Б.А. Трубников
ТЕОРИЯ ПЛАЗМЫ
В основу книги положены три учебных пособия по различным направлениям
теории плазмы, написанных на основе курса лекций, который более 30 лет
читался студентам МИФИ. Большинство разделов дополняется задачами
различной степени сложности с решениями. Задачи могут быть использованы при
проведении практических занятий. Автор - известный российский теоретик,
специалист по теории плазмы.
Для студентов и аспирантов физических специальностей вузов. Может
оказаться полезной для читателей, интересующихся не только теорией плазмы, но
и другими разделами теоретической физики, в особенности гидродинамикой,
астрофизикой и теорией излучения.
Содержание
Предисловие	3
Введение	4
Глава 1. Движение частиц в полях и проблема удержания плазмы	25
§ 1. Простейшие случаи движения	26
§ 2. Дрейфовое приближение	33
§ 3. Проблема удержания частиц	41
§ 4. Тороидальные ловушки	45
§ 5. Стелларатор с винтовой обмоткой	51
§ 6. Адиабатические инварианты в дрейфовой теории	50
§ 7. Сила Лоренца и ее магнитный аналог	70
Глава 2. Устойчивость плазмы низкого давления	74
§ 8. Устойчивость плазмы в пробкотроне	75
§ 9. Условие "минимума В" для замкнутых систем	82
§ 10. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями	92
§11. Учет перекрещенное™ силовых линий.	101
§ 12. Анализ замкнутых систем	107
§ 13. Плазменная ловушка "дракон"	117
Глава 3. Магнитная гидродинамика	128
§ 14. Уравнения магнитной гидродинамики	129
§ 15. Простейшие равновесные системы	137
§ 16. Тор с распределенным током	148
§17. Волны в магнитной гидродинамике	154
§ 18. Анизотропная магнитная гидродинамика	165
§ 19. Релятивистская магнитная газодинамика	176
§ 20. Течение в каналах МГД-генератора и МГД-двигателя	181
Глава 4. Устойчивость плазмы в гидродинамическом приближении	192
§ 21. Метод малых колебаний	193
§ 22. Устойчивость плоской границы и скинированного пинча	198
§ 23. Энергетический принцип устойчивости	216
§ 24. Примеры использования энергетического принципа	227

§ 25. Устойчивость цилиндрического пинча	237
Глава 5. Термодинамика плазмы	251
§ 26. Дебаевское экранирование и учет неидеальности плазмы	251
§ 27. Квантовые корреляции в плазме	261
§ 28. Степень ионизации плазмы	272
§ 29. Лагранжиан Дарвина	276
§ 30. Релятивистские поправки в плазме	289
Глава 6. Столкновения частиц в плазме и явления переноса	297
§31. Кулоновские сечения и поведение пробной частицы в плазме	297
§ 32. Простейшие кинетические эффекты в плазме	309
§ 33. Кинетическое уравнение с учетом столкновений	318
Глава 7. Электромагнитные волны в плазме	334
§ 34. Волны в изотропной плазме	334
§ 35. Кинетическое описание волн	344
§ 36. Волны в плазме с магнитным полем	358
§ 37. Излучение плазмы	369
Глава 8. Нелинейные волновые процессы в плазме	379
§ 38. Квазилинейное приближение и турбулентный нагрев плазмы	379
§ 39. Взаимодействие волн в слаботурбулентной плазме	389
§ 40. Рассеяние волн в плазме	401
Глава 9 Квазигазовые неустойчивости плазмы	406
§ 41. Квазигазовые уравнения и их решения	406
§ 42. Пучковые неустойчивости в плазме	413
§ 43. Модуляционные неустойчивости и критерий Лайтхилла	420
§ 44. Неустойчивость плазменных пинчей и гипотеза о рождении	424
космических лучей в пинчах
Глава 10. Термоядерные исследования	433
§ 45. Рождение нейтронов в дейтериевых пинчах	433
§ 46. Лазерный нагрев и сжатие плазмы	439
§ 47. Элементарная теория установки токамак	445
§ 48. Стеллаюр с круговой осью	459

ПРЕДИСЛОВИЕ
Плазмой принято называть газ, в котором значительная часть
электронов оторвана от своих ионов, для чего, как правило, тре-
требуются достаточно высокие температуры.
За последние 40 лет плазма является объектом интенсивных ис-
исследований. Можно выделить четыре основных направления ис-
исследований. Во-первых, это проблема управляемого термоядер-
термоядерного синтеза (УТС), который может стать практически неисчерпа-
неисчерпаемым источником энергии, и притом с малой радиоактивностью,
если удастся осуществить реакцию на смеси дейтерия и изотопа 3Не.
Во-вторых, создание плазменных преобразователей тепловой энер-
энергии непосредственно в электрическую. В-третьих, создание плаз-
плазменных ракетных двигателей с большой скоростью выброса струи.
Наконец, теоретическое изучение поведения плазмы ведет к пони-
пониманию многих явлений в космосе, так как Солнце, звезды и кос-
космические туманности состоят из плазмы.
Настоящая книга представляет собой расширенное изложение
курса лекций по теории плазмы, который автор более 30 лет читал
студентам 4-го, 5-го курсов Московского инженерно-физического
института. Основное внимание в ней уделено проблемам УТС, но
рассмотрены и другие аспекты. Один параграф соответствует
приблизительно одной лекции. В конце параграфов приведены
задачи с решениями, что дополняет содержание лекций. Лекцион-
Лекционным характером изложения объясняется малое число ссылок на
оригинальные работы. Введение к книге можно рассматривать как
конспективное изложение всего курса.
Автор благодарен сотрудникам кафедры физики плазмы МИФИ
и сотрудникам отдела теории плазмы Института атомной энергии
им. И.В. Курчатова за советы и участие в обсуждении ряда проблем,
а также признателен А.С. Савелоиу и Е.Б. Симагиной за помощь в
подготовке рукописи.
?..4. Трубников

ВВЕДЕНИЕ
Основные понятия. При сильном нагревании любое вещество
испаряется, превращаясь в газ. Если увеличивать температуру
и дальше, то молекулы газа начнут распадаться (диссоциировать)
на составляющие их атомы, которые затем превращаются в ионы.
Ионизация газа, кроме того, может быть вызвана его взаимодейст-
взаимодействием с электромагнитным излучением (фотоионизация) или бомбар-
бомбардировкой газа заряженными частицами.
Свободные заряженные частицы, особенно электроны, легко
перемещаются под действием электрического поля. Поэтому в со-
состоянии равновесия пространственные заряды входящих в состав
плазмы отрицательных электронов и положительных ионов должны
компенсировать друг друга так, чтобы полное поле внутри плазмы
было равно нулю. Именно отсюда вытекает необходимость практи-
практически точного равенства плотностей электронов и ионов в плаз-
плазме - ее квазинейтральности. Нарушение квазинейтральности в
объеме, занимаемом плазмой, ведет к немедленному появлению
сильных электрических полей пространственных зарядов, тут же
восстанавливающих квазинейтральность. Степенью ионизации
плазмы называется отношение числа ионизованных атомов к пол-
полному их числу в единице объема плазмы. В условиях термодинами-
термодинамического равновесия оно определяется формулой Саха
« = ¦	, ; K = Nk exp	,
где N^ = лА.| - число частиц всех сортов в кубе с ребром, равным
теплоной длине волны де Бройля для электронов Ке = ft ^2n/mekT;
I - энергия ионизации.
Для многозарядных ионов следует учитывать кратность ионизации
атомов. В зависимости от значения а говорят о слабо-, сильно- и
полностью ионизованной плазме.
Средние энергии различных типов частиц, составляющих плазму,
могут отличаться одна от другой. В таком случае плазму нельзя
охарактеризовать одним значением температуры Г, и различают
л

электронную температуру Те, ионную температуру Г, (или ионные
температуры, если в плазме имеются ионы нескольких сортов)
и температуру нейтральных атомов Га. Подобная плазма называ-
называется неизотермической, в то время как плазма, в которой темпе-
температуры всех компонент одинаковы, называется изотермической.
Применительно к плазме несколько необычный смысл (по срав-
сравнению с другими разделами физики) вкладывается в понятия
низкотемпературная и высокотемпературная. Низкотемпературной
принято считать плазму с Г 5 105 К, а высокотемпературной -
плазму с Т й: 106-Н08 К и более. Это условное разделение связано
с особой важностью высокотемпературной плазмы в связи с пробле-
проблемой осуществления управляемого термоядерного синтеза (УТС).
В состоянии плазмы находится подавляющая часть вещества
Вселенной - звезды, оболочки звезд, галактические туманности
и межзвездная среда. Около Земли плазма существует в космосе
в виде солнечного ветра, заполняет магнитосферу Земли (обра-
(образуя радиационные поля Земли) и ионосферу. Процессами в около-
околоземной плазме обусловлены магнитные бури и полярные сияния.
Отражение радиоволн от ионосферной плазмы обеспечивает воз-
возможность дальней радиосвязи на Земле.
В лабораторных условиях и промышленных применениях плазма
образуется в электрическом разряде в газах (дуговом разряде,
искровом разряде, тлеющем разряде и пр.), в процессах горения
и взрыва, используется в плазменных ускорителях, магнитогидро-
динамических генераторах, в установках для исследования УТС.
Многими характерными для плазмы свойствами обладают сово-
совокупности электронов и дырок в полупроводниках и электронов
проводимости (нейтрализуемых неподвижными положительными
ионами) в металлах, которые поэтому называются плазмой твердых
тел. Ее особенность — возможность существования при сверхнизких
для "газовой" плазмы температурах - комнатной и ниже, вплоть
до абсолютного нуля температуры.
Возможные значения плотности плазмы п охватывают широкий
диапазон: от п ~ 10 см в межгалактическом пространстве и
п ~ 10 см в солнечном ветре до п ~ 1022 см для твердых тел
и еще больших значений в центральных областях звезд.
Термин плазма в физике был введен в 1923 г. американскими
учеными Ленгмюром и Тонксом, проводившими зондовые изме-
измерения параметров низкотемпературной газоразрядной плазмы.
Кинетика плазмы рассматривалась в работах Л.Д. Ландау A936
и 1946 гг.) и А.А. Власова A938 г.). В 1942 г. Альфвен предложил

уравнения магнитной гидродинамики для объяснения ряда явле-
явлений в космической плазме. В 1950 г. в СССР и США была предложена
идея магнитной термоизоляции плазмы для осуществления УТС.
Начиная с 50-х годов изучение плазмы стимулировалось различными
практическими применениями, развитием астрофизики, космофи-
зики (наблюдением космической плазмы и объяснением процессов
в ней) и физики верхней атмосферы Земли, особенно в связи с по-
полетами космических летательных аппаратов, а также интенсифика-
интенсификацией исследований по проблеме УТС.
Основные свойства плазмы. В резком отличии свойств плазмы
от свойств нейтральных газов определяющую роль играют два
фактора. Во-первых, взаимодействие частиц плазмы между собой
характеризуется кулоновскими силами притяжения и отталкивания,
убывающими с расстоянием гораздо медленнее (т.е. значительно
более далънодействующими), чем силы взаимодействия нейтраль-
нейтральных частиц. По этой причине взаимодействие частиц в плазме явля-
является, строго говоря, не парным, а коллективным - одновременно
взаимодействует друг с другом большое число частиц. Во-вторых,
электрическое и магнитное поля сильно действуют на плазму, вы-
вызывая появление в плазме объемных зарядов и токов и обуслов-
обусловливая ряд специфических свойств плазмы. Эти отличия позволя-
позволяют рассматривать плазму как особое, "четвертое" состояние ве-
вещества.
К важнейшим свойствам плазмы относится упомянутая выше
квазинейтральность. Она соблюдается, если линейные размеры
I области, занимаемой плазмой, много больше дебаевского радиуса
экранирования:
D = У*ТеГ/4леее,(пе Ге + щ Г,)
где ее и е, - заряды электронов и ионов, пе и щ - электронная и ион-
ионная плотности; здесь и ниже используется абсолютная система
единиц Гаусса (СГС система единиц); когда приводятся цифровые
значения величин, то в скобках даются значения в СИ. Следователь-
Следовательно, лишь при выполнении условия I ^> D можно говорить о плазме
как таковой. Электрическое поле отдельной частицы в плазме
экранируется частицами противоположного знака и фактически
исчезает на расстояниях от частицы порядка D. Величина D опре-
определяет и глубину проникновения внешнего электростатического
поля в плазму. Квазинейтральность может нарушаться вблизи
поверхности плазмы, где более быстрые электроны вылетают по
инерции за счет теплового движения на расстояние ~D (рис. 1).

Рис. 1. Нарушение квазикейтрапькости плаз-
плазмы на длине порядка дебаевского радиуса
экранирования D
Рис. 2. Вращение ионов и электронов по лар-
моровским спиралям
Плазма называется идеальной,
если потенциальная энергия взаи-
взаимодействия частиц мала по срав-
сравнению с их тепловой энергией. Это
условие выполняется, когда чис-
число частиц в сфере радиуса D
велико:
<J>0
Например, в молнии Т ~ 2 • 104 К, л ~ 2,5 • 1019 (плотность воздуха)
и, следовательно, D ~ 10~7 см, но No ~ 1/40. Такую плазму называют
слабонеидеалъной.
Помимо хаотичного теплового движения частицы плазмы могут
участвовать в упорядоченных коллективных процессах, из которых
наиболее характерны продольные колебания пространственного
заряда, называемые ленгмюровскими волнами. Их угловая частота
са0 = \/4лпе2/т называется плазменной частотой (е и m - заряд
и масса электрона). Многочисленность и разнообразие коллектив-
коллективных процессов, отличающих плазму от нейтрального газа, обуслов-
обусловлены дальностью кулоновского взаимодействия частиц плазмы,
благодаря чему плазму можно рассматривать как упругую среду,
в которой легко возбуждаются и распространяются различные
шумы, колебания и волны.
В магнитном поле с индукцией В на частицы плазмы действует
сила Лоренца; в результате этого заряженные частицы плазмы вра-
вращаются с циклотронными частотами ^в = еВ/mc по ларморовским
спиралям радиуса 9в = у±/ыв> где т^ - перпендикулярная В состав-
составляющая скорости частицы. В таком взаимодействии проявляется
диамагнетизм плазмы: создаваемые электронами и ионами круговые
токи уменьшают внешнее магнитное поле, при этом электроны
вращаются по часовой стрелке, а ионы - против нее (рис. 2). Магнит-
7

	Рис. 3. Электрон, пролетающий мимо иона,
в	движется по гиперболе:
6 — угол отклонения
ные моменты таких круговых токов равны ц = mv2 /22}, и в неодно-
неоднородном поле на них действует диамагнитная сила, стремящаяся
вытолкнуть частицу плазмы из области сильного поля в область
более слабого поля, что является важнейшей причиной неустой-
неустойчивости плазмы в неоднородных полях.
Взаимные столкновения частиц в плазме описывают эффектив-
эффективными поперечными сечениями, характеризующими "площадь ми-
мишени", в которую нужно "попасть", чтобы произошло столкновение.
Например, электрон, пролетающий мимо иона на расстоянии при-
прицельного параметра р (рис. 3), отклоняется силой кулоновского
притяжения на угол 8, примерно равный отношению потенциальной
энергии к кинетической, так что 9 = 2р /р, где р = e2/mv2 «е2ДГ
(здесь р - прицельное расстояние, при котором угол отклонения
8 = 90°). На большие углы 8 ~ 1 рад рассеиваются все электроны,
попадающие в круг с площадью о =» 4л р2 которую можно назвать
сечением близких столкновений. Если, однако, учесть и далекие
пролеты с р з> р_|_, то эффективное сечение увеличивается на мно-
множитель Л = In (D/PjJ, называемый кулоновским логарифмом. В
полностью ионизованной плазме обычно Л ~ 10-П5 и вкладом
близких столкновений в сечение можно пренебречь (см. сказанное
выше о дальнодействии в плазме). При далеких же пролетах ско-
скорости частиц изменяются мало, что позволяет рассматривать их
движение как процесс диффузии в своеобразном пространстве
скоростей.
Удобными характеристиками столкновительных процессов явля-
являются длина свободного пробега частицы / = 1/ло, число ее столкно-
столкновений v = пто за единицу времени, а также время между столкнове-
столкновениями т = 1/v, однако в отличие от обычных газов, в плазме эти
величины оказываются различными для разных процессов. Напри-
Например, максвелловское распределение электронов устанавливается
за время тее, а аналогичный процесс максвеллизации ионов проте-
протекает за большее время т,,- = тее-Ут,/те и, наконец, выравнивание элект-
электронной Те и ионной Г,- температур, т.е. общая максвеллизация
плазмы протекает еще медленнее - за время те1- = теет,/те. Если
последний процесс еще не успел завершиться, то Те Ф Т{.

Рис. 4. Движение силовых линий магнит-	В к t k В
го поля В вместе с плазмой (свойство
"вмороженности" силовых линий)
V
Если в плазме не возбуждены какие-либо интенсивные колеба-
колебания и неустойчивости, то именно столкновения частиц определяют
ее так называемые диссипативные свойства - электропроводность,
вязкость, теплопроводность и диффузию. В полностью ионизован-
ионизованной плазме электропроводность о не зависит от плотности плазмы
и пропорциональна Т|/2. При Те ~ 15 • 106 К она превосходит электро-
электропроводность серебра, поэтому часто, особенно при быстрых крупно-
крупномасштабных движениях, плазму можно приближенно рассматривать
как идеальный проводник, полагая о = «>. Если такая плазма дви-
движется в магнитном поле, то ЭДС при обходе любого замкнутого
контура, движущегося вместе с плазмой, равна нулю, что по закону
Фарадея для электромагнитной индукции приводит к постоянству
магнитного потока, пронизывающего контур (рис. 4). Эта "приклеен-
ность", или вмороженность, магнитного поля также относится к
важнейшим свойствам плазмы. Ею обусловлена, в частности, воз-
возможность самовозбуждения (генерации) магнитного поля за счет
увеличения длины магнитных силовых линий при хаотичном тур-
турбулентном движении среды. Например, в космических туманностях
часто видна волокнистая структура, свидетельствующая о наличии
магнитного поля, созданного таким механизмом динамо с само-
самовозбуждением.
Движение заряженных частиц. Основными методами теоретичес
кого описания плазмы являются: 1) исследование движения от-
отдельных частиц плазмы; 2) магнитогидродинамическое описание
плазмы; 3) кинетическое рассмотрение частиц и волн в плазме
В разреженной плазме, где можно пренебречь столкновениями,
заряженная частица летит со скоростью тй вдоль магнитно силовой
линии, быстро вращаясь по ларморовской спирали (см. рис 2),
а при наличии возмущающей силы F частица также медленно дрей-
дрейфует в направлении, перпендикулярном как магнитному полю,
так и направлению силы F.
Скорость этого поперечного дрейфа равна V = с [?В]/еВ2, и при
этом сила, вызывающая дрейф, в общем случае содержит пять
слагаемых: F=mg+eE- (iVJB-nfmvg/Kj-mvj^ каждое из которых
9

Рис. 5. Движение заряженных космичес-
космических частиц, захваченных магнитным по-
полем Земли
7 г v
приводит к соответствующему виду дрейфа - гравитационному,
электрическому, диамагнитному (в неоднородном поле), центробеж-
центробежному (в искривленном поле), и, наконец, "поляризационному"
дрейфу со скоростью V = сЕ/Выт.
В случае g = О, Е = 0 остаются диамагнитный и центробежный
члены, в сумме дающие так называемый дрейф по бинормали со
скоростью V = (vf + v2. /2)/i?uB, где R - радиус кривизны силовой
линии. В продольном направлении диамагнитная сила тормозит
частицу, приближающуюся к области более сильного магнитного
поля. При этом остаются неизменными полная энергия частицы
m(vjf+v2)/2H ее магнитный момент ц = ту212В, являющийся пер-
первым - поперечным адиабатическим инвариантом. При достаточно
медленном изменении внешних условий приближенно сохраняются
еще два адиабатических инварианта: второй - продольный /„ =
= I Tiid/ц и третий Ф =lBdS, равный магнитному потоку, пронизыва-
пронизывающему дрейфовую орбиту частицы. Таково, например, движение
в магнитном поле Земли космических частиц (рис. 5), которые
отражаются от полярных областей, где поле сильнее, и вместе
с тем дрейфуют вокруг Земли (протоны - на запад, электроны -
на восток). Магнитное поле Земли является магнитной ловушкой,
удерживающей захваченные им частицы плазменного солнечного
ветра в радиационных поясах Земли.
Аналогичными свойствами удержания плазмы обладают так
называемые зеркальные магнитные ловушки, применяемые в ис-
исследованиях по УТС. Другим - замкнутым типом магнитной ловуш-
ловушки для плазмы является тороидальная установка "токамак"
(рис. 6), также предназначенная для термоядерных исследований.
В ней силовые линии магнитного поля имеют вид спиралей, навитых
на торы, и такой же вид имеют траектории быстрых заряженных
частиц. Однако медленные частицы, испытывая указанный выше
дрейф по бинормали и отражаясь от областей с более сильным полем,
движутся по поверхностям, меридиональные сечения которых имеют
ю

Рис. б. Токамак. Токи, текущие в проводящем ко-
кожухе или в специальных дополнительных провод-
проводниках, препятствуют смещению плазменного
шнура
Рис. 7. Образование перетяжек на канале разряда,
сжатого собственным магнитным полем В тока /
очертания бананов, точнее, "лунного месяца". Такой "банановый"
режим возможен в токамаке лишь при малой плотности плазмы,
когда столкновения частиц являются достаточно редкими и не
мешают их движению.
Магнитогилродинамическое описание плазмы. При описании
плазмы с помощью уравнений магнитной гидродинамики (МГД), имею-
имеющих в простейшем идеальном случае вид
v
р =-pdivv;
p~ p
где Р - плотность; т - скорость; р - давление; V - показатель ади-
адиабаты, плазма рассматривается как сплошная среда, в которой
могут протекать токи j. Взаимодействие этих токов с магнитным
полем В создает объемную силу Ампера и магнитное давление
рмаг = В2/8л, которое может уравновешивать давление плазмы р.
Уравнения МГД позволяют рассмотреть различные течения плазмы,
например течение в МГД-генераторе (см. рис. 10), а также равно-
равновесные конфигурации плазмы и их устойчивость. В состоянии
равновесия при v = 0 имеем уравнение [jB] = с Ар, которое показы-
показывает, что магнитные силовые линии и линии тока располагаются
на поверхностях постоянного давления. Для аксиально-симметрич-
аксиально-симметричных конфигураций удобно пользоваться цилиндрическими коорди-
координатами г, ф, z и ввести вертикальный магнитный поток Ф (г, z), с
помощью которого уравнение равновесия можно привести к виду
11

Фгг - г Фг + Фгг = Ft + r2F2, где функции F1 2 зависят лишь от потока
Ф. Это уравнение Грэда-Шафранова используется при расчетах
равновесия тороидальных систем. В термоядерных исследованиях
для удержания плазмы помимо токамаков применяют и другие
установки, называемые пинчами, стеллараторами, амбиполярными
ловушками, и системы с неплоской замкнутой магнитной осью -
так называемую "восьмерку Спитцера", винтовые торы и ловушку
"дракон" (длинная равновесная конфигурация).
В этих установках должны быть выполнены определенные кри-
критерии устойчивости плазмы. Например, простейший критерий &6 > О
означает требование возрастания магнитного поля В периферии
системы. Такая ситуация способствует устойчивости плазменного
сгустка, так как сильное поле снаружи отталкивает плазму внутрь,
в области с более слабым полем. Этот критерий выполняется в так
называемых антипробкотронах. В других системах он не выполняет-
выполняется, но достаточным оказывается более мягкое условие b^dl/B < О,
в котором интеграл берется вдоль силовой линии магнитного поля,
если она является замкнутой. Для систем с незамкнутыми линиями
применяют критерий Уфф < 0, называемый также условием магнит-
магнитной ямы. В нем фигурирует вторая производная объема V по прони-
пронизывающему его сечение продольному магнитному потоку Ф. Другие
критерии имеют более частное применение. Например, для амбипо-
лярных ловушек, где давление плазмы анизотропно, так что ря Ф р1;
используют критерий устойчивости в виде требования §bB(p^ +
+ p^)B~2dl > 0. Для систем с винтовыми силовыми линиями ис-
используют критерий Сайдема S2 > —4гЭг, где Р = Ъпр/В2, который
содержит "шир" 5 = rh'r/h - величину, характеризующую перекрещен-
ность силовых линий в случае, когда их шаг h зависит от расстояния
г до магнитной оси. Для токамаков применяют критерий Крускала-
Шафранова в виде q = oB^/RB^ > 1, где R и а — большой и малый
радиусы тороидального плазменного шнура. Величину q называют
запасом устойчивости.
Наиболее общим МГД-критерием устойчивости произвольного
равновесного сгустка плазмы является так называемый энергети-
энергетический принцип, выражаемый формулой К < 0, которая содержит
вторую производную по времени от полной кинетической энергии
1	Г
плазмы К = — I p\2dV. Предполагается, что в начальный момент
2	J
времени t = 0 плазме придается некоторый начальный "толчок",
и если выполнен критерий К < 0, то последующее движение замед-
12

ляется, что и указывает на устойчивость. При рассмотрении движения
плазмы методами магнитной гидродинамики необходимо учитывать
степень вмороженности поля, определяемую магнитным числом
Рейнольдса Nr = 4nLvoc~2, где о - электропроводность.
Примером неустойчивого равновесия может служить так назы-
называемый зет-пинч, возникающий при разряде между двумя элек-
электродами и изображенный на рис. 7. Протекание тока по зет-пинчу
является сложным процессом,.так как появление в нем каких-либо
электрических полей вызывает одинаковый дрейф электронов
и ионов, что само по себе не приводит к появлению тока. Ток в
пинче возможен лишь за счет его неоднородности, однако эта неод-
неоднородность приводит к неустойчивости. Если бы пинч имел цилинд-
цилиндрическую форму, то в равновесии должно было бы выполняться
условие Беннета р=?2/8п, однако из-за неустойчивости на пинче
быстро нарастают перетяжки, стремящиеся его оборвать. Наиболее
типичная перетяжка имеет форму конуса, и подтекание тока к
его вершине затруднено ввиду отсутствия равновесия в его "юбоч-
"юбочке", на поверхности которой начинают скапливаться заряды, при-
приносимые током. В этих условиях ток переносится в основном ионами
за счет упомянутого ранее "поляризационного" дрейфа со скоростью
V = сЕ/Выт, направленной не к вершине конуса, а перпендикулярно
его поверхности. В таком "плазменном конденсаторе" возникает
кратковременный импульс электрического поля, в котором электроны
приобретают энергию порядка 200-300 кэВ, а малая часть ионов
ускоряется до "сверхвысоких" энергий, например е, = 1,8Z МэВ
в ряде опытов. Однако (если опыты производятся на дейтерии)
основная часть дейтронов периферийной плазмы, не вовлеченной
в основной пинч, приобретает энергии порядка 50-100 кэВ и описы-
описывается функцией распределения dN/dt = Noeexp (-\/e/e0). Затем
они влетают в "мишень" - остаточный центральный пинч, где
тормозятся в основном на электронах, и попутно рождают нейтроны
в примерном количестве
N= 2 .1012/5/4ехр(-3,33/77),
где / - ток, МА. Эта формула не содержит плотность ни "перифе-
"периферийной, ни "мишенной" плазмы и хорошо подтверждается на
опытах. Резкое убывание тока 1Х в основном пинче сопровождается
нарастанием тока 12 на периферии перетяжки, так что полный
ток меняется в этом ускорительном процессе незначительно, по-
поскольку поддерживается за счет внешней индуктивности цепи.
Если внутри пинча предварительно создать продольное магнитное
13

поле .ВЦ, то оно своим давлением будет препятствовать развитию
перетяжек, однако нейтроны при этом не появляются, поскольку
электроны, двигаясь по винтовым силовым линиям, легко ком-
компенсируют возникающие электрические поля. Если разряд произ-
производится в парах металла с большим зарядом ядра Z, то развитие
перетяжки облегчается за счет уноса энергии тормозным излуче-
излучением электронов на ионах и вершина конуса перетяжки может
достигать весьма малых размеров порядка 10-50 мкм. Такие об-
образования принято называть плазменными точками, и они являются
источниками интенсивного рентгеновского излучения. Излучение
нейтронов, а также высокоэнергетическое рентгеновское излуче-
излучение при разрядах в дейтерии было впервые обнаружено в 1952 г.
Л.А. Арцимовичем, М.А. Леонтовичем и их сотрудниками.
Кинетическое описание плазмы. Наиболее детальным методом
описания плазмы является кинетический, основанный на исполь-
использовании функции распределения частиц по координатам и импуль-
импульсам f(t, г, р). Импульс частицы р равен тт. В состоянии термодина-
термодинамического равновесия эта функция имеет вид универсального
распределения Максвелла, а в общем случае ее находят из кинети-
кинетического уравнения Больцмана
э/ э/ а/
+F
dt	Зг	Зр
Здесь F = еЕ + (e/c)[vB] - внешняя сила, действующая на заряжен-
заряженную частицу плазмы, а член С (f) учитывает взаимные столкновения
частиц. При рассмотрении быстрых движений плазмы столкнове-
столкновениями часто можно пренебречь, полагая C{f) = 0. Тогда кинетичес-
кинетическое уравнение называется бесстолкновительным уравнением Власова
с самосогласованными полями Е и В (они определяются движением
заряженных частиц). Если плазма полностью ионизована, т.е. в ней
присутствуют только заряженные частицы, то их столкновения,
ввиду преобладающей роли далеких пролетов, эквивалентны
процессу диффузии в пространстве импульсов (скоростей). Выра-
Выражение С (/) для такой плазмы было получено Л.Д. Ландау и может
быть записано в виде
где V = З/Эр - градиент в импульсном пространстве; D - тензорный
коэффициент диффузии в этом же пространстве, a FJJia[ - сила взаим-
взаимного (так называемого динамического) трения частиц. При расчетах
14

плазменных потерь в токамаке членом с F^j можно пренебречь,
а в тензоре D учитывать лишь компоненты, описывающие диффу-
диффузию только по направлениям скорости.
Кинетическое описание позволяет рассчитать так называемые
коэффициенты переноса - электропроводность, вязкость, тепло-
теплопроводность и диффузию, которые необходимо учитывать в урав-
уравнениях МГД в условиях, когда столкновения играют существенную
роль. Электропроводность плазмы примерно равна о = xeine2/me,
а другие коэффициенты - температуропроводности х, кинематичес-
кинематической вязкости v и диффузии D - можно оценить по единой формуле
если в плазме нет магнитного поля. Если же оно присутствует
и достаточно велико, так что Еыполнено условие тив » 1 (такая
плазма называется замагниченной), то длину свободного пробега
в предыдущей формуле следует заменить на ларморовский радиус
либо электронов, либо ионов в зависимости от того, какие частицы
участвуют в рассматриваемом процессе. В термоядерных установках
определяющую роль играет группа так называемых запертых час-
частиц, имеющих малую продольную скорость и захватываемых неод-
нородностями магнитного поля. Например, в токамаке такие частицы,
как указывалось выше, описывают "банановые" траектории и для
них коэффициент диффузии определяется не лармороским радиусом,
а поперечным размером "банана". Кроме того, следует учитывать,
что столкновения переводят частицы из состояния запертых в со-
состояние пролетных и наоборот, и этот процесс определяет эффектив-
эффективное значение времени тэф в коэффициенте диффузии. Такая теория
потерь плазмы, учитывающая геометрию магнитного поля, получила
название неоклассики, и она хорошо описывает потери ионов. Во
многих случаях, однако, в плазме могут рождаться мелкие вихри
и возбуждаться интенсивные колебания. Тогда реальные процессы
переноса определяются не столкновениями, а уровнем этих колеба-
колебаний, как это имеет место в токамаке для электронов. Такие потери
называют аномальными.
Линейные волны. Волны в плазме отличают их объемный характер
и разнообразие свойств. С помощью разложения в ряд Фурье лю-
любое малое возмущение в плазме можно представить как набор
волн простейшего синусоидального вида. Каждая такая монохрома-
монохроматическая волна характеризуется определенной частотой и, длиной
волны X и фазовой скоростью распространения Уфаз. Кроме того,
волны могут различаться поляризацией, т.е. направлением вектора
15

электрического поля в волне. Если это поле направлено вдоль ско-
скорости распространения, волна называется продольной, а если по-
поперек - поперечной. В плазме без магнитного поля возможны
волны трех типов: продольные ленгмюровские с частотой соо, про-
продольные звуковые (точнее, ионно-звуковые) волны со скоростью
сзв = \/X/mi' и поперечные электромагнитные (световые или радио-
радиоволны) с частотой со = v^o + fc2c2', где fc = 2л/К.
Поперечные волны могут обладать двумя поляризациями и
могут распространяться в плазме без магнитного поля, только
если их частота превышает плазменную частоту соо. В противополож-
противоположном же случае показатель преломления плазмы становится мнимым
и поперечные волны не могут распространяться внутри плазмы,
а отражаются ее поверхностью подобно тому, как лучи света отража-
отражаются зеркалом. Именно поэтому радиоволны с ^ й; 20 м отражаются
ионосферой, что обеспечивает возможность дальней радиосвязи
на Земле.
Однако при наличии магнитного поля поперечные волны, резо-
резонируя с ионами и электронами на их циклотронных частотах, мо-
могут распространяться внутри плазмы и при со < со0. Это означает
появление еще двух типов волн в плазме, называемых алъфвенов-
скими и быстрыми магнитозвуковыми.
Альфвеновская волна представляет собой поперечное возмуще-
возмущение, распространяющееся вдоль магнитного поля со скоростью
(т,- - масса иона). Ее природа обусловлена вмороженностью и упру-
упругостью силовых линий, которые, стремясь сократить свою длину
и будучи "нагружены" частицами плазмы, в частности массивными
ионами, колеблются подобно натянутым струнам.
Быстрая магнитозвуковая волна в области малых частот по
существу лишь поляризацией отличается от альфвеновской (их
скорости близки и определяются магнитным полем и инерцией
тяжелых ионов). Ее фазовая скорость равна v+ = — (\сА + CjB| +
+к-СзВ|).
В области же больших частот, где ионы можно считать неподвиж-
неподвижными, она определяется инерцией электронов и имеет специфичес-
специфическую винтовую поляризацию. Поэтому здесь ее называют гелико-
новой ветвью колебаний или ветвью вистлеров, т.е. свистов, по-
поскольку в магнитосферной плазме она проявляется в виде харак-
характерных свистов при радиосвязи ("свистящие атмосферики"). Кроме
1б

того, в плазме может распространяться медленная магнитозвуковая
волна, которая представляет собой обычную звуковую волну с
характеристиками, несколько измененными магнитным полем.
Ее скорость равна v_ = —(|сА + Сзз|-1сд - Сзз|).
Таким образом, при наличии магнитного поля в однородной
плазме возможны волны шести типов: три высокочастотные и
три низкочастотные (рис. 8).
Зависимость квадрата показателя преломления N = fcc/co от
частоты для этих шести волн схематически изображена на рис. 8.
Если температура или плотность плазмы в магнитном поле
неоднородна, то возникают еще так называемые дрейфовые волны
со скоростью v = \ТРВи, где и = Vln (пТ).
В неравновесной плазме при определенных условиях возможна
раскачка неустойчивостей, т.е. нарастание каких-либо из перечис-
перечисленных типов волн до некоторого уровня насыщения. Возможны
и более сложные случаи индуцированного возбуждения волн одного
типа за счет энергии волн другого типа. При больших амплитудах
возможны бесстолкновительные ударные волны (возбуждаемые,
например, на границе магнитосферы набегающим на Землю солнеч-
солнечным ветром), уединенные волны (солитоны), а также ряд других
нелинейных волн и, наконец, сильно развитая турбулентность
движения плазмы.
Электрическое поле Е возбуждает в плазме "индуцированный"
ток jHHJJ = о • Е. Это соотношение называют обобщенным законом
Ома, а тензор о - тензором электропроводности. Наиболее удобной
характеристикой электродинамических свойств плазмы является
тензор диэлектрической проницаемости е = 1 + i4ncoo. В част-
в плазме определяются
найти закон
дисперсии со = со (fc), т.е. зависимость частоты от волнового вектора
для какой-либо определенной волны. В плазме без магнитного
поля тензор е фактически содержит
лишь две независимые величины е„ и
е,. В магнитном поле необходимо рас-
рассматривать все компоненты еао, наи-
наиболее точно определяемые путем реше-
решения указанного выше кинетического
уравнения.
Рис. 8. Шесть типов воля в плазме при наличии маг-
магнитного поля
ности, все перечисленные ранее типы волн
из детерминанта |е + NN - Ш2| = О, позволяющего

Классификация взаимодействий. При высоких температурах
и низкой плотности плазмы можно пренебречь столкновениями
частиц с частицами. Однако в случае, когда в плазме возбуждены
волны какого-либо типа, необходимо учитывать "столкновения"
частиц с волнами. При не слишком болььших амплитудах колеба-
колебаний в плазме подобные столкновения, как и при далеких пролетах,
сопровождаются малыми изменениями импульса частиц и член
С {f) сохраняет свой диффузионный вид с тем отличием, что коэф-
коэффициент D определяется интенсивностью волн. Важнейшим резуль-
результатом кинетического описания плазмы является учет взаимодейст-
взаимодействия волны с группой так называемых резонансных частиц, скорости
которых совпадают со скоростью распространения волны. Именно
эти частицы могут наиболее эффективно обмениваться с волной
энергией и импульсом. В 1946 г. Л.Д. Ландау предсказал возмож-
возможность основанного на таком обмене бесстолкновительного затухания
ленгмюровских волн, впоследствии обнаруженного в опытах с
плазмой. Если направить в плазму дополнительный пучок частиц,
то подобный обмен может приводить не в затуханию, а к усилению
волн. Это явление аналогично излучению Черепкова-Вавилова.
По аналогии с квантовой электродинамикой различные типы
взаимодействий в плазме удобно изображать диаграммами Фейн-
мана, на которых сплошная ломаная линия означает частицу, а
волнистая линия изображает волну какого-либо типа. По числу
"узлов" различают процессы первого порядка, второго, третьего
и т.д., условно изображенные на рис. 9.
Две диаграммы первого порядка изображают процесс излучения
или поглощения волны частицей, и их учет приводит к так назы-
называемой квазилинейной системе уравнений вида
N= 2yN; /= V . (D • V/); D = $ kkNwdk,
I
й
>-—с
м
ш
-с
IF
X
Рис. 9. Диаграммы взаимодействий I - IV порядков в плазме
18

где N - число квантов, пропорциональное интенсивности волны;
w - вероятность спонтанного излучения кванта.
Эти уравнения описывают так называемый турбулентный нагрев
плазмы волнами, в частности, предполагается, что они могут опи-
описывать процесс ускорения частиц, входящих в состав космических
лучей.
Среди диаграмм второго порядка верхняя изображает кулонов-
ское столкновение двух частиц, упомянутое ранее, а нижняя диа-
диаграмма указывает, что частица вначале поглощает один квант
(или взаимодействует с полем), а затем испускает другой квант-
волну. Эта диаграмма условно изображает сразу четыре важных
процесса: либо рассеяние лазерного луча в плазме (метод диагнос-
диагностики), либо тормозное излучение электронов при их рассеянии
на кулоновских полях ионов, либо поглощение циклотронной волны
частицей в магнитном поле (циклотронный нагрев плазмы), либо,
наконец, циклотронное излучение частиц, закручиваемых магнитным
полем. Среди возможных диаграмм третьего порядка наиболее
важной оказывается диаграмма, описывающая так называемые
распадные процессы - распад волны на две другие волны, или,
наоборот, слияние двух волн в одну. Например, в короне Солнца
две продольные ленгмюровские волны с частотами соо могут
объединиться в одну поперечную радиоволну с удвоенной частотой,
и эта волна теперь уже способна выйти из плазменной атмосферы
Солнца и достигнуть Земли, что и наблюдается. В таких распадных
процессах должны соблюдаться законы сохранения
ficOj = fiu2 + fiu3; tikj =tik2 +tik3
энергии и импульса квантов (здесь ~Н можно сократить). Если эти
законы сохранения не выполняются, как это имеет место, например,
для волн на воде, то трехволновые распадные процессы оказываются
запрещенными. Тогда на первый план выступают четырехволновые
процессы, изображаемые диаграммой четвертого порядка в таблице
выше. Например, для волн на воде четырехволновые процессы при-
приводят к зависимости частоты волны от амплитуды а по формуле
Стокса со2 = fcg(l + k2 а2). Аналогичные нелинейные процессы
возможны и в плазме. Примерами могут служить самофокусировка
света и так называемая модуляционная неустойчивость ленгмюров-
ских волн, при которой частота также зависит от амплитуды.
Нелинейные волны. В линейном приближении амплитуды всех
волн формально считаются бесконечно малыми, их взаимодействие
не учитывается и имеет место простой принцип суперпозиции
19

решений. Однако любая реальная волна имеет конечную амплитуду
и картина, даваемая линейной теорией, может не соответствовать
действительности. Чтобы учесть взаимодействие волн, необходимо
рассматривать нелинейные уравнения, которые в сложных случа-
случаях можно решить лишь численными методами. Часто, однако,
путем ряда упрощений (главным из которых является рассмотрение
волны, бегущей лишь в одном направлении) нелинейные уравнения в
плазме удается свести к некоторым хорошо изученным "канони-
"каноническим" нелинейным уравнениям, допускающим полную интегри-
интегрируемость при любых начальных условиях. Например, различные
волны со слабой дисперсией хорошо описываются известным урав-
уравнением Кортевега и де Фриза (КдФ) v(' + w^ + ocv^ = 0, частным ре-
решением которого является "солитон" v = v0ch [(х - ct)/L]. Другой
задачей, допускающей решение, может служить задача об эволюции
узкого пакета волн какого-либо типа в случае, когда их частота
зависит от амплитуды. Например, частота ленгмюровской волны
с учетом дисперсии и нелинейной зависимости от амплитуды опре-
определяется формулой со = со0 A + fc2!J - sE2), где s = 1/32лр0 и эта
формула эквивалентна нелинейному уравнению Шредингера (НУШ)
i(>)-01Et-E + D2E^c + sE\E\2 = 0,
допускающему полное решение (В.Е. Захаров и А.Б. Шабат). На-
Наконец, отметим, что в приближении длинных волн многие неустой-
неустойчивости в плазме описываются нелинейными уравнениями вида
также допускающими аналитическое решение. Эти уравнения отли-
отличаются от уравнений движения идеального газа лишь знаком в
правой части, и поэтому их называют "квазигазовыми" или "квази-
чаплыгинскими" (С.А. Чаплыгин в 1968 г. впервые рассмотрел
случай с m = -1/2). Параметр т, как правило, оказывается либо
целым, либо полуцелым, а роль "эффективной плотности" рЭф в
разных случаях могут играть разные величины. Эти уравнения
описывают нелинейные перетяжки на плазменном пинче (т = -1).
При т = -1/2 они описывают апериодическую параметрическую
неустойчивость плазмы во внешнем колеблющемся поле, бунема-
новскую неустойчивость плазмы при "сверхтепловом" потоке
электронов, а также разрывную тиринг-неустойчивостъ так назы-
называемого нейтрального токового слоя, разбивающегося на отдельные
пинчи вследствие специфического механизма перезамыкания
магнитных силовых линий, что наблюдается в токамаках, в хвосте
20

магнитосферы Земли, а также в плазменной атмосфере Солнца при
вспышках протуберанцев. При т = 1 указанные уравнения описывают
различного рода модуляционные неустойчивости в плазме - кол-
коллапс ленгмюровских волн, самофокусировку луча света, разбиение
электронного пучка в плазме на сгустки, слои и нити. Те же урав-
уравнения описывают возмущения солитонов многих типов - Корте-
вега - де Фриза, Кадомцева-Петвиашвили, нелинейного уравнения
Шредингера, а также кноидалъных волн. Например, возмущения
солитонов КдФ в приближении длинных волн ведут себя подобно
идеальному одноатомному газу. Решения "квазичаплыгинских"
уравнений в многомерном случае могут быть автомодельного
типа v ~ r/t, а в одномерном нестационарном или в двумерном
стационарном случае могут быть получены путем преобразования
годографа, позволяющего свести исходные нелинейные уравнения
к двум линейным уравнениям для обратных функций и, более того,
к простому уравнению Лапласа Дф (г, ф, z) = 0 в воображаемом
трехмерном пространстве, что по аналогии с электростатикой по-
показывает возможность их полной интегрируемости при любых на-
начальных условиях.
Методы нагрева. Термоядерная реакция дейтерия с тритием
d + f-4He + n + 17,6 МэВ эффективно протекает при температурах
порядка A-2). 108 К и выполнении так называемого критерия
Лоусона лт > 1014, где т - время жизни плазмы. Для достижения
столь высоких температур используются следующие методы на-
нагрева: джоулевым теплом, адиабатическим сжатием, инжекцией
высокоэнергетических частиц, путем поглощения различных
волн - электронных и ионных циклотронных, альфвеновских и
нижнегибридных, облучением лазерными лучами и пучками реля-
релятивистских электронов. После "зажигания" образующиеся при
реакции энергетичные а-частицы - ядра гелия, задерживаемые
магнитным полем, должны обеспечить "самонагрев" плазмы и
последующее самоподдержание реакции. Коэффициенты поглощения
и трансформации различных волн в плазме, определяющие эффек-
эффективность нагрева, находят из мнимых (антиэрмитовых) компонент
тензора диэлектрической проницаемости е. Ее действительные ком-
компоненты позволяют рассчитать траектории лучей в плазме. При
малой длине волны поглощение происходит обычно на некоторой
поверхности, где выполнены условия резонанса. При нагреве ин-
инжекцией энергия отдельных быстрых частиц, пронизывающих плаз-
плазму, уменьшается по формуле ё= -е/т вследствие столкновений
и излучения ими волн. При интенсивных потоках частиц возможно
21

образование ударных волн, также нагревающих плазму, например,
при набегании плазменного солнечного ветра на магнитосферу
Земли. При лазерном облучении мишени важную роль играет яв-
явление абляции - быстрого испарения поверхностного слоя с по-
последующим эффектом отдачи, приводящим к сжатию центральной
части "таблетки" термоядерного топлива, что должно облегчить
выполнение критерия Лоусона.
Изучение плазмы. Спектр излучения низкотемпературной (на-
(например, газоразрядной) плазмы состоит из отдельных спектральных
линий. В газосветных трубках, применяемых, в частности, для
целей рекламы и освещения (лампы "дневного света"), наряду
с ионизацией происходит и обратный процесс - рекомбинация
ионов и электронов, дающая так называемое рекомбинационное
излучение со спектром в виде широких полос.
Для высокотемпературной плазмы со значительной степенью
ионизации характерно тормозное излучение с непрерывным рентге-
рентгеновским спектром, возникающее при столкновениях электронов
с ионами.
Удельную мощность излучения, Вт/см3, указанных трех типов
можно записать в виде w = Anenzg (Т), где А = 0,5 • 1О~30, а множитель
g (Г) равен
gmm = 1.2523 при Г < ГA) = (Z/16J;
gpeK =Zs/200 Г^в при ГA) < Г< ГB);
Stop =
при Т > ГB) = (Z/6J
соответственно для линейчатого, рекомбинационного и тормозного
излучений. Здесь Z - заряд ионов, a nz - их плотность.
В магнитном поле ларморовское вращение электронов плазмы
приводит к появлению так называемого магнитотормозного из-
излучения на гармониках циклотронной частоты, существенного
при больших (релятивистских) энергиях электронов. Это излучение
называют также циклотронным, и в термоядерных условиях можно
считать, что один электрон излучает мощность / = к Г/т, где время
излучения, с, равно т = 250 В~2, В в кГс. Все электроны сгустка
излучали бы мощность W = NekT/x, однако значительная ее часть
поглощается внутри самой плазмы в отличие от высокочастотного
тормозного излучения, свободно выходящего наружу. Как показы-
показывают численные расчеты, из плазменного шнура радиуса а наружу
выходит лишь небольшая доля К суммарной циклотронной мощ-
мощности, приблизительно равная К = Ш\[Щ>, где t = кТ/mc2, р =
22

~ безразмерные параметры. Номер максимальной цикло-
циклотронной гармоники, излучаемой с поверхности плазмы, можно
оценить по формуле NugRC = l\[tpllb.
Важную роль в космической плазме играет вынужденное излу-
излучение типа обратного эффекта Комптона. Им, а также магнитотор-
мозным механизмом обусловлено излучение некоторых космичес-
космических туманностей, например Крабовидной.
Корпускулярным излучением плазмы называются быстрые
частицы, вылетающие из неравновесной плазмы в результате раз-
развития различных типов неустойчивостей. В первую очередь в плазме
раскачиваются какие-либо характерные колебания, энергия ко-
которых затем передается небольшой группе резонансных частиц.
По-видимому, этим механизмом объясняется ускорение низкоэнер-
низкоэнергетических космических частиц в атмосфере Солнца и в туманностях,
образующихся при вспышках сверхновых звезд типа пульсара в
Крабовидной туманности.
Диагностика плазмы. Помещая в плазму электрический зонд
(маленький электрод) и регистрируя зависимость тока от подавае-
подаваемого напряжения, можно определить температуру и плотность
плазмы. С помощью миниатюрной индукционной катушки - маг-
магнитного зонда - можно измерять изменение магнитного поля во
времени. Эти способы связаны, однако, с активным вмешательст-
вмешательством в плазму и могут внести нежелательные загрязнения. К более
чистым методам относится просвечивание плазмы пучками нейтраль-
нейтральных частиц и пучками радиоволн. Лазерное просвечивание плазмы
в различных вариантах, в том числе с использованием голографии,
является наиболее тонким и к тому же локальным методом лабора-
лабораторной диагностики плазмы.
Часто исползуют также пассивные методы диагностики - наблю-
наблюдение спектра излучения плазмы (единственный метод в астроно-
астрономии), вывод быстрых нейтральных атомов, образовавшихся в ре-
результате перезарядки ионов в плазме, измерение уровня радио-
радиошумов. Плотную плазму излучают с помощью сверхскоростной
киносъемки (несколько миллионов кадров в секунду) и оптической
развертки. В исследованиях по УТС регистрируется также рент-
рентгеновский спектр тормозного излучения и нейтронное излучение
дейтериевой плазмы.
Применение плазмы. Высокотемпературная плазма (Г ~ 108 К)
из дейтерия и трития - основной объект исследований по УТС.
Низкотемпературная плазма (Г ~ Ю3 К) находит применение
в газоразрядных источниках света и в газовых лазерах, в термо-
23

Рис. 10. Схема МГД-генератора, преобразую-
преобразующего кинетическую энергию движущейся
плазмы в электрическую энергию: R—внеш-
R—внешняя цепь, по которой протекает ток /
электронных преобразователях тепловой энергии в электрическую
и в магнитогидродинамических генераторах (МГД-генераторах),
где струя плазмы тормозится в канале с поперечным магнитным
полем В, что приводит к появлению между верхним и нижним
электродами (рис. 10) электрического поля напряженностью Е по-
порядка Вч/с (v - скорость потока плазмы); напряжение с электродов
подается во внешнюю цепь.
Если "обратить" МГД-генератор, пропуская через плазму в
магнитном поле ток от внешнего источника, образуется плазменный
двигатель, весьма перспективный для длительных космических
полетов.
Плазмотроны, создающие струи плотной низкотемпературной
плазмы, широко применяются в различных областях техники. В
частности, с их помощью режут и сваривают металлы, наносят
покрытия. В плазмохимии низкотемпературную плазму используют
для получения некоторых химических соединений, например гало-
генидов инертных газов, которые не удается получить другим
путем. Кроме того, высокие температуры плазмы приводят к вы-
высокой скорости протекания химических реакций - как прямых
реакций синтеза, так и обратных реакций разложения. Если произ-
производить синтез "на пролете" плазменной струи, расширяя и тем
самым быстро охлаждая ее на следующем участке (такая операция
называется "закалкой"), то можно затруднить обратные реакции
разложения и существенно повысить выход требуемого продукта.

Глава 1
ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПОЛЯХ
И ПРОБЛЕМА УДЕРЖАНИЯ ПЛАЗМЫ
Для эффективного протекания термоядерной реакции, заключа-
заключающейся в слиянии легких ядер (водорода, дейтерия, трития), при
котором выделяется значительная энергия, например:
р+18,ЗМэВ,
необходимы плотности порядка 1015 част./см3 и температуры по-
порядка 108 К. Такие высокие температуры можно надеяться полу-
получить лишь в том случае, если плазма не будет соприкасаться со
стенками сосуда. Единственным "теплоизоляционным материалом",
пригодным для этой цели, может служить магнитное поле.
Идея магнитной изоляции плазмы была высказана в 1950 г.
советскими учеными академиками И.Б. Таммом и А.Д. Сахаровым.
Так как плазма состоит из заряженных частиц - электронов и
ионов, на которые помимо магнитного поля может действовать
также и электрическое (гравитационное поле обычно можно не
учитывать), то центральным вопросом теории плазмы является,
очевидно, вопрос о поведении плазмы в электромагнитном поле.
При этом существуют два подхода к этому вопросу. При первом,
который можно назвать "микроскопическим", плазма рассматрива-
рассматривается как совокупность отдельных частиц; при втором - "макроско-
"макроскопическом" - как сплошная среда, характеризующаяся определен-
определенными свойствами: температурой, плотностью, электропроводностью
и т.д.
В настоящей главе мы рассмотрим первый подход, т.е. иссле-
исследуем поведение одной заряженной частицы в магнитном и электри-
электрическом полях, которые будем считать заданными. При этом мы
ограничимся лишь случаем нерелятивистских скоростей.
25

§ 1. Простейшие случаи движения
Движение заряженной частицы в электромагнитном поле опи-
описывается уравнением
— [vB]
A.1)
Рассмотрим некоторые простейшие случаи.
Пусть Е = О, В = const. В этом случае, как известно, уравнение
A.1) описывает движение частицы по винтовой линии (рис. 11),
которое складывается из равномерного вращения по кругу с лар-
моровским радиусом р = \1/ов и угловой частотой Q = -ав, где
ив = еВ/тс,	A.2)
и из равномерного перемещения вдоль поля с постоянной скоростью
v и. Вращение Q направлено против поля В, если частица положи-
положительная (е > 0, т.е. ион), и по полю, если она отрицательная (е < О,
т.е. электрон) (см. рис. 11). Поскольку круговое движение заряда
эквивалентно круговому току, то в обоих случаях внешнее магнит-
магнитное поле внутри ларморовского кружка будет уменьшаться, что
приводит к диамагнетизму плазмы.
Если В = const и Е = const Ф 0, то, представив скорость в виде
суммы продольной и поперечной составляющих (v = ?ц + v±), из
уравнения A.1) получим
l = e?ll;mvi = e(E1 + ^-[v1B]).
A.3)
В этом случае частица вращается по ларморовскому кружку,
который с равномерным ускорением движется вдоль электрического
е>о
е<0
Рис. 11. Траектории частиц в магнитном
поле
26

Рис. 12. Движение частиц при наличии по-
полей ВтлЕ
поля и одновременно дрейфует
поперек магнитного (рис. 12).
Скорость этого дрейфа можно
найти, усредняя по времени вто-
второе уравнение A.3). Так как
(v,) =0, получаем
-L СР
В!+ —[(TjppBl-O,
откуда
[ЕВ]
(*1)ср = с —•
A.4)
Следует отметить, что движение частицы будет иметь характер
дрейфа лишь при условии Е± < В. В противном случае, т.е. при
Ei > В, (Vjjq, будет превышать скорость света, что невозможно.
Обозначая скорости дрейфа и продольного движения большими
буквами У1 и Уц, можно записать уравнения движения частицы
в виде
mV,-F|;Vi.
еВ
-[Ft],
A.5)
где F = еЕ, а т = В\В - единичный вектор, направленный вдоль
магнитного поля.
Уравнения A.5) можно использовать и в том случае, если сила,
действующая на частицу, обусловлена не электрическим полем,
а, например, силой тяжести: F = mg. Ниже мы увидим, что и в самом
общем случае движение частицы может быть представлено в виде
уравнений A.5).
В полях более сложной структуры уравнения движения можно
точно решить лишь в некоторых случаях. Обычно это удается сде-
сделать, если поле В обладает какой-либо симметрией.
В качестве примера рассмотрим движение космической частицы
(нерелятивистской) в магнитном поле Земли; его с хорошей точ-
точностью можно рассматривать как поле магнитного диполя ц (рис. 13).
которое описывается векторным потенциалом А:
В = rot A,
27

Рис. 13. Поле магнитного диполя
где А = [цг]/г3. В этом случае Е = 0 и уравнение движения A.1)
может быть получено из лагранжиана
mv2 em	e	иг
L =	+ —(vA) = — (r2+r2<p2+i2) + — гф		A.6)
2 с	2	с	(i^ + z2K'2
(здесь удобно использовать цилиндрическую систему координат
т, ip,z). Так как этот лагранжиан не зависит от времени, то имеет
место закон сохранения энергии:
v2	m
31	mv2 m
	L=	= — (r2 + r2<p2+i2)
a<j,-	2 2
A.7)
Кроме того, поле обладает аксиальной симметрией и лагранжиан
не зависит от координаты Ф, следствием чего будет закон сохране-
сохранения момента количества движения
ЯГ	он	,'
= const.	A.8)
- = тпт2 Ф + ¦
(г'+г2K'2
Если в формуле A.7) выразить скорости через обобщенные импульсы
pr = m'r, Мкр2 = mz, то мы получим гамильтониан
pz) + U(r,z),	A.9)
где
2m
¦; u{r,z)=-
Imi3
M--
ецг*
Поскольку М сохраняется, то его можно рассматривать как параметр.
Уравнения Гамильтона (р = -dH/dq) можно при этом записать в
следующем виде:
э	э
mr = Fr =	U(z, г) и mz = Fz =	U{r,z).	A.10)
дг	dz
28

Эти уравнения описывают движение в плоскости тг под действием
потенциальной силы F = -VU(r, z), и значит U (r, z) в A.9) играет
роль потенциальной энергии, а К{рг, pz) - кинетической. Область,
доступная для движения частицы, характеризуется неравенством
К = е - U (г, z) > 0, а ее граница описывается уравнением U(r, z) =
= в = const, которое можно привести к виду
ецг
с(г2 + г2K
= ±1,
A.11)
где v = \Jltlm = const.
Приняв за единицу длины расстояние R = Je\i/mcv и введя без-
безразмерные переменные р = r/R и ? = z/R, можно записать уравнение
A.11) в форме
A.12)
где V = М
A.13)
Кривые, соответствующие этой зависимости при разных значениях
параметра у, приведены на рис. 14, где заштрихованы области,
недоступные для движения частицы.
I
р
!
1
i
Ар
1
= 2
Рис. 14. Области, доступные для движения частицы в поле точечного магнитного диполя

Эти области образуют как бы "язык" и "губы". При у < 2 "рот"
открыт и частицы могут из бесконечности подходить к земле вблизи
полюсов. При критическом значении укр = 3 "губы" смыкаются,
отделяя внутреннюю область от внешнего пространства перегород-
перегородкой. При у > 2 эта перегородка становится весьма значительной;
частицы с такими параметрами у не могут подойти из бесконечности
к Земле, а частицы, захваченные во внутренней области, оказывают-
оказываются как бы запертыми в магнитной ловушке.
Эта картина может качественно объяснить существование радиа-
радиационных поясов вокруг Земли. По имеющимся в настоящее время
экспериментальным данным внешний радиационный пояс образу-
образуется частицами, которые, прилетая к Земле от Солнца, скачком
изменяют свой момент количества движения Af (т.е. у) и переходят
на запертые орбиты. Причиной такого внезапного изменения ин-
интеграла движения у, по-видимому, являются быстрые нарушения
симметрии магнитного поля Земли, обусловленные магнитными
бурями, которые, конечно, в наших рассуждениях не учитывались.
В заключение рассмотрим движение частицы в поле прямого
провода с током I, магнитное поле которого, как известно, равно
В = 5ф = 21/сг.
Для простоты предположим, что в момент времени t = 0 частица
@)
находилась на расстоянии г0 от оси и имела лишь скорость vz =
= v0, направленную вдоль оси таким образом, что уф @) = 0 и vr @) =
= 0. Частица при этом будет двигаться в плоскости rz, и ее траекто-
траектория изображена на рис. 15.
Кривизна траектории на участках, близких к оси, где поле
сильнее, будет выше, чем на участках, удаленных от оси, и частица
будет испытывать так называемый тороидальный дрейф вдоль оси,
обусловленный неоднородностью поля.
Определим скорость этого дрейфа. Интегрируя z-ю проекцию
уравнения движения
мин '
к.	.-
/*	N
/
'' N 1
\ I
1
"о
mi-—1 vB
С
находим
i = v0 + -
lei
me2
lei
c2
r
In —
'o
A.14)
Рис. 15. Дрейф частицы в неодно-
неоднородном магнитном поле тока /
30

Из закона сохранения энергии можно при этом получить, что
г2 + z2 = v2, откуда имеем
dr	I	lei r
-=± /v2- Vo+	In— .	A.15)
dt
Радиус будет, очеЕидно, меняться в пределах от гмакс = г0 до гмин,
определяемого условием dr/dt = 0, откуда найдем гмин = г0е'2^,
где I = mc2v0/2e/.
Участок траектории, изображенной на рис. 15 сплошной линией,
частица пройдет за время, равное половине периода
Т/2	гмин
Г Г	Г	dr
A.16)
2 J	J dr/dt
гмакс
Используя равенство A.15), этот интеграл можно привести к виду
'.«р<-ЭД
I h^I
A.17)
О
где /0 (^) - нулевая функция Бесселя от мнимого аргумента
л
<P=jo(iU = i+ — ?2+ — ?4 + ...	A.18)
л J	4	64
О
За время Г/2 частица сместится вдоль оси на длину
1>г гмин
1	Г	Г dz 4r
— = \dz=	.	A.19)
2	J	J dt dr/dt
0	гмакс
Используя уравнения A.14) и A.15), этот интеграл можно представить
в виде
31

V
1 r
'1-Ц-—In —
A.20)
Скорость дрейфа
=v0
Л (О
I3
16
A.21)
и не зависит от г0. График функции V^/Vq = /(^) = 1У {%)Ц0 (I) изобра-
изображен на рис. 16 сплошной линией. Безразмерный параметр \ имеет
простой физический смысл. Его можно записать так:
р@)
A.22)
где <о8 = еВф(го)/тс - циклотронная частота, определенная по полю
в точке г0. Таким образом, ? равно отношению ларморовского
радиуса к расстоянию до оси. Если магнитное поле достаточно ве-
велико, то параметр ? можно считать малым (? ^ 1) и ограничиться
в формуле A.21) первым членом разложения по ?:
mvo2/2
«в (О
A.23)
Такое ограничение называется
"дрейфовым приближением" (см.
рис. 6) и для произвольных полей
будет рассмотрено нами в следу-
следующем параграфе.
Рис. 16. Пример дрейфового приближении
32

В разобранном случае относительная погрешность, возникающая
при использовании дрейфового приближения
(U4,
VI04 2I1 ft)	8
что составляет, например, 12% при | = 1 и 0,1% при | * 1/10.
Задача. Определить минимальную энергию, при которой протон, движущийся от
Солнца к Земле в плоскости земного экватора, сможет достичь поверхности Земли.
§ 2. Дрейфовое приближение
Рассмотрим теперь поведение частицы в электромагнитном
поле произвольной геометрии. Если магнитное поле достаточно
велико, то период обращения по ларморовскому кружку Гл =
= 2л/0)в будет мал по сравнению с характерным временем измене-
изменения Полей (поля, а ларморовский радиус Рларм = v, /uB мал по срав-
сравнению с длиной ?поля, на которой существенно изменяются поля:
^ларм ^'поля» Рларм ^поля-	\2Л)
В этих условиях частица будет совершать быстрые ларморовские
колебания около среднего положения, которое, очевидно, совпадает
с центром ларморовского кружка.
Движение этого центра будет иметь характер медленного плав-
плавного дрейфа, и именно оно представляет наибольший интерес,
так как если в какой-либо момент времени известно положение
центра R, то про частицу достаточно сказать, что она находится
где-то на орбите ларморовского кружка с центром в точке R, а где
именно, т.е. какова ее фаза, не существенно, так как эта фаза все
раЕно быстро меняется (от 0 до 2л за период Гларм).
Для определения движения центра ларморовского кружка вос-
воспользуемся уравнением движения частицы
е
с
в котором полагаем
r = R + p и v = V + v.	B.3)
Здесь R и V = R - положение и скорость ведущего центра, ар и
v = р описывают ларморовские колебания (рис. 17). Поскольку
33

Рис. 17. Ларморовский кружок и орты маг-
магнитной силовой линии
ларморовский радиус по условию
B.1) считается малым, то в первом
приближении можно положить:
Е (г) = Е (R + р) * Е (R) + (pV) E (R);
В (г) = В (R + р) * В (R) + (pV) В (R).
B.4)
Здесь опущены члены порядка Р2/Я2, что и определяет точность
нашего рассмотрения [ср. оценку A.23) точности формулы A.22)].
Если для простоты обозначить E(R) = Ей В (R) = В, то уравнение
B.2) с учетом B.3), B.4) примет вид
m(V+v) = eE + e(pV)E + — [VB] +
+ — [VB] + — [V (рV) В] + — [v (pV) В].
B.5)
Усредним это уравнение по отрезку времени At, включающему
много ларморовских периодов, но все еще малому по сравнению
с временем ?поле, характеризующим изменение полей:
B.6)
После усреднения в уравнении B.5) выпадут члены, линейные
по быстрым ларморовским осцилляциям. Однако последний член,
квадратичный по осцилляциям, останется, и мы получим
mV = еЕ + — [VB] + — [v (pV) В].
B.7)
Черта сверху означает усреднение по быстрым осцилляциям. Это
и есть уравнение, описывающее движение центра ларморовского
кружка.
Рассмотрим теперь уравнение ларморовских колебаний, которое
останется, если из B.5) вычесть усредненное уравнение B.7):
mv = e (pV) Е + — [vB] + — [V (pV) В] + — {[v (рV) В] - [v (pV) В]}.
се	с
B.8)
34

В нулевом приближении здесь можно восбще опустить малые
члены, содержащие (pV) E и (pV) В, что дает
е
mv = — [vB]
с
или
v = [\ыв],	B.9)
где us = eB (R)/mc. Пренебрежение пространственными производ-
производными VB и VE (последнее в силу соотношения [VE] = — dB/dt экви-
с
валентно пренебрежению дв/dt) означает, что в уравнении B.9)
поле В можно рассматривать как постоянную величину. Тогда,
интегрируя выражение B.9), находим
V|, = const = 0; vi = [p1(i)s]	B.10)
и далее
где
Рв = 0; рп = р cos (-us t + ф); Рь = р sin (-Ыв t + Ф)	B.11)
(ф - начальная фаза). При этом мы ввели правую тройку единичных
векторов т, п и Ь:
T-B(R)/|B(R)|; n = KKp(TV)t; Ь = [тп].	B.12)
Здесь Якр - радиус кривизны силовой линии, проходящей через
центр ларморовского кружка; п - ее главная нормаль, a b - бинор-
бинормаль.
Уравнения B.11) описывают вращение частицы с частотой Q =
= -сов по ларморовскому кружку с радиусом Р = v^ub. Такое дви-
движение эквивалентно круговому току с силой / = e/Tmvu = ео)в/2П.
Магнитный момент такого тока
М= —/5	лр2=	±-	i-	B.13)
с	с 2л	2В	В
и направлен против поля В (т.е. ц = - ц т).
Из уравнения B.8), взятого в первом приближении, можно полу-
получить закон сохранения магнитного момента ц, который хотя и не
является точным интегралом уравнений движения, но может рас-
35

сматриваться как адиабатический инвариант, т.е. величина, ко-
которая остается приближенно постоянной при медленном изменении
внешних условий. Для этого умножим выражение B.8) скалярно
на v^. Тогда, учитывая, что v|( = 0 и р( = 0, получаем
d mv?
v mv=	.—t- + ev (p V)E-
1	dt	2	± X
e	e
с	с
Усредняя это уравнение, найдем
е
	v± [vx (p± V) В].	B.14)
dt	2
= evi(p1V)E--V[v1(p1V)B].	B.15)
Слева черта отсутствует, так как v| изменяется медленно.
Представляем читателю в качестве упражнения доказать, исполь-
используя уравнения нулевого приближения B.10), B.11), что для усред-
усредненных величин справа получаются выражения
дв
ev.(p.V)E = |i	; —[>»i(PiV)B] = - uVB,	B.16)
11	at с
с помощью которых уравнение B.15) приводится к виду
d mv?	[ дВ	1	dB
¦+(W)B =Ц—-.
dt 2	[ dt	J
Поскольку ц = m\2j2B, то отсюда следует
d
	Ц = 0, т.е. й = const.	B.17)
dt
Вернемся теперь к уравнению B.7), описывающему движение
центра ларморовского кружка. С учетом B.16) это уравнение при-
принимает вид
mV = еЕ - Ц VB + — [VB]	B.18)
с
и по форме отличается от исходного уравнения движения частицы
B.2) лишь наличием члена -fiV?. Эти уравнения, однако, имеют
совершенно различное физическое содержание. Чтобы определить
из равенства B.18) скорость дрейфа, положим
V = tVii + V1..	B.19)
36

Тогда B.18) можно представить так:
тх vb ~ -f-I vl В1и F= еЕ " МVB - т (Vu т + \±).	B.20)
Умножая это уравнение сначала скалярно, а затем векторно на
т, получаем
mV.-F.5V-—[Ft].	B.21)
Это и есть уравнения движения частицы в дрейфовом приближении.
Учитывая в общем случае также силу тяжести, имеем, следова-
следовательно,
F = (eE + mg)-(iVB-m(F||T + Vi).	B.22)
Таким образом, поперечный дрейф частиц может быть вызван
тремя силами: электрической (или сходной по действию гравита-
гравитационной), диамагнитной (обусловленной неоднородностью маг-
магнитного поля) и силой инерции.
В простейшем случае, учитывая, что V± «: Vr в части уравнения
B.22), описывающей силу инерции, можно опустить V оставив
лишь слагаемое, содержащее
i._L + (W)T- —+V.(tV)t + (V.V)t.	B.23)
dt	dt "	L
Здесь первый и последний члены можно считать малыми (например,
в постоянном поле первый вообще отсутствует, а последний мал,
так как V. <sc V„). Тогда, оставляя лишь
(TV)T = n/KKp,	B.24)
где п - главная нормаль к силовой линии, a i?K - радиус кривизны,
для силы инерции имеем
F ^ = -— п = Рцб-	B-25)
Это есть не что иное, как центробежная сила, обусловленная дви-
движением частицы вдоль искривленной силовой линии, и вызывае-
вызываемый ею дрейф называется центробежным дрейфом.
В некоторых случаях, когда требуется большая точность, в
выражении для силы инерции следует оставлять член с V . При
37

этом, однако, его следует определять методом последовательных
приближений. Например, если электрическое поле велико настолько,
что скорость электрического дрейфа Van = с [Ex]/В сравнима с V(, то
необходимо учитывать слагаемое
.	B.26)
at в
Таким образом, для поперечных смещений дрейфовое уравнение
B.18) следует рассматривать как уравнение первого порядка по
времени, в отличие от исходного уравнения движения частицы
B.2), которое является уравнением второго порядка.
Рассмотрим в заключение закон сохранения энергии частицы
в дрейфовом приближении, который можно получить, если урав-
уравнение B.18) умножить скалярно на V:
d mv2
	= eVE-(i(W)?.
dt 2
Поскольку V2 = V2 + V2 пренебрегая V2 •« V2 и учитывая, что
ц = const, a (VV)B =	В	В, уравнение можно записать так:
dt	dt
d I mV,f	\	dB
L UeVE + ц	.	B.27)
df \ 2	/	dt
mVll	m
Здесь	+ jif? = — (\2 + v2) - кинетическая энергия частицы,
а оба члена справа описывают работу электрических сил, поскольку
магнитное поле, как известно, не может совершать работы над
зарядом. Заметим, что второй член в уравнении B.27) может быть
записан в виде
ЭВ	ЭВ	v±p
|i	ЦТ	= -е	(rot E), = evi?Kac.	B.28)
dt	dt	2
При этом использовано то обстоятельство, что ротор Е можно
выразить через циркуляцию поля Е по окружности ларморовского
кружка:
1 Г	1
(rot Е)цт	ф ЕЛ	2лр Е^.	B.29)
пр2 J	яр2
Если поля Е и В постоянны во времени, то из уравнения B.27) можно
38

получить закон сохранения энергии:
е=	-+U= const,	B.30)
2
где U = \хВ + еф (<р - электростатический потенциал: Е = -Уф). Ве-
Величина U = U {R) играет роль потенциальной энергии, и из формулы
B.30) при этом имеем
Г2	'
К,-К,(й)- /— (е-U(К)).	B.31)
Особенно простой вид дрейфовые уравнения движения имеют
для статических полей в вакууме. В этом случае, используя урав-
уравнение rot В = 0, нетрудно показать, что
4B = nB/RKp	B.32)
и, учитывая в инерционных членах лишь центробежную силу инер-
инерции [см. уравнение B.25)], для скорости дрейфа получаем
mV\ \ 1	с 17	mV\
V =	ЦеЕ-fiVB	-п т = 	 -Vf/	-VB\i
RKp I I d |\	в
B.33)
Здесь функция Уц (R) определяется формулой B.31), и поэтому,
как нетрудно проверить, Vj_ может быть представлена в виде
ыв i \ в
В =—-rotV,,	B.34)
где V|| = V||T. Таким образом, в целом движение ведущего центра
описывается уравнением
<Ж	V.	V,,
	_V = V +_J_rotV __J_B*	B.35)
dt	ыв	В
где мы ввели фиктивное магнитное поле
те I тс \
В*=В +	rot V= rot А +	V	B.36)
е	\	е	I
(А - векторный потенциал: В = rot A).
Так как v|B*, to траектории частиц, очевидно, совпадают с си-
силовыми линиями поля В*. Условие v||B* можно также представить
39

в виде уравнения
0= — [VB*],	B.37)
с
которое будем рассматривать как уравнение движения частицы
с нулевой массой в фиктивном поле В*. Так как вследствие соот-
соотношения B.36) этому полю можно приписать векторный потенциал
A*(R) = A + —V =A(R)+ V"(R) B(R),	B.38)
e
то уравнение B.37) можно также рассматривать как уравнение
Лагранжа
d dL* dL*
	.—	,	B.39)
dt d<{j d<]j
получаемое из лагранжиана
L*--— VA*(R)	B.40)
с
(здесь V = dR/dt), соответствующего заряженной частице с нулевой
массой*.
Если лагранжиан B.40) не зависите от какой-либо координаты
<7, то, как и в обычной механике, имеет место закон сохранения
соответствующего обобщенного импульса dL*/dq - const. Например,
в аксиально-симметричном полеЭ1*/Э <р= 0 имеем
dL*	I	У	\
——~ тА* (г, z) = г Др + -J- % = const,	B.41)
где Ф - азимутальный угол.
Задача 1. Показать, что при Е - rot В = 0 (постоянное магнитное поле в вакууме)
частица испытывает так называемый дрейф по бинормали:
Задача 2. Доказать справедливость соотношений B.16) и B.32).
* Эти результаты были получены АЛ. Морозовым и Л.С. Соловьевым.
40

§ 3. Проблема удержания частиц
Рассматривая плазму как совокупность отдельных частиц, естест-
естественно поставить вопрос: какие конфигурации полей Е и В могли
бы удерживать одну заряженную частицу в ограниченном объеме,
не допуская ее ухода на стенки камеры?
Рассмотрим вначале постоянное электрическое поле ? = -V(p,
потенциал которого Ф удовлетворяет, как известно, уравнению
Лапласа
52<р 52<р 3*<p
Аф	+	+	= 0.	C.1)
дх2 ду2 dz2
Потенциальная энергия частицы в таком поле равна V = еф, и
положение частицы было бы устойчивым, если бы она находилась
в точке, где U(x, у, z) минимально. В такой точке должны выпол-
выполняться условия
Uxx = ed2q>/dx2>0; [7^ = еЭ2ф/Эу > 0; u"z = ed2(f/dz2 > 0, C.2)
которые, очевидно, находятся в противоречии с уравнением Лап-
Лапласа C.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что U не может
иметь минимума где-либо внутри рассматриваемого объема и,
следовательно, электростатическое поле непригодно для
удержания плазмы.
Однако, оказывается, можно удержать плазму в быстроперемен-
ном поле, например в поле стоячих электромагнитных колебаний,
возбужденных в некотором объемном резонаторе. Движение частицы
описывается при этом уравнением
mi = еЕ_ (г, t) + — [vB. (r, t)],	C.3)
с
где волновые поля Е„ и В^ - величины одного порядка. Если огра-
ограничиться нерелятивистскими скоростями v/c <. 1, то магнитная
сила в уравнении C.3) будет мала по сравнению с электрической.
Поэтому, полагая, что r = R + p^HV = V + v^, где р~ и v^ = (L описы-
описывают дрожание частицы, вызванное колебаниями поля, можно это
уравнение представить в виде
m(V + v.) = eE^(R, t) + е (р~ V) Е. (R, t)+ — [(V + v_) В,. (R, t)].
C.4)
При этом, учитывая сказанное выше, мы оставили в разложении
41

B~ (R + р~) = В~ (R) + (р~ V) В- (R) лишь первый член. Усредняя это
уравнение по быстрым осцилляциям, получаем уравнение, описы-
описывающее движение частицы в среднем:
mV = е (р~ V) Е. (R, г) + — [v. В. (R, г)].	C.5)
с
При этом слагаемые в уравнении C.4), линейные по осцилляциям,
выпадают, а сами осцилляции в нулевом приближении описываются
уравнением
т\~ = /пр~ = еЕ~ (R, г),	C.6)
где R можно считать постоянным. Для стоячих колебаний можно
считать
Е~ (R, г) = Ео (R) sin Ш; В~ (R, г) = Во (R) cos of,	C.7)
1
причем, поскольку rot Е~ = - — дВ^/dt, амплитуды Ео (R) и Во (R)
с
будут связаны соотношением
B0(R)= — rotE0(R).	C.8)
и
Тогда, интегрируя уравнение C.6), можно найти
Р~ =	Е~ =	Ео (R) sin at; v^ = - -^—Ео (R) cos at.
ти2	ты2	ти	,, „..
Подставляя выражения C.9) и C.7) в уравнение C.5) и используя
соотношение C.8), окончательно получаем
"IV = - — {{(Ео V) Ео + [Ео rot Ео ]} = - — ЧЕ1 (R),	(ЗЛО)
2ты2	4ты2
что можно также представить в виде*
p = -Vf/,	C.11)
—ЕЦК).
4ты2
* Этот результат получен А. Гапоновым и М. Миллером.
42

Очевидно, величина U(R) может рассматриваться как эффектив-
эффективная потенциальная энергия частицы в поле стоячих волн и
положение частицы будет устойчиво, если она находится в точке,
где [/(R) минимальна, что соответствует узлам электрического
поля. Если колебания образованы суперпозицией нескольких волн
с разными частотами и амплитудами, то, как нетрудно проверить,
U будет являться суммой выражений вида C.11). Отметим также,
что в U входит е2, поэтому в узлах поля Е будут скапливаться
как положительные, так отрицательные частицы.
Поскольку создание высокочастотных полей с большой ампли-
амплитудой является сложной технической задачей, то наибольший
интерес представляют способы удержания частиц с помощью стацио-
стационарных магнитных полей.
Если электрическое поле отсутствует, что при дЪ/dt = 0 имеют
место законы сохранения энергии и адиабатического инварианта
Ц [см. выражение B.17)]:
mv m	mv2
	= — (v? + v?) = const; ц=	= const,
2	2	2?
из которых можно найти
v, = b2~JLB,
где v2 = const и J = v2 / В = const.
C.12)
C.13)
паке
Рис. 18. Траектория частицы в пробкотроне
43

Рассмотрим, например, аксиально-симметричнее поле, изобра-
изображенное на рис. 18. Двигаясь вдоль силовой линии, частица попа-
попадает в область сильного магнитного поля и ее продольная ско-
скорость Уд уменьшается вплоть до нуля в той точке, где В = v2/J1,
после чего частица движется в обратном направлении.
Таким образом, области с сильным магнитным полем являются
как бы магнитными пробками или зеркалами для частив и осно-
основанные на этом принципе термоядерные установки называются
пробкотронами (mirror-machine).
Пусть, например, в средней части установки, где поле минималь-
минимально, направление скорости частицы v образует угол а с направлением
магнитного поля (см. рис. 18), так что »j_/v = sin а. При этом J1 =
= v2/В = v2 sin2 а/5мин и из формулы C.13) имеем
v, = v v/l-sin2 а В ДОмин-	C.14)
Очевидно, частица сможет пройти через пробку, где поле макси-
максимально, лишь при условии
sin2 а	< 1 или sin а < }/виия/Вшке,	C.15)
вмин
и при заданном "пробочном отношении" BMaKC/BMm всегда можно
найти такие малые ос, что соответствующие частицы будут уходить
и в ловушке останутся лишь частицы, у которых
-+- > sin a = Jb^JB^.	C.16)
V
Однако в результате взаимных кулоновских столкновений, сопро-
сопровождающихся изменением скоростей, частицы попадают в опасный
конус направлений ос < оскр и уходят из ловушки.
Таким образом, изображенная на рис. 18 ловушка с магнитными
пробками может работать как термоядерная установка лишь при
условии, что время столкновения, сопровождающегося ядерной
реакцией синтеза, будет меньше времени кулоновского столкнове-
столкновения. Для этого необходимо, чтобы сечение ядерной реакции было
больше кулоновского сечения:
C.17)
44

Рис. 19. Антипробкотрон со встречными
магнитными полями
(A. * 15 - кулоновский логарифм). Так как размеры ядер (дейтерия
или трития) порядка 103 см, то ядерное сечение по порядку ве-
величины равно Ю~26 см2. Тогда из соотношения C.17) находим
минимальную температуру, при которой частица успеет вступить
в ядерную реакцию прежде, чем уйдет из ловушки:
кТ	¦==,	эрг~1МэВ.	C.18)
¦Уоя	10'13
Другим примером яляется ловушка, которую можно назвать
антипробкотроном, или ловушкой со встречными полями. Частица
движется в ней так, как условно изображено на рис. 19. Достоин-
Достоинствами такой системы являются слабое магнитное поле в центре,
что выгодно с точки зрения уменьшения потерь на магнитное из-
излучение, и форма силовых линий, обращенных выпуклостью внутрь,
что способствует устойчивости плазмы. Недостатком системы явля-
являются "щели", через которые возможен уход частиц. Например,
частица, вылетающая из центра строго вдоль оси 0z или по радиусу
в плоскости ху (см. рис. 19), очевидно, не удерживается ловушкой.
§ 4. Тороидальные ловушки
Чтобы исключить уход частиц вдоль силовых линий, естественно
попытаться замкнуть магнитное поле в тор. Ловушки с такой гео-
геометрией называются тороидальными (рис. 20).
В простейшем случае силовые линии будут окружностями,
вдоль которых магнитное поле постоянно и в соответствии с за-
<¦ 4л
коном циркуляции-д> ВЛ =	12 равно
В = Вш = 21/ст.
D.1)
45

Это поле, однако, совпадает с полем прямого провода, рассмотрен-
рассмотренным в § 1, и вследствие неоднородности В~1/г частицы в таком
поле будут испытывать уже известный нам тороидальный дрейф.
Предполагая, что Е = О, и оставляя в выражении для силы инерции
лишь центробежную силу B.25), из уравнения B.22) получим
D.2)
«кр
После этого из уравнений B.21) найдем скорость тороидального
дрейфа
у=+у2/2
] = Ъ-^		D.3)
еВ
(здесь йкр = г).
Этот дрейф направлен по бинормали b = [xn], и, следовательно,
положительные частицы в торе (см. рис. 20) будут двигаться вверх,
а отрицательные - вниз на стенки камеры. Если, однако, частиц
много, то картина усложнится, так как описанное разделение за-
зарядов приведет к возникновению электрического поля, направ-
направленного вниз параллельно оси, что, в свою очередь, в соответствии
с формулой электрического дрейфа V3JI = с [Ет]/В приведет к движению
плазменного сгустка (как целого) наружу по радиусу г (рис. 21).
На этом примере видно, что теория, основанная на рассмотрении
поведения одной частицы, еще недостаточна для описания поведе-
поведения плазмы как целого, так как относительное движение частиц
может приводить к возникновению так называемых самосогласо-
самосогласованных полей - электрического, вызываемого разделением зарядов,
и магнитного (для последнего необходимо, чтобы в плазме проте-
Рис. 20. Тор с продольным магнитным
полем
Рис. 21. Поляризация плазмы в то-
тороидальном магнитном поле
46

кали токи), которые, в свою очередь, будут влиять на движение
частиц.
Итак, мы видим, что в простейшем магнитном поле, свернутом
в тор, частицы в результате дрейфа уходят на стенки камеры. Этот
уход можно преодолеть, если каким-либо способом реализовать
в системе так называемое закручивание частиц вокруг продольной
оси.
Чтобы пояснить сущность этого явления, рассмотрим, например,
цилиндрический соленоид, вдоль оси которого расположен провод-
проводник с током It (рис. 22, а). Обмотка соленоида создает внутри него
продольное поле Во, а центральный проводник с током - азимуталь-
азимутальное поле Bj, так что силовые линии суммарного поля представляют
собсй винтовые линии с шагом h = 2пгВ0/В1, где г - радиус рассмат-
рассматриваемой спирали. Если пренебречь медленными поперечными
дрейфами, то частица, движущаяся вдоль силовой линии со ско-
скоростью v(|, будет вращаться по спирали вокруг оси с угловой частотой
ft = v(( BJryBl + Bf, что и означает закручивание.
Проектируя движение частицы на некоторое сечение ху, перпен-
перпендикулярное продольной оси системы, мы найдем, что движение
точки, изображающей проекцию частицы, описывается уравнениями
х = г cos Ш; у = г sin Qtwu, иначе,
дх	dy
¦=Qx,	D.4)
dt
dt
что соответствует движению по окружности с центром на оси.
Рис. 22. Схема установки "левитрон"
47

Свернем теперь указанный соленоид вместе с центральным
проводником в тор (рис. 22, б) и вновь рассмотрим движение точки,
изображающей проекцию частицы вдоль оси на некоторое сечение
ху. Если бы не было закручивания, эффект тороидальное™ приводил
бы, как показано ранее, к тороидальному дрейфу:
dx/dt=Vpp; dy/dt-Q.
D.5)
Складывая правые части уравнений D.4) и D.5), получаем,
что совместное действие тороидальности и закручивания может
быть описано уравнениями
дх
dy
гдр
dy
dt
D.6)
которые будут совпадать с увеличениями D.4), если вместо х и у
ввести новые переменные х'= х к у'= у - (V /Q). Это показывает,
что уравнениям D.6) соответствует движение по окружности, центр
которой, однако, смещен по оси у на величину А = V№/Q (рис. 23).
При отсутствии закручивания (Q = 0) имеем А -* °°, и частицы уходят
на стенки камеры.
Описанная тороидальная ловушка с проводящим стержнем
вдоль оси, несущим ток, получила название левитрон. Стержень
поддерживается подставками, которые быстро убирают, после
чего производят разряд, в течение которого (~10~3 с) стержень
практически не успевает сместиться под действием силы тяжести.
При этом плазма располагается цилиндрическим слоем вокруг
стержня, и такая конфигурация плазмы достаточно устойчива.
Недостатком такой ловушки являются примеси, летящие со стержня.
Роль стержня может играть сам плазменный шнур, если индук-
индукционным способом вызвать в нем продольный ток.
Закручивания частиц можно добиться и другими способами,
например деформируя тор с полем таким образом, чтобы продоль-
Рис. 23. Смещение орбиты частицы при наличии
"закручивания"
48

Сечение 2
Сечение 1
Рис. 24. Схема стелларатора типа "восьмерки"
ная ось не лежала в одной плоскости. Такие системы были названы
стеллараторами. На рис. 24 изображен стелларатор, имеющий вид
цифры 8. Следя по рисунку за стрелкой, нетрудно убедиться, что
при полном обходе системы силовая линия поворачивается
вокруг продольной оси на угол 4а, который принято называть
углом вращательного преобразования. При следующем обходе
получим еще 4а и т.д. Очевидно, если угол 4а не является рацио-
рациональной частью от 2л (т.е. 4а Ф 2пт/п, где т, п - целые числа), то
при бесконечном числе обходов системы одна и та же силовая
линия образует целую магнитную поверхность. Таким образом,
магнитное поле в такой установке имеет вид вложенных друг в
друга магнитных поверхностей (рис. 25), по которым навиты силовые
линии поля В. Другой разновидностью стелларатора является си-
система, которая будет рассмотрена нами в следующем параграфе
и в которой вращение силовых линий вокруг продольной оси до-
достигается путем использования особой винтовой обмотки.
В описанных выше тороидальных (или в случае стелларатора
типа "восьмерки" топологически эквивалентных тору) ловушках
закручивание частиц было обусловлено вращением вокруг продоль-
продольной оси силовых линий магнитного поля. Однако возможен и дру-
другой способ. Рассмотрим, например, тор с продольным полем В, вдоль
оси которого расположен заряженный стержень (рис. 26).
Радиальное электрическое поле стержня вызовет дрейф частиц
вокруг него со скоростью V, = с [Ет]/В. В^результате при одновре-
одновременном движении вдоль силовых линий со скоростью У|( частицы
будут двигаться по винтовым спиралям, как изображено на рис. 26,
что опять-таки может привести к компенсации тороидального
49

Рис. 25. Система "вложенных" магнитных Рис. 26. Тор с магнитным полем и заряжен-
поверхностей	ным круговым стержнем
Рис. 27. Тор с гофрированным магнитным полем
дрейфа. Такую систему трудно осуществить, так как частицы плазмы
быстро нейтрализуют заряд на стержне.
Более перспективными являются тороидальные ловушки,
где закручивание частиц достигается путем гофрирования продоль-
продольного поля тора (рис. 27). Одна секция такого тора имеет вид пробко-
трона, рассмотренного нами ранее в §3 (см. рис. 18), и в ней частица,
двигаясь по выпуклой силовой линии, испытывает дрейф по бинор-
бинормали b (см. рис. 27), скорость которого определяется формулой
D.3). Это опять-таки ведет к закручиванию частиц и возможности
компенсации тороидального дрейфа.
В последнее время были предложены весьма сложные системы,
где гофрировка продольного поля осуществляется последовательно
в двух взаимно перпендикулярных направлениях (рис. 28).
Как оказалось, при такой гофрировке можно ожидать лучшей
устойчивости плазмы, чем при гофрировке, аксиально-симмет-
аксиально-симметричной относительно продольной оси. Эта система также будет
рассмотрена нами в дальнейшем.

