителя п-го
порядка как независимые переменные. Показать, что между п\
слагаемыми ±alkaiki...ankn в разложении определителя имеется
лишь N = n2-2n-\-2 независимых между собой, и указать N
таких членов, через которые все остальные могут быть выражены
рационально.
45.	Обозначим через s„ число отличных друг от друга поло-
жительных слагаемых в разложении симметрического определителя
n-го порядка (с произвольными элементами), а через s"n — соот-
ветствующее число отрицательных слагаемых. Для sn = s'n ф- s„ уже
Кэли указал рекуррентную формулу
S/г-н — (/I "4" 1)	^2^ ^^2*
Показать, что для dn — s'n — s'n имеет место рекуррентная формула
^Л+1 ~	(^	1) ^-п	^2^
И ЧТО
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 4
123
46.	Обозначим через <з'п число отличных друг от друга поло-
жительных слагаемых в разложении симметрического определи-
теля n-го порядка |алц|, у которого все элементы главной диаго-
нали а)Л равны нулю, а через — соответствующее число отри-
цательных слагаемых. Положим
П/1 “ Оп 4“ tbi,	п Оп.
Тогда
^л+1 = п 4“	^л+1 = п5п П&п-Х ^2у	2
И
1	_ 1	3	I
п2сг„ е 4	,.	(—1 )л-1 n s	е4
lim------- = -7=-, lim -— -------------- —
П—* СО п! 1'л	п -> со	п!	2 У п
1, 2,	, п
47.	Обозначим произведение ||	(х,— xk) через А. Тогда,
i<k
как известно, выражение вида
ф=42±ф^1’ Х)^ •••’ Хкг)>
где сумма распространена на все п\ перестановок из 1, 2, ..., п
и для четных перестановок берется знак плюс, а для нечетных —
минус, будет симметрической функцией от хх, х2,	, хп. Пока-
зать, что если
п
Т = ТТт^ГТ-----Г’
v = 1
то тогда
XX (1 XI (I XjXk)
v = 1	/ > k
48.	Пусть характеристическое уравнение системы п? вели-
чин
ац —Z Й12	... а1п
а-1 . . Й22-г	°2« _ =0
^П1	^Г2	••• П
имеет корни ах, а2, ..., ап, не все равные нулю. Обозначим
через Х;.ц (г) алгебраические дополнения элементов определи-
теля х(г). Доказать, что характеристическое уравнение величин
Хщ (г) имеет корни
=	(Р = 1. 2......Л).
124
ЗАДАЧИ
49.	Линейные преобразования
sin ал
S“:
2 _______ХЧ_____
«=osin7TT<P_?+a)
(р = 0, 1, .... п),
где а произвольно, образуют группу в том смысле, что
= Sa+p.
50.	Пусть g (ft) — тригонометрический полином с веществен-
ными коэффициентами порядка не выше п. Указать, каким усло-
виям он должен удовлетворять, чтобы линейные преобразования
Sa:
п
уР=2 ^(4т^_^+а))
?=о
(р = О, 1, ..., п),
где а произвольно, образовывали группу в смысле задачи 49.
51.	(Продолжение.) Определитель преобразования Sa тожде-
ственно равен нулю, за тем единственным исключением, когда
„	— 1 sin(n+l)A
'	«+1 sin А
[49];
в этом случае он тождественно равен единице.
52.	(Продолжение задачи 49.) Преобразование Sa ортого-
нально, т. е. тождественно для всех х0, xlt xz, ..., хп
yl + у\ + Pi + • • • + Уп. — 4 + х! + 4 ф- • • • + хп-
Линейное преобразование
У1= aiixi ф- Qi2x2 + •   ф- а1пхп ф-...,
р2 — а21Х1 4" °22Х2 Ф~ • • • + а2пХп +  • • ,
Ут — ат1Х1 + ^т2Х2 4~ • • • 4~ атпхп 4" • • • i
называется ортогональным [этот термин часто относят и к соот-
ветствующей матрице (атп)], если имеют место соотношения
aml	Ф~Щпз ф-...ф-Cmn	ф-... = 1	(tn — 1, 2, 3, ...),
а2.1ар1 + «Л2ар.2 Ф~ аКзЛцЗ 4" . • • ф-	ф-... = О
(X^=p, X, р — 1, 2, 3, ...)
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 5
125
и одновременно соотношения
^+«A+C+---+flL+--- = I (« = А 2, 3,...),
+ О-гКаг\1. + аз?Азц + • • • +	+ ,.. = 0
(2. ц; Z, ц = 1, 2, 3, ...).
Аналогично определяется ортогональность бесконечной по всем
направлениям матрицы
53а Числа Фибоначчи 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34,... опре-
деляются условиями и0 = 0, = 1, ип + ця+1 = «я+2 (п = 0, 1, 2,...).
Показать, что линейное преобразование
у — U1Xi + 112X2	+ ипхп — unxn+i (я = 1 2 3	)
'/иЯ«Л+2
ортогонально.
54а Линейное преобразование
оо
sinan. у хп (т =..., — 2,	1, 0, 1, 2, ...),
л	m-pn —а 4	7
п = — со
где а —не целое вещественное число, ортогонально.
§ 5, Определители систем функций
Определителем Вронского или вронскианом системы функций
/1 (х), А(х)» •••, /«W называют определитель
AW г[(х) ...
/2(х) /2« А« -	= /„« ш 55а При любых постоянных с^ (сиА + с1гА + • • • + С1«А> ^21А + с22 • • • > Cnlfl + ^п2	W1W. Ш,..., Ш]. ^2 + • • • + <?2п/:„, . . . А + • •  + cnnf п) — А,---- А).
126
ЗАДАЧИ
56.	Показать, что
W[fi(T(x)), /а(<₽(х)), Мф (*))] =
= [ф' (х)Г^ W [Л (Z/), /2 (у), ..., fn (у)],
где в правой части надо подставить z/ = <p(x).
57.	№(фЛ> ф/2,	, qfn) = <fnW (fly /2,, f„).
58.	±W(fi, f2......./„)=	(-M', /M'l
A	LVli'	’1	' li7 J
к a d W (ft, ... , fn_2, fn) _
dx Г (A, ... , fn_2, fn_!)
_ W (fit .... f„2) Г (A.fn 2, fn t, f„)
(/1../«-2.	/»-!)?
60.	Если W (fi, f2, ..., fn-i, fn) обращается в нуль во всех
точках интервала (a, b), a W (fr, f2,...,	— в одной, то
можно указать п— 1 таких постоянных (\, с2,..., сп^, чтобы
во всем интервале (а, Ь) соблюдалось тождество
fn (X) = С^! (X) + C2f2 (%)+... + Cn~ifn-1 (х).
61.	Если Л(х), f2(x), ... , fn(x) суть п линейно независимых
интегралов однородного линейного дифференциального уравнения
n-го порядка
У(п} + Фх (х) У(п~^ + ф2 (х) У(п~2} + • • • + Ф« (х) у = О,
то для каждой функции у имеет место соотношение
у[п} + Фх(*)У1’1'11 + ф2(х)yl,i2>4-...4-фя(х)у =	ftn’fy •
62.	(Продолжение.) Положим
1 = №0, Л= Wi, W (к, f2) = W2,..., W (flt f2,..., fn) = Wn.
Тогда для всех, функций у имеет место соотношение
У{п) + Фх (х) У(п ^ + ф2 (х) У{п ^ + • • • + Ф« (х) у =
_ Wn d (Wn-1 d Г wl d 1 Wi d у \11
— WnZi dx \Wn_2Wn '"dx LW'i^s dx dx wj J) *
Это представление линейного дифференциального выражения,
предполагающее знание п независимых интегралов, имеет сходство
с разложением на множители полинома n-й степени, предполагаю-
щим знание п его нулей.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 5
127
63. Пусть
непрерывные в
/iW' /а (•*)» •••	/п(х) —вещественные функции,
интервале а, Ь. Показать, что определитель
неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда,
когда между функциями (-v), /2(х).......f„(x) существует линей-
ная зависимость.
64.	(Продолжение.) Определитель
b
a
ь
№ + fl + -+fydx
а
b
— j hfi dx
а
b
j (fi+fl+-.+fn)dx
a
b
-\fifndx
a
b
— j fifn dx
a
b
— ^fnfidx
a
b
— \fnfidx
a
b
\(fi+fi+..-+fn-i)dx
a
неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда,
когда функции f^x), fz(x), ..., /„(х) отличаются друг от друга
лишь постоянными множителями или, иными словами, все
являются кратными одной из них.
65.	(Продолжение.) Определитель
ь
dx
еа
к, ц = 1, 2, ...
ZJ
неотрицателен, причем обращается в нуль тогда и только тогда,
когда какие-нибудь две из функций ^(х), /2(х),.... /я(х) тожде-
ственно совпадают.
66.	Нижеследующая теорема представляет собой обобщение
теоремы, упомянутой по одному поводу Гауссом в его «Theoria
combinationis observationum» [Opera omnia, т. 4, стр. 12, см.
две последние строки в Art. 11].
Пусть f (х) для х > 0 представляет собой функцию невозра-
стающую неотрицательную и вместе с тем не равную тождест-
венно нулю. ' Пусть, далее, все числа а±, а2, ... , ап различны
между собой. Показать, что (при допущении существования всех
входящих интегралов) определитель
СО
(ал+% +1) $ хак+(X) dx
о
к, Ц = 1, 2,
п
128
ЗАДАЧИ
неотрицателен; он обращается в нуль тогда и только тогда,
когда f(x) представляет собой кусочно-постоянную функцию с не
более чем п — 1 точкой разрыва.
Пусть функция /(ft) собственно интегрируема в интервале
0=С,&<2л и имеет ряд Фурье [VI, § 4]
/(ft)^a0 + 2 У (a„ cos nft-ф &я sin nft).
/2 —- 1
Эрмитовы формы
тп (/) = 2 S
Л. = 0 ц = О
образованные посредством чисел
со = «о> ся = ая-ф1&я, с_я = ся (и = 1, 2, 3, ...),
мы будем называть формами Теплица (Toeplitz), принадлежащими
функции / (ft). (См. 43.)
67.	Образовать формы Тёплица, принадлежащие функциям
/ (й) = с = const., f (ft) = а0 -ф 2 (ах cos ft -ф b1 sin ft),
/(ft) = .., 2, 0<r<l.
' ' '	1 —2r cos fl-]-/'2
68> Если функция f (ft), положительна в интервале 0 ft <
<2л, то все формы Тёплица положительно определенны. Более
точно: если /(ft) в интервале 0s;:ft<2n заключена в границах
msc/(ft)scM, то тогда и
пг^Тп(Г)^М,
в предположении, что переменные х0, xlt х2,..., хп подчинены
условию 7'я(1) = 1. Равенство может быть достигнуто лишь в том
случае, если / (ft) — const, у каждой точки непрерывности.
69.	Вычислить определитель Dn(f) формы Tn(f) для функций
задачи 67 и показать, что если /(ft) всюду положительна, то
2л
„и _____
lim VDn(f) = e °	= ©(/).
п “» СО
70.	Пусть / (ft) — тригонометрический полином первого порядка
и /г —параметр. Показать, что определитель Dn(f — h) формы
Тёплица Tn(f — h), принадлежащей функции /(ft) — h, представ-
ляет собой целую рациональную функцию (n-ф 1)-й степени от h,
имеющую лишь вещественные нули. Вычислить эти нули.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ, § 5
129
71.	(Продолжение.) Все нули hon, hln,..., hnn определителя
Dn(f — h) расположены между минимумом и максимумом функции
/(-&), т. е. если т <; f (ft) М в интервале [0, 2л], то также
m^hvn^M (v = 0, 1, 2, ..., п). Далее, для любой функции /’’(/i),
собственно интегрируемой в интервале	имеет место
соотношение
lim
п -* оо
F(hM) + F(hln) + ... + F(hnn)
n-j- 1
2Л
Q
72.	Если эрмитова форма
п п
У У	(c..v = Cv)
X = 0 ц =. О
положительно определенная, то все
нули полинома
С)	Cl	С2	
с-1	Са	СТ	с,г-1
С-2	С-1	C.J	Сп -2
C-n-tl	с~П+2	с-г.±3   	Ci
1	г	z-	гп 
лежат внутри единичного круга.
5
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
ГЛАВА 1
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1, Задачи на целые части чисел
Пусть х — вещественное число. Через [х] обозначают целую
часть числа .г, т. е. целое число, удовлетворяющее неравенствам
[х] -С х < [х] + 1.
Так, например,
[л] = 3, [2] = 2, [— 0,73] = — 1.
1.	Пусть /г —целое, х — произвольное. Тогда
[х4-п] = [х] + п.
2.	В разложении определителя n-го порядка произведение
членов, стоящих в диагоналях, соседних с главной диагональю,
имеет знак (— 1)12 J.
3.	[2х] —2[х] = 0 или 1,
смотря по тому, будет ли
г п 1 1
X — [х]<у ИЛИ 2sy.
4.	Если 0<а<1, то
[х] — [х — ot] = 0 или 1,
смотря по тому, будет ли
х —[х]>-с4 или <а.
5.	В предположении, что х не имеет вида n + у (п — целое),
выразить ближайшее к х целое число посредством символа [ ].
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 2
131
6> [х] можно было бы назвать целым числом, ближайшим
слева к х. Выразить посредством символа [ ] целое число,
ближайшее справа к х. (Замена данного числа ближайшим
справа целым числом —обычный прием мелких торговых рас-
четов.)
7.	[а] + [р] либо = [ар], либо = [ар] — 1,
[а] —[Р] либо = [а — Р], либо = [а — р]4-1.
8.	[2а] + [2р]^[а] + [а+р] + [р].
9.	Пусть п — целое положительное число. Тогда
[х] + [х + ур] + [* + тр] + •  • + [•* + ——] = [/гх1-
1®. Пусть п — целое положительное число, х произвольно.
Тогда
[*?] = М-
11.	Пусть т — целое положительное число. Показать, что
наивысшей степенью 2, содержащейся в
[(1+ /3)2^Ч,
является 2m+1.
§ 2. Подсчет целых точек
12.	Пусть а и п — целые положительные числа. Число тех
из чисел 1, 2, 3,... , п, которые делятся на а, равно
13.	Сколько нулей имеет функция sinx в интервале а<х Д
Ь? Сколько в интервале а «Д х < &?
14.	Пусть Osgasgjt. Обозначим через Vn(a) число перемен
знака в последовательности
1, cos a, cos 2а, ..., cos(n —1)а, cos па;
тогда
lim ХдМ = «
, _ п л
15.	Пусть 0 — иррациональное число, 0 < 9 < 1 и gn равно
нулю или единице, смотря по тому, равны между собой или же
различны числа [п9] и [(п —1)9]. Показать, что
lim	+	_ g
п - со	п
16.	Определить число (V(r, а, а) нулей целой функции е?—
— ael(t в круге \ z\^r (г, а, а — вещественные постоянные числа,
г >0, а>0),
5*
132
ЗАДАЧИ
17.	Пусть а и Ь — целые числа, f(x) —функция, определен-
ная и положительная в интервале а^х^Ь. Выразить посредст-
вом символа [ ] число целых точек (точек с целочисленными
координатами, I 28), находящихся в области, определяемой нера-
венствами
a^x^b, 0 <//-с Z (>')•
18.	Пусть р и q — взаимно простые целые положительные
числа. Доказать путем подсчета целых точек формулу
Ш д_ [?£] щ Щ -1-Пр-'Ж _ (р-1)(7-1)
LpJ’rLpJ’1"LpJ’r"‘’rL р J 2
19.	Пусть р и «у —нечетные взаимно простые целые положи-
тельные числа. Обозначим = р',	= д'. Показать, что
([ р ]+[2р ]+• • •+РЛ)+([|]+Ш+• • •+[¥ ])=p,q'-
20. Для простого числа р вида 4/г +1 имеет место формула
[Vp\+[/2Р]+[/зд+...+[	•
§ 3. Одна теорема формальной логики и ее применения
21.	Пусть дано N любых объектов. Пусть Na — число тех из
них, которые обладают некоторым свойством а, Ар —число тех,
которые обладают свойством р, ..., соотв. А,', — число тех,
которые обладают свойством х, соотв. К. Аналогично пусть АаР,
Nay, •••, Aapv, • •• , Aapv... -а. обозначают число тех из этих объек-
тов, которые одновременно обладают свойствами а и р,
соотв. а и у,..., соотв. a, р и у, ..., соотв. а, р, у, ... , х иХ.
Тогда число объектов, которые н е обладают ниоднимиз свойств
a, Р, У,  , х, X, равно
N - Na-Ny -..N;, -
+ Aap + Acv +. •. + N-a —
— A apv
±Aapv... hX.
22.	Пусть дано n объектов (п>1) и пусть свойством a
обладают все кроме первого, свойством р — все кроме второго, ...
..., свойством X —все кроме последнего, n-го объекта. Что дает 21
в этом случае?
23.	Сколько из п\ членов в разложении определителя п-го
порядка обращается в нуль, если положить все элементы глав-
ной диагонали равными нулю? [См. 21: свойством а обладают
члены, содержащие множителем ац, и т. д.]
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 4
133
24.	Пусть а, Ь, с, ..., k, / — взаимно простые целые положи-
тельные числа. Сколько из чисел 1, 2, 3, ..., ;г не делится ни на
одно из этих чисел а, Ь, с, ..., k, I? [12.]
25.	Пусть р, q, г, ... будут различные простые множители
числа п. Число чисел, меньших п и взаимно простых с ним, равно
Это число обозначают обычно <р(п). При этом полагается, по
определению, <р(1)=1; таким образом, <р(п) представляет число
взаимно простых с п чисел до п включительно; п^\, ибо 1
взаимно просто само с собой.
26.	Пусть дано N произвольных объектов, могущих, как в 21,
обладать свойствами а, 0, у, ..., х, л. Пусть каждому отдельному
объекту приписано некоторое числовое значение. Обозначим через
Wa сумму числовых значений тех объектов, которые обладают
свойством а, через сумму числовых значений объектов со свой-
ством 0 и т. д. Аналогично будем обозначать через Way,...
..., Ж,р¥, •••, ^а₽у----А сумму числовых значений тех объектов,
которые одновременно обладают свойствами а и р, соотв. а
и у, ..., соотв. а, Р и у, ..., соотв. а, р, у, ..., х и X. Пусть,
наконец, W — сумма числовых значений всех объектов. Тогда сумма
числовых значений объектов, н е обладающих ни одним из свойств
а, р, у	х, X, будет равна
+ Га₽+Га¥ + ...+ Гих-
— ^а₽у — ••• +
±U7«₽y...xm	[21.]
27.	Пусть fj, r2, ..., гф(ч) — взаимно простые с п числа, мень-
шие, чем п (м>1). Показать, что
1 ,5 I I ,2 , __ ф (П^ (<?2 | ( ппг
Г1 ~Гri~V • • • + г<₽ (п) —-—з—+ 2 Рчг
где р, q, г, ... — различные простые множители п, a v —их число.
§ 4. Части и делители
Пусть п — целое неотрицательное число. Под «частью» п мы
будем понимать всякое целое неотрицательное число, которое меньше
или равно п. Числа 0 и п называются «несобственными частями»
числа п. Число 0 содержит в качестве части, и притом несобствен-
ной, лишь само себя.
134
ЗАДАЧИ
Пусть п — целее положительное число. Под «делителем» п мы
будем понимать всякое целое положительное число, на которое п
делится без остатка. Числа 1 и п называются «несобственными
делителями». Число 1 содержит в качестве делителя, и притом
несобственного, лишь само себя.
Пусть тип — целые неотрицательные числа. Под наибольшей
общей частью тип мы понимаем число, содержащее в качестве
своей части всякую общую часть чисел т и п. Это будет меньшее
(не большее) из чисел тип или, в символах, Min(m, п).
Пусть т и п —целые положительные числа. Под наибольшим
общим делителем тип понимают число, содержащее в качестве
своего делителя всякий общий делитель чисел m и п. Его симво-
лически обозначают (т, п).
Под Min(Z, т, п, ...) понимают вообще наименьшее из чисел
I, т, п, ..., под (/, т, п, ...) —их наибольший общий делитель.
Существует наименьшее число, содержащее в качестве частей
одновременно тип, именно наибольшее (не меньшее) из этих
чисел. Символически: Мах(т, п).
Существует наименьшее число, содержащее в качестве делите-
лей одновременно m и п, именно их наименьшее общее кратное.
Пусть а0, alt а2,... —произвольные числа. Под У at понимают
гг^ п
сумму, распространенную на все части числа п (включая и несоб-
ственные части 0 и п):
У «/=
ts^n 1=0
Пусть аг, а2, ая, ... — произвольные числа. Под at пони-
мают сумму, распространенную на все делители числа п (включая
и -несобственные делители 1 и п). Например,
S at — а1 + а2 + а3 + ав-
ts0
28. Пусть а, Ь, с, ..., k, / — произвольные неотрицательные
целые числа. Имеем
Мах (а, Ь, с, ..., k, l) = a-\-b-\-c-\-...-\-k^-l —
— Min (а, b) — Min (а, с) — ... — Min (£, /)4~
4-Min (а, b, <?) + ...—
±Min(a, b, c, ..., k, I).
Отдел восьмой, глава 1, § 4
135
29. Наименьшее общее кратное М целых положительных чисел
а, Ь, с, ..., k, I можно представить следующим образом:
М = abc...kl (а, by1 (а, су1... (k, /) 1 (а, Ь,с)...(а, Ь, с,..., k, Z)±!.
30.
i	о	о	о	...	с
1	i.o	о	...	о
1	1	1	о	...	о
1	1	1	1	...	о
1	1	1 ...	1
2	2	2 ...	2
2	3	3 ...	3
2	3	4 ...	4
2	3	4 ...	п-\-1
1 1 1 1 ... 1
Здесь общий элемент первого определителя т]Х|Х = 1, когда р явля-
ется частью X (собственной или несобственной), и равен нулю
в противном случае; во втором определителе общий элемент
равен числу общих частей чисел X и р, т. е. наименьшему из
чисел Х+ 1 и ц 4-1 (%, р = О, 1, ..., п).
31.	Определитель, общий элемент которого равен числу
общих делителей чисел X и р или, иными словами, числу делителей
наибольшего общего делителя чисел к и ц (А, р=1, 2, ..., п),
равен единице.
32.	Пусть ай, alt ..., ап — произвольные числа и
Лу= У at
(v = О, 1...., /г).
Показать что
Aq	Ао	Aq	Ао	...	Ао
Ло	А1	А,	А1	...	Ai
Ло	Ai	А..	А2	...	А>
До	Ai	А2	А3	...	Д3
=	... ап.
Ло Ai А2 А3 ... Ап
Здесь общий элемент определителя равен Аг, где г = Min (X, р)
(X, р = 0, 1, .... п). (Обобщение тождества 30.)
33.	Пусть ах, а2, ..., а,г — произвольные числа и
(v = 1, 2, ..., п).
Показать что
Ai	Ai	Ai	Ai	... Ai		
Ai	a2	Ai	A3	A 12, nt		
Ai Ai	At л2	Аз Ai	Ai Ai	•••	^’3. nt •   A ,4, n,	= ctia<,a3.	 an
Д1 А1п, 21 A:lz, 3) Л</г, J) •••
136
ЗАДАЧИ
Здесь общий элемент определителя равен Аг, где г-pi, р.)
(X, р=1, 2,	п). (Обобщение теоремы 31.)
34.	Если а0, alt а2, ... произвольны и
(и = 0, 1, 2, ...),
то, очевидно,
п0 = Л0, а1 = Л1-Лй, а.^А^-А^ ап^Ап — Ап-г, ...
При произвольных а1; а2, а3, ... и
A,^£at (п=1, 2, 3, ...)
t I п
имеем
с^ — А^ а2 — А2 — А1,_ а^=А3 — Л1( а4 = Л4 — Ла,
Й5 — Л5 — Л4, ав = Ад—А3— Л2-|-Л1, ...
и вообще
=	(п=1, 2, 3, ...),
t I П	I
где ц (п) — функция Мёбиуса (см. определение на стр. 137).
35.	Пусть ф (у) — произвольная функция, определенная в интер-
вале 0 у 1, и
^(«)= 2
v = l
/(«)= У
(Г, Л)=1
где последняя сумма распространена на значения г, взаимно про-
стые с п и не превосходящие п. Тогда
t\n	/1 n
36.	Как известно,
n f 2ш‘у \
J~[ \x—e n ) = xn — 1.
V=1 '
Положим
, f 2nir \
IJ \x — en ] = Kn(x),
(r, ;i)=l
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ. ГЛАВА 1, § 5
137
где произведение распространено на значения г, взаимно простые
с п и не превосходящие п (n-й полином деления круга). Нулями
полинома хп—1 служат корпи n-й степени из единицы, нулями
полинома 7(„(х) —примитивные корни n-й степени из еди-
ницы. Доказать формулу
/ п_ \и (О
t I п
37.	Показать, что
2л гг
S е п =н(«),
(г. п)=1
где р (п) — функция Мёбиуса.
§ 5. Теоретико-числовые функции.
Степенные ряды и ряды Дирихле
Под теоретико-числовой функцией /(п) понимают функцию,
определенную для целых значений п=1, 2, 3,... аргумента.
В этом общем смысле задание «теоретико-числовой функции» рав-
носильно заданию произвольной бесконечной числовой последова-
тельности. Ниже мы приводим некоторые из таких функций, имею-
щие значение в теории чисел:
ср(п) (функция Эйлера): число чисел, не превосходящих п и
взаимно простых с п [25];
т(и) = J] 1: число делителей числа п;
t п
(У (п) =2 I: сумма делителей числа п;
I ; П
од (п) = J] trj-. сумма a-x степеней делителей числа п\ о1(п) —
t п
—а(п), а0(п) = х(п);
v (п): число различных простых множителей числа п;
ц(п) (функция Мёбиуса): ц(1)=1, ц(п) = 0, если п делится
на квадрат какого-либо целого числа (кроме единицы), и ц(п) =
— (—i)vu) в остальных случаях;
Х(м) (функция Лиувилля) Л(1) = 1, Х(п) = (—1)\ где k — число
простых множителей числа п, засчитываемых соответственно своей
кратности;
А (п) (функция Мангольдта): А (ri) = In р, если п — целая степень
простого числа, п = рт', А(п) = 0 в остальных случаях.
38. Составить таблицы указанных функций от п = 1 до п= 10.
(Для оа(п) ограничиться значениями а = 0, 1, 2.)
138
ЗАДАЧИ
Наряду со степенными рядами
4~ й2г2 4~ • • •	= У апгл
» = 0
мы будем рассматривать ряды Дирихле
йх1 s4-tz22-54-... + a,tns4-...= У ann-s.
п= 1
Степенные ряды служат мощным орудием в аддитивной (см, I,
гл. 1), ряды Дирихле — в мультипликативной теории
чисел 1).
Произведение (по правилу Коши) двух степенных рядов
СО	СО	со
У, ak2k У b,zl = У cnzn
k~Q	i = U	п— О
определяется формулой
Сп= У	[124],
k-\-l = n
где t пробегает все части числа п, включая и несобственные О
и п. Произведение (по правилу Дирихле) двух рядов Дирихле
СО	СО	оо
У ahkrs У bLl~s = У cnrrs
А=1	/=1	п=1
определяется формулой
= У akbt = у atb n_,
kl=--n	t tn t
где t пробегает все делители числа п, включая и несобственные
1 и п.
Полагая все коэффициенты степенного ряда равными единице,
получаем геометрический ряд
1 + г + 22 + ... + ^ + ... = _г1_.
Полагая все коэффициенты ряда Дирихле равными единице, полу-
чаем дзепга-функцию
1-s + 2^ + 3-‘ + ... + ^ + ... = £(s)-
!) В настоящей главе мы совершенно отвлекаемся от вопросов сходимости.
В случае абсолютной сходимости все выкладки законны,
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 6
139
39.	Число частей п равно 1=« + 1- Число делителей п
1^п
равно У 1 = т(п). Имеем
СО	00
2 («+1)2л = дГ^-2, J Т(П)/Г* = £(8)2.
n=0	п —I
40.	n-й коэффициент в разложении произведения
СО	со
2 G«2"> С00ТВ- Ш 2 a,ltl~S'
п = О	п = i
равен
У, а(, соотв.
I 'Д п	t \п
41.	Показать, что
1+г + г2-)-... + г', + ... ’
р(1)Г-*+И(2)2^ + И(3)3 - + ... + [л(п) п " + ...=
_ 1 _ 1
“ '1 -s + 2 *+з-* + ... + п-*+„. ~ £(S) ’
42.	Пусть, как в 32, У as = An (п = 0, 1, 2, ...); тогда
(Д0-ф/IjZ + ^2з2 -ф...-ф Anzn -ф...) (1 — z) =
= а0-фп1г-фя.,г2 + ...-фаяг/1-ф...
Пусть, далее, как в 33, ^а(^=Ап (п = 1, 2, 3, ...); тогда
Z | п
(А^ + Л22 ^ + ... + Л„п- + ...)-(р(1)1- + И2)2- + ...
... + р (п) tvs -ф.. .) = al^S + a2^S + • • • + ann~s +. ..
§ 6. Мультипликативные теоретико-числовые функции
Под мультипликативной теоретико-числовой функцией /(п)
понимают функцию, такую, что /(1)— 1, удовлетворяющую для
взаимно простых тип уравнению
/(m)/(n)=/(mn).
140
ЗАДАЧИ
43* Показать, что
па, аа(п), 2v("\ |л(п), Х(п), ф(п)
— мультипликативные теоретико-числовые функции. [Для ф(п)
использовать 25.]
44.	Пусть п — р\1рк^ ... рку, где рк, р2, .... pv — отличные друг
от друга простые числа. Тогда
l_p“(*i+J) 1— р“(*а+1)	]_p“(*v+1)
в частности,
т(п) = (^+1) (k2+ 1)...(^.+ 1).
45.	Показать, что при п > 30
Ф(и)>т(п).
46.	Пусть а, Ь, с, d, ..., k, 1 — г^.лък положительные числа,
М — их наименьшее общее кратное, (а, Ь), (а, с), .... (а, Ь, с),...,
как обычно, — наибольший общий делитель чисел а и Ь, соотв. а
ис.......соотв. а, b и с, ... Если f (п) — мультипликативная функ-
ция, то
/(М)/((а, Ш((«. с)) ... f((k, b, с, d))...=
=f(a)f(b)...f(l)f((a, b, c))...
(Аргументами функции f(n) в правой части служат наибольшие
общие делители всевозможных комбинаций из нечетного числа
чисел а, Ь, с, ..., k, I.) [29 представляет собой частный случай,
когда f (n) = n.]
47.	Пусть f (ri) — мультипликативная теоретико-числовая функ-
ция. Тогда
f' f (п)	= П (W + f (р) p~s + f (p2) p 2s + f (p3) p Ss + ...),
n= 1	p
где бесконечное произведение распространено на все простые
числа р и раскрывается таким образом, что составляются только
произведения из конечного числа множителей, отличных от -1~5.
р
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 6
141
49» Показать, что
CD	СО
J CTa(n)n-^ = t(s)C(s-«). 2 2V('!)n’' = m’’
n=1	п—1
оо	со
[43>44’25-j
п=1	п — 1
50. Обозначим через a(n) наибольший нечетный делитель
числа п. Показать, что
a(l)l-s + a(2)2-s + ... + a(n)n^ + ... = ^Y4(s-l).
51» Показать, что
2л«»--В
л= 1
62.
Tin I 0 при п> 1.
1, если п есть точный квадрат,
О, если п — не квадрат.
54. 2 <р(0=«.
1\П
Be X1 — *Р
’ t п ’
t\n
56. 2Л(0 = Inn.
tin
53. £Л(/) =
<|n
57.
(1, 1) (1, 2) ... (1, n)
(2, 1) (2, 2) ... (2, n)
= <p(l)<p(2)...q>(n).
(n, 1) (ra, 2) ... (ra, n)
58. Рассмотрим все возможные разложения n = aj3 четного
числа п такие, что а —нечетное (включая а — 1), £ —четное. Пока-
зать, что разность
равна сумме делителей числа у.

142
ЗАДАЧИ
59. Пусть f (п) и g (п) — мультипликативные теоретико-число-
вые функции. Тогда теоретико-числовая функция
также мультипликативна.
60* Число различных правильных замкнутых п-угольников
1	/ ч
равно у ф(«).
61.	Сумма всех положительных правильных дробей, имеющих
в несократимой форме знаменатель п, равна y<p(n) (n>s2).
62.	Пусть а, Ь, с —целые положительные числа. Если
(a, b, с) = 1, то между с дробями
a а+6 а + 2& а + (с—1) b
с ’ с ’ с ’ ‘ ‘’ с
ф(М
срф)
имеется
несократимых. Если (a, b, с) > 1, то все указанные
дроби, очевидно, сократимы.
63.	Сколько несократимых имеется среди п2 дробей
1	1	_1	_1_	_1_
1 ’ ~2 ’ 3 ’ 4“’
А	А	А	А	А
1 ’	2	’	3 ’	4 ’	‘	’	п ’
з	2.	А	А	А
1’	2	’	3’	4 ’	 •  ’	л ’
п п п п	п ъ
Т’ 2"’ У’ Т’ •  • ’
64.	Обозначим через Ф(и) число несократимых среди следую-
щих п2 дробей:
1 +1	1+21	1 + ni
п ’	п > • • • >	п ’
2+1 2 + 21	2 + ni
л ’	п ’ ‘ ‘ ‘ ’	п '
n-j-i n + 2i л+л1'
л ’ п ’ '' ’ ’ л
(i = y— 1; дробь а~^~ называется сократимой, если (а, Ь, п)> 1,
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА !. § 7
143
и несократимой, если (а, Ь, п) = 1.) Функция Ф(п) обладает сле-
дующими свойствами:
Ф (т) Ф (п) = Ф (тп) для (т, п) = 1, Ф (1) = 1,	(1)
ф(р*) =p2fe —p?fe-2, если р —простое число (6=1, 2, 3, ...);
Ф(и)=иф-4-V->	(2)
v 7	\ р2 J \ q2 J \ г2 J ’	47
где р, q, г, ... — различные простые множители числа п;
=	(3)
11 п
СО
2	(4)
1
Доказать свойства (1), (2), (3) независимо друг от друга,
исходя непосредственно из определения. Показать, кроме того, что
(1)=>(4), (2)=>(4), (3)=>(4),
(4) =>(!), (4)=>(2), (4)=>(3р).
§ 7. Ряды Ламберта и родственные им
65. Из тождества
со	со
C(s)2 ann~s = S Л "-/г '5’
п = 1	п — I
где Ср <72, а3, ... и Д2 А3, ... — постоянные
вытекает
коэффициенты,
со
V £Д1_
Д.1 1 —хп
п == 1
со
У, Апхп
п= 1
и обратно. (В левой части второго равенства стоит так называе-
мый ряд Ламберта.)
66. Тождества
СО	со
C(s)(l — 21-5) 2 апп~' = 2 Bnn~s,
п=1	Л=1
= У
2^ = ”
1
П—1	1
равносильны.
I) То есть из (1) следует (4), из (2) следует (4) и т. д.
144
ЗАДАЧИ
67. Пусть между числами ах, а,
имеет место то ;
-----J ------- „х, „а, а3, ... й Ах, А.2, Аз,
же соотношение, что и в задаче 65.. Тогда
л—1
& \Ап
П2Л2 1
68.	Пусть между числами ах, ах, а3, ... и Вх, В2, В3, ...
имеет место то же соотношение, что и в задаче 66.. Тогда
х2 \В
п2л?)
п
69.	Показать, что
СО
2[1 (п) хп
1—Хл
п= 1
со
2ф (п) хп
1-х"
П~ 1
являются рациональными функциями от х. Какими именно?
СО
70-	2 т^=х+х4+х9+х16+х25+---
п= 1
71.	Показать, что
V Н v о„а V Ф(п)х« _	1+х3
L 1+хл _л Zi 1+х« ~л(1-х2)2-
п —1	п=1
оо
72.
Л=1
== х — 2х2 + х4 — 2х8 + х9 х18 — 2х18 + х25 —... = У, Ьпхп,
п= 1
где &„ = 1, если п — квадрат, Ьп = — 2, если п — удвоенный квад-
рат, и Ьл = 0 во всех остальных случаях.
СО
73. У Ф(п)~ = х7^УЦ-„,
\ / 1 — хп	(I —х)и
п~ 1
[64].
п~ 1
со	со
74. -Их- У Т^ = х^ + х‘-'±5 + х>1±| + ...
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 1, § 8
145
ел	ел
_ _	VT	VI	Хп	X	.	Xs	,
73» Ст (tl) ХП = 2,, п yzryi = (Г=Х)2 + (1-X2J2 +
п=1	л=1
( х3 ,	х 4- 2х3 — 5х5 — 7х7 4-  • •
+ (1 — х3)2 +---1—х—х24-х6 + х7 —... •
Показатели степеней в последней дроби составлены по формуле
-1 (3/г2±£). [I 54.] Вывести отсюда рекуррентную формулу для о(п).
76» Значение выражения
1 , р , р2 । Р3 I
1 — q "г" 1 — qx ‘ 1 — <?х2 ~ 1 — ?х3 ‘ ‘ *
не изменяется при перестановке чисел р и q.
.. *	]	Д________!__—----L —
** 14-х3	1+х*^ 1+х8^ 1+х3^-’-
__ х	х3 .	х»	х7 .
1—X	1—Xs ' 1—X?	1— Х7 +
7П X __ X	X2	X1	х«	_
*» TZ7J - 1-хз+ 1-х* ‘ 1-х8 ‘ 1-X1S +•••-
х ’ 2x2 I 4х*	8х8	.
— Т+Т t" 1 + х2 + Г+Б + Г+х8 + • •'
§ 8.	Дальнейшие задачи на подсчет целых точек
79.	Показать, что
т(1) + т(2) + ... + т(н) =[т] + [|] + ••• + [”]•
[Обе части представляют число целых точек, заключенных в фигуре
х>0, г/>0, ху^-п1).}
80.	Пусть v = []/n]. Показать, что
T(I) + T(2) + ... + x(n) = 2[-j] + 2[|] + ... + 2[j]-v2.
81.	Пусть
со	со	ее
У, a-kk~s	У cnrrs.
k ~ 1	/ — 1	п — 1
Тогда между суммами коэффициентов
ai + °2 4* • • • Н- ап — п>	4- Ь2 +... -|- Ьп ~ Вн,
С1 + С2 + •  • + сп — Гл
г) Разобранную в задачах 28—42 аналогию (часть, делитель) можно было бы
здесь проследить несколько дальше.
146
ЗАДАЧИ
имеет место следующее соотношение:
, arBrnl=^j &5Ягдг-|.
Г— 1	[ Г J s= 1	|_ s J
82.	Показать, что
ln«!= J 1пр([^] + [^] + [А] + ...),
psj'i
где суммирование распространяется на все простые числа р,
не превосходящие п. [Применить 81 к произведению Дирихле
-Г (s) = 2	/-.]
*=i	г=1
83.	В обозначениях задачи 81 имеет место также соотношение
Гл = 2	+ S bsArni— AXBV,
л=1	[r] s = i Ld
где v = []/’«].
Г Л A В A 2
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ПОЛИНОМЫ И ЦЕЛОЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1.	Целочисленность и целозначность полиномов
Полином
Р (х) = аох” + агхт -1 +... + ат_гх + ат
называется целочисленным, если его коэффициенты а0, аг, а2, ...
ат_г, ат представляют собой целые числа. Полином Р (х)
называется целозначным, если значения Р(0), Р(1), Р(2), ...
..., Р(п), ... — целые числа. Целочисленный полином всегда цело-
значен.
84.	Полином
х (х — 1) (х— 2)... (х— тЦ- 1)_ Гх\
1 • 2 • 3 ... т	\т)
— целозначный, однако не целочисленный, если т$=2.
85.	Каждый полином Р (х) степени т можно представить
в форме
Р = Ь° (т) + Ь1 (т- 1) +' •'+ &»-1 (1) + Ь>п-
Полином Р (х) является целозначным тогда и только тогда, когда
все коэффициенты &0,	..., bm_x, bm — целые числа.
отдел восьмой, Глава 2, § 2
147
86* Если полином Р (х) степени т — целозначный, то полином
т\Р (х) — целочисленный.
87.	Если целая рациональная функция степени т принимает
целые значения для т+1 последовательных целых значений
переменной, то она принимает целые значения для всех вообще
целых значений переменной.
88.	Каждый нечетный полином Р (х) степени 2т — 1 можно
представить в форме
?« = с, (;) +(’+')+Сз(*+2)+...++
Полином Р (х) тогда и только тогда целозначный, когда все коэф-
фициенты clt с2, .... ст-1Г ст — целые числа.
89.	Кая?дый четный полином Р(х) степени 2т можно пред-
ставить в форме
n/\ j , j х [х\ , , х /х4- 1\ .	, , х [хА-т —1\
Полином P (x) тогда и только тогда целозначный, когда все коэф-
фициенты d0, dlt d2, ..., dm-i, dm — целые числа.
90.	Целочисленные полиномы степени т, абсолютное значе-
ние которых равно единице при т +1 целых значениях, суще-
ствуют, если msg3, и не существуют, если m^=4. [VI 70.]
91.	Если целая рациональная функция степени т принимает
рациональные значения при тф-1 целых значениях х, то все ее
коэффициенты рациональны.
92.	Если дробная рациональная функция во всех положитель-
ных целых точках принимает рациональные значения, то она
представляет собой отношение двух взаимно простых целочислен-
ных полиномов. [Решающим обстоятельством является рациональ-
ность коэффициентов.]
93.	Рациональная функция, принимающая целые значения
для бесчисленного множества целых значений аргумента, является
целой рациональной функцией.
§ 2.	Целозначные функции и их простые делители
94.	В числовой последовательности
21-ф-1, 22+ 1, 24+ 1, 2S+ 1, .... 22"'+ I, ...
все члены — попарно взаимно простые. (Отсюда, между прочим,
вытекает, что число простых чисел бесконечно.)
95.	В арифметической прогрессии
a, a-^-d, a-\-2d, ..., a-\-nd, ...,
где а и d — целые числа, d 0, содержится бесконечное множество
членов, имеющих одни и те же простые множители.
148
ЗАДАЧИ
96.	Каждый член последовательности
5,	11, 17, 23, 29, 35, .... би-1, ...
обладает простым множителем, который == — 1 (mod 6).
97.	Пусть Р (х) — целозначный полином. Могут ли все члены
последов ател ьности
Р(1), Р(2), Р(3)....Р(«), ...
представлять собой простые числа? (Как заметил Эйлер, в случае
полинома Р (х) ==х2 — х + 41 простыми оказываются первые 40
членов.)
Функция fix), обладающая тем свойством, что все значения
f(0), f(l), /(2), ..., fin), ...
являются целыми, называется целозначной. Например, функция 2х
целозначна. Дробная рациональная функция не может быть
целозначной [93]. Простое число р называется простым делите-
лем целозначной функции fix), если существует такое целое число
п (n>s0), что f(«)y=O и	(mod р). 2х обладает одним
единственным простым делителем 2. Согласно 94 функция 2х -|- 1
имеет бесчисленное множество простых делителей.
98.	Полином х2+1 имеет простыми делителями числа 2, 5,
13, 17, ..., т. е. 2 и нечетные простые числа вида 4п + 1. Ни одно
простое число вида 4п-(-3 не может служить простым делителем
указанного полинома.
99.	Определить простые делители полинома х2-ф15.
100.	Каков бы ни был заданный неприводимый полином
второй степени, существует бесчисленное множество простых чисел,
не являющихся его простыми делителями.
[Доказывается путем привлечения довольно глубоких вспомо-
гательных средств. См. сноску к задаче ПО.]
101.	Если целозначный полином, не равный тождественно
нулю, имеет рациональный нуль, то все простые числа, за исклю-
чением, быть может, нескольких, являются его простыми дели-
телями.
102.	Все простые числа служат простыми делителями поли-
нома Xе—11х44-36х2 —36, не обладающего вовсе рациональными
нулями.
103.	Нечетные простые делители т-го полинома деления
круга Кт ix) [36] либо делят т, либо == 1 (mod т). [104.]
104.	Если простое число р (р > 2) не делит т и
K,„(a>0 (mod р),
то а — взаимно простое с р и принадлежит (mod р) показателю т.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 2, § 2
149
105* Существует бесконечное множество простых чисел вида
6/1—1. [Рассмотреть разложение на простые множители числа
&Р — 1, где Р = 5 • 11  17 • 23 • 29 • 41... — произведение уже извест-
ных простых чисел вида 6n—1.]
106.	Существует бесконечное множество простых чисел вида
4п— 1.
107.	Целозначная функция abx-{-c, где а, Ь, с —целые числа,
ау=О, Ь ;>:2, С-/-0, имеет бесконечное множество простых дели-
телей. [аЬх-^-с периодична по некоторому модулю п, взаимно
простому с Ь; абсолютное значение этой функции возрастает до
бесконечности.]
108.	Целозначный полином Р(х), нетождественно постоян-
ный, обладает бесконечным множеством простых делителей.
109.	Утверждению, содержащемуся в теореме 108, можно
придать такой вид: если Р (х) — целозначный не тождественно
постоянный полином, то все члены последовательности
Р(0), Р(1), Р(2).....Р(п), ...
нельзя составить из конечного числа простых чисел. Может ли
какая-нибудь бесконечная часть этой последовательности быть
составлена из конечного числа простых чисел?
110.	Пусть т — целое положительное число. В арифметической
прогрессии
1, 1 4-/72, 1 4-2/72, 1 4-3/72, ...
содержится бесконечное множество простых чисел1).
111.	Пусть целозначные полиномы Р (х) и Q(x) взаимно просты.
Тогда существуют произвольно большие целые числа /г, обладаю-
щие тем свойством, что наименьшее общее кратное чисел Р (/г)
и Q(n) содержит простые множители, не входящие в их наиболь-
ший общий делитель.
112.	Пусть Р(х) — неприводимый целозначный полином
(см. стр. 150). Тогда существуют произвольно большие целые
числа п, обладающие тем свойством, что в Р (л) по крайней мере
один простой множитель р входит в первой степени, т. е.
Р (/г) не= 0 (mod р) и Р (/г)	0 (mod р2).
113.	Пусть Р (х) — целозначный полином, наименьшая
кратность нулей которого равна т. (Все простые множители,
входящие в Р(/г), за исключением, быть может, нескольких,
должны тогда входить по меньшей мере в т-й степени, п = 0,
1, 2, ...). Существуют произвольно большие целые числа п, обла-
1) Теоремы 105, 106, ПО являются частными случаями следующей важной
теоремы, доказанной Дирихле: в каждой арифметической прогрессии, первый
член и разность которой взаимно просты, содержится бесконечное множество
простых чисел.
150
ЗАДАЧИ
дающие тем свойством, что по крайней мере один простой дели-
тель входит в Р (п) не более чем в m-й степени.
114.	Если целая рациональная функция Р (х) для каждого
целого положительного значения х принимает значение, равное
квадрату целого числа, то Р (х) представляет собой квадрат целой
рациональной функции. (Аналогичная теорема имеет место и для
высших степеней.)
115.	Пусть Ьх, Ь2, ..., bk — различные целые положительные
числа (0 < by < b.y <.. .< Ьк) и Рг(х), Рг(х), .... Pk(x) — цело-
численные полиномы. Показать, что функция
РЛх)Ь\ + Р2 (x)bxt + ... + Pk (%) bl
имеет бесконечное множество простых делителей.
§ 3. Неприводимость полинсмэв
Полином степени п с рациональными коэффициентами назы-
вается приводимым, если он может быть представлен в виде про-
изведения двух полиномов степени меньшей, чем п, с рациональ-
ными же коэффициентами. Каждый полином либо приводим, либо
неприводим', в первом случае он представляет собой произведение
неприводимых полиномов.
116.	Всякий приводимый целочисленный полином может быть
представлен в виде произведения целочисленных же поли-
номов низших степеней.
117. Целочисленный полином /(х) не может обращаться в нуль
ни в одной целой точке, если f (0) и f (1) — нечетные числа.
118. Целочисленный полином Р (х) n-й степени, принимающий
в п различных целых точках значения, отличные от нуля и по
I Г”?',
Г 12Г
абсолютной величине меньшие, чем	неприводим [VI70].
2П- Ы
119.	Пусть d — наименьшее расстояние между целыми точками,
указанными в задаче 118. Тогда приведенную в этой задаче гра-
ницу можно заменить следующей:
(4)"
п
120.	Если целочисленный полином Р (х) при бесконечном
множестве целых х принимает значения, являющиеся простыми
числами, то он должен быть неприводимым и наибольший общий
делитель совокупности его коэффициентов должен быть равен еди-
нице. Это очевиднее положение не может быть обращено: полином
х(х— (п! + 1))(х — 2 («!4- 1))...(х —(п- 1) (л! + 1))4-п! = х,г + ...
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 2, § 3
151
неприводим и, однако, если n2s3, не равен простому числу ни
при каком целом значении х.
121.	Полином
(х-ах) (х-п2)...(х-ал)- 1,
где ах, а2, ап — различные целые числа, всегда неприводим.
122.	(Продолжение.) В каких случаях полином
(х-ах) (х —а2)...(х —ал)-{-1
будет приводимым?
123.	(Продолжение.) Полином
(х - Ci)3 (х - а2)2... (х - апу + 1
неприводим.
124.	(Продолжение.) Полином
(х - ах)4 (х - а,)4... (х - ал)4 + 1
также неприводим.
125.	(Продолжение.) Если F (z) = z4 + Az3 + Bz? + Az + 1 есть
положительно определенный неприводимый целочисленный поли-
ном, то полином
F ((х - ах) (х — а2)... (х — ал))
приводим лишь в том случае, если F (z) = z4 — z2-f-1 (12-й поли-
ном деления круга) и
(х — ах) (х — а2)... (х — ап) == (х — а) (х — а — 1) (х — а — 2)
с целым а.
126.	(Продолжение.) Полином
Л (х —ах)4(х-а2)4...(х-ал)4+ 1,
где А — целое положительное число, приводим лишь в том слу-
чае, если у является четвертой степенью целого числа.
127.	Пусть Р (х) — целочисленный полином и пусть существует
целое число п, удовлетворяющее следующим трем условиям:
1)	нули полинома Р(х) лежат в полуплоскости ЗЧх-Сп —у,
2)	Р (п -1) ¥=0,
3)	Р (п) есть простое число.
Тогда полином Р (х) неприводим.
128.	Пусть
р = ао«х...аЛ1 = ао1От + ах1От-1 + ... + а„
— простое число, записанное по десятичной системе (0=^<zv=^9,
v = 0, 1, ..., tn-, a05sl). Показать, что полином
аохт + аххт~1 +... + ат_хх+ап
неприводим. [127, III 24.]
152
ЗАДАЧИ
129.	Пусть г и s —нечетные простые числа, удовлетворяю-
щие соотношениям
rsl (mod8) и = (7)= 1.
Такими простыми числами являются, например, г = 41 и s = 5.
Тогда полином
(х- ]/7 - ]/Т)(х-У г + Ks) (х + V7-]/Г)(х + У?4-]/?) =
= x4-2(r + s) x2 + (r-s)2 =
= (х2 4- г - s)2 - 4rx2 =	(1)
= (х2 — г 4- s)2 — 4sx2 =	(2)
= (х2 — г — s)2 — 4rs	(3)
в обычном смысле неприводим, однако, как можно элементарно
показать с помощью формул (1), (2) и (3), «приводим» (именно,
может быть разложен на два множителя второй степени) по
любому модулю т.
ГЛАВА 3
ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
§ 1. Подготовительные задачи о биномиальных коэффициентах
130.	Произведение любых т последовательных целых чисел
делится на т\.
131.	Произведение т последовательных целых чисел в ариф-
метической прогрессии делится на т\, если разность прогрессии
взаимно проста с т\.
132.	Разностное произведение любых т различных целых
чисел всегда делится на разностное произведение первых т целых
1, 2, ... , т
положительных чисел. (Разностное произведение J2	(хй — х7)
I /<*
т величин хп х3, ..., хт состоит из	1) множителей.)
[Решение V 96.]
133.	Для каких целых п число (п — 1)! не делится на и?
Для каких не делится на я2?
134.	Определить показатель высшей степени простого числа р,
входящей в я!.
135.	Сколькими нулями заканчивается число 10001, записан-
ное по десятичной системе?
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3, § 2
153
136.	Пусть а и Ь — целые положительные числа. Тогда про-
изведение (2а)! (2Ь)! делится на а! (а ф~ Ь')1 Ь!.
137.	Если /тип — целые положительные числа, то —
целое число.
§ 2. К теореме Эйзенштейна
Степенной ряд
«о ф- а^ ф- а2гг ф-... ф- anzn ф-...
называется рационально-численным, если все его коэффициенты а0,
alt а.,, ап, ... рациональны, и целочисленным, если все коэф-
фициенты а0, аг, а2, ..., ап, ... — целые числа. Рационально-чис-
ленный степенной ряд можно представить в форме
J + Jz+J22 + ... + J2n + ...>
где sn, tn — целые рациональные числа, (s,;, tn) — \, sn —
числитель, tn — знаменатель n-го коэффициента.
138.	Пусть s —целое число, t — целое положительное число,
(s, /)=1. Показать, что знаменатели коэффициентов рационально-
численного степенного ряда
S 00
(*+г)7“ 2	-1)---(Т-"+1)кт
п — О
содержат лишь простые множители, входящие в t.
138.	Пусть р — простой множитель числа t и ра, ра°, р1*', ...
..., ра", ... — высшие степени р, входящие соответственно в t, t0,
tlt ..., tn, .... где tn — знаменатель ц-го коэффициента разложе-
S
ния бинома (1ф-г)? в степенной ряд, (s, 7) = 1. Вычислить
lim —.
П-.СО «
Функция f (z) называется алгебраической, если она тождест-
венно удовлетворяет уравнению вида
Ро (г) [/ (г)]' + Pi (г) [/ (z)]! 1 + •  • + Л1 (г) f (г) ф- Р1 (г) = О,
где Р0(г), Pi (г), ..., Pt (г) — полиномы, Po(z)^O.
Правильную точку зрения для оценки частных результатов
задач 138, 139 дает следующая общая теорема Эйзенштейна:
«Если рационально-численный степенной ряд
агг ф- a2z2 ф- а3г3 ф-... ф- anzn ф-...
154
Задачи
представляет алгебраическую функцию от г, то существует такое
целое число Т, что ряд
сцТ z -ф a2T2z2 -ф a3T3z3 -ф...-ф apTnzn -ф...
является целочисленным». [153.]
140.	Найти наименьшее целое число Т, обладающее тем
S
свойством, что все коэффициенты ряда для (1-фТг)/ являются
целыми числами.
141.	Доказать теорему Эйзенштейна для простейшего случая,
когда ряд представляет рациональную функцию.
Говорят, что ряд
^+|1г + |22 + ...+ ^гл + ...
4J *1	‘2	*71
с рациональными коэффициентами (s„, /„ — целые, 1, (s,,, /л) =
= 1) удовлетворяет условию Эйзенштейна, если существует такое
целое число Т, что Т'1 делится на tn при п — 1, 2, 3, ...
142.	Если два рационально-численных степенных ряда/(?)
и g(z) удовлетворяют условию Эйзенштейна, то этому же усло-
вию удовлетворяют также ряды
/(z)+g(z), f(z)-g(z), f(z)g(z),
а кроме того
(если g(0)=#0) и	(если g(0) = 0).
143.	Если рационально-численные ряды
«О + <212 -ф а2г2 -ф... + anzn -ф..., Ьо -ф by? -ф b2z2 -ф... -ф bnzn -ф...
удовлетворяют условию Эйзенштейна, то ему удовлетворяет так-
же ряд
йо&о + аф-yz -ф агЬгг2 -ф... -ф anbnzn -ф...
144.	Показать, что условие Эйзенштейна равносильно одно-
временному выполнению двух следующих условий:
1) Знаменатели /ъ /2> h, , tn, содержат лишь конечное
число различных простых множителей.
2) Отношение ---- ограничено (п=1, 2, 3, ...).
145.	Разложить по степеням z функции
l-z т 2-z Т	2'1—z
2-z“ 24 —гз + 2’ —‘	2'-2 —
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3, § 3
155
Удовлетворяют ли полученные степенные ряды условиям 1), 2)
задачи 144? Являются ли алгебраическими функции, представля-
емые этими рядами?
146.	Гипергеометрическим рядом называется ряд
F(a, р, v; 2)= У
\	<> /	1 . 2 ... п • у (у + 1)... (y + « — 1)
п —О
Если а и Р рациональны, однако не одновременно целые, и у—
целое положительное число, то можно найти такое целое поло-
жительное число Т, чтобы все коэффициенты гипергеометрического
ряда были целыми. (Например,
1
2 С dx___________________
я J ]Р(1 —х") (1 — ZX2)
не является алгебраической функцией [I 90]: условие Эйзен-
штейна необходимо, однако не достаточно для того, чтобы
функция была алгебраической.)
147.	Пусть а еА у, р =£ у и а, р, у не все одновременно рацио-
нальны, однако все коэффициенты гипергеометрического ряда
Е(а, р, у; г) рациональны. Тогда а и Р являются корнями неко-
торого неприводимого квадратного уравнения с рациональными
коэффициентами.
148.	В указанном в задаче 147 случае F (л, р, у; г) не пред-
ставляет алгебраической функции от г. Доказать это, основываясь
на теореме Эйзенштейна.
§ 3.	К доказательству теоремы Эйзенштейна
149.	Рациональная функция, все коэффициенты разложения
которой по возрастающим степеням z рациональны, представляет
собой отношение двух полиномов с рациональными коэффици-
ентами.
159. Пусть рационально-численный ряд /(г) удовлетворяет
уравнению вида
Ро (?) [/ (г)]' + Рг (г) [/ (г)]'"1 +... + Р1Л (г) f (г) + Pt (г) = 0,
где P0(z), Pi (?)’ Р/(z) — полиномы, P(i(z)e£0. Показать, что
f (z) удовлетворяет также некоторому уравнению того же вида,
в котором указанные полиномы имеют коэффициентами целые
рациональные числа.
151.	Пусть рационально-численный ряд
y = «o + «i^ + «3z2 + ...-|-a4z', + ...
156
ЗАДАЧИ
удовлетворяет алгебраическому дифференциальному уравнению,
т. е. уравнению вида
R(z, у, у', у", ..., г/(г)) = 0,
где R — целая рациональная функция от своих г 4-2 аргументов.
Показать, что тогда у удовлетворяет также уравнению
Л* (г, у, у', у"...</<'>) = О,
где R* — целая рациональная функция с целыми коэффици-
ентами.
152.	Пусть функции /(г) = c04-c1z4-c2a24--• •, Р0(г)> Ei(z),
F2(z), ..., Fi(z) (Fo(z)^O) регулярны в некоторой окрестности
точки 2 = 0 и связаны между собой уравнением
F0 (z) [/ (z)]‘ 4- F, (z) [/ (г)]'-* 4-... 4- F^ (z) f (z) 4- Ft (z) = 0.
Тогда при некотором m степенной ряд
f * (г) = ст 4- cm+1z 4- cOT+2z2 4-...
удовлетворяет уравнению вида
Go (г) [Г « + G, (z) [/* «1 4-... 4- Gk-i (г) Г (г) 4- Gk(z) = 0,
где k^l, Go(0) = G1(0) = ... = Gft 2(0) = 0, Gw(0)^0, Go(z)=£O
и Gx (z) представляет собой рациональное выражение с целыми
коэффициентами относительно Fo (z),F1(z),.. ,,р1(2),2,с0, q,..., с;)|
деленное, возможно, на некоторую степень z; х = 0, 1, 2......k.
(Теоретико-функциональная теорема, подготовляющая к задачам
153, 154.)
153.	Если для рационально-численных степенных рядов P0(z),
Рг (г),..., Pi (z) выполняется условие Эйзенштейна, а рационально-
численный степенной ряд f (z) тождественно удовлетворяет урав-
нению
Ро (г) [/ (Z)]' + Р, (г) [/ (г)]'-1 + ... + Pt ! (г) f(z) + Pt (z) = 0,
то для ряда f (г) также выполнено условие Эйзенштейна.
154.	Пусть 5,г, /„ — целые, (sn, /л)=1, /„S&1 и Рп — наиболь-
ший простой множитель, входящий в tn. Говорят, что степенной
ряд
^ + ^2 + 1^ 4--..4-^4-...
р
удовлетворяет условию Чебышева, если отношение ограничено,
1п Р
и условию Гурвица, если отношение ограничено (п — 2, 3, 4,...).
Как для условия Чебышева, так и для условия Гурвица имеют
место теоремы, аналогичные теоремам 142, 143, 153 для условия
Эйзенштейна.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3. § 4
157
§ 4. Целочисленные степенные ряды рациональных функций
155» Целочисленный степенной ряд
a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn + ...
называется примитивным, если его коэффициенты с0, аА, а2, ...
..., ап, ... не имеют иных общих делителей кроме единицы. Дока-
зать, что произведение двух примитивных степенных рядов снова
представляет собой примитивный степенной ряд.
156а Если .степенной ряд
Оо + Щг + а2г3 +.. • + anzn +...
с целыми коэффициентами представляет рациональную функцию,
р (2-)
то эта последняя может быть представлена в форме где
P(z) и Q(z) — полиномы с целыми коэффициентами и Q(0) = l.
[155.]
157.	Пусть
0 —	. ап------+ j^2 + 1у3 + - • ++
«—положительное число, не превосходящее единицы, записанное
по десятичной системе (0	9, v— 1, 2, 3, ...). Целочислен-
ный степенной ряд
a1z + a2zi + asz3 + ... + anzn + ...
представляет рациональную функцию тогда и только тогда, когда
6 —рациональное число.
158.	Пусть бесконечная последовательность а0, ах, а2, ...
..., ап, ... составлена лишь из конечного числа различных чисел.
Степенной ряд
«о + aiz + a2z2 +... +	+...
будет представлять рациональную функцию тогда и только тогда,
когда последовательность его коэффициентов, начиная с некото-
рого члена, будет периодической.
159.	Пусть / — целое неотрицательное число и Р (г) — цело-
численный полином. Тогда в степенном разложении P(z)(l — zY1"1
коэффициенты являются целыми числами и образуют периоди-
ческую последовательность по любому простому модулю р\
длина периода равна некоторой степени р.
160.	Пусть.D — целое число, не делящееся на заданное нечет-
ное простое число р. Тогда коэффициенты в разложении дроби
(D-l)z
ЦТЗоЦу ~гу— периодические по модулю р и длина периода
является (собственным или несобственным) делителем числа р — 1.
158
ЗАДАЧИ
161а Пусть D и р — те же числа, что и в задаче 160. В сте-
пенном разложении выражения (1—Dz2)1 коэффициенты — перио-
дические по модулю р. Длина периода во всех случаях является
делителем 2 (р — 1); она является делителем р— 1 или нет, смотря
по тому, будет ли = или —1.
162а Последовательность чисел Фибоначчи (VII 53) —периоди-
ческая по любому модулю. Вычислить длину периода для всех
простых чисел, меньших, чем 30.
163. Если рациональная функция представляется целочислен-
ным степенным рядом, то коэффициенты этого ряда, начиная с не-
которого,—периодические по любому модулю т.
164. Степенной ряд, представляющий алгебраическую функ-
цию —имеет целые коэффициенты. Эти коэффициенты не
V 1 — 4г
являются периодическими ни по какому нечетному простому мо-
дулю. (Теорема 163 не может быть распространена на алгебраи-
ческие функции.)
§ 5.	Теоретико-функциональные свойства
целочисленных степенных рядов
165.	Радиус сходимости необрывающегося целочисленного
степенного ряда всегда ==; 1.
166.	Необрывающийся целочисленный степенной ряд, сходя-
щийся внутри единичного круга, не может представлять ограни-
ченную в этом круге функцию.
167.	Если целочисленный степенной ряд представляет алгеб-
раическую иррациональную функцию, то его радиус сходимости
меньше единицы.
168.	Верхнюю границу 1 в теореме 167 нельзя заменить
меньшей. Иными словами, каково бы ни было е>0, всегда су-
ществует целочисленный степенной ряд, представляющий алгебраи-
ческую иррациональную функцию и имеющий радиус сходимости,
больший, чем 1—е.
169.	Пусть коэффициенты полинома
Р(х) = а0Г + й1х/'-1 + ... + аг<4-сг	(ао#=0, г5>1)
вещественны. Аналитическая функция, определяемая рядом
[P(0)] + P(l)]z + p(2)]z2 + ... + [P(n)]z'« + ...,
будет рациональной тогда и только тогда, когда первые г коэф-
фициентов а0, av ..., а,.-! рациональны. (См. II 168.) [I 85.]
170.	Если последовательность целых неотрицательных чи-
сел а1г а2, а3, ап, ... ограничена и содержит бесконечное
ОтДеЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАЁА 3. § 6
159
множество членов, отличных от нуля, то ряд
Z	22
----1-------г + --- + ял 1-?+ •••
Х1—л	—22	1—Zn 1
не может представлять рациональную функцию.
171.	Ряд
2	22	2п
01 Ьфг + а21+г2 + • • • + ал Т+"г” + • • • ’
коэффициенты которого подчинены тем же условиям, что и в за-
даче 170, также не может представлять рациональную функцию.
172.	Обозначим через Qn сумму цифр числа п. Например,
Qi37= 1 +34-7= 11. Показать, что степенной ряд
Qiz+Q2z2 + Q3234-...4-Q^ + ...
имеет единичную окружность своей естественной границей.
173.	Пусть логарифмы всех целых положительных чисел
1, 2, 3, ... записаны один под другим в порядке возрастания так,
чтобы при этом единицы одинаковых -разрядов стояли в одном и
том же столбце. Показать, что степенной ряд, имеющий в качестве
коэффициентов цифры любого столбца, имеет единичную окруж-
ность своей естественной границей.
Иными словами, пусть в десятичном разложении чисел In 1,
In2, 1пЗ, ..., Inn, ... /-я цифра справа от запятой будет соот-
ветственно dlt d2, d3, ..., dn, ... Тогда аналитическая функция,
определенная степенным рядом
t/jZ + d2z~ + d3z3 +... -J- dnzn -ф...,
имеет своей естественной границей окружность | z| = 1.
§ 6.	Степенные ряды, целочисленные в смысле Гурвица
Степенной ряд
Go 4- ц 2 4- 2? 22 4- • • • 4- 2П 4-...
называется целочисленным в смысле Гурвица, кратко: «целочислен-
ным (Я)», если а0, alt а2, ..., ап, ... —целые рациональные числа
[A. Hurwitz, Math. Ann., т. 51, стр. 195—226, 1899].
174.	Если функция f (z) целочисленна (Я), то также
df (г)	f	. .
dT И J	dz
о
целочисленны (Я).
. 17S. Если /(z) и g(z) целочисленны (Я), то также
/(г)4-^(2), f(z)-g(z), f(z)g(z)
160
ЗАДАЧИ
целочисленны (Н), а при g(0) = ±l еще и отношение
f(z)
g(?)
целочисленно (Н).
176.	Если функция / (г) целочисленна (77) и /(0) = 0, то также
ml
целочисленно (Н) (т=1, 2, 3, ...) [174].
177.	Если /(г) и g (г) целочисленны (Н) и f (0) = 0, то функ-
ция £ [£(?)] также целочисленна (Н).
178.	Функция <р(г), однозначно определяемая дифференциаль-
ным уравнением
^у = 1_[ф(г)р
и начальными условиями <р (0) = 0, <р' (0) > 0, разлагается в сте-
пенной ряд, целочисленный (Н).
Говорят, что два степенных ряда
ао + п"2+ 2^ z2+ ••• +	+
bo + ^ + *fz2+...+^2« + ...,
целочисленных (77), сравнимы по модулю т:
^ba + ^-z + b^z2 + ...	(modffi),
если их коэффициенты удовлетворяют сравнениям
a0==b0(modm), а2 ss Ьг (mod т), ..., a„=sb„ (mod т), ...
179.	(е* - I)3 2 (J + J ...) (mod 4).
180.	При всяком простом р
(ег —	1 = —	+ 72р —2)! + фЗр —3)! + • * •) (m°d РУ
181.	При каждом составном т, превосходящем 4, получаем
(е- — l)^1	0 (mod tn).
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 3, § 6
161
182.	Бернуллиееы числа В„ определяются как коэффициенты
в разложении
п = 1
Имеем
BjZZZ-- = 1 — у — -д,	52 = 3б=—	+ у +
— 42— 1	2	3	7 ’ зо + 2 ' 3 ' 5 ’ .
п   °—1____?___-____- В — 691 — 1 4- — 4_ -1- 4_ —- 4_	4_ —
5 ~ 66	2	3	11 ’ 8 ~ 2730—	т2^ 3^5^ 7^ 13’
D 7 о	1	1	с 3617	„ . 1 . 1 . 1 . 1
В7 —-6	— 2	2	3-,	В8— 5ю —	6+ 2 + 3+-5+17.
Вообще
B, = C„+(-l)"(l- + J- + l+i- + l+...),
где Gn — целое число, а 2, 3, а, 0, у, ... — простые числа, на
единицу превосходящие какой-нибудь делитель
числа 2п. [Разложить сначала z, затем по возрастающим
степеням ег—1 и применить 179—181.]
183.	Коэффициенты Сп ряда
2 _ V Сп
<р(г) Li (4л)!	’
п — 0
где <р (?) — функция задачи 178, рациональны, причем знаменатели
их не делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат
лишь простые множители, которые = 1 (mod 4). ^Разложить сна-
чала z, затем ~ по возрастающим степеням (p(z).j
184.	Дифференциальное уравнение
(^)2 = 4[H<-W)
обладает вполне определенным интегралом вида
н2>=?+ i w2“-s
п = 1
(P(z) есть частная эллиптическая, так называемая «лемнискати-
ческая» функция; параллелограммом периодов служит квадрат).
Коэффициенты Dn рациональны, причем знаменатели их не
6 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
162
ЗАДАЧИ
делятся ни на один квадрат, кроме единицы, и содержат лишь
простые множители, которые =1 (mod 4). [Показать, что p(z) =
= [<p(z)]~2 (183). Разложить сначала z2, затем г2 [ср (г)] 2 по воз-
растающим степеням <p(z); z2, как функция от cp(z), удовлетво-
ряет некоторому линейному дифференциальному уравнению вто-
рого порядка.]
185.	Если степенной ряд ~ zn, целочисленный (Я), удов-
летворяет однородному линейному дифференциальному уравнению
с постоянными коэффициентами, то последовательность я0, ах,
а2, .... ап, ... коэффициентов этого ряда — периодическая по лю-
бому модулю, начиная с некоторого места. (Примерами этому
служат уже 179, 180.)
186.	Степенной ряд
..2л-	6х2 . 20х3 ,	. (2п\ хп .
У=1 + н +-2Г+-§Г+
показывает, что теорема 185 не может быть непосредственно рас-
пространена на однородные линейные дифференциальные уравне-
ния, коэффициентами которых служат полиномы.
187.	Если степенной ряд целой трансцендентной функции g (z)
целочислен (Н), то максимум модуля функции g(z) (IV, гл. 1)
удовлетворяет неравенству
limsup М (г) е~гУг
§ 7.	Значения степенных рядов, сходящихся в окрестности
точки 2 = оо, в целочисленных точках
188.	Пусть ряд
ьтгт+ът^+...+ь12+ь0+,
расположенный по убывающим степеням z, сходится вне некото-
рого круга, и числа blf Ь2, ..., Ьт рациональны. Если этот ряд
принимает целые значения для бесконечного множества целых
значений z, то Ьо рационально и
Ь-г = Ь_2 = Ь.3 =... = 0.
(Обобщение теоремы 93.) [Н ur wi t z-Со иг a n t, стр. 30*).]
189.	Ряд
J/ZZ -f-1	4г 32гз + 128го	2048г< +•••
*) Гурвиц, стр. 46. Г у p в и ц —к у р а н т, стр. 37.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 1
163
принимает целые значения для бесконечного множества целых
значений z.
190* Доказать 114, основываясь на 188.
191.	Если не всюду расходящийся ряд
F (г) = bmzm + b,n	1 -ф... + b.z -ф b0 + b-f + -ф ...
принимает целые значения при всех достаточно больших целых
значениях z, то F (г) является целозначным полиномом.
192.	Если два полинома принимают целые значения в одних
и тех же точках комплексной числовой плоскости, то либо их
сумма, либо разность является постоянной. (Эта постоянная, ра-
зумеется, представляет собой целое число.)
193.	Если полином g (х) принимает вещественные значения
во всех точках х, в которых другой полином f (х) принимает зна-
чения из некоторого двусторонне-неограниченного множества ве-
щественных чисел, то полином g(x) вообще всюду вещественный,
раз только веществен полином f(x). (Если f(x) нечетной степени,
то достаточно предположить лишь, что множество односторонне-не-
ограниченно.) Именно, тогда имеет место тождественное соотношение
£ = ф(/),
где <р (у) — полином относительно у с вещественными коэффициен-
тами. (Отсюда, между прочим, легко следует 192.)
ГЛАВА 4
ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЦЕЛЫХ ЧИСЛАХ
§ 1.	Алгебраические целые числа. Поля
Вещественное или комплексное число а называется алгебраи-
ческим, если оно служит нулем некоторого целочисленного поли-
нома [стр. 146], т. е. если при некоторых целых рациональных
а0, alt- я2, ..., ап (а0 Ф 0) имеет место равенство
-ф а-р” ~х -ф а2ап-2 -ф... -ф ап.Ла -ф ап = 0.
Если а0 = 1, то а называется целым алгебраическим числом или,
короче, «целым числом», как мы будем говорить в 194—237. Сущест-
вуют, следовательно, иррациональные и комплексные целые числа;
рациональными целыми числами являются обыкновенные целые числа
..., —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3, ...
Если а и Р — алгебраические числа, то алгебраическими будут
также числа
а-фР, а-₽, ар,
6*
164
ЗАДАЧИ
алгебраические числа образуют поле. Если при этом а и 0 — це-
лые алгебраические числа, то целыми будут и
а — р, сф.
Целые числа образуют область целости.
194.	Если а —целое, то и ]Лх —целое. ________
195.	Если г и s —рациональные числа и r-f-sj/—1—целое,
то г и s должны быть целыми рациональными.
196.	Если г и s —рациональные числа и	—5 —целое,
то г и s должно быть целыми рациональными.
197.	Если г и s—рациональные числа и r-J-s]/—3—целое,
то 2г и 2s должны быть целыми рациональными и 2г = 2s (mod 2);
однако сами г и s могут и не быть целыми.
Алгебраические числа, являющиеся нулями одного и того же
неприводимого полинома [стр. 150], называются сопряжен-
ными. Алгебраические числа, являющиеся нулями неприводимого
полинома n-й степени, называются сами алгебраическими чис-
лами п-й степени. Рациональные числа суть числа первой сте-
пени и сопряжены лишь сами с собой.
198.	Существует лишь ограниченное количество целых чисел
заданной степени п, содержащихся вместе со всеми своими сопря-
женными в фиксированном круге \z\<k комплексной числовой
плоскости.
199.	Единственным целым числом, содержащимся вместе со
всеми своими сопряженными в открытом единичном круге, является
нуль.
200.	Пусть все нули полинома с целыми рациональными
коэффициентами и старшим коэффициентом 1 лежат в замкнутом
единичном круге. Один из этих нулей должен лежать либо
в центре, либо на периферии единичного круга; в последнем слу-
чае он является корнем из единицы [т. е. один из нулей должен
удовлетворять уравнению вида xh = xk, где h, й —целые рацио-
нальные,	198].
201.	Если целое число а со всеми своими сопряженными ве-
щественно и по модулю меньше 2, то a = 2cos y, где р и q—
целые рациональные числа.
Совокупность чисел, представимых в виде рациональных функ-
ций е рациональными коэффициентами от некоторого алгебраиче-
ского числа называется алгебраическим полем, или просто «по-
лем», и притом полем, порожденным числом степень порождаю-
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 2
165
щего числа б называется также степенью поля. Например, поле,
порожденное числом второй степени, называется квадратичным
и притом вещественно-квадратичным или же мнимо-квадратичным,
смотря по тому, будет ли производящее число вещественным или нет.
202.	Иррациональные целые числа
У—Г, У^з, /=5
порождают три различных мнимо-квадратичных поля, в которых
целые числа имеют соответственно вид
а + &У — 1, а + b , а+ЬУ—5,
где а, b — целые рациональные числа.
