Некоторые вопросы математики и механики - Колмогоров А.Н.

Author: Колмогоров А.Н.

Tags: математика механика

Year: 1981

Similar

Методы обучения математике. Некоторые вопросы теории и практики

Избранные труды. Математика и механика. Том 1

Конформные отображения с приложениями к некоторым вопросам механики

Математика - наука и профессия

Text

МГУ
им.
МВ. ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА - 1981 г.
I
МГУ
им.
М.В .ЛОМОНОСОВА
МЕХАНИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
Под редакцией А. Н. КОЛМОГОРОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА - 1981 г.
Уда 5I.0I/5I9; 531/539
Рецензенты: докт. физ.-мат. наук Е.М. Никишин,
докт. физ.-мат. наук В.В. Козлов
Некоторые вопросы математики и механики/Под ред.
А.Н. Колмогорова. - М.: Изд-во Моск, ун-та, 1981 т. 116 с.
Сборник включает доклады» представленные на конференции
аолодых ученых механико-математического факультета, посвя-
щенной 225-летию Московского университета.
В подготовив докладов, организации и проведении конференции
принимали участив: академик АН СССР А.Н.Колмогоров, академик
АН СССР Г.И.Петров, академик АН УССР Б.В. Гнеденко,
асе. С.А.Богатый, асе. С.В.Болотин, асе. А.В.Бунинский,
ст. н. с. В. В .Вавилов, доц. А .М .Головин, доц. A .Голубятников,
доц.В.В.Козлов, асп. И;А .Колесникова, проф. А .Г.Костюченко,
ст. инженер Н. Н. Марчук, доц. А.В .Михалев, доц. С.А .Молчанов,
проф. Е.М.Никишин, проф. Б.Е.Победря, асе. Я.В. Татаринов,
проф. В.М.Тихомиров, проф. В.В.Федорчук, асе. В.Н.Чубариков,
аос. Е.ТЛавгулидзе.
О Издательство Московского университета, 1981 г.
СЕКШИ АЛГЕБРЫ, ЛОГИКИ И ТЕОИМ ЧИСЕЛ
НЕАРХИМЕДОВА ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
М.М.Вииик
I. Будем пользоваться обозначениями работы [JJ. Пусть - класс
аналитических операторов с компактным спектром. Выделим не спектра оператора^
множество собственных значении конечной алгебраической кратности с прямо от-
лепляемым корневым подпространством. Тогда определена функция крат-
ности dA(t} ,
Теорема I. Пусть А*ОЪ> TtEnBB^ - впрлне непрерывный оператор в сис-
ле Серра. Тогда: I) Те tv ; 2) . - В ситуации теореш I вве-
дем определитель возмущения AAiTfAd)^dttu-TRA(i)).
Теорема 2. I) 5 2) ДА„Т/А - мероморфная
функция в J 5)И2в<^«» л^г/А(1)= уА<.т(ъ)-уАа),
г. Определение. Относительной кратностью возмущения А+Т/А называется
распределение ) с носнтелем .
Теорема 3. Распределениеявляется мерой Иазура со значениями
в 1сС (т.е.в 2, Zp m I Li .
Отметим, что вне любой окрестности jU/ьТ/А совпадает с
где <5а - дельта-функция Дирака. Аналог теоремы 3 в классической теории
возмущений имеет место линь для некоторых нормальных операторов, здесь суще-
ственно проявляются эффекты неархимедовости.
3. Теорема 4. Для любой функции ^Ц^ВВа) вполне непрерывный
оператор и справедлива "формула следов"
U(f(A+T)- ((A)) = // (lfr+т/А.
Если Л*’Г и Л - операторы "скалярного тина", то (р может пробегать всо
непрерывные функции.
4. Теорема 5. Существуют такие операторы AeEndCp(2+), что преобра-
зование Меллпа-Мазура меры Р/нт/а » сосредоточенной на « совпадает
с р - адической $ - функцией Куботы-Леопольдта Вр(А) . В частности,
6р&)*Ъ(]С(А+ТНЦА))
5. Можно определить р - адическую Г - функцию, аналитическую в 2?
по формуле Г^ъ}-Да+т/а (*) * ГЯ0 операторы А + Т, А определены И
н.4. Справедливы "формула Стирлинга" ( Вл+А -чяюло Бернулли) z
Гр(2) = [Z /*(Ш) 2'& (Ш
а также разложение в мультипликативный интеграл
rubify «-
Литература
I. Виник м.М. 0 применениях интеграла Шиирельмана в неархнмедовом аяализе,-
УМН, 1979, т.34, № I, с.223-224.
\
ДЕФОРМАЦИИ ПРОСТОЙ АЛГЕБРЫ ЛИ Wn,(m.)
А.С.Джумальциев
Под деформацией алгебры L- с векторным пространством I/ над
полем k и умножением «понимается алгебра }с умножением * «зада-
ющим в виде формального степенного ряда ?
а,-1 + tF.,(a,lA)tti’F!l,(alg)+... , a,,£el/.
3
Исследование деформаций алгебр Ли над полями характеристики интересно с точ-
зрения задачи классификации простых алгебр Ли. недавно вычислены деформация
неклассической алгебры Ли (см. [1J ), где также приведены
общие факты о деформациях).
Для общей алгебры Ли с т.^1,
являвшейся алгеброй специальных дифференцирований кольца разделенных степе-
ней Оц, доказана
Теорема. Пусть сЬлъ k- тогда:
I) размерность второй группы когомологий равна
п ; где т = ХГ ;
2) всякая локальная деформация продолжаема до деформации.
Доказано также, что над совериенным полем £ вскяая деформация р~
-алгебры Ли А4 = <2 изоморфна ей самой. При этом обнаружилось, что
веяная деформации алгебры Ли Ь/ь соответствует деформации ассоциативной
алгебры разделенных степеней 0^ .
Литература
I. Джумадильдаев А.С., Кострикин А.И. Деформации алгебр Ли .~
"Труды Матеи.ин-та им. Стеклова АН СССР", 1978, т.148, с.141-155.
о группах, Заданных тохдественньми соотношениям!
Ю.Г.Клейман
Построен пример 2-порожденной разремммой ступени X группы ,
заданной конечным числом тождеств, в которой разрешима проблема равенства
слов, ио неразрешима проблема распознавания тождества (т.е. не существует
алгоритма определявшего по произвольному слову , является ли f-
тождеством в в> ): при этом 6 не является финитно аппроксимируемой.
Показано, чти не суцествует алгоритма, определявшего по произвольному слову
,. будет ли разремима проблема равенства слов в группе
Г2 . Доказана неразрешимость првблемы изоморфизма фиксирован-
ной группе уже в классе всех 2-порожденных разрешимых ступени ? групп,
заданных конечным числом тождеств и имевших разрешимую проблему равенства
слов. Показано, что в любой рекурсивно перечислимой it - степени имеется
проблема равенства слов некоторой 2-порожденной группы, заданной конечным
числом тождеств. Указана 2-порожденная разрешимая ступени У группа £> ,
заданная конечным числом тождеств, в которой уравнения л4= у и
при фиксированном и произвольном алгоритмически неразрешимы.
Показано, что не существует алгоритма, определяющего по произвольному тожде-
ству, задающему группу b , будут ли в ней алгоритмически разрешимы ука-
занные уравнения. п,
Построена бесконечная независимая система слов от^переменных
Хл,)) , такая, что любое из произведений вида
Vk (1J} ...fX,,) эквивалентно совокупности
своих сомножителей.
Построено центрально-метабелево многообразие групп <£ , неразложимое
в объединение никаких двух своих собственных подмногообразий, и, такие, что
произведение <£ имеет континуум различных минимальных разложений
в объединение двух подмногообразий. Показано, что свойство быть неразложимым
в произведении многообразием алгоритмически нераспознаваемо. Доказано, что
не существует счетной системы групп такой, что любое многообразие порождается
некоторой её подсистемой. Показано, что существует континуум многообразий
4
групп, в которых не всякое подмногообразие может быть задано независимом
системой тождеств.
СИШШЩИАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Ф.М.Малышев
Пусть . Для n^ke/V. положим
Л£ £ =Aj ; 4*^ =^н 6 Д* /2-Щ L^,..U^[x *2ф1Ч**} • На простраястсве ’
‘г/ ' 2(,лЛ*-
определим две системы линейных уравнений, двойственных, в некотором
смысле, друг другу. -
(I) Система уравнений Z х£-о . Здесь L прббегает множество
прямых в р , параллельных ребрам симплекса &Р •
(2) Пувть Цд%)с - симплекс с вернинами — » поду-
чающими» кз дХ параллельным переносом. Нана система состоит из уравнений
• отвечающих всевозможным подсимплексам
111 /^*4.- Функции Z=^..y77*/- положительны..
Множество реиений системы (I) обозначим через , а система (2)
- wt • Имеют мисто
Теорема!. iin /4*4 card/) Д= ( h
Теорема 2. tim, Алt и 2 а,л >
ПРИ ^2,^’^'
Следствие теоремы I. Пусть А - ассоциативная
а,л-о Уа,еА, и иь...и, хеЛ,
Тогда & z\.. х 4 при
произведений это, вообще говоря, неверно /1_/.
Теорема 2 позволяет оценить количество полидифференциальных инвариантных
операторов на прямой (постановку задачи см. в/27). При ^=£ доказатель-
ство предложения 2 является элементарным (без привлечения теории Галуа) дока-
зательством того, что dcnUCxe.3/3~h'! . Здесь J - идеал,
порожденный симметрическими . многочленами, без свободного члена.
(при т.<п> (2)~О )•
£ t'.
1^1 J-о
эти неравенства превращаются в равенства. >
алгебра, с условием .
произвольные элемепн.
.Для более коротких
Литература
I. Кузьмин Е.Н. Математические структуры,-София, 1975, IOI-IO7.
2. Кириллов А.А. Оо инвариантных дифференциальных операторах на геометри-
ческих величинах.- "Функциональный анализ и его приложЛ,197*}т.И,№ 2,
с.39-44.
3. Бурбаки Н.Группы и алгебры Ли. - М.:Мир, 1972.
ОБ ОЦЕНКАХ р -АД ИЧЕСКОЙ НОРМЫ ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ
Ю.Н.Макаров
Пусть - алгебраическое поле конечной степени £ над Q . Обо-
значим класс функций со следующими свойствами: функция
5
принадлежит классу 0/(1К)С,ч,М) » если’-а) 10а,1^С'А'' для всех/И2-*
) существует последовательность натуральных чисел [fynj такая, что
и я£г,.с“ ..
Теорема!. Пусть функции 6/Л, составляют
репение системы линейных однородных дифференциальных уравнений с коэффициен-
тами из С (2) и не связаны алгебраическим уравнением степени над
ф(2) . Число cC~T6G. отлично от нуля и особых точек этой системы,
O,~f<l(l'lp< Л"*** . Тогда для любого многочлена P(ltj
с коэффициентами.из Z. степени к и высоты Н , если рц>А(п,)Н-*Цг(л'
_ 8£ м . /Пгт] f/J+m-K)
/Иу<з^Т. тг, nv J Мг~1 т/ . ; то справедливо •
1Р(^)Г. Ыь)
где AMj 8(ьХС(ь), ч - целозначные функции параметра & .
Рассмотрим /?> систем функций из класса б> (Q, Cj,
> i,*4} . tn, ' (!)
составляющих решение систем дифференциальных уравнений
$ у Qfel (2)
Дифференцируя уравнение (2) и заменяя производные в правой части, полу-
чим следующие уравнения
ли
/у = №+ Ту® ijti
Пусть уравнения (2) таковы, что найдется число -А & /Л/ , многочлен
и последовательность натуральных чисел / Рп,] , что
Теорема 2. Пусть функции (I), удовлетворяющие системе дифференциальных
уравнений (2), линейно независимы вместе с единицей над <£(Z). Число
оС=£б 4? отлично от нуля и особых точек системы (2). Тогда, для любого
£># найдутся числа £>О> С>о, ао>о3 что при ,
l&pbpblpt , /£/</а/г справедливо неравенство
-£*п
где Лу произвольные отличные в совокупности от нуля натуральные числа и
hi- Агг/ПОЗС'
НОВАЯ КОНСТРУКЦИЯ р -АДИЧЕСКИХ РЯДОВ ГЕККЕ
А.А.Панчишкин
Пусть l(t) s И A'fajg & Л -некоторая
О' : 1
параболическая форма Гекке веса k> , X ~ характер Дирихле med л/.
Ряды Дирихле
называются рядами Гекке. Значения рядов (I) в целых точках критической полосы
О< Не(Р)< Л связаны с периодами модулярной формы ; это поз-
6 ‘ 4
воляет построить p - адические ряды Гекке (см. /I/ )• Мы предлагаем конст-
рукцию р - адических рядов Гекке, основанную на другом способе вычисления
значений рядов (I).* Пусть I - четное число, 0<С<&) ~ тогда
где biM- 7~, . Прлвая часть (2) представляется в виде
интегральной свертки модулярной формы
с ядром — рядом Эйзенштейна уровня N . При этом Z CL(n,)^(Ajn,~f^~^
41 Р ~ скаля₽ный квадрат по Петерсону,
---------------------------- „----- ч. nt - простое), Ср - поле
~а>(14№*'£•гдв
А/ - алгебраическое число. Пусть /v- Р
Тэйта, тогда реХ * ^Опсогл (zpi
Творена а). Существует такое вещественное число LJ , что для любого
%(JC{-i) -d) число “ алгебраическое.
б) Существует р - адическая аналитическая функция Lp^-X^Cp
такая, что
(L-Z)!____/ , fi,-£ %)
Cd 4 1 1,AJ
для любого J. примитивного tnecd р^ , где р - корень многочлена
хг- а- (рх * р огМрр = о, $(t):-hpb)e .
Доказательство основано на исследовании р - адических свойств чисел // .
Литература’
I. Манин Ю.И. Неархимедово интегрирование и р - адические Z - функции
1аке-Ланглвндсаг-УМН, 1976, т.31, № I, С.5-54.
АДРЕСНЫЕ СХЕМЫ ЯНОВА С МАГАЗИННОЙ ПАМЯТЬЮ *
М.А.Ройтенберг
Класс адресных схем Янова с магазинной памятью (ЯМА-схем) и основные
определения, связанные с ним, введены в / Л/.
фиксируем сигнатуру Z с множеством функциональных символов?
и множеством предикатных символов [dj,..., Z. - деревом называется тройка
» ГД0 М ~ конечное множество слов в алфавите/Л/ jimj ,
вместе с каждым словом V содержащее все его начала;
Пусть 5 - ЯМА - схема в сигнатуре £ ; X - свободная интерпрета-
ция X и результат S(I) работы программы <$, J> определен.
Рабочее дерево программы <5,7> - это такое Z - дерево
^,л> , что А/ - это множество всех слов, вычислявшихся при работе
программы <5Д> ; 'f: н + [О, , такое, что ;
/!(V)-О , если 1Г - начало 5(d) и I в противном случае.
Определение. Характеристическое семейство T(C>J схемы 5 - это мно-
жества все^ Е» - деревьев вида ‘П^< d) .
Теорема I. ЯМА - схемы 5Z и 5- функционально эквивалентны в том
и только в том случае, когда. '775J
7
Конечные (недетерминированные) автоматы над Z - деревьями вводятся
аналогично автоматам из [z].
Теорема 2. Пусть $ - ЯМА - схема. Существует конечный недетермини-
рованный автомат на Z7 - деревьях, допускающий T(S>) .
Следствие. Класс линейных рекурсивных схем не^рранслируем в класс
ЯМА-схем.
Литература
I.. Токигь, K,Ma,tni/ Fusata,, лаиоя ScAtrnai Fiyrentes a
Риму. Froc. /£& Дм. I£££ ymf. fin Junfa £ М-9У
2. Рабин M. Разрешимость теорий второго порядка... - В кн.: Кибернетический
сборник. Новая серия. М.: Мир, 1971, вып.8, с.НО.
О ФОРСИНГ ПОПОЛНЕНИЯХ ТЕОРИЙ
В.И.Степанов
Перенося понятие вынуждения П.Коэна из теории множеств в теорию моделей,
А.Ребинсон*определил для любой теории первого порядка 7* теорию 7*^ , назы-
ваемую конечным форсинг-компаньоном. Поскольку (~ГуТ* , то разные
теории могут иметь один и тот же форсинг-компаньон [2 J.
В нестоящей заметке вводится форсинг-компаньон, который всегда содержит
теорию, но модели которого обладают такими же свойствами что и модели Т* .
Рассмотрение ведется для теорий второго порядка, что позволяет распространить
соответствующие результаты на логику It -гопорядка и простую теорию типов.
Основные результаты.
Теорема I. Пусть - совокупность вынужденных условий, совместная с
•кэистемццалыю насыщенной теорией 7" . Тогда для любого ре существует
генерическая модель, являющаяся моделью Т . .
Теорема 2. Пусть Т - экзистенциально насыщенная теория и
rT'i&Z.^U П°п, для некоторого h, £ fF . & - совокупность вынуж-
дающих условий Робинсона для Т .Тогда г,-р?7 £. Q ао)*
Литература
I. RoiiW* Forctif Ш ihoch/
.0 р - АДИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ГРУППЫ frL (i,Zp)
А.В.Трусов
‘Введем обозначения (Р*р и Zp - мультипликативные группы поля р
адических чисел Qp и кольца нормирования * Z-p соответственно; - про-
странство непрерывных функций на компакте Л со значениями в &р с нормой
Hfll - 4uplf(li))j ^~Z.p1(£.p\pZpltpZ.p • В теории представлений
групп в р~ адических пространствах наиболее отличным от классического являет-
ся случай не р - регулярных групп, к числу которых относится компактная
группа (лЦЛ/Яр) . . '
Пусть . В пространстве <^($) действует изометрическое представ-
8
леиие группы ^Ц2Лр) по формуле
f 77 у ’^м-г r/y, Jy).
Все непрерывные характеры Нот^ ^задаются формулой
где c/Z/?, k-1, ...,f -d . Ограничение представления Т на пространство
при г4: ^/ обозначим . По
аналогии с классическим случаем представления можно назвать представле-
ниями основной серии. При в пространстве £л£#)явно описывают-
ся инвариантные конечномерные подпространства и •
Теорема!. .При бесконечномерные представления тополо-
гически неприводимы. В случае <i-k- d-} представ-
ления в пространствах ///*Лел/ ( соответственно)
являются неприводимыми неэквивалентными представлениями, причем каждое зам-
кнутое собственное инвариантное пространство для 7^4 является прямой- сум-
мой конечного числа этих пространств.
Следствие. При /^...представления приводимы, но не вполне
приводимы (существование таких представлений следует из общей теории /I/ ,
случай группы Zp рассмотрен в /2/).
Впервые бесконечномерные неприводимые р - адические представления
были рассмотрены в /"з/. Рассматривая представления в соответствую-
щих подпространствах для группы АН Zp, можно получить все конечномерные
представления, описанные, в /4/, и, видимо, новое бесконечномерное неприво-
димое представление.
Среди построенных конечномерных представлений имеются представления
в пространствах однородных многочленов, степени /2 . , которые остаются
неприводимыми при ограничении на компактную подгруппу 5Z (2tZp). не
исчерпывают всех неприводимых представлений (2-Лр)} тем не менее имеет
место
Теорема 2. Линейные комбинации матричных элементов представлений
плотны в пространстве С ($L (2>Zp)) .
Литература
I. Аг1.$<хиЛ F. Qeicu^e-Р;&1-Р<нге* /969~/9гй,
2. £ е,А. ОыЛ. Sei .
3. Сунчелеев Р.Р. Бесконечномерные представления группы AfJfZp.—
“Изв.АН УзССР, сер.физ.-мат.наук? 1975, № 6, с.30-35.
4. Кириллов А.А.6 Сунчелеев Р.Р.Алгебра мер на группе аффинных преобразовании
- адического отрезка. -*ДАН УзССР" 1975, ft 2, с.259-240.
О ГРУППАХ С НЕМОНОМИАЛЬНЫМИ ХАРАКТЕРАМИ ОДНОЙ СТЕПЕНИ
- И.А.Чубаров
Исследуются свойства конечных групп, все неприводимые комплексные ха-
рактеры которых мономиальны, за исключением характеров некоторой степени.
Сведения по теории характеров содержатся в /I/ . ^т’<> - множество всех
неприводимых характеров группы & . *Х называется мономиальным, если он
индуцируется с линейного характера некоторой подгруппы в )
. 'itn, - все различные степени неприводимых характеров группы
Лемма. Пусть (л - минимальная неразрешимая группа, такая, что если
(: УггЬ^ , J- немономиальный, тоу^-С*- фиксировано ).
Тогда (I) X ~ точный характер наименьшей степени; все характеры степени
У немономиальны. (2) (п содержит единственную минимальную нормальную под-
группу У ; если У, то Сг>/м - М - группа.
9
Теорема I. Известные простые группы имеют немономиальные неприводимые ’
характеры не менее чем двух различных степеней.
Далее рассматриваются группы с‘одним немономиальным характером.
Теорема 2. Разрешимые группы с единственным немономиальным характером
не существуют.
Теорема 3. Пусть & - простая группа, у< - её единственный немономиаль-
ный характер, JC(i]-d2. Если рс О>
то представление 6> на смежных классах Ст/И дважды транзитивно и Н -
подгруппа максимального порядка в 0> .
Вместе с результатами [ 2,-Ч] получаем
.Следствие. В условиях теоремы 3 Н неразрешима, (а) Н имеет
абелеву нормальную подгруппу и Жд нечетно или (б) Н содержит единст-
венную минимальную нормальную подгруппу X , 'причем X простая и
Литература
I. Huffett В, inHhoU (ггимен,; I,.
2.0'//av А?. Н&гшХ ftraefase qt а-
и- йгянр, 1,— 7гая£. Soc^ 2.1&,
3. Hott<S> ? a.
"OiaAb Midtysft, A/f5,/>p6f3-£3'f.
ТЕОРЕМА РИМАНА-РОХА ДЛЯ ВЫСШИХ Ц - ФУНКТОРОВ
В.В.Шехтман
Пусть X - квазипроективная схема над нолем к, И * (KtJ) - этальные
когомологии / с коэффициентами в j -й тензорной степени пучка корней
Л- -й степени из I,
В [1J были определены классы Чженя
Cptf, : Кр (J(J -> '?(*. )> р,0>
Пусть i i X -* У - замкнутое вложение коразмерности У гладких над
к квазипроективных схем, с нормальным пучком У . , •
Теорема. Существуют универсальные целочисленные многочлены Ррл веса
ify-Zd—p такие, что для хе Кр(Х) ,
Ср<^ (с*Х) - i* Рр^(f~рг (x))z j ((Ю)зЛ
где 4*. - морфизм прямого образа. Если V свободен, р>0 , то
Следствие. Пусть X - полная, гладкая над к кривая, содержащая X -
рациональную точку. Для пусть С >р - простое число. Тогда
6^-4 р S) индуцирует эпиморфизм (X) -*
.если •
Имеер место также теорема Римана-Роха "по модулю кручения" для проектив-
ных морфизмов, которая формулируется в терминах характера Чженя.
Литература
I. Шехтман В.В. Алгеираическая К - теория и характеристические классы,-
УМН, 1978, Т.ЗЗ, № 6, с.239-240.
10 '
О СВОЙСТВЕ ПРОДОЛЖАЕМОСТИ ПАР БИНАРНЫХ ТАБЛИЦ
А.Е.Андреев
Предлагаемая работа посвящена вопросам обоснования комбинаторвдеогв-
ческих процедур в задачах распознавания^^Ьсновным результатом работы являет-
ся выяснение асимптотических условий в терминах размеров таблиц обучения,
при которых возможно продолжение этих таблиц до более широких с тем же мно-
жеством тестов. Полученные результаты можно считать окончательными. Работа
выполнена под руководством В.Б.Кудрявцева.1
Мы изучаем пары t таблиц (подмножеств) Т, и Тг. из Е*' ,
IV - мерного бинарного куба, причем предполагаем, что Tt/)TZ=^ ,Т^Ч> ,
TZt Ф . _
Определение I (операция *• ). Если то £*£-<%&/& (*>!,-J)
тще © - сложение по модулю 2.
Определение 2. Пусть Z-(TltTz) из £* тогда хм Envssov&tt тестом
пары Z , если для любых J из Г, в Г из не выполнено л
Знак 4 относится &- стандартной частичной упорядоченности на Е"' . Теперь
пусть FT(i)~ | 1 если 2 тест пары Т , О если не тест}.
Определение 3. Пара Z z(T<, Tz) . из Е4 продолжаема в сторону Тл ,
если существует £ из Е"\ 77 такая, что имеет место £ =/£., , где
Определение 4. F : (О,£ (0Д), F(x)
(0,1) (0.1), GM^i-t-F-^Z).
В'работе изучено поведение, при П-> , доли пар T~(TJ) 71), продол-
жаемых в одну из сторон или в обе стороны, в таких классах пар из Еп' , что
1Т21-ПЪг(^) • Причем nz(nj^Cz^i'1
при a <zf,cl2_e (0,1) .
Теорема I. Для почти всех при пар т vs таких,, что
tTii-nifiM, 1Т2.1~/п1(П’) , где m>/(n.)i:C./Z’i,lt', при
и - Cn(dz) выполнено: пара не про-
должаема в сторону 77, из Т, нельзя удалить строку, не изменив системы
тестов.
Теорема 2. Почти все при =^. пары т -(Т^ Tz) из Е* такие, что
IT.I = fn,(n), , где рг2(Л-)^е21в‘гЛ, Щ»
о-» , продолжаемы в сторону 7J » если eL.f+dt '&0(dz) .
Причем для почти всех из них длина продолжения ~ •*- при л -*
, £г(с<г)>
6» 64)
_i
L

