Author: Пановко Я.Г.
Tags: общая механика механика твердых и жидких тел физика теоретическая механика
Year: 1977
Text
Я. Г. ПАНОВКО
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
МЕХАНИЧЕСКОГО
УДАРА
C\J
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1977 г
531
П 16
УДК 531
Введение в теорию механического удара. Пановко Я. Г.,
Главная редакция физико-математической литературы издательства
«Наука», М., 1977, 224 стр.
В книге рассматриваются вопросы теории ударных явлений, ко-
торые часто встречаются в природе и технике и с которыми прихо-
дится считаться при проектировании различных технических
устройств.
В отличие от общих курсов механики, в которых задачи об уда-
ре рассматриваются лишь в простейшей постановке, в книге осве-
щаются более адекватные реальным явлениям постановки этих за-
дач. Обсуждаются различные механические и математические мо-
дели, рассматриваются соударения деформируемых (упругих)
тел различных типовых форм (продольный и изгибающий удары),
освещается роль местных пластических деформаций и т. п.
Книга рассчитана на студентов старших курсов втузов с рас-
ширенной программой по теоретической механике и может быть по-
лезной для аспирантов, научных работников и инженеров.
Табл. 16, илл. 90, библ. 38.
20304-080 ,,
П 053(02)-77 146-76
© Главная
фИЗИКО-мат<*м;»Т1Г»|’| И"
издательстнл «IIiijh i .
ОГЛАВЛЕНИЕ
11 родисловие 5
Введение . 9
§ 0.1. Ударные явления в технике 9
§ 0.2. Ударные силы и ударный импульс 11
§ 0.3. Классификация Аппеля 15
§ 0.4. Модель абсолютно твердого тела и решение Нью- тона 24
§ 0.5. Дискретные модели с деформируемыми элемен- тами 30
§ 0.6. Модели с распределенными параметрами 35
лава 1. Идеальный удар; общие теоремы и приложения 40
§ 1.1. Вступительные замечания . . . 40
§ 1.2. Общие теоремы динамики в теории мгновенного удара 40
§ 1.3. Действие заданных мгновенных импульсов на аб- солютно твердое тело ... .... 52
§ 1.4. Внезапное наложение идеальных связей на абсо- лютно твердое тело 58
§ 1.5. Задача Парса 64
§ 1.6. Действие заданных мгновенных импульсов на уп- ругие системы с одной степенью свободы 68
§ 1.7. Движение находящихся на платформе грузов при ударе 78
Глава 2. Решение задач о соударениях двух тел с по- мощью гипотезы Ньютона 86
§ 2.1. Вступительные замечания 86
§ 2.2. Связь коэффициента восстановления с динами- ческими характеристиками удара 87
§ 2.3. Эффективность однократного удара в технологиче- ских процессах . . 91
§ 2.4. Повторные удары в автономных системах 94
§ 2.5. Повторные удары в неавтономных системах 103
§ 2.6. Косой удар ... 115
§ 2.7. Общий случай плоского удара 123
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Дискретные модели 128
§ 3.1. Вступительные замечания 128
§ 3.2. Многомассовые модели с линейными упругими
деформируемыми элементами 131
§ 3.3. Способ Рэлея............................... 141
§ 3.4. Простейшие упругие модели с трением 151
§3.5. Жесткопластическая модель . . 160
§ 3.6. Нелинейно-упругая модель Герца 163
§ 3.7. Нелинейная упругопластическая модель 168
Глава 4. Модели с распределенными параметрами 173
§ 4.1. Вступительные замечания .... 173
§ 4.2. Продольный удар упругих стержней 174
§ 4.3. Влияние местных деформаций при продольном уда-
ре упругих стержней 189
§ 4.4. Гидравлический удар 192
§ 4.5. Продольный удар по упругопластическому
стержню . . . 200
§ 4.6. Поперечный удар по упругой балке 206
§ 4.7. Влияние местных деформаций при поперечном
ударе по упругой балке 215
Литература 219
Указатель имен и библиографических ссылок 221
Предметный указатель 222
ПРЕДИСЛОВИЕ
На противоположных флангах обширного ряда яв-
лений, изучаемых в динамике механических систем, мож-
но выделить две крайние области. Первая из них охватыва-
ет явления, происходящие с весьма малыми ускорениями,
и, если полностью пренебречь ускорениями и соответ-
ствующими динамическими эффектами,— сводится к за-
дачам статики. Ко второй области относятся кратковре-
менные состояния, характеризуемые весьма большими
(и даже бесконечно большими) ускорениями; это — ударные
явления, связанные с возникновением кратковременных,
весьма больших, «ударных» сил.
Особенности ударных явлений в природе и технике
были замечены и оценены учеными уже во времена Нью-
тона; тогда же были предложены первые, правда, несо-
вершенные решения соответствующих задач механики. За
истекшие с тех пор три столетия проблема удара все более
тщательно изучалась как в теоретическом направлении,
так и экспериментально; в наши дни она представляет
собой важный для приложений и в значительной мере
самостоятельный раздел механики.
Задачи об ударе весьма разнообразны по характеру,
целям и методам решения. Само выражение «решение за-
дачи об ударе» неоднозначно по смыслу и наполняется
тем или иным конкретным содержанием в зависимости
от постановки вопроса и избранного приема моделирова-
ния явления. Специалист подзащитным сооружениям за-
частую’подразумевает под ударом действие быстро измепя-
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
ющейся заданной во времени нагрузки (давления взрывной
волны), т. е. считает ударные силы заранее извест-
ными. В то же время разработчик в области приборостро-
ения, заботясь об ударостойкости изделия, думает о пред-
стоящих испытаниях на ударном стенде и привык пони-
мать удар как характеризуемое большими ускорениями
заданное движение корпуса прибора вместе с платфор-
мой стенда. Пожалуй, наиболее сложные задачи возника-
ют перед инженером-машиностроителем, который имеет
дело с явлениями, развивающимися при соударениях уз-
лов или деталей машин; здесь заранее не известны ни
возникающие при этом силы, ни вызываемые ими кинема-
тические эффекты. Тот же характер носят задачи ударной
(или виброударной) технологии — ковки, забивки свай
и т. п.
В каждой из названных областей установились свои,
настолько специфические модельные представления и при-
емы анализа, что специалисты, представляющие различ-
ные области, зачастую с трудом понимают друг друга;
иногда это вредит глубине понимания ими и собственных
проблем. В то же время в литературе трудно пайти дос-
таточно широко охватывающее, но сжатое изложение раз-
нообразных постановок задач об ударе и соответствую-
щих решений; в особенности страдает от этого начинаю-
щий читатель.
В учебниках по теоретической механике теории удара
уделяется очень скромное место и обычно освещаются
только наиболее элементарные вопросы. При этом у на-
чинающего читателя может создаться ложное впечатление
о бедности проблемы и примитивности методов ее иссле-
дования. В некоторой степени то же относится и к учеб-
ной литературе по другим дисциплинам, так или иначе
связанным с проблемой механического удара — по соп-
ротивлению материалов, строительной механике, теории
упругости, а также по теории механических колебаний.
ПРЕДИСЛОВИЕ
7
Имеется несколько монографий, специально посвя-
щенных теории удара. Здесь в первую очередь нужно
назвать широко известные книги Н. А. Кильчевского [16],
В. Л. Бидермана [26] и [6], В. Гольдсмита [11], Р. Гри-
боша [36]. Сложные вопросы распространения пластичес-
ких волн рассматриваются в монографиях X. А. Рахма-
тулина и Ю. А. Демьянова [29], а также В. Н. Ионова
и П. М. Огибалова [14]. Однако эти содержательные руко-
водства (широко использованные автором настоящей кни-
ги) вряд ли подходят для первого ознакомления с темой,
хотя бы из-за своих больших объемов.
Нужно отметить также книги, посвященные проблеме
удара в конкретных технических устройствах (например,
[15], [20]). Однако здесь обсуждаются лишь специфичес-
кие ситуации узкого характера, а при решении возника-
ющих при этом теоретических задач авторы зачастую не
прослеживают связи применяемых ими частных приемов
с общими методами механики.
В целом, можно сказать, что до сих пор ощущается
нужда в компактной книге вводного характера, дающей
развернутое общее представление о различных постанов-
ках задач об ударе и о соответствующих методах их
решения. Настоящей книгой делается попытка удовлетво-
рить эту потребность; книга входит в серию учебных по-
собий, выходящих в издательстве «Наука» в качестве
дополнений к курсу теоретической механики Н. В. Буте-
пина, Я. Л. Лунца и Д. Р. Меркина.
Во введении описываются ударные явления и дается
общий обзор модельных представлений и вариантов по-
становки задач об ударе; данная здесь классификация оп-
ределила разделение на главы последующего основного
содержания книги. В главе 1 рассматриваются задачи
действии заданных импульсов и о внезапном наложении
идеальных связей на твердые тела и системы твердых
тел. Глава 2 посвящена анализу соударений твердых т<\»
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
с использованием гипотезы Ньютона о коэффициенте
восстановления. В главе 3 задачи о соударениях решают-
ся с помощью дискретной схематизации соударяющихся
тел в виде систем с конечным числом степеней свободы.
Эти системы представляют собой комбинации абсолютно
твердых элементов, обладающих инерцией, и безынерци-
онных податливых элементов (упругих, вязких, пластич-
ных). В главе 4 изложены элементы более строгой теории,
учитывающей распределенность параметров соударяющих-
ся тел.
Хотя основное изложение касается задач юрии, од-
нако в книге рассматриваются также некоторые вопросы
практического характера, связанные с техническими при-
ложениями, причем особое внимание уделено выбору ме-
ханических моделей, достаточно адекватных различным
реальным ситуациям.
Понятно, что в небольшой книге вводного арактера
не нашлось места для обсуждения многих важных, но
особенно сложных вопросов. Однако автор что
и в настоящем виде книга окажется поле; а к для
студентов и аспирантов вузов многих технических специ-
альностей, так и для инженеров, работающих в конструк-
торских бюро и научно-исследовательских учреждениях.
Автор благодарен В. И. Бабицкому и И. И. Влехману
за полезные советы и замечания, Т. А. Журавлевой за
очень большую помощь, оказанную ею при разработке от-
дельных мест текста и при подготовке рукописи к печати,
а также А. А. Чахояну за ряд вычислений ЭЦВМ.
>/. /’. Пановко
ВВЕДЕНИЕ
§0.1. Ударные явления в технике
Явление удара очень часто встречается в технике;
в одних случаях оно причиняет вред, в других — прино-
сит пользу.
Нежелательные систематически повторяющиеся удары
иногда возникают из-за особенностей или несовершенств
конструкции, например, вследствие зазоров в кинемати-
ческих парах машин или наличия рельсовых стыков на
железнодорожных путях. В печальной статистике авиа-
ционных и железнодорожных катастроф, а в особенности
автомобильных аварий, фиксируется огромное число слу-
чаев разрушительного действия ударов. Впрочем, относи-
тельно слабые соударения практически неизбежны и при
нормальной эксплуатации транспортных средств: при по-
садке самолетов, формировании железнодорожных со-
ставов, при швартовке судов. Много примеров скоротечных
процессов ударного типа можно найти в области артилле-
рийской техники. К ним относится быстрый разгон сна-
ряда в канале ствола орудия, резкое уменьшение скорос-
ти снаряда и пробивание защитного ограждения при пря-
мом попадании, разлет осколков при разрыве снаряда и
т. д.; сюда же можно причислить ударное действие взрыв-
ной волны па сооружения. При быстром перекрытии тру-
бопроводов происходит гидравлический удар — резкое по-
вышение давления, связанное с внезапными изменениями
скоростей частиц протекающей жидкости.
Удар целенаправленно используется в различных тех-
нологических процессах (дробление хрупких тел, ковка,
штамповка и обрубка металлов, забивка свай и т. п.) и
относительно легко вызывает эффекты, труднодостижимые
иными, безударными средствами.
10
ВВЕДЕНИЕ
Явления удара часто встречаются также в более обы-
денных и менее ответственных ситуациях. Таковы удары
вибрирующего молоточка электрического звонка; щелчки
при срабатывании выключателя электрического освеще-
ния или переключателя диапазонов в радиоприемнике;
удары, наносимые металлическими буквами пишущей ма-
шинки; хлопки при закрывании дверцы автомобиля или
холодильника и т. д. Если также вспомнить о спортивных
играх с мячом или шайбой, то без преувеличения можно
сказать, что явления удара встречаются буквально на
каждом шагу.
Внешнее разнообразие названных и близких к пим
явлений не может заслонить их типичные черты:
с кинематической стороны — скоротечность акта уда-
ра, за малое время которого происходят резкие измене-
ния скоростей, но лишь малые изменения координат;
с динамической стороны — возникновение, а затем ис-
чезновение весьма больших ударных сил.
Конечно, выражения «кратковременность», «резкие из-
менения», «весьма малые», «весьма большие»- расплыв-
чаты и лишены количественной четкости. Однако неяс-
ности могут быть устранены, если определить удар как
совокупность явлений, связанных с резкими изменениями
скоростей точек механической системы, происходящими за
столь малое время, что по сравнению с импульсами возника-
ющих при этом ударных сил можно пренебречь импульса-
ми всех остальных сил. Этим определением достаточно
ясно очерчиваются границы проблемы удара и одновре-
менно — темы настоящей книги.
Постановка любой задачи об ударе состоит в формули-
ровке инерционных и реологических свойств тол, образу-
ющих исследуемую модель (выделение инерционных и
безынерционных элементов; использование представлений
об абсолютно твердом теле и о телах, обладающих упру-
гостью, вязкостью, пластичностью), а также свойств, ко-
торые приписываются силам ударной природы (их распре-
деленность или сосредоточенность в пространство и во
времени — см. § 0.2). При этом для аналитического опи-
сания одной и той же ударной ситуации возникает мно-
жество вариантов — разумеется, различных уровней аде-
кватности и сложности. Впрочем, свобода выбора вариан-
та может оказаться даже формально ограниченной, так
0.2]
УДАРНЫЕ СИЛЫ И УДАРНЫЙ ИМПУЛЬС
И
как способы идеализации сил и свойств, образующих
систему тел, не всегда независимы и иногда оказываются
взаимоисключающими (см., например, п. 0.2.3).
§ 0.2. Ударные силы и ударный импульс
0.2.1. Как правило, развивающиеся при ударе силы
заранее не известны, подлежат определению в процессе
решения задачи и лишь в некоторых случаях их можно
считать наперед заданными; под-
робно об этом будет сказано
ниже. Однако, независимо от
сказанного, изменение ударных
сил во времени происходит при-
мерно так, как показано на
рис. 0.1, а: сначала сила весьма
быстро возрастает до наиболь-
шего значения, а зачем, также
за весьма короткое время, пада-
ет до нуля; два частных вари-
анта упрощенного описания этой
зависимости показаны на рис.
0.1, б и 0.1, в. Последний рис.
0.1, г схематически иллюстри-
рует изменение силы, возникаю-
щей при соударении твердых
тел: здесь типично, что длитель-
ность этапа возрастания на-
грузки всегда больше длитель-
ности этапа ее убывания.
Во многих случаях удар ха-
рактеризуется не столько зако-
ном изменения силы Р (0, сколь-
ко интегральной величиной —
ударным импульсом
и
S ^P(t)dt. (0.1)
to
Здесь tQ и t± — время начала и конца удара. Выражение
(0.1) можно представить в виде
5 = Рср (^1 ^о)> 0)-^)
12
ВВЕДЕНИЕ
где Рср — среднее значение силы за время удара. Так как
для ударных явлений типичны весьма малые значения
разности t± — t0 и большие значения РСр, то в теории удара
часто рассматривают предельный случай, считая, что в
выражении (0.2) первый сомножитель неограниченно воз-
растает, второй — неограниченно уменьшается (^->^0)»
тогда как их произведение остается неизменным и конеч-
ным. В этом случае S называется мгновенным ударным
импульсом, или просто мгновенным импульсом *). Полу-
ченная при таком переходе сила признается бесконечно
большой; ее называют мгновенной ударной силой. Мгно-
венные ударные силы можно формально вводить в урав-
нения механики как обычные (конечные) силы, если поль-
зоваться записью
Р (0 = 56 (* - tQ), (0.3)
где б — дельта-функция Дирака. Предположение о ну-
левой длительности акта удара влечет за собой представ-
ление о бесконечно больших ускорениях и, соответствен-
но, о мгновенном (разрывном) изменении скоростей.
0.2.2. Хотя понятие о мгновенном ударном импульсе
как о конечном воздействии нулевой длительности может
показаться несколько искусственным, однако в действи-
тельности оно не менее естественно и плодотворно, чем,
например, используемое в строительной механике понятие
о сосредоточенной силе, как предельном случае нагрузки
большой интенсивности, занимающей малую часть дли-
ны бруса. Можно также сказать, что переходы к мгно-
венному импульсу и к сосредоточенной статической силе
основаны на общей идее локализации (или, как иногда
говорят, «дискретизации»): в первом случае действие силы
локализуется во времени (рис. 0.2, а), а во втором слу-
чае — в пространстве (рис. 0.2, б).
Для дальнейшего углубления аналогии полезно вспом-
нить, что в строительной механике иногда пользуются
обратным приемом, когда совокупность сосредоточенных
*) Для понятия, которое здесь названо мгновенным ударным
импульсом, некоторые авторы используют термита «сила
удара» или «ударная сила». Но при этом возникает неудобство, сли-
занное с тем, что «сила» измеряется в единицах импульса, и подоб-
ное тому, которое в свое время возникло из-за бесспорно неудачного
термина «живая сила».
§ 0.21
УДАРНЫЕ СИЛЫ И УДАРПЫИ ИМПУЛЬС
13
сил, точки приложения которых достаточно близки меж-
ду собой, заменяется распределенной нагрузкой конеч-
ной интенсивности (рис. 0.2, в). Подобно этому совокуп-
ность достаточно часто следующих друг за другом мгно-
венных ударных импульсов можно заменить конечной
Рис. 0.2.
силой, непрерывной во времени (рис. 0.2, г). Этот прием
перехода от дискретных воздействий к непрерывным на-
зывают «континуализацией» (иногда применяют вырази-
тельный, хотя и несколько жаргонный термин «размазы-
вание»).
Любопытно, что приемом континуализации воспользо-
вался еще Ньютон при выводе формулы для центро-
стремительной силы. Сначала он рассмотрел движение
14
ВВЕДЕНИЕ
материальной точки вдоль периметра правильного много-
угольника; прохождение точкой каждой из вершин сопро-
вождается мгновенным ударом, импульс которого тем
меньше, чем больше число сторон многоугольника. При
переходе к пределу, когда многоугольник превращается в
окружность, последовательность дискретных импульсов
переходит в непрерывно действующую центростремитель-
ную силу. Континуализация мгновенных микроударов из-
давна применяется и в феноменологической теории газов,
где частые малые удары молекул заменяются распреде-
ленным по времени силовым воздействием; это «размазан-
ное» воздействие и есть давление газа.
0.2.3. До сих пор речь шла о распределении ударных
сил во времени. Что касается их распределения в прост-
ранстве, то наряду с сосредоточенными ударными силами
иногда приходится рассматривать случаи, когда ударная
сила распределена по некоторой области объема тела
либо по какой-либо принадлежащей телу поверхности
или линии. То же относится и к мгновенным ударным
импульсам, которые могут быть как сосредоточенными,
так и распределенными в пространстве.
Если рассматриваемому телу приписывается свойство
абсолютной недеформируемости, то распределенный по
объему тела мгновенный импульс может быть заменен
эквивалентным ему сосредоточенным мгновенным импуль-
сом. Однако при учете деформативных свойств ударяемо-
го тела, распределенных по его объему, представление о
сосредоточенном в пространстве мгновенном ударном им-
пульсе становится принципиально неприемлемым *). Та-
кая идеализация оказывается чрезмерной и влечет за
собой невозможные следствия, вроде бесконечно больших
скоростей (рис. 0.3, а). Для получения корректного ре-
шения необходимо отказаться по крайней мере ог одного
из элементов схематизации, т. е. либо считать мгновен-
ный ударный импульс распределенным в пространство по
некоторой конечной части области, занимаемой телом
(рис. 0.3, б), либо, принимая силу сосредоточенной в
пространстве, учесть ее распределенность во времени
(рис. 0.3, в).
*) Любопытным исключением служит задача IIпрел (с,м.
§ 1.5).
§ 0.3]
КЛАССИФИКАЦИЯ АППЕЛЯ
15
0.2.4. В заключение отметим, что в некоторых облас-
тях техники принято удар описывать «кинематическим»
образом. Пусть, например, некий контейнер испытывает
интенсивное кратковременное сотрясение, заданное в виде
зависимости ускорения от времени (рис. 0.4), и нужно
Рис. 0.4.
определить изменение состояний тел, которые закреплены
в контейнере; в этих случаях иногда говорят о воздей-
ствии импульса ускорения. Обычно именно так ставится
задача при исследованиях ударостойкости аппаратуры и
оборудования, установленных на движущихся объектах,
которые подвержены сотрясениям. Однако нет необхо-
димости отдельно изучать этот случай кинематического
описания удара, поскольку переход от заданных ускоре-
ний к заданным силам, т. е. от схемы рис. 0.4 к схеме
рис. 0.1, а, очевиден: нужно исследовать относительное
движение тел по отношению к контейнеру, введя в рас-
смотрение переносную и кориолисову силы инерции. Слу-
чаи такого рода рассмотрены в п. 1.7.1.
§ 0.3. Классификация Аппеля
0.3.1. Иногда задачи об ударе рассматриваются в пред-
положении об идеальности связей системы. При этом основ-
ным признаком классификации ударных ситуаций служат
свойства этих связей, а именно их способность сохранять-
ся, возникать или исчезать при ударе. Эта предложенная
П. Аппелем [3] и излагаемая далее классификация со-
держит четыре типа задач; она представляется интересной
16
ВВЕДЕНИЕ
даже с учетом того обстоятельства, что во многих
случаях понятие об идеальных связях должно быть от-
брошено.
0.3.2. Прежде всего отметим, что, в сущности, все
задачи об ударе автономны, поскольку на самом деле
«внешние» ударные воздействия в той или иной мере за-
висят от свойств и движения той системы, к которой они
прикладываются. Однако в некоторых случаях с доста-
точной степенью точности допустимо трактовать механи-
ческую систему как неавтономную, а ударные силы (или
Рис. 0.5.
мгновенные ударные импульсы) считать заданными *).
Одним из примеров может служить давление взрывной
волны, которое весьма мало зависит от того движения,
в которое приходят точки сооружения вследствие удара;
в задачах этого типа действующие на сооружение силы
(и их импульсы) можно считать заданными.
Таким образом, мы приходим к задачам типа 1: за-
даны внешние ударные силы (или мгновенные ударные
импульсы), прикладываемые к механической системе,
структура которой при ударе не меняется. Требуется
найти происходящие при этом изменения скоростей и ре-
акций связей (или импульсы этих реакций). Jia рис. 0.5
даны иллюстрации задач этого типа: а) приложен ио со-
средоточенного импульса к свободному твердому телу;
б) приложение сосредоточенного импульса к свободной
системе твердых тел; в) приложение сосредоточенного нм-
*) Соответствующие утверждения, по существу, ен p;i подл и вы
вообще для всех задач динамики, т. е. и в случаях деветвив «<нн.1Ч
ных», неударных сил.
§ 0.3]
КЛАССИФИКАЦИЯ АППЕЛЯ
17
пульса к твердому телу с наложенной связью; г) прило-
жение распределенного импульса к несвободной системе.
0.3.3. К типу 2 относятся также неавтономные зада-
чи, но обратные по отношению к задачам типа 1. Пред-
ставим себе, что в некоторый момент времени, когда ме-
ханическая система находится в известном состоянии дви-
жения, некоторым точкам системы внезапно придаются
заданные изменения скоростей; в частности, эти точки
системы могут быть внезапно остановлены (наложение
Рис. 0.6.
идеальной связи). При этом, конечно, возникнут ударные
импульсы, которые и подлежат определению. Таким об-
разом, мы приходим к задачам типа 2: путем наложения
«новых» идеальных связей одной или нескольким точкам
системы принудительно задаются новые скорости; при-
чем, ни одна из «старых» связей не исчезает; требуется
найти возникающие при этом мгновенные ударные им-
пульсы.
Па рис. 0.6 показано несколько схем, приводящих к
задачам рассматриваемого типа: в случаях а), б), в) пред-
полагается мгновенная остановка точек А тел (и систем
тел), совершавших некоторые заданные движения. В слу-
чае г) рассматривается результат падения материальной
точки, с которой связана абсолютно гибкая нить с закреп-
ленным вторым концом; при этом падении начальная
слабина нити постепенно выбирается и в тот момент вре-
мени, когда нить полностью распрямляется, происходит
удар.
Задачи типов 1 и 2, в которых внешние воздействия
считаются заданными, можно назвать задачами об ид саль-
I Запор! г *а обласна*
г ?
* 1 i ‘./рького»!
18
ВВЕДЕНИЕ
ных ударах. Они вполне аналогичны двум основным за-
дачам общей динамики, которые в учебниках принято
называть прямой задачей (дано движение, найти силы)
и обратной задачей (даны силы, найти движение). Так
как в задачах типов 1 и 2 не учитываются все реально
существующие взаимовлияния, они вовсе не рассматри-
ваются в некоторых книгах, специально посвященных те-
ории удара ♦).
Для решения этих задач в принципе не исключено
применение простейших моделей (материальная точка,
абсолютно твердое тело). Решению задач об идеальных
ударах посвящена ниже гл. 1, где, кроме таких моделей,
используются и некоторые модели деформируемого тела.
0.3.4. Общей чертой обоих рассмотренных типов за-
дач является сохранение при ударе существовавших до
него «старых» связей. Для двух последующих типов за-
дач характерно отсутствие этого свойства.
Задачи типа 3 можно сформулировать следующим об-
разом: удар происходит вследствие приложения задан-
ных ударных сил (или заданных мгновенных ударных
импульсов), которые разрушают некоторые из существо-
вавших до удара связей и затем вызывают конечные из-
менения скоростей точек системы. Искомыми являются
названные изменения, а также реакции (или импульсы
реакций) сохранившихся связей. Рис. 0.7, а дает пред-
ставление об одной из задач этого типа. Здесь предпола-
гается, что вследствие действия заданного, приложенного
к телу импульса, материальная ось шарнира не выдер-
живает удара и ломается, так что тело отрывается от
опоры, а затем начинает свободное движение.
Задачи рассматриваемого типа иногда называют зада-
чами о взрыве. Происхождение этого наименования можно
понять, рассматривая, например, схему, изображенную
на рис. 0.7, б. Два тела связаны между собой стержнями;
в некоторый момент времени к этим телам одновременно
прикладываются равные по величине, но противоположно
направленные достаточно большие импульсы 8 и 8' ко-
торые вызывают разрыв обоих стержней, а затем — раз-
лет разъединившихся тел. Эта схема в принципе соот-
*) См., например, [И] и [16]. Впрочем, существуют и противо-
положные примеры: в главе «Теория удара» книги [25] главное
внимание уделено именно таким задачам.
0.3]
КЛАССИФИКАЦИЯ АППЕЛЯ
19
ветствует ситуации, возникающей при взрыве в сосуде, когда
внутреннее давление быстро возрастает до значения, до-
статочного для разрушения стенок, после чего начинает-
ся движение осколков.
Другим примером задачи о взрыве служит действие
заданного вертикального ударного импульса на матери-
альную точку, которая подвешена на нити, обладающей
И)
Рис. 0.7.
ограниченной прочностью (рис. 0.7, в). Для того чтобы
лучше понять детали развития процесса, воспользуемся
предельно упрощенной схемой, которая, при всей своей
примитивности, позволяет понять, что в задачах этого
типа существенны прочностные свойства связей. Сначала
будем рассматривать не мгновенный ударный импульс, а
ударную силу, непрерывно изменяющуюся во времени
(0.7, г); обозначим через Р* наибольшее значение растя-
гивающей силы, которую может выдержать нить. Сле-
довательно, обрыв нити произойдет в момент времени t*
20
ВВЕДЕНИЕ
и после этого на освободившуюся материальную точку
воздействует импульс, определяемый заштрихованной
площадью на рис. 0.7, г:
S* = §P(t)dt. (0.4)
Конечное приращение скорости материальной точки оп-
ределяется только этим эффективным импульсом. Таким
образом, при взрывном исчезновении связей удар состоит
из двух непосредственно следующих один за другим ак-
тов: 1) разрушение связи; 2) быстрый разгон материаль-
ной точки под действием эффективного импульса S*. Та
же последовательность характерна и для случаев, когда
используется идеализированное представление о мгновен-
ном ударном импульсе, хотя длительность каждого акта
формально полагается равной нулю.
Из сказанного следует, что решение задач о взрывном
исчезновении связей невозможно без учета физических
свойств разрушающихся связей и определения доли им-
пульса, идущей на это разрушение; только после этого
можно определить скорости, создаваемые эффективным,
т. е. «остаточным» импульсом.
Влияние исчезновения (разрушения) связи на после-
дующее движение очевидно, но, конечно, первопричиной
удара служит все же заданный импульс — без него не
произошло бы исчезновения связи. Поэтому в подобных
случаях не следует говорить об ударе, происходящем
вследствие взрывного исчезновения связи (этот неудачный
оборот речи можно встретить в литературе).
Для того чтобы не возникало недоразумений, нужно
различать узкое понятие «взрывное исчезновение связи» и
более широкое понятие «внезапное исчезновение связи».
Дело в том, что причиной внезапного исчезновения свя-
зей могут оказаться не только ударные, но и обычные
конечные силы, причем в этих случаях само по себе
исчезновение связей никакого удара не вызывает.
Представим себе, например, что маятник (рис. 0.7, а) ус-
тановлен вблизи своего крайнего верхнего положения, а
затем отпущен. При ускоренном падении маятника дей-
ствующая на его ось сила будет возрастать. Допустим, что
в некотором положении маятника напряжения в оси дос-
3 0.3]
КЛАССИФИКАЦИЯ АППЕЛЯ
21
тигают предела прочности и ось ломается; связь внезапно
исчезает и лишенный опоры маятник начинает совершать
некоторое плоское движение. При этом никакого удара не
происходит, так как внезапно исчезает конечная реакция
оси, возникает лишь толчок, связанный с разрывом ус-
корений, однако скорости всех точек остаются прежними;
в частности, непосредственно после разрушения оси ско-
рость верхней точки маятника останется равной пулю,
что и должно быть учтено при формулировке начальных
условий последующего свободного движения ♦).
0.3.5. Итак, задачи типа 3 отличаются от задач ти-
па 1 «взрывным» исчезновением связей. Но такое же
исчезновение связей можно представить себе в комбина-
ции с условиями, относящимися к задачам типа 2. Это
приводит нас к задачам типа 4.
а) Я Ъ
Рис. 0.8.
Задачи типа 4 формулируются так: путем наложения
новых связей одной или нескольким точкам механичес-
кой системы принудительно задаются новые скорости;
вследствие этого некоторые из существующих до удара
связей разрушаются, и происходят конечные изменения
скоростей остальных точек механической системы. Эти
изменения, а также реакции сохранившихся связей, яв-
ляются искомыми. Показанная на рис. 0.8, а схема похожа
♦) Безударное исчезновение связи можно воспроизвести еще
проще, если в некоторый момент процесса падения маятника вы-
тащить хорошо смазанную ось из проушин шарнира. Кстати, от-
метим, что вместо термина «толчок» для того же понятия (разрыв
ускорений) иногда пользовались выражениями «удар второго рода»
или «мягкий удар».
22
ВВЕДЕНИЕ
6)
Рис. 0.9.
на схему, изображенную выше на рис. 0.0, </, по, в отли-
чие от нее, после внезапной остановки точки Л здесь про-
исходит разрушение «старой» связи, т. о. оси шарнира
(на рис. 0.8, а это показано штриховыми линиями).
Среди этих задач необходимо отметит]» своеобразный
частный, но очень важный случай, когда исчезает (разру-
шается) сама «только что» нало-
женная связь. Для примера
вновь обратимся к случаю паде-
ния материальной точки, за ко-
торой тянется закрепленная па
верхнем конце нить, имеющая
первоначальную сл абипу (рис.
0.8, б). В отличие от схемы, по-
казанной на рис. 0.6, г, предпо-
ложим, что после полного рас-
прямления нити происходит ее
разрыв и затем материальная
точка продолжает падение.
В сущности, здесь происходит
сложный удар, состоящий из
двух, непосредственно следую-
щих один за другим «полууда-
ров». Сначала происходит удар
вследствие наложения связи,
схожий с тем, который показан
на рис. 0.6, г, а затем взрыв-
ное исчезновение той же самой
связи. Представление о разви-
тии этого процесса можно полу-
чить, рассматривая график ско-
рости материальной точки. Если
учесть, что длительность акта
разрушения нити конечна, то
риальной точки будет описы-
ваться так, как это показано на рис. 0.9, а; если же
условно принять эту длительность равной пулю, то оба по-
луудара следует считать происходящими в той же последо-
вательности, по моменты их свершения как бы слива-
ются во времени (см. рис. 0.9, б). Чем прочнее нить, тем
меньше значение скорости и+, с которой начинается дви-
жение освободившейся от связи материальной точки.
изменение
§ 0.3]
КЛАССИФИКАЦИЯ АППЕЛЯ
23
При достаточно большой прочности нити v. = О
(рис. 0.9, в)
В сущности, те же обстоятельства характерны и для
многих случаев ударов, имеющих особенно большое прак-
тическое значение: сквозное пробивание и соударение с
отскоком. В случае сквозного пробивания (рис. 0.10, а)
Рис. 0.10.
препятствие служит для снаряда связью, которая, вне-
запно возникнув, также внезапно исчезает; при этом ско-
рость снаряда меняется так, как схематически показано на
рис. 0.10, б. При ударе материальной точки о твердую
стенку с последующим отскоком (рис. 0.10, в) связь сна-
чала возникает, а затем (при отскоке) исчезает. На рис.
0.10, г показан график изменения скорости, соответству-
ющий представлению о мгновенности акта удара.
0.3.6. Таким образом, классификация Аппеля вклю-
чает следующие типы связей:
1) связи, существующие до, во время и после удара
(см., например, шарнирное закрепление физического ма-
ятника на рис. 0.5, в, г и 0.6, в}\
24
ВВЕДЕНИЕ
2) связи, возникающие при ударе и сохраняющиеся
после него, но не существовавшие до удара. К ним, в
частности, относится закрепление точек А на рис. 0.6, а и
0.8, а. В соответствующих случаях наложение таких свя-
зей и является первопричиной удара;
3) связи, существовавшие до удара, но исчезающие при
ударе. Такими свойствами обладают, например, шарниры
на рис. 0.7, а и 0.8, а, а также стержни на рис. 0.7, б;
4) связи, возникающие при ударе и исчезающие пос-
ле удара (например, нить на рис. 0.8, б, преграды на
рис. 0.10, а и 0.10, в).
Хотя приведенная классификация задач об ударе до-
статочно стройна, но было бы неверным считать что все
эти типы задач одинаково важны для практики или оди-
наково интересны с теоретической точки зрения. Это не
так. Пожалуй, наибольшее значение имеют задачи типа 4,
в особенности те из них, к которым приводятся случаи
сквозного пробивания и соударения с отскоком; эти зада-
чи о соударениях не только весьма специфичны по содер-
жанию, но наиболее часто встречаются в практике. Им
посвящено особенно много исследований и их обычно
считают важнейшими в теории удара.
§ 0.4. Модель абсолютно твердого тела
и решение Ньютона
0.4.1. Здесь мы остановимся на возможностях, кото-
рые дает модель абсолютно твердого тела в теории удара.
Хорошо известно, что с помощью этой модели удалось
решить, и притом с высокой степенью точности,— много
важных задач механики. Одновременно отметим, что су-
ществует ряд других задач, для которых названная мо-
дель оказывается хотя в принципе и возможной, но лишь
грубо приближенной, не обеспечивающей нужную точ-
ность результатов решений. Наконец, есть задачи, кото-
рые в принципе не решаются с помощью представления об
абсолютно твердом теле; здесь даже не возникает речь о
точности или приближенности такого решения — модель
не позволяет составить нужное число уравнений и в ее
обычном виде оказывается попросту бесплодной.
Как мы видели, возможности применения модели аб-
солютно твердого тела в теории удара зависят от типа
§ 0.4]
МОДЕЛЬ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
25
задачи. Для описанных в § 0.3 задач первого и второго
типов эта модель допустима, по крайней мере, опа позволя-
ет составить нужное число уравнений для определения
неизвестных; во многих таких случаях она обещает и дос-
таточную точность результатов. По-иному обстоит дело
с этой моделью в задачах, относящихся к двум послед-
ним типам; для их решения она принципиально недоста-
точна.
0.4.2. Это обнаруживается уже при попытке решить
элементарную задачу о соударении двух материальных
точек или симметричных абсолютно твердых тел с мас-
сами Ша и Шв9 поступательно движущихся вдоль оси сим-
метрии системы х (рис. 0.11). Положим, что непосредствен-
но перед соударением проекции скоростей тел на ось х
>- ------- ----------- - >
О х
Рис. 0.11.
равны Va- и vB-, причем, Va- ив— Так как за время
удара импульс внешних (по отношению к системе двух
тел) сил равен нулю, то количество движения системы ос-
тается неизменным:
mAvA~ + rnBvB- = mAVA+ + твив+ (0.5)
(pa+ и vb+ — проекции скоростей тел после удара). Это —
единственное независимое уравнение, которое можно по-
лучить из общих теорем механики; но оно содержит две
неизвестные скорости иА+ и Vb+, так что задача оказыва-
ется неопределенной.
Конечно, не приведет к успеху и попытка применить
закон об изменении количества движения к каждому из
тел
™а (уа+ — ^а-) = —5; ™,в (Рв+ — vB-) = S (0.6)
(S — проекция на ось х ударного импульса, приложен-
ного к телу В). В данном случае мы располагаем двумя
уравнениями, но содержащими уже три неизвестные ве-
личины.
26
ВВЕДЕНИЕ
Недостаток числа уравнений обнаруживается при по-
пытках решения любых задач о соударениях тел, которым
приписывается свойство абсолютной твердости; нужные
для полной обусловленности задачи дополнительные со-
отношения невозможно найти в рамках классической ме-
ханики абсолютно твердых тел. Такая неопределенность
есть следствие крайней схематичности самого понятия
абсолютно твердого тела. Ниже мы увидим, что доста-
точно отказаться от этого (плодотворного в ряде других
случаев) понятия и воспользоваться моделью деформиру-
емого (например, упругого) тела, как задача становится
вполне определенной *).
0.4.3. Конечно, в догуковскую эпоху, когда начала
формироваться теория удара, отказ от представления об
абсолютно твердом теле был затруднителен даже по чис-
то психологическим причинам. Стремясь все же найти
какой-то выход из положения, первые исследователи уда-
ра предлагали пользоваться дополнительными, в сущно-
сти, произвольными (во всяком случае не универсальными)
соотношениями. ъ
Марци (1639 г.) и Гюйгенс (1661 г.) приняли, что при
соударении кинетическая энергия не изменяется. При-
менительно к схеме, изображенной на рис. 0.11, это дает
возможность записать равенство
"bld- , mBvB- = ™AVA+ mBvB+ (() 7^
2 "Г 2 2 2’
присоединение которого к (0.5) придает задаче полную
определенность. Решая совместно уравнения (0.5) и (0.7),
находим
(™А — trlB) Va 4- .