203.	Множество ЭЛ комплексных (в частности, вещественных)
чисел называется «дискретной областью целости», если оно обла-
дает следующими двумя свойствами:
1)	Если % и £" принадлежат множеству ЭЛ, то и С' + С"> С' —
принадлежат этому множеству.
2)	Точка 0 не является предельной точкой множества 2)1 (соглас-
но свойству I) сама точка 0 = £' — £' принадлежит множеству ЭЛ).
Дискретная область целости состоит либо из всех, либо из
части целых чисел некоторого мнимого квадратичного числового
поля (например, лишь из чисел 0, ±6, ±12, ± 18,... или даже
из одного единственного числа 0).
§ 2.	Наибольший общий делитель
Говорят, что целое число а делится на целое число б, если
существует такое целое число х (частное), что а = хб. Говорят
также, что «б есть делитель числа а» или же «б входит в а» и
т. д. Целые числа, являющиеся делителями числа 1, называют
единицами. Число б называют наибольшим, общим делителем т
целых чисел ах, а2, ..., ат, если существуют такие 2m целых
чисел хх, х2, ..., хт, Х2, ..., Кт, что
а1 = х1б, а2 = х2б, ..., а,л = хтб, а1Х1 + а2Х2 + ...+аДт = б.
Два целых числа а, р, наибольший общий делитель которых
равен единице, называют взаимно простыми.
204.	Если бы мы согласились называть «целыми числами»
не любые целые ’алгебраические числа, а лишь те, которые при-
надлежат полю, порождаемому числом У—5, то числа 3 и 1 +
+ 2 У—5 совсем не имели бы в смысле приведенного выше опре-
деления наибольшего общего делителя, т. е. в поле, порождае-
мом числом У—5 (и содержащем 3 и 1+2 ]/—5), невозможно
166
ЗАДАЧИ
найти такие пять целых чисел а, р, у, 6, Ф, которые удовлетво-
ряли бы уравнениям
3 = аФ, 1+2/=5=рФ, Зу + (1 + 2]Л=5)б = Ф.
[Исследовать наименьшее значение, принимаемое произведением
(п + Ь]/—5)(а — Ь ]/ —5), где а, Ъ — целые рациональные; 202.]
205.	(Продолжение.) Квадраты 32 = 9 и (1+2/—5)2 =
= — 19 + 4]/—5 обладают наибольшим общим делителем даже
при ограничении понятия целого числа, принятом в задаче 204.
206.	(Продолжение.) Найти (не лежащий в поле, порожден-
ном числом V—5) наибольший общий делитель чисел 3 и 1 +
+ 2/=5. [194.]
Нижеследующие задачи не требуют для своего решения при-
менения глубокой теоремы, что любые два целых числа обла-
дают некоторым наибольшим общим делителем [Неске,
стр. 121 *)].
207.	Наибольший общий делитель Ф чисел ах, а2, ..., ат
делится на любой общий делитель этих чисел.
208.	Если Ф и Ф' —два различных наибольших общих дели-
и
теля чисел а2, ..., ат, то частное является единицей.
209.	Если Ф — наибольший общий делитель чисел ах, а2,...
..., ат, то является наибольшим общим делителем чисел
уах, уа2, ..., уат.
210.	Если а взаимно простое с Ру, то оно взаимно простое
как с р, так и с у.
211.	Если а взаимно простое как с р, так и с у, то оно
взаимно простое и с Ру.
212.	Если а и р —взаимно простые, то наибольший общий
делитель чисел а и у будет также наибольшим общим делителем
чисел а и Ру.
213.	Если 6 —наибольший общий делитель чисел а и р, то 6"
является наибольшим общим делителем а" и Р" при любом п =
= 1, 2, 3, ...
214.	Если 6 —наибольший общий делитель чисел а и р, то
/б (п=1, 2, 3, ...) является наибольшим общим делителем чи-
п.—	п, '
сел у а и у р.
215.	Если т чисел аи а2, ..., ат — попарно взаимно простые
и ц = аха2... ат, то 1 является наибольшим общим делителем т
*) Г е к к е, стр. 125.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 2
167
216.	Всякое целое число а =4 0 взаимно просто со всеми
рациональными простыми числами, за исключением конечного их
числа.
217.	Пусть alt а2.ап — нули полинома
хп аххп~х + а2хп~'14-... + ап^х 4- ап,
где аъ а2, .... ап-ъ — рациональные числа. Тогда
а1( а2, • • • , обладают наибольшим общим делителем 6 и при-
ДГ г-
том 6 = У d, где N = и! и d —- наибольший общий делитель чисел
М М	N
Oj ,	, ... , ап .
Под нормой числа а, принадлежащего полю n-й степени К,
символически: N (а), понимают произведение п сопряженных
с ним чисел [Неске, стр. 81*)]. Слово «сопряженные» имеет
здесь другой смысл, чем в пояснении, предшествующем задаче 198
[Неске, стр. 70**)].
218.	Если аир принадлежат /С и а —делитель р, то N(а)
есть делитель W (Р).
219.	Пусть поле К обладает тем свойством, что вместе с лю-
быми двумя целыми числами аир оно содержит и их наиболь-
ший общий делитель в том смысле, что в К имеются пять целых
чисел а', р', у, 6, О', которые удовлетворяют равенствам
а — а'О, р = Р'О, ау4~Р6 = О.
(Это имеет место не всегда! См. 204.) Показать, что для этого
необходимо и достаточно выполнение следующего требования:
если аир — два целых числа поля К, не делящихся одно на
другое, то в этом поле существуют два таких целых числа £ и щ
что одновременно
0< | ЛГ(а£4-Рл) I <1 N(a.) |, 0 < | N (а| 4- рЛ) | < | N (р) |.
(Если а и Ь — целые рациональные числа, |а|>|Ь|, и b не яв-
ляется делителем а, то требуемым здесь свойством выражения
а£4~Рл обладает остаток от деления а на Ь, т. е. г —а -1 — b [у]-)
220. Любые два целых числа поля, порожденного числом
]/—1 , обладают наибольшим общим делителем, принадлежащим
этому же полю.
*) Г е к к е, стр. 85.
**) Г е к к е, стр. 74.
168
ЗАДАЧИ
§ 3.	Сравнения
Пусть а, р, ц —целые числа. Делимость разности а —р на ц
выражают, как и в теории целых рациональных чисел, в виде
сравнения
а = Р (mod у).
221.	Отношение сравнимости между двумя целыми алгебраи-
ческими числами по некоторому' целому алгебраическому модулю
коммутативно и транзитивно, т. е.
из а = р (modji) следует р=а (modц),
из а = р, р = у (modji) следует (modp).
222.	Из
а==р, у = 6 (mod ц.)
следует
a-J-y = р -|-6, а —у = Р —6, ау = рб (mod ji).
223.	Если а и р, — взаимно простые и р не является едини-
цей, то
а^=0 (mod р).
224.	Пусть а, р, ... — целые числа, f(x, у, ...) —полином
с целыми рациональными коэффициентами и р — рациональное
простое число. Тогда
(/(а, р, ...))р == f(ар, рр, ...) (modp).
225.	Пусть
®2>  • • >	®1, С02, • • • ,
(ссд. =0= 0, fi)& 0, со^ =0= <0/ при k =?= I, ^,/=1,2,3,..., tn)
— целые числа. Тогда не все числа
а,со? + а„(о"4- ... + а„со?,
—T..m	(п=1, 2, 3, ...)
могут быть целыми. [Выберем надлежащим образом простое число р
и положим п = р, 2р, Зр, ..., гр; 216, 224.]
226.	Нули полинома деления круга Кт(х) [36] являются
также нулями полинома x^—l, т. е. целыми числами. Они
2 m
равны ari, аг2, ..., аг^, где положено ет —a,. q(m) — h и
i\, г2, ..., rh образуют приведенную систему вычетов по мо-
дулю т, т. е. t\, г2, ..., rh — целые рациональные числа, взаимно
простые с т и попарно несравнимые по модулю т.
Является ли полином Кт (х) приводимым или же неприводимым?
Решение. Рассмотрим среди неприводимых целочисленных
множителей полинома Кт(х) [116] множитель f(x), имеющий
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 4, § 4
169
нулем а. Нули полинома f(x), т. е. целые числа, сопряженные
с а, имеют все вид ag, где g — целое, и их число не превосхо-
дит h [если Кт (х) приводим, то меньше h], Во всех случаях для
любого целого рационального g
|/(a9|^2ft,	(*)
так как модули отдельных множителей полиномакак длины
хорд единичного круга, не превосходят двух. Пусть теперь р —
простое число. Так как f(a) = 0, то мы получаем [224]
f (ар) = ([ (а))р == 0 (mod р).
о	/ (сср)	с	л
Значит, ——- есть целое число. Его сопряженные будут точно
так же целыми числами вида ——Если, стало быть, р > 2ft,
f (&р)
то все числа, сопряженные с  р- , будут в силу неравенства (*)
по модулю меньше единицы, и следовательно [199], J(ap) = 0,
что и показывает, что ар является нулем полинома f(x).
По теореме Дирихле [стр. 149, сноска] каждая из <p(m) = /i
прогрессий
rlt г1 + т, ri + 2/n, ...,
r2, г2фт, r2 + 2m, ...,
rh, гь + т, rh + 2m, ...
содержит бесконечное множество простых чисел. Следовательно,
можно указать приведенную систему вычетов по модулю т, со-
стоящую исключительно из простых чисел, больших 2\ Но тогда
согласно доказанному выше множитель f(x) полинома Кт(х)
имел бы своими нулями все нули а\ а\ , агь этого поли-
нома, т. е. был бы той же степени, что и /<т(х), и, следова-
тельно, вообще совпал бы тождественно с Кт(х}. Таким образом,
доказано, что полином Кт (х) неприводим.
227.	Доказать неприводимость полинома /(от(х), не опираясь
на теорему Дирихле о простых числах в арифметической про-
грессии. Эту теорему можно обойти при помощи, правда, более
громоздкого, но зато и более элементарного построения приве-
денной системы вычетов по модулю т.
§ 4.	Теоретико-числовые свойства степенных рядов
228> Если разложения рациональной функции как по воз-
растающим, так и по убывающим степеням оба рационально-
численны, то полюсы этой функции, отличные от 0 и оо, явля-
ются единицами (в смысле теории алгебраических чисел).
170
ЗАДАЧИ
229.	Пусть степенной ряд, расположенный по возрастающим
степеням аргумента, сходится в единичном круге и представляет
дробную рациональную функцию. Если его коэффициенты явля-
ются целыми рациональными числами, то полюсы его равны
корням из единицы. [156, 200.]
230.	Если ряд
«о + ^- + >+ ... +>+ ...
с целыми алгебраическими коэффициентами а0, а1г а2, ... , ап,...
представляет рациональную функцию, то полюсы этой функции
также будут целыми алгебраическими числами.
231.	Если
(afey=0, (ofey=O, a>k^ a>i при k=£l\ k, 1=1, 2, ..., tri)
— целые алгебраические числа, то коэффициенты в разложении
выражения
ai I_____1 j_____________ат
1— COjZ	1—Ш2г “Г • • • Ч 1_Штг
по степеням г точно так же являются целыми алгебраическими
числами. Это, однако, не имеет места для разложения, получае-
мого отсюда почленным интегрированием.
232.	Пусть функция /(г) представляется рационально-чис-
ленным степенным рядом и производная ее /' (г) — рациональная
функция. Показать, что сама f(z) рациональна, если ее степен-
ной ряд удовлетворяет условию Эйзенштейна, и трансцендентна
в противном случае.
233.	Пусть алгебраическая функция f (г) определена урав-
нением
ро (г) [f (2)]' + Р. (г) [/ (г)ф-1 + ... + РЬ1 (г) f (г) + Pt (г) = О,
где P0(z), P^z), •••, Pi (2) — полиномы с алгебраическими коэф-
фициентами. Если а —алгебраическое число, то коэффициенты
в разложении f(z) по степеням 2 —а будут точно так же алгеб-
раическими числами. [В частности, если z = а — регулярная точка
функции / (г), то f(a) есть алгебраическое число.]
234.	Целая рациональная функция F(z, у) двух переменных
г, у с рациональными коэффициентами называется неприводимой,
если юна не может быть представлена в виде произведения двух
целых функций с рациональными коэффициентами, имеющих низ-
шую степень относительно у.
Если F (z, у) неприводима, то либо ни одно, либо все реше-
ния уравнения
Е(г, г/) = 0
являются рациональными функциями от г.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 5, § 1
171
[Более того: либо ни одно, либо все решения суть целые
рациональные функции от z. Следует принять во внимание 233
и главную характерную особенность неприводимых уравнений:
их корни имеют скверную привычку ходить в гости целой семьей.
См. Неске, стр. 64, теорема 49*).]
235.	Если степенное разложение алгебраической функции
имеет алгебраические коэффициенты, то эти последние все содер-
жатся в некотором конечном поле (т. е. поле, порожденном
одним единственным алгебраическим числом, см. стр. 164). [151,
152.]
236.	(Продолжение.) Пусть рассматриваемый степенной ряд
будет
ао-фа^ + ^г2-]- ...
Тогда существует такое целое число т, что все числа аут, а2т2,
а3т3, ... являются целыми (обобщение теоремы Эйзенштейна).
237.	Пусть расположенный по убывающим степеням z ряд
+	... +a1Z+flo + ^± + £A + £zl+ ...
сходится вне некоторого круга и принимает целые рациональные
значения для бесконечного множества целых рациональных зна-
чений 2. Если все коэффициенты ат, ат_г, , аъ а0, а..19 а.2, ...
рациональны, то ряд представляет целую рациональную функцию
(обрывается, 188); если коэффициенты все принадлежат одному
и тому же конечному полю, то ряд представляет алгебраическую
функцию (пример: 189).
ГЛАВА 5
СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1.	Плоская квадратная целая решетка
238.	Треугольник, вершины которого являются целыми точ-
ками плоской квадратной решетки, не может быть равносто-
ронним.
239.	До какой толщины должны вырасти стволы в правильно
засаженном лесе, имеющем форму круга, чтобы они полностью
заслонили вид из центра?
Пусть s —заданное целое положительное число. Опишем возле
каждой целой точки р, q, удовлетворяющей неравенствам +
+ <?2<:s2, как из центра, окружность радиуса г. Если г доста-
точно мало, то имеются выходящие из нулевой точки лучи, не
*) Г е к к е, стр. 69.
172
ЗАДАЧИ
пересекающие ни одного из описанных кругов (лес имеет «про-
светы»); таких лучей уже больше не существует, когда г доста-
точно велико (^при г= у круги соприкасаются^. Пусть г — р —-
значение, разделяющее эти два случая (граница «просвечиваемо-
сти»), Тогда
р< Г
240° Проведем в плоской квадратной точечной решетке ма-
ксимально широкую прямую бесконечную «дорогу», соста-
вляющую с осью ординат угол arctgx. Обозначая ширину этой
дороги через <р(х), определить /(х) = <р(х)]/1+ха .
241. Две целые точки х, у и х', у' называются сравнимыми
по модулю п, если
xzsx’ (modn), у = у’ (mod п).
Среди любых kn2 +1 различных целых точек всегда существует
сравнимых между собой по модулю п.
242. Пусть в плоскости, на которую нанесена плоская квад-
ратная решетка со сторонами квадратов, равными единице, лежит
область с (жордановой) площадью F. Если даже область эта не
содержит ни одной целой точки, то тем не менее ее всегда можно
так передвинуть параллельно самой себе, чтобы на ней оказалось
[Л+1 целых точек.
243> Целые точки, лежащие в замкнутом первом квадранте,
образуют счетное множество, т, е, существует функция f (х, у),
определенная для целых неотрицательных значений х и у и обла-
дающая следующими двумя свойствами:
1) f(x> У) принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, ...
2) Дх, у) — инъективная, т. е. если х, у, х', у' — целые числа,
х^О, г/SsO, х'^эО, у', : 0, (х —х')2 + (у —г/')2>0, то f(x, у)^=
=£f(x', у').
Существует даже целая рациональная функция f (х, у),
перенумеровывающая целые точки, т. е. обладающая свойствами
1), 2), а именно функция
f (X, £/) = у (x2 + 2xy + r/2 + 3x + z/4-2) = ^+^+1) + x+l,
а также функция, получающаяся из нее, если поменять местами
х и у [указанная функция последовательно перенумеровывает
целые точки на прямолинейных отрезках
x-)-y = O, x + z/=l, хф-г/ = 2, ..., х^=0, г/^0].
Пусть f (х, у) — целая рациональная функция степени т,
fix, у) = <Ро(х, z/) + cpi(x, у)+ ... +<рт(х, у),
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 5, § 2
173
где фц(х, у) обозначает однородную целую рациональную функ-
цию степени ц. Если f(x, у) перенумеровывает целые точки, то,
очевидно, фт(х, у) 0 при х>:0, г/2=0. Если фт(х, у)>0 при
Х>--0, у^О, % + у>0 и f(x, у) перенумеровывает целые точки,
то функция fix, у) имеет степень т = 2. [Число целых точек,
заключающихся в области, ограничиваемой линией уровня
fix, у) = const., связано с площадью этой области.]
1 11
244.	Будем рассматривать квадрат ysgxsgn + y, -^^у^
==£« +у как шахматную доску с /г2 полями, т. е. разделим его
прямыми, параллельными осям, на п2 равных квадратов (полей)
каждый площадью, равной единице. «Проблема п ферзей» состоит
в следующем: из «2 целых точек, образующих центры п2 полей,
требуется выбрать п целых точек (xlt у^, (х2, у2), (хп, уп),
удовлетворяющих 2п(я—1) неравенствам
У\1^=’У')<	Уу. Vvi Хц	{Уц Уч) (н '=/=- ^)>
|л, v = 1, 2, ... , п.
Заменяя неравенства более ограничительными условиями — «не-
сравнениями»
x^xv, y^yv, Xll-xv^yll-yv, x^-x^-fjfa-yy) (modn),
показать, что эти последние тогда и только тогда имеют решение,
когда « — взаимно простое с 6.
§ 2. Смешанные задачи
245.	Пусть t\, г2,..., rqn slt s2,... , s? — две полные системы
вычетов mod q, где с/ —нечетное простое число. Тогда q чисел г^,
r2s2,... , rqsq н е могут образовывать полной системы вычетов mod q.
246.	Пусть ра, где а :> 1, — наивысшая степень, в которой
нечетное простое число р входит в число п. Показать, что
П + 2Х + 3Х4- ...	= —у или 0 (modра),
смотря по тому, делится ли X на р— 1 или нет (Х= 1, 2, 3, ...).
247.	Пусть р — наименьшее простое число, входящее в п.
Тогда существуют две такие полные системы вычетов mod п
rlt г 2, ... , гп,
Si, S2, .. , sn,
что каждая из р — 2 строк
П + si,
Г1-Т25х,
r2 + S2»
r24-2s2,
• • • » Г п	^п,
• • • , rn~i~2s„,
r1 + (p-2)s1, r2 + (p-2)s2, ..., rn + {p — 2)sn
174
ЗАДАЧИ
также представляет собой полную систему вычетов. Что касается
системы
'i + (P-1)si. r2 + (p-l)s2,	r„ + (p-l)s„,
то она никак не может быть полной системой вычетов modn.
248.	Каждая степень может быть представлена в виде суммы
стольких последовательных нечетных чисел, сколько единиц со-
держится в ее основании.
249.	Число из ряда 2, 3, 4, ... , п (п>2) тогда и только
тогда — взаимно простое со всеми остальными, когда оно пред-
ставляет собой простое число, превосходящее у. (Что такое
число всегда существует при п >2, было доказано Чебышевым.
См. Собр. соч., т. I, стр. 63, СПб, 1899.)
250.	Частичные суммы
— 4- ' А I !1-
1	2 Г 3	"'п
гармонического ряда не могут быть целыми при п > 1. Это сразу
же получается из теоремы Чебышева [249], но может быть дока-
зано и без нее.
251.	Сумма двух или большего числа последователь-
ных членов гармонического ряда, т. е. сумма вида
— Н---J-r ... + —	(п =	1, 2, 3,	... ;	п < т),
п 1 «+1	1	1 иг	v	’ ’ ’	’
не может быть целым числом; если представить ее в виде несо-
кратимой дроби, то знаменатель будет четный, числитель —не-
четный.
252.	Если целое положительное число п делится на все
числа, меньшие или равные /л, то л есть либо 24, либо дели-
тель этого числа.
Доказать элементарными средствами более общую теорему:
каково бы ни было а, 0<а<;1, имеется лишь конечное число
целых положительных чисел п, делящихся на все числа 1, 2,
3, ..., [па].
253.	Пусть Q — простое число, не являющееся делителем ЮР.
Среднее арифметическое цифр в периоде десятичной дроби, в ко-
р
торую разлагается -р-, будет тогда и только тогда равно 4,5,
когда длина периода представляет собой четное число.
254.	Число п = 2Л4-1 (/гл>2) в том и только том случае
является простым, когда
п — 1
3 2 = — 1 (modn).
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ, ГЛАВА 5, § 2
175
255.	Доказать справедливость следующей теоремы, выска-
занной Эйлером в качестве предположения:
Диофантово уравнение
4xz/2 — х — у— /2 = О
не имеет решений в положительных целых числах х, у, г, I.
256.	Если q — простое число 11, то существуют положи-
тельные нечетные простые числа рх, р2, ps, pit все меньшие, чем
q, но не обязательно различные, удовлетворяющие соответственно
условиям
(Рк ^== + 1	=
\ q )	\ q J
Ш = + 1, М =
\ Рз /	\ Pl )
и т. д. — символы Лежандра, j
257.	Десятичная дробь
0,23571113171923...
(все простые числа выписаны одно за другим) иррациональна.
[249, 110.]
258.	Число
, . 1 , 1 , 1 , 1 ,
6 “ 1 + Tf +'Д + ЗГ + 4Г + •••
иррационально.
259.	Число е не только иррационально, но и не является
квадратической иррациональностью, т. е. не может удовлетворять
никакому уравнению вида
ае -ф Ье~г -ф с = 0,
где а, Ь, с —целые числа, не все равные нулю.
260.	Если бы постоянная Эйлера-Маскерано. С= — Г'(1)
была рациональным числом, то Г'(п+1) должно было бы быть
целым числом при всех достаточно больших целых п.
261.	Неизвестно, обладает ли число л тем свойством, что
среднее арифметическое первых п его десятичных знаков стре-
мится к 4,5. Однако, если л обладает этим свойством, то им
обладает также 4 —л.
262.	Пусть qn обозначает знаменатель n-го числа Бернулли
Вп [182]. Показать, что
lim \f qn = JL
„ ™ И (2п)1	2 •
263.	Пусть теоретико-числовая функция f(n) мультиплика-
тивна [стр. 139] и стремится к нулю, когда п стремится к беско-
176
ЗАДАЧИ
нечности по простым числам и их степеням. В таком
случае
lim /(п) = 0,
П -» О0
если п стремится к бесконечности по всем вообще целым поло-
жительным числам.
264.	При всяком положительном 6
lim-^- = 0, lim-^- = 0.
п —► СО Ф (я)	П СО п®
265.	Пусть целочисленный квадратный трехчлен ’ах2 + Ьх+с
представлен целой точкой а, Ь, с в трехмерной кубической число-
вой решетке. Обозначим число целых точек, содержащихся в кубе
—п-"а<л, — плЬ^п, — п-Лслл
и представляющих приводимый трехчлен, через гп. Дока-
зать, что
(Неприводимость квадратного трехчлена представляет в некотором
смысле «нормальный случай».)
266.	«Вероятность» того, что целочисленный полином задан-
ной степени приводим, равна нулю. Точнее говоря: пусть h—
целое число, /г^>=2, и гп обозначает число, целых точек (/г-|-1)-
мерного пространства, лежащих в кубе
. —	-п^а^п,	— п<:ак<п
и представляющих приводимые полиномы aoxh + a1xh~1-[- ...
... +ah. Тогда
гп = О (nh In2 п).
(Обобщение и уточнение теоремы 265.) [II 46.]
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1. Если бросить тяжелый выпуклый полиэдр с произвольным
внутренним распределением массы на горизонтальную плоскость, то
он останется лежать на одной из своих граней. Иными словами,
для любой точки Р, содержащейся внутри выпуклого полиэдра,
найдется (по меньшей мере) одна грань F такая, что основание
перпендикуляра, опущенного из Р на плоскость грани F, будет
лежать внутри этой грани. Дать чисто геометрическое доказа-
тельство, независимое от всяких механических представлений.
2. Если на круглой площадке ссыпано данное количество зерна,
то максимальный «наклон» получающейся кучи будет тогда наимень-
шим, когда этой куче придана форма прямого кругового конуса.
Доказать следующую теорему, являющуюся аналитической перефра-
зировкой указанного факта:
Пусть функция /(х, у) обладает обеими частными производными
£ = № У),	У)-
Если/(х, г/) = 0 на границе единичного круга х2z/2	1, то
в единичном круге имеется точка т], в которой
<4-0. < *)>4 J р(х, y)dxdy,
причем двойной интеграл распространен по единичному кругу.
3. Если материальная точка, проходя в единицу времени еди-
ницу длины, переходит от состояния покоя к состоянию покоя, то
где-нибудь между двумя этими состояниями она должна испытать
ускорение, по абсолютной величине превышающее 4. Дать анали-
тическое истолкование этому факту.
4. Если кривая всюду выпукла относительно точки О, то она
занимает угол зрения, меньший 180°, если же она относительно О
*) Это и есть «наклон».
178
ЗАДАЧИ
всюду вогнута и простирается в бесконечность, то угол зрения,
занимаемый ею, будет больше 180°.
Пусть О —полюс полярной системы координат г, <р и г==у^—'
уравнение кривой, причем f (х) имеет непрерывные первую и вторую
производные. Вычисление радиуса кривизны приводит к следующим
двум теоремам:
1. Если f (х) > О в интервале	то существует
такая точка £ (й<£<й-|-л), что
/(Ю+Г®>о.
2. Если f (х) > 0, f (х) + /" (х) > 0 при а<х<Ь и / (а) = f (b) ==
—О, то Ь — а> л.
Доказать эти теоремы чисто аналитически.
Пусть дана замкнутая выпуклая плоская кривая 2 с непрерыв-
ной кривизной. Пусть, далее, h (<р) есть опорная функция кривой 2
(соответственно ограниченной кривою 2 выпуклой области Я, см.
ч. I, стр. 133), г (ф) — радиус кривизны этой кривой в точке, где
угловой коэффициент касательной равен ф + у. Функция /г(ф)
имеет непрерывные первую и вторую производные, г(ф) непре-
рывна. Имеем
/-(ф)=/г(ф) + /г"(ф).
Для площади f области, ограниченной кривою 2 (т. е. обла-
сти &), и для длины I кривой 2 имеют место формулы
2л	2л:
f = у h (ф) г (ф) t/ф, I = h (ф) dtp.
о	о
5. На замкнутой выпуклой кривой с непрерывной кривизной
существуют всегда по меньшей мере три различные пары точек,
обладающие тем свойством, что касательные в обеих точках одной
и той же пары параллельны, а кривизна кривой одинакова.
6> Если выпуклая кривая длины I, охватывающая площадь /,
может свободно катиться по внутренней стороне некоторой другой
кривой длины L, охватывающей площадь F, то
ZL<2n (/ф-Д).
Пусть в пространстве х, у, z дана замкнутая выпуклая поверх-
ность 5 с непрерывной кривизной. Выражение х cos а -ф у cos 0 +
H-zcosy, где cos2 a-j-cos2 0cos2 у = 1, имеет в выпуклой обла-
сти Я, ограниченной поверхностью некоторый определенный
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
179
максимум h(a, 0, у). Величина h{a, 0, у) является функцией
направления а, р, у и называется опорной функцией области
Плоскость
х cos аф-z/cos p-J-z cos у — h (а, Р, у) = 0
есть касательная плоскость {опорная плоскость) поверхности $ и
притом такая, нормаль к которой, направленная в сторону от %,
имеет направляющие косинусы cos a, cosp, cosy. Пусть г и г' —
главные радиусы кривизны в точке касания. Величины h, г, г'
можно представлять себе как функции точки со, движущейся по
поверхности единичной сферы. Они являются непрерывными функ-
циями от со. Для объема v, площади о и интеграла т от средней
кривизны поверхности § имеют место формулы
v = -|- j j hrr' da,
о = j г г' da = -i-
m = ( (r l + r' 1
h da,
где интегрирование распространяется на единичную сферу и da
обозначает элемент ее поверхности.
7.	Пусть объем, поверхность и интеграл от средней кривизны
для двух выпуклых поверхностей будут соответственно V, о, т
и V, О, М. Если первая из этих поверхностей может свободно
катиться по внутренней стороне второй, то имеют место неравенства
тО-\-оМ 12л (V -j- v),
т.О — оМ^~ 4л (V — и).
8.	Замкнутая поверхность, подвергнутая всестороннему равно-
мерному давлению, остается в равновесии. Для обоснования этого
факта доказать следующие формулы, справедливые для всех зам-
кнутых поверхностей:
J cos a dS = О, cos р dS = О, J j cos у dS = О,
§ J {у cos у — 2 cos р) dS = 0,	(2 cos а — х cos у) dS = О,
(х cos р — у cos a) dS = 0.
Здесь cos а, cosp, cosy обозначают направляющие косинусы
внешней нормали, dS — элемент площади.
9.	Если на каждый элемент dS замкнутой твердой поверхности
с непрерывной кривизной действует направленная по внутренней
180
ЗАДАЧИ
нормали сила величиной в у ф- dS, где Rlt R2 — главные
радиусы кривизны, то поверхность остается в равновесии.
10.	(Продолжение.) Если величина силы, действующей на эле-
мент dS в направлении внутренней нормали, равна п * dS (т. е.
пропорциональна гауссовой кривизне, а не, как выше, средней
кривизне), то поверхность также остается в равновесии.
11.	На каждое ребро k твердого полиэдра действует сила К,
приложенная к центру ребра, перпендикулярная к этому ребру
и лежащая в плоскости, делящей внутренний угол между гранями,
встречающимися в ребре k, пополам. Величина силы К равна
11 cos ~ |, где I — длина ребра k и а — упомянутый только что внут-
ренний угол. Наконец, сила К направлена внутрь или вовне, смотря
по тому, является ли ребро k выпуклым или же вдавленным, т. е.
сообразно знаку cos у.
Система сил К оставляет полиэдр в равновесии.
12.	Если на каждый элемент ds замкнутой твердой простран-
ственной кривой, имеющей непрерывную кривизну, действует сила,
ds
равная по величине —, где г —радиус кривизны, и направленная
в положительную сторону главной нормали, то кривая остается
в равновесии.
13.	Пусть из начала координат проведены единичные векторы,
параллельные направлению касательной в различных точках непре-
рывно дифференцируемой пространственной кривой. Концы этих
единичных векторов описывают сферическую индикатрису прост-
ранственной кривой. Если эта кривая замкнута, то ее сферическая
индикатриса пересекает все главные окружности единичной сферы.
14.	Пусть функция f(x) определена в конечном интервале
а<;х-?дЬ и удовлетворяет в нем следующим условиям:
1)	f(x) положительна внутри и равна нулю на концах интер-
вала [а, Ь];
2)	/ (х) в интервале а < х < b имеет непрерывные первую и
вторую производные;
3)	(х)-> + оо при х-*а, /'(х)-э—со при х->Ь.
При этих предположениях функция
______f ______= F (х)
f (х) (1 + [/' (%)]2)2 г w
не может оставаться монотонной во всем интервале а < х < Ь, за
исключением случая
f (х) = V(x-a) (b — x), F(x) — — ( У.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
1«1
15.	На замкнутой поверхности вращения с непрерывной кри-
визной всегда существуют две различные параллели с одинаковой
гауссовой кривизной.
16а Пусть а, Ь, с —стороны, а, р, у — углы (в радианах) неко-
торого треугольника; а лежит против а, Ь — против р, с —против у.
Тогда
. л аа + ^Р + су
3 ~~~ а + &+с ~~~ 2 ’
Равенство слева имеет место тогда и только тогда, когда треуголь-
ник равносторонний, а справа —когда треугольник вырождается
в сложенный вдвое отрезок.
17а Пусть klt k2,  , ke — длины шести ребер тетраэдра и cq,
а2, ..., ав — соответствующие углы между гранями, выраженные
в радианах. Тогда
4~ •  • Ч~ ^6И6 <--
Ai+A2+...+^e	2
Указанные границы не могут быть сближены.
18а Пусть Р0Р1Р2 — прямоугольный треугольник с прямым
углом в Р2, Р2Р3 — перпендикуляр из Р2 на PJ\, точно так же
Р3Рь1Р1Рг, PiPs-LP^a и т. д. Найти предельную точку lim Рп.
19а Пусть в пространстве даны две окружности К и К', каждая
в виде пересечения шаровой поверхности с плоскостью:
(К.) x2 + y2 + z2 + ax+by + cz + d = 0,
Ах By —ф Cz -ф D = О,
(К') x2 + y2 + ^ + ^’x-!rb'y + c'z + d' = 0,
А'х-\- B'y + C'z + D' = 0.
Найти целую рациональную функцию от 16 вещественных коэффи-
циентов а, ..., d, А..D, а',	, d’, Д',..., D', которая была бы
отрицательна тогда и только тогда, когда обе окружности сце-
плены, т. е. находятся в таком взаимном положении, что хотя
и не имеют общих точек, однако, будучи материализованы (скажем,
изготовлены из проволоки), не могут быть удалены друг от друга
на достаточное расстояние без разрыва.
20.	Пусть X1F Х2, Х3 — проективные координаты точки на
плоскости и Хо определено соотношением Хо-фХ^Ха-фХз^О,
В трехпараметрическом семействе конических сечений
X0Xjj-ф XjXj-ф Х2Х2-ф Х3Хз = О
существует двухпараметрическое подсемейство конических сечений,
вырождающихся в пары прямых, причем каждая точка плоскости
182
ЗАДАЧИ
служит особой точкой (вершиной) такой пары. Найти интегральные
кривые этих пар прямых. (Во всякой точке Р искомой кривой
касательная должна совпадать с одной из прямых пары, имеющей
вершиной Р.)
21.	Пусть точка Р описывает плоскую кривую. Пусть, далее,
р —радиус кривизны в точке Р, и отрезок нормали в Р, заклю-
чающийся между осями прямоугольной системы координат, имеет
длину v. Определить те кривые, для которых р и v находятся
в данном отношении:
р = 2nv.
Постоянная п может считаться положительной, так как п перей-
дет в — п, если поменять ролями х и у.
При целом/г одно из решений получается в виде рациональ-
ной кривой порядка 2/г, имеющей с бесконечно удаленной прямой
2«-кратную точку пересечения. [Ввести в качестве параметра угол т
между осью х и касательной в Р.]
22.	Семейство поверхностей второго порядка
Fix,, х2, xs, t) =—	-|——^-— — t = Q	<.(!!<. a2<.as)
' L’ ” '	ar — t 1 а2 — t 1 а3—-t	'	1	*
с параметром t имеет огибающую поверхность Н порядка 10 и
класса 4. Определить линии кривизны поверхности Н. [Составить
дифференциальное уравнение, связывающее один из радиусов кри-
визны поверхности Н с параметром /.]
23.	(Продолжение.) Вывести параметрическое представление
поверхности Н, в котором параметрическими линиями были бы
линии кривизны. Эти последние представляют собой алгебраические
кривые 12-го порядка.
24.	(Продолжение.) Поверхность центров кривизны поверх-
ности Н и параллельные поверхности служат также огибающими
поверхностями некоторого семейства поверхностей второго порядка.
25.	Пусть Fix, ^ — непрерывная функция, периодическая
с периодом 1 относительно обеих переменных х, у:
F(x-[-l, y) = F(x, y+l) = F(x, у).
Пусть, кроме того, функция F (х, у) обладает тем свойством (доста-
точно предположить, например, что она удовлетворяет условию
Липшица), что через каждую точку плоскости проходит одна и
только одна неограниченно продолжаемая интегральная кривая
дифференциального уравнения
Тогда функции F (х, у) соответствует такое число со, что для
каждой интегральной кривой y = f(x) разность f(x) — сох остается
ограниченной при всех значениях х.
РЕШЕНИЯ
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
СПЕЦИАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1.	[Относительно 1—76 см. A. Wiman, Acta Math., т. 37,
стр. 305—326, 1914; дальнейшая литература указана в книге
G. V а 1 iron, General theory of integral functions, Toulouse, Ё. Pri-
vat, 1923. См. также 1. с. I 110.] Речь идет о максимальном
числе последовательности
.г г г г г г г г г
Т’ ТТ’ ТУ У’ •••’ Т 5Г’ •••
Множители у, у, .... у, ... убывают. При
Г _	1	Г	^^-11
— ^1>>—гт"» т. е. п^г <п + 1,
п	п+1 ’	1	’
гп
максимальным членом служит n-й член-у-. Поэтому
,И
И (И = -руг- v (г) = [4
2.	Так как все коэффициенты положительны, то
М (г) = еГ, N (г) = 0.
3.	И ('')=++)Г при 2/г(2/1+1Х''Т(2/г + 2)(2/г + 3),
4.	Так как коэффициенты имеют чередующиеся знаки, то макси-
мум модуля достигается для отрицательного z.
M(r)= eVr~^Z...y jv(r) = riM^£A_.
' 7	2 V г	п
184
РЕШЕНИЯ
5.	v(r) = O.
6.	N (г) = 0.
7.	| an | rn служит максимальным членом для значений г, пре-
восходящих все числа
2	1
I Др I п I ctj In — 1	I an_j I
1 an I ’ I an I ’	I an I
8. По основной теореме алгебры и вследствие того, что при
| г | -> оо модуль полинома — | ап | | г |”.
9. Что второй предел равен бесконечности, вытекает из I 119,
I 120. Из неравенства р (г)	| ап | гп вытекает, далее, если ал=#0, что
,.	. с In LI (г) _	,. In Ц (г)
lim ini—т. е. 11 m  = оо.
г->оо 1пг	1пг
10* Первую половину утверждения доказываем так же, как
первую половину теоремы 9. По поводу второй половины см.,
например, 2.
11.	= vft(r)=^v1(rft).
Индексом члена апг'1к считается, естественно, nk.
12.	Ah(r) = AMr‘), ^(г) = ^1(г'г)-
13.	1. При (2/г— 1)2лг^г3< (2/гЦ-1) (2/г + 2)
v(r) = 2n —г, =
v (г) __ 2п_______________1____________________1	_ <
In и. (г) г 1 /.	1 . . 2 у 2п\г'">	1
и	у(1пу+1п7-+... + 1п— j	pnxdx
о
2 При (2га~1)2п г2 < (2д+1)(2» + 2)
Х V(r)=2n-2r,
v (г) __ 2п__________________1	_______________________1	__]
In п (г) ~ ~ 2r 1 /. 1 . . 2	2n \	In 2	J. —
2г ( " 2г + " 2г +•• +1п 2г ) + 2r	jlnxdx
о
Казалось бы естественным стараться доказать теорему, содержа-
щую этот пример и по аналогии с 14 звучащую примерно так:
«Если f(z) —целая функция и рА(г), соотв. vk (г), — максимальный
член, соотв. центральный индекс, разложения (f (z))ft (а не f(zk),
как в 11) по возрастающим степеням z, k= 1, 2, 3, ..., то
lim
Г-»0О
Vk (г)
In gfe (г)
не зависит от ki>. Однако в такой общей формулировке эта тео-
рема не верна [предел может вовсе не существовать], хотя и верна
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
185
при некоторых специальных предположениях, например в предпо-
ложениях теоремы 67 [68]. См. также 59, 60.
14.	МИг) = (Л41(г))\ ^(r) = ^(r).
15.	[19.]
16.	N (г) есть числовая функция, см. II, гл. 4, § 1.
17.	Пусть v (r!) = Z2sl, тогда
И (r2) ^\al\rti^\al\ И-1г2 = Н (''1) 77-
18.	[III 280.]
19.	Так как максимальный член существует, то существуют
точки, заключающиеся одновременно во всех полуплоскостях
т] Ssnt + 1п | ап | (п = 0, 1, 2,...). Множество ® этих точек про-
стирается в бесконечность и как общая часть бесконечного множе-
ства выпуклых областей (именно полуплоскостей) само представляет
собой выпуклую область. Эту область ограничивает снизу полигон
.	/ .. r-r	d In U (Л)
с уравнением т] — Inц ф’). Правая производная-------ф, сущест-
ч
вует также в вершинах и всюду равна v(e’). Производная — ку-
сочно постоянная функция и вследствие выпуклости нигде не
убывает. Отсюда следует 15.
20.	[III 304.]
21.	Пусть 0<г<г'. Обе пары точек
(Inar, 1пр(аг)), (Inг', lnj.i(r'))
и
(In г, 1пц(г)), (In аг', 1пц(аг'))
лежат на границе области ® [решение 19] и притом первая охва-
тывает вторую. Центры соединяющих их отрезков (секущих) имеют
общую абсциссу
In ar + In г'	In г + In ar’
'	2	~	2	’
а для ординат вследствие выпуклости [19] имеем
In [х (ал) + 1п ц (г') In [х (г) + In ц (аг')
2	—'	2
22.	Из 20, как 21 из 19.
23.	Для полиномов утверждение очевидно [решение 7]. Для
степенных рядов с бесконечным радиусом сходимости v (г) должно
безгранично возрастать, так как при т<.п член \ат\ гт будет прев-
зойден по величине членом | ап | г", как только г станет больше чем
1
Z I I \п—т
\ I «га 1 2
186
РЕШЕНИЯ
Пусть ц (ar) = I ат ] (аг)т-, тогда ц (г) Ss | ат | гт и, следовательно,
-С ГУ»!
И(г) •
Но т->оо при безграничном возрастании г.
24.	Искомый предел существует и меньше единицы для
каждой целой функции, не сводящейся к постоянной [22]. Если
он положителен и равен afe, где k — надлежащим образом выбран-
, А	М (orra+1) _ ь
ное число, &>0, то тогда ~ 5= a и> значит,
Щая)<а~я/-'Л4(1)	(/1=1, 2, 3, ...).
Но это показывает, что целая функция представляет собой поли-
ном степени [8, 10]. Для полиномов утверждение очевидно.
25.	Среди чисел р1( р2, ... будет равно нулю v (0), т. е.
ни одно, если v (0) = 0. Пусть £0 есть абсцисса вершины полигона,
ограничивающего & [решение 19], в которой сходятся стороны с
угловыми коэффициентами т и п, т<_п. Тогда рт+1 = рт+2 =...
;.. = рл_1 = р„ = ^о, и \ап\гп служит максимальным членом меж-
ду рассматриваемой вершиной и ближайшей соседней справа.
26.	Среди чисел г2, ... будет равно нулю N (0), т. е.
ни одно, если N (0) = 0. См. 16.	__________
27.	рл = п, р„ = 2п(2п + 1), р2„_1 = р2л = ]Л(2/г- 1)2/г.
аа	jtj	3jri	5jtZ	\
28.	—	= —, W3 =-------r„ = (2n-1)^ ;
= /12Л2, Г2«-1 ~	1•
29.	Имеем р„ <(п = 1, 2, 3, ...). В интервале [0, г], г<R,
лежит лишь конечное число, а именно v (г) членов последова-
тельности рх, р2, р3, ... Точкой сгущения этой последовательности
может быть только правый конец интервала (0, 7?).
30.	Последовательность нулей не может иметь точки сгуще-
ния внутри круга сходимости.
31.	Доказательство проводим методом математической индук-
ции, рассматривая последовательно интервалы, на которые разби-
вают числовую прямую точки рх, р2, ... Для 0 < г < рх имеем
ц (г) — | а01. Пусть 0^/n</i и роль наибольшего члена перехо-
дит от \ат\гт к \ ап\гп. Допустим, что в интервале рт^ г<рОТг1
и, значит, |ат | =	• Так как \ап\гп вступает в роль наи-
большего члена в точке / = pm+i = pm+3 = ... = pn-x = рга [25], то,
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
187
следовательно,
И \Рт+1/ I “гл I Pm+1 — I	| Рга — | “га | Pm ^-iPm+iPtr. 12 • • • Pn>
| д | I ат I _ I ао I
Ргаг+1Ргам-2 •   Рга Р1Рг  • • PmPm+1 • • • Рга
и р(г) = |а„[гл для р„<г<р„+1, ч. и тр. д.
32.	Неравенство Йенсена [III 120]. Равенство не может
достигаться ни для какой не тождественно постоянной целой
функции.
33.	Это достигается интегрированием (с некоторыми предосто-
рожностями) соотношения
r£HEW = v(r)
dr	'
доказанного в решении 19.
34.	Равносильно теореме 32, так как вследствие II 147
j ф! Л = ^(г)1пг- j InrdN(r).
о	о
35.	Обозначим предел слева через а, предел справа — через 0
и примем сначала, что а конечно. Пусть е>0. При достаточно
больших г имеем v (г) < га+Е, далее | av (r) | < 1, следовательно,
р (г) < rv < г'а+Е,
Отсюда 0С<х. Но, с другой стороны [33],
2л
J ф- dt = In р (2r) — In р (г).
Для достаточно больших г p(r)> 1, следовательно,
v (г) In 2 < In р (2г),
т. е. а-ср. Если а бесконечно, то первая половина доказатель-
ства излишня.
36.	См. вторую половину доказательства теоремы 35. [34.]
37.	Пусть а0=1. Имеем [33, II 147]
— r^*v(r)+ У, ру к = k k ~ !v (I) dt = k J f k d In p (0 =
0 < Pv < Г	0	0
= kr~k In ц (r) + $ t~k 1 Inji (t) dt.
0
188
РЕШЕНИЯ
оэ
Если интеграл \ Inp.(t) dt сходится, то lim /"'Чир.(г) = О
1	г —► со
п
[II 113], и, значит, сумма J] (pv k — р„ k) ограничена [I 78]. Если
V = 1
со
ряд У p7fe сходится, то доказательство проще.
п = I
38.	[G. Valiron, Bull. d. Sciences Math., серия 2, т. 45,
стр. 258 — 270, 1921.] В предположении f(0) = l и обозначениях
задачи III 121 получаем, как в 37,
— r~k N (г) + У г^к — 1гг~'К In® (г) + 1г $	1 In ® (t) dt.
О < rv < г	О
Из неравенства ®(г)^Л4(г) заключаем, как в 37.
39.
-(l-r)^v(r)+ У (1-Pv)ft+1 =
Pv^r
[II 147],
о
(1 - r)ft In и (r) + k $ (1 - ty-1 In p (0 dt = j (1 - t)k Hv (0 dt [33].
о	0
Пусть c0—1. Интегралы в правых частях одинаково ведут
себя при г->1. Если второй из них сходится, то
lim (1 — r)k lnp(r) = 0
г -» 1 - 0
[II 112] и сумма У [(1 — pv)ft+1 — (1 — P«)ft+1] ограничена [178].
V = 1
40.	[F. и R. Nevanlinna, Acta Soc. Sc. Fennicae, т. 50,
№ 5, 1922.] Так же относится к 39, как 38 к 37.
41.	[J. Hadamard, Journ. de Math., серия 4, т. 9, стр. 174,
1893.] Прямая, проходящая через точку (п, — 1п|ял|) с угловым
коэффициентом In г, имеет уравнение
т] = — In | ап | + (| - п) In г
и отсекает на оси q отрезок — 1п(| ап | гп). Среди всех этих пря-
мых опорная прямая пересекается с вертикальной осью в наиболее
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
189
низкой точке. Следовательно, отрезок этой прямой на вертикаль-
ной оси равен — 1пц(г), абсцисса вершины, в которой опорная
прямая касается области £ (или самой правой из этих вершин,
если их имеется несколько), равна v(r), угловой коэффициент
граничного отрезка области за-
ключающегося между абсциссами
п— 1 и п, равен 1пр„. Из ри-
сунка явствует, что In рл+12г-In р„
и что при а() =# О
— In In ja0| +
+ Pl 4" 1П р2 + • • • + In pra,
если точка (п, — ln|a„|) лежит
на границе области & [31]; если
опорная прямая поворачивается
вокруг вершины с абсциссой п
так, что ее угловой коэффициент
изменяется от In р„ до 1пр„+1,
то тогда In ц(р„+1)- In н(р») =
= n(lnp„+1-lnp„), и т. д.
42.	| ат | гт вступает в роль
наибольшего члена, начиная
с наименьшего значения г, удовлетворяющего неравенствам
I «01 I ат I Гт, \а1\г^Дат\гт, ..., \ ат^ ] гтЛ sS | ат | гт.
Это значение г равно, следовательно, рот. На рисунке решения 41
угловые коэффициенты
— In ] ад | + ln I aol	—И |а„ 14-ln I fl! ]	— In I а„| 4-ln I аяЛ|
п — 0	’	п—1	>•••> п — (п—ц
все не превосходят угловой коэффициент 1прл.
43.	Раз а0 служит максимальным членом для некоторого г
(г^>0), то а0 5^0. Тогда, как было показано в решении 31,
| &п I
I ао I
Р1Ра
1-^-1 =
I а„+1 |
Рп+1 Рп ----
an-i
ап
(п=1, 2, 3, ...).
На рисунке решения 41 все точки (п, — ln|a„|) лежат на гра-
нице, неравенство
выражает выпуклость.
44.	Кривая z/ = a~1x“, х>0, выпукла сверху, так как у" =
= (a — 1)	2 <С 0; отсюда вытекает [43] утверждение относительно
190
РЕШЕНИЯ
v(r). Выражение а-1*01 + х In г, где х — переменная, х>0 и фикси-
ровано, достигает своего максимума при
х = (—In г) }~а
и в этой точке равно
(а*1—1)х“ = (а~1—1) (—In г) 1~а.
Если, стало быть, (*) принимает целое значение п, то п-й член
равен е(а11) и является максимальным [второе доказательство
утверждения относительно v (г)], и приведенное для ц (г) асимпто-
тическое значение является точным (в противном случае оно
несколько больше точного значения ц(г)). Что асимптотическое
равенство имеет место, следует из соотношения
45.	Полагаем — In г = т и сравниваем рассматриваемый ряд
с интегралом
J	~ 1 ехр[Ц^т-[II 208].
о
Переход от ряда к интегралу дает ошибку порядка максималь-
ного члена ряда [см. II 8]; отношение этого последнего к интегралу
имеет порядок (!-«) + ' [44]; этим и обосновывается указанный
переход.
46.	Кривая z/ = axlnx выпукла снизу, так как у" =
Выражение — ах In х + х In г, где х — переменная, х>0, и г
фиксировано, достигает максимума при а(1 -f-lnx) = Inr. Если х
при этом принимает целое значение, равное п, то п-й член
является максимальным. Если же х = п-Н, СЬсЬсЕ то
г = (е (п + /))“,
П~паГп _ епа [] fa-lyia. еа (и+/) _ еХр a j;
ппа
Рп~ lyn-ija r'~' (пе)а	[34.]
47.	[4G, 45, II 209.]
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
191
48* Достаточно исследовать рассматриваемый ряд в одной
СО
лишь точке, например z = 0 [III 251]. Пусть g(z) —
n -- о
СО
тогда нужно исследовать ряд У ап. Имеем
п = о
I I
, М (г)
п! —У--
гп
а) Пусть
Для г = ~
К.1, т. е. М (г) < Ае(1+е,г, Д>0, е > 0, /ф-е<1.
получаем
\ап\<Ап]^е~У (l + z)n,
СО
и, следовательно [I 69], ряд У ап сходится. Значение г следует
п — О
подобрать таким образом, чтобы функция Ап\ г~пе(м'>г обращалась
в минимум.
б) Если />1, то ряд У ап не может сходиться. В противном
п = О
случае мы имели бы | ап | < К, следовательно, |/(?) | С/Се12!, что
противоречит предположению I > 1.
в) Если 1—1, то ряд У ап может как сходиться, таки рас-
п = о
ходиться. Выберем, например, ап так, чтобы ол>0, lim у ап —
п —> оо
со
= 1 и ряд У ап сходился. Тогда 1 [б)], далее М(г)>~гя
п — 0
для всех п. При п = [г] получаем, что 1^1, т. е. 1—1. Выберем,
СО
с другой стороны, ап так, чтобы lim й„ = 0 и ряд У ап расхо-
п—СО	п = 0
дился. Тогда /=<1 [б)], далее 1^1 [а)], следовательно, 7= 1.
49. N (г) равно числу целых точек в круге | г | г. Имеем
со1= 1, <a2 = i; так как iw пробегает одновременно с w все периоды,
то
о (ш) = ia («);
а (и ф-1) = — е'1	2 ) о(п),
а(и+/)=_г(и+-г^(«)-
192
РЕШЕНИЯ
Заменяя в первом уравнении и на iu — 1 и умножая полученное
таким образом уравнение на второе, получаем
ч , .. (W + Пг) « + 4- (- 41 + йъ) г., .	, ч
о(ш)о(«4-1) = е	2	сф (и+ 0] ст (и).
Отсюда вследствие равенств (*) и т]хсо2 — r]2wx = 2ni получаем
последовательно
Л1 = Й]2 = Л,
и для любых целых чисел тх, т2
л (m, — <т2) и 4- у (от? 4- mf)
о (и 4- т1 im2) — ± ст (и) е
Ограничимся значениями и лежащими в параллелограмме
периодов, охватывающем точку и = 0. Полагая z = u-\-m1-\-im2
и беря mx + m2->oo, будем иметь

In | о (z) | ~	| z p.
5O< Чтобы вычислить ц(г)
и п связаны неравенствами
sin К г
для —7=~, замечаем, что если г
У г
2п 1/1 +/^/г<2я1/(1 4-1V1+/)
у 1 2п r V \ ПУ\ 2п /
(*)
и положено У г — 2п-\-1, то при безграничном возрастании п
t остается ограниченным. В интервале (*) в силу 3
]Л2п
(2я+1).(2»)!~	_ 2n+j
2п-/2л(2п)	2е'2«
1 -Л
77^(2п) 2е^
у 2л
t \^п
— е
1	- 3
'‘W-FsT ‘е 
In р (г) У г.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
193
	sin (z /г	cos г	(cos z)2	ег4-г	е*	а (г)
Гп Рп	Cl £ I4*	л ~2	л 2	Л	—	—
N (г) v(r)	2 л	2 л	2 л	л	0	—
N(r) In М (г)	л	л	2^ л	1 л	0	2
v(r) In Н 0	1 2	1	1	1	1	—
M(r)_ У 2л In р. (г) it (г)	1 ¥	1 "2	2	1	1	—
In V (г) 111 г	2	1	1	1	—	2
Выступающие в этой таблице зависимости частично разъясняются
последующими теоремами.
51.	p.(r)sSM(r) [определение]. Если lim sup	=
% конечно, Z < р, то для достаточно больших р | ап | рп ^р(р) <ерр,
следовательно [решение 48, а)], беря Р=Ц-р ] • будем иметь для
"	в п
\an\i'n<.['j. Положим
1 'L * 1	\ п I
достаточно больших п | ап |
2ep = fe; тогда1)
п = 0
со	со	Л
У \an\rn<(kr^+l)iL(r)-]r 2 2~J-
«=*/?+!	n=4r^
ь
1) В настоящей главе под сп при любых аи Ь, а^Ь, как целых, так
п=а
[Ь]
и нецелых, понимается 2сга = с[а] + с[а]4-1 + ... + с[Ь-|_14-с[й].
и—[а!
7 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
194
РЕШЕНИЯ
52.	[51, 35, II 149, I 113.]
53.	Если порядок равен Л, то согласно решению 51 при е>0
и достаточно больших г
'/'('')= S+ Л \папгп<
\п=1 n=krK~£+l)
<ZkrK+e у anrnJr У п-2 Р <йг?-+е/(О+ ^z>
п = 0	n = kr'~s+l
где k, k' — постоянные, откуда
In (rf' (г) / (г)1)	,
11Ш sup   	Л. 4- 8,
r-юо	П г
где 8 сколь угодно мало. Если, с другой стороны, при г > г0
rf (r)f (г)-1 <гр, то интегрированием получаем, что при г>г0
,0
ln/(r)< J- + C,
где С —некоторая постоянная.
54.	При достаточно больших г имеем
р (г) <Л4 (г) < kr'-^y, (г),
где л —порядок и е>0 [решение 51].
55.	Пусть о выбрано так, что а(1 — 1)>1. При достаточно
больших t имеем М (1) > 1П [10], следовательно,
По поводу 1—1 ср. частный случай /(г) = ег. В этом случае
интеграл в III 156 расходится.
56.	[A. Wiman, 1. с. 1.] Как бы мало ни было 8>0, суще-
ствуют такие степенные ряды
1 + b1r + b2r2 + ... + bnrn-\-...
с конечным радиусом сходимости и положительными коэффициен-
тами Ьп, что, обозначая через п центральный индекс, имеем
GO	!
v=о
при всех положительных значениях у, достаточно близких к гра-
нице круга сходимости [45]. Для целой функции У anzn (предпо-
п = 0
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
195
лагая, что а0=1) в точке г, с которой сопряжено у в смысле
I 122, выполняется неравенство
| Оу | rv	MV
I an I rn bnyn
для всех v = 0, 1, 2, значит, в частности, для v —О
bnyn < | an | rn\
в такой точке г и выполняется требуемое неравенство. Предполо-
жение о0=1 не нарушает общности.
57.	[A. W i m а п, 1. с. 1.] Пусть л< р <%4*8 = Тогда [52]
для достаточно больших п
1пп< Р 1пр„,
следовательно,
Pntrna (п— l)(n-1)“~p„e“aw“a>/iP ae_“->oo.
Утверждение вытекает теперь из I 118 и 47 таким же образом,
как 56 из I 122 и 45.
58* Пусть
, • 1п У (/*)	Inn л	гт т т л m
Iimsup—= lim sup = л [II 149];
тогда Xsgl. Из 51, 36 явствует, что порядок 2^/- Что он вместе
с тем ~Сл, показываем следующим образом. Имеем
со
Л (1 + --).
га = 9+ 1
Если % = 1, то по задании положительного е выбираем целое число
N так, чтобы N>q, -^--<8. Тогда
п=#4-1 п
N
М.(г)<Дс\г1 | | (1 + —-)• егг, 1 imsuр  —1 •
Если Х<1, то выбираем столь малое положительное т|, что
^• + 'П<П тогда [I 113] для достаточно большого п —<—г-.
г п --------------------------------------------------------
„ХЧ-п
СО
К логарифму функции | | j 1 4---\—\ применяем II 37.
п= 1 у	у
7*
196
РЕШЕНИЯ
59.	[По поводу 59—63 см. также G. Polya, Math. Ann.,
т. 88, стр. 177—183, 1923.] Мы можем, нисколько не нарушая
общности, принять как здесь, так и в задачах 60—65, что/(0) = 1.
Тогда имеем [31, II 159]
Примеры в 13.
60.	Как 59; вместо II 159 применяем II 160.
61.
ОО
Л77Т X 1п(1
N (г) Л* \
п= 1
ln\l-]-x Kei&Jdx.
62.	Как 61; применяем II 161 вместо II 159:
М1+-Д
N(r) N (г) Z + ГпГ
п— 1
63.	Согласно 32
1 1
limsup^7—^limsupтД-т У In-—>- i 1Пх xrf.r[II
N {г) '	N (г)	rn J	*
64.	Согласно III 121
Но в силу II 159
Для полиномов сумма У, г„ остается ограниченной.
65.	Как 64; вместо II 159 применяем II 160.
66.	Пусть /(г)= У й„гп; тогда [III 122, III 130]
п-=0
ОО	со
w)=2	^ч+т1-
п=0	п~0
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
197
со
Положим g(z) = 2 ^y-z2'I+2; g(z) будет того же порядка %, что
п = 0
и f(z), так как
[35, 51]; применяем 53 к
-Ж (г) = rg' (г)
Ш (Г) 2g (г)
67.	1) | ап ] < г~Г1М (г) < гпеЬга, если только г>г0, где г0 не
п
зависит от п. Правая часть достигает своего минимума
/ я \а
приг==Ы •
2) Приводим доказательство для случая произвольного поло-
жительного k и при достаточно малом е. (Этого вполне доста-
точно!) По предположению,
еа(1-е’)ла<Д1 (г) <еа(1+=*)'-а.	(*)
Отсюда и из неравенства
ЫНЫ2Г2+Ы2Г4+...^[М (Г)]2
[III 122] вытекает [II 80]
(т	\ 2 т гп
у \ап\гп\ -С У 1 У |а„|2г/1<те3з<1+в4>/'а,
п= 1	/ П — 1 /1=1
т	k4~ —
^\ап\п,!Гп <.т 2ea(l + s4)ra.	(**)
71 = 1
Положим для сокращения
аа/'а(1 —е)	Зааса	со
2 =2'.	2	=
1	aara (1 + t)	Зааса
Из этого определения и (**) вытекает, что при достаточно боль-
ших г, когда (6асг*)*+з < ехр [а (е3 - 84) га],
211 ап | п,!гп < еа <1+в’>	£11 К | п’!гп <	+ в’> Л
где суммы в левых частях можно было бы взять от любой неот-
рицательной нижней границы до любой верхней, не превосходя-
щей 6ааг“. Поэтому мы можем (что имеет решающее значение)
заменить г в обеих частях неравенств —в первом на г(1—Л), во
198
РЕШЕНИЯ
втором —на г(1ф-Х) (X — фиксированное число, 0<Х< 1), не
меняя границ суммирования. Это дает
(1 _ tyaara (1 - в) 2J1 | ап \nkrn < еа (1 + е») (1 - ?.)га га;
Отсюда, привлекая первое (до сих пор не использованное) из
неравенств (*), получаем
[Al(r)]-1S1|«nl«fc^<
< exp [— а (1 - е3) ra + а (1 ф- е3) (1 - Х)“ г“ - aar* (1 - е) In (1 - X)],
[M(r)]-1J]II|an|nM<
<ехр [— а(1 — е3) ra-\-a (1 ф-83) (14-Х)“ ra — aara (1 ф-8) In(1 ф-Х)].
Но разложение по возрастающим степеням в и X дает
— (1 — 83)ф-(1 ф-83) (1 qrX)a —а(1 qre) 1п(1 +Х) =
= ^^-аХ8ф-... = --§ф-...<0,
если только аХ = 8 и 8 столь мало, что разложение сходится и
знак суммы ряда определяется знаком члена наинизшей степени.
Тем самым доказательство, поскольку речь идет о 2* и 5”,
завершено. JTJ111 не играет никакой роли. Действительно, если
e<3/i<3, 3ah = be, имеем на основании 1)
что при г->оо как остаточный член сходящегося ряда стремится
к нулю.
68.	Пусть имеет место соотношение (1). Тогда функция будет
конечного порядка [51], откуда вытекает (2) [54]. Соотношение (3)
также должно выполняться; действительно, если бы v (г) для
произвольно больших значений г выходило за границы ааг“(1 —8)
и аагя(1ф-8), то для этих значений должно было бы выполняться
также неравенство In ц (г) < 1пЛ4 (г) — бг“ [67], в противоречие с (2).
Если имеет место (2), то функция будет конечного порядка
[51], откуда вытекает (1) [54].
Если, наконец, имеет место (3), то, предполагая, что ао=^=0
(это нисколько не нарушает общности), выводим (2) с помощью 33.
69.	1) ап убывает. Пусть
т— 1 гС;ааг7-(1 — е) < т <п<оиг* (1 ф-s) с/гф- 1,
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
199
где 0 < е < 1, тогда согласно 67 2) при достаточно больших г
0</W~ S avrv<e/(r),
V — tn
amrn-2&zara>f (г) (1 — e), anrm-2w,ara <f (г) (1 ф-е).
Замечая еще, что In г ~ — In т отсюда lim inf m->co m 1° m	a 1—e	1 <	m	m - in /г и	~ .	, получаем U0	X 	о	“J- о г	In a„	1 1—s lim sup —	r-—. П *п П ' a *+8
2) Если — 5s —5s —то всякий член для надлежа-
“о	t?2
щего значения г становится максимальным членом [43].
/ 1 1\ 1 !
Отсюда следует, что в выражении 1п',паа^— — 1п/г + — 1пап,
подлежащем исследованию, число п можно заменить на v (г). Так
как av(r) rvtr) = jx(r), то согласно 68 имеем
— In v (г) Н—~ In av (r) = — ln-^Цр- 4- -	-> — In (aa) + — .
a ' ' 1 v (r) v ч' a ra 1 v (r) a v ' 1 a
CO	co
70.	Как в J] nkanr!l, так и в J] anr” центральная часть, т. е.
сумма членов с индексами, заключенными между aara(l—е) и
aar“(l+e), главенствует над всей остальной частью ряда [67].
71.	Частный случай теоремы 70: k — \. Без предположения
регулярности получаем 53.
72.	Из I 94 и 70:
У nkbn.rn
2 ЬпГп
п — 0

(P6rP)ft Ьпгп
п = 0
73. Заменяя г на
1
2^’
1
~ 2 ’
__ 1
7 приходим к
Ьп ;==	' f(r')== C0S 1 УГ ^2
b = 1, k = — --, s = -4=-.
2 /л
72:
В самом деле, согласно формуле Стирлинга [II 205, также II 202]
а„ _	(2п)!	1
btl	у лп
200
РЕШЕНИЯ
74= Положим <£> = е1 . Тогда при х->4-оо
, . х1 . хзг . хзг .	._ехе'лх-Jf-еа'х.-у-еа *х 1
1 + 7Г + (2/)Т + (37)!’ + • • • —	j	~ 7
1
Берем x = lrl. Имеем [II 31]
а (а + I) (а ф- 2)... (а + п- 1) ~ n^nl;
1 \UJ
следовательно, с помощью формулы Стирлинга находим
Р (1)Р (2) .„р (»)(»/)! IW Г(&2)... Г (&g)	2^1 д + Ш
Q(l)Q(2)...Q(n)/^ ~ Г (щ) Г (а2)...Г(ар)	П
Применяем теперь 72.
75. На основании вычислений, проведенных в решении 74,
а также формулы Стирлинга и I 94 получаем
1д_У (П Р (2) - Р ('0
L Q(l)Q(2)...Q(n) г
п — 1
Г (бф Г (62) ... Г (&9)	| у, A+lfJY'1
~ Г (щ) Г (а2)... Г (ар) L П \п j ‘
Заменяя последний ряд интегралом
со I / 4-V* I со 1	/ АДх
ЬЛ+2 Ы =	(х2+Д+'ИА ЛХ,
J \ X )	J	\ х / х ’
1	I
а этот интеграл на основании II 207 — выражением
_L_a_i —( 1\Ц^+А 2
I 2 V4n\lrl) etrl,
мы и получаем требуемую формулу. Переход от ряда к интегралу
приводит к ошибке порядка максимального члена ряда [II 8];
( -1- \!х
выражение \erlx^J имеет при фиксированном г максимум е!г1,
2A + Z 1
максимальный член будет порядка г 21 е1г‘, и, значит, отноше-
1
ние его к интегралу —порядка г 2l; тем самым указанный пере-
ход обоснован. [45, 47.]
76. Мы можем принять, изменяя для этого, если нужно, лишь
конечное число коэффициентов, что «0=1, ап > а^а,^
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
201
(п— 1, 2, 3, Тогда [43, 31] ря и
ап
lim п Inlim п In 1+(——
П-*СО Рп П-+ОЭ L
р *n Р”
1 In п
lnpi + ln^ + ln?3+... + ln-^2-
_______Pi_Pa______Pn-i
1+|+4+-+^-
[I 70; 52].
1
X
2) Если рл<г<ря+х, то
гп
v(r) = n, ц (г) = —---------—
Р1Р2 '--Рп
[25, 31] и
lnj£(£) __
v(r)
In- +
Рп
(rt_l)ln-P2_-|-(ra_2)ln^+...+ lln^	,
Рп-1 Pn-2 Pl	Q	I 1
n	‘A
[I 67].
3) Пусть p„ r <pn+i, Z>0 (аналогично в случае Z<0).
Тогда
In = In--------------------=
anr Р,ч+1Рл+2 • • • Р/г -1
= Zin —-----(/_l)lnP»±s_..._ln_P2±Z_~
Рл+1	Ря+l	Pn+/-i
a _ G-l) + (/-2) + ...+ l . 1 _ хз
n	Z, r'“’ 2V
Сумма площадей прямоугольников равна
М (г)	М(г)
PWWW Р (г) У1П и (г) ’
площадь под гауссовой кривой равна ]/2лХ; см. 57.
77.	Так как производная функции, однолистной в некоторой
области, в этой области всюду отлична от нуля, то все нули
полинома
1 + 2й22 4- Зй3г3 +... + папг,1Л
лежат вне единичного круга. Поэтому модуль их произведения
больше или равен единице.
78.	Пусть zx и г2 — произвольные точки единичного круга
|zj< 1. Положим w1 = f(z1), W2 = f(.z2)- Если ф[/(г1)] = ф[/:(г2)],
т. е. ф(гух) = <р(йУ2), то должно быть о>1 = да2 и, значит, гх = г2.
79.	ф(г) во всяком случае регулярна в единичном круге
ибо в этом круге регулярна и отлична от нуля.
202
РЕШЕНИЯ
Кроме того, ф (г) — нечетная функция, <р(—z) = —фСг). Пусть
теперь ф (Zj) = <р (г3) для некоторых точек Zx и г2 единичного круга
|г|<1. Тогда f (zj’) = f (z|) и, значит, z\ = zi. Возможность Zj =
= — z2=^0 отпадает, так как тогда мы имели бы ф(гх) =— ф(г2)^=0.
80.	[Ф(г)]2 — четная функция, т. е. функция от z2 = £; пусть
[ф (г)]2 = /(£). Пусть теперь для некоторых Ci и С2, I Ci I < 1»
|t2|<I, имеем f(Ci) = f(С2)- Выберем zt и z2, для которых zi = £x,
z2 = £2- Тогда будем иметь
[ф 01)]2 = [ф (z2)]2, ф (zx) = ± Ф (г2) = Ф (± г2),
и, значит, z1 = ±z2, Ci = C2.
81.	Примем, что общим центром кругов й и I служит точка
2 = 0. Пусть радиус круга К равен R, радиус круга f равен г
(r<zR) и отображение осуществляется функцией
w = f (z) = а0 + axz + a2z2 +... + anzn +...
Имеем [III 124]
I ® I = я У «I an I2 R2n> 191 = л У, П j an j2 r2", | & | = nR2, | f | = nr3,
n=1	n=1
r2R2 У n\an\2(R^-2~r2'‘~2)
i®i _m_	n=2 n
I 9l HI ”	00	'
2 n\an\2r2n+2
n= 1
Равенство может иметь место только тогда, когда с2 = й3 = а4 = ...
.. . = 0. Употребленное для | ® | выражение не содержится вЧ11 124,
так как там предполагалось, что отображающая функция регу-
лярна на границе Однако можно показать путем предельного
перехода, что эта формула справедлива в более общих предполо-
жениях, представляя так называемую внутреннюю жорданову меру
области ®. При всяком другом мероопределении теорема была
бы подавно справедлива.
82.	\&\ = n(\a1\2R2 + 2\a2\2Ri + 3\a3\2R^ + ...
... + п | ап |2 R2n 4-...) 2s л | «х |2 R2 = na2R2.
Обозначения и дальнейшие рассуждения, как в 81.
83.	Пусть рассматриваемое круговое кольцо определяется
неравенствами 0<.r<\z\<.R и отображение осуществляется
функцией
СО
w = У anzn.
П =— СО
Образы всех окружностей |z| = const. обходятся одновременно
с этими окружностями в положительном направлении [III 190] и
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
203
содержат g в своей внутренней области [решение III 188]. Из
III 127 заключаем (площади положительны!):
|®| = л 2 Я! I2 я2". 1з! = л У, п\ап\2г2п, |&| = л7?3, |f| = nr2,
П- — со	П~ — СО
где под |®| понимается внутренняя и под |д| — внешняя жорда-
нова мера [решение 81; при других мероопределениях требуемое
неравенство выполняется тем более].
Оставляя в стороне случай |д| = 0, имеем
г2/?- У п | ап |2 (R“-2 - r2n-2)
I 1   I JO _	—ю___________________ „
lai |f|	“	,	’
у n\a,^r^
n = — CO
ибо при целых значениях п, за исключением 0 и 1, n(R2n~2—г2п~2)>0.
84.	Пусть центром рассматриваемого круга служит точка
z = 0 и отображение осуществляется посредством функции w =
= f(z) = a±z J- a2z2 J-... + a„zn +...
1) Примем, что /(г) непрерывна на границе круга; так как
,	f (г)	,
функция — внутри круга регулярна и (вследствие взаимной
однозначности отображения) отлична от нуля, а на его границе
постоянна по модулю, то она является постоянной [III 142, III 274].
2) Без ограничивающего общность предположения непрерыв-
ности на границе рассуждаем так: согласно 82 в центре круга
и так как соотношение между z и w взаимно, то также
I /rfz 1 I2 — 1 с 1
значит, | f (0) |2 = 1 и, следовательно [82], f (г) = f (0) z.
85.	Зависимость между обоими круговыми кольцами взаимна.
Поэтому в неравенстве задачи 83 в применении к нашему случаю
нужно взять знак равенства. Следовательно, отображение пред-
ставляет поворот вокруг центра и гомотетию или, вследствие
совпадения границ, простой поворот. Направление обхода сущест-
венно: отображение кругового кольца -|-<;|z)<;2 на круговое
кольцо у<|йУ|<2 посредством соотношения zw—1 не было бы
уже простым поворотом.
86.	Если бы существовало два отображения, то мы могли бы
сначала перейти посредством одного из них от единичного круга
204
РЕШЕНИЯ
к области ®, затем посредством обращения другого — обратно от
области ® к единичному кругу. В совокупности это дало бы
отображение единичного круга на самого себя с сохранением
центра, т. е. поворот [84] и притом поворот на угол 0, так как
Г (0)>0.
Доказанное утверждение сохраняет силу и в том случае, если
вместо условия f (0)>0 приписать аргументу f (0) произвольное
фиксированное значение.
87.	Функция w — f(z) взаимно однозначно отображает еди-
ничный круг |z|<l сам на себя, /(О) = юо, arg/' (0)=а. Но то
же самое дает линейная функция
^£ = що + (1-|щоП^ + ...,
следовательно [86], она совпадает с f(z). Полагаем
— и>ое~'а = г0.
88.	[По поводу 88 — 96 см. Р. Koebe, J. fiir Math., т. 145,
стр. 177 — 225, 1915; см. также Е. Lindelof, Quatrieme congres
des math, scandinaves a Stockholm, 1916, стр. 59 — 75, Upsala,
Almqvist & Wicksells, 1920.] Исключение составляют точки z — a
и z = (точки разветвления), которым соответствует лишь по
одной точке плоскости w, именно щ = ]/й q 1 и w — __L-. Разре-
за П
шая относительно г, получаем
г = w пг 2ll-1 /а-(Ч-И) w.
1 +| а | — 21] |/ a w
таким образом, q нужно выбрать так, чтобы ц]/"й >0. Но одно-
временная замена У а и q на —Уа и —q оставляет соотноше-
ние в силе.
89.	По предположению, | a । < 1, т. е. © не совпадает с кру-
гом | z | < 1. Если z лежит в единичном круге, то в этом же
круге лежат оба образа этой точки г, определенные в задаче 88
[III 5]; они отличны друг от друга, если z=£a. Но образ точки
г = й, т. е. щ = ]/йц*1 [88], не принадлежит ни ®*, ни ©**,
а является их общей граничной точкой.
90.	В настоящем случае выбрано й> 0; стало быть, ]/ а > 0,
q=l. Образы и to** точки z служат корнями уравнения
(1 4-й) to2 — 2 У а (1 +z) ао+ (1 4-й) z — 0.
Если z лежит на разрезе, т. е. z вещественно, a<z<l, то
(1 4-a)2z — (1 4*2)2й>0, стало быть, to* и to** имеют сопряжен-
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
205
ные комплексные значения, и так как w*w** — z, то | w* | — Уг .
Значит, ближайшей к нулю точкой на линии, в которую отобра-
жается разрез, служит У а. Это и есть искомая ближайшая гра-
ничная точка, ибо граничные точки, лежащие на окружности
|г| —1, отображаются на точки окружности |да| = 1. Область,
в которую переходит при отображении Кёбе единичный круг,
разрезанный вдоль указанного отрезка, имеет вид лунного серпа;
углу в 360° вокруг конца выреза соответствует в области Кёбе
угол в 180°.