Литература
I. Андреев A.E. 0. восстановлении пар таблиц по их системам тестов .-”4-ая
Всесоюзная конференция по проблемам теоретической кибернетики. Тезисы
докладов”. Новосибирск, 1977.
2. Колпаков В.И. О соответствии между монотонными функциями и множествами
тупиковых тестов для таблиц .-"Дискретный анализ"* Новосибирск, 1970,
вып.16, с.44-50,
ПРОЕКТИВНЫЕ ГРУППЫ В МНОГООБРАЗИЯХ
В. А. Артамонов
Группа Р называется проективной в многообразии, если она является
полупрямым множителем свободной группы этого многообразия. Пусть А~
многообразие всех абелевых групп, - все абелевы группы экспоненты, де-
лящей /V .
Теорема I. Пусть многообразия групп, причем U, нильпотентно,
, И,А>ЛГ>Ап,А . Если Р - проективная IV -группа,
причем Р/Р' конечнопорождено, то Р свободно в IV . Если Pi,
свободные. V" - группы конечных рангов, и эпиморфизм, то в
Ft существует такой базис zZj, что образы Лу,
есть база Fz , а остальные Л, лежат в ядре л-
Теорема 2. Пусть /“,/£>£ - натуральные числа, причем
Предположим, что V - многообразие групп экспоненты И- , в котором г - -
порожденные группы конечны. Пусть W, W - многообразия групп, причем lb
нильпотентно, и Тогда в V существуют -порожден-
ные проективные несвободные неразложимые в TV - свободное произведений .
группы Р , у которых Р/У(Р) свободная ТГ - группа рангц Г
В случае многообразия А А л,, F>0 получается полное описание проек-
тивных групп конечного ранга.
Теорема 3. Пусть 6?- свободная Ап, - группа ранга -Г - проек-
тивный идеал в %, (п . Положим Р- • Тогда существует
£.0> -модульный эпиморфизм Р На. фундаментальный идеал Пи ъ2-6> .
Пусть «С - произвольный такой эпиморфизм. Через Т(&>,!) обозначим группу
матриц
[а, Ог^Сг, V^P,
\О <-),
Тогда Tf&/Z)“nPoeKT®BHaH Mt, - группа, и любая проективная А Ап - груп-
па конечного ранга имеет такой вид. It) тогда и только
тогда, когда существует изоморфизм групп /I и А - полулинейный
изоморфизм модулей Z и h . При этом
Т(&,1 )AfiH if- T(G>„ I.)*?(&*вч>
Множество всех проективных А Ап,- групп конечного ранга относительно свобод-
_ного произведения в А Ап, образует свободную коммутативную полугруппу, счет-
ного ранга.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИФФЁРЕНЩШЪЖХ КОЛЕЦ ПУЧКАМИ
В.Д.Бурков
. Целью работы является обобщение известных результатов Гротендика /”I]
и Коха [2] о представлении колец сечениями пучка на случай дифференциаль-
ных колец (для краткости, - колец).
Следуя обычному определению пучка колец [3J, можно ввести понятие пучка
колец над топологическим пространством X •
Пусть /? - - кольцо с 1 , Р - дифференциальный идеал (короче,
идеал) .кольца -.[zeR tfaTc, = , где [aj - -
идеал, порожденный элементом CLe R, , положим Pj- .
Назовем - идеал Р (Г- первичным, если для любых бГ - идеалов А
12.
и в из ЛВ^Р следует, что либо А^Р , либо &&Р . На множе-
стве. X(Р,6) всех <Г - первичных идеалов кольца Я введем топологию
Зарисского, в которой открытыми являются множества Г$={Р&Х (№)'$£ Р} ,
где $<=Р . . "
Кольцо Р с дифференцированием назовем J" - кольцом конечного
типа, если идеал £.&] является конечно-порожденным для любого X&R
Предположим далее, что R - либо коммутативное либр редуцированное
(т.е. без нильпотентных элементов) кольцо, тогда если ' Р& X (R.&) , то
’ (Г -идеал. Положим и зададим на Л
топологию, в которой открытыми являются множества вида
, где и U - открыто в X(R.f) ,
отображение £: X (R. :
. Тогда Л - пучок (Г - колец над
- сечение пучка А для любого ъе-Я. .
★0(P,6)eR/0(P,6)-. P6U)
затем определим для каждого ч, £ Я
p-*l*Otf>6')eRJO(Pl<r)
пространством Х(Р^) , а Ъ
Теорема. Пусть Я - кольцо о дифференцированием ; причем Я •
либо коммутативное - кольцо конечного типа, либо редуцированное коль-
цо. Тогда любое сечение пучка Я- имеет вид £ , где t&P
Литература
I. Ламбек И., Кольца и модули.-М.:Мир, 1972.
2. Koh К. On fmdiMnl пргШпЬлИоп ekmenti»1-
*йми1. (ММ. fall' Ж, iPj Л/3, 349-ЗЖ.
3. Pitret, Я-S. IHfdulei tier еммйиЫНе
О ПРОБЛЕМЕ ТЭРРИ В СЛУЧАЕ ДВУХ УРАВНЕНИЙ
В. А.Быковский
В работелля Я(£) - числа решений системы уравнений
в целых рациональных доказана асимптотическая формула
где С - некоторая положительная постоянная, выписываемая в явном виде.
Ранее Хуа Ло-ген в [l] получил оценку
ад;Vl>o. '
Затем в [2] , рассмотрев сферическую область изменения переменных х},
он получил асимптотическую формулу для числа решений, из которой следуют
неравенства ' ,
Литература
I. Хуа Ло-ген. Аддитивная теория простых чисел.-нТрудн мат.ин-та АН СССР*,
1947, т.22, с.179.
2"' Hid L-K. On thi пи tn les fo&iHoM if Hury’s ргеХ&/ь.-
'ЛсАл SiLvitld $4.и‘С4^ 19-У2., v.?p|? I* 76.
13
АКСИОМА ВЫБОРА В ПРОСТОЙ ТЕОРИИ ТИПОВ
А.М.Якубович
В £11 Гвдвль ввел аксиоматическую систему для теории множеств ZL и
финитно доказал, что если £. непротиворечива, то £+ АС непротиворечива.
Там же Гедель показал, что этот результат распространяется на систему Цермело
- Френкеля ZF , Естественно рассмотреть этот вопрос для другой аксиомати-
ческой системы теории множеств - теории типов (см. ££] ). Как показано в /3.7 »
теории типов с аксиомой выбора достаточно для формализации больней части
математики.
В настоящей работе финитно доказывается совместимость аксиомы выбора с
аксиомами простой теории типов ТТ . Через АСл. обозначим формулу языка
ТТ , утверждающую существование функций выбора для/любого семейства непустых
множеств слоя п, .
Теорема I. Если ТТ непротиворечива, то при л ^2 теория 'ТТ+АСл,
непротиворечива.
Для доказательства теоремы I рассматривается теория Т в языке Z F
(см./*2^), получающаяся из ZF отбрасыванием аксиомы степени и добавлением .
следующих аксиом.
Г/, Уху
Г£л. 3 !Рл((А)); для юЗ, *
где и) - натуральный ряд, Г , а ?(&)- множество - степень множества Z .
Теория Гк получается из Г отбрасыванием аксиом Л?* при . Теорема I
вытекает из следующих теорем .
Теорема 2. Ерли ТТ непротиворечива, то для любого , Гк
непротиворечива.
Теорема 3. Если Г непротиворечива, то Л14С непротиворечива.
Теорема 4. Если Г+АС непротиворечива, то для любого />->7 ТТ+АСл,
непротиворечива.
Каждая из теорем 2,3,4 доказывается построением интерпретации первой
на рассматриваемых в ней теорий во второй.
Литература
I. Гедель К. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум - гипотезы
с аксиомами теории множеств .-ЯШ, 1948, № 3, с.96-149«
2» Ван Хае, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории множеств.-И.:ИЛ,
1966. .
3. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств.- М.Шир,1966.
14
СЕКЦИЯ ГЕОМЕТРИИ И ТОПОЛОГИИ
ГИПЕРПРОСТРАНСТВА И ПРОСТРАНСТВА РАЗБИЕНИЙ КОМПАКТНЫХ ВЫПУКЛЫХ
МНОЖЕСТВ - АБСОЛЮТНЫЕ РЕТРАКТЫ
С.А.Антонян
Для любого множества X линейного нормированного пространства черев
с с (X ) обозначим гиперпространство всех непустых выпуклых подмяо»
жеств множества X, рассматриваемое в метрике Хаусдорфа /I , C.223J,
а через $(Х) обозначим пространство непрерывного разбиения простран-
ства X на непустые компактные выпуклые подмножества /Г , C.I94J.
Теорема I. Если X - выпуклое множество {открытое подмножество
выпуклого множества), то сс (X) является абЬелютиым (окрестност-
ным) ретрактом для метризуемых пространств.
Теорема 2. Если X - выпуклое множество ' открытое подмножество
выпуклого множества), те ф(X ) является абсолютным (окрестност-
ннм) ретрактом для метризуемых пространств.
Замечание. В /2/ и /'37 доказано, что если X - компактное выпуклое
множество размерности ‘dim. К ъ 2. , то сс (Р) гомеоморфно
гильбертову кубу, а СС(РП) t гомееморфно гильбертову
кубу без точкм.
Литература
I . Куратовский К.. Топология, т.1.-М.:Мир, 1966»
2 » tdadfejt, Otujtn J., Stavz&kM ХЛ Xfy»of com/iael contex Mill-
"bull. teaJ. Pol. Sei ter./Парк; Phy o' /915, MP, PPP-SP9.
3 •fladS&c.S., Quinn $•> Siw/zakap.X/. Нурен/пьМ of. eomyHut camox Sc/f£r
"bu&:Ocad. Pol. Sci., See. flote; Рщс'' 1911, ip,*, 38J-33P.
О ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЯХ, СВЯЗАННЫХ С РАЦИОНАЛЬНЫ!
ГОМОТОПИЧЕСКИ! ТИПОМ
И.К.Бабенко
Пусть % - конечный односвязный 6 й/ - комплекс,
пространство петель над X .С пространством X связан
рад • tP(2}= f г A
к ЛХ .
формальный
(I)
15,
который является инвариантом рационального гомотопического тиа X вазы-_
ваетая рядом Пуанкаре пространства петель X . Более 20 лет назад Серром/17
было высказано предположение о рациональности ряда (I), ответ ва этот вопрос
остается открытья л по сей день.
Одним из интересных примеров, для которых удается доказать рациональность
ряда (I) и даже вычислить его, являются гладкие комплексные алгебраические
проективные многообразия, являющиеся полными пересечениями неособых гиперпо-
верхностей. Пусть ) -полное /г- -мерное (п*2)
пересеченно Ъ гиперповерхностей степеней -Ai, slit в
Ku известно, вещественный гомотопический тип любого алгебраического много-
образия, как н любого келлерова; определяется кольцом когомологий. Однако,
оказывается, что полные пересечения занимают особое место среди всех алге-
браических многообразий, а именно они являются единственный представителя-
ми в множестве вещественных гомотопических типов с дннннмн когомологиями,
последнее свойство называется внутренней формальностью. Сформулируем это в
виде следующего предложения:
Предложение. Каждое V£ являпаа внутренне формальным пространством.
Существуют^однако, не внутренне формальные алгебраические многообразия.
Одним из наиболее простых примеров таких многообразий является многообразие
Уз(Ь) *СР1,
Теорема I. Ряд Пуанкаре пространства петель полного пересечения задает-
ся формулой
1Р(ъ)= / > г (2)
где /С f У») - эйлерова характеристика, и следует считать
Замечание. Здесь именно ft вычисляется пр степеням многочленов, за-
дающих Vi , Формула (2) позволяет сделать выводы о конечности ин
бесконечности числа бесконечных гомотопических групп.
Следствие. I) Если >2. , « И» имеет бесконечно
много бесконечных гомотопически групп. 2) Если / (- /itl , то все
гомотопические группы, кроме 7Гг и , конечны, а ранги двух по-
следних равны I. 3) Если , П- -чётно (случай
И, - нечетно,.no известным причинам невозможен), то
вое гомотопические группы, кроме конечны, а ран-
гн последних равны 1 .
Заметим, что в следствии рассмотрены все возможные случаи.
Литература
I . Хевге 3. Р, locale, /naltlflcCit&i.-"Lec. /УоО. i* 4957,
16
ТОЧНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ В ТЕОРИИ ШЕЙПОВ
С.А.Богатый
В сообщения излагаются общие метода получения точных последовательностей
в категории pro - фг (категории про-групп), связанных о объектом или
морфизмом категории pro - &Wo , соответствующих точным последователь-
ностям групп, связанных с пунктированным &W -комплексом или отображе-
нием пунктированных -комплексов. Б.Т.Левшенко и автор сочли целе-
сообразным выделить в чистом виде метод перенесения,результатов с категории
С Wo -пространств на категорию pro- £ Wo и доказали, что справед-
лива ' .
Теорема А« Пусть (X >2 А} &pro- CWO , а гомотопи-
ческая про-группа (£.,%)- А} эквивалентна группе Я”к
для конечного набора натуральных чисел. ШК . Тогда существует экви-
валентный спектр В} , что Як.
и лД - изоморфизм для всех Кек *
V Сформулированная теорема и классическая теорема Гуревича сразу же дают
самую сильную форму (в абсолютном случае) теоремы Гуревича для про-групп, по-
лученную К.Морита: Если при л^/г-, то и Нк(А)=&
при А П-1; Фц,:х)~* Нл (К) изоморфизм, а Фпп • %-i+f (&)"* HenU)
эпиморфизм. Теорема же Чжоу Сюе-гуана и теорема А дозво-
ляют вычислить в явном виде ядро Фп+1 : ядром является образ гомомор-
физма Понтрягина (X(XJ « При Ki 2л-2. ядро го-
моморфизма фк. эквивалентно про -группе, а при Н^2п-1
коядро Ф* эквивалентно про- Sk-л -группе, где $£ - это класс
периодических абелевых групп, порядок каждого элемента которых делится линь
да простые числа, не превышающие (к-п+3/2) . Точная последовательность
'Уайтхеда и теорема А позволяют всякому CW0 -спектру (А, 1) С 7с±1.1)=О
поставить в соответствие такие про-группы ^п. (A, i) (причем
из Як(А)=0 , где к1п-1 следует Гк.(1)^О ' при
Kiti. ) и морфизмы 1Л’> Гл(&) -» Хп,(К) 9л. ••
что последовательность -» (X>1)^
точна в категории pro- fyr а Теорема А позволяет результаты Эйленберга-
Каклейна о гомологиях я когомологиях пространств о одной нетривиальной гомо-
топической группой переносить на соответствующие спектры.
Теорема Фрейденталя л теорема А непосредственно' влекут теорему С.Унгара
о гомоморфизме надстройки 2/л '•%* ( X) * л к /2 X ) : если (А.) = О
при Ki п-1 , то Sк является изоморфизмом при к £2л-2.
И эпиморфизмом при R = 2/1-1 ; И ПОЗВОЛЯЮТ ВЫЧИСЛИТЬ ядро -^Дл-х :
ядром является образ произведения Уайтхеда Wh, Ядь-х (А),
которое переносится о пространств, на спектры практически без затруднений.
Точная последовательность X. То/да и теорема А влекут точность последователь-
на-* (*) На-Х ^-3 Ш
I
где Н это некоторое обобщение инварианта Хопфа. Даются другие приложения
теоремы А,
- 17
0Б0Б11ЕНИЯ БУРГИНА-ЯНГА
А. Ю. Воловиков
Пусть X - связное паракомпактное хаусдорфово пространство, на котором
свободно действует ц?.хличеокая группе простого порядка Д ^г':Х -* 6 е*
эквивалентное отображение (суиеотвуюмее в силу паракомпактности X ), и
Ьр - отображение, индуцированное . Пусть
/.-Л М - непрерывное отображение, А.( /) - множество всех тех
X е X . » Для которых образы орбят в М состоят яз одной точки, а
т • оЬ‘ "ъ М
Теорема. Если для некоторого п, отображение
мономорфно, отображения /*•* -> Нй(Х;^р)т^аизльва при рл
либо М - ориентируемое вед Z-p топологическое многообразие, а замы-
кание /-(X) компактно, либо И - компактное обобщённое многообразие
(также ориентируемое над Яр ), то cLiт AW * п.~т.(р -J.)-,
Следствие. Если в теореме пг* , а X -обобщённое ЛЛ -
мерное многообразно, то сЬ'льЛЮЪ'М -тХр-1)>
В случае, когда X - локально стягиваемое пространство, предположение
о компактности замыкания j (X) не существенно.
Теорема применима для пространств X , у которых‘ Нч(Х>Яр>=0
при
При. р Н-И' п в качестве следствия получается результат из /5/ ,
а.для Х=5*> р = 2. - результаты из Д-З/.
При р >2 теорема получена в/3 н 4/ в ситуации, когда X -
/верное, компактное топологнчеокое многообразие о когомологиями сферы, а
М - компактное топологнчеокое многообразие.
Литература
I. Коннер П.. Флойд э.Гладкие периодические отображения.-И."Лир, 1969.
2. Шепни Е.В. Одна Теорема о склеивании антиподев,-ДАН СССР? 1975, т.222,
4, с. 772-774.
3. 1ПилЛМт> И- У» berSiLf-Vlim, tap* fiLtorems Zp -&Ж'ом м. (modр hemo-
4. Mr G,4U/-(diZ9Zc0iU of AorSitA- 1/1лт Z. /ПлА*,
!9fOt МЗ-Щ/. ;
5. Ул/w C.T Pit, tf Aoriad-fteuH'/ Pamado-
fyso»'- "font,. MoMt- &r. p, p,
СИЛЬНА^ nOWUWjb И UVW -СВОЙСТВО
О.Кптмов
, Пуонь у » компакт, лежащий в гильбертовом кубе X , а М, - не-
хоторый клало Шф ( Х;Х0) топологических пространств, где Хо заикну-
»• > А У
’ Определение. Компакт У называется
(а) (#>) сильно Л4 -подъгс1№м,
(»’НХ М) сильно JU, -подвижнш,
ТВ
золи дм любой окрестности I/ компекта Y в Ж существует такая
окрестность (4 , что дм либо! окрестности V компакта Y в # су-
ществует такая окрестность Vo , что дм любого отобрахенм (Х,Хв)->
-*(V', Vo) > где (XtXo)b i/И , существует гомотопия 4*'Х » t/,
0$££4 , ht sf) ki(X)^V к
() A.t/x»=//xo
соответственно.
Замечакже. ( *) аильная Z"1' -подвижность представляет себе* VvWr~-
свойство, введенное Арментраутом в [l] •
Пусть Z>L-[(Biti) $*): оаап> , 5* - к -горная сфера, ограничива-
ющая -мерный нар В114J; !?л» {(0(2) -полиэдральная пара, что
ditb (P'Q )4 /1*1 j.
Лемма. Пусть Ж - некоторый класс метрюуемых пар. Если Компакт Kf*)
сильно Я -подвижен, то он также (**) сильно ЛЬ -недвижен,
Теорема. Если компакт У7*>) сильно Ел -подвижен,.то Y так-
же (**) сильно 9Л -подвижен.
Следствие I. Если Sh^SiiY и, X £ (JvW* , то ж Y^UyIV^.
Следствие 2. Если компакт Y^UVld* ♦ то Y^ShC*.
Следствие 3. Eozh компакт fc-j/yiy* и PdY^fu , то _
Ke F4V4.
Замечание. Если компакт , то Y&UVlS*.,
Литература
I S. Ykiotn/ittiiiotii and<lX$o(,u,U niighJor/uHd мЬъЖгЪиби/е ЛМа^K43t,MS.
с1
кольцо 5 -вордиаюв
О.РЛусин
В этой работе вычисляется кольцо •$ <-бордн8Мов/г|>2/Д7
Рассмотрим многообразие (3^)*^к СРп к зададим на нём свободное
('ST-дейстме.
(ti,. .
- ((itЧ/tn,
где - координаты 5/ , a t--координаты J/ , 2/ -про- .
ективные координаты. Зададим на (S*)"* х СР* действие S1
где и - целые числа, *’.• = '•
Поскольку это действие 3 1 , коммутирует на (5*)т* О’* о действием
то оно индуцирует действие S' на многообразии (S1)1* СРЛ/(^)т’,
Обозначим это многообразие , глё -С*)
Теорема I. . U4 мультипликативно, над XJ*. , порождается сле-
дующими элементами CU ЭСЬ (СР"(^ ,о,.,о) ’ (U) ЭвЦср’''С$Л,О,.-,<п) , где
О < 4. < *-•-'< ~ i-
В качестве следствия теорема I легко получить новое доказательство теоремы
Атьи - Хирцебруха о -родах. s4- ь Ч
Пусть - связная компонента множества X , Fj «2»*$.
Обозначим через 6"5 сумму весов представления в слое нормального
расслоения к . j.
Теорема 2. X- С^С С — О.
Литература
I. Коннер П., Флойд Э. Гладкие периодические отображения. - к. Шир,1969.
2. KoSH-iCWSKt С. CreneJtA.iotS е|- 'UvS- Zip *oi<Us*w . 2:".
»ш , e>A. »ч% ь/t, s.ui-uo.
3. Кусин O.P. Действие окружности на гомотопических проективных простран-
ствах. - "Матеи.заметки". 1980. т.28, Hi I, с.139-152.
О ПОЛНОЙ ИНТЕГРИРУВЙОСТИ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА НИ
НЕКОМПАКТНЫХ АЛГЕБРАХ ЛИ
В.В.Трсфимов
пт*-
Работа посвящена решению следующей задачи: на пространстве V , дуаль-
ном к алгебре Ли V построить функции fa, с«цт.ч. они фуикциональ-'
но независимы на V\ s> = £CAxmV+ u4lT) и -J-c попарно в инволюции
относительно формы Кириллова на всех орбитах АД* • В работе [I] такие
функции строились с помощью сдвигов инвариантов, однако эта процедура не
даёт полного набора функций в некомпактном случае. Пусть H(V*) - прост-
ранство аналитических функций на VT
Теорема I. Пусть в Ц (V*)выделено конечномерное подпространство
инвариантное относительно ДА* .в W заданы функции hj,»..., кц.,
т.ч.
< so ) ± к * Р'
КОвектора СД- определяются так: если , tp . базис W , тогда
k;(AA.x) - производная CJ в единице
группы; тогда утверждается, что сдвиги rt^ в инволюции на всех орбитах
Aj Cfc-tfcct) J =0' 1
20
Второй метод связан о рассмотрением фильтраций подалгебрам* в алгебре. V .
Теорема 2. Пусть есть цепочка подалгебр V К , тогда еслл У,
на К * в. инволщии на всех орбитах Л , то / в J в инво-
люции на И* , где -»#* отображение ограни-
чения; если У - инвариант V и J- подъем у ен(К*) , то /
на всех орбитах 4 У* ; если цепочка V^K такова, что => А
У полуинвариант И и подъем ^.GH(K*) , то
на всех орбитах A d * . ,
Пусть V - комплексная полупроотая алгебра Лн и В / - следуемая ве-
щественная форма борелевокой подалгебры Bds&lRti;. В* & V,
базис Н •
Теорема 3. Пусть Д - система простых корней, ЪГо - элемент группы
Вейля наибольшей длины, (У - орбита максимальной размерности представления
Ad-SvfWJ, где X/ _ односвязная группа Лн, отвечавшая В? , то
U)din, О' = icarJA} А 6 Д / (~ЫО-) 4; ^аС-].
Характеру X отвечает собственная функция представления XX* тогда и
только тогда, когда числовые отметки X инвариантны относительно автомор-
физма (- ЪА>) схемы Динкина.
Теорема 4. Пусть |/ - простая алгебра Лк типа отличного от £?> £г,
тогда в явям виде строятся полиномы на пространстве В d* в количестве,
равном половине- размерности орбиты общего положения, которые функционально
независимы и находятся в инволюции на всех орбитах Ad* . В частности, все
гамильтоновы потоки, гамильтонианы которых принадлежат построенншу семейству,
являются вполне интегрируема» в классическом смысле дннамнческнми снотшамй
'на орбитах общего положения- представления Ad*.
Литература
I. Мищенко А.С., Фоменко А.Т.-В кн.: Труда иеминара по век. и тенз.
анализу . М. :’!МГУ,вып. 19, с.3-94.
21
' - 1
СЕК11ИЯ ФУНКПИОНАЛЬНОГО анализа, теории функций и
УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО ОПЕРАТОРА
ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
Т.Г.Амангильдин !
F ' у
В данной работе решается задача о вычислении регуляризованного следа
сингулярного дифференциального оператора Птурма-Лиувилля на полуоси в случае
растущего потенциала.
Рассмотрим в L 110)0°) задачу — i
-f(z) + (рНу(Я) > у(О)=О, (I) j
где вещественная функция QJty удовлетворяет следующим условиям:
I) 7 ?
2) jto)>o при при х-*<=^ ; 1
3) z для некоторого (Z>0 J
Пусть Ац, и Ац, - спектры задач (I) и (2), где задача (2) такого хе
вида, , но с потенциалом . Пусть &(L) удовлетворяют сформули- ?
рованным выше условиям и условиям из работы £1] . Тогда справедливо следую-
щее утверждение.
Теорема . Пусть ;
a) ' при Х>8 , где 8 - некоторое поло- ;
житольноо'число:, |
<о S

Л-»Х 7
Аналогично можно получить и формулы следов более высоких, порядков.
Литература .
СЮРЪЕКТИВНЫЕ ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ПРОЕКТИВНЫХ 1Н0Г00БРАЗИЙ
Т.М.Бандман
Известно * [i] , что множество сюръективных мероморфных отображений
пространства Мойиезона X на комплексное пространство общего типа / конеч-
но. В обзоре [2.] сформулирован вопрос: существует ли оценка числа Т(Х, К)
его элементов, зависящая линь от пространства X ?
22
В докладе дается утвердительный ответ на атот вопрос в том случав,
когда X и У - неособые проективные многообразия с обильными канонически-
ми расслоениями и К у . Оценка при зтнх условиях зависит только от
характеристического «многочлена Гильберта многообразия X Для любого
- мерного многообразия X положим , где Li - первый
класс Чженя многообразия X . Через Шх обозначим такое наименьшее целое
число, что расслоение /пЛ Кц очень обильно.
Теорема. Существует такая функция cL:2*2*1 ^2 , что для любых двух
комплексных неособых неприводимых проективных многообразий Л и У с
обильными каноническими расслоениями выполняется: К*),
где ft, - dt/n X,
При <t*M'X *=2 из этой теоремы следует, что оценка числа T(X,Y)
зависит только от топологических инвариантов многообразия X
Литература.
I. ХвАшиЛе £, OcXitu Т. wfo ewtqi&vt
tnaM^tcU Mural "Invent. 3i /MS’, 7'^.
2. KoImmU $>. fuiHMit cti-iteMU, tntajas&i aud лилгеХпс
Mrj.-'M Omer. ЛиЛ,. fa' i'.X2//9X6J
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ С МЕРОЙ
А.А.Беляев
Пусть И/*/) - гильбертово пространство,, ф - самосопряженный one- -
ратор Гильберта-Шмидта в Н , Xe*T=j_OjJ Тт,Т=Н ; - гильбертово про-
странство ImT, » где (л^)/ -ортонормироваииый
базис в Му , jn - (У - аддитивная положительная мера на (Г - алгебре
борелевскйх подмножеств Н , дифференцируемая по Hi № . Л(Н) ,
пространство бесконечно дифференцируемых по Фрейе ограниченных
функций с ограниченными производными, определенных в области ,
~ подпространство пространства , состоящее из тех функций,
носитель которых ограничен в // , лежит в 6» и не пересекается^ с некоторой
£ - окрестностью 56» , и U4V&7,- пополнения 6*7^7 по нор-
мам и
замнкание Lf(6i) i /l/
Определим оператор Д равенством
а %,(&)= - Z dg. tb(z).
Можно показать, что
VibeCa'(&),
откуда следует самосопряженность Д в Lz(Lt).
Назовем решением задачи Дирихле:
(I)
если ии
Теорема. Пусть и бесконечное произве-
дение мер понимается как слабый предел мер Мц, ~П fit;,
23
X . Of , >
Тогда К 0> '/¥f (л)<1 задача Дирихле имеет и притом единственное решение.
Следствие. Если // - гауссова мера'в Н и jt((*)<i, то задача
Дирихле имеет и притом единственное решение.
Это следствие впервые было получено Н.НЛ>роловым fzj.
Литература.
I. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщенные функции и дифферен-
циальные уравнения в линейных пространствах.-В кн.: Тр.Моск.Матем.об-ва,
1971, т.24, с.133-174.
2. Фролов Н.Н. К задаче Дирихле в гильбертовом пространстве«-В кн.:Теор.веро-
ятн. и матем.стат. Межвед.научн. сб. КГУ, 1970, вып.З.
о граничных СВОЙСТВАХ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ МЕРОМОРФНЫХ
I СУБГАРМОНИЧЕвКИХ ФУНКЦИЙ
С.Л.Берберян
I, Пусть £> обозначает круг /а/<1 и Г - окружность /21-1
в комплексной плоскости. Обозначим через Ь>) неевклидову метрику в круге
‘D и . Пусть для мероморфной в ® функции
/fe) p(ff2))=lp(2)l'[+>IJ(2)lz]'-i- ~ сферическая производная и для произ-
вольного множества f в2 An(EtfhJJ((~M)FiP~l2l)lp(/(2)i)i‘ix'^p/ Z’ltty
В теории граничных свойств принято измерять множество £ на Г непрерыв-
ной икалой емкостей. Обозначим через СО,рц£ выпуклую емкость множества
Ес Г относительно последовательности , порождаемой функцией
Нс См (см^апример, /1J). Через Гц (а,!) обозначим семейство мероморф-
ных в £) функций 'таких, что для любого ,
где £L&(0i+*t>) и ; при имеем .
В статье [Z] доказана следуюцая
Теорема I. Каждая функция (0,+**) имеет конечные угловые
граничные значения всюду на Г , исключая самое больное множество точек
^е^&Ес Г » для которого с.лр^Е-0 . Эта теорема неулучиаема
в следующем сшсле.
Теорема 2. Для данных й-б(Ц+<^)ъ Рб-СО,^) найдется аналитическая
функция рб Fn(oJ) при любом Н&Сн , для которой и Пер и
j/nZ не имеют угловых пределов в каждой точке на Г .
2. Рассмотрим граничим поведение субгармонической функции и, (2) , _
удовлетворяющей условию 7!и,(г('1в)/16-0(1), . Известно /зу,
что такая функция представима в виде разности P(zJ~субгармонической
функции V(2) из класса к1 и потенциала Грина , в котором
распределение масс подчинено условию JJ .
Теорема 3. пусть Не См и число J h<t O<J<1 фиксированы, а