т л 4- Л Л
А в (0.8)
2mAvA- + (wB — тА) vB_
тл + тв
При этом величина относительной скорости при ударе не
изменяется: | ра+ — i>b+ | = va- — Vb-
*) Сказанное до некоторой степени напоминает проблему ста-
тической неопределимости в строительной механике. Как известно,
для решения статически неопределимых задач также необходим
учет деформативных свойств тел, входящих в исследуемую систему.
VA+ =
УВ+ =
§ 0.4]
МОДЕЛЬ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
27
В противоположность этому Валлис (1668 г.) предло-
жил считать, что после соударения скорости обоих тел
становятся одинаковыми, Va+ = Vb+- При этом условии из
уравнения (0.5) находим
™ava- + ”гв”в-
Va+ = Vb+ = -------i------
+ mB
(0.9)
0.4.4. Очевидный произвол содержит и последующее
предложение Ньютона, который сформулировал более гиб-
кое дополнительное соотношение. Он постулировал пря-
мую пропорциональность между относительными скоро-
стями соударяющихся поступательно движущихся тел
или материальных точек перед ударом и после удара:
Уа+ — »в+ = — R (vA- — Ув-). (0.10)
Здесь R — коэффициент пропорциональности, называемый
коэффициентом восстановления. По мысли Ньютона, он
отражает «собственные» физические свойства тел и не за-
висит от скорости соударения. Знак минус в правой части
соотношения (0.10) введен для того, чтобы значения
коэффициента R оказались положительными.
Значения R подлежат опытному определению, проще
всего — путем наблюдения за высотой отскока тела
после его падения с заданной высоты h_ на горизонтальную
плоскость. Так как в этом случае | va- | = Y2g^_, | Уа+ | =
Y2gh+ и ив- = ив+ = 0, то
(0.11)
Таким образом, в этом варианте теории полную систе-
му уравнений образуют (0.5) и (0.10); из нее следует:
__ (™А ~ RmB^VA- + тВ С1 + R^B-
Va+ ~ mA + mB '
_ тА(1 +Я)”А- + (тв — RmA^vB-
1^В+ —---------~ ’
тА ' тВ
Концепция Ньютона не только включает в себя в ка-
честве частных случаев предложения Марци — Гюйген-
са (R = 1) и Валлиса (R = 0), но и охватывает множест-
во промежуточных случаев при 0 R < 1.
28
ВВЕДЕНИЕ
Теперь случаи 7? — 1 и R = 0 называют соответствен-
но случаями абсолютно упругого и абсолютно неупругого
удара, а промежуточные случаи — неупругим ударом.
В этих современных выражениях можно уловить намек
на существование деформаций — упругих или пластич-
ных. Однако косвенно содержащееся здесь признание де-
формативных свойств, в сущности, носит довольно ту-
манный характер и не опирается на ясные представления
о распространении деформаций по объемам соударяю-
щихся тел. Часто считают, что деформации при ударе ло-
кализуются лишь в малых объемах, непосредственно при-
мыкающих к зоне контакта, причем отличие наблюдаемых
значений R от единицы, как правило, связывают с прояв-
лением пластических деформаций.
0.4.5. Нужно отметить, что в действительности ука-
занное отличие может быть и не связано с переходом на-
пряжений в материале через предел упругости. После
соударения даже идеально упругих тел величина относи-
тельной скорости их центров масс изменяется из-за воз-
никновения «внутренних» движений колебательного ха-
рактера. При этом общая энергия системы не меняется, но
энергия, вычисляемая только через скорости центров
масс, окажется, конечно, меньше начальной величины.
В этих случаях отличие коэффициента восстановления от
единицы характеризует не рассеивание механической
энергии, а частичный переход механической энергии из
одной формы (кинетическая энергия поступательного
движения) в другую (энергия упругих колебаний). В иных
случаях возможен частичный переход кинетической энер-
гии поступательного движения в кинетическую энергию
вращательного движения, например, при нарушении сим-
метрии во время соударения. Если при этом вычислять
коэффициент R через относительные скорости центров
масс, то он также окажется отличным от единицы, хотя та-
кое отличие вообще не обусловлено деформативностью со-
ударяющихся тел.
Из сказанного следует условность самого понятия
коэффициента восстановления, в котором достаточно слож-
ным образом отражаются по крайней мере три совершенно
разнородных влияния — пластичность материала, упру-
гость материала (и связанная с этим способность тел со-
вершать упругие колебания) и, наконец, изменение общего
§ 0.4]
МОДЕЛЬ АБСОЛЮТНО ТВЕРДОГО ТЕЛА
29
характера движения тел (например, появление вращения).
Кстати, отметим, что в первом случае происходит почти
мгновенное рассеивание механической энергии, во втором
случае механическая энергия будет лишь постепенно рас-
сеиваться в послеударном процессе упругих колебаний;
в третьем случае общая кинетическая энергия остается не-
изменной.
Легко понять, что по указанным причинам для двух
данных тел коэффициент восстановления R не может ока-
заться постоянной величиной, как это предложил считать
Ньютон. Действительно, экспериментально установлено,
что даже в простых случаях удара (без появления враще-
ния) коэффициент восстановления зависит от относитель-
ной скорости удара * **)).
Хотя концепция Ньютона легко уязвима для критики,
однако ей нельзя отказать в простоте, практическом удоб-
стве, а также,— по сравнению с двумя другими вариан-
тами,— в известной универсальности. Именно вследствие
этих качеств решение Ньютона пользовалось почти не-
ограниченной монополией в теории удара вплоть до сере-
дины XIX века, и даже в наше время оно не вполне вы-
теснено более совершенными теориями *♦).
*) Например, в работе Такэды (см. [11]) предложена эмпири-
ческая формула для зависимости коэффициента восстановления от
-av”
скорости удара: R = е , тце а и п — некоторые эксперименталь-
ные постоянные. Подобные предложения имеют определенное прак-
тическое значение; с другой стороны, продлевая жизнь несовер-
шенной концепции, они, возможно, тормозят развитие более стро-
гих теорий.
**) Выше мы отмечали аналогию между теорией удара и теори-
cii статически неопределимых систем: в обеих теориях абстракция
абсолютно твердого тела, в принципе, скомпрометирована тем, что
она не позволяет получить нужное число соотношений. До некоторой
» к'пени аналогичны и первые попытки решения задач, относящихся
ь этим разделам механики: можно вспомнить, что до оформления
гон ременной теории статически неопределимых систем вместо запи-
п надлежащих деформационных уравнений также порой предла-
I.гнись некие произвольные дополнительные соотношения. Но
.Ы.И ьнейшие судьбы обеих теорий оказались неодинаковыми. Ныне
при анализе статически неопределимых систем о каких-либо произ-
нытых соотношениях нет и речи, поскольку существуют хорошо
нйог,кованные и достаточно универсальные методы, тогда как в при-
падной теории удара до сих пор очень часто используется реше-
ние Ньютона.
30
ВВЕДЕНИЕ
Основная причина этой традиции состоит в том, что
строгие решения, учитывающие деформации соударяю-
щихся тел, чаще всего очень сложны, тогда как решение
Ньютона весьма просто, а при надлежащем выборе зна-
чений коэффициента восстановления дает вполне удовлет-
ворительные результаты (подчеркнем,— при надлежащем
выборе!).
0.4.6. Прежде чем закончить обсуждение особенностей
концепции Ньютона, обратим внимание на то, что ею мож-
но охватить не только случаи соударения, заканчивающе-
гося отскоком тел, но и случаи, когда соударение завер-
шается полным пробиванием (рис. 0.10, а). Основное ки-
нематическое различие между этими случаями состоит
лишь в том, что при отскоке относительная скорость ме-
няет знак, тогда как после пробивания знак относитель-
ной скорости не изменяется. На задачи о пробивании, ра-
зумеется, условно и с надлежащими оговорками, также
можно распространить предложение Ньютона о про-
порциональности относительной скорости тел после про-
бивания их относительной скорости перед ударом, т. е.
записать аналогично соотношению (0.11)
vA+ — VB+ = R (и а- — и в-), (0.13)
где R — «коэффициент сохранения скорости». Тогда при
совершенно свободном пробивании R = 1, а при полном
застревании пробивающего тела R = 0; последний слу-
чай смыкается со случаем абсолютно неупругого удара *).
Вопросы, которых мы здесь коснулись, будут более
подробно рассмотрены в гл. 2.
§ 0.5. Дискретные модели
с деформируемыми элементами
0.5.1. Как уже указывалось, для корректного решения
задач о соударениях твердых тел необходим переход к мо-
*) Можно было бы объединить случаи отскока и пробивания,
пользуясь во всех случаях соотношением (0.13) и приписывая
коэффициенту R отрицательные значения в случаях отскока и по-
ложительные значения — в случае пробивания. Тогда коэффи-
циент сохранения скорости может лежать в пределах от — 1
(абсолютно упругий удар) до +1 (абсолютно свободное пробивание).
Конечно, это означало бы нарушение традиции, согласно которой
при отскоке R > 0.
§ 0.5]
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
31
делям деформируемого тела. Хотя стремление к строгим
решениям приводит к моделям сплошной среды, однако
в технической теории удара, как и в технической теории
колебаний, оказались полезными упрощенные модели дис-
кретного типа. Такие модели представляют собой комби-
нации обладающих массой абсолютно твердых элементов
и деформируемых элементов, которые полагаются лишен-
ными массы.
6)
д)
&
Рис. 0.12.
Когда рассматриваемый объект содержит отчетливо
различимые «очень твердые» тела и «почти безынерцион-
ные» податливые элементы, дискретная схематизация как
бы подсказывается самим устройством системы. Так, на-
пример, при исследовании соударения двух железнодо-
рожных вагонов естественно исходить из схемы, показан-
ной на рис. 0.12, а, где сами вагоны представлены в виде
абсолютно твердых тел, а буферные устройства — в виде
безмассовых пружин. С помощью дополнительного вяз-
кого элемента в модели могут быть отражены и диссипа-
тивные свойства объекта (рис. 0.12, б).
К модели того же типа можно прийти, рассматривая,
например, соударение двух тел, если считать, что подат-
32
ВВЕДЕНИЕ
ливость при ударе связана только с местными деформация-
ми в малой зоне, примыкающей к месту соударения. При
этом сами тела считаются абсолютно твердыми, а безы-
нерционный упругий элемент отображает контактную
податливость неровностей торца или закругленного конца
стержня.
К нелинейной модели этого типа пришел Герц, рас-
сматривая соударение двух сфер (или тел со сферическими
выступами па торцах). Небольшому объему материала,
непосредственно примыкающего к зоне ударного контак-
та, Герц приписал лишь свойства упругости, считая этот
объем лишенным массы; весь остальной объем каждого
из соударяющихся тел принимался за абсолютно жест-
кие тела. Это позволило воспользоваться статической
зависимостью метру контактной силой Р и сближением
центров масс обоих тел а:
Р =~Ка\ (0.14)
где К — постоянная, зависящая от материалов соударяю-
щихся тел и начальных кривизн их поверхностей в точке
контакта. Нелинейность этой зависимости объясняется
тем, что в процессе сжатия площадь контактной области
не остается постоянной (в подобных случаях говорят
о конструктивной нелинейности системы).
Предлагались решения той же задачи, основанные на
предположении о более плотном касании тел в контактной
зоне. При этом связь Р = Р (а) оказывается ближе к ли-
нейной, чем (0.14); впрочем, с практической точки зрения
допустимо вообще линеаризовать зависимость (0.14) (см.
[6]). Подробности, относящиеся к этим вопросам, см. ниже,
в гл. 3,',где также рассмотрены случаи, когда местное де-
формирование носит упруго-пластический характер.
0.5.2. Во многих случаях необходимо учитывать, что
свойства инерции и деформируемости непрерывно распре-
делены по всему объему тела, испытывающего удар. Здесь
могут быть использованы многомассовые модели, напри-
мер, при продольном соударении двух однородных стерж-
ней — модель цепного типа (см. рис. 0.12, в), состоящая
из любого числа последовательно соединенных масс. Ко-
нечно, при этом наряду с упругими элементами в модель
могут быть введены вязкие и (или) пластические эле-
менты.
§ 0.5]
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
Вопрос о линейности или нелинейности таких элемен-
тов модели должен решаться в зависимости от свойств
материала схематизируемых тел и с учетом неизбежного
возрастания сложности решения при переходе к нелиней-
ным моделям. Иногда достаточно схематизировать ука-
занным способом только одно из тел, считая другое тело
абсолютно твердым (см. рис. 0.12, г).
В каждом из случаев, показанных па рис. 0.12, а — г,
задача сводится к системе дифференциальных уравнений
второго порядка, причем число уравнений равно числу
масс, содержащихся в модели. Так, в случае продольного
удара мпогомассовой линейной системы о жесткую пре-
граду (см. рис. 0.12, д) эти уравнения имеют вид
= Сп (#П 4“ ^п+1 C^n + l (0.1 о)
где п = 1, 2, ., 5 — порядковые номера твердых тел
и их поступательных перемещений хп, отсчитываемых
от положений, которые занимают тела непосредственно
перед ударом, тп — масса п-го тела, сп — коэффициент
жесткости упругого элемента, расположенного между
(/г — 1)-м и тг-м телами (при этом с0 = 0). Начальные ус-
ловия должны быть приняты в следующей форме (для
всех п):
Хп (0) = 0’ 1
*П (0) = I
(и0 — скорость тел перед ударом).
В моделях на рис. 0.12, а — д соударение начинается
с контакта деформируемых безынерционных элементов;
благодаря этому соответствующие задачи оказываются
вполне определенными. Иными свойствами обладает, на-
пример, модель, показанная на рис. 0.12, е. Здесь при
соударении в контакт вступают тела, которые считаются
абсолютно твердыми, а следовательно, неизбежно возни-
кают те же трудности решения, о которых говорилось
в § 0.3. Для их преодоления приходится вновь обращать-
ся к более или менее произвольной формулировке допол-
нительных соотношений, и хотя здесь влияние произво-
ла окажется относительно более слабым (по сравнению
со случаем, когда весь стержень считается абсолютно
2 Я. Г. Пановко
34
ВВЕДЕНИЕ
твердым), но в целом такая схематизация представляется
несколько нелогичной. Такими моделями лучше не пользо-
ваться; если вводить в модель деформируемые безынер-
ционные связи, то в первую очередь это нужно сделать не-
посредственно в зоне удара.
Хотя вопросы дискретного моделирования мы обсудили
только для случаев продольного соударения, но высказан-
ные соображения,— с соответствующей модификацией,—
можно отнести к другйм случаям.
0.5.3. Существует еще один способ схематизации
свойств механической системы, приводящий к моделям,
которые с известными основаниями также можно назвать
дискретными. В простейшем варианте — это способ Рэ-
лея, согласно которому заранее принимается некоторая
конфигурация точек деформированной системы, задавае-
мая с точностью до одного множителя, зависящего от вре-
мени. Такая модель не содержит жестких тел и локализо-
ванных податливых элементов, но обладает одной степенью
свободы, поскольку ее состояние полностью определяется
только одним параметром, которым служит названный
множитель; по этому признаку ее можно отнести к числу
дискретных моделей. В других случаях конфигурация мо-
жет быть задана с точностью до нескольких, зависящих
от времени множителей; при этом получается, по сущест-
ву, дискретная модель с несколькими степенями свободы,
хотя она и не представляется в виде наглядной системы
жестких тел и податливых элементов. Этот способ моде-
лирования широко применяется в теории механических
колебаний, но он менее адекватен природе ударных про-
цессов (см. ниже § 3.2).
Иногда используются «гибридные» модели, в которых
схемы, показанные на рис. 0.12, понимаются несколько
по-иному, чем описано выше, а именно, в одном из следую-
щих вариантов: а) деформируемые элементы наделяются
инерционными свойствами, но движение точек каждого
из них описывается рэлеевской схемой; б) деформируемые
элементы считаются безынерционными, но тела, входящие
в систему, полагаются не абсолютно твердыми; для каж-
дого из тел заранее принимается некоторое распределение
перемещений.
Решения задач об ударе с помощью дискретных моде-
лей изложены ниже, в гл. 3.
§ 0.6]
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 35
приведет вместо системы
Рис. 0.13.
§ 0.6. Модели с распределенными параметрами
0.6.1. В моделях этого типа отражается действитель-
ная распределенность инерционных и деформационных
свойств реальных тел. К такой модели для случая продоль-
ного соударения стержней можно формально прийти от
дискретной модели (см. рис. 0.12, в) путем неограниченного
увеличения числа элементов цепочки при^соответствую-
щих изменениях их масс и жесткостей. Но проще незави-
симый вывод, который сразу
обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений типа (0.15) к диф-
ференциальным уравнениям в
частных производных. Конкрет-
ный вид уравнений зависит от
формы соударяющихся тел, ус-
ловий соударения и от приня-
того закона связи между напря-
жениями и деформациями.
В простейшем варианте теории
принимается, что материал сле-
дует закону Гука, но в более
полных решениях учитываются
вязкие и (или) пластические
свойства материала; последнее
необходимо в тех довольно ча-
стых случаях, когда при ударе развиваются напряжения,
превосходящие предел упругости материала.
0.6.2. Наиболее прост процесс продольного удара иде-
ального упругого стержня о жесткую преграду (рис. 0.13,
а). В качественном отношении этот процесс протекает сле-
дующим образом.
Как только торцевое сечение стержня прикоснется к
преграде, скорости лежащих в этом сечении частиц мгно-
венно обращаются в нуль, а сечение окажется сжатым;
затем останавливаются частицы, расположенные в смежном
сечении, и так далее. Размеры сжатой зоны остановивших-
ся частиц будут постепенно возрастать. На рис. 0.13, б
штриховкой показана такая сжатая зона для некоторого
фиксированного момента времени; в этот момент неза-
штрихованная зона продолжает движение с первоначаль-
ной скоростью и не напряжена. С течением времени гра-
2*
36
ВВЕДЕНИЕ
ница между зонами движется от преграды к свободному
концу стержня с некоторой скоростью с. Это явление пред-
ставляет собой распространение волны сжатия, а граница
между областями называется фронтом волны.
Первый этап процесса соударения закончится в тот?,
момент времени, когда сжатие охватит всю длину стержня
и скорости всех частиц обратятся в нуль. Сразу же после
этого начинается второй этап, характеризуемый посте-
пенной разгрузкой сечений. Разгрузка сечений возникает
у свободного конца стержня и постепенно приближается
к преграде. В произвольный момент второго этапа примы-
кающая к свободному концу зона уже разгружена (см.
рис. 0.13, в); все частицы этой зоны имеют в рассматри-
ваемый момент общую скорость —V. Можно сказать, что
на систему напряжений сжатия, образовавшуюся к концу
первого этапа, накладывается волна растяжения, распро-
страняющаяся от свободного конца стержня к преграде.
Конец второго этапа наступит в тот момент, когда все се-
чения окажутся разгруженными, а все частицы стержня
приобретут общую скорость — V, направленную противо-
положно первоначальной скорости. В этот момент прои-
зойдет отскок стержня от преграды, и начнется свободное
обратное движение ненапряженного стержня с прежней
по величине скоростью, но имеющей противоположное
направление.
0.6.3. Количественное описание этой задачи можно
получить следующим образом. Рассмотрим первый этап
процесса и обозначим v — скорость частиц перед соударе-
нием, а — напряжение сжатия в деформированной зоне,
с — скорость фронта волны, Е — модуль упругости ма-
териала, t — время, отсчитываемое от момента первого
контакта стержня с преградой. Тогда для момента t длина
сжатой части равна ct, а укорочение этой части равно пути,
который пройдет несжатая часть стержня за время t,
т. е. составляет vt\ соответственно 8 = vt/(ct) = vic —
относительное укорочение этой части. Следовательно, по
закону Гука,
о = (0.17)
Это соотношение указывает на пропорциональность
напряжения сжатия скорости удара. В формуле (0.17)
§ о. rd
МОДЕЛИ G РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 37
содержатся две неизвестные величины — напряжение а
и скорость распространения волны сжатия с. Необходи-
мое для полного решения задачи второе уравнение можно
получить из теоремы об изменении количества движения,
записав ее для сжатой части стержня и интервала времени
/; обозначив через F площадь сечения стержня и через р—
плотность”материала, имеем
— ctFpv = — (У Ft. (0.18)
Здесь в левой части записана разность между количеством
движения в момент t (оно равно нулю) и количеством дви-
жения в начальный момент времени; правая часть пред-
ставляет собой проекцию импульса внешней силы &F,
приложенной к ударяемому концу стержня, на ось х.
Решая совместно уравнения (0.17) и (0.18), найдем на-
пряжение ____
а = (0.19)
и скорость распространения волны
(0.20)
Время пробега волны вдоль стержня найдем, разделив
длину стержня на скорость с. Общая продолжительность
удара равна
21 П7 Г р
т = Т=2/|/1- (0.21)
Согласно формуле (0.19) напряжение сжатия при со-
ударении пропорционально скорости стержня до удара и
зависит от материала стержня. Если вместо напряжения а
подставить в (0.19) предел упругости материала ау, можно
найти наибольшую скорость соударения, при которой’ма-
териал стержня еще находится в упругом состоянии: V
^у
Ру = .
/Яр
(0.22)
Так, для стали при <ту = 4000 кПсм2 *), Е = 2-10® кГ!смг
*) При быстром нагружении предел упругости существенно
больше, чем при статическом нагружении.
38
ВВЕДЕНИЕ
и р = 7,9 -10"6 кГ-секЧсм\ получим ру = 1000 см/сек
(это приблизительно соответствует скорости тела
в конце его свободного падения с высоты пяти метров).
Кстати, отметим, что скорость распространения волны с
для стали по формуле (0.20) составляет около 5000 м/сек,
т. е. в пятьсот раз больше чем ру.
Продолжительность удара обычно очень мала, она за-
висит не только от материала, но и от длины стержня; на-
пример, для стального стержня длиной 50 см по формуле
(0.21) можно найти т = 0,0002 сек.
После отскока от преграды стержень будет двигаться
как твердое недеформированное тело, с той же по абсолют-
ному значению скоростью, с какой он приближался к
преграде. Это означает, что рассмотренная схема —
вследствие предположения об идеальной упругости —
неспособна отразить неизбежное рассеивание механичес-
кой энергии.
0.6.4. Приведенное решение полностью относится так-
же к случаю продольного соударения двух одинаковых
стержней (при этом v — половина относительной скоро-
сти стержней перед соударением). После разъединения
стержни будут двигаться в противоположных направле-
ниях, причем деформации будут полностью отсутство-
вать.
Несколько сложнее случаи продольного соударения
двух стержней различной длины. Дело в том, что к момен-
ту отскока полностью разгруженным оказывается только
один из них (более короткий), тогда как второй начинает
свободное движение с некоторой «остаточной» системой
напряжений. Поэтому в процессе последующего свобод-
ного движения этого стержня будут происходить продоль-
ные упругие колебания и хотя общая механическая энер-
гия системы после отскока будет такой ясс, как и до уда-
ра, но часть этой энергии окажется связанной с колебания-
ми; вследствие внутреннего трения упругие колебания
постепенно затухнут, так что в конце коицов обнаружится
некоторое уменьшение энергии системы.
Иногда в показанную на рис. 0.13, а модель целесооб-
разно дополнительно ввести безмассовый упругим элемент
(рис. 0.14, а), который, как и на рис. 0.12, а, имитирует
местную податливость небольшого объема материала, рас-
положенного вблизи торца. При соударениях двух тел
§ 0.6]
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 39
иногда может оказаться приемлемым предположение об
абсолютной жесткости одного из них (см. рис. 0.14, б).
Рассмотренные упругие модели с распределенными
параметрами вполне типичны, хотя относятся только к слу-
чаям продольного соударения стержней; волновой процесс
развития деформаций харак-
терен и для других схем уда-
ра — крутящего, изгибающе-
го *) и т. д. При формулиров-
ке свойств соответствующих
моделей учитываются те же
соображения, что и для схе-
мы продольного удара; в за-
висимости от обстоятельств
принимаются (или не прини-
маются) во внимание свойства
нелинейной упругости, вяз-
кости, пластичности, а также дополнительная податли-
вость непосредственно в зоне контакта.
Затронутым здесь вопросам посвящена гл. 4 настоя-
щей книги.
♦) Как будет показано ниже, в гл. 4, обычная техническая тео-
рия изгиба неспособна отразить волновые процессы при изгибаю-
щем ударе. Для преодоления этого серьезного недостатка приходится
идти на некоторые усложнения модели и учитывать в ней сдвиги
и инерцию поворота элементов стержня.
Глава 1
ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ
И ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1.1. Вступительные замечания
В § 0.2, где были охарактеризованы различные типы
задач об ударе, отмечалось, что первые два типа имеют ме-
жду собой много общего и существенно отличаются от
остальных. Этим задачам об идеальных ударах, т. е. о
действии заданных (в частности, мгновенных) импульсов
и о внезапном наложении идеальных связей и посвящена
настоящая глава.
В § 1.2 общие теоремы динамики формулируются для
случаев, когда внешние воздействия представляют собой
мгновенные импульсы. Так как длительность удара счи-
тается равной нулю, то координаты точек механической
системы при ударе не изменяются и эффект удара кинема-
тически выражается только в мгновенных конечных изме-
нениях скоростей. Соответственно этому в §§ 1.3—1.5
под решением задачи об ударе понимается определение
названных изменений, а также импульсивных реакций
связей.
В §§1.6 и 1.7 обсуждаются более отдаленные во вре-
мени последствия удара.
§ 1.2. Общие теоремы динамики
в теории мгновенного удара
1.2.1. Для того чтобы получить модифицированные
формулировки общих теорем динамики, можно воспользо-
ваться следующим общим приемом. Сначала общие тео-
ремы записываются для случая действия конечных крат-
ковременных сил, затем эти уравнения интегрируются по
§ 1.2]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
41
времени на малом интервале, соответствующем акту уда-
ра, и наконец совершается предельный переход к случаю
мгновенных импульсов.
Проследим эти действия на типичном примере теоремы
о движении центра масс механической системы, которая
обычно записывается в виде
mwc = У F<f\ (1.1)
г=1
п
Здесь т = У mi — общая масса точек системы, wc — уско-
г=1
рение центра масс С, F^ — внешние силы, приложенные
к точкам системы, i — порядковый номер материальной
точки, п — число таких точек. Проинтегрируем равенство
(1.1) по времени между моментами t0 и t19 соответствующи-
ми началу и концу действия кратковременных сил:
п **
т(«ci — vсо) = S | Fi}dt,
i=i и
где Vc с дополнительным индексом — скорость центра
масс в моменты времени tQ и tt. Теперь перейдем к преде-
лу, когда считая, что интегралы
ti
S^^F&dt (1.2)
to
остаются конечными (мгновенные импульсы). Тогда по-
лучим нужную нам теорему в виде
тДтс = 3 S?, (1.3)
1=1
где Д^с — конечное приращение скорости центра масс
вследствие удара.
Аналогичны переходы и в других общих теоремах ди-
намики. Не задерживаясь на достаточно однообразных
подробностях этих переходов, приведем для каждой из
теорем два окончательных соотношения: а) для общего
случая и б) для случая действия мгновенных импульсов.
1.2.2. Теорема об изменении количества движения си-
стемы:
а) = (1.4)
42 ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл.
где Q — количество движения механической системы;
б) ДО = s Sf. (1.5)
г=1
1.2.3. Теорема об изменении кинетического момента:
а) т-=ЗЛГо(т (1-6)
где Ко — кинетический, момент механической системы от-
носительно центра О, Мо (^е)) — момент внешней силы
F[e) относительно того же центра;
б) ДЕ0=ЗЯ0(№), (1.7)
г=1
где Мо — момент внешнего мгновенного импульса,
приложенного к i-й точке, относительно центра О.
Здесь нужно сделать одно замечание. Как известно,
соотношение (1.6) справедливо не при любом выборе цент-
ра, а только при условии, когда за центр О принимается
неподвижная точка или центр масс системы, причем в по-
следнем случае движение рассматривается по отношению
к осям, движущимся поступательно вместе с центром масс.
Применительно к соотношению (1.7) такая оговорка
не нужна; согласно нашим представлениям о мгновенном
ударе координаты точек механической системы не изме-
няются за время удара, поэтому в соотношении (1.7)
за центр может быть принята любая точка. Это обстоятель-
ство существенно упрощает решение многих задач.
1.2.4. Принцип Даламбера:
a) F{a} + Xi — mtWi = 0 (1.8)
(Fja) — заданная сила, приложенная к i-й точке систе-
мы, — реакция связей, наложенных на г-ю точку,
— ускорение этой точки);
б) + ^V) — = 0 (1.9)
($ia) — заданный мгновенный импульс, приложенный
к t-й точке системы, — мгновенный импульс реакций
связей, наложенных на i-ю точку).
§ 1.2]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
43
1.2.5. Метод кинетостатики. Составление уравнений
равновесия всех частей механической системы под дейст-
вием:
а) заданных сил, реакций^связей и сил инерции;
б) заданных мгновенных импульсов, импульсивных ре-
акций связей и взятых с обратным знаком приращений
количеств движений —
1.2.6. Общее уравнение динамики системы с идеаль-
ными связями:
a) 5J (F<'1) — = 0, (1.10
•=1
где 6гг — возможное перемещение i-й точки системы;
б) (8[а) - Д Vi) • 6п = о. (1-11)
1=1
Здесь следует подробнее остановиться на смысле поня-
тия возможного перемещения в задачах об ударе. Если
удар вызван заданными мгновенными импульсами и струк-
тура системы при ударе не меняется, то понятие о возмож-
ном перемещении сохраняет обычный смысл и не требует
дополнительных пояснений. Но если при ударе проис-
ходит изменение структуры системы, например, вслед-
ствие внезапного наложения идеальных связей, то необ-
ходимо уточнить, следует ли возможное перемещение
рассматривать в системе до удара или же в системе после
удара. Конечно, можно воспользоваться принципом осво-
бождаемое™ и рассматривать механическую систему без
дополнительно накладываемых связей, компенсируя их
действие приложением мгновенных импульсов реакций этих
связей ,S(R>. Тогда под бГ| нужно понимать возможные пере-
мещения в системе без дополнительных связей и, считая
импульсы внешними, ввести их в уравнение (1.11).
Однако удобнее не обращаться к принципу освобождае-
мое™, а рассматривать механическую систему с дополни-
тельными связями. Тогда под бг нужно понимать возмож-
ные перемещения в системе с этими связями, а импульсы
их реакций в (1.11) не вводить. При этом получится, что
У1 = 0. (1.12)
1=1
44 ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 1
Иногда вместо понятия о возможных перемещениях
8г удобнее пользоваться тесно связанным с ним поня-
тием о конечных вариациях скоростей, т. е. конечных век-
торах v*, которые связаны с возможными перемещениями
соотношением 8r i = v* dt. Переход к понятию о конеч-
ных вариациях скоростей нередко используется и в обыч-
ных задачах динамики с конечными силами; однако, как
справедливо отмечается в книге [25], с логической и эсте-
тической точек зрения такой переход особенно оправдан
в задачах об ударе, где координаты точек системы оста-
ются неизменными. При этом вместо (1.11) общее уравне-
ние динамики запишется в виде
п
3 (S*a>-= о. (1.13)
i=l
Для задач об ударе, вызванном внезапно наложенными
идеальными связями аналогично (1.12), получим
У mi&Vi-Vi = 0, (1.14)
г=1
где V* — конечные вариации скоростей в системе с нало-
женными связями.
1.2.7. Уравнения Лагранжа:
d / дТ \ дТ
а) dt у dq- J дд$ = Qi = 1, 2, . , s) (1.15)
(Г — кинетическая энергия механической системы, qj —
обобщенные координаты, Qj — обобщенные силы, $ —
число степеней свободы);
/ дТ \
б) = (1.16)
где
h
Sj= iimSQjdt (1.17)
J
to
— обобщенные импульсы. Для их определения нужно об-
разовать выражение возможной «работы» задаваемых им-
пульсов через вариации обобщенных скоростей; тогда
коэффициент при вариации у-й обобщенной скорости и
представляет собой у-й обобщенный импульс. При перехо-
§ 1.2]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
45
де от а) к б) также учтено, что производные dT/dqj при
ударе остаются конечными, следовательно, интегралы
С дТ
1----at при tr -> tQ обращаются в нуль.
J
to
Прежде чем перейти к примерам, отметим, что включе-
ние в механическую систему упругих элементов не влияет
на запись данных выше общих
уравнений мгновенного удара,
так как за нулевое время удара
конфигурация системы не изме-
няется и реакции таких элемен-
тов также остаются неизменны-
ми. Не влияет на запись этих
уравнений и включение в систе-
му вязких элементов} конечно,
внезапное изменение скоростей
повлечет за собой мгновенное
возникновение дополнительных
сил в вязких элементах, но
это — конечные силы и их им-
пульсы за время удара равны
нулю. Поэтому введение в ме-
ханическую систему пружин и
демпферов не меняет соотноше-
ний, относящихся к акту уда-
ра, хотя, конечно, послеудар-
ное движение системы будет
й)
//////////////,
происходить по-разному в зависимости от наличия или
отсутствия таких включений Л Соотношения, описываю-
щие изменение скорости ,тела А, совершенно одинаковы
для всех пяти схем, изображенных на рис. 1.1, хотя
различия между послеударными движениями очевидны.
1.2.8. Теоремы об изменении кинетической энергии
в теории удара. Вследствие происходящих при ударе мгно-
венных изменений скоростей точек механической системы
ее кинетическая энергия также претерпевает мгновенное
изменение. Ниже излагаются три теоремы, относящиеся
к этому изменению ♦). Скорости i-й точки механической
*) Еще несколько теорем об изменении кинетической энергии
при ударе см. в книге [25].
46 ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 1
системы непосредственно до и после удара будут обо-
значаться через и
Теорема Кельвина. Приращение кинетической энергии
при ударе равно сумме скалярных произведений каждого
мгновенного импульса на полусумму скоростей точки его
приложения непосредственно перед ударом и после пего:
i=l
Для доказательства этой теоремы воспользуемся ос-
новным уравнением динамики в форме (1.13). Положив
Дг\ = ui+ — V[- и приняв за возможные скорости полу-
суммы
1
Vi = —(yi+ Vi-),
получим
% [S{ - m (vi+ — «!-)]• (vi+ + Vt-) = 0.
1=1
Далее, имея в виду тождество
(vi+ + Vi-)-(Vi+ — Vi-) = Vi+ — Vi-
и выражения для кинетической энергии до и после удара
п п
= ~ 2 zniPi+; т- = ~2~ 2 mpt-,
г=1 1=1
приходим к равенству (1.18).
1.2.9. Теорема Карно (первая часть). Если к системе
не приложены заданные ударные импульсы, то внезапное
наложение идеальных связей уменьшает кинетическую
энергию механической системы. При этом потеря энергии
равна энергии потерянных скоростей.
Здесь потерянной скоростью называется разность
а энергией потерянных скоростей — величина
п
Т* ~ 4" 2 — г>1+)2. (1.19)
1=1
Для доказательства воспользуемся уравнением (1.14),
принимая за вариации скоростей действительные скорости
§ 1.2J
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
47
vi+, возникающие после наложения связей:
3 —Vi-)vi+ = 0. (1.20)
1=1
Подставляя сюда вместо последнего сомножителя
vt+ = 4'(Wi+ + ^-) + — <1>21)
получим
п п
Y^lmi (Vi+ — Vi-) + 4" 3 (Vl+ — Vi-)2 = °> (1-22)
1=1 1=1
или, при обозначениях (1.18) и (1.19), Т+ — ZL + Т* = 0,
т. е.
- Т+ = Т*, (1.23)
что и доказывает первую часть теоремы Карно.
Теорема Карно (вторая часть). При взрывном разруше-
нии идеальных связей происходит увеличение кинетиче-
ской энергии механической системы. При этом прира-
щение энергии равно энергии приобретенных скоростей.
Здесь приобретенной скоростью называется разность
vi+ — v-L_, а энергией приобретенных скоростей — вели-
чина
п
т* = 2 mi (v»+ — vi-)2 (1-24)
1=1
Для доказательства нужно вновь воспользоваться
уравнением (1.14), по принять за вариации скоростей дей-
ствительные скорости Vi- в момент времени, непосредст-
венно предшествующий удару
5J mt (vi+ — Vi-') Vt- = 0. (1-25)
1=1
Если подставить сюда вместо последнего сомножителя
= —(v vj — 4-(fi+ —(1-26)
то получится
4“ 2 mi (vi+ — v«-)--4 2 (^i+ — V;-)® 0 > (!-27)
1=1 1—1
48 ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 1
или, короче,
т+ — т. = т*,
(1.28)
что и является содержанием второй части теоремы Карно.
Пример 1.1. (Применение общего уравнения динамики.) В поло-
жении равновесия одномассовой системы, показанной на рис. 1.2, а,
стержни образуют углы а с горизонталью. Найти скорость сосре-
доточенного груза, вызываемую мгновенным импульсом 5, прило-
женным в горизонтальном направлении к подвижной опоре.
Обозначим через Ьх возможное перемещение подвижной опоры
(рис. 1.2, б); тогда для определения приращения угла да можно
записать соотношение
21 cos а — 21 cos (а + да) = Ъх,
откуда, вследствие малости да, вытекает, что
да;
= 21 sin а
Теперь найдем горизонтальную и вертикальную проекции возмож-
ного перемещения груза
да;
дх0= Z cos а — Z cos (а + да) = —, (а)
дг/0 = Z sin (а + cZa) — I sin а ~ -С*^СТ да; (б)
Отношение действительных скоростей груза после удара »y!vx равно
§ 1.2]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
49
отношению возможных перемещений
vv ЬУо
(в)
Воспользуемся общим уравнением динамики системы в форме (1.11):
8 — mvy &yQ — mvxbxQ = 0 (г)
(импульс реакции упругой опоры равен нулю и в уравнение не вхо-
дит). Из (а) — (г) находим
25 sin2 a S sin 2а
»х =, vy =--------------------•
Л т, ’ и т
При малых углах а приближенно можно принять
В,-
х у т
Пример 1.2. (Применение уравнений Лагранжа.) Система состо-
ит из трех первоначально покоившихся сосредоточенных грузов,
K~2mvB
Рис. 1.3.
массы которых равны соответственно m, 2m, 3m. Грузы закреплены
на двух шарнирно связанных между собой безынерционных стерж-
нях, правый конец второго стержня шарнирно закреплен (рис. 1.3,а).
В некоторый момент времени к левому грузу прикладывается
50 ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 1
мгновенный вертикальный импульс S. Требуется найти скорости
грузов после удара.