91.	Если образы w± и w2 точек и z2 окружности |z| = a
равноудалены от нулевой точки, т. е. оба лежат на одной и той
же окружности | да| = const., то из соотношения
w _ 1 -1~а-—2уга ш
2	2 |/ а — (1
вытекает, что эти точки дах и да2 лежат также на окружности
1	-4-а—2 Va w	,
—т=— -------- — const.,
2	У а — (1 -[-a)w
т. е. служат точками пересечения этих двух окружностей. Тогда
точки дах и да2, а также и z2 расположены симметрично отно-
сительно вещественной оси. Следовательно, когда точка обходит
полуокружность |г| = й,	по направлению от г = 4~а
к z = — а, то расстояние ее образа да от точки да = 0 изменяется
монотонно и притом, как это вытекает из последнего уравнения,
монотонно убывает. w — Уа, образ точки z = -\-a, будет наиболее
удаленной, а
образ точки z =— а, —ближайшей граничной точкой области
Кёбе.
92.	По формуле, приведенной в решении 88, ~ является
функцией от да, отображающей круг да|<1 сам на себя [III 5];
это означает, что при | да | < 1 будет ~ | < 1, |г|<|да|.
93* Круг |г|<|й|, целиком содержащийся в области ®,
преобразуется в область, содержащую круг радиуса, большего,
чем |й| [92]; поэтому |1 >|й|. Можно также и непосредственно
[91] показать, что
94.	Введем вспомогательные переменные z, zlt z2, zn,
пробегающие соответственно области ®, ®ъ ®а, ..., ®п. Согласно
206
РЕШЕНИЯ
решению 88 имеют место разложения (выписываем только первые
члены)	1 + |а|	, г, =	г +..., 1 2 i Г « 1 z — 1 + 1 д1 ! z _1_ 2|/а1|г1 + -’” г3=Ш^Ь2 + ..., 2|/аг| 2
Отсюда
„  1 + । О,;_1 i „ j
oil/-------
2 I И a„-iI
f' (Q\ — * а I .	1 ai I * 4~! a’’-i I
1 ? 2]ГаГ27Г«;Г,'2П/а,Т1Г
Так как /„(г) регулярна в круге \ z |<|а| и [/,, (г)[<1, то
\fn (0)1И<1-
95.	В силу 94 бесконечное произведение
1 , (l-1/ч |)2М
+ 2|(/«l Л
, (1 —|/яг |)2\	/j (l-l/gj)2^
2|/а1| Л'Д "Г 2|/а„| Л”
1 п
СХОДИТСЯ И Sg;—ПОЭТОМУ
lim (1 -J]AJ) = O.
П-»СО
96.	Так как отображение взаимно однозначно и точка 2 = 0
остается неподвижной, то функции
/i(z) /2(z) fn (г)
г ’ г '•••’ г ’•••
в области ® регулярны и отличны от нуля. Модули их в каждой
точке г возрастают с возрастанием индекса [92]. Следовательно,
функции
^!(z) = ln^, ф„(2) = 1п-^^ (я = 2, 3, 4, ...)
в области ® регулярны и их вещественные части положительны.
При этом логарифмы берутся так, чтобы ф„(0) было вещественно.
Далее, во всей области
|k^|< 1
I г |~~'|о|
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
207
[III 278] и, значит,
Wi (г) + ЭЯфг (?)+••• + 'Ж (г) =s£ - In | а
Отсюда непосредственно заключаем, что вещественная часть ряда
СО
V (г) сходится, и, применяя III 257, III 258 (учитывая при
п — 1
этом 2 = 0), заключаем также, что сходится и мнимая часть. Функ-
ция /„(г) принимает значение w,	если | ап | > | w |. На
основании 95 отсюда следует, что /(г) = lim/„ (г) также принимает
П-*СО
значение w [III 201]. Что / (г) однолистна, вытекает из однолист-
ности функций /„(г) [III 202].
97.	Нормированной отображающей функцией служит [III 76]
f{a- z) = (p2_|ap).±=|.
Имеем
98.
1а]2 —р2
ru~—lim ra = oo.
Р а-> со
Я
99.	Посредством вспомогательного отображения £ = гй» задан-
ный угол преобразуется в верхнюю полуплоскость 3£>0, точка
Л
а — в точку £0 =	’ Дальнейшее отображение
Ъ т>0
преобразует верхнюю полуплоскость в круг | w | •< га, где га опре-
деляется из уравнения
I dw 1	_1 dw I I I ____J
I dz |z = a	I dj I? = So I |z = a
Полагая a = | a | e''!, 0 < a < "Sy, имеем
1OO.	Пусть f (г) — нормированная отображающая функция обла-
сти ®, соответствующая точке а, и ср (г') —то же для области ©'
и точки а'. Тогда /г1^ (hz ф- k) обладает всеми характерными
свойствами функции /(г), следовательно, h1^ (hz-\-k) = f(z). Ана-
логично для внешнего радиуса.
101.	Мы можем принять, что речь идет о вещественном от-
резке — 2 z sS 2 [100]. Нормированной отображающей функцией,
208
РЕШЕНИЯ
соответствующей бесконечно удаленной точке, будет тогда [III 79]
При г = 2cos’S’ имеем w — e‘®, 0sS’9'=c2n, т. е.	г = 1.
102.	При отображении, указанном в 101, эллипс с фокусами
— 2, 2 и суммой осей 47? = / переходит в окружность |'йу | = 7? =
= {[Ш80].
103.	ra — 2d. [Ill 6 или частный случай теоремы 99.]
104.	[100.]
105.	Отображение £ = г-|-{ преобразует внешнюю область рас-
сматриваемой кривой в плоскость, разрезанную вдоль веществен-
ного отрезка — (а2 ф- й? ') z ах ф- аТ1. При этом внешний радиус
остается неизменным [104]; т. е. [101]
1 4-а2ф-а2 ' _ (а^ф-оф Оф-щаф
—	4	—	4'?1я2
106.	fа = ~sin^. При доказательстве мы можем принять,
что речь идет о полосе	D = n и й = {{ —dj. Отобра-
жение z' = e.z преобразует эту полосу в полуплоскость Эйг' >0,
а точку й —в точку ie~id [103, 104].
107.	Определение.
108.	Преобразование ? = { вследствие теоремы 107 приводит
задачу к 105; полагая й1 = Ьр1, а2 = &21, получаем
__ 4fey1fe.;1	4fe1fe2
r° ~ (b’1-I+&2>)(i+&r^>) - (VFOT+W ’
109.	При отображении = внешняя область двууголь-
ника К преобразуется в угол
a2-2n<argC<^i,
и точка г = с<э —в £=1. Для внутреннего радиуса гх этого угла
относительно £ = 1 получаем [100, 107]
• r _|z2 —Z1I
Г1-------~	.
Кроме того, вследствие 99
г — _Д_Д_Д------2Д. sin -Щ--S-.
1	Л	и ! ф- 2.1 — -Оз
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
209
Следовательно,
_ _ I г2 —I
2 (2-6) sin ’
где лб = '&2 — Если 'Оу + 0,2 = 2л, то двуугольник К «симмет-
ричен», г — | г2 — | см. случаи &1 = л [101], Оу = -^-[97].
При &, = f\ К приводится к дуге окружности, г— ——y-L;
4 sin -L
вводя радиус кривизны р и центральный угол <р дуги К, запи-
сываем г также в форме r = psin -J~. При О1 = у, Оу^л полу-
, _ 2d
чается внешний радиус полукруга с диаметром а, г —
ПО* Нормированной отображающей функцией, соответствую-
щей точке а, служит [III 76]
/ (г)	/ («)
гъ rb =cr
Гь гь
где постоянная с определяется из уравнения
/ df (а; г) \	crbf (а)
\ dz )z = a <£-!/W,2 “
Имеем ra — |с|.
111. Отображение £ = у — 2 переводит указанную область
в плоскость £, разрезанную вдоль интервала —2, 2. Поэтому
искомой отображающей функцией является
то rt
Согласно ПО для вещественных а
а \ 1 +/ (О j '	4
В частности, г0 = 1. Когда а пробегает интервал
монотонно убывает от со до 0.
112. Па основании ПО. Когда а приближается изнутри к не-
которой точке кривой L, то | f (й) | остается ограниченным. При
этом | f (й) | стремится к гь.
ПЗ. Заменяем в ПО b на а и а на а-фе, где е —произволь-
ный вектор с модулем, стремящимся к нулю. Обозначая через
((е2)) величину, стремящуюся к нулю не медленнее, чем е2, имеем
I f (й + 8) | = I 1 + 2с28 + ((82)) |=1+ 29К28 + ((82)).
210
РЕШЕНИЯ
Следовательно,
ra+E = ra (1 - 23tc2e) + ((е2)),
т. е. для достаточно малых |е| имеет место неравенство Эк2е^0
независимо от arge. Отсюда заключаем, что с2 = 0.
114* Интересующие нас точки лежат на прямой = const.
[103.1
115. Из выражения (*), стр. 26, для нормированной отобра-
жающей функции путем его обращения
z — а = ср (ю) = w + Cjio2 + С3Щ3 +...,
где ср (ю) однолистна в круге | w | •< га и отображает его на об-
ласть ®. Тогда функция
ф (Ю'г) = W + C-i w1"1'1 -f- c'i	+...
i
однолистна в круге \w\<.rna [79] и преобразует его точно в об-
ласть ®'.
116* Имеем [решение 115]
_____ 1
., ,	/ 1 — 2zn — V1 — 4гл \л	ш
^ = /(г) = ^------J , ----------------г = г,
откуда легко вытекает [ПО]
Га“'1 l/Wiq а | I 14-[/(a)p ,3 •
В частности, r0=l. Когда а пробегает отрезок argz = -^-,
п <y
0	| a | < Т/ , to f (а) описывает радиус единичного круга, со-
ставляющий с положительной вещественной осью угол —. Иско-
мый предел равен нулю для всех значений v.
117.	Применяем надлежащим образом 115 к плоскости, раз-
резанной вдоль вещественного отрезка —Р2, а2. Последний имеет
внешний радиус—J-1- [101], следовательно,
Ка2 + ₽2
2
F (г)
118.	Функция ф (г) = j. ф  регулярна в области ®, а также
в точке z = a; ф(й) = 1. Пусть 0<е-<га. Возле каждой гранич-
ной точки области © существует столь малая окрестность, что
для всех содержащихся в ней точек области S имеет место нера-
венство
1/(z) I > — е,
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
211
т. е.
|ф(г)1<7^7.
га
Тем самым в ® [III 278] | <р (г) | еД —, в частности, 1 = | ср (а) | -<
г а
ес —. Равенство имеет место только для <p(z) s 1, т. е. F (z)==f (z).
119.	Пусть
f(z) = z-a + c2(z-a)2 + ... + cn (z-a)n + ...
— нормированная отображающая функция. Тогда функция
f (г) = z - а + с2 (z - й)3 +... + сп (z - а)п +...
с сопряженными коэффициентами также регулярна в области ®.
Пусть в самом деле z0 — произвольная точка области ® и Fo (z — й) =
= f(z), F1(z-a1),	F^iz-a^), F^z-ai), где й1( й2, .... й^—
надлежащим образом выбранные точки ®, at = z0 — отдельные
элементы, осуществляющие продолжение f (г) до точки z0. Тогда
/ (г) при помощи элементов Fo (z—й) = /(г), Fr (z—аг),..., (г—а^),
Fiiz — at) будет продолжена до точки 5z = z0. Таким образом,
/(г) регулярна в области, полученной зеркальным отражением
области ® относительно вещественной оси, т. е. в самой области ®.
Кроме того, /(z)=/(z), следовательно, |f(z)|<ra в ®. Согласно
118 имеем тогда f(z) = f(z).
120.	-/(-г) регулярна в ® и |—/(—z)|<ra. Поэтому
согласно 118 имеем —/(—z) = /(z).
121.	Пусть f(z), соотв. /* (г) — нормированная отображающая
функция'области ®, соотв. ®*, соответствующая точке а. Тогда [118]
га = Мах | f (z) |	Max | / (z) | Ss Max | f* (z) | = r'a.
(6)	(©*)	(©*)
В обоих неравенствах может достигаться равенство, однако не
одновременно.
122.	Из 121, принимая во внимание 97.
123.	[118, 121, 122.]
124.	[III 309.]
125.	[82.]
126.	III 126; см. тзк/ке решение 83.
127.	[G. Polya, Deutsche Math.-Ver., т. 31, стр. Ill, сноска,
1922.] Обозначим внешнюю жорданову меру внутренней области
кривой L через |L |е и внутреннюю — через \Ь\,. Тогда [125, 126]
ЛГа I L ^Д IL |е sC яг2.
212
РЕШЕНИЯ
128. Пусть f (г) — нормированная отображающая функция,
р (г)
соответствующая пулевой точке. Тогда функция регулярна
во внутренней области кривой L и равна ak при г = 0. Анало-
гично для второго неравенства.
129* Пусть г = ср(£)—функция, отображающая круг |t|<l
на внутреннюю область кривой L. Отображение взаимно одно-
значно и непрерывно для |£|^1 [стр. 27]. Применяем III 233
к /[ф(0].
130
яг я£
e^-e'D
яг я1 *
Л-Г77
Длина интересующей нас дуги равна 2л(1—Z)1) и монотонно
возрастает с возрастанием D.
131.	[К. Lowner.] Мы можем принять, что как О, так и
центр круга — образа лежат в нулевой точке; пусть радиус
последнего будет г. Обозначим через (г) отображающую функ-
цию кривой £х и через /2 (г) —кривой 12. Тогда функция
FM =ЛМ
регулярна и отлична от нуля во внутренней области кривой Lr.
Кроме того, на общих дугах кривых Lr и L2
\Ш\ = \Ш\ = Г, |F(z)| = l,
тогда как на дополнительной части кривой Lx
\fi^\ = r, \f2(z)\^r, 1^(2)1551.
Отсюда следует, что | F (г) | > 1 во внутренней области кривой Lx.
Регулярная ветвь функции In/7(г), вещественная для г = 0, удов-
летворяет предположениям теоремы 129. Поэтому при положи-
тельном обходе какой-нибудь общей дуги кривых Lr и Ь2 изменение
выражения 3 In/7 (г) = 3 In(г) — 3 lnf2 (z) отрицательно.
132.	Пусть изолированный цилиндрический конденсатор имеет
проволочную внутреннюю обкладку. Деформируем внешнюю об-
кладку, не нарушая изоляции, так, чтобы новое поперечное сече-
ние содержало старое в виде части, в некоторых местах выдаваясь
за его пределы, в других — нет. Тогда в этих последних местах,
где, следовательно, стенка конденсатора осталась несдвинутой,
плотность электричества возрастает; этот факт можно сделать
наглядным и посредством соображений физического характера.
133.	Область §* односвязна (замкнутые простые кривые,
содержащиеся внутри £*, лежат одновременно внутри Lx и внутри
Ь.2). Отобразим также на единичный круг так, чтобы при
этом О перешла снова в центр круга. В нижеследующей таблице
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
213
указана общая длина дуг, падающих при отображении I, соотв.
II, соотв. III (внутренняя область кривой Llt соотв. кривой L3,
соотв. £*) на границу единичного круга.
Длины дуг единичной окружности, соответствующих
		I			II	III
видимым дугам		кривой	Li	Од	1	
закрытым	»	»	М	-Г1	—	—
видимым	»	»	Ц	—	оу	о*
закрытым	»	»	L.2	—	Т2	—
Очевидно,
°'i + Ti = 2n, о24-т2 = 2л, о* 4-о.* = 2л.
Согласно 131
а* < ох, о^ =< о2.
Следовательно,
т2 = 2л — о2 г' 2л — о* = о* sC оь
ту = 2л — ох' - 2л — о* = о2 о2.
Если L2 — окружность с центром в О, то результат можно выра-
зить несколько неточно, но зато наглядно следующим образом:
при отображении на круг те части граничной кривой, которые
более близко расположены к точке, переходящей в центр, сильнее
растягиваются, чем части, более далеко отстоящие.
134> Примем, что граница области 33 представляет собой
замкнутую простую кривую, пересекающую окружность | г — £ | =
= р лишь в конечном числе точек. Удаляя из 33 границу, мы
получаем односвязную область, пересечение которой с кругом
\z — £|<р имеет односвязную часть $, содержащую О в качестве
внутренней точки [решение 133]. Пусть ру — совокупная длина
общей части границы области и круга |z — £|<р. Тогда
у + й sS 2л.
При отображении области 5 на единичный круг | w [ < 1 точка О
пусть переходит в центр круга и совокупность дуг, засчитанных
в ру, — в совокупность дуг на окружности с общей протяжен-
ностью б. Согласно 131
б sjy.
Определяем функцию ср (да), регулярную в круге |да|<1 и удов-
летворяющую в точках дуг, засчитанных в б, условию
Э1(р(да) = 1пД,
а во внутренних точках прочих дуг окружности— условию
Ш<р (да) = In а
214
РЕШЕНИЯ
[III 231]. Имеем
2лЭ1ф (0) = 6 In А + (2л — 6) In а
[III 118]. Положим
Тогда получаем
Если отображение области $ на круг | w | < 1 осуществляется
функцией
ip (г) = w, ф (?) = 0,
то Ф[ф(г)] внутри £ отлична от нуля и на всех граничных
точках области Ф, за исключением конечного числа, по модулю
не меньше чем / (г). Отсюда следует [III 335], что
|/(£)1^|Ф[гр(0]1 = |Ф(0)|.
Обращая эти рассуждения, получаем из III 276 часть теорем 131,
133. См. также решение III 177.
135< fn (г) обращается в нуль только в точке г = 0 (взаимно
однозначное отображение). Применяя III 278 к функциям z^fnlz)
и zfn (г)"1, регулярным в &п, находим, что в
1	I г I а
RT-
Пусть положительное число е„ определено уравнением
тогда
е — 1 п
2
lim е„ = 0. Полагая
П-ЮЭ
£
а *
в круге |г|< 1 имеем ](г)[< 1 [III 278]. Из неравенств
|г||1(г- 1)|Е" <|/„(г)|<|г|
получаем сначала, что в круге | г | < 1 при п->со
\fn (2)|-^|Z|.
Принимаем во внимание неравенство /^(0)>0 и применяем
III 258 к In (/„(г) г!).
136.	[L. Bieber bach, Berl. Вег. 1916, стр. 940—955;
G. Faber, Munch. Вег. 1916, стр. 39—42.] Из III 126 вытекает,
что для каждого R > 1
IM | 2|Ь2|2 , 3|63|2
К3 т т ф
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
215
следовательно, также п-й отрезок этого ряда меньше единицы.
Полагая R -> 1, видим, что
Так как это неравенство имеет место при всяком и, то J] п | |2
п= 1
sgl. Если [&1] = 1, Ь1 = е‘₽, то тогда Ь3 = Ь3 = ... = О, т. е. g(z) =
= z + &0 + ^[III 79].
137.	[К. Lown er, Math. Zeitschr., т. 3, стр. 69—72, 1919.]
Применяя неравенство Коши
nbn
гп+1
II 80], находим [136]
00 г—
1 . V V Я !I 1
п _	1
|г|2л+2 ~_______

Если g' (ре) == j-j-p-a, Р > 1, | е | = 1. то — b„en+1 должно быть
вещественно и неотрицательно, далее, Yn\bn\ = k^^, где мно-
СО
житель X, не зависящий от п, определяется из уравнения п | Ьп |2 =
п= 1
= 1. Имеем
X — р2 — 1, bn — —.p	, g(z) = z-\-b0———г.
е ’ п (pg)«+i’ o''	1 и е / p/psz—1
Эта функция однолистна в области | z | > 1, так как при | z | > 1
I 1-Р2
| pez—1
р»
и поэтому
pSZ1 Л i 4"	PeZ2> § (2г)	I Z1 I > 1 > I ^2 I	» г1Т^г2‘
Преобразование
показывает, далее, что единичная окружность отображается на
некоторую круговую дугу с центром Ь04-е^р—и радиусом р.
138.	Принимаем во внимание 120.
139.	[G. Faber, 1. с. 136.] Согласно 79 функция
____ у ьа УГ bi--^bl
/g(z2)=z+V+2—Н-+-*-
216
РЕШЕНИЯ
регулярна и однолистна в области |z|>l, следовательно [136],
у b01 1; 1. Только в том случае I у b01 = 1, если Vg (г2) = г + —,
-Я е2‘0	г
где р вещественно, т, е. когда g (г) = z + 2егР + — •
140.	[L. Bieberbach, 1. с. 136.] Применяем 139 к g(z)—h,
где /г —произвольная граничная точка области ®. Тогда нулевая
точка лежит на границе образа. Конформным центром тяжести
является b0 — h, следовательно, |Ь0 —Л|=^2.
141.	[См. L. Bieberbach, Math. Ann., т. 77, стр. 153—172,
1916.] Нижняя оценка для D получается как в III 239, верхняя
оценка —из 140 следующим образом. Если hr и h2 — граничные
точки области ®, то
| Ьо —/гх | «5 2, |b0 —/г2)<;2, следовательно, | hr — /г21	4.
142.	Пусть d — расстояние между двумя неподвижными точ-
ками и О —диаметр соединяющей дуги. Тогда [141]
d^D^lr.
143.	[К. Lowner, 1. с. 137, стр. 74—75.] Достаточно доказать,
что |g(p) I sSp + y, р>1. Удаляя из ® два криволинейных
отрезка, в которые переходят отрезки 1 <zsSp, ——1
при отображении g(z) = w, получаем некоторую область ®*. Если
мы разрежем внешнюю круговую область | г | > 1 от 1 до р и
от —1 до —р, то полученная область сможет быть отображена
₽+-
на внешнюю круговую область |^|>—g-1-- [105] и будет иметь
[138] конформный центр тяжести 0. К получаемому при этом
р+—
отображению внешней круговой области |£|>—на ®* ПРИ"
меняем 140.
144.	[G. Faber, Munch. Вег. 1920, стр. 49—64.] Так как
g(z)—z в области | z | > 1 регулярна и все граничные значения
g(z) — z по модулю <3 [140], то \g(z) — z|sg3 также во всей
области |z|>l; III 280 дает тогда \g(z) — z\ «Si—?. Равенство
I 2 I
могло бы достигаться вообще только для g (z) — z — —, а вещест-
венно, но тогда |g(г) — z | = jyj и, следовательно, равенство никогда
не достигается.
145.	[К. Lowner.] Внешний радиус г указанной в задаче
кривой превышает внешний радиус отрезка длины 2а [121] и
меньше, чем внешний радиус содержащего этот отрезок эллипса,
сумма осей которого стремится к 4, когда а->2, 6->0. Отсюда
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
217
вытекает [101, 102], что г->1 при а->2, б->0. Из 119 вытекает,
далее, что при рассматриваемом отображении две граничные
точки, находящиеся на противоположных краях выреза в z —— а,
переходят в z — -\- 1 и г = —1, так что одна из граничных точек
претерпевает смещение 1 -]- а. При а -> 2 оно становится сколь
угодно близким к 3.
146.	[L. В i eb er b асh, 1. с. 136.] Полагая 'Q = у, имеем

при |?|>1 (139). | а.21 = 2 тогда и только тогда, когда g(£) = £ +
+ 2eia + ~, f (z) = 0-+gt-az)2l а вещественно.
147.	[G. Faber, 1. c. 136, 144; L. В i e b e r b a c h, 1. c. 136.
Теорема содержится, правда, без приведения точных значений
постоянных, уже у Р. Koebe, Gott. Nachr. 1907, стр. 197—210.]
Пусть /? = 1. Функция
___Ш
l-ft-V(z)
= z +(а3 + у) г2 + ...
однолистна в круге |z|< 1, следовательно,
|Й2-[-1|<2, |||<|«3| + 2<4	[146].
[Этот вариант доказательства принадлежит Ф. Хаусдорфу.] Равен-
ство имеет место только для функции
f = (Г+?°г)Д ’ а Beu*ecTBe™o.
148.	Пусть £ = у, g (£) = [/ (С-1)]'1 [решение 146]. Применяя
140 к g(Q, находим, что для любой граничной точки h.
h+lh2- |4К^+2.
[См. также решение 147.]
149.	[См. G. Szego, Deutsche Math.-Ver., т. 31, стр. 42, 1922;
т. 32, стр. 45, 1923.] Пусть hr и h2 — две граничные точки области
® и argli! — argh2 = л. Применяя 147 к	находим, что
I 1 К Я
------— т е
PG1 — АГ11	4 ’
2	_ 7?
IMU |йа|
218
РЕШЕНИЯ
Тем самым по теореме об арифметическом и гармоническом сред-
них (часть I, стр. 74) и подавно | h± [4-1 h2 R. Когда имеет
место знак равенства, то должно быть прежде всего | | — I Л, | =
R ,	, R .v	f(z)	R2z
= T’	и, далее,	у, а веще-
р
ственны. Эта функция в круге | г | R достигает модуля лишь
для z = Re~ia. Отсюда заключаем, что
е ,а=—е^ и f (г) = ^2_1_е21-аг2*
[В указанном месте утверждается, что Мах (j hl |, |h, j) >-R. Заме-
чание, что уже I ht | + |й21^R, принадлежит Т. Radd.]
150.	[См. G. Pick, 1. с. 151; далее L. В i е b er b а с h, Math.
Zeitschr., т. 4, стр. 295—305, 1919; R. Nevanlinna, Oversikt av
Finska Vetenskaps-Soc. Forh., t. 62 (A), № 7, 1919—1920.] Пусть
|?oj<l. Применяем 146 к функции
\ 1 -f- ^o2/
также однолистной в единичном круге | z | < 1. Постоянные А и
В определяем из условий <р(0) = 0, ср' (0) = 1.
151.	[По поводу 151, 152,156, 157 см. Р. Koebe, 1. с. 147;
G. Plemel j, Verhandl. d. deutschen Naturforsch., t. 85, III,
стр. 163, 1913; G. Pick, Leipz. Вег., t. 68, стр. 58—64, 1916;
G. Faber, L. Bieberbach, 1. c. 136; см., кроме того,
T. H. G г on wall, C. R., т. 162, стр. 249—252, 1916.] Имеем
2
In/' (Z) + In (1 - I z I2) = J (PI - dz,
0
где интегрирование производится вдоль прямолинейного отрезка
от 0 до z, \zj = r<Zl. Отсюда [150]
Г
I In/' (z) + In (1 - I zi2) I < J |-;dr = 21np|-
0
Отделение вещественной части дает
- 2 In	in | /' (Z) | + ]n (1 - r2) < 2 In ' : ;,
ч. и тр. д. Отделение мнимой части дает, кроме того,
[3 In/' (z) |<21n|ir
(теорема об искажении угла поворота при отображении).
Равенство не достигается. [L. Bieberbach, 1. с. 150.]
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
219
г
152.	Из f (z) = $ fr (z) dz вытекает, что [151]
о
г
о
г
(Ь=7р-
Нижняя оценка модуля \f(z) | получается двояким образом:
1)	Пусть w — ближайшая к нулевой точке точка образа окруж-
ности | z | = г и L — кривая плоскости г, отображающаяся на отрезок,
соединяющий 0 и w. Тогда из | w | = $ I /' (z) 11 dz | вследствие нера-
L
венства | dz | dr вытекает
Г	г
k’ J \f (z)\dr^ J
о	и
J.-/' dr=—-______
(\+ry*Ur (l + r)2‘
2)	Отображаем круг I z | < 1, разрезанный вдоль вещественного
отрезка, соединяющего г и 1, посредством функции z — g(Q = Z +
4- b£2 + b3t,3 + ... на круг |С| <(7^7)2 [Ю8] и применяем тогда
147 к граничной точке/(г) отображения w = /[§(?)]•
153.	[Т. Н. Cronwall, Nat. Acad. Proc., т. 6, стр. 300—302,
1920; R.’Nevanlinna, 1. с. 161, стр. 17, сноска.] Полагаем
С = у и применяем 143 к [f (^’1)] 1 + я2.
154.	[Т. R ado, задача; Deutsche Math.-Ver., т. 32, стр. 15,
1923.] Согласно 80 / (z) = ]Zg(z2), где g(z) регулярна и однолистна
в единичном круге \z |< 1. Таким образом, при |zj = r [152]
(1 +г2)3	।	(1 -/-2)3 •
155.	В обозначениях задачи III 128 имеем
J (р)=^п(т=^
[154],
следовательно, так как f (0) = 0,
2Л	Г
Г |/ (re'kl2 d&	f й—^dp.
d	v \ r /
0	0
156.	По теореме Коши
^(П)	= 2лТ § (£—г)п+*
220
РЕШЕНИЯ
где интегрирование производится вдоль окружности |g —z| = p,
0 < р < 1 — |z| = 1 — г. Понимая под (г) наименьшую функ-
цию указанного рода, имеем
157.	[L. Bieber bach, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 161 — 162,
сноска 5, 1918.] Имеем
„ _ “я (°)
СО» —---------Г—
п п!
[156],
следовательно,
(0<р<1).
Полагаем здесь р =	.
158.	Заменяя в 155 / (г) на У/(г2) [80] и г на У г, получаем
2.4	2.4
о	о
159» [J. Е. Littlewood. См. Proc. bond. М. Soc. (2), т. 22,
№ 4, 1923.] Что й),г^п, вытекает из рассмотрения функции f(z) =
СО
=	= i пгП' ВеРхняя °Ценка Для получается из нера-
' п= 1
венства
2л
| ап; Sg „— i I / (ге‘'"!) I dft < —т4------г
•	1 Znrn J ' '	' 1	/*л 1 (1—/*)
и
при г — *——• Имеем
\ап\<
[158]
[I 170].
пп
(л—I)4"1
1 U-1
п— 1/
160.	[G. Pick, Wien. Вег., т. 126, стр. 247—263, 1917.] Утвер-
ждение относительно М вытекает из 122 или из III 280. Из раз-
ложения
[1	(г)]2 z + (a2 2е,аМ J) z2 + ...
заключаем, далее, что | а2 — 2е'“Л4-11 -С 2 [146]. Выбирая здесь
a = n-+-arga2, получаем требуемое неравенство. Равенство имеет
место тогда и только тогда, когда
f (?)	2
[1 + ег'®Л1-1/ (г)]2	(1 Н-е^г)2 ’
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
221
Р вещественно. Тогда значения w = ё"МУ (z) заполняют ту
часть единичного круга, которая соответствует при отображении
I111] плоскости, разрезанной вдоль луча arg W = а — р,
X- С | W | < оо. Поэтому а должно быть равно Р; части
< W  ; выреза соответствует отрезок 2Л4 — 1 — 2 ]/ М (М — 1) •
s^te>sgl. Равенство достигается, когда f(z) осуществляет одно-
листное отображение единичного круга на круг радиуса М, раз-
резанный вдоль отрезка, идущего от произвольной граничной
точки перпендикулярно внутрь на расстояние
2М Ум^л (Ум - Ум^Т).
161.	[R. Nevanlinna, Oversikt av Finska Vetenskaps-Soc.
Forh., t. 63 (A), № 6, 1920—1921.] Согласно III 109 функция
zfj^ = l+ylz + y2z2 + ...
регулярна в круге | z | < 1 и имеет в нем положительную вещест-
венную часть. Следовательно [III 235],
^1+г
f(z) ^1-2’
Отсюда заключаем [I 63], что
| ап | sgп	(п — 2, 3, 4, ...).
\ап\ = п может быть лишь тогда (и притом тогда уже для всех п),
Г (г) l+eiaz
когда Zy~ — Г—ё^г' а веЩественно-
162.	[Т. Н. Gronwall, 1. с. 151; К. Lowner, Leipz.
Вег., т. 69, стр. 89—106, 1917.] Если f(z) осуществляет отобра-
жение на выпуклую область, то образ при отображении w — zf (г)
будет звездообразен [III ПО]. Тем самым [161]
zf (гХ(пЬ)5’ т-е- («==2> 3> 4> •••)•
| ап | = 1 тогда и только тогда (и притом тогда уже для всех п),
когда zf (z) = ^-_^,аг)2-, f (?) = ~^z. « вещественно.
163.	[См. E. Study, Vorlesungen uber ausgewahlte Gegen-
stande der Geometrie, Heft 2, Leipzig, B. G. Teubner, 1913;
R. Nevanlinna, 1. c. 161.] Из 150 заключаем, что при |z|<r
222
РЕШЕНИЯ
Для значений г, не превосходящих меньшего корня уравнения
г2 —4г 4-1=0, правая часть >s—1. [III 108.]
__i
164.	Посредством отображения = вопрос приводится
к III 297. Если /(г)^0, то ряд
еЧхп + {УП) 1 \
должен сходиться. Далее во всяком случае г/„->оо. Но для по-
ложительных у, стремящихся к оо,
1
I в' <х+‘у> _ i 1	/ 1 е-2</_ 2е~у sin х \Т	о „ .
1 — hx+iu, !	= 1 — ,	, О	~ 2е~у sm X.
|	| у 1-|_е 2у 2е У sin х )
Аналогичным образом для отрицательных у заменяем общий член
выписанного выше ряда через 2e^sinx.
165.	Достаточность условия вытекает из общей теоремы су-
ществования для линейных дифференциальных уравнений. Но
условие также необходимо. Действительно, пусть иг, и2, ..., ип
будут п линейно независимых целых функций, удовлетворяющих
заданному уравнению. Тогда коэффициенты fv (г) определяются из
уравнений
—	+	+ +	(/=1, 2, .... и)
как дроби, в числителях которых стоят целые функции; общим
знаменателем всех этих дробей служит вронскиан функций
«!, и2, ..., ип, т. е. e“^l(2)rfz [VII, § 5], значит — целая функция,
не имеющая нулей.
166« Для достаточно малых ненулевых значений г имеем
_____________*	_ fe —1	1	2
<p(z) = y_/.z q 4-у_й+1г q +... + То4"Т1г 4 4~?22 4 + • • •,
i
где 7>0, <у —целое и для zq выбрана определенная ветвь. Из
предположения вытекает сначала, что при z->0 функция <p(z)
остается ограниченной, следовательно, у,, =	=... =	= 0.
Кроме того, уо = с0. Если бы q было больше единицы и не все
коэффициенты у1( у2, ..., yq_r были равны нулю, скажем =
= Тг =  • • = Ts-i = 0,	l^s=g<7—1, то при г->0 функция
z « (<р (?) - с0)
оставалась бы по модулю больше некоторого фиксированного по-
ложительного числа, откуда следовало бы, что
lim г1 (ф (?) — с0) = оо,
г -► о
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
223
а это противоречит предположению. Следовательно, yi = y2 = ...
... = = 0. Далее = clt затем снова у?+1 = у?+2 =... =	= 0
и т. д.
167.	Если функция f(z) регулярна и однозначна в полуоткры-
том круговом кольце R «с | z | < со, то ее нули, находящиеся в этой
области, могут сгущаться только в бесконечности. Поэтому можно
построить целую функцию g(z), которая в указанной области
f (г)
имеет те же нули, что и /(г). Тогда функция In будет в обла-
сти R«х | z j < оо регулярна, однако не необходимо однозначна;
вещественная ее часть однозначна, мнимая изменяется при поло-
жительном обходе окружности |z| = r, r>R на 2mm, где m — не-
которое целое число, не зависящее от г [III 190, а = 0]. По-
этому разность
1 / (?) ,
In 44 — tn Inz
S'(г)
будет в области R s=: | z | < со однозначна
гается в этой области в ряд Лорана
и регулярна и разла-
СО	— 1
п ~ — со	п = — оо
где у (z) — целая функция и ряд ф(?) сходится при 4 4SR.
Можно положить zmg (г)	— z~pG (z). Если относительно функ-
ции f (z) предположено лишь, что она регулярна в открытом кру-
говом кольце R < j z | < оо, то ее нули могут сгущаться также
на окружности |z|=R.
168.	Положим е-‘г = ау, следовательно, еу — | w |. Вследствие
периодичности функции f(z)
f (i In w) —F(w)
является однозначной функцией от w, имеющей в области 0<
<оо лишь конечное число нулей и полюсов. Следовательно,
можно так определить два полинома Р (х), Q (w) и сходящийся
ОО
в указанной области степенной ряд У, слхи = ф (ш) [реше-
п = — со
ние 167], что в этой области
Обозначим через Л (г) максимум ЭЧф(ад) на окружности |w! = r и
через w0 точку, в которой этот максимум А (г) достигается. Имеем
In М (у) - In | Р (ау0) | ф- In | Q (и»0) | А (г).
224
РЕШЕНИЯ
Из предположения следует, кроме того, что существует такое
число 6, 0 < 6 < 1, что
In Л1 (у) < е9' у
|го|9 при |го|Э=1,
I W Р при I W I sg 1.
Отсюда заключаем, что А (г) г9 ограничено для г > 1 и А (г) г9
ограничено для г<1. Согласно решению III 237 отсюда следует,
что ф (го) = const.
169.	[Н. A. Schwarz; по устной передаче.] Пусть функция
f (г) = аа + ауг ф- а2г2 ф... + anzn +...
регулярна и не тождественно постоянна в некотором круге | г | < р
с центром в нулевой точке. Тогда в этом круге также функция
F (г) = а0 ф- ciyz 4- a2z2 А~- • -ф-	ф-...
регулярна и не тождественно постоянна, кроме того, для вещест-
венных х и у, х2 ф- у2 <ра,
Ф (х, У) = / (х ф iy) F(x — iy) =22 akai <x + 1У)к (x - iy)1.
k=Ol—Q
Этот ряд сходится также для комплексных хи ус доста-
точно малыми модулями. Так как он представляет алгебраическую
функцию от х и у, то имеет место, тождественно относительно х
и у, равенство
2 Ф,(х, «/)[ф(х, у)Г= 2 °v(*. y)U(xA-iy')F(x-iy)]v = O,
v — 0	v = О
где Ov (х, у) — некоторые полиномы относительно х и у и Ф,г (х, у)
^0. Мы можем принять, что Ф„(0, 0)=#0, ибо в противном слу-
чае можно было бы вместо / (г) заранее рассматривать f (г — й)
с надлежаще выбранным а.
Пусть переменная t, ограничена единичным кругом и постоян-
ная t выбрана следующим образом:
1) /¥=0,
2) рассматриваемый степенной ряд функции <р(х, у) сходится
для I х I ==с 111, \y\^\t\,
3)F(0=¥O,
4) полином Фп (не равен нулю тождественно
для всех Этому условию можно всегда удовлетворить, ибо сво-
бодный член этого полинома относительно t, и t совпадает со сво-
бодным членом полинома Ф„ (х, у) и, значит, отличен от нуля.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
225
Тогда в круге |С1<1 тождественно
2 <DV ((-Ц^, [F (ПГ [/ (СОГ=0.
V = о
170.	[Е. Landau.] Пусть указанным в задаче кругом служит
единичный круг. Он содержит вещественный отрезок — 1 < w < 1.
Рассмотрим множество тех вещественных точек г, в которых w =
= f (z) вещественно и по модулю меньше единицы. Эти точки
имеют по крайней мере одну конечную предельную точку z0,
в противном случае их было бы лишь счетное множество, и, сле-
довательно, функция / (г) не могла бы принимать всех значений
из отрезка —имеющего мощность континуума. Значе-
ние f_ (z0) вещественно, и точно так же вещественно
г (z0) =Him-2?-~-y2o) ,
ибо ведь мы можем ограничиться выбором для z тех веществен-
ных значений, для которых / (г) также вещественно. Аналогично
убеждаемся в том, что все коэффициенты в разложении f (z) по
степеням z — z0 вещественны. Продолжая степенной ряд, мы на-
ходим, что функция f(z) вещественна для всех вещественных z,
что противоречит предположению.
171.	Таких функций не существует. Пусть, в самом деле, тре-
буемое соотношение выполнено. Если / (z) тождественно равно
нулю, то тогда, очевидно, /\(z), f2(z), •••, fn(z) также тождест-
венно равны нулю. Если же f(z)^O, то мы можем принять,
что f(z) в области 53 вообще не обращается в нуль ни в одной
точке (заменяя в противном случае эту область некоторой ее
частью). Но тогда функции /v(z)/(z)~1 регулярны в 53 и функция
М| |М£)|	,1Ы£)1 j -
1/(г) ИЛ) И ••‘Л /(г) I
достигает максимума также внутри области 53; следовательно
[III 300],
/v (z) / (z)-1 = const. (v=l, 2, .... n).
172.	Таких функций не существует. В самом деле, ограни-
чимся некоторой частью области 53, в которой g(z) ==^0 и ]/rg(z) =
= Ф (z) — регулярная функция. Тогда |g-(z) | = | ф(г) |2. Согласно
предположению | <р (г) |2 является регулярной гармонической функ-
цией, т. е. [III 87]
(£+$)k(x+^12==0-
В силу III 58 отсюда вытекает, что <p(z) = const., g(z) = const.,
/ (z) = const.
8 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
226
РЕШЕНИЯ
173.	Пусть h(z) — целая функция; /(г) = сЛ(г) и^(г)=гй(г|
удовлетворяют указанным условиям для а=1, Ь = — 1, с —О, ибо
е'2~1	. rh + l h eh-0 ,A
1	’	’ e~h — 0
суть целые функции без нулей. Двух различных целых функций
конечного рода, имеющих одни и те же а-, Ь-, с- и d-точки, где
а, Ь, с и d различны, вообще не существует [G. Polya, Nyt
Tidsskr. for Math. (В), т. 32, стр. 21, 1921].
174.	Опираясь на уже доказанные положения, легче решить
следующую, более сильную интерполяционную задачу. Дана тре-
угольная числовая схема
й00
°10, аи>
^22»
найти целую функцию G(z), удовлетворяющую уравнениям
GW(n) — v!a„v (v = 0, 1, 2, ..., n; n = 0, 1, 2, 3, ...),
где ti\ann — an. Для решения пользуемся целой функцией
СО Г	2 , 1 Z2"|n -h 1
п = 1
[Hu rwi tz-C ои rant, стр. 123*)]. В окрестности точки z — n
имеет место разложение
ГТ?) =	(z~n) +	(z-n)2 + ..-
. ,.4-&лп(2 — п)”4-...],
Ьп0=£ 0. Полагаем
”4~ ^-пфп, V-1 Ч- ^пфп, V-2 Ч~ • • • Ч~ Ctnybno ~ ^пу
и ищем мероморфную функцию У7 (г), регулярную всюду, за исклю-
чением точек z = 0, 1, 2, ..., и такую, что разность
Z7 (г) - (г - я)-""1 [спо + С;г1 (г - п) +... + (г - п)«]
остается регулярной также в точке z = n, п = 0, 1, 2, ... [Hur-
witz-Cour an t, стр. 108—111**)]. Тогда искомая целая функ-
ция С(2)=Т(2) Ц7(2).
*) Гурвиц, стр. 168. Г у р в и ц —к у р а н т, стр. 127.
**) Гурвиц, стр. 147—151. Г у р в и ц —К у р а и т, стр. ИЗ—115.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
227
175.	Первое неравенство очевидно. Из неравенства
а
711	(г-|-6)'1
(n = 0, 1, 2, ...)
вытекает, далее,
^(r)<M(r + 6) J	М (г + 6).
п — О
176.	[Е. Landau.] Имеем [175]
[М (г)]- А Ж (г) < [М (г + 6)]”,
поэтому
м (г) < [ЯН„ (г)]" < п М (г + 6).
Берем га->оо; 6>0 произвольно мало, М(г) является непрерыв-
ной функцией от г, как легко усмотреть из определения.
177.	[Е. L andau.] ~ In Э)1„ (г) является невогнутой функцией
от In г [И 123]. Предел невогнутой кривой представляет собой
также невогнутую кривую.
178.	[I. Schur.] Функция
е-Ш/[еЛГ-7(г)] = г + Д2г2 + ^3+ ... + А„г” + ...
в круге | г | < 1 однолистна и по модулю меньше Л43. Коэффи-
циент Ап является полиномом (и — 1)-й степени от е со свободным
членом ап и старшим коэффициентом М~п+1 ап. Подставляя вместо е
последовательно все корни (п -- 1)-й степени из единицы, склады-
вая и принимая во внимание неравенство j । ‘ к>„[Л42], получаем
Т. е. соДМ]^-^^.
Здесь со„ [/И] обозначает верхнюю грань модуля | ап j в предполо-
жениях задачи 160. Повторное применение этого неравенства
дает, так как [М] <
со
[М] < П 1 +	=“•(!-
v = о 1
[решение I 14].
179.	Пусть т — произвольное целое положительное число.
Тогда <р(тО) является тригонометрическим полиномом тп-го по-
рядка, удовлетворяющим предположению. Тем самым при всех
значениях 0- выполняется неравенство
| mcp' (mf>) I тп ф- К, т. е. | <р' ('&)! п 4- ~.
Берем теперь т->оо.
8*
228
РЕШЕНИЯ
180.	[Н. Poinca re, American J., т. 14, стр. 214, г1892;
см. Н. Bohr, Nyt Tidsskr. for Math. (В), т. 27, стр. 73—78,
1916.] Определим целые положительные числа Х2, ..., Х„, ...
так, чтобы было
*!=!,	(-7^г)?И>Ф(«+1)	(« = 2, з, 4, ...).
Функция
g(z) = cp(2) + l+ V
/2 = 2 '
является целой; при	п^2, имеем
g(x)=sg(«)> (ургг) ">(Р(/г+ l)Sa<P(*).
гт	Sin К? 1  2	, 22
181.	Пример: — = 1— — 4- —— ...; целые рациональ-
ные функции (не являющиеся тождественно постоянными) стре-
мятся по всем направлениям к бесконечности.
182.	[Н. von Koch, Ark. for Mat., Astron, och Fys., т. 1,
стр. 627—641, 1903.] Пример.: e2-f-z. При доказательстве нужно
различать два случая: — argz < у и у ^argz^-g-. Рав'
номерность исключена. [Hurwitz-Courant, стр. 96*).]
183.	[См. J. Malmquist, Acta Math., т. 29, стр. 203—215,
1905.] [Ill 158, III 160.] Целые функции конечного порядка не
могут себя так вести [III 330].
184.	[G. Мi 11 ag- Lef f 1 er, Verhandlungen des III. interna-
tionalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg, 1904, стр. 258—
264, Leipzig, B. G. Teubner, 1905; Atti del IV. congr. internaz.
dei mat. Roma 1908, т. 1, стр. 67—85, Roma, Tip. della Acc.
dei Lincei, 1909.]
e~E &> — e~E (22) или £(z)e_£<2),
где £ (г) —функция задачи 183.
185.	Функция £ (г) [III 158] либо совсем не имеет, либо
обладает самое большее конечным числом отрицательных нулей
[III 160]. Полагаем в первом случае
£(г) = £(г),
во втором
V ’	(z+ai) (г + а2)	(? + «/.) ’
где —аг, — а2, ..., — cq —все имеющиеся в наличии отрица-
тельные нули функции £ (г). В том и другом случае F(z) при
*) Гурвиц, стр. 136. Гурвиц — Курант, стр. 104—105.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
229
вещественных отрицательных z вещественна и сохраняет постоян-
ный знак. Следовательно,
Ц F(— t2) dt = C=/=O;
о
существование интеграла вытекает из III 160. Нечетная целая
функция
g(z) = C~i^(z2)dz
о
и доставляет требуемый пример, как нетрудно показать путем
изменения контура интегрирования [III 160].
186.	[G. Polya, Intermed, des math., серия 2, т. 1, стр.
81—82, 1922.] Пусть 0<а<2л и g(z) — нечетная целая функ-
ция, построенная в задаче 185. Функция
1 + g (KD g <Уегаг )
2
— целая и при должном выборе знаков перед обоими радикалами
в угле 0 < arg z < 2л — а стремится к единице, а в угле 2л — а <
< arg z < 2л — к нулю. Остается составить надлежащую линей-
ную комбинацию таких функций.
187.	Нет, ибо множество всех разбиений имеет мощность 2е,
высшую, чем мощность континуума с, тогда как множество всех
целых функций имеет мощность с^° = с, т. е. мощность континуума.
188.	Допустим, напротив, что существует простирающаяся
в бесконечность непрерывная кривая L, вдоль которой ег стре-
мится к пределу, отличному Ьт нуля и бесконечности. Тогда для
всякого положительного е на кривой L можно указать такую
точку z0, что | arg ег — arg ег» | е для всех точек z кривой L, сле-
дующих за z0. Цели е<л, то вследствие непрерывности аргу-
мента должно быть также |3z —3z0|<e и, следовательно, начи-
ная с z0, L заключается внутри полосы шириной в 2е, парал-
лельной вещественной оси. Но внутри такой полосы z может
стремиться к бесконечности лишь двумя способами: либо так, что
ег->оо, либо так, что ег->0.
189.	Функция
2	X*	СО
J	Li	л! 2«(2л+1)
0	л = 0
стремится к бесконечности, когда z->oo вдоль положительной
или отрицательной мнимой оси. Она, далее, равномерно сходится
“ f ЗТ	1 f л	л _	зт
к I/ у, соотв. — I/ у , когда z->oo в угле —-^-^argz^y,
230
РЕШЕНИЯ
соотв. ~^argz^~. В самом деле, например, в первом слу-
чае, г = ге‘®, г>0,	имеем
4	4
ге1'Я _::L г _ х~ г/’3 _ х2_
$ е 2 dx = ^e 2 dx + $ е 2 dx,
0	0г
л
е	г
и второй член по модулю меньше чем rye 2 dir [решение
6
III 151]. Если бы существовала простирающаяся в бесконечность
непрерывная кривая, вдоль которой рассматриваемая функция
стремилась бы к конечному пределу, отличному от ± ~j/~у , то
на достаточном удалении эта кривая не могла бы иметь точек
в указанных углах и на мнимой оси. Мы могли бы, таким обра-
зом, принять, что она целиком содержится, например, в угле
argz<y^ Но тогда функция была бы ограниченной в обла-
сти, заключающейся между этой кривой и лучом argz = -^- [опи-
раемся на некоторое расширение теоремы III 330, относящееся
к этой последней, как III 324 к III 322], и, следовательно,
должна была бы [III 340] и вдоль указанной кривой стремиться
к . [См. A. Hurwitz, С. R., т. 143, стр. 879, 1906 и
т. 144, стр. 65, 1907.]
190.	Рассматриваемая функция вдоль 2п лучей
arg г = (2fe— 1) ~	(k=l, 2, ..., 2п)
стремится к бесконечности, а вдоль биссектрис 2п углов, обра-
зуемых этими лучами, стремится к конечным пределам, а именно
вдоль луча argz = £-C- к пределу
• т. J(*=1, 2...........................2»),
о
[III 152.] Дальше рассуждаем, как в решении- 189.
191.	[F. Iversen, Ofversikt av FInska Vetenskaps-Soc. Forh.,
t. 58 (A), № 3, 1915—1916.] Пусть 6m = 2(l— em), тогда 6m = 0
или 4, смотря по тому, будет ли гт = +1 или —1. Когда z стре-
мится к оо вдоль луча
argz = 2jr J
т = 0
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
231
то тогда для tn = 0, 1, 2, ...
arg2sm = 2n(4!1- + %i+
Так как 8т может принимать лишь значения 0 и 4, то ~Ат лежит
либо в угле (о, либо в угле	и именно в первом,
когда ет=4~1, и во втором, когда е„, = — 1. Полагая для сокра-
щения
_ 2
i V 2 dx>
о
имеем, таким образом [189],
limy (г8СТ) = ет.
Кроме того, существует [решение 189] такое число G, что для
всех z на указанном луче и для всех значений т
|у (г8т)| <G.
Пусть теперь е>0 и т столь велико, что + от+2 + ... <е.
Тогда функция
<W(2) + aiV(z8)+ ... +«т?(г8т)
при указанном выше способе стремления г к оо стремится к пре-
делу
£0fl0 4" £1а1 4~ ••• +£mflm.
Остаточный член по модулю меньше Ge при всех г.
192.	Пусть интересующая нас целая функция g(2) будет
конечного порядка X, л> 0, т. е. ]g(z) | < Аев ।	е>0, Д>0,
В>0, е, А, В — постоянные. Пусть, далее, Iimg{2) = a, когда
z-> оо вдоль некоторого луча, и limg(2) = & когда г->оо
вдоль некоторого другого луча (оба выходят из точки г = 0),
составляющего с первым угол у. Из III 330 [y = |J —а] вытекает,
что если (А,-|-е)у <л, то g(z) остается ограниченной в угле
между обоими лучами. Но тогда согласно III 340 должно было
бы быть а = Ь, что противоречит предположению. Следовательно,
(X 4-е) у 3s л. Так как это справедливо при любом положитель-
ном е, то лу^л, т. е.	Но в силу предположения имеется
по крайней мере одно У<~,~- Следовательно, К 5= -у  [По поводу
дальнейших обобщений см. Т. Carleman, Ark. for Mat., Astron,
och Fys., t. 15, № 10, 1920.]
193.	[Cm. F. Iversen, These, Helsingfors, 1914.] Пусть
g (г) — заданная целая функция, z _1[g(z) — g(0)] = /i(z) не тожде-
232
РЕШЕНИЯ
ственно постоянно. Обозначим через ® некоторую область,
в конечных граничных точках которой |/i(z)| = l, а внутри
|/i(z)|>l. Точка г = оо лежит на границе области ® [III 338].
Вдоль линии, лежащей в ® или на ее границе и простирающейся
в бесконечность, имеем
\g(z)\^\zh (z)|-|g(0)|^|z|-|g-(0)|.
194.	Пусть т — число нулей функции g(z) — а. Определяем
р (г)
полином m-й степени Р (г) так, чтобы отношение —— было
v '	g(z)—a
регулярно во всей плоскости z, и затем полином самое большее
m-й степени Q (г) так, чтобы также выражение
было регулярно во всей плоскости г. Тогда существует [193] про-
стирающаяся в бесконечность непрерывная кривая, вдоль которой
на достаточном удалении
|7^г-в(г)|>И"‘-
Так как там j Q (z) j < A j z I”1, j P (z) ] <B j z |m, где А и В —поло-
жительные постоянные, то
I Р № I ~> I у |»>+1 А \ Z \ т 1 I »> । 2 ।
195.	[Т. Carleman.] Пусть j/(z)|^M в кольце 0 < | г | < 1.
Для | z01 = у имеем неравенство Коши
I	(zo) I М
I	л! (\\n '
\2/
Так как, по предположению, /(п)(г) ограничена, то [III 337]
в кольце 0<Z\z\^у и, значит, в частности, в точке z = ^-
[/("> (z)\^n\2nM.
Следовательно,
f	ftn> (— \
. . . tt\\ , ' \4] !	1 \ .	,	\ 4 / /	1 \n ,
t (г) -Ц 4J ---П--( 2 ~ 4/ + • • • -n!---\z~ 4 ) + •' • ’
I 1 I 1
причем ряд сходится в круге 2 — 4 <у, а значит и в неко-
тором круге с центром в точке z = 0.
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
233
196.	Пусть wv^0 (v=l, 2, 3, и
со	-	со
«И-ПО-Д)-
М* (r)==g* (г), т* (r) = \g*(—г)|.
Тогда при |z| = r, очевидно,
т* (r)^\g(z)|-СМ* (г).
Мы, разумеется, нисколько не нарушим общности, если предпо-
ложим, что имеет место самый неблагоприятный случай, а именно
что все нули функции g(z) вещественны и отрицательны, т. е.
СО
««-Ш'+га)-
V == 1
Утверждение гласит тогда: g(r)<e8r при всех достаточно боль-
ших г и | g (— г) | > е~ег при произвольно больших г, где е — любое
наперед заданное положительное число. С первым неравенством
справляемся так же, как в решении 58 со случаем 1=1. Для
доказательства второго применяем к g(z)g(— z) как функции
от z2 теорему III 332. Для произвольно больших г имеем
\g(r)g(—r)|> 1, |g(— г)|>^->егЕС
197.	[A. Wiman, Ark. for Mat., Astron, och Fys., t. 2, № 14,
1905; см. E. Lindelof, Rend. Palermo, t. 25, стр. 228, 1908.]
Предположим, что нули рассматриваемой целой функции g(z),
которая, по Адамару (стр. 18), должна быть рода нуль, вещест-
венны и отрицательны [решение 196]. Рассмотрим функцию
g(z)e~sK~8 в угле — л <; Ос ф-л, где она регулярна. Она непре-
рывна на— л sg О-с ф-л и принимает на положительной веще-
ственной оси произвольно большие значения [предположение
относительно М (г)]. Если бы она была ограничена на веществен-
ной отрицательной оси, скажем, не превосходила единицы, то она
была бы вообще' ограниченной [III 332], что, как выше было
указано, не имеет места. Следовательно, для некоторых произ-
вольно больших значений г
m(r)e-zA-ecosit<x-E> = |g(—1,
ч. и тр. д.
198.	[Ch. Н. Miintz; см. Math. Abhd., Н. A. Schwarz gewidmet,
стр. 303—312, Berlin, J. Sringer, 1914; T. Carleman, Ark. for
Mat., Astron, och Fys., t. 17, № 9, стр. 15, 1923.] В полуплоскости
Oiz > — 1 интеграл
i
ргЛ(0 (H=f(z)
о
234
РЕШЕНИЯ
сходится и функция f(z) регулярна. Для	интеграл будет
1
собственным и \f(z) | ограниченным, |/(г) | j | h (t) | dt. Если беско-
о
нечное множество чисел 1, то они имеют на отрезке 0 z 1
предельную точку и f (z) ss 0; если все Xv, за исключением конеч-
ного числа, Д^1, то из расходимости ряда У, 1 точно так же
п =- 1
следует, что f(z)ss0 [III 298]. В том и другом случае /(«) =
1
= \tnh(t)dt^O, п — 0, 1, 2,... [II 139].
о
1
199.	[Т. Carleman.] Функция § g (zt) h (t) dt — целая и по-
о
рядка ==sZ, следовательно, согласно предположению также функ-
ция
, а сколь
j g (гб й (/) dt
г»—
— целая и порядка ' X. Пусть М (г) — максимум | g (г) | на окруж-
ности 12 | = г. Минимум |y(z)| на окружности \z\-r не будет
а	1
превосходить I МО I
О	а
угодно близко к единице, и, следовательно, при г->-оо стремится
к нулю [24], тогда как он должен был бы быть [см. 197] неог-
раниченным. Значит, у (г) тождественно постоянна и именно равна
1
нулю. Следовательно, все коэффициенты функции § g (zt) h (/) dt
о
i
равны нулю, и, стало быть, согласно предположению ^tnh (t) dt*s
о
= 0, n = 0, 1, 2, ... [II 139.]
200.	[Т. Carleman.] Пусть g (z) = JJ 1 — ~~j, wv^= О (доста-
V = 1
точно рассмотреть только этот случай). Тогда !g(4/)|2 =
СО
=	+ Из этой формулы вытекает, что lim	-=О
v = 1 ' v'	у ~’;я
при постоянном а,	[24]. Поэтому функция
1
)' g (zt) h (t) dt
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
235
вдоль положительной и отрицательной мнимых осей стремится
к нулю. Кроме того, согласно предположению она —целая. На
всех достаточно больших окружностях | z | = г имеем | g (z) | < ezr
и на произвольно больших | g (г) | > e~zr [196]. Кроме того, при
всех достаточно больших г
|g ) I > e~sr и | g {ге~) | > е~гг.
Действительно,
СО
|g(z) g{—z) |2 = fJ
V = 1
г2 cos 20
a 5Т Зл
при ф = т,
Применяем III 325 в слегка измененном виде к функции y(z)
в обеих полуплоскостях	и	Предположение 1)
нужно здесь расширить в смысле III 323; вместо луча t> = 0 берем
теперь = соотв. й =-^р. [Заключительное замечание в реше-
нии III 325.] Получаем, что во всей плоскости | у (г) [ - ’ const.
1
и, значит, у (г) == const., y(z) = O. Следовательно, § tnh (/) dt — О,
о
СО
если в разложении g (г) = У, апгп коэффициент ап 0. Но так
п = 0
как корни вещественны, то из коэффициентов ап, ап+1 по край-
ней мере один отличен от нуля [V 166]. В заключение приме-
няем 198.
201.	[S. В е r n s te i n, С. R., т. 176, стр. 1603—1605,1923*).]
Из | ап | гС вытекает, что
со
л = 0
Функция К(г)егрг в обоих углах OsCftsC g- и	удов-
летворяет условиям, которые аналогичны указанным в III 322,
ибо (х, у вещественны, у>0)
| F (х) ei?x j Т: М, \F(iy) | К.
*) С. Н. Бернштейн, Собрание сочинений, т. I, Изд. АН СССР, 1952,
стр. 269—270.
236
РЕШЕНИЯ
Рассматривая еще F(z)e~ips в нижней полуплоскости, находим на
основании III 322, что во всей плоскости z

где L = Max(M, К).
[Ill 165]
I (x) I _ P^ (*) cos Px _
| sin px j	sin2 px
При вещественных значениях x получаем
'	\ о
(px — пл)2
p ' F (x) cos px |
~~~ sin2 px
+ pM У
r	(px —лп)2
л =— co
p | F (x) cos pv | +р7И
sin2 px
I f JT \ I
Отсюда заключаем прежде всего, что F ^р/ р==рМ. Но теперь
те же рассуждения мы можем применить также к функции
г-t I >	2Т \
^ + *о~2р],
где х0 — вещественная постоянная, ибо
|F (z + *о - ЙI ^Ке 'еР 12|-
Если в (*) имеет место знак =, то (~\)п F (па) = А (независимо
ч d / F (г) \ рА
ОТ п) И ~Г  =----------Л-5-.
> аг\ sin pz / sm2 pz
202.	F' (г) есть функция того же типа, что и F(z). После-
довательным применением теоремы 201 получаем, что для всех
вещественных значений х
\F'(x)\^Mp, \F"(x)\^Mp2, .... \FM(x)\^Mpn, ...
и, значит,
|Е(х4-й/)|==£ У J222LW |у\п^Мер^.,
п = 0
203.	Условия теоремы III 166 выполняются [решение 201].
Следовательно, для вещественных значений г, р \z | <у,
I G (?) I
2р | z | cos pz
у _____________= м -М.
AJ /( , 1 \ \2	„ . 2pz cos pz
п = о((«+-2 -Рг
Р 1 г |
2р | г | cos рг
^При г = 0 считаем ^^ = G' (0), sin рг = 1А Если здесь имеет место
и 1 \ \ рг
знак =, то (—1)лбР——— =сМ (|с| = 1, п==0, 1, 2, 3, ....
р
ОТДЕЛ ЧЕТВЕРТЫЙ
237
,f = 0). При р | г 15= -%- интересующее нас неравенство (даже
со знаком <) тривиально.
204.	Применяем 203 к функции
G (z) =
z0 вещественно. (См. VI 82.)
205.	Пусть	Функция f(z)eieil ограничена на лу-
чах argz = O и argz = ^ и, следовательно [III 330], также в обра-
зованном ими угле с раствором	Находим, что функ-
ция f (г) (sin zH)-1 ограничена на лучах argz = — ~ и argz = ~~,
а также на дугах окружностей | г = [пф-л (п = 1, 2, 3, ...),
содержащихся в угле — -С arg 2-С Следовательно,
1 £ /С) dZ _ d ( f(z) \ у (-1)*Д(плН
2nt J sin (£ —z)2 dz \ sin zM- J "V	j__i_ / J \2 ’
" = 1 J.I (пл) 11 \ (z — пл)И J
где интегрирование производится в положительном направлении
вдоль границы бесконечного сектора —~ <2 arg г < Д, I г |>р,
zp,	/р,
1	ОЭ 1	1
причем 0<p<nV. Так как ряд У, п сходится и / (х)
п= 1
ограничена при х>0, то на основании I 182 находим, что/' (х) =
= О (V1"1), когда х стремится к бесконечности по интервалам
1 1
‘	^x<((n+ 1--^луц	(п=1, 2,3,...).
С помощью аналогичной формулы, с заменой sin z!t на cos гц, на-
ходим, что /' (х) = О (V11) также в дополнительных интервалах.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ
1. [По поводу всей главы см. Laguerre, Oeuvres, т. 1, Paris,
Gauthier-Villars, 1898.] Ясно.
2> Пусть вычеркнут член ай =£ 0, причем, например,
9,	—... —	— dfi+i — -.. = Ofi+i-i= 0,	=r^= 0.
Последовательность й0, alt..., a^,	будет иметь на две
перемены знака меньше, чем последовательность а0, alt..а^1г
вц, йй+1,..., если
sgn a^k = - sgn йи = sgn аи+1,
и одинаковое количество перемен знака при других комбинациях
знаков. В случае, если ар1 является первым или последним
не равным нулю членом, при его вычеркивании либо пропа-
дет одна перемена знака, либо число перемен знака не изме-
нится.
3> Последовательность а0, alt..., йц, flg+1)... и а0, й1г.., а^,
Ь, а^+1,... будут иметь одинаковое число перемен знака в следую-
щих трех случаях: 1)6 = 0, 2) sgn 6 = sgn а^, 3) sgn b = sgn ag+1.
Ясно!
4« Последовательность a0, a0-\-alt alt a1-\-a2, a2, й24~йз,-••, «ц»
йм4-йц+1, Яц+i,... будет иметь столько же перемен знака, сколько
и последовательность а0, о1( а2,..., ом,..., ибо, полагая	— Ь,
видим, что должен встретиться один из трех случаев, перечислен-
ных в решении 3. Принять во внимание 2.
5.	[А. Hurwitz. ] Количество перемен знака не увеличится
при перебирании таблицы последовательностей
Йо,	й2
а0>	fl14~fl2,
ао> Яо4-«1, й04-2й1-|-й2,
й0, «о 4-«1>	,
ЙЗ,	... ., й/,	й/+1, . . .
йзЯ'^З»	•••, й/-14"й;, С^-}-. .
а1 + 2й2 + йд,. . ., CLi-2 + 2й;_х -[• й/,. . .
й04"Зйх4-Зй24"й3, •••
сверху вниз [решение 4]. Но га-я строка этой таблицы совпадает
с интересующей нас последовательностью до своего /г-го члена
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
239
включительно. Значит, в этих п членах не может быть больше
чем W перемен знака. Так как п произвольно, то все доказано.
6.	Ясно, также для случая кратных корней.
7.	Ясно.
8.	Так как f (х) — аналитическая функция, интервал а, b
может содержать лишь конечное число нулей. При переходе
через нуль знак f (х) меняется или нет, смотря по тому, будет ли
рассматриваемый нуль нечетной или четной кратности.
9.	Ясно. См. 8.
10.	Пусть е (е>0) достаточно мало; имеем
f(a + e) = /(a + e)-/(a) = e/' (а + ех)	(0<ex<e),
— f(b-s)=f(b)-f(b-E)==sf' (&-е2)	(0<е2<е).
Из
sgn/ (а + е) = sgn/ (& — е) =#0
вытекает, что
sgn f (а + ех) = — sgn f (b - e2) =£ 0.
Применяем 8 к f (x) в интервале (a + ex> b — e2)- Приведенная
формулировка теоремы Ролля имеет то преимущество перед обычно
излагаемой в дифференциальном исчислении, что, относясь к более
тесному классу функций, содержит и более точный результат.
11.	По предположению
sgn а/+1 = sgn (а/+1 -а7),	sgn akn = sgn (ak+1 - ak).
Из sgn a7+1 = — sgn ak+1 0 вытекает, что sgn (a;-+1 — a]) —
= — sgn (nA+1 — ak) 0. Применяем 9 к последовательности раз-
ностей.
12.	а) Если/(х) в точке х = хх имеет нуль кратности N > О,
то /'(х) имеет в той же точке нуль кратности N — 1. Это—для
случая, когда интервал свелся к одной точке.
Р) Пусть теперь а<Ь и хх, х2, ..., xz —нули функции /(х),
а ==£ Xj <х2 <... < xz «5 Ь. Разделим замкнутый интервал хх х xz
на следующие I частей: 1) точку хх и 2) I — 1 полуоткрытых
интервалов хх<х<:х,, x2<xsgx3,..., хи<х + + При пере-
ходе от /(х) к f (х) в точке хх теряется од и н нуль [случай а)],
а в полуоткрытых интервалах хх<х=^х2,..., Xi-j_<Zx^Xi —
ни один [10 и случай а)].
13.	Обозначим интересующие нас места перемены знака через
vx-ф 1, v2-f-1, ..., vnz-p 1> 0^vx<v2<...Ouz^/i—1. Тогда
каждая из W — 1 подпоследовательностей
OV1 +1	Яу,,	O-vi + 2	1,	• • • > Щ"2 4- 1	fiv3,
«v2 4- 1	^v2,	Ov2 4-2	Яу. 4“ 1 ’	 • flv3 4- 1	Яу3,
1+1	^VW7_1> flV\lZ_l + 2	й\’1|7_1+1, •••> +
будет иметь по меньшей мере одну перемену знака [11].
240
РЕШЕНИЯ
14.	Пусть sgn f (а) = sgn f (a)	0 и x1( x2, ..., x.- —нули функ-
ции/(x), а<_хг<. x2 <.. ,<Zxt <L b. Разобьем интервал a<x^xz
на подинтервалы
a <Z x xx,

< X ЫС X2, . .. , Xz_x < X xt.
При достаточно малом e > 0 имеем
-/(x1-e)=/(x1)-/(x1-e) = e/' (х^т])	(0<rj<e),
откуда, по предположению,
sgn/' (а) = sgn/ (а) = sgn/ (а - е) = — sgn/' {хх -г])	0,
следовательно, /' (х) между а и хх — ц имеет по крайней мере
один нуль [8]. По поводу точки X] и других подинтервалов см.
решение 12. Подобном же образом доказываем, что если sgn/(b)==
= — sgn/' (b)	0, то в интервале xz<x<& прибавляется еще
один нуль производной /'(х).
15.	Придерживаемся обозначений задачи 13. Последовательности
^0»	— CZ0, _	•••,	+ 1	^V, ,
^V^7+2 —	•••» &n &n-lt 0-n
прибавляют каждая еще по одной перемене знака к переменам
знака, содержащимся в W — I подпоследовательностях, рассмотрен-
ных в задаче 13. Действительно, пусть аа — первый не рав-
ный нулю член первой последовательности, тогда OsgasCvp
sgn(aa —«a_1) = sgnaa = —sgnaV1 + i = —sgn(aV1 + i — aVl); приме-
няем 9. Аналогично рассуждаем относительно второй из написан-
ных последовательностей.
16.	В случае бесконечного количества нулей утверждение
ясно [10]. Пусть теперь xz —последний нуль функции /(х). Тогда
/' (х) будет иметь в интервале а sg х ыт х> самое большее на один
со
нуль меньше, чем /(х) [12]. Так как limf(x) = \ /' (х) dx = 0, то
X—>О0
Х1
f (х) не может сохранять в интервале xz <х < оо постоянный знак.
17.	В случае бесконечного количества перемен знака утвер-
ждение ясно [11]. Пусть теперь последовательность а0, а1г а2, ...
имеет W перемен знака и 1 — последнее место перемены
знака. Тогда последовательность
П-0» @1	• • • ,
будет содержать по меньшей мере W перемен знака [решение 13,
15]. Далее,
sgn aV(V.+1 = sgn (av^?1 -	0.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
241
Но так как бесконечный ряд
4“ (av\p+2 av^l) 4“ (av ц/43 йГЦ7+г) 4“ • • • — О,
то члены его, отличные от нуля, не могут быть все одного знака.
38. Применяем 12, соотв. 16, к функции eFxf (х) [6]; произ-
водная ее есть е^х [af (х)f (х)].
19. Рассматриваем последовательности
а0,	а},	а2	...,	а„,
а0,	аха,	«2а2,	...,	апгх,п,
су»	ар —су»	а2гх,2 — aLa,	...,	апап —	ап.1ап^1,
аоа,	с^а — Од,	а^ — а^	...,	апа — ап1,
и применяем 7, затем решения 15 и 17, затем снова 7.
20. Полагаем (х) dx = F (х); тогда F (х) и F'(x)=f(x) в
о
окрестности справа от точки х = 0 имеют одинаковый знак. [14.]
21. Полагаем а0 4-4-а2 4-. •  + йя = ^п (п = 0, 1, 2,...) и
применяем первую половину теоремы 19 (приняв а=1) к после-
довательности Ао, А1У А2, ..., Ап, ...
22.	Ясно.
X
23.	Непрерывная кривая y = ^f(x)dx состоит из Z 4-1 моно-
о
тонных дуг. Первая дуга начинается в точке х = 0, у —0, так что
на ней не может произойти перемены знака. Каждая из остальных Z
дуг может самое большее один раз пересечь ось х, перейдя с одной
ее стороны на другую. (Это легко уточнить.) Для аналитической
функции f (х) см. еще 20, 24.
24.	Пусть интервал будет а < х < Ь. Если функция f (х) — ана-
литическая, то существует. такое е (е>0), что /(х)=^0 при а<
<х<а-|-е и при b — e<.x<Zb [8, 22].
25.	См. 10, 24.
26.	f (х) =^,где<2(х) = (х-а1)(х-аа)...(х-ал) и Р(х)-
вещественный полином степени п — 1.
1. При достаточно малом е > 0 имеем
sgnf(a14-e) = 4-1, sgn/(a2 —е) = —-1;
следовательно, / (х), а значит, и Р (х) имеют нуль в интервале
«i-<x<;a2 [8]. Так как это рассуждение сохраняет силу и для
остальных интервалов, то получаем, что в интервалах а1<х<а2,
а2<х-< а3, ..., я„..2<х<а„^ полином Р (х) имеет в совокуп-
ности п — 2 нуля. Но остающийся еще один нуль должен быть
242
РЕШЕНИЯ
тогда также вещественным, ибо полиномы с вещественными коэф-
фициентами имеют лишь попарно сопряженные комплексные
нули.
2. Как и выше, показываем, что f (х) в каждом из п — 3 интер-
валов (ах, а2), (аг, а3),	(а^2, ak^), (аА+1, aft+2), .... (ая_х, an)
имеет по одному нулю. При достаточно малом е>0 и достаточно
большом со > 0 имеем
sgn/ (— со) = — sgn/ (ах - е) = sgn/ (ап + е) = — sgn/ (со) = +1.
Отсюда следует, что и внутри интервалов (—оо, ах) и (ап, Н-оо)
имеется также по нулю [8].
27.	Имеем
f(0)>0, /(^)<0, /(^)>о,.... /(^)>0.
Следовательно [8], / (х) в полосе 0<Э1х<2л имеет 2п веществен-
ных нулей. Но большего количества нулей / (х) в этой полосе
иметь не может [VI 14].
28.	См 7.
29.	Пусть cz0 = czx = . .. = cza_x = O, аа=>^0. Будем обозначать
через akXk и azxz два члена, для которых
С?£ =т^= О, “ Ц&+2 “ • • • — ^/—1 — 0» О»
Р (х) = a!txy- +... + akxk + atxl
Таким образом, а есть частное значение k. Если l — k нечетно,
то пара акх!гРа,х1 привносит единицу либо в W+, либо в W~.
Если I — k четно, то от akxk+aixl либо обе величины W+ и IV-
получают по единице, либо обе ничего. Отсюда следует, что
при ап^=0
(п a) _ (W++=(/ _ k _ i)+_ k _ (1 _ sgn
J]1 распространяется на нечетные l — k, J]11 — на четные; дейст-
вительно, п — а =	+	Какв^1, так ив^11
все члены — неотрицательные.
30.	Заменяем х на ах [28] и применяем 15.
31.	[G. Polya, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 23, стр. 22,
1914.] Из 19 вытекает еще несколько больше: для справедливости
СО
второго утверждения вместо сходимости апап достаточно уже,
н—О
чтобы lima„a" = 0.
32.	При а = 1 вытекает из 4. См. 28.
33.	Тождественно с 21. Вытекает также из 31.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
243
34.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 22. В доказательстве имеются
пробелы.] При а=1 вытекает из 5 [28].
35а Если среди чисел а0, alt а2, ..., ап лишь одно, скажем аа,
отлично от нуля, то выражение слева приводится к произведению
-—-—+— + -4+...W1 +—+-4
Р1Рг---Ра \ Pi Pi ‘ А ‘ Pi ‘ Ра /
Ряд, получающийся в результате перемножения, очевидно, совсем
не будет содержать перемен знака. Примем теперь, что теорема
доказана для всех последовательностей, содержащих одним (нену-
левым) членом меньше, чем интересующая нас последовательность
а0, alt а2, ..., ап. Пусть аа будет первый ненулевой член этой
последовательности, OsCaCn. Положим
о -4- aa+1X _|______ga+2^2	| I_________аГ1хп~а _
Pa+i — x ‘ (Pa+1—X) (Pa+2 — х) ‘	(pa+i — х).. ,(рп — х)
= 04-В1х4-В2х24-...