распределение с&(&) удовлетворяет условию
~ )
при г-*1 . Тогда в каждой точке = за возможным исключением
некоторого множества ЕсГ,арИЕ-0 , существуют &'* lt}(2)=0 , когда
Ь* и для почти всех , %) ,- в том числе и для
4*0 .
24
'Замечание. Даже рассматривая в частном случае (7<Л<1
получаем усиление соответствуюцей теоремыМ.Цудзн (см. /3/).
Литература
I. Гаврилов В.И., Захарян В.С. Об исключительных множествах подклассов меро-
мощных ^ункций^ог^аниченного вида. -Изв. АВ Арм.ССР", Математика", 1976,
2. С. Л ..Берберин.ДАН Арм.ССР", 197/,». ХП, * 4, 216-221-.
3. М. Comment math. St. Pou-Ei, у. 5, л/1., j>. 3-16.
КВАЗИКЛАССИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ'
К.Х.БоЙматов ,'
Рассмотрим в /{Л дифференциальное выражение
l№2Jr)
Предположим, что символ 27 5* удовлетворяет следующим
условиям:<
г.
для всех d+X^-0 .
В условиях 1-3 функция pft)>0 и удовлетворяет в Х’4'оценке
; число L>o , .
Предположим, что оператор
является симметрическим для всех h. &( 0,1) , тогда при сформулированных
выше условиях оператор Р£ - полуограниченный снизу. Обозначим через
где Л с Ял - открытое множество, расширение по Фридрихсу в ^(Л)
оператора « Р(', А , Я (Р^л ) » &“(&) . .
Обозначим П^^а)* t 2*aA'°f
= J ) f (а)-(27Г)~^S(A,z)dz.
lp№S)l<A .
Предположим, что J b(t,z)d,x + <P(a) <>м6(а) , где tfa) -
неубываюцая функция, C(1>A)-D(CiA)),
Через Id л (А) обозначим число собственных значений ^А оператора Р^л •
Теорема. При сформулированных выше условиях, если ,
то справедлива равномерная по h е (О/ll, А>/1 оценка вида
I * Кл Ул *tW+Klrt з(Ы z)dz+ Kh^sup (
пи,я(^)
ГД9 р,Ь),Х,РО
25
О ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ГРАНИЦЫ ШИЛОВА
ВЫПУКЛЫХ ОБЛАСТЕЙ В №
. С.Н.Бйчков
В.Рудин предположил, что топологическая размерность границы Шилова
полиномиально выпуклой замкнутой области в (Л не мввьие . Однако из
работ /1,2/ , а также /ЗУ вытекает, что гипотеза Рудина неверна. Именно,
в существует полиномиально выпуклая замкнутая область с нульмерной гра-'
вицей Шилова.
А.Г.Витункин предположил в /I/ , что после замены топологической раз-
мерности на метрическую размерность.задача Грудина может получить положитель-
ное ремение. Это предположение удалось Доказать линь для случая выпуклых
областей в С
Теорема I. Метрическая размерность границы Шилова ограниченной выпук-
лой области в (L^ ы меньне 2.
Эта теорема оказалась простым следствием теоремы 2, дающей описание
строения границы Шилова выпуклых областей в 6* в чисто геометрических тер-
минах.
Теорема 2. Дополнение границы Шилова ограниченной выпуклой области &
в состоит из таких точек, в окрестности которых граница ЭЯ) области
расслаивается на комплексные прямые. '
Теорему I можно значительно усилить, если ограничиться некоторым классом
выпуклых областей в № , содержащим многогранники.
Теорема 3. Пусть $9 - ограниченная выпуклая.область в , дополне-
ние в* границе Шилова 5f2>) которой состоит из конечного числа открытых связ-
ных компонент. Тогда хаусдорфова мера второго порядка границы Шилова
Az(S(f)))>C Г\Г , где И - объем области Я) , С - положительная,
константа, одна и та же длц всех областей.
Литература
I. Витущкии А.Г. Об одной задаче В.РудинагЙАН СССР', 1973, т.213,й I.C.I4.
2, Бычков С.Н. О топологической размерности существенной границы полино-
миальных выпуклых областей.-’Изв. АН СССР, сер.матем.*, 1976,т.4О,М2,с.46Х
5» Niytri Id.E. iHpittil Нл J, //7$ v,2Z/р- H6,
АСИМПТОТИКА ДЛЯ НАИМЕНЫШХ РАЦИОНАЛЬНЫХ УКЛОНЕНИЙ
НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ .
Н.С.Вячеславов
Пусть Л- - целое неотрицательное число, 0<р^оо , функция
определена и измерима по'Зебегу на измеримом множестве #*) **
** 0<Р^
Через LpRti Е) обозначено наименьшее
уклонение функции ^^Lp(E) от - рациональных функций степени
не выие ГЬ , именно
Слабая эквивалентность <7Л *р^, последовательностей { dn} и
означает, что <Д-У//LJ и
26
I. А) Если Л - действительное число, '0<cL<d. и- l^p^c^,
10 **&>" ‘
Б) Если dy>0 - рационально, 0<р^<а‘> , то
ЬрЫ&) LO,1])< Cl^pjit, faxpt-Wlfcr7*},
Следствие. Если d - правильная дробь и , то
Liplt», (Х.*)10,1]) * Ь2? Ыр[-Ь&ил+£'Гп7}
2. Если - любые натуральные числа, то
ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА НУЛЬМЕРНОЙ ГРУППЕ,
СУММАМИ ФУРЬЕ '
Н.В.Гуличев
Пусть X - счетная ортонормировАнная относительно меры Хаара система
характеров нульмерной компактной абелевой группы &.
Н»Я.Виленкин показал, что X 1/Хц, , где подгруппа
имеет конечный порядок 1пл ^ргрг ...р^ ( » р- ~ простое число),
и что в X можно естественным образом ввести нумерацию.
В настоящей заметке приводятся оценки уклонения функций / от их суш
Фурье в пространствах '*!/(&). Справедлива
. Теорема I. Для любой функции 6 L^lCa) существует последовательность
(1^<*п<1ЬПи) такая, что при ,
где Е^(^) - наилучшее в метрике приближение функции полино-
мами порядка не ныне и^-1 по системе X ", х
Из теореав I вытекает, что для рядов Фурье - Уолиа не выполняется аналог
теоремы КЛ.Осжолкова.
Пусть теперь 0; такова, что все /к ограничены в совокупности.
Используя оценку А.В.Ефимова можно показать, что справедлив
аналог теоремы Альянтича и Томича для косинус-рядоВ с выпуклыми коэф-
фициентами.
Теорема 2. Пусть последовательность выпукла,
а» ' -
и £ /п^) < Тогда для функции , определенной рядом по
системе Л ftt)-L t € (р.
л-0
справедлива оценка = 0(dm,.)
Из теоремы 2 вытекает<
Теорема 3. Существует функция такая, что при всех
27
к (Пл^К<М-цн) (Л‘0,1>2..)1
где L к - К -тая константа Лебега системы X , а А - абсолютная
постоянная.
ОБ ОДНОМ ЛОКАЛЬНОМ СВОЙСТВЕ СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ
М.И.Дьяченко
Рассматривается зависимость локальной гладкости сопряженной функции
от свойств исходной. Пусть h)v(ir) - строго возраставшая функция типа модуля
непрерывности, причем у
р ',
а функция- при 1*1,2... - типа К -го модуля гладкости, и существует
мостояпая Л>7 ., такая что
littr Юл (Att)
, о^-о Юл(<Г)л ' '
Образуем функцию у/М-Ю» (Юс№) .Справедливы следующие утверждения:
Теорема I. а) Пусть функция £(х)е На» , точка £-V"t7i] и
If а и>к,(т)' ПРВ ItjtjL • Пусть, кроме того,
- V(’Юо(1)) при t++D • тогда
ft.*0 * о
при 1Ц4% , где постоянная В зависит лишь от k, ЮН и.) и Юл (и,)-.
б) Для любой последовательности О при
.существует возрастающая последовательность натуральных чисел
функция f(z) , удовлетворяющая условиям пункта а), такие, что при
£-1,1. . справедливо неравенство
' о л.
Эта теорема усиливает до окончательного один результат М.Съиэб (см. [1] ).
Теорема 2. Пусть функция , точка Z6& , а функция
ЮлИ) такова, что при ie(Q,XJ . Тогда если
ПРИ i’ф>9] » 10 Ч» /ИЫГ выполняется неравенство .
О
где постоянная Т зависит только от функций 44/^7 и 44/^2
Литература
I. -^л&ли Н. IXk/ Юне ЬнаЛл 1л^гаМе. du Агим&ъ&а ^л/га>.-
ЩиЛ. /U, мл#.. hcuy‘, 19М, к Ь, pp, 42J-429.
28
ГОЛОМОРФНЫЕ ОБОЛОЧКИ НЕКОТОРЫХ ТРУБЧАТЫХ МНОЖЕСТВ
И ТЕОРЕМА С МОНОДРОМШ . '
С.М.Иваикеиич
В двумерном комплексном -пространстве (f рассмотрим трубчатую поверх-
ность fit IP , где 2)-замкнутая область в двумерном вецествеинем &3-
н Р -хрпая в № , задаваемая непрерывным отображением .
Обозначим через 0' множество /хбф .уух, ,
где 5 минимум плоиндей прямоугольников, "
содержащих А .
. Лемма. Если . ffo)- -О , то голоморфная оболочка множества
& + содержит множество //64 0) «где (л ость множест-
во из Olp, ограниченное криво* Г •
Будем говорить, что функция / голоморфна вдоль поверхности fdtiP,
если для любого ±£[0,1] f голоморфна и однозначна в окрестности множе-
ства %+iP
Теорема. Пусть голоморфна вдоль поверхности ® -ИГ, . Тогда если
и множество 0' не пусто, то f однозначна в иекетере*
окрестности множества .
Сформулированные результаты является продолжением известно* теореми
единственности Напалкова, см. [1]
Литература
I. Яалалков §.В. Об одном свойстве аналитического додолжения. -Изв.АН СССР,
Сор.матом., 1979, т.43.
2. Напалков В.В. Об одно* теореме единственности в теории функций многих
комилексных переменных и однородных уравнениях тина свертки в трубча-
тых областях С» -"Изв.АН СССР,сер.матемГ,1976, т.40,№ I, СД15-132.
ЛОКАЛЬНАЯ I ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕИМОСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИ УРАВНЕН**
М.А.Илларионов ,
В работе обсуждается связь между локальной и глобально* разреиимостьм
алгебраических уравнений над кольцом гладких функций на многообразии X •
Целы* полином р(ь)--кп-+о,1Р1'1+,..+Ль над коммутативным кольцом Л с еди-
ницей называется вполне приводимым, если суцествуют тайне ,
что pith fl (i-Л;) . Пусть £ - пучок гладких функций на
X , - множество всех целых полиномов степени л над кольцом £ (X) '
глобальных сечений, а 9at - множество всех тех ре , кои вполне
приводимы над &(Х) . Полином р& 9^. назовем локально вполне приводим!,
если для либо* точки Х6/ его росток Рх вполне приводимы над стеблом
, множество всех таких полиномов обозначим через . Отправным
пунктом послужила работа Горина и Хина /1/, в которой показано, что гло-
бальная раэрешмость в классе непрерывных функций на связном клеточном прост-
ранстве У целых сепарабельных (то ость без кратных корне* при любом зна-
чении параметра) полиномстепени Л с непрерывными на У коэффициентами
равносильна тривиальности множества ВМ)/&(л) -группа кос Артмна из
Л- нитей), и работа Тужерона [z] , в которой показано, что для гладкого
многообразия X глобальная СР* - разрекимость локально 6е*- разрешимых
уравнений вида //fcj с ненулевой в каждой точке Ze X струей
равносильна тривиальности группы • Выделим класс полиномов
9ц> с. которым будем работать. Подмножество Z сX назовем жидким, если
для любого, связного открытого 11 с X множество ll 'Z связно и всюду
29
плотно в U. . Обозначвм через (£р ккя^пппаап полинома р , а через Хр
множество точек хеХ .в которых струя t dp) нулевая. Обозная™ через
£* совокупность всех тех полиномов Ф(п,> , у которых Z.p жидкое.
Через обозная™ отмеченный элемент множества
Теорема; Существует'такое сюръективное отображение
<f: f?o <?-£!-нЧх,s<4) «-'(О.).ф>-
Сяадотме. Для того, ттобн ЛЯЙОв ПОЛЯНОЙ с ятакям множеством
Ър-[х.^К ' 3f (dp)-0j . был вполне приводим над £(Xj > необходимо
В достаточно условие тривиальности множества Н'(Х>$М)
* Аналогичный результат можно получить и для Сг - многообразий (при неко-
торое ограничениях на Ъ ). Аналитическая и непрерывная .зависшость коэф-
фициентов и Кореей полиномов рассматривались совместно с В.Я.Лином. Формули-
ровки результатов в этих случаях близки к изложенным выше.
Литература
I. Горин Е.А., Лин В.Я-. Алгебраические уравнения с непрерывными коэффи-
циентами и некоторые вопросы алгебраической теории кос .**"Мат.сборник", 1969,
т.78, вып.4,с.576-610.
2. ЛьЛом£о#а futaye. Жа*
bca# о* gtofal "йп*. Jut. Fawicr, 49%5\ у ’25',//2,рр1&-192.
ОБ АСИМПТОТИКЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ЗАДАННЫХ ДВУЧЛЕННОЙ ОПЕРАЦИЕЙ
НА ОТРЕЗКЕ
З.Каделбург
рассмотрим линейный дифференциальный оператор 2-д, - то порядка на
отрезке LO/KJ;
$1о) 3..-Ц(г*'2,)(о), • 9^
... •= ^'^(Я) -
Обозначш через 2л его собственные значения, через соответствующие
собственине функции, а через сСд соответствующие нормировочные коэффициен-
<4-/у £(a.)d%- . Пусть />(*)' спектральная функция данного опе-
ратора '• fypaafajus аятолл tuuipefan асимитети^ р(А)л/ш
А-М*. В этой работе доказано, что при надлежащем выборе нормировки функций
справедлива формула'
1st
где - дзета-функция Римана.
Таки образом, если Р; (л) -г спектральные функции двух операторов
типа (l), отвечающих разным потенциалам ) , то справедливо
асимптотическое-равенство ,
30
. Показано также, что даже в случае Л=У формула (2) может не
иметь места при другой нормировке собственных функций.
ОБРАЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МЕЙЕРА
А.Н.Канатников .
, Пусть обозначает хорду единичного круга 0 , оканчивающую-
ся в точке $ и образующую с радиусом в этой точке угол ,
а обозначает угол, образованный хордами Arfr.J,) , Ы&А) •
Через обозначим предельное множество функции f по множеству
ЗсЧ) , в точке т^бГ! , являющейся предельной для S,
т.е. множество (У • причем значения функции
рассматриваются на сфере Римана Л . Отнесем точку к множеству
> если для любой хорды
'и ко множеству !({-) , если $,& №Я. любого угла Д. .
Если предельное множество функции в точке Г по любому углу
, ft>) aovKiKt из единственного значения, то точку % отнесем к мно-
жеству ^7/9 . К, Мейер доказал (см. [т , с.20^), что для любой меро-
морфной в х) функции имеет место разложение
• где £ - I категории. Теорема Мейера, так’же как и теорема Плеснера, утвержу
дающая, что r~ffy)uI([)UE , mu Е-0 для любой мероморфной в Ъ
O^eosaa. Z , является одной из основных в теории придельных множеств.
В докладе приводится уточнение теоремы Мейера, устанавливающее тип
исключительного множества £ в условии теоремы, и полное обряжение ей,
дающее необходимые и достаточные условия для того, чтобы разбиению Г^иЕ^иЕз
соответствовала функция , для которой М^}^Е/) I(^)-Ez.
Дается также частичное обращение теонемы Плеснера. Все упомянутые результата
опубликованы (см. [2] ).
Литература
I. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория.предельных множеств.- М.:Мир, 1971,
2. Канатников А.Н. Обращение теоремы Мейера для мероморфных функций. -
ЩН СССР*, 1978, т.238, Й 5, с. 1045-1046.
ОБ УГЛОВЫХ ПРЕДЕЛАХ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОПИ
0. В. Колесников
Недавно А.Кальдерон доказал, что интеграл типа Коми вдоль .'спрямляемой
кривой L от суммируемой функции имеет почти всюду на Z* конечные угло-
вые пределы. В ряде случаев, когда А - гладкая кривая, a ft имеет конечную
_ ф - вариацию на Z» , результат Кальдерона может быть существенно уточнен.
Ниже Ф(и) - выпуклая, неотрицательная.и непрерывная при и.>0 функция,
<Р(о)~О , Ф(и.)/и--*о прд#-»о и при и,
непрерывная.функция неотрицательна и убывает при и>о , К(0+) = ~°\
Zj - гладкая кривая на комплексной плоскости (L1;
~zk ^2 ~ интеграл типа Ковш от функции
/ ; £7/, L) - множество всех точек 2 € Д , в которых Т7/?,р) не имеет
конечного углового предела хотя бы с одной стороны 2j .
31
Теорема I. Если J 4>, то £/^,Д} имеет, нулевую 1
емкость относительно ядра fap(E(fi&)iX-)-O- |
Теорема 2. Если Д ~{bflil9l) ,» i &^Ф(и)с1^>~<^ (т.е. j
ф - оалемовского типа), то £Г/М) жмеетиулевую метрическую (хяусдорфо-
ву размермоств. С другой сторожи, если $ , то сумеет-
вует функция £(а) о конечной ф - вариацией иа L , для которой £//»£/ ;
имеет метрическую размерность £
Теорема 3. Пусть Д - окружность, ф(ь)*и/, р>1. .Тогда
дай камкой функции К(и,)-(Вп+-Ь.)^ при 0>/° .
С другой сторона, при каждом р>1 существует функции (-(ъ} , удовжет-
воряжщм условиям этой теореми, дли которой
для любого ядра при ф<р .
Теорема 4. Если - произвольная функция на Ь (в частности,
если f имеет конечное полное изменение на Д ), то Iz(pL) имеет жрле-
жую гармоническую (логарифмическую) емкость.
О ВЗАИМОСВЯЗИ НВКОТОКК МАССОВ ФУНКЦИИ
в. йакович
... ..... . . г
Пусть ^)гс>еН6уикция, измеримая на квадрате J<p<&* ,
0<9<а° . Через ЯВ(р^,Л) обозначим класс 2ЯГ периодических функций
fanlJeLp , таких, что л) f /;
t)
Через SW*SW(p,(fyL) обозиачва класс функций j-(2,,Xs,)e Lf таких, что
JL£<A* коэффициента Фурье функции f(xbxz)
, /*У*Х
*т /Йм2 . , - <<У*Х
осп рад Фурье некоторой функции 1л. .
Результаты работа заключаются в следующем:
I. Если А •/мл 11,,, то $У(р,е,^с$В(рр4)-$В.
2. Если 0<^(пи(1,р^Л , то $8(р,Ы)с$Щр,Ы).
3. Если р^2, 14, Л<9<А , то SBASW Ф Ф и суцествуёт
/eStf'S)/ и
4. Если М = Д^^ /*zf I О, iО),
то класса И П5В(р,р лк, я М^Sh/(p,p,^} совпадают.
6. во» z . (^Lf, f-Sf c„^ as z
M800B £лзвn. £ n SWtpfZ-.A)
, то
совпадают.
МУЛЬТИПЛИКАТОРА ФУНКЦИЙ ЛИПШИЦА
Г.Д.Лёвшина
Пусть Af - множество голоморфных в единичном круге 2); I2l<£ Функций,
непрерывных в его замыкании ф :'/и| <1 и удовлетворяющих условие Липшица
UrZil+Oj в котором №)е<Р, t>0
и удовлетворяет условиям (Z.) в (Z,) , рассмотренным в /l, с.49^.
Функцию I е Л у отнесем к множеству , если = O(^(d~IH)) ,
1*1 +1 - - z
Обозначим через Л множество голоморфных в ® функций, удовлетворя-
ющих интегральному условию Липшица
Иг^°, iz ^6, Oit<l 0 (Pfa-Zj).),
При изучении мультипликаторов пространств Липшица основную роль играют
пространства голоморфных в 5D Функций, для которых
Голоморфную в Я) Ъфяквхп отождествим с последовательностью ев коэффи-
пиентов Тейлора. Если Я и £> - пространства последовательностей, то сово-
купность всех коэффициентных мультипликаторов из Я- в обозначим (Я, А) ;
сопряженное пространство Л по Абелю обозначают &л' , а сопряженное по Квте
- Л* (см. /2_7). Прострвмство Я называют нормальным, если (А,А) ,
Последовательность {й-л}^ отнесем к классу (p,fy) , р,^е^^ ,
если последовательность {v принадлежит . (Опреде-
ление tlpify) см. в/*2/’). Основные результаты работы заключаются в следую-
щих утверждениях. ,
Теорема!. = ’.Лу, (А?) ''рг
Теорема 2. Пусть X" ~ нормальное пространство ж X . ’^огда ,
(JL'PjJC) *’ (dL<f,JC J • . j/mt
Следствие 2.-^9*” > А </ -А*,
Следствие 3. X/ не является нормальным пространством.
Литература
I. Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие - приближения и дифференциальные свойства
двух сопряженных функций. -"Труды Моск.Матем.об-ва", 1956, т,5. с.483-521.
2. J.H., Skiers A.L.-Tzaus. (faez, 5бсл, ^76. v. 224,
aZ 9 О Д’ - О A 4 - J
n МЕРЕ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА В ОБЛАСТИ
ГИЛЬБЕРТОВА ПРОСТРАНСТВА
А.А.Лобузов
Пусть дано вещественное сепарабельное гильбертово пространство,
(Н, , А: Н Н самосопряженный инъективный ядерный опера-
33
тор с положительными собственники значениями. Рассмотрим пространство Фрейе
$) (бесконечно дифференцируемых Функций <на /-/ ° носителями в
•'M-sl] • И® которых следующие нормы конечны:
Л* v
Обозначим ЧУМ - сопряженное к Ъ(Ц)> <-,*> -
отношение двойственности_между ними, М(Н) - пространство вещественных
мер на F - кольце # (Н) ограниченных борелевских подмножеств Н
Очевидно &'(НУ=>Н(Н) . Оператор ДА - Ъ(Н)^Ъ(н\
(Длу)&)~ Ь^ЬАЬЧМ] непрерывен, сопряжен-
ный к нему оператор в Ч)'(Н) , который обозначается также , назы-
вается оператором Лапласа для обобщенных мер на Н
Пусть дана открытая ограниченная область И сН ,
Vc^'bhV) V^'ixeV:p(x^V)<d}>
Теорема. Для любой положительной меры yj с ограниченной вариацией с
носителем в V существует наименьшая положительная мера П(Н)9
удовлетворяющая следующим условиям: у
а) }1?е=0 . r.9. ^(COVC)=0 VCe£(H),
б) 4 V,тв. №ЫН)‘3#>0: iufflfcVf
Замечание. При ju~(fz, X&V поручим меру Трина для области с
полюсом х. . ' • '
Литература
I. Бенткус В.Ю., 0 фундаментальном ренении бесконечномерного интегрирован-
ного оператора Лапласа .-Литов, матем. об., 1977, т.17,> 4, с. 6-20.
2. Crra^iL. РоШЛсаУ, ЖцОгу в* И< fieri afar?. Faw.
1967, * 1,^12^-181. .
АСИИТОТИКА РЕШЕНИЙ ВОЛНОВЫХ УВАЖЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ
ВБЛИЗИ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
А. А.Локшин
Рассмотрим уравнение
' (1)
известное как уравнение колебаний наследственно-упругого стержня. Здесь Ш*)-
ЯДро релаксации. Ядро ползучести Ф(4г) определяется по формуле
) ( * обозначает свертку по dt от нуля
до t ). Введем вспомогательную функцию WtJ такую, что
• Пусть V(trJ>O ; 1Ю=О при
2) VU) монотонно убывает при t>0 и вогнута, 3) У It) имеет интегрируе-
мую особенность при при +
При этих условиях уравнение (I) имеет единственное решение tb(!/£), при-
надлежащее пространству 5 ' обобщенных функций медленного роста, обращаю-
щееся в нуль при Ь < /х/ . в случае, когда У О) (или, что то же самое,
ф(Ь)) имеет при t~O особенность более сильную, чем реше-
31
иже вбжизж фронта Z^O . В случае, когда V/62
имеет особмность логарифмического типа при t=O » решение имеет степенную
особенность вблизи фронта, которая сглаживается по мере удаления от начала
координат. Рассмотрим, наконец, наименее простой случай/когда особенность
//^7 при Ь-0 слабее логарифмической.
при t*>0 , при
малых ^>0 • 6) функция Ь W'lt) монотонна при малых Ь>0 ,; 7) функ-
ция 2смонотонно возрастает при t>0 (Хо>О)
Теорема. Пусть выполнены условия 1)-7). Тогда при !Х.КХо
Izji-O решение уравнения (I) представимо в виде
Доказательство этой теохремы основано на сравнении результатов вещественного
и комплексного обращений преобразования Фурье-Лапласа.
I
/
О МНОЖЕСТВАХ РАСХОДИМОСТИ РЯДОВ ПО СИСТЕМЕ УОЛША .
С. Ю. Лукашенко
/
Известно, что множество расходимости последовательности непрерывных
функций на метрическом пространстве (М,р) имеет тип Grfr . Справедливо
и обратное утверждение; для любого множества типа (г fr метрического про-
странства ( М,р) можно построить последовательность непрерывных функций,
у такую, что данное множество есть множество расходимости этой последователь-
ности.
Рассмотрим метрическое пространство ( Ср, р) , где б» - двоичная груп-
па с операцией + и р (%/%)— • Ортонормированная система Уолша будет
системой непрерывных на функций. Для (0>,р) справедливы теоремы:
Теорема!. Существует множество Е с 6 , , / £ / >0 такое, что
£ не является множеством расходимости никакого ряда по системе Уолша.
Теорема 2. а)* Если коэффициенты ряда по системе Уолша стремятся к нулю,
то из выполнения условия
всюду на (л , за исключением не более чем счетного множества, следует, что
множество расходимости Р этого ряда нигде не плотно на & в смысле меры,
т.е. для любого интервала Io с G, , £0 Фр , существует подинтервал 1^0 ,
такой, 4jo IF/l hl-О',
б) длл Z, , где Ул(^) - IV - я функция системы Уолша, выполняет-
ся условие (3) всюду на t но 8Т09 рад расходится всюду на &
Отметим, что из принципа локализации для системы Уолша я теоремы 2
следует, что множество ограниченной расходимости ряда по системе Уолша с коэф-
фициентами, стремящимися к нулю,не может содержать непустого интервала. Т.к.
ряд по системе Уолша с коэффициентами, не стремящимися к нулю, расходится
всюду на Си , то получаем, что класс множеств расходимости рядов по систе-
ме Уолша является собственным подклассом класса Сп ftr .
Теорема 3. Для любого-$. О^О<1 существует /(z)g L(Gt).,
т.ч. для частичных сумм ей ряда Фурье-Уолша условие
выполняется всюду на Сг , но мера множества расходимости /г)\
больше . а'°
35
ОБОБЩЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ СЛАБОГО ТИПА
Т.П.Лукашенко
В современной теории функций распространены неравенства слабого типа
для суммируемых функций. Наиболее известными из них являются неравенства
Колмогорова для сопряженной функции и преобразования Гильберта и оценка Харди
-Литтлвуда для введенной ими максимальной функции. Автор обобщил эти нера-
венства на функции, интегрируемые по Данжуа. Получены оценки следующего типа:
ПХ’бт: npyz/ijp —«"jf-
где fP - замкнутое множество с системой дополнительных интервалов
(О (j£’, (К, к)) - колебание неопределенного интеграла Данжуа на
• а М “ одна 18 следуВДП мажарант: максимальная функция типа
Харди-Литтлвуда ‘ , мажоранта оператора сопряжения .
jp. ///] J9 I —
iu,b - it I • мажоранта оператора сопряжения »
w f(t,z) - среднее Абеля -Пуассона рада, сопряженного к ряду Фурье f-
/мажоранта преобразования Гильберта щ I- pfy)]
. OifiC I Л f
мажоранта преобразования Гильберта
х £>fao I 31 £ £ о
Показано также, что если в оценке выражение справа конечно, то
l{ztrP: Я -» для любой из указанных мажорант.
Приведенные результаты в основном применимы к функциям, интегрируемым
в смысле узкого интеграла Данжуа, ибо у них для любого замкнутого множества
Р найдется порция Р , что .ли
1(*Ы/ - дополнительные интервалы порции tf-P .
ИЗОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ. С СУММИРУЕМОЙ ПРОИЗВОДНОЙ
X.Майер
Обозначим через I замкнутый отрезок [О;!] , а через ХД f
банахово пространство функций на Т , производная жоторых принадлежит Z ,
с нормой Н/'Ы/Ъ» + WHf , где II ♦ lip - обычная L? - норма. В работе
[l J описаны изометрии этих пространств на себя в случаях p-l и р .
Там же ставится вопрос об общем виде изометрий в случае, когда 1<р <&“ ,
на который мн даем здесь ответ.
Теорема. Любая изометрия 7* пространства , 1<р< &*=> , на себя
записывается либо как (Tp)(i)=d tel , либо как
(Tfllthd/p-t), Ь*1 , гае d. - постоянная, равная модулю единица.
Для доказательства отыскиваем компакт X ~ и изометричевкий изоморфизм
Ц на некоторое подпространство Z/ С (ti*) • Изометрии zf ивдуцируотся
гомеоморфизмом границы Шоке пространства Ц ' . Как отмечают авторы-/l] ,
основная трудность состоит в описании границы Шоке. Учитывая это, мы вместо
всей границы рассмотрим её подмножество - точки пика. В рассматриваемом нами
случае X метризуемо, так что точки пика плотны в границе Шоке ( [2 , с.5^).
Такой же прием был использован в работе / зу , где рассматривались прост-
ранства аналитических функций.
Литература
I-ftao#Z, UomitHHid jome faction, tya&rPtUifa T
3R
2. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. - М.:Мир, 1967.
3. Майер I. изометрии в банаховых пространствах функций аналитических
в круге и гладких вплоть до границы .-Вестник Моск.ун-та,Сер.I. Математик:
и механика", 1979, It 2, с.37-41.
ОБ АНАЛИТИЧНОСТИ ПО ЧАСТЯМ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЙ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Н.О.Максимова
Пусть (2,^,1) &
Рассмотрим уравнение