Рассматриваемая система обладает двумя степенями свободы
и для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Лагран-
жа в форме (1.16). Принимая за обобщенные координаты q± и q2
перемещения концов левого стержня, выразим скорости грузов
после удара через обобщенные скорости и д2:
„ — л „ _ 71 + 72 „ _ 72
VA — 7ъ vb-----g’ D---------2“ ’
Образуем выражение кинетической энергии системы
Т = I 2т ( ^ + 72 ¥ । ( 72 У
2 2 \ 2 /‘Г2\2/
2
= -у-(6?1 + 47142+ 5?г)
и ее производных по обобщенным скоростям
дТ /3 1 \ дТ /1 5 \
-^г="ц—?1+—
Далее определяем обобщенные импульсы = S, S2 = 0, так что
уравнения (1.16) принимают вид
т
1 \ о / 1 5 /
2 72) — ^» т ( 2 4
Отсюда находим обобщенные скорости
10£ . _ Ы
13m ’ 72 ~~ 13m
v - SS V — 2S
в —ТзпГ’ D~ ТЭ^Г
4i =
и скорости грузов
Л 13т
Пример 1.3. (Применение метода кинетостатики.) Найти скоро-
сти грузов и импульсивные реакции шарниров для системы, пока-
занной на рис. 1.3, а.
Находим выражения приращений количеств движения грузов:
для груза /п: mvA = mq^
для груза 2т'. 2mvB = т (qt <72);
для груза Зи?.: 3mvD = 3/п(/2/2.
Далее образуем кинетостатические схемы, учитывая, что им-
пульсивные реакции упругих опор равны пулю (см. рис. 1.3, б), и
составляем уравнения проекций на вертикальную ось и уравнения
моментов для каждой из частей системы;
для левой части:
S — mqx — т (qt + q2) + Sc - 0,
т (71 + 7гН + =
§ 1.2]
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ
51
для правой части:
—£ с — 3/nq2/2 + SE = О,
— Змд2£/2 + Se‘%1 = 0.
Из этих уравнений находим:
IOS . AS а 3S о 36*
^1=: 13т ' Чъ = — sc^ 13 ’ SE = ~ 13 ’
CL)
а также те значения скоростей грузов, которые выписаны выше
в конце решения примера 1.2.
Пример 1.4. (Приложение теоремы Карно.) Горизонтальный
однородный стержень длиной I и массы т поступательно движется
вертикально вниз (рис. 1.4, а).
В некоторый момент времени один
из концов стержня внезапно оста-
навливается. Найти величину воз-
никающей мгновенной угловой
скорости со, если непосредствен-
но перед рассматриваемым момен-
том скорости точек стержня рав-
ны v (рис. 1.4, а).
Вычислим энергию стержня
перед ударом:
mv2
и после удара:
mZ2co2
г+ = 6~ •
Рис Л 1.4.
Здесь учтено, что момент инерции стержня относительно оси, про-
ходящей через конец стержня и перпендикулярной к плоскости дви-
жения, равен mZ2/3. Энергия потерянных скоростей равна
I
т = -dx. (в)
* 2 J I '
о
Здесь Уд — потерянная скорость произвольной точки стержня, оп-
ределяемая выражением
Уд = V — сох, (г)
где х — абсцисса точки, сох — скорость точки после удара. Вычи-
слим
1 т / л I2 Z3 \
г. = 1 Г V 1 ~ 2va) Т + “ з )=
т (Зу2 — 3ycoZ + co2Z2). (д)
6
52 ИДЕАЛЬНЫЙ УДАР; ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ [Гл. 1
Подставляя (а), (б) п (д) в (1.23), получим уравнение
из которого
mv2
~2~
т12(й2 1
—g— = -g- т (Зу2 — 3^coZ + со2/2),
Зу
“ = 21
(е)
На рис. 1.4, б показана эпюра скоростей после удара, Как
видно, точки, расположенные в правой трети стержня, движутся
после удара с большими скоростями, чем до него. По выражению
(д) можно вычислить потерю энергии, которая равна mv2/S1 т. е.
составляет 25% первоначального значения. Далее по соотношению
(1.18) сразу вычисляется импульс реакции наложенной связи
Знак минус означает, что импульс направлен противоположно век^
тору скорости V.
§ 1.3. Действие заданных мгновенных импульсов
на абсолютно твердое тело
Для упрощения будем считать, что удар происходит
вследствие приложения единственного внешнего мгновен-
ного импульса. Если одновременно приложено несколько
внешних импульсов, то в данных ниже соотношениях лишь
появляются соответственные суммы.
1.3.1. Удар по свободному телу. Кинематический
эффект приложения внешнего мгновенного импульса
к свободному телу определяется конечными приращения-
ми скорости центра тяжести тела и угловой скорости
тела А со. Для того чтобы определить эти приращения,
введем систему главных центральных осей Cxyz\ за время
удара эта система не меняет своей ориентации в простран-
стве. Обозначим: Syi Sz — проекции внешнего мгно-
венного импульса & на указанные оси; xs, ys, zs — коор-
динаты точки s приложения импульса; Ix, Iу, Iz — глав-
ные центральные моменты инерции тела, т — масса
тела.
С помощью теоремы о движении центра масс, т. е. по
соотношению (1.3), находим мгновенные изменения ско-
рости центра тяжести в проекциях на оси координат:
S S S
bvCx=-^-. bvCz = -^. (1.29)
§ 1.31 ДЕЙСТВИЕ ЗАДАННЫХ МГНОВЕННЫХ ИМПУЛЬСОВ 53
Для определения мгновенного изменения угловой
скорости тела воспользуемся теоремой об изменении ки-
нетического момента, имея в виду, что в нашем случае
ДА’сх = /жД<ож, АКСу = /УД®У, ДХСг = /гДю2 .(1.30)
Тогда согласно (1.7) получим
S v — S z S z — S х S х — S у
Д®х = , Д(йу = , дЮг = .
lx Jy lz
(1.31)
Если тело совершает плоское движение в плоскости
ху, то из шести соотношений (1.29) и (1.31) останутся три;
S S S х — Sy
Дрсж = ^ ДрСу=-^-, Д<ог= VSJZ (1-32)
1.3.2. Удар по
Поместим начало
телу с одной неподвижной точкой,
координат в закрепленной точке О
и совместим оси х, у, z с главными осями инерции тела
(рис. 1.5). Тогда уравнения (1.7)
выражениям для проекций мгно-
венного приращения угловой
скорости:
приведут к следующим
Sy — S z
До)х =
S z — S х
Д®У = *‘f zs
у
S х — Sy
4<oz -
*z
(1.33)
где Zx, Zy, Iz — главные моменты инерции тела для за-
хсрепленной точки. Если линия действия внешнего им-
пульса проходит через неподвижную точку, то угловая
скорость тела остается неизменной и весь эффект удара
сведется лишь к появлению импульсивной реакции связи
So = —S.
В общем случае для определения импульсивной реак-
ции связи воспользуемся теоремой о движении центра
Глава 2
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О СОУДАРЕНИЯХ ДВУХ ТЕЛ
С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА
§ 2.1. Вступительные замечания
Высказанная Ньютоном гипотеза о том, что коэффици-
ент восстановления не зависит от относительной скорости
соударяющихся материальных точек, дает возможность
замкнуть систему уравнений задачи о соударениях, но
плохо подтверждается опытами,— во всяком случае теми
0,5 1 1,5
v_, м/сек
Рис. 2.1.
из них, которые охватывали достаточно широкий диапазон
скоростей. Иллюстрацией сказанному может служить
рис. 2.1, на котором показана экспериментальная зависи-
мость коэффициента восстановления от начальной скорости
удара стальными шариками диаметром d = 2,54 см по
различным плитам (а — сталь, б — латунь, в — парафин,
г — свинец) [111. И все же по причинам, о которых было
сказано в § 0.4, гипотеза Ньютона до сих пор часто ис-
пользуется в практических расчетах; думать, что она
§ 2.2]
КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
87
полностью отжила свой век, столь же ошибочно, как и не
замечать ее недостатки. |
Настоящая глава посвящена решениям задач о соуда-
рениях с помощью гипотезы Ньютона. При этом мы огра-
ничимся плоскими задачами, т. е. будем считать, что цен-
тры тяжести тел, линия удара и ударные импульсы лежат
в одной плоскости, параллельно которой направлены и
скорости всех точек до и после удара. Решение плоских
задач охватывает большинство практически важных слу-
чаев и в то же время позволяет обсудить все принципиаль-
ные особенности рассматриваемого в этой главе способа
анализа удара. Переход к пространственным задачам,
по существу, прост и сводится лишь к некоторым очевид-
ным, хотя и громоздким обобщениям чисто формального
характера.
Если по условиям соударения (например, по симме-
трии) заведомо известно, что ударный импульс взаимодей-
ствия между телами направлен перпендикулярно к общей
касательной плоскости в точке контакта (т. е. по «линии
удара»), то для замыкания системы уравнений задачи
достаточно воспользоваться гипотезой Ньютона; именно
такие случаи рассматриваются в §§2.2—2.6. Если же удар-
ный импульс взаимодействия может отклоняться от линии
удара, то возникают новые неизвестные — составляющие
ударного импульса в касательной плоскости. Соответствен-
но приходится вводить новые допущения, относящиеся
к свойствам касательного взаимодействия; этот вопрос
рассмотрен в § 2.6.
§ 2.2. Связь коэффициента восстановления
с динамическими характеристиками удара
В § 0.4 понятие о коэффициенте восстановления было
введено в терминах кинематики. Здесь мы рассмотрим
связь, существующую между коэффициентом восстанов-
ления и динамическими характеристиками удара.
2.2.1. Временно откажемся от идеализированного пред-
ставления о мгновенном ударном импульсе и рассмотрим
рис. 2.2, на котором показано изменение ударной силы во
времени. Здесь можно выделить две фазы удара (рис. 2.2, а).
Первая фаза {фаза нагрузки) длится от начала удара до мо-
мента, когда сила достигает максимального значения, авто-
88 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ ПЫОТОНА [Гл. 2
рая фаза (фаза разгрузки) — от этого момента удара до пол-
ного исчезновения ударной силы. В течение первой фазы,
когда ударная сила увеличивается, происходит сближение
центров масс соударяющихся тел и уплотнение контакта
между ними; в течение второй фазы ударная сила умень-
шается, а контакт между телами постепенно ослабевает.
При этом относительная скорость центров масс обоих
тел в первой фазе убывает до пуля, а во второй фазе
получает противоположное направление и возрастает по
абсолютной величине. Обозначим через 5^ и S2 импульсы,
соответствующие обеим фазам (импульс нагрузки и им-
пvльc разгрузки), и через
v = mAvA- + = тАУА+ + твув+
° тА 4- тв тА + тв '
— скорость центра масс системы обоих тел; ей равна общая
скорость обоих тел в момент перехода из первой фазы
во вторую. Таким образом, в первой фазе скорость центра
масс первого тела изменяется от значения до значе-
ния vc, так что
™а (ус — vA_) = — Зр
Подставляя сюда первое из выражений (2.1), получим для
импульса нагрузки
т А т и
Si =----(уА- - VB-). (2.2)
тА + 777 В ' v 7
Во второй фазе скорость центра масс второго тела изме-
няется от значения v^, до значения uB+, так что
(ур+ — vc) =
КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
89
Пользуясь вторым из выражений (2.1), получим для им-
пульса разгрузки
„А-Д (^~^). (2.3)
Разделив (2.3) на (2.2), найдем отношение
= VB+~VA+ = R (2.4)
VA_ — VB_ к 7
Отсюда видно, что коэффициент восстановления можно
рассматривать как отношение импульса разгрузки к им-
пульсу нагрузки. Иногда это соотношение принимают за
определение коэффициента восстановления; тогда — уже
?ак следствие — можно получить (0.10). В том частном
<лучае, когда после соударения отскок не происходит,
Н = 0 и S2 = 0; кривая зависимости силы от времени
пыглядит как показано на рис. 2.2, б.
2.2.2. Рассмотрим теперь связь изменения кинетиче-
ской энергии при ударе с коэффициентом восстановления.
Зта связь выглядит по-разному в зависимости от того,
и какой координатной системе вычисляется кинетическая
энергия. Она особенно проста в поступательно движущей-
ся координатной системе, связанной с центром масс обоих
тел. В этой системе кинетическая энергия Тг до и после
соударения определяется следующими выражениями:
Тг- = (уа- — Ус)2 + 4- тв (ув- — Ус)2,
г 1 1 (2-5)
Т+ = -у тА (уа+ — Ус)2 + -у тв (ув+ — Ус)2-
Подставляя сюда поочередно оба выражения (2.1) для ис,
получим
грТ ___ 1
тАтВ ( х2
'«А + тВ (VA~ VB~} ’
„ 1 пгАт о
(^~УВ+)2-
* тА 4^ т в
(2-6)
Отсюда следует простое соотношение:
lyA+ — VB+
VA-~VB-
(2-7)
90 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
т. е. квадрат коэффициента восстановления равен отно-
шению послеударного значения кинетической энергии к ее
доударному значению, если энергия вычисляется в системе
отсчета, связанной с центром масс системы обоих тел.
Между прочим, с помощью (2.7) сразу можно найти
потерю энергии при ударе
дг = г:-г; = (1-д2)П =
1 —
2
™АтВ
тА + тВ
(у А- —
(2-8)
Несколько более сложно выглядит аналогичная зави-
симость при вычислениях в неподвижной системе коор-
динат:
Т_ = 4~ ,
7 7 (2.9)
п, 1 2 . 1 2 '
= “2~ m^v^+ + — mBVB+ •
Подставляя во второе выражение значения послеударных
скоростей (0.12), находим
т+ = ^va- + mBvB_) — г—------------------о----{vA- — ув-)2.
«.I '"A '^B
(2.10)
Так как первый член равен предударному значению кине-
тической энергии Т_, то второй член представляет собой
потерянную при ударе энергию ДТ; конечно, она не зави-
сит от выбора координатной системы. Отметим, что выра-
жение энергии потерянных скоростей (это понятие см.
выше в п. 1.2.9)
Т* = Л-m А (уА- — VA+)2 + Л-ТПА (у В- — VB+)2 (2.11)
и
после подстановки (0.12) принимает вид
(1+Д)2
1 *------2-- тА + т£ ^А~ ~ VB~> • (2Л2>
Таким образом,
= (2ЛЗ)
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОДНОКРАТНОГО УДАРА
91
видно, в общем случае потерянная энергия не равна
* ргии потерянных скоростей. Лишь при абсолютно не-
прутом ударе Д77 = Т*; это соответствует теореме Карно
м. выше § 1.3).
§ 2.3. Эффективность однократного удара
v технологических процессах
Если удар используется в определенных технологиче-
:ких целях, то возникает вопрос об оценке его эффектив-
ности. Выбор количественной меры эффективности зависит
типа технологической операции.
2.3.1. При операции ковки, когда падающий на болван-
ну молот должен ее максимальным образом продеформи-
ровать, эффективность удара естественно оценивать той
долей кинетической энергии молота, которая переходит
в необратимую работу пластического деформирования;
остающуюся в системе после удара кинетическую энергию
можно рассматривать как неэффективный излишек, ко-
торый как бы не удается потратить на пластическое де-
формирование. Поэтому за количественную меру эффектив-
ности принимается отношение потерянной кинетической
энергии АТ к ее первоначальному значению Т_. При
= 0 согласно (2.8) и (2.9) имеем
АТ (1 — 7?2) m
111 ~ TZ Г+т
(tn = mB/mA, mA — масса молота и связанных с ним
подвижных частей, тв — масса болванки и шабота).
Зта зависимость показана на рис. 2.3, а; здесь по оси
абсцисс отложена безразмерная величина т. Как"видно,
92 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
для увеличения эффективности удара целесообразно стре-
миться к возможно большему значению тп, т. е. операцию
ковки рационально вести легкими молотами; при этом
предельное значение коэффициента тн равно 1 — R2.
2.3.2. Совершенно по-иному оценивается эффектив-
ность удара при забивке свай. Иногда за меру эффектив-
ности принимается отношение кинетической энергии
системы после удара Т+ к начальному значению кинети-
ческой энергии Т_\ часть энергии ДТ7, расходуемая на
пластическое деформирование торцевой части сваи, прини-
мается за неэффективную потерю. Таким образом, коэф-
фициент эффективности оказывается равным
Тф 1 + niR2
^2~~ Т- ~ 14-7П
График этой зависимости показан на рис. 2.3, б. Из этого
графика видно, что в данном случае эффективность удара
уменьшается с увеличением отношения ш.
Возможен иной подход к оценке эффективности удара
при забивке свай. Так как послеударное движение сваи
и, в частности, ее заглубление определяется только той
долей кинетической энергии, которую приобретает свая
при ударе, то за меру эффективности удара можно принять
отношение
+ (2-16)
Зависимость (2.16) показана на рие. 2.3, в. Здесь обращает
на себя внимание немонотонность изменения т]3; при лю-
бых значениях R коэффициент ц3 достигает максимума
при m = 1, т. е. когда масса падающих частей равна массе
сваи. Из (2.16) можно найти т]зтах = (1 + /?2)/4. Эти
значения располагаются в интервале от 1/4 (при пласти-
ческом ударе, когда R = 0) до 1 (при упругом ударе).
Независимо от убедительности соображений, положен-
ных в основу каждой из двух оценок эффективности удара,
формулы (2.15) и (2.16) очень неточны — не только из-за
того, что свая моделируется в виде абсолютно твердого
тела, но и потому, что оно считается свободным. Ведь если
и допустить, что свая совершенно жесткая, то все равно
возникает вопрос о роли примыкающего к свае грунта
при ударе. Конечно, приписывая грунту свойства
2.3]
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОДНОКРАТНОГО УДАРА
93
безынерционной среды (упругой, вязкой, пластической),
импульс реакций грунта при ударе нужно считать равным
нулю.
Однако в действительности грунт обладает также инер-
ционными свойствами, которые можно условно описать
в виде некоторой присоединенной массы. К сожалению,
обоснованные оценки значения присоединенной массы
грунта затруднительны; можно лишь предполагать, что
когда свая уже значительно погружена в грунт, присое-
диненная масса больше, чем в начале процесса забивки.
В сущности, это сложная задача динамики сплошной
среды и при ее решении, вообще говоря, не вполне ло-
гично пользоваться примитивными представлениями о
мгновенном ударе и абсолютно жесткой свае.
2.3.3. Отношение (2.16) принимают за меру эффектив-
ности удара не только в случае забивки свай, но и во мно-
гих других практических ситуациях и называют коэффи-
циентом передачи энергии при ударе. Если система со-
стоит всего из двух тел — ударяемого тела и ударника,
то при данных значениях коэффициента восстановления R
и отношения т названный коэффициент имеет вполне
определенное значение. Однако значение ц может быть
увеличено, если усложнить систему, и ввести еще одно
промежуточное тело. Пусть масса этого тела т0. Тогда
коэффициент передачи энергии удара равен произведению
коэффициентов, определяемых по выражению (2.16) для
обеих пар соударяющихся тел (т1, т0 и т0, т2)
П = ПмПог =
(1 + 7?110)2 (1 + 7?0>2)2 m>£n\, (2.17)
V (^4 + /По)2 (7П0 + ?П2)2
где 7?1>0 и 7?0 2 — значения коэффициента 7? для ударных
пар, которые указаны в индексах. Если, например,
/?10 = 7?о,2 = R, то максимальное значение ц достигается
при
mQ = ]Лт1т2
и равно
Лтах —
(1 + 7?)2т
(1 + Гт ) (т + Ут )
(2.18)
(2-19)
94 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
Отсюда следует, что если R 2]Лтп/(1 + ттг), тортах боль-
ше чем ц3, определяемое формулой (2.16). Таким образом,
хотя введение промежуточного тела влечет за собой до-
полнительную потерю энергии, однако коэффициент пере-
дачи энергии может не уменьшиться, а, наоборот, возра-
сти. Дальнейший анализ показывает, что еще лучшие
результаты можно получить, если в систему ввести не-
сколько промежуточных тел. Этот вопрос освещен в кни-
гах [II (стр. 53—56) и [351 (стр. 47—48).
§ 2.4. Повторные удары в автономных системах
В большинстве практических ситуаций однократный
удар представляет собой лишь элемент процесса последо-
вательных соударений, причем условия, в которых про-
исходит любой из ударов, зависят от условий совершения
предыдущего удара. Процессы, состоящие из бесконечно
большого числа ударов, называются бесконечно-ударными.
Бесконечно-ударные процессы характерны для неавто-
номных систем с периодическим возбуждением (см. ниже
§ 2.5), но иногда их можно наблюдать и в автономных
диссипативных системах; несмотря на то, что в последнем
случае механическая энергия убывает при каждом ударе,
а подвод энергии извне отсутствует, однако общее число
ударов бесконечно.
2.4.1. Особенно проста и притом несомненно поучитель-
на задача Мак-Миллана [23], в которой рассматривается
процесс последовательных соударений, возникающий пос-
ле падения тела с высоты h0 на неподвижную гори-
зонтальную плоскость при R < 1. Тело, отскочив от
плоскости после первого удара, сначала поднимается на
некоторую высоту hr < Ао, а затем под действием силы
тяжести вновь будет падать. Таким образом, после неко-
торого промежутка времени произойдет второй удар, затем
третий удар и т. д. Очевидно, что последовательные зна-
чения высоты отскоков тела и ударных импульсов будут
убывать.
Обсудим два вопроса: 1) сколько соударений произой-
дет до полной остановки тела, 2) сколько времени будет
длиться этот процесс.
Ответ на первый вопрос почти очевиден: число соуда-
рений бесконечно велико. В самом деле, если | | ~ и0—
§ 2.4] ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ
95
величина скорости тела перед первым ударом, то после
этого удара скорость равна v1+ = Rv0; то же абсолютное
значение имеет скорость тела непосредственно и перед
вторым ударом, т. е. | v2~ | = Rv^. Скорость непосред-
ственно после второго удара равна р2+ = R2vQ и т. д.;
очевидно, что после n-го удара скорость равна уп+ = 7?пр0,
т. е. последовательные послеударные значения скорости
образуют геометрическую прогрессию со знаменателем R.
Также легко найти, что высоты отскоков определяются
выражением
hn = 7?2п7г0, (2.20)
т. е. образуют геометрическую прогрессию со знаменате-
лем R2. Таким образом, скорость обращается в нуль
лишь после бесконечно большого числа ударов.
При рассмотрении второго вопроса может показаться,
что если число ударов бесконечно велико, то и длитель-
ность всего процесса должна быть бесконечной. В действи-
тельности это не так. Пусть
to = /2Vg (2.21)
— время первого падения тела на плоскость. Тогда легко
найти, что промежуток времени между первым и вторым
ударами составляет = 2R/0, между вторым и третьим
ударами равен t2 = 27?% и т. д., так что
tn = 27?%. (2.22)
Общая продолжительность процесса составляет
= । > (2.23)
п=1
т. е. конечна. Из бесконечности числа ударов не следует
бесконечная длительность процесса,— в этом заключается
любопытная особенность задачи Мак-Миллана.
Рассмотренный бесконечно-ударный процесс имеет
некоторое внешнее сходство с процессом затухающих
свободных колебаний упругой системы при наличии
вязкого трения, пропорционального любой степени ско-
рости. Однако в последнем случае длительность одного
колебательного цикла («периода» затухающих колебаний)
не убывает до нуля, а при линейной силе вязкого сопро-
96 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ с ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
тивления остается постоянной; поэтому общая продол-
жительность процесса колебаний оказывается бесконечно
большой, в отличие от условий задачи Мак-Миллана, где
конечная продолжительность бесконечно-ударного про-
цесса есть прямой результат убывания промежутков
времени между последовательными ударами.
Отметим, что после завершения процесса возникает
та же ситуация (груз покоится на неподвижной плоскости),
которая возникла бы после абсолютно пластического уда-
ра, т. е. при R = 0. Можно сказать, что в задаче Мак-
Миллана значение R 1 влияет лишь на длительность
процесса, но не на окончательное состояние системы;
по этому признаку в подобных случаях иногда говорят
о квазипластическом ударе.
Остановимся еще на одной стороне дела и определим
ударные импульсы. Так как
vn. = -ТГ’Ч и vn+ = Rnv«, (2.24)
то ударный импульс при n-м ударе равен
Sn = т (уп+ — уп_) = mvoR"1-1 (1 + /?). (2.25)
«Размажем* этот импульс во времени, т. е. разделим его
на промежуток времени
4- (^-1 + tn) = Я”-1 (1 + R) to- (2.26)
Ci
Тогда получится осредненная «сила»
р = = mgj (2.27)
*0
значение которой не зависит от номера удара. После за-
вершения всего ударного процесса, т. е. при t т, вы-
ражение (2.27) будет представлять собой истинное (а не
условно полученное в результате осреднения) значение
непрерывно действующей силы между грузом и непод-
вижной плоскостью.
2.4.2. Бесконечно-ударные процессы могут возникать
не только благодаря действию силы тяжести, как в задаче
Мак-Миллана, по и в случаях, когда эта сила не влияет
на движение, например, в упругой системе с натягом,
показанной на рис. 2.4. В положений равновесия груз
прижат к неподвижному ограничителю, причем начальное
Ml ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ
97
укорочение пружины (т. е. значение натяга) равно А.
Лтим укорочением определяется и статическое значение
сжимающей силы сА (с — коэффициент жесткости пру-
жины).
Если сместить груз из состояния равновесия на рас-
стояние ж0, а затем отпустить с нулевой начальной ско-
ростью, то под действием силы
упругости пружины он станет
двигаться к неподвижному огра-
ничителю, ударится о него, от-
скочит, затем после некоторого
промежутка времени произой- рис 2 *
дет новое соударение и т. д.
В существенных чертах процесс
совпадает с тем, что было установлено в п. 2.4.1 — общее
число ударов бесконечно велико, но длительность про-
цесса соударений конечна.
Выкладки, относящиеся к рассматриваемому случаю,
элементарны. Движение груза на первом этапе описывает-
ся выражением
х = (х0 + A) cos kt — А, (2.28)
где координата х отсчитывается от состояния равновесия
груза, т. е. от ограничителя,/!: = У dm, т — масса груза.
Момент первого удара tQ определяется из условия х = О
coS^0= 1+to/A-- (2.29)
Скорость непосредственно перед первым ударом равна
= х (tQ) = — к V Xq + 2я0А, (2.30)
а после этого удара
v1+ = — Rvr. = kR /4 + 2х0Д. (2.31)
Выражение (2.31) одновременно определяет величи-
ну скорости непосредственно перед вторым ударом,
так как р2_ = — v1+. Далее находим и2+ = — 7?у2_ =
kR2V $ + 2я0А. Продолжая таким образом далее,
находим скорость после n-го удара:
1>п+ = kRn /^4-2ж0Д. (2.32)
4 Я. Г. Пановко
98 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ G ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл.
В промежутке между n-м и (п + 1)-м ударами движе-
ние описывается выражением
х = Д (cos kt — 1) + -yi sin kt, (2.33)
в котором время отсчитывается от момента совершения
n-го удара. Для того чтобы найти промежуток времени
между указанными ударами, следует приравнять нулю
выражение (2.33); после этого получаем
sin ktn =
2vn+/(kS)
1 + K+W)12
(2.34)
Для того чтобы оценить быстроту убывания значений tn
при оо, заметим, что при достаточно больших значе-
ниях п можно (с преувеличением) принять
(2.35)
Так как при больших значениях п промежутки времени tn
пропорциональны Rn (как и в задаче Мак-Миллана), то
длительность всего процесса соударений — конечная ве-
личина.
Для иллюстрации приведем результаты вычислений
безразмерного времени кtn, относящиеся к случаю, когда
х0 = Д; R = 0,5 (табл. 3).
Таблица 3
1 2 3 4 5 6 7 8
1,4274 0,8173 0,4264 0,2157 0,1081 0,0541 0,0271 0,0135
9 10 11 12 13 14 15 16
0,0068 0,0034 0,0017 0,0008 0,0004 0,0002 0,0001 0,0001
й 2.4] ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ
99
При п > 16 значения ktn меньше, чем 10'4. Безразмер-
ное время от начала процесса до N-то удара определяется
(n \
IX) (см. график на рис. 2.5).
п=1 /
2.4.3. Бесконечно-удар-
ные процессы возможны и
в системах с подвижными
(например, упругозакреп-
ленными) ограничителями.
Такова, например, систе-
ма, показанная на рис. 2.6.
Обозначим т = тлв/ша, тЛ
и тв — сосредоточенные
массы падающего груза
и ударяемой конструк-
ции *), с — коэффициент
груза непосредственно перед
жесткости конструкции,
Va- — скорость падающего
первым ударом.
Согласно (0.12) движение после первого удара’начи-
нается при скоростях
1 — Rm, 1 4-2? /О
= Т+7Г Рв1+ = 7+^ VA- (2.36)
Отметим, что при достаточно малых
значениях отноше-
Рис. 2.6.
ния т (когда т < 1/2?) скорость vAi+ сохраняет направле-
ние скорости vai-, т. е. после удара груз А продолжает
движение вниз.
*) О законности и способах приведения массы конструкции
в одну точку см. ниже § 3.3.
4*
100 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
Отсчитывая время t от момента первого удара, запишем
законы движения грузов после удара
У А = vA1+t + , У в = sin kt, (2.37)
где к = ]/"с/тв — собственная частота конструкции. Вто-
рое соударение произойдет в момент t13 когда Уа = ув,
т. е. значение определяется из трансцендентного урав-
нения
1 — Rm
1 + т
gt? 1 + R vA1_ .
VAl^ + — = -JT- sin ktt.
(2.38)
На рис. 2.7 изображены графики обеих функций (2.37);
точка О соответствует первому удару, точка 1 — второму
* удару. После того как зна-
/ чение tr найдено (хотя бы
/ графически), можно с помо-
- щью (2.37) определить ско-
рости грузов перед вторым
s' /[ ударом:
/ У I______________ УЛ2- = У А = l>4l+ gk, 1
t vBi- = Ув = vei+cosktj. )
(2.39)
Рис. 2.7. /плох -
По выражениям (0.12) найдем
скорости грузов непосред-
ственно после второго удара:
1 — Rm (1 4- R) т '
*'* - “•«- -Г+7Г + “»*- • + „. 'I 2 „
1+Я , т— -R
VB^ - УД2- 1+;п + УВ2- 1 + от •
Далее можно по типу зависимостей (2.37) записать законы
движения грузов после второго удара, составить условия,
относящиеся к третьему удару и т. д. При каждом ударе
происходит потеря механической энергииТсистемы, но
относительная скорость грузов обращается в нуль лишь
при п —> оо (п — число ударов)/ т. е. весь процесс
является бесконечно-ударным (но конечным во времени).
Завершающее состояние системы очевидно — груз по-
коится на неподвижной изогнутой балке.
$ 2.4] ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В АВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ
101
Исследование всего процесса обычно не представляет
интереса, так как в рассматриваемой задаче важно опре-
делить максимальный динамический эффект; для этого
достаточно проследить процесс соударений до момента,
когда балка достигает состояния наибольшего изгиба,
т. е. исследовать несколько первых соударений.
2.4.4. Рассмотрим, наконец, систему (рис. 2.8), обра-
зованную телами А и 5, причем тело А может свободно
Рис. 2.8.
двигаться в горизонтальном направлении, а тело В —
упруго закреплено на пружине с коэффициентом жестко-
сти с. Если 0 и vBi- = 0 — скорости тел перед со-
ударением, то скорости непосредственно после удара
определяются прежними формулами (2.36). Очевидно,
что если i>ai+^>0> то тело А будет продолжать движение
вправо п по прошествии некоторого времени вновь уда-
рится о тело В.
Послеударное движение тел описывается зависимо-
стями
Уп. 1
xAi = VAi+t, %в\ = —— sin kt, (2.41)
где координаты отсчитываются от положений, занимаемых
телами при соударении, к = Ус/тв — собственная частота
тела В на пружине, t — время, отсчитываемое от момента
удара. Момент второго соударения tL определяется из
условия zai = ХВ1, которое приводит к трансцендентному
уравнению
S 1 П к t £ 1 Р ПЪ ( Q
к\ = 1 + 2? ’
После его решения можно найти соответствующую коор-
динату хг по любому из выражений (2.41).
102 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
Так как при любом а справедливо неравенство
> - 4- - (2.43)
а Зл ’ х '
то согласно (2.42) второе соударение происходит при ус-
ловии
(2.44)
На рис. 2.9, а заштрихована область значений пара-
метров т и R, которой соответствует появление второго
соударения. Значение t± можно найти па графику на
рис. 2.9, б.
Согласно (2.41) скорости тел перед вторым ударом
равны
VA2- = vA1+, vB2- = Pbi+cos%i. (2.45)
Новые значения скоростей после второго удара согласно
(2.40) таковы
Г/ 1 — Rm \2 , _ / 1 -4- R \з 7.1
+7п(т+тг)
1 + ЯГ1 — Rm . т — R 7.1
^В2+ = -тЧ--- -тп------Ь чп----cos ktr Vai-
+ 1 -|- т L 1 +™ 1 + т J
Движение тел после второго удара определяется выраже-
ниями)
#А2 = 4“ уА2+
УВ2+ <2-47>
хВ2 = cos kfl J-— sin kt,
§ 2.5J Повторные удары в неавтономных системах ЮЗ
где время отсчитывается от момента второго удара.
Приравнивая выражения (2.47), можно найти момент
третьего соударения. Если третье соударение невозможно
(во всяком случае на этапе движения ударяемого тела
вправо, т. е. до момента наибольшего сжатия пружины),
то из (2.47) можно найти максимальное значение переме-
щения ударяемого тела
^В2 max
1 + Л VA1- 1 / . 2 » , . /1 — Нт т — R 7 , \2
=---------г— I/ sin2 kt± + —т—.---Н -Vi--cos
1 + т к Г X1\l + ?n 'I+t/i
(2.48)
которое определяет наибольшую силу сжатия пружины
^втах и расчетное напряжение в ней.
Аналогично выполняются вычисления, если до момента
наибольшего сжатия пружины происходит большее число
соударений; будучи простыми по существу, эти вычисле-
ния, конечно, становятся довольно громоздкими.
§ 2.5. Повторные удары в неавтономных системах
л
2.5.1. Повторные удары особенно характерны для не-
автономных систем с периодическим возбуждением, когда,
в отличие от автономных систем, бесконечно-ударные
процессы носят периодический характер. Неавтономными
системами указанного типа являются, в частности, полу-
чившие широкое распространение разнообразные вибро-
ударные машины. В одних случаях действие этих машин
основано на принципе силового возбуждения (см., напри-
мер, рис. 2.10, а — вибромолот для забивки свай), а в
других случаях — на принципе кинематического возбуж-
дения (см., например, рис. 2.10, б — электромеханиче-
ский молоток).
В системе рис. 2.10, а возбуждение создается упруго-
подвешенной на свае вибромашиной, которая содержит два
эксцентриковых вибратора, вращающихся в противополож-
ных направлениях с одинаковыми по величине угловыми
скоростями. Такая машина создает вертикальную воз-
мущающую силу и в то же время обеспечивает отсутствие
горизонтального возбуждения, которое в данном случае
вызвало бы нежелательное раскачивание верхнего конца
104 РЕШЕНИЕ ЗАДА*! с ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 5
сваи. В системе рис. 2.10, б ударник связан с пружиной,
другому концу которой задается периодическое движение
кривошипно-шатунным механизмом.
Во всех таких системах ритм движения подчиняется
ритму заданного возбуждения. В частности, обычно суще-
ствует установившийся режим движения с периодом, рав-
ным периоду возбуждения, но возможны также устано-
вившиеся режимы с периодами, кратными периоду воз-
буждения (субгармонические режимы). Принципиальная
z(t)
6)
Рис. 2.10.
возможность существования нескольких режимов, т. е.
многозначность решения задачи о вынужденных колеба-
ниях — обычное свойство нелинейных систем и поэтому
исследование динамики виброударной системы должно
включать не только определение всех теоретически воз-
можных типов движения, но и анализ устойчивости каж-
дого из них, позволяющий выделить действительно осу-
ществимые режимы.
§ 2.5] ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 105
Прикладную теорию виброударных процессов обычно
строят на представлениях об абсолютной твердости соуда-
ряющихся тел и мгновенности акта соударения, а также
на гипотезе Ньютона о независимости коэффициента вос-
становления от скорости соударения. При этом иногда
считают, что ударяемое тело неподвижно (см. рис. 2.10),
по в некоторых случаях подвижность ударяемого тела
является существенным свойством системы, как, напри-
мер, в ударных вибростендах. На рис. 2.11 показаны две
схемы стендов этого типа:
рис. 2.11, а — с силовым воз-
буждением, рис. 2.11, б —
с, кинематическим возбужде-
нием.
2.5.2. В показанной на
рис. 2.12 виброударной си-
стеме с силовым возбуждением
Рис. 2.12.
удары упругозакрепленного
ударника производятся по плоской границе неподвижного
тела (ограничителя). Эта модель, которую впервые ис-
следовали И. Г. Русаков и А. А. Харкевич в 1942 г.,
весьма характерна для рассматриваемого здесь типа сис-
тем, а выполненный указанными авторами анализ может
служить эталоном для исследований других подобных
шстем.
Обозначим: т — масса ударника, с — коэффициент
честности пружины, А — зазор между ограничителем и
106 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
ударником в положении равновесия, т. е. при недеформи-
рованной пружине*), R — коэффициент восстановления;
возмущающую силу примем в виде Ро sin (tot + ф), где
Ро — амплитуда силы, ф — начальная фаза силы, со —
угловая частота возбуждения.
Исследуем периодическое движение системы, предпо-
лагая, что его период равен периоду возбуждения, т. е.,
что удары происходят с неизменными промежутками 2л/(о.
Рассмотрим один из циклов движения, начинающийся
непосредственно после какого-либо из ударов и будем
вести отсчет времени от указанного момента. Если потери
энергии в интервалах между ударами пренебрежимо
малы, то дифференциальное уравнение движения ударника
можно записать в виде
£ + №х = sin (cd£ + ф), (2.49)
где
к=Ус№ (2.50)
— собственная частота колебаний системы ударник —
пружина при амплитудах, меньших зазора Д. Общее ре-
шение уравнения (2.49) имеет вид
х = A sin (tot -f- ф) + В cos (kt + яр). (2.51)
Здесь первый член представляет собой частное решение
уравнения, причем
(2.52)
Для начала цикла можно записать
я(0) = -Д, ±(0) = p>0, (2.53)
для конца цикла (т. е. момента, предшествующего сле-
дующему удару)
х (2лЛо) = — Д, х (2n/to) = — р0/7?. (2.54)
Последнее условие вытекает из предположенной перио-
дичности процесса, т. е. скорость в начале следующего
цикла должна вновь оказаться равной и0.
♦) Излагаемое ниже решение можно применить также к слу-
чаю «отрицательного зазора», когда в положении равновесия
ударник прижат к ограничителю (система с натягом; см. рис. 2.4).*
при этом значение А нужно считать отрицательным,
§ 2.5J ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ ]07
Теперь мы располагаем четырьмя условиями для оп-
ределения четырех постоянных <р, гр, В и неизвестной на-
чальной скорости у0. Подставляя (2.51) в (2.53) и (2.54),
получим систему уравнений:
— Д = A sin ср + В sin гр,
vQ = Лео cos ср + Вк cos гр,
— Д = A sin ср + В sin (2лА, -- гр),
— yr = 21cocoscp4--B&cos(2nX -гр).