Обозначим число перемен знака в последовательности
«0,		• аа> аа+1>   • >	ап	через	
0,	aa+l>	^а+2>	•  • I		»	{Ь},
Л»,	Л1;	Л2, Л3,		»	{Л},
0,	В»	В2> В3,		»	{В}.
Согласно предположению
Пусть ар будет первый ненулевой член последовательности О,
Оа+1, «а+2, • • • > ап- Тогда
{«} = {/?} +----2-----•
Но первый ненулевой член последовательности О, В1( В2, ...
совпадает по знаку с ар. Поэтому число перемен знака в после-
довательности аа, Blt В2, В3, ... равно
l-sgn(aaap)
W --------------•
Теперь
(Д0 + Л1л- + Л2х2 + ...) (рх-х) (р2-х)...(ра-х) =
= х:< (аа + Btx + В,х2 +
244
РЕШЕНИЯ
следовательно [31],
и(<с)в!+2гД2ДДД.
Отсюда {Л} sc {а}, ч. и тр. д.
36.	Пусть ах, а2, ..., aN — положительные нули
Р (х) = а0 + ахх +... + апхп.
Имеем
Р (х) = Q (х) (ах - х) (а2 - х)... (с^ - х),
полинома
где Q (х) — полином (п —Л1)-й степени с вещественными коэффи-
циентами. Но теперь у Q(x) количество перемен знака 2а 0, у
Q(x)(a1 — х) оно ^=1 [30], у Q(х) (а1 — х) (а2 — х) оно ^2,...,
наконец, у Q (х) (ах — х) (а2 — х)... (a/V — х) оно ^N, ч. и тр. д.
37.	Пусть аа будет первый и ао —последний ненулевой
коэффициент полинома Р(х), а^со (интерес представляет лишь
случай а <_ со), далее 0 < % <. ах sg а2 С.. . С a,v < X < оо. Для
достаточно близкого к нулю, и X достаточно большого, очевидно,
sgnP(t)=sgn«a, sgn Р (X) = sgn ам	[8, 9].
В соединении с 36 получаем: если W = 1, то также и N = 1.
Впрочем, это нетрудно усмотреть и непосредственно [III 16].
38.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 5.] Если W конечно (а только этот
случай нас здесь и интересует), то все ненулевые коэффициенты
должны сохранять, начиная с некоторого аа, постоянный знак.
Отсюда следует, что co-я производная степенного ряда вообще
не обращается в нуль в интервале 0<х<р, значит, в этом интер-
вале степенной ряд имеет лишь конечное число положительных ну-
лей [12]; обозначим их через а2, ..., ал-. Тогда степенной ряд
---- = Ьо + Ь1Х + Ь.х* +...
(ai-x)(a2-*)...(av-.r) от i “г . ~г
будет представлять функцию, регулярную в круге сходимости ряда
flo + aix + + •  • > и, значит, будет сам сходиться в том же
круге [Hurwitz-Courant, стр. 49,266 *)]. Число перемен знака
в ряде . by-pbyX-}- L.x2-}-. .. неотрицательно, и утверждение тео-
ремы выводится теперь из второго случая теоремы 31 совершенно
таким же образом, как 36 из 30.
39.	Радиус сходимости равен единице. Степенной ряд при х = 0
имеет значение 2, а при х=1 —значение
2-Г1 —-1 \
Д 2J \2	3] •••
Таким образом, число нулей в интервале 0 < х < 1 — четное [8].
Но, с другой стороны, оно не превосходит единицы [38]. Следова-
= 1.
*) Г у р в и ц, стр. 75 и Курант, стр. 92. Г у р в и ц —К У Р а н т,
стр. 62, 341-342.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
245
тельно, оно равно нулю. Также и непосредственно видно, что для
всех комплексных значений z внутри единичного круга | z | < 1
19 z z2 Г 9	| г |	| г |2
[-	1.2,	2-3	1.2	2-3	"
-> 2____—_____— = 1
1-2	2-3’"
40.	Пусть аа — первый ненулевой коэффициент и со — послед-
нее место перемены знака. Тогда
lim хт°- (д0-J--ф- с2х2 + ...) = аа,
х^О
lim (oq-фахх4-а2х2+ ...) = +со-sgn[8,9].
Х->р— о
41.	[С. , Runge, см. 1. с. 31, стр. 25.] Случай нулей <; ?а за-
меной х на —х приводим к случаю нулей >» Еа, а последний заме-
ной х на х-фconst, — к тому частному случаю, когда Еа>0. В этом
частном случае полагаем
ap-Hi (х—gi)+a2(x—|i) (х —g2) + --- + an (* —gi) (х —g2)... —	=
(X-6i)(X-g2)...(X-^)
 Op 1_____________1___________
x" МИМ______±\ /J____1\~
Ui	xj
— A i , H2 ['	[
— Л° ' X * X2 * X2
Полученный степенной ряд сходится при и обладает всеми
требуемыми нулями, число их не превосходит числа перемен знака
в последовательности Ао, Alt А2, ... [38], последнее же не превос-
ходит числа перемен знака в последовательности а0, alt а2, ...
..., nn_lt ап [35, 6, 7], что и требовалось доказать. Что разность
между обоими числами не может быть нечетной —доказываем,
как в 37.
42.	Для степенного ряда
/.w-n-fr+^+...+S—
-(1-М+ДЛ+ +4r^-Trnjr^‘--
в обозначениях 38, 40 имеем 17=1, следовательно, Лг= 1 [38],
далее, так как р = оо, то 1—jV — четное [40], следовательно,
1 — N = 0. Пусть хп будет теперь единственный нуль функции fn (х).
При прохождении х через хп sgn fn(x) переходит от -ф 1 к — 1
246
РЕШЕНИЯ
[решение 40], следовательно, при /л(ц)>0 также хп — a>Q. Но
при фиксированном a lim fn (а) = (1 — Так как а произвольно,
п —>со
то отсюда lim хп — оо. Наконец,
п—*со
fn (-Хтг-1) — fn-1 (*Я~1) 4	> 0»
т. е.
^П-1'
43.	х~5 (ех — 1) имеет один минимум и ни одного максимума,
ибо
со
-^[х~5(е*~ 1)] = -лгв (5e-v- 5 -хех) = -лг6 ^~ЙгхП>
п=1
а этот ряд имеет лишь одно место перемены знака, именно п = 6
[38, 40]. (Закон излучения Планка.)
44.	Рассматриваемые нули принадлежат также ряду
(1 -х)-1(а04-а1х+а2х2+ ...) =
= aQ -j- («о + й]) я-J- (а0 + -ф а2) Л;24_	[38].
45.	[См. М. Fekete, Rend. Palermo, т. 34, стр. 89, 1912.]
Полином имеет нулем х=1 и при умножении на (1—х)~2 дает
степенной ряд с неотрицательными коэффициентами.
46.	[G. Polya, Deutsche Math.-Ver., т. 28, стр. 37, 1919.]
Положим
163
2 ('Тбз')xV'
v— 1
Произведение
(1-х)-2/(х) = хфх2-х5-хв- ... -x65 + 7xee + 14xM+ ...
... ф 163х161 ф 163х102(1 -х)-1
имеет две перемены знака. Отсюда следует, что число нулей
в интервале 0<х<1 должно быть равно 0 или 2 [38, 40]. Что
оно равно 2, убеждаемся следующим образом: при 0<Zx<Z 1 имеем
ю
л-1/(х)=2 (л^-)^-1-х10-л;11-х12 + л:13 + л;и + л;16+ ... <
V — 1
ю
<2
V = 1
последнее же выражение при х = 0,7 будет равно —0,00995...
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
247
47.	Пусть АГ —число отрицательных нулей, У+ —число поло-
жительных нулей, значит, в обозначениях решения 29 n = N~ +
-^a-\-N+. Имеем [решение 29]
п - (W~ + а + IE+) = (АТ - W) + (N+ — 1Е+) 2= О
и [36]
N~-W^0, N‘ — W+^0,
следовательно,
A2-IE“ = 0, М+-№+ = 0,
ч. и тр. д.
48.	Если бы определитель был равен нулю, то соответствую-
щая однородная система имела бы нетривиальные решения, т. е.
существовали бы такие п вещественных чисел q, с2, ..., сп,
H + c2 + -z- + c«>0, что полином
CjX 1 4- с2х 2	• 4~ спх^п
обращался бы в нуль для х = аь ос2.....ап. Но это противоре-
чит теореме 36, ибо последовательность коэффициентов содержит
не более п отличных от нуля членов, значит, не может иметь
п перемен знака, и тем менее указанный полином может иметь
п положительных корней ах, а2, ..., ап. Итак, определитель не
равен нулю. Если п=Л, он больше нуля. Предположим, что того
же вида определитель (п—1)-го порядка больше нуля. Будем
считать ага переменным. Так как при возрастании ап от ап_г до
4- со определитель не равен нулю, то он сохраняет постоянный
знак. Но при ая->4-со знак определителя, будет совпадать со
знаком его главного минора, являющегося определителем такого
же вида, но (п — 1)-го порядка. Следовательно, согласно предпо-
ложению это будет знак плюс.
49.	Согласно 36 число вещественных нулей в обозначениях
решения 29 будет меньше или равно IE--фа4МЕ4 следовательно,
число мнимых нулей больше или равно
п _ (Ц7- + а + F+) = (/ - k - 1) + 2” {/- k - [1 - sgn (ад)]}.
Если ak^=0, ak+1 — ak+2 = ... = ak+2m = 0, то I — k либо нечетно и
2= 2m -}-1, либо четно и 2= 2m 4-2.
50.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 111.] Имеем
Р (х) (14- bjx 4- Ь2х2 4- ••• 4- bimx2m) = 1 - Ь2т+1х2та 4-...
Выражение в правой части не равно постоянной, ибо Р (х) не есть
постоянная. Следовательно, это есть полином, наверное имеющий
2m мнимых нулей [49]; так как Р (х), по предположению, имеет
лишь вещественные нули, то все эти мнимые' нули должны при-
надлежать полиному 14-^4-^л;2 + ...+ Ь2тх2т.
51.	[J. Grommer, J. fiir Math., т. 144, стр. 130—131,1914.]
Для полинома Р (х) = (1 — хрс) (1 — х2х).. .(1 — хпх) имеем [50]
248
РЕШЕНИЯ
b2m = S(,x1, х2, ..., х„). Если бы Ь21П было неположительно, то
полином 1 +	Ь„Л'2&271А'2т не мог бы иметь 2т мнимых
корней.
52.	Первое доказательство. Явствует из представле-
ния через нули полинома Р (х) [51].
Второе доказательство. Примем для упрощения, что
Р (х) = (х — а1) (х — а2)...
где
О < ах < с2 <... < ап.
Тогда [VI, § 9]
1 = У 1
Р' (fly) x — av’
v—1
стало быть,
V = 1
Рассмотрим полином р-й степени (рссп)
Д а? Р (х)
Хр—У	—Bpxn l + ... = LJx);
Р (av) x — av	1
v= 1
Ln(x) обращается в нуль для х = а1, а2, ..., ап и, следовательно
[36], имеет по меньшей мере п перемен знака. Но число его коэф-
фициентов s£zi-[-l. Следовательно Вр>>0.
53.	Если для полинома степень, число вещественных нулей
и число мнимых нулей будут соответственно равны п, г, п — г,хо
для его производной те же величины будут —п — l,^r— 1 [12],
sgn— 1 — (г— 1).
54.	Пусть полином будет п-й степени. Кроме п— 1 нулей,
существование которых доказано в решении 12, производная не
имеет никаких других.
55.	[53, 54.]
56.	Положим
^(l+x2r^ = Qv(x)(l+x2rv-K
Тогда
Qo (х) = 1, Qv+1 (х) = - (2v + 1) xQv (х) + (1 + x2) Q; (x).
Следовательно, Qv (x) есть полином v-й степени. Примем, что Qv (х)
имеет v вещественных отличных друг от друга нулей. Тогда
Qv+1(x) будет иметь по одному нул:о между каждыми двумя ну-
лями Qv(x) [10], между —со и наименьшим из нулей Qv(x) и
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
249
между наибольшим и + оо. Кроме этих (v— 1) + 2 нулей иных
нулей полином Qv+1 (х) иметь не может.
57.	Ход доказательства — тот же, что в 56. Возможна также
и непосредственная проверка, так как п корней уравнения
х _ (—l)«-i(n—1)! / 1	1 \_ „
dx^.l+x* ~	2	\(х + 0'1	(х — i)r- ] и
имеют следующие значения:
ctg-- ctg3— ctg(2n~1)jI
elg2n’ ё2п ’ ••• ’	2л
58.	Для Нп (х) доказывается, как в 56, в остальных двух
случаях требуются некоторые модификации [16].
Функции	(1 — х2)п; е~ххп;	е-*2
имеют нули в точках х —	—Г, 4-1;	0,	4-оо;	—оо,	+ оо,
соответственно порядка	п, п;	п, оо; оо, со.
59.	Qn(x) имеет степень n(q— 1) [получаем с помощью рекур-
рентной формулы, как 56]. Пусть рп — число положительных ну-
лей и v„ —кратность нуля х = 0. Из соотношения
и+(*?-х - *2?-х+-•••)=& w
получаем
V1 = q-l, v2 = q-2, ..., v? = 0, v?+1 =	1, ...
и т. д. с периодом q. Так как, далее, положив со = е 4 , имеем
Qn (ах) = cov«Qre (х), то каждому нулю, лежащему на положитель-
ной вещественной оси, соответствует аналогично расположенный
нуль на каждом из q— 1 остальных лучей.
Пусть теперь теорема верна для некоторого п, тогда
v„ + <7p„ = n(^-1).
Так как (п—1)-я производная от х?-1(1 + х’)-1 при х= + оо
обращается в нуль, то [16] рп^^рп, если v„ = 0; ря+1^рв4-1,
если v„>0. И в том и в другом случае
^+14-<7Рл+1^«(<7- 1)4-9- 1=v„4-<7P«4-9- 1,
„	i^-^+i + 9-1 _/?п' еслиуя = 0,
Р /г+1 Рп\	п	।	л
?	I Ря+ 1, если v„>0.
Поэтому знак нужно всюду заменить знаком равенства, и
v«+i+9P«+i = (n+l)(9- 1).
По ’ поводу простоты нулей см. 55, 56. Аналогично проводится
Доказательство для Rn(x). Введенные q лучей представляют собой
250
РЕШЕНИЯ
, 1
симметрали соседних полюсов функции тем отличаю-
щиеся от других лучей, проходящих через начало координат, что
вдоль них функция e~z9 наиболее быстро убывает, (См, G. Polya,
Math. Zeitschr., т. 12, стр. 38, 1922.)
60.	При переходе от
а0 + (?) °1Х + (г)	+ • • • + а"хП
к
Vя + (?) аре*-1 + Q й2хя'2 +...+а„
число мнимых нулей не изменяется, при переходе к
п	(”7 а*х + (” 2*1)йз*2 + • • • + ал*я" *]
>—не увеличивается [53].
61.	Уточняя теорему 60 [см. 54], находим, что полиномы
x2 + 2m1% + m2, mlx2 + 2m^x-j-ml, ,,,, zn"z2x2 + 2m^2]x+m"
имеют вещественные и притом простые нули. Поэтому
откуда последовательно получаем
ть>т*т*, ..., т^~2>т^т".
62.	Приводится к исследованию нулей функций е~ах [еахР (х)]
[6, 16].
63.	Не нарушая общности, можно предположить, что ап =£ 0.
Положим
«о + ape+а2х2 +... + апхп = ап (х + ах) (х + а2)... (х + а„);
задача приводится тогда к исследованию нулей функции
апе~апх ± е^~лп-дх 4-  е^~а^х е^хР (х).
п dx	dx dx	dx ' '
Повторное применение 62.
64.	Предельный случай теоремы 63; принимая-во внимание
III 201 и полагая п — 2т, имеем
а0 + ctyX + п2х2 +... + aimx2m = 1 -	-> е~х>
при т->оэ.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
251
65.	И аохп + а}хп 1 4-... а,г имеет лишь вещественные нули,
следовательно, также [63]
1 ! п dxn . d?xn .	\
Д \йпХ +^17 + й"-2+ • • ) =
— хп I a"’-f уП-l I an-i уп-2 Д_
- л! х -t- (,;_!)! х	* (я—2)! *	 •••
66> Полином
аР (х) + хР' (х) = х~^ ± [х?Р (х)] = - Н *)1а [(- хГ Р (х)]
обладает не меньшим (соответственно) числом нулей >0, =0 и
< 0, чем полином Р (х). Действительно, при	— п lim хаР(х) = 0
[16]	и при а>0 limx“P(x) = 0.
67.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 200.] Уравнение
Со(О + а) + а1(1+а)х + а2(2 + а)х2 + ... + ал(д-|-а)х', = О
имеет не меньше мнимых корней, чем уравнение
а0 4- агх + а2х2 +... + апхп — 0
[66]. Здесь Q(x) = x4~a. Применяем повторно.
68.	Предельный случай теоремы 67. Полагаем
= +
69.	[Laguerre, задача; решение —G. Polya, Intermed, des
math., т. 20, стр. 127, 1913.] Пусть а вещественно. Полином
q (Х) = [ 1 ц- 4. f 1 _
имеет лишь вещественные отрицательные нули, именно [57]
!т , л \2 [т , Зл'\2	[т. , (2т—1) л\2
При q — ea уравнение задачи является предельным случаем урав-
нения
a0Q (0) 4- а& (1) х 4- a2Q (2) х2 4-... 4- anQ (п) хп = 0,
когда /п->оо [67, III 201].
70.	Полагаем Ф (х) = f (х) — а — Ьх, Ф(х1) = Ф(х2) = Ф(ха) = 0,
Х1<х2<х3. Тогда Ф'(х) имеет по одному нулю в каждом из ин-
тервалов Х!=СхгСх3 и х2-дх : -'х:( [10], и, следовательно, Ф" (х) =
= /" (х) имеет одно изменение знака между хх и х3 [25].
252
РЕШЕНИЯ
71.	По предположению,
Ф (х) = f (х) — ай — ахх —... — an-iXn -1
(а0, ах, Ол-! — постоянные коэффициенты) имеет в интервале
as^xcb zz-ф-1 нуль. Применяя последовательно п раз 10, нахо-
дим, что внутри указанного интервала существует такая точка Е,
что (£) = /<«) (£) = 0.
72.	Рассматриваемая разность имеет в точке х = 0 п совпа-
дающих нулей. Если бы она имела в интервале — 1 <х-<оо еще
один, (пф-1)-й нуль, то в этом интервале должна была бы обра-
щаться в нуль функция (1ф-х)“-я [71], что неверно.
73.	Разность — 1 — ” — —... — —г-г имеет в точке х = 0
1!	21	(п—1)1
нуль кратности п, тогда как ех вообще не имеет нулей. Утверж-
дение вытекает из 71 тем же путем, что и 72; впрочем, по суще-
ству оно равносильно тому факту, что функция ех при х<0
обвертывается своим степенным рядом [I 141].
74.	[J. J. Sylvester, Mathematical Papers, т. 2, стр. 516,
Cambridge, University Press, 1908.] Достаточно показать, что
у у2	уП
1+к + д + -- + д = /«М
не может иметь двух соседних отрицательных нулей. Дей-
ствительно, если бы а и b были таковыми, то мы имели бы
/я(а)=Д(а) + ^ = 0, Д(Ь)=/;(&) + ^ = 0,
sgn fn (a) = sgnf'n(b)=£0-,
fn(x) имела бы в интервале a<Zx<.b согласно 8 четное, а со-
гласно 10 нечетное число нулей!
75.	При /==1 ясно. Пусть теорема доказана для случая/—1
показательных функций. Если g(x) имеет N и
JTI,
g* W = 4; w] =	y~vg W - Pl (*)]
dx 1	dx 1
N* вещественных нулей, то
N*^N — rrii
[12].
Но, с другой стороны, в g* (x) входят лишь / — 1 показательных
функций [с показателями (ал — аг)х, (а^ — af) х; относительно
степеней входящих полиномов см. 62]. Отсюда согласно предполо-
жению получаем
т1 + т2-1Г.,. + mz_x—1
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
253
7®. [См. G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 28, стр. 173, 1920.] Если бы определитель обращался в нуль,
то соответствующая однородная система имела бы нетривиальное
решение, т. е. существовали бы такие п вещественных чисел сх,
с, ..., сп, Ci + c| + ... + d>0, что целая функция
с^х фс2Лг ф...ф спе^х,
не будучи тождественно равной нулю, обращалась бы в нуль для
х = «х» а2, ..., ая. Но это противоречит доказанной в 75 теореме,
по которой так построенная функция имеет самое большое п — 1
вещественный нуль. По поводу знака см. 48.
77. [Laguerre, 1. с. 1, стр. 3.]
781). «Ряд Дирихле» J] ane~K>is можно внутри его области
п = 1
сходимости дифференцировать почленно; следуем без всяких изме-
нений ходу доказательства теоремы 77.
79. [J. J. Sylvester, 1. с. 74, стр. 360, 401; см. 1. с. 31,
стр. 30.]
1.	Если alf а2, ..., «„ — все одного знака и т — четное, то
17 = 0 и, очевидно, также N — 0.
2.	Если ах, а2, .... ап — все одного знака и т — нечетное, то
W = 1, и так как
Р'(х) = т [ох (х - /.j)"1-1 ф а2 (х - /.2)m l ф... -ф ап (х - /.)m ']
нигде не обращается в нуль (см. случай 1), то N < 1 [10].
3.	Пусть аааа+1<0, Ыс'-О, и теорема доказана для случая
W — 1 перемены знака. Пусть Р (х) = boxm ф Ьрс™-1 ф ... -ф &от.
Выберем X так, чтобы Ха<Х<Ха+1, Р(Х)Ф=0 и Ьх-ф X/nb0 0
в предположении, что &0ф=0. Положим
Р (x)(x — K)~m = F (х),
(х — X)mVS-F' (х) = а* (х — Xj)"1'1 ф... ф а* (х — X„)ml = Р* (х),
где а* =	— X)av (v=l, 2, ..., п). Число перемен знака
в последовательности а*, а*, ..., ей, (—1)т ^а* равно
Обозначая через N* число вещественных нулей полинома Р* (х),
будем иметь, по предположению,
W* N*.
’) В решениях 78, 80 — 84 необходимые рассмотрения вопросов сходимости
не проводятся, однако результат их используется. По поводу их рассмотрений
см., например, Е. Landau, Munch. Вег., т. 36, стр. 151, 1906.
254
РЕШЕНИЯ
За. При Ьо у= О
lim —
Х-+	X2/7' (х)
________=^о
bt + 't.mbQ
Тогда либо sgn F (х) = sgn F'(х) в окрестности точки х = —оо,
либо sgn F (х) = — sgn F' (х) в окрестности точки х = + оо. Приме-
няя либо 14 к (—оо, X) (надлежащим образом) и одновременно
12 к (X, -(-оо), либо в случае необходимости наоборот, в том и
другом случае получаем
36. При &0 = &1 = ... = &s-1 = 0, bsФ0
lim —_________________________________________L
х—»со xF’ (х) s *
Теперь при х-> — оо имеем sgnf (х) = sgnF' (х), при х->4-оо
имеем sgnF(x) = — sgnF'(x). Применяя 14 к (—оо, X) и (%, +оо),
получаем даже, что N*^?N.
80.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 29; см. G. Polya, С. R., т.156,
стр. 996, 1913.] Если Z = 0, то, очевидно, W = 0. Пусть теперь
Z>0 и Хо —общий конец двух соседних интервалов, в которых
ср(Х) имеем постоянные, но противоположные знаки [стр. 49].
Тогда число изменений знака функции
<р* (Х) = (Х0 —X) <р(%)
будет Z* — Z— 1. Число N* нулей функции
F* (х) = е~^х ~ [e^x-F (х)] = j ср* (z.) e-"/xdZ
о
будет больше или равно N — 1 [12]. Дальше применяем рассуж-
дение по методу полной индукции, как в 77, 79.
81.	[См. L. Fejer, С. R., т. 158, стр. 1328- 1331, 1914.]
Число N вещественных нулей функции
F (х) = \f (/) tx dt =	е~'- f (<г?) е~Кх dZ
О	—со
не меньше числа перемен знака в последовательности а0, аъ а,...,
в чем убеждаемся прямым подсчетом [8, 9]. В случае 1 имеем
F(n) — an, в случаях 2, 3 F(«) = 0. Выбор пределов интегрирова-
ния (0, со или — оо, оо) не оказывает влияния на доказатель-
ство 80.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
255
82.	Интегрированием по частям получаем
Ф (А) е^-х dk = х $ Ф (X) е~'-х dK
о	о
в случае, если интеграл в левой части сходится и х > 0 [80].
83.	Суммируя по частям, получаем
СО	со
п= 1	W— 1
если ряд в левой части сходится и х>0. Положим
ф(А,) = а14-а2 + ... + а„ При КпА,<Х„+1 (п = 1, 2, 3, ...).
Тогда рассматриваемый ряд принимает вид
От	41+i	От
х У, («1 + а2 + -•- + йл)	е с/л == х 5 ф (А.) е~Хх dX,
я=1	А
п	*
Число изменений знака кусочно-постоянной функции ф(А) равно
числу перемен знака в последовательности аг, а^а?, ах -фаа + а3,.. .
[80]
84.	Имеем
V ”!а»	= У /7 гИГ(«+1)
X (X + 1) ... (X + п) X. п Г(х+« + 1) ~
л=1	п = 0
= jp ап\ Iх-1 (l-f)ndt = \ tx^f (1 - 0 dt = 'j е~М (1 -е~?-) dh.
я = 0 ООО
[80, 24, 44.]
85.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 28.] Положим
£ , .	/ Г \-х	!\'~х	/ 1 \-лг
/(х) = ая —	+... + «! —	.
\ / \ / \ /
Тогда будет существовать самое большее п — 1 целое число k,
для которого f(k) — O [75, также 48]. Поэтому ряд
ф W = 2 avF (avx) = ^pk (а^ -ф +... + а„а*)х” =
V— 1	Л = 0
= S Pit х*
k = 0
не может тождественно обращаться в нуль. Применяя 38, 8, 83,
получаем, что число положительных нулей функции Ф (х) не пре-
256
РЕШЕНИЯ
восходит числа перемен знака в последовательности pof(0),
p2f(2), ..., число положительных нулей функции /(х) не превос-
ходит числа перемен знака в последовательности ап, an^-an^lt
ап + ап^ + ап-2, ...
86.	Функция вида
CjF (*Pi) + c2F (хр2) +... -ф cnF (хря)
не может иметь более п— 1 положительного нуля [85], следова-
тельно, наверное не может обращаться в нуль при всех значениях
х = а1( а2, ..., ая. Теперь рассуждаем, как в 48, 76. Можно
показать, что определитель больше нуля. Это утверждение в слу-
чае av = pv вытекает на основании теории квадратичных форм
из того, что
п п	<х>
У, S F (аЛаи) XfX^ = У pk (<Х*Х1 -ф а*х2 -ф...-ф а*х V 0.
Х= 1 |Л= 1	*=0
87.	Примем, что правило Декарта применимо.
1. Пусть
1 < Vi < v2 < v3 <... < vz n;
тогда Г[Ц(х), ..., /1уДх)]=^0 в интервале а<_х<_Ь. Действи-
тельно, если бы этот вронскиан обращался в нуль в некоторой
точке х = х0, то можно было бы найти I постоянных.^, с2, ..., с,,
с]-фс2-ф •  • + <?/ > 0, удовлетворяющих системе однородных урав-
нений
ci^vx (хо) c2^v2 (Яо)	cihv[ (хо) —0>
cihV1(xa) 4-c2/iv2(x0)	c;/iV; (л'о)	=0,
Cl^Vi (Л'о)-ф C2^v2 Ххо) ~Ф • • • С1^УС (Хо) — 0,
и, значит, функция	(х) -фc2/iVa (х) -ф... -фcthv (х) имела бы
в точке х0 нуль /-го порядка. Но это противоречит тому, что коэф-
фициенты сх, с2, ..., cz могут иметь самое большее I — 1 перемену
знака.
2. Докажем, например, что все вронскианы (п— 1)-го порядка
имеют общий знак. Пусть а<х0<Ь; определим alt а2, ..., ап
из системы уравнений
+«2/i2(x0)	-ф...-ф ал/гя (х0)	=0,
ai/iiW +а2й2(х0)	-ф...-фаЛИх0)	=0,
Oj/ii > (х0) -фa2h2 > (х0) -ф... -фanhn * (х0) — 0,
Ui/ii (х0) -ф a2h2 f (х0) -ф... -ф anh(n > (х0) = 1,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
257
определитель которой не равен нулю (см. 1). Функция
Cj/ii (х) + a2/i2 (х) +... + a„hn (х)
внутри интервала [а, й] имеет п—1 нуль (именно нуль (п — 1)-го
порядка в точке х0). Поэтому последовательность коэффициентов
ау, а2, ..., ап имеет в точности п—1 перемену знака. Положим
(—1)я [/гх(х0), Л2(х0), ..., hn(x0)] = W. Тогда все числа
atW = W (h2, hs, ... hn), — a2W = W (hlt h3, ..., /t„),
a3W — W(hi, h2,	.... hn), ...
(т. e. вронскианы (n — 1)-го порядка, взятые в точке х = х0) будут
иметь одинаковый знак, ч. и тр. д.
88.	Признак 87 для случаев 1—1, 2 означает, что, с одной
стороны, /ix(x), h2(x), .... hn(x) имеют одинаковые-знаки, с дру-
гой стороны, также
Wi. h2) = hi^-, W(h2,	=
ил 11.1	CLX ti-2
имеют одинаковые знаки. В этом можно убедиться также и непо-
средственно.
89.	Пусть / Сп—1,
Имеем [VII 57]
< V/ < а < v/+1 <... < V/ < п.
90.	Пусть правило Декарта применимо к системе п — 1 любых
функций, удовлетворяющих условиям, наложенным на составлен-
ные из них вронскианы. Пусть функция
F (х) = ajii (х) + a2h2 (х) +... -ф anhn (х)
имеет N нулей внутри интервала [а, Ь], а последовательность
коэффициентов аъ а2, ..., ап имеет W перемен знака. Случай
W = 0 ясен. Пусть теперь а + 1 — какое-нибудь место перемены
знака. В обозначениях 89 имеем
d Г(х)
dx ha (х) ~~
— а — — I 4-/7	— I /у A ।	। п hj, _____
1 dx ha ‘ ‘ ‘	'* 1 dx ha a+1 dx ha ‘	' n dx ha
= a1//1(x) ... aa_1//a„1(x) -J-aa+17/a(x) Д...anHn~i{x) = F*(x).
9 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
258
РЕШЕНИЯ
Если N* — число нулей функции F* (х) в интервале а <_ х < b и
№* —число перемен знака в последовательности
— ^1, — ^2’ • • • >	^а-1’ ^а+ь • • • । <%п,
или, что то же [3], —в последовательности
— 01, —О2, •••»	^а-1>	^а» ^а+1» •••>
то [12]
2V*5=W-1, W* = W- 1.
Вронскианы, составленные из функций Н1(х), Н2(х), ..., Нп^(х),
удовлетворяют условиям 87 [89]. Поэтому по принципу полной
индукции
91  Имеем
W(eKix, е^х,
eV) = e(xi+:4+-+xJ*	(ХА~Х7)>0.
i <k
92. В обозначениях решения 63 имеем
а e-V	1 ... Л. e(a2-ai)^ JLe“i7(x) =
п dx	dx dx	dx 1 - '
= aof W + «if W + • •  + a,f(n] (x).
Применяем 12 n раз, 6 пф-1 раз.
93a [G. Polya, Tsans. American M. S., t. 24, стр. 312—324,
1922; см. H. Poincare, Intermed, des math., т. 1, стр. 141—144,
1894.] Применяя формулу VII 62, доказываем, как 92.
94а Предположение равносильно тому, что имеет место тож-
дество
hM (х) 4- <Pi (х)	(х) -ф ср2 (х) h{n 2) (х) -ф... -ф cp„ (х) h (х) = О,
и разность f (х) — h (х) в указанном интервале п -ф 1 раз обра-
щается в нуль. Применяем 93 к Функции f (х) — h (х).
95. [См. Н. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhand-
lungen, т. 2, стр. 296, Berlin, J. Springer, 1890; T. J. Stieltjes,
Oeuvres, t. 2, стр. 110, Groningen, P. Noordhoff, 1918.] Прини-
маем, что | (xg) |	0. Обозначим через Q значение отношения
W |: I Фх W |- Функция от х
I fk (*i) fk (xj ...fk (хл_х) fk(x)\-Q\ cpA (Xj) (pfe (x3)... cp* (x„-!)cp* (x) |
обращается в нуль в точках х = хп_1 и х = хп. По теореме Ролля
будем иметь
I fk (Xi) fk (xj ...fk (xn-x) Д (п„) | -
— Q I ф& (xi) Ф* (х2)... ср* (x„_!) q'k (т]л) | = 0,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
259
где
Хп-1 <~^ Ля Хц.
Заменим теперь в левой части этого уравнения xn~i на х. Полу-
чающаяся функция, от х будет обращаться в нуль в точках
х = хга_2 их — хп-1 и т. д. Затем заменим т]я через х и т. д. Т аким
образом, после [(/г — 1) -J- (п — 2) -|-... 2 + 1]-кратного применения
теоремы Ролля мы придем к требуемому соотношению для Q.
Оба Частный случай теоремы 95 при
Ф1 (х) = 1, ф2 (х) = х, ф3 (х) = х2, .... фя (х) = х"-* 1.
Посредством сложения строк получаем
1
рг-12«-23'1-з ... (п— I)1
1	1	1 ...	1
Л-1	Х2	Х3 ... X,,
„П—1 гп — 1 п — 1	п — 1
i > лз ••• 'п
1,2, ...,п
У (X* Ху)
i<k_____________
1,2....п
5 (*“/)
97а Частный случай теоремы 96:
fi (х) = 1, f2 (х) = х, f3 (х) = х2, ..., fn^ (х) = х"-2.
98. Частный случай теоремы 97:
Х! = х, x2 = x-J-/i, x3 — x-\-2h, x„ = x + (n—l)/i.
99. [L. с. 93.] Неравенства 93 (**) при п = 2 дают лишь одно
условие: h (х) > 0. По теореме о среднем значении
1	| h (xi) h fa) I _ f fa) _ /fa)	х2 —х-, l-й (?) h' (?) I
Afa)/z(x2)|/fa) /fa) I Afa) Afa) 1й(?)]2|/(?) /'©I'
Полагаем
d h-2 (x) _ г, , у	d hn_i (x) rj (xx d f (x)	p, .
dx hax)~n^X>> •••’ dx Л1(х)	dTftTfa'-^ W-
9*
260
РЕШЕНИЯ
После (п—1)-кратного применения теоремы Ролля получаем
[решение 95]
1	(Xj) Л2(%i)	hi (*2) й2 (х2)	.. ht (хп) • ^2 (%п)	
МХ1) Й1(Х2)...Л1(ХЛ)	Йл-1 (%1) /6о)	hn-i (*2) • / (^2)	 hfl-i (хп)  f Ы	
где	Преобразуем вронс-
киан, стоящий в правой части доказываемого соотношения, соглас-
но VII 58. Условия 93 (**) функциями /^(х), Н2(х), ..., //я_2(х)
удовлетворяются. [89.] Если мы примем, что теорема доказана
для п—1 функции 7/1 (х), //2(х), ..., //я_2(х), F (х), то из ука-
занного преобразования будет вытекать, что она справедлива
также для п функций /ч(х), й2(х), ..., /i„ i(x), /(х).
100а Частный случай теоремы 99:
М*) = еМ (v= 1, 2, ..., п-1),
f(x) = A\ х1Х = а|Л (р = 1, 2, ..., n).
Соответствующие вронскианы положительны [91].
101* Линейные преобразования плоскости Z в плоскость Z',
оставляющие бесконечно удаленную точку неподвижной, имеют
вид
Z' = aZ -j- b.
Из соотношений
£ =	+ Я4г2 4" • • -4~ mnzn (т1-\-т2 тп =1),
zl — aZi + b, z.2 = az2-(-b, ..., z'n = azn-\-b, -
= tnxZi -[- tn2Z:> +... mnzn
получаем
Г = +
102.	Пусть сначала z, zt, z2, ..., zn конечны. Требуемое
преобразование имеет вид
Z'=_A_+b	(а-0).
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
261
Из соотношений
V = m1z[-\-m2z'i-\-...-\-tnnz’n	(т1+т2+...+тп==1),
получаем
1 =	। ma .	. тп
£-z г1-г ' г^гт"'Г2.„-г	1 '
независимо от а и Ь. Если zv = oo для некоторого v, так что z
конечно, то v-й член в правой части формулы (*) пропадает. Если
г = оо, следовательно, zx, z2, ..., zn конечны, то преобразование
приводится к повороту и растяжению и t, совпадает с обыкновен-
ным центром тяжести [101].
103.	При z = оо ясно. Отсюда в результате линейного отобра-
жения получаем: прямые, проходящие через zt, zk (zt^zk), отобра-
жаются в «окружности», проходящие через zh zk и z; каждая
такая окружность ограничивает две круговые области; выбрасы-
ваются внутренние области всех таких круговых областей, которые
не содержат ни одной точки zx, z2, ..., z„. Оставшаяся невыбро-
шенной замкнутая часть плоскости и составляет как раз Если
все точки zx, z2, ..., zn, г лежат на одной «окружности», то
приводится к дуге этой «окружности», содержащей zlt z2, zn
и не содержащей z.
104.	См. 103 или же непосредственно с помощью отображе-
ния фигуры, соответствующей случаю z » со.
105.	[103.]
106.	Обобщение случая z = oo посредством линейного отобра-
жения.
107.	Если бы г и ?г обе лежали вне /С, то «окружность», про-
ходящая через z и вне /С, не разделяла бы точки zx, z2, ..., z„—
в противоречие с 106. Если z лежит вне /С, a tz — на его гра-
нице, то применяем 106 к «окружности», проходящей через z и
и касающейся извне К-
108.	Так как теперь все массы равны то согласно 102
центр тяжести определяется формулой
1 = 1 f 1 > „1__|_	+-L-U
£г —г	п \z1 — z‘z2 — z‘"'‘z„ — z/
п w1 — z‘ п w2 — г ‘	’ ~г п wk — z’
где через пх, п2,.nk обозначено число тех из точек zx, z2, ..., z,,
которые совпадают соответственно с wlf ws, ..., wk. Точки wlt
262
РЕШЕНИЯ
w2, wk, z предполагаются конечными. Но рациональными мас-
сами у,	можно аппроксимировать с произвольной сте-
пенью точности любые k масс с суммой 1. Относительно случаев
wv = oo или г = оо см. решение 102.
109.	К точке zlt также в том случае, когда z1 = oo. См. фор-
мулу в решении 102.
110.	Так как теперь все массы равны то согласно 102
имеем
111.	Согласно решению ПО
_г_»Нг)__ °°+Г1	!) а2г2+ ••• +an-i^-1
О а1 +	] j а2г +	2 ) азг2 4" • • • + апгП~1
если z конечно, и	, если z — co; предполагается, что
полином f(z) записан, как на стр. 67. Для случая f(z) = zn имеем
£ = 0, что и само по себе ясно [107]. Лагерр называет £ «произ-
водной точкой точки г» [1. с. I, стр. 56].
112.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 61.] Если все нули функции
f (г)—вещественные, то их можно рассматривать как лежащие в замк-
нутой нижней (верхней) полуплоскости, внутри которой должна
содержаться также £, если мнимая часть точки г положительна
(отрицательна), за исключением того случая, когда все нули f(z)
совпадают [Ю7]. Если же f (г) имеет комплексный нуль 2lt то г
и С одновременно приближаются к z± [109] и, следовательно, их
мнимые части в достаточной близости точки zx принимают один
и тот же знак.
113.	На основании 111 заключаем, что при а;1#=0 £ = оо тогда
и только тогда, когда г есть нуль производной /'(z), не совпа-
дающий ни с одним нулем самой функции /(?). Каждая прямая,
проходящая через такой нуль производной /'(г), разделяет нули
функции / (г) [106], и, значит, всякая круговая область, покры-
вающая все нули функции f(z), содержит в себе также нули про-
изводной f (г) [107]. Таким образом, как из 106, так и из 107
получается новое доказательство теоремы Гаусса [III 31]; в част-
ности, из 107 эта теорема вытекает на основании того замечания,
что наибольшей общей частью (или «пересечением») всех собственно
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
263
кругов (т. е. круговых областей, не содержащих оо), покрыва-
ющих точки 2t, z2, ..., гп, является наименьший выпуклый поли-
гон, обтягивающий эти точки.
114* Если х есть нуль функции е с	(z)^ и
а следовательно, и f (х)	0, то центр тяжести f (z) относительно х
[111] будет равен
п/ (х)
X — =X — nC = Q.
f Ц)	b
Если бы точка х не лежала ни в Л, ни в K-j-nc, то х и обе
находились бы вне К, что, однако, согласно 107 невозможно.
115.	[J. v. Sz. N a g у; см. L. F е j ё г, Deutsche Math.-Ver., т. 26,
стр. 119, 1917.] Пусть конечно. Полагая f (z) = (z —• zx) g(z),
будем иметь (x — zx) g’ (x) + g (x) = 0. Центр тяжести £ функции
g(z) относительно x определится тогда по формуле [111]
£ = х-	(х) = х-(п- 1) (zx - х)
[106]	. Относительно zx = oo см. III 31.
116.	[Laguerre, 1. с. 1 , стр. 56, 133.] Пусть z — один из нулей
функции a-jZf (z) — a2f (z) и f (z) ф 0, следовательно, z конечно,
f (z) =£ 0. Центр тяжести f (г) относительно z будет
Q = Z — tl - Z — 1 — tl —1 Z.
a2 \	a2/
Если бы поэтому имело место неравенство
| z | < Min (1,11 — и— I V
то должно было бы быть также | £ | < 1 в противоречие с 107.
117.	[116.]
118.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 161.] Чтобы интересующий нас
центр тяжести вообще имел смысл, необходимо, чтобы zx был про-
стым нулем. Полагая f (z) = (z — zx) g (z), имеем
f (Z1) = g (Zi), f" (Zj) = 2g' (zx),
и центр тяжести [111] равен
_	(»-l)g(Zl)
1 S' (?i)	•
При Zx = 00 остальные нули должны быть конечны, ап — 0, ая_х 0.
Центр тяжести тогда [111] равен —
119.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 142.] По отношению к гипоте-
тическому нулю Zx = a4-i’P с наибольшей мнимой частью Р > 0
центр тяжести остальных п — 1 нулей имел бы мнимую часть,
264
РЕШЕНИЯ
меньшую, чем ₽ [Ю7]. С другой стороны, из дифференциального
уравнения при Р>Ов случае /(zx) = 0, следовательно,
/'(21)^0, Г(гх)^0,
мы имели бы [118]
ь(,	(zi)\	2(п —1)\ о . 2(л—1)р „
“Л1 г(4)	у-'Ч*!	—;-р + '-а2+рз >р-
120.	При f(zх) — 0, Zx = a-HP, Р>0, мы имели бы
_2(п-1)/' (г,)\	, (п-!)(г?-1)\
Л1 /’(zi)	1	Z1 )-
=и+('-1)(₽+Лр)>₽-
См. 119.
121.	Неверна. Пусть а^Ь и /Д, К-> — два круга с цен-
трами соответственно ваий, радиусы которых настолько малы,
что эти круги не содержат точку Достаточно рассмотреть
тогда f (z) = (z — a) (z — b).
122.
+	П1г(20)+ M0)_^_ni(z2-z^0>) + n3 (zj-гЧ)
+	Z2i + П2	Zli“|-/22
Имеем
(z(0) - Z1O)) : (z20) - z(0)) = (r - rx) : (r2 - r) = nx: n2.
128.	Мы можем принять, что Кг и Т<2 — полуплоскости
и Э1г^с2. Тогда
gj n1Z2 + n2Zi	+
П1 + п2	п1-1гп2
С помощью надлежащего выбора чисел и z2 можно добиться,
чтобы среднее значение	^ыло Равно любому числу с с ве-
щественной частью
nlc2 4~ -,;2ci
Щ + П2
124.	[J. L. Walsh, Trans. American М. S., т. 22, стр. 115,
1921.] Пусть z —один из нулей функции Д (z) Д (z) Д- Д (z) f'2 (z) и
притом z лежит вне и /С2. Таким образом,	Д(г)Ч=О,
/2 (z) О, Д (z)	0, z конечно. Обозначим центр тяжести Д (z) отно-
сительно z через и центр тяжести Д (z) относительно z через ga.
Имеем
5-	«1Л (?)	пЛ (?)
«в1	1	гу э9 “	,	♦
/[(?)	2 Д(г)
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
265
лежит в Klt £3— в М2 [107]. Но отсюда
2 — П1?2 + п2?1
nt + n2
125.	[J. L. Walsh, 1. с. 124.] Полагаем аналогично 124
= /1 (г)
/2 (2) ’
Если г есть нуль производной f (z), лежащий вне и К2, далее,
и £2 — центры тяжести соответственно f± (z) и f2 (z) относительно
точки z, то при пг ^=п2 будем иметь [124]
__ я1£а — п2ъ1
14 — Пъ
При пг = п2 мы получили бы из нашего предположения, что —
= g2, чт0 невозможно, если и К2 не имеют общих точек.
126.	[R. Jentzsch, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 25,
стр. 196, 1917; см. М. Fekete, Deutsche Math.-Ver., т. 31,
стр. 42—48, 1922.] Пусть а и Ь — два числа, для которых все
нули разностей f(z) — a и f (z) — b лежат в Ог. Нужно доказать,
что если с лежит на отрезке, соединяющем а и Ь, то все нули
разности /(z) —с также лежат в Ov [Определение выпуклости!]
Но нули функции F (z) — [f (2) — а]т [/ (г) — Ь]л, где т и п — поло-
жительные целые числа, наверное лежат в О1. Имеем
F' (z) = (m + fi) [f (z) - аГ *	(г) - &]" -* /' (z) (г) -	,
I	III, lb j
r , ч na 4- mb
откуда все нули разности / (z) —также Должны лежать
в Ох [III 31]. Числа	лежат всюду плотно на отрезке,
соединяющем а и Ь, когда т и п пробегают независимо друг от
друга все целые положительные значения.
127.	Применяем 124 к F (z) = [f (z) — a]r,‘ [/ (z) — b],lt [решение
126].
128.	Коэффициенты полинома —-— будут
а0 + ai + a2t, o2 + «3i> •••.	+
или
йх, а2, а3, ..., ап,
смотря по тому, будет ли £ конечно или бесконечно. Таким обра-
зом, для конечного £
п — 1
(;-z)f (z) + /r/(z) = rt (n71)(av+av+1y2v.
V = 0 к
266
РЕШЕНИЯ
129.	Следует из определения,
130.	При £ = оо тривиально. При z=£oo получаем
g (г) [(£ - z) h' (z) + Ih (z)] + h (z) [(£ - z) g' (z) + kg (z)] =
= (£ - z) [g(z)h’ (z) + g' (z)h (z)}-\-(k-\-l)g (z) h (z).
131.	Если £x и S2 оба равны бесконечности, — непосредственно
ясно. Если оба конечны, то вытекает из симметричности выра-
жения
(£1 - г) [(С2 - z) Г (z) + nf (г)]' + (п - 1) [(?2 - z) f (z) + nf (г)] =
= (S1-Z)(^-z)nz) + (n-V)& + ^-2z)f' (z) + n(n-l)/(z)
относительно £x и g2. Если, наконец, £х = £ конечно, £2 — со, то
вытекает из соотношения
К? - Z) Г (Z) + nf (г)]' = (С - Z) Г (Z) + (п - 1) f (z).
Представить также в терминах символического исчисления за-
дачи 137.
132.	Если £ = оо, то из/'(г) = 0 вытекает, что f (г) — кон-
станта, т. е. все ее п нулей равны бесконечности. Если £ конечно,
то решением однородного линейного дифференциального уравнения
первого порядка
будет f (z) = с (z — £)”, где с — постоянная.
133.	Пусть г' —точка производной системы.
1)	z' конечна, jf(z')¥=O, z'^C, значит, также f (z')¥=0. Имеем
2)	г' конечна, f(z’) — Q, / (z) == (z — г')'-ф (г), ф(г')=#О, z'#=£.
Тогда (z — z') *+1ЛЕ/(z) приводится при z = z' к kfe —z')ср(z')#= 0.
3)	z'= £, f (z) = (z —	<p(z), (p©=#0, k<n. Тогда
(z — £)~ft.4g/(z) приводится при z = t, к (n —/г) ф (g) #= 0.
4)	Если «„^=0 и an-i-\-anZ = 0 [128], то £ = —	[111].
134.	При £ = оо см. III 31. При конечном £ рассматриваем
случаи, перечисленные в 133. Либо t есть центр тяжести f (z) отно-
сительно г', как в 1 и 4, и тогда применимо 106, либо г' сама
является нулем f(z), и тогда г' лежит в указанной круговой
области, а именно на ее границе.
135.	Вытекает из 107 посредством тех же рассуждений,
какими 134 выводится из 106.
136.	На основании 135. Рассматриваемый круговой полигон
представляет собой наибольшую общую часть всех круговых
областей, содержащих zx, z2, ...» zn и не содержащих [реше-
ние 113].
137.	Если £ = со, то уравнение f^-1’ (z) = 0 дает либо обыкно-
венный центр тяжести функции / (г), либо сю, либо ничего опре-
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
267
деленного, смотря по тому, будет ли точная степень / (z) п, п — I
или же sgn —2. Пусть теперь 'Q конечно. Будем говорить, что
ш	со
полином m-й степени У bvzv и степенной ряд У cvuv со-
V = o	V=~CO
пряжены, и символически записывать:
А + (?) biz + (*2 )	+ •  • + bmZ'nl\- • + с-1ц-1 + со + п« +  • •»
если Cq ~ й0, q =	, ст = Ьт,	. - • > Cm+ii ^/п+2» • • • произ-
вольны. Тогда имеем [128]
f (г) = я0 + (j) GiZ + (j) «2г2 + • • • + а А А
А ао + + о2«2 +  • • + апип,
f' (z) = п [ах + fга ~1) a,z 4- 1 ~1) asz2 +... + anzn^j А
А (а0 4” aiU + й2и2 + • • • + ап^П) ~ ,
Atf (г) = п [(а0 +	+ [” 7 ’) («т + «2О z + • • • + (a«-x + а^) 2n-1]A
А (°0 4"	+ • • • + апЧП') п (7 + j ,
Л Г 7 (2) = п! (а0 + (" 71)	+ 7 ~1)	+... + ап^ +
4" [йх 4" ( 1 jЙ2^ 4“ 2 )йз^2 4"  • • 4~ йиь11]2j.
Отсюда видим, что интересующим нас нулем будет центр тяже-
сти функции f(z) относительно g [111].
138.	Согласно решению 137 при конечных £2» •••» ?л
А«! («о + ^Ч-... +алц") [1 +W1 4_|V..(1 + у,
в остальных же случаях
Л^Л-2. ..AiJ (z) A
An!(a0 + «1U + ... + ^)(l +У 7 4-...(1 4-^И-
270
РЕШЕНИЯ
При £>2 необходимо повторное применение теоремы 135,
т. е. полная индукция. Обозначим рассматриваемый полином через
/(г). Тогда
Aof (г) = vk - (yk - 1) z + с2 (yk - v2)	+ ... + ck ^ (v* - v^j) zv^.
По крайней мере одна точка производной системы лежит в круге
Ь I < ( V2 V3	Vfe-1 \ Vk
1	1 v3— 1 "’v^ — 1/ vk— 1 •
Чтобы убедиться в этом, заменяем z на и применяем к по-
лучающемуся уравнению относительно и предположение индукции.
Имеем
ГЬ .ту./! _±';,	‘ W, П./,
1Л v3/\	v3/	\	Vf./] L\ 2/\	3/	\	*/J
Заметим, что (k-\- 1)-членный полином
/« г V ,	।
I1 ~~k) ~ 1-г + -"
обладает единственным нулем k.
150.	[J. Н. Grace, 1. с. 145, стр. 356; см. также Р. J. Неа-
wood, Quart. J., т. 38, стр. 84—107, 1907.] Пусть
/ (z) = «о + 7 й1г + (” 11)+   • + ап- 12ra"1
— производная рассматриваемого полинома. Тогда
ь
J f (z) dz = a0Vi - ("7(libп-2 + (" ГЙ2Ь”-3 + •••
... + (—1)л-1а„-А = О,
где Ьо, ..., Ьп1 сохраняют постоянные значения для всех поли-
номов f(z), т. е. независимо от изменения коэффициентов а0, а1У...
..., an.v Тем самым полиномы (и—1)-й степени f (z) и
g (г) = b0 + (п7 btz + [й+... + Ьп^
аполярны. Явное выражение для g-(x) получаем, полагая, в част-
ности, av = (— 1)ух,г1Л т. е. f (z) = (х — z)n-1. Из равенства
ъ
g (X) = J (X - z)-1 dz =
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
271
получаем нули функции g(x):
a-\-b . .a —b ,vn	,	. п	.
?v = ^-+l— Ctg—	(v= 1, 2, .... п — 1).
Применяем теперь 145.
151.	[См. G. Szego, 1. с. 145, стр. 35.] Если у = 0, то либо
между нулями f(z), либо между нулями g(z) должно содержаться
z = 0. Тогда утверждение ясно. (Для ₽i = ₽2 = ••• = ₽« = 00 нужно
положить & = 0: 0-оо неопределенно.) Аналогично рассуждаем и
при 7 = 00. Пусть теперь у^=0, оо. Тогда полиномы f(z) и
2"g(—уг1) будут аполярны. Следовательно, среди нулей послед-
него, именно —ypv1 (v = 1, 2, ..., п) (принимаем —у-0“1 = оо,
— у. оо-х = 0), согласно 145 по крайней мере один лежит в А,
т. е. — ypv 1 = k.
152.	[151.]
153.	[I. Schur, см. G. Szego, 1. с. 145, стр. 37.] Пусть
£ — пересечение всех замкнутых кругов, содержащих начало коор-
динат и все нули функции f(z). Согласно 151 каждый нуль у
компонированного полинома имеет форму $k, где ft eg 1, a k
лежит в А. Но тогда у должно лежать во всех К, следовательно,
также в К.
154.	[По поводу постановки вопроса см. Laguerre, 1. с. 1,
стр. 199—200, 1898; G. Polya, Intermed, des math., т. 20, стр.
145—146, 1913. G. Szego, 1. с. 145, стр. 38 и J. Egervary,
1. с. 145.] Заменяем g(z) на g(bz) или g(—bz), смотря по тому,
будут ли нули g(z) лежать в — Ь, 0 или в О, Ь, затем приме-
няем 153.
155.	[Е. Malo, Journ. de math, spec., серия 4, т. 4, стр. 7,
1895.] Согласно VI 85
Q„(z) = l + (")% + (")2 22 + ... + ^1р'г-1 + ^ =
где Рп (х) обозначает п-й полином Лежандра. Поэтому (г) имеет
лишь отрицательные нули [VI 97]. Компонируем сначала первый
полином с Qzi(cz), а затем получающийся полином
яо (1 ] ai? (- 2 j+  • • 4*
со вторым, в котором необходимо заменить z на dz, причем с и d
выбираются так, чтобы все нули соответствующих полиномов
лежали в интервале —1, 0. При этом в обоих случаях приме-
няем 153, беря за & в первом случае верхнюю, во втором —
нижнюю (замкнутую) полуплоскость. Тогда получается, что нули
268
РЕШЕНИЯ
189. Пусть gj, g2, ..., tn все конечны, т. е. Ьп 0. Тогда [138]
2v = .(-l)V(rtlv)^f (V==0’ 1( 2’ М)’
следовательно,
А (?!, U >	[Й<А ~ (?) а1Ьп~1 + (?) «2^2 -•••
••• + (- 1Г1 (/!)	+(-!)« «д].
Если же k и только k последних из £2,  • • > равны беско-
нечности, то [138]
(п\.
Vv=(-l)^g---------- (v = k, АД1, ..., п, bn^0),
\k]bn~k
следовательно,
A&,	, &)f(z) =
= 7^~ [(“ 0* (?) akbn4l + (- 1 )ft+1 fft n+1)ak+1bn^ + ...
[k)bn-k
•••+(- I)"-1 (n ” 1)Mi + (- 1)" <*д]
[при k = n следует читать: (—l)4^]. Таким образом, во всех
случаях
(С1> £2» •••» %>п) f (z) — /.f р2(Д ([)	^2) rt2^n-2	•••
•••+(- 1Д1 (nli)a^b, + (- l)"aA],
где Xfl = (— l)ft (?) bn-k и bn4l — наивысший отличный от нуля
коэффициент функции g(z). Имеем
^2> •••> £n)f (z) = XgM (гх, г2, .... zn)g(z).
140.	Аполярность точек z1 и означает, что zL = Аполяр-
ность пар zx, z2 и gp означает (за некоторыми легко выделяе-
мыми исключениями), что
т. e. обе пары расположены на одной и той же окружности и
притом гармонически одна по отношению к другой.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
269
141.	Согласно 139 £0 — £п = 0, т. е. £1( £2< •••> С» все ко-
нечны и
^2..Х=1.
142.	£ = Zjj z2, . ••, Zn*
143.
Д(С1, С2, ...» Uf(z) = b-v + cS" =
= l_k±l2±^±k + tt...^.
144.	Повторно применить 135.
145.	[J. Н. Grace, Proc. Cambr. Phil. Soc., т. 11, стр.
352—357, 1900—1902; см. G. Szego, Math. Zeitschr., t. 13,
стр. 31, 1922; J. Egervary, Acta Univ. Hung. Francisco-Jose-
phinae, т. 1, стр. 39—45; Math, es phys. lapok, t. 29, стр. 21—43,
1922.] Пусть Zj, z2, ..., zn лежат внутри, а g2, ..., —вне
круговой области Д', далее Аг1А^...А^/(2)^0, тогда как уже
А^А^...f(z) = 0, ks^n— 1. Согласно 144 нули AS1Aj2...
...Aikf(z) также лежат внутри К, а по 132 все они должны
совпадать с точкой gA+1; следовательно, последняя лежит внутри А.
146.	[145.] Если два выпуклых полигона не имеют общих
точек, то существует прямая, разделяющая эти два полигона.
Такой прямой будет, например, служить перпендикуляр к сере-
дине линии кратчайшего расстояния между полигонами.
147.	[Е. Landau, Ann. de ГЁс. Norm., т. 24, стр. 180,
1907.П148.]
148.	[A. Hurwitz; см. Е. Landau, 1. с. 147.] Согласно 143
рассматриваемый полином аполярен полиному с нулями
2ju’V
Cv = 1 — е n (v = 1, 2, ..., и);
последние лежат в круге | z — 1|<1 [145].
149.	[L. Fejer, С. R., т. 145, стр. 459, 1907; Math. Ann.,
т. 65, стр. 413—423, 1908; Deutsche Math.-Ver., т. 26, стр. 114—
128, 1917; см. также S. S а г a nt op ou 1 os, C. R., т. 174, стр. 592,
1922; Р. Montel, С. R., т. 174, стр. 851, 1220, 1922; Ann. de
ГЁс. Norm., серия 3, т. 40, стр. 1—34, 1923.] При k = 2 приме-
няем 135, где положено £ = 0. Имеем
Ао(1 -z + c2zv0==v2-(v2 - 1) z,
откуда производная система состоит из точки v и кратной
бесконечно удаленной точки. Поэтому вне круга | z | > не
могут содержаться все нули функции 1 — z + c2zVa.
272
РЕШЕНИЯ
рассматриваемых полиномов лежат все одновременно в верхней
и в нижней замкнутой полуплоскости. Вытекает также из 154
с двукратным применением теоремы 65.
156.	[I. Schur, J. fur Math., т. 144, стр. 75—88, 1914.]
Доказательство ведется аналогично 155, причем опирается на то,
что полиномы [VI 99]
14-Mz4-fnV2-l- п г"’1 -С гП
1 + \ 1 j 1Г + 2 ) 2Г + • • • + \п - 1) (7Г=П)Г + 5гГ
имеют лишь положительные вещественные нули.
157.	Так как нули выражения ^1 лежат в полупло-
скости 3z>0, то нули полиномов
,	! п \ г* . / п \ zi
* ~ [ 2 ) & + ( 4 ) п* — C0S 2
— вещественные [III 25]. Принимаем во внимание III 203.
158.	Утверждение вытекает из того, что — у-'" имеет
лишь вещественные нули [58] и при фиксированном v и
dve“z’’
в каждой конечной области стремится к —— [Hurwitz-
Courant, стр. 63*)] [III 203].
159.	а) A. Hurwitz, Math. Ges. Hamburg, Festschrift, стр.
25, 1890.]
(_n«11 + 51? p	=
'	' \	' 4n2 J и \z24~4/i2 /
— 1 —! n\2 (z-\2 । f n\2!	!n )2 lг ? ।
- 1	1 j \2n] + \2) \2n) “ ) 3> \ M +'”’
Pn(z) имеет лишь вещественные нули, лежащие в интервале —1,
+ 1 [VI 97].
Ч£Н - й> + ПГТ (1 -  j) -
Ln (z) имеет лишь положительные вещественные нули [VI 99,
решение и)].
в) Следует из соотношения
л
С dO _ 2ni
J sin b — iz ~ jZ 1 -у гг
‘) Гурвиц, стр. 91. Гурвиц — Курант, стр. 71.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
273
[III 148]; посредством «-кратного дифференцирования и замены
переменных получаем
_1 f
2л J \	1 п )
—л
Ч(-1)’ЧтХ1+5Г"!^к У «-‘•“•♦«w
— л
при n->oo; Qn(z) есть рассмотренный в решении 56 полином,
обладающий лишь вещественными нулями.
_ 2
г) Получаем из III 205, полагая /(/) = (1— 1г) 2. а), б), в)
опираются непосредственно, г) не непосредственно на III 203.
160.	[G. Polya, Tohoku Math. J., т. 19, стр. 241, 1921.]
Положим
/ ,g-l \ _ Qn (г)	dneZ4
dz^Xzi — X) (zi— 1)" ’ d.zn	•
Тогда нули полиномов Qn (г) и Rn (г) располагаются на q исхо-
дящих из начала координат лучах, делящих всю плоскость на q
равных углов, из которых один делится положительной вещест-
венной полуосью пополам [59]. Но нули функции F (г9) лежат на
тех же лучах, ибо
р - У (чп + qky.
А = 0
?(«+1Г7И + 2) ”
л=о
*+2\
qn) (qk)\ Zj {qk){	Г^>
Л---0
при n->oo [III 203]. Второе доказательство оперирует аналогично
с Qn (z).
161.	[G. Polya und I. Schur, J. fur Math., t. 144, стр.
89—113, 1914.] Положим
Имеем lim Рк (z) =g(z) равномерно во всякой ограниченной
k -* GO
области.
274
РЕШЕНИЯ
162.	[J. L. W. V. Jensen, Acta Math., t. 36, стр. 181,
1912.] Пусть рассмотренный в предыдущем решении полином
Лг(г) = й0й + ^г + -^г2 + ... + ^г« + ...
Тогда [Hurwitz-Courant, стр. 61—64*)]
lim ank = ап,
Л—*со
И ПОЛИНОМ
a°kZ + 1! dz ' 21 dz2
= aokzn + ( ” )	+ ( 2 ) fl2*z"“2 + ••• + «/!
имеет лишь вещественные нули [63]. Посредством перехода к пре-
делу при &->-оо [III 203] и замены z на у получаем, что нули
рассматриваемых полиномов вещественны. Что они, кроме
того, положительны, вытекает из того, что в разложении
g(-2)==l-§z+f Z2-...
все коэффициенты, очевидно, положительны, стало быть,
а1<0, й2>0, а3<0, ...	[47].
168.	Из 161, 55 (с некоторым изменением) и III 201 вытекает,
что ни одна производная от g(x) не обращается в нуль в интер-
вале — со	Отсюда, как и в 72, заключаем, что разность
g (х) - а0 -	х -... -	х” 1
в интервале — oo<x^alt кроме точки х = 0, нигде не обра-
щается в нуль. Следовательно, знак ее совпадает в интервале 0<2
<х<а1 со знаком ап. [I 144.]
164.	Выражение
e~z'2 —-^= I е~*г cos dt
Гя J
можно рассматривать как предел последовательности полиномов
лишь с вещественными нулями [158]. Отсюда следует [63], если
р>0, что
е~гг - р &edz2 = у= J е-{2 (1 + 4pt2) cos 2zt dt
*) Гурвиц, стр. 88—92. Гурвиц — Курант, стр. 69—72.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
275
имеет лишь вещественные нули. Повторяя это рассуждение, при-
ходим под знаком интеграла к полиномам, затем, переходя к пре-
делу [161], к g(z).
165.	[L. с. 161.] Определим целое число mk так, чтобы, пола-
гая Р + РГ' + РДф- ••• +РГ1==Ва, мы в круге \z\^k имели
Тогда
lim (х _ fl _ М"Ч1 _ И . 71	* U G (2)
\ k 1 \ «А /	\	₽1 /	\	₽А/ V ’
равномерно в каждой конечной области.
166.	Показываем, как в 162, что полином
1 + ( 1	+ f ^й2г2+ ...
имеет лишь вещественные нули. Поэтому, если он в точности сте-
пени /г, у него могут обращаться в нуль два соседних коэф-
фициента [49]; G (z) трансцендентна; определяем п>т-\-1 так,
чтобы Ьп^0.
167.	По предположению, pv<O(v=l, 2, 3, ...). Пусть ]/"£>
>п]/а; положим
В = Р + РГ1 + РГ1+ +РГ1-
При переходе от уравнения
«о + «1^ + а2г2 + ... + anzn = О
к уравнению
а0 + ateBz + а.,е2Вг2 + ... ф- anenBzn — О
число мнимых корней не изменяется, а при дальнейшем переходе
к уравнению
«оС (0) + «1Q (1) eBz + a2Q (2) e2Bz2 + ... + anQ (n) enBzn = 0
оно не возрастает [67]. Теперь берем fe-=>co [III 201].
168.	Функция
’г (г +1) ==еСг(1+т) е	2"‘(1+~л)е	•••
имеет форму 165 и нули ее отрицательны. Так как полином
/ .	22	_
V- ~
~ 1 1! \ 2 /	2! \ 2 / \	«/ 3! 7/ \ п Д я J +
276
РЕШЕНИЯ
имеет лишь вещественные нули, то £167, G(z) = |Y£|- + г]
то же будет справедливо и для полинома
1	1	/2 V ,	1 М Wi И . т
Г (1) Г (2)1! \2J И Г (3)2! \2 J \ nJ	0^!
при и->оо [III 203]. Как видим, 65 есть также частный случай
теоремы 167.
169.	[L. с. 160.] Если </ —целое положительное число, то
отношение
Г(</г+1) v ’
представляет собой целую функцию, ибо полюсы числителя —
2q	1	2
—. содержатся между полюсами знаменателя — у, — у > • • • ,
причем функция имеет форму 165 [решение 168]. Применяем 167
к этой функции G (г) и полиному
(|+Я = 1+7г+4(1-1)+-
Затем берем n->oo [III 203].
170.	[G. Polya, Messenger, т. 52, стр. 185—188, 1923.] Имеем
аЕа (г) =
V h г* С°	v ,	Г(/г+1)Г(^±)
(2/г)! а j в ‘at2k & ~ Z ~k\ Г (2Й+1)	'
k=o	о	k=0
Применяем 167 к полиному
и целой, функции
(a — 2q, <7 —целое). Затем переходим к пределу [III 203]. Функ-
ция G (г) — целая, ибо полюсы
— 2, —4, -6, ...; -1, - (1 +27), - (1 +4q), ...
числителя содержатся среди полюсов —1, —2, —3, ... знамена-
теля; кроме того, G (г) имеет форму 165 [решение 168]. Функция
|/ д _ z2_
Ft (z) = —2~ е 4 вообще не имеет нулей.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
277
171.	Если 2, 4, 6, ... и х стремится к 4-оо, пробегая
вещественные значения, то lim xa+1Fa (х) =/=0 [III 154]. Поучи-
Х->СО
тельно, что функция Fa (х) при а =£ 2 имеет бесчисленное множе-
ство нулей [I. с. 170]; таким образом, при а = 4, 6, 8, ... она
имеет бесчисленное множество вещественных нулей и ни одного
мнимого, в других же случаях — конечное число вещественных и
бесчисленное множество мнимых. См. III 201.
172.	[Cauchy, Exercices de mathematiques (anciens exercices),
1826, Oeuvres, серия 2, т. 6, стр. 354—400, Paris, Gauthier-Villars,
1887.]
a)	[A. Hurwitz, 1. c. 159.] За исключением корня z — 0 речь
идет в нулях мероморфной функции
. 1 / 1 , ,1,1,1,
dg2_+ ••• + +
_1___2   _L -I . 1 \
1 г — 2л 1 ' ’ ‘ 1 г — /гл j '
Под знаком предела стоит правильная дробно-рациональная функ-
ция, числитель которой имеет степень, меньшую или равную
2л—1. Между 2/г нулями знаменателя лежит 2n—1 интервалов,
и в каждом из них содержится по одному нулю числителя [26].
Следовательно, числитель в точности степени 2п — 1 и не имеет
мнимых нулей. Переходим к пределу [III 203].
б)	Имеем
1
г*2 cos z (tg z — z) =	sin zt dt.
о
Теорема III 185, относящаяся к полиномам по косинусам, может
быть распространена и на полиномы по синусам (доказательство
то же). Отсюда посредством предельного перехода получаем аналог
теоремы III 205, который и применяем к интегралу в правой части.
в)	Имеем
1
2z~3 cos z (tg z — z) = (1 — F) cos zt dt.
о
Теорема 173 позволяет утверждать, кроме вещественности, также
существование бесконечного множества нулей.
173.	Двукратное интегрирование по частям дает
1
z2F (z) = zf (1) sin z - f' (0) (1 — cos z) + J f" (/) (cos z — cos zt) dt,
о
откуда вытекает
F[(2m — 1)л]>0, F(2mn)<zQ (m—\, 2, 3,...),
278
РЕШЕНИЯ
следовательно, существование бесчисленного множества нулей.
Имеем F (0) > 0. Поэтому правильная дробно-рациональная функция
,	Г(-2л) Г(-л) Г(0) Г(л)
'	' г + пл « • • • “г г-1-2.ч z-j-л ' г	г — л”*”
имеет 2п — 2 вещественных и самое большее два мнимых нуля
[см. 26]. Так как она стремится к [см. III 165], то [III 201]
F(z) либо не имеет ни одного, либо имеет два мнимых нуля. Но
F(z) есть четная функция; если бы она имела ровно два мнимых
нуля, то они были бы чисто мнимыми, однако для вещественного у
имеем
F(iy)=
о
174.	Достаточно рассмотреть случай J | <р (/) | dt < 1 [III 203].
о
Тогда для достаточно большого целого п
следовательно, функция
. nz	1	! 1 \ . z	1	! 2 \ . 2г
Sin-------ср — sin-----------ср — Sin------
п	п т \ п 1 п	п т \ л / п
1	( п— 1 \ . (и— 1) г
...----ср --- Sin -———
п г \ п ] п
не имеет мнимых нулей. [Доказывается тем же рассуждением, что
и в 27.] Теперь п->оо [111 203].
175.	Оставляя в стороне тривиальный случай f (1) = 0, имеем
[174].
ущ- f (/) cos zt dt = sin z - j ущ- sin zt dt
о	0
176.	Модули членов ряда монотонно возрастают от началь-
ного члена 1 до максимального члена и затем от максимального
члена до бесконечности монотонно убывают [I 117]. Пусть « — цент-
ральный индекс, т. е. (—х)лог'12 обозначает максимальный член
для z — — х, х>0. Тогда на основании вышесказанного
(— 1)”/?(—х) = хпа~"-3 — л/,Ж’1л~1)2 + х',_2а_(л_2)2 — ...
__ д-Я-tIqi—(п+1)3 . | _ j^n+2^-(Л+2)3
> хпа~ л2 — хл-1а~	— хл+1ог («+1)2,
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
279
Если х = а2п, то п — центральный индекс [III 200]. Получаем
(— l)nF (— а2п) > ап2 - 2апг~1 2== 0.
Те же соображения с соответствующими изменениями распро-
страняются также на частичные суммы
находим
F„(0)>0, F„(-a2 *)<0, F„(-a*)>0,	(-!№ (-а*) >0
(во втором неравенстве при и = 2, а —2 знак < следует заменить
знаком =), откуда вытекает, что Fn(x) имеет лишь вещественные
и простые нули и притом ровно по одному внутри каждого из
интервалов (—а2, 0), (—а4, —а2), (—а9, —а4),, (—а2п, —а2п~2).
Переходя к пределу [III 201], получаем требуемый результат
относительно F(z). (См. III 200.)
177.	[См. G. Polya, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 355 — 358,
1918.] Преобразование полинома р0 + prz +... + pnzn- в доказатель-
стве теоремы III 22 представляет собой в существенной части
суммирование по частям. Функция F (г) не имеет вещественных
нулей. Пусть /' (0>0, z = x-\-iy, x^Q, у>0, ex‘f (0 = А(0>
следовательно, также fr (t) > 0, f{ (/) > 0; пусть, далее, 0 < т < 1.
Интегрирование по частям дает
iyF (z) - iy J Л (I) ew dt = (т)	(0) - J f[ (t) dt,
T	0
откуда
y\F(z)\+y
i
$ /i (0 e':yt dt
X

5 fi (0 eiyt dt
о
Ui^dt- \f[(t)e‘ytdt
о	0
Правая часть равна
и при возраста-
нии т возрастает [III 14]. Второй член в левой части при т~>1
стремится к нулю. Поэтому y\F
178.	Имеем
с I с
I e-“2d« = y i 2 dt.
о	о
_ L
Так как t 2 убывает, то [177] в области 31 (—z2)sg0 не содер
жится нулей.
280
РЕШЕНИЯ
179.	Имеем
1	г	г3
Н+1	(н+ О (Н+2)	(Р-+1) (и + 2) (р-+'3) +  ‘ ’
_ У z”r(/?+l)r(n+l)_ у г* С
Li nl Г(/г + Щ-2) “ L. nt J {	4
n=0	п—0	0
1	1
= рг'(1-ОцЛ=ф<*-^[еЧ1- t)Yldt- |i>—1.
о	о
Но в интервале 0</<£1 функция ^(1 —/) возрастает (продиф-
ференцировать). Поэтому [177] нули ряда
при [д. > 0 лежат все в полуплоскости 3k > ii,
при —1<[т<0 лежат все в полуплоскости 3k <р,
при ц = 0 лежат все на прямой 9k = 0.
В нашей задаче р = п —целое.
180.	a) [G. Polya, Ens. math., т. 21, стр. 217, 1920.] Опи-
раемся на следующую важную теорему [I. Schur, Math. Ann.,
т. 66, стр. 489 — 501, 1909]: корни со1( а>2, ..., сога уравнения
г—ац	—о12 ... — а1п
a2i г~а22 •.. —	___л
ап1 ап2 • • •	апп
удовлетворяют неравенству
П п
I (01 j2 + । С02 |2 + - • + I ®л |2sg 2
Л=1ц=1
Отсюда, обозначая нули полинома
c04-n1z-H222 + -.. + a„z''
через zlra, z2n, .... znn, получаем [VII 11]
—!------!_!----и -l —— :
1г1л|а + IW 1
<х2 fl — !2 4- I- Г+ 4-1 —Н 4-1 —Г
\! «о I	I 01 | 1 • 1 I ап_2 I j 1 I a;i_i | •
Переходим к пределу [III 201].
б) [G. Vai iron, Bull. d. Sc. Math., серия 2, т. 45, стр. 269,
1921.] Полагаем |	1 = ln, п = 1, 2,3,... Так как lim 1п — оо,
п -►со
то из /1( /2> • • •,	• • • перестановкой можно получить монотонно
возрастающую последовательность /Л1, 1Пг, 1Пз, ..., 1ПрУ ...:
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
281
Имеем
^р^ПГТ^Г^^Г (Р-1’ 2> 3> •••)•
Обозначим через М (г) максимум | F (z) | при | z | г и через
р (г) — максимальный член всюду сходящегося ряда [IV 29]
|ао| + ^г + -Ц°1^ + ... = Ф(г).
