Text
                    И. В. МЕЩЕРСКИЙ
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ
МЕХАНИКЕ
Под редакцией
Н. В. БУТЕНИНА, А. И. ЛУРЬЕ, Д Р. МЕРКИНА
ИЗДАНИЕ ТРИДЦАТЬ ШЕСТОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов
высших технических учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986


ББК 22.25 М56 УДК 531 Мещерский И. В. Сборник задач по теоретиче- теоретической механике: Учеб. пособие. — 36-е изд., исправл./ Под. ред. Н. В. Бутенина, А. И. Лурье, Д. Р. Меркина. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 448 с. Содержит задачи по всем разделам курса теоретиче- теоретической механики, читаемым во втузах по разным програм- программам. Наличие задач различной степени трудности позво- позволяет использовать сборник в университетах, втузах и техникумах. Помещено большое количество задач, отражающих развитие современной техники. Имеются новые разделы, посвященные механике материальных систем с неголо- номными связями, а также механике систем при нали- наличии сил и моментов, носящих случайный характер. Для студентов университетов и втузов. Илл. 1025, табл. 16. Рецензент член-корреспондент АН СССР К. С. Колесников Иван Всеволодович Мещерский СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ Редакторы В. А. Брострем, А. Г. Мордвинцев Художественный редактор Т. Н. Кольченко Технический редактор И. Ш. Аксельрод Корректор И. Я. Кришталь ИБ N* 12906 Сдано в набор 07.07.85. Подписано к печати 14.07.86. Формат 60x90Vie. Бумага тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 28. Усл. кр.-отт. 28. Уч.-изд. л. 29,69. Тираж 275 000 экз. B-й завод 125001—275000 экз.) Заказ № 1546. Цена 1 р. 30 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союз пол игра ф- прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052 г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29. Отпечатано с матриц на Ярославском полиграфкомбинате Союзполиграфпрома при Госу- Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 150014 Ярославль, ул. Свободы, 97. 1703020000—163 © Издательство «Наука». М 84-86 Главная редакция 053 @2)-86 физико-математической литературы, 1975, 1981; с изменениями 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к тридцать пятому изданию 6 Из предисловия к тридцать второму изданию 7 ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Глава I. Плоская система сил .... 9 § 1. Силы, действующие по одной прямой 9 § 2. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке .... 10 § 3. Параллельные силы . . 23 § 4. Произвольная плоская система сил 33 § 5. Силы трения 52 Глава II. Пространственная система сил 63 § 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке ... 63 § 7. Приведение системы сил к простейшему виду 68 § 8 Равновесие произвольной системы сил 72 § 9. Центр тяжести Ь6 ОТДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА Глава III. Кинематика точки 91 § 10. Траектория и уравнения движения точки 91 § 11. Скорость точки 96 § 12. Ускорение точки 100 Глава IV. Простейшие движения твердого тела 107 § 13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 107 § 14. Преобразование простейших движений твердого тела ПО Глава V. Плоское движение твердого тела 115 § 15. Уравнения движения плоской фигуры 115 § 16. Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей 118 $ 17. Неподвижная и подвижная центроиды 129 § 18. Ускорения точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр ускорений 131 Глава VI. Движение твердого тела, имеющего неподвижную точку. Пространственная ориентация 140 § 19. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку . . 140 § 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды • 143 1* 3
Глава VII. Сложное движение точки 150 § 21. Уравнения движений точки 150 § 22. Сложение скоростей точки 155 § 23. Сложение ускорений точки 161 Глава VIII. Сложное движение твердого тела 176 § 24. Сложение движений тела 176 а) Сложение плоских движений тела 176 б) Сложение пространственных движений тела 181 § 25. Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела 190 ОТДЕЛ ТРЕТИЙ ДИНАМИКА Глава IX. Динамика материальной точки 196 § 26. Определение сил но заданному движению 196 § 27. Дифференциальные уравнения движения 202 а) Прямолинейное движение 202 б) Криволинейное движение 208 § 28. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки 214 § 29. Работа и мощность 218 § 30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки 221 § 31. Смешанные задачи 226 § 32. Колебательное движение 234 а) Свободные колебания 234 б) Влияние сопротивления на свободные колебания 246 Вынужденные колебания 252 Влияние сопротивления на вынужденные колебания 255 § 33. Относительное движение 257 Глава X. Динамика материальной системы 262 § 34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инер- инерции твердых тел 262 § 35. Теорема о движении центра масс материальной системы . . . 269 § 36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения мате- материальной системы. Приложение к сплошным средам 274 § 37. Теорема об изменении главного момента количеств движения мате- материальной системы. Дифференциальное уравнение вращения твердо- твердого тела вокруг неподвижной оси 277 § 38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы 292 § 39. Плоскопараллельиое (плоское) движение твердого тела 306 § 40. Приближенная теория гироскопов 310 § 41. Метод кинетостатики 313 § 42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения . . . .319 § 43. Смешанные задачи 324 § 44. Удар 327 § 45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного со- состава) 333 Глава XI. Аналитическая механика 341 § 46. Принцип возможных перемещений 341 § 47. Общее уравнение динамики 350 | 48. Уравнения Лагранжа 2-го рода 354 § 49. Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравне- уравнения Гамильтона, уравнения Якоби — Гамильтона, принцип Гамиль- Гамильтона — Остроградского 372 § 50. Системы с качением. Него лоно миые связи 379 4
Глава XII. Динамика космического полета 388 § 51. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы) 388 § 52. Разные задачи 395 Глава XIII. Устойчивость равновесия системы, теория колебаний, устойчи- устойчивость движения 397 § 53. Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия 397 § 54. Малые колебания системы с одной степенью свободы 403 § 55. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы . .416 § 56. Устойчивость движения ... 432 § 57. Нелинейные колебания 437 Глава XIV. Вероятностные задачи теоретической механики 440 § 58. Вероятностные задачи статики 442 § 59. Вероятностные задачи кинематики и динамики 445
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРИДЦАТЬ ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В настоящем издании продолжена попытка отразить в задач- задачнике новые проблемы техники и более полно охватить разделы механики, ранее не нашедшие достаточного освещения. Кроме того, все величины в задачах переведены в Международную систему единиц (СИ), введенную в СССР с 1 января 1980 г. в соответствии со стандартом Совета Экономической Взаимопомощи СТ СЭВ 1052—78*). В конце книги приведена таблица основных, дополни- дополнительных и производных единиц геометрических, кинематических, статических и динамических величин этой системы. Новые разделы составлены М. И. Бать (Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела, § 25), Н. А. Фуфаевым (Системы с качением. Неголономные связи, § 50), И. Б. Челпано- вым (Вероятностные задачи теоретической механики, глава XIV). Одновременно дополнены новыми задачами почти все остальные разделы, в частности введены задачи, связанные с манипулято- манипуляторами; часть задач исключена. Авторский коллектив понес тяжелую утрату — в 1980 г. после тяжелой продолжительной болезни скончался один из ведущих соавторов и титульных редакторов, член-корреспондент Академии Наук СССР, профессор Анатолий Исакович Лурье, возглавляв- возглавлявший авторский коллектив с 1935 г. Подготовили «Сборник» к печати и представили новые задачи М. И. Бать, Н. В. Бутенин, А. С. Кельзон, А. И. Лурье, Д. Р. Мер- кин. Кроме перечисленных выше лиц, новые задачи для настоя- настоящего издания представили Е. Г. Бергер, Ю. Г. Исполов, М. В. Ми- Миронов, 3. Б. Сегал, В. Б. Старосельский, И. Б. Челпанов, Н. А. Фу- фаев. Нумерация задач двойная: первое число означает номер пара- параграфа, второе — номер задачи в этом параграфе. В скобках указы- указывается номер, который имела задача в тридцать втором — три- тридцать четвертом изданиях. •) Соответствует ГОСТ 8.417—81, введенному с 1 января 1982 г. (Примеч. ред.}
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ТРИДЦАТЬ ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ «Сборник задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, составленный первоначально по мысли и под редакцией И. В. Ме- Мещерского группой преподавателей теоретической механики б. Пе- Петербургского политехнического института как пособие для препо- преподавания механики в этом институте, постепенно получил самое ши- широкое распространение как в нашей стране, так и за ее пределами. Начиная с 1914 г., когда вышло первое издание «Сборника», он переиздавался только в нашей стране тридцать один раз; первому печатному изданию предшествовало еще несколько литографиро- литографированных изданий. Одна из основных причин успеха и распространения «Сборника» заключается в том, что в нем подобраны задачи, имеющие конкрет- конкретную форму, дающие возможность студентам приобрести необходи- необходимые для них навыки в применении общих теорем и методов к ре- решению конкретных прикладных вопросов. «Сборник» неоднократно перерабатывался. Составителями задач, помещенных в первом издании «Сбор- «Сборника» 1914 г., были: Л. В. Ассур, Б. А. Бахметьев, И. И. Бентков- ский, А. А. Горев, К. М. Дубяга, А. М. Ларионов, И. В. Мещерский, В. Ф. Миткевич, Е. Л. Николаи, К. Э. Рерих, Д. Л. Тагеев, B. В. Таклинский, С. П. Тимошенко, А. И. Тудоровский, А. П. Фан- дер-Флит, А. К. Федерман, В. Д. Шатров и другие. В последующих изданиях приняли участие также Е. К. Митропольский и М. Л. Франк. В подготовке одиннадцатого переработанного издания прини- принимали участие М. И. Акимов, М. И. Бать, Б. А. Берг, Н. К. Горчин, Ю. В. Долголенко, А. С. Кельзон, Ю. Г. Корнилов, А. И. Лурье, К. В. Меликов, Н. Н. Наугольная, П. И. Нелюбин, Н. П. Неронов, Е. Л. Николаи, В. Ф. Пекин, П. Н. Семенов, А. А. Смирнов, C. А. Сороков, К. И. Страхович, А. И. Чекмарев и Ф. Г. Шмидт. Две существенные переработки осуществлены в четырнадцатом и шестнадцатом изданиях. Работа по подготовке обоих изданий была выполнена коллективом кафедры теоретической механики Ленинградского политехнического института. Составили новые за- задачи и редактировали: отдел статики — С. А. Сороков, кинема- кинематики — Н. Н. Наугольная и А. С. Кельзон, динамики материальной
точки — А. С. Кельзон, динамики системы — М. И. Бать, уравнений Лагранжа и теории колебаний — Г. Ю. Джанелидзе. Общее редак- редактирование осуществил А. И. Лурье. Кроме упомянутых лиц, для четырнадцатого издания предоставили новые задачи Н. С. Ваби- щевич, Н. И. Идельсон, В. Л. Кан, А. И. Холодняк, А. И. Цымлов и Н. А. Докучаев. Развитие науки и техники за последние десятилетия вызвало необходимость новой переработки «Сборника» (последняя, наибо- наиболее существенная переработка была осуществлена в 1949 г., в ше- шестнадцатом издании). В тридцать втором издании сделана попытка, не выходя за рамки теоретической механики, отразить в какой-то степени новые проблемы техники и более полно охватить те вопросы классической механики, которые не нашли до сих пор достаточного освещения. В связи с этим в «Сборник» введены новые разделы, содержащие задачи по пространственной ориентации, динамике космического полета, нелинейным колебаниям, геометрии масс, аналитической механике. Одновременно существенно дополнены новыми задачами разделы кинематики точки, кинематики относительного движения и плоского движения твердого тела, динамики материальной точки и системы, динамики точки и системы переменной массы, устойчи- устойчивости движения. Небольшое количество новых задач введено также почти во все другие разделы «Сборника»; некоторые задачи исклю- исключены из него. Сделаны также небольшие перестановки в размеще- размещении материала. В конце «Сборника» в качестве добавления приве- приведена Международная система единиц (СИ). Работа по подготовке тридцать второго издания выполнена группой преподавателей высших учебных заведений г. Ленинграда. Составили новые задачи и подготовили к печати: отдел статики — Д. Р. Меркин, отдел кинематики — М. И. Бать (§§ 15—18), А. С. Кельзон (§§ 21—25) и Д. Р. Меркин (§§ 10—14 и 19—20), отдел динамики материальной точки — А. С. Кельзон, отдел дина- динамики материальной системы — М. И. Бать (§§ 34—44) и Н. В. Бу- тенин (§ 45), отдел аналитической механики — М. И. Бать (§§ 46, 47) и Д. Р. Меркин (§§ 48, 49), отдел динамики космического по- полета— Д. Р. Меркин, отдел теории колебаний и устойчивости дви- движения — Н. В. Бутенин. Кроме вышеупомянутых лиц предоставили новые задачи М. 3. Коловский, И. Е. Лившиц и Б. А. Смольников. Считаем своим приятным долгом выразить искреннюю благо- благодарность профессорам Г. Ю. Степанову и В. Н. Щелкачеву и возглавляемым ими коллективам кафедр за ценные замечания и советы, позволившие улучшить «Сборник».
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ГЛАВА I ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ § 1. Силы, действующие по одной прямой 1.1A.1). Два груза, в 10 Н и 5 Н, висящие на одной веревке, укреплены на ней в разных местах, причем больший груз висит ниже меньшего. Каково натяжение веревки, если верхний конец ее прикреплен к неподвижной точке? Ответ: 10 Н и 15 Н. 1.2A.2). Буксир тянет три баржи различных размеров, следую- следующие одна за другой. Сила тяги винта буксира в данный момент равна 18 кН. Сопротивление воды движению буксира равно 6 кН; сопротивление воды движению первой баржи — 6 кН, второй баржи — 4 кН и третьей — 2 кН. Имеющийся в распоряжении ка- канат выдерживает безопасно растягивающую силу в 2 кН. Сколько канатов надо протянуть от буксира к первой барже, от первой ко второй и от второй к третьей, если движение — прямолинейное и равномерное? Ответ: 6, 3 и 1 канат. 1.3A.4). На дне шахты находится человек веса 640 Н; посред- посредством каната, перекинутого через неподвижный блок, человек удер- удерживает груз в 480 Н. 1) Какое давление оказывает человек на дно шахты? 2) Какой наибольший груз он может удержать с помощью каната? Ответ: 1) 160 Н; 2) 640 Н. 1.4A-5). Поезд идет по прямолинейному горизонтальному пути с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12-Ю3 кН. Какова сила тяги электровоза, если сопротивление дви- движению поезда равно 0,005 давления поезда на рельсы? Ответ: 60 кН. 1.5A.6). Пассажирский поезд состоит из электровоза, багаж- багажного вагона веса 400 кН и 10 пассажирских вагонов веса 500 кН каждый. С какой силой будут натянуты вагонные стяжки и какова сила тяги электровоза, если сопротивление движению поезда равно 0,005 его веса? При решении задачи принять, что сопротивление движению распределяется между составом поезда пропорциональ- пропорционально весу и что движение поезда равномерное.
Ответ: Сила тяги электровоза 27 кН, Ти = 2,5 кН, Ti0 = = 2-2,5 кН и т. д. (нижний индекс означает номер вагона, начи- начиная от электровоза). § 2. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке 2.1B.1). В центре правильного шестиугольника приложены силы 1, 3, 5, 7, 9 и 11 Н, направленные к его вершинам. Найти величину и направление равнодействующей и уравновешивающей. Ответ: 12 Н; направление уравновешивающей противоположно направлению заданной силы в 9 Н. 2.2B.3). Силу в 8 Н разложить на две по 5 Н каждая. Можно ли ту же силу разложить на две по 10 Н, 15 Н, 20 Н и т. д.? На две по 100 Н? Ответ: Да, если не заданы направления разложения. 2.3B.4). По направлению стропильной ноги, наклоненной к го- горизонту под углом а = 45°, действует сила Q = 2,5 кН. Какое уси- усилие S возникает при этом по направлению горизон- горизонтальной затяжки и какая сила N действует на стену по отвесному направлению? Ответ: S = N= 1,77 кН. 2.4B.5). Два трактора, идущих по берегам пря- прямого канала с постоянной скоростью, тянут барку при помощи двух канатов. Силы натяжения ка- канатов равны 0,8 кН и 0,96 кН; угол между ними равен 60°. Найти сопротивление воды Р, испытываемое бар- баркой при ее движении, и углы аир, которые должны составлять канаты с берегами канала, если бар- барка движется параллельно берегам. Ответ: Р=1,53 кН, а = 33°, Р = 27°. 2.5B.6). Кольца Л, В и С трех пружинных весов укреплены непо- неподвижно на горизонтальной доске. К крючкам весов привязаны три ве- веревки, которые натянуты и связаны в один узел D. Показания весов: 8, 7 и 13 Н. Определить углы аир, образуемые направлениями веревок, как указано на рисунке. Ответ: а = 27,8°, р = 32,2°. 2.6B.7). Стержни АС и ВС соединены между собой и с верти- вертикальной стеной посредством шарниров. На шарнирный болт С дей- действует вертикальная сила Р= 1000 Н. Определить реакции этих стержней на шарнирный болт С, если углы, составляемые стержнями со стеной, равны: а = 30° и Р=60°. Ответ: 866 Н, 500 Н. К задаче 2.3 Г К задаче 2.5 К задаче 2.6
2.7B.8). На рисунках а, б и в, как и в предыдущей задаче, схе- схематически изображены стержни, соединенные между собой, с по- потолком и стенами посредством шарниров. К шарнирным болтам В, F и К подвешены гру- грузы Q = 1000 Н. Определить усилия в стержнях для случаев: б) а =30°, р = 60°; в) а = 60°, р = 30°. Ответ: a) S\=S2 = = 707 Н; б) Si =577 Н; 52 = —1154 Н*); в) 5i = = —577 Н; S2 = H54 H. 2.8B.9). УЛИЧНЫЙ фО- К задаче 2.7 нарь подвешен в точке В к середине троса ABC, прикрепленного концами к крюкам Л и С, находящимся на одной горизонтали, Определить натяжения Тх и Т2 в частях троса АВ и ВС, если вес фонаря равен 150 Н, длина всего троса ABC равна 20 м и отклонение точки его подвеса от горизонтали BD = 0,1 м. Весом троса пренебречь. Ответ: Т\ = Т2 = 7,5 кН. 2.9B.10). Уличный фонарь веса 300 Н подвешен к вертикаль- вертикальному столбу с помощью горизонтальной поперечины АС = 1,2 м и 1 1 К задаче 2.8 К задаче 2.9 К задаче 2.10 подкоса ВС = 1,5 м. Найти усилия S\ и S2 в стержнях АС и ВСУ считая креплений в точках Л, В и С шарнирными. Ответ: Sx = 400 Н, S2 = —500 Н. 2.10B.11). Электрическая лампа веса 20 Н подвешена к по- потолку на шнуре АВ и затем оттянута к стене веревкой ВС. Опре- Определить натяжения: ТА шнура АВ и Тс веревки ВС, если известно, что угол а = 60°, а угол р = 135°. Весом шнура и веревки пре- пренебречь. Ответ: Та = 14,6 Н, Тс = 10,4 Н. 2.11B.12). Мачтовый кран состоит из стрелы АВ, прикреплен- прикрепленной шарниром А к мачте, и цепи СВ. К концу В стрелы подвешен *} Знак минус показывает, что стержень сжат.
груз Р = 2 кН; углы ВАС = 15°, АСВ = 135°. Определить натяже- натяжение Т цепи СВ и усилие Q в стреле АВ. Ответ: Т = 1,04 кН; Q = 2,83 кН. 2.12B.13). На одной железной дороге, проведенной в горах, участок пути в ущелье подвешен так, как показано на рисунке. К задаче 2.11 К задаче 2.12 кН, найти Предполагая подвеску АВ нагруженной силой Р = усилия в стержнях АС и AD. Ответ: Стержни АС и AD сжаты одинаковым усилием 539 кН. 2.13B.14). Через два блока А и В, находящихся на одной го- горизонтальной прямой АВ = U перекинута веревка CAEBD. К кон- концам С и D веревки подвешены гири ве- веса р каждая, а к точке Е — гиря веса Р. Определить, пренебрегая трением на блоках и их размерами, расстояние х точки Е от прямой АВ в положении равновесия. Весом веревки пренебречь. Ответ: дс = - Р2 К задаче 2.13 2.14B.15). Груз веса 25 Н удержи- удерживается в равновесии двумя веревками, перекинутыми через блоки и натягиваемыми грузами. Один из этих грузов весит 20 Н; синус угла, образуемого соответ- соответствующей веревкой с вертикалью, ра- равен 0,6. Пренебрегая трением на бло- блоках, определить величину р второго груза и угол а, образуемый второй ве- веревкой с вертикальной линией. Весом веревки пренебречь. Ответ: р = 15 Н, sin a = 0,8. 2.15B.16). К веревке АВ, один ко- конец которой закреплен в точке Л, при- привязаны в точке В груз Р и веревка BCD, перекинутая через блок; к концу ее D привязана гиря Q веса 100 Н. Определить, пренебрегая трением на блоке, натяжение Т веревки А В и величину груза Р, если в положении равновесия ¦ К задаче 2.15 12
углы, образуемые веревками с вертикалью BE, равны: а = 45°, Р = 60°. Ответ: Т = 122 Н, Р = 137 Н. 2.16B.17). Груз Р = 20 кН поднимается магазинным краном ВАС посредством цепи, перекинутой через блок А и через блок Z), который укреплен на стене так, что угол CAD = 30°. Углы между стержнями крана: ЛВС = 60°, ЛСВ = 30°. Определить усилия Qx и Q2 в стержнях А В и АС. Ответ: Qx =0, Q2 = — 34,6 кН. 2.17. Два одинаковых цилиндра / веса Р каждый подвешены на нитях к точке О. Между ними лежит цилиндр // веса Q. Вся система находится в равновесии. Цилиндры / не касаются друг /г К задаче 2.16 К задаче 2.17 К задаче 2.18 друга. Определить зависимость между углом а, образованным нитью с вертикалью, и углом р, образованным прямой, проходя- проходящей через оси цилиндров / и //, с вертикалью. Ответ: = (^--f l)tga. 2.18B.18). На двух взаимно перпендикулярных гладких наклон- наклонных плоскостях АВ и ВС лежит однородный шар О веса 60 Н. Определить давление шара на каждую плоскость, зная, что пло- плоскость ВС составляет с горизонтом угол 60°. дтвет: ND = 52 Н, NE = 30 Н. 2.19B.19). К вертикальной гладкой стене АВ подвешен на тросе АС однородный шар О. Трос составляет со стеной угол а, вес шара Р. Определить натяжение троса Т и давление Q шара на стену. Ответ: Т = P/cos a, Q = Р tg a. 2.20B.20). Однородный шар веса 20 Н удерживается на глад- гладкой наклонной плоскости тросом, который привязан к пружинным весам, укрепленным над плоскостью; показание пружинных весов ЮН. Угол наклона плоскости к горизонту равен 30°. Определить 13
угол а, составляемый направлением троса с вертикалью, и давле- давление Q шара на плоскость. Весом пружинных весов пренебречь. Ответ: а = 60°, Q = 17,3 Н. 2.21B.21). Шарик В веса Р подвешен к неподвижной точке А посредством нити АВ и лежит на поверхности гладкой сферы ра- радиуса г; расстояние точки А от поверхности сферы АС = d, длина К задаче 2.20 К задаче 2.21 нити АВ = /, прямая АО вертикальна. Определить натяжение Т нити и реакцию Q сферы. Радиусом шарика пренебречь. Ответ. T-P-fc. Q-P-j^- 2.22B.22). Однородный шар веса 10 Н удерживается в равно- равновесии двумя тросами АВ и CD, расположенными в одной верти- вертикальной плоскости и составляющими один с другим угол 150°. Трос АВ наклонен к горизонту под углом 45°. Определить натя- натяжение тросов. Ответ: Тв = 19,3 Н, Тс = 14,1 Н. 2.23B.23). Котел с равномерно распределенным по длине ве- весом Р = 40 кН и радиуса /? = 1 м лежит на выступах каменной в К задаче 2.23 К задаче 2.24 кладки. Расстояние между стенками кладки /=1,6 м. Пренебре- Пренебрегая трением, найти давление котла на кладку в точках А и В Ответ: NA=NB = 33,3 кН. 2.24B.24). Вес однородного трамбовочного катка равен 20 кН, радиус его 60 см. Определить горизонтальное усилие Р, необходи- необходимое для перетаскивания катка через каменную плиту высоты 8 см, в положении, указанном на рисунке. 14
Ответ: Р= 11,5 кН. 2.25B.25). Однородный стержень АВ веса 160 Н, длины 1,2 м подвешен в точке С на двух тросах АС и С В одинаковой длины, равной 1 м. Определить натяжения тросов. Ответ: Натяжение каждого троса равно 100 Н. 2.26B.26). Однородный стержень АВ прикреплен к вертикаль- вертикальной стене посредством шарнира А и удерживается под углом 60° к вертикали при помощи троса ВС, образующего с ним угол 30°. Определить величину и направление реакции R шарнира, если из- известно, что вес стержня равен 20 Н. Ответ: R = 10 Н, угол (#, АС) = 60°. К задаче 2.25 К задаче 2.26 К задаче 2.27 2.27B.27). Верхний конец А однородного бруса ЛВ, длина кото- которого 2 м, а вес 50 Н, упирается в гладкую вертикальную стену, К нижнему концу В привязан трос ВС. Найти, на каком расстоя- расстоянии АС нужно прикрепить трос к стене для того, чтобы брус на- находился в равновесии, образуя угол BAD = 45°. Найти натяжение Т троса и реакцию R стены. Ответ: AC = AD = 1,41 м, Г = 56 Н, R = 25 Н. 2,28B.28). Оконная рама АВ, изображенная на рисунке в раз- разрезе, может вращаться вокруг горизонтальной оси шарнира А и К задаче 2.29 своим нижним краем В свободно опирается на уступ паза. Найти реакции опор, если дано, что вес рамы, равный 89 Н, приложен к середине С рамы и AD = BD. Ответ: RA = 70,4 Н, RB = 31,5 Н. 2.29B.29). Балка АВ поддерживается в горизонтальном поло- положении стержнем CD; крепления в Л, С и D шарнирные. Опреле-
лить реакции опор А и D, если на конце балки действует верти- вертикальная сила F = 5 кН. Размеры указаны на рисунке. Весом пре- пренебречь. Ответ: RA = 7,9 кН, RD = 10,6 кН. 2.30B.30). Балка АВ шарнирно закреплена на опоре Л; у конца В она положена на катки. В середине балки, под углом 45° к ее А 2м 2м В 2м 2м К задаче 2.30 оси, действует сила Р = 2 кН. Определить реакции опор для слу- случаев а и б, взяв размеры с рисунков и пренебрегая весом балки. Ответ: a) RA = 1,58 кН, #в = 0,71 кН; б) #л=2,24 кН, Rb = 1 кН. 2.31B.31). На рисунках изображены балки АВ, удерживаемые в горизонтальном положении вертикальными стержнями CD. На К задаче 2.31 1м \ концах балок действуют силы F = 30 кН под углом 60° к гори- горизонту. Взяв размеры с рисунков, определить усилия 5 в стержнях CD и давления Q балок на стену, если крепления в Л, С и D шар- шарнирные. Весом стержней и балок пренебречь. Ответ: a) S = 39 кН, Q = 19,8 кН; б) 5 = 39 кН, Q = 19,8 кН. 2.32B.32). Электрический провод АС В натянут между двумя столбами так, что образует пологую кривую, стрела провисания которой CD = / = 1 м. Расстояние между столбами АВ = I = 40 м. Вес провода Q = 0,4 кН. Определить натяжения провода: Тс в средней точке, ТА и Тв на концах. При решении задачи считать, что вес каждой половины провода приложен на расстоянии 1/4 от ближнего столба. Ответ: = Щ-=2 кН; Гл = Гв = кН,
2.33B.33). Для рамы, изображенной на рисунке, определить опорные реакции RA и RD, возникающие при действии горизонталь- горизонтальной силы Р, приложенной в точке В. Весом рамы пренебречь. Ответ: Ял = рУ5/2, RD = PJ2. 2.34B.34). В двигателе внутреннего сгорания площадь поршня равна 0,02 м2, длина шатуна АВ = 30 см, длина кривошипа ВС = 6 см. Давление газа в данный момент над поршнем равно 40М Р В 2а Y///S К задаче 2.32 К задаче 2.33 К задаче 2.34 рх = Ю00 кПа, под поршнем Р2 = 200 кПа. Найти силу Т, дей- действующую со стороны шатуна АВ на кривошип ВС, вызванную перепадом давлений газа, если угол ABC = 90°. Трением между поршнем и цилиндром пренебречь. Ответ: Г=16кН. 2.35B.35). Воздушный шар, вес которого равен G, удерживает- удерживается в равновесии тросом ВС, На шар действуют подъемная сила Q и горизонтальная сила давления ветра, равная Р. Определить натяжение троса в точке В и угол а. Ответ: Т = 2.36B.36). Для сжатия цементного ку- кубика М по четырем граням пользуются шарнирным механизмом, в котором стержни АВ, ВС и CD совпадают со сто- сторонами квадрата ABCD, а стержни /, 2, к задаче 2.35 3, 4 равны между собой и направлены по диагоналям того же квадрата; две равные по модулю силы Р прикладываются к точкам А и D, как показано на рисунке. Опре- Определить силы Nu N2y Nzy N4> сжимающие кубик, и усилия Si, S2, 53 в стержнях АВ, ВС и CD, если величина сил, приложенных в точ- точках А и D, равна 50 кН. Ответ: N\ = N2 = N3 = N4 = 70,7 кН. Растягивающие усилия: Si = S2 = Sz = 50 кН. 2.37B.37). Два трамвайных провода подвешены к поперечным проволочным канатам, из которых каждый прикреплен к двум 17
столбам. Столбы расставлены вдоль пути на расстоянии 40 м друг от друга. Для каждого поперечного каната расстояния AK = KL = = LB = 5 м; КС = LD = 0,5 м. Пренебрегая весом проволочного каната, найти натяжения Т\, Т2 и Тг в частях его AC, CD и DB, если вес 1 м провода равен 7,5 Н. Ответ: Тх = Тг = 3,015 кН, Т2 = 3 кН. К задаче 2.36 К задаче 2.37 2.38B.38). К шарниру А стержневого шарнирного четырехуголь- четырехугольника ABDC, сторона CD которого закреплена, приложена сила Q = 100 Н под углом BAQ = 45°. Определить величину силы R> приложенной в шарнире В под углом ABR =30° таким образом, чтобы четырехугольник ABDC был в равновесии, если углы| CAQ = 90°, DBR = 60°. Ответ: R = 163 Н. шшшшшшшшшш/шш/т К задаче 2.38 К задаче 2.39 2.39B.39). Стержневой шарнирный многоугольник состоит из четырех равных стержней; концы А и Е шарнирно закреплены; узлы В, С и D нагружены одинаковой вертикальной нагрузкой Q. В положении равновесия угол наклона крайних стержней к гори- горизонту а = 60°. Определить угол р наклона средних стержней к го- горизонту. Ответ: р = 30°.
2.40B.40). Для трехшарнирной арки, показанной на рисунке, определить реакции опор Л и В, возникающие при действии гори- горизонтальной силы Р. Весом арки пренебречь. 2 * Ответ: /?Л = /?В = В К задаче 2.40 К задаче 2.41 2.41B.41). Прямолинейный однородный брус АВ веса Р и не- невесомый стержень ВС с криволинейной осью произвольного очер- очертания соединены шарнирно в точке В и так же соединены с опо- опорами Л и С, расположенными на одной горизонтали АС. Прямые АВ и ВС образуют с прямой АС углы а = 45°. Определить реакции опор Л и С W°f Ответ: RA = -~— Р, Re — 2.42B.42). Наклонная бал- A &-JE L *^i' За ка АВ, на конец которой дей- действует СИЛа Р, СереДИНОЙ В\ К задаче 2.42 опирается на ребро консоли балки CD. Определить опорные реакции, пренебрегая весом балок. Ответ: RA = P, /?с = 4Р/л/3, /?D = 2P/y3- 2.43B.43). Дана система, состоящая из четырех арок, размеры которых указаны на рисунке. Определить реакции опор Л, В, С и Д возникающие при действии горизонтальной силы Р. Ответ: RA = P У2/2, RB = P, RC = P, Rd = < К задаче 2.43 2.44B.44). Кран состоит из неподвижной башни АС и подвиж- подвижной фермы ВС, которая имеет шарнир С и удерживается тросом АВ. Груз Q = 40 кН висит на цепи, перекинутой через блок в точке В и идущей к вороту по прямой ВС. Длина АС— ВС. Определить, 19
пренебрегая весом фермы и трением на блоке, натяжение Т троса АВ и силу Р, сжимающую ферму по прямой ВС, как функции угла АСВ = ф. Ответ: r = 80sin(q>/2) кН; Р = 80 кН независимо от угла ср. 2.45B.45). Блок С с грузом Р = 18 Н может скользить вдоль гибкого троса АСВ, концы которого А и В прикреплены к стенам. Расстояние между стенами 4 м; длина троса 5 м. Определить на- F I i К задаче 2.44 К задаче 2.45 тяжение троса при равновесии блока с грузом, пренебрегая весом троса и трением блока о трос. Натяжения частей троса АС и СВ одинаковы; их величина может быть определена из подобия треугольника сил и равнобедренного треугольника, одна из боковых сторон которого есть прямая ВСЕ, а основание лежит на вертика- вертикали BD. Ответ: 15 Н независимо от высоты BF. 2.46B.46). Для переправы через реку устроена люлька L, кото- которая посредством ролика С подвешена к стальному тросу АВ, за- закрепленному в вершинах башен А и В. Для передвижения ролика д 100м К задаче 2.46 С к левому берегу служит канат CADy перекинутый через блок А и наматываемый на ворот D; такой же канат имеется для подтя- подтягивания люльки к правому берегу. Точки А и В находятся на од- одной горизонтали на расстоянии АВ = 100 м одна от другой; длина троса АСВ равна 102 м; вес люльки 50 кН. Пренебрегая весом канатов и троса, а также трением ролика о трос, определить натя- 20
жение каната CAD и натяжение троса АС В в тот момент, когда длина ветви АС = 20 м. Ответ: Scad = 7,5 кН; See = Sca = 95,6 кН. 2.47B.47). Оконная рама АВ, изображенная на рисунке в раз- разрезе, веса 100 Н, открывается, вращаясь вокруг горизонтальной оси А, при помощи шнура BCD, огибающего блоки С и D. Блок С9 размерами которого пренебрегаем, и точка А лежат на одной вертикали; вес рамы при- приложен в ее середине; трением также прене- пренебрегаем. Найти натяжение Т шнура в за- зависимости от угла ф, образуемого рамой АВ с горизонталью АН, предполагая АВ = = ЛС, а также наибольшее и наименьшее значения этого натяжения. Ответ: Т = 100 sin D5° — q>/2) H; 7\пах — 70,7 Н при ф = 0; Tmin = 0 При ф = 90°. К задаче 2.47 2.48B.48). На круглом гладком цилиндре с горизонтальной осью и радиуса О А =0,1 м лежат два шарика А и В\ вес первого 1 Н, второго 2 Н. Шарики соединены нитью АВ длины 0,2 м. Опре- Определить углы ф1 и ф2, составляемые радиусами ОА и ОВ с верти- вертикальной прямой ОС в положении равновесия, и давления N\ и N% с У/////Л К задаче 2.48 шариков на цилиндр в точках А и В. Размерами шариков пре- пренебречь. Ответ: = 2 — ф2, tg ф2 • sin 2 = 84°45', ф2 = 29°50/, 2 + cos 2 f Ni = cos Ф1 H = 0,092 H, N2 — 2 cos ф2 H = 1,73 H. 2.49B.49). Гладкое кольцо А может скользить без трения по неподвижной проволоке, согнутой по окружности, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу подвешена гиря Р и привя- привязана веревка ABC, которая перекинута через неподвижный блок В, находящийся в высшей точке окружности; размерами блока пре- пренебрегаем. В точке С подвешена гиря Q. Определить центральный угол ф дуги АВ в положении равновесия, пренебрегая весом кольца 21
и трением на блоке, и указать условие, при котором возможно рав- равновесие. Ответ: sin(cp1/2) = Q/BP), ф2 = я; первое из указанных поло- положений равновесия возможно при Q < 2Р, второе — при любых Q и Р. 2.50B.50). На проволочной окружности ABC радиуса /?, распо- расположенной в вертикальной плоскости, помещено гладкое кольцо В, вес которого р; размерами кольца пренебречь. Кольцо посредством упругой нити АВ соединено с наивысшей точ- точкой А окружности. Определить угол ср в по- положении равновесия, зная, что сила натяже- натяжения нити Т пропорциональна ее относитель- относительному удлинению, причем коэффициент пропор- пропорциональности равен k. Если через L и I обозначим длину нити соответ- соответственно в состоянии растянутом и нерастянутом, то К задаче 2.50 2pl 2R — T в ПРОТИВНОМ случае ^ 1 bl Ответ: cos^ = y kR — pl J если Ф = 0. 2.51B.51). Точка М притягивается тремя неподвижными цен- центрами М\(хиу\)у М2(х2,У2) и Mz(xz, уг) силами, пропорциональ- пропорциональными расстояниям: F\ = к\Г\, ?2 = ^2, ^з = *3г3, где г\ = ММи г2 = ММ2, Гз^ММз, a ku ^2, ^з — коэффициенты пропорциональ- пропорциональности. Определить координаты х, у точки М в положении равно- равновесия. v — х 2.52B.52). Однородная прямоугольная пластинка веса 50 Н под- подвешена так, что может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей вдоль одной из ее сторон. Равномерно дующий ветер удерживает ее в наклонном положении под углом 18° к вер- тикальной плоскости. Определить равнодействую- щую давлений, производимых ветром на пла- пластинку перпендикулярно ее плоскости. Ответ: 5sin 18°= 15,5 Н. 2.53B.53). Концевая цепь цепного моста за- заложена в каменное основание, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, среднее сече- сечение которого есть ABDC. Стороны АВ = АС = = 5 м, удельный вес кладки 25 кН/м3; цепь рас- расположена на диагонали ВС. Найти необходимую длину а третьей стороны параллелепипеда, если натяжение цепи Т = 1000 кН. Основание должно быть рассчитано на опрокидывание вокруг ребра D\ пра расчете пренебрегаем сопротивлением грунта. Ответ: а > 2,26 м. К задаче 2.53 22
2.54B.54). Земляная насыпь подпирается вертикальной камен- каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены а, предпола- предполагая, что давление земли на стену направлено горизонтально, при- приложено на 1/3 ее высоты и равно 60 кН/м (на метр длины стены); удельный вес кладки 20 кН/м3. Стена должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра А. Ответ: а ^ 1,42 м. 2.55B.55). Водонапорная башня состоит из цилиндриче- цилиндрического резервуара высоты 6 м и диаметра 4 м, укрепленного на четырех симметрично располо- расположенных столбах, наклонных к горизонту; дно резервуара на- находится на высоте 17 м над уровнем опор; вес башни 80 кН, давление ветра рассчиты- рассчитывается на площадь проекции поверхности резервуара на плоскость, перпендикулярную направле- направлению ветра, причем удельное давление ветра принимается равным 1,25 кПа. Определить необходимое расстояние АВ между основа- основаниями столбов. Расстояние АВ должно быть рассчитано на опрокидывание давлением ветра при горизонтальном его направлении. Ответ: AB^z 15 м. К задаче 2.55 § 3. Параллельные силы 3.1C.1). Определить вертикальные реакции опор, на которые свободно оперта у своих концов горизонтальная балка длины /, нагруженная равномерно по р Н на единицу длины. Вес балки считать включенным в равномерно распределенную нагрузку. Ответ: RX=R2= l/2pl H. 3.2C.2). Определить вертикальные реакции опор горизонталь- горизонтальной балки пролета /, если груз Р помещен на ней на расстоянии х от первой опоры. Ответ: Rx=ph=-H9 /?2 = Ру. 3.3C.3). Однородный стержень АВ, длина которого 1 м, а вес 20 Н, подвешен горизонтально на двух параллельных веревках АС и BD. К стержню в точке Е на расстоянии АЕ = 1/4 м подвешен груз Р = 120 Н. Определить натяжения веревок Тс и TD. Ответ: Тс = 100 Н, TD = 40 Н. 3.4C.4). На горизонтальную балку, лежащую на двух опорах, расстояние между которыми равно 4 м, положены два груза, один С в 2 кН, другой D в 1 кН, так, что реакция опоры А в два раза 23
больше реакции опоры В, если пренебречь весом балки. Расстоя- Расстояние CD между грузами равно 1 м. Каково расстояние х груза С от опоры Л? Ответ: х = 1 м. в. К задаче 3.3 К задаче 3.4 300см 3.5C.5). Трансмиссионный вал АВ несет три шкива веса рх — з кН, Рг = 5 кН, Р3 = 2 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить, на каком расстоя- расстоянии х от подшипника В надо установить шкив веса Рд, что- чтобы реакция подшипника А рав- равнялась реакции подшипника В\ весом вала пренебречь. Ответ: х= 139 см. 3.6C.6). Определить силы давления мостового крана АВ на рельсы в зависимости от положения тележки С, на которой укреплена лебедка. Положение тележки определить расстоянием ее середины от левого рельса в долях общей длины моста. Вес моста Р = 60 кН, вес тележки с поднимаемым грузом Р\ = 40 кН. Ответ: Fa =G — An) 10 кН, FB = C + An) 10 кН, где п = АС/АВ. 1W//////////////^^^ К задаче 3.5 К задаче З.б 3.7C.7). Балка АВ длины 10 м и веса 2 кН лежит на двух опо- опорах С и D. Опора С отстоит от конца А на 2 м, опора D от конца В — на 3 м. Конец балки А оттягивается вертикально вверх посред- посредством перекинутого через блок троса, на котором подвешен груз Q
веса 3 кН. На расстоянии 3 м от конца А к балке подвешен груз Р веса 8 кН. Определить реакции опор, пренебрегая трением на блоке. Ответ: Rc = 3 кН, RD = 4 кН. *s К задаче 3.8 К задаче 3.9 3 8C.8). Горизонтальный стержень АВ веса 100 Н может вра- вращаться вокруг неподвижной оси шарнира Л. Конец В оттягивается кверху посредством перекинутой через блок нити, на которой под- подвешена гиря веса Р= 150 Н. В точке, находящейся на расстоянии 20 см от конца В, подвешен груз Q веса 500 Н. Как велика длина х стержня АВ, если он находится в равновесии? Ответ: х = 25 см. ц 3 9C 9) Конец А горизонтального стержня Ав веса ^и м и длины 5 м оттягивается кверху посредством перекинутой через блок веревки, на которой подвешен груз веса 10 Н. Конец В таким же образом оттягивается кверху по- посредством груза веса 20 Н. В точках С, D, Е и F, отстоящих одна от дру- другой и от точек А и В на 1 м, подве- подвешены грузы веса соответственно 5, 10, 15 и 20 Н. В каком месте надо подпереть стержень, чтобы он оста- оставался в равновесии? Ответ. В середине. 3.10C.10). К однородному стержню, длина которого 3 м, а вес 6 Н подвешены 4 груза на равных расстояниях друг от друга, причем два крайних —на концах стержня. Первый груз слева ве- весит 2 Н, каждый последующий тяжелее предыдущего на 1 Н. На каком расстоянии х от левого конца нужно подвесить стержень, чтобы он оставался горизонтальным? Ответ: х = 1,75 м. 3.11C.11). Однородная горизонтальная балка соединена со сте- стеной шарниром и подперта в точке, лежащей на расстоянии 160 см от стены. Длина балки 400 см, ее вес 320 Н. На расстояниях 120 см и 180 см от стены на балке лежат два груза веса 160 Н и 240 И. Определить опорные реакции. Ответ: 790 Н — вверх, 70 Н — вниз. 3.12C.12). Однородная горизонтальная балка длины 4 м и веса 5 кН заложена в стену, толщина которой равна 0,5 м, так, что опи- опирается на нее в точках А и В. Определить реакции в этих точках, если к свободному концу балки подвешен груз Р веса 40 кН. Ответ: RA = 340 кН — вверх, RB = 295 кН — вниз. 25
3.13C.13). Горизонтальная балка заделана одним концом в стену, а на другом конце поддерживает подшипник вала. От веса вала, шкивов и подшипника балка испытывает вертикальную на- нагрузку Q, равную 1,2 кН. Пренебрегая весом балки и считая, что нагрузка Q действует на расстоянии а = 0,75 м от стены, опреде- определить реакции заделки. Ответ: Реакция /? == 1,2 кН, реактивный момент М = 0,9 кН-м. ъ 3,5м р SSS3 К задаче 3.12 К задаче 3.13 3.14C.14). Горизонтальная балка, поддерживающая балкон, подвергается действию равномерно распределенной нагрузки ин- интенсивности q = 2 кН/м. На балку у свободного конца передается к К задаче 3.14 К задаче 3.15 нагрузка от колонны Р = 2 кН. Расстояние оси колонны от стены / = 1,5 м. Определить реакции заделки. Ответ: R = 5 кН, М = 5,25 кН • м. 3.15C.15). На консольную горизонтальную балку действует пара сил с моментом М = 6 кН-м, а в точке С вертикальная на- нагрузка Р = 2 кН. Длина пролета балки АВ = 3,5 м, вынос консоли ВС = 0,5 м. Определить реакции опор. Ответ: Ra=2 кН — вниз, RB = = 4 кН — вверх. 3.16C.16). На двухконсольную го- горизонтальную балку действует пара сил (Р, Р), на левую консоль — равно- равномерно распределенная нагрузка интен- интенсивности <7> а в точке D правой консоли — вертикальная нагрузка Q. Определить реакции опор, если Р = 1 кН, Q = 2 кН, q = = 2 кН/м, а = 0,8 м. Ответ: RA = 1,5 кН, RB = 2,1 кН. К задаче 3.16 26
3.17C.17). На балке АВ длины 10 м уложен путь для подъем- подъемного крана. Вес крана равен 50 кН, и центр тяжести его находится на оси CD; вес груза Р равен 10 кН; вес балки АВ равен 30 кН; вылет крана KL = 4 м; рас- расстояние АС = 3 м. Найти опор- опорные реакции в точках А и В для такого положения крана, когда стрелка крана DL нахо- находится в одной вертикальной плоскости с балкой АВ. Ответ: RA = 53 кН, RB = = 37 кН. 3.18C.18). Балка АВ длины I м несет распределенную нагрузку, показанную на рисунке. Интенсивность нагрузки равна q Н/м на концах А я В балки и 2q Н/м в середине балки. Пренебрегая ве* сом балки, найти реакции опор D и В. Ответ: RD = ql H, RB = 0,5?/ Н. К задаче 3.17 л г S К задаче 3.18 -*f- К задаче 3.19 3.19C.19). Горизонтальная балка АС, опертая в точках В и С, несет между опорами В и С равномерно распределенную нагрузку интенсивности q Н/м; на участке А В интенсивность нагрузки умень- уменьшается по линейному закону до нуля. Найти реакции опор В и С, пренебрегая весом балки. Ответ: /?в = |-(За + 36 + 4)Н; Rc = i (зб ~4) Н* 3.20C.20). Прямоугольный щит АВ ирригационного канала мо- может вращаться относительно оси О. Если уровень воды невысок, щит закрыт, но, когда вода достигает некоторого уровня Я, щит поворачивается вокруг оси и открывает канал. Пренебрегая тре- трением и весом щита, определить вы- соту //, при которой открывается щит. Ответ: Н = ЗА sin a. К задаче 3.20 К задаче 3.21 3.21C.21). Предохранительный клапан А парового котла соеди- соединен стержнем АВ с однородным рычагом CD длины 50 см и веса 10 Н, который может вращаться вокруг неподвижной оси С; 27
диаметр клапана d = 6 см, плечо ВС = 7 см. Какой груз Q нужно подвесить к концу D рычага для того, чтобы клапан сам откры- открывался при давлении в котле, рав- равном 1100 кПа? Ответ: Q = 430 Н. 3.22C.22). Несколько одинако- одинаковых однородных плит длины 21 сложены так, что часть каждой К. задаче 3.22 К задаче 3.23 плиты выступает над плитой нижележащей. Определить предель- предельные длины выступающих частей, при которых плиты будут нахо- находиться в равновесии. При решении складываются последовательно веса нлит, начиная с верхней. ^ ,1,1,1,1, Ответ: U jl, у/, -jl, -g-/ и т. д. 3.23C.23). Железнодорожный кран опирается на рельсы, рас- расстояние между которыми равно 1,5 м. Вес тележки крана равен 30 кН, центр тяжести ее находится в точке Л, лежащей на линии KL пересечения плоскости симметрии тележки с плоскостью ри- рисунка. Вес лебедки В крана равен 10 кН, центр тяжести ее лежит в точке С на расстоянии 0,1 м от прямой KL. Вес противовеса D равен 20 кН, центр тяжести его лежит в точке Е на рас- расстоянии 1 м от прямой KL. Вес укосины FG равен 5 кН, и центр тяжести ее находит- находится в точке Н на расстоянии 1 м от прямой KL. Вылет крана LM = 2 м. Опреде- Определить наибольший груз Q, ко- который не опрокинет крана. Ответ: Q = 51,8 кН. 3.24C.24). Центр тяжести к задаче з.24 передвижного рельсового крана, вес которого (без про- противовеса) равен Pi = 500 кН, находится в точке С, расстоя- расстояние которой от вертикальной плоскости, проходящей через правый рельс, равно 1,5 м. Крановая тележка рассчитана на подъем груза Рг = 250 кН; вылет ее равен 10 м. Определить наи- наименьший вес Q и наибольшее расстояние х центра тяжести проти-
вовеса от вертикальной плоскости, проходящей через левый рельс В так, чтобы кран не опрокинулся при всех положениях тележки как нагруженной, так и ненагруженной. Собственным весом те- тележки пренебречь. Ответ: Q = 333 кН, х = 6,75 м. 3.25C.25). Кран для загрузки материалов в мартеновскую печь состоит из лебедки Л, ходящей на колесах по рельсам, уложенным на балках передвижного моста В. К нижней части лебедки при- прикреплена опрокинутая колонна D, служащая для укрепления ло- лопаты С. Какой вес Р должна иметь лебедка с колонной, чтобы J)\ К задаче 3.25 К задаче 3.26 груз Q = 15 кН, помещенный на лопате на расстоянии 5 м от вер- вертикальной оси ОА лебедки, не опрокидывал ее? Центр тяжести лебедки расположен на оси О А; расстояние каждого колеса от оси ОА равно 1 м. Ответ: Р ^ 60 кН. 3.26C.26). Подъемный кран установлен на каменном фунда- фундаменте. Вес крана Q = 25 кН и приложен в центре тяжести А на расстоянии АВ = 0,8 м от оси крана; вылет крана CD = 4 м. Фун- Фундамент имеет квадратное основание, сторона которого EF = 2 м; удельный вес кладки 20 кН/м3. Вычислить наименьшую глубину фундамента, если кран предназначен для подъема тяжестей до 30 кН, причем фундамент должен быть рассчитан на опрокидыва- опрокидывание вокруг ребра F. Ответ: 1,06 м. 3.27C.27). Магнитная стрелка подвешена на тонкой проволоке и установлена горизонтально в магнитном меридиане. Горизонталь- Горизонтальные составляющие силы земного магнитного поля, действующие на полюсы стрелки в противоположных направлениях, равны каждая 0,02 мН, расстояние между полюсами 10 см. На какой угол нужно закрутить проволоку, чтобы стрелка составила угол 30° с магнит- магнитным меридианом, если известно, что для закручивания проволоки на угол Г нужно приложить пару, момент которой равен 0,05 мН-см? Момент закручивающей пары пропорционален углу закручивания. Ответ: 32°.
3.28C.28). Два однородных стержня АВ и ВС одинакового по- поперечного сечения, из которых А В вдвое короче ВС, соединенные своими концами под углом 60°, образуют ломаный рычаг ABC. У конца А рычаг подвешен на нити AD. Определить угол а на- наклона стержня ВС к горизонту при равновесии рычага; попереч- поперечными размерами стержней пренебречь. Ответ: tg a = i- V3, а = 19°5'. 3.29C.29). Два стержня АВ и ОС, вес единицы длины которых равен 2р, скреплены под прямым углом в точке С. Стержень ОС С К задаче 3.28 К задаче 3.29 К задаче 3.30 может вращаться вокруг горизонтальной оси О; АС = СВ = а, ОС = Ь. В точках А и В подвешены гири, веса которых Pi и Р2; Рг > ^ь Определить угол а наклона стержня АВ к горизонту в по- положении равновесия. Ответ- toa = — р2 — Р\ итвет. tga ь p2 + /)i + pDa + 6) . 3.30C.30). Подъемный мост АВ поднимается посредством двух брусьев CD длины 8 м, веса 4 кН, по одному с каждой стороны моста; длина моста АВ = СЕ = 5 м; длина цепи АС = ВЕ; вес моста 30 кН и может считаться приложенным в се- середине АВ. Рассчитать вес противовесов Р, уравно- уравновешивающих мост. Ответ: Р = 13,83 кН. 3.31C.31). Главную часть дифференциального блока составляют два неизменно связанных между собой шкива Л, ось которых подвешена к непод- неподвижному крюку. Желоба их снабжены зубцами, за- захватывающими бесконечную цепь, образующую две петли, в одну из которых помещен подвижной блок В. К подвижному блоку подвешен поднимаемый груз Q, а к свисающей с большого блока ветви свободной петли приложено усилие Р. Радиусы шкивов А суть R и г, причем г < R. Требуется най- найти зависимость усилия Р от величины поднимае- поднимаемого груза Q и определить это усилие в случае: Q = 500 Н, R = = 25 см, г = 24 см. Трением пренебречь. Ответ: P = i- К задаче 3.31 30
3.32C.32). Дифференциальный рычаг состоит из стержня АВ, имеющего неподвижную опорную призму в точке С, и перекладины DE, соединенной с рычагом АВ посредством шарнирных серег AD и EF. Груз Q = 1 кН подвешен к перекладине в точке G посред- посредством призмы. Расстояние между вертикалями, проведенными че- через точки С и G, равно 1 мм. Определить вес гири Р, которую нужно подвесить к рычагу АВ в точке Н на расстоянии СН = 1 м для того, чтобы уравновесить груз Q. Трением пренебречь. Ответ: Р=10Н. В С С F И Q К задаче 3.32 '////У/////////// * К задаче 3.33 3.33C.33). В шарнирном четырехзвенном механизме звено ВС параллельно неподвижному звену AD. Звено АВ = h перпендику- перпендикулярно AD. Посредине АВ приложена горизонтальная сила Р. Ка- Какую горизонтальную силу Q следует приложить к звену CD в точке ?, если СЕ = CD/4, чтобы механизм был в равновесии? Найти реакцию в шарнире D. Весом звеньев пренебречь. Ответ: Q = 2/зЛ Rd = Х/*Р и направлена по AD вправо. 3.34C.34). Для измерения больших усилий Q устроена система двух неравноплечих рычагов ABC и EDF, соединенных между со- собой тяжем CD. В точках В и Е имеются неподвижные опоры. По рычагу EDF может передвигаться груз Р веса 125 Н. Сила Q, при- приложенная в точке Л, уравновешивается этим грузом, помещенным на расстоянии / от точки D. К задаче 3.34 К задаче 3.35 На какую длину х надо передвинуть для сохранения равновесия груз Р при увеличении силы Q на 10 кН, если указанные на ри- рисунке размеры соответственно равны: а = 3,3 мм, Ъ = 660 мм, с = 50 мм? Ответ: х = 2 см. 3.35C.35). Балка АВ длины 4 м, веса 2 кН может вращаться вокруг горизонтальной оси А и опирается концом В на другую балку CD длины 3 м, веса 1,6 кН, которая подперта в точке Е и соединена со стеной шарниром D. В точках М и N помещены грузы по 0,8 кН каждый. Расстояния: AM = 3 м, ED = 2 м, ND = 1 м. Определить опорные реакции» 31
Ответ: RA = 1,2 кН, RB — 1,6 кН, /?е = 4 кН, /?/> = 0. 3.36C.36). Консольный мост состоит из трех частей: AC, CD и DF, из которых крайние опираются каждая на две опоры. Раз- Размеры соответственно равны: АС = DF = 70 м, CD =20 м, К задаче 3.36 Л В = EF = 50 м. Погонная нагрузка на мост равна 60 кН/м. Найти давления на опоры Л и В, производимые этой нагрузкой. Ответ: NA = Ю20 кН, Nb = 3780 кН. 20м , 15м . } Я 50м К задаче 3.37 &.37C.37). Консольный мост состоит из главной фермы АВ и двух боковых ферм АС и BD. Собственный вес, приходящийся на погонный метр фермы АВ, равен 15 кН, а для ферм АС и BD ра- равен 10 кН. Определить реакции всех опор в тот момент, когда весь правый пролет FD занят поездом, вес которого можно заменить рав- равномерно распределенной по про- пролету FD нагрузкой интенсивно- интенсивности 30 кН на погонный метр. Раз- Размеры соответственно равны: АС- К задаче 3.38 м; AE = BF= 15 м; EF = 50 м. = 400 кН, RE = 542,5 кН, RP =* Ответ: Rc = 100 кН, = 1607,5 кН. 3.38. Для осмотра на плаву днища понтона водоизмещением D = 2000 кН его носовая оконечность поднимается краном грузо- грузоподъемности Р = 750 кН. Принимая удельный вес воды Vе
= 10 кН/м3, определить наибольший подъем днища над уровнем воды Л, если понтон имеет форму прямоугольного параллелепипеда длины L = 20 м, ширины В = 10 м. Центр тяжести понтона С ле- лежит посередине его длины. Точка К крепления троса подъемного крана и центр тяжести С находится на одинаковом расстоянии от днища понтона. (Водоизмещение судна численно равно его весу.) Ответ. ft= 1,36 м. § 4. Произвольная плоская система сил 4.1D.1). К однородному стержню АВ, который может вращать- вращаться вокруг шарнира Л, подвешена в точке В на веревке гиря С веса в 10 Н. От конца стержня В протянут трос, перекинутый че- через блок D и поддерживающий гирю веса в 20 Н. Найти величину угла BAD = а, при котором стержень будет находиться в положе- положении равновесия, зная, что АВ = AD и вес стержня 20 Н. Трением на блоке пренебречь. Ответ: а = 120°. 4.2D.2). Горизонтальная балка крана, длина которой равна /* у одного конца укреплена шарнирно, а у другого конца В подве- подвешена к стене посредством тяги ВС, угол наклона которой к гори- горизонту равен а. По балке может перемещаться груз Р, положение К задаче 4. К задаче 4.3 которого определяется переменным расстоянием х до шарнира А, Определить натяжение Т тяги ВС в зависимости от положения груза. Весом балки пренебречь. Ответ-- 4.3D.3). Однородный шар веса Q и радиуса а и гиря веса Р подвешены на веревках в точке О, как показано на рисунке. Рас- Расстояние ОМ = Ь. Определить, какой угол ср образует прямая ОМ с вертикалью при равновесии. Ответ: smy = ±-L—. 4.4D.4). Ломаный рычаг ЛВС, имеющий неподвижную ось В, весит 80 Н; плечо АВ = 0,4 м, плечо ВС = 1 м, центр тяжести ры- рычага находится на расстоянии 0,212 м от вертикальной прямой BD. В точках Л и С привязаны веревки, перекинутые через блоки Е и И. В. Мещерский за
F и натягиваемые гирями веса Р\ = 310 Н и Рг = 100 Н. Пренебре- Пренебрегая трением на блоках, определить угол BCF = фв положении рав- равновесия, если угол ВАЕ = 135°. Ответ: ф! = 45°, ср2 = 135°. 4.5D.5). Лебедка снабжена храповым колесом диаметра d\ с собачкой А. На барабан диаметра rf2, неподвижно скрепленный с колесом, намотан трос, поддер- поддерживающий груз Q. Определить давление R на ось В собачки, если К задаче 4.4 К задаче 4.5 дано: Q = 50 Н, d\ = 420 мм, d2 = 240 мм, ft = 50 мм, а = 120 мм. Весом собачки пренебречь. 4.6D.6). Однородная балка АВ веса Р опирается на две глад- гладкие наклонные прямые CD и DE, находящиеся в вертикальной пло- плоскости; угол наклона первой из них к горизонту равен а, второй: 90° — а. Найти угол 6 наклона балки к горизонту в положе- положении равновесия и давления ее на опорные прямые. Ответ: Na = P cos a, NB = = Psina, tg6 = ctg2a, 6 = = 90° —2a при а<45°. 4.7D.7). Однородная балка веса 600 Н и длины 4 м опи- опирается одним концом на глад- К задаче 4.6 К задаче 4.7 КИЙ ПОЛ, а ПрОМежуТОЧНОЙ ТОЧ- ТОЧКОЙ В — на столб высоты 3 м, образуя с вертикалью угол 30°. Балка удерживается в таком поло- положении веревкой АС, протянутой по полу. Пренебрегая трением, определить натяжение веревки Т и реакции RB столба и Re вола. Ответ: Т = 150 Н, RB = 173 Н, Rc = 513 Н. 4.8D.8). Однородная балка АВ веса 200 Н опирается на глад- гладкий горизонтальный пол в точке В под углом 60° и, кроме того, 84
поддерживается двумя опорами С и D. Определить реакции опор в точках В, С и D, если длина АВ = 3 м, СВ = 0,5 м, BD = 1 м. Ответ: RB = 200 Н, Rc = 300 Н, RD = 300 Н. 4.9D.9). Однородная плита АВ веса Р = 100 Н свободно опи- опирается в точке А и удерживается под углом 45° к горизонту двумя стержнями ВС и BD. BCD — равносторонний треугольник. Точки С К задаче 4.9 К задаче 4.10 и D лежат на вертикальной прямой CD. Пренебрегая весом стерж- стержней и считая крепления в точках В, С и D шарнирными, опреде- определить реакцию опоры А и усилия в стержнях. Ответ: RA = 35,4 Н, Sc = 89,5 Н, SD = —60,6 Н. 4.10D.10). Однородный стержень АВ веса 100 Н опирается од- одним концом на гладкий горизонтальный пол, другим — на гладкую плоскость, наклоненную под углом 30° к горизонту. У конца В стержень поддерживается веревкой, перекинутой через блок С и несущей груз Р; часть веревки ВС параллельна наклонной пло- плоскости. Пренебрегая трением на блоке, определить груз Р и силы давления Na и Nb на пол и на наклонную плоскость. Ответ: P = 25H;NA = 50 Н; NB = 43,3 Н. 4.11D.11). При сборке моста пришлось поднимать часть мосто- мостовой фермы ABC тремя канатами, расположенными, как указано 2м \ К задаче 4.11 К задаче 4.12 на рисунке. Вес этой части фермы 42 кН, центр тяжести находится в точке D. Расстояния соответственно равны: AD =4 м, DB = 2м, BF = 1 м. Найти натяжения канатов, если прямая АС горизон- горизонтальна. Ответ: ТА = 18 кН, Тв = 17,57 кН, Тс = 12,43 кН. 4.12D.12). Стропила односкатной крыши состоят из бруса Л В, у верхнего конца В свободно лежащего на гладкой опоре, а ниж- нижним концом А упирающегося в стену. Наклон крыши tg a = 0,5; 2* 35
на брус АВ приходится вертикальная нагрузка 9 кН, приложенная в середине бруса. Определить реакции опор в точках А и В. Ответ: ХА = 1,8 кН, Ya = 5,4 кН, RB = 4,02 кН. 4.13D.13). К гладкой стене прислонена однородная лестница АВ под углом 45° к горизонту; вес лестницы 200 Н; в точке D на расстоянии, равном 1/3 длины лестницы, от нижнего конца нахо- находится человек веса 600 Н. Найти силы давления лестницы на опору Л и на стену. Ответ: ХА = 300 Н, YA = —800 Н, Хв = —300 Н. 4.14D.14). На подъемной однородной лестнице длины 6 м и веса 2,4 кН, которая может вращаться вокруг горизонтальной оси К задаче 4.14 К задаче 4ЛЗ К задаче 4.15 А и наклонена под углом 60° к горизонту, в точке D стоит человек веса 0,8 кН на расстоянии 2 м от конца В. У конца В лестница поддерживается веревкой ВС, наклоненной под углом 75° к гори- горизонту. Определить натяжение Т веревки и реакцию А оси. Ответ: Г = 3,35 кН, ХА = 0,867 кН, YA =—0,0344 кН. 4.15D.15). Однородная балка АВ веса Р=100 Н прикреплена к стене шарниром А и удерживается под углом 45° к вертикали при помощи троса, перекинутого через блок и несущего груз G. Ветвь ВС троса образует с вертикалью угол 30°. В точке D к балке подвешен груз Q веса 200 Н. Определить вес груза G и реакцию шарнира Л, прене- пренебрегая трением на блоке, если BD = *Д АВт Ответ: G=146 Н, ХА=7Ъ Н, Ул=173 Н. 4.16D.16). Шлюпка ви- висит на двух шлюпбалках, прцчем вес ее, равный 9,6 кН, распределяется меж- между ними поровну. Шлюп- Шлюпбалка ABC нижним полу- шаровым концом опирает- опирается на подпятник Л и на высоте 1,8 м над ним сво- К задаче 4.16 К задаче 4.17 бодно проходит через под- подшипник В; вылет шлюпбалки равен 2,4 м. Пренебрегая весом шлюп- шлюпбалки, определить силы давления ее на опоры А и В. Ответ: ХА = —6,4 кН, YA = —4,8 кН, Хв = 6,4 кН. 4.17D.17). Литейный кран ABC имеет вертикальную ось вра- вращения MN; расстояния: MN = 5 м; АС = 5 м; вес крана 20 кН,
У\ центр тяжести его D находится от оси вращения на расстоянии 2 м; вес груза, подвешенного в точке С, равен 30 кН. Найти реакции подшипника М и подпятника N. Ответ: Хм = —38 кН, XN = 38 кН, YN = = 50 кН. 4.18D.18). Кран в шахте, поднимающий груз Р = 40 кН, имеет подпятник Лив точ- точке В опирается на гладкую цилиндрическую поверхность, ось которой Ау вертикальна. Длина хвоста АВ равна 2 м. Вылет крана DE = 5 м. Вес крана равен 20 кН и прило- приложен в точке С, расстояние которой от вер- вертикали Ау равно 2 м. Определить реакции опор А и В. Ответ: ХА = № кН, YA = 60 кН, Хв = = —120 кН. 4.19D.19). Кран для подъема тяжестей состоит из балки АВ, нижний конец кото- которой соединен со стеной шарниром Л, а верх- верхний удерживается горизонтальным тросом ВС. Определить натя- натяжение Т троса ВС и давление на опору Л, если известно, что вес груза Р = 2 кН, вес балки АВ равен 1 кН и приложен в середине балки, а угол а = 45°. Ответ: Т = 2,5 кН, ХА = —2,5 кН, YA = —3 кН. К задаче 4.18 К задаче 4.20 4.20D.20). Кран имеет шарниры в точках Л, В и D, причем АВ =AD = BD*=8 м. Центр тяжести фермы крана находится на расстоянии 5 м от вертикали, проходящей через точку Л. Вылет крана, считая от точки Л, при этом равен 15 м. Поднимаемый груз весит 200 кН; вес фермы Р = = 120 кН. Определить опорные реакции и натяжение стержня BD для указанного положения крана. Ответ: ХА = 260 кН, YA — = 770 кН, Г = 520 кН. 4.21D.21). Симметричная стропильная ферма ABC у одного конца шарнирно укреплена в неподвижной точке Л, а у другого конца В опирается катками на гладкую горизонтальную пло- 37 К задаче 4.21
скость. Вес фермы 100 кН. Сторона АС находится под равномерно распределенным, перпендикулярным ей давлением ветра; равно- равнодействующая сил давления ветра равна 8 кН. Длина АВ = 6 м, угол CAB = 30°. Определить опорные реакции. Ответ: ХА = —4 кН, YA = 54,6 кН, Ув = 52,3 кН. 4.22D.22). Арочная ферма имеет неподвижный опорный шар- шарнир в точке Л, в точке В — подвижную гладкую опору, плоскость которой наклонена к горизонту под углом 30°. Пролет АВ = 20 м. Центр тяжести фермы, вес кото- которой вместе со снеговой нагрузкой равен 100 кН, находится в точке С, расположенной над серединой к задаче 4.22 пролета АВ. Равнодействующая сил давления ветра F равна 20 кН и направлена параллельно АВ, линия ее действия отстоит от АВ на 4 м. Определить опорные реакции. Ответ: ХА = — 11,2 кН, YA = 46 кН, RB = 62,4 кН. 4.23D.23). Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точ- точках А и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF> шар- ыирно укрепленными в точках Е и F. Раскосы фермы и прямая EF> д К задаче 4.23 наклонены к горизонту под углом 45°; длина панели ВС = 3 м; стержни АЕ и BF одинаковой длины; расстояние EF = 3 <\/2 м; АН = 2f25 л/2м. Вес фермы и нагрузки равен 75 кН и направлен по прямой CG. Найти реакцию катков RD. Ответ: RD=l5 кН. 4.24D.24). Давление воды на маленькую площадку плотины возрастает пропорционально расстоянию ее от свободной поверх- поверхности воды и равно весу столба воды, высота которого равна этому расстоянию, а площадь основания равна взятой площадке. Опреде- Определить толщину плотины в ее основании в двух случаях: 1) когда поперечное сечение плотины прямоугольное; 2) когда это сечение треугольное. Плотина должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра В давлением воды, причем коэффициент устойчивости дол- должен быть равен 2. Высота h плотины такая же, как глубина воды, и равна 5 м. Удельный вес воды ^ = 10 кН/м3, удельный вес ма- материала плотины у\ = 22 кН/м3. 3S
Коэффициентом устойчивости называется отношение момента веса массива к моменту опрокидывающей силы. Давление воды на площадку плотины длиной 1 м и высотой dyy где у — расстояние площадки от дна в метрах, равно в килоньютонах y(h— y)dy. Момент этого давления относительно точ- h ки В равен y(h — у)у dy. Опрокидывающий момент равен § y (^ — У) У dy. ^ Ответ: а = 2,75 м; Ь = 3,37 м. jgg 4.25D.25). Определить реакции опор А и В рьеь5 балки, находящейся под действием одной К задаче 4.24 К задаче 4.25 К задаче 4.26 сосредоточенной силы и пары сил. Нагрузка и размеры указаны на рисунке. Ответ. ХА=2 кН, Ya = —4,32 кН, YB = 7,78 кН. 4.26D.26). Определить реакции опор А и В балки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распреде- распределенной нагрузки. Интенсивность распределенной нагрузки, вели- величины сил и размеры указаны на рисунке. Ответ: ХА = 2,6 кН, YA = 4,2 кН, Хв = 15,6 кН. 4.27D.27). Определить реакции заделки консольной балки, изо- изображенной на рисунке и находящейся под действием сосредоточен- сосредоточенной силы и пары сил. Ответ: X = 1 кН, У = 1,73 кН, М = 0,47 кН • м. «27 К задаче 4.27 4.28D.28). Определить браженной на рисунке и распределенной нагрузки, Ответ: X = 2,8 кН, Y = 4.29D.29). Определить браженной на рисунке и распределенной нагрузки, К задаче 4.28 К задаче 4.29 реакции заделки консольной балки, изо- находящейся под действием равномерно сосредоточенной силы и пары сил. = 1,7кН, М = — 5,35 кН-м. реакции заделки консольной балки, изо- находящейся под действием равномерно одной сосредоточенной силы и двух пар сил. Ответ: X = 11,8 кН, Y = —2,8 кН, М = —86,8 кН • м. 39
4.30D.30), Определить реакции заделки консольной балки, изо- изображенной на рисунке и находящейся под действием пары сил и распределенной нагрузки, изменяющейся по за- закону треугольника. Ответ: Х = — 9 кН, У = 0, М = 40 кН-м. 4.31D.31). Определить реакцию заделки кон- консольной балки, изображенной на рисунке и на- находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределенной нагрузки, изменяю- изменяющейся по закону треугольника и трапеции. Ответ: Х=137 кН, У = 25 кН, М = = —270 кН-м. 4.32C.38). Горизонтальная разрезная балка АС В у конца Л заделана в стену, у конца В опи- опирается на подвижную опору; в точке С — шарнир. Балка загру- загружена краном, несущим груз Р веса 10 кН; вылет KL = 4 м, вес крана Q = 50 кН, центр тяжести крана лежит на вертикали CD. Размеры указаны на рисунке. Определить, пренебрегая весом бал- балки, опорные реакции в точках Л и В для такого положения крана, когда он находится в одной вертикальной плоскости с балкой АВ. Ответ: RA = 53,75 кН, RB = 6,25 кН, МА = 205 кН. К задаче 4.30 К задаче 4.32 4.33D.32). Определить реакции опор Л, Б, С и шарнира D со- составной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой. Ответ: ХА=— 2,8 кН, УА = —4,4 кН, У* = 22,2 кН, Ус=5 кН, XD = 0y Yd = ±5 кН. д=2кН/м 9~ШкН/м jSkH V 5кН X К задаче 4.33 К задаче 4.34 4.34D.33). Определить реакции опор Л, В, С и шарнира D со- составной балки, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой. Ответ: ХА = 3 кН; Ул = 13,8 кН; Ув = —6,6 кН; Ус = 10 кН, XD = 0; Yd = ±5 кН. 4.35D.34). Мост состоит из двух частей, связанных между со- собой шарниром Л и прикрепленных к береговым устоям шарнирами В и С. Вес каждой части моста 40 кН; их центры тяжести D и Е; 40
на мосту находится груз Р = 20 кН; размеры указаны на рисунке. Определить силу давления в шарнире А и реакции в точках В и С. Ответ: ХА = ±20 кН, Ya = 4=8 кН, Хв = —Хс = 20 кН, Уе = = 52 кН, Yc = 48 кН. 1 I /м /Зп 1м Чм Юн ^ И I К задаче 4.35 К задаче 4.36 4.36D.35). На гладкой горизонтальной плоскости стоит перед- передвижная лестница, состоящая из двух частей ЛС и ВС, длины 3 м, веса 120 Н каждая, соединенных шарниром С и веревкой EF; рас- расстояние BF = АЕ = 1 м; центр тяжести каждой из частей ЛС и ВС находится в ее середине. В точке D на расстоянии CD = 0,6 м стоит человек, весящий 720 Н. Определить реакции пола и шарни- шарнира, а также натяжение Т веревки EF, если угол ВАС = ABC = 45°. Ответ: /?д=408 Н, /?в = 552 Н, *с = ±522 Н, Ус = ±288 Н, Т = 522 Н. 4.37D.36). Мост состоит из двух одинаковых частей М и N> соединенных между собой и с неподвижными опорами посредством шести стержней, наклоненных к горизонту под углом 45° и снаб- снабженных на концах шарнирами. Размеры указаны на рисунке. В точке G помещен груз веса Р. Определить те усилия в стерж- стержнях, которые вызваны действием этого груза. Ответ: Ф К задаче 4.37 К задаче 4.38 4.38D.37). Мост состоит из двух одинаковых горизонтальных балок, соединенных шарниром Л и прикрепленных шарнирно к ос- основанию жесткими стержнями /, 2, 3, 4У причем крайние стержни вертикальны, а средние наклонены к горизонту под углом а = 60°. Соответствующие размеры равны: ВС = 6 м; ЛВ = 8 м. Опреде- Определить усилия в стержнях и реакцию шарнира Л, если мост несет вертикальную нагрузку Р=15 кН на расстоянии с = 4 м от точки В.
Ответ: 5i=—6,25 кН, 52 = 53 = — 5,77 кН, S4=l,25 кН, ХА = ±2,89 кН, YA = +3,75 кН. 4.39D.38). Вдоль мастерской, здание которой поддерживается трехшарнирной аркой, ходит по рельсам мостовой кран. Вес попе- поперечной балки, передвигающейся по рельсам, 12 кН; вес крана 8 кН (кран не нагружен); линия действия веса крана отстоит от левого рельса на расстоянии 0,25 длины балки. Вес каждой половины арки равен 60 кН и приложен на расстоянии 2 м от вертикали, 45аг W?, К задаче 4.39 К задаче 4.40 проходящей через соответствующую опору А или В; опорные рельсы мостового крана расположены на расстоянии 1,8 м от этих вертикалей. Высота здания 12 м, ширина пролета 16 м. Равнодей- Равнодействующая сил давления ветра равна 12 кН и направлена парал- параллельно АВ, линия ее действия отстоит от АВ на 5 м. Определить реакции шарниров А и В и силу давления в шарнире С. Ответ: ХА = 2 кН, Ул = 67,8 кН, Хв = —14 кН, YB = 72,2 кН, Хс = ±14 кН, Ус = ^4,2 кН. 4.40D.39). Груз Р = 25 Н подвешен к концу горизонтального бруса АВ. Вес бруса Q = 10 Н и приложен в точке Е. Брус при- прикреплен к стенке посредством шарнира А и подперт стержнем CD, с которым скреплен тоже посредством шарнира. Весом стержня CD пренебрегаем. Разме- ры указаны на рисунке. _ Определить реакции шар- шарниров Л и С. Ответ: ХА = —Ъ0 Н, Ул = —17Н, #с = 60Н. 4.41D.40). Два одно- однородных бруса одинаковой длины соединены шанир- но в точке С, а в точках Л и В также шарнирно прикреплены к опо- опорам. Вес каждого бруса равен Р. В точке С подвешен груз Q. Расстояние АВ = d. Расстояние точки С до горизонтальной пря- прямой АВ равно Ь. Определить реакции шарниров А и В. Ответ: -XA = XB=>-fe(P+Q), YA = YB = P+-^. 4.42D.41). Два стержня АС и BD одинаковой длины шарнирно соединены в точке D и так же прикреплены к вертикальной стене К задаче 4.41 К задаче 4.42 42
в точках А и В. Стержень АС расположен горизонтально, стержень BD образует угол 60° с вертикальной стеной. Стержень АС в точке Е нагружен вертикальной силой Pi = 40 Н и в точке С силой Q = 100 Н, наклоненной к горизонту под углом 45°. Стержень BD в точке F нагружен вертикальной силой Р2 = 40 Н. Дано: АЕ = = ЕС, BF = FD. Определить реакции шарниров Л и В. Ответ: ХА = —287 Н, У„=6 Н, Хв = 216 Н, Ув = 145 Н. 4.43D.42). Подвеска состоит из двух балок АВ и CD, соеди- соединенных шарнирно в точке D и прикрепленных к потолку шарни- шарнирами Л и С. Вес балки АВ равен 60 Н и приложен в точке Е. Вес балки CD равен 50 Н и приложен в точке F. В точке В к балке АВ приложена вертикальная сила Р = 200 Н. Определить реакции в шарнирах Л и С, ес- если заданы следующие размеры: АВ = 1 м; CD = 0,8 м; АЕ = = 0,4 м; С/7 = 0,4 м; углы на- наклона балок АВ и CD к гори- горизонту соответственно равны: а = 60° и р = 45°. f\ V V IOC f Т L/Твет: —Лд == Ac =^ loo о, 1м 1м ш К задаче 4.43 К задаче 4.44 ул = 150Н, Ус = 160 Н. 4.44D.43). Горизонтальная балка АВ длины 2 м, прикреп- прикрепленная к вертикальному столбу Л С в точке Л и подпертая подкосогд DE, несет на конце груз Q веса 500 Н; столб АС укреплен подко- подкосом FG, причем АЕ = СО = 1 м; подкосы DE и FG наклонены под углом 45° к горизонту. Найти усилия Se и Sf в подкосах DE и FG и реакцию грунта в точке С, предполагая, что крепления шарнир- шарнирные, и пренебрегая весом балки, столба и подкосов. Ответ: Se = -1410H, S, = -1410H, Xc = 1000H, Yc = = —500 Н. У К задаче 4.45 С В Е К задаче 4.46 4.45D.44). В мостовой ферме, изображенной на рисунке, на узлы С и D приходится одинаковая вертикальная нагрузка Р = 100 кН; наклонные стержни составляют углы 45° с горизон- горизонтом. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5 и 6, вызываемые данной нагрузкой. Ответ: Si = —141 кН, S2 = 100 кН, S3 = 141 кН, За — —200 кН, S5 = 0, S6 = 200 кН. 4.46D.45). В мостовой ферме, изображенной на рисунке, узлы С, D и Е загружены одинаковой вертикальной нагрузкой Р =
= 100 кН. Наклонные стержни составляют углы 45° с горизонтом. Найти усилия в стержнях 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, вызываемые дан- данной нагрузкой. Ответ: Si = —150 кН, S2 — 0, S3=212 кН, S4 = —150 кН, S5 = —50 кН, Se = 150 кН, S7 — 71 кН, S8 = —200 кН, S9 = 0. 4.47D.46). Для сборки моста устроен временный деревянный кран, перемещающийся по рельсам А и В на колесах. К среднему узлу С нижнего пояса DE крана прикреплен блок, служащий для поднятия тяжести с помощью це- цепи. Вес поднимаемого с подмостей груза Р = 50 кН, причем в мо- момент отделения его от подмостей направление цепи составляет g вертикалью угол а = 20°; во избе- избежание колебаний груза он оття- оттягивается горизонтальным кана- канатом GH. Предполагая, что горизонталь- горизонтальная составляющая натяжения це- к задаче 4.47 пи воспринимается одним правым рельсом В, определить усилие Si в горизонтальном стержне CF в момент отделения груза от под- подмостей и сравнить его с тем усилием S2, которое получилось бы при угле а = 0. Размеры указаны на рисунке. Ответ: Si = 104,6 кН; S2 = 50 кН. 4.48D.47). Найти величину усилия, сжимающего предмет М в прессе, при следующих условиях: усилие Р = 0,2 кН и направлено перпендикулярно рычагу ОА, имеющему неподвижную ось О; в рас- рассматриваемом положении пресса тяж ВС перпендикулярен ОВ и делит ZECD пополам, при- причем ZCED = arctg 0,2 = = 1Г20/; длина ОА = 1 м; ОВ = 10 см. Ответ: 5 кН. 4.49D.48). Цепь ОО{ са- самозахватывающего грузы приспособления соединена шарниром О со стержнями ОС = OD = 60 см. Стерж- Стержни соединены шарнирами же с двумя равными ломаными рычагами САЕ и DBF, которые могут вращаться вокруг точек А и В .соединительного стержня GH. В шарнирах Е и F особые ко- колодки удерживают груз Q ===== 10 кН трением. Расстояние точки Е от стержня GH равно EL = 50 см, а расстояние ее от стержня ОС равно EN = 1 м. Высота треугольника COD равна ОК =10 см, Найти силу, растягивающую соединительный стержейь G#, пре* небрегая весом частей механизма. задаче 4.48 К задаче 4:49 44
Ответ: 60 кН. 4.50D.49). Определить реакции шарниров Л, С, ?>, Е и Я в стержневой системе, изображенной на рисунке, если СЕ = ЕН = Я?ЛС СВ Ответ: RA = RD = RH = Р, RE = 2Py Rc = P^j2. Стержень растянут, стержень Я/С сжат. 4.51D.50). Натяжение приводного ремня, осуществляемое при помощи ломаного рычага АО2О\ и натяжного ролика О и равно по ту и другую сторону ролика Р Н. Найти величину груза Q при равновесии системы, если дано: Z А О2О{ = 90°, D = 55 см, d= 15 см, 1Х = 35 см, /2 = 15 см, /3 = 45 см, Ответ: Q= 12 Н. К задаче 4.50 К задаче 4.51 4.52D.51). Груз Р веса 4,8 кН удерживается на гладкой на- наклонной плоскости посредством веревки, параллельной плоскости и намотанной на неподвижный вал лебедки ABC. Угол наклона плоскости к горизонту 60°. Вес лебедки Q = 2,4 кН, ее центр тя- тяжести находится на прямой СО; лебедка опирается в точке А на гладкий пол, а в точке В прикреплена к полу болтом. Найти опорные ре- реакции, пренебрегая расстоя- расстоянием веревки от плоско- плоскости. Ответ: Ул=4,8кН, Хв = = 2,08 кН, YB = 1,2 кН. 4.53D.52). Однородный стержень АВ длины 2/и веса Р может вращаться вокруг горизонтальной оси на конце А стерж- стержня, Он опирается на однородный стержень CD той же длины 2/, который может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину Е. Точки А и Е лежат на одной вертикали на расстоянии АЕ = /. К концу D подвешен груз Q = 2Р. Определить угол ф, образуемый стержнем АВ с вертикалью в положении рав- равновесия, пренебрегая трением. 45 К задаче 4.52 К задаче 4.53
Ответ: ф = arccos !/в = 82°50'. 4.54D.53). Два однородных стержня АВ и АС опираются в точке А на гладкий горизонтальный пол и друг на друга по гладким вер- вертикальным плоскостям, а в точках В и С на гладкие вертикальные стены. Определить расстояние DE между стенами, при котором стержни находятся в положении равновесия, образуя друг с другом угол в 90°, если дано: длина АВ равна с^ а, длина АС равна 6, вес АВ равен Pi, вес АС ра- равен Р2. Ответ: D2?= К задаче 4.54 ~' ™ ' "" jf^. ^ 4.55D.54). Однородный брусок Л Б, который может вращаться вокруг горизонтальной оси Л, опирается на поверхность гладкого цилиндра радиуса г, лежащего на гладкой горизонтальной пло- плоскости и удерживаемого нерастяжимой нитью АС. Вес бруска 16 Н; длина Л5 = 3г, АС = 2г. Определить натяжение нити Т и силу давления бруска на шарнир А. Ответ: Т = 6,9 Н, ХА = —6 Н, YA = —12,5 Н. 4.56D.55). Между двумя гладкими наклонными плоскостями ОА и ОВ положены два гладких соприкасающихся однородных цилиндра: цилиндр с центром С\ веса Pi = 10 Н и цилиндр с цен- центром С2 веса Р2 = 30 Н. Определить угол ср, составляемый прямой К задаче 4.55 К задаче 4.5& К задаче 4.57 CiC2 с горизонтальной осью хОхи давления Nx и N2 цилиндров на плоскости, а также силу N взаимного давления цилиндров, если угол Л0*1 = 60°, а угол ВОх = 30°. Ответ: ф = 0; Nx = 20 Н; N2 = 34,6 Н; // = 17,3 Н. 4.57D.56). Два гладких однородных шара Сх и С2, радиусы ко- которых Rx и /?2, а веса Pi и Р2, подвешены на веревках АВ и AD в точке Л; AB = lx\ AD = /2; l\ + R\ = l2 + R2\ угол BAD = a. Определить угол 8, образуемый веревкой AD с горизонтальной пло- плоскостью АЕ, натяжения веревок Тх, Т2 и силу давления одного шара на другой. Ответ: tge=-P2 + PlCOsa .-niMB-affl Pi sin a з sin F - a/2) д, 2 cos (a/2) ' iV~J а COSy I cos 61 cos (а/2)
4.58D.57). На двух одинаковых круглых однородных цилинд- цилиндрах радиуса г и веса Р каждый, лежащих на горизонтальной пло- плоскости и связанных за центры нерастяжимой нитью длины 2г, покоится третий однородный цилиндр радиуса R и веса Q. Опреде- Определить натяжение нити, давление цилиндров на плоскость и взаим- взаимное давление цилиндров. Трением пренебречь. Ответ: Давление каждого нижнего цилиндра на плоскость равно Р + Q/2. Давление между верхним и каждым из нижних цилинд- ров равно ; Натяжение Qr К задаче 4.58 К задаче 4.59 нити равно 2 л/R2 + 2rR 4.59D.58). Три одинаковых тру- трубы веса М=120 Н каждая лежат, как указано на рисунке. Определить давление каждой из нижних труб на землю и на удерживающие их с боков стенки. Трением пре- пренебречь. Ответ: Давление на землю равно 180 Н. Давление на каждую стенку равно 34,6 Н. 4.60. Ферма ABCD в точке D опирается на катки, а в точках А и В поддерживается наклонными стержнями АЕ и BF, шарнирно укрепленными в точках Е и F. Раскосы фермы и прямая EF на- наклонены к горизонту под углом 45°; длина панели ВС = 3 м; К задаче 4.60 стержни АЕ и BF одинаковой длины; расстояние EF = 3 <д/2м; ЛЯ = 2,25 д/2м.Вес фермы равен 25 кН и направлен по вертикали, проходящей через точку С. Вес нагрузки 112,5 кН. Определить, на каком расстоянии х от точки В нужно расположить нагрузку, чтобы реакция в опоре D стала равна нулю. Ответ: х = 0,25 м. 4.61. Механизм робота-манипулятора представляет собой шар- шарнирный трехзвенник; звенья поворачиваются в вертикальной пло- плоскости. Найти моменты сил приводов в шарнирах А и В механизма робота-манипулятора, необходимые для того чтобы удерживать звенья механизма в горизонтальном положении. Масса объекта ма- манипулирования пгс= 15 кг. Длины звеньев: 1\ = 0,7 м, /2 = 0,5 м. 47
Звенья однородные и их массы соответственно равны: т\ = 35 кг, т2 = 25 кг. Ответ: МА = 530 Н-м, Мв= 135 Н-м. Примечание к задачам 4.61—4.64. Механизмы, создающие моменты в шарнирах, на рисунках не указаны. К задаче 4.61 30°\ К задаче 4.62 4.62. Найти моменты сил приводов в шарнирах механизма ро- робота-манипулятора, находящегося в равновесии, когда второе звено поднято под углом 30° к горизонту. Масса объекта манипулирова- манипулирования /пс =15 кг. Длины звеньев: ^=0,7 м, /2 = 0,5 м. Массы звеньев: mi = 35 кг, т2 = 25 кг. Ответ: Мл = 510 Н-м, Мв= 117 Н-м. 4.63. Механизм робота-манипулятора в положении равновесия расположен в вертикальной плоскости. Длины звеньев: 1\ =0,8 м, /2 = 0,5 м, /з = 0,3 м. Массы звеньев: mi=40 кг, т2 = 25 кг, Шг = 15 кг. Найти моменты сил приводов в шарнирах, если рука CD манипулятора несет груз, масса которого /п/> = 15 кг. Звенья считать однооодными стержнями. Ответ: Мл = 665 Н-м, Мв = 248 Н-м, Мс = 46,7 Н-м. К задаче 4.63 К задаче 4.64 4.64. Рука механизма робота-манипулятора удерживает в рав- равновесии груз, масса которого rriD = 15 кг. Пружина разгрузочного устройства, предназначенного для уменьшения нагрузки на при- привод, действует на первое звено силой F = 3000 Н, приложенной на расстоянии Л? = 0,2 м от шарнира А. Найти моменты сил в шарнирах. Длины звеньев: 1\ = 0,8 м, /2 = 0,5 м, /3 = 0,3 м. Массы звеньев: ш\ = 40 кг, т2 = 25 кг, т% = 15 кг. Звенья считать одно- однородными стержнями. Ответ: Мл = 502 Н-м, Мв = 214 Н-м, Мс = 33 Н-м. 4.65E.5). Определить опорные реакции и усилия в стержнях крана, изображенного на рисунке, при нагрузке в 8 кН. Весом стержня пренебречь. 43
Ответ: RA = 26 кН, RB = 18 кН — вниз. Номер стержня Усилие, кН 1 -16,4 2 + П,5 3 -14,3 4 — 1 5 + 19 4.66E.6). Определить опорные реакции и усилия в стержнях стропильной фермы, изображенной вместе с приложенными к ней силами на рисунке. К задаче 4.65 Ответ: RA = 3,4 кН, RB = 2,6 кН. К задаче 4.66 Номер стержня Усилие, кН 1 -7,3 2 3 +5,8 |-2,44 4 —4,7 5 6 —4,7 | +3,9 7 -0,81 8 —5,5 9 +4,4 К задаче 4.67 К задаче 4.68 4.67E.7). Определить опорные реакции и усилия в стержнях пильчатой фермы, изображенной вместе с действующими на нее силами на рисунке. 49
Ответ: RA = 3,25 кН, RB = 2,75 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 + 1,3 2 +3,03 3 -3,5 4 -2,5 5 —2,6 6 + 1,73 7 -1,73 4.68E.8). Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы крана, изображенного вместе с приложенными к нему си- силами на рисунке. Ответ: RA = 3 кН, RB = 9 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 -0,6 2 +5,1 3 -3,13 4 -5,4 5 -2,0 6 +2,0 7 —2,83 8 0 9 -3,0 4.69E.11). Определить опорные реакции и усилия в стержнях сооружения, изображенного вместе с действующими на него си- силами на рисунке. К задаче 4.69 К задаче 4.70 Как в этой, так и в следующих задачах ось Ох направлена по горизонтальной прямой АВ вправо, а ось Оу — по вертикали вверх. Ответ: ХА=—2 кН, Ya = 1,4 кН, YB = 2,6 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 +4,5 2 -4,5 3 +2 4 —2,44 5 +2,44 6 +2 7 0 8 —2,6 9 -1,4 4.70E.12). Определить опорные реакции и усилия в стержнях раскосной фермы, изображенной на рисунке вместе с нагрузкой. Ответ: ХА = —1 кН, YA = 3 кН, YB = 1 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 —2 2 —2 3 —1 4 + 1,41 5 +2 6 +4,24 7 —4 8 + 1,41 9 — 1
4.71E.13). Определить опорные реакции и усилия в стержнях мостовой фермы, которая вместе с приложенными к ней силами изображена на рисунке. К задаче 4.71 Ответ: YA = 2,1 кН, Хв = —2 кН, Ув = 2,9 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 —2,97 2 +2,1 3 +2,1 4 -2,1 5 + 1,5 6 7 +0,9 | 0 8 -4,1 9 +0,9 4.72E.14). Определить опорные реакции и усилия в стерж- стержнях сооружения, изображенного вместе с приложенными к нему К задаче 4.72 силами на рисунке. Стержни 3 и 4 не соединены шарниром в точке их пересечения. Ответ: YA = 2,2 кН, Хв = —2 кН, YB = 2,8 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 —6 2 —7 3 +4,9 4 +2,53 5 -5,7 4.73E.15). Определить опорные реакции и усилия в стержнях навесной фермы, изображенной вместе с действующими на нее силами на рисунке. 51
Ответ: ХА = 5,4 кН, ?А = 6 кг!, 5k== —5,4 кН. Номер стержня Усилие, кН 1 -5,4 2 -3,6 3 -1,8 4 +2,06 5 +2,06 6 +4,1 7 —6 8 +3,5 9 -3 10 +2,7 11 -2 К задаче 4.73 4.74E.17). В узлах стропильной фермы с равными панелями вследствие давления ветра возникают силы, перпендикулярные К задаче 4.74 кровле: Pi = Р4 = 312,5 Н и Р2 = Рг = 625 Н. Определить вызы- вызываемые ветром реакции опор и усилия в стержнях фермы, размеры которой указаны на рисунке. Ответ: Ул =997 Н, Хв=Ю40 Н, У* =563 Н, Sx = —1525 Н, S2 = -1940H, 53 = -1560Н, 54 = 55 = 56 = -970 Н, S7 = = +1100 Н, 58 = 440 Н, 59 = -215 Н, Si0 = Sn = -230 Н, Sl2 = = 5,з = 5н = 0, 5,5 = -26 Н, 5i6 = +1340 H, -Si7 = — ИЗО Н, Sis = +1050 Н, 5i9 = —750 Н. § 5. Силы трения 5.1B.56). Определить необходимую затяжку болта, скрепляю- скрепляющего две стальные полосы, разрываемые силой Р = 2 кН. Болт поставлен с зазором и не должен работать на срез. Коэффициент трения между листами равен 0,2. 52
Указание. Болт не должен работать на срез, поэтому его надо затянуть с такой силой, чтобы развивающееся между листами трение могло предотвратить скольжение листов. Сила, действующая вдоль оси болта, и является искомой затяжкой. Ответ: 10 кН. 5.2B.57). Листы бумаги, сложенные, как показано на рисунке, склеиваются свободными концами через лист таким образом, что получаются две самостоятельные кипы А и В. Вес каждого листа 0,06 Н, число всех листов 200, коэффициент трения бумаги о бу- бумагу, а также о стол, на котором бумага лежит, равен 0,2. Пред- Предполагая, что одна из кип удерживается неподвижно, определить наименьшее горизонтальное усилие Р, необходимое для того, чтобы вытащить вторую кипу. в К задаче 5Л К задаче 5.2 Ответ. При вытаскивании А из В сила Р = 241,2 Н, а при вы- вытаскивании В из А сила Р = 238,8 Н. 5.3B.58). Вагон, спускающийся по уклону в 0,008, достигнув некоторой определенной скорости, движется затем равномерно. Определить сопротивление /?, которое испытывает вагон при этой скорости, если вес вагона равен 500 кН. Уклоном пути называется тангенс угла наклона пути к горизонту; вследствие малости уклона синус может быть принят равным тангенсу этого угла. Ответ: R = 4 кН. 5.4B.59). Поезд поднимается по прямолинейному пути, имею- имеющему уклон 0,008, с постоянной скоростью; вес поезда, не считая электровоза, 12000 кН. Какова сила тяги Я электровоза, если сопро- сопротивление движению равно 0,005 силы давления поезда на рельсы? Ответ: Р=156 кН. 5.5B.60). Негладкой наклонной плоскости придан такой угол а наклона к горизонту, что тяжелое тело, помещенное на эту пло- плоскость, спускается с той постоянной скоростью, которая ему сооб- сообщена в начале движения. Определить коэффициент трения f. Ответ: f = tg a. 5.6B.61). Найти угол естественного откоса земляного грунта, если коэффициент трения для этого грунта / = 0,8. Углом естественного откоса называется тот наибольший угол наклона откоса к горизонту, при котором частица грунта, находящаяся на откосе, остается в равновесии. Ответ: 38°40',
5.7B.63). Ящик веса Р стоит на шероховатой горизонтальной плоскости с коэффициентом трения /. Определить, под каким углом |J надо приложить силу Q, и величину этой силы при условии: сдвинуть ящик при наименьшей величине Q. Ответ: p=arctgf; Q^n== 5.8B.64). Три груза Л, В, С веса 10 Н, 30 Н и 60 Н соответ- соответственно лежат на плоскости, наклоненной под углом а к гори- горизонту. Грузы соединены тросами, как показано на рисунке. Коэф- Коэффициенты трения между грузами и плоскостью равны /л=0,1> К задаче 5.8 /я = 0,25 и fс = 0,5 соответственно. Определить угол а, при кото- котором тела равномерно движутся вниз по плоскости. Найти также натяжения тросов Tab и ТВс. Ответ: a = arctgO,38, TAB = 2J Н, Гвс = 6,5 Н. 5.9B.65). На верхней грани прямоугольного бруса В, вес ко- которого 200 Н, находится прямоугольный брус А веса 100 Н. Брус В опирается своей нижней гранью на горизонтальную поверхность С, причем коэффициент трения между ними /2 = 0,2. Коэффициент трения между брусами А и В f\ = 0,5. На брус А действует сила 30° в с К задаче 5.9 К задаче 5.10 Р = 60 Н, образующая с горизонтом угол а = 30°. Будет ли брус А двигаться относительно В? Будет ли брус В двигаться относи- относительно плоскости С? Ответ: Брусы А и В остаются в покое. 5.10B.66). Два тела А и В расположены на наклонной пло- плоскости С так, как показано на рисунке. Тело А весит 100 Н, тело В — 200 Н. Коэффициент трения между А и В f\= 0,6, между В и С f2 = 0,2. Исследовать состояние системы при различных значениях силы Р, приложенной к телу А параллельно наклонной плоскости. 54
Ответ: При Р <98 Н оба тела двигаются вниз, не перемещаясь друг относительно друга; при 98 Н < Р < 102 Н оба тела нахо- находятся в покое; при Р > 102 Н тело В неподвижно, а тело А сколь- скользит по телу В вверх. 5.11B.67). На наклонной плоскости лежит прямоугольный брус В веса 400 Н. К нему с помощью троса присоединяют прямоуголь- прямоугольный брус А веса 200 Н, который, скользя по наклонной плоскости, натягивает трос. Коэффициенты трения с наклонной пло- плоскостью /л = 0,5 и fв = 2/3. Будет ли си- система в дальнейшем находиться в покое? Найти натяжение Т троса и величины сил трения, действующие на каждое тело. Весом троса пренебречь. Ответ: Система останется в покое. Fa = 86,6 Н, FB = 213,4 Н, 7= 13,4 Н. 5.12B.68). Клин С вставлен между двумя телами А и В, кото- которые лежат на шероховатой горизонтальной плоскости. Одна сто- сторона клина вертикальна, другая — образует с вертикалью угол а == arctg 1/3. Вес тела А равен 400 Н, а вес тела В 300 Н; коэффициенты трения между поверхностями указаны на рисунке. Найти величину силы Q, под действием которой одно из тел сдвинется, а также U К задаче 5.11 К задаче 5.12 К задаче 5.13 значение силы трения F, действующей при этом со стороны гори- горизонтальной плоскости на оставшееся неподвижным тело. Ответ: Q == 70 Н, причем начнет двигаться тело A; FB = 83 H. 5.13B.69). Цилиндр А лежит в направляющих В, поперечное сечение которых — симметричный клин с углом раствора в. Коэф- Коэффициент трения между цилиндром А и направляющей В равен /• Вес цилиндра равен Q. При какой величине силы Р цилиндр нач- начнет двигаться горизонтально? Каков должен быть угол в, чтобы движение началось при значении силы Р, равной весу цилиндра Q? Ответ: Р = - Qf = 2arcsin/. sin F/2)э 5.14B.70). Цилиндр веса Q лежит на двух опорах Л и В, рас- расположенных симметрично относительно вертикали, проходящей че- через центр цилиндра. Коэффициент трения между цилиндром и опо- опорами равен /. При какой величине тангенциальной силы Г цилиндр 65
начнет вращаться? При каком угле 0 это устройство будет само- самотормозящимся? Ответ: Т = - fQ - /J cos е — /= ' 5.15B.71). Пренебрегая трением между ползуном А и направ- направляющей, а также трением во всех шарнирах и подшипниках криво- кривошипного механизма, определить, какова должна быть сила Р, необходимая для поддерживания гру- груза Q при указанном на рисунке положении меха- механизма. Каковы минимальное и максимальное значе- значения Я, обеспечивающие неподвижность груза Q, если коэффициент трения между ползуном А и на- направляющей равен /? Ответ. И — rsin(<p + e * min — Qa cos ф — / sin г sin^ + 9) * р Qa cos ф + / sin ф Лпах — — sin (ф + 6) * 5.16. Груз В веса Р удерживается с помощью троса BAD в равновесии при подъеме по шерохова- шероховатой поверхности, имеющей форму четверти круго- кругового цилиндра. Коэффициент трения между поверх- поверхностью и грузом / = tg ф, где ф — угол трения. Определить натяжение троса как функцию угла а. Найти усло- условие, которому должен удовлетворять угол а, чтобы натяжение троса принимало экстремальное значение. Размерами груза и бло- блока А пренебречь. К задаче 5.15 Ответ: S = P sin (ф + а) sin D5° + а/2 + ф) tg (ф + малыше значение при ^^ . Натяжение 5 принимает экстре- tg D5° + а/2 + < К задачам 5.16 и 5.17 К задаче 5.18 5.17. Груз В веса Р удерживается в равновесии при спуске по шероховатой поверхности, имеющей форму четверти кругового ци- цилиндра. Коэффициент трения между поверхностью и грузом / = ¦=tg9, где ф — угол трения. Определить натяжение троса 5 как функцию угла а. В каких пределах может меняться натяжение троса при равновесии груза 5? Размерами груза и блока пре* небречь. 56
Ответ: S = P sin (a — sin D5° + a/2 -ер)' ГРУ3 бУдет нах°Диться в рав- новесии, если натяжение троса будет изменяться в пределах D sin (a + Ф) -^ с -^ n sin (a — ф) sin D5° + a/2 + ф) sin D5° + a/2 — ф) * При a < ф груз будет в равновесии и при отсутствии троса. 5.18. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим CD. К грузу прикреплен трос, пропущенный через гладкое отверстие А и несущий груз Р. Коэффициент трения груза о направляющие / = 0,1. Вес груза Q = 100 Н, груза Р = 50 Н. Расстояние от отверстия А до оси направляющих О А = 15 см. Определить границы зоны застоя (геометрического места положе- положений равновесия груза). Размерами груза и отверстия пренебречь. Ответ: Границы имеют координаты ±4,64 см. 5.19. Автомобиль удерживается с помощью тормозов на на- наклонной части дороги. При перемещении тормозной педали на 2 см тормозные колодки дисковых тормозов перемещаются на 0,2 мм. Диаметр рабочей части диска 220 мм, нагруженный диа- диаметр колеса 520 мм, вес автомобиля 14 кН. Определить, с какой силой водитель должен нажимать на педаль тормоза, если угол наклона дороги 20°. Трением качения пренебречь. Коэффициент трения скольжения между тормозными колодками и диском / = 0,5, Тормоза всех колес работают одинаково. Ответ: 0,226 кН. 5.20. Груз Q может скользить по шероховатым горизонтальным направляющим АВ. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Определить границы участков, где равновесие невозможно, если вес груза Q = 100 Н, груза Р = 45 Н, коэффициент трения сколь- скольжения / = 0,5. Расстояние от центра блока D до оси направляю- направляющих Л =15 см. Размерами блока D и груза Q пренебречь. Ответ: Два участка с границами, координаты которых соответ- соответственно равны (—39,6 см, —23,8 см) и B3,8 см, 39,6 см). К задаче 5.20 К задаче 5.21 5.21D.59). К валу приложена пара сил с моментом М= 100 Нм„ На валу заключено тормозное колесо, радиус г которого равен 25 см. Найти, с какой силой Q надо прижимать к колесу тормоз- тормозные колодки, чтобы колесо оставалось в покое, если коэффициент трения покоя / между колесом и колодками равен 0,25. Ответ: Q = 800 Н. 57
К задаче 5.23 5.22D.60). Трамвайная дверь отодвигается с трением в нижнем пазу. Коэффициент трения / не более 0,5. Определить наибольшую высоту Л, на которой можно поместить ручку двери, чтобы дверь при отодвигании не опрокидывалась. Ширина двери / = 0,8 м; центр тяжести двери находится на ее вертикаль- вертикальной оси симметрии. Ответ: А = ^г = 0,8 м. 5.23D.61). Цилиндрический вал веса Q и ра- радиуса R приводится во вращение грузом, подве- подвешенным к нему на веревке; вес груза равен Р. Радиус шипов вала г = R/2. Коэффициент тре- трения в подшипниках равен 0,05. Определить, при каком отношении веса Q к весу Р груза послед- последний опускается равномерно. Ответ: Q/P = 39. 5.24D.62). Кронштейн, нагруженный вертикальной силой Р = = 600 Н, прикреплен к стене двумя болтами. Определить затяжку болтов, необходимую для укрепления кронштейна на стене. Коэф- Коэффициент трения между кронштейном и стеной f = ОД Для боль- большей осторожности расчет произвести в предположении, что затянут только верхний болт и что болты поставлены с зазором и не должны работать на срез. fl - Дано Ь/а > /. Указание. Затяжкой на- называется усилие, действующее вдоль оси болта. Полная за- затяжка верхнего болта состоит из двух частей: первая устра- устраняет возможность отрыва крон- кронштейна и опрокидывания его вокруг нижнего болта, вторая обеспечивает то нормальное давление верхней части крон- кронштейна на стену, которое вы- вызывает необходимую силу тре- трения. К задаче 5.24 К задаче 5.25 Ответ: 2 кН. 5.25D.63). Пест АВ приводится в движение пальцами М, наса- насаженными на вал. Вес песта 180 Н. Расстояние между направляю- направляющими С и D равно & = 1,5 м. Расстояние точки прикосновения пальца к выступу от оси песта а =0,15 м. Найти силу Р, необхо- необходимую для подъема песта, если принять во внимание силу трения между направляющими С и D и пестом, равную 0,15 давления между трущимися частями. Ответ: Р= 186 Н. 5.26D.64). Горизонтальный стержень АВ имеет на конце А от- отверстие, которым он надет на вертикальную круглую стойку CD; длина втулки Ь = 2 см; в точке Е на расстоянии а от оси стойки к стержню подвешен груз Р. Определить, пренебрегая весом 53
стержня АВ, расстояние а так, чтобы под действием груза Р стер- стержень оставался в равновесии, если коэффициент трения между стержнем и стойкой / = 0,1. Ответ: а ^ 10 см. 5.27D.65). К вертикальной стене приставлена лестница АВ, опирающаяся своим нижним концом на горизонтальный пол. Коэф- Коэффициент трения лестницы о стену fu о пол /г- Вес лестницы вместе с находящимся на ней человеком равен р и приложен в точке С, К задаче 5.26 К задаче 6.27 которая делит длину лестницы в отношении т/п. Определить наи- наибольший угол а, составляемый лестницей со стеной в положении равновесия, а также нормальные составляющие реакций NA стены и NB пола для этого значения а. М — Pf* *т _ А NR=- 5.28D.66). Лестница АВ веса Р упирается в гладкую стену и опирается на горизонтальный негладкий пол. Коэффициент трения лестницы о пол равен /. Под каким углом а к полу надо поставить лестницу, чтобы по ней мог подняться доверху человек, вес которого р? Ответ: tga>2f/>(+^p). 5.29D.67). Лестница АВ опирается на неглад- негладкую стену и негладкий пол, составляя с послед- последним угол 60°." На лестнице помещается груз Р. Пренебрегая весом лестницы, определить графи- графически наибольшее расстояние ВР, при котором лестница остается в покое. Угол трения для сте- ны и пола равен 15°. Ответ: ВР = 1/2 АВ. 5.30D.68). Тяжелый однородный стержень АВ лежит на двух опорах С и D, расстояние между которыми CD = а, АС = b. Коэф- Коэффициент трения стержня об опоры равен /. Угол наклона стержня к горизонту равен а. Какому условию должна удовлетворять длина стержня 2/ для того, чтобы стержень находился в равновесии, если толщиной его можно пренебречь? К задаче 5.29 Ответ: 2/>26 tga, j-tga, />a + 6. Первое условие вклю- включает второе при a > ф, где ф = arctg / — угол трения; если же
а<Ф, то достаточно удовлетворить второму условию. При / < а + Ь равновесие при принятом на рисунке расположении опоры С невозможно. 5.31D.69). Однородный брус опирается в точке А на негладкий горизонтальный пол и удерживается в точке В веревкой. Коэффи- Коэффициент трения бруса о пол равен /. Угол а, образуемый брусом с полом, равен 45°. При каком угле <р наклона веревки к гори- горизонту брус начнет скользить? Ответ: tg<p = 2+l/f. К задаче 5.30 К задаче 5.31 5.32D.70). Однородный стержень своими концами А и В может скользить по негладкой окружности радиуса а. Расстояние ОС стержня до центра О окружности, расположенной в вертикальной плоскости, равно 6. Коэффициент трения между стержнем и окруж- окружностью равен /. Определить для положений равновесия стержня угол ф, составляемый прямой ОС с вертикаль- вертикальным диаметром окружности. Ответ. dil+?l К задаче 5.33 f 5.33D.72). Прокатный стан состоит из двух валов диаметром d = 50 см, вращающихся в противоположные стороны, указанные стрел- стрелками на рисунке; расстояние между валами а = 0,5 см. Какой толщины Ь листы можно прокатывать на этом стане, если коэффициент трения для раскаленного железа и чугунных валов / = 0,1? Для работы стана необходимо, чтобы лист захва- захватывался вращающимися валами, т. е. чтобы равнодей- равнодействующая приложенных к листу нормальных реакций и сил трения в точках А и В была направлена по горизонтали вправо. Ответ: Ь ^ 0,75 см. 5.34D.73). Блок радиуса R снабжен двумя шипами радиуса г, симметрично расположенными относительно его средней плоскости. Шипы опираются на две цилиндрические поверхности АВ с гори- горизонтальными образующими. На блок намотан трос, к которому подвешены грузы Р и Рь причем Р > Р\. Определить наименьшую величину груза Рь при которой блок будет находиться в равнове- 60
сии, предполагая, что коэффициент трения шипов о цилиндриче- цилиндрические поверхности АВ равен /, а вес блока с шипами Q. Указанное на рисунке положение системы не может быть положением рав- равновесия; последнее требуется предварительно найти. Ответ: В положении равновесия плоскость, проходящая через оси цилиндра АВ и блока, образует с вертикалью угол, равный углу трения; 1 5.35D.75). Для опускания грузов употребляется ворот а тор- тормозом, изображенный на рисунке. С барабаном, на который намо- К задаче 5.34 К задаче 5.35 В, тана цепь, скреплено концентрическое деревянное колесо, которое тормозят, надавливая на конец А рычага АВ, соединенного цепью CD с концом D тормозного рыча- рычага ED. Диаметр колеса а = 50 см; диаметр барабана Ь = 20 см; ED = 120 см; FE = 60 см; АВ = = 1 м; ВС =10 см. Определить силу Ру уравновешивающую груз Q = 8 кН, подвешенный к под- подвижному блоку, если коэффи- коэффициент трения дерева о сталь f = = 0,4; размерами колодки F пре- пренебрегаем. Ответ: Р = 0,2 кН. 5.36D.76). На гранях АВ и ВС нризмы ABC помещены два оди- одинаковых тела G и Н веса Р, свя- связанные нитью, перекинутой через блок в точке В. Коэффициент трения эдежду телами и гранями призмы равен /. Углы ВАС и ВСА равны 45°. Определит^, пре^ небрегая трением на блоке, величину угла а наклона грани АС к горизонту, необходимую для того, чтобы груз G начал опускаться. К задаче 5.36 61
Ответ: tg a = f. 5.37D.77). Глубина заложения опор железнодорожного моста, перекинутого через реку, рассчитана в том предположении, что вес опоры с приходящимся на нее грузом уравновешивается давле- давлением грунта на дно опоры и боковым трением, причем грунт — мел- мелкозернистый песок, насыщенный водой, принимается за жидкое тело. Вычислить глубину h заложения этих опор, если нагрузка на опору 1500 кН, вес опоры на 1 м ее высоты 80 кН, высота опоры над дном реки 9 м, высота воды над дном 6 м, площадь основания опоры 3,5 м2, боковая поверхность опоры на 1 м высоты 7 м2, вес 1 м3 песку, насыщенного водой, равен 18.кН, вес 1 м3 воды равен 10 кН и коэффициент трения о песок стального футляра, в кото- котором заключена каменная опора, 0,18. При расчете трения принимаем во внимание, что среднее боковое давление на 1 м2 равно 10F -f 0,%)кН. Ответ: h = 11 м. 5.38D.78). Определить угол а наклона плоскости к горизонту, при котором ролик радиуса г = 50 мм равномерно катится по пло- плоскости. Материал трущихся тел — сталь, коэффициент трения каче- качения k = 0,05 мм. Ввиду малости угла а можно принять а = tg а. Ответ: а = 3'26". 5.39D.79). Определить силу Р, необходимую для равномерного качения цилиндрического катка диаметра 60 см и веса 300 Н по горизонтальной плоскости, если коэффициент трения качения k = 0,5 см, а угол, составляе- составляемый силой Р с горизонтальной плоскостью, равен а = 30°. Ответ: Р = 5,72 Н. 5.40D.80). На горизонтальной плоскости лежит шар радиуса R и веса Q. Коэффициент трения скольжения шара о плоскость f, коэф- коэффициент трения качения k. При каких усло- условиях горизонтальная сила Р, приложенная в центре шара, сооб- сообщает ему равномерное качение? Ответ: k/R </;/> = Qk/R. 5.41. При взаимодействии с ледяным покровом ледокол рас- рассматривается в равновесии под действием веса судна G, силы под- поддержания воды D, упора винтов /?, а также сил, действующих со стороны льда в точке форштевня К: нормального давления N и максимальной силы трения F. Угол наклона форштевня ср = 30°, коэффициент трения f = 0,2. Известны значения G = 6000 кН, R = 200 кН, а = 20 м, Ь = 2 м, е = 1 м. Пренебрегая дифферен- дифферентом судна, определить вертикальное давление судна на ледяной покров Р, силу поддержания D и расстояние ее от центра тяжести судна /. ?2
=230 кН, D = 5770 кН, / = 0,83 м. Ответ: P = R 5.42. Груз Q может скользить по шероховатой вертикальной на- направляющей АВ. К грузу прикреплен трос, несущий груз Р. Пре- Пренебрегая размером блока D, определить: 1) условие, при которое возможна зона застоя (геометрическое место у к возможных положений равновесия); 2) уело- \А вие, при котором верхняя граница зоны застоя находится в положительной части оси у; 3) ор- ординаты границ зоны застоя при Q=5 H, В7Я7л К задаче 5.41 К задаче 5.42 р _ ю н / = 0,2, OD = 10 см; 4) ординаты границ зоны застоя при Q = 1,5H, Р = 10Н, /=0,2, 0?> = Юсм. Ответ: 1) Q2/P2 < 1 + f2; 2) Q/P < f; 3) Yx = -3,26 см, У2 = = —8,6 см; 4) Yi = 0,5 см, Y2 = —3,59 см. ГЛАВА II ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ § 6. Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке 6.1F.1). Угловой столб составлен из двух одинаково наклонен- наклоненных брусьев АВ и АС, скрепленных в вершине посредством шар- шарнира. Угол ВАС = 30°. Столб под- поддерживает два горизонтальных провода AD и АЕ, составляющих между собой прямой угол. Натя- Натяжение каждого провода равно 1 кН. Определить усилия в брусь- брусьях, предполагая, что плоскость ЪАС делит пополам угол DAE, пренебрегая весом брусьев. Ответ: SB = -5с = 2,73 кН. 6.2F.2). Горизонтальные про- провода телеграфной линии подве- подвешены к телеграфному столбу АВ с подкосом АС и составляют угол DAE _ go0. Натяжения проводов AD и АЕ соответственно равны 120 Н и 160 Н. В точке А крепление шарнирное. Найти угол а между плоскостями ВАС и ВАЕ9 при котором столб не испытывает К задаче 6.1 К задаче 6 2
бокового изгиба, и определить усилие S в подкосе, если он постав- поставлен под углом 60° к горизонту. Весом столба и подкоса пре- пренебречь. Ответ: а = arcsin C/s) = 36°50', S = —400 Н. 6.3F.3). Груз Q = 100 Н поддерживается брусом АО, шар- нирно закрепленным в точке А и наклоненным под углом 45° к горизонту, и двумя горизонтальными цепями ВО и СО одинаковой длины; ZCBO = = ZBCO = 45°. Найти усилие S в брусе и на- натяжения Т цепей. Ответ: S = —141 Н, Т = 71 Н. 6.4F.4). Найти усилия S\ и S2 в стержнях АВ и АС и усилие Т в тросе AD, если дано, что ZCBA = Z ВС А =60°, ZEAD =30°. Вес груза Р равен 300 Н. Плоскость ABC горизон- горизонтальна. Крепления стержней в точках Л, В и С шарнирные. Ответ: Т = 600 Н, Sx = S2 = —300 Н. 6.5F.5). Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, под- поддерживающих груз Q веса 420 Н, если АВ= 145 см, ЛС = 80 см, AD = 60 см, плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке В шарнирное. Ответ: Тс = 320 Н; TD = 240 Н; Тв = —580 Н. К задаче 6.3 К задаче 6.4 К задаче 6.5 К задаче 6.6 6.6F.6). Определить усилия в тросе АВ и в стержнях АС и ADy поддерживающих груз Q веса 180 Н, если АВ = 170 см, АС— = AD= 100 см, CD =120 см; CK = KD и плоскость ACDA го- горизонтальна. Крепления стержней в точках Л, С и D шарнирные. Ответ: 204 Н, —60 Н. 6.7F.7). Переносный кран, поднимающий груз Q веса 20 кН, устроен так, как указано на рисунке; AB=AE = AF = 2 м; угол EAF = 90°, плоскость крана ABC делит прямой двугранный угол EABF пополам. Определить силу Рь сжимающую вертикальную стойку АВ, а также силы Р2, ^з и Р4, растягивающие струну ВС и тросы BE и BF, пренебрегая весом частей крана. 64
Ответ: Р{ = 42 кН, Р2 = 58 кН, PZ = P4 = 50 кН. 6.8F.8). Груз Q веса 1 кН подвешен в точке D, как указано на рисунке. Крепления стержней в точках А, В и D шарнирные. Определить реакции опор Л, В и с. Ответ: RA=RB = 2,64 кН, #с = 3,35 кН. 6.9F.9). Воздушный шар, удерживаемый двумя тросами, К задаче 6.7 К задаче 6.8 находится под действием ветра. Тросы образуют между собой пря- прямой угол: плоскость, в которой они находятся, составляет с пло- плоскостью горизонта угол 60°. Направление ветра перпендикулярно линии пересечения этих плоскостей и параллельно поверхности земли. Вес шара и заключенного в нем газа 2,5 кН, объем шара 215,4 м3, вес 1 м3 воздуха 13 Н. Определить натяжения Тх и Т2 тросов и равнодействующую Р сил давления ветра на шар, считая* что линии действия всех сил, при- приложенных к шару, пересекаются в центре шара. Ответ: Г1 = Г2 = 245Н, Р = = 173 Н. 6.10F.10). На рисунке изобра- изображена пространственная ферма, составленная из шести стержней /, 2, 3, 4, 5, 6. Сила Р действует ?< на узел А в плоскости прямоуголь- прямоугольника ABCD; при этом ее линия действия составляет с вертикалью С А угол 45°. AEAK=AFBM. Углы равнобедренных треугольни- треугольников ЕАК, FBM и NDB при вер- вершинах Л, В и D прямые. Определить усилия в стержнях, если Р = 1 кН. Ответ: Sx = —0,5 кН, 52 = —0,5 кН, 53 = —0,707 кН, S4 = = +0,5 кН, S5 = +0,5 кН, S6 = — 1 кН. 6.11F.11). Определить усилия в вертикальной стойке и в ногах крана, изображенного на рисунке, в зависимости от угла а, если К задаче 6 10 3 И. В. Мещерский 65
дано: АВ = BC = AD = AE. Крепления в точках А, В, D и Е шар- шарнирные. Ответ: _ SBD = P (cos a — sin а); SBB = P (cos а + sin а); SAB — = — Р V2cosa. К задаче 6.11 К задаче 6.12 6.12F.12). Угловой столб АВ, поддерживающий воздушный кабель, удерживается двумя оттяжками АС и AD, причем A.CBD = 90°. Определить усилия в столбе и оттяжках в зависи- зависимости от угла ф, образованного одной из двух ветвей кабеля с пло- плоскостью СВА. Ветви кабеля горизонтальны и взаимно перпенди- перпендикулярны, натяжения в них одинаковы и равны Т. Ответ: Sac = 27 (sin cp — cos <p); SAD = = 2Т(sin ф + cos ф), Sab = —2л/ЗТ sin ф. Оттяжки будут натянуты обе одновре- одновременно при условии я/4 < ф < Зл/4. При Ф < я/4 или ф > Зя/4 одна из оттяжек должна быть заменена брусом. 6.13F.13). Мачта АВ удерживается в вертикальном положении посредством четы- четырех симметрично расположенных оттяжек, к задаче 6.13 Угол между каждыми двумя смежными от- оттяжками равен 60°. Определить давление мачты на землю, если натяжение каждой из оттяжек равно 1 кН, а вес мачты 2 кН. Ответ: 4,83 кН. 6.14F.14). Четыре ребра АВ, AC, AD и АЕ правильной пяти- пятиугольной пирамиды изображают по величине и направлению че- четыре силы в масштабе 1 Н в 1 м. Зная высоту пирамиды АО = 10 м и радиус круга, описанного около основания, ОС = 4,5 м, найти 63
равнодействующую R и расстояние х от точки О до точки пересе- пересечения равнодействующей с основанием. Ответ: R = 40,25 Н, х= 1,125 м. 6.15F.15). К вершине В треножника ABCD подвешен груз ?, вес которого 100 Н. Ножки имеют равную длину, укреплены на /7 В К задаче 6.14 К задаче 6.15 К задаче 61Ь горизонтальном полу и образуют между собой равные углы. Определить усилие в каждой из ножек, если известно, что они образуют с вертикалью BE углы в 30°. Ответ: 3,85 Н. 6.16F.16). Найти усилия S в ногах AD, BD и CD треноги, образующих углы в 60° с горизонтальной плоскостью, если вес Р равномерно поднимаемого груза равен 3 кН. При этом АВ = ВС = АС. (Вид сверху рисунка аналогичен рис. 6.17.) Ответ: S = 2,3 кН. 6.17F.17). Для подъема из шахты груза Р веса 30 кН установлены тренога ABCD и лебедка Е. Определить усилия в ногах треноги при равномерном поднятии груза, если треугольник ABC равносто- равносторонний и углы, образованные ногами и тросом DE с горизонтальной плоскостью, равны 60°. Расположение лебедки по от- отношению к треноге видно из рисунка. Ответ: SA=SB = 31,5 кН, Sc = = 1,55 кН. 6.18F.18). На гладком полу стоит трехногий штатив; нижн«е концы его ножек связаны шнурами так, что ножки и шнуры шта- штатива образуют правильный тетраэдр. К верхней точке штатива подвешен груз веса Р. Определить реакцию пола R в точках опоры и натяжение шнуров Т, выразив искомые величины через Р. К задаче 6.17
Ответ: R = -P, Т =—?=-. 3 Зл/б 6.19F.19). Решить предыдущую задачу в том случае, когда ножки штатива связаны шнурами не в концах, а в серединах, при- принимая при этом во внимание, что вес каждой ножки равен.р и при- приложен к ее середине. Ответ: R = ±P + p, Т 6.20F.20). Три однородных шара А, В и С одинаковых ради- радиусов положены на горизонтальную плоскость, взаимно прикасаются и обвязаны шнуром, огибающим их в экваториальной плоскости, а четвертый шар О того же радиуса и также однородный, веса — 9 К задаче 6.20 10 Н, лежит на трех нижних. Определить натяжение шнура Г, вызываемое давлением верхнего шара. Трением шаров между со- собою и с горизонтальной плоскостью пренебречь. Ответ: Г=1,36Н. 6.21F.21). В точках Л, В и С, лежащих на прямоугольных ко- координатных осях на одинаковом расстоянии / от начала координат О, закреплены нити: AD = BD = CD = L, связанные в точке Z), координаты которой В этой точке подвешен груз Q. Определить натяжение нитей 7л, Тв и Гс, предполагая, что д/у К L<1. I + 2 л/зь2 — 2/2 31 V3L2 — 2/2 LQ. § 7. Приведение системы сил к простейшему виду 7.1G.1). К вершинам куба приложены по направлениям ребер силы, как указано на рисунке. Каким условиям должны удовлет- удовлетворять модули сил F\f F2, F3, ^4, ^5 и F6, чтобы они находились в равновесии? 68
Ответ: Fl = F2 = Fz = F4 = F5 = Fe. 7.2G.2). По трем непересекающимся и непараллельным ребрам прямоугольного параллелепипеда действуют три равные по модулю силы Р. Какое соотношение должно существовать между ребрами a, b и с, чтобы эта система приводилась к одной равнодействую- равнодействующей? Ответ: а = Ь — с. F /1 /! i i i i r, К У ~) задаче 7.1 л 1 к р ь задаче Р 7.2 Г ^ К задаче 7.3 7.3G.3). К четырем вершинам Л, Я, В и D куба приложены четыре равные по модулю силы: Pi = Р2 = Р3 = К = Л причем сила Pi направлена по АС, Р2 — по HF, Р3 — по BE и Р4 — по DG. Привести эту систему к простейшему виду. Ответ: Равнодействующая равна 2Р и на- направлена по диагонали DG. 7.4G.4). К правильному тетраэдру ABCD, ребра которого равны а, приложены силы: FY по ребру ЛВ, F2 по ребру CD и Fz в точке Е — середине ребра BD. Вели- Величины сил F\ и F2 какие угодно, а проекции силы F3 на оси х, у и z равны + F25 д/з/б; Приводится ли эта система сил к одной равнодействующей? Если приводится, то найти координаты х и z точки пересечения линии действия равнодействующей с пло- плоскостью Oxz. I . Ъ Ответ: Приводится, так как проекции глав- главного вектора и главного момента на коорди- координатные оси имеют значения К задаче 7.4 Mz а л/'Л I ь\ -4- Н«\ _ К задаче 7.5 Координаты: х = -у*- = — 7.5G.5). К вершинам куба, ребра которого имеют длину 5 см, приложены, как указано на рисунке, шесть равных по модулю сил, по 2 Н каждая. Привести эту систему к простейшему виду.