Рис. 28. Замкнутая система с двойной гоф-
гофрировкой магнитного поля
Резюмируя, можно сказать, что замкнутые ловушки, в которых
тороидальный дрейф компенсируется закручиванием частиц, тре-
требуют создания неоднородных полей с достаточно сложной геометри-
геометрией и низкой степенью симметрии.
Задача. Пользуясь дрейфовыми уравнениями и считая известным
4/ ЯГ{/ к*
7ill-
где fc2 =	—а; К (к) и Е (к) — полные эллиптические интегралы; R — радиус
4аг
кольца, определить траекторию частицы в плоскости тг для левитрона (см. рис. 22, б).
§ 5. Стелларатор с винтовой обмоткой
Спитцер установил, что вращение силовых линий вокруг про-
продольной оси тора, приводящее к закручиванию частиц и, следова-
следовательно, к компенсации тороидального дрейфа, может быть достигну-
достигнуто путем наложения на тор доголнительной бифилярной винто-
винтовой обмотки. Для простоты мы будем рассматривать прямой ци-
цилиндр, внутри которого создано поле, обладающее винтовой сим-
симметрией, предполагая, что последующее свертывание этого цилиндра
в тор достаточно большого радиуса не исказит заметным образом
структуру поля (рис. 29).
Магнитное поле в вакууме можно описывать скалярным потен-
потенциалом ф:
В = Уф; Аф = 0.	E.1)
Внутри цилиндра имеется однородное магнитное поле Bz = В0,
на которое накладывается дополнительное поле винтовой обмотки
с шагом /], поэтому можно написать
ф=В°г+ф1С,Ф,Д	E.2)
51

Рис. 29. Цилиндр с бифилярной винтовой обмоткой
причем
E.3)
Последнее соотношение выражает условие вин-
винтовой симметрии дополнительного поля. Так
как ij)j, очевидно, также удовлетворяет уравне-
уравнению Лапласа, то, введя обозначения
= 2n/h и
получим
гдт
дг
дг
д2
- fcz,
дг
E.4)
д2
г2дф2
дг2
эе2
E.5)
Решения этого уравнения имеют вид In (nfcr) sin пб (или cos пб), где
/п (пкг) - функции Бесселя от мнимого аргумента, так что в общем
случае винтовое поле с шагом, равным h, описывается потенциалом
п=1
sin лб,
E.6)
где Сп - постоянные.
Отдельная гармоника с номером л приближенно соответствует
полю 2л-заходной спирали с противоположными токами в соседних
проводах. По-видимому, наиболее подходящей является шести-
заходная спираль, соответствующая номеру гармоники л = 3. Основ-
Основное продольное поле В0 создается соленоидом с плотной намоткой,
который не изображен на рис. 29.
Рассмотрим, в частности, потенциал
ф = В°г +	BA)/n(nfcr)sinn9,	E.7)
пк
52

из которого для компонент поля получим выражения
Эф in I
Вт =	= F ' ln (nkr) sin п6;
дг
дф 1 m
Bw =	=	Bw L {nkr) cos ne;
Ф гЭср	кг
In (nkr) cos n9.	E.8)
E.9)
Силовые линии описываются уравнениями
dr	Вг dtp Вф
dz	Bz dz rBz
решив которые, мы смогли бы установить прокручивание силовых
линий вокруг оси z, которое при свертывании цилиндра в тор
могло бы привести к компенсации тороидального дрейфа частиц.
Покажем прежде всего, что в произвольном поле, описываемом
потенюиалом [см. равенства E.2), E.3)], т.е. обладающем винтовой
симметрией, существует интеграл магнитных поверхностей. В этом
случае поля зависят лишь от переменных г и 9 = (р - кг.
д	д	д
Вг =	Ф1 (г, 9)- Вш =	ф, (г, 6V ВГ=В° - к	ф, (г, 9). E.10)
дг	* гдв	98
В этих переменных уравнения силовых линий E.9) принимают
вид
Вг(г, 9) .	Вф(г, 8)
г =	; 9 = -fc+		E.11)
В2(г,в)	rBz(r, 9)
(здесь и далее точка сверху означает производную по z). Так как
сама координата z не входит в эти уравнения, то из E.11) можно
получить уравнение первого порядка для функции 9 (г)
d9(r) 8 -кгВг + Вф
-—- = —=	•	E.12)
dr r	rBr
Используя уравнения E.10), представим E.12) в виде уравнения
в полных дифференциалах:
E.13)
S3

Чтобы его проинтегрировать, введем функцию Ф(г, 8), такую, что
9
^i {г, е) =	Ф (г> 6). Поскольку
зе
д
Дфг(г,9)	Аф(г,9) = 0,	E.14)
Э8
мы можем считать, что функция Ф (г, 9), так же как и ф t (г, 8), удовлет-
удовлетворяет уравнению Лапласа E.5), из которого можно найти
/	1 \ Э2	д	д
-г[к2+ — \	Ф(г, 6) =	г	Ф(г, 9).	E.15)
\ г2/ дВ*	дг дг
Нетрудно убедиться, что уравнение E.13) можно в этом случае
представить в виде
Э / ЭФ \	д I к	ЭФ \
г	 d9+	 	BV + r	 dr=0	E.16)
\ дг I	дг \ 2	дг I
и, следовательно,
к	д
S(г, 9) =	¦В°г2 + г	Ф (г, 8) = const.	E.17)
2	дг
Это и есть интеграл магнитных поверхностей в поле с винтовой
симметрией. При выборе потенциала i|)t в виде одной гармоники
[см. формулу E.7)] имеем
ф,	БA)/_ (nfcr)sin п9	Ф (г, 6),	E.18)
пк	эе
откуда
Ф(г,8)-	„
п2к
Тогда уравнение E.17) имеет вид
S (г, 8)	В0 г2	Пп {nkr) cos n8 = const.	E.19)
2	п
Для случая п = 3 сечения этих магнитных поверхностей некоторой
плоскостью z = const приведены на рис. 30, из которых видно, что
вблизи центра магнитные поверхности образуют замкнутые полости,
а после некоторой предельной поверхности, называемой сепаратри-
54

Рис. 30. Структура магнитных поверхности!
в цилиндре
сой, уходят на стенки камеры. Очевидно, рабочим объемом, пригод-
пригодным для удержания плазмы, может служить лишь внутренняя
область сепаратрисы (заштрихована). При движении вдоль z вся
картина силовых линий поворачивается с периодом, равным шагу
обмотки h = 2л//с.
Для определения самих силовых линий следует решить уравнения
E.11), что можно сделать лишь численными методами. Однако при
е = В /В0 «с 1 решение можно искать в виде разложения по этому
малому параметру:
г (z) = г0 + ътх + ?2г2 + ...; в (z) = 80 + ?8t + ?282 + ...	E.20)
Используя выражения для полей E.8), найдем, что с точностью
до членов порядка е2 уравнения E.11) имеют вид
/п (x)Sin П0 +
1 - ein {x) cos пв
+ ?2/n (x) l'n (x) sin n8 cos n8;
•	г	ln (x) cos пв
kr2 1 - ein (x) cos пв
В	Ё
- -к +	In (x) cos n8 +	Pn (x) cos2n8.	E.21)
kr2	kr2
Здесь x = nkr. Подставляя сюда ряды E.20), для нулевого приближе-
приближения имеем
г = 0, 8 = - к, откуда r0 = const; 8 = - kz = const,	E.22)
55

что с учетом соотношения В = ф - kz соответствует прямым линиям
г0, ф0 = const. В первом приближении получаются уравнения
гх =/n(x)sin л0о;
9^-^-/п(жо)со$пво,	E.23)
к2
vo'
о
интегрируя которые, найдем
тх (z) =	^ (х0) cos п90 ;
кп
xl
/n(x0)sinn90,	E.24)
где обозначено х0 = пкг0. Наконец, для угла б во втором приближе-
приближении можно получить
1	cos n8	d In (х )
T2Uo)cos2ne0 " -
О	' 1 V /
кг2 "	к	dr	г2
О	0	0
кг2
d
	cosn6.	E.25)
Наибольший интерес для нас представляет средняя скорость
прокручивания силовых линий вокруг оси
Ф = /с + ё=?2§2.	E.26)
Здесь черта сверху означает усреднение по быстрым осцилляциям.
Подставляя в равенство E.25) выражения E.24) и учитывая, что
sin2 п80 = cos2 п90 = 1/2, найдем
Ф = е2
Ъ
did	\
= е2кп2-^ 	Рп(х)\,	E.27)
dxr \ dxr	I
где х = пкг0. При этом использовано уравнение для функций Бес-
/ \ '	'
селя 1 +	 1п (х) = 1п (х) +	1п (х). Используя разложение этих
\	х? I	х
56

0
Рис. 31. Перекрещенность силовых линий в стеллараторе
функций
E.28)
можно найти, что вблизи оси скорость прокручивания определяет-
определяется формулой
2п
¦[2(л-1)х'1П-'Чх'
E.29)
Можно видеть, что в то время как при п = 1 и п = 2 скорость про-
прокручивания (а следовательно, и шаг силовых линий h = 2л/ф) не
зависит от радиуса спирали г0, для л = 3 имеем ф ~ г%, что ведет к
перекрещенности силовых линий магнитного поля, которые в этом
случае имеют вид, изображенный на рис. 31.
Такая перекрещенность линий, как мы увидим в дальнейшем
(см. § 11), способствует стабилизации плазмы, и поэтому целесо-
целесообразно выбрать именно случай л = 3, который может быть создан
шестизаходной обмоткой с противоположными токами в соседних
проводах (см. ркс. 29). Случаи с большими значениями л менее удоб-
удобны, так как при увеличении л внутренний "рабочий" объем сепа-
сепаратрисы уменьшается (см. задачу).
Найденное выше прокручивание силовых линий вокруг оси
приводит, очевидно, к закручиванию частиц, что позволяет ком-
компенсировать тороидальный дрейф, возникающий при свертывании
цилиндра с полем в тор.
Задача. Определить расстояние от оси до ребер сепаратрисы [из условий dS/дг —
1 I \
- 35/39 = 0 находим — = 11	11п (х), где х - кпсеп. Далее
Е \	X2 I
E.28)].
используем разложение
57

§ 6. Адиабатические инварианты в дрейфовой теории
В конце § 4 мы уже упоминали, что закручивание частиц может
быть достигнуто также гофрировкой тороидального поля (см. рис. 27
и 28). Анализ движения частиц в возникающих при этом неоднород-
неоднородных полях можно упростить, если использовать так называемые
адиабатические инварианты. Этим термином называются величины,
которые приближенно остаются постоянными, если внешние условия
меняются достаточно медленно (адиабатически).
Если движение системы по какой-либо координате q носит финит-
финитный характер, т.е. сводится к колебанию или вращению, то такими
величинами являются интегралы
F.1)
гдеР- обобщенный импульс, соответствующий координате q.
Если частица удерживается магнитным полем, то движение по
всем трем степеням свободы (три координаты) имеет финитный
характер (т.е. конечно) и, следовательно, должны существовать
три адиабатических инварианта.
Медленность изменения внешних условий можно охарактери-
охарактеризовать малым параметром
е = ТВ/В « 1,	F.2)
где Г - период финитного движения; В - полная производная
магнитного поля по времени, так что величина ДВ = ТВ соответст-
соответствует изменению магнитного поля за один период.
Адиабатические инварианты F.1) не являются точными интегра-
интегралами движения, однако их производные по времени являются ве-
величинами второго или более высокого порядка малости по
й
	J*z2,	F.3)
dt
что и означает их приблизительное постоянство.
Как мы видели, движение частицы, удерживаемой в магнитном
поле, складывается из: а) ларморовского вращения вокруг силовой
линии, б) движения вдоль силовой линии, которое имеет вид ко-
колебаний от пробки к пробке в случае пробкотрона (см. рис. 18)
или сводится к обходу вдоль тора при магнитном поле, свернутом
в тор, и, наконец, в) дрейфа поперек силовой линии, который при-
приводит к закручиванию частиц вокруг продольной магнитной оси
58

системы. Этим трем финитным движениям соответствуют три адиаба-
адиабатических инварианта.
Покажем, что ларморовскому вращению соответствует инвариант-
инвариантность магнитного момента частицы ц [см. формулу B.13)], сохраняе-
сохраняемость которого в дрейфовом приближении уже была доказана нами
ранее в § 2 [см. формулу B.17)]. В самом деле, поскольку лагранжиан
частицы в электромагнитном поле имеет вид
mv2 e
L =	+ — vA - еф,	F.4)
2	с
где Ф и А - скалярный и векторный потенциалы, то обобщенный
импульс частицы равен
Ы	е
Р	= mv + —А.	F.5)
дУ	С
При этом обобщенной координатой, описывающей ларморовское
вращение, следует считать длину дуги ларморовской окружности
q = рф, р - ларморовский радиус. Тогда, пользуясь общей формулой
F.1), найдем
е
с
JL = <b /nv + — A pcftp = ту, 2лр +—q>Adq.	F.6)
Последний интеграл имеет вид циркуляции по замкнутому контуру,
и, поскольку rot A = В,
(знак минус возникает из-за левовинтового вращения частицы
относительно поля). Таким образом, учитывая, что р = v./(oB, имеем
mv2.	e	v2.	me mv2,
JL=—-2п	Вп—-—л	.——.	F.7)
ыв	с	ujj	e	В
Это отличается от выражения для ц = mv^/2B лишь постоянным
множителем.
Рассмотрим теперь движение вдоль силовой линии. Ему соответ-
соответствует инвариант
v||+ — AJdl.	F.8)
Продольную составляющую векторного потенциала всегда можно
59

считать равной нулю, А$ = 0, и, следовательно, при движении частицы
должна сохраняться величина
d/.	F.9)
В частном случае, когда магнитное поле постоянно во времени
и электрическое поле отсутствует, учитывая, что ve =
можно закон сохранения F.9) представить в виде
- v?
i>
l-
const,
F.10)
где к = vJ/Bv3 = ц/е (e = ту2/2 - энергия) также является постоянной.
Интеграл берется вдоль силовой линии между точками отражения
частицы от пробок в пробкотроне или по полному обходу тора
в тороидальной ловушке.
Третий адиабатический инвариант соответствует закручиванию
частиц вокруг магнитной оси. Если провести в каком-либо месте
плоскость, перпендикулярную магнитной оси, и проектировать
положение частицы в каждый момент времени на эту плоскость
вдоль силовых линий, то указанная проекция при закручивании
частицы будет двигаться по замкнутой кривой L , охватывающей
магнитную ось (рис. 32). Длина дуги этой кривой L и может быть
принята за координату, описывающую обход частицы вокруг маг-
магнитной оси. Тогда по общей формуле F.1) имеем
Л-
~ AjdL.
F.П)
Здесь можно пренебречь малой скоростью дрейфа Vj_, так как она
обусловлена неоднородностями поля В, которые в дрейфовом
приближении рассматриваются как малые величины (в то же время
не следует забывать, что именно эти неоднородности приводят
Проекция
частицы
Рис. 32. К выводу третьего адиабатического
инварианта

к закручиванию частиц). Тогда имеем
e
с
e	e
¦¦ — \ rotAdS = —
с J	с
(i)	I
BdS.
F.12)
Таким образом, третьим инвариантом является магнитный поток,
пронизывающий сечение поверхности, по которой дрейфует части-
частица вокруг магнитной оси при своем движении поперек силовых
линий.
Чтобы показать сохраняемость адиабатических инвариантов
F.1), рассмотрим для простоты систему с одной степенью свободы,
совершающую финитное движение. Если бы внешние условия не
менялись, то на фазовой плоскости р, q точка, изображающая со-
состояние системы, двигалась бы по замкнутому контуру р = p(q)
(рис. 33, а), определяемому уравнением Н(р, q) = E = const, в котором
гамильтониан Н(р, q) не зависит от времени. При медленном (адиа-
(адиабатическом) изменении внешних условий, чему соответствует
малость параметра (Г- период, Е- энергия)
Т . Т дН
е=—Е =
Б	Б dt
F.13)
гамильтониан Я (р, q, t) будет явно зависеть от времени. Движение
точки р, q при этом, вообще говоря, не будет замкнутым (рис. 33,6).
Однако контур, описываемый ею за один период, приближенно
можно рассматривать как замкнутый и считать, что он определяется
Рис. 33. Траектория частицы на фазовой плоскости р, q
61

уравнением
H(p,q,t) =
F.14)
в котором время t и энергия Е играют роль параметров. Закон со-
сохранения адиабатических инвариантов F.1) соответствует тому,
что площадь, охватываемая этим контуром,
J(E, t) = ttdpdq=kpdq,	F.15)
остается постоянной при движении системы. Для доказательства
рассмотрим полную производную этой площади
J{E,t)
dJ . dJ
? +
дЕ
at
F.16)
Здесь частная производная dJ/dE должна вычисляться при фик-
фиксированном t и поэтому представляет собой разность площадей
двух близких контуров К2 и Kt
деленную на б? -¦ 0 (рис. 34).
По определению градиента Vp>4 H{p, q) расстояние по нормали
между этими контурами определяется соотношением
ЬЕ
шт bEN=T—r-	F-17)
Поэтому
(ОС
где dK - элемент длины контура, и, следовательно, имеем
F.18)
дЕ
F.19)
Рис. 34. К выводу производной dJ/dE
62

Другая частная производная dj/dt в формуле F.16) должна вычис-
вычисляться при постоянном Е и, следовательно, представляет собой
скорость увеличения площади контура
H{p,q,t) = E = const	F.20)
при изменении t Так как составляющая градиента ЧН, параллельная
контуру, равна нулю, то скорость смещения элементов контура
в поперечном направлении С^ можно найти дифференцируя уравне-
уравнение F.20) по времени:
зя	эн/at
	+ С7Я= 0, откуда С. =	:—г-.	F.21)
dt	х	|vh|
Тогда получим
3/ Г	Г ЭН dK
LF.22)
C,dK	j
at I	J at |vh|
Однако из уравнений Гамильтониана р = -dH/dq и q = дН/др имеем
F.23)
что соответствует, очевидно, скорости перемещения точки р, q,
изображающей состояние системы вдоль контура. Следовательно,
отрезок контура dK эта точка пройдет за время dt = dK/Cv а весь
контур за период
Сравнение уравнений F.24) и F.19) показывает, что
— Г.	F.25)
ЭЕ
Аналогично, используя уравнение dH/dt = Е, для производной
dj/dt из формулы F.22) находим
dJ(E,t)
\	F.26)
dt
т
что соответствует приращению энергии за одив период. Подставляя
найденные значения частных производных в уравнение F.16),
63

имеем
}=ТЁ-АТЕФО,	F.27)
что, вообще говоря, не равно нулю. Однако для изменения площади
за полный период получим
т m	т
&TJ = T$Edt-/ATESdt=O,	F.28)
О	О
что и является выражением закона сохранения адиабатических
инвариантов.
Рассмотрим, наконец, каким образом условие сохранения про-
продольного инварианта в гофрированном поле приводит к закручива-
закручиванию частиц и, следовательно, к компенсации тороидального дрейфа.
В простейшем случае, когда электрическое поле отсутствует и
магнитное поле постоянно, имеем [см. формулу F.10)]
/,	F.29)
где / = ц/е - постоянный параметр. Условие сохранения /ц означает,
что частица движется по поверхности, на которой /й = const.
При отсутствии гофрировки свертывание однородного поля в
тор приводит к тому, что в сечении тора поверхность 7ц (х, у) имеет
вид, качественно изображенный на рис. 35.
Рис. 35. Поверхность /ц (х, у) при отсутствии гофрировки
64

Нетрудно видеть, что J, в этом случае зависит лишь от одной
координаты у, и поэтому траектория движения частицы, опреде-
определяемая уравнением /„ (у) = const, есть прямая линия у = const, по
которой частииа, очевидно, может уйти на стенки тора (это тороидаль-
тороидальный дрейф в чистом виде).
Если же на прямом цилиндре имеется аксиально-симметричная
гофрировка, то ^ будет зависеть от радиуса и может иметь вид
чаши, приблизительно показанной на рис. 36 слева.
Тогда свертывание поля в тор наклонит чашу к центру тора.
Траектория, определяемая уравнением /л {х, у) = const и имевшая
в цилиндре вид окружности, в торе несколько сместится и дефор-
деформируется, но по-прежнему будет иметь вид замкнутой кривой,
которая может не доходить до стенок камеры.
Очевидно, возможны и более сложные случаи зависимости J^ (r)
от радиуса в прямом цилиндре, один из которых изображен на рис. 37.
В этом случае при свертывании цилиндра в тор возможно появле-
появление траекторий, не охватывающих магнитную ось, но тем не менее
лежащих целиком внутри тора и не касающихся стенок камеры.
В дальнейшем мы увидим, что аксиально-симметричная гофриров-
гофрировка невыгодна с точки зрения устойчивости плазмы. Более перспек-
перспективными являются поля со сложной аксиально-несимметричной
гофрировкой. Пример такого поля изображен на рис. 28. В таком
Рис. 36. Поверхность 1,, (х, у) при наличии гофрировки поля
65

Рис. 37. Сложный случай поверхности /ц (х, у)
поле также могут иметь место закручивание частиц и компенсация
тороидального дрейфа.
Задача 1. Пользуясь /ц, определить смещение Aj"<P по азимуту (долготе) для косми-
космической частицы - электрона, захваченной магнитным полем Земли (диполь) за один
период Т продольного движения, если экваториальную плоскость частица проходит
на расстоянии двух земных радиусов (R = 6000 км), имея компоненты скорости Vy =
-тх-с/2.
Задача 2. Вычислить /ц вблизи оси для прямого гофрированного поля.
Задача 3. Определить изменение Ц для частицы, находящейся в однородном магнит-
магнитном поле, которое плавно возрастает от значения Во при t = —°° до Вд + АВ при t = + °° по
закону
Считать, что при t ¦ — °° частица вращалась со скоростью v0 по ларморовскои окружности
с центром в точке х = у = 0, и выбрать векторный потенциал в виде A = Ay = xB(t).
Решение. Определяя поля по формулам
rotA;B = -
с Зг
находим
-—xB(t).
с
Тогда уравнения движения принимают вид
е	е . е
тх = —yB(t); ту = — — хВ ——хВ; mi'=0.
с	ее
A)
B)
C)
бб

Последнее уравнение соответствует Уц = const и не представляет интереса. Интегрируя
второе уравнение, находим
у + х@ @ = const, где to = eB (t)/mc.	D)
Подставляя отсюда у в первое уравнение, получаем
х=уиг= cot [const - х@ (г)].	E)
Так как по условию при t = — °° поле В было постоянно и равнялось Во, а центр лармо-
ровской окружности находился в точке х = 0, то следует положить const = 0 (это не огра-
ограничивает общности).
Таким образом, для х = х (f) имеем линейное уравнение х + со2 (t) х » 0 или, учи-
учитывая конкретный вид поля В (t),
Г / 1 V *\1
х'+и2 1+ е+ —е2 1 + th— х=0,	F)
L \ 2 ' ^	т 'J
е
где to 0 = eBJ тс и е = АВ/В0. Обозначив также (Oj =	(Во + ДВ), приведем это урав-
тс
нение к виду
(l + e2t/T)x+(Q2e2t/T + co2)jc=0	G)
и после подстановки е = — z получим уравнение (— °° < z < 0)
d dx Г/ s0 Ь / ^ \а ]
(l-z)z	z	+ — - 	Ых = 0	(8)
dz dz L\ 2 ' \ 2 ' J
решение которого будем искать в виде линейной комбинации
где X» U) и х. W — два частных решения. Такой выбор диктуется следующими сооб-
соображениями. При (-* — °°, что соответствует z — 0, вращение по ларморовской окружности
должно описываться уравнением
-e e * ]z ' + 1	e - * '- 2
2i	'	\ 2i
где у^/Ыо — ларморовский радиус. Стоящие здесь коэффициенты следует приравнять
соответственно с* и с. и положить
±~So
X±W = z 2 F±U), причем F±@) = l.	A1)
Для фукций F+ (z) при этом получаются уравнения
z(l- z)Fl* [A ± п.) - A ± по)«] F'± - [\—J - (—) j F± - 0,	A2)
67

решениями которых, удовлетворяющими условию F. @) - 1, являются гипергеометри-
гипергеометрические функции F+ (ос+> р+, у+, z), где
i	Г
о); Р±	Ы ± so>. У+ " 1 * «о-	A3)
*	2
При z -» — оо, что соответствует г ¦*+°°, асимптотика этой функции имеет вид
Г(Т)Г(Р-о) _а r(Y)r(oc-P) _о
F{a P,V,z)=—	(_г) а +	-;(_z) P,	(U)
Г(Э)Г(-Р-О)
и поэтому для х (г) при (¦¦ + °° имеем
1
+ <=-г	'-«I,-..-** +c!z	,	A5)
где новые коэффициенты
Po	2
c>=	Г(±й,)(-1)
- 2i
-1Ф
A6)
Нетрудно убедиться, что при ы, = ы„ (поле не меняется) эти коэффициенты переходят
в прежние с+ (использовать Г @) = оо). Фигурирующие здесь гамма-функции удобно
записать в виде комплексных чисел
r(l + u)=|r(l+u)|el0(S\	A7)
где | r(l+ij)| •= jns/shns - модуль, а 5 (s) - аргумент. Тогда коэффициенты с+ можно
представить в виде	~
i
—е "(-1)
2i

.¦•to-»	. , ,±,
A8)
2
а для х(Щ*-ц.оо получаем
( / *0 + *l
jsh n
( \	2
где введены обозначения:
'0**1
1
sin(ult-(p0-60-61 + 26.)^	A9)
/	B0)
Это выражение можно также записать в виде
xtO-P.sinCu.t + cp^,	B1)
где <Pj — новая фаза. Тогда для нового ларморовского радиуса получаем выражение
B2)
где обозначено
s
л—2—— »sh лте~	— ];	B3)
2/1	тс I
теДВ
sh =sh|"
/ пхеАВ \
\ Ьпс I '
В условиях (о т»1иВ01» ДВможно пренебречь sh по сравнению с sht. Тогда
B4)
и для отношения магнитных моментов получаем

—ЛЫ„Т —Л(О,Т
° -е ' )».	B5)
отсюда видно, что при ют > 1 адиабатический инвариант ц = е. IB сохраняется с точ-
точностью до экспоненциально малых членов порядка ехр (-1/е), где е ~ Tnspvil *попя * !•
Этот результат имеет весьма общий характер и справедлив не только для рассмот-
рассмотренного здесь конкретного закона изменения поля, но и в любом случае плавно меняю-
меняющихся полей.
Нарушение адиабатического инварианта, когда Ац ~ ц, возможно лишь при условии
(от ~ 1, т.е. если поле существенно изменяется за время одного ларморовского периода.
§ 7. Сила Лоренца и ее магнитный аналог
Ранее в формуле A.1) мы просто постулировали выражение для
силы Лоренца, но в действительности оно нуждается в более строгом
обосновании, которое мы проделаем ниже. При этом для общности
будем считать, что частица обладает и электрическим зарядом
qe, и магнитным зарядом qm подобно "монополю Дирака", так что
на нее должны действовать две силы - сила Лоренца и ее магнит-
магнитный аналог. Чтобы получить выражения для этих двух сил, следует
проделать релятивистский расчет на основе формул специальной
теории относительности (СТО), показывающих, как преобразуются
различные величины при переходе от одной системы координат
к другой системе. Напомним, что при этом преобразуется и время
t, которое в движущихся системах течет не так, как в неподвижной
лабораторной системе.
Введем штрихованную систему координат t', x', у', z\ движу-
движущуюся вместе с частицей. В этой системе частица в данный момент
неподвижна, и здесь естественно считать, что на неподвижный
электрический заряд qe действует только электрическое поле Е', а
на неподвижный магнитный заряд qm действует только магнитное
поле В;, так что имеем уравнение движения
mdf'/dt'-qeE'+qmB',	G.1)
где Е, В - истинные поля в движущейся системе. В лабораторной
же системе, как можно ожидать, уравнение движения должно
иметь вид
dp/dt = Fe + Fm; Fe - qe E*; Fm - qm B*	G.2)
где p = mv/\/l - P2' - релятивистский импульс частицы, a Fe, Fm -
сила Лоренца и ее магнитный аналог, содержащие неизвестные

пока что действующие поля Е*, В*, связанные с истинными лабо-
лабораторными полями Е, В формулами, которые и требуется определить.
Далее мы покажем, что эти формулы имеют вид
Е* = Е + [ЭВ]; В* = В - [ЭЕ]; Э = т/с.	G.3)
Заметим, что величины Е* В* иногда называют полями в движущей-
движущейся системе, но такое название, вообще говоря, неправильно и при-
применимо только в нерелятивистском приближении.
Итак, строгий вывод силы Лоренца и попутно ее магнитного
аналога сводится к получению формул G.3), для чего следует про-
проделать правильный релятивистский переход от уравнения G.1)
к уравнению G.2) по правилам СТО. Эти правила заключаются в
том, что в СТО вводится четырехмерное пространство с координа-
координатами х° = ct, х1 = х; х2 = у, х3 = z, которые при переходе от одной
системы к другой преобразуются по формулам Лоренца
з
хП=1а[кхк.	G.4)
fc=0
Матрицу коэффициентов ocik можно найти из основного постулата
СТО, который сводится к утверждению, что комбинация, называемая
интервалом,
ds = AcdtJ - (dxJ - (dyJ - {dzJ' = Jgikdx dxk = cdt/y	G.5)
обязана быть одинаковой во всех системах координат, т.е. должна
являться скаляром, не меняющимся при преобразованиях Лоренца
G.4). Здесь V = A - Р2)'2, a g^ - метрический тензор, имеющий
ijfc
только диагональные элементы, равные gik = g = Diag A, -1, -1, -1).
Правила СТО требуют, чтобы любая "правильно построенная"
физическая величина являлась бы компонентой тензора того или
иного ранга. Например, производная и = dx /ds = (v, u = vP) является
четырехмерным вектором, т.е. тензором первого ранга, и преобра-
преобразуется по тем же формулам G.4), что и сами координаты х. Могут
ik
встречаться и двухиндексные величины типа Т , называемые
тензорами второго ранга, преобразующиеся по формулам
Г*-1 Z«im4nTmn.	G.6)
Индексы можно поднимать или опускать с помощью двух метричес-
ik
ких тензоров g,* = g , и при этом следует различать нижние кова-
71

риантные индексы и верхние контравариантные индексы. Вводится
также операция свертки, когда производится суммирование по
одинаковым нижнему и верхнему индексам. Существует, в част-
частности, ковариантный четырехмерный градиент с компонентами
д	д	д	д
•• '¦¦—¦• v*--3p7»-—;• G-7)
Наряду с ним можно построить и контравариантный четырехмер-
четырехмерный градиент
. .. / э	э	а	э \
cdt	dx	by	dz I
G.8)
Условимся, что суммирование по одинаковым верхнему и нижнему
индексам проводится без написания знака суммы. Если далее выра-
выразить поля через потенциалы
ЗА
B = rotA;E = -V<p	,	G.9)
то при подстановке этих выражений в уравнения Максвелла воз-
возникает так называемое уравнение калибровки потенциалов div A +
+ d(f/cdt = 0, которое в релятивистски-инвариантной форме следует
записать в виде \7,Л' = 0, введя при этом контравариантный 4-потен-
пиал А = (ф, А). Используя теперь контравариантный градиент
Не
G.8), составим антисимметричную по индексам комбинацию F =
i k	к i
= V А - V А , которая по своей конструкции является контрава-
риантным тензором и, следовательно, обязана преобразовываться
по формулам G.6), а кроме того, содержит в себе выражения G.9) для
полей, поскольку, как нетрудно убедиться, компоненты полей равны:
ЭФ	Э
Е=	A =VM°- 4°A1=F10; EV = F20; E=F30; G.10)
dx cdt	y
д	д
ду ' дг
= F13; В =F21.G.11)
Тем самым мы выяснили релятивистскую сущность всех интересую-
интересующих нас величин, входящих в уравнение G.1), и поэтому теперь
можем заняться его преобразованием к лабораторной системе. По-
Поскольку в уравнении G.1) частица не имеет скорости, так чтот' = 1,
удобно переписать это уравнение сначала в виде mc2du'/ds = qeE' +
72

+ qmB' и далее ввести продольные и поперечные по отношению к
скорости компоненты, записав два уравнения:
2
тс
ds
Преобразования Лоренца G.4) принимают наиболее простой вид,
если направить оси х и х' вдоль лабораторной скорости частицы v.
Тогда сама скорость будет иметь только х-компоненту v = v^ и фор-
формулы G.4) примут вид
Х'2 = х2 = у; X'3 = x3 = Zj	G.13)
где х° = ct, х1 = х. Условие неизменности интервала G.5) будет
выполнено, если (cdiJ - (dxJ =(cdtJ - (dxJ, что приводит к
соотношениям
аоо-а?о = 1, аи = аоо, aio = aoi, «2i=62, «3i=63.	G-14)
где Ьк - единичный символ Кронекера. Поскольку в нерелятивист-
нерелятивистском пределе преобразования Лоренца должны переходить в пре-
преобразования Галилея: t' = t, x' = х - \t, то в G.14) следует положить
аоо = V = A - Р2)'2, «10 = -u = -Pv. Тогда для левых частей урав-
уравнений G.12) найдем
c/ujj = Л4 = du'1 = а10 du° + at t du1 =
dUN
	!—, d\x'L = d\xl,	G.15)
и если ввести релятивистский импульс р = тси, то после "левых
преобразований" G.15) уравнения G.12) перепишутся в виде
Теперь следует преобразовать к лабораторной системе правые
части, где поля, как показано ранее, являются компонентами тен-
73

зоров G.10) - G.11) и, следовательно, преобразуются по формулам
G.6), которые дают
т,п
; ;	Z«3m«2ni^=Bx.	G.17)
т, п
Поперечные же компоненты полей преобразуются по формулам
типа
т,п
= I аоп рп = а00 F™ + «о1 f2i = v (Ey - Щ).	G.18)
n
Найдя аналогично и другие компоненты, можно убедиться, что
Ej-E,;B'-B,;Ei-Y (§+[?%; В^ = у (В- [рЁ]),	G.19)
и, подставляя эти выражения в G.16), окончательно получаем
уравнение G.2) с действующими полями G.3), что и дает силу Ло-
Лоренца и ее магнитный аналог, действующий на монопольный магнит-
магнитный заряд. Выражения G.3) для Е*и В* позволяют построить урав-
уравнения релятивистской магнитной газодинамики (см. § 19).
Глава 2
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ НИЗКОГО ДАВЛЕНИЯ
Наиболее важной в теории плазмы является проблема устойчи-
устойчивости. В гл. 1 было рассмотрено движение отдельной заряженной
частицы во внешних полях Е и В, которые предполагались заданными.
В действительности плазма состоит из многих частиц, которые,
обладая зарядами, сами могут создавать электрические и магнитные
поля. Поэтому действующее на отдельную частицу поле должно
быть самосогласованным, т.е. определяться и внешними источника-
источниками, и поведением самой плазмы. Обычно именно собственные поля
плазмы портят хорошо подобранные внешние поля и приводят к
утечке плазмы.
74

Безразмерным параметром, характеризующим роль плазмы в
создании суммарного самосогласованного поля, является отноше-
отношение давления плазмы ргаз = пГк магнитному давлению рмагн =
= В2/8л:
Ргаз
Рмагн
Если это отношение мало, т.е. Р <? 1, то в первом приближении
можно по-прежнему пренебрегать полями, создаваемыми токами
в самой плазме, т.е. считать, что магнитное поле определяется
внешними условиями. Такую плазму (Р <?¦ 1) принято называть
плазмой низкого давления. В настоящей главе рассмотрены системы,
в которых плазма с низким давлением может обладать определен-
определенным запасом устойчивости.
§ 8. Устойчивость плазмы в пробкотроне
Учет обстоятельства, что плазма состоит из многих ионов и
электронов, приводит к картине движения плазмы, отличающей-
отличающейся от той, которую можно было бы ожидать на основе поведения
отдельной частицы.
Рассмотрим для определенности систему пробкотрона и иссле-
исследуем поведение плазмы, заполняющей некоторую магнитную
силовую трубку Т (рис. 38).
Предположим, что в некоторый начальный момент времени
t = О электроны и ионы в одинаковом числе распределены по объему
указанной трубки, а вне ее плазма отсутствует (рис. 38, о). Посколь-
Поскольку заряды скомпенсированы, электрическое поле равно нулю.
Как показано в гл. 1, каждая частица будет при этом испытывать
эл.др
x	У Ч	у
a)	S)	в)
Рис. 38. Схема разделения зарядов в пробкотроне
75

дрейф по бинормали со скоростью, определяемой формулой D.3):
(8.1)
КР
причем ионы будут двигаться по бинормали, а электроны, облада-
обладающие отрицательным зарядом qe = - \ е |, против бинормали. Такое
движение ведет к разделению зарядов и появлению электрического
поля, направленного против бинормали (рис. 38, б). Теперь
уже частицы (и ионы, и электроны) будут испытывать элект-
электрический дрейф, направленный, как видно из рис. 38, в, наружу
от оси системы.
Таким образом, указанная трубка с плазмой в целом будет
двигаться в сторону выпуклости силовых линий, т.е. в область
более слабого магнитного поля. В конечном счете этот эффект
можно рассматривать как проявление диамагнетизма плазмы,
приводящего к выталкиванию плазмы из области сильного магнит-
магнитного поля в область слабого поля. Аналогичная картина движения
плазмы должна наблюдаться и в тороидальной геометрии (рис. 39),
где тороидальный дрейф, описываемый той же формулой (8.1), при-
приводит к такому же эффекту.
Таким образом, рассмотренные плазменные конфигурации явля-
являются неустойчивыми; в них плазма выталкивается на стенки камеры,
где магнитное поле слабее, чем в центре. Такую неустойчивость
принято называть желобковой, конвективной или перестановочной
(inter-change), хотя, возможно, правильнее называть ее просто диа-
диамагнитной неустойчивостью.
Для борьбы с этой неустойчивостью можно попытаться создать
систему, где магнитное поле было бы слабым в центре и возрастало
к периферии. Этому требованию удовлетворяет система типа анти-
пробкотрона со встречными полями, изображенная на рис. 40.
Рис. 39. Схема разделения зарядов в юре
Рис. 40. Антипробкотрон
76

Однако ее недостатком является наличие центральной области
с нулевым магнитным полем, проходя через которую частицы как
бы "забывают" о своем адиабатическом инварианте J1= r\ IB, что
облегчает их уход через магнитные пробки на концах оси и в плос-
плоскости экватора системы.
Возникает вопрос: нельзя ли создать систему, где магнитное
поле было бы минимальным (но не равным нулю) в некоторой об-
области и возрастало бы по всем направлениям от центра этой облас-
области? Требуемым условиям удовлетворяет пробкотрон, вокруг ко-
которого параллельно оси расположены стержни; направление токов
в соседних стержнях чередуется. Рассмотрим простейший вариант
такой установки с четырьмя стержнями (рис. 41).
Нетрудно увидеть, что центр такой системы действительно об-
обладает требуемыми свойствами. В самом деле, вдоль оси поле
возрастает в обе стороны от центра по направлению к пробкам, а
в центральной плоскости, где z = О, оно возрастает (если ток в стерж-
стержнях превосходит некоторый определенный предел) по радиусу
от центра к периферии вследствие приближения к стержням (более
подробно это показано в § 10). Эксперименты показали, что плазма в
подобной системе действительно не проявляет неустойчивости,
если ее плотность достаточно мала (Р ~ 10~3).
Для того чтобы установить количественный критерий устойчи-
устойчивости плазмы в подобных системах, рассмотрим переход магнитной
силовой трубки из начального положения I в положение II, более
удаленное от оси системы (рис. 42).
По отношению к времени пролета частицы между точками отра-
отражения Гц = jcf//vtt такой переход можно рассматривать как сравни-
сравнительно медленный, и поэтому продольный адиабатический инва-
инвариант
Рис. 41. Пробкотрон со стабилизирующими Рис. 42. Конвективное всплывание сило-
стержнями с токами	вой трубки
77

должен сохраняться:
Sv2-7.6B	\
(8.2)
Здесь ^ = v?/B - поперечный адиабатический инвариант, который
также следует считать постоянным. Умножив равенство (8.2) на
массу частицы т и поделив на период Гц, можно найти приращение
энергии частицы при указанном переходе:
бе*
ldl/y
dl	m Г/ 7,6В
(8-3)
Полагая, что Р = 8лр/В2 « 1,и пренебрегая токами в самой плаз-
плазме, можно считать, что магнитное поле, как для вакуума, удовлет-
удовлетворяет уравнению rot В = 0, откуда следует, что
0.	(8.4)
Выражая отсюда &dl, можно формулу (8.3) представить в виде
Здесь fig = Вц - Bj - приращение магнитного поля на внешней си-
силовой линии II по сравнению с первоначальной линией /. Как это
следует из вывода соотношения (8.4), сравнимые точки должны
располагаться на перпендикуляре к силовым линиям / и II, которые
считаются достаточно близкими друг к другу. Иными словами,
ЬВ = sV|b|, где s 1 В. Так как частица не может в постоянном маг-
магнитном поле получить откуда-либо избыточную энергию, то, оче-
очевидно, условием устойчивости и будет требование бе > 0, которое
выполняется, если
Л \ dl
1 	>0.	(8.6)
&в
Здесь интеграл берется между точками отражения частицы, движу-
движущейся по линии /, причем энергия частицы е = mv2/2 и инвариант
ц = т\2^/2В считаются заданными. Если в плазме, заполняющей
нашу силовую трубку, имеется JV частиц с различными значениями
е и ц, то условие устойчивости можно записать в виде
2 вё) > 0,	(8.7)
1=1
7R

где сумма берется по всем частицам в трубке
(8.8)
Очевидно, группа частиц dNt^ = F(e, \i)dtd\i имеет практически
одинаковые точки отражения на линии /, и для каждой частицы
этой группы отношение
dt	dl/v.
	=	V— = dK> (О
можно рассматривать как вероятность пребывания частицы на от-
отрезке dl. Тогда произведение dA'? dh:t {!) есть число частиц
на длине dl силовой трубки в положении /, причем dN ( не зависит
от I. Поскольку формулу (8.5) можно записать в виде
ьв
В \ " 2 / Г.
&в
в
то для приращения энергии всех JV частиц, заполняющих трубку,
имеем
N _ Г _	f &B	\
U	ij	(8.9)
Между тем произведение dNCil dWt^ (I) можно выразить с помощью
обычной функции распределения частиц по скоростям f(t, г, у).
Если известна такая функция, то величина dN -¦ Idrdv есть число
частиц в объеме dr = dV со скоростями, лежащими в элементе dv
скоростного пространства. Таким образом,
dl
*VE,n dh>t>il {l) = fdVd\= {BdS)	fdv.
И
Магнитный поток d$ = BdS, пронизывающий магнитную трубку,
постоянен вдоль трубки, и поэтому уравнение (8.9) можно записать
в виде
N		Г ЬВ
I 6е.=с?Ф 	dl
1-1	В
2
mvl +—- /d?.	(8.10)
Последний интеграл здесь можно связать с давлением плазмы.
В магнитном поле давление плазмы в разных направлениях может
быть различным и пспому в общем случае должно описываться

тензором давления
РХу
Pik = Pyx Pyy Pyz	.	(8.П)
lyx *yy
PXy
компоненты которого связаны с функцией распределения соотно-
соотношением
Р1к = $ту,ук/ат.	(8.12)
Если распределение сферически симметрично /(v) = /(|v|), то,
очевидно, Р(к = 0 при i + к, а все диагональные элементы равны
друг другу. Такой тензор, следовательно, имеет вид
О	0\
Р	0 =р6,.ь	(8.13)
О	р/
где
О гФк.
Если свернуть этот тензор (по двум одинаковым индексам подра-
подразумевается суммирование от 1 до 3), то, учитывая, что б„ = 3, найдем
1	2 Г mv2	2
р = — Ри = —\	Ids	п<е>,
3	3 J 2	3
Г 1
где п = Ifdv - плотность частиц, а (е> = A/п) I	mv2/dv - средняя
J 2
энергия частиц. Например, для максвелловского распределения
, 3/2
т \
2лГ/	\ 2Г
имеем < е > = — Т, и поэтому для давления имеет место обычная
формула р = пТ. Если распределение сферически несимметрично:
/ = Z(vn» vj_)j то, направив ось z вдоль магнитного поля и учитывая
быстрое вращение частиц вокруг направления поля, можно видеть,

что тензор давления в замагниченнои плазме должен иметь вид
/Pi 0 0
Л*-И PiO
\0 0 р,
где
1	Г т*	(8Л4)
Pl= — (PxX + Pyy) =
Таким образом, интеграл, фигурирующий в выражении (8.10), равен
(8.15)
Опуская в выражении (8.10) несущественный положительный
множитель d<$, можно, следовательно, условие устойчивости 2 6е, >
i
> 0 записать в виде
Г &В
	(р, + р,)Д>0.	(8.16)
Здесь, как уже отмечалось, ЬВ = sV | В J и s 1 В, так что ЬВ есть
приращение поля на соседней (внешней) силовой линии, причем
сравниваемые точки расположены на перпендикуляре к силовой
линии, а интеграл берется по области, где р„ + р± * 0, т.е. по всей
области, занимаемой плазмой.
С помощью критерия (8.16) можно количественно исследовать
устойчивость плазмы в системах типа пробкотрона со стабилизирую-
стабилизирующими стержнями. Бхли такие стержни отсутствуют и поле пробко-
трока является аксиально-симметричным, то
65 = sV5 = (sn)	=	[B2nr{sn)].	(8.17)
«кр «кр2"»-
Здесь п - нормаль к силовой линии, направленная к центру кри-
кривизны: RK - радиус кривизны линии; г - расстояние силовой линии
от оси пробкотрона.
81

Рис. 43. К выводу критерия (8.18)
Условимся считать, что Дкр > 0 на вогнутом и RKp < 0 на выпуклом
участке силовой линии (рис. 43). Тогда sn есть расстояние по пер-
перпендикуляру между двумя близкими силовыми линиями, а ве-
величина
d<I> = .B2nr(sn)
есть магнитный поток, заключенный между двумя магнитными
поверхностями, на которых расположены эти линии. Так как 6Ф не
зависит от /, то, вынося его из-под интеграла в неравенстве (8.16)
и опуская, получаем критерий устойчивости для аксиально-сим-
аксиально-симметричного пробкотрона
dl > 0.	(8.18)
Если, в частности, плазма располагается лишь на выпуклых
участках силовых линий, для которых Якр < 0, то такая конфигура-
конфигурация будет неустойчива.
В § Ц критерий (8.16) будет использован нами для анализа устой-
устойчивости плазмы в аксиально-несимметричном поле пробкотрона
со стабилизирующими стержнями.
Задача 1. Вычислить 1/Дкр при В = Во A + гг11г).
Задача 2. Вычислить P«+P\~f (г) для плазмы, состоящей из частиц с одинаковыми
значениями е и ц, принимая параболическую аппроксимацию для поля на оси.
§ 9. Условие "минимума В" для замкнутых систем
Незамкнутые системы типа пробкотрона обладают тем принци-
принципиальным недостатком, что в иих возможен уход частиц через
пробки вдоль магнитных силовых линий. Для такого ухода, как
мы уже видели в гл. 1, продольная компонента скорости должна
быть больше критического значения, определяемого соотношением
v2	v2	В
_A-=1__l_<__^L = sin2a.	(9Л)
V	у	В
82

Функция распределения остающихся - "запертых" - частиц по
скоростям должна, следовательно, иметь вид, изображенный на
рис. 44. В качестве модели обычно считается, что эта функция имеет
вид так называемого максвелловского распределения с вырезанным
конусом:
/м-
Cexpl-
0
2Г
при
при
(9.2)
Однако взаимные столкновения частиц стремятся восстановить
истинное сферически-симметричное максвелловское распределение,
обладающее, как известно, наибольшей энтропией. Поэтому рас-
распределение с вырезанным конусом не является стационарным:
время от времени частицы в результате столкновений будут при-
приобретать скорости, лежащие в опасном конусе, и уходить из сис-
системы.
Более перспективными являются замкнутые системы типа
тороидальной ловушки. Рассмотрим устойчивость плазмы в таких
системах. Очевидно, критерий (8.16), для выводе которого необ-
необходимо лишь использовать сохранение продольного инварианта
•^и - 5v(| dl = const, остается в силе и для замкнутых систем, однако
он допускает существенное упрощение. В таких системах можно
считать распределение частиц по скоростям сферически-симметрич-
сферически-симметричным, для которого, как мы видели [см. формулу (8.13)],
„=р =р = —п<е).	(9.3)
Кроме того, давление в этом случае должно быть постоянным
вдоль силовой линии. Это следует из того, что в состоянии равно-
равновесия градиент давления Vp должен уравновешиваться электро-
1
магнитной силой— [jB], действующей на единичный объем плазмы,
Рис. 44. Распределение по скоростям с "вы-
"вырезанным конусом"
83

так что уравнение равновесия изотропной плазмы должно иметь
вид
(более детально уравнение равновесия будет рассмотрено в гл. 3).
Отсюда следует, что
BVp = Вдр/dl = О, т.е. р (/) = const.
Используя указанные обстоятельства (которые не имеют места
в общем случае анизотропного распределения), можно вообще
опустить давление в критерии (8.16), который, таким образом, для
замкнутых систем принимает вид
6В
	d/>0.	(9.4)
в2
Учитывая далее, что б (Bdl) = 0 [см. формулу (8.4)], нетрудно убедить-
убедиться, что это эквивалентно условию
bid\/B < 0.	(9.5)
Иными словами, при удалении от оси системы должен убывать
интеграл
dl Г dldS 1 Г 6V
	= (к	= 	<USd/ =	sy>	(96)
В J BdS	jMS ]	!Ф	У '
который можно рассматривать как производную от объема силовой
трубки б У = id У по пронизывающему ее магнитному потоку 6Ф =
= §BdS. Интеграл §dl/B иногда называют для краткости удельным
объемом.
Очевидно, условие убывания интеграла §dl/B в предельном
смысле соответствует требованию возрастания "в среднем" магнит-
магнитного поля к периферии системы, которое, как мы убедились в на-
начале § 8, ведет к устранению диамагнитной (конвективной или
перестановочной) неустойчивости плазмы.
Системы, удовлетворяющие условию (9.5), принято поэтому
называть конфигурациями с минимумом В, хотя истинный минимум
магнитного поля на оси в них и не достигается.
В самом деле, рассмотрим для простоты бесконечную систему
(которую можно рассматривать как модель замкнутой системы)
с магнитной осью в виде прямой линии, причем эта ось сама явля-
84

ется силовой линией. Для того чтобы на оси магнитное поле было
меньше, чем на периферии, магнитные силовые линии должны быть
всюду обращены выпуклостью к оси; в этом случае мы получаем
конфигурацию, изображенную на рис. 45. В такой системе обяза-
обязательно имеются участки, где силовые линии уходят далеко от оси
(в принципе в бесконечность), что, конечно, затрудняет эффективное
удержание плазмы. Если же соседние с осью силовые линии идут
всюду близко к оси (рис. 46), то они, очевидно, не могут быть везде
обращены к ней своей выпуклостью. Здесь вогнутые участки, для
которых В на оси минимально, чередуются с выпуклыми, для ко-
которых, наоборот, В максимально.
Итак, мы видим, что невозможно создать систему, в которой
магнитное поле на некоторой силовой линии было бы меньше, чем
на соседних с ней силовых линиях, если эти соседние линии всюду
располагаются близко к оси.
Из критерия (9.5) следует, однако, что указанное жесткое требо-
требование возрастания В к периферии не является необходимым; для
устойчивости достаточно удовлетворить более мягкому условию
убывания ldl/В. Физически это объясняется тем, что частица, быст-
быстро летящая вдоль силовой линии, как бы успевает "прочувствовать"
и хорошие участки, где В возрастает к периферии (соответственно
1/5 - убывает), и плохие, где В убывает, а 1/5 возрастает. Результи-
Результирующий эффект - характер поведения интеграла I dl/B - зависит
от относительного вклада этих участков и может быть благоприят-
благоприятным, даже если силовые линии обладают переменной кривизной,
как это изображено на рис. 46.
Однако задача создания систем, удовлетворяющих условию
минимума В (9.5), отнюдь не является простой. Покажем, например,
что это условие не удовлетворяется в аксиально-симметричном
поле, осью которого является прямая силовая линия. Такую систему
можно рассматривать как периодически продолженный пробкотрон.
Направив ось z вдоль оси системы, из уравнений для силовых линий
прежде всего имеем dl/B = dz/Bz. Полагая далее Bz = Во (z) + &Вг,
Рис. 45. Система последовательных анти-
пробкотронов
Рис. 46. Система последовательных проб-
котронов
85

где Во (z) - поле на самой оси, а &Вг _ малая поправка, получаем
Здесь можно считать, что интеграл берется по одному периоду
поля. Для определения &BZ воспользуемся тем, что для поля в
вакууме скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению
1 Э	Эф	1 Э2ф 32ф
Лапласа — •	т	+	•	+	= 0, вблизи оси должен
г дг	дг	г Эф2 dr
иметь вид
ф (г, *)-$В0 (z)d*- — Bo(z)r2 + 0(r4)	(9.8)
4
и поэтому Bz = Зф/dz =В0 (z)	Во (z) г2. Уравнение силовой линии
г = t(z) можно найти из условия сохранения магнитного потока
Во {z)nr2 (z) = const = Во (О)лг2,. Таким образом, имеем
б^1г=г« = " -В'о& Л Во @)/Во W,	(9.9)
и формула (9.7) приобретает вид
dl Г dz Вв@)Г<«
\g\	dz
В )B0(z)	4	J
или после интегрирования по частям
Г	dz	3
(9ЛО)
Как видим, здесь поправка ~г§, всегда положительная, и поэтому
ldl/В возрастает к периферии, что ведет к неустойчивости плазмы
в аксиально-симметричном поле, представляющем собой периоди-
периодически продолженную пробочную геометрию.
Примеры аксиально-несимметричных систем, удовлетворяющих
условию минимума В, будут рассмотрены нами в следующих пара-
параграфах.
Принимая во внимание важность критерия &§dl/B, полезно
рассмотреть другой метод вывода, сделанный на основе гидроди-
гидродинамических представлений. При этом мы будем считать, что плазма
представляет собой идеально проводящую среду (газ), давление
8б

которой подчиняется закону адиабаты pVy = const, где V - неко-
некоторый выделенный объем, а у = cp/cv - показатель адиабаты.
Предположим, что силовые линии в нашей системе являются
замкнутыми, и выделим некоторую магнитную силовую трубку
(рис. 47). Если р, - давление газа внутри трубки, а ре - снаружи,
то в равновесии, очевидно, р, = ре. Объем трубки можно представить
в виде
V'ldSdl-Ф^Ш/В,	(9.11)
причем Ф = §BdS есть магнитный поток, пронизывающий трубку,
и по определению он постоянен по ее длине. Предположим теперь,
что эта трубка сместилась. Если проводимость среды бесконечно
велика, то в такой среде в системе координат, движущейся вместе
с ней, не могут возникать электрические поля и ЭДС индукции по
контуру К, охватывающему поперечное сечение трубки, должна
равняться нулю. Следовательно, при перемещении трубки магнит-
магнитный поток Ф должен сохраняться. Если ввести обозначение J =
= ldl/В, то из формулы (9.11) видно, что при смещениях объем
трубки изменяется пропорционально J, т.е. У = const J. Предположим,
что объем трубки увеличился на б У > 0 и стал равен У + б У, причем
6 У/У =67/7.	(9.12)
При этом давление газа внутри трубки уменьшится на величину
бр, < 0, определяемую адиабатой
bPi = -yPi&V/V = -yPi&J/J.	(9.13)
в то же время в новом положении давление окружающей среды
станет равным ре + бре.
Ре
Рис. 47. К выводу критерия конвективной
устойчивости
—	*
87

Очевидно, плазма будет устойчива относительно подобных
виртуальных перемещений отдельных труб, если бр,- < 6ре, посколь-
поскольку в этом случае избыточное давление внешней среды стремится
сжать трубку, препятствуя ее дальнейшему расширению. Таким
образом, для устойчивости необходимо, чтобы
(9.14)
или иначе
(9.15)
При р -¦ 0, что соответствует Р = 8лр/б2 -¦ 0, справа имеем нуль,
и для устойчивости необходимо, чтобы слева была отрицательная
величина. Если давление плазмы спадает от центра к периферии
(бр < 0), то имеем условие устойчивости (9.5)
0,	(9.16)
которое и было получено нами ранее.
Однако в таком виде это условие можно применять лишь для
систем, где магнитные силовые линии сами замыкаются, что, вооб-
вообще говоря, не имеет места.
Для того чтобы распространить критерий bldl/B < 0 на системы
с незамкнутыми силовыми линиями, рассмотрим более детально
структуру замкнутых плазменных систем.
Если плазменный шнур располагается вблизи оси системы так,
что давление плазмы р спадает к периферии, то, очевидно, поверх-
поверхности постоянного давления р = const образуют совокупность вложен-
вложенных друг в друга трубок, как это изображено на рис. 48. Из уравне-
уравнения равновесия
1
Vp	[jB]
следует
(9.17)
(9.18)
Рис. 48. Равновесная плазменная система

и поскольку градиент давления Vp направлен по нормали N к по-
поверхности р = const, Bjy = jw = 0. Иными словами, магнитные силовые
линии В и линии тока j лежат на поверхности постоянного давления,
которая, таким образом, является в то же время магнитной поверх-
поверхностью и токовой поверхностью.
Очевидно, в общем случае силовые линии, лежащие на этой
поверхности, не замыкаются сами на себя после обхода вдоль всей
системы.
При такой ситуации величину
7 =
й\
1
¦\dSdl = -
6v
~6Ф~
следует рассматривать как производную от объема У, заключенного
внутри некоторой магнитной поверхности р = const, по пронизыва-
пронизывающему ее продольному магнитному потоку Ф. С учетом этого за-
замечания критерий устойчивости (9.16) в пределе Р -* 0 можно пред-
представить в виде
б Уф = Уф 6Ф < 0 или Уф < 0.
(9.19)
Если же мы хотим учесть конечность давления плазмы 1 » Р ?= 0,
то следует воспользоваться критерием (9.15), который в этом случае
принимает вид
-РФ
или _
Уф
(9.20)
Задача. Пользуясь критерием 6§dl/B < 0, определить условия устойчивости плазмы
в системе, изображенной на рис. 49 и состоящей из однородного поля В° = const, направ-
направленного по оси z, и проволочных крестовин, периодически расположенных вдоль оси
z. Каждая крестовина состоит из двух пар бесконечных прямых проводов, расположен-
расположенных на расстоянии 2в друг от друга, причем по одной паре текут токи lt, усиливающие
основное поле В°, а по другой паре токи /., ослабляющие В". Соседние крестовины
повернуты на 90° относительно друг друга.
Рис. 49. Система последовательных крес-
крестовин с токами
1*1
•
/
/
и
А
/
/
у
X
V
/
V
А
2
89

Решение. Поле бесконечного прямого провода равно By = 21/ст, и, как нетрудно ви-
видеть из рис. 50, пара проводов, параллельных оси у, с токами /+ создает поле
	яп а	sma -
с,	сг3	с \ z2 + (a-xJ
By = 0;
A)
"¦
¦ cos a1
-cosa2
с
e + x
Учитывая вторую пару проводов с токами /_ (ее поле получается из уравнений A) пу-
путем замены х ¦* у, It ¦* 1_, где / > 0) и принимая во внимание постоянную составляющую
В0, нетрудно убедиться, что при малых х, у поле вблизи одной крестовины можно
представить в виде
1+р ,	1-р ,
1	/ 1+Р
2	I 2
2
1-р
B)
Здесь р = (It +!_)/(!. -1_) > 1, а величина
-
с г2 + ва
C)
соответствует полю на оси х-у = 0. Будем считать, что крестовины расположены настоль-
настолько далеко друг от друга, что их взаимным влиянием можно пренебречь и вычислять
их вклады в интеграл J = J dl/B независимо. Вводя пробочное отношение
в
макс
"мин
В0
D)
E)
Тогда нетрудно проверить, что в первом приближении по х и у уравнения силовых
линий	,
dx(z) Вх	1+р b'0{z)
запишем поле на оси [см. формулу C)] в виде BQ {z) = В° р (г), где
м2-1 \2+(z/aJ
Р (z) = 1 +
dz
В,
2
i-p
	«-у
В2	2
F)
Рис. 50. Магнитное поле пары бесконечных
прямых проводов

имеют интегралы
1+р	1-р
х(г) = ХооР 2 ;у(г) = у„Р 2 .	G)
Полагая в соответствии с формулой B) Bz = Bg B) + 6В2, рассмотрим величину
dl Г	dz	Г dz Г dz
	\	\	\	6BZ.	(8)
В J В0(г) + 6Вг J BB(z) J Bj(z)
Для устойчивости необходимо, чтобы поправка
dz	1
была отрицательна. Подставляя сюда х (z) и у (z) из формулы G) и преобразуя интегра-
интегралы по частям, запишем эту величину в виде
бУ = х5,Р.+у?,?_,	A0)
где (t = z/a)
+00 „
1+р Г ${t)dt
A±р)C±р) "
Так как по условию р > 1, то по крайней мере коэффициент ?+ будет положителен, что
приведет к неустойчивости. Таким образом, одна крестовина не может обеспечить ус-
устойчивость системы.
Если, однако, в системе имеется вторая крестовина, повернутая относительно пер-
первой на 90°, то ее вклад составит величину [ср. с выражением A0)]
&J2 = xi,P_ + yi,Pt	A2)
и вместе с A0) в результате получится
ej-6/1 + 6/a = (xi+yS,)(^ + i'.).	A3)
Тогда для устойчивости необходимо условие
Второй член под интегралом отрицателен при 1 < р < 3.
Пусть, например, р = 2. Тогда с учетом формулы E) находим
Г° t2dt [ I г2 + 1 \ I t* + v2 \)
Р = const \ 	J15 	 - 	 (,	A5)
91

где
(v3-D2
const-	.
«В0
Фигурирующие здесь интегралы нетрудно вычислить:
л Г 15 / 3 3 7 \ 1 I
J> = const	 	 	+	+		 .	A6)
2v L 16 * 8v4 4v* 8ve ' (v +1K J
Отсюда можно видеть, что условие устойчивости б/ < 0 выполняется начиная примерно
>2
§ 10. Пробкотрон со стабилизирующими стержнями
Простейшей системой, в которой поле В минимально в некоторой
области, является пробкотрон со стабилизирующими стержнями.
Рассмотрим, например, систему из 2п тонких бесконечных стержней
с противоположными токами ±/ в соседних стержнях (рис. 51, где
2п = 4). Вблизи оси скалярный потенциал, удовлетворяющий урав-
уравнению Лапласа Аф - 0, имеет вид
ф (г, Ф,z) = (я0 {z)dz- i-B'o (z) г* + фя,	A0.1)
где фст - потенциал, создаваемый стержнями.
Если стержни бесконечны, для определения фст удобно восполь-
воспользоваться комплексным потенциалом
W (Z) - фст {x, у) + iA" (x, у),	A0.2)
где Z = x + iy=> ге1ф; ф^ - скалярный, & А" - векторный потенциалы
магнитного поля стержней Вст = 7фст = rot Ая. Для тока /, текущего
от бумаги к читателю, имеем
U Эф 9
Ъ = В	= rotA,	Аж,	A0.3)
а гЭф	Эг
О __J^
Рис. S1. Схема пробкотрона с четырьмя токовыми стержнями
92

1	1
откуда находим ф = — 2/ф, Az =	2Лп г и, следовательно,
с	с
21	21	j_ 21
У/ (Z) =	(ф - ilnr) =	In (re ) =	inZ.	A0.4)
с	ci	ci
Для тока в точке Zo
W(Z) =	In (Z-Zo).	A0.5)
ci
Если имеется 2л точечных стержней с токами / в нечетных и
-/в четных стержнях, расположенных равномерно по окружности
радиуса а (см. далее рис. 54), то суммарный потенциал будет равен
2л	21
W (Z) = 2 Wk (Z) = — In [ П (Z- Zfc)/ П (Z- Zfc)],	A0.6)
fc=l	C1	нечет	чет
где I1(Z - Zfc) - произведение п множителей. Угол между сосед-
соседними стержнями равен 2л/2 п. Поэтому
п/ ifvm~T)
n(Z-Zfc)= П \Z-ae Х '/)=Z"-ifln;	A0.7)"
нечет	m=l\
л 1
n /	i— 12m
n(Z-Zfc)= П Z-ae 2
чет	m=l\
и таким образом (опуская несущественную постоянную), найдем
21	1 + i (Z/e)"
W =	In	,	A0.8)
„ 1ф
где Z = re .
Вблизи оси Z/o *s: 1, поэтому, ограничиваясь первым членом раз-
разложения, находим
4/	IZ\n 41
фст (ф) = Re W (Z) =	Re — =——г cosny.	A0.9)
с	\ " I са
93

Если стержни выполнены в форме 2л бесконечных пластин, за-
занимающих каждая угол X (рис. 52, где 2л = 6), то
4/ sin(nv/2) „
fe~—^г~г С05ПФ'	A0Л0)
где / - ток в одной пластине. Наконец, если стабилизирующие
стержни имеют конечную длину и изготовлены в виде рамок, как
изображено на рис. 53, то скалярный потенциал можно представить
в виде
cosntp.
A0.11)
В этом наиболее общем случае уже нельзя пользоваться поня-
понятием комплексного потенциала У/ B). Для определения функции
g (z) удобно разбить площадь рамок на элементарные диполи d\i = — dS
с
и вычислить потенциал, создаваемый всеми такими диполями.
Мы, однако, не будем приводить здесь этих громоздких вычислений.
Рис. 52. Стабилизирующие стержни в форме
пластин
/I ^a^\ s а)	5)
Рис. S3. Возможные варианты стабилизирующих стержней
(U

Рассмотрим проблему устойчивости плазмы в поле с потенциалом
B)(г,Ф,г),	A0.12)
где
, B)	1 „i , п
ф =	Bari-?gr оипф.
4
В обычном пробкотроне плазма неустойчива вследствие выпук-
выпуклости силовых линий, которая описывается в потенциале членом
1 ,
	B0(z)r2. Если / - характерный размер неоднородности поля
4
на оси [например, приближенно поле на оси можно аппроксимировать
параболой Во (z) = В @) A + z2/l2)], то указанный член будет второго
порядка малости по параметру е = т/1 ¦« 1 по сравнению с основным
членом в потенциале ф° = lBodz. Так как стабилизирующие стержни
должны компенсировать отрицательное влияние выпуклости си-
силовых линий, то потенциал стержней фя = g (z) r cos пф также следу-
следует считать величиной второго порядка малости фст ~ е2. Тогда имеем
=	r + g(r)nr соБпф;
= -g{z)nrn~1sinnr,	A0.13)
1 , , „
= Bo-—Bor2+g{z)r совпф,
4
1 ЭфB>
причем Brlf/Во ~ е; —	е2. Для модуля поля с точностью
в oz
вв
до членов ~ е2 найдем
Эф®	1
A0.14)
Поле на оси будем аппроксимировать параболой:
Bo(z) = B@)(l+z2//2),	A0.15)
функцию g (z) всегда можно считать четной:
+ c2z4+ ...).	A0.16)
95

Для устойчивости плазмы, как известно, необходимо, чтобы
поле |в| возрастало к периферии системы. Рассмотрим, например,
центральную плоскость пробкотрона z = 0. В этой плоскости в
соответствии с формулами A0.13), A0.14)
ng@)
В@)
2п-2
A0.17)
На рис. 54 качественно изображена зависимость В(г)/В@) = /(г).
Для четырех стержней минимум поля будет располагаться на самой
оси, если
A0.18)
B@)
а для шести, восьми стержней и т.д. - на радиусе:
1
п-2
«@)
п-
ется внутри вакуумной камерй установки г, < г
мин
и устойчивость возможна лишь в том случае, если
:я внутри вакуумной камерй уста
Если ввести удобное обозначение
а =п!
A0.19)
располага-
A0.20)
то необходимое для устойчивости условие
йт
В > 0 будет выпол-
выполняться лишь в области, где
A0.21)
Рис. 54. Профиль магнитного поля в проб-
котроие со стержнями

При этом г0 должен быть меньше радиуса стенки камеры. Для
более полного исследования устойчивости плазмы в пробкотроне
со стабилизирующими стержнями следует обратиться к критерию
(8.16). В указанный критерий входит величина 6? = sVB, для вычис-
вычисления которой необходимо знать градиент поля [см. A0.14)]
A0-22)
(Т\ & (о)
и вектор s 1 В. Здесь В} =	ф .
Ъг
Рассмотрим силовую линию
r = R(r0, ф0) z); ф = Ф (г0, ф0) г),	A0.23)
где г0, Фо - точка пересечения линии со средней плоскостью пробко-
трона z = 0, и введем обозначение
dF dF
boF(r0,<?0,z)=	бго+	бф0.	A0.24)
Тогда для линии A0.23) вектор s, представляющий собой перпен-
перпендикуляр, опущенный из точки z на соседнюю (внешнюю) силовую
линию, можно представить в виде
3R
sz=bz; sr=bR=b0R +	sz;
dz
\
Sz .	A0.25)
Поскольку dR/dz =Br/Bz и Идф/дг = B^lBz, из условия sB = 0 можно
найти
эфB)	B)	B>
Эф
97

Оставляя в 6В лишь члены порядка е2 ~ (^о^J» из Формул A0.22)—
A0.26) получаем
^
*,
(Ю.27)
Так как в критерии устойчивости (8.16) оператор б0 можно вы-
вынести из-под знака интеграла и проводить интегрирование непосред-
непосредственно вдоль самой оси пробкотрона (при этом опускаются попра-
поправочные члены порядка е4), то критерий принимает вид
A0.28)
Интегрировать здесь следует по области, где рв + р± Ф 0, т.е. по
области, занятой плазмой.
Для потенциала A0.12) уравнения силовых линий
dr вт	в'
<fe	BB	2Ba	Вв
Г<*ф	Вт
о	« п-1
г +	пг coswp;
В0	В*
пг sin пф
можно проинтегрировать* что дает
(, 1/П
ЯП Пф„

sin пф
A0.30)
Здесь Р (z) = Во (z)/B0 @) и G (z) = g (z)/g @), а параметр а определя-
определяется формулой A0.20). Используя полученные ранее формулы A0.12)
* Впервые этот случай был рассмотрен Фюртом и Розенблютом.
98

и т.д., можно найти
\ A
Ва
B)
где
а / . • / п \\ п	а2 , 2п-2
+ — PG-PG —+1 р cosnq>+ — +G2p
«I	I 2 //	2
(точка означает производную по переменной t = 3//). Функции р (z) =
= r/r0 и Ф (z) определяются формулами A0.30). Особенно простой
случай получается для системы с четырьмя стержнями, когда ин-
интеграл слева в A0.30) может быть взят в конечном виде. Если ап-
аппроксимировать поле на оси параболой Р = 1 + {г/1J = 1 + t2, то для
бесконечных стержней (когда G = 1) можно получить
4П)И
-4rash Г„ + cos 2<р0 [(а2 - 1 +2f2) sh Ta - 4fa ch Га]},	A0.32)
где Та = 2а arctg t.
Однако член, содержащий cos2<p0, является нечетным по / = z/l
и поэтому выпадает из критерия A0.28), в котором интегрирование
по z производится в симметричных пределах.
С учетом A0.31) критерий устойчивости A0.28) принимает вид
A0.33)
Рассмотрим, наконец, множитель рй + р^. В анизотропной плаз-
плазме функция распределения должна зависеть от интегралов движе-
движения е = mv2/2 и JL = v2 /В. Обычно принимают, что при z = о она опи-
описывается распределением Максвелла с вырезанным конусом, что
соответствует для z Ф О
О	при v, /v < Jb (z)/B.' = sin a (z);
1	P	A0.34)
	при V, /v > -/Щ
т I
99

Здесь Вгр = В (z*p), где zr* - граница плазмы. В этом случае находим
л-оф)
Г/	ту\\	Г /	sin2e \
р,| + Р| = \ mv? +	)fdv= const I cos28 +	 sin 8d8 *
J\	2 /	J \	2 /
/(*) =
A0.36)
* [45(z*)-B(z)] Jb(z*) - В(z)	A0.35)
(множитель пропорциональности несуществен). Распределение по
скоростям [см. выражение A0.34)] имеет резкий скачок на границе
запрещенного конуса. По-видимому, на опыте распределение частиц
будет ближе к модели, описываемой функцией
0	при Tj_/v < /В {z)lBTV\
const ехр	In	 при - ""
\ е / у2/вгр
которая также зависит лишь от интегралов движения J± и v2, но
более плавно обращается в нуль на границе опасного конуса. В
последнем случае найдем
п-а(г)
р., + р, = const I "I cos2 8 + — sin2 6 X
ofi	2
sin29
X In	sin 8d8 * const [B (z*) - В (z)f12.	A0.37)
sin2 « (z)
При параболической аппроксимации поля на оси Р = 1 + t2 для
распределения A0.36) формулу A0.37) можно для качественного
расчета заменить приближенной зависимостью
р, + ох ~ {z*2 - z2)	A0.38)
(множители несущественны). Тогда критерий A0.33) принимает вид
+(z*/0
A0.39)
Пользуясь им, можно определить критические значения а =
а {z*/l), начиная с которых плазменный сгусток длины 2z* будет
100

Рис. 55. Зависимость параметра осмии от дли- оСмин
иы сгустка плазмы
устойчив. Однако эти расчеты можно провести лишь численными
методами. Сравнительно просто можно определить лишь начало
появления устойчивости для сгустка малой длины z*/l -* 0, что
соответствует малым продольным скоростям частиц плазмы.
При t -> 0, полагая в выражении A0.31) р = 1 и <р = <р0, находим
и поскольку а
-Г2.™
Устойчивость, очевидно, возможна, лишь начиная с
[(л - 1) а1 - 1] > 0 или а > 1/7 л - 1,'
A0.40)
что совпадает с условием A0.21), полученным ранее. Для стабили-
стабилизации сгустка большей длины (z* ~ 1) необходимы большие значе-
значения а. На рис. 55 приведена зависимость а = а (z*//), которая
получается при численных рачетах на основе критерия A0.39).
В качестве грубой оценки можно принять, что для стабилизации
плазмы, простирающейся до пробок с z* ~ I, необходимы значения
а, в 2 раза превышающие минимальное значение Ц\]п - 1, получа-
получаемое из оценки соотношений A0.40).
§11. Учет перекрещенности силовых линий
В замкнутых, а также в бесконечных системах, которые можно
рассматривать как модель замкнутых, помимо условия минимума
В (у"< 0) важным фактором, способствующим стабилизации плазмы,
101

является также так называемая перекрещенность (shear) силовых
линий, которая заключается в следующем.
Рассмотрим для простоты цилиндрический плазменный шнур
длиной L с винтовыми силовыми линиями (рис. 56).
Пользуясь уравнением rdyldz = В1A/Вг, нетрудно заметить, что
на длине I (эквивалент длины замкнутой системы) угол прокручи-
прокручивания силовой линии, лежащей на магнитной поверхности г = const,
составит величину
Ч (г)
гВ,
A1.1)
Если наряду с продольным магнитным потоком
г
Ф (г) - J Вг 2nrdr
о
ввести азимутальный поток х, пронизывающий некоторую пло-
плоскость Ф = const:
L г
X = i«telBvdr,	A1.2)
о о
то можно написать
Ч (г) -
- = 2п-
(П.З)
В таком виде это определение
угла прокручивания применимо
для любой замкнутой системы, а
не только для рассматриваемой ак-
аксиально-симметричной модели.
Рис. 56. Перекрещенность силовых линий на
соседних поверхностях
102

При а (г) = const близкие силовые линии 1 и 1 (см. рис. 56), лежа-
лежащие на соседних магнитных поверхностях, располагаются всюду на
одинаковом расстоянии - как бы параллельно друг другу. Иными
словами, эти линии не перекрещиваются, и их конвективная пере-
перестановка могла бы быть сравнительно легко осуществлена, что
указывает на неустойчивость. Нетрудно заметить также, что этот
случай соответствовал бы постоянству шага силовых линий на
разных радиусах
Bz	L
h{r) = 2nr	=2л	= const.	A1.4)
яф	а (г)
Если а (г) =? const, то близкие силовые линии 1 и 2 (см. рис. 56),
которые при z = 0 находились на одном азимуте, по мере роста г
удаляются друг от друга - перекрещиваются.
При а (г) = const смещение тонкой силовой трубки из положения
1 в положение 1' не приведет к заметной деформации магнитного
поля. Если же а (г) Ф const, то смещение из положения 1 в положе-
положение 2 будет заметно искажать магнитное поле, что потребует до-
дополнительной затраты энергии.
Таким образом, перекрещенность всегда является стабилизи-
стабилизирующим фактором. Ее учет приводит к известному критерию
устойчивости Сайдема, который может быть получен путем сле-
следующих не вполне строгих рассуждений (более детальный вывод
приведен в гл. IV).
Рассматривая плазму в магнитном поле как идеальный газ,
можно, очевидно, считать, что в некотором произвольно выделенном
объеме содержится потенциальная энергия
3	Г В2	(I Р	В2 \
U = — NkT+\	dV=\[	+	}dV.	A1.5.)
2	J 8п	J\ v-1	8л /
Здесь V = Cp/cy = 5/3 - показатель адиабаты; р = пкТ - давление.
При различных смещениях плазмы изменение этой энергии
составит
вьв
	dV.	A1.6)
Здесь первый член соответствует изменению тепловой энергии,
а второй - магнитной. Величину 6L/ можно рассматривать как
первую вариацию (эквивалентна первой производной) потенциаль-
потенциальной энергии. В состоянии равновесия первая вариация должна
103

обращаться в нуль. Для устойчивости такого равновесного состоя-
состояния необходимо, чтобы вторая вариация была положительна:
$	F~В> V>0,	A1.7)
4л	4л
что эквивалентно условию устойчивости ?/П01 (х) > 0 в обычной
механике. Здесь черта сверху означает усреднение по рассматри-
рассматриваемому объему. Приращение давления ftp следует при этом
определять в соответствии с уравнением
dp dp
	=	vVp,	A1.8)
dt	dt
где у = d\ldt - скорость смещения плазмы, а ? (г) - само смещение.
dp	р dV
Пользуясь уравнением адиабаты рУ = const, получаем	= - v
dt	V dt
и тогда, интегрируя уравнение A1.8), находим
6p = -|Vp- ypbV/V,
так что формулу A1.7) можно представить в виде
{J	F>
A1.9)
4л
Применим это соотношение к тонкой силовой трубке, объем ко-
которой можно представить [см. выражение (9.11)] как V = $J, где
J = ? dl/B, так что	=	, и неравенство A1.9) принимает вид
v j
()*F>	A1.10)
()
J	\ 1 I 4л
Последний член с FВJ как раз и учитывает перекрещенность си-
силовых линий. Если &В = 0, то неравенство A1.10) эквивалентно
условию
Vp	dp	p
I
&V	dJ	J
которое было получено нами ранее в § 9 другим способом [см.
формулу (9.15)]. Учитывая также, что
7=Уф; 67=Уф6Ф и ^Ур = ф = рф6Ф,
км