(2.55)
Сравнивая первое из этих уравнений с третьим, сразу на-
ходим
•ф = А _ лх. (2.56)
После этого из второго и четвертого уравнений можно
выразить постоянные ср и В через начальную скорость vQ:
cos ф = — , в = (2.57)
Y 2A&R 1 2kR sin лл v 7
Теперь из первого уравнения находим два значения на-
чальной скорости
। 1 / 1 + а2
_ 2ЯшД ~а± И “pa-----------1 (2.58)
v° ~ 1 - а 1 + аз
где обозначено
а= 1+Д otgn-', ₽ = 4- (2.59)
2.5.3. Как уже было отмечено выше, многозначность
полученных результатов сама по себе не удивительна.
Однако нужно проверить, все ли они удовлетворяют ус-
ловиям решаемой задачи. Дело в том, что при формальной
подстановке параметров системы в соотношения (2.57) и
(2.58) могут получиться невозможные по условиям задачи
следствия. Например, вычисление по первой из формул
(2.57) может привести к значениям косинуса, которые по
абсолютной величине больше единицы, а вычисление по
формуле (2.58) — к отрицательным или комплексным зна-
чениям начальной скорости; кроме того, не исключено,
что получаемые по выражению (2.51) значения х не удов-
летворяют условию непроницаемости ограничителя х \t)
108 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
> — А при любом значении 0 2л/ш. Подобные про-
верки, необходимые для выделения подлинных решений
задачи, часто приводят к противоположным заключениям
в различных областях значений параметров системы; тог-
да возникает необходимость определения границ областей
возможного существования решений.
Обращаясь к выкладкам, сразу отметим, что выраже-
ние (2.58) вещественно лишь при условии
₽ .< /1 + а2.
(2.60)
При нарушении этого условия, рассматриваемые вибро-
ударные режимы невозможны. Допустим, что условие
(2.60) выполнено, и выясним, какие ограничения вытекают
из требования положительности значений
Начнем с анализа режима, соответствующего знаку
плюс в выражении (2.58) {режим I). Если а < 0, то для
Vq получится положительный результат, т. е. возможность
существования этого режима ограничена только условием
(2.60). Если же а 0, то для положительности р0 должно
выполняться неравенство
0<1. (2.61)
Если это условие выполняется, тс, тем более, будет вы-
полняться более слабое неравенство (2.60).
Обратимся теперь к анализу режима, соответствующего
знаку минус в выражении (2.58) {режим II). Если а < 0,
то для положительности ufa должно выполняться нера-
венство
₽>1.
(2.62)
Следовательно, при а < 0 этот режим возможен, если па-
раметр Р удовлетворяет условиям
1 < р < /1 + а2.
(2.63)
Теперь нужно отметить, что возможен еще один очень
простой, хотя ранее даже не упомянутый периодический
режим движения — малые вынужденные колебания, не
сопровождаемые ударами {режим III). Такие вынужден-
ные колебания описываются выражением
х = A sin {(dt + ср), (2.64)
§ 2.5] ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ 109
причем значение А определяется прежней формулой
(2.52). Разумеется, что такое движение возможно при ус-
ловии, что амплитуда колебаний | А | меньше зазора Д,
т. е. если
₽>1.
(2.65)
Мы не будем заниматься другими проверками возмож-
ностей существования рассматриваемых режимов. Оказы-
вается, что такие проверки не вносят никаких ограниче-
ний сверх только что найденных (см. [17]).
Следует подчеркнуть, что возможность существования
того или иного режима еще не означает его физической
реализуемости — для этого режим должен обладать свой-
ством устойчивости] возможные, но неустойчивые режимы
физически нереализуемы, так как достаточно любого, сколь
угодно малого возмущения такого режима, чтобы произо-
шло его «разрушение» и возник процесс приближения дви-
жения к иному, устойчивому периодическому режиму.
Напомним, что общий принцип анализа устойчивости
того или иного процесса движения (или, в частном случае,
равновесия) механической системы состоит в следующем.
Предполагается, что вследствие какого-либо возмущения
нарушен исследуемый процесс движения механической
системы и далее рассматривается происходящее после
этого возмущенное движение. Если выясняется, что воз-
мущенное движение остается в достаточной близости к
невозмущенному, последнее признается устойчивым.
Если же уклонение возмущенного движения от невоз-
мущенного увеличивается со временем, то невозмущенное
движение следует считать неустойчивым. Подробности
анализа устойчивости зависят от типа механической систе-
мы и от характера процесса ее движения, однако в' конце
концов всякое исследование устойчивости — это изучение
близости возмущенного движения к невозмущенному.
Не останавливаясь на выкладках, относящихся к на-
шей задаче (по этому поводу см. [17]), приведем оконча-
тельные результаты исследования устойчивости. Оказы-
вается, что режим I устойчив при X < 1, режим II — при
Л > 1, а режим III — всюду, где он возможен.
На рис. 2.13, а показаны найденные результаты для
случая, когда амплитуда возмущающей силы пропорцио-
нальна частоте возбуждения, а на рис. 2.13, б — для слу-
110
СШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл.
чая, когда амплитуда возмущающей силы постоянна. По
оси абсцисс отложены значения отношения частот —
= Х“х, а по оси ординат — наибольшие отклонения сис-
темы от положения равновесия в сторону ограничителя
(наибольшие отклонения в противоположную сторону мо-
гут иметь иные значения из-за асимметрии системы).
Криволинейные ветви определяют формально вычислен-
ные амплитуды безударных колебаний по режиму III (без
учета наличия ограничителя).
Подробно рассмотрим рис. 2.13, а (рис. 2.13,, 6J— ана-
логичен) и, прежде всего, обратим внимание на разметку
оси абсцисс. Жирными линиями здесь показаны проме-
жутки, которым соответствуют положительные значения
ctg(этА:/о), т. е. а^>0; на остальных промежутках а<0.
Ниже оси абсцисс римскими цифрами обозначены участ-
ки, в пределах которых существуют устойчивые режимы
/, II и III. Проследим за движением системы при посте-
пенном, весьма медленном возрастании частоты возбуж-
дения, начиная с ее нулевого значения (см. стрелки на
рис. 2.13, а). Сначала при относительно слабом возбуж-
дении до точки аг система будет совершать безударные ко-
лебания (режим III); при отсутствии значительных возму-
щений здесь не может произойти переход к режиму II,
§ 2.5]
ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ Ш
хотя на отдельных участках этот режим возможен (и ус-
тойчив). На участке от точки до точки а2 движение
происходит с ударами об ограничитель. Наибольшие от-
клонения равны Д, но движение практически не будет
вполне упорядоченным, регулярным, так как на этом уча-
стке режим I неустойчив. На участке а2а3 движение будет
следовать единственно возможному устойчивому режиму
Z, который при отсутствии значительных возмущений со-
хранится также и на участке а3а4. Точка а4 соответствует
равенству р = )Л1 + а2; правее этой точки условие (2.60)
нарушено, и режим I становится невозможным. Поэтому
в точке а4 происходит переход от режима/к безударному
режиму ZZZ, который и будет сохраняться при дальней-
шем возрастании частоты возбуждения.
Особенного внимания заслуживает последний участок
а3а4. Здесь система могла бы совершать безударные коле-
бания (по режиму III), но будучи введенной («затянутой»)
в виброударный режим I на предыдущем устойчивом
участке а2а3, она и правее точки а3 продолжает дви-
жение в том же режиме. Это явление называется затя-
гиванием.
В принципе те же явления можно наблюдать и в не-
сколько измененных условиях, например, в системах с
симметричными ограничителями. Иногда такие ограни-
чители вводят в системы виброизоляции для того, чтобы
не возникало чрезмерно больших амплитуд колебаний при
переходе через резонанс. При этом предполагается, что
после перехода через резонансный пик сразу же восста-
новится безударное движение. В действительности, как
показывает не только теория, но и натурные наблюде-
ния, возникающий при переходе через резонанс виб^оудар-
ный режим сохраняется и при более высоких частотах
возбуждения — система оказывается «затянутой» в такой
режим значительно дольше, чем это можно ожидать, опи-
раясь на элементарные представления линейной теории
колебаний. Описанное явление «стуков об упоры» порой
вызывает немало забот у инженеров (по этому поводу см.
книгу [18], в которой вопрос рассматривается с учетом
трения в системе).
&2.5.4. Отметим, что выкладки сохраняются и в случае
системы с отрицательным зазором (т. е. с натягом), но
нужно считать, что Д < 0; такова, например, система.
112 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ G ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
показанная на рис. 2.4, если на груз действует гармони-
ческая возмущающая сила.
К задаче Русакова — Харкевича можно прийти и при
анализе многих виброударных систем с кинематическим
Рис. 2.14.
об ограничитель принимает
возбуждением. Так, для
показанного на рис. 2.14
вибромолотка сила упру-
гости пружины равна
с (X — х) и если X =
= Xosin (со£ + <р), то диф-
ференциальное уравнение
движения между ударами
вид
£ +к2х = &2Хо sin (coi + ф). (2.66)
Заново заниматься его решением не нужно, так как после
замены Ро = cXQ оно переходит в уже исследованное
уравнение (2.50).
2.5.5. Обратимся к случаям, когда ударяемое тело
обладает подвижностью, а именно к виброударным маши-
нам с подбрасыванием (рис. 2.11). Если масса подбрасы-
ваемого груза мала по сравнению с приведенной массой
подвижных частей машины,
то движение платформы мож-
но считать заданным не толь-
ко при кинематическом (см.
рис. 2.11, б), но и при сило-
вом возбуждении (рис. 2.11,а).
Если же масса груза соизме-
рима с массой машины, то при
силовом возбуждении движе-
ние платформы оказывается
зависящим от массы груза и
коэффициента восстановления.
зом лишь простейшего случая, когда движение платфор-
мы задано и не зависит от того, есть ли груз на платфор-
ме и как он движется (рис. 2.15). Примем, что верх плат-
формы движется поступательно в вертикальном направ-
лении по закону
ж
Рис. 2.15.
Ограничимся здесь анали-
т) = A sin (cat + ф),
(2.67)
§ 2.5]
ПОВТОРНЫЕ УДАРЫ В НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ ИЗ
где величины Лио заданы, а значение ср зависит от вы-
бора^начала отсчета времени и будет определено ниже.
В записи (2.67) принято, что отсчет координаты ц ведется
от среднего уровня верха платформы. Так как по смыслу
задачи условия соударения нужно формулировать для
относительных скоростей, то удобно все уравнения запи-
сывать для относительного движения груза, т. е. в коор-
динатной системе, поступательно движущейся вместе с
платформой. При записи дифференциального уравнения
движения груза нужно к силе тяжести — mg присоеди-
нить также переносную силу инерции — тх\\
ту = —mg + тпЛсо2 sin ((dt + ф), (2.68)
’71,0 у — относительная координата груза. Таким образом,
находим
у = —gt — A (d cos ((dt + <р) + С, (2.69)
у == —— Л’sin ((dt + ф) + Ct + D. (2.70)
Принимая за начало отсчета времени момент какого-либо
отскока груза от платформы и считая, что длительность
цикла свободного движения груза равна периоду колеба-
ний платформы 2л/со, получим три условия для опреде-
ления постоянных
у (0) = 0, у = 0, - Ry = у (0). (2.71)
С помощью выражений (2.69) — (2.71) находим
С = ng/d), (2.72)
(2-73)
<2-74)
Двузначность результата для фазового угла ф и пос-
тоянной D означает, что возможны два разных режима
движения груза, удовлетворяющие всем сформулирован-
ным выше условиям и различающиеся только фазами в
моменты встречи груза с платформой. В режиме I удары
происходят в моменты, когда платформа находится выше
среднего уровня (рис. 2.16), а в режиме II — когда она
находится ниже него (этот режим на рисунке не цоказан).
114 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл.
Обратимся к выяснению возможности существования
найденных режимов. Рассматривая соотношения (2.73) —
(2.74), замечаем, что условие вещественности/) (совпадаю-
щее с условием cos ф < 1) и есть условие возможности
существования обоих исследуемых виброударных режимов.
Рис. 2.16.
Введем отношение п = Леа2/#, называемое перегрузкой^
тогда условие существования этих режимов примет вид
1 — R /П
п л р (2.75)
Мы получили физически ясный результат: оба виброудар-
ных режима возможны лишь при достаточно большом зна-
чении перегрузки. С другой стороны, из (2.69) можно
найти начальную скорость груза
(2.76)
которая увеличивается при уменьшении частоты процес-
са и, соответственно, перегрузки п. Таким образом, с
практической точки зрения при конструировании вибро-
подбрасывателей целесообразно перегрузку выбирать
возможно меньшей, но с обязательным учетом возникаю-
щего при этом ограничения (2.75). Кстати, отметим, что
выполнение условия (2.75) облегчается с увеличением
коэффициента восстановления R.
Анализ устойчивости исследуемых режимов приводит
к заключению, что показанный на рис. 2.16 режим I
(sin ф 0) устойчив, а режим II (sin <р < 0) неустойчив;
таким образом, при каких бы произвольных условиях не
начинался процесс подбрасывания, он будет от цикла к
циклу неограниченно приближаться к единственному
устойчивому режиму I.
§ 2.6]
косойДАР
115
§ 2.6. Косой удар
2.6.1. Выше в настоящей главе рассматривался случай
прямого удара, к которому, в самом деле, приводятся
многие прикладные задачи. Однако немалый интерес (в
частности, и с точки зрения при-
ложений) представляет также бо-
лее общий случай, когда при со-
ударении тел между ними раз-
виваются ударные импульсы пе
только г^вдоль£ линии удара, но и
перпендикулярно к ней, т. е. в
плоскости, касательной к соуда-
ряющимся поверхностям в точке
контакта.
Рассмотрим в качестве простого
примера соударение двух тел, каж-
дое из которых совершает плоское
поступательное движение (рис.
2.17). Ось у координатной системы
направим параллельно линии]удара и обозначим Sn и St —
модули нормального и касательного ударных импуль-
сов. Тогда в проекциях на ось у получим
тА (уА+ — pa-) = + Sn, тв (vB+ — ув_) = — Sn, (2.77)
а в проекциях на ось х — аналогичные соотношения, в
которых скорости тел обозначены буквой и,
тА (иА+ — иА_) = + Sh 7ПВ (ив+ — ив_) = — St. (2.78)
Присоединим сюда гипотезу Ньютона, приняв
vA+ — vB+=—R (уА~ — рв_). (2.79)
Так как число уравнений на единицу меньше числа неиз-
вестных (ua+, ^а+, ив+, рв+, 5n, 5f), то для замыкания
системы уравнений необходимо ввести еще одно соотно-
шение, каким-либо образом описывающее свойства ка-
сательного взаимодействия тел при ударе.
Переходя к гипотезам о касательном взаимодействии
тел при соударениях, прежде всего отметим два предельно
упрощенных (и прямо противоположных) представления:
1) поверхности тел в точках ударного контакта абсо-
лютно гладкие и поэтому касательный импульс St равен
пулю;
116 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
2) поверхности тел в точках ударного контакта абсо-
лютно шероховатые, так что при ударе относительная
скорость в касательном направлении обращается в нуль
(иА+ — ив+ = 0).
Эти представления описывают крайне идеализирован-
ные условия соударения и столь же далеки от универсаль-
ности, как и гипотезы, которые были в свое время сформу-
лированы Марци и Гюйгенсом для задачи о прямом цент-
ральном ударе (см. выше § 0.4).
2.6.2. Более удовлетворительна гипотеза Рауса
(1877 г.), согласно которой связь между величинами ка-
сательного и нормального импульсов при ударе формули-
руется подобно закону Кулона для трения,
St<fSn.
(2.80)
где / — динамический коэффициент трения, характеризу-
ющий свойства поверхностей соударяющихся тел; конечно,
этот коэффициент может не совпадать с коэффициентом
трения при безотрывном относительном скольжении тел.
Знак неравенства относится к случаям, когда касательный
импульс настолько мал, что проскальзывание тел не про-
исходит. При наличии проскальзывания, т. е. при сохра-
нении отличной от нуля относительной скорости, в (2.80)
должен быть принят знак равенства; из уравнений (2.78)
— (2.80) можно найти конечные приращения скоростей в
касательном направлении
ua+ — uA- = f (ул+ — ра_) , ив+ — ив_ = / (рв+ — ув_). (2.81)
Если тело ударяется о неподвижную плоскость (уВ- = ув+ —
= 0), то, полагая уа+ — — Rva- и опуская индекс А,
найдем приращение (отрицательное) скорости в касатель-
ном направлении:
Ди = и+ — и_ = — / (1 + R) v_. (2.82)
Здесь направление предударной скорости следует считать
положительным, т. е. у» 0. Выражением (2.82) можно
пользоваться при достаточно большом значении и_, когда
| Ди | < и_, т. е. если f (1 + R) v_ < u_. Таким образом,
согласно (2.82) изменение скорости тела в касательном
направлении пропорционально предударному значению
скорости вдоль линии удара.
§ 2.6J
КОСОЙ УДАР
117
Для оценки следствий, вытекающих из гипотезы Рау-
са («/-гипотезы») полезно рассмотреть усложненную зада-
чу Мак-Миллана, считая, что перед процессом повторных
падений и отскоков тело обладает некоторой начальной
горизонтальной скоростью и0. Согласно сказанному в
п. 2.4.1, в момент, предшествующий n-му удару, вертикаль-
ная скорость тела равна Л'7-1 р0 и по (2.82) находим изме-
нение горизонтальной скорости при n-м ударе:
Ьип = - / (1 + R) Rn~x р0. (2.83)
Общая потеря горизонтальной скорости после N ударов
составляет
2 ^ип
п=1
(2.84)
При бесконечно большом числе ударов, когда N оо,
общее значение потерянной горизонтальной скорости
равно fv0 Здесь могут встретиться два случая. Если
значение достаточно велико и выполняется неравенство
(2.85)
то после завершения вертикальных ударов тело будет
продолжать горизонтальное движение, т. е. скользить по
неподвижной плоскости. Если же неравенство (2.85) на-
рушено, то из (2.84) можно найти конечное число ударов
N, после которого горизонтальное движение тела прекра-
щается.
Таким образом, из гипотезы Рауса следует, что гори-
зонтальное движение может прекратиться раньше, чем
вертикальное. В общем это не всегда подтверждается
наблюдениями и может служить соображением против
названной гипотезы; несколько иные доводы против при-
менения гипотезы Рауса выдвигались в связи с решением
задач вибротранспортирования, в которых рассматрива-
ется процесс периодических соударений тела с колеблю-
щейся плоскостью (см. [21]).
2.6.3. Конечно, гипотеза Рауса — не единственное
средство, позволяющее замкнуть систему уравнений за-
дачи о косом ударе. Существуют и другие предложения;
так, в частности, иногда пользуются столь же простой,
118 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл.
хотя в принципе совершенно иной гипотезой, согласно
которой изменение относительной касательной скорости
Ди соударяющихся точек пропорционально предударно-
му значению этой скорости и
&и = — %и_, (2.86)
где % — коэффициент, значение которого определяется
только свойствами поверхностей соударяющихся тел в
точках соударения *). Чаще всего «Х-гипотеза» (2 86) при-
меняется в задачах с повторными соударениями, возника-
ющими в теории вибротранспортирования.
Вновь обратимся к задаче о повторных ударах о плос-
кость тела, имеющего начальную горизонтальную скорость
uQ. Вводя индекс п, определяющий номер удара, из (2.86)
можно найти
&ип = _ % (1 __ (2.87)
затем общее изменение горизонтальной скорости после
бесконечно большого числа соударений
>2j Ьип = — Xu0 2j (1 — X)”-1 = - (1 — X)u0 (2.88)
п=1 n=L
и значение остаточной горизонтальной скорости
uQ — (1 — tyii'o = Zu0. (2.89)
Таким образом, в отличие от результатов, полученных
из гипотезы Рауса, тело, независимо от соотношения меж-
ду начальными скоростями и у0, после бесконечно боль-
шого числа соударений не остановится, а будет продол-
жать движение, скользя вдоль плоскости. В целом, это
представляется, пожалуй, более естественным, чем ре-
зультат, полученный из гипотезы Рауса при нарушении
соотношения (2.85).
Анализ экспериментальных данных привел к заключе-
нию, что «Х-гипотеза» (2.85) применима при небольших
значениях скоростей и и v. В други?; случаях пользуются
*) Эта гипотеза по смыслу близка к гипотезе (0.13) для слу-
чаев пробивания. В самом деле, согласно (2.86) послеударная отно-
сительная скорость равна
и+ = и_ Ц- Ди = и_(1 —X),
и, если положить 1 — X = R, то получится соотношение (0.13).
§ 2.6]
КОСОЙ УДАР
119
«/-гипотезой» Рауса. Впрочем, иногда могут оказаться
уместными более сложные представления, когда изменение
относительной скорости Ди одновременно связывается
как с относительной скоростью v, так и с относительной
скоростью и (см. [21]).
2.6.4. Среди практических задач, связанных с пробле-
мой косого удара, весьма важной является задача о виб-
ротранспортировании. Основной принцип вибротранспор-
тирования состоит в том,
что рабочий орган вибро-
транспортера (виброкон-
вейера) — лоток совер-
шает заданное периодиче-
ское движение с возвра-
щением в исходное состоя-
ние после каждого цикла,
тогда как груз за каждый
цикл перемещается вдоль
лотка в одном определен-
ном направлении. Враще-
ние груза будем считать
отсутствующим либо, по
крайней мере, несущест-
венно влияющим на основ-
ное движение (в подобных
случаях груз иногда на-
зывают плоской частицей).
Обратимся к одной из возможных схем вибротранспор-
тирования, в которой наклонный лоток совершает посту-
пательное колебательное движение, причем все точки
лотка движутся по параллельным прямым, составляющим
некоторый угол с осью лотка (рис. 2.18, а). Как будет
установлено ниже, при определенных условиях существует
режим движения груза вверх по лотку, состоящий из оди-
наковых этапов свободного полета, разделенных момен-
тами мгновенных ударов груза о лоток. Существуют и
иные режимы движения груза вверх по лотку, в частности,
такие, когда этапы свободного полета чередуются с эта-
пами совместного движения груза и лотка, или еще более
сложные режимы, содержащие также и этапы безотрыв-
ного скольжения груза по лотку. Полная классификация
всевозможных типов движения с учетом разнообразных
120 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
вариантов чередования этапов дана в книге [8], где также
найдены соответствующие периодические режимы^и ис-
следована их устойчивость.
Ниже будет рассматриваться лишь один из простей-
ших случаев вибротранспортирования, когда контакты
груза с лотком представляют собой мгновенные акты соу-
дарения. По этому признаку процесс часто называют
режимом непрерывного подбрасывания *).
Обозначим через а угол наклона лотка к горизонту
и введем две прямоугольные системы координат: непод-
вижную систему а также параллельную ей, связанную
с лотком, поступательно движущуюся систему ху (см. рис.
2.18, б). Неподвижную ось J- направим вдоль лотка в его
среднем ноложении. Начало подвижной системы О сов-
местим с точкой, в которой происходит какое-либо одно
из соударений груза с лотком, так что точка Ох определяет
среднее положение начала подвижной системы. Направ-
ление вибрации ОгО составляет угол р с осью х.
Примем, что движение точки О вдоль направления
вибрации происходит по закону A sin (о>£ + <р). Таким
образом, переносное движение описывается выражениями
£ = A sin (of + <р) cos Р, т] = A sin (cof + <р) sin р.
(2.90)
Проекции переносного ускорения на оси х, у равны
| = — А о2 sin (cd£ + <р) cos Р,
т| = — А о2 sin (cd£ + ф) sin р.
(2.91)
Рассмотрим свободное движение груза в подвижной
координатной системе ху. При записи дифференциальных
уравнений относительного движения нужно присоединить
к проекциям силы тяжести груза — mg проекции пере-
носной силы инерции
тп& = — mg sin а 4- тпАсо2 sin (cof 4- ф) cos [3, 1
my = — mg cos а 4- mAco2 sin (pt 4- ф) sin [3. f (2-92)
*) В применении к дискретному процессу это наименование
вряд ли удачно,
§ 2.61
КОСОЙ УДАР
121
Интегрируя (2.92), получаем
х = — gt sin а — Асе cos (coi ф) cos 0 -j- Ci, 1
у = —gtcos a— A® cos (co£ + <p) sin £ + Ca, J
x = — sin а — A sin (at + ф) cos P + Cxt 4- Z>i,
у = cos а — A sin (cof + ф) sin P + CV + -Da-
(2.94)
Как и в рассмотренных выше задачах, исследуем перио-
дический режим соударений с периодом т =• 2л/со колеба-
ний лотка. Кроме гипотезы Ньютона, примем для каса-
тельного соударения «Х-гипотезу» в виде (2.86). Тогда для
определения начальной фазы <р и четырех постоянных С1$
С2, Dn D2 служат следующие три кинематических ус-
ловия:
х (0) = о, у (0) = 0, у (т) = 0,
и два условия соударения
х (0) — х (т) = — Кх (т), у (0) = — Ry (т).
С помощью этих условий находим
л cos al — R
cos ср ------------г-д, , -p-,
T n sm p 1 + R ’
r ng . Г 1___________1 — Д
1 ~ co Sin a Lg a tg P 1 + R
r» ng
C2 = cos a,
CO
(2.95)
(2.96)
(2.97)
D
D.
л cos а 1 — Д~|2
п sin р 1 + R J 1
л cos al — Я-!2
п sin 3 1 -j-
Как уже отмечалось, наша задача имеет много общего
с задачей о подбрасывании, рассмотренной в п. 2.5.5. Если
принять, что лоток горизонтальный (а = 0), а направ-
ление вибрации — вертикальное (Р = л/2), то формулы
(2.97) переходят в соответствующие выражения (2.72) —
(2.74).
122 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЬ! НЬЮТОНА Гл.
Исследуемое виброударное движение возможно при
условии
. соз ос 1 —R /съ
п > л . д-. . -а- . (2.98)
sin Р 1 + R ' '
Отсюда видно, что чем больше углы аир, тем легче это
условие выполняется.
Отметим, что выражениями (2.97) определяются два
виброударных режима, различающихся только фазами <р;
можно показать, что устойчив только один из этих режи-
мов (соответствующий знаку плюс в формуле для DJ.
За меру эффективности процесса вибротранспортиро-
вания естественно принять среднюю скорость движения
груза вдоль лотка
х(г) — я(0) . л . Г 1 1—R 2 — АЛ/оппч
р == —------— = Лео — sin а 7---т-т. р------7— .(2.99)
т п L tgа tg Р 1 + R J
Отсюда видно, что в зависимости от значений параметров,
скорость может оказаться положительной (движение вверх
по лотку) или отрицательной (движение вниз по лотку).
Для того чтобы груз двигался вверх по лотку (и 0),
угол вибрации должен удовлетворять неравенствам
<2Л00>
Если угол вибраций задан, то условие движения груза
вверх по лотку будет относиться к углу наклона вибро-
конвейера а:
0<tga<-Arl^24I. (2.101)
Между прочим, на этих неравенствах можно построить
методику опытного определения коэффициента %. Посте-
пенно увеличивая в экспериментах угол а, можно уста-
новить то его наибольшее значение, при котором прекра-
щается движение груза вверх. По этому значению из
(2.101) — с заменой знака неравенства на знак равенст-
ва — сразу вычисляется величина X.
Вернемся теперь к формуле (2.99). Из нее можно за-
ключить, что для увеличения средней скорости транспор-
тирования целесообразны возможно меньшие значения
угла вибраций р. Однако условие (2.98) ставит этому пре-
дел: наименьшее возможное значение угла (3, удовлет-
воряющее условию существования рассматриваемого
8 2.7]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОГО УДАРА
123
режима, определяется из равенства
sin ₽. = cos а . (2.102)
Если это значение подставить в формулу (2.99), то
получится максимально возможная скорость транспор-
тирования груза вдоль лотка:
Vmax = Аю—1|/ \ cos2 а---— sin а .(2.103)
Практически недопустимо задавать режим, находящийся
на границе области существования и, чтобы был обеспе-
чен некоторый запас, угол Р нужно принимать несколько
большим, чем это дает формула (2.102); при этом значение
скорости v окажется меньшим, чем по выражению (2.103).
С помощью выражения (2.99) нетрудно изучить влияние
на скорость v других параметров системы, в частности,
максимальной перегрузки м, максимальной скорости
лотка Ло) и т. д.
§ 2.7. Общий случай плоского удара
2.7.1. Рассмотрим соударение двух тел, А и В, кото-
рые совершают произвольное плоское движение до и пос-
ле удара (рис. 2.19). Введем неподвижную систему коор-
динат ху, направив ось у парал-
лельно линии удара, а также две
поступательно движущиеся коор-
динатные системы, начала которых
находятся в центрах тяжести тел,
а оси параллельны осям х и у не-
подвижной системы координат.
Проекции абсолютных скоростей
центров тяжести обозначим через
ад, и в (на ось х) и через vA, vB
(па ось ?/); угловые скорости тел
обозначим через (Од и сор. Как и
выше, дополнительными индекса-
ми — и + будем отмечать пред-
и послеударное состояния. Моменты инерции тел относи-
тельно осей, проходящих через центры тяжести, и массы
тел обозначим соответственно через 1А, 1В и тпд, тв.
Точки ударного контакта обозначим буквами А* и
124 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
(2.104)
виде
тА (иА+ — иА_) = 5Х,
тв (ЦВ+ — ив_) = —5Х,
5*, а хА, уА, хв, У в — координаты этих точек в соответст-
вующих подвижных координатных осях. Скорости точек
Л* и В* в проекциях на оси х и у равны
иА = иА — COZ/a, VA = VA + (йАХА,
и в — ив — ®вУв, vB = vB 4~ <&вхв-
Пусть Sx и Sy — величины составляющих ударного им-
пульса, параллельных осям х и у; тогда уравнения коли-
честв движения и моментов количеств движения для каж-
дого из тел запишутся в
тА (vA+ — va-) = Syi
тв (vB+ — vb-) = —• Sv,
IА («А+ — (Oa-) = — S*yA + SyXA,
I в (®в+ — ojb-) = — SxyB — SyxB.
> (2.105)
В шести уравнениях (2.105) содержится восемь неиз-
вестных — шесть проекций послеударных скоростей и две
величины Sx и Sy. Для замыкания системы уравнений ис-
пользуем гипотезу Ньютона
vA+ — vB+ = —R (vi_ — vb-) (2.106)
и одну из гипотез о касательном взаимодействии напри-
мер, гипотезу Рауса
K|</Sv. (2.107)
Из восьми соотношений (2.105) — (2.107) можно найти нор-
мальный импульс
__ (1 + R)(vB_ + ав_хв — vA_ — соа*а)
1 1
, (2.108)
mA mB lA
через который выражаются и все остальные неизвестные Sx = fSy,
, iSV ил+ = иА~ + /-S„ = VA~ + тА
UB+ = UB- — —- ' тв VB+ = vB- — — 5 fnB
0\1+ s,, ъ— 1 А — /.Ул), (0в+ = Wb- S 7^ (/У в J в — Хв)-
(2.109)
§ 2.7] ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОГО УДАРА 125
Это решение записано для случая, когда между телами
происходит проскальзывание в касательном направлении,
т. е. когда (2.107) имеет вид равенства.
Здесь необходимо подробнее остановиться на двух во-
просах: о записи гипотезы Ньютона в форме (2.106), свя-
зывающей относительные скорости точек А* и В* (а не от-
носительные скорости центров тяжести), и о последова-
тельности решения системы соотношений (2.105) — (2.107),
содержащей одно неравенство (2.107).
2.7.2. В силу неоднократно отмеченной произвольно-
сти гипотезы Ньютона формально ею можно связать отно-
сительные скорости не только точек ударного контакта Л*
иВ*, но и других точек соударяющихся тел. В частности,
иногда предлагается применять гипотезу Ньютона для от-
носительных скоростей центров тяжести
Уд+ — ив- = —R (уA- —vB_). (2.110)
Однако есть одно соображение, заставляющее предпочесть
этой записи гипотезу Ньютона в форме (2.106). Существо
дела может разъяснить следующая предельно упрощенная
задача.
На горизонтальную гладкую плоскость падает тело,
движущееся до соударения поступательно со скоростью
р_. Требуется найти послеударное состояние тела, если
известно, что после удара движение
а кинетическая энергия тела —
неизменной.
Обозначим: М — масса тела,
/ — его момент инерции отно-
сительно оси, проходящей через
центр тяжести перпендикулярно
к плоскости движения, S — ве-
личина импульса реакции гори-
зонтальной плоскости при уда-
ре, а — расстояние от точки
остается плоским,
удара до вертикали, проходя-
щей через центр тяжести, и и+ — вертикальные проек-
ции скорости центра тяжести до и после удара, со+ — угло-
ная скорость тела после удара (рис. 2.20).
Из уравнений удара
Sa — Zcor, 5 -- М (v+ —v_)
126 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ G ПОМОЩЬЮ ГИПОТЕЗЫ НЬЮТОНА [Гл. 2
находим
®+=4±(^+-^)- 42.111)
Образуем теперь выражения кинетической энергии тела
до и после удара и приравняем их; тогда получится урав-
нение
vl = + е (р+ - р_)2, (2.112)
в котором
8 = Ма2/1. (2.113)
Из (2.112) находим послеударную скорость центра тя-
жести
= (2.114)
Таким образом, если связывать гипотезу Ньютона со ско-
ростями v_ и v+ центра тяжести, то согласно (2.114) при-
1 — 8
дется считать, что в рассматриваемом случае Н = £ ,
т. е. коэффициент восстановления отличается от единицы
(при а =/= 0), хотя по самой постановке задачи рассеяния
энергии при ударе не происходит. Как уже было сказано
в § 0.4, в некоторых случаях коэффициент R определяет
не столько потерю механической энергии, сколько пере-
ход одного вида кинетической энергии в другой; именно
так и получается в рассматриваемом случае из-за приме-
нения гипотезы Ньютона к скоростям центров тяжести.
Для того чтобы избежать такой «перегрузки» понятия
о коэффициенте /?, достаточно формулировать гипотезу
Ньютона не для центра тяжести, а для точки ударного
контакта. Согласно (2.111) и (2.114) находим
ЛЛа Г 1 — 6 "I 2Ма
[-7+7= - Ц1+ёГи-- <2-115>
Следовательно, по (2.104) послеударная скорость точки
ударного контакта
ид+ = v+ + = — v_ (2.116)
равна по величине предударной скорости. Это означает,
что применяя гипотезу Ньютона к скоростям точки удар-
ного контакта, мы можем в данной задаче принять, что
§ 2.7]
ОПЩИЙ СЛУЧАЙ ПЛОСКОГО УДАРА
127
R — 1, как это и естественно считать в задаче об абсо-
лютно упругом ударе.
В общем случае соотношение (2.106) также предпочти-
тельнее соотношения (2.110).
2.7.3. Ввиду того, что система (2.105) — (2.107) содер-
жит одно неравенство, решение задачи для общего случая
плоского удара целесообразно вести в следующем поряд-
ке. Вначале нужно предположить, что относительная ско-
рость иА+ — и*в+ при ударе обращается в нуль и вместо
(2.107) принять согласно (2.104)
МА+ - UB+ = U В- иА~ (®В+- ®В-) У В + (®А+~ ®А-) У А = 0’
(2.117)
Далее из системы уравнений (2.105) и (2.106) нужно найти
Sy и Sх- Если найденные результаты удовлетворяют не-
равенству (2.107), то предположение (2.117) подтверждено
и на этом решение заканчивается. Если же будет обнару-
жено, что неравенство (2.107) не удовлетворяется найден-
ными значениями Sx и S у, то нужно отказаться от предпо-
ложения (2.117). т. е. признать наличие проскальзывания
и заново решать задачу, пользуясь уравнениями (2.105) —
(2.107) с заменой знака неравенства на знак равенства
в соотношении (2.107).
Глава 3
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
§ 3.1. Вступительные замечания
В этой главе рассматриваются решения задач об ударе
с помощью дискретных моделей. Обычно в таких моделях
часто выделяются абсолютно твердые тела (или матери-
альные точки), являющиеся носителями инерционных
свойств, и безынерционные деформируемые элементы,
в которых отражаются упругие, вязкие и пластические
свойства реального объекта. Дискретные модели этого
типа, которым посвящена большая часть настоящей гла-
вы, занимают промежуточное положение между моделью
абсолютно твердого тела, используемой в концепции
Ньютона, и моделями деформируемого тела с распределен-
ными параметрами. Впрочем, как уже было сказано, к дис-
кретным моделям в широком смысле слова относятся
вообще любые модели с конечным числом степеней свобо-
ды, в частности, модели, основанные на идее Рэлея о
предварительном задании формы (такие модели рассмат-
риваются в § 3.3).
В любом конкретном случае при моделировании де-
формируемых элементов приходится решать вопросы ка-
чественного и количественного характера: 1) какие свой-
ства реального объекта существенны и должны быть отра-
жены в модели; 2) как эти свойства аналитически описать.
Лишь после ответов на эти вопросы начинается решение
задачи об ударе в собственном смысле слова.
В связи с первым вопросом отметим, что принятые в те-
ории удара приемы моделирования в общем совпадают
с теми, которые используются в технической теории коле-
баний дискретных систем. В принципе модели деформируе-
мых элементов можно разделить на две группы: одноком-
§ 3 11
вступительные замечания
129
понентные модели, обладающие каким-либо одним
свойством (упругие, вязкие или пластические элементы);
многокомпонентные модели, представляющие собой комби-
нации однокомпонентных моделей и обладающие более
чем одним свойством.
Ответ на второй вопрос дается в виде зависимости меж-
ду приложенной к элементу силой и вызываемым этой
силой кинематическим эффектом (перемещением, ско-
ростью), т. е. характеристикой элемента.
Таблица 4
Однокомпонентные модели деформируемых элементов
В таблице 4 приведены однокомпонентные модели, их
символические изображения и соответствующие характе-
ристики; в последнем столбце обозначено: х — перемеще-
ние, х — скорость, Р — величина силы. Особенности боль-
шинства этих моделей ясны из таблицы и не требуют до-
ли 1ителы1ых пояснений. Нужно, однако, отметить одну
особенность модели № 5. Многие конструкционные ма-
। с риалы (мягкая углеродистая сталь, некоторые алюми-
ниевые и титановые сплавы) при динамическом деформиро-
% И. Г. Пановко
130
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
1Гл. 3
вании в пластической области можно считать жесткоплас-
тическими, т. е. следующими диаграмме в последнем столб-
це таблицы для модели № 5, если по осям отложены де-
формации и напряжения; при этом горизонтальный уча-
сток соответствует состоянию текучести, а его ордината —
пределу текучести. Как показывают опыты, предел теку-
чести не является постоянной для данного материала вели-
чиной, а зависит от скорости деформирования и заметно
увеличивается с ее возрастанием. Применительно
Таблица 5
Многокомпонентные модели деформируемых элементов
§ 3.2]
МНОГОМАССОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
131
к данной в таблице диаграмме это означает, что величи*
на PQ может оказаться зависящей от скорости процесса.