U А Я'”*3
4
ДОжп, что jtUft),
) &Л+3
принадлежат классу D3(V) являются аналитическими функциями но совекуп-
ности переменных Л/, в некоторой окрестности V' начала коор-
динат в J
где 'Ь-МйЖ/'О , - натуральные числа, i-4, .>•> М-+2 ,
пусть , 4-/,>п+1 f /О,0,С>)
’если = , то ’в
Основным результатом работы является следующее утверждение:
Теорема» Любое решение уравнения (I) является аналитической функцией
по совокупности переменных X/ , и- ' , в некоторой окрестнос-
ти V, начала координат. Эта теорема доказывается о помощью видоизмененного
метода Морри-Ниренберга и теорем вложения Соболева.
О НЕПРЕИПЗНОСТИ И ПОЛУНЕПРЕРЫЕНОСТИ СВЕРХУ ОТОБРАЖЕНИЙ,
ПОРОЖДЕННЫХ ПРЕДЕЛЬНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
Н.Б.Малышева
I. Пусть Л - топологическое, пространство с I аксивиой счетности, S -
компактное метрическое пространство, if - метрическое пространство всех
HQiycTHx замкнутых подмножеств пространства $ . Для произвольной функции
и точки 0,6 А определим предельное множество ,
где И,(а.) - совокупность всех окрестностей точки О- в пространств^ А .
функция.-^ порождает отображение С> (-ff‘)А 2^ > ставящее в соответ-
ствие точкам (L ё- А предельное множество С(/ е. . .
37
- топологические пространства с
. Обозначим
и рассмотрим отображение
Теорема I. Для произвольной функции ^'А & отображение
полунепрерывно сверху всццу на А и непрерывно на остаточном множестве
типа на А .
2. Рассмотрим произвольное подмножество с А и функцию —
В граничной точке определим предельное множество В(/>р)-Х} 4(^2). .
/ ' st > о £ v u.ca<?J
fbjwafx. f порождает отображение Clfr^PvTO-* 2 <.
Теорема 2. Для произвольной функции ^. 0-* / отображение
полунепрерывно сверху всццу на и непрерывно на остаточном множестве
типа G>f на 00 .
3. Цусть XsX*K . где X и К
I аксиомой счетности, ^:Х*В-*$ , BCY
.™ МмИ
£Sf ставящее в соответствие каждой точке Z ^Х^,^*{иХ!(Х^)бХ‘У^,
множество _
Теорема 3. Для произвольной функции $-!Х»8+8 и каждой точки улВ
отображение полунепрерывно сверху на некотором остаточном
множестве типа Q,j- в Ху .
Эта теорема получается ив результатов работы [1] и теоремы I.
4. Можно построить примеры, показывающие неулучшаемость утверждений
теорем 1,2,3. В частности, неулучшаемость теоремы 2 в классе аналитических
функций доказана в
Литература
I. Мирзоян М.М. Некоторые теоремы предельных множеств в топологических
пространотвах.—*ЦАН СССР*, 1978, т.243, * I, с.37-40.
2. brown, Z., ОмИСе A.U) V BouMd&ry Аманеаг fcnr
fiMtiiowi Sc/inut iii Ш
ОСОБЕННОСТИ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ
УРАЕЕЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В ОБЛАСТЯХ С НЕГЛАДКОЙ ГРАНИЦЕЙ
И.И.Мельников
Изучается уравнение гиперболического типа
где 94^(1;,^^(CiT)t QT*JL*Lo(Tll ЛеК*’ . Граница 0-2 области JL
. является кусочно-гладкой поверхностью, состоящей из двух (П-1) - мерных
класса СХ* поверхностей *Дс>£> t пересекающихся вдоль(п-2),- мер-
ного класса С** многообразия . Пусть &t~to*[O,T] . нас интересуют
обобщенные решения смешанных задач (1)-(2Я)), (i)-(M)) (i)~ (2с) для уравнения
(I), удовлетворявшие одному из следующих однородных начальных и граничных
условий:
£4/ U.L п-0,
Its о t it = о >
Щьо - ~О/
^it-0 - ,
|^7?(2г =^,ч (А'Н)
и 1%о.т^ (&)
38
Пусть U/*{G?) - пространство функций с нормой
тян р (Z,t) - ^якаяя., совпадающая в некоторой окрестности So с 1(1, Со) .
Предположим, что поверхности 2z6?r в точке Р^$г> пересекаются
под углом f(P)&Cat>. В точке Ре So приведем уравнение £ Ьд'(Р)и*,*;~О
. 4<гг-/
к каноническому виду. После приведения угол Х(Р) перейдет в другой угол
Ш(Р)еС°° . Требуется всегда, что либо СО(Р)*ЯС , либо й)(Р)^Я .
Теорема I. Пусть j-t с U*($), £=О в некоторой окрестности множе-
ства xe-ajaj , ц+1* ( fry О целое). Для различных пар ,
(МъЪ,) * <,?*О целые) таких, что ?!*£. t-st ~*-l<0 , требуется,
чтобы Ъа^-t-S» • Тогда решения задач и^-^л^представ-
О/ * Сл) ‘ Г
ляются в виде
где tn.yo , S>0 , ty>0. , p^d. целые; ®(Ы) - бесконечно дифферен-
цируемая функция, равная i в некоторой окрестности многообразия So я нулю
вне большей окрестности; KZ) - расстояние от точки J? до многообразия 4>
для фиксированного Ь. ; функции V(z,£)ek/eMfGlrJ9
причем
где Со зависит только от области QT . ^ч-$-к-л<01 Q
P(m,,S),Km,o)-l,QM=P. fywsxqa не зависящие от реве-
ли бесконечно дифференцируемые функции полярного угла в двумерной системе ,
координат, имеющей центр в произвольной точке, принадлежащей S„ .
Qm,,w>p(%it) также бесконечно дифференцируемы по направлениям, каса-
тельным к $„ . .
Теорема такого же типа имеет место для задачи (L)-(lc) .
АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ ПРИ t ПЕРВОЙ
СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Ф.Х.Мукминов
Для неограниченной области J2 с Рл. ищутся такие ев геометрические ха-
рактеристики, которые определяют скорость стремления к нулю при ЬТ<*° рене-
ния илЬ, %) следующей задачи:
“'Iir0' (2)
Пусть носитель функции хяяях в шаре {/Zl<1o} и *(,(() ж - *
функции, обратные соответственно функциям Ф(ч,)^
где fl(t) - первое собственное значение оператора Л в области
, тогда при самых общих условиях на поведение функции
для всех „ х t JL выполнено неравенство
/о, (t, x)l е cz (i^)up(-ci(ttM(wnt)llHLz. . (3)
39
В случае, когда Л(е,ь)яЕ , где С - единичная матраца, справедливо
более сальное неравенство iu,(tiz)i<cl/e^(-C5-2(pW)i)llVlt^-
ДдЯ широкого класса Н облаете! J2 опенка (4) точна в том смысле, -
что существует такая функция Wz) , Juppltyc JZt? . что Д«я ®сех
zeJL,
где u-(tiZ) - ременке задачи (I), (2) при Al^zi^E.
В частности, классу А/ принадлежит выпуклые области, имеющие вид
JZ^[z^(Abx'),’lx-'l<^i)/ td>o) , где функция удовлетворяет
некоторому уоловп регулярности поведения прк Ь t . При ,
<L<L оценки (з) и (4) дают одинаковый порядок убывания ezp(~£ &)
Коли » 10 порядок убывания равен t , причем опенка
(3) »атом случае не точна.
Для каждой регулярно! функции £(г) построена пара'облаете! и
такая, что <2 .причем
оценка (4) в области точка, а в области Лк можно получить сущест-
венно более сильную оценку. Следовательно, получить более сильную чем (4)
оценку только в терминах функции Щ) нельзя и эта функция не для вся-
ко! области определяет скорость убивания.
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
ОТНОСИТЕЛЬНО ФУНКЦИЙ НА БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ '
Н.В.Нории
/
На абстрактном вперовоком- пространстве В (необьясненине обозначе-
ния и понятия ом. в [1] ) рассмотрим тепловое движение (Z,f) + W(S)^ (£,*)+
+ (№),$) ,щде 6d_. . в дальнейшем V будет обозначать открытое
множестве в В/ , а £>(SP- 3 ~ алгебру его борелевских подмножеств. Для
функции обозначим через я ев производные
йреие по подпространствам В и Н \ /2 Jсоответственней, а 2^ - ев
производную по . пусть S(VlA1)/Sf(ViK1)/ -множество функций
R* .таких,что существуют и ограничены /н , <2^ , отображение
^*;/-*и?/4^нвпрернвио (равномерно непрерывно) в слабо! операторной
топологии, Sh непрерывна (равномерно непрерывна). Если Ге$>(Вл) , то
. ...
Предложение I. Тепловое движение - строго марковское семейство с
фазою» пространством Bi .однородной переходной функцией
• р$ (х, fs+i) непрерывными траекториями. Соответствующая полугруппа
операторов Р5 сильно непрерывна и сжимающая на банаховом пространстве
ограниченных разномерно непрерывных функций / / .
Предложение 2. Пусть А,1) . Тогда лежит в области опре-
деления инфинитезимального оператора полугруппы Р$ и
fa £ LPs(w - №)J = .
• пусть Ъг (ш)-*
Точка X 6 3 / регулярна, если =<?)=/• Множество V строго регулярно
в точке (tbit) ё ЪУ , если существует замкнуты! выпуклы! заостренны! конус К
в бх с вершиной lXt-t) такой, что /</))/=^/<и имеют непустую
внутренность в £/ И в соответственно. Пусть • уд
40
Положи* Ti£(b))=inl-[s>0:x^h/(S)(6))^Vi.(x)) . Измеримая
функция Л; У-»ЯХ лежит в области определения характеристического операто-
ра L теплового движения, воли предел Ь'ри
сумвствует для каждой точки V . Тогда L f-(i) равен этому пределу по ’
определению.
Теорема. Пусть Ус таково, что сунествуют
иерегулярмне точки ?У лежат в точки замыкания dVW'faA))
строго регулярны; ограниченная функция, непрерывная в регулярных
точках 3 k; и^Ы-ЕСЧ(£*%(?£))] . Тогда функция и, непрерывна в
V-fcm. , где £edV регулярная точка, и Lu-0 4V~.
Предложение 3. Если U.&S (ЦО*) • *о сумвствует Ьч , £){/ - ядер-
ный оператор и Luj(i) = замечание 3./).
Литература.
I. Отгон L. Potuitial, d,tor^ ок. /раи.г'^,Ей^£. р./23-&/.
2. Авербух В.И., Смолянов О.Г. Дифференцирование в линейннх топологических
пространствах.- "ДАВ СССР", 1967, 173, * 4, с.735-738.
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ МНОГОЧЛЕНОВ
В.И.Парусников
Показывается, что для произвольного многочлена Тл(х-) • степени /v
со старшим коэффициентом, равным единице, слрЖршЛо
у *7* ((mi*) > Г
(2Тк)^ * Ъ(Цл+б)1 (Чп + 3)/J
данное неравенство неулучмаемо: сунествуют многочлены Рк.(%), на которых
достигается равенство. Эти многочлены образуют ортогональную систему относи-
тельно дискретной меры ft , сосредоточенной на последовательности точек
Явный вид этих многочленов следущий:
п , \ t 12тп~^ !_______(_*.}£•
Рп(х)^(-1) (1л-ийУ.(Н^! '
В работе используется аппарат аппроксимаций Паде/Эу.
Литература
I. Ахиезер н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы, связан-
ные с нею. - и.: Физматгиз, 1961.
2. Рельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. - М.: Наука, 1967.
3. Натансон Н.П. Конструктивная теория функций.? И.-Л.; Гос.издательство
.технико-теоретической литературы, 1949.
41
В.Н.Порошенко
Пусть целое £ фиксировано, Р^ - множество действительных
алгебраических многочленов степени не выше чем it ; М(п.)~ ,
Х^ ~ СМ - корни многочлена Чебышева второго рода Л- - й
степени; Ф(2е’)/Хо& I' I'-MJ - класс интегрируемых по Лебегу функ-
ций на отрезке I , имеющих только одну точку разрыва Ze, Р^(-р)
множество многочленов из Рц. , доставляющих наклучшее приближение в мет-
рике L для функции ф (1о ) ; для некоторого d.6 )
зададим многочлен р(ХЛ)^ Рь. так: .если
(при Л, -О это условие нужно опустить ) и
, если Z-Zo . кзррол [1.] доказал, что если
$ Щп.+1) • то функция -l(z) имеет единственный многочлен наи-
лучюего приближения в метрике ц из Рц. . Оказывается, что множество
P(ntL) в теореме Кэррола уменьшить нельзя.
Теорема !. Если точка Хо &-tf(H-+L) , то функция £(z) - (Х~&)
имеет несколько многочленов наилучшего приближения л. £ Рц (f) • Множест-
«> OJ» и. рои) • тав отрезок , _ТГ_ 1
а величина наилучшего приближения <—
Теорема Iz. При четном ГЪ~\О функция х} имеет
несколько многочленов нажлучшеюо приближения из , прячем
При нечетном h, эта функция име^т единственный многочлен наилуч-
вего приближения из Рц . Этим многочленом является тот полином из
Рщ-i (f) • который обращается в нуль в начале координат.
Порядки наилучших приближений имеют вид \ 4 .
>
где iL пробегает все четные натуральные числа.
Литература
I. Н.Р». U cU'tu>^uX>ui £ине&<ш ип'Я.
шШ/аШсОИг ceuifrtU'btf'- ‘У /иаЛ. ОЫ.ймГ
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ РАЗЛОЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ
ФУНКЦИЙ В ЦЕПНЫЕ ДРОБИ
А.-Р.К.Рамазанов
I. Для каждой однозначной аналитической в окрестности точки 2 = 1
ветви каждой функции ±Y , существует цепная
дробь вида А* + •.. ±... (
61 ЪЛ бла-i-z
не зависят от £ ), сходящаяся в некоторой окрестности точки Z=d.
к этой ветви. Для каждой ветви такая цепная дробь сходится равномерно на
каждом компакте, не имеющем общих точек с лучом - Тс . На замкнутом
42
круге дм подходящи дробей К - го порядка
указанных ветвей справедливы неравенства
&,Ш(п +1)^4 шах, [11^-1к(2>^)11(,(о)^СгШ(л.н)~^
tj»' и ’ CZU) положительны и не зависят от Л = 4Л--’ ;
tc-2n,Zhtd. Ch.-Ol±^> )
2. Пусть 'tt.fXjS? - подходящая дробь порядка К-0,1,... цепной
дроби S вдда $ ~ Xg /• + -f ... Aotiifii - действитель-
ные числа). Существует такая цепная дробь S указанного вида, что
IH’r-W%;s)//CW(ij^C^_jrt/^-; , .где. ц-2л, z/n±
it* зависит от /6 .
дробь 5 J интерполирует Йс1 в U+1 точках отрезка L0til .
Узлы интерполирования последовательности $)} ов&вут линейную
таблицу. Заметим, что, как показал Н.С.Вячеславов, последовательность наи-
меньшие равномерных уклонений функции (НО на £ 0,1J от все! рациональ-
ных функций степени < Л- слабо эквивалентна последовательности
{ tZf> (-Л l®b)J . При этом рациональная функция нажлучвего
- приближения Ъц-tZ) степени 4 Л' интерполирует |£Ё7 в 2Л+1 точках
отрезка LO/iJ , но таблица узлов получается не линейной, как выше, а,
треугольной. Если таблицу узлов брать не просто линейной, а монотонной, то
приближение ухудшается очень резко. Именно, пусть
невозрастахцая последовательность неотрицательных чисел, RnJ%;4)
рациональная функция степени 4 Л- (п. = о, I,...) , интерполирующая
в точках . Тогда
м// iim, (in+d)& Ц(х^~ &п.(%'Л)Н£[#,£]J
Если последовательность неотрицательна н не убывает, то
Ж - U (ъ£)Цс LOill > С,(4)/^}
где &(() > О и не зависит от Л- - X» ф> • - • .
О СОВПАДЕНИИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
Е.В.Ржавинская
Будем говорить,что функция - типа НН , если 77^ неотрица-
тельна и непрерывна на £ 0,1], Wt) ФО .. существует не зависящая от 26,
1Г и Ю постоянная С такая, что как только О & и- £=. tr L так,
сразу У От) и как только , так
Пусть Е(- класс функций таких, что;
I) где о~2]> при />/<<Ии при
2) ~‘=ив</’, < j — - целое неотрицательное '
число;
• 3) Vх (ь) - функция типа НН ;
4) при любом натуральном ft- существует алгебраический многочлен Рц.(х)
\ степени не выше чем Л,-1 ; такой, что
II L {(Х)~ Pn(Z)]H-Z)*(Hx)P(1~Z f
где постоянная не зависит от ^(z) и .
43
Пусть * класс функций [(%) таких, что:
I) • где при /*/’<•»* и
2) -<^= <^<1-^, t t- -целое неотрицательное
число;'
3) функция //%> .внутри интервала имеет 2S -ю производную,-
.
4) функция Vs (%)&£?,*,£ , где fo(x)=ffc),
при 5^Z,;
5) выполняется неравенство
где - функция обобщенного сдвига, введеннед в работе [1],
V>s/&—k и постоянная Cz не зависит от ^(ъ) и t .
, Теорема. Пусть существует не зависящая от Л/ постоянная,такая,
что:
а) Z
1*1
ХОТЯ бы для одного Z< fa -т^П;/О, -*р 1-fii -HL, jr+htfl})
, где '
Тогда для любых чисел У л J4 , удовлетворяющих условиям
х , классы функций Н (p^.p^jWfov.pt)
&яшящяп между собой и совпадают о классом
.Результат примыкает к другим нооледвваниям, например /I/, где'
в частности введены функции обобщенного сдвига.
Литература . ,
I. Потанов М.К. Об условиях совпадения некоторых классов функций;-# кн.:
Труды семинара нн.й.Г.Петровского. М.ЖГУ, 1979.
ОБ ОДНОЙ ПОПИВ ПЭЛИ-ВИНЕРА И ЕЙ ПРИМЕНЕНИИ
В.Н.Серскии.
В работе даются достаточные условия на целую фуикцвв ф конечной
степени, для которой любая целая функций конечной степени не больше
6 • /-6 Д2^-у»^ допускает представление
( ФСх.)-1)(3'^^)с/^ р
где reLV-4^ . -^<^<44 Z
Это представление используется для исследования системы функций
, / xeL-WulhM
f
Даются достаточные условия на dj , когда система / k* J полна и
минимальна в одновременное / е 1,Л->Х .
44
РАСПРОСТРАНЕНИЕ КАУСТИК В ВОИНОМ ПРОЦЕССАХ
- МОРСОВСКОГО ТИПА
В.Б.Творогов
Мн рассматриваем волновой процесс излучения точечного источника, зада-
вавший однородным квазигиперболическжм оператором <^/4 f ) переда
£ с гладкими коэффициентами со старшим сшволом
Тогда по определению я Рг (.till &)*О ы сферл S ~ {(Ы*
191-1) , уравнение Q имеет относительно J ровно
т действительных к различных корне! ^(±,х,0) джя . Функции
УДО«в«юряют условию Морса, если матрица Ц//
имеет ранг ft~l и неотрицательно определена. Пусть /|с7’* (R^xR*)
яыя&кл лагранжевым многообразием решений гамильтоновой.системы
.где ]=(-£ q) , Е - веданная матрица
порядка fL+1 , начальное условие имеет вид .
Лагранжево многообразие Д является объединением /п- компонент Лу .
Предполагается, что траектории системы не выходят на бесконечность за конеч-
ное время. Отметим, что лагранжево многообразна волнового оператора в неод-
нородной среде удовлетворяет условию Морса.
Пусть Aj -* Rf является проекцией Ду на базу. Точка
te/ly,* лежит на каустике 2ГХ » вся ранг
Wwt (Mix А?< П-i , она называется фокальной точкой.
Теорема!. На морсового! компоненте Aj, ]£{*) >»)!*] многообразия
А для любого момента времени 1°>0 существует траектория h,li)
twj&wlgvA системы, которая не содержит ни одно! фокально! точки
пъ^Ф-
Теорема 2. ' Пусть в момент времени Ь°РО на жорсовской компоненте
/1у лагранжева многообразия А появилась фокальная точка t •
Тогда джя любого £*>i° существует траектория kli)cAj гамильтоново!
системы такая, что
В доказательстве теорем используется тот факт, что при движении по
траектории Mi) с Aj кривизны поверхности , неориентирован-
ной направлением движения волны, стремятся к в фокальных точках.
Литература
I. Бабич В.М. Распространение нестационарных волн и.каустики. -Фч.зап.ЛГУ?
1958, сер.матем.наук, № 246, вып.32, с 228-260.
2. Творогов В.Б. Резкий фронт и ос'обенности решений одного класса негипербо-
йических уравнений -*дАН СССР? 1979, т.244, й 6, с. I327-I33I.
О ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЯХ НЕЗАВИСИМОСТИ КРИВОЛИНЕЙНОГО
ИНТЕГРАЛА ОТ ПУТИ
Ю.В.Трынкин
Пусть (л - открытое односвязное множество в , и F - непрерыв-
ная функция на нем. Через ЩХ/Г) будем обозначать открытый шар о центром в
точке Z радиуса г . Введём следующие определения:
45
Определение I. Назовем функцию р(ц,$) абсолютно непрерывной в откры-
той области, О , если \li>0 3 <?(£)>& такое, что для любой конечной или.
счетной системы непересекапцихся шаров из неравенства
следует неравенство
Линейное пространство функций,абсолютно непрерывных в G> > обозначим U/ .
Определение 2. Функцию Ffau) назовем абсолютно непрерывной внутри
ожрытой области (ji , если и любого компактного подмножества .
F(Ktt)>0 такое, что для любой конечной несчетной
системы непересекапцихся шаров V )с & из неравенства 4 ffaK’)
следует неравенство —
ufasi)w.
функции абсолютно непрерывные внутри Q, ' образуют линейное подпространство
в к/ , которое мы обозначим через $ ,. Определенные таким образом аб-
солютно непрерывные функции обладают следующими свойствами:
Леша I. Пусть , тогда почти всюду в Сг существуют
Г/А/А • в ,
Леша 2. Пусть Ffaipt hr , тогда />, F? (К) , где К - любое
компактное (и, следовательно, измеримое) подмножество области О>
. Теорема I. Если Pfay), (G>) где G> - ъюойъяа-
ное множество в /?2 , и почти всюду в Gt верно равенство Ру fa у)-
то существует дифференцируемая в (j> функция такая, что #/= Р ;
Теорема 2. В условиях теоремы I для любых двух абсолютно непрерывных
путей Т1 и 7k , соединяющих две данные точки области верно равенство <
~№<1з1 +Qpdy, потенциал &phy) из теоремы I имеет
вид $Pdx+ Q,<ty , где if - абсолютно непрерывный путь,
соединяющий фиксированную точку (О, У) сточкой (Я, у) .
Наиболне общими из известных в этой области результатов являются резуль-
таты И.А.Виноградовой /1/ и Г.П.Толстова /2/. Сформулированные в данной
работе результаты не вытекает из этих работ.
Следствие I. Если функции Р и Q. уюыътпщят условию Липшица на
каждом компакте К с 6> (константа зависит от К ) и почти всюду в Сг>
верно равенство, Ру =. Q* » то £Pdz + Q.<£y не зависит от абсолютно не-
прерывного пути Y в & . Условия следствия I не перекрываются результатами
работ [т и ij .
Литература
I. Виноградова И.А. Обобщение формулы Гринаг’Вестн.Моск.ун-та. сер.Математика^,
Механика*, М 4, 1978,с. 26-35.
2. Толстов Т.П. О криволинейна! и повторном интеграле.-"Тр.Матем.ин-та АН
СССР? Т950л35,с.^-5й.
О ПРИБЛИЖЕНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ №ОЙ)ЧЛЕНАМИ
С ВЕСОМ ЛАГЕРРА
В.М.Федоров
Пусть - множество алгебраических многочленов от одной переменной,
сетпени не выше чем /> . Пусть at ЪО , множество действительных
46
функций , непрерывных и ограниченных по норме
Теорема!, пусть Р^Рл., <С*о . Тогда
IР‘(л)(х t */*)^ге~^ Щ Су Л ^Ip[z)^e-^II,
где константа С/ не зависит от Р н л. .
Обозначим через ТР- р4 Ь<<&* , семейство линейных операторов в
где Г(у) - TWHBrtywafSL Эйлера, " ФУНКЦИЯ Бесселя первого рода
порядка <К - </2. • .
Теорема 2. Пусть
Для того чтобы для_кадцого натурального числа /и выполнялось неравенство
pin£
необходимо и достаточно, чтобы ‘ft?) обладала свойством
Итг^)-т^ф^1/
где константы оу я Не зависят от {'(z),>i7o ,о ,
МЕТОД ПАРАМЕТРИКСА ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ОТНОСИТЕЛЬНО
МЕР В БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Е.Т.Шавгулидзе
Пусть Н - гильбертово сепарабельное пространство, Т'-Н^Н -линей-
ный симметричный положительно-определенный оператор Гильберта-Шмидта, / -
ортонормированный базис его собственных векторов. Рассмотрим прямое уравне-
ние Колмогорова для мер z^H ) на Н (ем./i?)
<3frAШЬ h>Z)~ L *'
где М - цилиндрическое множество,Н~*Н
A'LOitehН+[Н-*Н] - непрерывные отображения, удовлетворяю-
щие условиям: I) отображения frfaxJ),
равномерно непрерывны по Геделю (d>o)
по X и ограничены^
2) - симметричный оператор, P^Afi,Z)&(f-iH’
з) // c(uz-y иь-ти^2-),
Теорема I. Уравнение (*) с начальным условием
Un Ll/Zj-ljfz) , где - любая ограниченная
непрерывная цилиндрическая функция, и ограничением на рост
^р(имеет единственное решение, кото-
рое строится методом параметрикса и является мерой абсолютно непрерывной
47ч
относительно нерв Гаусса.
Следствие. Если пера задана на пространстве TH и удовлетво-
ряет условию f , то существует един-
ственное решение ]и(*,Ь) уувжъвяя. (*) с начальным условием ^(•)0)=/^о ,
удовлетворяющее ограничению на рост е%р(ну. цЧ ///7 /7 <
Теорема 2. Стохастическое дифференциальное уравнение
d %М - АН, + (I+TA (t,fit))T)dw(t) (М- винеровокий процесс со
значениями в пространстве (см. /2/ У) имеет единственное решение,
удовлетворяющее начальному условию .
Литература.
I. Шавгулидзе Е.Т. О прямом уравнении Колмогоров а для мер в гильбертовой
школе^п^остранств. - "Вести.Моск.ун-та. Сер.1 матем., механ;, 1978,№ 3,
2. Далецкий Ю.Л. Бесконечномерные аллиптические операторы и связанные с ними
параболические уравнения. -“Успехи MaTeM.HayK*;i9o7,T.22, вып.4,с.З-54.
О БАЗИСНОСТИ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ КВАДРАТИЧНЫХ
ПУЧКОВ ОПЕРАТОРОВ
А. А. Шкаликов
Рассматривается квадратичный пучок обыкновенных дифференциальных опера-
торов .
у "★Lbby'-* (I)
(2)
где Ае- / < О , Через Ми, далее обозначается подпространство всех
функций Соболевского пространства ^£0,1] , удовлетворяющих краевым
условиям (2).'Определение регулярности задачи по Я.Д.йамаркину имеется в ра-
боте /*17 , определение производных цепочек в [2] . Справедлива следующая
Теорема. Если краевые условия (2) самосопряжены и задача (I), (2) регу-
лярна поЯ.Д.Тамаркину, то половина собственник и присоединенных функций
(с.п.ф.), отвечаищих оббственным значениям из левой полуплоскости, этой задачи
образует базис Риоса в пространствах и U/ц, , кроме того, производ-
ные по к>0> цепочки задачи образуют базис Рисса в про-
странствах
Сформулированная теорема получается на основе теоремы, доказанной авто-
ром для абстрактных квадратичных пучков операторов, в которой из двукратной
базисности производных по (1, А) цепочек выводится базисность половины
с.п.ф. и базисность производных по цепочек. Далее используется
результат [т] .
Отметим, что результаты о полноте половины с.п.ф. и о полноте производ-
ных по (£, цепочек пучка (I), (2) к более общих пучков рассматривалщь
во многих работах, в частности, [2]. Вопрос о базисности в подобной ситуа-
ции рассматривается впервые. Сформулированная теорема допускает обобщение
на более общие пучки обыкновенных дифференциальных операторов, отметим также,
что вопросы базисности половины с.п.ф. и базисности производных по (d, &а*г)
цепочек возникает при обосновании метода Фурье, если с помощью этого метода
решается уравнение
tl = о
соответственно в полуполосе O£i <<^° & прямоугольнике
О£Х>1 , O±t И fi, • ‘
48
-. Литература
I. Срезов И.Б., Шкаликов А.А. Об - кратной базисности собственных функций
некоторых регяуярных краевых задач. - "Сибирск.Матеи.I.", 1976,т.I",
№ 3; с.627-639. . , - *
2. Радзиевский Г.В. Квадратичный пучок операторов,-Киев, 1977.
ОБ ЭНТРОПИИ ДИАГОНАЛИЗУЕМЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЙМАНОВСКИХ АЛГЕБР
А.Г.Шухов
В настоящем докладе для действия S аменабельной группы Q> в
IV -г алгебре М и S - инвариантного состояния У* на И вводится
энтропийный инвариант . Вычисляется энтропия действия группы О>.~
в алгебре квазилокальных наблюдаемых над (л относительно диагонального
состояния . Рассмотрим алгебраическое тензорное произведение ,
где - алгебра матриц. Фиксируем в Nt> матричные единицы
. Обозначим Со подалгебру в Л4 , порожден-
ную элементами в;;, и положим С-®Ск> Ск-С0 • Элементы коммутативной
алгебры С, будем представлять как функции на пространстве последователь-
ностей Л - '.Фиксируем на х>2 меру JU и построим сос-
тояние на алгебре А следующим образом. Положим ЧЧИ-О , если тен-
зорный одночлен Z от матричных единиц Ciy содержит, по крайней мере,
одну частичную изометрию. Бели же Z &С , то положим Jz dju
Состояния, построенные таким образом, будем называть диагональными. Пусть
Т - действие группы 6 сдвигами в пространстве J2. . Бели мера JU Т -
инвариантна, то естественное действие группы Сп ъ А продолжается до
действия 5 в слабом замыкании А образа регулярного представления ал-
гебры А относительно состояния / .
Теорема I. Если мера Ц положительная на .открытых множествах в Л ,
то энтропия h- if(S) совпадает с энтропией 77 действия ‘7* .
В статье fa] построен некоммутативный аналог марковского процесса. Пусть
И - алгебра матриц К* К, - состояния на И
где р - положительный оператор, . Рассмотрим Т'.М-*М линей-
ное положительное отображение такое, что Т(!)-!> В алгебре
А/®.., ® М определяется линейный функционал К (Ал0...
Пусть * Г - таково, что У'д. - состояние Ил, (такие состояния будем
называть марковскими) fa] .
Теорема 2. Стационарное марковское состояние диагонализуемо.
Литература
I. WtZ/Sj. //oneoiHMutaiitr /Чагкоа ръссеМ-
•Таи*. Я*-Math. , 3366,* 2, v.M , 264-279.
49
АСИМПТОТИКА СПЕКТРА ТтаОЭЛШШТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
ПОСТОЯННОЙ силы
А.К.Юсупов
Пусть JLC-R'i' - открытое множества такое, что '
и /и (дЛ,) =() (f/ - мера Лебега).
Рассмотрим формально самосопряженное дифференциальное выражение
P(z,DJ=Zi постоянной силы в Л , т.е.
Z IPU)(ZS)J^ y.ueJL,
Г '
где п/л/ *. ?’ PfxSJ , гиповллиптическое в некоторой точке
PM(X.S) = ’
Предположим, что р(х,$)& R") и функция
= , где ^(x,ji)=(Zrr^J^S
Jt p(X,S)<A
удовлетворяет условию №(*)<№(*) , где
Обозначим через Pjc расширение по Фридрихсу минимального оператора
Poti =Р(х#>)а,, 1с & Со^(Л).
Пнет место следующая
Теорема. При сформулированных условиях спектр оператора Рл. дискретен
и для функции - числа собственных значений оператора Рл меньших,
чем J , имеет место асимптотическая формула
50
СЕКЦИЯ ОБЩИХ ПРОБЛЕМ УПРАВЛНПЙ И
аКИСДПЕРНОЙ МАТЕМАТИК^
ЗАДАЧА ЕЫРАЗИМОСТИ В НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ АВТОМАТОВ
Д.Н.Бабии
Мн будем рассматривать конечные автоматы с многими входами и выходами,
у которых соответствующая полугруппа обладает некоторыми специальными свой-
ствами.
Определение!. Автомат Л «(£*,(?, Е/, Г, , где Q<-Ez ,
с К входами и € выходами называется квазилинейным, если = (0,0,'^ О),
и функция переходов линейна, то есть x)*Aj+Bx , гдв
- линейные операторы. Класс автоматов, которые выражаются
схемами без обратной связи из квазилинейных, обозначим через .
Определение 2. Назовем полугруппу разрешимой, если голоморфные образы ей
подполугрупп, являющиеся группами, - разрешимые группы. Класс автоматов,
имеющих разрешимые полугруппы переходов, обозначим через R а п
Лемма I. Автомат с одним входом и диаграммой переходов
не может быть выражен никакой схемой без обратной связи из квазилинейных
автоматов.- ~ -
Теорема I. с ft,
Определение; Скажем, что автомат А групповой, если его полугруппа
переходов является группой.
Теорема 2. Групповые автоматы с разрешимыми группами и многими входами ;
выражаются схемами без обратной связи их автоматов с одним входом и булев-
ских функций.
КОМПИЛЯТОР С ЯЗЫКА ФОРТРАН-1У - КОМПОНЕНТА ЭФЩТИЕНОЙ
СИСТЕМЫ ОБРАБОТКИ СТУДЕНЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ
В.Б.Бетелии, А.А.Веденов, М.А.Исаев, Г.В.Маслов
Разработанный А.А.Веденовнм, М.А.Исаевым, и Г.В.Масловым под руководст-
вом В.Б.Бетелина компилятор с ФОРТРАН-ГУ является одной из основных компо-
нент мониторной системы АСФОР - системы, значительно повышающей производите-
льность ЭВМ и эффективность ей использования при обработке потока студен-
ческих заданий. Компилятор реализует практически все возможности языка, в
том числе форматный ввод-вывод, действия над комплексными числами простой
и двойной точйости, оператор-функции, операторы 3M.7L4 л VALENCE.
Специфической особенностью даедого компилятора является исключительно
высокая скорость компиляции (до 20 операторов/ с. на ЭВМ ЕС-1022).
К достоинствам компилятора следует отнести то, что наряду с, очень высо-
кой скоростью компиляции обеспечивается полный синтаксический контроль ис-
ходного текста. В частности, для арифметических и логических выражений
(составляющих основную часть исходной программы) производится как можно
более полный анализ, с выявлением по возможности наибольшего количества
ошибок. При этом ведается диагностика на русском языке, расширенная по срав-
нению со стандартными компиляторами, что значительно облегчает студенту
работу в процессе отладки.
51
Компилятор оснащен рядом отладочных средств, работающих на этапе выпол-
нения объектной программы:
- контроль за величиной индексов массивов;
- контроль соответствия формальных и фактических параметров по числу
и типу;
- контроль за неявной рекурсией.-
р случае аварийного окончания программы на печать выдается подробная
информация о месте аварийного окончания, диагностика и распечатка значений
переменных в момент аварийного окончания (всё в терминах ФОРТРАНа).
В результате двухлетней работы получена версия компилятора, с примене-
нием которой скорость обработки студенческих заданий в мониторной системе
АСФОР примерно в 10 раз выше, чем при использовании стандартных компиляторов
операционных систем ОС я ДОС ЕС.
НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОЙ
ОБРАБОТКИ ФОТОГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В.А.Груздев , А.Д.Силаев
Настоящая работа посвящена разработке математического аппарата, алгорит-
мов и программ для определения функциональной зависимости оптической плотно-
сти фотографического слоя от величины экспозиции; Предложенный.метод аппрок-
симации характеристической кривой сглаживакщими локально сплайнами позволяет
легко алгоритмизировать и автоматизировать процесс обработки испытуемых об-
разцов и качественно рассчитывать их основные физичяские константы.
При проведении оптических измерений для испытуемых образцов снимается
характеристическая кривая , задаваемая таблицей. Здесь ® - опти-
ческая плотность, И -экспозиция. Основные физические константы (коэффи-
циент контрастности, фотографическая широта, чувствительность) требуют для
своего определения знания функциональной зависимости характеристической кри-
вой. Задача её аппроксимации посвящена большая дитература. Здесь используются
и метод регрессии /I - 3] и метод представления характеристической кривой в
виде её разложения по некоторому базису [kJ. Все эти методы удовлетвори-
тельно работают в основном на "линейном" участке кривой. Однако алгоритмиза-
ция процесса выделения " линейного" участка по объему сравнима с исходной
задачей аппроксимаций. Кроме того, применение методов, указанных в работах
А - 3/ , приводит к довольно сложным вычислениям. Предложенный нами способ
аппроксимации характеристической кривой сплайнами позволил добиться высокой
степени приближения на всей рассматриваемой кривой. Проведенные экспертной- .
таиьные вычисления на Эвм показали надежную работу алгоритма в достаточно ши-
роком диапазоне изменения параметров испытуемых образцов. Показано, что сплайн,
состоящий из склеенных кубических полиномов, которые строятся по 5 точкам ме-
тода! наименьших квадратов, удовлетворяет требованию точности приближения на
"линейном" участке при сохранении локальных свойств характеристической кривой.
Джя этого "рационального" сплайна доказаны теоремы существования, единствен-
ности и сходимости к функциям класса Сг£йД7 при шаге + О .
Литература
I. Херонский Л.Б. Техника кино и телевидения, II, 1977.2.
2. tyi!, NUl,3, igGi, p.lSI3-l5l3
3. Green A.E.Sy Mc.Peiert R.D.-Uppl.Opt'!, Utt, p- 2H-W2.
4. Гаврик B.B., Давидкин И.М. -^Научная и прикладная фотография... *,№ 4,1973.
52
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА И
СРЕДНЯЯ f - РАЗМЕРНОСТЬ
В.А.Иванов.
. Для изучения аппроксимативных характеристик классов функций на некомпакт-
ных пространствах В.М.Тихомировым в flj было предложено понятие средней
6 - размерности пространства "на единицу времени". В докладе находится ве-
личина средней размерности для различных классов функций экспоненциального
типа. '
Пусть X - линейное нормированное пространство, Ео— класс целых функ-
ций экспоненциального типа , ва;р = ЕгПЬ.р(И). Пусть АсХ . Обозна-
чим п,1ц(А1Х)= min. , Мп, - линейное многообразие в X
размерности rtj . Пусть М - множество всех комплекснозначных функций на
Щ , xcjv . Обозначим Хт множество jlx</*Xj , где }.г
- характеристическая функция отрезка [~Т,Т] . Пусть хгех для лю-
бого Fe/RT . Определим nl(A,X)=fij((Af)8X)T, Хт) , т%.е В Х
единичный шар й X . Рассмотрим величины п^(А,Х)-fan (AjX)/2.T
и U*>X)'гь^(А1х}/2.гГ . Если . то величина
У называется в /"ij средней размерностью множества А и обозначается
. • Еслж сУЩествУет io>0 такое, что И^(А,х) не зависит от d
при <Х4.лв , множество А называется равномерным. Тривиальным примером
равномерного множества является конечномерное множество. также равно-
мерно в litjUR) . ’
Теорема!. Пусть />; | е £/ . Тогда при cL<i
Замечание I. При р = теорема I была доказана другим методом Динь
Зунгом (доказательство „при £. ом. [2] ).
Замечание 2. Утверждение о равномерности справедливо и в случае
Л*. 'Г
Для решения задач гармонической аппроксимации на полупрямой С.Н.Берн-
штейном (см. /з7 ) были рассмотрены классы функций конечной полустепени <г .
Обозначим эти классы через В . Очевидно, B^z обладает свойством рав-
номерности, аналогичным соответствующему свойству для . В.М.Тихомиро-
вым был поставлен вопрос о существовании классов целых функций, промежуточных
между & л Bf и обладающих свойством равномерности. Такие классы в док-
ладе построены. Пусть Гр-&+и[геС1а1уг-р},
р*± i
совпадают с g'/z и В? -------
[zefylilUTj.
на К ,
где /уу
.- Тогда
и р^± эти классы
соответственно. Обозначим через £-г, 71? множество
j . Пусть JU р - множество всех комплекснозначннх функци
ХсМр . Обозначим X Tf множество //£.#///.
z v - характеристическая функция [-Т, 7Jp .'Пусть Лех . Тогда лА>
есть усреднение по 2-7’>> при Т-*о- величины ((АА8Х)1ё, х Tf) ;>
Теорема 2. б/ равномерно на Гр и Ъ^(Гр)) = Д №<£.
Литература
I. Тихомиров В.М. Об аппроксимативных характеристиках гладких функций
многих переменных.-"Сиб.мат.ж", 1979, Мб.
2. Динь Зунг. Аппроксимативные характеристики классов гладких функций най-Х
в метрике . - Диссертация кандидата физ.-мат.наук.,М.,МГУ,1978,
3. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений т.2. М.: Изд-во АН СССР, 1954.
53
О МОДАЛЬНЫХ РОСТКАХ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИИ С КРАЕМ
И СЕРИЯХ КРАЕВЫХ 0С0ШШ0СТЕЙ
В.Е.Ыатов
Пусть - пространство с фиксированной в нем гиперплоскостью
которую мн будем называть краем 1НЛ , Два ростка гладких фгькций
ае'^х₽ + у±с+у*, р>&)
дЛ а р * Lf+ &
zfi-t и3-, p<itj }
(СН%0)~* (6,0) эквивалентны, если они лежат в одной орбите действия
группы 0,(ц) рс'•тков диффеоморфизмов (Cri^o)-* (СН^ О) , переводящих
край в себя. Два ростка стабильно эквивалентны, если эквивалентны их суьглы
с невнро.'деяннми квадратичными формами от дополнительных координат края /2/ .
В.И-Арнольд в [1] расклассифицировал все 0 - модельные и I - модальные
(относительно действия группы G>(tv) ) ростки коранга I на краю.
Рассмотрим две серии семейств ростков ( СЙ2;
Серия Rj>tc(Z<6<-jp/ZL. ' ..Серия Нрг (Z*C $J(p--№ L-
p>U^Jj (Lot о,
p-'fti+i,
Здесь й,* = й» +a,1£+<-O'it,X>A ,JaLL - /ninjkeZtK^dj , край; y/0 .
Предложение. Семейства ростков Л/,Pg, К** я Л/** fi.] экви-
валентны семействам ростков Н\г) Я^ъ Kg2 и й^3 GwvwicrBWBO.
Теорема. Всякий 2-модальный росток (ИНЛ,О)* (t,O) с критической
отмеченной точкой, ограничение которого на край имеет коранг Т, стабильно
эквивалентен одному из ростков, функций двух переменных f,s, Рь, Рг,р
(р>,0) (/1/) t (р>6)} К$г(р>,5)} > К1з
, Кр + р?5, По+О-, JU=p+6',
U ¥ + uW (ав baw+fr jL'fb'J
Hi,^-5 (^+у)г+ upz(ae * fyzJ) P*Z, a, to,
+^р( P^Z, Atto, JO-3p+6)
^(л> а,^), P*3; Oe ^o, ju,‘3p+if >
Р*ъ- O-o tOj
и*. к1,Чр-Ч p^3 Ho t a. jk,*2p+6
Здесь fl - кратность точки 0&ЬН$(1Ц) , уравнение края - у-°
Предложение. Коразмерность класса более нем 2- модальных ростков ко-
ранга!' на краю в класс.? всех ростков коранга I на краю равна 9.
Литература
I. Арнцльд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем,простые
группы Ли Вк , Си , FK и особенности эволют.- УИН,1978,т.33,№ 5,с.91-105.
2. А^ноль^В.И.^Критические^точки гладких функций и их нормальные формы. -
к задаче синтеза оптимального по быстродействию управления,
ОГРАНИЧЕННОГО ПО ВЕЛИЧИНЕ И ПРОИЗВОДНОЙ
В.Н.Оникийчук
В работе решается задача построения областей управляемости и достижи-
мости для линейных систем второго порядка с ограниченным по величине и произ-
водной управлением. Наряду с этим решается задача синтеза оптимального по
быстродействию управления для всех ааких систем.
54
Для всех линейных систем второго порядка построены в трехмерном прост-
ранстве / Zjij и, • области управляемости. Эти области (если они не совпа-
дают со всем пространством) никогда не бывают выпуклыми, хотя их сечения
плоскостями U, « сом£ всегда выпуклы.
Оптимальное по быстродействию управление для таких систем является не-
прерывной кусочно-гладкой,функцией. При решении задачи синтеза скорость
управнгтацего воздействия отыскивается как функция й - й. (Z}Zj и,) , ,дда
всех линейных систем второго порядка внутри областей управляемости построены
поверхности переключения, т.е. находится функция й - iL(ZjijU,)
В случае комплексных собственных значений х системе картина синтеза,как
выясняется, качественно меняется в зависимости от величины ограничения на
скорость управления. Для любой иистемы с комплексным спвктром существует
также диапазон ограничений на производную управления, для которого оптималь-
ное управление не выходит на свое ограничение по величине.
При неограниченном возрастании величины ограничения на скорость управ-
ления построенные в настоящей работе области управляемости и картины синтеза
переходят в хорошо известные области управляемости и картины синтеза, пост-
роенные в фазовой плоркости.
О ЛИНЕЙНЫХ МЕТОДАХ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ
В.И.Переяславский
Приводится стохастический алгоритм вычисления так называемых информацион-
ных весов признаков, который позволяет при решении задач распознавания обра-
зов обрабатывать таблицы больших размерностей и вычислять веса признаков с
данной точностью и достоверностью. Для оптимального выбора параметров алго-
ритма получены оценки.
С помощью найденных весов строится линейное разделяющее правило. При эш
приходится решать некоторую спе.шахьную задачу целочисленного программировав
•
Пусть - множество функций алгебры логики от переменных. Рас-
смотрим отображение S '- Pf-* [0,1]^ , а именно, функции £ сопоставляются
вектор S(f)& навиваемый зпектором функции, такой, что его о - и
компонента вычисляется как отношение числа единиц /(Qj > Хл), у которых
t^l , к числу единит, функции f . Изучаются свойства этого отображения.
Доказаны теоремы о наименьшем расстоянии между несовпадающими спектрами и о
спектре., наиболее удаленном от множества всех остальных спектров.
Вводится функция р(А,&) расстояния между таблицами ) и
В (я>я»п.) с элементами'из множества , которая отражает удален-
ность таблиц с точки зрения данных алгоритмов с линейным разделяющим прави-
лом. Решаюпя задачи о нахождении максимума и минимума р(А>&) на множест-
ве пар таблиц с фиксированным п, , на множестве пар с фкксиров&пными /ъ ,
/а, и. , а также на некоторых специальных множествах.
Литература
I. Журавльв ю.И., Дмитриев А.Н., Крецделев Ф.П. G математических принципах
классификации предметов и явленийгВ сб.: Дискретный анализ, Новосибирск,
1966, вып.7, с.3-15.
55
О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЯХ РАСЩЕПИМЫХ
РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Н.В.Широбоков
- Для приближенного вычисления характеристических показателей дифферен-
циальных уравнений возникает ряд задач об устойчивости спектра характеристи-
ческих показателей разностных уравнений, в докладе показано, что в теории
разностных уравнений справедлив аналог достаточного признака Перрона-Вино-
градова-Былова об устойчивости спектра обыкновенных дифференциальных уравне-
ний. Для этого вводится понятие расщепимых разностных уравнений и аналог
понятия."интегральная разделенность" - слабая разделенность.
Дискретное разностное уравнение
ХЦн) *АЩХ1*) (т)
в гильбертовом пространстве £> с обратимым линейным ограниченным операто-
ром A(i) будем называть расцепимнм, если найдется такая система проекторов
{РХЮ] (кЧ—43 -что
= Р^-'+Р^Е, пер II pk(t)ll<^,
PK(i+i)A(i)~A(i)Pt(i) (I* Т> ***>...,
Центральные числа семейств последовательностей
назовем центральными показателями уравнения (I). Будем говорить, что семей-
ства (2) слабо разделены, если существуют такие числа С-70, d , что
справедливо:
Если уравнение (I) расщепимо, семейства (2) слабо разделены
я центральные показатели являются строгими, то спектр характеристических
показателей этого уравнения устойчив к возмущениям оператора Alt) .
Теорема.
56
СЕКЦИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
О ФАЗОВОМ ПЕРЕХОДЕ В ОДНОМЕРНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
Л.В.Богачев
I. Рассматривается одномерная сферическая модель /'1J с медленно убы-
вающим осциллирующим потенциалом вида j)(n,) * Л."у tin. ЯП, , где пара-
метр а?6 (О/К) . Потенциалы такого типа имеют важные физические приложения,
в частности,в моделях примесных растворов металлов /2_7. Можно показать,что
в навей модели для нулевых (вообще, финитных) граничных условий свободная
энергия (f^) выражается обычной формулой и аналитичная при всех fi
( 0 - обратная температура). Для периодических граничных условий при
достаточно малых ft свободная энергия У (ft) совпадает с (ft) , но' с уве-
личением ft появляются точки бифуркации Д , в которых возникают новые
ветви свободной энергии. Более точно, свободная энергия, вычисленная по не-
которой подпоследовательности , при каком-то значении ftc. теряет
аналитичность, и график tf'(ft) cxojgn в этой точке с графика ^(fi) . Вооб-
ще говоря, точки бифуркации зависят от выбора . Число их конечно, eon
# соизмеримо с % , в противном случае они заполняют целый отрезок.
Отметим, что в данном случае неприменим стандартный метод изучения свободной
энергии с помощью аналитического продолжения из области малыхуЭ , по-
скольку им не улавливается фазовый переход.
2. Как известно [у] , в одномерной сферической «вдели с финитным взаи-
модействием фазового перехода нет. Однако случайное возмущение потенциала
приводит к критическим явлениям. Модели со случайными потенциалами важны при
описании неупорядоченных сред [ft] . Рассмотрим одномерную модель с гамиль-
тонианом
где - независимые случайные величины, равномерно распределённые на
COft] . Вид граничных условий в случае финитного взаимодействия несущест-
вен. Мы показываем, что для достаточно малых ft существует по вероятнос-
ти термодинамический предел и свободная энергия Y(ft) является неслучайной
величиной. Наличие фазового перехода здесь вытекает из того, что функцию
У (ft) нельзя аналитически продолжить на все . Этот результат верен и
для многомерных моделей с финитным взаимодействием и с более общим законом
распределения случайных величин £ .
Литература
I. Кац М. Устойчивость и фазовые переходном.:Мир, 1973.
2. Пастур Л.А., Фиготин А.Л.К теории неупорядоченных спиновых систем,—
"Теорет.и матем.физика”,1978, т. 35,№2,с.193-210.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЗАКОН ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА
А.В.Булинский
В 1964 г. В.Штрассенои /"т^был сделан принципиально новый наг в изуче-
нии случайных ломаных с помощью сильного принципа инвариантности. Из получен-
ного им так называемого функционального закона повторного логарифма выте-
кали классический закон повторного логарифма для броуновского движения и
теорема Хартмана-Винтера. За минувмие 15 лет последовало множество работ,
посвященных функциональному закону повторного логарифма. Однако до сих пор
57
не была выяснена роль нормировки, выбранной Штрассеном.
Для широкого класса нормировочных функций результаты Штрассена обобщены
в £У] . Цель настоящей работы - усилить результаты £у, дать исчерпывающее
решение для произвольной неубывающей нормировочной функции ¥($) , стремящей-
ся к бесконечности с ростом аргумента. Обозначим класс таких функций через
Ф .
Пусть W(t) . состоит из d. независимых броуновских движений. Определим
семейство случайных функций
Основная теорема. Множество предельных точек в (CLO.-ll)^ последова-
тельности о вероятностью i совпадает с множеством К , кото-
рое описывается с помощью функционала
Этот функционал при совпадает с тем, который применяется в известном
критерии верхних и нижних функций Колмогорова-Петровского-Эрцбша-Феллера.
Все теоремы £2j остаются в силе для f 6 ф . Результаты Штрассена
получаются при выборе S >е .
Кроме того, применяя сильный принцип инвариантности (см.,например,1*3/ )»
получим обобщение результатов [2] на последовательности зависимых величин
(мартингал-разности, последовательности с перемешиванием и т.д.)
Литература
I. Stzasse^V.
2. Булинский А.В. О функциональном законе повторного логарифма. - ДАН СССР,
1978. т.238, » 5, с.1025-1027. _ „ . ,
5. iHS>A/16<>f>£7S-W.
УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕДУР СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ
В СЛУЧАЕ ЖКОНЕЧНЫХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ МОМЕНТОВ
В.В.Годонанчуи
Теорема, пусть имеется следующая.процедура стохастической аппроксима-
ции ~ Ул £ 4 » ЭД6 Х(- CQHit} “
последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин
с оишетричной функцией распределения F(z£ - числовая последо-
вательность, все
i1 1
Первый случай: пусть -Ц- < 1- Fix) при х-* , V>L ,
X*
. Необходимым и достаточным условием сходимости процедуры с вероятностью £
в этом случае является Xх //<
Второй случай: пусть е ~K,Z^£-F(z)£ еГ**** при
кг>0,
В этом случае необходимым и достаточным условием сходимости о вероят-
ностью £ является сходимость для любого <£у О ряда
Z izp (— fi/rf).
i-t
58
СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ ЯКОБИ
Л.Н.Гренкова
Рассматривается случайный разностный оператор Якоби, который задается
матрицей О | (н(й)))л= 1л_.
\ О к,
Предполагается, что -последовательность независимых, одинаково рас-
пределенных случайных величин, имеяцнх положительную на всей осн плотность
распределения. В частности, в модели Андерсона, которая неоднократно обсуж-
далась в физической литературе, случайные величины имеют плотность распре-
деления Кони.
Будем изучать спектральные свойства Й(и!) , рассматривая его как опе-
ратор, действующий в гильбертовом пространстве .
Теорема I. При указанных предположениях относительно последователь-
ности {£»,) :
а) оператор имеет с вероятностью 1 единственное самосопряжен-
ное расширение;
б) спектр H(ltf) с вероятностью 1 вся действительная ось.
Теорема 2. При тех же предположениях относительно { , с вероятности
I спектр Нечисто точечный.
Центральным моментом в доказательстве теоремы о точечном спектре Н(Ш)
является лемма так называемого "ферстенберговского типа”, согласно которой
с вероятностью 1 амплитуда X# решения уравнения
(производится замена переменных I НпО*, > г г п
Ц{к))^-ЯХ- эквивалентно покоординатно О/щ yfo)
с вероятностью 1 экспоненциально возрастает при , т.е. уравнение
имеет, положительный показатель Ляпунова.
В модели Андерсона, где [ имеет плотность распределения Коми
fWl-jFfftz*), удается явно найти выражение для
инвариантной плотности эргодической марковской цепи при фиксированном
значении J . Это также распределения Коши с параметрами (
$(&)* ТПЧ'&Й&У ’ где № явно махаются через Л
J Д'/д" Ъ \пи^)'
( <Z — Ал *
Через JT(z) , в свою очередь^ выражается плотность состояний
а , где #40 я- -нормированная спект-
ральная функция распределения.
Теорема 3.
/ Х(хМх- ,
Ля2-
-<и*
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ ЙОЛНОЕЫХ ЧИСЕЛ В КВАНТОВОЙ АНИЗОТРОПНОЙ
МОДЕЛИ ФЕРРОМАГНЕТИКА ГЕЙЗЕНБЕРГА
В.В.Гусев
В результате применения гипотезы Бете к нахождению собственных функций
59
гамильтониана в квантовой анизотропной модели ферромагнетика Гейзенберга
возникают нетривиальные уравнения на волновые числа собственных функций.
Они имеют вид
О(р,) = I,
С точки зрения термодинамического предельного перехода интересным пред-
ставляется вопрос о предельном при поведении решений этой системы.
В работах [l , 2J показано, что при конечннх Лг,А/, удовлетворяющих ус-
ловию УД »2,8та система нелинейных уравнений имеет единственное решение,
причем ff-V , где imV--д ,
В данной работе показано, что если /^У-*^, так что Щл- 1L+У
для любого постоянного If >0 , то существует предел решений этих уравнений.
Точнее, пусть /4» - вероятностная мера, имеющая массу 1/it- в каждой из Л-
точек Kj , тогда =>>// , где мера ft задана на интервале v~f)-
Креме того, показано, что предельная мера ft абсолютно непрерывна относитель-
но меры Лебега. Это позволяет написать для плотности предельной меры интеграл
льиое уравнение.
Литература
Х.У'а'у i’-V-, Yuj t.P.-'Hu, Pkftul Решит', 1966 ,v. 150> ЦЗН.
2. M, Ya/yc.l-'dt PkftCil KtHMT* 1966, у.ш.ЦЗЫ,