можно выражение A1.10) записать в виде
, „ Уф
-РУФ'< YP-4
4л \ 6Ф
что совпадает с выражением (9.20), если не принимать во внимание
последний член.
Учтем теперь наличие перекрещенности силовых линий и рас-
рассмотрим изменение магнитного поля, которое возникает при кон-
конвективной перестановке близких силовых линий 1 и 2, изображен-
изображенных на рис. 56 и располагающихся на соседних магнитных поверх-
поверхностях г и г + бг. На рис. 57 изображена развертка указанных
цилиндрических поверхностей с линиями 1 к 2. Непосредственно
из рисунка (из подобия треугольников) можно видеть, что при
смещении силовой линии из положения 1 в положение 2 приращение
поля составит
гба
В действительности, поскольку силовые линии 1 и 2 переставляются
взаимно, то каждая из них должна повернуться лишь на половин-
половинный угол Ф/2, после чего они будут параллельны и сравнительно
легко пройдут в радиальном направлении мимо друг друга. Таким
образом, правильный результат получится, если считать, что
1	гба
6B = — BZ	.	A1.12)
2	L
Тогда, учитывая, что Уф = S dl/B = j dz/Bz = L/Bz, получаем
ЬВ Bz тЬа. госф	ц'ф
«лг—^,	A1.13)
6Ф 2? 6Ф
где ц = ос/2я = Хф [см. уравнение A1.3)]. Подставляя это выражение
в неравенство A1.11), имеем условие устойчивости
цф*
Ф	Ф
A1.14)
где г2 - средний квадрат радиуса рассматриваемо!? магнитной
поверхности. В таком Еиде это условие можно использовать для
любой замкнутой системы.
Последний член в условии A1.14), содержащий ц'ф, учитывает
перекрещенность силовых линий. Как видим, для устойчивости
105

r&a.
Рис. 57. К расчету возмущения поля
Сепаратриса
	 Рис. 58. Схема вложенных магнитных по-
ГУ верхностей
желательно иметь большее значение для Уф < 0 и возможно макси-
максимальный "шир" Цф Ф 0.
Рассмотрим, наконец, вопрос о том, какое количество плазмы
может бытьь удержано в системе с заданными значениями величин
г (Ф) = г i г Ф И Ц (Ф) = Ц "I1 Ц Ф	(IllOf
Как мы увидим в дальнейшем, в общем случае магнитные поверх-
поверхности р = const можно разделить на два класса: замкнутые поверх-
поверхности типа трубок и незамкнутые поверхности с силовыми лини-
линиями, уходящими на бесконечность. На рис. 58 изображены сечения
и пространственная картина одной из таких возможных простейших
структур.
Поверхности первого класса располагаются вблизи оси и отде-
отделены от поверхностей второго класса некоторой граничной поверх-
поверхностью, называемой сепаратрисой. Очевидно, для удержания плазмы
пригодна лишь область внутри сепаратрисы, заштрихованная на
рис. 58.
Для прямого плазменного шнура с винтовыми линиями урав-
уравнение равновесия имеет вид
dp
йг
йг
8л
4лг
йт
Ир)'
A1.16)
причем Вф создается токами, текущими в самой плазме.
В рассматриваемом нами случае токи, текущие в плазме низкого
давления, малы и можно считать, что Вф <s Bz. Пренебрегая в ра-

венстве A1.16) последним случаем, получаем приближенно
1
р +	В\ = const,
8л
и так как на сепаратрисе р = 0, то для давления в центре имеем
р@) = (В|/8л)сеп-E|/8л).
Иными словами, наша "магнитная яма" с минимумом В может удер-
удерживать плазму, для которой параметр Р не превышает величину
Р	4еп-Я20	АВг
э*-^2—'	llU7)
Если Фсеп - магнитный поток, пронизывающий область внутри
сепаратрисы, то, учитывая, что приближенно можно считать L/Bz *
* Уф, получаем (при Уф < 0)
А A/Уф) Уф
	;	-Фсеп-	(Н-18)
^сеп-
1/Уф	Уф
Ясно, что желательно иметь по возможности большие значения
Р. Кроме того, при фиксированной длине установки L желательно
иметь возможно больший рабочий объем внутри сепаратрисы
У(Ф) Уф
	Фсеп-тах,	A1.19)
L,	Li
что позволило бы увеличить общее количество удерживаемой
плазмы. Иными словами, магнитная яма должна быть большой и
глубокой.
§ 12. Анализ замкнутых систем
Теория устойчивости замкнутых систем с вакуумными полями
была развита в работе Л.И. Соловьева и В.Д. Шафранова.
Рассмотрим систему, осью которой является некоторая замкну-
замкнутая кривая г0 (s), где s - длина дуги кривой (рис. 59), отсчитывае-
отсчитываемая от произвольной фиксированной точки s = 0 на кривой, так что
L=§ds	A2.1)
есть полная длина кривой.
107

Рис. 59. Координаты s, x, у вблизи пространственной кривой
Вблизи этой кривой можно построить ортогональную систему
координат, удобную для дальнейших исследований.
С этой целью представим радиус-вектор произвольной точки
наблюдения А в виде
где п и b - соответственно нормаль (направленная к центру кри-
кривизны) и бинормаль к кривой. Пользуясь уравнениями Френе для
пространственных кривых:
*.М
-Кп;
Л
:-ип,
A2.3)
ds	ds	ds	ds
где т - единичный касательный вектор к кривой; AT = 1/i? — ее
кривизна; и - кручение, получаем
ЛА = A - Юс) xds + n(dx- y.yds) + b (dy + nxds).
Отсюда для элемента длины находим
dl2 = {dtAf = A - KxY + (dx-xydsJ + (dy + v.xdsJ.
A2.4)
Введенная таким образом система координат х, у, s не будет
ортогональна. Если, однако, ввести новую систему р, to, s, такую,
что
5
x = pcos6; y = p sin 6; 6 = со - I nds,	A2.5)
о
108

то в ней, как нетрудно проверить,
dl2 = A-fctJ ds2 + dp2 + p2 dco2
A2.6)
и система координат р, со, s оказывается ортогональной*. В этой
системе координат величина V$ = 6У/6Ф может быть рассчитана
следующим образом. Если 65 - элемент площади, заключенной
между двумя соседними магнитными поверхностями (рис. 60),
то магнитный поток, пронизывающий эту площадь, можно предста-
представить в виде
6Ф = 5 Bs ptfcotfp = Bs 65,	A2.7)
где черта сверху означает усреднение по указанной площади. Так
как по определению 6Ф не зависит от s, то
, 6V	J(l-Kx)dspdudp	Г / 1-Кх
дФ
BS6S
ds
A2.8)
Определим теперь угол прокручивания силовых линий вокруг
оси а = 2лХф. Азимутальный магнитный поток 6/ можно определить
как поток поля через поверхность 65М перегородки, соединяющей
две рассматриваемые близкие магнитные поверхности (на рис. 61
изображен отрезок такой перегородки).
Эту перегородку можно выбирать произвольно, однако при
обходе всей системы конец перегородки должен совмещаться
с ее началом. Например, удобно выбирать ее в виде полосы на
поверхности:
5
e(u,s)-u-$x&-const.	A2.9)
о
Ь.9/|
Рис. 61. Азимутальный магнитный поток
Рис. 60. Сечения двух близких магнитных поверхностей
* Указанная система координат была предложена Мерсье.
109

Тогда
6х = 5 BdSM	—5 В Bл - "О") dSM.	A2.10)
2л
Разность 2л - " = 2л можно рассматривать как разность значений
функции 6 (со, s) на двух сторонах указанной перегородки:
2л = 0| -е| -ва-в^
1 ы + 2л ' ы	1
При этом имеем
бХ=	tiBS2dSa3 + №1(-dSj].	A2.11)
2л
Так как dS^ направлено по нормали к перегородке, то вектор
- dSM будет направлен в противоположную сторону и его можно
рассматривать как элемент поверхности, замыкающий "с другой
стороны" объем 6V между двумя магнитными поверхностями
1 и 2 (рис. 62). Так как на этих поверхностях поле имеет лишь тан-
тангенциальную компоненту, то выражение A2.11) можно рассматри-
рассматривать как поток вектора 6В через всю замкнутую поверхность,
окружающую объем б У, включая поверхности 1 к 2 к две азимуталь-
азимутальные поверхности dSM и -?Й$Ю, прилегающие с обеих сторон к пере-
перегородке.
Таким образом, имеем
1 Г	if	1 f
бх	фбВсй	dVdiv FB) =	 (В. 78) dV.	A2.12)
2л J	2л J	2л J
Здесь интегрирование производится по всему объему 6 У между
двумя магнитными поверхностями. Так как
dQ/ds	99
В-V6 (со,,) =
+ВР
в$+—
р
ae
рЗш	1 - Kx " р
A2.13)
'&V
Рис. 62. К выводу выражения для б X

то для угла прокручивания силовых линий найдем
8х	1 г
а = 2л	= —	ф cfepdcodp A - Кх) (В. V6 (со, s)) ¦¦
6Ф B.&S
(l-/Cr)(B.V9)
i|	|II	A2.14)
Определяемый таким образом угол ос будет отличаться от ис-
истинного угла прокручивания на 2лЛГ, где N - число обходов вокруг
оси системы самой поверхности 8 (со, s) = const, выбранной в качест-
качестве перегородки. Это обстоятельство, однако, не сказывается на
величине Хф = Цф, определяющей перекрещенность силовых линий,
которая входит в критерий устойчивости A1.14).
В рассматриваемом случае, когда плазма имеет низкое давление
(Р "^ 1), можно пренебречь токами, текущими в самой плазме, и
определять магнитное поле с помощью скалярного потенциала
В = Уф, удовлетворяющего уравнению Лапласа Аф = 0. Предполагая,
что ось системы сама является силовой линией, на которой поле
равно Во (s), потенциал вблизи оси можно искать в виде разложения
Ф (Р, со, s) = 5в0 ds + р2ф2 + рэФэ + Р4Ф4 +...,	A2.15)
где Фг.3,4 (ы, s) зависят лишь от со и s. При этом компоненты поля
будут равны
Эф
Р др	3+ Р 4+-,
Эф
Вы=	= рф2+ р2фэ+ РЭФ4+•••;	A2.16)
рЗы
1 Эф	/	ф^
вп
l-Kx 3s °
Здесь точки и штрихи соответствуют частным производным по ш
и s. Если составляющую Bs представить в виде Bs = Во + Bs , где
B(sl) = Во (Кх + К2*2) + р2ф'2,	A2.17)
то Bs = Во + Bs и для производной Уф [см. A2.8)] находим
1-ЮГ Г ds Г ds I _ 1 -7п\
* (Ь	ф	\кх*	В)'). A2.18)
Т в \	в	I
Ш

1Г)
Как мы увидим далее, величина х, а следовательно, и Bs имеет
второй порядок малости по р, т.е. х ~ р2. Поэтому второй интеграл
в вьфажении A2.18) оказывается пропорционален продольному
магнитному потоку Ф, и A2.18) можно представить в виде
Vi(«)-Vi@) + ©v?@).	A2.19)
Таким образом, с учетом выражения A2.17) для Bs имеем
vUo)	-ф— \2Кх'+К2'?+ — 'дЩА.	02.20)
• J в0 \	в0 I
Аналогичным образом угол прокручивания с точностью до членов
порядка р2 [см. выражение A2.14)]
*
-иВ0 + ф2 - ф2	K{xi\>2 +хрф3) + (РФ3)+ (РяФ4)г •
во	)
A2.21)
Представив его в виде
а (Ф) - 2лд (Ф) - о @) + Ф2лц'ф @),	A2.22)
можно найти величину ц'ф @), входящую в критерий устойчивости
A1.14) и характеризующую степень перекрещенности силовых
линий. Выражение A2.20) для второй производной Уфф принято
называть вакуумной магнитной ямой, и в следующем § 13 мы ис-
используем его для анализа устойчивости плазменного шнура в
ловушке "дракон".
Задача 1. Для произвольной замкнутой ловушки с пространственной (не плоской!)
магнитной осью найти токи, обусловленные присутствием плазмы, считая, что давление
в плазменном шнуре распределено по параболе р = р @) A — р2/оа), где а = a (s) — радиус
плазменного шнура. Параметр Р считать малым.
Решение. Чтобы найти токи, надо решить уравнение равновесия ЦВ] = cVp, в котором
давление есть функция р >р(ф) магнитной поверхности, определяемой уравнением
Ф (р, ы, s) = const, и поэтому имеем Vp • р'(ф) Vtp. Запишем ток в виде j = ср'(ф) I,
где I» 1Й + Ij_ - вспомогательный вектор, для которого div 1-0, поскольку div j - 0
и BV(p - 0. Тогда уравнение равновесия приобретает вид [1^ В] - V(p, и отсюда находим
поперечную к полю компоненту Ij_ = [BVj_ ф]/В2. Продольную компоненту ищем в виде
1ц - /)В, где h — вспомогательная функция, для которой из условия dirl = 0 следует
уравнение
112

diTl,-BVh--diTli-2	=_—V,B.	A)
При получении последнего выражения учтено, что магнитные поверхности удовлетво-
удовлетворяют уравнения BVq> - 0; jVq> - 0. Таким образом, токи обусловленные присутствием
плазмы, даются выражением
dp
i'c	(I, + Ij^); I, - hB, 1± = [BVX Ф] В'3,	B)
d<p
где функция h должна находиться из решения магнитного уравнения A).
Все эти уравнения являются точными, однако фактически их можно решить лишь
приближенно, считая давление плазмы малым и делая разложение по малому пара-
параметру Э (*)« 8пр @)/?2 {$) < 1, где р @) и Во (*) - давление и поле на оси шнура.
Тогда при Р < 1 поверхности и поле можно искать в виде <Р = Ф° + Ф , В ¦ В0 + В1,
где ф°, В0 — "вакуумные" члены, а <р\ В1 — поправки, обусловленные присутствием
плазмы и пропорциональные первой степени Р. При почти круглых магнитных поверх-
поверхностях можно считать, что вакуумные члены определяются из уравнений <р3 "" право (;) =
= const:
J Р2 ,
Во - 7ф»; ф« - S Во (s) ds-	Во (s)
р	1 Эф"
?0 „- в' (); Я« 0; ?«
М	1-Кх
C)
и, поскольку dp/dq ~ р, в первом порядке по р ток B) можно заткать в виде j -
- ср'(ф°) (К + К ), так что IJ и 1° определяются по вакуумному приближению. При
этом для наших целей достаточно решить магнитное уравнение A) в параксиальном
приближении, т.е. в первом порядке по малой величине Кр <с 1, иными словами, по
кривизне. В этом порядке модуль поля C) равен В° » Во (;) A + Кх) и уравнение A)
принимает вид
р ал	ah
В» Vh	В' (s)	+ В (д)
2	Эр	9i
VP(P°
-2	V,,U+Kx)--4npKsine.	D)
B0W
Его решение можно искать в виде ft - р vB0(i) Я (ш, *), Н = hi sin 9 - ha cos 8, и
тогда для функций hj 2 E) получаются уравнения
дн К ' К
	„_4п	sine; ft D)-xh.-4n	; h'(f)—xh,	E1
af в/'2	в03'3
которые и следудет решить, если задан конкретный вид замкнутой ловушки. Таким
образом, в первом порядке по Р < 1 и в первом порядке по Кр компоненты тока B),
обусловленного наличием плазмы, равны соответственно
dp	dp	dp
Зр = 0; it, - с—-У±)аше—72ЯР; J, = c—"^''(Л, sin 9- h, cos в) р.	F)
113

При параболическом профиле давления в шнуре производную dp/d<f° следует
считать равной нулю вне шнура, где токи отсутствуют, тогда как внутри шнура она
равна постоянной
dp/dv° - [2прВ0 (i)p др/др - _р @)/ф?,
где Фд « па3 (;) В (s) « const = ла2 @) Во @) - не зависящий от 5 магнитный поток, про-
пронизывающий полное сечение шнура.
В заключение полезно отметить, что решение первого уравнения E) с учетом 6 *
¦> ы - а (;) можно записать в виде мнимой части комбинации
Н = 4лЬп I f (*') е1 ds'~ -4л Im {е'9 О (i)}; о - е"" ИI / (*') е~Ш (* ds',	G)
где / (*) » К (s) ?*'2 E). Постоянную интегрирования sQ можно исключить, пользуясь
условием периодичности функции о (s) = о (s + I) при обходе всей ловушки с длиной
оси L. Поскольку при этом a (s + L) = а («) + а^, где аг, = $ xds — полный угол прокру-
прокручивания магнитных силовых линий, условие периодичности дает
(8)
j
со jj
Обозначив е = ехр (—iot^) и учтя, что A — е)'1 = Z е , из (8) найдем
J /tO.^*'--^ «T/fr^.-"^*.	(9)
1-е 5
Отсюда можно получить и несколько иное представление этой функции
A0)
Из него видно, что особенно простым является случай ловушек, для которых выпол-
выполнено условие q (L) = 0. Ловушки, обладающие таким свойством, мы будем называть
"драконными" ловушками (см. § 13).
Задача 2. Считая, что рассмотренный плазменный шнур радиуса a (s) находится в
камере с идеально проводящими стенками, показать, что граница шнура описывается
формулой р ¦ а ($) [1 + Д (ы, *)],- где обусловленная давлением малая поправка Дц,
называемая "смещением", удовлетворяет уравнению Д* = СКВ0'3/а cos в, где С - по-
постоянная.	в
Решение. Для решения этой задачи о равновесном положении шнура в камере
необходимо найти магнитное поле и магнитные поверхности в зазоре между шнуром
и стенками, считая, что внешней поверхностью является стенка камеры, а внутренней
поверхность шнура.
С этой целью, во-первых, заметим, что шнур может иметь круглое сечение, если
такую же форму имеет и сечение камеры, при условии, что ее стенки предполагаются
идеально проводящими. Поэтому здесь имеется в виду камера с круглым сечением
радиуса Ь (s) > a (s), причем а/Ъ = const (рис. 63). Идеальная проводимость стенок озна-
означает, что на них должна обращаться в нуль нормальная компонента магнитного поля.
Далее заметим, что если бы ось камеры была прямой линией, то плазменный шнур
имел бы круглое сечение с центром на этой оси. Однако при ее искривлении центр сече-
сечения шнура смещается относительно центра сечения камеры, и это смещение склады-
складывается из двух членов — первого, так называемого вакуумного смещения, обуслов-
обусловленного кривизной оси, и второго, обусловленного и кривизной оси, и давлением
114

Рис. 63. Смещение шнура в круглом кожухе
плазмы. В данной задаче нас интересует второй член, который оказывается больше
первого - вакуумного, если Р = 8лр/В? » (иЬ)а, и это условие мы будем предполагать
выполненным, рассматривая лишь дополнительное магнитное поле В1, обусловленное
наличием плазмы. При этом можно показать, что продольная компонента этого поля
меньше поперечных в кЬ раз, так что ею можно пренебречь в уравнении div В1 = О,
записав его в приближенном виде
Э	Э
Далее используем уравнение Максвелла
*
B)
в которое подставлен продольный ток js из формулы (б) задачи 1. Кроме того, здесь
обозначено Н = ht sin в - h2 cos б, где h1>a (s) удовлетворяют уравнениям E) задачи 1,
а для самой функции Н имеем д'Н/ди2 = —Н, и поэтому решение уравнений A), B),
можно искать в виде BJ -1>1 (p, s) дН/ди; BJ, = b2 (p, s) H. Тогда из B) найдем
д	д I дЬ.
C)
д	Э / дЬ\	dp
Ьа--	Pbt; 	 р3	 =P3F; F=-4n;	В3'2.
Эр	Эр V Эр '	<*ф°
Теперь уравнение для Ь1 можно проинтегрировать 2 раза — сначала в пределах от р = О
до Р > а (;), учитывая при этом, что производная dp/dy°, а с ней и функция F отличны
от нуля только внутри шнура, так что на первом этапе получаем ЭЬ1/Эр2 = С/р3, где
Р > в (s) и G = a4 (s) F/4 = р @) аа (*)/В0 М' Далее интегрируем в пределах от Р > a (s)
до Р = b (s), что дает Ь, = — G [р'а - Ь'а (*)]. При этом мы учли, что требование обраще-
обращения в нуль нормальной компоненты на стенке в нашем случае означает условие обра-
обращения в нуль радиальной компоненты Bl, поскольку продольной компонентой В| ~
~ хЬВр мы пренебрегаем. Итак, в зазоре между шнуром и стенкой компоненты поля
А дН I 1	1 \
пх	^__ | _^ _ ____ I
Р Vfl? Эш \ ра Ьа ''
Эр
:Н
1 1
—+—
Ра Ьа
D)
где А = р @) c2BJ2 — постоянная, не зависящая от S.
115

Теперь мы должны найти магнитные поверхности Ф (р, и, s) - const, которые будем
искать в виде Ф ¦ Ф° + Ф1, и тогда для поправки получим уравнение В°УФ1 ¦>
• —В1УФ°, где Ф° описывает поверхности при отсутствии плазмы. Поскольку нас
интересует геометрия магнитных поверхностей вблизи поверхности шнура, указанное
уравнение мы будем решать приближенно, записав его в виде В0УФ1 = —(ЗФ°/Зр) X
1 где множитель
	,(Ч)	/	\
Рр]р»в	Poo VV?	,Р00'Р @) 11 - — I	E)
2	Эы	Ь
можно считать не зависящим от радиуса Р3. Тогда в нулевом приближении можно
положить Ф° ¦ Ра-В0 (s)t ц указанное выше приближенное уравнение принимает вид
р	ЭФ1	ЗФ1	дН
в'уф».—в;«—-+B.W	р00РВ03'а—,	F)
2	dp	ds	du
где решением является комбинация Ф1 = —Роо PvB0 E) г (ы, s) с множителем 2, удов-
удовлетворяющим уравнению dz/ds » дн/ды. Тогда уравнение поверхностей Ф° + Ф1 «
= const приближенно дает соотношение
const
р
из которого следует, что граница шнура должна описываться формулой
Роо
Р = в (J) [1 + Д (U,,)]; Д (Ш, ,) - Соо Z (Ы, s); Соо	-==;,	(8)
где Соо не зависит от u и *. Производные по s для поправки равны
ie^oo	» Соо (h, cos в + ha sin в); Д« = С	cos в,	(9)
да	B*»(s)
что и требовалось доказать в данной задаче. Постоянная С при этом оказывается пропор-
пропорциональной давлению плазмы
2"Р(О)
С=-4пс00 = -:	|i-—-|	A0)
Г
1
tfr
и не зависит от координаты s. При выводе второй производной в (9) использованы
формулы E) задачи К° 1.
В заключение отметим, что формула (8) для смещения позволяет найти максимально
допустимое по условиям равновесия давление плазмы. Для этого следует определить
такое место * " **, в « в#> где смещенный шнур начинает касаться стенок камеры, так
что Р "* Ь (;•), и из формулы (8) находим
Р@)макс = VPflJ/Z^, е*)-	(И)
Этот расчет можно проделать, если указана конкретная форма ловушки.
116

§ 13. Плазменная ловушка "дракон"
Замкнутая плазменная ловушка "дракон" {длинная равновесная
конфигурация), схема которой изображена на рис. 64, состоит
из двух пробкотронов, соединенных крэлами (криволинейными
равновесными элементами) особой конфигурации, обеспечивающей
локальное автономное равновесие участков плазмы, заключенных
в них. Это свойство позволяет присоединять к торцам крэлов длин-
длинные прямые участки, на которых и должна производиться основная
доля термоядерной энергии. Идея такой лоЕушки была предложена
в 1980 г., однако на практике пока не было попыток ее создания
ввиду сложности изготовления крэлов, хотя она и имеет много
привлекательных черт (стационарность, большое значение E, раз-
разделение функций между участками, простота изготовления основ-
основных - прямых участков, отсутствие продольного тока и возмож-
возможности стабилизации).
Рассмотрим в первую очередь конструкцию крэлов. Они не^
должны быть плоскими, так как при отсутствии тока равновесие
шнура с плоской осью невозможно. Для выбора простейшей прост-
пространственной оси крэла используем уравнения Френе A2.3), однако
вместо переменной s (длина) вдоль оси введем новую переменную
S
t = 5 Kds, которую назовем условным временем.
О
Тогда, обозначая точкой производную по t, перепишем A2.3) в
виде
т = п; п = т = -т + со [тт]; со = к/К > 0	A3.1)
и, вводя сферические координаты
тх = sin 9 cos ф; ту = sin 6 sin <p; \г = cos 6; | т | = 1,	A3.2)
из z-компоненты A3.1) получаем уравнения
й	d
92 + ф2 sin2 6 = 1;	(<р sin2 6) +со	cos 9 = 0.	A3.3)
dt
Рис. 64. Схема плазменной ловушки
"дракон"

Самый короткий по длине крэл получается при выборе со = со 0 cos 8
в предположении 6 < п/2. Тогда из A3.3) находим "интеграл движе-
движения"
1	1
ф sin2 8 + — соо cos2 8 = const = sin 8МИН + — со0 cos2 6МИН,	A3.4)
2	2
и если далее положить cos 8 = cos 8МИН cos ?, где ? - новая переменная,
меняющаяся в пределах -л/2 < | < л/2, то из A3.3), A3.4) найдем
; Д = \/l - К2 sin2 I; t =—F(l,k)l
A3.5)
л
о
.где F(?, fc) - эллиптический интеграл первого рода. При этом мы
ввели обозначения ц = yl - соо sin 8МИН и fc = to0 c°s 6мин/2ц, но
далее удобно использовать в качестве основных два параметра к
и v = ctg2 Qmkh, через которые введенные ранее параметры выража-
выражаются формулами
1 2k Vl + v' Tv""
sin8MHH = -—:г; С00	_, ;Ц =	—=;	.	A3.6)
Далее из A3.4) находим
'* +	—	1 ,	A3.7)
di V v \	l + v$in*6 / Vl - fc2 sin2 6'
и теперь мы должны учесть, что на входе в крэл и выходе из него
вектор х должен иметь противоположные направления. Наше част-
частное решение описывает движение конца вектора т по сфере еди-
единичного радиуса-"глобуса" (рис. 65) от "западного полюса" к
"восточному полюсу" с попутной петлей, обходящей "северный
полюс" против часовой стрелки, так что полный набор угла ф
должен равняться Зл, и поэтому из A3.7) имеем
л/2
dip	I I + v	,
?	/[()	F()]	A3.8)
-п/2
118

Рис. 65. Движение конца вектора т по сфе-
сфере единичного радиуса
в-ff
Здесь фигурируют полные эллипти
ческие интегралы I и III рода:
л/2
л/2
К (к)
Д
A3.9)
и уравнение A3.8) дает связь между параметрами v и к, но их
значения можно найти лишь из анализа равновесия, что проделано
ниже.
Отличительной чертой ловушки "дракон" является автономная
равновесность участков плазменного шнура, заключенных в крэлах.
Для этого интеграл I dl/B должен быть одинаков для всех силовых
магнитных линий в пределах крэла, а поскольку из формулы A2.16)
при малых Кх имеем
dl Г ds Г	ds	Г ds Г	ds
-\Кх	,	A3.10)
В,
В.A+Кх + ...)
то указанное требование означает, что последний интеграл должен
равняться нулю. Здесь х = pcosB, и далее мы рассмотрим случай
лишь с круглыми сечениями магнитных поверхностей, когда маг-
магнитный поток Ф = лр2 Во не зависит от s, так что Р ~ В^1'2, а по-
поскольку 6 = со - й, последний член в A3.10) будет равен нулю
независимо от угла и, если взятые по длине крэла два драконных
интеграла
t	t
Г	dt	Г	dt
qx{t)= Win ос	;	qy{t)= \ cos a	(dt = Kds)	A3.11)
В 312	'	в 312
В312
о
-Г/2
-Г/2
119

будут обращаться в нуль при t = Т/2, т.е. после обхода всего крэлэ,
имеющего полную "длину" Т = S Kds. Для наглядности можно рас-
рассматривать интегралы A3.11) как две компоненты плоского век-
вектора q(f) = (qx, qy), конец которого по мере роста "времени" t опи-
описывает на плоскости некую линию, и поскольку q = 0 при t = -Г/2
и при t = Т/2, эта линия обязана быть замкнутой.
Особенно простым является случай с постоянным на оси полем
Во, когда его можно вообще не включать в интегралы A3.11), счи-
считая, что
t	t
q (г) = И sin a, cos а } dt; а (t) = j ыЛ,	A3.12)
-Т/2	О
и в этом случае весьма любопытно отметить, что эти интегралы
связаны с уравнениями Френе A3.1) своеобразным преобразованием
скарабея. Как известно, жук скарабей катает навозный шарик,
и если мокрый шар катать по песку, то и на шаре, и на песке остаются
следы от точки касания шара и плоскости. В нашем случае таким
шаром является сфера единичного радиуса, на которой имеется
сферический след конца вектора т, и воображаемый жук скарабей
как бы перепечатывает его на плоскость с координатами qx путем
катания этой сферы. Важно, что при этом выполняется требование
полного сцепления шара с плоскостью, так что проскальзывание
и повороты шара на месте исключены (см. 1).
Этот наглядный образ позволяет рассчитывать геометрию оси
различных крэлов, поскольку это сводится к "задаче скарабея",
состоящей в том, что, соблюдая полное зацепление, требуется
катить шар по такой замкнутой линии, чтобы начальная точка
касания оказалась бы в конце пути в верхнем положении на шаре.
Например, простейшим решением этой "задачи скарабея" является
равносторонний треугольник с длиной сторон, равной л, и полной
длиной пути Зл. Проследив при этом мысленно за поворотами
вектора т, легко сообразить, что это решение дает ось крэла в виде
трех полуокружностей, повернутых на стыках на 120° между сосед-
соседними (рис. 66). Легко построить и другие плоские следы из отрезков
окружностей и прямых линий, но все же самым коротким оказы-
оказывается наше решение A3.5).
Для него угол вращательного преобразования магнитных линий
равен
s	t	I
а = I xds = \ adt = 2k \ cos |	= 2arcsin (fc sin \),	A3.13)
120 0	0	0

Рис. 66. Простейший крэл из трех полуторов
так что Д = i/l - к2 sin2 % = cos (a/2), и тогда интегралы A3.12) равны
2fc
cos|;
= — {2[Е (к) + Е (!, /с)] - [К (к) +F(|, /с)]},	A3.14)
и
где /C(fc) и ?(fc) - полные, a F(!,/c) и ?(?, fc) - неполные эллипти-
эллиптические интегралы I и II рода. При изменении ! от -л/2 до л/2 плоский
"след скарабея", даваемый формулами A3.14), будет замкнутым,
если выполнено условие 2Е{к) = К (к), откуда численно находим
параметр к = 0,90891, а затем из A3.8) и другой параметр v = 3,0485,
после чего находим и значения ц = 0,606817, (о0 = 1,2712, 6МИН =
= 0,52013. Длина этого самого короткого крэла, измеряемая в еди-
единицах "времени" t = $ Kds, оказывается равной Гмин = B/ц) К (к) =
= 2,435 л, в отличие от Зл для крэла из трех полуторов. Любопытно
отметить, что при 2Е(к) = К {к) уравнение A3.14) можно переписать
в виде
cfe = -2 — cos|; qy	[2Е{\, fc)- F(!, fc)],	A3.15)
n	ц
и тогда можно показать, что эта параметрически заданная плоская
минимальная петля скарабея имеет форму лука, концы которого
стянуты тетивой впритык (см. задачу 2).
Далее рассмотрим проблему устойчивости плазмы. Для устойчи-
устойчивости необходимо, чтобы интеграл ldl/В убывал к периферии.
При условии "драконности" крэлов этот интеграл постоянен вблизи
оси, но только в первом порядке разложения по Р, и мы, очевидно,
не можем выполнить требование, чтобы он убывал к периферии
только в пределах крэла также и во втором порядке разложения
по Р. Однако можно обеспечить его убывание к периферии, учтя
121

замкнутость ловушки и вычисляя его не в пределах крэла, а вдоль
всей длины ловушки. Тогда его следует заменить на производную
объема по потоку ldl/B -* Уф, и эта величина будет убывать к пери-
периферии, если отрицательна ее производная, для которой нами ранее
уже было получено выражение A2.20)
121	Ц7)	A3.16)
2
ва
которое при условии Уфф < 0 принято называть магнитной ямой.
Далее будем считать магнитные поверхности почти круглыми, и
тогда в разложении потенциала A2.15) можно положить Ф2 = -В'о (s)/4
и усреднение для двух первых квадратичных по Р членои под ин-
интегралом A3.16) даст
= p2cos26=-
A3.17)
так что вакуумную магнитную яму A3.16) можно переписать в
виде
/,	1
2л
Член со второй производной поля можно проинтегрировать по
частям, что фактически будет означать здесь замену -B'^/2Bl -*
-» —- {в'0/В2J, и наиболее трудной задачей является вычисление
1
х	S P cos9 pdpjto; 6S = Spdpdto,	A3.19)
65
где f>S - площадь между двумя близкими магнитными поверх-
поверхностями Ф и Ф + бф, определяемыми уравнением
= Р2Ф2 1 + р	+ ...1 = const.	A3.20)
Для "почти круглых" поверхностей здесь можно положить ф2 =
= лВ0 (s) и затем приближенно определить обратную зависимость

радиуса от ф в виде
р-р(ф)-
После этого находим выражения
/	\ бф
dP-ll	 /	+ ...
3	-/фф2
l- 2-^- /-—+...)бФ	A3.22)
/
и, подставляя последнее в A3.19), получаем
2л	2л
6 ф Г / ф cos в \ Ад Ф Г
х =	\ q> cos6-2	ф 	=	\ Ф3 cos 6 did. A3.23)
65 J \	ф/" / 2ф/'2	лср* J
О	О
Здесь мы учли, что первый член с уф выпадает и остается лишь
второй, квадратичный по Р член, в котором можно положить бф =
= 2ФО pdP; 65 = 2лр dp. Подставляя Зс из A3.23) в "яму" A3.18),
получаем
„	Iff	3 I В'{!)\2	<Ф3С05в>]/1С\2
уф'ф-	Ф I"" 	 -8—	 - ds.	A3.24)
2л ) [ 2 \ KB I	пКВ \\В I
Фигурные скобки означают усреднение по углу со, и в дальнейшем
мы увидим, что величина ф3 представляется в виде Фэ = оt cos 6 +
+ о2 sin 9, так что тогда (ф3 cos 9> = ох (s)/2. Чтобы найти эту функцию
°i (s), замечаем, что в случае почти круглых поверхностей компо-
компоненты поля A2.16) представляются в виде
0	4	;Ы
2 \	Во	I	да
0
BS = BQ \1 + Кх + К2 х2-¦?—?- + ... ,	A3.25)
L	4В0 J
и, подставляя их в уравнение
1 { a
divB =	 	[A - JCx)pB0]
p(l-Kx)[ dp	P
[(i-Kx)Bo]+ — (pBf)|-0,	A3.26)
ds	)
123

можно найти функцию
/ , 5 ,\ «ив sine
Ф3=- \В0К + — КВ0)	кКВ0	.	A3.27)
\	2	/ 8	8
При этом предполагается, что внешние обмотки не создают слагаемых
с третьей гармоникой, содержащей cos 36 и sin 36.
После этого можно найти магнитные поверхности из уравнения
ВУф = 0, из которого для функции Фз получается уравнение
зпк \ 4пх'
cos 9 +	cos 9,	A3.28)
ds \ B3'2 j ds \ 4 V?	/ 4B3
интегрируя которое, находим
s ,
зл	л	г кв
Фз =	KB cos 6 + — В3'2 R; R= \ —^ cos 6 ds.'	A3.29)
J
Постоянвую s0 в нижнем пределе интеграла следует определить
из условия периодичности функции R F, s) = R(&, s + L), где I -
полная длина ловушки "дракон". Пользуясь этим условием, ввиду
6 = со - а E), находим
i6	iaf KB' -ia
o)o j^-e ds[	A3.30)
где Re означает реальную часть. Если далее обозначить /(s) = КВВ3'2
и учесть, что a E + L) = a (s) + a (L), то требование периодичности
дает
s	s+L
о E) = eia U)-ia("V ( ) ia(I)i
, -ia(?)
s	1-е
A3.31)
Если обозначить е = exp[-ia(L)] и разложить знаменатель в ряд
124

по е, то этот интеграл можно представить в виде
s+L	те
s	о
и тогда функция R в A3.29) оказывается равной
R = cos 6 Re (о) - sin 6 Im (о),	A3.33)
где реальная и мнимая части ргвны соответственно
Re (о) — Г/ E +1) cos [a (s) - а (s + %)] d%;
о
Im (о) --?/(* + ?) sin [а (s) - а (s +1)] dfc.	A3.34)
о
Подставляя это выражение в A3.29) и далее A3.29) в A3.24), по-
получаем
^	— В3'2 Re(o),	A3.35)
4	4
так что "магнитная яма" запишется в виде
1 Г Г JC2 3 / B(s) \2 К
	<U2	+ — 	 +	Re(o)
2л I	В2 2 \ В2	В3'2
A3.36)
Далее, однако, замечаем, что Re (о) можно переписать:
S	S
Re (о) = cos a J f(s) cos а (s) ds'+ sin a $ f{s) sin а (s) ds'	A3.37)
oo	oo
и в выражении A3.36) для "ямы" можно ввести два "драконных"
интеграла A3.11):
S	S
гЛ Г Ksina ,	Г Kcosa
fli = 	dr, qv (s) = 	ds',	A3.38)
J в312	y J B*'2
-1/2	-1/2
переписав последнее слагаемое в A3.36) в виде
1 Г К	1 Г/ dB
¦Re(o)ds=	(У	1	1-^—^)ds.
()
В*<2	2л J \ ds / ds \
A3.39)
125

Здесь при интегрировании по частям вклады на пределах интегри-
интегрирования выпадают именно вследствие обращения в нуль полных
драконных интегралов, взятых по длинам обоих крэлов. Отметим,
что первые два слагаемых в "яме" A3.36) положительны и являют-
являются дестабилизирующими факторами, и лишь последнее слагаемое
A3.39) может быть отрицательным и приводить к стабилизации
плазмы даже при круглых магнитных поверхностях. Это возможно,
если производные dB/ds и d(qJ/ds имеют одинаковые знаки и
достаточно велики.
Если далее использоЕать вместо s переменную t = §Kds и рассмат-
рассматривать драконные интегралы A3.38) как координаты "точки" q{t),
движущейся по плоскости со скоростью v = q, то, учитывая, что
v2 = В~3, можно записать "магнитную яму" в виде
Kdt
—;
Наконец, из конструктивных соображений разумно считать, что
радиус кривизны пропорционален радиусу плазменного шнура а,
что с учетом сохранения продольного потока ла2В0 = const означает,
что кривизна пропорциональна корню квадратному от магнитного
поля К ~ у[в]. Тогда имеем КВ0 ~ | v|, и "магнитную яму" можно
представить в виде
V? = const • S; S = $ Ldt, L (q, q, q) = |T|I.	A3.41)
В такой записи видно, что проблема получения минимальной ямы
V < 0 аналогична минимизации функционала S, который можно
рассматривать аналогично действию в механике, и при этом функция
? (<L Q) о) играет роль эффективного лагранжиана, который зависит
от координаты q скорости q и ускорения q воображаемой "частицы".
Детальные расчеты, которые мы не будем здесь приводить,
показывают что наиболее целесообразно сделать поле BQ (s) одно-
роднм на крэле, но в его середину дополнительно встроить несколько
S-образных по форме оси соленоидов с увеличенным полем Ямакс в
их серединах. Оптимальный профиль поля в таких S-образных
пробках-стабилизаторах находится из уравнений Эйлера- Лагранжа,
минимизирующих функционал S в "яме" A3.41). Расчеты показывают,
что для стабилизации было бы, например, достаточно иметь три
таких последовательных 5-стабилизатора с пробочным отношением

П ¦ ^макс^мин= 2.5. К сожалению, этот новый метод стабилизации
(за счет неоднородности поля на кривых участках при круглых
магнитных поверхностях) еще не был проверен на практике.
Задача 1. Доказать, что при преобразовании скарабея выполняется требование пол-
полного сцепления шара с плоскостью.
Решение. Правило полного зацепления легко понять на примере, когда плоский
след является окружностью радиуса Яп с центром в точке 0. Чтобы катить шар единич-
единичного радиуса по этой окружности, не допуская проскальзывания, нужно мысленно
окружить шар конусом с вершиной в точке 0 и катить этот конус вместе с шаром.
Тогда след на шаре будет окружностью с радиусом Лш, который связан соотношением
Яш — Яп~а - 1 с радиусом плоского следа (рис. 67). При катании шара по произвольной
плоской линии требование полного зацепления будет выполнено, если указанное со-
соотношение будет выполняться для мгновенных значений радиусов кривизны обоих
следов. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим совместно плоскую кривую Ч(Й и прост-
пространственную кривую т (г) и запишем для них уравнения Френе. Поскольку | т| = | q| =
» 1, в обоих случаях "движение" происходит с единичной по модулю скоростью, так
что dt есть элемент длины вдоль обеих траекторий. Это означает, что производные
х ¦= Тщ и q = тп следует интерпретировать как единичные касательные векторы к тра-
траекториям на шаре и на плоскости, а для них уравнения Френе, взятые в "основной
форме" A2.3), дают
где Кш " 1/Лш и Кп = 1/Дп ~ Две кривизны, a i
и следа на плоскости, и поэтому находим
и Пи — две нормали для следа на шаре
JC*„ - (х)а = (-
1 + ы2; Кгп
*• к2 — к2 ш 1
Последнее соотношение и означает условие полного сцепления шара с плоскостью
при катании по методу скарабея.
Задача 2. Убедиться, что плоская минимальная петля скарабея имеет форму лука
с концами, стянутыми тетивой впритык.
Решение. Рассматриваем лук как упругий стержень, концы которого стягиваются
тетивой, как это изображено на схеме рис. 68. Из теории упругости известно, что плоский
изгиб однородного по длине стержня описывается уравнением Е1[хЧ] - [Ft], где Б —
модуль упругости Юнга; 1 — момент инерции сечения стержня; F — сила стягивания,
приложенная к верхнему концу; т - единичный касательный вектор, а точка означает
производную по длине вдоль стержня. Отсчитывая угол а от вертикали направо, имеем
%х = sin а; Ту =¦ cos а и F = Fy = — |F|, kz — компонента указанного выше уравнения дает
Рис. 67. Катание шара по плоскости без Рис. 68. Форма упругого стержня со сведен-
проскальзывания	ными впритык концами
127

; Ha-|F|/?/>0.
При интегрировании следует учесть два граничных условия: а = 0 при г - 0 для середины
стержня и d = 0 на правом верхнем конце, где а = а к и не приложен какой-либо враща-
вращательный момент. Тогда найдем
1 ак Г sin (a/2) 1
а2 - 2ц (cos a -cos a k); f~ F&,k); fc-sin——; | = arcsin	 ,
\i	2	L /c J
так что ос = 2arcsin {к sin %), как и в A3.13). Далее находим
i Г	2к
. + \ sin adt = -	cos |;
у - \ cos otdt	[2H (S, k) - F (I, k)],
0
и для стягивания концов впритык необходимо потребовать, чтобы у = 0 при &-аку
когда I = л/2, что дает 2Е(к) = К (к), к = 0,90891. Наконец, требование совпадения
длин стержня и минимальной петли скарабея выполняется, если параметр |i имеет
прежнее значение И = 0,606917. Заметим, что угол раствора при вершине стянутого
впритык стержня равен 81,42°.
Глава 3
МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
В предыдущих главах плазма рассматривалась как совокупность
заряженных частиц, движущихся в заданных внешних полях.
В действительности, как уже отмечалось, движение частиц плаз-
плазмы может приводить к возникновению токов и объемных зарядов
и, следовательно, к появлению собственных полей плазмы. Такая
самосогласованная картина наиболее просто учитывается в рамках
магнитной гидродинамики. В такой "МГД-модели" плазма рас-
рассматривается как сплошная среда - газ или жидкость, обладающая
хорошей проводимостью и характеризующаяся макроскопически-
макроскопическими параметрами - плотностью, скоростью и давлением.
В настоящей главе мы будем пренебрегать вязкостью и тепло-
теплопроводностью плазмы, т.е. будем считать ее идеальной жидкостью.
128

§ 14. Уравнения магнитной гидродинамики
Уравнения МГД были впервые рассмотрены Альфвеном, который
объединил с уравнениями Максвелла три уравнения обычной
гидродинамики:
Эр
¦ + div pv = 0;
A4.1)
l
рт-- Vp+ — [jB];
с
P~PT.
Здесь Р (г, t) = тп - масса, заключенная в единице объема; v(r, t) -
скорость жидкости; р (г, t) - давление; У = Ср/Су - показатель адиаба-
адиабаты; j(r, t) - плотность электрического тока и В (г, t) - магнитное
поле.
Первое соотношение A4.1) - уравнение непрерывности - выражает
закон сохранения массы или числа частиц. Его можно представить
также в двух других формах; учитывая, что
dp Эр
р=	=	+ vVp и divpv= vVp + pdivv,
it dt
записываем
p/p = -divv.	A4.2)
Если выделить в жидкости малый элемент объема ДУда, движу-
движущийся вместе со средой, то по определению
if	id
divv = lim 	&\NdS =	•	AV .	A4.3)
ду-о av J	дуда it
Интегрируя выражение A4.2), получаем закон сохранения массы
или числа частиц в этом объеме:
рДУда = const или пДУда = const.	A4.4)
Здесь л (г, t) = — р (t, t) - плотность числа частиц. Другая форма
т
получится, если проинтегрировать уравнение непрерывности по
129

неподвижному объему А Ун:
[ Эр	d [	Г	Г
\	dV =	 \ pdy = - \ divpydy = -ffi pvNdS.	A4.5)
J at	л J	J	T
дун	дун	ДУН
или (разделив на т)
d
д у - ф nvjv dS.	A4.6)
*	J
Здесь N&y = indV - число частиц в выделенном объеме А У, и по-
поскольку т - плотность потока частиц, то выражение A4.6) указы-
указывает, что приращение N&y равно потоку частиц, втекающих в
выделенный объем через его поверхность.
Второе соотношение A4.1) - уравнение движения - представляет
собой уравнение Ньютона, отнесенное к единичному объему среды.
Если \ (г, t) - смещение частиц жидкости, то у = ? - их ускорение,
так что имеем
p| = F = -Vp + — [jB].	A4.7)
с
Здесь F - сила, действующая на единичный объем жидкости. Первый
член справа
р(* + Л)-р(*)	1 Г
A4.8)
dz	AV
AV
(evp - единичный вектор вдоль Vp II z) представляет собой сумму
давлений, действующих на поверхность выделенного единичного
1
объема А У со стороны окружающей среды. Второй член FMarH = — [jB],
с
добавленный Альфвеном, учитывает силу Лоренца, с которой маг-
магнитное поле В действует на единичный объем, если в нем течет ток
j = eeneye + e1n,y1-.	A4.9)
Здесь ее и е,- - заряды электронов и ионов; пе, л,- - их плотности и
ve. *i - скорости. Таким образом,
— ЦВ]« п, — [т. В] + щ JL fa В].	A4.10)
СС	с

Последнее соотношение A4.1) представляет собой уравнение
адиабаты и соответствует закону сохранения энергии в условиях
отсутствия теплопроводности (здесь мы рассматриваем плазму
как идеальную жидкость, не обладающую теплопроводностью и
вязкостью). Поскольку в соответствии с выражениями A4.4)
р ~ 1/Д V, уравнение адиабаты можно представить в обычной форме:
p(AV)v = const.	A4.11)
После того как в уравнения обычной гидродинамики Альфвеном
1
была добавлена сила Лоренца FMarH = — ЦВ] (в гравитационном поле
с
следует также учитывать силу тяжести FtSDK = Pg), система этих
уравнений оказывается незамкнутой и потому должна рассматри-
рассматриваться совместно с уравнениями Максвелла:
div В = 0;
1 дВ
rotE = -
rotB =
с dt
4л	1 дЕ
A4.12)
с	с dt
Ограничиваясь рассмотрением сравнительно медленных движений
жидкости, можно в последнем уравнении опустить ток смещения
1
Jcm =	dE/dt, и тогда в указанном приближении квазистационар-
4л
ных полей имеем
j	—rot В,	A4.13)
4л
что можно использовать для исключения тока j из уравнений A4.1).
Наконец, вследствие законов Ома имеем
,1-оЕ,	A4.14)
где о - электропроводность среды. В таком виде, однако, закон
Ома применим лишь для неподвижной плазмы. В случае движущей-
движущейся среды в формуле A4.14) под полем Е следует понимать электри-
электрическое поле Е* в системе координат, движущейся вместе со средой,
Ш

которое, как известно из электродинамики, равно
1
Е*«Е+—[vB].
A4.15)
Здесь Е и В - поля в лабораторной системе координат, а т - скорость
среды. Таким образом, закон Ома A4.14) следует записать в виде
E	1
с
A4.16)
Так как проводимость плазмы достаточно велика (см. гл. 6), то
в первом приближении ее можно считать вообще бесконечно боль-
большой о ¦* <х> (модель идеальной жидкости), а поскольку ток должен
оставаться конечной величиной (чтобы не возникало бесконечно
больших магнитных полей В, что абсурдно), то очевидно,
Е*=0,
A4.17)
1
откуда Е ¦	[vB]. Подставляя это Е в уравнение индукции, полу-
с
чаем
дв
dt
¦ rot [vB].
A4.18)
Таким образом, окончательно система уравнений МГД имеет
следующий вид:
1
dp
= -divpy; p~pr;
at	4л
rotB;
A4.19)
dt
и может быть сведена к трем уравнениям для трех неизвестных
р, т, В, т.е. является замкнутой системой. Дополнительное уравнение
div В - 0 можно рассматривать как некое начальное уравнение,
поскольку, применяя оператор дивергенции к уравнению A4.18) и
3
учитывая, что div rot - 0, получаем	(div В) ¦ 0.
В рамках указанной "одножидкостной" модели плазма рассмат-
рассматривается как идеальная жидкость, в которой отсутствуют вязкость
132

и теплопроводность, а также джоулево выделение тепла (вследствие
О "¦ оо).
Может возникнуть вопрос: почему в уравнении движения фигу-
фигурирует лишь магнитная сила Лоренца A4.10) и не учтена электри-
электрическая сила
Рэл = ее пе Е + е, л, Е = еЕ (л,- - пе)	A4.28)
(где е, = -ее = е), которая действует на электроны и ионы, находя-
находящиеся в рассматриваемом единичном объеме? Связано это с так
называемым свойством квазинейтральности плазмы, вследствие
которого плотности электронов и ионов с большой степенью точ-
точности можно считать равными друг другу, и поэтому в выражении
A4.20) л, - ле * 0.
Рассмотрим более детально полученные уравнения и, в частности,
магнитную силу:
1 1 В2 (Во) В
Рмагн — ЦВ]	[rot ВВ] = - V	+	.	A4.21)
с	4л	8л	4Л
Величину рмагн = В2/8п принято называть магнитным давлением.
Поскольку В = тВ,
I В2 \	В2	В2
(Bv) В = т тV	 + в2 (тV) т = V Ц	+ п	,
\	2 /	2	Дкр
где #кр - радиус кривизны силовой линии, а п - ее главная нормаль,
направленная к центру кривизны. Таким образом, дляРмагн мсжно
также получить выражение
в2	в2
Рмагн ¦* - "Vj. 	"Hi 	.	A4.22)
8л	4лйкр
Последний член связан с искривлением силовых линий и обра-
обращается в нуль для поля с прямыми, где йкр = ~. Наконец, учитывая,
что
д
(BV)B,= —— В{Вк
д*к
где под к подразумевается суммирование от 1 до 3, нетрудно убе-
убедиться, что сила Яиин может быть представлена в виде дивергенции
тензора магнитных давлений:
д
р.т- р.кг	A4>2з)
дхк
133

где
8л	8л
В системе координат с осью, направленной вдоль поля, этот
тензор имеет вид
р 0 0
1	в
Р.. = 0 р 0	,гдер		A4.25)
I	ел
Это выражение показывает, что силовые линии магнитного поля
стремятся растолкнуться в поперечном направлении с удельной
силой (на 1 см2), равной Рмагн = ^/вл.ав продольном направлении
с той же силой стремятся сократиться (поскольку Ра = -Рмагн)-
Из уравнений МГД можно получить так называемую теорему
вмороженности, которая заключается в следующем. Рассмотрим
какой-либо замкнутый "жидкий" контур К, движущийся вместе со
средой. Так как Е *= 0, то ЭДС на обходе этого контура равна нулю, и,
следовательно, по закону индукции Фарадея, применимому в том
1 .
числе и к движущемуся контуру, имеем — Ф^ = ЭДС = 0, откуда
с
Фк= $BdS = const.	A4.26)
(К)
Таким образом, магнитный поток, пронизывающий этот контур,
остается все время постоянным. Иными словами, магнитные си-
силовые линии, охватываемые этим контуром, не могут его пересе-
пересекать и движутся вместе с контуром, а поскольку это справедливо
для любого произвольно выбранного контура, то силовые линии
оказываются как бы "вмороженными" или "приклеенными" к
частицам жидкости и движутся вместе со средой.
Разумеется, это утверждение относится лишь к поперечному
перемещению силовых линий, так как в утверждении о движении
силовой линии вдоль самой себя не может быть физического смысла.
Рассмотрим, однако связанный с частицами малый элемент
длины А/ на некоторой силовой линии и построим вокруг него
силовую трубку с сечением AS. При движении выделенного таким
образом элемента объема AV = ASA/ должны сохраняться поток

В AS = const и масса р Д V = const, вследствие чего имеем
A4.27)
Последнее соотношение качественно указывает на возможность
генерации магнитного поля при увеличении длины силовых линий.
Предположим, что плазма или хорошо проводящая жидкость на-
находится в состоянии хаотического турбулентного движения. Такие
условия осуществляются, по-видимому, при космических взрывах
(например, при взрывах сверхновых звезд), в атмосфере Солнца,
в недрах ядра Земли, где происходит тепловая конвекция. Тогда
две точки среды, взятые на одной силовой линии начального "за-
"затравочного" магнитного поля, имеют тенденцию в среднем удалять-
удаляться друг от друга. При этом Д/ растет, и если этот рост не компен-
компенсируется спаданием плотности (например, в ядре Земли плотность
можно считать неизменной), то поле В в соответствии с условиями
A4.27) также будет возрастать.
Эта картина, по-видимому, правильно описывает возникнове-
возникновение космических магнитных полей - полей Земли и Солнца, ту-
туманностей и т.д. При этом возрастание магнитного поля продолжа-
продолжается до тех пор, пока оно в свою очередь не начнет оказывать
обратного стабилизирующего воздействия на турбулентные пуль-
пульсации среды. Грубо говоря, это должно случиться тогда, когда
средняя плотность энергии поля сравняется с плотностью кинети-
кинетической энергии пульсаций:
Г *кин = р7/2.	A4.28)
Рассмотрим, как выглядит закон сохранения энергии в идеаль-
идеальной магнитной гидродинамике. Выделим в жидкости некоторый
объем V, движущийся вместе со средой. Его кинетическая энергия,
Г 1
очевидно, равна К (t) = \ — pv2dV, а для ее производной найдем
J 2
-^- = dVp (vv) = vFdV= I dVy j-Vp + — ЦВ] + pgj.	A4.29)
Пользуясь уравнениями A4.20) и преобразуя по частям ряд
интегралов, отсюда можем получить закон сохранения энергии
dg Г
	<Ь dS (vpra3 + тх рмагн - т, Рмагн).	A4.30)
dt J
Здесь ? = K + U - полная энергия выделенного объема, состоящая
135

1
из кинетической энергии К т—1 pv2 dV и потенциальной
2 J
где
У>ишгнА— dV;U-\ pVdV.	A4.31)
Здесь С/газ - газовая энергия (для атомного газа у = 5/3, так что
р/(у - 1) = C/2) пТ - обычная тепловая энергия частиц); t/MarH -
магнитная энергия и С/Гр - гравитационная энергия частиц в поле
тяжести (?тр - потенциал силы тяжести; g = -VTrp). Интеграл
справа в уравнении A4.30) учитывает работу поверхностных сил,
причем первый член под интегралом соответствует работе газового
давления, второй - работе поперечного магнитного давления
р икя - В2/8л и третий - работе продольного магнитного натяжения
Рмагн = ~Я2/8Л (при этом у,, = т (тт), где т = В/В). Элемент поверх-
поверхности dS направлен в сторону внешней нормали к рассматриваемому
объему, т.е. наружу. Два последних члена в уравнении A4.30) имеют
1	и
разные знаки, так как р М1ГН соответствует сжатию, а р магн - растя-
растяжению.
Задача. Получить закон сохранения энергии A4.30). Получить теорему вириала в
МГД.
Решение. Вириалом системы материальных точек в механике называется величина
W » 2 ц Fj, где F,- — сила, действующая на йо точку. Так как Fj = m,- tj, то
;h™.	о)
и если система совершает финитное движение, то при усреднении по времени последний
член выпадает и получается соотношение W - -Ж, которое во многих случаях ока-
оказывается полезным при исследовании движения системы.
В магнитной гидродинамике соответственно имеем
W'\ ttdV*\ rrpdV--Ж + — \ OPdV.
B)
Ul J
Подсчитаем теперь сам вириая
\
C)
W -1 rFdV -1 dVt ( -Vp + — ЦВ] + pi j dV.
Преобразуя по частям член с Vp и учитывая, что diT г » 3, находим
I(-rVp) dV-3(y-l)UTt3-§j>tdS.	D)
136

Подобным образом для члена с магнитной силой имеем
1
^газ
с
г — UBjav = Ur.,-CD|-r— vas)--^v>ao)i ¦	E)
Наконец, для гравитационного члена, учитывая силу тяжести, создаваемую самой
жидкостью (что может представлять интерес для космических проблем), имеем
Г й
g ' -VFrp = G \ "TTpdV; div g = -G • 4лр (r),
где R = r — r', aG>0 — гравитационная постоянная. Тогда
F)
1 Г
rpgdV =	\ (rg) div gdV =
4nGJ
m
Собирая результаты, получаем
В2 g2 \ (rB) (rg) ] d
р +	г-	В +	g +	\ rrpdV.
8л 8лС/ 4л 4лС J it J
Это соотношение и является теоремой вириала в МГД.
§ 15. Простейшие равновесные системы
В случае статического равновесия (у = 0ид/9* = 0) уравнения
МГД принимают вид
Vp = — [jB]	[rotBB]; divB=0.	A5.1)
с	4л
При этом мы также предположим, что g = 0, так как в задачах,
связанных с осуществлением управляемой термоядерной реакции,
можно обычно не учитывать силу тяжести. Из уравнения A5.1),
в частности, следует, что /Vp = BVp = 0. Иными словами, линии поля
В и линии тока j лежат на поверхностях постоянного давления
р = const. Рассмотрим примеры равновесных систем.
Самый простой случай получится, если магнитное поле имеет
лишь одну компоненту В = В2. Тогда из уравнения div В = dBjdz =
¦ 0 имеем Bz = Bz {x, у), и поскольку силовые линии являются пря-
137

мыми, из уравнения A5.1) с учетом выражений A4.22), A4.23) следует
A5.2)
откуда
в*
р +	=/(х, у) = const.
8л
В частности, если магнитное поле внутри плазмы равно нулю,
то давление внутри плазмы будет постоянным р,- (х, у) = const,
граница плазмы будет резкой (скинированный случай) и на границе
р{ = ву&п, где Ве - поле снаружи границы.
Такая ситуация примерно осуществляется в так называемых
6-пинчах (рис. 69,а), где столб плазмы сжимается нарастающим
продольным магнитным полем.
Другим простейшим случаем является так называемый z-пинч
(рис. 69, б), в котором по поверхности цилиндрического столба
плазмы пропускается продольный ток /, создающий <р -е магнитное
поле.
Поле на границе г = а такого пинча равно В = 2//со, и давление
плазмы уравновешено магнитным давлением р = пе Те + л,- Г,- =
= В2 Ы/8л. При одинаковых температурах электронов и ионов
Те = 3] = Г имеем
f'^N.T,	A5.3)
где
Очевидно, JVX - это число частиц
(ионов), приходящихся на единицу
длины шнура. Соотношение A5.3)
показывает, что в такой установке
можно было бы легко достичь вы-
высоких температур, необходимых
Рис. 69. Схема 8-пинча и Z-пинча

для протекания термоядерной реакции. Пусть, например, разряд про-
происходит в цилиндрическом сосуде радиусом 10 см, наполненном дейтерием
при давлении 0,01 мм рт. ст. A,33 Па), что соответствует п0 =
= 4-Ю14 см и JVj = 1017 част./см. Предполагая, что при разряде
весь газ ионизуется и стягивается в плазменный шнур, по формуле
A5.3) нетрудно убедиться, что для создания температуры в 108 К
[Г = 10 кэВ = 1,6 • 10~8 эрг A0~15 Дж)]; был бы необходим ток A А =
= 3 • 109 абсед.)
/= 2с y/Nx Г = 3 • 1015 абс. ед. = 106 А,
что вполне достижимо в лабораторных услоЕиях. К сожалению,
такой простейший разряд оказьшается неустойчивым.
Точно так же неустойчивым является и 6-пинч с прямыми си-
силовыми линиями. Для стабилизации z-пинча в нем создают продоль-
продольное магнитное поле, которое частично подавляет неустойчивость
плазмы.
Рассмотренный пример полностью скинированного пинча с током,
текущим лишь по его поверхности, является идеализированной
моделью. В действительности проводимость плазмы не является
бесконечно большой, и ток будет частично проникать внутрь плазмы.
В простейшем случае можно считать, что ток / равномерно распреде-
распределен по сечению шнура с плотностью jz = i/ла2 и внутри плазмы
имеется поле Вц, = 2I(r)/cr, где /(г) = jz^r2. Тогда, интегрируя урав-
уравнение равновесия
Эр 1	1	/ I2 \ 2г
VrP = _	ЦВ]Г	jzB ф(г) = - —____,	A5.4)
дг с	с	\ па3 с / а2
получаем, что давление спадает по параболе
p(r) = p@)(l- —),	A5.5)
где
I2
р@) =
па2 с2
Если предположить, что температура Т = р (г)/2п (г) постоянна по се-
сечению, то полное число частиц в сечении будет равно
а	а
Г	Г/	г2 \	Р@) па2
ЛГХ= п(гJлгс?г = п@) 1	2nrdr =	,	A5.6)
J	J\ «а /	2Т 2
О	О
139

и с учетом выражения A5.5) мы получим прежнее соотношение
A5.3) I2 = 4c2 Nj Г, которое, таким образом, не будет зависеть от
распределения тока по сечению шнура (это можно показать и для
произвольного распределения).
Рассмотрим теперь примеры замкнутых равновесных систем,
простейшими из которых являются тороидальные разряды.
Пинч в кожухе показан на рис. 70. Рассмотрим условия равнове-
равновесия плазменного шнура в тороидальном кожухе, который считает-
считается идеально проводящим, вследствие чего в него не может проникать
магнитное поле. Предположим, что пинч имеет форму тора с большим
радиусом R и малым радиусом а. Продольный <р-й ток / будем счи-
считать распределенным лишь по поверхности плазмы (скинированный
случай). Этот ток создает снаружи пинча магнитное поле, силовые
линии которого располагаются в меридиальных плоскостях rz.
В простейшем случае можно считать, что давление плазмы постоянно
по сечению шнура: р = const. При этом
Vp	Ц
с
0,
A5.7)
т.е. j II В.
Магнитные поля, в которых j II В, принято называть бессиловыми
полями. Внутри плазмы имеется продольное поле В = В^, парал-
параллельно которому и может лишь протекать ток j = jv при р = const.
Однако поскольку по условию продольный ток сосредоточен на
поверхности, следовательно, внутри плазмы
j*	rotBv = 0,
4л
A5.8)
Рис. 70. Плазменный тороия в проводящем кожухе
140

откуда Вф ¦ const/r, где г - цилиндрическая координата, отсчиты-
отсчитываемая от оси z. Если снаружи пинча также имеется продольное
магнитное поле Вещ, то оно, очевидно, тоже должно иметь вид Вф =
= const/r. В английской термоядерной установке "Зэта", сходной
с рассматриваемой нами системой, разряд осуществляется таким
образом, что предварительно в камере создается продольное поле,
а затем путем изменения магнитного потока наводится продольная
ЭДС. Возникающий плазменный шнур захватывает продольное поле
и стягивается к оси камеры, так что снаружи пинча продольного
магнитного поля практически не остается. В этом случае В^ = О,
а компонента Вы на границе плазмы может быть найдена из условия
равенства наружного магнитного и внутреннего суммарного давле-
давлений:
а / Вт \а
- p+-
8л /гр \ 8л /Гр
Записав внутреннее <р-е поле [см. уравнение A5.8)] в виде Вф
= (R/r) Во, где Во - значение поля на оси шнура, найдем
я
ггр
\/l + P (rrplRJ',	A5.10)
где 3 = р/Во/8п; rrp = R - х = R - a cos со - расстояние от оси z до
границы плазмы (см. рис. 62). Тогда для полного тока, текущего
вдоль шнура, имеем
Г / /	^
aB0<kdco /p+ 	 .	A5.11)
4я 1	4л	1 V	\i?-acosu/
Для тонкого тора а <? R, пренебрегая членом с cos со под корнем,
1	,	,
получаем / = — саВ0 v 3 + 1 или, иначе,
2
+ — I,	A5.12)
что можно рассматривать как обобщение формулы A5.3) на случаи,
когда внутри z-пинча имеется продольное магнитное поле. Таким
образом, мы полностью решили внутреннюю задачу для тороидаль-
тороидального пинча. Снаружи пинча имеется вакуумное магнитное поле,
и если зазор А. (со) между поверхностью плазмы и кожухом невелик,
141

то его можно найти из условия сохранения магнитного потока
*ы-2?*(ыJлг1р-сопй-Фы.0,	A5ЛЗ)
откуда с учетом соотношения A5.10) получим
/
r(u) B(U)	V	/ в	\а
1 + Р 1-—cos со)
\ R I
При a/R «? 1 имеем
[a/R u 1
1-2Р	Sin2	 .	A5.15)
1 Р	2 J
Поскольку по условию сам пинч имеет круглое сечение радиуса
а, то из формулы A5.15) можно установить, что кожух должен при-
приблизительно иметь вид окружности с центром на расстоянии Л =
а	Р
= к @)	от центра пинча и с радиусом b = а + А. @) - Д (см.
я 1 + р
рис. 62), причем А. @) произвольно, но считается малым: А. @) «С а.
Рассмотренный пример можно распространить на случай, когда
снаружи пинча имеется продольное магнитное поле и когда продоль-
продольное поле отсутствует как внутри, так и снаружи.
При отсутствии же меридиального поля Вы или, что то же самое,
продольного тока в пинче равновесие оказывается вообще невоз-
невозможным.
Рассмотрим равновесие "тонких" торов*. Очевидно, что торои-
тороидальная конфигурация является простейшей замкнутой системой.
Предположив, что плазменный шнур сохраняет форму тора с боль-
большим радиусом R и малым а, причем а <&¦ R (тонкий тор), рассмот-
рассмотрим условия равновесия такой системы в случае, если снаружи
нет какого-либо кожуха.
Если такая система может рассматриваться как замкнутая, то
равновесие будет возможно лишь при наличии достаточно сильного
собственного гравитационного стягивания. Такой гравитирующий
тор условно можно рассматривать как модель Галактики. Если
гравитационными силами можно пренебречь, то для равновесия
необходимо, чтобы внутреннее давление газа и магнитного поля
в системе было уравновешено давлением магнитного поля или
* Эта задача была рассмотрена В.Д. Шафрановым.

газа (либо того и другого вместе) снаружи системы, т.е. система не
может быть замкнутой.
Рассмотрим последовательно три возможных случая: гравити-
рующий тор, тор в поле и тор в газе.
Условия равновесия этих систем проще всего получить, восполь-
воспользовавшись теоремой вириала (см. задачу 2 к § 14), которая в условиях
стационарного динамического равновесия {d/dt = 0, но v ф 0) при-
принимает вид
+ _i_[ij2r_2(rB)B]+ — [2(rg)g-^r-g?rp]|.	A5.16)
Для гравитирующего тора (рис. 71), рассматриваемого как замкну-
замкнутая система, можно отодвинуть поверхность в интеграле справа
на бесконечность, и тогда получим
2К + 3 (V - 1) f/m + Сн + ^агн + t/rp = 0-	A5.17)
Здесь все члены положительны, кроме гравитационного (С/гр =
= - \итр\). Очевидно, для устойчивости необходимо, чтобы полная
энергия была отрицательной:
Исключив из этого неравенства кинетическую энергию К с по-
помощью соотношения A5.17), получим условие
I ЦР|> ^магн + [2 - 3 (V - 1)] Ura3,	A5.18)
которое в астрофизике известно как критерий динамической устой-
устойчивости Чаидрасекара-Ферми.
В случае тонкого тора можно считать, что плотность Р и давление
газа Pi равномерно распределены по объему тора V = ло2 2лД. Пред-
Предполагая для общности, что внутри тора имеется продольное ф-е
поле 5ф = Я, и что тор вращается
с окружной скоростью v<p, имеем
Mv\>	pt V
—; t/газ —
Y-1
Ц*агн = Рмагн V', Рмагн ~В /8 Л.
Рис. 71. Схема гравитирующего юра
A5.19)
143

Так как снаружи проводники с токами отсутствуют, то внешнее
магнитное поле не может иметь ф-ю компоненту, однако в самом
торе возможен продольный ток /, который мы будем считать распре-
распределенным по поверхности тора. Тогда снаружи будет магнитное
поле Ве (в частности, на границе Ве - 21/са) и внешняя магнитная
энергия оказывается равной t/MarH = LI2/2с2, где L - 4лД In	21-
\ « /
самоиндукция тора.
Собственная гравитационная энергия тонкого тора с равномерно
распределенной плотностью приближенно равна (G - гравитацион-
гравитационная постоянная)
If	G Г dVdv'	М2 Я
.	_*-G	In — ,	A5.20)
\r-r\	4лЯ в
а обобщенные силы тяжести, действующие по малому и большому
радиусам, соответственно составят
Р = - = —G ;
да	4лЯв
Я дитр	М* I R \
Ftp	-~-G	 In	1 .	A5.21)
р dR	4ЛЯ2 \ в /
Очевидно, условие равновесия по малому радиусу должно соответ-
соответствовать равенству давлений
i	е , в	l I n \a G
Pi + f^arH=PMarH+krp/ST	 +—раЛаа.	A5.22)
8л \ са I 4
Здесь &[« 2па2лК - поверхность тора.
Тогда с учетом A5.22) соотношение A5.17), вытекающее из теоре-
теоремы вириала, можно записать в виде равенства обобщенных сил,
действующих по большому радиусу:
I	R	\
ЗдесьF^ ¦ 2л {l/c? (in8	1] - сила расталкивания кольцевого
\ « /
тока по радиусу, а физический смысл остальных членов не требует
пояснений.

Рис. 72. Плазменный тор во внешнем маг-
магнитном поле
L
Для тора в поле (рис. 72) пренебрежем силой тяжести (G -* 0) и
будем считать, что снаружи имеется магнитное поле Ве = В\.о6 + Щ,
переходящее на бесконечности в однородное внешнее поле В^ = Во.
Рассмотрим вначале конечный, но достаточно большой объем V^ в
виде куба, окружающего нашу систему.
Указанный объем слагается из объема тора V,- и внешнего по
отношению к тору объема Ve. На поверхности объема У^ достаточно
удаленной от нашей системы, поле можно 'считать постоянным и
равным внешнему полю В д. Поэтому, применяя формулу A5.16)
объему у , для поверхностного интеграла справа
°°
к указанному
получаем
8я
гВ„
4я
8я
J 8л
dV
A5.24)
(При этом $rdS = I div r dV ж Зу , однако второй интеграл дает -
2у ). Перенося все члены в формуле A5.16) налево, можно теорему
вириала представить в виде
'магн
¦0.
A5.25)
Учитывая, что Ве= ВСОб+ Во, величину
U
магн"
— dV- 1—-
8л	J 8л
dV*
8л
2ca
A5.26)
145

где Фо =¦= Во п (# - аK, следует рассматривать как внешнюю магнит-
магнитную энергию контура с током в поле Во. Считая тор достаточно тон-
тонким (R/a з* 1), мы будем предполагать, что собственное поле тока
на границе шнура Bj = 21/са значительно превосходит внешнее
магнитное поле Во, и поэтому будем удерживать лишь первые по-
поправочные члены порядка B0/Bj < 1.
При смещениях шнура, очевидно, сохраняется полный поток,
пронизывающий контур
я-о
*е= (Всоб + Во) <ffi = —+ Ф0 = const.	A5-27)
Тогда для обобщенной внешней силы, действующей по малому
радиусу, можно найти
"* '			A5.28)
да —7Фе-С0ПЙ	«я \ В/ In (№/«)/
Условие равновесия по малому радиусу, очевидно, должно иметь
вид
Pi +Рмагн =Кае/5г1 = Рмагн 1 +—~	J Рмагн =	» A5.29)
\ Bj ]n(tR/a)l	8я
что соответствует равенству давлений.
Учитывая соотношение A5.29), из теоремы вириала A5.25), A5.26)
можно получить условие равновесия обобщенных сил, действую-
действующих по большому радиусу тора [ср. с равенством A5.23)]:
1п(8К/а)
A5.30)
ЭЯ	с
(принято / = /ф = - |/|). Слева здесь стоят: центробежная сила инерции,
сила газового расширения и слегка измененная сила токового
расталкивания кольца. Они уравновешены справа силой стягива-
стягивания, возникающей вследствие продольного сокращения силовых
линий внутреннего. магнитного поля, и силой Лоренца, описы-
описываемой последним членом.