Подробнее этот вопрос освещен ниже в § 3.4.
Некоторые многокомпонентные модели приведены
в таблице 5. Чаще всего используются модели №№ 1—3,
хотя иногда целесообразнее применение более сложных мо-
делей, например, №№ 4—6. Характеристики моделей
№№ 2, 5 и 6, содержащих элемент сухого трения, пред-
ставлены без аналитических выражений в особенно на-
глядном в подобных случаях графическом виде, причем
штрихами показаны линии разгрузки.
§ 3.2. Многомассовые модели с линейными
упругими деформируемыми элементами
3.2.1. В излагаемых ниже решениях задач об ударе мы
будем исходить из моделей, содержащих абсолютно твер-
дые тела, связанные между собой линейными упругими
элементами. В частности, с помощью таких моделей можно
приближенно решить задачу о продольном ударе одно-
родного упругого стержня о неподвижную преграду (см.
рис. 0.12, д). При этом жесткости упругих элементов обыч-
но подбираются с таким расчетом, чтобы общая^статиче-
ская продольная жесткость модели была равна соответст-
вующей жесткости данного стержня EFH (Е1— модуль
упругости, F — площадь сечения стержня, I — длина
стержня). В простейшем варианте модель содержит один
деформируемый элемент, жесткость которого равна
с = EF/1, (3.1)
и одно твердое тело, масса которого равна массе стержня
т = pFZ (3.2)
(р — плотность материала стержня).
Более точные результаты можно получить при помощи
многомассовых моделей, в частности, состоящих из не-
скольких твердых тел с равными массами и такого же чис-
ла упругих элементов с равными жесткостями. Если это
число равно п, то жесткость каждой пружины определяет-
ся выражением
с = nEFll, (3.3)
5*
132
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
а масса каждого из твердых тел — выражением
т = pFUn. (3.4)
Формула (3.3) вытекает из известного равенства, относя-
щегося к системе последовательно соединенных упругих
элементов:
(с; — коэффициент жесткости z-го элемента), если поло-
жить с± = с2 = = сп = с. Таким образом, с увеличе-
нием числа однородных элементов модели, жесткости де-
формируемых элементов
увеличиваются, а массы
тел уменьшаются.
3.2.2. Для одномассо-
вой системы (рис. 3.1)
задача совершенно эле-
ментарна (см. также
Рис- зл- пп. 1.6.1-1.6.3). Если
обозначить через v пред-
ударную скорость тела и отсчитывать время и перемеще-
ния от состояния, соответствующего первому контакту уп-
ругого элемента с плоскостью, то движение тела опишет-
ся выражением
(3.6)
В момент наибольшего сближения тела с плоскостью
перемещение равно (с учетом выражений (3.1) и (3.2))
•'’ пах = V ~ = Vl ]/". (3.7)
Соответственно этому для наибольшей силы сжатия уп-
ругого элемента имеем
Nшах — С^тах — vF V
(3-8)
что совпадает с точным решением, основанным на пред-
ставлении стержня в виде системы с распределенными
параметрами (см. введение).
Для того чтобы определить продолжительность удара,
нужно воспользоваться законом движения (3.6), имея
3.2]
МНОГОМАССОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
133
II виду, что отрыв упругого элемента от плоскости соот-
ветствует моменту, когда сила в этом элементе обращается
в пуль. Таким образом, находим
t = = (з,9)
то заметно (на 57%) отличается от точного значения.
Выражения (3.7) и (3.8) можно найти, не пользуясь
законом движения (3.6), а исходя из простого энергети-
ческого соотношения — равенства кинетической энергии
Рис. 3.2.
тола в предударный момент и потенциальной энергии уп-
ругого элемента в момент наибольшего сближения тела
с плоскостью
тг;2 _ ca?niax
2 “ 2
(3.10)
Однако такое решение не позволяет найти длительность
контакта упругого элемента с плоскостью.
Как было пояснено во введении (см. § 0.6), при ударе
стержня с распределенными параметрами возникает волна
сжатия, причем деформации и напряжения в любой дан-
ный момент существуют лишь в части стержня, размеры
которой постепенно (со значительной скоростью) увели-
чиваются. Схема на рис. 3.1 не дает возможности отразить,
хотя бы в грубых чертах, этот процесс.
3.2.3. Посмотрим теперь, что может дать исследование
многомассовой модели, состоящей из п одинаковых тел
массами т = pFUn, соединенных одинаковыми упругими
зломентами с жесткостями с = nEF/l (рис. 3.2). Положим,
что вначале эта многомассовая цепочка движется как одно
целое вдоль своей оси со скоростью v, а затем в некоторый
момент, принимаемый далее за начало отсчета времени,
передний конец головного упругого элемента внезапно оста-
навливается. Последующее движение тел описывается од-
134
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
нородной системой уравнений:
тйг — с(и2 — Ui) = О,
тй2 — с (и3 — 2и2 + щ) = О,
тй3 — с(и± — 2и3 + и2) = О,
тйп_х — с (ип — 2ип^ 4- un_2) = О,
тйп — с (— 2ип + un.i) = О,
(3.11)
в которых ulf и2, ., ип— перемещения, отсчитываемые
от положений, занимаемых телами в начальный момент
времени. Решение системы должно быть подчинено началь-
ным условиям
U1 (0) = и2 (0) = = ип (0) = 0, 1
й1 (0) = й2 (0) = = йп (0) = v. J
В дальнейшем изложении мы следуем [24]. Частное
решение системы (3.11) запишем в виде
ир = Ар sin kt (р = 1, 2, ., п), (3.13)
где к — постоянная, имеющая смысл собственной часто-
ты. Отметим, что решение (3.13) при любых значениях Ар
удовлетворяет первой группе начальных условий (3.12).
Подставляя (3.13) в (3.11), приходим к системе алгебраи-
ческих уравнений относительно постоянных Ар\
— тк2Xi — с (Л2 — Лх) = 0,
— тк2А2 — с (43 — 2А2 + Ai) = О’
— тк2А3 — с (4! — 2А3 + А2) = 0,
— тк2An-i — с (Ап — 2An-i -р Ап_2) = 0,
— тк2Ап — с (— 2Ап + Ап^) = 0.
(3.14)
Заметим, что все уравнения, кроме первого и последнего,
однотипны и могут быть записаны в виде
— тк2Ар — с (4р+1 — 2АР Ap-J = 0 (р = 2, 3, п — 1).
(3.15)
При надлежащем выборе величины р уравнения (3.15)
3.21
мйо1*омассовь1е Линейные модели
13b
удовлетворяются решением
Ар = a sin ppi, (3.16)
в котором а и pi не зависят от номера р. Действительно,
подставляя (3.16) в (3.15), приходим к равенству
-тк2 sin — с [sin (р + 1) pi — 2sin ppi +
+ sin (р — 1) pi] =0,
из которого после простых преобразований выпадают зави-
сящие от р слагаемые и следует простое соотношение
cos pi = 1 — тк212с, (3.17)
связывающее величину pi с собственной частотой. К тому
же результату можно прийти, если вместо (3.16) принять
Ар = b cos ppi, (3.18)
и поэтому решением системы (3.15) служит сумма
Ар = a sin ppi + Ъ cos ppi. (3.19)
Потребуем теперь, чтобы эта сумма удовлетворяла также
первому и последнему уравнениям (3.14). Подставляя
(3.19) в указанные уравнения, получим с учетом соотно-
шения (3.17):
2 (1 — cos pi) (a sin pi + b cos pi) +
4- [a sin 2pi + b cos 2pi — (a sin pi + b cos pi)] = 0,
2 (1 — cos pi) (a sin npi + b cos npi) 2 (a sin npi (3-20)
| b cos npi) + a sin (n — 1) pi + b cos (n — 1) pi] = 0.
Ота система однородных уравнений относительно постоян-
ных а и & имеет отличные от нуля решения при том усло-
вии, что равняется нулю определитель, составленный из
ее коэффициентов. После составления и развертывания
определителя приходим к трансцендентному уравнению
cos 1 pi = 0, (3.21)
которое имеет бесконечное количество корней:
Н. - тгй11 <3-22)
Таким образом, постоянные pi найдены. Вместе с этим
определяются и собственные частоты., Согласно (3.17)
i3e
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 5
первым п корням ps отвечают п значений к2:
<! - *•2....п>- <з-2з>
Последующие корни можно не рассматривать, так как
им соответствуют повторяющиеся значения функций
sin и собственной частоты ks. С помощью (3.13)
и (3.19) частное решение записывается в виде
Up) = (as sinрц5 + bs cosppis) sinkst (s = 1, 2,..., n). (3.24)
Переходя к определению величин а и &, отметим, что они
не независимы, а связаны однородными соотношениями
(3.20). Любое из них дает
(3.25)
так что вместо (3.24) частное решение, соответствующее
s-му корню (3.22), можно записать в виде
( 1 \
а с°з (- у ) К
t№ =-------—-—-— sin&s£ (s = 1, 2,..., п). (3.26)
sin 't-
суммируя все частные решения, получим общее решение
задачи
A a cos(p —
ир = У \sin kJ (р = 1, 2,..., ri). (3.27)
s==1 sin“2"
Теперь остается найти постоянные as из второй группы на-
чальных условий (3.12). Подставляя в (3.27) йр (0) = v
(р = 1, 2, ., п), с учетом (3.21) и (3.22) находим
5=1 (3.28)
Соотношения (3.28) образуют систему п алгебраических
уравнений относительно п неизвестных as, так что в прин-
ципе задача полностью решена.
§ 3.2]
МНОГОМАССОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
137
Для того чтобы получить явные выражения неизвест-
ных as из уравнений (3.28), удобно воспользоваться свой-
ством ортогональности собственных форм колебаний.
Пусть г = 1, 2, . . ., п. Умножим обе части (3.28) на
л (2г — 1) (2р — 1)
cos 2(2п + 1)—~ И пР0СУммиРУем все п полученных
таким образом равенств
v V л(2г —1)(2р —1) _
2 V с 2d 2(2п + 1) -
<3-29>
8=1 р=1
С помощью известной тригонометрической формулы
У со3(2р-1)ж = 7 8А^ (3.30)
ЫН л
Р=1
и очевидного тождества (при целых значениях г)
sin “T+i" “si"[(4- 2(2„‘+d)(2r-1)я] =
= <-1>”,“sWT4- <3'31>
можно левую часть соотношения (3.29) представить в виде
F, = (- (3.32)
(3.33)
Обращаясь к вычислению правой части (3.29), сразу отме-
тим, что внутренняя сумма при 5 г, очевидно, равна
пулю, поэтому правая часть (3.29) принимает вид
72-ar2_jCOS 2(2n + l)
P=i
Перейдем здесь от квадратов косинусов к косинусам двой-
ных углов; тогда по той же формуле (3.30) и равенству,
аналогичному (3.31),
. 2пл(2г— 1) . (2г— 1) л
Sin —6>--т ,—- = sin Н5—г—— ,
2п +1 2п + 1 ’
138
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
получим
= (3.34)
Подставляя (3.32) и (3.34) в (3.29) и возвращаясь к индек-
су 5 вместо г, находим простое выражение
(3-35>
Подставляя этот результат в (3.27) и заменяя т и с их
значениями (3.3) и (3.4), окончательно получим решение
в виде
ир = 2~<г”т7> У (~ 1)S~1 —~sin Г sin 'T'l»
P 2n(2n + l)2_l'> > [Xs ns L 2 J
S=1 sin —tg— (3.36)
где _____
= 2Z/p/£ (3.37)
— длительность удара при п->оо, т. е. для стержня с
распределенной массой (см, формулу (0.21)).
ё 3.2]
МЙОГОМАССОВЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ
13!)
О близости свойств рассматриваемой дискретной мо-
дели к свойствам стержня с распределенными параметра-
ми можно судить по вычислениям силы Nn в головном уп-
ругом элементе в зависимости от времени. Эти результаты
даны на рис. 3.3 для п = 1, 2, 5, 10; здесь = vF^Ep —
сила, развивающаяся при ударе сплошного стержня
Рис. 3.4.
(п—> оо). Как видно, с увеличением числа п результаты
вычислений достаточно быстро приближаются к резуль-
татам решения задачи об ударе стержня с распределенны-
ми параметрами.
Целям сопоставления может служить также рис. 3.4,
где в виде сглаженных кривых показано распределение
усилий Np по упругим элементам десятимассовой модели
(п = 10) для ряда моментов времени. Здесь можно видеть,
что при ударе дискретной модели в общих чертах воспро-
изводится волна сжатия, которая характерна для стержня
с распределенными параметрами. Однако, как видно,
с помощью дискретной модели в принципе невозможно об-
наружить конечную скорость распространения возмуще-
ний — усилия возникают во всех элементах сразу после
начала первого контакта системы с преградой. Впрочем,
140
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
при достаточно большом числе п в удаленных от преграды
упругих элементах усилия в начале процесса весьма ма-
лы, так что названный недостаток дискретной модели но-
сит скорее формальный характер и практического значе-
ния не имеет.
Можно отметить еще одно принципиальное различие
между рассмотренной дискретной моделью и однородной
моделью с распределенными параметрами: в первом слу-
чае при отскоке система уносит с собой некоторый запас
потенциальной энергии, обусловленный деформациями
упругих элементов, тогда как во втором случае стержень
в момент отскока не деформирован.
3.2.4. Изложенный в п. 3.2.3 способ можно применить
к другим ударным ситуациям. Пусть, например, многомас-
совая цепочка имеет закрепленный правый конец и свобод-
на на левом конце. В начальный момент времени первому
телу внезапно придана скорость v и необходимо найти
последующее движение всех тел. Дифференциальные
уравнения движения сохраняют прежнюю форму (3.11),
но решение их должно быть подчинено условиям
(0) = 0, w2 (0) = 0,..., ип (0) = 0,
di (0) = и, й2 (0) = 0, й3 (0) = 0,..., йп (0) = 0,
отличающимся от условий (3.12) предыдущей задачи. Тем
не менее последующие выкладки вплоть до выражения
(3.27) остаются неизменными; лишь после этого вычисле-
ния несколько расходятся. В рассматриваемом здесь слу-
чае для вычисления коэффициентов as из второй группы
начальных условий (3.38) вытекают соотношения
as cos
0
л (2s — 1)
2 (2/i + 1) ’
as cos
л (2s — 1) (2p — 1)
2 (2/i -|~ 1)
(3.39)
(p = 2, 3,..., n).
cos
Умножим обе части всех п уравнений (3.39) на
9ЛД2г и просуммируем их. После этого получим
§ 3.31
СПОСОБ РЭЛЕЯ
141
слева выражение
т
— COS
с
п(2г-1) _ 2_-1/0=-!?Г
2(2п + 1) “ 2 V с C0S 2
(3.40)
а справа — прежнее
и (3.40), найдем
ат =
выражение (3.34). Приравняв (3.34)
2v
2п + 1
Возвращаясь здесь к индексу $ и заменив с и m их выраже-
ниями, согласно (3.27) получим
ир =
s=l tg
sin sin -y-j. (3.41)
§ 3.3. Способ Рэлея
в процессе ее движения;
Л
Рис. 3.5.
3.3.1. В конце § 0.5 упоминался еще один подход к дис-
кретной схематизации, основанный на предварительном
задании конфигурации системы
в простейшем варианте этот под-
ход приводит к способу Рэлея.
Его возможности, достоинства и
недостатки мы проследим на ре-
шении задачи об ударе о непод-
вижную преграду однородного
стержня, показанного на рис.
3.5, а.
Пусть х — координата про-
извольного сечения недеформи-
рованного стержня, отсчитывае-
мая от свободного конца, t —
время, которое отсчитывается от
момента первого контакта стержням преградой, uj^x^t) —
перемещение сечения с координатой х в момент времени t.
Согласно способу Рэлея функция и (х, t) принимается в виде
и (х, t) = А (0 f (х), (3.42)
где f (х) — задаваемая непрерывная функция координаты
х, удовлетворяющая граничным условиям, A (/) — под-
лежащая определению функция времени. Очевидно, что
142
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
ЁГ'л. 3
выражением типа (3.42) заранее задается и непрерывное
распределение скоростей по длине стержня с точностью
до зависящего от времени множителя
-^g^- = J(Z)/(x). (3.43)
Из-за непрерывности функции du/dt по координате х
в принципе невозможно удовлетворить характерным для
задач об ударе разрывным начальным условиям. Тем са-
мым, в процессе решения задачи по способу Рэлея неиз-
бежно возникают дополнительные осложнения; ниже бу-
дет показано, как их можно обойти. Согласно (3.42) про-
дольная деформация равна
8 = -£- = Л(«)/'(^) (3.44)
и, соответственно, продольная сила
N = EF& = EFA (t) f (я), (3.45)
где Е — модуль нормальной упругости материала стерж-
ня, F — площадь сечения. Отметим, что при любом разум-
ном выборе функции / (х) производная /' (х) < 0 и по вы-
ражению (3.45) получится N 0 (сжимающая сила).
Пусть хс — координата центра тяжести стержня и, соот-
ветственно, ис (Z) = и (хс, t) — перемещение центра тя-
жести после начала удара. Тогда согласно теореме о дви-
жении центра масс механической системы
pFliic= N^t), (3.46)
где согласно (3.45)
Nt (t) = EFA (t) f (Z) (3.47)
— продольная сила в ударяемом сечении, т. е. при х = Z.
Подставляя (3.47) в (3.46), получаем следующее диффе-
ренциальное уравнение для функции времени A (£):
Л + №А = 0, (3.48)
в котором
— квадрат собственной частоты. Из (3.49) непосредст-
СПОСОБ РЭЛЕЯ
143
венно следует, что длительность удара равна
л
Г
т =
р// (хс)
Е[-Г (01 ’
(3.50)
т. е.,— как и при других способах схематизации,— не за-
висит от предударной скорости стержня v. Если, напри-
мер, принять, что перемещения сечений пропорциональны
их расстояниям до преграды (см. рис. 3.5, б)
f (х) = а (I — х), (3.51)
(а — постоянная), то хс = Z/2, /' (Z) = — a, f (хс) = aZ/2,
и по формуле (3.50) найдем'
т = 2,222Z/^,
что на 11,1% больше точного значения.
Для определения продольной силы нужно прежде все-
го решить дифференциальное уравнение (3.48), подчинив
решение начальным условиям}
и (х, 0) = 0, й (х, 0) = р. (3.52)
Первое условие приводится к виду А (0) = 0; однако вто-
рому условию А (0) f (х) = v тождественно удовлетворить
невозможно, что и было отмечено выше как неприятное
свойство принятой схемы. Приходится идти на смягчение
этого условия и ограничиться требованием, чтобы оно
удовлетворялось в какой-либо характерной точке, напри-
мер, при х = хс, т. е. в центре тяжести стержня. Поступая
таким образом, получаем А (0) = v/f (хс), после чего ре-
шение уравнения (3.48) принимает вид
Л = —rsinfcZ. (3.53)
kf (хс) v '
Отсюда согласно выражению (3.45) находим
*>*<. (3.54)
Зависимость максимальных значений продольной сжима-
ющей силы от координаты х с учетом (3.49) запишется
в виде
Nmax — f (#) j/"
?1Е
f I—7'(0J/
(3.55)
144
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
Если воспользоваться выражением (3.51), то по формуле
(3.55) получится
А^тах = — 1,414 vF рЕ
(3.56)
— результат, отличающийся от точного на 41%. Между
прочим, отметим, что ошибку вычисления 7Vinax можно
было бы обратить в нуль, потребовав, чтобы второе на-
чальное условие было удовлетворено при х = 0 на сво-
бодном конце стержня. Однако когда точное решение
заранее не известно, невоз-
можно предсказать, с каким
сечением целесообразно свя-
зать второе начальное ус-
ловие.
3.3.2. В книге [1] для ре-
шения многих задач последо-
вательно применяется прием,
по существу, совпадающий
с изложенным в п. 3.3.1 ре-
шением по способу Рэлея.
Согласно названному приему
Рис. 3.6. заранее задается не функция
/ (х), а распределение напря-
жений по длине стержня, что
эквивалентно заданию деформаций 8, т. е. согласно
(3.44) — заданию производной/' (я). Кроме того, рекомен-
дуется принимать распределение напряжений таким же,
как и в случае статического сжатия стержня двумя
приложенными по концам одинаковыми сжимающими силами
(рис. 3.6, а); хотя эта рекомендация лишает свободы вы-
бора аппроксимирующих функций, но зато вносит полную
определенность в дальнейшие выкладки. Если стержень
однородный, т. е. обладает равномерно распределенной
по длине массой и неизменным поперечным сечением, то
результаты решения полностью совпадут с изложенными
в п. 3.3.1. Авторы приема справедливо подчеркивают, что,
по существу, он основан на неверном предположении о
мгновенном распространении напряжений по всей длине
стержня и о их пропорциональном изменении во времени.
Конечно, это предположение содержится и в способе
Рэдея,
§ З.з]
СПОСОБ РЭЛЕЯ
145
Покажем применение этого приема к задачам об ударо
ступенчатого стержня онеподвижную преграду (рис. 3.6, б).
Обозначим через 1^ 12 — длины участков и через F19 F2 —
площади поперечных сечений; остальные обозначения при-
мем прежними и будем считать, что материал стержня
на обоих участках одинаковый. Рассматривая статиче-
ское сжатие стержня равными силами Р (см. рис. 3.6, в),
находим деформации на двух участках стержня
ei — — рр- , е2 — — тгтг-. (3.57)
-С, Г ! 2
Считая конец второго участка (ударяющий торец) непо-
движным и отсчитывая координату от начала первого участ-
ка, из (3.57) находим перемещения:
“1 = Р ГА- + ’ Wa = • (3-58)
г J ЛГ2
Теперь можно рассматривать полученные соотношения
как некоторое конкретное выражение типа (3.42) и вести
решение как и в п. 3.3.1, формально заменив Р на букву
/I, считая, что остальные сомножители в (3.58) определя-
ют функцию f(x). Однако можно такую замену не делать.
Хотя символ Р был введен применительно к условной ста-
тической ситуации (см. рис. 3.6, а), но его можно сохра-
нить в наших дальнейших выкладках, подразумевая под
Р реальную силу, действующую на стержень со стороны
преграды в процессе удара, т. е. величину, которая соот-
ветствует — в выражениях (3.46) и (3.47). Именно так
трактуется описываемый прием в книге [1].
Пусть хс — координата центра тяжести стержня. Если
хс <С 4, то из первого выражения (3.58) можно найти
Е1\ис
Z1-— ХС + hF i/F 2
(3.59)
Если хс Zi, нужно воспользоваться вторым выраже-
нием (3.58); тогда получится
EF2UC
^1+^2— ХС
(3.60)
Дифференциальное уравнение, составленное на основа-
нии теоремы о движении центра масс, принимает вид,
146
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
подобный (3.46),
Р (Pill + FM йс = -р. (3.61)
навливаясь на дальнейших
тим, что и в этом решении
шение начальных условий
Уравнение (3.61) совместно с одним из уравнений (3.59)
или (3.60) образует систему относительно переменных ис
и Р.
Пусть, например, хс > 1Г. Исключив из (3.60) и (3.61)
силу Р, придем к уравнению
ЙС + / J Л 7 W2 . 7----Г ис = 0 (3.62)
с Р И Vi "Ь ^2*2) Gi + h— хс) G ' '
при начальных условиях ис (0) = 0, йс (0) = v. Не оста-
очевидных выкладках, отме-
приходится идти на нару-
по всей длине стержня, за
исключением того сечения,
в котором расположен
центр тяжести. Иного и не
могло быть, поскольку
описанный прием пред-
ставляет собой лишь вари-
ант применения способа
Рэлея.
3.3.3. Идея, лежащая в
основе способа Рэлея,
встречается уже в работе
Кокса (1849 г.), где впер-
вые решена задача об ударе груза, падающего на балку с
горизонтальной осью. Подробно рассмотрим это решение.
Считая сначала, что балка не обладает массой, составим
уравнение энергетического баланса. Обозначим через f
наибольший прогиб балки. Тогда сумма кинетической
энергии груза в момент первого контакта mv*J2 и последу-
ющей работы силы тяжести груза mgf переходит в потен-
циальную энергию деформации балки cf2/2 (с — коэффи-
циент жесткости балки; для схемы, изображенной на
рис. 3.7, а, с = 4&EIH3, где Е — модуль упругости мате-
риала балки, I — момент инерции поперечного сечения
относительно нейтральной оси, I — пролет балки). Имеем
Рис. 3.7.
1YLV2
(3.63)
diiodoB рэлёя
14»
,:d
Речная полученное квадратное уравнение, находим
, / _ mv?1
f *= /ст + |/ /ст Н ~ ’ (3.64)
до /ст = mg/с — прогиб, вызываемый статически дейст-
вующей силой mg. Здесь перед корнем принят только один
шак, так как второй знак (минус) соответствует более
здпему состоянию системы, которое достигается при об-
ратном движении балки и соответствует наибольшему
прогибу вверх.
Образуем отношение ///ст, которое определяет коэффи-
циент, динамичности:
и = 1 + ]/1 + ^_. (3.65)
Если при свободном падении груза сопротивление среды
можно считать отсутствующим, то v_ = и вместо
(3.65) получим
и = 14-1/1 + ^. (3.66)
г /ст
/♦дось видно, что с увеличением жесткости конструкции,
о. с уменьшением /ст, коэффициент динамичности воз-
растает. Отметим также, что ц = 2 при h = 0; конечно,
is случае h = 0 (падение груза с нулевой высоты) происхо-
дит не статическое нагружение, а внезапное приложе-
ние полного веса груза.
Если удар совершается в горизонтальном направлении
но вертикальной балке (как, например, удар льдины о
*лтю), то в левой части соотношения (3.63) исчезает вто-
рое слагаемое и вместо (3.66) получится
И = (3-67)
г 'СТ
Приближенно тот же результат получится и в случае вер-
тикального падения груза с большой высоты, когда в фор-
муле (3.66) можно пренебречь всеми членами,J кроме вто-
рого члена под знаком корня.
После определения коэффициента динамичности легко
определяются динамические напряжения
О == О^стР',
148
ДИСКРЕТЙЬ1Е МОДЕЛЙ
[Гл. 3
где аст — напряжения, которые возникли бы при стати-
ческом приложении нагрузки mg.
Изложенное решение исключительно просто, но им
можно пользоваться лишь в тех случаях, к°гда масса уда-
ряемой конструкции пренебрежимо мала по сравнению
с массой падающего груза. Понимая, чтс* такие случаи
весьма редки, а точно учесть массу балки очень трудно,
Кокс предложил приближенный способ учета массы балки,
основанный на понятии приведенной массъ1-
Согласно этому способу система с распределенной мас-
сой (рис. 3.7, б) заменяется системой с одно® сосредоточен-
ной массой, которая располагается на о^нои вертикали
с падающим грузом; при этом получается рхема, показан-
ная выше на рис. 2.6. Приведенная масса тв определялась
Коксом из условия равенства послеударных значений ки-
нетической энергии заданной балки с распределенной мас“
сой и заменяющей балки с сосредоточенней массой. Для
определения кинетической энергии заданн°й балки Кокс
предложил приближенно задаваться распределением ско-
ростей точек балки при ударе с точность^ Д° одного не-
определенного множителя; в сущности, это — способ
Рэлея.
Кокс принял, что распределение скор?стей остается
таким же, как и в случае, когда балка лишена массы; дру-
гими словами, закон изменения скоростей по длине балки
повторяет (с точностью до масштаба) закон изменения ста-
тических прогибов, вызываемых сосредотсченной посере-
дине балки силой. Таким образом, припишется (для х <
< Z/2)
t,(.T) = P+^-^3> (3.68)
где — скорость среднего сечения балки <разу после уда-
ра, I — пролет, х — абсцисса произвольно™ сечения, от-
считываемая от левой опоры. Обозначим через ш (х) —
интенсивность распределенной массы бал^и5 тогда кине-
тическая энергия всей балки составит
!/2 о п
тв+ = 2 [4-(.г) (dx\.
О
§ З.з]
Способ рэлей
149
Если, например, т = const, то
_ mv*l и
1 В+ 2 35 '
(3.69)
Приведенная масса тв найдется из условия, что кинети-
ческая энергия тви2+/2 равна значению (3.69); отсюда
следует
= (3-70)
Считая, что при падении груза на балку отскока не
происходит (пластическое соударение, R = 0), по форму-
ле (0.12) при учете (3.70) получится
(3.71)
1
V. = --------=— V .
+ "
1 + 35тпд
Далее из уравнения баланса энергии подобно (3.64) и (3.66)
можно найти
(3.72)
(3.73)
3.3.4. Очевидным недостатком решения Кокса является
предположение о том, что при падении груза все точки оси
балки одновременно и сразу приобретают скорости v (х),
т. е. о мгновенности распространения возмущений по всей
длине балки. Кроме того, сомнительно допущение об от-
сутствии отскока, который обычно происходит в действи-
тельности, особенно при небольших значениях отношения
mA/ml.
Оба эти недостатка изложенного решения всегда отме-
чаются в литературе, однако в решении Кокса есть еще
одна нелогичность, которая сравнительно недавно
(в 1941 г.) была отмечена Эшлером [35]; на его малоиз-
вестную работу обратил внимание Н. А. Кильчевский
(см. [16]). Суть в том, что если принят некоторый закон
ISO
ДИСКЕТНЫЕ МОДЁДЙ
£Гл. 3
распределения скоростей в первый послеударный момент,
то неверно (и незачем) сначала определять приведенную
массу из энергетических соображений, а лишь после этого
находить скорость и+. В рамках принятых допущений мож-
но сразу определить скорость р+изьу равнения количества
движения; так, при m = const
112
mAv = mAv 4-2mw —/T —- dx, (3.74)
A — A + 1 + \ 1Л ' '
U
Отсюда следует, что скорость среднего сечения балки
р+ =-----------------------------i—^=~ v_ (3.75)
5 ml
несколько отличается от выражения (3.71).
Теперь кинетическая энергия системы груз — балка
определится прежним выражением (3.69), но с другим
значением скорости р+; соответственно, вместо (3.72) полу-
чится
/2 +
'СТ 1
17 ml Vs
------/ С
35 тА /
5 ml \
(3.76)
mAv^- V •+
Хотя выражения (3.72) и (3.76) в принципе различаются,
но результаты вычислений обычно очень близки.
3.3.5. В заключение выясним, каков знак ошибки, воз-
никающей из-за допущения об отсутствии отскока груза
(7? = 0). Для этого сопоставим послеударные значения
кинетической энергии в двух вариантах расчета: при R =
= 0 и 7? > 0. При R = 0 послеударное значение кинети-
ческой энергии системы определяется выражением
Т' У _ , (3.77)
и 2 4 а 1 в' \тк mBJ 2 (1 + т) ’ ' '
где т = тв1тл- В случае, когда R 0, скорость 1>в+ по
формуле (0.12) равна! (1 -j- 7?)vA-/(l + zn) и кинетическую
энергию конструкции можно записать в виде
1 Г(1+Я)₽А_12
? 2 тА[ 1-j-m j
(3.78)
§ 3.4]
ПРОСТЕЙШИЕ УПРУГИЕ МОДЕЛИ С ТРЕНИЕМ
151
Образуем отношение величин, определяемых выражения-
ми (3.77) и (3.78):
Zk = 1 + m (*} 7О\
Т (14-Я)2’ к 7
Отсюда видно, что Т^Т 1, лешь если m > R (R + 2).
Иными словами, расчет по гипотезе R = 0 идет в запас
прочности лишь при падении не слишком тяжелых грузов,
когда значение ш достаточно велико. В случаях, когда
m < R (R + 2), расчет по способу Кокса преуменьшает
кинетическую энергию, а следовательно, и расчетные
значения динамических перемещений и напряжений.
В этих случаях! нужно вести расчет, полагая R 0 и
учитывая возможность повторных ударов.]
§ 3.4. Простейшие упругие модели с трением
3.4.1. Послеударная величина механической энергии
в моделях с чисто упругими элементами совпадает с ее
предударной величиной, т. е.
такие модели в принципе не-
способны отразить происходя-
щие при ударе реальных си-
стем необратимые потери меха-
нической энергии. Для того
чтобы в модели можно было об-
наружить рассеивание механи-
ческой энергии, необходимо вве-
сти трение в деформируемые
элементы модели, т. е. наделить
их вязкими или пластическими
свойствами. Простейшие вари-
анты таких систем показаны на
рис. 3.8, а — д; они образованы
путем различных сочетаний уп-
ругих элементов с элементами
трения и соответствуют [табли-
цам 4, 5.
Мы ограничимся анализом
одномассовых систем и во всех
случаях будем предполагать
одну и ту же наиболее простую
угц о неподвижную преграду, как
ситуацию — удар систе-
это доказано на рис. 3.8;
152
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
при этом податливый элемент играет роль буфера. Эти
случаи не только имеют некоторое самостоятельное прак-
тическое значение, но, будучи вполне типичными, позво-
ляют сделать достаточно общие заключения о свойствах
рассматриваемых моделей. Всюду ниже отсчет времени и
перемещения ведется от состояния, соответствующего пер-
вому контакту буфера с преградой.
3.4.2. Если буфер обладает вязкоупругими свойствами
(рис. 3.8, а), то движение груза после начала ударного
контакта описывается дифференциальным уравнением
(1.84), выведенным для общего случая системы с одной
степенью свободы. Переходя к принятым в настоящей гла-
ве обозначениям и полагая и (0) = 0, й (0) = и, получим
вместо (1.85)
и = — ?------ e~altt sin ()Л1 — a2 kt) = — у, (3.80)
к у 1 — а2 к
где к = с/т,, а = п/к = b/2 ]f тс, с и Ъ — соответственно
коэффициенты жесткости и вязкости, у — функция, оп-
ределяемая выражением (1.88). Наибольшее обжатие де-
формируемого элемента можно найти с помощью значе-
ний Утах (см. Таблицу 1 И рИС. 1.18).
Сила сжатия деформируемого элемента определяется
суммой N = си 4- Ъй и после подстановки сюда (3.80)
может быть представлена в виде
N == mvke~a1ct
—_____- sin (/1 — a2 kt) +
. у 1—а2 Г 7
+ 2а cos (1 — а2 kt)] = 2Vmax₽,
(3.81)
где TVmax = тик — наибольшая сила сжатия упругого бу-
фера, лишенного вязких свойств,
р = e~akt
/1 —а2
1 2а2 sin (j/~ 1 — а2 kt) 4- 2а cos ()Л1 — а2/с£)j
(3.82)
Значения pmax приведены в следующей таблице (таблица 6),
в зависимости от безразмерного параметра а.
Если а < 0, 5, то наибольшее значение сжимающей си-
лы достигается при t 4> 0 и не превосходит значения 7V°max
если а 0, 5, то наибольшая сила возникает сразу в пер-
вый момент контакта t = 0 и при возрастании коэффици-
ента низкости может оказаться сколь угодно большой»
§ S.41 ПРОСТЕЙШИЕ УПРУГИЕ МОДЕЛИ С ТРЕНИЕМ
153
Таблица 6
а 0 0,10 0,20 0,30 0,40 0„50
Ртах 1,0000 0,8801 0,8209 0,8134 0,8635 1,0000
а 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
Ртах 1,2000 1,4000 1,6000 1,8000 2,0000
Обращаясь к определению продолжительности удара т,
подчеркнем, что момент отрыва (отсоединения) буфера от
преграды определяется условием N = 0, которое не сов-
падает с условием и = 0 (оба эти условия эквивалентны
лишь для систем без вязких свойств). Полагая в (3.81)
N = 0, находим безразмерную продолжительность удара
(табл. 7).
Таблица 7
а 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40
кт 3,1416 2,9561 2,7954 2,6545 2,5298
а 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
кт 2,4184. 2,3182 2,2276 2,1450 2,0694 2,0000
Для того чтобы оценить рассеиваемую при ударе энер-
гию, удобно вычислить скорость системы в момент отрыва
буфера от преграды й (т). Образуя затем отношение R =
= — й(т)/й (0), получим величину, формально определяю
щую коэффициент восстановления. В зависимости от пара
метра а, можно вычислить следующие значения R (табл. 8)
154
Дискретные модели
[Гл. з
Таблица 8
а 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50
R 1,0000 0,7441 0,5717 0,4510 0,3635 0,2984
а 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00
R 0,2488 0,2103 0,1798 0,1553 0,1353
Если путем наблюдений за скоростью ударяющего те-
ла установить значение /?, то с помощью таблицы 8 можно
найти соответствующее значение а. Тогда из таблиц 6 и 7
сразу определяются величины ртах и Ат, т. е. безразмер-
ные значения наибольшей сжимающей силы и продол-
жительности удара. Для вычисления абсолютных значе-
ний TVmax и т нужно знать также массу тела и коэффициент
жесткости с; последний можно определить, в частности,
из статического эксперимента.
Конечно, результаты, найденные после таких вычисле-
ний, из-за условности модели не могут претендовать на
высокую точность, но можно ожидать, что они будут соот-
ветствовать действительным значениям, по крайней мере
по порядку величин. Таким образом, рассмотренная мо-
дель позволяет получить приближенные оценки продол-
жительности удара и ударной силы (что оказывается недо-
ступным при пользовании гипотезой Ньютона) и в то же
время отражает потери механической энергии (что нельзя
получить с помощью чисто упругих моделей, рассмотрен-
ных в § 3.2).
3.4.3. Рассмотрим свойства упруговязкой модели
(рис. 3.8, б). Если по-прежнему с и Ъ — соответственно
коэффициенты жесткости и вязкости последовательно сое-
диненных элементов буфера, то для развивающихся в этих
элементах сжимающих сил можно записать два выраже-
ния: N = си± и N = Ьй2, в которых и± и и2 — изменения
длин каждого из элементов. Переходя к общему укороче-
нию буфера и = иг + и2, получаем следующее дифферен-
5 3.4]
ПРОСТЕЙШИЕ УПРУГИЕ МОДЕЛИ С ТРЕНИЕМ
155
циальное соотношение между силой и перемещением:
N + -L_n = cu. (3.83)
Так как N = — mil, то дифференциальное уравнение дви-
жения груза принимает вид
й + 2п*и -]-к2й = 0, (3.84)
где п* = с/2Ъ, к2 = с/т. Соответственно порядку уравне-
ния его решение должно удовлетворять трем начальным
условиям. Первые два из них имеют прежний вид: и (0) —
= 0, й (0) = р; третье условие относится к второй произ-
водной й (0). Так как в начальный момент отсутствует сжа-
тие буфера, то сила N (0) = 0 и, следовательно, й (0) =
= 0. С учетом этих условий находим решение уравнения
(3.84)
и = ([-/- 2а- sin (У 1 — а2 kt) —
к Ц/1_а2 7
— 2а cos (j/" 1 — а2 &()J е~м + 2а j (3.85)
а затем силу сжатия буфера
дП ______
N = — mil = е~м sin (У 1 — a2 kt) Afmax ?•
(3.86)
Здесь Мпах — тик, а = njk = Утс/2Ъ, у — функция,
определяемая выражением (1.88).