Ответ: Система приводится к паре, момент которой равен 20 д/3 Н • см и составляет с координатными осями углы: cos a = = — cos р = cos y = д/з/З. 7.6G.6). Систему сил: Pi = 8 Н, направленную по Oz, и Рг= 12 Н, направленную параллельно Оу, как указано на рисунке, где ОЛ = 1,3 м, привести к каноническому виду, определив вели- величину главного вектора V всех этих сил и величину их главного в/\ А К задаче 7.6 х/ Я К задаче 7.7 момента М относительно произвольной точки, взятой на централь- центральной винтовой оси. Найти углы а, р и у, составляемые центральной винтовой осью с координатными осями, а также координаты х и у точки встречи ее с плоскостью Оху. Ответ: V = 14,4 Н, iW = 8,65 Н-м, а =90°; р = arctgB/3); Y = arctgC/2) ;jc = 0,9m;j/=0. 7.7G.7). Три силы Pi, P2 и Р3 лежат в координатных плоскостях и параллельны осям координат, но могут быть направлены как в ту, так и в другую сторону. Точки их приложения Л, В и С на- находятся на заданных расстояниях a, ft и с от начала координат. Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы они приводились к одной равнодействующей? Какому условию должны удовлетворять величины этих сил, чтобы существовала центральная винтовая ось, проходящая через начало координат? гл а I Ь . С л РХ Р2 Ответ: — + -р- + т- = 0; _=—= = аР2 ' В первом ответе Рь Р2 и Р3 — проекции сил. 7.8G.8). К правильному тетраэдру ABCD с ребрами, равными а, приложена сила Fi по ребру АВ и сила F2 по ребру CD. Найти координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху. К задаче 7.8 Ответ: х = »-—¦ F2,+F2' 70
7.9G:9). По ребрам куба, равным а, действуют двенадцать рав- равных по модулю сил Р, как указано на рисунке. Привести эту си- систему сил к каноническому виду и определить координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху. Ответ. V = 2Р Уб, М = 2/3Ра Уб, cos a = •— cos p = •— l/2 cos y = 7бУ y % 7.10G.10). По ребрам прямоугольного параллелепипеда, соот- соответственно равным 10 м, 4 м и 5 м, действуют шесть сил, указан- указанных на рисунке: Рх = 4 Н, Р2 = 6 Н, Р3 = 3 Н, Р4 = 2 Н, Ръ = 6 Н, zi \в ¦ К задаче 7.9 К задаче 7.10 Р6 = 8 Н. Привести эту систему сил к каноническому виду и опре- определить координаты х и у точки пересечения центральной винтовой оси с плоскостью Оху. Ответ: У = 5,4 Н, М = — 47,3 Н-м, cosa = 0, cos p = 0,37, cos v = 0,93, х = —11,9 м, у = —10 м. К задаче 7.11 "К задаче 7.12 7.11G.11). Равнодействующие Р = 8000 кН и ^ = 5200 кН сил давления воды на плотину приложены в средней вертикальной пло- плоскости перпендикулярно соответствующим граням на расстоянии Н = 4 м и h = 2,4 м от основания. Сила веса G\ = 12000 кН пря- прямоугольной части плотины приложена в ее центре, а сила веса G2 = 6000 кН треугольной части — на расстоянии одной трети длины нижнего основания треугольного сечения от вертикальной 71
грани этого сечения. Ширина плотины в основании 6 = 10 м, в верхней части а = 5 м; tga = 5/12. Определить равнодействую- равнодействующую распределенных сил реакции грунта, на котором установлена плотина.. Ответ: /?* = 3200 кН, /^ = 20000 кН; уравнение линии дей- действия равнодействующей: 125* — 20у + 53 = 0. 7.12G.12). Вес радиомачты с бетонным основанием G = 140 кН. К мачте приложены сила натяжения антенны F = 20 кН и равно- равнодействующая сил давления ветра Р = 50 кН; обе силы горизон- горизонтальны и расположены во взаимно перпендикулярных плоскостях; Я =15 м, ft = 6 м. Определить результирующую реакцию грунта, в котором уложено основание мачты. Ответ: Силы реакции грунта приводятся к левосторонней ди- наме, состоящей из силы 1/ = 150 кН, направленной по централь- центральной оси — 30 + \4у + 2z _ 30 — 5z — 14* _ — 2х + 5у - 5 ~ 2 — - и вверх, и пары сил с моментом М = 60 кН-м. Ось динамы пересе- пересекает плоскость основания в точке х = 2,2 м, у = 2 м, z = 0. § 8. Равновесие произвольной системы сил 8.1(8.1). На круглой наклонной площадке, ось которой ACD наклонена к вертикали под углом 20°, укреплено в точке В тело веса 400 Н. Определить момент относительно оси AD, создаваемый силой тяжести тела, если радиус СВ = 3 м гори- горизонтален. Ответ: 410 Н-м. 8.2(8.2). Ветряной двигатель имеет четыре крыла, наклоненных под углом a = 15° = = arcsin 0,259 к плоскости, перпендикулярной оси вращения; равнодействующая сил давления ветра на каждое крыло равна 1 кН, направлена по перпендикуляру к плоскости крыла и прило- v о. жена в точке, отстоящей на 3 м от оси вращения. хч задаче o.i тт о о * Найти вращающий момент. Ответ: 31,1 кН-м. 8.3(8.3). Электродвигатель, помещенный на оси О колесного ската трамвайного вагона, стремится повернуть ось против часовой стрелки, причем величина момента вращающей пары сил (Р,Р) равна 6 кН-м, а радиус колес 60 см. Определить силу тяги Q колесного ската, предполагая, что он стоит на горизонтальных рельсах. Трением качения пренебречь. Сначала находим сумму сил трения между колесами и рель- рельсами, взяв моменты сил относительно оси О. Затем проектируем все силы, приложенные к колесному скату, на горизонтальное на- направление. Ответ: Q = 10 кН. 72
8.4(8.4). К окружностям трех дисков: А радиуса 15 см, В ра- радиуса 10 см и С радиуса 5 см приложены пары сил; величины сил, составляющих пары, соответственно равны Pi = 10 Н, Р2=20 Н К задаче 8.3 К задаче 8.4 и Р. Оси О А, О В и ОС лежат в одной плоскости; угол АО В пря- прямой. Определить величину силы Р и угол ВОС = а так, чтобы си- система трех дисков, будучи совершенно свободной, оставалась в рав- равновесии. Ответ: Р = 50 Н, а = arctg(—0,75) = 143° 10'. 8.5(8.5). Подъемный кран установлен на трехколесной тележке ABC. Известны размеры крана: AD = DB= 1 м, CD =1,5 м, ШШШШ/. К задаче 8.5 К задаче 8 6 СМ=\ м, KL =4 м. Кран уравновешивается противовесом F. Вес крана с противовесом равен Р=100 кН и приложен в точке G, лежащей в плоскости LMNF на расстоянии GH = 0,5 м от оси крана MN\ поднимаемый груз Q весит 30 кН. Найти давление ко- колес на рельсы для такого положения крана, когда плоскость его LMN параллельна АВ. Ответ: NA = 8,33 кН, NB = 78,33 кН, Nc = 43,33 кН. 8.6(8.6). Временный подъемный кран состоит из пирамиды с горизонтальным основанием в виде равностороннего треуголь- треугольника ABC к с вертикальной гранью в виде равнобедренного 73
треугольника ADB\ в точках О и D шарнирно закреплена вертикаль- вертикальная ось крана, вокруг которой может вращаться стрела О?, несу- несущая груз Р. Основание ABC прикреплено к фундаменту подшип- подшипниками А и В и вертикальным болтом С. Определить реакции опор при расположении стрелы в плоскости симметрии крана, если вес груза Р=12 кН, вес крана Q = 6 кН, причем расстояние его центра тяжести S от оси OD равно h = 1 м, а = 4 м, Ъ = 4 м. Ответ. ZA = ZB= 15,06 кН; Zc = —12,12 кН; ХА=ХВ = 0. К задаче 8.7 8.7(8.7). Крышка светового машинного люка удерживается в горизонтальном положении стойкой FG, упирающейся в крышку в точке F на расстоянии EF = 1,5 м от оси крышки. Вес крышки Р = 180 Н; длина ее CD = 2,3 м; ширина С? = 0,75 м, а расстоя- расстояния шарниров Л и В от краев крышки АЕ — ВС = 0,15 м. Найти реакции шарниров Л и В и усилие S в стойке FG. Ответ: ZA = -94 H, ZB = 136 Н, уд = ув = 0, S = 138 Н. 8.8(8.8). Однородная прямоуголь- прямоугольная пластинка ABCD, опираясь на три точечные опоры, две из которых рас- расположены в вершинах прямоугольни- прямоугольника Л и В, а третья — в некоторой точ- точке ?, удерживается в горизонтальном положении. Вес пластинки равен Р. Давление на опоры в точках Л и В со- соответственно равны Р/4 и Р/5. Найти давление Ne на опору в точке Е и ко- координаты этой точки, если длины сто- сторон пластинки равны а и Ь. Ответ: N П п 6 " К задаче 8.9 10 20 8.9(8.9). Стол стоит на трех ножках, концы которых Л, В и С образуют равносторонний треугольник со стороной а. Вес стола равен Р, причем центр тяжести его расположен на вертикали гООи проходящей через центр О\ треугольника ABC. На столе помещен 74
груз р в точке М, координаты которой х и у\ ось Оу параллельна АВ. Определить давление каждой ножки на пол. ?-,-y)JL. Н. = 8.10(8.10). Круглый стол стоит на трех ножках А\, Л2 и Л3; в центре О помещен груз. Какому условию должны удовлетворять центральные углы фь ср2 и ср3 для того, чтобы давления на ножки Аи Л2 и Л3 относились, как 1:2: д/3? При решении задачи берутся моменты сил относительно двух из радиусов ОАи ОА2 и OAZ. Ответ: ф1 = 150°; ф2 = 90°; ф3 = 120°. 8.11(8.11). Круглая пластинка, весом которой пренебрегаем, по- покоится в горизонтальном положении, опираясь центром на острие О. Не нарушая равновесия, по окружности пластинки разместили грузы: Рх веса 1,5 Н, Р2 веса 1 Н и Р3 веса 2 Н. Определить углы аир. Ответ: а = 75°30', р = 151°. К задаче 8.10 К задаче 8.11 К задаче 8.12 8.12(8.12). Ременный шкив CD динамо-машины имеет радиус 10 см; размеры вала АВ указаны на рисунке. Натяжение верхней ведущей ветви ремня Тх = 100 Н, нижней ведомой Т2 = 50 Н. Определить вращающий момент М и реакции подшипников А и В при равновесии системы, пренебрегая весом частей машины; (РУР)—пара, образуемая силами сопротивления. Ответ: М = 5 Н-м, Хл = —180 Н, Хв = 30 Н, ZA = ZB = 0. 8.13(8.13). На горизонтальный вал, лежащий в подшипниках Л и В, действуют: с одной стороны вес.тела Q = 250 Н, привязан- привязанного к шкиву С радиуса 20 см посредством троса, а с другой стороны вес тела Р = 1 кН, надетого на стержень DE> неизменно скрепленный с валом АВ под прямым углом. Даны расстояния: АС = 20 см, CD = 70 см, BD = 10 см. В положении равновесия стержень DE отклонен от вертикали на угол 30°. Определить рас- расстояние / центра тяжести тела Р от оси вала АВ и реакции под- подшипников А и В. 75
Ответ: I = 10 см, ZA = 300 Н, ZB = 950 Н, ХА = Хв = 0. 8.14(8.14). На горизонтальный вал АВ насажены зубчатое ко- колесо С радиуса 1 м и шестерня D радиуса 10 см. Другие размеры указаны на рисунке. К колесу С по направлению касательной при- приложена горизонтальная сила Р = 100 Н, а к шестерне Z), также по касательной, приложена вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакции подшипников А и В в положении равновесия. Ответ: Q=l кН, ХА=—Ю Н, Хв = — 90 Н, ZA = — 900 Н, ZB = —100 Н. х К задаче 8.14 8.15(8.15). Рабочий удерживает груз Q = 800 H с помощью ворота, схематически изображенного на рисунке; радиус барабана /? = 5 см; длина рукоятки АК = 40 см, АС — СВ = 50 см. Опре- Определить давление Р на рукоятку и давления оси ворота на опоры К задаче 8.15 К задаче 8.16 Л и В при том положении ворота, когда рукоятка АК горизон- горизонтальна; сила Р вертикальна. Ответ: Р = 100 Н, ХА = 400 Н, ZA = -100 Н, Хв = 400 Н, Z5 = 0. 8.16(8.16). С помощью ворота, схематически изображенного на рисунке, удерживается груз Q = 1 кН. Радиус барабана /? = 5 см. Длина рукоятки KD = 40 см; AD = 30 см; ЛС = 40 см; СВ = = 60 см. Веревка сходит с барабана по касательной, наклоненной к горизонту под углом 60°. Определить давление Р на рукоятку и 76
реакции опор А и В при том положении ворота, когда рукоятка KD горизонтальна. Ответ: Р = 125 Н, ХА =— 300 Н, ZA =—357 Н, Хв = — 200 Н, ZB = —384 Н. 8.17(8.17). На вал АВ ворота намотана веревка, поддерживаю- поддерживающая груз Q. Радиус колеса С, насаженного на вал, в шесть раз больше радиуса вала; другие размеры указаны на рисунке. Ве- Веревка, намотанная на окружность колеса и натягиваемая грузом Р весом 60 Н, сходит с колеса по касательной, наклоненной к гори- горизонту под углом а = 30°. Определить вес груза Q, при котором К задаче 8.17 К задаче 8.18 ворот остается в равновесии, а также реакции подшипников А и Bt пренебрегая весом вала и трением на блоке D. Ответ: Q = 360 Н, ХА = -69,3 Н, ZA = 160 Н, Хв = 17,3 Н, ZB = 230 Н. 8.18. Прямоугольная однородная полка ABCD веса G удержи- удерживается в горизонтальном положении тросом ЕНУ составляющим с плоскостью полки угол а. Определить на- натяжение Т троса (весом его пренебречь) и реакции петель А иВ> если АК = KB = = DE = EC и НК перпендикулярно АВ. Ответ: T = y^~Z> XA = XB=T 7 -7 =1- К задаче 8.19 8.19(8.19). Однородная прямоугольная крышка веса Р = 400 Н удерживается при открытой на 60° над горизонтом про- противовесом Q. Определить, пренебрегая трением на блоке Z), вес Q и реакции шарниров А и В, если блок D укреплен на одной вер- вертикали с Л и AD =АС. Ответ: Q = 104 Н, ХА = 100 Н, ZA = 173 Н, Хв = 0, ZB = 200 Н. 8.20(8.20). Однородная прямоугольная крышка ABCD ящика может вращаться вокруг горизонтальной оси АВ на петлях в точ- точках А и В. Горизонтальная веревка СЕ, параллельная Ах, 77
удерживает крышку под углом DAx = 30°. Определить реакции в петлях, если вес крышки 20 Н. Ответ: ХА = 0,ZA = 10 Н, Хв = 17,3 Н, ZB = 10 Н. 8.21(8.21). Крышка прямоугольного ящика ABCD подперта с одной стороны палочкой DE. Вес крышки 120 Н; AD = АЕ\ угол DAE = 60°. Определить реакции шарниров А и 5, а также уси- усилие S в палочке, пренебрегая ее весом. Ответ: ХА = 17,3 Н, ZA = 30 Н, Хв = 0, ZB = 60 Н, 5 = 34,5 Н. ВУ К задаче 8.20 К задаче 8.21 К задаче 8.22 к задаче 8.23 8.22(8.22). Фрамуга ABDC веса Q = 100 Н открыта на угол а = 60°. Дано BD = ВН; СЕ = ED; веревка EF параллельна пря- прямой DH. Определить усилие Р9 необходимое для удержа- удержания фрамуги в равновесии, и реакции петель А и В. Ответ: Р = 50 Н, ХА = — лв — Z1,/ п, z,A = Zb = ' =37,5Н. $.23(8.23). Разводная часть ABCD моста веса 15 кН поднята цепью СЕУ переки- перекинутой через блок Е на ле- лебедку К. Точка Е находится в вертикальной плоскости СВу. Опре- Определить для изображенного на рисунке положения натяжение цепи СЕ и реакции в точках А и В. Центр тяжести разводной части совпадает с центром прямоугольника ABCD. Ответ: Т = 3,75 кН, YA = 0, ZA=7,5 кН, YB = — 3,25 кН, ZB = 5,625 кН. 8.24(8.24). Однородная пря- прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при по- помощи шарового шарнира А и петли В и удерживается в горизонтальном положении веревкой СЕ, привязанной в точке С рамы и к гвоздю ?, вбитому в стену на од- одной вертикали с Л, причем /.ЕСА = /ВАС = 30°. Определить на- натяжение веревки и опорные реакции. к задаче 8.24 78
Ответ: Г = 200 Н, ^=86,6 Н, YA = 150 Н, ZA = 100 Н, Хя = ZB = 0. 8.25(8.25). Полка ABCD вагона, которая может вращаться во- вокруг оси АВ, удерживается в горизонтальном положении стерж- стержнем ED, прикрепленным при помощи шарнира Е к вертикальной стене ВАЕ. Вес полки и лежащего на ней груза Р равен 800 Н и приложен в точке пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Даны размеры: ЛВ = 150 см, AD = 60 см, АК = ВН = 2Ъ см. Длина стержня ED = 75 см. Определить усилие 5 в стержне ED, пренебрегая его весом, и реакции петель К и Н. Ответ: S = 666,7 Н, Хк = —666,7 Н, ZK = —100 Н, Хн = 133,3 Н, Zh = 500 Н. К задаче 8.25 С К задаче 8.26 8.26{8.26). Квадратная однородная пластинка ABCD со сторо- стороной а = 30 см и веса Р = 5 Н закреплена в точке А при помощи шарового шарнира, а в точке В при помощи цилиндрического шарнира. Сторона АВ горизонтальна. В точке Е пластинка опи- опирается на острие. В точке Н на пластинку действует сила F па- параллельно стороне АВ. Найти реакции в точках А, В и Е, если СЕ = ??), ВН= 10 см, F = 10 Н и пластинка образует с горизонтальной плоскостью угол а = 30°. Ответ: ХА = 10 Н, YA = 2,35 Н, ZA = = —0,11 Н, Ув = —3,43 Н, ZB = 3,23 Н, RE = = 2,17Н. 8.27(8.27). Однородная горизонтальная плита веса Р, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, прикреплена неподвижно к земле шестью прямолинейными стержнями. Определить усилия в опорных стержнях, обусловленные весом плиты, если концы стержней прикреплены к плите и неподвиж- неподвижным устоям шаровыми шарнирами. Ответ: S1 = S3 = S4 = S5 = 0, S2 = S6 = --^-. 8.28(8.28). Определить усилия в шести опорных стержнях, под- поддерживающих квадратную плиту ABCD, при действии горизон- горизонтальной силы Р вдоль стороны AD. Размеры указаны на рисунке. 79 К задаче 8.27
Ответ: SX = P, S2 = — = —P, 54 = Рд/2, SS = 8.29(8.29). Прямоугольная дверь, имеющая вертикальную ось вращения АВ, открыта на угол CAD = 60° и удерживается в этом положении двумя веревками, из которых одна, CD, перекинута че- через блок и натягивается грузом Р = 320 Н, другая, EF, привязана К задаче 8.28 к точке F пола. Вес двери 640 Н; ее ширина AC = AD= 1,8 м; высота АВ = 2,4 м. Пренебрегая трением на блоке, определить на- натяжение Т веревки EF, а также реакции цилиндрического шар- шарнира в точке А и подпятника в точке В. Ответ: Т = 320 Н, ХА = 69 Н, Ул=—280 Н, *в = 208 Н, ув = 440 Н, ZB = 640 Н. 8.30(8.30). Стержень АВ удерживается в наклонном положении двумя горизонтальными веревками AD и ВС. При этом в точке А стержень опирается на вертикальную стену, на которой находится точка D, а в точке В — на горизонтальный пол. Точки А и С лежат на одной вертикали. Вес стержня 8 Н. Трением в точках А и В пренебрегаем. Проверить, может ли стержень оставаться в равновесии, и определить натяжения Т\ и Тв веревок и реакции опорных плоскостей, если ZABC = ZBCE = 60°. Ответ: ТА = 1,15 Н, Гв = 2,3 Н,/?л = 2 Н, Rb = 8 Н. 8.31(8.31). Пара сил, вращающая водя- водяную турбину Г и имеющая момент 1,2 кН-м, уравновешивается давлением на зубец В конического зубчатого колеса ОВ и реакциями опор. Давление на зубец перпендикулярно к радиусу ОВ = 0,6 м и составляет с горизонтом угол сс= 15° = = arctg 0,268. Определить реакции подпятника С и подшипника Л, если вес турбины с валом и колесом равен 12 кН и направлен вдоль оси ОС, а расстояния АС = 3 м, АО = 1 м. К задаче 8.30
Ответ: ХА = 2,667 кН, ^ = —0,667 кН, YA = — Yc = 0,107 кН, Zc = 12,54 кН. 8.32(8.32). Ветряной двигатель с горизонтальной осью АС имеет четыре симметрично расположенных крыла, плоскости которых со- составляют с вертикальной плоскостью, перпендикулярной оси АС, равные углы 30°. На расстоянии 2 м от оси к каждому крылу при- приложена нормально к его плоскости равнодействующая сил дав- давления ветра, равная 1,2 кН (крыло D в проекции на плоскость ху изображено отдельно). Ось двигателя опирается в точке А на под- подшипник, в точке С — на подпятник и удерживается в покое вер- вертикальным давлением Р на зубец колеса В, производимым не по- показанной на рисунке шестерней. Радиус колеса В равен 1,2 м; рас- расстояния: ВС = 0,5 м, АВ = 1 м, AF = = 0,5 м. Определить давление Р и ре- реакции опор. Ответ: Р = 4 кН, ZA = 1,333 кН, Yc = —0,416 кН, Zc = 2,667 кН, ХА = 40см 8.33(8.34). Груз Q равномерно под- поднимается мотором М посредством бес- бесконечной цепи. Определить реакции опор А и В и натяжения в цепи, если ветви цепи наклонены к горизонту под углами 30° (ось О\Х\ параллельна оси к задаче 8.зз Ах). Известно, что г =10 см, /? = = 20 см, Q = 10 кН, натяжение ведущей части цепи вдвое больше натяжения ведомой части, т. е. Тх = 2Т2. Ответ: 7\ = 10 кН, Т2 = 5 кН, ХА=— 5,2 кН, ZA = 6 кН, Хв = —7,8 кН, ZB = 1,5 кН. 8.34(8.35). Для подъема копровой бабы веса Р = 3 кН служит вертикальный ворот, вал которого радиуса г = 20 см опирается нижним концом на подпятник Л, а верхним концом удерживается 81
в подшипнике В, Вал приводится во вращение мотором. Найти не- необходимый для равномерного подъема копровой бабы вращающий момент мотора, а также реакции в подпятнике А и подшипнике В. При этом дано: h\ = 1 м, h = 30 см и вес вращающихся частей ворота Pi = 1 кН. Ответ: Мвр = 0,6 кН • м, Ха = 0, Ул =—2,1 кН, ZA = 1 кН, Хв = 0, Ув=— 0,9 кН. 8.35(8.36). Ворот, служащий для подъема породы из наклонного шур- шурфа, состоит из вала радиуса 0,25 м и длины 1,5 м. Вал приводится во вращение при помощи мотора (на рисунке \ не показан). Определить реакции опор и вращающий момент к задаче 8 34 МВР мотора, если вес вала равен 0,8 кН, вес груза 4 кН, коэффициент трения между грузом и поверхностью шурфа равен 0,5, угол на- наклона шурфа к горизонту равен 30° и место схода троса с вала находится на расстоянии 50 см от подшипника В. Вращение вала считать равномерным. К задаче 8.35 Ответ. AfBP = 0,93 кНм, Хл = —1,08 кН, ZA = 1,02 кН, Хв = = -2,15 кН, ZB = 1,65 кН. К задаче 8.36 8.36(8.37). Горизонтальный вал трансмиссии, несущий два шки- шкива С и D ременной передачи, может вращаться в подшипниках А и В. Радиусы шкивов: гс = 20 см, rD = 25 см; расстояния шкивов
от подшипников: а = Ь = 50 см; расстояние между шкивами с = 100 см. Натяжения ветвей ремня, надетого на шкив С, горизон- горизонтальны и имеют величины Т\ и t\, причем Т\ = 2t\ = 5 кН, натя- натяжения ветвей ремня, надетого на шкив ?>, образуют с вертикалью угол а = 30° и имеют величины Т2 и t2y причем Т2 = 2t2. Опреде- Определить натяжения Т2 и t2 в условиях равновесия и реакции подшип- подшипников, вызванные натяжениями ремней. Ответ: Т2 = 4 кН, t2=2 кН, ХА = —6,375 кН, ZA = 13 кН, Хв = —4,125 кН, ZB = 3,9 кН. 8.37(8.38). Давление шатуна двигателя, сосредоточенное в се- середине D шейки коленчатого вала, равно Р = 20 кН и направлено под углом 10° к горизонту, причем плоскость ODOU проходящая через оси вала ОО\ и шейки Z), образует с вертикалью угол 30°. К задаче 8.37 От маховика усилие передается на завод канатом, ветви которого* параллельны и наклонены к горизонту под углом 30°. Действие силы Р уравновешивается натяжениями Т и t ветвей каната и реакциями подшипников А и В. Вес маховика 13 кН, диаметр его d = 2 м, сумма натяжений ветвей каната Т + t = 7,5 кН-, а указан- указанные на рисунке расстояния равны: точки D от оси ОО\ г = 125 мм, / = 250 мм, m = 300 мм, п = 450 мм. Определить реакции подшип- подшипников А и В и натяжения t и Т. Ответ: ХА = —5У7 кН, ZA = — 4,47 кН, Хв = — 20,48 кН, ZB = 10,25 кН, Т = 4,92 кН, t = 2,58 кН. 8.38(8.39). Для передачи вращения с одного вала на другой, ему параллельный, установлены два одинаковых вспомогательных шкива, заклиненных на горизонтальной оси KL. Ось может вра- вращаться в подшипнике М, укрепленном на колонке MN. Треуголь- Треугольное основание этой колонки притянуто к полу двумя болтами А и В и свободно опирается точкой С. Болт А проходит через круглое отверстие в основании, болт же В — через продолговатое отвер- отверстие, имеющее направление линии АВ. Ось колонки проходит че- через центр треугольника ABC. Определить реакции в точках Л, В и С, если расстояние оси KL от пола равно 1 м, расстояния середин шкивов от оси колонки равны 0,5 м и натяжения всех четырех ветвей ремней принимаются 85
одинаковыми и равными 600 Н. Ветви правого ремня горизон- горизонтальны, а ветви левого наклонены к горизонту под углом 30°. Вес всей установки равен 3 кН и приложен к точке, лежащей на оси колонки; даны размеры: АВ = ВС = СА = 50 см. Ответ: ХА = 960 Н; Ya = 0; ZA= — 2,39 кН; Хв=1,28 кН; ZB = —1,19 кН, Zc = 5,97 кН. К задаче 8.38 К задаче 8.39 8.39(8.40). Подвеска подшипника ременного шкива D прикреп- прикреплена к гладкому горизонтальному потолку MN в точках Л и С и упирается в него точкой В. Эти точки лежат в вершинах равно- равностороннего треугольника ABC со стороной 30 см. Положение центра ременного шкива D определяется вертикалью EF = 40 см, опущенной из центра Е треугольника ABC, и горизонталью FD = 50 см, параллельной стороне АС. Плоскость шкива перпен- перпендикулярна прямой FD. Натяжение Р каждой ветви ремня равно 1200 Н и наклонено к вертикали под углом 30°. Определить реакции в опорах Л, В и С, пренебрегая весом частей. Ответ: YA = 1,4 кН, ZA = 1,85 кН, ZB = = 1,15 кН, Yc = —2,6 кН, Zc = —5,08 кН. 8.40(8.41). Картина в раме, имеющей форму прямоугольника ABCD, подвешена на вертикальной стене при помощи шнура EKF, надетого на крюк К так, что край АВ горизонтален; точки ?, F — середины сто- сторон AD и ВС. Картина наклонена к стене под углом а = arctg -j- и опирается на два гвоздя L и М, вбитых в стену, причем AL = MB. Размеры кар- картины: АВ = 60 см, AD=75 см; вес картины 200 Н и приложен в центре прямоугольника ABCD; длина шнура 85 см. Определить натяжение Т шнура и давления на гвозди L и М. Ответ: Т = 85 Н, YL = YM = —45 Н, ZL=ZM= —60 Н. 84 К задаче 8.40
8.41(8.42). Бифиляр состоит из однородного стержня АА\, под- подвешенного на двух нерастяжимых нитях длины /, которые укреп- укреплены в точках В и В\. Длина стержня АА\ = ВВ\ =2г, а вес Р. Стержень повернут вокруг вертикальной оси на угол а. Определить момент М пары, кото- рую нужно приложить к стержню, чтобы удер- жать его в равновесии, а также натяжение Т нитей. ~ ,, Pr2 sin а Ответ: М = Т = У/2 — 4r2 sin2 (а/2) ' /Я 2 V/2 - 4г2 sin2 (а/2) ' 8.42(8.44). Тренога ABDE, имеющая фор- форму правильной пирамиды, укреплена шарнир- но на двух консольных балках. Через блок, укрепленный в вершине Е треноги, перекинут трос, равномерно поднимающий с помощью лебедки груз веса Р. От блока к лебедке трос тянется параллельно консоли. Определить реакции заделки К задаче 8.42 К задаче 8.43 первой консоли, пренебрегая ее весом и весом треноги. Высота треноги равна 1/2. Ответ: 15 8.43. Четырехзвенный механизм робота-манипулятора располо- расположен в горизонтальной плоскости Оху. Длины всех звеньев одина- одинаковы и равны U масса каждого звена т. Масса объекта манипу- манипулирования 2т. Найти моменты сил тяжести относительно коорди- координатных осей. Звенья считать однородными стержнями. Ответ. Мх = — 4,98 mgl, My = 6,98 mgU M2=Q. 85
§ 9. Центр тяжести 9.1(9.1). Определить положение центра тяжести С стержневого контура AFBD, состоящего из дуги ADB четверти окружности ра- радиуса FD = R и из дуги полуокружности AFB, построенной на хорде АВ как на диаметре. Линейные плотности стержней одина- одинаковы. Ответ: CF = R (л/2 - 1) +-Щ- C - 2 л/2) = 0,524/?. 9.2(9.2). Определить положение центра тяжести С площади, ограниченной полуокружностью АО В ради>са R и двумя прямыми равной длины AD и DB, причем OD = 3R. Ответ: ОС= >D B\ ^Uh К задаче 9.2 К задаче 9.3 К задаче 9.4 9.3(9.3). Найти центр тяжести С площади кругового сегмента ADB радиуса АО = 30 см, если угол АОВ = 60°. Ответ: ОС = 27,7 см. 9.4(9.4). Определить положение центра тяжести однородного диска с круглым отверстием, предполагая радиус диска равным гь радиус отверстия равным г2 и центр этого отверстия на- находящимся на расстоянии Г\/2 от центра диска. г г2 Ответ: хс = , 2* 2 2. . 9.5(9.5). Определить ко- координаты центра тяжести четверти кольца, показанно- показанного на рисунке. Ответ: хс = ус= 1,38 см. 9.6(9.6). Найти координаты центра тяжести фигуры, изобра- изображенной на рисунке. Ответ: Хс = 0,61а. 9.7(9.7). Найти центр тяжести поперечного сечения плотины, показанного на рисунке, принимая, что удельный вес бетона равен 24 кН/м3, а земляного грунта 16 кН/м3, X К задаче 9.5 К задаче 9.6 86
Ответ: хс = 8,19 м, ус = 1,9 м. 9.8(9.8). Найти координаты центра тяжести поперечного сече- сечения неравнобокого уголка, полки которого имеют ширину О А = а, ОВ = Ь и толщину AC = BD = d. итвет. х — у— 9.9(9.9). Найти расстояние центра тяжести таврового сечения ABCD от стороны его АС, если высота тавра BD = /г, ширина полки АС = а, толщина полки равна d и толщина стенки равна Ь. Ответ- итвет- К задаче 9.7 -* а \ У'. % 1 9 f В ш *! с К задаче 9.9 9.10(9.10). Найти центр тяжести двутаврового профиля, раз- размеры которого указаны на рисунке. Ответ: хс = 9 см. 9.11(9.11). Найти координаты центра тяжести однородной плк- стинки, изображенной на рисунке, зная, что АН = 2 см, HG = = 1,5 см, ЛВ = Зсм, ВС =10 см, ?F = 4cm, ED =2 см. Ответ: ,-10 1 10 = Ъ-гъ см, у=\-пг см. 13 13 У\ 20см К задаче 9.10 К задаче 9.11 К задаче 9.12 9.12(9.12). В однородной квадратной доске ABCD со стороной А В = 2 м вырезано квадратное отверстие EFGH, стороны которого соответственно параллельны сторонами ABCD и равны 0,7 м каж- каждая. Определить координаты х и у центра тяжести оставшейся части доски, зная, что ОК = O\K = 0t5 м, где О и Ох — центры квадратов, ОК и О\К соответственно параллельны сторонам квад- квадратов. Ответ: х = у = —0,07 м. 87
9.13(9.13). Провести через вершину D однородного прямоуголь- прямоугольника ABCD прямую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной по этой прямой трапеции ABED за вершину Е сторона AD, рав- равная а, была горизонтальна. Ответ: BE = 0,366а. 9.14(9.14). Дан квадрат ABDC, сторона которого равна а. Найти внутри него такую точку ?, чтобы она была центром тя- у\ жести площади, которая полу- |л - чится, если из квадрата выре- вырезать равнобедренный треуголь- треугольник ЛЕВ. Ответ: хЕ = а/2, уЕ=0,Ша. 9.15. Четыре человека не- сут однородную треугольную пластину. Двое взялись за две вершины, остальные — за сто- роны, примыкающие к третьей вершине. На каком расстоянии от третьей вершины они должны поместиться, для того чтобы каж- каждый из четырех поддерживал четверть полного веса пластины? Ответ: На расстоянии, равном 1/3 длины соответствующей сто- стороны. 9.16(9.16). Определить координаты центра тяжести системы грузов, расположенных в вершинах прямоугольного параллелепи- параллелепипеда, ребра которого соответственно равны: AB = 2Q см, ЛС = = 10 см, AD = 5 см. Веса грузов в вершинах Л, 5, С, D, ?, F, G, Я соответственно равны 1 Н, 2 Н, 3 Н, 4 Н, 5 Н, 3 Н, 4 Н, 3 Н. Ответ: х = 3,2 см, у = 9,6 см, z = 6 см. К задаче 9.13 к задаче 9.14 К задаче 9.16 К задаче 9.17 9.17(9.17). Определить координаты центра тяжести контура прямоугольного параллелепипеда, ребра которого суть однород- однородные бруски длиной: ОЛ=0,8 м, ОВ = 0,4 м, ОС = 0,6 м. Веса брусков равны соответственно: О А = 250 Н, ОВ, ОС и CD по 75 Н, CG — 200 Н; AF — 125 Н, AG и GE по 50 Н, BD, BF, DE и EF по 25 Н. Ответ: л; = 0,263 м, # = 0,4 м, z = 0,105 м. 88
9.18(9.18). Найти координаты центра тяжести тела, имеющего вид стула, состоящего из стержней одинаковой длины и веса. Дли- Длина стержня равна 44 см. Ответ: х = —22 см, у = 16 см, 2 = 0. К задаче 9.18 К задаче 9.19 9.19(9.19)'. Найти координаты центра тяжести плоской фермы, состоящей из семи стержней, длины которых указаны на рисунке, если вес 1 м для всех стержней один и тот же. Ответ: х = 1,47 м, у = 0,94 м. 9.20(9.20). Найти координаты центра тяжести деревянного мо- молотка, состоящего из прямоугольного параллелепипеда и ручки с квадратным сечением. Да- Дано: а = 10 см, 6=8 см, с = = 18 см, d = 40 см, / = = 3 см. Ответ: лс = О, у = 8,8 см, 2=0. 9.21(9.21). Корпус легко- легкого крейсера весит 19000 кН. Центр тяжести корпуса на- находится по вертикали над килем на высоте у\ = 6 м. После спуска на воду внутри корпуса установлены глав- главные машины и котлы. Главные машины весят 4500 кН, и ордината центра тяжести их у2 = 3 м. Вес котлов равен 5000 кН, и ордината центра тяжести их у$ = 4,6 м. Определить ординату у с общего центра тяжести корпуса, машин и котлов. Ответ: ус = 5,28 м. 9.22(9.22). На корабле водоизмещением в 45000 кН груз весом в 300 кН перемещен из носового отсека в кормовой на расстояние 60 м. Насколько переместился общий центр тяжести корабля и груза? Ответ: На 0,4 м. 9.23(9.23). Для однородного тетраэдра ABCDEF, усеченного па- параллельно основанию, даны: площадь ABC = а, площадь DEF = 6, Z 1 1 1 1 1 S 1 1J к b ' \ I/ \ I/ -W-— '/\ 0Г\ К задаче d fi—$ 9.20 '—"ui
расстояние между ними А. Найти расстояние z центра тяжести дан- данного усеченного тетраэдра от основания ABC. Ответ: z = ±a + 2^ + 3b. 4 а + ^/аЬ + Ь 9.24(9.24). Корпус якорной подводной мины имеет форму ци- цилиндра с выпуклыми сферическими днищами. Радиус цилиндриче- цилиндрического пояса г = 0,4 м, высо- высота цилиндрического пояса h = 2r; высоты сферических сегментов соответственно равны: fi = 0,5г и /2 = 0,2г. Найти центр тяжести поверх- поверхности корпуса мины. Ответ: хс = ус = 0, zc = = 1,267г = 0,507 м. 9.25(9.26). Найти пре- предельную высоту h цилиндра,, при которой тело, состоящее из цилиндра и полушара одинаковой плотности и одинакового ра- радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия, когда оно опирается 'поверхностью полушара на гладкую горизонтальную плоскость. Центр тяжести всего тела должен совпадать с центром полушара. Рас- Расстояние центра тяжести однородного полушара от его основания равно zkr. 2, К задаче 9.23 К задаче 9.24 Ответ: Л = /д 9.26(9.27). Найти предельную высоту h конуса, при которой тело, состоящее из конуса и полушара одинаковой плотности и **- h в К задаче 9.25 К задаче 9.26 i? радиуса г, теряет устойчивость в положении равновесия при уело* вии предыдущей задачи. Ответ: h — r д/З» 9.27(9.28). Тонкий однородный лист изогнут в виде двух Тре- Треугольников и квадрата, как показано на рисунке: равнобедренный треугольник ОАВ лежит в плоскости ху, прямоугольный треуголь- треугольник ODE — в плоскости yz (вершина прямого угла — точка Е)у квадрат ОВКЕ — в горизонтальной плоскости. Определить коор- координаты центра тяжести изогнутого листа. Ответ: Хс = 3,33 см, ус = 0,444 см, zc = 3,55 см.
ОТДЕЛ ВТОРОЙ КИНЕМАТИКА ГЛАВА III КИНЕМАТИКА ТОЧКИ § 10. Траектория и уравнения движения точки 10.1A0.1). По данному уравнению движения точки на произ- произвольно выбранной траектории построить через равные промежутки времени шесть положений точки, определить расстояние 5 по траек- траектории от начала отсчета до конечного положения точки и пройден- пройденный ею путь а за указанный промежуток времени (s и а — в сан- сантиметрах, t — в секундах). 1) 5 = 5 — At + t2, 0^/<5. Ответ: s = 10 см, а = 13 см. 2) s = 1 + 2t — t2, 0 < t < 2,5. Ответ: s — —0,25 см, а = 3,25 см. 3) s = 4 sin lOf, я/20 < t < Зл/10. Ответ: s = 0, а = 20 см. 10.2A0.2). По данным уравнениям движения точки найти урав- уравнения ее траектории в координатной форме и указать на рисунке направление движения. 1) x = 3t — 5, у = 4 — 2L Ответ: Полупрямая 2х -\-Ъу — 2 = 0 с началом в точке х =* —5, i/ = 4. 2) х = 2/, у = 8t2. Ответ: Правая ветвь параболы у = 2х2 е начальной точкой jc = O, y = 0. 3) х = 5 sin 10*, у = 3 cos 10/. х2 и2 Ответ: Эллипс -=g- + у= 1 с начальной точкой х = 0, у = 3. 4) х = 2 — 3 cos Ыу у = 4 sin Ы — 1. (х 2J (и + IJ Ответ: Эллипс -1—^— + \$ — * с начальной точкой * = = -1, у = -\. 5) х = сЫ = ±(е'+е-% у = *Ы = ±(е'- е~'). Ответ: Верхняя часть правой ветви гиперболы х2 — у2 = 1 с на- начальной точкой х = 1, у = 0. 91
10.3A0.3). Построить траекторию точки, радиус-вектор кото- которой изменяется согласно уравнению (г0 и е — постоянные задан- заданные векторы, i и /" — координатные орты). Ответ: Полупрямая, проходящая через начальную точку Мо(го)) параллельно вектору е. 2) г = r0 + cos t-e. Ответ: Отрезок MqMx прямой линии, проходящей через точку М(г0) параллельно вектору е. Начальная точка М0(г0-\- е)\ вторая крайняя точка М\(г0 — е). При /-^оо конец радиус-вектора прой- пройдет бесчисленное число раз через каждую точку траектории. 3)г = , Ответ: Отрезок верхней части эллипса ^т + "|г=1- Точка на- начинает движение от левой вершины эллипса, монотонно прибли- приближаясь к его правой вершине. 10.4A0.4). По заданным уравнениям движения точки найти уравнение ее траектории, а также указать закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. 1 \ Y З/2 и 4/2 1 I Л/ —— kjV , у — ТС* • Ответ: Полупрямая Ах — Ъу = 0; 5 = 5/2. 2) х = 3 sin /, у = 3 cos /. Ответ: Окружность х2 + у2 = 9; 5 = 3/. 3) х = a cos2 /, у = a sin2 /. Ответ: Отрезок прямой х + у — а = 0, причем 0 ^ х ^ а; s = а д/2 sin2 /. 4) х = 5 cos 5/2, у = 5 sin 5/2. Ответ: Окружность х2 + у2 = 25; 5 = 25/2. 10.5A0.5). Мостовой кран движется вдоль мастерской согласно уравнению х = /; по крану катится в поперечном направлении те- тележка согласно уравнению у = 1,5/ (х и у — в метрах, / — в секун- секундах). Цепь укорачивается со скоростью v = 0,5 м/с. Определить траекторию центра тяжести груза; в начальном положении центр тяжести груза находился в горизонтальной плоскости Оху\ ось Oz направлена вертикально вверх. Ответ: Траектория — прямая: у=1,5х; г = 0,5*. 10.6A0.6). Движение точки, описывающей фигуру Лиссажу, за- задается уравнениями jc = 3sin/, # = 2cos2/ (/ — в секундах). Найти уравнение траектории, вычертить ее и указать направление движения точки в различные моменты времени. Указать также ближайший после начала движения момент времени t\, когда траектория пересечет ось Ох. Ответ: Часть параболы 4х2 + 9#=18, вдоль которой |х|^3> Iff К 2, /i =я/4 с. 10.7A0.7). При соответствующем выборе осей координат урав- уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле опреде- определяются равенствами х = a sin kt, у = a cos kt, z = v/, где a, k и 92
v — некоторые постоянные, зависящие от напряженности магнит- магнитного поля, массы, заряда и скорости электрона. Определить траек- траекторию электрона и закон движения его по траектории. Ответ: Электрон движется по винтовой линии. Начальная точка х = 0, у = а, z = 0; шаг винта h=-j-v. Закон движения элек- электрона по винтовой линии s = ^a2k2 + v2*- 10.8A0.8). Гармонические колебания точки определяются зако- законом х= a sin(kt + е), где а > 0— амплитуда колебаний, k > 0 — круговая частота колебаний и е(—я ^ е ^ я) — начальная фаза. Определить центр колебаний а0, амплитуду, круговую частоту, период Г, частоту колебаний / в герцах и начальную фазу по сле- следующим уравнениям движения (х — в сантиметрах, / — в секун- секундах): Уравнения движения 1. * = — 7 COS 12/ 2. х = 4 sin (nt/20) — — 3 cos (nt/20) 3. * = 2 — 4 sin 140/ 4. x = 6 sin2 18/ 5. ^=i~4cos2^-/ Ответ ао. см 0 . 0 2 3 — 1 а, см 7 5 4 3 2 k, рад/с 12 я/20 140 36 л/30 T, с jt/6 40 Jt/70 Jt/18 60 f, Гц 6/jt 0,025 70/jt 18/jt 1 0 8 — Jt/2 ~arctgC/4) л — Jt/2 -Jt/2 10.9A0.9). Груз, поднятый на упругом канате, колеблется со- согласно уравнению х = a sin (kt + Зя/2), где а — в сантиметрах, k — в рад/с. Определить амплитуду и круговую частоту колебаний груза, если период колебаний равен 0,4 с и в начальный момент х0 = —4 см. Построить также кривую расстояний. Ответ: а = 4 см, k = 5л рад/с. 10.10A0.10). Определить траекторию точки, совершающей од- одновременно два гармонических колебания равной частоты, но раз- разных амплитуд и фаз, если колебания происходят по двум взаимно перпендикулярным осям: х = a sin (kt + а), у = b sin (kt + р). +|^- —-^-cos(a — Р)= sin2 (а—р). Ответ: Эллипс 10.11A0.11). Найти уравнение траектории движения точки, по- получающегося при сложении взаимно перпендикулярных колебаний разной частоты: 1) х = a sin 2(о/, у = a sin ©/; 2) х = a cos 2(о/, у = a cos со/. Ответ: 1) х2а2 = 4у2(а2 — у2); 2) 2у2 — ах — а2 = 0, причем |*|<а, |у|< а. 10.12A0.12). Кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью со = 10 рад/с. Длина ОА = АВ = 80 см. Найти уравне- 9а
ния движения и траекторию средней точки М шатуна, а также уравнение движения ползуна Б, если в начальный момент ползун находился в крайнем правом поло- положении; оси координат указаны на рисунке. Ответ: 1) хм = 120 cos 10/, ум = = 40 sin 10/. 2) Траекторией точки М являет- является эллипс^ + ^1 к задаче ю.12 3) уравнение движения ползуна В jc = 160cos10/. 10.13A0.14). Определить уравнения движения и траекторию точки обода колеса радиуса /? = 1 м автомобиля, если автомобиль движется по прямолинейному пути с постоянной скоростью 20 м/с* Принять, что колесо катится без скольжения; за начало коорди- координат взять начальное положение точки на пути, принятом за ось Ох. Ответ: Циклоида х = 20/ — sin 20/, у = 1 — cos 20/. 10.14A0.15). Даны уравнения движения снаряда х = v0 cos a • /, y=t=v0 sin а • / — -—-, где vq — начальная скорость снаряда, а — угол между vq и гори- горизонтальной осью ху g— ускорение силы тяжести. Определить тра- траекторию движения снаряда, высоту Я, дальность L и время Т по- полета снаряда. Ответ: Траектория — парабола у = tg а • х 5—ъ— *2\высота 2^5 cos2a 2 2 Н = — sin2a, L = — sin 2а, Г = 2— sin a. 2g g g 10.15A0.16). В условиях предыдущей задачи определить, при каком угле бросания а дальность полета L будет максимальной. Найти соответствующие высоту и время полета. Ответ: a = 45°, Lmax = - 10.16A0.17). В условиях задачи 10.14 определить угол броса- бросания а, при котором снаряд попадает в точку А с координатами х и у. Ответь tga = - 10.17A0.18). Определить параболу безопасности (все точки, ле- лежащие вне этой параболы, не могут быть достигнуты снарядом при данной начальной скорости vq и любом угле бросания а). vl Ответ: у — ~ «- х2- 2g 2v20 94
10.18A0.19). Точка движется по винтовой линии х = a cos kt, y= a sin kt, z = vt. Определить уравнения движения точки в цилиндрических коорди- координатах. Ответ: г = а, ф = kt, z = vt. 10.19A0.20). Даны уравнения движения точки: х = 2аcos2(kt/2), y = asinkt, где а и k — положительные постоянные. Определить траекторию и закон движения точки по траектории, отсчитывая расстояние от начального положения точки. Ответ: Окружность (х — аJ + У2 = я2; s = akt. 10.20A0.21). В условиях предыдущей задачи определить урав- уравнения движения точки в полярных координатах. Ответ: r = 2a cos (kt/2); ф = kt/2. 10.21A0.22). По заданным уравнениям движения точки в де- декартовых координатах x = Rcos2(kt/2), y = (R/2)sinkt, z = R sin (kt/2) найти ее траекторию и уравнения движения в сферических коор- координатах. Ответ: Линия пересечения сферы х2 + У2 + z2 = R2 и цилиндра (х — R/4J + у2 = R2/4. Уравнения движения в сферических коор- координатах: г = R, ф = kt/2, 9 = kt/2. 10.22A0.23). Точка участвует одновременно в двух взаимна перпендикулярных затухающих колебаниях, уравнения которых имеют вид х = Ае~м cos (kt + е), у = Ае~м sin (kt + e), где Л > 0, h> 0, k> 0 и е — некоторые постоянные. Определить уравнения движения в полярных координатах и найти траекторию У точки. Ответ: г = Ае~ы, ф = kt + e; траектория — логарифмическая спираль г — Ае* 10.23. Плоский механизм ма- манипулятора переносит груз из од- одного положения в другое по тра- траектории, определяемой полярны- полярными координатами центра схвата к задаче ю.гз rc = rc(t), Фс = Фс@- Найти: 1) законы изменения углов i|)i и г|J, отрабатываемых соответствую- соответствующими приводами, обеспечивающие выполнение заданной програм- программы; 2) законы изменения этих углов, если груз перемещается па прямой, параллельной оси у, отстоящей от нее на расстоянии а па закону у = s(t), где s — заданная функция времени /. 95»
Ответ: 1) ipi=(pc(/) + arccos r2c (t) ± arccos 2) ф1=; i|?2 = ± arccos 2/,/2 arccos - s2 (t) § 11. Скорость точки 11.1A1.1). Точка совершает гармонические колебания по за- закону х = a sin kt. Определить амплитуду а и круговую частоту k колебаний, если при х = Х\ скорость v = Vu а при х = Хг скорость v = v2. Ответ V А-А 11.2A1.2). Длина линейки эллипсографа ЛВ = 4СГ см, длина кривошипа ОС = 20 см, ЛС = СВ. Кривошип равномерно вращает- вращается вокруг оси О с угловой скоростью (о. Найти уравнения траекто- траектории и годографа скорости точки М ли- линейки, лежащей на расстоянии AM = = 10 см от конца А. Ответ: 900 ~У 100 у\ = 1. v IV. ЗЗДЗЧс 11.л "*" 100ю2 = 11.3A1.3). Точка описывает фигуру Лиссажу согласно уравнениям х = 2 cos /, 1/ = 4 cos 2/ (*># — в сантиметрах, t — в секундах). Определить величину и на- направление скорости точки, когда она находится на оси Оу. Ответ: 1) v = 2 см/с, cos (у, х) = — 1; 2) о = 2 см/с, cos(y,A:)= 1. 11.4A1.5). Кривошип О А вращается с постоянной угловой ско- скоростью со. Найти скорость середины М шатуна кривошипноползун- ного механизма и скорость ползуна В в зависимости от времени, если ОА =АВ = а (см. рисунок к задаче 10.12). Ответ: 1) vM = ^ со V8sin2©/ + 1; 2) vB = 2а<о sin Ы. 11.5A1.6). Движение точки задано уравнениями х = voi cos а0, у = vot sin а0 — l/2gt2, 96
причем ось Ох горизонтальна, ось Оу направлена по вертикали вверх, vo, g и осо < я/2 — величины постоянные. Найти: 1) траек- траекторию точки, 2) координаты наивысшего ее положения, 3) проек- проекции скорости на координатные оси в тот момент, когда точка нахо- находится на оси Ох. 2 Ответ: 1) Парабола y = xtga0 г-^—*2; 2) х = — X 20Q cos^ a0 2^г 2 Xsin2cc0, y = -^sin2aQ; 3) vx = *0cosа0, ау = ± t>0 sin а0, причем верхний знак соответствует начальному моменту времени, а ниж- нижний-моменту /==2°osinaQ 11.6A1.7). Движение точки задано теми же уравнениями, что и в предыдущей задаче, причем v0 = 20 м/с, а0 = 60°, g = 9,81 м/с2. Найти, с какой скоростью v\ должна выйти из начала координат в момент t = 0 вторая точка для того, чтобы, двигаясь равномерно по оси Ох, она встретилась с первой точкой, и определить расстоя- расстояние х\ до места встречи. Ответ: v\ = 10 м/с, х\ = 35,3 м. 11.7A1.8). Определить высоты Ль Л2 и Л3 над поверхностью воды трех пунктов отвесного берега, если известно, что три пули, выпущенные одновременно в этих пунктах с горизонтальными ско- скоростями 50, 75 и 100 м/с, одновременно упали в воду, причем рас- расстояние точки падения первой пули от берега равно 100 м; принять во внимание только ускорение силы тяжести g = 9,81 м/с2. Опре- Определить также продолжительность Т полета пуль и их скорости v\, 02 и из в момент падения в воду. Ответ: hi = h2 = h3= 19,62 м, Т = 2 с, vx = 53,71 м/с, v2 = = 77,52 м/с, vz = 101,95 м/с. 11.8A1.9). Из орудия, ось которого образует угол 30° с горизон- горизонтом, выпущен снаряд со скоростью 500 м/с. Предполагая, что сна- снаряд имеет только ускорение силы тяжести g = 9,81 м/с2, найти годограф скорости снаряда и скорость точки, вычерчивающей го- годограф. Ответ: Годограф — вертикальная прямая, отстоящая от начала координат на 432 м; v\ = 9,81 м/с2. 11.9A1.10). Определить уравнения движения и траекторию точки колеса электровоза радиуса R = 1 м, лежащей на расстоя- расстоянии а = 0,5 м от оси, если колесо катится без скольжения по го- горизонтальному прямолинейному участку пути; скорость оси колеса v = 10 м/с. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу — с радиусом точ- точки при ее начальном низшем положении. Определить также ско- скорость этой точки в те моменты времени, когда диаметр колеса, на котором она расположена, займет горизонтальное и вертикальное положения. Ответ: Укороченная циклоида х= lOt — 0,5 sin 10/, у = 1 — — 0,5 cos 10/. Скорость: 1) 11 м/с; 18 м/с; 2) 5 м/с; 15 м/с. 4 И5 В. Мещерский ' 97
11.10A1.11). Скорость электровоза v0 = 72 км/ч; радиус ко- колеса его R = 1 м; колесо катится по прямолинейному рельсу без скольжения. 1) Определить величину и направление скорости v точки М на ободе колеса в тот момент, когда радиус точки М составляет с на- направлением скорости vo угол я/2 + а. 2) Построить годограф скорости точки М и определить скорость V\ точки, вычерчивающей годограф. Ответ: 1) Скорость v = 40 cos (a/2) м/с и на- направлена по прямой МА\ 2) Окружность р = 2t>ocos 8, где 8 = а/2, V/////////////////A радиуса г = v0 (см. рисунок); v{ = v2QjR = = 400 м/с2. 11.11A1.12). Определить уравнения движе- движения и траекторию точки М колеса вагона радиу- радиуса R = 0,5 м, отстоящей от оси на расстоянии а = 0,6 м и лежащей в начальный момент на 0,1 м ниже рельса, если вагон движется по пря- К задаче 11.10 МОЛИНеЙНОМу ПуТИ СО СКОрОСТЬЮ V = 10 М/С. Найти также моменты времени, когда эта точка будет проходить свое нижнее и верхнее положения, и проекции ее скорости на оси Ох, Оу в эти моменты времени. Ось Ох совпадает с рельсом, ось Оу проходит через начальное нижнее положение точки. Ответ: Удлиненная циклоида л: = 10/ — 0,6 sin 20/; у = 0,5 — 0,6 cos 20/; при / = •?7г?— нижнее положение точки, vx = —2 м/с, vy = 0; при / = -7-jj- A + 2k) с — верхнее положение точки, vx = 22 м/с, vy=Q, где k = 0, 1,2, 3 ... 11.12A1.13). Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных затухающих колебаниях согласно уравнениям х = Ae~ht cos (kt + е), у = Ae~ht sin (kt + e). Определить проекции скорости точки на оси декартовых и поляр- полярных координат и найти модуль скорости точки. Ответ: 1) vx = — Ae~ht[h cos (kt + e) + k sin (kt + e)], v9 = — Ae~ht [h sin (kt + e) — k cos (kt + e)]; 2) vr = -Ahe-h\ Vy = Ake~ht\ 3) v = A V/*2 + k2 e-ht = ^h* + b? r. 11.13A1.14). Какую кривую опишет корабль, идущий под по- постоянным курсовым углом а к географическому меридиану? Ко- Корабль принять за точку, движущуюся по поверхности земного шара. 98
Ответ: tg(-J+-| , где ф — широта, а X — долгота текущего положения корабля (эта кривая назы- называется локсодромией). Указание. Воспользовать- —(LJA № / ся сферическими координатами г, > и ср. 11.14A1.15). Уравнения движения точки М в цилинд- цилиндрической системе координат имеют вид (см. задачу 10.8) г = а, ф = kt, z = vt. НаЙТИ ПрОеКЦИИ СКОрОСТИ К задаче 11.13 точки М на оси цилиндриче- цилиндрической системы координат, уравнения движения точки М\9 описываю- описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки М\. Ответ: 1) vr = 0, уф = ak, v2 = v;2) r{ = ak, ф1 = я/2 + kt, zx = v; 11.15A1.16). Точка М движется по окружности согласно урав- уравнениям г = 2a cos (kt/2), q> = kt/2 (t\ ф — полярные координаты). Найти проекции скорости точки М на оси полярной системы координат, уравнения движения точки Мь описывающей годограф скорости, и проекции скорости точки М\. Ответ: 1) vr = — aksin(kt/2), уф = ak cos (kt/2) \ 2) rx = akt ф1 = я/2 + kt; 3) vri = 0, иф1 = ak2. 11.16A1.17). Точка движется по линии пересечения сферы и ци- цилиндра согласно уравнениям г = R, ф = kt/2, Э = kt/2 (г, ф, 6 — сферические координаты; см. задачу 10.21). Найти мо- модуль и проекции скорости точки на оси сферической системы коор- координат. Ответ: vr = 0, аф = (Rk/2) cos (kt/2), vQ = Rk/2, v = (Rk/2)<y/l+cos2 (kt/2). 11.17A1.18). Найти в полярных координатах (г, ф) уравнение кривой, которую опишет корабль, сохраняющий постоянный угол пеленга а на неподвижную точку (угол между направлением ско- скорости и направлением на точку), если дано: а и гф=0 = г0. Корабль принять за точку, движущуюся на плоскости, и за полюс взять 4* 99
произвольную неподвижную точку в этой плоскости. Исследовать частные случаи а = 0, я/2 и я. Ответ: Логарифмическая спираль г = гое-фС^а. При а = я/2 окружность г = го; при а = 0 или а = я прямая. § 12. Ускорение точки 12.1A2.1). Поезд движется со скоростью 72 км/ч; при тормо- торможении он получает замедление, равное 0,4 м/с2. Найти, за какое время до прихода поезда на станцию и на каком от нее расстоянии должно быть начато торможение. Ответ: 50 с, 500 м. 12.2A2.2). Копровая баба, ударив сваю, движется затем вместе с ней в течение 0,02 с до остановки, причем свая углубляется в землю на б см. Определить начальную скорость движения сваи, считая его равнозамедленным. Ответ: б м/с. 12.3A2.3). Водяные капди вытекают из отверстия вертикальной трубочки через 0,1 с одна после другой и падают с ускорением 9,81 м/с2. Определить расстояние между первой и второй каплями через 1 с после момента истечения первой капли. Ответ: 0,932 м. 12.4A2.5). Считая посадочную скорость самолета равной 400 км/ч, определить замедление его при посадке на пути / = 1200 м, считая, что замедление постоянно. Ответ: w = 5,15 м/с2. 12.5A2.6). Копровая баба падает с высоты 2,5 м, а для ее под- поднятия на ту же высоту требуется втрое больше времени, чем на падение. Сколько ударов она делает в минуту, если считать, что свободное падение копровой бабы совершается с ускорением 9,81 м/с2? Ответ: 21 удар. 12.6A2.7). Ползун движется по прямолинейной направляющей с ускорением wx = — я2 sin ~ / м/с2. Найти уравнение движения ползуна, если его начальная скорость vOx = 2я м/с, а начальное положение совпадает со средним положением ползуна, принятым за начало координат. Построить кривые расстояний, скоростей и ускорений. Ответ' х = 4 sin ~t м. 12.7A2.8). Поезд, имея начальную скорость 54 км/ч, прошел 600 м в первые 30 с. Считая движение поезда равнопеременным, определить скорость и ускорение поезда в конце 30-й секунды, если рассматриваемое движение поезда происходит на закруглении ра- радиуса R = 1 км. Ответ: v = 25 м/с, w = 0,708 м/с2: 12.8A2.9). При отходе от станции скорость поезда возрастает равномерно и достигает величины 72 км/ч через 3 мин после от- 100
хода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м. Определить касательное, нормальное и полное ускорения поезда через 2 мин после момента отхода от станции. Ответ: wt = 7э м/с2, wn = 2/9 м/с2; w = 0,25 м/с2. 12.9A2.10). Поезд движется равнозамедленно по дуге окруж- окружности радиуса R = 800 м и проходит путь 5 = 800 м, имея началь- начальную скорость Vo = 54 км/ч и конечную t; = 18 км/ч. Определить полное ускорение поезда в начале и в конце дуги, а также время движения по этой дуге. Ответ: wo = 0,308 м/с2, w0 = 0,129 м/с2, Т = 80 с. 12.10A2.11). Закругление трамвайного пути состоит из двух дуг радиусом р! = 300 м и р2 = 400 м. Центральные углы ai = = a2 = 60°. Построить график нормаль- нормального ускорения вагона, идущего по за- закруглению со скоростью v = 36 км/м. 12.11A2.12). Точка движется по дуге окружности радиуса R = 20 см. Закон ее ДВИЖеНИЯ ПО Траектории: S = 20 Sin nt К задаче 12.10 (/ — в секундах, 5 — в сантиметрах). Найти величину и направление скорости, касательное, нормальное и полное ускорения точки в момент t = 5 с. Построить также гра- графики скорости, касательного и нормального ускорений. Ответ: Скорость равна по величине 20я см/с и направлена в сто- сторону, противоположную положительному направлению отсчета дуги s\ wt = 0; w = wn = 20n2 см/с2. 12.12A2.13). Прямолинейное движение точки происходит по за- закону s = -^2- (oi + e~at)y где а и g — постоянные величины. Найти начальную скорость точки, а также определить ее ускорение в функции от скорости. Ответ: vq = 0, w = g — av. 12.13A2.14). Движение точки задано уравнениями х = 10 cos Bя//5), ^=10 sin Bя//5) (х,У —в сантиметрах, f—в секундах). Найти траекторию точки, величину и направление скорости, а также величину и направление ускорения. Ответ: Окружность радиуса 10 см; скорость а = 4я см/с и на- направлена по касательной в сторону перехода от оси Ох к оси Оу поворотом на 90°; ускорение w = 1,6я2 см/с* и направлено к центру. 12.14A2.15). Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид х = 75 cos 4/2, у = 75 sin 4t2 (xfy — в сан- сантиметрах, / — в секундах). Найти скорость, касательное и нормаль- нормальное ускорения пальца. Ответ: v = 600/ см/с, wt = 600 см/с2, ш„ = 4800*2 см/с2. 12.15A2.16). Движение точки задано уравнениями х = a (ekt + e~kt), у = a (ekt — e~kt), где а и ft — заданные постоянные величины. 101
Найти уравнение траектории, скорость и ускорение точки как функции радиуса-вектора г — д/х2 + у2. Ответ: Гипербола х2— у2 = 4а2; v = kr\ w = k2r. 12.16A2.18). Найти радиус кривизны при х = у = 0 траекто- траектории точки, описывающей фигуру Лиссажу согласно уравнениям х = —a sin 2(о/, у = —a sin w/. Ответ: р = оо. 12.17A2.19). Найти величину и направление ускорения, а также радиус кривизны траектории точки колеса, катящегося без сколь- К задаче 12.17 К задаче 12.18 жения по горизонтальной оси Ох> если точка описывает циклоиду согласно уравнениям х = 20/ — sin 20/, у = 1 — cos 20/ (/ — в секундах, х, у — в метрах). Определить также значение ра- радиуса кривизны р при / = 0. Ответ: Ускорение w = 400 м/с2 и направлено по МС к центру С катящегося круга; р = 2МЛ, р0 = 0. 12.18A2.20). Найти траекторию точки М шатуна кривошипно- ползунного механизма, если г = / = 60 см, MB —у/, ф==4я/ (/ — в секундах), а также определить скорость, ускорение и радиус кривизны траектории точки в момент, когда ф = 0. Ответ: Эллипс -щ^ + ~jj- = 1, v = 80n см/с, w= 1600л2 см/с2, р = 4 см. 12.19A2.21). На проволочной окружности радиуса 10 см надето колечко М\ через него проходит стержень ОА9 который равномерно вращается вокруг точки О, лежащей на той же окружности; угловая скорость стержня такова, что он поворачивается на прямой угол в 5 с. Определить скорость v и ускорение w колечка. Ответ: v = 2я см/с, w = 0,4я2 см/с2. 12.20. В условиях предыдущей задачи опре- определить скорость и ускорение колечка М как функцию угла ф, если угловое ускорение стержня ОМ равно k cos ф (& = const). В начальный момент при / = 0 угол ф и его скорость равнялись нулю, радиус окружности г, 0 ^ ф ^ я. К задачам 12.19 и 12.20 Ответ: v = sin w = 2kr д/1 + 15 sin2 102
12.21A2.22). Движение снаряда задано уравнениями х = vot cos а0, у = Vot sin а0 — l/2 gt2, где у0 и а0 — постоянные величины. Найти радиус кривизны траек- траектории при / = 0ив момент падения на землю. Ответ: р = v2/(g cos aQ). 12.22A2.23). Снаряд движется в вертикальной плоскости со- согласно уравнениям х = 300?, у = 400* — Ы2 (t — ъ секундах, х, у — в метрах). Найти: 1) скорость и ускорение в начальный момент, 2) высоту и дальность обстрела, 3) ра- радиус кривизны траектории в начальной и в наивысшей точках. Ответ: v0 = 500 м/с, w0 = 10 м/с2, h = 8 км, s = 24 км, ро = 41,67 км, р = 9 км. 12.23A2.24). Из орудия береговой артиллерии с высоты h = 30 м над уровнем моря произведен выстрел под углом о&о = 45° к горизонту с началь- начальной СКОРОСТЬЮ СНарЯДа V0 = 1000 М/С. К задаче 12.23 Определить, на каком расстоянии от орудия снаряд попадет в цель, находящуюся на уровне моря. Со- Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: 102 км. 12.24A2.25). Найти касательное и нормальное ускорения точки, движение которой выражается уравнениями х = а/, у = р/ — gf/2. g (P — gt) _ =JSL Ответ: wt = — ' wn где v — скорость точки. V 7 ~" V 12.25A2.26). Точка движется по винтовой линии согласно урав- уравнениям x = 2cos4/, # = 2sin4/, z = 2/, причем за единицу длины взят метр. Определить радиус кривизны р траектории. Ответ: р = 27в м. 12.26A2.27). Движение точки задано в полярных координатах уравнениями г = aekt и ср = kt> где а и k — заданные постоянные величины. Найти уравнение траектории, скорость, ускорение и ра- радиус кривизны траектории точки как функции ее радиуе-вектора г. Ответ: г = ае* — логарифмическая спираль; v = kr ^/29 w = р д/ 12.27A2.28). Движение точки задано уравнениями х = 2t, y = t2 (t — в секундах, х и у — в сантиметрах). Определить величины и направления скорости и ускорения точки в момент времени / = 1 с. Ответ: и = 2У2 см/с, w = 2 см/с2, (zOo = 45°, (w^x) = 90°. 12.28A2.29). Построить траекторию движения точки, годограф скорости и определить радиус кривизны траектории в начальный 103
момент, если точка движется согласно уравнениям (/— в секундах, х и у — в сантиметрах). Ответ: Уравнение траектории ?/=-~ кубическая парабола; годограф скорости — прямая, параллельная оси vy\ р0 = оо (на- (начальная точка траектории — точка перегиба). 12.29A2.30). Кривошип О\С длиной а/2 вращается с постоянной угловой ско- скоростью <о вокруг оси О\. В точке С с кривошипом шарнирно связана линейка АВ, проходящая все время через качающуюся муфту О, К задаче 12.29 НаХОДЯЩуЮСЯ На раССТОЯНИИ а/2 от оси вращения О\. Приняв точку О за полюс, найти в полярных координатах урав- уравнения движения точки М линейки, отстоящей от шарнира С на расстоянии а, ее траекторию, скорость и уско- ускорение \в начальный момент угол ф = С\ i ) Ответ: 1) r = a(\ + cos(<о//2)), q> = о>//2; 2) г = а(\ + cos ср)— кардиоида; 3) v = асо cos ((ot/4); К задаче 12.31 12.30A2.32). В условиях задачи A2.29) оп- определить радиус кривизны кардиоиды при г = = 2а, ф = 0. Ответ: ро = 4/з#- 12.31A2.33). Конец А стержня АВ переме- перемещается по прямолинейной направляющей CD с постоянной скоростью va- Стержень АВ все время проходит че- через качающуюся муфту О, отстоящую от направляющей CD на расстоянии а. Приняв точку О за полюс, найти в полярных коор- координатах г, ф скорость и ускорение точки М9 находящейся на ли- линейке на расстоянии Ь от ползуна А. v\b Ответ: v = — aJcl2 sin2 ф + г2 cos4 ф, w = -j-j- cos3фд/l + 3sin2 ф где г = д/а2 + v2At2 — Ь, ф = arctg (vAt/a). 12.32A2.34). Точка М движется по винтовой линии. Уравнения движения ее в цилиндрической системе координат имеют вид г = а, ф = kt9 z = \t.
Найти проекции ускорения точки на оси цилиндрической си- системы координат, касательную и нормальную составляющие уско- ускорения и радиус кривизны винтовой линии. Ответ: 1) wr = —ak2, wxV = 0, wz = 0; 2) Wx = 0, wn = ak2\ 3) p=(a2k2 + v2)/(ak2). 12.33A2.35). Точка М движется по линии пересечения сферы *2 + if + z2 = R2 и цилиндра (х — R/2J + y2 = R2/A. Уравнения движения точки в сферических координатах имеют вид (см. за- задачу 10.21) г = R, ф = kt/2, 9 = kt/2. Найти проекции и модуль ускорения точки в сферических ко- координатах. Ответ: wr = - ^- A + cos2 в), шф = - Щ- sin e, , шб=-^р- sine cose, w = -^ 12.34A2.36). Корабль движется под постоянным курсовым углом а к географическому меридиану, описывая при этом лок- локсодромию (см. задачу 11.13). Считая, что модуль скорости v ко- корабля не изменяется, определить проекции ускорения корабля на оси сферических координат г, X и ф (X — долгота, ф — широта места плавания), модуль ускорения и радиус кривизны локсо- локсодромии. Ответ: wr = —^-, шя = ^-sin a cos a tg ф, = — -^-8т2с^ф, ш = -|-V1 где R — радиус Земли, Ф = Фо + vs™a t. 12.35A2.37). Выразить декартовы координаты точки через то- тороидальные координаты г = СМ, -ф и ф и определить коэффициенты Ляме. Ответ: 1) х = (а + г cos <p)cos if, у =(a + г cos ф)8тя|), z =* = г sin ф; 2) Hr = 1, #^ = а + г cos ф, #ф = г. 12.36A2.38). Движение точки задано в тороидальной системе координат г, \f> и ф. Найти проекции скорости и ускорения точки на оси этой системы отсчета. Ответ: 1) vr = f, v^ =(a + г cos ф)я|), уф = гф; 2) wr = г — (а + г cos ф) cos ф-ф2 — гф2, w^ = (a + ''cos ф)я|) + 2cos фгф — 2rsin шф = гф + 2гф + (а + г cos ф) sin фф2.
12.37A2.39). Точка движется по винтовой линии, намотанной на тор, по закону г = R = const, г|? = со*, ф = kt. Определить проекции скорости и ускорения точки в тороидаль- тороидальной системе координат (со = const, k = const). Ответ: vr = 0, v$ = (a +Rcosy)®, Vq> = Rk, wr = — [ (a + R cos ф) cos фсо2 + Rk2], w^ = —2R®k sin ф, шф = со2(а + R cos ф) sin ф. 12.38. Механизм робота-манипуля- робота-манипулятора состоит из поворотного устрой- к задачам i2.35~i2.37 с<гва /, колонны для вертикального пе- ремещения 2 и выдвигающейся руки со схватом 3. Найти скорость и ускорение центра схвата при за- заданных tp(t), z(t), r(t). Ответ: v = aJt2 + г2ф2 + z2, W = д/(г - Гф2J + (Гф + 2гфJ + Z2. 12.39. Вертикальная колонна, несущая руку робота-манипуля- робота-манипулятора, может поворачиваться на угол ф. Рука со схватом поворачи- К задаче 12.38 К задаче 12.39 К задаче 12.40 вается на угол ft и выдвигается на расстояние г. Найти скорость и ускорение центра схвата. Ответ: v = д/г> + гЧ>2 + г2 sin2 Оф2э w = [{г — гй2 — гф2 sin2 ftJ + (r? + 2г? — гф2 sin ft cos ftJ + + (гф sin ft + 2гф sin ft + 2гфй cos ftJ]7*. 12.40. Механизм робота-манипулятора состоит из поворотного устройства с вертикальной осью (угол поворота — ф) и двух звеньев, расположенных в вертикальной плоскости (углы поворота 106>
звеньев — fli и 02). Найти скорость центра схвата при переносе груза. Ответ: v = [/ЭД +1\ (Ъх + %f + 21{12 Ъ{{Ь{ + *2) cos д2 + sin *! +12 sin (* Р ГЛАВА IV ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА §13. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси 13.1A3.1). Определить угловую скорость: 1) секундной стрелки часов, 2) минутной стрелки часов, 3) часовой стрелки часов, 4) вра- вращения Земли вокруг своей оси, считая, что Земля делает один обо- оборот за 24 часа, 5) паровой турбины Лаваля, делающей 15 000 об/мин. Ответ: 1) о) = я/30 рад/с = 0,1047 рад/с. 2) со = л/1 800 рад/с = 0,001745 рад/с. 3) о) = л/21 600 рад/с = 0,0001455 рад/с. 4) со = л/43 200 рад/с = 0,0000727 рад/с. 5) (о= 1 571 рад/с. 13.2A3.2). Написать уравнение вращения диска паровой тур- турбины при пуске в ход, если известно, что угол поворота пропор- пропорционален кубу времени и при / = 3 с угловая скорость диска равна со = 27л рад/с. Ответ: ф = л/3 рад. 13.3A3.3). Маятник центробежного регулятора, вращающийся вокруг вертикальной оси АВ9 делает 120 об/мин. В начальный мо- момент угол поворота был равен л/6 рад. Найти угол поворота и угловое перемещение маятника за время / = 1/2 с. 13 Ответ: ф = -?-л рад; Аф = 2л рад. 13.4A3.4). Тело, начиная вращаться равноускоренно из состоя- состояния покоя, делает 3600 оборотов в первые 2 минуты. Определить угловое ускорение. Ответ: е = л рад/с2. 13.5A3.5). Вал начинает вращаться равноускоренно из состоя- состояния покоя; в первые 5 с он совершает 12,5 оборота. Какова его угловая скорость по истечении этих 5 с? Ответ: со = Юл рад/с. 13.6A3.6). Маховое колесо начинает вращаться из состояния покоя равноускоренно; через 10 мин после начала движения оно имеет угловую скорость, равную 4л рад/с. Сколько оборотов сде- сделало колесо за эти 10 мин? Ответ: 600 оборотов. 13.7A3.7). Колесо, имеющее неподвижную ось, получило на- начальную угловую скорость 2л рад/с; сделав 10 оборотов, оно вслед- 107
ствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое ускорение е колеса, считая его постоянным. Ответ: е = 0,1л; рад/с2, вращение замедленное. 13.8A3.8). С момента выключения мотора пропеллер самолета, вращавшийся с угловой скоростью, равной 40я рад/с, сделал до остановки 80 оборотов. Сколько времени прошло с момента вы- выключения мотора до остановки, если считать вращение пропеллера равнозамедленным? Ответ: 8 с. 13.9A3.9). Тело совершает колебания около неподвижной оси, причем угол поворота выражается уравнением Ф = 20° sin i|>, где угол ф выражен в угловых градусах зависимостью ip =B^)°, причем t обозначает секунды. Определить угловую скорость тела в момент t = 0, ближайшие моменты t\ и U, в которые изменяется направление вращения, и период колебания Т. Ответ: co = -g|^-jt2 рад/с, ^ = 45 с, /2 = 135 с, Г =180 с- 13.10A3.10). Часовой балансир совершает крутильные гармо- гармонические колебания с периодом Т =1/2 с. Наибольший угол от- отклонения точки обода балансира от по- положения равновесия а = я/2 рад. Найти угловую скорость и угловое ускорение баланса через 2 с после момента, когда балансир проходит положение равно- равновесия. Ответ: со = 2я2 рад/с, г = 0. 13.11A3.11). Маятник колеблется в вертикальной плоскости около неподвиж- неподвижной горизонтальной оси О. Выйдя в на- начальный момент из положения равнове- „ 1в|п сия, он достигает наибольшего отклоне- IV ЗЭДЭЧ6 1о. 10 /¦«/¦» r\ in ния а = я/16 рад через 2/3 с. 1) Написать закон колебаний маятника, считая, что он совер- совершает гармонические колебания. 2) В каком положении маятник будет иметь наибольшую угло- угловую скорость и чему она равна? Ответ: 1) <p = ^~sin|-tt/ рад. 2) В отвесном положении; ютах = ^-я2 рад/с2. 13.12A3.12). Определить скорость о и ускорение w точки, на- находящейся на поверхности Земли в Ленинграде, принимая во вни- внимание ;г6лько вращение Земли вокруг своей оси; широта Ленин- Ленинграда 60°, радиус Земли 6370 км. Ответ: v =232 м/с, w =0,0169 м/с2, 208
К задаче 13.14 13.13A3.13). Маховое колесо радиуса 0,5 м вращается равно- равномерно вокруг своей оси; скорость точек, лежащих на его ободе, равна 2 м/с. Сколько оборотов в минуту делает колесо? Ответ: п = 38,2 об/мин. 13.14A3.14). Точка А шкива, лежащая на его ободе, движется со скоростью 50 см/с, а некоторая точка В, взятая на одном ра- радиусе с точкой Л, движется со скоростью 10 см/с; расстояние АВ = 20 см. Определить угловую ско- скорость со и диаметр шкива. Ответ: (о=2 рад/с, d = 50 см. 13.15A3.15). Маховое колесо радиуса R =2м вращается равноускоренно из состояния покоя; через / = 10 с точки, лежащие на ободе, обла- обладают линейной скоростью v = 100 м/с. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента /=15с. Ответ: v = 150 м/с, wn = 11250 м/с2, wx = 10 м/с2. 13:16A3.16). Найти горизонтальную скорость v, которую нужно сообщить телу, находящемуся на экваторе, для того чтобы оно, двигаясь равномерно вокруг Земли по экватору в особых направ- направляющих, имело ускорение свободного падения. Определить также время Tf по истечении которого тело вернется в первоначальное положение. Радиус Земли /? = 637 • 106 см, а ускорение силы тя- тяжести на экваторе g = 978 см/с2. Ответ: v = 7,9 км/с, Т = 1%4 ч. 13.17A3.17). Угол наклона полного ускорения точки обода ма- махового колеса к радиусу равен 60°. Касательное ускорение ее в дан- данный момент дот=10д/з м/с2. Найти нормальное ускорение точки, отстоящей от оси вращения на расстоянии г = 0,5 м. Радиус махового колеса /? = 1 м. Ответ: wn = 5 м/с2. 13.18A3.18). Вал радиуса R = 10 см приво- приводится во вращение гирей Р, привешенной к нему на нити. Движение гири выражается уравнением х = 100?2, где х — расстояние гири от места схода нити с поверхности вала, выраженное в сантиметрах, / — время в секундах. Определить угловую скорость © и угловое ускорение е вала, а также полное ускорение w точки на поверхности вала в момент /. Ответ: со = 20/ рад/с, 8 = 20 рад/с2, w = 200 дЛ +400/4 см/с2. 13.19A3.19). Решить предыдущую задачу в общем виде, выра- выразив ускорение точек обода колеса через пройденное гирей расстоя- расстояние х, радиус колеса R и ускорение гири х = w0 = const. Ответ: w = w0 д/l + 4лс2//?2. 13.20A3.20). Стрелка гальванометра длины 3 см колеблется во- вокруг неподвижной оси по закону <р = фо sin kt. Определить ускоре- ¦? К задаче 13.18 109
ние конца стрелки в ее среднем и крайних положениях, а также моменты времени, при которых угловая скорость ю и угловое уско- ускорение е обращаются в нуль, если период колебаний равен 0,4 с, а угловая амплитуда ф0 = л/30. Ответ: 1) В среднем положении стрелки w = 8,1 см/с2. 2) В крайних положениях стрелки w = 77,5 см/с2. 3) со = 0 при f =@,1 + 0,2л) с (л = 0, 1, 2, ...). 4) 8 = 0 при t = 0,2n с (я = 0, 1, 2, ...). § 14. Преобразование простейших движений твердого тела 14.1A4.1). Угловая скорость зубчатого колеса / диаметра /), = 360 мм равна Юя/3 рад/с. Чему должен равняться диаметр зубчатого колеса //, находящегося с колесом / во внутреннем за- зацеплении, угловая скорость ко- которого в три раза больше угло- угловой скорости колеса /? Ответ: D2 = 120 мм. 14.2A4.2). Редуктор скоро- скорости, служащий для замедления вращения и передающий вра- вращение вала / валу //, состоит из четырех шестерен с соответ- соответствующим числом зубцов: z\ — = 10, z2 = 60, z3 = 12, z4 = 70. Определить передаточное отно- отношение механизма. Ответ: fin = coi/coii =s= 35. 14.3A4.3). Станок со шкивом А приводится в движение из со- состояния покоя бесконечным ремнем от шкива В электромотора; радиусы шкивов: п = 75 см, гг = 30 см; после пуска в ход электро- электромотора его угловое ускорение равно 0,4я рад/с2. Пренебрегая Ж Ш Н К задаче 14.1 К задаче 14.2 К задаче 14.3 К задаче 14.4 скольжением ремня по шкивам, определить через сколько времени угловая скорость станка будет равна 10я рад/с. Ответ: 10 с. 14.4A4.4). В механизме стрелочного индикатора движение от рейки мерительного штифта 1 передается шестерне 2, на оси ко* торой укреплено зубчатое колесо 5, сцепляющееся с шестерней 4> ПО
несущей стрелку. Определить угловую скорость стрелки, если дви- движение штифта задано уравнением х = a sin kt и радиусы зубча- зубчатых колес соответственно равны гг, г$ и г$. Ответ: ю4 — *^~ ak cos kt. г2г4 14.5A4.5). В механизме домкрата при вращении рукоятки А начинают вращаться шестерни 1, 2, 3, 4 и 5, которые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата. Определить скорость по- последней, если рукоятка А вращается с угловой скоростью, равной К задаче 14.5 К задаче 14.6 z3 = 8, г4 = 32; л рад/с. Числа зубцов шестерен: Z\ = 6, z2 = радиус пятой шестерни rs = 4 см. Ответ: vb = 7,8 мм/с. 14.6A4.6). Для получения периодически изменяющихся угло- угловых скоростей сцеплены два одинаковых эллиптических зубчатых колеса, из которых одно вращается равномерно вокруг оси О, с угловой скоростью сэ = 9я рад/с, а другое приводится первым во вращательное движение вокруг оси О\. Оси О и О\ параллельны и проходят через фокусы эллипсов. Расстояние ОО\ равно 50 см, полуоси эллипсов 25 и 15 см. Определить наименьшую и наибольшую угловые скорости коле- колеса Ох. ОтвеТ\ (Dmin = Я рад/С, (Dmax = = 81я рад/с. 14.7A4.7). Вывести закон передачи вращения пары эллиптических зубча- зубчатых колес с полуосями а и Ь. Угловая СКОрОСТЬ КОЛеса / (О\ = COnst. РаССТОЯ- К задаче 14.7 ние между осями OiO2 = 2a, ф — угол, образованный прямой, соединяющей оси вращения, и большой осью эллиптического колеса /. Оси проходят через фокусы эл- эллипсов. ^7 Ответ: <о2= а2_ тет эллипсов: с = V — b2. + с» Ш]1> где с~ линейный эксцентриси- эксцентрисиill
14.8A4.8). Найти наибольшую и наименьшую угловые скорости овального колеса О2, сцепленного с колесом Ои угловая скорость которого равна 8я рад/с. Оси вращения колес находятся в центрах овалов. Расстояние между осями равно 50 см. Полуоси овалов равны 40 и 10 см. Ответ: (Dmin == 2я рад/с, сэтах = 32я рад/с. 14.9A4.9). Определить, через какой промежуток времени зубча- зубчатое коническое колесо О\ радиуса г\ = 10 см будет иметь угловую У//Л К задаче 14.8 К задаче 14.9 скорость, равную 144я рад/с, если оно приводится во вращение из состояния покоя таким же колесом О2 радиуса г2 = 15 см, вра- вращающимся равноускоренно с угловым ускорением 4я рад/с2. Ответ: t = 24 с. 14.10A4.10). Ведущий вал / фрикционной передачи вращается с угловой скоростью со = 20я рад/с и на ходу передвигается (на- (направление указано стрелкой) так, что расстояние d меняется по закону d= A0 — 0,5/) см (/ — в секундах). А в г У//Л I id\ В К задаче 14.10 «0 К задаче 14.11 Определить: 1) угловое ускорение вала // как функцию рас- расстояния d\ 2) ускорение точки на ободе колеса В в момент, когда d = г, даны радиусы фрикционных колес: г = 5 см, R = 15 см. Ответ: 1) в = -^г рад/с2, 2) w = ЗОя л/40 ОООя2 + 1 см/с2. 14.11A4.11). Найти закон движения, скорость и ускорение пол- ползуна В кривошипно-ползунного механизма ОАВ, если длины ша- шатуна и кривошипа одинаковы: АВ = ОА = г, а вращение криво- кривошипа О А вокруг вала О равномерно: со = соо. Ось х направлена 112
по направляющей ползуна. Начало отсчета расстояний — в центре О кривошипа. Ответ: x = 2r cos a>0/, vx = — 2га>0 sin со0/, wx = — ю2,*. 14.12A4.12). Определить закон движения, скорость и ускоре- ускорение ползуна В кривошипно-ползунного механизма, если кривошип О А вращается с постоянной угловой ско- скоростью ©о- Длина кривошипа ОА = г, дли- длина шатуна АВ = /. Ось Ох направлена по направляющей ползуна. Начало отсчета — в центре О К задаче 14.12 К задаче 14.13 кривошипа. Отношение г/1 = X следует считать весьма мальщ (Ж 1); а = (оо/. Ответ: x = r (cos cd0* + \ cos 2а>0*) + / — -j- г, vx = — гщ (sin а>0/ + -у sin 2g>0*) , wx = — r©2 (cos CDO/ + Я cos 2coo/). 14.13A4.13). Найти закон движения стержня, если диаметр эксцентрика d = 2r, а ось вращения О находится от оси диска С на расстоянии ОС = а, ось Ох направлена по стержню, начало от- отсчета — на оси вращения, а/г = X. Ответ: х = а cos qp 4- г У1 — Я2 sin2 ф. 14.14A4.14). Написать уравнение движения поршня нецентраль- нецентрального кривошипно-ползунного механизма. Расстояние от оси вра- вращения кривошипа до направляю- направляющей линейки А, длина кривошипа г, длина шатуна /; ось Сх направ- лена по направляющей ползуна. Начало отсчета расстояний — в крайнем правом положении пол- зуна; 1/г = Я, h/r = k9 ф = (dot. Ответ: Х = Г [д/(Я + IJ — &— К аздаче 14.14 — д/Х2 — (sin ф + kf — cos ф]« 14.15A4.15). Кулак, равномерно вращаясь вокруг оси О, соз- создает равномерное возвратно-поступательное движение стержня АВ. Время одного полного оборота кулака 8 с, уравнения движения из
стержня в течение этого времени имеют вид (х — в сантиметрах, / — в секундах) ГЗО + 5/, 0</ = \70 — 5/, 4</ Определить уравнения контура кулака и построить график движе- движения стержня. ГЗО + ^-ср, 0<Ф<я, Ответ: г = < 170-f-cp, я^Ф<2я. 50 30 х(см) 4 4 8 12 W tfc) К ответу задачи 14.15 14.16A4.16). Найти закон движения и построить график воз- возвратно-поступательного движения стержня АВ, если задано урав- уравнение профиля кулака 0+-^ф) см, 0<ф<2я. Кулак равномерно вращается с угловой скоростью, равной у я рад/с. X' В 50 20 О х(см) К задаче 14.16 3 6 t(c) К ответу задачи 14.1b Ответ: х = 20 +10* за время одного оборота кулака C с), после чего движение периодически повторяется. 14.17A4.17). Написать уравнение контура кулака, у которого полный ход стержня h = 20 см соответствовал бы одной трети обо- оборота, причем перемещения стержня должны быть в это время про- пропорциональны углу поворота. В течение следующей трети оборота стержень должен оставаться неподвижным, и, наконец, на протя- протяжении последней трети он должен совершать обратный ход при тех же условиях, что и на первой трети. Наименьшее расстояние конца стержня от центра кулака равно 70 см. 114
Ответ: Контур кулака, соответствующий первой трети оборота, представляет архимедову спираль: Второй трети оборота соответствует окружность радиуса г = 90 см* К задаче 14.17 К задаче 14.18 Для последней трети оборота контур кулака представляет собой также архимедову спираль: 30 г=(90--~-<р)см. 14.18A4.18). Найти, на какую длину опускается стержень, опи- опирающийся своим концом о круговой контур радиуса г = 30 см ку- кулака, движущегося возвратно-поступательно со скоростью v = = 5 см/с. Время опускания стержня t = 3 с. В начальный момент стержень находится в наивысшем положении. Ответ: h = 4,020 см. 14.19A4.19). Найти ускорение кругового поступательного дви- движущегося кулака, если при его равноускоренном движении без начальной скорости стержень опустился за 4 с из наивысшего по- положения на h = 4 см. Радиус кругового контура кулака г = 10 см. (См. рисунок к задаче 14.18.) Ответ: w = 1 см/с2. ГЛАВА V ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 15. Уравнения движения плоской фигуры 15.1A5.1). Линейка эллипсографа приводится в движение кри- кривошипом ОС, вращающимся с постоянной угловой скоростью о)О вокруг оси О. Приняв ползун В за полюс, написать уравнения пло- плоского движения линейки эллипсографа, если ОС = ВС = АС=г. В начальный момент линейка АВ была расположена горизонтально. Ответ: хв = 2r cos <о0*, у в = 0, фв = —<о0*. 15.2A5.2). Колесо радиуса R катится без скольжения по гори- горизонтальной прямой. Скорость центра С колеса постоянная и равна v. 115
Определить уравнения движения колеса, если в начальный мо- момент ось у', жестко связанная с колесом, была вертикальна, а не- неподвижная ось у проходила в это время через центр С колеса. За полюс принять точку С. Ответ: xc = vt, Ус = Я> <P = 7f'e 15.3A5.3). Шестеренка радиуса г, катящаяся по неподвижной шестеренке радиуса R, приводится в движение кривошипом ОА, вращающимся равноускоренно с угловым ускорением е0 вокруг оси X К задаче 15.1 К задаче 15.2 К задаче 15.3 О неподвижной шестеренки. Составить уравнения движения под- подвижной шестеренки, приняв за полюс ее центр Л, если при / = 0 угловая скорость кривошипа соо = 0 и начальный угол поворота фо = 0. Ответ: хА = ¦D+0- где ф1 — угол поворота подвижной шестеренки. 15.4A5.4). Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвиж- неподвижной шестеренки радиуса /?, приводится в движение кривошипом ОАУ вращающимся равномерно вокруг оси О неподвижной шестеренки с угловой ско- скоростью оH. При t = 0 угол фо = 0. Соста- Составить уравнения движения подвижной ше- шестеренки, приняв ее центр Л за полюс. Ответ: xA = (R — r) cos (o0t, У А = (R — г) S*n ^О^» ф1 = —: (Rfr — К задаче 15.4 где ф1 — угол поворота подвижной шесте- шестеренки; знак минус показывает, что шесте- шестеренка вращается в сторону, противополож- противоположную кривошипу. 15.5A5.5). Найти уравнения движения шатуна, если кривошип вращается равномерно; за полюс взять точку Л на оси пальца кривошипа; г — длина кривошипа, I — длина шатуна, ш0 — угловая скорость кривошипа. При / = 0 угол а = 0. Ответ: x = rcos (o0t, y = rsin v>Qt9 ф = —- arcsin y-j sin coo/j.