Рассмотрим далее "тор в газе" (рис. 73), предполагая, что снаружи
магнитное поле отсутствует (Ве » 0), но имеется безграничный про-
проводящий газ с однородным по пространству давлением ре, отличаю-
отличающимся от давления газа р,- внутри тора. Так как вязкостью мы пре-
пренебрегаем, то для общности можно по-прежнему считать, что тор
вращается с постоянной окружной скоростью уф. Условия равнове-
равновесия сил по малому и большому радиусам соответственно должны
иметь вид
i i _ e
Ргаз + Дюгн ~Ргаз>
Мтаф ,. dV i dV e dV
аГ+Рг«-^.	A5.31)
Учитывая, что M/R = PV/R = pdV/dR, последнее условие можно
также записать как
Р'^ +
Воспользуемся, наконец, теоремой вириала и рассмотрим какую-
либо произвольную, но ограниченную конфигурацию магнитного
поля в проводящем газе (или жидкости), который будем считать
1
покоящимся (v = 0). Так как Vp = — ЦВ], то, взяв в теореме вириала
с
поверхность вне объема VB, занимаемого магнитным полем, получим,
что на этой поверхности ре = const. Тогда из теоремы вириала сле-
следует
VB)
или, иначе,
A5-32)
ре внешний газ
Рис. 73. Плазменный тор во внешнем газе,
обладающем давлением
147

Здесь черта сверху означает усреднение по объему VB, занимаемому
магнитным полем. Иными словами, давление газа снаружи должно
превышать среднее давление газа внутри объема VB. Отсюда сле-
следует невозможность существования бессиловых магнитных полей,
ограниченных в пространстве, в которых всюду было бы j II В, так
как при Vp ~ [jB] = 0 условие ре = р,- возможно в соответствии с
формулой A5.32) лишь при В = 0.
§ 16. Тор с распределенным током
Если плазменная система является аксиально-симметричной,
то все функции не должны зависеть от угла ф и при этом удобно
пользоваться цилиндрической системой координат г, <р, z. Задача
о равновесии такой системы сводится к так называемому уравне-
уравнению Грэда-Шафранова, которое получается, если из z-компоненты
уравнения равновесия
^^^^Вг)	A6.1)
A6.2)
найти ток
Вф	с Эр
k'J—
Вт	Вт dz
и подставить его в ср-компоненту основного уравнения магнитоста-
магнитостатики
OtB)(
4л
с
Р dz T
4л /
с \
дг
-вг
с
Вт
др
dz
A6.3)
При этом удобно ввести две интегральные функции
ф (г, z) - { В, (г', z) 2nr'dr'; I (г, z) = \U (г,' z) 2лт'йг',	A6.4)
о	о
первая из которых дает магнитный поток, пронизывающий круг
радиуса г, а вторая полный ток, пронизывающий тот же круг (на
рис. 74 заштрихован). Польза введения этих функций состоит в
том, что обе они оказываются постоянными на поверхностях посто-
постоянного давления р (г, z) - const, и поэтому можно положить р (г, z) -
ш

Рис. 74. Тор с распределенным по сечению
током
const
= р(Ф) и аналогично I(r, z) = /(ф). Кроме того, учитывая уравнения
div В = 0 и div j = 0, через функции Ф (г, г)и/ (r, z) можно выразить
компоненты поля и тока:
2яг
2лг
2ят
2лг
A6.5)
С учетом этих соотношений можно далее записать компоненту
в виде
1
Лр
(ф) +—F2 (ф); Fx = 2лс
P'z
=2лсРф;
)
Ф
A6.6)
Подставляя это выражение в A6.3), где В. ж также следует выразить
через функцию ф, окончательно получаем уравнение Грэда-
Шафранова в виде единого уравнения для функции ф (г, z):
С + К	Фг ~а (Ф)+ ^ Р (Ф)«* а — —	— Р ;
A6.7)
При этом, однако, функции а и Э остаются неопределенными,
что указывает на возможность многих видов равновесия в рамках
идеально проводящей модели МГД, как это имело место и ранее
для плоского равновесия.
Самое простое решение получается, если функции а, р считать
постоянными и искать решение в виде "эллипса, нанизанного на
149

цилиндр"
фо(г,*)-С0
'мин
A6.8)
где Со - постоянная, а г^, г и zMaKc - параметры, определяю-
определяющие размеры системы (см. рис. ТэГгде показана карта линий ф0 (г, z) -
= const). Подстановка решения A6.8) в уравнение A6.7) приводит к
выражениям
2С„
'макс
=const; C=CО=
1+С,
<xo=const,
A6.9)
гмин
где для краткости обозначено Ct = B*макс/гмаксJ. Ток j при этом
равен
A6.10)
и, как видим, сравнительно мало меняется по сечению шнура.
Такое распределение тока Уф плохо согласуется с наблюдениями
на токамаках, где, как правило, ток ;ф более сконцентрирован к
центру сечения. Тем не менее рассмотрим решение A6.8) более
подробно. Предполагая Со > 0, находим, что максимум потока
Фо('-, z) расположен на радиусе R - \/(г?ин + гыаксУ^ где и проходит
магнитная ось системы.
Если для краткости обозначить е = (гмин/гМакс)а и Са = A - е)а/4е,
то поток A6.8) можно переписать в виде
Фс
¦сосг 1--
1 Г (r>-Ra)*
- 1
'мин
A6.11)
Рис. 75. Сечения магнитных поверхнос-
поверхностей ф (г, z)-const. Заштрихована внут-
внутренность сепаратрисы
150

В непосредственной близости от оси, когда величины х = г - R и
гмалы, имеем приближенно
A6.12)
откуда видно, что магнитные поверхности ф0 (г, z) = const имеют
вблизи оси эллиптические сечения. Если С3 < 1, то эллипс вытянут
вдоль вертикальной оси z, что более выгодно для рабочего режима
токамака. Однако для простоты рассмотрим случай чисто круговых
поверхностей вблизи оси, которые соответствуют выбору С3 = 1
и при этом Сх - A - е)/A + е).
Давление плазмы найдем из уравнения [см. A6.7)]
рф	—;р(Ф)=-— (Фо-Фгр).	A6ЛЗ)
16л3	16л3
где фгр - постоянная интегрирования. Если принять фгр = 0, то
границей плазмы будет сама сепаратриса ф0 (г, z) - 0, на которой
давление будет обращаться в нуль, а максимум давления на оси
г = R в этом случае будет равен
1-е / 1 +е \а
Рмакс = Ро =	Со •	A6.14)
16л3 \ ей2 /
Полезно определить также плотность тока на оси
A+еJс
УФ (г - R) =У0 *	Со	A6.15)
2л2 еЯ3
и полный продольный ток по всему сечению:
Г	Г-.ССО
/, '\Ldrdz" у/2	F (е),	A6.16)
J	Я2 Я
где функция F (е) равна
F(e)= izi + ilL ! - * щ LU^ |.	A6.17)
3e	2 I 27l	JT5T
В нашем случае плазменный шнур имеет D-образное сечение, и
такая его форма, как показывают более детальные исследования,
является более устойчивой, чем чисто круглое сечение.
151

Рассмотрим предельный случай достаточно тонкого шнура, когда
параметр е = (гмин/ГмаксJ близок к единице, так что значение
ц = 1 — е мало, и приближенно можно положить
1-й ' / A
A6.18)
/1-(ц/2У	\ 4
где а = йц/4 - малый радиус шнура. В этом пределе функция F(e)
приближенно равна F(e - 1) * Зц2/1О * 4,8 {a/RJ, и полный ток
A6.16) запишется в виде
24 -Jl	сС.	2сС.
/,	а2	Q—f0SnK;f0-	-,	A6.19)
5л*	R3	D	я2 Я3
где jo - ток A6.15) в пределе е -> 1, 5д *¦ 16а2/3>/2 - площадь D-
образного сечения, и наконец, К = 9/10 - поправочный коэффици-
коэффициент, возникающий из-за того, что ток ;'ф все же заметно меняется
по сечению, но эти поправки незначительны.
В том же приближении максимальное давление A6.14) будет
равно
С° '	A6.20)
яэя \ я2
и его полезно сравнить с давлением магнитного поля. Воспользо-
Воспользовавшись формулой A6.11), найдем, в частности, компоненту Bz при
Фг r*-R3	4С„ / г \
Bz =	—2С0-	—*—7 1-- •	Aб-21)
При г = гмин = R - а, а также при г = гмакс = R + о модуль этого поля
равен В± = 4аС0/Дэл, и на сепаратрисе оно создает среднее магнитное
давление <В2>/8л = (aC0/R3J/Ti3, разделив на которое величину
A6.20), получим важный параметр, называемый бета-полоидалъное:
8лр. R
Рпод-Pi—Г1	А'	A6-22)
В1 п
Величину А = R/a принято называть аспектным отношением. Другой,
важной в теории токамаков величиной является так называемый
запас устойчивости, равный q = aB^/RB^ где 5Н - основное продоль-
152

ное магнитное поле на оси, создающее магнитное давление Ва/8л.
Тогда для основного параметра C получаем выражение
) Ы
В проекте токамака ИТЭР аспектное отношение равно А - 3, а для
устойчивости необходимо выполнение критерия Крускала-Шаф-
ранова q > 1. Например, необходимо иметь q = 2, и тогда находим
параметр Р = 1/12 * 8#. Из формул A6.12), A6.13) видно, что давление
в сечении шнура распределено примерно по параболе, и если ис-
использовать не максимальное, а среднее давление рср - рмакс/2,
то параметр Р будет вдвое меньше. При таких значениях Р и ра-
работают токамаки.
Рассмотрим более подробно ход силовых линий, определяемый
уравнением
tBz сгф'г	Lr2	I	г2 \
	;	 Я2-г3-2	 ,	A6.24)
Сг
где L = сС0/ л7(ф) - характерная длина. На внутренней стороне
сепаратрисы г = гмин это уравнение принимает вид
/	0 \
	;	th 	 .	A6.25)
ФСеп гсеп	\ 4>сеп /
Здесь введены обозначения zcen = RC^I^; ip^,, = 2лД7@)/сСо A + е);
Фо - постоянная интегрирования, характеризующая данную силовую
линию на цилиндре г = Гит, -zxn < z < zcen
На внешней стороне D-образного сечения сепаратрисы радиус ра-
равен г = г2 д/1 - (z/z2J, и здесь уравнение A6.24) принимает вид
06.26)
Если для краткости обозначить х = z/zcen, a - zcen/z3 =
то решение этого уравнения можно представить в виде
1-х I 1 + ссх \а	/ _ ф-ф. \
	 	 -ехр 2уТ	°-),	A6.27)
и оба решения A6.25) и A6.27) показывают, что на самой сепаратри-
сепаратрисе силовые линии асимптотически группируются вблизи верхнего
153

Рис. 76. Ход силовых линий на поверхности сепаратрисы. Линии асимптотически прибли-
приближаются к ребрам сепаратрисы, иа рисунке условно развернутой в плоскую ленту
и нижнего узлов D-образного сечения сепаратрисы, как это качест-
качественно изображено на рис. 76. Можно видеть, что шаг h силовых
линий на самой сепаратрисе равен бесконечности, и критерий Крус-
кала-Шафранова q = h/2nR > 1 здесь заведомо выполняется, так
что критическая магнитная поверхность q = 1 располагается где-то
внутри сечения. Опыт показывает, что именно на этой критической
поверхности с q = 1 зарождаются внутренние возмущения плазмен-
плазменного шнура.
§ 17. Волны в магнитной гидродинамике
Рассмотрим малые колебания однородной жидкости или газа.
В обычном газе единственной формой такого движения является
звук, представляющий собой упругие продольные (вдоль нормали
к фронту волны) колебания молекул. В магнитной гидродинамике
звуковые колебания в присутствии магнитного поля искажаются
и становятся более сложными. Кроме того, появляется возможность
движений нового типа - так называемых альфвеновских волн,
связанных с новым фактором, учитываемым в уравнениях МГД,
а именно с упругостью силовых линий магнитного поля.
Механизм возникновения этих волн качественно поясняется
на рис. 77, где средний слой газа, будучи сдвинут в сторону, увле-
Упругие силы
Рис. 77. К механизму образования волн Альфвена
154

кает за собой "вмороженные" магнитные силовые линии. Послед-
Последние, стремясь сократиться, возвращают слой в исходное положение,
однако по инерции он проскальзывает дальше, и цикл повторяется.
Далее можно видеть, что этот колебательный процесс, затрагивает
и соседние слои газа, которые также начнут колебаться. Следователь-
Следовательно, возмущение будет распространяться вдоль магнитного поля.
Так как в описанном механизме существенны лишь инерция газа
и сила магнитного давления, то скорость распространения vA волн
Альфвена можно найти в соответствии с соображениями размерности,
приравняв друг другу плотности магнитной и условно кинетической
энергии В2/8л ~ pvaA /2, откуда
УА = В/у/Тлр.	A7.1)
Рассмотрим более детально описанные малые колебания на
основе уравнений магнитной гидродинамики.
Полагая в этих уравнениях [см. выражение A4.19)]
p = p@) + p';v = v(») + v';p = p@) + p';B,B@) + B',	A7.2)
где р , р , В0 и v =0- равновесные значения, а р', р', В'и у'- у -
малые поправки, и удерживая лишь члены первого порядка малости,
получаем линеаризованные уравнения для возмещений:
dt	4л
Эр'	(о)	. I ЭР \@) ,
	p@)divv;p'= 	 р';	A7.3)
dt	\ эр /
.	ад
ЭВ	«п
	гофВИ; divB = 0.
dt
При этом предполагается, что равновесные значения Р , р , В() и
v = 0 не зависят от координат или от времени. Полученные урав-
уравнения являются, следовательно, линейными уравнениями с постоян-
постоянными коэффициентами, и поэтому их общие решения можно пред-
представить в виде набора плоских волн:
Р', Р, В, у'~Цт, ti-lf^^-^dkdtb,	A7.4)
а вследствие линейности уравнений достаточно рассмотреть одну
волну с определенными к и to. Тогда в уравнениях A7.3) можно
155

положить	= - по и V ¦ ik, после чего получаем
dt
]; kB'-O.
A7.5)
Здесь с^ = (dp/dp) ад = vp /p - квадрат скорости звука. С учетом
равенств A7.5) первое уравнение A7.3) можно представить в виде
О) \ Ы
4лр
— В'|В
@) LL u
,@)
A7.6)
а@)
Если бы магнитное поле отсутствовало (В = 0), то отсюда для
фазовой скорости волны мы получили бы
A7.7)
что совпадает с обычным звуком, который в силу условия т II к
соответствует продольным колебаниям газа.
Для анализа уравнений A7.5), A7.6) в общем случае (В^' Ф 0)
удобно выбрать систему координат определенным образом, направив
ось х вдоль волнового вектора к, а ось у так, чтобы она лежала
в плоскости, содержащей векторы к и В.' (при этом Вг@) - 0 - см.
рис.78).
При указанном выборе осей х, у, z уравнения A7.5), записанные
в компонентах, принимают вид
В''	(у BW-v B@)V
В= — (у B
"у	\ухау
уф
v B
у°х
A7.8)
а уравнение A7.6) соответственно
сзв
УФ
4лр
@)
156
Рис. 78. Удобная система координат для ис-
исследования волн

.С)
v s= — •
.С)
A7.9)
Здесь Уф ¦ со /J к| - фазовая скорость волны.
Вытекающее из условия div В'= 0 первое уравнение A7.8) В^ = 0,
эквивалентное утверждению, что В'± к, показывает, что колебания
магнитного поля всегда поперечны по отношению к волновому
вектору к.
Нетрудно видеть, что в формулах A7.8) и A7.9) последние урав-
уравнения, содержащие В'г и yz, не зависят от остальных компонент, и
из них можно найти
Bz
откуда
Bx
4
u
к
» 1
>VZ *'ф
B'cosB
~= V^P°* '
BX
4ЯР0
в',
A7.10)
где В - угол между векторами В0 и к (рис. 79). Это и есть упомяну-
упомянутые ранее альфвеновские волны, для которых, следовательно
[ср. с формулой A7.1)],
кВ°
0)
vW '
(A)
Trp ¦
du
"ik"
B°
A7.11)
а поскольку групповая скорость указывает направление распростра-
распространения энергии в волне (т.е. "сигнала"), то, следовательно, картину
движения альфвеновской волны сле-
следует представлять себе так, как изо- ' _	I
бражено на рис. 79, где отдельные
участки волнового фронта движутся
вдоль В0, хотя сам фронт распростра-
распространяется параллельно к.
Рис. 79. Фазовая и групповая скорости волн Альф- «=?—J-	»

Отметим, что поскольку в альфвеновской волне т, 1 к, ю в соот-
соответствии с первым уравнением A7.5) для нее Р= р'= 0, т.е. эта волна
не связана с упругостью газа, а обусловлена, как мы уже отмечали
ранее, лишь упругостью силовых линий магнитного поля.
Для анализа остальных уравнений A7.8) и A7.9), содержащих
vx, vy и By, удобно ввести векторные обозначения скорости звука
и альфвеновской скорости:
к
А	A7.12)
Из указанных уравнений получим
U;,	A7.13)
у	* у х х у'
откуда для фазовой скорости, как нетрудно проверить, имеем
Уф1 v$ (с*, + сд) + (с,,, СдJ = 0.	A7.14)
Решение этого уравнения можно представить в виде
сА|),	A7.15)
где|сзв ± сА| - модули суммы или разности векторов, определяемых
соотношением A7.12). Полученные значения фазовой скорости
соответствуют двум так называемым магнитозвуковым волнам -
ускоренной (+) и замедленной (-). Так как в них отличны от нуля и
vx II к, и vy I k, то эти волны уже не являются чисто продольными
или чисто поперечными, а являются волнами смешанного типа.
Чтобы яснее представить их природу, рассмотрим два предельных
случая: сА «: с^ (слабое поле) и сА» Сщ (сильное поле). В первом
случае имеем [см. выражение A7.10)]:
i	i ,	;	¦	к	(А)
|с«±сА|* ^±2@,3 сА) «c^l	сА = Сзв±у^
и при этом
(+)	(-) (А) ВОсо»в
тф =сау ' = уч '=
A7.16)
1S8

т.е. ускоренная волна переходит в звуковую, а замедленная в
альфвеновскую. Если, в частности, жидкость может рассматриваться
как несжимаемая, то формально это соответствует с^, -> «> и уско-
ускоренная волна должна быть отброшена, как не имеющая физического
смысла. Остающаяся замедленная волна с vx - 0; vy ф 0 [см. формулу
A7.9)] и фазовой скоростью \1~, равной vj , дает совместно с чисто
альфвеновской волной A7.10) две возможные поперечные альфве-
новские волны, различающиеся лишь поляризациями.
В случае сильного магнитного поля сА » сзв, что соответствует,
очевидно, плазме низкого давления, когда
Р = 8лр/Яа = — (сзв/сА)а « 1,	A7.17)
подобным образом найдем
A7.18)
и тогда замедленная волна становится звуковой:
уфН = сзвсо5е,ауф(+) = сА.	A7.19)
Но поскольку
, _.. Эй В
У--1ГЖ7С»'	<17-ад
то звук при этом может распространяться лишь вдоль магнитного
поля.
Следует иметь в виду, что помимо рассмотренных трех типов
волн в общем случае как в магнитной, так и в обычной гидродинамике
возможно существование еще особых так называемых энтропийных
волн. Они представляют собой возмущения плотности р и темпера-
температуры Г', связанные соотношением р'/Р° = -Т'/Т°, при котором в
энтропийной волне, очевидно, отсутствуют возмущения
давления:
	(р°Г+р'Г°) = 0.	A7.21)
m
Следовательно, такая волна (точнее, возмущение) не может рас-
распространяться и остается все время на своем месте, распадаясь посте-
постепенно за счет теплопроводности и диффузии газа, которые мы,
однако, не учитываем в рамках модели идеальной жидкости.
159

Рассмотрим в заключение, как, используя результат анализа
частных решений с плоскими волнами, можно составить представ-
представление о поведении в пространстве и времени общих решений, ко-
которые, очевидно, могут являться произвольной суперпозицией
плоских волн. Как мы видели, для четырех типов плоских волн -
энтропийной, альфвеновской и двух магнитозвуковых - законы
дисперсии со = со (к) соответственно имеют вид
»« - 0; со<А> =|к|тф(А); со(+> =|к|уф(+); «« -|к|уфН.	A7.22)
Поскольку возможен еще выбор разных знаков (±) в правых частях
равенств A7.22), очевидно, все этим восемь корней со = со,, (к) есть
корни общего дисперсионного уравнения
со2 (со* - (ксА)а) (со' - fc2 уф+2) (со2 - fc2 уф-2) = 0,	A7.23)
получаемого из линеаризованных уравнений МГД.
Э
Делая замену со -¦ i	и к -> -iV, можно заключить, что Be-
Beat
личины Х^> относящиеся к энтропийной волне, должны удовлетво-
удовлетворять уравнению
э
— Х(э)(г,0-о,
откуда
Х(э)Ы)=/(г),	A7.24)
а для альфвеновской волны в однородном поле В0 II г:
откуда
Х(А)(г, 0-Л (*-сА')+/а(* + сА/).	A7.25)
Уравнение для величин в ускоренной магнитозвуковой волне
можно записать в операторном виде:
«-0.	A7.26)

Соответственно для замедленной
Н = 0)-	A7.27)
Здесь в соответствии с выражением A7.15)
.^
ДД - с? rf
g	.
где Д - оператор Лапласа. Чтобы избавиться от корней, следует
рассматривать сразу обе волны (+ и -), и тогда для магнитозвуковых
поправок х (без разделения на ускоренную и замедленную)
следует пользоваться уравнением
(Л *¦))/Л Ли) w> JJL
at*
D Ф	^ д
которое, однако, затруднительно решить в общем виде.
Раздельные уравнения A7.26) и A7.27) для двух магнитозвуковых
волн существенно упрощаются в случае плазмы низкого давления,
ДЛЯ КОТОРОЙ СА » Cjg.
В соответствии с равенством A7.19) в этом случае Уф+ = сА и
?Ф = Всзв/Я. и уравнения A7.26) и A7.27) принимают вид
Отсюда находим общее решение для замедленной волны:
ХН (г, t) = Д (z - Сзв 0 + /а (z + сзв 0	A7.31)
и в сферически-симметричном случае для ускоренной:
Х(+)(г,Г)= — [A(r-cAf)+/a(r + cAf)].	A7.32)
161

Задача 1. Рассмотреть в линейном приближении задачу о точечном взрыве в обычной
гидродинамике (пример энтропийной волны).
Решение. Точечный взрыв означает мгновенное выделение некоторого количества
тепловой энергии
в точке взрыва г = 0, что приводит к повышению давления и температуры на величину
Р'Л вI(= 0 " "° fcr'(r, 0) - (Т - 1) G8 (г).	B)
От точки взрыва распространяется звуковая волна, удовлетворяющая волновому
уравнению
д2
сферически-симметричное решение которого с учетом начальных условий имеет вид
Дг-СзвГ) V-1
7-1
2л г
,»-(? г").	D)
Вся энергия взрыва уносится этой волной, однако на месте взрыва остается "ямка раз-
разрежения" с повышенной температурой. Это следует из того, что в момент взрыва
вещество еще не успевает сдвинуться и поэтому при f = 0 возмущение плотности всюду
равно нулю: Р'(г, 0) = 0. Вне области взрыва имеем соотношение р' = с^вр', которое,
однако, не может выполняться в точке взрыва, где при t = 0 Р' = 0, в то время как
' 0. Очевидно, в общем случае
) + Р'(г>°)-	E)
При tr* оо волна уходит и р'« 0, так что
p'('.oL =-—p'm)	з— о* (о < о.	F)
'*" 4в	сзв
Втожевремяр'=(к/т)(р°Г'+р'Г0), и поэтому
G)
что, как нетрудно убедиться, в у раз меньше начального возмущения температуры
в точке взрыва.
Найденная ямка разрежения и есть неподвижная энтропийная волна для нашей
задачи. Заметим, что все величины, фигурирующие в задаче, могут быть представлены
в виде суммы слагаемых, относящихся к двум возможным типам волн:
/гд-2/(С°-/Э)+/(ЗВ).	(8)
а
В магнитной гидродинамике возможны четыре типа волн (энтропийная, альфвенов-
ская, быстрая и медленная магнитозвуковые), и там соответственно

(9)
a
Задача 2. He предполагая малости возмущений и поэтому пользуясь точными урав-
уравнениями МГД, показать, что вращательные аксиально-симметричные движения жид-
жидкости, которая в момент г • 0 была однородной и находилась в однородном поле Bz *
= В0 = const, сводятся к альфвеновским волнам (такие волны называются торсионными).
Решение. По условию у нас отлична от нуля ф-я компонента скорости т = вц, у„ (г, z,
г), причем она не зависит от ср (аксиальная симметрия). Тогда из уравнения непрерыв-
непрерывности
Эр	Э
——=-diypT=-—— ру =0	A)
о*	гоф Ф
следует, что плотность будет всегда постоянна и однородна. Так как прн г = 0 поле имело
лишь z-ю компоненту В0 = ??, то ф-е движение может привести к образованию лишь
?ф, так что
где еГ)ф>г - единичные орты цилиндрической системы координат. При аксиальной
симметрии из уравнения
дВ2	Э
— = гоЫтфВ] = - — (Вгуф) = 0	C)
следует, что В2 также остается постоянной: Вг = Во. Проектируя уравнение движения
D)
/ 9т \
р — +(W)T =-V
\ о' /
на ось z, получаем
дг \ in 1 '
1
+—
8л
-[rotBB]
I
= const.
E)
Тогда из г-й проекции следует уф = ±#ф/-/4лр', а ф-я проекция приводит к уравнению
[ср. с уравнениями A7.25)]
решая которое, находим
»Ф (г, z, t)=f(r,z-cA f) + g(r, z + сд 9;
Bv (г, z, f)	[-/(г, z-cA t) + g(r,z + cA t)].	G)
CA
Так как по условию при г = 0 поле Вф отсутствовало, то
1	,	1
f{r, z)'g(r, z)= ууф (г, z, *)lt_0-Y»q> (r- ^ 0),	(8)
163

что полностью определяет функции /и{. Полученные решения, очевидно, представля-
представляют собой альфвеновские волны, которые теперь, однако, не считаются малыми, а могут
иметь произвольную амплитуду.
Как видим, величины "ф и Вф являются суперпозицией волн, разбегающихся
вверх и вниз от места начального возмущения. Движение жидкости состоит при этом
в прокручивании ее относительно оси г, и такие волны принято называть торсионными.
Заметим, что лабораторные опыты по проверке скорости распространения альфве-
новских волн обычно проводятся в цилиндрическом сосуде с ртутью, помещенном
в продольном магнитном поле. На дне сосуда помещается крыльчатка, совершающая
крутильные колебания, а на поверхность ртути насыпаются опилки, которые с отставанием
на At » h/сд, где h - высота ртум, следуют за движениями крыльчатки. Измерив Дг
и зная h, мржно вычислить сд.
Движения подобного типа, по-видимому, в некоторых случаях осуществляются
также в солнечных пятнах. Наблюдения показывают, что допольно часто (есть и исклю-
исключения) образование пятна в северном полушарии Солнца сопровождается появлением
второго пятна в южном полушарии, причем эта пара (обычно даже две группы, так
как пятно редко появляется в единственном числе) располагается симметрично отно-
относительно солнечного экватора (рис. 80).
Появление таких сопряженных пятен можно качественно объяснить с помощью
найденных решений. Предположим, что в недрах Солнца вблизи его экваториальной
плоскости в результате какой-либо пульсации или конвекционного всплеска образовал-
образовался зародышевый вихрь типа вращающегося тора. В начальный момент (г = 0) в нем
отсутствуй поправка В'@) = 0 к основному магнитному полю Солнца Во, однако имеется
окружная скорость Уф @) * 0.
В последующие моменты времени этот вихрь распадается на два вихря (I и и на
рис. 80), в которых
1
(r'г~°А
2сГ
Сопряженные
пятна
Рис. 80. Схема образования сопряженных пятен на Солнце
164

0).	(9)
* "	«-A
Таким образом, первый вихрь движется вверх по силовым линиям основного поля
Во, а второй — вниз. Оба вихря более или менее одновременно достигают поверхности
Солнца, что и приводит к появлению сопряженных пятен.
Задача 3. Определить спектр частот собственных магнитозвуковых колебаний
однородного плазменного цилиндра длины L и радиуса в, находящегося в поле В/ при
условии на границе гп = 0.
Решение. Магнитозвуковые колебания описываются уравнением A7.29)
/ д*	Э»	д2 \
Учитывая, что Уг=0приг=0иг-1и
полагаем (А — постоянная)
р'= A cos fc|| z cos m<f R (r).	C)
Тогда для радиальной зависимости получаем уравнение Бесселя
где
к2.
откуда R (г) = Jm (k^ г). Таким образом, частоты ускоренной и замедленной волн по-
прежнему определяются формулами
и ~	t-ЛМсд + cfe) + 2fc fcB сд с3в ± Л2 (сд + «эв) ~ 2* *ц сд с^],	E)
где к = -Jk2^ + fcjj, однако теперь из-за конечности объема плазмы величины к^ и fc^
оказываются "квантованными". Из граничного условия v2 = sin к,, к = 0 при г = 0;
L имеем ?ц = nj/l, где ^ = 1, 2, 3...; а из условия vr ~ др'/дг ~ Jm (к^ г) = 0 при г = а
имеем fc^= — рп ,гдерп - корень уравнения J^ (рп ) = 0 (п = 1, 2, 3...).
§ 18. Анизотропная магнитная гидродинамика
Выше всюду предполагалось, что газ является изотропным. Одна-
Однако, как уже отмечалось ранее в гл. 2, давление высокотемператур-
высокотемпературной плазмы может быть различным для разных направлений
165

), если столкновения не успевают его выравнивать. В этом
более общем анизотропном случае полученные ранее уравнения
МГД [см. выражение A4.19)] следует несколько изменить. Очевид-
Очевидно, те уравнения, в которые давление не входит, останутся неиз-
неизменными.
Уравнение движения приобретает вид
р— —-V-P + — ЦВ] + РЕ-	A8.1)
dt	с
Л
Здесь теперь Р - тензор давления, компоненты которого, как уже
указывалось в § 8, связаны с функцией распределения j (v) формулой
Pik -J mv, vfc/tfv= p (v, vk),	A8.2)
где p = mn - плотность; v = v - < v > - отклонение истинной скорости
частиц от средней, а угловые скобки означают усреднение от функции
распределения. В формуле A8.1) точка в выражении V-P означает
свертку по ближайшим к ней (к точке) индексам, так что
(V . р){ = z	рш = (div Pra3),	A8.3)
к'1дхк
есть дивергенция тензора давления газа.
Как мы уже отмечали в § 14, силу Лоренца также можно пред-
представить в виде дивергенции тензора магнитного давления:
11 В3 Вк
— №i	[B[VBll, —Д,	+	VfcB,-
с	4я	8л	4л
BkBt
—
(по одинаковым индексам подразумевается суммирование). Введя
обозначения т = В/В; тт = т, Tfc и б = 6lfc, имеем, следовательно
[ср. с выражением A4.24)],
в3 л вв л / в* \ л л / в .
ft	+F-ТТ) +	 ,	A8.5)
\ 8 /	\
()
8Л	4л	\ 8л /	\ 8л
так что в системе координат с осью z вдоль В тензор (анизотропный!)
166

магнитного давления имеет вид
/В2/8л О О
Рщгн= ° В2/8л0	J- — I ° 1 ° I •	A8-6)
\0 0 -В2/8л/ 8" \ 0 0 —I
Подобно этому имеем [ср. с формулой A4.25)]
/Pi ° ° \
Яаз = ° Pi ° = "Р,| + ($ - «) Р± .	A8.7)
\° ° PJ
Уравнение движения A8.1) можно записать в виде
pv = -divP,	A8.8)
л
где Р - тензор полного давления
Для равновесия, очевидно, необходимо условие (при g = 0)
divP = 0.	A8.10)
Л	л
В случае изотропного давления газа р = р =риР =рб.
II _L	г&з
Выведем адиабаты для р и р.. Помимо уравнения A8.1) давление
входит еще в уравнение адиабаты, но, поскольку теперь у нас
имеются две величины р и р , старое уравнение адиабаты р ~ р у сле-
следует заменить двумя уравнениями. Так как газ по-прежнему счита-
считается нетеплопроводным, то для вывода этих уравнений удобно
воспользоватьься первым началом термодинамики:
dE = dQ-pdV,	A8.11)
где dQ = 0. Рассмотрим малый элемент объема У = S/, имеющий вид
цилиндра высотой / и сечением S, ориентированного вдоль силовых
линий поля В (рис. 81). Внутренняя энергия газа, заключенного в
этом цилиндре, очевидно, равна
?= <е>пУ = ?||+?1,
167

i
1
_—^
Л
"~1
r=rf
I
Рис. 81. К выводу адиабат Чу, Гольбергера и Лоу
.кЫ!'
-Л
E =<e.>nV=(	-) nV;
<mvs

A8.12)
Поскольку мы пренебрегаем столкновениями, между продольной
и поперечной степенями свободы частиц отсутствует обмен энер-
энергией. Поэтому уравнение A8.11) следует писать отдельно для каждой
степени свободы:
V и dE± = -p±
V.
Здесь величины
d_ V = Sd\ и d
A8.13)
A8.14)
есть приращения объема V = IS цилиндра, обусловленные соответ-
соответственно изменением его длины или сечения, так что dV -d „У + d.V.
Воспользовавшись далее законами сохранения массы и потока:
dp
р V = const, откуда dV » -V-
A8.15)
dB
BS = const, откуда dS = -S
можно получить
dB
d.V=	; d, V-dV-d, V=
в "	x
dB
в
do
A8.16)
так что выражения A8.13) представим в виде
dB	dp
в	о
и
A8.17)
d?,
dB
168

Используем, наконец, то обстоятельство, что в силу равенств
A8.2)
, ,	<18Л8)
|/ m/dv <e>
J
и поэтому
? - <e >nV- —p.V; ? = <e )nV = p V.	A8.19)
Подставляя эти выражения в уравнения A8.17) и учитывая, что
рУ = const (т.е. V ~ 1/р), получаем
dp	dB	d(pi/p) dB
2 (P/P)	p	В	(Pi/p)	?
или после интегрирования
р
const и	= const	A8.20)
Это и есть искомые нами две адиабаты для плазмы с анизотропным
давлением*.
Нетрудно видеть, что адиабата для р = п < е > может быть за-
записана в виде
<е1>/В=<ц>= const,	A8.21)
где ц = mv2/2B - магнитный момент частицы в поле, являющийся,
как известно, адиабатическим инвариантом.
Адиабата р. соответствует, таким образом, закону сохранения
поперечного инварианта частиц. Физический смысл адиабаты для
р. = р <v2) также станет более прозрачным, если учитывая соот-
соотношение [ср. с соотношением A8.15)]
bs в I в \
	=	= const откуда	ДМ,	A8.22)
pv рд;	\
представить ее в виде
л Я2	( 2 \ р2
Ра"	Wi'if
рэ	р2
< vj (Д/J > ~ < (^ v dlJ ) = const,
•¦Адиабаты A8.20) впервые были получены в работе Чу, Гольдбергера и Лоу.
169

что эквивалентно сохранению продольного инварианта'
J, = i у{| dl = const,
д/
A8.23)
Рассмотрим равновесие анизотропной плазмы. В изотропном
случае из уравнения Vp = — ЦВ] следовало, что BV:p, т.е. dp/dl - О
с
или р (/) = const. Теперь же из уравнения V • Р = — [jB] имеем
с
в2
откуда можно получить связь р± (В) с р„ (В):
Р, (В)
В
A8.24)
Существует, очевидно, много вариантой, удовлетворяющих этому
условию.
В качестве конкретного примера рассмотрим плазму в пробко-
троне (рис. 82), в центре которого поле равно Вми,, а в пробках
Вмакс. Если считать, что плазма простирается вплоть до пробок,
то обычно принимают, что в точке z = 0 функция распределения
* Приведенный выше вывод адиабат для р^ и р^ основан на предположении, что те-
тепловые потоки отсутствуют (dQ = 0), в частности, нет потока тепла вдоль магнитного поля.
Btz)
?ис. 82. Распределение pfl и р^ по длине в пробко-
z	троне

имеет вид максвелловского распределения с вырезанным конусом
г, -г/Т	vl
Се при	>sina;
т
О	при	< sin a,
где sin a = \/вмин/-ВМакс-
Так как функция распределения может зависеть лишь от интегра-
интегралов движения v2 = const и \2JB = J,= const, то при z Ф 0 имеем
Се~е/Г при \2L/B\2 > sin2 <х/Вмин;
o	пРиу2/Ву2<зт2«/Вмин,	<18-25>
где С - постоянная. Отсюда, как мы уже видели в гл. 2, следует
л - а (г)
р (z) = 5 mv.2/dv ~ 5 cos2 8 sin 8 dQ,
1	"	a (z)
где sin a (z) = jB(z)/BuJ.
Таким образом находим
2	2 I	В{г) \з/2
р„ (z) = const — cos3 a (z) = const — 1		A8.26)
3	3 \ вмакс /
"макс
и аналогично
Г
p±(z)=
=const
/l-
В (г) \i/2 1 /	Л (г) \з/2
-— 1-
Здесь const =^-^1 (°) I1 " (вмин'/вмакс^/2- Нетрудно убедиться,
что выражения A8.26) удовлетворяют соотношению A8.24).
В качестве простейших зависимостей, удовлетворяющих A8.24),
для пробкотрона можно принять
PL (В) = const;	A8.27)
а (В) = const f 1	—

В целом можно сказать, что в случае а Ф р. имеется больше
возможностей для построения равновесных решений, чем в изо-
изотропном случае.
Рассмотрим, наконец, волны на однородном фоне. Как и в § 17,
полагаем, что все поправки (р[, р(', р', v, В') пропорциональны
exp (ikr - Ш). Две анизотропные адиабаты, очевидно, дают
''¦ "' В> ""' " Р'-2-^-.	A8.28)
Р°х Р°	В°	pj	р°	В0
Вновь, как и в § 17, используя систему координат с осью х II к
и осью у, лежащей в плоскости векторов к и В0, из уравнений
—— = -p°divT;	= rot[vB0]; divB'=0,
dt	dt
как и прежде, получаем (Уф = о)/| k|)
Р' Ух ,1
	5 Я*=0; Ву=	(vxB°- vyB$;
Р°	Уф	Уф
В'ж——В°	A8.29)
Уф
и, в частности,
, В°У .
II	в„ У
Поправка к тензору давления равна
в'ва + в° в1
+ (Р. ~ Р,)° 	,	A8.30)
" -1	в»2
а для ее дивергенции найдем
Л,	Л
V • P'=i k -P'=i kp'-i vfp(| - р )° ((к В0 J / о В°2).	A8.31)
172

Нетрудно видеть, что уравнения, содержащие \z и Bz, опять выделя-
выделяются в независимую группу:
— (V-р\+ -±- мв'в°]г=
z 4л	z
4 л z	u II х
В.'*- — В0.	A8.32)
ТФ *
Отсюда найдем дисперсионное соотношение, описывающее альфве-
новские волны в анизотропном случае:
1- .	•	A8.33)
4лр [ \ В2/4л
При Р|| = Pi имеем старый результат: to2 = (кс.J. Если рй =?рА, то
фазовая скорость несколько меняется, однако при
Рц-р1>В2/4л	A8.34)
получаем со2 < 0, что означает неустойчивость, так как при этом
со оказывается чисто мнимой величиной (to = ±i|to|) и волна экспо-
экспоненциально нарастает во времени:
т«,В,~е~""~е+'и''	A8.35)
Граница устойчивости соответствует, очевидно, со = 0.
Рассмотрим теперь магнитозвуковые волны, ограничившись
вначале для простоты случаем к II В0. Учитывая, что при этом |В'| = О,
из A8.31) получаем
/с2	к3
(divP)x=ivx	3pjf; (divPO =-ivy	(Рц-PiH.	A8.36)
и уравнения движения принимают вид (здесь с\ = В2/4лр°)
Р°—	-{diyP) ; р°—^ = -(divP') -»vy	рс%.	A8.37)
173

Из первого уравнения для ускоренной волны находим и2. = к2 с2№,
где
что соответствует звуку. Поскольку в этих колебаниях участвует
лишь одна степень свободы (» = 1), эффективный показатель адиабаты
равен трем 7эф = (» + 2)/i = 3. Из второго уравнения для замедленной
волны имеем
A8.39)
что совпадает с альфвеновской волной A8.33).
В другом простейшем случае, когда к 1 В0, имеем
*) fc	2l (') 0.
Тогда для замедленной волны о = 0, а для ускоренной
2Р°|
В частности, при Во -* 0 это соответствует звуку
в,гдес1зв=>/2р1/р0 = \Л>;фР1/Р0	A8.41)
с показателем адиабаты V Эф - (' + 2)/i = 2 (две степени сео6оды / = 2).
В общем случае F Ф О или л/2) путем довольно громоздких вы-
вычислений можно найти
к2	,	,
где
в8 i+sinae
а»	+	р, + cos2 9p, > 0;
8л	2
Ь = Зр, cos2 9 р, cos2 6 + —sin2 9 - р, A + sin2 9)- —— В2] A8.42)
L	Эр,	4п J
Отсюда можно получить и ранее рассмотренные случаи с 9 = 0 и
9 = л/2. В частности, при 9 - л/2 имеем cos в -> 0 и Ъ •* 0, что для
174

замедленной волны дает со = 0. Это значение, однако, лежит на гра-
границе устойчивости, и при Ъ > 0 из выражений A8.42) мы получили
бы со2 < 0, что указывало бы на неустойчивость. Если, в частности,
9 близко к л/2, но не равно этому значению, то, полагая для Ъ в
квадратной скобке cos 6 = 0, sin 9 = 1, получаем условие возникнове-
возникновения неустойчивости:
Л	\2
	е
-2 -
4л
>0
A8.43)
или
П
-1 >
8л
Эта неустойчивость связана, следовательно, с раскачкой косой
F = 0 или л/2) замедленной магнитозвуковой волны.
Таким образом, в отличие от изотропного случая, в анизотропной
плазме волны могут нарастать, если давления р^ и рй сильно отли-
отличаются одно от другого в ту или иную сторону.
Неустойчивость альфвеновской волны, возникающая при условии
A8.34), имеет простой физический смысл. Это условие можно запи-
записать в виде неравенства полных давлений:
8л
Из рис. 83 видно, что при виртуальном смещении силоеой трубочки
на выделенный элемент У = RdipdzdR будет действовать сила
в3 \ (в2
F= \р1 +	 [Rdtfdz- {R + dR)dydz] + р„
1	8л /	\	8п
X
X dzdR • 2 sin ¦
= dipdRdz
в2
8л
A8.45)
Рис. 83. К выводу условия неустойчивости
A8.44)
175

направленная вверх. Если эта сила отрицательна (F < 0), то элемент
будет возвращаться в исходное положение, что соответствует
устойчивости. Если же F > 0, то деформация будет увеличиваться,
что свидетельствует о неустойчивости.
Интерпретация условия A8.43) для косой замедленной магнито-
звуковой волны более сложна, и мы не будем на ней останавливаться.
§ 19. Релятивистская магнитная газодинамика
В космосе иногда наблюдаются движения плазмы со скоростями,
сравнимыми со скоростью света, и для теоретического описания
таких движений следует пользоваться уравнениями релятивист-
релятивистской идеальной магнитной газодинамики - РИМГД. В обозначениях
§ 7 эти уравнения имеют вид
V,g«0; vyk-0; V,T*-O,	A9.1)
и ниже мы проделаем их более подробный вывод. Оператор V,
означает ковариантный 4-градиент, однако по одинаковым индексам
' = 0, 1, 2, 3 (одному нижнему и одному верхнему) подразумевается
суммирование - свертка, так что все три уравнения A9.1) означают
четырехмерную дивергенцию некоторых потоков. Обращение
в нуль этих дивергенций соответствует законам сохранения опреде-
определенных величин, которые сохраняются, поскольку в рамках "иде-
"идеальной" модели газа мы считаем отсутствующими все виды дис-
диссипации - вязкие, теплопроводные, а также джоулевы потери.
Напомним, что в специальной теории относительности - СТО вводится
4-пространство с координатами х° = ct, х1 = х, х2 = у, х3 = z и два
контравариантных 4-вектора скорости и = dx'/ds и ускорения
w' = du/ds, где ds = y/qikdxidxR" (c/y)dt - "интервал", одинаковый
во всех системах координат (см. § 7).
Первое уравнение A9.1) есть уравнение непрерывности, означаю-
означающее сохранение числа частиц. Если обозначить буквой п плотность
частиц в собственной системе координат, движущейся вместе со
средой, то в нерелятивистском приближении уравнение непрерыв-
непрерывности запишется в виде
дп
	+ divnv=0	A9 2)
at
однако при учете релятивизма вследствие лоренцевского сокраще-
сокращения длины вдоль скорости плотность частиц будет в -у раз больше

в лабораторной системе координат, чем в собственной, так что
в релятивистском случае A9.2) следует записать в виде
divfn-y—— ] = у.(ли') = 0,	A9.3)
\	I
y vf
cdt	\
что и соответствует первому уравнению A9.1). Для наших целей
удобно обозначить буквой М массу покоя иона и ввести собствен-
собственную плотность массы покоя р = Мп и 4-вектор потока массы q1 = pu1,
подразумевая, что в A9.1) фигурирует именно этот поток.
Для двух других уравнений A9.1) сначала рассмотрим закон
Ома, который в собственной системе координат имеет стандартный
вид j'= оЕ', где о - электропроводность, которая считается скаляром,
одинаковым во всех системах координат. Если далее, пользуясь
формулами §7, выразить "собственные" ток j'n поле Е через их
лабораторные значения, то получаем релятивистский закон Ома
для движущихся сред:
j = oy[E*- P(PE*)]; Е* = Е + [рВ].	A9.4)
Однако, в "идеальной" модели, которую мы рассматриваем, электро-
электропроводность считается бесконечной о = «>, а при этом ток проводи-
проводимости конечен только при выполнении требования Е* = О, Е = -[рВ],
которое встречалось ранее и в нерелятивистской модели МГД. По-
Поскольку при этом уравнения Максвелла можно записать в виде
уравнений вмороженности поля:
div В = 0;	= rot [vB],	A9.5)
dt
то эти уравнения остаются справедливыми и для релятивистского
случая. Однако их следует представить в явно ковариантной реляти-
релятивистской индексной форме, и для этого мы используем результаты
§ 7, где нами было получено уравнение
— = qЕ* + qm В*; Е* = Е + [рВ]; В* = В - [рЕ],	A9.6)
dt
описывающее релятивистское движение частицы, обладающей и
электрическим зарядом qg и монопольным магнитным зарядом
qm подобно "монополю Дирака". Умножив A9.6) на у, введем ин-
интервал ds = cdt/y и учтем, что релятивистский импульс частицы
равен р = Мс и, где и - пространственные компоненты 4-вектора
скорости и' = dj/ds = (у, и = т>Р)> так что получается уравнение,
177

которое можно записать в виде
du	4e.m	гч.	т%	t а п\
€	ТП * С. ТП
ds	Me2
Здесь левая часть дает три пространственные компоненты 4-век-
тора ускорения wl = du'/ds = (dy/ds, da/ds), и, поскольку у =
= A + и2I'2 и dy = pdu, умножив A9.7) на р, найдем и временную
компоненту уравнения A9.7):
Р—- — - — - 1,(Ре)+ 1т(РЬ),	A9.8)
ds ds ds
добавляя которую к A9.7), получаем запись в индексной форме:
dJ ,
	= w1=|ee' + lmbI; e° = (Pe); b° = (Pb).
Следовательно, величины е1 и b' являются правильно построенными
4-векторами - электрическим и магнитным.
Необходимость введения этих четырехмерных векторов обу-
обусловлена тем, что при бесконечной электропроводности имелось
условие Е* = 0, а тогда е' = 0, так что в нашем распоряжении остает-
остается лишь магнитный 4-вектор Ь, который и обязан фигурировать
в уравнениях РИМГД A9.1). В частности, нетрудно проверить, что
магнитное поле выражается формулой В = Ъи° - ub°, и оба уравнения
"вмороженности" A9.5) в индексной записи имеют вид
V,Ф* = 0; Ф* = Ь1 ик - и Ьк,	A9.9)
где комбинацию Ф можно назвать тензором магнитного потока,
сохраняющегося в условиях идеальной бесконечной электропро-
электропроводности.
Наконец, последнее уравнение A9.1) содержит тензор энергии-
импульса, который по соображениям индексной размерности обязан
иметь вид
fk = Si gik + S2 и ик + S3 b'' b\	A9.10)
где S123 - три скаляра, одинаковых во всех системах координат.
Чтобы найти явный вид этих скаляров, перейдем в штрихованную
систему координат, движущуюся вместе со средой. В этой системе
макроскопическое движение среды носит нерелятивистский характер

и должно описываться нерелятивистским уравнением (см. § 18)
^газ
dt
(vV)v =-
1	л
у— [jB] = -V.r,
с
A9.11)
где Г - трехмерный тензор суммарного давления - газовой^ и
магнитного, а поскольку давление это и есть поток импульса, Г и
должен давать пространственные компоненты полного 4-тензора
энергии-импульса. Если направить ось z' вдоль собственного поля
В, то искомый тензор должен иметь диагональный вид
0
0
0
0
0
0
0
0
J22
0
0 \
0
0
J33
=
0
0
0
0
Р± +
0
0
0
ц 0
РХ +
0
0
0
ц 0
Р||"
В2
8л
A9.12)
Здесь для общности мы считаем газовое давление анизотропным,
какв§ 18.
Далее заметим, что по физическому смыслу компонента Т00 должна
давать плотность собственной энергии - газовой и магнитной, так
что полагаем Г00 =е + д, где газовая энергия е включает энергию
покоя частиц. Если компоненты общего тензора A9.10) записать в
собственной системе, то
7*»°-$! +S2; Г1-?"--^; Tpz-S^SaB2,	A9.13)
и, учитывая значения A9.12), находим три скаляра для формы A9.10)
S1=-P1-n;S2 = e+p1 + 2n; 53 = (р,, - Pj_ - 2ц)Я ,	A9.14)
и тем самым уравнения РИМГД A9.1) принимают конкретный вид.
Если далее использовать более удобный тензор
Ti'Sk]-TJi=S1bl+S3uiuk+S3bibk,	A9.15)
то нетрудно убедиться, что комбинация и V,- Tfc' = 0 дает уравнение
адиабат
1
ds
В \2
— =0;
Р /
ds \ Р / 2	ds
а четвертая компонента комбинации V,- Tfc' - ufc uJ V, ij = 0 дает
179

равенство
—S + р— I—S 2)+ V,p 3b'b <0-O,	A9.17)
cat	* \ p /
которое можно назвать уравнением энергии. Соотношения A9.16),
A9.17) мы впоследствии используем в § 44 для анализа гипотезы
о возможности рождения космических лучей в плазменных пинчах.
Здесь же следует заметить, что уравнения РИМГД A9.1) дают
девять соотношений для десяти величин, а именно для 4-скаляров
р, е, р , р L и еще для шести компонент двух трехмерных векторов
и и Ь, так что система A9.1) оказывается неполной, и для замкнутости
ее следует дополнить еще одним соотношением, а именно уравне-
уравнением состояния газа - плазмы, состоящей из ионов (и) электронов
(э). При этом следует иметь в виду, что даже в собственной системе
координат микроскопическое движение частиц может носить реляти-
релятивистский характер, и поэтому энергию е следует записать в виде
е- еэ+ ?и; t^nm с* {у >э; гк=пт ис 2 < у >„	A9.18)
где фигурные скобки означают усреднение по функциям распреде-
распределения электронов и ионов. Аналогично этому и трехмерный тензор
давления следует считать равным
так что энергия косвенно связана с давлением через неизвестные
функции распределения и конкретный выбор этой связи как раз
и должен давать дополнительное уравнение состояния, необходи-
необходимое для замкнутости системы.
С этой целью заметим, что соотношение -у = 1 + -уР2 ty/(y + 1)] по-
позволяет записать энергию и компоненты давления в виде формул
е =Ipc2 +Zpc2<(i>P2+vP2)—"—)\
p =Zpc2<yp2>;p ^Zpc2^—P|).	A9.20)
p	p	^^
11 a	" X a	2
Здесь для краткости мы опустили значок (а = э, и) у величин под
знаком сумм. Теперь заметим, что если бы тепловые энергии частиц
были бы релятивистскими, то был бы возможен процесс рождения
пар и число частиц бы не сохранялось. Однако наше первое уравнение
A9.1) непрерывности как раз означает сохранение числа частиц,
так что процесс рождения пар следует считать неосуществляющимся
180

и, следовательно, тепловые энергии следует считать нерелятивист-
нерелятивистскими, а при этом множитель -у/Су + 1) в энергии равен 1/2 и
тогда энергия оказывается равной
е=рс2+р +—р	A9.21)
1 2 "
что и является дополнительным десятым соотношением, замыкаю-
замыкающим систему уравнений РИМГД. Подставляя энергию A9.21) в
A9.14), находим скаляры
S^-p,- H;S2 = Pc2 + 2p,+ — p|| + 2H;S3=J—	,	A9.22)
2	8лц
подстановка которых в уравнение адиабат A9.16) дает уравнение
р 	in JL_ +2p,	in —М-О,	A8.23)
А \ е3 I x ds \ рв I
для решения которого имеются две возможности. В первом случае
можно предполагать, что функции распределения поддерживаются
изотропными за счет столкновений, приводящих к обмену энергии
между продольной и поперечной степенями свободы частиц. Тогда
р, = Pjl = p и решением A9.23) является обычная адиабата Пуассона
р = const ps/3.
Во втором случае можно считать столкновения столь редкими,
что обмен энергии отсутствует и давления р„ и р± меняются неза-
независимо, а тогда решениями A9.23) являются две адиабаты Чу,
Гольдбергера, Лоу:
р(= constx [—^—1 ;р± = const2 (pB).	A9.24)
В частности, в условиях р± » ра можно просто положить рв = О,
и такая модель использована нами в § 44 в гипотезе о космических
лучах.
§ 20. Течение в каналах МГД-генератора и МГД-двигателя
Ранее мы использовали уравнение индукции и закон Ома:
1 ЭВ	1
rot Е =	; j = ОЕ*. Е*= Е + — [vB],	B0.1)
с dt	с
181

которые описывают изменение магнитного поля. Обратимся теперь
к остальным уравнениям МГД с конечной проводимостью и в ка-
качестве конкретного примера рассмотрим стационарное течение
слабопроводящего газа поперек магнитного поля. Такая задача
возникает при анализе работы магнитного насоса (рис. 84), в котором
1
проводящий газ ускоряется силой Лоренца — [jB] при пропускании
с
тока перпендикулярно полю В. При этом электрическая энергия
переходит в кинетическую энергию потока. Это явление можно
обратить, если предварительно ускоренный газ, обладающий замет-
заметной проводимостью, пропускать через магнитное поле. При этом
1
возникает поле Е =	[vB] и между верхним и нижним электродами
образуется ЭДС
B0.2)
которую можно включить на внешнюю нагрузку. В последнем слу-
случае мы получим МГД-генератор, непосредственно преобразующий
кинетическую (и тепловую) энергию газового потока в электрическую.
В типичных условиях магнитное число Рейнольдса можно считать
малым (например, при v = 1000 м/с, L^ ~ 10 см и о ~ 1013 абсед.
имеем Rm - vL^-Anolc2 = 1/10) и пренебречь увлечением силовых
линий при движении газа. Иными словами, при Rm <?¦ 1 магнитное
поле можно рассматривать как заданное (внешнее поле). Если канал
является узким и длинным (L » L ), то уравнение непрерывности
и уравнение движения можно приближенно записать в квазиодно-
квазиодномерном виде:
q = pvS = const; pv= pv-
дх
dp
Эх
+ F,
B0.3)
где F = — jy В. (Течение счита-
считается стационарным, и все вели-
величины зависят лишь от х.)
Рис. 84. К теории МГД-генерагора
182

В качестве третьего уравнения мы используем условие воз-
возрастания энтропии газа, рассчитанной на одну частицу:
ds, dQ j2
Т—- =	- =	,	B0.4)
dt	dt no
к	р
где s, =	In	. Здесь р/ о = iE* - джоулево выделение тепла
¦у — 1	г
р
A см3 за 1 с). Учитывая стационарность течения (d/dt = 0) и обозна-
обозначая для краткости штрихом частную производную по х, перепишем
полученную систему трех гидродинамических уравнений B0.3),
B0.4) в виде
B0.5)
Если из двух последних уравнений исключить производную р',
то получим
я
я
р'
р
р'
р
У
р'
Р
V'
т
5
5
V-1
рт
Р
Р
f
0
pV v'
Р v
Р
VPVVP
,20.6)
Удобно ввести так называемое число Маха, равное отношению
скорости потока к местной скорости звука в газе:
М	—,	B0.7)
сзв
где
р /ад
Тогда, подставляя B0.6) в первое уравнение B0.5) и предполагая
для общности, что поток q не сохраняется (дополнительные порции
газа впрыскиваются через боковые стенки), получаем уравнение,
описьшающее изменение скорости вдоль сопла:
v' 5' F V-1 / dQ \	q'
(/42-1)	: — +	I-JL.\ __L.	B0.8)
т 5 VP	Vpr \ dt /lcM3 Я
Здесь (cfQ/dO i шэ =;2/о - джоулево выделение тепла.
№

Уравнение B0.8) играет важную роль в теории сопла и, образно
выражаясь, лежит в основе прогресса современной реактивной
техники. В соответствии с четырьмя членами в правой части уравне-
уравнения B0.8) из него следует, что увеличение скорости потока (v'> 0)
в дозвуковом режиме (М < 1) может быть достигнуто за счет четырех
факторов: 1) уменьшения сечения (S'< 0), 2) воздействия тормозя-
тормозящей (!) силы (F < 0), 3) нагревания газа (dQ/dt > 0) и 4) впрыскивания
дополнительных порций газа (q> 0).
В сверхзвуковом режиме (М > 1) влияние всех четырех факторов
будет противоположным.
Очевидно, для достижения наибольшей скорости газа целесооб-
целесообразно сконструировать сопло так, чтобы в средней его части скорость
потока переходила звуковой барьер и на последующих участках
течение было сверхзвуковым. Такой оптимальный реактивный
двигатель должен быть устроен примерно так, как изображено
на рис. 85. Сопло, имеющее вначале сужение, а затем расширение,
называется "сопло Лаваля", а сопло с регулируемым впрыскива-
впрыскиванием и отбором дополнительных порций газа - "расходовое".
Тормозящая сила и ускоряющая сила F< 0 и F> 0 создаются турбин-
ками типа вентилятора (турбореактивная авиация). Нагрев газа
регулируется впрыскиванием дополнительных порций топлива.
Сказанное выше относилось к авиационным и ракетным двигате-
двигателям. Применительно к магнитным насосам и плазменным системам
эти проблемы еще не вышли из стадии исследования, но они интен-
интенсивно изучаются в различных странах мира.
Исследуем более детально работу МГД-генератора. В дальнейшем
будем считать, что поток газа вдоль канала сохраняется (q = pvS =
= const), и рассмотрим уравнение движения pw'= -p'+ F. Умножив
это уравнение на vS = q/P, где S = bd - сечение канала, которое
будем считать прямоугольным (Ь - ширина, d - расстояние между
М<
	*-l
Сужение
Торможение
Нагред
S'<0
F<0
а>о
Впрыскивание Q'>0
(i 2 	•
Расширение
Ускорение
Охлаждение
Отбор газа
-V
S'>0
Q<0
q'<0
Рис. 85. Схема оптимального реактивного
двигателя
184

электродами), запишем его в виде
q р
q	+	~Ъ}у\—Bd .	B0.9)
дх 2 р дх	У\с I
Между тем из закона Ома j» оЕ*следует
т	jy т	d
Еу"~ ? + ——; — Bd=Eyd	jy.	B0.10)
сое	о
Величина U = Eyd по определению есть разность потенциалов между
электродами, которая не зависит от х. Если токи отсутствуют
0'= 0)> то эта величина равна ЭДС холостого хода:
Чтобы в системе не возникали паразитные замкнутые токи, целе-
целесообразно проектировать МГД-генератор таким образом, чтобы
величина Uo была бы постоянна вдоль х- Подставляя соотношение
U0 = U-jy d/o из уравнения B0.10) в B0.9), получаем
д va q dp	}%
q	+	=bjyV-S	.	B0.12)
Вх 2 р dq	о
(Мы пренебрегаем эффектом Холла и считаем, что в системе при-
присутствует лишь ток jy.) Далее из уравнения B0.4) имеем
?	dst пкт д	т
о	dt т-1 Эх р?-1
Э / Г \ Э 1
-pv	 с, ,	 +pvp	,	B0.13)
дх \ ' m I	дх р
где Cf = k/(f - 1) - теплоемкость одной частицы при постоянном
объеме. Так как q = const, то учитывая B0.13), мы можем записать
уравнение B0.12) в виде
— qW = bj' U,	B0.14)
дх	у
где
Здесь Vj = V/N = l/n - объем, приходящийся на одну частицу. Оче-
185

(И)
видно, величина q есть не что иное, как полный поток энталь-
энтальпии вдоль канала. Интегрируя уравнение B0.14), находим
qM {х) _дСН> @) xU fjy ш т Шу w>	B0Л5)
о
где 1у (х) - ток, протекающий через участок электродов от начала
сопла {х ~ 0) до сечениях. В режиме генератора току должен быть
направлен против поля Е (но, конечно, вдоль Е*), т.е. / » -/ и,
таким образом, на всей длине L электродов имеем
UI = qW@)- qW(L),	B0.16)
где ^полезн = UI - есть, очевидно, мощность, подаваемая на нагрузку.
Таким образом, в полезную работу превращается часть потока
энтальпии, входящего в канал. Естественно определить КПД гене-
генератора как коэффициент использования энтальпий:
B0.17)
Если же установка должна работать как магнитный насос (дви-
(двигатель), то к электродам следует приложить внешнюю ЭДС и ток
будет течь по полю Е , т.е. / = /. При этом в соответствии с уравнением
B0.15) затрачиваемая источником питания мощность пойдет на
увеличение потока энтальпии
lU = qW(L)-qW@).	B0.18)
Полезным результатом работы двигателя следует считать прира-
приращение кинетической энергии потока
а к затратам отнести работу внешней ЭДС и входящий в сопло поток
внутренней энтальпии газа (за вычетом кинетической энергии),
т.е.
где
186

Бесполезные потери составляют поток теряемой на выходе
внутренней энтальпии, равный mSh1 (L). Тогда уравнение B0.18)
можно представить в виде
"полезн " ^затр ~ mSh, fc)	B0.19)
и определить КПД двигателя как отношение
л „виг =
"эатр
Здесь h1 = Cytl Т + ip/n) = укТ (у - I) - cpi T - энтальпия одной
частицы (внутренняя).
Преимущество плазменного реактивного двигателя по сравнению
с обычным соплом Лаваля заключается в следующем. Предположим
для простоты, то начальная скорость газов равна нулю (v0 = 0),
а КПД = 100% (т.е. hl (L) ~ TL = 0). Тогда из соотношения B0.19)
следует, что в обычном сопле Лаваля (при / = 0) максимальная
скорость истечения газа не может быть больше
B0.21)
Y-l
т.е. для одноатомного газа (у = 5/3) лишь в ^Г= 1,7, а для двухатом-
двухатомного (У = 7/5) лишь в V5~'= 2,2 раза превышать начальную (на входе)
скорость звука. В противоположность этому в плазменном двигателе
в принципе возможно получение любых скоростей истечения.
Рассмотрим более детально простейший вариант - установку
с постоянным вдоль х сечением и магнитным полем. При этом pv =
= const и, интегрируя уравнение движения B0.3), получаем
х	у
ps (х) - ps @) = \Fdx =	 \j bdx = —— Цх),
J	cb } y	cb y
о	9	B0.22)
где ps = p + pva - так называемое давление торможения. Исключая
из B0.22) и B0.15) ток 1у(х), находим
(in	rift	cb
п	I vl	п	((\\ — 11	in (-vl	/fill	^ОЛ O*J\
в s s
Здесь U = Eyd - разность потенциалов между электродами,
не зависящая от х. При постоянном d поле Е также не зависит
от х. Примем за единицу скорости величину скорости дрейфа v? =
187

- сЕу/В и перейдем к безразмерным переменным: скорости и давле-
давлению
B0.24)
1рт) у?
где уЕ - сЕу/В.
Тогда соотношение B0.23) принимает вид
(),	B0.25)
где
! = p,/pwc=P+ V;
B0.26)
Q = q(H)/(pvS) y| - — V2 + —— PV,
2	l
т.е. Ps и Q соответствуют безразмерным давлению торможения и
полному потоку энтальпии.
Из уравнения B0.25) можно видеть, что на фазовой плоскости
Ра, Q траектория генератора (т.е. зависимость Ps от Q) имеет вид
прямой линии, которая с наклоном в 45* проходит через начальную
точку Ps @) Q @). При этом для генератора Q будет уменьшаться,
а для двигателя расти. Семейство возможных траекторий изображено
на рис. 86 сплошными линиями, однако следует иметь в виду, что
выбор начальной точки и длина траектории до конечной точки,
соответствующей концу установки x = L, не могут быть произвольны-
произвольными. Отметим на фазовой плоскости кривую, на которой скорость
потока сравнивается со скоростью звука, т.е. число Маха равно
единице:
М2 = р v2 /ур = V/yP и М = 1 при V = у Р.	B0.27)
При этом из системы B0.26) следует, что Ps = A + —] V, и тогда
QW =	Р2 для 7	.	B0.28)
32	3 /
Эта парабола изображена на рис. 86 для случая 7 = 5/3. Нетрудно
убедиться, что область, расположенная на плоскости р. О ниже
188

этой параболы, физически недостижима. В самом деле, при любом
фиксированном V = Vc функции Pg (V, Р) и Q (V, Р) линейно зависят
от Р и, следовательно, друг от друга. Эта линейная зависимость
Q (Ps) при V = const изображается прямой линией, уравнение которой
нетрудно получить, исключив давление Р из выражений B0.26):
B0.29)
Эта прямая является касательной к указанной выше параболе
B0.28) в точке
to+ U ^J2 to - О.
Следовательно, парабола B0.28) является огибающей семейства
прямых, описываемых уравнением B0.29), и поэтому область ниже
параболы недостижима (этой области соответствуют комплексные
значения Р и V, что бессмысленно).
Далее нетрудно видеть, что левая сторона прямой B0.29) (слева
от точек касания) оканчивается в точке, где давление газа Р обра-
обращается в нуль. Так как значения р < 0 невозможны, то области
левее указанных точек недостижимы. Из выражений B0.26) можно
видеть, что кривая Q*1' (Ps), соответствующая Р = 0, также является
параболой gUI)= — i^.
Наконец, из закона Ома j - ОЕ* [см. выражение B0.10)], который
в безразмерных переменных B0.24) принимает вид
B0.30)
следует, что для генератора ток / направлен против Е и поэтому
V	> 1, а для двигателя, наоборот, jy II Еу и V < 1. Таким образом,
прямая V = 1 (см. рис. 86), отделяет область режимов генерации от
области режимов двигателя.
Каждая точка Ps, Q на фазовой плоскости отвечает двум значениям
V	и двум значениям Р, причем одна пара VT соответствует дозву-
дозвуковому М < 1, а вторая сверхзвуковому М > 1 режимам.
Легко проверить, что для сверхзвукового потока максимально
возможный КПД получается для траектории, конец которой сов-
совпадает с точкой, где прямая V = 1 касается параболы звукового
189

Рис. 86. Диаграмма МГД-геиератора на
плоскости Р$, Q
барьера B0.28), а начало лежит йа параболе Q ^ = — Pf, соответст-
соответствующей Р = С. Для дозвукового потока оптимальный режим полу-
получается тогда, когда начало траектории Р° Q0 лежит на прямой V = 1,
а конец на параболе звукового барьера, причем формально макси-
максимальный КПД соответствует Q° -* <». Для одноатомного газа у «¦ 5/3
указанные КПД оказываются равными соответственно:
= 40%.
Более высокий КПД можно получить лишь при переходе к соплам
с переменным сечением, теоретический анализ которых представляет
достаточно сложную задачу.
Рассмотрим теперь изменение параметров газа вдоль канала,
для чего можно воспользоваться уравнением B0.8), которое в нашем
случае q,S,B = const принимает вид
jyB
—
сур
т-1
B0.31)
Предполагая для простоты, что проводимость о остается постоян-
постоянной при течении газа вдоль х, и исключая из уравнения B0.31) ток
jy с помощью закона Ома B0.30), после перехода к безразмерным
переменным получим
dV	V—1	1 + v(V— 1)
dOc/П 1-М'	V
1
Здесь М2 = V/yP - квадрат числа Маха, а величина /t = pv c2loB2
имеет размерность длины. Из этого уравнения следует, что в режиме
генерации дозвуковой поток будет ускоряться, а сверхзвуковой
замедляться (для V > 1 будет V'> 0 при М < 1 и v'< 0 при М > 1),
причем переход через звуковой барьер М = 1 невозможен: течение
на всей длине или дозвуковое, или сверхзвуковое. Такое поведение
190

потока и является причиной, ограничивающей КПД рассматривае-
рассматриваемого генератора с постоянным по длине сечением S и полем В.
На рис. 87 представлена диаграмма различных возможных режи-
режимов течения. При критических значениях скорости V* = 1 и V** -
= 1-1/7 производная V обращается в нуль, т.е. скорость не растет.
При первой критической скорости У* = 1 в системе отсутствует
ток, и поэтому поток газа не испытывает ни силового, ни теплового
воздействия (отсутствует джоулево тепло). При второй критической
скорости V** = 1 - 1/7 {V** = 0,4 для у = 5/3) силоиое воздействие
уравновешивается тепловым [см. уравнение B0.31)]:
гмех
^эф.тепл (V-DU-V)
¦1,
B0.33)
v=v*
где
л.
fMex= JyB> *эф.
тепл'
Отсюда видно, что в области 0 < V < V** тепловое воздействие
превышает силовое, а при V** < V < 1 - наоборот. В режиме генера-
генератора V > 1 силовое воздействие всегда превышает тепловое. На
диаграмме 87 в скобках указан основной фактор, определяющий
результирующий эффект в различных случаях. В переменных М, V
уравнение траектории B0.25) принимает вид
M2	2
Vo (V, - Vм)	V-l
(V- If = const =
B0.34)
К
где Мо, Vo - значения параметров на входе, т.е. начальная точка
V
Ускорение
(сила)
Замедление
(сила)
— — ^
Ускорение
(тепло)
Замедление
(сила)
Ускорение
(сила) *
i	 _w-^_i.
Замедление У
(тепло) fl
Рис. 87. Диаграмма режимов МГД-сопла
Дозвуковой М° 1 Сверхзвуковой
режим	режим
191

траектории. Выразив отсюда М через V, можно привести уравнение
B0.32) к виду
/ х \ dV dV dV
d[	 =a	+Ь	+ c	,	B0.35)
\ lx I	V-l	v-V** (V-V**f
где a, b, с - постоянные, после чего его нетрудно проинтегрировать
в конечном виде.
Задача. Показать, что для МГД-генератора с постоянным сечением теоретически
возможные максимальные КПД равны 27 и 40% соответственно для сверхзвукового
и дозвукового потоков.
Глава 4
УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ
ПРИБЛИЖЕНИИ
Поскольку плазма состоит из многих частиц, то с механической
точки зрения она является системой со многими степенями свобо-
свободы. Различные движения в плазме можно рассматривать как воз-
возбуждение тех или иных степеней свободы, которые можно разбить
на две большие группы: "индивидуальные", в которых участвуют
отдельные частицы, и "коллективные", в которых участвуют сразу
многие частицы. Первая группа соответствует тепловому движению
частиц и не представляет большого интереса. Вторая группа включа-
включает разнообразные волны, которые могут возбуждаться в плазме.
В обычном газе единственной коллективной степенью свободы яв-
является звук (при большой амплитуде - ударная волна). В противо-
противоположность этому в плазме при наличии магнитного поля могут
возбуждаться многие типы волн.
Основная задача теории плазмы заключается в том, чтобы выяс-
выяснить условия, при которых возбуждаются (или, наоборот, могут
быть стабилизированы) те или иные виды колебаний, и установить
их относительное влияние на поведение плазмы в целом.
Коллективные возбуждения в плазме можно условно разделить
на два класса: макроскопические и микроскопические. Первый класс
включает в себя крупномасштабные пульсации, связанные с пере-
перемещением относительно больших масс газа и имеющие размеры по-
порядка размеров системы. Ко второму можно отнести мелкомасштаб-
192

ные колебания, характерные размеры которых определяются внут-
внутренними параметрами плазмы.
Ясно, что неустойчивости первого класса наиболее опасны и их
необходимо устранять в первую очередь.
В настоящей главе рассмотрены макроскопические неустойчи-
неустойчивости, которые могут быть описаны в рамках магнитогидродина-
мической одножидкостнои модели плазмы с изотропным давлением,
т. е. с помощью уравнений МГД.
§ 21. Метод малых колебаний
Если система находится в равновесии, то обычный метод опреде-
определения ее устойчивости состоит в исследовании малых возмущений,
которые могут нарушить это равновесие. При этом амплитуда воз-
возмущения считается малой (формально - бесконечно малой), и урав-
уравнения движения системы могут быть линеаризованы по амплитуде
возмущения. Если равновесное состояние является стационарным,
то коэффициенты в полученных линеаризованных уравнениях не
будут зависеть от времени, и поэтому возмущение можно искать
в виде
ф(г, О-ФМе-1"',	B1.1)
где (о - частота колебания. При таком подходе, который можно
назвать методом малых колебаний, определяется спектр возмож-
возможных частот (о = (о„, и если ш может принимать лишь действитель-
действительные значения, то равновесие является устойчивым.
Если же (о может быть мнимым, то это свидетельствует о неус-
неустойчивости, так как при этом возмущения будут нарастать.
Описанный метод уже был использован нами в предыдущей гла-
главе при исследовании магнитогидродинамических волн (альфвенов-
ских и магнитозвуковых) на однородном фоне.
Теперь же фон (т. е. распределение величин в равновесном со-
состоянии) не является однородным по пространству, и потому воз-
возмущение, вообще говоря, не имеет вида плоской волны ~ exp (ikr),
а должно определяться при соответствующих граничных условиях
из линеаризованных уравнений МГД:
Эр' ЭВ' / р° \
	=-div(p°v); —-- rot [vB°];p' = [у	 р';
at	dt	\ (,о)
B1.2)
193

9т
ро	=_ у
а*
8л /
4л
коэффициенты в которых могут зависеть от координат. При иде-
идеальной проводимости о = °° граничные условия в случае изотроп-
изотропной гидродинамики заключаются в требовании тангенциальности
внешнего магнитного поля Ве и отсутствия скачка полного давления
на границе плазмы:
	)
8л А
B1.3)
где п - внешняя нормаль к границе (рис. 88), а В, - поле внутри плаз-
плазмы, тангенциальность которого у границы автоматически обеспе-
обеспечена уравнениями МГД вследствие теоремы вмороженности. Тре-
Треугольные скобки условно обозначают разность величин снаружи и
внутри у границы плазмы, т. е. скачок полного давления. Так как
условие <р + ?а/8л>5 = 0 должно быть выполнено на границе (дви-
(движущейся) в любой момент времени, то его можно также записать
в виде
dt
> -о,
что в линеаризованной форме означает
э
dt
0.
B1.4)
Валууи
Системная
граница
Рис. 88. К выводу поправки для нормали к границе плазмы

Выше и всюду в дальнейшем будем предполагать, что равновесие
системы является статическим, т. е. в нулевом приближении т° = 0.
Величины со штрихом означают малые возмущения. Условия тан-
генциальности в линеаризованной форме имеет вид
(nBe);-(nB°e)s + (noB;),-0.	B1.5)
Вместо скорости удобно рассматривать непосредственно малое сме-
смещение частиц жидкости ?(г0, t) (ср. лагранжевы переменные в гид-
гидродинамике):
у= — 6* — 6 = - iug,	B1.6)
dt	dt
откуда ? = 	v.
СО
Поправка к нормали п', входящая в равенство B1.5), связана со
смещением ? на границе плазмы соотношениями
э
= - tg a =	1г;
дх
B1.7)
где х и у - тангенциальные координаты на поверхности плазмы, а
|г - нормальная компонента смещения (?,2 = |п). Поскольку нор-
нормаль - это вектор единичной длины:
| п° + п'|^ у72 + 2n° n' = 1 + (n° n'),
то (n° n') = 0, т. e. n'l n° или n'z = 0. Отсюда и из равенств B1.7) сле-
следует, что
n'=-VTU = -VtUn%	B1.8)
где VT означает тангенциальную составляющую градиента.
Таким образом, условие тангенциальности поля B1.5) можно за-
записать в виде
195

или
B1.9)
Полезно также привести вывод условия <p + B2/8n)s ¦ 0, которое
соответствует отсутствию скачка полного давления на границе плаз-
плазма - вакуум. Рассмотрим для общности случай анизотропной плаз-
плазмы с Pj^Px» описываемой уравнением [см. A8.8) и A8.9)]
л
V-P
dt
л
divP;
В2
а
В2
_
B1.10)
При этом поле не обязано быть тангенциальным к поверхности плаз-
плазмы. Проинтегрируем уравнение B1.10) по объему малой призмы V
на границе (рис. 89) и затем устремим ее толщину 6 к нулю. При
этом получим
B1.11)
S -о
Преобразовав по теореме Гаусса интеграл от дивергенции тензора Р
к поверхностному интегралу и отбросив поток через боковые гра-
грани, найдем условие отсутствия скачка
На = Ка или <п-р\ = 0,	B1.12)
где а = х, у, z, a n - нормаль к границе. Если снаружи плазма от-
отсутствует, то это с учетом равенств B1.10) означает, что на границе
Рис. 89. К выводу граничного условия B1.12)

(nB.) \ /	В? \ (пВ) /	Bf
В2	I 8Л	в1	8л
причем в силу условия div В = 0 нормальные компоненты полей долж-
должны быть равны
В^ = В* или nBt = nBe.
Если поле к тому же тангенциально, то пВ = 0 и мы приходим к преж-
прежнему условию
П2	R2
1 8л 8л
в общем же случае, умножив равенство B1.13) скалярно на п, найдем
Pi+ ——+ (Р|| ~Р\ ) —т = ~~ '	B1.14)
8л	В^ 8л
где Вп = пВ, = пВе.
В заключение скажем несколько слов о так называемом прибли-
приближении несжимаемой жидкости. Как уже отмечалось, в случае ста-
стационарного равновесия возмущения зависят от времени экспо-
экспоненциальным образом ф (г, t) = ф(г)е~'и', а координатная зависи-
зависимость должна быть определена из уравнений, которые обычно мож-
можно привести к виду
?фп(г) = А.„фп(г),	B1.15)
А
где кп = a2; L - некоторый оператор. Следовательно, по аналогии
с квантовой механикой величины кп можно рассматривать как
собственные значения оператора Z, который в случае идеальной маг-
магнитной гидродинамики (без учета диссипации) для статического
равновесия т° = 0 оказывается самосопряженным (это можно пока-
показать непосредственной проверкой). Поэтому величина к = ы2 может
принимать лишь действительные значения, и тогда при к > 0 о =
197

= /? будет также действительным, что соответствует устойчивым
(ненарастающим) колебаниям, а при Л < 0 со = ± i v | X | — чисто мни-
мнимым, что ведет к неустойчивости.
Условие устойчивости имеет вид X. = и2 > 0, а "граница устойчи-
устойчивости" соответствует значению и = 0. Вблизи этой границы из урав-
уравнения непрерывности найдем
-^-= lim (-iup') = -div(p°v) = 0,	B1.16)
dt ы - О
что соответствует условию несжимаемости жидкости. Если к тому же
в равновесии р°(г) = const, то уравнение B1.16) имеет обычный вид
div v= 0.
Иными словами, если рассмотреть две сходные равновесные си-
системы - сжимаемую и несжимаемую, находящиеся в одинаковых
условиях, то уравнения малых колебаний этих систем и спектр воз-
возможных частот будут, вообще говоря, различаться. Однако вблизи
границы устойчивости (ы -* 0), определение которой и представ-
представляет наибольший интерес, их спектры, а следовательно, и условия
устойчивости должны совпадать. Поэтому часто при отыскании кри-
критерия устойчивости МГД-система рассматривается как несжимае-
несжимаемая жидкость, уравнения движения которой несколько проще, чем
для сжимаемой.
§ 22. Устойчивость плоской границы и скинированного пинча
Задача об определении полного спектра частот в методе
малых колебаний сводится к линейному уравнению второго поряд-
порядка в частных производных, которое удается решить лишь в прос-
простейших случаях (если не прибегать к численным методам). Для проб-
проблемы управляемой термоядерной реакции наибольший интерес
представляет задача об устойчивости цилиндрического пинча.
По-видимому, впервые такая задача была рассмотрена в работе
автора*, и при этом было показано, что пинч с током, равномерно
распределенным по сечению (при этом давление изменяется по пара-
параболическому закону [см. формулу A5.15)]), неустойчив относительно
аксиально симметричных возмущений, имеющих вид перетяжек.
* См. статью: Трубников Б.А. О неустойчивости цилиндра плазмы // Физика плазмы
и проблема управляемых термоядерных реакций. М.: Изд-во АН СССР, 1958. Т. 1. Чис-
Численные расчеты для этой работы, выполненной в 19S2 г., были проделаны академиком
C.J1. Соболевым.
198

В.Д. Шафранов рассмотрел случай скинированного пинча в про-
продольном поле, для которого задачу удается решить аналитически в
полном объеме. При этом была показана стабилизирующая роль про-
продольного магнитного поля.
Пинч с распределенным током в продольном поле был рассмот-
рассмотрен Т.Ф. Волковым.
Эти работы, однако, были опубликованы лишь в 1956 - 1958 г.,
в то время как первой статьей, напечатанной в 1954 г., была работа
Крускала и Шварцшильда, посвященная устойчивости плоской
границы плазмы в поле тяжести и скинированному пинчу без про-
продольного поля. Эта задача весьма итересна в методическом отно-
отношении, и потому ее целесообразно рассмотреть в первую очередь.
Предположим, что плазма, которую будем рассматривать как
несжимаемую жидкость с р° = const, находится в однородном попе
тяжести g = const и занимает верхнее полупространство z > 0 (рис. 90s.
Снизу она поддерживается однородным внешним магнитным полем
В°, параллельным границе. Внутри плазмы также имеется одно-
однородное поле В°, параллельное границе, но не обязательно парап-
лельное внешнему полю (В? Ф В°). Так как система однородна но
координатам х и у, то все возмущения можно искать в виде
, / \ i(kxx + kvy —
= ф(г)е x yy
B2.1)
где (kx, ky, 0) = k — тангенциальный волновой вектор, параллельный
границе раздела. Снаружи в вакууме скалярный магнитный! потен-
потенциал ф'е, определяющий возмущение внешнего поля В^ - Vijj,.
должен удовлетворять уравнению Лапласа
Дф' =
д2
э2
Эу2
д2
dz2
4>е =
B2.2)
Рис. 90. Плазма в поле тяжести, поддержива-
поддерживаемая внешним магнитным полем Bg

где |кj = ук? + к* . Отсюда ф«(г) ~ expf*|к|г), и, оставляя вслед-
вследствие граничного условия внизу на бесконечности феB) !*¦¦-«> ~ О
лишь знак +, получаем
B2.3)
где Се - постоянная. Тем самым мы полностью решили внешнюю за-
задачу. Внутри плазмы следует решать линеаризованные уравнения
МГД B1.2), которые с учетом однородности поля В° и условия не-
несжимаемости divv = 0 сводятся к уравнениям
ЭВ,-
dt
(B?V)v;
или
-iuB- = i(kB?)v,
откуда В,- =- v(kB°)/(o, и далее
B2.4)
4 ли
(kB,?Jv,
где Р = (р + В?/8л) - поправка к полному давлению (газовое плюс
магнитное). Отсюда найдем
-iu
B2.5)
где с,! = В? / у4лр° - альфвеновская скорость внутри плазмы. Так
как div v = 0, то функция р' удовлетворяет уравнению Лапласа B2.2),
решая которое с граничным условием P'(zJ^._oo=:Q, находим
где С{ - постоянная, а множитель р° введен для удобства. Тем са-
200

мым мы решили внутреннюю задачу и нам осталось удовлетво-
удовлетворить двум граничным условиям на поверхности плазма - вакуум:
условию тангенциальности поля B1.9) при z = О
В'еп = (В° V ) 1п, откуда в'„ = i (k Ве°) \х,	B2.7)
и условию отсутствия скачка полного давления B1.4) при z = О
vV<P)° = O,
dt
откуда
,	3
dz
Здесь | - смещение жидкости, для которого из уравнений B2.6),
B2.7) найдем
1	р'	-Мс,-
ut). B2.9)
Далее из формулы B2.3) следует
^;	B2.10)
ф/е,	B2.11)
поэтому условие B2.7) сводится к соотношению
(кВ°)
1
cit	B2.12)
а условие B2.8) соответствует
в2 \' i в2
8л / \ 8л
201

Исключив отсюда постоянные Се и С,, окончательно получим
О2 =|fc|_l_<p> + (kcjJ + (kcjJ.	B2ЛЗ)
pdn
Здесь c"/e = В? /т/4лр0'- альфвеновские скорости, а 	<Р> -
производная по внешней нормали от скачка полного давления, кото-
которая для рассматриваемой нами задачи ввиду постоянства полей
В? и В° сводится к выражению
pdn	pdz [
= —Vzp = -g<0.	B2.14)
Р
При этом мы использовали уравнение равновесия Vp = pg, где gz =
- ~ 181 - ускорение свободного падения (на рис. 90 направлено вниз).
Из уравнения B2.13) можно получить несколько выводов.
1.	Для устойчивости необходимо, чтобы со2 > 0, и поэтому два по-
последних члена в выражении B2.13) способствуют стабилизации плаз-
плазмы, в то время как первый член справа равен -|k|g [см. формулу
B2.14)], т. е. является отрицательным и потому дестабилизирующим.
При малых |к| = 2л/А. (большие длины волн) квадратичными члена-
членами можно пренебречь, и поэтому в целом система оказывается не-
неустойчивой.
2.	Если в частности, внутри плазмы поле отсутствует (при этом
с'а - 0), то
о2 =-|k|g + (kcjJ	B2.15)
и последний стабилизирующий член будет минимален (равен нулю)
при к 1 В° . Поэтому в первую очередь на границе развиваются воз-

мущения, имеющие вид желобков, вытянутых вдоль поля (рис. 91),
поэтому такая неустойчивость называется желобковой.
3.	Причиной этой неустойчивости является сила тяжести, однако
ясно, что та же самая картина должна наблюдаться, когда плазма
ускоряется магнитной стенкой, как это изображено на рис. 92, а.
Вместо g в этом случае в формуле B2.15) будет фигурировать уско-
ускорение плазмы а. Такая неустойчивость должна наблюдаться в плаз-
плазменных ускорителях, а также в 9-пинче, сжимаемом к центру ка-
камеры нарастающим магнитным полем (рис. 92,6).
4.	Из формулы о2 =-\k\g + (кедJ+ (кс%J видна также стабили-
стабилизирующая роль перекрещенности силовых линий магнитного поля.
В самом деле, если внутри плазмы имеется поле В,, то оно способ-
способствует стабилизации, добавляя положительный член (кс^J. Одна-
Однако при В, II Ве оба последних члена обращаются в нуль для к 1 В,е,
т. е. желобки, вытянутые вдоль общего направления полей В,Ве,
развиваются одинаково хорошо как с полем В,, так и без него.
Если, однако, В,- не параллельно Ве, то оба члена (кедJ + (кед J
нельзя одновременно обратить в нуль и стабилизирующий эффект
Рис. 91. Желобковая неустойчивость грани-
границы плазмы
а.)	6)
Рис. 92. Неустойчивость плазмы, ускоряемой магнитной стенкой
203

остается. Таким образом, перекрещенность полей является благо-
благоприятным фактором.
5. Даже при наличии перекрещенности в пределе |к| -*¦ 0 можно
пренебречь квадратичными членами, и система оказывается неус-
неустойчивой. Однако такая ситуация возможна лишь для бесконеч-
бесконечной системы. Бели же она конечна, то к = 2 л /А. не может быть про-
произвольно малым. В этом случае А.макс = 21, где L - длина системы,
и тогда
2"	•	B2.16)
На границах системы обычно имеют место или нулевые условия
v@) = v(I) = 0, что соответствовало бы "закрепленным концам",
или условия периодичности v@) = v(I), что соответствовало бы за-
замыканию системы. В обоих случаях это ограничивает максималь-
максимально возможные длины волн, т. е. |к| ограничено снизу значением
кит, и стабилизация оказывается возможной. Пусть, например, внеш-
внешнее поле равно внутреннему и они перекрещены под углом 90°.
Тогда
, ,	в*	/в2
2 \\	к2
4пр	\ 4пр
и если
4п \ к /макс кмин л d*
то система будет устойчива.
Таким образом, закрепленные концы способствуют стабилизации
плазмы.
6. Предположим, что сила тяжести и магнитное поле внутри плаз-
плазмы отсутствуют: g = В,- = 0. При этом ргаз = const и формула B2.13)
принимает вид
Хотя в нашей задаче предполагалось, что внешнее поле однород-

но, однако формально из равенства B2.18) следует, что при
d
dn
> О
B2.19)
система была бы устойчива. Иными словами, для устойчивости необ-
необходимо, чтобы поле возрастало наружу от границы плазмы. В даль-
дальнейшем мы докажем это положение более строго, не предполагая в
общем случае границу плоской.
Перейдем теперь к рассмотрению устойчивости цилиндрического
скинированного пинча в продольном магнитном поле (рис. 93). Про-
Продольный ток / течет лишь по поверхности пинча, внутри которого
имеется однородное продольное поле Bfz и поэтому газовое давле-
давление р°м постоянно по сечению шнура, радиус которого обозначим
буквой а.
Снаружи пинча имеется ср-е поле тока В°ф = 21/сг и однородное
продольное поле B°ez. Для общности предположим также, что пинч
окружен снаружи неподвижным идеально проводящим кожухом ра-
радиуса Ь.
Такая модель позволяет учесть наиболее существенные факторы,
способствующие стабилизации плазмы.
Как и ранее, для простоты мы ограничимся "приближением не-
несжимаемой жидкости". Ввиду аксиальной симметрии можно пола-
полагать, что все возмущения имеют вид
B2.20)
ф(г, ср, z, f) = Ф(г)
Читателю предоставляется возмож-
возможность проверить (см. задачу к § 22), что
решение этой задачи приводит к дис-
дисперсионному соотношению
= к
d(P)°
р dn
B2.21)
Рис. 93. Скинированный зет-пинч в кожухе

сходному с решением B2.13) для плоской границы:
d{ P)
со2 = |к|	+ (ксДJ + (kcjJ .	B2.22)
pdn
В последнем случае мы имели — — <Р>° = -в, что и являлось ос-
Р dn
новной причиной неустойчивости. Теперь же на границе пинча г = а
выполнено условие
(Z	)(p + J-b=?Uo,	B2.23)
в котором Вег, р и В iZ постоянны и лишь Ъещ = 211 с г спадает наружу
от границы плазмы. Таким образом, теперь
4пр
I	B
8пр \ dr
,	B2.24)
т. е. вместо ускорения свободного падения g входит центробежное
ускорение v2/o, измеренное по ф-й альфвеновской скорости сдф =
= Веф/у4лр, что и является основным дестабилизирующим фак-
фактором.
Для плоской границы под вектором к подразумевался касатель-
касательный к границе вектор к = (кх, ку, 0). Подобно этому в выражении
B2.21) под вектором к подразумевается касательный к границе
цилиндрического пинча вектор
тп
= (fcr,fcv,fc,) = 0, —, к)	B2.25)
с азимутальной компонентой к у = т/а и продольной к2 = к. Так
как внутри пинча имеется поле Bfz, то в формулеB2.21) (кс^J =
= k2Bfz/4np. Таким образом, внутреннее поле входит в обе задачи
совершенно одинаковым образом и всегда является стабилизирую-
стабилизирующим фактором. Снаружи поле имеет компоненты Веф и Bez, и по-

этому в соответствии с определением B2.25) теперь имеем
{ксеJ=_1_1кВе2+Ц_в V.	B2.26)
4пр \	в */
Уравнение для пинча B2.21) отличается от уравнения для плос-
плоской границы B2.22) также наличием поправочных коэффициентов
?! и у2, которые выражаются через модифицированные функции
Бесселя и имеют довольно сложный вид:
V
Кт (fee) /^ (кб) - Кт (kb) 1т (ка)
	;	;	;	 •	B2.27)
Km(kb)Im(ka)-Km(k,)lm(kb)
Здесь а - радиус пинча; b - радиус кожуха. Если кожух отсутствует,
то в функции B2.27) это формально соответствует пределу Ь ¦¦- «>,
и тогда, используя асимптотику при z = kb ^ 1
1 ГУ1
1т (*)* —	-е7; Km(z)= /	е-*,
находим У2=У1[~кт (ka)/Km (ka)].
Используя эти же асимптотические выражения, нетрудно видеть,
что в общем случае для коротких длин волн (А. ^ а, Ь, т. е. kb 2>
» ica » 1) оба поправочных коэффициента должны быть близки
к единице:
7 и * 1	B2.28)
при А. = 2п/к <к: а. Этот результат можно предвидеть заранее, так как,
очевидно, при А. «с о кривизна поверхности не имеет значения, и
поэтому уравнения B2.21) и B2.22) должны полностью совпадать.
(Выше также предполагалось, что т не слишком велики: т ^ ка.
Если т ~ ка » 1, то следует пользоваться более точной асимптоти-
асимптотикой у2 * 1, yt *> \/l + (m/kaJ\)
Предположим вначале, что продольное поле отсутствует: Biz =
= Вег = 0. Тогда из уравнения B2.21) находим
20"

a.)
Рис. 94. Виды неустойчивостей цилиндрического пинча:
а — невозмущенный пинч; б — перетяжка (т = 0); в — змейка (т » 1); г — высшие гар-
гармоники (т > 2)
при к а » 1, и вследствие и2 < 0 пинч оказывается неустойчивым:
в нем могут развиваться возмущения типа так называемых перетя-
перетяжек (т = 0), змеек (т = 1), а также более высокие гармоники (т =
= 2, 3...) (рис. 94).
Причиной роста, например, перетяжки или змейки (а их зароды-
зародышем может быть любая флуктуация) является повышение в месте
сужения или с внутренней стороны изгиба магнитного давления,
которое стремится увеличить возмущение. В частности, рост пере-
перетяжки, по-видимому, может привести к полному обрыву цепи тока.
Так как плазма будет вытеснена из этого места, а магнитное поле
очень велико, то электроны не смогут переносить заряд с одного
конца обрыва на другой. В месте обрыва образуется как бы кон-
конденсатор с весьма малой емкостью, который начнет заряжаться,
и в нем возникнет значительное электрическое поле.
Эту картину можно описать и другим способом, сказав, что маг-
магнитное поле, поддерживающее общий ток в цепи, будет способ-
способствовать тому, что ток проводимости 1щ, текущий в остальных
участках шнура, в места обрыва будет продолжен током смещения
'пр
'см
1
4л
дЕ
B2.30)
где S3(j, - эффективная площадь в сечении обрыва. Напряженность
возникающего при этом электрического поля можно грубо оценить,
предположив, что оно по порядку величины соответствует сущест-

вовавшему до обрыва магнитному полю на границе шнура
?макс ~ В = 21/са.	B2.31)
(Это похоже на ситуацию в электромагнитной волне, где Б - В.) По-
Полагая, например, / = 106 а и а = 1 см, получаем ?макс ~ 107 В/см.
Если длина промежутка будет порядка 1 мм, то на этой длине не-
небольшая доля дейтронов, ускоряясь в поле EMWX, приобретает
энергию порядка е ~ 1 МэВ и, попав затем в плотную плазму, может
вызвать там некоторое число ядерных реакций.
По-видимому, в этом состоит механизм образования нейтронов
(порядка 1О10 за один разряд), наблюдающихся при мощных импульс-
импульсных разрядах в дейтерии. В отличие от истинной термоядерной ре-
реакции этот механизм принято называть ускорительным механиз-
механизмом.
Для стабилизации рассмотренных неустойчивостей в системе со-
создают продольное магнитное поле, которое при разряде частично
захватывается плазмой и оказывается как внутри, так и снаружи
пинча. Рассмотрим в отдельности роль этих полей - внутреннего
и наружного.
Предположим вначале, что продольное поле имеется лишь внутри
пинча, а снаружи В° = 0. Тогда из уравнения B2.21) находим
к2с
2
A if
fca
B2.32)
При этом ввиду условия на границе В\^ = В\г + 8л р отношение
BiZ/Belf не может превосходить единицу:
max(Biz/Be(f) = 1 при р ¦* 0.
Наличие перекрещенности полей Biz и Belf приводит к стабилизации
коротких длин волн, и поэтому ограничимся рассмотрением длинно-
длинноволновых возмущений. При этом для функций Бесселя следует
пользоваться разложениями
(х/2) /	B/2)	(х/2)	\
Im (z) = 	 1 +	 + 	 + ... , B2.33)
m! \	m+1	2(m+l)(m + 2)	/
откуда, в частности, найдем
209

V, \	/ /.'<*> \	1	k*a>
Таким образом, перетяжки не развиваются [см. B2.32)], если
1	1
T,i.e. Ви>^
> —, т. е. Biz > -=,Веч>.	B2.34)
В случае змеек в отсутствие кожуха (Ь ¦* <*>) для последних чле-
членов в формуле B2.32) находим
= 1	</,(!) K, B)
и, учитьюая далее разложения (С * 0,57 - постоянная Эйлера)
K() I()l	C + 4CC+U + Ii
z	m!2
получаем
In — » 1 при fca «: 1,	B2.35)
^ v j	I
ка к2аг
т. е. устойчивость не достигается [см. B2.32)].
Однако змейки можно стабилизировать кожухом, так как с ним
получается (z = ка)
( М ,ч
—	Y2 I =	" "	= 'a \z)>
ко	fc^fl^	/ 1 z1 (z\	I «\
ю I z " ' 1 ™" ф I'O
4 e ' *	B2.36)
210