‘п,
Из предположения, соответственно из IV 37, IV 54, IV 38, выте-
кает последовательно сходимость выражений
У, In2, 5 ib(r)r~3dr, § Ф(г)г3<7г, § M(r)r~3dr, У, ]ар |~а.
Р=1 р 1	1	1	p=i
Этот способ доказательства, в противоположность изложенному
в п. а), может быть распространен на показатели, отличные от
Двух.
9	—
181. Нет. Пример: f (z) = (z2 — 4)е3, f (z) = jz(z2-l)e3.
Н. М. Macdonald (Proc. bond. M. Soc., т. 29, стр. 578, 1898)
утверждал противоположное *).
182. [G. Polya, Arch, der Math. u. Phys., серия 3, т. 25,
стр. 337, 1917. Решение —H. Priifer, там же, серия 3, т. 27,
стр. 92 — 94, 1918.] Пусть Н' (x)—g(x). Утверждение задачи
содержится в следующей, более точной, теореме: если полином
n-й степени g(x) имеет лишь вещественные нули, то G(x) =
= [§ (%)]2 + g' (х) имеет самое большее л-(-1 вещественный нуль
(2п>п4-1 для о^2). Пусть xlt х2, ..., х* — различные нули
полинома g(x),
g(x) = a(x — X1)mi (х - x2)m2... (x - xk)m*.
а)	Нулей G(x), являющихся одновременно нулями g(x), будет
n — k.
б)	Вещественный нуль 6(х), не являющийся нулем g(x), удо-
влетворяет уравнению
Д' 1	/ а \2гг'
——1 или — — — — а.
g2	\g / а
Если, следовательно, имеется по крайней мере один такой нуль,
то а — вещественное. Но теперь
а —	= fiiY — (?-\2 =
& dx \g2 J \gj \g)
*) Этим вопросом занимался уже Лагерр, см. Oeuvres, т. 1.
282
РЕШЕНИЯ
Нули g(x) разбивают вещественную ось на &4-1 интервалов.
В каждом из этих интервалов кривая «/ = £'(x)[g(x)l“2 монотонна
и пересекает прямую у ——1 самое большее один раз. Таким
образом, общее количество перечисленных в пп. а) и б) нулей
полинома G(x) будет ^(n — k) + k+l.
183« Имеем
гЛ'Ч   Г) ( W J_\	f’W   n { п_ J \
Вп ~Q[k ’ k)’ Ln	kJ•
Выражение для B(„ остается в силе также при нецелых значе-
ниях k > т — 1.
184а Имеем
Далее,
1 J 1
° (1 — 0“ /(— t)dt
при со>О, 31z> 1 + (т— 1) со;
со г
Р (г, со) — —у——г f е~Ч “	'/(—
г Н
при со>О, 31z<0.
185.	[См. Laguerre, 1, с. 1, стр. 23; G. Polya, задача,
Arch, der Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 84, 1916.] Три
неравенства первого столбца получаются из 183, 38, 8, четыре
остальных —из 184, 80 (замена переменных!), 24.
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
283
186.	Мы уже предположили, что	Пусть запись а||р
означает, что вещественные числа а и 0 имеют одинаковый знак.
Тогда
f (— оо)||Р (— ос),
f (— оо)||Q (—1 + (tn — 1) со),
f (-1)||7? (-со).
/(— оо)Ц(— l)mR (1 4-(m- 1) со),
/(0)1|Р (0),
/(O)IIQ(O),
/(0)11# (0),
f (oo)||P (co),
/(1)IIQ( + co).
f (+oo)||R (1 + (m — 1) co),
/(-1)||(- 1)-R(+ co).
187.	[Laguerre, 1. с. 1, стр. 13 — 25; M. Fekete und
G. Polya, Rend. Palermo, t. 34, стр. 89— 120, 1912; E. Balint,
Diss., Budapest, 1916; D. R. Curtiss, Annals of Math. (2), t. 19,
стр. 251 —278, 1918.] 1 следует из 38, 2 —из 34, 33, 32, 3 —из
183, 24, III 201, причем принимаем во внимание, что Р (z, со),
Q(z, со), R(z, со) непрерывны по со и
Р(г, 0)=/(z), Q(z, 0) = (1 + г)"7М-\^(г, 0) = (1-2)-/^.
\‘ “Г О'	\ 1 — ZJ
Вторая из доказанных теорем теоретически позволяет точно опре-
делить число нулей f (z) в интервале 0 < х < 1. Что этот метод
часто бывает практически полезен, показывают задачи 45, 46.
188.	[G. Polya, 1. с. 80.] Из формулы
m'.f (z)
= СО J J со) е-?-(г-тсо)
о
справедливой для 31z>mco [VI, § 9], вытекает	[80, 24];
из аналогичной формулы
г ^т\'К7гг} -т = со Г J (е’“, ©) Л,
М« + 1г'(«+"г) °
справедливой для ЭЯг> 0, вытекает таким же образом
наконец, из определения J (z, со) следует [36], что не пре-
восходит числа перемен знака в последовательности /(0), /(со), ...
..., /(псо/. Замечаем, наконец, что (см. решение 186)
/(— оо)||(—l)m J (1, со), /(0)||(— l)mJ (4-со, co)||J(—оо, со),
f(m, co)||J (0, со), / (4-со)|| J (1, со).
284
РЕШЕНИЯ
189.	Находим [188]
J(l, co) = Am/(O), J'(I, со)=
Отсюда рассматриваемый полином равен 7(1 — z, со).
190.	[Н. Poincare, С. R., т. 97, стр. 1418, 1883; Е. Meiss-
ner, Math Ann., т. 70, стр. 223 — 235, 1911.]
(1+?)*
(1+?)*-•
Выбираем k достаточно большим [187, 3].
191.	Условие достаточно [30]; для доказательства необходи-
мости выбираем Р (х) = (1 4-х)*, где k достаточно велико [187, 3].
192.	Условие достаточно, ибо ги+ Ил!(^;/)(4с“-Тб1!]
имеет не более мнимых нулей, чем Р (х) (доказательство, как в 58).
Для доказательства необходимости выбираем сначала Р (х) = 14*ех,
получаем, что (1 4~ex)f (х)4~е и [е->0] f(x) имеют лишь вещест-
венные нули. Затем выбираем Р(х) = /(х); тогда приходим к зак-
лючению, что степень / (х) равна либо нулю, либо единице.
В последнем случае, когда, стало быть, f(x) — a — bx, полагаем
снова Р(х) = /(х); всегда (a — bx) (a — bx) — b>Q при 6<0.
193.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys, серия 3, т. 21,
стр. 289, 1913. Решение —G. Szego, там же, серия 3, т. 23,
стр. 81-82, 1915.]
194.	Интересующее нас выражение представляет собой резуль-
тант полиномов f(x) и g(x), т. е. равно blf (рх) f ф2), где рь ра -
ну ли полинома g(x). Если рх — не вещественное, стало быть, р2 = Pi,
то результант будет неотрицателен. Если рх, р2 — вещественные
и результант меньше нуля, то sgn/ (Рх) = — sgn f (р2) ф 0 [8].
195.	Случай п=1 ясен. Пусть п = 2. Обозначая нули поли-
нома Р (х) через х1( х2, х!^х2, определяем а так, чтобы было
2
a-CXj, $ P(x)dx = 0. Таким образом достаточно рассмотреть
а
случай п'^3. Примем сначала, что первые три из нулей хх, х2,..., х„
полинома Р (х), хх < х2 < ... < х„, отличны друг от друга,
Х1<х2<х3. Определим такое б, чтобы было Х1<х2 —б<х2<
х2 + б
<х24*б<х3и $ Р (х) dx = 0, затем а так, чтобы было а<.хг и
х2 — 6
х2 — 6
Р (х) dx = 0. Тогда полином Q (х) имеет во всяком случае нули
а
х — а, х = х2 —б, х = х24~б. Если кроме того, п — нечетное, то
существование четвертого вещественного нуля полинома Q (х) обес-
печивается тем, что мнимые нули входят в Q (х) попарно. Если
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ
285
теперь Р (х) имеет нуль кратности т^2, то достаточно выбрать
этот нуль за а, чтобы Q (х) имел по меньшей мере т-\-1 $s3 нулей.
Знак равенства будет иметь место, например, для
Р (х) = X (х — I)2 (X — 2)2 (х — З)2 . . . — ^2~)2, п ~ нечетное,
Р (х) = {х — I)2 (х — 2)2(х — З)2...(х —	, п — четное.
196.	[I. Schu г; см. С. S iegе 1, Math. Zeitschr., т. 10, стр. 175,
1921.] Посредством перемножения неравенств
2л
2й5
l + |zv|<2 Мах(1, |zv|)<2e °	(v = 1, 2,..., и)
[II 52] получаем
2л
”	2rt 5	Г 2л
Д (l + |zv|)^2'le °	^2"1/ f |f(^)|2^ =
V = 1	о
= 2"/1 + 1^|2 + |й2|2 + ... + |й„|2
[II 69, III 122].
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
ПОЛИНОМЫ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ полиномы
1> Тп (х) имеет нули cos (2v — 1) , Un (х) имеет нули cos v —-у
(v= 1, 2, ..., п).
2.	Вытекает из соотношений
cos (п + 1) 'О’ = cos О' cos «О — sin О sin «О,
sin (n+ 1) О = sin О cos «ОД- cos Osin /iO.
3.	Вводим в дифференциальных уравнениях
d2 cos nil	a d2 sin nit „ . п
------= — ГТ COS ШТ, —Тад—= — 722SinnO
dil---di}2
новую независимую переменную cos О = х. (Частный случай тео-
ремы 98; см. решение ж.)
4.	Положим х = cos О. Тогда рассматриваемые интегралы пре-
образуются в
tmn = cos mO cos nO dO, umn = § sin 0 sin (/г +1)0 dO.
о	о
Отсюда
tmn = Umn = Q при m + n,
tnn=llnn=1 при n>0,
j	TC
‘oo = •rt> +o = ~2 •
Указанное в задаче условие ортогональности определяет поли-
номы Тп(х) и Un(x) с точностью до постоянного множителя. Оно
равносильно условию
i	1
(	(х) dx = Q, соотв. f V1 — х2 Un (х) К. (х) dx = 0
-1 | 1-х
для всех полиномов К(х) (п— 1)-й степени (см. стр. 102).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
287
5.	Частный случай теоремы 98; см. решение а).
6> [С. G. J. Jacobi, J. fur Math., т. 15, стр. 3, 1836.] Так
как все производные от (1—х2)	2 ниже n-го порядка обраща-
ются в нуль в точках х =— 1 и х = 1, то из 5, интегрируя по час-
тям, получаем
J	1-3-5 ... (2п-1) ^(п) (*) 0 ~х2) 2 dx.
— 1 —1
7. | cos|-у 1 (n=l, 2, 3, ...). Равенство достигается лишь
для п$, кратных л [1]. Далее, второе неравенство выводим посред-
ством полной индукции из соотношения
sin (п 4- 1) й	„ . „sin пР
 sin-й -cosnfl + cosfl^.
Здесь равенство достигается лишь для | cos & | = 1.
8* cosvft есть полином v-й степени от cost!; cosv'& есть поли-
ном v-ro порядка по косинусам.
м Sin (V 4- 1) Й	„	а . „
9.	— есть полином v-и степени от cos тт; sin и cosv и
sin й
есть полином (v-4-l)-ro порядка по синусам.
10.	cos pflcos q$, cosp$sinq$, sin p$ sin q$, где p и q — целые
неотрицательные числа, представляют собой тригонометрические
полиномы (р4-<?)-го порядка.
11.	Имеем
I ?-V	yV_7-V
cosv& = ——, sinv,& = —2;—= (v = 0, 1, 2, ..., ri).
Подставляя эти выражения в g(d) и умножая на ein®, получаем
п
G (z) = Xozn + [4 (2”+v + 2”'v) + i Hv (zn+v - zn-v)].
V = 1
Имеем
uv = il2n_v = ~-=^‘^n~- (v = 0, 1, 2......n— 1);
далее u„ = X0. Если g($) точно n-го порядка, то G(z) будет точно
2п-й степени (и не будет обращаться в нуль при z = 0). Обратное
также справедливо.
12.	Пусть G (z) = w04-«iZ + «2224- ... -\-и2Чг2п. Тогда
uv = 62n_v (v = 0, 1, 2, ..., 2n),
так что «„ — вещественное и
л—1	п— 1
g ($) -ип = е~^ 2	+ ы2^е‘ (2n*v) в) = 2Л 2 u^ei tv'n) °
v=0	v=0
288
РЕШЕНИЯ
представляет собой тригонометрический полином n-го порядка с ве-
щественными коэффициентами.
13* Пусть z0 —отличный от z = 0 нуль полинома G(z). Тогда
Zo"G (zo'1) = O, т. е. 0(2(7') = 0, так что 2(7' (а это —не что иное,
как результат отражения точки z0 в единичном круге) также
является нулем полинома G(z). С помощью дифференцирования
получаем аналогично, что если г0 есть нуль кратности k, то таковым
же будет и zq'1. Далещ если G(z) имеет z = 0 нулем кратности k,
то при переходе к z2nG (г 1) степень понизится ровно на k единиц
[т. е. z2nG (z рассматриваемый как полином 2п-й степени, будет
иметь k нулей в бесконечности].
Таким образом, нули полинома G(z) разбиваются на пары,
такие, что нуль, входящий в одну из них, является результатом
отражения другого в единичном круге.
14.	Обозначим нули полинома G(z), определенного в задаче 11,
через zn z2,.... z2„ (zv=£0; v = l, 2,..., 2«). Тогда нули тригоно-
метрического полинома g('&) будут
•&V = •-• Inzv, 0 SUflv<2л (v=l, 2,.... n).
15.	В обозначениях задачи 11 должно иметь место тождественно
для всех аир соотношение
2 м	м	7v'*t\	/	\
2 икЩ 2 е^п)^фт)+^-п) vrpr-PU 2 ^ei(W)(a-3).
k, 1=0 v—О	k=0
Ho
Д W-k)^ tl +1	при k = I,
Z e n‘ =
при k^ l.
1— e "+1
Следовательно,
2n	2n
(«+1)2	4- s Ykiuktiie( lkn' “+; (л"/) ₽ =
*=0	k, 1=0
2n
— S «*e‘ u'n) (a~p’-
Очевидно, yki = 0 для четного и уы Ф 0 для нечетного I — k. Так
как сумма
2п
S ykiUkUie1^1^
k,l=0
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
289
должна являться полиномом относительно е" то отсюда заклю-
чаем, что ukUi = 0 для нечетных I — k и, кроме того, что
откуда
нл = 0 или
Таким образом, интересующие нас полиномы характеризуются
следующими условиями:
1. Они представляют собой полиномы по косинусам и содержат
члены либо лишь с нечетными, либо лишь с четными кратными
2. Действительно содержащиеся в них члены имеют все один
и тот же коэффициент за исключением свободного члена, ко-
1
торыи, в случае, если он имеется, равен
Таких тригонометрических полиномов будет
р+П Г'г+21
21 2 J_|_2L 2
Пример.
«w-FFF- щ-i
13. Положим z = eF тогда первая сумма будет равна
, 5Р1+г-22п+1
2(1—г) - —
1’0	. /
----—	I 1п.
л	И
2\е 2-е2
о
Аналогично вычисляем другие три суммы. Можно провести доказа-
тельство также путем полной индукции.
17. Из последней формулы предыдущей задачи получаем, что
рассматриваемое выражение равно
/ • О, • 2ft 4“ 1 а
, / sm nv sin —4— v .	„ . , , ,. „
1/	.2 sm nv sin («+1) fl1
sin ФI	sin &
\ sin 2
(Либо непосредственным вычислением.) При "& = 0 отсюда полу-
чается, что сумма п первых нечетных чисел равна п2.
10 Г. Полна, Г. Сеге, ч. П
290
РЕШЕНИЯ
18а Комбинируя 16 и 17, получаем
п
~ + 2(y + cos^' + cos2'®' + --- + cosv'®') =
V—1
n . 2v+i „	/. . , .. a\2
" sin—a J /sm(n+l)-g-\
£ o . О 21	.-О I ’
v=o 2 sin у \ sin у j
19.	Из 16—18:
......................
2)	v—, v = l, 2...п-1 и (2v-1)-4t, v=1, 2,	+1;
3)	v£, V=l, 2, ..., 2n—1, 2n + i, 4n — 1;
7 2n ’ ’	’	’	1 ’	’
i . 2 л	2л	, л
4)	v —, v—г-r, v— 1, 2, n;
' n ’ n+ 1 ’	’	’	’
5)	v-£, v = 1, 2, ..2n, все двукратные, за исключением v — n
и v = 2n;
2jt
6)	v^-—у, v=l, 2, n, все двукратные.
20.	Из 16, 2 или 1.
21.	Рассматриваемая сумма равна
п	п+1
У sin vO’-f- sin vO'
—-----------------= sin2(« + l)|ctg4. [16.]
22.	[L. Fejer, Math. Ann., t. 58, стр. 53, 1903.] Из 18.
23. [См. T. Н. Gronwall, Math. Ann., т. 72, стр. 229—230,
1912.] Согласно 16
... „ sin 4- О’ cos - + 1 О’
dA (п, О) 	2 2
Это выражение обращается в нуль в интервале О С А < л лишь
в указанных в задаче точках, причем переходит в этих точках по-
переменно от положительных к отрицательным и от отрицательных
к положительным значениям. Оно обращается в нуль также при
6' = л, если п — четное. Однако точка х = л, у = 0 является цен-
тром симметрии для кривой, у — А (п, х), следовательно, в ней нет
ни минимума, ни максимума.
24.	[D. Jackson, Rend. Palermo, т. 32, стр. 257—258, 1911;
Т. Н. Gronwall, 1. с. 23, стр. 231; равенство МахА(п, =
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
291
= а[п, было найдено L. Fejer’oM, см. D. Jackson, 1. с.].
Согласно формуле 20
4M2v+D 4,)-А (п, (Sv-Pji,).»
<2v+'>4i	'2v+1)^i
= J	j	sin (л ф-1) O'ctg =
2v«+l	Q [ л
= ~2	J Sin (n 4-1) -a ^ctg у - ctg—j d$
(2v-1) «+Т
(v = l, 2, ..., <7-1; 03).
В последнем интеграле sin (пф- 1) OscO, а выражение в скобках
положительно, так как ctg х в интервале 0 < х < монотонно
убывает.
25.	[L. Fejer; см. D. Jackson, 1. с. 24, стр. 259; Т. Н. Gr on-
wall, 1. с. 23, стр. 233.] Согласно 24
л ! л \л ! л \ я /	, л \
А In, —г > А In, — = А [п — 1, - .
\ пф-1/	\ п \ п
По поводу ИтД^п, см. II 6.
26.	[W. Н. Young, Proc. Lond. М. S. (2), т. 11, стр. 359,
1913.] Согласно 16
,D , a. sin Д- О sin ”1 О'
-----1П9. 23 ]
ахг	. tt	l ’ j
sm
27.	[W. Н. Young, 1. с. 26.] Пусть п^З, х, А —целые,
1=Сх<Л<[^И|. Тогда [21]
dB (п, О)
А& —
. 2Л
п-Н
j ^sinO^sin2O'-]- ... -J-sinnlM
2Л
х----
х п+1

10*
292
РЕШЕНИЯ
28.	[W. Н. Young, 1. с. 26.] Согласно 27
(В (п, л), если п — нечетное,
Bin, п-г-г], если п — четное.
\ ’ « +1j
В первом случае имеем
При нечетном п^-5 имеем даже
В (п,	—1+^>—1 + -.
v '	'60	1 п
Во втором случае
В(п, —в(п+1,	-----2l7,
\	n+1 )	\	п-\-Ч	п+1’
т. е. при четном п+-4 имеем
в(п, >—1+д~ГТ--------------—'—!•
\ ’ n+1 /	‘п+1 п+1
При п = 2
D/n 2л\ 2л , 1 4л	1	1	3	,
& \%’ 3 / — cos у + 2	C0S 3 ~	2	4	~	4	>
29. В нижеследующем п = 0, ±1, ±2, ±3, мы отмечаем
особо те элементы симметрии, которые не могут быть приведены
в совпадение вращениями в себе плоскости кривой y = f(x).
1)	Прямые х = 2пп и х— (2п— 1)л являются осями симметрии;
Ь1 = й2 = й3 = ... = 0.
2)	Точки х = 2пп и х=(2п — 1)л оси абсцисс у — 0 являются
центрами симметрии; йо = й1 = й2 = й3 = ...==О.
3)	Кривая y—f(x) приводится в совпадение сама с собой гори-
зонтальным смещением на л и последующим отражением от оси
абсцисс (ось абсцисс — «скользящая ось отражения»); й0 = й2 = &2=
= й4 = Ь4 = йв = Ье =... = 0.
4а	) Вертикальные прямые х = пл являются осями симметрии;
точки х = ^й + у^л, у = 0 являются центрами симметрии; Ьг =
= Ь2 = Ь3 —... = 0, а0 = й2 = й4 =... = 0.
46)	Вертикальные прямые х = (п + yj л являются осями сим-
метрии, точки х = пп, у = 0 — центрами симметрии; й0 = й1 = й3 =
= й3 = ... = 0, й2 = bt = Ьв =.. . = 0. (С чисто геометрической точки
зрения ничего нового по сравнению с 4а.)
5) Периодом является уже половина 2л; a1 — b1 = a3 — b3=
= а$ = Ь5 =... = 0. Симметрия состоит лишь в инвариантности
при горизонтальных смещениях на целые кратные л. (С чисто
геометрической точки зрения — никакого нового вида симметрии
по сравнению с общим рядом Фурье.)
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
293
(Кроме пяти перечисленных, существуют еще два (получающихся
отражением от оси х), следовательно, всего семь типов симметрии
для периодического «бордюрного узора», т. е. семь различных
групп движений, переводящих неограниченный ряд равноотстоя-
щих точек и проходящую через них плоскость в самих себя.)
30.	2п 4-1 первых коэффициентов Фурье полинома f (ft) сов-
падают с соответствующими коэффициентами этого полинома
(в обозначениях задачи 11: ао = ?.о, 2av = Zv, 2&v = pv, v = l, 2, ...
..., и), все остальные равны нулю.
31.	Имеем
v —о
п	{п \ п
=я[,и|17‘1
V=0	v=0
32.	Умножая на cosnft, соотв. sinnft (n = 0, 1, 2, ...) и инте-
грируя в пределах от 0 до 2л, получаем, что коэффициенты Фурье
функции f (ft) совпадают с а0, alt blt ай, b2,..., т. е. что ряд Фурье
функции f (ft) совпадает с заданным тригонометрическим рядом.
33.	Раскладываем функцию, заданную равенствами
т = п₽и
О при ft = О,
в ряд Фурье.
34.	Первый ряд получается в результате непосредственного
вычисления коэффициентов Фурье. Полагая в нем ft = O и вычи-
тая полученный таким образом ряд, получаем второй.
35.	[G. S z eg б, Math. Zeitschr.,T. 9, стр. 163,1921.]Согласно 34
Л
оо	2
_ 16 VI 1 Г sin2 nmft
Р”1 л2 4п2 — 1 j sin "£)
л= 1 о
[17.]
36.	Что члены с синусами, а также члены с косинусами, сто-
ящими на нечетных местах, отсутствуют, вытекает из 29, 1), 5).
Далее, имеем
2л	Л
— сп = J f (ft) cos 2nft dft = ~ j" f (ft) cos 2nft dft =
о	о
Л
n 4n
v=l 0
294
РЕШЕНИЯ
Но в интервале [Q, очевидно, cos2n,&>0. С другой стороны,
для любой функции f(x), выпуклой сверху в интервале а, Ь,
при а<л'-11<л'-и<л' + и<л' + 1'<& имеем
f (х — u)5s
(v+«) f(x —v) + (v — u)f(x+v)
2v
f (x + u)
(v — u)f(x— v) + (v + u)f(x+v)
2v
[II 74];
следовательно, что геометрически также ясно,
/(х-г?)-/(х-ц)-/(х + ы) + /(%+о)<0.
37.	Доказательство как для частного случая 35 с примене-
нием теоремы 36.
38.	В обозначениях задач 26—28 имеем [34]
п	оо	п	оо
Г/„	2 у!	4	у В (я, 2va)	2	У 1	4	у 1_______
' ’	' л £ v	л 4v2—1 ’	л v	л 4v2—1
V=1
Далее,
л	п
J и	)	яЯША	V
О	v=l
39.	Положим z = e‘a и
I хо + xiz + x2z2 +... + xnzn |2 = Xo + cos -ft 4- jij sin ft +
+ /.2 cos 2,&4-|л2 sin 2'6' + . .. + X„cos	+ sin nft.
Тогда
= I xo |2 + I xi |2 + I X2 |2 + • • • + \ xn )2,
~2 (^v“bФг) = xoxv +*i*v+i + • • • ~}~xn-vxn	(v=l, 2, ..., tl)’,
Ki + Ф« = 2x0x„#= 0. (При х0 = хг = х2 = ... — хп получаем новое
доказательство формулы 18.)
40.	[F. Riesz, см. L. Fejer, J. fiir Math., т. 146, стр. 53—
82, 1916.] Определенный в задаче 11 полином G(z) состоит из
следующих трех множителей, из которых один или два могут и
отсутствовать [13]:
k	i
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
295
где k + 21-]- г = 2п; k, I, г —целые неотрицательные числа, |	=
= 1, 0<| zv| <С 1, ц = 1, 2, k, v = 1, 2, ..., I и с — произ-
вольное комплексное число. Нулям = полинома G(z), лежа-
щим на границе единичного круга, соответствуют нули поли-
нома g($) в вещественном интервале 0 <:(><; 2л. И притом, как
можно убедиться дифференцированием соотношения =
_ e-in®Q ^е№), кажд0Му нулю = полинома G (г) соответствует
нуль ,0’и полинома g(b) с той же кратностью. Так как g (ft) 5аО,
то каждый нуль должен входить с четной кратностью. Пусть
тогда
k
k	У
П(г-£м)==П(г-ада.
Ц=1	|Л=1
Отсюда следует
Л
2	I
Ц=1	V=1
41.	[40.] В этом случае полином G(z) имеет вещественные
коэффициенты, так что комплексные нули и zv являются попарно
сопряженными.
42.	Любой линейный множитель z — z0 полинома h (г) можно
заменить на 1— zoz, ибо на окружности единичного круга |z —
—- z01 = j 1 — zoz | [III 5]. При этом z0, в частности, может быть
равно нулю,-
43.	Способом, указанным в решении 42, можно избавиться
от.всех нулей h (г), меньших по абсолютной величине, чем 1.
Условию 2 можно удовлетворить умножением на некоторую посто-
янную у, | = 1. И тогда из III 274 вытекает, что этот полином
h (?) однозначно определен.
44.	Рассматриваемая целая рациональная функция разла-
гается на множители вида (% — xo)2 + Po, где х0, уа — вещественные
числа. Теперь принимаем во внимание тождество
(p‘i + 7?) (pl + 71) = (Pif2 + 717г)2 + (р 17г - P27i)2-
45.	Рассматриваемая целая рациональная функция разла-
гается на множители вида
(х — хо)2 + */о (%о, Уо — вещественные), (^^>0).
Принимаем во внимание тождество
[р I + q\ + X (г 1 + si)] [pl 4- 75 + X (r32 + S5)] ==
— [(pi + 7i) (fl + 72) 4“ х2 (rj 4- si) (гз + $1)] +
4- x [(pi 4- 71) (d 4- si) 4- (d 4- si) (pl 4- 7D] •
Далее применяем дважды теорему 44.
296
РЕШЕНИЯ
46.	[М. Fekete.] Обозначим рассматриваемый полином через
Р (х). Применяем к Р (cos ft) теорему 41 и принимаем во внима-
ние 8, 9. Имеем
Р (cos ft) — | A (cos ft) + i В (cos ft) sin ft |2,
где A (x) и В (x) — полиномы с вещественными коэффициентами.
47.	[F. Lukacs.] Пусть Р (х) — полином степени 2т. Согласно 41
Р (cos ft) — | А (е'°) |а — | e'im9/z (е1’9) |2,
(е‘°) = A (cos ft) + i D (cos ft) sin ft,
где h (z) — полином 2т-й степени с вещественными коэффициен-
тами, А (х) степени т, D(x) степени tn— 1. Если Р (х) степени
2т -f-1, то имеем
Р (х) = (х - а) Рг (х) = (х + 1) Рх (х) + (- а - 1) Рг (х),
или
Р (X) - (Р - X) Р, (X) = (Р - 1) Л (X) + (1 - X) Рг (X),
где а С — 1, соотв. р 5= 1, затем к Рг (х) применяем предыдущие
рассуждения.
48.	[Ch. Hermite, задача, Intermed, des math., т. 1, стр. 65,
1894. Решение —J. Franel, Ё. Goursat, J. Sadier, там же,
т. 1, стр. 251, 1894.] Нет. Действительно,, в противном случае
можно было бы написать
х24-е = J] А (е) (1 — х)“ (14-х)₽,
где е> О, А (е)5г0, а и р пробегают все целые неотрицатель-
ные числа, для которых а+р<;2. Таким образом, при любом е
в этой сумме будет содержаться ровно шесть членов. Полагая
здесь х = 0, получаем, что А (е) ограничено для 0<е<1- Будем
теперь так приближать е к нулю, чтобы существовал НтД(е) = Д
и при том во всех шести членах; тогда в пределе получим
?=2Л(1-х)а(1-+хА
Но при х==0 это тождество невозможно.
49.	[F. Hausdorff, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 98—99,
1921.]
Первое решение. Достаточно рассмотреть следующие два
частных случая:
1. Р (х) — линейная функция:
Р(х)=^(1-х)+^(1+х).
2. Р (х) — полином второй степени:
Р (х) = а + 2b (1 — х) + с(1 — х)2, с>0, ас — Ь2>0.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
297
Имеем при любом целом p=s-2
р
2рР(х)=а 2(у (1-хГ(1 + ^)р -¥ +
V = 0
v = l
+c(l-x)4 WZ2)(1-*)V-2(1+*)P-V =
V = 2 '
p
V	= 0
Ho
f (v) = ap (p — 1) + 4Ь (p — 1) v + 4cv (v — 1) =
= 4cv2 2 (2bp — 2b —- 2c) v + (ap2 — ap)
как полином второй степени относительно v будет положительно
определенным при достаточно больших р, именно при р, удовлет-
воряющих неравенству
4с (ар2 — ар) — (2bp — 2b — 2с)2 — 4 (ас — Ь2) р2 +... > 0.
Второе решение. Введем новое переменное z посредством
уравнения
(l+x)(l+z) = 2.
Пусть Р (х) — полином n-й степени. Тогда и
P^z)(l+z)n==№
также будет полиномом n-й степени, причем при z>0 будет
f (z) > 0. Следовательно, для достаточно большого целого р будет
иметь место разложение
/(г)(1+*?”»= 5 Аага,
а=0
где все Ла5э0 (а = 0, 1, 2, ..., р) [решение V 187]. А отсюда
будем .иметь
р (X) = f	= 2-Р 2 Аа (1 - *)а (1 + ^)р-“.
а=0
50.	Первое доказательство. [L. Fe jer, С. R., т. 157,
стр. 506—509, 1913; вопрос об условиях достижения равенства
не разбирается.] Положим
VI	1 +ze'’'v	2л
Q(z) = n+l-2--------= (v = l, 2, .... п).
v=il— ze v
298
РЕШЕНИЯ
Тогда [см. III 6] при |z|< 1
91(2(z)<n+l,
далее [см. второе доказательство],
Q (г) = 1 + 2г + 2г2 +... + 2z” + 7„+1z'l+1 + <7„+2z«+2 +...
Таким образом, при 0<т<1 имеем
% +	+ ^2г2 + • • • + hnrn =
2л
==	j g (ft) (1 + 2r cos ft +... + 2rn cos nft) rfft =
0
2Л	2л
= гН £ W (ге'ЛЯ < (« +1)	U W = п + I •
о	о
Для получения требуемой оценки g(0) устремляем г к 1. Рас-
сматриваем, далее, g(a + ao), гДе ао фиксировано.
Второе доказательство. [L. Fejer, С. R., т. 157,
стр. 571—572, 1913.] Достаточно доказать, что (0)-С « +1- Поло-
жим av=v^^y (v = 0, 1, 2, ..., п). Тогда
У, cos&av = У, sinfe'O'v = 0	(6=1, 2,	п),
V —0	v = 0
так как
Имеем, следовательно,
g (0)+g (ад+g (ад+...+g (ад = п +1,
т. е. g (0)-д п + 1. Для того чтобы имело место равенство, необ-
ходимо, чтобы g(ai)=g(a2) = ••• = £ (an) = 0. Так как g (а) 0, то
^v = v^ (v = 1, 2, ... , п)
будут двукратными нулями. Это условие вместе с начальным
условием Хо=1 вполне однозначно определяет g(a). [18.]
Третье доказательство. [L. Fejer, 1. с. 40, стр. 65—
66.] Согласно теореме 40 всякий тригонометрический полином
g(a) рассматриваемого типа может быть представлен в форме
g (а) = | х0 4- xxz + x2z2 +... + xnzn |2 (z = егД,
где
>-oHV+l*ll2 + W2 + --- + KI2=l- [39.]
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ	299
Применяя неравенство II 80, получаем, что для каждого значе-
ния О = О0
g(^oX(«+l)(l*oi2 + l*il2 + |*2|2+--- + l*«l2)=« + l-
Равенство достигается лишь при Xy = 7e~iv®'’ (v = 0, 1, 2, ..., «);
1YI “ У7Г+1 ’
51.	[L. Fejer, 1. c. 40, стр. 73.] Имеем
-j-	— 2%0%rt
и
21 xoxn | =r~ | x0 j2 4-1 xn |2 C | xn j3 -}-1 хг |2 -}-...1 xn |2 = 1.
Равенство будет иметь место лишь для случая хг — х2 =... = хп1 —
= 0, | х01 = | хп | = р~, т. е. когда
g W =у I 1 +7^ |2,
где | у | = 1.
52.	[L. Fejer, I. с. 40, стр. 79.] Согласно 39, 40 задача
приводится к отысканию максимума выражения
4 | %ой + *1*2 + • • • + *«-!*« I2
при дополнительном условии | xQ !2 + | xL |2 +1 х2124~. . • + | хп |2= 1.
Мы можем ограничиться вещественными х0, xlf х2, ...,хп. Макси-
мум выражения
2 |%0Xi + xiX2 + -•• + *«-!*« I
будет равен [см. Kowalewski, стр. 275] наибольшему по абсо-
лютной величине нулю определителя Dn(f — h) задачи VII 70 при
/(О) = 2 cos О, т. е. равен „ = 2 cos .
53.	Пусть й(х) = с(1-j-ZiZ) (1+г3г) ... (l+z„z), | zv| " 1, v =
= 1, 2, ...,«, с вещественно и больше нуля. Согласно II 52
~ i In I 1 -j- zvei& |2 dO = 0,
2л J ’	1 v 1
о
следовательно,
2л
24 j Ing(O)c!O = Inc3.
0
54.	Все тригонометрические полиномы g(O) интересующего
нас типа имеют вид
g(O) = !/i(ei9) |2,
300
РЕШЕНИЯ
где h (z) = (1 + 21?) (1 4- z2z)... (1 + znz) = x0 + xtz + x2z2 +... + xnzn
и zlt z2, ..., zn независимо друг от друга пробегают все ком-
плексные значения, по модулю не превосходящие единицы. По-
этому при | z |	1 имеем
\h (z)!	(1 + l)«=-2\
Равенство достигается лишь в том случае, когда все zv равны
между собой, | zv | = 1 и, кроме того, z — zv.
55.	Имеем
следовательно,
% = I хо I2 +1 -И |2 +1 х212 +... -|-1 хп |г «5 1 -|- "Ь (2)	(п)
[I 32]. Относительно достижения равенства рассуждаем, как в 54.
56. Как в 55:
I	I = 2 I XQXV -|- Xi%v+1 +  •  + xn-vxn I
~~~ LW \v) ‘ \1/\v+.l/ ' ' v) \n/J \n4-v/
57. Первое доказательство. На основании 40 и 39
из g (О) 5=0 и /.о = О вытекает
g W = I хо +	+ х2е& + • •  + Хп^ | 2,
|*о12 + Ы2 + |^ |2 + ... + |х„|2 = 0,
т. е. х0 = xL = х2 =... = хп = 0.
Второе доказательство. [L. Fejer, 1. с. 50, второе
доказательство. Как и во втором доказательстве в решении 50,
заключаем, что при
=	(v=l, 2, .... п)
будем иметь
g-(0)+g('&i) + g(t>3) + ...+g(^„) = 0,
т. е.
g (0) =g (^1) =g С&2) =  • • = £('&„) = 0.
Таким образом, gfO) имеет нули 0,' Оу,/02,	и притом
вследствие условия g'('O) :>0 все —двукратные. Согласно теореме 14
отсюда следует, что g(4i=0.
Третье доказательство. Полная индукция. При п=1
Xjcos О +	sin О =	cos (О —О0), tg Оо = ^,
AJ.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
301
и справедливость утверждения очевидна. Так как g (0)^0, то
при п > 1 функция
g* (fl1) = s	— А2 cos 2$ + р2 sin 20 +
+ А4 cos 4'fl + sin 4'fl +... + ^2p cos + Р-2/j sin %P®,
где P = [y]> представляет собой неотрицательный тригонометри-
ческий полином р-го порядка от 2'0, не имеющий свободного
члена. Из g*('&) = 0, g(4)^0 вытекает, что также gr(0) = 0.
58.	[L. Fejer, 1. с. 40, стр. 67—68; 1. с. 50, второе дока-
зательство, стр. 573—574.1 Если д(0)^0, то т>0,Л4>0 [57].
Применяем теорему 50 кЛ-5-^—, соотв. -----м •
59.	[L. Fejer, 1. с. 40, стр. 69.] Применяем теорему 58
к тригонометрическому полиному .
fgWd$.
о '
60.	[L. Fejer, 1. с. 40, стр. 80—81.] Пусть g (О) const.
r-Г	ci	M—g(^)
Применение теоремы 51 к 	, соотв. —дает
Ай -ф- Рй =£= Ao + ^1» VA« "4"	4И — Ao,
]/А;г + рл=С^^у^<Л1ах (m, M).
61.	[O. Szasz, Munch. Ber., 1917, стр. 307—320.] Согласно
теореме 40 можно положить
Л
М — У, (Av cos vO ф- pv sin vO) = I Xo + X±Z + x2z2 +... + XnZn I2,
V = 1
z = ei9. Отсюда [39]
У A^ ф- Pv	2 (| x01 |>xv | +1 x11|
^v+i I + • • • + I -Fz-v 11 Xn I)
(v = 1, 2, ..., n).
Так как, далее, M = | х0|2ф-| хг |2 + .. • +1 хп |2, то
У V
(I Хо I + I хх | ф-.. . 4- I Хп |)2 — (| Хо |2 + | 12 + • • • + | Хп |2) sg
^(п4-1)М-М = пМ. [1180.]
62.	[П. Л. Чебышев, Собр. соч., т. I, стр. 387—469, СПб,
1899; см. L. Fejer, 1. с. 40, стр. 81—82.] Если Р (х) имеет лишь
302
РЕШЕНИЯ
вещественные коэффициенты, то применяем теорему 60 к три-
гонометрическому полиному Р (cos -&) = 21~л cos /г0 + ... *). Пусть
теперь Р (х) имеет произвольные комплексные коэффициенты.
Тогда, отделяя вещественную и мнимую части, мы разобьем его
на два полинома с вещественными коэффициентами:
р (х) = Рх (х) + iP2 (х).
Здесь коэффициент при хп у Р2 (х) будет снова 1, а Р2 (х) будет
(п 1)-й степени. Из соотношения | Р (х) |2 — [Р2 (х)]2 + [Р2 (х)]2 вы-
текает, что в интервале—1 sgxsg 1
Мах \Р (х) | 2s Мах |РХ (х) |	—.
Для того чтобы здесь достигалось равенство, необходимо, чтобы
Р} (х) = 21“”7’n (х) и, кроме того, в каждой точке, в которой | Рг (х) |
достигает максимума (т. е. в п+1 точке), должно быть Р2(х) = 0,
откуда Р2 (х) = 0. Несколько сильнее, чем предельный случай
в III 270.
63.	При линейном преобразовании р——(х — а) — 1 = у интер-
вал asgxsgjp переходит в интервал — 1 =2 у 1, далее, Р (х)
преобразуется в j Q(p), где Q(y) так же выражено через у,
как Р (х) через х.
64.	Мы можем предположить, что |3 > 0, а — —0, d<2p.
Для любого из «допустимых» полиномов Р (х) имеем
Р(Х) + (_1)лр(_Х)	( Q (х2) при четном п,
2	( xQ (х2) при нечетном п,
где Q (£) — полином степени j от | = х2 со старшим коэффи-
циентом 1. Когда переменная х пробегает любой из интервалов
— P=^xsg —	4'=лх<:р, то переменная | пробегает.интервал
[g-j	Тем самым [63], полагая 2 у----—— у	= р, бу-
дем иметь
Мах | Р (х) 12s
^Мах|^Ш=^М|
= Мах | Q (S) | р,
Э=|Мах!(2й)^4р, Г)
*) Рекомендуем читателю вывести основное свойство полиномов Чебышева
Тп(х), формулированное в этой задаче, непосредственно, не обращаясь к три-
гонометрическим полиномам (от противного).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
303
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно. Та же оценка
остается в силе и для щг. С другой стороны, пусть Q0(l) будет
полином степени со старшим коэффициентом 1, для кото-
рого Мах | Qo © I = Н [62, 63]. Положим Ро (х) = Qo (х2) или xQ0 (х2),
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно. Тогда будем иметь
р„^Мах|Р0 (х)||
(=^РН>
смотря по тому, будет ли п четно или нечетно.
В первом случае будет достигаться и притом только для
Р (х) = Ро (х). Действительно, если Мах \Р (х) | = ц, то согласно (*)
будет также
MaxpV^H
следовательно,
=Qo(x2).
Далее, будем иметь
|P(xv) + P(-xv)|_
I 2
в -y + l различных точках xv интервала	Но теперь
_ | P(xv) + P(-Xy) I	|Р(Ху) ] + ! Р (~аФ _„
р |	2	| ===	2
откуда P(xv) — P(—xv). Тем самым полином (п—1)-й степени
Р(х) — Р(—х) обращается в нуль в п + 2 точках, следовательно,
Р(х) = Р(—x) = Q0(x2) = P0(x).
65.	Пусть М = Max | Q (г) | при |г| = 1. Тригонометрический
полином (д+1)-го порядка
неотрицателен, имеет свободный член 1 и член наивысшего по-
рядка — cos (n+ 1) '0 [51]. См. Ill 269.
66.	Если точка Р пробегает любой отрезок прямой g, а Ро —
любая фиксированная точка пространства, то РРи >- РР'О, где Р'й
означает проекцию Ро на g. Таким образом, интересующий нас
«minimum maximorum» может достигаться лишь для тех систем
точек Plt Р2, Рп, которые лежат в одной плоскости с задан-
ным отрезком, соотв. кругом.
304
РЕШЕНИЯ
67.	Из интерполяционной формулы Лагранжа получаем
Xkt f(x) xk2 f(x)	x* /(x)
X ~ f 41) X-X-L + f (x2) x —x2 +•••+/' (xn) x— xn
(fe = 0, 1, 2, ..., n-1).
ak определяем сравнением коэффициентов ’при х41. Далее, при
k — О имеем, разлагая по убывающим степеням х,
1 = /W (<Т0Х~1 + (Т1Х'2+(Т2Х^3 + .,.).
Рассматривая "коэффициент при x h l, получаем рекуррентную
формулу
й0°л+Л Ч" а1Рп -1-Л-1 Ч" • • • Ч"	Ч~ an^h — 0	(/l =& 0),
так что имеем
аояп +	= 0,
«o^+i +а^п +Wn-i	=0.
й0СТ2и 2 Ч" а1р2П-3 4" • • 	= 0,
а0°2л-1 Ч" й1°2я-2 Ч" • • • + йя-1°'/г-2 4" ап°п~1 = 0.
68.	[I Schur.] Пусть нули полинома f(x)-\-e, будут xv = xv (е)
(v=l, 2,	п); при достаточно малом е они представляют собой
дифференцируемые функции от е. Имеем xv(0)=xv, далее из
f[xv (е)] 4- е — 0 посредством дифференцирования получаем
f (xv)Xy(0) = — 1. Применяем к /(х)Ч-е теорему 67, дифференци-
руем по е и полагаем затем е = 0.
69.	Полагаем в (*) (стр. 98) Р (х) = xnf (х.
...хл/(х) и х =— 1. Тогда
2Р 4у)	_ _ Р (—1) _ / 1 \,1 - 1 | / 1 \п х r J.
T(xv)(l+Xv) ~	/(-1)	(	' Х1х2...х„.
V = 1
70.	Пусть Р (х) — рассматриваемый полином,
/(х) = (х-х0) (х-хх)(х-х2)... (х-хД.
Из тождества
Р (х) = У	,
v	f (xv) X —Xv
v = О
сравнивая коэффициенты при хл, получаем
1 = V р (Xv)
L Г (xv) ’
V — О
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
305
откуда
у —1—т>
\ f (xv)l ’
V=0
где М — наибольшая из абсолютных величин | Р (xv) | (v = О, 1,
2, .... п). Имеем дальше
I f (^v) | = I (ХУ Хо) (ХУ Х1) • • • (ХУ ХУ~1) (ХУ *v+l) • • • (XV Хп) I
Sav! (n —v)l,
п	п
2	1	У	1 = 2".
\f (*v) I ~~~ v! (я—v)! — n! *
v=0	v—0
71.	t;(xv) = (-1)v-i-== (v=1, 2,..., n).
И 1— Xy
72.	U'n (xv) = (-	(v= 1, 2,..., n).
1 — Xy
73.	[См. I. Schur, Math. Zeitschr., t. 4, стр. 273—274, 1919.]
При v — 1, 2,.... n— 1 имеем
[1/я-1М(хг-l)]]x=xv = U'n_x (xv)(Xv —1) = (—l)vn;
далее,
l)]^ = + 1 = ±2t/„-i(± l) = 2n, соотв. (— 1)л2п.
74.	|^-(хл—1)] _ ^ne-^-^ne.-1	(v= 1, 2,..., n).
_jX —-
75.	Последнее уравнение утверждает, что старшие члены обоих
полиномов равны между собой. Тогда из предпоследнего уравнения
заключаем, что также вторые члены совпадают, и т. д. Иначе
говоря: положим
Р (%) = аохп + fljX”-1 +... + ап^х + ап
и зададим произвольные числа с0, сп. Тогда из уравнений
р[п} (хп) = п\а0	= сп,
(x„_1) = n!aox„-i + (n- l)!fli	=c„-i,
Р' (Хх) =naox«-1 + (n- l)fl1xf-2'+...4-fl^1 = c1,
Т’(Хо) =й0хл4-а1х”-1	+... + а„_1х0 + а„ = с0
306
РЕШЕНИЯ
коэффициенты а0, а1У а2,..., ап последовательно определятся
однозначно.
76.	[G. Н. Halphen, Oeuvres, т. 2, стр. 520, Paris, Gauthier-
Villars, 1918.] Ал(х) вполне определяется условиями
Ля(0) = А;(1) = Л'(2) = ... = 4п-,)(п-1) = 0, а£° (л) = 1.
Очевидно, А0(х) = 1, Ах(х) = х и вообще Ал(1+х) удовлетворяет
всем условиям, наложенным на полином А^ф.'). Следовательно,
А'п (х) = Ап-t (х — 1).
Из этой рекуррентной формулы посредством повторного интегри-
рования получаем
А„(х) = х-^=^ (п=1, 2, 3,...).
Последующая проверка дифференцированием совсем проста. Иным
способом то же доказано в III 221.
77.	Из теоремы 71 в ее обозначениях имеем
п
2«-1	_____
= ~ Z	1 -^P(xv),
V = 1
2«-1
следовательно, | а01	— п = 2'! \ Равенство достигается здесь
тогда и только тогда, когда
Kb=4P(xv) = (—1)^?, |у|=1 (v=l, 2,..., n).
Этими п-условиями полином (ц—1)-й степени Р(х) определяется
однозначно. Так как, с другой стороны, этим условиям удовлет-
воряет yUn-tlx), то Р (х) необходимо равно yUn-^x).
78.	Сравнивая члены высших степеней в интерполяционной
формуле 73, получаем для высшего коэффициента а0 полинома Р (х)
представление
п— 1
ОП-2	Ол-1
V = 1
Если, следовательно, | Р (х) |	1 в интервале —Is^x^l, то
O/Z-2	2л-1
— 2+— («- 1)=2'"1-
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда
Р(1)=у, Р(- 1) = (— 1)"у, Р (xv) = (—-l)vy, |т|=1
(v=l, 2,..., п- 1).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
307
Этими п+1 условиями Р(х) определяется однозначно. Так как,
однако, и уТп(х) удовлетворяет этим условиям, то Р (х) = уТп (х).
79.	Пусть Р (г) — полином (п—1)-й степени со старшим коэф-
фициентом а0. Тогда [74]
п
«о = + 2 evp(ev).
V = 1
Если, следовательно, | Р (z) |	1 при | z | = 1, то
, , 1
«о НС — • п = 1.
1 и 1 п
Равенство будет иметь место только тогда, когда Р (ev) = ?ev
(v=l, 2, ..., п), |y| = 1, т. e. для P (z) = yzn_1.
80.	Из теоремы 71 при xL = cos x C 1 получаем
n	f
V = 1
т. e. согласно 7 | P (x) | sC n. Равенство достигается лишь для
P(x) = yf/„_i(x), |у| = 1, х=1. Аналогичное положение и при
— ЬСхН4 =— х±. Если же xn^x^xlt п>1, то
81.	[См. М. Riesz, Deutsche Math.-Ver., т. 23, стр. 354,
1914.] Применяем теорему 80 к полиному
P(x) = P(cosfl) = ^.	[9.]
82.	[S. Bernstein, Mem. Belg. 1912, стр. 19 *); см. М. R iesz,
1. с. 81; указываемый здесь прием принадлежит Fejer’y. См.
М. Fekete, J. fur Math., т. 146, стр. 88—94, 1915.] Согласно
теореме 81
|S'(0)| = |g'
83.	[А. А. Марков, Изв. Акад, наук, т. 62, стр. 1—24,
1889.] Применяем теорему 82 к P(cos-O) и 80 к пЛР' (х). Равен-
ство может иметь место, лишь когда n-1P'(х) = yt/„_1(x), |у | = 1,
т. е. когда Р (х) = c+y7\ (х), где с —постоянная. Из неравенства
| с ± у |	1 получаем с = 0.
84.	Интегрируя по частям, получаем
И^-^(х2-l)”Vdx = t^ f (х2-1)" J^cfx,
J \2лп! dxn '	' j	2nnl J '	' dxn ’
-1	-i
*) С. H. Бернштейн, Собрание сочинений, т. I, Изд. АН СССР, 1952,
стр. 25.
308
РЕШЕНИЯ
ибо все производные от (х2 — l)71 низшего чем п порядка в точках
х = 1 и х —— 1 обращаются в нуль. Отсюда вытекает, что выпол-
няется условие 1) [(стр. 102) и точно так же условие 2), так как
вследствие условия 1)
1
(2л)! Г / 1
2я (л!)2 J \2«n! dx.n
(х2 — 1)" j Хп dx —
1
...	(2»)!
22я (л!)2
(1 — х2)п dx.
Условие 3) очевидно. Коэффициент при хп в полиноме Рп (х) будет
k _ (2»)!
" 2я (п!)2 •
85.	Из теоремы 84 по правилу Лейбница получаем
п
У=0
86* Имеем [III 117]
87. Пусть —коэффициент при хп в полиноме Р„(х), kn =
[84]. Представим полином (и — 1)-й степени Рп (х) —
k
хРп^ (х) в виде линейной комбинации полиномов Лежандра:
Рп (х) -	хРп-! (х) = С0Р0 (X) + С1Р1 (х) +. .. + С^Р^ (х).
кп-1
Условие 1) (стр. 102) дает
с0 = Cj =... = сл-з = 0.
Из Р„(1)=1, Ря(—!) = (—!)« [85] получаем с„_2 и с„_х.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
309
88. Если бы существовал еще полином S„(x), обладающий
тем же свойством, то мы имели бы
J [S„ (х) — S„ (х)]2 dx —
— i
i	,
= S„ (х) [Sn(x) — S%(x)]dx — З'й (х) [S„ (х) - S*n (х)] dx =
— i	—i
= S„(1)-S*(l)-[S„(l)-S*(l)] = 0,
t. e. S* (x) = Sn (x). Положим теперь
Sn (x) = 2 sv^v (x), К (x) = 2 tvPv (x).
v=0	v=0
Для того чтобы уравнение
J Sn(x) К (х) dx = 2 ^pTsv?v==7<(I)= 2 iv
—1	v=0	м=0
удовлетворялось тождественно для всех i0, tlf tn, необходимо,
2v+l
чтобы sv = ——, t. e.
S„ (X) = 4 Po (x) + 4 Pl (x) + 4 P2 (x) +... +	Pn (x).
Пусть, далее,
(1 — x) Sn (x) = u0P0 (x) +	(x) +... + unPn (x) 4- u„+1Pn+1 (x).
Из уравнений
i
§ (1 — x) S„(x)xvdx = Q (v = 0, 1, 2, ..., n— 1; n^l)
— i
заключаем, что u0 =	. = un-i — 0. Полагая затем x = 1 и
x = — 1 и замечая, что
Рл(1) = 1, Рга(-1) = (-1)л,
Зп(1) = -Ц^,	=
получаем
п
s„ w = 2 pv W = Рп(х)^И'
v = 0
(формула Кристоффеля).
310
РЕШЕНИЯ
89. Полагаем в 88 К(х) = (1 — x)xv. Тогда будем иметь
1
$ (1 — х) Sn(x) xv dx = 0 (v = 0, 1, 2, ..., /i—l; n2sl).
— i
Далее [решение 88]
i
(l-x)[S„(x)]2dx =
-i
1	n
= J [P„(x)-P„+1(x]](2^^v(x))dx =
— 1	v—0
= n+1.^+1 j p„«^=2+l.
— i
90* Интегрирование no частям дает
i	i
C xv^((l-x3)P;(x))dx=— (1 — x2)P’n (x) vx^1 dx =
-1	-i
i
= J P„(x)^((l-x2)vx^1)dx = 0 (v = 0, 1, 2, n—1),
— 1
t. e.
^((l-x2) PHx)) = cP„(x),
где с—постоянная. Эту постоянную определяем, например, срав-
нивая члены n-й степени.
_ 1
91* Коэффициент при wn в разложении (1 — 2xw-\-w2) 2
по возрастающим степеням w будет во всяком случае полиномом
n-й степени от х с положительным старшим коэффициентом
[стр. 102, условие 3)]. Обозначив его через Р„(х), будем иметь
тождественно относительно и и v
СО СО 1	1
2 2 J р-« р‘«	\	“
. 	ОО
1 . \+Vuv	V	2	.
“ Vm П ~ 2n+l U V
[стр. 102, условия 1), 2)]. Производящий ряд можно вывести
также непосредственно из 84 [III 219].
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
311
92.	а) Читаем III 219 в обратном направлении.
б)	[III 157.] В обратном направлении вычисление производится
следующим образом:
У — (х + Ух2 — 1 cos ср)'1 dcp • wn — — ( -—-——------г—.
л J	Л ,) 1 — (x-l-gx2—1 COS <Г;) К)
л = 0	О	О117
Но при достаточно малых w и х>1 этот последний интеграл
1
равен (1 — 2xw-{-w2) 2 [III 149, п = 0].
в)	Положим F (х, w) = У, Pn(x)wn. Тогда
л=0
У [пРп (х) - (2п - 1) хРп ! (х) + (п - 1) Рп_г (х)] ш'11 =
п = 2
= (1 - 2xw + ay2) + (ау - х) F = 0.
г)	S [(1 - л'2) W ~ 2хР" + п (п + 1) Рп (*)]w” =
п =0
,. d-F „ dF . д2 (©Л А
= (1 —х2) -д-r — 2х-~:—[-W——— = ().
v ' дх1 дх 1 ды-
93.	Из 91 вытекает
_______1_________ 1 1 _
]/Т—2 cos А,-© + ©3 У1 — eif>w
ОО	00
= / у .1.-3.„(2^-1) Л / у
(Zl	-2-4.,.2/г е AZl	2-4...2/ е )'
k=o	1=0
Отсюда, перемножая [I 34] и сравнивая коэффициенты, будем
иметь
Рп (cos а) = gogn cos п® + cos (n - 2) О 4-
+ gign-2 cos (n - 4) fl +... + gng9 cos nfl,
где для краткости положено
.	1  3...(2n —1)	,	1 г> q ,
go—1> gn— 2  4 ... 2n (n—2> 3>
Отсюда
I Pn (COS fl) Кgogn + gign-! + g.2gn-2 + . . . + gngo = Pn (1) = 1 -
Равенство может иметь место только в том случае, когда rafl,
(п — 2)#,... все одновременно будут четными или нечетными
кратными л, т. е. только при А —/гл, где k — целое.
312
РЕШЕНИЯ
94к Положим х = 1+g, £>0. Тогда
1 + У [Рп (х) -	(х)] wn = -7=2^.= = —=L=. =
п-1	У 1	(1-^)2
- 1 _L V 1 • 3 ... (2n—1) / 2?а> U
1 *“ Z 2-4...2П \(1 —ш)2 J •
n= 1
Степенной ряд w (1 — &y)“2 = u>-f- 2w2-j-3w3-j-... имеет лишь поло-
жительные коэффициенты.
95.	[L. Fejer, Math Ann., t. 67, стр. 83, 1909.] Согласно 17
и III 157
Po (cos &) + Px (cos &) + P2 (cos &) -j-... + Pn (cos ft) =
2 p (sin(n+l)-^?
= — I —— z — dt.
Я (j sin -g-У 2 (cos fl' — cos t)
96.	При x;s-l P«(x)>0. При x<—1 sgnРл(х) = (—l)ra и
| Pn (x) | = | Pn (—x) | монотонно возрастает вместе с п [94]. Рп (—1) =
= (-1)" [85].
97.	Частный случай теоремы II 140 для « = —1, & = +1,
/(х) = Рп(х). Можно другим способом: из 84-и V 58, или из 85
и V 65, или из 90 и III 34, или же из 90 и V 120.
98.
а)	(1 -х)“(1 +х)₽Р<“- й (х) =	((1 -х)^(1 +#5
Коэффициент при хп в Р^’ (х) дается равенством
ь [_/'2Л+а + Р\
к,г ~ 2« (	п j'
п
б)	!)"/>?	= 2
V = 0
откуда
(_ ₽) (_ 1) =( 'г + ^, ₽) (1) = + « ).
В) Р^’₽)(х) =
= j (х+У^х2 - 1 cos ф)га (1 + У У х
о
х О+KW?
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
313
где к лежит в любой точке плоскости вне интервала [—1, 4-1].
При этом для квадратных корней, а также а-х и Р-х степеней
берутся те ветви, па которых эти корни, соотв. степени, при
х>1 и ср = 0 положительны; при OixSsO а должно иметь целое
значение (0 произвольно), при ЙИхгСО р должно иметь целое зна-
чение (а произвольно), при мнимых значениях х формула спра-
ведлива без ограничений.
Г) р) (х) = (Др,х + В^ р>)	(х) - с'“’ ®Р№ (х),
д (а, Р) (2п —}— ос —|— Р) (2п —|—ос —}— — 1)
п —	2л(/1-|-а + Р)
п(а, р) ;«2-Р2	2я + а + р-1
п 2п (я+а + Р)(2/г + а + р-2)’
<>(«> Р)  (п + « — 1) (« + ₽— 1) (2/г-[-а + р) , „ „ .	,
,г —	п (п+а+₽) (2п + а + р-2)	• • )
д) Пусть S)?’Р) (х) — полином n-й степени, обладающий тем
свойством, что для любого полинома К (х) п-й степени
$ (1 -х)“ (1 +x)3 * * *S<“- (х) К 1х) dx = К (1)',
тогда
e'a, ₽) (v\ _ "V 2V + K + P + 1 Г (v+a + P +1) p(a, р) , , _
°" W	2“+р+т	Г(а + 1)Г(у-|-Р + 1) v
v — О
р(«. ₽) (И п Д~ 1 p(a, Р) аа
1 ;г+ «4-1	Г (я + a + р + 2)	п ' ' п + a + 1 п + 1 2
— 2«ПЗ 2п + a + р + 2 Г(а + 1')Г (« + Р+1)'
(формула Кристофелля).
е) ^(l- х)^1 (1 + х)₽ S£’ ₽) (х) S'?’₽) (х) dx =
—1
!0, если т^п,
2-а-₽	Г(п+а+2)Г(п+а + Р + 2)
[Г(а+1)Р(2« + а+Р+2)	г (п + 1) Г (л+р + 1)	’
если m = n; т, п = 0, 1, 2, ...
ж) (1 - х2) Р'а’ р>" (х) + [р - а - (а + р + 2) х] Р,(? рг (х) +
+ п (п + а+ р + 1) Р'а’ ₽) (х) = 0.
з)  -Х-^+(1-^+К1 — 2хйу + ау2)'ах
' /1-2х^ + ш2К	7
х(1 + г^ + ]/1 — 2хд>+ д>2)Р =
= р<а’ Р). (X) + /><“ р) (X) W + Р'а’ (х) и? +... + р'а’ ₽> (X) Wn +. . .
314
РЕШЕНИЯ
и) Нули полиномов Якоби —вещественные, простые и лежат
внутри интервала [—1, 1].
Доказательства аналогичны приведенным в 84 — 91, 97, При
доказательстве в) записываем сначала б) в форме
_ у
интегрирование производится вдоль окружности [ z | = 21 х2 — 11 2 ’
подинтегральная функция регулярна внутри и непрерывна на этой
окружности (n^sl).
99.
а)	е- - x“L<a) (х) = ~ е~ *х«+“.
Коэффициент при хп у полинома L™ (х) есть
б)
Rn п\ ’
п
V—0
отсюда
г)	пЛ<“> (х) = (— х+2п + а - 1) L&>_, (х) - (п-|- а - 1) L<^_ 2 (х)
(п = 2, 3, 4,
д)	Пусть S<a) (х) — полином п-й степени, обладающий тем свой-
ством, что для любого полинома К (х) п-й степени
о
(х) К (х) dx = К (0),
Тогда
s№ =
1 п
г (а 4-1) 2
v =0
п+а +1 п v '
X

{формула Кристоффеля).
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
315
е)	$ е~ Xx^+1 S^> (х) S@> (x)'dx —
о
О,
<%+l Zn + a+iy
Г(а + 1Д п )’
если /п=/=п,
если т = п
(т, п = 0, 1, 2, ...).
ж)	х1фф>" (х) + (a + 1 - х) L™' (х) + nL™ (х) = 0.
XW
1__jjD
з)	wW w+L*a> W да2+• • •+wn+-
и)	Нули (обобщенных) полиномов Лагерра — вещественные,
положительные и простые.
Доказательства аналогичны приведенным в 84, 85, 87 — 91, 97.
100.
— —	1 dn — —
а)	в 2Нп(х)=^е 2.
Отсюда посредством дифференцирования получаем
Н'п(х) — хНп (х) = (п + 1) Нп+1 (х),
откуда вытекает, что у полинома Нп (х) коэффициент при хп есть
г) пНп(х) = — хНп1(х) — Нп_2 (х)	(п = 2, 3,4,...).
д) Пусть S„ (х) — полином п-й степени, обладающий тем свой-
ством, что для любого полинома п-й степени К (х)
е~'2 Sn(x)K(x)dx = K(O).
— со
Тогда
е /у\  1 V' (- 1Р Н (v\ ')P+1 (2p~|-l)l Hzp±i (х)
d"W“)/2n^	' 2Vvl n2vW	2Рр! х
v.=0
где Р = (формула Кристоффеля).
ж)	Н'п (х) — хН'п (х) -ф пНп (х) = 0.
з)	е~ха>~ 2 =Я0(х)4-Я1(х)щ4-Д2(x)w2 + ... + Hn(x)wn + ...
и)	Все нули полиномов Эрмита — вещественные и простые.
Доказательства а), г), д), з), и) аналогичны приведенным в 84,
87, 88, 91, 97; ж) вытекает из а).
316
РЕШЕНИЯ
101. Следует из решения 98 6); именно, полагая
имеем
р-^Дп-v) (/-1)" (n-v)l
[решение 99 6)].
СО . X2 /	1 \
102. J	= ° (* = °> Ь 2> •••> <7- 1),
— со
так как подинтегральное выражение представляет собой нечетную
функцию и
оо __х2 / М
е 2 Lq 2 ' (у-j х№ dx —
— со
Й4-1 ?	(_Г)	А-±
= 2 2 у~УЦ 2'(у)у 2 dy = O (£ = 0, 1, 2, ...» 9-1)
о
согласно определению полинома L} 2 (у). Следовательно,
/ м
2 (-у)= const-W •
Аналогично показываем, что
/п
xb\2'	= const. Я2?+1 (х).
Постоянные множители определяются путем сравнения коэффи-
циентов при х2?, соотв. х2?+1 [решение 99 а), 100 а)].
103. Полагаем
п	_____
г«=2г’У
v = o
Тогда
$ [P(x)]3dx=^ + ?l + ?l+ ... +£ = 1.
_1
Далее, согласно 1180
п п	п
2 4J-[pv(x)]2=2 -^Pv«.
V = o v= 0	v = o
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
317
Равенство при произвольном х = х0 достигается здесь лишь при
условии 
=	/\(хо) (v = 0, 1, 2, .... п),
где t определяется так, чтобы выполнялось условие
/о+^ + ^+ ... +^=1.
См., кроме того, 93.
104> Полагаем
П	---
р(х)=2 s>
v —О
Тогда
j (l-x)[P(x)]2dx=^ + *i + ^ + ... +tn=l [89].
— i
Далее, согласно II 80
п п~	п
v = 0 v = 0	V = о
Имеем [решение 88]
Зл(1) = ^±^, 5„(_1) = (-1)«Д±1.
Г 2
Границы достигаются при —	Sv(±1)- (v = 0, 1, 2, ...
n), где t в обоих случаях определяется так, чтобы выпол-
нялось условие
%+%+%+ ... +£=1.
105а Имеем [103, решение 98 д)]
Max[/>(W = S'“»'(l) = ^ySitbti_x
, J Г(л-ра + Р + 2)	! »+ 1 n(a. Р)' /1\ _ р(«. Р)' /1 Л
Х Г (а-(-1) Г (« + ₽ +1) \п + «+1 Гл + 1 п
Из решения 98 ж) и б) получаем
п(“. Р)'/1\	л(л + а + Р+0 р(а, Р)/<\  п(л+а + Р + ') /«4-а\
2(а-Н) n	2(а+1). п j
и следовательно
Max[P(l)]2 = S^ р)(1) =
__	1 Г (« + «4-2) Г (п+а + Р + 2)
~ 2«+Р+» Г (а+1) Г (а-]-2) Г («+1) Г (« + Р+1)
1	«2а+2
2«+₽+1 Г(а+1)Г(а + 2) *
318
РЕШЕНИЯ
Далее
Max [Р(— l)]2 = S^a)(l)=.
__	1_________Г (я Р ~Ь 2) Г (гг —[- ос [3 —|— 2)_
~ 2«+р+1 г(Р+1)Г(,6 + 2)Г(«+1)Г(п + а+1)
1	И2!' 2
~ 2«+Р+1 Г(₽4-1)Г(₽ + 2) ‘
При сс=1, р — 0 получаем 104.
106* Получаем так же, как в 103 [99],
Мах [Р (О)]2 = S(„a) (0) = Г(а+1)(г^+^)Г(я+1) ~ Г(а+1)Г(а + 2)’'
107.	Имеем [103, 100]
Max [Р (О)]2 = S„ (0) =	H'p+l (o) =
1	l-З... (2p+l)
У 2л 2-4... 2р
Согласно II 202
Мах[Р (0)]2 = S, (О)~|]Лг.
108.	[F. Lukacs, Math. Zeitschr., т. 2, стр. 299, 304, 1918.]
Частный случай неравенства ПО для а=р = О. При доказатель-
стве опираться на 103, 104, но не 105.
109.	[F. Lukacs, 1. с. 108.] Достаточно доказать одно из
этих неравенств: заменяя Р (х) на — Р(х), получим другое. Далее
можем принять, что т — 0. Пусть ас.i<.b, тогда [108]
I	ь
P^C~±7y\P(x)dx, P(t)c^^P(x)dx.
а	Ё
Отсюда следует
ь	ь
Р(|)^-^1-С P(x)dx,	\ P(x)dx.
 # — a j v '	b — aj ' '
a	a
110.	Полагаем [47]
P (x) = [Д'« + (1 - x) [6 (x)]2 + (1 + x) [C (x)]2 + (1 - x2) [О «,
где A (x), В (x), C(x), D (x) — полиномы соответственно степеней
[тН 1^]=’-1' Ш-1'-’-1'
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ
319
Полагая S^2'р) (1) = S(na’₽), согласно 105 имеем
Р (1) = [Л (1)]2 + 2[С(1)Г<;
< S<“’₽) $ (1 - хр (1+ х)₽ [А « dx +
-1
+ 2S'°i? + 1> j (l-xHl+x^fCWJMx^
— 1
^Max [S<®’₽), 25(Д₽1+1)]	(1 -x)“ (1 +x)P P (x) dx^z
sgMax [Sp“'₽), 25^4 +°].
111.	Полагаем [45]
P (x) = [A (x)]2 + [B (x)]2 4- x {[C (x)]2 + [D (x)]2},
где A (x) и В (x) — полиномы степени = p, С (x) и D (x) — сте-
пени ”4 ]• Полагая Spa) (0) = Sp“’, согласно 106 имеем, следо-
вательно,
P (0) = [Л (О)]2 + [В (О)]2 < S'a) f х^ {[Л (х)]2 + [В (х)]2} dx <
о
<	f е--ххаР (х) dx = S'a).
о
112.	Частный случай неравенства 111 при а = 0.
113.	Применяем 112 к полиному
P(x+g)
j е~* Р (x + t)dx
о
Имеем
!) Je-*P(x+B)dx = ([|]+ ^e^e~xP(x)dx^
7 о	I
^([т]+ 1)el-
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
1* Перестановка номеров двух вершин сводится к одновремен-
ной перестановке пары строк и пары столбцов. Приписывая про-
тивоположным вершинам октаэдра номера, отличающиеся на 3,
получаем определитель
0 110 11
10 110 1
1 1 0 1 1 0	„
0 1 1 0 1 1 —
10 110 1
110 110
Определитель для тетраэдра равен —3, для куба равен 9.
2.	Умножаем первую строку на — аг и складываем со второй.
Посредством полной индукции получаем
(fli-bi) (a2 — b2)...(an — b„).
3.	[Cauchy, Exercices d’analyse et de phys. math., t. 2,
2-е изд., стр. 151—159, Paris, Bachelier, 1841.] Вычитаем послед-
нюю строку из всех предшествующих. Тогда из столбцов выносятся
за знак определителя множители
1 1 1 1
ал + ^1 ’ ал + ^2 ’	’ °л + ^л-1 ’ ап~\~Ьп ’
а из строк — множители
ап - alt ап-а2, ..., ап - а„_х, 1.
В остающемся определителе вычитаем последний столбец из всех
предшествующих и выносим из столбцов и строк соответственно
множители
hj, bn h2, ..., bn bn~i, 1,
ai + bn ’ a-2 + bn ’ ''' ’ a-n-i + bn ’
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
321
Тогда остается главный минор, имеющий тот же вид, что и задан-
ный определитель, только порядком на единицу меньше. Затем
применяем полную индукцию.
4.	Частный случай задачи 3 для щ, = Х,	= p + Имеем
Dn (а) = [112! ... (п- I)!]2
Г (2+а) Г (3+а)... Г (п +1 +а)
Г(п + 2 + а) Г (n + З+а) ...Г (2«+l-f-a) ’
5.	Построчное перемножение [см. также II 51, VIII 2] опреде-
лителей дает
>н»	•••>	1 !•
Щ Pi«i р2а?
Pj Pl«2 P2«s
I Pi Pi ...
1 p2 p; ...
Ро Р1*п Р&п ...
1 рл Рл ...
avi a?2 ... a&i
ii i
p^ p?... p*«
p? ₽?•••₽?
%Рф2-"Рчп
V,.	V.	v„
; i a 2 ... a «
n n	n
Суммирование распространяется на все группы неотрицательных
целых чисел vx, v2, ..., vn, 0sCv1<v2<...<v„. Все слагаемые
последней суммы неотрицательны. Если среди чисел р0, ри рй, ...
по крайней мере п не равны нулю, то в числе слагаемых будут
также положительные.
7.	[A. Hurwitz; см. О. Holder, Leipz. Вег., т. 65, стр. ПО—
120, 1913.] Вычтем в определителе D(x), полученном в резуль-
тате прибавления х ко всем элементам исходного определителя, пер-
вый столбец из всех последующих. Тогда х останется только
в первом столбце, и поэтому D(x) есть линейная функция от х,
D(x) = D-\-xh. При х — —а и х =—b D(x) приводится к произ-
ведению элементов главной диагонали:
D-Aa = (r1 —а) (г2 —а)... (r« —a)=f (а),
D-\b = (г2- b) (r2-b)... (rn-b)=f(b).
В случае b = a [М. Roberts, задача, Nouv. Ann., серия 2, т. 3,
стр. 139, 1864] определитель равен / (а) — af (а), что, впрочем, и
непосредственно нетрудно усмотреть.
11 Г. Полна, Г. Сеге, ч. П
322
РЕШЕНИЯ
8.	[Т. Muir, Amer. Math. Monthly, т. 29, стр. 12, 1922.]
Вообще имеем
д (ф/г. фА..........ф/п) _ „п-i
д (xlt х2, ...,. хп) т
ф	h	fi ••	fn
<Э<р	dfi	df.	dfn
			
дх.	dxi	dxi "	дх^
д(р	dfi	df2	dfn
			
дх2	dx2	dx2	dx2
дер	dfi	df?.	dfn
			
<*П	dx„	dx„ "	dx„
В применении к нашему случаю определитель равен Л3, умножен-
ному на
ad — be а b с
— d 1 О О
с 0 1 О
6 0 0 1
— а О О О
d
О
О
О
1
= ЗА.
9.	[Задача, College d’Aberystwyth; Mathesis (2), т. 3, стр. 79,
1893. Решение —R е t а 1 i и др., там же, стр. 172.] Рассматривае-
мый определитель в случае вещественных /, т, п принадлежит
квадратичной форме
(р-2) (%2 + ^ + 22) + 2(f+ ^-4--^) (lx + my + nz),
при р = 2 равной
Ст	т)	Пг^ ~
\ 4>	I ь J
1 Г/ 1	\	/1	\	/1	\ 12
= 2“[(т + Т + (^+тк+\п +'TJ “
1 г/1 Л , / 1	\	,	fl \ I2
— ТГ т--'и+--------ГП]У + [--n]z\ .
2 Lv / \т Г ' \ п J J
Таким образом, ранг ее при р=2 меньше чем 3 (он равен 2, за
исключением того случая, когда /2 = т2 = н2; тогда он равен 1).
Полагаем, далее, р = (р —2)4*2 и разлагаем по степеням р —2.
Получаем
(р — 2)3 4-(2 4-2 4-2) (р — 2)2 4-
==(р-2)з + б(р-2)24-(9-Р)(р-2),
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
323
где
₽=Д+т»> +4)
Два остальных множителя суть
р + 1-УР, р+1+/р.
10.	Определяем значение неизвестной (—из системы
уравнений
(v=l, 2, ..., п).
11.	Из соображений непрерывности можно ограничиться случаем,
когда полином anzn -ф a1z’l~A + • • • + ап имеет п различных нулей.