15.6A5.7). Муфты Л и В, скользящие вдоль прямолинейных на- направляющих, соединены стержнем АВ длины /. Муфта А движется с постоянной скоростью va. Написать уравнения движения стержня К задаче 15.5 К задаче 15.6 АВ, предполагая, что муфта А начала двигаться от точки О. За лолюс принять точку А. Угол BOA равен я — а. Ответ: хА = — vAt cos а, уА = vAt sin а, <р = arcsin I-у- sin а I. 15.7A5.8). Конец А стержня АВ скользит по прямолинейной направляющей с постоянной скоростью v, причем стержень при движении опирается на штифт D. Написать уравнения движения стержня и его конца В. Длина стержня равна /, превышение cot У К задаче 15.7 К задаче 15.8 штифта D над прямолинейной направляющей равно Я. В начале движения конец стержня А совпадал с точкой О — началом не- лодвижной системы координат; ОМ = а. За полюс принять точку Л. тг Ответ: xA = vt, y 0 q^arctg 15.8A5.9). Кривошип О\А длины а/2 вращается с постоянной угловой скоростью о). С кровошипом в точке А шарнирно соединен стержень АВ, проходящий все время через качающуюся муфту О. причем ОО\ = а/2. Найти уравнения движения стержня АВ и траекторию (в полярных и декартовых координатах) точки М, на- находящейся на стержне на расстоянии а от шарнира А. За полюс принять точку Л. Ответ 1) JtA = 7-r = \ sin©/, <р = -^. 117
2) Кардиоида: p = a(cosqp—1), х2 + у2 = а(х — V* 15.9A5.11). Кривошип ОЛ антипараллелограмма ОЛВОЬ по- поставленного на большое звено ОО\, равномерно вращается с угло- угловой скоростью со. Приняв за полюс точку Л, составить уравнения движения звена ЛВ, если ОА = О\В = а и ОО\ = АВ = Ь (а < Ь); в начальный момент кривошип ОЛ был направлен по ОО\. Ответ: xA = acos(*t, yA = asin<s>t9 qp = 2arctg ь™ 15.10A5.12). Кривошип ОЛ антипараллелограмма ОЛБОь по- поставленного на малое звено ООь равномерно вращается с угловой х К задаче 15.9 К задаче 15.10 скоростью со. Приняв «за полюс точку Л, составить уравнения дви- движения звена АВ, если ОА = О\В = а и OOi = ЛВ = 6 (а > 6); в начальный момент кривошип ОА был направлен по ОО\. Ответ: xA = acos(*t, yA = asinG>t, <p = 2arcctg sin < § 16. Скорости точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр скоростей 16.1A6.1). Направив ось перпендикулярно скорости любой из точек плоской фигуры, показать, что проекции на эту ось скоростей всех лежащих на ней точек равны нулю. 16.2. Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом. Центр О колеса движется по закону хо = 10/2см, где х — ось, направленная параллельно на- наклонной плоскости. К центру О колеса подве- подвешен стержень ОА = 36 см, качающийся вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной пло- плоскости рисунка, по закону ср = -=- sin -g-1 рад- к задаче 16.2 Найти скорость конца Л стержня АО в мо- момент времени t = 1 с. Ответ: скорость равна 2,8 см/с и направлена параллельно на- наклонной плоскости вниз. 16.3A6.4). При движении диска радиуса г = 20 см в вертикаль- вертикальной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям
#с= 10* м, г/с = A00 — 4,9f2) м. При этом диск вращается вокруг горизонтальной оси С, перпендикулярной плоскости диска, с по- постоянной угловой скоростью со = зх/2 рад/с. Определить в момент времени / = 0 скорость точки Л, лежа- лежащей на ободе диска. Положение точки А на диске определяется углом ф = cot, от- отсчитываемым от вертикали против хода часовой стрелки. Ответ: Скорость направлена по гори- горизонтали вправо и равна по модулю 10,31 м/с. 16.4A6.5). Сохранив условие преды- предыдущей задачи, определить скорость точки Л в момент времени t = 1 с. Ответ: vax =10 м/с, vAy = —9,49 м/с, О К задаче 16.3 vA = 13,8 м/с. 16.5A6.6). Два одинаковых диска радиуса г каждый соединены цилиндрическим шарниром Л. Диск / вращается вокруг неподвиж- неподвижной горизонтальной оси О по закону ф = = ф(?). Диск // вращается вокруг горизон- горизонтальной оси Л согласно уравнению \|> = = ty(t). Оси О и Л перпендикулярны пло- плоскости рисунка. Углы ф и -ф отсчитываются от вертикали против хода часовой стрелки. Найти скорость центра С диска //. Ответ: vCx = г (ф cos Ф + *Ф c°s i|>), Vc» = г (ф sin ф + «ф sin <ф), = г V Ф2 + i2 + 2фг|)СО8 (ф—- К задаче 16.5 16.6A6.7). Сохранив условие предыдущей задачи, найти ско- скорость точки В диска //, если ААСВ = я/2. Ответ: Vbx = г [ф cos ф + У 2* cos D5° + ф)], vBy = r [ф sin Ф + sin D5° К задаче 16.7 v& = г *у ф46 ¦+¦ 2-ф2 -\~ 2 д/2ф'ф cos [45° — (ф — г|э)]. 16.7A6.8). Стержень АВ длины 1 м дви- движется, опираясь все время своими концами на две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу. Найти коор- координаты х и у мгновенного центра скоростей в тот момент, когда угол ОАВ = 60°. Ответ: х = 0,866 м, у = 0,5 м. 16.8A6.10). Доска складного стола, имеющая форму прямо- прямоугольника со сторонами а и 6, поворотом вокруг оси шипа О пере- переводится из положения ABCD в положение A\B\C\Di и, будучи
разложена, образует прямоугольник со сторонами Ь и 2а. Найти положение оси шипа О относительно сторон АВ и AD. ^ aba Ответ: xo = -j, уо = -^ — -j . 16.9A6.11). Прямая АВ движется в плоскости рисунка. В неко- некоторый момент времени скорость va точки А составляет с прямой АВ угол 30° и равна 180 см/с, направление скорости точки В в этот К задаче 16.8 /I В К задаче 16.9 К задаче 16.10 момент совпадает с направлением прямой АВ. Определить скорость Vb ТОЧКИ В. Ответ: vb= 156 см/с. 16.10A6.12). Прямая АВ движется в плоскости рисунка, при- причем конец ее А все время находится на полуокружности CADy а сама прямая все время проходит через неподвижную точку С диаметра CD. Определить скорость vc точки прямой, совпадающей с точкой С, в тот момент, когда радиус ОА перпендикулярен CD, если известно, что скорость точки А в этот момент 4 м/с. Ответ: vc = 2,83 м/с. 16.11. Стержень АВ длины 0,5 м движется в плоскости рисунка. Ско- Скорость va (va = 2 м/с) образует угол 45° с осью х, совмещенной со стержнем. в К задаче 16.11 Скорость vb точки В образует угол 60° с осью х. Найти модуль скорости точки В и угловую скорость стержня. Ответ: vB = 2,82 м/с, а> = 2,06 рад/с. 16.12. Точильный станок приводится в движение педалью ОА = 24 см, которая колеблется около оси О по закону Ф = -^- sin 4г t рад (угол ф отсчитывается от горизонтали). Точиль- Точильный камень К вращается вокруг оси О\ с помощью стержня АВ. Оси О и О\ перпендикулярны плоскости рисунка. Найти скорость 120
точки D, лежащей на ободе точильного камня К радиуса R = 2ВО\9 при / = 0, если в этот момент О А и ОХВ расположены горизон- горизонтально. Ответ: vd = 39,44 см/с. 16.13. На рисунке изображен суммирующий механизм. В него входят стержни 1 и 2, движущиеся вдоль вертикальных направ- направляющих. Эти стержни соединены с ко- коромыслом АВ цилиндрическими шар- шарнирами, скользящими в пазах коро- коромысла. Стержни движутся со скоро- скоростями v\ и 02. Показать, что скорость стержня 3, соединенного с центром О коромысла АВ и скользящего в вер- вертикальных направляющих, равна по модулю V =¦ К задаче 16.13 где а и Ъ — размеры, указанные на рисунке. Найти также угловую скорость коромысла АВ. Ответ: (о = — v2 cos2 а ПРИ V\>V2- 16.14A6.14). Стержень ОВ вращается вокруг оси О с постоян- постоянной угловой скоростью со = 2 с* и приводит в движение стержень AD, точки А и С которого движутся по осям: А — по горизонталь- Н В К задаче 16.14 К задаче 16.15 ной Ох, С — по вертикальной Оу. Определить скорость точки D стержня при ф = 45° и найти уравнение траектории этой точки, если АВ = ОВ = ВС = CD = 12 см. Ответ: vD = 53,66 см/с, (-^J+ ЦУ = L 16.15A6.15). В кривошипном механизме длина кривошипа ОА =40 см, длина шатуна АВ = 2 м; кривошип вращается равно- равномерно с угловой скоростью, равной 6я рад/с. Найти угловую ско- скорость (д шатуна и скорость средней его точки М при четырех поло- положениях кривошипа, для которых угол АОВ соответственно равен 0, л/2, я, Зя/2. 121
со= — III. <D Знак 6 ~~ 5 Я минус рад/с, ам = 377 рад/с, ум = 377 в выражении со см/с. см/с, II. © IV. со указывает, = 0, = 0, что шатун Ответ: I. = 754 см/с. = 754 см/с. вращается в сторону, противоположную кривошипу. 16.16A6.16). Найти скорость ползуна В нецентрального криво- кривошипного механизма при двух горизонтальных и двух вертикальных В К задаче 16.16 К задаче 16.17 положениях кривошипа, вращающегося вокруг вала О с угловой скоростью (о = 1,5 рад/с, если ОА = 40 см, ЛВ = 200 см, ОС = 20 см. Ответ: v\ = Vs = 6,03 см/с, у2 = v* = 60 см/с. 16.17A6.17). Определить скорость точки К четырехзвенного ме- механизма ОАВО\ в положении, указанном на рисунке, если звено ОА длины 20 см имеет в данный момент угловую скорость 2 рад/с. Точка К расположена в середине стержня ВО\. Ответ: 20 см/с. 0. в К задаче 16.18 К задаче 16.19 16.18A6.18). Определить скорость поршня Е приводного ме- механизма насоса в положении, указанном на рисунке, если ОА = = 20 см, О\В = O\D. Кривошип О А вращается равномерно с угло-* вой скоростью 2 рад/с. Ответ: 46,2 см/с. 16.19A6.19). Стержни О\А и О2В, соединенные со стержнем АВ посредством шарниров Л и В, могут вращаться вокруг непод- неподвижных точек О\ и Ог, оставаясь в одной плоскости и образуя шарнирный четырехзвенник. Дано: длина стержня О\А = а и его 122
угловая скорость со. Определить построением ту точку М стержня АВ, скорость которой направлена вдоль этого стержня, а также найти величину скорости v точки М в тот момент, когда угол О\АВ имеет данную величину а. Ответ: vm = аы sin а. 16.20A6.20). Угловая скорость стержня О\А шарнирного четы- рехзвенника равна o>i. Выразить угловую скорость о>2 стержня О2В через coi и крат- кратчайшие расстояния O\D и О2Е от осей вращения стержней О\А и О2В до шатуна АВ. Ответ: ©2 = щ -~т:. СУ2-С 16.21A6.21). В шарнирном четырехзвеннике ABCD ведущий кривошип АВ вращается с постоянной угловой скоростью ©о = К задаче 16.20 К задаче 16.21 = 6л рад/с. Определить мгновенные угловые скорости кривошипа CD и стержня ВС в тот момент, когда кривошип АВ и стержень ВС образуют одну прямую, если ВС = ЗАВ. Ответ: сове = 2я рад/с, cocd = 0. 16.22A6.22). К середине D стержня АВ шарнирного паралле- параллелограмма ОАВО\ присоединен с помощью шарнира D стержень DE, приводящий в возвратно-по- ступательное движение ползуч /(. Определить скорость ползуна К и угловую скорость стержня DE в положении, указанном на К задаче 16.22 К задаче 16.23 рисунке, если О А = О\В =2DE = 20 см, а угловая скорость звена ОА равна в данный момент 1 рад/с. Ответ: vk = 40 см/с, (oDE = 3,46 рад/с. 16.23A6.23). Ползуны В и Е сдвоенного кривошипно-ползун- ного механизма соединены стержнем BE. Ведущий кривошип ОА и ведомый кривошип OD качаются вокруг общей неподвижной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка.
Определить мгновенные угловые скорости ведомого кривошипа OD и шатуна DE в тот момент, когда ведущий кривошип ОА9 имеющий мгновенную угловую скорость о&о=12 рад/с, перпен- перпендикулярен направляющей ползунов. Даны размеры: О А = 10 см, 0?> = 12см, АВ = 26 см, ?5 = 12 см, О?= 12 УЗ см. Ответ: (oOD = 10 У§ рад/с, = "з"УЗ рад/с. 16.24A6.24). Поршень D гидравличе- гидравлического пресса приводится в движение по- посредством шарнирно-рычажного механизма OABD. В положении, указанном на рисун- рисунке, рычаг OL имеет угловую скорость со ===== ==2 рад/с. Определить скорость поршня D и угловую скорость звена АВ, если О А = 15 см. Ответ: У/> = 34,6 см/с, юля = 2 рад/с. К задаче 16.24 К задаче 16.25 16.25A6.25). Подвижное лезвие L ножниц для резки металла приводится в движение шарнирно-рычажным механизмом AOBD. Определить скорость шарнира D и угловую скорость звена BD9 если в положении, указанном на рисунке, угловая скорость рычага АВ равна 2 рад/с, ОВ == 5 см, '1 = 10 см. Ответ: vd = 8,65 см/с, (oBd = = 0,87 рад/с. 16.26A6.27). В машине с качаю- качающимся цилиндром длина кривошипа к задаче 16.26 О А = 12 см, расстояние между осью вала и осью цапф цилиндра ОО\ = 60 см, длина шатуна АВ = 60 см. Определить ско- скорость поршня при четырех положениях кривошипа, указанных на рисунке, если угловая скорость кривошипа со = 5 рад/с = const. Ответ: v\ = 15 см/с, vm = 10 см/с, vn = Uiv = 58,88 см/с. 124
16.27A6.28). В машине с качающимся цилиндром длина криво- кривошипа О А = 15 см, угловая скорость кривошипа а>о = 15 рад/с = = const. Найти скорость поршня и угловую скорость цилиндра в момент, когда кривошип перпендикулярен шатуну. (См. рисунок к задаче 16.26.) Ответ: v = 225 см/с, со = 0. 16.28A6.29). Кривошипный механизм связан шарнирно в сере- середине С шатуна со стержнем CD, а последний — со стержнем DE, который может вращаться вокруг оси Е. Определить угловую скорость стержня DE в указанном на рисунке, положении кривошипного механиз- механизма, если точки В и Е расположены на одной вертикали; угловая ско- скорость со кривошипа О А равна 8 рад/с, О А = 25 см, DE = 100 см, Z.CDE = = 90° И ZBED = 30°. К задаче 16.28 Ответ: (ode = 0,5 рад/с. 16.29A6.30). Катушка радиуса R катится по горизонтальной плоскости НН без скольжения. На средней цилиндрической части К задаче 16.29 К задаче 16.30 катушки радиуса г намотана нить, конец которой В обладает при этом движении скоростью и по горизонтальному направлению. Определить скорость v перемещения оси катушки. Ответ: v = u~n . 16.30A6.31). Цепная передача в велосипеде со- состоит из цепи, охватывающей зубчатое колесо А с 26 зубцами и шестерню В с 9 зубцами. Шестерня !В неизменно соединена с задним колесом С, диа- диаметр которого равен 70 см. Определить скорость ве- велосипеда, когда колесо А делает в секунду один оборот, а колесо С катится при этом без скольжения по прямоли- прямолинейному пути. Ответ: 22,87 км/ч. 16.31A6.32). Колесо радиуса R = 0,5 м катится без скольжения по прямолинейному участку пути; скорость центра его постоянна и равна vo = 10 м/с. Найти скорости концов Ми М2, Мг и Л44 К задаче 16.31 125
вертикального и горизонтального диаметров колеса. Определить его угловую скорость. Ответ: i>i=0, v2 =14,14 м/с, и3 = 20 м/с, у4= 14,14 м/с, о = 20 рад/с. 16.32. На рисунке изображен суммирующий механизм. Две па- параллельные рейки 1 и 2 движутся в одну сторону с постоянными '4ШЗ ( К задаче 16.32 К задаче 16.33 скоростями v\ и иг. Между рейками зажат диск радиуса г, катя- катящийся по рейкам без скольжения. Показать, что скорость средней рейки 3, присоединенной к оси С диска, равна полусумме скоростей реек 1 и 2. Найти также угловую скорость диска. Ответ: (o = -Zl 16.33. Подвижный блок 1 и неподвижный блок 2 соединены не- нерастяжимой нитью. Груз К, прикрепленный к концу этой нити, опускается по вертикали вниз по закону х = 2t2 м. Определить ско- скорости точек С, Д В и Е, лежащих на ободе подвижного блока, в мо- момент t = 1 с в положении, указан- указанном на рисунке, если радиус по- подвижного блока / равен 0,2 м, а CD JL BE. Найти также угловую скорость блока /. Ответ: vc = 0, vo = 2 м/с, vb = = а? = 2д/2 м/с> © =10 рад/с. 16.34. Груз /С, связанный посред- посредством нерастяжимой нити с катуш- катушкой L, опускается вертикально вниз по закону x=t2 м. При этом ка- катушка L катится без скольжения по неподвижному горизонтальному рельсу. Определить скорости то- точек С, Л, S, О и Е катушки в момент N1 ев положении, ука- указанном на рисунке, а также угловую скорость катушки, если Л?>_1_О?, a OD = 2OC = 0,2 м. Ответ: vc = 0, va = б м/с , vb = 4 м/с, v0 = 2 м/с, и? = = 4,46 м/с, со = 20 рад/с. 126 К задаче 16.34
16.35A6.34). Кривошип О А, вращаясь с угловой скоростью ©о = 2,5 рад/с вокруг оси О неподвижного колеса радиуса п = = 15 см, приводит в движение насаженную на его конец А шесте- шестеренку радиуса г\ = 5 см. Определить величину и направление ско- скоростей точек Л, В, С, D и Е подвижной шестеренки, если СЕ A-BD. Ответ: va = 50 см/с, vb = 0, Vd = 100 см/с, vc = ve = 70,7 см/с. В К задаче 16.35 К задаче 16.36 16.36A6.35). На ось О насажены зубчатое колесо К диаметра 20 см и кривошип ОА длиной 20 см, не связанные между собой. С шатуном АВ наглухо скреплено зубчатое колесо L диаметра 20 см, длина шатуна АВ = 1 м. Колесо К вращается равномерно с угловой скоростью равной 2я рад/с, и, захватывая зубья колеса L, приводит в движение шатун АВ и кривошип ОА. Определить угловую скорость (Oi кривошипа ОА в четырех его положениях: двух горизонтальных и двух вертикальных. Ответ: I. (Di=-j-j-jc рад/с, III. а>\ = -9"^ рад/с, II. ©i = я рад/с, IV. ©1 = я рад/с. 16.37. Кривошип ОА = 20 см вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, с угловой скоростью 2 рад/с. На его конец А насажена шесте- шестеренка 2 радиуса 10 с:,т, находящаяся во внутреннем зацеплении с неподвижным ко- колесом /, соосным с кривошипом ОА. Опре- Определить скорости точек В, С, D и Е, лежащих на ободе шестеренки 2, если BD JL ОС. Ответ: vc = 0, vB = vD = 40 л/2 см/с, я? = 80 см/с. 16.38A6.36). Механизм Уатта состоит из коромысла О\А, которое, качаясь на оси Оь передает при помощи шатуна АВ движение кривошипу ОВ, свободно насаженному на ось О. На той же оси О сидит колесо /; шатун А В оканчивается колесом //, наглухо связанным с шатуном. Определить угловые скорости кривошипа ОВ и колеса / в момент, когда а = 60°, р = = 90°, если гх = г2 = 30 д/3 см, ОИ = 75 см, АВ = 150 см и угле- углевая скорость коромысла о>о = 6 рад/с. Ответ: &ов = 3,75 рад/с, coi = 6 рад/с. V2T К задаче 16 37
16.39A6.37). Планетарный механизм состоит из кривошипа О\А, приводящего в движение шатун АВ, коромысла ОВ и колеса / радиуса п=25 см; шатун АВ оканчивается шестеренкой // ра- радиуса г2 — 10 см, наглухо с ним связанной. Определить угловую К задаче 16.38 К задаче 16.39 Ответ: ©i = • скорость кривошипа О\А_и колеса / в момент, когда а = 45°, р = 90°, если О\А = 30 ^/2 см, АВ = 150 см, угловая скорость ко- коромысла ОВ (о = 8 рад /с. Ответ: «ом =4 рад/с, ©/ = 5,12 рад/с. 16.40A6.38). В машине с качающимся цилиндром длина криво- кривошипа ОА = г и расстояние OOi = а. Кривошип вращается с по- постоянной угловой скоростью <о0. Определить угловую скорость a>i шатуна АВ в зависимости от угла поворота кривошипа ср. Опреде- Определить наибольшее и наименьшее значения ©ь а также значение угла <р, при котором (Oi = 0. (См. рисунок к задаче 16.26.) соог (я cos ф — г) щг л ,2 + г2_2агС08ф; «>1 так = 7=7 При ф = 0; <й(\Г Л Г ТТЛТТ /П . JJ^ Q ;;;;;— ^J ПОИ ф === ЗГССОЭ . п 16.41A6.39). Найти приближенное выражение для проекции на координатные оси скорости любой точки М шатуна АВ кривошип- кривошипного механизма при равномерном вращении вала с угловой ско- скоростью о, предполагая, что длина кривошипа г мала по сравнению с длиной шатуна /. Положение точки М определяется ее расстоя- К задаче 16.41 НЖМ MB = Z. Примечание. В формулу, получаемую при решении задачи, входит Л/1 — fy-sincpj , где ф = Ы обозначает угол BOA. Это выражение разла* гаем в ряд и удерживаем только два первых члена. Ответ: vx = — со [г sin <р + Т,2 ' s*n 2<p], <^ =-у-со cos <р. 128
§ 17. Неподвижная и подвижная центроиды 17.1A7.1). Найти центроиды при движении стержня АВ, ука- указанном в задаче 16.7. Ответ: Подвижная центроида — окружность радиуса 0,5 м с центром в середине АВ; неподвижная центроида — окружность ра- радиуса 1 м, с центром в точке О. 17.2A7.2). Определить подвижные и неподвижные центроиды блоков А и В полиспаста, радиусы которых соответственно равны га и гв, предполагая, что обойма С движется посту- поступательно. Ответ: Подвижные центроиды: блока А—ок- А—окружность, радиуса гл, блока В — окружность ра- радиуса -j гв, неподвижные центроиды: вертикальные касательные к подвижным центроидам с правой стороны их. А в К задаче 17.2 К задаче 17.3 К задаче \7Л 17.3A7.3). Найти геометрически неподвижную и подвижную центроиды шатуна АВ, длина которого равна длине кривошипа: АВ = ОА = г. Ответ: Неподвижная центроида — окружность радиуса 2г о центром в точке О, а подвижная — окружность радиуса г с центром в точке А пальца кривошипа. 17.4A7.5). Стержень АВ движется таким образом, что одна из его точек А описывает окружность радиуса г с центром в точке О> а самый стержень проходит постоянно через дан- данную точку N, лежащую на той же окружности. Найти его центроиды. Ответ: Неподвижная центроида — окруж- А ъ,,,,,,,,!,,,,,,)* В ность радиуса г с центром в точке О; подвижная центроида — окружность радиуса 2г с центром в точке Л. я 17.5A7.6). НаЙТИ НеПОДВИЖНуЮ И ПОДВИЖНУЮ К задаче 17.5 центроиды звена CD антипараллелограмма, по- поставленного на большее звено АВ, если АВ = CD = Ь, AD = = ВС = а и а < 6. Ответ: Неподвижная центроида — гипербола с фокусами в точ- точках А и В, а подвижная центроида — такая же гипербола с фоку- о Л 5 И. В. Мещерский 129
сами в точках С и D Действительные полуоси гипербол равны а/2. 17.6A7.7). Найти неподвижную и подвижную центроиды звена ВС антипараллелограмма, поставленного на меньшее звено AD, если АВ = CD = b, AD = СВ = а и а < 6. Ответ: Неподвижная центроида — эллипс с фокусами в точках А и D и с полуосями Ь/2 и V — а2- Подвижная центроида — такой же эллипс, но с фокусами в точках В и С. 17.7A7.8). Два стержня АВ и DE, наглухо соединенные под прямым углом в точке F, движутся таким образом, что стержень АВ всегда проходит через неподвижную точку /С, а другой стер- стержень DE — через неподвижную точку N; расстояние KN = 2a. К задаче 17.6 К задаче 17.7 К задаче 17.8 Найти уравнения центроид в этом движении; оси координат ука- указаны на рисунке. Ответ: х2с + у2с = а2, 12с + г\2с = 4а2. 17.8A7.9). Две параллельные рейки АВ и DE движутся в про- противоположные стороны с постоянными скоростями v\ и V2. Между рейками находится диск радиуса а, который вследствие движений реек и трения катится по ним без скольжения. Найти 1) уравнения центроид диска, а также определить 2) ско- скорость vo, центра О' диска и 3) угловую скорость со диска; оси ко- координат указаны на рисунке. u —aVl~~V2 t9 I r\9 — а9 ( Vl ~~ V* V Ответ- итвет. 2) скорость центра диска направлена в сторону большей из данных скоростей; величина vo' равна полуразности величин дан- данных скоростей; 3) <о = 2а 17.9A7.10). Найти уравнения неподвижной и подвижной цен- центроид стержня АВ, который, опираясь на окружность радиуса а, концом А скользит вдоль прямой Ох, проходящей через центр этой окружности; оси координат указаны на рисунке. 130
Ответ: *?c(x*. — 'a*) — a*t/*c = O9 4*=dgc. 17.10A7.12). Найти приближенные уравнения неподвижной и подвижной центроид шатуна АВ кривошипного механизма, пред- предполагая, что длина шатуна АВ = I настолько велика по срарнению I9 К задаче 17.9 К задаче 17.10 с длиной кривошипа О А = г, что для угла АВО = а можно при- принять sin а = а и cos а = 1; оси координат указаны на рисунке. Ответ: (хс — А2 (х2с + у2с) = г2*2 Щ2 (I2 + rfr) = г2т?. 17.11. Стержень АВ скользит точкой А по горизонтальной пря- прямой и промежуточной точкой С касается круга радиуса г. у Определить уравнение не- неподвижной и подвижной центроид стержня. Ответ: Неподвижная цен- центроида имеет уравнение у2г2 = х4 — х2г2 в системе ко- координат хОу с началом в центре круга. Подвижная центроида — парабола х\ = гу{ в системе координат К задаче 17.11 § 18. Ускорения точек твердого тела в плоском движении. Мгновенный центр ускорений 18.1. Колесо катится по наклонной плоскости, образующей угол 30° с горизонтом (см. рисунок к задаче 16.2). Центр О колеса дви- движется по закону хо = Ю?2 см, где х — ось, направленная парал- параллельно наклонной плоскости. К центру О колеса подвешен стер- стержень О А = 36 см, качающийся вокруг горизонтальной оси О, пер- перпендикулярной плоскости рисунка, по закону ф = j- sin -^- / рад. Найти ускорение конца А стержня ОА в момент времени t = 1 с. Ответ: wAx = 25,2 см/с2, wAy = — 8,25 см/с2, wA = 26,4 см/с2. 18.2A8.3). При движении диска радиуса г = 20 см в вертикаль- вертикальной плоскости ху его центр С движется согласно уравнениям хс = lOt м, ус =A00 — 4,9*2) м. При этом диск вращается вокруг горизонтальной оси С, перпендикулярной плоскости диска, с по- 5* 131
стоянной угловой скоростью со = я/2 рад/с (см. рисунок к задаче 16.3). Определить в момент времени ? = 0 ускорение точки Л, ле- лежащей на ободе диска. Положение точки Л на диске определяется углом ф = at, отсчитываемым от вертикали против хода часовой стрелки. Ответ: Ускорение направлено по вертикали вниз и равно по модулю 9,31 м/с2. 18.3A8.4). Сохранив условие предыдущей задачи, определить ускорение точки Л в момент времени t = 1 с. Ответ: wA х = — 0,49 м/с2, wAy= —9,8 м/с2, wA = 9,81 м/с2. 18.4A8.5). Два одинаковых диска радиуса г каждый соединены цилиндрическим шарниром Л. Диск / вращается вокруг неподвиж- неподвижной горизонтальной оси О по закону ф = <р(/). Диск // вращается вокруг горизонтальной оси А согласно уравнению \|э = ty{t). Оси О и Л перпендикулярны плоскости рисунка. Углы ф и -ф отсчиты- ваются от вертикали против хода часовой стрелки (см. рисунок к задаче 16.5). Найти ускорение центра С диска //. Ответ: wc = д/шс* + wcy> где wcx = >* (ф cos ф — Ф2 sin Ф + + *ф cos г|) — ijJ sin -ф), wcy = г (ф sin ф + ф2 cos ф + Ф sin -ф + *Ф2 cos г|э). 18.5A8.6). Сохранив условие предыдущей задачи, найти уско- ускорение точки В диска //, если ZACB =я/2. Ответ: wB = д/шв* "Ь w%y> где Wb* = r tФ cos Ф — Ф2 ^п Ф + + д/2 U cos D5° + -ф) — У^2 sin D5° + о|э)], wBy = г [ф sin ф + + ф2 cos ф + л/2* sin D5° + *) + V2i2 cos D5° + г]))]. 18.6A8.7). Линейка эллипсографа скользит концом В по оси Ох, концом Л — по оси Оу, АВ = 20 см. (См. рисунок к задаче 15.1.) Определить скорость и ускорение точки Л в момент, когда угол ф наклона линейки к оси Ох равен 30°, а проекции скорости и уско- ускорения точки В на ось х равны vBx = — 20 см/с, wBx = — 10 см/с2. i>4|f = 34,64 см/с, а% = — 142,68 см/с2. 18.7A8.8). Муфты Л и В, скользящие вдоль прямолинейных об- образующих, соединены стержнем АВ длины I. Муфта Л движется с постоянной скоростью va (cm. рисунок к задаче 15.6). Опреде- Определить ускорение муфты В и угловое ускорение стержня А В в поло- положении, при котором стержень АВ образует с прямой ОВ заданный угол ф. 9.9 9.9 vA sin a vA sin а . Ответ: Wb = — -^^> *ab = -pr -^- sin q>. 18.8A8.9). Найти ускорение ползуна В и мгновенный центр ускорений К шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма, изо- изображенного на рисунке к задаче 16.41, при двух горизонтальных и одном вертикальном положениях кривошипа ОА, вращающегося 132
К задаче 18.9 с постоянной угловой скоростью @0 = 15 рад/с вокруг вала О. Длина кривошипа ОА = 40 см, длина шатуна АВ = 200 см. Ответ: Мгновенный центр ускорений К при ф=0° и ф = 180° лежит на оси направляющей ползуна. 1) <р = 0, Шв=Ю8м/с2, ВК= 12 м. 2) Ф = 90°, wb = 18,37 м/с2, ВК = 40 см, АК = 196 см. 3) Ф = 180°, we = 72 м/с2, В К = 8 м. 18.9A8.10). Длина шатуна АВ кривошипно-ползунного меха- механизма в два раза больше длины кривошипа ОА. Определить по- положение точки шатуна АВ, ускорение которой направлено вдоль шатуна, в момент, когда кривошип перпендику- перпендикулярен направляющей ползуна, криво- кривошип ОА вращается равномерно. Ответ: На расстоянии четверти дли- длины шатуна, измеренной от пол- ползуна В. 18.10A8.11). Поршень D гидравлического пресса приводится в движение посредством шарнирно-рычажного механизма OABD. В положении, указанном на рисунке 16.24, рычаг OL имеет угло- угловую скорость со = 2 рад/с и угловое ускорение е = 4 рад/с2, О А = 15 см. Определить ускорение поршня D и угловое ускорение звена АВ. Ответ: wD = 29,4 см/с2, гАв = 5,2 рад/с2. 18.11A8.12). Кривошип ОА длины 20 см вращается равномерно с угловой скоростью GH= 10 рад/с и приводит в движение ша- шатун АВ длины 100 см; ползун В движется по вертикали. Найти угловую скорость и угловое ускорение шатуна, а также ускоре- ускорение ползуна В в момент, когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и обра- образуют с горизонтальной осью углы а = 45° и р = 45°. Ответ: (о=2 рад/с, 8 = 16 рад/с2, Wb = = 565,6 см/с2. 18.12A8.13). Определить угловую ско- скорость и угловое ускорение шатуна нецен- нецентрального кривошипного механизма, а также скорость и ускоре- ускорение ползуна В при 1) горизонтальном правом и 2) вертикальном верхнем положении кривошипа ОА, если последний вращается во- вокруг конца О с постоянной угловой скоростью (о0, причем даны: ОА = г, АВ = /, расстояние оси О кривошипа от линии движения ползуна ОС = h (см. рисунок к задаче 16.16). К задаче 18.11 Ответ: 1) © = - if 2 _ 133
2) со = О, в = —. 9 Vb" a>2 К задаче 18.13 У/2-(г+/гJ ' 18.13A8.14). Стержень ОЛ шарнирного четырехзвенника ОАВО{ вращается с постоянной угловой скоростью са0. Определить угло- угловую скорость, угловое ускорение стержня АВ, а также ускорение шарнира В в положении, указанном на ри- рисунке, если АВ = 2ОЛ = 2а. О . —Л __ _V? 2 _V3 2 6 ' 3 18.14A8.15). Подвижное лезвие L нож- ножниц для резки металла приводится в дви- движение шарнирно-рычажным механизмом AOBD. В положении, указанном на рисунке к задаче 16.25, угловая скорость рычага А В равна 2 рад/с, его угловое ускорение равно 4 рад/с2, ОВ = 5 см, O\D = 10 см. Найти ускорение шарнира D и угловое ускорение звена BD. Ответ: wD = 32,4 см/с2, zbd = 2,56 рад/с2. 18.15A8.17). Ползун В кривошипно-ползунного механизма ОАВ движется по дуговой направляющей. Определить касательное и нормальное ускорения О ^ \J_ . ? , ползуна В в положении. указанном на рисунке, если ОА = 10 см, АВ = = 20 см. Кривошип ОА вращается, имея в дан- данный момент угловую ско- скорость со = 1 рад/с, угло- угловое ускорение е = 0. Ответ: wbx = 15 см/с2, wBn = 0. 18.16A8.18). Опреде- Определить угловое ускорение шатуна АВ механизма, рассмотренного в предыдущей задаче, если в положении, ука- указанном на рисунке, угловое ускорение кривошипа ОА равно 2 рад/с2. Ответ: 1 рад/с2. 18.17. Точильный станок приводится в движение педалью ОА = 24 см, которая колеблется около оси О по закону <p = -^-sin -~ / рад (угол <р отсчитывается от горизонтали). Точиль- Точильный камень К вращается вокруг оси О\ с помощью стержня АВ. Оси О и О\ перпендикулярны плоскости рисунка (см. рисунок к задаче 16.12). Найти в момент времени t = 0 ускорение точки В точильного камня /С, если OiB = 12 см. В этот момент ОА и О\В расположены горизонтально, причем ZOAB = 60°. Ответ: wB = 42,9 см/с2. 134 к задаче 13.15
к задаче 18.18A8.19). Антипараллелограмм состоит из двух кривошипов АВ и CD одинаковой длины 40 см и шарнирно соединенного с ними стержня ВС длины 20 см. Расстояние между неподвижными осями А и D равно 20 см. Кривошип АВ вращается с постоянной угловой скоростью ©о. Определить угловую ско- скорость и угловое ускорение стержня ВС в момент, когда угол ADC равен 90°. о Ответ: а>вс = -j соо, вращение замедленное; 8 __ %Ц ,V2 вс — 9 )' 18.19A8.20). В машине с качающимся цилинд- ^" ром, лежащим на цапфах Оь длина кривошипа О А = 12 см, длина шатуна АВ = 60 см; расстояние между осью вала и осью цапф цилиндра ОО\ = 60 см. Определить ускорение поршня В и радиус кривизны его траектории при двух положениях цилиндра: 1) когда кривошип и шатун взаимно перпендикулярны и 2) когда кривошип занимает положение III; угловая скорость кривошипа coo = const = 5 рад/с. (См. рисунок к задаче 16.26.) Ответ. 1) ш =6,12 см/с2, р = = 589 см; 2) w = 258,3 см/с2, р = = 0,39 см. 18.20. Жесткий прямой угол АМЕ движется так, что точка А остается все время на неподвиж- неподвижной прямой Оу, тогда как другая сторона ME проходит через вра- вращающийся шарнир В. Расстояние AM = OB = а. Скорость va точки А постоянна. Определить ускоре- ускорение точки М как функцию угла ф. „2 ЛЪ Ответ: wM = -^— A + sin ф)'/2. внутрь угла и составляет со стороной МА угол а = 45° — ф/2. 18.21A8.21). Центр колеса, катящегося без скольжения по пря- прямолинейному рельсу, движется равномерно со скоростью v. Опре- Определить ускорение любой точки, лежащей на ободе колеса, если его радиус равен г. Ответ: Ускорение направлено к центру колеса и равно v2/r. 18.22A8.22). Вагон трамвая движется по прямолинейному го- горизонтальному участку пути с замедлением ш0 = 2 м/с2, имея в данный момент скорость vo = 1 м/с. Колеса катятся по рельсам без скольжения. Найти ускорения концов двух диаметров ротора, образующих с вертикалью углы по 45°, если радиус колеса /? = 0,5 м, а ротора г = 0,25 м. 135 К задаче 18.20 Вектор ускорения направлен
Ответ: wi= 2,449 м/с2, w2 = 3,414 м/с2, ay 3 = 2,449 м/с2, о>4 = 0,586 м/с2. 18.23A8.23). Колесо катится без скольжения в вертикальной плоскости по наклонному прямолинейному пути. Найти ускорение концов двух взаимно перпендикулярных диаметров колеса, из ко- которых один параллелен рельсу, если в рассматриваемый момент К задаче 18.22 К задаче 18.23 времени скорость центра колеса vo = 1 м/с, ускорение центра ко- колеса ш0 = 3 м/с2, радиус колеса R = 0,5 м. Ответ: wi=2 м/с2, w2 = 3,16 м/с2, хюъ = 6,32 м/с2, w* = = 5,83 м/с2. 18.24A8.24). Колесо радиуса /? = 0,5 м катится без скольже- скольжения по прямолинейному рельсу, в данный момент центр О колеса имеет скорость ио = О,5 м/с и замедление доо = О,5 м/с2. Найти: 1) мгновенный центр ускорения колеса, 2) ускорение wc точки ко- колеса, совпадающей с мгновенным центром С скоростей, а также 3) ускорение точки М и 4) радиус кривиз- кривизны ее траектории, если ОМ = МС = 0,5/?. Ответ: 1) г = 0,3536 м, 6 = — л/4; 2) аус = 0,5 м/с2; 3) аум = 0,3536 м/с2; 4) р = 0,25 м. 18.25. Подвижный блок 1 и неподвиж- неподвижный блок 2 соединены нерастяжимой нитью. Груз /(, прикрепленный к концу этой нити, опускается вертикально вниз по закону х = 2/2 м. Определить ускорение точек С, В и D, лежащих на ободе подвижного блока /, в момент t = 0,5 с в положении, указан- указанном на рисунке, если OB JL CD, а радиус подвижного блока 1 ра- равен 0,2 м. Ответ: wc = 5 м/с2, wB = 7,29 м/с2, wD = 6,4 м/с2. 18.26. Груз /С, связанный посредством нерастяжимой нити с ка- катушкой L, опускается вертикально вниз по закону х = t2 м. При этом катушка L катится без скольжения по неподвижному гори- горизонтальному рельсу. Определить ускорения точек Л, В и D, лежа- лежащих на ободе катушки, ее угловую скорость и угловое ускорение в момент времени t = 0,5 с в положении, указанном на рисунке; ADA.OB, OD = 2 OC = 0,2 м. в К задаче 18.25 136
. Ответ: wA= 20,9 м/с2, wB — 22,4 м/с2, ayD = 20,1 м/с2, со== = 10 рад/с, е = 20 рад/с2. 18.27. Колесо радиуса R катится без скольжения по плоскости. Центр О колеса движется с постоянной скоростью vo. В точке А с ним шарнирно соединен стер- стержень АВ длины l = 3R. Другой конец стержня скользит по пло- плоскости. В положении, указанном на рисунке, определить угловую скорость и угловое ускорение стержня АВ, а также линейные скорость и ускорение его точки В. К задаче 18.26 К задаче 18.27 Ответ: содВ = - О v2o - cyj г>2 > VB ^VO> WB Q r> • 18.28A8.25). Шестеренка радиуса jR = 12 см приводится в дви- движение кривошипом ОЛ, вращающимся вокруг оси О неподвижной шестеренки с тем же радиусом; кривошип вращается с угловым К задаче 18.28 К задаче 18.29 ускорением ео = 8 рад/с2, имея в данный момент угловую скорость (о = 2 рад/с. Определить: 1) ускорение той точки подвижной ше- шестеренки, которая в данный момент совпадает с мгновенным цент- центром скоростей, 2) ускорение диаметрально противоположной точ- точки Af и 3) положение мгновенного центра ускорений К. Ответ: 1) шм = 96 см/с2, 2) ш*=480 см/с2, 3) МК = 4,24 см, ZAMK = 45°. 18.29A8.26). Найти положение мгновенного, центра ускорений и скорость vk точки фигуры, совпадающей с ним в данный мо- 137
мент, а также ускорение We точки фигуры, с которой в данный момент совпадает мгновенный центр скоростей, если шестеренка / радиуса г катится внутри неподвижного колеса // радиуса R = 2r и кривошип ООи приводящий в движение бегающую шестеренку, имеет постоянную угловую скорость со0. Ответ: Мгновенный центр ускорений совпадает с центром О не- неподвижной шестеренки: vK = 2r<o0, wc = 2r®l. 18.30A8.27). Найти ускорения концов В, С, D, Е двух диамет- диаметров шестеренки радиуса г\ = 5 см, катящейся снаружи неподвиж- неподвижной шестеренки радиуса Г2=15 см. Подвижная шестеренка при- приводится в движение при помощи кривошипа О А, вращающегося с постоянной угловой скоростью щ = 3 рад/с вокруг оси О непод- неподвижной шестеренки; один из диаметров совпадает с линией ОА, другой — ей перпендикулярен. (См. рисунок к задаче 16.35.) Ответ: wb = 540 см/с2, we = We = 742 см/с2, wd = 900 см/с2. 18.31. Показать, что в момент, когда угловая скорость ю = 0, проекции ускорений концов отрезка, совершающего плоское дви- движение, на направление отрезка равны между собой. 18.32A8.28). Показать, что в момент, когда угловое ускорение е=0, проекции ускорений концов отрезка, совершающего плоское движение, на направление, перпендикулярное отрезку, равны ме- между собой. 18.33A8.29). Ускорения концов стержня АВ длины 10 см, со- совершающего плоское движение, направлены вдоль стержня на- навстречу друг другу, причем шл = 10 см/с2, wb = 20 см/с2. Опреде- Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня. Ответ: со = <у'3 рад/с, 8 = 0. 18.34A8.30). Ускорения концов однородного стержня АВ длины 12 см, совершающего плоское движение, перпендикулярны АВ и направлены в одну сторону, причем wa = 24 см/с2, wb = 12 см/с2. Определить угловую скорость, угловое ускорение стержня, а также ускорение его центра тяжести С. Ответ: © = 0, 8 = 1 рад/с2, ускорение точки С перпендикулярно АВ, направлено в сторону ускорений точек Л и В и равно 18 см/с2. 18.35. Стержень АВ длины 0,2 м совершает плоскопараллель- плоскопараллельное движение. Ускорения его концов Л и В перпендикулярны АВ9 направлены в противоположные стороны и по модулю равны 2 м/с2. Найти угловую скорость, угловое ускорение стержня и ускорение его середины С. Ответ: (о = 0, 8 = 20 рад/с2, wc = 0. 18.36A8.32). Ускорения вершин Л и В треугольника ABC, со- совершающего плоское движение, векторно равны: wBz=wA=a. Определить угловую скорость и угловое ускорение треугольника, а также ускорение вершины С. Ответ: (о = 0; 8 = 0, wc = a. 18.37A8.33). Квадрат ABCD со стороною а совершает плоское движение в плоскости рисунка. Найти положение мгновенного центра ускорений и ускорения вершин его С и D, если известно, что 138
в данный момент ускорения двух вершин А и В одинаковы по ве- величине и равны 10 см/с2. Направление ускорений точек Л и В со- совпадает со сторонами квадрата, как указано на рисунке. Ответ: We = Wd = 10 см/с2 и направлены по сторонам квад- квадрата. Мгновенный центр ускорений находится в точке пересечения диагоналей квадрата. А G С В в К задаче 18.37 К задаче 18.38 К задаче 18.39 В 18.38A8.34). Равносторонний треугольник ABC движется в пло- плоскости рисунка. Ускорение вершин А и В в данный момент вре- времени равны 16 см/с2 и направлены по сторонам треугольника (см. рисунок). Определить ускорение третьей вершины С треуголь- треугольника. Ответ: we направлено от С к В. we = 16 см/с2. 18.39. Стержень АВ длины 0,2 м движется в плоскости рисунка. Ускорение точки A wA(wA=2 м/с2) образует угол 45° с осью х, совмещенной со стержнем. Ускорение точки В wb(wb = 4,42 м/с2) расположено под углом 60° к оси х. Найти угловую скорость угловое ускорение стержня и ускорение его середины С. Ответ: (о = 2 рад/с, г — = 12,05 рад/с2, wc = 3,18 м/с2. 18.40A8.35). КвадратЛВСО со стороною а = 2 см совер- совершает плоское движение. В дан- данный момент ускорения вершин еГО А И В СООТВеТСТВеННО раВ- к задаче 18.40 К задаче 18.41 ны по модулю wa = 2 см/с2, Wb = 4д/2~ см/с2 и направлены, как указано на рисунке. Найти мгновенную угловую скорость и мгновенное угловое ускорение квадрата, а также ускорение точки С. Ответ: ю = д/2 рад/с, 8=1 рад/с2, га;с(ше = 6 см/с2) направ- направлено от С к Л 18.41A8.36). Найти модуль ускорения середины стержня АВ, если известны модули ускорений его концов: wA = 10 см/с2, wB = 20 см/с2 и углы, образованные ускорениями с прямой АВ: а = 10° и р = 70°. Ответ: w = -? + w\ "~ %wawb cos (Р ~ а) = 8,66 см/с2. 139
ГЛАВА VI ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ОРИЕНТАЦИЯ § 19. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку 19.1A9.1). Ось z волчка равномерно описывает вокруг верти- вертикали О? круговой конус с углом раствора 26. Угловая скорость вращения оси волчка вокруг оси J; равна <oi, а постоянная угловая скорость собственного вращения волчка равна со. Определить ве- величину и направление абсолютной угловой скорости Q волчка. Ответ: Q == д/ю2 + <*>2 + 2©©! cos 9, /гл \ © + COi COS 9 cos(Q, гM ^ /у со + ©j + 2©©! • cos 9 19.2A9.2). Артиллерийский снаряд, двигаясь в атмосфере, вра- вращается вокруг оси z с угловой скоростью со. Одновременно ось / О К задаче 19.1 К задаче 19.2 снаряда z вращается с угловой скоростью ©i вокруг оси ?;, направ- направленной по касательной к траектории центра тяжести С снаряда. Определить скорость точки М снаряда в его вращательном дви- движении, если СМ — г и отрезок СМ пер- перпендикулярен оси z\ угол между осями z и ? равен у. Ответ: vm = (со + <oi cos у) г. 19.3A9.3). Конус, высота которого h = 4 см и радиус основания г = 3 см, катится по плоскости без скольжения, имея неподвижную вершину в точке О. Определить угловую скорость конуса, координаты точки, вычерчивающей го- годограф угловой скорости, и угловое ускорение конуса, если скорость центра основания конуса vc = = 48 см/с = const. Ответ: со = 20 рад/с, ^=20 cos 15*, \}\ =20 sin 15*, zx = 0, е = 300 рад/с2. К задаче 19.3 140
19.4A9.4). Конус, вершина О которого неподвижна, катится по плоскости без скольжения. Высота конуса СО = 18 см, а угол при вершине АОВ = 90°. Точка С, центр основания конуса, движется равномерно и возвращается в первоначальное положение через в К задаче 19.4 К задаче 19.5 1 с. Определить скорость конца В диаметра АВ, угловое ускоре- ускорение конуса и ускорение точек А и В. Ответ: vB = 36n -д/2 см/с = 160 см/с, е (е = 39,5 рад/с2) на- направлено перпендикулярно О А и ОВ\ wA (wa = 1000 см/с2) на- направлено параллельно ОВ\ wb(wb= 1000 У 2 см/с2) лежит в пло- плоскости АОВ и направлено под углом 45° к ОВ. 19.5A9.5). Конус А обегает 120 раз в минуту неподвижный конус В. Высота конуса ОО\ = 10 см. Определить переносную угловую скорость ые конуса вокруг оси 2, относительную угловую скорость Or конуса вокруг оси OOi, абсолютную угловую скорость &а и абсолютное угловое ускорение га конуса. Ответ: <де = 4я рад/с, сог = 6,92я рад/с, сюа((Оа = 8я рад/с) на- направлена по оси ОС у еа (еа = 27,68я2 рад/с2) направлено парал- параллельно оси х. 19.6A9.6). Сохранив условия предыдущей задачи, определить скорости и ускорения точек С и D подвижного конуса. Ответ: vc = 0; vD(vD = 80n см/с) направлена параллельно оси х\ wc (we = 320я2 см/с2) направлено перпендикулярно ОС в плоскости Oyz\ проекции ускорения точки D: wDy = —480я2 cm/c2,wDz = —160 УЗ я2 См/с2. 19.7A9.7). Конус // с углом при вершине а2 = 45° катится без скольжения по внутрен- внутренней стороне неподвижного конуса / с углом при вершине ai = 90°. Высота подвижного ко- конуса ООi = 100 см. Точка Оь центр основания подвижного конуса, описывает окружность в 0,5 с. Определить переносную (вокруг оси г), ( ОО) б 6 К задаче 19.7 , р ру (ру ), относительную (вокруг оси ОО\) и абсолютную угловые скорости конуса //, а также его абсолютное угловое ускорение. Ответ: <0е(@е = 4я рад/с) направлена по оси z\ шг(©г=а = 7,39я рад/с) направлена по оси О\О\ €0а((оа = 4я рад/с) на- направлена по оси ОМ2\ ea(ea = 11,Зя2 рад/с2) направлено по оси х. 141
К задаче 19.9 19.8A9.8). Сохранив условия предыдущей задачи, определить скорости и ускорения точек О\, М\, M2 подвижного ко- конуса. Ответ: vo(vo = 153,2л см/с) направлена параллельно отрица- отрицательной оси Ox, vi(v\ = 306,4я см/с) направлена параллельно от- отрицательной оси Ox, v2 = 0, Wo (w0 = 612,8л;2 см/с2) направлено от О\ по перпендикуляру к Oz\ проекции ускорения точки Мх: w\y = = —362л2 см/с*, w\z = —865л2 см/с2; w2(w2 = = 1225л2 см/с2) лежит в плоскости OOijW2 и на- направлено перпендикулярно ОМ2. 19.9A9.9). Диск ОА радиуса R = 4<\/з см, вращаясь вокруг неподвижной точки О, обкаты- обкатывает неподвижный конус с углом при вершине, равным 60°. Найти угловую скорость вращения диска вокруг его оси симметрии, если ускоре- ускорение wA точки А диска по модулю постоянно и равно 48 см/с2. Ответ: со == 2 рад/с. 19.10A9.10). Тело движется вокруг неподвижной точки. В не- некоторый момент угловая скорость его изображается вектором, про- проекции которого на координатные оси равны д/3» д/5> д/7- Найти в этот момент скорость v точки тела, определяемой координатами Vl2> л/20' V28' Ответ: 'v = 0. 19.11A9.11). Коническое зубчатое колесо, ось которого пересе- пересекается с геометрической осью плоской опорной шестерни в центре последней, обегает пять раз в минуту опорную шестерню. Опре- Определить угловую скорость (ог вращения ко- колеса вокруг его оси и угловую скорость сэ вращения вокруг мгновенной оси, если радиус опорной шестерни вдвое больше радиуса колеса: R = 2г. Ответ: 0Г = 1,047 рад/с, о =0,907 рад/с. 19.12A9.12). Угловая скорость тела 0 = 7 рад/с, мгновенная ось его состав- составляет в данный момент с неподвижными координатными осями острые углы а, р и у. Найти величину скорости v и проекции ее vx, vy, vz на координатные оси для точки тела, коор- координаты которой, выраженные в метрах, в данный момент равны 0, 2, 0, а также расстояние d этой точки от мгновенной оси, если cos а = 2/7, cos у = 6/7. Ответ: vx = —12 м/с, vy = 0, vz = 4 м/с, v = 12,65 м/с, d = 1,82 м. 19.13A9.13). Найти уравнения мгновенной оси и величину угло- угловой скорости со тела, если известно, что проекции скорости точки Mi @,0,2) на координатные оси, связанные с телом, равны vxi = 1 м/с, vyi=2 м/с, Vzi= 0, а направление скорости точки К задаче 19.11 142
М2 @, 1,2) определяется косинусами углов, образованных с осями координат: —2/3, +2/3, —1/3. Ответ: х + 2у == 0, Зх + z = 0, со = 3,2 рад/с. 19.14A9.14). Коническое зубчатое колесо, свободно насаженное на кривошип О А, обкатывается по неподвижному коническому зуб- зубчатому основанию. Определить угловую скорость <о и угловое ускорение г катя- катящегося колеса, если модули угловой ско- скорости и углового ускорения (их направ- направления указаны на рисунке) кривошипа ОА, вращающегося вокруг неподвижной оси О\О, соответственно равны о>о и во. Ответ: о> = sin a 8 = sin а К задаче 19 14 + (D^ctgae2, где е{—единичный вектор, направленный от точки О к точке С, а e% — единичный вектор, пер- перпендикулярный плоскости О АС и направленный на читателя. 19.15A9.15). В условиях предыдущей задачи определить уско- ускорения точек С и В, если радиус основания равен R. Ответ: тс = wB = 2Re0e2 — 2е3), где еъ и е4— лежащие в плоскости рисунка единичные векторы, перпендикуляр- перпендикулярные прямым ОС и ОБ соответственно (оба орта направлены вверх). § 20. Пространственная ориентация; кинематические формулы Эйлера и их модификация; аксоиды 20.1B0.1). Искусственная горизонтальная площадка на качаю- качающемся корабле создается с помощью карданова подвеса. Ось у\ вращения внешнего кольца параллельна продольной оси корабля; К задаче 20.1 угол поворота внешнего кольца обозначается через р (угол борто- бортовой качки). Угол поворота внутренней рамки обозначается через а. Для ориентации колец вводят три системы координат: система grjE; связана с кораблем (ось | направлена к правому борту, ось rj — к носу корабля, ось ? — перпендикулярна палубе); система X\y\Z\ связана с внешним кольцом (ось ух совпадает с осью ц)\ система
xyz связана с внутренним кольцом (ось х совпадает с х\). Поло- Положительные направления отсчета углов видны из рисунков; при а = р = 0 все системы отсчета совпадают. Определить ориента- ориентацию (соответствующие направляющие косинусы) внутреннего кольца подвеса относительно корабля. Ответ; X У г 1 COS0 sin a sin Р cos а sin E 1) 0 cos а — sin а — sinP sin а cos р cos а cos p 20.2B0.2). Во втором способе установки карданова подвеса, описанного в предыдущей задаче, ось вращения внешнего кольца параллельна поперечной оси корабля. При этом способе подвеса б) К задаче 20.2 ось I, связанная с кораблем, совпадает с осью х\ вращения внеш- внешнего кольца, а ось у вращения внутреннего кольца совпадает с осью у\, жестко связанной с внешним кольцом. Угол поворота внешнего кольца обозначается теперь а (угол килевой качки), а угол поворота внутреннего кольца — через (J. Определить ориента- ориентацию внутреннего кольца подвеса относительно корабля. Ответ: X У Z 1 COS 0 sin Р Р sin a sin P cos а — sin а cos Р i — cos а sin p sin а cos а cos P 20.3B0.3). Положение твердого тела, имеющего одну непод- неподвижную точку О, определяется тремя углами Эйлера: углом пре- прецессии -ф, углом нутации в и углом собственного вращения ф (см. рисунок). Определить направляющие косинусы подвижной системы отсчета Oxyz. 144
X У z Ответ: i cos ф cos 8 cos ф — sin ф sincp — cos ф cos 6 sin ф — sin ф cos <p cos ф sin 6 sin ф cos 9 cos ф + cos ф sin ф — sin ф cos 0 sin ф + cos ф cos ф sin ф sin 6 I — sin 9 cos ф sin 6 sin ф cos 6 20.4B0.4). Зная скорости изменения углов Эйлера, определить угловую скорость тела и ее проекции на оси неподвижной O^rfe и подвижной Охуг систем отсчета. Ответ: <о = д/'Ф2 + 82 + ф2 + 2фф cos 6, <Dg = ф sin в cos ф — в sin ф, ©^ = ф sin 8 sin ф + в cos ф, od? = ф cos в + ф, ®х = — ф sin в cos ф + + в sin ф, <ду = ф sin в зтф + в cos ф, <о2 = ф cos 9 + ф. 20.5B0.5). Для определения враща- вращательного движения самолета с ним свя- связывают ортогональную систему коорди- координат Схуг, причем ось х направляется по оси самолета от хвоста к кабине летчика, ось у располагается в плоскости симмет- симметрии самолета, а ось г — по размаху кры- крыла вправо для летчика (С — центр тя- тяжести самолета). Угловые перемещения самолета относительной осей C\v^ (гори- (горизонтальная ось \ направляется по курсу самолета, ось х\ — вертикально вверх, а горизонтальная ось ? — перпендикуляр- перпендикулярно осям \ и ц) определяются, как пока- показано на рисунке, тремя самолетными углами: углом рыскания ф, углом тангажа в и углом крена ф. Определить ориентацию самолета (системы отсчета Схуг) отно- относительно трехгранника С?т]?. Ответ: К задачам 20.3 и 20.4 V К задачам 20.5 и 20.6 X У Z 1 cos ф cos 9 sin ф sin ф — cos ф sin 9 cos ф sin ф cos ф + cos ф sin 9 sin ф *n sin 9 cos 9 cos ф — cos 9 sin ф С — sin ф cos 9 cos ф sin ф + sin ф sin 9 cos ф cos ф cos ф — sin ф sin 9 sin ф 20.6B0.6). Зная скорости изменения самолетных углов, опреде- определить проекции угловой скорости самолета на оси систем коорди- координат Схуг и Cgr]? (см. рисунок к предыдущей задаче). 145
Ответ: ®х = <ф sin 9 -f* Ф> юу = -ф cos 9 cos ф + 9 sin ф, <ог = = — aj) cos 9 sin ф + 9 cos ф, щ = ф cos г|э cos 9 + 9 sin а|з, ©^ = = ф sin 9 + ij), g>? = — ф sin i|) cos 9 + 9 cos if. 20.7B0.7). Для исследования качки корабля и его устойчивости на курсе вводят три корабельных угла: г|з — дифферент, 9 — крен и ф — угол рыскания, система отсчета Cxyz жестко связана с кораблем, С — центр тяжести корабля, ось х направлена от кормы к носу, ось у — к левому бор- борту, ось z — перпендикулярно палубе; си- система координат C?rjE; ориентируется от- относительно курса корабля: ось ? верти- вертикальна, горизонтальная ось g направлена по курсу, горизонтальная ось г\ — влево от курса (на рисунке изображены си- к задачам 20.7 и 20.8 стемы осей, введенных А. Н. Крыло- Крыловым) . Определить ориентацию корабля (координатных осей Cxyz) от- относительно трехгранника Ответ: X У Z 1 cos a|) cos ф + sin ф sin 9 sin ф — cos a|) sin ф + sin я|) sin 8 sin ф sin -ф cos 9 ¦n cos 9 sin ф cos 9 cos ф — sin 9 С — sin ф cos ф + cos ф sin 9 sin ф sir. г|з sin ф + cos i|) sin 9 cos ф cos ф cos 9 20.8B0.8). Зная скорости изменения корабельных углов, опре- определить проекции угловой скорости корабля на оси систем отсчета Cxyz и С|г)? (см. рисунок к предыдущей задаче). Ответ: ©я = -ф cos 9 sin ф + 9 cos ф, ©| = 9 cos г|э + ф sin г|) cos 9, (оу = ф cos 9 cos ф — 9 sin ф, сол = oj? — ф sin 9, сэ2 = — -ф sin 9 + ф, ®| = — 9 sin г|) + ф cos if cos9. 20.9B0.9). Точка М (центр тяжести самолета, корабля) дви- движется вдоль поверхности Земли, принимаемой за шар радиуса /?*); восточная составляющая скорости точки равна ve, а северная — vm. Определить скорость изменения широты ф и долготы X текущего положения точки М. Ответ: Ф = -бгэ Я = р r^Q m ; при положительных ve и Vn со- ставляющая ф направлена на запад, а составляющая к — по оси SN вращения Земли от Южного полюса к Северному. *) Здесь и в дальнейшем сжатием Земли пренебрегаем. не
20.10B0.10). Для изучения «движения вблизи земной поверхно- поверхности тел (самолетов, ракет, кораблей) и приборов, установленных на них, вводят подвижной координатный трехгранник — трехгран- трехгранник Дарбу. При географической ориентации трехгранника Дарбу О?т)?; горизонтальная ось | направляется на восток, горизонтальная С К задаче 20.9 К задаче 20.10 ось ц — на север, ось ? — вертикально вверх. Определить проек- проекции на оси ?, т|, i угловой скорости трехгранника О?п?, если про- проекции скорости его начала (точки О) относительно Земли равны v$ = vE, Vyy = vN, ix — 0; угловая скорость вращения Земли равна U, радиус Земли R. Ответ: Ю| = — ф = — vN/R> со=([/ -}-^)со$ф = 7(ceSep) 20.11B0.11). Трехгранник Дарбу Oxyz на поверхности Землн ориентирован не географически, как это было сделано в предыду* щей задаче, а по траектории осно- основания трехгранника относительно Земли: ось х направляется гори- горизонтально по скорости v верши- вершины О (центр тяжести самолета, корабля) трехгранника относи- относительно Земли, ось у направляется горизонтально влево от оси х, а ось z — вертикально вверх. Опре- Определить проекции угловой скоро- скорости трехгранника Oxyz, если ско- скорость точки О равна и, а ее курс определяется углом г|? (угол между направлением на север и отно- относительной скоростью точки О). Ответ: (ox = U cos ф cos -ф; (oy = U cos ф sin о|з + v/R; (ог = (U + к) sin ф + Ф = U sin ф -f v/p. //роещб/я mpae/f/nopuu /fa горизонтальную ллоснос/пь Оссу К задаче 20.11 147
Здесь /?, ?/, ф и X имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10, а р — радиус геодезической кривизны траектории (р > 0 при -ф < 0, и р < 0 при -ф > 0). 20.12B0.12). Трехгранник Дарбу Ox°yQ?° на поверхности Земли ориентирован следующим образом: ось Х° направляется по абсо- абсолютной скорости V точки О (предполагается, что она движется по у(себер) -? (бостон) поверхности Земли), горизонталь- горизонтальная ось у0 направляется влево от оси хР, ось 2° вертикальна. Опреде- Определить проекции угловой скорости трехгранника Ox!dy°z°, если состав- составляющие скорости точки О относи- относительно Земли равны ve и vn. V ОтввТ'. @*0 = 0, (Оуо ==""п"> Фг° ^ К задаче 20.12 = (U + К) sin ф + 0, где R, U, ф и имеют значения, введенные в задачах 20.9 и 20.10, и tge= VN 20.13B0.13). Гироскоп направления установлен в кардановом подвесе. Система координат x\y\Z\ связана с внешней рамкой (ось вращения ее вертикальна), система xyz скреплена с внутренней С(зе//ш) у(себер) К задаче 20.13 рамкой (ось х вращения ее горизонтальна). Ось z внутренней рам- рамки является одновременно осью собственного вращения гироскопа. Определить: 1) ориентацию оси z вращения гироскопа относи- относительно географически ориентированных осей ?г)? (см. задачу 20.10), если поворот внешней рамки (оси ух) отсчитывается по часовой стрелке от плоскости меридиана (плоскость т)?) и определяется углом а, а подъем оси z над горизонтом определяется углом Р; 2) проекции на оси х, у, z угловой скорости вращения трех- трехгранника xyz, предполагая, что точка О подвеса гироскопа непо- неподвижна относительно Земли. 143
z \ | n sin a cos P cos a cos p t sin P Ответ: 1) 2) ©^ = p — f/ cos ф sin a, (o^ = d cos p + U (cos ф cos a sin p — sin ф cos p), (o2 = a sin p + U (cos ф cos a cos p + sin ф sin p), где U — угловая скорость вращения Земли, ф — широта места. 20.14B0.14). В условиях предыдущей задачи определить проек- проекции угловой скорости вращения трехгранника xyz, если северная и восточная составляющие скорости точки подвеса соответственно равны vn и ve- Ответ: ®х=$ — sin a — cosa, Фу = a cos p + (u + njs ) (cos ф cos a sin p — sin ф cos p) — ^L sin a sin p, o2 = a sin p + \U + дсД j (cos ф cos a cos p + sin Ф sin P)> где R — радиус Земли. 20.15B0.15). Движение тела вокруг неподвижной точки задано углами Эйлера:ф = 4t, о|) = -у —2/, б = у- Определить коорди- координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей х, у, z. Ответ: x = a)x = 2^3cos2t9 y = «>y = — 2<\/3sin2t9 2 = ©3 = 0, ю = 2Уз рад/с, е = 4 -д/3 рад/с2. К задаче 20.16 20.16B0.16). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внеш- внешнего колеей вагона, катящегося по горизонтальному пути, сред* ний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м. 149
Примечание. Колесо вращается вместе с вагоном вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через центр закругления пути, и относительно вагона во- вокруг оси АВ, т. е. вращается вокруг неподвижней точки О. Ответ: Неподвижный аксоид — конус, ось которого совпадает с осью Ог, с углом при вершине а = 2arctg21,6= 174°42'. Под- Подвижный аксоид — конус с осью АВ и углом при вершине р = = 2arctg0,0463 = 5°18'. 20.17B0.17). Движение тела вокруг неподвижной точки задано при помощи углов Эйлера следующими уравнениями: ср = nt> •ф = я/2 + ant, 0 = л/3. Определить проекции угловой скорости и углового ускорения тела на неподвижные оси, если а и п — по- постоянные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху. Ответ: ®х = з cos ant, ®у = ^ sin ant, <o2 = п I а + у)» гх=—ап2 sin anty ey = ^-~ -cosantУ ег = 0, а = — у. 20.18B0.18). Углы Эйлера, определяющие положение тела, из- изменяются по закону (регулярная прецессия) г|? = ф0 + ri\t 0 = 0О, Ф = ф0 + n2ty где ij)o, 0о, Фо — начальные значения углов, а п\ и п2—постоянные числа, равные соответствующим угловым скоро- скоростям. Определить угловую скорость со тела, неподвижный и под- подвижный аксоиды. Ответ: (d = /\fn2\+nl + 2nin2coseo; неподвижный аксоид — кру- говой конус 12 + г\2— . cq2s9 +}niJ ^2 = 0 с осью g и углом раствора 2arcsin n° s^n n; подвижный аксоид — круговой конус о n?sin0o + У — (/г cos 9 г п J с осью 2 и углом раствора 9 о . П\ sin 9o 2arcsin —-——. ГЛАВА VII СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ § 21. Уравнения движений точки 21.1B1.1). Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебаний: хх = 2 cos {nt -Ь я/2), х2 = 3 cos (nt + п). Ответ: х = У КЗ cos (я/ + а), где а = arctg -| = 33°40'* 21.2B1.2). Барабан записывающего устройства вращается рав- равномерно со скоростью ©о- Радиус барабана г. Самописец соединен 150
с деталью, движущейся по вертикали по закону у = a sin @1Г. Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте. Ответ: y = asin -^-. К задаче 21.3 21.3B1.3). При вращении поворотного крана вокруг оси О\О2 с постоянной угловой скоростью o)i груз А поднимается вверх по- посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью ©2- Определить абсо- абсолютную траекторию груза, если вылет кра- крана равен d. Ответ: Винтовая линия, уравнение кото- ^ рой Щ ось х проходит через ось О\О2 и начальное положение груза, ось z направлена вверх по оси вращения крана. 21.4B1.4). При совмещении работы ме- к задаче 21.4 ханизмов подъема груза и перемещения крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса г = 0,5 м, на который навит канат, поддерживающий груз Л, вращается при пуске в ход с угло- угловой скоростью со = 2я рад/с. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v = 0,5 м/с. Определить аб- абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза JCo = 10 М, у0 = 6 М. Ответ: у ©г + у0 = 6,28* - 56,8. 21.5B1.5). Стрела АВ поворотного крана вращается вокруг оси О{О2 с постоянной угловой скоростью со. По горизонтальной стреле 151
от А к В движется тележка с постоянной скоростью vo. Определить абсолютную траекторию тележки, если в начальный момент те- тележка находилась на оси OiO2. Ответ: Траектория — архимедова спираль Г = ~Ф» гДе г — Рас" стояние тележки от оси вращения, ср — угол поворота крана вокруг оси OiO2. 21.6B1.6). Лента прибора, служащего для записи колебатель- колебательных движений, движется по направлению Ох со скоростью 2 м/с. Колеблющееся вдоль оси Оу тело вычерчивает на ленте синусоиду, наибольшая ордината которой АВ = 2,5 см, а длина OiC = 8 см. 1 К задаче 21.6 Найти уравнение колебательного движения тела, предполагая, что точка О синусоиды соответствует положению тела при t = 0. Ответ: у = 2,5 sinE0n0 см. 21.7B1.7). Трамвай движется равномерно по прямолинейному горизонтальному участку со скоростью v = 5 м/с, причем кузов совершает на рессорах гармонические ко- колебания с амплитудой а = 0,008 м и пе- периодом Г = 0,5 с. Найти уравнение тра- траектории центра тяжести кузова, если его среднее расстояние от полотна дороги h= 1,5 м. При t = 0 центр тяжести на- находится в среднем положении, и скорость колебания направлена вверх. Ось Ох на- направить горизонтально по полотну в сто- сторону движения, ось Оу — вертикально вверх через положение центра тяжести при t = 0. Ответ: у = 1,5 + 0,0008 sin 0,8ях. 21.8B1.8). Определить уравнения тра- траектории сложного движения конца двой- двойного маятника, совершающего одновре- одновременно два взаимно перпендикулярных гармонических колебания равной частоты, но разных амплитуд и фаз, если уравнения колебаний имеют вид х = a sin (cot + a), Ответ: Эллипс -J + ^f - ^-cos(a - p)= sin2(a-P). К задаче 21 8 152
21.9B1.9). Конец двойного маятника описывает фигуру Лис- сажу, получающуюся при сложении двух взаимно перпендикуляр- перпендикулярных гармонических колебаний: х = a sin 2со?, у = a sin go/. Найти уравнение траектории. Ответ: а2х2 = Ау2(а2 — у2). 21.10B1.10). Железнодорожный поезд движется равномерно со скоростью 36 км/ч, сигнальный фонарь, привешенный к послед- последнему вагону, срывается с кронштейна. Определить траекторию аб- абсолютного движения фонаря и длину пути s, который будет прой- пройден поездом за время падения фонаря, если фонарь находится на высоте 4,905 м от земли. Оси координат провести через начальное положение фонаря, ось Ох — горизонтально в сторону движения поезда, ось Оу — вертикально вниз. Ответ: Парабола с вертикальной осью у = 0,049л:2, s = 10 м (х,у — в метрах, t — в секундах). 21.11B1.11). Резец М совершает поперечное возвратно-поступа- возвратно-поступательное движение согласно закону х = a sin cat. Найти уравнение траектории конца резца М относительно диска, вращающегося равномерно с угловой скоростью со вокруг оси О, пересекающей абсолютную траекторию резца. К задаче 21.11 К задаче 21.12 Ответ: |2 + (т! — а/2J = а2/4 — окружность радиуса а/2 с цен- центром в точке С (см. рисунок). 21.12B1.12). В некоторых измерительных и делительных при- приборах для перемещения указателя применяется дифференциаль- дифференциальный винт, состоящий из оси ЛВ, имеющей в части А винтовую нарезку с шагом h\ мм, а в части В — нарезку с шагом А2 < h\. Часть А вращается в неподвижной гайке С, а часть В охваты- охватывается элементом D, лишенным вращательного движения и соединенным с указателем, скользящим вдоль неподвижной шкалы. 1) Определить перемещение указателя при повороте маховичка оси на \/п оборота (соответствующая шкала нанесена на диске ?), если п = 200, h\ = 0,5 мм и А2 = 0,4 мм. Обе нарезки правые или обе левые. 2) Как изменится показание прибора, если в части А сделать левую нарезку, а в части В — правую? 153
Ответ: 1) s = i-(A, —¦ Z^) = 0,0005 мм; 2) 5 = i-(ft1+A2) = 0,0045 мм. 21.13B1.13). Ускорительный механизм строгального станка со- состоит из двух параллельных валов О и О\, кривошипа О А и ку- кулисы О\В. Конец кривошипа ОА соединен шарнирно с ползуном, скользящим вдоль прорези в кулисе О\В. Найти уравнение относи- относительного движения ползуна в прорези кулисы и уравнение враще- ния самой кулисы, если кривошип ОА длины г вращается с постоянной угло- угловой скоростью со, расстояние между осями валов ОО\ = а. К задаче 21.13 К задаче 21.14 Ответ: ?= Уа2 + г2+ 2ar cos©/, tgq> = 21.14B1.14). В ротативном двигателе, схематически показанном на рисунке, цилиндры, прикрепленные к картеру, вращаются вместе с ним вокруг неподвижной оси вала О, а шатуны поршней вращаются вокруг пальца А неподвижного кривошипа ОА. Ука- Указать: 1) траекторию абсолютного движения точек В поршней и 2) приближенное уравнение их относительного движения по отно- отношению к цилиндрам, если цилиндры вращаются с угловой ско- скоростью со. Дано: ОА = г и АВ = /. Оси Ох и Оу имеют начало в центре вала. Принять, что X = г/1 мало. Ответ: 1) Окружность х2 + (у + гJ = Р, 2) ? = /(l-. 21.15. Вертолет, зависший неподвижно над поляной, сбрасывает груз и в тот же момент начинает двигаться со скоростью vo9 на- направленной под углом а к горизонтальной поверхности. Найти уравнения движения и траекторию груза относительно вертолета (оси относительной системы координат направлены из центра тя- тяжести вертолета горизонтально по курсу и вертикально вниз). 154
Ответ: xr = — vot cos a, yr = ^- -f vot sin a. Траектория — пара- парабола */r = — #rtga 2t/QCOs2a * § 22. Сложение скоростей точки 22.1B2.1). Корабль движется прямолинейно со скоростью v0. На высоте h над морем со скоростью v\ летит самолет тем же курсом. Определить расстояние /, отсчитываемое по горизонтали, на котором надо сбросить вымпел, чтобы он попал на корабль. Сопротивлением воздуха движению вым- Пш пела пренебречь. Ответ: l = (vi — v0) <y/2hlg. 22.2B2.2). Решить предыдущую зада- м Щ чу, если самолет летит с той же ско- скоростью навстречу движущемуся кораблю. Ответ: l = (vx + v0) <y/2h/g. к задаче 22Л 22.3B2.3). Корабль, проходящий точку Л, движется с постоян- постоянной по модулю и направлению скоростью v0. Под каким углом р к прямой АВ надо начать двигаться катеру из точки В, чтобы встретиться с кораблем, если скорость катера постоянна по модулю и направлению и равна ^\^ v\? Линия АВ составляет угол -фо с перпенди- перпендикуляром к курсу корабля. * Ответ: sin р = — cos ф0. Vi 22.4B2.4). В предыдущей задаче опреде- определить время Ту по истечении которого катер встретится с кораблем, если и первоначальное расстояние между ними равнялось АВ = /. К задаче 22.3 Ответ: Т = v0 sin <ф0 + <\Jv\ - v20 cos2 cos-фр COS (¦o-P) COS (ф0 22.5B2.5). Проволочная окружность вра- вращается в своей плоскости относительно не- неподвижного шарнира О с постоянной угло- угловой скоростью о. Как будет двигаться точка М пересечения этой окружности с неподвижной окружностью того же радиуса /?, проходящей также через шарнир О? Ответ: Точка пересечения обходит каждую из окружностей с постоянной скоростью, равной а)/?. 22.6B2.6). Корабль идет курсом ЮВ со скоростью а узлов, при этом флюгер на мачте показывает ветер В. Корабль уменьшает 155
ход до а/2 узлов, флюгер показывает ветер СВ. Определить: 1) на- направление и 2) скорость ветра. Примечание. Наименование курса указывает, куда идет корабль, наиме- наименование ветра — откуда он дует. Ответ: 1) С севера, 2) а л/2/2 узлов. 22.7B2.7). Для определения собственной скорости самолета при ветре на Земле отмечают прямую линию известной длины /, концы которой должны быть хорошо видны сверху. Направление отмеченной прямой должно совпадать с направлением ветра. Вдоль этой прямой самолет пролетел сначала по ветру за время t\ с, а за- затем против ветра за время t2 с. Определить собственную скорость v самолета и скорость V ветра. Ответ: v-±(j- + -L) м/с, ^(т"" "В ^ 22.8B2.8). Для определения собственной скорости v самолета при ветре размечают на земле треугольный полигон ABC со сто- сторонами ВС=1и СА = 12, АВ = 1Ъ м. Для каждой стороны поли- полигона определяют время полета: t\9 h, h c- Определить собственную скорость v. самолета, предпо- предполагая, что она неизменна по величине, и скорость V вет- ветра. Задачу решить графи- графически. Пояснение. Собственней скоростью самолета называется R -^ ^ скорость самолета относительно *> о воздуха. К задаче 22.8 Ответ: От ПрОИЗВОЛЬНОЙ точки М отложить три век- вектора, соответственно равных U/t\, l2/t2, h/h и параллельных сторо- сторонам ВС, СА и АВ полигона. Величина скорости v самолета опре- определится радиусом окружности, проходящей через концы этих век- векторов. Скорость ветра определяется вектором МО. 22.9B2.9). Пассажир движущегося со скоростью 72 км/ч по го- горизонтальному шоссе автомобиля видит через боковое стекло ка- кабины траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом 40°. Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло. Отвел v= -^-^ = 23,8 м/с. 22.10B2.10). Берега реки параллельны; лодка вышла из точки Л и, держа курс перпендикулярно берегам, достигла противопо- противоположного берега через 10 мин после отправления. При этом она попала в точку С, лежащую на 120 м, ниже точки А по течению реки. Чтобы, двигаясь с прежней относительной скоростью, по- попасть из точки А в точку Ву лежащую на прямой АВ, перпенди- 156
К задаче 22.12 кулярной берегам, лодке надо держать курс под некоторым углом к прямой АВ и против течения; в этом случае лодка достигает про- противоположного берега через 12,5 мин. Определить ширину реки /, относительную скорость и лодки по отношению к воде и скорость v течения реки. Ответ: I = 200 м, и = 20 м/мин, v = 12 м/мин. 22.11B2.11). Корабль плывет на юг со скоростью 36^/2 км/ч. Второй корабль идет курсом на юго-восток со скоростью 36 км/ч. Найти величину и направление скорости второго корабля, опреде- определяемые наблюдателем, находящимся на палубе первого корабля. Ответ: vr(vr = 36 км/ч) направлена на северо-восток. 22.12B2.12). Линейка АВ эллипсогра- эллипсографа приводится в движение стержнем ОС, вращающимся вокруг оси О с постоянной угловой скоростью соо. Кроме того, весь механизм вместе с направляющими вра- вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку О, с постоянной угло- угловой скоростью, равной также соо. Найти абсолютную скорость про- произвольной точки М линейки как функцию расстояния AM = I a предположении, что вращение стержня ОС и вращение всего ме- механизма происходит в противоположных направлениях. Ответ: vm =(АВ — 21) щ. 22.13B3.13). Решить предыдущую задачу для случая, когда оба вращения происходят в одном направлении. Ответ: vM не зависит от положения точки М и равна ЛВ-<о0. 22.14B2.14). Шары центробежного регулятора Уатта, вращаю- вращающегося вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со = 10 рад/с, благодаря изменению на- нагрузки машины отходят от этой оси, имея для своих стержней в данном положе- положении уГЛОВуЮ СКОрОСТЬ (Di = = 1,2 рад/с. Найти абсолют- абсолютную скорость шаров регуля- регулятора в рассматриваемый мо- момент, если длина стержней / = 0,5 м, расстояние ме- между осями их подвеса 2е = ==0,1 м, углы, образованные стержнями с осью регуля- регулятора, сс\ = о&2 = а = 30°. Ответ: v = 3,06 м/с. 22.15B2.15). В гидравлической турбине вода из направляющего аппарата попадает во вращающееся рабочее колесо, лопатки ко- которого поставлены, во избежание входа воды с ударом, так, чтобы относительная скорость vr касалась лопатки. Найти относительную 157 К задаче 22.14 К задаче 22.15
скорость частицы воды на наружном ободе колеса (в момент входа), если ее абсолютная скорость при входе v = 15 м/с, угол между абсолютной скоростью и радиусом а = 60°, радиус входа R = 2 м, угловая скорость колеса равна п рад/с. Ответ: vr = 10,06 м/с, (<^Г#) = 41°50'. 22.16B2.16). Частицы воды входят в турбину со скоростью и. Угол между скоростью и и касательной к ротору, проведенной в точке входа частицы, равен а. Внешний диаметр ротора D, его число оборотов в минуту п. К задаче 22.16 К задаче 22.17 Определить угол между лопаткой ротора и касательной в точке входа воды, при котором вода будет входить без удара (относи- (относительная скорость частиц в этом случае должна быть направлена вдоль лопаток). Л , о бОи sin а Ответ: tg Р= 22.17B2.17). В кулисном механизме при качании кривошипа ОС вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун Л, пе- перемещаясь вдоль кривошипа ОС, приводит в движение стержень АВУ движущийся в вертикальных направляющих К. Расстояние ОК — /. Определить скорость движения ползуна А относительно кровошипа ОС в функции от угловой скорости © и угла поворота <р криво- кривошипа. ~ /@ tg ф Ответ: Vr = -^-. 22.18B2.18). Найти абсолютную скорость какой-либо точки М спарника АВ, соединяющего кривошипы ОА и О\В осей О и Ои если радиусы колес одинаковы: R = 1 м; радиусы кривошипов: ОА = О\В =0,5 м. Скорость экипажа v0 = 20 м/с. Скорость точки М определить для четырех моментов, когда кри- кривошипы ОА и О\В либо вертикальны, либо горизонтальны. Колеса катятся по рельсам без скольжения. Ответ: vi — 10 м/с, v2 = 30 м/с, vz = v* = 22,36 м/с. 22.19B2.19). Колеса А и В вагона, движущегося со скоростью v по прямолинейному рельсу, катятся по нему без скольжения. Ра- К задаче 22.18 158
диусы колес равны г, и расстояние между осями d. Определить скорость центра колеса А относительно системы координат, неиз- неизменно связанной с колесом В. Ответ: Скорость равна vd/r, перпендикулярна к АВ и направ- направлена вниз. 22.20B2.20). Механизм состоит из двух параллельных валов О и Оь кривошипа ОА и кулисы О\В; конец А кривошипа ОА сколь- скользит вдоль прорези в кулисе ОХВ; расстояние между осями валов ОО\ равно а; длина кривошипа ОА равна /, причем / > а. Вал О вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти: 1) угловую К задаче 22.19 К задаче 22.20 К задаче 22.21 скорость (Oi вала Ох и относительную скорость точки А по отноше- отношению к кулисе О\В, выразив их через переменную величину ОХА = s; 2) наибольшие и наименьшие значения этих величин; 3) те положения кривошипа, при которых a>i = со. Ответ: 1) ©! = -!" 2) 'l-a' <¦>! min = < 3) щ = © ПрИ OXB J_ OXO. 22.21B2.21). Камень А качающейся кулисы механизма стро- строгального станка приводится в движение зубчатой передачей, со- состоящей из зубчатки D и зубчатки ?, несущей на себе ось камня А в виде пальца. Радиусы зубчаток /? = 0,1 м, /?i = 0,35 м, О\А = = 0,3 м, расстояние между осью О\ зубчатки Е и центром В ка- качания кулисы О\В = 0,7 м. Определить угловую скорость кулисы в моменты, когда отрезок О\А либо вертикален (верхнее и ниж- нижнее положения), либо перпендикулярен кулисе АВ (левое и пра- правое положения), если зубчатка имеет угловую скорость ю = 7 рад/с. Точки О\ и В расположены на одной вертикали. Ответ: о>1 = 0,6 рад/с, <оц = coiv = 0, (ош = 1,5 рад/с. 22.22B2.22). Определить угловую скорость вращающейся ку- кулисы кривошипно-кулисного механизма при четырех положениях 159
кривошипа — двух вертикальных и двух горизонтальных, если а = 60 см, / = 80 см и угловая скорость кривошипа равна п рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.) 4 Ответ: со1 = уя рад/с, соп = coIV = 0,64я рад/с, <о111 = 4я рад/с. 22.23B2.23). Определить абсолютную скорость поршня рота- тивного двигателя при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях шатуна АВ, если длина кривошипа О А = г = 0,24 м, угловая скорость цилиндра с картером равна 40я рад/с. (См. ри- рисунок к задаче 21.14.) Ответ: vi =20,11 м/с, vUi = 40,21 м/с, vu = viv =33,51 м/с. 22.24B2.24). Восточная, северная и вертикальная составляю- составляющие скорости точки М относительно Земли соответственно равны ve, VNy Vh- Высота точки над поверхностью Земли в данный момент равна Л, широта места ф. Радиус Земли /?, ее угловая скорость со. Определить составляющие абсолютной скорости точки. Ответ: vx = ve + (R + h)& cos cp, vy = vN, vz = vh (ось х на- направлена на восток, ось у — на север, ось z — вертикально вверх). 22.25. В кривошипно-кулисном механизме с поступательно дви- движущейся кулисой ВС кривошип ОА (расположенный позади ку- кулисы) длины I = 0,2 м вращается с постоянной угловой скоростью, равной Зах рад/с. Концом Л, соединенным шарнирно с камнем, скользящим в прорези кулисы, он сообщает кулисе ВС возвратно- поступательное движение. Опре- Определить скорость v кулисы в мо- мент, когда кривошип образует с осью кулисы угол 30°. Ответ: vi = 0,942 м/с. п\ К задаче 22.25 К задаче 22.26 22.26. Стержень скользит в вертикальных направляющих, опи- опираясь нижним концом с помощью ролика на поверхность полуци- полуцилиндра радиуса г. Полуцилиндр движется по горизонтали вправо с постоянной скоростью v0. Радиус ролика р. Определить скорость стержня, если в начальный момент он находился в наивысшем положении. Ответ: v=—, 160
22.27. На токарном станке обтачивается цилиндр диаметра d = 80 мм. Шпиндель делает п = 30 об/мин. Скорость продоль- продольной подачи v = 0,2 мм/с. Определить скорость vr резца относи- относительно обрабатываемого цилиндра. Ответ: vr= 125,7 мм/с, tga = 628, где a — угол между vr и осью шпинделя. § 23. Сложение ускорений точки 23.1B3.1). Наклонная плоскость АВ> составляющая угол 45° с горизонтом, движется прямолинейно параллельно оси Ох с по- постоянным ускорением 0,1 м/с2. По этой плоскости спускается тело Р с постоянным относительным ускорением 0,1 л/2 м/с2; начальные скорости плоскости и тела равны нулю, начальное положение тела определяется координатами х = 0, у = Л. Определить траекторию, скорость и ускорение абсолютного движения тела. Ответ: y = h — x/2, a = 0,1 У5/ м/с, ку = 0,1 У5 м/с2. 23.2B3.2). Велосипедист на некотором участке горизонтального прямолинейного пути движется по закону s = 0ylt2 (s — в метрах, У\ Л N К задаче 23.] К задаче 23.2 t — в секундах). Дано: R = 0,35 м, / = 0,18 м, z\ = 18 зубцов, Zi = 48 зубцов. Определить абсолютное ускорение осей М и Af ве- велосипедных педалей (предполагая, что колеса катятся без сколь- скольжения) при t = 10 с, если в этот момент кривошип MN располо- расположен вертикально. Ответ: vM = 0,860 м/с2, wN = 0,841 м/с2. 23.3B3.3). Определить абсолютное ускорение какой-нибудь точки М спарника АВ, соединяющего кривошипы осей О и Оь если экипаж движется по прямолинейному участку пути равно- равномерно со скоростью vo = 10 м/с. Радиусы колес R = 1 м, радиусы кривошипов г = 0,75 м. (См. рисунок к задаче 22.18.) Ответ: w = 75 м/с2. 23.4B3.4). Найти скорости и ускорения точек Mit M2y Мг и М4 гусеницы трактора, движущегося без скольжения по прямолиней- прямолинейному участку пути со скоростью v0 и ускорением w0; радиусы ко- колес трактора равны /?; скольжением гусеницы по ободу колес пре- пренебречь. И. В. Мещерский 161
Ответ: = v3 = v0 д/2, t>2 = \ = у wo + (^о + w2 = wa = 0. wz = V^o + (wo — 23.5B3.5). На тележке, движущейся по горизонтали вправо с ускорением w = 0,492 м/с2, установлен электрический мотор, ро- ротор которого при пуске в ход вращается согласно уравнению К задаче 23.4 К задаче 23.5 ф = t2, причем угол ф измеряется в радианах. Радиус ротора равен 0,2 м. Определить абсолютное ускорение точки Л, лежащей на ободе ротора, при t = 1 с, если в этот момент точка А находится в положении, указанном на рисунке. Ответ: wA (wa = 0,746 м/с2) направлено по вертикали вверх. 23.6B3.6). Определить в предыдущей задаче угловую скорость равномерного вращения ротора, при которой точка А, находясь в положении В, имеет абсолютное ускорение, равное нулю. Ответ: о) = 1,57 рад/с. ш К задаче 23.7 К задаче 23.8 23.7B3.7). К валу электромотора, вращающегося согласно уравнению ср = at (со = const), прикреплен под прямым углом стержень ОА длины /; при этом электромотор, установленный без креплений, совершает горизонтальные гармонические колебания на фундаменте по закону х = a sin cot. Определить абсолютное ускорение точки А в момент времени / = -|^- с. Ответ: wa = ю2 Vfl2 + Р- 23.8B3.8). Тележка, на которой установлен мотор, движется по горизонтали вправо с постоянным ускорением w = 0,4 м/с2. Мо- Мотор вращается по закону <р = !/2*2. Определить абсолютное уско- 162
рение в момент /=1 с четырех точек Ми М2> М3, Af4 ротора, от- отстоящих от оси ротора на расстоянии I = 0,2 <у/2 м и занимаю- занимающих в этот момент положение, указанное на рисунке. Ответ: w\ = 0,4 д/2 м/с2, w2 = 0,w3 = 0,4 д/2 м/с2, иу4 = 03 м/с2. 23.9B3.9). Автомобиль на прямолинейном участке пути дви- движется с ускорением Wo = 2 м/с2. На продольный вал насажен вра- вращающийся маховичок радиуса # = 0,25 м, имеющий в данный момент угловую скорость Г со = 4 рад/с и угловое ускорение е = 4 рад/с2. I fa j. Найти абсолютное ускорение точек обода ма- j | j ховичка в данный момент. Lj==4 l. Ответ: w = 4,58 м/с2. 23.10B3.10). СаМОЛеТ ДВИЖеТСЯ ПрЯМОЛИ- К задаче 23.9 нейно с ускорением t^0 = const = 4 м/с, винт диаметра rf = 1,8 м вращается равномерно с угловой скоростью равной 60я рад/с. Найти уравнения движения, скорость и уско- ускорение конца винта в системе координат, неподвижной относитель- относительно Земли, причем ось Ох этой системы координат совпадает с осью винта. Начальная скорость самолета v0 = 0. Ответ: х = 2Р м, # = 0,9 cos 60я* м, z = 0,9 sin 60я* м; v — м/с; ш = 31945 м/с2. 23.11B3.11). В регуляторе, вращающемся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью о) = 6я рад/с, тяжелые гири Л, прикрепленные к концам пружины, совершают гармонические колебания вдоль паза MN таким образом, что рас- расстояние их центров тяжести от оси вра- вращения изменяются по закону # = @,1 + + 0,05 sin 8nt) м. Определить ускорение центра тяжести гири в момент, когда ко- кориолисово ускорение достигает макси- максимального значения, и указать значение кориолисова ускорения при крайних по- положениях гири. Ответ: wa = 6я2 м/с2, wc = 0. 23.12B3.12). Струя воды течет по го- горизонтальной трубе ОА9 равномерно вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, рав- равной 2я рад/с. Определить кориолисово ускорение wc в этой точке струи, где относительная скорость vr (vr = 21/11 м/с) направ- направлена на ОА. Принять для я приближенное значение я = = 22/7. Ответ: wc = 24 м/с2. 23.13B3.13). Круглая трубка радиуса /?=1 м вращается во- вокруг горизонтальной оси О по часовой стрелке с постоянной угло- угловой скоростью со = 1 рад/с. В трубке около ее точки А колеблется шарик М, причем так, что угол <р = sin nt. Определить абсолютные К задаче 23.11 163
ускорения шарика: касательное wx и нормальное wn в момент *2У Ответ: wx = —4,93 м/с2, wn = 13,84 м/с2. 23.14B3.14). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска, по часовой стрелке равноускоренно с угловым ускорением 1 рад/с2; в момент t = О угловая скорость его равна \ К задаче 23.13 К задаче 23.14 нулю. По одному из диаметров диска колеблется точка М так, что ее координата | = sin nt м, причем t— в секундах. Определить в момент t = 12/3 с проекции абсолютного ускорения точки М на оси ?, т|, связанные с диском. Ответ: wi = 10,95 м/с2, хю^ = —4,37 м/с2. 23.15B3.15). Точка движется равномерно с относительной ско* ростью vr по хорде диска, который вращается вокруг своей оси О, перпендикулярной плоскости диска, с постоянной угловой ско- скоростью со. Определить абсолютные скорость и ускорение точки в тот момент, когда она находится на кратчайшем расстоянии h от оси, в пред- предположении, что относительное движение точки происходит в сторону вращения диска. Ответ: v = vr + Лео, w = со2А + 2a>vr. 23.16B3.16). Для передачи вращения одного вала к другому, параллельному первому, применяется муфта, которая является обращенным эллиптическим циркулем с закрепленным кривошипом ОО\. Кривошип АВ вращается с угловой скоростью coi вокруг оси О\ и приводит во вращение крестовину вокруг оси О вместе со вторым валом. Определить угловую скорость вращения крестовины, а также пе- переносную и относительную (по отношению к крестовине) скорости и ускорения (перенос«ое, относительное и кориолисово) точки А ползуна при coi = const, если ОО\ = АО\ = О\В = а. К задаче 23.16 Отвзт: <*=-у> ов = а<°1 sin -у" vr = cos •-7Г- Sin -г wc = а<й\ cos ~y i 264
К задаче 23.18 К задаче 23.19 23.17B3.17). Велосипедист движется по горизонтальной плат- платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угло- угловой скоростью со = 1/2 рад/с; расстояние велосипедиста до оси вра- вращения платформы остается постоянным и равным г = 4 м. Отно- Относительная скорость велосипедиста vr = 4 м/с и направлена в сто- сторону, противоположную переносной скорости соответствующей точ- точки платформы. Определить абсолютное ускорение велосипедиста. Найти также, с какой относительной скоростью он должен дви- двигаться, чтобы его абсолютное ускорение равнялось нулю. Ответ: 1) w(w = 1 м/с2) направлено по радиусу к центру диска; 2) vr = 2 м/с. 23.18B3.18). Компрессор с прямолинейными каналами равно- равномерно вращается с угловой скоростью ш вокруг оси О, перпенди- перпендикулярной плоскости рисунка. Воздух течет по каналам с постоян- постоянной относительной скоростью vr. Найти проекции абсолютной ско- скорости и ускорения на оси коор- координат для частицы воздуха, нахо- находящейся в точке С канала АВ, при следующих данных: канал АВ наклонен к радиусу ОС под углом 45°, ОС = 0,5 м, со = = 4я рад/с, vr = 2 м/с. Ответ: vi = 7,7 м/с, Vt\ = = 1,414 м/с, ад* = 35,54 м/с2, Wr\ = — 114,5 м/с2. 23.19B3.19). Решить предыдущую задачу для случая криволи- криволинейного канала, если радиус кривизны канала в точке С равен р, а угол между нормалью к кривой АВ в точке С и радиусом ОС равен ф. Радиус СО равен г. Ответ: t>? = vr cos qp -f ro>, v^ = vr sin <p, w^ = Burco — i>2/p) sin qp, w^ = — [rco2 + Bt;r(u — o2/p) cos ф]. 23.20B3.20). Выразить как функцию времени угловое ускоре- ускорение е качающейся кулисы поперечно-строгального станка, если кривошип длины г вращается равномерно с угловой скоростью со; расстояние между осями вращения кривошипа и кулисы а> г. (См. рисунок к задаче 21.13.) Ответ. (г2 - а2) агсо2 sin at итвет. ь (а2 + г2 + 2аг cos ©О2 * 23.21B3.21). Камень А совершает переносное движение вместе с кулисой, вращающейся с угловой скоростью со и угловым уско- ускорением е вокруг оси О\у перпендикулярной плоскости кулисы, и от- относительное прямолинейное движение вдоль прорези кулисы со скоростью vr и ускорением wr. Определить проекции абсолютного ускорения камня на подвижные оси координат, связанные с кули- кулисой, выразив их через переменное расстояние О\А = s. (См. ри- рисунок к задаче 22.20.) 165
Ответ: w\ = wr — sco2; w^ = ss + 2vrv>, причем оси ? и х\ на- направлены соответственно вдоль прорези и перпендикулярно к ней. 23.22B3.22). Определить угловое ускорение вращающейся ку- кулисы кривошипно-кулисного механизма строгального станка при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа, если длина кривошипа / = 0,4 м, расстояние между осями криво- кривошипа и кулисы а = 0,3 м, угловая скорость равномерного враще- вращения кривошипа о = 3 рад/с. (См. рисунок к задаче 22.20.) Ответ: ф = 0 и ср = 180°, 8 = 0; ср=90°, е = 1,21 рад/с2; ф = 270°, е = 1,21 рад/с2 (вращение замедленное). 23.23B3.23). Найти ускорение относительного движения камня У//Л кулисы вдоль ее прорези в предыдущей задаче при указанных четырех положе- положениях кривошипа. Ответ: ф = 0, wr = 1,543 м/с2; ф = 90° и ф = 270°, wr = 1,037 м/с2; ф = 180°, wr = — 1,037 м/с2. 23.24B3.24). Найти уравнение движе- движения, скорость и ускорение суппорта М строгального станка, приводимого в дви- движение кривошипно-кулисным механиз- механизмом с качающейся кулисой О\В. Схема указана на рисунке. Кулиса соединена с суппортом М при помощи ползуна В, скользящего относительно суппорта по направляющей, перпенди- перпендикулярной оси его движения. Дано: ОХВ = 1У ОА = г, О\О=ау г < а; кривошип О А вращается с постоянной угловой скоростью©; угол поворота кривошипа отсчитывается от вертикальной оси. К задаче 23.24 Ответ: х = г sin mt - (а-\- г cos (dt) (a cos cot + г) l> In2 i r2 i лпг rnsi ел*\Ч* ' Va2 + t2 + 2ar cos (at (a2 + r2 + W = r/(D2 a (^2 - *2) <« + r cos op - r2 (a cos со/ + гJ sin (a2 + r2 + 2ar cos (ot) h Примечание. Координата отсиитывается от вертикали, проходящей через точку О. 23.25B3.25). Найти ускорение резца строгального станка с ка- качающейся кулисой при двух вертикальных и двух горизонтальных положениях кривошипа, если длина кривошипа г = 0,1 м, расстоя- расстояние между центрами вращения кривошипа и кулисы а = 0,3 м, длина кулисы / = 0,6 м, угловая скорость вращения кривошипа @ = 4 рад/с = const. (См. рисунок к задаче 23.24.) Ответ: При ср = 0 и <р = 180° wx = 0, при ф = 90° и <р = = 270° о>* =+2,21 м/с2. 23.26B3.26). Лопатка АВ турбины, вращающейся против часо- часовой стрелки замедленно с угловым ускорением, равным 3 рад/с2, имеет радиус^ кривизны 0,2 м и центр кривизны в точке С, причем ОС = 0,1 -д/10 м. Частица воды Р, отстоящая от оси О турбины на расстоянии ОР = 0,2 м, движется по лопатке наружу и имеет ско-
рость 0,25 м/с и касательное ускорение 0,5 м/с2 по отношению к лопатке. Определить абсолютное ускорение частицы Р в тот мо- момент, когда угловая скорость турбины равна 2 рад/с. Ответ: wa = 0,52 м/с2. 23.27B3.27). По радиусу диска, вращающегося вокруг оси O1O2 с угловой скоростью (о = 2/ рад/с в направлении от центра диска к его ободу движется точка М по закону ОМ = it2 см. Радиус ОМ составляет с осью О\О2 угол 60°. Определить величину абсолютного ускорения точки М в момент t = 1 с. Ответ: wM = 35,56 см/с2. К задаче 23.26 К задаче 23.27 К задаче 23.28 23.28B3.28). Прямоугольник ABCD вращается, вокруг стороны CD с угловой скоростью со = я/2 рад/с = const. Вдоль стороны А В движется точка М по закону g = asin — / м. Даны размеры: DA = СВ = а м. Определить величину абсолют- абсолютного ускорения точки в момент времени t = 1 с. Ответ: wa = ^j- л/2 м/с2. 23.29B3.29). Квадрат ABCD со стороною 2а м вращается вокруг стороны АВ с постоянной угло- угловой скоростью <о = я -д/2 рад/с. Вдоль диагонали Л С совершает гармоническое колебание точка М по закону | = а cos-г / м. Определить величину аб- абсолютного ускорения точки при ?=1си/ = 2с Ответ: wa* = ал2 д/5 м/с2, wa* = 0,44ая2 м/с2. К задаче 23.29 23.30B3.30). Стержень ОА вращается вокруг оси г, проходя- проходящей через точку О, с угловым замедлением 10 рад/с2. Вдоль стержня от точки О скользит шайба М. Определить абсолютное ускорение шайбы в момент, когда она находится на расстоянии 0,6 м от точки О и имеет скорость и ускорение в движении вдоль стержня соответственно 1,2 м/с и 0,9 м/с2, если в этот момент угло- угловая скорость стержня равна 5 рад/с. Ответ: wa = 15,33 м/с2 и составляет с направлением МО угол в 23°. 167
23.31B3.31). Шайба М движется по горизонтальному стержню ОА, так что ОМ =0,5/2 см. В то же время стержень вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через точки О, по закону ф = t2 + t. Определить радиальную и трансверсальную составляю- составляющие абсолютной скорости и аб- солютного ускорения шайбы в момент t = 2 с. Ответ: 1>г = 0,02 см/с, с/ф = = 0,1 см/с, wr = — 0,49 см/с2, шф = 0,24 см/с2. 23.32B3.32). Круг радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной точки О, лежащей на его окруж- окружности. При вращении круг пере- пересекает неподвижную горизонталь- горизонтальную прямую — ось jc, проходя- проходящую через точку О. Найти ско- скорость и .ускорение точки М пересечения круга с осью х в движе- движениях этой точки по отношению к кругу и по отношению к оси х. Выразить искомые величины через расстояние ОМ = х. Ответ: По отношению к прямой Ох точка М движется со ско- скоростью — © <\/4г2 — х2 и ускорением —со2дг. По отношению к кругу точка движется в сторону, противоположную вращению круга, с постоянной скоростью 2сог и ускорением 4со2г. К задачам 23.30 и 23.31 К задаче 23.32 К задаче 23.33 23.33B3.33). Горизонтальная прямая АВ перемещается парал- параллельно самой себе по вертикали с постоянной скоростью и и пере- пересекает при этом неподвижный круг радиуса г. Найти скорость и ускорение точки М пересечения прямой с окружностью в движе- движениях этой точки относительно круга и относительно прямой АВ в функции от угла ф (см. рисунок). Ответ: 1) В движении по окружности точка М имеет скорость U U2 COS CD и касательное ускорение . 3 , нормальное ускорение 2) По отношению к прямой АВ точка М движется со скоростью 2 и cos ф 1ЛГ 168
23.34B3.34). Полупрямая ОА вращается в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки О с постоянной угловой скоростью со. Вдоль ОА перемещается точка М. В момент, когда полупрямая совпадала с осью х, точка М находилась в началее координат. Оп- Определить движение точки М относительно полупрямой О А, если из- известно, что абсолютная скорость v точки М постоянна по величине. Определить также абсолютную траекторию и абсолютное ускорение точки М. Ответ: Точка М движется по ОА со ско- скоростью Vr = V COS (dt. Абсолютная траектория точки М — траектория точки окружность, ее уравнение в полярных ко- координатах r = — sincp, в декартовых коор- х К задаче 23.34 динатах х2 + (У —-^- ) =Г-т") • Абсолютное ускорение точки М Wa = 23.35B3.35). Точка движется с постоянной скоростью v по ра- радиусу диска, вращающегося с постоянной угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Определить абсолютное ускорение точки в тот мо- момент, когда она будет находиться на расстоянии г от центра диска. Ответ: wa = <*> Vr2@2 + 4и2. 23.36B3.36). Шарик Р движется со скоро- скоростью 1,2 м/с от Л к В по хорде АВ диска, вра- вращающегося вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. Найти абсолютное ускорение шарика, когда он нахо- находится на кратчайшем расстоянии от центра ди- диска, равном 30 см. В этот момент угловая ско- скорость диска равна 3 рад/с, угловое замедление равно 8 рад/с2. Ответ: wa = 10,18 м/с2. 23.37B3.37). Решить предыдущую задачу в предположении, что диск вращается вокруг диаметра, параллельного хорде. Ответ: wa = 3,612 м/с2. 23.38B3.38). Решить задачу 23.36 при условии, что осью вра- вращения диска является диаметр, перпендикулярный хорде. Ответ: wa = 7,2 м/с2. 23.39B3.39). Корабль, находящийся на экваторе, идет курсом северо-восток. Скорость движения корабля равна 20 узлам. Найти абсолютную скорость и кориолисово ускорение корабля с учетом вращения Земли, считая радиус Земли равным R = 6,378-106 м (наименование курса указывает, куда идет судно; узел = 1 мор- морская миля/ч = 1852 м/ч = 0,5144 м/с). Ответ: va = 470,4 м/с, wc =1,06-10 м/с2. 169 К задаче 23.36
23.40B3.40). В условиях предыдущей задачи найти абсолютное ускорение корабля, считая его скорость постоянной. Ответ: wa = 347,766-10~4 м/с2. 23.41B3.41). По ободу диска радиуса /?, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой скоростью со, движется с постоянной по модулю скоростью v точка М. Найти абсолютное ускорение точки М как функцию угла ф, составленного радиус-век- радиус-вектором точки с осью вращения диска. Ответ: wa = sln2 Ф + 2coV(l + cos2qp). 23.42B3.42). Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью ш вокруг оси, проходящей через его центр перпендику- перпендикулярно плоскости диска. По одному из диаметров диска движется точка М так, что ее расстояние от центра дис- диска меняется по закону ОМ = R sin со*. Найти абсо- абсолютную траекторию, абсо- абсолютную скорость и абсолют- абсолютное ускорение точки М. К задаче 23.41 К задаче 23.42 Ответ: ЕСЛИ НачаЛЬНОв положение точки М принять за начало координат, а ось у направить по начальному положе- положению диаметра, по которому движется точка М, то уравнение тра- траектории будет (окружность половинного радиуса с центром на середине радиуса). Абсолютная скорость va = со/?. Абсолютное ускорение wa = 2оо2#. 23.43B3.43). Диск вращается с постоянной угловой скоростью о во- вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска. По хорде АВ из ее середины D движется точка М с постоянной относительной скоростью и. Хорда отстоит от центра диска на расстоя- расстоянии с. Найти абсолютную ско- скорость и абсолютное ускорение точ- точки М как функции расстояния DM=x. К задаче 23.43 К задаче 23.44 Ответ: va=^J(?>2x2 + (u + (ucJt wa = со У<°2*2 + Bи + ©сJ. 23.44B3.44). По подвижному радиусу диска от центра к ободу движется точка М с постоянной скоростью vr. Подвижный радиус поворачивается в плоскости диска с постоянной угловой скоростью соь Плоскость диска вращается вокруг своего диаметра с постоян* 170
ной угловой скоростью ©2. Найти абсолютную скорость точки М, считая, что при t = О точка М находилась в центре диска, а под- подвижный радиус был направлен по оси вращения диска. Ответ: va = vr*Jl+t2 (со2 + ю2 sin* a^/). 23.45B3.45). Точка движется со скоростью 2 м/с по окруж- окружности обода диска диаметра 4 м. Диск вращается в противополож- противоположном направлении, имея в данный момент угловую скорость 2 рад/с и угловое ускорение 4 рад/с2. Определить абсолютное ускорение точки. Ответ: wa(wa = 8,24 м/с2) направлено под углом 76° к радиусу. 23.46B3.46). Диск вращается вокруг оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр, по закону ф = 2Д/3. Вдоль радиуса диска начинает двигаться точка по закону s = =4t2—10^ + 8 (см). Расстояние s измеряется от центра диска. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в момент времени t = 1 с. Ответ: va = 4,47 см/с, wa = 0. 23.47B3.47). Полое кольцо радиуса г жестко соединено с ва- валом АВ, и притом так, что ось вала расположена в плоскости оси К ^ч р кольца. Кольцо заполнено жидкостью, движущейся в нем в направлении стрелки с постоянной относительной скоростью и. Вал АВ вра* щается по направлению движения стрелки часов, если смотреть по оси вра- вращения от Л к В. Угловая скорость вала о постоянна. Определить величины абсо- абсолютных ускорений частиц жидкости, расположенных в точках 19 2,3 и 4. К задаче 23.47 К задаче 23.48 и2 и2 и2 и2 Ответ: w\ = г©2 —, до3 — Згсо2 + —, w2 = w^= 2r©2 + —. 23.48B3.48). По условиям предыдущей задачи, измененным лишь в том отношении, что плоскость оси кольца теперь перпенди- перпендикулярна оси вала АВУ определить те же величины в двух слу- случаях: 1) переносное и относительное движения одного направления; 2) составляющие движения противоположны по направлению. Ответ: 1) w\ = г©2 — и2/г — 2исо, до3 = Згсо2 + и2/г + 2ош, (о2гJ + 4(о2г2; 2) w\ = г©2 — и2/г + 2иоо, wz = Згсо2 + и?/г — 2ош, W2=W4= У((О2Г + U2/Г — 2йШJ + 4@4Г2. 23.49B3.49). Точка М равномерно движется по образующей кру* гового конуса с осью О А от вершины к основанию с относительной 171
скоростью vr\ угол МО А = а. В момент t = 0 расстояние ОМо = а. Конус равномерно вращается вокруг своей оси с угло- угловой скоростью о. Найти абсолютное ускорение точки М. \ Ответ: Ускорение лежит в плоскости, перпен- перпендикулярной оси вращения, и представляет со- собой гипотенузу треугольника с катетами wen = «= о2(а + vrt) sin а и wc = 2vra sin а. 23.50B3.50). Определить в предыдущей зада- задаче величину абсолютного ускорения точки М в момент t= l с в том случае, когда она движет- к задаче 23.49 ся по образующей конуса с постоянным относи- относительным ускорением wr, направленным от вер- вершины конуса к основанию, при следующих данных: а = 30°, а = = 15 м, wr = 10 м/с2, со = 1 рад/с; в момент t = 0 относительная скорость точки vr равна нулю. Ответ: w = 14,14 м/с2. 23.51B3.51). Полагая в задаче 23.49, что конус вращается вокруг своей оси равноускоренно с угловым ускорением е, опреде- определить величину абсолютного ускорения w точки М в момент t = 2 с при следующих данных а = 30°, а = 0,2 м, vr = 0,3 м/с, е = = 0,5 рад/с2; в момент t = 0 угловая скорость о равна нулю. Ответ: w = 0,64 м/с2. 23.52B3.52). Река ширины 500 м течет с юга на север со ско- скоростью 1,5 м/с. Определить кориолисово ускорение wc частиц воды, находящихся на 60° северной широты. Определить затем, у какого берега вода выше и насколько, если известно, что поверхность воды должна быть перпендикулярна направлению векто- вектора, составленного из ускорения силы тяже- тяжести g и вектора, равного и противополож- противоположного кориолисову ускорению. Ответ: Кориолисово ускорение wc(wc = к задаче 23.52 =1,89-10~4 м/с2) направлено к западу. Вода выше у правого берега на 0,0096 м. 23.53B3.53). Магистраль южных железных дорог к северу от Мелитополя идет прямо по меридиану. Тепловоз движется со ско- скоростью v «я 90 км/ч на север; широта места ср = 47°. Найти корио- кориолисово ускорение тепловоза. Ответ: we = 2,66-10 м/с2. 23.54B3.54). По железнодорожному пути, проложенному по па- параллели северной широты, движется тепловоз со скоростью ?>г = 20 м/е с запада на восток. Найти кориолиеово ускорение wc тепловбза. Ответ: шс = 2,91-10-3 м/с2. 23.55B3.55). Определить кориолисово ускорение точек Ми М2, М3, М4 колеса электровоза, движущегося по меридиану, в момент пересечения экватора. Скорость центра колеса электровоза Vq = = 40 м/с. 172
Ответ: Для точек М\ и М3 wc=0; для точек М2 и М4 wc = = 5,8ЬЮ-3 м/с2. 23.56B3.56). Река Нева течет с востока на запад по параллели 60° северной широты со скоростью vr = 1,П м/с. Определить сум- сумму проекций на касательную ВС к соответствующему меридиану N \S К задаче 23.55 К задаче 23.56 тех составляющих ускорений частиц воды, которые зависят от ско- скорости течения. Радиус Земли R = 64-Ю5 м. Ответ: wbc = 1,395-10~4 м/с2. 23.57B3.57). Река Нева течет с востока на запад по параллели 60° северной широты со скоростью 1>Г=1,П м/с. Найти состав- составляющие абсолютного ускорения частицы воды. Радиус Земли /? = 64-105 м. Ответ: ш<>=1,692-10-2 м/с2, ауг = 3,86-10 м/с2, аус = 1,616Х X Ю-4 м/с2. 23.58B3.58). Найти абсолютное ускорение шаров центробеж- центробежного регулятора Уатта, если он вращается вокруг своей верти- вертикальной оси, имея в данный момент угловую скорость со = я/2 рад/с при угловом ускорении е = 1 рад/с2; угловая скорость расхож- расхождения шаров (Oi = я/2 рад/с при угловом ускорении ei =0,4 рад/с2. Длина рукояток шаров I = 0,5 м, расстояние между осями их при- привеса 2е = 0,1 м, угол раствора регулятора в рассматриваемый мо- момент 2а = 90°. Размерами шаров пренебречь, принимая шары за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.) Ответ: w = 2,937 м/с2. 23.59B3.59). Найти абсолютное ускорение шаров центробеж- центробежного регулятора Уатта, если после изменения нагрузки машины регулятор начал вращаться с угловой скоростью со = я рад/с, при- причем шары продолжают опускаться в данный момент со скоростью Vr = 1 м/с и касательным ускорением wrx = 0,1 м/с2. Угол рас- раствора регулятора 2а = 60°; длина рукояток шаров I = 0,5 м, рас- расстоянием 2е между их осями привеса можно пренебречь. Шары принять за точки. (См. рисунок к задаче 22.14.) Ответ: ш = 6,71 м/с2. 23.60B3.60). Воздушная трапеция ABCD совершает качания вокруг горизонтальной оси О\О2 по закону (p = (posin(D/. Гимнаст, выполняющий упражнение на перекладине АВ, вращается вокруг нее с относительной угловой скоростью со = const; дано; ВС = 173
= AD = l. Определить абсолютное ускорение точки М на подошве гимнаста, отстоящей от перекладины АВ на расстоянии а в мо- момент t = л/со с. В начальный момент гимнаст был расположен вертикально, головой вверх: трапеция ABCD занимала вертикальное нижнее по- 0 ложение. Ответ: wM(wM = со2[ф2{I—a)—aBcp0 + + 1)]) направлено вертикально вверх, если выражение в квадратных скобках положи- положительно. 23.61B3.61). Точка движется по радиу- радиусу диска согласно уравнению г = aekt> где a,k — постоянные величины. Диск враща- к задаче 23.60 ется вокруг оси, перпендикулярной его пло- плоскости и проходящей через центр, согласно уравнению ф = kt. Определить абсолютную скорость, абсолютное ускорение, касательное и нормальное ускорения точки. Ответ: v = akekt^2, a> = 2ak2ekt, wx = ak2ekt д/2, wn = 23.62B3.62). Точка М движется по поверхности Земли; курс движения k (угол между направлением на север и скоростью v точки относительно Земли), широта места в данный момент равна ф. Определить восточную wCXi северную wcy и вертикальную wcz составляющие кориолисова ускорения точки. Ответ: wcx = —2ikd cos k sin ф, wcy = 2асо sin k sin ф, wcz = = — 2v(o sin k cos ф, где со — угловая скорость вращения Земли. 23.63B3.63). В условиях предыдущей задачи определить вели- величину и направление горизонтальной составляющей кориолисова ускорения точки М. Ответ: wCH = 2yco sin ф; горизонтальная составляющая перпен- перпендикулярна скорости v точки М относительно Земли и направлена влево от нее в северном полушарии и вправо в южном полушарии. 23.64B3.64). Высота точки М'над поверхностью Земли равна Л, широта места ф. Определить восточную wex, северную wey и вер- вертикальную Wez составляющие переносного ускорения точки, обус- обусловленного вращением Земли (R — ее радиус, © — угловая ско- скорость) . Ответ: wex = 0, wey = (R + h) со2 sin ф cos ф, wez = — (/? + К) aJ cos2 ф. 23.65B3.65). Восточная, северная и вертикальная проекции ско- скорости точки М относительно Земли соответственно равны ve, vn и vh- Определить проекции относительного ускорения точки на коор- координатные оси х, у у z (ось х направлена на восток, ось у — на се- север, ось z — по вертикали), если высота ее над поверхностью Земли в данный момент равна Л, а широта места ф (/? и (о — ра- радиус и угловая скорость Земли)» 174
0 V&1. *КФ 23.66B3.66). В условиях предыдущей задачи определить со- составляющие абсолютного ускорения точки М, движущейся вблизи Земли. Ответ: wx = vE— — 2 (vN sinq>— ahcos<p)o; ф2 Si" Ф cos Ф + ^E1» sin Ф' 23.67. Кривошипно-кулисный механизм приводного молота со- состоит из прямолинейной кулисы, совершающей возвратно-поступа- возвратно-поступательное движение. Кулиса приводится в движение камнем Л, со- соединенным с концом кривошипа ОА = г = 0,4 м, который вращает- вращается равномерно с угловой скоростью, равной 4я рад/с. При t = 0 кулиса занимает нижнее положение. Найти ускорение кулисы. Ответ: w = 63,2 cos 4nt м/с2. 23.68. Кривошип ОА = г = 0,5 м, приводящий в движение пря- прямолинейную кулису, которая совершает возвратно-поступательное движение, в момент, когда ZxOA = 60°, имеет угловую скорость @ = 1 рад/с и угловое ускорение е = ± 1 рад/с2. Найти ускорение кулисы в указанный момент для двух случаев: 1) когда е>0 и 2) когда е < 0. Ответ: wx = 0,683 м/с2, w2 = 0,183 м/с2. 23.69. Поступательно движущийся кулак имеет форму полу- полудиска, скользящего по направлению своего диаметра АВ с постоян- постоянной скоростью vo. Определить ускоре- ускорение движения стержня, опирающегося на кулак, перпендикулярного его диа- диаметру АВ и свободно скользящего в прорези державки. Радиус ролика равен р. В начальный момент стер- стержень находится в верхнем положении. п Ответ: W={ 23.70. На токарном станке обтачи- !Шшшшшшшшшшш%ш вается цилиндр диаметра 80 мм. к задаче 23.71 Шпиндель делает 30 об/мин. Скорость продольной подачи постоянна и равна 0,2 мм/с. Определить ско- скорость и ускорение резца относительно обрабатываемого цилиндра. Ответ: vr = 125,7 мм/с, we = 789,5 мм/с2, wr = wc = = 394,8 мм/с2.