где а = Ыа; ipo(z) = K0(z)/I0(z) и Ф^) = К1 (z)/l[(z). Функция Fa{z)
изображена на рис. 95. Если без кожуха (а = °°) функция Fu(z)
расходилась как In (l/z), то наличие кожуха приводит к "завалу"
в области малых z, и у функции получается максимум. По мере
приближения кожуха к пинчу, что соответствует уменьшению пара-
параметра а = Ь/а > 1, этот максимум снижается и при b < 5а будет мень-
меньше единицы. При этом стабилизация оказывается возможной, если
[см. B2.32)]:
(Bi2/Be[fJ> maxFa(z).	B2.37)
Стабилизирующее действие кожуха связано с тем, что при смещении
пинча должен сохраняться ф -й поток, зажатый между кожухом и
поверхностью пинча (рис. 96). Можно показать, что гармоники с
т > 1 стабилизируются и без кожуха и даже без внутреннего про-
продольного поля, так как они связаны с искажением формы сечения
шнура, которое для перетяжки и змейки сохраняет форму окруж-
окружности (см. рис. 96).
Рассмотрим, наконец, случай, когда продольное поле имеется как
внутри, так и снаружи пинча (Вег Ф 0). Нетрудно видеть, что добав-
добавление снаружи сравнительно небольшого продольного поля (Вег
порядка Be(f) может лишь ухудшить устойчивость пинча. В самом
деле, в этом случае при возникновении змейки, имеющей вид
плоской синусоиды, изображенной на рис. 97, в ее верхней и нижней
наклонных половинах возникнут силы Лоренца Fnop = — [1Вг],
направленные в разные стороны и стремящиеся превратить плоскую
синусоиду в винтовую спираль. Такая неустойчивость называется
винтовой. При поле Ве2, параллельном току /, винт будет правым,
при поле Ве2, антипараллельном току, - левым; однако в обоих
случаях поле винтового тока будет складываться с внешним полем.
Такое поведение шнура обусловлено тем, что при наличии снаружи
пинча продольного поля силовые линии суммарного внешнего поля
имеют вид спиралей (рис. 98, о), которые стремятся сократиться в
продольном направлении и принять форму прямых линий. Это и
достигается при завивании самого шнура в винтовую спираль (поле
при этом усиливается - рис. 98, б). Взаимное притяжение парал-
параллельных токов в соседних витках образующегося таким образом
плазменного соленоида приводит к стягиванию спирали к средней
плоскости камеры z = 0, расположенной посредине между электро-
электродами. При этом новые витки соленоида как бы "вытягиваются" из
211

Рис. 95. Функция Fa (z), учитывающая ста-
билизирующее действие кожуха
Рис. 96. Механизм стабилизации пинча при
условии Ь < 5 а
лор
Рнс. 97. Схема перехода синусоидального возмущения в винтовое
Рис. 98. Тенденция к выпрямлению винтовых силовых линий (а), развитие винтовой не-
неустойчивости пинча (б)
обоих электродов, и в конечном итоге шнур стремится перейти в
полый плазменный цилиндр.
Такое поведение шнура, по-видимому, наблюдалось в некоторых
экспериментах.
Рассмотренная винтовая неустойчивость не может возникнуть,
если продольное поле будет очень сильным: Вег » Bev = 21/са. При
этом силовые линии суммарного внешнего поля будут близки к пря-
прямым линиям (спирали с большим шагом), и им некуда сокращаться
далее. Можно ожидать, что такая стабилизация винтовой неустой-
215

чивости произойдет, если шаг винтовой силовой линии будет пре-
превосходить длину установки L:
h = 2na——>L.	B2.38)
ве<р
Такое условие, называемое обычно критерием Крускала - Шафра-
нова, может быть получено из общего выражения B2.21), в кото-
котором для этого следует положить Вег = Biz ^> Веч> и рассмотреть предел
длинноволновых возмущений ка <? 1 (важны лишь змейки сга= 1).
Проведенный анализ подсказывает два возможных пути для ста-
стабилизации пинча с током. В одном методе, использованном в ан-
английской установке "Зета", стабилизация достигается внутренним
продольным полем и кожухом [см. B2.37)]. При этом в тороидальной
камере с малым диаметром порядка 1 м предварительно создается
сравнительно слабое продольное поле — 100 Гс A0~2 Тл), которое
при разряде, возникающем при изменении магнитного потока через
/	1 \
центр тора ЭДС = — Ф , стягивается вместе с плазмой (вморожен-
\	с /
ность!) к центру камеры так, что вне пинча практически не остается
продольного поля. Образуется пинч с радиусом а ~ 20 см и внутрен-
внутренним полем В{ ~ 1000 Гс @,1 Тл). Такой же порядок имеет поле тока
Вф = 21/са ~ 1000 Гс @,1 Тл) и, значит, / ~ 10s A.
В другом методе, положенном в основу отечественной установки
"Токамак", используется условие Крускала-Шафранова B2.38).
Здесь продольное поле Bz ~20 -s- 40 кгс создается в тороидальной
установке с малым диаметром порядка 0,5 м. Радиус шнура, огра-
ограниченного специальными диафрагмами, имеет порядок а ~ 10 см,
а полная длина L ~ 2 м. Тогда в соответствии с условием B2.38)
поле тока В9 ~ 21/са не должно превосходить
ВФ = —В, ~ ~BZ ~ 10кГсAТл),
ток / ~ 106 А (практически создают / ~ 200 к А).
Обе установки не свободны от других неустойчивостей (негидро-
магнитных), которые будут рассмотрены нами в следующих главах.
Задача 1. Вывести формулу B2.21) для спектра колебаний несжимаемого пинча с
током.
Решение. Снаружи поправка к скалярному потенциалу фе удовлетворяет, как и в
B2.2), уравнению Лапласа
213

Э
Т
Э 2 I.	л] i.*
'е Эф'е , т,
— ¦ — -(*•*— )фе-0,	A)
решением которого являются функции Бесселя от мнимого аргумента
На кожухе т = Ь должно быть выполнено условие Вег = 9 ф'е/9 г = 0, и поэтому постоян-
ные Ае и Ag связаны соотношением
4	»<	0,	C)
где штрих означает производную по аргументу кЬ. Формулы B), C) полностью решают
внешнюю задачу.
Внутри пинча, как и раньше, получим соотношение B2.6) для смещения:
1	Р'
v	,	D)
°
причем функция J» удовлетворяет уравиению Лапласа, из которого найдем [ср. B2.7)]
И°.	E)
что полностью решает внутреннюю задачу. При этом мы использовали условие конеч-
конечности при г = 0, и поэтому в E) отброшено второе решение уравнения Лапласа - функ-
функция Кт (кг), которая расходится при г -» 0.
Нам осталось удовлетворить двум граничным условиям на поверхности пинча (при
г - о): условию тангенциальности в'ег » (Bj V)%T [ср. B2.7)] и условию отсутствия скачка
й
полного давления <J») = — ?г ———(J»>° [ср. B2.8)]. Снаружи поле слагается из поля
B\z и В°ф, поэтому первое условие с учетом выражений B) - E) принимает вид [А1е
исключаем с помощью C)]:
(кВ?)
где
214

Для второго условия имеем [обозначим <Ро(о) = Кт(ка)/1т(ка)\:
Ро(
—	'
так что второе условие можно записать в виде
\	/
=р°С,- 1-
— кВ°Ае 1	— =р°С,- 1-fc 	— — <J»>° ,	(8)
где V, - l'm(ka)/Im(ko).
Исключив из F) и (8) постоянные Ае и Cj, получим искомую формулу B2.21).
Задача 2. Получить из B2.21) условие Крускала—Шафранова B2.38), предположив,
что к = 2п/к, Хмакс = Ь (т.е. fc > киКЯ = 2л/1).
Решение. Предполагая, что кожух отсутствует (Ь -> <*>) в пределе длинных волн (ка <
<¦ 1), имеем (для т = 0)
^	у2 = 1,	A)
и тогда (при Вег = В1г=вг) B2.21) принимает вид
сАф	/	m	\ 2
Ы2 =_т__ + fc2c^ +^fcCj4z+—сд,р|	B)
или
Из C) видно, что наиболее опасны возмущения с т = 1, для которых последний член
отрицателен, в то время как возмущения с m > 2 устойчивы. Однако из B) следует, что
если
к2 с\ > т (сф / аJ или к > -/т(Вц I aBz),
то со2 > 0, и система будет устойчива. Полагая т = 1, получаем критерий КруСкала—Шаф-
ранова
2л -Вф
215

§ 23. Энергетический принцип устойчивости
Исследование устойчивости по методу малых колебаний требует
решения довольно сложных линеаризованных уравнений МГД, точ-
точное решение которых можно найти лишь в простейших случаях,
которые, по-видимому,, ограничиваются рассмотренными в преды-
предыдущем параграфе двумя задачами с плоской границей и скиниро-
ванным пинчем, в то время как, например, уже задача о пинче с
равномерно распределенным по сечению током требует привлече-
привлечения численных методов расчета.
Существует, однако, метод исследования устойчивости, кото-
который не требует решения уравнений МГД. Этот метод называется
"энергетическим принципом" и состоит в исследовании второй про-
производной от потенциальной энергии U(x). Как известно из механи-
механики, в простейшем случае системы, описываемой одной координа-
координатой х, для устойчивости необходимо, чтобы в равновесии выполня-
выполнялось условие
d2
	U(x)	> 0.	B3.1)
dx*
Аналогичный подход можно использовать и для МГД-систем. Для на-
наших целей удобнее, однако, вместо потенциальной использовать
кинетическую энергию K(t)*.
Предположим, что некоторой МГД-системег находящейся в состоя-
состоянии статического равновесия, в момент времени t = 0 сообщена на-
начальная скорость
Ў Ы)|i-O-*(')•	B3-2)
В последующие моменты времени ее кинетическая энергия
PjdV	B3.3)
ж
(интегрирование производится по всему объему, занимаемому жид-
жидкостью) будет изменяться в соответствии с разложением
К (t) = К @) + tk0 + — Ко + ...	B3.4)
* Трубников БЛ. //Phys. Fluids. 1962. Vol. 5. P. 184.
216

/ d
(остальными членами пренебрегаем). Здесь Ко = 	K{t)
2 \dt
dt
Ко
dt2
t = о
\
K(t) - производные, взятые в момент времени t= 0.
/
Дифференцируя энергию B3.3) по времени и учитывая, что pdV =
= const, найдем
— K(t)=
B3.5)
Здесь использовано уравнение движения р v = F, где F(r, t) - объем-
объемная плотность сил. Далее имеем
dt2
B3.6)
где точка означает полную производную по времени, например:
F =— + (vV)F.
at
B3.7)
По условию в момент времени t = 0 система имеет равновесную кон-
конфигурацию, хотя мы и сообщили ей "начальный толчок" в виде на-
набора скоростей v(r, 0) = ?(г). Это означает, что при t = 0 все силы урав-
уравновешены [F(r, f)|t=ol ~ 0, но имеется движение по инерции, вы-
вызванное начальной скоростью ? (г).
Поэтому из формул B3.5) - B3.7) находим
B3.8)
ж	ж
Таким образом, в разложении B3.4) второй член с /Со пропадает,
и все определяется знаком второй производной Ко. Если при любых
возможных начальных скоростях v| t = о = ? (г) имеет место условие
Ко < 0,
B3.9)
то, как видно из разложения B3.4), K(t) < К@), т. е. начальное дви-
217

жение замедляется и, следовательно, равновесное состояние устой-
устойчиво относительно малых (точнее, в пределе - бесконечно малых)
начальных возмущений. Если же для каких-либо v(r, 0) окажется
Ко > 0, то система неустойчива относительно возмущений этого
частного вида. Для МГД-систем имеем
pv = F = - Vp +	[rotBB] + pg,
4л
и поэтому
3F	др 1 /Г ЭВ ,
	= - V	+	 rot	В | +
dt	dt 4л \	dt
Г	ЭВ 1\ Эр
+[totBirJ)+g-ir	B3Л0)
(g считаем не зависящим от г).
Учитывая далее, что
эр эв
	=-divpv; 	= rotfvB];
dt	dt
dp	p dp	.	r-i \	/-* i«\
at p at
и подставляя производную B3.10) в интеграл B3.8), условие устой-
устойчивости B3.9) можно представить в виде - Ко > 0, т. е.
-Ко
Ж
— rotQ[|B]+ f
4л	с
> 0,	B3.12)
где для краткости обозначено Q = rot[?B]. Это и есть так называе-
называемый простой энергетический принцип устойчивости МГД-систем.
В нем интегрирование производится лишь по объему, занимаемо-
занимаемому самой плазмой (где р Ф 0). Подьштегральное выражение в фор-
218

муле B3.12) по существу представляет собой квадратичную форму
(функционал) относительно начальных скоростей v(r, 0) = ?(г),
которые можно рассматривать как пробные функции, и условие ус-
устойчивости есть условие положительной определенности этой квад-
квадратичной формы. При этом пробные функции ? могут быть произ-
произвольными и единственными ограничениями для них являются
лишь условия на границе плазмы: условие тангенциальности внеш-
внешнего поля (пВеM = 0 (мы рассматриваем здесь лишь модель с изо-
изотропным давлением, хотя обобщение на анизотропный случай с
Ри Ф р± также может быть проведено) и условие отсутствия скачка
полного давления (P)s = 0. С учетом выражений B3.11) последнее
условие можно представить в виде [ср. с B1.4)]
d
dt
-|V<P
¦6V(P
t 0
4j
с
4i
-Be
-Be
i
эве
rot Ee
д
dt
1
4л
1
4л
/
в,
в,
ЭВ;
Q +
dt
+ (ypdiv? + ?Vp) = 0.	B3.13)
При этом мы использовали также уравнение Максвелла dBe/dt =
= - cwtEe для внешнего поля. Можно, однако, показать, что путем
некоторого преобразования интегралов B3.12) его удается предста-
представить в таком виде, при котором можно не считаться с условием
B3.13), в некоторой степени ограничивающим выбор пробных функ-
функций ?(г). С этой целью преобразуем по частям первые два члена
в интеграле B3.12):
- I V (VP div I + I Vр) = - div [(vP div I + I V р) I ] +
— rot Q U В] =— div [Q [l B]] + — Q\	B3.14)
4n	4л	4л
Первые члены справа с дивергенциями сводятся к поверхност-
219

ным интегралам, и, таким образом, формула B3.12) приводится
к виду
? dsj-i-[Q[4B]]-(Ypdiv?HVp)?f,	B3.15)
где 5Ж представляет собой интеграл, взятый по объему, занима-
занимаемому жидкостью:
— + 1
4л с
(.	B3.16)
Для первого слагаемого под интегралом B3.15) имеем
[QUB]]= ?(QB)-B(|Q),
причем последний член вследствие тангенциальности поля на гра-
границе BdS = 0 можно отбросить. Учтя далее граничное условие
B3.13), подынтегральное выражение в фигурных скобках B3.15)
можно представить в виде
—	fc(QB)-(Ypdiv? + &Vp)S«
4л
= U?V)<P>-— J (Be rotEe).	B3.17)
4л
Таким образом, условие устойчивости -Ко > 0 сводится к тре-
требованию
-	Ко = 5Ж + 5П + 5В > 0,	B3.18)
где 5Ж определяется формулой B3.16), а 5П представляет собой
интеграл по поверхности жидкости
5П =idSU|V<P>)= Ф t$-?-<P)dS.	B3.19)
J	J *
220

Здесь учтено, что в равновесии градиент скачка полного давления
V<P> = grad[?|/8n - р - Bf/8n] может быть направлен лишь по
нормали пк границе плазмы, и введено обозначение ?„ = (п?)
для нормальной компоненты начального возмущения ?(г).
Наконец, последний интеграл 5В в сумме B3.18), который в соот-
соответствии с условием B3.17) равен
SB=-— ф (BerotEe)(?dS),	B3.20)
4я J
п. ж
может быть представлен в виде интеграла по объему вакуума
(рис. 99). Воспользуемся для этого тем условием, что на движущейся
поверхности плазмы должна отсутствовать тангенциальная компо-
компонента поля
Е* = Е+ — [тВ],
с
что эквивалентно условию [пЕ*] » 0, откуда
[ПЕ] = - — [п [тВ]] = — В - — (пВ).
с	ее
Ввиду тангенциальное™ поля Ве имеем (пВ) = 0, и поскольку
= ndS, то это можно записать как
С [<«ж Ее] = с<*5ж [пЕе] =
Таким образом, интеграл B3.19) оказывается равным
SB =	ф [dSjK Ee] rot Ее.	B3.21)
4л
Мы будем предполагать, что в общем случае рассматриваемая систе-
система представляет собой плазменный сгусток, окруженный областью
вакуума, в которой токи отсутствуют I je = — rotBe = 0 1 и которая,
\ 4п	/
в свою очередь, ограничена замкнутым неподвижным идеально про-
проводящим кожухом (см. рис. 99). На поверхности кожуха ввиду его
221

Рис. 99. Плазма, изолированная от кожуха вакуум-
вакуумным магнитным полем
Кожух
идеальной проводимости отсутствует тангенциальная компонента
электрического поля Ее:
B3.22)
(Ее)т|к = 0 или [пкЕе] = 0.
Если ввести обозначения
; dSK = nK dSK
B3.23)
соответственно для элементов поверхности плазмы и кожуха (обе
нормали п и пк обращены в сторону вакуума - см. рис. 99), то к
интегралу B3.21) можно добавить равный нулю (вследствие [dSKEK] =
= 0) такой же интеграл, взятый по поверхности кожуха, и тогда
с
4л
S [?/8жЕе]го1Ее + $ [ dSKEe] rot Ee j =
П.Ж	П.К
с2 Г с2
= — ф [dSB Ее ] rot Ее =	 <Ь [Ее rot Ee
4л I	4л
B3.24)
Здесь мы ввели обозначение
<*8в1п.ж =- dSx; t/SB|n.K =- dSK,
и, таким образом, выражение B3.24) представляет собой интеграл,
взятый по полной поверхности, окружающей вакуум (с одной сто-
стороны - кожух, а с другой - плазма). Применяя теперь теорему
Гаусса и учитывая, что в выражении
div [Ee rot Ее ] = rot2 Ее - Ее rot rot Ee
222

последний член ввиду отсутствия токов в вакууме равен нулю
в квазистационарном приближении токи смещения не учитывают-
/ 1 эве \ 1 а / 4я \
ся, и поэтому rot rot Ep = rot	 =	 	je = О
е \ с at I с at \ с I
окончательно для интеграла B3.24) получаем
с2 Г
SB = -^ \ rot2EedV > 0.	B3.25)
4л
в
Этот интеграл берется по всему объему вакуума и всегда пред-
представляет собой положительную величину.
Таким образом, в приближении идеальной изотропной магнит-
магнитной гидродинамики условие устойчивости плазмы относительно ма-
малых возмущений (в принципе, бесконечно малых) сводится к тре-
требованию [см. B3.18)]
Sx + Sn + SB > 0,	B3.26)
где 5Ж, 5П и 5В представляют собой интегралы, взятые соответствен-
соответственно по объему жидкости, ее поверхности и объему вакуума и опреде-
определяемые формулами B3.16), B3.19) и B3.25).
В таком виде это условие называется обобщенным энергетичес-
энергетическим принципом. Он отличается от простого энергетического принци-
принципа B3.12) тем, что теперь мы можем не учитывать граничное усло-
условие B3.13), которое раньше в известной мере ограничивало выбор
пробных функций ?(*)• В самом деле, предположим, что неравен-
неравенство B3.26) выполнено для функций, не удовлетворяющих поверх-
поверхностному условию B3.13). В последнем, однако, фигурируют про-
производные типа производной по нормали d\ldn, и поэтому путем
бесконечно малого изменения пробной функции (? — ?' = ? + е,
где е -* 0) в бесконечно близкой окрестности у поверхности (An ~
~ е -* 0) (рис. 100) всегда можно добиться выполнения этого условия,
не изменив значения интегралов 5Ж, 5П и S*. При этом Sx не изме-
изменится, так как он является объемным интегралом, и хотя в нем
также фигурируют производные типа 3|/dn, которые при этом
изменяются на величину порядка единицы ", однако это изме-
* Эта "обобщенная" трактовка и сами энергетические принципы B3.12) и B3.26)
были получены в работе Бернштейна, Фримена, Крускала и Кульсруда.
223

Рис. 100. Бесконечно малая вариация пробной
функции ? (х), позволяющая выполнить гра-
граничное условие <?> - 0 без изменения значения
интегралов в обобщенном энергетическом прин-
принципе
Поверхность
плазмы
нение затрагивает лишь бесконечно тонкий слой вблизи поверх-
поверхности, так что
6 5Ж« \ "l"dV~"l"Sxt - 0.
Поверхностный интеграл 5П не изменится, так как в нем фигури-
фигурирует сама функция ?„ = п?, а не ее производные. Наконец, ?(г) в
5В вообще не входит.
Возникает вопрос: как связан полученный выше энергетический
принцип с методом малых колебаний? Последний, как уже указы-
указывалось [см. B1.15)], сводится к линейному уравнению вида
которому должны удовлетворять малые возмущения \. При этом
Л
оператор I оказывается самосопряженным, так что со2 может при-
принимать лишь действительные значения. Умножив это уравнение
на? и проинтегрировав по объему с весом р°, получим
B3.27)
Можно показать, что энергетический принцип B3.12) эквивалентен
условию $(tLt)p°dV > 0, т. е. условию положительности со2, не-
необходимой для устойчивости.
Поскольку в идеальной магнитной гидродинамике имеет место
закон сохранения полной энергии
/Сип,+ ^пот= const и ДI/ = - АК
или
224
	Ко,

то условие - К0 > 0 эквивалентно условию положительности вариа-
вариации второго порядка (второй функциональной производной) от по-
потенциальной энергии U(s), где s = Yof = ?f- смещение. Таким об-
образом, безразлично, будем ли мы рассматривать величину ?(г)
в энергетическом принципе как возмущение скорости или как ма-
малое смещение из равновесного положения. При выводе мы исхо-
исходили из кинетической энергии K(t), что несколько удобнее, так как
при этом можно пользоваться непосредственно уравнениями МГД
без их линеаризации.
Однако для большей наглядности результат B3.26) целесообраз-
целесообразно представить как возмущение (второго порядка) потенциальной
энергии
SB> О,	B3.28)
и интегралы SM, 5„, 5В можно теперь представить в виде
dvB,	B3.29)
4л
гдебВе = tdBe/dt = - cfrotEe - возмущение внешнего поля;
Sn = $FndVNn<P),	B3.30)
где 6ndV = sdS - изменение объема жидкости вследствие смеще-
смещения ее поверхности; 6П(Р> = sV(P> - изменение разности полных
давлений на поверхности;
( .	j	)
dv 	+ —[s8B,-] -
4lt	c	J
B3.31)
где 6В, = tdBj/dt = rot[sB,] - изменение внутреннего поля; 6o6dV =
р
= divsdV - изменение элемента объема жидкости; 6ОбР = Т — ^обР~
изменение давления; бо6р =-divps - изменение плотности; s = t% =
= tf(i, 0) - смещение жидкости.
225

Три интеграла в 5Ж учитывают соответственно изменение магнит-
магнитной, газовой и гравитационной энергии плазмы.
В заключение настоящего параграфа рассмотрим более детально
объемный интеграл 5Ж для случая, когда, как, например, в термо-
термоядерной проблеме, полем тяжести можно пренебречь: g = 0. При
этом
s« =
4л
div2g + UVp)divgf,	B3.32)
и если разбить величину ? на параллельную и перпендикулярную
полю В компоненты
где
то нетрудно показать, что ?, входит лишь в член
V р div2 & = VP (div 6, + div ?хJ.	B3.33)
Если при этом div ? и Ф 0, то в целом интеграл 5Ж минимален при
таком выборе ?ц, когда div? - 0, что соответствует несжимаемой
жидкости. Иными словами, наиболее опасными являются возмуще-
возмущения, при которых объем не меняется (ср. "приближение несжимае-
несжимаемой жидкости" в методе малых колебаний). Однако в особых слу-
случаях, когда div?| = 0, приближение несжимаемой жидкости оказы-
оказывается недостаточным, так как не описывает наиболее опасные воз-
возмущения.
Задача. Показать, что ?ц входит лишь в член B3.33).
Решение. Чтобы убедиться в справедливости этого, нам достаточно показать, что
члены
j
A" — UnQl + UVpjdivS,,	A)
выпадают из интеграла B3.32), так как в Q - rot [ ?В] компонента Ц не входит. Пола-
226

гая ?g" Вое, где а — скаляр, находим
i	a
(tVp)diT|rdiTF,(EVp))-adiT(B(tVp)) J	B)
и далее
так что окончательно получаем
После интегрирования по объему это выражение выпадает, так как на границе п? =
= аВнорм = 0 вследствие тангенциальности поля.
§ 24. Примеры использования энергетического принципа
Рассмотрим каждую составляющую энергетического принципа
B3.38):
S* + Sn-SB> 0.
Вакуумный член
( (е) dVB > 0	B4.1)
4л J
всегда положителен и потому является стабилизирующим факто-
фактором. Из 5В > 0, в частности, следует, что магнитное поле в вакууме
само по себе (без плазмы) является устойчивым, т. е. его силовые
линии не могут сами завихряться, как изображено на рис. 101.
Поверхностный член (? - смещение)
(P)dSx	B4.2)
положителен при d(P)/dn > 0. Рассмотрим в качестве примера слу-
случай, когда поле тяжести и магнитное поле внутри плазмы отсут-
отсутствуют. При этом в плазме j = Vp = 0, так что объемный член 5Ж ока-
оказывается равным
227

Рис. 101. Возмущения вакуумного поля, за-
запрещенные энергетическим принципом
1
4л
B4.3)
Таким образом, 5В и 5Ж больше нуля, и плазма будет заведомо ус-
устойчива, если
JL(P) = — 1-в1> о,
dn	8л dn
B4.4)
т. е. если внешнее поле нарастает наружу от границы плазмы. Этот
результат уже был получен нами ранее [см. B2.19)], теперь же его
можно считать строго доказанным. Можно показать, что в обрат-
обратном случае при dB2Jdn < 0 плазма будет неустойчива - на ее по-
поверхности будут образовываться вытянутые вдоль поля желобки,
для которых
|5„|>5В + 5Ж> О,
так что
Так как вакуумное поле всегда нарастает в направлении к центру
кривизны, то полученный результат означает, что вогнутая граница
скинированной плазмы устойчива, а выпуклая - неустойчива
(рис. 102).
Рассмотрим теперь роль объемного интеграла
if.
4л
B4.5)
228

Устойчивая	неустойчивая
Рис. 102. Устойчивость вогнутой и неустойчивость выпуклой границы плазмы
Чтобы не усложнять задачу, предположим, что плазма ограничена
непосредственно идеально проводящим кожухом, на котором
?норм = 0" При этом вакуумный и поверхностный члены отсутствуют,
так что для устойчивости необходимо лишь 5Ж > 0.
Рассмотрим в качестве первого простейшего примера задачу из
обычной гидродинамики о конвективной устойчивости газа, по-
подогреваемого снизу (рис. 103). В этом случае В = Q = 0, и, учитывая
уравнение равновесия Vp = pg, для интеграла B4.5) имеем
dV\ VP div2 ?, - 2\, pg div ? - %,lg
oz
> 0.
B4.6)
Подынтегральное выражение является квадратичной формой отно-
относительно переменных div? и %г, которая, как нетрудно убедиться,
будет положительно определенной, если
Эр
dz
УР
< 0.
B4.7)
Таким образом, для устойчивости плот-
плотность должна убывать вверх и притом не
слишком медленно. Это же условие мож-
можно записать в виде условия для градиен-
градиента давления или температуры газа
к
— рГ
m
dp	?_
dz	p
dp
dz
ИЛИ	< (V - 1) ——
dz	yk
Рис. 103. К выводу конвективной устойчивости газа, по-
подогреваемого снизу

[к - постоянная Больцмана, равная 1,38- 10~16 эрг/К A,38 х
х Ю3 Дж/К)]. Таким образом, устойчива не только обычная ситуа-
ация, когда нагретый газ находится сверху (dT/dz > 0), но и обрат-
обратная с dT/dz < 0, если, однако, градиент температуры не слишком
велик. Для воздуха (двухатомный газ v = 7/5, т = 29* 1,6* 1(Г24 г)
этот максимальный градиент примерно равен 10~2 К/м, так что кон-
конвективная неустойчивость в воздухе развивается достаточно легко.
Рассмотрим теперь плазменный вариант этой задачи. Предполо-
Предположим, что газ является идеально проводящим и в нем имеется гори-
горизонтальное поле В = Bx(z), направленное вдоль оси х, но завися-
зависящее лишь от z. В этом случае (штрих означает производную по z)
имеем
j=/y = — В'; Q = ex(-Bdiv?l- 1гв') + е В—- +ezB
4л	дх	qx
где eX)y)Z - единичные векторы вдоль осей декартовой системы, и
объемный интеграл оказывается равным [ср. B4.6)]
= \dV
4л \ дх У	\ дх '
+ VP iv	pg	zgp j
где
Э
дх Х	±Ш
При этом мы использовали также уравнение равновесия: 0 =
= (р + В2/8л) + pg. Так как система однородна по х и у, то возму-
возмущения можно искать в виде
|~Ree х у =(acoskxx +
+ bsin kxx) (с cos куу + dsin kyy).
Заметим, что в энергетический принцип, являющийся квадратич-
квадратичной формой относительно %, можно подставлять лишь действитель-
действительные выражения [нельзя, например, как было в методе малых коле-
колебаний, полагать ? ~ exp (i fcxx + i kyy), поскольку при этом 5Ж может
230

быть вообще комплексным]. При В = 0 формула B4.9) переходит в
B4.6), однако при В Ф 0 рассмотрение становится более сложным.
Предположим вначале, что кх = 0. Тогда ЫЪх = 0 и интеграл
B4.9) превращается в квадратичную форму относительно двух пе-
переменных div^ и \z:
5Ж = \ dV\ [ -^-
div2
B4.10)
Это выражение незначительно отличается от выражения B4.6), и
условие его положительной определенности имеет вид [ср. B4.7),
B4.8)]
или
Эг
в2
	Р
dz \	8я
VP
в2

4п
9р
B4.11)
Более сложным является случай с кх * 0. При этом можно заметить,
что производная д%х1дх Ф 0 входит в интеграле B4.9) лишь в чле-
члены с divg:
э
дх
ТР
Считая d\xjdx Ф 0 независимой переменной, можно сделать эти
члены минимальными, полагая
д	рг
дх	VP
После этого интеграл B4.9) принимает вид
5Ж =
в2
4п
Зх
231

0.	B4.12)
Путем подбора параметров kx и ky можно обратить в нуль все три
первых заведомо положительных члена (для этого нужно считать,
э э	\
что кх ¦* 0 и div ?1 =	? v +	t,.— 0 , и, следовательно, условие
ду у dz	I
устойчивости будет таким же, как без поля [ср. B4.7)]:
г2р2 зр гр2
gp' +	< о или	<	.	B4.13)
7Р	dz	yp
То, что при этом предполагается д?,х/дх ~ кхЬ,х Ф 0, фактически оз-
означает, что мы рассматриваем предел кх -* 0 при ?,х -* °°. Таким об-
образом, вопреки первоначальному выводу B4.11) магнитное поле
вида В = Bx(z) с параллельными силовыми линиями не повышает
устойчивости рассматриваемой системы*.
введем дальнейшие усложнения в задачу, предположив, что си-
силовые линии могут перекрещиваться. В этом плоском варианте шира
(shear) поле можно задать в виде
B-(B»(z), By(z), 0).	B4.14)
Ток при этом равен
}х = - — В'у; jy = — В'х; и = 0,	B4.15)
4л	4л
а уравнение равновесия имеет вид
0 =- Vp + — [;B] + pg или |р + — =-р
с	\ 8л /
(штрих означает производную по z). Так как система однородна
по х, у, то возмущения можно искать в виде % ~ Reexp(ikxx +
+ ikyy). Представив смещение в виде % = 6u + 6j_f где |в II В, и за-
замечая, что Q содержит лишь ?15 рассмотрим в интеграле B4.5) чле-
* Этот результат был получен В.А. Ньюкомбом.
232

ны, содержащие ?в. В частности, полагая ?ц = осВ, имеем
B4.17)
При интегрировании по объему первый член справа выпадает, и
нетрудно проверить, что интеграл B4.5) можно представить в виде
4п
B4.18)
Компонента |ц входит лишь в два последних члена, содержащие
div? и, таким образом, минимизация по ?в приводит к условию
div|=- — lg.	B4.19)
vp
В отсутствие силы тяжести (g = 0) это соответствовало бы условию
несжимаемости div? = 0. Далее находим
dw Э
д у дг
--—- —FЖВ ); O,-BV6f,	B4.20)
Эх Эг	'
где мы ввели величину
у = [|В]г = 1хВу- ЬуВх,	B4.21)
которую удобно принять за новую переменную, так как Ъ,х и %у вхо-
входят в Q лишь в виде указанной комбинации. Нетрудно проверить,
что с учетом условия B4.19) интеграл B4.18) может быть записан
в виде
1 I ...W dw_ +в _Э
233

ду	dz
B4.22)
Отсюда следует, что система заведомо устойчива при обычном усло-
условии отсутствия конвекции [ср. B4.7)]:
gp' + g2p2/yp < 0.	B4.23)
Однако теперь при наличии перекрещенности это требование явля-
является завышенным, так как три первых члена в подынтегральном
выражении B4.22) нельзя одновременно обратить в нуль. Посколь-
Поскольку система однородна по х и у, то, не теряя общности, можно по-
положить:
lx= q{z) sin {кхх+куу); w = 5 (z) cos {kxx + ку у),	B4.24)
и если ввести вектор и = кхех + куеу, где еху - единичные орты,
то нетрудно проверить, что минимизация формы B4.22) по 5 при-
приводит к условию
(кхВу- куВх),	B4.25)
после чего B4.22) принимает вид
5Ж ~ 5 Ы'2 + bq2]dz - min > 0,	B4.26)
где
,24.27)
ТР
Здесь подынтегральное выражение зависит лишь от функции q(z),
и поэтому мы опустили интегрирование по х и у.
Вариационная задача о минимизации интеграла B4.26) эквива-
эквивалентна известному в механике принципу наименьшего действия,
причем роль лагранжиана играет подынтегральное выражение в
B4.26), так что соответствующее уравнение Лагранжа имеет вид
234

d I dq \ I d Ы Ы \
	 a— =bq cp.	=	 .	24.28
dz \ dz I 4 \ * dt 3q dq I
Это уравнение описывает наиболее опасные возмущения, одна-
однако его решение в общем виде затруднительно, и поэтому мы огра-
ограничимся рассмотрением локальных возмущений с малыми длина-
длинами волн к -* О, и -* *> .
При большом | и | - 2л/А. первый положительный член в функции
b(z) будет велик, что приведет к устойчивости системы. Особого
рассмотрения требует лишь случай
к В = кхВх + куВу = 0
или, иначе,
кх ву(г)
ку Вх(г)
ц (z).	B4.29)
Перекрещенность силовых линий означает, что отношение ц =
= Ву/Вх не остается постоянным, а зависит от z. При этом, однако,
условие B4.29) может быть выполнено лишь в какой-либо одной
точке z = z0, в то время как в окрестности этой точки имеем
Bv
ку
B4.30)
где t = z - z0. При малых t для функций о и Ь из равенств B4.27)
получим
4п	\	ТР
и уравнение B4.28) приобретет вид
B4.31)
y
Л \ dt I [ У В*
B4.32)
235

где
* I ' g2f>2
s = 4л gp +
\
При ffcy *S 1 первым членом справа можно пренебречь и тогда ре-
1	/1 '
шение уравнения B4.32) примет вид q(t) = tv, где v=	± /	5.
2	V 4
Нетрудно показать, что система устойчива, пока корень в v будет
действителен, т. е. при	s > О, или, иначе,
4
g2p2 В2 11
JLдЧ .	B4.33)
/
VP	К* \ В2
В этом случае q(t) — °° при t -* 0, что свидетельствует о невозмож-
невозможности построения непрерывного решения уравнения B4.32). Если же
1 П. '
	s < 0, то корень /	5 будет мнимым, и тогда решение можно
4	у 4
представить в виде
1 . /
7rsm\
/h
/— *
V 1 4
1
In —
t
При t — 0 оно будет сильно осциллировать, так что формально
решения для t < 0 и t > 0 могут быть сшиты в точке t = 0. Иными сло-
словами, при этом построение непрерывного решения оказывается
возможным, что свидетельствует о неустойчивости. Условие B4.33)
можно назвать критерием Сайдема для плоской геометрии поля,
и правая часть этого неравенства показывает стабилизирующую роль
перекрещенности магнитных силовых линий.
Задач*. Рассмотрел) стабилизирующую роль перекрещенности в "бессиловом" поле
с компонентами (рис 104)
Вх =S0cosoz; By = Bosiaaz; Bz»0,
где Вв и а - постоянные.
Решение. Указанное поле относится к классу так называемых бессиловых полей,
так как в этом случае ток оказывается параллелен полю
j
236
j^-B и — [jB] = O.	A)

Рис. 104. "Бессиловое"
винтовой лестницы
магнитное поле типа
Величина ц (г) = Бу/Вх = tg аг связана с углом
8(z) = az поворота силовых линий на заданной
высоте z, так что
И =
cos2 a z cos
2 e \ dz
B)
где
de
dz
¦¦ а = const.
Таким образом, критерий B4.33) принимает вид
„2р2	д2 / rffl \ 2
gp' +-
16л \ dz
C)
При такой записи особенно наглядно видна стабилизирующая роль перекрещенности
силовых линий.
§ 25. Устойчивость цилиндрического пинча
Воспользуемся теперь энергетическим принципом для исследова-
исследования устойчивости однородного по ф и z цилиндрического пинча с
током jz(г), аксиально симметрично распределенным по сечению.
Пренебрегая силой тяжести и предполагая
для простоты, что пинч граничит непосредст-
непосредственно с идеально проводящей стенкой
(рис. 105), из энергетического принципа
B3.28) получаем условие устойчивости
Рис. 10S. Схема цилиндрического пинча с распределенным
по сечению током и граничащего с кожухом
1
!
1
2
ь
\
237

Г ( Q2 i	)
5Ж " \dV\	+ — UQ] + у p div2 I + (I V p) div I > 0	B5.1)
(вакуумный и поверхностный члены выпадают). Рассмотрим внача-
вначале случай без продольного магнитного поля (т. е. В = еф В(г))- Вви-
Ввиду аксиальной симметрии задачи возмущения можно считать про-
пропорциональными sin пир или cos пир, причем возможны два различ-
различных случая: щ = 0 и т Ф 0.
При т = 0 (т. е. 8 |r <p)Z/d<p = 0), что соответствует аксиально сим-
симметричным перетяжкам,' находим
j	B5.2)
Нетрудно видеть, что подынтегральное выражение B5.1) оказы-
оказывается квадратичной формой относительно двух независимых пе-
переменных ? и div ?:
p + — \4
В2
2пг
>0	B5.3)
(штрих означает производную по г). При этом мы использовали урав-
уравнение равновесия
I(i)	B5.4)
Дополняя до полного квадрата члены, содержащие div?, и прирав-
приравнивая их нулю, нетрудно убедиться, что условие положительной
определенности квадратичной формы B5.3), т. е. условие устойчи-
устойчивости, может быть представлено в виде
B5.5)
где Р = Ъпр/В2 - отношение газового давления р к магнитному рм =
= В2/8л.
Рассмотрим теперь случай, когда т Ф 0. Как было показано ра-
ранее в упражнении к § 23, компонента смещения, параллельная полю,
238

?и = ?,p фигурирует в интеграле B5.1) лишь в члене, содержащем
div25, причем для т Ф 0 она не выпадает тождественно из выраже-
выражения для дивергенции:
д
гдт	гЭф * Эг
что имело место ранее при тп = 0. Так как член с div2? заведомо по-
положителен, то наиболее опасным будут возмущения, для которых
div? = 0, т. е. возмущения типа "несжимаемых". Последнее условие
всегда можно выполнить путем соответствующего выбора ?,., после
чего интеграл B5.1) становится равным
dv\- + — [SjQk+^p'divsJx).	B5.6)
С 4п с	)
Так как Q = rot [?^В], то здесь фигурируют лишь поперечные сме-
смещения^ = er?r + ez?z, и поэтому имеем [ср. B5.2)]
B5.7)
Тогда интеграл B5.6) можно переписать в виде
<25-8(
где (?ф = j —В-В) |r-Bdiv?^. Члены с квадратами производных
по ф можно проинтегрировать по частям, например:
2л	2л	2л
Г / дЪт \2	Г	д2	Г _
\ 	1 d<p=- \ |г	1Г^Ф	= m2 I Ir^f-	B5.9)
J \ 3<р
Зф2
О
239

Здесь учтено, что |r = a cos mip + bsinmip, и поэтому 92?г/6ф2 =
= -т2Ь)Г. Таким образом, при заданном т подынтегральное выраже-
выражение B5.8) будет квадратичной формой от трех переменных ?г, %г и
div?^. Так как система однородная по г, то зависимость возмуще-
возмущений от z можно принять в виде \ ~ ccoskz + dsinkz, где волновое
число к можно рассматривать как независимый параметр, и по-
поскольку дивергенция div?^ содержит член d%ztdz ~ к, то все три
переменные %Г, \z и div^ можно считать независимыми. Дополнив
до полного квадрата члены с div?x> приведем интеграл B5.8) к виду
2D2
rp
Р
> 0.
B5.10)
Минимизируя это выражение, можно видеть, что наиболее опас-
опасными являются возмущения, для которых
.---6Г- 0 и g,
0
B5.11)
(при этом divgjL можно считать независимой переменной, предпола-
предполагая, что fc-*°°,afc?z- конечно). Тогда из последнего члена B5.10)
следует условие устойчивости
гр т"
	 < —
Р	Р
B5.12)
Таким образом, учитывая условие B5.5), окончательно находим два
условия устойчивости*:
1+Tvp
при т = 0;
гр' т*
	<	 при т Ф 0.
р Р
B5.13)
'Эти результаты получены Б.Б.Кадомцевым.

Из аксиально-несимметричных возмущений наиболее опасны
"змейки" с т = 1. В случае плазмы низкого давления р •« 1 из усло-
условий B5.13) остается единственное условие -гр'/р < 2-у, которое
можно получить из общего критерия конвективной устойчивости
для замкнутых систем с низким давлением:
-^<Т1_,	B5.14)
dJ	1
d\
где J = <Ь	. Этот критерий был рассмотрен нами в гл. 2. В случае
J в
пинча, удерживаемого собственным током, давление можно счи-
считать низким на границе. В этой области токами в самой плазме мож-
можно пренебречь и рассматривать поле В как вакуумное, создаваемое
током /, текущим в основном вблизи оси пинча. Тогда В = 21/сг -
~ 1/г; J = §dl/B ~ г и dJ/dr = 2J/r, что и приводит в B5.14) к условию
- гр'/р < 2у, вытекающему из B5.13).
Рассматривая плазму как одноатомный газ с | = ср/сг = 5/3, для
моды т = 0 из B5.13) имеем
B5.15)
Нетрудно видеть, что если это условие выполнено, то высокие моды
с т = 2, 3, 4 и т. д. также будут устойчивы, однако возможна конку-
конкуренция с первой винтовой модой, соответствующей т = 1. Из срав-
сравнения величин 1/Ркр = 4/(рКр + 1> 2) находим ркр = 0,4, и если р <
< ркр = 0,4, то в первую очередь могут нарастать перетяжки с т = 0,
а при р > ркр = 0,4 наиболее опасны змейки с m = 1. Таким образом,
можно ожидать, что змейки нарастают в области вблизи оси пинча,
где р велико, а перетяжки - на периферии, где Р мало. Нечто похо-
похожее на эту картину действительно наблюдается на некоторых фо-
фотографиях разрядов.
Рассмотрим теперь пинч с током при наличии продольного поля
Bz Ф 0. Так как ?ц =| В/В входит в выражении B5.1) лишь в член с
, то минимизация по ^ц приводит к условию несжимаемости
l|	i = 0,	B5.16)
а интеграл B5.1) приобретает вид
241

dV
4л
1
4л
B5.17)
Учитывая условие divg = 0, нетрудно проверить, что компоненты
вектора Q = rot [|B] = (?V)B могут быть записаны в следующих раз-
различных формах:
-f!
г
Qz-
rdr
[|B]r= BV|Z-
B5.18)
Здесь штрих означает производную по г. Как видим, величины
и |2 входят в Q лишь в виде комбинации
B5.19)
которую удобно принять за новую переменную. Эта величина с точ-
точностью до множителя |В(г)| совпадает с проекцией возмущения ?
на бинормаль к винтовой силовой линии (рис. 106):
B5.20)
и так как величины ?„'?,- и |ь связаны соотношением div| = 0, то
B5.17) можно выразить через две независимые величины - нор-
нормальную (радиальную) и бинормальную компоненты смещения, т. е.
через |г и w. С этой целью рассмотрим два слагаемых в выражении

Рис. 106. Продольная, бинормальная и нормальная (ра-
(радиальная) компоненты смещения. Минимизация по
|ц и 1^ проводится алгебраически, а по % =1Г~ ва'
риационньш способом
ёг
B5.17), которые содержат |ф и ?г:
^z Qr го1ф В - ?ф QT rotz В = QT [rot
B5.21)
Поскольку QT = div|rB, то указанная комбинация может быть преоб-
преобразована следующим образом:
r = div([rotB^]r|rB)-|rBV[rotB|]r.
B5.22)
Первый член выпадает при интегрировании по объему, а второй
с учетом соотношений B5.18) можно представить в виде
- |гBV [rot Ч)т = 1г
В -
r+ |?|в'/+в;2- ^-В2ф|, B5.23)
после чего нетрудно убедиться, что интеграл B5.17) принимает вид
1
dv
B5.24)
При этом мы использовали уравнение равновесия р = — [jB]r, кото-
которое можно также записать в форме
- _ f r	G$ 7Ч\
	JZ D{f >	(ZD,4JJ
243

и тогда из последнего члена B5.24) видно, что система будет заве-
заведомо устойчивой при jzBy < 0. Этому условию можно удовлетво-
удовлетворить лишь в том случае, когда поле В„ > 0 создается металлическим
стержнем с током lz > 0, а в плазме, окружающей стержень, текут
токи противоположного направления. Этот принцип стабилизации
в основе установки, называемой левитроном (рис. 107). В этих усло-
условиях, однако, трудно избежать контакта со стержнем, что препят-
препятствует созданию высокого вакуума и большой температуры плазмы.
Приведенное условие устойчивости ]гВ^ < 0 или, иначе, -р' <
< BzBz/4n является, однако, сильно завышенным требованием,
так как даже при jzBz > 0 три первых положительных члена в интегра-
интеграле B5.24) могут компенсировать последний отрицательный и при-
привести к устойчивости.
Рассмотрим поэтому интеграл B5.24) более подробно. Подынтеграль-
Подынтегральное выражение в нем определяется двумя переменными \г и tv, со-
соответствующими нормальной и бинормальной компонентам смеще-
смещения [см. B5.20)]. Вследствие цилиндрической симметрии задачи
эти величины можно считать периодическими функциями фиги,
не уменьшая общности, выбрать их в виде
kz); tv = -
cos(m<p + kz),
B5.26)
где q и s зависят лишь от г. Тогда, используя соотношения B5.18),
для различных членов в интеграле B5.24) получаем выражения
m
И = — l
г
r = BV|r= (Ви) q cos (m(f + kz);
= - ks - By I	q'\ sin (m <p + kz);
w-B
гЭф
Рис. 107. Кольцевой пинч с центральным стержнем,
устойчивый при j В < 0
244

— s - Bz ( — + q' ) | sin (m <p + kz),
B5.27)
так что после усреднения по <р (при этом sin2 ф = cos2i|) = 1/2, где
ф = тф + fcz) интеграл B5.24) в расчете на единицу длины приоб-
приобретает вид
8л
dV
ks-B
Ф1 —- я
— (8лр +
> 0.	B5.28)
Дополнив члены, содержащие 5, до полного квадрата и приравняв его
нулю, можно найти, что минимизация выражения B5.28) по бинор-
бинормальной компоненте смещения
Ъъ " F, в9 ~ ?Ф Bi)lB = - »v/B = - {siВ) cos (т ф + kz)	B5.29)
достигается для 5, равного
B5.30)
При этом интеграл B5.28) приобретает вид
1
4 I I и'
0
ги-4 \ г
B5.31)
245

и после интегрирования по частям последнего члена (выражение с
подстановкой на пределах интегрирования выпадает вследствие гра-
граничных условий: q ¦ 0 при г = Ъ и q конечно при г = 0) интеграл
B5.31) может быть представлен в форме
ь
ifQ'2+gq2)dr - min> 0,	B5.32)
где
/(/¦) = — (ВхJ>0;
и2
\8>?(*2^В2)]	B5.33)
2
гх
Задача отыскания минимума интеграла B5.32), зависящего от вида
функции q(r), эквивалентна известному в механике вариационному
принципу наименьшего действия S = $ L d t •*¦ min, причем г играет
роль времени, &q(r) - обобщенной координаты. Подынтегральное
выражение B5.32) эквивалентно лагранжиану I =/q'2 +gq2, так что
соответствующее условию B5.32) уравнение Лагранжа имеет вид
d I dq \
d dL ЭХ ,
it it IT1"	B5'34)
Бели это уравнение имеет решение, удовлетворяющее граничным
условиям: q(b) « 0 и q@) < °° - конечно, то плазма будет неустой-
неустойчива; в противном случае будет иметь место устойчивость.
Рассмотрим вначале аксиально-симметричные перетяжки с m = 0.
При этом
fmTB*;g = — (l + Jt2ra)Bj + 8np',	B5.35)
и, следовательно, наиболее опасны к -* 0 {кх •**>); однако если В,
до

достаточно велико (В*|8п » р), то отрицательный градиент давле-
давления (р'< 0, так как давление падает к периферии) не сможет пре-
превысить первый член в g. Этот пример показывает стабилизирующую
роль продольного магнитного поля.
Если т Ф О, то из выражений B5.33) следует, что наибольшую опас-
опасность представляют возмущения, для которых В к * 0, что эквива-
эквивалентно условию BV|r?z * 0. Иными словами, это возмущения, по-
постоянные вдоль винтовой силовой линии z - Л(г)(<р/2л) = const,
где ft (г) = 2лгВг/Вф - шаг винта. Так как выбранные нами возму-
возмущения B5.26) зависят от аргумента т<р + kz, то они были бы посто-
постоянны на силовой линии при условии т/к = - ft/2 л, но поскольку шаг
ft (г), вообще говоря, зависит от г, то условие может выполняться
при заданных кит лишь для какого-то определенного радиуса г =
= г0 с шагом hQ = -2пт/к =-m\z (kz = 2п/к - длина волны по г).
Если вместо к использовать параметр ft0 = -2пт/к и ввести
для краткости обозначения:
а	-	 < 1; А= агВ* > 0,	B5.36)
1 + (Л0/2лгJ
то функции / и g в формулах B5.33) можно переписать в виде
B5.37)
Параметр т входит лишь в последний член в выражении для g, ко-
который является положительным и потому играет стабилизирующую
роль. Этот член минимален при т = 1, так что наибольшую опас-
опасность представляет винтовая неустойчивость типа змеек. Однако
конкретный анализ устойчивости для моды m = 1 требует решения
уравнения Лагранжа B5.34), что в общем случае является доволь-
довольно сложной задачей и выходит за рамки нашего рассмотрения.
Сравнительно просто можно проанализировать лишь случай,
когда т » 1. При этом последний член в формуле B5.37) будет
247

большим всюду, за исключением окрестности точки, в которой
ft (г) = ft0, т. е. шаг силовой линии совпадает с шагом возмущения.
Поэтому неустойчивость на модах т » 1 должна иметь локальный
характер, т. е. определяться местными условиями.
Введя обозначение и = г - г0, разложим шаг h (г) в ряд по этому
отклонению от опасной точки: ft(r) = fto+xft'(r). Тогда функции
/ и g из формулы B5.37) принимают вид [при этом а = (Вф/ВJ]
A Irh' \2 1 A \
=	X2. gm	.
T2 \ h I	Г2 [
"'
T ;Xh'\ m2B2 jxh' \2 \
+ 4~(— + —! —I I.	B5.38)
где г = г0 следует считать постоянным. При достаточно малом х мож-
можно вообще отбросить два последних члена в функции g и тогда ин-
интеграл B5.32) примет вид
Sx = const 1 х2 (— I + nq2 rfx > 0,	B5.39)
\ dx
где л =	 ( 	 I = const и уравнение Лагранжа B5.34) может
в\ \ rh'}
быть просто решено:
d / dq
\х2 —
dx \ dx
откуда q ~ xv, где v =	± / ~ + Л •	B5.40)
2 V
В интеграле B5.39) видно, что система заведомо устойчива при
ц > 0 (т. е. при р > 0). Если теперь л < 0, но | л | < 1/4, то корень
B5.40) будет действителен и q(x) для х > 0 расходится при х — 0,
так что его невозможно сшить с решением на левой полуоси х < 0.
Иными словами, в этом случае не существует непрерывного решения
уравнения B5.40), удовлетворяющего граничным условиям, что
свитедельствует об устойчивости системы. Если же корень B5.40)
248

будет мнимым (при л < -1/4), то решение можно записать в виде
q (лг) = лг-1/2 sin( 7(л +1/4| lnx).
Это выражение сильно осциллирует при х -* 0, так что сшивка и
построение общего решения q (x) оказываются возможными, что
свидетельствует о неустойчивости. Таким образом, плазма будет
устойчива при 1/4 + ц > 0 или, иначе,
тр'	1 / rh \2
- — < 	 — ,	B5.41)
4p \ h I
где Pz = 8пр/В2. Это и есть так называемый критерий Сайдема для
винтовых полей. Безразмерная комбинация слева rp'/р характеризует
градиент давления, который не должен превышать некоторый мак-
максимальный предел, обусловленный перекрещенностью силовых ли-
линий. Сама перекрещенность характеризуется безразмерной комби-
комбинацией rh'lh, которая входит в условие B5.41) в виде квадрата,
так как знак перекрещенное™ не должен играть роли. Наконец,
параметр рг = 8лр/В| в знаменателе справа показывает, что стаби-
стабилизация достигается тем легче, чем меньше относительное давле-
давление плазмы.
Применим, в частности, этот критерий для простейшего случая
с равномерно распределенным по сечению пинча током jz = const
и постоянным продольным полем Bz = const. Так как при этом
В(р(г) = 2(лr2jz)/cr ~ г, то шаг винтовых силовых линий h(r) =
= 2лгВг/Ву = const оказывается постоянным на всех радиусах и пере-
перекрещенность отсутствует (h'= 0). Такая система в соответствии с кри-
критерием Сайдема будет неустойчивой - в ней легко развиваются
конвективные возмущения, ведущие к взаимной перестановке близ-
близких магнитных трубок, расположенных на соседних поверхностях
г = гх и г = г2. При h(r) = const силовые линии 1, 2 располагаются на
одном расстоянии друг от друга на всей длине пинча (рис. 108). Если
же h(r) Ф const(/i' Ф 0), то линии 1, 3 расходятся и их перестановка
затруднена, что и учитывает критерий Сайдема B5.41). В заключение
отметим, что этот критерий является лишь необходимым условием
и его выполнение еще не гарантирует полной устойчивости плазмы.
Задача. Уточнить критерий Сайдема для случая, когда р'= 0.
Решение. Если на некотором радиусе г - г0 будет р' = 0, то первый член раз-
разложения функци g по х вблизи этой точки равен нулю и потому необходимо учесть сле-
249

Рис. 108. Винтовые силовые линии на разных радиусах
дующие члены разложения. В частности, имеем р'(г) = р'(г0) + *Р (г0)> где р'(г0)
и функция g в соответствии с B5.38) равна:
Blh-
rp" in
+ 4-
B2h
mBh' \2"|
Bz Л / J'
A)
и уравнение Лагранжа B5.34) может быть записано в виде (здесь г = r0 = const)
d
x2dx
тВ
где
nr2p-
~вГ
ВЬ
+4
В2 \ rh'
B)
C)
- безразмерный параметр, связанный с фигурирующим в критерии Сайдема (—ц < 1/4) па-
параметром I) = (tnrp'JBg)(h/2h'J соотношением Т)* = тц' + AB%h/B2rh' при р' = 0.
Нетрудно заметить, что уравнение B) имеет тот же вид, что и уравнение Шредингера для
сферически-симметричных ф-функций водородоподобного атома:
2ц
Дф +
?ф или
D)
Дф
причем имеет место соответствие параметров:
2ц	/ тВ \2 2це2 т)*
ft2	\ гВ2
250
E)

Устойчивость плазмы означает отсутствие решений уравнений B), удовлетворяющих
граничным условиям (q -» 0 при х •* => и q конечно при х ¦* 0), что эквивалентно тре-
требованию отсутствия связанных состояний. Для этого необходимо, чтобы энергия ? < 0
была ниже основного уровня атома водорода Е < це4/2Й2, что в наших обозначениях
соответствует условию устойчивости*
m	1 > 	 или
l В. / \ f
Ф rh
+ 4
В I rh' \»
2mid—) ¦
которое уточняет критерий Сайдема, если р' = 0.
Глава 5
ТЕРМОДИНАМИКА ПЛАЗМЫ
В настоящей главе рассмотрено термодинамически равновесное
состояние больцмановской плазмы с учетом квантовых и реляти-
релятивистских поправок, а также поправок, связанных с неполной иони-
ионизацией. В условиях, типичных для проблемы управляемой термо-
термоядерной реакции, все эти поправки весьма малы. Они, однако, мо-
могут стать существенными в иных условиях. Например, в плазменных
преобразователях и в плазменных двигателях при не слишком вы-
высоких температурах существен вопрос о степени ионизации. В плаз-
плазме полупроводников, близких к вырождению, необходим учет
квантовых поправок. Наконец, релятивистские эффекты могут ска-
сказываться при сверхвысоких температурах, возникающих при кос-
космических взрывах (взрывы сверхновых звезд, взрывы галактик
и т. п.).
§ 26. Дебаевское экранирование и учет неидеальности плазмы
Если рассматривать плазму как идеальный газ, состоящий из
невзаимодействующих частиц - электронов и ионов, то ее энергия
и давление описываются формулами
¦у * Г (ЛГе + Ц); рид = (пе + щ) кТ=~у
N. + N;
кТ(Ne + Nf); рид = (пе + щ) кТ= —— ,	B6.1)
* Для частного случая р' = р" = 0 это условие было получено Б.Б. Кадомцевым.
251

где 8 = кТ, причем для компенсации объемного заряда должно
быть выполнено условие квазинейтральности
еепе + е,л, = 0 или ле = Zn,(e, = Ze).	B6.2)
Как изменятся эти соотношения при учете взаимодействия между
частицами?
Чтобы ответить на этот вопрос, следует обратиться к статистичес-
статистическим методам расчета термодинамических величин для неидеаль-
неидеальных газов. Как известно, в статистике вероятность некоторого со-
состояния системы описывается распределением Гиббса
d p d ц
dW = Се-"'* dT; dT=n 	,	B6.3)
(йK
где С - постоянная нормировки (§dh> = 1), а Н(р, q) - гамильтониан
системы. Для плазмы, учитывая кулоновское взаимодействие меж-
между частицами, имеем
H(p,q)=I —+UB3,	B6.4)
ei 2m
ejek
где?/вз= I 	; r/fc = | г,- rfc|, и по определению термодинамичес-
j<k rJk
кая энергия Е составляет
— 9(JVe+JV,-) + < Z/B3>,	B6.5)
Г ejek
где < иы) = Z \	dW. Здесь Ne и Л/,- - полное число электро-
]<к } rjk
нов и ионов в системе, так что первый член соответствует энергии
идеального газа, а < UB3) учитывает взаимодействие.
В последнем интеграле B6.5) интегрирование производится по
всем частицам, однако подынтегральное выражение e;efc/r,fc зави-
зависит лишь от координат двух частиц / и к. Величину
= A,u...,N(d Г1 dF2 dr3 - dTN)	126.6)
можно назвать функцией распределения всех частиц, образующих
систему. Если проинтегрировать эту величину по всем частицам,
252

за исключением п выделенных, то получим так называемую п -час-
-частичную функцию распределения
,U,	... dTn ).	B6.7)
Можно, например, рассматривать одночастичные функции dWl =
= f1dT1, двухчастичные dWl2 = f12dT1dT3 и т. д., причем все они
должны быть нормированы к единице
S /х <Я\ = 1; И Л а Л\ сГГа = 1 и т. п.	B6.8)
В однородной больцмановской плазме (невырожденной) одно-
частичная функция описывается распределением Максвелла
,	B6.9)
Bnm9K/2 v
а двухчастичная может быть представлена в виде
dWl2=f13dT1 dT2 = w(r12)f?f2dri dT2 .	B6.10)
Если двухчастичную функцию проинтегрировать по импульсам,
то получится величина
dv. dv2
B6.11)
которая имеет смысл вероятности распределения двух частиц по
координатам (первая частица находится в элементе объема dVx,
а вторая dV2). Множитель w(r12) имеет смысл плотности вероят-
вероятности. Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия в формуле
B6.5) включает электрон-электронные, ион-ионные и электрон-ион-
электрон-ионные члены и может быть представлена в виде [см. B6.11)]
Ne(Ne-l)
ее
ri2
е? 	dQti
J r
253

(«елеJ Г "ее
f 1 Г(«елеJ Г
+ ЛГвЛГ,еееЛ —dQei=v\
+	 	dV+ еепеегщ\	dV\	B6.12)
n,)a Г »ii	Г "ei	1
	 -p—dV + eenee,n,- -p-dF
[множитель —Ne(Ne- 1) соответствует числу способов, которыми
можно выбрать два электрона из общего числа Ne]. Таким образом,
для вычисления <?/ы> необходимо знать функцию паь(гао\ g „„.
альном газе при отсутствии взаимодействия положение двух вы-
выделенных частиц может быть произвольным. В этом случае частицы
являются статистически независимыми и waa = 1. При этом, однако,
интеграл idVlr в выражении B6.12) расходится, и для получения
конечного результата необходимо выполнить условие квазинейт-
квазинейтральности еепе = - е,л,-, что дало бы Ш%Ц) = 0. В общем случае можно
положить
Wia(r)-l+via(r),	B6.13)
где г = |г1 - г2|. Величина v12 учитывает взаимодействие частиц /
и 2 и называется корреляционной поправкой. С учетом квазинейтраль-
квазинейтральности из формулы B6.12) получим
,— 2ve,-
= 2 л Ve*n2e J (v,, + vH-2v,,)r</r.	B6.14)
о
Для сходимости этого интеграла необходимо, чтобы при г -* »
функции vap(r) убывали быстрее, чем 1/г2.
В распределении Гиббса B6.3) взаимодействие двух частиц учи-
учитывается больцмановским множителем
/8!iIi~—	B5.15)
H2lv
8г	^
(взаимодействие считаем формально слабым, и экспоненту можно раз-
254

дожить). Это соответствует чисто кулоновскому взаимодействию
двух частиц. При этом интеграл B6.14) расходится, так что формула
B6.15) оказывается неудовлетворительной. В самом деле, она не
учитывает наличие остальных частиц, которые образуют как бы
"среду", в которой находятся две рассматриваемые нами "пробные"
частицы 1 и 2. Формула B6.15) будет правильной лишь при достаточ-
достаточно малом расстоянии между частицами, по крайней мере при г12 <
< л/3, когда влиянием остальных частиц можно пренебречь. На
больших расстояниях взаимодействие частиц не может быть чисто
кулоновским. В самом деле, в плазме выделенная частица 1 будет
притягивать к себе частицы другого знака и отталкивать одноимен-
одноименные (рис. 109). Такая "поляризация среды" будет уменьшать куло-
новское поле частицы 1. Для определения эффективного поля,
создаваемого частицей /, воспользуемся уравнением Пуассона
1 а2
дф	(гф) —4npM —4n(eene + e,n,).	B6.16)
г дг2
Здесь nie - плотность частиц, учитывающая возмущающее влияние
поля от частицы 1. Можно принять, что она описывается распреде-
распределением Больцмана
na = na exp ( - —- j * na 1	j, a = e, i,	B6.17)
где па = пе>{ - средние плотности, удовлетворяющие условию квази-
квазинейтральности еепе + е,л,- = 0. Тогда из соотношений B6.16), B6.17)
получим уравнение
	 I "a^aW или (гф)" = 	гф,	B6.18)
где
« .. 'a'a
кТ
</= /	~	B6.19)
4? в
a
Рис. 109. Дебаевское экранирование кулоновс-
кого поля отдельной частицы в плазме	"~	©"
255
/
/
г
1
1
\
\
\
\
/
/
1
к
<"*
ч
^ч
\
>
1
/
/
/
/
"Л
\
\
1
/

- величина, имеющая размерность длины и называемая радиусом
Дебая- Хюккеля. Решив уравнение B6.18), получим ф =	exp(-r/cf),
и, следовательно, с учетом поляризации среды потенциальная энер-
энергия взаимодействия двух частиц в плазме оказывается равной
ПЭФ = о in - 1 2 Р—r/d-г/Кул o—r/d	C9fi 9A1
и12 е2Ф1	~ е	ul2 e >	DЬи\))
а для вероятности их взаимного расположения имеем [ср. B6.17)]
tv12 = e~U« * 1	—,	B6.21)
б
так что
V12
9 -г
где г = | rt - г2 |. Подставив это выражение в формулу B6.14), по-
получим
вз
о
+ 2 е{ ее) е-'/* dr =		B6.22)
8d3
(считаем, что в плазме есть ионы лишь одного сорта с зарядом Z).
Таким образом, окончательно имеем
- /-J—(ЛГв ej + ЛГ, е?K/а.	B6.23)
Нетрудно видеть, что энергия взаимодействия мала по сравне-
сравнению с кинетической энергией частиц
1
» 1,	B6.24)
N

величина N^ ~ nd3 соответствует числу частиц в дебаевской сфере.
Например, при п * 1015 см~3 и 8 * 1 кэВ получим радиус Дебая d *
— • 10 см, и тогда
Nd ~ nd3 a 10s > 1, а | * Ю «с 1.	B6.25)
Чтобы определить давление, подсчитаем сначала свободную энергию
системы F( Г, V,N) = E-TS, для которой, как известно,
dF = - SdT - pdV + ц dN	B6.26)
(S - энтропия; ц - химический потенциал). Используя выражение
C \
	F , находим
68 J W» »
«е«+^е?)э/2 ¦	B6-27)
При этом мы определили постоянную интегрирования (не завися-
зависящую от температуры) таким образом, чтобы при Q -*<*>, F была бы
равна свободной энергии идеального газа, которая, как известно,
имеет вид
Fвд = Fe + Fu где Fa = - 6 In Za ,	B6.28)
а
Za=-M exp(-p2/2m6)
Из формулы B6.27) для давления получим [см. B6.26)]
257

где
; Др
Таким образом, давление плазмы оказывается несколько меньше
давления идеального газа, однако это изменение опять-таки весьма
мало (Др/рвд~ l/JV<j) и им обычно можно пренебречь.
Введенная в этом параграфе длина Дебая d ~ ^в/пе2' является
весьма существенной характеристикой плазмы (сам Дебай впервые
ввел этот параметр в теории растворов электролитов). В частности,
по определению Ленгмюра, плазмой следует называть лишь такое
образование из ионизованного газа, размеры которого превышают
длину d. В противном случае может нарушиться компенсация плот-
плотностей электронов и ионов и возможно появление объемного заря-
заряда. Например, если плазма касается стенок камеры, то электроны,
скорость которых в т/М{/те'~ 100 раз больше скорости ионов, будут
уходить, создавая объемный заряд в пристеночном слое толщиной
порядка d.
Задача 1. Пользуясь формулами B6.27), B6.28), показать, что химический потен-
потенциал частиц сорта а равен
где
Bnm вK/2 '
Примечание. Такую добавку к химическому потенциалу можно объяснить следую-
следующим образом. Как известно, сам потенциал равен приращению свободной энергии си-
системы при добавлении к ней одной частицы. При внесении в плазму одной частицы с за-
зарядом еа остальные частицы ("система") попадают в поле экранированного потенциала
<ра = — е г/0 и их энергия увеличивается на [см. B6.17)]:
AF= Дц = ГекЧ>а(|гк-га|)-
к

о
что совпадает с результатом, получаемым формально из свободной энергии.
Задача 2. Вычислить дебаевскую поправку к энергии с точностью до членов второго
порядка по малому параметру ? = l/Nd.
Решение. В указанном порядке экспоненциальную формулу B6.21) для плотности
вероятности
1 ¦ - ¦	«
*¦'¦ ,и
где е12 = 	е ' , можно считать все еще справедливой. Поэтому, полагая,
что теперь
из формулы B6.14) находим
Г (ee + e,J r rdr
m2*Vn'<'2\ ё 3~ге"г +
о
оо
(е|-е?J г rdr	j
+	 \ 	е~^г'** {
282 J r1	)'
C)
Первый интеграл дает обычную дебаевскую поправку, а второй логарифмически рас-
расходится на нижнем пределе. Обрезая его на расстоянии минимального сближения
Рмин = е*/6, которое с логарифмической точностью можно считать одинаковым для
всех трех случаев взаимодействия (ее, ei, и), приближенно находим
й
rdr	Г dr	d
	e~2r/d=« \	 In	.	D)
r*	J r	Рмин
Отметим попутно, что эту величину принято называть кулоновским логарифмом и она
играет большую роль в теории столкновений заряженных частиц (см. гл. б).
259

Результат C) можно записать в виде
	5	* Ы Т~ I'	®
гдеZj=|ej/ee|- заряд иона; | = e2/d6 ~ l/JV<j- малый параметр, а ДЯД = -V8/8nd3 -
обычная дебаевская энергия. Для водородной плазмы 2, = 1, н найденная поправка
обращается в нуль. В более общем случае, когда имеется плазма со многими сортами
ионов, вместо множителя A -Z,J в формуле E) фигурировала бы комбинация
F)
а
которую принято называть параметром симметричности. Плазма, для которой
? л а е д » 0, называется "симметричной",
а
Нетрудно заметить, что даже с учетом найденной поправки энергия взаимодействия
может быть представлена в виде
где х = V83. Это означает, что добавка к свободной энергии может быть записана в
виде
-5
-d8
¦dx = 8/2(x,JV),	(8)
н поэтому добавка к давлению идеального газа р = р„д + Др составит
т.е. Ap-A?/3V, что является характерным соотношением для плазмы.
360

§ 27. Квантовые корреляции в плазме
Из результатов предыдущего параграфа следует, что взаимодей-
взаимодействие двух выделенных частиц в плазме можно считать чисто ку-
лоновским только в том случае, если расстояние между ними
меньше дебаевского радиуса: г > d (точнее, много меньше: г «: d).
Поскольку, как мы видели, число частиц в дебаевской сфере вели-
велико Nj ~ nd3 з> 1 (~106), то дебаевский радиус следует считать во
много раз большим, чем среднее расстояние между частицами
d 3> п/2. Помимо этих двух характерных расстояний размерно-
размерностью длины обладает также параметр рмин = е2/В, соответствующий
минимальному расстоянию, на которое могут сблизиться две час-
частицы одинакового знака, обладающие тепловой энергией порядка 8.
Наконец, квантовые эффекты могут быть существенны лишь на
расстояниях порядка длины волны де Бройля:
А. = h/p ~ Ы утО,
где h - постоянная Планка (Й = 1,05 • 107 эрг • с = 1,05 • 10~34 Дж • с).
Для рассмотренного выше численного примера en* 1015 иб = 1 кэВ
найдем d = 10"э см, n/2 * 10"s см,
Рмин = е2/8 * Ю0 см; ке = Ы Jm^Q * 10~9 см
(для ионов А.,- = yJm/MXe ** 101 см). Таким образом, в типичных
газовых условиях можно считать
d » n/3 » рмин или ке.	B7.1)
Последние два параметра могут конкурировать между собой:
они сравниваются при температуре порядка 8* ~ те*/h2 -- / ^
~ 10 эВ, что соответствует энергии ионизации водорода (рА ~
~ y/JIe, так что к » р при 8 3> / и р » к при 8 « /). Ясно, что кван-
квантовые эффекты особенно существенны для электронной плазмы в
металлах, близкой к вырождению. Если pf = mvf - граничный им-
импульс распределения Ферми (при Т = 0), то для плотности находим
п ~ p}/h3 ~ l/k3F, откуда n/3 ~ kF;
для радиуса Дебая (роль температуры играет граничная энергия
tF = p2F/2m)
d ~ ypp/mne2 ~ к/\[аГ
261

где
а = e2/hvF;
Для Рмин
Ршт = те2/р|/~ аК
и, наконец, боровский радиус равен
а = 0,5- 10-ecwh2/me2
При плотности электронов в металле п = 1022 см имеем
vf = — (Зп2п)Ч3 = 0,8 • 10е см/с,
m
тогда
а = e2/h\F = 3.
Поэтому все указанные длины оказываются одного порядка и при-
примерно соответствуют боровскому радиусу а = Ь2/те2 ~ 10~8 см.
В рассматриваемом нами случае газообразной больцмановской
плазмы выполнены неравенства B7.1), и поэтому квантовые эффек-
эффекты в ней не могут быть велики. Однако в одном пункте теории, а
именно при анализе взаимодействия разноименных зарядов, эти
эффекты имеют принципиальное значение и их рассмотрение и оцен-
оценка становятся необходимыми.
Дело в том, что для разноименных зарядов (е1е2 < 0) отдельный
множитель в распределении Гиббса
е,е,	Рмин
и- = е 0r =e r ,	B7.2)
'12
гДе Рмин = j елед. j/ 9 возрастает при г -* О настолько сильно, что соот-
соответствующий интеграл
Рмин	*макс-°°
е т dV = 4nplmi \ е-—-«,	B7.3)
г -+Q
мин
262

где х = Рмин/г, оказывается расходящимся. Это соответствует "тер-
"термодинамически выгодному" падению разноименных зарядов друг
на друга, и если не вводить какое-либо искусственное обрывание
этого интеграла (например, представления ионов, в частности про-
протонов, как твердых шариков конечного радиуса), то мы приходим
к выводу, что статистическая сумма для плазмы
Nt\Ne\
в рамках классической механики, строго говоря, не имеет смысла.
Эта ситуация может быть исправлена лишь путем перехода к
квантовому описанию системы, при котором длина волны де Бройля
будет играть роль обрезающего фактора, позволяющего устранить
указанную выше трудность классической теории.
Как известно, в квантовой механике вероятность состояния
системы пропорциональна квадрату модуля V -функции
рп=|?п|2 = ?*?п>	B7.4)
и вместо классического распределения Гиббса B6.3) в квантовой
статистике следует пользоваться выражением
dp (р, q) = С (?*е-«/<>?„) с/Г,	B7.5)
где Я - оператор Гамильтона для рассматриваемой системы. В от-
отличие от классики величина dp не имеет смысла вероятности со-
состояния с заданными значениями рис;, так как вследствие соот-
соотношения неопределенностей (ДрДс? ~ h) в квантовой механике
координаты и импульсы вообще не могут одновременно иметь оп-
определенные значения. Во многих отношениях, однако, эта величи-
величина, называемая матрицей плотности (точнее, ее диагональным эле-
элементом), аналогична классической вероятности. В частности, с ее
помощью средние значения различных операторов можно опреде-
определять по формуле
< F (р, q) > = f F (p, q) d p = f f F -^- dT (p, q).	B7.6)
263

Кроме того, если проинтегрировать эту величину отдельно по
импульсам или по координатам, то в первом случае получаем ве-
вероятность распределения по координатам, а во втором - по им-
импульсам:
(p)
dp = \ I	 	I da .	B7 7)
I jp dq /	* '
Фигурирующие в формуле B7.5) ?-функции - это собственные
функции оператора Я, удовлетворяющие соотношению Я?п =
= tnWn, и поэтому
e-H/eTn, е~е"/в?п.	B7.8)
Таким образом, вероятность взаимного расположения двух частиц
в плазме может быть представлена в виде
wl3 (r12) = const I е"е"/в|?„|2 =
л
= const И е " е 12 /В | ?PiP212 dp, c/p2 .	B7.9)
При этом мы предполагаем температуру плазмы 0 достаточно высо-
высокой, так что плазма может считаться полностью ионизованной.
Тогда в выражении B7.9) при суммировании по всем возможным
состояниям системы можно пренебречь связанными состояниями,
образующими дискретный спектр энергий, и производить интегри-
интегрирование лишь по непрерывному спектру с энергиями е12> 0.
В качестве функции W12 следует взять собственную функцию
квантово-механической задачи двух тел с кулоновским взаимо-
взаимодействием.
В начале настоящего параграфа мы уже говорили, что квантовые
эффекты могут сказываться лишь на расстояниях г ~ А. ~ Й/\Дп8,
в то время как при г » А. квантовая формула B7.9) должна перехо-
264

дить в классическую формулу B6.21)
вг
которая учитывает поляризацию среды. Однако при r< d поляри-
поляризация среды не сказывается и взаимодействие двух частиц можно
считать чисто кулоновским. Так как в рассматриваемом нами слу-
случае ([см. B7.1)] имеет место условие X <к й, то для расчета кван-
квантовых эффектов, проявляющихся в области г ~ к «с 6, поляриза-
поляризацию среды можно не учитывать и подставить в интеграл B7.9)
ф-функцию, соответствующую чисто кулоновскому взаимодейст-
взаимодействию двух частиц.
Такая задача, как известно, путем перехода к системе центра
инерции может быть сведена к задаче о движении одной частицы
с приведенной массой ц = т1т2/(т1+т2) в поле неподвижного
кулоновского центра. При этом
Фотн(г);г=|Г1-г2|,
где экспоненциальный множитель соответствует плоской волне,
описывающей свободное движение центра инерции Р = рх + р2,
R = {m1t1+m2i2)/(m1+m2), а фО1Н(г) описывает относительное
движение. Проинтегрировав формулу B7.9) по суммарному им-
импульсу Р = рх + р2, получим
( e2IW\$J2d	B7.10)
BлцвK/2
При этом мы определили постоянную нормировки таким образом,
чтобы фО1Н(г) было решением уравнения Шредингера
t2	е1е2 \
	Д+	 Ф™„ = еФ™„	B7.11)
2ц	т I
в непрерывном спектре е = р2/2д > 0, которое в пределе exe2 ¦* О,
т. е. при отсутствии взаимодействия, переходило бы в плоскую
волну
B7.12)
265

без каких-либо множителей. При этом, как нетрудно проверить, w12
обращалось бы в единицу, что и должно выполняться для идеаль-
идеального газа. Считая взаимодействие слабым, будем искать решение
уравнения B7.11) в виде борновского приближения
ф = ф«» + фШ,	B7.13)
где фA) «с ф(°), т. е. в виде разложения по безразмерному параметру
e2/ftv «: 1. Линеаризуя уравнение B7.11), получаем (Я°-е)фA) =
= - 1/взф@) или, иначе,
2це еа \ eikr
B7.14)
где к = р/Й. Для решения этого уравнения введем формально ве-
величину ф(г, t) = ф^(г)ехр(-1|к|сО» зависящую от времени. Тогда
для нее из соотношения B7.14) можно получить волновое урав-
уравнение
д-J_ 1!_)ф = Пф = -4пр(г,Г),	B7.15)
с2 dt2
где
Записав решение уравнения B7.15) в виде запаздывающих потен-
потенциалов
Ф ('.')- ~i	j~p r'.f-
и перейдя к новой переменной ? = г-г', окончательно найдем
ф№ (г)	Li. e ikr 1 	е Ukt-Ч).	B7.16)
266

Тогда с точностью до членов первого порядка по ехе2 получим
= 1	—	 cos (к t-kl).	B7.17)
Подставив это выражение в интеграл B7.10), найдем
ц12 \
w,, = 1	1 dine
л/>2	J
cos(/c|-kg),	B7.18)
где для краткости мы ввели длину волны де Бройля для частицы
с тепловой энергией Xj = h2 2ц0. Вычислив сначала интеграл по к,
а потом по ?> окончательно можно получить w12 = 1 + v,^, где
V
KB
±.). B7.19)
Функция Хкв(х) равна
оо
X (х) = 1 - е-^2 + 2х S e~f2 dt =
д:
= 1 - е-*2 +х vGT[l - Ф (х)],	B7.20)
2 х
где Ф(х) = 	I exp{-t2)dt - "интеграл ошибок", и асимптотики
/
х(х) имеют вид
х /jT- х2 +... при х « 1;
X W a. <j	B7.21)
1	 е-л:2 ПРИ х » 1.
267

Таким образом, х(г/к) -*¦ 1 при г » X и формула B7.19) перехо-
переходит в классическую, но без дебаевского экранирующего множите-
множителя. Иными словами, области применимости квантовой и класси-
классической формул при Л. •« г < d перекрываются, поэтому можно на-
написать общую аппроксимационную формулу, применимую для
всех г:
w - 1 + v (г), где v (г) =	х
вг
>-r/d
B7.22)
В частности, при г -* 0 имеем х{х) = х-/п, и v@) =--/ne1 e2/QKT
оказывается конечным, что и устраняет описанную ранее расходи-
расходимость классической теории. При выводе, однако, всюду предпола-
предполагалось, что v < 1. Чтобы снять и это ограничение, будем записывать
B7.22) в виде экспоненты:
= ехр|-
вг
,-r/d
B7.23)
График этой функции изображен на рис. 110 для двух случаев е1е2 >
> 0 (одноименные, т. е. отталкивающиеся заряды) и ехе2 < 0 (раз-
(разноименные, притягивающиеся).
Так как в рассматриваемом нами случае А. «. d, то с точностью
до членов порядка (K/dJ формулу B7.22) можно представить также
в виде
'12
B7.24)
где мы отдельно выделили классическую \КЛ
и квантовую [см. B7.20)] v^ = - (e1ea/Qr)l(r/kT),
-е-*2
2ydy
B7.25)
Рис. ПО. Вероятность взаимного расположения
двух частиц в плазме. При г ~»d имеем w12 = 1,
что соответствует независимости положений
частиц
268

корреляционные поправки. Вычисляя теперь с помощью вероят-
вероятности B7.24) среднюю энергию взаимодействия, определяемую фор-
формулой B6.14)
00
<t/B3> = 2nyn^e2 J (vee + v,-l-2vei-)rdr,
о
мы получим наряду с обычной дебаевской поправкой <Е/вэ>д =
= - VQ/8nd3 также ряд дополнительных членов, учитывающих кван-
квантовые свойства системы [см. B7.25)]
= 2п —
о
B7.26)
Последний интеграл, как нетрудно проверить, равен — ffi. Учиты-
Учитыгде цао - приведенная масса, отвечающая соответствующему
взаимодействию (цее = т/2; це,- « т; ц,-,- = Ml 2; Z,- = |е,/ее| - заряд
иона), окончательно получаем
ve \ *¦
ее
B7.27)
Таким образом, квантовые члены меньше дебаевского числа при-
примерно на множитель кее/ d «с 1.
Следует, однако, отметить, что найденное выражение (U > не
ВЗ KB
является единственным квантовым членом, который следовало бы
269

учесть в рассматриваемом приближении в термодинамической энер-
энергии Е = (Н). Помимо этого необходимо еще принять во внимание
обменную поправку в электронном взаимодействии (ионы вследствие
Х,/Хе~ yJm/M'~ 1/40 можно вообще считать классическими), а также
поправку, связанную со слабым вырождением идеального электрон-
электронного газа.
Эти вопросы, однако, выходят за рамки нашего изложения*.
Задача. Показать, что обменная корреляционная функция для идеального электрон-
электронного газа имеет вид
ее 1 -(^ееK
где
Решение. При отсутствии взаимодействия V-функция системы из двух электронов
имеет вид
Однако вследствие тождественности частиц она должна быть определенным образом
систематизирована. С учетом спина электроны должны подчиняться статистике Ферми,
т.е. быть антисимметричными.
Из индивидуальных спиновых функций XtU2 0) и Х1/2 B) для системы из двух элект-
электронов можно построить три симметричные и одну антисимметричную по спиновым
переменным функции U, A) X» B); X* A) Х_ B); X, A) X. B) + X, B) X. A) - триплет и
Х+ A) X. B) - Х+ B) X. A) — синглет], которым соответствуют антисимметричный по коор-
координатам триплет ф 0)ф„ B) —ф B)ф A) и симметричный синглет ф A) ф B) +
р, р2	pt ps	р, р,
+ *Pj B) фр^ A).
Поэтому, суммируя по спиновым переменным, получаем
= 3|ei(kiri+k2r2>_ eKk1r2+k2r1)j2 + |eUVl+k2r2)+ ^(^r.+kjr.jp =
A)
3 jl-
Подробнее см., например: Елесин Е.Ф., Трубников БJV. // ЖЭТФ. 1964. Т. 47. С. 1279.