БНАЯ ТЕОРЕМА ДНЯ РЕДКИХ СОБЫТИЙ, СВЯЗАННЫХ
С МАРКОВСКОЙ ЦЕЛЫ)
В.В.Козлов
Пусть х») - однородная марковская цепь с произвольным множеством
состояний, кц) - последовательность неотрицательных случайных величин,
[ fa) - последовательность случайных величин со значениями о или I.
Предположим, что последовательность | (ц,Л1 fa)j т, - зависима при
условии {XiJ . Обозначим через
х
У= min^n/fa-1), T=Z.tff.
Пусть цепь {&>) - равномерно эргодична:
/PW(^A)~ 1Г(А)!^ Рл-\ /><±.
Рассмотрим схецу серий, вдоль которой
а р - постоянно. Тогда

При некоторых ограничениях на величины получен аналогичный результат
60
для Т . Результата обобщаются на случай, когда вдоль схемы серий.
Даются оценки скорости сходимости. Доказательство проводится методом
С.Н.Бернштейна.
1 ОБ УЛЬТРАФИОЛЕТОВОЙ И ИНФРАКРАСНОЙ СХОДИМОСТИ
ФЕЙНМАНОВСКИХ АМПЛИТУД
М.Д.Миссаров
Рассмотрим связную диаграмму без устранимых поддиаграмм, в импульсном
представлении (в евклидовой метрике) ей соответствует фейнмановская амплиту-
да
Гб,(Рь Piei, Л,..,, dILI)~ jR(K,p;A )db,
fat*9, Ре^И9 fybt' ЩИ,,., . Здесь V - множе-
ство верили диаграмма, Д i £ - множество внутренних .и внемних линий соот-
ветственно, //// IbLuE, ie / - матрица инцидентности диаграммы, по пово-
ду обозначений и определений см. [т].
В координатном представлении диаграмме соответствует амплитуда
><) Z/ei, fa> ••ifaid) - (faZ' id
и выбрана такая нумерация вершин, что индексы
1,2, /£/ нумеруют в точности внешние вершины,
QfatZ'iл)~ П&m,t ), 4mg,fa(z)~~
ee/> ' lev
преобразование Фурье обобщенной функции / .
Теорема I. Существует область Uс € 1111 такая, что при
интеграл / Р (*, Pi d) WpldK dp (1)
абсолютно сходится и задает обобщенную функцию над S(fR VIEI) .
Теорема 2. Если , где V - области указанная в тео-
реме и 4>(z)- 4(1^,., ZiEi)ei(JR.VIEI) , то интеграл
Sd(x,xtii)V(z)<ix.dzt (2)
абсолютно сходится и задает обобщенную функцию над S(Btvl£,)>
Теорема 3. Обобщенная функция, задаваемая интегралом (2), является
зреобразованием Фурье обобщенной функции, задавемой интегралом (I).
В последней теореме строго доказываются и обосновываются формулы перехо-
да от импульсного представления к координатному, часто используемые в физике.
Литература
' W6,
61
ОЦЕНИВАНИЕ ТРЕНДА И КОМПОНЕНТ ДИСПЕРСИИ МНОГООТКЛИКОВОЙ
ЛИНЕЙНОЙ ЕЕПЕССИОННОЙ МОДЕЛИ
X.Мартинес Креспо
Постановка задачи и предположения. Пусть на некотором вероятностном
пространстве (Л,Р) определена последовательность независимых случайных
векторов U-i &Е(, i-i, . На их распределения наложим сле-
дующие ограничиления:
М,! £ fa ~ t
где - точки плана, F(z)~(m.xl) - матрица регрессионных функ-
ций и Оц-т. - вектор неизвестных параметров "тренда" или "вектора
откликов". Определив e,:z^'£fa , потребуем
Mz ! £ % = L Д (*,;,£), | £ fa 0)1*0,
где fa) - вектор неизвестных параметров "компонент дис-
персии", £U(£.-, &) - известные симметричные матрицы функции на л
Н3 : известны непрерывно дифференцируемые по 6 функции
П : Про вектор неизвестных параметров ^-(9h,tfa) предполагаем,что
е Л для некоторой известной компактной области Гс Е"1' .
%План эксперимента сходится при л/ -* к плану, обладающему некотором
свойством невырожденности.
Итерационная процедура. Идея оценки параметров У , используемая в
ряде работ на эту тему, - отделить задачи оценивания 0 и ft . Состоятель-
но оценив & по методу наименьших квадратов (МНК), (доя чего не нужно
знать fan, ), мы подставим, эти опенки & в , и, образовав эмпириче-
ские разности - РГ(Х,)О~ fi(O) , воспользуемся тем, что матема-
тические ожидания произведений компонент стремятся к компонентам
, так что МНК - оценки р параметров £ , построенные с учетом
Mz для уравнения остатков . будут состоятельными оценками Д
Подставив Z в /4 , найдем МНК-оценки следующеготриближения /
Теорема I. опенки состоятельны, асимптотически нормаль-
ны и асимптотически несмещенные.
Теорема 2. Разности предельных дисперсионных матриц любых несмещенных
соответственно линейных и квадратичных по и оценок и оценок ди/,
О 2 неотрицательно определены.
Доказана сходимость с вероятностью Р» этой итерационной процедуры,
причем Р,/ -» L , ’Rotkb. И -* .
О СЛАБОЙ КОМПАКТНОСТИ СЕМИМАРТИНГАЛОВ В (Rd)
В.А.Лебедев
Пусть даны полное вероятностное пространство (АЛЛ? с неубываю-
щим непрерывным справа семейством 7-(7t)chl_o,^E О' - алгебр 7t<-7 ,
причем 76 содержит все Р - нулевые множества из 7 , и d- мерный
непрерывный справа (i> Р) ~ семимартингал Л-(xz с
Хо-0 . Тогда он имеет пределы слева и допускает, согласно /I /
62
разложение
X = д, * /п * ч, j* (ju-v) + lb
где л = f«/,лл) - непрерывный справа 7 - предсказуемый процесс
с , имеющий локально конечную вариацию, - непре-
рывный локальный (7j р) - мартингал с гпо -0 , /£ - целочисленная
случайная мера на , порождаемая скачками процесса
X , где £>(•) есть О' - алгебра борелевских подмножеств соответствующего
метрического пространства, р - дуальная 7 - предсказуемая проекция для
А * ,
Введем также следующие обозначения: |//z^/ = ! / ,
J , . 0 tn
<№> = . Из/2/ известно, что процесс ini Р-м-
конечен && любого t & R+ . Отсюда вытекает существование такой положитель-
ной вогнутой функции у на с tc/n t что про-
цесс (/«>/*>• д.г(1ч,1))*У также Р-пи конечен для любого .
Определим £>[o,-°L как пространство непрерывных справа и
имеющих пределы слева л - значных функций на L0,a°[ с тополо-
гией Скорохода. В нем подмножество (Rd) непрерывных функций
замкнуто, и относительная - топология Скорохода на нем эквивалентна
равномерной ха каждом ограниченном подмножестве из £ 4<?°Z
Основной результат настоящего доклада дает достаточное условие относи-
тельной компактности семейства распределений на (&*) - мерных
(7, Р) -семимартингалов (X^J с Х^> = 0 , зависящих от па-
раметра <Х из некоторого множества А . При этом определенные выше
характеристики разложения (I) для процесса также будут помечаться
индексом .
Теорема. Пусть существует 7 - предсказуемый неубывающий непрерывный
справа процесс 5 с $о~0 , мажорирующий в смысле приращений процессы
для всех оС еА и некоторой положи-
тельной вогнутой функции g на с /<•/»- £(z)- . Если, кроме
того, выполнено одно из следующих условий:
(а) процессы Xм 7 - достижимы,
(б) процессы 7 - квазинепрерывны слева,
то семейство распределений на (Rd) , отвечающих процессам X ,
относительно компактно.
Полное доказательство данной теоремы дано в работе /"3.7 . Основной
используемый при этом вспомогательный результат является в применении к
7 - согласованным к- значным процессам обобщением теоремы 2 из /4/
и эквивалентной переформулировкой теоремы I из / 5у .
Литература
I. Гальчук Л.И. О существовании и единственности решения для стохастических
уравнений по полумартингалам .-‘'Теория вероятн. и её применения? 1978, т.23,
It 4, с.782-795.
2. Гальчук Л.И. Обобщение теоремы Гирсанова о замене меры на случай полумар-
тингалов со скачками.-’Теория верочт. и её примен',1977, т.22, № 2, с.279-294.
3. Лебедев В.А. Об относительной компактности семейств распределений семимар-
тингаловг-Теория вероятн. и её примен.", (в печати).
4. Григелионис Б.И., об относительной компактности множеств вероятностных мер
в (X.) .-"Лит.матем.сборник", 1973,. т.13, Ns 4, с.83-96.
5. Мацкявичюс В. К вопросу о слабой сходимости случайных процессов в прост-
ранствах .-‘лит.матем.сборник? 1974, т.14, № 4, с.117-121.
63
О РАЗДЕЛЯЮЩИХ СИСТЕМАХ РАЗБИЕНИИ КОНЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
В.Н.Лузгцн
Рассматривается задача определения минимального числа
• Щ® котором существует матрица из элементов 0,,
содержащая попарно различных столбцов и Н(Nlfyn)) строк, количе-
ство элементов с (i •/)в каждой из которых не превосходит
(равно ) Х-/ . Задача была поставлена А.Реньи в 1961 г. и исследовалась
Катоной для 5 =/ . Пусть, не ограничивая общности,
Справедливо равенство < Z)~ %),
л I H/j С>^
где К; = .Индекс ч однозначно определяет-
ся из условий: Ъ(:[О11> } , /ct>(A~Z. . Таким образом
-при л » * 2 VfA, 4 £;=Z;,
Обозначим через Га 7 и LO.J , соответственно, ближайшие сверху й сни-
зу к Л- целые числа. Имеют место оценки : Гя/а-О "I z
2ZX;*sf4
S '/*«*$ '
. Отсюда при fl>
При /Q = ..<>»KS==K£ мн предлаг^зерхнюю оценку :
)
К уже известной нижней оценке ( д, _ энтропия Шен-
нона) добавляем близкую к ней верхнюю оценку: НГМ>] , где -
V/
корень уравнения
В частности, отсюда следуют уже известные результаты:
I.
A/feZ;
t ^г, ~~&Г
2. Пусть , тогда
ПАКЕТНАЯ ОБРАБОТКА ЗАЯВОК В СИСТЕМЕ
А. К. Ляху
Рассматривается система M/Cd/i с обобщенным динамическим прио-
ритетом типа (0,1) и с разделением времени [1 / . Добавочно предполагается,
что после обслуживания каждого пакета заявок прибор вновь будет готов к
обслуживанию только после окончания его "разогрева" Д/ , при этом на обслу-
живание берутся только пакеты размера К пъ , иначе система идет пока на-
берутся /йг заявок, .
Пусть (Ь - интенсивность входящего пуассоновского потока, £b>0 ;
функция распределения (ф.р.) длительности обслуживания одной заявки,
64
ft* S td8(t)<i-o° -t Balt} -Ф.р. длительности "разогрева" прибора,
r - YbdBcitk $ (В) ~ РазмеР пакета, поступившего на прибор по-
следним до момента времени t ; dit) - длина очереди в момент t ;
- виртуальное время ожидания до начала обслуживания [1] . Если обо-
значить через момент начала обслуживания П, - го пакета заявок,
It-О,, считая, что в момент Та начинается период занятости,
то п,9-0 J - вложенная цепь Марсова .
Обозначим х =aJ, ^74^-2-, J5(S)zfe ^deity ре($)- dudi).
Используя методы и результаты /2-4^ можно доказать
Утверждение I , Если выполняются условия , fic< *'а’~ , то
вложенная цепь Маркова имеет стационарное распределение, производящая функ-
ция которого удовлетворяет функциональному соотношению
Утверждение 2. Если выполняются условия утверждения I, то существует
tirn, PfMtXZ, УШу, ptti-'K/fr-ia} /Ч ,
t о z
где .
</*
8'^ CB0* B*K(t'Z}-B<>* B^lt)]-, gM
' p-j-J Wijlti,
а ф.р. Alj(t) времени пребывает в состоянии
ность перехода р- =р[$л„
Литература
к - ^cut сЬергш
i до перехода в у и вероят-
=у7£А легко выписывается для всех b}J el .
I. Димитров М.Ц. СМО с переменной скоростаю обслуживания. Автореферат дисс.
на соискание ученой степени кандидата физ.-мат.наукам.: МГУ, 1978.
2. Гнеденко Б.В. и др. Приоритетные системы обслуживания.М.' МГУ, 1973.
3. Климов Г.П. Регенерирующие процессы с зависимыми пиклами регенерации
марковского типа. Труды 1У-Й Всесоюзной школы-совещания по ТМО. . Баку,
1978, (в печати).
4. Климов Г.П. Стохастические системы обслуживания. M.t Наука , 1966г.
ОБ ОДНОМ АЛГОРИТМЕ ПОИСКА ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ,
ИСКАЖЕННО!? случайннми помехами
В.Г.Никитиенко
Пусть Н(У1А) - семейство Функрий распределения, отвечающих действи-
тельному параметру X . Функция MM-fjdH(jiX) называется функцией
регрессии. Задача состоит в отыскании1 точек экстремумов М(Х; при неизве-
стных Функциях из семейства Н( УIX) . Предполагается, что наблюдение слу-
чайных величин (с.в.) из Н(У)Х) можно производить для любого значения
65
параметра X . Существующие методы решения изложены в /I , ?.] . В прак-
тических задачах-(возникающих, например, в биологии, медицине)осуществление
эксперимента, необходимого для наблюдения с.в. из H(v IX) ,очень часто
связано* с большими материальными и временными затратами. В этом случае целе-
сообразно свести число этих экспериментов к минимуму и использовать для
опенки производной М(Х) предыдущие наблюдения. (В отличие от стандартных
алгоритмов "без памяти").
В связи с вышесказанным предлагается новая рекуррентная процедура:
определим последовательность с.в. , где ,
, Z-л, - производная функции в точке л кото-
рая минимизирует в классе (где
tnatcfaМ-/1Л74Uh,) ) функционал
$(&(&))- /' [+ 22 0ъ[.и.(Лк)-, где
a, K
4 - наблюдение с.в. НСУ1ХК) . <tf=f(Ш<).
Как известно [3], UnlX) является сглаживающим кубическим сплайном
на отрезке £ a, 17 . Тогда для дважды дифференцируемой и выпуклой функции
М(Х) сходится к точке минимума почти всаду.
Литература
I. Вазан м. Стохастическая аппроксимация ,-М.: 1972.
2. Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования.-МЛ Наука ,1976.
3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики ,-М.: 1977.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СПЕКТРА СЛУЧАЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
А.Я.Резникова
Пусть Н = +F(Zj.)j ггйнР^О, R1 - случайный опера-
тор Шредингера с потенциалом марковского тина, введенным в работах И.Я.Гольд-
шейда, С.А.Молчанова и Л.А.Пастура. Хорошо известно, что M-IAL А ш ,
Zu '
где ^(А) - число собственных чисел задачи на £-Д£<7 с клас-
сическими граничными условиями. Неслучайная предельная спектральная функция
распределения /WJ играет важную роль в физической теории неупорядоченных
систем. Наша цель - оценить флуктуации в этом предельном соотношении.
Теорема. Нормированная спектральная функция распределения

рассматривается как случайный процесс по А , зависящий от параметра L ,
сходится при Д (в смысле А.В.Прохорова) к гауссовскому процессу
М*(А). При этом N*(A)3O , А<0 и имеет невырожденные
конечномерные распределения при А>0 . Процесс N*(A) непрерывен и'обла-
дает свойством локальной независимости приращений.
Получены явные формулы для подсчета корреляционной функции процесса
N*(A) в терминах функции F и инфинитезимального оператора -Z д
Близкие результаты установлены и для дискретного варианта случайного
оператора Шредингера: так называемых случайных матриц Якоби
66
где - независимые'одинаково распределенные с.в., /£ЛМ С
ОЦЕНКА ЕЕРОЯТНОСТИ УКЛОНЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИ ВОЗМУЩЕННОГО
ЛИНЕЙНОГО даФФЕРЕНЦШЬНОГО ОПЕРАТОРА
А.А.Русаков
Рассмотрим краевую задачу для системы п, линейных дифференциальных
уравнений первого порядка на интервале £Q( т] :
fa/Uty +Ae(tr) -l(i), (1)
со^(о) + МСЛ * о ,
~ матрица непрерывных гауссовских стационарных процес-
сов, с нулевыми средними и корреляционными функциями:
К.С ---
(н - tr, t) - (yi), е, = /I,
6 - малый параметр, при £ = о , As(tJ=O • Решение задачи (I) зада-
ется интегралом : .где 0^,$)
матричная функция Грина задачи (I). Введем обозначения:
fat) fat-0) *0)], fat)*fat~O)- fa,t +0),
Ш- (ft 4 fa't < RM
w>-(h !№['№ имш-Шч)
t ле-
Теорема. Пусть Y*fa) * e(l)), fa<f(i)-O,
o(D)
, для V&>0 выполнено
/ / 1^(Ш^ о (№)), ]/VW ^(K(t)(DoU)), hj>H, t
тогда при согласованном стремлении к нулю , так что выполнено
(L- L'rM2l/i['l-to(D)) справедливо:
р[ тлх, ±
где Rp~ получается из заменой (С на и ^(i,t) на
fa(tit) - , ^(t), iR/t) -стандартная гауссовская
функция распределения, её плотность, /(, , - константы.
67
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГАУССОВСКИХ
ПРОЦЕССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
О.В.Селезнев
Пусть -периодический гауссовский ста-
ционарный процесс с нулевым средним, единичной дисперсией и корреляционной
функцией 'tit) , удовлетворяющей условиям: lit) tm, раз непрерывно диф-
ференцируема (тъо) ъ. (_-J.)M’i,,iM'>it)^l~C.ltld-+ }№)>
fit) *0(10*), t-*0, Q«L<1') (I)
при tfO существует (t) и - Oii)t t->0. (2)
Выберем в качестве полинома приближения тригонометрический полином
Джексона ^nlt) (см- /Х7 )- Показано, что при дисперсия
процесса уклонений ti^ndt) - J, it) - (it) имеет порядок
Обозначим через IC^iU,) число 1 - выходов за уровень ZZ- нормированного
процесса уклонений Г[йгт,(Ь)л^ц1т,ИМ^п~т. на отрезке £-Zzz,OJ
(см. ^27 ). Пусть уровень U, и л- согласованы так, что£Д^;=> ,
- Тогда справедлива
Теорема. Если выполнены условия (I) и (2), то
£>
Лп,(ч) ИЯ), (п,ч)л ,
lim Р } mu I 3^tm,(t)i > zT/ = i-e ~A,
it/iir J
где q »> ЛТЯ) “ пуассоновская случайная величина с параметром
Я ’
Литература
I .Тихомиров в.М. Некоторые вопросы теории приближений,-МЛ Изд-во МГУ,1976г.
2 . Беляев Ю.К., Питербарг В.И. Асимптотика среднего числа А - точек выбора
гауссовского поля за высокий уровень. - ДАН СССР,1972,т.203,№ I,с.9-12.
> О СВЯЗИ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
И.А.Соколов
Математические модели функционирования больших систем во многих случаях
приводят к анализу систем массового обслуживания. При этом часто наши зна-
ния об исследуемых объектах основаны на измерениях в некоторые дискретные
моменты времени. То есть то распределение, которое мы наблюдаем, является
дискретным приближением к непрерывному. В связи с этим актуальным представ-
ляется вопрос об оценке близости характеристик соответствующих дискретных
и непрерывных систем обслуживания, умение исследовать дискретные системы.
Данный вопрос нашел отражение в работе /2.7 .
Рассмотрим систему с параметрами входящих потоков а,,-
и моментами времени обслуживания вызовов j'-Cn,, n>Z) [L] ; и
дискретную с шагом Z систему - входящие потоки геометрические с параметрами
р? $ длительности обслуживания целочисленные случайные величины с момента-
ми 4/П-ъИ,) • Порядок обслуживания FIFO , приоритет
относительный. Пусть выполнены условия существования стационарных распреде-
68
I*
лений: для непрерывной системы ZV • Для дискретной:
i /37/
j Sf
Утверждение. При выполнении условий существования стационарных распре-
делений и А =£.• , =Д/ справедливо
Г-»4> т г-»* <*•'<»
t'u/J =й£, ЬлР^Р*: (t~tP)J4n.i /г>Л),
X^Q V 4 t+0 * * <7 ✓ <7
где X/ , - моменты периода занятости, времени ожидания и
длины очереди для ишрерывной системы. lP%, P,j соответствующие
характеристики дискретной системы.
Замечание I. Аналогичные результаты справедливы для систем о ненадеж-
ным прибором и других разновидностей приоритетных дисциплин (абсолютный,
смешанный, чередование). 4
Замечание 2. Практический интерес представляют оценки скорости сходи-
мости. Для каждой конкретной системы они имеют свой вид и зависят от скорос-
ти сходимости параметров систем.
Литература
I. Гнеденко Б.В. и др. Приоритетные системы обслуживания .-МГУ, 1973.
2. Боровков А.А. Вероятностные процессы в теории массового обслуживания
M.J Наука , Т972.
3. Ежов И.И. Автореферат кандидатской диссертации. Киевский университет, 1964.
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАТИСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕДУР В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ
Г.И.Симонова
Пусть (Х,й, pei) - вероятностное пространство и
семейство вероятностных мер, удовлетворяющих условиям регулярности Рао-Краме-
ра. Статистическую процедуру будем характеризовать функционалом
который назовем достоинством процедуры. Предположим, что существует предел
tun, A(fbi) ~A(tyxL _ , статистическую процедуру с достоинством
А назовем устойчивой, если ^(Рео)=О . Рассмотрим процедуру оценива-
ния параметра 6 , когда достоинством является асимптотическое среднее
оценки. Пусть Xt, <* *4 л ~ выборка из распределения о плотностью
„ относительно меры U, . , а оценки получаются решением системы
уравнений - О (I).
Обозначим Ь(Х,0)= hЩ(х16>0)'> MeaiXt6)(lT(XlPhIW>
J(ehMt041t6)6r(2,0)) 0) , где - математическое
ожидание по мере . Пусть - состоятельное при £, -О устойчивое
решение (I), а - его асимптотическая дисперсия.
Теорема I. Пусть существует А. (в) и выполнены стандартные условия
регулярности для семейства и условия, гарантирующие асимптотическую нор-
мальность Qf . Тогда /и* А 6^ - (£(0) -Ле)Ц~'(в)7 r(&)J "f
Теорема 2. Пусть - оценка функции й(Р) , а ей достоинство -
математическое ожидание; матрицы и I(&)-JWtfGJJlOJ невырождены. Тогда
69
для V*y'flj KW , где ^'/1X^=0 j
справедливо неравенство .
Замечание. Аналогичным образом можно выписать границу Бхаттачария.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ШЕОБРАЗОВАНИЙ ЛАПЛАСА ОТ
ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
И.Э.Симонова
По выборке Х/,_. Z^ н.о.р. случайных величин с невырожденной функ-
цией распределения P(z)j ZG L О, оценивается
Пусть ?№) - эмпирическая функция распределения /о ^>2^ .Положим
Ytiiih fiH & "Ud (F„fz) - F/x))t , rz(t) - дисперсия XH)-^ tZdB(FMX
где 8(z) ° - броуновский мост. Обозначим через С6£4°*) пространство не-
прерывных на £0^) и убывающих на бесконечности функций.
Теорема I. Если F(+o)-O , то существует пространство ,
такие версии X^lt) процессов Y^fth Xft) и такие константы
б, к, А • что Piiuf i< не да» всех
ttLo,-*) ft/ J
Теорема 2. Если Р(+0) -0 и J хс/Р(х)<о° , то процесс
слабо сходится к Alt) в C^LO.o0),0
Пусть L (X.) - медленно.меняющаяся на бесконечности функция.
На основе ас имптотической пуассоновости потока выходов процесса
за высокий уровень получается ‘ 7
<г&)
Теорема 3.
У*/ /X) о
Если F(Z)> Г7Г^ (Х+О), J Z'-c//F(z)<^
/ (a+lj о
« 7» TVW-»»« так что Ti
u pi ,w<• -e",
то для всех X
ma
Результаты получены с использованием работ /т и 2]л
Литература
Vetw: igtf,v.3^A/Pt,p.p H3-131.
2. Мацак И.К. Локальные свойства выборочных функций случайных процессов.
Канд.диссертация. Киев,1978.
1МББС0ВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЕ НЕЗАВИСИМОГО СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ В СЛУЧАЕ
НЕФИНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Л.А.Умирбекова
Случайным.полем на решетке 'яУ называется система случайных
величин, £6 2^ с заданными конечномерными распределениями.
70
Эти случайные величины определены на (Я, z, 4/и) . V* принимает зна-
чения в множестве Л , которое предполагается сепарабельным полным метриче-
ским пространством с борелевской (Г - алгеброй. хс-л - функция на £
со значениями в Л называется конфигурацией. Пусть - ограничение на
" набор вещественных функций, определенных на Лд
Для Ф -№а) выполнены следующие условия:
I. =0 , IAI - £ ( /А/ - число точек решетки Z^e/I, A <-%/).
3. Трансляционная инвариантность.
Кавдое произведение ф^*^ <р^ локальных функций можно рассматривать как
случайную функцию на (Лг Z,fb) .Её средние обозначаются <ФЛ ,
если оно существует. Такие моменты определяют случайное поле и наоборот.
Пусть задан куб ИС Z
Определим новую меру ty,iV = 2'Jexf [-UyWl
<PA(z), £.^<ezf>L-Auvl>^
Определение. Произвольная слабая предельная точка dp^y для любой
расширяицейся последовательности, кубов И называется возмущением слу-
чайного поля данным лагранжианом.
Теорема. Если лагранжиан Ф удовлетворяет условиям 1-3, то сущест-
вует Л такое, что для 1АКА0 возмущение g? лагранжианом существует,
единственно и аналитически зависит от J .
При доказательстве теоремы существенно используется следующая лемма.
Лемма. Пусть выполнены условия 1-3. Тогда для некоторого и
Для Ае {А ' /А1<А 4 ЗС?>0
А К, V JCj <expi:-A4v-A2>iCjlAi.
такое, что равномерно по
В лемме для доказательства этого числа рассматривалось уравнение
Кирквуда-Зальцбурга и искалось его решение.
СИСТЕМЫ КОММУТАЦИИ ПРИ УЧЕТЕ ПОВТОРНЫХ ВЫЗОВОВ
Г.И.Фалин.
В последнее время в теории теле трафика большое внимание уделяется сис-
темам с повторными вызовами. Однолинейные системы такого типа изучены доста-
точно подробно, в то время как для случая многих каналов мы имеем лишь чис-
ленные расчеты нескольких конкретных систем.
В настоящей работе рассматривается широкий класс систем массового обслу-
живания с повторными вызовами, который включает в себя неполнодоступные схемы,
различные сети связи и т.д. Для систем этого вида уравнения статистического
равновесия имеют определенную структуру, тесно связанную со структурой систе-
мы и алгоритмом управления, что позволяет получить их решение в виде рада
по степеням поступающей нагрузки* . Это решение используется для получения
асимптотических формул для различных вероятностных характеристик системы
при малой загрузке первичными вызовами.
Например, для однородной системы с детерминированным алгоритмом управ-
ления
а) вероятность блокировки первичного вызова
o(Ad)*>
б) среднее число повторных вызовов, производимых заблокированным пер-
71
вичным вызовом за время пребывания в системе
Здесь - интенсивность потока повторных вызовов от одного источника,
Н<(Н1) - вероятность того, что заблокированный первичный (повторный) вы-
зов откажется от дальнейшеих попыток установления соединения и покинет сис-
тему; d , L d , acct), определенным образом связаны со струк-
турой системы и её алгоритмом управления.
Отметим, что первый член в разложении Р по степеням А не зависит
от поведения заблокированных вызовов (которое описывается параметрами
ju., Hz ). Гипотеза о справедливости этого утверждения ранее выска-
зывалась на основе изучения данных численных расчетов на ЭВМ. Кроме этого
установлен ряд других общих качественных свойств систем рассматриваемого
типа.
Отметим, в заключение, что полученные асимптотические формулы являются
довольно точными даже при относительно больших значениях Л и могут быть
непосредственно использованы для получения численных данных.
О МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ, ОШДАКЩИХ СВОЙСТВОМ
"ОТСУТСТВИЯ ПАМЯТИ" (сон)
П.Ферман
Пусть X • (Xi> случайный вектор (с.в.) на с функцией
надежности (ф.н.) Р{Л (Х(Cl] • Обозначим
[CO/7*J класс ф.н. F таких, что для всех и д>0 вычисляют-
ся следующие эквивалентные равенства:
P[fi (Xt > z- м #(Xi M^Pf-P (Xi >£)),
Р {fi (Xi > Z; M (Xi >Д)/- Р{$(X, *Z;)\'
Теорема I. Если Fe[conn) , то для всех fcц.) min,X;
является абсолютно непрерывным о.в. _
Обозначим класс ф.н. F , для которых X допускает разложе-
ние X « £ е * 2
ное распределение, с.в.
, где у - одномерный с.в., имеющий показатель-
2 - ,,,, zO не зависит от и
• где 2,-
‘si"p
Теорема 2. На основании теоремы 2 вычисляются в явном виде смешанные
моменты и свертки. Пусть FttJ-P (X^t) , t>Q и - функция
интенсивности отказа.
Теорема 3. Если F & [СОП*) t то t>0.
Теорема 4. Пусть Fflt) дважды дифференцируема при t ?О . F< яв-
ляется маргинальной для некоторой ф.н. ре (солЛ) тогда и только тогда,
когда справедливо неравенство
W t>0>
В терминах теории надежности результаты теорем 3 и 4 можно интерпрети-
ровать так: если , то старение "слабое", а в случае Р,е[У(и]
"молодение" происходит не слишком быстро.
72
Литература
I. OUutU L к toi/WlUtlti'64
JM, 196 f, V.62,PP ЭО-99.
АППРОКСИМАЦИЯ МЕДЛЕННО МЕЛЯЩИХСЯ ФУНКЦИЙ
БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕ&ЕНЦИРУЕМЫМИ.
А.Л.Якимов
Пусть функция L(x), z>a.?O медленно меняется на бесконеч-
ности.
Теорема I. Предположим, что для произвольного действительного
/>а О< inf L(z)± Jicp L (z)< .
Ze-£a,ii
Тогда для любых Я/ и Яг таких, что. 0<Ai<i < Ах<<^ ? существуют ^такие
бесконечно дифференцируемые медленно меняющиеся при tyvKXWR L<(x)
и LzM, что:
а) для каждого l-1tb L У
б) для произвольных I - 4 £ и натурального
- 0 (z ~nL с (X)) при X -* J
в) injL(il)$ L1(x)^LJ(z)^Li2iz.)s=.5ufZ(u,) , где
и,едх
Д X “ £ AfX j A 2&J О £ t
Идея доказательства теоремы I. Для простоты пусть (L - £ , ,
Тогда можно положить
О
где H^plnXl, <£п,- ii^p
iCZ in.-ilntl]^L0l<=o)
Формула для LfM выписывается аналогично.
Теорема 2. Существует такие константа и измеримые функции
^(Z) и р,(Х) , Ц,6 , причем 6629 - бесконечно дифференцируемая, что:
a) L(x)-ezp{ f(x) г J f Х>^ >
б)
в) и для произвольного натурального
Р(п)(х) = о(л~л) Ф при х+с^>,
Теоремы I и 2 обобщают йзвестные результаты в теории регулярно меняю-
щихся функций (см., например, [ij ).
Литература
ШМ!' -19^ ,V. 6'0^, /УХ, рр. 6У-6Л..
73
СЕКЦИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНШАЛЫЫХ УРАВНЕНИЙ,
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ
КАНОНИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ УГОЛ-ДЕЙСТВИЕ
В ЗАДАЧЕ О ВОЛЧКЕ ЛАГРАНЖА
И.М.Аксененкова
Найдена переменные угол-действие для волчка Лагранжа, установлена зави-
симость направляющих косинусов вертикали от этих переменных и получены раз-
ложения направляющих косинусов в ряды Фурье/*1,2_7>
Переменные угол-действие для волчка Лагранжа можно ввести, выбирая в ка-
честве исходных канонических переменных переменные Эйлера ( G, К *Ppff -fa/fr ).
Переменные V и jA являются циклическими, следовательно, соответствующие им
импульсы постоянны и могут быть, выбраны в качестве переменных "действия:
~ Уъ) pf~ Уз .
Переменную 7/ определим по формуле
Здесь - мндгочлен 3-й степени, -его
корни, удовлетворяющие неравенству -KAi<A2.<l . Производная
( £ - постоянная энергии), вычисленная из равенства (I), положительна, зна-
чит, Л, а также корни Л/ многочлена могут быть выражены как
Функции Л, , У3
Пусть ч?, - производящая функция канонического
преобразования от переменных /V / к переменным угол-дей-
ствие /А'ойй, hiil У/,У^УЛ . Тогда переменные определяют-
ся по формулам й,;- - //=
Из. последних равенств получены выражения для углов Эйлера через перемен-
ные угол-действие.
Направляющие косинусы вертикали Z и /' вычислены по формулам
Далее получены разложения я У' в ряды Фурье по переменным и
причем коэффициенты разложения есть функции от УЛ/ JZ,J3
’ Литература
I. Аохангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела.-
М.:Наука, 1977.
2. Садов Ю.А. Переменные действие-угол в задаче Эйлера-Пуаноо.
Ин-т прикл.матем.АН СССР, препринт № 22, 1970.
*
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКИХ УХОДОВ ТРЕХОСНОГО ГИРОСКОПИЧЕСКОГО
СТАНИИЗАТОРА НА ПОСТУПАТЕЛЬНО ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ ПРИ
НАЛИЧИИ СТАТИЧЕСКОГО ДЕБАЛАНСА ПЛАТФОРМЫ И КОЛЕЦ КАРДАНОВА ПОДВЕСА.
/ /
А.А.Альдяков
Трехосный силовой гироскопический стабилизатор является составной
частью многих систем инерциальной навигации, служащих для автономного опреде-
ления ориентации и местоположения подвижных объектов (самолетов, кораблей и др.)
74
Система гироскопической стабилизации призвана обеспечивать строго
определенную (в частности, неизменную) ориентацию платформы в инерциальном
пространстве. 1 \
В силу инструментальных погрешностей изготовления элементов стабилиза-
тора, их инерции, наличия угловой качки объекта, линейных перегрузок и пр.,
ориентация платформы не точно совпадаете предписываемой, платформа, как
говорят, дрейфует. Средние скорости этого дрейфа называют систематическими
уходами. Они в известной степени характеризуют точность работы системы инер-
циальной навигации - точность определения ориентации и местоположения
объекта.
Работа посвящена определению в явном виде систематических уходов гиро-
стабилизатора в условиях гармонических поступательных вибраций основания при
наличии смещения центров масс колец карданова подвеса и платформы от точки -
геометрического центра подвеса платформы. Гироблоки предполагаются стати-
чески и динамически сбалансированными. 6 невозмущенном положении оси стабили-
зации считаются взаимно перпендикулярными. Уравнения стабилизатора выводятся
с использованием теоремы об изменении кинетического момента. ПровЬдится их
нормализация и введение малого параметра. Решение уравнений находится методом
последовательных приближений^ учетом всех перекрестных связей между каналами
стабилизации определяется решение уравнений первого приближения, соответст-
вующее вынужденным колебаниям в системе. Затем вычисляются постоян-
ные составляющие (систематические уходы) решений уравнений второго приближе-
ния для производных углов карданова подвеса и для проекций абсолютной угло-
вой скорости платформы нц связанные с ней оси.
Получившиеся компактные формулы позволяют определить систематические
уходы трехосного гиростабилизатора по известным характеристика^ системы и
характеристикам колебаний основания.
К ЗАДАЧЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ДВУНОГОЙ ХОДЬШ И БЕГА
НЭ. В. Болотин
Предлагается алгоритм управления плоским двуногим шагающим аппаратом
(ДПА). основанный на разделении движений введением жесткого управления мо-
ментами в суставах. При этом движение ДПА описывается сингулярно возмущенным
дифференциально-разностным уравнением; его асимптотическому приближению отве-
чает метод ладанной синергии» Синергия строится из условия движения центра
масс ДПА и конца его переносимой ноги по выпуклым вверх траекториям. Приме-
няемый подход основан на использовании демпфирующих свойств неупругого удара
переносимой ноги о поверхность, которые обеспечивают автоматическую стабили-
зацию продольного движения.
Пусть (Г<= 2L - векторный параметр, определяющий структуру походки,
, х* - длина шага и опорного отрезка, скорость перехода от
ходьбы к бегу. Имеет место следующее утверждение.
. Для любого определены -£*/2 < 2 _.< О такие, что в
зависимости от значения Х* алгоритм реализует один из следующих режимов:
I) стояние на месте при' -£*/£,< х*<х.~ ; 2) ходьба с диапазоном ско-
ростей 0< V< при х_<х^<х+ ; 3) ходьба вприпрыжку со средней
скоростью при Xr<x*<.Q ; 4) стационарный бег с произвольное
скоростью, большей , при Х*~ О ; 5)ускоряющий бег при X* >0 .
Моделирование неупругого удара ноги о поверхность переходным процессом
асимптотически^ малой длительности показывает, что средняя скорость движения
ДША при ходьбе необходимо зависит от вязких свойств поверхности. Пусть задан
75
программный закон медленного изменения средней скорости движения.
Выберем длину опорного отрезка на i - м шаге ,
где £ - положительный параметр. Тогда построенный алгоритм отслеживает
программную скорость движения, адаптируясь к изменению характера удара.
О ПРИНЦИПЕ НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ДЛЯ НЕАВТОНОМНЫХ
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
С.В.Болотин
Пусть ( М, Н) - гамильтонова механическая система с конфигурационным
пространством М и функцией Гамильтона Н . Предположим, что Н почти
периодически зависит от времени. Тогда классический принцип наименьшего дей-
ствия неприменим. Сопоставим (М,Н) автономную гамильтонову систему бЛ#
Пусть - множество гладких почти периодических кривых Q.U) в М .
Ковектор р в точке <2 е Л задается гладким почти периодическим ковекторным
полем P(t) вдоль кривой Q[t) . Определим функцию Гамильтона J по
формуле JWQJ-HCPahQait)- Pit) Gt It) означает среднее значе-
ние). Кривая t ^(Pt, Qi) - фазовая траектория гамильтоновой системы (Л,7)
тогда и только тогда, когда для каждого т t-* (Pt.za)> CLt-tW) - фа-
зовая траектория исходной гамильтоновой системы (М,Н) . функция Гамиль-
тона 7* не зависит от времени, поэтому J - первый интеграл: J(Pt,Qt)^L
(для исходной системы <7 - интегральный инвариант Пуанкаре-Картана).
Таким образом, для (Л, 7) имеет место принцип наименьшего действия.
Естественно, что утверждения, доказываемые с помощью классического
принципа наименьшего действия, могут быть неверными для бесконечномерной
гамильтоновой системы (Л,7) . Иногда удается обосновать несколько более
слабые варианты этих утверждений. Пусть, например, функция Гамильтона Н
имеет мд Н(р,^Ь)~ £// /?/// tVfy.t) . Тогда (Л,7) -ме-
ханическая система с гироскопическими силами. Применяя к ней принцип наимень-
шего действия в форме Якоби, можно доказать, например, следующее утверждение,
осносящееся к исходной системе ( :
Пусть И компактной *. Тогда для любых
существует Т>0 и семейство движений » такие, что
Отсюда следует, что если V(p, t) - тлд. VO^t) , то - не-
устойчивое положение равновесия. В автономном случае это теорема Хагедорна.
Существует похожее утверждение о почти периодических движениях.
ОЦЕНКИ ДЛЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
В.А.Васильев
Изучается асимптотическое поведение при А * интеграла
KlhWhJezpffM/ii) Ш) л
А
где /, (/ - функции, голоморфные в окрестности Vc (,
Л - сингулярная
$>0', Y ------ **
Пусть
76
(I)
точки &
цепь такая, что д^1/ Зле с
в Нп-л(^Г^)) •
Г ([) - многогранник Ньютона ряда
X - класс Эд
мА»
Тейлора функции в 0 (см. /Г/ ). Определим число Р(^Р) условием
P(ttr) &1)еГЦ) Щ^Г) - число степеней свободы опорной к р
гиперплоскости, проведенной через точку Хс .
Теорема I. Пусть ряд Г - невыровден (см. /I/ ) и имеет
в 0 изолированную особенность; . Тогда ,
ИММ* 0(ь/<г-Г)1ии^'Г>)'. 1 -
Обозначим через й)({) (см./2/).
Лемма (см. [2 .пример б.^>. Пусть / квазиоднородна степени I с
весами ^...,^5 У »//'.,. */• . Тогда при любом feHn-ifpt’tyt),
л . гЛе **«tf**4
е--0<=> класс в ц *(-$),£) формы У-47 А) ортогонален f
Следствие. Если в лемме I . то вектор
tn.fl) лежит в плоскости, натянутой на 0
Действительно, иначе показатель * определен неоднозначно. ~
' Предложение 2. Пусть та же, что в лемме, J такова, что
по ot; принадлежащим некоторой компактной грани АСГ[^) . Тогда существует
гомоморфизм & Hn-i (Г* такой, что для
интеграла (I) с f в показателе экспоненты, 1(к,,Ч>,аЩ))* 64,где
С то же самое, как если jf -f , 6U)-£ . Отображение & сохраняет
матрицу пересечений, коммутирует с монодромией и для гомологий с коэффипиен-
тами в <t является вложением.
Теорема 3. Пусть , , а/ Г- невыроадена и имея За
Тогл^э/‘ 11’Лк,1'' * в и только в том случае, когда вектор
* ~ коллинеарен радиусу-вектору какой-нибудь вер-
шины многогранника Г(£) , но не является его целым кратным/3 ,4/.
Литература
I. Арнольд В.И. УМН.ХХХ, вып.5 (1975),с.3-65.
2. в (Inn,. iUtut. ftoh formSupir. Ser.Vfl 1/3, tyOS-foO
3.Варченко A.H. Многогранники Ньютона и оценки осциллирующих интегралов.-
"Функ.анализ и его прилож",1976,т.Ю, вып.З, с.13-38.
4. Бернштейн И.Н., Гельфанд С.И. Мероморфность функций Р* . - "Функ.
анализ и его приложения", 1969, т.З, № I,с.84-85.
ПРОСТЫЕ ПРОЕКТИРОВАНИЯ Ш1ЕРП0ВЕРХН0СТЕЙ
В.В.Горюнов
Определение. Проектированием гладкой гиперповерхности 5 называется
диаграмма %> (<£*0) , где I -вложение, а Т -
линейная проекция. Эквивалентность проектирований -это коммутативная диаграм-
ма (5iP) -----------> бГ*г, i) -+((£*,0),
(S^P1)-------^(^,0),
trq вертикальные стрелки - диффеоморфизмы (см. /ij ).
Пусть и/} “ координаты в - координаты в
(1^^ и гиперповерхность задается уравнением .Мы
будем рассматривать формальный случай. Скажем, что проектирование гиперпо-
верхности является простым, если достаточно малая окрестность точки f
в пространстве формальных степенных рядов у/,... /л.7/ покры-
вается не более чем конечным числом орбит относительно определенной нами
эквивалентности.
Введем обозначения: ^>1%) - простая функция, имеющая нуль - крат-
ной критической точкой, [2] ; - базис кольца
77
• причем ejulD^Heu^a)) Q^^j} !
(2|= Z. у I ; codimj- - коразмерность орбиты проектирования в
GLLXf)... .
x Теорема. В пространстве проектирований гладких гиперповерхностей в
<ГЛ’4 простымиявляются только следующие (проектирование происходит парал-
лельно z - пространству):