Обозначим какой-либо из этих нулей через z и положим
@qZ>1 1 — Хо,	CL]Zn =	Cl2Zn 3 = Х2, •••» ^л-2^-=^л-2’ ^л-1 = ^л—V
Тогда числа	х0, хх,	х/г^ удовлетворяют однородной системе
(г + Дк)^ + ^х1 + ^-х2 + ...+ -^х^2 + ^хя_1 = 0,
\ “о /	“1	“2	“л-2	“л-1
-•^-xo + zx1 = o, --^•x1 + zx2 = o, ..., --^хя_2 +2X^ = 0,
“О	и1	иП-2
определитель которой должен быть равен нулю. Таким образом,
предложенный определитель представляет собой полином n-й сте-
пени относительно г со старшим коэффициентом 1, имеющий те же
ну ли, что и aozn + a^z”-1 -ф... -ф ап.
12.	Дело сводится к исследованию ранга матриц
(О	—а3	а2\	[	0	—а3	а2	Ьд
а3	0	— “i \	I	а3	0	— си	b2\
—а2	а±	° ’	\	~~~а2	°1	О	Ъ3 I ’
С3 /	\	^2	«3	/
Первая из этих матриц содержит четыре определителя третьего
порядка со значениями соответственно
а1 (ai ~Ьй-2~Ьйз), —а2 (а1 “Ь ai “Ь ал), а3 (а1 4* а2 4* аз) > 0;
очевидно, она имеет либо ранг 0, либо ранг 3. В первом случае
условием совместности является &1 = &2 = Ь3= с = 0, во втором
a1b1Jt-a2b2 + a3b3 = Q. Если четыре уравнения совместны, то в пер-
вом случае хх, х2, х3 совершенно неопределенны, во втором — имеют
вполне определенные значения. При знакомстве с векторным умно-
жением результат очевиден.
11*
324
РЕШЕНИЯ
13.	Имеем тождественно по z
l + n;">z + ai">z! + ...+uJ;»z’ = ^l -i) (1
СО
Так как бесконечное произведение JJ (1 — равномерно схо-
п — 1
дится в каждой ограниченной области, то то же имеет место и для
последовательности полиномов
l + u^z + u^z2 + ... + u(^zn (« = 1, 2, 3, ...).
Отсюда вытекает, что
lim uW =и.
К	К
П—ЮО
существует для всех k (k=l, 2, 3, ...) и
СО
1 +«хг + «2г2 + ... + илгга + г.. = ГТ(1	[I 179].
 я \ “п /
п= I
Эта функция, вообще говоря, отличается от заданной множите-
лем е£(г), где g-(z) —целая функция.
14.	Мы получаем (имеются в виду определители 2п-го порядка,
а не 2-го, с элементами |аХц|, | — Кц|» I I» KJ)
I (aZ|i) (—- ) I _ I (а/.и + ibkji) (— b}^ + ia^) I _
I (Ъ.ц) (а/.ц) I I d’/.ii)	(ащ) I
-1ы"’ («.'-<W\='“•*+I  1 “-»- '=А‘+В!'
где положено \aKll-\-ibKv,\= AA-iB, А и В — вещественные. Обра-
щение в нуль суммы А2 В2 равносильно одновременному обраще-
нию А и В в нуль.
15.	[G. Rados, задача, Math, es phys. lapok, т. 15, стр. 389,
1906. Решение —М. Fekete и др., там же, т. 16, стр. 310, 1907.]
Произведение слагаемых апа22а33, а12а23а31, а13а21а32 равно по абсо-
лютной величине и противоположно по знаку произведению трех
остальных.
16.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 20,
стр. 271, 1913. Решение —G. Szego, там же, серия 3, т. 21,
стр. 291, 1913.] Если бы были требуемые знаки, то согласно
гипотетическому закону мы имели бы | е>.ц |а,, ц-i, 2, ...,« = »! в проти-
воречие с неравенством Адамара, согласно которому |еА(Х|?„и_1>2.„ С
п
^п2 [Kowa lewski, стр. 460], ибо, начиная с п = 3, пп < (и!)2.
Впрочем, достаточно доказать невозможность лишь для опреде-
лителей третьего порядка [15].
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
325
17.	Пусть знаменатель будет z7 — qz?-1 — c,z?-2 —... —Су. Про-
изведение
(а0 -ф aiz + аА2 + • • • + ап^п -ф...) (z? — c1z?-1 —... — c?)
есть не что иное, как полином степени р— 1. Поэтому в разложе-
нии этого произведения коэффициент при г?+я
• • • @-n±qCq — 0	(*)
при n = p — q, p-q-\-\, ..., если p>-q, и при и = 0, 1, 2, ...,
если p^q. Из совместности q-ф 1 линейных уравнений (*) при
n = k, &-ф1, &-ф2, ..., k + q вытекает, что А1?+1, = 0.
18.	Из <нч) = 0, Ап’ =# 0 вытекает, что £/г+? (х) линейно за-
висит от L„(x), Ln+itx), ..., L^+y-Jx) [Kowalewski, стр. 53].
Поэтому при n^d Ln(x) линейно зависит от Ld(x), Lrf+1(x), ...
..., La+g-iix), и уравнение Ln(x) = 0 удовлетворяется общим ре-
шением q уравнений
Lrf (%) = 0, Ld+l (х) =0, . . . , Lid+q-x (х) = 0.
Так как А^+^О, то эти уравнения имеют решение вида
Xq = 1, Xj Ср =	С2, ... , Xq = Су.
Но это означает обращение в нуль коэффициентов при z?+rf,
z74^1, ... в произведении
(«о -ф a±z + п2г2 +...) (z? - с^-1 - c2z?~2 —... - сг).
19.	[Коwа 1 еwski, стр. 80, 109.]
20.	В силу теоремы 19 из предположения вытекает
(дЫ)	Гд(«) I2— д® д<’>
.... (А^-^А^-ИЙ’-н, (А^^А^-хА^
Таким образом, обращение в нуль одного из t рассматриваемых
определителей q-ro порядка влечет обращение в нуль каждого
соседнего определителя. Еще нагляднее —из 22.
21.	Ясно. Пример: А^3).
22.	[A. Stoll.] 1) вытекает из 19, 2), 3) —из 19 и 1). Сле-
дует обратить внимание на «крестообразное» расположение пяти
определителей задачи 19 в схеме 21. Для доказательства сохране-
ния в силе свойств- 1), 2), 3) также на крае схемы, приписываем
перед а0, alt а2, ... и соответствующий наклонный ряд перед
схемой 21.
23.	[См. Ё. Borel, Bull. d. Sc. Math., серия 2, т. 18,
стр. 22—25, 1894.] Если в первой строке схемы 21 содержится
326
РЕШЕНИЯ
лишь конечное число элементов, отличных от нуля, то степенной
ряд а0 + ayz + a2z24-..• приводится к целой рациональной функ-
ции. В остальных случаях в результате повторного применения
рассуждения задачи 20 получаем, что существуют два таких це-
лых числа d и q, \^q^k, для которых выполняются предпо-
ложения задачи 18.
24.	[L. Kronecker, Monatsber. d. Akad. Berlin, 1881,
стр. 566—567.] Посредством повторного применения 22, 1) при-
вести к 23.
25.	[G. Polya, Math. Ann., т. 77, стр. 507, 1916.] Посред-
ством повторного применения 22, 1) привести к 23. Условия, на-
лагаемые на определители в задачах 23, 24, 25, перевести на язык
схемы 21.
26.	См. 27.
27.	Если ранг конечен, то все определители задачи 23 для
достаточно большого k обращаются в нуль и, следовательно, сте-
пенной ряд представляет рациональную функцию. Пусть, обратно,
степенной ряд представляет рациональную функцию. Будем при-
держиваться обозначений задачи 17 и рассмотрим линейную форму
^Л (л-) =	4“	4“ Й-л+2-^2 4" • • •
с произвольным (однако не бесконечно большим) числом перемен-
ных. Вследствие уравнений (*) решения 17 будем иметь
Х,г.'г1 4~ С3Уг -2 4" • • • 4" Cqh'n-Vq
для n — d, d4-l, d4-2, ..., поэтому формы Arf+1, ..., Xrf+V
(y^q) зависят от q последних из них. Так как, таким образом,
между любыми q 4-1 из этих форм существует линейная зависи-
мость, то все содержащиеся в определители порядка q-\-l
равны нулю.
28.	См. 29.
29.	Пусть, согласно предположению задачи 28,
Ао₽+1) = 4р+2)=4₽+3)=...=о,
А^ = А^-0 = <-2) = ... =	= 0, А<1 ,+1 ф 0.
Примем для определенности, что
0 < <7 <р.
Из этих предположений, принимая во внимание положение выше-
стоящих определителей в схеме 21, получаем согласно 22, 1), что
Ар4_ч^=0,	0,	0, ..., |
A^-i^O, 4<’Л1) = 0, А'?±Л1 = 0, ... J
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
327
Иными словами, в окаймлении бесконечной трапециевидной, состоя-
щей лишь из нулей полосы в схеме 21 все определители отличны
от нуля.
Согласно 23 степень знаменателя ^q; см. вторую строку в (**).
Согласно ’17 степень знаменателя Ss q\ см. первую стро-
ку в (**).
Нетто-ранг sg ранга матрицы следовательно, q согласно
решению 27.
Нетто-ранг ^q; см. первую строку в (**).
Согласно 18 степень числителя -<zq-\-(p — q)—l; см. (**).
Согласно 17 степень числителя >q + (p — q— 1) — 1, так как
Ранг матрицы равен точно q, следовательно, ранг £)0 во
всяком случае ^q + lp~ q)-
Брутто-ранг, равный рангу §0, будет >^р, ибо Аор) =#0.
ЗО> [Е. Веке, Math, es term, ert., т. 34, стр. 25, 1916.] Ука-
занное свойство степенной ряд ~zn имеет тогда и только тог-
п=0
СО
да, когда ряд anzn представляет рациональную функцию. [24,
п = 0
26.] В обоих случаях речь идет об одних и тех же рекуррентных
формулах между коэффициентами а0, alt а2, ...
31.	[G. Polya, Proc. bond. М. S. (2),т. 21, стр. 25—26, 1922.]
Сложением строк и столбцов. По поводу случая Q„(z) = (l — z)n,
n = 0, 1, 2, ..., см. Kowalewski, стр. 112.
32.	Так как числитель имеет степень ^q—i, то.аяс? +
+ ая+1с?_14-ая+2сг_2-|-...4-ая+?_1с1 = ая+? (n = 0, 1, 2,...). Таким
образом, в результате умножения Х-й строки (столбца) матрицы
на ц-й столбец матрицы 6 получаемаот+иц-1, Ъ 1, 2, ..., q,
и следовательно = 2lm+1.
33.	Пусть ранг будет г и
aivx aiv2 ••• aivr
a2Vy	•   a2Vr , Л
OrVj arv2 • • •
O=cv1<v2<...<v/.. Если Cif1(2) + c2f2(z) + ... + cr/r(z) = 0, TO,
в частности, коэффициенты при z\ гЧ ..., zvr в левой части
должны быть равны нулю. Это дает г однородных линейных
уравнений с не равным нулю определителем, откуда с1 = с2 = ...
... = сг = 0. Если т>г, то полагаем alvx1 + a2Vx2 + ... + arvxr +
+ ar+1,vxr+l = Lv(x). Любое число линейных форм Бг, L2, ..., Ln,
по предположению, линейно зависит от LVi, L-^, LVr
328
РЕШЕНИЯ
[Kowalewski, стр. 53]. Существует система значений
х2 = с2, .... хг = сг, хг+х =—1, удовлетворяющая уравнениям
Ц (х) = 0, Lv2 (х) = 0, ..., LVr (х) = 0.	(*)
Для этой системы любая форма Lv(x) обращается в нуль, т. е.
тождественно относительно z
cifi (z) + c2f2 (z) +... + crfr (z) = fr+1 (z).
34.	Из 33 и определений. В частности, принимаем во внима-
ние, что существует такое N, что матрицы, получающиеся из ')Л
(стр. 118) путем вычеркивания N, соотв. ЛТД-1, N -ф2,... столбцов,
все имеют один и тот же ранг, а именно нетто-ранг матрицы 2DI.
35.	[I. Schur, J. fur Math., т. 140, стр. 14, 1911.] Доказа-
тельство изложим при более ограничительных предположениях.
Существует такая ортогональная матрица (/>ц), что первая форма
допускает разложение
п п	п
У	= GvlM 4~ ^v2-^2 4~ • • • 4" Л'пАг)2,
Л=1ц=1	V—1
где /гх, h2, ..., hn — положительные, однозначно определяемые фор-
мой числа —ее собственные значения [Kowalewski, стр. 275].
Из равенств
п
V = 1
полагая A = Min(/ix, h2t ...» hn), получаем
n n	П	/ fl n	x
ЯлцЬлрЛдХц — S 4 S (^vXAa.) z 5s
X = i |x=i	v—i |a — 1ц=1	)
nn	tn	\
S S	Iv^vjx ] == (^iiM 4* Ь22х2 4~-.bnnXii)
Z=1U=1	\v = l	/
36.	Из формулы
n n	co n n
2 2	= 2 f 2 2
Z-U ц=1	k = 0 Х = 1ц=1
в силу 35 вытекает первая часть теоремы. Вследствие положи-
тельности формы имеем
2 У- а>мх^хи — Bi 4~ В-i 4~ • • • 4~
Х=1ц=1
где
!! = «[%! 4- а.2%2 4- • • • 4- а'пхп,
^2 = cc(Xi + a.Jx3 4-...4-а,1х„,
h = а^Х! 4- а^х2 4-... 4- а^х„.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
329
Если в матрице (ц?м) никакие две строки не совпадают, то будут
различными между собой и все п /-мерных векторов (а(, а", ...
..., a®) (v=l, 2, ..., п). Следовательно, можно подобрать I та-
ких чисел Р', [3", ..., удовлетворяющих условию p,2 + p"2-f-...
... + Р^2 = 1, что все «чисел yv = a'P' + a"P"4-...-|-ay)p</> (v =
= 1, 2, ..., п) будут между собой различны; или геометрически:
проекции п различных векторов на единичный вектор (£', [3", ...
.... все между собой различны; или ф', 0", ..., p(Z)) лежит
вне определенных	1) плоскостей. Надлежащим образом
выбирая ортогональное преобразование переменных сх, |2........
в переменные i]x, ц2, ..., гр, причем
'‘li — P'Si+P^ + • • • + P(Z,£z — ИЛ+?2*2 + • • • + УЛ»
получаем
У У	= Hi + Л-з + • • • + л/ —
Л=1ц=1
= У У 4“ У У
К = 1 ц = 1	Х= 1 |Х = 1
обе формы в правой части >s0. Разность ехр (Y/.Y(t + щ.ц) — ехр (у^)
составляется из произведений степеней величин у;.у!Л и «м с по-
ложительными коэффициентами. Отсюда на основании 35, анало-
гично доказанной уже первой части утверждения, вытекает, что
вторая форма в правой части равенства
У У еа^хкх11= 2 2	S S
?.=1 ц= 1	1ц=1	Х=1ц = 1
положительна; первая даже определенна [V 76].
37.	Аналогично 36 [35, V 86]. Что ограничения не излишни,
/ 1 — 1 \
убеждаемся на примере матрицы I I.
38.	[R. Rem a k, Math. Ann., т. 72, стр. 153, 1912; см.
также A. Hurwitz, там же, т. 73, стр. 173, 1913.] Так как
одновременно с f(x) также /(хфх0), где х0 —любое число, удов-
летворяет условию задачи, то выставленное требование приводится
к следующему:
A (f) = aof (0) + f /' (0) + f Г (0) +... +	(0) 0 (соотв. >0).
Согласно VI 44 достаточно положить
/ (*) = (А + /1* + • • • + tnxnf = У У 4ф*?'+,г
Х = 0 JX = O
3S0
РЕШЕНИЯ
при произвольных t0, tlt t2, tn. Тогда
A (/) = 2 S A (x^)	2 2 “xM-
X=0u=0	Z=OU=0
39* [См. G. Polya, Math, es term, ert., T. 32, стр. 662—665,
1914.] Так как одновременно с f(x) условию задачи удовлетворяет
и f(x + x0), xo^O, то выставленное требование приводится к сле-
дующему:
^(f) = «of(O)+^/'(O) + |/"(O)+...+^/w(O)^O (соотв. >0).
Полагаем [VI 45]
f W = (t0 + tyx 4-... + tpxpy + x (u0 4- urx + ... + u?_1x9-1)2,
Г n 1 Г и Ч-11
Тогда
Р Р	9—19—1
А (/) 2 .S 4- У У
Л=0ц=0	Л=0ц=0
40* Полагаем, во-первых,
9—19—1
f(x) = (l-x) 2 S Ш*-1)х+и, *=h
X —О д = 0
во-вторых,
9—19—1
/(х) = (14-х) 2 s 64(x4-l)Uu, х = — 1,
Л = 0 м = о
где
Г « +1 "I
Тогда согласно предположению получаем
9—19—1	9—19—1
Jj 2 О, У, у1,	=> О»
Л=Оц=О	Л=Оц=О
откуда iz1 = a2= ... =<72?-1 = 0. В случае нечетного и утверждение
доказано. В случае четного п должны еще выполняться неравенства
«о (*о 4-	4- • • • 4- tpXpy 4- antl ^0,	(1)
а0 (1 - х2) (uQ 4- щх 4-... 4- Up^xP-1)2 — апи^ 0	(2)
при всех значениях /0, tlt ..., tp, и0, ult ..., up_x, где р = у и
— Isgxscl. Полагая в (1) ^0 = /х= ... =^ = 0, /р=1, х = 0,
получаем, что ал^0. С другой стороны, полагая в (2) х==1,
ир-1=1, получаем, что ап^0.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
331
41.	[См. 1. с. 39, стр. 665—667. См. также М. Fujiwara,
Tohoku Math. J., т. 6, стр. 20—26, 1914—1915.] Обе системы
значений а0, аь а2, .... а2п и b0, blf ..., Ь2П обладают свойством,
формулированным в задаче 38. Если f(x) удовлетворяет условию
задачи 38, то
/*(*) = aof (х) +	f' (х) + f f (х) + ... +	(x)
также удовлетворяет этому условию. Значит,
bof * (х)+Г W+1 Г W +•• • + (§§! г(2л) w =
= Qf(x) + ^r(x) +Jr(x)+,..+-g?f2«)(x)^0 (соотв. >0)
при всех значениях х. Следовательно, и система с0, съ сг,...,с2 ,
обладает тем же свойством.
42.	[См. 1. с. 39, стр. 667—668.] Получается из 39, как 41
из 38. Полагаем п = 2т, соотв. п = 2т-\-\.
43.	[См. О. Szasz, Math. Zeitschr, т. 1, стр. 150—152, 1918.]
Так как вместе с g(0) также g'(O,4-O'o), при произвольном -O-q,
удовлетворяет условию задачи, то требование задачи равносильно
следующему:
A(g) = S cvyv^o (соотв. >0).
V = — п
Полагаем [VI 40]
g (0-) = I Хо + х^ + х2е2^ + ... + xnein^ |а.
Тогда
г п п	п п
A (g) = S S А (е'(И)9М = S S
1 = 0 ц=0	Л= 0 ц = 0
44.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 19,
стр. 276, 1912. Решение —G. Polya, там же, серия 3, т. 24,
стр. 369, 1916.]
45.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 162, 1918.] См. 46.
46.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 163, 1918.] Рассматриваем совместно четыре случая:
а) определители произвольны; б) элементы главной диагонали
равны нулю, все прочие произвольны; в) определители симметричны
332
РЕШЕНИЯ
[45]; г) определители симметричны и элементы главной диагонали
равны нулю [46]. Введем обозначения, указываемые в следующей
таблице:
Число независи- Число различных
мых элементен слагаемых
положи- отрица-
тельных тельных
а)	п2	Sn	Sn		Sn-Sn=Dn
б)	п2— п	Zn	Zn	Zn + Zn = Zn	s;-v;;=a,
в)	п2+п 2	Sn	9 Sn	/	M sn Sn = sn	Sn — Sn = dn
г)	п2 — п 2	On	n On	On +сы — On	Gn — On =
Каждому члену разложения	.ап!,п мы ставим в соответ-
ствие подстановку (.	)• Если такой член содержит произ-
ведение аа$а^.. то соответствующая подстановка содержит
цикл (аРу...хХ); если рассматриваемый член входит в разложение
симметрического определителя, то подстановка, соответствующая
другому, равному ему члену, будет содержать либо цикл (ару...
.. .хХ), либо обратный цикл (Хх...уРа).
Число подстановок п элементов, содержащих k, одночленных, /г.,
двучленных, k3 трехчленных, ... циклов, как известно [см. J. А.
Ser ret, Handbuch der hoheren Algebra, t. 2, стр. 188 — 189,
Leipzig, B. G. Teubner, 1868], равно
kyW^-k^-k^ ... =
где 1А1 + 2й2 + 3^з + . .. = n. Умножая это число на +1 или — 1,
смотря по тому, будут ли рассматриваемые подстановки четными
или нечетными, получаем
(—- 1)^+A4+As+ -/*, М:
________________п!_______________
• Л2' (—2)^.*3!З^.Л4! (—4)4..
[Kowalewski, стр. 16] (нужно для вычисления Dn, А„). Если
подстановки, получающиеся одна из другой заменой некоторых
циклов обратными, рассматривать как тождественные, то число
различных будет
 k2'.2k‘  k3'.&k:> 	...
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
333
(нужно для вычислений sn, dn, ап, &п). Очевидно,
sn = У Zkjiikj...»
ь=S*ZoM>...,
£>л = 2(-1)^+^+А«+-2Мл..л
An=S*(-1)A2 + A< + ft‘+-Z0M,...,
sn = У, 2~ ki - ki ~ ‘Zkik2k3...,
ал = £*2-*»-*<—-Zqm,
dn = S (- I)*2 + *‘ + -2- ~ ~ -Zk^k,...,
6„ = S* (- Ф + *4 + ...2- *3 - - -Z0Mj....
Здесь суммы У распространяются на все системы положительных
чисел klt k2, k3, ..., удовлетворяющие условию &14-2&а4-
4- З&34-... = п, а суммы —на те из них, для которых 1г± = О
(и, значит, 2k2-\-3k3= п). Имеем
snxn _ у xk‘ xik"  х',кз
п! ~ Lk\ ' Z>2! 2*2 ’ k3\ 3*з ’ ‘ ‘ ’
У Snxn _ у	xkl у xik"-	.	у х3к> _
L П| — L	&! Hi	’ L k2\	’	L k3\	‘ —
n = 0	A, = 0 1 k2 = 0 2 *J=oJ
x2 X3	 X2 . X3
— exe^-e3 ... = e 2	3	= -j_x = 14~* + *24~--ч
откуда S„ = n!, что может служить подтверждением правильности
изложенных соображений. Тем же способом получаем
"	_ X2 _1_х3 _
= е 2	3	= 1 4- х, Dn == 0 для п 2
п = о
(ясно),
ОО	„2 уЗ
У ЪпХп	-г + т+-:= е~х
£i nl	1 —X ’
Т=1-Й+2Т--- + ЧГ [VIII231'
г^т+т^т + “-=(!+«)«-->, Д,-(—1)"(1 -л)
п = О
(частный случай теоремы 7 при ^ = ^ = ... = ^ = 0, а — Ь = 1).
334
РЕШЕНИЯ
Далее
00	, X1 . 1 fx3 , X* \	, X , X3
V £«^-/+2+2 1з + Г + -) = __1 е7+4
L п!	}/Т^Д
п=о
_	X3 , 1 (х3 X* . \	X Xs
^^- = ех 2 + 2кз 4 +•••) = yi-^-xe2 4
п — о
00	х3, 1 /х3, х* \	,	х , х3
2апХп = у+ 2 ^+4 +-”) = J , р~~2 + 4
п!	/1—X	’
П = 0
00 о	X3 . 1 (X3 , X* ,	\
2 6д* = й~ 2+2 U +4+'J
п — 0
X X3
= VT+xe~ 2” 4.
Четыре последних ряда удовлетворяют соответственно диффе-
ренциальным уравнениям'
2(1-%)/ = (2 — х2) у, 2(1 -Ух) у' — (2 — №) у,
2(1—х)у’ = х(2 — х)у, 2(1+х)у' = — х(2 + х)у,
Откуда и вытекают требуемые рекуррентные соотношения. Асим-
птотические формулы получаем из I 178, полагая
х2	_х,
/(х) = е2 4, соотв. е2 4, е 2 4, е 2 4,
1-з;..(2п-1)	1
2 • 4 ... 2л	У пп
.	Д-З.-.^п-З)	(—1 Г-1
соотв. (—I)1------------------------
2.4...2я	1
2Ул .п2
[II 202],
<7=1, соотв. —1.
47., [I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 163, 1918.] Полагаем
_ I
(Р— 1— х1х2...х,1
Тогда
2±ф(хЛ1, Хл2, ....	=
п
= J. , 2 (-1)"-’[3^± Ф (хИ1,	.....Ч1)],
V=1
где сумма Sv распространяется на все перестановки переменных х1г
х2,	, %v-i> *v+i, • • •, хп и знак определяется так же, как для
слагаемых в левой части.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
335
Следовательно, в предположении, что утверждение справедливо
для n —1, тождество, которое мы доказываем, можно представить
в таком виде:
п
Аф=тг^—г 2 (-D^AvOv,
V=1
где Av и Ф.у образованы из xlt х2, ..., xv_1( xv+1, , хп анало-
гично тому, как А и Ф —из xlt х2, ...» хп, причем Ф предпола-
гается взятым в форме произведения, стоящего в конце задачи;
Ф¥ содержат меньшее количество множителей. Применяем теперь
VI 69, принимая во внимание уравнения (в обозначениях и пред-
положениях задачи VI 69, а0 — I)
Ду =___________________J_________________. (~1)v-x
А	(Xj — xv)... (х v-i — Ху) (Ху — Ху+1) ... (xv—х„)	f (xv) ’
-ф- = (1	Xv) (1 XyXj) ... (1 ХуХу-^) (1 Яу+х-^у) • • • (1	^л-^v) “
1 -J-Xy
48. [P. Epstein, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
n
t. 8, стр. 262, 1905.] Из системы равенств «Д. — У, (X = 1,
ц= 1
п
2, ..., п), принимая во внимание, что У йл.дХа (г) = 2%^ (г) -ф
1
+ еиД(г)> где врст=1 при ц = о, eg(T = 0 при ц=^а, получаем
систему равенств
п
(ар-2) 2 *Ша(г)=ЗД(г) (<г=1, 2.............п).
Л=1
49. [М. Riesz.] См. 50.
50. Требование задачи равносильно условиям
п
^g^(P-v + a^S^^-q + ^=g^(p-q + a+^.
v=o
См. VI 15. В задаче 49 (после замены хр на (—1)рхр и ур на
(—1)р%>) получаем
а /т - 1 sin (^ + 1)0
7 n + 1	sin О
51. Определитель Е>(а) преобразования Sa удовлетворяет
функциональному уравнению
£> (а) £>(₽)=£>(« + £).
336
РЕШЕНИЯ
Кроме того, он веществен, непрерывен и периодичен (с периодом
2«ф-2). Следовательно, D(a) = О или 1. Первый случай имеет
место тогда и только тогда, когда система линейных уравнений
п
2	?))*? = 0 (р==0’ !> 2> •••’ /г)
<7 = 0
имеет ненулевое решение. А это будет во всяком случае иметь
место, если х0, xlt ..., хп удовлетворяют уравнениям
= S xqe~ikq^ = 0,	(*)
q ~ 0	<7 — 0
где k пробегает все те значения, для которых коэффициент в g(О)
при cos/гО1 отличен от нуля. (При /г = 0 указанные два уравне-
ния приводятся к одному.) Согласно решению VI 15 k имеет либо
только четные, либо только нечетные значения, следовательно,
число указанных коэффициентов будет 1 + у , соотв.	.
В первом случае число уравнений (*) будет =+ 1 + 2 s+n-f- 1,
[ZI | 1 1 "1
—I п -ф 1. Равенство дости-
гается лишь в случае, когда
g({l)= ' [49]
s V ' n +1 sin и	L J
и ti четно, соотв. нечетно. За исключением этого случая, число урав-
нений (*) будет всегда меньше п ф-1, т. е. числа неизвестных. Следова-
тельно, решения указанного рода существуют.
В 49 получаем постоянное значение определителя, беря а->0.
52. [М. Riesz.] Положим
„ ЛЧЛ - 1 sin (П-t-1) а-
-4 + 1	Sind
Речь идет о сумме
п п
2 2 Vм Wig (^т(р-^ + а))^(^т(р-^+а)] =
£-0 k, l=Q
п	п
= 2 (—i)k+!wi 2
А,/ = 0	р = 0
Согласно VI 15 она равна
п
\п~г 1	/
k, Z = 0
п
и, значит, У у-р не зависит от а. Полагаем теперь а = 0.
р = 0
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
337
— llntlnYLi
53.	[I. Schur.] Нужно доказать следующие равенства:
(щ щ Ип tin = и,гил+2>
llfi
— + и;/[~?--------------------------1---—-4--------------?-------
WZ241	\^/г^/!42	МД4-1^П+3	^/H-2w/h4
1 . /1,1,1
	1“ W/i4-i ( '	-4-	1- 	 ~
МЛ4-2-------------------------------------------\W/Z4-lW/Z4-3	^/24-2Wzi4-4-^Д4-З^Л4-5
(л = 1, 2, 3, ...).
Из определения чисел ип получаем
п	п	п
2	2	(^v+l «v-l) = 2
v = 1	V= 1	 v=l
n-1
UvUv^i У, Uv^v+1 “ U-nU-n+lt
V— 1
t. e. второе равенство. Первое получается из второго посредством
замены ия+1 = ил+2 — Замечаем, далее, что
^Пип+2 Un+lUn+З ип-\-2ип+4
1 / i 14.1/1	1 \ .
—= ----- I ----- 1 -|---I------ — --- \ -|-
W/24-i \	U/l+2 /	^«4-2 \ W/?4-i	ип-.-3 /
+ —(—----------—) + ...=—1—.
W/Z4-3 \ Un+2 un-i-<l /	^п--1ип
54.	[Е. С. Tit ch march, Proc. bond. M. Soc. (2), t. 22,
вып. 5, III, 1924.] Очевидно,
-]-oo
у (______J___________!___Lo
\ X + ra — a	p, + n — a j
П — — СО
(?v=0=p; Z, p = ..., —1, 0, 1, ...). Как известно,
-J-OO	4-00
2	1	_ у 1	_ / Л \2
(т-\-п~ а)2 —	(п—ау \ sin ал / ‘
п = — со	п~ — со
55.	Теорема умножения определителей.
56.	Сложение столбцов.
57.	Правило Лейбница для (цц)(л), сложение столбцов.
58.	Положить в 57 =
59.	После выполнения дифференцирования получаем в числи-
теле определитель второго порядка, имеющий в качестве элемен-
тов определители (п—1)-го порядка — алгебраические дополнения
определителя W (f±, f2, ..., fn) [Ко wa lewski, стр. 80, 109].
338
РЕШЕНИЯ
60. Определяем п— 1 функцию ф^х), Фа(х), Ф,г1(х) из
п— 1 уравнения
	+ Ф2/2	+ • • • + фл--1/п-1 — fn,
фЛ	4- Ф2А2	+ • •  + фл-1/п-1 = fn,
	-2, + ф2Ал-	+ • • -4" фл-1М-1 —In ,
определитель которых не равен нулю. Согласно 59 и предполо-
жению
dqn-i _ d W (fa , /„_2, f„) _ „
dx dx W (fa ...,fn^, fn_i)
и аналогично
Ф1 = ф-2 = • • • = Ф« 2 = °-
61.	Исключаем фл, ф„_р ..., фх, 1 из «4-1 однородного урав-
нения
ФJi + Фл-1/i + • • • + Ф1/1П ь + 1 • f|Л)	= О,
(pnfn 4* tyn-ifn. 4* • • • 4" ФхД 4"1,/V>	=0,
Ф«У 4- фи-i/ 4- • • • 4- Ф1«/(я’2) 4-1  (у,п} — L) = Q
и вычисляем L через нули определителя.
62.	Полагаем
y = Y0, W(flt y)=Ylt W(flt f2, y) = Y„ ...
...» Wi. fz, fn, y) — Yn.
Тогда согласно 59
d Yi -	d Yn_i_W„.lYn
dx Wi Wi ’ dxW2 Wt ’ dx Wn Wn '
у
Отсюда определяем^-. [61.]
63.	[J. P. Gram, J. fiir Math., t. 94, стр. 41—73, 1883.]
Указанному определителю соответствует квадратичная форма
5 [^1/1W 4* ^2 W 4" • • • 4* ^nfn (X)]2 dx.
а
Этот интеграл неотрицателен и равен нулю тогда и только тогда,
когда во всем интервале	имеет место тождественно
+	(х)-{...-srtr!ffl(x) = O. См. также 1168.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
339
64.	[G. Polya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 20, стр. 271, 1913.] Соответствующая квадратичная форма
J {(Г1+44-• • •4-/л) [(fi«+(f2«4-•  •+(fп«] -
- [^ifl W + АЛ (*) + ... + tnfn (*)]2} dX =
a j >k
положительна. Она обращается в нуль при
тогда и только тогда, когда fv(х) = tvq(х) (v = l, 2, ..., п), где
ф(х) не зависит от у.
65.	[Е. Н. Moore, задача, Amer. Math. Monthly, т. 24,
стр. 293, 1916. Решение —С. F. Gummer, там же, стр. 293,
333—334 (как указано на стр. 333, первое решение на стр. 293
неправильно).] [36, 63.] Если совпадают, например, две первые
строки, то имеем
ь
„ J [б W — f2 W? rf*
=	=i,
66.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 28,
стр. 174, 1920.] Вследствие II 112, II 113 имеем
(ак + + 1) \ха^+а^ (х) dx = хах+V1 f (х) I” -	°г+1 df (х) =
о	о
= — f x^+^+’df (х),
о
где последний интеграл взят в смысле Стилтьеса. Следовательно,
S S (a%+ag4-l)fx^+a^(x)dx.^ =
к=1ц=1	О
= — Г (hxai +	4-... +1 nxatf xdf(x)^0.
о
Если f(x) —кусочно-постоянная функция и существует по меньшей
мере п точек с отрицательными скачками, то последний интеграл
может обратиться в нуль лишь тогда, когда А —1« =... = tn = 0
[V 76].
67.	[По поводу 67, 68 см. О. Toeplitz, Gott. Nachr. 1907,
стр. ПО—115; 1910, стр. 489—506.] Для
f (t>) =а04-2 (arcos
340
РЕШЕНИЯ
получаем
ДЛ) = МК124-К12 + -.- + Ы2) +
+ 201 («! 4- iby) (хох1 4- Х)Х2 4-... 4- хп^хп).
Для
] _г2
/ О9) = 1 —2/-cos^ + r2 =
= 14- 2r cos О 4~ 2r2 cos 20 4* • • • 4- 2г" cos «О 4~ • • •
получаем
X—0ц—О
68* Имеем
^ = 24"^	(л = 0, ±1, ±2, ±3, ...).
о
Следовательно, для формы Теплица Тп (/) имеет место представление
Тп (f) = ~ J / (0) I х0 4- ххе^& 4* x2e-2i9 4-... 4- хпе^п912 cZO.
О
Утверждение вытекает отсюда, если принять во внимание равенство
Тп (1) = 2^ j ' Хо 4- Хге^ 4- x2e~2i&4- • •  4- хпе~м |2 dO =
= Ы24-|м12 4-|х2 i2 + ... + |x„|2.
69> [По поводу 69 — 71 см G. Szego, Math. Ann., т. 76,
стр. 490 — 503, 1915; Math, es term, ert, т. 35, стр. 185 — 222, 1917;
Math. Zeitschr., т. 6, стр. 167 — 202, 1920.] Для /(О) = а04-
4- 2 (Oj cos 0 4- bx sin 0) имеем
	tZo	0	.. 0
	Oi — ibt <z0	«1 + ^1 •	.. 0
£>»(/) =	0 ai~ib} a0	.. 0
	0	0	0.	..ffo
Разлагая определитель по последней строке, получаем отсюда рекур-
рентную формулу
/?«(/) = «оОп-1(/)-(«? + Ь?)^2(/) (п = 2, 3, 4,...),
D0(f) = a0, D1(f) = fl2o-(nUfei).
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
341
Пусть аир - корни квадратного уравнения
х2 = й0х- (af 4-&1).
Применяя полную индукцию, получаем
------------------------,	если а^р,
Dll (/) —	/ а X п л. 1
(п -ф 2) ал+1 = (п -ф 2) рл +1 = (п -ф 2)	, если а — р.
В случае, когда
f 1 — 2г cos 'О' ф г2 ’
имеем
1 г
т* ... гп
Г ...
1	...Г^
гп гп-1 гп~2 1
Вычитая r-кратную вторую строку из первой, r-кратную третью
из второй и т. д., получаем (/) = (1 — г2)".
Если функция f (#) = а0-ф 2 (a, cos '& + &1sin ft) положительна,
то а и P положительны, a^p. Пусть, скажем, a > p > 0; тогда
lim 'l+y/'Dn(j) = a. Во втором случае этот предел равен 1 —г2.
Геометрическое среднее [1148] ®(/) функции «0-ф 2 (ax cos ft 4-
4- bx sin 0) в интервале [0, 2л] совпадает с геометрическим сред-
ним функции а0 — 2]/ai4-b{ cos Ф = а(1 -фр2 —2р cos 0), где р
определено условием фла]-ф&1 = ар; 0 р < 1, а0 = а(1-фр2). По
поводу ® (1 -фр2 — 2р cos 4) см. II 52.
70.	Вследствие того, что Dn (/) — определитель Эрмита, все
нули определителя Dn (f — h) вещественны и при | х0 j2 -ф | хх |2 -ф...
...+ |хф2=1 расположены между минимумом и максимумом
формы 7\(/) [К ow a lewski, стр. 130, 283]. Следовательно,
согласно 68 они имеют вид
h = «о — 2 Уа{ -ф b'i cos ф
Отсюда, заменяя в решении 69 всюду
(0< ф< л).
а0 на a0 — h, получаем
Dtl (f - h) = (о] + b^ *
Поэтому нули определителя Dn(f — h) будут
hm = a0 — 2Уа'1 + Ь'1 со5^^л (v = 0, 1, 2, ..., ri).
342
РЕШЕНИЯ
71.	См. 70.
F (hon) 4~ F (Л tn) ~Ь •  4~ F (hnt^ _
«+1
=-4-г У р(а0 — 2]/ai4-bi
n4-l Li \ u riii n-[-2 j
v = o
-> ~ j F (a0 — 2	4- bj cos tyd® = ~ j F [f (0)] d$.
о	о
Указанное в задаче свойство чисел hvm имеет место не только
в этом частном случае, когда f (О) представляет собой тригоно-
метрический полином первого порядка, но и вообще для любой
собственно интегрируемой функции f (4). [См. G. Szego, 1. с. 69.)
72. Первое р е ш е и и е. Мы будем пользоваться следующим
символическим способом записи [см. М. Riesz, Ark. for Mat.,
Astron, och Fys., t. 17, № 16, стр. 1, 1923]. Пусть
f (2) = S 2 ctk^,
X = 0 ц = 0
где — произвольные числа. Мы будем тогда писать
f(c)= S S «Ш-ц.
Л = 0 |Л = 0
Так, предположение задачи записывается теперь следующим обра-
зом: если полином х0 4- xtz 4- х2г2 4-... 4- хпгп не равен тождественно
нулю, то
] хо 4"	4" •’И2 4“ • • • 4" %пСп |2	О"
Обозначим полином, рассматриваемый в задаче, через Р (г). Пусть
г0 будет один из его нулей, Р (z) = (z — z0)Q (г). Положим
Q(c)_Q(c) = C0,
Q (с) Q (с) с = С1(
Q(c)Q(s)c = C^,
где <5 (z) — полином, сопряженный с Q(z). Тогда при произволь-
ных х0, хх, | х012 4~ IМI2 > О,
Со (I хо I2 4" I xi i2) 4* С-НоЧ 4- С1хох1 ==
— Q (с) Q (с) (| Xq 4+Hi j2 4~ cxoxt 4~ cxqxJ =
= Q (c) (x0 4- X1C) Q (с) (л0 4- xxc) > 0.
Следовательно, | Cx | < Co.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ
343
Но теперь
P(c)cv —О (v = 0, 1, 2, ..., п-1),
следовательно,
(c-zo)Q(c)Q(c) = O,
2 _Q(c)Q(c)c Ci
° Q(c)Q(c) Со'
Второе решение. Согласно одной теореме С. Caratheo-
dory [Rend. Palermo, т. 32, стр. 205, 1911] существуют такие 2п
чисел
Рп Рг» • • •» Рл»
е1» ег» • • •» ел»
что pv2s0, |ev|=l (v=l, 2, ..., п) и
Q = Piei +Рге* +• • • + Рлел {k=l, 2, ..., п).
Имеем
со — h — Pi + р2+•. •+р л,
где h обозначает минимум рассматриваемой в задаче формы при
дополнительном условии |х0|2+|х1|24-...-|-|х„|2= 1. В нашем
случае /г>0. Отсюда вытекает
л— 1 л — 1
2 У с^х^хи=Mi xo |2+1 xi I2+• • •+! xn-i |2) +
X = 0	0
п
+ 2 Pv| •*()+xlev + * •• + xn-i8v~I |2,
V — 1
п— 1 п— 1
У У, а-ц+1^ц = Л(^1 + л:1х2 + ... + хл-2хл-1)4-
Х = о Ц— о
п
+ У Pv®v | хй + *lev + • • • + хп-^~1 [2,
V = 1
следовательно,
п — In—1	п — 1п — 1
<У 2
л = о Ц = О	Х=0 ц = о
в предположении, что не все числа х0, xlt хп-3 равны нулю.
Но наше уравнение можно записать так:
I сЛ-ц+1	|а, ц = о, 1 л —1=0.
344
РЕШЕНИЯ
Если, стало быть, z0 —корень полинома, то существуют числа
х0,	..., хп-г, не равные одновременно нулю, удовлетворяющие
системе уравнений
п— 1
У (Ф.-ц+i	^оС/.-ц)	= О (Z = 0, 1, п 1).
н=о
Получаем
л-1 п-1
У с7.-ц+1*/Лц
_ >. = 0 ц = 0	I ? I 1
20 — „-1 „_1	> I г0 I <- >•
У У
Z—0ц=о
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
1.	x + n—1 < [х+n] г=д х + n, х— 1 <[х + п] — п^х;
следовательно, так как [хД/z] — п есть целое число,
[х + п] — п = [х].
2.	Нужно показать, что
(п- 1) + (п-2) + ...+ 1 = ?fcL) = [^J (mod 2).
При п = 0, 1, 2, 3 убеждаемся в этом прямым подсчетом. При
переходе же от п к п + 4 обе части увеличиваются на четное
число.
3.	Если х —[х]<~, то 0<2х — 2[х]< 1. Если х —[x]y3-L>
то 1 «с 2х — 2 [х] < 2. Согласно 1
[2х-2[х]] = [2х]-2[х].
4.	На основании 1, так же как 3.
5.	На основании 3
[2х] - 2 [х] + [х] = [2х] - [х].
6.	Искомое целое число п удовлетворяет неравенствам
п— Кх^п, т. е. —к д-х< — п+1,
следовательно, п — — [—х].
7.	Osga + P —[а] —[Р] = а —[а] + Р —[Р]<2,
__1<а_р_[а] + [р] = а_[а]_(р_[р])<1.
8.	На основании 1 при изменении а и 0 на целое число обе
части изменяются на равные количества. Поэтому достаточно
доказать теорему для случая 0^а< 1, ОдД [3 <б 1. В этом случае
теорема утверждает, что
[2а] + [2р]^[а + р].
Если [сс + р] = О, то доказывать нечего; если же [ос + Р] — 1, то
сс + р+Л, значит, по крайней мере одно из обоих слагаемых,
скажем а, следовательно, [2а] + [2р]^г [2а]	1.
346
РЕШЕНИЯ
9.	[Ch. Hermite, Acta Math., t. 5, стр. 315, 1884.] Доста-
точно рассмотреть случай 0<х<1 [решение 8]. Пусть k опре-
делено так, что
х+^-^< 1	, т. е. —k — [nx — n] = [nx] — n.
Тогда обе части равны п — k.
10.	Мы можем принять, что 0=сх< 1 [решение 8, решение 9].
При 0^х<1 в правой части стоит 0, далее
- [пх]<пх, <х< 1, [—] = 0.
11.	[J. J. Sylvester, задача, Nouv. Ann., серия 1, т. 16,
стр. 125, 1857. Решения —Е. Prouhet, Lebesgue, там же,
серия 1, т. 16, стр. 184, 262, 1857.]
[(1+Кз )2m+1]=(1 + Кз)2т+1+(1 - Кз)2т+1.
ибо —1 <(1 — Кз)2т+1<0 и в правой части стоит целое число.
Получаем, далее,
(1 + ]ЛЗ) (4 + 2 ]/3)т + (1 — КЗ) (4 — 2 Кз)т =
= 2т {(1 + ]ЛЗ) (2 + Кз Г + (1 - Кз) (2 - Кз )т} •
Выражение в фигурных скобках имеет вид
2 {а + b КЗ) + (1 + КЗ) (К3)т + 2 (о - Ь КЗ) + (1 - КЗ) (~ Кз)т,
где а, Ь — целые рациональные числа, и, следовательно, содержит
только первую степень числа 2.
12.	Интересующими нас числами являются а, 2а, За, ..., ka,
где ka^n<(k+l)a, следовательно, k = [-KJ.
Можно поставить вопрос также следующим образом: сколько
-.,12	п
среди дробей —,	..., — целых чисел, т. е. сколько целых
чисел содержится в интервале 0<х-с — ?
13.	Число целых чисел в интервале	равно [реше-
ние 12]
[b1 Г а]_
л J	L л ] ’
b	а
число целых чисел в интервале — < х — — равно
[	аТ Г	Ь ]
L	л J L л J ’
ОТДЕЛ восьмой
347
14.	[J. Konig, Math. Ann., т. 9, стр. 530, 1876. Задача;
Nouv. Corresp. Math., т. 5, стр. 222, 1879. Решение —R ad icke,
там же, т. 6, стр., 82, 1880.] При а = 0 и а = л утверждение
очевидно; пусть, стало быть, 0<сс<л. Тогда два соседних члена
последовательности не могут одновременно обращаться в нуль.
Если два соседних члена cosva, cos(v+1)а образуют.пере-
мену знака, то между та и (v-f-l)a лежит только один нуль
функции cosx. Два несоседних члена cos(v— 1) а и
cos (v + 1) сс, также могут образовывать перемену знака, а именно,
когда cosva = 0. Таким образом, V„ (а) равно числу нулей функ-
ции cos х в интервале 0s£x<na, т. е. числу нулей функции
sinx в интервале
Л	л
-2-па<х<у.
Это чисАо равно — [у —	[13].
15.	g„=[«e]- [(п-1) е].
16.	N (г, а, а) = 0 при г < | In а |; N (г, a, a) = l — k при
г^|1п«|, где
а + 2/л ==S ]/ г2 — (In а)2 < а ф- 2 (/ + 1) л,
а + 2£л < —]/г2 —(Inn)2 sca-|-2(&+ 1) л,
т. е. в этом случае
N (г, а, а) = 1	+ Г-КП-<ln.g)3 +<|.
^Л	I	^л	।
См. III 73.
17.	[/(«)]+ [/(«+!)] + [/(«+ 2)]+ ... +[f(b- !)] + [/(&)].
18.	Левая часть дает [17] число целых точек в области
IsCxsgp—1, OCz/sgJ-x. Во всем прямоугольнике
1 -Сх'Тр— 1,
К 1
лежит (р—!)(</—1) целых точек. Они расположены симметрично
Р я
относительно точки х = У— у и находятся как выше, так и
ниже прямой у — -~х в одинаковом числе; на самой же прямой
их нет ни одной, ибо точка этой прямой может быть целой, лишь
когда х —целое кратное р.
19.	[Gauss, Theorematis arithmetic! demonstratio nova, 1808,
Opera omnia, t. 2, стр. 1—8; Gottingen, Konigl. Ges. der Wiss.,
1863; G. Eisenstein, задача, J. fiir Math., t. 27, стр. 281,
1844.] Речь идет о целых точках в прямоугольнике
348
РЕШЕНИЯ
Общее количество их равно p'q'. Первые р' членов в левой
части дают число целых точек, лежащих ниже прямой у = ^х,
последние q' членов —число целых точек, лежащих выше этой
прямой [17].
2О> [V. В ouni a kowski, С. R., т. 94, стр. 1459—1461,
1882.] Пусть переменная х пробегает значения 1, 2, ..., п,
переменная у при заданном х — значения []/ (х — 1) р ] + 1,
[^(х— 1) р ] + 2, ... , []/"хр]. Положим г = г(х, у) = хр — у2-
тогда 0<г<рн —г есть квадратичный вычет modр. Так Kai
—1—также квадратичный вычет, то то же имеет место и для г
Так как 4п — р— 1, то число всех г равно
2 (fW] “ [К(^-1)р ]) =	,
X — 1
что составляет столько же, сколько вообще существует квадра-
тичных вычетов modp. Далее, все г различны: из ххр —=
= х2р — yl вытекает, что р входит множителем в у\ — yl —
—	+	— т- е- #1 = ^2 и> следовательно, также х1 = х2.
Сумма всех г
п [Схр 1	п	__ __________
У У г(х, у) = р 2 х([]/хр]-[]/(Х- 1)р]) —
*=1y = [Cu-i)pl + i	A=I
2л	п
- 2 у2=—р 2
у = 1	X = 1
равна, стало быть, сумме всех наименьших положительных квад-
ратичных вычетов mod р, т. е. равна р.
21.	[J. J. Sylvester, С. R., т. 96, стр. 463, 1883.] Пусть
п — число свойств а, (}, у, ..., х, X. Если некоторый объект
имеет k из этих свойств	то в сумму, приведенную
в задаче, он привносит ровно
1-й+9-0+-+(-1)*й=о
единиц. Если, напротив, объект не обладает вообще ни одним из
свойств а, р, у, ... , х, X, то он вносит ровно единицу, а именно
в первое слагаемое AL По поводу доказательства этой теоремы,
принадлежащей собственно к формальной логике, методом мате-
матической индукции см., например, U. Yule, An introduction
to the theory of statistics, Ch. 2, London, Griffin 1916.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
349
22.	N = n, Na = N$ = .. . = п— 1, Waf$ = Wav = ... = «-2, ... ;
получаем
n_^(n-l) + g)(n-2)-...+ (-1)«Q (n —я) = 0,
так как объектов, не обладающих ни одним из свойств а, р,
у, , к, X, не существует [I 37].
23.	[В другой формулировке, как «jeu de rencontre», у Mont-
mort A. de Moivre. Cm. Euler, Opera omnia, серия 1, т. 7,
стр. И, Leipzig und Berlin, В. G. Teubner, 1923.] Общее число
членов в разложении определителя равно п\. Число членов,
содержащих avv, равно (я—1)!, содержащих a^avv равно (я —2)!
и т. д. Значит, согласно 21 искомое число равно
я!-(”) (п-1)! + (”)(я-2)!-[") (п-З)!+... + (-
= n! f 1_L д. -1--4-	4-	\
’ \	1!	2!	3!	п! )'
(См. также решение VII 46.)
24.	Число чисел, не превосходящих п и делящихся на а
(свойство а), равно [12]. Число делящихся одновременно
на а и b (свойства аир) равно числу делящихся на аЬ, т. е.
и т’ д’ Поэтому [21] искомое число равно
' п~\ Г n I Г n “I	ГпТ г п 1 ।
п - Ы - Ы - Ы ~ ~ Ы - [т] +
п
abc
I [ П |
L °^с • •  J
25.	[Euler.] Полагаем в 24 а — р, b = q, с = г,... Искомое
число равно
п п п
П----------------
р q г
+ 77 + ~р7 +
п
pqr...
1
1 \ /,	1
— п
350
РЕШЕНИЯ
26.	Доказывается рассуждениями, аналогичными примененным
к частному случаю 21, где всем объектам приписано значение 1.
27.	Применяем 26. Объекты — числа 1, 2, 3,	, п, свойство
а —делимость на р, свойство (3 — делимость на q и т. д. Под
числовым значением объекта понимаем квадрат соответству-
ющего числа. Имеем
W = 12+ 22 + З2 +... + п2 =	1)6(2п+ =
^=An3 + Bn2 + Cn + D, А = |, В = ~, C = i’ D==0>
Wa = р2 + (2р)2 + (Зр)2 +... 4-	р)2 =
=	b(~\2 + C- + d\, ....
r L \р/ \pJ р J
ap г v pq j । pq J I pq I J
Следовательно, интересующая нас сумма равна
А п3 -j- Вп2 + Сп + D —
- 2',’[Л (?)’ + в (?)’ + С-7 + Р] +
+1P^[A^+B{pibcpi+D\-
± p2q2r2... [Л	Y + В	Y + С—~ + О1 =
L \Pqr---J W'---/ pqr... j
— an3 + bn2 + cn + d
где
0=лГ1-у1 + 'У-,--...±-!-'1 =
\ Li p ' ^ipq	pqr ...J
3 \ p J\ q J \ r ] 3n
ь=в(1-21+21----±1) =
=4(i-i)(i-i)(i-i)...=o,
c=c(1“2z’+2w----±wr-,-)==
= 0 - P) U - 9) (1 - r)  •  = (-=^	pqr.. •,
d = 0.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
351
28.	Пусть N = Max(a, b, с,..., k, I). При N = 0 доказывать
нечего. При применяем 21 к числам 1, 2,N в качестве
объектов. Здесь свойство а состоит в том, что число является
частью числа а (т. е. ^а), свойство 0 —вхождение как часть в b
и т. д. Число объектов, не обладающих ни одним из свойств а,
р, ... , очевидно, равно нулю. Переносим N в другую сторону.
29.	Пусть р — какое-нибудь простое число и
а — раа', Ъ — р^Ь', с = рус' , ... , k = pvk', I = pH',
где а', Ь’, с', ... , k', I' уже не делятся на р. Показателем сте-
пени р в левой части служит Мах (а, 0, у, ... , х, X), в правой
части
М- Р т У + •.. + х + X — Min (а, Р) — Min (а, у) —... — Min (х, X) 4-
4-Min(a, р, ?)+...—
dzMin(a, р, у, , х, X).
Согласно 28 эти выражения равны между собой. Так как это
имеет место для любого простого числа р, то мы и получаем
требуемое утверждение. См. 46.
30.	Доказывается с помощью умножения по строкам.
31.	Определитель задачи равен квадрату определителя, общий
элемент которого т]^ равен единице, если ц — делитель X, и равен
нулю в противном случае. Возвести в квадрат, перемножая
по строкам.
32.	Перемножаем по строкам определители
33
		1 0 0 0 ... 0		До	0 0 0 ... 0	
		1 1 0 0 ... 0		Оо	0 0 ... 0	
		1 1 1 0 ... 0			аг 0 ... 0	
		1 1 1 1 ... 0		a0	Of #2 ^3 * * *	
		1 1 1 1 ... 1		a0	ai a3 a3 ... an	
Перемножаем по строкам определители						
	1	ООО...	0		ai 0	0 0	0
	1	1	0	0...	0		ai a3 0 0	0
	1	010...	0		ai 0 a3 0 ...	0
	1	101...	0			0
	1	Лч2 Щз 4,14 •••	1		«1 		
где Пл-м, имеет то же значение, что и в 31; второй определитель
получается из первого заменой на
352
РЕШЕНИЯ
34. Первая половина тривиальна. Пусть р, q, г,—простые
множители числа п. Применяем 26 к делителям t числа п. При
этом объекту t приписываем числовое значение су. Свойство а
состоит в том, что делитель
п
входит не только в п, но и в —,
р
СВОЙСТВО р, —что он входит
п
не только в ft, но и в -
q
И т. д.
Сумма числовых значений, приписанных тем делителям t, которые
п	п	п
не входят ни в —, ни в —, ни в —
р	я	г
. , равна тогда
- 2 at-...+
/I —
I
± I] а1 = 5 И (О А
11 п	I
I pqr ...
согласно определению функции р(тг). Но единственным делителем,
не обладающим ни свойством а, ни 0, ни у,... , является п, и
ему приписано значение ап.
35.	[А. Hurwitz.] Согласно 34 достаточно показать, что
t | п
Т7	1	2	3 п
Но это очевидно: приводя дроби - , ... , — к несократи-
мому виду, получаем дроби вида где r^t, (г, 0 = 1. / — дели-
тель числа п, причем каждую один раз.
36.	Положим в 35
ф (у) = In (х — e2Mv)',
тогда g(n) = In (хп — 1), f (га) = In Кп (х) и, следовательно,
1пА„ (x) = 21xWIn(x^-1)-
t 1 п
37.	Положим в 35 ф(у) = ейя‘г/; тогда §•(!) = 1, g(ti)~Q при
га>1, следовательно,
2jtZr
/(«)= s е~=р(п).
(г, п) = 1
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
353
38.
/г	<р (п)	т (п)	0(П)	ог (n't	V (п)	И («1	X (п)	еЛ(л)
1	1	1	1	1	0	1	1	1
2	1	2	3	5	1	— 1	— 1	2
Q	2	2	4	10	1	— 1	— 1	3
4	2	3	7	21	1	0	1	2
5	4	2	6	26	1	— 1	— 1	5
6	2	4	12	50	2	1	1	1
7	6	2	8	50	1	-1	-1	7
8	4	4	15	85	1	0	— 1	2
Г’	6	3	13	91	1	0	1	3
16	4	4	18	130	2	1	1	1
39.	На основании правила умножения Коши, соответственно
Дирихле, см. стр. 138, ап = Ьп — 1.
40.	На основании правила умножения Коши, соответственно
Дирихле, см. стр. 138, Ьп—1.
41.	Частный случай формулы 42 при
Ао = А^ — А2 — Аз — ... = 1.
42.	На основании правила умножения Коши, соответственно
Дирихле, и 34.
43.	Если т и п — взаимно простые, то все делители произве-
дения тп получаются от умножения каждого делителя числа т
на каждый делитель числа п. Поэтому
2 S Л
Zi । т ti | л t ( тл
т. е.
<4 (от) Оа (п) = оа (тп).
Для ср(п) утверждение вытекает из 25. Для других функций
утверждение очевидно. Для /(п) = п“, Х(п) соотношение /(тп) =
=Д(т)/(п) имеет место не только при взаимно простых, но и
вообще при всех тип.
44. Согласно 43 достаточно рассмотреть случай п = р*, где
р — простое число. Делителями являются тогда 1, р, р2, ..., р’:,
следовательно,
оа (n) = 1+Pg + P2g + --- + Pfea = 1~1^pl411 •
45. Расположим значения отношения
т (pk) _____________________	/?+1
ф(рЧ
12 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
354
РЕШЕНИЯ
в виде таблицы с двумя входами. В прилагаемой таблице непра-
вильные дроби выделены жирным шрифтом:
р \	1	2	3	4
9	2	3	4	5
	1	2	4	8
	2	3	4	5
л				- ...»
	2	6	18	54
к	2	3	4	5
О	4	20	100	500
Значения
как р, так и
т (я)
как ——
указанного отношения убывают при возрастании
k (продифференцировать!) и стремятся к нулю. Так
— мультипликативная функция от п, то дело сводится
к разысканию всех произведений, имеющих значение ^1, множи-
тели которых (в числе, большем или равном единице) принадлежат
различным строкам таблицы. Таких произведений имеется
лишь 10 соответственно числам п — 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 24,
30; вместе с п = 1 эти числа дают все решения неравенства
т (п) 2s ф (и).
46* Достаточно рассмотреть одно лишь фиксированное простое
число р и мультипликативную функцию, связанную с р следую-
щим образом: f(n) = g(k), когда pk — высшая степень р, содержа-
щаяся в п, g(0)=l, в остальном g(k) — произвольная функция
показателя k. Все мультипликативные функции могут быть состав-
лены путем умножения из функций такого вида. Но для такой
функции теорема гласит
g'(Max(a, 0, у, б, ..., х, X))g-(Min(a, 0))g'(Min(a, у))...
. ..g(Min(x, X))g'(Min(a, fj, у, б))...—
= g'(a)g(₽)---g'(^)g(Min(a, 0, у))...
где а, 0, у, б, ... , х, Л — неотрицательные показатели наивысших
степеней р, входящих соответственно в a, b, с, d, ... , k, I. А это
представляет собой обобщение формулы 28, допускающее анало-
гичное доказательство, с тем отличием, что при этом нужно
использовать не 21, а 26, приписывая рассматриваемому как
объект числу т числовое значение lng(m) — 1пц(т— 1), причем
1пя(— 1) = 0.
47.	Каждое целое положительное число может быть одним
и только одним способом представлено в виде произведения сте-
пеней простых чисел. Таким образом, по самому закону образо-
вания рассматриваемого бесконечного произведения мы получаем
ОТДЕЛ восьмой
355
каждый член f (n) п s, где п = р^2, .... p*v, один и только один
раз, а именно как f (р^) р~ kis f (р*2) р~ . f (jfy) р~ kvs. Теорема
совершенно равносильна свойству мультипликативности функции
/(«)•
48.	[Euler, Introductio in analysin infinitorum,t. 1, Opera omnia,
серия 1, т. 8, стр. 288, Leipzig und Berlin, B. G. Teubner, 1922 *).]
= l (n=l, 2, 3, 4, ...) — мультипликативная функция [47].
49.	Вследствие мультипликативности имеем
У оа (я) n~s = JJ (Х~ра) 1~s + (i-P2g)P~5 + (l-P3a)p-2$+--- =а
П - 1	р	Р
=П (1 - р-5) (1 - р“-^) ’
р
со
2	= Q (1+2р- + 2р^ + 2р-^ + ...) = Д
« = i	р	р
У	JJ (l-/r5 + /r2s-/r3s + ...) = | | T-p-L >
п =1	р	р
оо
50.	[Е. Cesar о, задача, Mathesis, т. 6, стр. 192, 1886.
Решение —М a nte 1, там же, т. 8, стр. 208, 1888.] а (я) — мульти-
пликативная функция, поэтому [47]
У, а (п) n~s = П [1 + а (Р) P~s + а № P~2s + •••]==
= (1-s + 2^ + 2-2s + ...) П (l+P1-i+P2(1^) + ..-) =
Р >2
-га-Пт^-
р>2
51.	Вследствие 48
_	- V p~s 1п Р
р
ОО	оо
52.	У] n~s У ц (п)	= 1.
п == 1 п = 1
*) Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, ОНТИ, 1936.
12-
356
РЕШЕНИЯ
Равносильно второй формуле задачи 41. 52'—56, 58 можно дока-
зать также без помощи рядов Дирихле.
53.	На основании 49
ОО	оо	оо
У. («2)”' = I] n~s Л
п — 1	п = 1 п = 1
54.	На основании 49
ОО	оо	оо
У п • tTs = 2 n~S У ф («) fl~s.
П = 1	n— 1	п = 1
55.	На основании 49
2 n-n~s У p(n)n-s= У <р(п)п 5;
п = I	п = 1	и = 1
тот же результат получаем, применяя 34 к 54. Равносильно
формуле 25.
56.	_г(5)Ц_£|)ад,
т. е.
ОО	ОО	оо
2 1п/1'П~5= У A(n)ns J1, n~s.
п= 1	п — 1	п= 1
57.	Из 33, 54. Другие частные случаи формулы 33 полу-
чаются из 52—56.
58.	[Jacobi, задача, Nouv. Ann., т. 11, стр. 45, 1852. Ре-
шение—А. Da Hot и др., там же, т. 11, стр. 126, 186, 1852.]
У]а-.’=1^ + 3-'Ч-5-Ч ... =(1 -2-*)
У (3^ = 2s + 4^ + 6^+ ... =24(s),
следовательно,
2 2 (₽ - «) («₽)*=2 S a~s	~ S S al-s =
= (1 - 2-Д £ (s) 21-s Us - 1) - (1 - 21-) Us - 1) 2-4 (s) =
= 2-s Us) Us — 1) = У or (tn) (2m)-s.
m — 1
59.	Согласно 47 функция h(n) мультипликативна, если
Y[(l~s + h(p)p~s + h(p2)p~2s + ...) = У h(n)n~s.
p	n = 1
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
357
Но в нашем случае
l-s + h(p)p~s + h(p2)p-2s+ ... =
= (i-s+f(p)p~s+f(p2)p 2л'+ )(i s+g(p)p-s+g(.pi)p-2s+ •••),
откуда и вытекает утверждение.
60.	Пусть вершины выпуклого правильного п-угольника
в порядке их следования будут Л2, Л3, Ап. Отрезок,
соединяющий вершины Ak и Ah принадлежит некоторому пра-
вильному (выпуклому или звездчатому) --угольнику, где t —
= (п, l — k); откладывая указанный отрезок — раз, мы возвра-
щаемся к исходному пункту. Тем самым из каждой вершины
исходит при /=1 <р(п) отрезков, принадлежащих различным п-
угольникам; эти последние имеют, следовательно, в совокупности
уПф(п) сторон.
61.	Если ~ несократимо, то несократимо также Обе
дроби в сумме составляют 1.
62.	[G. Frobenius; см. А. Errera, Rend. Palermo, т. 35,
стр. ПО, 1913.] Пусть (b, c) — d. Если (а, Ь, с)=1, то сократи-
мыми будут лишь те дроби, числитель которых делится на простые
числа, входящие в с, но не входящие в Ь, а значит — и в d. Отсюда
следует аналогично тому, как в 25, что число несократимых
дробей
Но <p(bc) = d<pf—j, ибо Ьс и содержат одинаковые простые
множители; кроме того, согласно 46 <pl-у 1 <р (d) = <р (Ь) <р(с).
63.	ф(1) + 2[ф(2) + ф(3)+ ... +ф(п)].
64.	(1) Число столбцов, в которых мнимые части числителя
имеют с п фиксированный наибольший общий делитель t, равно
ф(у^. В каждом из этих столбцов число несократимых дробей
равно числу чисел, меньших чем п и взаимно простых с I, т. е.
равно уф(0- Поэтому число всех несократимых дробей будет
равно
1|л
358
РЕШЕНИЯ
и представляет, следовательно [43, 59], мультипликативную функ-
цию. При n = pk число сократимых дробей равно	и,
значит, число несократимых равно р2* —ра*-2
Из формулы Ф (п) = 2 Ф (О у Ф (у) > между прочим, вытекает
сразу также (4), ибо имеем
ОО	оо	оо
2	<P<W 2	149].
Л=1	*=1	1=1
(2) Вытекает из 21, как 25.
(3) Число дробей, числитель и знаменатель которых можно
сократить ровно на t, равно Ф^у)- Суммируя по всем полу-
чаем
t I п	t \п
Из (4) вследствие 47 вытекает (1) и обратно.
Из (4) вытекает (2) и обратно. В самом деле,
ОО	оо
X ®(n)n-=xfca= V 2 и «*)-£«-•
п= 1 	п= I d\n
[41], следовательно,
ф(«)=2н(ф5-=п2(1—... +т^-+ •••) =
d | п
Из (4) на основании правила умножения рядов Дирихле вы-
текает (3) и обратно.
65. Из первого тождества имеем
Ап — У Ф,
11 п
из второго
оо	со	оо
2 т5г= 2 м*т+*2т+*зт+ ...)= 2 [2 azVn-
п — 1	т=	1	n=\\t\n j
66> Имеем
(1 - 21-5) Z (s) =	- 2~s + 3-s- 4~s+ ...
Первое тождество дает, таким образом,
Вп = ^-\у-'а„,
t I п	t
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
359
а второе
оо	оо
2 TT3F= 2 ат(хт — х2т-]-х3т — ...) =
п — 1	т ~ 1
оо
= 2 (2 (-1),_1£1Фл-
п = i у j п	* /
67.	Записывая Ап в форме Ап=£а( и объединяя множи-
t [ п
тели с показателем ат, получаем в правой части произведение
/ . х2 Am f . X2 Am /. х2 \ат
I/-ойх2/ \ 1 ~ (2m)2 л2 / \ ~(3т)2л2/
которому в левой соответствует ат-я степень члена
т  х ____Д х2 \ /. х2 \ /._____________х2 \
х Sln т \ т2л2/ \	(2m)2 л2 / \	(3m)2 л2 /
68.	См. решение 66:
|| \ X2 \(—I)*-1'	X . X
I I \1	(#т)2 л2 у ~ 2т Ctg 2т 1
k= 1
69.	Из 65 на основании 41 и 49 вытекает, что. интересующие
нас функции суть х и .
70.	[Baschwitz, задача, Mathesis (2), т. 3, стр. 80, 1893.
Решение—Е. Cesar о, там же (2), т. 3, стр. 205, 1893; La-
guerre, Oeuvres, т. 1, стр. 216, Paris, Gauthier-Villars, 1898.]
Из 65 и 49.
71.	Из 66 с помощью 41, 49.
72.	Из 66 с помощью 49. Согласно I 93 сумма ряда
ОО
п ~ 1
при х—* 1 стремится к — оо. Если бы удалось доказать анало-
ОО
гичное утверждение для ряда Х(п)хл, то тем самым была бы
п ~ 1
доказана известная гипотеза Римана о нулях ^-функции.
73.	См. 64, 65, 66.
74.	Согласно 39, 65
ОО	оо
2 т(п) х"= 2	= X + -V2 + X3 + X* + ... +
п=1	п—1
+ X2 + X* + Xе + X8 + ... +
+ х3+х® + х9 + х124- ... 4-
360
РЕШЕНИЯ
Суммируем ряд по членам, стоящим справа и ниже каждого
диагонального элемента х, х4, хв, ... См. также II 32.
75.	[Euler, Opera omnia, серия 1, т. 2, стр. 373, Leipzig,
В. G. Teubner, 1915.] Согласно 49, 65
со	оо
2 а(п)хл=2 п-Т^:= Х + х*+ *3+ Xi + +
п= 1	п— 1
+ 2х2 + 2х4 + 2х6 + 2х8 + ... ф-
+ Зх3 ф- Зхв ф- Зх9 ф- Зх12 + ... ф-
Суммируем этот двойной ряд по столбцам. С другой стороны,
рассматриваемый ряд представляет собой (с точностью до множи-
теля — х) логарифмическую производную от эйлерова произведения
оо
(1-х) (1-х2) (1-х3) ... (1—хл) ... = Л (— 1)'<х“^~	[154].
k = — оо
Умножая на знаменатель 1 — х — х2ф-х5ф-х7 — ... и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем
а (п) — а (п — 1) — а (п — 2) ф- а (п — 5) ф- а (п — 7) — ... =0.
/	3k2 -+- k \	3k2 -ь k
Слева стоят выражения (—1)*а(ц-------—)> 0	<!1>
где вместо не определенного еще символа а(0) в случае его по-
явления следует поставить число п.
СО	со оо	оо
2 т^= 2 2 ^-= 2
п — 0	т = 0 п — 0	т = 0
77.	Заменяем в 76 р на х, q на — х2, х на х2.
78.	В разложении дроби -^х2 содержатся в качестве пока-
зателей степеней нечетные числа, в разложении дроби -р——
числа, делящиеся на 2, но не на 4, в разложении дроби —
числа, делящиеся на 4, но не на 8, и т. д. См. решение I 19,
где также играет роль разбиение всех чисел сообразно содержа-
щейся в них высшей степени двойки. Интересующее нас тожде-
ство получается также посредством логарифмического дифферен-
цирования из I 164. Второе тождество получается из 66 или же
посредством логарифмического дифференцирования из решения I 14.
79.	[См. Р. G. Lejeune-Dirichlet, Werke, т. 2, стр. 52,
Berlin, G. Reimer, 1897.] Указанные целые точки можно подсчи-
тать двумя различными способами. Число целых точек на гипер-
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
361
боле xy = k равно т (k); полагая k=l, 2, .п и складывая,
получаем левую часть. Число целых точек на прямой x = k, па-
раллельной оси у, равно полагая &=1, 2, п и скла-
дывая, получаем правую часть. См. II 46.
80.	Указанные в задаче 79 целые точки можно подсчитать
также, беря число целых точек в обеих полосах
IsCXsgV, ху-с'п И Is^ys^V, Ху:'П
и вычитая из него число целых точек в квадрате Isgxsgv,
т. е. V2. [В области x>v, y>v, ху^п не содер-
жится ни одной целой точки, ибо (v + I)2 >• п.\
81.	Припишем каждой целой точке (k, I) в области х>0,
у>0, xyg^-_n «числовое значение» akbt. Подсчетами, аналогич-
ными проведенным в 79, получаем различные представления для
суммы «числовых значений» Г„ всех указанных целых точек.
82.	Полагаем в 81 ап = А(п), bn= 1; тогда с,г = 1пп и Вп = п,
Гя = In п\, следовательно,
п	п	со
in«!=2	Л(г)[г]== 2 2111/7
г — 1 L Н г ~1	р т~ 1
83.	[80.]
84.	Биномиальные коэффициенты являются целыми числами,
является целым также и для отрицательных целых х, ибо
/	+ т Ц
\ т J '	' \ т г
85.	Функции 1, х, х2, ... , хп можно последовательно выра-
зить в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициен-
тами через 1,у,	, ... ,	Коэффициенты
Ьо, Ьъ , Ьт *) определяются из уравнений
Р(О) = Ьт>
Р(1) = ьт+([) Vlt
P(2) = bm + Q V1 +(2)^-2,
Р (т) = Ьт + j Ьт-! + • • • + Ьо.
*) Последовательные (но в обратном порядке) конечные разности поли-
нома Р (х), взятые в точке х = 0. Аналогичные замечания можно сделать и
относительно задач 88 и 89.
362
РЕШЕНИЯ
Если Р(0), Р(1), .Р(т) — целые числа, то, как показывают
приведенные уравнения, и b0, blt , Ът будут целыми числами.
86.	[85.]
87.	Мы можем принять, что точками, в которых Р (х) при-
нимает согласно предположению целые значения, служат 0, 1, ...
..., т; тогда утверждение вытекает из решения 85.
88.	[G. Polya, Rend. Palermo, т. 40, стр. 5, 1915.]
(х + т— 1\	х(х2 —I2) (х2 —22) ... [х2 —(m —I)2]
2т— 1 J ~~	(2т—1)!
Коэффициенты clt с2, ... , ст последовательно определяются из
уравнений
P(1) = G.
P(2) = C1(i) + c2,
Р (3) = G j) + с2 (з) "Ь Сз >
[Решение 85.]
89.	Полином степени 2m
°. • «•».<>.............................. »• 1
при
х =— т, — т+1, ..., —1, 0, 1, ..., in— 1, т
и, стало быть, целозначен [87]. Далее,
P(O) = do,
P(l) = d0 + d1,
Р (2) == d0 + d1 у j + d2>
[Решение 85, 88.]
90.	[G. Polya, Deutsche Math.-Ver., t. 28, стр. 31—40,
1919.] Согласно VI 70 целочисленный полином Р(х) = аохт-\-
+	+ ... + ат, йоУ=О, в т+1 различных целых точках
принимает по меньшей мере один раз значение, которое по мо-
дулю += 2^ I «о	При т+=4 имеем> 1. Для т-сЗ
можно указать следующие примеры:
т = 1, Р (х) = х
т = 2, Р (х) = х (х — I) — 1
т = 3, Р(х) = (х + 1)х(х — 2) + 1
для х =— 1, 1,
для х — — 1, 0, 1,
для х =—1, 0, 1, 2.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
363
91.	Из интерполяционной формулы Лагранжа, см. стр. 98.
92.	Первое р ешение. Пусть интересующая нас функция
р (х)
будет R (х) 757-т, где Р (х) и Q(x)— взаимно простые полиномы
Ч {X)
и r — сумма их степеней. Для случая г = 0 теорема тривиальна.
Предположим, что степень Р (х) не ниже степени Q (х) [в про-
тивном случае мы взяли бы R (х)-1 вместо R (х)]. Пусть для
некоторого целого положительного a Q(a)=£ 0. Тогда отношение
Р (а}	1 /	Р (а)\ Р* (х)
 рационально и —— \R (х) — Q-^y j = представляет собой
рациональную функцию, принимающую рациональные значения
для целых х, х>й, причем степень числителя
р* (г\ _ Р W Q («) — Q (х) Р (а)
W Q(a)(x-a)
меньше чем степень Р(х), так что сумма степеней Р* (х) и Q(x)
меньше суммы степеней Р (х) и Q (х). Утверждение получается
теперь методом математической индукции.