Здесь
'-'.-V \-\" T(T«-V" Тци="{ p>	B)
где p - импульс частицы с приведенной массой ц = т 12. Введя обозначение к.—р/Й, най-
найдем
Z | V12|2 = constCsinakr + cos2kr).	C)
о
Постоянную здесь следует выбрать таким образом, чтобы при усреднении по простран-
пространству эта величина обращалась бы в единицу, откуда имеем const = 1/2, и тогда
D)
О	*
Эту величину и следует подставить в формулу B7.10) для wl2 (г) вместо | Т01Н| :
-р/2|1в
2Bлц8K'2
_J	Г -Р2/2цв / рг \
	 \ е	cos 2	 dp.
!лцвK'2 J	\ Ь I
2B
Вычислив интеграл, окончательно получим
w12 = l+ve;,rflevf
12	обм	обм
F)
что и требовалось доказать. Поправка в энергии взаимодействия, обусловленная этой кор-
корреляцией [ср. B7.27)], составит (учитываем лишь взаимодействие электронов между
собой)
\2	1
вз обм	е I обм	е 8rf2 Aг}
т.е. примерно в (\/dJ раз меньше кинетической энергии плазмы. Нетрудно также убе-
убедиться, что
<С/вз\,бм	1	а
	 «1,	(8)
где а =Й2/те2—радиусБора.
271

§ 28. Степень ионизации плазмы
Если температура недостаточно высока, то электроны в плаз-
плазме рекомбинируют с ионами и, таким образом, часть из них на-
находится в связанных состояниях дискретного спектра с отрицатель-
отрицательной энергией. На первый взгляд оценкой степени ионизации газа
может служить формула
ee~i/e,	B8.1)
где/- энергия ионизации (для водорода/= A/2) теА/Ь2 = 13,5 эВ). От-
Отсюда следовало бы, что ионизация существенна при 0 ~ 1 (т.е. Г«« 106 К).
Однако в действительности заметная ионизация газа наступает уже
при Т * 1000 К, и указанная оценка является сильно заниженной,
что обусловлено отсутствием в формуле B8.1) большого пред-
экспоненциального множителя v ^ 1.
Этот множитель связан с отношением числа эффективных воз-
возможных состояний ДГ свободного и связанного электрона, т.е. с от-
отношением статистических весов. Если считать, что на один ион при-
приходится одно возможное связанное состояние электрона, то
АГсво6 / dpdV
v=	= 	 /jv,-	,	B8.2)
\ *K /э*	0*)»
ДГСВЯЭ	\ B л*K
где Г^Р)Эф - эффективный объем импульсного пространства,
(d р)эф = [ е "p2/2mB d р = B л т в)з«	B8.3)
Введя, как в предыдущем параграфе, обозначение Хе = Ь д/2теб',
получим
Bл т вK'2 1	1
у =	 = 	 — » 1	B8.4)
п,BлйK	8 я3'2 n,X3
так как в типичных условиях [см. B7.1)] квантовая длина волны
много меньше расстояния между частицами Хе «с п~1/э (т.е. щ А. э «С1).
272

Таким образом, в правильной записи формула B8.1) имеет вид
_J!f	 =Ve-'/e	!	 е-"9.	B8.5)
Чтобы найти отсюда степень ионизации газа
своб
а =	,	B8.6)
свяэ своб
е	е
будем считать заданной не только температуру газа 9, но также и его
полное давление р. Так как наша плазма состоит из электронов,
ионов и нейтральных атомов с плотностями пе, щ, пп, причем вследст-
вследствие электронейтральности
"е-",-; na=NceB*3/V,	B8.7)
то задание р и 8 означает, что фиксировано полное число частиц в еди-
единице объема
B8.8)
через которое можно выразить остальные плотности:
л п- " -• „- 1"И п	(Ж9)
Пе = Щ — 	 П, Па	П
1 + а	1 + а
[по условию B8.2) рассматриваем лишь однократно ионизированные
ионы]. Тогда формулу B6.5) можно представить в виде
jvcbo6 п	а	1 + а	1
= 7 е ~т =	 	,	B8.10)
^связ П/, 1-а	а К(р, Т)
Г
е
где мы обозначили
1 - = 	1	 е-'/е.	B8.11)
Величина К(р, Т) называется константой ионизационного равнове-
равновесия. Будучи выражена через п в см и 9 в эВ, она имеет
273

,4.НГ" "¦'' ,". B8.12)
тв /	в[зв]
Из соотношения, B8.10) находим формулу Саха для степени иониза-
ионизации:
«2 = j_
l-ttJ JC
откуда
а = -L_ .	B8.13)
Vi+к
Если степень ионизации мала {К велико), то приближенно
1
В обратном случае (АГмало, а близка к единице) имеем
ос * 1 - — или 1 - а * — = 4пэ/2 п к3 ei/B «: 1.
2	2	е
Например, для п, равного плотности воздуха (п = 3-Ю19), при темпе-
температуре 1300 КI 6 *	эВ 1 водород (/ = 13,5 эВ) будет ионизирован на
\ Ю /
а « Ю0 (АГ~ 0,5-10" » 1), а уже при Г * 11000 К (9 ~ 1 эВ) на ос«
~1-Н0-эо (К~ 10~эо «с 1), т.е. полностью.
В рассмотренном интервале температур (от 10э до 104 °С) К изменя-
изменяется на 50 порядков, что свидетельствует о необычайно резкой зависи-
зависимости К от температуры. Как мы видели, в переходной области всег-
всегда можно считать 8 <К 1.
Формула Саха предполагает, что вещество находится в условиях
термодинамического равновесия с излучением ftu+a^e + i, т.е. про-
процесс ионизации атома фотоном и обратный процесс рекомбинации
идут с одинаковыми скоростями. В реальных условиях, однако,
плазма всегда имеет конечные размеры и часть фотонов может ухо-
уходить из системы.
Термодинамическая формула Саха будет при этом справедлива
лишь в том случае, если длина пробега фотона / много меньше разме-
размеров системы L, т.е. если плазма оптически непрозрачна для квантов,
обладающих характерной энергией порядка энергии ионизации Асо~/.
В обратном предельном слечае, когда / » L, поглощением фотонов
274

можно пренебречь и излучение практически свободно выходит из
плазмы. Такая ситуация осуществляется, например, в солнечной коро-
короне, где плотность плазмы достаточно мала, а также в термоядерных
установках.
В этом случае процессом, обратным процессу рекомбинации,
будет ионизация атомов быстрыми электронами, что схематически
можно записать в виде e + i-* а + Ьы, e + a-*e + e + i. Изменение числа
электронов будет описываться уравнением
dn/df=-MpeKrjen. + KH0HrjeV	B8.14)
где ирек и иион - коэффициент рекомбинации и ионизации, которые
зависят лишь от температуры плазмы. В стационарных условиях
dne/dt = 0, и тогда для степени ионизации [см. B8.9)] найдем
К (Т) ;	B8.15)
"i
"e
Of =
a
1-a
КО)
"ион
"рек
Эта формула была установлена Эльвертом и независимо от него
Шкловским. Коэффициенты Ир^ и ииои связаны с сечениями соответ-
соответствующих процессов орек и оион соотношениями
«рек @ - < °р v > и «ион (О - < °u v> .	B8Л6>
где усреднение производится по максвелловскому распределению
электронов.
Бели температура плазмы 6 близка или больше энергии ионизации
I, то сечение ионизации по порядку величины близко к геометричес-
геометрическим размерам атома: оион ~ 106 см2, в то время как Ор^ ~ 10~22 см3.
При этом К (Т) » 1 и степень ионизации близка к 100%:
a% j	1_ =1_
Задача. Вывести формулу Саха из условия равенства химических потенциалов в реак-
реакции ионизации Й w+а «^ е +1, учтя при этом дебаевские поправки.
Решение. Для равновесия в реакции Ь w + а ** е + i необходимо условие Цф + ца = це +
+ ц,-. Как известно, химический потенциал фотонов равен нулю |i* « 0. Химический потен-
потенциал для заряженных частиц ц„ » ц + Дд был определен нами в задаче к § 26. Для
w	ИД	Д
атомов дебаевская поправка Д ца = - е^ /2 d отсутствует, однако учитывая их внутреннюю
275

энергию (равную энергии ионизации), следует положить
где
^^^/п.сгя*)»].	B)
Считая ионы однозарядными и подставляя эти выражения в условие |ia= |ie + Д(. полу-
получаем
% I 2л*2
з/а
e в \ ' ' ,	C)
где m * = me т{/тв, что приводит к формуле Саха с несколько измененной постоянной
и поэтому для степени ионизации анеид > аид, однако это увеличение незначительно, так
§29. Лагранжиан Дарвина
Рассмотрим теперь релятивистские поправки в плазме. Практически
во всех случаях плазму можно считать нерелятивистской: т/с<1. Да-
Даже для термоядерной температуры 8~ 100 кэВ имеем 9/тс2 = 1/5 и E =
= v/c~ 0,8, что можно назвать слабым релятивизмом. Таким образом,
релятивистские поправки всегда малы, однако небезынтересно выяс-
выяснить их принципиальную роль.
Для свободной энергии идеального газа с учетом релятивизма
имеем
¦ ZnB - * \\ c-*l* d*dv
где е = у/т2 с4 + с2 р2 - кинетическая энергия частиц. Вычислив интег-
интеграл
где v = тс2/9; АГ3 (v) - функция Макдональда [функция Бесселя от
276

мнимого аргумента, имеющая асимптотику
К. (х) = /	 ev 11 +	+... I при v » 11, для плазмы получим
V 2v	\ 8v	/
. е	BлМвK'2
: - 9 N,- 1П | 	 V
N.	BnftK
1
B9.2)
Ne <M>»	ve 2K
(для ионов можно пренебречь релятивистскими поправками). Ис-
Использовав асимптотику К2 (v), найдем
рел	нерел	рел'
где
is е2
*""*	8	тс2
откуда для давления и энергии получим
ИИ	^ *	ИИ
ду ''нерел
! (ni+ "е)
рел	ав	нерел ^ g m(;3
(для простоты ионы считаем одноразрядными и Nt = Ne).
Таким образом, в первом приближении давление не меняется,
а энергия слегка увеличивается по сравнению с нерелятивистским
значением.
Помимо частиц рассматриваемая система должна включать также
поле излучения. Если бы это излучение находилось в равновесии
с веществом, т.е. частицами, то его спектр описывался бы формулой
Планка, а полная энергия была бы равна (здесь р = bin, k = ы/с)
Б =[—^	2_f??2L=xJ^_,	B9.3)
изл J exp(ftu/8)-l BnttK	(ctiK
277

где х - числовой множитель;
X-
о
Сравнивая эту энергию с кинетической энергией частиц, получаем
?изл	х v в*	/ е \э 1	1
Е	(chK ЗЛГ8	\ ch	п	п\3
част	\	/	св.х»р
где Хсв ~ ch/Q - характерная длина световой волны, отвечающей
максимуму в распределении Планка. Например, при п «* 1015 см и
8 ~ 1 кэВ имеем X ~ 10 см (один нанометр), и тогда 1/пКэ ~ 106, т.е.
энергия излучения в миллион раз больше, чем энергия частиц!
Эта оценка показывает, что при термоядерных температурах
излучение практически никогда не может находиться в термоди-
термодинамическом равновесии с веществом. В самом деле, при равнове-
равновесии характерные энергии квантов света, отвечающие максимуму в
формуле Планка, лежали бы в области рентгеновского излучения
Лсохар ~ 9 ~ 10 кэВ. Проникающая способность таких квантов в пол-
полностью ионизованной плазме настолько высока, что они практически
беспрепятственно выходили бы из плазмы с любыми конечными раз-
размерами вплоть до космических. Поэтому при рассмотрении реляти-
релятивистских эффектов, играющих некоторую роль при не слишком ма-
малых v/c,T.e. не слишком малых температурах F ~ тс2), можно не
принимать во внимание самостоятельное электромагнитное
поле, т.е. поле излучения, и рассматривать лишь поле, жестко свя-
связанное с частицами. Таким полем является кулоновское поле заря-
зарядов, приводящее к их взаимодействию, и релятивистские поправки
проявляются лишь как эффекты, связанные с некоторым запаздыва-
запаздыванием этого взаимодействия. Кроме того, движущиеся частицы долж-
должны взаимодействовать посредством магнитного поля (квазистацио-
(квазистационарного), возникающего при движении зарядов.
Указанные релятивистские поправки (магнитное взаимодействие
и эффекты запаздывания) можно рассмотреть на основе так называе-
называемого лагранжиана Дарвина, который может быть получен следую-
следующим образом.
Лагранжиан одной i-й релятивистской частицы в поле
- А. - е.ф + -fl_ T А	B9.5)
с2	с
278

содержит электромагнитные потенциалы (р (г,-, t) и А (г,, t), выбор кото-
которых, как известно, неоднозначен. Для нас удобно принять кулонов-
скую калибровку divA = 0, при которой уравнения Максвелла путем
введения потенциалов
|B = rotA,E = -V<p- — д A/dt
\	с
сводятся к двум уравнениям:
Дф = -4пр; ПА = - — j+— V — .	B9.6)
с	с	dt
Найдя из первого уравнения Пуассона скалярный потенциал
lLp(r;^	B9.7)
(который, как видим, при калибровке div A = 0 совершенно не содержит
запаздывания) и подставив его второе уравнение для А, можно полу-
получить
" dV> 'V.tH.	B9-8)
~ А
Здесь введен тензор б = б + пп, где n = R/R. При выводе соотношения
B9.8) использовано уравнение непрерывности 9p/9f=- div./, а также
формулы
ДГК= — ; Дг J-=-4n6(r-r'); CvrK= — - — .	B9.9)
R	R	R R3
Волновое уравнение B9.8), где правую часть следует считать извест-
известной, является точным. Если в нем, однако, пренебречь запаздыванием,
приближенно заменив оператор д'Аламбера о = Д = —— д3 / dt2 прос-
с2
то на лапласиан (о -> Д), то находим
А (г, t) * А0 (г, t)-^-[—Ut',t)-b,	B9.10)
что соответствует приближению Дарвина. Поскольку наша система
состоит из точечных частиц и в ней
pfc'tf- I efc6(r'-rfc), j(r/O= I efcvfc6(r'-rfc),	B9.11)
k+i	кФi
279

то выражения B9.7) и B9.10) принимают вид
Ф (г,, 0=1 — ; А0 (г,, t)=~ I — yk%ik .	B9.12)
k*i rik	2 c k*i rik
Подставляя их в формулу B9.5), получаем лагранжиан одной /-й час-
частицы, а лагранжиан всей системы в приближении Дарвина будет равен
I —Z m,c2 VI ~ Э2	2 -i-^- 1	Э* Эк :3ft , B9.13)
где Э = v/c, а штрих у второй суммы означает, что i Ф к. Две точки меж-
между тензорами означают свертку по обоим координатным индексам, так
что
А ~
Pi Pfc : 6ifc = Pi Pfc + (Pi "ifc ) Ok Щк ) >
где
Из лагранжиана B9.13) следует, что обобщенный импульс r'-й час-
частицы равен
Р,-=-^- = -^— +е,- I —	\1ik,	B9.14)
а энергия всей системы
E(r,v)= 2 v,P1-L= I —	 +
t^llfoA).	B9.15)
Использование лагранжиана Дарвина, который описывает взаимодей-
взаимодействие частиц с точностью до (v/cJ, позволяет не вводить электромаг-
электромагнитное поле как независимую переменную и описывать систему
лишь с помощью переменных т, v, относящихся к частицам. Учет за-
запаздывания с точностью до {у 1сJ приводит к тому, что теперь взаимо-
взаимодействие частиц не является просто кулоновским, а начинает зави-
зависеть от скоростей. Естественно, что при с-*» мы приходим к рассмот-
рассмотренному ранее случаю с чисто кулоновским взаимодействием.
280

Если бы нам удалось выразить энергию B9.15) через обобщен-
обобщенные импульсы B9.14), то мы получили бы гамильтониан системы
Н (г, Р) и тогда для свободной энергии нашли бы F = - 8 lnZ, где
е-Я(Г,Р)/9п
Однако для плазмы при Nt, Ne •* °° в явном виде найти гамильтониан
Н (г, Р) не представляется возможным.
Обычно для отыскания гамильтониана применяется следующая при-
приближенная процедура. Так как взаимодействие учтено лишь с точ-
точностью до членов порядка 1/с2, то естественно разложить до 1/с2 и
собственный лагранжиан частиц:
B9.17)
2 \ 4с2
Тогда импульс B9.14) запишется в виде
2c* / ft* i r,fc
B9.18)
и считая члены, пропорциональные 1/с2, малыми, для обратной зави-
зависимости v = v(P) находим
с / fc^j r/fc 2mfcc2
В том же приближении для гамильтониана получим
Н (г, Р) = Е (г, v) « 2 т,- с2 f 1 + i- (Pt/ mt сJ - i- (P,/m, сL 1 +
A
+ — 2 ^— 1 - —	 : 6ik .	B9.20)
2 i.k rik	\	2m,mkc*	lfc/
Условимся называть это выражение упрощенным гамильтонианом
Дарвина. Такой гамильтониан приводится, например, в книге
Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица "Теория поля". Нетрудно видеть, одна-
однако, что к плазме такой гамильтониан неприменим, так как он не
учитывает экранировку релятивистских взаимодействий.
281

Чтобы пояснить это обстоятельство, рассмотрим наиболее простую
модель. Именно примем для первого члена в лагранжиане Дарвина
B9.13) нерелятивистское выражение, а релятивистские взаимодей-
взаимодействия будем учитывать только для электронов. Тогда лагранжиан
B9.13) принимает вид
, _v MV* \'JJ_ л. v туД j. 1 v' e' v Y ./Г	rooon
L = i.	i.	 + i. 	 + — i. — 	 : о ,	BУ.21;
i 2 i + e г e 2	2 e,e' r 2r2
где i - ионы; е - электроны.
При этом обобщенные импульсы ионов равны просто Р, = Mi \f, в то
время как для электронов имеем [ср. B9.14)]
B9.22)
Здесь р = т у - обычные кинетические импульсы электронов (необоб-
(необобщенные), атензор акп равен (ro/2rfcn) 6fcn, где r0=ea/mc2=2,8-10~13 см-
классический радиус электрона. Если наряду с индексами кип, ну-
нумерующими электроны от 1 до Ne, ввести индексы со штрихами
Кс'и п', которые пробегали бы ряд из 3Ne значений (lx, ly, lz; 2x,
2у, ...; Nex, Ney, Nez) и нумеровали бы, таким образом, электроны
вместе с тремя координатами х, у, z каждого электрона, то соотноше-
соотношение B9.22) удобно представить в матричной форме (л'- суммирова-
суммирование):
где матрица J = I + а по существу соответствует якобиану перехода от
обобщенных импульсов к простым. Энергию системы Е (г, v), соответ-
соответствующую лагранжиану B9.21)
1 2	i+e T
B9.24)
также удобно выразить через матрицу J B9.15):
Б(г,т)-1 — MV2 +U(t)+— v7v.	B9.25)
. 2	к"л	2
282

Здесь последний член учитывает как кинетическую энергию электро-
электронов, так и их релятивистские взаимодействия, и для определения
истинного гамильтониана системы необходимо выразить энергию
B9.25) через обобщенные импульсы B9.23). Для этого в первую оче-
очередь необходимо обратить формулу B9.23), что можно сделать с по-
помощью обратной матрицы J. Эта матрица обладает свойствами
п4	*4	—*	«W
J J = J J =1, где I = Ьк'п'~ единичная матрица, и с ее помощью из
формулы B9.23) находим
р = ГJ P или рк'= Гк\,Рп..	B9.26)
Тогда для последнего члена в энергии B9.25) получаем
HL yjv= — pJp= — Р-J -Р =
2	1т	2т
и, следовательно, истинный гамильтониан можно записать в виде
Н=Н°+Наз +ЯВЗ ,	B9.28)
кул рел'	ч '
где Н° = ? Р2/2М + ? Р2/2т - гамильтониан свободных частиц, а чле-
члены	'	е
описывают соответственно кулоновское и релятивистское взаимо-
взаимодействия.
Формально обратную матрицу J можно найти из разложения
J-*= ^-= =Д=-= Т-5+а2 + а3+...,	B9.30)
/ I + а
и, таким образом, Нв^л представляет собой бесконечный ряд из мат-
матриц
Если бы мы ограниличись учетом лишь первого члена этого ряда,
то получили бы упрощенный гамильтониан Дарвина типа B9.20).
Однако для плазмы (где Ne -* °°) такое ограничение недопустимо, ибо
283

отброшенные члены отнюдь не малы. В самом деле, рассмотрим об-
общий s-й член из ряда B9.31)
Ne
fifcvv.Av-A-1»1-	B9-32)
vv.Av
В последней записи мы вернулись к тензорным обозначениям,
и точка означает свертку по координатным индексам. Чтобы оце-
оценить этот член, усредним его по положению промежуточных элект-
электронов /х, /2, ..., /j_i, которые будем считать равномерно распределен-
распределенными по пространству. Такая операция усреднения эквивалентна
замене сумм в формуле B9.32) на интегралы:
где пе - средняя плотность электронов, так что
(s-D
...dts_^kli-Aa12-...-as_Un.).	B9.33)
Далее нетрудно убедиться, что имеет место фурье-представление для
тензоров a:
и..= -2—в.. = —1- 	 е Мб	,	B9.34)
у агц ^ 2п2 J к2	\ к2 I
использовав которое, можно получить
—:.	го Г dk »krfc /л кк \ I 1 \*-1
as.=	 	 е б	 .	B9.35)
кп 2п2 ) к2	\ к2 ) \k2d2 )
Таким образом, каждый последующий член ряда B9.31) содержит
под интегралом дополнительный множитель 1/к2^2по сравнению с
предыдущим членом, и ряд можно было бы оборвать лишь при условии
или 1/&«(/..	B9.36)
с
284

Здесь величина
dc=l/V^VV
B9.37)
имеет размерность длины и характеризует экранировку релятивист-
релятивистских (поперечных) взаимодействий в плазме. Условие B9.36) мож-
можно рассматривать как ограничение на размер системы R или на полное
число частиц в системе:
1 /к ~ R « dc кпк Ne ~ пеR3 « ne d3. ~ dc/r0 .	B9.38)
Только в этих условиях ряд B9.31) можно было бы оборвать на пер-
первом члене и использовать упрощенный гамильтониан Дарвина. На-
Например, такой упрощенный гамильтониан пригоден для описания
атома водорода или позитрония, если нас интересуют в них реляти-
релятивистские поправки. Для плазмы же, рассматриваемой как безгранич-
безграничная среда {Ne -* °°,R-+ °°), условие B9.36) не выполняется и упрощен-
упрощенным гамильтонианом Дарвина пользоваться нельзя. В этом случае
следует учитывать весь бесконечный ряд B9.31). Это, в частности,
означает, что взаимодействие частиц в гамильтониане уже не носит
парного характера, а является "коллективным", хотя в исходном лаг-
лагранжиане Дарвина B9.13) и в энергии B9.15) члены взаимодействия
имеют парный вид.
Задача 1. Показать, что низкочастотные (ы -» 0) электромагнитные волны проникают
из вакуума в плазму с плоской границей на глубину, равную dc, которую можно назвать
толщиной вакуумного скин-слоя (рис. 111). Определить, как влияет на параметр dc учет
движения ионов и релятивистских эффектов.
Решение. Предполагая, что в плазме отсутствует постоянное магнитное поле, и считая
ионы неподвижными, запишем уравнение движения электронов в виде
• „ е 9А
ту = еЕ =	 ,	A)
с dt
а
где А — векторный электромагнитный потенциал. Поскольку т = — т , то отсюда следует
Эг
т=- — Аи для тока в плазме имеем j = ет=—(пе2/тс) А. Решая далее уравнение
Пуассона для поперечных волн (ток смещения не учитываем)
Рис. Ш. Проникновение низкочастотных по-
поперечных колебаний в плазму на глубину по-
порядка dc = c/w0 с последующим отражением
Вакуум
Плазма. ¦
285

4л	дг	1
Л А	j или — А (х) - — А (х) ,	B)
с	дх* *	d2 '
находим Ау (х) - Ау @) exp (~x/dc), что является решением поставленной задачи.
Таким образом, можно сказать, что если продольные кулоновские взаимодействия
экранируются в плазме на длине Дебая d, то поперечные - на длине dc.
При учете движения ионов мы получили бы тот же результат с несколько изменен-
измененным значением длины:
/4япеее	,у
d= 	+	- .	C)
с \ те2	Me2 I
Наконец, если учесть релятивистскую зависимость массы частицы от скорости, то
уравнение движения следует записать в виде
? -eB_--[**.],	D)
at	с
где р « т т / Vl - Р2'- Считая, что статическое поле отсутствует, полагаем
1 дА
В
jB^rotA,	E)
с Зг
где А — потенциал волны. Далее учтем, что т = т0 + Дт, где Д т - поправка, обусловлен-
обусловленная волной. Тогда уравнение D) принимает вид
Л Л
Э
— Дт
d
дА
<" J\-R2 Эг	mTo саA-В2K'2	с dt + с °
0
Умножив это уравнение скалярно на т , найдем
после чего получим
a
F)
В последующем нам придется вычислять ток
]'-еепе<Дте>+е,п,<Дт/> ,	G)
в которой входит величина Д т, усредненная по распределению частиц. В частности, при
усреднении формулы F) по направлениям т0 последний член с магнитным полем выпа-
выпадает, и тогда
9	е ,	,/ 1 \ дА
— <дт> =	Vl-P? 1	Р? 	.
dt	me	° \ 3 °/ 3t
(8)
ui	me	\ з i or
286

/	'/ ! \
Введя обозначение ? = ( v 1 — Р2 11	Р2 I). имеем, следовательно
<Лт> = -^?А,	(9)
так что для тока получим
где теперь
4лпае2	уШ
(И)
1 oc=i,e та <г
Величины 6, е» | 'vi,e)> гДе
vi e = mi ec2l® при ЭТОМ равны	.
1 4- —¦
/ j	11 i i\ /
; (v) ¦
1 + i.
dx
A2)
e	xa dx
о
где JC2 (v) = v J exp (-v -/l + x2) x2 d x — функция Макдональда (функция Бесселя от
о
мнимого аргумента — модифицированная). При нерелятивистских температурах значе-
значения | (v) близки к единице:
Любопытно также отметить, что через функцию 6 (v) может быть выражен усредняе-
усредняемый по релятивистскому максвелловскому распределению квадрат скорости частицы:
(р/тсJ	3 6(v)
<v2> = c2<P2>=c2 <	> = с2 	 ,	A4)
1 + fp/mcJ	v
откуда, в частности, следует ультрарелятивистская асимптотика функции \ (v) при v«l
(т.е. 9» me2):
287

V	V
I (v) = — < p* > - — при v « 1,	A5)
так как ясно, что Р - т/с -> 1. Используя A4), нетрудно убедиться, что длина dc, опреде-
определяемая формулой (И), может быть представлена также в виде
при p - 1.	A6)
/ 4лпае*	\-»'2
\ s —7Z	 <Ра> ;dc
Задача 2. Пользуясь точным уравнением B9.8), определить характер поправок к при-
приближению Дарвина B9.10).
Решение. Точное уравнение B9.8) можно представить в виде
ДА=ДА@)+ ¦!¦ —А,	A)
где А — приближение Дарвина B9.10). Бели искать решение этого уравнения в виде
ряда
А = А@) + АA) + А®+...,	B)
то из A) получим
«»¦-?¦?*"'"""? ¦?*"¦»	»
Между тем, используя формулу (здесь R = г — г')
б	в	(r-O(r-r')
Ir-r'|	r-г
-г' э
D)
нетрудно заметить, что величина А @) [см. B9.10)] сама может быть представлена в виде
лапласиана:
j- J —
'1	E)
и поэтому из уравнений C) получим
с3 dt2	J 4!

д2
F)
Здесь R-r-r,ft) и ^.= ^@.
Аналогично можно было бы найти и следующие поправки, например:
ел	1 94 А а Г |г-г'|5
AB)(r,f)=-	(бД-VV) 	i(t',t)dV	G)
с5 Qt*	J 6!
(X 2 )
и так далее. Все эти поправки А ' содержат ускорения и более высокие производные
от скоростей частиц, что не позволяет включить эти поправки в лагранжиан, не вводя
специальных обобщенных координат, описывающих электромагнитное поле.
Полезно, однако, отметить следующее обстоятельство. Из формулы F) можно видеть,
что по порядку величины А(У ~ 1/<г3, а в лагранжиане такой член имел бы порядок
bA<%.,,~-L.	(8)
Таким образом, можно сказать, что лагранжиан Дарвина описывает систему заряженных
частиц с точностью до членов порядка не 1/с2, а 1/с3, однако последние члены равны ну-
нулю. Это обстоятельство полезно иметь в виду, так как определяемые нами в следующем
параграфе релятивистские поправки к термодинамическим функциям плазмы оказыва-
оказываются порядка 1/с3 и, следовательно, находятся в пределах применимости лагранжиана
Дарвина.	Л
Задача 3. Проделать вывод формулы B9.35) для as .¦
§ 30. Релятивистские поправки в плазме
Рассмотрим взаимодействие двух выделенных в плазме частиц 1 и 2
(рис. 112). Лагранжиан этой системы запишем в виде
11а (г,v,t)=-т,с2 Vl - р;'- т2 с2 Vl-PS + L~,	C0-О
где лагранжиан взаимодействия равен
-е^ (*!.')+— т.Аз^.О-	C0.2)
Здесь Ф2 (rj) и А2 (rj - потенциалы, создаваемые частицей 2 в точке
i1, где находится 1. Ограничиваясь во взаимодействии учетом членов
порядка у2 1с2, мы должны были бы считать, что ?°2имеет ВИД дарви-
дарвиновского приближения
c-^.^^i,	C0.3)

Рис. 112. К релятивистскому взаимодейст-
взаимодействию двух выделенных частиц плазмы, зави-
зависящему от их скоростей
'r.rj.'.'.'. \ .' ." Jv*' .'. гДе первый член соответствует ку-
лоновскому взаимодействию, а
второй учитывает релятивистские
эффекты запаздывания. Однако
взаимодействие имело бы такой
• • • • • • •.•.¦.¦.*,'.'.' ВИД лишь при отсутствии осталь-
•••••••••••.¦.'. ных частиц, которые образуют как
бы среду, в которую "погружены"
рассматриваемые нами частицы 1 и 2. Для определения взаимодейст-
взаимодействия, учитывающего наличие среды, воспользуемся тем, что в соот-
соответствии с формулами B9.12) в приближении Дарвина можно считать,
что
[^V	-i-[j?fS,	C0.4)
2с	К
и, учитывая, что 6/R = B/i?) б - Vr Vr R, где R = г - г', находим, что ин-
интегральные выражения C0.4) эквивалентны дифференциальным урав-
уравнениям [заметим, что ДГД = 21R, а ДгД-1 =-4л6 (R)]:
=-4лр;АА	«S-j-v'v ¦*- f — j'.	C0.5)
В задаче 1 к предыдущему параграфу было показано, что
4л ._ _J	 д
с	d2
с
где
d = ( I 4л ле2 I /тс2)'112 ,
ос = i, e
и тогда, учитывая, что потенциал А, определяемый формулой C0.4),
удовлетворяет условию калибровки по Кулону divA = 0, из соотно-
соотношений C0.5) получаем операторное уравнение
Д (д- -L JA-O,	C0.7)
290

решением которого являются функции
-г/Чс
А = const/(г J, где f(r)= — или f(r)= —	,	C0.8)
г	г
а также их производные типа V V /. Если для краткости ввести обозна-
обозначение р = r/dc, то нетрудно убедиться, что решение уравнения C0.7),
удовлетворяющее всем необходимым условиям, можно представить
в виде
е*т2 Л	л	а е"р ^ е"Р-1
А2=	 S(p);S(p) = 6 — - V V 	,	C0.9)
cdc	P	v v p
и, следовательно, часть лагранжиана, обусловленная релятивист-
релятивистскими эффектами, имеет вид
!	О	)	C0.10)
Л
На малых расстояниях r12 « dc имеем р «: 1, и тогда тензор S (р) ра-
равен 5 ~ A/р) б — — Vp Vp p, что соответствует виду C0.3), не учиты-
учитывающему влияния среды. На больших расстояниях Р » 1, отбрасывая
в 5 (р) экспоненциальные члены, имеем
vk-"	(зол1)
и тогда (здесь г = гх - г2)
3{ti)(.tA2)-r*(i i)
Сж	;5	'	C0Л2)
где введены условные "дипольные моменты" d12 = е12 dc Pi2. Как из-
известно, в электростатике потенциальная энергия взаимодействия
двух диполей равна
и выражение C0.12) вполне соответствует этой формуле. Рассмотрев
ранее нерелятивистский случай с чисто кулоновским (продольным)
взаимодействием, мы нашли, что произвольная частица I, выделен-
выделенная в плазме, окружена облаком пространственного заряда противо-
291

положного знака с плотностью
р(г)
,-R/d
4Л
C0.14)
где d - длина Дебая; R = г - t1 (рис. 113, о). Теперь при учете реляти-
релятивистских эффектов можно видеть, что эта картина должна быть допол-
дополнена, так как в соответствии с формулами C0.6) и C0.9) такая части-
частица, если она обладает отличной от нуля скоростью vt, должна быть ок-
окружена облаком с вихревыми (divj = 0) токами, экранирующими эту
частицу и распределенными в пространстве с плотностью
And2
с
5(р),
C0.15)
rflep = R/dc.
В предельных случаях соответственно имеем
&nd2R
с
tR
+ R	I при
R2
R2
C0.16)
при R » dc.
Эти токи изображены на рис. ИЗ, б и, очевидно, представляют со-
собой квазистационарные токи Фуко, возникающие в среде при движе-
движении самой частицы и экранирующие создаваемое ею магнитное поле,
Рис. 113. Эффекты экранировки в плазме:
а - дебаевская экранировка заряда (продольные взаимодействия); б - экранировка
тока, создаваемого движущимся зарядом, за счет токов Фуко (поперечные взаимодейст-
взаимодействия)
292

которое можно вычислить по формуле
C0.17)
На малых расстояниях Ж dc с/ы0 это соответствует закону Био-Са-
р
вара В = — \ d y'[j'R ] / R3 для пустоты, а на больших расстояниях В
с J
экспоненциально мало ~ ехр (- R/dc) вследствие экранировки токами
Фуко. Считая заданным движение частицы, так что гг = гх (t)nv = тх (t),
можно найти и поперечное (div E = 0) электрическое поле:
1 ЗА,
dt	c2dc
C0.18)
Можно убедиться, что при R <?. dc это выражение соответствует по-
полю, получаемому из известных потенциалов Лиенара-Вихерта с
учетом релятивистских эффектов запаздывания порядка у21с2. На
больших расстояниях в соответствии с асимптотикой C0.11) Е ~ 1/Я3,
так что никакого самостоятельного излученного поля, для которого
на больших расстояниях вектор Пойнтинга S = 	 [Е В] был бы про-
4л
порционален 1/R2, наша система не создает. Для такого поля излуче-
излучения приближение Дарвина непригодно, так как оно оперирует лишь
с переменными г, v, относящимися к частицам, однако в первом при-
приближении оно правильно учитывает релятивистские взаимодействия
частиц.
Рассмотрим, наконец, в приближении Дарвина релятивистские
поправки к термодинамическим функциям плазмы*. "Истинный га-
гамильтониан Дарвина", фигурирующий в формуле B9.18) для свобод-
свободной энергии F, символически можно представить в виде
Н = Н°+НВЗ; Нвз = Н^п + Н^,	.	C0.19)
где Н° = I Jт2с4 + с2 р2'соответствует идеальному газу, а Явз
1 + е
учитывает взаимодействие. Выделяя в энергии идеальный член, за-
запишем ее в виде F = F™ + Д FB3, и тогда поправку, обусловленную
взаимодействием, следует считать равной
дгвз = - е in (z/z™),
См. Трубников Б.А., Косачев ВЛ. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. С. 938.
293

^_ = Ii(-H/»)»,t, __ /
Здесь dTi+e = П dVdV- фазовый объем, а угловые скобки означают
усреднение по невозмущенному (максвелловскому релятивистско-
релятивистскому) распределению всех N{ + Ne •* °° частиц. Так как #** описывает
продольные (кулоновские), а Н*|л поперечные (релятивистские) взаи-
взаимодействия, то в первом приближении можно считать, что два множи-
множителя в формуле C0.20) являются статистически независимыми, и поэ-
поэтому
Соответственно AF33 распадается на два слагаемых AF™n + &F™, причем
первое должно совпадать с найденной ранее [см. B6.27)] дебаевской
поправкой:
где d - радиус Дебая.
Покажем теперь, что оставшуюся релятивистскую поправку при-
приближенно можно считать равной
(
где dc - релятивистский радиус Дебая.
Такое значение получается путем следующих приближенных вы-
вычислений. Во-первых, будем учитывать релятивистские поправки
лишь для электрон-электронных взаимодействий, пренебрегая ими
в ион-ионных и ион-электронных членах. В таком случае усредне-
усреднение следует проводить по одним лишь электронам, так как ионные
множители сокращаются и, следовательно,
Jexp(-H°/8)dre
Во-вторых, поскольку величина н*3-?*11 уже предполагается достаточно
294

JO
нерелятивистское выражение [ср. B9.28)]
малой, то для основного гамильтониана Hg здесь можно использовать
C0-25)
(по л'суммирование от \х до NeZ). Тогда для нвз"рел можно принять
найденное в предыдущем параграфе выражение B9.29), которое
вместе с гамильтонианом C0.25) эквивалентно формуле B9.27),
так что
здге
яо + явз.рел и _1_ z р j-i р _J_ p j-i p	C0.26)
е ее	2т n'tk'=\ " "	2т
и, следовательно, ZB3 в приближении C0.24) принимает вид
П 	 I	— I.	C0.27)
Подынтегральное вьфажение в квадратных скобках равно (см.
задачу 1) квадратному корню из детерминанта прямой матрицы J
[см. B9.23)] и, таким образом, находим
=-ein^detIJI-	C0-28)
Черта сверху здесь означает усреднение по положению в пространстве
всех Ne -* °° электронов. Воспользуемся далее известным в статисти-
статистике положением о том, что истинные микроскопические значения
термодинамических величин, наблюдаемые в большой совокупности
частиц, с большой степенью точности совпадают со_своими средними
значениями, и поэтому операцию усреднения (...) можно считать
коммутирующей с любым функциональным оператором [т.е. / (S) =
= f(S)]. Учитывая это обстоятельство, величину Д^,» определяемую
формулой C0.28), можно считать равной
^ = - — е In (det |J |)= - — (In det | j| ).	C0.29)
Так как здесь позразумевается переход к пределу N.-* °°, то матрица
J = I + а [см. B9.23)] оказывается матрицей бесконечно высокого ранга,
и для вычисления ее детерминанта можно воспользоваться формулой
(см. задачу 2)	И5

In det 11 + a | = Spur In (Г + a),	C0.30)
с помощью которой из выражения C0.29) находим
= -— Spur In A + 5)- — Spur a- — + — +...). C0.31)
'—2	2	\	2 3	/
Здесь Spur означает сумму диагональных элементов, а поскольку са-
сама матрица а [см B9.22) и B9.23)] не имеет диагональных элементов,
то Spur a = 0 и первый член в разложении C0.31) пропадает. Остальные
члены можно подсчитать по формуле B9.35), которая в нашем случае
для s^2 дает
SpurS*= I (as)M=Ne—\ — ( -J— Y~\	C0.32)
fc'=i kk л2 J fc2 \ fc2d^ /
и окончательно получим
JV.
r
o
dk	1	1
2	л* * .] fc* I 2 \ fc*
+ _L | _^_ I _ -L. I —^- I + ... I -
8 л3 J	[k3d2	\ k2d2 /J 6ndc3
(зо.зз)
что совпадает с формулой C0.23). Отсюда можно найти релятивист-
релятивистские поправки к давлению и к энергии:
в
12л</3
№34>
По сравнению с основным членом р° = 2nd эта поправка имеет поря-
порядок малости
ДР^/Р0 = 1/24
т.е. весьма мала, но все же лежит в пределах применимости лагран-
лагранжиана Дарвина (см. задачу 2 к § 29).
296

Задача 1. Показать, чтоподынтегральное выражение [...] в квадратных скобках в фор-
формуле C0.27) равно У det |jj;
Решение. Поскольку обратная матрица J'1, как и матрица J, симметрична, то путем
поворота базиса из единичных ортов в ЗДГв-мерном Р-пространстве ее в принципе всегда
можно привести к диагональному виду, после чего указанное выражение распадается
на отдельные множители типа
J ехр (-я:3) dx -/Г '
где X - одно из собственных значений матрицы J. Произведение всех собственных зна-
значений равно детерминанту det | Г11, который инвариантен относительно поворота базиса.
Поскольку далее детерминанты прямой и обратной матриц J и J также обратны друг
другу, то получаем требуемый ответ.
Задача 2. Формулу C0.30), справедливую для бесконечных детерминантов, можно
применять для вычисления детерминанта | ву | любого конечного ранга г. В этом случае,
однако, ее следует записывать в виде
det | в 1 = lim Л ехр { Spur In [ /+ е (а -1)]} .
Здесь оператор Л (перевернутый знак корня) означает, что следующее за ним выраже-
t'
кие нужно разложить в ряд по е и оборвать этот ряд на членах порядка е , где г — ранг
матрицы а.
Убедиться в справедливости этой формулы на примере какого-либо детерминанта
второго ранга.
Глава 6
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ В ПЛАЗМЕ
И ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
До сих пор мы рассматривали плазму как идеальный газ, прене-
пренебрегая такими диссипативными свойствами, как вязкость, теплопро-
теплопроводность или электропроводность. Для анализа этих явлений не-
необходимо выяснить роль столкновений частиц, для чего следует
обратиться к кинетическому описанию плазмы.
§ 31. Кулоновские сечения и поведение пробной
частицы в плазме
Если плазма не находится в состоянии термодинамического рав-
равновесия, то функция распределения частиц f(t, г, v) (одночастичная)
297

уже не имеет вида максвелловского распределения
fdv=n	C1.1)
)	Р(
2л9 /	\ 29
и должна в каждом конкретном случае определяться из решения
соответствующего кинетического уравнения. Символически это
уравнение можно записать в виде
C1.2)
d
dt
где
d
dt
f-C(f),
э
=	+r
at
э
dt
. д
- + V
есть оператор полной производной по времени, а С (f) - так называе-
называемый член столкновений. Прежде чем приступить к выводу и решению
уравнения C1.2), рассмотрим вспомогательную задачу о движении
некоторой выделенной частицы а в среде других частиц р. Предпо-
Предположим вначале, что движение нашей пробной частицы имеет задан-
заданный характер - она движется прямолинейно и равномерно со ско-
скоростью va. Вследствие столкновений с частицами среды она будет
испытывать некую среднюю силу торможения Fa/&, которая не должна
зависеть от массы выделенной частицы. Эту силу принято называть
динамической силой трения. Распределение частиц среды по скорос-
скоростям описывается функцией распределения /R (v), однако вначале для
простоты мы предположим, что все частицы среды покоятся. Тогда
силу Fa P нетрудно подсчитать, перейдя в систему координат, дви-
движущуюся вместе с пробной частицей а. В этой системе задача экви-
эквивалентна задаче о рассеянии плоского потока частиц с плотностью
nR, налетающих со скоростью u = -va на неподвижный рассеивающий
центр - частицу ос.
Вследствие аксиальной симметрии задачи искомая сила F будет
направлена вдоль скорости налетающего потока и, и поскольку дей-
действие равно противодействию, то она равна (с обратным знаком) силе,
действующей со стороны рассеивающего центра на частицы потока,
т.е. изменению в единицу времени за 1 с суммарного импульса час-
частиц потока:
77 =~Т тэ(|Ач.)-	C1.3)
298

За единицу времени через элементарную площадку do = p dp dip,
перпендикулярную потоку, проходит число единиц, равное rtoudo,
поэтому, заменяя сумму в формуле C1.3) интегрированием по пло-
площадкам do и учитывая, что Д uz = -1 и | A - cos 8) (рис. 114), получаем
пр и d о А щ = и гпр пр и 1 A - cos в) do . C1.4)
J
Вычислив траекторию рассеиваемой частицы р, можно связать при-
прицельный р с углом рассеяния 0. Все частицы, прошедшие через
элементарную площадку do = p dp dip, будут отклоняться в телесный
угол dfi = sin 8 d9 d<p. В этом случае отношение
da
pdp
sin 9 d 8 d ф
sin9
C1.5)
выраженное в виде функции угла 0, принято называть дифференци-
дифференциальным сечением рассеяния, а интеграл o = 5do = 5 (da/dQ) dQ- пол-
полным сечением рассеяния. В классической (не квантовой) теории пол-
полное сечение о обычно расходится, если только взаимодействие не
обращается строго в нуль, начиная с некоторого расстояния. Послед-
Последнее имеет место, например, для модели в виде твердых шариков,
которые вообще не взаимодействуют, если только не соприкасаются.
Вследствие указанной расходимости полное сечение о не может
входить в какие-либо формулы, определяющие физические свойства
газа. В кинетической теории газов встречаются лишь величины типа
ok=S(l- cosfc8)do, k = 1,2,3...
C1.6)
Первую из них
Oj-JO-роев) do	C1.7)
называют транспортным сечением (применяются также названия
Рис. 114. Схема рассеяния в системе центра
инерции
Auz'-uA-cos8)
299

диффузионное сечение и сечение замедления), поскольку множитель
1 - cos 0 определяет потерю направленной скорости частицы при
упругом рассеянии [ср. C1.4)]. Вторую величину
можно назвать сечением отклонения, так как множитель sin2 9 харак-
характеризует среднеквадратичное приращение поперечной скорости час-
частиц при рассеянии (см. рис. 114). В дальнейшем мы увидим, что вяз-
вязкость и теплопроводность газа определяются именно сечением о2, в то
время как в коэффициент диффузии и электропроводности входит
сечение о^. Для заряженных частиц р, взаимодействующих по закону
Кулона с неподвижным зарядом еа, дифференциальное сечение рас-
рассеяния определяется известной формулой Рёзерфорда
dO 4sinM8/2)
C1.9)
а угол рассеяния связан с прицельным параметром р соотношением
tg (Э/2) = р /р. В этом случае можно видеть, что оба сечения ot и о2
логарифмически расходятся на малых углах рассеяния:
о = A-cosB) — dQ*
da
Л
2
в.
°мин
02 = j A - cos2 9) — dfi*8np| In A/вит,).	C1.10)
В предыдущей главе, однако, было показано, что взаимодействие
двух выделенных частиц в плазме не является чисто кулоновским,
так как присутствие остальных частиц ("поляризуемой среды")
приводит к дебаевской экранировке кулоновского взаимодействия
на расстоянии дебаевскогорадиуса d= ув/4лпс2. Так как логарифми-
логарифмическая расходимость в сечениях C1.10) является довольно "слабой",
то можно считать, что частицы с прицельными параметрами р > Рмакс =
= d вообще не рассеиваются, и приближенно положить Э^цщ ~ р /рмакс.
300

Величина
Х-In D-)-hi ( —)-ln f — )-In f-^-)	C1.11)
называется кулоновским логарифмом. Ввиду d » p она будет срав-
сравнительно велика (~15), и поэтому в ней несущественны коэффициенты
порядка единицы под знаком логарифма. Подставляя в сечение
C1.10) значение р , имеем, следовательно,
1	/ ео ев \2
о. = — о2 = 4л\р2 = л\ 	-— .	C1.12)
1 2 2	1	\mBua/2 /
Для количественных оценок энергию относительного движения
ти2/2 можно заменить на температуру, так что приближенно
I.	C1.13)
Возвращаясь к "динамической силе трения" C1.4), которую испыты-
испытывает частица а, равномерно и прямолинейно движущаяся через среду
неподвижных Р-частиц, и подставляя в нее значение ot из формулы
C1.12), находим
"«'* \ **ч,	CU4)
так как в данном случае и = - та. Если частицы среды также двигались
бы все с одинаковой скоростью vp (в лабораторной системе координат),
то вместо та в формулу C1.14) входила бы относительная скорость
та - Тр. Наконец, если распределение частиц среды по скоростям
описьгаается функцией /р (т), то, разбив их на отдельные элементар-
элементарные потоки с плотностью dnp(v') = /р(т*)^т'и просуммировав силы
от этих потоков, окончательно получим
g Р /«(Ў«)«*Ў»• C1Л5)
Поскольку кулоновский логарифм X. - In (d/g ), где р = е2/ти2,
является медленно меняющейся функцией | и|, то приближенно в нем
можно положить р . « е2/9 и рассматривать его вообще как постоян-
301

ную, не зависимую от | uj, и поэтому величина Л. в формуле C1.15) вы-
вынесена за знак интеграла. При этом нетрудно видеть, что интеграл
по пространству скоростей C1.15) имеет в точности такой же вид,
каким выражалось бы в электростатике электрическое поле системы
зарядов, непрерывно распределенных в обычном координатном
пространстве с плотностью р (г):
p(iO di'--graded).	C1.16)
3
Здесь фэл(г) - электростатический потенциал системы, удовлетворя-
удовлетворяющий уравнению Пуассона Дф = -4лри равный
Г P(t)dr'
J \.-л
ч. . ¦ ¦ •	<3U7)
Имея в виду эту полезную аналогию с электростатикой, введем фор-
формально соответствующий "аналог потенциала" и "аналог напряжен-
напряженности" поля в скоростном пространстве:
C1.18)
Тогда "динамическую силу трения" C1.15) можно записать в виде
C1.19)
и во многих случаях ее удобно вычислять непосредственно из на-
наглядных соображений по аналогии с электростатическим полем.
Реальная сила трения, испытываемая пробной частицей, движу-
движущейся в среде заряженных частиц Э, несколько отличается от "ди-
"динамической силы" C1.19), вычисленной в предположении равномерно-
равномерного и прямолинейного движения пробной частицы ос. В самом деле, в
единичном акте столкновения с одной частицей Р среды наша пробная
частица а также испытывает отдачу и рассеивается, поэтому ее дви-
движение не будет прямолинейным. Если пренебречь влиянием осталь-
остальных частиц, т.е. принять "картину парных столкновений", то движе-
движение обеих частиц, взаимодействующих лишь друг с другом, описыва-
302

ется уравнениями
т<Л=еаер 5
C1.20)
Как известно, такую "задачу двух тел" удобно описывать, если ввес-
ввести координаты центра инерции и относительное расстояние между
частицами:
oo BB
R	,'-«¦--'„•	C1.21)
'"« + '"8	Р
Старые координаты будут выражаться через новые по формулам
г =R+	р— г; rB = R	г,
и для скоростей получим
гпц	m
т =v+	— u; tb = V	и,	C1.22)
где и = та - Vg. Так как скорость центра инерции не меняется (V = 0),
то уравнение относительного движения принимает вид
где цар ¦ тат$/(та + т^) - "приведенная масса". Таким образом, си-
сила, действующая на частицу а в единичном акте столкновения, рав-
равна силе, действующей на фиктивную частицу с приведенной массой.
Поэтому истинная сила торможения будет отличаться от "динамичес-
"динамической силы" C1.20) лишь заменой т^ на приведенную массу, так что по-
потеря импульса пробной частицы описывается уравнением
dt	ист дин <mp-Map
= - [4 n X г*-* EB (»).	C1.23)
«P / p
303

Если среда содержит частицы разных сортов, то полученное выражение
нужно просуммировать по р.
Определим теперь потерю энергии пробной частицей а. Если ско-
скорость та - ее скорость до столкновения, а т^ = та + А та - после, то из-
изменение энергии в единичном акте составит
Между тем из формул C1.22) можно получить
Дт=	— Au;AvB =	Аи,	C1.25)
где Аи- изменение скорости фиктивной частицы с приведенной мас-
массой. Поскольку рассеяние носит упругий характер, то модуль |и| не
меняется:
(и + АиJ = и2 , откуда, (Д иJ = - 2 и Аи.	C1.26)
Используя соотношения C1.25)-C1.26), можно Аеа представить
в виде
2та
\
u Аи.	C1.27)
/
Суммируя это выражение по всем полевым частицам, сталкивающим-
сталкивающимся в единицу времени с частицей а, для чего величину C1.27) следует
умножить на drip |u| do, где dn$ = /в (т') dv', и затем проинтегрировать
по da и по dv', получаем скорость изменения энергии пробной частицы:
dt
Учитывая аксиальную симметрию рассеяния в системе центра инер-
инерции, для последнего интеграла находим
304

Ludo= — 1 Aux<fo--uo1,	C1.29)
так как Д и = - и A - cos 8). Тогда производную C1.28) можно пред-
ставить в виде
dtn	-	
°a
<* Ve N u°i+ ~^- l d Ve lui3 °»• CL30)
dt	J	ma
Это выражение применимо при любом законе взаимодействия. Для
кулоновского взаимодействия
о, (и) - 4 л А. 	* 	,	C1.31J
где цар - приведенная масса [ср. C1.12)], и в этом случае C1.30) при-
принимает вид
C1.32)
где u = та - Тр. Фигурирующие здесь интегралы как раз совпадают с
введенными нами ранее в формулах C1.18) "напряженностью" и "по-
"потенциалом", аналогичными электростатическим, так что производную
C1.32) вместе с уравнениями C1.23) можно записать в виде
dt
^S"-'-	C1J3)
Различные применения этих формул будут рассмотрены нами в следу-
следующем параграфе.
Задача 1. Показать, что для твердых упругих шаров в системе центра инерции диф-
дифференциальное сечение do/dO не зависит от угла, т.е. расстояние носит сферически-сим-
сферически-симметричный характер. Вычислить для этого случая сечения Ополн> ot, 03 (рис. 115).
305

Рис. 115. Схема столкновения упругих
шаров
Залпа 2. Вывести формулу Резерфорда.
Задача 3. Пользуясь соображениями размерности, показать, что если пробная частица
взаимодействует с частицами среды по закону C/(r) - у/г4, то транспортное сечение об-
обратно пропорционально относительной скорости о~1/| п |. Вычислить в этом случае поте-
потерю импульса и энергии, считая, что частицы среды распределены по Максвеллу.
Решение. При степенном законе взаимодействия U-yr~n зависимость Врас = I (I u I) мо-
может иметь вид 6 =f(a), где / - безразмерная функция от безразмерного параметра а -
" ^пот^^кин'1ак К8К помимо а никакой другой безразмерной комбинации, содержа-
содержащей прицельный параметр р, составить нельзя. При п = 4 из обратной зависимости а = о (9)
можно получить
Р-р(е)-ро*(в),	а)
где g(8) вновь должка быть безразмерна, а длина р0 определяется комбинацией р0 »
h)- Поэтому для транспортного сечения найдем
B)
где х — коэффициент порядка единицы. Численные расчеты показывают, что он равен
х " 1,2. Полученная зависимость ot ¦ 1 /|u| примечательна тем, что позволяет весьма прос-
просто подсчитать интегралы, определяющие потерю импульса и энергии пробной частицей.
В самом деле, записав сечение B) в виде ot »s/|u|, где* = л х>/2?/ц постоянная, и пред-
предположив, что среда в целом покоится (< »ц)» 0), подставим найденное значение ах в фор-
формулу потери импульса [ер. C1.25) и C1.29)]:
dp
if"""* 7 Дта* (
ypap,	C)
306

так как и - » - т„ и I d »й /„ - пя. Соответственно из формулы C1.30) для потери энергии
_	ее р	р р р
найдем
u2s с
+ — \
т„ J
«I »-/„«*.
и так как иа = т2 + т? - 2тд т«, то для последнего интеграла получим
D)
E)
Длямаксвелловскогораспределения < v* > = 3 Во/т*, где 8р = к Г? - температура среды,
так что окончательно имеем
dea "ap	/3
	=25	л„ —
dt	rn + m. P \ 2
a p
F)
Отметим, что рассмотренный случай взаимодействия ?/~ 1/г* принято называть случаем
"максвелловских молекул". Как показано в § 32, при кулоновском взаимодействии
U - 1 /г выражения для5р75Ти de/dtne имеют столь простого вида.
Задета 4. Определить торможение пробной частицы с зарядом еа в среде заряженных
частиц Р, распределение которых по скоростям сферически симметрично, а по абсолютно-
абсолютному значению скорость всех частиц одинакова и равна vQ (рис. 116).
Решение. Воспользуемся уравнением C1.33)
где
A)
Рассматриваемое распределение полевых частиц р эквивалентно как бы "равномерно заря-
заряженной" сферической поверхности радиуса т0 в пространстве скоростей с полным зарядом
Q = J /n d »„ = л„, поэтому по аналогии с электростатикой заключаем, что снаружи сферы
"поле" Е равно кулоновскому по / т 3, а внутри равно нулю! Таким образом,
ь„я ( ° "ри kl<Yo;
nP*a/Ta ПРи1та1>то-
B)
Рис. 116. Распределение "полевых" частиц по скорос-
скоростям типа "полой сферы"
оС
307

Иными словами, если пробный заряд движется медленнее частиц среды (положение 1 на
рис 116), то он в среднем вообще не тормозится!
Бели же |» I > у0 (положение 2 на рис. 116), то сила торможения обратно пропорцио-
пропорциональна энергии еа и падает по мере роста скорости пробной частицы, т.е. имеет место как
бы "закон падающего трения". Этот пример иллюстрирует наиболее характерные особен-
особенности кулоновского взаимодействия.
Задача 5. Используя формулы квантовой механики, вычислить в борновском при-
приближении сечение рассеяния d о / d О для кулоновского взаимодействия с дебаевским
экранированием:
е„е.
U(t)-
а Э -r/d
— е
г
и далее определить транспортное сечение о t.
Решение. Как известно, в борновском приближении do/dQ = \{\2, где
A)
Здесь q = k —к —разность волновых векторов частицы с приведенной массой до и после
рассеяния, причем |fc|= |k'|= ц u/Й и
B)
Интеграл A) совпадает с фурье-компонентой экранированного кулоновского потенциала:
C)
2ni(q3+l/d2) „
и поэтому имеем
da
То
D)
где р. » еа е^/и и1, tX = А/ц и — квантовая длина волны. Для транспортного сечения в
этом случае найдем [ср. C2.12)]
л
d0	f (I - cos 8) sin 8 d 8
"cosB ~dHda" *
Oj-yi-c
308

С	xdx
П Pl J г	^ -»П Р|3Хкв.	«
где
Считая, что d » Л, приближенно можно положить хкв = In #/Л), так что при учете кван-
квантовых эффектов в "кулоновском логарифме" вместо Рмин = Р w е2/8 фигурирует кван-
квантовая длина волны Л = А/ц и =» А / уцв.
§ 32. Простейшие кинетические эффекты в плазме
Воспользуемся аналогией с электростатикой для определения "на-
"напряженности" Е и "потенциала" ф, определяющих потерю импульса
и энергии пробной частицей а. Если полевые частицы Э обладают сфе-
сферически-симметричным распределением, то "напряженность" в соот-
соответствии с теоремой Гаусса равна
О
т
Здесь величина пр (т) = I /p d тр аналогична "заряду", сосредоточен-
о
ному внутри сферы радиуса v. В частности, при максвелловском рас-
распределении
/ т \э'з	/ тт2\	n -v2	.,„ „ч
/с/т = п 	 ехр	Ыт	е dv,	C2.2)
\ 2п8 /	\ 28 /	л3'2
где v = т vm/26, найдем
е
о
где
2
[efTdt,	C2.3)
Vn J
309

причем х- = m~ v2/28_. Таким образом, функция ц (х) представляет
собой интеграл по сфере конечного радиуса от распределения Макс-
Максвелла, нормированного на единицу. Поскольку далее ? = -d(p/dv, то
для Ф„ (v) найдем
'¦1
(з2.4)
где \i'(x) = B1\рл) е~* \[х- производная функции ц(х) по аргументу х.
Подставляя найденные значения Е и Ф в формулу C1.33), получаем
—. —	ПИ /*V*i	*
"or* 1Л/ * >
d(	ц„о Р	»э
^ц^цТЛ	C2.5)
dt	4 \т	/
Эти выражения определяют потерю импульса и энергии пробной части-
частицей а, движущейся в среде заряженных частиц 3, распределенных по
Максвеллу.
Используя эти формулы, рассмотрим более детально процесс
торможения электронов на ионах, предположив для простоты, что
внутри электронов уже успело установиться максвелловское распре-
распределение со средней направленной скоростью т0:
(т \з/2	\ т	1
_J ехр[-— (т-т.)-].	C2.6)
Считая ионы покоящимися и бесконечно тяжелыми, запишем уравне-
уравнение движения единичного объема, выделенного в электронном газе,
в виде
тепе ——=п F(*e) .	C2.7)
310

Определенную таким образом величину F е следует рассматривать
эф.тр
как среднюю эффективную силу трения, приходящуюся на один элект-
электрон. Поскольку "действие равно противодействию", то можно напи-
написать
c эф.тр	' эф.тр
где F - средняя сила трения одного иона об электроны. Послед-
эф.тр
нюю силу удобно подсчитать в системе координат, движущейся вмес-
вместе с электронами со скоростью т0. В этой системе ион движется со ско-
скоростью - т0 через неподвижный в целом электронный газ с максвел-
ловским распределением, и поэтому можно воспользоваться форму-
формулой C2.5)
г("> - К< п (х) ~'°	*** *''*¦'	(x)^_
эф.тр	„ , е е тз	т	ее э
Таким путем получим
рAе)
эф.тр
- /
1
'в
то
».
\4П
/
р,A0
эф.тр
G(V).
C2.8)
Здесь de = v9/4 nnee2 - радиус Дебая и введена так называемая функ-
функция Чандрасекара:
G (v) =	; v = yfx = v0 Vm /29 '.	C2.9)
В предельных случаях эта функция имеет вид
2\/3yfn при v«: 1 ;
l/2v2 при v» 1,	C2.10)
и ее график приведен на рис. 117. Максимум этой функции соответст-
соответствует v * 1 и равен 0,214. Таким образом, эффективная сила трения,
311

1>не. 117. Функция Чандрасекара G (\)
приходящаяся на один электрон, во-
вообще не может превышать значения
0.217	-s
maxF
эф.тр
0,214.
Если направленная скорость электронов много меньше их тепловой
скорости (v0
vt c
, то сила трения будет пропорциональна
скорости v0, и ее можно представить в виде [ср. C2.8) - C2.10)]
(le)
Эф-tp
<J2
з/F
C2.11)
где
C2.12)
- "время замедления электронов на ионах".
Если в плазме имеется электрическое поле, то усредненное урав-
уравнение движения электронов имеет вид
т.
dt
эф.тр
C2.13)
Если поле Е достаточно мало, то из условия eE = F , , используя вы-
эф.тр
ражение C2.11), находим среднюю скорость направленного движения
электронов, что соответствует току:
Е;
= оЕ,
m	с с	т
и, следовательно, проводимость плазмы равна Ое = пе2х/т*.
C2.14)
* Детальные расчеты показывают, что более правильным является значение о =
312

Если, однако, электрическая сила ее Е в уравнении C2.13) превыша-
превышает максимально возможное значение силы трения, то электроны на-
начинают неограниченно ускоряться, причем по мере увеличения их
скорости сила трения все более падает. Такое "явление убегающих
электронов" (runaway) в соответствии с вьфажением C2.8) должно на-
наступать при
что при 8е * 1 кэВ ип* Ю15 см (тогда А. * 15, de ~ 10 см) соответст-
соответствует полю Екр = 1 В/см. В действительности и при меньших полях неко-
некоторая экспоненциально малая часть электронов ~ехр (-Екр/Е) может
"уходить в просвист", достигая весьма значительных энергий. На-
Например, на тороидальной установке токамак наблюдались электроны,
ускоренные до энергий «=200 кэВ, что, по-видимому, связано с ука-
указанным явлением.
Если направленная скорость мала (v0IH «: vienJI), то формулу C2.11)
нетрудно обобщить на тот случай, когда сталкиваются два газа со
сдвинутыми максвелловскими распределениями. Для этого доста-
достаточно в формуле C2.19) скорость т0 заменить на относительную
(т0 -¦ < иот > = < va > - < тр>), а массу те - на приведенную массу двух
частиц те -* цар = та т$/(та + /Лр). Если при этом силу трения пред-
представить в виде F"^ = - ma v^/t^, то для времени замедления
найдем
3 8 а
тар = 	 	 	.	C2.16)
/1	/^
Если Z = | е,/ее| = 1, то отсюда, например, для электрон-электронных и
ион-ионных столкновений соответственно получается
где время те = те1 определяется формулой C2.12). Поскольку масса
иона много больше массы электрона (тр/те = 1835), то из формул C2.16)
и C2.17) следует, что различные релаксационные процессы в плазме
могут существенно различаться по времени протекания.
Рассмотрим, например, процесс установления термодинамического
313

равновесия в плазме, начальное состояние которой было неравновес-
неравновесным. Нетрудно видеть, что этот процесс будет протекать в три этапа.
На первом этапе (т ~ тее ~ те) электроны, сталкиваясь с ионами, по-
потеряют направленную скорость и одновременно с этим электрон-элект-
электрон-электронные столкновения установят максвелловское распределение в
электронном газе.
На втором этапе (т ~ ти~ \[щ/те те~ 50 те) ион-ионные столкнове-
столкновения "максвеллизуют" ионный газ, так что в конце этого этапа, при-
примерно в 50 раз более длительного, чем первый, и электроны и ионы
будут обладать максвелловскими распределениями без сдвига сред-
средних относительных скоростей.
При этом, однако, температуры электронов и ионов могут разли-
различаться (8е Ф 8,-), так как их максвеллизации протекали изолированно.
При столкновении частиц относительная доля передаваемой энергии
пропорциональна отношению масс этих частиц Де/е ~ т/М (легкой к
тяжелой). Поэтому обмен энергией электронов с ионами происходит в
М/т раз медленнее, чем обмен импульсом.
Иными словами, по порядку величины [ср. C2.25)]
тобм.эн_м тзамедлjm „м т /т„ 2000 т.,	C2.18)
с!	162	6	С	с
и в процессе установления полного термодинамического равнове-
равновесия можно выделить еще один - третий этап, на котором происходит
выравнивание электронной и ионной температур 8е -¦ 9,-.
Рассмотрим этот заключительный этап более подробно, для чего ис-
используем второе уравнение C2.5). Предположим, что пробной части-
частицей а является ион, который движется в среде электронов, обладаю-
обладающих максвелловским распределением с температурой 9е. Тогда урав-
уравнение C2.5) имеет вид
d e,	п	(т(/ т ) д (х) - ц' (х)
	=- DлХе?ее2)	,	C2.19)
dt	' е га,-	v(
где хе = mev2/28e. Считая, что скорость иона v, мала по сравнению с
тепловой скоростью электронов ve T ~ \]2 8е//лв', рассмотрим случай ма-
малых хе = (v,/ve гJ <^ 1. При этом приближенно найдем
И (х)'
ЗА1
о
314

так что
те 6>
2
и уравнение
"е'-2
dt
1 '(
е
C2.19) принимает вид
C2.21)
где те - введенное нами ранее в формуле C2.12) "время замедления
электронов на ионах". Усредняя это уравнение по максвелловскому
распределению ионов и учитывая, что <е,-> = — кТ°, в простейшем
случае щ = пе получаем
Т,~Те	Т.-Т,
.	m. Tt-Te	т.-Г.
- = - 2 — • 	= - -—— ,	C2.22)
t
dt	ш(-	ig	о
ei
где величину \\ = (т(/2те)те можно назвать "временем обмена энер-
энергиями".
Задача 1. Определить замедление пробной частицы а в среде распределенных по Макс-
Максвеллу полевых частиц ft, предположив, что они взаимодействуют как идеально упругие
твердые шарики.
Решение. Для модели твердых шаров транспортное сечение не зависит от скорости
и = та - »р и равно о 1 = — (da + dp J, где da> p - диаметры частиц. Поэтому имеем
где |i — приведенная масса.	^___^
Рассмотрим вначале предельные случаи та «е То ги та » Тр г, где То Т = V2во/то
тепловая скорость частиц Р- Для больших скоростей, полагая в A) и * та, находим
т2.	B)
315

В случае же малых скоростей, использовав разложение
I I I—а		' ^
нетрудно получить
Рос/р
C)
где <I »р I > = — \ |тр | /р й т- = -/вбр /птр' - средняя (по модулю) скорость частиц р.
Формула C) соответствует уравнению
где
—i—Г	D)
- "время замедления". Приняв и за новую независимую переменную, можно вычислить
интеграл A) и в общем случае. При этом получается результат, который удобно предста-
представить в виде
—	-1(хл).	E)
it	т0	Р
и тогда поправочный множитель % (х), зависящий от аргумента х„ = mo v^/2 9g, оказыва-
оказывается равным
где
2 Г -t г
i (х) = -j=? \ е V t dt — "интеграл Максвелла".
Задача 2. Определить проводимость слабоионизованной плазмы при следующих до-
допущениях: электроны обладают максвелловским распределением, "сдвинутым" на сред-
среднюю скорость т0, и сталкиваются лишь с нейтральными атомами, которые можно считать
неподвижными и бесконечно тяжелыми упругими шариками радиуса а.
Решение. Запишем уравнение движения единичного объема электронов в виде
"Т°	Ое)
316

где F — эффективная сила трения, приходящаяся на один электрон. Очевидно, можно
написать
neF(le) =-„аРAа) .	B)
е эф.тр " эф.тр'
Он)
где F . — сила трения одного нейтрального атома об электроны. Так как сила инвариант-
Зф-1р	О.)
на относительно преобразования Галилея, то F удобно рассчитать в системе координат,
движущейся вместе с электронами. В этой системе атом со скоростью »„=—»„ налетает на
электронный газ с максвелловским распределением (уже не "сдвинутым"), и поэтому,
использовав результат D) из предыдущего упражнения в пределе та ¦* сс, найдем (о1 »
2)
(Ц)	т«т« 4	. .
Тогда из B) имеем
эф.тр „g зф.тр Tomena i
где
3/4	? /У
Нетрудно проверить, что проводимость будет равна
пее*хеа 3 ЛГ еа	п, .
те	8 V 2
При этом следует учитывать, что
F)
"е а
где а - степень ионизации плазмы, которая в простейшем случае определяется формулой
Саха (см. § 28)
пе 1 Р /2л*а\з
а- 	 - -7=5 > те К- —
Здесь t ¦ (п0 + пе + п^ 8 - полное давление плазмы.
...
ет.	G)
317

При необходимости можно учесть также столкновения электронов с ионами. Тогда
к силе трения электронов с нейтральными атомами D) следует прибавить силу трения с
ионами. Нетрудно убедиться, что в этом случае проводимость будет определяться фор-
формулой
/те
(8)
где Tg(. - время замедления электронов на ионах.
§ 33. Кинетическое уравнение с учетом столкновений
Изменение функции распределения / (t, t, v) во времени описывается
кинетическим уравнением
dt	dt	Эг	Эт
—
dt
столк
Здесь f = v - скорость; v = — FBHUI - ускорение частицы, вызванное
пг
внешней силой, а правая часть С (f) учитывает влияние столкновений
и называется "столкновительным членом". При этом подразумева-
подразумевается, что функция распределения нормирована на плотность §fdr=n,
так что величина
dN=fdQ{
dtdv,
C3.2)
есть число частиц в элементе объема dQ ' шестимерного "фазового
пространства", по осям которого отложены три координаты и три ком-
компоненты скорости частицы (рис. 118). Из выражения C3.2) видно, что
/ можно рассматривать как плотность распределения частиц по фазо-
фазовому пространству. Для получения уравнения C3.1) рассмотрим изме-
изменение числа частиц JV = j/dQ^B некотором малом элементе Q этого
иг
Рис. 118. Выделенный шестимерный объем в ко-
ординатно-скоростном фазовом пространстве
318

пространства (см. рис. 118) и найдем производную dN/dt. Число час-
частиц N изменяется по двум причинам: во-первых, за счет непрерывного
изменения координат и скоростей частиц под действием внешних сил,
что можно рассматривать как непрерывное течение частиц в фазовом
пространстве, и, во-вторых, за счет столкновений. Поэтому можно
написать
dN _ [ 3/ J/_(W_ ^, JVD),| | »j |	Jow	C33)
dt	\ dt	J °	J \ dt
СТОЛК
_F)
Здесь f6 - плотность потока частиц, вытекающих из объема ft че-
через окружающую его пятимерную поверхность 2 (см. рис. 118). В си-
силу теоремы Гаусса первый поверхностный интеграл можно записать
в виде интеграла по шестимерному объему
$f6d!E)=Wiv6i6dQF),	C3.4)
где div6 j6 = divrjr + divvjv - шестимерная дивергенция потока j6. Так
как выбранный нами объем Q ^ произволен, то соотношение C3.3) эк-
эквивалентно дифференциальному уравнению
9/ . J:_. , , л.__ ..внш_ 3/ \	_ 1	dN
dt	VJv	\ dt /CT0J1K nF) \ dt /conic
C3.5)
Если бы столкновения отсутствовали (Э//3 t)aonK = 0, то это уравне-
уравнение было бы вполне аналогично обычному уравнению непрерывности:
$?- + divj = O; j = pv,	C3.6)
dt
описывающему движение сплошной среды в обычном пространстве.
По аналогии с выражением C3.6) можно заключить, что координат-
координатная составляющая шестимерного потока j6 в уравнении C3.5) равна
jr = г / = v/, а скоростная
319

где
FBBm = e(E+ — iTBll + mg
с
- внешняя сила, действующая на заряженную частицу.
Так как
divrr=(VrT) = O и divyFBHm = (V?FBHIII) = O,
то уравнение C3.5) можно привести к виду C3.1).
Рассмотрим теперь столкновительный член, который можно пред-
представить в виде
= —	[ (приход в dQ(Q) - (уход из dQ(Q ) ]. C3.7)
f /столк
Описание газа с помощью функции распределения / (t, r, v) позволяет
следить за деталями с характерной длиной порядка длины свобод-
свободного пробега дх~/~1/по и с характерными временами порядка
времени между столкновениями д t ~ х ~ 1/ут- Микроскопические
подробности с пространственно-временными масштабами Д хм ~ а и
Д t ~ а/\т, где а - радиус действия межчастичных сил, в таком
описании не учитываются (по ним производится усреднение). Поэтому
сам "акт столкновения" можно рассматривать как "мгновенный" и
считать, что координаты частиц (xyz) при этом не меняются. Тогда
в выражении C3.7) можно произвести сокращение на элемент коор-
координатного пространства d г, после чего получим
9/ \	1
	 =	[ (приход в dv) - (уход из dv).	C3.8)
dt /столк d*
При столкновениях, однако, резко изменяются скорости частиц; на-
например, при лобовом столкновении упругих шаров (часто используе-
используемая модель молекул) их скорости могут мгновенно измениться на
обратные. При таком скачке частица как бы исчезает в одной исход-
исходной точке скоростного пространства и тотчас же появляется в другой,
минуя при этом промежуточные положения. Нетрудно подсчитать
приход и уход частиц сорта а из объема dva за счет столкновений с
частицами сорта Р. Если va и Тр - скорости этих частиц до столкнове-
столкновения, у„ и Vp - после ("прямое столкновение" va, Vp -¦ v^, vp'), то на од-
одной Р-частице, которую можно рассматривать как рассеивающий
центр, за единицу времени в телесный угол dQ рассеивается dna\ u\da

частиц а, скорости которых до столкновения лежали в интервале
dva. Так как в единице объема таких рассеивающих центров будет
dnp = /pdvp, то второй член в выражении C3.8), соответствующий
"уходу из dv", будет равен
ni-idia)$faf9\u\dodv9, C3.9)
da
где u = va - у» - относительная скорость, а do = 	 dQ - дифферен-
дифференциальное сечение рассеивания в системе центра инерции, причем ин-
интегрирование производится по do и по dvp. Чтобы определить число
частиц, приходящих в рассматриваемый элемент скоростного объ-
объема dva, необходимо рассмотреть "обратные столкновения" типа
vavp'~* vavp» и тогла по аналогии с формулой C3.9) нетрудно устано-
установить, что
p||o6p	o;p|u|dodVp. C3.10)
При этом использовано соотношение
d va dvp d onp = dTc; d vp' d ообр, где donp = do,	C3.11)
которое нетрудно проверить (см. задачу). Подставляя выражения
C3.9), C3.10) в формулу C3.8), окончательно находим
С(П= (тг) =H/,;/p'-/a/p)dvp|u|do.	C3.12)
\ 3( /столк	р	р
Это выражение принято называть больцмановским столкнови-
тельным членом, и оно пригодно при произвольном законе взаимодей-
взаимодействия частиц, т.е. можно описывать как столкновения заряженных
частиц, взаимодействующих по Кулону, так и столкновения нейтраль-
нейтральных атомов и молекул. Различие сводится лишь к выбору сечения
рассеяния do, которое определяется соответствующим законом взаи-
взаимодействия. Если и а- и р частицы обладают максвелловскими распре-
распределениями/0 ~ ехр (- еа р / 8), то интеграл C3.12) обращается в нуль:
-exp -J5I2_ -0,	C3.13)
321

так как сумма энергий двух частиц в результате упругого столкнове-
столкновения не меняется и е^ + е» = еа + е0.
Для кулоновского взаимодействия, однако, столкновительный
член C3.12) можно существенно упростить. Такая возможность свя-
связана с тем, что при кулоновском рассеянии основной вклад в кине-
кинетических сечениях
(doR - сечение Резерфорда; о1 - транспортное сечение; о2 - сечение
отклонения и т.д.) возникает от частиц, рассеиваемых на малые углы.
Например [см. C1.10)],
л
JdB 1
	4 л pf In 	.	C3.14)
6мин
Именно на малых углах возникает логарифмическая расходимость,
которую мы устранили, обрезав кулоновское взаимодействие на
дебаевском радиусе d и положив 6мин~р /рмакс, где PMaKc~d> и
тогда кулоновский логарифм равен X = In A/6мин) * In (d/p .) » 1.
Можно сказать, что вклад от далеких столкновений р ~ р макс в К »1 раз
больше вклада от близких, при которых 8 ~ 1. Поэтому с указанной
логарифмической точностью (~1/Х.) можно вообще пренебречь близки-
близкими столкновениями и формально считать, что в плазме имеют место
лишь далекие столкновения с малыми углами рассеивания 6 <с 1. При
таких столкновениях, однако, скорости частиц изменяются лишь
незначительно:
"*v
C3.15)
и движение частиц в скоростном пространстве, вновь, как и при от-
отсутствии столкновений, приобретает непрерывный характер - "от
точки к точке". Возвращаясь к рис. 118, можно сказать, что число час-
частиц в выделенном объеме dQ = drdv увеличивается лишь за счет
частиц, втекающих в этот объем через окружающую его поверхность
1E). В этих условиях последний член в уравнении C3.5) может быть
записан в такой же форме, как и предыдущий, т.е.
??) dQF)= i j™ diE)
\ dt /яолк
322
dQF)=- i j™ diE)=- f divjf0IIKdQ6, C3.16)
J u	J

и поэтому (df/d t) = - div6 ifoaK, где jf011* - поток частиц в шести-
шестимерном фазовом пространстве (г, у), возникающий вследствие столкно-
столкновений. Указанное представление было бы невозможно, если бы мы учи-
учитывали близкие столкновения, при которых, как было описано выше,
скорости частиц изменяются существенно и внутри объема QF) мо-
могут появляться частицы, не проходящие через окружающую этот объ-
объем поверхность 2E) (пятимерную), а возникающие в нем непосредст-
непосредственно путем "скачка", соответствующего "мгновенному" акту
столкновения.
Учитывая также то обстоятельство, что координата г частиц при
столкновениях не меняется (т.е. "координатные" составляющие по-
потока jCT0J1K отсутствуют), можно, следовательно, столкновительный
член при кулоновском взаимодействии с логарифмической точностью
(т.е. отбрасывая члены порядка ~1Д, соответствующие близким стол-
столкновениям) представить в виде
аи \
——	=-diviCIorac,	C3.17)
at /стояк
где f0JtK - столкновительный поток в пространстве скоростей. По-
Попытаемся теперь установить возможный вид выражения для этого
потока. В уравнении C3.5) для сходной величины j*1011 - потока, воз-
возникающего под действием внешней силы f8™1, было установлено вы-
выражение
|ВНШ • г	1 рВНШ г
по аналогии с которым можно было бы предположить, что
«СТОЯК ш /-Ч	. _? рСКШК .
h	*т'столк' т г I *
где FCT0JIK - сила трения, возникающая при столкновениях пробной
частицы ос с полевыми частицами р. Такое выражение, однако, не
полностью учитывает особенности движения пробной частицы. В са-
самом деле, использование функции распределения f(t, r, т) эквивалент-
эквивалентно вероятностному описанию частиц. Например, если распределение
Максвелла нормировать "на единицу" (а не на плотность), то величи-
величину
323

(m 13/2 ~ 28	f
-j^-J e	и ldWj-1,	C3.18)
следует рассматривать как вероятность пребывания (или обнару-
обнаружения) частицы в элементе dv скоростного пространства.
Рассмотрим с этой точки зрения поведение пробной частицы ос,
которая в некоторый начальный момент времени t = 0 обладала ско-
скоростью т0. Это начальное состояние эквивалентно б-образному "об-
"облачку вероятности" dw0 = 6(v-vo)dv, сосредоточенному вблизи
точки ?0 скоростного пространства (рис. 119). В последующие моменты
времени tx, ta это облачко будет смещаться назад, так как вследствие
торможения скорость нашей пробной частицы будет падать, и этот
эффект - смещения "центра тяжести" облачка - может быть учтен в
потоке членом вида jciorac ~ — F/, где в простейшем случае покоя-
Y	m
щихся полевых частиц FCI0Jnc —v и, следовательно, jCT0IIK — т.
При столкновениях, однако, скорость пробной частицы может из-
измениться не только по абсолютному значению, но и по направлению,
а поскольку при кулоновских (далеких) столкновениях эти откло-
отклонения можно считать малыми, то такой эффект должен проявляться
как расплывание облачка вероятности в поперечном направлении.
Ясно также, что вследствие дисперсии продольных скоростей будут
расти и продольные размеры облака. Такой процесс расплывания,
изображенный на рис. 119, можно рассматривать как процесс диффу-
диффузии в скоростном пространстве, и по аналогии с обычным выражением
для диффузионного потока в координатном пространстве jm^«
"-Ddp/dx его можно учесть в столкновительном потоке с помощью
члена вида j«omc - _ ?)g//g Т) где D - "коэффициент диффузии" в ско-
скоростном пространстве. Так как образующие "среду" полевые части-
частицы р распределены в скоростном пространстве неоднородно (напри-
(например, по Максвеллу), то этот коэффициент D следует рассматривать как
тензор.
Рис. 119. Смешение и диффузионное рас-
плывание "облачка вероятности* в ско-
ростом пространстве

Таким образом, в общем случае мы приходим к заключению, что
столкновительный поток пробных частиц а в скоростном пространстве
может быть представлен в виде
jctoJiK = jk/Э ш J_ F«/P , _ ?<*/Р —о_
Здесь значок ос/р означает, что рассматриваемые (пробные) части-
частицы а рассеиваются в среде полевых частиц р. Силу Fa'P принято назы-
называть динамической силой трения, а коэффициент Da'^ - тензором
диффузии в скоростном пространстве. Эти величины (явный вид F и
D найден ниже) уже не должны зависеть от функции распределения
пробных частиц /а, но могут зависеть от вида распределения полевых
частиц/р. Если среда содержит частицы нескольких сортов Р, то пол-
полный столкновительный член будет равен сумме "частичных" членов:
C(f) - Z Са'^, поскольку в принятой нами "картине парных столкно-
Р
вений" взаимодействие двух сталкивающихся частиц не зависит от
наличия остальных частиц. Таким образом, можно заключить, что
кинетическое уравнение для частиц сорта а должно иметь вид
T	F
at T эг ma F« э,
Cff ) - Z Ca/P	ГЗЗ 20)
C(fa) p C '	C3<20)
где, в частности, р = a соответствует "собственному столкновитель-
ному члену" Ca/a. При произвольном законе взаимодействия Са"
следует взять в "форме Больцмана" [см. C3.12)]
Ca/P«H/a7p-/a/p)|u|d0dTp,	C3.21)
где и ¦ та - То, а в случае кулоновского взаимодействия можно ис-
использовать несколько более простое выражение
— Fa/p/-l)e/p —-.	C3.22)
Нам осталось получить лишь явные выражения для входящей сюда
силы динамического трения Fa/p и тензора диффузии Da/p.
325

Рассмотрим с этой целью однородный плоский поток а-частиц, дви-
движущихся со скоростью т0 в среде р, причем внешние силы считаются
отсутствующими. В начальный момент времени t = 0 распределение
частиц потока имеет вид /J ^„„= па 6 (т- у0), а в последующем изменя-
изменяется в соответствии с уравнениями C3.20) и C3.22):
—	divT j, где j * — Ff-D Vv /.	C3.23)
dt	m
Применим это уравнение для определения в момент t = Q производных
d	d
< Д v.-> и 	< Д v,- Д vfc), где Д т=т-т0 .	C3.24)
' dt	K
dt	dt
Здесь фигурные скобки означают усреднение по распределению, т.е.
. Г
операцию < (...)> =	 \ (...) fa d та, и поэтому указанные производные
n« J
можно вычислять по схеме
dt	n ] at
— i-f(...)diTTjdT- ~- f(jV(...))dv.	C3.25)
Используя далее выражение для потока j и начальное условие / (t» 0) -
¦ п б (т- у*), нетрудно убедиться, что производные C3.24) выражаются
через F и Д а именно:
<33-26»
С другой стороны, эти производные можно рассматривать как при-
приращения соответствующих величин за единицу времени. Тогда,
пользуясь картиной парных столкновений и суммируя эти величины
по всем столкновениям за единицу времени 1 с, получаем
dt
326
(Z A v,) = J(dnp|u|do) (JJ2!L AJ; C3.27)