23.71. Стержень скользит в вертикальных направляющих, опи- опираясь нижним концом на гладкую наклонную поверхность тре- треугольной призмы. Призма движется по горизонтали вправо с по- постоянным ускорением до0- Найти ускорение стержня. Ответ: w = w0 tg а. ГЛАВА VIII СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 24. Сложение движений тела а) Сложение плоских движений тела 24.1B4.1). Кривошип III соединяет оси О\ и О2 двух зубчатых колес / и //, причем зацепление может быть или внешнее, или внут- внутреннее, как указано на рисунке, колесо / остается неподвижным, а кривошип /// вращается вокруг оси О\ с угловой скоростью (о3- К задаче 24.1 К задаче 24.2 Зная радиусы колес г\ и гг, вычислить для колеса // его абсолют- абсолютную угловую скорость ©2 и его относительную угловую скорость @23 по отношению к кривошипу. Ответ: Внешнее зацепление: (о2 = а)з~—~» °>2з = °>з — • Внут- Внутреннее зацепление: а>2 = ~~ шз Г\ — Г2 сэ2з = — ю3 у-. Знак минус указывает на то, что соответствующие тела вращаются в проти- противоположные стороны. 24.2B4.2). Найти относительную и абсолютную угловые ско- скорости зубчатого колеса // радиуса г, катящегося по неподвижному зубчатому колесу / с тем же радиусом и приводящегося в движе- движение кривошипом ///, вращающимся вокруг оси неподвижного ко- колеса О с угловой скоростью ш0; движение кривошипа ОА принять за переносное. Ответ: @2з = <*>о, (Оз = 2(Оо. 24.3B4.3). Зацепление, приводящее в быстрое вращение точиль- точильный камень, устроено следующим образом: стержень IV посред- посредством особой ручки приводится во вращение вокруг оси О\ с угло- 176
вой скоростью ©4', на конце стержня Ог находится палец, на кото- который свободно надето колесо // радиуса гг. При вращении ручки палец заставляет колесо // катиться без скольжения по наруж- наружному неподвижному кругу III радиуса г3. При этом, благодаря трению, колесо // вращает без скольжения колесо / радиуса п, сво- свободно насаженное на ось О\ и неизменно связанное с осью точила. К задаче 24.3 К задаче 24.4 По данному радиусу г3 наружной неподвижной обоймы найти та- такое значение гь чтобы было (Di/(d4 = 12, т. е. чтобы точило вра- вращалось в 12 раз быстрее приводящей его в движение ручки. Ответ: r\=-ji ?г- 24.4B4.4). Найти число оборотов в минуту шестерни с числом зубцов 2з = 25, если кривошип ОА вращается вокруг оси О непод- неподвижной шестерни (с числом зубцов z0 = 60) с угловой скоростью, соответствующей по = 30 об/мин, и несет на себе ось двойной шестерни с числами зубцов гх = 40, 22 = 50. Ответ: ns= гц A- = — 60 об/мин (в отношении знака минус см. ответ к задаче 24.1). 24.5B4.5). В эпицикличе- эпициклическом механизме, применяемом в конных приводах молотилок, ВОДИЛО О А И КОЛеСО / раДИу- са г\ насажены на вал О сво- свободно; ось О\ колеса // укреплена на водиле, а колесо /// радиу- радиуса гъ может свободно вращаться вокруг оси О. Определить угло- угловую скорость ©1 колеса /, если водилу ОА сообщена угловая ско- скорость ©о, а колесу /// от другого двигателя (тоже конного) сообщена угловая скорость ©з противоположного направления. к задаче 24.5 Ответ: = щ (l + -~) + j^\ <o31- 24.6B4.6). Редуктор скоростей состоит из трех зубчатых колес. Первое колесо (число зубцов z\ = 20) насажено на ведущий вал /, 177
делающий п\ = 4500 об/мин, второе (z% = 25) свободно насажено на ось, жестко связанную с ведомым валом //, третье колесо (гз = 70) с внутренним зацеплением неподвижно. Найти число оборотов в минуту ведомого вала и бегающего колеса. Ответ: пи = 1000 об/мин, п2 = —1800 об/мин. 24.7B4.7). Ведущий вал / редуктора делает п\ = 1200 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала //, если неподвиж- неподвижное зубчатое колесо с внутренним зацеплением имеет z\ = 180 зуб- зубцов; бегающие шестеренки, спаренные между собой, имеют 22=60 н 1 z z \z 1 z r 3 V////////// К задаче 24.6 У/ШУ////////// К задаче 24.7 К задаче 24.8 и гз = 40 зубцов; шестеренка, закрепленная на ведомом валу, имеет z\ = 80 зубцов. Ответ: пи = 3000 об/мин. 24.8B4.8). Редуктор скоростей состоит из неподвижной шесте- шестеренки радиуса п = 40 см, двух бегающих шестеренок радиусов г2 = 20 см и гз = 30 см, спаренных меж- между собой, и шестеренки с внутренним зацеплением радиуса г4 = 90 см, сидя- сидящей на ведомом валу. Ведущий вал и кривошип, несущий оси бегающих ше- шестеренок, делают п\ = 1800 об/мин. Най- Найти число оборотов в минуту ведомого у вала. Ответ: пи = 3000 об/мин. 24.9B4.9). Редуктор скоростей с пла- планетарной передачей состоит из неподвиж- неподвижного солнечного колеса /, жестко связан- связанного с валом /, рамки, свободно вращаю- вращающейся вокруг осей I и II с угловой скоростью й, двух шестере- шестеренок 2 и 3, жестко связанных между собой и свободно насаженных на ось EF, вращающуюся вместе с рамкой, и ведомой шестерни 4, жестко связанной с валом //. Определить отношение угловой ско- ? т л У///// - 1 Z - -3 \ К задаче 24.9 178
рости вала // к угловой скорости рамки, если шестеренки имеют следующее число зубцов: 2i = 49, 22 = 50, 23 = 51, 24 = 50. °TeeT:JW = ^ko- 24.10B4.10). Найти угловую скорость соц ведомого вала ре- редуктора с дифференциальной передачей, если ведущий вал с кри- кривошипом, несущим на себе передаточные шестеренки, спаренные между собой, вращается с угловой скоростью со/ = 120 рад/с. Колесо / вращается с угловой скоростью ©i= 180 рад/с и имеет 2Т — '3 К задаче 24.10 К задаче 24.11 число зубцов z\ = 80; бегающие колеса имеют числа зубцов: z9 = 20, 23 = 40, а колесо, сидящее на ведомом валу, имеет 24 = 60 зубцов. Колесо / и ведущий вал вращаются в одном на- направлении. Ответ: (он = 280 рад/с. 24.11B4.11). Редуктор скоростей с дифференциальной переда- передачей состоит из четырех зубчатых колес, из которых первое—* с внутренним зацеплением — делает 160 об/мин и имеет 2i = 70 зубцов; вто- второе и третье спарены между собой и си- сидят на оси, вращающейся вокруг оси ве- ведущего вала / вместе с последним, де- делая Mi=1200 об/мин; числа зубцов: 2г= = 20, 2з = 30; четвертое — с внутренним зацеплением — имеет 24 = 80 зубцов и заклинено на ведомом валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если вал / и колесо / вращаются в противо- противоположных направлениях. Ответ: пи = 585 об/мин. 24.12B4.12). Редуктор скоростей имеет неподвижную шесте- шестеренку /, спаренные между собой подвижные шестеренки 2 и 3 с внутренним зацеплением и шестерню 4, заклиненную на ведомом Y////A I К задаче 24.12
валу. Найти число оборотов в минуту ведомого вала, если числа зубцов равны z\ = 3, г2 = 80, z3 = 70, г4 = 20; ведущий вал вра- вращается с угловой скоростью, соответствующей п\ = 1200 об/мин. Ответ: пи = —375 об/мин. 24.13B4.13). В блоке системы «Триплекс» на валу а — а же- жестко насажен цепной блок А; на тот же вал свободно насажена втулка Ь с подъемной цепью и грузом, наглухо соединенная с ру- рукояткой В. На каждый палец рукоятки свободно насажены две ше- шестерни // и ///, спаренные между собой, шестерни // сцеплены с шестерней /, заклиненной на валу а — а, шестеренки /// сцеплены с неподвижным зубчатым колесом IV. Определить отношение угло- угловых скоростей вращения вала а — аи втулки 6, если числа зубцов колес /, //, /// и IV соответственно равны: z\ = 12, z2 = 28, г3 = 14, г4 = 54. Ответ: 0а/о)& = 10. К задаче 24.13 24.14B4.14). В цилиндрическом дифференциале зубчатое ко- колесо радиуса R свободно насажено на вал / — /и несет на себе шестерни радиусов г2 и г3, спаренные друг с другом. Колесо R при- приводится в движение шестеренкой радиуса го. Шестеренки -радиусов г2 и гъ зацепляются с шестеренками радиусов г\ и г4, заклинен- заклиненными соответственно на валах / — / и //, из которых последний выполнен в виде втулки. Найти угловую скорость вала //, если известны угловые скорости вращения щ и п0 валов / — I и О — О, причем эти валы вращаются по одну сторону. Ответ: щ = (л, + п0 т) — - щ-g. . 24.15B4.15). В планетарном приводе картофелекопателя цен- центральная шестеренка а, совершающая поступательное прямолиней- прямолинейное равномерное движение вместе со своей осью, соединена при помощи паразитных шестеренок Ь с подвижными шестеренками с, к втулкам которых прикреплены крылья d\ оси шестеренок бис нагажены на водило S, вращающееся вокруг оси центральной ше- шестеренки а с угловой скоростью ©о. Определить абсолютную угло- 180
вую скорость шестеренок, а также характер движения крыльев, если радиусы всех шестеренок одинаковы. Ответ: со = 0; крылья совершают поступательное циклоидаль- циклоидальное движение вместе с центрами шестеренок с. К задаче 24.15 К задаче 24.16 24.16B4.16). Кривошип ОА с противовесом В вращается с угло- угловой скоростью со0 = const вокруг оси О неподвижной шестеренки и несет на конце А ось другой шестеренки того же размера, соеди- соединенной с цепью. Определить угловую скорость и угловое ускоре- ускорение подвижной шестеренки, а также скорость и ускорение произ- произвольной ее точки М, если длина кривошипа ОА = I. Ответ: со = О, е = О — шесте- шестеренка совершает круговое посту- поступательное движение вместе с центром A; vm = va = /со; wm = 24.17B4.17). В эпицикличе- эпициклической передаче ведущая шестерня к задаче 24.17 радиуса R вращается против ча- часовой стрелки с угловой скоростью ю0 и угловым ускорением е0, кривошип длины 3R вращается вокруг ее оси по часовой стрелке с той же угловой скоростью и тем же угловым ускорением. Найти скорость и ускорение точки М ведомой шестерни радиуса R, лежа- лежащей на конце диаметра, перпендикулярного в данный момент кривошипу. Ответ: v = R®0 д/ГО, w = R>\JlO(e!* --Ь^о)—12ш^0 . б) Сложение пространственных движений тела 24.18B5.1). Даны два конических зубчатых колеса, оси кото- которых неподвижны, а соответственные углы равны аир. Первое колесо вращается с угловой скоростью соь Определить угловую 181
скорость со2 второго колеса и вычислить ее в том случае, когда а = 30°, р = 60°, со, = 10 об/мин. Ответ: ш2 = (в1 |?" |^ =5,16 об/мин. 24.19B5.2). Карусель представляет собой круглую площадку АВ, которая вращается вокруг оси ОС, проходящей через ее центр D, делая 6 об/мин, а ось ОС вращается в том же направлении вокруг вертикали ОЕ и делает 10 об/мин. Угол между осями а = 20°, диаметр площадки АВ равен 10 м, расстояние OD равна 2 м. Определить скорость v точки В в тот момент, когда она за- занимает самое низкое положение. Ответ: v = 8,77 м/с. К задаче 24.18 К задаче 24.20 24.20B5.3). Шаровая дробилка состоит из полого шара // (в ко- котором находятся шары и вещество, подвергающееся дроблению),. сидящего на оси CD, на которой заклинено коническое зубчатое колесо Е радиуса г. Ось CD сидит в подшипниках в раме /, со- составляющей одно целое с осью АВ и приводящейся во вращение при помощи рукоятки G. Колесо Е сцепляется с неподвижным колесом F радиуса R. Определить абсолютную угловую скорость ша- шаровой дробилки, если рукоятка вра- вращается с угловой скоростью соо; угол между осями АВ и CD равен а. Определить также абсолютное угловое ускорение шаровой дробил- дробилки, если угловая скорость рукоятки, со0 = const. Ответ: К задаче 24.21 е = cog — sin a. 24.21B5.4). Для растирания руды применяются бегуны в виде чугунных колес со стальными ободьями, катящимися по дну кони- конической чаши. Бегуны вращаются вокруг горизонтальной оси АОВ,. которая в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси ООи составляющей с осью АО В одно целое. Найти абсолютные ско- 182
рости точек D и Е обода бегуна, принимая, что мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину С линии касания обода бегуна с дном чаши. Скорость вращения вокруг вертикальной оси те = 1 рад/с, ширина бегуна Л=0,5 м. Средний радиус бегуна R = 1 м, сред- средний радиус вращения г = 0,6 м, igcc=0,2. Ответ: vd = ve = 0,28 м/с. 24.22B5.5). Дифференциальная пе- передача состоит из двух дисков АВ и DE, центры которых находятся на их общей оси вращения; эти диски сжи- сжимают колесо MN, ось которого HI перпендикулярна оси дисков. Опреде- Определить для колеса MN скорость v цен- центра Н и угловую скорость cor враще- вращения вокруг оси Я/, если скорости то- точек касания колеса с дисками равны: v\ =3 м/с, v2=4 м/с, ра- радиус колеса г = 0,05 м. Ответ: v = 0,5 м/с, сог = 70 рад/с. 24.23B5.6). Сохранив условия предыдущей задачи и зная длину HI — -yj м, определить абсолютную угловую скорость и абсолют- абсолютное угловое ускорение колеса MN. К задаче 24.22 Ответ: 00 = ^4949 рад/с, € = 490 рад/с2. 24.24B5.7). Волчок А вра- вращается относительно своей оси симметрии ОВ с постоянной угловой скоростью coi рад/с. Ось ОВ описывает равномерно конус. За одну минуту верши- вершина волчка В делает п оборо- оборотов; ZBOS = a. Найти угло- угловую скорость со и угловое уско- ускорение е волчка. К задаче 24.24 N57 К задаче 24.25 Ответ: (о = ^ ^J +2@,^008 а, 24.25B5.8). Круглый диск вращается с угловой скоростью coi вокруг горизонтальной оси CD\ одновременно ось CD вращается вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через центр О диска, с угловой скоростью со2. Вычислить величину и направление мгно- мгновенной угловой скорости (о и мгновенного углового ускорения е Диска, если щ = 5 рад/с, со2 = 3 рад/с. Ответ: <о(со = 5,83 рад/с) составляет углы a = 30°587 и Р = 59°2/ с положительными направлениями осей х и z\ e(e = « 15 рад/с2) направлено по оси у. 183
24.26B5.9). Диск радиуса R вращается с постоянной угловой скоростью cor вокруг горизонтальной оси O1O2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью со* вокруг вер- вертикальной оси. Найти скорости и ускорения точек Л и В, лежащих на концах вертикального диаметра диска. Ответ: vA / = vB = R®ri wA = wB = R®r д/4со* + ©2. 24.27B5.10). Квадратная рама вращается вокруг оси АВ, де- делая 2 об/мин. Вокруг оси ВС, совпадающей с диагональю рамы, К задаче 24.26 Ш К задаче 24.27 К задаче 24.28 вращается диск, делая 2 об/мин. Определить абсолютную угло- угловую скорость и угловое ускорение диска. Ответ: со = 0,39 рад/с, е = 0,031 рад/с2. 24.28B5.11). Ось мельничнгого бегуна О А вращается равно- равномерно вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью Q. Длина оси О А = R, радиус бегуна АС = г. Считая, что в данный момент точка С бегуна имеет скорость, равную нулю, определить угловую скорость бегуна со, направление мгновенной оси, подвижный и не- неподвижный аксоиды. Q; мгновенная ось — прямая ОС; аксои- Ответ: © = - ды — конусы с вершиной в точке О, подвижный — с углом z'OC при вершине, равным arctg(r//?), непо- неподвижный— с углом zOC, равным п — — arctg(#/r). 24.29B5.12). Дифференциальная переда- ча состоит из конического зубчатого коле- колеса /// (сателлита), насаженного свободно на кривошип IV, который может вращать- вращаться вокруг неподвижной оси CD. Сателлит соединен с коническими зубчатыми колеса- МИ / И //, ВраЩаЮЩИМИСЯ ВОКруГ ТОЙ Же оси CD с угловыми скоростями ©1=5 рад/с ' С Л1 /I К задаче 24.29 и со2 = 3 рад/с, причем вращения происходят в одну сторону. Радиус сателлита г = 2 см, а радиусы колес I и II одинаковы я равны R = 7 см. Определить угловую скорость со4 кривошипа IV, угловую скорость соз4 сателлита по отношению к кривошипу и скорость точки Лв 184
J С К задаче 24.31 Ответ: vA = 0,28 м/с, со4 = 4 рад/с, со34 = 3,5 рад/с. 24.30B5.13). В дифференциальном механизме, рассмотренном в предыдущей задаче, конические зубчатые колеса I и II вращают- вращаются в разные стороны с угловыми скоростями coi = 7 рад/с, со2 = = 3 рад/с. Определить vA, со4 и со34, если R = 5 см, г = 2,5 см. Ответ: va = 0,1 м/с, со4 = 2 рад/с, со34 = 10 рад/с. 24.31B5.14). При движении автомобиля по закругленному пути внешние колеса автомобиля, проходя больший путь, должны вра- шаться быстрее внутренних колес, проходящих меньший путь. Во избе- избежание поломки задней ведущей оси автомобиля применяется зубчатая пе- передача, называемая дифференциальной к имеющая следующее устройство. Задняя ось, несущая два колеса, делается из двух отдельных частей / и //, на концах которых наглухо наса- насажены два одинаковых зубчатых коле- колеса А и В. На этих частях вала в под- подшипниках вращается коробка С с коническим колесом D, наглухо с ней соединенным. Коробка получает вра- вращение от главного (продольного) вала, приводимого в движение мотором, через посредство зубчатки Е. Вращение коробки С передается зубчатым колесам А и В при помощи двух конических шестеренок F (сателлитов), свободно вращающихся вокруг осей, укрепленных в коробке перпендику- перпендикулярно к задней оси / — // автомобиля. Найти угловые скорости задних колес автомобиля в зависи- зависимости от угловой скорости вращения коробки С и угловую скорость сог сателлитов по отношению к ко- коробке, если автомобиль движется со скоростью v = 36 км/ч по за- закруглению среднего радиуса р = = 5 м; радиусы колес задней оси R = 0,5 м; расстояние между ними 1 = 2 м. Радиусы зубчатых колес А и В вдвое больше радиусов сател- сателлитов: /?о = 2г. Ответ: coi = 24 рад/с, со2 = = 16 рад/с, сог = 8 рад/с. 24.32B5.15). При применении дифференциального зацепления для получения назначенного отношения чисел оборотов осей АВ и MN к коническим колесам I и II дифференциального зацепления присоединяют наглухо цилиндрические зубчатые колеса Г и II", которые сцепляются с шестеренками IV и V, насаженными на- наглухо на ось АВ. Найти соотношение между угловыми скоростями <оо и со валов АВ и MN, если радиусы колес I и II одинаковы, числа зубцов колес Г, II", IV и V соответственно равны /п, п, ху у. Ш т- К задаче 24.32 185
^ о 1 / х и \ Ответ: — = — ( h — ). 24.33B5.16). В дифференциальной передаче, рассмотренной в предыдущей задаче, между зубчатыми колесами Г и IV введено паразитное колесо с неподвижной осью вращения. Требуется найти соотношение между угловыми скоростями ©0 и © валов АВ и MNr сохраняя все остальные условия задачи. Ответ:-2-=±(±-±)ш 24.34B5.17). Дифференциальная передача, соединяющая обе половины задней оси автомобиля, состоит из двух шестеренок с К задаче 24.34 одинаковыми радиусами R = 6 см, насаженных на полуоси, вра- вращающиеся при движении автомобиля на повороте с разными, но постоянными по величине угловыми скоростями o>i = 6 рад/с и со2 = 4 рад/с одинакового направления. Меж- ду шестеренками зажат бегущий сателлит ра- радиуса г = 3 см, свободно насаженный на ось. Ось сателлита жестко заделана в кожухе и может вращаться вместе с ним вокруг задней оси автомобиля. Найти относительно корпуса автомобиля ускорения четырех точек Ми М2у Мз и Ма сателлита, лежащих на кон- цах двух диаметров, как показано на ри- сунке. Ответ: w\=2,l м/с2, ау2 = 0,91 м/с2, wz = = wA= 1,73 м/с2. 24.35B5.18). В дифференциале зуборезного станка ускорительное колесо 4 сидит на ве- ведущем валу а свободно, вместе со скреплен- скрепленным с ним жестко колесом /. На конце веду- ведущего вала а сидит головка, несущая ось СС сателлитов 2—2. Определить угловую скорость ведомого вала Ь с наглухо заклиненным колесом 3 в пяти случаях: 1) Угловая скорость ведущего вала о)а, угловая скорость уско- ускорительного колеса о>4 = 0. 186 К задаче 24.35
2) Угловая скорость ведущего вала <оа, ускорительное колесо вращается в ту же сторону, что и ведущий вал, с угловой ско- скоростью 0L. 3) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону с равными угловыми скоростями <о4 = <оа. 4) Ускорительное колесо и ведущий вал вращаются в одну и ту же сторону, причем о>4 = 2<оа. 5) Угловая скорость ведущего вала <оа, ускорительное колесо вращается в противоположную сторону с угловой скоростью оL. Ответ: 1) <О?, = 2<оа; 2) <о& = 2<оа — со4; 3) а>ь = соа; 4) соь = 0; 5) (х)Ь = 2(да + С04. 24.36B5.19). В дифференциале зуборезного станка, описанном в, предыдущей задаче, угловая скорость ведущего вала <оа = = 60 об/мин. Определить, какова должна быть угловая скорость ускорительного колеса, чтобы ведомый вал был неподвижен. Ответ: оL = 120 об/мин. 24.37B5.20). В дифференциале зуборезного станка ускоритель- ускорительное колесо 4 несет на себе ось сателлитов. Угловая скорость веду- ведущего вала о)а. Определить угловую скорость ведомого вала в сле- следующих трех случаях: 1) Ускорительное колесо 4 вращается в сторону ведущего вала с угловой скоростью оо4 = <оа. К задаче 24.37- К задаче 24.38 2) То же, но вращения ведущего вала и ускорительного колеса противоположны по направлению. 3) Ускорительное колесо и ось сателлитов неподвижны. Ответ: 1) о)ь = о)а; 2) о* = —3<оа; 3) о>ь = —<оа. 24.38B5.21). В станочном дифференциале коническое колесо / заклинено на ведущем валу а, на конце ведомого вала Ъ сидит головка, несущая ось СС сателлитов 2—2. На том же валу сво- свободно сидит коническое колесо 3, составляющее одно целое с чер- червячным колесом 4. Определить передаточное число при неподвиж- неподвижном червяке 5, а следовательно, и колесах 4 и 3, если все кониче- конические колеса одного радиуса.
К задаче 24.39 Ответ: со&/(Оа = 0,5. 24.39B5.22). Двойной дифференциал состоит из кривошипа///, который может вращаться вокруг неподвижной оси ab. На криво- кривошип свободно насажен сателлит IV, состоящий из двух наглухо скрепленных между собой конических зубчатых колес радиусов П = 5 см ч г2 = 2 см. Колеса эти соединены с двумя коническими зубчатыми колесами I и II радиу- радиусов /?i = 10 см и R2 = 5 см, вра- вращающимися вокруг оси ab, но с кривошипом не связанными. Угло- Угловые скорости колес I и II соответ- соответственно равны: о>1 = 4,5 рад/с и оJ = 9 рад/с. Определить угловую скорость кривошипа о)з и угловую скорость сателлита по отношению к кривошипу оLз, если оба колеса вра- вращаются в одну и ту же сторону. Ответ: соз = 7 рад/с, со4з = = 5 рад/с. 24.40B5.23). Решить предыдущую задачу, предполагая, что зубчатые колеса I и II вращаются в противоположные сто- стороны. Ответ: оK = 3 рад/с, оLз = 15 рад/с. 24.41B5.24). Крестовина ABCD универсального шарнира Кар- Кардана— Гука (АВ _L CD) у употребляемого при передаче вращения между пересекающимися осями, вращается вокруг неподвижной точки Е. Найти отношение 0I/0J Для валов, связанных крестови- крестовиной, в двух случаях: 1) когда плоскость вилки ABF горизонтальна, а плоскость вил- D ки CDG вертикальна; 2) когда плоскость вилки ASF к задаче 24.41 вертикальна, а плоскость вилки CDG ей перпендикулярна. Угол между осями валов постоянный: а = 60°. Ответ: 1) o)i/oJ = 1/cos a = 2; 2) 0^/0J = cos a = 0,5. 24.42B5.25). Шаровая дробилка состоит из полого шара диа- диаметра d = 10 см, сидящего на оси Л В, на которой заклинено ко- колесо с числом зубцов 24 = 28. Ось АВ закреплена во вращающей- вращающейся раме / в подшипниках а и Ъ. Рама / составляет одно целое с осью С/3, приводящейся во вращение при помощи рукоятки ///. Вращение шаровой дробилки вокруг оси АВ осуществляется при помощи зубчатых колес с числами зубцов z\ = 80, z% = 43, гъ = 28, причем первое из них неподвижно. Определить абсолютную угло- угловую скорость, угловое ускорение дробилки и скорости и ускорения двух точек ? и F, лежащих в рассматриваемый момент времени на оси CD, если рукоятку вращают с постоянной угловой скоростью со = 4,3 рад/с. 188
Ответ*, ©а = 9,08 рад/с, е = 34,4 рад/с2, vE = vF = 0,4 м/с, We = wf = 4,68 м/с2. 24.43B5.26). Поворотная часть моста поставлена на катки в виде конических зубчатых колес /С, оси которых закреплены в кольцевой раме L наклонно, так что их продолжения пересекаются а А К задаче 24.42 К задаче 24.43 в геометрическом центре плоской опорной шестерни, по которой перекатываются опорные зубчатые колеса К, Найти угловую ско- скорость и угловое ускорение конического катка, скорости и ускоре- ускорения точек Л, В, С (А— центр конического зубчатого колеса ВАС), если радиус основания катка г = 0,25 м, угол при вершине 2а, при- причем cos a = 84/85. Угловая скорость вращения кольцевой рамы вокруг вертикальной оси ©о = const = = 0,1 рад/с. Ответ: со = 0,646 рад/с, е = =0,0646 рад/с2, ул = 0,16 м/с, vB = = 0,32 м/с, vc = 0, wA = 0,016 м/с2, tt'e = 0,H м/с2, wc = 0,105 м/с2. 24.44B5.27). Тело движется в про- пространстве, причем вектор угловой скорости тела равен со и направлен в данный момент по оси г. Скорость точки О тела равна v0 и образует с осями у, z одинаковые углы, равные 45°. Найти точку твердого тела, скорость которой будет наимень- наименьшей, и определить величину этой скорости. Ответ: ymin = Vo cos 45°. Такова скорость точек мгновенной вин- винтовой оси, параллельной оси z, проходящей через точку с коорди- координатами х = — (v0 cos 45°)/co, y=0. 24.45B5.28). Тело А вращается с угловой скоростью ©i вокруг оси у и движется поступательно со скоростью vx вдоль той же оси. Тело В движется поступательно со скоростью v2, образующей угол а с осью у. При каком соотношении yi/^2 движение тела А по отношению к телу В будет чистым вращением? Где при этом бу- будет лежать ось вращения? Ответ: При v\/v2 = cos а относительное движение тела А по отношению к телу В будет чистым вращением вокруг оси, парал- К задаче 24.44
лельной у и отстоящей от нее на расстоянии / = V2 sm a , отложен- отложенном по перпендикуляру к оси у и составляющей поступательной скорости v2 sin a. Ч У К задаче 24.45 К задаче 24.46 24.46B5.29). Твердое тело, имеющее форму куба со стороной а = 2 м участвует одновременно в четырех вращениях с угловыми скоростями coi = сэ4 = 6 рад/с, сэ2 = соз = 4 рад/с. Определить ре- результирующее движение тела. Ответ; Тело движется поступательно со скоростью v, проекции которой равны vx = —12 м/с, vy = 12 м/с, vz = —8 м/с. § 25. Смешанные задачи на сложное движение точки и твердого тела 25.1. Колеса паровоза соединены спарником АВ. Колеса ра- радиуса г = 80 см катятся без скольжения по рельсам налево. При движении из состояния покоя угол поворота колес ф = ZPO\A изменяется по закону ф= -r-t2 рад. Вдоль спарника А В, в соот- соответствии с уравнением s = AM =A0 + 40*2) см, движется ползун К задаче 25.1 К задаче 25.2 М. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение пол- ползуна М в момент t= 1 с, если OiO2 = ABf О\А = О2В = г/2. Ответ: vm = 450 см/с, wM = 1170 см/с2. 25.2. Неподвижная шестерня 1 соединена цепью с одинаковой по радиусу подвижной шестерней 2. Шестерня 2 приводится в дви- движение с помощью кривошипа О А = 60 см, вращающегося против хода часовой стрелки по закону Ф=у* рад. В момент времени 190
? = 0 кривошип О А находился в правом горизонтальном положе- положении. Вдоль горизонтальной направляющей ВС шестерни 2, совме- совмещенной с осью s, движется ползун М, совершающий колебания около центра А по закону s = AM = 20 sin у/ см. Определить аб- абсолютную скорость и абсолютное ускорение ползуна М в моменты времени: t\ = О, t% = 1 с. Ответ: 0л1о = 44,1 см/с, им, = 31,4 см/с, ауль=16,5 см/с2, а;м,=5=- = 64,2 см/с2. 25.3. Треугольная призма, образующая угол 45° с горизонтом, скользит направо по горизонтальной плоскости со скоростью v(v = 2t см/с). По наклонной грани призмы скатывается без сколь- скольжения круглый цилиндр. Модуль скорости его центра масс С от- относительно призмы равен vc = 4/ см/с. Определить модуль абсо- абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки Л, лежащей на ободе цилиндра, если в момент t = 1 с ZACD = 90°. Ответ: va = 6 cni/c, wa = 5,60 см/с2. wZy///////////a К задаче 25.3 К задаче 25.4 25.4. Коническая шестерня М приводится в движение по ше- шестерне N с помощью оси ОС, закрепленной в точке О и вращаю- вращающейся вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью 2 рад/с. Горизонтальная платформа Р, к которой прикреплена ше- шестерня N, движется ускоренно вертикаль- вертикально вниз, имея в данный момент скорость и=80 см/с и ускорение ау=80-\/3 см/с2. Угол BOA = 60°, диаметр АВ шестерни М равен 20 см. Найти абсолютные ско- скорости и ускорения точек А и В шестеро ни М. Ответ: va = 80 см/с, ув=100 см/с, wA = 0, хюв = 302 см/с2. 25.5. Решить предыдущую задачу в предположении, что ось ОС вращается вокруг вертикальной оси z с угловой скоростью, равной 2t рад/с. Найти абсолютные ускорения точек А и В конической шестерни М для момента времени t = 1 с. Ответ: wA =0,wb = 308 см/с2. 25.6. Поворотный кран вращается вокруг вертикальной непод- неподвижной оси О\О2 с угловой скоростью <о((о = 1 рад/с). Вдоль го- горизонтальной стрелы крана, совмещенной с осью s, катится без 191 К задаче 25.6
Of К задаче 25.7 скольжения тележка. Центр масс С ее заднего колеса радиуса 10 см движется по закону 5с = ОС = 60A + t) см. Определить мо- модуль абсолютной скорости точки М9 лежащей на ободе колеса, в момент t = 1 с, если ZMCD = 30°. Найти также модули абсо- абсолютных ускорений точек А и D, лежащих на ободе колеса, в мо- момент t = 1 с, если ZACD = 90°. Ответ: vM = 129 см/с, wA = 278 см/с2, wD = 380 см/с2. 25.7. Шестерня / радиуса 10 см приводится в движение внутри шестерни 2 радиуса 40 см с помощью кривошипа ОС, вращающе- вращающегося с постоянной угловой ско- скоростью ©о = 2 рад/с. Шестерня 2 в свою очередь вращается вокруг горизонтальной неподвижной оси О\О2 с постоянной угловой ско- скоростью @ = 2 рад/с. Определить модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки Л, лежащей на ободе шестерни /, если А.ОСА = Z ОХОС = 90°. Ответ: vA = 103,8 см/с, wA = = 494 см/с2. 25.8. Найти модуль абсолютного ускорения точки А в преды- предыдущей задаче для момента времени t = 2 с, если вращение ше- шестерни 2 вокруг неподвижной горизонтальной оси О\О2 происхо- происходит с переменной угловой скоростью со (со =B — t) рад/с). Счи- Считать, что в момент времени t = 2 с точка А занимает положение, указанное на рисунке к предыдущей задаче. Ответ: wA = 455 см/с2. 25.9. Шестерня / радиуса 10 см приводится в движение по шестерне 2 радиуса 20 см посредством кривошипа ОС, вращающегося с угловой скоро- скоростью ©о = t рад/с. Шестерня 2 в свою очередь вращается вокруг неподвиж- неподвижной горизонтальной оси О\О2 с посто- постоянной угловой скоростью со (со = = 2 рад/с). Определить модуль абсолютной скорости и абсолют- абсолютного ускорения в момент t = 1 с точки Л, лежащей на ободе ше- шестерни /, если /_О2ОС= Z ОСА =90°. Ответ: va = 73,5 см/с, wA = 207 см/с2. 25.10. Кривошип ОС с помощью стержня АВ приводит в дви- движение ползуны Л и В, которые скользят вдоль взаимно перпенди- перпендикулярных направляющих х и у. Эти направляющие в свою очередь вращаются против хода часовой стрелки вокруг оси О с постоян- постоянной угловой скоростью со((о = я/2 рад/с). Угол поворота ф криво- кривошипа ОС, отсчитываемый от ося х против хода часовой стрелки, изменяется по закону Ф = -^/ рад. Найти модули абсолютной ско- !< задаче 25.9 192
рости и абсолютного ускорения точки М линейки АВ в момент времени t = 0, если ОС = АС=СВ = 2ВМ = 16 см. Ответ: vm = 44 см/с, wM = 93,8 см/с2. 25.11. Конус 1 с углом при вершине О равным 60° катится без скольжения внутри конуса 2 с углом при вершине 120°. Конус 2 в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикальной оси 0102 с постоянной угловой ско- скоростью со (со = 3 рад/с). Точка В обода основания конуса / лежит на диаметре ВС, расположенном К задаче 25.10 К задаче 25.11 в одной вертикальной плоскости с осью O1O2. Скорость точки В по модулю постоянна, равна 60 см/с и направлена за рисунок пер- перпендикулярно плоскости ОВС\ ОВ = ОС = 20 см, Z COD = 30°. Определить модули абсолютных ускорений точек В и С конуса /. Ответ: wB = 497 см/с2, we = 316 см/с2. 25.12. Найти в момент времени t = 1 с геометрическое место точек конуса /, рассмотренного в предыдущей задаче, абсолютные ускорения которых не изменятся, несмотря на то, что скорость точки В будет переменной и равной 60/ см/с. Ответ: Точки конуса /, совмещен- совмещенные с образующей ОС. 25.13. Круговой конус катится без скольжения по горизонтальному дис- диску, к которому он прикреплен верши- вершиной Q. Диск в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикальной оси O1O2 с постоянной угловой ско- скоростью со (со = 2 рад/с). Скорость цен- центра А основания конуса относительно покоящегося диска равна по модулю 15 см/с и направлена на читателя перпендикулярно плоскости рисунка. Найти модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки С касания основания конуса с диском, если OQ = QC = QB = ВС = ~ 10 см. Ответ: vc = 40 см/с, we = 105 см/с2. 25.14. Определить модуль абсолютного ускорения точки С, рас- рассмотренной в предыдущей задаче, для момента времени f=l с в предположении, что диск вращается ускоренно с угловым уско- К задаче 25.13 7 И, Б. Мещерский 193
рением г{г = 2г рад/с2), причем в начальный момент времени мо- модуль угловой скорости был равен 2 рад/с. Ответ: we = 197 см/с2. 25.15. Гироскоп установлен на горизонтальной платформе L, вращающейся вокруг неподвижной вертикальной оси О{О[ с по- постоянной угловой скоростью o)i(o)i = 2л рад/с). Гироскопом являет- является диск К радиуса г = 10 см, вращающийся вокруг горизонталь- горизонтальной оси 020'2 с постоянной угловой скоростью <О2(оJ = 8я рад/с). Ось О2Оз в свою очередь вращается вокруг вертикальной оси 030'3 по закону ср3 = 2я/2 рад. В момент времени t = 0 диск К лежал в одной вертикальной плоскости с осью ОХО[. Угол ф3 от- считывается от этой плоскости в направлении, указанном на ри- рисунке. Оси 020'2 и 030'3 пересекаются в центре диска К. Найти модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки Л, лежащей на верхнем конце вертикаль- вертикального диаметра АВ диска К в момент времени /=1 с, если расстояние меж- между параллельными осями О{О[ и ОоО'3 равно ОО3 = 30 см. Ответ: ^л = 314 см/с, wA = = 7170 см/с2. К задаче 25.15 К задаче 25.16 25.16. Вдоль шатуна АВ кривошипно-ползунного механизма ОАВ около точки С совершает колебания муфта М по закону s = C.M = 20 sin у/ см (ось s, направленная вдоль шатуна АВУ имеет начало в центре С шатуна). Кривошип О А вращается во- вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, против хода часовой стрелки по закону ф=у/ рад. Определить модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения муфты М в момент времени t = 0, если ОА = 10 см, АС = СВ = АВ/2 = = 20 см. Ответ: vm = 32,3 см/с, wM = 37,2 см/с2. 25.17. Стержень АВ длины 4 ^[2 м скользит концом А вниз вдоль оси г/, а концом В вдоль оси х направо. Точка А движется по закону у а =E — t2) м. Одновременно вдоль стержня от Л к В соскальзывает точка М. Определить модуль абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки М в момент t = 1 с, если уравне- уравнение движения точки М вдоль оси 5, совмещенной со стержнем, имеет вид s = AM = 2д/2 f м. Ответ: им = 7,05 м/с, wM = 8,06 м/с2. 194
25.18. Круговой конус / с углом при вершине равным 120° при- прикреплен к неподвижному конусу 2 с углом при вершине 60° шарни- шарниром О и катится без скольжения. При этом ось ОА конуса 1 со- совершает вокруг вертикальной оси ОХО2 один оборот в секунду. Вдоль диаметра ВС = 20 см основания конуса / проложена на- направляющая, по которой скользит ползун М, совершая колебания в А К задаче 25.17 К задаче 25.18 около центра А по закону s = AM = 10 cos 2nt см. В начальный момент времени t = 0 направляющая ВС лежит в одной верти- вертикальной плоскости с шарниром О. Найти модуль абсолютного ускорения ползуна М в момент t = 0. Ответ: wm = 572 см/с2.
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ ДИНАМИКА ГЛАВА IX ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ*) § 26. Определение сил по заданному движению 26.1B6.1). В шахте опускается равноускоренно лифт массы 280 кг. В первые 10 с он проходит 35 м. Найти натяжение каната, на котором висит лифт. Ответ: 2548 Н. 26.2B6.2). Горизонтальная платформа, на которой лежит груз массы 1,02 кг, опускается вертикально вниз с ускорением 4 м/с2. Найти силу давления, производимого грузом на платформу во вре- время их совместного спуска. Ответ: 5,92 Н. 26.3B6.3). К телу массы 3 кг, лежащему на столе, привязали нить, другой конец которой прикреплен к точке А. Какое ускоре- ускорение надо сообщить точке А9 поднимая тело вверх по вертикали, чтобы нить оборвалась, если она рвется при натяжении Т = 42 Н. Ответ: 4,2 м/с2. 26.4B6.4). При подъеме клетки лифта график скоростей имеет вид, изображенный на рисунке.. Масса клетки 480 кг. Определить натяже- натяжения Т\, Т2, Тъ каната, к которому привешена клетка, в течение трех промежутков времени: 1) от t = 0 до t = 2 с; 2) от t = 2 до /== = 8 с и 3) от t = 8 с до t = 10 с. Ответ: Тх = 5904 Н, Т2 = 4704 Н, Тъ = 3504 Н. 26.5B6.5). Камень массы 0,3 кг, привязанный к нити длины 1 м, описывает окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую угловую скорость со камня, при которой произойдет разрыв нити, если сопротивление ее разрыву равно 9 Н. Ответ: comin = 4,494 рад/с. 26.6B6.6). На криволинейных участках железнодорожного пути возвышают наружный рельс над внутренним для того, чтобы сила *) Во всех задачах динамики, если нет специального указания, массой пружин, упругих балок, силами сопротивления и т. п. следует пренебречь. 196 К задаче 26.4
давления проходящего поезда на рельсы была направлена перпен- перпендикулярно полотну дороги. Определить величину h возвышения наружного рельса над внутренним при следующих данных: радиус закругления 400 м, скорость поезда 10 м/с, расстояние между рельсами 1,6 м. Ответ: h = 4,1 см. 26.7B6.7). В вагоне поезда, идущего сначала по прямолиней- прямолинейному пути, а затем по закругленному со скоростью 20 м/с, произ- производится взвешивание некоторого груза на пружинных весах; весы в первом случае показывают 50 Н, а на закруглении 51 Н. Опре- Определить радиус закругления пути. Ответ: 203 м. 26.8B6.8). Гиря массы 0,2 кг подвешена к концу нити длины 1 м; вследствие толчка гиря получила горизонтальную скорость 5 м/с. Найти натяжение нити непосредственно после толчка. Ответ: 6,96 Н. 26.9B6.9). Груз М массы 0,102 кг, подвешенный на нити длины 30 см в неподвижной точке О, представляет собой конический маятник, т. е. описывает окруж- окружность в горизонтальной плоскости, причем нить составляет с верти- вертикалью угол 60°. Определить ско- скорость v груза и натяжение Т нити. Ответ: v = 2,1 м/с, Г = 2Н. 26.10B6.10). Автомобиль массы 1000 кг движется по выпуклому мо- *~ СТу СО СКОРОСТЬЮ V =10 М/С. Ра- К задаче 26.9 диус кривизны в середине моста р = 50 м. Определить силу давления автомобиля на мост в момент прохождения его через середину моста. Ответ: 7800 Н. 26.11B6.11). В поднимающейся кабине подъемной машины про- производится взвешивание тела на пружинных весах. При равномер- равномерном движении кабины показание пружинных весов равно 50 Н, при ускоренном — 51 Н. Найти ускорение кабины. Ответ: 0,196 м/с2. 26.12B6.12). Масса кузова трамвайного вагона 10000 кг. Масса тележки с колесами 1000 кг. Определить силу наибольшего и наи- наименьшего давления вагона на рельсы горизонтального прямолиней- прямолинейного участка пути, если на ходу кузов совершает на рессорах вер- вертикальные гармонические колебания по закону х = 0,02 sin 10/ м. Ответ: ЛГтах = 12,78-104 Н, Nmm = 8,78-104 Н. 26.13 B6.13). Поршень двигателя внутреннего сгорания совершает горизонтальные колебания согласно закону х = ==г (cos со/ +-^ cos2co/J см, где г — длина кривошипа, / — длина шатуна, со — постоянная по величине угловая скорость вала. Опре- Определить наибольшее значение силы, действующей на поршень, если масса последнего М. 197
Ответ: P = Mra2(l +r/l). 26.14B6.14). Решето рудообогатительного грохота совершает вертикальные гармонические колебания с амплитудой а = 5 см. Найти наименьшую частоту k колебаний решета, при которой куски руды, лежащие на нем, будут отделяться от него и подбра- подбрасываться вверх. Ответ: k=H рад/с. 26.15B6.15). Тело массы 2,04 кг совершает колебательное дви- движение по горизонтальной прямой согласно закону х = 10 sin -~ м. Найти зависимость силы, действующей на тело, от координаты ху а также наибольшую величину этой силы. Ответ: F = —5,033* Н, Fmax = 50,33 Н. 26.16B6.16). Движение материальной точки массы 0,2 кг вы- выражается уравнениями jt = 3cos2:rt/ см, у = 4sinnt см (t в с). Определить проекции силы, действующей на точку, в зависимости от ее координат. Ответ: X = — 0,0789* Н, У = —0,0197у Н. 26.17B6.17). Шарик, масса которого равна 100 г, падает под действием силы тяжести и при этом испытывает сопротивление воз- воздуха. Движение шарика выражается уравнением х = 4,9*- 2,45 A-е-2*), где х — в метрах, t — в секундах, ось Ох направлена по вертикали вниз. Определить силу сопротивления воздуха R и выразить ее как функцию скорости шарика. Ответ: /? = 0,98A — e~2t)Н = 0,2i/ H. 26.18B6.18). Масса стола строгального станка 700 кг, масса обрабатываемой детали 300 кг, скорость хода стола v = 0,5 м/с, время разгона t = 0,5 с. Определить силу, необходимую для раз- разгона (считая движение равноускоренным) и для дальнейшего равномерного движения стола, если коэффициент трения при раз- разгоне /i =0,14, а при равномерном движении /2 = 0,07. Ответ: F! = 2372 Н; F2 = 686 Н. 26.19B6.19). Груженая вагонетка массы 700 кг опускается по канатной железной дороге с уклоном а = 15°, имея скорость а = 1,6 м/с. Определить натяжение каната при равномерном спуске и при торможении вагонетки. Время торможения t = 4 с, общий коэффициент сопротивления движению / = 0,015. При тор- торможении вагонетка движется равнозамедленно. Ответ: Тг = 1676 Н, Т2 = 1956 Н. 26.20B6.20). Груз массы 1000 кг перемещается вместе с тележ- тележкой вдоль горизонтальной фермы мостового крана со скоростью •о = 1 м/с. Расстояние центра тяжести груза до точки подвеса / = 5 м. При внезапной остановке тележки груз по инерции будет продолжать движение и начнет качаться около точки подвеса. Определить наибольшее натяжение каната при качании груза. Ответ: Т = 10 000 Н. 198
26.21B6.21). Определить отклонение а от вертикали и силу давления N вагона на рельс подвесной дороги при движении ва- вагона по закруглению радиуса /? = 30 м со скоростью и = 10 м/с. Масса вагона 1500 кг. Ответ: а = 18° 47'; N = 15 527 Н. 26.22B6.22). Масса поезда без локомотива равна 2-Ю5 кг. Двигаясь по горизонтальному пути равноускоренно, поезд через 60 с после начала движения приобрел скорость 15 м/с. Сила тре- трения равна 0,005 веса поезда. Определить натяжение стяжки между поездом и локомотивом в период разгона. Ответ: 59 800 Н. 26.23B6.23). Спортивный самолет массы 2000 кг летит гори- горизонтально с ускорением 5 м/с2, имея в данный момент скорость 200 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату ско- скорости и при скорости в 1 м/с равно 0,5 Н. Считая силу сопротив- сопротивления направленной в сторону, обратную скорости, определить силу тяги винта, если она составляет угол в 10° с направлением полета. Определить также величину подъемной силы в данный момент. Ответ: Сила тяги равна 30463 Н, подъемная сила равна 14310 Н. 26.24B6.24). Грузовой автомобиль массы 6000 кг въезжает на паром со скоростью 6 м/с. Заторможенный с момента въезда на паром автомобиль остановился, пройдя 10 м. Считая движение автомобиля равнозамедленным, найти натяжение каждого из двух канатов, которыми паром привя- привязан к берегу. При решении зада- задачи пренебречь массой и ускоре- ускорением парома. Ответ: Натяжение каждого каната 5400 Н. 26.25B6.25). Грузы А и В ве- са РА = 20 Н и Рв = 40 Н соеди- нены между собой пружиной, как показано на рисунке. Груз А СОВерШаеТ СВОбОДНЫе КОЛебаНИЯ К задаче 26.25 К задаче 26.26 по вертикальной прямой с ам- амплитудой 1 см и периодом 0,25 с. Вычислить силу наибольшего и наименьшего давления грузов Л и В на опорную поверх- поверхность CD. Ответ: /?тах = 72,8 Н, Rmm = 47,2 Н. 26.26. Груз массы М = 600 кг посредством ворота поднимают по наклонному шурфу, составляющему угол 60° с горизонтом. Коэффициент трения груза о поверхность шурфа равен 0,2. Во- Ворот радиуса 0,2 м вращается по закону ф = 0,4?3. Найти натяже- натяжение троса, как функцию времени и значение этого натяжения че- через 2 с после начала подъема. Ответ: Г = E,68+ 0,2880 кН; при t = 2 с 7 = 6,256 кН. 199
26.27B6.27). Самолет, пикируя отвесно, достиг скорости 300 м/с, после чего летчик стал выводить самолет из пике, опи- описывая дугу окружности радиуса R = 600 м в вертикальной пло- плоскости. Масса летчика 80 кг. Какая наибольшая сила прижимает летчика к креслу? Ответ: 12 784 Н. 26.28B6.30). Груз М веса 10 Н подвешен к тросу длины 1=2 м, и совершает вместе с тросом колебания согласно уравнению ср = = -|-sin 2я/,где ф — угол отклонения троса от вер- вертикали в радианах, / — время в секундах. Опреде- Определить натяжения Т\ и Т2 троса в верхнем и нижнем положениях груза. Ответ: Г! =32,1 Н, Г2 = 8,65 Н. 26.29B6.31). Велосипедист описывает кривую радиуса 10 м со скоростью 5 м/сек. Найти угол на- наклона срединной плоскости велосипеда к вертика- вертикали, а также тот наименьший коэффициент трения между шинами велосипеда и полотном дороги, при котором будет обеспечена устойчивость вело- велосипеда. Ответ: 14° 20'; 0,255. 26.30B6.32). Велосипедный трек на кривых участках пути имеет виражи, профиль которых в поперечном сечении представ- представляет собой прямую, наклонную к горизонту, так что на кривых участках внешний край трека выше внутреннего. С какой наи- наименьшей и с какой наибольшей скоростью можно ехать по виражу, имеющему радиус R и угол наклона к горизонту а, если коэффи- коэффициент трения резиновых шин о грунт трека равен f? М К задаче 26.28 lg+ftf!a , Ответ. vmla= 26.31B6.33). Во избежание несчастных ^jP случаев, происходивших от разрыва махови- маховиков, устраивается следующее приспособле- к задаче 26.31 ние- В ободе маховика помещается тело Л, удерживаемое внутри его пружиной 5; ко- когда скорость маховика достигает предельной величины, тело А концом своим задевает выступ В задвижки CD, которая и за- закрывает доступ пара в машину. Пусть масса тела А равна 1,5 кг, расстояние е выступа В от маховика равно 2,5 см, предельная угловая скорость маховика 120 об/мин. Определить необходимый коэффициент жесткости пружины с (т. е. величину силы, под действием которой пружина сжимается на 1 см), предполагая, что масса тела А сосредоточена в точке, рас- 200
стояние которой от оси вращения маховика в изображенном на рисунке положении равно 147,5 см. Ответ: 145,6 Н/см. 26.32B6.34). В регуляторе имеются гири А массы 30 кг, кото- которые могут скользить вдоль горизонтальной прямой MN\ эти гири соединены пружинами с точками М и ЛЛ, центры тяжести гирь совпадают с концами пружин. Расстояние конца каждой пру- пружины от оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, в ненапря- ненапряженном состоянии равно 5 см, изменение длины пружины на 1 см К задаче 26.32 К задаче 26.33 вызывается силой в 200 Н. Определить расстояние центров тяже- тяжести гирь от оси О, когда регулятор, равномерно вращаясь вокруг оси О, делает 120 об/мин. Ответ: 6,55 см. 26.33B6.35). Предохранительный выключатель паровых турбин состоит из пальца А массы га = 0,225 кг, помещенного в отверстии, просверленном в передней части вала турбины перпендикулярно оси, и отжимаемого внутрь пружиной; центр тяжести пальца от- отстоит от оси вращения вала на расстоянии I = 8,5 мм при нор- нормальной скорости вращения турбины п = 1500 об/мин. При уве- увеличении числа оборотов на 10% палец преодолевает реакцию пружины, отходит от своего нормального положения на расстоя- расстояние х = 4,5 мм, задевает конец рычага В и освобождает собачку С, связанную системой рычагов с пружиной, закрывающей клапан парораспределительного механизма турбины. Определить жест- жесткость пружины, удерживающей тело Л, т. е. силу, необходимую для сжатия ее на 1 см, считая реакцию пружины пропорциональ- пропорциональной ее сжатию. Ответ: с = 89,2 Н/см. X2 ' U2 26.34B6.36). Точка массы га движется по эллипсу —^- + -гг— 1. Ускорение точки параллельно оси у. При / = 0 координаты точки 201
были х = 0, y = b, начальная скорость v0. Определить силу, дей- действующую на движущуюся точку в каждой точке ее траектории. Ответ: Fu = — /n-4-я . К задаче 26.35 26.35B6.37). Шарик массы пг закреплен на конце вертикаль- вертикального упругого стержня, зажатого нижним концом в неподвижной стойке. При небольших отклоне- отклонениях стержня от его вертикаль- вертикального равновесного положения можно приближенно считать, что центр шарика движется в гори- горизонтальной плоскости Оху, про- проходящей через верхнее равновес- равновесное положение центра шарика. Определить закон изменения си- силы, с которой упругий, изогнутый стержень действует на шарик, если выведенный из своего положе- положения равновесия, принятого за начало координат, шарик движется согласно уравнениям х = a cos kty y = b sin kt, где a, b, k — посто- постоянные величины. Ответ: F = mk2r, где г § 27. Дифференциальные уравнения движения а) Прямолинейное движение 27.1B7.1). Камень падает в шахту без начальной скорости. Звук от удара камня о дно шахты услышан через 6,5 с от момента начала его падения. Скорость звука равна 330 м/с. Найти глубину шахты. Ответ: 175 м. 27.2B7.2). Тяжелое тело спускается по гладкой плоскости, на- наклоненной под углом 30° к горизонту. Найти, за какое время тело пройдет путь 9,6 м, если в начальный момент его скорость равня- равнялась 2 м/с. Ответ: 1,61 с. 27.3B7.3). При выстреле из орудия снаряд вылетает с гори- горизонтальной скоростью 570 м/с. Масса снаряда 6 кг. Как велико среднее давление пороховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 м? Сколько времени движется снаряд в стволе орудия, если считать давление газов постоянным? Ответ: Р = 4,88-105 Н, t = 0,007 с. 27.4B7.4). Тело массы m вследствие полученного толчка про- прошло по негладкой горизонтальной плоскости за 5 с расстояние 5 = 24,5 м и остановилось. Определить коэффициент трения /. Ответ: f = 0,2. 202
27.5B7.5). За какое время и на каком расстоянии может быть остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, разви- развиваемое при торможении, составляет 0,3 веса вагона. Ответ: t = 3,4 с, s = 17 м. 27.6B7.6). Принимая в первом приближении сопротивление откатника постоянным, определить продолжительность отката ствола полевой пушки, если начальная скорость отката равна 10 м/с, а средняя длина отката равна 1 м. Ответ: 0,2 с. 27.7B7.7). Тяжелая точка поднимается по негладкой наклон- наклонной плоскости, составляющей угол а = 30° с горизонтом. В на- начальный момент скорость точки равнялась ио = 15 м/с. Коэффи- Коэффициент трения / = 0,1. Какой путь пройдет точка до остановки? За какое время точка пройдет этот путь? Ответ: s = 19,57 м, t = 2,61 с. 27.8B7.8). По прямолинейному железнодорожному пути в углом наклона а =10° вагон катится с постоянной скоростью. Считая сопротивление трения пропорциональным нормальному давлению, определить ускорение вагона и его скорость через 20 с после начала движения, если он начал катиться без начальной скорости по пути с углом наклона р=15°. Определить также, какой путь пройдет вагон за это время. Ответ: а- "п?;а> g = 0,367 м/с», v =>-!!&=?s, = 17,35м/с. 27.9B7.9). Найти наибольшую скорость падения шара массы 10 кг и радиуса г = 8 см, принимая, что сопротивление воздуха равно R = kov2, где v — скорость движения, а—площадь проек- проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению его дви- движения, и k — численный коэффициент, зависящий от формы тела и имеющий для шара значение 0,24 Н*с2/м4. Ответ: Утах = 142,5 м/с. 27.10B7.10). Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов. Плотности материала шаров соответственно равны у\ и 72- Оба шара падают в воздухе. Счи- Считая сопротивление среды пропорциональным квадрату скорости, определить отношение максимальных скоростей шаров. Ответ: 27.11B7.11). При скоростном спуске лыжник массы 90 кг скользил по склону в 45°, не отталкиваясь палками. Коэффициент трения лыж о снег / = 0,1. Сопротивление воздуха движению лыжника пропорционально квадрату скорости лыжника и при скорости в 1 м/е равно 0,635 Н. Какую наибольшую скорость мог развить лыжник? Насколько увеличится максимальная ско- 203
рость, если подобрав лучшую мазь, лыжник уменьшит коэффи- коэффициент трения до 0,05? Ответ: V\ max = 29,73 М/с; СКОрОСТЬ увеЛИЧИТСЯ ДО V2 max = = 30,55 м/с. 27.12B7.12). Корабль движется, преодолевая сопротивление воды, пропорциональное квадрату скорости и равное 1200 Н при скорости в 1 м/с. Сила упора винтов направлена по скорости движения и изменяется по закону Г=12-105A — у/33) Н, где v — скорость корабля, выраженная в м/с. Определить наиболь- наибольшую скорость, которую может развить корабль. Ответ: Утах = 20 м/с. 27.13B7.13). Самолет летит горизонтально. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,5 Н при скорости в 1 м/с. Сила тяги постоянна, равна 30 760 Н и состав- составляет угол в 10° с направлением полета. Определить наибольшую скорость самолета. Ответ: Ртах = 246 м/с. 27.14B7.14). Самолет массы 104 кг приземляется на горизон- горизонтальное поле на лыжах. Летчик подводит самолет к поверхности без вертикальной скорости и вертикального ускорения в момент приземления. Сила лобового сопротивления пропорциональна квадрату скорости и равна 10 Н при скорости в 1 м/с. Подъемная сила пропорциональна квадрату скорости и равна 30 Н при ско- скорости в 1 м/с. Определить длину и время пробега самолета до остановки, приняв коэффициент трения / = 0,1. Ответ: S = 909,3 м, Т = 38,7 с. 27.15B7.15). Самолет начинает пикировать без начальной вер- вертикальной скорости. Сила сопротивления воздуха пропорцио- пропорциональна квадрату скорости. Найти зависимость между вертикаль- вертикальной скоростью в данный момент, пройденным путем и максималь- максимальной скоростью пикирования. Ответ: v = vmax Д/ 1 — е 2gslVm 27.16B7.16). На какую высоту Я и за какое время Т подни- поднимется тело веса р, брошенное вертикально вверх со скоростью t>o, если сопротивление воздуха может быть выражено формулой k2pv2, где v — величина скорости тела? п — 2gk2 , 1 — kg . 27.17B7.17). Тело массы 2 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью 20 м/с, испытывает сопротивление воздуха, которое при скорости v м/с равно 0,4i> H. Найти, через сколько секунд тело достигнет наивысшего положения. Ответ: 1,71 с. 27.18B7.18). Подводная лодка, не имевшая хода, получив не- небольшую отрицательную плавучесть р, погружается на глубину, двигаясь поступательно. Сопротивление воды при небольшой от- отрицательной плавучести можно принять пропорциональным пер- 204
вой степени скорости погружения и равным kSv> где k — коэф- коэффициент пропорциональности, S — площадь горизонтальной проекции лодки, v — величина скорости погружения. Масса лодки равна М. Определить скорость погружения v, если при / = 0 ско- скорость ио = 0. Ответ: 0="^"U"— е м ) . 27.19B7.19). При условиях предыдущей задачи определить путь 2, пройденный погружающейся лодкой за время Т. Ответ: z = -A /vv. 27.20B7.21). Какова должна быть постоянная тяга винта Т при горизонтальном полете самолета, чтобы, пролетев s метров, самолет увеличил свою скорость с v0 м/с до V\ м/с. Тяга винта направлена по скорости полета. Сила лобового сопротивления, направленная в сторону, противоположную скорости, пропорцио- пропорциональна квадрату скорости и равна а Н при скорости в 1 м/с. Масса самолета М кг. 27.21B7.22). Корабль массы 107 кг движется со скоростью 16 м/с. Сопротивление воды пропорционально квадрату скорости корабля и равно 3-Ю5 Н при скорости 1 м/с. Какое расстояние пройдет корабль, прежде чем скорость его станет равной 4 м/с? За какое время корабль пройдет это расстояние? Ответ: s = 46,2 м, Т = 6,25 с. 27.22B7.23). Тело падает в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха R = k2pv2t где v — величина скорости тела, р — вес тела. Какова будет скорость тела по истечении вре- времени / после начала движения? Каково предельное значение скорости? ! Ответ: v=J 27.23B7.24). Корабль массы 1,5-106 кг преодолевает сопротив- сопротивление воды, равное R = av2 Н, где v — скорость корабля в м/с, а а — постоянный коэффициент, равный 1200. Сила упора винтов направлена по скорости в сторону движения и изменяется по за- закону Г=1,2-106A — у/33) Н. Найти зависимость скорости ко- корабля от времени, если начальная скорость равна vo м/с. Отвег v TOoo + aofro + fiO) Ответ, v- ?0 + (уо + 50) (в 27.24B7.25). В предыдущей задаче найти зависимость прой- пройденного пути от скорости. Ответ: х = 893 In ?±|? + 357 In -^f- (м). 205
27.25B7.26). В задаче 27.23 найти зависимость пути от вре- времени при начальной скорости vo= 10 м/с. Ответ: х= 1250 In <* + «^ +2°-°« -50t; при vQ = 10 м/с 6 0,056* . , * = 1250 In 7 + * — 50/. 27.26B7.27). Вагон массы 9216 кг приходит в движение вслед- вследствие действия ветра, дующего вдоль полотна, и движется по горизонтальному пути. Сопротивление движению вагона равно 1/200 его веса. Сила давления ветра P = kSu2, где S — площадь задней стенки вагона, подверженной давлению ветра, равная 6 м2, и — скорость ветра относительно вагона, a k =1,2. Абсолют- Абсолютная скорость ветра v = 12 м/с. Считая начальную скорость вагона равной нулю, определить: 1) наибольшую скорость t;max вагона; 2) время Г, которое потребовалось бы для достижения этой скорости; 3) на каком расстоянии х вагон наберет скорость 3 м/с. Ответ: 1) Ушах = 4,08 м/с, 2) Г = оо, 3) х= 175,5 м. 27.27B7.28). Найти уравнение движения точки массы т, па- падающей без начальной скорости на Землю. Сопротивление воз- воздуха пропорционально квадрату скорости. Коэффициент пропор- пропорциональности равен й. Ответ: х = -^ In ch л/— t* 27.28B7.29). Буер, весящий вместе с пассажирами Q=1962H, движется прямолинейно по гладкой горизонтальной поверхности льда вследствие давления ветра на парус, плоскость которого ab образует угол 45° с на- направлением движения. Абсолютная скорость /Ь5°\ w ветра перпендикулярна направлению дви- жения. Величина силы давления ветра Р вы- ражается формулой Ньютона: Р = kSu2 cos2 <p, \ гДе Ф — угол, образуемый относительной ско- и ростью ветра и с перпендикуляром N к пло- к задаче 27.28 скости паруса, S = 5 м2 — площадь паруса, й = 0,113 — опытный коэффициент. Сила дав- давления Р направлена перпендикулярно плоскости ab. Пренебрегая трением, найти: 1) какую наибольшую скорость утах может полу- получить буер; 2) какой угол а составляет при этой скорости поме- помещенный на мачте флюгер с плоскостью паруса; 3) какой путь х\ должен пройти буер для того, чтобы приобрести скорость v=2/$w, если его начальная скорость равна нулю. Ответ: 1) утах = ш, 2) а = 0°, 3) дп = 88,5 м. 27.29B7.30). Вожатый трамвая, выключая постепенно реостат, увеличивает мощность вагонного двигателя так, что сила тяги возрастает от нуля пропорционально времени, увеличиваясь на 1200 Н в течение каждой секунды. Найти зависимость пройден- 206
ного пути от времени движения вагона при следующих данныхз масса вагона 10000 кг, сопротивление трения постоянно и состав- составляет 0,02 веса вагона, а начальная скорость равна нулю. Ответ: Движение начнется через 1,635 с после включения тока по закону: s = 0,02 (t— 1,635K м. 27.30B7.31). Тело массы 1 кг движется под действием пере- переменной силы F = 10A — t) H, где время t — в секундах. Через сколько секунд тело остановится, если начальная скорость тела Уо = 2О м/с и сила совпадает по направлению со скоростью тела? Какой путь пройдет тело до остановки? Ответ: t = 3,236 с, s = 60,6 м. 27.31B7.32). Материальная точка массы m совершает прямо- прямолинейное движение под действием силы, изменяющейся по закону р"= Fo cos cot, где Fo и о — постоянные величины. В начальный момент точка имела скорость х0 = v0. Найти уравнение движения точки. Ответ: х = -^ A — cos a>t) + vot. 27.32B7.33). Частица массы m, несущая заряд электричества е, находится в однородном электрическом поле с переменным напря- напряжением E = Asinkt (А и k — заданные постоянные). Определить движение частицы, если известно, что в электрическом поле на частицу действует сила F = eEt направленная в сторону напря- напряжения Е. Влиянием силы тяжести пренебречь. Начальное поло- положение частицы принять за начало координат; начальная скорость частицы равна нулю. ~ еА (А sin kt Ответ: x=—t 27.33B7.34). Определить движение тяжелого шарика вдоль воображаемого прямолинейного канала, проходящего через центр Земли, если принять, что сила притяжения внутри земного шара пропорциональна расстоянию движущейся точки от центра Земли и направлена к этому центру; шарик опущен в канал с поверхно- поверхности Земли без начальной скорости. Указать также скорость шарика при прохождении через центр Земли и время движения до этого центра. Радиус Земли равен /? = 6,37-106 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли принять равным g = = 9,8 м/с2. Ответ: Расстояние шарика от центра Земли меняется по закону л; =/? cos а/-|- /, и = 7,9- 103 м/с, Г = 1266,4 с = 21,1 мин. 27.34B7.35). Тело падает на Землю с высоты h без начальной скорости. Сопротивлением воздуха пренебречь, а силу притяже- притяжения Земли считать обратно пропорциональной квадрату расстоя- расстояния тела от центра Земли. Найти время 7', по истечении которого тело достигнет поверхности Земли. Какую скорость v оно приоб- приобретет за это время? Радиус Земли равен R; ускорение силы тя- тяжести у поверхности Земли равно g< 207
: о=д/- 27.35B7.36). Материальная точка массы m отталкивается от центра силой, пропорциональной расстоянию (коэффициент про- пропорциональности mk2). Сопротивление среды пропорционально скорости движения (коэффициент пропорциональности 2mk\). В начальный момент точка находилась на расстоянии а от цен- центра, и ее скорость в этот момент равнялась нулю. Найти закон движения точки. Ответ: х = -^^ (ае** + $е~*% где а = ^k\ + k2 + k{9 Р = 27.36B7.37). Точка массы m начинает двигаться без началь- начальной скорости из положения х = р прямолинейно (вдоль оси х) под действием силы притяжения к началу координат, изменяю- изменяющейся по закону R = а/л:2. Найти момент времени, когда точка окажется в положении х\ = (J/2. Определить скорость точки в этом положении. 27.37B7.38). Точка массы m начинает двигаться из состояния покоя из положения х0 = а прямолинейно под действием силы притяжения, пропорциональной расстоянию от начала координат: Fx = — C\mx, и силы отталкивания, пропорциональной кубу рас- расстояния: Qx = c2mxs. При каком соотношении сь с2у а точка дости- достигает начала координат и остановится? Ответ: С\ = 1/2с2а2. 27.38B7.40). При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону F = — 3 . Н, где а — скорость тела в м/с, а 5 — пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость vo = 5 м/с. Ответ: 5 = 3 [^5/ + 1 — 1 ] м. б) Криволинейное движение 27.39B7.41). Морское орудие выбрасывает снаряд массы 18 кг со скоростью vo = 700 м/с, действительная траектория снаряда в воздухе изображена на рисунке в двух случаях: 1) когда угол, составляемый осью орудия с горизонтом, равен 45° и 2) когда этот угол равен 75°. Для каждого из указанных двух случаев определить, на сколько километров увеличилась бы высота и даль- дальность полета, если бы снаряд не испытывал сопротивления воз- воздуха. 208
Ответ: Увеличение высоты: 1) 7,5 км, 2) 12 км. Увеличение дальности: 1) 36,5 км, 2) 16,7 км. 27.40B7.42). Самолет А летит на высоте 4000 м над землей с горизонтальной скоростью 140 м/с. На каком расстоянии к, измеряемом по горизонтальной прямой от данной точки В, должен быть сброшен с самолета без начальной относительной скорости какой-либо груз для того, чтобы он упал в эту точку? Сопротив- Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: х = 4000 м. 27.41B7.43). Самолет А летит над землей на высоте h с гори- / 2 3 Н 5 6 7 8 9 10 11 12/3 Щ км К задаче 27.39 К задаче 27.40 К задаче 27.41 зонтальной скоростью V\. Из орудия В произведен выстрел по самолету в тот момент, когда самолет находится на одной вер- вертикали с орудием. Найти: 1) какому условию должна удовлетво- удовлетворять начальная скорость v0 снаряда для того, чтобы он мог по- попасть в самолет, и 2) под каким углом а к горизонту должен быть сделан выстрел. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: 1) v\^v\-\-2gh\ 2) cos a = vx/vQ. 27.42B7.44). Наибольшая горизонтальная дальность снаряда равна L. Определить его горизонтальную дальность / при угле бросания а = 30° и высоту h траектории в этом случае. Сопротив- Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: I = Г 1 I* 27.43B7.45). При угле бросания а снаряд имеет горизонталь- горизонтальную дальность /а. Определить горизонтальную дальность при угле бросания, равном а/2. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: /а/2 = -^А-. 27.44B7.47). Определить угол наклона ствола орудия к гори- горизонту, если цель обнаружена на расстоянии 32 км, а начальная скорость снаряда v0 = 600 м/с. Сопротивлением воздуха прене- пренебречь. Ответ: ai = 30° 18', a2 = 59° 42'. 27.45B7.48). Решить предыдущую задачу в том случае, когда цель будет находиться на высоте 200 м над уровнем артиллерий- артиллерийских позиций. Ответ: ах = 30° 507, а2 = 59° 317. 209
27.46B7.49). Из орудия, находящегося в точке О, произвели выстрел под углом а к горизонту с начальной скоростью v$* Одновременно из точки Л, находящейся на расстоянии / по го- горизонтали от точки О, произвели выстрел вертикально вверх. Определить, с какой начальной скоростью v\ надо выпустить вто- второй снаряд, чтобы он столкнулся с первым снарядом, если ско- скорость v0 и точка А лежат в одной вертикальной плоскости, Сопротивлением воздуха пренебречь. Ответ: V\ = Vo sin а (независимо от расстояния /, для / < \ 27.47B7.50). Найти геометрическое место положений в мо- момент t материальных точек, одновременно брошенных в верти- вертикальной плоскости из одной точки с одной и той же начальной скоростью Vq под всевозможными углами к горизонту. Ответ: Окружность радиуса vot с центром, лежащим на вер- вертикали точки бросания, ниже этой точки на l/2gt2. 27.48B7.51). Найти геометрическое место фокусов всех пара- параболических траекторий, соответствующих одной и той же началь- начальной скорости v0 и всевозможным углам бросания. Ответ: 2 27.49B7.52). Тело веса Р, брошенное с начальной скоростью v0 под углом а к горизонту, движется под влиянием силы тяжести и сопротивления R воздуха. Определить наибольшую высоту h тела над уровнем начального положения, считая сопротивление пропорциональным первой степени скорости: R = kPv. Ответ: h = -^JP _ -^ in A + too sin a). 27.50B7.53). В условиях задачи 27.49 найти уравнения дви- движения точки. Ответ: х= v°c°sa (I — е~к*% у = т-(Ч sin « +4") (l—e-Щ— 27.51B7.54). При условиях задачи 27.49 определить, на каком расстоянии s по горизонтали точка достигнет наивысшего поло- положения. i>o sin 2a Ответ: s= 2fir(fc,oSina+l) * 27.52B7.55). В вертикальной трубе, помещенной в центре круг- круглого бассейна и наглухо закрытой сверху, на высоте 1 м сделаны отверстия в боковой поверхности трубы, из которых выбрасыва- выбрасываются наклонные струи воды под различными углами ср к гори- горизонту (ф < я/2); начальная скорость струи равна v0 = ==Л/"з~с(?— м/°' где ^ — ускорение силы тяжести; высота трубы 210
1 м. Определить наименьший радиус R бассейна, при котором вся выбрасываемая трубой вода падает в бассейн, как бы мала ни была высота его стенки. Ответ: R = 2,83 м. 27.53B7.56). Определить движение тяжелой материальной точки, масса которой равна /л, притягиваемой к неподвижному центру О силой, прямо пропорциональной расстоянию. Движение происходит в пустоте; сила притяжения на единице расстояния равна k2m\ в момент / = 0: х = а, х = 0, у = 0, у = 0, причем ось Оу направлена по вертикали вниз. Ответ: Гармоническое колебательное движение: х = a cos ktf у =-?-A — coskt) по отрезку прямой у = тг~-тг-х> \х\^а. 27.54B7.57). Точка массы m движется под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по за- закону F = k2mrt где г — радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в Мо(а,О) и имела скорость v0, направленную параллельно оси у. Определить тра- траекторию точки. Ответ: (-~J— (lj*J==:1 (гипеРбола)- 27.55B7.58). Упругая нить, закрепленная в точ- точке Л, проходит через неподвижное гладкое коль- кольцо О; к свободному концу ее прикреплен шарик М, масса которого равна т. Длина невытянутой нити 1=АО; для удлинения нити на 1 м нужно приложить силу, равную k2m. Вытянув нить по прямой АВ так, что длина ее увеличилась вдвое, к задаче 27.55 сообщили шарику скорость г*0, перпендикулярную прямой АВ, Определить траекторию шарика, пренебрегая дей- действием силы тяжести и считая натяжение нити пропорциональным ее удлинению. k2x2 и2 Ответ: Эллипс —^—Ь ¦^г== 1- v20 I2 27.56B7.59). Точка М, масса которой равна т, притягивается к п неподвижным центрам С\, С2, ..., Сп силами, пропорциональ- пропорциональными расстояниям; сила притяжения точки М к центру d (r=* = 1,2, , п) равна ktm-MCi Н; точка М и притягивающие центры лежат в плоскости Оху. Определить траекторию точки М, если при / = 0: х = х0, у = Уо, х = 0, у = vQ. Действием силы тя- тяжести пренебречь. , Ответ: Эллипс (-^^-Y + \(у-Ь)+ -*-Z°-(b-y)VЛ^ = \ п п п где a = j J] ktxi9 b = \ 211
27.57B7.60). Точка М притягивается к двум центрам С] и С2 силами, пропорциональными расстояниям: km-MCi и кт-МС2; центр Сх неподвижен и находится в начале координат, центр С2 равномерно движется по оси Ох, так что х2 = 2(а + bt). Найти траекторию точки М, полагая, что в момент / = 0 точка М нахо- находится в плоскости ху, координаты ее х = у = а и скорость имеет лроекции л: = ? = 6, ? = 0. Ответ: Винтовая линия, расположенная на эллиптическом ци- линдре, ось которого есть Ох, а уравнение имеет вид ^г + 2kz2 /~2 Н—is—= U шаг винта равен nb \/-j- 27.58B7.61). Частица массы пг, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное электрическое поле напря- напряжения Е со скоростью vo, перпендикулярной направлению напря- напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что в электрическом поле на нее действует сила F = еЕ, направленная в сторону, противоположную напряжению Е; действием силы тяжести пренебречь. Ответ: Парабола, параметр которой равен mvy(eE). 27.59B7.62). Частица массы пг, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное магнитное поле напряже- напряжения Н со скоростью Vo, перпендикулярной направ- направлению напряжения поля. Определить траекторию дальнейшего движения частицы, зная, что на час- m о—*i? тицу действует сила F = — е (v X Я). f При решении удобно пользоваться уравнениями движе- <гН ния точки в проекциях на касательную и на главную нор- К задаче 27.59 маль к траектории. Ответ: Окружность радиуса mvo/(eH). 27.60B7.63). Определить траекторию движения частицы мас- массы т, несущей заряд е электричества, если частица вступила в однородное электрическое поле с переменным напряжением Е = = A cos kt (А и k — заданные постоянные) со скоростью v0, пер- перпендикулярной направлению напряжения поля; влиянием силы тяжести пренебречь. В электрическом поле на частицу действует сила F = — еЕ. Ответ: у = — -^ A — cos — х\, где ось у направлена по на- напряжению поля, начало координат совпадает с начальным положением точки в поле. 27.61B7.64). По негладкой наклонной плоскости движется тяжелое тело М, постоянно оттягиваемое посредством нити в гори- горизонтальном направлении, параллельно прямой АВ. С некоторого момента движение тела становится прямолинейным и равномер- равномерным, причем из двух взаимно перпендикулярных составляющих скорости та, которая направлена параллельно АВ, равна 12 м/с. .212 г
Определить вторую составляющую V\ скорости, а также натяже- натяжение Т нити при следующих данных: уклон плоскости tga = l/30f коэффициент трения / = 0,1, масса тела 30 кг. Ответ: vx = 4,24 см/с, Т = 27,7 Н. 27.62B7.65). Точка М массы m находится под действием двух сил притяжения, направленных к неподвижным центрам О\ и О2 (см. рисунок). Величина этих сил пропорциональна расстоянию от точек О\ и О2. Коэффициент пропорциональности одинаков я а М f /о, У V . га А х К задаче 27.61 К задаче 27.62 = 1, где &=д/ — t = равен с. Движение начинается в точке Ло со скоростью vOf перпен- перпендикулярной линии OiO2. Определить, какую траекторию опишет точка М. Найти моменты времени, когда она пересекает направ- направление линии OiO2, и вычислить ее координаты в эти моменты времени. Расстояние от точки Ло до оси у равно 2а. Ответ: Эллипс ~^г Y __ О/у U == 0* / = у2 = 0 и т. д. Время, в течение которого точка описывает эллипс, Т = 2n/k. 27.63B7.66). На точку Л массы т, которая начинает движение из положе- положения г = г0 (где г — радиус-вектор точ- точки) со скоростью Vo, перпендикулярной г0, действует сила притяжения, направ- направленная к центру О и пропорциональная расстоянию от него. Коэффициент про- пропорциональности равен пгс\. Кроме того, на точку действует по- постоянная сила пгсго. Найти уравнение движения и траекторию точки. Каково должно быть отношение с\/с, чтобы траектория движения проходила через центр О? С какой скоростью точка пройдет центр О? "О К задаче 27.63 Ответ: 1) г = cos t\ 213
3) точка А пройдет через центр О, если С\/с = 2; 4) точка А пройдет через центр О со скоростью v0 = —v0 в момент времени t = n/^Jc{. 27.64B7.67). Тяжелая точка массы т падает из положения, определяемого координатами х0 = 0, yo = h при t = 0, под дей- действием силы тяжести (параллельной оси у) и силы отталкива- отталкивания от оси у, пропорциональной расстоянию от этой оси (коэф- (коэффициент пропорциональности с). Проекции начальной скорости точки на оси координат равны vx = t>o, vy = 0. Определить траек- траекторию точки, а также момент време- /^1 j- , ни U пересечения оси х. Ответ: Траектория х =- ~ f2h где к = А/—» к задаче 27.65 27.65B7.68). Точка М массы m движется под действием силы тяже- тяжести по гладкой внутренней поверхности полого цилиндра радиу- радиуса г. В начальный момент угол фО = я/2, а скорость точки равня- равнялась нулю. Определить скорость точки М и реакцию поверхности цилиндра при угле ф = 30°. 4 Ответ: v = д/З -л/gr', Т-- § 28. Теорема об изменении количества движения материальной точки. Теорема об изменении момента количества движения материальной точки 28.1B8.1). Железнодорожный поезд движется по горизонталь-» ному и прямолинейному участку пути. При торможении развива- развивается сила сопротивления, равная 0,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время тор- торможения и тормозной путь. Ответ: 20,4 с, 204 м. 28.2B8.2). По шероховатой наклонной плоскости, составляю- составляющей с горизонтом угол а = 30°, спускается тяжелое тело без на- начальной скорости. Определить, в течение какого времени Т тело пройдет путь длины / = 39,2 м, если коэффициент трения / = 0,2, Ответ: Т = 5 с. 28.3B8.3). Поезд массы 4-Ю5 кг входит на подъем f = tga=» = 0,006 (где a — угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффи- Коэффициент трения (коэффициент суммарного сопротивления) при дви- движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги теп- тепловоза. Ответ: 23 120 Н. 214
28.4B8.4). Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА, часть которой ОА пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса MC = R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины ОМи при которой гирька описывает окружность радиусом R/2. Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности? Ответ: 480 об/мин. 28.5B8.5). Для определения массы гру- груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили дина- динамометр. Среднее показание динамометра за 2 мин оказалось 106 Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу со- состава, если коэффициент трения / = 0,02. Ответ: 3036 т. 28.6B8.6). Каков должен быть коэффи- коэффициент трения / колес заторможенного авто- автомобиля о дорогу, если при скорости езды v = 20 м/с он останав- останавливается через 6 с после начала торможения. Ответ: f = 0,34. 28.7B8.7). Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v = 650 м/с, пробегая канал ствола за время t = = 0,00095 с. Определить среднюю величину давления газов, вы- выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала а =150 мм2. Ответ: Среднее давление 9,12-104 Н/мм2. 28.8B8.8). Точка М движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v2 Mi Ъ К задаче 28.4 К задаче 28.8 К задаче 28.9 в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении V\ = 30 см/с, а г2 в пять раз больше г\. Ответ: v2 = 6 см/с. 28.9B8.9). Найти импульс равнодействующей всех сил, дей- действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального поло-' жения О переходит в наивысшее положение М. Дано: v0 = 500 м/с; «0 = 60°; v\ =200 м/с; масса снаряда 100 кг. Ответ: Проекции импульса равнодействующей: Sx=—5000 Н-с, ?„ = — 43 300 Н-с. 215
28.10B8.10). Два астероида М{ и М2 описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого 5 находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу М\М2 эллипса можно считать от- отрезком прямой. Известно, что длина дуги МХМ2 равнялась а, когда середина ее находилась в перигелии Р. Предполагая, что астероиды движутся с равными секториальными скоростями, опре- определить длину дуги М\М2, когда се- середина ее будет проходить через афелий А, если известно, что SP = = Ri и SA = R2. Ответ: М\М2 =-it-й- к задаче 28.Ю 28.11B8.11). Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортив- спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н«с. Найти скорость, приобретаемую са- санями за 15 с, если коэффициент трения / = 0,01. , Ответ: v = 3,53 м/с. 28.12B8.12). Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью v = 0,2 м/с, делая полный оборот за время Г = 4 с. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки m = 5 кг. Определить среднее значение силы F. Ответ: S = 2 H-c, F=1H. 28.13B8.13). Два математических маятника, подвешенных на нитях длин 1\ и 12 {1\>12)> совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в од- одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины 1\ и 12 для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т. Ответ: У/1//2" = ^/п» гДе k,п — целые числа и дробь k/n несо- несократима; Т = kT2 = пТ\. 28.14B8.14). Шарик массы т, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой ко- конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натя- натяжение нити Т, если известно, что в начальный момент нить рас- расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно Ry а проекция начальной скорости шарика на перпендику- перпендикуляр к направлению нити равна Vq. Ответ: В полярных координатах (если принять отверстие за начало координат и угол ф0 равным нулю): — /?— /. _ V _ mvpi2 216
28.15B8.15). Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли /? = 6,37-106 м, средняя плотность 5,5 т/м3, большая полуось земной орбиты а = 1,49- 10й м, время обра- обращения Земли вокруг Солнца Т = 365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной -s~- H, где m — масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна 31 ?Т » гДе г — расстояние Земли от Солнца. Ответ: М = 1,966-1030 кг. 28.16B8.16). Точка массы /л, подверженная действию цен- центральной силы F, описывает лемнискату r2 = acos2cp, где а — величина постоянная, г — расстояние точки от силового центра; в начальный момент г = г0, скорость точки равна Vo и составляет угол а с прямой, соединяющей точку с силовым центром. Опреде- Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстоя- расстояния г. По формуле Бине F = f- ( —1 2 Н )» где с — удвоенная сектор- секторная скорость точки. Ответ: Сила притяжения F =—— r2u2 sin2 a. 28.17B8.17). Точка Af, масса которой m, движется около не- неподвижного центра О под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния МО = г. Зная, что ско- скорость точки v = a/r, где а — величина постоянная, найти вели- величину силы F и траекторию точки. Ответ: Сила притяжения F — та2/гг\ траектория — логариф- логарифмическая спираль. 28.18B8.18). Определить движение точки, масса которой 1 кг, под действием центральной силы притяжения, обратно пропорцио- пропорциональной кубу расстояния точки от центра притяжения, при сле- следующих данных: на расстоянии 1 м сила равна 1 Н. В начальный момент расстояние точки от центра притяжения равно 2 м, ско- скорость ио = О,5 м/с и составляет угол 45° с направлением прямой, проведенной из центра к точке. Ответ: r2 = 4+/Y2~> r = 2е*. 28.19B8.19). Частица М массы 1 кг притягивается к непо- неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии 1 м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ0 = = 2 м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМ0 и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы. Ответ: Окружность радиуса 1 м, центр которой лежит на ли- линии ОМ0 на расстоянии 1 м от центра притяжения. 28.20B8.20). Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения 217
Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 с. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения F при этом движении. Ответ: Fmax = 1,97-10~3 H, Fmln = 1,23- Ю-4 Н. 28.21. Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и при- применяется для отсчета времени. Найти длину / этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с2. Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину 1\ должен иметь секундный лунный маятник? Ответ: I = 99,4 см, Тх = 2,45 с, h = 16,56 см. 28.22. В некоторой точке Земли секундный маятник отсчиты- отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он от- отстает на Т секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника. / Т \2 Ответ: g\ = g0 ^1 — 86 400 ) . где g0 — ускорение силы тяжести в первоначальном положении маятника. § 29. Работа и мощность 29.1B9.1). Бетонный блок ABCD, размеры которого указаны на рисунке, имеет массу 4000 кг. Определить работу, которую , надо затратить на опрокидывание его враще- '0* нием вокруг ребра D. ^Вл хС Ответ: 39,24 кДж. Г Г _L I 1 У I JL 29.2B9.2). Определить наименьшую рабо- работу, которую надо затратить для того, чтобы поднять на 5 м тело массы 2 т, двигая его по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол в 30°. Коэффициент тре- трения 0,5. Ответ: 183 кДж. 29.3B9.3). Для того чтобы поднять 5000 м3 воды на высоту 3 м, поставлен насос с дви- двигателем в 2 л. с. Сколько времени потребу- к задаче 9.1 ется для ВЫП0Лнения этой работы, если коэф- коэффициент полезного действия насоса 0,8? Коэффициентом полезного действия называется отношение полезной работы, в данном случае работы, затраченной на поднятие воды, к работе движущей силы, которая должна быть больше полезной работы вследствие вредных сопро- сопротивлений. Ответ: 34 ч 43 мин 20 с. 29.4B9.4). Как велика мощность машины, поднимающей 84 раза в минуту молот массы 200 кг на высоту 0,75 м, если ко- коэффициент полезного действия машины 0,7? Ответ: 2,94 кВт, 218
29.5B9.5). Вычислить общую мощность трех водопадов, распо- расположенных последовательно на одной реке. Высота падения воды: у первого водопада — 12 м, у второго—12,8 м, у третьего—15 м. Средний расход воды в реке — 75,4 м3/с Ответ: 29,4 МВт. 29.6B9.6). Вычислить мощность турбогенераторов на станции трамвайной сети, если число вагонов на линии 45, масса каждого вагона 10 т, сопротивление трения равно 0,02 веса вагона, средняя скорость вагона 3,3 м/с и потери в сети 5%. Ответ: 309 кВт. 29.7B9.8). Вычислить работу, которая производится при подъ- подъеме груза массы 20 кг по наклонной плоскости на расстоянии 6 м, если угол образуемый плоскостью с горизонтом, равен 30°, а ко- коэффициент трения равен 0,01. Ответ: 598 Дж. 29.8B9.9). Когда турбоход идет со скоростью 15 узлов, тур- турбина его развивает мощность 3800 кВт. Определить силу сопро- сопротивления воды движению турбохода зная, что коэффициент по- полезного действия турбины и винта равен 0,41 и 1 узел = = 0,5144 м/с. Ответ: 201,9 кН. 29.9B9.10). Найти мощность двигателя внутреннего сгорания, если среднее давление на поршень в течение всего хода равно 49 Н на 1 см2, длина хода поршня 40 см, площадь поршня 300 см2, число рабочих ходов 120 в минуту и коэффициент полезного дей- действия 0,9. Ответ: 10,6 кВт. 29.10B9.11). Шлифовальный круг диаметра 0,6 м делает 120 об/мин. Потребляемая мощность 1,2 кВт. Коэффициент тре- трения шлифовального круга о деталь равен 0,2. С какой силой круг прижимает шлифуемую деталь? Ответ: 1591,5 Н. 29.11B9.12). Определить мощность двигателя продольно-стро- продольно-строгального станка, если длина рабочего хода 2 м, его продолжи- продолжительность 10 с, сила резания 11,76 кН, коэффициент полезного действия станка 0,8. Движение считать равномерным. Ответ: 2,94 кВт. 29.12B9.14). К концу упругой пружины подвешен груз массы М. Для растяжения пружины на 1 м надо приложить силу в с Н. Составить выражение полной механической энергии груза на пру- пружине. Движение отнести к оси х, проведенной вертикально вниз из положения равновесия груза на пружине. Ответ: Е = l/2Mx2 + l/2cx2 — Mgx. 29.13B9.15). При ходьбе на лыжах на дистанцию в 20 км по горизонтальному пути центр тяжести лыжника совершал гармо- гармонические колебания с амплитудой 8 см и с периодом Г = 4 с, масса лыжника 80 кг, а коэффициент трения лыж о снег / = 0,05. Определить работу лыжника на марше, если всю дистанцию он прошел за 1 час 30 мин, а также среднюю мощность лыжника. 219
Примечание. Считать, что работа торможения при опускании центра тяжести лыжника составляет 0,4 работы при подъеме центра тяжести на ту же высоту. Ответ: А = 1021 кДж, N = 188,9 Вт. 29.14B9.16). Математический маятник А веса Р и длины / под действием горизонтальной силы Рх/l поднялся на высоту у. Вычислить потенциальную энергию маятника двумя способами: 1) как работу силы тяжести, 2) как работу, про- произведенную силой Рх/1, и указать, при каких условиях оба способа приводят к одинаковому результату. 1 Рх2 Ответ: 1) Ру\ 2) у-у- Оба ответа одина- одинаковы, если можно пренебречь у2, ._ 29.15B9.17). Для измерения мощности дви- х гателя на его шкив А надета лента с деревян- к задаче 29.14 ными колодками. Правая ветвь ВС ленты удер- удерживается пружинными весами Q, а левая ее ветвь DE натягивается грузом. Определить мощность двигателя, если, вращаясь равномерно, он делает 120 об/мин; при этом пру- пружинные весы показывают, натяжение правой ветви ленты в 39,24 Н; масса груза равна 1 кг, диаметр шкива d = 63,6 см* К задаче 29.15 К задаче 29.16 Разность натяжений ветвей ВС и DE ленты равна силе, тормозя- тормозящей шкив. Определить работу этой силы в 1 с. Ответ: 117,5 Вт. 29.16B9.18). Посредством ремня передается мощность 14,71 кВт. Радиус ременного шкива 0,5 м, угловая скорость шкива соответствует 150 об/мин. Предполагая, что натяжение Т ведущей ветви ремня вдвое больше натяжения / ведомой ветви, определить натяжение Tut. Ответ: t = 1873 Н; Т = 3746 Н. 220
§ 30. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки 30.1C0.1). Тело ?, масса которого равна т, находится на глад- гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру О\. Длина недеформированной пружины равна /0; ОО\ = /. В началь- начальный момент тело Е отклонено от положения равновесия О на конечную величину ОЕ = а и отпущено без начальной скорости. Опреде- Определить скорость тела в момент прохождения положения равновесия. ^ +h(l- Ответ: v 30.2C0.2). В условиях предыдущей задачи ОПредеЛИТЬ СКОрОСТЬ Тела Е В МОМеНТ ПрОХОЖ- К задаче 30.1 дения положения равновесия О, предполагая, что плоскость шероховата и коэффициент трения скольжения равен f. cl)a + 30.3C0.3). Тело К находится на шероховатой наклонной пло- плоскости в покое. Угол наклона плоскости к горизонту а и /о > tgat где /о — коэффициент трения покоя. В некоторый момент телу со- сообщена начальная скорость Vo, направленная вдоль плоскости вниз. Определить путь .$, пройденный телом до остановки, если коэф- коэффициент трения при движении равен /. Ответ: v2 = — { с [~- + /0 (/ — Ответ: s = К задаче 30.3 g (/ cos a — sin a) 30.4C0.4). По наклонной плоскости, со- составляющей с горизонтом угол 30°, спуска- спускается без начальной скорости тяжелое тело; коэффициент трения равен 0,1. Какую скорость будет иметь тело, пройдя 2 м от начала движения? Ответ: 4,02 м/с. 30.5C0.5). Снаряд массы 24 кг вылетает из ствола орудия со скоростью 500 м/с. Длина ствола орудия 2 м. Каково среднее зна- значение давления газов на снаряд? Ответ: 1500 кН. 30.6C0.6). Материальная точка массы 3 кг двигалась по гори- горизонтальной прямой влево со скоростью 5 м/с. К точке приложили постоянную силу, направленную вправо. Действие силы прекрати- прекратилось через 30 с, и тогда скорость точки оказалась равной 55 м/с и направленной вправо. Найти величину этой силы и совершен- совершенную ею работу. 221
Ответ: F = 6 Н, А = 4,5 кДж. 30.7C0.7). При подходе к станции поезд идет со скоростью 10 м/с под уклон, угол которого а = 0,008 рад. В некоторый мо- момент машинист начинает тормозить поезд. Сопротивление от тре- трения в осях составляет 0,1 от веса поезда. Определить, на каком расстоянии и через какое время от начала торможения поезд оста- остановится. Принять, что sin a = а. Ответ. 55,3 м, 11,8 с. 30.8C0.8). Поезд массы 200 т идет по горизонтальному участку пути с ускорением 0,2 м/с2. Сопротивление от трения в осях составляет 0,01 веса поезда и считается не зависящим от ско- скорости. Определить мощность, развиваемую тепловозом в момент /=10 с, если в начальный момент скорость поезда равнялась 18 м/с. Ответ: 1192 кВт. 30.9C0.9). Брус начинает двигаться с начальной скоростью vq по горизонтальной шероховатой плоскости и проходит до полной остановки расстояние s. Определить коэффициент трения сколь- скольжения, считая, что сила трения пропорциональна нормальному давлению. Ответ: f = v*/Bgs). 30.10C0.10). Железнодорожная платформа имеет массу 6 v и при движении испытывает сопротивление от трения в осях, рав- равное 0,0025 ее веса. Рабочий уперся в покоящуюся платформу и покатил ее по горизонтальному и прямолинейному участку пути, действуя на нее с силой 250 Н. Пройдя 20 м, он предоставил плат- платформе катиться самой. Вычислить, пренебрегая сопротивлением воздуха и трением колес о рельсы, наибольшую скорость плат- платформы во время движения, а также весь путь, пройденный ею до остановки. Ответ: Ртах = 0,82 м/с, 5 = 34 м. 30.11C0.11). Гвоздь вбивается в стену, оказывающую сопро- сопротивление 700 Н. При каждом ударе молотка гвоздь углубляется в стену на длину / = 0,15 см. Определить массу молотка, если при ударе о шляпку гвоздя он имеет скорость v = l,25 м/с. Ответ: 1,344 кг. 30.12C0.12). Упавший на Землю метеорит массы 39 кг углу- углубился в почву на 1,875 м. Вычислено, что почва в месте падения метеорита оказывает проникающему в нее телу сопротивление 5-Ю5 Н. С какой скоростью метеорит достиг поверхности Земли? С какой высоты он должен был упасть без начальной скорости, чтобы у поверхности Земли приобрести указанную скорость? Считаем силу тяжести постоянной и пренебрегаем сопротивлением воздуха. Ответ: t; = 219 м/с, Н = 2453 м. 30.13C0.13). Незаторможенный поезд массы 500 т, двигаясь с выключенным двигателем, испытывает сопротивление R = = G650 + 500и) Н, где v — скорость в м/с. Зная начальную ско* 222
рость поезда i;0=15 м/с, определить, какое расстояние пройдет поезд до остановки. Ответ: 4,5 км. 30.14C0.14). Главную часть установки для испытания мате- материалов ударом составляет тяжелая стальная отливка М, прикреп- прикрепленная к стержню, который может вращаться почти без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси О. Прене- Пренебрегая массой стержня, рассматриваем отливку М как материальную точку, для которой расстояние ОМ = 0,981 м. Определить скорость v этой точки в нижнем положении В, если она падает из верхнего положения А с ничтожно малой- начальной ско- скоростью. Ответ: v = 6,2 м/с. 30.15C0.15). Написать выражение потенциальной энергии упругой рессоры, прогибающейся на 1 см от нагрузки в 4 кН, предполагая, что прогиб х возра- возрастает прямо пропорционально нагрузке. Ответ: П=B0л:2 + С) Дж, если х в см. 30.16C0.16). Пружина имеет в ненапряженном длину 20 см. Сила, необходимая для изменения ее длины на 1 см, равна 1,96 Н. С какой скоростью v вылетит из трубки шарик массы 30 г, если пружина была сжа- сжата до длины 10 см? Трубка располо- расположена горизонтально. Ответ: v = 8,08 м/с. 30.17C0.17). Статический прогиб балки, загруженной посередине гру- грузом Q, равен 2 мм. Найти наибольший прогиб балки, пренебрегая ее массой, в двух случаях: 1) когда груз Q положен на неизогну- неизогнутую балку и опущен без начальной скорости; 2) когда груз Q падает на середину неизогнутой балки с высоты 10 см без началь- начальной скорости. В К задаче 30.14 СОСТОЯНИИ К задаче 30.16 К задаче 30.18 При решении задачи следует иметь в виду, что сила, действующая на груз со стороны балки, пропорциональна ее прогибу. Ответ: 1) 4 мм; 2) 22,1 мм. 30.18C0.18). Две ненапряженные пружины АС и ВС, распо- расположенные по горизонтальной прямой Ах, прикреплены шарнирами к неподвижным точкам А и В, а в точке С — к гире массы 2 кг. Пружина АС сжимается на 1 см силой 20 Н, а пружина СВ вы- 223
тягивается на 1 см силой 40 Н. Расстояние АС = ВС = 10 см. Гире С сообщена скорость vo = 2 м/с в таком направлении, что при последующем движении она проходит через точку D, коорди- координаты которой xd = 8 cm, (/d = 2 cm, если за начало координат принять точку А и координатные оси направить, как указано на рисунке. Определить скорость гири в момент прохождения ее че- через точку D, лежащую в вертикальной плоскости ху. Ответ: v = 1,77 м/с. 30.19C0.20). Груз М веса Р, подвешенный в точке О на не- нерастяжимой нити длины /, начинает двигаться в вертикальной плоскости без начальной скорости из точ- точки А\ при отсутствии сопротивления груз М достигнет положения С, где его скорость обратится в нуль. Приняв потенциальную энергию, обусловленную силой тяжести груза М в точке В, равной нулю, постро- построить графики изменений кинетической и по- тенциальной энергии, а также их суммы к задаче . 9 в зависимости от угла ф. Массой нити пре- пренебречь. Ответ: Две синусоиды и прямая, имеющие уравнения r = P/sin<p, V = Pl(l — sinqp), T + V = PL 30.20C0.21). Материальная точка массы m совершает гармо- гармонические колебания по прямой Ох под действием упругой вос- восстанавливающей силы по следующему закону: х = a sin(kt + {$). Пренебрегая сопротивлениями, построить графики изменения ки- кинетической энергии Т и потенциальной энергии V движущейся точки в зависимости от координаты х; в начале координат V = Q< Ответ: Оба графика — параболы, имеющие уравнения 30.21C0.22). Какую вертикальную силу, постоянную по вели- величине и направлению, надо приложить к материальной точке, чтобы при падении точки на Землю с высоты, равной радиусу Земли, эта сила сообщила точке такую же скорость, как сила притяже- притяжения к Земле, обратно пропорциональная квадрату расстояния точки до центра Земли? Ответ: Р/2, где Р — вес точки на поверхности Земли. 30.22C0.23). Горизонтальная пружина, на конце которой при* креплена материальная точка, сжата силой Р и находится в покое. Внезапно сила Р меняет направление на прямо противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины, во сколько раз полу- получающееся при этом наибольшее растяжение /г больше первона- первоначального сжатия 1\. Ответ: 12/1\ = Ъ. 224