Наибольшее значение силы сжатия можно представить
в виде Мпах = ? пах ТУтах*, значения у.пах даны в таблице 1
(см. также рис. 1.18). Продолжительность удара т опреде-
ляется из условия N = 0, что согласно (3.86) приводит
к фэрмуле
Безразмерные значения продолжительности удара приве-
дены в следующей таблице (табл. 9).
Таким образом, с ростом параметра а длительность
удара увеличивается и притом до бесконечности. Для
предельного перехода к чисто упругой модели нужно по-
ложить Ъ оо, тогда как такой переход от ранее рассмот-
156
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
Таблица 9
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4
кх Л 3,157 3,205 3,294 3,427
а 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
кх 3,626 3,926 4,398 5,235 7,206 оо
ренной вязкоупругой модели (см. рис. 3.8, а) соответству-
ет Ъ = 0. При этом в обоих случаях параметр а обращает-
ся в нуль и£т = л.
Коэффициент восстановления в рассматриваемом слу-
чае определяется выражением
R = ехр
ал
/1^2
(3.88)
Его значения даны в следующей таблице (табл. 10).
Таблица 10
а 0 0,1 0,2 0,3 0,4
R 1,0000 0,7293 0,5267 0,3731 0,2539
а 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
R 0,1631 0,0948 0,0460 0,0152 0,0015 0,0000
3.4.4. Как мы видели, в линейных моделях, содержа-
щих упругие и вязкие элементы, предударная скорость
не влияет на продолжительность удара и значение коэффи-
циента восстановления. Иными свойствами обладают упру-
гопластические модели.
3.4]
ПРОСТЕЙШИЕ УПРУГИЕ МОДЕЛИ С ТРЕНИЕМ
157
Обратимся к упругопластической модели с параллель-
ным соединением упругого элемента и элемента сухого
з рения (см. рис. 3.8, в) и обозначим через PQ — предельную
— V
♦.илу сухого трения и v = — v — безразмерную скорость
* о
чела перед ударом. Вычисления, относящиеся к этой ку-
ючно-линеинои системе,
элементарны и приводят
к следующим результатам.
В зависимости от значе-
ния начальной скорости F,
связь между общей силой,
передаваемой на буфер, и
перемещением и представ-
ляется графиками на рис.
3.9, а (малые значения
скорости v < 3) или 3.9, б
(большие значения скоро-
сти v 3); стрелками по-
казано последовательное
развитие процесса. В слу-
чаях а) тело не отделяется
от преграды, т. е. проис-
ходит идеально пластиче-
ский удар и коэффициент
восстановления равен ну-
лю; в случаях б) после
удара происходит отскок
чела от преграды, т. е.
/? 0. Важнейшие харак-
Рис. 3.9.
теристики удара определяются следующими формулами:
наибольшее перемещение (в случаях а) и б) )
И max — 1 “F — 1)» (3.89)
наибольшая сила сжатия буфера (в случаях а) и б))
Afmax = Ро 1 4“ Ь’2, (3.90)
безразмерная продолжительность удара (в случае б))
/ст = arctg v + -у- , (3.91)
158
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл.
а в случае а) она определяется только первым слагаемым
выражения (3.91). Если проследить, как изменяется про-
должительность удара при постепенном переходе от боль-
ших значений скорости к малым, то при v ~ 3
обнаружится скачок от кх = 5л/6 до/ст = л/3. Причину
этого скачка можно понять, рассматривая рис. 3.9, в,
где для случая б) показано изменение силы сжатия буфе-
ра во времени. Длительность второй фазы удара (при об-
ратном ходе буфера) не зависит от значения безразмерной
скорости v, но при v = ]ЛЗ все ординаты второго участка
графика обращаются в нуль и эта фаза попросту исчезает.
Для коэффициента восстановления в случаях б) мож-
но найти
R = (/Т+Т2 - 2)/р. (3.92)
Значения 7?, в зависимости от безразмерного параметра v,
приведены в следующей таблице (табл. 11).
Таблица И
V /3 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
R 0,0000 0,1180 0,с874 0,5308 0,6198 0,6805 0,7244
V 8,00 9,00 10,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00
R 0,7578 0,7839 0,8050 0,9120 0,9501 0,9667 0,9750 0,9800
Таким образом, при надлежаще выбранных параметрах
рассмотренная модель способна (по крайней мере формаль-
но) описать удар в широком диапазоне — от абсолютно
упругого до абсолютно неупругого. Любопытной особен-
ностью модели служит зависимость коэффициента восста-
новления не только от собственных свойств, но и от на-
чальной скорости р. Хотя такой результат не согласуется
с мыслью Ньютона о независимости R от р, однако это
я принципе является не недостатком, а достоинством мо-
§ 3.41
ПРОСТЕЙШИЙ УПРУГИЕ МОДЕЛИ С ТРЕНИЕМ
159
дели. Тем не менее модель все же представляется сомни-
тельной, так как, судя по таблице 11, коэффициент восста-
новления возрастает с увеличением скорости удара, тогда
как в экспериментах отчет-
ливо обнаруживается проти-
воположная тенденция.
3.4.5. Столь же просты
вычисления, относящиеся к
модели с последовательно
соединенными упругим эле-
ментом и элементом сухого
трения (см. рис. 3.8, г). В за-
висимости от скорости и па-
раметров модели, здесь так-
же возможны два варианта
развития процесса удара, осу-
ществление которых при
прежних обозначениях опре-
деляется безразмерной скоро-
стью v = (Уmc/P^v. При ма-
лых скоростях, когда v < 1,
развивающаяся при ударе си-
ла меньше чем Ро, т. е. в элементе сухого трения не происхо-
дит проскальзывания, и буфер проявляет только упругие
свойства; этот случай иллюстрирован на рис. 3.10, а. Если
v > 1, то сила сжатия буфера постепенно достигает зна-
чения Ро» далее остается постоянной вплоть до момента
наибольшего обжатия буфера, а затем уменьшается до ну-
ля (рис. 3.10, б).
После несложных выкладок можно получить следую-
щие выражения для основных характеристик удара
(табл. 12).
Хотя при конечных значениях коэффициента жестко-
сти с помощью этой модели не удается описать случай аб-
солютно неупругого удара, однако по сравнению с моделью,
рассмотренной в п. 3.4.4, она обладает важным преиму-
ществом: с возрастанием скорости удара коэффициент вос-
становления уменьшается, что качественно согласуется
с опытными данными. Конечно, для хорошего количест-
венного соответствия, может быть, полезно отказаться от
принятого выше предположения о линейности упругого
элемента; об этом см. ниже в § 3.6.
160
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
Таблица 12
Характеристики Случаи
V <1 V > 1
Наибольшее перемещение, мтах
Наибольшая сила сжатия, ^тах v У тс Ро
Безразмерная продолжи- тельность удара, кг Л Л г- 1 — у у2 — 1 arcsin-=-
Коэффициент восстановле- ния, R 1 1 т
§ 3.5. Жесткопластическая модель
Как уже упоминалось в § 3.1, для описания свойств
некоторых конструкционных материалов при их пласти-
ческом деформировании можно пользоваться жесткопла-
стической моделью. При этом нужно учитывать, что если
деформирование происходит с большими скоростями, то
предел текучести заметно выше статического значения, со-
ответствующего условиям медленного нагружения.
Возрастание предела текучести с увеличением скоро-
сти деформирования было замечено П. Людвиком в 1909
году, который также предложил соответствующую этому
явлению эмпирическую формулу. В последнее время связь
динамического предела текучести от с его статическим зна-
чением а? часто описывают с помощью соотношения (см.,
например, [17])
<гт = о? [1 + (^)п] , (3.93)
где ё — скорость деформации, п и D — постоянные
3.5]
ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
материала (в частности, для мягкой углеродистой стали
п = 0,2, D = 40,4 сек"1).
Рассмотрим удар по схеме, показанной на рис. 3.8, д,
считая, что материал деформируемого элемента жесткопла-
стический и следует зависимости (3.93). Элемент будем
представлять в виде растягиваемого стержня начальной
длиной I и площадью поперечного сечения F. Тогда диф-
ференциальное уравнение движения груза запишется
в форме
тй= (3.94)
где и (i) — удлинение стержня, равное перемещению гру-
за, отсчитываемому от положения в первый момент удара.
Начальные условия имеют вид и (0) = 0, й (0) = v.
Введем безразмерное перемещение безразмерную
жорость v и безразмерную постоянную р,:
«. и и ?nD2l
Z--T’ ’--й’
а также заметим, что й = г/2 d (u2)ldu. При этом получится
следующее дифференциальное соотношение:
d(v2) = _
1 4- vn Р
Основной интерес представляет лишь окончательный
результат удара — полное удлинение стержня. Для опре-
деления gmax проинтегрируем соотношение (3.96) в пре-
делах от Vo до 0 (слева) и от 0 до gmax (справа). После это-
го получим
(3.95)
(3.96)
£max —
2
v0
г Г d(v2)
v2 J 1 + vn
0 0 '
(3.97)
В следующей таблице (табл. 13) приводятся результаты
ны числений интеграла в выражении (3.97) для различных
значений п и vo*
В литературе можно встретить также приближенное
решение той же задачи, согласно которому динамическому
пределу текучести приписывается значение, неизменное
4 Я. Г. Пановко
162
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
1Гл. 3
Таблица 13
v° п 10 20 30 40 50
0,00 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000
0,05 0,4779 0,4692 0*, 4642 0,4606 0,4579
0,40 0,4554 0,4383 0,4284 0,4213 0,4159
0,15 0,4331 0,4078 0,3932 0,3830 0,3752
0,20 0,4113 0,3783 0,3595 0,3464 0,3364
0,25 0,3899 0,3497 0,3271 0,3116 0,2998
0,30 0,3687 0,3221 0,2962 0,2787 0,2655
0,35 0,3484 0,2959 0,2674 0,2483 0,2341
0,40 0,3286 0,2711 0,2406 0,2204 0,2056
в течение всего процесса деформирования; это значение
определяется по формуле (3.93), если в нее подставить на-
чальное (наибольшее) значение безразмерной скорости v о-
Приравняв начальную кинетическую энергию груза тпр2/2
работе а?^(1 + vS)umax, совершаемой постоянной силой
g® F (1 + Vo) при пластическом деформировании стержня,
вместо (3.97) можно получить
U/V?
Uax = (3.98)
Ошибка такого приближенного решения не очень велика
(6—7%) и оно особенно уместно для более сложной зада-
чи, в которой учитывается, что жесткопластический мате-
риал стержня обладает упрочнением (см. табл. 4). Если
Е — модуль упрочнения, то в уравнение энергетического
баланса нужно дополнительно ввести работу упругой сос-
тавляющей растягивающей силы, равную V2^wmax/^
При этом названное уравнение примет вид
2
~ о? F (1 + vj) 4- 4- EF (3.99)
и вместо (3.64) получим для безразмерного удлинения
стержня
max
(/1+
2-Е^
с£(1 +
(3.100)
<^Т (i + v”)
Е
§ 3.6]
НЕЛИНЕЙНО-УПРУГАЯ МОДЕЛЬ ГЕРЦА
§ 3.6. Нелинейно-упругая модель Герца
3.6.1. В 1881 году Герц разработал строгую теорию
статического сжатия упругих тел с криволинейными по-
верхностями, которые в зоне контакта описываются урав-
нениями второго порядка. Теория Герца нашла широкое
применение в решениях многих практических задач о кон-
тактных напряжениях. Главная особенность проблемы
состоит в ее нелинейности — поскольку размеры площад-
ки контакта возрастают с увеличением нагрузки (от нуле-
вых значений), постольку коэффициент жесткости в кон-
тактной зоне не остается постоянным, а увеличивается
(также начиная с нуля). Полученная Герцем связь между
сжимающей силой и сближением тел была дана выше в вы-
ражении (0.14).
Эту теорию Герц предложил использовать и в задачах
о соудйрении тел, где, однако, она оказывается лишь при-
ближенной. Дело в том, что Герц, считая деформируемой
малую окрестность зоны контакта, одновременно пренеб-
рег инерцией материальных частиц, лежащих в этой ок-
рестности; иными словами, рассматривалось соударение
жестких тел, снабженных безынерционными нелинейно-
упругими буферными элементами, т. е., в сущности, дискрет-
ная модель. Для того чтобы такая теория была доста-
точно точной, необходимо, чтобы длительность удара была
большой по сравнению с наибольшим периодом свободных
колебаний тел; ниже будут даны соответствующие числен-
ные оценки.
Применимость теории Герца к задаче об ударе неодно-
кратно проверялась и опытным путем. Так, в 1909 году
А. Н. Динник обнаружил хорошее совпадение теории
с экспериментом для стальных шаров, несколько худшее —
для цинковых и неудовлетворительное — для свинцовых.
Эти выводы можно истолковать с помощью упомянутых
численных оценок, если шары двух последних типов счи-
тать совершенно упругими; но, кроме того, уклонение от
предсказаний теории может быть объяснено также и пла-
стическими деформациями, которые совершенно не отра-
жены в модели Герца.
3.6.2. Итак, в теорииГерцапринимаетсяследующая связь
между ударной силой и сближением соударяющихся тел:
Р = Ка3'2, (3.101)
6*
164
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
в которой коэффициент К зависит от свойств материалов
тел и кривизны их поверхностей в зоне контакта; в случае
сферических поверхностей с радиусами Rx и Т?2
4 1/ ад I i-^r1 ,о,П2'
к - — V Л7+ЯГ [~ЁГ“ + —<ЗЛ02>
где Ет, Е2 и p,lt р>2 — соответственно модули упругости
и коэффициенты Пуассона материалов обоих тел. В част-
ности, если материалы обоих тел одинаковые, то
<злоз>
Если материал одного из тел (например, первого) значи-
тельно жестче материала второго и можно пренебречь де-
формациями одного из тел, то вместо (3.102) получил!
(ЗЛ04>
Рассмотрим прямое соударение двух тел с массами т1
и т2 при начальном значении относительной скорости v.
В процессе удара движения центров тяжести будут описы-
ваться дифференциальными уравнениями
т1х1 = — Р, т2х2 = Р, (3.105)
где Р — сила взаимодействия между телами, х± и х2 —
перемещения центров тяжести. Если отсчитывать эти пе-
ремещения от состояния, соответствующего первому кон-
такту тел, то сближение центров тяжести определится раз-
ностью
а = хг — х2. (3.106)
Это выражение позволяет заменить два уравнения (3.105)
уравнением
та = - Р, (3.107)
где
J)lL + 1П2
Подставляя в (3.107) зависимость Герца (3.101), приходим
к уравнению
а =-----а'2. (3.109)
§ 3.6]
НЕЛИНЕЙНО-УПРУГАЯ МОДЕЛЬ ГЕРЦА
165
После первого интегрирования и определения возникаю-
щей при этом постоянной из условия d (0) = у, найдем
относительную скорость
«=(зл1°)
Из условия d = 0 находим наибольшее сближение
атах=(-^Р2У‘ (3.111)
Отсюда определяется и наибольшая сила сжатия
Лпах = ЯаЙах = К*'* (3-И2)
Далее, для вычисления продолжительности удара раз-
делим переменные в уравнении (3.110); после интегри-
рования от начала удара до момента наибольшего обжатия
получим
(3.113)
где т — общая продолжительность удара. После введения
безразмерной переменной £ = а/агаах из (3.113) получим
__ 2атак
v
(3.114)
Входящий сюда
цию следующим
интеграл
образом:
о' - С1
вычисляется через гамма-фупк-
Г
2
5
dt,
= 1,472.
Г
Подставляя этот результат и выражение (3.111) в формул^
(3.114), окончательно находим
г 3.213 (-gr)"' (3.115)
3.6.3. Как было указано выше, теория Герца достаточ-
точна, если продолжительность удара т. значительно
166
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
больше наибольшего периода свободных колебаний соу-
даряющихся тел. С другой стороны, согласно выражению
(3.115) продолжительность удара убывает с увеличением
скорости. Очевидно, существует некоторый верхний пре-
дел скорости Ртах» при превышении которого формулы,
полученные с помощью теории Герца, будут приводить
к слишком большим ошибкам.
Это соображение часто подчеркивается в литературе,
посвященной теории удара, однако незаслуженно мало
внимания уделяется другому ограничению теории Герца,
которое связано с возможным появлением пластических
деформаций в соударяющихся телах; как будет показано
ниже, именно это ограничение имеет решающее значение.
Принятое Герцем предположение о линейной упругости
материала не оправдывается при достаточно больших ско-
ростях удара; предельное значение скорости, при котором
материал еще остается в пределах упругости, ниже будет
обозначено через Ртах- Разумеется, что величины рг'пах и
и Ртах могут СКОЛЬ УГОДНО раЗЛИЧЗТЬСЯ, поскольку ОНИ
определяются из независимых соображений.
3.6.4. Оценим величину Ртах для легко рассчитывае-
мого случая соударения двух одинаковых шаров. С помо-
щью выражений (3.102) и (3.115) находим (при р 0,3)
т-5,б2зя(^у'‘ (зле»
где р — плотность материала.
Наибольший период свободных колебаний шара оп-
ределяется следующей формулой теории упругости
(см. [16]):
Т = 2,4517?]/^. (3.117)
Для определения Ртах нужно сопоставить последние
два результата; если окажется, что величина (3.116) зна-
чительно больше величины (3.117), то можно пользоваться
теорией Герца (конечно при условии неограниченной упру-
гости материалов шаров).
Для того чтобы придать количественную определен-
ность выражению «значительно больше», полезна соот-
ветствующая оценка для упругих систем с одной степенью
свободы; известно, что если длительность монотонного
$ 3.6]
НЕЛИНЕЙНО-УПРУГАЯ МОДЕЛЬ ГЁРЦА
.167
возрастания переменной силы в пять раз больше периода
свободных колебаний, то динамические эффекты лишь на
5% (приблизительно) отличаются от соответствующих ста-
тических эффектов. Исходя из этого и имея в виду, что
величина т вдвое больше длительности процесса возраста-
ния нагрузки при соударении, примем условие достаточ-
ной точности теории Герца в виде х!Т 10. С помощью
этого условия можно вычислить
Утах =6,35.10-‘ 1/4- (ЗЛ18)
Г Г
3.6.5. Оценим величину р"пах для того же случая соу-
дарения двух одинаковых шаров. Будем исходить из вы-
ражения
пэкв = 0,382 Р , (3.119)
определяющего наибольшее эквивалентное (приведенное)
напряжение по статической теории Герца*). Подставляя
сюда (3.112) и выражая массу шара через плотность мате-
риала р, получим
<тэкв = 0,426 ypvW. (3.120)
Приравняв напряжение оЭКв пределу упругости оу, най-
дем предельное значение скорости:
^ = 8,44-^]/ -f. (3.121)
3.6.6. Для того чтобы выяснить, какое из двух ограни-
чений скорости оказывается более жестким, разделим
(3.118) на (3.121):
= 7,5- 10-*f—Y'2 (3.122)
^max \ аУ /
Полученный результат зависит только от отношения по-
стоянных материала и практически всегда значитель-
но больше единицы. Действительно, отношение (3.122)
♦) Выражение (3.119) соответствует гипотезе («теории») наи-
больших касательных напряжений; оно записано для точки, в кото-
рой касательное напряжение максимально и составляет 31% от
наибольшего сжимающего напряжения, развивающегося в центре
площадки контакта.
168 ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ [Тл.
меньше единицы при условии, что Е/<зу < 45. Но таких
материалов не существует; например, для стали отноше-
ние Е/с5у имеет порядок сотен единиц, даже с учетом того
обстоятельства, что при динамическом нагружении пре-
дел упругости значительно больше, чем при статическом.
Но если ртах < Ртах, то сомнения относительно приме-
нимости теории Герца в задачах удара следует связывать
не с использованием статических зависимостей, а с гораздо
более важными соображениями об ограниченной справед-
ливости закона Гука. Можно думать, что это заключение,
полученное для одинаковых шаров, остается в силе и во
многих других случаях, хотя коэффициенты в приведен-
ных выше выражениях могут оказаться несколько иными.
Таким образом, применяя теорию Герца к задачам об
ударе, достаточно заботиться только о том, чтобы вычи-
сленные по этой теории напряжения не превосходили пре-
дела упругости. Однако, как показывают простые вы-
числения, это неравенство возможно лишь при весьма
малых скоростях соударения. Так, например, принимая
для стали Е = 2,2-105 кПсм2, оу = 10000 кГ/см2, р =
8-10“6 кГ-секЧсм^, находим’ ртах = 6,2 см!сек, т. е.
очень небольшую скорость, соответствующую концу сво-
бодного падения тела с высоты всего 0, 02 см (отметим, что
вычисление по (3.118) дает в данном случае значительно
большую предельную скорость, ртах — 332 см!сек).
Таким образом, вероятно, для большинства практиче-
ских задач об ударе теория Герца неверна; однако она ока-
зывается полезной при разработке модифицированной тео-
рии, учитывающей пластические деформации при ударе.
Такой теории посвящен следующий параграф.
§ 3.7. Нелинейная упругопластическая модель
3.7.1. Оценочные вычисления, которые были приведе-
ны в конце § 3.6, позволяют утверждать, что в большинстве
практических задач нужно учитывать возможность воз-
никновения пластических деформаций, из-за которых
связь силы с перемещением (3.101) становится неверной.
В то же время в достаточно широком диапазоне скоростей
допустимо, следуя Герцу, предполагать соударяющиеся тела
совершенно жесткими всюду, кроме малых деформируе-
§ 3.7] НЕЛИНЕЙНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
169
мых областей, примыкающих к контактным зонам, и пола-
гать эти области лишенными массы. Такой подход приво-
дит к задаче о соударениях, близкой к схеме, показанной
на рис. 3.8, в, но с гладкими ветвями нелинейной характе-
ристики упругопластического элемента (различными для
каждой из двух фаз удара).
Для первой фазы удара (при возрастании ударной си-
лы) можно принять, что общее перемещение состоит из
суммы упругой составляющей, определяемой зависимо-
стью Герца, и пластической составляющей, которую мож-
но приближенно принять пропорциональной действующей
силе
а = К-2’<Р2'* + хР. (3.123)
Здесь первое слагаемое соответствует зависимости Герца
(3.101), а второе слагаемое содержит постоянную х, кото-
рая может быть определена экспериментальным путем.
К сожалению, аналитическое решение задачи об ударе
с помощью (3.123) затруднено тем, что сила не представ-
лена в виде явной функции перемещения. Поэтому удоб-
нее пользоваться явной зависимостью, например, в виде
простого одночленного выражения
Р = aas, (3.124)
в котором а и s — постоянные, подлежащие определению
из экспериментов. Сравнивая (3.124) с (3.123), можно
заключить, что входящий в (3.124) «осредняющий» пока-
затель $ должен быть больше единицы и меньше 3/2. Этот
вариант зависимости последовательно применяется в кни-
ге [5], где также приведены сведения о значениях а и s
для многих практических случаев*).
Для второй фазы удара, т. е. при уменьшении ударной
силы, когда происходит разгрузка, нужно исходить не из
(3.124), а из закона Герстнера, считая, что разгрузка ма-
териала следует закону линейной упругости; это позволя-
ет воспользоваться для разгрузки зависимостью Герца
и принять
Р = К (а - а*)3'*, (3.125)
*) В названной книге зависимость (3.124) записана в виде
a _= ЬРп, так что а = b-1,n, s — 1/п.
170
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл. 3
где К определяется прежней формулой (3.102), а* — оста-
точное перемещение. Значение а* можно определить, при-
равняв выражения (3.124) и (3.125) при а = а1Пах‘
0&* — О&тах (яОСтах/-^) *• (3.126)
На рис. 3.11 показана характеристика рассматриваемой
модели.
Рассмотрим поочередно две фазы удара, имея в ви-
ду, что аналитические
В первой фазе вместо
выражения для силы различны.
(3.109) получим дифференциаль-
ное уравнение
а = — (3.127)
После однократного интегриро-
вания при начальном условии
d (0) = р, находим скорость
сближения центров тяжести со-
ударяющихся тел
2д а5*1
т s +1
(3.128)
В момент наибольшего сближения должно быть d = 0;
отсюда следует
(3.129)
Теперь по выражению (3.124) определяется наибольшая
ударная сила
Лпах= [ (3.130)
Выражениями (3.129) и (3.130) определяются наиболее
важные характеристики удара; как видно, для их вычи-
сления нет необходимости рассматривать вторую фазу
удара. Однако продолжим выкладки и определим общую
длительность удара.
Для того чтобы найти продолжительность первой фа-
зы, нужно проинтегрировать соотношение (3.127); тогда
§ 3.7J НЕЛИНЕЙНАЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕ
получится
T1 = ^L^1(S), (3.131)
где множитель Fx выражается через гамма-функцию
_ р + 2 \
J? _ V* л (s + 3) Г \ $ + 1 ) /О л ор\
Л Г/3. + 5Т (злз2)
1 \2з4-2У
и мало изменяется во всем, практически интересном интер-
вале значений постоянной s, как это видно из следующей
таблицы:
S 1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50
Fi 1,571 1,548 1,526 1,507 1,489 1,472
Для анализа второй фазы удара нужно исходить из вы-
ражения (3.125), так что дифференциальное уравнение
движения принимает вид
а = — А.(а —а,)’'». (3.133)
После первого интегрирования находим с учетом началь-
ного условия d = О при а = атах
а = — [(атах — а.Г* — (а — аф)‘^]| '* (3.134)
Второе интегрирование позволяет найти длительность
второй фазы удара
' 4/1411 (-й-Г <“»“ - -
Г\20)
= 1,606 (^(атах - а.)-*'*- (3.135)
Таким образом, общая продолжительность удара сос-
тавляет
т = Fv (s) + 1,606 2 (атах - а.)-’Ч (3.136)
172
ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ
[Гл.
Подставляя в (3.134) а = а*, найдем скорость отскока
а, после чего можно определить коэффициент восстанов-
ления
1
R = ^2K'l's[{mv2)^3a52s+Q(s + 1)5s]6(s+d. (3.137)
Отсюда видно, что характер зависимости коэффициента вос-
становления от скорости соударения определяется значением
показателя степени s, входящего в исходную зависимость
(3.124). Из (3.137) можно заключить, что при реальных
значениях s 3/г коэффициент R уменьшается с увеличе-
нием скорости; это заключение соответствует отмеченной
выше известной тепценции (см., например, рис. 2.1) и,
тем самым, свидетельствует в пользу изложенного решения.
Если5=3/2, то согласно (3.137) коэффициент восстановле-
ния становится не зависящим от скорости удара и выра-
жается простой формулой R = а/К; если к тому же
а = К, то кривая нагрузки совпадает с кривой разгрузки,
и излагаемая теория переходит в теорию Герца (7? = 1).
Впрочем, не следует переоценивать универсальность
этой теории. Отметим, что формулой (3.137), очевидно,
нельзя пользоваться при слишком малых значениях ско-
рости — формально это может привести к величине R 1;
впрочем, при таких скоростях малы и напряжения, так
что нет необходимости обращаться к выражению (3.124)
и уместно применение теории Герца. Прц больших скоро-
стях соударения изложенная здесь теория становится сом-
нительной по другой причине, о которой шла речь в § 3.6:
при недостаточно больших значениях отношения х/Т
нельзя пользоваться статической зависимостью Р (а).
В самом деле, эксперименты [5] показывают, что при боль-
ших скоростях соударения значения параметров а и s
в соотношении (3.124) заметно отличаются от статических.
Глава 4
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 4.1. Вступительные замечания
Как выше неоднократно подчеркивалось, изложенные
в предыдущих главах решения задач об ударе основа-
ны на приближенных приемах моделирования и поэтому
несколько сомнительны. Очевидно, что получение более
точных решений желательно даже с практической точки
зрения, не говоря уже об их большом теоретическом ин-
тересе.
Такие решения, которым посвящена настоящая гла-
ва, к сожалению, могут быть доведены до конца только
применительно к наиболее простым ударным ситуациям.
()дпако и эти решения очень полезны как своеобразные эта-
лоны, позволяющие оценить точность различных прибли-
женных приемов и отобрать наиболее удачные из них;
•гем самым появляется косвенное обоснование для приме-
нения таких приемов и в усложненных ситуациях, где по-
лучение точных решений было бы слишком трудным.
Именно в этом следует видеть главную ценность излагае-
мых далее решений, хотя некоторые из них могут иметь
и непосредственное практическое значение.
Ниже рассматриваются задачи о продольном и попе-
речном ударе для стержней, причем в каждом случае за-
дача ставится в двух вариантах — без учета местных де-
формаций и с их учетом. Первый, более простой вариант
позволяет отчетливо выявить принципиальные особен-
ности ударных процессов (их волновой характер) в систе-
мах с распределенными параметрами, тогда как второй
вариант, будучи несколько более сложным, существенно
приближает решение к действительным условиям. Почти
во всех случаях мы будем считать материал стержней
174
МОДЕЛИ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ ГГл. 4
линейно-упругим, а поперечное сечение — неизменным по
длине стержня. Исключением служит лишь § 4.5, где крат-
ко рассматривается продольный удар для упругопласти-
ческого стержня.
dx
о N
Рис. 4.1.
§ 4.2. Продольный удар упругих стержней
Простейшей из задач этого типа мы уже касались во
введении (см. § 0.6), где правильное решение было полу-
чено из элементарных априорных представлений о разви-
тии процесса во времени. Ниже излагается строгий ана-
лиз не только этой за-
дачи, но и некоторых дру-
гих, более сложных задач,
не поддающихся элемен-
тарному решению. Основы
излагаемой теории были
даны еще в прошлом веке
Сен-Венаном.
4.2.1. Для вывода ос-
новного дифференциально-
го уравнения рассмотрим элемент однородного стержня
длиной dx и действующие на него силы (рис. 4.1). Диф-
ференциальное уравнение продольного движения элемен-
та имеет вид
57V j д2и , I/ л\
-r-~dx = pF dx, (4.1)
дх k ot* • '
где N = N (х, t) — продольная сила в сечении с абсцис-
сой х в момент времени t, и = и (х, t) — перемещения
этого сечения в тот же момент времени, р — плотность ма-
териала, F — площадь сечения. Согласно закону Гука
для продольной силы можно записать
<4-2>
так что соотношение (4.1) принимает вид
2 д2и д2и ,,
С^т = -17Г’ <4-3>
где
с =
(4.4>
§ 4.2] ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
— постоянная, зависящая только от свойств материала.
Как мы уже видели в § 0.6, она определяет скорость р;
пространения возмущения вдоль стержня.
Дифференциальное уравнение (4.3) достаточно универ
сально и описывает любые динамические процессы в стер-
жне при его продольных деформациях — не только рас-
сматриваемые; здесь задачи продольного удара с харак-
терными для’ них разрывами скоростей, но и случаи
продольных колебаний, для которых типичны более глад
кие закономерности.
Существуют различные формы решения уравнения (4.3)
и если для задач о колебаниях целесообразно пользоваться
методом Фурье, то применительно к задачам об ударе наи-
более удобна форма решения, указанная Даламбером,
и = / (ct — х) + ф (ct + х), (4.5)
где / и ф - функции указанных аргументов. Путем непо-
средственной подстановки можно убедиться в том, что вы-
ражение (4.5) удовлетворяет уравнению (4.3) при любых
видах функций f и ф. В самом деле, обозначая штрихами
производные этих функций по указанным аргументам,
о. соответственно по ct — х и ct + х, находим
= f {ct — х) + ф" {ct 4- х),
дч <4-6)
-У- = сЧГ {ct - X) + ф" {ct + я)].
Теперь видно, что уравнение (4.3) удовлетворяется неза-
висимо от того, какими именно функциями своих аргу-
ментов являются / и ф. Полная определенность решения
может быть достигнута лишь после формулировки гранич-
иых*и начальных условий, но, каковы бы ни были функ-
ции / и ф, своеобразная структура их аргументов позво-
ляет сделать некоторые общие заключения относительно
свойств движения.
Рассмотрим, например, движение, описываемое первым
членом решения (4.5), т. е. функцию / (ct — х). Если за-
фиксировать некоторый момент времени то она окажет-
ся зависящей только от абсциссы х. Эта зависимость опи-
сывает распределение перемещений сечений по длине
‘/гержня в избранный момент времени; допустим, что она
имеет вид кривой 1 на рис. 4.2, а. Как будет выглядеть
176 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
аналогичная зависимость в некоторый другой момент вре-
мени t± + AZ? Для ответа на этот вопрос заметим, что если
всем абсциссам придать одинаковые приращения cAZ, то
аргумент с (tr + AZ) — (х + cAZ) = ctr — х, т. е. оста-
нется прежним. Это значит, что кривая, описывающая
функцию / (ct — х) за время AZ, смещается в новое поло-
жение, отмеченное на рис. 4.2, а цифрой 2, т. е. «картина
перемещений» движется
без искажений вдоль
стержня со скоростью с.
Волновой характер про-
цесса можно уяснить также
с помощью другого рассуж-
дения. Зафиксируем неко-
торое значение % и будем
следить за движением со-
ответствующего сечения;
пусть это движение описы-
вается кривой 1 на рис.
4.2, б. Движение другого
сечения, имеющего абсцис-
су Ла -4- Ах, описывается та-
кой же кривой 2, но сме-
щенной вдоль оси времени на отрезок Ах/с, т. е. движения
сечений как бы повторяются, но со сдвигом во времени.
Таким образом, функция f (ct — х) описывает волну пере-
мещений, распространяющуюся вдоль стержня в положи-
тельном направлении оси х со скоростью с. Соответствен-
но, можно говорить о распространении вдоль стержня
соответствующих волн деформаций и напряжений.
Аналогично можно установить, что второй член (4.5)
определяет волну, распространяющуюся со скоростью с
в противоположном направлении и, следовательно, общее
движение сечений образуется наложением двух встреч-
ных волн.
Волновой характер типичен для всех рассматриваемых
ниже ударных явлений, причем в каждом конкретном слу-
чае задача сводится к выявлению вида функций f и ср.
4.2.2. Первым рассмотрим случай, когда к свободному
торцу консольного стержня внезапно приложена сжимаю-
щая сила Р, остающаяся затем постоянной. Начало отсчета
времени примем в первый момент приложения силы
§ 4.2]
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
177
Рис. 4.3.
а начало отсчета координаты х совместим с заделкой
(рис. 4.3). Из граничного условия
и (0, t) = 0, (4.7)
согласно (4.5) получим
/ (ct) + <р (ct) = 0. (4.8)
!)то соотношение тождественно удовлетворяется лишь
в том случае, когда функции / ид) различаются только зна-
ками. Поэтому вместо
функции q) (ct + х) всюду
можно писать — / (ct + х) ----г
и решение (4.5) приобрета-
ет вид
и (х, t) = f (ct — х) —-
— / (ct + х). (4.9) Рис- 4-3-
Обращаясь к начальным условиям, отметим, что при t =
О скорости и деформации равны нулю при любом значе-
нии х (кроме х = Z)
д“ (х, °) = q (*» 0) = q (4.10)
dt ’ дх ’ \ >
или согласно (4.9)
f (-Х) - f (х) = 0, (-Х) - Г (X) = 0. (4.11)
()тсюда следует, что
f (-Х) = 0, f (х) = 0. (4.12)
Имея в виду, что 0 х I и, соответственно, —I
-х 0, последние два соотношения можно объединить
одно:
f'(z) = 0 (-Z<z<Z). (4.13)
Теперь нужно вспомнить о граничном условии, которое
относится к торцу стержня
ди (Z, t)/dx = —P/EF
(при t^>0). Подставляя сюда (4.9), находим
/' (ct - Z) -|- /' (ct + Z) - P/EF (t 0), (4.14)
178 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
или, полагая z = ct — I,
f (z) + f (z + 21) = P/EF. (4.15)
Это функциональное уравнение и является основным для
нашей задачи. Согласно (4.13) в интервале —I z Z
первое слагаемое левой части (4.15) равно нулю, так что
/' (z + 21) = P/EF Z),
или, что то же самое,
/' (z) = P/EF (Z < z < 3Z). (4.16)
Тем самым найдена производная для следующего интер-
вала значений z. Снова возвращаясь к (4.15), имеем для
этого интервала
/' (z + 21) = О (Z < z < 3Z)
или
f (z) = 0 (3Z < z < 51). (4.17)
Далее для 5Z z 7Z вновь получим соотношение
(4.16) и т. д. Таким образом, производная/' (z) поочередно
принимает значения 0 и Р/ (EF), так что для анализа всего
процесса достаточно, опираясь на выражения (4.13) и
(4.16), рассмотреть первые типичные интервалы. Хотя эти-
ми выражениями определяется не сама функция (4.9), а
лишь ее производная, но именно через эту производную
выражаются такие важные характеристики процесс0, как
деформация
8 = ди/дх = —[/' (ct — х) + /' (ct + я)], (4.18)
и скорость
v = duldt = с [/' (ct — х) — /' (ct + х)]. (4.19)
Рассматривая эти выражения, можно отметить, что при
наложении двух одинаковых, но противоположно движу-
щихся волн деформация (и, соответственно, напряжение)
удваивается, а скорости точек стержня обращаются в нуль.
(При необходимости легко получить путем интегрирования
и выражение^ и (х, t); возникающая при этом постоянная
определяется из еще неиспользованного начального ус-
ловия и (х, 0) = 0.)
Из выражения (4.18) видно, что в зависимости от воз-
можных комбинаций указанных выше значений /' (z), для
§ 4.2]
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРШИЕ
деформации может получиться одно из трех различных
значений: О, —P!(EF), —2Р/ (EF). Из (4.19) следует, что
для скорости также возможны три значения: —Рс/ (EF),
О, Рс/ (EF).
Определим деформации и скорости для последователь-
ных интервалов времени и начнем с интервала, когда
О t Ис\ при этом —I ct — х I, и согласно (4.1»“»)
первые слагаемые в (4.18) и (4.19) обращаются в нуль.
Аргумент вторых слагаемых ct + х изменяется в пределах
от пуля до 21 и поэтому названные слагаемые определяются
выражением (4.13), еслис£ + х Z, или выражением (4.16),
если ct + х I. Таким образом, из (4.18) и (4.19) найдем
при ct + х I
е = 0, v = 0, (4.20)
и при ct + X I
е = -P/EF, v - —Pc/EF. (4.21)
Полученные результаты описывают волну сжатия, кото-
нагруженного торца стержня
между названными частями
рая распространяется от
к закрепленному концу.
В любой момент времени
О t Ис часть стержня
равномерно сжата и все ее
точки движутся к началу
координат с одинаковыми
скоростями и; отметим, что
значение скорости (4.21)
совпадает с найденным в
§ 0.6. Другая часть стерж-
ня неподвижна и не испы-
тывает деформаций. На.
рис. 4.4, а показано рас-
пределение деформаций по
длине стержня в некоторый
фиксированныймомент, ле-
жащий в рассматриваемом
интервале времени. Граница
(фронт волны) движется от нагруженного конца стержня
к началу координат со скоростью сив момент време-
ни Ис достигает закрепленного конца.