При этом величина Ата = (иар/та) А и рассматривается как прираще-
приращение скорости частицы ос при столкновении с частицей р. Более того,
для первой производной можно написать
d	I	d	a/p
0 dt	e'f-0 <* dt а ист '
где F ^ - истинная сила торможения пробной частицы а в среде р
ИСТ
частиц, и эту силу мы уже вычисляли ранее в § 31. Поэтому достаточ-
достаточно вычислить лишь вторую из величин C3.27). Для этого рассмотрим
тензор
w = $ (AuAu)udo.	C3.29)
Если направить ось z вдоль скорости и = тй - Тр (до столкновения), то
компоненты вектора А и будут равны (см. рис. 114)
A ux"Usin8 cosф ; Auy = usin8 энгф; Диг*-иA - cos8)
и тензор w будет диагоналей
hv» О	О
wyy °
0	w
"ххвкгууи— цЭ | sin2 8 do» — u3aa,
уу 2	J	2
C3.30)
где о3 -1A - cos2 8) d a - кулоновское сечение отклонения.
Для wu найдем
we-u3 J A - cos8J do = u3 B ог-о2),	C3.31)
где ох " $0 - cos в) do - транспортное сечение. Оба сечения были най-
найдены нами в § 31:
--^	-.	C3.32)
аР	327

Здесь Хад » 4лХе* е». Цар - приведенная масса, а X - кулоновский
логарифм. При этом wu = 0 и тензор w имеет вид
w - I 0 1 О I u3 ot - 	— (О 1 О I — .	C3.33)
\ 0 0 0 '	1»«р \ 0 0 0 ' u
Поскольку он зависит лишь от и и, следовательно, может содержать
лишь слагаемые 6 и и и, то в произвольной системе координат его
можно записать в виде
л ХаР / в	ии \ хар А .
где
Vy- —.	C3.34)
Подставляя это выражение [см. C3.29)] во вторую производную C3.27)
и вынося оператор VT VT из-под знака интеграла по с/тр окончательно
для тензора диффузии получаем
где
*iM-S\j-*\f9Wdr:	(зз.з5)
С учетом формулы C3.28) уравнение C3.26), определяющее си-
силу F р , можно представить в виде
pJmVlW*,	C3.36)
ИСТ	01 Т
причем ввиду соотношения Va|u|=2/|u| из формулы C3.35) най-
найдем
где
328

(ф - аналог электростатического потенциала). Подставив также
значение Fa/p -(X D/u O)V фо, найденное нами в § 31, окончатель-
ист оср оср v р
но получим
pa/p = J^L v ф /И - _^е_ /V ф .	C3.38)
mP	2ma	T T
Сравнение с формулой C1.19) показывает, что F действительно сов-
совпадает с "динамической силой трения", введенной в § 31. С истинной
силой торможения, действующей на частицу, она связана соотноше-
соотношением
F	(l)F,	C3.39)
dt	ия \	'
и лишь при т„ — °° они совпадают, так что F_ra = Fm^ I
ДИ"	ИСТ ni^v ^ "
Задача 1. Показать, что для прямых (та, тр -» Тд, тр) и обратных (Тц, тр -» та,
столкновений выполняется соотношение C3.11)
где d опр = d о и d oo6p - сечения этих процессов в системе центра инерции.
Решение. Если V — скорость центра инерции системы из двух частиц а и р, а а<*та—тр—
относительная скорость, то
а та ' Р	тр
и нетрудно путем прямого вычисления убедиться, что якобиан (шестого ранга) перехода
от переменных та, тр к переменным V и и равен единице, так что dradr^ « й V d и. По-
Поскольку при столкновении V не меняется (d V » d V'), то соотношение A) сводится к ут-
утверждению
duda =dudo , .	C)
пр	обр	v '
Здесь du = и'3 d u'd Q'- интервал скоростей рассеянных частиц (с приведенной массой Ц -
¦ цао). Сечение прямого перехода можно записать в виде
do •
пр
а обратного	D)
da
"обр
329

Рис. 120. Прямые и обратные столкновения в
системе центра инерции
пр
Из рис. 120 видно, что б'« в, и так как при упругом рассеянии | и | = | и' |, то
= (d o/dQ)^ и C) сводится к очевидному тождеству
u2dudQda'=tf2du'dQ'da.	E)
Задача 2. Получить кулоновский столкновительный член в форме С Р =
л- а/В
=—diTv j а ^к непосредственно из больцмановского, считая, что при столкновениях час-
частицы рассеиваются на малые углы.
Решение. Этот вывод, впервые проделанный Л.Д. Ландау в 1936 г., удобно произво-
производить в символической операторной форме. В болыдмановском столкновительном члене
C3.21) величины f'a g означают функции распределения, в которых аргументами являют-
являются скорости частиц после столкновения:
B)
Считая приращения А т малыми, разложим /«/'(V) в ряд:
3/
дч
1	/\ д
— ДтДт:
2	Эт
Эт
Введя 'оператор сдвига" 6а
в виде экспоненты
можно представить это разложение
C)
причем символ [...]уп означает операцию упорядочения, при которой градиенты по ско-
скоростям d/дт должны быть расположены справа от величин Д т, например:
/ч
уп
Эт Эт
D)
(>> j"x,y,z- координатные индексы, точки : означают свертку по этим индексам). Тогда
для комбинации функций, фигурирующей в болыдмановском столкновительном члене,
получим
E)
330

(в а действует лишь на/а и не действует на /р, а 8 р — наоборот). Изменения скоростей час-
частиц при столкновении можно выразить через прирашение относительной скорости и =
-та-тр [см. C1.25)]:
где й — приведенная масса. Тогда для суммы операторов в E) найдем
вв + вя1 Да1	а	а	|=Д»Р-	С7)
Р	\ та д та ^р Э Тр
Здесь мы ввели новый векторный оператор
Э	Э \
где
который, очевидно, тоже должен подчиняться правилу "упорядочения" [...]уп. При этом
из E) получим
Ди-«,+ — Д и Д и: а, + — Д и'Д и Д"и : X +...	«\
Здесь мы ввели обозначения:
• ' С/а /р): "
' С/а
Подставляя (9) в болышановский столкновительный член, имеем
„*1Ъ [ I	1 Л А 1 ¦ А	\
с ¦) (wr«x+j-w»:e»+7W3 :ej+'"/ P'
где введены обозначения
jAnAudo wJ ДДД
; K2-jAnAuudo, wf'J ДиДиДи udo.	A2)
Для кулоиовекого взаимодействия (da - резерфордовское сечение) первые две вели-
величины, уже встречавшиеся ранее в тексте [см. C3.29)-C3.34)], логарифмически расхс-
331

дятся и равны соответственно
i	i	А	л
лар а л лор /8 и и \
»--вио-	 	; w -—-	,	A3)
где Х„в » 4 я X е3 е%, a \ - кулоновский логарифм. Замечая, что
11
u3
Л
uu
с
'a
д'
1
l-l :
Э
л
e
u
где a » т- Tg. нетрудно убедиться, что между н1 и w3 существует соотношение
13л	13л1_л
где F -оператор (8). Тензор третьего ранга шэ в A2) и все более высокие тензоры не явля-
являются расходящимися величинами, и поэтому с логарифмической точностью (~1/Х) их
можно не учитывать.
Именно это обстоятельство и является специфической особенностью кулоновского
взаимодействия. Эту особенность можно рассматривать как следствие преобладающей
роли далеких столкновений, при которых частицы рассеиваются на малые углы. Поэтому,
оставляя в (И) лишь первые два члена и учитывая, что а, - Га1 и wt - — Г • wa (см. A0)
и A5)], получаем
1 л а 1	_ а ч
Здесь мы использовали выражение (8) для оператора Р. При интегрировании в A1) по
drp последний член выражения A6), содержащий дивергенцию по va,, пропадает, а в пер-
первом члене дивергенцию по va можно вывести за знак интеграла, так что в результате
получим
о/Э	аа/Э
332

где
или в развернутом виде (подставляя wa и лг e t (/a fa)):
.«/р	Хар Г / 6 Л \ / /а а/р
U	U3 / \ та
та
2ma J \ и	и3 I \ та дуа
*В •	A8)
Такую запись принято называть членом столкновения в форме Ландау.
Сравнив это выражение с принятым в тексте
а/р т J_ а/р _ А«/р
j	^ * /а д чуа'а'
можно найти силу динамического трения
2mpJ\ и и3 I Эт
ХаР Г
2mp 3
2mp
и тензор диффузии в скоростном пространстве
Л
а
B0)
Ь-„я Г /в ни \	*-ар э Э
—-i— \ /о I — - 	I d ?q = 	 	 	 Ф (» ) B11
а
При этом использованы соотношения A4) и введены потенциальные функции:
ФЭ(т)=] у	р; Фр(т)=]|т-т'|/р(т')<»т'.	B2)
Выражения B0) и B1) для F и D совпадают с полученными ранее в текпе [ср. C3.38)].
333

Глава 7
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
Существенное отличие плазмы от остальных сред - свободные заря-
заряды, которые приводят к возможности распространения своеобразных
плазменных волн, связанных с колебаниями пространственного за-
заряда. Кроме того, большие длины пробегов частиц, превышающие
среднее расстояние между ними, приводят в плазме к нелокальному
характеру связи между электрическим полем и вызываемым им
индуцированным током, т.е. к сильной пространственной дисперсии,
которая в других средах обычно мала.
§ 34. Волны в изотропной плазме
Как известно, уравнения Максвелла
rotB= -±Ь j+ -!	Ё_ В; rotE = - -^_ ;
с с at	cat
divE = 4np; divB = 0	C4.1)
(из них следует уравнение сохранения заряда др/д t + div j = 0) позво-
позволяют при заданных р и j найти поля Б и В. Бели среда однородна по
пространству и ее свойства не меняются с течением времени, то это
можно сделать, разложив все величины по плоским волнам, напри-
например:
Так как при этом Ч -* 1кид/д1-*-1ы,тот уравнений C4.1) получим
,;	C4.2)
1 (¦)
iPto- "^W	C4.3)
Здесь N » kc/o - показатель преломления, который может принимать
комплексные значения. Таким образом, система C4.1), применимая
в любой среде, сводится к одному уравнению C4.2), где j - полный
334

ток. Чтобы учесть конкретные свойства данной среды, к уравнению
C4.2) добавляем "материальные уравнения", учитывающие эти
свойства, и решаем их совместно.
Для этого j делим на индуцированный и сторонний:
j-j-'w + j"	C4.4)
и тогда свойства среды учитываем с помощью закона Ома:
СЧсоАео-	C4.5)
В линейной электродинамике предполагается, что тензор проводи-
проводимости окы полностью определяется свойствами среды и не зависит от
амплитуды самого поля Б.
С учетом C4.4) и C4.5) уравнение C4.2) можно записать в виде
(еки - 6 ЛР + NN) Ек„ = ~- ?,	C4.6)
где
L-i^H	C4-7)
есть тензор диэлектрической проницаемости. Если сторонние токи от-
отсутствуют 0ст = 0), то уравнение
О	C4.8)
описывает свободные колебания поля, т.е. распространение в среде
волн, приходящих извне или возбужденных в предыдущие моменты
времени. Очевидно, для решения однородного уравнения C4.8) не-
необходимо условие
|ku=0.	C4.9)
Из него получаем законы дисперсии со = ш (к) для различного вида
волн, которые могут существовать в данной среде. Если же jCI Ф 0, то
уравнение C4.6) описывает вынужденные колебания и, пользуясь им,
можно, например, рассчитать излучение волн.
Рассмотрим вначале изотропную среду, в которой отсутствуют ка-
какие-либо выделенные направления. В этом случае тензор е, очевид-
очевидно, может содержать лишь единичный тензор б и диаду fcafco, и поэто-
поэтому его всегда можно представить в виде
335

C4.10)
где ей и е - скалярные величины, зависящие лишь от | к| и и. На-
Направив ось Z вдоль к, для детерминанта C4.9) имеем
tL - Na О О
0 e± - N2 0
0	0 ?ц
0,	C4.11)
и, следовательно, в среде возможны волны, для которых
илие1-ЛР= 0,илиец = 0.	C4.12)
В первом случае из уравнения C4.8) для Б находим кЕкы = 0, что со-
соответствует поперечным волнам с Е1 к. Если же е и = 0, то из C4.8) по-
получим [кЕ] = 0, и эти волны будут продольными с Б II к. Поэтому ёц и
е_|_ называются соответственно продольной и поперечной диэлектри-
диэлектрическими проницаемостями.
Для определения бц и е^ необходимо решить уравнения, описыва-
описывающие движение частиц данной конкретной среды в поле плоской
волны вида Е = Eka)exp(ikr-iu0J и затем подсчитать суммарную
плотность тока ^и = о^Е^- Строго говоря, для этого необходимо ре-
решить кинетическое уравнение, однако качественные результаты мож-
можно получить из уравнений гидродинамики, учитывающих тепловое
движение, или даже из элементарного рассмотрения одной частицы,
при котором тепловое движение не учитывается.
В случае плазмы, пренебрегая движением ионов, для электрона
имеем
C4.13)
Тогда для плотности тока находим
j = e nv = i 	 Б
е	та
336

и, значит,
2
а	не
О = i 	 6 ,
т u
а тензор диэлектрической проницаемости
.	C4.14)
C4.15)
(
iu	\	mu2
Приводя его к виду C4.10), очевидно, получаем
и из уравнений ?¦¦ = 0 и е ^ - N2 = 0 при этом следуют законы диспер-
дисперсии соответственно для продольных и поперечных волн:
со2 = и2и ы» = oJ+c2fc2.	C4.16)
II е	X е
Для продольных волн при j ~ ЕII к из соотношения C4.3) следует
В^ц = 0 и ркы Ф 0, так что эти волны представляют собой колебания
объемного заряда с частотой о) = о)е и фазовой скоростью Уф = o)e/fc. В
рассматриваемом приближении групповая скорость этих волн vrp =
= do)/dk = 0, и они должны оставаться в том месте, где были возбуж-
возбуждены. Однако при учете теплового движения их частота зависит
от к и они будут перемещаться (см. ниже). Такие волны в плазме га-
газового разряда впервые были исследованы Ленгмюром, и поэтому их
называют плазменными ленгмюровскими колебаниями или просто
плазмонами по аналогии с фотонами - квантами поперечного поля.
У поперечных волн ркы = 0, Вкы Ф 0, и они представляют собой
световые волны в среде.
Для них из уравнения A.16) находим
J+c2fc2'; уф = с/Г+(о)е/*:сJ >с;
vrp= ______< с.	C4.17)
Если же о) < со е, то волновой вектор становится мнимым. В частности,
к = i о)е/с при и -¦ 0, что указывает на невозможность распростране-
распространения в плазме таких низкочастотных колебаний. Бели световая или ра-
337

диоволна с частотой ы < о)е падает из вакуума на границу плазмы, то,
как это видно из уравнения
C4.18)
она проникает на глубину dc = с/о)е = уте2 / 4 л n e 2. При этом волна не
поглощается, а лишь отражается от плазмы. Такое явление имеет мес-
место для радиоволн в ионосфере, и на нем, по существу, основана даль-
дальняя радиосвязь на Земле.
Учтем теперь наличие теплового движения частиц, при котором,
как уже отмечалось, групповая скорость плазменных волн отлична
от нуля. Предполагая для общности, что в плазме имеются ионы
нескольких сортов i = 1, 2, 3... A - самый тяжелый), опишем движе-
движение ионов и электронов уравнениями многожидкостной гидродина-
гидродинамики:
дпа
	 +divn v =0, Р„~  >	C4.19)
dt	ос ос
где а = е, i - сорт частиц. Для общности предположим также, что тем-
температуры электронов Те и ионов Г,- (одна для всех сортов ионов) раз-
различаются. Линеаризуя эти уравнения и переходя к представлению
Фурье, получаем
"" !- ¦ "'	fcfclR ,	C4.20)
kCi) « ,л \	-.2 . С2 fc2
где са = т/уТа/та- скорость звука для частиц сорта а. Далее нахо-
находим полный ток
со а
л	л
и определяем тензор проводимости о и затем е :
л л 4 Л л i
Z 	 .	C4.21)
ц- \ a q2- с2 к2 '	К
а

Записав его в виде C4.10) и считая все ионы с массами М12J одно-
однозарядными, найдем
e. =1	— Z
X	101 i
М,
1-
6J
1 +
	+ —
M	M
C4.22)
и, очевидно, закон дисперсии для поперечных волн приобретает вид
GJ = c2fc2 + ZGJ	C4.23)
a u
Следовательно, учет теплового движения не влияет на поперечные
волны. Из-за большой их фазовой скорости это можно было бы ожи-
ожидать заранее.
Для продольных же волн имеем уравнения:
C4.24)
Здесь о)а = у4л па е2/па - плазменная частота. Это уравнение проще
всего проанализировать графически, построив качественный график
функции F(gJ). В точках ш2 = fc2 с2 эта функция обращается в беско-
бесконечность (слева в - °° и справа в +°°), поэтому качественный вид ее
будет примерно такой, как на рис. 121, где считается, что в плазме
есть ионы двух сортов: тяжелые 1 и более легкие 2. Пунктирные линии
описывают значения и2 = к2 с2, расположенные в порядке убывания
массы частиц. Из рисунка видно, что значение F= 1 при е ц = 0 эта функ-
функция достигает в трех точках fc12e, соответствующих корням диспер-
дисперсионного уравнения C4.24), и в общем случае, очевидно, корней столь-
столько же, сколько различных сортов частиц в плазме.
Рис. 121. Функция F в уравнении C4.24)
339

Самый правый корень ке соответствует плазменным колебаниям,
в которых участвуют в основном электроны. Поскольку ce/c,-~
~ vM,/me » 1, то в районе этого корня в ионных членах функции
F(u2) можно в знаменателях отбросить fc2c2, оставив и2. Тогда урав-
уравнение F- 1 приобретает вид
ы3
__1_ = 1 _ J_ 2 of,
е	'
откуда методом последовательных приближений найдем [ср. A.23)]
GJ«ZU2 + fc2c2.	C4.25)
Таким образом, в плазме со многими сортами ионов роль плазмен-
плазменной частоты играет ы0 = i/Zu3', которая только на поправку порядка
т/М отличается от электронной cog. Из уравнения C4.25), казалось бы,
можно сделать вывод, что в редкой плазме при па — 0 получаем ы =
= ксе, что соответствует электронному звуку. Однако такой вывод
был бы неверным, и электронного звука не существует.
Иными словами, последний член в уравнении C4.25) всегда сле-
следует рассматривать как малую поправку, и поэтому более правильно
записывать эту формулу в виде
и2 = со2 A + fc2 са/ь>2) = о2 A + V к2 d2e),
где de = Vre/4nnee2' - электронный радиус Дебая. При условии
кdg "К 1, т.е. к ~ 1/fc » d^, найдем
C4.26)
так что теперь vrp Ф 0 и ленгмюровские колебания могут перемещать-
перемещаться по плазме, если Те Ф 0.
В отличие от электронного ионный звук при некоторых условиях
может существовать, и ему соответствует корень (см. рис. 121) к2, для
которого считаем и2 •« fc2c2 и пренебрегаем оJ в знаменателе элект-
электронного члена функции F(u2). Это эквивалентно пренебрежению инер-
инерцией электронов, и, предполагая, что в плазме имеются ионы лишь
одного сорта, получаем приближенно
340

u*-k*cf	-fc'c*
откуда найдем
и2 « it2 c?+ к3 с3
,)* + It»
Считая волны достаточно длинными (и23* fc2 с*, т.е. X. ~ 1 /к » се/ие ~
~de), окончательно получаем
и = / it2 rf+ka с2 —— =Jfc / V —	•
C4.27)
Кинетическое рассмотрение, проведенное в следующем параграфе,
показывает, что этот результат описывает слабозатухающие волны
лишь при условии Ге » Г{) т.е. получается ионный звук с электронной
температурой ы = fc ^уТе/М{.
Наконец, в многосортной плазме возможен еще один тип колеба-
колебаний, соответствующий корню kt на рис. 121. Этот рисунок, как уже
отмечалось, относится к плазме с двумя сортами ионов ix и i2, причем
предполагается, что Мх > М2. Ограничиваясь этим случаем, нетрудно
видеть, что для kt значение <о2 заключено между особыми точками
fc2cf < и2 < к2 с| и в функции F(u2) два ионных члена примерно ком-
компенсируют друг друга, так что
¦¦ 0,	C4.28)
откуда найдем
или, если оба иона однозарядны и их плотности равны {п1 = п2), то
и "к I т Г,/ 	 .	C4.30)
Различные ионы при этом колеблются в противофазе, так что эти
колебания подобны оптическим фононам в кристаллах.
341

В заключение можно сказать, что в плазме без магнитного поля
возможны поперечные колебания с двумя поляризациями; ленгмю-
ровские электронные колебания; ионный звук с электронной темпе-
температурой, а при наличии ионов нескольких сортов - взаимные коле-
колебания разных ионов, сходные с оптическими фононами в кристаллах.
Залпа 1. Оценить плотность электронов в ионосфере Земли, зная из эксперимента,
что для дальней радиосвязи вне прямой видимости пригодны длины волн больше 10 м.
(Ответ: п -107 а*'3).
Залпа 2. Показать, что ионы двух разных сортов в колебаниях типа C4.28) движутся
в противофазе.
д
Решение. Интегрируя по времени формулу C4.20) для скорости та • — Д га- iu Дга,
находим смещение ионов:
л
дт —• " '"	'-	а
Здесь учтено, что рассматриваемые колебания продольные с В В к. Частота а определяется
формулой C4.30), которую можно записать в виде (плотности п12 и заряды el 2 одинако-
одинаковые)
Знаменатели ы2 - к2 с2 (а -1,2) имеют, таким образом, разные знаки, и поэтому ионы
двух сортов отклоняются в противоположные стороны. Нельзя ли колебания этого типа
использовать для осуществления термоядерных столкновений ионов дейтерия и трития
в плазме соответствующего состава?
Оценим относительную скорость взаимного движения ионов двух сортов при et • е3,
M>M
{\и*-к2с1 а2-к2с\1 М1-М
Б/и.
 "г
Кинетическая энергия этого относительного колебательного движения в среднем
М.
где й - приведенная масса. Бели Mt - тритий, лМ2~ дейтерий, то множитель в квад-
квадратных скобках 48/5тр - 9,6/тр, где тр - масса прогона. Эту энергию, очевидно, следует
342

сравнить с высотой кулоновского барьера ядра:
откуда получим минимальную амплитуду поля
при которой столкновения приводят к ядерным реакциям.
Задача 3. Рассмотреть затухание волн в электронном газе при Г = 0, считая, что элект-
электроны сталкиваются с ионами, причем для одного электрона эффективное число этих
1
столкновений в секунду v = — с-
Решение. Столкновения эквивалентны силе трения, и поэтому уравнение движения
одного электрона следует записать в виде
откуда найдем
ie1
Ток
пе*
При этом
л
В-оВ,
и, следовательно,
„а
л	ine л а л 4" А /	е
°- - ¦ ) ч«--пга"Г	N'
где и**- 4nnea/m. Считая, что v мало (v < и), для продольных волн из уравнения е. - О
находим закон дисперсии:
ыа„ 	 * ш» 1-i
l+iv/ы	е\	Ш. I
1 + iv/eo
или
ы »ш —iv/2.
Так как v > 0, то волна затухает по экспоненте
343

Для поперечных волн из уравнения е. — N3 » 0 получим
/ v \
ы»«ы» 1-i
или
§ 35. Кинетическое описание волн
Наиболее полно свойства среды учитываются кинетическим урав-
уравнением
^?I JL iZ-v/.	C5.1)
3f	Эг	m 3»
Здесь C(ff) - член столкновений, по порядку равный -v/, i\zjev =
= п о vT- число столкновений за единицу времени. В полностью иони-
ионизованной плазме кулоновские сечения о = 4лА.р* ~ А. (е2/Т)а при
больших температурах малы, так что в высокотемпературной плазме
часто пользуются бесстолкновительным кинетическим уравнением,
полагая v -¦ +0 в уравнении C5.1).
Если в состоянии равновесия/»/0 (т), то при распространении плос-
плоской волны вида Е ~ exp [i (k г - <о 01на электроны действует внешняя
сила
IJ\	C5.2)
и функция распределения искажается: / -* /° + /'. Поправку /' можно
получить из линеаризованного уравнения
9 ./'+TV/4-L-B i?L —v/'	C5.3)
dt	m	dr
[при нерелятивистских скоростях v <к с член с магнитным полем вол-
волны в уравнении C5.2) можно опустить]. Полагая /'~ exp [i (kr- tot)],
из уравнения C5.3) находим
4.W
-iu+v+ik»
344

и тогда ток, индуцируемый волной,
Очевидно, выражение в скобках и является тензором проводимости
°ku>так что тензор диэлектрической проницаемости
Л A	in Л Л
е = б + i	0 = 6 +
В рассматриваемом здесь случае изотропной среды этот тензор имеет
вид
$ = HL е + (б - -1L] е, ,	C5.7)
к2 " \	к2 I х
так что свертка выражения C5.6) с тензором к к/к2 должна дать про-
продольную проницаемость
кк л , 4леа Г	кт	/ Э/"\
еи - 	: е = 1 +	 I 	 к	 dv, C5.8)
и к2	так2 J u+iv-кт	\ Зт /
а свертка с тензором — F - к к/к2) - поперечную
(Л
Л кк
в
к2
mult2 J u + iv -кт
Здесь равновесная функция/0 считается нормированной на плотность
электронов п =5 /° dv.
Для е„ удобно выделить продольную и поперечную относитель-
относительно к компоненты скорости, записав элемент скоростного объема
в виде
345

и введя of «значение
/Ц ^||)mI/°(vu,vx,<P)v± dvx d<9 .	C5.10)
Тогда выражение C5.8) принимает вид
4"'a '	'	"	C5.11)
f
l
J ve-
•собенность этого интеграла - наличие полюса в точке Уц = (<а + iv)/k.
Тогда как v > 0, то этот полюс лежит сверху от действительней оси Уц,
и даже если пренебрежем столкновениями, полагая v -» +0, те интеграл
C5.11) следует вычислить с учетом полуобхода полюса Уц = ы/к снизу.
Указанное правило принято называть правилом Ландау, в соответ-
соответствии с которым находим
о а 1 —
11	тка 1 г,-а/к Эт,
-in_Il__^L_	C5.12)
mk3 \ Эт, /тц = а/к
Тот же результат получится, если знаменатель выражения C5.11)
записать в форме
,	т -u/k + iv/k
	 ш Цщ 	 -
,	v-0 (у,-ы/k)a + (v/fc)a
«Re 	1	+U6 (v,- —1.	C5.13)
- —1.
k /
Реальная часть и знак $ в выражении C5.12) указывают, что оставший-
оставшийся интеграл следует понимать в смысле главного значения, и для
длинных волн (малые fc) его можно вычислить приближенно, даже
не конкретизируя вида функции /jj*:
346

Интегрируя это разложение по частям и учитывая определение
функции C5.10), нетрудно убедиться, что при условии отсутствия то-
тока в равновесии $ т/° d т= О
[ 1+3 —<v?>+4 —<v=>>+5— <vj> + ...l, C5.14)
ы2 " ш3 И и* И	J
где < v2 > =	 1 vjj /° d v и т.д. Таким образом, из выражения C5.12)
получаем для длинных волн
al I	к2
е„ = 1	т 1+3—- <у»> + .
Н	ыа \	и>2 II
"I I 8/J v
- i л 	— 		.	C5.15)
пек \ 9у, /^-w/fc
Если бы мнимая часть отсутствовала, то, решая дисперсионное урав-
уравнение для продольных волн
"о Г	к2	1
^-1- — [l+3— <vg> + ...J!
5jk,«-l-—ril+3 —— < v|f > + - { = 0,	C5.16)
находим реальную частоту
/.3	к2
2	о*
C5.17)
Наличие же мнимой добавки в ец приводит к бесстолкновительному
затуханию продольных волн, так как, решая уравнение
е« = tUk, <a) + ilme.. (к, <а) = 0	C5.18)
II	II	II
347

в предположении Im e.. <z 1, получаем мнимую добавку к частоте:
@ = <aj> + iY/f	C5.19)
Поскольку Б ~ Re exp i (k г - ы t) = е т' cos (к г - ы° t), то интенсивность
волны /~ ?3 изменяется в соответствии с уравнением
dt	K	K K
Здесь Yk - декремент затухания, и для его определения используем
разложение функции C5.16) вблизи <а = о)?
9eS
Э ы
~ "к
+... C5.21)
Поскольку е°1 „ = 0, то из уравнения C5.18) находим декремент
3Ree/9u
at - Z 	 	L у =@o/k,	C5.22)
mak*	\ 9v8 /
где а - сорт частиц.
В частности, при максвелловском распределении имеем
	е ~тч1ПТ	C5.23)
BпГ/т;*'а
и, кроме того, < vjj) = Г/т, так что формулы C5.18) и C5.22) принимают
вид
Ы-Ыо ll + ~ k2 d2+ ..A;
C5.24)
где й * i/r/4nne2'- дебаевский радиус.
348

При fcMaKC ~ d~1 имеем у~ы0, что соответствует сильному затуха-
затуханию, так что реально в плазме могут существовать лишь продольные
волны с длиной волны больше дебаевского радиуса.
Полученное бесстолкновительное затухание волн называют зату-
затуханием Ландау, и, как это следует из самого вывода, оно обусловлено
резонансным взаимодействием волны с частицами, скорость которых
V.. = u/fc совпадает с фазовой скоростью волны. Это изображено на
рис. 122 для системы координат, движущейся с фазовой скоростью
волны Уф = u/fc. В этой системе волна покоится и профиль потенциала
Ф (х) = (Eo/k)coskx представляет собой периодическое чередование
горбов и впадин. Те частицы, скорость которых меньше скорости ы/к,
волна догоняет и подталкивает, отдавая им энергию. Наоборот, час-
частицы, двигающиеся быстрее, усиливают волну. Очевидно, результи-
результирующий эффект зависит от того, каких частиц больше - медленных
или быстрых, что и приводит к появлению производной (9/../9V..) _ ,. в
И II »||-ы/л
мнимой части е|(. Максвелловская функция /° (v(|) соответст-
соответствует монотонно спадающему распределению частиц по скоростям v..,
и инкремент y~df../dvn < О для него отрицателен, что приводит к
затуханию волны.
Если функция распределения Д. (v,,) не была бы монотонно спадаю-
и и
щей, а имела вид, качественно изображенный на рис. 123, то на участ-
участке \1 < \ < va производная dL/dy.. положительна, что привело бы
к раскачке волн с фазовыми скоростями, лежащими в указанном ин-
интервале.
Переход энергии от частиц к волнам приводит в этих условиях к
постепенному охлаждению частиц, т.е. уменьшению их скоростей.
В силу сохранения числа частиц п = $ /.? (v..) dvn = const этот нелиней-
и к и
ный процесс должен приводить к уменьшению горба и заполнению
впадины, т.е. к появлению плато на функции распределения (рис. 123),
что будет рассмотрено в гл. 8.
Медленные частицы быстрые частицы
fi<4>
Рис. 122. К механизму затухания Ландау
Рис. 123. Распределение частиц по скорос-
скоростям, усиливающее волны
Волны
rillii
349

А со
Рис. 124. Схема излучения и поглощения кванта частицей
Покажем, что полезно использовать квантовые представления в
рассмотренной выше чисто классической задаче о затухании волн.
Обозначим wt (p, k) - вероятность спонтанного излучения за едини-
единицу времени одного кванта с импульсом Ьк и энергией Аи, заряженной
частицей с импульсом р и энергией е. При таком процессе в изотропной
среде должны выполняться законы сохранения (рис. 124)
р =Й к + р', е = ft <а + е'	C5.25)
как для обычных поперечных квантов, так и для специфических плаз-
плазменных продольных волн.
Если в состоянии с импульсом Ьк уже имеется Nk квантов, то в со-
соответствии с основными положениями квантовой теории следует по-
помимо спонтанного учитывать также индуцированное излучение и вы-
вынужденное поглощение, вероятности которых одинаковы и равны
Wj/Vfc. Таким образом, если dn = f° (p)dp - распределение частиц по
импульсам, то, как видно из рис. 124, изменение числа квантов долж-
должно описываться уравнением:
dt
, О +W(p)dp)
- I wt
Nkf(p-hk)dp
C5.26)
При Nk ^ l первым членом, описывающим спонтанное излучение,
можно пренебречь, а во втором ввиду квазиклассичности частиц по-
положить
Эр
C5.27)
и тогда имеем
350

dNk
—
C5J8)
Так как число квантов пропорционально интенсивности Nk ~ 1к, то это
уравнение должно совпадать с полученным ранее уравнением C5.20)
для интенсивности, и сравнение их показывает, что
(з5-29)
Таким образом, классический параметр - инкремент V связан с
квантовой вероятностью излучения н>1; которую также можно найти в
явном виде, если записать производную Э/ /Э v.. в формуле C5.29) в
виде
у /у =jo J 8т,
g k
Г /
э/р\
k	 6(kv-(o)dp.	C5.30)
Здесь мы произвели замену f{v)dv-+f{p)d p. Тогда, сравнивая фор-
формулы C5.22) и C5.29), находим вероятность спонтанного излучения-
кванта продольных волн - плазмона
C5.31)
при движении заряда еа.
Заметим, что фазовая скорость поперечных волн превышает ско-
скорость света, так что они не могут резонансно взаимодействовать
с частицами и излучаться при их движении в полностью ионизованной
плазме.
Ввиду наглядности квантовых представлений целесообразно так-
также привести строгое определение числа квантов Nk в одном состоянии
с импульсом h k.
С этой целью рассмотрим закон сохранения энергии в изотропной
плазме. Из уравнений Максвелла
rot? =	В; rotJ3=— 	D,	C5.32)
с dt	с dt
351

где D = tE- индукция, находим
~ 3D 3	В2 ,
Е	+			 . C5.33)
at at 2
Если ввести вектор Умова-Пойнтинга S = 	 [ЕВ], то уравнение
4л
C5.33) можно переписать в виде закона сохранения энергии:
dW +divS = 0, W- — + — f Б — dt'.	C5.34)
dt	8л	4л J	dt'
Подставляя в W фурье-разложения
XA«* '	'dk'du',	C5.35)
после дифференцирования и последующего интегрирования по t'
находим ддя продольных волн, в которых В = О,
г 3d	г	Г 8, , I1. ,
1 Ё* —*— f'- dkdu dk'du 	ш ки> кш— со' X
J ¦ dt'	J	u'- со
-оо
X exp [i г (к- к) - i t (со- со) ].	C5.36)
Учтем, что в плазме возможно распространение лишь таких про-
продольных волн, для которых со = со? (к), и поэтому положим Е. =
II	Л w
= El 6 (со - сой (к)), где ?. = — Е.. Считая далее, что поле if (г, f)
К	II	л	j^ л
состоит из набора плоских волн со случайно распространенными фаза-
фазами, и проводя усреднение по фазам, введем спектральные функции
I' , определив их соотношениями:
<?JJ* 4>=/fc 6<k-k'); <^fc1* ^>=/fc1 6(k-k')	C5.37)
352

или в тензорном виде
L*1 (^)l	C5-38)
Волны с разными к считаются статистически независимыми по фазам.
Учитывая, что в изотропной плазме
А	Л
Л kk	II	/Л	^ ^ \ I
г =	е" + б	е^ш»	C5.39)
и проводя усреднение по фазам в интеграле C5.36), запишем энергию
продольных колебаний в виде
/ 'I
if	Q Zk' '
W=	 IdkdudkW/. ——-—6(k-k')x
11 4n J	k '
x 6 (to - oj) б (о'-о J.).	C5.40)
Замена штрихованных величин на нештрихованные не должна менять
этого результата, поэтому, прибавив к формуле C5.40) такой же интег-
интеграл с измененными величинами и разделив их сумму пополам, имеем
11 8л J	К \	о'- а
X 6(k-k'N(u-ukN(u'-uk').	C5.41)
Поскольку здесь и ¦* и из-за б-функций, то дробь в скобках можно за-
заменить на производную Эе..и/9и, и после трех интегрирований по-
получим
W.--M /fcf-|-ue.i) »dk-	C5-42)
Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят, как
нетрудно проверить, к результату
t
_L i*_»_S d,'.J_[^(-2-Ue,) ,dk.	C5.43)
-oo
353

Сюда следует еще добавить магнитную энергию, учитывая, что
f/^(e) ±dk.	C5.44)
8п 4л
Тогда получим
w
1 ^ {	i I i	C5-45)
8п J * \ыЭы	х/^
Энергию C5.42) для продольных колебаний ввиду условия (е )
также можно представить в виде, аналогичном C5.45):
И 8п J
оае,\ dk.	C5.46)
Поскольку число состояний квантов dT = dkdV/8n3, то энергию в
единице объема следует записывать в виде
-i*_,	C5.47)
где г = II, 1,, 12 - определенный тип поляризации волн.
Сравнение с формулами C5.45), C5.46) показывает, что
г.	C5.48)
г
\шдш
Это соотношение и является строгим определением числа квантов
N? в одном состоянии с импульсом ft к.
Задача 1. Используя формулу C5.31) для вероятности излучения плазмона, подсчи-
подсчитать потери энергии на излучение зарядом еа, движущимся в плазме со скоростью »а.
Решение. Одиночный заряд ец обладает, очевидно, функцией распределения
/ft.r,p)=6(r-Tat)8(p-Tam0),
354

Учитывая лишь спонтанное излучение, описываемое первым членом справа в урав-
уравнении C5.26), находим приращение числа квантов
Полная энергия излучения, очевидно,
где dV « dkd V/8 л3 — число состояний. Тогда находим потери энергии за единицу време-
времени зарядом на излучение продольных волн:
d	[ ,	k	И Г
-е„	W =\ ft о. 	dr= 	 \w, dk =
a dt I J k dt	Jns J '
еаиоа
•**«-"•>
dk
Чтобы подсчитать оставшийся интеграл, выделим продольную fc и поперечную fc по от-
отношению к скорости частицы компоненты волнового вектора к. Тогда имеем
к, dk,
о' а
кШКС
7Г J
dk
Этот интеграл логарифмически расходится на верхнем пределе. Из формулы C5.24) видно,
однако, что при fc > d'1 - wo/vre продольные волны начинают сильно затухать, так как
при этом мнимая часть частоты У будет порядка действительной ug. Полагая fcM1KC = d~l,
находим окончательно
Отсюда видно, что частица излучает плазменные волны лишь в том случае, если ее ско-
скорость та превосходит тепловую скорость электронов тГв »у/Т/т.
Данную формулу целесообразно сравнить с потерями энергии, обусловленными куло-
невскими столкновениями, которые при т > тГе > тп могут быть представлены в виде
•

где X = In W/Рмин) — кулоновский логарифм. Различаясь только логарифмическим мно-
множителем, две предыдущие формулы дают потери одинакового порядка.
Задача 2. Найти плотность энергии поперечных колебаний в термодинамически равно-
равновесной изотропной плазме.
Решение. При термодинамическом равновесии в соответствии с распределением Бозе
1 1
дгк	:	 ,
поэтому для поперечных колебаний, учитывая две поляризации, находим
Г . 1 rfk	t	^fc'rffc
IV. - \ fi со. N. 	 • 2 = —
J J k k 83	2
. N.	2 = \
k k 8л3	л2 J ,, 1
exp(fiufc
exp(fiu
где ufc = Vu2 + c2fc2. Считая малым параметр а = Аыо/Г<1 и вводя х = /icofc /Г,пе-
репишем интеграл в виде
л4 л2
При малых а найдем F (а)»	а2 +..., и, таким образом,
¦„.
где W = и2 Т* 115ft3 с3 — черное излучение в вакууме. Поправка, пропорциональная
плотности электронов пе, учитывает влияние среды.
Заметим, что поперечные волны при любых fc > О свободно распространяются в плаз-
плазме. В противоположность этому продольные волны могут существовать лишь при
fc<fcMaKC~rf-1, так как при *>*макс они <^ИЛЬНО затухают.
Поэтому вычисление продольной энергии более сложное. Элементарную оценку полу-
получаем, полагая для малых к ufc = со0 и Nk = Т/Ь со0 > 1 (см. первую формулу). Тогда най-
найдем
dk
dk
к к 8п3	8л3
о
Для больших fc > кШКС понятие числа плазмонов JVfc не имеет смысла.
Задача 3. Вычислить е|{ (к, и) для плазмы с распределением электронов вида f(y)
= const [I + (v/v0J ], где v0 — параметр, и определить закон дисперсии ы = ь)ц (к).
356

а-1/т»:
Решение. Прежде всего нормируем /(т) условием пе= I /(т) dv, временно обозначив
1/v2:
пе = const \ 	= -2nconst -—- \ 	= Л3уэconst,
J A + ctv2J	da J 1+ctv2	°
— oo
откуда находим const = nj л 2 v J. Далее вычисляем функцию
/||(v,|)= \ /(vJnvidvi =
— \
2nv±dvi
V2 + V2
II о
'0
которая входит в интеграл C5.8) для е» (fc, ы):
\
mu J Q-кТц Зу
Учитывая, что для функции A) имеет место соотношение
л 9v0
n9v0 L
^ll-^oHV^o)
запишем интеграл B) в виде, удобном для интегрирования с помощью вычетов:
4*Ч э г	vo2dvn
A)
dv...	B)
1 +
mcofc
4e2"e я
mufc 3v •- 1 — i (со /fcт )
При этом контур удобно замкнуть снизу с обходом по часовой стрелке, так как внутри
него оказывается единственный полюс v..=-iv0 при v0 > 0. Вычисляя производную в пре-
357

дыдушей формуле, окончательно находим
Ы1	4ппе2
е (к, ш)-1	, u2= 	,	C)
11	(u+ifcv0J	m
и уравнение е (к, со) = 0 приводит к закону дисперсии
так что волна в рассматриваемой плазме затухает по закону
i(kr-ufct) _fcv t
?~Ree	~e ° cos (kr—coo t).
Заметим, что разложение/(v) при малых v
const / v2 v4	\
/(v) = 	= const 1-2 	+3	...	D)
A+CXY2J	\	Y2	Vo4	'
близко к разложению максвелловского распределения
-mv2/2r	/ mv2 m2 v4
/M(v)=constMe	=constM^i_ —_ + __+...
если положить v2 = 4 Т/М. Однако понятие температуры для функции D) лишено смысла
ввиду расходимости интеграла средней энергии частиц:
(е>
Тем не менее рассмотренный пример интересен наличием простого аналитического
выражения C) для е., (к, со), из которого, в частности, видно, что проницаемость е (со) не
имеет полюсов в верхней полуплоскости комплексного переменного и, что является
общим правилом для всех устойчивых систем, в которых, как и в данном случае, воз-
возможно только затухание колебаний, но не их нарастание.
§ 36. Волны в плазме с магнитным полем
Рассмотрим теперь колебания плазмы при наличии магнитного
поля В, которое для определенности будем считать направленным по
оси Z. Если не учитывать теплового движения, то, используя урав-
уравнение mv = e ?+ — [vJ3]j, где Е = Ее - поле волны, или в про-
358

екциях
- iumvx=e?x + — \уВ; -iumvy=e?y- -^- \XB;
-iumvz = e?Z)	C6.1)
находим скорости
'z
e
m
CO2
•
-co2
у
' vy
e
m
CO2 -
-ico?y
"в
C6.2)
—icom
Здесь иВа = еаВ/та с; а - сорт частиц.
Суммируя по сортам частиц, для тока j = Е еа па та имеем
а
_ пе2 1и?*-ивБу
Jx= ^
ОС	ТП	Q2 — Q2
am	со2-оз2
В
j2= Z-JLfl —i—;	C6.3)
a m —i со
и ввиду jk = Qk}Et тензор проводимости
°ху °xz
°кГ | °Ух °уу °yz , a
где для краткости обозначено
a = nea/m(ua-u2)=J- а/(ы_ыя).
После этого нетрудно найти тензор проницаемости:
6=5+1 —ц- =
359

,0 0
C6.5)
где
"о а
2 og
a u2
C6.6)
Для исследования волн составляем дисперсионное уравнение A.9)
det I е - б N2 + NN \ = 0. Очевидно, без потери общности можно поло-
положить
Ny=0;
; /V. =JVsin9 ,
где 8 - угол между магнитным полем В и направлением распростра-
распространения волны к. Тогда детерминант имеет вид
6
e-6N2+NN\
\ - N2 cos2 8 - in N2 sin 8 cos 8
Щ	|-ЛГ2	О
N2 sin 8 cos 8 0 ео-ЛР5т28
= AN4 + BN2 + С =0,
где, как нетрудно проверить, коэффициенты
А = % sin2 8 + е0 cos2 8 ; ? = - I fi4 + eo) + n2 sin2 8 ;
С = ео(!2-П2).
При А Ф 0 уравнение C6.7) имеет два решения:
N1 = -L-(- B± VВ2- 4 А С),
± га
C6.7)
C6.8)
C6.9)
которые называют соответственно обыкновенным и необыкновенным.
Ввиду сложности общего уравнения C6.7) рассмотрим вначале про-
простейший случай 6 = 0, когда волны распространяются строго вдоль
360

магнитного поля. При этом А = е0; В = - 2? е0; С = е0 (|2 - л2) и урав-
уравнение
имеет три корня:
ео = 1- Z
а ы
C6.11)
Первый корень соответствует продольной (Е II к) плазменной волне с
частотой со2=1со2!«со2е, два других решения описывают поперечные
волны (Е1 к).
Для частот со » | со5е |, со5)-, превышающих циклотронные, влияние
магнитного поля несущественно, и тогда (рис. 125)
N± = ! "
C6.12)
что приводит к закону дисперсии co2 = cog + c2fc2, полученному ранее
в плазме без поля [уравнение C4.16)]. Однако теперь при наличии маг-
магнитного поля возможны и низкочастотные колебания.
В частности, при со <? ыт « соВеиз уравнения C6.11) имеем
ЛГ2 = 1 + — Z
0«
= 1TZ
)	а
1 +
= 1+1
а
"оа
"ва
с2 с2
¦¦ 1 +	 Z 4 л та па = 1 +
В2 а	с2
C6.13)
где с. =В/у4лр- альфвеновская скорость. Здесь первый член раз-
разложения Z со2а /сова = 4л(с/В) Z паеа = 0 выпадает вследствие квази-
квазинейтральности.
Рис. 125. Три ветви (две совпадают) ко-
колебаний плазмы без магнитного поля
361

¦л>
При сА <&¦ с из формулы C6.13) получаем закон дисперсии со = кс
соответствующий альфвеновским волнам.
Для произвольных со уравнения C6.11) удобно анализировать гра-
графически. Предположим, что в плазме помимо электронов содержатся
ионы лишь одного сорта. Тогда уравнения C6.11) принимают вид
N1 = 1- —
1
0)
1
f ь
L-
/
U
uBe
Jo%
— +
+ 1 uBi
"of
(¦)+(¦)
'Bel
u- a,
C6.14)
Учитывая резонансы при со = | ыВе | и со = | coBl | в знаменателях и пре-
предельные значенияJV^_ = 1 при со -¦ °° и N*_ = 1 + (с/с.J при со -¦ 0, не-
нетрудно качественно построить графики правых частей формул C6.14),
что изображено на рис. 126, где помимо JV* указана также плазмен-
плазменная ветвь со = со 0.
Если 8 Ф 0, т.е. волны распространяются не строго вдоль магнитно-
магнитного поля, то рис. 126 примерно сохраняется при малых 8, однако де-
детальный анализ показывает, что в действительности ветви не пере-
пересекаются, а ведут себя так, как показано на рис. 127.
Подобный характер пересечения ветвей можно проиллюстрировать
на примере простейшего квадратичного гиперболического уравнения
у2-х2 = 0;у1>2(х) = ±х,	C6.15)
Л

ы
Bi
Вистлеры/

/
I
С
-1-
Рис. 126. Качественные графики JVJ _ и ы = ы0 при к II В, 9 = О
Рис. 127. Пять ветвей колебаний A—5) в плазме с магнитным полем при 8 =* 0;
6 - затухающая ионно-эвуковая ветвь, возможная лишь при условии Те » Г,-
362

которое при добавлении малого возмущения w принимает вид
(рис. 128)
у1--
C6.16)
Анализируя последовательно рис. 125-127, приходим к следующим
выводам.
1. В плазме без поля (см. рис. 125) имеются три высокочастотные
ветви колебаний
со = со0;
1 - Z
"о а
C6.17)
причем две последние поперечные различаются левым и правым вра-
вращением при круговой поляризации.
2.	При наложении магнитного поля эти три ветви искажаются.
Продольная ветвь со = со0 искажается слабо, а две поперечных силь-
сильнее, так как для них возможен резонанс на циклотронных частотах.
Левовращающаяся ветвь может резонировать с ионами, которые
также вращаются по левому винту по отношению к магнитному полю,
а правовращающаяся ветвь по той же причине резонирует с электро-
электронами.
3.	Кроме того, возникают две дополнительные низкочастотные
ветви, которые в пределе со <?. сод,- соответствуют альфвеновскои и ус-
ускоренной магнитно-звуковой волнам.
4.	Можно ожидать, что при учете давления появится шестая ветвь,
соответствующая замедленной магнитно-звуковой волне, однако,
подобно ионному звуку в изотропной плазме, она существует толь-
только при Те » Г,- и поэтому малоинтересна.
Рис. 128. Пересечение двух корней 1—2 уравнения у2 - х2 = С:
а — при С = 0; б — при С > 0; в — при С < 0
363

Ветвь 5 (см. рис. 127) существует и в области промежуточных час-
частот сод,-«С со «С | ыВе |, для которых из уравнения C6.14) находим
О)
N1 = 1 +	— ; иЛ < и < | ыВе |.	C6.18)
Ионный член при этом выпадает. Предполагая также, что N= к с/со =
= с/Уф » 1, т.е. Уф <к с, можно пренебречь единицей справа, и тогда
или со+ * к2 с2 —-— , (9 = 0).	C6.19)
Волны с таким законом дисперсии называются вистлерами (свистя-
(свистящие атмосферики), а в твердотельной плазме - геликонами.
Рассмотрим случай 9 = л/2, когда волны распространяются попе-
поперек магнитного поля. При этом коэффициенты C6.8) равны
и уравнение
AN* + BN2 + С = (N2 - е0) Ц N2 - \г + ц2) = 0	C6.20)
имеет решения
N1 = е0 = 1 - Z —- ; N1 = ^	' .	C6.21)
а и	^
Первое соответствует линейно поляризованной (Е II В) поперечной
электромагнитной волне с законом дисперсии со2 = со2 + к2 с2, на ко-
который не влияет магнитное поле. Второе решение для необыкновен-
необыкновенной волны более сложно и содержит как продольное ? II к 1 В, так и
поперечное ? 1 к электрические поля.
В общем случае 8#0 и В#л/2 аналитические формулы можно по-
получить только для предельно больших или малых частот.
При больших частотах со » | соВе | »сов,- влияние поля несущест-
несущественно и имеем известные ранее выражения. Поэтому рассмотрим две
низкочастотные ветви (см. рис. 127).
Для самых низких частот со «: сов,- ^ \ соВе |, считая также со «: со0,
364

из формул C6.8) находим
U2	с3	W2
1 = 1+2 	= 1+	;Л=0, ео«-—2_;|ео|»1, C6.22)
а со2	с2	и
и тогда из формул C6.10) имеем, считая (со0 /соK cos2 9 » ? sin2 9,
где для краткости обозначено \ = (со„/соJ»1. Тогда уравнение
AN4 + BN2 + C*>-\(N2-t,)(N2 cos2 9 - ?) = 0	C6.23)
имеет решения
4;
сд	cos
соответствующие законам дисперсии
к2 с\	к2 с2А cos2 9
0J=	%fc2c2;GJ=	 * (kc,J C6.25)
1Г/J	А	'	1 ГJ
ускоренной магнитно-звуковой и альфвеновской волн.
Для ветви вистлеров-геликонов в области промежуточных час-
частот оBi <? со 4С | соВе |, пренебрегая ионами, из формул C6.8) имеем
^"(¦^Г»1'".!
= 1+^-= ( — 1 »1; Л--	г; е0*- — . C6.26)
причем | «: I) «: е0. Тогда находим А « е0 cos2 9; В * -| е0 A + cos2 8);
С <*> - е0Ц2 и, полагая N2 ~ ц, из формулы C6.18) и уравнения C6.7)
A N4 +BN2 + С" е0 [N4 cos2 9 - | A +cos2 8) N2 - л2] *
[JV4cos29- Л2] = О	C6.27)
>1е
ы
получим корень
; co+~|cos9|fc2c2 -^- .	C6.28)
cos 91	Ыое
365

При распространении вдоль поля 6 = 0
?гр
ды
"Bel
= 2с
"ое
C6.29)
так что волны с большей частотой обгоняют волны с низкими часто-
частотами. Поэтому при мгновенном излучении каким-либо источником
пакета волн с набором разных частот к удаленному наблюдателю с
приемником в первую очередь приходят волны с высокими частота-
частотами, потом с низкими, так что принимаемый сигнал напоминает свист
с падающей частотой (вистлер или свистящий атмосферик).
Задача 1. Определить закон дисперсии для гравитационных волн на воде и сравнить
с дисперсией вистлеров. Исследовать возможность дробления волн.
Решение. Вследствие несжимаемости воды (р = const, div т = 0) из линеаризованного
уравнения р 3i/3f=— Vp' получим уравнение Лапласа Др'= 0 для поправки к давлению
и, если искать ее в виде бегущей волны, то при условии р'-» 0 для г -» - » из уравнения
Лапласа найдем
sin (k r — u f), где А - амплитуда; к (к. к ) — плоский вектор.
р'(х, у, z, t) = j4 e
Между тем из рис. 129 видно, что p'(z = 0) = f)gh(x,y,t), где h (х, у, г) - высота подня-
поднятия воды. В линейном приближении h считается бесконечно малой величиной, и поэтому
тг (z = 0) = d h/dt. Тогда из уравнения
d*h
dt1
..(
находимы1
ы = vki
' at
- f 9 f
1 = kg и, следовательно,
-. = JL = /ZT.
' тф к = V it ' Yp
P'
P
Эы
эГ
Поскольку 2n/k = X - длина волны, то имеем зависимости vrp ~ l/-/k"~ ¦/\'~ 1/ы.
Здесь в отличие от вистлеров вперед убегают низкочастотные длинные волны, а мелкие
X
Рис. 129. Горб волны на воде
366

Рис. 130. Сравнение дисперсии вистлеров и
волн на воде
Рис. 131. Схема объединения двух волн в одну, возможного лишь при распадном ха-
характере дисперсионного спектра со (к)
отстают от них, так что зависимости ш ~ кг вистлеров и к ~ со2 волн на воде в указанном
смысле противоположны (рис. 130). Эта противоположность спектров проявляется в том,
что волна на воде не может распадаться на две более мелкие, в то время как подобный
процесс, так же как и обратный ему процесс объединения двух волн в одну, для вистле-
вистлеров возможен. Это видно из того, что при распаде должны выполняться законы сохра-
сохранения энергии и импульса:
Ь ы (к) =Ь ы (kj +Ъ ы (к2);
Из последнего условия, в частности, следует, что
| к | < | к, | + | к, | .
Это означает, что при графическом построении (рис. 131), заключающемся в перемещении
малого треугольника из положения / сначала в положение Я параллельно прямой OS, про-
проходящей через точку соа, к2, дальнейшее перемещение из Я можно делать вследствие ус-
условия \кI< I к11 +| к21 только налево в Ш, добиваясь попадания точки А' в А" на ли-
линию спектра со (к). При спектре типа водных волн, обращенном выпуклостью вверх,
линия и (к) будет всегда справа от точки А' и подобное построение невозможно.
Выше имелась в виду изотропная модель со = со (| к | ), в то время как для вистлеров
зависимость со (k) ~ fcz|/с | неизотропна, что, однако, не меняет ситуации.
Задача 2. В качестве иллюстрации, поясняющей роль законов дисперсии, рассмотреть
картину волн на воде, образуемых движущимся со скоростью VQ кораблем. Какова была
бы эта картина при отсутствии дисперсии?
Решение. Из рис. 132, где CD — касательная к волне, видно, что возмущения в двух
¦близких точках А и А1 на фронте волны были вызваны кораблем, когда он находился в
точках В и В', и, действуя подобно точечному возмущению, испускал круговые волны.
367

Поскольку ABC — прямоугольный треугольник, находим
y = rcosa ; x=s-rsina ,
где s = VQt ввиду равномерности движения корабля. Чтобы найти связь г и t, рассмот-
рассмотрим круги на воде, образуемые, например, брошенным камнем (рис. 133). Из соображе-
соображений размерности (g - единственный параметр) ясно, что гребни движутся равноускорен-
равноускоренно по закону r~ gt2 или, точнее,
rn(t) = yngt2,	A)
где у — численные коэффициенты (см. ниже). Для резонанса две точки Л и Л' на рис. 132
должны относиться к гребням с одинаковым номером п в круговых волнах, испускаемых
близкими точками В и В', и поэтому
г	г'	dr	dt
Т„= -^г - — = const, откуда din Yn = — -2 — = 0,
причем dr = г'— г = sin a ds = VQ sin a d t (см. рис. 132). Тогда найдем соотношение
sina 2	V
VQ	— =0 или г = —-— sin a ,
подставляя которое во вторую формулу, можно выразить (иг через а и коэффициенты
V
Vo sin a
I^sin'a, где !„ =
vl
Наконец, подставляя г и г в первую формулу, получаем параметрическую запись се-
семейства волн:
y = I cos a sin2 a; .т-I^sina A +cos2 a); 0< a <90°,
Рис. 132. Схема построения корабельной
волны
Рис. 133. Разбегающиеся круги на во-
воде с радиусами гребней гп - уп g t2
368

Рис. 134. Корабельные волны
которые изображены на рис. 134 и помимо бо-
боковых гребней имеют задние поперечные. Все
кривые уп(х) подобны друг другу. При ма-
малых а <¦ 1 имеем параболы у = x2l4Ln, a
при а = 90° находим у = О, х = 1п,так что!п -
расстояние от корабля до п-го заднего гребня.
На оси Ох фазовая скорость задних попереч-
поперечных гребней
/2л',
где X = 2п/к — длина волны, должна, очевидно, быть постоянной и равняться ско-
скорости корабля Vo. Отсюда находим \ ¦ = 2 я V* / g, и тогда из рекуррентного соотношения
Ln+1 - Ln = X получим зависимость 1п от номера гребня Ln = Bлп + const) V*/?. что,в
свою очередь, ввиду
позволяет уточнить коэффициент уп формулы A) для круговых волн
rn (t) =	 / B Я п + const).
4
Здесь 2 л п + const = g t2 j 4 г есть фаза колебаний.
Отметим, что полученную схему корабельных волн (см. рис. 134)^ можно рассматри-
рассматривать как результат проявления дисперсионного соотношения ы = -/kg волн на воде. При
отсутствии дисперсии, т.е. в случае линейной зависимости ы ~ к, когда Уф = const, движу-
движущаяся точка (корабль) создавала бы только боковую прямолинейную волну с наклоном
I - arcsin (Уф / Vo), а мгновенное точечное возмущение (брошенный камень) приводило
бы к образованию лишь одной круговой волны.
§ 37. Излучение плазмы
Рассмотрим три вида излучения плазмы: циклотронное, тормозное
и рекомбинационное. Основной формулой для расчета интенсивнос-
интенсивности дипольного излучения является формула
C7.1)
где d = 2 ек тк - дипольный момент системы зарядов. Для вывода
369

этой формулы следует выразить поля через потенциалы
B = rotA; Е = - Уф- — -И-.	C7.2)
с Э(
Тогда уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению
решением которого является интеграл Пуассона
г
А (г, t) = — j (г', f) | г - r'l d t,	C7.4)
с
в котором аргумент t'= t ~\ г - г'| / с берется с учетом запаздывания.
Для системы близко расположенных друг к другу точечных зарядов
ек этот интеграл можно считать равным
А(г,О= -^ 2 ekyk(t'), t'=t- — ,	C7.5)
ск к	с
где Я - среднее расстояние от зарядов до точки наблюдения г. Излуча-
Излучаемые поля Е, В спадают пропорционально R'1, и их можно считать
равными (членом V ф ~ R'2 пренебрегаем)
Е	 2 ekvk(t);
cdt	сг R к
B = rotA=— Z eferotTfcCf';,	C7.6)
cR к * К
где rot vfc(t') = [\k(t) V R ] I с , и Vj? = R/fi = n- единичный вектор в
направлении излучения. Введя дипольный момент d=I e^ rk, запишем
поля в виде
Е =	— d; B=—— [dn]=LnE ]	C7.7)
c2R	c2R
и далее подставим их в вектор Умова-Пойтинга
S=-i_[EB]=	[n(dJ-d(nd)](	C7.8)
4л	4nR2c3
который дает поток энергии через единичную площадку. Тогда через
370

площадку R2 dQ в телесном угле dQ интенсивность излучения равна
dI = (Sn)R2dQ=-L- [nd]2 —,	C7.9)
с3	4п
и интегрируя ее по всем телесным углам, находим полную энергию,
излучаемую системой зарядов в единицу времени,
/= [ d/= _J_ | Н|> ( sin2 qJ2- = J— (Эр ,	C7.10)
J	c	i	4n 3c3
что и соответствует формуле C7.1).
Циклотронное излучение. Оно обусловлено ларморовским враще-
вращением электронов в магнитном поле В. Излучением ионов здесь можно
пренебречь и считать, что один электрон теряет энергию на излуче-
излучение по формуле
Зс3
Зс3
C7.11)
где т = Зт3 с5 /ie*B2 - "время высвечивания", за которое энергия
электрона уменьшается в е=2,7 раза. Численно имеем т = 250/В2Гс =
= 2,5/В2л, что при типичном поле токамака В=50 кГс EТл) дает т=0,1 с.
Если в единице объема содержится пе электронов, а полный объем
плазмы равен V, то полная мощность циклотронного излучения долж-
должна была бы равняться
<е.)
C7.12)
и эта величина оказывается весьма значительной и сравнимой с
мощностью термоядерного выделения энергии. Однако, к счастью,
значительная доля этого излучения поглощается в самой плазме,
и наружу выходит мощность
N = 0^0,	C7.13)
где Ф - безразмерный "коэффициент выхода", указывающий степень
прозрачности плазмы. Этот коэффициент можно найти лишь путем
достаточно сложных численных расчетов, требующих учета реляти-
371

вистских эффектов, в частности учета излучения на высших гармо-
гармониках циклотронной частоты. Такие расчеты впервые были продела-
проделаны автором в 1956 г., и из них следует, что для интервала температур
5 кэВ < Те < 100 кэВ коэффициент Ф можно аппроксимировать форму-
формулой, которая для длинного плазменного цилиндра радиуса а имеет вид
ГкзВ
511
C7.14)
Здесь t - "приведенная температура"; е - заряд электрона; В - поле
внутри цилиндра. Параметры а, Р, у безразмерны, и из них параметр р
равен или 1, если отражающие стенки отсутствуют, или р = 1 - го_,
если снаружи имеются стенки с коэффициентом отражения г . Нако-
Наконец, параметр у равен 1, если продольное поле однородно по сече-
сечению. Однако в токамаке поле неоднородно, и тогда параметр неод-
неоднородности у равен у = 1 + а/RуТ, где R - большой радиус тора в то-
токамаке. Например, при Те = 10 кэВ, В = 50 кГс E Тл), пе - 1015 см и
радиусах о = 1м, /? = 5м имеем значения (= 0,02; a = 10~3;7*2, и тогда
Ф = 2-Ю, так что наружу выходит лишь 0,2% мощности C7.12), не
учитывающей поглощение. Введение отражающих стенок дополни-
дополнительно снижает потери на излучение.
Тормозное излучение (ТИ). Оно обусловлено столкновениями
электронов с ионами, которые приближенно можно считать неподвиж-
неподвижными. В отличие от циклотронного излучения, спектр которого со-
состоит из сравнительно низкочастотных циклотронных гармоник,
спектр тормозного излучения является сплошным и лежит в области
высоких частот порядка оз1орм = Т/Ь, где Ь - постоянная Планка. Это
соответствует низкоэнергетическому рентгеновскому излучению,
и для таких частот плазма фактически прозрачна, так что ТИ сво-
свободно выходит наружу. Чтобы рассчитать спектр ТИ, формулу C7.1)
следует переписать в спектральной форме, для чего необходимо
фурье-представление ускорения электрона в виде интегралов
; (т)и = ^ | v(t)e-iatdt.	C7.15)
Тогда энергию, излучаемую за одно столкновение, можно записать
в виде	„.	_
-«	-°°	C7.16)
372

Последний интеграл здесь равен 2л 6 (со - о/), так что находим
^dco; еш=^- -^- | (*)„ Г •	C7.17)
о
Фурье-компоненту ускорения тш здесь приближенно можно найти в
"пределе низких частот", что дает выражение
\i(t)~mtdtil А	{37Л8)
где т0 - скорость электрона до столкновения, а тх - после него. Тогда
имеем спектр излучения за одно столкновение
(ДтJ; (AvJ = v2 + v12-2vov1cos9,	C7.19)
™ Зле3
где 8 - угол рассеяния электрона на ионе. Дифференциальное число
столкновений электрона с ионами за единицу времени равно dv =
= я, v0 do, где сечение do определяется формулой Резерфорда, которую
здесь, однако, мы запишем в "модифицированном виде" с эффектив-
эффективным зарядом Z А:
d о = 8 л —	&	!—L .	C7.20)
Помимо введения эффективного заряда здесь проделана симметри-
симметризация по начальной и конечной скоростям электрона. Эти скорости
различаются по модулю, и это обстоятельство необходимо учитывать.
Для общности мы рассматриваем случай, когда атомы с зарядом
ядра Zj, ионизованы не полностью, так что вблизи ядра остается ос-
остов из N = Zj, - Z остаточных электронов, и этот остов мы будем опи-
описывать известной моделью Томаса-Ферми, считая, что эффективный
заряд Zgi зависит от глубины проникновения электрона в остов.
Если для краткости обозначить передаваемый при рассеянии импульс
буквой q = т \ Д т|, то предыдущие формулы перепишутся в виде
2е2
е = 	q2 ; dv = щ v0 d о ;
ш З32
373

d 0 = 8 л -!l- Z^ fq; -^- ,	C7.21)
и спектральная интенсивность излучения одного электрона будет
равна
I —
dE
dadt
v Г 1
1 1
1
f v = A Z\
]2 dq
1 , '
"i
Yo
C7.22)
где A = 32 e6 /3m2 с3 - постоянная; gu - спектральный множитель, ко-
который принято называть "гаунт-фактором". Описанная схема расче-
расчета является, по существу, не "борновским" приближением, а "клас-
"классическим": но квантовый характер процесса мы учтем, считая, что
здесь излучается лишь один квант с энергией Йоз, так что имеет место
закон сохранения энергии в виде
Поэтому указанный метод расчета мы будем называть "полукванто-
"полуквантовым подходом" или приближением.
Если вблизи ядра нет остаточных электронов, то Z3^ = Za, и при
изменении угла рассеяния 8 от 0 до л величина | Д т| меняется в преде-
пределах от | Ду\ъая" v0 - vt до | Д т(макс= v0 + vx, так что для голого ядра
гаунт-фактор оказывается равным
' щ -— .	C7.24)
2v, J q 2V1-*	1-Vl-x
мин
На правом конце спектра при х — 1 он равен единице, а при малых х
логарифмически расходится, но эта расходимость несущественна,
поскольку является интегрируемой по частотам, так что с хорошим
приближением можно просто положить ga(N = Q)-l. В таком случае
спектральная интенсивность излучения единицы объема, содержащей
пе электронов, определяется формулой
374

C7.25)
где угловые скобки означают усреднение по распределению Максвел-
Максвелла, однако при этом усреднении необходимо учесть, что кванты Лео
могут излучать лишь те электроны, энергия которых превышает ft со,
так что
е vdv/le v2dv =
2m
exp
яг	г
/J-Su
m
ft U
C7.26)
и, следовательно, спектр излучения максвелловской плазмы спада-
спадает по экспоненте с характерной энергией квантов порядка темпе-
температуры. Полную интенсивность излучения единицы объема дает
интеграл по частотам
Пя =
dE
dVdt
Т
C7.27)
Поскольку это излучение пропорционально квадрату заряда ионов,
даже небольшая доля примесей тяжелых элементов существенно
увеличивает потери.
Далее рассмотрим случай иона с остовом, где эффективный за-
заряд должен зависеть от передаваемого импульса q. При малых q он
должен равняться "внешнему" заряду иона Z, а при больших q - заря-
заряду ядра Z,, = Z + N, и, учитывая эти предельные значения, мы выбе-
выберем для эффективного заряда простейшую зависимость вида
C7.28)
где q4 - некоторая постоянная. Кроме того, здесь обозначено ^Зонд =
= 2л h/q и Гц, = Inh/q* и при этом величину ^Зонд можно назвать "зон-
375

дирующей" длиной волны де Бройля при рассеянии, а величина
Гц, должна играть роль некоторого среднего размера остова. Именно
величина Хзонд указывает глубину проникновения электрона в ос-
остов, максимальный радиус которого в модели Томаса-Ферми с хо-
хорошей точностью можно считать равным
1+2
«Бор.	C7-29)
тогда как минимальный радиус остова следует считать равным радиу-
радиусу самой глубокой К-оболочки электронов гмин = 2aBop/Za, где аБо =
= Ь2/те2 - так называемый боровский радиус. Длину ^Зонд следует
сопоставлять именно с размерами гмакс и гмин, поскольку эффектив-
эффективный заряд иона с остовом должен фактически равняться заряду ядра
Za уже при условии \зонд ? гМИн (а не при Хзонд «: гмин !), и, с другой
стороны, должен фактически равняться "внешнему" заряду иона Z
уже при ^зонд > гмакс (а не при ^-Зонд ^ гмакс ')• Эти соотношения будут
приближенно выполнены, если принять средний радиус остова равным
среднему геометрическому от этих значений г = V гмакс гМии'
найдем параметр
ср
А_ п |	2	 |1/2 ,	C7.30)
1-
фигурирующий в формуле C7.28) для эффективного заряда, и под-
подставляя ее в C7.22), находим гаунт-фактор для иона с остовом, за-
записав его в виде
К-ы'	"ПТ-Т'	C7-31)
376

где лп - три логарифма, соответственно равные
к0 = In —- ; А.х = In	-	,	1— ; Х.2= In /——- . C7.32)
Здесь ^+ = A ± \/1 - х) ?0; |0 = v0 / v4, а х = fto/e0 - "приведенная
частота излучения". На правом конце спектра при х = 1 найденный та-
таким "полуквантовым" методом гаунт-фактор C7.31) равен
C7.33)
и это выражение можно считать приближенно пригодным для всего
интервала (К х < 1, поскольку в целом зависимость от частоты весь-
весьма слабая.
В частности, для нейтральных атомов гаунт-фактор можно считать
равным
\
о
,-~я>	C7.34)
и если нейтральные атомы имеют концентрацию па, то подставляя
C7.34) в C7.22), а затем интегрируя по частотам и усредняя по мак-
свелловскому распределению электронов, найдем полное тормозное
излучение на нейтральных атомах:
1 при xt <?. 1;
2/xt при х4 » 1 .	C7-35)
Здесь пя излучение на "голых" ядрах, определяемое формулой C7.27),
a /Y**) учитывает наличие остова и зависит от аргумента x4=mvJ/2T=
= 27 2я/ГэВ. Таким образом, при ГэВ » 27 гя нейтральные атомы излу-
излучают как голые ядра, а при r3B^27ZH излучение снижается в (T3B/13ZH)
раз, и тогда оно пропорционально заряду Za в первой степени, а не
квадрату Z?, как в формуле C7.27).
377

В заключение укажем, что для температуры порядка термоядер-
термоядерной и более низкой наши формулы, основанные на "полуквантовом
подходе", являются приближенными, но они весьма хорошо согласу-
согласуются с результатами точных квантовых расчетов, требующих, однако,
применения численных методов.
Рекомбинационное излучение. Оно существенно при температу-
температурах 1-1000 эВ, меньших термоядерных. Полезно отметить, что рас-
рассмотренный выше тормозной спектр, характеризуемый гаунт-факто-
ром, не обращается в нуль на верхнем пределе, где х = йш/е0, а непре-
непрерывно продолжается и в область более высоких частот х> 1, о > ео/й,
поскольку свободный электрон может скачком перейти в связанное
состояние к иону, что и означает рекомбинацию. Отсюда видно, что
в расчета на один электрон с энергией е0 рекомбинационный спектр
должен определяться той же формулой C7.22), однако вместо тормоз-
тормозного гаунт-фактора g(u) должен фигурировать аналогичный рекомби-
рекомбинационный множитель gpeK(w). При этом ясно, что он должен состоять
из отдельных спектральных линий с частотами от минимальной имин =
= ео/й до максимальной (е,0 + I)/h, где / - энергия ионизации иона с
зарядом, на единицу меньшим начального заряда. Учет максвеллов-
ского распределения электронов приводит к уширению спектраль-
спектральных линий.
Помимо фоторекомбинации возможны также излучательные пере-
переходы электронов из высоковозбужденных связанных состояний в
более низкие, что дает "линейчатый спектр". Таким образом, пол-
полное излучение состоит из тормозного, рекомбинационного и линей-
линейчатого. Расчет двух последних является сложной квантовой задачей,
поэтому для практических целей используют различные аппроксима-
ционные формулы. В частности, суммарное излучение т), эрг/(с-см3),
единицы объема при практически полной обдирке примесей до ионов
с зарядом Z описывают подгоночными формулами
ц = пе п, Q; Q, = 10""
/г
0,-lQ-» *MZIl*Y ,	C7.36)
l + 0,8fZ/10)a
где Т измеряется в эВ. Выражение Q = Q% пригодно для области 10 эВ <
< Т < 1 кэВ, а 0 = Q2 - для области температур 1 кэВ < Г < 40 кэВ. '
378

Глава 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛАЗМЕ
Ранее в главах 2 и 4 была исследована проблема устойчивости
плазмы в гидродинамическом приближении, которое учитывает лишь
самые грубые параметры плазмы - плотность, среднюю скорость и
давление. Ниже рассмотрены кинетические неустойчивости, обуслов-
обусловленные более тонкими деталями функции распределения частиц -
наличием пучков, анизотропией и т.п. Эти неустойчивости выступают
на первый план и могут играть важную роль при условии, что гидро-
гидродинамическая устойчивость плазмы обеспечена.
§ 38. Квазилинейное приближение и турбулентный
нагрев плазмы
В § 35 было отмечено, что при условии df?, / dv,, > 0 декремент - v
становится отрицательным, и при этом плазменные волны должны на-
нарастать, отбирая энергию у частиц, так что на функции распределения
/° должно образовываться "плато" (см. рис. 123).
Чтобы количественно рассмотреть указанный процесс обратного влия-
влияния волн на функцию распределения, представим ее в виде / (t, г, р)=
= /° + /'и усредним кинетическое уравнение
(/" + /') + еЁ -i- (Г + /') = 0	C8.1)
Э
(ГП (/ /)
dt	Эр
по быстрым осцилляциям, считая /° плавно меняющейся. Тогда, удер-
удерживая член, квадратичный по осцилляциям, получаем
dt	Эр
где
C8.2)
i-eEf	C8.3)
представляет собой поток частиц в импульсном пространстве, обу-
обусловленный их взаимодействием с волнами. Поправка /'удовлетворя-
/'удовлетворяет уже исследованному ранее уравнению C5.3), и с учетом C5.4) имеем
u + iv-кт \*'ыЭр
f(t, г, р) = - i е | —^11	 [Ек Q ±И- ) ei(kr-Uf).	C8.4)
379

Подставляя также разложение
Б (г, t)- [ %.ы.е(к'Г~Ы'0 dk'da',	C8.5)
можно записать поток C8.3) в диффузионной форме:
Л Э/°
Эр
с тензором диффузии
C8.6)
u + i v-кт
X dkdcodk'dco'.	C8.7)
Ограничиваясь рассмотрением лишь продольных волн, обладающих
законом дисперсии со = со (к), и предполагая, что поле Е (г, /) пред-
представляет собой набор многих волн со случайными фазами, при усред-
усреднении выражения C8.7) по фазам имеем
Л
< Efc Бкы) = -ii- /J 6 (к - к') б (со - со') 6 (со - со Jy ),	C8.8)
где I? - спектральная функция C5.37). Тогда
ie
кк ,||	dk
к1 К II . .
ak + iv-kT
[A/leCkT-aJjdk
j k2 k	K
Здесь мы учли лишь резонансное взаимодействие частиц с волнами.
Уравнение C8.2) имеет, таким образом, вид
Э/°	/Л
+vV/° = div. D
р \
dt	р \ Эр
/»6(kY-cof)dk
l- k-^1 /6(kYcof
C8.10)
и его принято называть квазилинейным, так как при этом пред-
предполагается, что интенсивность волн изменяется по закону [см. форму-
формулы C5.12)-C5.22)]
380

dt
где
'1 2 Vf,	C8Л1)
Ime,
Yk
Эа
3eJ
fc2 "
Э со /ujj
полученному из линеаризованного уравнения колебаний.
Замкнутая система двух уравнений C8.10), C8.11) для двух функ-
ций /° (р) и Ik может быть получена также из наглядных квантовых
соображений. Если ввести вероятность спонтанного излучения плаз-
мона h k электроном р [ср. C5.31)]
II	8л2е2	И
e(kT-uJ)	C8.12)
Jle,
аы 'со"
и число плазмонов
-— со2 е „ j ц ,	C8.13)
то, ввиду Nk~ Ik, уравнение C8.11) может быть записано в виде
C8.14)
и оно уже было получено и обосновано ранее [см. C5.28)].
Для квантового вывода другого уравнения C8.10) подсчитаем ба-
баланс прихода и ухода частиц из элемента dp импульсного простран-
пространства при излучении и поглощения плазмонов. В расчете на единицу
объема (dV= I) имеем
— (I(p) dp)- "приход" - "уход".	C8.15)
381

Частицы приходят в dp, т.е. приобретают импульс р, в результате
процесса вынужденного поглощения (p-Ak) + Afc-»p в количестве
(рис. 135,о)
w» (р) N — I (р - л k) d p	C8.16)
к к 8п3
и процессов спонтанного и индукционного излучения (р + Лк) - лк-* р
в количестве (рис. 135, б)
J	^	p.	C8.17)
Уход при вынужденном поглощении (р) + лк-* (p + ftk) составляет
(рис. 135, в)
w" (р + л к) N. -^- /(р) d р,	C8.18)
*	к 8п3
а при суммарном излучении (р) - л к ¦* (р - л к) (рис. 135, г)
"	D^v/(p)dP-	C8.19)
8я3
Рис. 135. Графический вывод квазилинейного уравнения C8.10) из "диаграммы осьминога".
Указаны вероятности четырех процессов. Вероятность поглощения определяется путем
обращения времени и всех стрелок на обратные
382

Складывая эти эффекты и сокращая C8.15) на dp, после интегри-
интегрирования по dk получаем
Считая Ьк<?ри разлагая первый член справа, имеем
-2- (wf) = divp(tikwf).
C8.21)
Во втором члене следует разложить выражение в скобках до вто-
второго порядка по Ьк, что, как нетрудно проверить, дает
(...) = Ь2 к к: Vp (w Vp f) = h2 divp (k w (k Vp /)).
Таким образом, имеем
C8.22)
At
+ div
C8.23)
Первый член, учитывающий спонтанное излучение плазмонов, не
содержит Nk, и при Nk » 1 его можно опустить, а второй записать в ви-
виде C8.10)
div
\kkN.wdk.
8л3 J	k
dt	" \ Эр
Поскольку вероятность C8.12) с учетом равенств
э
C8.24)
е
ды
оае1(
и
C8.25)
можно записать в форме

6(kT-U
ftfc2
C8.26)
то классическое C8.7) и квантовое C8.24) выражения для тензора диф-
диффузии совпадают.
Итак, в квантовой записи квазилинейные уравнения C8.10), C8.11)
принимают вид
df	/л 6/ \ л
dt
=2ykNk, 2yk=
.A dk
hkhkN.w
К	О ттЭ
—L wdp
3 p
C8.27)
при условии нормировки J f(p)dp = ne. Заметим, что в неоднородных
средах частота ак и числа iVfc могут в принципе, как и функции
d
f (t, i, p), зависеть от г, и тогда оператор
dt
•-!-!-•*-г. U
г	Эг	дк
. Э ы Э со
г= 	, к =	.
Эк	Эг
C8.28)
Последние соотношения геометрической оптики эквивалентны уравне-
уравнениям Гамильтона г = дН/др;р = -дН/дг в механике.
Уравнения C8.27) удовлетворяют законам сохранения полной
энергии и суммарного импульса частиц и волн:
VI ¦¦
2т
fdp +
dk
8л3
= const;
C8.29)
= const.
C8.30)
384

Чтобы убедиться в этом, при вычислении производных WhP сле-
следует поставить /, N и выражения для D и 2 у из уравнений C8.27), учи-
учитывая при этом, что вероятность w (к) содержит множитель 6 (kv- a)fc).
Из закона сохранения энергии C8.29) видно, что поглощение волн
ведет к нагреванию частиц, и, наоборот, при нарастании колебаний
энергия отбирается у частиц.
Рассмотрим простейший случай сферически-симметричного рас-
распределения частиц, когда/=/(|р|), и покажем, что нарастание колеба-
колебаний при этом невозможно. Из уравнения C8.27) для инкремента у с
учетом 9/(|р|)/9р =	 	 = v/e, подставляя вероятность C8.19)
Эр Э е
и интегрируя, находим
3
о
— х
х
»,-U0/*
О
<0.	C8.31)
Ввиду условия v < 0 волны могут лишь затухать, отдавая энергию час-
частицам.
Этот эффект используется в термоядерных установках для турбу-
турбулентного нагрева плазмы в условиях высокой температуры, когда
кулоновские сечения столкновений частиц малы (окуп~ Т~2) и нагре-
нагревание джоулевым теплом при прохождении тока неэффективно.
Если при этом распределение волн также является сферически-
симметричным N = N (| к|), то коэффициент D в уравнении C8.27) дол-
должен иметь вид
385

гдеОц ^ (|р|)- скаляры. Однако ввиду
	/(| р|) = — —— в уравнение C8.27) для частиц
Эр	р Э р
¦ ¦ . -	.	,,lD« —\	C8.33)
dt	P\ Эр / р*Эр\' " Эр /
входит только продольный коэффициент диффузии
(к) -^- ,	C8.34)
описывающий разброс модуля | р |, и не выходит ?> , характеризую-
характеризующий среднеквадратичные отклонения частиц.
Нарастание волн, однако, возможно в условиях, когда функция
распределения /(р) сферически-несимметрична и на ней имеются
"горбы" типа изображенных на рис. 123, что соответствует дополни-
дополнительным пучкам частиц в плазме. Предположим, в частности, что в
силу каких-либо условий, например из-за магнитного поля, допусти-
допустимо возбуждение волн лишь в одном определенном направлении
k = fcj • При этом
Nk = <*(kz)b(kxN(ky),	C8.35)
где б (кх ) ~ дельта-функции, и уравнение C8.27) имеет лишь одну
компоненту ?)гг. Введем спектральную плотность энергии этих про-
продольных колебаний:
Wk = [hukNk dkx<lky ,	C8.36)
* J	8 л3
так что
W = $Wk dkz,	C8.37)
и, опуская для простоты индекс z, из уравнения C8.27) имеем
ы I	v	о'уи
О J	||	"II
Здесь использовано выражение для вероятности wp (к). Обозначая так-
386

жеF|| fp||) = l f(pJn p^dp^ и опуская в дальнейшем значок II, пере-
переписываем уравнения C8.27) для рассматриваемого одномерного слу-
случая в виде
3F
C8.39)
at	к к к	кг	\др ]pmmajk
Нетрудно далее убедиться, что
я I uom2	\
= — 	 Wk=n . , C8.40)
Эр р3 ' '- " fc=wo/v at \ р3 к а°/уI
и поэтому из системы C8.39) находим
J-\F(p>t)- JLI-1	 и ,-0,	C8.41)
ot I	op \ Р	о / |
так что выражение в квадратных скобках не зависит от L Вместо им-
импульсного распределения F(p) удобнее использовать скоростное
fy(t)d\ = F(p, t)dp. Тогда, предполагая, что в начальный момент вре-
времени t = 0 колебания отсутствовали Wk(t=0) = Q, имеем из уравнения
C8.41) интеграл движения
/ (t)	—— h/. ,, / (t)\=f @) = const.	C8.42)
v	dY \mv3 K=(oo'v / v
Если функция распределения /у@) имела вначале "горб", который
приближенно можно аппроксимировать наклонной прямой линией
в интервале vt < v < v2 (рис. 136), то постепенно диффузия частиц при-
приведет к сглаживанию горба и образованию плато на функции распре-
распределения. Одновременно в интервале фазовых скоростей vt < v<j, < v2
будут нарастать колебания, спектр которых можно найти, интегри-
интегрируя по dv соотношение C8.42), что дает
Г ( vv	C8.43)
0 J
1	387

Рис. 136. Раскачка колебаний и образова-
образование "плато" на функции распределения
при наличии начальной "инверсии"
или приближенно
C8.44)
l .	.
где v = — (Vj + v2) - средняя скорость частиц на рассматриваемом ин-
интервале.
Приближенно можно положить /v @) = /v @) + (v - v)
a/T@)