30.23C0.24). Тело брошено с поверхности Земли вверх по вер- вертикальной линии с начальной скоростью v0. Определить высоту Н поднятия тела, принимая во внимание, что сила тяжести изменя- изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли; сопротивлением воздуха пренебречь. Радиус Земли R = = 6370 км, v0 = 1 км/с. Rv* Ответ: # = °—г = 51,38 км. 2gR - vl 30.24C0.25). Две частицы заряжены положительным электри- электричеством, заряд первой частицы q\ = 100 Кл, заряд второй частицы <72 = 0,1 ^i, первая частица остается'неподвижной, а вторая дви- движется вследствие силы отталкивания от первой частицы. Масса второй частицы равна 1 кг, начальное расстояние от первой час- частицы равно 5 м, а начальная скорость равна нулю. Определить верхний предел для скорости движущейся частицы, принимая во внимание действие только одной силы отталкивания F = ЦхЦъ/г2, где г — расстояние между частицами. Ответ: 20 м/с. 30.25C0.26). Определить скорость Vo, которую нужно сообщить по вертикали вверх телу, находящемуся на поверхности Земли, для того, чтобы оно поднялось на высоту, равную земному радиу- радиусу; при этом нужно принять во внимание только силу притяжения Земли, которая изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли. Радиус Земли равен 6,37-106 м, ускорение силы притяжения на поверхности Земли равно 9,8 м/с2. Ответ: 7,9 км/с. 30.26C0.27). Найти, с какой скоростью v0 нужно выбросить сна- снаряд с поверхности Земли по направлению к Луне, чтобы он достиг точки, где силы притяжения Земли и Луны равны, и остался в этой точке в равновесии. Движением Земли и Луны и сопротивле- сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение силы тяжести у поверхности Земли g = 9,8 м/с. Отношение массы Луны и Земли m: М — 1 :80; расстояние между ними d — 60/?, где считаем R = 6000 км (ра- (радиус Земли). Коэффициент /, входящий в формулу для величины силы все- всемирного тяготения, находим из уравнения М. 171 Гм~ 2gR(d-R) V^ (d-R)-R 59 1-a Ответ: v20 = = ^ЧТТ^^' где a = T=-, или v0 = 10,75 км/с. 59 V80 30.27. Грунт утрамбовывается ручной бабой массы 60 кг и с поперечным сечением 12 дм2, которая падает с высоты 1 м. При последнем ударе баба входит в грунт на глубину 1 см, причем 8 И. В. Мещерский 225
сопротивление грунта движению бабы можно считать постоян- постоянным. Какую наибольшую нагрузку выдержит грунт, не давая осадки? Допускается, что утрамбованный грунт может выдержать без осадки нагрузку, не превосходящую того сопротивления, ко- которое встречает баба, углубляясь в грунт. Ответ: 494,9 кПа. 30.28C0.28). Шахтный лифт движется вниз со скоростью v0 — = 12 м/с. Масса лифта 6 т. Какую силу трения между лифтом и стенками шахты должен развить предохранительный парашют, чтобы остановить лифт на протяжении пути 5=10 м, если канат, удерживающий лифт, оборвался? Силу трения считать постоянной. (v2\ Ответ: F = mlg + -^-l=102 кН. 30.29. Кольцо массы 200 г скользит вниз по проволочной дуге, имеющей форму параболы у = х2. Кольцо начало двигаться из точки х = 3 и, у = 9 м с нулевой начальной скоростью. Опреде- Определить скорость кольца и силу, действующую на кольцо со стороны проволоки, в момент прохождения им нижней точки параболы. Ответ: vi = 13,3 м/с, R = 72,5 Н. 30.30. Математический маятник длины / вывели из положения равновесия, сообщив ему начальную скорость г>0, направленную по горизонтали. Определить длину дуги, которую он опишет в те- течение одного периода. Ответ: s = 4/arccos ( *о\ ^l — "згр)- § 31. Смешанные задачи 31.1C1.1). Груз массы 1 кг подвешен на нити длины 0,5 м в неподвижной точке О. В начальный момент груз отклонен от вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоскости по перпендикуляру к нити вниз, м равная 2,1 м/с. Определить натяжение нити в наиниз- наинизшем положении и отсчиты- отсчитываемую по вертикали вы- высоту, на которую груз под- поднимается над этим положе- положением. Ответ: 28,4 Н, 47,5 см. К задаче 31.3 ~ 31.2C1.2). Сохраняя уС- ловия предыдущей задачи, кроме величины скорости vq, найти, при какой величине скорости vo груз будет проходить всю окружность. Ответ: Vo > 4,43 м/с. 31.3C1.3). По рельсам, положенным по пути АВ и образую- образующим затем петлю в виде кругового кольца ВС радиуса а, скаты- 226
вается вагонетка массы т. С какой высоты h нужно пустить ва- вагонетку без начальной скорости, чтобы она могла пройти всю окружность кольца, не отделяясь от него? Определить давление N вагонетки на кольцо в точке М, для которой JLMOB = ср. Ответ: h ^ 2,5а, N = mg ( 2 + 3 cos cp) . 31.4C1.4). Путь, по которому движется вагонетка, скатываясь из точки Л, образует разомкнутую петлю радиуса г, как показано на рисунке; Z-BOC= A = /LBOD = а. Найти, с ка- какой высоты А должна ска- скатываться вагонетка без на- начальной скорости, чтобы она могла пройти всю петлю, а также то значение угла а, при котором эта высота h наименьшая. Указание. На участке DC центр тяжести вагонетки соверша- совершает параболическое движение. К задаче 31.4 , Ответ: h = г A + cos a + 2Jsct); hm{ti при а = 45°. 31.5C1.5). Тяжелая стальная отливка массы М = 20 кг при- прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О. Отливка падает из верхнего положе- положения А с ничтожно малой начальной скоростью. Пренебрегая мас- массой стержня, определить наибольшее давление на ось. (См. рису- рисунок к задаче 30.14.) Ответ: 980 Н. 31.6C1.6). Какой угол с вертикалью составляет вращающийся стержень (в предыдущей задаче) в тот момент, когда давление на ось равно нулю? Ответ: ф = arccos B/3). 31.7C1.7). Парашютист массы 70 кг выбросился из самолета и, пролетев 100 м, раскрыл парашют. Найти силу натяжения стро- стропов, на которых человек был подвешен к парашюту, если в течение первых пяти секунд с момента раскрытия парашюта, при постоян- постоянной силе сопротивления движению, скорость парашютиста умень- уменьшилась до 4,3 м/с. Сопротивлением воздуха движению человека пренебречь. Ответ: 1246 Н. 31.8C1.8). За 500 м до станции, стоящей на пригорке высоты 2 м, машинист поезда, идущего со скоростью 12 м/с, закрыл пар и начал тормозить. Как велико должно быть сопротивление от тор- торможения, считаемое постоянным, чтобы поезд остановился у стан- станции, если масса поезда равна 1000 т, а сопротивление трения 20 кН? Ответ: 84,8 кН, 8* 227
31.9C1.9). Тяжелая отливка массы т прикреплена к стержню, который может вращаться без трения вокруг неподвижной оси О и отклонен от вертикали на угол фо. Из этого начального положе- положения отливке сообщают начальную скорость Vo (см. рисунок). Опре- Определить усилие в стержне как функцию угла отклонения стержня от вертикали, пренебре- пренебрегая массой стержня. Длина стержня I Ответ: N = 3mg cos qp — 2mgcosqH -\-mv\jl. Если N > О, стержень растянут; если N < < 0, стержень сжат. 31.10C1.10). Сферический маятник состоит из нити ОМ длины /, прикрепленной одним концом к неподвижной точке О, и тяжелой точки, М веса Р, прикрепленной к другому концу нити. Точку М отклонили из положения равновесия так, что ее координаты К задаче 31.9 К задаче 31.10 К задаче 31.11 стали: при / = 0 х = лг0, у = 0, и сообщили ей начальную скорость? *о = 0, уо = vOy Zq = 0. Определить, при каком соотношении началь- начальных условий точка М будет описывать окружность в горизонталь- горизонтальной плоскости и каково будет время обращения точки М по этой окружности. Ответ: vo = xQ'\fg[zo, T = 2n^/zo/g. 31.11C1.11). Лыжник при прыжке с трамплина спускается с эстакады ЛВ, наклоненной под углом а = 30° к горизонту. Перед отрывом он проходит небольшую горизонтальную площадку ВС, длиной которой при расчете пренебрегаем. В момент отрыва лыж- лыжник толчком сообщает себе вертикальную составляющую скорости vy = 1 м/с. Высота эстакады h = 9 м, коэффициент трения лыж о снег / = 0,08, линия приземления CD образует угол р = 45° с го- горизонтом. Определить дальность I полета лыжника, пренебрегая сопротивлением воздуха. Примечание. Дальностью полета считать длину, измеряемую от точки отрыва С до точки приземления лыжника на линии CD. Ответ: I = 47,4 м, 228
31.12C1.12). Груз М веса Р падает без начальной скорости с высоты Н на плиту Л, лежащую на спиральной пружине В. От действия упавшего груза М пружина сжимается на величину ft. Не учитывая веса плиты А и сопротивлений, вычислить время Т сжатия пружины на величину ft и импульс S упру- упругой силы пружины за время Т. Ответ: Г = -г- (-тг — а + h) ШШШЖ К задаче 31.12 s 2 У# (Я + h) h 31.13C1.13). При разрыве маховика одна из его частей, наиболее удаленная от места катастро- катастрофы, оказалась на расстоянии s = 280 м от перво- первоначального положения. Пренебрегая сопротивле- сопротивлением воздуха при движении указанной части из первоначального положения в конечное, лежащее в той же горизонтальной плоскости, найти наимень- наименьшее возможное значение угловой скорости маховика в момент катастрофы, если радиус маховика R = 1,75 м. Ответ: п = 286 об/мин, или ю = 30 рад/с. 31.14C1.14). Груз М, подвешенный на пружине к верхней точке А круглого кольца, расположенного в вертикальной плоскости, па- падает, скользя по кольцу без трения. Найти, какова должна быть жесткость пружины для того, чтобы давление груза на кольцо в нижней точке В равнялось нулю при следующих данных: радиус кольца 20 см, масса груза 5 кг, в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см и пружина имеет натуральную длину; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебречь. Ответ: Пружина должна удлиняться на к задаче зки 1 см при действии силы, равной 4,9 Н. 31.15C1.15). Определить давление груза М на кольцо в нижней точке В (рисунок предыдущей задачи) при следующих данных: ра- радиус кольца 20 см, масса груза 7 кг; в начальном положении груза расстояние AM равно 20 см, причем пружина растянута и длина ее вдвое больше натуральной длины, которая равна 10 см; жесткость пружины такова, что она удлиняется на 1 см при действии силы в 4,9 Н; начальная скорость груза равна нулю; массой пружины пренебрегаем. Ответ: Давление направлено вверх и равно 68,6 Н. 31.16C1.16). Гладкое тяжелое кольцо М веса Q может сколь- скользить без трения по дуге окружности радиуса R см, расположенной в вертикальной плоскости. К кольцу привязана упругая нить МОА, проходящая через гладкое неподвижное кольцо О и закрепленная в точке А. Принять, что натяжение нити равно нулю, когда кольцо М находится в точке О, и что для вытягивания нити на 1 см нужно приложить силу с. В начальный момент кольцо находится в точке 229
К задаче 31.16 К задаче 31.17 В в неустойчивом равновесии и при ничтожно малом толчке начи- начинает скользить по окружности. Определить давление N, производи- производимое кольцом на окружность. Ответ: N ==2Q + cR + 3(Q + cR)cos 2cp; давление направлено наружу при N > 0, внутрь при N < 0. 31.17C1.17). Груз подвешен на нити длины 0,5 м в неподвиж- неподвижной точке О. В начальном положении Мо груз отклонен от вер- вертикали на угол 60°, и ему сообщена скорость v0 в вертикальной плоско- плоскости по перпендикуляру к нити вниз, равная 3,5 м/с. 1) Найти то положе- положение М груза, в котором натяжение нити будет равно нулю, и скорость v\ в этом положении. 2) Определить траек- траекторию последующего дви- движения груза до того мо- момента, когда нить будет опять натянута, и время, в течение кото- которого точка пройдет эту траекторию. Ответ: 1) Положение М находится над горизонталью точки О на расстоянии MD = 25 см, vx = 156,5 см/с. 2) Парабола МАВС, уравнение которой, отнесенное к осям Мх и My, имеет вид у — х д/З — 0,08л:2; груз описывает эту параболу в течение 0,55 с. 31.18C1.18). Математический маятник установлен на самолете, который поднимается на высоту 10 км. На какую часть надо умень- уменьшить длину нити маятника, чтобы период малых колебаний маят- маятника на этой высоте остался без измене- изменений? Силу тяжести считать обратно пропор- пропорциональной квадрату расстояния до центра Земли. Ответ: На 0,00313/, где / — длина нити на поверхности Земли. 31.19C1.19). В неподвижной точке О посредством нити ОМ длины / подвешен груз М массы т. В начальный момент нить ОМ составляет с вертикалью угол а и ско- скорость груза М равна нулю. При последую- последующем движении нить встречает тонкую про- проволоку Ои направление которой перпендикулярно плоскости дви- движения груза, а положение определяется полярными координатами: h — ООг и р. Определить наименьшее значение угла а, при кото- котором нить ОМ после встречи с проволокой будет на нее навиваться, а также изменение натяжения нити в момент ее встречи с прово- проволокой. Толщиной проволоки пренебречь. 230
Ответ*, a a= arccos уу y^ + cos p j — — \; натяжение нити увели- чивается на величину 2mg-r- (— + cos 8 ). 31.20C1.20). Тяжелая точка 7W массы m движется по внутрен- внутренней поверхности круглого цилиндра радиуса г. Считая поверхность цилиндра абсолютно гладкой и ось цилиндра вертикальной, опре- определить давление точки на цилиндр. Началь- Начальная скорость точки равна по величине Vq и составляет угол а с горизонтом. Ответ: N = тот, cos а 31.21C1.21). В предыдущей задаче соста- составить уравнения движения точки, если в на- начальный момент точка находилась на оси х. к задаче 31.20 sina + g/2/2. 31.22C1.22). Камень М, находящийся на вершине А гладкого полусферического купола радиуса /?, получает начальную горизонтальную скорость и0. В ка- каком месте камень покинет купол? При каких значениях и0 камень сойдет с купола в начальный момент? Сопротивлением движению камня по куполу пренебречь. /2 Ответ: ф = arccos \j К задаче 31.22 К задаче 31.23 31.23C1.23). Точка М массы m движется по гладкой поверх- поверхности полусферического купола радиуса R. Считая, что на точку действует сила тяжести, параллельная оси z, и зная, что в началь- начальный момент точка имела скорость v0 и находилась на высоте h0 от основания купола, определить давление точки на купол, когда она будет на высоте h от основания купола. Ответ: N = - 2А0 - ^- 231
31.24C1.24). Точка М массы т движется по цепной линии у = ± (e*ia + е-х'а) = a ch -? под действием силы отталкивания, параллельной оси Оуу направ- направленной от оси Ох и равной kmy. В момент t = 0 х=1 м, х=1 м/с. Определить давление N точки на кривую и движение точки при k= 1 рад/с2 и а = 1 м (силой тяжести пренебрегаем). Радиус кри- кривизны цепной линии равен у2/а. Ответ: N = 0; x = (l + t) м. К задаче 31.24 1_„„Л ? К задаче 31.25 К задаче 31.26 31.25C1.25). По какой плоской кривой следует изогнуть трубку, чтобы помещенный в нее в любом месте шарик оставался по отно- отношению к трубке в равновесии, если трубка вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Оу> 2 Ответ: По параболе 1 2 = -^ — х2 + с. 31.26C1.26). Точка М массы m = 1 кг движется по гладкой поверхности круглого конуса, угол раствора которого 2а = 90°, под влиянием силы отталкивания от вершины О, пропорциональ- пропорциональной расстоянию: F = с-ОМ Н, где с = 1 Н/м. В начальный момент точка М находится в точке Л, расстояние ОА равно а = 2 м, на- начальная скорость v0 = 2 м/с и направлена параллельно основанию конуса. Определить движение точки М (силой тяжести пренебречь). Положение точки М определяем координатой z и полярными координатами г и ф в плоскости, перпендикулярной оси Oz\ уравнение поверхности конуса Г2 — 22 = 0. Ответ: г2 = e2t ~2t ig (-^= + j) = e2t- 31.27C1.27). При условиях предыдущей задачи, считая ось конуса направленной по вертикали вверх и учитывая силу тяжести, определить давление точки на поверхность конуса. Г a2Unsin2a 1 Ответ: N = msma[g-\ ^з J- 232
31.28C1.28). Материальная точка А под действием силы тя- тяжести движется по шероховатой винтовой поверхности, ось которой Oz вертикальна; поверхность задана уравнением г=аф + /(г); коэффициент трения точки о поверхность равен k. Найти условие, при котором движение точки происходит на постоянном расстоянии от оси АВ = = го, т. е. происходит по винтовой линии, а также найти скорость этого движения, предполагая, что а = const. Указание. Для решения задачи целесо- целесообразно воспользоваться системой естественных осей, проектируя уравнение движения на* каса- касательную, главную нормаль и бинормаль винтовой линии в точке А. На рисунке угол между нор- нормальной компонентой N реакции винтовой по- поверхности и ортом главной нормали п° обозна- обозначен через р. Ответ: Движение по винтовой ли- линии возможно при условии tga — — Aj Vl + Г2(г0) cos2a = 0, где tga = = a/r0; скорость движения v = W A/W(o 31.29C1.29). Тело К, размерами ко- к задаче 31.28 торого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуци- полуцилиндра радиуса /?. Какую начальную горизонтальную скорость Vq9 К задаче 31.29 К задаче 31.30 направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно, начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны /? Ответ: где Фо = arctg/. 31.30C1.30). Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в нижней точке А внутренней части шероховатой по- поверхности неподвижного цилиндра радиуса R. Какую начальную горизонтальную скорость vOt направленную по касательной к ци- цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно достигло верхней точки В цилиндра? Коэффициент трения скольжения равен /. 233
Ответ: vo> д/1ЖГ^Г^2^ 31.31. Шарик, подвешенный на нити, описывает окружность в горизонтальной плоскости, образуя конический маятник. Найти высоту конуса, если шарик совершает 20 оборотов в минуту. Ответ: Л = 2,25 м. 31.32. Материальная точка единичной массы движется в го- горизонтальной плоскости под действием силового поля с потенциа- потенциалом П = х2 + ху + у2. В начальный момент точка имеет коорди- координаты х = 3 см, у = 4 см и скорость 10 см/с, параллельную поло- положительному направлению оси х. Определить движение точки. Ответ: х = 3,5 cos УЗ / + -^— sin Уз t — 0,5 cos / + 5 sin /, у = з,5 cos У 3 / + 5 з sin V*3 * + 0»5 cos / — 5 sin /. 31.33. Маленькому кольцу, надетому на проволочную горизон- горизонтальную окружность радиуса а, сообщили начальную скорость vq. Коэффициент трения кольца о проволоку равен /. Определить, че- через какое время кольцо остановится. r\ a " I dv Ответ: t = — 1 0 • е» 31.34. Материальная точка массы 2 кг притягивается к некото- некоторому центру силой F = (—8xi — 8yj — 2zk) H. Начальное положе- положение материальной точки определяется координатами х = 4 см, у — = 2 см, z = 4 см. Начальная скорость равна нулю. Определить уравнения движения точки и ее траекторию. Ответ: х = 4 cos 2ty у = 2 cos 2/, г= 4 cos t. Траектория — линия пересечения двух параболических цилиндров * = -^ * и # = = ~—2. Это — парабола, лежащая в плоскости х = 2у. Движение по траектории осуществляется на участке от точки х = 4 см, у = = 2 см, z = 4 см до точки х = 4 см, у = 2 см, г = —4 см. 31.35. Конический маятник имеет длину / и описывает в гори- горизонтальной плоскости окружность радиуса а. Определить период обращения конического маятника. § 32. Колебательное движение а) Свободные колебания 32.1C2.1). Пружина АВУ закрепленная одним концом в точке Л, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу 19,6 Н. В некоторый Z34
п К задаче 32.1 К задаче 32.2 момент к нижнему концу В недеформированной пружины подве- подвешивают гирю С массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной ско- скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение даль- дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колеба- колебаний, отнеся движение к оси, проведен- проведенной вертикально вниз из положения ста- статического равновесия гири.. Ответ: х = —0,05 cos 14/ м, а = 5 см, Т = 0,45 с. 32.2C2.2). При равномерном спуске груза массы М = 2 т со скоростью v = = 5 м/с произошла неожиданная задерж- задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз, из-за защемления троса в обойме блока. Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натя- натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4-Ю6 Н/м. Ответ: 466,8 кН. 32.3C2.3). Определить наибольшее натяжение троса в преды-» дущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пру- пружина с коэффициентом жесткости С\ = 4«105 Н/м. Ответ: 154,4 кН. 32.4C2.4). Груз Q, падая с высоты h = 1 м без начальной ско- скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине; концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего дви- движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной верти- вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной на- нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь. Ответ: х = (—0,5 cos 44,3/ + 10 sin 44,3/) см. 32.5C2.5). На каждую рессору вагона приходится нагрузка Р Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рес- рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба. Ответ: Т = 0,45 с. 32.6C2.6). Определить период свободных колебаний фунда- фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фун- фундамента с машиной М = 90 т, площадь подошвы фундамента S = = 15 м2, коэффициент жесткости грунта с= XSy где А,= 30 Н/см3 — так называемая удельная жесткость грунта. Ответ: Т = 0,089 с. 32.7C2.7). Найти период свободных вертикальных колебаний корабля на спокойной воде, если масса корабля М т, площадь его горизонтальной проекции S м2. Плотность воды р = 1 т/м3. Си- Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь. Ответ: Т 2л ' М 23?
32.8C2.8). В условиях предыдущей задачи найти уравнения движения корабля, если он был спущен на воду с нулевой верти- вертикальной скоростью. Ответ: у = ^- cos Д/ др t м. 32.9C2.9). Груз, вес которого равен Р Н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее хо, чтобы во время движения гири нить оста- оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна /; от действия статиче- статической нагрузки, равной q H, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю. Ответ: x = i 32.10C2.10). На два вращающихся в противоположные сторо- стороны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового радиуса свободно положен однородный стержень; центры шкивов О\ и О2 находятся на горизонтальной прямой О\О2\ расстояние , OiO2 = 2/; стержень приво- \/? дится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шки- шкивами; эти силы пропорцио- пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэф- (коэффициент трения) равен /. 1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х0 при v0 = 0. 2) Найти коэффициент трения f, зная, что период колебаний Т стержня при / = 25 см равен 2 с. К задаче 32.10 Ответ: 1) * = х0соз(д/^/), 2) / = ^- = 0,25. 32.11C2.11). К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса р, а во второй раз груз веса Зр. Определить, во сколько раз изменится период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной ско- скорости) , найти уравнения движения грузов. Ответ: ? = = -Ц. cos 32.12C2.12). К пружине жесткости с = 2 кН/м сначала подве- подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов. Ответ: Ai = 18,26 рад/с, ?2=12,9 рад/с, 7\ = 0,344 с, Г2 = = 0,49 с. 236
32.13C2.13). К пружине, коэффициент жесткости которой ра- равен о = 19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами mi==0,5 кг и т2 = 0,8 кг. Система находилась в покое в положении статиче- статического равновесия, когда груз т2 убрали. Найти урав- уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза. Ответ: х = 0,4 cos 6,26/ м; / = 1 Гц, k = 2я рад/с, Т= 1 с. 32.14C2.14). Груз массы mi =2 кг, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой с = = 98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый мо- момент к грузу mi добавили груз т2 = 0,8 кг. Опреде- Определить уравнение движения и период колебаний двух грузов. Ответ: х0 = —0,08 cos 5,916/ м, Т = 1,062 с. 32.15C2.15). Груз подвесили сначала к пружине с жесткостью d — 2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью с2 = 4 кН/м. Найти отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих двух случаях. Ответ: ?- = -7=-= 0,7071, -р-= д/2 = 1,4142. 32.16C2.16). Тело массы m находится на наклонной плоскости, составляющей угол а с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости. К задаче 32.13 К задаче 32.16 К задаче 32.17 Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость г>0, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического рав- равновесия. Ответ: x=2±- К cos kt, где й=А/1. Y /71 kt- mgcosa С 32.17C2.17). На гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом а находится прикрепленный к пружине груз веса Р. Статическое удлинение пружины равно /. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из не- ненапряженного состояния на длину, равную 3/, и груз отпущен без начальной скорости. 237
: x — 2f cos f д/4- sin a • M • Ответ 32.18C2.18). Тело массы М = 12 кг, прикрепленное к концу пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секун- секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 с. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз массы М\ = 6 кг. Определить период колебаний двух грузов на пружине. Ответ: Тх = . м ^- = 0,55 с. 32.19C2.19). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения одного груза М и двух грузов М -f-Afi, если в обоих слу- случаях грузы были подвешены к концу нерас- нерастянутой пружины. Ответ: 1) х = — 5,02 cos Ш см, 2) х\ = =—7,53 cos 11,4/ см, где х и х\ отсчитыва- ются соответственно от каждого из двух положений статического равновесия. 32.20C2.20). Груз М, подвешенный к неподвижной точке А на пружине, совер- совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой А В равен /; натуральная длина пружины а; жесткость пружины такова, что при дей- действии силы, равной весу груза М, она получает удлинение, рав- равное Ь. Определить период Т колебаний в том случае, когда /== = а + Ь; массой пружины пренебречь и считать, что при колеба- колебаниях она остается растянутой. Ответ: T = 2 32.21C2.21). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза М, если в начальный момент /.ВАМ = ф0 и точке М сообщили начальную скорость v0, направ- направленную по касательной к окружности вниз. Ответ: ф = ф0 cos ^у —t ~ 7^ Sin V ~ U 32.22C2.22). Тело Е, масса которого рав- равна ш, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреп- к задаче 32.22 лен к шарниру Оь Длина недеформированной пружины равна /о; в положении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный Fо = сA — /0), где / = ОО{. Учитывая в горизонтальной состав- составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относи- относительно отклонения тела от положения равновесия, определить пе- период малых колебаний тела. 238
Ответ: Т = 2я<у/т1/Р0. 32.23C2.23). Материальная точка массы m подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью vOj направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней приклады- прикладывают силу Q = const, направленную вниз. Начало координат выбрать в положении статического равнове- равновесия, т. е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины. Отеег: ,_Л считывается от момента времени, когда начала действовать сила Q, Т = 2я ^/пг/с . 32.24C2.24). Определить период свободных колебаний груза массы гп, прикрепленного к с, двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалент- эквивалентной данной двойной пружине, если груз распо- расположен так, что удлинения обеих пружин, обла- обладающих заданными коэффициентами жесткости d и с2, одинаковы. ш< К задаче 32.24 Ответ: = 2п л -.— V \с\ / / "Г* ; с = С\ + с2; расположение груза та- V \ КОВО, ЧТО п\/п2 = С2/С\. 32.25C2.25). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость Vo, направленную вверх. Ответ: Х = mg COS V] с2) t — JR— sin Jl?i±°u. и ci + c2) V m 32.26C2.26). Определить период свободных коле- колебаний груза массы т, зажатого между двумя пружи- пружинами с разными коэффициентами жесткости Ci и с2. Ответ: Г = : К задаче 32.26 32.27C2.27). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в положении равновесия ему сообщили ско- скорость г>о, направленную вниз. Ответ: x = v0 5in V" C2) t. 32.28C2.28). Определить коэффициент жесткости с пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последова- последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости
С\ и с2, и указать также период колебаний груза массы га, подве- подвешенного на указанной двойной пружине. ci°2 т_о~ ж /т(с1 + с2) Ответ: с = - с2 т = \ 32.29C2.29). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в начальный момент он находился ниже по- положения равновесия на расстоянии хо и ему со- сообщили скорость г>0, направленную вверх. Ответ: ~х0 cos Vi с2) m sin С2) /. S. 32.30C2.30). Определить коэффициент жест- жесткости составной пружины, состоящей из двух последовательно соединенных пружин с разны- к задаче 32.28 ми коэффициентами жесткости с\ = 9,8 Н/см и С2 = 29,4 Н/см. Найти период колебаний, ампли- амплитуду и уравнения движения груза массы 5 кг, подвешенного к указанной составной пружине,- если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия на 5 см вниз и ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная также вниз. Ответ: с = ^^ = 7,35 Н/см, Т = 0,517 с, а =6,43 см, х = = 5.cos 12,13/ + 4,042sin 12,13/ дм. 32.31 C2.31). Тело Л, масса которого равна т, может переме- перемещаться по горизонтальной прямой. К телу прикреплена пружина, коэффициент жесткости кото- которой с. Второй конец пружины укреплен в неподвижной точ- точке В. При угле а=а0 пружина К задаче 32.31 К задаче 32.32 не деформирована. Определить частоту и период малых колеба- колебаний тела. Ответ: <*o 32.32C2.32). Точка Л, масса которой равна га, прикреплена пру- пружинами, как указано на рисунке. В исходном положении точка находится в равновесии и все пружины не напряжены. Определить 240
коэффициент жесткости эквивалентной пружины при малых ко- колебаниях точки вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих и частоту свободных колебаний точки. Ответ: с = с{ cos2 а! + (с? + cz) c°s2 а2 Н п^~" cos2 а3, k = Л — . С4 ~Г ^5 \ 171 32.33C2.33). Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, показанным на рисунке, при коле- колебаниях точки М в абсолютно гладких направляющих вдоль оси х. Решить ту же задачу, если направляющие расположены вдоль оси у. Определить частоты этих колебаний. Ответ: сх = сх cos2 qpj + с2 cos2 qp2; су = сх sin2 q>x + с2 sin2 qp2 + cz; В исходном положении пружины не напряжены и точка М на- находится в равновесии. К задаче 32 33 К задаче 32.34 32.34C2.34). Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины, если груз М массы m прикреплен к стержню, массой которого можно пренебречь. Стержень шарнирно закреплен в точке О и прикреплен тремя вертикальными пружинами к фундаменту. Коэффициенты жесткости пружин си с2, с3. Пружины прикреплены к стержню на расстояниях аи &ъ #з от шарнира. Груз М прикреп- прикреплен к стержню на расстоянии Ъ от шарнира. В положении равно- равновесия стержень горизонтален. Эквивалентная пружина крепится к стержню на расстоянии Ь от шарнира. Найти частоту малых ко- колебаний груза. Отеет: С= k V m 32.35C2.36). Винтовая пружина состоит из п участков, коэффи- коэффициенты жесткости которых соответственно равны Си c2t ..., сп. Определить коэффициент жесткости с однородной пружины, экви- эквивалентной данной, и период свободных колебаний точки, масса ко- которой равна т. Ответ: с = - У- /_J Ci где *= д/^ i=l 241
32.36C2.35). Груз массы 10 кг, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости зажат между двумя пружинами одина- одинаковой жесткости с =19,6 Н/см. В некоторый момент груз был сдвинут на 4 см от положения равновесия вправо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения, период колеба- колебаний, а также максимальную скорость груза. Ответ, х = 4 cos 19,8/ см, Т = 0,317 с, хтах = 79,2 см/с. 32.37C2.37). Груз Р массы т подвешен к стержню АВ, кото- который соединен двумя пружинами, с коэффициентами жесткости с2 и с3, со стержнем DE. По- Последний прикреплен к по- потолку в точке Н пружи- пружиной, коэффициент жест- жесткости которой с\. При ко- колебаниях стержни АВ и К задаче 32.36 К задаче 32.37 К задаче 32.38 DE остаются горизонтальными. Определить коэффициент жест- жесткости одной эквивалентной пружины, при которой груз Р будет колебаться с той же частотой. Найти период свободных колебаний груза. Массой стержней пренебречь. Ответ: с= С\ Т = 2л 32.38C2.38). Определить собственную частоту колебаний груза Q массы /п, подвешенного на конце упругой консоли длины /. Пру- Пружина, удерживающая груз, имеет жесткость с. Жесткость на конце консоли определяется формулой с\ = 3EJ/P (Е — модуль упру- упругости, / — момент инерции). Массой консоли пренебречь. 3EJc а а Ответ: k = 32.39C2.39). Колебания груза массы М = 10 кг, лежащего на середине упругой балки жесткости с = 20 Н/см, происходят с ам- амплитудой 2 см. Определить величину начальной скорости груза, если в мо- момент времени / = 0 груз находился в положении равновесия. Ответ- v0 = 28,3 см/с. 32.40C2.40). Груз Q массы m за- закреплен горизонтально натянутым тросом АВ = L При малых вертикальных колебаниях груза натя- натяжение троса S можно считать постоянным. Определить частоту свободных колебаний груза, если расстояние груза от конца троса А равно а. К задаче 32.40 Ответ: А;=д/ OTa(f_a) рад/с. 242
32.41C2.41). Груз веса 490,5 Н лежит посередине балки АВ. Момент инерции поперечного сечения балки / = 80 см4. Опреде- Определить длину балки / из условия, чтобы период свободных колебаний груза на балке был равен Т = 1 с. Примечание. Статический прогиб ^ ВД ^ балки определяется формулой f = „, , ^Й 5Щ где модуль упругости Е = 2,05-10" Н/м2. к задаче 32.41 Ответ: /=15,9 м. 32.42C2.42). Груз Q массы m зажат между двумя вертикаль- вертикальными пружинами с коэффициентами жесткости С\ и с2. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно, а нижний конец второй пружины прикреплен к середине балки. Определить длину балки / так, чтобы период колебаний груза был равен Г. Момент инерции поперечного сечения балки /, модуль упругости Е. Ответ: 1 = 32.43C2.43). Найти уравнение движения и период колебаний груза Q массы ш, подвешенного к пружине с коэффициентом » i- 1 i К задаче 32.42 К задаче 32.43 К задаче 32.44 жесткости си если пружина прикреплена к середине балки длины /. Жесткость балки на изгиб EJ. В начальный момент груз нахо- находился в положении статического равновесия и ему была сообщена скорость г>о, направленная вниз. Л / m (сi/3 + 48?/) . / ASEJd л Ответ: x-PoV \sEJc, sin V (^ + 48EJ) m f> 32.44C2.44). Груз веса Q зажат между двумя вертикальными пружинами, коэффициенты жесткости которых равны сх и с2. Верх- Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно. Нижний конец второй пружины прикреплен к свободному концу балки, заделанной другим концом в стене. Зная, что свободный конец заделанной 243
балки под действием силы Р, приложенной к свободному концу балки, дает прогиб Р/3 3EJ где EJ — заданная жесткость балки при изгибе, определить длину балки /, при которой груз будет колебаться с данным периодом 7\ Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он был подвешен к концам нерастянутых пружин и отпущен без на- начальной скорости. 3EJ Ответ: ^ — («1+*- "У-7 2l* + 3EJ с2 cos V [СгС21г + (су + с2) 3EJ] 32.45C2.45). Стержень ОА длины /, на конце которого помещен груз массы /п, может поворачиваться вокруг оси О. На расстоянии а от оси О к стержню прикреплена пружина с коэффициентом К задаче 32.45 К задаче 32.46 жесткости с. Определить собственную частоту колебаний груза, если стержень ОА в положении равновесия занимает горизонталь- горизонтальное положение. Массой стержня пренебречь. Ответ: k = у Л/ — 32.46C2.46). Груз Р массы m подвешен на пружине к концу стержня длины /, который может поворачиваться вокруг оси О. Коэффициент жесткости пружины с\. Пружина, поддерживающая стержень, установлена на расстоянии Ь от точки О и имеет коэф- коэффициент жесткости с2. Определить собственную частоту колебаний груза Р. Массой стержня пренебречь. Ответ: k = рад/с. 32.47C2.47). Для определения ускорения силы тяжести в дан- данном месте земного шара производят два опыта. К концу пружины подвешивают груз Pi и измеряют статическое удлинение пружины 1\. Затем к концу этой же пружины подвешивают другой груз Р% 244
и опять измеряют статическое удлинение /г. После этого повторяют оба опыта, заставляя оба груза по очереди совершать свободные колебания, и измеряют при этом периоды колебаний Т\ и 7V Вто- Второй опыт делают для того, чтобы учесть влияние массы самой пру- пружины, считая, что при движении груза это влияние эквивалентно прибавлению к колеблющейся массе некоторой добавочной массы. Найти формулу для определения ускорения силы тяжести по этим опытным данным. _ 4л2 (/, — /2) Ответ: g= У 22) . М "" *2 32.48C2.48). По горизонтальной хорде (пазу) вертикально рас- расположенного круга движется без трения точка М массы 2 кг под действием силы притяжения F, пропорциональной по величине рас- расстоянию до центра О, причем коэффициент пропорциональности К задаче 32.48 К задаче 32.49 98 Н/м. Расстояние от центра круга до хорды равно 20 см, радиус окружности 40 см. Определить закон движения точки, если в на- начальный момент она находилась в правом крайнем положении Мо и отпущена без начальной скорости. С какой скоростью точка проходит через середину хорды? Ответ: х = 34,6 cos It см, х = ±242 см/с. 32.49C2.49). К стержню АВГ массой которого пренебречь, при- прикреплены три пружины. Две, с жесткостью с\ и с2, удерживают стержень и расположены на его концах. Третья пружина, жест- жесткость которой Сз, прикреплена к середине стержня и несет груз Р массы т. Определить собственную частоту коЛебаний груза. Ответ: k = m рад/с. • с2 + сх • с3 + с2 • 32.50C2.50). Груз массы 10 кг, прикрепленный к пружине с коэффициентом жесткости с = 1,96 кН/м, совершает колебания. Определить полную механическую энергию груза и пружины, пре- пренебрегая массой пружины, построить график зависимости упругой силы от перемещения и показать на нем потенциальную энергию пружины. Принять положение статического равновесия за начало отсчета потенциальной энергии. 245
Ответ: T = 1/2mx2 + 1/2cx2 = Ex2 + 980x2) Дж, если * — в м, х — в м/с. Заштрихованная на рисунке площадь равна потенциаль- потенциальной энергии пружины. 32.51. Материальная точка массы пг находится в поле действия силы с потенциалом Доказать, что при движении точки из любого (ненулевого) на- начального положения через некоторое время точка снова придет в это положение. Определить это время. Будет ли скорость при возвращении равна начальной скорости? Ответ: Т = 2тс д/т/&. Скорость точки через промежуток времени Т станет равной своему начальному значению. 32.52. Материальная точка массы ш находится в поле действия силы, потенциал которой Вернется ли точка в этом случае в исходное положение п(У прошествии некоторого времени? Ответ: Нельзя указать момента времени, когда все три коорди- координаты примут исходные значения. Точка в процессе сложения трех колебательных движений не вернется в исходное положение. б) Влияние сопротивления на свободные колебания 32.53C2.51). Пластина D массы 100 г, подвешенная на пружине АВ в неподвижной точке А, движется между полюсами магнита. Вследствие вихревых токов движение тормо- тормозится силой, пропорциональной скорости. Си- Сила сопротивления движению равна kvQJ H, где k = 0,001, v — скорость в м/с, Ф — маг- магнитный поток между полюсами N и S. В на- начальный момент скорость пластинки равна нулю и пружина не растянута. Удлинение ее на 1 м получается при статическом действии силы в 19,6 Н, приложенной в точке В. Опре- Определить движение пластинки в том случае, когда Ф= 10 д/5 Вб (вебер — единица магнит- магнитного потока в СИ). Ответ: х = —е~2>ы @,05 cos 13,77* + + 0,00907 sin 13,77/) м, где ось х направлена оого ооС. вниз из положения статического равновесия К задачам 32.53 и 32.54 центра тяжести пластинки. 32.54C2.52). Определить движение пластинки D при условиях предыдущей задачи в том случае, когда магнитный поток Ф =. == 100 Вб. Ответ: х = — 0,051е~2' +0,0 246
32.55C2.53). Цилиндр веса Р, радиуса г и высоты h подвешен на пружине АВУ верхний конец которой В закреплен; цилиндр по- погружен в воду. В положении равновесия цилиндр погружается в воду на половину своей высоты. В начальный момент времени цилиндр был погружен в воду на 2/з своей высоты и затем без начальной ско- скорости пришел в движение по вертикальной пря- прямой. Считая жесткость пружины равной с и предполагая, что действие воды сводится к доба- добавочной архимедовой силе, определить движение цилиндра относительно положения равновесия. Принять удельный вес воды равным у. Ответ: х = -g- h cos kt, где k2 = -jr (с + nyr2). 32.56C2.54). В предыдущей задаче опреде- определить колебательное движение цилиндра, если сопротивление воды пропорционально первой степени скорости и равно av. Ответ: Движение цилиндра будет колебательным, К задаче 32.55 если Тогда где & = - ^t sin -пЧ + $\ пг=?- К задаче 32.57 32.57C2.55). Тело А массы 0,5 кг лежит на негладкой горизон- горизонтальной плоскости и соединено с неподвижной точкой В пружиной, ось которой ВС горизонтальна. Коэффициент трения тела о пло- плоскость 0,2; пружина такова, что для удлинения ее на 1 см требу- требуется сила 2,45 Н. Тело А отодви- отодвинуто от точки В так, что пружина вытянулась на 3 см, и затем от- отпущено без начальной скорости. Найти: 1) число размахов, кото- которые совершит тело А, 2) величины размахов и 3) продолжитель- продолжительность Т каждого из них. Тело остановится, когда в положении, где скорость его равна нулю, сила упругости пружины будет равна силе трения или меньше ее. Ответ: 1) 4 размаха; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) Т = = 0,14 с. 32.58C2.56). Груз массы М = 20 кг, лежащий на наклонной негладкой плоскости, прикрепили к нерастянутой пружине и сооб- сообщили ему начальную скорость v0 = 0,5 м/с, направленную вниз. Коэффициент трения скольжения / = 0,08, коэффициент жесткости 247
пружины с = 20 Н/см. Угол, образованный наклонной плоскостью с горизонтом, а = 45°. Определить: 1) период колебаний, 2) число максимальных отклонений от положения равновесия, которые со- совершит груз, 3) величины этих отклонений. Ответ: 1) Т = 0,628 с; 2) 7 отклонений; 3) 7,55 см; 6,45 см; 5,35 см; 4,25 см; 3,15 см; 2,05 см; 0,95 см. 32.59C2.57). Тело массы М = 0,5 кг совершает колебания на горизонтальной плоскости под действием двух одинаковых пру- пружин, прикрепленных к телу одним концом и к неподвижной стой- стойке— другим; оси пружин лежат на одной горизонтальной прямой. м Коэффициенты жесткости пружин С\= С/ J2-* с2 ^ =с2= 1,225 Н/см, коэффициент тре- | |-ААА/УУ\/\г^ ния при движении тела / = 0,2, при "" покое /о = 0,25. В начальный момент б О тело было отодвинуто от своего сред- к задаче 32.59 него положения О вправо в положение Хо = 3 см и отпущено без начальной скорости. Найти: 1) область возможных равновесных положений тела — «область застоя», 2) величину размахов тела, 3) число его размахов, 4) продолжительность каждого из них, 5) положение тела после колебаний. Ответ: 1) —0,5 см < х < 0,5 см; 2) 5,2 см, 3,6 см, 2 см, 0,4 см; 3) 4 размаха; 4) Г = 0,141 с, 5) л: = —0,2 см. 32.60C2.58). Под действием силы сопротивления /?, пропорцио- пропорциональной первой степени скорости (R = av), тело массы т, подве- подвешенное к пружине жесткости с, совершает затухающие колебания. Определить, во сколько раз период затухающих колебаний Т пре- превосходит период незатухающих колебаний Го, если отношение n/k = 0,1(Aj2 = c/m, n = a/{2m)). Ответ: Т « 1,005Г0. 32.61C2.59). В условиях предыдущей задачи определить, через сколько полных колебаний амплитуда уменьшится в сто раз. Ответ: через 7,5 полных колебаний. 32.62C2.60). Для определения сопротивления воды движению модели судна при очень малых скоростях модель М пустили пла- плавать в сосуде, привязав нос и корму посредством двух одинаковых пружин А и В, силы натяжения которых пропорциональны удлине- удлинениям. Результаты наблюде- К задачам 32.62 и 32.63 НИИ ПОКаЗаЛИ, ЧТО ОТКЛОНе- ния модели от положения равновесия после каждого размаха уменьшаются, составляя гео- геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен 0,9, а про- продолжительность каждого размаха Г = 0,5 с. Определить силу R сопротивления воды, приходящуюся на каждый килограмм массы модели, при скорости ее равной 1 м/с, предполагая, что сопро* тивление воды пропорционально первой степени скорости. 243
Ответ: R = 0,42 Н. 32.63C2.61). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения модели, если в начальный момент пружина А была рас- растянута, а пружина В сжата на величину А/= 4 см и модель была отпущена без начальной скорости. Ответ: х = е-°>21'D cos 6,28* + 0,134 sin 6,28/) см. 32.64C2.62). Для определения вязкости жидкости Кулон упо- употреблял следующий метод: подвесив на пружине тонкую пластинку Л, он заставлял ее колебаться сначала в воз- воздухе, а затем в той жидкости, вязкость которой надлежало определить, и находил продолжи- продолжительность одного размаха: Т\ — в цервом случае и Гг — во втором. Сила трения между пластин- пластинкой и жидкостью может быть выражена форму- формулой 2Skv, где 2S — поверхность пластинки, v — ее скорость, k — коэффициент вязкости. Прене- Пренебрегая трением между пластинкой и воздухом, определить коэффициент k по найденным из опыта величинам Т\ и Г2, если масса пластинки равна т. А , Jim /7Ъ ^9 К задаче 32.64 Ответ: k = ST т /\jT\ — Т\. 32.65C2.63). Тело массы 5 кг подвешено на пружине, коэффи- коэффициент жесткости которой равен 2 кН/м. Сопротивление среды пропорционально скорости. Амплитуда после четырех колебаний уменьшилась в 12 раз. Определить период и логарифмический де- декремент колебаний. Ответ: 7 = 0,316 с, К = пТ/2 = 0,3106. 32.66C2.64). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения тела, если его подвесили к концу нерастянутой пружины и отпустили без начальной скорости. Ответ: х = e~l>97t(—2,45 cos 19,9/ —0,242 sin 19,9/) см. 32.67C2.65). Тело массы 6 кг, подвешенное на пружине, при отсутствии сопротивления колеблется с периодом Г = 0,4я с, а если действует сопротивление, пропорциональное первой степени скорости, с периодом Т\ = 0,5я с. Найти коэффициент пропорцио- пропорциональности а в выражении силы сопротивления R = —av и опре- определить движение тела, если в начальный момент пружина была растянута из положения равновесия на 4 см и тело представлено самому себе. Ответ: а = 36-——-, х= 5e~3t sin D/ + arctg-|) см. 32.68C2.66). Тело массы 1,96 кг, подвешенное на пружине, ко- которая силой 4,9 Н растягивается на 10 см, при движении встречает сопротивление, пропорциональное первой степени скорости и при скорости 1 м/с равное 19,6 Н. В начальный момент пружина растя- растянута из положения равновесия на 5 см и тело пришло в движение без начальной скорости. Найти закон этого движения. Ответ: х = Ье~ы Et+ I) см. 249
32.69C2.67). Грузы массы т\ = 2 кг и т2 = 3 кг подвешены в положении статического равновесия к пружине, коэффициент жесткости которой с = 392 Н/м. Масляный демпфер вызывает силу сопротивления, пропорциональную первой степени скорости и рав- равную /? = — av, где а = 98 Н-с/м. Груз т2 сняли. Найти после этого уравнение движения груза /щ. Ответ: х = 8,32е-4.« — Ъ$2ег*ь** см. 32.70C2.68). Статическое удлинение пружины под действием груза веса Р равно /. На колеблющийся груз действует сила сопротивления среды, пропор- пропорциональная скорости. Определить наименьшее значение коэффициента сопротивления а, при I ' ' | ' котором процесс движения будет апериодическим. * Найти период затухающих колебаний, если коэф- к задаче 32.69 фициент сопротивления меньше найденного зна- значения. Ответ: а = 2P/^/gf. При а < 2P/Vg/ движение будет колеба- колебательным с периодом Г = 2я/д/у- ~"^2"- 32.71. Груз массы 100 г, подвешенный к концу пружины, дви- движется в жидкости. Коэффициент жесткости пружины с = 19,6 Н/м. Сила сопротивления движению пропорциональна первой степени скорости груза: R = аи, где а = 3,5 Н-с/м. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент груз был смещен из положения равновесия на х0 = 1 см и отпущен без начальной скорости. Ответ: х= \$2er7t — 0,33e-28' см. 32.72. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движе- движения груза и построить график зависимости перемещения от вре- времени, если в начальный момент груз смещен из положения статиче- tfi К задаче 32.72 ского равновесия на расстояние хо = 1 см и ему сообщена началь- начальная скорость 50 см/с в направлении, противоположном смещению. Ответ: х = —e~7t + 2e~m см. 32.73. В условиях задачи 32.71 в начальный момент груз сме- смещен из положения равновесия на расстояние xo^=^S см и ему Обо
сообщена начальная скорость vo —100 см/с в том же направле- направлении. Найти уравнение движения груза и построить график зависи- зависимости перемещения от времени. Ответ: х= 11,4е-7' — 6,4е~28' см, 0,03050,05 0,1 0,2 0,3 t,c К задаче 32.73 32.74C2.72). Составить дифференциальное уравнение малых колебаний тяжелой точки А, находящейся на конце стержня, за- закрепленного шарнирно в точке О, считая силу сопротивления среды пропорциональной первой степени скорости с коэффициентом про- пропорциональности а, и определить частоту затухающих колебаний. Бес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, длина стержня i, расстояние OB = b. Массой стерж- стержня пренебречь. В положении равнове- равновесия стержень горизонтален. При ка- каком значении коэффициента а движе- движение будет апериодическим? Ответ: ^У + а^У + с \В_ рад/с, 1 IV?- К задаче 32.74 32.75C2.73). При колебаниях груза массы 20 кг, подвешенного на пружине, было замечено, что наибольшее отклонение после 10 полных колебаний уменьшилось вдвое. Груз совершил 10 пол- полных колебаний за 9 с. Как велик коэффициент сопротивления а (при сопротивлении среды, пропорциональном первой степени ско- скорости) и каково значение коэффициента жесткости с? Ответ: а = 3,08 Н • с/м, с = 974,8 Н/м. 32.76C2.74). Составить дифференциальное уравнение малых колебаний точки А и определить частоту затухающих колебаний. Вес точки А равен Р, коэффициент жесткости пружины с, расстоя- расстояние О А = by OB = L Сила сопротивления среды пропорциональна первой степени скорости, коэффициент пропорциональности равен 251
а. Массой стержня ОВ, шарнирно закрепленного в точке О, пре- пренебречь. В положении равновесия стержень горизонтален. При каком значении коэффициента а дви- движение будет апериодическим? ~ Р .. . . , cl2 Л Ответ: —и+ау+ —& и = О, к задаче 32.76 ^ 2/ I сР 32.77. Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жесткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декре- декремент колебаний и период свободных колебаний. Ответ: а=19Н-с/м, Я = пГ/2 = 9,5, Г = 3,14 с. в) Вынужденные колебания 32.78C2.75). Найти уравнение прямолинейного движения точки массы /л, находящейся под действием восстанавливающей силы Q = —сх и постоянной силы Fo. В начальный момент t = 0, л:0 == 0 и х0 = 0. Найти также период колебаний. Ответ: х = — A — cos kt), где k = л —, Т = 2n/k. 32.79C2.76). Определить уравнение прямолинейного движения точки массы т, находящейся под действием восстанавливающей силы Q = — сх и силы F = at. В начальный момент »тг точка находится в положении статического равнове- сия и скорость ее равна нулю. Ответ: х = —^{kt — sin kt), где k = л/ —. 32.80C2.77). Найти уравнение прямолинейного движения точки массы т, на которую действует вос- восстанавливающая сила Q = — сх и сила F = Foe'**, если в начальный момент точка находилась в поло- положении равновесия в состоянии покоя. >-at _ cos fa Ответ: х = m (k2 + a2) -y sin ki} ; К задаче 32.81 гДе * 32.81C2.78). На пружине, коэффициент жесткости которой с= 19,6 Н/м, подвешен магнитный стержень массы 100 г. Нижний конец магнита проходит через катушку, по которой идет перемен- переменный ток / = 20 sin 8я? А. Ток идет с момента времени t = 0, втяги- втягивая стержень в соленоид; до этого момента магнитный стержень 252
висел на пружине неподвижно. Сила взаимодействия между маг- магнитом и катушкой определяется равенством F = 0,016м Н. Опре- Определить вынужденные колебания магнита. Ответ: х = — 2,3 sin 8я* см. 32.82C2.79). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения магнитного стержня, если его подвесили к концу нерас- нерастянутой пружины и отпустили без началь- начальной скорости. Ответ: л; = —5 cos 14/ + 4,13 sin Ш — — 2,3 sin 8я* см. 32.83C2.80). В условиях задачи 32.81 найти уравнение движения магнитного стержня, если ему в положении статиче- статического равновесия сообщили начальную ско- скорость vo = 5 см/с. Ответ: л; = 4,486 sin Ш — 2,3 sin 8я* см. 32.84C2.81). Гиря М подвешена на пру- пружине АВ, верхний конец которой совер- совершает гармонические колебания по верти- вертикальной прямой амплитуды а и частоты п, так что О\С = a sin nt см. Определить вы- вынужденные колебания гири М при следую- следующих данных: масса гири равна 400 г, от действия силы 39,2 Н пружина удлиняется на 1 м, а = 2 см, п = 7 рад/с. Ответ: х = 4 sin It см. 32.85C2.82). Определить движение гири М (см. задачу 32.84), подвешенной на пружине АВ, верхний конец которой А совершает гармонические колебания по вертикали амплитуды а и круговой частоты k, статическое растяжение пружины под действием веса4 гири равно б. В начальный момент точка А занимает свое среднее положение, а гиря М находится в покое; начальное положение гири принять за начало координат, а ось Ох направить по вер- вертикали вниз. К задаче 32.84 при -§-; при k=Vf- 32.86C2.83). Статический прогиб рессор груженого товарного вагона А/ст = 5 см. Определить критическую скорость движения вагона, при которой начнется «галопирование» вагона, если на стыках рельсов вагон испытывает толчки, вызывающие вынуж- вынужденные колебания вагона на рессорах; длина рельсов L = 12 м. Ответ: v = 96 км/ч. 32.87C2.84). Индикатор машины состоит из цилиндра Л, в ко- котором ходит поршень В, упирающийся в пружину D; с поршнем Соединен стержень ВС, к которому прикреплен пишущий штифт С. 253
К задаче 32.87 Предполагая, что давление пара, выраженное в паскалях, изменя- изменяется согласно формуле р = 105 f 4 + 3 sin -у-) , где Т — время од- одного оборота вала, определить амплитуду вынужденных колебаний штифта С, если вал совершает 180 об/мин, при следующих дан- данных; площадь поршня индикатора а = 4 см2, мас- масса подвижной части индикатора 1 кг, пружина сжи- сжимается на 1 см силой 29,4 Н. Ответ: а = 4,64 см. 32.88C2.85). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения штифта С, если в на- начальный момент система находилась в покое в по- положении статического равновесия. Ответ: х = —1,61 sin 54,22/ + 4,64 sin 6я/ см. 32.89C2.86). Груз массы т = 200 г, подвешен- подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой 9,8 Н/см находится под действием силы S=H sin pt, где Н = 20 Н, р = 50 рад/с. В начальный момент хо = 2 см, ао=Ю см/с. Начало координат вы- выбрано в положении статического равновесия. Найти уравнение движения груза. Ответ: х = 2 cos 70/ — 2,83 sin 70/ + 4,17 sin 50/ см. 32.90C2.87). В условиях предыдущей задачи изменилась ча- частота возмущающей силы, получив значение р = 70 рад/с. Опре- Определить уравнение движения груза. Ответ: л: = 2 cos 70/+ 1,16 sin 70/ —71,4/cos 70/ см. 32.91. Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м. На груз начинает действовать сила F(t) = 156,8sin4/ Н. Опреде- Определить закон движения груза. Ответ: х — 0,2 sin 4/ — 0,8/ cos 4/ м. 32.92. Груз массы 24,5 кг висит на пружине жесткости 392 Н/м. Определить движение груза, если на него начинает действовать сила F = 39,2 cos 6/ Н. Ответ: х = 16 sin /sin 5/ см. Колебания носят характер биений. 32.93. Груз на пружине колеблется так, что его движение опи- описывается дифференциальным уравнением mx + cx = 5 cos со/ + 2 cos Зю/. Найти закон движения груза, если в начальный момент его сме- смещение и скорость были равны нулю, а также определить, при ка- каких значениях ю наступит резонанс. 47т©2 — 7с ___ , /IT± , 5 Н Ответ: 2 ¦COS 1/ + COS CD/ + * (с — т©2) (с — 9т©2) •cos3oo/. Резонанс наступит в двух случаях: colKp = 254
г) Влияние сопротивления на вынужденные колебания 32.94C2.88). На пружине, коэффициент жесткости которой с = = 19,6 Н/м, подвешены магнитный стержень массы 50 г, прохо- проходящий через соленоид, и медная пластинка массы 50 г, проходя- проходящая между полюсами магнита. По соленоиду течет ток i = = 20sin8rc/ А, который развивает силу взаимодействия с магнит- магнитным стержнем 0,0 16ju H. Сила торможения мед- медной пластинки вследствие вихревых токов равна kvQJ, где k = 0,001, Ф= 10 У§" Вб и v — скорость пластинки в м/с. Определить вынужденные коле- колебания пластинки. Ответ: х = 0,022 sin (8л* — 0,91 я) м. 32.95C2.89). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения пластинки, если ее под- подвесили вместе с магнитным стержнем к концу не- нерастянутой пружины и сообщили им начальную скорость 5 см/с, направленную вниз. Ответ: x = e-2>5t(—4,39 cos 13,77/ + + 3,42 sin 13,77/) + 2,2 sin (8nt — 0,91л) см. 32.96C2.90). Материальная точка массы т = = 2 кг подвешена к пружине, коэффициент жест- жесткости которой 4 кН/м. На точку действуют возму- возмущающая сила S = 120sin(p/+ б) Н и сила сопро- сопротивления движению, пропорциональная первой степени скорости и равная R = 0,5 <\/mcv H.Чему равно наибольшее значение Атах амплитуды вы- вынужденных колебаний? При какой частоте р ам- амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего зна- значения? Ответ: Лтах = 6,2 см, р = 41,83 рад/с. 32.97C2.91). В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения точки, если в начальный момент времени ее положение и скорость были равны: х0 = 2 см, Vo = 3 см/с. Частота возму- возмущающей силы р = 30 рад/с, начальная фаза возмущающей силы б = 0. .Начало координат выбрано в положении статического рав- равновесия. Ответ: * = ?r-n>i8'D,422cos43,3*— 1,547sin43,3/) + + 4,66 sin C0/ — 0,174я) см. 32.98C2.92). Материальная точка массы 3 кг подвешена на пружине с коэффициентом жесткости с =117,6 Н/м. На точку действуют возмущающая сила F = Я sin F,26/ + Р) Ни сила вяз- вязкого сопротивления среды R = — av (R в Н). Как изменится амплитуда вынужденных колебаний точки, если вследствие изме- изменения температуры вязкость среды (коэффициент а) увеличится в три раза? 255 К задачам 32.94 и 32.95
Ответ: Амплитуда вынужденных колебаний уменьшится в три раза. 32.99C2.93). Тело массы 2 кг, прикрепленное пружиной к не- неподвижной точке Л, движется по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом, под действием возмущающей силы S= 180 sin 10/ Н и силы сопротивления, пропорциональной д скорости Я = —29,4и (R в Н). Коэффициент жесткости пружины с = 5 кН/м. В начальный момент тело находилось в покое в положении статического равновесия. Найти уравнение дви- движения тела, периоды Т свободных и Т\ вынуж- вынужденных колебаний, сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: х = е~7>г5< @,228 cos 49,46/ — к задаче 32 99 — 0,72 sin 49,46/) + 3,74 sin A0/ — 3° 300 см, Г = = 0,127 с, Тх = 0,628 с, г = 3° 30'. 32.100C2.94). На тело массы 0,4 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 4 кН/м, действуют сила S = = 40 sin 50/ Н и сила сопротивления среды R =—az>, где a = = 25 Н-с/м, v — скорость тела (v в м/с). В начальный момент тело покоится в положении статического равновесия. Найти закон движения тела и определить значение частоты возмущающей силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний будет мак- максимальной. Ответ: 1) х = Ofitfer*1*** sin (95/ — 46° 550+ 1,23 sin E0/ — — 22° 360 см; 2) максимальная амплитуда вынужденных колебаний получа- получается при р = 89,7 рад/с и равна 1,684 см. 32.101C2.95). На тело массы М кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с Н/м, действуют возмущающая сила S = H sin pt Н и сила сопротивления R=—av (R в Н), где v — скорость тела. В начальный момент тело находилось в положении статического равновесия и не имело начальной скорости. Найти уравнение движения тела, если с > а2/DМ). j (t4C, ( ^fe X sin У fc2 - п21) + (fe2^p2J + 4^p2 № - P2) sin pt - 2прл cos pt), где h = H/M, k2 = c/M, n = a/{2M). 32.102C2.96). На тело массы 6 кг, подвешенное к пружине с жесткостью с = 17,64 кН/м, действует возмущающая сила Ро sin pt. Сопротивление жидкости пропорционально скорости. Ка- Каким должен быть коэффициент сопротивления а вязкой жидкости, чтобы максимальная амплитуда вынужденных колебаний равня- равнялась утроенному значению статического удлинения пружины? Чему равняется коэффициент расстройки z (отношение круговой час- частоты вынужденных колебаний к круговой частоте свободных коле- колебаний)? Найти сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущаю- возмущающей силы. 256
Ответ: а = 110 Н • с/м, z = 0,97, е = 80° Т. 32.103C2.97). На тело массы 0,1 кг, прикрепленное к пружине с коэффициентом жесткости с = 5 кН/м, действует сила S = = # sin ptt где Я =100 Н, р=100 рад/с, и сила сопротивления /? = pt; Н, где р = 50 Н-с/м. Написать уравнение вынужденных колебаний и определить значение частоты р, при котором ампли- амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной. Ответ: х2 = 0,98sin 100/— 1,22cos 100/ см; максимума ампли- амплитуды не существует, так как п > к\л]2. 32.104C2.98). В условиях предыдущей задачи определить сдвиг фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы. Ответ: e = arctgl,25 = 51°20'. 32.105C2.99). Груз массы 0,2 кг подвешен на пружине, коэф- коэффициент жесткости которой равен с = 19,6 Н/м. На груз дей- действуют возмущающая сила S = 0,2 sin 14/ Н и сила сопротивления /? = 49г> Н. Определить сдвиг фаз вынужденных колебаний и воз- возмущающей силы. Ответ, е = 91° 38'. 32.106C2.100). В условиях предыдущей задачи г найти коэффициент жесткости с\ новой пружины, L которой нужно заменить данную пружину, чтобы сдвиг фаз вынужденных колебаний и возмущаю- возмущающей силы стал равным я/2. Ответ: с\ = 39,2 Н/м. 32.107C2.101). Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы F = Fos\n(pt + к задаче 32.107 + 6) устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жесткости пружины с. Счи- Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени ско- скорости (/7сопр = ау), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях. Ответ: N = Foy\/ ih2 __ „,„ _/^2,,2, где ?2 = —, п = -^ § 33. Относительное движение 33.1C3.1). К концу А вертикального упругого стержня А В прикреплен груз С массы 2,5 кг. Груз С, будучи выведен из поло- положения равновесия, совершает гармонические колебания под влия- влиянием силы, пропорциональной расстоянию от положения равнове- равновесия. Стержень АВ таков, что для отклонения конца его Л на 1 см нужно приложить силу 1 Н. Найти амплитуду вынужденных коле- колебаний груза С в том случае, когда точка закрепления стержня В совершает по горизонтальной прямой гармонические колебания амплитуды 1 мм и периода 1,1 с. Ответ: 5,42 мм. 33.2C3.2). Точка привеса математического маятника длины I движется по вертикали равноускоренно. Определить период Т ма- 9 И. В. Мещерский 257
лых колебаний маятника в двух случаях: 1) когда ускорение точки привеса направлено вверх и имеет какую угодно величину р\ 2) когда это ускорение направлено вниз и величина его р < g. Ответ: \)Т = 2п : 2) T = К задаче 33.1 К задаче 33.3 33.3C3.3). Математический маятник ОМ длины I в начальный момент отклонен от положения равновесия ОА на некоторый угол а и имеет скорость, равную нулю; точка привеса его в этот мо- момент имеет также скорость, равную нулю, но затем опускается с посто- постоянным ускорением р^ g. Опреде- Определить длину 5 дуги окружности, опи- Iй Г] \ .!**УУ сываемой точкой М в относитель- . lJ х-4^—x-s ном движении вокруг точки О. Ответ: 1) При p = g s = 0; 2) при p>g s =21 (я — а). 33.4C3.4). Железнодорожный поезд идет со скоростью 15 м/с по рельсам, проложенным по меридиану с юга на север. Масса поезда 2000 т. 1) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он пересекает в данный момент северную широту 60°. 2) Определить боковое давление поезда на рельсы, если он идет в этом же месте с севера на юг. Ответ: 1) 3778,7 Н на правый восточный рельс; 2) 3778,7 Н на правый западный рельс. 33.5C3.5). Материальная точка свободно падает в северном полушарии с высоты 500 м на Землю. Принимая во внимание вращение Земли вокруг своей оси и пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится на восток точка при падении. Географическая широта места равна 60°. Ответ: На 12 см. 33.6C3.6). В вагоне, движущемся по прямому горизонтальному пути, маятник совершает малые гармонические колебания, причем п п среднее его положение остается отклоненным от вертикали на угол 6°. 1) Определить ускорение w вагона. 2) Найти разность периодов колебаний маятника: Т — в случае неподвижного вагона и Т\ — в данном случае. Ответ: 1) ш=1,03 м/с2, 2) 7—^=0,00287. 33.7C3.7). Точка О\ привеса маятника длины I совершает прямолинейные горизонтальные гар- гармонические колебания около неподвижной точ- точки О: ОО\ = a sin pt. Определить малые колебания маятника, счи- считая, что в момент, равный нулю, ср = 0, ф = 0. Ответ: Ф = Т7ьГ=г^ 258
33.8. Точка, находящаяся на широте Л,, брошена в западном направлении под углом а к горизонту с начальной скоростью vq. Определить время и дальность полета точки. п . 2v0 sin а 2v0 sin а /1 2а)р0 cos k cos а ^ итвет: l — g + 2@t>cos;icosa ~ g V g ) • ^o sin 2a ^© cos Я sin а I ¦H о g где сэ — угловая скорость вращения Земли. 33.9C3.9). Шарик массы т, прикрепленный к концу горизон- горизонтальной пружины, коэффициент жесткости которой с, находится в положении равновесия в трубке на расстоянии а от вертикаль- вертикальной оси. Определить относительное движение шарика, если трубка, К задаче 33.10 образующая с осью прямой угол, начинает вращаться вокруг вер- вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Ответ: В системе координат, начало которой совпадает с точ- точкой равновесия шарика, при ^==д/^->0; =?t-\) при ^=д/^<со. 33.10C3.10). Горизонтальная трубка CD равномерно вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью со. Внутри трубки находится тело М. Определить скорость v тела относи- относительно трубки в момент его вылета, если в начальный момент v = 0, х = хоу длина трубки равна L. Трением пренебречь. 33.11C3.11). В условиях предыдущей задачи определить время движения тела в трубке. 1 L + л/l2 — х\ Ответ: Т = — \п \ -. © Xq 33.12C3.12). В условиях задачи 33.10 составить дифференци- дифференциальное уравнение движения тела в трубке, если коэффициент тре- трения скольжения между телом и трубкой равен /. 9* 25$
Ответ: х = ®2х ± f д/g2 + 4co2jc2: верхнему знаку соответствует х < О, нижнему х > 0. 33.13C3.13). Кольцо движется по гладкому стержню Л5, кото- который равномерно вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через конец Л, делая один оборот в секунду; длина стержня 1 м; в момент / = 0 кольцо находилось на расстоянии 60 см от конца Л и имело скорость, равную нулю. Определить момент t\, когда кольцо сойдет со стержня. Ответ: h = ± In 3 = 0,175 с. 33.14C3.14). Трубка АВ вращается с постоянной угловой ско- скоростью со вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизмен- неизменный угол 45°. В трубке находится тяжелый шарик М. Определить движение этого шарика относительно трубки, если начальная ско- скорость его равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а. Трением пренебречь. Ответ: 33.15C3.15). Определить, как меняется ускорение силы тяжести в зависимости от ши- роты места ср вследствие вращения Земли вокруг своей оси. Радиус Земли R = 6370 км. б 4 его малости, то ру у Ответ: Если пренебречь членом с со4 ввиду ег eff(l_J^?). или ^ = 9,81 A--^). ^ где g рение силы тяжести на полюсе, ф — географическая широта места. 33.16C3.16). Во сколько раз надо увеличить угловую скорость вращения Земли вокруг своей оси, чтобы тяжелая точка, находя- находящаяся на поверхности Земли на экваторе, не имела бы веса? Ра- Радиус Земли R = 6370 км. Ответ: В 17 раз. 33.17C3.17). Артиллерийский снаряд движется по настильной траектории (т. е. по траектории, которую приближенно можно считать горизонтальной прямой). Горизонтальная скорость сна- снаряда во время движения t/0 = 900 м/с. Снаряд должен поразить цель, отстоящую от места выстрела на расстоянии 18 км. Прене- Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, насколько отклонится снаряд от цели вследствие вращения Земли. Стрельба происходит на северной широте К = 60°. Ответ: Снаряд отклонится вправо (если смотреть на него сверху перпендикулярно к скорости) на величину s = (uv0t2 sin X = = 22,7 м независимо от направления стрельбы. 33.1.8C3.18). Маятник на длинной нити получает небольшую начальную скорость в плоскости север-юг. Считая отклонения 260
маятника малыми по сравнению с длиной нити и принимая во внимание вращение Земли вокруг оси, найти время, по истечении которого плоскость качаний маятника совпадает с плоскостью запад-восток. Маятник расположен на 60° северной широты. Ответ: Т = 13,86@,5 + k) часов, где k = 0, 1, 2, 3, ... 33.19. Тяжелая точка может двигаться без трения по верти- вертикальному проволочному кольцу, которое вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью ш. Ра- Радиус кольца равен R. Найти положение равновесия точки и опре- определить, как будет двигаться точка, если в положении равновесия она получит малую скорость v0 по касательной вверх. Ответ: Положение равновесия соответствует углу <Ро = ==arccos-jj^-, отсчитываемому от нижнего положения точки на круге. Точка, получившая малую скорость v0, будет совершать малые колебания около положения равновесия согласно уравне- нию: Ф —ft- sin kt, где к=^~8\ 33.20. Пружинный вибродатчик используется для измерения вертикального ускорения поезда, круговая частота вертикальных колебаний которого равна 10 рад/с. База прибора составляет одно целое с корпусом одного из вагонов поезда. К базе прибора кре- крепится пружина с коэффициентом жесткости с= 17,64 кН/м. К пру- пружине прикреплен груз массы т= 1,75 кГ. Амплитуда относитель- относительного движения груза вибродатчика равна 0,125 см по записи при- прибора. Найти максимальное вертикальное ускорение поезда. Ка- Какова амплитуда вибрации поезда? Ответ: Максимальное вертикальное ускорение поезда равно аутах = 1237 см/с2. Амплитуда вертикальных колебаний поезда равна: а = 12,37 см. 33.21. Виброметр ислользуется для определения вертикальных колебаний одной из частей машины. В подвижной системе при- прибора демпфер отсутствует. Относительное смещение датчика виб- виброметра (массивного груза) равно 0,005 см. Собственная частота колебаний виброметра — 6 Гц, частота колебаний вибрирующей части машины — 2 Гц. Чему равны амплитуда колебаний, макси- максимальная скорость и максимальное ускорение вибрирующей части машины? Ответ: Амплитуда колебаний равна а = 0,04 см, максимальная скорость равна vm = 0,5 см/с, максимальное ускорение равно Wm = 6,316 СМ/С2. 33.22. Груз массы т = 1,75 кг подвешен внутри коробки на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой с = = 0,88 кН/м. Коробка установлена на столе, вибрирующем в вер- вертикальном направлении. Уравнение колебаний стола х = = 0,225 sin 3t см. Найти абсолютную амплитуду колебаний груза. Ответ: х = 0,2254 см. 261
ГЛАВА X ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ § 34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции твердых тел 34.1C4.1). Коленчатый вал трехцилиндрового двигателя, изо- изображенный на рисунке, состоит из трех колен, расположенных под углом 120° друг к другу. Определить положение центра масс коленчатого вала, считая, что массы колен сосредоточены в точ- точках Л, В и D, причем тл = тпв = trio = т, и пренебрегая массами остальных частей вала. Размеры указаны на рисунке. Ответ: Центр масс совпадает с началом координат О. х К задаче 34.1 34.2C4.2). Найти уравнения движения центра масс шарнир- шарнирного параллелограмма ОАВО\, а также уравнение траектории его центра масс при вращении кривошипа ОА с постоянной угло- угловой скоростью о). Звенья параллелограмма — однородные стержни, причем ОА = ОХВ = АВ/2 = а. 3 3 Ответ: xc = a + -?d cos Ш, ус = — а sin «tf; уравнение траек- C \2 3 -^а) —окружность радиуса —а с цен- центром в точке К с координатами (а, 0). К задаче 34.3 34.3C4.3). К ползуну / массы М\ посредством тонкой невесо- невесомой нити прикреплен груз // массы М2. При колебаниях груза по закону ф = фо sin со/ ползун скользит по неподвижной горизон- горизонтальной гладкой поверхности. Найти уравнение движения ползуна 262
Xl = f(t), считая, что в начальный момент (/ = 0) ползун нахо- находился в начале отсчета О оси х. Длина нити равна /. Ответ: хх = — I sin (ф0 sin Ш). 34.4C4.4). Определить положение центра масс центробежного регулятора, изображенного на рисунке, если масса каждого из шаров А и В равна М\, масса муфты D равна М2. Шары А и В считать точечными массами. Массой стержней пренебречь. Ответ: хс = 0, ус = 2 - I cos <p. 34.5C4.5). Определить траекторию центра масс механизма эл- эллипсографа, состоящего из муфт А и В массы М\ каждая, криво- кривошипа ОС массы М2 и линейки АВ массы 2М2; дано: ОС = АС — = СВ = I. Считать, что линейка и кривошип представляют одно- однородные стержни, а муфты — точечные массы. 0 D Ш К задаче 34.5 W К задаче 34.6 Ответ: Окружность с центром в точке О и радиусом, равным 4Mt + 5Af2 J_ 2Afj + ЗЛГ2 ' 2 * 34.6. К вертикальному валу АВ прикреплены два одинаковых груза Е и D с помощью двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней ОЕ = OD = г. Массами стержней и вала пренебречь. Грузы считать точечными массами. Найти положение центра масс С системы, а также центробежные моменты инерции Jxz, JyZi Jxy. Ответ: C(l/2r, */&, 0), /„ = Jyz = Jxy = 0. 34.7C4.8). Вычислить момент инерции стального вала радиуса 5 см и массы 100 кг относительно его образующей. Вал считать однородным сплошным цилиндром. Ответ: 3750 кг-см2. 34.8C4.9). Вычислить момент инерции тонкого однородного полудиска массы М и радиуса г относительно оси, проходящей вдоль диаметра, ограничивающего полудиск. Ответ: Мг2/4. 263
34.9C4.10). Вычислить осевые Jx и Jy моменты инерции изо- изображенной на рисунке однородной прямоугольной пластинки мас- массы М относительно осей х и у. Ответ: Jx = 4/bMa2, Jy = yzMb2. s «27 К задаче 34.9 К задаче 34.10 К задаче 34.11 34.10C4.11). Вычислить моменты инерции изображенного на рисунке однородного прямоугольного параллелепипеда массы М относительно осей х, у и z. 34.11C4.12). В тонком однородном круглом диске радиуса R высверлено концентрическое отверстие радиуса г. Вычислить мо- момент инерции этого диска массы М относительно оси 2, проходя- проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости диска. Ответ: /* = -^-(/?2 + r2). 34.12C4.13). Вычислить момент инерции тонкой однородной пластинки массы М, имеющей форму равнобедренного треуголь- л ника с высотой Л, относительно оси, проходящей через ее центр масс С параллельно основанию. _jd / \ Ответ: -jg-Af/г2. 34.13. Однородная металличе- металлическая пластинка выполнена в виде равностороннего треугольника. Масса пластинки равна М, I — длина ее стороны. Вычислить момент инерции пластинки относи- относительно оси 2, проходящей через ее вершину параллельно осно- основанию. Г7Х в. д К задаче 34.12 К задаче 34.13 Ответ: = J-M/2. 34.14. Однородная равносторонняя треугольная пластина имеет массу М и длину стороны /. Вычислить момент инерции пластины относительно оси г, проходящей через вершину пластины перпен- перпендикулярно ее плоскости. 264
Ответ: /2 = -jtt 34.15C4.16). Вычислить моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей ху у и z тонкой однородной эллиптической пластинки массы М, ограниченной кон- туром -? + ?=1. Ответ: Jx = -rb2, Ju = 34.16C4.17). Определить К задаче 34.14 К задаче 34.15 момент инерции однород- однородного полого шара массы М относительно оси, проходящей через его центр тяжести. Внешний и внутренний радиусы соответственно равны R и г. 2 Ответ: -^ Г5 34.17C4.18). Вычислить момент инерции однородной тонкой оболочки, выполненной в виде полусферы радиуса R, относительно оси, проходящей через центр полусферы перпендикулярно к огра- о к К задаче 34.17 К задаче 34.18 К задаче 34.19 ничивающей ее плоскости. Масса М оболочки равномерно распре- распределена по поверхности полусферы. Ответ: -| MR2. 34.18C4.19). Вычислить радиус инерции сплошного однород- однородного цилиндра относительно оси г, перпендикулярной оси цилин- цилиндра и отстоящей от его центра масс С на расстоянии 10 см, если радиус цилиндра равен 4 см, а высота 40 см. Ответ: 15,4 см. 34.19C4.21). Маятник состоит из тонкого однородного стерж- стержня АВ массы М\, к концу которого прикреплен однородный диск С массы Мг. Длина стержня равна 4г, где г—радиус диска. Вы- 265
числить момент инерции маятника относительно его оси привеса О, перпендикулярной плоскости маятника и отстоящей на расстоя- расстоянии г от конца стержня. 34.20C4.23). Тонкий однородный стержень АВ длины 2/ и массы М прикреплен в центре О к вертикальной оси, образуя с ней угол а. Вычислить моменты инерции стержня /*, Jy и центробеж- центробежный момент инерции Jxy. Оси координат показаны на рисунке. п г Ml2 о г Ml2 _._0 „ r Ml2 Ответ: Jx — —5— 34.21. Однородный круглый диск массы М и радиуса г при- прикреплен к оси АВ, отстоящей от центра масс С на расстоянии К задаче 34.20 К задаче 34.21 ОС = г/2. Вычислить осевые и центробежные моменты инерции диска. ^ т 3 Л/Г 2 . Mr2 . М^2 . . . \Jioei, jx ^ шг у Jy 4 » J2 2 э х^ хг Уг 34.22. Вычислить момент инерции однородной треугольной пла- пластинки ABC массы М относительно оси х, проходящей через его вершину А в плоскости пластинки, если даны расстояния от точек В и С до оси х; ВМ = hBy CN = hc. Ответ: Jx = -g- (Л| + hBhc + Щ). 34.23C4.24). По данным задачи 34.1 определить центробежные мо- моменты инерции Jxzy Jyz, Jxy коленчатого вала. п К задаче 34.22 Ответ: Jxz = — j md (a + b), Jyz = — -^lL md (a + b), Jxy = 0. 34.24C4.25). Однородный круглый диск массы М эксцентрично насажен на ось z, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен г, эксцентриситет ОС = а, где С — центр масс диска. Вычис- Вычислить осевые /*, ]Уу Jz и центробежные ]ху> Jxz, Jyz моменты инерции диска. Оси координат показаны на рисунке. 266
Ответ: 7* = -^-. Jy = М (~^ + я2) . /г = м(^- + а2), /XF = « 34.25C4.27). По данным задачи 34.24 вычислить момент инер- инерции диска относительно оси z\, лежащей в вертикальной плоско- плоскости кг и образующей с осью г угол q>. Oreer: /2l = -^ sin2 ф + М - + a2) cos2 if if К задаче 34.24 К задаче 34.25 34.26C4.28). Однородный круглый диск массы М насажен на ось z, проходящую через его центр масс С. Ось симметрии диска Z\ лежит в вертикальной плоскости симметрии xz и образует с осью z угол а. Радиус диска равен г. Вычислить центробежные моменты инерции диска JXZi Jyz, hy (оси координат показаны на рисунке). Ответ: Jxy = Jzy = 0, Jxz = _, j ч sin 2а _ Mr2 . 2 34.27C4.29). Решить предыду- предыдущую задачу в предположении, что диск эксцентрично насажен на ось г, причем эксцентриситет ОС = а. Ответ: ]ху = Jyz = О, м л V//, К задаче 34.28 34.28C4.30). Однородный круглый диск радиуса R насажен на ось вращения г, проходящую через точку О и составляющую с осью симметрии диска Czx угол а. Масса диска равна М. Опреде- Определить момент инерции Jz диска относительно оси вращения z и цен- 267
тробежные моменты инерции Jxz и Jyz, если OL — проекция оси г на плоскость диска, ОЕ = а, ОК = Ь. Ответ: JZ = M [(а2 + \ У?2) cos2 а + 1R2 sin2 а + б2], Л« = Af (j R2 + а2) sin а cos а, Jy2 = Mab sin а. 34.29. Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М со сторонами а и Ъ прикреплена стороной ОА к оси ОЕ. Вычис- Вычислить центробежные моменты инерции пластинки Jxz, Jyz и Jxy. Ответ: Jxz = Jxy = 0> Jyz = ——- Ш А в ¦ У К задаче 34.29 К задаче 34.30 Ответ: /», = - 34.30C4.31). Однородная прямоугольная пластинка массы М со сторонами длины а и Ь прикреплена к оси г, проходящей через одну из ее диагоналей. Вычислить центробежный момент инер- инерции Jyz пластинки относительно осей у и z, лежащих вместе с пла- пластинкой в плоскости рисунка. Начало ко- координат совмещено с центром масс пла- пластинки. _ М аЬ (а2 - Ь2) 12 a2+b2 e 34.31C4.34). Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы Ми противовеса Е мас- массы М2 и груза К массы М3. Рассматри- Рассматривая стрелу как однородную тонкую бал- балку, а противовес Е и круг К как точеч- точечные массы, определить момент инерции ]г крана относительно вертикальной оси вращения z и центробежные моменты инерции относительно осей координат х, t/, г, связанных с краном. Центр масс всей системы находится на оси г; стрела CD располо- расположена в плоскости yz. Ответ: Jz = М2а2 + (мг + -~Mj) L2 sin2a, /,. = Мз+27зМ1 # sin 2а - МгЫ sin а, Jxy = Jxz - 0. К задаче 34.31 268
§ 35. Теорема о движении центра масс материальной системы 35.1C5.1). Определить главный вектор внешних сил, действую- действующих на маховик М, вращающийся вокруг оси АВ. Ось АВ, укреп- укрепленная в круговой раме, в свою очередь вращается вокруг оси DE. Центр масс С маховика находится в точке пересечения осей АВ иОЕ. Ответ: Главный вектор внешних сил равен нулю. К задаче 35.1 К задаче 35.2 35.2C5.2). Определить главный вектор внешних сил, прило- приложенных к линейке АВ эллипсографа, изображенного на рисунке. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью со; масса линейки АВ равна М\ ОС = АС = ВС= L Ответ: Главный вектор внешних сил параллелен СО и равен по модулю М1&2. 35.3C5.3). Определить главный вектор внешних сил, действую- действующих на колесо массы М, скатывающееся с наклонной плоскости вниз, если его центр масс С движется по закону хс = at2/2. К задаче 35.3 К задаче 35.4 К задаче 35.5 Ответ: Главный вектор внешних сил параллелен оси х> направ- направлен в сторону движения и равен по модулю Ма. 35.4C5.4). Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием силы F, изображенной на рисунке. Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент трения скольжения равен /, a F = 5fP, где Р — вес колеса. В начальный момент колесо находилось в покое. Ответ: хс = 2fgt2. 35.5C5.5). Колесо катится со скольжением по горизонтальной прямой под действием приложенного к нему вращающего момента. Найти закон движения центра масс С колеса, если коэффициент 269
трения скольжения равен f. В начальный момент колесо находи- находилось в покое. Ответ: xc = fgt2/2. 35.6C5.6). Вагон трамвая совершает вертикальные гармониче- гармонические колебания на рессорах амплитуды 2,5 см и периода Т = 0,5 с. Масса кузова с нагрузкой 10 т, масса тележки и колес 1 т. Опре- Определить силу давления вагона на рельсы. Ответ: от 68,0 до 147,6 кН. 35.7C5.7). Определить силу давления на грунт насоса для от- откачки воды при его работе вхолостую, если масса неподвижных частей корпуса D и фундамента Е равна Ми масса кривошипа О А = а равна М2, масса кулисы В и поршня С равна Мг. Криво- Кривошип ОЛ, вращающийся равно- равномерно с угловой скоростью (о, 2 считать однородным стерж- стержнем. Ответ: N=(M\+M2+M3)g+ 35.8C5.8). Использовав дан- данные предыдущей задачи, счи- считать, что насос установлен на упругом основании, коэффи- коэффициент упругости которого ра- равен с. Найти закон движения К задаче 35.7 К задаче 35.9 ОСИ О КрИВОШИПа О А ПО Вер- тикали, если в начальный мо- момент ось О находилась в положении статического равновесия и ей была сообщена по вертикали вниз скорость v0. Взять начало от- отсчета оси х, направленной вертикально вниз, в положении стати- статического равновесия оси О. Силами сопротивления пренебречь. Ответ: •^ sin kt + k2 _Ш2 cos со/, где к- 2) v- М 9 + 2М з аса2 Мх + М2 + М3 2 35.9C5.9). Ножницы для резки металла состоят из кривошип- но-ползунного механизма ОАВ, к ползуну В которого прикреп- прикреплен подвижный нож. Неподвижный нож укреплен на фундамен- фундаменте С. Определить давление фундамента на грунт, если длина кри- кривошипа г, масса кривошипа Ми длина шатуна /, масса ползуна В с подвижным ножом Мг, масса фундамента С и корпуса D равна М3. Массой шатуна пренебречь. Кривошип ОА, равномерно вра- вращающийся с угловой скоростью со, считать однородным стержнем. 270
Указание. Выражение лЛ — (r/lJ sin2 со/ следует разложить в ряд и от- отбросить все члены ряда, содержащие отношение г/1 в степени выше второй. Ответ: N = (А1, + М2 + М3) g + ^[(Mi + 2M2) cos Ш + + 2M2j( 35.10C5.10). Электрический мотор массы М\ установлен без креплений на гладком горизонтальном фундаменте; на валу мо- мотора под прямым углом закреплен одним концом однородный стержень длины 21 и массы М2, на другой конец стержня насажен точечный груз массы Af3; угловая ско- скорость вала равна со. Определить: 1) горизонтальное движение мотора; 2) наибольшее го- горизонтальное усилие /?, действующее на болты, если ими будет закреплен кожух электромотора на фундаменте. Ответ: 1) Гармонические колеба- колебания с амплитудой м ,2* , ^ и пе- периодом 2я/со; 35.11C5.11). ПО УСЛОВИЯМ ПреДЫ- К задаче 35.10 дущей задачи вычислить ту угловую скорость (о вала электромотора, при которой электромотор будет подпрыгивать над фундаментом, не будучи к нему прикреплен болтами. Ответ- Ответ. a / 35.12C5.12). При сборке электромотора его ротор В был экс- эксцентрично насажен на ось вращения Сх на расстоянии CC где С\ — центр масс статора Л, а С2— центр масс ротора В. Ротор равномер- равномерно вращается с угловой скоростью со. Электромотор установлен посередине упругой балки, статический прогиб которой равен А; М\ — масса статора, М2—масса ротора. Найти уравнение движения точки С\ по вертикали, если в начальный момент она находилась в покое в по- положении статического равновесия. Си- Силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х взять в по- положении статического равновесия точки С\. К задаче 35.12 Ответ: 1) При >у-|- Ф о хх = — у- #*!_& sin kt sin 271
2) при 35.13C5.13). Электрический мотор массы М\ установлен на балке, жесткость которой равна с. На вал мотора насажен груз массы М2 на расстоянии / от оси вала. Угловая скорость мотора cd = const. Определить амплитуду вынужденных колебаний мотора и критическое число его оборотов в минуту, пренебрегая массой балки и сопротивлением движению. Л М21<д2 30 I с Ответ: а= c_(Mi+M2)(d2, пкр =— д/ щ + щ . 35.14C5.15). На рисунке изображена крановая тележка А массы Ми которая заторможена посередине балки BD. В центре масс С\ тележки подвешен трос длины / с привязанным к нему грузом С2 массы М2. Трос с грузом совершает гар- К задаче 35.13 К задаче 35.14 монические колебания в вертикальной плоскости. Определить: 1) суммарную вертикальную реакцию балки BD, считая ее жест- жесткой; 2) закон движения точки С\ в вертикальном направлении, считая балку упругой с коэффициентом упругости, равным с. В начальный момент балка, будучи недеформированной, на- находилась в покое в горизонтальном положении. Считая колебания троса малыми, принять: sin ер « ер, coscp « 1. Начало отсчета оси у взять в положении статического равновесия точки С\. Массой троса и размерами тележки по сравнению с длиной балки прене- пренебречь. Ответ: 1) Ry = (Mi+M2)g\ 2) точка Сх совершает свободные колебания по закону ух = — с 2 g cos ^y Mi+Mz *• 35.15C5.16). Сохранив данные предыдущей задачи и считая балку BD жесткой, определить: 1) суммарную горизонтальную реакцию рельсов; 2) в предположении, что тележка не затормо- заторможена, закон движения центра масс С\ тележки А вдоль оси х. В начальный момент точка Сх находилась в покое в начале отсчета оси х. Трос совершает колебания по закону (p = (p0cos(o*. Ответ: 1) Rx = — М2/ф0оJ cos at; 2) точка С\ совершает коле- колебания с амплитудой Мг /<Ро и круговой частотой со по закону 272
35.16C5.17). На средней скамейке лодки, находившейся в по- покое, сидели два человека. Один из них, массы М\ = 50 кг, пере- переместился вправо на нос лодки. В каком направлении и на какое расстояние должен переместиться второй человек массы М2=70 кг для того, чтобы лодка осталась в покое? Длина лодки 4 м. Сопро- Сопротивлением воды движению лодки пренебречь. Ответ: Влево на корму лодки на расстояние 1,43 м. 35.17C5.18). На однородную призму Л, лежащую на горизон- горизонтальной плоскости, положена однородная призма В\ поперечные сечения призм — прямоугольные треугольники, .масса призмы А втрое больше массы призмы В. Предпо- Предполагая, что призмы и горизонтальная плоскость идеально гладкие, определить длину /, на которую передвинется приз- призма Л, когда призма В, спускаясь по Л, дойдет до горизонтальной плоскости. Ответ: l = (a — b)/4. 35.18C5.19). По горизонтальной товарной платформе длины 6 м и массы 2700 кг, находившейся в начальный момент в покое, двое рабочих перекатывают тяжелую отлявку из левого конца платформы в правый. В какую сторону и насколько переместится при этом платформа, если общая масса груза и рабочих равна 1800 кг? Силами сопротивления движению платформы пренебречь. Ответ: Налево на 2,4 м. 35.19C5.20). Два груза Mi и М2, соответственно массы Mi и М2, соединенные нерастяжимой нитью, переброшенной через блок Л, скользят по гладким боковым сторонам прямоугольного клина, опирающегося основанием ВС на гладкую горизонтальную К задаче 35.17 К задаче 35.19 К задаче 35.20 плоскость. Найти перемещение клина по горизонтальной плоско- плоскости при опускании груза Mi на высоту /г = 10 см. Масса клина М = 4Mi = 16M2; массой нити и блока пренебречь. Ответ: Клин переместится вправо на 3,77 см. 35.20C5.21). Три груза массы Mi = 20 кг, М2 = 15 кг и М3 = = 10 кг соединены нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижные блоки L и N. При опускании груза Mi вниз груз М2 перемещается по верхнему основанию четырехугольной усеченной пирамиды ABCD массы М=100 кг вправо, а груз М3 поднима- поднимается по боковой грани АВ вверх. Пренебрегая трением между усе- усеченной пирамидой ABCD и полом, определить перемещение усе- 273
3.5" ченной пирамиды ABCD относительно пола, если груз М] опус- опустится вниз на 1 м. Массой нити пренебречь. Ответ: Влево на 14 см. 35.21. Подвижной поворотный кран для ремонта уличной элек- электросети установлен на автомашине массы 1 т. Люлька К крана, укрепленная на стержне L, мо- может поворачиваться вокруг гори- горизонтальной оси О, перпендику- перпендикулярной плоскости рисунка. В на- начальный момент кран, занимав- занимавший горизонтальное положение, и автомашина находились в по- покое. Определить перемещение не- незаторможенной автомашины, ес- ? ли кран повернулся на 60°. Мас- Масса однородного стержня L длины 3 м равна 100 кг, а люльки К — 200 кг. Центр масс С люльки К отстоит от оси О на расстоянии ОС = 3,5 м. Сопротивлением движению пренебречь. Ответ: Направо на 32,7 см. § 36. Теорема об изменении главного вектора количеств движения материальной системы. Приложение к сплошным средам 36.1C6.1). Определить главный вектор количеств движения работающего редуктора скоростей, изображенного на рисунке, если центры тяжести каждого из четырех вращающихся зубчатых колес лежат на осях вращения. Ответ: Главный вектор количеств движения равен нулю. К задаче 35.21 V///A : У///Л V////X V///A К задаче 36.1 К задаче 36.3 36.2C6.2). Определить сумму импульсов внешних сил, прило- приложенных к редуктору, рассмотренному в предыдущей задаче, за произвольный конечный промежуток времени. Ответ: Сумма импульсов внешних сил равна нулю. 36.3C6.3). Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня ОА массы Мь длины 4г и однородного диска В массы M2i радиуса г, если угло- угловая скорость маятника в данный момент равна о. 274
Ответ: Главный вектор количеств движения направлен перпен- перпендикулярно стержню О А и по модулю равен {2М\ + 5М2) гсо. 36.4C6.4). Определить модуль и направление главного век- вектора количеств движения механизма эллипсографа, если масса кривошипа равна Mi, масса линейки АВ эллипсографа равна 2Afb масса каждой из муфт А и В равна Л1г; даны размеры: ОС = = АС = СВ = I. Центры масс кривошипа и линейки расположены в их серединах. Кривошип вращается с угловой скоростью со. Ответ: Модуль главного вектора равен Q = -у- (ЪМ\ + 4М2); направление главного вектора перпендикулярно кривошипу. К задаче 36.4 К задаче 36.5 К задаче 36.6 36.5C6.5). Определить главный вектор количеств движения центробежного регулятора, ускоренно вращающегося вокруг вер- вертикальной оси. При этом углы ф изменяются по закону ф = ф(/) и верхние стержни, поворачиваясь, поднимают шары А и В. Дли- Длины стержней: О А = О В = AD = BD = /. Центр масс муфты D массы М2 лежит на оси г. Шары А и В считать точечными массами массы М\ каждый. Массой стержней пренебречь. Ответ: Qx = Qy = Ot Q2 = — 2(MX +M2)tq>sin ф, где Q — глав- главный вектор количеств движения; плоскость yz совпадает с пло- плоскостью расположения стержней регулятора. 36.6C6.7). В механизме, изображенном на рисунке, движу- движущееся колесо радиуса г имеет массу М, причем центр масс колеса находится в точке О\\ центр масс прямолинейного стержня АВ массы kM находится в его середине. Кривошип ООХ вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью о. Определить глав- главный вектор количеств движения системы, пренебрегая массой кри- кривошипа. Ответ: Проекции главного вектора количеств движения систе- системы на оси координат: 1) на ось Ох: —Afrcocosco/; 2) на ось Оу: Af( 2?) ( + ) 36.7C6.8). Масса ствола орудия равна 1! т. Масса снаряда равна 54 кг. Скорость снаряда у дульного среза уо = 9ОО м/с. 275