Второе решение. Пусть интересующая нас функция будет
р (х)
R (х) = —, где Р (х) и Q (х) — взаимно простые полиномы степеней
ч W
соответственно т и п. Пусть, далее, в точках х = 0, 1, 2,...
..., т-\-п эта функция принимает рациональные значения г0, rv
г2, ..., гт±п. Рассмотрим систему т-\-п-\Л однородных линей-
ных уравнений
«о + u^k -|- u.k2	umkm — vorh —
— v1rkk — v2rkk2—...—vnrkkn==0 (£ = 0, 1, 2, ..., m-|-n)
с m-^-n + 2 неизвестными «0, ur, ..., um, v0, vlt v„. Двум
решениям этой системы соответствуют две пары полиномов Р (х),
Q(x) и Р* (х), Q* (х), где Р (х) и Р* (х) — степени gm, Q(x) и
Q* (х) — степени sgn такие, что
P{k)-rkQ(k) = Q, P*(k)-rkQ*(k) = 0 (£ = 0,1,2........m + n).
Но из обращения в нуль функции Р (х) Q* (х) — Р* (х) Q (х) степени
в точках х = 0, 1, 2, ..., т-\-п вытекает, что она тож-
дественно равна нулю. Так как Р(х) и Q(x) —взаимно простые,
то Р (х) должно делить Р* (х), т. е. Р*(х) = сР(х), Q* (х) = cQ (х),
с —постоянная. Следовательно, указанная система имеет, с точ-
ностью до множителя пропорциональности, лишь одно решение.
Ее ранг равен, таким образом, т-\-п+1, и, значит, в матрице
системы содержится по крайней мере один определитель порядка
/п4-п+1, не равный нулю. Но все элементы матрицы являются
рациональными числами. Следовательно, среди решений «0, иг, ...
.... ит, v0, vlt ..., vn будут содержаться целочисленные.
364
РЕШЕНИЯ
Было бы достаточно предположить, что R (х) принимает
рациональные конечные значения при m + n-f-l различных
рациональных значениях х.
93.	Интересующая нас функция f (х) [решение 92, см. послед-
Р (х}
нее замечание] равна 777-7, где Р (х) и Q (х) — целочисленные поли-
Ч и)
номы. Но тогда можно найти такое целое число g, что gf (х) =
= G (х) + г (х), где G(x) —целочисленный полином, а г(х) —
правильная рациональная дробь. Функция г (х) должна принимать
целые значения в бесконечном множестве целых точек. Но так
как lim г(х) = 0, то, начиная с некоторого х, будем иметь
|г(х)|<1, следовательно, г(х) = 0 и, значит, г(х) = 0, ибо
рациональная функция, не равная тождественно нулю, может
обращаться в нуль лишь в конечном числе точек.
94.	Из сравнения
2mss— 1 (modp)
имеем
2^ = 1, 22*m4-l =2 (modp),
т и k — целые положительные, р — нечетное простое число. Отсюда
вытекает, что число простых чисел, не превосходящих х, во вся-
ком случае const. • In In х.
95.	[G. Polya, Math. Zeitschr., т. 1, стр. 144, 1918.] Мы
можем предположить, отбрасывая тривиальный случай а = 0, что
(a, d) = l, d'^1, a>d. Числа
являются целыми при всех v=l, 2, 3, ..., а числа
a + nd = a'PW)v+1
содержат лишь простые множители, входящие в а.
96.	Произведение чисел вида 6n4~ 1 представляет собой число
снова того же вида.
97.	[Goldbach; см. Euler, Opera omnia, серия 1, т. 3, стр. 4,
337, Leipzig, В. G. Teubner, 1917.]
Первое решение. Пусть [85]
Р (х-[-п) = Ьо+ &if ... + М + bm,
Ьт = Р(п),
где Ьо положительно и п выбрано столь большим, что простое
число Р (п) = р больше чем т и Р (р + п) > р. [Р (х) возрастает
до бесконечности и притом монотонно, начиная с достаточно
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
365
большого значения х.] Тогда при х = р все члены будут делиться
на р, и р будет входить собственным множителем в Р(р4-п).
Второе решение. Если Р (х) — полином степени т, то
т\ Р (х) будет целочисленным полиномом [86]. Пусть при целых
положительных значениях а и b имеем Р (а) = р и Р (b) = q, где
р, q — простые числа, q>p>m. Выберем с = а (modp), c^b
(modg). Тогда m!P(c) = 0 (mod pq) и, следовательно, Р(с) = 0
(mod pq).
98.	Нечетное простое число р является простым делителем
полинома х24-1 тогда и только тогда, когда
/_п	РдН
2 ='•
99.	Простое число р, р=£2, 3, 5, является делителем поли-
2 , 1С	/-15\	/-1\/3\/5\
нома х 4-15 тогда и только тогда, когда --- = — — — =
\ Р /	\ Р / \Р 1\Р /
= 1. Так как
\ Р }	’ \р) 1	' к Зр М \5р
(^ = р (mod 3),	= (mod 5),
то	( 5) = 1 тогда и только тогда, когда р либо содер-
жится одновременно в обеих последовательностях
4, 7, 10, 13, 16, 19, ...,
4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 26, ....
либо не содержится ни в одной из них. Искомыми простыми дели-
телями служат 3, 5 и все простые числа вида 15x4-z/, где у=\,
2, 4, 8.
1ОО.	Полином ax2-\-bx + c неприводим тогда и только тогда,
когда Ь2 — 4ас не является квадратом. Пусть р не делит Ь2 — 4ас.
Из сравнения
4й (ах2 4- Ьх 4- с) = (2ах 4- Ь)2 4- 4ас — Ь2 = 0 (mod р)
вытекает, что I—j = l. По закону взаимности, примененному
как в решении 99, и теореме Дирихле о простых числах в ариф-
метической прогрессии [см. примечание к задаче ПО] существует
-	[Ь2 — 4ас\
бесконечное множество простых чисел р, для которых ) =
= — 1. С помощью более тонких средств эту теорему можно рас-
пространить на неприводимые полиномы любой степени. См. G. Fro-
benius, Berl. Вег. 1896, I, стр. 689 — 703.
101.	После умножения на некоторое целое число, не равное
нулю, мы можем записать рассматриваемый полином в виде
366
РЕШЕНИЯ
(ах + b)Q (х), где а, Ь — целые, а =/=0, Q(x) целозначен, Q(x)^0.
Если р — простое число, не входящее в а, то существует бесчис-
ленное множество х, для которых ax-\-b = () (mod р), т. е.
(ах-j- b) Q (х) = 0 (mod р).
102.
х6 _ 11Л436Х2 _ 36 = (х2 - 2) (х2 - 3) (х2 - 6).
При р>3 равенства (у) = (у) = (у) =—I не МОГУТ одновре-
менно выполняться, ибо — — — =1.
~	\р/\РJ\p 1 .
103.	Из 104 следует, что т входит множителем в р— 1.
104.	Из равенства
Хт - 1 = Кт (х) JJ Kt (х)
i\m, Кт
[36]	вытекает, что ат— 1=0 (modp), следовательно, а взаимно
просто с р. Если бы а не принадлежало показателю т (mod р),
то мы имели бы а*— 1=0 (modр) уже для некоторого собствен-
ного делителя t числа т. Так как
У-1 = П7У(х),
t’H
то тогда по крайней мере еще один множитель полинома хт— 1,
кроме Кт(х), делился бы на р. Мы имели бы тем самым ат — 1 =
= 0 (modр2) и точно так же (а-\-р)т— 1=0 (modр2), что невоз-
можно, так как (а-\-р)т— 1 =ат— 1 -^-тра™-1 (mod/?2).
105.	6Р — 1 обладает простым множителем вида 6/г — 1 [96],
этот последний не может входить множителем в Р и, стало быть,
отличен от всех уже известных простых чисел вида 6/г — 1.
106.	См. решение 105.
107.	[G. Polya, J. fur Math., т. 151, стр. 19—21, 1921.]
Пусть рг, рг, ..., pk, qlt q2, ..., gz —простые делители функции
abx-\-c, причем в b входят множителем все q и ни одно р. Тогда
каждое q должно будет входить также в с; если ^'’ — высшая
степень, в которой qv входит в с, то q®v при x>>pv будет также
высшей степенью, в которой qv входит в abx-(-c. Пусть х0 —
целое число, для которого abx“ + с^О, и р'^‘— высшая степень,
в которой рц входит в аЬх°-]-с. Полагая
»W‘+W+,..-p?+‘W,
будем иметь для всех целых х;>=0 и р, = 1, 2, ..., k
abxo+rx_pc==ay'o.^c^Q ^mod р“»ь
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
367
Если бы теперь числами рг, р2, pk, qlt q2, .... qi исчерпы-
вались все простые делители функции abx^-c, то для всех до-
статочно больших целых х было бы
(modp“1+1), (modp“2+l), (mod
| ab*°+'* + c f ==£ рагр?... p^q^q^  • • qf‘,
т. e. функция abx-\-c была бы ограниченной, что на самом деле
не имеет места.
108.	Каждый не тождественно постоянный целозначный поли-
ном имеет по крайней мере один простой делитель, ибо он прини-
мает значения О, 1, —1 лишь в конечном числе точек. Пусть
Р (х) есть целочисленный полином [86], Р (а) = b Ф 0, и известны
уже его простые делители р1( р,, ..., pL. Тогда полином
b~4> (a + bp1p2...plx)
является целочисленным и =1 (mod ргр2... Pi) для целых х и име-
ет, таким образом, хотя бы один простой делитель, от л и ч н ы й от
Pi, р2,..., рр но таковой служит простым делителем также для Р (х).
Можно доказать и методом, примененным в 107 [см. 1. с. 107].
109* Да, если Р (х) — линейная функция или степень линей-
ной функции [95], и, как можно доказать с помощью более тон-
ких средств, ни в каком другом случае. См. 1. с. 95 и С. Siegel,
Math. Zeitschr., т. 10, стр. 204—205, 1921.
110.	[J. A. Secret и др.; см. Е. Landau, Handbuch der
Lehre von der Verteilung der Primzahlen, стр. 436, 897, Leipzig
und Berlin, B. G. Teubner, 1909.] [108, 103.]
111.	Существуют два таких целочисленных полинома р (х) и
q(x), что р (х) Р (х) + q (х) Q (х) = т Ф 0, где т — целое число. Сле-
довательно, (P(n), Q(n)) делит т, тогда как Р (х) и Q(x) имеют
простые делители, не входящие в т [108].
112.	Предположим сначала, что полином Р (х) — целочислен-
ный. Р (х) — взаимно простой с Р' (х). Существует бесконечное
множество простых делителей р полинома Р (х), для которых
Р (п) = Р (п + р) ^0 (modp) и Р' (п)^0 (mod р) [114-
Так как Р (п + р) — Р («) =рР' («) (mod р2) [130], то оба числа
Р(п), Р(п + р) не могут одновременно делиться на р3. В общем
случае рассматриваем ml Р (х), где т есть степень Р (х).
113.	Пусть J (х), Л(х), J2 (х),... — различные неприводимые
множители Р (х), расположенные в порядке возрастания их крат-
ности, так что
Р (х) = [7 (x)]m [А (х)]т- [7, (х)]'”»..., т тг т2 ...
Существует [111] бесконечное множество простых делителей р
полинома J (х) таких, что из J (и) = 0 (modp) необходимо следует,
368
РЕШЕНИЯ
что 7'(п)е£0,	J2(n)^0, ... (modр). Тогда одно из двух
чисел J (и) и 7(« + р) делится лишь на первую степень р [112]
и, следовательно, одно из двух чисел Р(п) и Р(п-\-р) — лишь на
рт и ни на какую более высокую степень р.
114.	[Ch. Brisse, задача, Intermed, des math., т. 1, стр. 10,
1894; R. Jentzsch, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 19, ст. 361, 1912. Решение —W. Grosch, там же, серия 3,
т. 21, стр. 368, 1913; см. также серия 3, т. 25, стр. 86, 1917.]
Если Р (х) не представляет собой точной k-й степени, то сущест-
вуют такое целое число а и два таких целочисленных полинома
<?(х), 7?(х), что акР (х) = [Q (х)]* R (х), где Q(x) может быть равно
единице, a R (х) во всех случаях обладает нулем кратности, мень-
шей k (это явствует из разложения Р (х) на неприводимые мно-
жители). Существуют произвольно большие целые и, для которых
R(n) делится на простое число р, не делясь на рк [113]; следо-
вательно, ни R(n), ни Р (и) не представляют точной Л-й степени.
Другое решение —в 190.
115.	Обобщение метода, примененного в 107. [См. 1. с. 107,
стр. 19—21.]
116.	[Gauss. См. Неске, стр. 14, 78*).]
117.	[Gauss. См. Nouv. Ann. de math., серия 1, т. 15,
стр. 383, 1856. Решение —De Rochas и др., там же, серия 1,
т. 16, стр. 9, 10, 71, 1857.] Если f(a) = O, а — целое, то f (х) =
= (х —а)ф(х), где ф (х) — целочисленный полином [116]. Из чисел
— а, 1—а одно, и поэтому из чисел f(0) =— аф(0), /(!) =
= (1—а)ф(1) по крайней мере одно,— четное.
118.	[L. с. 90.] Пусть f(x) = aoxm + a1xm~1 + ... + am, ао=#0,—
целочисленный множитель полинома Р (х) с наивысшей степенью т.
Тогда
г п 1	.
п — у
Согласно предположению полином f (х) должен принимать в п,
следовательно, самое меньшее в т-\-1 точках целые значения, по
модулю меньшие, чем
2 I2
Из интерполяционной формулы Лагранжа (стр. 98) вытекает
тогда [VI 70], что | а01 < 1, т. е. ао = О, в противоречие с пред-
положением. См. 116.
119.	[L. с. 90.] Видоизменением метода доказательства тео-
ремы 118.
*) Г е к к е, стр. 19 и 82.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
369
120.	[Р. Stackel, J. fur Math., т. 148, стр. 104, 1918;
G. Polya, 1. с. 90.] Обозначая указанный полином через Р (х),
имеем при всех целых х
Р (х) = х (х — 1) (х — 2)... (х — п-\- 1) = 0 (mod п!)	[130].
Неприводимость Р(х) вытекает из 119, так как
.	(п1 + 1 V-I 24 f	Гп1\, о
nl<\ —g—j L J(n — |yj/> «э=3.
Указанный неприводимый полином при всех х делится на п\.
Этот множитель п\ является наибольшим, какой только вообще
может иметь при всех х целочисленный полином n-й степени
с взаимно простыми коэффициентами [86]. Другой противоречащий
пример [А. и R. Вгаиег’ы]: полином х'1+105x4-12 делится при
всех целых х на 2, являясь вместе с тем по известному критерию Эй-
зенштейна неприводимым. Он не может принимать и значений ±2,
ибо по тому же критерию полиномы
х” 4-105x4-10, хп4~ 105x4-14
также неприводимы.
121.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 13, стр. 367, 1908. Решение —W. Fliigel, там же, серия 3,
т. 15, стр. 271—272, 1909.] Если ф(х), ф (х) — целочисленные
полиномы [116] и
(х — а±) (х —а2)... (х — ап) — 1 = ф(х) ф (х),
то должно быть ф(щ) = — ф(av) = ± 1 при всех v=l, 2, ..., п.
Но если бы полиномы ф(х), ф(х) и, значит, также их сумма
Ф (х) 4- ф (х) были степени ==g п — 1, то эта сумма ф (х) 4- ф (х),
обращаясь в нуль в п точках, должна была бы быть тождественно
равна нулю, и следовательно, мы имели бы
(х — at) (x-flj ...(x-fl„) -1 = -[ф(х)]2,
что невозможно вследствие различия знаков у коэффициентов
при хп.
122.	[L. с. 121.] Если ф(х), ф (х) — целочисленные полиномы
степени п — 1 и
F (х) = х (х — aj (х — я2)... (х — ап^) 4- 1 = ф (х) ф (х),
где 0<с2<...<.an-t, то так же, как в 121, заключаем, что
(р(х) = ф(х), Д(х) = [ф(х)]2, п = 2т,
где т — целое. Но
„ ! 1 \	.	1 2ax — 1 2a2 — 1	2a„_: — 1
? (у;—	1 ~ У 2 	2 ' • •'	1
.	113	4т-3
1	2 ’ 2 ’ 2	2
13 Г. Полна, Г. Сеге, ч. II
370
РЕШЕНИЯ
при т^З, следовательно, F (х) не может быть квадратом. Даль-
нейшее исследование необходимо лишь в случае	Поли-
ном F (х) приводим (и, значит, является квадратом) лишь в сле-
дующих двух случаях:
т — 2, п — 4, ах = 1, «2 = 2, а3 — 3,
т=1, п = 2,	й! = 2.
123.	[I. Schur, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 15,
стр. 259, 1909.] Если ср (х), ф (х) — целочисленные полиномы соот-
ветственно степеней k, I и если, кроме того, старший коэффициент
полинома <р (х) положителен и
(х - аг)г (х - а2)2... (х — ап)2 + 1 == ср (х) ф (х),
то тогда <р(х), ф(х) положительны для всех вещественных значений
х, <р(av) = ф (щ,) = 1, ф(х) = х*4-..., ф(х) = хг + ---, &4-1=2п.
Если k < I, то <р(х) == 1, ибо <р(х) принимает значение 1 в n^sk+1
точках. Если k — 1 — п, то полином (и—1)-й степени ф(х) —ф(х)
обращается в нуль в п точках, и, следовательно, тождественно.
Но тождество
1 == [<р (х)]2 — (х — оу)2 (х — а2)2... (х — аД2 =
= [ф (х)+(х ~ Й1) (X - а2).. .(х -«„)] [<р (х) - (х - ЙХ) (х - а2).. .(х - а„)]
невозможно.
124.	[I. Schur, задача, 1,с. 123. Решение —А. и R. Вгаиег’ы.]
Положим
Ро (х) = (х - ох) (х - а2)... (х - ап).
Если бы полином Ро (х) 4-1 был приводимым, то его можно было бы
представить в форме
Ро (х) + 1 = [1 - р0 (х)	(х)] [1 - рй (х) Р1 (х)],	(1)
где (х) и рг (х) — целочисленные полиномы со старшим коэффи-
циентом — 1. Из (1) вытекает
Ро (х) = — [р-i (х) + рг (х)] р0 (х) + р-! (х) р-й (х) рх (х),
Р-i (х) + Pi (х) = — Ро (х) t (х),	(2)
где t (х) — некоторый целочисленный полином. Следовательно,
Ро (х) = t{x) + р-! (х) рг (х).	(3)
Если теперь степени п^, пг полиномов p-i(x), рх(х) равны, то из
равенства (1) вытекает, что п_х = п1 = п. Приравнивая тогда
старшие коэффициенты в равенстве (2), заключаем, что /(х)=2.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
371
Из (2) вытекает, далее, что p_1(av) = — px(av) и, значит, по фор-
муле (3) р\ (щ) = 2 (v = 1, 2, ..., п). Но это невозможно, ибо pr (av)—
целые рациональные числа. Пусть, стало быть,	Имеем
ls=$(x)Po(x) (mod 1-PiWpo (-«))•
Из тождества (1) вытекает поэтому, что
р\ (х) + 1 === р\ (х) + р{ (х) р40 (х) = 0 (mod 1 - (х) р0 (х)),
Pi (х) 4- 1 = [1 - Pi (х) ро (х)] [1 - Р1 (х) д2 (х)],	(4)
где р2(х). как в последующем вообще Рк(х), 6. (х), означает
целочисленный полином. При выводе (4) из (1) мы не опирались
на свойства корней полинома р0(х); поэтому получаем по аналогии
с равенствами (4), (2) и (3)
р{(х) + 1 = [1 -рк (х) рх-1 (х)][ 1 -рк (х) Рлн (х)],	(5)
Рх-1 (х) + Px+i (х) = — рк (х) h (х),	(6)
РНх) = ^(х) + А-!(х)Рл+1(х) (Л = о, 1, 2, ...).	(7)
Исключение полинома Pvi(x), соотв. рд.+1(х), из (6) и (7) дает
Рх (х)+Рх-Н (х) _	_ pI(x) + pI_i (х) _
1-Рх (*) Px+i (*) ~	1-рх(х) РК-1 (х) ~
= iK-i (х) = ?х_2 (х) =... = t (х).
Степени Пк полиномов рх(х) постоянно убывают на одно и то же
число, ибо из (5) вследствие неравенства	вытекает
2п;, = Их-i + «х-н, zC-i — пк — пк —• Пк+1, пМ1<п.к.
Поэтому имеется первый тождественно равный нулю полином
pv+1(x). Положим pv(x) — y. Из (7) при Л = х получаем г/2 = /(х),
следовательно, из (6)
Pv-i (х) = — У3, pv-z (х) = — pv-i (х) У2 - Pv (х) = у5 - у, ...
Из соотношения (6) вытекает, далее, что все рк являются полино-
мами относительно у, рк (х) = qK (у); при этом в каждом полиноме q}.
все показатели сравнимы по модулю 4. Поэтому вместе с а также ia
является корнем уравнения <7х(*/) = 0. За исключением q-Лу) и
qx--i(y) все qiAy) имеют отличные от нуля и, значит, также не
вещественные нули. То же Имеет место и для рк(х), так как у(х)
имеет рациональные коэффициенты. Так как р0(х) имеет лишь ве-
щественные нули, то v должно быть равно единице или нулю.
Первая возможность отпадает, так как тогда было бы р0 (х) =
= — pl (х), что невозможно, ибо все нули полинома р0 (х) различны.
13*
372
РЕШЕНИЯ
125.	[А. и R. Вгаиег’ы.] Так же как и в 124, получаем ряд
целочисленных полиномов р-1(х), р0(х), рх(х), удовлетворяю-
щих уравнениям
(х)] = {1 - р>. (х) рк-г (х)} {1 -рк(х)рм(х)},	(1)
Рх-1 W + рх+1 (х) = — рь(х)Цх)-А,	(2)
pl(x) + A/7x(x) + B = Z(x) + pvi(x)px+i(x) (Л = 0, 1, 2,...), (3)
где t(x) обозначает некоторый целочисленный полином, не зави-
сящий от X. Если. рл (х) и рг (х) имеют одинаковую степень, то
аналогично тому, как в 124, получаем
РМ =	± у ]А4а-4В + 8 (k = 1, 2, ..., п).
Следовательно, должно быть A2 —4B-f-8 = C2. Но если бы это
было так, то полином F (z) был бы приводимым:
F(z) = {z2 + |(A + Qz + l}{z2 + |(A-C)z+l}.	(4)
Если	то пусть снова pvn (х) — первый полином, тожде-
ственно равный нулю, и pv(x)=y. Тогда будем иметь
/(x) = «(z/) = z/24-Az/4-B,
и px (х) = qK (у) будут целочисленными полиномами относительно у.
Полином q(> (у) вместе с р0 (х) имеет лишь различные целочисленные
нули blt b2,..., Ьт. При z/ = bg(p. = 1, 2, . полагая 9х(&ц) =
=bjL будем иметь
Я\ (М + Aq, (bj + B~u(bll) = btl + Abll + B	(5)
[из (3) для А.= 1], следовательно,
и (b*) = b^ + Ab* + B = u (Ьц) = Ь4 + AbLl + В. (6)
Таким образом, либо Ь'^ = Ь^, либо Ь£ =— А — Ь^. Но теперь
<7о(М = ^+1(Ь^)==О, b'£ = q^h^) = qv (Ь$), так как qv(y) = y. Из
^(Ьй) = ^х+1(ЬЙ, (М = (Ьц) и (2) вытекает, что
Ф.+2 (Ьи) = — А -	и (Ьи) - qK (bj =
= — А -	и - 9v_U1 (b*) = 9v_V1 (b*)
(Х = 0, 1, .... v-I),
и, следовательно,
bp = ?v(M = ^(^).	(7)
Те Ьи, для которых bp = bg, удовлетворяют соотношению
ЯЛУ)==У>	(8)
ОТДЕЛ восьмой
373
те же, для которых =— А — Ь^, удовлетворяют соотношению
<71 (</) = — #-Л-	(9)
При v> 1 уравнения (8) и (9) будут степени т — 2. Стало быть,
по крайней мере два из Ь^, скажем и Ь2, удовлетворяют урав-
нению (8) и по крайней мере два, скажем Ь3 и Ь4, — уравнению (9).
д
Так как b3=£b4, то мы можем предположить, что Ь3=А=—и, зна-
чит, b3=£b%. Но теперь согласно (7)
Qi (b3)-~qj (&t)	b* — bj	qj (&f) —t?j (&x) _ b3 — bj
b3 — by	b3 — bt bf — bi	b* — by
являются целыми числами; следовательно, b3 — by = ± (b3 — by).
Знак + не годится, так как b3=£b3. Таким образом, мы получаем
,	&? + &з	, bi-l-.bg	,	, тт
b1 = - s - и аналогично о2 = —следовательно, ох = о2. Но
это невозможно. Значит,
v=l, q0(y) = -y(y2 + Ay + B)-A=-—(y3 + Ay2 + By + A).
Из равенства by + Ь2 + Ь3 = — А = byb2b3 при надлежащей нуме-
рации получаем, что ^=1, Ь2 = 2, Ь3 = 3, или Ьу =—1, b2 =—2,
Ь3 = — 3, или by = — b2 > 0, &3 = 0. В первых двух случаях
полином F (z) = z4±6z3+llz2±6z+l будет согласно (4) приво-
димым, в последнем полином F (z) = z4 — b{z2 Ц-1 будет положительно
определенным лишь при bf=l. Значит,
F(z) = z4-z2+l; fex=l, b2 = — 1, Ь3 = 0;
п
q0 (у) =—у (у - О (у+ 1)=Ро (х)=П (* ~ «v)-
V = 1
у(х) может содержать лишь один линейный множитель, так как
в противном случае у(х) и р(х) —1 имели бы не только целочи-
сленные корни av. Следовательно,
Ро (х) = (х — а) (х — а — 1) (х — а — 2).
ПРИ
четных Л;
В этом случае полином F [р0 (х)] действительно приводим.
126> [А. и R. Вгаиег’ы.] См. решение 124, 125. Рекуррентные
формулы будут здесь таковы:
Арх (х) + 1 = [1 - рЛ (х) рК-у (х)] [ 1 — рл (х) Pui (х)],
Pvi (х) + Px+i (х) = — рх (х) t (х),
Ар£ W = *(*) +Pvi W Рм-х (*)
4" Рх{х) + 1 = [ 1 - рк (х) рк-у (х)] [ 1 - рк (х) рх+у (х)],
PV! (х) + Рл+1 (х) = — Рх (х)  4- t (х),
при
нечетных %.
ЗТ Рл (х) — -д- 7 (х) + Рх-i (х) Рл+1 (х)
РЕШЕНИЯ
374
р_х (х) и рг (х) — целочисленные полиномы со старшими коэффициен-
тами, скажем А_х и Ах; остальные р-, (х) не обязательно цело-
численны. Несмотря на это, в случае	заключаем, как
в 124, 125.
В случае п^ = пх из рекуррентных формул вытекает, так как
А-1А1 = А>0, что
[Р-х W - Pl (х)]2 = Pl (х) (А_х - Ах)2 - 4 (А_х + Ах),
{p-i (*) - Pi W+Ро W И-i - Аi)} х
X {р-1 (X) - Pi (х) - р0 (х) (А_х - Ах)} = — 4 (А-х + Aj).
Из неравенства А_1А1>0 вытекает, что А^-фАх^О; оба мно-
жителя в левой части постоянны; старший коэффициент в первом
множителе будет, таким образом, 2А-1 — 2А1 — 0. Следовательно,
А-х = Ах, [Р-1(х)-р1« = -8А1, 2А1 = — СР,
Ах = — 2D\ А = 4£Н.
Обратно, полином 4D4z4 -ф 1 = (2Z)2z2 -ф 2Dz -ф 1) (2£>2z2 — 2Dz -ф 1),
т. е. приводим.
127.	[Обобщение одного замечания, принадлежащего О. Gme-
lin’y, см. Р. Stackel, 1. с. 120, стр. 109—ПО.] Пусть ср(х)—
целочисленный множитель полинома Р (х) = <р (х) ф (х) [116]; тогда
также все нули полинома <р (х) лежат в полуплоскости 91х<и — у.
Отсюда следует, что |	— у — | < | <р(п — у-ф tj | при t>0.
Так как <р(п—1)=£0 и целое, то |tp(n— и <р(п) — целое,
| ф(п) | > 1. Аналогично для ф(х). Но тогда Р (и) имело бы собст-
венные делители <р(п) и ф(и), что противоречит предположению.
128.	[A. Cohn.] Применим 127 с /г = 10 [III 24].
129.	[D. Hilbert, Gott. Nachr., 1897, стр. 53; доказательство
A. Hurwitz’a.] Числа Уг, ]/s , yrs, ]/г-фТЛ5, У г — ]А s —
иррациональные. Поэтому в каждом линейном множителе коэффи-
циенты будут находиться в иррациональном отношении, и то же
будет иметь место в каждом множителе второй степени, получае-
мом комбинированием двух линейных множителей. Следовательно,
рассматриваемый полином неприводим в обычном смысле [стр. 150].
Если имеет место функциональное сравнение [Неске, стр. 11—12*)]
Р (х) (х2 -ф ахх -ф я2) (х2 -ф а3х -ф а4) (mod а),
Р (х) (х2 -ф Ьхх -ф Ь2) (х2 -ф Ьях -ф &4) (mod b)
*) Г е к к е, стр. 17,
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
375
и (д, Ь) = 1, то существуют такие числа с2, с3, cit что
cv = av (moda), cv = bv (modb) (v=l, 2, 3, 4),
P (x) == (x2 + qx 4- c2) (x2 + c3x + c4) (mod ab).
/
Таким образом, достаточно доказать разложимость по модулям,
представляющим собой степени простых чисел, г является квадра-
тичным вычетом mod 8, следовательно, также mod 2” при любом и;
Р (х) представлено в равенстве (1) в виде разности двух квадра-
тов mod2re и распадается поэтому на два множителя второй сте-
пени. Вследствие (2) Р (х) приводимо modr'8, вследствие (1) — mod sft.
Если р — простое число, р=£2, p^=r, p^s, то по крайней мере
один из символов	будет равен единице, ибо
f г \ f S \ f rs\ ,	-	f г \ / S \ f rs\ ,
’ См0ТРя по ТОМУ> будет л1Цу^, ^шпц—^ = 1,
(1), (2) или (3) будет показывать разложимость mod рп. Основания
для возможности таких примеров см. у Frobenius’a, 1. с. 100.
130.
а (а+ 1)... (а + «—1)   !а-\-т—1\
т\	~ \ т J'
[84, решение 136.]
131.	Пусть рассматриваемые числа будут a, a-}-d, a-±-2d, ...
..., a + (m— V)d и (d, /п!) = 1. Тогда существует такое dr,
(dr, m!)=l, что dd'^1 (modml). Полагая ad' = а', имеем
d'ma (a-\-d) (a-\-2d)... (a 4- (m — 1) d) =
= a' (a'4-1) (a'+ 2)...(a'+m — 1) (modm!) [130].
132.	[K. Hensel, J. fur Math., t. 116, стр. 354, 1895.]
[Решение V 96.]
133.	a) n = 4 или простое число. Действительно, если п — состав-
ное, n = ab и а<.Ъ <.п — I, то (и—1)! делится на п. Если/г есть
квадрат простого числа, п^р1 и р>2, то п— 1>2р и (и—1)!
снова делится на р2.
б) п = 8, 9, р, 2р, где р — произвольное простое число. Если п
не имеет вида р, 2р, р2 и п^8, 16, то n — ab, где 3sCtz<&.
Либо числа а, 2а, b, 2Ь все различны, либо все различны числа а,
Ь, За, 2Ь\ в том и другом случае из 2t><n вытекает, что (п — 1)!
делится на а2Ь2. Теперь
[р2_ j-]
—---- =р— 15'4 при р5г5,
[^] + P5L] +	+... _ 2» - 1 - п > 2п „рк „3=4.
и, таким образом, вследствие 134 остаются лишь перечисленные
случаи.
376
РЕШЕНИЯ
134.	Согласно 82 искомый показатель равен
И] I ГЛ1 + Г^]|	= У[_Д]
Lр J I р2 I I/’:iJ r aiLp'J’
где сумма обрывается на l-м члене, для которого pl -< п < рг+1.
135.	[Е. Lucas, Theorie des nombres, т. 1, стр. 363, Paris,
Gauthier-Villars, 1891.] Высшая степень десяти, делящая 1000!,
имеет, очевидно, тот же показатель, что и высшая степень пяти.
Этот показатель равен [134]
Г 1000 1 , Г 10001 , Г 10001 Г 10001	, О , ,
[—J + l“25-J + Ыг ] + ЬИ = 200 + 40 + 8 + 1 = 249.
136.	[Е. Catalan, Nouv. Ann., серия 2, т. 13, стр. 207, 1874;
Е. Landau, там же, серия 3, т. 19, стр. 344—362, 1900.] Пусть
р — простое число, v —целое положительное; положим ар'' = а',
bp~v = b'. Тогда достаточно [134] доказать, что
[2а'] + [2fe']^ [а'] + [6'] + [«' + Ь'].
См. 8.
137.	[F. G. Teixeira, С. R., т. 92, стр. 1066, 1881; М. Weill,
Bull. S. М. F., т. 9, стр. 172, 1881.] Достаточно [134] дока-
зать, что
[hn~\ , V hn~\ .	/Г А1 , Г /г 1 ,	\ , Г п 1 , Г п "1 ,
— + “И+ • л ~	~	~
р J 1 L рг J	\|_ р J L Р“ J 1 L Р J L р2 J
где р — простое число.
a)	(/t, р) = 1;	1, следовательно,
ГяА1_Г/г1,Гп1 , inn
(v=b 2*3>
б)	h = pah', (h', р) = 1. Тогда в левой и правой частях пер-
вые а членов отпадают, и утверждение принимает вид
Г /г'п! . Г h'n 1,	_ /Г h' 1 , Г h’ 1 .	\ , Гя , Г « 1 I
Ы+Ы+•НЫНрФч471+Ы+''-
См. а).
138.	Пусть т!=тЛ1, где т содержит лишь те простые мно-
жители, которые входят в I, и (М, t)=l. Пусть tt' == 1 (modAf).
Тогда аналогично тому, как в 131,
t'ms (s — t) (s — 2t) • • • [s — (jn — 1) t] =
= t's (t's — 1)... [f s — (tn — 1)] == 0 (mod M).
139.	Согласно 134 и 138
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
377
140.	Если t = pr'-q*r'i где р, q, г, ... — различные простые
числа, то Т == p“+1^₽+1rY+1 ... [139], ибо
Па + [д'] + [Д + • • • < п (а +	«£«(«+ 1),
ЛР+ [у]+ [^] + -••• и т- fl-
141.	Имеем f (z) = £—, Q (0)^=0, Р (z) и Q(z) — полиномы
X \z)
с целыми коэффициентами [149]. Q (0) f [zQ (0)] можно по сокраще-
нии на Q (0) представить в виде отношения двух целочисленных
полиномов, причем знаменатель в точке z = Q принимает значение 1.
См. конец решения 142.
142.	Если f(z), g(z) удовлетворяют условию Эйзенштейна, то
/(z)—/(0) и g(z) — g(0) .можно также одновременно преобра-
зовать в целочисленные ряды подстановкой Tz вместо z, выбирая
надлежащим образом целое положительное Т.
Если F(г) и G(z) —целочисленные ряды, то целочислен-
ными являются также ряды F (z)4-G (z), F(z) —G(z), F(z)G(z) и,
наконец, F[G(z)], если G(0) = 0, и , если G(0) = l. В самом
деле, если
G (z) = 1 — a±z — a2z2 —... = 1 — 7/ (z),
где ax, a2, ... — целые числа, то функция
[G (z)]-1 = [ 1 - Н (z)]-i = 1 + Н (z) + [Н (z)]2 + [Н (г)]3 +...
разлагается в ряд по возрастающим степеням z с целыми коэффи-
циентами.
143.	Следует из определения.
144.	[См. G. Polya, Acta Math.,T. 42,стр. 314, 1920.] Усло-
вия 1), 2) непосредственно вытекают из условия Эйзенштейна. Что
они, обратно, имеют его своим следствием, убеждаемся следующим
образом. Пусть
-^<А	(п=1, 2, 3, ...)
и простой множитель р входит в tn ровно v„ раз. Тогда
-’л1пр<А, ^<Д = В.
п '	’ п In 2
Обозначая через Р произведение простых чисел, входящих в tr,
t2, t3, .... мы можем положить T = Pk, где k — целое число, k>B.
Действительно, каждый множитель р произведения Р входит в Тп
ровно kn раз, a knZ>vn при п—1, 2, 3, ...
378
РЕШЕНИЯ
MS.	У^А
2«+х —1	’	2«2
n = 0	п — 1
где ^4 = 2^7’ слеД°ватеЛьн0’ ип — нечетное. Первый ряд удовле-
t\n
творяет условию 2), но не 1) [107], второй — условию 1), но не2);
ни один не удовлетворяет полностью условию Эйзенштейна,
ни один не представляет алгебраической функции.
146. Полагая
ОО	00
(1-г)-°=	(1-z) ₽+y-i= ь^я,
п=0	п—0
имеем
р—?4-1 р—v + 2	В — 1... о х _
---j--------2-Р’ г>~
= У] anbn^1zn [140, 143].
п = 0
По поводу дальнейших исследований и литературы см. A. Err era,
Rend. Palermo, т. 35, стр. 107— 144, 1913.
147. Отношение двух последовательных коэффициентов равно
(аф-п) (Рф-n) с	о	(а+%) (В+%)
Если а#=у, р¥=Т и	рационально при
(1+")(Т + «)	r r r (1+-V) (?ф-х) 1	1
х = 0, 1, 2, ..., то ар, аф~Р и у — рациональные числа [92].
148. Пусть а-Ф=О выбрано так, что а(аф-х) (р ф-х) = ох2 ф-
+ Ьх-\-с, где а, b и с—целые числа. Если бы F(а, р, у; z) было
алгебраической функцией, то [144, 1] каждое простое число р (за
исключением, быть может, конечного их числа) должно было бы
быть простым делителем квадратного трехчлена ах2 -- Ьх + с. (Дм.,
однако, 100.
149.	Частный случай теоремы 150.
150.	Частный случай теоремы 151.
151.	[См. Е. Heine, J. fiir Math., т. 48, стр. 269 —271, 1854;
Theorie der Kugelfunktionen, 2-е изд., стр. 52 — 53, Berlin, Reimer,
1878.]
Первое доказательство. Рассмотрим коэффициенты
функции R. Если эта функция не равна тождественно нулю, то
ее можно представить в форме
Ro 4~	+ а2^2 4*  • • 4* щЯь
где Ro, R1T R2» •••» Rz —целые рациональные функции от z, у,
у', у(г} с рациональными коэффициентами и 1, аъ а2, .... а,
рационально независимы, т. е. из соотношения п0ф-п^ф-"
ф- п2а3 ф-... 4- пм = 0 с рациональными коэффициентами и0, гах,
ОТДЕЛ восьмой
379
п2, ...., П/ вытекает, что п0-= пх = п2 = ...nz = 0. Если в Ro, Rlt
R2, ..., Ri вместо, у подставить степенной ряд о0 ф-охг +...
... ф-«„z'1 ф-. • • > то получатся соответственно степенные ряды
СО
У, Zn)z'i(v = 0, 1,2,..., Z) с рациональными коэффициентами
п = 0
Сравнение коэффициентов при задаст /„’ф-а^п1* ф-.. .ф-а/,Р = 0,
т. е. tn} = tn} = .. . = tn} = 0, так что y6v)z” = 0 при v = 0, 1,
п=0
2, ...,/.
Второе доказательство. Рассмотрим коэффициенты у у.
Соотношение R = 0 означает, что степенные ряды некоторого конеч-
ного числа функций вида z^y4 (y')Vi (y")V2... (y(r))Vr линейно зависимы
[стр. 118]. Выражаем один из этих степенных рядов линейно
через другие, линейно независимые; необходимые для этого постоян-
ные множители в силу системы уравнений (*), приведенной в реше-
нии VII 33, составлены из коэффициентов степенного ряда для у
рационально и, значит, в нашем случае рациональны.
152.	[Е. Heine, 1. с. 151, стр. 50.] Дискриминант уравнения
1-й степени относительно w
F(l (z) wl ф- (?) w1-1 +... + F^ (z)w+Fi(z) = 0	(*)
представляет собой целое рациональное выражение относительно
Fo, Flf ..., F^t, Ft и является, следовательно, аналитической
функцией, регулярной в некоторой окрестности точки г = 0. Если
он тождественно равен нулю, то при помощи рациональных опе-
раций можно составить уравнение, которому удовлетворяет f(z)
и дискриминант которого уже не будет тождественно равен нулю.
Предположим поэтому, что уже дискриминант уравнения (*) не
равен. тождественно нулю. Тогда существует I различных функций
=	w2> •••, wb регулярных в некотором круговом кольце
0< | z | <р, р>• 0, возможно, многозначных и удовлетворяющих
уравнению (*); в точке z = 0 они могут иметь алгебраическую
особенность. Если какая-нибудь функция <p(z), построенная, как
W},, обладает тем свойством, что
(ф (z) — с0 — cxz —... — C^z^1) z~n
в окрестности точки z = 0 остается ограниченным для произвольно
больших значений п, то имеем тождественно <p(z) = /(z) [IV 166].
Рассмотрим некоторое значение т, для которого I — 1 функция
(a’z-c0-c12-...-cm lzm l)z m (^ = 2, 3,...,/)
является неограниченной в окрестности точки г = 0. Полагая
в уравнении (*)
да = с0 ф- схг ф-... ф- ст_ ггт~ lz\-zmy,
380
РЕШЕНИЯ
мы получим уравнение относительно у такого же вида, как и (*);
путем' деления коэффициентов на некоторую степень г мы можем
представить это уравнение в форме
Go(s)//4G1(z)^-1 + ... + ^1(z)r/ + Gz(z) = O, (**)
где не все числа Go(0), G^O),	6/^(0), Gz(0) равны нулю. Если
Go (0) = Gx (0) =... = Gh^ (0) = 0, Gz, (0)	0, то уравнение (**) имеет
[хотя бы по «подготовительной теореме» Вейерштрасса *)] l — h
решений, ограниченных в окрестности точки z = 0. Но (**) имеет
на самом деле лишь одно решение, ограниченное в окрестности
точки z = 0, а именно ст ф- cm+1z ф- cm^z2 ф-...; следовательно,
/ — h—l, h = l—\, ч. и тр. д.
153.	[L. с. 151.] Мы можем принять, что Ро (0) = Рг (0) =...
... = Pz_2(0)=0, Pz_1(0) = a#=0 [152], P0(z), Px(z), ..., Pt (z)
целочисленны, и в f (z) = c0 ф- cxz ф- c.,z2 +... c0 0 и целое. Полагая
z = 0, получим асо + Л(О) = О, так что Pz(0) делится на а. Следо-
вательно, а~1Рк(аг) целочисленно, Х = 0, 1,2,и, в частности,
а^Р^ (0) = 1. Поэтому мы можем положить
/ (az) = Qo (z) + Q3 (z) [f (az)? + ... + Qt(z)[f (az)]1,	(*)
гдеQ; (z) = — aa-?p~7'	снова будет целочисленным [решение 142],
% = 0, 2, 3, ..., 7 и Q?(0) = 0 для X = 2, 3, ..., I. Из тождества
(*) путем сравнения коэффициентов получаем, что апсп есть целая
рациональная функция от с0, асг, а?с2, ..., апЛсп_1 и, значит
[рекуррентное заключение], — целое число.
154.	Пусть Р (z), Q(z), Q2(z), Q3(z), ... — рационально-числен-
ные степенные ряды, и положим у — с0c2z2. Если имеет
место одно из шести уравнений
z/ = P(z) + Q(z), y = P(z)-Q(z), y — P(z)Q(z),
У = {~^’ пРичем = 1 [142L
z/ = P[Q(z)], причем Q(0) = 0,
У = Q (Z) ф- Q2 (z) У2 + Q3 (?) У3 ф- • • • + Qi (z) у1, причем
Q3(0) = Q3(0) = ...= Qz(0) = 0	[152],
то сп является однозначно определенным рациональным числом,
рационально- и ц е л о составленным из коэффициентов при 1, z,
z2, ..., zn в разложениях функций Р (z), Q(z), Q2(z),... и, значит,
может содержать в знаменателе лишь те простые числа, которые
входят в знаменатели указанных коэффициентов. [См. 1. с. 144.]
*) См. Э. Г у р с а, Курс математического анализа, т. 2, гл. XVII, § 355,
ОНТИ, 1936, или Б. В. Ш а б ат, Введение в комплексный анализ, ч. II, § 8,
«Наука», 1976.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
381
155.	[А. Hurwitz; см. G. Polya, Math. Ann., т. 77, стр. 510 —
п
512, 1916.] Пустьр — простое число, входящее во всес,г= У, nvb„_v,
V ~ 0
но не во все ап, п = 0, 1,2,... Пусть, скажем, а0, alt ...,
ak^0 (modp). Из ckz=akb0 (modp) вытекает тогда, что &0==
= 0 (mod р), и§ ск+1 = акЬ1 == 0 (mod р) вытекает, что Ьг = 0 (modр),
из ck±2szakb2 = 0 (modp) вытекает, что b.,=-Q (modp), и ,т. д.
156.	[Р. F a t о u, Acta Math., т. 30, стр. 369, 1906. Приведенное
здесь решение принадлежит A. Hurwitz’y, см. G. Poly а, 1. с. 155.]
Достаточно доказать теорему для примитивных степенных рядов
f (г) = а0 + + а222 +  • • [155]. Согласно 149 f (г) =	, где Р (г)
и Q (г) — целочисленные, с взаимно простыми, коэффициентами.
Обрывающийся степенной ряд Q(z) примитивен; действительно,
если бы его коэффициенты имели общий делитель t, то, вследст-
вие равенства Р (z)-t^~- f(z), t входило бы делителем и в коэф-
фициенты ряда Р (z). Определим два целочисленных полинома
p(z), q (г) так, чтобы р (z) Р (z) + g (г) Q(z) = m 0, т — целое.
Полагая q (z) + р (г) f (г) = R (г), имеем m = Q(z)R(z). Здесь ряд
R (г) — целочисленный и непримитивный, если m^+i (в про-
тивном случае т было бы [155] также примитивным); его коэф-
фициенты во всех случаях делятся на т. Из равенства 1 =
= Q(0) вытекает, что Q(0) = ± 1.
157.	При рациональном 9 последовательность оу, с2, а3,
начиная с некоторого места, — периодическая и, следовательно,
функция f (г) = а1г+а2г2 + - • - + anZn + -.. рациональна. При ирра-
циональном 6 /(г) не может быть рациональной функцией, ибо
тогда [149] она представляла бы собой отношение двух целочис-
ленных полиномов, и следовательно, число было бы рацио-
нальным.
158.	[См. Е. Landau, Nouv. Ann., серия 4, т. 3, стр.
333—336, 1903; R. Jentzsch, Math. Ann., т. 78, стр. 277, 1918.]
То, что функция, представляемая рядом, последовательность
коэффициентов которого — периодическая, является рациональной,
получается без труда (геометрическая прогрессия). Обратно: пусть
а0, ах, а2, ... могут принимать лишь т различных значений и
пусть знаменатель рациональной функции будет равен \-\-lrz +
+ /2г24-...-фlkzk. Тогда при достаточно больших п ал-]-/1ап_1 +
+ /2a„_2 + ...-|-/fta„_fc = 0. Так как существует лишь mk различных
комбинаций значений коэффициентов ап^, ап_2, ..., ап-к, то су-
ществуют два числа ц, v, v=Cp + mk, таких, что
= #v-l>	^11-2 " ^V-2» ‘	= &V-k»
382
РЕШЕНИЯ
Но тогда и a^ — av и, следовательно, также
Gu+1 — °v+l,	°g+2 — ^v'2, •••
159* Коэффициенты ряда
СО
п = 0
являются периодическими по любому простому модулю р. Если
р>1, то /! —взаимно простое с р, и
(n+l)(n + 2)...(n + Z)s
M« + p + l)(n+p + 2)...(n + p + Z) (modp).
Если p-^l, l\ = paL, (L, р)=1, то	(ГП0^Р)> ибо
символические «числители» этих биномиальных коэффициентов
сравнимы mod pa+1. Последовательность коэффициентов в ряде,
получаемом при умножении на Р (г), начиная с некоторого места —
периодическая.
СО
п =1
Если &—наименьшее число, для которого Dn+kssDn (modр), т. е.
Z)* = 1 (modp), то k входит множителем в р— 1.
161.	(1-Dz2)-^ 2 Dnzi!l.
и-. О
Длина периода k является четным числом, k — 2k'\ k' есть
наименьшее целое положительное число, для которого ЕР' ==з
= 1 (mod р). Так как Dp_1 = 1 (modp), то k' входит множителем
в р — 1. Далее при нечетном р имеем
р—1
Д 2 = 1 (mod р),
(D\	1	,,	р—1	,
если — =1, и, значит, тогда k входит в  и обратно, если
\ Р)	z
ZX == 1 (mod р) и k' является делителем ^-(р — 1), то
р—1
D 2 == 1 (mod р).
162.
р	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29
Длина периода	3	8	20'	16	10	28	36	18	48	14
р— 1	—	—	—	—	10	—	—	18	—	28
рз—1	3	8 — 48 — 168 288 — 528 —
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
383
Из двух чисел р— 1 и р2 —1 в этой таблице дано р— 1, когда
р— 1 есть кратное длины периода, и р2 — 1, когда кратным длины
периода является р2 — 1, но не р — 1. Имеет ли место первый или
второй случай, зависит от того, является ли р квадратичным
вычетом (mod 5) или нет. Число 5 составляет исключение.
См. A. Speiser, Transact. American М. S., т. 23, стр. 177, 1922.
163.	Пусть ап — коэффициенты интересующего нас разложе-
ния. Тогда для достаточно больших п
ап +	4"	-2 4~ • • • 4~ lkan-k — 0;
/х, /2, ..., 4 —целые [156]. Так как существуют лишь mk различ-
ных систем «„.j, д„-2, ..., ая-*, не сравнимых по модулю т, то
существуют такие два числа р, v, что
йц-^^йу-ц й^-2 = йу_2, ..., йр_£ = й¥_£ (modtn), рv.
Но тогда также a^^av и, следовательно, йм+1^й¥+1, ... (modm)
[158].
164.	[G. Polya, Tohoku Math. J., т. 22, стр. 79, 1922.]
Имеем
i “
(l-4z)“ = 2
т = 0
Пусть р — нечетное простое число и ргЛ —его высшая степень,
входящая в (26—1)!, k^l, г>1. Из 134 заключаем, что
/2р'\ _ (2рг)! q (mod у
\pr J рг\рг\ '	11
С другой стороны,
/2рг\ _ 2_ 2рг — \ 2рг — 2 2рг— 3	2рг-2д-{-2 2рг-2д+\ /2 (рг —q)\
\ pr J 1 Рг рг—1 рг—1	рг — д + 1 рг — 9+1 \ pr — q )•
-2(2<?-l)!(2(p<J(7'7))sO (modp'),	(modp)
при <7=1, 2, 3, .... k. Так как k, а потому и г могут быть сколь
угодно большими, то в последовательности коэффициентов, приве-
денных по модулю р, содержатся сколь угодно длинные конечные
последовательности нулей.
165.	При z=l общий член не стремится к нулю.
166.	[Р. Fa ton, Acta Math., т. 30, стр. 368 - 371, 1906.]
Пусть f (г) = У, anzn. Тогда ряд | йо |2 +1 йх |24-...-[-1 ап |24-...
п — 0
должен был бы [III 122] сходиться.
167.	[Р. Fatou, 1. с. 166.] Согласно 150 рассматриваемая
алгебраическая функция удовлетворяет уравнению вида
Ро (г) [/ (г)]г 4- Рг (г) [/ (г)]'-1-ф • • • 4- Л-i (г) / (г) -ф Л (г) = 0,
384
РЕШЕНИЯ
где Ро (z), P1(z),., Р; (г) имеют целые рациональные коэффициен-
ты. Отсюда вытекает, что у = Ро (z) f (г) удовлетворяет уравнению
у1 + Рг (?) у1-1 + Р2 (г) Ро (г) у-2 +... + Pt (г) Ро = 0.
у не может обращаться в бесконечность ни для какого конечного
z, ибо в противном случае у1 в левой части перевешивало бы все
остальные слагаемые и уравнение не могло бы удовлетворяться.
Однако у = Ро (z) / (z), по предположению, является необрываю-
щимся целочисленным степенным рядом [166].
168> [F. Carlson, Math. Zeitschr., т. 9, стр. 1, 1921.]
ОО
...-1— = у (2п\
п = 0
/ — произвольно большое целое число.
169.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 23, стр. 289, 1915.] Если все коэффициенты а0, аг, агг
рациональны, то числа Р (п) — [Р (п)] — периодические [158]. Пусть
теперь не все коэффициенты рациональны, и предположим, что функ-
ция /(г), определенная указанным рядом, рациональна. Мы можем
принять, что а0 иррационально; в противном случае рассматриваем
/ 2лМ	/	,.2лЛ
I L I	I (^	) А, 1
f(z)+f\Zek / + -.- + f\ze	k)
k
= 2 [P(H]2*”,
n = 0
выбирая k так, чтобы aokr было целым и, следовательно,
[Р (/г/г)] = aokrnr [a1kr~1nr~1 + ...].
Применяя I 85, получаем
lim (1-z)r+1f(z)= lim ¥4^==r\a0,
г-1-О	n —co | r~rn)
\ r /
что невозможно, так как [149] предел в левой части должен быть
рациональным.
170.	[См. D. Hansen, These, стр. 65, Kopenhagen, 1904;
G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27,
стр. 161 — 162, 1918; Proc. bond. M. S. (2), t. 21, стр. 36 — 38,
1922.] Что нельзя попросту отказаться от ограничения, наложен-
ного на коэффициенты ап, показывает 69.
171.	[L. с. 170.] См. 71.
172.	[Имеем	Qn — Qn-X= 1 — 9АЛ,	где	Ап	есть	число	нулей
в конце десятичного	представления числа п.	Следовательно,
СО	со
(1-z) S	S	(Q»-Qn-i)2n=
п — 1	П = 1
_ г д ! г10	,	г100	,	г1000	,	\
1—г	\1 — г10 "1” 1 г100 ' 1 г1000
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
385
Функция
2	^10	210°	£1000
f (2) = 1 _g 4” 1 _ г10 4“ 1 — glOO 4~ 1 _glOOO 4- • • •
имеет своей естественной границей окружность |z| = 1. Действи-
тельно, г=1 есть особая точка [ lim f(z) = -|-oo], далее также
Z-+1 —о
2m'v
z = eiam , V—1, 2,	10m— 1, является особой точкой, ибо функ-
ция, получаемая при отбрасывании первых т членов, переходит
в f (z) при замене г1(,т на г, тогда как отброшенные члены регу-
лярны в корнях Ю^-й степени из единицы, не являющихся кор-
нями 10"г1-й степени.
173.	[G. Polya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 25, стр. 85, 1917. Решение—R. Jentzsch, там же, серия 3,
т. 27, стр. 90 — 91, 1918.] Применение теоремы Адамара о «про-
СО
пусках»*) к функции (1—г) J] dnzn.
п ~ 1
174.	Дифференцирование заменяет последовательность коэф-
фициентов «о, «1, а2, а3, ... на ах, а2, йз, «4, •••, интегрирование
в указанных пределах —на 0, а0, ах, аг, ...
175.	По поводу умножения см. I 34. Если
g(z)=l +|f2 + |fz2 + ...+^z» + ...= l-/l(z),
то h (г) целочисленно (Я), равно как и
ik = b=W)= 1 + h (г) + [h + [h +-
176.	Если - целочисленно (Я), то то же справедливо
[174, 175] и относительно
J ml 1 [ ' г (т+1)! •
о
177.	g(2) = bo+|iz+^^+...+^z- + ...
и
g [/ (г)] = b0 + |f f (2) +1 [f (2)]2 + • • • + ^ [f (г)]"1 + . ..
целочисленно (Я) на основании 176.
178. Вообще: если у определяется дифференциальным урав-
нением вида
dny _ Р ( V ,, dy d2y dn^y\
dxn ^(л> у, dx, dxi,
) Е. Титчмарш, Теория функций, Гостехиздат, 1951, стр. 253.
386
РЕШЕНИЯ
и начальными условиями у — т0, у’ — т^ ...,	= тп_г в точке
х = 0, причем Р — целая рациональная функция с целыми коэф-
фициентами и т0, т1г	—целые числа, то все производные
от у целочисленны в точке х = 0, т. е. у имеет степенной ряд,
целочисленный (Я). В данном случае
<р" = —2<р3,	<р(0) = 0,	ф'(0)=1.
179.	(ег - I)3 = е3г - Зе2г + Зег — 1 =
СО	со
(mod4).
П=2	п=2
180.
(ег_ } )Р-1 = гр-14..,,гр-14-... (modp) =
В первой строке использована теорема Вильсона (р—1)! =
==—1 (modp). Из третьей строки (где, кстати, предполагается,
zn
что р 3) вытекает, что коэффициенты при — периодические
modp с периодом р— 1, и=1, 2, 3, ..., р—1, р, ... Теперь
еще раз возвращаемся к первой строке.
181.	Из 176 и 133 или из I 41 и 133.
182.	[Теорема К. G. Ch. v. Staudt’a и Th. Clausen’a.
Доказательство см. в J. С. К1 uyver, Alath. Ann., т. 53,
стр. 591 -592, 1900.] Из
2 = 1п[1-]-(ег— 1)],
г , ег—1 j (е*-1)2	(е--1)з (
ег—\ “ 1	2+3	4	+
вытекает [179 — 181], что
г i .	г	1 /г2 . г4 . г® .	\
е-—1 — S(z)	2	2 \2! ~*’4! +бГ + ”7
21 / г?"1 ,	г2Р~2 ,	г3?-з .
7	+ (2р-2)! + (Зр-3)! + •' •
р
где g(z) — ряд, целочисленный (Н), и сумма У, распространена
р
на все нечетные простые числа р = 3, 5, 7, 11, ...
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
387
183.
со
* _	1	_ VI /2п ' ф4«
К1 — ф4	\ п / 22« ’
_ г _ VI f2n\ (4п)1
Ф (г) ~~	\ п ) 22л(4/г4-1)
л = 0
[ф (г)]4в .
(4п)1 '
(4га)! делится на 22'1 [134], а также на 4га У1, если 4га+1 не есть
простое число [133]; целочисленно (77) [178, 176].
184.	Из дифференциального уравнения задачи 178 получаем
Г d ( 1 \12	.1	. 1
— I—	=4——4 —
[ dz \ ф2 ] J	ф6 ф2
1	ГО
следовательно, = г; далее
=	(1 —<р4)-^-— 2q>3—= 2.
б/ф У1 — ф4	б/ф2	б/ф
В качестве интеграла г2, удовлетворяющего при ср = 0 начальным
2	dz2 п
условиям 2 —	—находим
г2_ф2, 1ф1 -1.1.	- 1121 Ф1-
2	— <Р + 5 3 + 5	9	5 + 5 9 13 7 +•••♦
~2к) (~\  7 г У   VI ___бцН п____ [ф (г)]4,г
гИ~ПфШ 2 (4п+1)(2«+1)~(4<”>
С„=3 • 7 • 11.. .(4га - 1), 77„=2 • 3 • 4  6 • 7 • 8.. .(4га—2)(4га—1) 4га. Если
2га +1^-1 (mod 4), то 2га+1 входит множителем в Gn. Пусть
2n-|-l==l (ipod 4) и 2га-|-1=а&, га>1, &>1; если й =
= — 1 (mod 4), то числа а и b входят множителями в Gn и Нп
и, следовательно, ab входит в GnHn; если же a = b=\ (mod 4),
то среди множителей числа 77„ содержатся как 2а, так и 4Ь.
Поэтому 2га+1 лишь тогда не входит в GnHn, когда оно является
простым числом и =1 (mod 4); то же имеет место и для 4га+1.
Впрочем, 2га-J- 1 и 4га + 1 — взаимно простые, следовательно, если
они оба в отдельности входят в GnHn, то входит и их произведе-
ние. Более глубокие и точные результаты см. у А. Н ur w i tz’ а,
1. с., стр. 145.
185.	[Дальнейшее у М. Fujiwara, Tohoku Math. J., т. 2,
стр. 57, 1912.] Степенной ряд
ra0 + ^z + tz2 + ... + ^z'> + ...
388
РЕШЕНИЯ
тогда и только тогда удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию указанного вида, когда а0-ф -ф а2г2-ф • • . + -ф. • • является
рациональной функцией. И то и другое связано с одним и тем же
рекуррентным соотношением между коэффициентами а0, alt а,, ...
См. 163.
186.	[G. Polya, Tohoku Math. J., т. 22, стр. 79, 1922.]
См. 164; у удовлетворяет [I 48] дифференциальному уравнению
хг/"-ф(1 -4х)у'-2у = 0.
187.	[S. Каке у a, Tohoku Math. J., т. 10, стр. 70, 1916;
G. Polya, там же, т. 19, стр. 65, 1921.] Если
ОО
gw^ 2 ^гп и
п = 0
ТО
Равенство достигается, например, для функции
03 2п
= 2 (2™)Г*
п = о
188.	[Th. Skolem, Videnskapsselskapets Skrifter, 1921, № 17,
теорема 8.] Пусть g — общий знаменатель рациональных чисел blt
b2, ..., Ьт. Тогда ряд
+	+	4-... = §&0 + г(г)
также принимает целые значения в рассматриваемом бесконечном
множестве целых значений г. Так как lim г (z) = 0, то gb0 должно
Z -» со
быть сколь угодно близким к целым числам, т. е. должно быть
целым. Поэтому также г (z) принимает целые значения для беско-
нечного множества целых z, и так как lim r(z) = 0, то r(z) = 0
2 ~* СО
для бесконечного множества целых г, откуда г (г) == 0, ибо функ-
ция г (г регулярна в некотором замкнутом круге с центром
z = 0, равна нулю в бесконечном множестве точек этого круга
и, следовательно, тождественно равна нулю.
189.	Уравнение у2 — 2z2=l имеет бесчисленное множество
решений в целых числах, как это явствует из формул
(3 + 2Г2Г=//„-ф2„]/2,	(3-2TA2)” = z/„-zn/2,
(9-8)« = //а-22А
(Уп, 2„ —целые, п — 0, 1, 2, 3, ...).
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
389
190.	[J. Franel, Intermed, des math., т. 2, стр. 94, 1895.]
Если целозначный и, следовательно, рационально-численный поли-
ном
Р (х) = айхп + а^х"-14-... + ап
при всех достаточно больших целых х принимает значения, рав-
ные fe-м степеням целых чисел, и, однако, сам не является £-й
степенью некоторого полинома, то теми же двумя свойствами
обладает и полином
Р (х + /1) Р (х + /3)... Р (х + /Ц =	+ Ь^-14-...,
где целые числа /ь 12,... ,lk выбраны так, что Р (x-\-l^), Р Ц 4- ^)>...
..., Р (х 4- /*) не имеют общих нулей; пусть < /2< ...</*
и разности /2 —/1, /з —/2> > h — 1 достаточно велики. Но тогда
рационально-численный степенной ряд
у Р (х4-/х) Р (х4-/2)- • • Р Ц + 4) -
= аохл-|//~|~+ •• = Oo^ + CiX',-14-caxn~24---.
принимает целые значения для всех достаточно больших целых х,
не являясь сам рациональной функцией, что противоречит тео-
реме 188.
191.	[Доказательство Н. Priifer’a. Дальнейшие результаты
см. 1. с. 188.] Если коэффициенты Ьт, Ьт^, ..., Ьг все рацио-
нальны, то применяем 188. В противном случае мы можем при-
нять, что Ьт иррационально. (Если бы Ьт, Ьт_х, ..., bm_k+1 были
рациональны, имея общим знаменателем g, тогда как было бы
уже иррациональным, k 5= 1, то мы рассмотрели бы -
g [F (г) - bmzm -	-... - bm_ft+1sm-ft+1].)
m-я разность
F (г 4- m) — j F (z 4- m — 1) 4- j F (z 4- tn — 2) —...
...4-(-DmF(z) = m!bOT4-^- + ^>+...
также целозначна при достаточно больших целых г, а отсюда
согласно 188 вытекает, что Ьт рационально, в противоречие с пред-
положением.
192.	[G. Polya, задача, Deutsche Math.-Ver., т. 32, стр. 16,
1923. Решение —Т. R ado, там же, т. 33, стр. 30, 1924.] По поводу
доказательства по методу 188, 191 см. 193. Пусть f (г), g(z)—
рассматриваемые полиномы. Целые функции
е2лг/(г) _ у gZaigiz}_ J
390
РЕШЕНИЯ
обладают одинаковыми нулями, быть может, только различной
кратности. Их кратные нули содержатся соответственно среди нулей
полиномов f (z), g'(z). Поэтому функция
g (г) e2niglZ)_ 1
является целой и имеет лишь конечное число нулей, притом она
конечного рода. Следовательно, она равна k(z)eh^\ где k(z),
h(z) — полиномы. Из тождества
g' (z)	— g' (z) = k (z) еМ«)+2я^(г) — k (z)
следует, что одна из функций h{z)-\-2nig(z), h(z) равна const.,
другая равна 2nif (z)-J- const. [См. G. Polya, Nyt Tidsskr. for
Math. (B), t. 32, стр. 21, 1921.]
193.	[G. Pick, задача, Deutsche Math.-Ver., t. 32, стр. 45,
1923. Решение —G. Szego, там же, т. 33, стр. 31, 1924.] Пусть
т — степень полинома y = f(x) и п — степень полинома z=g(x).
Тогда при достаточно больших | у | имеем
х=п1й+«о+£т+-;+....
ут ут
z = M^+W^+...+b0+-^+^+ ....
у"1 ут
£
где для ут могут быть взяты все т ветвей.
Согласно предположению ряды Лорана
л .2у,
2 bke У? (v = 0, 1, 2,...» /п—1),	(1)
k~—со
равно как и ряды Лорана
п  .2у+1
£ bAe т Y*2 (v = 0, 1, 2,...,/п—1),	(2)
k~-—со
принимают вещественные значения, когда и У2 пробегают
каждое некоторую последовательность положительных чисел, имею-
щую пределом бесконечность, т. е. числа
. 2v ,	.2v-H ,
, i - АП	. i 2- АП	,	„ . „
bke т ,	bke т	(v = 0, 1, 2,..., т — 1)
— вещественные, следовательно, bk = 0, когда k не делится на т.
[В случае нечетных т достаточно рассмотреть лишь ряды (1).]
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
391
Поэтому g(x) = <р (у) -}-Р (гл1), где ф (у) — некоторый полином
относительно у, Р (у-1) — степенной ряд без свободного члена, оба
с вещественными коэффициентами. Значит, полином g (х) — ф [/ (х)]
при х->оо стремится к нулю, т. е. g (х) — ф [f (х)] == 0. В предпо-
ложениях задачи 192 функция, обратная по отношению к поли-
ному ф(г/), также должна быть полиномом. Поэтому <р(у) будет
первой степени. Кроме того, как ф (у), так и обратная функция
должны быть целозначны.
194.	Из
ап + а1ап~1+ ...	+ = 0
следует
+	... +«U/*)2 + ^ = 0.
195.	Случай s = 0 тривиален; пусть, стало быть, s=4=0. Если
г-фз]/—1 удовлетворяет уравнению с целыми рациональными
коэффициентами и старшим коэффициентом 1, то этому же уравне-
нию удовлетворяет и сопряженное комплексное число г —s’K—1;
значит, оно —также целое. Поэтому целыми являются и числа
(r + s/- 1) + (г-51), (г 4-8 V-l)(r-sV- 1);
они, кроме того, рациональны. Коэффициенты полинома
(x-r-sY — 1)(х —гф-з]/ — 1) = х2 —2rx4-r24~s2
являются поэтому обыкновенными целыми числами. Так как r24-s2,
2г —целые, то целые также 4(r34-s2), 2s. Положим 2r = a, 2s = b.
Сравнение а2-ф-й2 = 4 (r24-s2) =0 (mod 4) не может иметь места
в следующих трех случаях:
а=1, b=sl; а=1, b^O; а = 0, b~l (mod 2).
Поэтому должно быть а =	(mod 2), т. е-. r — ~, s — -^-—
целые.
19®. Как в 195, получаем, что коэффициенты полинома
(х — г — s — 5) (х — г -ф s ]/ — 5),
т. е. 2г и г2 4-5s2, а значит, также 5 (2s)2 = 4 (г2 4-5s2) — (2г)2,—
целые. Если бы, однако, рациональное число 2s не было целым,
то в знаменатель числа (2s)2 входил бы квадрат простого числа,
и он не мог бы сократиться с 5. Следовательно, 2s = 6 —целое,
точно так же 2г — а — целое. Дальше заключаем, как в 195, исходя
из сравнений
а24- b2 se а24- 5Ь2 = 4 (г2 4- 5s2) = 0 (mod 4).
197.	Как в 195, 196t получаем, что 2г и г24-3s2, а значит,
также 2r —a, 2s = b — целые. Что a = b (mod 2), показывают
сравнения
(а 4* &) (я — &) = а2 + ЗЬ2	4 (г2 4“ 3s2) = 0 (mod 4).
392
РЕШЕНИЯ
у(— 1+К — 3) является целым числом, как нуль полинома
X2 ф- X + 1.
198.	Пусть av a2,..ая — сопряженные целые числа, | av | < k
при v= 1, 2,.... п, и
(х — ах) (х — а2)... (х — an) = х" -J- а^х’^1 +... 4- ап.
Тогда | av | < kv, v=l, 2,..., п. Таким образом, существует
лишь ограниченное число систем возможных значений целых
рациональных чисел alt а2, ..., ап.
199.	Сохраняем обозначения решения 198. Согласно предпо-
ложению |a„| = |axa2... a„|< 1, следовательно, ап = 0. Един-
ственным неприводимым полиномом со старшим коэффициен-
том 1 и без свободного члена является х.
200.	[L. Kronecker, Werke, т. 1, стр. 105, Leipzig,
В. G. Teubner, 1895.] Пусть интересующий нас полином будет F (х),
и его нули (с учетом кратности) a1( а2, ..., ап. Положим
(х — а?) (х — аг) ... (х — а„) = Fn (х),
/г=1, 2, ...; Т7!(х) = Е(х); Fh(x) имеет целые рациональные
коэффициенты. В бесконечной последовательности F1(x), F2(x),...
...,Fh (х),... содержится лишь конечное число различных полино-
мов [198]. Если Fj(x)sfj(x),	то системы a^, а*,...
..., ahn и а*, а*,..., а* совпадают с точностью до порядка. Если
aj = a^, то все, что нужно, уже доказано. Пусть при надлежа-
щей нумерации
a^ = a* a^ = a* ..., a? ,=a?, a? = a*.
Тогда
a^ =	= oF2hl~2 = ...=	= a^-lft = a^.
1й	а	4—“1	4	1
201.	Уравнение x2 —ax 4-1 имеет, по предположению, два
комплексных корня с модулем 1. Пусть alt a2,..., a„ — рассма-
триваемые сопряженные числа, at = a. Полином
(х2 —a1x4- 1) (х2 — a2x+ 1)... (х2~ а„хф-1)
имеет целые рациональные коэффициенты, и все его нули имеют
модуль 1, т. е. суть корни из единицы [200]. Пусть корень из
Snip
единицы, обращающий в нуль первый множитель, будет ё q ; имеем
г q —ае q 4-1=0.
ОТДЕЛ восьмой
393
202.	Числа поля, порожденного числом 'ft второй степени,
имеют вид r + s'O1, где г, s рациональны [Неске, теорема 53,
стр. 68*)]. Ср. 195 — 197. Равенство
с рациональными а и b не может иметь места, так как из него
вытекало бы а = 0, b =	-|-, а этот последний квадратный корень,
как известно, иррационален. То же рассуждение показывает, что
все три поля различны.
203.	[G. Polya, Proc. Lond. М. S. (2), т. 21, стр. 27,
1921.] Если мы предварительно оставим в стороне требование отно-
сительно то, как известно [Hurwitz-Courant, стр. 134—
138**)], для ЭЭ1 имеются лишь следующие две возможности:
а)	ЭЛ состоит из чисел nA, п = 0, ± 1, ±2, ...;
б)	ЭЛ состоит из чисел тА-}-пВ, Л=/=0,	не вещественно,
tn, п — 0, ±1, ±2, ...
Если мы теперь присовокупим еще требование относительно S'?",
то в случае а) будем иметь А2 — пА, т. е. если А =£0, то Л = щ
где п — некоторое целое рациональное число. В случае б) имеем
АВ = 1А 4- 1'Ё, В2 = тА А-т'В, АВ2 = пА А~п'В,
I, Г, т, т', п, п'— целые рациональные. Исключая из этих трех
линейных уравнений 1, В, В2, получаем
mA2 + (hn' — I'm — ri)A=ln' — I'n.
In' — I'n принадлежит, стало быть, ЭЛ; если In' — l’n = O, то Im' —
— l'm — п принадлежит ЭЛ. Если, далее, и это число равно нулю,
то т = 0, т' = В т^О, и т' принадлежит ЭЛ, Во всех случаях ЭЛ
содержит целые рациональные числа помимо нуля. Если R = rA +
+ г'В есть наименьшее из них по абсолютной величине, то г и
г' —взаимно простые. Пусть s, s' —целые рациональные числа,
такие, что rs'— r's=l. Тогда S = s4 4-s'B есть число из множе-
ства ЭЛ, а каждое число этого множества может быть предста-
влено, в форме pRA~qS, р, q = 0, ±1, ±2,...', S во всяком
случае не вещественно. Имеем
S2 = pR + qS.
204. Из 3 — (а 4“ 6 ]/” — 5) (сd — 5) следует
9 = (а2 5Ь2) (с2 4- 5d2).
*) Г е к к е, стр. 72.
**) Гурвиц, стр. 196 — 202. Г урвиц — Курант, стр. 149—155.
394
РЕШЕНИЯ
Значит, возможны лишь случаи
а2 4- 5^,2 = j, 3> 9>
т. е.
a, b = ± 1, 0; ±2, ± 1; ±3, 0.
Второй из них исключается, ибо в этом случае было бы с2 4-5d2 = 1,
а 3 =/= ± 2 ± ]/ — 5. Число 3 имеет лишь делители ±1 и ± 3.
Точно так же получаем, что 1 4* 2 ]/" — 5 имеет лишь делители ± 1
и ± (1 4-2]/ —5). Таким образом, наибольшим общим делителем
могло бы быть лишь число 1. Однако равенство
3 (d 4- D ]/^5) 4- (1 + 2 ]/^5) (с 4- С V^-5) = 1
невозможно, так как из равенств
3d4~ с—10С=1,
3D + 2c+ 0 = 0
вытекало бы 3 (— 2d 4- D 4- 1С) = — 2, что несовместимо с целостью
чисел d, D, С.
205. В поле содержатся следующие делители числа 9: 1,3, 9,
24-]/ — 5, 2 — ]/ —5 [204]. На основании 196 находим, что
—19'4-4]/" — 5 не делится лишь на ’3, 9 и 2 — ]/ —5, тогда как
на 2 4- V — 5 делится:
— 19 4-4/^5 = (24-/^) (-2 4-3/^5).
Постараемся теперь определить ^ — x-j-иУ — 5 и т) = z/ 4- о ]/"— 5
так, чтобы выполнялось равенство
9£ 4- (- 19 4- 4 ]/^5) 4 = 2 4- ]/~—5.
Последовательные преобразования дают
(2-/ТГ5)|4-(-24-3/^5)т1= 1,
2x4-5» — 2у— 15и= 1,	—%4-2«4-3z/ — 2и = 0,
х = 2«4-3г/ — 2у,	9» 4-4#—19и = 1.
/
Так как наибольший общий делитель чисел 9, 4, 19 действительно
равен единице, то задача разрешима; например, можно взять
и=1, у = — 2, v = 0, х = — 4:
9 (-4 4-/^5) - (-19 4-4/^5) 2 = 2 4-
9 = (24-ГТ;5)(2-/^5),
- 19 4-4]/ЗГ5 = (2 + /ТТ5)(_2 + з/^5).