п-лиЛь H'i'JU >4 П>,р>Л П^-jU-L л, ju >1 4i 'Ч6 '/*A ЧММОЩЫ 0 Ь-ЦУЛ* HjUiTuZiCiWU ТОЪ*.*!, $(O)-0) Xr>0 /dMskUUL— xHswielil 0 A A \ Л П4Л ]U-rClK4it О, « О, 4 s ; >
Перечисленные проектирования попарно неэквивалентны. Множество непростых
проектирований имеет коразмерность 7 при п-± и п»5 , 4 - при п-9, ,
5 - при п,- 3 и 6 при п. = 4 ‘
Литература
I. Арнольд В.И.Индексы особых точек -i - форм на многообразии с краем сво-
рачивание инвариантов групп, порожденных отображениями и особые проекции
гладких поверхностей . - УМЙ,1979, т.34. № 2, с.3-38.
2. Арнольд В.И. Нормальные формы функций вблизи вырожденных критических то-
чек,группы Вейля А к,‘Эк, £ц и лагранжевы особенности. -"Функ.анализ и
его прилож.", 1972, i.6, № 4, с.3-25.
ИССЛЕДОВАНИЕ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРОСА ПРИВЯЗНОГО
ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
В.Н.Каликов
При изучении динамики полета привязных летательных аппаратов (ПЛА) в
турбулентной атмосфере одной из основных задач является учет влияния дина-
мических свойств троса.Ранее автором были получены уравнения, описывающие
малые колебания ПЛА около стационарного положения равновесия, при условии,
что трос учитывается своей матрицей жесткостей. Пренебрегая криволинейно-
стью начальной формы троса, эту матрицу удалось получить аналитически.
78
Однако при этом остается неучтенным ряд механических эффектов, как, например,
связь продольных и поперечных колебаний в тросе.
В данной работе трос рассматривается как гибкая нерастяжимая весомая.
нить, находящаяся в потоке воздуха. Решается задана отыскания стационарной
формы равновесия нити и исследуются малые колебания около этого положения
равновесия. С этой целью используется дискретная модель нити, представляющая
собой цепочку жестких стержней, соединенных идеальными шарнирами.
В работе получены уравнения движения дискретной модели нити, разработаны
алгоритмы решения стационарной задачи и вычисления элементов матрицы динами-
ческих жесткостей применительно к общей задаче исследования движения ПЛА,
проведены предварительные вычисления. Эти вычисления позволяют сформулировать
условия, при которых можно использовать упрощенные модели нити.
ИЗ ИСТОРИИ МЕХАНИКИ В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
(о научно-педагогической деятельности Ф.А.Слудского (1842*1897)).
Ю.В.Караваев
В работе освещается интересный эпизод из истории механики в Московском
университете в XIX в.
Впервые в истории Московского университета профессором Ф.А.Слудским
был создан полный, удовлетворяющий требованиям того времени курс механики:
в I878-I88I г г. им был издан учебник "Аналитическая механика", в 1881-
курс "Теоретическая механика".
В развитии вариационных принципов механики в XIX в. наиболее опорным
оказался вопрос о характере варьирования в принципе наименьшего действия в
форме Лагранжа Д , с .39-4IJ. Значительный вклад в трактовку данного принципа
механики внесли труды Слудского о принципе наименьшего действия fib], fi>] ,
/4/ , /5/ . В частности, Слудский показал асинхронный характер варьирования
в данном принципе и разницу между принципом Лагранжа н принципом Гамильтона.
Отзвуки дисскусии о принципе наименьшего действия находят отражение в
современных книгах по механике р>, C.I6I-I65J, [7, с, 232-249 J .
Литере гура,
I. ЯКоби К. Лекции по динамике.-М--Л.: ОНТИ, 1963г.
2. О начале наименьшего действия. Математический сборник, т.2, 1867.
3. Заметка о начале наименьшего действия. Математический сборник, т.4, 1870.
4. Слудский Ф.А. Курс теоретической механики. М., 1881.
5. МошИц лплаЛи Роли, /g?g,
6. Ланцош К. Вариационные принципы механики.-М.: Мир, 1965.
7. Полак Л.С. Вариационные принципы механики, их развитие и применение р физи-
ке.-М.: Мир , I960.
0 ТОЧКАХ ЛИБРАЦИИ ВБЛИЗИ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ ПЛАНЕТЫ
И.И.Косенко.
Методы качественного исследования поведения гамильтоновых систем в ок-
рестности особых точек хорошо известны. Последовательное изложение этой
теории можно найти в книге [I] . Целью доклада является краткое описание
алгоритмов упомянутой методики и их построение для точ^к либрации около
эллипсоидальной планеты, равномерно вращающейся вокруг одной из своих глав-
ных осей.
79
Найдены положения относительного равновесия и новая система параметров,
определяющих задачу, которая позволяет получать коэффициенты разложений в виде
явных функциональных выражений от этих параметров. Даны также все ряды, кото-
рые необходимы для аналитической нормализации на компьютере и, кроме того,
описан алгоритм использования этих рядов.
Упомянутые разложения применяются для получения нормальной по Биркгофу
формы в линейном приближении. Откуда в*пространстве параметров найдена область
выполнении необходимых условий устойчивости для эллипсоидов с произвольными
величинами главных полуосей. Определены также резонансные поверхности для
резонансов третьего и четвертого порядков.
Из геометрии области устойчивости для эллипсоида, близкого к сфере,
следует
Теорема. Свойство точек либрации быть устойчивой в первом приближении
зависит только от формы эллипсоида и не зависит от массы, линейных размеров
и угловой скорости вращения планеты.
Литература у
I. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике.-
М.: На^ка, 1978,
О ФАЗОВЫХ КРИВЫХ JРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
В СВЯЗИ С ЗАДАЧЕЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ
А.И.Матасов
При оценке возможностей использования информации о высоте движения
объекта в инерциальной навигационной системе /I , 2J представляет интерес
следующая постановка задачи.
I. Рассматривается материальная точка М , движущаяся в поле сил ньюто-
новского притягивающего центра 0 под действием внешней негравитационной
силы 1[Ь) . Пусть ей движение происходит на постоянном удалении Го от цент-
ра 0 .
Ставится задача определения многообразия^ V решений уравнения движения
материальной точки (при фиксированной силе jit) , но разных начальных
условиях), подчиняющихся ограничению )fl~r0 (г - радиус-вектор точки
М ).•
2. Вначале задача рассматривается в неподвижной плоскости, проходящей
через центр 0 (начальные скорости движения предполагаются меньше первой кос-
мической скорости Укос* ). Доказано, что в плоском случае V" состоит не
более чем из двух решений; установлены условия, при которых V" состоит из
единственной'траектории.
3. В пространственном случае имеет место следующее утверждение.
Пусть F*ft), UEOjJJ , - радиусы -векторы мно-
жества материальных точек { , движения которых описываются решениями из
V • Пусть, далее, движение одной из них происходит со скоростью меньше
первой космической. Тогда все точки из { И*} лежат в одной плоскости.
Литература
I. Парусников Н.А. Использование информации о высоте в задаче инерциальной
навигации/Научные труды НИИ механики МГ/1, т.40, 1975.
2. Девянин Е.А. Об общих уравнениях инерциальной навигации."Изв.АН СССР,
МТТ", 1973, № 4, с.80-86. .
80 '
К ЗАДАЧЕ ОБ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ
. АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
М.Р.Либерзон
Работа следящего электропривода с учетом нелинейных нестационарных харак-
теристик описывается системой дифференциальных уравнений вида
¥(о)-о, (1)
где х - - мерный вектор обобщенных координат системы, А - постоянная
матрица, 1,1, ttoL - постоянные h, - мерные векторы,^ -
скаляр. Нелинейные функции и / обеспечивают существование и единствен-
ность решения систем (I) и, кроме того, удовлетворяют неравенствам
ЬгГЛ ‘ (2)
Для исследования абсолютной устойчивости системы (I) в классе нелиней-
ных характеристик (2) введем в рассмотрение следующие системы*.
X* Ах + &а4Ь)<Г< +1ШК), (3 )
X - Al * 1- t>J)U,H)kzOa. f t kj.O'z,, №
здесь функции времени Mitt) (они являются элементами диагональной -
матрицы VY^-Ли iztt) измеримы и удовлетворяют неравенствам
Имеют место утверждения:
Лемма I. Множества всех решений систем (I) и (3) совпадают.
Лемма 2. Множество всех решений системы( Ц ) содержится в множестве
всех решений систем (3).
Лемма 3. Множество всех решений системы(З) содержится в множестве всех
решений систевЛ (£}.
Теорема. Для абсолютной устойчивости системы (I) необходимо, чтобы
абсолютно устойчивой была система (*/), и достаточно, чтобы абсолютной устой-
чивой была система (у).
Критерии абсолютной устойчивости систем (М и (£) 3-го порядка, пред-
ставленные в виде неравенств относительно, коэффициентов этих систем, опре-
деляются с помощью вариационных методов. Это даёт несовпадающие необходимые
и достаточные условия абсолютной устойчивости системы (l) 3-го порядка в
алгебраической форме.
ЗАДАЧИ КОРРЕКЦИИ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ
ПО РАССТОЯНИЮ ДО СПУТНИКА
Н.Б.Минц
Исследуются возможности привлечения информации о расстоянии от подвиж-
ного объекта до спутника в качестве дополнительной для коррекции инерциаль-
ной навигационной системы (ИНС) объекта.
Задача коррекции ИНС по дополнительной информации представляет собой
задачу оценки вектора состояния линейной динамической системы, который со-
держит в себе ошибки ИНС и компоненты погрешностей приборов ИНС, при наличии
81
вектора измерения. Вопрос о возможностях оценивания вектора состояния связан
с задачей о наблюдаемости.
Особенность задачи коррекции ИНС по информации от спутника состоит в том,
что она существенно нестационарна по измерению. Для некоторого типа нестацио-
нарности в измерении предлагается методика анализа наблюдаемости и построения
оценок вектора состояния линейных систем, состоящая в следующем: сведении
линейной системы, нестационарной по измерению, при помощи перехода к расши-
ренному пространству состояния к полностью стационарной системе, проведении
анализа наблюдаемости и построении оценок наблюдаемых переменных расширенной
системы известными методами / I/ и переходу от полученных оценок к оценкам
наблюдаемых комбинаций исходных переменных состояния /2] .
В случае круговой орбиты спутника и при движении объекта по стационарным
траекториям измерение принимает вид, позволяющий применить вышеуказанную ме-
тодику.
В результате из всех переменных пространства состояния выделено наблю-
даемое подпространство с некоторой мерой наблюдаемости L2J , построены
алгоритмы оценок наблюдаемых переменных. Показано, что по расстоянию до одно-
го спутника можно получить оценку ошибок в определении координат объекта, -
тогда как ошибки в определении скорости, ориентации трёхгранника, связанного
с объектом, не оцениваются, в связи с чем необходимо дополнительное привлече-
ние информации, например, о расстоянии до еще одного некомпланарного спутника.
Литература
I. Парусников Н.А. Задача коррекции в инерциальной навигации.
'•Научные труды Института механики МГУ1; М 29 Изд.МГУ, 1973.
2. Парусников Н.А., Морозов В.М., Минц Н.Б., Украинцев С.В. Оценивание век-
тора состояния динамического объекта и задача коррекции. Отчет Института
механики МГУ Л 2104, 1978.
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА ГОРЯЧЕВА
В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В.И.Орехов
В докладе предлагается развитие восходящего к работе С.Смейла [т]
метода топологического анализа совместных уровней первых интегралов для слу-
чая натуральных систем, допускающих дополнительный квадратичный интеграл.
Этот интеграл предполагается ненормализуемым,то есть распределение собственных
векторов его квадратичной части неинтегрируемо, откуда следует несуществова-
ние разделяющих позиционных координат.
Фазовая топология интегралов определяется параметрически зависящими от
их значений характеристическими функциями ф^ ( & - число степеней
свободы), аналогичными приведенному потенциалу в системах с симметрией.
Уровни интегралов проектируются в области возможности движения конфигура-
ционном многообразии, которые имеют вид { (faW/rtf ОJ . Сечения
интегральных уровней касательной к многообразию плоскостью терпят перестрой-
ки при переходе точки касания через поверхности 0] . Перестройки
уровней в целом происходят над критическими точками функций , которые
определяют стационарные движения; в отличие от систем с линейными интеграла-
ми, некоторым перестройкам соответствует лишь изменение гладкого типа облас-
тей возможности движения с сохранением их топологического типа.
Полученные результаты прилагаются к задаче о движении твердого тела под
действием сил с потенциалом, указанным Д.Н.Горячевым [2J. Этот потенциал,
например, аппроксимирует гравитационное притяжение тела массой, расстояние
до которой велико по отношению к'размерам тела.
82
Литература
I. Смейл С. Топология и механика .-УМН, 1972, т.24, № 2, с.77-133.
2. Горячев Д.Н. Некоторые общие интегралы в задаче о движении
твердого тела. Варшава, 1910. t
0 ВЗАИМНОМ РАСПОЛОЖЕН ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПРЯМОЙ
О.А.Платонова
Рассмотрим в /Л3 поверхность > где - функция, имеющая
особенность в нуле: £(0,0) -^(0,0)* 'Щ(О.О) -О>
К какому виду можно привести уравнение поверхности при помощи преобразований,
сохранивших точку (о, 0,0) , плоскость Z-0 и переводящих:прямые в пря-
мые? Оказывается, все поверхности могут быть разбиты на следующие классы:
Многоточие означает члены более высокого порядка.
Определение I. Рассмотрим в пространстве РТХ3 множество направлений,
непараллельных плоскости Xхо . обозначим его .
Определение 2. Обозначим к/« подмножество пространства
отвечающее многочленам £ - 0 , имеющим нулевой либо крат-
ный корень.
Определение 3. Пусть CL € Я?3— поверхность, задаваемая уравнением
. Множество элементов Н* , которые приложены к точкам
поверхности или при продолжении касаются ей, обозначим ZF •
Zpsl F(x^ti)-0f Ш&6 3t, такое, fcrc л
Решаемая задача состоит в исследовании ZF . Первые результаты сформули-
рованы . в следующих леммах.
Лемма I. Если F&K1 , то росток в нуле диффеоморфен \*/г*К3 .
Лемма 2. Если , то росток ZF в нуле диффеоморфен .
Лемма 3. Если , то росток ZF в нуле диффеоморфен ЩъЩ
Лемма 4. Если » то росток 27F в нуле диффеоморфен к/,- .
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОБУЧАКЩЕЙСЯ МОДЕЛИ К ДОСЛЕДОВАНИЮ
ДВИЖЕНИЯ ТРОПИЧЕСКОГО ЦИКЛОНА
Т.Б.Росткова
Изучение зависимости вида траектории тропического циклона (ТЦ) от пара-
метров, характеризующих его и окружающую среду, а также определение этих
параметров по данным метеорологических наблюдений представляет большую цен-
ность для прогнозирования движения ТЦ.
Основной трудностью, с которой сталкиваются существующие методы прогно-
83
за траекторий щ, является недостаток априорной информации; в уравнения гидро-
динамики входят эмпирические параметры, которые нельзя получить путем прямых
метеорологических измерений. Кроме того, они не учитывают - нестационарность
этих параметров. Указанные соображения привели к идее использования для ис-
следования траекторий ТЦ метода обучающейся модели (МОМ), позволяющего в неко-
торой степени восполнить недостаток априорной информации за счет текущей, а
также учесть нестационарность параметров.
Суть метрда состоит в следующем. Пусть в некоторые моменты времени изве-
стен вектор у, где х^' - реальные^координаты центра_ТЦ. Предполо-
жим, что движение его подчиняется уравнению У~^(У,С) , где yTs(xt^)
вектор расчетных координат центра ТЦ, С - неизвестный пока вектор,^содержа-
щий параметры ТЦ (размер, интенсивность). Будем сравнивать векторы у я У
с помощью критерия качества У(У-У, £) , имеющего минимум при у* у
Выбирая произвольное начальное значение вектора С и используя условие
минимума функции Vq У (У-у>с)-0, получим новое значение вектора С , кото-
рое вновь используем для получения у и т.д. Процесс продолжается до тех
пор, пока вектор С не достигнет оптимального значения. Полученные значения
параметров ТЦ можно использовать для прогноза его движения.
Применение МОМ к исследованию траектории ТЦ в линейном барическом поле
в предположении, что движение подчиняется уравнениям, полученным И.Г.Ситни-
ковым, а критерий качества представляет собой сумму среднеквадратичных откло-
нений реальных координат центра ТЦ от расчетных, показало, что размер ТП
определяется с точностью до 10 км, а последующий прогноз дает ошибку в место-
положении ТЦ до 50 км за 24 часа.
Таким образом, МОМ открывает новое перспективное направление в исследо-
вании движения ТЦ, позволяя определять параметры, недоступные прямому изме-
рению, и учитывать их нестационарность.
i
ЛАГРАНЖЕВЫ ИДЕАЛЫ
В.Д.Седых
Пусть jR2*- стандартное симплектическое линейное пространство с коор-
динатами pa(pi,.-.,Pn) . и 2-формой мЦ; .
Рассмотрим кольцо формальных степенных радов с вещественными
коэффициентами от переменных fl), и пусть М с -максимальный
Идеал.
Определение I. Лагранжевым идеалом в симплектическом пространстве
назовем всякий идеал М- , замкнутый относительно
взятия скобки Пуассона, причем
Диффеоморфизм й t -♦ R2*’ называется симплектическим, если
*4/* = № . Пусть 6» -группа формальных еимплектических диффеомор-
физмов , составляющих точку 0 на месте. Группа переводит
лагранжевы идеалы в лагранжевы.
Определение 2. Скажем, что лагранжевы идеалы 1± и А эквивалентны
» если существует диффеоморфизм ае Ся такой, что
fWi • г а , >
Корангом лагранжева идеала 1~ •>/«,) назовем число ,
где t - ранг в 0 формального отображения б/?, ^9
Коранг лагранжева идеала не зависит от выбора образующих и является инвариан-
том относительно (л .
Утверждение. Лагранжев идеал коранга С эквивалентен лагранжеву
вделу •где
84
Рассмотрим следующие лагранжевы идеалы:
Аб*(р1>.->Р».)> -=Cpi* > Pz,..,pn) pz,..;pn)(H^
£6-(p> ' Pzi -.P*), Ef ~-(P^P. ^,рг> >PJ, Eg = (p’rf',Рг>...,р*).
Следствие I. Лагранжев идеал коранга 0 эквивалентен .
Следствие 2. Лагранжев идеал коранга I либо эквивалентен одному из
4/, 2* £$, £? » либо эквивалентен лагранжеву идеалу
(f-(pbip,p2)^, Р'У • где / принадлежит множеству кораз-
мерности > ? в пространстве МZZ/ и имеет модули относительно
группы 6?
Замечание. Здесь /1~ л,/^ > .
ДЕФОРМАЦИИ МНОГООБРАЗИЯ ПОЛОЖЕНИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ГЕНЕЗИС
КВАДРАТИЧНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ В КЛАССИЧЕСКОЙ ДИНАМИКЕ
Я.В.Татаринов
Интегралы движения большинства задач классической динамики линейны
либо квадратичны по скоростям. Общеизвестно, что линейный интеграл может
существовать тогда и только тогда, когда многообразие допускает однопарамет-
рическую группу изометрий. В докладе показано, что наличие квадратичного инте-
грала обеспечивается возможностью инфинитезимально изменить метрику таким
образом, чтобы каждая геодезическая на всем протяжении растягивалась в
одном и том же (своем) отношении. Гомотетии отвечает интеграл энергии.
ЗАДАЧА О МЯГКОЙ ОСТАНОВКЕ ИМИТАТОРА УСКОРЕНИЙ
И.Г.Тиханина
В настоящее время для подготовки летного состава широко используются
авиационные тренажеры. Использование тренажеров, моделирующих полет лета-
тельных аппаратов, позволяет на Земле в безопасных условиях проводить обуче-
ние летчиков технике пилотирования и вырабатывать навыки управления объек-
том в различных экстремальных ситуациях.
Для создания у оператора, обучающегося на тренажере, образа реального
полета необходимо имитировать кроме визуальных и слуховых еще и акселера-
ционные ощущения, возникающие в полете. Для возникновения у оператора ак-
селерационных ощущений, близких к имеющим место в реальном полете, необходимо,
чтобы на его вестибулярный аппарат действовали соответствующие раздражители
- линейные и угловые ускорений. Это достигается установкой кабины тренажера
на подвижную платформу.
Механическую управляемую систему, состоящую из подвижной платформы с
установленным на ней оборудованием, системы связи платформы е основанием
и управляющей системы, называют имитатором ускорений. После окончания ими-
тации ускорений возникает следующая задача о мягкой остановке имитатора уско-
рений. Необходимо перевести кабину в некоторое номинальное положение, где
возможности для угловых перемещений кабины наиболее широкие. Причем для
того чтобы не вызвать у оператора посторонних вестибулярных реакций, уско-
рение и производная от него не должны превышать порогов чувствительности
отолитовых органов вестибулярной системы. Помимо этого необходимо, чтобы
во время движения выполнялись ограничения на поступательные перемещения
кабины. Решение этой задачи может быть получено с помощью принципа макси-
85
мума Понтрягина.
Полученные результаты оформлены в виде алгоритма мягкой остановки, являю-
щегося составной частью алгоритма управления движением имитатора ускорений.
О НЕКОТОРЫХ ПЛОСКИХ ВРАЩЕНИЯХ СПУТНИКА
В МА1ЖГН0-ГВАН1ТАЦИ0НН0М ПОЛЕ
А.Н.Шляхтин
Рассмотрены колебания спутника в плоскости полярной эллиптической орбиты
под действием магнитного и гравитационного полей Земли. Гравитационное поле
считается центральным, магнитное поле моделируется полем магнитного диполя,
расположенного по оси вращения Земли. На спутнике установлен постоянный маг-
нит, вектор магнитного момента которого направлен по одной из главных цент-
ральных осей инерции спутника, лежащей в плоскости орбиты.
Получены частные аналитические решения уравнения колебаний спутника
относительно центра масс, описйваюцие некоторые резонансные движения. (При
резонансе К:т спутник за пи оборотов по орбите делает к поворотов во-
круг центра масс).
При определенных соотношениях параметров, характеризующих гравитацион-
ное и магнитное взаимодействия, возможны следующие движения:
а) равномерное вращение в резонансе 2:1 на круговой орбите;
б) движение в резонансе 0:1 на эллиптической орбите, "намагниченная"
ось инерции спутника параллельна оси вращения Земли.
Известно, что при движении спутника по круговой орбите в поле гравита-
ционных сил возможно устойчивое вращение в резонансе 1:1, при этом спутник
неподвижен в орбитальной системе координат. Аналогичные вращения получены при
движении спутника на эллиптической орбите в магнитно-гравитационном поле при
некоторых соотношениях между эксцентриситетом и параметром, характеризующим
магнитное взаимодействие системы спутник-Земля.
Численными методами для всех найденных решений получены области выпол-
нения необходимых условий устойчивости в пространстве параметров задачи.
ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ДИФЖВДИАЛЫЮГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ
С.В.Украинцев
Известно, что фильтр Калмана требует решать дифференциальное
уравнение
= #(Ь)Р+ РА ТМ - PM(t)P+ Q(i), РЦо).*Ре > О
z kl)
где -матрицы (n^rb) f причем йьО.МъО матрица Р симметрична
(Р*-Рт) . Обычно для решения (I) применяют ЭВМ, поэтому возникает вопрос
о влиянии ошибок в цифровом материале на поведение решений (I). В ряде
случаев необходимо исследовать грубость, или структурную устойчивость (I)
вычисляемого решения. Если А>М,О. не зависят от t , то практически
интересна лишь особая точка (I) - матрица Р* , обращающая в 0 правую
часть. Грубость решения Р* определил Бьюси . Мы нашли, что теорема Бьюси,
устанавливающая необходимое и достаточное для грубости Р* условие
<Ut + А*)*0 , А*^А-Р*М,
86
где I - единичная матрица (н* ft) , ® обозначает прямое произведение
матриц , не имеет места в случае A ~CL-O} tkH-П. (значит, Н).
Пользуясь общим определением’грубости /47 > мы исследовали уравнение
(2)
где М постоянна, , и нашли, что (2) негрубо. Обобщив понятие
грубости на случай разностных уравнений, мы нашли, что (2) в случае М-Nit) ,
, при построении разностной схемы интегрирования Рунге-Кутта /57
приводит нас к негрубому разностному уравнению. Последний результат имеет
значение для теории идентификации.
Литература
I. Калман Р.. Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории
систем.- Й.: Мир. 1971,
SIAM 3. (яЫ, Pf- ?&-7S4.
3. Ланкастер П. Теория матриц.- М.: Наука. 1978.
4. Арнольд Р.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.- М.: Наука, 1971.
5. Бахвалов Н.С. Численные методы.- М.: Наука, 1973.
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ ЛЕТАТЕЛЬНОГО
АППАРАТА ОКОЛО ЦЕНТРА МАСС
М.А.Урюпин
Угловое движение летательного аппарата при полете в реальной атмосфере
около заданной программной траектории можно описать 6-мерным векторным диф-
ференциальным уравнением со случайными параметрами
(I)
где t - время, X - вариации координат, Z4- вариации управления,. -
случайные возмущения, работу датчиков хорошо описывает следующая математи-
ческая модель:
Z.« Н(Щ)z +Citl$ -г
где - единичная матрица, £ - ошибки масштаба, <7 - смещения
нулей, СО - белый шум. Качество управления будем оценивать по критерию ка-
чества
[zt(T)StZ(t)i J LxT(t)AzHr)+ (3)
Если пренебречь случайными возмущениями, то оптимальное управление
(4)
где $ - решение матричного уравнения Риккати
-S , SfT^Sr. (5)
На множестве матриц А функционала (3) поставим задачу минимизации времени
переходного процесса системы (I) при ограничениях: I). реализуемость управле-
ния (4): 2) выполнение условия при t-**° .
Учет стохастических аспектов значительно усложняет задачу. Однако если
пренебречь зависимостью матриц / и 0 от , считать белым шумом,
a fli'Z'U) считать независимыми от 1 , то оптимальное управление .
Здесь £ - оптимальная оценка вариаций Я.) получаемая методами нелинейной
87
фильтрации. При учете зависимости матриц / и от таких простых
алгоритмов управления получить не удается и можно построить лишь субоптималь-
ное управление, зависящее от первых двух моментов условных распределений Z
и случайных параметров, не являющихся белыми шумами.
Моделирование на ЭВМ конкретного летательного аппарата показало хорошую
работу построенных алгоритмов управления.
88
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ ДЕФОИЛИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
ЗАДАЧА О РАСПРОСТРАНЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ВОЛН В
ПБЕ30КЕРАМИЧЕСК0” ПЛАСТИНЕ БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
А.М.Абдулгалимов
Рассматривается поляризованная по толщине пластинка из пьезокерамикЯ
в прямоугольной системе координат. Вдоль оси х она имеет бесконечную длину,
вдоль оси у - постоянную ширину. Считается, что толщина пластины мала, по-
верхность свободна от внешних нагрузок и на ней нет алектродов. В такой плас-
тине распространяется периодическая волна с фазовой скоростью С . Если при
таких условиях осреднить уравнения движения и все функции, входящие в эти
уравнения, по толщине пластины, то задача сведется к задаче типа Лэмба для
упругого слоя в условиях ‘обобщенного плоского напряженного состояния.
Исследование характеристического уравнения, из которого определяется фазо-
вая скорость С , показывает существование трех нетривиальных ветвей
корней, которые отражают физически реальные процессы, причем одна из ветвей
соответствует малым скоростям распространения возмущений. Если длина волны
стремится к *<7^ при постоянной ширине пластины, то две ветви из трех стремят-
ся к 0, а третья - к величине i , гДе - скорости
распространения в бесконечном пространстве продольной и поперечной волн.
Если же длина волны стремится к 0 при постоянной ширине пластины, то две ветви
монотонно стремятся (одна сверху, другая снизу) к рэлл&ской скорости Св ,
где о< Со < , в третья ветвь стремится к 0.
Результаты исследования для различных видов пьезокерамики свидетельст-
вуют, что фазовая скорость распространения возмущений существенно зависит от
пьезоэлектрических постоянных, характеризующих электрические свойства среды,
обладает дисперсией.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ ЭФФЕКТИВНЫХ СВОЙСТВ
КОМПОЗИТА ОТ УПРУГИХ ПОСТОЯННЫХ КОМПОНЕНТОВ
М.Г.Гаджиев
Вычисление "эффективного" тензора модулей упругости композиционного
материала с периодической структурой неоднородности сводится ZX7 к после-
довательному решению двух задач. Первая из' них заключается в решении неодно-
родной задачи теории упругости для периодического элемента и состоит в оп-
ределении периодических величин Ыр^к
(SijKlNpfH.t + = °- (I)
Компоненты " эффективного" тензора модулей упругости определяются неко-
торыми усреднением
= < Ci^tNpjp.t * (п)
Для сложных пространственных структур неоднородности, например для
ортогонально армированного материала, задачи I и П решаются численным мето-
дом, и при заданных Ea.lEti^a,lVc тензор удовлетворяет
89
известном приближениям / 2 7 •
Установление точной или приближенной зависимости "эффективного" тензора
модулей упругости от упругих постоянных компонентов существенно при исследо-
вании вязко-упругого поведения композита в целом. Это позволяет также опреде-
лять тензор h'ijpy тогда, когда соотношение между упругими постоянными ком-
понентов приводит к слабой сходимости численного метода. Рассмотрим на примере
ортогонально армированного материала некоторые частные случаи зависимости:
S
” h'ljpt (Ел, Ей, Pa,, Pc),
которые строятся на основе численных решений задач I й П.
I; Аналитическая зависимость от :
h'ljpty (£а) - § Ь Cjpfy <
2. Приближенная зависимость от Ул :
Эти зависимости обобщаются на многокомпонентные средн и подтверждаются
численными результатами.
Литература
I. Победря Б.Е., Горбачев В.И. О статических задачах упругих композитов.-
"Вестник МГУ", № 5, 1977, с. III-II8.
2. Шермергор Т.Д. Теория упругости микро-неоднородных сред.-М.: Наука, 1977.
УДАР УПРУГИХ ОБОЛОЧЕК О ПОВЕРХНОСТЬ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Я.П.Дворкин
Я трудах Э.И.Григолкка и А.Г.Горшкова /“iy исследуется процесс удара
оболочечных конструкций о поверхность несжимаемой жидкости. При больших зна-
чениях скорости удара представляется существенным учет сжимаемости жидкости.
ОПТИМИЗАЦИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ МНОГОСЛО!1НЫХ
ЦИЛИНДРОВ
В.В.Дорогинин
Рассматривается задгча минимизации веса многослойной трубы, находящейся
под действием внутреннего давления и осевой силы в состоянии плоской дефор-
мации. Предполагается, что для увеличения её несущей способности слои посажены
один на другой с натягами или между ними есть зазоры, заполненные жидкостью
регулируемого давления. Материалы слоев различны, однородны и изотропны. Связи
между интенсивностями напряжений и деформаций задаются в одном из следующих
видов: степенном, с линейным упорядочением, идеально-пластическом. Варьируе-
мыми параметрами являются межслоевые давления (или соответствующие им натяги),
размеры слоев, их количество и порядок расположения. Внутренний радиус трубы
задан . Ставятся условия прочности для каждого слоя.
Решение задачи сводится к минимизации линейной функции нескольких пере-
менных при ограничениях в виде неравенств. Установлено, что внутренние слои
целесообразно делать из более тяжелых материалов. В случае идеально-пластиче-
ских слоев или материалов с одинаковыми плотностями получены аналитические