Определить скорость свободного отката ствола орудия в момент вылета снаряда. Ответ: Скорость отката ствола орудия равна 4,42 м/с и на- направлена в сторону, противоположную движению снаряда. 36.8C6.9). Граната массы 12 кг, летевшая со скоростью 15 м/с, разорвалась в воздухе на две части. Скорость осколка массы 8 кг возросла в направлении движения до 25 м/с. Определить ско- скорость второго осколка. Ответ: 5 м/с в направлении, противоположном движению пер- первого осколка. 36.9C6.11). По горизонтальной платформе А, движущейся по инерции со скоростью vOy перемещается тележка В с постоянной относительной скоростью щ. В некоторый момент времени тележ- ка была заторможена. Опреде- Ллить общую скорость v платфор- мы с тележкой после ее останов- ки> если М — масса платформы, К задаче 36.9 3 /П - МЗССЗ ТвЛвЖКИ. Ответ: 0==t,0 + _?L_.Bo. 36.10C6.12). Сохранив условие предыдущей задачи, определить путь s, который пройдет тележка В по платформе А с момента начала торможения до полной остановки, и время торможения т, если считать, что при торможении возникает постоянная по вели- величине сила сопротивления F. Указание. В дифференциальном уравнении движения тележки использо- использовать соотношение Mv -f m(u + v) = const, где и и v — переменные скорости. 1 пгМ ul пгМ ип Ответ: s =-=• тгт-z--б-. т== 2 M + m F * ь~ т + М F ' 36.11C6.13). Из наконечника пожарного рукава с поперечным сечением 16 см2 бьет струя воды под углом а = 30° к горизонту со скоростью 8 м/с. Определить силу давления струи на вертикальную стену, пренебрегая действием силы тяжести на форму струи и считая, что частицы жидкости после встречи со стеною приобретут скорости, направленные К задаче 36.11 ВДОЛЬ СТеНЫ Ответ: 88,8 Н. 36.12C6.14). Определить горизонтальную составляющую N воз- возникающей при движении воды силы давления на опору колена трубы диаметра d = 300. мм, по которой течет вода со скоростью v =2 м/с. Ответ: N = 284 Н. 36.13C6.15). Вода входит в неподвижный канал переменного сечения, симметричный относительно вертикальной плоскости, со скоростью vo = 2 м/с под углом о&о = 90° к горизонту; сечение ка- канала при входе 0,02 м2; скорость воды у выхода из канала v\ = 276
= 4 м/с и направлена под углом ai =30° к горизонту. Определить модуль горизонтальной составляющей силы, с которой вода дей- действует на стенки канала. Ответ: 138 Н. d К задаче 36.12 К задаче 36.13 К задаче 36.14 36.14C6.17). Определить модуль горизонтальной составляющей силы давления струи воды на неподвижную лопатку турбинного колеса, если объемный расход воды Q, плотность у, скорость по- подачи воды на лопатку v\ горизонтальна, скорость схода воды V2 образует угол а с горизонтом. Ответ: N = yQ (v{ + v2 cos a). § 37. Теорема об изменении главного момента количеств движения материальной системы. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси 37.1C7.1). Однородный круглый диск массы М = 50 кг и ра- радиуса R = 30 см катится без скольжения по горизонтальной пло- плоскости, делая вокруг своей оси 60 об/мин. Вычислить главный мо- момент количеств движения диска относительно осей: 1) проходящей через центр диска перпендикулярно плоскости движения; 2) от- относительно мгновенной оси. Ответ: 1) 14,1 кг-м2/с; 2) 42,3 кг-м2/с. 37.2C7.2). Вычислить главный момент количеств движения ли- линейки АВ эллипсографа в абсолютном движении относительно оси г, совпадающей с осью вращения кривошипа ОС, а также в относительном движении по отношению к оси, проходящей через центр масс С линейки параллельно оси z. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна wz; масса линейки равна т; ОС = АС = ВС= I (см. рисунок к задаче 34.5). Ответ: LOz = LCz = — 37.3C7.3). Вычислить главный момент количеств движения планетарной передачи относительно неподвижной оси г, совпадаю* щей с осью вращения кривошипа ОС$. Неподвижное колесо 1 и 277
подвижное колесо 3 — одинакового радиуса г. Масса колеса 3 равна т. Колесо 2 массы т2 имеет радиус г2. Кривошип вращается с угловой скоростью, проекция которой на ось z равна ©2. Массой кривошипа пренебречь. Колеса счи- считать однородными дисками. Ответ: LOz = m2 Bг + Зг2) + 8т (г + г2) ,_ , _ = 2 1Г ¦ 2' 2* 37.4C7.4). Натяжения ведущей и ведомой ветвей ремня, приводя- к задаче З7.з щего во вращение шкив радиуса г = 20 см, массы М = 3,27 кг, соот- соответственно равны: Т\ = 100 Н, Г2 = 50 Н. Чему должен быть ра- равен момент сил сопротивления для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением 8=1,5 рад/с2? Шкив считать однородным диском. Ответ: 9,8 Н • м. 37.5C7.5). Для определения момента трения в цапфах на вал насажен маховик массы 500 кг; радиус инерции маховика р = = 1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая п = 240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент трения, считая его постоянным. Ответ: 47,1 Н-м. 37.6C7.7). Для быстрого торможения больших маховиков при- применяется электрический тормоз, состоящий из двух диаметральна расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую по- постоянным током. Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полюсов, создают тормозящий момент Ми про- пропорциональный скорости v на ободе маховика: M\=kv> где k — коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров махо- маховика. Момент М2 от трения в подшипниках можно считать постоян- постоянным; диаметр маховика Д момент инерции его относительно оси вращения /. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью ©о. Ответ: Т=ш\п{1+чщ-). 37.7C7.8). Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным мо- моментом, равным М: при этом возникает момент сил сопротивления Mi, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твер- твердого тела: М\ = аш2. Найти закон изменения угловой скорости;, момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен Л a 37.8C7.9). Решить предыдущую задачу в предположении, что момент сил сопротивления М\ пропорционален угловой скорости вращения твердого тела: М\ = асо. 278
Ответ: -^-A —e-at!J). 37.9C7.10). Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длины /, приводится во вра- вращение вокруг вертикальной оси OiO2 с начальной угловой ско- скоростью соо. Сила сопротивления жидкости пропорциональна угло- угловой скорости вращения: R = а/лсо, где m — масса шарика, а — коэффициент пропорциональности. Определить, через какой про- промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов пу которое сделает К задаче 37.9 К задаче 37.10 стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь. Ответ: Т=± „- 37.10C7.11). Определить, с какой угловой скоростью со упадет на землю спиленное дерево массы Af, если его центр масс С рас- расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воз- воздуха создают момент сопротивления тс, причем тсг = —аф2, где а = const. Момент инерции дерева относительно оси г, совпадаю- совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен /. Ответ: &¦ an \ "г+2т)- 2MghJ - + 4<x2 37.11C7.12). Вал радиуса г приводится во вращательное дви- движение вокруг горизонтальной оси гирей, подвешенной посредством троса. Для того чтобы угловая скорость вала через некоторое время после начала движения имела величину, близкую к по- постоянной, с валом соединены п одинаковых пластин; сопротивление воздуха, испытываемое пластиной, приводится к силе, нормальной к пластине, приложенной на расстоянии R от оси вала и пропор- пропорциональной квадрату ее угловой скорости, причем коэффициент пропорциональности равен k. Масса гири /л, момент инерции всех вращающихся частей относительно оси вращения равен /; массой троса и трением в опорах пренебречь. 279
Определить угловую скорость со вала, предполагая, что в на- начальный момент она равна нулю. sat-l _ 2 knR е«* + \ ' ГА6 а~Т+^ Ответ: (о- ^/nignkrR; при до- статочно большом значении t угловая скорость со близка к по- постоянной величине л/- mgr knR ' 37.12C7.15), Упругую проволоку, на которой подвешен одно- однородный шар с радиусом г и массой т, закручивают на угол ф0, а затем предоставляют ей свободно раскручиваться. Момент, не- необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Определить движение, пренебрегая сопротивлением воздуха и считая момент силы упругости закру- закрученной проволоки пропорциональным углу круче- кручения <р. Ответ: ф = <ро cos 37.13C7.16), Часовой балансир А может вра- щаться вокруг оси, перпендикулярной его плоско- плоскости и проходящей через центр тяжести О, имея от- относительно этой оси момент инерции /. Балансир приводится в дви- движение спиральной пружиной, один конец которой с ним скреп- скреплен, а другой присоединен к неподвижному корпусу часов. При повороте балансира возникает момент сил упругости пружины, пропорциональный углу поворота. Момент, необходимый для за- кручивания пружины на один радиан, равен с. Определить закон движения балансира, если в начальный момент в условиях отсут- ствия сил упругости балансиру сообщили на- начальную угловую скорость ©о. к задаче 37.13 I Ответ: Ф = ©о д/~ sin Л/т^ 37.14C7.17). Для определения момента инерции 1г тела А относительно вертикальной оси Oz его прикрепили к упругому вертикаль- вертикальному стержню OOi, закрутили этот стержень, повернув тело А вокруг оси Oz на малый угол фо, и отпустили; период возникших коле- колебаний оказался равным Т\, момент сил упру- упругости относительно оси Oz равен mz = — cq>. Для определения коэффициента с проделали второй опыт; на стер- стержень в точке О был надет однородный круглый диск радиуса г массы М, и тогда период колебаний оказался равным Т2. Опреде- Определить момент инерции тела Jz. г, г Mr2 ( 7\ \2 Ответ: 4 = -о—1 — ) • задаче 37.14 280
37.15C7.18). Решить предыдущую задачу в предположении, что для определения коэффициента с второй опыт проделывают иначе: однородный круглый диск массы М и радиуса г прикрепляется к телу, момент инерции которого требуется определить. Найти мо- момент инерции тела /*, если период колебаний тела ть а период колебаний тела с прикрепленным к нему диском т2- Ответ: ]г = Mr* т Z с л 1 2 t|-tJ 37.16C7.19). Бифилярный подвес состоит из однородного стержня АВ длины 2а, подвешенного горизонтально посредством двух вертикальных нитей длины /-, отстоящих друг от друга на расстоянии 26. Определить период крутильных колебаний стержня, полагая, что стержень в течение всего времени движения остается в горизонтальном положении и натяжение каждой из нитей равно половине веса стержня. Указание При определении горизонтальной со- составляющей натяжения каждой из нитей, считая колеба- колебания бифиляра малыми, заменить синус угла между направ- направлением нити и вертикалью самим углом. т 2яа / / К задаче 37.16 Ответ. у=—т— A/'qJ- 37.17C7.20). Диск, подвешенный к упругой проволоке, совер- совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции диска относительно оси проволоки равен /. Момент, необходимый для закручивания проволоки на один радиан, равен с. Момент сопро- сопротивления движению равен aSco, где a— коэффициент вязкости жидкости, S — сумма площадей верхнего и нижнего оснований ди- диска, со— угловая скорость диска. Определить период колебаний диска в жидкости. Ответ: Т= , ,4я/ 2о2 . У 4с/ — a2S2 37.18C7.22). Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момен- момента тв, причем mBZ = mi sin со* + m3 sin Scot, где mu m3 и со — по- постоянные, a z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки равен тупр, причем тупрг = — ар, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Определить за- закон вынужденных крутильных колебаний твердого тела, если его момент инерции относительно оси z равен /^Силами сопротивле- сопротивления движению пренебречь. Считать, что ^c/Jz Ф со и <у/с/Гг ф Зсо, Ответ: ф = k2 h2_ ^ sin <ot + k2 ^39(q2 sin Зсо/, где k2 = c/J2; 37.19C7.23). Решить предыдущую задачу с учетом момента сил сопротивления тс, пропорционального угловой скорости твердого тела, причем тсг = — Рф, где р — постоянный коэффициент. 281
Ответ: ф = А\ sin (at — ei) + А3 sin C(ot — е3), где 37.20. Диск D, радиус которого равен /?, а масса — Af, подве- подвешен на упругом стержне АВ, имеющем жесткость на кручение с. Конец стержня В вращается по закону фв = (o0t + Ф sin p/, где <оо, D Ф, р — постоянные величины. Пренебрегая силами сопротивления, определить движение диска D: 1) при отсутствии резонанса, 2) при резонансе. В начальный момент диск был неподвижен, а стержень — неде- формирован. Ответ: 1) фл (/) = соо/ — У///Л где v _ ^L sin kt + ^г^-у (sin pt --? sin kt) . MR2 ' 2сФ 2) фл (/) = ©0/ — -^ sin ^+^- (-J- sin А/ — / cos к задаче 37.20 37.21. Твердое тело, подвешенное к упругой про- проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки г равен Jz. Момент сил упругости проволоки mynp z — — Сф, где с — коэффи- коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению пгСг = — РФ, где ф—угловая скорость твердого тела, а Р > 0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол фо и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение дви- движения твердого тела, если -^у- < Л/—- Ответ: Затухающие крутильные колебания по закону Ф = Фо0-я' (cos sin где ** = <://„/i = p/B/e). 37.22. Однородный круглый диск массы М и радиуса /?, подве- подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные коле- колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки тупр г = — сф, где ось z проведена вдоль проволоки, с—коэффициент упругости, а ф — уГол закручивания; момент сопротивления движению пгСг = = —Рф, где ф—угловая скорость диска, а р > 0. В начальный момент диск был закручен на угол фо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения диска, если; 282
Ответ. Апериодическое движение по закону . где я— X где fe2 = 2c/(MR2), n = р/(М/?2). 37.23. Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совер- совершает крутильные колебания под действием внешнего момента тв г = то cos pt, где то и р — положительные постоянные, а г — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости про- проволоки тупр г = —Сф, где с — коэффициент упругости, а <р — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси г равен /2. Силами сопротивления движению пренебречь. Опреде- Определить уравнение движения твердого тела в случаях: 1) л]с\]гФр, 2) л/~ЩТг = ру если в начальный момент при ненапряженной про- проволоке твердому телу была сообщена угловая скорость щ. Ответ: 1) y\Jj^ ф р, <р =-у- sin kt + jrzrp (cos pt — cos kt), где k = s\fc/Tz> A = mo//2; 2) yyj^- = p, y = -j2-smkt+-^tsmkt, где k=s\/j- = pt h = mo/Jz. 37.24. Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подве- подвешенный на упругой проволоке, совершает резонансные крутильные колебания в жидкости под действием внешнего момента тв г = = то sin pt, где т0 и р — положительные постоянные, a z — ось, направленная вдоль проволоки; момент сил упругости проволоки тупр г = —Сф, где с — коэффициент упругости, а ф — угол закру- закручивания; момент сопротивления движению тсг = —Рф, где ер- ерундовая скорость диска, а р > 0. Найти уравнение вынужденных резонансных колебаний диска. V где h = MR29 37.25C7.24). Для определения коэффициента вязкости жидко- жидкости наблюдают колебания диска, подвешенного к упругой прово- проволоке в жидкости. К диску приложен внешний момент, равный Мо sin pt (Mo = const), при котором наблюдается явление резо- резонанса. Момент сопротивления движению диска в жидкости равен aS<o, где a — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма площа- площадей верхнего и нижнего оснований диска, со — угловая скорость диска. Определить коэффициент а вязкости жидкости, если ампли- амплитуда вынужденных колебаний диска при резонансе равна ф0. 283
Ответ: а = —| 37.26C7.26). При полете снаряда вращение его вокруг оси сим- симметрии замедляется действием момента силы сопротивления воз- воздуха, равного &(о, где со — угловая скорость вращения снаряда, k — постоянный коэффициент пропорциональности. Определить за- закон убывания угловой скорости, если начальная угловая скорость равна а>о, а момент инерции снаряда относительно оси симметрии равен /. Ответ: (о = оэ0? у . 37.27C7.27). Для определения ускорения силы тяжести поль- пользуются оборотным маятником, который представляет собой стер- стержень, снабженный двумя трехгранными ножами Л и В. Один из ножей неподвижен, а второй может переме- перемещаться вдоль стержня. Подвешивая стержень то на один, то на другой нож и меняя расстояние АВ между ними, можно добиться равенства периодов качаний маятника вокруг каждого из ножей. Чему равно ускорение силы тяжести, если расстояние между ножами, при котором 11 \ периоды качаний маятника равны, АВ = 1, а период т|# качаний равен Г? Ответ: g = 4n2l/T2. к за аче 37.28C7.28). Два твердых тела могут качаться во- 37.2?че круг одной и той же горизонтальной оси как отдельно друг от друга, так и скрепленные вместе. Определить приведенную длину сложного маятника, если массы твердых тел Mi и М2, расстояния от их центров тяжести до общей оси враще- вращения й\ и а2, а приведенные длины при отдельном качании каждого 1\ и /2. Ответ: /пр = • 37.29. Часть прибора представляет собой однородный стержень длины L, свободно подвешенный одним концом на горизонтальной оси О. Для регистрации качаний стержня к его нижнему концу приклеивается небольшое зеркало массы т. При этом, чтобы ча- частота колебаний стержня не изменилась, на нем в другом месте укрепляется груз Л. Рассматривая зеркало и груз как материаль- материальные точки, найти минимальную массу, которую должен иметь груз Л. На каком расстоянии от оси О его следует прикрепить? Ответ: гпА = Зт, О А = l/zL. 37.30C7.29). Для регулирования хода часов к маятнику массы Мь приведенной длины / с расстоянием а от его центра тяжести до'оси подвеса прикрепляют добавочный груз массы М2 на рас- расстоянии х от оси подвеса. Принимая добавочный груз за мате- материальную точку, определить изменение Д/ приведенной длины маят- маятника при данных значениях М2 и х и значение х = хи при кото- котором заданное изменение А/ приведенной длины маятника дости- достигается при помощи добавочного груза наименьшей массы. 284
Ответ: Приведенную длину маятника надо уменьшить на д. М2х (х — I) _ J_ // i дм М\а + М2х ' 2 37.31C7.30). Для определения момента инерции / данного тела относительно некоторой оси АВ, проходящей через центр масс G тела, его подвесили жестко скрепленными с ним стержнями AD и BE, свободно насаженными на неподвиж- ^ Е ную горизонтальную ось DE, так, что ось АВ параллельна DE; приведя затем тело в колебательное движение, определи- определили продолжительность Т одного размаха. Как велик момент инерции /, если масса тела М и расстояние между осями АВ и DE равно Л? Массами стержней прене- пренебречь. ( Т2 h \ Ответ: J = hMg (-^ — — J • 37.32C7.31). Решить предыдущую задачу с учетом массы тон- тонких однородных прямолинейных стержней AD и BE, если масса каждого из них равна М\. r(Af + M,)g72 3M + 2Mi ,1 Ответ: J = h у ^ 3 J' 37.33C7.32). Для определения момента инерции шатуна его за- заставляют качаться вокруг горизонтальной оси, продев через втул- втулку цапфы крейцкопфа тонкий цилиндрический стержень. Продол- Продолжительность ста размахов 100Г= 100 с, где Т — половина периода. К задаче 37.31 К задаче 37.33 Затем для определения расстояния АС = h центра масс С от цент- центра А отверстия шатун положили горизонтально, подвесив его в точке А к талям и оперев точкой В на платформу десятичных ве- весов; давление на нее оказалось при этом равным Р. Определить центральный момент инерции / шатуна относительно оси, перпен- перпендикулярной плоскости рисунка, имея следующие данные: масса шатуна М, расстояние между вертикалями, проведенными через точки А и В (см. правый рисунок) равно /, радиус цапфы крейц- крейцкопфа г, 285
Так как должно быть ОС 37.34C7.33). Маятник состоит из стержня АВ с прикрепленным к нему шаром массы т и радиуса г, центр которого С находится на продолжении стержня. Определить, пренебрегая массой стерж- * ня, в какой точке стержня нужно поместить ось подвеса П для того, чтобы продолжительность одного размаха при о(°) малых качаниях имела данную величину Г. Ответ: ОС = ^ (gl* + ^/g2P - 1,6я4г2 ). г, то решение возможно, если Т2 ^ 1,4— г; решение, соответствующее знаку минус перед радика- радикалом, невозможно. 37.35C7.34). На каком расстоянии от центра масс должен быть подвешен физический маятник, чтобы пе- период его качаний был наименьшим? Ответ: На расстоянии, равном радиусу инерции ма- маятника относительно оси, проходящей через его центр масс пер- перпендикулярно плоскости качаний. 37.36C7.35). Маятник состоит из стержня с двумя закреплен- закрепленными на нем грузами, расстояние между которыми равно /; верх- верхний груз имеет массу пг\, нижний — массу пг2. Определить, на ка- каком расстоянии х от нижнего груза нужно поместить ось подвеса для того, чтобы период малых качаний маятника был наимень- наименьшим; массой стержня пренебречь и грузы считать материальными точками. Ответ: х- 37.37C7.36). На каком расстоянии от оси подвеса должен быть присоединен к физическому маятнику добавочный груз, чтобы пе- период качаний маятника не из- изменился? Ответ: На расстоянии при- приведенной длины физического маятника. 37.38C7.37). Круглый ци- цилиндр массы М, длины 2/ и ра- радиуса г = 1/6 качается около оси О, перпендикулярной пло- плоскости рисунка. Как изменится период качаний цилиндра, если прикрепить к нему на рас- К задаче 37.38 К задаче 37.39 СТОЯНИИ ОК = 85/72/ ТОЧеЧНуЮ массу т? Ответ: Период качаний не изменится, так как точечная масса добавлена в центре качаний цилиндра. 37.39C7.38). Найти уравнение малых колебаний однородного диска массы М и радиуса г, совершающего колебания вокруг го* 286
ризонтальной оси Oz, перпендикулярной его плоскости и отстоя- отстоящей от центра масс С диска на расстоянии ОС = г/2. К диску приложен вращающий момент твр, причем тВр г = то sin pt% где т0 и р — постоянные. В начальный момент диску, находившемуся в нижнем положении, была сообщена угловая скорость о>о. Силами сопротивления пренебречь. Считая колебания малыми, принять sin ф « ф. /^ ( ) sin kt + Ответ: 1) При р ф д/^Г Ф = Т (^ — у- г—s-sin/?/, где k=s\/-g., Л = 4m0 2) при p = д/-|г ф = у (со0 + -A-) sin p/ - ^t cos p/, где 37.40C7.39). В сейсмографах — приборах для регистрации зем- землетрясений— применяется физический маятник, ось подвеса кото- которого образует угол а с вертикалью. Расстояние от оси подвеса до центра масс маятника равно а, момент инерции маятника отно- относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно оси подвеса, равен /с, масса маятника равна М. Определить период колебаний маятника. Ответ: Т = \ Mag sin a ' 37.41C7.40). В1 вибрографе для записи горизонтальных колеба- колебаний фундаментов машин маятник О А, состоящий из рычага с гру- грузом на конце, может качаться вокруг своей горизонтальной оси О, удерживаясь в вертикальном положении устойчивого равновесия собственной массой и спиральной пружиной. Опре- Определить период собственных колебаний маятника при малых углах отклонения, если максимальный статический момент силы тяжести маятника отно- относительно его оси вращения равен Mgh, момент инерции относительно той же оси равен Jz, коэф- коэффициент жесткости пружины, сопротивление кото- которой пропорционально углу закручивания, равен с; при равновесном положении маятника пружина находится в ненапряженном состоянии. Сопротив- Сопротивлениями пренебречь. Ответ: Т = \ К задаче 37.41 С + Mgh ' 37.42C7.41). Виброграф (см. предыдущую задачу) закреплен на фундаменте, совершающем горизонтальные гармонические ко- колебаний по закону х = a sin со/. Определить амплитуду а колеба- колебаний фундамента, если амплитуда вынужденных колебаний маят- маятника вибрографа оказалась равной фо. 287
Ответ: а= 37.43C7.42). При пуске в ход электрической лебедки к бара- барабану А приложен вращающий момент твр, пропорциональный вре- времени, причем mBp = aty где а — постоянная. Груз В массы М\ под- поднимается посредством каната, навитого на барабан А радиуса г и массы М2. Определить угловую скорость барабана, считая его сплошным цилиндром. В начальный момент лебедка находилась в покое. Отаст. ю_ (at- 37.44C7.43). Для определения момента инерции / махового ко- колеса А радиуса R относительно оси, проходящей через центр масс, колесо обмотали тонкой проволокой, к которой привязали гирю В •У///Л щ * Z 4' К задаче 37.43 К задаче 37.44 К задаче 37.45 массы М\ и наблюдали продолжительность Т\ опускания гири с высоты А. Для исключения трения в подшипниках проделали вто- второй опыт с гирей массы Мг, причем продолжительность опускания оказалась равной Т% при прежней высоте. Считая момент силы трения постоянным и не зависящим от массы гири, вычислить мо- момент инерции /. Ответ. J = R2- J 1_ 37.45C7.44). К валу / присоединен электрический мотор, вра- вращающий момент которого равен ш\. Посредством редуктора ско- скоростей, состоящего из четырех зубчатых колес /, 2, 3 и 4, этот вращающий момент передается на шпиндель /// токарного станка, к которому приложен момент сопротивления тг (этот момент воз- возникает при снятии резцом стружки с обтачиваемого изделия). Определить угловое ускорение шпинделя ///, если моменты инер-
ции всех вращающихся деталей, насаженных на валы /, // и ///, соответственно равны Ju /и, /ш. Радиусы колес равны г\9 г2, г3 и г4* I • 1*»г л "~Г" "IT I *^Q A I™ "ТТ! • 1 ' Ч \ll,Zll/Of 4*111 1 О 37.46C7.45). Барабан А массы М\ и радиуса г приводится во вращение посредством груза С массы М2, привязанного к концу нерастяжимого троса. Трос перебро- переброшен через блок В и намотан на ба- (f?)s рабан А. К барабану А приложен момент сопротивления тс, пропор- пропорциональный угловой скорости бара- барабана; коэффициент пропорциональ- пропорциональности равен а. Определить угловую тЧг< скорость барабана, если в началь- •—' НЫЙ МОМеНТ СИСТема наХОДИЛаСЬ В К задаче 37.46 покое. Массами каната и блока В пренебречь. Барабан считать сплошным однородным цилин- цилиндром. Ответ: оэ = —^-A—е~&), где В = »,,,—, пАЛ ч ; lim ©== = const. 37.47C7.46). Определить угловое ускорение ведущего колеса автомашины массы М и радиуса г, если к колесу приложен вра- вращающий момент твР. Момент инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс С перпендикулярно плоскости мате- материальной симметрии, равен /с; /к — коэффициент трения качения, FTP — сила трения. Найти также значение вращающего момента, при котором колесо катится с постоянной угловой скоростью. Ответ: e= m*>-Mf*-p4r , mBP = MgfK + FTpr- С 37.48C7.47). Определить угловую скорость ведомого автомо- автомобильного колеса массы М и радиуса г. Колесо, катящееся со сколь* жением по горизонтальному шоссе, приводится в движение по- посредством горизонтально направленной силы, приложенной в его центре масс С. Момент инерции колеса относительно оси С, пер* пендикулярной плоскости материальной симметрии, равен /с; /к — коэффициент трения качения, /—коэффициент трения при каче- качении со скольжением. В начальный момент колесо находилось в покое. Ответ: ^-jZ-ifr-fJt. Jc 37.49C7.48). Изменится ли угловая скорость колеса, рассмот- рассмотренного в предыдущей задаче, если модуль силы, приложенной в его центре масс С, увеличится в два раза? Ответ: Не изменится. Ю И. В. Мещерский . 289
37.50C7.49). Через блок, массой которого пренебрегаем, пере- перекинут канат; за точку А каната ухватился человек, к точке В под- подвязан груз одинаковой массы с человеком. Что произойдет с гру- грузом, если человек станет подниматься по канату со скоростью v относительно каната? Ответ: Груз будет подниматься с канатом со ско- скоростью v/2. 37.51C7.50). Решить предыдущую задачу, прини- принимая во внимание массу блока, которая в четыре раза меньше массы человека. Считать, что масса блока равномерно распределена по его ободу. Ответ: Груз будет подниматься со скоростью -г- v. у 37.52C7.51). Круглая горизонтальная платформа может вращаться без трения вокруг неподвижной оси Ог, проходящей через ее центр О; по платформе на неизменном расстоянии от оси Oz> равном г, идет с по- постоянной относительной скоростью и человек, масса которого равна М\. С какой угловой скоростью со будет при этом вра- вращаться платформа вокруг оси, если массу ее М2 можно считать равномерно распределенной по площади круга радиуса R, а в начальный момент платформа и человек имели скорость, равную нулю? 2М,г К задаче 37.50 Ответ: © = • ¦и. 2и и 37.53C7.52). Круглая горизонтальная платформа вращается без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр масс с постоянной угловой скоростью соо; при этом на платформе стоят четыре человека одинаковой мас- массы: два — на краю платформы, а два — на расстояниях от оси вра- вращения, равных половине радиуса платформы. Как изменится угло- угловая скорость платформы, если люди, стоящие на краю, будут двигаться по окружности в сто- сторону вращения с относительной линейной скоростью н, а люди, стоящие на'расстоянии половины радиуса от оси вращения, будут двигаться по окружности в про- противоположную сторону с относительной линейной скоростью 2и? Людей считать точечными массами, а платформу — круглым од- однородным диском. Ответ: Платформа будет вращаться с той же угловой ско- скоростью. 37.54C7.53). Решить предыдущую задачу в предположении, что все люди двигаются в сторону вращения платформы. Радиус плат- платформы /?, ее масса в четыре раза больше массы каждого из людей и равномерно распределена по всей ее площади. Выяснить также, ж К задаче 37.53 290
чему должна быть равна относительная линейная скорость и для того, чтобы платформа перестала вращаться. Ответ: (о1 = ш0 — у-~, ы = у 37.55C7.54). Человеку, стоящему на скамейке Жуковского, в то время, когда он протянул руки в стороны, сообщают начальную угловую скорость, соответствующую 15 об/мин; при этом момент инерции человека и скамейки относительно оси вращения равен 0,8 кг-м2. С какой угловой скоростью начнет вращаться скамейка с человеком, если, приблизив руки к туловищу, он уменьшит мо- момент инерции системы до 0,12 кг-м2? Ответ: 100 об/мин. 37.56C7.56). Горизонтальная трубка CD может свободно вра- вращаться вокруг вертикальной оси АВ. Внутри трубки на расстоянии МС = а от оси находится шарик М. В некоторый момент времени трубке сообщается начальная угло- вая скорость со0. Определить угло- угловую скорость со трубки в момент, С fc ¦ ^"^тг когда шарик вылетит из трубки. В К задаче 37.56 К задаче 37.57 Момент инерции трубки относительно оси вращения равен /, L — ее длина; трением пренебречь, шарик считать материальной точкой массы т. J + ma2 Ответ: со = ¦ 37.57C7.57). Однородный стержень АВ длины 2L = 180 см и массы Mi = 2 кг подвешен в устойчивом положении равновесия на острие так, что ось его горизонтальна. Вдоль стержня могут пере- перемещаться два шара массы М2 = 5 кг каждый, прикрепленные к концам двух одинаковых пружин. Стержню сообщается враща- вращательное движение вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, соответствующей п\ = 64 об/мин, причем шары расположены сим- симметрично относительно оси вращения и центры их с помощью нити удерживаются на расстоянии 2/i=72 см друг от друга. Затем нить пережигается, и шары, совершив некоторое число колебаний, устанавливаются под действием пружин и сил трения в положение равновесия на расстоянии 2/г = 108 см друг от друга. Рассматри- Рассматривая шары как материальные точки и пренебрегая массами пружин, определить новое число пг оборотов стержня в минуту. 10* 291
Ответ: щ = 6M2/?+Af,L2 rt\ — 34 об/мин. 37.58C7.58). Тележка поворотного подъемного крана движется с постоянной скоростью v относительно стрелы. Мотор, вращаю- вращающий кран, создает в период разгона постоянный момент, равный то. Определить угловую скорость © вращения крана в зависимости от расстояния х тележки до оси вращения АВ, если масса тележки с грузом равна М, / — момент инерции крана (без тележки) относительно оси вращения; вращение на- начинается в момент, когда тележка находится на расстоянии хо от оси АВ. ^ пг0 х — Хл Ответ: а>=/ + ^ , °- к задаче 37.58 37.59C7.59). Сохранив условие предыдущей за- задачи, определить угловую скорость (о вращения крана, если мотор создает вращающий момент, равный то — асо, где то и а — положительные постоянные. Ответ: со = - /7*0 Мх2) -ц arctg -r dx, / где &=д/лГ ji== Тр (ось х направлена вправо вдоль стрелы). § 38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы 38.1C8.1). Вычислить кинетическую энергию плоского механиз- механизма, состоящего из трех стержней АВ, ВС и CD, прикрепленных цилиндрическими шарнирами А и D к потолку и соединенных ме- между собой шарнирами В и С. Масса каждого из стержней АВ В К задаче 38.2 и CD длины / равна М\, масса стержня ВС равна М2, причем ВС = AD. Стержни АВ и DC вращаются с угловой скоростью со. Ответ: Т= 38.2C8.2). Однородный тонкий стержень АВ массы М опи- опирается на угол D и концом А скользит по горизонтальной направ- направляющей. Упор Е перемещается вправо с постоянной скоростью v+ Определить кинетическую энергию стержня в зависимости от, 292
угла ф, если длина стержня равна 2/, а превышение угла D на я горизонтальной направляющей равно Н. Ответ: r = 38.3C8.3). Вычислить кинетическую энергию кулисного меха- механизма, если момент инерции кривошипа ОА относительно оси вра- вращения, перпендикулярной плоскости рисунка, равен /о; длина кри- кривошипа равна а, масса кулисы рав- равна /л, массой камня А пренебречь. Кривошип ОА вращается с угловой скоростью со. При каких положе- положениях механизма кинетическая энер-' гия достигает наибольшего и наи- наименьшего значений? Ответ: Г = у G0 + ma2 sin2 <p) <о2. Наименьшая кинетическая энер- энергия — при крайних положениях кулисы, наибольшая — при про- прохождении кулисой среднего положения. 38.4C8.4). Вычислить кинетическую энергию гусеницы трак- гора, движущегося со скоростью v$. Расстояние между осями К задаче 38.3 К задаче 38.4 К задаче 38.5 колес равно /, радиусы колес равны г, масса одного погонного метра гусеничной цепи равна у. Ответ: Т = 2у(l + nr)v0. 38.5C8.5). Вычислить кинетическую энергию кривошипно-пол- зунного механизма, если масса кривошипа ти длина кривошипа г, масса ползуна тг, длина шатуна /. Массой шатуна пренебречь. Кривошип считать однородным стержнем. Угловая скорость вра- вращения кривошипа о. Ответ: r-ifl I flmI + mir I L -(т) sin2(pJ) W. 38.6C8.6). Решить предыдущую задачу для положения, когда кривошип ОА перпендикулярен направляющей ползуна; учесть массу шатуна т3. Ответ: Т = -^ (-j mx + щ + m3) г2©2. 38.7C8.7). Планетарный механизм, расположенный в горизон- горизонтальной плоскости, приводится в движение кривошипом ОА, со- 293
единяющим оси трех одинаковых колес /, // и ///. Колесо / не- неподвижно; кривошип вращается с угловой скоростью со. Масса каждого из колес равна Ми радиус каждого из колес равен г, масса кривошипа равна М2. Вычислить кинетическую энергию ме- механизма, считая колеса однородными ди- дисками, а кривошип — однородным стерж- стержнем. Чему равна работа пары сил, прило- приложенной к колесу III? Ответ: Т = работа К задаче 38.7 ° равна нулю. 38.8C8.8). Мельничные бегуны А и В насажены на горизон- горизонтальную ось CD, которая вращается вокруг вертикальной оси EF; масса каждого бегуна 200 кг; диаметры бегунов одинаковы, каж- каждый равен 1 м; расстояние между ними CD равно 1 м. Найти К задаче 38.8 К задаче 38.9 кинетическую энергию бегунов, когда ось CD совершает 20 об/мин, допуская, что при вычислении моментов инерции бегуны можно рассматривать как однородные тонкие диски. Качение бегунов по опорной плоскости происходит без скольжения. Ответ: 383 Н-м. 38.9C8.9). В кулисном механизме при качании рычага ОС во- вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, ползун А, пере- перемещаясь вдоль рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вертикальных направляющих К. Рычаг ОС длины R считать однородным стержнем с мас- массою пг\, масса ползуна равна /пг, масса стержня АВ равна тз, ОК = /. Выразить кинетическую энергию ме- механизма в функции от угловой скоро- скорости и угла поворота рычага ОС. Пол- Ползун считать точечной массой. К задаче 38.10 Ответ: Т = [mxR2 cos4 q> + ЪР (т2 + щ)\. 38.10C8.10). Вычислить кинетическую энергию системы, со- состоящей из двух колес, соединенных паровозным спарником АВ и стержнем O1O2, если оси колес движутся со\ скоростью vo. Масса каждого колеса равна Мх. Спарник АВ и соединительный стер- 294-
экень 0\02 имеют одинаковую массу М2. Масса колес равномерно распределена по их ободам; О\А = О2В = г/2, где г — радиус ко- колеса. Колеса катятся без скольжения по прямолинейному рельсу* 2 Ответ: Т = -j- [16^ + М2 (9 + 4 sin q>)]. 38.11C8.11). Автомобиль массы М движется прямолинейно по горизонтальной дороге со скоростью v. Коэффициент трения каче- качения между колесами автомобиля и дорогой равен /к, радиус ко- колес /-, сила аэродинамического сопротивления Rc воздуха пропор- пропорциональна квадрату скорости: Rc = \\Mgv2, где \л—коэффициент, зависящий от формы автомобиля. Определить мощность N двига- двигателя, передаваемую на оси ведущих колес, в установившемся ре- режиме. Ответ: N = Mg {Jf- + \iv2} v. 38.12. Машина массы М для шлифовки льда движется равно- равномерно и прямолинейно со скоростью v по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С указано на рисунке. Вычислить мощность N двигателя, передаваемую на оси колес радиуса г, если /к — коэффи- коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а / — коэффициент трения скольжения между шлифующей кромкой А и льдом. Колеса катятся без скольжения. _ .. Ms /no , /к Л К задаче 38.12 Ответ: ЛГ = —f-^lf + ^Jv. 38.13C8.12). На вал диаметра 60 мм насажен маховик диамет- диаметра 50 см, делающий 180 об/мин. Определить коэффициент трения скольжения f между валом и подшипниками, если после выклю- выключения привода маховик сделал 90 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Мас- Массой вала пренебречь. Ответ: I = 0,07. 38.14C8.13). Цилиндрический вал диаметра 10 см и массы 0,5 т, на который насажено маховое колесо диаметра 2 м и массы 3 т, вращается в данный момент с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сде- сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу. Ответ: 109,8 об. 38.15C8.14). Однородный стержень О А длины / и массы М мо- может вращаться вокруг горизонтальной неподвижной оси О, про- проходящей через его конец перпендикулярно плоскости рисунка. Спи- Спиральная пружина, коэффициент упругости которой равен с, одним концом скреплена с неподвижной осью О, а другим — со стерж- стержнем. Стержень находится в покое в вертикальном положении, при- 295
чем пружина при этом не деформирована. Какую скорость надо сообщить концу А стержня для того, чтобы он отклонился от вер- вертикали на угол, равный 60°? Ответ : v=V 2п2с) ем 38.16C8.16). К концам гибкой нерастяжимой нити, переброшен- переброшенной через ничтожно малый блок Д подвешены два груза. Груз массы Мх может скользить вдоль гладкого вертикаль- вертикального стержня CD, отстояще- отстоящего от оси блока на расстоя- расстоянии а\ центр тяжести этого груза в начальный момент находился на одном уровне с осью блока; под действи- действием силы тяжести этот груз , начинает опускаться без на- начальной скорости. Найти зависимость между ско- скоростью первого груза и вы- высотой его опускания А. Масса второго груза рав- равК задаче 38.15 Ответ: v^ К задаче 38.16 на М. - /г2) + ЛГ/г2 # 38.17C8.17). Груз Р массы М с наложенным на него дополни- дополнительным грузом массы М\ посредством шнура, перекинутого че- через блок, приводит в движение из состояния покоя тело А массы Мг, находящееся на негладкой горизонтальной плоскости ВС. Опу- стившись на расстояние su ~А Р ZISl/z груз М проходит через кольцо D, которое снимает дополни- дополнительный груз Ми после чего груз М, опустившись на рас- расстояние 52, приходит в состоя- состояние покоя. Определить коэф- коэффициент трения f между те- телом А и плоскостью, пренебрегая массой щнура и блока и трением в блоке; дано М2 = 0,8 кг, М = Мх = 0,1 кг, sx = 50 см, s2 = 30 см. К задаче 38.17 38.18C8.18). Однородная нить длины L, часть которой лежит на гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить промежуток времени Г, по истечении которого нить покинет стол, если известно, что в начальный момент длина свешивающейся ча- части равна /, а начальная скорость равна нулю4 296
38.19C8.19). Однородная нить длины 2а, висевшая на гладком штифте и находившаяся в покое, начинает двигаться с начальной скоростью Vo. Определить скорость нити в тот момент, когда она сойдет со штифта. Ответ: v — <\Jag + ®1- 38.20C8.20). Транспортер приводится в движение из состояния покоя приводом, присоединенным к нижнему шкиву В. Привод со- сообщает этому шкиву постоянный вращающий момент М. Опреде- Определить скорость ленты транспортера v в зависимости от ее переме- перемещения s, если масса поднимаемого груза А равна Ми а шкивы В и С радиуса г и массы М2 каждый представляют собой однородные круг- круглые цилиндры. Лента транспортера, массой которой следует пренебречь, образует с горизонтом угол а. Сколь- Скольжение ленты по шкивам отсутствует. Ответ: V = А/ ^ ,,/ л/ ' S. К задаче 38.20 38.21C8.21). Горизонтальная трубка CD может свободно вра- вращаться вокруг вертикальной оси АВ (см. рисунок к задаче 37.56). Внутри трубки на расстоянии МС = х0 от оси лежит тело М. В некоторый момент времени трубке сообщена начальная угловая скорость ©о. Определить скорость v тела М относительно трубки в момент, когда тело вылетит из трубки. Момент инерции трубки относи- относительно оси вращения равен /, L — длина трубки; трением прене- пренебречь. Тело считать материальной точкой массы т. Указание. Воспользоваться ответом к задаче 37.56. Ответ: v = щ д/ ?{^| {U - *•). 38.22C8.22). По горизонтальной платформе Л, движущейся при отсутствии трения, перемещается тело В с постоянной относитель- относительной скоростью Но (см. рисунок к задаче 36.9). При затормажива- затормаживании тела В между ним и платформой А возникают силы трения. Определить работу внутренних сил трения между телом В и плат- платформой А от момента начала торможения до полной остановки тела В относительно платформы Л, если их массы соответственно равны m и М. Указание. Воспользоваться ответом задачи 36.9. 38.23C8.23). С помощью электромотора лебедки к валу бара- барабана А радиуса г и массы М\ приложен вращающий момент твР, 297
пропорциональный углу поворота ф барабана, причем коэффициент пропорциональности равен а (см. рисунок к задаче 37.43). Опре- Определить скорость поднимаемого груза В массы М2 в зависимости от высоты его подъема h. Барабан А считать сплошным цилиндром., Массой троса пренебречь. В начальный момент система находи- находилась в покое. Ответ: v = 38.24C8.24). На рисунке изображен подъемный механизм ле- лебедки. Груз А массы Mi поднимается посредством троса, перебро- переброшенного через блок С и навитого на барабан В радиуса г и массы М2. К барабану приложен вращающий мо- момент, который с момента включения г-Чл пропорционален квадрату угла пово- ([ А I рота ф барабана: тВр = #ф2, где а — ьЛ\ ч /я постоянный коэффициент. Определить скорость груза А в момент, когда он к задаче 38.24 поднимается на высоту h. Массу бара- барабана В считать равномерно распре- распределенной по его ободу. Блок С — сплошной диск массы Л43. Массой троса пренебречь. Ь начальный момент система находилась в покое. 0TeeT.v=J. 4*(«*--_8«1ЯН) 38.25C8.25). Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси ко- колеса радиуса г для того, чтобы оно, катясь без скольжения, под- поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом? Коэффициент трения качения равен /к. Колесо тать однородным диском. Ответ: v = "% 38.26C8.26). Два цилиндра одинаковой массы и радиуса ска- скатываются без скольжения по наклонной плоскости. Первый ци- цилиндр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равно- равномерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в покое. Ответ: Vcjvi = V^/2. 38.27C8.27). Эпициклический механизм, расположенный в го- горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния по- покоя посредством постоянного вращающего момента L, приложен- приложенного к кривошипу ОА. Определить угловую скорость кривошипа в зависимости от его угла поворота, если неподвижное колесо / имеет радиус ги подвижное колесо // — радиус г2 и массу Ми а
кривошип О А — массу М2. Колесо // считать однородным диском, а кривошип — однородным стержнем. Ответ: со = ;— 9М{ + 2М2' 38.28C8.28). В кулачковом механизме, расположенном в гори- горизонтальной плоскости, эксцентрик А приводит в возвратно-поступа- возвратно-поступательное движение ролик В со штангой D. Пружина ?, соединенная К задаче 38.27 со штангой, обеспечивает постоянный контакт ролика с эксцентри- эксцентриком. Масса эксцентрика равна Af, эксцентриситет е равен поло- половине его радиуса; коэффициент упругости пружины равен с. При крайнем левом положении штанги пружина не напряжена. Какую угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу D из крайнего левого в крайнее правое поло- положение? Массой ролика, штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик считать однородным круглым диском. Ответ: @ = 2 л/с/(ЗЛ4). 38.29C8.29). Какой путь проедет велосипедист не вращая пе- педалями до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью 9 км/ч? Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 80 кг. Масса каждого из колес равна 5 кг; массу каждого из колес считать равномерно распределенной по окружности радиуса 50 см. Коэффициент трения качения колес о землю равен 0,5 см. Ответ: 35,6 м. 38.30C8.31). Груз А массы Ми опускаясь вниз, при помощи троса, перекинутого через неподвиж- неподвижный блок D, поднимает вверх груз В массы М2, прикрепленный к оси подвижного блока С. Блоки С и D считать однородными сплошными дисками массы М3 каждый. Определить скорость груза А в момент, когда он опустится на высоту h. Массой троса, проскальзыванием по ободам блоков и си- силами сопротивления пренебречь. В начальный момент система на* ходилась в покое. А С х К задаче 38.30 Ответ: v = 2 /\J2gh - + 2M2 + 29Э
38.31C8.32). К ведущему колесу — барабану А — снегоочисти- снегоочистителя приложен постоянный вращающий момент т. Массу бараба- барабана А можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега D, щита В и всех прочих поступательно движущихся частей постоянна и равна Мг. Коэффициент трения скольжения снега и щита о землю равен /, коэффи- коэффициент трения качения барабана о землю равен /к. Масса барабана равна М\9 его радиус г. к задаче 38.31 Определить зависимость между путем 5, пройденным щитом В снегоочистителя, и модулем его скорости v, если в начальный момент система на- находилась в покое. 2М1 + М2 о S ~ 2 38.32C8.33). Скорость автомашины, движущейся по прямой го- горизонтальной дороге/возросла от V\ до v2 за счет увеличения мощ- мощности мотора. При этом был пройден путь s. Вычислить работу, совершенную мотором на этом перемещении автомашины, если Mi — масса каждого из четырех колес, М2 — масса кузова, г — радиус колес, /к — коэффициент трения качения колес о шоссе* Колеса, катящиеся без скольжения, считать однородными сплош- сплошными дисками. Кинетической энергией всех деталей, кроме колес и кузова, пренебречь. Ответ: А = Ц (of - v*) + Ц- {Шх + М2) gs. 38.33C8.34). Стремянка ABC с шарниром В стоит на гладком горизонтальном полу, длина АВ = ВС = 21, центры масс находятся в серединах D и Е стержней, ра- радиус инерции каждой лестницы относительно оси, проходящей че- через центр масс, равен р, расстоя- расстояние шарнира В от пола равно ft. В некоторый момент времени стремянка начинает падать вслед- вследствие разрыва стержня FG. Пре- Пренебрегая трением в шарнире, определить: 1) скорость точки В в момент удара ее о пол; 2) скорость точки В в тот момент, когда расстояние ее от пола будет равно ft/2. К задаче 38.33 К задаче 38.34 Ответ: 1)о = 2) v = у 16/2 - И2 38.34C8.35). Стержень АВ длины 2а падает, скользя концом А по гладкому горизонтальному полу. В начальный момент стер- стержень занимал вертикальное положение и находился в покое. Опре- Определить скорость центра масс стержня в зависимости от его вы- высоты ft над полом. 300
Ответ: v = (a- 38.35C8.36). В дифференциальном вороте два жестко соединен- соединенных вала /Ci и /С2 с радиусами п и г2 и моментами инерции отно- относительно оси OiO2 соответственно J\ и /2 приводятся во вращение рукояткой АВ. Подвижный блок С подвешен на невесомой нерастяжи- нерастяжимой нити, левая ветвь которой на- навита на вал Ки а правая ветвь — на вал /С2. При вращении рукоятки АВ левая ветвь нити сматывается с вала Ки а правая ветвь наматы- наматывается на вал /B. К рукоятке АВ приложен постоянный вращающий момент т. К блоку С подвешен груз D массы М. Найти угловую ско- скорость вращения рукоятки в момент, соответствующий концу подъема груза D на высоту s. В началь- начальный момент система находилась в покое. Массами рукоятки и блока пренебречь. К задаче 38.35 Ответ: со = 2 л/ V 2s 2m — Mg(r2 — (r2-ri)[Af(r,-n)«- 38.36C8.37). Ворот приводится в движение посредством ремен- ременной передачи, соединяющей шкив //, сидящий на валу ворота, со шкивом /, сидящим на валу мотора. К шкиву / массы М\ и ра- радиуса г приложен постоянный вращающий момент т. Масса шки- шкива // равна М2, радиус его R. Масса барабана ворота М3, радиус его г, масса поднимаемого груза М4. Ворот приводится в движение из состояния покоя. Найти скорость груза в момент, когда он поднимается на высоту А. Массами ремня, каната и трением в подшипниках пренебречь. Шкивы и барабан считать однородными круг- круглыми цилиндрами. Ответ: - M4g) К задаче 38.36 Af, (R/rJ + M2 (R/rJ + М3 + 2М4 * 38.37C8.38). Решить предыдущую задачу, принимая во внима- внимание массу каната, к которому привязан груз. Длина каната /, масса единицы длины каната М. В начальный момент с вала ба- барабана ворота свисала часть каната длиной 2/г. Ответ: v = 2 h (mR/r2 - M4g - (R/rJ + M2 (R/rJ + Mз + 2M4 + 2M/ ' 38.38C8.39). Постоянный вращающий момент L приложен к барабану ворота радиуса г и массы Мх. К концу А намотанного на 301
барабан троса привязан груз массы М2, который поднимается по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан ворота, повернувшись на угол ф? Коэффициент трения скольжения груза о наклонную плоскость равен /. Массой троса прене- пренебречь, барабан считать однородным круг- круглым цилиндром. В начальный момент си- система была в покое. Ответ: 2 <D = — (sin а + / cos а) Mi +2M2 *' 38.39C8.40). Решить предыдущую за- задачу с учетом массы троса, к которому к задаче 38.38 привязан груз. Длина троса равна /, масса единицы длины троса равна М. В начальный момент с барабана ворота свисала часть троса дли- длиной а. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь. 2L—2M2gr(sma — rqp) sin a 38.40C8.41). К барабану ворота радиуса г\ и массы М\ прило- приложен постоянный вращающий момент L. К концу троса, намотан- намотанного на барабан, прикреплена ось С колеса массы М2. Колесо катится без скольжения вверх по наклонной плоскости, располо- расположенной под углом а к горизонту. Ка- Какую угловую скорость приобретет ба- барабан, сделав п оборотов? Барабан и колесо считать однородными круглыми цилиндрами. В начальный момент си- система находилась в покое. Массой троса и трением пренебречь. Ответ: К задаче 38.40 Т\ V sin a Mi + ЪМ 2 38.41C8.42). Решить предыдущую задачу с учетом массы троса и трения качения колеса о наклонную плоскость, если I — длина троса, М — масса его единицы длины, а—длина части троса, не намотанной на барабан в начальный момент /к — коэффициент трения качения, г2 — радиус колеса. Изменением потенциальной энергии троса, намотанного на барабан, пренебречь. Ответ: л у\ / L — rig|Af2 ( sin a + — cos a ) + M (a — nnr{) sin a I T\ M\ + 0M2 + 2MI 38.42C8.43). Колесо А скатывается без скольжения по наклон- наклонной плоскости О/С, поднимая посредством нерастяжимого троса колесо В, которое катится без скольжения по наклонной плоско» 302
в сти ON. Трос переброшен через блок С, вращающийся вокруг не- неподвижной горизонтальной оси О. Найти скорость оси колеса А при ее перемещении параллельно линии ОК на расстояние s. В начальный момент система была в покое. Оба колеса и блок считать однородными дисками одина- одинаковой массы и радиуса. Массой троса пренебречь. Ответ: v = 2 s\J-j-gs {sin a — sin p) . 38.43.C8.44). Решить предыдущую задачу, принимая во внимание тре- трение качения колес о наклонные пло- плоскости. Коэффициент трения качения равны г. N К задаче 38.42 равен /к, радиусы колес Ответ. v=2 д/^-^5[sina — sin p — -^- (cosa + cos 38.44C8.45). К грузу А массы М\ прикреплена нерастяжимая нить, переброшенная через блок D массы Мч и намотанная на боковую поверхность цилиндрического катка В массы Л1з. При движении груза А вниз по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту, вращается блок D, а каток В катится без скольжения вверх по наклонной плоско- плоскости, образующей с горизон- горизонтом угол р. Определить скорость груза А в зависимости от пройденного им пути s, если в начальный момент систе- система находилась в покое. Блок D и каток В считать однородными Силами трения и массой нити пренебречь. К задаче 38.44 круглыми цилиндрами. Ответ: v = 2 2М1 sin a — Mz sin 6 предыдущую задачу 38.45C8.46). Решить предыдущую задачу в предположении, что коэффициенты трения скольжения и качения соответственно равны / и /к. Радиус катка В равен г. V2MX (sin а — / cos а) — Af3 (sin p + -^-cos $) 2gs ш +4М _Гт - —. 38.46C8.47). Груз массы М подвешен на нерастяжимом одно- однородном тросе длины /, навитом на цилиндрический барабан с го- горизонтальной осью вращения. Момент инерции барабана относи- относительно оси вращения /, радиус барабана R, масса единицы длины каната т. Определить скорость груза в момент, когда длина сви- 303
сающей части каната равна х, если в начальный момент скорость груза Уо = О, а длина свисающей части каната была равна х0; трением на оси барабана, толщиной троса и изменением потен- потенциальной энергии троса, навитого на барабан, пре- пренебречь. Ответ- v — R л / g [Ш + m {х + Хо)] (х ~Хо) итвет. v — K<y J + (M+ml)jR2 38.47C8.48). Груз А массы Мх подвешен к одно- однородному нерастяжимому канату длины L и массы М2. Канат переброшен через блок В, вращающийся вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисун- рисунка. Второй конец каната прикреплен к оси катка С, катящегося без скольжения по неподвижной плоскости. Блок В и каток С — однородные круглые диски радиуса г и массы Л13 каждый. Коэффициент тре- трения качения катка С о горизонтальную плоскость равен /к. В на- начальный момент, когда система находилась в покое, с блока В свисала часть каната длины /. Определить скорость груза А в за- зависимости от его вертикального перемещения А. Ответ: К задаче 38.46 38.48C8.49). Механизм эллипсографа, расположенный в гори- горизонтальной плоскости, приводится в движение посредством К задаче 38.47 К задаче 38.48 постоянного вращающего момента то, приложенного к кривоши- кривошипу ОС. В начальный момент при <р = 0 механизм находился в покое. Найти угловую скорость кривошипа ОС в момент, когда он сделал четверть оборота. Дано: М — масса стержня АВ, гпа = = гпв = тп — массы ползунов А и В, ОС = АС = ВС = /; массой кривошипа ОС и силами сопротивления пренебречь. Ответ: ю = 4-Л/м + Зт- 38.49C8.50). Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента сопротивления тс в шарнире С, 1 Л / Зя (пг0 - 2пгс) Ответ: @=-^ Д/ жтш . 304
38.50C8.51). К кривошипу ООг эпициклического механизма, расположенного в горизонтальной плоскости, приложен вращаю- вращающий момент МВр = Mq — аса, где Mq и а — положительные постоян- постоянные, а со— угловая скорость кривошипа. Масса кривошипа равна m, M — масса сателлита (подвижного колеса). Считая кривошип тонким однородным стержнем, а сател- сателлит— однородным круглым диском ра- радиуса г, определить угловую скорость <о кривошипа как функцию времени. В на- начальный момент система находилась в покое. Радиус неподвижной шестерни равен /?; силами сопротивления пре- пренебречь. Указание. Применить теорему об измене- изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. к задаче 38>SQ /пР= (-?• + -§-Af) (R + г?. Ответ: ® = -L^L^l — е /jip 38.51C8.52). Решить предыдущую задачу с учетом постоянного момента трения Мтр на оси О\ сателлита. Mo-JLMt? / ~±-Л Ответ: © = VI—в пр Л где /пр = 38.52C8.53). Кривошип ОО\ гипоциклического механизма, рас- расположенного в горизонтальной плоскости, вращается с постоянной угловой скоростью 0О. В некоторый момент времени двигатель был отключен и под действием постоянного момента МТр сил трения на оси сателлита (подвижного ко- колеса) механизм остановился. Определить время т торможения и угол Ф поворота кривошипа за это время, если его масса равна Мь М2 — масса сателлита, IR и г — радиусы большого и малого колес. Кривошип принять за однородный тонкий стержень, а сателлит—за однородный диск. Указание. Применить теорему об изменении кинетической энергии в диф- дифференциальной форме. К задаче 38.52 Ответ: т = RM Tp ¦Щ, Ф= -S-; rJ, пр где (Мх 3 \ =\ГГ + ТМ*) Х X(R-rf. 38.53C8.54). Крестовина С приводится во вращение вокруг неподвижной оси Ох посредством однородного стержня АВ, вра* 306
щающегося вокруг неподвижной оси О (оси О и О{ перпендику- перпендикулярны плоскости рисунка). При этом ползуны Л и В, соединенные при помощи шарниров со стержнем АВ, скользят вдоль взаимно перпендикулярных прорезей крестовины С. Вращение стержня происходит под действием постоянного вращающего момента тВр. Опре- Определить угловую скорость стержня АВ в мо- момент, когда он сделает четверть оборота, если в начальный момент при ф = 0 он имел угловую скорость ©о. Величина момента со- сопротивления, возникающего в каждом из шарниров ползунов А и В, в два раза мень- к задаче 38.63 ше гавр. Прочими силами сопротивления пре- пренебречь. Масса стержня равна т\ момент инерции крестовины С относительно оси О\ равен /; ОО\ — ОА = = ОВ = 1. Ответ: <о = вр Ami2 + 3/ § 39. Плоскопараллельное (плоское) движение твердого тела 39.1C9.1). Тяжелое тело состоит из стержня АВ длины 80 см и массы 1 кг и прикрепленного к нему диска радиуса 20 см и массы 2 кг. В начальный момент при вертикальном положении стержня телу сообщено такое движение, что скорость центра масс Mi стержня равна нулю, а скорость центра масс М2 диска равна 360 см/с и направлена по горизонтали вправо. Найти последую- последующее движение тела, принимая во внимание только действие силы тя- тяжести. Ответ: Тело равномерно враща- вращается с угловой скоростью 6 рад/с вокруг своего центра масс, который описывает параболу у2=117$х (начало координат — в точке В, ось у направлена по горизонтали впра- вправо, ось х — вниз). 39.2C9.2). Диск падает в верти- вертикальной плоскости под действием силы тяжести. В начальный момент диску была сообщена угловая скорость (о0, а его центр масс С, находившийся в начале координат, имел горизонтально направленную скорость v0. Найти уравнения движения диска. Оси х9 у изображены на рисунке. Силами сопро- сопротивления пренебречь. Ответ: xc = v0t9 #с=-^-, ф = оэо*, где ср — угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в началь- начальный момент горизонтальное положение. 39.3C9.3). Решить предыдущую задачу, считая, что момент тс сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной К зшдаче 39.2 306
оси, проходящей через центр масс С диска перпендикулярно пло- плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой ско- скорости диска ф, причем коэффициент пропорциональности равен р. Момент инерции диска относительно этой оси равен /с. Ответ: xc = Vot, ус = — , ф =-^А. (j _ e Jc )9 где ф_ угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимав- занимавшим в начальный момент горизонтальное положение. 39.4C9.4). Ведущее колесо автомашины радиуса г и массы М движется горизонтально и прямолинейно; К колесу приложен вра- вращающий момент т. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, ра- равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен /. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением ка- качения пренебречь. Ответ: m ^ fMg ^ p ¦. 39.5C9.5). Решить предыдущую задачу с учетом трения каче- качения, если коэффициент трения качения равен /к. Ответ: m^fMg r*+rp2 + MgfK. 39.6C9.6). Ось ведомого колеса автомашины движется гори- горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная движущая сила F. Радиус инерции колеса относи- относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен р. Коэффициент трения скольжения колеса о зем- землю равен /. Радиус колеса равен г, масса колеса равна М. Какому условию должна удовлетворять величина силы F для того, чтобы колесо катилось без скольже- скольжения? Сопротивлением качения пренебречь. Ответ: ^2 39.7C9.7). Решить предыдущую задачу с уче- учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен /«. Ответ: F<z ' *V V / —'"*fK -* ^ К задаче ЗЭ.8 39.8. Автомобильный прицеп движется замедленно с ускоре- ускорением wo до остановки. При этом тормоз в одном из его колес не включается. Давление колеса на дорогу равно N. Коэффициент трения колеса с дорогой равен /. Дано: г — радиус колеса, m — его масса, р — радиус инерции. Определить силу горизонтального давления S колеса на его ось. fN г2 / р2 Л г>\ fN f2 Ответ: 1) ^о^"^~"^г"» S = mwo^l +~jr) » 2) ^о > "^Г"^2"» S = mwo + fN. 307
39.9C9.9). Колесо радиуса г катится по прямолинейному гори- горизонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента mBp = 5/2fMgr, где /—коэффициент трения скольжения, М — масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасаю- соприкасающейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса рав- равномерно распределена по его ободу. Трением качения пренебречь, В начальный момент колесо находилось в покое. Ответ: Ц-t. 39.10C9.10). Решить предыдущую задачу с учетом трения ка- качения, если коэффициент трения качения /к = !Л/г. Ответ: l/4gt. 39.11C9.11). Однородный цилиндр с горизонтальной осью ска- скатывается под действием силы тяжести по наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения /. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь. Ответ: а ^ arctg 3/, w = 2/zg sin a. 39.12C9.13). Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом а к горизонту. Ось диска образует угол р с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его качение происходит в одной вертикальной плоскости. Ответ: wc = 2/zg sin a sin p. 39.13C9.14). Однородный цилиндр с горизонтальной осью ска- скатывается под действием силы тяжести со скольжением по наклон- наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения /. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра. Ответ: а > arctg 3/, w = g (sin a — / cos a). 39.14C9.15). Однородное колесо радиуса г скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а с гори- горизонтом. При каком значении коэффициента трения качения fK центр масс колеса будет двигаться равномерно, а колесо при этом бу- будет равномерно вращаться вокруг оси, прохо- проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости? Ответ: /к = г tg a. к задаче 39.15 39.15C9.16). На барабан однородного катка массы М и радиуса г, лежащего на горизон- горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена сила Т под углом а к горизонту. Радиус барабана а, радиус инер- инерции катка р. Определить закон движения оси катка О. В на- начальный момент каток находился в покое, затем катился без скольжения. Ответ: х = ~м 2(o^lrV2) *** пРичем ось х направлена слева направо,
К задаче 39.16 К задаче 39.17 к задаче 39.16C9.17). Однородный стержень АВ массы М горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, при- прикрепленных к концам стержня. Найти натяжение одной из нитей в момент обрйва другой. Указание. Составить дифференциальные уравнения движения стержня для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити, пренебрегая изменением направления стержня и изменением расстояния центра масс стержня от другой нити. Ответ. T = Mg/4. 39.17C9.18). Однородный стер- стержень А В массы М подвешен в точке О на двух нитях равной с ним длины. Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва дру- другой. (См. указание к задаче 39.16.) Ответ: Т = 0,266 Mg. 39.18C9.19). Однородный тонкий стержень длины 2/ и массы М лежит на двух опорах А и В; центр масс С стержня находится на одинаковых расстояниях от опор, причем С А = СВ = а; давление на каждую опору равно 1/2 Р. Как изменится давление на опору А в тот момент, когда опора В будет мгновен- но удалена? (См. указание к задаче 39.16.) Ответ: Давление на опору А получит приращение, равное /2_3fl2 - 2 (/2 + За2) Mg' 39.19C9.20). Тяжелый круглый цилиндр А массы m обмотан посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной ско- рости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту А, и найти натяжение Т нити. Ответ: и = 2/зЛ/Зр, T = l/3mg. 39.20C9.21). Две гибкие нити об- обмотаны вокруг однородного кругло- круглого цилиндра массы М и радиуса г так, что завитки их расположены симметрично относительно средней плоскости, параллельной основа- ниям. Цилиндр помещен на наклон, ной плоскости АВ так, что его образующие перпендикулярны линии наибольшего ската, а концы С нитей закреплены симметрично относительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2г от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной ско- скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклон- наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен /ь Определить К задаче 39.20 309
путь s, пройденный центром масс цилиндра за время t, и натяже- натяжение Т нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого проме- промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца. Ответ: s = ~-g(sina — 2/cos a)/2, 71 = -g-Afg(sina + f cos a). Цилиндр остается в покое, если tga < 2/. 39.21C9.22). Два цилиндрических вала массы М\ и М2 скаты- скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответ- соответственно углы а и Р с горизонтом. \у Валы соединены нерастяжимой нитью, концы которой намотаны и К задаче 39.21 К задаче 39.22 на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать однородными круглыми цилиндрами. Массой нити пренебречь. „ A^AMsina+sinp) М{ sin a - М2 sin p Ответ: T = g ЩМГ+Щ • w~e мТТЖ2 ' 39.22C9.23). Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса /?, находящегося на негладкой гори- горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без сколь- скольжения. Ответ: =~ У2#(9я- 16) R. § 40. Приближенная теория гироскопов 40.1D0.1). Волчок вращается по часовой стрелке вокруг своей оси О А с постоянной угловой скоростью © = 600 рад/с; ось О А наклонена к вертикали; нижний конец оси О остается неподвижным; центр масс С волчка находится на оси ОА на расстоянии ОС = 30 см от точки О; радиус инерции волчка относительно оси равен 10 см. Опре- Определить движение оси волчка ОЛ, считая, что главный момент количеств движения волч- волчка относительно оси ОА равен /со. Ответ: Ось ОА вращается вокруг вер- вертикали Oz по часовой стрелке, описывая постоянной угловой скоростью <oi = К задаче 40.1 круговой конус, = 0,49 рад/с. 40.2D0.2). Волчок, имея форму диска диаметра 30 см, враща- вращается с угловой скоростью 80 рад/с вокруг своей оси симметрии* 310
Диск насажен на ось длины 20 см, расположенную вдоль оси сим- симметрии волчка. Определить угловую скорость регулярной прецес- прецессии волчка, полагая, что его главный момент количеств движения равен /сэ. Ответа 2,18 рад/с. 40.3D0.3). Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 1500 об/мин. Масса вращающихся частей 6 т, ра- радиус инерции р = 0,7 м. Определить гироскопические давления на подшипники, если судно описывает циркуляцию вокруг вертикаль- вертикальной оси, поворачиваясь на 10° в секунду. Расстояние между под- подшипниками / = 2,7 м. Ответ: 30,4 кН. 40.4D0.4). Определить максимальные гироскопические давле- давления на подшипники быстроходной турбины, установленной на ко- корабле. Корабль подвержен килевой качке с амплитудой 9° и пе- К задаче 40.4 К задаче 40.5 риодом 15 с вокруг оси, перпендикулярной оси ротора. Ротор тур- турбины массы 3500 кг с радиусом инерции 0,6 м делает 3000 об/мин. Расстояние между подшипниками 2 м. Ответ: 13,0 кН. 40.5D0.5). Определить время Т полного оборота оси симметрии артиллерийского снаряда вокруг касательной к траектории центра масс снаряда. Это движение происходит в связи с действием силы сопротивления воздуха F = 6,72 кН, приближенно направленной параллельно касательной и приложенной к оси снаряда на рас- расстоянии ft = 0,2 м от центра масс снаряда. Момент количества движения снаряда относительно его оси симметрии равен 1850 кг.м2/с Ответ: 8,66 с. 40.6D0.6). Газотурбовоз приводится в движение турбиной, ось которой параллельна оси колес и вращается в ту же сторону, что и колеса, делая 1500 об/мин. Момент инерции вращающихся час- частей турбины относительно оси вращения / = 200 кг-м2. Как ве- велика добавочная сила давления на рельсы, если газотурбовоз идет по закруглению радиуса 250 м со скоростью 15 м/с? Ширина ко- колеи 1,5 м. Ответ: На один рельс 1256 Н вниз, на другой рельс 1256 Н вверх. 311
40.7D0.7). В дробилке с бегунами каждый бегун имеет массу Л1= 1200 кг, радиус инерции относительно его оси р = 0,4 м, ра- радиус R = 0,5 м, мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину линии касания бегуна с дном чаши. Определить силу давления бегуна на горизонтальное дно чаши, если переносная угловая скорость вращения бегуна вокруг вертикальной оси соот- соответствует п = 60 об/мин. Ответ: N = 26,9 кН. К задаче 40.7 К задаче 40.8 40.8D0.8). Колесный скат массы М = 1400 кг, радиуса а = = 75 См и с радиусом инерции относительно своей оси р = У0,55 а движется равномерно со скоростью и = 20 м/с по закруглению радиуса R = 200 м, лежащему в горизонтальной плоскости. Опре- Определить силу давления ската на рельсы, если расстояние между рельсами /=1,5 м. Ответ: N = F,87 ±0,77) кН. 40.9D0.9). На рисунке изображен узел поворотной части раз- разводного моста. Вал АВ с шарнирно прикрепленными к нему под углом а стержнями CD и СЕ вращается с угловой скоростью о>о. При этом конические шестерни К и L, свободно насаженные на стержни CD и СЕ, катятся без скольжения по неподвижной пло- плоской горизонтальной ше- шестерне. Определить силу дополнительного динами- динамического давления шесте- шестерен К и L массыМ каждая на неподвижную горизон- горизонтальную шестерню, если радиусы всех шестерен равны г. Подвижные ше- шестерни считать сплошны- сплошными однородными дисками. К задаче 40.9 К задаче 40.10 Ответ: Mra>\ sin a 40.10D0.10). Квадратная рама со стороной а = 20 см враща- вращается вокруг вертикальной оси АВ с угловой скоростью ©i=2 рад/с. Вокруг оси ED, совмещенной с диагональю рамы, вращается диск М радиуса г = 10 см с угловой скоростью © = 300 рад/с. Определить отношение дополнительных сил бокового давления на опоры Л и В к соответствующим статическим давлениям. Массой 312
рамы пренебречь. Массу диска считать равномерно распределен- распределенной по ободу. Ответ: 4,32. 40.11D0.12). Колесо радиуса а и массы 2М вращается вокруг горизонтальной оси АВ с постоянной угловой скоростью ©ь ось АВ вращается вокруг вертикальной оси OD, проходящей через центр колеса, с постоянной угловой скоростью со2; направления враще- вращений показаны стрелками. Найти силы давления Na и Nb на под- подшипники А и Ву если AO = OB = h; масса колеса равномерно распределена по его ободу. Ответ: NA 40.12D0.13). Простейший гиротахометр состоит из гироскопа, рамка которого соединена двумя пружинами, прикрепленными тс корпусу прибора. Момент инерции гироскопа относительно оси собственного вращения равен /, угловая скорость гироскопа равна К задаче 40 11 К задаче 40.12 <о. Определить угол а, на который повернется ось гироскопа вме- вместе с его рамкой, если прибор установлен на платформе, вращаю- вращающейся с угловой скоростью ©1 вокруг оси ху перпендикулярной оси у вращения рамки. Коэффициенты жесткости пружин равны с; угол а считать малым; расстояние от оси вращения рамки до пру- пружин равно а. Ответ: а = § 41. Метод кинетостатики 41.1D1.1). Определить силу тяжести, действующую на круглый однородный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по закону ф = З/2. Ось проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости; главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н-см. Ответ: 3,27 Н. 41.2D1.2). Тонкий прямолинейный однородный стержень дли- длины / и массы М вращается вокруг оси, проходящей перпендику- 313
лярно стержню через его конец, по закону ср = at2. Найти вели- величины и направления равнодействующих Jn и /т центробежных я вращательных сил инерции частиц стержня. Ответ: Равнодействующая вращательных сил инерции Jx=Mal направлена перпендикулярно стержню на расстоянии 2/3/ от оси вращения; равнодействующая центробежных сил инерции Jn = = 2Ma2lt2 направлена вдоль стержня от оси вращения. 41.3D1.3). Колесо массы М и радиуса г катится без скольже- скольжения по прямолинейному горизонтальному рельсу. Определить главный вектор и главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс колеса перпендикулярно плоскости движения. Колесо считать сплошным однородным диском. Центр масс С движется по закону хс = at2/2, где а — постоянная поло- положительная величина. Ось х направлена вдоль рельса. Ответ: Главный вектор сил инерции равен по модулю Ма и направлен параллельно оси в отрицательном направлении; глав- главный момент сил инерции равен по абсолютной величине 1/2Маг. 41.4D1.4). Определить главный вектор и главный момент сил инерции подвижного колеса // планетарного механизма относи- относительно оси, проходящей через его центр масс С перпендикулярно плоскости движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угло- угловой скоростью со. Масса колеса // равна М. Радиусы колес равны г. Ответ: Главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС и равен 2iHrco2; главный момент сил инерции равен нулю. и '////////////////////////////////////////ля К задаче 41.5 41.5D1.5). Конец А однородного тонкого стержня АВ длины 21 и массы М перемещается по горизонтальной направляющей с по- помощью упора Е с постоянной скоростью v, причем стержень все время опирается на угол D. Определить главный вектор и главный момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс С стержня перпендикулярно плоскости движения, в за- зависимости от угла ф. Ответ: V{? == SM ^I sin*q>cosy, V{y) = M^Tl(l --3cos2(p)X X sin3 Ф, = — -f-MZ2 sin3 Ф cos Ф. 41.6D1.6). По данным предыдущей задачи определить динами- динамическое давление Nd стержня на угол D. 314
8 Ответ: ND = ~Y 8 v2l2 sin*q>cosy. К задаче 41.7 41.7D1.9). Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенной в верти- вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки, расположенном в направлении движе- движения, повышается до величины Л2, а в противоположном конце понижается до hi. Положение акселерометра указано на рисунке: ai = a2 = 45°, h\ = 25 • мм, h2 =75 мм. Ответ: w === g —г—г ;—~*—г === 0,5р". *И tg C&2 "Г  tg (Xj 41.8D1.10). С каким ускорением должна двигаться по гори- горизонтальной плоскости призма, боковая грань которой образует угол а с горизонтом, чтобы груз, лежащий на боковой грани, не перемещался относительно призмы? Ответ: w = gtga. 41.9D1.11). Для исследования влияния быстро чередующихся растягивающих и сжимающих сил на металлический брусок (испы- (испытание на усталость) испытуемый брусок А прикрепляют за верх- верхний конец к ползуну В кривошипного механизма ВСО, а к ниж- нижнему концу подвешивают груз массы М. Найти силу, растягивающую бру- брусок, в том случае, когда кривошип ОС вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью о. У и. К задаче 41.9 К задаче 41.10 Указание. Выражение дЛ — (гIIJ sin2<p следует разложить в ряд и от- отбросить все члены ряда, содержащие отношение г/1 в степени выше второй. Ответ: Mg + Mr®2 (cos Ш + -у- cos 2©Л . 41.10D1.12). Определить опорные реакции подпятника А и под- подшипника В поворотного крана при поднимании груза Е массы 3 т с ускорением l/zg. Масса крана равна 2 т, а его центр масс нахо- 315
дится в точке С. Масса тележки D равна 0,5 т. Кран и тележка неподвижны. Размеры указаны на рисунке. Ответ: Ха = -Хв = 52,1 кН; YA = 63,9 кН. 41.11D1.13). Определить опорные реакции подпятника А и под- подшипника В поворотного крана, рассмотренного в предыдущей за- задаче, при перемещении тележки влево с ускорением 0,5g при отсут- отсутствии груза Е. Центр масс тележки находится на уровне опоры В. Ответ: Ха = 12,8 кН, Хв = —15,2 кН, YA = 24,5 кН. 41.12D1.14). На паром, привязанный к берегу двумя парал- параллельными канатами, въезжает грузовик массы 7 т со скоростью 12 км/ч; тормоза останавливают грузовик на протяжении 3 м. Предполагая, что сила трения колес о настил парома постоянна, определить натяжение канатов. Массой и ускорением парома пре- пренебречь. Ответ: Т = 6,48 кН. 41.13D1.15). Автомобиль массы М движется прямолинейно с ускорением w. Определить вертикальное давление передних и зад- задних колес автомобиля, если его центр масс С находится на вы- высоте h от поверхности грунта. Расстояния передней и задней осей автомобиля от вертикали, проходящей через центр масс, соответственно равны а и Ь. Масса- Массами колес пренебречь. Как должен двигаться ав- автомобиль, чтобы давления передних и задних колес оказались равными? Ответ- ЛГ.— M№-Wh) N — Mjga + wh) , итвет. ivi— {a+b) , /v2— (a+ft) , при торможении автомобиля с замедлением w » ~8 2/г * К задаче 41.15 41.14D1.16). С каким ускорением w опускается груз массы М\9 поднимая груз массы М2 с помощью полиспаста, изображенного на рисунке? Каково условие равномерного движения груза Afi? Массами блоков и троса пренебречь. Указание. Ускорение груза М2 в четыре раза меньше ускорения груза Ми _ л AM! — М2 Mi 1 Ответ: w = 4g 16Ali+A,2 , -Щ=Т- 41.15D1.17). Гладкий клин массы М и с углом 2а при вершине раздвигает две пластины массы Mi каждая, лежащие в покое на гладком горизонтальном столе. Написать уравнения движения клина и пластин и определить силу давления клина на каждую из пластин. 316
Ответ: Уравнение движения клина: где w = i М ctga уравнение движения пластин: сила давления М ctg а + 2М1 tg а ' i = —2~ • гДе W\ = wlgo>\ 41.16D1.18). Груз А массы Мь опускаясь вниз, приводит в дви- движение посредством нерастяжимой Нити, переброшенной через не- неподвижный блок С, груз В массы М2. Определить силу давления стола D на пол, если масса стола равна Мз. Массой нити прене- пренебречь. Ответ : # = (л К задаче 41.16 К задаче 41.17 41.17D1.19). Груз А массы М\, опускаясь вниз по наклонной плоскости D, образующей угол а с горизонтом, приводит в движе- движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через непо- неподвижный блок С, груз В массы М2. Определить горизонтальную составляющую давления наклон- наклонной плоскости D на выступ пола Е. Массой нити пренебречь. Ответ: N = sin а — cos а. 41.18D1.21). Однородный стержень массы М и длины / вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг неподвижной вертикальной оси, перпен- к задаче 4i.i9 дикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить растягивающую силу в поперечном сечении стержня, отстоящем от оси вращения на расстоянии а. Ответ: F = M(P—a2)(o2/Bl). 41.19D1.22). Однородная прямоугольная пластинка массы М равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой ско- скоростью а). Определить силу, разрывающую пластину в направле- направлении, перпендикулярном оси вращения, в сечении, проходящем че- через ось вращения. 317
Ответ: Мп(о2/4. 41.20D1.23). Однородный круглый диск радиуса R и массы М вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг своего вер- вертикального диаметра. Определить силу, разрывающую диск по диаметру. Ответ: 2ЛГ/?со2/(Зя). 41.21D1.24). Тонкий прямолинейный однородный стержень дли- длины / и массы М вращается с постоянной угловой скоростью <о около неподвижной точки О (шаровой шарнир), описывая кони- коническую поверхность с осью О А и вершиной в точке О. Вычислить К задаче 41.20 К задаче 41.21 угол отклонения стержня от вертикального направления, а также величину N давления стержня на шарнир О. Ответ: ф=агссоз ||г N = ±Ml<*2 д/ l 41.22D1.25). В центробежном тахометре два тонких однород- однородных прямолинейных стержня длины а и Ь жестко соединены под прямым углом, вершина которого О шарнирно сое- соединена с вертикальным валом; вал вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти зави- зависимость между ю и углом отклонения ф, образо- образованным направлением стержня длины а и верти- вертикалью. Ь2 cos <р — a2 sin <p (Ь3 — a3) sin 2<p 41.23D1.26). Тонкий однородный прямолиней- прямолинейный стержень АВ шарнирно соединен с вертикаль- вертикальным валом в точке О. Вал вращается с постоянной скоростью ю. Определить угол отклонения ф стержня от вертикали, если О А = а и ОВ = Ь. Л 3 g а—Ь Ответ: cos ф = -г- -—«- —о- Ответ: co2 = К задаче 41.23 318
§ 42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения 42.1D2.1). Центр масс махового колеса массы 3000 кг нахо- находится на расстоянии 1 мм от горизонтальной оси вала; расстояния подшипников от колеса равны между собой. Найти силы давления на подшипники, когда вал делает 1200 об/мин. Маховик имеет плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения. Ответ: Сила давления на каждый из подшипников есть равно- равнодействующая двух сил, из которых одна равна 14,7 кН и направ- направлена по вертикали, а другая равна 23,6 кН и направлена парал- параллельно прямой, соединяющей геометрический центр колеса, нахо- находящийся на оси вала, с центром масс колеса. 42.2D2.2). Однородный круглый диск массы М равномерно вращается с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси, распо- расположенной в плоскости диска и отстоящей от его центра масс С на расстоянии ОС = а. Определить силы динамического давления оси на подпятник А и подшипник В, если ОВ = ОА. Оси х и у неизменно связаны с диском. Ответ: ХА=ХВ = 0, YA=YB= Май2/2. К задаче 42.4 42.3. Решить предыдущую задачу в предположении, что при наличии сил сопротивления угловая скорость диска убывает по закону со = соо—ео/, где соо и ео — положительные постоянные. Ответ: ХА=Хв = -Маео/2, YA = YB = Масо2/2. 42.4D2.3). К вертикальной оси АВ, вращающейся равноуско- равноускоренно с угловым ускорением е, прикреплены два груза С и ?> посредством двух перпендикулярных оси АВ и притом взаимно перпендикулярных стержней ОС = OD = г. Определить силы ди- динамического давления оси АВ на подпятник А и подшипник В. Грузы С и D считать материальными точками массы М каждый. Массами стержней пренебречь. В начальный момент система на- находилась в покое. Оси х и у неизменно связаны со стержнями. Ответ: ХА = Хв = ^гг (е/2 +1), YA = YB = -? re (е/2 - 1). 42.5D2.4). Стержень АВ длины 21, на концах которого нахо- находятся грузы равной массы М, вращается равномерно с угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Oz, проходящей через сере- 319
дину О длины стержня. Расстояние точки О от подшипника С равно а, от подпятника D равно Ь. Угол между стержнем АВ и осью Oz сохраняет постоянную величину а. Пренебрегая массой стержня и размерами грузов, определить проекции сил давления на подшипник С и подпятник D в тот момент, когда стержень находится в плоскости Oyz. Ответ: XC = XD = O, YC = — YD = —(g + 6)—, ZD = — 2Mg. 42.6D2.5). На концы оси АВ надеты два одинаковых криво- кривошипа АС и BD длины I и массы Afi каждый, заклиненные под углом 180° относительно друг друга. Ось А В длины 2а и массы М2 вращается с постоянной угловой скоростью (о в подшипниках Е и F, расположенных сим- симметрично на расстоянии 2Ь друг от друга. Определить силы давления NE и NF на под- подшипники в тот момент, когда кривошип АС направлен вертикально вверх. Массу каждого кривошипа считать равномерно распределен- распределенной вдоль его оси. С К задаче 42.5 К задаче 42.6 Ответ: Сила давления NE^=-^-M2g + M\g — направлена по вертикали вниз, при Ne <0 — вверх. Сила давления NF = -fr M2g + M\g + при NE>0 направлена по вертикали вниз. 42.7D2.6). К горизонтальному валу АВ, вращающемуся с по- постоянной угловой скоростью (о, прикреплены два равных, перпен- перпендикулярных ему стержня длины /, лежащих во взаимно перпен- перпендикулярных плоскостях (см. рисунок). На концах стержней расположены шары D и Е массы m каждый. Определить силы динамического давления вала на опоры А и В. Шары считать материальными точками; массами стержней пренебречь. Ответ: \ = NR = -~— ml<?>2. 42.8D2.7). К вертикальному валу АВ, вращающемуся с по- постоянной угловой скоростью со, жестко прикреплены два стержня. 320
Стержень ОЕ образует с валом угол ф, стержень OD перпендику- перпендикулярен плоскости, содержащей вал АВ и стержень ОЕ. Даны раз- размеры: ОЕ = OD = /, АВ = 2а. К концам стержней прикреплены два шара Е и D массы т каждый. Определить силы динамиче- динамического давления вала на опоры А и В. Шары D и Е считать точечными массами; массами стержней пренебречь. Ответ: i = XB = Ya = m/cD2 (a — / cos ф) sin <p 2а /п/еэ2 (а + / cos ф) sin <p * 2а 42.9D2.8). Использовав условие задачи 34.1, определить силы динамического давле- давления коленчатого вала на подшипники К и L. Вал вращается равномерно с угловой ско- скоростью о). При решении можно воспользоваться ответами к зада- задачам 34.1 и 34.23. * 3 , а + Ь 2 2 4а + 36 ' лг т/ л/з * а + Ь « 42.10D2.9). Однородный стержень KL, прикрепленный в центре под углом а к вертикальной оси АВ, вращается равноускоренно Ответ: XK = — XL = -7r- Z А •• В f * i К задаче 42.10 К задаче 42.11 вокруг этой оси с угловым ускорением е. Определить силы дина- динамического давления оси АВ на подпятник А и подшипник В, если: М — масса стержня, 2/—его длина, OA = OB = h/2\ OK=OL=U В начальный момент система находилась в покое. Ml2 .' л лг лг Ml2 Ответ: Хв = — XА = - sin YR = -YA=- -z2t2 sin 2a. 42.11. Однородная прямоугольная пластинка OABD массы М со сторонами а и Ь, прикрепленная стороной ОА к валу ОЕ, вра- вращается с постоянной угловой скоростью (о. Расстояние между опо- П И. В. Мещерский 321
рами 0Е = 2а. Вычислить боковые силы динамического давления вала на опоры О и Е. /с Ответ: NOx = NEx = 0, NOy = ^ y \ 42.12D2.10). Прямой однородный круглый цилиндр массы М, длины 21 и радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Ог, проходящей через центр масс О цилиндра; угол между осью цилиндра О? и осью Ох сохраняет при этом постоянную величину а. Расстояние Н\Н2 между подпятником и под- подшипником равно Л. Определить боковые силы давления: N\ на подпятник и N2 на под- подшипник. Ответ: Давления iVi и N2 имеют одинаковую величину (О2 sin 2а / 1 /2 1 2\ 2*—КГ1 ~ТГ ) м К задаче 42.12 и противоположны по направлению. 42.13D2.11). Вычислить силы давления в под- подшипниках А и В при вращении вокруг оси АВ однородного тонкого круглого диска CD паровой турбины, предполагая, что ось АВ проходит че- через центр О диска, но вследствие неправильного рассверливания втулки составляет с перпендикуляром к плоскости диска угол АОЕ = а = 0,02 рад. Дано: масса диска 3,27 кг, радиус его 20 см, угловая скорость соответствует 30000 об/мин, расстоя- расстояние АО = 50 см, ОВ = 30 см; ось АВ считать абсолютно твердой и принять sin 2а = 2а. К задаче 42.13 К задаче 42.14 Ответ: Силы давления от веса диска: 12,1 Н на подшипник А и 20,0 Н на подшипник В; силы давления на подшипники, вызы- вызываемые вращением диска, имеют одинаковую величину 8,06 кН и противоположные направления. 42.14. В результате неточной сборки круглого диска паровой турбины плоскость диска образует с осью АВ угол а, а центр масс С диска не лежит на этой оси. Эксцентриситет ОС = а. Найти боковые силы динамического давления на подшипники Лий, если масса диска равна М, радиус его R, а АО = OB = h', угловая ско- скорость вращения диска постоянна и равна со. 322
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.27. Ответ: YA = YB = Of ХА = -Щ х = м \(R2 I cA sin 2a 42.15. Однородный круглый диск массы М и радиуса R насажен на ось АВ, проходящую через точку О диска и составляющую с его осью симметрии Cz\ угол a. OL — проекция оси г, совмещенной с осью АВ, на плоскость диска, причем ОЕ = a, OK = b. Вычис- Вычислить боковые силы динамического давления на подшипники Л и В, если диск вращается с постоянной угловой скоростью со, а АО = /х К задаче 42.15 К задаче 42.16 Указание Воспользоваться ответом к задаче 34.28. Ответ: ХА = — -у Маш2 cos а — -^- (^ R2 + а2) о2 sin 2а, XB=-±Ma(*2cosa + ^(:]rR2+a2)(*2siu2a> 42Л6D2Л2), Однородная прямоугольная пластинка массы М равномерно вращается вокруг своей диагонали АВ с угловой ско- скоростью о. Определить силы динамического давления пластинки на опоры А и В, если длины сторон равны а и Ь. г, v л v — Mab®2 (а2 - Ь2) Ответ: ХА = 0, УА=- К задаче 42.17 12 (а2 + b2fh ' х =() у = МаЬа>2 (а2 - Ь2) В~ ' В~ 12 (а2 + &2O2 42Л7D2ЛЗ), С какой угловой скоростью должна вращаться вокруг катета АВ = а однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного прямо- прямоугольного треугольника ABD, чтобы сила бокового давления на нижнюю опору В равнялась нулю? Расстояние между опорами считать равным длине катета АВ. Ответ: со = 2 -yfgja- 11* 323
42.18D2.14), Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы Ми противовеса Е и груза К массы М2 каждый. (См. рисунок к задаче 34.31.) При включении постоян- постоянного тормозящего момента кран, вращаясь до этого с угловой ско- скоростью, соответствующей п = 1,5 об/мин, останавливается че- через 2 с. Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, а проти- противовес с грузом как точечные массы, определить динамические ре- реакции опор А и В крана в конце его торможения. Расстояние ме- между опорами крана АВ = 3 м, М2 = 5 т, Мх = 8 т, а = 45°, L = = 30 м, / = 10 м, центр масс всей системы находится на оси вра- вращения; отклонением груза от плоскости крана пренебречь. Оси л:, у связаны с краном. Стрела CD находится в плоскости yz. Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.31 (положив М2 = Л13). Ответ: Ya = -Yb=0,Xb = -Xa ~ 60,8 кН. § 43. Смешанные задачи 43.1D3.1). Однородная тяжелая балка АВ длины 2/ при за- закрепленных концах находится в горизонтальном положении. В не- некоторый момент конец А освобождается, и балка начинает падать, воащаясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через конец В; в момент, когда балка становится вер- вертикальной, освобождается и конец В. Определить в последующем дви- движении балки траекторию ее центра масс и угловую скорость со. Ответ: 1) Парабола у2 = Ых — 312; 2) © = УЗ#/B/). 43.2D3.2), Тяжелый однородный стержень длины / подвешен своим верхним концом на горизонтальной оси О. Стержню, нахо- находившемуся в вертикальном положе* нии, была сообщена угловая ско- скорость <*>o — 3<\/g/l. Совершив пол* оборота, он отделяется от оси О. Определить в последующем движе- движении стержня траекторию его цен- центра масс и угловую скорость враще- вращения со. Ответ: 1) Парабола ус = К задаче 43.2 W///////////////////M^ 21 К задаче 43.1 43.3D3.4). Два однородных круг- круглых цилиндра Л и В, массы кото- которых соответственно равны М\ и M2t а радиусы оснований г\ и г2, обмотаны двумя гибкими нитями, завитки которых располо- расположены симметрично относительно средних плоскостей, параллель- 324
ных основаниям цилиндров; оси цилиндров горизонтальны, причем образующие их перпендикулярны линиям наибольших скатов. Ось цилиндра А неподвижна; цилиндр В падает из состояния покоя под действием силы тяжести. Определить в момент t после начала движения, предполагая, что в этот момент нити еще остаются намотанными на оба ци- цилиндра: 1) угловые скорости coi и ©г цилиндров, 2) пройденный центром масс цилиндра В путь s и 3) натяжение Т нитей. Ответ: 1) «,- 2 г2 (ЗМх MiM2g 2М2) t; + 2М2) # 43.4D3.5). Однородный стержень АВ длины а поставлен в вер- вертикальной плоскости под углом фо к горизонту так, что концом А он опирается на гладкую вертикальную сте- стену, а концом В — на гладкий горизонтальный пол; затем стержню предоставлено падать без начальной скорости. 1) Определить угловую скорость и угловое ускорение стержня. 2) Найти, какой угол cpi будет составлять стержень с горизонтом в тот момент, когда он отойдет от стены. 1) ф = д/-^ (sin <р0 - sin <р) I Ответ: ф = ~- cos ф; 2) sin ф| == -~ j 43.5D3.6). Использовав условие предыдущей задачи, опреде- определить угловую скорость ф стержня и скорость нижнего его конца в момент падения стержня на пол. Ответ: ф = Д/^f- (*"""-§" sin2 ^o) sin Фо > = -г sin Фо sin ф0. 43.6D3.7). Тонкая однородная доска ABCD прямоугольной формы прислонена к вертикаль- вертикальной стене и опирается на два гвоздя Е и F без головок; расстояние AD равно FE. В не- некоторый момент доска начинает падать с ни- к задаче 43.6 чтожно малой начальной угловой скоростью, вращаясь вокруг прямой AD. Исключая возможность скольжения доски вдоль гвоздей, определить угол оы = ZBABu при котором горизонтальная составляющая реакции изменяет направление, и угол а2 в момент отрыва доски от гвоздей. Ответ: а{ = arccos |- = 48° 1 Г, а2 = arccos у = 70° 32'. 43.7D3.8). Два диска вращаются вокруг одной и той же оси с угловыми скоростями ©1 и со2; моменты инерции дисков относи- 325
тельно этой оси равны J\ и /г. Определить потерю кинетической энергии в случае, когда оба диска будут внезапно соединены фрик- фрикционной муфтой. Массой ее пренебречь. Ответ: ДГ = -^-- 43.8, Тело А вращается без трения относительно оси 00' с угловой скоростью сол. В теле А на оси О\О\ помещен ротор В, вращающийся в ту же сторону с относительной скоростью сов. Оси 00' и О\О\ расположены на одной прямой. Моменты инерции тела А и ротора В относительно этой прямой равны /л и JB. Пре- Пренебрегая потерями, определить работу, которую должен совершить мотор, установленный в теле Л, для сообщения ротору В такой угловой скорости, при которой тело А остановится. Ответ: Л = 43.9. На шкив, вращающийся без сопротивления вокруг гори- горизонтальной оси О с угловой скоростью соо, накинули ремень с дву- двумя грузами на концах. Шкив — однородный диск массы пг и ра- радиуса г, масса каждого из грузов М = 2пг. Считая начальные ско- скорости грузов равными нулю, определить, с какой скоростью они ? К задаче 43.8 К задаче 43.9 К задаче 43.10 будут двигаться после того, как скольжение ремня о шкив пре- прекратится. Найти также работу сил трения ремня о шкив. Ответ: v = -^<d0r, А^ = \т<ь\г\ 43.10D3.10). Твердое тело массы М качается вокруг горизон- горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Расстояние от оси подвеса до центра масс С равно а; радиус инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости рисунка, равен р. В начальный момент тело было откло- отклонено из положения равновесия на угол фо и отпущено без началь- начальной скорости. Определить две составляющие реакции оси R и N9 расположенные вдоль направления, проходящего через точку под- подвеса и центр масс тела, и перпендикулярно ему. Выразить их в зависимости от угла ф отклонения тела от вертикали.