Рассмотрим теперь следующий интервал времени:
Ис <Z t 2Ис. При этом аргументы входящих в (4.18) и
1Р,0 МОДЕЛИ G РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТР АМН
1Гл. 4
(4.19) слагаемых располагаются в следующих интервалах:
О ct — х < 2Z, 21 <^ct + х<31. Если ct — х I, то
первые слагаемые в (4.18) и (4.19) исчезают и остаются
только вторые слагаемые:
е = - P/EF, v = PclEF. (4.22)
Если ct — то в (4.18) сохраняются все слагаемые и
согласно (4.16) находим
е = 2P/EF, v = 0. (4.23)
На рис. 4.4, б показано, как в этом интервале времени рас-
пределены деформации. Можно сказать, что на этом этапе
происходит наложение двух волн сжатия — прямой (как
и в первом интервале времени) и обратной, отраженной от
закрепленного конца стержня и движущейся от этого кон-
ца к свободному торцу. В любой момент времени примы-
кающая к закрепленному концу часть стержня испытывает
сжатие силой 2Р и покоится, тогда как другая часть стер-
жня находится в том же состоянии, как и в конце первого
интервала времени. В конце рассматриваемого интервала
времени во всех сечениях стержня действует сила 2Р (кро-
ме торца, в котором приложена сила Р).
Аналогично, рассматривая следующий интервал вре-
мени, 2Uc <^t<^ 31/с, получим результаты, показанные
на рис. 4.4, в. Можно сказать, что на этом этапе процесса
от торца стержня к закрепленному концу распространяет-
ся волна растяжения; состояние стержня при t = 31/с сов-
падает с состоянием при t = Ис. После этого поочередно
повторяются второй и третий этапы, причем усилия в се-
чениях попеременно принимают значения Р и 2Р.
В описанном процессе типично отражение волн от кон-
цевых сечений стержня — появление встречной волны
сжатия после отражения прямой волны от закрепленного
конца и, соответственно, встречной волны растяжения —
после отражения от торца. Такое отражение волн харак-
терно и для других случаев соударения стержней.
4.2.3. Изложенное в п. 4.2.2 решение можно применить
и к более сложному случаю, когда к торцу стержня при-
кладывается заданная, переменная во времени сжимающая
сила P(t). В этом случае остаются справедливыми все
соотношения вплоть до выражений (4.20) и (4.21), но если
иметь в виду, что продольная сила не постоянна, а являет-
.2J ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРЛИНГ |,Ц|
(<я заданной функцией времени, например, такой, как по
казано на рис. 4.5, а. Тогда распределение деформаций по
длине стержня в некоторый момент времени 0 t 1/с
соответствует рис. 4.5, б, а после отражения волны от за-
Р
Рис. 4.5.
крепленного конца, т. е.
при Не <t < 21/с, —-
рис. 4.5, в (стержень
закреплен на правом
конце).
4.2.4. Рассмотри м
удар при внезапной ос-
тановке стержня.
Если однородный
стержень, движущийся
вдоль своей оси со ско-
ростью v, ударяется о
Рис. 4.6.
неподвижную преграду (рис. 4.6, а), то начиная с момента
первого контакта вдоль стержня будет распространять-
ся волна сжатия от преграды к свободному концу, при-
чем стержень может быть разделен на две различные зоны.
Примыкающая к преграде зона сжата, а скорости при-
надлежащих ей частиц равны нулю; продольные деформа-
ци и равны 8 = —v/c, а напряжения а= —Ev/c. В другой
ионе, до которой еще не дошла волна сжатия, нет дефор-
маций и продолжается движение частиц с исходной
скоростью v. Граница между зонами (фронт волны)
днижется от преграды к свободному концу со скоростью
г (рис. 4.6, б). В момент, когда эта граница дойдет до сво-
бодного конца стержня, весь стержень будет сжат, а
182 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
ПЫ. 4
скорости его частиц равны нулю. На этом заканчивается
первый этап соударения.
В этом процессе легко заметить переход кинетической
энергии элементов стержня в потенциальную энергию
деформации. Рассмотрим какой-либо фиксированный эле-
мент стержня длиной dx. Пока до него не дошла волна сжа-
тия, он обладает только кинетической энергией dx.
^4
При прохождении через элемент волны сжатия он оста-
навливается, и его кинетическая энергия обращается
в нуль; однако поскольку элемент деформируется, в нем
возникает потенциальная энергия —5—dx. 1аккак е =
= —р/с, то выписанные выражения кинетической и потен-
циальной энергий равны. Таким образом, начальное рав-
номерное распределение плотности энергии по длине
стержня остается все время неизменным, однако кинети-
ческая энергия любого элемента при прохождении волны
сжатия переходит в потенциальную энергию; в рассматри-
ваемом процессе переноса энергии вдоль стержня не про-
исходит.
При t = 1/с начинается второй этап процесса, который
характеризуется появлением встречной волны растяже-
ния, движущейся от свободного конца к преграде. В зоне,
примыкающей к свободному концу, деформации и напря-
жения исчезают, а принадлежащие ей частицы приобре-
тают скорости — v, направленные противоположно на-
чальной скорости. В другой, примыкающей к преграде
зоне, до которой не дошла еще волна растяжения, будет
сохраняться состояние, соответствующее концу первого
интервала. Граница между зонами движется от свободного
конца к преграде со скоростью с (см. рис. 4.6, в). В течение
второго этапа процесса происходит обратный переход
потенциальной энергии в кинетическую энергию. В конце
интервала во всех сечениях стержня исчезают деформации
и напряжения и он весь, как жесткое целое, начнет дви-
гаться от преграды со скоростью —v. Процесс соударения
на этом заканчивается, и происходит отскок стержня от
преграды. В течение всего времени контакта усилие в при-
мыкающем к преграде сечении стержня остается неизмен-
ным (см. график на рис. 3.3, соответствующий п—>оо).
§ 4.2]
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
4.2.5. Задача о соударении двух одинаковых стержней,
движущихся с равными по величине, но противоположно
направленными скоростями ±v (рис. 4.7, а) сводится
к предыдущей, так как плоскость контакта по симметрии
будет оставаться неподвижной и служить жесткой прегра-
дой для каждого из стержней.
Развитие деформаций и напряжений при соударении
двух одинаковых стержней, движущихся перед соударе-
нием с различными скоростями и v2 (рис. 4.7, б), так
же в принципе не отличается от соответствующих процес
сов в предыдущей задаче, если положить и = (и± — iz>)/2.
Рис. 4.7.
При этом деформации и напряжения в сжатых частях
стержней определяются выражениями 8 = — (рх — и^)!2с
и о = —Е (рх — р2)/2с. После соударения стержни будут
двигаться со скоростями v2 и vr, т. е. стержникак бы
обменяются скоростями.
4.2.6. Если соударяются неодинаковые стержни, то
процесс протекает несколько более сложно, чем в рас-
смотренных выше случаях. Допустим, что стержни раз-
I и чаются только длинами, причем длина первого стержня
значительно меньше длины второго Z2 (рис. 4.8, а).
Сначала удар будет происходить так же, как и в пре-
дыдущих случаях, т. е. в обоих стержнях возникнут рас-
пространяющиеся в противоположных направлениях вол-
ны сжатия (рис. 4.8, б). Состояние стержней в момент
fjr показано на рис. 4.8, в. После этого в первом стержне
возникает отраженная от свободного конца волна pa-
ri мщения (рис. 4.8, г) и при t= 21-Jc весь этот стержень
окажется полностью разгруженным, тогда как во втором
• юржне еще распространяется волна сжатия (рис. 4.8, 5).
Хотя начиная с этого момента усилие взаимодействия
мижду стержнями равно нулю, однако разъединение
« горжпей еще не происходит, они продолжают двигаться
184 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
Рис. 4.8,
§ 4.2]
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
185
совместно. Вдоль второго стержня в одном общем
направлении будут распространяться две волны — ранее
возникшая волна сжатия и волна растяжения от плоско-
сти соприкосновения стержней. Затем от свободного
торца второго стержня отразится волна растяжения; со-
стояние стержней сначала соответствует рис. 4.8, е, а пос-
ле встречи фронтов волн растяжения — рис. 4.8, ж. Этот
этап процесса закончится, когда фронт движущейся влево
волны растяжения достигнет плоскости соприкоснове-
ния стержней (рис. 4.8, з) и произойдет разъединение
стержней.
Длительность контакта равна времени 2Z2/c, необходи-
мому для того, чтобы вдоль второго стержня прошла волна
сжатия, а затем — отраженная волна растяжения.
Рис. 4.9.
Важно отметить, что при разъединении второй стер-
жень деформирован на части длины. Поэтому после разъ-
единения вдоль второго стержня будут продолжать про-
бегать волны растяжения и сжатия; конечно, этот коле-
бательный процесс постепенно затухнет вследствие дей-
ствия неизбежно сопутствующих ему сил трения (которые,
впрочем, не были учтены выше).
Независимо от описанных особенностей процесса со-
ударения, напряжения в сечениях стержня поочередно
принимают значения
a = а = 0, a =
В книге [1] можно найти анализ других ударных си-
туаций рассматриваемого типа и, в частности, случаев, ког-
да стержни имеют не только разные длины, но и неодина-
ковые площади сечений.
4.2.7. Более подробно остановимся на задаче Бусси-
кеска о продольном ударе по упругому стержню жестким,
телом (рис. 4.9). Она была впервые решена Буссипеском
в 1883 г. и близка к задаче о действии переменной силы на
186 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
торец закрепленного стержня (см. п. 4.2.3); однако в рас-
сматриваемом здесь случае сила не задана, а подлежит
определению в ходе решения.
Для этой цели к уравнению движения элементов стер-
жня нужно присоединить дифференциальное уравнение
движения тела
р -м <4-24»
где Р — контактная сила сжатия. При учете (4.9) имеем
Р = Мс2 [/" (ct — 1)- Г (ct + Z)]. (4.25)
Из (4.14) и (4.25) следует соотношение
/' (ct ~l)+f (ct + I) = ml [/" (ct — I) - f" (ct + Z)],
(4.26)
в котором тп = МЦрЕТ) — отношение массы груза к массе
стержня. Полагая теперь z = ct — I, получим функцио-
нальное уравнение
Г (z + 21) + -А-Г (Z + 21) = /"(z) -Л-f (Z). (4.27)
Решение этого уравнения последовательно строится
следующим образом. Согласно (4.13) в интервале — I
<z < Z правая часть (4.27) равна нулю. Поэтому из (4.27)
можно найти функцию /' (z + 2Z) для интервала —Z
z < Z, т. е., что то же самое, /' (z) для интервала Z <
< 3Z. Тем самым определяется правая часть (4.27) для
этого интервала и после интегрирования можно найти
/' (z) для следующего интервала 3Z < z < 51 и т. д.
Итак, для Z z 3Z из (4.27) получаем дифференци-
альное уравнение
/"<z) + -^r/'<z) = 0’ (4-28>
из которого следует
f(z) = (4.29)
Для определения постоянной С воспользуемся начальным
условием
<4-30>
§ 4.2]
ПРОДОЛЬНЫЙ УДАР УПРУГИХ СТЕРЖНЕЙ
187
где v — величина скорости тела перед ударом. Подстав-
ляя (4.9), имеем
С [/'(-0 - /'(01 = -V. (4.31)
Учитывая (4.13), находим
f(l) = vic. (4.32)
Полагая в (4.29) z = Z, получаем значение постоянной
С = Л-(4.33)
и, следовательно, для интервала I z 3Z будет
Z—z
/'(z)=—(4.34)
Подставляя (4.34) в правую часть (4.27), найдем f(z)
для следующего интервала и т. д.; опуская выкладки*),
приведем результаты еще для двух интервалов: для 3Z <
< z < 5Z
— г 9 п зг—z
/'(z) = -^ +Z_ri-^(z-3Z)p‘ (4.35)
v v L ПЪЪ I
для 5Z < z<^ 7Z
г— Г 9 Ч 3,~z
f(Z)=2_em/+ZJl_ 2 (2_3/)Ът( +
C v L IibV J
5/—z
+ H1 ~ (z - ‘ (436)
Изложенное решение справедливо лишь до тех пор, пока
между ударяющим телом и стержнем действует сжимаю-
щая сила, т. е. пока деформация на конце стержня
= (*-37)
остается отрицательной. Для определения момента конца
соударения нужно в каждом интервале времени проверить
возможность смены знака выражения (4.37). При 0 <"
ct < 2Z правая часть (4.37) представляется функцией
(4.34) со знаком минус и остается отрицательной. При
*) См. [34], стр. 406 или [22], § 281.
188 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
21 ct 4Z правая часть (4.37) принимает вид
_ £1
— e~ml Г1 + 2еМ1 - ±=М|
с L \ ml J]
и обращается в нуль при
ct = 21 + ml 4- e-2'm. (4.38)
Но этот результат лежит в указанном интервале значений
ct при условии
2 + < Мт, (4.39)
т. е. при т 1,73. Таким образом, если отношение масс
ударяющего тела и стержня меньше, чем 1.73, то соуда-
рение заканчивается в рассматриваемом интервале. При
т^> 1,73 нужно исследовать возможность прекращения
удара в последующих интервалах времени.
Сен-Венан вычислил безразмерную продолжительность
удара для нескольких значений т:
т 1 2 4 6
сх/1 3,068 4,708 5,900 7,419
При больших значениях т продолжительность удара
можно определить, пренебрегая инерцией стержня и рас-
сматривая его как безмассовую упругую пружину. Тогда
получится
сх/1 = л ]/~т. (4.40)
Наибольшие напряжения развиваются в сечении
х = 0. Сен-Венан вывел следующие приближенные вы-
ражения:
при т< С 5: । । 2Ev 1 [max = ~с (1 _|_ е~21т), (4.41)
при 5 <Z т < 24: I I 1 а рпах “ (1 1,1 /т),. (4.42)
при т'^ > 24: |_| _ Ev 1 ° |шах — — (1 + 1^). (4.43)
§ 4.3] МЕСТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ 189
§ 4.3. Влияние местных деформаций
при продольнОхМ ударе упругих стержней
Изложенная в § 4.2 теория ясна в своих основах и впол-
не строга; казалось бы, что она должна хорошо соответ-
ствовать экспериментам. Однако в действительности об-
наружилось настолько большое расхождение между те-
орией и экспериментом, что исследователям пришлось
вновь задуматься над самой постановкой задачи и попы-
таться уловить те важные факторы, которые не были за-
мечены в теоретических решениях Сен-Венана и Бусси-
неска.
По-видимому, Сирс (1908 г.) был первым, обратившим
внимание на влияние местных деформаций, развивающих-
ся при продольном ударе в области торцов. Делов том, что
при не вполне плоских, например, при закругленных тор-
цах явление продольного удара протекает сложнее, чем
это было принято в § 4.2, и наряду с волновыми процес-
сами в стержнях нужно учитывать местные деформации.
Соответствующее решение Сирса представляет собой ком-
бинацию теории Герца (см. § 3.4) и теории Сен-Венана
(см. § 4.2); как оказалось, оно вполне удовлетворительно
согласуется с экспериментами. Но, с другой стороны,
решение Сирса относительно сложно и не универсально,
так как во многих случаях форма концов соударяющихся
стержней вовсе не сферическая. По этим причинам можно
сказать, что решение Сирса имеет в большей мере прин-
ципиальное, чем практическое значение.
В. Л. Бидерман существенно упростил решение путем
линеаризации зависимости сила — перемещение, пред-
ставив ее в виде
Р = а/б, (4.44)
где Р — контактная сила, а — сближение, обусловлен-
ное местной деформацией (см. [6] и [7]). Коэффициент
местной податливости б предложено выбирать таким,
чтобы при максимальном значении контактной силы по-
тенциальная энергия деформации была одинаковой при
линейной и нелинейной зависимостях. Неудобство этого
способа линеаризации состоит в том, что коэффициент по-
датливости зависит от максимального значения контакт-
ной силы, которое заранее, конечно, не известно. Однако
190 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл.
эта трудность (также возникающая при любом ином ра-
зумном способе линеаризации) не слишком существенна,
так как даже грубая предварительная оценка Ртах при-
водит к достаточно надежным значениям 6. Конечно,
после получения решения можно пойти по пути после-
довательных приближений и уточнить результаты.
Рассмотрим решение В. Л. Бидермана — Р. П. Малю-
ковой применительно к схеме, показанной на рис. 4.10
Рис. 4.10.
(см. [7]). Будем считать, что показанная на рисунке пру-
жина имитирует местную податливость и обладает ли-
нейно-упругими свойствами, причем коэффициент 6 изве-
стен. Обозначим и* (t) — перемещение груза, отсчиты-
ваемое от положения, соответствующего моменту первого
контакта; щ = и (Z, t) — перемещение торца стержня,
которое согласно (4.9) записывается в виде
щ = / (ct - Z) - / (ct + Z), (4.45)
так что
щ = с2 [/" (ct — I) — /" (ct + Z)]. (4.46)
Контактную силу P можно представить тремя различны-
ми выражениями. Сила Р связана с ускорением груза
соотношением
Р = Mil*. (4Л1)
Кроме того, согласно (4.44) сила Р выражается через
укорочение пружины
а = щ — и* (4.48)
в виде
р = 1(иг-м#). (4.49)
Наконец, сила Р связана с продольной деформацией стерж-
ня у его торца соотношением (4.14). Исключим перемен-
ную и* из (4.47) и (4.49):
Р8 + Р/М (4.50)
§ 4.3] МЕСТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ] 191
и подставим сюда (4.14) и (4.46). Тогда получится урав-
нение
EF8f"' (ct + I) + /" (ct + l) +±Г (ct + I) =
= - EF8f" (ct - I) + /" (ct -I) - ± f (ct - I). (4.51)
Здесь m — отношение массы ударяющего тела к массе
всего стержня. Процедура решения уравнения (4.51)
в основном совпадает с последовательностью решения
уравнения (4.27).
Сначала рассмотрим интервал 0 ct < 21. В этом
интервале —I <^ct— I < I, т. е., согласно (4.13), правая
часть (4.51) равна нулю, и мы получаем
EFW" (ct + I) + f" (ct + I) + -Lf (ct + I) = 0 (4.52)
— уравнение второго порядка относительно функции
f'(ct + Z). Форма решения этого уравнения зависит от со-
отношения параметров системы. При достаточно большой
местной податливости, когда
6 > mll^EF, (4.53)
решение записывается через тригонометрические функции
f(ct + Z) = [Cxsin k(ct + Z) + C2cosk(ct + Z)k_n(cf+f>,
(4.54)
где
k = V El пМ (26 El )2 ’ п = 26EE ' (4-55)
Если местная податливость мала и неравенство (4.53)
нарушено, то решение записывается в виде
f(ct + Z) = [Cxsh к* (ct + I) + С2 ch (ct +
(4.56)
где
к* = (2dEl)2 El ml 6
Очевидно, что различие между излагаемым здесь решением
и решением Буссинеска (см. § 4.2) должно быть особенно
заметно в случаях относительно большой местной подат-
192
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [Гл. 4
ливости, поэтому дальнейшие выкладки относятся к этим
случаям и решение принимается в виде (4.54).
С помощью (4.14) образуем выражение для контакт-
ной силы в интервале 0 ct 2Z:
Р (t) = EFf (ct + I) =
= EF [C^sin к (ct + I) + С2соя k(ct + (4.58)
Постоянные и C2 определим из начальных условий
Р (0) = О, Р(0) = р/б.
(4.59)
Первое условие очевидно; второе условие вытекает из
того, что в начале контактного взаимодействия скорость
торцевого сечения стержня равна нулю, и пружина начи-
нает сжиматься со скоростью v. Из условий (4.59) находим
= бетenl cos к1> с* = ~ тгс enl sin к1' <4-60>
следовательно,
Р = e~ncls\nkct.
(4.61)
Этим выражением можно пользоваться до тех пор, пока
О ct <" Z; удар закончится в указанном интервале,
если kl > л/2, и при этом
длительность удара равна
т = л/ (кс).
Если kl л/2, то для
дальнейшего исследования
процесса удара нужно про-
должить вычисления для
последующих интервалов
времени (дальнейшие под-
робности по этому поводу
Рис. 4.11.
см. [7]). В этом случае закон изменения ударной силы
имеет вид, показанный на рис. 4.11.
§ 4.4. Гидравлический удар
4.4.1. Гидравлическим ударом называют совокупность
явлений, возникающих в жидкости при резком изменении
скоростей ее частиц, в частности, в движущейся по трубо-
проводу жидкости при быстром перекрытии выходного от-
§ 4.4]
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
193
верстия, а также при быстром приложении или сбросе
давления. В некоторых случаях гидравлические удары мо-
гут создавать угрозу прочности трубопроводов.
Ниже рассматривается простейшая, но достаточно ти-
пичная задача о гидравлическом ударе, происходящем
при быстром перекрытии выходного отверстия трубопро-
вода. Для упрощения задачи будем считать ось трубо-
провода горизонтальной, а номинальные размеры его по-
перечного сечения — неизменными по длине. Скорости
всех частиц жидкости, расположенных в произвольный
момент времени в каком-либо сечении трубопровода, будем
полагать одинаковыми, так же как давление и плотность
во всех точках сечения; жидкость будем считать лишенной
вязкости. По своему характеру эта задача близка к за-
даче о продольном ударе упругих стержней в постановке,
принятой выше в § 4.2. Однако как мы увидим, даже эти
простые представления о свойствах жидкости и трубо-
провода приводят в теории гидравлического удара к до-
вольно сложным нелинейным соотношениям, которые
обычно дополнительно упрощают; поэтому окончательные
уравнения технической теории гидравлического удара
оказываются приближенными.
4.4.2. Рассмотрим сначала случай абсолютно жесткого
цилиндрического трубопровода, считая диаметр 2R за-
данным и не меняющимся при изменениях давления со-
держащейся в нем жидкости. Хотя податливость трубо-
провода в действительности существенно влияет на ко-
личественные результаты исследования процесса удара,
по принятая здесь упрощенная постановка задачи позво-
ляет правильно и наиболее ясно уловить все качественные
особенности явления. Таким образом, рассматриваемая
здесь теория не может претендовать на непосредственное
практическое применение, но служит введением к после-
дующему изложению, где учитывается податливость трубо-
провода (см. п. 4.4.3).
Обозначим для момента времени t и сечения с абсцис-
сой х: v (я, t) — скорость частицы жидкости, р (я, t) —
плотность, р (х, t) — давление; доударные значения ско-
рости, плотности и давления будем обозначать через v0,
р0 и р0 и считать их постоянными по всему объему нахо-
дящейся в трубопроводе жидкости. Для определения
функций и, р и р составим три уравнения, а именно,
7 Я. Г. Пановко
194 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
уравнение движения центра масс элементарного объема
жидкости, уравнение неразрывности и уравнение состоя-
ния (связь давления с плотностью).
Обратимся к составлению первого уравнения. Проек-
ции на ось абсцисс сил, приложенных к элементу жидкого
объема dx, определяются только давлением и, соответст-
венно, равны pF и — (р + где & — площадь
сечения трубопровода (рис. 4.12). При этом дифферен-
циальпое уравнение движения
центра масс элемента записы-
вается в виде
-^Fd^fF^dz, (4.62)
где
dv dv . dv /r
37=пт+уп- (4.63)
dt dt 1 dx ' 1
Рис. 4.12.
— ускорение центра масс рас-
сматриваемого элемента. Таким образом, из (4.62) следует
(4.64)
В теории гидравлического удара обычно пренебрегают
вторым слагаемым левой части (4.64), так как изменения
рр2/2 по длине трубопровода в десятки и даже в сотни раз
меньше изменений величины р. Кроме того, в правой час-
ти (4.64) приближенно можно принять р ~ р0. Таким
образом, получаем первое уравнение задачи
Второе уравнение следует из условия неразрывности
потока жидкости. Рассмотрим бесконечно малую цилинд-
рическую часть внутреннего объема трубопровода, соот-
ветствующую длине dx. За бесконечно малый интервал
времени dt в эту часть втекает жидкость массы pvF dt, и
вытекает жидкость массы |^pz2-|- dx^F dt. Следователь-
но, приращение массы жидкости в рассматриваемом объ-
еме составляет — ? F dxdt. С другой стороны, текущее
§ 4.4]
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ удар
195
значение массы жидкости в том же объеме равно pF dx, так
что ее приращение можно записать в виде^ F dx dt. При-
равнивая два полученных выражения для приращения
массы, приходим к соотношению
др др dv
“V— Р^- (4.66)
dt dx г дх ' '
Оказывается, что обычно первое слагаемое правой части
существенно меньше второго; поэтому в теории гидравли-
ческого удара принято вместо (4.66) пользоваться приб-
лиженным соотношением
др ду .. рг7ч
Tt <4-67)
Здесь, как и в записи (4.65), справа принято р = р0.
Система уравнений замыкается третьим уравнением —
уравнением состояния, которое связывает приращение
давления р — р0 с приращением1 плотности р — р0.
Это соотношение обычно принимается в виде линейной
зависимости
р-Ро = Е0^ (4.68)
Ро
где Ео — постоянная жидкости, называемая объемным
модулем упругости (например, для пресной воды EQ =
2 • 104 кГ/см2). Из (4.68) следует
др ро др
dt Eq dt
Подставляя (4.69) в (4.67), получим
= - Ео (4.70)
dt dx v '
Из системы уравнений (4.65) и (4.70) можно исключить
производные давления др/дх и dpldt, либо производные
скорости dv/dx и dv/dt. В первом случае получим уравне-
ние для скорости:
d2y _ I д-р
"dtf = ’
7*
196 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
а во втором случае — такое же уравнение для давления:
д2р 1 д2р
дх2 с2 dt2
В (4.71) и (4.72) обозначено с2 = 2?О/Ро-
Уравнения (4.71) и (4.72) полностью совпадают с вол-
новым уравнением задачи о продольном ударе упругих
стержней (см. § 4.2), так что полученные при ее решении
результаты можно без затруднений распространить на
рассматриваемый здесь случай гидравлического удара.
Однако это нецелесообразно делать до тех пор, пока не
будет учтена податливость трубопровода; как мы сейчас
увидим, она вносит заметные количественные изменения
в уравнения задачи.
4.4.3. Для приближенного учета податливости тру-
бопровода, т. е. изменения площади его сечения при измене-
ниях давления, воспользуемся предложенными Н. Е. Жу-
ковским упрощенными представлениями: 1) материал
стенок следует закону Гука; 2) деформация элементарного
кольца, расположенного между двумя любыми бесконечно
близкими сечениями трубопровода, может рассматривать-
ся независимо от деформаций смежных частей; 3) инерция
стенок трубопровода может не учитываться. Отказ от лю-
бого из этих допущений привел бы к значительным ус-
ложнениям теории.
Таким образом, определение деформаций трубопрово-
да сводится к решению статической задачи о круговом
кольце, нагруженном равномерно распределенным внут-
ренним давлением. Обозначим: 7?0 — номинальный внут-
ренний радиус сечения трубопровода, h — толщина его
стенки, Е — модуль упругости материала. Тогда при
h/RQ <<с 1 малое приращение внутреннего радиуса, вы-
званное увеличением давления от номинального значения
pQ до значения р, определяется известным выражением
R-R^[P~P'^ , (4.73)
а соответствующее приращение площади поперечного се-
чения трубопровода — выражением
2nR3
Р-Ъ = -ёг(Р-Р^ (4-74)
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
197
Строго говоря, переменность площади сечения должна по-
влиять на запись обоих первых уравнений задачи — урав-
нения движения и уравнения неразрывности. Однако от-
носительная поправка в первом из уравнений имеет по-
рядок отношения напряжения в трубопроводе к модулю
упругости материала, т. е. пренебрежимо мала; поэтому
первое уравнение задачи мы примем в прежнем виде (4.65).
По-иному обстоит дело с уравнением неразрывности, ко-
торое при учете изменения сечения трубопровода вместо
(4.66) принимает вид
ЦР- = -р^Й <4-75)
(как и в (4.67) здесь опущено малое слагаемое в правой
части). Таким образом, левая часть уравнения неразрыв-
ности представляется в виде суммы £ F + р , оба слагае-
мых которой можно выразить через производную dpldt*.
первый член преобразуется с помощью уравнения (4.69),
а второй член — с помощью уравнения (4.74)
££ _ 2FR^ др rjQ.
dt Eh dt
Таким образом, для левой части уравнения (4.75) получа-
d(PF) _ /PlF 2fZ?0 \др ,,17
dt \Л0 + Eh РоУ dt ’
а само уравнение (4.75) приобретает вид
дР =-------Е° д° (4.78)
dt । %Е$ R} дх
Это уравнение переходит в уравнение (4.70) при Е —оо.
Удобно ввести приведенный объемный модуль упругости
жидкости,
тр _________________________ ^0
i ц 2/<о7?п
Eh
(4.79)
в котором также учитывается податливость трубопровода.
Тогда в силе останутся уравнения (4.71) и (4.72), если в
них принять
(4.80)
С2 = ^/ро-
(4.81)
(4.83)
198 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [Гл. 4
Количественное влияние податливости трубопровода
достаточно велико; так, например, для стального трубо-
провода с отношением R0/h = 50 при Е = 2-106 кГ/см2
и Ео = 2-104 кПсм\ найдем Е* = О,52?о, т. е. из-за по-
датливости трубопровода приведенный объемный модуль
упругости жидкости вдвое меньше, чем Ео.
4.4.4. Обратимся к уравнениям (4.71) и (4.72), счи-
тая, что с2 определяется выражением (4.80). Их решения
имеют вид
р — Ро = / (ct — х) + ф {ct + х),
v — vo = ft (ct — х) + ф! (ct + х),
где /, Л, ф, фх — функции, конкретный вид которых оп-
ределяется ниже из граничных условий. В силу уравне-
ний (4.65) и (4.70) эти функции связаны между собой и,
как можно проверить, между ними существуют соотно-
шения
/-ji/, (4.82)
Таким образом, вместо (4.81) имеем
р — Ро = 1 (ct — х) + <р (ct + х),
v ~ v° = 77 I/ (ct ~ ~ <с/ +
рс
Отсюда видно, что изменения давлений и скоростей опи-
сываются двумя встречными волнами, распространяющи-
мися в противоположных направлениях.
Будем рассматривать трубопровод, который идет от
столь большого резервуара, что давление во входном се-
чении можно считать постоянным; оно определяется вы-
сотой слоя воды над центром тяжести входного сечения.
На другом конце, где происходит истечение жидкости в
атмосферу, трубопровод снабжен задвижкой. С помощью
уравнений (4.83) можно исследовать развитие процесса
гидравлического удара при любом заданном законе за-
крытия задвижки. Ясно, что чем быстрее происходит пе-
рекрытие трубопровода, тем более резко будут проявлять-
ся ударные явления.
Остановимся на предельном случае мгновенного закры-
тия задвижки в момент t = 0. Сразу после этого момента
начнется торможение жидкости, но вначале оно будет
охватывать только прилегающие к задвижке элементы
4.4f
ГИДРАВЛИЧЕСКИЙ УДАР
1W
жидкости; теряя скорость, они будут несколько сжимать-
ся, причем из-за повышения давления диаметр соответ-
ствующего участка трубопровода одновременно увели-
чивается. Этот этап процесса описывается первыми сла-
гаемыми выражений (4.83), если течение происходит справа
налево и задвижка находится па левом конце трубопро-
вода. Полагая в (4.83) v = 0 при х = 0, находим
Р — Ро = / (ct), »o = ^f (ct), (4.84)
pc
где Vq — абсолютное значение предударной скорости. Отсюда
следует формула Жуковского (1899 г.)
Р — Ро = pcv0, (4.85)
которая связывает приращение давления при гидравличе-
ском ударе с предударным значением скорости жидкости.
Эта формула аналогична выражению (0.19), полученному
для задачи о продольном ударе упругого стержня. Из вто-
рой формулы (4.84) находим, что / (ct) = pcv0 или,
подставляя ct — х вместо ct,
/ (ct — х) = рср0. (4.86)
Таким образом, ординаты первоначальной прямой волны
давления постоянны, т. е. волна имеет прямоугольную
форму, как и в задаче о приложении постоянных сжимаю-
щих напряжений к торцу упругого стержня. Длина
участка, в пределах которого жидкость остановилась,
будет возрастать до тех пор, пока фронт волны сжатия
не достигнет входного сечения трубопровода (в момент
t = Цс). После этого возникнет обратная волна разреже-
ния и решение будет описываться общими соотношения-
ми (4.83). При ее прохождении давления в сечениях тру-
бопровода будут возвращаться к первоначальному (но-
минальному) значению р0 и в момент t = 21/с давление
по всей длине трубопровода снова будет равно pQ.
При 1/с < t < 2Ис скорости частиц жидкости проти-
воположны направлению и0, т. е. в трубопроводе возни-
кает как бы обратное течение жидкости. Аналогично
можно установить, что при 2Ис < / < 3Z/c вдоль трубо-
провода будет проходить новая прямая волна разреже-
ния, которая отличается знаком от первой прямой волны.
В этом интервале времени давления в сечениях трубо-
провода меньше номинального значения р0 на величину
200 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
рср0 (здесь предполагается, что pQ рсу0 и вакуум в тру-
бопроводе не образуется). Далее процесс будет продол-
жаться с попеременным чередованием интервалов повыше-
ния и понижения давления.
На рис. 4.13, а показано изменение давления у зад-
вижки (х = 0), а на рис. 4.13, б — изменение давления
в некотором фиксирован-
ном сечении хг трубопро-
вода. Как видно, весь про-
цесс носит колебательный
характер с круговой часто-
той псЦ.
При расчете трубопро-
вода на прочность следует
исходить из известной фор-
мулы для напряжения в
кольце при действии^ рав-
номерно распределенного
внутреннего давления.
7 Тогда дополнительные на-
пряжения, вызванные гид-
равлическим ударом, в со-
ответствии с формулой
Жуковского будут опреде-
ляться по выражению
ст = pcvQRQlh, (4.87)
Если задвижка закрывается постепенно, то явление гид-
равлического удара будет в той или иной мере ослаблено,
а дополнительные напряжения в стенке трубопровода ока-
жутся меньшими, чем по формуле (4.87); при исчезающе
малой скорости закрытия задвижки они обращаются в
нуль. По поводу проблемы гидравлического удара см.
книгу [4].
§ 4.5. Продольный удар
ио упругопластическому стержню
4.5.1. Рассматривая в гл. 3 дискретные модели, мы
уже отмечали, что с увеличением интенсивности удара
все большую роль начинают играть отклонения от закона
идеальной упругости; в соответствующих случаях явле-
§ 4.5]
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ
201
ние удара нужно анализировать с учетом нелинейной за-
висимости в (в).
Эти соображения полностью остаются в силе и в тех
случаях, когда речь идет о моделях с распределенными
параметрами, в частности, о стержнях.
Кратко рассматривая здесь эти вопросы примени-
тельно к задаче о продольном ударе упругопластическо-
го стержня, мы будем исходить из того, что диаграмма
ст (е) задана. При этом, конечно, следует иметь в виду,
что она может заметно отличаться от диаграммы а (е),
полученной в статических условиях *).
4.5.2. Переходя к выводу основных уравнений задачи
об ударе по упругопластическому стержню, мы прежде
всего должны вспомнить, что соотношение (4.1), получен-
ное в § 4.2 для упругого стержня, в сущности, не связано
с какими-либо предположениями о свойствах материала
стержня (кроме свойства сплошности) и остается справед-
ливым при любом виде зависимости <у (е). Запишем это
соотношение в виде
dv 1 da
dt р dx
Кроме того, заметим, что поскольку е = ди/дх и и =
== duldt, то деформация г и скорость v связаны между
собой:
dv __ d&
dx — dt
(4.89)
Поскольку мы приняли, что деформация однозначно свя-
зана с напряжением, вместо (4.89) можно записать
(4.90)
dx da dt рС2 dt ' 7
где
V p de
(4.91)
♦) Более того, поскольку зависимость or (е) достаточно чувст-
вительна к изменениям скорости деформирования, ее вообще не сле-
дует считать собственной характеристикой материала. По этой при-
чине данные ниже решения задачи о продольном ударе носят не-
сколько условный характер.
202 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
Таким образом, уравнения (4.88) и (4.90) определяют
движение частиц стержня при произвольной зависимости
or (е).
Для совместного решения этой системы уравнений
воспользуемся методом характеристик, который явля-
ется одним из наиболее распространенных методов реше-
ния нелинейных уравнений в частных производных. Ум-
ножив уравнение (4.88) на dt, а уравнение (4.90) на dx
и сложив их, найдем
- dt + dx = 1 №dt + 4-s? dx\ . (4.92)
dt 1 дх p \dx cl dt / ' 7
Левая часть этого равенства является полным дифферен-
циалом
^dt + ~ dx = dv, (4.93)
dt 1 дх 4 7
тогда как правая часть (4.92), вообще говоря, полным диф-
ференциалом не является. Однако в плоскости xt можно
найти такие линии (характеристики), вдоль которых пра-
вая часть (4.92) также представляет собой полный диффе-
ренциал de.
Для того чтобы выделить такие линии, заметим, что
правая часть уравнения (4.92) представляет собой полный
дифференциал при условии, что коэффициенты при да/дх
и dcs/dt относятся между собой как dx и dt:
j. dx dx
(it: —- = -гг
cl
(4.94)
Отсюда следует
dx .
(4.95)
Эти соотношения можно рассматривать как дифференци-
альные уравнения характеристик (см. [12]).
Как видно, характеристики являются прямыми линия-
ми, образующими два семейства — с положительными и
отрицательными наклонами. Каждая характеристика об-
ладает тем замечательным свойством, что во всех ее точ-
ках состояние стержня одно и то же (здесь, как и обычно,
под состоянием понимается совокупность величин, оп-
ределяющих скорость, деформацию и напряжение данноц
§ 4.5]
УПРУГОПЛАСТЙЙЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ
203
частицы в данный момент времени). Наклон характерис-
тики определяет скорость, с которой данное состояние
«перемещается) вдоль стержня или, иными словами, ско-
рость распространения волны деформации. Следует от-
метить, что эта скорость убывает с уменьшением произ-
водной da/dz, т. е. с увеличением напряжения.
4.5.3. Пусть, например, к свободному торцу упруго-
пластического стержня приложено быстро возрастающее
напряжение ст (£), которое в процессе своего увеличения
Рис. 4.14.
переходит через предел упругости ау (рис. 4.14, а); кри-
вая о (е) на рисунке не показана, по мы будем считать, что
она известна и при сг сгу ее наклон dddz постепенно убы-
вает. В этом процессе каждому моменту времени соответ-
ствует определенное значение напряжения на торце и,
соответственно, определенное значение производной da/ds.
На рис. 4.14, б показаны плоскость xt и семейство ха-
рактеристик с положительными наклонами (характерис-
тики с отрицательными наклонами соответствуют распро-
204 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 1
странению обратной волны, которая здесь не рассматри-
вается). Эти характеристики построены по уравнению
(4.95), причем наклон каждой из них с* = соответ-
ствует значению о па торце стержня в соответствующий
момент времени. Характеристики, начинающиеся ниже
точки 71/, имеют одинаковые наклоны, соответствующие
значению с* = с = У Е/р, и описывают распространение
упругих волн. Выше точки М характеристики имеют раз-
личные наклоны, зависящие от достигнутого на торце
уровня напряжений.