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
395
206* Принимая во внимание 194 и три последних равенства
в решении 205, получаем
—(1+2И~S) |/
3 = ]/2 + /^5 • ]/2-/^5,
1 + 2 V "^5 =]/2 + /^5 • ]/—2 + 3/^.
Наибольший общий делитель чисел 3 и 14-2]/ —5 равен, таким
образом, ]Л2+]/ — 5.
207.	Из равенств	— уг8, а2 = у2§, ,ат = утб и
а1^1 4~ а2?-2 4" • • • 4" ат^т = 'О'
(определение наибольшего общего делителя) вытекает
'О = (У1Л1 4“ ?2^2 + • • • + УтКп) б.
'О*	'01'	п
208.	Оба частных -о?- и являются целыми [207] и, следо-
ст СТ	L	J '
ft &'	,
вательно, делителями единицы, так как	= 1-
209.	Умножаем все т-|-1 равенства в определении наиболь-
шего общего делителя (стр. Д65) на у.
210.	Равенство aa'4-₽Y₽' = 1 можно переписать также в виде
аа'4-₽(₽'?) = 1 или же аа' Ц-у (₽₽') = 1.
211.	Частный случай теоремы 212.
212.	Наибольший общий делитель 6 чисел а и у входит дели-
телем и в Ру. Из равенств
рр'= 14-окх', уу'= 64-^%"
вытекает
Ру (PV) — б4-<х(а'64-сс"4-а:4,(Х")-
213.	и | — взаимно простые [определение!, см. также 209],
/ се / В \л
поэтому [211] взаимно просты также	; следовательно,
б" является наибольшим общим делителем чисел ап, Р« [209].
214.	Уа является целым числом; см. 194. Из равенств а — x'S,
Р = Р'б, аа"4-РР" = б получаем
^р=^7б,
j/a(j/а')л-1а"4-}/р (|/р,)л1Р” ~ V
396
РЕШЕНИЯ
215.	При tn = 2 очевидно. Проводим математическую индукцию
от т к т +1. Пусть
4-...	= 1
«X 1	«2 2	<*т
и ат+х взаимно просто с каждым из чисел ах, сс2, ..., <хт. Тогда
ат+1 взаимно просто также с ахсс2...ат [2И]. Подставляем
в Лаот+14-Л.'а1а2 ...ат=1 значение
ах 1 1 а2 * '	1 ат т
216.	Всякое целое число а =(= 0 удовлетворяет уравнению вида
ап = — а (ая-1 + а«~2а + • • • + ая-1)>
где ах, с2, ал_х, ап — целые рациональные и а„=/=0. Пусть
р — рациональное простое число, не входящее в а„. Подставляем в
апи 4- pv — 1
значение ап из уравнения, определяющего а.
217.	[D. Hilbert, Die Theorie der algebraischen Zahlkorper,
Deutsche Math.-Ver., t. 4, стр. 218, 1897.] Из a^ = dvb^, где
Ь,— целое рациональное, вытекает, что av = 6vpv, где pv —целое.
Пусть а —любое из чисел ах, а2, ..., ап. Тогда
а" + бРха"-1 -j- 62р2ал-2 + ... +	= О,
' РЦй/ “гР2\6/ +---+Рл —°
и, следовательно, у — целое [Неске, стр. 79, теорема 62 *)].
С другой стороны, так как ах, а2, • • •, ап — целые рациональные
числа, то существуют такие целые рациональные числа сх, с2, ..., с„,
что
N_
ciai ~\~CzCt% “Ьсзйз -j- ... -\-спап = d.
Но ах, а2, ..., ап являются однородными функциями от ах, а2, ...
..., ал. Поэтому
CiPi ~Тсга1 + c-iat 4- ...4"cnfln = У1, Cktk.y- 	• •Иип,
где Ck^.. ,kn — целые рациональные числа, kx 4- k2 4- • • • 4- kn — N.
Деля обе части равенства
5 Cklki • .А„ах^22. •	= 6W"16
*) Г е к к е, стр. 83.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
397
на б2^-1 и принимая во внимание, что 6 входит множителем в
а2,..а„, получаем
«171 + «2?2 + • • • +	= 6,
где у15 у2, уп — целые числа. См. также 214.
218. Из 0 = ау получаем аналогичные равенства для сопряжен-
ных чисел. Перемножение их дает N (0) — N (a) N (у).
219. [G. R a b i n ow i t sc h, J. fur Math., t. 142, стр. 153—164,
1913.] Необходимость: если наибольший общий делитель $
чисел а и 0 существует, т. е. если
а = а'б, 0 = 0'6,	ctY Ч~ Р <5 = V)1,
причем а' и 0' — не единицы, то | N (а') | > 1, | N (0') | >• 1, и так
как N (а) = N (а') N (б), N (Р) = N (0') N (б), то, следовательно,
О < | N {&) | = | N (ау + 06) | < j N (а) | и также < | N (0) |.
Достаточность: пусть | и ц пробегают всевозможные пары
принадлежащих полю целых чисел, для которых линейная форма
ccg 0г) отлична от нуля. Среди всех получаемых при этом целых
рациональных положительных чисел | N (ag + 0tj) | будет иметься
наименьшее, скажем, | N (а£0+ 0т]о) |. Положим а£0 + 0т]о = 6, следо-
вательно, 6^=0. Здесь нужйо различать два случая:
1)	а —делитель б; полагая б = б'а, будем иметь |Af(6)| =
— | N (б') | | N (а) 14= | N (а) |. Но, с другой стороны, по самому
выбору числа б, (б) |	| N(1 «а-фО-0) | — | N (а) |. Значит,
| N (б) | = (а) М('й') = — 1> т- е- есть единица и б’ в свою
очередь является делителем числа а.
2)	а не есть делитель О. Если бы и не было делителем а,
то мы могли бы в силу требования теоремы определить g и г) так,
чтобы было 0< | N +	| < | N (б) |; но это противоречит вы-
бору числа 'б, ибо ас, + бт] = a (g + т]£0) + 0т]т]о также является
числом семейства, из которого было выбрано б = 0цо. Таким
образом, в обоих случаях б является делителем а и на том же
основании делителем 0. Следовательно, б есть наибольший общий
делитель.
220.	Пусть а, 0 —целые числа поля, не делящиеся друг на
друга, и N (0)	(а), у есть число поля, однако не целое; поэтому
y = r-|-s]^—1, где г, s рациональны, однако неодновременно
целые [202]. Определим два целых рациональных числа R и S так,
чтобы | г — |у, | s — S | у. r — R, s — S не равны одновре-
менно нулю, поэтому, полагая y = r — R + (s — S)]/ — 1, будем
иметь
О < А/ (у) = (г —/?)2 +(s — S)2	4-1
398
РЕШЕНИЯ
Положим а —p (#4-S]/— 1) = 6; согласно своему определению
6 —целое. С другой стороны,
6 = ₽ (г +	- (я + 5/^1)) = ₽ у;
следовательно,
М(6) = М(Т)М(0)^1м(₽)^4м(а).
При g = 1, т] = — 7? — S]/ — 1 требование теоремы 219 выполняется.
221.	Как в теории целых рациональных чисел.
222.	Как в теории целых рациональных чисел.
223.	Из сса14-рЦ1=1, ccssO (modp) вытекает 1esmx = 0
(modp), т. е. р есть делитель числа 1.
224.	Повторно применяем сравнение
(Р + ?)р = Рр + рРр~1у+Р Рр 2у2 + .. . + = рр + ур (mod р),
очевидно, выполняющееся для любых двух целых чисел 0, у.
225.	[G.Polya, J. fiir Math., т. 151, стр. 7, 1921.] Обозна-
чим определитель | coz%, z=i, 2.т через А. Пусть р — рациональное
простое число, взаимно простое как с ах, так и с А [216]. Тогда
т сравнений
ccjco^ 4- а.2а>2Р +... -J-	= 0 (modp) (г = 1, 2,..., т)
не могут одновременно выполняться. Действительно, из их одно-
временного выполнения вытекало бы [222, 224], что
а, (ийр | == ajAp = 0 (mod р),
тогда как, с другой стороны, а-Д? взаимно просто с р [211];
одно другому противоречит [223].
226.	[См. 1. с. 227.] Решение см. на стр. 168—169.
227.	[F. Mertens, Wien. Вег., т. 117, стр. 689—690, 1908.
См. К. Grandjot, Math. Zeitschr., т. 19, стр. 128—129, 1924.]
Обозначения — те же, что и на стр. 168—169. Пусть Р будет
произведение всех простых чисел, не превосходящих 2й, / — наи-
больший делитель Р, взаимно простой с т, г — произвольное число,
взаимно простое с т. Пусть, кроме того, у есть совместное реше-
ние сравнений
y = r (mod m), р = 1 (mod/).
у взаимно просто с т и /, следовательно, с Р и содержит, таким
образом, лишь простые множители, большие, чем 2й.
Методом решения задачи 226 находим, что для простого мно-
жителя р числа у будет /(ар) = 0. Если у>р, то те же рассу-
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
399
ждения повторяем для произвольного простого множителя q
числа у; получаем /(а£"7) = 0. Продолжая так далее, получаем,
наконец,
f(a-V) = f(a') = O,
следовательно, f(x) имеет своими нулями все числа аг2,..., arfi,
и потому f (х) = К.т(х).
228.	Рассматриваемая рациональная функция представляет
собой отношение двух рационально-численных полиномов [149],
причем как первый, так и последний не равный нулю коэффициент
знаменателя равен ± 1 [156].
229.	[Р. Fatou, С. R., т. 138, стр. 342—344, 1904.] Вслед-
ствие сходимости в единичном круге модули всех полюсов 1.
В силу 156 произведение этих модулей sgl, следовательно, все
они равны единице, и старший коэффициент знаменателя равен ± 1.
Теперь утверждение вытекает из 200. 157 представляет частный
случай.
230.	В силу 235 или также на основании непосредственных
соображений, аналогичных 149, рассматриваемая функция пред-
ставляет собой отношение двух полиномов, коэффициентами кото-
рых служат целые алгебраические числа; конечному полю К,
в котором содержатся эти числа, принадлежат также а0, ах, а2,...
Заменяя все коэффициенты соответствующими числами из полей,
сопряженных с Д', и перемножая полученные таким образом сте-
пенные ряды по правилу Коши, мы получим справа целочислен-
ный степенной ряд относительно г~\ а слева — рациональную
функцию, в числителе и знаменателе которой стоят целочисленные
полиномы, причем полином в знаменателе со старшим коэффици-
ентом 1 [156]. Значит, нули этого знаменателя будут целыми
алгебраическими числами.
231.	Другое толкование теоремы 225.
232.	[G. Polya, l.c. 225, стр. 3—9.] Посредством разложе-
ния рациональной функции f' (z) на элементарные дроби (связан-
ного с некоторыми предосторожностями: не вводить иррациональ-
ностей!) утверждение приводится к 231.
233.	Мы можем принять, что алгебраическая функция /(z)
является целой; действительно, Ро (z) f (z) удовлетворяет уравнению
указанного вида со старшим коэффициентом 1. Мы можем, далее,
принять, что z = a есть регулярная точка целой алгебраической
функции f(z): если эта функция разложена по возрастающим сте-
пеням выражения (z — а)т (где т — натуральное число), то пола-
гаем z = a + gm; при этом точка разветвления z = a преобразуется
в регулярную точку £ = 0, новое разложение по степеням £ имеет
2
те же коэффициенты, что и прежнее по степеням (z — a)m; задан-
400
РЕШЕНИЯ
ное уравнение после замены z на « + преобразуется в некото-
рое другое уравнение того же типа. Если
/ (г) = а0+«1 (z -а) + ••• + ат (z-a)m + ...,
то функция
(z - а)~т (2) - а0 - (Z - а) -... - (z - a)m~J] =
= am4-art+i (г-а) + ... = ф(г)
регулярна в точке z = a и удовлетворяет уравнению, где коэффи-
циентами интересующих нас полиномов служат лишь алгебраичес-
кие числа, если только доказано, что a0, alt..., ат..г являются
алгебраическими числами: нужно доказать, что
aOT=<p(a)
является алгебраическим числом. Тем самым вся теорема приво-
дится к выделенному частному ее случаю; этот последний, однако,
очевиден, так как можно заранее предположить, что не все поли-
номы /’о(г), P1(z),..., Pz(z) делятся на г —а. [Неске, стр. 66,
теорема 51*)].
234.	[Н. Weyl.] Пусть уравнение F(z, z/) = 0 обладает рацио-
нальным решением f(z). Мы можем без всякого ограничения общ-
ности предположить, что f(z) есть целая функция [решение 233].
Коэффициенты этой функции являются алгебраическими числами
[233], принадлежащими одному и тому же конечному полю
[Неске, стр. 67, теорема 52**)]; пусть степень его будет п.
Заменяя коэффициенты полинома f (z) сопряженными числами,
получаем полиномы (z), f2(z),...,/„^(z). Уравнение
(z))...(y~fn-i (z)) = 0
имеет рациональные коэффициенты и обладает общим корнем
с неприводимым уравнением F(z, у) = 0. Поэтому корни этого
последнего содержатся среди f(z),	(z),...,/„_x(z) и являются,
следовательно, рациональными функциями от z.
235.	Если ряд у = «о 4- a1z + a2z2 + • • • представляет алгеб-
раическую функцию и a0, alt a2, ... — алгебраические числа, то
этот ряд удовлетворяет некоторому уравнению F (г, у) = 0, где
F(z, у) — целая рациональная функция, F (г, у) =£0, с алгебраи-
ческими коэффициентами [151; оба доказательства могут
быть распространены на рассматриваемый случай]. Коэффициенты
«о, ах, а2, ..., начиная с некоторого, рекуррентно определяются
из уравнения вида
у — I г^2 (г) у2 I г-Рз (г) уз I 1	(г) уп
(?(г) + (?(г) ' + <2(г) г	Q(z) r >	I )
*) Г е к к е, стр. 70.
♦*) Г е к к е, стр. 71.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
401
где У = ат + am+1z + ... с надлежаще выбранным т, Рг (г),
Р2 (г), ..., Рп (z), Q (г) — полиномы с алгебраическими коэффициен-
тами и Q(0)=#0 [152]. Следовательно, все коэффициенты рацио-
нально зависят от конечного числа алгебраических чисел [Неске,
стр. 67, теорема 52 *)].
236.	Дальнейшее использование уравнения (*) решения 235,
аналогичное проводимому в 153.
237.	[Th. S к о 1 е m, Videnskapsselskapets Skrifter, 1921, № 17,
теорема 41.]
238.	[Е. Lucas, Bull. S. M. F., т. 6, стр. 9, 1878.] Пустьх,
у, g, г] — целые числа с наибольшим общим делителем 1 и
х2 + у2 = I2 + п2 = (х - В)2 + (у - п)2.
Тогда
2 (4 + УП) = х2 + у2 = В2 + П2.
х2 + р2 + £2 + т|2 = 4(4 + рл) s0 (mod 4).
Так как x = z/ = g = r|^O (mod 2) исключено, то остается лишь
возможность х =	s 1 (mod 2). Но это противоречит урав-
нению
х2 + у2 = (х - Ю2 + (У ~ П)2,
ибо его левая и правая части оказываются несравнимыми по
модулю 4.
239.	[G. Polya, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27,
стр. 135, 1918; принятая здесь редакция доказательства принад-
лежит A. Speiser’y.] Назовем целую точку р, q примитивной,
если она видна из нулевой точки, т. е. если ри q — взаимно про-
стые. Если имеет место соотношение pv — qu = 1, то обе точки р,
q и и, v примитивны, и параллелограмм, построенный на соответ-
ствующих радиусах-векторах, имеет площадь 1 (остальными двумя
вершинами параллелограмма служат 0, 0 и р + «, р-фи); назовем и,
v левым соседом точки р, q и р, q — правым соседом
точки и, v. Говоря о диагонали построенного на этих точках
параллелограмма, мы будет иметь в'виду диагональ, выходящую
из нулевой точки. Если диагональ параллелограмма, построенного
на точках р, q и и, v, имеет длину d, то р, q и и, v лежат от
нее на одинаковых расстояниях -j. Каждая примитивная целая
точка имеет бесконечно много левых соседей, все они лежат на
одной прямой и притом на равных расстояниях.
1)	1, 0 и s—1, 1 являются соседями. Диагональ построен-
ного на них параллелограмма имеет длину ]/s2 + I2. Эта диагональ
*) Г е к к е, стр, 71.
14 Г. Полна, Г. Сеге, ч. И
402
РЕШЕНИЯ
может быть задержана в своем продолжении лишь кругом радиуса р
с центром в 1, 0 или s — 1, 1. Поэтому р	.
2)	Исходя из произвольной примитивной целой точки р, q, лежа-
щей в круге x2 + p2=cs2, отыскиваем самого крайнего из ее
левых соседей, лежащих в этом круге; пусть это будет р', q'
(значит, р' + р, q' + <7 лежит уже вне круга x2 + p2=cs2). Таким же
образом пусть р", q" будет самый крайний левый сосед точки р', q';
р'", q'" — самый крайний левый сосед точки р", q" и т. д. После
некоторого числа п шагов мы приходим к такой точке р(л), q(,l\
что параллелограммы, построенные на р, q и р', q', на р', q' и
р", q", ..., на р'"11, 9(ra“1> и p(ra), q(n\ полностью покрывают круг
х2 + р2=С 1. Диагональ параллелограмма, построенного на точках р,
q и р', q', больше s, расстояния точек р, q и р', q' от этой диа-
гонали меньше у. Если поэтому мы опишем возле каждой точки
р, q; р', р';	р1л), р(,г) круг радиуса —, то каждый луч, выходя-
щий из точки 0, 0, будет задержан одним из этих кругов, а диа-
гонали—даже двумя. Следовательно, р<у.
240.	[A. J. Kempner, Annals of Math. (2), т. 19, стр. 127—
136, 1917.] Пусть х рационально, равно у, где р, q — прими-
тивная целая точка [решение 239]. Если указанная дорога имеет
точку 0, 0 на своем правом крае, то справа она ограничена пря-
мой, соединяющей 0, 0 и р, q, слева —прямой, на которой лежат
левые соседи точки р, q [решение 239]. Ширина дороги равна
высоте параллелограмма площади 1 с основанием ]/р2 + <72, т. е.
равна r J-...... = ф (—'l Тем самым
Кр2+?2 \чГ
В случае иррационального х имеем /(х) — ф(х) = 0 [II 166]. (II 99,
II 169.)
241.	Соединим все целые точки, сравнимые по модулю и,
в один класс. Тогда получится п2 различных классов. Но kn?+l
объектов нельзя так распределить по п2 клеткам, чтобы по край-
ней мере в одной не оказалось более чем k объектов.
242.	[Н. F. Blichfeldt, Trans. American М. S., т. 15,
стр. 227 — 235, 1914; W. Scherrer, Math. Ann., т. 86, стр. 99,
1922.] Рассмотрим решетку со сторонами квадратов т. е. сово-
купность чисел где х, у, А —целые числа. Пусть zN точек
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
403
этой решетки падают на область с площадью F. Тогда lim — = F.
Пусть F>[F], Среди zN точек существует [F]+l сравнимых
mod N, если N достаточно велико [241]. Отбирая их (пользуясь
тем, что Af->oo), приходим к требуемому результату. Случай
F = [F] приводится по непрерывности к уже разобранному; можно
рассмотреть и непосредственно, надлежащим образом изменив про-
веденные рассуждения.
243.	[Дальнейшие результаты см. у R. Fueter und G. Po-
lya, Ziirich. Naturf. Ges., t. 68, стр. 380, 1923.] ПустьN — целое
число, N > 1..B части плоскости, где одновременно удовлетворяются
три неравенства
Жу)=САС	(*)
лежит в силу условий 1), 2) ровно N целых точек, т. е. точек,
для которых х и у — целые числа. Первое из неравенств (*) можно
записать следующим образом:
/ _j_	_J_\	_J_	!	_J_ \
ym\xN m, yN m] + N mcpni^\xN m, yN m) +
--	( --	--U <1
m(fm^\xN	m,	yN	m J-t- •••	1.
Обозначим через F площадь области, выделяемой	неравенствами
<Рт(х,	у)^1, xSsO,	y^sO	(**)
___________________________________________________i_	 р
(F, по предположению, конечно), и рассмотрим точки xN т , yN т
с целыми х, у (эти точки образуют очень мелкую решетку).
2
В области (**) лежит приблизительно FNт точек этой мелкой
решетки; заключаем, что число точек решетки со сторонами 1,
заключающихся в области (*), при бесконечно возрастающем N
2
асимптотически равно FN,п. Но, как уже сказано, число этих
точек в точности равно N. Из асимптотического соотношения
2
FN~^ ~ N
заключаем, что
m = 2, F=l.
244.	[См. W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen und
Spiele, т. 2, стр. 364, Leipzig, B. G. Teubner, 1918.] Пусть четыре
числовые системы
хх,
У и
*1-У1,
хг,
У1,
хг—у2,
Х2 + #2,
••, хп,
••, Уп,
• • • » ХП	У 111
• • • > хп Т" Уп
14*
404
РЕШЕНИЯ
образуют полную систему вычетов mod п. Полагая Хц — у1Х = г|Л,
= приходим к простейшим случаям р = 2, р = 3, соотв. р^5
теоремы 247.
245.	[A. Hurwitz, задача, Nouv. Ann., серия 3, т. 1,
стр. 384, 1882.] rxSi, r2s2, ..., r9s9, очевидно, не образует полной
системы вычетов mod q, если ra = sp = 0 (mod q) и a=#f!. Примем
поэтому, что rg = Sq==§ (mod р); тогда
i\r2 ... /-j-iSsSjSa... Sj-iSs 1 • 2 ... (q - 1) ss - 1 (mod q)
и, значит,
rA r2s2... rj-jSj-is 1^1-2 ... (g -1) (mod q).
Беря приведенную систему вычетов 1, 2, .... q — 1 в форме g,
g2, ..., g4"1 (g — примитивный корень mod q), видим, что наша
теорема представляет собой частный случай теоремы 247 при п =
= ?-1, р = 2.
246.	[А. Hurwitz.] Достаточно рассмотреть сумму
S= 1х + 2;+ ... + р“\
Если X не кратно р — 1 и g — примитивный корень mod р, то
gK— 1 не делится на р; из сравнений
- fe  2)4 fe' ЗН  •  + (ёР*)к s,
S(g*-l) = o (mod pa)
вытекает, что S = 0 (mod pa). Если X кратно p— 1, то сравнение
Iх _]_ 2^ _|_ ... _|_ (pa)* = _ pa-1 (mocl paj
выполняется при a = l. Пусть оно выполняется при некотором а.
Тогда
1*4-2х + ... 4-(р“+1)* =
= S [(1 + kp<y + (2 + kp<y + ... + (р“ + kp°f] s
k = 0
р—i	р—1
= 2 (Н+2Х+ ... +pa?0 + ^pa S £(H-1 + 2x-1+...+p“^-1’)=s
k=o	*=о
= р (Iх + 2Х +... + р'л) + Хра р{р^1) (И-14- 2V1 + ... + p“<vi>) s
= — ра (mod pa+1).
247.	[A. Hurwitz, см. 1. c. 244.]
1)	Положим Гц = %; тогда
(r + s) = (2r), (r+2s) = (3r), ..., (r + (p-2)s) = ((p-l)r)
будут полными системами вычетов mod п, ибо числа 2, 3, ...
..., р — 1 — взаимно простые с п.
ОТДЕЛ восьмой
405
2)	Если р — 2, следовательно, п — четное, и если бы (г), (s),
(r-|-s) одновременно являлись полными системами вычетов, то мы
имели бы
Г1 + 2 + • • • 4~ fn = S1 + s2 + • • • 4" = (fl + Sj) + (r2 + s2) +...
• ••+(fn+s„) = 1 -j-2n =.—= (modn),
откуда
(ri + si) 4- (r2 4- 5г) + • • • + (rn + sn) — 0	~2 (mod n),
что, очевидно, невозможно.
3)	Пусть р — нечетное и р“ —высшая степень р, входящая в п.
Положим
lP-i + 2P-1 + ... + nP-1 = S.
Если бы (г), (s), (r + s),	(r + (p— l)s) являлись одновременно
полными системами вычетов, то мы имели бы
У, (rv + &sv)p_1 ss S (mod п)
V= 1
и, следовательно, полагая для сокращения
п
v = 1
пришли бы к системе сравнений
kSx + &SZ +... + ^-2Sp_2 + kP^S = 0 (mod n)
(k=l, 2, .... p-1).
Определитель этой системы составлен из множителей, больших 0
и меньших р, и, значит, взаимно прост с п. Но отсюда мы
получили бы, наконец,
== S2 =... == Sp_2 = S = 0 (mod n),
что невозможно, так как S не делится на р“ [246].
248.
п — четное:
па = п •	= (/га-1 +1) + (na-1 + 3) 4- • • • + («а-14- п — 1) 4-
4- (п11-1 -1)4- (п0-1 - 3) 4-... 4- (д0-1 - п 4-1);
п — нечетное:
па — п11-14- (па~г 4- 2) 4- (п^14- 4) 4-- • • 4- («a-14- п — 1) +
4- (па-1 — 2) 4- (па~1 — 4) 4-.. .4- («а-1 — п 4- !)•
406
РЕШЕНИЯ
249.	Каждый собственный делитель одного из чисел 2, 3,
4, ..., п содержится в этой же числовой последовательности;
значит, интересующее нас число должно быть простым. Умножая
на 2 число, меньшее или равное мы получаем число из ука-
занной последовательности; значит, интересующее нас число должно
быть больше у.
250.	По теореме Чебышева: пусть п>2, р —простое число,
Тогда
-Г 2	р	п p rN pN ’
где (Л4, М)=1, (р, М) = 1, откуда (pN, N + pM)=l. Дробь не-
сократима. Без теоремы Чебышева: см. 251.
251.	[J. Kurschak, Math, es phys. lapok, т. 27, стр. 299—
300, 1918.] Мы будем говорить, что а есть «степень четности
числа п», если п делится на 2а, но уже не делится на 2а+1.
2“, 3 • 2“, 5 • 2“, 7 • 2“, ... — числа степени четности а. Между
ними лежат числа 2 • 2а, 4 • 2“, 6 • 2“, ...; таким образом, между
любыми двумя числами одинаковой степени четности лежит число
большей степени четности. Поэтому среди чисел п, п + 1,...
..., т~ 1, т имеется в точности одно с максимальной степенью
четности ц. Множитель 2!l в знаменателе не сокращается.
252.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 23, стр. 289, 1915. Решение —S. Sidon, там же, серия 3,
т. 24, стр. 284, 1916; излагаемое ниже решение принадлежит
A. Fleck’y.] Достаточно рассмотреть случай а = у, гдеk—целое.’
Пусть п делится на 1, 2, 3, ..., ri] и, значит, также на наи-
меньшее общее кратное V этих чисел. Пусть, далее,
Pz<^n<Pz+1, Р = рХ'2---РГ'’
где р? обозначает v-e простое число. Показатель определяется
неравенством р"'к^-/п <р^-+1; в частности, ^п<Ср[тк, к =
= 1, 2, ..., I. Перемножая все эти последние неравенства, полу-
чаем т+<Р2. Из предположения вытекает, далее, что V^n,
таким образом, окончательно
+ <2, Vti <p2k, n<p2k‘
Например, при k — 2 имеем п<49. К результату 24 приходим,
перебирая эти значения п. При fe = 3 наибольшим допустимым
значением для п служит 420.
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
407
253.	[L. Kollros.] Пусть наименьшие положительные вычеты
чисел Р, ЮР, 1Q2P, ... (modQ) будут pQ, plt р2, .... Если
-Q- = a,aja2a3 ... ,
где аъ a2, a3, ... — десятичные знаки, то
= О^^з • • •.	= 0,а2а3а4... ,	= 0,а3а4а5...
Отсюда вытекает, что длина кратчайшего периода I равна пока-
зателю десяти по модулю Q, т. е. 10г == 1 (modQ) и всякая
низшая степень десяти =£1 (modQ). Если I — четное, / = 22i, стало
быть, (107-— 1) (10х+ 1) == 0 (modQ), то 10'- = —1 (modQ), следо-
вательно,
= о.а^аз ... агах..ОА+Л+г • • • aiai 0,999....
т. е.
«i + aui = 9, а2 + ф.+2 = 9, .... ^ + ^ = 9.
Если напротив, / — нечетное, то, очевидно,
«14*02+	+«z / 9
-------}
254.	[Е. Lucas; см. A. Hurwitz, Intermed, des math.,
т. 3, стр 214, 1896.]
1) Если З2* х===—-1 (mod п), значит, ЗаЛ=1 (mod и), то 3 при-
надлежит (mod rij к показателю 2* — п — 1. Но показатель является
делителем числа ср (и), значит, ср(н)^п— 1. Отсюда следует,
что ф(п) = п—1 и п — простое число.
2) Если и = 2л+1 есть простое число, й>2, тоя=1 (mod 4),
ибо h. должно быть четным, /i = 2v. (В противном случае было бы
22v+1-|-1 =4v-2+1 =0 (mod 3).) По закону взаимности
п — 1
(i\ = (л) = miu	(mod и).
\ /г /	\ 3 /	\ 3 /	\ 3 /	\п j '	'
255. [Euler, Opera Postuma, т. 1, стр. 220, Petropoli,
1862; G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24,
стр. 84, 1916. Решение — G. Szego, там же, серия 3, т. 25,
стр. 340, 1917.] Если бы х, у, г, t было решением, то число
4г/2+1	,	.
4^Г = ^Х~1
было бы целым, т. е.
(2z/)2===*z (mod4i/z —1).
408
РЕШЕНИЯ
Пусть z~2rjz', a 2s 0 — целое, г' — нечетное. Тогда
/ -г \ _ / -1 \ / 2а \ f z' \
\4yz — 1 У \4yz — 1 ) \4yz — 1 ) [4yz — l J '
Первый множитель равен —1. Третий множитель равен
г' — 1	2'—1
!4yz— 1 \ ,	2	Л—1\/ IV 2	1
Второй множитель, если а = 2&4-1, /г2г0 — целое, z — 2z", равен
/ 2 \	[ 2	\	,
\4yz — 1 j \8yz" — 1
и если а = 2&, & 2s 0 —целое, равен
Итак,
—1
в противоречие с выписанным выше сравнением.
256. [G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 24, стр. 84, 1916. См. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae,
стр. 125; Opera omnia, т. 1, стр. 94—95, Gottingen, Konigliche
Gesellschaft der Wissenschaften, 1863. Решение —P. Bernays.]
1)	q=l (mod4). Если p —простой делитель числа q — 4, то
^0 =	= 1; используется то, что р>5.
Далее, должно существовать нечетное простое число р < q, для
которого =	=—1- Действительно, в противном случае
все нечетные числа и, меньшие чем q, значит, и все четные числа
q — и и, наконец, все вообще числа 1, 2, 3, ..., q— 1 были бы
квадратичными вычетами числа q.
2)	q = —1 (mod 4). По крайней мере один простой делитель р
числа q — 4 также ==—1 (mod4); для него (у) = — (’у)==^-
2а) q = l (mod8). Из четырех чисел
одно и только одно имеет вид 4n-j-3; оно обладает простым де-
лителем р того же вида и притом p<.q, если q>7- Имеем
\Р 1	\ Р )	\ Я 1
26)	д = 3 (mod 8). Из Двух нечетных чисел и одно и
только одно будет вида 4п + 3; оно обладает простым делителем р
того же вида, и p<.q, если q > 3; имеем ) — (—-) =—1 = — .
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
409
257. [G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 21, стр. 288, 1913. Решение —О. Szasz, G. Szego, L. Ne-
ri er, там же, серия 3, т. 22, стр. 366, 1914. См. W.H. Young
and Grace Chisholm Young, The theory of sets of points,
стр. 3, Cambridge, University Press, 1906.]
Первое решение. Пусть и —целое положительное число.
Существуют простые числа, в десятичном представлении которых
содержится по меньшей мере п нулей, следующих один за дру-
гим. [Арифметическая прогрессия 10л+1х+1 содержит бесконечное
множество простых чисел, ПО.] Поэтому указанная десятичная
дробь не может быть периодической.
Второе решение. В силу теоремы Чебышева [1. с. 249]
существует по крайней мере одно простое число, имеющее задан-
ное число десятичных знаков. Если указанная дробь периодиче-
ская с периодом аг, а2,	, ак, 2, то выбираем г столь боль-
шим, чтобы простые числа с kr цифрами лежали за цифрой
первого периода. Пусть х будет наименьшее из простых чисел
с kr цифрами. Тогда возможны два случая:
1	2	г
1) х —	... акаха2... ak ... аха2 ... ak,
12	г
2) х = аг+1а/+2 ...	... ak ... аха2 ...	... at, / > 0.
В первом случае предполагаемое простое число х делилось бы на
... аь, во втором — на а1+1а1+2    akai... at\
258.	Из формулы Тейлора получаем
Q
6=1+^- + ^++	+	0<0А<1,
п = 0, 1, 2, ... Если бы е было равно (г, s —целые положи-
тельные взаимно простые числа, s5s2), то, положив n — s и умно-
жая обе части на s’, мы получили бы, что
./.11	1 \ es
S С — 1 — г; 775 ...-г- = .
\	1!	2!	s’/	$+1
есть целое число. Но
259.	Если бы для некоторых целых a, b, с (| а | +1 b | > 0)
удовлетворялось уравнение ае-{-Ье~1-]-с = 0, то формула Тейлора
для функции аех4-Ье~х дала бы
V а+(—1)V6 , скп — (—1)пЬе~вп	\
V = о
410
РЕШЕНИЯ
n — Q, 1, 2, ... Пусть n^s 3 | a | 4-1 b | — 1 выбрано так, чтобы знак
числа (-— l')nb совпадал со знаком числа — а. Тогда [см. 258]
ае^'1 — (— \)п be
п-\-1
было бы целым. Но
л I а I +1 Ь | е __ ае'п — (—Y}nbe I	3 I а | +1 b [ .
и< «4-1	~	«4-1	Iе* «4-1
260.	[А. Hurwitz.] При целых п
. 1,1 , J ,________1_
Г («) — Г (1)	1 * 2 т- 3 "Г • • • -Г п- 1 
Следовательно,
r-(«+i)=«i(}+4+4+...+|-c).
261.	л + (4-л) = 3,9999...
262.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 161, 1918.] Интересующее нас выражение равно
[182, 82]
( я_г„1_ГА1-[А1_ „ [_£!_] _ [??] _ [2я] _ 14
1 [sj l4J pip — iJ IpJ ip2J ’> =2n JJj” JX"
I	P>2	>	1	2 ’
где JJ распространено на все простые числа, меньшие или равные
р>2
2«4-l, fjj —на простые числа, удовлетворяющие неравенствам
3sgpsg]/2n, 173~~на простые числа, удовлетворяющие неравен-
ствам ]/2n < р sg 2/г4- 1. Если п->оо, то
1/Г«1.Г«1,Г«1,	\
ап------п \L 2 J + |_ 4 J + id +••)•
При р>У2п имеем	=... = 0. Как знакочередующийся
ряд с убывающими членами,
Отсюда получаем
2« \	' 2я	2п
р _ У [К 2«] _	У 2« — 1
2п
1=сП2<(2«+1)/Г,!““1’
2
и следовательно, П"-*!-
ОТДЕЛ ВОСЬМОЙ
411
Пусть т = а0 + chp + а2р- + ... + а,р! — натуральное число, запи-
санное в р-ичной системе, стало быть,
Oagax sSp—1, А = 0, 1, Л az>0.
Тогда
ао
Р ’
До . «f
Р2 Р ’
Сложение этой бесконечной последовательности равенств дает
последнее — вследствие того, что /Inp^lnm. Следовательно, при
3 sg р <]/2п
Г 2п 1 Г2П1 Г2,11	In 2п	2 In 2п
pip—'J L Р 1 Lp2 J '-s'-p'HP <plnP = (2n)2,
ГВ-*1-
253. [G. Polya, Gott. Nachr., 1918, стр. 26.] Согласно пред-
положению существует лишь конечное число степеней простых
чисел р'а', для которых | / (р'°') 12s 1. Пусть произведение JJ/(p'°')
будет равно С. Каково бы ни было е, 0 < е < 1, существует опять-
таки лишь конечное число степеней простых чисел р"°", для
которых
l/(p"«‘')l=se|cr1.
Следовательно, каждое натуральное число п за конечным числом
исключений содержит в своем разложении по простым числам
по меньшей мере одну степень простого числа РА, для которой
Тогда
< I СI  е I СI-1 = е.
264. Применение теоремы 263 [25, 44]. См. 45.
265* Трехчлен сх34-Ьх + с приводим тогда и только тогда,
когда Ь2 — 4ас равно квадрату и2 целого числа. Оценим гп. Прежде
всего мы оставим совершенно в стороне координатные плоскости
(а — О, Ь = 0, с = 0), которые могут привнести в гп самое большее
3(2«+1)2 единиц. Таким образом, b может принимать 2п
412
РЕШЕНИЯ
значений — п, ..., — 1, 1, .,., п. При фиксированном b должны
выполняться неравенства
b2 — u2 — 4ac^z — 4/г2, и2 «д 4/г2-}-b2 ag 5/г2,
поэтому и может принимать самое большее 2 ]/5п значений, и2 =
= Ь2 недопустимо. При фиксированных b и и, Ь2 — и2 = 4ас, а
принимает 2т	—И значений; ими с уже вполне определяется.
Таким образом, обозначая через Т (п) наибольшее из чисел т(1),
т (2), ..., т (/г), имеем
г п < 3 (2/г + I)2 + 2/г • 2 /5/г  2Т (п2).
Но т(п)• п~*->0 для каждого фиксированного е>0 [264].
266. Пусть &>0, />0, k-\-l = h,
а (х) = а0 + агх akxk,
Р (х) = Ро + Pi* + • • • + Pz*z
— два целочисленных полинома, в произведении которых
а (х) р (х) = А (х) все коэффициенты по модулю не превосходят п.
Пусть, кроме того, а0, аь Ро, Pz отличны от нуля. Так как число
указанных в задаче полиномов, для которых со = О или ак = 0,
будет порядка nh, то достаточно показать, что числр допустимых
систем (а0, ах, ..., ак, ро, plt ..., pz) равно О (nh In2 ri).
' Пусть хг < х2 <... < xh будут h наименьших натуральных
чисел, для которых А (х) не равно нулю. Тогда, очевидно, хк^
<2/г. Далее |a(xv)|, | р (xv) | — целые положительные числа, оба
входящие в |Д (xv)|. Следовательно,
|а (xv) || A (xv) |	{1 + (2/г) + (2/г)2 + ... + (2/г)>
(v = l, 2, ..., /г).
Такое же неравенство имеет место и для р (xv). Отсюда по интер-
поляционной формуле Лагранжа (стр. 98) вытекает, что все коэф-
фициенты полиномов а (х) и р (х) по модулю меньше чем Сп, где
С зависит только от h. Имеем, далее, 1 |аоро | ^/г, 1 sg | aftPz 1=^
sg/г. Число допустимых систем (а0, ро), соотв. (aft, pz), будет
поэтому [79, II 46] равно О (/г In/г), значит, число систем (а0, р0,
ак, pz) будет равно О (/г2 In2 /г) и, наконец, искомое число равно
О (nk -^п1 ~ 1/г2 In2 п) = О (nh In2 /г).
ПРИЛОЖЕНИЕ
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
1.	Точки поверхности полиэдра образуют замкнутое множество
С, так что расстояние точки Р от различных точек © достигает
минимума. Это минимальное расстояние может достигаться только
в такой точке М поверхности, где прямая, соединяющая М с Р,
перпендикулярна ко всем направлениям, выходящим из М по поверх-
ности £>. Поэтому М не может находиться ни в вершине, ни на
ребре поверхности, а должно лежать внутри какой-либо грани.
2.	[G. Polya, Tohoku Math. J., т. 19, стр. 1-3, 1921.]
3.	[II 121.]
4.	[См. Н. Del lac, Intermed, des math., т. 1, стр. 69—70,
1894; см. также Н. Poincare, там же, т. 1, стр. 141—144, 1894.]
Положим A cosx-|-Bsinx = u, где А, В — постоянные. Имеем
отсюда следует
1.	[f"W+f(x)]sin(x — a)dx==f(a) + f(а + л)>0,
а
b
2. [Г (х) + / W]sin (х — a) dx — f (b) sin (b — a).
a
Ho f (b)s^0 [решение V 10]; если бы было b —а=сл, то левая
часть была бы положительна, а правая неотрицательна.
5. [W. Blaschke, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 26, стр. 65, 1917. Решение —G. Szego, так же, серия 3,
т. 28, стр. 183—184, 1920; см. также W. Suss, Deutsche Math.-
Ver., т. 33, стр. 32—33, 1924.] Пусть
СО
(b„cosn(p-|-fe„sinn<p)
1
414
РЕШЕНИЯ
есть ряд Фурье функции Я (ср). Тогда г (ср) имеет ряд Фурье
(ф) ~ у + О-«^(^соэпф + М^иф),
Л=1
ибо вследствие периодичности функций h (ф) и h' (<р)
2л	2л
§ r(<p)einv Яср = (1 — и2) h (<p) einlf dtp (n — 0, 1, 2, ...).
о	о
Далее
г(ф) — г(ф-|-л) ~ У, (1-я2)[1-(—!)"](/гл cosmp + &«sin/^)~
п = 1
~2 £ [1 — (2v+ l)2][/?2v)1cos(2v+ l)cp + &3v4iSin(2v-i- 1)ф][II141].
V = 1
6.	[G. Р б 1 у а, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27,
стр. 162, 1918.] Пусть Н (Ф), h (ф) — опорные функции, Д(Ф),
г (ф) —радиусы кривизны указанных кривых. Тогда
\ J [Я (Ф) — h (ф)] [Д (Ф) — г (ф)] ЯФ dtp =
о о
= 5 $ [Я (Ф) R (Ф) + h (ф) г (ф) — h (ф) R (Ф) — Я (Ф) г (ф)] dФ dq> =
о о
= 2л • 2F + 2л • 2/ — IL — LI.
Согласно предположению Я (Ф) h (ф), Е(Ф)>.г(<р) для всех пар
значений Ф, ф. Следовательно, последнее выражение неотрица-
тельно.
7.	[С. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 27, стр. 162, 1918.] Пусть Я (й), h (со) — опорные функции,
Д(й), R' (й), г (со), г' (со) — главные радиусы кривизны указанных
выпуклых поверхностей. Тогда
[Я (й) — h (со)] [Д (й) R' (й) — г (со) г' (со)] с/й dco =
= $$ [Я (й) R (й) R' (й) + h (со) г (со) г' (со) - h (со) R (Й) R' (й) -
— Я (й) г (со) г' (со)] t/й dco = 4л • 3V + 4л • 3d — тО — Мо,
$ $ [Я (й) - h (со)] {[Я (й) - г (со)] [Я' (й) - г' (со)] +
+ [Д (й) — г' (со)] [Я' (й) — г (со)]} Яй Ясо =
= $ $ {2Я (й) R (й) R' (й) - 2/1 (со) г (со) г' (со) + 2Я (й) г (со) г' (со) +
+ [Я (Й) + R' (й)] h (со) [г (со) + г' (со)] - 2Я (со) R (й) R’ (Й) -
- к (“) + г' (“>)]Н Ф) [Я (G) + Я' W} dQ dco =
= 6 • 4л V — 6 • 4лу + 2Мо -|- 2М  2о — 2тО — 2т.  20.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
415
Согласно предположению
Н (Q)3s/i(co), Min[jR(Q), R' (Q)]^sMax [r (co), r'(co)]
для всех пар значений Q, со. Следовательно, оба выписанных
двойных интеграла неотрицательны.
8.	В формуле Гаусса
J J (X cosa-ф У cos 0-]-Z cosy) dS = J J + + dxdydz
полагаем
X = l, У = 0, Z = 0, соотв. X = 0, У = — z, Z=y.
9.	Cm. 10.
10.	[Cm. Nouv. Ann. de Math., серия 4, т. 16, стр. 140,
1916.] Рассмотрим параллельную поверхность на расстоянии р,
точки которой так сопряжены с точками заданной поверхности,
что в соответствующих друг другу точках нормаль общая. Коор-
динаты, направляющие косинусы нормали, главные радиусы кри-
визны и элементы поверхности в сопряженных точках заданной и
параллельной к ней поверхностей будут соответственно равны
х, у, z,	x-j-pcosa, z/ + p cos 0, z + pcosy
cos a, cosp, cosy cos a cos0	cosy
^2	^i + p>	^2 + P
ds	ffi+ffdP) dS.
Применяя 8 к параллельной поверхности, получаем
f f cosafi+£Vl + bW = 0, ...,
1)1)	\ Ki / \	1<2 /
J J (y cos у - z cos p) (1 + ^j^l +£) dS = 0, ...
Рассматривая p как переменное и приравнивая коэффициенты
при р2, р, 1 нулю, снова получаем 10, 9, соотв. 8.
11.	Совершаем предельный переход из 9, или применяем 8
к «параллельной поверхности» полиэдра и рассматриваем коэффи-
циенты при р, или же, наконец, следующим образом: разлагаем
силу К на две компоненты по граням полиэдра, сходящимся на
ребре k", получаемая при этом новая система сил оставляет каж-
дую грань в отдельности в равновесии, по аналогу теоремы 8
для плоскости.
12.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 25, стр. 337, 1917. Решение —К. Scholl, там же, серия 3,
т. 28, стр. 180, 1920.]
416
РЕШЕНИЯ
Первое решение. Пусть координаты и направляющие
косинусы главных нормалей будут соответственно
, d2x	d-у	d2z
х, у, z\ 1 = г т = г-~, n —
ds2	ds2 ’	ds2
при описывании кривой s изменяется от 0 до L', х, у, z и их про-
изводные принимают при s = 0 и s — L одинаковые значения.
Имеем
L	L
С , xds 1* / d2z d2y\ , Г dz dy~!L „
о	0
Второе решение. Семейство сфер с радиусом р и точками
кривой в качестве центров имеет огибающей «канальную поверх-
ность»; применяем к ней 8 и заменяем систему сил, действующих
на поверхность, системой сил, действующих на кривую.
13* [К. Lowner.] В обозначениях первого решения задачи 12
текущие координаты сферической индикатрисы имеют вид
g _ dx _dy у _dz
£ ds’ ds’ ® ds'
Имеем
L L	L
§ £ ds = t] ds = S ds = 0.
ooo
Следовательно, вообще для любой системы вещественных чисел а,
L
$(a£ + pil-|-YQds = O.
о
Существуют по меньшей мере два значения s, для которых ф-
ф- ₽п + ?£ = 0-
14.	[К. Lowner.] Вследствие условия 3) F (х) принимает
как вблизи точки а, так и вблизи точки b отрицательные значе-
ния. Если бы поэтому F (х) была монотонной, то тогда мы имели
бы Е(х)<0, Г(х)<0 во всем интервале a<Zx<zb. Пусть £,
а<. В <.Ь, — единственный нуль производной f (х), так что f (х)
от а до | положительна и от g до р отрицательна. Интеграл
X
§F(x)f(x)f'(x) dx —
а
1 1
2_l+[/'(x)F
(*)
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
417
сходится, и вследствие условия 3)
ь	i	. ь
\F(x)f (х) f (х) dx = $ F (х) f (х) f’ (х) dx + \F(x)f (х) f (х) dx = 0.
a	a	|
Отсюда следует, поскольку все множители сохраняют между а и g,
соотв. между g и Ь, постоянный знак, что
6	Ь
F (*i) $ f (*) f W dx + F (x2) $ f (x) /' (x) dx =.
a 	’*	5
= (F (xx) - F (x2))	= 0, a < Xi < g < x2 < b,
t. e. F(xx) = F(x2) =— с, c>0. Значит, F(x) =— с в интервале
xxsgxscx2. Из двух последних равенств следует, что
ь
(F (х) - F (хх)) f (х)/' (х) dx + $ (F (х) - F (х2)) / (х) f (х) dx = 0.
а	х2
Так как оба подинтегральных выражения имеют один и тот же
постоянный знак, то F(x) =— с во всем интервале a<Zx<Zb.
Из (*) получаем
IfWF = _ 1_______1___ ,, м -ч-
-С 2	2 1+[/'«?’ I W- —---------------->
где знак + принимается ч в интервале а < х < g и знак — прини-
мается в интервале g < х < Ь. Во всем интервале интегрирования
должно выполняться неравенство [/ (xjP-cc1. Интегрирование дает
x-a = /Fi —	(х)]2, а<х<В,
b-x = KF1 -Ус-1- [/ (х)]2, %<х<Ь.
Из непрерывности функции /(х) вытекает, что g — a = b — g,
g —далее [/ (g)]2 = с-1, ибо в противном случае дифферен-
цирование по х дало бы 1=—1. Следовательно, g —а = ]/с“г,
откуда
^ = (g-fl)2 = l(&-fl)2
и
/(х)=]Л(х — а) (Ь — х).
15.	[К. Lowner. См. также формулы (89) в И. Minkowski,
Ges. Abhandlungen, т. 2, стр. 263, Leipzig und Berlin, В. G. Teub-
ner, 1911.] Пусть меридианная кривая задана уравнением у — f (х),
418
РЕШЕНИЯ
а < х < b. Для вычисления гауссовой кривизны М (х) = ЛФ (х) Кг (х)
в точках параллели, соответствующей данному значению х,
замечаем, что меридианное сечение дает в качестве одной из глав-
ных кривизн
*1(х) =-----г,
0 + lf'Wl2)2
вторая же главная кривизна получается [теорема Менье; см.
W. Blaschke, VorlesungenfiberDifferentialgeometrie, 2-е изд., т. I,
стр. 57—58, Berlin, J. Springer, 1924 *)] путем умножения кри-
визны соответствующей параллели на косинус угла между пло-
скостью этого сечения и нормалью к поверхности:
К2(х) = —------1.........
f« ГИ-l/'WP
f(x) удовлетворяет условиям теоремы 14.
16.	[По J. Kurschak’y.]
(₽ — Т) (Ь — с) + (? — а) (с — с) + (и — Р) (а — Ь) ^2 О,
a (b + с — а) + р (с+а — Ь) + у («+ b — с) 2s 0.
17.	[G. Polya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 27,
стр. 162, 1918.] Обозначим ребра замкнутого выпуклого полиэдра
через klt k2,	, km, внутренние углы при этих ребрах, образо-
ванные сходящимися в них гранями, — через Иц а2, ..., ат.
Мерой М совокупности всех плоскостей, пересекающих полиэдр,
будет
М = у [(л - «i) ki + (л - а2) k2 -f-... + (л - am) km].
[G. Polya, Wien. Вег., т. 126, стр. 319, 1917.] В качестве пре-
дельного случая получаем, что мера совокупности всех плоскостей
в пространстве, пересекающих выпуклый плоский полигон, равна
у х периметр этого полигона. Обратимся теперь к тетраэдру,
т = 6. Пусть площади четырех граней этого тетраэдра будут Ult
U2, U3, Ut. Мера совокупности всех плоскостей, пересекающих
тетраэдр, не задевая его первой грани, будет равна Л4 —-yt/j
и т. д. Пусть мера совокупности тех плоскостей, которые пере-
секают все четыре грани, будет Т. Тогда
М = (м - б/j) + (м - у Ц,) + (м - б/3) + (м - у t/4) + Т.
*) В. Бляшке, Дифференциальная геометрия, т. I, ОНТИ, 1935,
стр. 100—101.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
419
Требуемое неравенство получается путем преобразования нера-
венства
0<7<М.
Выражение, стоящее в середине этого неравенства, прибли-
жается к его крайним членам, когда тетраэдр стягивается в отре-
зок: к правому, когда к каждому концу отрезка стремятся две
вершины тетраэдра, к левому — когда к одному из концов отрезка
стремятся три вершины.
18.	[Е. Steinitz, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3,
т. 19, стр. 361, 1912. Решение —W. Gaedecke, там же, серия 3,
т. 21, стр. 290, 1913.] Поместим Р2 в нулевую точку, Ро — на
положительную вещественную ось, Рг — на положительную мни-
мую ось. Пусть гипотенуза Р0Рг имеет длину d, d>0, угол Р2Р0Рх
равен а, 0<а<;у, вектор Рп1Рп представляется комплексным
числом zn (n = 0, 1, 2, ...); Р_х — Р2. Далее, пусть = r„el'e«,
r„>0, 0sgt>„<2n. г0, Гр г2, ... будут иметь соответственно
значения
dcosa, d, d sin a, d sin a cos a, d sin2 a cos a,
d sin2 a cos2 a, d sin3 a cos2 a, ...,
a 'O’oi 'O'i» ^2> ... — значения
«	Зл Л	ci	Л 3л	z,
0, л —a, -y , -g—а, л, 2л —a,y, --------------------a, 0, л —a, .
Задача приводится к вычислению суммы бесконечного ряда
го + г1 + г2 + • • • + Zn + • • • —
__	. ?i + z2 -{- z3 -}- г4   d cos3 a sin2 a . . d cos2 a sin a
° ' 1 + cos2 a sin2 a	l-|-cos2asin2a ' l+cos2a sin2a ‘
19.	[По A. Hirsch’y.] Пусть Plt Рг, P't, P'> — точки, в кото-
рых прямая пересечения обеих плоскостей встречает заданные
шаровые поверхности. Указанная прямая имеет уравнения
I —D —Ах Cl IB —D —Дх I
I —D' — А'х С'	В'—D'— А'х\
IB С I ’	IB С I •
|В' С'|	|В' С'|
Подставив эти выражения в уравнения шаровых поверхностей,
получим квадратные уравнения
о*2	—	А ox2 -|-AiX-|_A2 = 0,	(1)
из которых последовательно получаем координаты х точек Ри Р2,
Р[, Р'>. Аналогичным образом получаем уравнения, доставляющие
420
РЕШЕНИЯ
соответственно координаты у и г этих точек:
Воу* + В1У + В, = О, в;г/2 + в;г/ + В>0,	(2)
coz2+c1z+c2=o, c;z2+c;z+q = o. (З)
Здесь
Это выражение тогда и только тогда равно нулю, когда плоскости
параллельный Пусть 21, 23, 6 будут соответственно результанты
уравнений (1), (2), (3). Тогда сумма 21 + 23 + 6 удовлетворяет
требованию задачи.
а)	Пусть, в самом деле, обе окружности сцеплены. Тогда пара
точек Р1Р2 будет разделяться парой точек P'tP2; то же имеет,
следовательно, места и для проекций этих точек на каждую из
координатных осей, за исключением, быть может, одной оси или
двух, если прямая Р^Р2 перпендикулярна к ним: тогда все проекции
сливаются в одну точку. Как явствует из взаимного расположения
корней квадратных уравнений (1), (2), (3), все результанты 21, 23,
6 во всяком случае отрицательны (в крайнем случае 'один или
два равны нулю) [V 194] и, значит, отрицательна и их сумма.
б)	Пусть, обратно, 21 + 23 + 6 < 0. Тогда по крайней мере один
из трех результантов отрицателен; пусть, скажем, 21 <0. Тогда
Ао >0, Ао > 0, следовательно, плоскости не параллельны, и точки
Pi> Р^> P'i> Р'ъ однозначно определены. Проекция пары точек PtP2
на ось х разделяет аналогичную проекцию пары PiP2 [V 194],
и то же имеет место и для- самих точек.
20	. [А. Hirsch.] Особая точка (хп х2, х3) конического сечения
3	3
2 S arsXrXs = Q
r = l s = 1
удовлетворяет уравнениям
Cvi*! + czv2x2 + av3x3 = 0 (v = 1, 2, 3).
[G. Kowalewski, Einfiihrung in die analytische Geometrie, стр. 202,
Leipzig, Veit, 1910.] В нашем случае, полагая х1 + х2 + х3 =— х0,
получаем Хпх0 = Ajxy = Х2х2 = А3х3 и уравнение интересующего нас
выродившегося конического сечения (пары прямых) будет
х3х2х3Хд + х0х2х3Х; + х0х1х3Х| + хохгх2Х1 = О,
причем Хо + Х1 + Х2 + Х3 = О. Пусть dxv (v = 0, 1, 2, 3), dx0 +
+dxx + dx2 + dx3 = 0 — элемент интегральной кривой; тогда, полагая
Xv = xv + dxv, находим
ххх2х3 (dx0)2 + х0х2х3 (dxj2 + XflXjXg (dx2)2 + ХцХ^ (dx3)2 = 0. (1)
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
421
Это и является дифференциальным уравнением искомого семейства
кривых. Замена переменных xv = z/v дает
(OlZ/2%)2 [(Фо)2 + (Фх)2 + (ф2)2 + (Фз)2] = 0,	(1')
откуда прежде всего в качестве особого решения получаем
xv = 0 (v = 0, 1, 2, 3). Общее решение получается из уравнений
(dyoy + (dytf + (ф2)2 + (dyay = 0,
Уо + У1 + У1 + У1 — 0,
г/оФо + У1Ф1 + y2dy2 + y3dy3 = 0.
Исключая у0, получаем
(г/оФо)2 = (г/; + У1 + У1) [(Ф1)2 + (Ф2)2 + (Фз)2] =
— (У1^У1 + г/2ф2 + г/зфз)2
и, значит,
(г/2фз - УМ* + (йзфх - г/!фз)2 + (г/1ф2 - г/2фх)2 = 0.
Положим
= г/2г/з - УзУг, г2 = у3у{ - у1Уз, z3 = у3у'2 - у^,
где штрихи обозначают дифференцирование по параметру. Тогда
5^ = °,	2 yrz'r = 0,
2гггг = 0, 2zfz; = 0,
(2)
причем суммирование производится по г=1, 2, 3. Отсюда заклю-
чаем, что z\: z-2: z3 = zt: z2: z3, за исключением того случая, когда
Zj: z2: z3 = z/x: y2: y3. Но в этом последнем случае у0 = 0, что снова
приводит к х0 — 0. В общем случае интегрирование дает
Zj: z2: z3 = Pi: p2: jig,
— постоянные, Hi 4-Hl 4-Из > 0, значит, вследствие уравнений (2)
У-1У1 + Н2г/2 + Рзг/з = 0. Полагая Цг = хг (г = 1, 2, 3), после освобо-
ждения от иррациональностей получаем
(^1-Д 4“ ^2^2 4“ "Х-З'Тд)2 — 2 (xjXj -|- Х2Х2 -|- И3Х3) = 0,
Xi -|- х2 -|- Хз — 0.
Это уравнение представляет семейство конических сечений, вписан-
ных в четырехсторонник Х0 = 0, Хх = 0, Х2 = 0, Х3 = 0. Действи-
тельно, уравнение касательной в точке (хь х2, х3) будет
(XjXi-фх2х24*х3х3) (xjX! 4-х2Х2 4-х3Х3) —
— 2 (xjXjXi 4- х2х2Х2 4- ХдХ3Х3) = 0.
422
РЕШЕНИЯ
При х1; х2, и3, отличных от нуля, берем вместо (хг, х2, х3) после-
довательно (хи х2, х3) (0, xj1, Х31), (xf1, О, Х31), (хг1, х2‘, 0).
21. [A. Hirsch.]
X I У
v = —.-.. -4--—,
suit 1 cost ’
dx
— p cos т = 2n (x ctg т + y),
-g- = psinT = 2n(x + z/tgT).
U V
Исключение у дает
d2x 2n dx , 2n n
dt2 sin i cos т dx 1 sin2 т
Вводим сначала и — — tg2T в качестве независимого, затем £ =
__ 2
= хи 2 в качестве зависимого переменного. Мы получаем тогда
дифференциальное уравнение
,,	•, d2^ । Г 3	/1..	. , \ "I d2 1/1	\ л
U (1 — di? [2 ~ П ~	— П / U]du------2 (1 — п) = 0’
которому удовлетворяет гипергеометрический ряд [VIII 146]
“	^\~2’’ 1~~п> ~2~~~п> и)-
Этим задача принципиально разрешена. На основании получен-
ного мы можем теперь, в частности, рассмотреть вопрос о рацио-
нальных решениях. Чтобы получить их, введем в качестве новой
зависимой переменной z — x(tgx)~п, а затем в качестве независи-
мой переменной и = i ctg 2т. Это дает дифференциальное уравнение
(1 — у2) 44- — 2у-^4-п(п— 1) z = 0,
'	' df2 dv 1	'	'
одним из частных решений которого является z = Рп^ (v) (n = 1,
2, 3, ...) [VI 90]. Мы получаем, таким образом, выражения
х == у (i tg т)'г Рп^ (i ctg 2т),
y = (i tgx)nP„ (г ctg 2т),
рациональные относительйо tgT. В частности, при п—1 получаем
в качестве частного решения параболу
x=tgT,	, 2г/ = х2—1.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
423
22. [A. Hirsch.]
1. Уравнение поверхности Н получается путем исключения t
из уравнений
F = 0,
з
cF = у Ч
dt	(av—t)2
v= 1
1=0.
(1)
(2)
Запишем (1) в форме

SGMs-Ki)] t2~
ала3 + У (а2 + а3) xj] t + Wi =
= Aotl + 4Aj/3+ 6Л/ + 4A3t 4- At = 0,
где индексы при суммировании циклически чередуются, и пусть А.
будет дискриминант полученного полинома относительно t. Тогда
А = 0 будет уравнением поверхности Н. Но теперь, полагая
^2 = -^о^4 ~ ^^з-Ц-ЗЛг,
Л»
Л1
Л2
А'
Л2
А?
Л2
Аз
Л4
— Л0Л2Л4 -|- 2Л2Л аЛ3 — A j — А0А3 — AiA3
Л —
[Cesarо, стр. 387*)], будем иметь
А=/2—27/3 =
= 27Л, (Л0Л4 - 4ЛХЛ3) + 54Л’ (Л0Л2Л4+ 2ЛХЛ2Л3 - Л0Л1) + Q,
где Q самое большее степени 8. Поэтому старший член дискри-
минанта А будет совпадать со старшим членом выражения
27Л33(ЗЛ2Л4-2Лз),
т. е. будет равен
о-? / 2 хП3 Г 2 v s 1/V/ । \ А2'
27—2
= - 4т (2х*)3 [2 “йз)2 +2 2 ~ ~х^] •
2. Пусть dxlt dx2, dx3 — линейный элемент поверхности Н;
тогда [(2)]
з
2^_0.	(3)
V=1
*) Ч ез а р о, ч. I, стр. 501.
424
РЕШЕНИЯ
Отсюда для направляющих косинусов Xv Х2, Х3 надлежащим
образом ориентированной нормали к поверхности Н получаем
=	(v= 1, 2, 3).	(4)
Координаты касательной плоскости в точке xlt х2, х3 будут иметь
вид
«v = у- , Xv ,—у- (v = 1, 2, 3).
Вследствие уравнения (1) xv = t(av — t)uv (v = 1, 2, 3). Подстав-
ляя эти значения в (1), (2) и исключая t, получаем
! 3	\2	3
( у, йу.и.1) — 4 У щ = 0.
\V = 1	/	V = 1
3. Пусть р (=£())—один из главных радиусов кривизны поверх-
ности И в точке (хь х2, х3). Тогда линейный элемент вдоль соот-
ветствующей линии кривизны на Н удовлетворяет уравнениям
[W. Blaschke, 1. с. 15, стр. 63*)]
dxv + pdXv = 0 (v = l,2, 3)
или согласно 2
+	= 0 (-1,2,3).	(5)
Вследствие уравнения (3) отсюда вытекает
2 (av-02(«v-^ + p) =0,
v= 1
Это —квадратное уравнение для обоих главных радиусов кривизны.
Оно может быть в силу тождества
1	_ у J_____1_ 1 । 1	1
я2 (а -|- р)	р а2	р2 а 1 ра а + р
и уравнений (1), (2) записано так:
(6')
v — 1
*) В. Бляшке, Дифференциальная геометрия, т. I, ОНТИ, 1935,
стр. 107.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
425
Комбинируя полный дифференциал левой части уравнения (6')
с (5), получаем
( 3 3 \
(ЗЛ-Ф) = 0.	(7)
Решение уравнения (7), получающееся при приравнивании нулю
первого множителя, не годится: оно означало бы, что уравнение
F (х, у, z, %) = 0 обладает двумя различными двукратными кор-
нями t, t— р (р 0), что невозможно, ибоК(^) имеет нечетное
количество нулей как в интервале (а1г а2), так и в интервале
(а„, а3). Следовательно, вдоль линии кривизны, соответствующей р,
имеем p = 3£-j- const. Другой радиус кривизны [(6)] равен £ +const.
Полученный результат можно интерпретировать следующим
образом: если w — и, w = v означают корни уравнения
3	’	3	2
У 7-----7^7----0 ИЛИ У ——-------------w = Q, (8)
(av —02(av~®)	av — w	’	' '
V= 1	V = 1
то линии кривизны будут иметь уравнения и — const., v = const.
Параметры и, v являются теми двумя корнями уравнения
F (х, у, z, w) = 0, которыми это последнее обладает наряду
с двукратным корнем w = t.
Линия кривизны и = и0 лежит на поверхности t — u0: поверх-
ности семейства касаются огибающей поверхности Н вдоль своих
линий кривизны.
23> [A. Hirsch.] В силу 22 (8), (2) имеем
*1 _ (щ —ц) (щ —а),
(Л. — ф	(а-j - a2) (ax — a3) ’
Комбинируя это с 22 (1), получаем
21 -f- и -{- v — оу 4- о2 4~ аз
и
_-1/~ (щ — и) (щ-а) /	'tz4-t>-(3i4-q3 + q3) \
1 V (щ—aa)(«i—as) \	2
Определение точек пересечения линии кривизны с = const. с пло-
скостью приводит к уравнению вида
з __________
с0 4- 2 cvV «v — «(« 4- bv) = 0,
,	V = 1
где с0, av, bv, cv — постоянные, что после освобождения от ирра-
циональностей приводится к уравнению 12-й степени относительно и.
426
РЕШЕНИЯ
24. [A. Hirsch.]
1. Пусть Е^ Е2, Е3 — координаты центра кривизны, соответ-
ствующего р; тогда [W. Blaschke, 1. с. 15, стр. 63, (47)*)]
Ev = xv + pXv^A-vaYZ+p (v = l, 2, 3)
[22 (4)], следовательно [22 (2), (6)],
з ,
У ___________= 1,
Z (Ov-/ + p)2
V— 1
У______й_____= 0
v= 1
Центральная поверхность для Н является, таким образом, оги-
бающей поверхностью семейства эллипсоидов
У ___________1=0
Z (av-s)2
v= 1
2.	Пусть h — постоянная и
xv = xv-f-hXv — xvA (v—1, 2, 3).
ily ►
Тогда [22 (1), (2)]
з s
____*_____= 1
(av-Z + /;)2	*’
1
x2
2	av-t-\-h -tJTh-
v=l
Параллельная поверхность для H на расстоянии h является, таким
образом, огибающей поверхностью семейства поверхностей вто-
рого порядка
з
У —= s + 2/i.
ау — s	1
v— 1
25.	[Е. Е. Levi, С. R., т. 153, стр. 799, 1911.] Пусть х"-х',
У' —у' суть целые числа; тогда через точки х', у' и х", / про-
ходят равные и равнорасположенные, т. е. получаемые друг из
друга простым смещением, интегральные кривые. Рассмотрим
*) В. Бляшке, Дифференциальная геометрия, т. I, ОНТИ, 1935, стр. 107.
ОТДЕЛ ДЕВЯТЫЙ
427
интегральную кривую y = f(x), проходящую через начало коор-
динат [т. е. для которой f (0) = 0], и обе конгруэнтные с ней кри-
вые, проходящие через целые точки х = т, y = и х = т,
у = [/ (m)] + 1. Так как две различные интегральные кривые не
пересекаются, то
[/ Н] +/(«) f (т + «)<[/ И] +1+/(н) (т, п=\, 2, 3, ...).
Последовательность /(1), /(2),	/(/г), ... удовлетворяет пред-
положениям задачи I 99. Добавим, что на тех же основаниях
[/ (- »)] + f (2/г) < f («) < [/ (- n)] + 1 + f (2п),
1 </(») , /(-») о Н2я) 1
п п ‘	— п	2п п
и далее | f (х) — f ([х]) | < М, где Л4 —максимум функции \F(x, у) |
в квадрате	1,
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
I. Определения. Теоремы. Формулы
Алгебраическая функция 119, 153
Алгебраические числа и-й степени 164
-----сопряженные 164, 167
Алгебраическое поле 164
— число 163
----- целое 163, 165
Аполярности условие 74
Аполярность пар точек 268
—	полиномов 73, 74
—	точек 268
Асимптотическое значение функции 43
Дирихле ряды 138
— теорема 149
Дискретная область целости 165
Единицы 165
Закон излучения Планка 246
Бернуллиевы числа 161
Бернштейна теорема о тригонометриче-
ских полиномах 41, 42, 101
Бесселевы функции 77
Брутто-ранг 116
Йенсена неравенство 187
Изменение знака 49
Интерполяционная формула Лагран-
жа 98
Исключительное значение (в смысле
Пикара) 43
Вандермонда определитель 54
Взаимно аполярные системы 74
Вронского определитель 125
Ганкеля матрица 116
—	определитель 114
Гаусса теорема о нулях производной
полинома 69
Гипергеометрический ряд 155
Главная хорда области 36
Гурвица условие 156
Кёбе область 24
—	теорема о линейном искажении 36
Константы Лебега 91
Конформный радиус внешний, внут-
ренний 26
—	центр тяжести области 34
Коши правило перемножения рядов 138
Коэффициенты Фурье 90
Кристоффеля формула 309, 313, 314
Круговая область 65, 66
Делители несобственные 134
Делитель 134, 165
Дзета-функция 138
Дирихле правило перемножения рядов
138
Лагерра обобщенные полиномы 55, 105
Лагранжа интерполяционная формула
98
Ламберта ряд 143
Лапласа формула 103
Лебега константы 91
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
429
Лежандра полиномы 55, 102, 104
Лиувилля функция 137
Максимальный член 9
Максимум модуля 9
Мангольдта функция 137
Матрица Ганкеля 116
—	ортогональная бесконечная 125
Мёбиуса функция 137
Место перемены знака 46
Моменты функции 60
Наибольшая общая часть 134
Наибольший общий делитель 134, 165
Наименьшая «выпуклая» область 66
Наименьшее общее кратное 135
Неприводимая целая рациональная
функция двух переменных 170
Неприводимый полином 150
Неравенство Йенсена 187
Несобственные делители 134
—	части 133
Нетто-ранг 116, 118
Норма 167
Нули полинома 68
Область «выпуклая» 66
—	Кёбе 24
—	рациональности 164
—	целости 164, 165
Овал 71
«Окружность» 65
Опорная плоскость 179
—	прямая 15
—	функция 179
Определители рекуррентные 114
Определитель Вандермонда 54
—	Вронского 125
—	Ганкеля (рекуррентный) 114
Ортогональная бесконечная матрица
125
Ортогональное преобразование 124
Ортогональные функции 103
Полином деления круга 137-
—	неприводимый 150
—	приводимый 150
—	целозначный 146
—	целочисленный 146
Полиномы аполярные 73, 74
—	Лагерра обобщенные 55, 105
—	Лежандра 55, 102, 104
—	, — производящий ряд 104
—	сопровождающие 81
—	Чебышева 85
—	Эрмита 55, 106
—	Якоби 105
Поляра первая 71
Порядок целой функции 17
Постоянная Эйлера—Маскеронй 175
Преобразование ортогональное 124
Примитивная точка 401
Производная относительно точки 71
—	система точек 72
Производящий ряд полиномов Лежан-
дра 104
Простой делитель целозначной функ-
ции 148
Ранг бесконечной матрицы 116
Рекуррентные определители 114
Родрига формула 103
Ролля теорема 47, 48
Ряд гипергеометрический 155
—	Ламберта 143
— Фурье 90
Ряды Дирихле 138
Символ Лежандра 175
Средняя область 69, 70
Степенной ряд рационально-численный
153
---целочисленный 153
--------(Я) 159, 160
Степенные ряды квазилинейно зави-
симые 118
---линейно зависимые 118
Степень поля 164, 165
Сумма делителей 137
Сферическая индикатриса 180
Перемена знака 46
Перемножение рядов, правило Дирихле
138
-----, — Коши 138
Планка закон излучения 246
Теорема Бернштейна о тригонометри-
ческих полиномах 41, 42, 101
— Гаусса о нулях производной поли-
нома 69
430
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теорема Дирихле 149
— Кёбе о линейном искажении 36
— Ролля 47, 48
— Эйзенштейна 153, 154
---, обобщение 171
Теоретико-числовая функция 137
Тёплица форма 128
Тригонометрический полином 86
Условие аполярности 74
— Гурвица 156
— Чебышева 156
— Эйзенштейна 154, 155
Фибоначчи числа 125
Форма Тёплица 128
Формула Кристоффеля 309, 313, 314
—	Лапласа 103
—	Родрига 103
Фундаментальные полиномы интерпо-
ляции 98
Функции Бесселя 77
—	ортогональные 103
—	целые рода нуль 18
Функция, асимптотическое значение 43
—	Лиувилля 137
—	Мангольдта 137
—	Мёбиуса 137
— мультипликативная теоретико-чис-
ловая 139
—	нормированная отображающая 26
—	опорная 179
—	рода нуль 18
—	теоретико-числовая 137
—	целая 9
—	целозначная 148
—	Эйлера 137
Фурье коэффициенты 90
—	ряд 90
Целая функция 9
—	часть числа 130
Целое алгебраическое число 163, 165
Целозначная функция 148
Целозначный полином 146
Целочисленный полином 146
—	степенной ряд 153
—	(Н) степенной ряд 159, 160
Целые алгебраические числа взаимно
простые 165
—	точки 132
---, сравнимые по модулю 172
— функции рода нуль 18
Центр тяжести системы относительно
точки 66
---целой рациональной функции 68
Центральный индекс 9
Часть (числа) 134
Чебышева полиномы 85
— условие 156
Числа Бернулли 161
— Фибоначчи 125
Число делителей 137
— нулей 10
Эйзенштейна теорема 153, 154, 171
— условие 154, 155
Эйлера функция 137
Эрмита полиномы 55, 106
Якоби полиномы 105
II. Темы
Ниже приводятся группы задач, связанных между собой по теме, но
расположенных разрозненно *). Римскими цифрами указаны отделы, следую-
щими за ними жирными арабскими — номера задач.
Арифметическое, геометрическое и гар-
моническое средние: V 61.
Арифметическое, геометрическое и гар-
моническое средние аналитических
функций на окружностях и кругах:
IV 64—66 (См. также «Формула
Йенсена».)
*) См. также задачи на те же
Бернуллиевы числа: VIII 182, 262.
Бесселевы функции: IV 73; V 159, 168.
Биномиальные коэффициенты. Теоре-
тико-числовые свойства: VIII, гл. 3,
§§ 1-2.
Выпуклое отображение: IV 162, 163.
в первой части.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
431
Гамма-фунКция: V 168 — 170. (См.
также «Эйлерова постоянная» и
«Формула Стирлинга».)
Гармонический ряд: VIII 250, 251.
Звездообразное отображение: IV 161.
Теорема Гаусса о нулях производной
полинома: V 113, 114, 121, 124,
125—127, 134—136.
Теорема Чезаро о степенных рядах:
IV 67, 70—75; VIII 72, 169—171.
Теоремы о среднем значении, обобще-
ния и аналогии: V 92—100, 150;
VI 59, 109; IX 2, 3.
Максимальный член степенного ряда:
V 176, 180.
Обвертывающие ряды: V 72, 73, 163.
Показательный ряд, показательная
функция и число е IV, 1, 2, 13,
27, 188; V 42, 73, 74, 179; VIII
179, 180, 258, 259.
Полиномы деления круга VIII 36, 98,
103, 104, ПО, 226, 227.
Полиномы Лежандра и др.: V 58, 119,
120, 159; VI, §§ 1. 8—12.
Формула Йенсена и связанные с нею
задачи: IV 32, 34.
Формула Стирлинга: IV 50.
Ь
Функции вида j f (t) cos zt dt'. N 164,
170—175.
Функции точки: VI 66.
Функция распределения Гаусса: IV 76,
189, 191; V 178.
Цифры в систематических дробях: VIII
172, 173, 253, 257, 262.
Эйлерова постоянная: VIII 260.