Ответ: R = Mg cos q> + p22^^2 (c°s Ф — cos qp0), p2^g2 sincp. 43.11D3.11). Тяжелый однородный цилиндр, получив ничтожно малую начальную скорость, скатывается без скольжения с гори- горизонтальной площадки АВУ край которой В заострен и параллелен образующей цилиндра. Радиус основания ци- цилиндра г. В момент отделения цилиндра от площадки плоскость, проходящая через ось цилиндра и край В, отклонена от вертикаль- вертикального положения на некоторый угол СВС\ = а. Определить угловую скорость цилиндра в мо- момент отделения его от площадки, а также угол а. Трением качения и сопротивлением воздуха пренебречь. Л Л /~яГ 4 -,- «Л К задаче 43.11 Ответ: © = 2 л/~-, а = arccos — = 55,1°. 43.12. Автомашина для шлифовки льда движется прямолинейно по горизонтальной плоскости катка. Положение центра масс С указано на рисунке к задаче 38.12. В1 момент выключения мотора машина имела скорость v. Найти путь, пройденный машиной до остановки, если /к — коэффициент трения качения между колесами автомашины и льдом, а / — коэффициент трения скольжения ме- между шлифующей кромкой А и льдом. Массой колес радиуса г% катящихся без скольжения, пренебречь. - ответ, а-^-щ^-. 43.13D3.12). На боковой поверхности круглого цилиндра с вер- вертикальной осью, вокруг которой он может вращаться без трения, вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В началь- начальный момент цилиндр находится в покое; в желоб опускают тяже- тяжелый шарик; он падает по желобу без начальной скорости и застав- заставляет цилиндр вращаться. Дано: масса цилиндра М, радиус его /?, масса шарика т; расстояние от шарика до оси считаем равным R и момент инерции цилиндра равным -^-MR2. Определить угловую скорость со, которую цилиндр будет иметь в тот момент, когда шарик опустится на высоту h. п 2m cos a / 2gh итвет: @ — R Д/ (Af + 2/и) (Л* + 2т sin2 а) ' § 44. Удар 44.1D4.1). Баба А ударного копра падает с высоты 4,905 м и ударяет наковальню В, укрепленную на пружине. Масса бабы 10 кг, и масса наковальни 5 кг. Определить, с какой скоростью 327
начнется движение наковальни после удара, если баба будет дви- двигаться вместе с ней. Ответ: 6,54 м/с. 44.2D4.2). Груз А массы М\ падает без начальной скорости с высоты h на плиту В массы Мг, укрепленную на пружине, кото- которая имеет коэффициент жесткости сч Найти величину s сжатия пружины по- после удара в предположении, что коэф- коэффициент восстановления равен нулю. Ответ: i V- К задаче 44.1 44.3D4.3). В приборе для опытного определения коэффициента восстанов- восстановления шарик из испытуемого материа- материала падает без начальной скорости вну- К задаче 44.2 Три ВерТИКалЬНОЙ ПрОЗраЧНОЙ Трубки С заданной высоты h\ = 50 см на непо- неподвижно закрепленную горизонтальную пластинку из соответствую- соответствующего материала. Найти коэффициент восстановления, если вы- высота, на которую подскочил шарик после удара, оказалась равной h2 = 45 см. Ответ: k = ^ = 0,95. 44.4D4.4). Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает на плиту и т. д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен к. Ответ: s= t _fe2 h. 44.5. Два тела с массами гп\ и Ш2 и коэффициентом восстанов- восстановления k движутся 'поступательно по одному и тому же направле- направлению. Каковы должны быть их скорости v\ и v2i чтобы после удара догоняющее тело nt\ остановилось, а тело Ш2 получило бы задан- заданную скорость и2? Ответ: o1 = J^—^и,; Щ== к™^^) Щ' 44.6D4.5). Паровой молот массы 12 т падает со скоростью 5 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемой де- деталью равна 250 т. Найти работу Аи поглощаемую отковываемой деталью, и работу А2, потерянную на сотрясение фундамента, а также вычислить коэффициент ц полезного действия молота; удар неупругий. Ответ: Ai = 143 кН-м, А2 = 6,87 кН-м, ц =0,95. 44.7. Молот массы гп\ = 10 кг расплющивает заготовку до нуж- нужных размеров за 70 ударов. За сколько ударов эту операцию про- произведет молот массы /пг = 100 кг, если приводной механизм сооб- 328
щает ему такую же скорость, что и первому молоту. Масса нако- наковальни М = 200 кг. Удар считать абсолютно неупругим. Ответ: 10 ударов. 44.8D4.6). Найти скорости после абсолютного упругого удара двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со СКОрОСТЯМИ V\ И V2- Ответ: Шары после удара обмениваются скоростями. 44.9D4.7). Два одинаковых упругих шара А и В движутся на- навстречу друг другу. При каком соотношении между скоростями до удара шар А после удара остановится? Коэффициент восстановле- восстановления при ударе равен k. vA 1 + k Ответ: _ = T_r. 44.10. Тело А настигает тело В, имея в 3 раза большую ско- скорость. Каким должно быть соотношение масс этих тел, чтобы после удара тело А остановилось? Удар считать прямым центральным. Коэффициент восстановления k = 0,8. Ответ: шв/Ша = 5. 44.11D4.8). Определить отношение масс т\ и тг двух шаров в следующих двух случаях: 1) первый шар находится в покое; происходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в по- покое. Коэффициент восстановления равен k. Ответ: D-g—*. 2)-g—1+2*. 44.12D4.9). Три абсолютно упругих шара с массами т\у тъ и гпъ лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй, покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий, покоящийся шар. При какой ве- величине массы Ш2 второго шара третий шар получит наибольшую скорость? Ответ: 1Щ = 44.13D4.10). Шар массы ть движущийся поступательно со ско- скоростью V\, встречает покоящийся шар массы шг, так что скорость его образует при ударе угол а с линией, соединяющей центры ша- шаров. Определить: 1) скорость первого шара после удара, считая удар абсолютно неупругим; 2) скорость каждого из шаров после удара в предположении, что удар упругий с коэффициентом вос- восстановления k. Ответ: 1) щ = vx д/sin2 а + (_|L_J cos2 а; 2) щ = vx /v/sin2a-f (mi^fem2Jcos2a, щ = vx m'A +*> cosq . 44.14D4.11). Абсолютно упругий шар, центр которого движется прямолинейно со скоростью v, встречает под углом а гладкую вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара, 329
Ответ: Угол отражения равен углу падения, скорости до и пос- после удара по модулю равны. 44.15D4.12). Стальной шарик падает на горизонтальную сталь- стальную плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали. Определить коэффициент восстановления при ударе. Ответ: k = 0,58. 44.16D4.13). Шарик падает наклонно со скоростью v на неподвижную горизонтальную плоскость и отскакивает от плоскости со ско- скоростью vt = v V2/2. Определить угол паде- падения а и угол отражения р, если коэффициент восстановления при ударе к=л/3/3. Ответ: а = я/6, р = я/4. 44.17D4.14). Два одинаковых абсолютно упругих шара, дви- двигаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоро- скоростями v. Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с ли- линией центров угол а (см. рисунок). Найти скорости шаров после удара. Ответ: U\n = —v cos a, Uix = 0, и2п = v, и2х = и sin а. Ось п направлена по линии центров вправо, ось т — вверх. К задаче 44.16 К задаче 44.17 К задаче 44.18 44.18D4.15). Имеются три одинаковых шара Ми M2i Мъ радиу- радиусов R, расстояние между центрами С\С2 = а. Определить, на ка- какой прямой АВУ перпендикулярной линии С\С2, должен находиться центр Сг третьего шара для того, чтобы, получив некоторую ско- скорость по направлению ЛВ, этот шар после удара о шар М2 нанес центральный удар шару Afi; шары абсолютно упруги и движутся поступательно. Ответ: Расстояние прямой АВ от центра Сг равно SC2 = 4i?2/a- 44.19D4.16). Для укрепления грунта под фундаментом здания сваи массы М == 50 кг вбивались копром, боек которого массы Mi =450 кг падал без начальной скорости с высоты А =2 м; при последних десяти ударах свая углубилась на 5 = 5 см. Определить среднее сопротивление грунта при вбивании свай. Удар считать неупругим. Ответ: S = 159 кНа 330
44.20D4.17). Два шара с массами т\ и т2 висят на параллель- параллельных нитях длин 1\ и 12 так, что центры их находятся на одной вы- высоте. Первый шар был отклонен от вертикали на угол а\ и затем отпущен без начальной скорости. Определить угол предельного отклонения а2 второго шара, если коэффициент восстановления равен k. 44.21D4.18). Маятник ударной машины состоит из стального диска А радиуса 10 см и толщины 5 см и из стального круглого стержня В диаметром 2 см и длины 90 см. На каком расстоянии / К задаче 44.21 К задаче 44.22 К задаче 44.23 от горизонтальной плоскости, в которой лежит ось вращения О, должен быть помещен разбиваемый машиной брусок С, чтобы ось не испытывала удара? Ударный импульс лежит в плоскости рисун- рисунка и направлен горизонтально. Ответ: I = 97,5 см. 44.22D4.19). Определить положение центра удара прямоуголь- прямоугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна Л. Ответ: s = 2Л/3. 44.23D4.20). Определить положение центра удара К треуголь- треугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна Л. Ответ: s = А/2. 44.24D4.21). Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями сою и ©го. Определить угловые скорости шкивов ©1 и 02 после того, как на них будет накинут ремень, считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности с радиусами R\ и R2 и пренебрегая скольжением и массой ремня. Ответ: 0,= 44.25D4.22). Баллистический маятник, употребляющийся для определения скорости снаряда, состоит из цилиндра АВУ подвешен- подвешенного к горизонтальной оси О; цилиндр открыт с одного конца А и наполнен песком; снаряд, влетающий в цилиндр, производит вра- 331
щение маятника вокруг оси О на некоторый угол. Дано: М—• масса маятника; ОС = А — расстояние от его центра масс С до оси О; р — радиус инерции относительно оси О; т — масса снаря- снаряда; OD = а — расстояние от линии действия ударного импульса до оси; а— угол отклонения маятника. Определить скорость сна- снаряда, предполагая, что ось маятника О не испытывает удара, при- причем ah = р2. * 2 (Mh + та) I g . a Ответ: v = —- — '- /W-^-sin —. m \f a 2 44.26D4.23). Однородный стержень массы М и длины /, при- прикрепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О, падает без начальной скорости из горизонтального положения. -tf-ft—-. м т\ К задаче 44.25 К задаче 44.26 К задаче 44.27 В вертикальном положении он ударяет груз массы т, сообщая ему движение по горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент трения скольжения f. Определить путь, пройденный грузом, считая удар неупругим. Ответ: 5 = -^ (Л, + ЗтJ* 44.27D4.24). Однородная прямая призма с квадратным осно- основанием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться во- вокруг ребра АВУ лежащего в этой плоскости. Ребро основания приз- призмы равно а, высота ее За, масса Зт. В середину С боковой грани, противолежащей ребру АВУ ударяет шар массы m с горизонталь- горизонтальной скоростью v. Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредото- сосредоточена в его центре, который после удара остается в точке С, опре- определить наименьшую величину скорости v9 при которой призма опрокинется. Ответ: v = 7 44.28D4.25). Платформа с помещенным на ней призматическим грузом АВ катится по горизонтальным рельсам со скоростью v. На платформе имеется выступ, в который упирается ребро В гру- 332
h\ за, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятствуя вращению его около ребра В. Дано: Л —высота цен- центра масс груза над платформой, р— радиус инерции груза относи- относительно ребра В. Определить угло- угловую скорость со вращения груза око- около ребра В в момент мгновенной остановки платформы. Ответ: со = hv/p2. 44.29D4.26). Полагая при усло- условиях предыдущей задачи, что груз ПреДСТаВЛЯеТ СОбоЙ ОДНОРОДНЫЙ К задаче 44.28 прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза. Ответ: v = 30,7 км/ч. § 45. Динамика точки и системы переменной массы (переменного состава) 45.1D5.1). Составить уравнение движения маятника перемен- переменной массы в среде, сопротивление которой пропорционально ско- скорости. Масса маятника изменяется по заданному закону m = m(t) путем отделения частиц с относительной скоростью, равной нулю* Длина нити маятника /. На маятник действует также сила сопро- сопротивления, пропорциональная его угловой скорости: R = —рф. Ответ: ф Н jTTj ф + -у- sin ср = 0. 45.2D5.2). Составить дифференциальное уравнение восходяще- восходящего движения ракеты. Эффективную скорость ve истечения газов*) считать постоянной. Масса ракеты изменяется по закону m = m<fi(t\ (закон сгорания). Сила сопротивления воздуха является задан- заданной функцией скорости и положения ракеты: R(x, x). Ответ: * = -g—*g>-0,- ffi(*> . 45.3D5.3). Проинтегрировать уравнение движения предыдущей задачи при m = mo(l — at) и /?=0. Начальная скорость ракеты у поверхности Земли равна нулю. На какой высоте будет нахо- находиться ракета в моменты * = 10; 30; 50 с при и* =2000 м/с и а = 1/100 с-1? Ответ: х (/) = —- [A — at) In A — at) -f at] — ~-, x A0)=0,54 км, x C0) = 5,65 км, jcE0)=18,4 км. 45.4D5.4). Ракета начальной массы mo поднимается вертикаль- вертикально вверх в однородном поле силы тяжести с постоянным ускоре- ускорением ng (g — ускорение земного тяготения). Пренебрегая сопро- *) Тяга реактивного двигателя определяется формулой Рл =* •— ve> где Рв«— эффективная скорость истечения. 33d
тивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истече- истечения газов постоянной, определить: 1) закон изменения массы ра- ракеты, 2) закон изменения массы ракеты при отсутствии поля тя- тяготения. Ответ: 1) m = moexp(---^:— g/) ; 2) m = moexp (— ^- 45.5D5.5). Масса ракеты, описанной в задаче 45.2, изменяется до / = /0 по закону m = тое~ш. Пренебрегая силой сопротивления, найти движение ракеты и, считая, что к моменту времени /о весь заряд практически сгорел, определить максимальную высоту подъ- подъема ракеты. В1 начальный момент ракета имела скорость, равную нулю, и находилась на земле. Ответ: Н = -^- (ave — g) t% где ve — эффективная скорость ис- истечения газов из ракеты. 45.6D5.6). При условиях предыдущей задачи определить зна- значение а, отвечающее максимальной возможной высоте подъема ракеты Ятах, и вычислить Яшах (величину [i = at0 = ln(mo/mi) необходимо считать постоянной; гп\ — масса ракеты в момент /0). Ответ: а = оо (мгновенное сгорание), Ятах = \i2vl/Bg). 45.7D5.7). При условиях задач 45.5 и 45.6, задавшись коэффи- коэффициентом перегрузки k = ave/g, определить высоту подъема Я ра- ракеты в зависимости от Ятах. Ответ: Я = Ятах(k-l)/k. 45.8D5.8). Ракета стартует с Луны вертикально к ее поверхно- поверхности. Эффективная скорость истечения ие = 2000 м/с. Число Циол- Циолковского z = 5*). Определить, какое должно быть время сгорания топлива, чтобы ракета достигла скорости v = 3000 м/с (принять, что ускорение силы тяжести вблизи Луны постоянно и равно 1,62 м/с2). Ответ: «2 мин 4 с. 45.9D5.9). Ракета движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением w. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считая эффективную скорость ve истечения газов по- постоянной, определить время Г, за которое масса ракеты умень- уменьшится в два раза. Ответ: Т = ve\n 2/(w + g). 45.10D5.10). Эффективная скорость истечения газов из ракеты ие = 2,4 км/с. Какой процент должен составлять вес топлива от стартового веса ракеты, чтобы ракета, движущаяся вне поля тяго- тяготения и вне атмосферы, приобрела скорость 9 км/с? Ответ: Примерно 98%. 45.11D5.11). Ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истече- истечения газов ve = 2400 м/с. Определить число Циолковского, если в *) Числом Циолковского называется отношение стартовой массы ракеты к массе ракеты без топлива. ?34
момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м/с. Ответ: z « 6. 45.12D5.12). Тело переменной массы, имея начальную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением w по горизон- горизонтальным направляющим. Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, прой- пройденный телом до того момента, когда его масса уменьшится в k раз. Ответ: s = t;e2(ln kJ/Bw). 45.13D5.13). Решить предыдущую задачу, предположив, что на тело действует сила трения скольжения. о WV Ответ: s= 2iw + fgJ ^nk^9 где / — коэффициент трения скольжения. 45.14D5.14). Тело переменной массы движется по специальным направляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное уско- ускорение wx = а постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость ис- истечения газов ve = const. Каково должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую ско- скорость? Радиус Земли /?. Ответ: В ехр B <y/itRa/ve) раз; a = gf(An). 45.15D5.15). Определить в предыдущей задаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие бу- будет равно нулю. ( Ответ: mT = m0 45.16D5.16). Тело скользит по горизонтальным рельсам. Исте- Истечение газа происходит вертикально вниз с постоянной эффектив- эффективной скоростью ve. Начальная скорость тела равна i/0. Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону m = mo — at. Коэффициент трения скольжения равен /. Ответ: v = -ve[t\nm0+ m°~at (ln(/no-af)-l—gLflnmo- I))]}- 45.17D5.17). Решить предыдущую задачу, если изменение топ- топлива будет происходить по закону т = тое"ш. Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью v0. Ответ: v = vo — f(g — ave)t, s = vQt — f(g — ave)-^-t a = l?- 45.18D5.18). Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения за время разгона от нулевой начальной скорости до скорости, равной 335
эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve, если из- известна начальная масса ракеты т0 и секундный расход р? Ответ: s = —Vs* -—, где е — неперово число. 45.19D5.19). Ракета движется прямолинейно вне поля тяготе- тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальная масса ракеты т0, конечная — т\. Эффективная скорость истечения ve постоянна. Ответ: А = mxv\ (z — 1 — In z), z = mQ/mv 45.20D5.20). При каком отношении z начальной m0 и конечной Ш\ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при от- отсутствии сил тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как отношение кинетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значение? Ответ: z — корень уравнения In z = —^_ZI— # 45.21D5.21). Самолет, имеющий массу то, приземляется со ско- скоростью v0 на полярный аэродром. Вследствие обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле m = mo + at, где а = const. Сопротивление движению самолета по аэродрому пропорционально его весу (коэффициент пропорциональности f). Определить промежуток времени до оста- остановки самолета с учетом (Т) и без учета G\) изменения его массы. Найти закон изменения скорости с течением времени. 2m0v0 — fg Bm0 + at) t 2(mo + at) fg 45.22D5.22). Эффективные скорости истечения первой и второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны v(el) = = 2400 м/с и ^2) = 2600 м/с. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скорости v\ = 2400 м/с первой ступени и конечной скорости v2 = 5400 м/с второй ступени. Ответ: zx =2,72; z2 = 3,17. 45.23D5.23). Считая, что у трехступенчатой ракеты числа Циол- Циолковского и эффективные скорости ve истечения у всех трех ступе- ступеней одинаковы, найти число Циолковского при ve = 2,4 км/с, если после сгорания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/с (влия- (влиянием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь). Ответ: z = 3,49. 45.24D5.24). Трехступенчатая ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления атмосферы. Эффектив- Эффективные-скорости истечения и числа Циолковского для всех ступеней одинаковы и соответственно равны ve = 2500 м/с, z = 4. Опреде- Определить скорости ракеты после сгорания горючего в первой ступени, во второй и в третьей. Ответ: vi = 3465 м/с, v2 = 6930 м/с, vz = 10 395 м/с. 335
45.25D5.25). В момент, когда приближающийся к Луне косми- космический корабль находится на расстоянии Н от ее поверхности и имеет скорость vOt направленную к центру Луны, включается тор- тормозной двигатель. Учитывая, что сила тяготения обратно пропор- пропорциональна квадрату расстояния от корабля до центра Луны и принимая, что масса корабля изменяется по закону т = moe-at (т0 — масса ракеты в момент включения тормозного двигателя, а — постоянное число), найти а, при котором корабль совершит мягкую посадку (т. е. будет иметь скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истечения газов ve постоянна. Ра- Радиус Луны /?, ускорение силы тяжести на Луне #л- Ответ: a = 45.26D5.26). Найти закон изменения массы ракеты, начавшей движение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение w постоянно, а сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (Ь — коэффициент пропорциональности). Поле силы тяжести считать однородным. Эффективная скорость истече- истечения газа ve постоянна. Ответ: 2bv%w* Л —-—* bwL Л . 2vjbvr 2igbw2 (w+g? ' 45.27D5.27). Ракета перемещается в однородном поле силы тя- тяжести по прямой с постоянным ускорением w. Эта прямая обра- образует угол а с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверх- поверхности Земли в точке запуска ракеты. Предполагая, что эффективная ско- скорость истечения газов ve постоянна по величине и направлению, опреде- определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ра- ракеты без топлива (число Циолков- Циолковского), если к моменту сгорания топ- топлива ракета оказалась на расстоянии Я от указанной выше касательной пло- плоскости. cos а л ГЩ, Ответ: 2 = e°«cosp * sina, где р — угол, образуемый скоростью ve с касательной плоскостью, равный р = arctg w ^'"^ д s . 45.28D5.28). Тело переменной массы движется вверх с постоян- постоянным ускорением w по шероховатым прямолинейным направляю- направляющим, составляющим угол а с горизонтом. Считая, что поле силы тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы дви- движению тела иропорционально первой степени скорости (Ь — коэф- коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эф- Эффективная скорость истечения газа ve постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен /. 337
W\ 4 л / bwve \ T~ bw f,ve\ , Ответ: m = lm0 тг-\е e \t -1, где te;i = tie;-f- -f g(sina + /cosa), m0 — начальная масса тела. 45.29D5.29). Аэростат весом Q поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат дей- действует подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости: R = —pi:2. Вес единицы длины каната у. Составить уравнение движения аэростата. итвет. х g-t- Q + yx Q + yx x. 45.30D5.30). При условиях предыдущей задачи определить скорость подъема аэростата. В1 начальный момент аэростат непо- неподвижен и находится на высоте Но. 45.31D5.31). Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденса- конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверх- поверхности (коэффициент пропорциональности а). Начальный радиус капли го, ее начальная скорость и0, начальная высота Ло. Опреде- Определить скорость капли и закон изменения ее высоты со временем (сопротивлением движению пренебречь). Указание. Показать, что dr = adt, и перейти к новой независимой пере^ менной г. 4 —7 45.32D5.32). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еще и сила сопротивле- сопротивления, пропорциональная площади максимального поперечного сече- сечения и скорости капли R = —-4ряг2у (Р — постоянный коэффициент). [~- Dа+ЗР) 1 4а + ЭЗ +Voa JX где г = го +( 338 Го " J 2аDа + 3р) ' гов<в+в)]г"«(
45.33D5.33). Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь ле- лежит на краю горизонтального стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось х верти- вертикально вниз и принимая, что в начальный момент лс=О, x = 0f определить движение цепи. Ответ: х = gt2/6. 45.34D5.34). Цепь сложена на земле и одним концом прикреп- прикреплена к вагонетке, стоящей на наклонном участке пути, образую- образующем угол а с горизонтом. Коэффициент трения цепи о землю f. Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент v$. Определить скорость вагонетки в любоГ! момент времени и выяснить необходимое условие, при которой вагонетка может остановиться. х2 P2v2 Pg Г Р2 1 Ответ: — - 2(P + °yx)i +-37sina[l- (P+yx? J + Остановка может иметь место при выполнении неравенства / > >tga. 45.35D5.35). Материальная точка массы m притягивается по закону всемирного тяготения Ньютона, к неподвижному центру. Масса центра со временем меняется по закону М = ° Опре- Определить движение точки. Указание. Перейти к новым координатам с помощью соотношения ?-тт^Г' л=т+а и к пРиведенному вРемени т- Ответ: Уравнения движения в координатах ?, r\ имеют вид (/ — постоянная тяготения) т. е. отвечают обычным уравнениям в случае постоянных масс. Поэтому в зависимости от начальных условии в переменных g и ц имеют место эллиптические, параболические или гиперболические орбиты. 45.36D5.36). Для быстрого сообщения ротору гироскопа необ- необходимого числа оборотов применяется реактивный запуск. В тело ротора вделываются пороховые шашки общей массой /по, продукты сгорания которых выбрасываются через специальные сопла. При- Принять пороховые шашки за точки, расположенные на расстоянии г от оси вращения ротора. Касательная составляющая эффективной скорости истечения продуктов сгорания ve постоянна. Считая, что общий расход массы пороха в одну секунду ра- равен q, определить угловую скорость со ротора к моменту сгорания пороха, если на ротор действует постоянный момент сопротивле- сопротивления, равный М. Радиус ротора R. В начальный момент ротор на- находится в покое, 339
Ответ: со — -^~—— In -j-, где Jo = /р + m0r2, h — момент инерции ротора относительно оси вращения. 45.37D5.37). По данным предыдущей задачи найти угловую скорость ротора после сгорания пороха, если на ротор действует момент сопротивления, пропорциональный его угловой скорости (Ь — коэффициент пропорциональности). Яо/гезшй лЧстулень 45.38D5.38). Многоступенчатая ракета состоит из полезного груза и ступеней. Каждая ступень после израсходования топлива отделяется от остальной конструкции. Под субракетой понимается сочетание работающей ступени, всех неработаю- неработающих ступеней и полезного груза, при- причем для данной субракеты все нера- неработающие ступени и полезный груз яв- являются «полезным грузом», т. е. каж- каждая ракета рассматривается как одно- одноступенчатая ракета. На рисунке ука- указана нумерация ступеней и субракеты. Пусть q — вес полезного груза, Pi — вес топлива в /-й ступени, Q* — _, .,«„ сухой (без топлива) вес /-ступени, d — полный вес i-u субракеты. Вводя в рассмотрение число Циолковского для каждой суб- субракеты . _ at и конструктивную характеристику (отношение полного веса сту- ступени к ее сухому весу) для каждой ступени определить полный стартовый вес всей ракеты, вес k-й субракеты, вес топлива k-й ступени, сухой вес k-и ступени. Указание. При решении задачи ввести а* — «относительный вес» i-й суб- ракеты, т.е. отношение начального веса субракеты к весу ее полезного грузаз ai = G1/G2, а2 = G2IG3, ..., а* = Gnlq. Ответ: G\ = < г — z. Gk\ Qk = —згу- (формулы Фертрегта). 45.39D5.39). Двухступенчатая ракета предназначена сообщить полезному грузу q = 1 кН скорость v = 6000 м/с. Эффективные 340
скорости истечения газов у ступеней одинаковы и равны ve = = 2400 м/с. Конструктивные характеристики первой и второй сту- ступеней соответственно равны s\ = 4, s2 = 5 (см. задачу 45.38). Пре- Пренебрегая силой тяготения Земли и сопротивлением атмосферы, определить числа Циолковского для первой и второй субракет, при которых стартовый вес G\ ракеты будет минимальный. Ответ: z\ =3,12, г2 = 3,91, G, = 152 кН. 45.40D5.40). Используя данные предыдущей задачи, определить для каждой ступени вес топлива и сухой вес. Указание. Использовать формулы ответа к задаче 45.38. Ответ: Pi = 100,4 кН, Р2 = 10,5 кН, Q, = 33,5 кН, Q2 == 2,6 кН. 45.41D5.41). Четырехступенчатая ракета состоит из четырех ракет. Конструктивная характеристика s и эффективная скорость ve у всех ракет одинаковы и равны s=4,7, ие=2,4 км/с. Каков должен быть стартовый вес ракеты, чтобы она грузу в 10 кН со- сообщила скорость v =9000 м/с? (Воспользоваться формулами от- ответа к задаче 45.38.) Ответ: 3720 кН. ГЛАВА XI АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА § 46. Принцип возможных перемещений 46.1D6.1). Груз Q поднимается с помощью домкрата, который приводится в движение рукояткой ОЛ = 0,6 м. К концу рукоятки, перпендикулярно ей, приложена сила Р= 160 Н. А К задаче 46.1 К задаче 46.2 Определить величину силы тяжести груза Q, если шаг винта домкрата h = 12 мм. Ответ: Q = 52,2 кН. 46.2D6.2). На маховичок коленчатого пресса действует вра- вращающий момент М; ось маховичка имеет на концах винтовые на- 341
резки шага h противоположного направления и проходит через две гайки, шарнирно прикрепленные к двум вершинам стержневого ромба со стороною а; верхняя вершина ромба закреплена непо- неподвижно, нижняя прикреплена к горизонтальной плите пресса. Определить силу давления пресса на сжимаемый предмет в мо- момент, когда угол при вершине ромба равен 2а. Ответ: Р = п — ctg а. 46.3D6.3). Определить зависимость между модулями сил Р и Q в клиновом прессе, если сила Р приложена к концу рукоятки длины а перпендикулярно оси винта и рукоятки. Шаг винта ра- равен А. Угол при вершине клина равен а. Ответ: Q = Л\\\\\\\\\\\\\\\^^^^ К задаче 46.3 46.4D6.4). Рисунок представляет схему машины для испыта- испытания образцов на растяжение. Определить зависимость между уси- усилием X в образце К и расстоянием х от груза Р массы М до его нулевого положения О, если при помощи груза Q машина уравновешена так, что при нулевом положении груза Р и при отсутствии усилия в К все рычаги горизонтальны. Даны расстояния 1\, h и е. Ответ: X = Mg —,—. в* 2 46.5D6.5). Грузы К ц L, соединенные к задаче 46.5 системой рычагов, изображенных на ри- рисунке, находятся в равновесии. Опре- Определить зависимость между массами грузов, если дано: ON 1_ РЕ _ 1 PF ~ ю ' _ ВС ON РЕ {L — -ACm ОМ ес вс 1 ОМ ~ 3 Ответ: DF '"* 300 "**• 46.6D6.6). Определить модуль силы Q, сжимающей образец Л, в рычажном прессе, изображенном на рисунке. Дано: F = 100 Н, а = 60 см, Ь — 10 см, с = 60 см, d = 20 см. 342
Ответ: Q = 1800Н. 46.7D6.7). На платформе в точке F находится груз массы М. Длина АВ = а; ВС = Ъ, CD = с; IK = d\ длина платформы EG = = L. Определить соотношение между длинами Ь, с, d, /, при кото- и F с ;г. 1 У///////У////////^ d /У//У////г К задаче 46.6 К задаче 46.7 ром масса пг гири, уравновешивающей груз, не зависит от поло* жения его на платформе, и найти массу гири m в этом случае. Ответ: =±, т-±М. 46.8D6.8). К ползуну А механизма эллипсографа приложена сила Р, направленная вдоль направляющей ползуна к оси враще- вращения О кривошипа ОС. Какой вращающий момент надо приложить К КРИВОШИПУ ОС ДЛЯ ТОГО, ЧТОбы механизм был в равновесии в по- положении, когда кривошип ОС образует с направляющей ползу- ползуна угол ф? Механизм расположен в горизонтальной плоскости, при- причем ОС = АС = СВ = 1. Ответ: М = 2Pl cos <p. 46.9D6.9). Полиспаст состоит 0>! из неподвижного блока А и из п подвижных блоков. Определить в случае равновесия отношение массы М поднимаемого груза к силе Р, приложенной к концу ка- каната, сходящего с неподвижного блока А Ответ: Mg/P = 2п. 46.10D6.10). В кулисном механизме при качании рычага ОС вокруг горизонтальной оси О ползун Л, перемещаясь вдоль ры- рычага ОС, приводит в движение стержень АВ, движущийся в вер- вертикальных направляющих К. Даны размеры: OC = Ry OK = L Какую силу Q надо приложить перпендикулярно кривошипу ОС в точке С для того, чтобы уравновесить силу Р, направленную вдоль стержня АВ вверх? Ответ: QeTF3?9- К задаче 46.8 343
46.11. Кулак К массы Mi находится в покое на гладкой гори- вонтальной плоскости, поддерживая стержень АВ массы М2у ко- который расположен в вертикальных направляющих. Система нахо- находится в покое под действием силы F, приложенной к кулаку К по горизонтали направо. Определить модуль силы F, если боковая по- поверхность кулака образует с го- горизонтом угол а. Найти также ^ К задаче 46.10 К задаче 46.11 область значений модуля силы F в случае негладкой горизонталь- горизонтальной плоскости, если коэффициент трения скольжения между осно- основанием кулака К и горизонтальной плоскостью равен /. Ответ: 1) F=M2gtga, 2) M2g tg a - f (Mi +M2)g'<F< M2g tg а + / (Af i + M2) g. 46.12. Круговой кулак К массы М\ и радиуса R стоит на не- негладкой горизонтальной плоскости. Он соприкасается с концом А в К задаче 46.12 К задаче 46.13 стержня АВ массы М2, расположенного в вертикальных направ- направляющих. Система находится в покое под действием силы F, при- приложенной к кулаку по горизонтали направо. При этом АМ = А« Найти область значений модуля силы F, если коэффициент тре- трения скольжения кулака о горизонтальную плоскость равен /. Ответ: 46.13. Круглый эксцентрик А массы М\ насажен на неподвиж- неподвижную горизонтальную ось О, перпендикулярную плоскости рисунка. 344
Эксцентрик поддерживает раму В массы М2, имеющую верти- вертикальные направляющие. Трением пренебречь. Эксцентриситет ОС = а. Найти величину момента то, приложенного к эксцентри- эксцентрику, если при покое материальной системы ОС образует с горизон- горизонталью угол а. Ответ: то = (М\ + M2)ga cos а. 46.14D6.11). В механизме домкрата при вращении рукоятки А длины R начинают вращаться зубчатые колеса 1, 2, 3, 4 и 5, ко- которые приводят в движение зубчатую рейку В домкрата. Какую силу надо приложить перпендикулярно рукоятке в конце ее для К задаче 46.14 К задаче 46.15 того, чтобы чашка С при равновесии домкрата развила давление равное 4/8 кН? Радиусы зубчатых колес соответственно равны: Г1=3 см, г2 = 12 см, г3 = 4 см, г4 == 16 см, г5=3 см, длина ру- рукоятки R = 18 см. Ответ: P = 46.15D6.12). Дифференциальный ворот состоит из двух жестко связанных валов А и В, приводимых во вращение рукояткой С длины R. Поднимаемый груз D массы М прикреплен к подвиж- подвижному блоку ?, охваченному канатом. При вра- вращении рукоятки С левая ветвь каната сматы- сматывается с вала А радиуса гь а правая ветвь наматывается на вал В радиуса г2 (r2>ri). Какую силу Р надо приложить перпендику- перпендикулярно рукоятке в конце ее для того, чтобы уравновесить груз Д если М = 720 кг, г\ = = 10 см, г2 = 12 см, R = 60 см? Ответ: P = Mg =118 Н. К задаче 46.16 46.16D6.13). В механизме антипараллело- антипараллелограмма ABCD звенья АВ, CD и ВС соединены цилиндрическими шарнирами В и С, а цилиндрическими шарни- шарнирами А и D прикреплены к стойке AD. К звену CD в шарнире С приложена горизонтальная сила Fc. Определить модуль силы FB, приложенной в шарнире В перпендикулярно звену АВ, если ме- механизм находится в равновесии в положении, указанном на 345
рисунке. Дано: AD = ВС, AB=CD, ZJlBC = ZADC = 90°\ /LDCB = 30°. Ответ: FB = 2 Fc. 46.17D6.14). Кривошипно-ползунный механизм ОАВ связан в середине шатуна АВ цилиндрическим шарниром С со стержнем CD. Стержни CD и DE соединены цилиндрическим шарниром D. Определить зависимость между модуля- модулями сил Fa и Fz>, соответственно перпен- перпендикулярных стержням ОА и DE, при равновесии механизма в положении, ука- указанном на рисунке. Дано: ZDCB = 150°, ZCDE = 90°. Ответ: FD = 4FA. 46.18D6.15). Колодочно-бандажный тормоз вагона трамвая состоит из трех тяг АВ, ВС и CD, соединенных шарни- шарнирами В и С. При действии горизонталь- горизонтальной силы F тормозные колодки К и L, соответственно прикрепленные к тягам АВ и CD, прижимаются к колесу. Опре- Определить силы давления Nk и Nl колодок на колесо. Размеры ука- указаны на рисунке. Вагон находится в покое. К задаче 46.17 Ответ: NK=F a+b л; p a b + d b. L b d 46.19D6.16). На рисунке изображена схема колодочно-бандаж- ного тормоза вагона трамвая. Определить зависимость между а, A .F { V J fri ? С К задаче 46.18 К задаче 46.19 & и с, при наличии которой колодки А и В под действием силы F прижимаются с одинаковыми по модулю силами к бандажам ко- колес С и D. Найти также величину этой силы. Колеса считать неподвижными. ^ a a + b + c ~ j? a + b Ответ: т = , У — ^-^— • 46.20D6.17). Найти массы М\ и М2 двух грузов, удерживаемых в равновесии грузом массы М на плоскостях, наклоненных к го- горизонту под углами аир, если грузы с массами М\ и М2 прикреп- прикреплены к концам троса, идущего от груза с массой М\ через блок Оь 346
насаженный на горизонтальную ось, к подвижному блоку О, и за- затем через блок О2, насаженный на ось блока О\, к грузу массы Af2. Блоки О\ и Ог — соосные. Трением, а также массами блоков и троса пренебречь. ^ гл М лл М Ответ: Д|1=я——. Af.^-ajj. 46.21D6.18). К концам нерастяжимой нити привязаны грузы А и В одинаковой массы. От груза А нить проходит параллельно К задаче 46. 20 К задаче 46.21 горизонтальной плоскости, огибает неподвижный блок С, охваты- охватывает подвижный блок D, затем огибает неподвижный блок Е, где к другому концу нити привязан груз В. К оси подвижного блока D подвешен груз К массы М. Определить массу М\ каждого из грузов А и В и коэффициент трения скольжения f груза А о горизонтальную плоскость, если система грузов находится в по- покое. Массой нити пренебречь. Ответ: М{=М/2; f = l. 46.22D6.19). Составная бал- балка AD, лежащая на трех опо- опорах, состоит из двух балок, \ZQkHc \ JL 60кН В 2а ЗОкН 2а шарнирно соединенных в точ- точке С. На баЛКу ДеЙСТВуЮТ К задаче 46.22 вертикально силы, равные 20 кН, 60 кН, 30 кН. Размеры указаны на рисунке. Определить реакции опор Л, В и D. Ответ: RA = l0 кН, RB = 105 кЙ, Re = -5 кН. в ?% V/. К задаче 46.24 46.23D6.20). Определить вращающий момент, который надо приложить на участке BD к балке AD, рассмотренной в предыду- предыдущей задаче, для того, чтобы опорная реакция в D равнялась нулю. Ответ: М = 20а кН-м. 46.24D6.21). Составная балка АЕ, лежащая на двух опорах А и С, состоит из трех балок АВ, BD и DEt шарнирно соединенных 347
в В и D. Балка DE в сечении Е защемлена в стене. Определить вертикальную составляющую реакции в сечении Е. К балкам при- приложены четыре равные вертикальные силы Р. Размеры указаны на рисунке. Ответ: R = 0,5Р. 46.25D6.22). Определить момент тЕ пары, возникающей в за- заделке балки DEy рассмотренной в предыдущей задаче. Ответ: /Л? = 0. 46.26. Балки АВ и BD соединены цилиндрическим шарниром В. Горизонтальная балка АВ защемлена в вертикальной стене се- сечением А. Балка BD, опирающаяся о гладкий выступ ?, образует с вертикалью угол а. Вдоль балки BD действует сила F. Опреде- Определить горизонтальную составляющую реакции в защемленном се- сечении А. Массой балок пренебречь. Ответ: RAx = F sin a. В 2а ^ а ^ К задаче 46.26 К задаче 46.27 46.27. Две горизонтальные балки АВ и BD соединены цилинд- цилиндрическим шарниром В. Опора D стоит на катках, а сечение А за- защемлено в стенке. К балке BD в точке К приложена сосредото- сосредоточенная сила F, образующая угол а с горизонтом. Размеры указаны на рисунке. Определить составляющие реакции в защемленном 0,60м К задаче 46.28 сечении А и реактивный момент гпр пары, возникающей в этом сечении. Массой балок пренебречь. Ответ: Rax = ^cos a, RAy = W2F sin а, mp = Fa sin а. 46.28D6.23). Железнодорожный кран опирается на рельсы, укрепленные на двух горизонтальных двухпролетных балках с 348
промежуточными шарнирами. Кран несет груз Р = 30 кН, сила тяжести крана Q = 160 кН. Определить момент реактивной пары в заделке в положении крана, указанном на рисунке. Ответ: МА = — lMU95Q + 3,60Р) = — 210 кН-м. 46.29D6.25). Каркас платформы состоит из Г-образных рам с промежуточными шарнирами С. Верхние концы рам жестко за- защемлены в бетонную стену, нижние — опираются на цилиндриче- цилиндрические подвижные опоры. Опреде- Определить вертикальную реакцию за- защемления при действии сил Pi и Р2. Ответ: YA = Pi — Р2ЛД К задаче 46.29 К задаче 46.30 46.30D6.26). Две балки ВС и CD шарнирно соединены в С, цилиндрическим шарниром В прикреплены к вертикальной стойке АВ, защемленной в сечении Л, а цилиндрическим шарниром D со- соединены с полом. К балкам приложены горизонтальные силы Pi и Рг. Определить горизонтальную составляющую реакции в сече- сечении А. Размеры указаны на рисунке. Ответ: R = P{ + 1/2Р2. 46.31D6.27). Определить момент пгд реактивной пары, возни- возникающей в заделке А стойки АВ, рассмотренной в предыдущей за- задаче. Ответ: mA=(Pi + l/2P2)h. 46.32D6.28). Две фермы / и //, соединенные шарниром Д при- прикреплены стержнями /// и IV с помощью шарнира С к земле; в точках А и В они имеют опоры на катках. Ферма / нагружена вертикальной силой Р на рас- расстоянии а от опоры А. Найти реакцию катка В. Указание. Предварительно определить положение мгновенных центров скоростей Сг и С2 ферм / и//. Ответ: RB = P-j- DC2 , где Ь — плечо реакции RB относительно мгновенного центра С2. Реакция RB направлена перпендикулярно плоскости скольжения катка В слева направо вниз, К задаче 46.32 349
§ 47. Общее уравнение динамики 47.1D7.1). Три груза массы М каждый соединены нерастяжи- нерастяжимой нитью, переброшенной через неподвижный блок А. Два груза лежат на гладкой горизонтальной плоскости, а третий груз подве- подвешен вертикально. Определить ускорение системы и натяжение нити в сечении ab. Массой нити и блока пре- пренебречь. Ответ: w=l/zg, T=l/^Mg. 47.2D7.2). Решить предыдущую задачу с учетом массы блока, считая, что при движе- движении грузов блок А вращается вокруг непо- неподвижной оси. Масса блока — сплошного одно- к задаче 47.1 родного диска — равна 2М. Ответ: w = 1/& Т = l/iMg. 47.3D7.3). Два груза массы Mi и М2 подвешены на двух гиб- гибких нерастяжимых нитях, которые навернуты, как указано на ри- рисунке, на барабаны, имеющие радиусы гх и г2 и насаженные на общую ось; грузы движутся под влиянием силы тяжести. Опреде- Определить угловое ускорение е барабанов, пренебрегая их массами и массой нитей. 47.4D7.4). При условии предыдущей задачи определить угло- угловое ускорение в и натяжения Тг и Т2 нитей, принимая во внимание массы барабанов, при сле- следующих данных: Мх = = 20 кг, М2 = 34 кг, гх = = 5 см, г2 = 10 см; массы барабанов: малого 4 кг и большого 8 кг. Массы ба- барабанов считать равно- равномерно распределенными по их внешним поверх- ностям. Ответ: 8 = 49 рад/с2, 7\=246 Н, Г2=167 Н. 47.5D7.5). К системе К задаче 47.6 блОКОВ, ИЗОбраЖвННОЙ НЯ рисунке, подвешены гру- грузы: Mi массы 10 кг и М2 массы 8 кг. Определить ускорение w% груза М2 и натяжение нити, пренебрегая массами блоков. Ответ: ш2 = 2,8 м/с2, 7 = 56,1 Н. 47.6D7.6). К нижнему шкиву С подъемника приложен вращаю- вращающий момент М. Определить ускорение груза А массы Ми подни- поднимаемого вверх, если масса противовеса В равна М2, а шкивы С и D радиуса г и массы Л13 каждый представляют собой однородные цилиндры. Массой ремня пренебречь. К задаче 47.3 К задаче 47.5 350
Ответ: w = 1Ш (Af\ + м2 + л*3) г # 47.7D7.7). Вал кабестана — механизма для передвижения гру- грузов— радиуса г приводится в движение постоянным вращающим моментом Af, приложенным к рукоятке АВ. Определить ускорение груза С массы /л, если коэффициент трения скольжения груза о горизонтальную плоскость равен /. Массой каната и кабестана пре- пренебречь. Огает: „_«=ЙЕ. 47.8D7.8). Решить предыдущую-за- предыдущую-задачу с учетом массы кабестана, мо- момент инерции которого относительно оси вращения равен /. ~ г (М —- fmgr) Ответ: w= К]+1гп/). 47.9D7.9). Груз А массы М\у опускаясь по наклонной гладкой плоскости, расположенной под углом а к горизонту, приводит во вращение посредством нерастяжимой нити барабан В массы М2 и радиуса г. Определить угловое ускорение барабана, если считать барабан однородным круг- круглым цилиндром. Массой не- неподвижного блока С и нити пренебречь. Ответ: г= ,ffifff^ • 47.10D7.10). Человек толкает тележку, приложив к ней горизонтальную силу F. Определить ускорение К задаче 47.7 К задаче 47.9 К задаче 47.11 кузова тележки, если масса кузова равна Afi, M2 — масса каждого из четырех колес, г — радиус колес, /к — коэффициент трения ка- качения. Колеса считать сплошными круглыми дисками, катящи- катящимися по рельсам без скольжения. F- Ответ: w = тт (Л 47.11D7.11). Каток А массы М\у скатываясь без скольжения по наклонной плоскости вниз, поднимает посредством нерастяжимой нити, переброшенной через блок В, груз С массы М2. При этом блок В вращается вокруг неподвижной оси О, перпендикулярной его плоскости. Каток А и блок В — однородные круглые диски оди- одинаковой массы и радиуса. Наклонная плоскость образует угол а с горизонтом. Определить ускорение оси катка. Массой нити пре- пренебречь. ^ Mi sin a — М2 Ответ: w — g плл , АЛ . 351
47.12D7.12). Груз В массы М\ приводит в движение цилиндри- цилиндрический каток А массы М2 и радиуса г при помощи нити, намотан- намотанной на каток. Определить ускорение груза В, если каток катится без скольжения, а коэффициент трения качения равен /к. Массой блока D пренебречь. Ответ: w = 8g 8 47.13D7.13). Стержень DE массы Mi лежит на трех катках Л, В и С массы М2 каждый. К стержню приложена по горизонтали Е F К задаче 47.12 К задаче 47.13 вправо сила F, приводящая в движение стержень и катки. Сколь- Скольжение между 'стержнем и катками и также между катками и го- горизонтальной плоскостью отсутствует. Найти ускорение стержня DE. Катки считать однородными круглыми цилиндрами. Ответ: w== шХш, • 47.14D7.14). Определить ускорение груза М2> рассмотренного в задаче 47.5, с учетом массы блоков — сплошных однородных дисков массы 4 кг каждый. Ответ: w2 = 0,7 м/с2. 47.15D7.15). Груз А массы М\, опускаясь вниз, посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок D и намотанной на шкив В, заставляет вал С катиться без скольже- скольжения по горизонтальному рельсу. Шкив В радиуса R жестко насажен на вал С ра- радиуса г; их общая масса равна М2, а радиус инерции относительно оси О, перпендикулярной плоскости рисунка, равен р. Найти ускорение груза А. Массой нити и блока прене- пренебречь. К задаче 47.15 М, {R — гJ Ответ: w = g———Ж(^т?г. 47.16D7.16). Центробежный регулятор вращается вокруг вер- вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со. Определить угол отклонения ручек ОА и ОВ от вертикали, принимая во вни- внимание только массу М каждого из шаров и массу М\ муфты С, все стержни имеют одинаковую длину /. 352
_ Ш + М,) g Ответ: С08ф= тУ* • 47.17D7.17). Центробежный регулятор вращается с постоянной угловой скоростью ©. Найти зависимость между угловой ско- скоростью регулятора и углом а отклонения его стержней от вер- вертикали, если муфта массы М\ отжимается вниз пружиной, находя- находящейся при а = 0 в недеформированном состоянии и закрепленной верхним концом на оси регулятора; массы шаров равны М2, длина стержней равна /, оси подвеса стержней отстоят от оси регулятора К задаче 47.16 СО К задаче 47.17 на расстоянии а; массами стержней и пружины пренебречь. Коэф- Коэффициент жесткости пружины равен с. ~ 9 Щ\ + ЛШ g + 2/с A — cos a) . Ответ: аг = . ' , f .—г -tga. М2(а + I sin a) & 47.18D7.18). Центробежный пружинный регулятор состоит из двух грузов А и В массы М каждый, насаженных на скрепленный со шпинделем регулятора гладкий горизон- горизонтальный стержень муфты С массы Ми тяг дли- длины I и пружин, отжимающих грузы к оси вра- вращения; расстояние шарниров тяг от оси шпин- шпинделя равно е\ с — коэффициент жесткости пру- пружин.. Определить угловую скорость регулятора при угле раствора а, если при угле а0, где ао < а, пружины находятся в ненапряжен- ненапряженном состоянии; массой тяг и трением пре- пренебречь. Ответ: <o= hg tg a + 2с/ (sin a — sin a0) 2M (e + / sin a) ' 47.19D7.19). В регуляторе четыре груза одинаковой массы Mi находятся на концах к задаче 47.19 двух равноплечих рычагов длины 2/, которые могут вращаться в плоскости регулятора вокруг конца шпинделя О и образуют с осью шпинделя переменный угол ф. В точке Л, нахо- щейся от конца шпинделя О на расстоянии ОА = а, со шпинделем шарнирно соединены рычаги АВ и АС длины а, которые в точках \2 И. В. Мещерский 353
В и С в свою очередь сочленены со стержнями BD и CD длины а, несущими муфту D. В точках В и С имеются ползунки, скользя- скользящие вдоль рычагов, несущих грузы. Масса муфты равна М2. Регу- Регулятор вращается с постоянной угловой скоростью о>. Найти связь между углом и угловой скоростью о> в равновесном положении регулятора. Ответ: Равновесное положение регулятора возможно только при (О = /2gM* Л/ М,/2 независимо от угла <р. § 48. Уравнения Лагранжа 2-го рода 48.1D8.1). Передача вращения между двумя валами осуще- осуществляется двумя зубчатым^ колесами, имеющими соответственно Z\ и z2 зубцов, моменты инерции валов с насаженными на них колесами соответственно равны J\ и /2. Составить уравнение дви- движения первого вала, если на него действует вращающий момент Mi, а на другой вал — момент сопротивления М2. Трением в под- подшипниках пренебречь. Ответ: (Ji + i2j2) ф= М\ — iM2, где i = Z\/z2. 48.2. Барабан Б центрифуги приводится во вращение электро- электродвигателем ЭД через двухступенчатый редуктор. Заданы момент инерции /о электродвигателя, момент инерции /г барабана, момент инерции /i промежуточного вала редуктора, передаточные числа /oi и 1\2 ступеней К задаче 48.2 К задаче 48.3 редуктора. К ротору электродвигателя приложен вращающий момент Mq и момент сил сопротивления М'о, к валу редуктора и к барабану — моменты сил сопротивления М[ и М'2 соответ* ственно. Составить дифференциальное уравнение вращения бара- барабана центрифуги. ^ Ответ: {J,i\i\2 + lxi\2 + J2) ф = (Af0 - Af J) /1C/12 - M[tl2 - M'r 48.3. Привод электромобиля состоит из электродвигателя ЭД и одноступенчатого редуктора с передаточным числом /. Составить дифференциальное уравнение движения электромобиля, если /0 — момент инерции ротора электродвигателя, J\ — момент инерции каждого из четырех колес, имеющих радиус г, m — суммарная масса электромобиля, М — вращающий момент электродвигателя, 354
ЛГ—момент сил сопротивления на валу электродвигателя, F — суммарная сила сопротивления движению электромобиля. Ответ: (т+«±+4°Л« М~М' ir 48.4. Электродвигатель ЭД стабилизирующего привода уста- установлен на вращающейся раме, положение которой задается уг- углом ф. Шестерня 1 на валу электродвигателя обкатывается вокруг шестерни 2, связанной с неподвижным основанием. Составить дифференциальное уравнение движения рамы, если J\—момент инерции рамы вместе с электро- электродвигателем, /о — момент инерции ротора электродвигателя, i\%—пе- i\%—передаточное число пары шестерен, К задаче 48.4 К задаче 48.5 Мо — вращающий момент электродвигателя, М'о — момент сил сопротивления на валу электродвигателя, М[ — момент сил, при- приложенных к раме вокруг ее оси. 48.5D8.3). Определить движение груза массы га, висящего на однородном тросе массы т\ и длины /; трос навернут на барабан радиуса а и массы ni2\ ось вращения горизонтальна; трением пре- пренебречь, массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. В начальный момент / = О система находилась в покое, длина свисавшей части троса /0. Указание. Пренебречь размерами барабана по сравнению с длиной све- свешивающейся части троса. ответ: ^- 48.6D8.4). В эпициклическом механизме бегающая шестеренка радиуса г\ насажена на кривошип с противовесом, вращающийся вокруг оси неподвижной шестеренки под действием приложенного момента М. Определить угловое ускорение вращения кривошипа и окружное усилие S в точке касания шестеренок, если расстояние 12* Э55
между осями шестеренок равно /, момент инерции кривошипа с противовесом относительно оси вращения кривошипа равен JOf масса бегающей шестеренки /щ, момент инерции шестеренки отно- относительно ее оси Ju трением пренебречь, центр масс шестеренки и кривошипа с противовесом находится на оси вращения криво- кривошипа. Ответ: е = - ! 48.7D8.5). В планетарном механизме колесо с осью Ох непо- неподвижно; к рукоятке О\Ог приложен вращающий момент М\ меха- механизм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса од- однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами г и пренебре- пренебрегая массой рукоятки. Ответ: е, = -55—г- К задаче 48.6 К задаче 48.7 48.8D8.18). Бегуны /С, К приводятся в движение от вала дви- двигателя при помощи передачи, схема которой показана на рисунке. Масса одного бегуна равна 3 т, средний радиус R = 1 м, радиус вращения г = 0,5 м. Считаем, что мгновен- мгновенная ось вращения бегуна проходит через среднюю точку С обода. Отношение радиу- радиусов колес конической передачи от двигателя к вертикальному валу равно 2/3. Бегун счи- считаем однородным диском радиуса R и пре- пренебрегаем массой всех движущихся частей по сравнению с массой бегунов. Вычислить, какой постоянный вращающий момент дол- должен быть приложен на валу двигателя, что- чтобы сообщить вертикальному валу угловую скорость 120 об/мин по истечении 10 с от момента пуска двигателя; силами сопро- к задаче 48 8 тивления пренебречь. Ответ: 3140 Н-м. 48.9D8.7). Груз М массы 101 кг поднимает с помощью полиспа- полиспаста груз Ми который вместе с подвижной обоймой имеет массу 320 кг. Всех блоков четыре, большие блоки имеют массу по 16 кг, малые — по 8 кг, радиусы больших блоков равны г, радиусы ма- малых равны п. Определить ускорение груза М. При определении 356
энергии блоков предполагаем, что массы их равномерно распре- распределены по окружности. Ответ: 0,lg. 48.10D8.9). В машине для статического уравновешивания ро- роторов подшипники наклонены под углом а к вертикали. Ротор, помещенный в подшипник, имеет момент инерции / (относительно своей оси) и несет неуравнове- неуравновешенную массу m на расстоянии г от оси. Написать дифференциаль- дифференциальное уравнение движения ротора и определить частоту малых ко- . лебаний около положения равно- равновесия. Ответ: (mr2 + /) ф + + mgr sin a sin ф = 0, fe = где ф — угол mgr sin a mr2 + J поворота ротора. 48.11D8.19). Однородный ко- конус катится по шероховатой пло- плоскости, наклоненной под углом а к горизонту. Длина образующей конуса /, угол раствора 2р. Соста- Составить уравнение движения конуса. Указание. За обобщенную координату принять угол Ф, образованный соприкасающейся образующей с прямой наибольшего наклона плоскости. g sip a \м, К задаче 48.9 К задаче 48 Ю Ответ: ft + • sin ft = 0. /(cos2p+ 1/5) 48.12D8.10). Материальная точка массы m движется под влия- влиянием силы тяжести по циклоидальной направляющей, заданной уравнением s = Aa sin cp, где s — дуга, отсчитываемая от I точки О, а ф — угол каса- "| тельной к циклоиде с гори- зонтальной осью. Опреде- лить движение точки. Ответ: К задаче 48.12 К задаче 48.13 где А и фо—постоянные ин- интегрирования. 48.13D8.11). Составить уравнение движения маятника, состоя- состоящего из материальной точки М массы т, подвешенной на нити, навернутой на неподвижный цилиндр радиуса а. Длина свисающей в положении равновесия части нити равна I. Массой нити прене- пренебречь. Ответ: (I + aft) ft + aft2 + g sin ft = 0, где ft — угол отклонения маятника от вертикали. 357
48.14D8.12). Составить уравнение движения маятника, состоя- состоящего из материальной точки массы га, подвешенной на нити, длина которой изменяется по произвольно заданному закону l — l(t). Ответ: ф + 2 ~ ф + -у- sin ф = 0, где ф — угол отклонения нити от вертикали. 48.15D8.14), Точка подвеса маятника, состоящего из матери- материальной точки массы га на нерастяжимой нити длины /, движется по заданному закону | = ?о(О по наклонной прямой, образующей угол а с горизонтом. Составить уравнение движения маятника. Ответ: ф -f- / sin ф -j—I- cos (ф — <х) = 0. 48.16D8.15). Два вала, находящихся в одной плоскости и обра- образующих между собой угол а, соединены шарниром Кардана. Мо- менты инерции валов рав- ™2^ ны J\ и /г. Составить уравнение движения пер- первого вала, если на него действует вращающий момент Mi, а к другому валу приложен момент сопротивления Мг. Тре- Трением в подшипниках пре- пренебречь. Ответ: Обозначая через ф угол поворота первого вала, имеем К задаче 48.16 ЛУ2 sin2 a cos2 a sin 2ф . 2 ф A-sin2 a cos2 фK ф ~ cos а If _ sin2 a cos 48.17D8.8). Кривошипный механизм состоит из поршня массы гаь шатуна АВ массы гаг, кривошипа ОВУ вала и махового колеса; ]2 — момент инерции шатуна относительно его центра масс С; /3 — момент инерции кривошипа ОВ, ва- вала и махового колеса относительно оси; Q — площадь поршня, р — дав- давление, действующее на поршень, / — длина шатуна; 5 — расстояние между точкой А и центром масс ша- шатуна; г — длина кривошипа ОВ\ М — момент сопротивления, дей- действующий на вал. Составить урав- уравнение движения механизма, считая малым, т. е. полагая sin "ф = ф и cos *ф =¦ 1; К задаче 48.17 угол поворота шатуна ф ф j ; в качестве обобщенной координаты взять угол поворота криво- кривошипа ф. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Ответ: [(пгх + щ) г2 sin2 Ф + (J9 + mxs2) (уJ cos2 ф + /3] ф + [i + Щ) г2 — (/2 + m{s2) (jJ] cos ф sin фф2 = — М + pQr sin q>.
48.18D8.20). По однородному стержню массы М и длины 2а, концы которого скользят по гладкой, расположенной в горизон- горизонтальной плоскости окружности радиуса /?, движется с постоянной относительной скоростью v материальная точка массы /п. Опреде- Определить движение стержня. В начальный момент материальная точка находится в центре масс стержня. Ответ: ft — #<> = С arctg , где ftQ и С — произвольные постоянные. 48.19D8.21). Концы однородного тяжелого стержня АВ длины 2а и массы М скользят без трений по горизонтальному и верти- вертикальному стержням рамки, вращающейся с постоянной угловой скоростью © вокруг вертикальной стороны. Составить уравнение движения стержня и определить положение относительного рав- равновесия. Ответ: -j МаЧ — ~ М®2а2 sin ft . cos * — Mga sin ft = 0, где ft — угол, образуемый стержнем с вертикалью. В положении равнове- равновесия ft = 0 (неустойчивое равновесие). К задаче 48.18 К задаче 48.19 К задаче 48.20 48.20D8.22). К окружности диска радиуса R шарнирно присо- присоединен рычаг, несущий на своих концах сосредоточенные массы rrt\ и гпъ Расстояния масс от шарнира соответственно равны 1\ и /2. Диск вращается около вертикальной оси, перпендикулярной его плоскости, с угловой скоростью со. Составить уравнение движения рычага и определить его относительное положение равновесия. Массой рычага пренебречь. Ось вращения рычага параллельна оси вращения диска. Решить также задачу в предположении, что диск зращается в вертикальной плоскости (учесть действие силы тя- тяжести). Ответ. Для вращения вокруг вертикальной оси (m\l\ + m2ll) Ф — R<*>2 (fn\h — m2/2) cos (if — ©/) = 0. При mi/i = m2/2 рычаг в безразличном относительном равно- равновесии. При гп\1\ ф m<ih существуют два положения относительного 359
равновесия, при которых ф = ©< ± я/2, т. е. рычаг направлен по радиусу. Для вращения вокруг горизонтальной оси {tn\l\ + т2/!) ф — /?ю2 (т\1х — m2l2) cos (я|) — со/) + (га^ — m2l2) g sin г|э = 0. При mi/i =^= m2/2 относительное равновесие невозможно. 48.21D8.24). Тонкий диск массы М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материаль- материальная точка массы т. Уравнения относительного движения точки в декартовых координатах х и у, связанных с диском и имеющих начало в его центре масс, заданы в виде x = x(t), y = y(t). Мо- Момент инерции диска относительно его центра масс равен /. Опре- Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен. Тм W ~ **> = тМ _|_ где хо.уо.хо.уо — значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени. 48.22D8.25). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса R движется материальная точка с относитель- относительной скоростью v = at. Найти закон движения диска. Ответ- щ— тМ Ra t2— P t2 m + M где ф — угол поворота диска, a g и ц — координаты центра масс диска в неподвижной декартовой системе, имеющей начало в центре инерции системы. 48.23D8.26). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по прямолинейному стержню ЛВ, вращающемуся с постоянной угловой скоростью о) вокруг неподвижной вертикальной оси. Стержень АВ образует угол а с горизонталью. Найти закон дви- движения точки. Ответ: Расстояние движущейся точки от точки пе- пересечения прямой с вертикальной осью -ю* cos а i Ж- sm a ^ 2 2 г I' />03f cos / v> \t> К задаче 48.23 где С\ и С2 — постоянные интегрирования. 48.24D8.27). Материальная точка массы т движется по круго- круговой рамке радиуса а, которая вращается с постоянной угловой скоростью о вокруг вертикального диаметра АВ. Составить урав- уравнение движения точки и определить момент М, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости. 360
Ответ: ft + (-Ц- — со2 cos ft) sin ft = О, М = 2raa2 sin ft cos ft • coft. 48.25D8.41). Тело массы га может вращаться вокруг горизон- горизонтальной оси OiO2, которая в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью (о вокруг вертикальной оси ОС. Центр масс тела G лежит на расстоянии I от точки О3 на прямой, перпенди- перпендикулярной OiO2. Предполагая, что оси О\О2 и OZG являются глав- главными осями инерции тела в точке О3, составить уравнение движе- движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны Л, В, С. Ответ: АЬ + (о2(С — В) sin ft cos ft = — mg/sinft, где ft — угол поворота вокруг О\О2. К задаче 48.24 К задаче 48.25 К задаче 48.26 48.26D7.20). Однородная нить, к концу которой привязан груз Л массы т, огибает неподвижный блок В> охватывает подвиж- подвижный блок С, поднимается вверх на неподвижный блок D и прохо- проходит параллельно горизонтальной плоскости, где к ее концу привя- привязан груз Е массы га. К оси блока С прикреплен груз К массы п%\. Коэффициент трения скольжения гру- груза Е о горизонтальную плоскость ра- равен f. При каком условии груз К бу- будет опускаться вниз, если начальные скорости всех грузов равнялись нулю? Найти ускорение груза /С. Массами блоков и нити пренебречь. Ответ: тх > гаA +/)> W = Р" г~о • к задаче 48.27 mi -f- 2tn 48.27D7.21). Два груза D и Е массы т каждый пр-ивязаны к концам нерастяжимой нити. Эта нить от груза Е идет через неподвижный блок Л, затем охватывает подвижный блок В, воз- возвращается вверх на неподвижный блок С, соосный с блоком Л, проходит параллельно гладкой наклонной плоскости, где к концу нити привязан груз D. Наклонная плоскость образует угол а с горизонтом. К подвижному блоку В прикреплен груз К массы т\. 361
Коэффициент трения скольжения груза Е о горизонтальную пло- плоскость равен /. Массами блоков и нити пренебречь. Выяснить условие, при котором груз К будет опускаться. Найти ускорение этого груза. В начальный момент скорости всех грузов равнялись нулю. /* . ч mi —m(f+sin а) Ответ: mi>m(/ + sina), w = g mx + 2m • 48.28D7.22). Призма А массы m скользит по гладкой боковой грани призмы В массы mi, образующей угол а с горизонтом. Опре- К задаче 48.28 К задаче 48.29 делить ускорение призмы В. Трением между призмой В и горизон- горизонтальной плоскостью пренебречь. ~ m sin 2a Ответ: w = g 2(mi + msin2a) - 48.29D7.23). На гладкой горизонтальной плоскости помещена треугольная призма ABC массы т, которая может скользить без трения по этой плоскости; по грани призмы АВ катится без сколь- скольжения однородный круглый цилиндр массы пг\. Определить ускорение призмы. Ответ: Ускорение направлено влево и равно Ш\ sin 2a & 3 (m + mi) — 2mi cos2 a * 48.30D7.24). Через блоки А и В с непо- неподвижными осями переброшен шнур, поддер- поддерживающий подвижный блок С; части шнура, не лежащие на концах, вертикальны. Блок С нагружен гирей массы т = 4 кг, к концам шнура прикреплены грузы массы mi =2 кг и т2 = 3 кг. Определить ускорения всех трех грузов, пренебрегая массами блоков и шнура и трением на осях. 113 Ответ: w = -jy g (вверх), w\ = -jy g (вверх), w2 = j^gХвниз). 48.31D7.25). Грузы М\ и М2 одинаковой массы m движутся по двум наклонным направляющим ОА и 05, расположенным в вертикальной плоскости под углами а и р к горизонту; нить, со- соединяющая эти грузы, идет от груза М\ через блок О, вращаю- вращающийся около горизонтальной оси, охватывает подвижный шкив Q, К задаче 48.30 362
несущий груз М массы ти и затем через блок Оь надетый на ту же ось, что и блок О, идет к грузу М2. Блоки Ох и О соосные. Определить ускорение w груза М, пренебрегая трением, а также массами блока, шкива и нити. ~ т\ — т (sin a + sin В) Ответ: w = 8 ^f^ *L. 48.32D7.26). Решить предыдущую задачу, заменив /Грузы М\ и М2 катками массы m и радиуса г каждый. Катки считать сплош- сплошными однородными круглыми дисками. Коэффициент трения ка- качения катков о наклонные плоскости равен /к. Нити закреплены на осях катков. Ответ. w = g mi —- m I sin a + sin p 4- — (cos a + cos P) I nt\ + 2m 48.33D7.27). Дана система из двух блоков, неподвижного А и подвижного В, и трех грузов Afi, M2 и М3, подвешенных с по- помощью нерастяжимых нитей, как указано на рисунке. Массы гру- грузов соответственно равны /щ, пг2 и тз, при этом т\ < пг2 + тг К задаче 48.31 К задаче 48.33 йтгё гпъ- Массами блоков пренебречь. Найти, при каком соот- соотношении масс гп\, гп2 игпз груз Mi будет опускаться в том случае, когда начальные скорости грузов равны нулю. mflz Ответ: Должно быть пгх > f /и 2 + 48.34D8.45). Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка ска- скатывается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к гори- горизонту под углом а и параллельной платформе тележки; образую- образующие цилиндра перпендикулярны линиям наибольшего ската плат- платформы. Масса тележки без колес М, масса всех колес т, масса цилиндра Мь колеса считать однородными сплошными дисками. °Твет: W - ем + бт + 2М, 8 Sin a- 368
48.35D8.37). Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна М\ массы ти скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика М2 массы тг, со- соединенного с ползуном стержнем АВ длины /. Стержень может вращаться вокруг оси Л, связанной с ползуном и перпендикулярной плоскости У рисунка. Массой стержня пренебречь. л Определить период малых колебаний эл- эллиптического маятника. Ответ: -jj- [(tnx + /ф + cos щ + g sin ф — 0, cos <p] =0, К задаче 48.35 т, 48.36D7.28). При наезде тележки А на упругий упор В начи- начинаются колебания подвешенного на стержне груза D. Составить дифференциальные уравнения движения материальной системы, если гп\ — масса тележки, гп2—масса груза, I — длина стержня, с — коэффициент жесткости пружины упора В. Массой колес и зсеми силами сопротивления пренебречь. Начало отсчета оси х К задаче 48.36 К задаче 48.37 взять в левом конце недеформированной пружины. Определить период малых колебаний груза при отсутствии упора В. Массой стержня пренебречь. Указание. Пренебречь членом, содержащим множитель ф2, считать с=0, sin ф ж ф, соэф « 1. Ответ: (т{ + т2) х + т21ф cos ф — т2Щ2 sin ф = — сх, 48.37D7.32). По неподвижной призме Л, расположенной под углом а к горизонту, скользит призма В массы т2. К призме Б, посредством цилиндрического шарнира О и спиральной пружины с коэффициентом жесткости с, присоединен тонкий однородный стержень OD массы т\ и длины /. Стержень совершает колебания вокруг оси О, перпендикулярной плоскости рисунка. Положения призмы В и стержня OD определены посредством координат 5 и ф. Написать дифференциальные уравнения движения материальной 364
системы, состоящей из призмы В и стержня OD, пренебрегая си- силами трения. Определить период малых колебаний стержня OD, если migl cos2 a < 2с. Указание. Считать sin ф « ф, cos (Ф -f- a) » cos а — ф sin а, затем пре- пренебречь членами, содержащими множители ф2 и ф-ф. Ответ: {mx+m7)s + '2 m№2 sin (Ф + а) — у т^Ф cos (ф + а)= = (mi + т2) g sin а, — ащ/2ф — -5- т^5 cos (<р + а) = — mxgl sin ф — cqp, mi [mi A + 3sin2a) + 4m2] б (т, + m2) Bc - mxgl cos2 a) " 48.38D7.34). Решить задачу 48.37, считая, что призма А массы т3 движется по гладкой горизонтальной плоскости, а ее положение определяется координатой х. Ответ: (mx + m2 + m3) x + (mt + m2) s cos a + mi у ф2 sin ф — (тх — ^1о"Ф cos (ф + а) = (щ + Щ) g sin а, у тх12ф — у гп\1х cos ф — у m^s cos (ф + а) = у m^Z sin ф — сф. 48.39D7.30). Материальная точка А массы т\ движется в вер- вертикальной плоскости по внутренней гладкой поверхности непо- неподвижного цилиндра радиуса /. Материаль- Материальная точка В массы т2, присоединенная к точке А посредством стержня АВ длины /, может колебаться вокруг оси Л, перпенди- перпендикулярной плоскости рисунка. Положения точек А и В определены с помощью углов а и ф, отсчитываемых от вертикали. Соста- Составить дифференциальные уравнения движе- движения системы. Написать дифференциальные уравнения малых колебаний системы. Мас- Массой стержня АВ пренебречь. Указание. Пренебречь членами, содержащими множители ф2 и а2, а также считать зт(ф — а) « ф— а, соз(ф— а) « 1, sin а « а, sin ф « ф. Ответ: (пгх 4- m2) Id + Щ1ф cos (q> — a) — m2lq>2 sin (ф — a) = — (mi + m2) g sin a, Щ + Id cos (ф — a) + /d2 sin (ф — a) = — g sin ф, (mx + m2) Id + ш2Щ = — (mx + пц) ga9 Щ + Id = — ?ф. 48.40D8.40). Шероховатый цилиндр массы m и радиуса г ка- катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра 365
массы М и радиуса /?, могущего вращаться около своей горизон- горизонтально расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров отно- относительно своих осей равны тг2^ и MR2. Составить уравнения дви- движения системы и найти их первые интегралы. Ответ: MR2 <> — ^ mR [(/? — г) ф - ##] = Сь | ш —г)ф— где ф — угол поворота отрезка, соединяющего оси цилиндров, а # — угол поворота внешнего цилиндра. К задаче 48.40 X К задаче 48.41 48.41D8.48). Однородный диск радиуса /?, имеющий массу Му может вращаться вокруг своей горизонтальной оси О. К диску на нити АВ длины / подвешена материальная точка массы т. Соста- Составить уравнения движения системы. Ответ: (т + -~) #2ф + rnRl cos (ф — -ф) ф + rnRl sin (ф — -ф) -ф2 + + mgR sin ф = О, R cos (ф — ф) ф + /ф — R sin (<р — ф) ф2 + g sin t|) = 0, где ф — угол поворота диска, а ф — угол отклонения нити от вер- вертикали. 48.42D8.49). Диск системы, описанной в предыдущей задаче, вращается с постоянной угловой скоростью ©. Составить уравне- уравнение движения материальной точки. Ответ: -ф — ©2 -у- sin (со/ — -ф) + у- sin -ф = 0. 48.43D8.31). Составить уравнения движения математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия I, ее жесткость равна с. Найти движение маятника для случая малых колебаний. В качестве обобщенных координат взять угол ф отклонений маятника от вертикали и от- относительное удлинение нити г. 366
Ответ: A + z) ф + 2гф + j- sin qp = О, f (l-cosq>) = 0, где Л, а, В, \ V * 'У Р — произвольные постоянные. 48.44D8.33). Один конец нерастяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра радиуса /?, второй конец прикреплен к неподвижной точке О. Цилиндр, разматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонталь- горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити. Пре- Пренебрегая массой нити, оставить дифференциальные уравнения движения цилиндра. Ответ: р — /?ф — тг рф2 = -о- g cos ф, о о -$f (Р2Ф) — #Р<Р2 = ~ g9 sin ф. 48.45D8.34). Пользуясь результатами, полученны- полученными при решении предыдущей задачи, составить диф- дифференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при v " 4 r\ m m /л к К задаче 48.44 / = О, р = ро, Ф = Фо Ф 0. Ответ: -7г-1 = 0, где 48.46D8.35). Определить движение системы, состоящей из двух масс гп\ и Ш2, насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох), массы связаны пружиной жесткости с и могут двигаться поступа- f j л А А А А А А А тельно вдоль стержня; расстояние между цен- центрами масс при ненапря- ненапряженной пружине равно /; начальное состояние си- системы при * = 0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров масс: хх = 0, к\ = и0, х2 = /, х2 = 0. —— sin kt^, К задаче 48.46 x2-l=- ' tTii 48.47D8.43). Система, состоящая из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг общей нормальной к ним оси О\О2 длины I, катится по горизонтальной плоскости. Колеса связаны пружиной жесткости с, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса М; С— мо- 367
мент инерции колеса относительно оси вращения, А — момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения дви- движения системы и определить движение, отвечающее начальным условиям ф1 =0, ф1 = 0, фг = 0, ф2 = о) (ф1, фг — углы поворота колес). Массой оси пренебречь. Ответ: ф1 = -^- (Ы — 4г sm k = 48.48. Механизм робота-минипулятора состоит из колонны для вертикального перемещения, устройства для горизонтального пе- «L К задаче 48.47 К задаче 48.48 ремещения, состоящего из звеньев / и 2, и выдвигающейся гори- горизонтальной руки со схватом 5. Массы звеньев механизма гп\, т2 и /п3. Движущие силы, создаваемые приводами в поступательных парах, равны соответственно Fo\, Л2 и ^2з- Составить дифферен- дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь. Ответ: Ш3^ = /72з> (щ-\-Щ)у = Р\2> (т, + /п2 + т3) 5 = FOi — (m\ + ^2 + ^з) ё- 48.49. Механизм робота-манипулятора состоит из поворотной колонны U устройства для вертикального перемещения 2 и выдви- выдвигающейся руки со схватом 3. Момент инер- инерции звена / относительно оси поворота J\\ масса звена 2 /пг, момент инерции относи- относительно оси поворота /г; масса двигающейся руки со схватом /п3, расстояние от оси по- поворота до центра масс р, момент инерции относительно центральной оси /3. К оси по- поворота приложен момент М, движущие силы, создаваемые приводами в поступа- поступательных парах, равны соответственно Fi2 и F23. Составить дифференциальные уравнения движения механизма. Трением пренебречь. Ответ: -?- [(/j + /2 + /3 + mzp2) ф] = М, (пг2 + /и3) z = Fi2 — (w2 + Щ) g> гпь (р — рф2) = ^з- К задаче 48.49 368
48.50. Вертикальная колонна /, несущая руку робота-манипуля- робота-манипулятора, может поворачиваться на угол <р. Рука со схватом поворачи- поворачивается на угол О и выдвигается на расстояние г. Момент инерции вертикальной колонны относительно оси вращения ]\\ звенья 2 и 3 считать тон- тонкими однородными стержнями длины /2 и /3 и массы т2 и т3; масса переносимо- переносимого груза т. К вертикальной оси враще- вращения приложен момент Мф, к оси поворо- поворота второго звена — момент М<& движу- движущая сила, создаваемая приводом в по- поступательной паре, /гз. Составить диф- дифференциальные уравнения движения ме- механизма. Трением пренебречь. к задаче Ответ: --[(Л + ± m2ll + J(г) sin2#) ф] = Мф, где / (г) = т3 (г2 - г/3 + х) + 48.51D8.50). Колесо катится без скольжения по горизонталь- горизонтальной плоскости. Радиус колеса а, его масса М\ С — момент инер- инерции колеса относительно оси, проходящей перпендикулярно пло- плоскости колеса через его центр; А — момент инерции колеса отно- относительно его диаметра. Составить уравнения движения колеса. Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для не- голономных систем. Ответ: -~ (Л-ф sin2 #) — С (ф + -ф cos #) * sin ft = 0, (С + ma2) -jj (ф + -ф cos #) — пга2Щ sin f> = 0, (A + ma2) * — Л-ф2 sin d cos d + + (C+ ma2) (ф + Ф cos #) ij) sin # = — mga cos Ф, где ф — угол поворота колеса вокруг оси, перпендикулярной его плоскости; О — угол наклона плоскости колеса к горизонту, ф — азимут вертикальной плоскости, содержащей диаметр колеса и проходящей через точку касания. 48.52D8.51). Конденсаторный микрофон состоит из последова- последовательно соединенных катушки самоиндукции L, резистора сопро- сопротивления R и конденсатора, пластины которого связаны двумя пружинами общей жесткости с. Цепь присоединена к источнику питания с постоянной э. д. с. Е, а на пластину конденсатора дей- действует переменная сила Р&). Емкость конденсатора в положении
равновесия системы Со, расстояние между пластинами в этом по- положении а, масса подвижной пластины конденсатора т. Ввести электрические и механические обобщенные координаты и соста- с вить уравнения движения системы в r ^wq форме Лагранжа. Указания. 1. Потенциальная энергия конденсатора равна V = q2/ BC) (С — ем- емкость конденсатора, q — заряд на его обклад- обкладках); электрокинетическая энергия вычисляет- вычисляется по формуле Т = lkLP (L — коэффициент dq самоиндукции, i = -~ сила тока в цепи). 2. За обобщенные координаты принять из- изменение заряда конденсатора q и смещение К задаче 48.52 пружин из положения равновесия. Тогда пол- полный заряд будет q0 + q, а полное смещение Хо + х\ здесь <7о — заряд конденсатора, а х0 — смещение пружин от нейтраль- нейтрального положения в положение равновесия системы. Е а2 Ответ: пгх + сх — — q — -^ = Р (/), 48.53D8.52). Определить частоты малых свободных колебаний конденсаторного микрофона, описанного в предыдущей задаче. Со- Сопротивлением резистора пренебречь. Отвег: кг2 = - —Y m C0L) E2 V2 V m ' C0L~ V\m C0L) ' " a2mL 48.54D8.54). Изображенная на рисунке система отвечает прин- принципиальной схеме электромагнитного датчика акселерометра. Масса якоря Af, общая жесткость пружин с. Самоиндукция катушки изменяется вследствие изменения воздушного зазора в магнитопроводе L = L(x) (x — вертикаль- вертикальное смещение якоря из положения, когда пружины не напряжены). К катушке при- присоединена электрическая цепь, состоящая из элемента с заданной э. д. с. ?, сопротив- сопротивление цепи равно R. Составить уравнения движения системы и определить ее положение равновесия. Указание. За обобщенные координаты принять смещение х якоря и за* ряд <7» соответствующий току i в цепи (i = dq/dt). К задаче 48.54 Ответ: Уравнения движения: -\^q*+ cx= Mg. В «положении равновесия» х = х0 и i = q = io> где /0 = \ { dL \ 2 370
48.55D8.55). Составить уравнения малых движений вблизи по- положения равновесия электромагнитного датчика, описанного в предыдущей задаче. Указание. За обобщенные координаты взять изменение заряда е и вер- вертикальное перемещение якоря из положения равновесия |. Функцию L(x) раз- разложить в ряд I = L(xo -f-|) = Lo + Lil + ... и ограничиться в этом ряду первыми двумя членами. Ответ: Loe + Re + Lxi& = 0; М% + с\ — Lxi& = 0. 48.56D8.56). Основание датчика, описанного в задаче 48.54, совершает малые вертикальные колебания по закону ? = g0 sin со/. Определить закон движения якоря и ток в электрической цепи датчика. Ответ, i = ^o {R (с - Мсо2) cos с - Mv>2)] sin + (R2 + LW (с - Mcd2)] sin где Д = #2 (с 48.57D8.57). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с концентрическими по- полюсами А, создающего радиальное поле, и якоря массы Af, опи- опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с катушкой, К задаче 48.57 у//////////////////////////////////, К задаче 48.58 состоящей из п витков, и с механическим демпфером, сопротивле- сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент со- сопротивления Р); средний радиус катушки г; ее самоиндукция L, сопротивление У?, магнитная индукция в зазоре магнита В. К за- зажимам катушки приложено переменное напряжение V(t). Соста- Составить уравнения движения системы. Указание. Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и магнита, равны QQ = —2я rn Bx, Qx = 2лга Bq (Qq — электродвижущая сила, индуцированная в электрической цепи, a Qx — сила взаимодействия катушки с магнитом). Ответ: Lq + Rq + 2пгпВх = V (/), Мх + $х + сх — 2nrBq = 0. 48.58D8.58). К основанию сейсмометра с индукционным преоб- преобразователем прикреплена катушка из п витков радиуса г, соеди- соединенная с электрической регистрирующей системой, схематизируе- схематизируемой цепью с самоиндукцией L и сопротивлением R. Магнитный 371
сердечник, создающий радиальное магнитное поле, характеризуе- характеризуемое в зазоре магнитной индукцией Ву опирается на основание с помощью пружин общей жесткости с. На сердечник действует так- также сила сопротивления, пропорциональная его скорости, вызывае- вызываемая демпфером, создающим силу сопротивления $х. Составить уравнения, определяющие перемещение сердечника и ток в цепи в случае малых вертикальных колебаний основания сейсмометра по закону I = go sin oof. Указание Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки и магнита, даются формулами Qq = —2птВх и Qx = 2nrnBq. Ответ: Мх + $х + сх — 2nrnBq = Ц + Rq + 2лгпВх = 0. sin oo/, § 49. Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби— Гамильтона, принцип Гамильтона — Остроградского 49.1D9.1). Трубка АВ вращается с постоянной угловой ско- скоростью со вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней угол а. Б трубке находится пружина жесткости с, один конец которой укреплен в точке Л; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы пгу скользящее без трения вну- внутри трубки. В недеформированном со- состоянии длина пружины равна АО = I. Приняв за обобщенную координату 1 bfif К задаче 49.2 расстояние х от тела М до точки О, определить кинетическую энергию Т тела М и обобщенный интеграл энергии. Ответ: Т = \ m [х2 + (I + хJ ©2 sin2 a], пгх 2 — xf oo2 sin2 а + сх2 + 2mg cos ax = /г, где h — постоянная интегрирования. 49.2D9.2). Найти первые интегралы движения сферического маятника длины /, положение которого определяется углами 9 и ф. Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате ¦ф (интеграл моментов количества движения относительно оси z) i ij) sin2 0 = п\
2) интеграл энергии: б2 + ty2 sin2 8 — 2-у-cos 6 =/г, где п и Л — постоянные интегрирования. 49.3D9.3). Гироскопический тахометр установлен на платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью и вокруг оси ?. Определить первые интегралы движения, если коэффициент жест- жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центральных осей ху у, z соответственно равны Л, В и С, причем В = А\ силы трения на оси z собственного вращения гироскопа уравновешиваются моментом, создаваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; си- силами трения на оси прецессии у пренебречь. К задаче 49.3 К задаче 49.5 ф Ответ: 1) Интеграл, соответствующий циклической координате (интеграл моментов количества движения относительно оси г): + и sin 9 = /г; 2) обобщенный интеграл энергии: у [(Сф2 + Л62) - (Си2 sin26 + А и2 cos2 9)] + у с№ = h. 49.4D9.4). Материальная точка М соединена с помощью стержня ОМ длины / с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой ско- скоростью со. Определить условие устойчивости нижнего вертикаль- вертикального положения маятника, период его малых колебаний при выве- выведении его из этого положения и обобщенный интеграл энергии, Массой стержня пренебречь. Ответ: 1) со2<-?; 2) Т= . 2я .-; 3) ф2 — G>2sin2(p — 49.5D9.5). Уравновешенный гироскоп в кардановом подвесе движется по инерции. Определить кинетическую энергию системы и первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси вращения g равен 373
/ь моменты инерции внутренней рамки относительно главных цен- центральных осей х, у, z равны J'x, Jy, J'z, а соответствующие моменты инерции гироскопа — Jx, Jy и Jz (Jx = Jy). Ответ: 1) T - ± {ft + ГЖ + (ГХ+1Х- Q cos2 6] tf 2) интеграл, соответствующий циклической координате <р (ин- (интеграл моментов количества движения гироскопа относительно оси г): ф + ф sin 6 = я; 3) интеграл, соответствующий циклической координате ф (ин- (интеграл моментов крличества движения всей системы относительно оси g): 4) интеграл энергии: 49.6D9.8). Гироскоп установлен в кардановом подвесе. Вокруг осей ? и у вращения рамок подвеса действуют моменты внешних сил М% и Му. Игнорируя циклическую координату ф, найти 1) диф- дифференциальные уравнения движения для координат ф и 8, 2) гиро- гироскопические члены. (См. рисунок к задаче 49.5.) Ответ: 1) [h + Jz + Ox +Jx~ Уг) cos2 в] ^ - — 2 {Ух + Jx — Уг) cos Э sin вв-ф + ]гп cos 99 = М& (jy + Уу) ё + {Ух + JX — Уг) cos e sin еф2—jzn cos еф=му\ 2) /zaicos66, — /zai cos Эф. 49.7D9.9). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы m и длины /, положение которого определяется углом ср отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквива- эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения мате- математического маятника. Ответ: 1) H = ^-j^r —mgl cos у\ 2) ф = -^, /) = — mg/sin ф. 49.8D9.10). Материальная точка массы m подвешена с помо- помощью стержня длины / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянней угловой ско- скоростью © (см. рисунок к задаче 49.4). Составить функцию Гамиль- Гамильтона и канонические уравнения движения. Массу стержня не учи* тывать. Ответ: 1) # = ~-^--^ш2зт2ф 2) ф = -^2~' Р = ml2a>2 sin ф cos ф — mgl sin ф. 49.9D9.11). Вертикальное положение оси симметрии волчка, вращающегося относительно неподвижной точки О под действием 374
силы тяжести, определяется углами а и р. Исключив циклическую координату ф (угол собственного вращения), составить для углов <х и р функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна га, рас- расстояние от его центра масс до точки О равно /, момент инерции относительно оси симме- симметрии z равен С, а относительно осей х и у ра- равен А. Ответ: R = ~2J — Сп sin p<x + mgl cos a cos p, Я = -^[( tt+cos2nS1 + P|] + mglcosacosp, где п = ф— sin pa = const. (Здесь и в даль- дальнейшем СИМВОЛЫ Pa, Рв И Т. П. ОЗНачаЮТ Обоб- К задаче 49.9 щенные импульсы.) 49.10D9.12). Пользуясь результатами, полученными при реше- решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения. Ответ: a = 4 (Р« + СлР), Pa = mgla, р = -Jp Pft, 49.11D9.13). Положение оси симметрии z волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести, определяется углами Эйлера, углом прецессии я|) и углом нутации в. Составить функцию Гамильтона для уг- углов я|), 9 и ф (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если m — масса волчка, / — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции отно- относительно оси г, А — момент инерции от- относительно любой оси, лежащей в эква- экваториальной плоскости, проходящей через точку О. Ответ* Н = - 1 К задаче 49.11 Ф + Wg/ COS 0. 49.12D9.14). В условиях предыдущей задачи составить кано- канонические уравнения движения волчка. sine, 375 <р = - лtgвsine
49.13D9.15). Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона и найти его полный интеграл (ось у направлена вер- вертикально вверх). ~ dV . Ответ: —+ V = bxt + b2x±-L.aJ(- 2gy - 2ft! - btf + C, где fti, &2 и С — произвольные постоянные. Знак «+» следует брать при подъеме, знак «—» при спуске. 49.14D9.16). Пользуясь результатами, полученными при реше- решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравне- уравнения Якоби — Гамильтона, найти первые интегралы уравнений дви- движения точки. Ответ: |~- = / + j^J—2gy — 2bl—b\ = аи где аи а>2, Ь\ и &2 — произвольные постоянные. 49.15D9.17). Физический маятник массы М вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси. Момент инерции маятника отно- относительно ?той оси равен /, расстояние от центра масс маятника до оси равно /. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Га- Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движе- движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне оси маятника). Ответ: 1)^+^^2 2) V = bt ± л/2/ ^ л/Mglcosy — bdq>; Фо фо где а и & — произвольные постоянные интегрирования. 49.16D9.18). Движение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, в и ф. Пользуясь резуль- результатами решения задачи 49.11, составить уравнение в частных про- производных Якоби — Гамильтона и найти полный интеграл его. ^ п ^ , 1 fdV dV Qy l /dV Ответ: 1) —+ ^т-п?т^_-.—cosej + агЬв- 376
2) У = -2AmglcosbdQ. 49.17D9.19). Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, расстояние между которыми равно /. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить действие по Га- Гамильтону для малых колебаний струны. Предполагается, что колебания происходят в одной вертикальной плоскости ху и что j на струну действуют только силы на- \У тяжения, линейная плотность струны рав- равна р. к задаче 4917 $1 U о 49.18D9.20). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроград- Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить диф- дифференциальное уравнение колебаний струны. Ответ: F = fl2 ~j?~ где д2=="р"; гРаничные условия: (/@, /) = 49.19D9.21). Абсолютно гибкая однородная и не- нерастяжимая нить длины I подвешена за один конец в точке О. Определить действие по Гамильтону для малых колебаний нити около вертикали, происходя- происходящих под действием силы тяжести. Масса единицы длины нити равна р. Ш-г«-*> (*)> *• tl u К задаче 49.19 где у = у(х, t). 49.20D9.22). Пользуясь принципом Гамильтона — Остроград- Остроградского и результатами решения предыдущей задачи, составить диф- дифференциальное уравнение малых колебаний подвешенной за один конец нити. ~ д2у д Г/* \ ду 1 Ответ: ~ф"==§~^\\1 ~~х>дТу граничные условия: 0 = 0, 2)y(l,t)9 |М , ду_ dt конечны. 49.21. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, со- составить дифференциальное уравнение продольных колебаний тон- тонкого стержня, заделанного на одном конце и с массой m на другом конце, и получить граничные условия. Плотность материала стержня р, модуль продольной упругости ?, площадь поперечного сечения Рш длина L 377
г^ д2и п д2и -, JK Ответ: "ыГ = а ?h?-> где и (л:, t) — перемещение в направлении продольной оси, а= <у/Е/р; граничные условия: 49.22. Составить дифференциальное уравнение крутильных коле- колебаний стержня, заделанного на одном конце, с диском на другом конце. Плотность материала стержня р, модуль сдвига G, попереч- поперечное сечение — круг радиуса г, длина стержня I. Момент инерции диска Л Ответ: -щг — #2 ~л^г ¦ где #(л, /)—угол поворота поперечного сечения, а = л/G/p; граничные условия: * \XmsQ = 0, J-jjt = где Jp = nr4/2. 49.23. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, со- составить дифференциальное уравнение поперечных колебаний шар- нирно опертой балки, а также получить граничные условия. Плот- Плотность материала балки р, модуль продольной упругости ?, пло- площадь поперечного сечения F, момент инерции поперечного сечения /, длина балки /. Ответ: -щ- + с2-^- = 0, где v(x, t) — прогиб балки, с = Л/—б» • п °2<> I л . г\ d*v граничные условия: v \XeoQ = 0, ^j- = U, v \x^t = и, ^ 49.24. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского, по- получить граничные условия в задаче о поперечных колебаниях кон- консольной балки длины /. Ответ: v\XmsQ = 0, -^- =0, их \xt=t0 49.25. Пользуясь принципом Гамиль- Гамильтона — Остроградского, составить урав- к задаче 49.26 нения малых колебаний системы, состоя- состоящей из консольной балки длины I и груза массы т, прикрепленного к балке и к основанию пружинами жест- жесткости с. Плотность материала балки р, модуль продольной упру- упругости ?, площадь поперечного сечения F, момент инерции попереч- поперечного сечения /. 378 I = с (v \x=i — 2м). d*v I -0 EJ —
§ 50. Системы с качением. Неголономные связи 50.1. Показать, что условие качения диска без проскальзыва- проскальзывания по заданной кривой на поверхности выражается в виде конеч- конечного соотношения между обобщенными координатами. Ответ: s = гф, где s— путь, пройденный точкой контакта вдоль кривой, г — радиус диска, ср — угол поворота вокруг оси, ортого- ортогональной плоскости диска (<р = 0 при s = 0). К задаче 50.2 К задаче 50.3 50.2. Получить условие качения без скольжения тела, поверх- поверхность которого является цилиндрической поверхностью, по пло- плоскости. Указание. Считать заданным уравнение направляющей — кривой, которая получается в плоскости поперечного сечения цилиндрической поверхности в си- системе координат, жестко скрепленной с телом. В качестве параметров, опреде- определяющих положение сечения тела на плоскости, принять х, у— координаты по- полюса Л, угол 9 поворота системы координат Л|т|^, скрепленной с телом. Ответ: х — (?•* sin 9 + Л* cos 9) 9 = 0, у + (gK cos 9 —цк sin 9) 9 ==» = 0, где \к, Цк — координаты точки соприкосновения. 50.3. Решить предыдущую задачу в случае, когда направляющая ци- цилиндрической поверхности является эллипсом. Ответ: х + (a2 sin2 9 + Ь2 cos2 9I/* 9 = , 0 (а2 — Ь2) 9 sin 9 cos 9 ~ ^ ' /л2 Qin2 ft 4- Л2 гл*2 fl\Va ' (a2 sin2 9 -f b2 cos2 9)v* где х, у — координаты центра эллип- эллипса, а — большая, Ь — малая полуоси эллипса. В частном случае Ъ = а полу- получаем известное условие х + #9 = 0, У = 0 КачеНИЯ КруГОВОГО ЦИЛИНДра ПО К задаче 50.4 плоскости. 50.4. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилин- цилиндрической поверхности является параболой. Ответ: 2х + р9 sin 9 tg 9 = 0, 2у — р 9B + tg2 9) sin 9 = 0, где х, у — координаты вершины параболы |2 = 2р\\. 379
50.5. Решить задачу 50.2 в случае, когда направляющая цилин- цилиндрической поверхности является ветвью гиперболы. Ответ: х — (a2 cos2 9 — b2 sin2 вI/* в = 0, (а2-ffc2) 9 sin 6 cos 9 У — • = 0, (a2cos2 9 — Ь2 sin2 9I/з где х, у — координаты точки пересечения асимптот гиперболы 2/22/Ь2 1 У К задаче 50.5 К задаче 50.6 50.6. Получить условие качения без скольжения тела, ограни- ограниченного цилиндрической поверхностью, по цилиндрической поверх- поверхности. В качестве параметров, определяющих положение сечения тела на плоскости, принять s, 9, где s — длина дуги вдоль направ- направляющей (упорной поверхности, отсчитываемая от некоторой точки до точки К соприкосновения двух направляющих, 9 — угол между осью А ? системы координат Л|г], скреп- скрепленной с сечением тела, и касательной в точке /С Ж К задаче 50.8 где 1К, % —координаты точки К в си- системе координат Л|т]. 50.7. Решить предыдущую задачу в случае, когда по круговому цилиндру ра- радиуса г катится без скольжения цилин- цилиндрическое тело, направляющей которого является 1) эллипс, 2) па- парабола, 3) ветвь гиперболы. Ответ: 1) rdi|) = a2fe2(a2sin2e + &2cos2erV2de, 2) г dty = р cos 6 d9, 3) г dty = a2b2 (a2 cos2 9 — b2 sin2 9) ~*h Од. Смысл параметров такой же, как в задачах 50.3, 50.4, 50.5.- 50.8, В вариаторе угловой скорости (см. рисунок) расстояние диска радиуса г от оси горизонтального абсолютно шероховатого диска может изменяться по произвольному закону. Найти связь между углами поворота ф и i|) дисков. 380
Ответ: г dty = х dq>. Это соотношение в общем случае не инте- интегрируется. 50.9. Два шероховатых круговых конуса, оси которых парал- параллельны, соприкасаются при помощи колесика. Ось колесика па- параллельна образующим конусов. Колесико может перемещаться вдоль своей оси по произвольному закону. Найти связь между угло- угловыми скоростями вращения конусов, если а — угол между осью и об- образующей конуса, h — высота ко- конуса. Ответ: xq> = (— х J ф, где X — раССТОЯНИе КОЛеСИКа ОТ ВерШИ- К задаче 50.9 ны верхнего конуса. 50.10. Конек с полукруглым лезвием катится по льду. Написать условие отсутствия проскальзывания конька в поперечном на- направлении. Ответ: isinO— у cos 9 = 0, где х, у—координаты точки сопри- соприкосновения конька со льдом, 9 —угол между прямой пересечения плоскости конька с плоскостью льда и осью Ох. 50.11. Найти уравнение кинематической связи при качении диска радиуса а по абсолютно шероховатой плоскости, приняв в качестве параметров, опреде- определяющих положение диска, X К задаче 50.11 К задаче 50.13 1) координаты xc,yc,zc центра диска и углы Эйлера 9, -ф, ф, 2) коор- координаты х, у точки контакта диска с плоскостью и углы Эйлера 9, ф, ф. Ответ: 1) хс — #9 cos 0 sin -ф — аф sin 0 cos -ф — аф cos -ф = 0> ус + а9 cos 0 cos *ф — а-ф sin 9 sin -ф — аф sin -ф = 0, zc + ав sin 9 = 0. Последнее уравнение сводится к конечному соотношению zc = = a cos 9. 2) х = а фсозф, у = aq> sin -ф. 50.12. Решить предыдущую задачу для диска с острым краем, когда проскальзывание отсутствует лишь в поперечном направ- направлении. Ответ: 1) кс sin -ф — ус cos -ф — а9 cos 0 = 0, zc = a cos 9, 2) л: sin i|? — ^ cos -ф = 0. SSI
50.13. Колесо радиуса а с поперечной насечкой (шестерня) катится по плоскости так, что его ось всегда параллельна пло- плоскости. Найти уравнение кинематической связи. Указание. Поперечная насечка не препятствует скольжению колеса в на- направлении оси собственного вращения. Ответ: л: sin 8 — у cos 9 — аф = 0. 50.14. Шар радиуса а катается по абсолютно шероховатой по- поверхности. Найти уравнения кинематической связи в случаях, К задаче 50.14 когда поверхность представляет собой 1) плоскость, 2) цилиндр радиуса /?, 3) сферическую чашку радиуса R (R > а), 4) конус с углом а между осью и образующей. Указание. В качестве обобщенных координат выбрать координаты точки соприкосновения шара с поверхностью и углы Эйлера. Ответ: 1) к — а& sin ф + аф sin 6 cos ф = 0, у + аб cos ф + аф sin в sin -ф = 0; 2) (/?-а)у + а(фсозв + Ф) = 0, • z — аб cos (ф — у) — аф sin в sin («ф — у) = 0; 3) (R — а) \fo sin 01 + аё cos в! sin (-ф — ^) + аф sin 9i + + аф [cos 0 sin 8i — sin 9 cos fy cos (ф — ifo)J = 0, (R — a) 9! + ав cos (ф — Ф0 + аф sin в sin (у — ФО = 0; 382
4) Хд sin а + аВ cos a sin (ф — а) + я-ф si#n а + + аф [cos 6 cos а — sin 8 cos а cos (*ф — о)] = О, К — ав cos 0ф — а) + аф sin в sin (<ф — а) = 0. 50.15. Эллипсоид вращения (а — большая полуось, 6— малая полуось) катается по абсолютно шероховатой плоскости. Написать уравнение кинематической связи, приняв за обобщенные коорди- координаты х, у, 8, г|), ф, где х, у— координаты точки соприкосновения эллипсоида с плоскостью, 8, ф, ср — углы Эйлера. Ответ: (х sin <ф — у cos г|э) (a2 cos2 8 + б2 sin28)8^ — а2628 = 0, (х cos ib + у sin -ф> (а2 cos2 8 + б2 sin2 8p + 62ф sin 8 = 0. /x К задаче 50.15 К задаче 50.16 У 50.16. Тороидальное тело катается по абсолютно шероховатой плоскости, 6 — радиус кривизны меридиана тора на экваторе, а + Ь — радиус экваториальной окружности тора. Найти уравне- уравнения кинематической связи, приняв за обобщенные координаты х> У> 9, "Ф, Ф> где х, у — координаты точки соприкосновения тора с пло- плоскостью, 8 — угол наклона тора, ф — угол между следом средней плоскости тора и осью Ох, <р — угол собственного вращения тора. Ответ: х + ф (а + Ь cos 8) cos t|> + + 68 sin *ф = 0, У + Ф (a+b cos 8) sin ^ — 68 cos ib = 0. 50.17. Определить число обоб- обобщенных координат и число степеней свободы двухколесной тележки. Корпус тележки движется параллельно плоскости, по которой ка- катаются без скольжения колеса, свободно вращающиеся на общей оси, г — радиус колес, / — длина полуоси. Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, фЬ 8, которые свя- связаны двумя неинтегрируемыми соотношениями х cos 8 + У sin 8 — гф! — /8 = 0, х sin 8 — у cos 8 = 0. Система обладает двумя степенями свободы. 38а К задаче 50.17 /Л
50.18. Определить число обобщенных координат и число степе- степеней свободы гусеничного трактора, учитывая, что гусеницы обес- обеспечивают качение без скольжения лишь в продольном направле- направлении; г — радиус опорных колес, 2/— ширина колеи. Ответ: Четыре обобщенных координаты х, уу <pi, в, которые связаны одним неинтегрируемым соотношением JtcosO -\-y sin0 — — пр! — /9 = 0. Система имеет три степени свободы. У У К задаче 50.18 К задаче 50.19 50.19. Определить число обобщенных координат и число степе- степеней свободы буера. Ответ: Четыре обобщенных координаты х, у, 0, ф, которые свя- связаны двумя неинтегрируемыми соотношениями (х cos 8 + у sin 0) tg ф — а0 = 0, х sin 0 — у cos 0 = 0. Система имеет две степени свободы. 50.20. Абсолютно шероховатый диск радиуса г катится по пря- прямой. На диск опирается стержень, конец которого скользит по той же прямой. Определить число обобщенных координат и число степеней свободы системы, со- состоящей из диска и стержня. К задаче 50.20 К задаче 50.21 Ответ: Одна обобщенная координата, за которую можно при- принять угол 0 между стержнем и прямой. Остальные параметры, определяющие положение стержня и диска, выражаются через угол в при помощи конечных соотношений ? = /ctg@/2), x = = -2r(ctg@/2)+ 0/2)+ си Ф + ctgF/2) + в = с2. 50.21. Определить число обобщенных координат и число степе- степеней свободы системы, состоящей из трех шероховатых цилиндров. 384
Два одинаковых цилиндра радиуса г катаются по горизонтальной плоскости, а третий цилиндр радиуса R катается по этим двум цилиндрам. Ответ: Шесть обобщенных координат х, у, 9, ср, фЬ ср2, которые удовлетворяют четырем дифференциальным уравнениям: х — /?ф sin 9 — 9 (гф! — у) = О, у +/?фсо89 + 9(гф! — y)ctg 9 — 2гф! = 0, х sin (9 — а) — /?ф sin 9 sin (9 — а) + 2гф2 sin а sin (9 — а) — — 9 (гф2 + х sin а —¦ у cos а) sin 9 = 0, у sin (9 — а) + #ф cos 9 sin (9 — а) — 2гф2 cos а sin (9 — а) + + 9 (гф2 + х sin а — у cos а) cos 9 = 0. Система имеет две степени свободы. 50.22. Составить уравнения движения гусеничного трактора, описанного в задаче 50.18, при условии, что момент сил, переда- передаваемый от двигателя на левую гусеницу, равен M\(t), а на правую гусеницу — M2(t)% m — масса трактора. Массой гусениц и колес 21 К задаче 50.23 пренебречь; / — момент инерции трактора относительно вертикаль- вертикальной оси, проходящей через центр масс. Ответ: mrx = M2) cos 9, mry = (Mi + M2) sin 9, /г9 = I(M2 — Mi), гфх = хcosQ + у sinQ — IQ. 50.23. Показать, что железнодорожная колесная пара (скат) при качении по рельсам без скольжения имеет одну степень сво- свободы. Указание. За модель колесной пары принять тело, состоящее из двух одинаковых конусов, склеенных основаниями, рельсы считать геометрическими прямыми. Рассмотреть случай малых отклонений от прямолинейного движения. 13 И, В, Мещерский 385
Ввести неподвижную систему координат Oxyz и две подвижных системы Ax'y'z' и С?т]?, определяемые таблицами косинусов углов между осями х' у' *' I Л С I Л ? cosS —sinS 0 x' sin 6 cos в 0 y' 0 0 1 z' cost| 0 sintt 0 1 ) 0 —sin 0 cos cos 6 cos of —sin 6 —cos 6 sin sin 6 cos ф cos 6 —sin 6 sin sin ф 0 cos i|5. где 9, ф — углы Крылова; за обобщенные координаты принять у, 9, ф, <р, где у — ордината центра масс С, ф — угол поворота тела вокруг оси колесной пары. Ответ: Условия качения без скольжения имеют вид 9 —1|>ф = 0, -ф + Ф^-у- —^аI&а = 0' */ = ф(# — /tga). они интегрируются; колесная пара имеет одну степень свободы. 50.24. Однородный диск радиуса а и массы m катится без сколь- скольжения по горизонтальной плоскости. Составить уравнения движе- движения диска 1) в координатах Хс, ус, 0, -ф, ф, где Хс, ус— координаты центра масс диска, 0, г|), ср — углы Эйлера, 2) в координатах х, у, G, г|), ф, где х, у — координаты точки контакта диска с плоскостью, в, 'Ф, ф — углы Эйлера (см. задачу 50.11); 3) в квазикоординатах р, q, r, являющихся проекциями вектора мгновенной угловой ско- скорости вращения диска на главные оси центрального эллипсоида инерции; Л, С—главные центральные моменты инерции диска. л 1Ч d dL , d dL . Ответ: V-di-dxj = h> чг-д^ = х» ——. — = — a(Xi sin г|э — Х2 cos г|э) cos 0, dt dv dv 7- = — a(Xi cos г|э + Х2 sin г|э) sin 0, at alp -Zf-jr- = — a (A»i cos -ф + X2 sin г|э), xc — ав cos 0 sin г|э — a-ф sin 0 cos *ф — аф cos г|з = 0> yc + ав cos 0 cos г|э — a-ф sin 0 sin -ф — аф sin г|э = О, где Хь ^2—неопределенные множители, L — функция Лагранжа, L = -^- т {х2с + у\ + а2в2 sin2 0) + -|- А @2 + it2cos2 0) + + -о" С (*ф sin 0 + фJ — mg"a cos 0; О\ d dL —7 d dL —\ d IL. dL — П d dL —П a* CJC at otf at u\j O\j at atp ±r -Ц- = - a (x, cos ф + я2 sin л: — аф cos if = 0, f/ — аф sin -ф = О, 386
где Хи ^2 — неопределенные множители, L — функция Лагранжа, L = -Lm[i2 + ^2+a2@2+,jJsin2e) + + 2ах (9 cos 6 sin ф + -ф sin 9 cos ip) — — 2ay (9 cos 9 cos a|> — ij) sin 9 sin <ф)] + |,4 (92 + <ф2 cos2 9) + + y С (ij> sin 9 + фJ — mga cos 9; 3) (A+ma2)p + Aq4gQ — (C + ma2) qr-=mga sin 9, Aq +Cpr — ApqtgQ = 0 (C + ma2)r + pq = 0, 9 = p. После того, как эти уравнения проинтегрированы, обобщенные ко- координаты лг, */, ф, ф находятся из соотношений х = аф cos\|), (/ = аф5Ш'ф. 50.25. Используя решение предыдущей задачи, найти все воз- возможные стационарные движения диска. Указание. Стационарные движения диска отображаются состояниями равновесия в пространстве (9, Q, со), где Q = ф, со = ф + ф sin 9. Ответ: Состояния равновесия в пространстве (9, Q, ©) обра- образуют поверхность П, уравнение которой (С + ma2)Qa> — АН2 sin 9 + + rnga sin 9 = 0, представляющую двумерное многообразие ста- стационарных движений диска. На этой поверхности точки прямой 6 = Q = 0 соответствуют такому качению диска по прямой, при котором плоскость диска сохраняет вертикальное положение. Точки прямой 9 = © = 0 соответствуют верчению диска вокруг неподвиж- неподвижного вертикального диаметра. Все остальные точки поверхности П соответствуют круговым движениям. 50.26. Найти условия устойчивости движения диска 1) при ка- качении диска по прямой, когда плоскость диска вертикальна; 2) при верчении диска вокруг неподвижного вертикального диаметра; 3) при качении диска по окружности, когда плоскости диска вер- вертикальны. Указание. Использовать решение задачи 50.24 C) и задачи 50.25. Ответ: 1) *>«>,- 3) Q2 [А A + 2 sin2 6) + ma2 cos2 6] + Qo CC + ma2) sin 9 + + .-§- (С + ma2) ю2 > mga cos 9. Входящие в это неравенство величины связаны соотношением (С + ma2) Qco — AQ2 sin 9 + mga sin 9 = 0. 13* 387
ГЛАВА XII ДИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА § 51. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы) 51.1E0.1). Модуль силы всемирного тяготения, действующий на материальную точку массы т, определяется равенством F = = mji/r2, где \i = fM — гравитационный параметр притягиваю- притягивающего центра (М — его масса, /—гравитационная постоянная) и г—расстояние от центра притяжения до притягиваемой точки. Зная радиус R небесного тела и ускорение g силы тяжести *) на его поверхности, определить гравитационный параметр \i небес- небесного тела и вычислить его для Земли, если ее радиус R = 6370 км, а ? = 9,81 м/с2. Ответ: \i = gR2; для Земли ц = 3,98-105 км3/с2. 51.2E0.2). Определить гравитационный параметр [1п и ускоре- ускорение силы тяжести gn на поверхности небесного тела, если известны отношения его массы Мп и радиуса Rn к массе М и радиусу R Земли. Вычислить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпи- Юпитера, для которых соответствующие отношения даны в следующей таблице: Луна Венера Мп:М 0,0123 0,814 0,273 0,953 Марс Юпитер Мп:М 0,107 317 Rn:R 0,535 10,95 Ответ: Луна Венера |1. КМЗ/С2 4,90 - 103 326 - 103 g. м/с» 1,62 8,75 Марс Юпитер 11, КМЗ/С2 42,8- 103 126. 103 g> м/с* 3,69 26,0 51.3E0.3). Материальная точка равномерно движется по кру- круговой орбите на высоте Н над поверхностью небесного тела ра- радиуса R под действием силы всемирного тяготения. Определить скорость движения v\ и период обращения Т материальной точки**). __ Ответ: 1) Pi = А/ 7" = Л/ /f- Н для данного небесного тела); я (кРУговая скорость на высоте *) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного тела направлена к его центру; ускорения сил тяжести g даются без учета вра- вращения небесных тел. *'*) Во всех задачах этой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем. 388
2) Т = 2яг /\J — = 2я— у- Здесь г—расстояние от мате- материальной точки до центра небесного тела, \х—его гравитационный параметр, g — ускорение силы тяжести на его поверхности. 51.4E0.4). Пренебрегая высотой полета искусственного спут- спутника над поверхностью небесного тела, определить первую косми- космическую скорость v\ и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера. Ответ: Земля Луна Венера * Vu КМ/С 7,91 1,68 7,30 Г, мин 84,3 108 87,5 Марс Юпитер vu км/с 3,54 42,6 Г, мин 101 172 51.5E0.5). На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли? Ответ: Н = 35 800 км. 51.6E0.6). Под каким углом р пересекается с земным эквато- экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверх- поверхность), если он движется по круговой орбите высоты Я, наклонен- наклоненной под углом а к плоскости экватора? Ответ: ^Р= + а7(^ + ЯK:^где Й-У™°вая скорость су- точного вращения Земли и м- — ее гравитационный параметр. 51.7E0.7). Точка массы m притягивается к неподвижному цен- центру по закону всемирного тяготения F = т\х/г2у где \х—гравита- \х—гравитационный параметр центра притяжения. Найти интеграл энергии* Ответ: vu — 2[i/r = h. 51.8E0.8). Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спутника его потенциальная энергия относительно поверхности планеты радиуса R равна его кинетической энергии. Ответ: Н = R/2. 51.9E0.9). Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности а<х> = = 10 км/с. Ответ: v « 15 км/с. 51.10E0.10). Какую минимальную скорость v2 нужно сообщить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он уда- удалился в бесконечность? Ответ: v2 = <у/2и{ — вторая космическая скорость (v\ — первая космическая скорость). 51.11E0.11). Определить вторую космическую скорость для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера. * 389
Ответ: Земля Луна Венера 1>2, КМ/С 11,2 2,37 10,3 Марс Юпитер 02, КМ/С 5.0 60.2 51.12E0.12). Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени t сложным образом через полярный угол <р, определить скорость и ускорение точки*). Ответ: v2 = с2 \и2 + Г -з—J ; доф = 0, wr = ± с2и2 (~гт + u ) » где и= 1/г, с = г2ф=|гХя| = const — удвоенная секторная ско- скорость, знак плюс для силы отталкивания, знак минус — для силы притяжения. 51.13E0.13). Точка массы m движется под действием централь- центральной силы по коническому сечению, уравнение которого в полярных координатах имеет вид г= 1 + ^С08ф » где р и е — параметр и эксцентриситет траектории. Определить силу, под действием кото- которой движется точка. Ответ: Fq> = 0, Fr = —mfx/r2, где |i = c2/p и с — удвоенная сек- секторная скорость. 51.14E0.14). Точка массы m притягивается к неподвижному по- полюсу по закону всемирного тяготения F = m\x/r2. Найти траекто- траекторию движения точки. Ответ: Кривая второго порядка (коническое сечение), уравне- уравнение которой в полярных координатах имеет вид г = -у^г ^т—И~Т • где р = с2/[х, а е и 8 — произвольные постоянные интегрирования. Указание. Воспользоваться ответом к задаче 51.12. 51.15E0.15). Материальная точка движется под действием силы всемирного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриси- эксцентриситет которой е<1, а параметр р. Зная интеграл площадей с = = г2ф=]гX*?|, определить полуоси а и Ъ эллиптической траек- траектории и период обращения Т. Ответ: а = ——-, Ъ — 51.16E0.16). В условиях предыдущей задачи определить уско- ускорение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей. Ответ: = ~г A — еJ, шп = -^- A + еJ. *) Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы ко- координат совпадает с центром притяжения (отталкивания).