решения, обобщающие формулы А.В.Гадолина и Н.Ф.Дроздова. Показано, что уве-
личение числа слоев ведет к уменьшению веса трубы и толщины каждого слоя. А
так как для тонких слоев условия прочности совпадают с соответствующими усло-
виями для идеально-пластического материала, то полученные зависимости позво-
ляют с любой точностью построить аналитическое решение задачи и в случае про-
извольной физической нелинейности слоев. Численное решение методами нелиней-
ного программирования показывает хорошее совпадение с аналитическим решением
уже при небольшом количестве слоев (зависящем от отношения величины внутрен-
него давления к максимально допустимой интенсивности напряжений).
НЕКОТОРЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
А.В.Звягин
В данной работе рассматриваются задачи об установившемся движении жест-
кого штампа по границе упругого полупространства ( уО ) • При этом в облас-
ти контакта задаются следующие граничные условия:
I) смещение по оси у и,у - f (х) ; наличие трения между штампом и сре-
дой - (Гху £ 0уу при у^О , ♦
2) вне области контакта - свободная поверхность
(Гщ-О при у-0
3) на бесконечности перемещения равны нулю ( а,#,, и,у - компоненты пере-
мещений; (fyy - компоненты тензора напряжений; k, - коэффициент
трения). В работе показано, что поставленная задача математически эквивалент-
на задаче сопряжения Римана -Гильберта с разрывными коэффициентами для полу-
пространства комплексной переменной Z ( Im . Решение полу-
чено в квадратурах
91
Vo - скорость штампа; а, 6 - скорости продольных и поперечных волн.
W-Ш " i'
6
"г)2 ~ ^1, *! '2. -Hz~2df>i 22*2<- •
Неизвестные заранее враничные точки контакта, определяемые константами
t1t iz, находятся из условия непрерывности перемещений. В разобранных част-
ных примерах движения штампа, имеющего сборму пластины и параболы, получено
аналитическое решение. Для пластины (задняя кромка )
^)-r(2-e<) h* iffr•
Для параболы }(£)*•
Tz(z)~ ~ I/*4~*
Следует отметить, что изложенный в работе метод позволяет получить ре-
ение для произвольной формы штампа, а в случае, когда контур штампа, то есть
Функция f(z) , есть полином, всегда получается аналитическое решение.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЕЫССКОЧАСТОТНЫХ КОЛЕБАНИЙ В
ОДНОНАПРАВЛЕННОМ ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
Л.П.Исупов
Возможны два основных подхода при построении теории, учитывающей струк-
турную неоднородность материала, т.е. включающей некоторый структурный пара-
метр I , характеризующий размер структурной неоднородности. Первый из них
состоит в обобщении классической теории упругости на основе введения наряду с
обычными напряжениями тензора моментных напряжений. Второй путь состоит в
получении основных уравнений неоднородной среды на основе анализа напряженно-
деформированного состояния структурных элементов и последующего перехода к
квазиоднородной анизотропной сплошной среде. >
В данной работе предложена новая модель для описания механического пове-
дения однонаправленного, волокнистого композита. Предполагается, что композит
имеет слоисто-волокнистое строение, т.е. состоит из волокнистых слоев, разде-
ленных слоями податливой матрицы, а волокнистый слой состоит из ретулярно
уложенных в один ряд волокон с прослойками матрицы. Композит моделируется
ортотропной сплошной средой, плотность энергии деформации которой включает
энергию изгиба волокон, т.е. зависит от вторых производных вектора перемеще-
ния. Выражение для плотности упругой энергии получено на основе структурного
анализа и последующего перехода к сплошной среде. Упругие постоянные рассчиты?-
ваются по известным модулям волокна матрицы.
С помощью принципа Гамильтона получены уравнения движения в перемещениях,
которые используются для изучения распространения гармонический волн в такой
среде. Показано, что распространение свободных гармонических волн сопровож-
дается дисперсией. Сравнение с известными экспериментальными данными по изу-
чению распространения высокочастотных колебаний в боропластике дает возмож-
ность заключить, что полученное дисперсионное соотношение для поперечных волн,
распространяющихся вдоль направления армирования, достаточно хорошо описы-
вает опытные данные.
92
НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ
ТЕЧЕНИЯ ПЛАСТИЧЕСКОГО ВЕЩЕСТВА
В.А.КаДЫмев
Рассматриваются плоские и осесимметричные Задачи теории течения пласти-
ческого вещества по поверхносятм А.А.Ильюшина. В предположениях, что
а) движение инструментов задано (толщина k -Kit) слоя - известная
функция времени),
б) закон трения на контактных поверхностях имеет вид:
ПРИ lxl-6 Хо (зона Прандтля)<
* ПРИ ХсбХ<А (зона Кулона),
первая задача теории течения по поверхностям £1 , 2У сводится к опреде-
лению функций tz,=U(x,^H p'p(CL.t) из уравнений:
4-$. +
Д, vt и Ju
при соответствующих граничных условиях. Найдено точное решение этой задачи.
На примере числового расчета плоской задачи показано, что учет инерции
вносит в решение добавки первого порядка малости, а учет вязкости и упрочнения
- добавки, соизмеримые с решением задачи для идеальной пластичности. Кулонова
зона достаточно мала по сравнению с зоной Прандтля и примыкает к границе.
Выписано точное решение этой задачи в случае, когда <Г-
при этом закон изменения температуры строится в предположении адиабатичности.
Кроме того, рассмотрена и сведена к известному уравнению Абеля П рода
[3] ., разрешаемого в квадратурах, задача об ударе по пластическому слою.
Литература
I. Ильюшин А.А. Вопросы пластического течения по поверхностям.-ПММ, 1954,
т.18, с.265-288. '
2. КиЙко И.А. . Теория пластического течения в тонком слое металла.-"научные
труды института механики МГУ*, Ж 15, T97I.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифгберенциальным уравнениям.-М.:Наука,
1971.
СООТНОШЕНИЯ ПЛАСТИЧНОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕФОРМАЦИЙ
И МОДЕЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ Ю.Н.РАБОТНОВА
Л.Г.Попов
Основываясь на известных представлениях пластичности о предельной поверх-
ности и постулатах пластичности, можно построить определяющие соотношения
непосредственно в пространстве деформаций.
Соотношения ассоциированного закона при этом имеют вид
(i)
> . 2S l-f
'A&kt) " направляющий тензор, отвечающий вектору
р
единичной внешней нормали к поверхности деформирования Зс/4/
положительная сЬункпия упрочнения зависит от £; и может быть,
o' J '
93
некоторых параметров Хд, , но не зависит от , причем
J ± при 7^(е;д)=О и >0; (2)
~ | q если Z < О или 7“- О , но Jj/k#
В соотношении (I) XsУ соответствует случаю гладкой, а - случаю
конической точки поверхности деформирования.
Для интервала изменения функции упрочнения можно получить
(3)
Условия (3) достаточно для доказательства некоторых общих теорем (тео-
ремы единственности задачи для приращений, теоремы существования и единствен-
ности обращения определяющих соотношений, для доказательства минимальных прин-
ципов) .
Одним из наиболее ярких примеров, подтверждающих возможность существова-
ния конических особенностей на предельной поверхности является модельное
представление Ю.Н.Работнова: тонкостенная трубка из идеально-пластического
материала при чистом изгибе в двух плоскостях. Перенося получающиеся при этом
соотношения между моментами и кривизны в пространство напряжений и деформа-
ций, имеем вариант соотношений пластичности, допускающий трактовку в рамках
принципа суперпозиции Койтера и перенесения известной теории Сандерса в про-
странство деформаций. Эти соотношения, кроме отмеченных ранее свойств
(ограниченность применимости соотношений деформационного типа, наличие угло-
вой точки на предельной поверхности) описывают некоторые эффекты, наблюдае-
мые экспериментально, часть из которых не укладывается в рамки прежних тео-
рий, основанных на ассоциированном законе течений (зависимость мгновенного
модуля сдвига от предварительной осевой деформации в опытах на трубчатых
образцах, наблюдаемый экспериментально факт локального искривления предельной
поверхности в конце вектора нагружения, опыты по траекториям деформирования
малой кривизны, некоторые эксперименты по проверке принципа запаздывания).
Это делает предлагаемый вариант соотношений интересным для практики.
i
АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДВИЖЕНИИ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОЙ
ШАСТИНЫ
Е.А.Сагомонян
Рассмотрим продольно-поперечный удар.по полубесконечной пластинке. Будем
считать, что деформация происходит без изменения объема (материал пластинки
несжимаем). Пусть пластинка подвергается динамическому нагружению растяжени-
ем и сжатием. Пусть материал находится в условиях возникновения малых упруго-
пластических деформаций. Система уравнений, описывающая этот процесс, приве-
дена в работе /I/ .
Далее рассматривается задача о групповой классификации этой системы ква-
зилинейных уравнений. Ищется допускаемый этой системой инфинитезимальный
оператор / . Из вида оператора делается вывод о возможных инвариантных
решениях поставленной задачи. Получаем, что эти решения могут быть либо кон-
стантами, либо зависеть от одной переменной (от времени t или продольной
координаты X ), либо быть автомодельными.
Затем мы решаем автомодельную задачу при условии, что материал незначи-
тельно выходит из упругой области. В качестве граничных условий выбираем
условие постоянства деформаций на краю пластинки при X * О, t > О .в ходе
решения задачи получаем некоторое соотношение для , где
94
при (I)
-р-г /-4'^ И
Здесь d - COHit , = У ~ '
Рассматриваются три типа граничных условий, когда ёо<1, Уо
bt><A,S0>^ J £Л>-£лi^" . На плоскости еу строятся ин-
теградьнне кривые для (I) и (2). При t = O> 2 = 0, и нас интересует,
каким путем можно осуществить переход из точки fcO в точку
. Анализируя все возможные пути перехода, находим реаль-
но осуществляющие и изображаем решения в плоскости х t
О ПРОБИВАНИИ ЖЕСТКОЧ1ЛАСТИЧЕСКОЙ ЗАЩЕМЛЕННОЙ КРУГЛОЙ
ПЛАСТИНЫ ЖЕСТКИМ ПИЛИВДРИЧЕСКИМ УДАРНИКОМ
А. Р. Сковорода
Рассматривается удар абсолютно жестким цилиндрическим ударником по перво-
начально неподвижной защемленной круглой пластине.Задача осесимметрична.
Учитывается поперечный сдвиг, и инерция вращения. Поверхность текучести в
пространстве "изгибающие моменты - поперечная сила" взята в виде прямой приз-
мы (см. /Х7 ). Считается, что в момевт удара центральная часть пластинки,
вступившая в контакт с ударником, приобретает его скорость и далее движется
совместно с ним. На границе этой части скорости пластинка терпит разрыв, а
поперечная сила достигает своего предельного значения, что соответствует лока-
лизованному сдвигу. В зависимости от параметров задачи внешняя часть пластин-
ки либо остается жесткой, либо пластически деформируется.
Пластинка считается разрушенной, если относительное смещение внутренней
и внешней частей достигает по величине её толщины. Исходя из этого условия
определена начальная скорость ударника, необходимая для пробивания пластинку
и время пробивания.
Мембранные силы не учитываются, поскольку к моменту пробивания максималь-
ные расчетные смещения внешней части пластинки не превосходят её толщины.
Проведено сравнение результатов теоретического расчета необходимой
для пробивания скорости ударника с результатами экспериментов,приведенными
в работе [2J . Показано, что изложенная схема позволяет удовлетворительно
списать рассматриваемый процесс. Следует,однако, отметить, что она неприме-
нима в случаях, когда возможен откол и для достаточно тонких пластин, когда,
как показано, нельзя пренебрегать упругими деформациями.
Литература
I. Немировский Ю.В., Сковорода А.Р. Динамический изгиб жестко-пластических
круглых пластин при учете эффектов сдвига и инерции вращения.-ПМТФ,№ 2,
I978z с. 11- /7,
2. Z/u</ А.10., Trwl F.V< И* у 4U У target thiefauu м
mill 1Ы, plait ь flai-ewUtl
У )hul. 1ЭМ, Vfc, 32-45.
95
О МАТРИЦЕ А.А.ИЛЬКШИНА
С.Р.Шешенин
Рассмотрим тело сложной конфигурации, которое можно разбить на блоки
более простой Формы. Условия контакта блоков сводятся к равенствам на границе
между ними векторов внутренних напряжений 5^ и перемещений и, . Для
решения задачи для всего тела в целом необходимо эти условия дополнить опера-
торами связи векторов 5° и а для каждого блока. Для упругого блока
этот оператор представляет собой линейный интегральный оператор, а в числовом
приближении - матрицу постоянных
U-Я5 ^R,
где =
J = ( и,р(&),.„, и.р(Х*)),
вектора размерности Д', где ^-размерность тела, а X* < =
точки границы, в которой берутся значения сил и перемещений.
Предложен способ построения матрицы 4 . Показано, что эта матрица
является неединственной, и определена связь между всеми возможными матрицами.
Предложенный способ построения приводит к вырожденной матрице, однако её
можно привести к невырожденной матрице. В случае плоского блока определена
зависимость матрицы от коэффициента Пуассона, именно А(Р)~рА,№),
где ft - )/(?/-%,) ♦ Практически матрица построена для упругого квадра-
та при fj - W .На ряде задач проверена точность, которую обеспечивает
такая матрица (для задач с линейной поверхностной нагрузкой погрешность
£ =//^////<7// порядка 1-2%). Матрица позволяет решать задачи теории
упругости с любыми линейными граничными условиями. Её применение понижает
размерность исходной задачи на единицу. Матрица была использована для нахож-
дения эффективных модулей композитной среды, составленной из двух материалов
в ваде шахматной доски.
96
СЕКЦИЯ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
КВАНТОВЫЙ МОМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОГО АКТА ГАЗОВОЙ
КИНЕТИКИ В СЛУЧАЕ БИМОЛЕКУЛЯРНОЙ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ
Д g +CD -* лс + ВЪ И ВЫВОД ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЭФФЕКТИВНОГО
СЕЧЕНИЯ
В.П.Аристов, К.С.Бородин, В.В.Толмачев
Прмяняется многоканальный метод в теории эффективного сечения реакции
АС + 8Р в борновском приближении. В рамках двухуровневой теории
решаются соответствующие стационарные уравнения Шредингера.
Основная часть работы посвящена проведению необходимого упрощающего
преобразования борновской формулы для дифференциального эффективного сечения
указанной реакции с использованием математической теории квантового углового
момента, теории ф - функций, Зу и б/ - символов Вигнера. Окончатель-
ная формула имеет вид
(*е 4, 4,
- —£ у у у
*4* fy, fa.
где X
*Zj(M <!)(-$
амплитуда зависит от потенциала перехода,J---j и ('• ‘) - соответст-
венно 6/ » 3J - символы Вигнера, д и £ - колебательные и вращате-
льные квантовые числа молекул, L - квантовые числа орбитальных моментов
относительных движений, J- - полный момент системы сталкивающихся частиц,
Q - угол рассеяния.
СПЕКТОР СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О СЛОЕ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА НАКЛОННОЙ ПЛОСКОСТИ
В.В.Беликов
Исследование устойчивости стационарного течения вязкой жидкости по
наклонной плоскости по отношению к малым возмущениям типа бегущих волн сво-
дится к нахождению собственных значений краевой задачи для уравнения Орра-
Зоммррфельда /ij. Представляя решение в виде ряда по полиномам Чебыиева,
получаем задачу на собственные значения для системы линейных алгебраических
уравнений. Последняя решается численно интерполяционным методом. Точность
97
контролируется сравнением результатов при различном числе членов разложения.
Расчеты показали, что всегда существуют два собственных значения, соот-
ветствующие поверхностями волнам, а остальные соответствуют волнам сдвига.
Исследована асимптотика фазовых скоростей поверхностных волн, причем, пока-
зано, что результат работы /1.7 для малых № неверен пра достаточно малых
углах наклона. В случае вертикальной стенки и отсутствия поверхностного натя*
жения найдена точка бифуркации нейтральной кривой . При сС > 1.8
всегда существует интервал чисел Рейнольдса, в котором течение устойчиво.
Это опровергает один из выводов работы /2/.
При больших № исследовано влияние угла наклона и коэффициента ловерх-
нозтногоанатяжения на устойчивость волн сдвига, при фиксированных «L и $£
уменьшение угла наклони сначала сказывает дестабилизирующее действие, но
дальнейшее щго уменьшение приводит к усилению устойчивости, причем экстремум
ярко выражен.
Дитература
I. Цзя Щунь. Устойчивость течение жидкости, стекающей по на;:лонной плоскос-
ти.-Сб. "Межаника", 1963, » 5.
2. Гончаренко Б.Я., Уринцов А.А. Об устойчивости течения вязкой жидкости
по наклонной плоскости.-ПМТФ. IS75, № 2.
\
ДВКмЕНИЕ С11ЕЖЕОЙ ЛАВИНЫ Е ЛО1ХЕ ТРЕУГОЛЬНОГО
ПОПЕРЕЧНОГО СЛОЯ
Е.й.Данилова
Для описания движения левины используется гидравлическая модель, лавина
рассматривается как турбулентный поток сплошной среды под действием сил тя-
жести, градиента давления, сопротивления трения, а передний фронт моделирует
зону, в которой ненарушенный снежный покрсь впереди лавины разрушается и
взывается в тело лавины. Изучается движение лавины в русле (лотке), поперечное
сеченмо которого нежно считать треугольным. при различных способах распреде-
ления снежного покрова по поперечному сечению лотка.
При условии, что форма лотка и склона, а также характеристики покоящего-
ся снежного покрова на склоне плавно меняются вдоль склона, решение задачи
для некоторого диапазона параметров сводился к интегрированию одного уравне-
ния первого порядка в честных производных и исследованию структуры возника-
ющих разрывов. Такое исследование проводится в работе и строятся асимптотиче-
ские рене“ья уруэнеьиЗ движения. В*частность, для дхьнных прямолинейных лоткоя
посменного сечения и крутизны с однородным снежным покровом получаются пре-
дельные формулы для скорости и высоты переднего фронта лавлны. Специально
исследуется влияние поступления свеса из здвидосбора в лоток на параметры пе-
редней зоны лавины.
98
О ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ДЕФОРМИРУЕМЫХ
ПОРИСТЫХ СРЕДАХ С ДИЛАТАНСИЕЙ
Дао Минь Нког
Фильтрация в зернистой среде лежит в основе многих технологических
процессов (течение жидкостей или газов в химических реакторах с неподвижным
слоем катализатора, течение газов в доменных и шахтных печах и т.п. ).
Эффективность этих процессов существенно зависит от равномерное?!: распреде-
ления скорости фильтрации по сечении потока. Экспериментальные данные свиде-
тельствуют о том, что течение жидкости или газа в квгодвижной пористой среде,
заполняющей двсткий цилиндр, сопровождается "парадсксалышмЖ" особенностями.
В частности,вблизи стенок развиваются области повышенна скоростей фильтрации.
Для правильного объяснения этих явлений, как следует из полученных
точных решений о фильтрации, в жестком слое, необходимо учитывать деформируе-
мость пористой среды под действием фильтрационного потока.
Рассматриваются два варианта зависимости между фикяманыги иапрявъчиями
и эффективными деформациями пористого скелета: линейный (обычная упругое^)
и нелинейный (деформационная теория, учитывающая дилатантные свойства норки-
стой среды). В предположении о стационарности течения ?. линейности за лева
Дарси получена замкнутая система уравнений фильтрации жидкости ь газа в де-
формируемой среде, в которой искомыми функциями, налпстся давление филттр;!-
щей фазы и перемещения пористого слоя. Поставлена двумерная йоесимметричная
задача о фильтрации в цилиндре с жестккли стенками. В граничных условиях
учтено сухое трение на контакт нах поверхностях и внешнее давление на свобод-
ной поверхности слоя двухфазной гетерогенной смеол. Предложен нтеряпионнык
метод, позволяющий не только раздельно редеть уравнение фильтрации и систем;
уравнений равновесия, но и рационально разделить решете уравнений равновесия.
Результаты численного реиения задачи дают возможность объяснить набит-
даеше особенности поля дильтрационных скоростей и высказать сухлснчя о гло-
аых причинах их возидкнованид. Показано, что не только проявление, ддлатантннх
свойств, но и трение на контактных поверхностях обсуловливают возникновение
пристенных областей с повышенными скоростями фильтрации.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ л ДИФФУЗииЛНбА СЛЕДЕ
КАПЛИ ПРИ СТОКСОВОМ ОБТЕКАНИИ
А.Ф.Хгвотягин
доследуется диффузия вещества в окрестности сферической капли, обтекае-
мой вязкой жидкостью при малых числах Рейнольдса и сольч/х числах Пекле.
Считается, что процесс цассопереноса лимитируется сопротивлением вдешн.ей
фазы. Рассматриваются два случая.
I. Диффундирующее йз капля вещество участвует > ибь??е внешней фазы в
химической реакции первого порядка. Распределение концентреции стационарное.
Полученное ранее методом диффузионного пограничного слоя решение (Крылов З.С.,
МЖГ, 1967, te I,стр.146) становится ксчригодным о области диффузионного следа,
где толщина пограничного елся бесконечно, возрастает, для. решения задачи с
помои?ю метода сращиваемых асимптотических разложений обметь вне капли дез-
Сиваееся не несколько областей. В каждой выделенной область получены прибли-
женные решения уранеения конвективной диффузии, которые сращиваются на услов-
ных границах областей и удовлетворяют граничным условиям исходной нздачы.
Определен лок&лъаыР диффузионный ноток в области породивi и задней крити-
оп
ческих точек,
2. Хкмическая реакция отсутствует. Распределение концентрации нестацио-
нарное. В сферической системе координат rs & с началом в центре капли и
отсчитываем от направления потока на бесконечности углом & уравнение кон-
вективной диффузии имеет вид
% • тба Л W
Для заданного отношения fi вязкости капли к вязкости окружающей жидкости поле
скорости определяется из известных выражений Стокса. Чиоло Пекле Ре рассчи-
тывается пс радиусу капли О, , скорости потока на бесконечности U и
коэффициенту диффузии вещества во внешней фазе О , Ре - . Постано-
вку задачи завершает граничные и начальное условия С ~1 » ;
С-*0 . Г-»о^ ; С=О , t’O .
При помощи преобразования Лапласа задача сводится к рассмотренной в пре-
дыдущем случае. Обратное преобразование Лапласа дает выражения для распреде-
ления концентрации в окрестности передней и задней критических точек
№/dt ~ -(t/p) &g-)™]-~ 0‘ &
Уравнение неразрывности имеет обычный вид. Выведены условия на разрывах.
Получены точные решения для однородных нелинейных колебаний осесимметричес-
кого вращающегося диска. В случае (2) построены решения задач об аккреции
газа с образованием сильных ударных волн.
РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ СИЛА И МОМЕНТ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ПЛОСКУЮ
КОНЕЧНУЮ ПЛАСТИНКУ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ ЕЮ ТЕПЛА В ОБТЕКАЮЩИЙ
СТАЦИОНАРНЫЙ ПОТОК ГЕЛИЯ П
Ю.Н.Зайцев,
В данной работе, в рамках бездиссипативной двухжидкостной гидродинамики
Л.Д.Ландау методами теории функций комплексной переменной из классической
гидродинамики решается плоская задача о передаче тепла от бесконечно тонкой
пластинки конечной длины, помещенной в обтекающий её стационарный поток не-
сжимаемого гелия П. Получены выражения для результирующей силы F и полного
момента сил М , действующих на пластинку про различных схемах обтекания
пластинки нормальной и сверхтекучей жидкостями. Оказывается, что разность
температур между потоком и пластинкой не оказывает влияния на силу и момент.
Подробно рассмотрен случай, когда в набегающем потоке гелия П нД беско-
нечности вектор потока тепла 0. равен нулю, а также случай "теплового
ветра", когда в обтекающем пластинку потоке вектор плотности потока массы
гелия П на бесконечности равен нулю. В первом случае скорости нормальной и
сверхтекучей жидкостей на бесконечности одинаковы и равны. Применяя постулат
Жуковского-Чаплыгина отдельно для нормальной и сверхтекучей жидкостей, полу-
чаем два принципиально различных варианта обтекания с различными результирую-
щими силами, но одинаковыми моментами. Во втором случае число принципиально
различных вариантов увеличивается до четырех. Замечательно, что во всех ва-
риантах отношения А/й-й1и М/, где - длина пластинки, имеют
ярко выраженный максимум около 0,75 К . В зависимости от варианта обтекания
либо сила, либо момент при температуре, где плотности нормальной и сверхтеку-
чей жидкостей равны (около 1,95 к1), обращается в нуль, что позволяет опреде-
лить. какой из вариантов обтекания осуществляется в эксперименте.
СДВИГОВОЕ ТЕЧЕНИЕ НАМАГНИЧИГАП.ПЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
В.В.Кирюшин
Рассматривается стационарное .течение несжимаемой непроводящей намагни-
чивающейся жидкости с внутренним моментом количества движения между двумя
параллельными плоскостями, одна из которых покоится, другая движется с. задана
ной скоростью, во внешнем однородном произвольно ориентированном магнитном
поле. Ранее такие течения рассматривались без учета переноса внутреннего
момента количества движения, что допустимо только для очень слабо концентри-
рованных ферромагнитных суспензий.
Найдено общее решение системы уравнений, .описывающей стационарное одно-
мерное течение намагничивающейся жидкости в приближении феррогидродинамики,
постоянны» интегрирования определены из граничных условий прилипания скорос-
101
ти и обращения в нуль внутреннего момента количества движения на плоскостях.
Полученные формулы для скорости, внутреннего момента, давления, намагничен-
ности, магнитного поля упрощены при предположении малости величины внешнего
поля или малости скорости сдвига. При этих предположениях найденная величина
касательного напряжения на плоскостях линейно зависит от скорости движущейся
плоскости, но сложным образом от расстояния между плоскостями. Рассмотрены
предельные случаи, когда зазор между плоскостями очень мал или очень велик
по сравнению с некоторой длиной, характеризующей перенос внутреннего момента.
В этих случаях величина эффективной вязкости (касательное напряжение, делен-
ное на скорость сдвига) оказывается различной и не зависит от скорости сдвига.
Также найден действующий на плоскости момент поверхностно-распределенных пар,
стремящийся закрутить плоскости вокруг оси, перпендикулярной плоскости тече-
ния. Полный момент сил, действующий на плоскости, равен сумме момента каса-
тельных напряжений и момента поверхностно-распределенных пар. Этот результат
является важным, если напряжение сдвига определяется в эксперименте по оказы-
ваемому им моменту сил, например, в случае, когда намагничивающаяся жидкость
находится в тонком зазоре между двумя цилиндрами.
ОБТЕКАНИЕ ТЕЛ, БЛИЗКИХ К ПАРАБОЛОИДАМ ВРАЩЕНИЯ
И.А.Колесникова
Осесимметричное тело, близкое к параболоиду вращения, обтекается вдоль
оси вращения потенциальным потоком, имеющим скорость U вдали от тела. Цель
настоящей работы - найти распределение давления на поверхности тела. Рассмот-
рим сначала движение тела со скоростью U в покоящейся среде в направлении
положительной оси х , совпадающей с осью вращения. Введем параболические
координаты: . Поверхность
представляет собой параболоид вращения с фокусом в начале
координат. Если движущимся телом является параболоид, потенциал скорости, как
следует из /17 , можно получить в виде ф*~ . Потенциал теченищ
обтекающего движущее тело, близкое к параболоиду, представим в виде Ф-Ф*+/ .
Уравнение Лапласа, справедливое для запишется в параболических координа-
тах для осесимметричного случая (нет зависимости от / ) в виде
. Уравнение допускает разделение
переменных /
Пусть константа разделения Х>0 и Л=яа , тогда могут иметь место два схц-
чаяг функция Бесселя О порядка.
Известно, что Zttt)- loUtMiIfttJtfy Hott) • Принимая
по внимание, что вдали от обтекаемого тела 2>^0, щ) жидкость покоится,
и учитывая, что нас интересует область приходим к выводу, что
)%(*%) . При наложенных краевыхусловиях ,* имеет по Л
непрерывный спектр. Представим / в виде ) . Введем
функцию такую, что при определенном ц ° Т(о) равна разности между
значениями исследуемого тела и параболоида г . Граничное условие
обтекания для тела, близкого к тещу вращения с точностью до членов второго
порядка по Т, сведено в работе /2/ к виду, дающему в случае тела, близкого
к параболоиду я- ^ит(о) ' • Следовательно:
у О
здесь лх - модифицированная функция Бесселя I порядка. Применяя формулу обра-
102
щения преобразования Ганкеля, получим: К}(*$>)-J $
что справедливо при выполнении определенных условий для Tty) t а именно
существования • Таким образом: f =
Потенциал обтекания h/ неподвижного тела равномерным потоком можно получить
путем наложения на рассмотренное движение потока скорости U , направленно-
го в сторону отрицательной оси х .
потока в произвольной точке поля вычисляется по формуле
, Скорость
Давление р на поверхности обтекаемог
тела определяется с точностью до величин 2 порядка малости йз уравнения Бер-
нулли , где j> - плотность среда.
Литература
I. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика,-М.: Мир, 1964.
2. Франкель Ф.И., Этерман И.И. Обтекание тел, близких к продолговатым эллип-
соидам. - ПММ,1944, т.8, вып.1, с.65-69.
РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ В ПЛАЗМЕ С ПУЧКОМ
КОНЕЧНОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
В.А.Кондаршев
Рассматривается неустойчивая плазма и проходящий через неё пучок
электронов, имеющие конечную температуру. Столкновениями пренебрегается,
плазма пространственно однородна, задаваемое в начальный момент возмущение
функции распределения столь мало, что можно пользоваться системой уравнений
Власова /I/ .
Решения системы получены преобразованиями Фурье и Лапласа /I/ . В слу-
чае устойчивой максвелловской плазмы известно бесстолкновительное'затухание
возмущений /2/ .
Анализ возмущений в неустойчивой плазме проводится здесь в пренебрежении
частицами, имеющими наименее вероятные значения скорости. Функция распреде-
ления при больших скоростях заменяется нулем. Коротковолновая компонента
возмущения так же, как и в устойчивом случае, сильно убывает по времени,явно
выписана неустойчивая часть решения, дана оценка её роста. Пользуясь геомет-
рической интерпретацией, легко понять устройство многолистной функции-дис-
персионного уравнения и определить характер неустойчивости, абсолютный /"з/
или конвективный.
Литература
I. Михайловский А.Б. Теория плазменных неустойчивостей, т.1.-М.;Атомиздат,
1970.
2. Эккер Г. Теория полностью ионизованной плазмы.-М.; Мир , 1974.
5. Ахиезер А.И., Половин Р.В. Критерии нарастания волн.-“Усп. физ. наук? *
1971, т.Ю4, вып.2.
103
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЗРЫВНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ
СПОСОБАХ ПОДВОДА ЭНЕРГИИ
И.Н.Любинская
Рассматриваются движения, возникающие в плазме при концентрированном
подводе энергии, изменябщейся с течением времени по степенному закону. При
этом предполагается, что вся выделяемая энергия подводится к электронам и по