Проследим с помощью характеристик, как изменяются
напряжения в произвольном сечении А стержня и для
этого зафиксируем на плоскости xt значение абсциссы ха,
соответствующей сечению А. Напряжения в сечении А
впервые появляются в точке А х, когда до рассматриваемого
сечения доходит упругая волна от торца. Далее, вплоть
до точки Л2 в сечении А полностью повторяется процесс
развития напряжений на торце, но с неизменным отста-
ванием во времени. В точке А2 напряжения достигают пре-
дела упругости. После этого отставание процесса А (см.
точки Л3, Л4) будет увеличиваться, так как скорости рас-
пространения пластических деформаций убывают с ростом
напряжения на торце.
Пользуясь семейством характеристик, можно также
найти распределение напряжений по длине стержня в
любой момент времени. Для этого нужно, в отличие от
предыдущего, зафиксировать момент времени tB. Тогда
совокупность точек пересечения BQ, B2i . позволит
установить напряжения в рассматриваемый момент вре-
мени. Для этого нужно из каждой точки пересечения вер-
нуться по соответствующей характеристике до оси t и
определить по рис. 4.14, а соответствующее значение а.
На рис. 4.14, в приведен эскиз эпюры напряжений для мо-
мента времени tB.
4.5.4. Пользуясь соотношением (4.92), можно найти
напряжение, возникающее в первый момент удара упру-
гоплястического стержня о неподвижную плоскость. При
условии (4.95) правая часть (4.92) представляет собой пол-
ный дифференциал и из соотношения (4.92) получим
dv — (4.96)
§ 4.5]
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ
205
Отсюда следует
(4.97)
Результат интегрирования в правой части полученного
соотношения будет зависеть от конкретного вида зависи-
мости а (е); для упругого стержня da/dz = Е и из (4.97)
получается прежняя формула (0.19).
Остановимся на случае, когда материал обладает ли-
нейным упрочнением. Тогда
о = Е&
при о Оу,
/ о
О' = €Гу + vE ( 8 — —
при О' СГу,
(4.98)
где vE — модуль упрочнения. При этом
do т~»
= Е, если в <; оу,
do
-г — vE. если о 2> Оу
d& ' у
Соответственно, вычислим правую часть (4.97):
Подставляя полученный результат в (4.97), найдем напря-
жение
о = и У^Ер -J- Оу (1 — ]/v). (4.100)
4.5.5. Выше в п. 4.5.3 было принято, что приложенное
к свободному торцу сжимающее напряжение не убывает
с течением времени. В противоположном случае, когда на
свободном торце происходит разгрузка, явление сущест-
венно становится более сложным. Дело в том, что раз-
грузка практически точно следует линейному закону
(закону Герстнера) и поэтому скорость распространения
волны разгрузки больше, чем скорость распространения
пластических волн, возникающих при возрастании на-
пряжений (когда о Оу); соответственно, фронт волны
206 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл.
разгрузки будет «догонять» фронт ранее возникших пла-
стических волн. Возникающие при этом сложные явления
были исследованы X. А. Рахматулиным (1945 г.); их ана-
лиз см. в книге [291.
Весьма сложным оказывается также явление удара
в упругопластических стержнях, если производная do/de
не убывает с возрастанием напряжения, как это предпо-
лагалось выше, а увеличивается. Соответствующие зада-
чи по своему содержанию близки к задачам распростра-
нения ударных воли в газовой динамике.
§ 4.6. Поперечный удар по упругой балке
4.6.1. Первое решение задачи о поперечном ударе по
упругой балке было предложено Сен-Венаном и основано
на уравнении технической теории изгиба, которое для ста-
тических задач имеет вид
(EIw")" = Q- (4.101)
Здесь w = w (х) — прогиб оси балки, Е — модуль упру-
гости, I — момент инерции поперечного сечения относи-
тельно нейтральной оси, q = q (х) — интенсивность рас-
пределенной нагрузки. Сеи-Вепан предположил, что удар
осуществляется сосредоточенным грузом, который не от-
деляется от балки, по крайней мере до момента, когда про-
гиб достигает наибольшего значения; местные деформа-
ции в решении Сен-Венана не учитываются. Подставив
в уравнение (4.101) вместо q интенсивность распределен-
ных сил инерции — pFd2w/dt\ Сен-Венан пришел к диф-
ференциальному уравнению
= <4-102)
Таким образом, была поставлена задача о свободных
колебаниях балки при следующих начальных условиях:
начальные смещения от состояния равновесия равны
нулю, начальные скорости равны нулю повсюду, кроме
одной точки (точки удара), где скорость равна заданной
величине и.
В принципе такая постановка задачи казалась естест-
венной и, в случае успеха в ее решении, можно было рас-
считывать на возможность дальнейших уточнений путем
4.6] ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГОЙ БАЛКЕ 207
учета влияния различных сопутствующих факторов. Од-
нако в результатах Сеп-Венана обнаружились некоторые
аномалии: несмотря на то, что полученные для прогибов
ряды оказались сходящимися, ряды для изгибающих мо-
ментов были практически непригодны для вычислений,
а ряды для поперечных сил расходились, так что по реше-
нию Сеп-Венана оказалось невозможным вычислить ди-
намические напряжения.
Лишь сравнительно недавно выяснилось, что диффе-
ренциальное уравнение (4.102) не согласуется с приняты-
ми в решении Сен-Венана начальными условиями. Дело
РисЛ 4.15.
в том, что не учитывающая сдвигов схема балки (см. мо-
дель на рис. 4.15) предполагает такую систему внутрен-
них связей, при которой разрывное (по координате х)
распределение скоростей кинематически невозможно, хо-
тя именно такое распределение было принято Сен-Вена-
ном для начального момента времени. Таким образом, для
построения корректного решения необходима взаимная
увязка начальных условий с дифференциальным урав-
нением.
Соответствие уравнения и начальных условий формаль-
но может быть достигнуто без больших затруднений —-
достаточно принять, что начальные скорости отличаются
от нуля не в точке, а на некотором малом участке длины
балки и изменяются па этом участке непрерывно; измене-
ние скоростей в пределах участка можно принять по ка-
кой-либо плавной кривой. Такая модификация постанов-
ки задачи устраняет отмеченные выше аномалии резуль-
татов, но не является единственным способом достижения
нужного соответствия. Нельзя забывать, что само урав-
нение (4.102) сугубо приближенное и часто (например,
при изгибе относительно коротких балок) оказывается не-
удовлетворительным.
Поэтому логичнее строить теорию удара не па моде-
ли, показанной на рис. 4.15, а па более полной, хотя
208
МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ [Гл. 4
также приближенпой, модели Тимошенко, учитывающей
сдвиги (ей соответствует рис. 4.16 *)). Благодаря не-
которому ослаблению системы внутренних связей, в та-
кой модели становится допустимым разрывное по длине
Рис. 4.16.
распределение скоростей и исчезает необходимость
как-либо смягчать начальные условия.
Из сказанного не следует делать вывод о том, что урав-
нение (4.102) вообще неприменимо к решению задач об
ударе. Если, например, приложенный к балке импульс
распределен по ее длине по полуволне синусоиды, то рас-
пределение скоростей не будет содержать разрывов
(по координате х) и допустимо пользоваться уравне-
нием (4.102). Решение этой задачи помещено в п. 4.6.2,
где также обсуждается применение этого подхода к слу-
чаям, когда распределение импульса следует синусои-
дальному закону с большим числом полуволн (в этих слу-
чаях может стать необходимым учет сдвигов).
В п. 4.6.3 при попытке решить задачу о приложении
равномерно распределенного по длине импульса вновь
выясняется непригодность уравнения (4.102). Далее, в
п. 4.6.4 даны основные соотношения теории Тимошенко,
а в п. 4.6.5 — решения задач об ударе с учетом сдвигов.
При решении задач о поперечном ударе, так же как и
при решении задач о продольном ударе, часто нужно учи-
тывать не только общие, но и местные деформации; этот
вопрос рассмотрен в п. 4.6.6.
4.6.2. С помощью уравнения (4.102) рассмотрим дей-
ствие мгновенного импульса S, распределенного по дли-
не однородной балки по синусоидальному закону (рис. 4.17)
s = _£sm^, (4.103)
где I — длина балки, х — абсцисса произвольного сече-
*) Модели на рис. 4.15 и 4.16] хорошо поясняют суть дела;
они были предложены В. Л. Бидерманом,
§ 4.6J
ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГОЙ БАЛКЕ
209
ния. В этом случае решение уравнения (4.102) имеет вид
w ---------- sin sin kt, (4.104)
2л / mEI I v }
7 л2-ш /*Е 1 * ,,
где /с = — I/-----низшая собственная частота балки,
I2 V т ’
т = pF — интенсивность массы. Непосредственной подста-
новкой можно убедиться в том, что (4.104) удовлетворяет
уравнению (4.102), граничным условиям
/п d2w (0, Z) /7 ч d2w(l,t) п /7
W (0’ = - = W V’ = to* = 0> (4Л05)
а также начальным условиям
w 0) = 0, ^^’0) = — . (4.106)
Соответственно, изгибающий момент и максимальные нор-
мальные напряжения определяются выражениями
,r VTd2w ztS i Г El . пх . 7,
М = EI I/ — sin -г- sm kt,
дх2 21 V т I '
__ 2^тах _ л5
«шах — w — 2lw
(4.107)
где W — момент сопротивления сечения балки.
Успех и простота решения рассмотренной задачи тесно
связаны с ее сугубо частным характером, поскольку рас-
пределение импульсивной нагрузки по длине балки точно
соответствует первой соб-
ственной форме колебаний
(определяемой по техниче-
ской теории изгиба).
Формально успешным
и столь же простым оказа-
лось бы решение и других
сходных задач частного ви-
да, когда распределение
Рис. 4.17.
нагрузки по длине соот-
ветствует высшим собственным формам колебаний. Однако
нужно иметь в виду, что с увеличением номера соб-
ственной формы и, соответственно, числа узлов и пучно-
стей, точность приближенного уравнения (4.102) падает.
Дело в том, что это уравнение основано на теории, кото-
рая приемлема лишь в задачах об изгибе относительно
210 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. А
соким собственным формам.
невысоких балок — когда высота меньше длины балки по
крайней мере на один порядок. Поэтому если в задачах
о колебаниях с многоузловыми формами высота балки
превосходит 1/10 расстояния между узлами, то гипо-
теза плоских сечений становится непригодной. Ясно, что
всегда найдется такой номер собственной формы, начиная
с которого указанное условие будет нарушено.
Таким образом, уравнением (4.63) следует пользовать-
ся с осторожностью и не применять его в тех случаях, ког-
да слагаемые импульсивной нагрузки соответствуют вы-
Тем более это относится
к задачам, в которых раз-
ложение распределенного
импульса содержит беско-
нечно много слагаемых.
4.6.3. Обратимся к слу-
чаю, когда мгновенный им-
пульс 8 равномерно рас-
пределен по всей длине
балки (рис. 4.18), так что
интенсивность импульса составляет s = — S/l. В неко-
торых работах (см., например, [271) для решения этой
задачи нагрузка разлагается в ряд по собственным функ-
циям, затем находятся парциальные решения, соответ-
ствующие отдельным слагаемым и, наконец, производится
суммирование таких решений. В общем, это соответству-
ет идее, которая для более сложных условий (падение гру-
за на балку) была использована Сен-Венаном, и содержит
чот весьма сомнительный элемент, о котором было сказано
т конце предыдущего пункта. При этом формально полу-
ваются следующие результаты для прогиба, изгибающего
момента и поперечной силы:
5
ПШИИИНИИИИН1И
I
Рис. 4.18.
оо
„„ 457 VI 1 . пкх . 7 ,
w =------> —rsm——sm/c7,
л3 V mEI и»? I п
n=i
45' - / El VI 1 . ппх . 7 ,
/И = -у- I/ — у — sin —7— sin knt,
rcl у т /- । п I п '
.— 00
п 45' - / Z?7V1 ппх . 7 ,
Q = ~fV 7r2jcos~s'nAn<’
n=l
(4.108)
(4.109)
(4.110)
§ 4.в]
ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГОЙ БАЛКЕ
211
где
, _ nW EI
р т
(4.111)
— n-я собственная частота. Ряд (4.108) быстро сходится
и достаточно удобен для вычислений. Гораздо хуже схо-
дится ряд (4.109), а ряд (4.110) — расходящийся. Как ука-
зывалось, причина этого состоит в том, что уравнением
(4.102) можно пользоваться, если скорости не претерпе-
вают разрыва по координате х, тогда как в рассматривае-
мой задаче начальные скорости изменяются разрывно —
они равны — s/m во всех точках оси балки, кроме концов,
скорости которых равны нулю. Корректное решение этой
задачи см. ниже в п. 4.6.5.
4.6.4. В предложенной Тимошенко схеме изгиба балок
учитываются не только продольные деформации волокон,
но и сдвиги, которые полагаются отсутствующими в обыч-
ной технической теории изгиба. Хотя тем самым в схеме
Тимошенко признается, что поперечные сечения — плос-
кие до нагружения балки, не остаются плоскими и после
нагружения, однако в выкладки оказалось удобным
ввести осредненный угол поворота сечений Ф (не равный
производной dw/dx). Таким образом, перемещения балки
характеризуются двумя функциями — прогибом оси
w (х, t) и осредненным углом поворота '& (х, t). Для задач
динамики балок можно получить следующую систему диф-
ференциальных уравнений, определяющих названные
функции (см. [261, т. III, стр. 320):
d2w Рр d2w дй
fat ^~~'G’dt2~~ fa'
д2$ р д2О _ GF / дю
дх2 Е dt2 $Е1 \ дх
(4.112)
Здесь р — плотность материала балки, Е и G — модули
упругости, I — момент инерции сечения относительно
нейтральной оси, р — коэффициент, зависящий от формы
сечения (например, для прямоугольного сечения р = 1,2).
В уравнениях (4.112) учтены силы инерции, связанные
как с поперечными, так и с продольными перемещениями
точек балки (при повороте сечений). Для двухопорной шар-
нирно-опертой балки длиной I частное решение системы
212 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл. 4
(4.112) имеет вид
wn = (an cos knt + bn sin knt) sin ,
& = (An cos knt + Bn sin knt) cos ,
(4.113)
где kn — собственные частоты. Каждому значению п со-
ответствуют два значения собственной частоты
kni, nil = к0 X
х|/ т [‘ + °’ + да+И1 + “" + SS)1- 4“!]- <4-114)
где ко = 75 J/^~ — низшая собственная частота, вычис-
ленная по обычной теории изгиба, % = Z/]ZI/F — гибкость
балки, а2 = G7(0Z?).
Таким образом, теория Тимошенко приводит к двум
спектрам собственных частот (обычной теорией изгиба
второй спектр вообще не улавливается). О значениях соб-
ственных частот обоих типов можно судить, например, по
следующей таблице (табл. 14), составленной для двутав-
ровой балки № 20 с отношением длины к высоте попереч-
ного сечения Uh = 10 (см. [26]).
Таблица 1
Номер собственной частоты п 1 2 3 4 5
По обычной теории knQ/ko 1 4 9 16 25
По теории Ти- мошенко Ani//co 0,948 3,23 6,40 9,75 13,1
кп-н/къ 26,9 30,6 35,8 41,9 48,5
Отсюда видно, что значения кп^ меньше собственных зна-
чений кпо, причем разница между ними возрастает с уве-
личением номера п, а также, что частоты /спП значительно
больше частот кп\. При больших значениях п из (4.114)
§ 4.61
ПОПЕРЕЧНЫЙ УДАР ПО УПРУГОЙ БАЛКЁ
£13
можно найти, что собственные частоты приближенно про-
порциональны п:
fcnn=$*o. (4.115)
4.6.5. В книге [26] (стр. 527—534) можно найти осно-
ванное на теории Тимошенко решение задачи о действии
на двухопорную балку мгновенного, равномерно распре-
деленного по длине импульса. Движение балки представ-
ляется в виде суммы частных решений (4.113):
w = (ani cos кп1 t + Ъпт sin knlt +
+ anii cos кпц t + &nii sin knTi 0 sin —y- ,
oo
ft = У, (ЛП1 cos knit 4- Bni sin knit +
(4.116)
4- Ann cos knii t 4- Bnii sin кпц t) cos -j—.
Для определения входящих сюда коэффициентов служат
следующие начальные условия (при t = 0):
u> = 0, ft = 0, 57 = 0, % = —.. (4.117)
dt dt ml x '
Первые три условия относятся ко всем точкам оси балки,
а последнее — ко всем точкам, кроме концевых (где dw!dt=
= 0). В результате получено
w = У, (bni sin knit 4- bnii sin /спп t) sin ,
n=l,3,5,...
(4.118)
ft = У (Bni Sin knit 4- Дгп sin knu t) cos .
Пе=1,3,Б,...
где
cnII
ъ 4У____________________
nI лт1пкп1 сп11- сп1 ’
bnll
4У cni
jtznZn/cnII cnI—cnII’
214 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл.
В — cnlcnll
nI - лт//сп1 cnII—cnI’
р _ 461_____cnicnii
пП “ лт1кпП сп1-сп11 ’
г 1 / с я pW
CnI “ 1 \ паМ0 ) п11 “ \ naU0 /
Из анализа последних выражений можно установить, что
коэффициенты &д, Вп убывают как 1/п3. Для изгибающего
момента можно найти
М = EIdf-=--
дх
оо
= У\ П (Bni sin knlt + Впп sin Zcnii t) sin •
П=1,2, 3,...
(4.119)
Коэффициенты этого ряда убывают как 1/п2, следователь-
но, этот ряд сходится, и притом к непрерывной функции,
т. е., в отличие от решения Сен-Венана, уточненная тео-
рия приводит в рассматриваемом случае к непрерывной
эпюре изгибающих моментов. На рис. 4.19 изображены
эпюры изгибающих моментов для ряда последовательных
значений /х = л/(32/с0), t2 = 2/х, t3 = t4 = 6/х, tb =
= 8/х, t6 = 10/x, t? = 12/x, ts = 14/x, t9 = 16/i, которые
показывают постепенное развитие процесса. Сначала де-
формации изгиба возникают лишь у концов балки (/х),
но волны изгиба движутся навстречу одна другой и встре-
чаются в середине балки (/2). После этого происходит
сближение, а затем и наложение максимумов обеих волн
(£3). При дальнейшем изменении эпюры изгибающих мо-
ментов максимум почти все время находится посередине
пролета. Абсолютный максимум достигается при t = t9
и составляет
Мтах = 1,469 4-]/5- (4.120)
Отметим, что этот результат на 47 % больше значения 71/тах,
которое следует из выражения (4.109). Любопытно, что
при заданной интенсивности распределенного импульса S/1
или при заданных начальных скоростях и (х, 0) (в задаче
§ 4.7] МЕСТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ УДАРЕ
215
о падении балки на опоры) наибольший изгибающий мо-
мент не зависит от длины пролета.
Таким образом, схема балки Тимошенко устраняет
противоречие между дифференциальным уравнением и
начальными условиями, а для опреде-
ляющих прочность расчетных изгибаю-
щих моментов приводит к заметно
иным результатам по сравнению с ре-
зультатами обычной технической тео-
рии изгиба.
Аналогично изложенному может
быть решена и задача Сен-Венана о
падении груза на балку, так как учет
сдвигов позволяет ввести в решение,
разрывное по длине балки, начальное
распределение скоростей. По поводу
схемы Тимошенко см. также статью [32J.
§ 4.7. Влияние местных деформации
при поперечном ударе по упругой
балке
4.7.1. Применение схемы, предло-
женной Тимошенко, позволяет получить
формально корректные решения задач
об ударе с разрывным по длине распре-
делением скоростей точек оси. Однако
в задачах о соударении твердых тел
с балкой большую роль играют местные
деформации контактных поверхностей,
как и в задачах о продольных соударе-
ниях. Следует отметить, что при нали-
чии местных деформаций скорости всех
точек оси балки развиваются непрерыв-
но и не претерпевают разрыва во вре-
мени. Это обстоятельство в некоторой
степени реабилитирует обычную техни-
ческую теорию изгиба в применении к
решению задач о соударениях — благо-
даря непрерывности изменения скоростей во времени со-
ответствующее дифференциальное уравнение уже не про-
тиворечит начальным условиям. Поэтому если в задача^
216 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
[Гл.
о поперечном ударе возникает необходимость учета мест-
ных деформаций, то одновременно появляется возмож-
ность применения обычной технической теории изгиба.
4.7.2. Впервые названное влияние было исследовано
С. П. Тимошенко (1916 г.), который отчетливо отметил,
что в целом оно играет такую же роль, как и в рассмотрен-
ных Сирсом задачах о продольном ударе. Рассматривая
удар шара массы М посередине двухопорной шарнирно-
опертой балки, С. П. Тимошенко исходил из закона мест-
ного деформирования Герца в виде (0.14). Связь между
ударной силой Р и прогибом середины балки w была полу-
чена путем разложения решения по собственным формам
колебаний балки, соответствующих обычной технической
теории изгиба:
оо t
w = ~^i У, \Р (**)sin кп(* — *i)dti, (4.121)
П=1,3,5,... П 0
где
у n2Jt2
/2
(4.122)
— собственные частоты изгибных колебаний. Таким об-
разом, С. П. Тимошенко в этом решении отказался от уче-
та влияния сдвигов и инерции поворотов элементов балки;
учет этого влияния в данном случае действительно не пред-
ставляется необходимым и практически привел бы лишь к
неоправданным усложнениям решения.
Полное перемещение центра ударяющего шара, отсчи-
тываемое от положения, соответствующего первому кон-
такту шара с балкой, равно сумме
и = а + w. (4.123)
Это же перемещение можно найти, интегрируя дифферен-
циальное уравнение движения шара массы М
MU = -Р. (4.124)
При начальных условиях и (0) =0, й (0) = v получится
и '= vt
ч и
\pdti-
о 0
(4.125)
§ 4.7]
МЕСТНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ УДАРЕ 217
Хотя в изложении С. П. Тимошенко-речь как^будто
идет о падающем шаре, однако выписанные соотношения
относятся к случаю, когда вес шара считается отсутствую-
щим, или к случаю удара в горизонтальном направлении.
Для падающего шара вместо (4.124) должно быть
Ми = -Р + 71/g, (4.126)
и тогда вместо (4.125) получится
и = vt + С-
t h
^dt^P (*i)dtr.
0 0
(4.127)
Приближенные оценки позволяют заключить, что второе
слагаемое (4.127) достигает того же порядка, как и первое
(по крайней мере к концу времени контакта).
Вернемся, однако, к решению, которое было указано
С. П. Тимошенко. Приравнивая (4.123) и (4.125), он по-
лучил следующее интегральное уравнение (см. [34]):
t fl
vt — Р (tx) dti =
О о
оо t
= + £| кп\Р^Sin (4.128)
71=1,3,5,... О
Это уравнение можно решить различными численными
способами, разделив время на малые интервалы Д£ и вы-
числяя результаты шаг за шагом. Одна из вычислитель-
ных процедур была использована автором способа и осно-
вана на ступенчатом представлении силы в зависимости
от времени, когда сила Р считается постоянной в течение
каждого малого интервала времени. В первом интервале
при вычислении обоих интегралов, входящих в (4.128),
можно принять Р± = 0. Тогда из (4.128) для конца этого
интервала сразу получится Р2 = К (рД^)3/2. Принимая
это значение неизменным при вычислении интегралов для
второго интервала, можно найти значение Р3 и т. д.
На рис. 4.20 показаны результаты вычислений, полу-
ченные для балки сечением 1 X 1 см и длиной 15,35 см.
Посередине балки производится удар со скоростью v =
= 1 см/сек шаром радиуса 1 см. При вычислениях было
218 МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ' ПАРАМЕТРАМИ [Пт.
принято Е = 2,2-10е кПсм2 и р = 8- 10е кГ-секУсм*-, для
этой балки период основной формы свободных колебаний
составляет приближенно г = 0,001 сек. При численном
решении за шаг вычислений был принят интервал време-
ни, равный 1/180 указанного периода. Кривая I представ-
ляет вычисленные значения силы Р; как видно, шар на-
ходится в контакте с балкой только до значений t <
< 28 At Кривыми II и III показаны соответственно пе-
ремещения центра шара и середины балки.
В книгах [7] и [261 указывается улучшенная процеду-
ра решения, основанная на предварительной линеариза-
ции закона местного деформирования и замене силы не
ступенчатой линией, а ломаной линией без разрывов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Александров Е. В., Соколинский В. Б., При-
кладная теория и расчеты ударных систем, «Наука», 1969.
2. А н а н ь е в И. В., Тимофеев П. Г., Колебания уп-
ругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование,
«Машиностроение», 1965.
3. Аппель П. Теоретическая механика, тт. 1, 2, Госте хиз-
дат, 1956.
4. Аронович Г. В., Картвелишвили Н. А.,
Любимцев Я. К., Гидравлический удар и уравнительные ре-
зервуары, «Наука», 1966.
5. Батуев Г. С., Голубков Ю. В., Ефремов А. К.,
Федосов А. А., Инженерные методы исследования ударных
процессов, «Машиностроение», 1969.
6. Бидерман В.Л., Прикладная теория механических ко-
лебаний, «Высшая школа», 1972. •
7. Бидерман В. Л., Малюкова Р. П., Усилия и де-
формации при продольном ударе, Сб. «Расчеты па прочность», «Ма-
шиностроение», 1964.
8. Блехман И. И., Джанелидзе Г. 10., Вибрацион-
ное перемещение, «Наука», 1964.
9. Быховский И.И., Основы теории вибрационной тех-
ники, «Машиностроение», 1969.
10. Гольденблат И. И., Николаенко Н.А., Рас-
чет конструкций на действие сейсмических и динамических сил„
Стррйиздат, 1961.
^11. Гольдсмит В., Удар, Стройиздат, 1965.
12/ Ильюшин А. А., Ленский В. С., Сопротивление
материалов, Физматгиз, 1959.
13. Инструкция по расчету перекрытий на импульсивные
нагрузки, Стройиздат, 1966.
14. И о н о в В. Н., Огибалов 11. М., Напряжения в те-
лах при импульсивном нагружении, «Высшая школа», 1975.
15. Карпушин В. Б., Вибрации и удары в радиоаппара-
туре, «Сов. радио», 1971.
16. Кильчевский Н. А., Теория соударений твердых
тел, «Наукова думка», 1969.
17. Кобринский А. Е., Кобринский А. А., Виб-
роударные системы, «Наука», 1973.
18. К о л о в с к и й М. 3., Нелинейная теория виброзащит-
ных систем, «Наука», 1966.
220
ЛИТЕРАТУРА
19. К о л ь с к и й Г., Волны напряжений в твердых телах,
ИЛ, 1955.
20. Крючков Ю. С., Г у с а р о в И. И., Г а л ь ц е в А. А;,
Феденко В.И., Ударостойкость судового энергетического обо-
рудования, «Судостроение», 1969.
21. Л а в е н д е л Э. Э., Система гипотез в технических рас-
четах по вибрационному перемещению, Сб. «Вопросы динамики и
прочности», «Зинатне», вып. 21, 1971.
22. Л я в А., Математическая теория упругости, ОНТИ,
1935.
23. Мак-Миллан А., Динамика твердого тела, Гостехиз-
дат, 1951.
24. Мандельштам Л.И., Лекции по теории колебаний,
«Наука», 1971.
25. Парс Л., Аналитическая динамика, «Наука», 1971.
ч; 26. П о н о м а р е в С. Д., Бидерман В. Л., Лиха-
рев К. К., Маку шин Л. М., Малинин Н. Н., Ф е о-
досьев В.И., Расчеты на прочность в машиностроении, т. 3,
Машгиз, I960.
27. Рабинович И. М., Синицын А. П., Лу-
жин О. В.,ТеренинВ. М., Расчет сооружений на импульсив-
ные воздействия, Стройиздат, 1970.
28. Р а г у л ь с к е н е В. Л., Виброударные системы, «Мин-
тис», 1974.
29. Р а х м а т у л и н X. А., Д е м ь я н о в Ю. А., Проч-
ность при интенсивных кратковременных нагрузках, Физматгиз,
1961.
30. Р у с а к о в И. Г., X а р к е в и ч А. А., Вынужденные
колебания систем, ударяющихся об ограничитель, ЖТФ, 1942,
№ 11/12.
31. Рэлей. Теория звука, Гостехиздат, 1940.
32. С о р о к и н Е. С., Основные предпосылки расчета со-
ударений на импульсивные нагрузки, Вопросы прикладной меха-
ники, Труды Московского’ ин-та инженеров железнодорожного
транспорта. Стройиздат, № 260, 1968.
33. Справочник по динамике сооружений, под редакцией Ко-
ренева Б. Г., Рабиновича И. М., Стройиздат, 1972.
34. Тимошенко С. П., Колебания в инженерном деле,
«Наука», 1967.
35. Е s с h 1 е г Н., Beitrag zur elementaren Theorie des Quersto-
Pes auf Stabe und Platten, Ing. Archiv. 12, 1 (1941).
36. Grybos R., Teoria uderzenia w dyskretnych ukladach
mechanicznych, Panstwowe wydawnictwo naukowe, Warszawa, 1969.
37. Harris С. M., С г e d e Ch. E., Shock and vibration hand-
book, Me. Graw-Hill, New York — London, 1961.
38. Morrow Ch. T., Shock and vibration engineering,
J. Willey and Sons, New York — London, 1963.
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
и БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК
Александров Е. В. 144, 219
Ананьев И. В. 200, 219
Аппель П. (Appell Р. Е.) 15, 219
Аронович Г. В. 219
Батуев Г. С. 172, 219
Бидерман В. Л. 7, 189, 190, 208, 213,
218, 219, 220
Бабицкий В. И. 8
Блехман И. И. 8, 219
Буссинеск (Boussinesq J. V.) 185
Быховский И. И. 219
Валлис (Wallis J.) 27
Гальцев А. А. 220
Герц (Hertz Н. R.) 163
Голубков Ю. В. 172, 219
Гольденблат И. И. 219
Гольцсмит В. (Goldsmith) 7, 18, 29,
219
Грибош Р. (GryboS R.) 7, 220
Гусаров Н. Н. 220
Гюйгенс (Huyghens С.) 26
Даламбер (D’Alembert J. le R.) 175
Демьянов Ю. А. 7, 220
Джанелидзе Г. Ю. 219
Динник А. Н. 163
Ефремов А. К. 172, 219
Жуковский Н. Е. 196
Ильюшин А. А. 219
Ионов В. Н. 7, 219
Карпушин В. Б. 7, 219
Картвелишвили Н. А. 219
Кильчевский Н. А. 7, 18, 149, 219
Кобринский А. А. 219
Кобринский А. Е. 160, 219
Кокс (Сох Н. L.) 146, 148
Коловский М. 3. 219
Кольский Г. 220
Крид (Crede Ch. Е) 220
Крючков Ю. С. 220
Лавендел Э. Э. 220
Ленский В. С. 219
Лихарев К. К. 213, 218, 220
Лужин О. В. 210, 220
Любимцев Я. К. 219
Людвик П. (Ludwik Р.) 160
Ляв A. (Love А. Е. Н.) 187, 220
Мак-Миллан (Me МШап А.) 220
Макушин Л. М. 213, 218, 220
Малинин Н. Н. 213, 218, 220
Малюкова Р. П. 189, 190, 218, 219
Мандельштам Л. И. 220
Марци (Marci) 26
Морроу (Morrow Ch. Т.) 220
Николаенко Н. А. 219
Ньютон (Newton I.) 13, 27
Огибалов П. М. 7, 219
Парс (Pars L. А.) 18, 64, 220
Пономарев С. Д. 213, 218, 220
Рабинович И. М. 210, 220
Рагульскене В. Л. 220
Раус (Routh Е. J.) 116
Рахматулин X. А. 7, 206, 220
Русаков И. Г. 105, 220
Рэлей (Rayleigh) 34, 141, 220
Сен-Венан (de Saint-Venant В.) 174,
188, 206, 210
Синицын А. П. 210, 220
Сирс (Sears J. Е.) 189
Соколинский В. Б. 144, 219
Сорокин Е. С. 215, 220
Такэда 29
Теренин В. М. 210, 220
Тимофеев П. Г. 200, 219
Тимошенко С. П. 187, 208, 216, 217,
220
Феденко «В. И. 220
Федосов А. А. 172, 219
Феодосьев В. И. 213, 218
Харкевич А. А. 105, 220
Харрис (Harris С. М.) 220
Эшлер (Eschler Н.) 149, 220
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автономность задач об ударе 16
Аппеля классификация связей
15 и д., 23
Буссинеска задача 185
Буфер 152
— вязкоупругий 152
Вариации скоростей конечные 44
Вибромолот 103, 104
Вибростенд ударный 105
Вибротранспортирование 119
Взрыв 18, 19
Влияние местных деформаций при
продольном ударе упругих стерж-
ней 189
— деформаций при поперечном уда-
ре по упругой балке 215
Волна деформаций 176
— напряжений 176
— перемещений 176
— сжатия 36, 179
Герстнера закон 169
Гипотеза Ньютона 86 и д., 124', 125
— Рауса (/-гипотеза) 116, 119
Грузы на платформе при ударе 78
Гука закон 168, 174
Давление газа 14
Даламбера принцип 42
Дельта-функция Дирака 12
Деформации местные, влияние при
поперечном ударе по упругой
балке 215
— —,—при соударении стержней 189
Дискретизация 12
Жуковского формула 199
Забивка свай 92
— — с помощью вибромолота 103
Задача Буссинеска 185
— Мак-Миллана 94
— — усложненная 117
— о взрыве 18, 19
— об идеальных ударах 17
— об ударе ступенчатого стержня
о неподвижную преграду 145
— общей динамики обратная 18
— прямая 18
— Парса 14, 64
— Русакова — Харкевича 105 и д.
Зазор отрицательный 106, 111
Закон Герстнера 169
— Гука 36, 168, 174
Затягивание 111
Импульс ударный 11
---мгновенный 12
— — обобщенный 44
---полусинусоидальный 81
---прямоугольный
— ускорения 15
Импульсы мгновенные периодические
73
Исчезновение связи 19, 20
— — взрывное 20
— — внезапное 20
Карно теорема 46, 47, 51
Кельвина теорема 46
Классификация связей Аппеля 15 и
Д., 23
Континуализация 13
Коэффициент влияния повторений
импульсов 76
— восстановления 27, 28, 86, 89,
158, 172
— динамичности 147
— передачи энергии при ударе 93
— податливости 189
— сохранения скорости 30
Лагранжа уравнения 44, 49
Людвика формула 160
Мак-Миллана задача 94
---усложненная 117
Масса приведенная балки 148
Материал жесткопластический 130,
Машина виброударная 103
— — с подбрасыванием 112
Метод см. также Способ
— кинетостатики 43, 50
— Фурье 175
— характеристик 202
Модели деформируемых элементов
многокомпонентные 130—131
— — — однокомпонентные 129
— дискретные 30—34, 128 и д.
— многомассовые с линейными де-
формируемыми элементами 131
— с распределенными параметрами
35, 173 и д.
— упругие с трением 151 и д.
Модель абсолютно твердого тела 24
— Герца нелинейно-упругая 163
— жесткопластическая 160
— Тимошенко 208, 211
— упруговязкая 154
— упругопластическая нелинейная
168
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
232
Модуль упругости объемный 195
--------приведенный 197
Молоток электромеханический 103,
104
Наложение идеальных связей 17, 58
Натяг 96, 106, 111
Неустойчивость 109
Нить нерастяжимая абсолютно гиб-
кая 17, 21, 64
Ньютона гипотеза 86, 124, 125
Описание удара кинематическое 15
Остановка внезапная точки тела 59,
61, 62
Отскок 23
Отражение волн 180
Падение груза на балку 147
Парса задача 14, 64
Перегрузка 79, 114
Пластичность материала 28
Платформа с грузами 78
Податливость трубопровода 196
Принцип Даламбера 42
— освобождаемое™ 43
Пробивание сквозное 23
абсолютно свободное 30
Процесс бесконечно-ударный 94
«Размазывание» 13
Разрушение связи 19, 20
Рауса гипотеза (/-гипотеза) 116
Режим непрерывного подбрасывания
120
Русакова — Харкевича задача 105
и д.
Рэлея способ 34, 141
Сжатие статическое упругих тел 163
Сила ударная 10, И
мгновенная 12
Система виброударная с силовым
возбуждением 105
— с натягом 96, 106, Ш
— с ограничителем 99, 105
— упругая с одной степенью свобо-
ды 68
Скорость потерянная 47
— приобретенная 47
Соударение с отскоком 23
— стержней 183 и д.
----упругого и жесткого 185
Способ Рэлея 34, 141
Тело абсолютно твердое 24
— с неподвижной осью, удар по-
нему 56
— с одной неподвижной точкой,
удар до нему 53
— свободное, удар по нему 52
Теорема Карно 46, 47, 51
— Кельвина 46
— об изменении кинетического мо-
мента 42
— — — количества движения 42
— о движении центра масс 41
Теоремы динамики общие в теории
мгновенного удара 40 и д.
Теория см. Модель, Модели
Толчок 21
Торможение резкое платформы с
грузом 81
Трение вязкое 72, 77
Трубопровод 194 ид.
Удар 10J
— абсолютно неупругий 28, 30
— — упругий 28, 30
— второго рода (мягкий) 21
— гидравлический 192
— груза, падающего на балку 146
— идеальный 18, 40 и д.
— квазипластический 96
— , кинематическое описание 15
— косой 115
— неупругий 28
— плоский, общий случай 123
— по телу с неподвижной осью 56
--------с одной неподвижной точ-
кой 53
— свободному 52
— по упругому стержню жесткого
стержня 185
— поперечный по упругой балке 206
— продольный идеального упруго-*
го стержня о жесткую преграду 35
по упругопластическому стерж-
ню 200 и д.
— — упругих стержней 174
— ступенчатого стержня о непод-
вижную преграду 145
Удары повторные 94
— — в неавтономных системах 103
Уравнение неразрывности 194
— общее динамики системы с идеаль-
ными связями 43, 48
— состояния 194
Уравнения Лагранжа 44. 49
Устойчивость 109
Фаза нагрузки 87
— разгрузки 88
Фазы удара 87
Формула Жуковского 199
— Люд вика 160
Фронт волны 36, 179
Фурье метод 175
Характеристика элементаТ129
Характеристики (в теории нелиней-
ных уравнений в частных про-
изводных) 202
Центр удара 57
Частица плоская 119
Энергия кинетическая 83
— скоростей потерянных 46
— — приобретенных -7
Эффективность однократного удара
в технологических процессах 91
/-гипотеза Рауса 116, 119
К-гипотеза 118, 121
Яков Гилелевич Яановко
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
МЕХАНИЧЕСКОГО УДАРА
М., 1977 г., 224 стр. с илл.
Редакторы Л. Г. Наумова, Н. П. Рябенькая
Техн, редактор Л. В. Лихачева
Корректор Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 16/XII 1976 г.
Подписано к печати 11/V 1977 г. Бумага 84xiO8Va2.
Физ. печ. л. 7. Условн. печ. л. 11,76.
Уч.-изд. л. 10,74. Тираж 5500. экз. Т-08445.
Цена книги 73 коп. Заказ № 1912
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография' издательства «Наука»,
Москва, Г-99, Шубинский пер., 10