51.17E0.17). Зная период обращения Т спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея Я, опре- определить эксцентриситет орбиты. Ответ: е = 1 51.18E0.18). Спутник движется около планеты радиуса R по эллиптической орбите с эксцентриситетом е. Найти большую полу* ось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно Ответ: а = -л—л% ""У, 51.19E0.19). Точка движется под действием силы всемирного тяготения F = m\k/r2. Выразить постоянную энергии h (см. за- задачу 51.7) через элементы траектории точки и гравитационный па- параметр ji. Ответ: h = —\к/а для эллиптической траектории (а — большая полуось эллипса), Л = 0 для параболической траектории и h = \i/a для гиперболической траектории (а — вещественная полуось гипер- гиперболы) . 51.20E0.20). В начальный момент материальная точка, движу- движущаяся по закону всемирного тяготения, находилась в положении Мо на расстоянии г0 от притягиваю- Вершина конического щего центра и имела скорость v0; ^ сеуемя угол между вектором скорости v0 и линией горизонта (касательной, проведенной в точке Мо к ок- окружности, центр которой совпа- совпадает с центром притяжения) рав- равнялся 0о, а полярный угол был ра- у^ }—Траектория вен фо. Определить эксцентриситет е и угол 8 между полярной осью и фокуСНОЙ ЛИНИеЙ КОНИЧеСКОГО Сече- К задаче 51.20 НИЯ*). х ^^^^ Ответ: е= yyl+-^h, tg(qp0 — е) = {2Го/р , где <? = = r0y0cos8o— интеграл площадей, h = v2— 2jm/r—интеграл энер- энергии. 51.21E0.21). Определить, какую скорость надо сообщить косми- космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллиптической, параболической или гиперболической траекто- траектории. Радиус планеты /?. Указание. Воспользоваться ответом к предыдущей задаче. Ответ: При vo < v2 траектория — эллипс, при v0 = v2 — пара- парабола, при vo > v2 — гипербола, где v2 = *) За положительное направление фокальной оси конического сечения при* нимяется направление от полюса, совпадающего с одним из фокусов сечения, к ближайшей вершине. 391
параболическая скорость на высоте Н (v\ — круговая ско- скорость) . t 51.22. Какую нужно сообщить начальную скорость Ро = ^з ма- материальной точке у поверхности Земли, чтобы она могла покинуть пределы Солнечной системы. Ответ: vo = v3 = V»| + F2(Y2 - 0* « 16,7 км/с, где V « «30 км/с — круговая скорость Земли, с>2 — вторая космическая скорость. 51.23E0.22 и 50.23). В момент отделения космического аппа- аппарата от последней ступени ракеты он находился в точке Мо на высоте Н = 230 км от поверхности Земли и имел начальную ско- скорость v0 = 8,0 км/с, причем вектор (фокальная скорости v0 составлял с линией го- ОСЬ) / т/ ризонта (касательной, проведенной в точке Мо к окружности радиуса г0) угол 0о = 0,02 рад. Определить постоянную площа- площадей с, параметр р траектории, по- постоянную энергии Л, направление большой оси эллиптической траек- траектории спутника, эксцентриситет е траектории* апогей (Ятах) и пери- к задаче 51.23 гей (#тт) и период Т обращения спутника. Ответ: с = 52790 км2/с, р = 7002 км, А = —56,6 км2/с2, е = = Фо — 0,335 рад, где фо — начальный полярный угол радиус-век- радиус-вектора г0; е = 0,0649, Ятах = 1120 км, #min = 210 км, Г = 98,5 мин. 51.24E0.24). При каком направлении начальной скорости кос- космический аппарат упадет на поверхность планеты радиуса R вне зависимости, от величины начальной скорости? Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь ко- конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки. 51.25E0.25). При каких начальных условиях траектория косми- космического аппарата, запущенного на высоте Н от поверхности пла- планеты радиуса Ry не пересечет ее поверхности? Ответ: \)vl>v\ . J^tfl ?2-cos80> * круговая скорость для данной планеты на высоте Н. 2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки. 51.26E0.26). Найти зависимость между периодами Г* обраще- обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями а* их эллипти- эллиптических траекторий. а\ 4 Ответ: ^2- = -^2~для любых планет (третий закон Кеплера). Т м 2 . 51.27E0.27). Период обращения одного из спутников Юпитера, называемого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты со- составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер — 392
Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце E,20-23 000 земных радиусов), а период обращения Юпитера во- вокруг Солнца равен 11,8 лет. Определить отношение массы Юпи- Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли). Ответ: Масса Юпитера в 1000 раз меньше массы Солнца. 51.28E0.28). Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством И = -у \ г dt, где Т — период обра- о щения. Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если а — большая полуось, а е — эксцентриситет ее эллиптической траектории. Ответ: [г] = аA + %е>). 51.29E0.29). Два спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компла- компланарным орбитам, одна из которых — круго- круговая радиуса г0, а другая — эллиптическая с расстояниями перигея и апогея г0 и 8г0 соответственно. Полагая, что спутники пу- путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения их орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти апогей их новой орбиты. 49 Ответ: га ==3" Г0- К задаче 51.30 51.30E0.30). Определить связь между истинной ср и эксцентри- эксцентрической Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентри- эксцентриситета е. Ответ: tg-^- = 51.31E0.31). Выразить скорость в любой точке эллиптической орбиты через эксцентрическую аномалию. Ответ. v = л/~ 51.32E0.32). Найти на эллиптической орбите такие точки, ско- скорость движения в которых равна среднему геометрическому ско- скоростей в перигее и апогее. Ответ: Е = ±п/2 (точки расположены на концах малой оси эллипса). 51.33E0.33). Зная выражения для радиус-вектора точки, со- совершающей эллиптическое движение вокруг притягивающего центра: '= U.L. еп r = a(l-ecosE)en где ег — орт радиус-вектора г, проведенного из центра притяжения, Ф — истинная, а Е — эксцентрическая аномалии, найти выражения 393
для вектора орбитальной скорости этой точки, записанные в орби- орбитальной и инерциальной системах координат. Ответ: v = А/— [еге sin ф + еф A + ^ cos q>)], где ех — орт, направленный из полюса в перигей, а е2 — орт пер- перпендикулярного орту ех направления. 51.34E0.34). В какой точке эллиптической орбиты угол наклона траектории к местному горизонту (плоскость, перпендикулярная радиус-вектору) достигает наибольшего значения? Ответ: Е = ±я/2. 51.35E0.35). Спутник движется по круговой орбите радиуса г, делая один оборот за время Г. В результате получения радиаль- радиального импульса скорости величины и он переходит на эллиптиче- эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите. Ответ: Тх = Л, 23/2 51.36E0.36). Спутник движется по круговой орбите радиуса г, делая один оборот за время Г. В результате получения тангенци- тангенциального (касательного) импульса скорости величины и он перехо- переходит на эллиптическую орбиту. Определить период обращения по эллиптической орбите Т\. т Ответ: Тх = • fl ( иТ V иТ Т/2 ' L V 2яг ) nr J 51.37E0.37). Спутник движется по круговой околоземной ор- орбите радиуса г. Определить величину радиального импульса ско- скорости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую орбиту с перигеем гь 51.38E0.38). Космический корабль движется со скоростью v =30 км/с по орбите Земли, имеющей радиус ri = 150-106 км. Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (гг = = 228.106 км)? Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры (г3= 108-106 км). Ответ: На орбиту Марса: и = 2,95 км/с. На орбиту Венеры: и = 2,55 км/с. 51.39E0.39). Спутник движется по эллиптической околоземной орбите с радиусом перигея и апогея соответственно г\ и г2. Опре- Определить величину касательного прироста скорости и в перигее, при котором высота апогея увеличится на Я. 394
Ответ: и = д/Ж(д/_й±* V г, V V Г| + г2 4- n+r2 51.40E0.40). Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с нее путем получения ка- касательного импульса скорости и выйти на гиперболическую орбиту с заданным значением скорости на бесконечности v<x>. При каком радиусе го начальной круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей? Ответ: го = 2ц,Д>^. § 52. Разные задачи 52.1E1.1). Две свободные точки, массы которых равны т\ и т2, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения первой точки относительно второй. Ответ: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром 52.2E1.2). Какой вид примет зависимость между периодами Ti обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями щ их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное притяжением соответствующей планеты? а\ а\ М + тх Ответ: -^ :—т-==-— , где mu m>2, M — массы планет и * 1 * 2 М + /7*2 Солнца соответственно (сравнить с ответом к задаче 51.26). 52.3E1.3). Два однородных шара радиусов /?i и /?2 начали дви- двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяже- притяжения. Определить, с какой относительной скоростью vr столкнутся шары, если первоначальное расстояние между их центрами равня- равнялось L, а массы шаров равны Ш\ и т2. Ответ: vr = Д/2м>( Rl + R2 ""т) ? где М- 52.4E1.4). Две точки, массы которых равны т\ и тг, начали двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного при- притяжения. Определить время Г, через которое столкнутся точки, если первоначальное расстояние между ними равнялось L, я ГЦ" Ответ: Г==^ Д/иГ э где М-=/("*!+т2). 52.5E1.5). Две свободные точки, массы которых равны Ш\ и /п2, движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения точек относительно их центра масс С. Ответ: Движение по отношению к центру масс происходит по тем же законам, что и абсолютное движение с гравитационными з тз параметрами Иа = / (OTl+'OT2J и ц2 = / (mi +',rt2J • 395
52.6E1.6). Проекция центральной силы на радиус-вектор равна — G*" "*" "Р") • где I1 > ^ и v — некоторые постоянные. Определить траекторию движущейся точки. Ответ: 1) v<c\ r= , g Jk _ , где с = г*ф = const. с2 — v v р = f ^2-^1 _ е и е — произвольные постоянные 1 2 2) v = с2, — = J^- ^- -f С1Ф + С2, Ci и С2 — постоянные интег- интегрирования; 3) v > czt г = Р гдс р = v - с2 ^ ?2===J!L__lf не — произвольные постоянные. 52.7E1.7). Космический аппарат массы m приближается к пла- планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте Н от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы созда- создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тГ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость косми- космического аппарата в момент включения двигателя равна Vq, грави- гравитационный параметр планеты jx, ее радиус /?; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь. Ответ: { V(t )^}^ знак плюс, если Т > |jl//?2, и знак минус, если Т < \x/R2. 52.8E1.8). Определить полезную работу, которую должен со- совершить двигатель ракеты, чтобы поднять космический аппарат на высоту Н над поверхностью планеты и сообщить ему на этой высоте круговую и параболическую космические скорости. Мас- Масса космического аппарата на поверхности планеты равна Af, радиус планеты /?; сопро- сопротивлением атмосферы пренебречь. Вычис- Вычислить эту работу для .второй космической скорости для Земли, если М = 5000 кг. Ответ: Ах = MgR ??+% . А2 = MgR, К задаче 52.9 о1 оС 1Л7 „ АК-Г*1) Л2 = 31,85- 107 кН • м. 52.9E1.9). Космический аппарат вращается с угловой скоростью Qo. Определить, какую полную работу должен совершить двига- двигатель маховика М, чтобы остановить вращение космического аппа- аппарата, считая, что вращение последнего происходит вокруг посту- поступательно перемещающейся оси, проходящей через его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; / и /о — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с махо- маховиком) относительно общей оси вращения. В начальный момент угловая скорость маховика равна угловой скорости аппарата. $96
Ответ: А=± ^о-Л Q2 52.10E1.10). Считая, что статор электромотора системы, опи- описанной в задаче 52.9, создает вращающий момент МВР = Мо — *о>, где Мо и х—некоторые положительные постоянные, со — относи- относительная угловая скорость маховика,- найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата произошло за конечное время. Предполагая, что это условие вы- выполнено, определить время Т торможения. Ответ: МоЖ^-Qo, T = ^b^ILXn ^ 52.11E1.11). Определить угол г|); на который повернется косми- космический аппарат за время торможения вращения, если оно осуще- осуществляется способами, описанными в задачах 52.9 и 52.10. Огеет: »- ^jf- п - ^L Ш - Qx/o) щ 52.12E1.12). Для поворота корпуса космического аппарата ис- используется электродвигатель-маховик, уравнение движения кото- которого на вращающемся аппарате имеет вид (Ь + со/Г = и, где со — относительная угловая скорость маховика, Т — его постоянная вре- времени, и — управляющее напряжение, принимающее значения =Ы0. Определить длительность t\ разгона (и = и0) и торможения t2(u = —Uo) маховика, если первоначально невращающийся кор- корпус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданный угол ф и остановить. Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общей оси вращения соответственно равны / и /о. Ответ: h = т + ТIn(l + лЛ -e~%lT\ t2 = T\n{\ ГЛАВА XIII УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ § 53. Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия 53.1E2.1). Ось вращения АВ прямоугольной пластины накло- наклонена под углом а к вертикали. Определить момент сил М относи- относительно оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее по- поворота на угол О. Вес пластины Р9 расстояние от центра масс G пластины до оси АВ равно а. Ответ: М = Pa sin a sin d. 53.2E2.2). Шарнирный шестиугольник, состоящий из шести рав- равных однородных стержней веса р каждый, расположен в верти- 397
кальной плоскости. Верхняя сторона шестиугольника АВ непо- неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные сто- стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, про- проходящей через середину АВ. Определить, какую вертикальную силу Q надо приложить в середине горизонтальной стороны, про- противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безраз- безразличном равновесии. Ответ: Q = Зр. А Ш//////////////Л К задаче 53. К задаче 53.2 53.3E2.3). К однородному стержню АВ длины 2а и веса Q, под- подвешенному на двух нитях длины / каждая, приложена пара сил с моментом М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной го- горизонтали, находятся на расстоянии 2Ь друг от друга. Найти угол ft, определяющий положение равновесия стержня. Ответ. В положении равновесия угол ft находится из уравнения М л/12 — (а — bf — 4ab sin2 (ft/2) = Qab sin ft. 53.4E2.4). Прямолинейный однородный стержень АВ длины 21 упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с 2Ъ и К задаче 53.3 К задаче 53.4 К задаче 53.5 ней угол ф. Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене. Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а. Определить угол Ф в положении равновесия стержня. Ответ: sin ф = rfa/l. 53.5E2.5). На гладкий цилиндр радиуса г опираются два одно- однородных тяжелых стержня, соединенных шарниром Л. Длина каж- каждого стержня равна 2а. Определить угол 2ft раствора стержней, соответствующий положению равновесия. 398
Ответ: Угол Ф определяется из уравнения a tg3 Ф — г tg2 * — 0 53.6. Система состоит из двух однородных стержней ОА и длины а и массы т, расположенных в вертикальной плоскости. В точке А стержни соединены шарниром. В точке О — неподвиж- неподвижный шарнир. В точке В стержень АВ соединен шарниром с телом С массы mi, которое может перемещаться по вер- вертикали, проходящей через точку О. Середины стержней О А и АВ соединены пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии /о < а. Найти положения равновесия и условия их устойчивости. Трением и массой .пружины пре- пренебречь. Ответ: При 2(m + m\)g> с(а —10) одно устой- устойчивое состояние равновесия cpi=O, при 2(/л + + m\)g <с(а — /о) два состояния равновесия—г неустойчивое cpi = O и устойчивое ф2 = к задаче 53.6 53.7E2.7). Концы однородного тяжелого стержня длины / могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением f(x, У) = 0. Определить положения равновесия стержня. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо.) Ответ: Координаты концов стержня, отвечающие положениям равновесия, будут решениями системы (х2 - хх? + (у2 - у{J - Р = 0, / (х19 ух) = 09 f (xv y2) = О, df _, Л df df df df 53.8E2.8). Однородный тяжелый стержень длины / может скользить своими концами без трения по параболе у = ах2. Опре- Определить возможные положения равновесия. (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо.) Ответ: Первое положение равновесия: х2 = —хх = 1/2, ух=у2 = а12/4. Второе положение равновесия определяется из уравнения ch I = ^/al по формулам 53.9E2.9). Решить задачу 53.7 в предположении, что кривая является эллипсом (/(*, у) = -^г + -р— 1 =0j , а длина стержня удовлетворяет условию / < 2а. Определить возможные положения равновесия стержня. Указание. Вместо декартовых координат следует ввести координату ф и) с оотношй Ь i р р у (эксцентрическую аномалию) с псмощью соотношений х ру ф a cos <p, у = Ь sin <p 39Э
Ответ: Положения равновесия отвечают значениям эксцентри- эксцентрических аномалий, определяемым из уравнений а) ф1 = я — ф2, cosqp2=/y -^ (существует при /<2а); б) sin Ф2 —Ф1 -VS- (сущест- 2 '\ 2ЬУ w" 2 вует при а> b и К 26). 53.10E2.10). По гладкому проволочному кольцу радиуса /?, расположенному в вертикальной плоскости, может скользить без трения колечко А. К этому колечку на нити подвешен груз массы ш\\ другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок В, рас- расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на конце С другой груз Q массы /тг2. Определить положения равновесия колечка А и исследовать, какие из них устойчивы, какие нет. Указание. Положение колечка А следует характеризовать центральным углом ф = /.DOА. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка на верх- верхней и нижней полуокружностях. К задаче 53.10 К задаче 53.11 Ответ: значениях На верхней полуокружности @ < ф < я) при любых существует положение неустойчивого равновесия 1 / 1~п? m \ sin —— =— \Л —1-+8 — ), причем О <С фо < я/2. На ниж- 2 4 V V т\ т\ / ней полуокружности (я< ф < 2я) при /n2/mi < 1 существует по- . Фо ложение устойчивого равновесия sin —- ^ ^ Зя причем я < фо < -g—. 53.11E2.11). Однородная квадратная пластинка может вра- вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через угол О; вес пластинки Р, длина ее стороны а. К углу А пластинки привязана нить длины /, перекинутая через малый блок В, отстоя- отстоящий на расстоянии а по вертикали от точки О. На нити висит груз 400
К задаче 53.12 веса q = JjjL p. Определить положения равновесия системы и ис- исследовать их устойчивость. Ответ: Положения равновесия отвечают следующим значениям угла г|): г^ = 0, г|э2 = я/6, фз = я/2, \f>4 = Зя/2. Первое и третье положения равновесия устойчивы. 53.12E2.12). Однородный тяжелый стержень АВ длины 2а опи- опирается на криволинейную направляющую, имеющую форму полу- полуокружности радиуса R. Определить, пренебрегая трением, положе- положение равновесия и исследо- исследовать его устойчивость. Ответ: В положении рав- равновесия стержень наклонен к горизонтальной линии под углом фо, определяемым из уравнения cos фо= -«^- [а + V#2 + 327?2] (предполагается, что У2/з# < а < 2/?). Это положение равнове- равновесия устойчиво. 53.13E2.13). Подъемный мост ОА схематически изображен на рисунке в виде однородной пластины веса Р и длины 2а. К сере- середине края пластины прикреплен канат длины /, перекинутый через малый блок, лежащий на вертикали на расстоянии 2а над точкой О. Другой конец С каната соединен с противовесом, скользящим без трения по криволинейной направляющей. Определить форму этой направляющей и вес противовеса Q так, чтобы система нахо- находилась в безразличном - равновесии. При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой ОВ. Ответ: Q = P/V2; уравнение на- направляющей в полярных координа- координатах г, О: г = 2 (/ — 2 V2 a cos •&) г + 7 ЛЛЛЛ/ hc ^\ЛЛЛ/ 0/77 3h •/77 WVA/ К задаче 53.14 К задаче 53.15 53.14E2.14). Исследовать устойчи- устойчивость вертикального положения равно- равновесия «обращенного» двойного маят- маятника, изображенного на рисунке. Ма- Маятник может быть схематизирован в виде двух материальных точек масс mi и /л2, связанных стерж- стержнями длин U и /г. В вертикальном положении равновесия пружины (жесткости их с\ и с2) не напряжены. Ответ: Условия устойчивости имеют вид C\l\ > m\g, [(с, + с2) /2 - E5 т fc- mxg] c\l{lr ) ) [ 53.15E2.15). Исследовать устойчивость вертикального положе- положения равновесия системы маятников, изображенной на рисунке; длина стержня первого маятника 4А, второго ЗА и третьего 2А. 401
Массы всех маятников и жесткости пружин одинаковы и соответ- соответственно равны тис. Расстояния точек прикрепления пружин от центров масс равны А. Массой стержней пренебречь, а массы т рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся в вертикальном положении, пружины не напряжены. Ответ: Условия устойчивости имеют вид — Amgh > 0, 49с2Л4 — 59mgch? + I2m2g2h2 > 0, 36с3Л6 — I53mgc2h5 + \30m2g2chq — 24m3^3 > 0. 53.16E2.16). В маятнике паллографа груз М подвешен на стержне ОМ, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик О и шарнирно соединенном в точке А с коромыс- коромыслом АО\, вращающимся около оси О\. Длина коро- коромысла г, расстояние от центра масс груза до шар- шарнира А равно /, расстояние ОО{ = h. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Размерами груза и массой стержней пренебречь. __ Ответ: При yrt > А—-г — положение равно- равновесия устойчиво; при ^Jrl < h — r — неустойчиво. 53.17E2.17). Прямолинейный проводник, по ко- которому течет ток силы iu притягивает параллель- параллельный ему провод АВУ по которому течет ток силы f2. Провод АВ имеет массу т; к нему присоединена пружина жесткости с; длина каждого из проводов /. При отсутствии в проводе А В тока рас- расстояние между проводами равно а. Определить положения равно- равновесия системы и исследовать их устойчи- устойчивость. Указание. Сила взаимодействия двух па- параллельных проводников с токами h и i2 дли- длины /, отстоящих на расстоянии d друг от друга, определяется по формуле F = —^- /. К задаче 53.16 ЛЛЛА Ответ: При а = два положения < —г- имеются равновесия: Х\ = ~~а и А 4 К задаче 53.17 К задаче 53.18 . „ — а; хх отвечает устойчивому положению равновесия, л:2 — неустойчивому. При а>а2/4 поло- положений равновесия нет. При а = а2/4 имеем единственное положе- положение равновесия, которое неустойчиво. 53.18. Стержень О А длины а может свободно вращаться вокруг точки О. К концу А стержня шарнирно прикреплен стержень АВ длины а, на другом конце которого закреплен груз В массы т. Точка О и точка В соединены между собой пружиной жесткости с. Масса пружины пренебрежимо мала, длина пружины в ненапря- 402
женном состоянии равна а. Найти положения равновесия, считая, что система расположена в вертикальной плоскости. Массой стерж- стержней АВ и О А пренебречь. Ответ: Четыре состояния равновесия <Pi = 0, ih = 0; ф2 = я, г|з2 = я; <р = + <р3, -ф = ± -ф3, где cos ф3 = cos t|K = —2са—* ^Ри mS^>ca устойчиво состояние равновесия q>i = 0, i|)i = 0. При mg < ca устойчивы состояния рав- равновесия ф = Ч^фз, \|? = ±^з. Состояние равновесия ф2 = я, фг = я всегда неустойчиво. § 54. Малые колебания системы с одной степенью свободы 54.1E3.1). Жесткий стержень ОВ длины / может свободно ка- качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик веса Q на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном по- положении посредством нерастяжимого вертикального шнура длины Л. Расстояние ОА = а. Если шарик оттянуть перпендикулярно плоскости рисунка и затем отпустить, то система начнет коле- колебаться. Пренебрегая массой стерж- стержня, определить период малых коле- колебаний системы. Ответ: Т V ag шшш. К задаче 54.1 К задаче 54.2 54.2E3.2). Определить период малых колебаний астатического маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи колебаний почвы. Маятник состоит из жесткого стержня длины /, несущего на конце массу т, зажатую между двумя горизонталь- горизонтальными пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой стержня пренебречь, и считать пружины в положении равновесия ненапряженными. Ответ: Т = m I 54.3E3.3). Маятник состоит из жесткого стержня длины /, не- несущего массу m на своем конце. К стержню прикреплены две пру- пружины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца; проти- 403
воположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника. Ответ: Т = - 54.4E3.4). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса m расположена выше точки под- подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение К задаче 54.3 К задаче 54.4 равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колеба- колебаний маятника. Ответ: а*>-^, Г — 2с / 2са2 54.5E3.5). Цилиндр диаметра d и массы m может катиться без /скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пру- пружины жесткости с прикреплены посреди- посредине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пру- жин закреплены. Определить период ма- .лых колебаний цилиндра. Ответ: т=т К задаче 54.5 К задаче 54.6 54.6E3.6). Определить период малых колебаний метронома, со- состоящего из маятника и добавочного подвижного груза G массы т. Момент инерции всей системы относительно горизонтальной оси вращения изменяется путем смещения подвижного груза G. .404
Масса маятника М\ расстояние центра масс маятника от оси вра- вращения О равно So; расстояние OG = s; момент инерции маятника относительно оси вращения /о. /0 + ms2 Ответ: Т = 2^у {Mso_ms)g. 54.7E3.7). Тело, подвешенное на двух вертикальных нитях длины / каждая, расстояние между которыми 2а, закручивается вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости ни- , тей и равноудаленной от них (бифилярный подвес).. Радиус инерции тела относительно оси вращения р. Найти период малых колебаний. 2а 1 i Ответ: Т = 2п —/\1 —. 54.8E3.8). Круглый обруч подвешен к трем не- неподвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжи- нерастяжимыми нитями длины /, так, что плоскость обруча i горизонтальна. Нити в положении равновесия обру- к задаче 54.7 ча вертикальны и делят окружность обруча на три равные части. Найти период малых колебаний обруча вокруг оси, Лроходящей через центр обруча. Ответ: Т = 2л <\/l/g. 54.9E3.9). Тяжелая квадратная платформа ABCD массы М дюдвешена на четырех упругих канатах, жесткости с каждый, к неподвижной точке О, отстоя- отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии / по К задаче 54.9 К задаче 54.10 ^вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы а. Определить период вертикальных колебаний системы. Ответ: Т = 2п V М (а2 + 4/2) 1 16/2 « ¦ Mga2 * "*" 16с/3 54.10E3.10). Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин / и 21 счуглом между стержнями 90°, может вра- вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний уголка около положения равновесия. 405
Ответ: Т=2п Л/17 т = 7'53 л/т" 54.11E3.11). Определить период малых свободных колебаний маятника массы М, ось вращения которого образует угол (J с го- горизонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно оси вращения /, расстояние центра масс от оси вращения s. Ответ: = 2л /\J- Mgs cos p 54.12E3.12). В приборе для регистрации вертикальных колеба- колебаний фундаментов машин груз Q массы т, закрепленный на верти- вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой Си шарнирно соединен со статически уравновешенной стрелкой, выполненной в виде ломаного рычага с моментом инерции / относительно оси вра- вращения О и отжимаемой к равновесному положению горизонтальной пружиной с коэффициентом жесткости с2. Определить период сво- свободных колебаний стрелки около ее вертикального равновесного К задаче 54.12 К задаче 54.13 положения, если О А = а и ОВ = Ь. Размерами груза и влиянием первоначального натяжения пружины пренебречь. Ответ: Т ^2^^^ 54.13E3.13). Амортизационное устройство может быть схемати- схематизировано в виде материальной точки массы т, соединенной п пру- пружинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника. Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус окружности, описанной около многоугольника Ь. Определить ча- частоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположен- расположенной в горизонтальной плоскости. Указание. Для вычисления потенциальной энергии с точностью до вели- величин второго порядка малости включительно следует определить удлинение пру« жин с той же степенью точности. Ответ: *=д/|~ 26 -а 406
54.14E3.14). В предыдущей задаче определить частоту колеба- колебаний, перпендикулярных плоскости многоугольника. Массами пру- пружин пренебречь. Ответ: k =v: пс (Ъ — а) mb 54.15E3.15). Определить частоту малых вертикальных колеба- колебаний материальной точки Я, входящей в состав системы, изобра- изображенной на рисунке. Масса материальной точки га. Расстояния К задаче 54.15 К задаче 54.16 АВ = ВС и DE = EF; жесткости пружин С\у с2, с3, с4 заданы. Бруски АС и DF считать жесткими, не имеющими массы. Ответ: k = / 4 А ( ! i 1 1 , 1 ^ " 54.16E3.16). На нерастяжимой нити длины 4а находятся три груза, массы которых соответственно равны /л, М, т. Нить сим- симметрично подвешена за концы так, что ее начальны^ и конечный участки образуют углы а с вертикалью, а средние участки — углы р. Груз М совершает малые верти- вертикальные колебания. Определить частоту свободных вертикальных колебаний гру- груза М. Ответ: g (cos2 P sin P 4- cos2 a sin a) a cos p cos a sin (p — a) cos (P — a) * Л M sin (P — a) лри этом 2m = s.nacHosp . 54.17E3.17). Вертикальный сейсмо- сейсмограф Б. Б. Голицина состоит из рамки АОВ, на которой укреплен груз веса Q. к задаче 54.17 Рамка может вращаться вокруг гори- горизонтальной оси О. В точке В рамки, отстоящей от О на расстоянии а,#прикреплена пружина жесткости с, работающая на растяжение. В положении равновесия стержень ОА горизонтален. Момент инер- инерции рамки и груза относительно О равен /, высота рамки Ь. Пре- Пренебрегая массой пружины и считая, что центр масс груза и рамки находится в точке Л, отстоящей от О на расстоянии /, определить ^частоту малых колебаний маятника. 407
Ответ: k = д/ са2 — Fob(\ —b/L) где ——натяжение пружины в положении равновесия, L — длина пружины в положе- положении равновесия. 54.18E3.18). В вибрографе, предназначенном для записи коле- колебаний фундаментов, частей машин и т. п., маятник веса Q удер- удерживается под углом а к вертикали с помощью спиральной пружины жесткости с; момент инер- инерции маятника относительно оси вращения О ра- равен /, расстояние цейтра масс маятника от оси вращения 5. Определить период свободных коле- колебаний вибрографа. Ответ: = 2л д/- а Qs sin a + с 54.19E3.19). В вибрографе для записи гори- к задаче 54.18 зонтальных колебаний маятник ОЛ, состоя- состоящий из рычага и груза, может качаться во- вокруг горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собствен- собственным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статиче- статический момент силы тяжести маятника Qa = 45 Н-см, момент инер- инерции относительно оси О / = 0,3 кг-см2 и жесткость при кручении пружины с = 45 Н-см, опреде- определить период собственных ко- колебаний маятника при малых, углах отклонения. Ответ: Т = 0,364 с. К задаче 54.19 К задаче 54.20 54.20E3.20). Найти, при каком условии верхнее вертикальное положение равновесия маятника является устойчивым, если сво- свободному вращению маятника препятствует спиральная пружина жесткости с, установленная так, что при верхнем вертикальном по- положении маятника она не напряжена. Вес маятника Р. Расстоя- Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса равно а. Найти, также период малых колебаний маятника, если его момент инер- инерции относительно оси вращения равен /о. Ответ: с>Ра, T = i .-Ра 408
54.21E3.21). Показать, что при с < Ра маятник, рассмотренный в предыдущей задаче, будет иметь не менее трех положений равно- равновесия. Найти также период малых колебаний. Ответ: При ф = 0 — неустойчивое положение равновесия. Устойчивые положения равновесия будут при ф = фо > 0, ф = = фо < 0, где фо — корень уравнения sin ф т = \ Pa cos фо (tg фо — Фо) ' 54.22E3.22). Стержень О А маятника при помощи шатуна А В соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткости с. В не- ненапряженном состоянии рессора занимает положение ЕВ\\ из- известно, что к рессоре нужно приложить силу Fo, направленную по ОВУ чтобы привести ее в положение ЕВ0, соответствующее равно- равновесию маятника; О А =АВ = а; массой стержней пренебрегаем; расстояние центра масс маятника от оси вращения ОС = /; вес маятника Q. С целью достижения наи- наилучшего изохронизма (независимость пе- периода колебаний от угла первоначального отклонения) система отрегулирована так, чтобы в уравнении движения маятника Ф=/(ф) = —Рф+ ... ПерВЫЙ ИЗ ОТбрОШеННЫХ ЧЛеНОВ был ПО- рядка ф5. Установить, какая зависимость должна для этого иметь место между постоянными Q, Fo, с, а, /, и вычислить период малых колебаний маятника. Ответ: Ql-2aFQ=l2a>c, Т = 2п д/| уг^ 54.23E3.23). Показать, что при условии предыдущей задачи увеличение периода колебаний при отклонениях маятника от по- положения равновесия на угол фО = 45° не превышает 0,4 %. Каково будет при этих условиях изменение периода простого маятника? Ответ: Сохраняя в уравнении движения маятника член ф5, по- получим Г = 2яд/у Vi-WQ/ V1 +~^~); ДЛЯ ПР°СТОГО маят" ника при отклонении на угол 45° изменение периода составляет 4%. 54.24E3.24). При условиях задачи 54.22 маятник отрегулирован так, что Ql = 2aF0. Найти период малых колебаний маятника при отклонении его от положения равновесия на угол 54.25E3.25). В маятнике паллографа груз М маятника повешен на стержне, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик
О и шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АОи качаю- качающимся вокруг неподвижной оси О\. При каком условии вертикаль- вертикальное положение стержня ОМ маятника будет положением устойчи- устойчивого равновесия? Найти период малых колебаний маятника около этого положения. Размерами груза и массой стержней пренебречь. (Размеры стержней указаны на рисунке к задаче 53.16.) Ответ: к-г<л]7и T = 2n(h- r + 1) д/ [r/_(/_r),]g ¦ 54.26E3.26). Пренебрегая массой стержней найти период ма- малых колебаний маятника, изображенного на рисунке. Центр масс груза находится на продолжении шатуна шар- шарнирного четырехзвенника ОАВО\ в точке С. В положении равновесия стержни О А и ВС вертикальны, стержень О\В горизонтален? ОА = АВ = а; AC = s. Ответ: Т = 2п , s + a -. л/g (s — a) 54.27E3.27). Определить период колебания груза Р массы т, подвешенного на пружине с закрепленным верхним концом, если коэф- к задаче 54.26 фициент жесткости пружины равен с, масса пружины то. Принять, что отношение откло- отклонений двух точек пружины от своих положений равновесия равно отношению соответствующих расстояний этих точек до закреплен- закрепленного конца пружины. Ответ: Т = ?'х' 3 54.28E3.28). На нижнем конце вертикального цилиндрического упругого стержня с закрепленным верхним концом прикреплен в своем центре горизонтальный диск с моментом инерции / относи- относительно вертикальной оси, проходящей через центр; момент инерции стержня относительно его оси равен /0; коэффициент жесткости стержня при закручивании, т. е. момент, необходимый для закру- закручивания нижнего конца стержня на один радиан, равен с. Опре- Определить период колебаний системы. Ответ: Т = 2л 54.29E3.29). Груз веса Q укреплен посредине балки, свободно опертой на концах; длина балки /, момент инерции поперечного сечения /, модуль упругости материала Е. Определить, пренебре- пренебрегая массой балки, число колебаний, совершаемых грузом в минуту. Ответ: п = 2080 Д/т^з"» причем за единицу длины принят сан- сантиметр. 54.30E4.33). Двутавровая балка с моментом инерции сечения /= 180 см4, длины / = 4м лежит на двух одинаковых упругих 410
опорных пружинах, жесткость которых -с = 1,5 кН/см, и несет посредине груз веса Q = 2 кН. Пренебрегая весом балки, опре- определить период свободных колебаний системы. Модуль упругости материала балки Е = 2-Ю4 кН/см2. Ответ: Т = 0,238 с. о г I К задаче 54.30 К задаче 54.31 54.31E3.34). В конце В горизонтального стержня А В длины /, заделанного другим концом, находится груз веса Q, совершающий колебания с периодом Г. Момент инерции сечения стержня отно- относительно центральной оси сечения, перпендикулярной плоскости колебаний, равен /. Найти модуль упругости материала стержни. 4я2<Э/3 Ответ: Е = ZJgT2 54.32E3.35). Диск массы М и радиуса г может катиться без скольжения по горизонтальной прямой. К диску жестко прикреплен стержень длины /, на конце которого находится точечная масса т% 21 о щ К задаче 54.32 К задаче 54.33 Найти период малых колебаний системы. Массой стержня пре- пренебречь. Ответ: = 2n/\J ЗМг2 + 2m/2 2mg (г + /) 54.33E3.36). На шероховатый круглый полуцилиндр радиуса 7? положен призматический брусок массы М с прямоугольным по- поперечным сечением. Продольная ось бруска перпендикулярна оси цилиндра. Длина бруска 21, высота 2а. Концы бруска соединены с полом пружинами одинаковой жесткости с. Предполагая, что брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колеба- колебаний. Момент инерции бруска относительно поперечной горизон- горизонтальной оси, проходящей через центр масс, равен /0. Ответ: = 2n/\J Ma2 -f /о Mg (R-a) + 2cl2 * 411
54.34E3.37). Острота амплитудно-частотной характеристики си- системы с одной степенью свободы при действии силы трения, про- пропорциональной скорости, характеризуется «половинной шириной» амплитудно-частотной характеристики. «Половинная ширина» амплитудно-частотной характеристики измеряется разностью меж- между двумя частотами, для которых амплитуда колебаний равна половине амплитуды, сответствующей резонансу. Выразить «поло- «половинную ширину» амплитудно-частотной характеристики Д через «коэффициент расстройки частот» z = (o/k и через приведенный коэффициент затухания б = n/k. Дать приближенную формулу для случая 5< 1 (со — частота вынуждающей силы, k — частота собственных колебаний; при резонансе г= 1). Ответ: «Половинная ширина» амплитудно-частотной характери- характеристики равна д = z2 — г, = д/l - 262 + 26 26 - Vl ~ 262 — 26 или, если 6< 1, Л 54.35E3.38). В вибрографе, употребляемом для записи верти- вертикальных колебаний, стержень ОАУ соединенный с пишущим пером прибора, может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Стержень О А на конце А несет груз Q и удер- удерживается в горизонтальном поло- положении равновесия спиральной пру- пружиной. Определить относительное движение стержня ОЛ, если вибро- виброграф укреплен на фундаменте, со- совершающем вертикальные колеба- колебания по закону z = 0,2 sin 25t см. Жесткость при кручении пружины с = 1 Н-см, момент инерции стерж- стержня ОА с грузом Q относительно О равен /=4 кг-см2, Qa = 100 Н-см. Собственными колебаниями стерж- стержня пренебречь. Ответ: ф = 0,0051 sin 25*. 54.36E3.39). В вибрографе, описанном в задаче 54.35, стержень снабжен электромагнитным тормозом в виде алюминиевой пла- пластины, колеблющейся между полюсами неподвижно закрепленных магнитов. Возникающие в пластине вихревые токи создают тормо- торможение, пропорциональное первой степени скорости движения пла- пластины и доведенное до границы апериодичности. Определить вы- вынужденные колебания стрелки прибора, если последний закреплен на фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону z = h sin pt. К задаче 54.35 Ответ: х = Qah Sin (pt — 8), tg 8 = 412
54.37E3.40). Вертикальный двигатель массы М\ закреплен на фундаменте, имеющем площадь основания S; удельная жесткость грунта равна X. Длина кривошипа двигателя г, длина шатуна /, угловая скорость вала со, масса поршня и неуравновешенных ча- частей, совершающих возвратно-поступательное движение, равна Af2, масса фундамента М3; кривошип считать уравновешенным при помощи противо- противовеса. Массой шатуна пренебречь. Опре- Определить вынужденные колебания фунда- фундамента. Указание. При расчетах пренебречь всеми членами, содержащими малое отношение г/1 в сте- степенях выше первой Ответ: Смещение центра масс фунда- фундамента от положения равновесия 6 = • cos со/ + М2гсо2 + Ms) (k2 - 4g>2) cos 2co/, К задаче 54.37 где R — 54.38E3.41). Рассчитать вес фунда- фундамента под вертикальный двигатель массы М = 104 кг таким образом, чтобы амплитуда вынуж- вынужденных вертикальных колебаний фундамента не превосходила 0,25 мм. Площадь основания фундамента S = 100 м2, удельная жесткость грунта, находящегося под фундаментом, X = 490 кН/м3. Длина кривошииа двигателя г = 30 см, длина шатуна /=180 см, угловая скорость вала со = 8я рад/с, масса поршня и других не- неуравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное движение, m = 250 кг, кривошип считать уравновешенным при по- помощи противовеса. Массой шату- шатуна пренебречь. Указание. Воспользоваться ре- результатом решения предыдущей задачи и ограничиться приближенным решением, отбросив член, содержащий г/1. Прове- Проверить законность указанного приближе- приближения к задаче 54.39 Ответ: G = 3592,7 кН. 54.39E3.42). Электромотор массы М = 1200 кг установлен на свободных концах двух горизонтальных параллельных балок, за- заделанных вторыми концами в стену. Расстояние от оси электромо- электромотора до стены /==1,5 м. Якорь электромотора вращается со ско- скоростью п = 50п рад/с, масса якоря /л = 200 кг, центр масс его отстоит от оси вала на расстоянии г = 0,05 мм. Модуль упругости 413
мягкой стали, из которой сделаны балки, ?=19,6-107 Н/см2. Определить момент инерции площади поперечного сечения так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний не превосходила 0,5 мм. Весом балки пренебречь. Ответ: J = 8740 см4 или / = 8480 см4. 54.40E3.43). Кулачковый механизм для привода клапана может быть схематизирован в виде массы т, прикрепленной с одной стороны с помощью пружины жесткости с к неподвижной точке и получающей с другой стороны через пружину жесткости С\ дви- движение от поступательно движущегося кулачка, профиль которого таков, что вертикальное смещение определяется формулами х{ = а[1 — cos ©/] при 0 ^ / ^ 2я/со, х2 = 0 при t > 2я/ш. Определить движение массы т. Ответ: При 0 ^ t ^ 2я/ш где k = m При t > 2ji/<d груз совершает свободные колебания К задаче 54.40 54.41E3.44). Для записи крутильных колебаний употребляется торсиограф, состоящий из легкого алюминиевого шкива Л, закли- заклиненного на валу В и тяжелого махович- маховичка D, который может свободно вращать- вращаться относительно вала В. Вал связан с маховичком D спиральной пружиной жесткости с. Вал В движется по закону ф = <о/ + ф0 sin со/ (равномерное вращение с наложением гармонических колебаний). Момент инер- инерции маховичка относительно оси враще- вращения /. Исследовать вынужденные колеба- колебания маховичка торсиографа. Ответ: Угол относительного поворота маховичка г|) =-y^-j sin <о/. 54.42E3.45). Для гашения колебаний коленчатого вала авиационного мотора в противовесе коленчатого вала делается желоб в форме дуги окружности радиуса г с центром, смещенным на АВ = / от оси вращения; по желобу может свободно двигаться дополнительный противовес, схематизируемый в виде материальной точки. Угловая К задаче 54.41 414
скорость вращения вала равна со. Пренебрегая влиянием силы тяжести, определить частоту малых колебаний дополнительного противовеса. Ответ: к = 54.43E3.46). К грузу веса Р, висящему на пружине жесткости су в начальный момент времени приложена постоянная сила Fx действие которой прекращается по проше- ^^ ствии времени т. Определить движение /^\\ груза. Ответ: При 0 ^ / <; т при т ^ t х = -f[cos д/^-(/ - т) - cos д/-^ t]. 54.44E3.47). Определить максимальное отклонение от положения равновесия си- системы, описанной в предыдущей задаче, в случае действия сил различной продолжи- продолжительности: 1) т = 0, lim/7T = S (удар); 2) т = Г/4; 3) т = Г/2, 4 т->о где Т — период свободных -колебаний системы. Ответ: 1) *max= <\/JpS> ^ *тах=У2-^=л/2*ст; 3) *тах = к задаче 54.42 54.45E3.48). Найти закон движения маятника, состоящего из материальной точки, висящей на нерастяжимой нити длины I. Точ- Точка подвеса маятника движется по заданному закону !• = ?•(/) по горизонтальной прямой. Ответ: Угол отклонения маятника от вертикали ср изменяется по закону Ф = сх sin kt + с2 cos kt — -Ц^- + т" \ 1(т) sin k(t — %)d%, 0 где k = 54.46E3.49). На материальную точку массы m, подвешенную на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, заданная условиями: F=*0 при *<0; / ' = ^- F0 ПРИ 0 < / : = ^о при t > т. т; 415
Определить движение точки и найти амплитуду колебаний при Ответ: х = A-[l - JLcosk (, ~L) sin-f-]; k - д/Ь *-¦&«¦»-? 54.47E3.50). На груз массы m, висящий на пружине жесткости с, действует возмущающая сила, изменяющаяся по закону Q(t) = = F | sin ®t |. Определить колебания системы, имеющие частоту возмущающей силы. Ответ: При 0</ Ft\ Г • kit Л F x = —. . о —гог sin kt 4- ctg rr— cos kt 7-0—гот- sin (&t: тк (со* — к ) L -ьоэ j m (со — «*) Л = л/с/т. 54.48E3.51). Определить критическую угловую скорость (отно- (относительно поперечных колебаний) легкого вала, несущего посредине диск веса Р. Рассмотреть следующие случаи: 1) вал на обоих кон- концах опирается на длинные подшипники (концы можно считать за- заделанными); 2) на одном конце вал опирается на длинный под- подшипник (конец заделан), а на другом — на короткий подшипник (конец оперт). Жесткость вала на изгиб ?7, длина вала /. Ответ: 1) <оКр=/\/—рр > 2) сокр = 54.49E3.52). Определить критическую скорость вращения лег- легкого вала длины /, если вал лежит на двух коротких подшипниках и на выступающем конце длиной а несет диск веса Р. Жесткость вала на изгиб EJ. Ответ: <окр = 54.50E3.53). Определить критическую скорость вращения тяже- тяжелого вала, лежащего одним концом в коротком подшипнике, а дру- другим— в длинном; длина вала /, жесткость вала на изгиб EJ, вес единицы длины вала q. Ответ: сокр= 15,4 § 55. Малые колебания систем с несколькими степенями свободы 55.1E4.1). Для экспериментального исследования процесса ре- регулирования гидравлических турбин сконструирована установка, состоящая из турбины, ротор которой имеет момент инерции отно- относительно оси вращения J\ = 50 кг-см2, маховика с моментом инер- инерции /2= 1500 кг-см2 и упругого вала С, соединяющего ротор тур- турбины с маховиком; вал имеет длину /=1552 мм, диаметр d = = 25,4 мм, модуль сдвига материала вала G = 8800 кН/см2. 41G
\т j К задаче 55.1 Пренебрегая массой вала и скручиванием его толстых участков, найти то сечение тп вала, которое при свободных колебаниях данной системы остается неподвижным (узловое сечение), а также вычислить период Т свободных колебаний системы. Ответ: а = 50 мм, Т = = 0,09 с. 55.2E4.2). Определить ча- частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из вала, закрепленного на од- одном конце, с насаженными посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инер- инерции каждого диска относительно оси вала /; жесткость на круче- кручение участков вала С\ = с2 = с. Массой вала пренебречь. Ответ: k{ = 0,62 Ус/7, k2 = 1,62 У с/7. 55.3E4.3). Определить частоты главных крутильных колебаний системы, состоящей из вала с насаженными на него тремя одина- одинаковыми дисками. Два диска закреплены на концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала /; жесткость на кручение участков вала С\ = = с2 = с. Массой вала пренебречь. Ответ: kx = д/с/7, k2 = л/Зс/J. 55.4E4.4). Два одинаковых маятника дли- длины / и массы га каждый соединены на уровне h упругой пружиной жесткости с, прикреп- прикрепленной концами к стержням маятников. Опре- Определить малые колебания системы в плоско- плоскости равновесного положения маятников, после того как одному из маятников сообщено отклонение на угол а от положения равновесия; начальные скорости маятников равны нулю. Массами стержней маятников и массой пружины пренебречь. Ответ: ф! = a cos —— 2 WWWV\A К задаче 55.4 ¦tcos - -/, sinAz^^, К задаче 55.5 где ф1 и фг — углы отклонения маятников от вер- , П , / g , 2ch2 тикали и ^1=А/~Э 2 == v ~ ' ml2 ' 55.5E4.5). Диск массы М может катиться без скольжения по прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен стержень длины /, на конце которого находится точечный груз массы га. Найти период малых колебаний маятника. Массой стержня пренебречь. 14 И. В. Мещерский 417
Ответ: Г = ! ъм 55.6E4.6). Заменяя в предыдущей задаче прямолинейный рельс дугой окружности радиуса /?, найти частоты малых колебаний рассматриваемой системы. Ответ: Главные частоты являются корнями уравнения 2 (М + m) g2 , 4 ___ Г K LC * (ЗМ + 2m) (# - r) / = 0 К задаче 55.6 К задаче 55.7 55.7E4.7). Маятник состоит из ползуна массы М, скользящего без трения по горизонтальной плоскости, и шарика массы т, сое- соединенного с ползуном стержнем длины /, могущим вращаться вокруг оси, связанной с ползуном. К ползуну присоединена пру- пружина жесткости с, другой конец которой закреплен неподвижно. Определить частоты малых колебаний системы. Ответ: Искомые частоты являются корнями уравнения / М \k ~Ь~ М l Оф 55.8E4.8). Два одинаковых физических маятника подвешены на параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которой в ненапряженном состоянии равна расстоянию между ося- осями маятников. Пренебрегая сопротивлением движению и массой пружины, определить частоты и отношения амплитуд главных колебаний системы при малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждого маятника Р; радиус инерции его относи- относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси подвеса, р; жесткость пружины с, расстояния от центра масс маятника и от точки прикрепления пружины к маятникам до оси подвеса равны соответственно / и ft. (См. рисунок к задаче 55.4.) gl (Pl + 2ch2)g A\l> Af (Ъф&рф* a?- __________ o- ________________ —— I _____ UTeeT. К{— л2__;2 • R2 рГЛ2л-/2^ ' дО) Х> дB) = —1. м2 ' ~2~ p(p2 + /2) ' 55.9E4.9). Однородный стержень АВ длины L подвешен при помощи нити длины / = 0,5L к неподвижной точке. Пренебрегая массой нити, определить частоты главных колебаний системы и 415
найти отношение отклонений стержня и нити от вертикали при первом и втором главньпс колебаниях. Ответ: kx = 0,677 -y/glU &2 = 2,558 <\fgfl\ в первом главном ко- колебании ф1 = 0,847ф2, во втором (pi =—1,180ф2, где ф1 и фг — амплитуды углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью. 55.10E4.10). Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по срав- сравнению с длиной стержня, и пренебрегая ква- квадратом отношения L//, определить отношение низшей частоты свободных колебаний систе- системы к частоте колебаний математического маятника длины /. Ответ: 1-1JL 1 4 / * в К задаче 55.9 55.11E4.11). Считая в задаче 55.9* что дли- длина нити весьма мала по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения 1/L, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний физического маятника, если ось вра- вращения поместить в конце стержня. Ответ: 1--J"T- 55.12E4.12). Определить частоты главных колебаний двойного математического маятника при условии, что массы грузов М\ и М2 соответственно равны Ш\ и тг, ОМ\ = l\, AfiM2 = h, а к грузу Mi присоединена пружина, массой которой можно пренебречь. Дли- Длина пружины в ненапряженном со- состоянии равна /о, жесткость пру- пружины с. Ответ: k2{2 = п\ + п\ Т V(/if - nl где 2 n + m2) g + clx + m2) п2— -?- v2 = т>2 ТП\ К задаче 55.12 К задаче 55.13 55.13E4.13). Двойной физический маятник состоит из однород- однородного прямолинейного стержня OiO2 длины 2а и веса Р\9 вращаю- вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси Оь и из однород- однородного прямолинейного стержня АВ веса Рг, шарнирно соединенного в своем центре масс с концом Ог первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О\О2 от- отклонен на угол фо от вертикали, а стержень АВ занимает верти- вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость щ. 14» 419
Ответ: <p = qp0cos /\J|- Л | /; ^ = где ф — угол, об- обJ| ^ разуемый стержнем ЛВ с вертикальным направлением. 55.14E4.14). Стержень АВ веса Р подвешен за концы А и В к потолку на двух одинаковых нерастяжимых нитях длины а. К стержню АВ подвешена на двух одинаковых нерастяжимых ни- нитях длины Ъ балка CD веса Q. Предполагая, что колебания проис- происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колеба- колебаний. Массами нитей пренебречь. Ответ* _ Ответ. *и2- гдеп2_А п2-1 , где пх - д , п2-^ , V12 55.15E4.15). Исследовать колебания железнодорожного вагона в его средней вертикальной плоскости, если вес подрессоренной У/////////////////////////////. С д К задаче 55.14 h . К задаче 55.15 части вагона Q, расстояния центра масс от вертикальных плоско- плоскостей, проведенных через оси, /i = /2 == к радиус инерции относи- относительно центральной оси, параллельной осям вагона, р; жесткость рессор для обеих осей одинакова: с\ = с2 = с. Ответ: х = Asin(k\t + a), if = Bsin(?2f + Р), где х — верти- вертикальное смещение центра масс вагона, 1|з — угол, образуемый полом вагона с горизонтом; Л, В, а, р — по- постоянные интегрирования; k\ = К задаче 55.16 Vi 2 g 55.16E4.16). Исследовать малые свободные колебания груженой плат- платформы веса Р9 опирающейся в точ- точках Л и В на две рессоры одинаковой жесткости с. Центр масс С платфор- платформы с грузом . находится на прямой АВ, причем АС = а и СВ = Ь. Плат- Платформа выведена из положения равновесия путем сообщения центру масс начальной скорости vOy направленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать. Момент инерции платформы относительно горизонтальной попереч- поперечной оси, проходящей через центр масс платформы, равен Jc = 420
= 0,1 (а2 + b2)P/g. Колебания происходят в вертикальной пло- плоскости. За обобщенные координаты принять: у — отклонение центра масс от положения равновесия вниз, г|э — угол поворота платформы вокруг центра масс. Ответ: у = -i^ (± sin *,, - 55.17E4.17). Платформа тележки опирается в точках А и 5 на две рессоры одинаковой жесткости с, расстояние между осями рес- рессор АВ = I; центр масс С платформы расположен на прямой А&, являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии ЛС = = а = //3 от точки А (см. рисунок к задаче 55.16). Радиус инер- инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно прямой АВ и лежащей в плоскости платформ», принять равным 0,2/; вес платформы равен Q. Найти малые колебания платформы, возникающие под дей- действием удара, приложенного в центре масс платформы перпенди- перпендикулярно ее плоскости. Импульс удара равен 5. / Ответ: Пусть z — вертикаль- вертикальное смещение центра масс плат- платформы, ф — угол поворота ее во- ' к задаче иле круг оси, указанной в условии за- задачи (та и другая координаты отсчитываются от положения равно- равновесия центра масс платформы); найдем z= ^/IZs(o,738 sin 1,330 д/-^-/ + 0,00496 sin 3,758 /ф = д/JL s(o,5O9 sin 1,330 л/Цг- 0,180 sin 3,758 д/-^ i 55.18E4.18). Две одинаковые материальные точки Mi и М2 массы т каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концов к натянутой нити, имеющей длину 2(а + Ь); натяжение нити равно р. Определить частоты главных колебаний и найти главные координаты. Ответ: kx == д/-^-, h = д/-~ [v + т]' Главные коорди- координаты: 0i = g- (Х\ + *2)> е2 =  (*2 "^ х\) • 421
55.19E4.19). Определить частоты малых колебаний тяжелой ма- материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; глав- главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положе- положению равновесия, равны pi и рг. Ответ: kx = ^g/ply &2 = Уг/р2- 55.20E4.20). Определить частоты малых колебаний тяжелой ма- материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, проходящей через эту точку. Главные радиусы кривизны поверхности в ее нижней точке pi и р2. Ответ: Частоты малых колебаний являются корнями уравнения JL + - Л.) (* _Х)_о. 55.21E4.21). Круглый однородный диск радиуса г и массы М связан шарниром со стержнем ОА длины /, могущим поворачи- поворачиваться около неподвижной горизонтальной оси. На окружности диска закреплена мате- материальная точка В массы т. Определить ча- частоты свободных колебаний системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня ОА. Ответ: Частоты свободных колебаний яв- являются корнями уравнения К задаче 55.21 2m(M + m) g2 М (М + Ъш) lr U# 55.22E4.22), На проволочную окружность радиуса /?, плоскость которой горизонтальна, надеты два одинаковых колечка, соединен- соединенные пружиной жесткости с, имеющей в ненапряженном состоянии длину /о. Определить движение колечек, при- приняв их за материальные точки массы т. При- Принять, что в начальный момент q>i = 0, а ко- колечко В отклонено от своего равновесного по- положения на величину дуги, равную 2/?р. На- Начальные скорости колечек равны нулю. Ответ: фх = р A — cos kt), <p2 = 2а + К задаче 55.22 55.23E4.23). Определить малые колебания математического маятника длины / и веса Рг, подвешенного к вертикально движу- движущемуся ползуну А веса Л, прикрепленному к пружине жесткости с. Ползун при своем движении испытывает сопротивление, пропор- 422
циональное его скорости (Ь — коэффициент пропорциональности) * Найти условия, при которых в случае b = О главные частоты дан- данной системы будут равны между собой. Ответ: 1) х = Axe~ht sin (д/^ — h2t + ej, ф = А2 sin (k2t + e2), л л и bg где Ль Л2, еь 82 — постоянные интегрирования, й = 2 (Р + Р i * 2) Главные частоты будут одинаковы (при 6 = 0), если с== PlV2 - 55.24E4.24). Два одинаковых жестких стержня длины /? имеют общую точку подвеса О. Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К кон- концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В массы m К задаче 55.23 К задаче 55.25 каждый, соединенные между собой пружиной жесткости с. Длина пружины в состоянии устойчивого равновесия системы равна /. Пренебрегая массой стержней, найти частоты главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов. Ответ: kx = д/-|- cos a, k2 = д/-~- cos2 а + -|- cos а, где а = arcsin 2R ' 55.25E4.25). К движущейся по заданному закону | = l(t) плат- платформе подвешена на пружине жесткости сх механическая система, состоящая из массы m\f к которой жестко присоединен в точке В поршень демпфера. Камера демпфера, масса которого равна тг, опирается на пружину жесткости с2, противоположный конец ко- которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропор- пропорционально относительной скорости поршня и камеры; р — коэффи- коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы. 423
Ответ: т{Хх + р^—рлг2 + (сх + с2) хх — с2х2 = cx% (t), т2х2 — $хх+ -f р*2 — с2хх + с2л:2 = 0. 55.26. Тяжелый однородный стержещ» длины / и массы т\ ниж- нижним концом опирается на шарнир и удерживается в вертикальном положении е помощью пружины жесткости с. К точке стержня, отстоящей от шарнира на расстоянии а, подвешен на нити длины г груз М массы пг2. При вертикальном положении стержня пружина находится в ненапряженном состоянии и расположена горизон- горизонтально. При какой жесткости пружины стержень и груз могут совершать малые колебания около вертикального положения? Найти уравнение частот этих колебаний. Массой нити пренебречь. Ответ: с 0, где ац= ^22 — К задаче 55.26 К задаче 55.27 К задаче 55.28 55.27, Однородная балка АВ длины /, массы пг\ опирается в точке В на пружину жесткости с, а в точке А на цилиндрический шарнир. В точке Е балки на расстоянии а от шарнира А на стержне длины г с помощью шарнира подвешен груз М массы пг2. В положении равновесия балка АВ горизонтальна. Найти уравне- уравнение малых колебаний балки и груза. Массой стержня пренебречь. Ответ: ф = а{ sin (kit + 81), -ф = а^ sin (k2t + е2), где k{ = /IF ' k*=/\/2> а ai' °* 8ь е2 - постоянные ин- интегрирования. 55.28E4.27). Определить частоты свободных крутильных коле- колебаний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчатой передачей. Моменты инерции масс, насаженных на валы, и мо- моменты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют ве- величины Л = 875-103 кг-см2, /2 = 560-103 кг-см2, /i=3020 кг-см2, t2 = 105 кг-см2, передаточное число k = z\/z2 = 5; жесткости ва- валов при кручении Ci=316X107 Н-см, с2 = 115-107 Н-см; масса- массами валов пренебречь. Ответ: ki = 54,8с-1, k2 = 2,38- 424
55.29E4.28). Определить, пренебрегая массой зубчатых колес, частоту свободных крутильных колебаний системы, описанной в предыдущей задаче. Ответ: k = 58,7 с. 55.30E4.29). Найти частоты и формы главных поперечных ко- колебаний балки длины /, свободно лежащей на двух опорах и на- 1 2, груженной в точках х =-§1 и х = -§1 двумя равными грузами веса Q. Момент инерции поперечного сечения балки /, модуль упругости Е. Массой балки пренебречь. /ЮГ /~ЗДГ Ответ: fe1 = 5,69A/—|-, ^=22,04 ' 4» I. ~-75г = —1; формы главных колебаний указаны на рисунке. К задаче 55.30 К задаче 55.31 55.31E4.30). Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длины /, опертой по концам и несущей два груза Q\ = Q и Q2 = 0,5Q, равноудаленных от опор на расстояние 1/3. Массой балки пренебречь / Ответ: = 27,2 0,95. -—^- = — 2,09; формы главных колебаний указаны на рисунке. 55.32E4.32). Найти частоты глав- п1 ._ ных колебаний двух одинаковых гру- грузов Q, закрепленных на концах гори- горизонтальной консольной балки на рав- равных расстояниях / от ее опор. Балка длины 3/ свободно лежит на двух опо- опорах, отстоящих друг от друга на рае- стоянии /, момент инерции поперечного сечения балки /; модуль упругости Е. Массой балки пренебречь. Ответ: ki = л/-?-• задаче 55.32 425
55.33E4.33). Однородная прямоугольная пластинка массы т закреплена в конце А балки длины /, другой конец которой заделан неподвижно. Система находится в горизонтальной плоскости и со- совершает в этой плоскости свободные колебания около положения равновесия. Определить частоты и формы этих колебаний, если а =0,2/, 6 = 0,1/. Массой балки пренебречь. Указание. Сила Q и момент М, которые должны быть приложены к кон- К задаче 55.33 цу А балки, чтобы создать в этой точке прогиб f и поворот касательной к изо- изогнутой оси балки ф, определяются формулами / = pQ •+- sM, ф = sQ + qM> причем в рассматриваемом случае однородной балки, заделанной одним концом, р « /3/C?/), q = //(?/), s = PI BEJ). Ответ: Частоты главных колебаний равны соответственно 0,804 УЗЯ//(т/3), 20,7 У3?//(т/3); первое главное колебание можно рассматривать как колебание поворота вокруг точки О\, расположенной на оси балки слева от точки А на расстоянии О\А = 0,612/, второе — вокруг точки О2, расположенной на продолжении оси балки на расстоянии О2А = = 0,106/ справа от точки А. 55.34E4.34). К первому из двух первоначально неподвижных дисков, соединенных упругим валом жесткости с, внезапно прило- с жен постоянный вращающий момент ^» моменты инерции дисков /. Пре- небрегая массой вала, определить последующее движение системы. Ответ. М М 55.35E4.35). Двухъярусная шар- нирно-стержневая система удержи- удерживается в вертикальном положении тремя пружинами, как это показано к задаче 55.35 на рисунке. Стержни абсолютно жесткие, однородные: вес на длину / равен G. Полагая коэффициенты жесткости пружин равными сх = с2 = 10G//, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты и формы f\ и /2 главных колебаний системы. Мас- Массой пружин пренебречь: 1\ = 12 = /. Ответ: Равновесие устойчивое; ^ = 0,412 Vg//, ^^ЬбТЗ /i = — 1,455, f2 = 3,495. 426
55.36E4.36). Груз массы М укреплен на вершине стойки, жестко связанной с балкой АВУ свободно лежащей на двух опорах. Пола- Полагая, что момент инерции поперечного сечения /, а модули упру- упругости Е балки и стойки одинаковы, определить частоты главных изгибных колебаний системы. Массами бал- балки и стойки пренебречь. f Ответ: кх = 0,497 k2= 1,602 I i 55.37E4.37). Фундамент машины массы mi = 102-102 кг, установленный на упругом грунте, совершает вертикальные вынужден- вынужденные колебания под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся по закону F = 98 sin oof кН. С целью устранения ре- ' - а зонансньпг колебаний, обнаруживающихся При угловой скорости вала машины со = к задаче 55 36 = 100 рад/с, на фундаменте установлен на упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы. Подобрать массу рамы т и суммарную жесткость пружин с2 гасителя так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при выше- вышеуказанной скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колеба- колебаний гасителя не превосходила А = 2 мм. Ответ: т = 4,9.103 кг, с2 = 49-103 кН/м. 55.38E4.38). Определить уравнения вынужденных колебаний системы дисков, описанной в задаче 55.2, при действии на средний диск возмущающего момента М = М о sin pt. где k\ и &2 — частоты главных колебаний системы. 55.39E4.39). Электромотор веса Q\ закреплен на упругом бе- бетонном фундаменте (в виде сплошного параллелепипеда) веса <?2 с коэффициентом жесткости Сг, установленном на жестком грунте. Ротор веса Р насажен на упругий горизонтальный вал с коэффи- коэффициентом жесткости при изгибе с\\ эксцентриситет ротора относи- относительно вала г; угловая скорость вала ©. Определить вынужденные вертикальные колебания статора электромотора. Учесть влияние массы фундамента путем присоединения одной трети его массы к массе статора. Ответ- и — dPgro2 sin Ы итвет. у — CxC2g2 _ [(??i + Сл) р + Ci (Qi + где у — отклонение статора от положения равновесия. 55.40E4.40). В точке А балки АВ (см. задачу 55.14) приложена сила F = Fo sin pt (Fo и р — постоянные), составляющая все время с нитью ОА прямой угол и расположенная в плоскости движения 427
балки. Какова должна быть длина Ь нитей, на которых подвешена балка CD, чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки АВ равнялась нулю? Ответ: Ь = g/p2. 55.41E4.41). Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник. На ри- рисунке схематически изображена система, состоящая из двух масс / и //, вращающихся с постоянной угловой скоростью со. Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения J\ и h\ момент инерции маятника относительно оси, У/ А± ~ л L К задаче 55.41 параллельной оси вращения системы и проходящей через центр масс маятника, /3. Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника О А = /; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходящей через центр масс маятника, АС=а; масса маятника т. Коэффициент упругости (жесткость при кручении) участка вала между массами С\. Ко второй массе приложен внешний момент M = Afosino)?. Написать дифференци- дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника. При составлении выражения для потенциальной энергии системы пре- пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести. Ответ: J^x + cx (q>{ — q>2) = 0, G2 + ml2) ф2 + malq>3 cos (ф2 — ф3) + + таЩ sin (ф2 - Фз) + с{ (ф2 - Ф[) = Мо sin со/, (/3 + та2) фз + та1ф2 cos (ф2 — ф3) — таЩ sin (ф2 — Ф3) = 0. 55.42E4.42). Бак, имеющий форму куба, опирается четырьмя нижними углами на четыре одинаковые пружины; длина стороны куба 2а. Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сторонам куба, равны сх, су, сг\ момент инерции куба относительно главных центральных осей /. Составить уравнения малых колеба- колебаний и определить их частоты в случае сх = су. Масса бака равна М, Ответ: Mx + cxx — cxaq>2 = 0> My + cyy + cya(pl = 0, Mz + czz = 0, /ф! + суау + СуСрух + CM2q>x = 0, /ф2 + сха24>2 — Сх<ж + ^2Фг = °» ^Фз + сха\ъ + сус?щ = 0, 428
где х, у, z — координаты центра куба, фь q>2, фз — углы поворота куба относительно координатных осей. Если сх = сУу то kz = <\/cjM9 и* М (сх + сг) а2 + CZJ К MJ , 9 , а2 R ^ С*Сг MJ 55.43E4.43). Однородная горизонтальная прямоугольная пла- пластина со сторонами а и Ь опирается своими углами на четыре К задаче 55.42 К задаче 55.43 одинаковые пружины жесткости с; масса пластины М. Определить частоты свободных колебаний. k2 = &з = V 12с/А1. Ответ: kx = 55.44E4.44). Три железнодорожных груженых вагона веса Q\9 Q2 и Qz сцеплены между собой. Жесткости сцепок равны С\ и Сг, Найти частоты главных колебаний си- системы. 1\ Ответ: k\ = 0, a k% и кг суть корни уравнения С\ ~f~ ?2 1 1гг Q2 С\С2 QiQ2" ш-]-»- 'К \мшмЛ К задаче 55.44 К задаче 55.45 55.45E4.45). При условиях предыдущей задачи найти уравне- уравнения движения вагонов и построить формы главных колебаний для случая вагонов равного веса Q\ = Q2 = Q3 = Q, соединенных сцеп- сцепками одинаковой жесткости С\ = Сг = с. В начальный момент два вагона находятся в положении равновесия, а крайний правый вагон отклонен на х0 от положения равновесия, 429
Ответ: хх = -^ - -§- cos k2t + -^ ccs kj, х2 = ^- — ^- cos Формы главных колебаний изображены на рисунке. 55.46E4.46). Найти частоты и формы главных колебаний си- системы, состоящей из трех одинаковых масс т, закрепленных на балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку считать свободно положенной 0ШГ\ /^1ЩР^^^ на опоры; длина балки /, мо- момент инерции поперечного се- сечения /, модуль упругости Ещ Ответ: &1 = 4,93д/5 К= 19,6 д/jj К задаче 55.46 ФорМЫ ГЛаВНЫХ КОЛебаНИЙ ПО- казаны на рисунке. 55.47E4.47). Система п одинаковых масс /я, соединенных пру- пружинами жесткости с, образует механический фильтр для продоль- продольных колебаний. Считая заданным закон поступательного движения левой массы х = хо sin ©/, показать, что система является фильтром К задаче 55.47 К задаче 55.48 низких частот, т. е. что после перехода частоты о через определен- определенную границу амплитуды вынужденных колебаний отдельных масс изменяются в зависимости от номера массы по экспоненциальному закону, а до перехода — по гармоническому. Ответ: Фильтр пропускает колебания с частотой 0 < о < <2^/фп. 55.48E4.48). Фильтр крутильных колебаний схематизируется d виде длинного вала с насаженными на него дисками. Считая за- заданным закон движения левого диска в форме Ф = fto sin со/, опре- определить вынужденные колебания системы и вычислить амплитуды колебаний отдельных дисков. Моменты инерции дисков /, жест- жесткости участков вала между дисками одинаковы и равны с. Иссле- Исследовать полученное решение и показать, что система является филь- фильтром низких частот. Ответ: ftk = (#0 cos pk + сх sin \\.k) sin ®/, sin (ц/2) = (co/2) \lfc> где Ф* — угол поворота k-то диска, С\ — постоянная, определяемая 430
из граничного условия на втором конце вала; первый диск имеет нулевой номер, частота со должна заключаться в пределах 0 < < со < 2 л/ф. 55.49E4.49). Механическая система, образующая полосовой фильтр для продольных колебаний, состоит из звеньев, каждое из которых образовано массой т, соединенной с массой следующего звена пружиной жесткости с. Параллельно с этой пружиной к массе присоединена пружина жесткости си связывающая массу т с неподвижной точкой. Закон продольных колебаний левой массы х = х0 sin cat задан. Показать, что при значениях со, лежащих в ТА т /77 iTf m 4 4 4 т >ЛЛЛЛ/W с т i 4 4 4 4 4 Ь с с К задаче 55.49 К задаче 55.50 определенных границах, амплитуды колебаний отдельных масс из- изменяются с расстоянием по гармоническому закону. Найти соот- соответствующие граничные частоты. Ответ: Полоса пропускания Д/ -jjp < со < /\J-L-^—. 55.50E4.50). Система большого числа масс /п, насаженных на расстоянии а друг от друга на струну АВ, натянутую с усилием Г, и поддерживаемых пружинами жесткости с, является полосовым механическим фильтром поперечных колебаний. Вычислить часто- частоты, отвечающие границам полосы пропускания. Ответ: Полоса пропускания определяется неравенством Vc 55.51E4.51). Нить длины nl подвешена вертикально за один конец и нагружена на равных расстояниях а друг от друга п ма- материальными точками с массами т. Составить уравнения движе- движения. Найти для п = 3 частоты поперечных колебаний нити. Ответ: Уравнения движения имеют вид где Xk — поперечное смещение k-й частицы (отсчет номеров ведется сверху); kx = 0,646 л/glL k2 = 1,515 д/g/Z, kz = 2,505 л/g/l. 55.52E4.52). Определить частоты свободных поперечных коле- колебаний натянутой нити с закрепленными концами, несущей на себе п масс т, отстоящих друг от друга на расстояниях /. Натяжение нити Р. Ответ: 1г — 2л1—т-sin-^—, l^s^rt — 1* 431
§ 56. Устойчивость движения 56.1E5.1). Двойной маятник, образованный двумя стержнями длины / и материальными точками с массами т, подвешен на гори- горизонтальной оси, вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг оси z. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Массой стержней пренебречь. Ответ: При g/(/<o2) > 1 + l/V2 вертикальное положение равно- равновесия маятника устойчиво. 56.2E5.2). Тяжелый шарик находится в полости гладкой труб- ки, изогнутой по эллипсу -^г + -jjr!= 1 и вращающейся вокруг вер- вертикальной оси Oz с постоянной угловой скоростью со (ось Oz на- направлена вниз). Определить положения относительного равновесия шарика и исследовать их устойчивость. Ответ: При со2 ^ gc/a2 два положения равновесия: а) х = О, z ¦= с (устойчивое); б) х = 0, z «= —с (неустойчивое). При co2>gc/a2 существуют три положения равновесия: а) лг=О, 2 = с (неустойчивое); б) х = О, г = —с (неустойчивое), в) z = «= gc2/ (co2a2) (устойчивое). 56.3E5.3). Тяжелый шарик находится в полости гладкой труб- трубки, изогнутой по параболе х2 = 2pz и вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг оси Oz. (Положительное направление оси Oz — вверх.) Определить положение относительного равнове- равновесия шарика и исследовать его устойчивость. Ответ: Существует единственное положение равновесия z = 0; он® устойчиво при со2 < g/p и неустойчиво при со2 > g/p, при со2 = — В/Р— безразличное равновесие. 56.4E5.4). Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью со. Потенциальная энергия II(s) точки задана и зависит только от ее положения, определяемого дугой 5, отсчитываемой вдоль кривой, r(s)—расстояние точки от оси вращения. Найти условие устойчивости относительного положения равновесия точки. Ответ: (-^5 dFLmrs"]®2) > 0> где s° опРеДеляется из уравнения (J «4mr 56.5E5.5). Показать, что материальная точка массы m под действием центральной силы притяжения F = arn (a = const, r — расстояние точки до притягивающего центра, п — целое число) мо- может совершать движение по окружности с постоянной скоростью. Найти условие, при котором это движение устойчиво по отношению к координате г. Ответ: При п < —3 движение неустойчивое, а при п > —3 устойчивое. 56.6E5.6). Твердое тело свободно качается вокруг горизонталь- горизонтальной оси NT, вращающейся вокруг вертикальной оси Oz с угловой скоростью ©, Точка G — центр инерции тела; плоскость NTG яв* 432
ляется плоскостью симметрии, ось OG— главной осью инерции. Ось KL параллельна NT, ось ED проходит через точку О и пер- перпендикулярна NT и OG. Моменты инерции тела относительно осей OG, KL и ED равны соответственно С, А и В; h — длина от- отрезка OG\ M — масса тела. Определить возможные положения относительного равновесия и исследовать их устойчивость. Ответ: Возможным положением относительного равновесия отвечают следующие значения угла отклонения линии OG от оси Oz: а) ср = 0 (устойчиво, если В < С; при В > С оно устойчиво, если о2 <Mgh/(B — С), и неустойчиво при ю2 > Mgh/(B — С); б) ф = я (неустойчиво, если В > С; при В < С оно устойчиво, если (о2 >Afg/i/(C — В), и неустойчиво при со2 < Mgh/(C — В); в) ф = arccos [Mg/i/((В — С)®2)] (существует, если со2 > > Mftg/|B — С|; устойчиво при В > С и неустойчиво при В <С). 56.7E5.8). Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира О к вертикальной оси, вращаю- вращающейся с постоянной угловой скоростью ю; маятник симме- симметричен относительно своей про- продольной оси; А и С—его мо- моменты инерции относительно главных центральных осей инерции |, л и ?; h — расстоя- расстояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений рав- равновесия маятника и определить период колебаний около сред- среднего положения равновесия. Ответ: Положения равнове- равновесия и их устойчивость опреде- определяются формулами, данными в ответе к задаче 56.6 (в них нужно положить B=A-{-Mh2). ГТв- К К задаче 56.6 риод колебании Т = 2шв д/ (А + Mh2) (A + Mh2 — С) 56.8E5.9). Вертикальная ось симметрии тонкого однородного круглого диска радиуса г и веса Q может свободно вращаться вокруг точки Л. В точке В она удерживается двумя пружинами. Оси пружин горизонтальны и взаимно перпендикулярны, их жест- жесткости соответственно равны с\ и с2, причем с2 > С\. Пружины кре- крепятся к оси диска на расстоянии L от нижней опоры; расстояние диска от нижней опоры /. Определить угловую скорость со, кото- которую нужно сообщить диску для обеспечения устойчивости вра- вращения. Ответ: При Ql < cxL2 система устойчива при любой угловой скорости; при Ql < c2L2 система устойчива, если со > со*, где 433^
V 1 " система неустойчива при любой угловой скорости. 56.9E5.10). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по внутренней поверхности кругового цилиндра ра- радиуса а, ось которого наклонена под уг- углом а к вертикали. Исследовать устой- устойчивость движения по нижней (ф = 0) и верхней (ф = п) образующим. Опреде- Определить период колебаний при движении по нижней образующей. Ответ: Движение по верхней обра- образующей неустойчиво; период колебаний при возмущении движения вдоль нижней образующей Т = 2л д/а/(# sin a). 56.10E5.11). Материальная точка вы- вынуждена двигаться по внутренней глад- гладкой поверхности тора, заданного пара- параметрическими уравнениями х = р cos г|), у = р sin if, z = Ь sin О, р = а + Ь cos ft (ось z направлена вертикально вверх). Найти возможные движения точки, ха- характеризующиеся постоянством угла О, и исследовать их устойчивость. Ответ: Значения Ф = bi = const нахо- находятся из уравнения К задаче 56.8 лл . где a = b/a, p = g/(aa>2), -ф = a> = const. Это уравнение допускает два существенно различных решения: —я/2 < #i < 0, я/2 < #2 < п. Движение, соответствующее первому решению, устойчиво, второ- второму — неустойчиво. К задаче 56.9 ТЛ70Г К задаче 56.10 56.11E5.12). Исследовать устойчивость движения обруча, равно- равномерно катящегося с угловой скоростью со по горизонтальной пло- плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а. Ответ: Движение устойчиво, если о>2 > g/Da) 434
56.12E5.13). Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном дви- движении v. Исследовать устойчивость движения. Ответ: Движение устойчиво при v2 > 4 , 4 .^ ag. 56.13E5.14). Исследовать устойчивость движения однородного обруча радиуса а, вращающегося вокруг вертикального диаметра с угловой скоростью со. Нижняя точка обруча соприкасается с го- горизонтальной плоскостью. Ответ: Движение устойчиво при to2 > B/3) (g/a). 56.14E5.15). На материальную точку массы т, отклоненную от положения равновесия, действуют сила Fr% по величине пропор- пропорциональная отклонению ОМ = = г = aJx2 + у2 из этого поло- положения и направленная к нему; сила Fcp, перпендикулярная первой (боковая сила), по ве- величине тоже пропорциональная отклонению г: \Fr\=C\\r9 \Fy\= ci2r. Исследовать мето- методом малых колебаний устойчи- устойчивость равновесного положения точки. Указание. В таких условиях будет находиться точечная масса, за- закрепленная на свободном конце сжа- сжатого и скрученного стержня (с оди- одинаковыми главными жесткостями на изгиб), нижний конец которого заде- заделан. Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесия. Ко- Коэффициенты Си, с\2 зависят от сжимающей силы, скручивающего момента, дли- длины стержня и от жесткостей на изгиб и кручение. Ответ: Равновесие неустойчивое. 56.15E5.16). При исследовании устойчивости движения точки в предыдущей задаче принять во внимание силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости Rx = —Р#, Ry = —$у (Р — коэффициент сопротивления). Ответ: Равновесие устойчиво при Р2?и > mcj2. 56.16E5.17). Если у стержня, описанного в задаче 56.14, жест- жесткости на изгиб не равны, то реакции конца стержня, действующие на массу т, определяются выражениями Fx = —СцХ + Ci2y, Fy = С2\Х—С22У. Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости рав- равновесия. Ответ: При (сц — с22J-\- \с\2с2\ > 0 равновесие устойчиво. 435 К задаче 56.14
56.17E5.18). Уравнение движения муфты центробежного регу- регулятора двигателя имеет вид тх + pi; + сх = А (<о — а>0), где х — перемещение муфты регулятора, т — инерционный коэф- коэффициент системы, р— коэффициент сопротивления, с—жесткость пружин регулятора, со — мгновенная и <о0 — средняя угловые ско- скорости машины, А — постоянная. Уравнение движения машины имеет вид (В— постоянная, / — приведенный момент инерции вращающихся частей двигателя). Установить условия устойчивости системы, состоящей из дви- двигателя и регулятора. Ответ: Система устойчива при АВ < Jc§/m (с, р, /, Л, В счи- считаются положительными). 56.18E5.19). Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально рас- расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М' — массы верхнего и нижнего волчков, С и С — их моменты инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и с' — расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев; h — расстояние между остриями. Угловые скорости волчков Q и Q'. Вывести условия устойчивости системы. Ответ: Система устойчива, если все корни уравнения четвертой степени [А А' + Mh2 (A - Me2)] Л4 + [A'C'Q' + CQ (А' + МИ2)] Я3 + + [А (М'с' + Mh) g + (А' + Mh2) Meg + CC'QQ'] X2 + + [CQ (M V + Mh) g + COT Meg] X+MC (M'c' + Mh) g2 == 0 различны и вещественны. 56.19E5.20). Деталь 1 перемещается поступательно с постоян- постоянной скоростью v0 и через пружину передает движение ползуну 2. Сила трения между ползуном и направляющими 3 зависит от ско- скорости ползуна v следующим образом: Я = Но sign v — av + р03, где #о, а> Р — положительные коэффициенты. Определить, при ка- каких значениях v0 равномерное движение ползуна является устой- устойчивым. Ответ: t;§ 436
56.20E5.21). Агрегат, состоящий из двигателя / и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как двухмассовая система. К ротору двигателя, имеющему момент 3 К задаче 56.19 3 К задаче 56.20 инерции /i, приложен момент Ми зависящий от угловой скорости ротора ф: М\ = М о — M-i (Ф — g>o) • К валу машины, имеющему момент инерции /г, приложен момент сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала ф: М 2 = Af о — |Аг('Ф — в>о). Коэффициенты \i\ и \i2 положительны. Определить условия, при которых вращение систему с угловой скоростью соо является устой- устойчивым. Ответ: |ii > и» -?¦ >¦**-. с > ftM^-Mi) § 57. Нелинейные колебания 57.1E6.1). При испытаниях рессор была получена «треуголь- «треугольная» характеристика изменения упругой силы. При отклонении рессоры от положения статического равновесия имеет место верх- верхняя ветвь (с\) характеристики, лри возвращении — нижняя ветвь (с2) характеристики. В началь- начальный момент рессора отклонена от положения статического рав- ' новесия на xq и не имеет началь- начальной скорости. Масса надрессбр- ного тела /п, массой рессоры пре- пренебречь; коэффициенты жестко- жесткости рессоры С\ и с2. Написать уравнения свободных колебаний рессоры для первой половины полного периода колебаний и найти полный период колебаний Т. Ответ: При возвращении рессоры в положение статического равновесия х = хо cos kit, при отклонении от положения статиче- статического равновесия К задаче 57.1 k2 437
57.2E6.2). Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдущей задаче. При записи свободных колебаний был получен следующий ряд после- последовательно убывающих амплитуд: 13,0 мм, 7,05 мм, 3,80 мм, 2,05 мм и т. д. Определить согласно данным виброграммы отно- отношение коэффициентов жесткости Ci/сг, соответ- соответствующих верхней и нижней ветвям «треугольной» характеристики. Ответ: Последовательные значения амплитуд через каждые полпериода колебаний убывают по закону геометрической прогрессии со знаменателем k/k / 34 / / , 57.3E6.3). Масса m колеблется на пружине, ко- коэффициент жесткости которой с. На одинаковых расстояниях А от положения равновесия установле- установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры к задаче 57.з происходят с коэффициентом восстановления, рав- равным единице, определить закон движения системы при периодических колебаниях с частотой со. Найти возможные значения со. Ответ: , = -^" sin А (/-*-) при sin 57.4E6.4). Решить предыдущую задачу в предположении, что имеется только нижний упор. cos (J О при °<'< Ответ: х = Т cos ("J" ~ О cos cos €0 при 57.5E6.5). Определить зависимость амплитуды первой гармо- гармоники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид тх + Fo sign x + ex = 0. °Твет: а*= 57.6E6.6). Движение системы описывается уравнением х + (х2 + k2x2 — а2)х + k2x = 0. Определить амплитуду автоколебательного процесса, возникаю- возникающего в системе; исследовать его устойчивость. Ответ: а = a/k\ автоколебания устойчивы в большом. 57.7E6.7). Выявить условия, при которых в системе, рассмот- рассмотренной в задаче 56.19, могут возникнуть автоколебания, близкие к гармоническим колебаниям частоты k = <\/clm, где с — коэффи- коэффициент жесткости пружины, m — масса ползуна. Определить при-» ближенно амплитуду этих автоколебаний. Ответ: 0,8 JJL < ^ < JjL, а2 « ~- Ц— 438
57.8E6.8). Предполагая, что в системе, рассмотренной в за- задаче 56.19, сила трения Я постоянна и равна Н2 при и^Ои равна Н\ при v = 0 («трение покоя»), определить период автоколебаний. Принять, что масса ползуна т% а коэффициент жесткости пру- пружины с. Ответ. Г = /1 + -4^A~созед где с = = A/—» ^i — наименьший корень уравнения a sin kt\ = cos kt\ — L 57.9E6.9). Macca m связана с неподвижным основанием пру- пружиной с жесткостью с и демпфером сухого трения, величина силы сопротивления в котором не зависит от скорости и равна Я. На одинаковых расстояниях А от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффи- коэффициентом восстановления, равным единице, определить значение Н, при котором вынуждающая сила F cos at не может вызвать суб- субгармонических резонансных колебаний, имеющих частоту oo/s (s — целое число). Указание. Определить условия существования периодического режима, близкого к свободным колебаниям системы с частотой co/s. Ответ: Для четного s Я >0; для нечетного 5 57.10E6.10). Центр однородного кругового цилиндра, катяще- катящегося без скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пру- пружиной с неподвижной точкой О, находящейся на одной вертикали с центром диска, когда диск находится в положении равновесия. Масса цилиндра равна т, коэффициент жесткости пружины с. В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна /. Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравне- уравнении движения члены, содержащие третью степень перемещения. а Ответ: Т = 41 лЛ^\ .** 4= 4 УЗ д/^ 1К (-U, где V с J V а4 — х4 V с а \ V2 ) К—полный эллиптический интеграл первого рода. 57Л 1E6.11). Методом малого параметра определить амплитуду а и период автоколебаний, возникающих в системе, движение ко- которой определяется уравнением х + кЧ = ц {(а2 - х2) х — у*3}. Ответ: а = 2а, r = ^(l - 57.12E6.12). Уравнения движения маятника в среде с сопро- сопротивлением и постоянным моментом, действующим только в одном 439
направлении, имеют вид ф + 2/гф + &2<р = Мо при ф > О, ф + 2Аф + &2Ф = О при ф < О, где A, ft и Мо — постоянные величины. Считая, что 2А/А-С1, Afo/&2<Cl, применить метод медленно меняющихся коэффициентов для нахождения установившегося дви- движения маятника. Ответ: Устойчивые автоколебания. Радиус р предельного цикла на плоскости (ф, ф) равен -}я~%г* где Т = -?-. 57.13E6.13). Применяя в предыдущей задаче метод точечных преобразований, найти неподвижную точку преобразования. Ответ: <Po = ГЛАВА XIV ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ Решение приведенных в этой главе вероятностных задач статики и кинема- кинематики основывается на использовании соотношений, связывающих вероятности выполнения неравенств с параметрами, которые входят в эти неравенства. Если и — случайная величина, для которой известны математическое ожидание (сред- (среднее значение) ти и среднее квадратическое отклонение аи, то вероятность а нахождения величины и в интервале (—оо, а), т.е. вероятность выполнения не- неравенства и < а, определяется следующим образом: t а — та где ления значения — нормированная функция распределения. Для гауссовского распреде- ачения F(%) приведены в табл. 1. Таблица 1 1 F&) 1 F&) —4,0 3 • Ю-5 0,5 0,691 -3,5 2-Ю-4 1,0 0,841 —3,0 0,001 1,5 0,933 -2,5 0,006 .2,0 0,977 -2,0 0,023 2,5 0,994 -1,5 0,067 3,0 0,999 — 1,0 0,159 -0,5 0,309 3,5 0,9998 0,0 0,500 4,0 0,99997 Вероятность того, что выполняется неравенство и > а, определяется сле- - дующим образом: P {>} l При гауссовском распределении для определения значений аргумента ?, соответствующих заданным значениям вероятности а, удобно использовать табл. 2* 446
F(t) I F(l) I 0,0005 —3,4 0,500 0,0 0,001 -3,1 0,900 1,3 0,005 -2,6 0,950 1,6 0,990 2,3 0,010 -2,3 0,995 2,6 T а блица 2 0,050 -1,6 0,999 3,1 0,100 -1,3 0,1995 3,4 Вероятность нахождения величины и в интервале (а, Ь) определяется вы- выражением Вероятность того, что величина и не попадает з интервал (а, 6), равна р (и < а) + р (и > Ь) = 1 + F A,) - F Aг). Интервал (а, Ь) называется симметричным, если 1 —а р (и < а) = р {и > Ь) •• Если случайная величина и представляет собой линейную комбинацию взаимно статистически независимых случайных величин щ с известными матема- математическими ожиданиями rriui и средними квадратическими отклонениями 0«*, то математическое ожидание ти и среднее квадратическое отклонение аи слу- случайной величины и определяются следующим образом: Если зависимость и от щ нелинейная, но отклонения величин щ от их математических ожиданий rrtui малы, то зависи- зависимость следует линеаризовать. Тогда т, При решении задач о колебаниях систем при случайных воздействиях ис- используются основные соотношения теории случайных процессов. Если на линей- линейную динамическую систему, положение которой определяется обобщенной коор- координатой q(t)y действует стационарная случайная вынуждающая сила Q(t), то установившийся режим вынужденных колебаний характеризуется спектральной 441
плотностью Sq'(&)) обобщенной координаты q(i), которая определяется следую- следующим образом: Здесь 5^ (<d) спектральная плотность вынуждающей силы Q(t), А (со)—ампли- (со)—амплитудно-частотная (резонансная) характеристика системы. Квадрат установивше- установившегося среднего квадратического отклонения обобщенной координаты определяется как интеграл + Vе»*» Если спектральная плотность Sq(to) представляет собой дробно-рациональную функцию <*г+ь% й) При гауссовском распределении вынуждающей силы среднее число выбросов процесса g(t) за уровень Ъ на интервале времени (О, Т) определяется следую- следующим выражением: Т av ( {b-mqf } т 2л а \ 2о2 ) Я где trig — математическое ожидание (среднее значение) процесса q(t), a a» — среднее квадратическое отклонение производной процесса q(t)f определяемое ин- интегралом + ОО ®2Sq (о) da*. При подынтегральном выражении вида A) величина о2, находится по форму- формуле B). § 58. Вероятностные задачи статики 58Л. Каток радиуса R = 0,5 м и массы т = 800 кг упирается в жесткое препятствие. Высота препятствия h может быть различ- различной; предполагается, что h можно считать слу- случайной величиной с гауссовским распределением, JI причем ее математическое ожидание равно тн = = 0,1 м, а среднее квадратическое отклонение равно он = 0,02 м. Определить вероятность <Х\ к задаче 58.1 того, что горизонтальная сила Qi = 4900 Н до- достаточна для преодоления препятствия. Опреде- Определить, при каком значении силы Q = Q2 вероятность преодоления препятствия равна а2 = 0,999. Ответ: ai = 0,16, Q2 = 8300 H. 442
58.2. Вертикальная подпорная стенка высоты h = 5 м постоян- постоянного сечения толщины а — 1,1 м нагружена гидростатическим дав- давлением воды, уровень которой может быть различным. Плотность материала стены составляет 2,2 т/м3. Считая высоту Н уровня воды от основания стенки случайной величиной с гауссовским за- законом распределения, с математическим ожиданием тн = 3,0 м и средним квадратическим отклонением сг# = 0,5 м, определить ве- вероятность опрокидывания стенки. Определить также минимально допустимую толщину стенки, исходя из требования, что вероят- вероятность ее опрокидывания не должна превышать 3-Ю-5, Ответ: 0,001; 1,5 м. 1 I К задаче 58.2 К задаче 58.3 58.3. Определить необходимую силу <? затяжки болта, соеди- соединяющего две детали, находящиеся под действием растягивающей силы Р, исходя из того, что вероятность проскальзывания должна быть 5-10~4. Сила Р и коэффициент трения / между деталями мо- могут принимать различные значения; предполагается, что их можно считать независимыми случайными величинами с гауссовским за- законом распределения, причем их математические ожидания соот- соответственно равны гпр = 2000 Н, rtif = 0,1, а средние квадратиче- ские отклонения ор = 200 Н, Of = 0,02. Ответ: Q = 63000 H. 58.4. Груз массы m = 200 кг находится на шероховатой на- наклонной плоскости. Наклон плоскости и коэффициент трения сколь- скольжения могут быть различными. Угол y наклона плоскости относи- относительно горизонта и коэффициент трения f считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, их мате- математические ожидания соответственно равны mY = 0 и nif — 0,2, а средние квадратические отклонения равны aY = 3° и Of = 0,04. Определить значение горизонтальной силы Q, достаточной для того, чтобы с вероятностью 0,999 сдвинуть груз по плоскости. Указание. Считать cos у « 1. Ответ: Q = 780 Н. - 58.5. В однородном круглом диске радиуса Л = 1 м на расстоя- расстоянии I от центра вырезано круглое отверстие радиуса г. Величины I и г могут принимать различные значения, они считаются случай- случайными, независимыми, подчиняющимися гауссовскому распределе- распределению. Их математические ожидания соответственно равны пц = = 0,1 ми rrir = 0,05 м, а средние квадратические отклонения равны 443
к задаче 58.6 а/= 0,01 м и <Хг = 0,005 м. Определить такое значение смещения центра масс относительно центра диска, вероятность превышения которого составляет 0,001. В выражении для смещения центра масс пренебречь слагаемыми с произведениями отклонений величин / и г от их математических ожиданий. Ответ: 4,2-Ю-4 м. 58.6. На уравновешенном роторе, масса которого равна 1000 кг, симметрично относительно оси вращения закреплены две однотип- однотипные детали А\ и А2. Случайные отклонения AAfi и АМ2 их масс М\ и М2 от номинального значения (математического ожидания) и слу- случайные смещения Axi, Ауи Ах2 и Ау2 их центров масс относительно точек, ле- лежащих на одном диаметре на расстоя- расстоянии I = 1 м от оси ротора, приводят к тому, что центр масс С ротора вме- вместе с деталями оказывается смещен- смещенным относительно оси. Поэтому коор- координаты хс и ус центра масс являются случайными. Предполагается, что слу- случайные величины Мь М2у Ахи А*/ь Ах2, А#2 независимы и распределены по гауссовскому закону, их математиче- математические ожидания соответственно равны wMi = mM2 = ^ кг> т±Х1 = ==mAyl===mAx2S=smAy2==^f a средние квадратические отклонения равны 1<хДМ1 = аАМ2 = 0,5 кг, aAXi = oAyi = aAX2 = аАу2 = 3 мм. Опре- Определить границы симметричных интервалов для координат хс и ус центра масс ротора вместе с деталями, вероятность нахождения в которых равна а = 0,99. Ответ: (—0,91; +0,91) мм. 58.7. Однородная прямоугольная платформа массы 1000 кг под- подвешена к опоре на четырех тросах одинаковой длины, сходящихся в одной точке. Расстояние платформы до точки подвеса равно h ш* 2 м. На платформу установлены четыре груза малых разме- размеров. Массы и расположение грузов случайны. Предполагается, что массы грузов и их прямоугольные координаты xi и у/, отсчитывае- отсчитываемые от центра платформы, взаимно независимы и имеют гауссов- стеое распределение. Математические ожидания масс всех четырех грузов одинаковы и равны тм = 100 кг, среднеквадратические от- отклонения также одинаковы и равны <хм = 20 кг. Координаты гру- грузов имеют нулевые математические ожидания, средние квадрати- квадратические отклонения координат равны ох =0,5 миа^ =0,7 м. Опре- Определить границы таких симметричных интервалов для углов на- наклона Qx и Qy платформы, находящейся в равновесии при установ- установленных грузах, вероятности нахождения в которых равны 0,99* Углы считать малыми. Отвеп (—11°, +11°), (-15°, +15°). 444
§ 59. Вероятностные задачи кинематики и динамики 59.1. Самолет летит из начального в конечный пункт, расстоя- расстояние между которыми равно 1500 км. Скорость полета v постоянна во времени для каждого полета, но для разных полетов принимает различные значения. Предполагается, что скорость представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с мате- математическим ожиданием т* = 250 м/с и средним квадратическим отклонением <ь = 10 м/с. Определить симметричный интервал для времени полета, соответствующий вероятности 0,999. Ответ: E180, 6820) с. 59.2. Самолет летит по прямой линии от начального пункта. Угол г|) отклонения этой прямой от заданной прямолинейной траек- траектории в разных полетах может принимать различные значения. Предполагается, что угол ф является случайной величиной с гаус- гауссовским распределением, его математическое ожидание равно нулю, а среднее квадратическое отклонение равно о$ = 2°. Опре- Определить значения вероятности того, что на расстояниях L = 50? 100; 200 км боковое отклонение от заданной траектории не превысит 5 км. Ответ: 0,997; 0,86; 0,52. 59.3. Поезд двигался с начальной скоростью 15 м/с. При тормо- торможении ускорение замедленного движения постоянно во времени, но может принимать различные значения. Предполагается, что уско- ускорение w является случайной величиной с гауссовским распределе- распределением, с математическим ожиданием niw = —0,2 м/с2 и средним квадратическим отклонением ow = 0,03 м/с2. Определить матема- математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение тормоз- тормозного расстояния до остановки, а также верхнюю границу тормоз- тормозного расстояния, вероятность превышения которой составляет 0,05. Ответ: 540 м, 81 м, 670 м. 59.4. При расчетной оценке точности стрельбы в мишень при- принимается, что скорость полета пули постоянна, учитывается слу- случайное отклонение оси ствола и случайное отличие скорости пули от номинального значения. Считается, что пуля попадает точно в центр мишени, если при точном задании направления оси ствола скорость вылета равна номинальному значению 600 м/с. Углы отклонения <р и ф оси ствола от заданного направления и отличие Аи скорости вылета от номинального значения считаются незави- независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с нулевыми математическими ожиданиями и со средними квадра- тическими отклонениями соответственно <тф = а^ = 0,5-10~3 рад и ov = 75 м/с. Расстояние до мишени равно / = 50 м. Определить симметричные интервалы для горизонтального и вертикального смещений точек попадания в мишень относительно ее центра, соот- соответствующие вероятности 0,99. Ответ: (—65, +65) мм, (—69, +69) мм. 59.5. Снаряд выпущен из орудия с поверхности Земли. Угол бросания ф и начальная скорость Vq могут отличаться от расчетных 445
значений; они считаются независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными расчетным значениям тф = 10° и mVo= 1000 м/с, со средними квадратическими отклонениями аф =0,1° иа0о = 10 м/с. Пренебрегая силой сопротивления воздуха, определить интервал дальностей возможных точек падения снаряда на Землю, соответ- соответствующий вероятности 0,90. В выражении приращения дальности сохранить слагаемые только первого порядка относительно откло- отклонений угла и скорости от расчетных значений. Ответ: C1,0; 37,4) км. 59.6. Вагон, центр масс которого находится на высоте 2,5 м от уровня полотна железной дороги с шириной колеи 1,5 м, движется по криволинейному участку с радиусом кривизны р = 800 м. Подъем наружного рельса над уровнем внутреннего выбран так, чтобы при скорости вагона, равной v = 20 м/с, давление колес на оба рельса было одинаковым. В действительности скорость ва- вагона может быть различной. Принимается, что скорость является случайной величиной с гауссовским распределением, с математиче- математическим ожиданием mv = 15 м/с и средним квадратическим отклоне- отклонением ov = 4 м/с. Определить отношение сил давления колес на внешний и внутренний рельсы при скорости, соответствующей верх- верхней границе интервала, определенного для вероятности а = 0,99. Ответ: 1,17. 59.7. Автомашина движется по дороге без уклона со скоростью 15 м/с. При торможении сила трения постоянна во времени, но может принимать различные значения. Принимается, что удельная сила трения при торможении является случайной величиной с гаус- гауссовским распределением, ее математическое ожидание равно 3000 Н на 1 т массы, а среднее квадратическое отклонение состав- составляет 700 Н на 1 т массы. Определить значения вероятности того, что тормозной путь до остановки превысит 40 м; 80 м. Ответ: 0,45; 0,02. 59.8. Ротор массы М, представляющий собой однородный ци- цилиндр радиуса R и длины /, насажен на вал с перекосом и смеще- смещением, так что его ось симметрии отклонена от оси вала на малый случайный угол у, а его центр, расположенный посередине между подшипниками, смещен относительно оси вала на случайную вели- величину h. Расстояние между подшипниками равно 2L. Предпола- Предполагается, что у и h представляют собой независимые случайные ве- величины, угол у имеет нулевое математическое ожидание, расстоя- расстояние h — математическое ожидание гпн и средние квадратические отклонения соответственно равны <jy и ал. Угловая скорость со вращения ротора вокруг вертикальной оси считается случайной величиной с математическим ожиданием /п© и средним квадрати- квадратическим отклонением а©. Определить средние квадратические откло- отклонения aRi и gR2 реакций подшипников R\ и /?2. Ответ: < = <4 ~ ±M>ml{««[о« +1-^^ о>\ + 4т|<}. 446
59.9. На груз массы 1 кг, подвешенный на нити длины 1 м, в начальный момент времени находившийся в состоянии покоя на одной вертикали с точкой подвеса, кратковременно действует гори- горизонтальная сила, постоянная во времени в течение интервала дей- действия. Сила F и интервал времени ее действия т являются неза- независимыми случайными величинами с гауссовским распределением, с математическими ожиданиями, равными соответственно тр = = 300 Н и /пт = 0,01 с и средними квадратическими отклонениями, равными Of = 5 Н и ат = 0,002 с. Определить значения вероят- вероятности того, что амплитуда свободных колебаний груза на нити после окончания удара превысит 60° и 90°. Ответ: 0,46; 0,04. 59.10. Груз падает с высоты Н на упругую пружину, массой которой по сравнению с массой груза можно пренебречь. Статиче- Статический прогиб пружины под грузом равен 2 мм. Высота Н считается случайной величиной с гауссовским распределением, с математи- математическим ожиданием, равным 1 м, и средним квадратическим откло- отклонением, равным 0,3 м. Определить верхнюю границу интервала возможных изменений максимального значения ускорения при ударе для вероятности нахождения в этом интервале, равной 0,95. Ответ: 380 м/с2. 59.11. Длина / математического маятника известна неточно. Предполагается, что / представляет собой случайную величину с гауссовским распределением, с известным математическим ожи- ожиданием пы = 0,25 м и с неизвестным средним квадратическим от- отклонением а/. Определить допустимое значение а/, при котором значения периода свободных малых колебаний различаются не более, чем на 0,1 % с вероятностью 0,99. Ответ: 0,19 мм. 59.12. Физический маятник представляет собой тело массы ту вращающееся вокруг горизонтальной оси; его момент инерции / и смещение / центра масс относительно оси считаются заданными. Силы сопротивления, пропорциональные скорости, таковы, что при свободных колебаниях маятника отношение предыдущего размаха к последующему равно q. Точка подвеса маятника совершает гори- горизонтальные случайные колебания. Ускорение w точки подвеса можно считать белым шумом постоянной интенсивности В2. Опре- Определить установившееся среднее квадратическое значение угла от- отклонения маятника при вынужденных колебаниях, а также среднее число выбросов п угла за уровень, в 2 раза превышающий среднее квадратическое значение в течение времени Г. ~ о В2 I ml (а2 + я2) Т I mgl Ответ: ог^-^д/ \Т '. « = ^ГД/ / 59.13. Точка подвеса физического маятника, частота свободных колебаний которого равна /г = 15 рад/с, а отношение последую- последующего размаха к предыдущему при свободных колебаниях равно т = 1,2, совершает горизонтальные случайные колебания. Ско- Скорость точки подвеса при колебаниях можно считать белым шумом 447
интенсивности D2 = 1000 м2/с Определить среднее квадратическое значение угла отклонения маятника. Ответ: '23°. 59.14. Прибор установлен на упругих линейных амортизаторах на подвижном основании, совершающем вертикальные случайные колебания. Силы сопротивления при колебаниях прибора относи- относительно основания таковы, что в режиме свободных колебаний отно- отношение предыдущего размаха к последующему равно m = 1,5. Вер- Вертикальное ускорение при колебаниях основания можно считать белым шумом интенсивности В2 = 100. Определить, каковы долж- должны быть частота свободных колебаний прибора на амортизаторах и статическое смещение под действием силы тяжести, чтобы сред- среднее квадратическое значение абсолютного ускорения w при вынуж- вынужденных колебаниях прибора было равно ow = 50 м/с2. Ответ: ©о = 30 рад/с, А = 1 см. 59.15. Линейный акселерометр, основным элементом которого является инерционная масса, связанная линейной пружиной с кор- корпусом и находящаяся в вязкой жидкости, имеет амплитудно- частотную характеристику с резонансным пиком, причем частота, соответствующая пику, равна ©о = 100 рад/с, а относительная высота резонансного пика (по отношению к значению амплитудно- частотной характеристики при <о=0) равна 1,4. При тарировке акселерометра получено, что если установить его измерительную ось вертикально, а затем повернуть акселерометр на 180°, его выходной сигнал, пропорциональный смещению инерционной мас- массы, изменится на 5 В. Акселерометр установлен на подвижном основании, совершающем случайные колебания по одной оси, по этой же оси направлена измерительная ось акселерометра. Пред- Предполагается, что случайное ускорение колебаний основания можно считать белым шумом. Определить интенсивность этого белого шума, если осредненное значение квадрата переменной составляю- составляющей выходного сигнала акселерометра составляет 100 В2. Ответ: В2 = 53 м2/с3. 59.16. На одном и том же основании, совершающем горизон- горизонтальные случайные колебания по одной оси, горизонтально уста- установлены три линейных акселерометра, имеющих одинаковые ста- статические характеристики, но различные динамические свойства. Первый из них имеет собственную частоту ©о и относительную высоту резонансного пика, равную 1,2, второй — ту же собствен- собственную частоту, но относительную высоту резонансного пика, равную 1,6, третий — собственную частоту 2соо, а относительную высоту резонансного пика, как у первого акселерометра. Предполагая, что «лучайное ускорение при колебаниях основания можно считать белым шумом, определить, насколько различаются средние ква- дратические значения <гь <т2 и <т3 выходных сигналов этих акселеро- акселерометров. Ответ: о*:а*:о§=1: 1,33:8.