электронной компоненте плазмы распространяется сильная ударная волна. Эта
волна сгребает электроны и происходит разделение зарядов. Возникает электри-
ческое поле и холодные ионы вовлекаются*в движение. При этом энергия пере-
распределяется между электронами и ионами за счет электрического взаимодейст-
вия.
Подучены условия автомодельности поставленной задачи и выписаны инте-
гралы движения, допускаемые системой уравнений и обобщающие известные инте-
гралы, имеющиеся в монографии Л.И.Седова.
С помощью приближенного метода сильно сжатого слоя, предложенного
Г.Г.Черным, получено аналитическое решение и найдены все распределения пара-
метров ионной компоненты плазмы. Точный численный расчет системы уравнений
показал хорошее совпадение с приближенными по рпспределению параметров ионов.
Анализ результатов показывает, что электроны находятся в узкой полосе,
которая движется непосредственно за ударным фронтом. Для электронов может
сущестьвевать решение типа поршня, когда внутренняя граница электронной
полосы резко очерчена. Оказалось, что вслед за ударной волной в электронной
компоненте следует волна сжатия в ионах. Проанализирована зависимость распре-
деления скорости, плотности и давления, а также местоположение ионной волны
сжатия, от закона выделения шнергии и других параметров задачи.
ТУРБУЛЕНТНЫЙ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОС ВБЛИЗИ
ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
С.А.Мартемьянов
Турбулентный поток пассивной примеси » диффундирующий в
потоке несжимаемой жидкости, можно найти /I / решая уравнения для корреля-
тора пульсаций концентрации и нормальной составляющей скорости жидкости
в различных пространственно-временных точках
при следующих граничных условиях
S~*O при it|-> <*» , или |t| -* ; S’O при у (2)
Считается, что жидкость течет вдоль плоской поверхности у-О , средние
'скорость жидкости и концентрация примеси зависят только от расстояния до
этой ьовер'сности с = С/уЛ 0 - коэффициент молекулярной
диффузии. В работе /1 / показано/ что при больших числах Прандтля последним
членом в уравнении (I) можно пренебречь. Тогда из (I) и (2) для
получаем
Здесь 6> - функция Грина оператора L . Как следует из формулы (3) турбу-
лентный диффузионный поток нелокальным образом связан с градиентом средней
104
концентрации. Поэтому для адекватного описания процессов турбулентного теп-
ло- и массопереноса следует вводить не коэффициент турбулентной диффузии
fyypgty) , а более общую характеристику - плотность коэффициента турбу-
лентной. диффузии ДгулГ/у/ЗУ . Исследование выражения (3) при больших чис-
лах Прандтля показало, что соотношение можно аппроксимировать кусочно-
локальным: . Нелокальность исходной связи между jiwf
и 7С проявляется в том, что ($) имеет совершенно различный
функциональный вид на разных расстояниях от поверхности. В узкой пристенной
области Ътур<> существенно зависит от коэффициента молекулярной диффузии.
В частности,
, ’ если ; пр»
Здесь Z^pp - характерное время изменения коррелятора У . При 0W
определяется в первом приближении только гидродинамическими характеристиками
о
при (5)
В частности, в области диффузионного пограничного слоя
0;0,0,Dj/fy* f (6)
Обычно для tyryrf и I) тчг5 ~ (dVi/dy)'1 постулируют одинаковые степен-
ные законы: J9гурГ я » где Л >3 • Нэк показано выше, ситуация
принципиально иная: и Vry/>S имеют существенно различный функциональ-
ный ьид. В частности, в области диффузионного слоя фгурИу УтурГ
(при ).
Литература
I. Мартемьянов С.А. Закономерности турбулентного массопереноса через
диффузионный пограничный слой постоянной толщины.-в сб.:Газовая и волновая
динамика. МГУ, 1979, т.З.
СТОКСОВО МГД - ОБТЕКАНИЕ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ШАРА
ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ ГАРТМАНА
В.Л.Натяганов
МГД - обтекание вращающегося шара в безиндукционном приближении описы-
вается следующей системой уравнений в безразмерных переменных
ddvIr-O
“в9
Здесь М - число Гартмана, - единичный вектор вдоль направления маг-
нитного поля.
В работе /I/ методам точечных сил Озеена было получено фундаментальное
решение этой системы уравнений, которое при L имеет вид
(2)
С помощью функции <р и её производных можно получить решение задачи
МГД - обтекания неподвижного шара конечного радиуса. Из граничных условий
105
следует, что компоненты силы, действующей на частицу, имеют вид
Fz - Wfyu. <-нЧ$ъ +)J
Fj ~ б^л^УоУ+ gH+^M^Jc^id.
(У)
где оС - угол между направлением магнитного поля и натекающим потоком.
Аналогичным образом можно получить и выражение для суммарного (гидродина-
мического и электромагнитного) тормозящего момента, действующего на вращающий-
ся в неподвижной вязкой жидкости шар
f.
В силу линейности уравнений (I) и граничных условий, формулы (3) и (4) дают
решение задачи о МГД - обтекании вращающегося шара.
Литература
I. А.М.Головин, В.Л.Натяганов. Магнитногидродинамическое обтекание капли при
малых числах Рейнольдса и Гартманаг"Изв. АН СССР, МЖГ", 1978, Л 6, с. 19-25.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ ОБЪЕМНОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ЗАРЯДА В СЛАБОПРОВОДЯЩИХ
ЖИДКОСТЯХ, ДВИЖУЩИХСЯ ОТНОСИТЕЛЬНО МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Е.И.Никифорович
Известно, что при движении слабопроводящих жидкостей, например, бензина
относително металлических поверхностей, внутри жидкости появляется электри-
ческий заряд. В работе предлагается модель, описывающая электризацию в трубе
и в окрестности критической точки.
Предполагается, что источником возникновения объемного электрического
заряда является гетерогенная окислительно- восстановительная реакция ионов
жидкости. Считается, что течение установившееся, ламинарное, концентрации
ионов малы,, так, что профиль скорости известен из гидродинамики,. На ион дей-
ствует диффузионная, электрическая и конвективная силы. В самой жидкости не
происходит диссоциации и рекомбинации молекул. Показано, что в случае, когда
толщина дебаевоского слоя много меньше толщины диффузионного слоя, система
уравнений, описывающая электризацию жидкостей, сводится к решению уравнений
двойного электрического слоя. В другом предельном случае система уравнений
конвективной диффузии.'Получены формулы для плотности электрического тока,
текущего на поверхности трубы и диска. Показано, что на начальном участке
трубы электризация всегда описывается диффузионными уравнениями. Это означает,
что возникающее электрическое поле слоабо влияет на зарядку жидкости. Этот
вывод подтверждается экспериментально. Получены критерии подобия для электри-
зующихся в трубах жидкостей. В случае электризации слабопроводящей жидкости
в окрестности критической точки с помощью теории размерности разработана мето-
дика экспериментальной проверки предложенной теории и определения констант
химических реакций, протекающих на металлических поверхностях.
тпк
ПРОХОЖДЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА ЧЕРЕЗ ПРОВОДЯЩУЮ СРЕДУ,
СОДЕРЖАЩУЮ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВОВ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОВОДИМОСТЕЙ
И ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ
Е. И.Никифорович, С.В.Толмачева
Рассмотрена двумерная задача о стационарном распределении электрического
тока, протекающего равномерно из бесконечности в проводящую среду с постоянной
проводимостью и диэлектрической проницаемостью , имеющую включение
в форме кольца с проводимостью и диэлектрической проницаемостью &з. ,
внутренность которого заполнена непроводящим., диэлектриком с диэлектрической
проницаемостью .
Из решения рассмотренной задачи методом конформного отображения полу-
чено решение задачи о распределении электрического тока, притекающего равно-
мерно из бесконечности в электропроводящую диэлектрическую среду, содержащую
диэлектрик и форме эллипса с проводящей диэлектрической эллиптической оболоч-
кой. Показано, что в случае облочки любой конечной толщины электрическое поле
в диэлектрике внутри' неё однородно.
Решена также задача о распределении электрического тока в проводящей
бесконечной полуплоскости, создаваемого находящимися на конечном расстоянии
от неё точечным источником: среда с источником считается проводящей, среда
по другую сторону полуплоскости - диэлектриком. Граничная линия между полу-
плоскостями имеет поверхностную проводимость. Показано, что методом конформ-
ных отображений, примененными к этой задаче, можно получить решение задачи о
распределении электрического тока около крылового профиля, с учетом поверх-
ностного электрического тока, текущего по профилю.
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА О ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕ В СВЕРХТЕКУЧИЙ
Н.А.Никифорович
Известно, что между твердым телом и сверхтекучим гелием, при наличии
теплообмена между ними, возникает постоянная разность температур порядка
IO’3 К на каждый милливатт /см^ потока тепла (скачок Капицы). Изменение
температуры вблизи стенки происходит в слое толщиной около 10"^ см.
Предлагается объяснение скачка Капицы на основании двухжидкостной дис-
сипативной гидродинамики сверхтекущего Не П с учетом нового диссипативного
коэффициента £ , характеризующего "вязкость" процесса превращения нормаль-
ного гелия в сверхтекущий. Решается одномерная задача о теплопередаче от
неподвижной плоскости 1'0 в сверхтекучий Не И , заполняющий правое полу-
пространство. Процесс передачи тепла считается стационарным.
В процессе решения задачи найдены четыре интеграла исходной системы
уравнений, позволяющие свести эту систему к одному уравнению. Произведено
качественное исследование этого уравнения, а также исследован вопрос о кор-
ректной постановке граничных условий. Получено выражения для величины, скачка
Капицы
л - У £?**/*
где Т, Та» - значения температуры на стенке и на бесконечности соответст-
венно, У а - поток тепла через стенку, - плотность нормального гелия,
Л. - энтропия единицы массы нормального гелия, - диссипативные
коэффициенты. Соответствующий выбор значений диссипативного коэффициента &
107
/ . I
й
< 41
3
1
позволяет получить правильную зависимость от температуры и давления. 1
Произведены расчеты величин £ . Показано, что скачок локализован на рас- |
стоянии порядка 5 х 10"^ см от стенки, что соответствует эксперимонталь- J
ным значениям» Найдено приближенное решение задачи» Сравнение этого решения I
с численным показывает, что приближенное решение с большой точностью опи- |
сывает поведение всех функций для всех х . , I
Таким образом, высокое тепловое сопротивление пристеночного слоя гелия i
возникает вследствие того, что в этом слое сверхтекучий гелий интенсивно *
превращается в нормальный. "Вязкость" этого процесса и описывает новый
диссипативный коэффициент £
3
О ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ В ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЕН НА |
ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ а
I
А.Н.ОсиЬцов I
I
Рассматривается движение двухфазной среды типа таз - твердые частицы ।
при малой вязкости несущей компоненты. Принята модель двух взаимопроникающих
сплошных сред: несжимаемой несущей фазы плотности р и дисперсионной фазы |
с "размазанной" плотностью рр . Объёмной концентрацией дисперсной фазы |
пренебрегается, в качестве силы взаимодействия между фазами принята сила '
Стокса. Методом сращивания асимптотических разложений в предположении мало-
сти {V - вязкость несущей компоненты, Z> - длина торможения ?
одиночной частицы, имевшей начальную скорость U в покоящемся газе) полу- '
чены различные формы уравнений стационарного пограничного слоя на полубес-
конечной плоской пластине в зависимости от характерных значений безразмерных
определяющих параметров £ и • Проведено подробное исследование
случая £.<«1 , . В этом случае задачи определения полей параметров
обеих фаз решаются раздельно. В лагранжевых координатах уравнения импульса
и сохранения массы для дисперсной фазы сводятся к обыкновенным дифференциаль-
ным уравнениям, решение которых проводится численно. Построены профили ско-
ростей и плотности дисперсной фазы в зависимости от продольной координаты.
Отмечено, что релаксация продольных скоростей обеих фаз происходит на зна-
чительно большей длине, чем релаксация поперечных скоростей. С увеличением
продольной координаты происходит формирование существенно неоднородного про-
филя плотности дисперсной фазы, если при плотность с уменьшением
у монотонно возрастает до конечного значения настенке, то при X/z>>Z •
плотность с уменьшением у сначала убывает, а затем с приближением к стен-
ке стремится к бесконечности. Достижение бесконечного значения плотности
дисперсной фазы на твердой стенке является следствием модели сплошной
среды, принятой для описания движения дискретной системы частиц.
Приведено обсужение результатов, границ их применимости. Проведено
сравнение с ранее полученными результатами.
УРАВНЕНИЯ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ДВУМЕРНОЙ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
КАК МОДЕЛИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ МЕМБРАНЫ
Т.А.Прибылева
Содержимое живой клетки разделено на области и отделено от внешней х -
среды специальными структурами - биологическими мембранами, толщина которых
на несколько порядков меньше продольных рамеров и равна примерно удвоенному
108 1
размеру молекулы липида. Поэтому, с точки зрения механики континуума мембра-
ну следует рассматривать как объект обесконечно малой толщины (двумерный
континуум), не являющийся геометрически предельным случаем какого-либо трех-
мерного объекта (в отличии от тоникх оболочек или жидких пленок, по толщине
которых расположено достаточно большое число молекул). В работе непосредст-
венно для двумерного континуума с произвольной геометрией выведены уравнения
неразрывности, движения, моментов, притока тепла, а также диффузии с учетом
химических реакций, диффузии и массообмена с окружающей средой. При выводе
использовались основные принципы механики сплошной среды в применении ко
вспомогательной замкнутой термодинамической системе, включающей двумерный
континуум в совокупности с притоком массы к нему. Понятие двумерных напряже-
ний, моментов, энергии, импульса и т.д. вводится непосредственно для двумер-
ного континуума, а не как соответствующие предельные величины трехмерной
механики.
Указанные уравнения сохранения получены в форме, пригодной для включения
в общую модель биологической мембраны.
ФИЛЬТРАЦИЯ, ПРИ ОТКАЧКЕ ИЗ НЕСОВЕРШЕННОЙ СКВАЖИНЫ
ВБЛИЗИ ВОДОЁМА
А.Б.Сазонов
Рассматривается трехмерная стационарная задача о притоке грунтовых
вод к скважине типа точечного стока в полуограниченном по мощности пластине
сродного изотропного грунта. Пласт, занимающий область г>0 , граничит
плоскости 2=0 с дном водоёма при Х<0 и непроницаемым при х>0 ,
Задача решается в рамках потенциальной теории фильтрации, основанной на законе
Дарси [L] .В этих предположениях пьезометрический напор Н удовлетво-
ряет уравнению Лапласа VZH=O в области фильтрации z>0 , кроме точки
скоординатами (Ха, 0,2о) , где расположен источник, интенсивность GL
которого описывается формулой
где Я - проницаемость грунта, у>с=/'х-Л>/*tf+te-Zo)1 . Граничные условия:
на дне водоёма давление равно гидростатическому, поэтому
Н(-~><Х<0, U, О)-О 5 Ы г ' > „
условие непротекания через непроницаемую границу - 0)=и ;
условие на бесконенности - О
Решение ищется в виде // ♦ рДв
гДх (х-х^+ц1* - (!-%>)*<
Применением преобразований Фурье по переменным у и х, задача сводится к
задаче Винера-Хопфа и, согласно [2.J , находится значение Щ$) на всей
границе i - 0 , которое выражается в виде квадратур. Во всей области
функция ЩхфЪ) согласно решению задачи Дирихле для полупространства,
представляется в виде
Результаты численного счета пьезометрического напора по полученным
формулам показывают, что в случае расположения пьезометрических датчиков
вблизи стока влияние водоёма следует учитывать при ХоЫЯе-тЗ&о • При
109
использовании полученного решения в гидрогеологических расчетах наиболее
удобно располагать датчики ниже стока на глубине порядка + ,
если значения ширины реки и мощности водонасыщенного пласта в реальных усло-
виях достаточно велики. В этом случае погрешности измерений и неточности,
связанные с идеализацией профиля дна водоёма и непроницаемого пласта будут
сказываться меньше, чем при расположении датчиков вблизи границы.
Литература
I. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод.-M.J Гостехиэдат,
1952.
2. Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных
уравнений в частных производных.-М.: Изд.иностр.лит., 1962.
К ГИДРОДИНАМИКЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДИСПЕРСНО-КОЛЬЦЕВОГО
ПОТОКА ТОПЛИВОВОЗДУШНОЙ СМЕСИ
А.С«Семенова
В рамках нестационарной трехскоростной, трехтемпературной одномерной
модели рассматривается динамика дисперсно-кольцевого потока в прямой трубе
конечных размеров. Такое течение характеризуется совместным движением жидкой
пленки по стенкам трубы и ядра потока, представляющего собой дисперсную
среду, состоящую из паровоздушной смеси (воздуха с парами жидкости) и обла-
ка капель, причем капли - сферы одинакового диаметра, взаимодействием между
которыми можно пренебречь. Будем описывать указанную смесь как совокупность
(по числу фаз) континуумов, заполняющих один и тот же объем, в каждой точке
которого определены параметры каждой фазы. Полагаем, что пленка и капли не-
сжимаемы и состоят из одного и того же материала (топлива), пар,.воздух и
паровоздушная смесь - калирически совершенные газы, имеющие одинаковые
скорости и температуры. Учитывая фазовые превращения, силовое и тепловое
взаимодействие фаз, подогрев стенок$ трубы; считая, что движение капель и
пленки определяется лишь силовым взаимодействием их с несущей фазой, а
также, что энтальпия испаряющихся масс равна энтальпии пара состоянии насы-
щения при окружающем давлении; пренебрегая в уравнениях сохранения для
несущей фазы объемов, занимаемым каплями и пленкой, получена система десяти
дифференциальных уравнений сохранения, которая вместе с уравнениями состояния
и соотношениями, характеризующими взаимодействие между составляющими смейи,
образует замкнутую систему в области непрерывного течения. Полученная система
имеет пять семейств действительных характеристик и является гиперболической,
причем линия тока несущего потока является двухкратно вырожденной, а линия
тока капель и пленки - трехкратно вырожденными характеристиками. Для опреде-
ления всех искомых параметров течения решается смешанная задача в классе
дифференциальных,уравнений с частными производными в прямоугольной области.
На каждой граница Задается столько граничных условий, сколько на этой гра-
нице семейств "уходящих* снеё характеристик. При написании замыкающих
соотношений полученной системы дифференциальных уравнений учитывалось сило-
вое, тепловое взаимодействие фаз, а также массообмен между средами.
ПО
ДЕТОНАЦИЯ В ДВУХФАЗНЫХ СИСТЕМАХ
Н.Н.Смирнов
Исследуется детонация в гетерогенных системах в трубах с произвольной
геометрией сечения, когда горючее в жидкой фазе покрывает полностью или
частично внутреннюю поверхность трубы, а окислитель в газообразной фазе за-
полняет трубу. Гетерогенная детонация представляет сложный комплекс. Впереди
идет головная ударная волна, которая разогревает газ до такой степени, что
за ней в результате испарения горючего и перемешивания с окислителем в присте-
ночной области образуется зона возможного горения и заключенная в ней зона
возможной детонации (зона У ). Для определения скорости массоподачи горю-
чего решаются уравнения пограничного слоя в химически реагирующей смеси га-
зов над испаряющейся пленкой жидкости совместное уравнением энер^и в пленке
горючего. Возникающая в зоне & собственно детонационная волна, вне зоны
вырождается во вторичную ударную волну, которая догоняет головную ударную
волну и служит механизмом, передающим энергию qt зоны & головной волне.
В трубах прямоугольного поперечного сечения детонация в зоне JF возникает
периодически, распространение гетерогенной детонации носит пульсирующий ха-
рактер. При круглом поперечном сечении трубы возможно непрерывное распрост-
ранение собственно детонационной волны по спирали в пристеночном пограничном
слое (спиновый режим распространения гетерогенной детонации). При этом вра-
щающаяся вторичная ударная волна переменной интенсивности4 S± взаимодейст-
вует с головоной волной Sa » в результате чего на головной волне образует-
ся вращающийся излом. В области излома сопряжение вторичной и головной волны
может осуществляться посредством одной или нескольких точек разветвления.
В случае одной точки разветвления в результате взаимодействия и $0
образуется ударная волна 5/ и центрированная волна разрежения , исходя-
щие^точки разветвления. Область между 5/ и последней характеристикой
И* содержит контактную поверхность, разделяющую газ с различной скоростью,
полностью и энтропией.
Результаты проведенных расчетов показывают, что при уменьшении диаметра
трубы скорость самоподдерживающейся детонации увеличивается до некоторого
предела, а затем уменьшается за счет возрастания отрицательного влияния по-
граничного слоя. Увеличение начальной температуры и концентрации кислорода
в окислителе ведет к возрастанию скорости детонации.
ИССЛЕДОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ И ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
ГИПЕРЗВУКОВОГО ДАЛЬНЕГО СЛЕДА
С.Г.Тихомиров
Рассмотрена задача о течении многокомпонентного химически реагирующего
газа в дальнем вязком следе за телом, летящим с гиперзвуковой скоростью.
Ввиду большой протяженности следа и сложности химической кинетики точное
численное решение этой задачи требует больших затрат машинного времени. По-
этому построена приближенная модель течения, которая описывает основные
особенности течения в дальнем следе и в то же время учитывает сложную сис-
тему химических реакций. Выявлены основные для чистого воздуха процессы,
влияющие на концентрацию электронов и рекомбинационное излучение примени-
тельно к условиям эксперимента в баллистических установках.
Показано, что уравнения химической кинетики с произвольным числом ком-
понентов и реакций сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравне-
III.
ний на оси следа. Эта система решена численно с учетом достаточно полной
модели химической кинетики в чистом воздухе. На основе анализа численного
решения сделаны предположения о постоянстве плотности и температуры, поз-
волившие получить аналитическое решение.
Кроме газодинамических параметров, получено асимптотические распреде-
ление по радиусу следа и вдоль его оси концентрацией заряженных и нейтраль-
ных компонентов и интенсивности излучения при ламинарном и турбулентном ре-
жимах течения. На основе аналитического решения определены числа Шмидта для
турбулентных течений. Установлены соотношения, связывающие характерные по-
перечные размеры следа для различных физических параметров - температуры,
химических концентраций и излучения. Получена связь распределения интенсив-
ности рекомбинационного излучение и концентрации атомарного кислорода в сле-
де. Установлены критерии подобия для концентраций химических компонентов
и интенсивность излучения в следе и даны границы применимости полученных ре-
зультатов. Показано удовлетворительное согласование аналитического и числен-
ного решений с известными экспериментальными данными, полученными на легко-
газовых баллистических установках.
ТРАНСЛЯЦИОННО-ОДНОРОДНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ
НАВЬЕ-СТОКСА И ИХ СВОЙСТВА
А.В.Фурсиков
Ниже приведены результаты, полученные М.И.Вишиком и автором в [1J .
Рассматривается задача Коши для системы Навье-Стокса
= V AU, ~ VP(itL), cUtrtc =0. (I)
vt-b/z (2)
где t&LOiT], , U&Z)*(lb, - вектор ско-
рости, Vp - градиент давления, - коэффициент вязкости,
.Предпола-
гается, что начальное условие il,(z) - случайное векторное поле с однород-
ным распределением jz(b)c), ь т.е.
№ « VReR"- .где Ъщх,)* щи-к) »! кроме того,
(интеграл понимается в смысле /*2_7).
Вероятностная.мера Р1 (и), й) 6- Я> (h,z(O,Т-, Ж(ъ)) называется
трансляционно однородным статистическим решением задачи (I) -(2), соответст-
вующим начальной мере ju,(£u<>) , если I) мера Р* однородна по X-
QlMbfflhdO/TiWl'b))t и й/ состоит из слабых решений
задачи (I), (2); 3)-для любого и/ определено сужение и,(Р£)
при t’O И U,lO,Z)6-ldo])-JU(U«) Vb)0
Теорема I. Существует однородное по X статистические решение Р*
задачи (I), (2), соответствующее начальной мере ju,(du<>).
В своем докладе /3_/ А.Н.Колмогоров поставил вопрос: сходятся ли ста-
тистические решения при V -» О ? Справедлива
Теорема 2. Сущнствует такая последовательность Р; *#, что PUj
слабо сходятся на Rn'))h' ъ вероятностной трансляционно однородной
мере Р(<Lu,) , сосредоточенной на Lz(O,T) УЦъ)), 'c<-/2'/z
*)через &(*) обозначается боерлевская О' - алгебра множеств банахова
пространства X .
®е) Т.Е. Pv(th))-Pv(u)l VUebiLdOriKlVl M-eR*- ~ , .где
Литература
X Вишик М.И..фурскков А.В. Трансляционно однородные статистические решения
и индивидуальные реиения с бесконечной энергиеЙг'Сибирск.матем.ж.*, 1978
т.19, ft 5,с.1005-1031.
2. Вишик М.И. .Фурсиков А.В. doltdaue ftawtyuu tomoyeut ete
pAftotoltyui et eLu tyitiune de A/a+ier- diodu, dn- Seteud^,
fforn. Suf--Pisa, C&uee <Li StiMU, Sent(V, v-ld, Vi, 531-516
3. Колмогоров A.H. Замечания о статистических решениях уравнений Навье-
Стокса,-УМН, 1978, т.23, » 3,с.124.
ОБТЕКАНИЕ ТОЛСТОГО КРЫЛА КОНЕЧНОГО РАЗМАХА
ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ
А.Д.Хаизаев
Рассматривается задача or пространственном течении идеальной жидкости
в области внешней к некоторой замкнутой достаточно гладкой односвязной повер-
хности £ . Предполагается, что течение установившееся, безвихревое, ско-
рость невозмущенного потока на бесконечности V^» = V0o ' • Для нахождения
потенциала течения Ф«ФР+Ф , где •f - потенциал возмущенных скоро-
стей, используется основная интегральная формула Грина для гармонических
функций. Задача сводится к системе двух двухмерных интегральных уравнений,
относительно ковариантных компонент скорости Vx (&,£)» на поверх-
ности крыла. Вывод уравнений дается в работе: Вернигора В.Н., Ираклионов В.С.
Павловец Г.А. - "Расчет потенциальных течений около крыльев и несущих кон-
фигураций крыло-фюзеляж". Труды ЦАГИ, вып.1803, 197£г.
Для численного решения системы интегральных уравнений поверхность крыла
развбивается на 3,3 интервалов £?г по размаху и предполагается, что
в пределах каждого интервала функции "У^/йг^и ¥^(.9,2) изменяются линейно.
При таком предположении удается аналитически проинтегрировать по переменной
Z на каждом интервале £2; Z^J . Интегрирование по переменной G
проводится численно по формуле трапеций (изменение & от 0 до 2Х соответ-
ствует обходу контура профиля в сечении• 2 против часовой стрелки).Таким
образом, система двух двухмерных интегральных уравнений сводится к системе
линейных алгебраических уравнений. Полученная система решается итерационным
методом, форма спутной вихревой пелены за крылом определяется из условия
коллинеарности вектора скорости течения и вектора плотности распределения
вихря на пелене.
После каждой итерации выполняется условие Чаплыгина-Жуковского о конеч-
ности скорости на задней кромке крыда, путем введения поправок на решение
полученное из системы уравнений. При определении величин поправок использует-
ся условие, что сход вихревой пелены с задней кромки происходит по касатель-
ной либо к верхней, либо к нижней поверхности крыла в зависимости от измене-
ния циркуляции по размаху и знак скорости вдоль задней кромки.
ИЗ
Авторский указатель
Абдулгалимов А.М. 89 Исупов Л.П. 92
Аксененкова И.Н. 74 Кадымов В.А. 93
Альдяков А.А. 74 Кадельбург 8. 30
Амангельдин Т.Г. 22 Караваев D.B. 79
Андреев А.Е. TI Каиков В.Н. 78
Антонян С.А. 15 Канатиков А.д. 31
Аристов В.П. 97 Кирвин В.В. ТОТ
Артамонов В.А. 12 Клейман Ю.Г. 4
Бабанко И.К. 15 Козлов В.В. 60
Бабин Д.Н. 51 Калесниов С.В. 31
Бандман Т.Н. 22 Колесникова И.А. 102
Беликов В.В. 97 Кондрашев В.А. 103
Беляев А.А. 23 Косенко И.И. 79
Берберян С.1. 24 Коганов С. 18
Бетелнн В.Б. 51 Креспо Х.Мартинес 62
Богатый С.А. 17 Лакович Б. 32
Богачев I.B. 57 Лебедев В.А. 62
Бойматов К.Х. , 25 Хевина Г.Д. 33
Болотин С.В. 76 Хиберзон М.Р. 81
Болотин D.B. 75 Лобузов А.А. 33
Бородин К.С. 97 Лопин А.А. 34
Буинский А.В. 57 Лузин В.Н. 64
Бурков В.Д. 12 Лукаиенко С.Ю. 35
Быковский В.А. 13 Лукаиенко Т.П. 36
Бычков С. Нх 26 Любинская И.Н. 104
Васильев В.А. 76 Ляху А.К. 64
Воронов А.А. 51 Майер Ж. 36
Вишне М.1. 3 Макаров U.H. 5
Воловиков A.D. 18 Макоиова Н.О. 37
Вячеславов Н.С. 26 Малынев ф.М. 5
Гаджиев М.Г. 89 Малыиева Н.Б. 37
Годованчук В.В. 58 Мартемьянов С.А. 104
Гормов В.В. 77 Маслов Г.В. 51
Громкова 1.Н. 59 Матаоов А.И. 80
Груздев В.А. 52 Матов В.И. 54
Гуичев н.Е. 27 Мельниов И.И. 38
Гусев В.В. 59 Минц н.Б. 81
Данилова Е.М. 98 'Миссаров М.Д. 6Т
Дао Минь Iroi 99 Мукминов ф.Х. 39
Дворкин я.п. 90 Мусин О.Р. 19
Джумадильдаев А.С. 'з Натягаиов В.Л. 105
Дорогинин В.В. 91 Никитенко В.Г. 65
Дьяченко М.И. 28 Никифорович Е.И. 106,107
Хивотягин А.Ф. 99 Никифорович Н.А. 107
Жуков А.В. ТОО Нори Н.В. 40
Зайцев D.H. ТОТ Оиийчук В.Н. 54
Звдгин А.В. 91 Орехов В.И. 82
ванов В.А. 53 \ Осипцов А.Н. 108
Иваикевич С.1. 29 Панчинпн А.А. 6
Илларионов Н.А. 29 Парусников В.И. 41
Исаев М.А. 51 Переяславский В.И. 55
114 ,
Платонова О.А. 83 Тиханина И.Г. 85
Попов Л.Г. 93 Тихомиров С.Г. III
Порошенко В.Н. 42 Толмачев В.В. 97
Прибылева Т.А. 108 Толмачева С.В. 107
Рамазанов А.-Р.К. 42 Трофимов В.В. . 20
Резникова А.Я. 66 Трусов А.В. 8
Рхавинская Е.В. 43 Трынкин Ю.В. 45
Ройвенберг М.А. 7 Украинцев С.В. 86
Росткова Т.Б. 83 Умирбекова 1.А. 70
Русаков А.А. 67 Урюпин М.А. 87
Сагомонян В.А. 94 Фалин Г.И. 71
Сазонов А.Б. 109 Федоров В.М. 46
Седах В.Д. 84 Ферман П. 72'
Селезнев О.В. 68 Фурсиков А.В. 112
Семенова А.С. ПО . Хамзаев А.Д. ИЗ
Силаев Д.А. 52 Чубаров И.А. 9
Симонова Т.Н. 69 Шавгулидзе Е.Т. ' 47
Симонова М.8. 70 Мехтман В.В. 10
Сковорода А.Р. 95 Зеиенин С.В. 96
Смирнов Н.Н. III иробоков Н.В. 56
Соколов И.А. 68 Зкаликов А.А. 48
Сорокин В.И. 44 Иляхтмн А.Н. 86
Степанов В.И. 8 Шухов А.Р. 49
Татаринов Я.В. 85 Юсупов А.К. 50
Творогов В«Б. 45 Якимов А.Л. 73
Якубович А.М. 14 г
115
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
(Под редакцией А.Н.Колмогорова
Заведующий редакцией С.И.Зеленский
Редактор издательства Р.Д.Солод
Подписано к печати 24.2.81 г. Л - 96851
Формат 70 х 108 1/16 Объем 9,56 уч.-издл. Тираж 500 экз.
Заказ 2578 10,15усл.печл. Иена 60 коп.
Отпечатано на ротапринте Института механики МГУ
Цена 60 коп