дУ
. и
считать, что в конце процесса при с* °° образуется плато /у(°°) =
= /-@). Тогда находим установившиеся колебания
9/v@)
- v.
C8.45)
с примерно параболическим профилем. Уравнение W = 2"$V/ показы-
показывает, что для развития колебаний необходим начальный уровень,
который в плазме всегда можно приписать тепловым флуктуациям,
имеющим порядок
^(тепл).
vk
dkxdky
8лэ
Td2,
C8.46)
где d - радиус Дебая. Характерное время установления профиля
C8.45) определяется как начальной производной df/d\, так и началь-
начальным уровнем колебаний.
388

Задача. Рассмотреть задачу о турбулентном нагреве плазмы, предполагая, что в си-
системе имеется внешний "генератор" изотропных плазменных колебаний, создающий ста-
стационарный степенной спектр вида uk= Й ufc Nfc/8 л 3 = а / fc 3, где а - постоянная.
Решение. Для сферически-симметричного распределения волн и частиц, используя
уравнения C8.33) — C8.34), находим коэффициент диффузии
4л2е2	1 dk
uk 8л3е2о
= 12л 	I \ —- 6 (fc||V-uo)dk=-	=const>0,	A)
\	V	/ J К	j n
который для данной задачи постоянный и не зависит от импульса частицы р = m т. В этих
условиях решение уравнения C8.33) для частиц
можно искать в виде максвелловского распределения
с температурой, зависящей от времени Т= T(t). Подставляя данную формулу в предыду-
/	¦	•	d	D\\
щую, обозначаем Ф @ = l/v 2тГинаходимф = — 2D,, фэ или, иначе, 	 T(t) = 2 	 =
11	dt	m
= const, так что температура возрастает линейно с течением времени. Заметим, что в рас-
рассматриваемом случае полная плотность энергии продольных колебаний
логарифмически расходится, так что для реальности спектр ик= а/к3 следует "обрезать"
как на малых, так и на больших к.
§ 39. Взаимодействие волн в слаботурбулентной плазме
Слаботурбулентным называется такое состояние плазмы, когда в
ней возбуждены многие колебания, причем их уровень существенно
превышает уровень равновесных тепловых флуктуации, т.е.
Nk^> NT~ T/h G)fc » 1, но в то же время достаточно мал - настолько,
что справедливо разложение уравнений движения частиц в ряд по
степеням амплитуды колебаний v «: vr.
389

Предполагая, что фазы колебаний случайные, можно пользоваться
наглядными квантовыми представлениями о спонтанных и индуци-
индуцированных процессах, хотя все рассматриваемые задачи классичес-
классические.
В предыдущем параграфе уже были получены квизилинейные
уравнения C8.27)
k ykk,k^\)p;	C9.1)
d
dt
/=divp Id-^~ j, D=\ hk%kNkw®{k)dk/Sn3 ,	C9.2)
описывающие взаимодействие частиц с волнами при излучении или
поглощении с вероятностью w (к).
В квантовой электродинамике взаимодействие характеризуется
параметром е2 /Ьс = 1/137. Аналогично в плазме можно ввести фор-
формальный параметр взаимодействия ~е2, и тогда видно, что излучение
или поглощение волны частицей, изображенное на рис. 137, а, является
A) „ ч	,
процессом первого порядка по взаимодействию, поскольку w (к)~е .
Для поперечных волн процесс излучения равномерно движущейся
частицей в полностью ионизованной плазме невозможен, поскольку
vr > с, и поэтому для них представляет интерес процесс рассеяния,
изображаемый диаграммой второго порядка ~е4 (рис. 137, б), и процес-
процессы более высоких порядков.
Все эти процессы можно описывать уравнениями типа C9.1). Вве-
Введем, например w (к, к') = w - вероятность рассеяния на частице р
волны kg с превращением ее в волну к<,'(о о'-поляризации). Тогда, учи-
учитывая спонтанные и индуцированные процессы и принимая во внима-
внимание равенство wp (к, к') = wp>(k', к), следующее из рис. 136, б при обра-
обращении времени (все стрелки заменяются на обратные), видно, что для
квантов fik
уход = 5 н>B) Nk (Nk,+ 1) /(р) d p d k'/8 л3;
приход = StvCTJV nvfc+l)/(p + fik-7ik)dpdk78n3.
К
При ft -* 0 имеем уравнение баланса
390

Рис. 137. Виды взаимодействий в плазме:
а — поглощение кванта частицей; б — рассеяние волны; в - распад одной волны на две;
г — четырехволновое взаимодействие
dt
8 п3
C9.3)
Здесь учтем закон сохранения р + Ьк = р'+ йк'при условии Ь (к - к') «:
< р. Первый член справа, пропорциональный Nk Nk>, описывает инду-
индуцированные процессы, а второй - спонтанное рождение квантов h к из
квантов Ьк'. При Nk, Nk>» 1 можно оставить один первый член, и тогда
имеем для рассеяния
3/
B) dpdk'
C9.4)
В том же приближении для частиц можно по аналогии с выводом
C8.15) - C8.24) получить
Ж.
dt
391

B лN
C9.5)
Уравнения C9.4), C9.5) аналогичны квазилинейным C9.1), C9.2).
Диаграмма (рис. 137, в) соответствует трехплазмонному процессу
распада одной волны kj на две волны к2, к3 и, если ввести вероят-
вероятность такого процесса wC)= w (kt - k2 + k3), то для Nk получим
dt	L ¦ * J B л)
dk2dk3
BnN
dk2dk3
_ v I h-C)	 .	C9.6)
1	BnN
При N. » 1, отбрасывая госледний член, имеем
dk2dk
2dk3
23
= wC)(l -2 + 3) (N2 N3 ~NtN2- N, N3 ) ——— . C9.7)
dt J	" J x * x J Bл)
Аналогично можно рассмотреть и четырехплазменный процесс, опи-
описываемый рис. 137, г.
Если одновременно учитывать все указанные процессы, то полное
уравнение для волн принимает вид
d .. Id	д	да д \
	 N. = 	+ v	 N. =
dt к \ dt гр бг Эг дк j k
Nk+ I w{3)(N'N"-NkN'-NkN")
dk'dk"	/ад о\
X 	 + ...	C9.8)
Bп)«
392

Для всех приведенных выше уравнений следует учитывать законы
сохранения. Например, для процесса первого порядка имеем
p + ft k = p'; e + ft со = е',
откуда при ft — 0 следует условие черенковского резонанса
t(p')-t(v) I эе \
<*¦ —	кт'(тг=?)-	C9-9)
Для процесса рассеяния из соотношений
р + ft к = р'+ ft к'; е + ft ы = е'+ ft со'
получим условие резонанса частицы с двумя волнами
со- G)'=(k-k')v	C9.10)
и так далее.
Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из полученных урав-
уравнений. Пусть, например, распределение частиц обладает сферической
симметрией,так 4Tod//dp = v9//9е, причем Э//Эе<0. Тогда из урав-
уравнения C9.4) с учетом C9.10) получим
dt
2??- ^Г JK-"V) ^4»>'k'^pdk'.	C9.11)
Поскольку вероятность w fit, fe'^ положительна, волны iVfc будут на-
нарастать (у. > 0) при ык < ы'к и затухать (ук < 0) при со. > co'fc. Другими
словами, процесс индуцированного рассеяния приводит к перекач-
перекачке энергии высокочастотных колебаний в низкочастотную область
спектра, если там уже есть начальные колебания.
При анизотропных распределениях частиц, т.е. при наличии в
плазме пучков, возможна индуцированная перекачка низких частот
в высокие, что наблюдалось в ряде экспериментов.
Трехплазмонные (трехволновые) взаимодействия, описываемые
уравнением C9.7), требуют выполнения законов сохранения
Ь kt = h k2 + h k3 ; h 0)t = ft 0J + Ь 0K	C9.12)
(ft можно сократить) и описывают распад одной волны на две или
объединение двух волн в одну.
393

Например, в радиоизлучении Солнца наблюдается частота 2оH, что
объясняется слиянием двух продольных плазменных волн в одну
поперечную, выходящую наружу из его плазменной оболочки.
Очевидно возможен и обратный процесс распада поперечной волны с
частотой 2оH на две продольные.
Помимо этих двух избранных процессов, происходящих лишь
на частоте о^ = 2со0, в изотермической плазме с Те = Т., где ионный
звук не существует, интересен лишь трехволновой процесс распада
поперечной волны на поперечную и продольную:
J-.	C9.13)
со , » аH, и тогда и
шение при | к | | |
Далее считаем со , » аH, и тогда из формулы C9.13) получаем соотно-
соотно| к |
'к"
v« ^
C9.14)
сходное с условием C9.9) черенковского резонанса.
Покажем, что этот процесс, так же как и рассеяние на изотропных
частицах C9.10), приводит к перекачке энергии поперечных волн из
высокочастотной в низкочастотную область спектра.
Рассмотрим однородное по пространству (9 /д г =0) распределение
волн, когда
dt \ dt гр Эг эг Эк / к dt *
В этом случае уравнения C9.7) для трех волн C9.15) с частотами
Ы1 > Q2 > Qo принимают вид
wC)=wC)(l-2 + 3)/BnN,
J^.— f J5C)i?wdk2dk3;
at
Д
wC)«.
dt
3w"_ f „,C)
394
fydkid^,	C9.16)
3 f

где RN = N1 N2 - N (N2 - N1 ). В частности, при RN = 0, т.е. при усло-
условии
ЛГ11 (N2 - NJ-) = ftj; N2 ,	C9.17)
система может находиться в квазиравновесном состоянии, когда
dNj/д t = О, т.е. числа Л^ стационарны. Если вначале при t = 0 условие
C9.17) не выполнялось, то система постепенно перейдет в это квази-
квазиравновесное состояние, причем характер перехода зависит от началь-
начального набора чисел N10, N 20, Vo и знака RN @) (рис. 138).
Например, в случае рис. 138, a Nf @) > N^ @) имеем Rn @) > 0, и
поэтому из уравнений C9.16) следует iVt < 0; N2 >0;N > 0. Другими
словами, энергия высокочастотных поперечных волн переходит к
низкочастотным поперечным и продольным плазменным волнам. В
случае аI2»оH = со0 можно считать Лг0 » N х 2 @). Это видно на одно-
- '	1 1 ' 1 II
мерной модели, где три волновых вектора к12ик параллельны друг
другу, т.е. все три волны (точнее, пакеты волн) распространяются в од-
одном направлении. При этом из законов сохранения C9.13)
к + к ; С) = V"o + с* к\ =
C9.18)
к j = к2 + к3 ; Сд)г = V"
+	/2 + 2к2
при условии со j 2» со 0 находим
1 )dk2
C9.19)
так что интервал dk гораздо меньше интервала dk 12и поэтому мож-
можно принять неравенство N @) » N @). Поскольку на рис. 138, а N
it	I
растет, то и в конечном состоянии N » N ^ . При этом из условия
C9.17) следует, что разность N^ - Nf в равновесии должна быть мала,
395

л/.
В)
coi
См)
Рис. 138. Спектральная перекачка волн, описываемая уравнениями распада C9.16). Сплош-
Сплошные линии изображают начальные спектры волн при f = 0, а пунктирные — конечное
квазиравновесное состояние C9.17):
о-в случае JVj @) > JV2 @) при RN@) > 0; б - в случае ЛГ @) < JV2 @) при RN @) >
> 0; в - в случае Л^ @) < AJ^ @) при R,,@) < 0
так что данный процесс продолжается до примерного выравнивания
чисел Nf ,NJ.
В противоположность предыдущему в случае рис. 138, б при RN @) =
= N1N2- ЛГ11 (N3 - NJ > 0 предполагается JvJ < Nx N2/(N2 - N2), что
практически нереально. Ввиду быстрого увеличения N конечное рав-
равновесное распределение N^, N^ почти не отличается от исходного.
В случае рис. 138, в перекачка волн идет в направлениях, обрат-
обратных приведенным на рис. 138, а, т.е. здесь N и N^ уменьшаются, а
Nt увеличивается. Однако даже если выполнено начальное неравен-
неравенство Лг0 » N j 2 @), быстрый спад ЛГ до уровня N «: NJ~2 приводит к
396

Рис. 139. Распад одномерного пакета высоко- /у
частотных волн в набор низкочастотных волн
установлению равновесия RN = 0 задолго до выравнивания N~ и N^ .
Только при выполнении гораздо более сильного неравенства JVjJ »
	 N12 @) [ср. C9.19)] запаса продольных колебаний достаточ-
ыо /
но для того, чтобы и в равновесии выполнялось N
|
Nr~. Это в соот-
соответствии с условием C9.17) означает малость N2 - N1 , т.е. выравни-
выравнивание чисел Nk по спектру.
Описанный выше несимметричный процесс релаксации системы
волн к равновесию проследим на одномерной модели широко размы-
размытого пакета поперечных волн с A u_l » со0 (рис. 139).
Считая, что неравенство N » N ~2 всегда выполнено, имеем
C9.20)
и тогда уравнения C9.16) можно записать в диффузионном прибли-
приближении
Э jv1 о) и
dt
aki
C9.21)
3N'
dt
а
at
397

w™N"
Отсюда видно, что продольные волны N' нарастают (•№ > 0) за счет
поперечных там, где dNk/dk^ > 0, т.е. на левом склоне горба (см.
рис. 139). Отбор энергии у поперечных волн приводит к установлению
более пологого левого склона, и этот процесс должен продолжаться
до установления плато.
Все эти выводы о характере перекачки волн при нелинейных
взаимодействиях получают из качественного анализа уравнений
C9.11), C9.16), C9.22) даже без учета конкретных выражений для ве-
вероятностей рассеяния wB) и распада w®.
В заключение рассмотрим метод получения выражений для ве-
вероятностей излучения wA), рассеяния w® и распада wC). Если в одно-
однородном случае (9/ дг = 0) учитывать лишь спонтанные процессы, то
приращение энергии волн поляризации о
C9.23)
д w«-[
et J
где
к _ 1 ,
" J
В то же время,
„PI*
JVfc"-
д К
к dt
С t
1 #Л ' d Pd It
/р ) rf Л -f- 111' f ^D ) Pv
J fc< BnK
dk'dk"
BnN
, если известен сторонний ток
C9.24)
C9.25)
то создаваемое им поле определяется уравнениями
p	)	C9.26)
решение которых легко найти, используя единичные векторы поля-
398

ризаций ф? C7.34). Полагая
Е. = I Еак ^° ; jk" = I/°ыф? ; Iфк = А.оф?,	C9.27)
находим
Теперь можно приращение энергии о-волн C9.23) приравнять работе
поля Е° над током C9.25), создающим это поле:
C9-29)
А
Собственное значение XQ оператора Ь
обращается в нуль в точке о = о° + iy°, вблизи которой имеем разло-
разложение
», C9.31)
Сопоставление формул C9.29) и C9.23) позволяет определить вероят-
вероятности wA), к-(?), к-C).
Подсчитаем, например, вероятность wA) спонтанного излучения
кванта равномерно движущейся частицей. При этом j (r, t)=evb {т-vt),
и для фурье-компоненты тока имеем
.-i(kr-eot) ,__ " .6(Q_ky). C9.32)
Подставляя j в выражение C9.29), получаем
399

о(ы-кт)
C9.33)
Так как знаменатель \д обращается в нуль в точке о = о"+ iv?, то, сч»
тая у° малым и интегрируя с помощью вычетов, находим
о,°6(о,°-кт)|тф°|'
, —	dk.	C9.34)
at
к
Так как здесь рассматривается излучение одной частицы [см.
C9.32)], то при сравнении формул C9.23) и C9.34) следует опустить
f(p) ёри считать, что дN/д t = wA). Поэтому, разделив подынтегральное
выражение C9.34) на Ьы°, получим вероятность спонтанного излуче-
излучения кванта:
8п2е2
C9.35)
к
Для продольных волн в плазме имеем [(см. C9.30)]
о v л. i	wn \ л	™п к2 с2
о)° = оH,	C9.36)
так что формула C9.35) сводится к полученному ранее выражению
C5.31)
4л'е'б>0
W( . = 	 6(kv-GH).	C9.37)
Вероятности w' и w'3^ вычислены в следующем параграфе.
Задача. Пользуясь формулой C9.35), найти вероятность w . и полные потери энергии
на черенковское излучение поперечных волн зарядом, движущимся с постоянной ско-
скоростью т в среде с показателем преломления N > 1 (например, для воды N = 1,33).
Примечание. В полностью ионизованной плазме N < 1, и поэтому черенковское излу-
излучение поперечных волн равномерно движущимся зарядом невозможно. Однако могут
излучаться продольные волны при равномерном движении, а также поперечные и про-
продольные при неравномерном движении с ускорением,
inn

В среде с N > 1 излучение поперечных волн равномерно движущимся зарядом (эф-
(эффект Черенкова) имеет место при "сверхсветовой" скорости y > v^ = c/N< с.
§40. Рассеяние волн в плазме
Поскольку для поперечных волн в плазме ввиду условий v, > с;
и Ф к Тадд запрещены процессы первого порядка ~ е2 типа затухания
Ландау и излучения Черенкова, то для них интересен процесс второго
порядка по взаимодействию ~е4, т.е. рассеяние, для которого необ-
необходимо условиие
«i-u2 = 04-k2)v	ИОЛ)
резонанса частицы с двумя волнами - падающей и рассеянной.
Можно выделить три различных случая: 1) длина падающей волны
меньше дебаевского радиуса К ^ d к поляризация плазмы не сущест-
существенна; 2) К ~ d; 3) К » d.
Ниже рассмотрим только случай 1, встречающийся при опытах по
лазерной диагностике плазмы (рис. 140).
Направленный вдоль оси z высокочастотный (Uj^u,,) лазерный
луч h kx с полем Et = Ej ex cos u t t, где et = (ex, ey, 0) - единичный век-
вектор поляризации; Et - амплитуда, вызывает колебания электронов
mi = eE1, которые дают вторичное дипольное излучение с энергией е.
Ее угловое и спектральное распределение описывается формулой
D0.2)
Здесь п = (пх= 0; пу= sin6; п2 = cos8) - единичный вектор в направ-
направлении рассеянного излучения (см. рис. 140) и
2лт
-оо
D0.3)
1т
/
Рис. 140. Рассеяние волны при лазерной диагнос- у^.
тике плазмы
401
;лк,

Учитывая, что
(l)(l)
2п J
D0.4)
+ 00
где Г= I dt- "полное время" стационарного процесса излучения, из
-00
формул D0.2), D0.3) находим спектральную интенсивность
е*в2
/ (9)=— dt =	!—[пе.]а6(ы-ы.).	D0.5)
Интегрируя ее по углам и частотам, получаем полную интенсив-
интенсивность
0	3m3c3
8" ' eM2 ' " '	D0.6)
Здесь St =	 | [Е H]l=cEj /8 п - поток энергии падающего излучения
4 л
(вектор Пойнтинга), множитель от=	 г*л, где гкл=еа/тс3- клас-
классический радиус электрона, называется томпсоновским сечением
рассеяния света.
Если лазерный луч не поляризован, то, усредняя формулу D0.5)
по направлениям et в плоскости х, у, имеем
[ne.]2 = cos39 + e2sin29= i- A+Cos26).	D0.7)
х	2
Замечая также, что среднеквадратичная скорость электрона при ко-
колебаниях
с, f e?l
т? -	 sin2u,f^	1~,	D0.8)
1 \ »»«*, /	2т* ы2
можно представить формулу D0.5) в виде
/ (в). -I_!!l_ ^ A + cos2 в) в (а - uj,	D0.9)
402

аналогичном известной нерелятивистской формуле для циклотрон-
циклотронного излучения при условном соответствии частот ы х -¦ и „.
Умножив интенсивность D0.5) на число электронов пе в единице
объема, получим излучательную способность среды
D0.Ю)
так что по силе рассеянного света можно определить плотность
плазмы. Выше, однако, не учитывалось тепловое движение частиц,
которое приводит к сдвигу частоты рассеянного света в соответствии
с законами сохранения
p + fik,=p'+^k; e + Zju^e'+fiu.	D0.11)
Отсюда при h ¦* 0 вытекает условие
u-u^k-kjy,	D0.12)
которое можно рассматривать как условие резонанса частицы с дву-
двумя волнами, и поэтому в формуле D0.10) следует сделать замену
б (и - uj - 6 (со - Uj - (k-kjт) =
Ч- :	М.	D0-13)
где V|j - проекция скорости частицы на направление к - к1. При v = 0
сдвиг частоты отсутствует. Если же частицы распределены по Мак-
Максвеллу с вероятностью
dw..= /J2— ехр (-	— jdv,,, dw = l,	D0.14)
" V 2лГ	\ 2 Г / "J
то доплеровское уширение б-образной линии D0.10) приводит к про-
профилю вида
б (и - и,) -¦ j 6 [и - ut - (k-kjTjdw.. =
II
Vm/2nf	Г _ / и-и.
1*-к,|
D0.15)
403

где
|к - кх | = /fc2 + fc2- 2fcfct cos б' =
с
= — V(d2 + uf - 2 (d ux cos 6 «2	sin F/2).
Обычно в эксперименте по лазерной диагностике выбирают 8 = 90"
(см. рис. 140) и тогда приближенно
x exp
л
2
U - й
д
'«гкл'
У7д
1
; Д
X
/ 2Г '
V С2
D0.16)
так что по уширению рассеянной линии можно определить темпера-
температуру плазмы.
Из полученных формул можно, очевидно, найти квантовую веро-
вероятность спонтанного рассеяния к>B\ С этой целью сделаем в формуле
D0.5) замену D0.13) для 6-функции и проинтегрируем ее по электро-
электронам / (р) dp в единице объема, а затем по интервалу бы dQ = cdk/fc2
рассеянных волн, что по определению должно соответствовать при-
приращению энергии рассеянных волн:
•р _ i . --* - <*к
= /(p)dp
1
8nm2c3
x 6 (a - at - (k - kx) t) -^- .	D0.17)
Плотность энергии в падающей волне Е1 = Е1 ех cos (u t f - к г) запишем
в виде
в*	??
8 л	16 л
404

и тогда из формулы D0.17) имеем
D0.19)
dt
причем для wB) получаем выражение
—
— J
-at -(k-kjy).	D0.20)
Если первичная падающая волна не поляризована, то здесь следует
произвести усреднение по направлениям поляризации е15 что дает ре-
результат [(k/|k|)ej2 = A +cos2 8)/2, где 8-угол рассеяния на рис. 140.
В заключение укажем, что вычисление вероятности wC) для взаимо-
взаимодействия трех волн является достаточно сложной задачей, и поэтому
здесь приведем лишь результат для наиболее интересного процесса
распада типа к0 •* kt + к2 :
б (кох - к,1 - к2") х
D0.21)
где А = 8п6 Ь е2 / т2- постоянная. Здесь также произведено усредне-
усреднение по поляризациям обеих поперечных волн - исходной и распадной.
Полезно отметить, что все рассмотренные нами процессы взаимодейст-
взаимодействия волн в плазме являются чисто классическими, однако вместо ин-
тенсивностей волн мы используем более наглядное понятие - безраз-
безразмерное число квантов в одном состоянии, и поэтому в наши формулы
для вероятностей входит постоянная Планка Ь. Как нетрудно заме-
заметить, при этом вероятность первого порядка w(I) содержит h в знамена-
знаменателе, вероятность второго порядка tvB) не включает п [см. D0.20)], а ве-
вероятность третьего порядка w D0.21) содержит Ь в числителе. В об-
общем случае, очевидно, имеем пропорциональность w^ ~ iin~2.
405

Глава 9
КВАЗИГАЗОВЫЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ
В данной главе показано, что нелинейные уравнения вида р^ =
= - р* divy= 0; y=cJraV p*/m описывают большое число различных
неустойчивостей, часто встречающихся в природе, в том числе и в
плазме. Подробно они рассмотрены в монографии: Жданов С.К., Труб-
Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука, 1991 (См.
также: Trubnikov B.A., Zhdanov S.K., Zverev S.K. Hydrodynamics of un-
unstable media. US Ed. CRC-Press, USA, 1996.) Здесь же мы рассмотрим их
простейшие примеры.
В этих уравнениях точка означает полную производную по времени,
т.е. оператор d/dt = d/dt + (vV), p* - безразмерная "эффективная
плотность" среды; т - ее скорость; с% > 0 - постоянная, am- пара-
параметр, называемый "азимутальным числом" среды. Указанные уравне-
уравнения отличаются от уравнения для идеального политропного газа лишь
знаком в последней правой части, и поэтому их можно называть
квазигазовыми. Они описывают такие неустойчивые среды, которые
имеют тенденцию разбиваться на отдельные самостягивающиеся
коллапсирующие сгустки.
Их простейшим примером может служить рассмотренный С.А. Чап-
Чаплыгиным в 1896 г. модельный идеальный газ с показателем адиабаты
у = -1, для которого давление равно р = р0 (р/Рц)- Обозначив р* =
= р/р0, имеем
-± p, + divp,Y=0; ^ +(tV)t— j- Vp — -I VP;2,
где с§ = ро/ро. Эти уравнения совпадают с написанными ранее, если
считать т = -1/2 для указанного "газа Чаплыгина".
Дальнейшими примерами могут служить: цилиндр жидкости с по-
поверхностным натяжением (т =-2); перетяжки на сканированном плаз-
плазменном пинче (m =-l); "бунемановская" неустойчивость плазмы
(т = -1/2); "тиринг-неустойчивость" плоского плазменного пинча
(т = -1/2); самофокусировка солитонов НУШ - нелинейного уравне-
уравнения Шредингера, в частности ленгмюровских солитонов (т = 1/2), и др.
§ 41. Квазигазовые уравнения и их решения
При наличии двумерной или трехмерной симметрии квазигазовые
уравнения могут иметь автомодельные решения типа v = Ar/t, где А -
число. Однако наиболее интересно, что в одномерном случае эти не-
406

линейные уравнения допускают возможность получения точных реше-
решений, среди которых самыми типичными следует считать особые
"спонтанные" решения, которые мы и рассмотрим. В одномерном слу-
случае исходными будут уравнения вида
д	д	Л ду	ду «	д i/m	(л\ 1\
—- р* + —— р* v = 0; —— + v	= cl т -—- р;/т,	D1.1)
dt * дх	dt	dx ° дх
и их решение можно найти сделав переход к обратным функциям.
Такой переход принято называть преобразованием годографа. В нашем
случае полезно вначале ввести две безразмерные функции
z(x,t) = v/2mco;r(x,t)- pl'2m,	D1.2)
для которых уравнения D1.1) перепишутся в виде
-1 дг _ дт	дг
С° ~д~Т ~д~7	Тх~ '
,3г	9г.	дг	/лл i\
cz1 	=- г	2тz 	.	D1.3)
dt	дх	дх
Затем вводим две обратные функции с01 = Т (г, z) и х = X (г, z), диф-
дифференцируя которые по х и t, находим соотношения
dt T dt z dt
11=Г — +Г' — "О"
ЭХ Т дх Z дх '	D1.4)
dt г dt z dt
H=x>lL+x'lJL.i,
dx r dx z dx
из которых находим выражения для "прямых производных"
dr	<. djTJ.
cQdt	J ' dx
407

Ji
JL
;
codt	J	dx J
где J = Г'х'- T^X'f- якобиан перехода. Подставляя D1.5) в нелиней-
нелинейные уравнения D1.3), получаем два линейных уравнения
Х'т- 2mzГг'+ г Г; Х[ = 2 mг Гх'- г Г/	D1.6)
для обратных функций. Условием их совместимости является уравне-
уравнение
^1 Гг'+Г"-0,	D1.7)
которое принято называть уравнением Дарбу. Для его решения пола-
полагаем Г (V, zj = r~m ф (г, zj, и тогда для функции ф (г, z) находим уравне-
уравнение
из которого прямо видно, что аргументы г, z для наглядности целесо-
целесообразно рассматривать как цилиндрическиие координаты в некотором
"фазовом" пространстве, добавив к ним фиктивный "угол" (р. Если
после этого ввести фиктивный "электростатический потенциал" ? =
= ф cos m ф, то для него с учетом D1.8) получим трехмерное уравнение
Лапласа
VW(r, <p,zj = O.	D1.9)
Его удобно решать, пользуясь наглядной аналогией с электростати-
электростатикой, основным уравнением которой является уравнение Пуассона
Д V = - 4 л р (г),	D1.10)
имеющее решение в виде интеграла Пуассона
?(r) = 5|r-r'|-1p(r')dr'.	D1.11)
Здесь видно, что электростатический потенциал порождается заря-
зарядами, расположенными в точках г,' и наличие "нуля" в правой части
D1.9) означает, что в наших квазигазовых задачах фиктивные "заря-
"заряды" являются точечными или дельта-образными, и возникает вопрос:
где их следует расположить в трехмерном "фазовом" пространстве
г, ф, z?
408

Для этого заметим, что решения уравнения Лапласа D1.9), описыва-
описывающие движения наших неустойчивых сред, могут быть весьма раз-
разнообразны, и чтобы разумно ограничить этот произвол, далее условим-
условимся считать, что в обратном пределе по времени t-*-<*> возмущения от-
отсутствовали, точнее говоря, они были асимптотически малы. Отсутст-
Отсутствие возмущений означает, что функции рл, v принимают значения рл =
= 1, v = 0, а это соответствует окружности г = 1, z = О единичного радиу-
радиуса, на которой и следует поместить фиктивные заряды, порождающие
потенциал, который при этом будет иметь особенность типа W -* - °° на
этой окружности, что и соответствует пределу t -* -°° (рис. 141).
В этих условиях для решения уравнения Лапласа D1.9) удобно ис-
использовать не цилиндрические координаты г, <р, z, а так называемые
тороидальные координаты \, <р, л, определяемые соотношениями
= hsinr\;
D1.12)
где h = l/(ch ? + cos п) - коэффициент Ламэ. В трехмерном "фазовом"
пространстве г, <р, z поверхности | = const образуют торы, а поверхнос-
поверхности Л = const - сферы, и в ортогональной системе координат \, Ф, п урав-
уравнение Лапласа D1-9) принимает вид
Э
ъ\
= 0,
31 / ЭЛ \ ЭЛ / sh*s Эср2
а поскольку V = ф (?, л) cos m Ф, то для функции ф имеем
т2 ф = 0.
D1.13)
D1.14)
Это уравнение эквивалентно уравнению D1.8), и наконец, пола-
полагая ф = у ch \ + cos п g (t, Л), получаем для функции g уравнение
Рис. 141. К решению уравнения Лапласа D1.9)
в фиктивном трехмерном "плотностно-ско-
ростном" пространстве
409

Л g+ iL L + 4 -EL g I,	D1.15)
Эт2	A-х2)» \	ЭЛ2
где вместо \ введена новая переменная т = th {1,12). Это уравнение
имеет много разнообразных решений, поскольку в реальных условиях
форма возмущения определяется конкретным видом "начального
толчка", выводящего систему из равновесия. Здесь, однако, мы иссле-
исследуем не какую-либо начальную "задачу Коши", а хотим лишь проил-
проиллюстрировать картину неустойчивости на каком-либо простом при-
примере.
Например, возможно решение типа g = G(|), не зависящее от угла л,
и путем специального исследования можно показать, что оно описыва-
описывает возмущения, периодические по длине системы. Ясно, однако, что
для таких возмущений нужны периодические "затравки", а если тако-
таковые отсутствуют, то скорее всего в неустойчивой среде будут нара-
нарастать вначале удаленные друг от друга случайные локальные возму-
возмущения, среди которых найдется наиболее крупное локальное воз-
возмущение, и поэтому "наиболее типичным" следует считать локальное
возмущение.
В самом простом случае можно положить g{x, л) = / 00 cos (л/2), и
тогда для f{x) имеем уравнение m2f=d2f/dx2 с простейшим решением
f{x) = const x~m, исследованием которого мы и ограничимся.
Ему соответствует функция времени
. , _m_l/2	1	Л
Т(Е„Ц) = -\Тп \s	sh — cos — <0 (-л<Т)<л),	D1.16)
I oi	2	2
где Го - произвольная постоянная и для краткости обозначено s =
= (ch ? - l)/(ch | + cos n) < !• Далее следует найти координату X (|, л),
для чего удобно вначале переписать соотношения D1.6) в векторном
виде:
Д х-2 mz V Г+г [1VV Г].	D1.17)
В тороидальных координатах оно запишется в форме
9X _ -	,•_ ч Э Г _/- \ ЭТ
D1.18)
и если подставить сюда частное решение D1.16), то найдем
—
дц
410

Здесь а, р, у - функции, зависящие только от переменной |:
a=2m(m+l); p = -2m-^-ch|; У = 2(т2- —) -^- . D1.20)
chS-l	\	4 / eh |-1
Уравнение D1.19) можно проинтегрировать по углу л. и в результате
достаточно громоздких вычислений получим функцию координаты
*" .	D1.21)
1
2
Справедливость этого решения проще всего проверить прямой подста-
подстановкой в D1.19). Формулы D1.16) и D1.21) дают параметрическое пред-
представление частного решения и ввиду простоты даже позволяют исклю-
исключить один из параметров - угол ц. Для этого полезно предварительно
ввести безразмерные время t = Г/| Го | и координату х = х/\ То |, а так-
также функцию S(s)=sm -Jl-s, что позволяет записать t в виде
^ 1	n	I + cos л
t =	cos2 — =	(-л<л<л).	D1.22)
S	2	2S
Тогда можно получить выражения
/v	2sS~
cosn = - I- 2St; ch| = l	,	D1.23)
l-s
с учетом которых решение можно записать в форме
»-i \m
; v = 2mcoz =
s t
= ±2mco(l-s) /-1- -L,	D1.24)
v	st
где параметр s (t, x) следует определять из выражения
D1.25)
411

При этом он меняется в интервале sMI1H < s < I, sMI1H определяется из
уравнения S(s^a,) --l/t. Более детальный анализ показывает, что для
набора шести "азимутальных чисел" т = -2, -1, -1/2, 1/2, 1, 3/2 безраз-
безразмерное время Г может меняться в пределах -°° < Г< Ткр. При Г = -°°
возмущения отсутствуют, а в критические моменты времени Т=Ткр в
решениях возникают особенности. Эти моменты соответственно для
различных тп оказываются равными: fKp = 0 для m = -2, -1, -1/2; Гкр =
= -2 для m = 1/2; ^р = - -/27/2 для m = 1 иТкр = - 16//271 для m = 3/2.
На рис. 142 сплошными линиями показаны профили плотности р^ в
эти критические моменты времени 1^ для указанных сред с шестью
значениями тп, а пунктиром показаны профили плотности рЛ в момен-
моменты времени 7= 7кр - 0,5, предшествующие возникновению особеннос-
особенностей решений. Эти графики построены численно, и, как видим, наши
частные решения D1.24) описывают "спонтанные" возмущения, имею-
имеющие вид горба плотности, нарастающего между двумя углубляющими-
углубляющимися ямками плотности. Для отрицательных значений т= -2, -1, -1/2 в
критические моменты fKp = 0 центральный горб сгребается в дельта-
— ЛИК
Рис. 142. Шесть элементарных решений D1.24) для шести типов квазигазовых сред. При
отсутствии возмущений в пределе времени t-*-<*> для всех сред имеем р =1. Сплошные
линии соответствуют критическим моментам времени t = fK , а пунктирные линии дают
профиль "плотности" pt в моменты времени t = ~к = 0,5, предшествующие критическим
моментам
412

образный пик, где сосредоточены ускоренные частицы среды, а для
трех положительных значений т = 1/2, 1, 3/2 в критические моменты
горб отделяется от примыкающих участков среды, и в дальнейшем
эволюционирует самостоятельно.
§ 42. Пучковые неустойчивости в плазме
В качестве первого примера использования квазигазовых уравне-
уравнений рассмотрим так называемую бунемановскую неустойчивость
плазмы, возникающую при движении электронов относительно ионов,
т.е. при наличии тока. Пренебрегая магнитным полем, считаем ионы
вначале покоящимися, а начальную скорость электронов v0 e считаем
большой по сравнению с их тепловой скоростью, так что последней
можно пренебречь. Кроме того, считаем выполненным условие квази-
квазинейтральности, так что исходная система содержит пять уравнений
для пяти искомых функций:
а	а	а	а
n=Z.n.\ 	 п + 	пv =0 ; 	 п.+ —- n.v. = 0 ;
е ' ¦' at е ах е е at ' ах ' '
D2.1)
т
е
	+ v 	 = - е Е; т. 	+ v. 	 = Z. еЕ.
\ at е Эх )	' ¦ \ at ' ах I ¦
Здесь Z, е - заряд ионов; Е - электрическое поле, которое можно ис-
исключить из двух последних уравнений, что дает соотношение
Далее введем "эффективную плотность" Р* = п /пео = п(. / п10, записав
первые уравнения D2.1) в виде
77^77"-'<=°;^р.<i:''*<¦¦•¦	D2-3)
Умножив первое уравнение на Z, me, а второе на щ и сложив их, полу-
получим соотношение, содержащее функцию \ (х, t):
M-Lp4+-i-p^-0,M-Zm +m.,	D2.4)
at ax	i e i
413

и если ввести "эффективную скорость" v = Ь, /М, то находим
о	Э -.	9v	Id,
	Р* +	Р* v = 0;	Z. т v2 + т. v?). D2.5)
dt	Эх	dt	2м дх ' е е 1 '
Здесь первое уравнение уже имеет квазигазовый вид, а второе можно
преобразовать к квазигазовому виду, если заметить, что из D2.3)
следует закон сохранения тока р* (ve - v,) = const = ve0, учитывая кото-
который, мы можем выразить обе скорости ve (. через две функции v и р^:
V	V
ve = v + m,- —-— ; v,- = v - Z,- me 	.	D2.6)
Подстановка этих выражений в D2.5) дает второе квазигазовое урав-
уравнение
ау ау е» а	|veo| 	,
— + v —~ =	— 	 рг2 , с0 = —-— V Z. т„ т,',	D2.7)
3t Эх	2 Эх	М	« е «
которому, как и "газу Чаплыгина", следует приписать "азимуталь-
"азимутальное число" т = - 1/2. Это позволяет использовать найденные ранее для
квазигазовых уравнений неявные параметрические решения типа
D1.2).
Более того, при т = -1/2 решения удается записать в явном виде,
учтя, что при т = -1/2 функция S (s) равна S (s) = sm \Л - s = V i^/s)~ 1>
а формула D1.25) для координаты принимает вид
?= -Л_ = ± / -7(F+ — I.	D2.8)
Ш	V ^
Обозначая для краткости N=х2 + г2, находим отсюда выражения
(l+— j1	D2.9)
N2 I
и, подставляя в формулы D1.24), получаем решения в явной форме:
р =	=	= 1 +	 /	; 	= —	 • D2.10)
Как показано на рис. 142, плотность р* имеет при этом вид горба, рас-
расположенного между двумя нарастающими впадинами. В критический
414

момент t = О перетяжки плотности сужаются до нуля и склоны впадин
описываются простой формулой Р*(х, t= 0) = |лг{/ у' 1 + х2 \ однако в
центре остается дельта-образный пик плотности, содержащий уско-
ускоренные частицы.
На практике такая эволюция бунемановской неустойчивости мо-
может приводить в критический момент к запиранию тока в плазме,
что, по-видимому, и происходит в так называемых зет-пинчах, кото-
которые в момент обрыва дробятся на отдельные "блинчики", расположен-
расположенные в виде столбика. В заключение отметим, что при т = -1/2 уравне-
уравнение Дарбу D1.7) сводится к плоскому лапласиану Т" + Т" = 0, общее
решение которого легко найти по формуле Г = Re / (г + \z), например:
р* = - sh f/(ch T- cos x), v = с0 sin х/ sh 7.
В бунемановской неустойчивости мы учитывали движение ионов,
но теперь в качестве второго примера рассмотрим задачу о дроблении
электронного пучка на сгустки-банчи, считая ионы неподвижными и
предполагая, что плазма пронизывается пучком электронов с плот-
плотностью п., которые взаимодействуют с электронами плазмы, имеющи-
имеющими плотность п . Предполагая вновь выполненным условие квазиней-
квазинейтральности, имеем уравнения
п.+п = Z. ni0 = const; 	+	 п. v = 0 ;
дпе	д
Ув-0;	D2.11)
dt	дх	m	dt	дх
Здесь полезно вначале ввести новые переменные и = vb - ve, а также
| = (пе - пь)/ (пе + пь) и учесть, что из первых трех уравнений следует
закон сохранения полного тока: пь vb + ne ve = const = nb0 vbo. Введя так-
также постоянную среднюю скорость электронов Уо = (пе уь + пече) / (пь +
+ пе), найдем выражения
1+?	1-Е
Пе= "I" Zinio'nb= ~Zinio'
ye=Vo- -^ " ; vb= Vo + ill и ,	D2.12)
415

с учетом которых из системы D2.11) можно получить два уравнения
— — — (?«3)>	D2.13)
2 Эх
не имеющих стандартной квазигазовой формы. Однако если ввести
новые переменные - "эффективные" плотность и скорость
р*= (~J 7TF"; v=и%~и°1о'	D2Л4)
где ?0, и0 - невозмущенные значения, то из D2.13) получим
Э	Э \	Э
3t	° дх I * дх *	'
D2.15)
dt ° дх	дх ° дх
где eg = — и\ A - ||) > 0 и W = V + и0 |0 - постоянные. Если те-
4
перь вместо t, х ввести новые аргументы t, xt = х - Wo t, переходя
тем самым в систему координат, движущуюся со скоростью Wo, то в
ней уравнения D2.15) перепишутся в стандартной квазигазовой форме:
— Р*Л*!)+-2—P*v-0; —+v-^-=cg -2— р, D2.16)
9 f	Э xt	Э t	dxl	дх1
с "азимутальным числом" т = 1. При малой плотности пучка п6 ¦« пе
здесь имеем с0 s v&0 V nj,o / пео и электронный пучок разбивается на
банчи быстрее, чем в бунемановской неустойчивости, где параметр с0
равен с0 s ve0 yjZi me/ m('. Для наглядной интерпретации рассматрива-
рассматриваемой неустойчивости типа бунчировки пучка полезно отметить, что в
точности такими же уравнениями с "азимутальным числом" т = 1 опи-
описывается задача о так называемой опрокинутой мелкой воде и образо-
образовании капель на потолке:
416

1=0; — +(yV)y= — V (p0gh), D2.17)
at	at	p0
где h (x, y, f^ - толщина слоя воды на потолке; р 0 = const - плотность
воды, а р = - pogh -давление Архимеда, являющееся отрицательным,
поскольку слой "опрокинут" и находится не на полу, а на потолке.
Можно видеть, что в одномерном случае уравнения D2.17) для
опрокинутого слоя полностью совпадут с уравнениями D2.16), опи-
описывающими бунчировку, если для совпадения ввести для слоя ве-
величину рЛ = h/h0. Таким образом, роль эффективной плотности здесь
выполняет толщина слоя, и эта наглядная аналогия поясняет про-
процесс бунчировки пучка. Для имеющего здесь место частного случая
т = 1 в найденных ранее элементарных решениях D1.24) удобно ввес-
ввести новый параметр р = у/ 1 - s\ при использовании которого формулы
D1.24) и D1.25) принимают вид
¦ Р*=A-Р2J - ?;*2 +?[?+—f7T~ A-Зр2J=0, D2.18)
где - °° < 7< ?р = - V 27/4! Как показано на рис. 142, в критический
момент времени Г=^р капля-банч отделяется от примыкающих участ-
участков среды. Заметим, что второе уравнение D2.18) является алгебраи-
алгебраическим уравнением четвертой степени и в принципе допускает на-
нахождение явной зависимости для параметра р = р(х, t), а тем самым
для плотности р* (х, 7) и скорости v (х, 1), определяемой формулой
v = ±2c0p2 /-1- -^	.	D2.19)
Найдя функции р* (х, 7) и v (x, 1), затем следует найти величину
•	D2-20)
с помощью которой окончательно определим истинные плотности
электронов плазмы и пучка, определяемые формулами D2.12), что и
решает задачу.
Чтобы более наглядно представить поведение пучка, укажем еще
полезную аналогию с "двумя струями в трубе". Вообразим, что по
длинной трубе с постоянным по длине сечением So, не смешиваясь, те-
текут две струи воды с сечениями Sl2 и скоростями v12. Если считать,
417

что струи заполняют все сечение трубы, и если можно пренебречь их
трением друг с другом и со стенками, то такая система должна описы-
описываться уравнениями
5i + S2 = So = const; — Sj + — S, v,- = 0;
д t	d x
>	dp
+ v,- 	=	— ,	D2.21)
' дх рдх
dt ' дх
которые в точности аналогичны системе уравнений D2.11) для пучка,
а значит, плотности электронов пеЪ меняются так же, как сечения
струй в данной задаче о неустойчивости тангенциального разрыва ско-
скорости.
В качестве третьего примера рассмотрим задачу о разбиении элект-
электронного пучка в плазме на отдельные нитевидные струи - филаменты.
При этом можно пренебречь действием электрического поля, но сле-
следует учесть действие магнитного поля, так что для пучка имеем
уравнения
v0 — + div (n т. ) - 0; v0 — т + (т V) v = — [т0 В ]. D2.22)
dz	хх	9гхх х гл с	х
Здесь v0 = vz = const - постоянная скорость электронов, летящих вдоль
оси z\ n (х, у, z) - их плотность, которая на левой бесконечности при
z -*-<*> считается невозмущенной и равной п0. Магнитное поле В.
возникает путем самовозбуждения именно за счет дробления пучка
на нити, и его можно найти из уравнения Максвелла
rotB= — j+± — eE;rotE	1 — ,	D2.23)
с	с dt	с dt
где j = - en v0 - ток пучка; е = 1-(@о/иJ- диэлектрическая прони-
проницаемость основной плазмы. В пределе низких частот и -> 0 ее можно
считать равной е = - (uo/uJ и настолько большой, что в первом урав-
уравнении D2.23) можно пренебречь членом rot В. Это означает, что ток пуч-
пучка полностью компенсируется током смещения, и поэтому имеем
()E;4j
dt \ a j	dt	dt \
D2.24)
418

Далее заметим, что в фурье-представлении производная по времени
равна 9/9f = -iu, так что последняя правая часть в D2.24) равна
-ЫрЕ. Отсюда находим напряженность электрического поля Е =
= - 4 л ы~2 9 il dt, и подставляя его во второе уравнение Максвелла
D2.23), находим индукцию магнитного поля
4лс 4 л се , / 4леа (о)\
В= -^ rotj- —— т0 V п со*	neU .	D2.25)
Наконец, подставляя В в силу Лоренца в уравнении D2.22), получаем
@)
где ng - концентрация электронов основной плазмы. Если ввести
эффективную плотность р* = п/п0 и эффективное время t = z/V0, то по-
полученные уравнения D2.22) и D2.26) приобретут в точности квазигазо-
вую форму
-f p, + div р. т. =0; -j-v +(т. V)y «cSV, p.	D2.27)
Of	XX	gfXXX	X
с параметром с0 = v0 }Jno/n® и азимутальным числом т = 1, какое бы-
было и в предыдущей задаче о продольной бунчировке пучка. Здесь же
мы рассмотрели поперечную бунчировку, т.е. филаментацию пучка в
направлениях х и у. Как уже отмечалось, уравнения D2.27) совпадают
с уравнениями для капель на потолке D2.17), что делает наглядной
картину филаментации, однако общее двумерное решение получить
трудно. Если же рассмотреть одномерный случай дробления пучка не
на нити, а на слои, когда р* = р* (t, x), то задача легко решается. На-
Например, применимо частное решение D2.18), изображенное на рис. 142.
Как известно, в некоторых лабораториях мира проводятся опыты с
сильноточными пучками слаборелятивистских электронов с токами
порядка одного мегаампера и энергиями порядка мегаэлектрон-воль-
та. В частности, пучками облучают малые дейтериевые мишени в виде
таблеток в целях получения термоядерных параметров плазмы, од-
однако рассмотренная выше неустойчивость, приводящая к дроблению
пучка на отдельные нити, препятствует фокусировке пучка, который,
образно говоря, становится похож на веник.
419

§ 43. Модуляционные неустойчивости и критерий Лайтхилла
Рассмотрим какую-либо волну, которая в линейном приближении
имеет закон дисперсии со = со (к). В нелинейном приближении при уче-
учете конечности амплитуды о в законе дисперсии может возникать до-
добавка б со = и а2, пропорциональная квадрату амплитуды. Ее называют
поправкой Стокса, так как Стоке впервые ввел ее в теории волн на
воде. Далее предположим, что набор волн образует достаточно узкий
волновой пакет с волновыми числами, близкими к некоторому зна-
значению fc0, вблизи которого частоту со (к) можно разложить в ряд Тей-
Тейлора, что дает
co = coffc^+6co = co (к0) + (к — к0) v+— (к - к0J со'' + на2 , D3.1)
2	К/с
где v = ды/дк - групповая скорость волн. Если ввести обозначения
П = со (к0)- fc0v+co^fc2/2Hv = v-co^fck0, то получим
co = fi + fc7+ — со'' Лс2 + иа2,	D3.2)
2 КК
а поскольку в фурье-представлении частота и волновой вектор возни-
возникают из производных 3/9f=-ico;V=ifc,TO D3.2) эквивалентно уравнению
— +vVo| = - — со" До + (О + и|о|2)о,	D3.3)
Э t	J	2 kK	' '
которое принято называть нелинейным уравнением Шредингера
(НУШ).
Оно описывает поведение почти монохроматической волны в силь-
нодиспергирующих средах и является столь же важным "фундамен-
"фундаментальным", как и известное уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ) для
слабодиспергирующих сред. Общее решение НУШ было получено
В. Е. Захаровым и А. Б. Шабатом в 1971 г. Его можно упростить, во-пер-
во-первых, перейдя в систему координат, движущуюся со скоростью "v, что
приведет к исключению члена '"vV а, и, во-вторых, полагая о = фх
X ехр (- i Q t), что приводит к
1 -Х-*. = — — q Дф + ифф.	D3.4)
Это уравнение полезно сравнить с обычным уравнением Шредингера
420

¦ ¦ • '	D3-5)
31	2m
где U - потенциальная энергия частицы массы т. Во втором уравне-
уравнении локализованное состояние частицы может возникнуть лишь тог-
тогда, когда потенциальная энергия имеет форму ямы, т.е. является
отрицательной U (х) < 0. В нелинейном же уравнении D3.4) перед лап-
лапласианом имеем множитель и" который может быть и положитель-
положительным, и отрицательным, и для качественного сравнения нужно было бы
поделить на него уравнение D3.4), после чего видно, что роль по-
потенциальной энергии в НУШ играет комбинация | ф |2 и / u*fc, которая
будет отрицательной лишь при условии
и u*fc < 0 ,	D3.6)
которое принято называть критерием неустойчивости Лайтхилла. Если
это условие выполняется, то волна (аналогично частице) будет скаты-
скатываться в яму, а поскольку глубина ямы здесь пропорциональна квад-
квадрату модуля | ф |2, волна как бы сама себе "роет яму" и этот процесс
будет неограниченно нарастать, что в конце концов приведет к само-
самостягиванию и коллапсирующей самофокусировке сгустка волн.
Например, для гравитационных волн на воде в линейном приближе-
приближении имеем закон дисперсии ы0 (k) = /kg1, где g - ускорение свободно-
свободного падения. С учетом нелинейной поправки Стокса закон следует за-
записать в виде
о = о0 (к) A + к2 а2) ^ /kg + па2; и = к2 \fkg> 0 .	D3.7)
Здесь ы'о (к) = yjg/4k\ ы" (к) = - \/F/4 к \fk, и, поскольку и w?fc < 0, в
соответствии с критерием Лайтхилла D3.6) чисто синусоидальные вол-
волны на воде должны быть неустойчивы и могут группироваться в бие-
биения типа "девятого вала", как это было обнаружено в опытах Бенджа-
Бенджамина и Фейра в специальном бассейне с волнопродуктором.
Если в углубляющейся потенциальной яме укладывается много
длин волн, то такая картина должна описываться квазиклассическим
приближением, иными словами, уравнениями геометрической оптики.
Чтобы это проделать, перейдем к фурье-представлению теперь уже в
уравнении D3.4), написанному в движущейся со скоростью v системе
координат, что не повлияет на выводы. Тогда из D3.4) имеем
о = и (к, г) = — ы" к2 + и I ф I2 ,	D3.8)
2 кк	'
и два уравнения геометрической оптики приводят к соотношениям
421

т = — = —- = и" к; — =	- = -и V I ф I2 .	D3.9)
dt Эк кк dt	dt	' '
Напомним, что если ввести импульс кванта р - ft k и его энергию, эк-
эквивалентную гамильтониану е = Н (р, г) = Ны, то уравнения геометри-
геометрической оптики D3.9) будут совпадать с уравнениями Гамильтона
?!=!?; iL=_!?.	D3.Ю)
dt dp dt	dq
Однако из D3.9) можно получить и наши квазигазовые уравнения.
Для этого следует лишь заметить, что плотность энергии волн пропор-
пропорциональна квадрату амплитуды, причем в наших гамильтоновых си-
системах не учитывается поглощение, так что энергия должна сохранять-
сохраняться. Если теперь ввести эффективную плотность энергии р^=|ф/фо|а,
то закон сохранения энергии запишется в виде первого квазигазового
уравнения
— p, + divp,v=O,	D3.11)
dt
а последнее соотношение D3.9), умноженное на u?fc, даст
4 +(V)	'; V|$|* *V
D3.12)
- второе квазигазовое уравнение с параметром неустойчивости с2, =
= - и ы"кк\ ф0 |а > 0 и, как видим, с "азимутальным числом" т = 1, та-
таким же, как в задаче о каплях с потолка или в задачах о бунчировке
электронного пучка. В частности, для наглядности можно вновь ис-
использовать элементарное решение D2.18), изображенное на рис. 142.
Конкретным примером применения изложенной общей теории
может служить модуляционная (типа биений амплитуды) неустойчи-
неустойчивость как поперечных, так и продольных ленгмюровских волн в плаз-
плазме. Линейные законы дисперсии для них имеют вид (см. § 35)
Uj, - У и2 + с2 fc2'; u - /u2 + fcav2e,	D3.13)
где ио = у4лле2/т- ленгмюровская частота. Считая к малым, при-
приближенно имеем разложения
422

Далее учтем, что плотность электронов л может под действием поля
слегка меняться на малую величину 6 л, так что л = п0 + 6 п. Эту по-
поправку можно приближенно найти из условия равновесия плазмы, на-
находящейся в поле высокочастотных волн с амплитудой Е, которые со-
создают дополнительное давление 6р=|?|а/8л>0. Если поле эволюцио-
эволюционирует не слишком быстро по сравнению с тепловой скоростью элект-
электронов, то суммарное давление плазмы и поля должно сохраняться и
быть постоянным р + ?а/8 л = р0, где р = 2 ле Г - давление плазмы. Ес-
Если считать температуру постоянной, то найдем 2 Гб пе=-1 е\2 / 8 л, и по-
поэтому ленгмюровскую частоту в D3.14) следует считать равной
2по
D3.15)
где и = -иоо/16лро < 0. Таким образом, законы дисперсии D3.14) в
обоих случаях следует записать в виде
Ы1 II = "о" + Т к* ,11 + *\Е\2>	D3Л6>
и, поскольку и о". < 0, в обоих случаях имеет место модуляционная
неустойчивость волн, описываемая уравнениями D3.11), D3.12).
Заметим также, что такая же неустойчивость типа самофокусиров-
самофокусировки света может иметь место не только в плазме, но и в некоторых жид-
жидкостях, у которых диэлектрическая проницаемость обнаруживает
сильную зависимость от амплитуды проходящих световых лучей, на-
например у сероводорода H2S. Лазерный луч в них дробится на мно-
множество более мелких лучей подобно "венику", как это было описано
выше в случае филаментации электронных и ионных пучков в среде.

§ 44. Неустойчивость плазменных пинчей и гипотеза
о рождении космических лучей в пинчах
Плоские и цилиндрические плазменные пинчи с током неустойчи-
неустойчивы, и на них могут нарастать сужения и утолщения. Рассмотрим, на-
например, плоский пинч в виде тонкого слоя плазмы в плоскости х, у с
токами, направленными вдоль оси у. Магнитное поле этих токов сжи-
сжимает слой и удерживает его в равновесии, если возмущения отсутст-
отсутствуют. При наличии возмущений движение плазмы в нем описывается
уравнениями МГД, однако мы ограничимся анализом длинноволно-
длинноволновых возмущений с А. » h, где h - толщина слоя. Тогда целесообразно
ввести безразмерную плотность в расчете на единицу длины р„ =
= рЛ/р0Л0, где р0 и Ло - невозмущенные значения, и записать уравне-
уравнение непрерывности в приближенном виде
— Р* + — (v PJ = 0 (v = v ).	D4.1)
ot	д х
Второе уравнение получим следующим искусственным приемом. Вна-
Вначале мысленно заменим слой набором проводников - проволочек, от-
отстоящих друг от друга на расстоянии а0, считая, что на единицу длины
вдоль у приходится масса тпх = р0 h0 a0 у каждой проволочки. Если
Во - невозмущенное магнитное поле вне слоя, то следует считать, что
по каждой проволочке течет ток 1Х = Во а0 с/2 л, и в равновесии они
проходят через точки х° = ка0 (-«>< к<~). При нарушении равнове-
равновесия движение Лс-й проволочки описывается уравнением
D4.2)
где В - магнитное поле, создаваемое всеми другими проволочками,
кроме данной fc-й. Дискретную систему уравнений D4.2) в случае длин-
длинноволновых возмущений можно заменить уравнением в частных про-
производных, введя непрерывную функцию п (х, t), дающую число прово-
проволочек, приходящихся на единицу длины вдоль х, и заменяя сумму в
D4.2) на интеграл, что дает
424

B(x.t)- ^nHn;Hn(x,t) = -1 I n(x[t)dx' .	D4.3)
с	я J
Интеграл берется в смысле главного значения, и такой интегральный
оператор, действующий на функцию л (х, t), называется оператором
Гильберта. Число проволочек, очевидно, должно сохраняться, так что
для функции п (х, t) должно выполняться такое же уравнение непре-
непрерывности, как и уравнение D4.1) для функции pt, и нетрудно заклю-
заключить, что л = Р*/а0. Подставляя поле D4.3) в D4.2), запишем D4.2) в
виде
D4.4)
Зу	Эу	л	**Ч	В1
+	HP
g0Pi,;g0
dt	Эх	mic>a0	2npoh
oho
Параметр g0 имеет размерность ускорения, и как видим, в последней
записи он в действительности не зависит от искусственного выбора
расстояния а0, которое не должно входить в задачу. Нелинейная си-
система интегродифференциальных уравнений D4.1) и D4.4) не имеет
простых решений, поэтому мы ограничимся анализом линейного при-
приближения, полагая р4 = 1 + рх, где Pj "^ 1. Тогда получим
Э	Э у Э у ?	д2 у	? 3 v	1АЛ1.\
of	о х at	д t3	д х
Если искать решение в виде экспоненты v ~ exp (yt+ikx) и учесть, что
Яехр (iikx) = i -г^г exp (ikx), то найдем инкремент у = V | kg0 |, что и
1*1
свидетельствует о неустойчивости, называемой в данном случае
тиринг-неустойчивостъю разрывного типа. Как видим, плоский пинч,
называемый также нейтральным токовым слоем, стремится разбиться
на отдельные токовые нити-пинчи цилиндрической формы, но и они в
дальнейшем разрываются на сгустки, похожие на сосиски или блины.
Поэтому далее рассмотрим цилиндрический пинч, но поскольку
этот процесс внешне сходен с процессом дробления на капли струи во-
воды, вытекающей из кухонного крана, вначале полезно рассмотреть и
этот пример. Считая силу тяжести отсутствующей, для цилиндра ра-
радиуса а вводим эффективную плотность р4 = р а21 р0 а* ив приближе-
приближении длинноволновых возмущений запишем уравнение непрерывности
и уравнение продольного движения
. 425

д , д п Эу Эу 1 Эр	елл с\
— р +	v р* = 0; 	+ v 	=	—- .	D4.6)
at * а* * at дх р Эх
Цилиндр жидкости разбивается на капли под действием сил поверх-
поверхностного натяжения, которое характеризуется коэффициентом натя-
натяжения оо и создает внутри цилиндра давление, определяемое форму-
формулой Лапласа р=оо (R[l + R11), где Ri 2 ~ два главных радиуса кривиз-
кривизны поверхности. При X. » а один радиус гораздо больше другого, и
приближенно можно положить р = оо / а = р0 ао/а = р0 р*1/а, так что
второе уравнение принимает вид
D4.7)
dt	дх	" дх * ¦' °	2р
а
и является квазигазовым уравнением с "азимутальным числом"
т = -2.
Если же рассматривать полностью скинированный пинч из сжимае-
сжимаемой плазмы, то следует учесть адиабату Р = р0 (р/ро)^и считать давле-
давление равным давлению р = В2/8 л магнитного поля В = 210/са, создавае-
создаваемого поверхностным током /0 = const. При этом имеем
о_ 1M2/V) / о \i-V
"о
что позволяет привести второе уравнение D4.6) к квазигазовому типу
Эт + v _?_L = _ са _?_ p-i ; са = УР° }	D4.9)
dt	дх	°9x*'°(Y-l)P0'
но теперь уже с "азимутальным числом" т = -1. Для обоих случаев:
D4.7) с т = - 2 и D4.9) с т = -1 - можно, например, указать частные ре-
решения типа D1.24), D1.25), изображенные на рис. 142.
Эти частные решения описывают возмущение в виде утолщения,
расположенного между двумя сужениями цилиндра. В пределе време-
времени t — - °° возмущение отсутствует, затем нарастает и в момент обры-
обрыва t = 0 превращается в плоский блин, содержащий ускоренные части-
частицы, выдавленные из сужений. Весьма интересно определить распреде-
распределение этих ускоренных частиц п^ энергиям и сравнить его со спектра-
спектрами ускоренных ионов, наблюдаемых в опытах с обрывающимися пин-
чами.
Для этого заметим, что на отрезке dx длины пинча содержится чис-
426

ло частиц dN=na2ndx, и если выразить его через аргументы t и v, то
оно и будет давать функцию распределения, так что имеем
diV = JVop,<
В случае m
мулу
F(v )-N
0
ix = Fft v)dv;
i;F-i?-Arop,
= -1 с учетом рЛ
j^j-'a ^ JV0
2 сп г Г' е
0 г °
^dv
= Га
|v
(Vr
1
ИЗ
=const
уравнений
IT)
D1
•6)
D4.10)
получим фор-
D4.11)
где градиенты вычисляются в фазовом пространстве г, z, однако их
можно вычислять и перейдя к тороидальным координатам |, х\, в ко-
которых, например, частное решение D1.16) при т = -1 имеет вид
D4.12)
Подставляя его в D4.11), получаем достаточно громоздкое выражение,
однако момент обрыва t = 0 соответствует пределу ? ¦¦ 0, для которого
—sin Л
2с„Д=о —.	D4ЛЗ)
и выразив л через v, окончательно находим
A2dE
[1 + (
1г =А3 /2М= 	,	D4.14)
где Ео = 2М с\ = 2М р0 Y / (Y - 1) Ро - характерная энергия порядка на-
начальной тепловой энергии ионов в пинче до начала роста возмущения.
При Е » Ео спектр имеет вид cHV/d?~?~v с показателем v = 2,5, что хо-
427

рошо согласуется со спектрами ионов, наблюдаемых в опытах с пин-
чами.
Весьма любопытно, что такой спектр близок и к спектру галактичес-
галактических космических лучей (ГКЛ), что позволяет предположить, что и они
рождаются за счет такого же пинчевого механизма, хотя имеются и
другие гипотезы. В космических лучах, однако, встречаются частицы с
ультрарелятивистскими энергиями вплоть до 10ао эВ, и поэтому далее
мы рассмотрим перетяжки на релятивистском пинче, а в конце обсу-
обсудим эту гипотезу более подробно.
Для общности будем предполагать, что внутри пинча имеется про-
продольное магнитное поле, так что здесь следует пользоваться уравне-
уравнениями релятивистской МГД, полученными ранее в §19, но ввиду их
сложности мы ограничимся рассмотрением лишь длинноволновых воз-
возмущений с X. »а, когда радиальные компоненты скорости и поля счи-
считаются равными
D4.15)
V =
г
Г
а
а
,_ да
тг
+ V
да ш
" j
В =-
г
г

2
Э
—,
В
Z
а остальные величины не зависят от г. Тогда, вводя эффективную плот-
плотность р^ = раа/роа?, запишем релятивистское уравнение непрерыв-
непрерывности A9.3) в длинноволновом (ДВ) приближении:
D4.16)
а в качестве второго уравнения используем уравнение энергии A9.17),
но для упрощения будем считать продольное давление равным нулю:
р = 0. Тогда A9.17) можно переписать в виде
	 + р и1 V. h> с2 - 2 т> —i- ~ G V. b' - bf V. G = 0 ,	D4Л7)
Эт	'\	Р /	'	'
1	С = (ц-Sx) Ь°/8лц.
В ДВ-приближении удобно ввести два оператора
Эт	dz	дх	dz
и новую переменную у (т, z), полагая u »shy. Тогда первое уравнение
D4.16) принимает вид Qy = - Р In рл, а для упрощения второго уравне-
428

ния D4.17) напомним, что магнитный 4-вектор имеет компоненты
в+«(«в)	1	(ив)
v ' ' у г с Vr'	D4.19)
так что с учетом формул D4.15) найдем Ъ Ч. = BQ; V,- Ъ = ВР . При этом
используем поперечную адиабату р. = р° (рВ/р0В°) и условия вморо-
женности Ва2 = В° а2 и равновесия р. + ц = В|/8л, причем из послед-
последнего находим (а/а0J = е + A - е) р*, где е = (В°/В°)а - постоянная.
Тогда уравнение D4.17) можно привести к виду
Р, л ~
-QlnB,	D4.20)
и, поскольку р. /рс2 = (р°. /р0 с2) (В/В°), оно содержит лишь величи-
величины у ft, z)n В (т, z), причем через магнитное поле В удобно выразить и
"эффективную плотность"
A-*)е	в
x(i,z)-t	.	D4.21)
A-е) ж	В»
Поскольку рЛ меняется в пределах 0<рА<«»,0<х<1, именно вели-
величину х удобно считать основной переменной, так что имеем уравнения
q
x(l-x)Qy; A + цх)Ру= - nQx; ц -	— . D4.22)
Для их решения сначала вводим обратные функции т = Т(х, у); z =
= Z (x,j/), а затем вместо них вводим "собственные" время и коорди-
координату T(x,y),J?(x,y), связанные с Г, Z преобразованиями Лоренца
T=yT-uZ;Z = yZ-uT. Такой переход можно назвать лоренцевским
преобразованием годографа, и он переводит нелинейные уравнения
D4.22) в линейные:
Z'+ Г-хA - х) Т'х = 0.	D4.23)
429

Из D4.23) получается основное уравнение собственного времени
{l + \ix)x(l-x)f" +x(ii-2-3iix) У- ц (Т- Г * ),	D4.24)
лх	х	уу
которое трудно решить. Однако учитывая, что давление равно р. =
=2 л, Т., где Г. - температура ионов, замечаем, что 1+д х-1 +(р, /р с2)=
= 1 + 2 T./MjC2, а поскольку в собственной системе мы считаем плаз-
плазму нерелятивистской и Г. <с Мгс2, то слагаемыми цх в левой части
D4.24) можно пренебречь по сравнению с единицей. Если далее ввести
новую переменную 5=1 - 2х, то получим уравнение операторного вида
S Т = д (Т- Т'' ); S = A - sa) — + A - 5) B - ц) —	D4.25)
с областью определения переменных -1<5<1;-00<у<00. Собствен-
Собственные функции оператора S удовлетворяют уравнениям
$k = wPk\ vv = A - s)(l + s)^ ,	D4.26)
где Рк = Рк' (s) - полиномы Якоби, удовлетворяющие условиям ор-
ортогональности
1
w Р„ Рк ds = hk 6nfc; hfc	—- .	D4.27)
Cfc + )Bfc + l + )
-1
Поэтому общее решение уравнения D4.25), обращающееся в нуль на
границах области определения переменных, должно иметь вид
Г- I С.ф. Y4k; Г = е~'у'
fc-О к к
где коэффициенты Cfc должны определяться из некоторых условий.
В качестве таких условий мы будем требовать, чтобы в обратном
пределе времени, когда t -*¦ - °° (так что T(s, у) =- °°) возмущения бы
отсутствовали. Отсутствие возмущений соответствует ^точке v0 = 0;
х0 = е,вкоторойу = уо = 0; 5 = s0 = 1 — 2е, и в этой точке Г-* - °°.
Поскольку набор ортогональных полиномов Якоби является пол-
430

ным, по нему можно разложить любую функцию, и в частности дельта-
функцию:
оо
6(s-so) = w(sJ Z Р (s)P (so)h\	D4.29)
fc = fl к	к	к
имеющую как раз требуемую особенность в указанной точке s =s0.
Отсюда видно, что полный набор решений интересующего нас типа с
особенностями в точке y = yo = 0,s = so = l- 2 е, имеет вид
х z h:1 Pk(s)Pk(s0)YQk,	D4.30)
где C'm> "' - постоянные, выбор которых обеспечивает условие отрица-
отрицательности времени - °° «S Г «S 0. Очевидно, простейшим является реше-
решение г@>0), однако можно показать, что оно описывает возмущения, пе-
периодические по длине пинча. Для развития таких возмущений необхо-
необходимы соответствующие периодические "зародыши" возмущений, вы-
вызванные каким-то внешним воздействием, однако в космических ус-
условиях нет видимых причин для появления периодических возмуще-
возмущений. Скорее всего можно ожидать, что на начальной стадии на пинче
спонтанно появляются отдельные локальные возмущения, из которых
вскоре начинает доминировать самое крупное. Можно показать, что
простейшим локальным решением является решение Т ' , содержа-
содержащее производную dPk (s0)/ds0, которая равна нулю при к = 0, так что
сумма в D4.30) для ГA> начинается с члена с к = 1. В области ультраре-
ультрарелятивистских энергий при у » 1 этот член становится доминирующим,
так что имеем асимптотику
ГA>0) (s, у) * const w (s)Px (s) V "'; q1 = \/3 + ос',	D4.31)
где а = 2/ц = е М( с2 / Т °; е = (В° / В° J, а Т° - начальная температу-
температура ионов в равновесном пинче до начала развития возмущений. В на-
нашей модели видно, что в самых узких местах радиус пинча может
уменьшиться до минимального значения амин = а0 /е, что соответству-
соответствует аргументам х = 1, 5 = -1. Частицы, выдавленные из перетяжек, скап-
скапливаются в утолщениях, где формально а -¦ °°, что соответствует аргу-
аргументам х = 0, 5 = 1, и здесь Г -* 0, поскольку w (s) ~ 1 - s. Распределе-
431

ние выдавленных частиц по импульсам можно найти из соотношения
dN = na2ny dz = F(u,t)du,K можно показать, что к моменту t — 0 мак-
максимального выброса функция распределения определяется выраже-
выражением
±l±L)	^	D4.32)
,	g0,
i	1-е
так что асимптотика D4.31) приводит к ультрарелятивистской области
энергий ? к спектру dN/dE~E~^, \ = 1 + уЗ+ос, который круто спадает,
если параметр а велик. Однако если продольное поле в пинче отсутст-
отсутствует, то получаем показатель v = 1 + \/Т= 2,73, который весьма близок
к показателю наблюдаемого спектра ГКЛ, по крайней мере для облас-
области энергии 1010 - 1016эВ.
По нашему мнению, прямыми свидетельствами наличия в космосе
обрывающихся токовых пинчей могут оказаться так называемые
космические гамма-всплески излучения с энергией квантов поряд-
порядка 10-1000 кэВ и длительностью от 2-Ю до 80 с. Они регистрируются
приборами на спутниках примерно раз в день и излучаются неизвест-
неизвестными источниками, равномерно и изотропно распределенными по объ-
объему нашей Галактики. Так как в спектрах гамма-всплесков часто на-
наблюдаются одна-две линии поглощения, которые, по-видимому, мож-
можно интерпретировать как первые циклотронные гармоники в магнит-
магнитных полях порядка 101а Гс/A0в Тл), то такие большие поля можно
приписать лишь нейтронным звездам типа потухших пульсаров. Если
именно они являются источниками гамма-всплесков, то число таких
источников в нашей Галактике должно быть примерно Ю9, но многие
из них не видны из-за удаленности. Средняя энергия одного гамма-
всплеска оценивается в 1038 эрг A031 Дж), и, по мнению ряда исследо-
исследователей (Б.Е. Шафер), каждый источник вспыхивает примерно раз в
год, так что полная мощность всех гамма-всплесков в нашей Галакти-
Галактике равна 1047 эрг/год (Ю40 Дж/год). Это значение близко к мощности
1048 эрг/год, которая, как считают, требуется для обеспечения непре-
непрерывной подпитки ГКЛ. Если предполагать, что гамма-всплески порож-
порождаются космическими молниями в пылевых облаках, движущихся
вблизи нейтронных звезд, то разумно считать, что при этом образуют-
образуются релятивистские пинчи, из перетяжек которых выдавливаются струи
плазмы. При таком выдавливании скорости электронов и ионов долж-
должны быть одинаковы, а значит, в ионной компоненте должна содержать-
содержаться энергия в М,/те раз большая, чем в электронной компоненте, по-
порождающей у-излучение всплеска. Таким образом, хотя ионная ком-
компонента явно не проявляет своего присутствия, но можно предпола-
432

гать, что ее полная мощность по всем источникам составляет примерно
1О50 эрг/год A043 Дж/год) и нескольких процентов ее было бы доста-
достаточно для обеспечения непрерывной подпитки ГКЛ.
Указанные энергетические оценки, по нашему мнению, усиливают
правдоподобность гипотезы о рождении ГКЛ в плазменных пинчах
космических молний, лабораторными моделями которых могут слу-
служить опыты с пинчами. Таким образом, рассмотренная выше нелиней-
нелинейная задача о перетяжках на релятивистском пинче представляет мето-
методический интерес как пример применения уравнений релятивистской
МГД, но, быть может, имеет и более важное значение для гипотез о
происхождении космических лучей.
Глава 10
ТЕРМОЯДЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
В последней главе мы рассмотрим три направления исследований
по управляемому термоядерному синтезу (УТС): пинчи, лазерный тер-
термояд и теорию установок токамак.
§ 45. Рождение нейтронов в дейтериевых пинчах
Исторически первым объектом исследований по УТС были мощные
разряды в дейтерии, на которых в 1952 г. было обнаружено рождение
нейтронов, в СССР несколько раньше, чем в США. Вскоре было обнару-
обнаружено, что здесь ядерные реакции D + D = 3He + n происходят не из-за
высокой температуры плазмы, а в результате развития на пинче не-
неустойчивости типа перетяжек, приводящих на конечной стадии к об-
обрыву пинча и возникновению индукционного электрического поля,
ускоряющего дейтроны. Теория этого явления была предложена ав-
автором в 1952-1956 гг.*
Наибольший выход нейтронов наблюдается в установках, называе-
называемых "плазменным фокусом" (типа Филиппова и типа Мейзера), в ко-
которых выход нейтронов за один разряд приближенно описывается
эмпирической формулой Уп = Ю10 /4,где /0 - ток в момент обрыва, из-
измеряемый в мегаамперах. В этих опытах наблюдаются пучки ускорен-
ускоренных дейтронов с определенным спектром распределения по энергиям
* См.: Трубников BJL Физика плазмы и проблема УТР. М.: Изд. АН СССР, 1958. Т. 1.
С. 289; Т. 4. С. 87.
433

(рис. 143), и этот спектр можно найти из следующих теоретических со-
соображений.
Обрыв тока /0 порождает волну с индукционным электрическим полем
Е = 2с /0 (с2 t2 - г2)'1'2, напряженность которого на оси г = 0 равна
Ео = 2I0/tc2. Интегрируя уравнение движения иона М\ = ZeE0, най-
найдем приобретаемую им скорость v0 = 2ZelQlMc*\n(t/ti) и энергию по-
порядка to=2(ZeIoJ1Me4. Для дейтрона эту формулу полезно записать
в виде еМэВ = I2 , так что, например, при токе в 1 МА получим энергию
в 1 МэВ, что примерно соответствует порядку величин, приведенных
на рис. 143.
Эта простая картина, однако, не учитывает наличия периферийной
плазмы, которая может окружать пинч с обрывающимся током. Чтобы
ее учесть, рассмотрим электромагнитную волну, отходящую от оси
пинча и описываемую дисперсионным уравнением вида [см. C6.21)]
6-1-
¦; п=
D5.1)
Здесь N - к с/о - показатель преломления волны, распространяющей-
распространяющейся перпендикулярно основному магнитному полю Во = 2/0/сг тока /0.
Полный ток в пинче следует при этом записать в виде I = Io + I± (t), где
/х (t) - добавка, зависящая от времени. В формуле D5.1) ?, ц - это ком-
компоненты тензора диэлектрической проницаемости периферийной плаз-
плазмы, состоящей из ионов и электронов с массами т, и те соответст-
соответственно.
Наиболее просто рассмотреть предельный случай mi;-*«>; те — 0, при
котором компоненты тензора диэлектрической проницаемости равны
| = 1; г)= -(Jog /uuBe- Фактически в этом пределе ионы можно считать
неподвижными, а электроны движущимися со скоростью электричес-
электрического дрейфа v = сЕ/В0. Тогда закон дисперсии D5.1) принимает вид
ОJ =к2 с2 + ("ое/"».J »	D5.2)
1.2 ?, МЭВ
Рис. 143. Типичный энергетический спектр ус-
ускоренных дейтронов, наблюдаемых в уста-
установках "плазменный фокус". Часть из них
рождает нейтроны на "мишени" из остаточных
сгустков плазмы первичного пинча, оставших-
оставшихся после его обрыва перетяжкой
434

и в пределе низких частот о « к с он дает соотношение -к2 =
= (Uoe/cuBe)a, которое эквивалентно уравнению для векторного по-
потенциала волны А (г, t):
9 / ОЛ\ I aU \2 „ / 4ппе\2 л	„с„ч
ДА =	 г	 = 	 А=\	 А.	D5.3)
В методических целях полезно попутно отметить, что такое уравнение
вида А ф = сф можно назвать уравнением экранировки, и оно встреча-
встречается в нескольких плазменных задачах.
Например, дебаевская экранировка электростатического заряда в
плазме описывается уравнением Дф = Сф,С = Г)~2 = const, где D - ра-
радиус Дебая. Для точечного заряда q решением будет потенциал вида
Ф = (ч/т) ехр (- т/D), если же в плазму поместить тонкий провод с заря-
зарядом <jj на единицу длины, то электростатический потенциал этого за-
заряженного провода будет равен ф = 2 qx Ko (r/D), где Ко (х) - модифи-
модифицированная функция Бесселя второго рода, имеющая при больших и
малых аргументах асимптотики
е~х; /С0(х«1) = 1п—,	D5.4)
"	• -ух
где y = 1,78 — постоянная Эйлера.
Другой пример получим, рассмотрев тонкий проводник с малым то-
током 1Х (t), изменение которого порождает в окружающей плазме волну
с электромагнитным потенциалом А (г, t). Как известно (см. § 35), по-
поперечная электромагнитная волна, распространяющаяся в незамагни-
ченной плазме, описывается законом дисперсии и2 = к2 с2 + и2,
весьма сходным с законом D5.2). При малых частотах и «^ и0 получим
соотношение -к2 = б, где 6 = с/и0 - длина так называемого ваку-
вакуумного скин-слоя. Это эквивалентно уравнению ДА = б А, которое в
плоском случае имеет решение А~ехр (-х/6), описывающее, напри-
например, отражение низкочастотных радиоволн от ионосферы Земли, что,
как известно, обеспечивает возможность дальней радиосвязи. Для
указанного выше примера проводника с малым током /t (t) решение
уравнения ДА = Ь~2А следует записать в виде А (г, t) = a (t) Ko (х), где
х = г/6, а медленно меняющийся множитель a(t) следует подобрать та-
таким образом, чтобы в пределе г-* 0 электромагнитный потенциал А (г, t)
давал бы магнитное поле Bt (r, t)=-totA=-dA/dr=2I1 (t)/cr тока /t (t),
откуда найдем a(t) = 2 с /х. Далее можно было бы найти и индукци-
индукционное электрическое поле E(r,t) = Ez = c~1 дА/dt = -с аК0 (х), на-
направленное по оси z вдоль проводника.
435

Наконец, в нашей задаче мы рассматриваем пинч как бесконечно
тонкий проводник с током / = /0 + /х (t), окруженный периферийной
плазмой, которая сама уже находится в поле основного тока Io = const,
считая, что это поле В0 = 210/ сг проникло в плазму на предваритель-
предварительной стадии сгребания пинча. Плотность этой периферийной плазмы
можно считать либо постоянной, либо (для общности), зависящей от
радиуса г по степенному закону л = С* r~q. Подставляя эти зависимос-
зависимости, перепишем уравнение D5.3) в виде
где Ro = A0 I 2пС„ ес//B-ч) - постоянная длина замагниченной экра-
экранировки.
Если ввести новый безразмерный аргумент х = B - q)'1 (r/R0) 2~ч, то
уравнение D5.5) примет вид A'Jcx + A'x/x = A, и его решением будет
А (г, t) = a (t) Ко (х), где множитель a (t) вновь следует найти из того ус-
условия, чтобы при г -»• 0 наш поправочный потенциал давал бы поправ-
поправку к магнитному полю В1 = 211 (t)/cr = -дА/дг, откуда находим a (t) =
= 2/х (t)/c{2 - q). Тогда электрическое поле, ускоряющее частицы, ока-
оказывается равным
E(r, t) = E=- ^± =	Ко (х),	D5.6)
1	cdt	c3B-q)
и решая уравнение движения p = ZeE, находим импульс, приобретае-
приобретаемый ионом:
г
2ZeKJx)
h(t)dt	D5.7)
в процессе ускорения. Здесь следует заметить, что выше мы считали
волну, порождаемую поправкой к току lx (t), достаточно слабой, по-
поскольку использовали для нее линейные дисперсионные соотношения.
Пренебрегая неточностью, будем далее считать, что начальный ток
10 обрывается полностью, так что поправка 1г (t) меняется от значения
1х@) = 0 до максимального значения 1Х (Т) = - /0, которое уже нельзя
считать малым.
С этой оговоркой последний интеграл в формуле D5.7) можно при-
436

ближенно считать равным - /0, и переписать импульс D5.7) в виде
Р = р(х) = р0К0(х); Po = 2Ze/o/caB-q).	D5.8)
Поскольку он зависит от начального положения иона, теперь мы мо-
можем рассчитать и спектр ускоренных ионов, заметив, что в цилиндри-
цилиндрическом слое высоты dz и толщины dr содержится число ионов перифе-
периферийной плазмы, равное
2лС
dN=n2nrdrdz=	 dzd(rJ~<l = Nodx,	D5.9)
2-q
где No = /0 L/ec, a L = dz - длина обрываемого участка, т.е. длина пере-
перетяжки на пинче. Теперь заметим, что, пользуясь асимптотическими
приближенными выражениями D5.4), мы можем обратить зависимость
р = р (х), даваемую формулой D5.8), с тем чтобы выразить координату
через импульс по приближенным формулам:
1 » х* ± е"Р/Р°; 1 «х* In —	L in /-? in _!г_\. D5.10)
У	Р	2 \ 2	р I
Поскольку v = 1,78 близко к 2, из обеих формул приближенно получим
выражение dx = р'1 exp (-p/po)dp, и, полагая dN = f(p)dp, находим
функцию распределения ионов по импульсам
/(р) = Nop-> exp Г-Р/Ро); Ро - А> е/са ,	D5.11)
которая применима также и в релятивистском случае.
В нерелятивистском случае удобнее использовать распределение
по энергиям дейтронов е = М ч2 / 2, полагая
<Ш = F (е) d е; F (е) = (ЛГ0 / 2 е) ехр (- /е/е0'),	D5.12)
где е0 = II е2/2Мс4 - постоянная, которую удобно для дейтронов за-
записать в виде е0 = — Р, где е0 выражено в МэВ, а / в МА. Опыт, при-
приведенный на рис. 143, производился при токе /0 = 0,48 МА, так что име-
имеем е0 = 57,6 кэВ. Теоретическая кривая D5.12) с этим параметром изо-
изображена на рис. 143 крестиками и, как видим, хорошо соответствует
экспериментальным данным.
Любопытно отметить, что проделанный расчет основан на предполо-
предположении о наличии периферийной плазмы с плотностью п = Ct r~q, и в
формуле D5.11) мы для простоты положили q = 0, т.е. считаем ее плот-
437

ность не зависящей от радиуса, но примечательно, что результат D5.11)
вообще не содержит плотность периферийной плазмы. Это объясняет-
объясняется тем, что радиус экранировки зависит от плотности как раз таким
образом, что число частиц, вовлекаемых в процесс ускорения, оста-
остается не зависящим от плотности.
Показанное на рис. 143 согласие теории с опытом позволяет надеять-
надеяться, что та же теория может количественно объяснить рождение нейтро-
нейтронов. Мы будем предполагать, что начальное ускорение происходит
достаточно быстро, и в момент времени t=0 возникает начальный спектр
D5.12). Затем, однако, эти частицы попадают в мишень, образуемую
остаточными сгустками плазмы первичного пинча, где частицы тор-
тормозятся в первую очередь из-за столкновений дейтронов с электро-
электронами мишенной плазмы, теряя энергию по закону (см. § 32)
гм.т312	,	,
е = -е/то;то	-	55/17 (Ю^п;1).	D5.13)
8 д/2те'е* Л пе
Здесь Те, пе - температура, кэВ, и плотность электронной мишени. На-
Например, при Те = 1 кэВ и плотности ле ¦ 10ао см время торможения
составит т0 = 55 не, что примерно соответствует наблюдаемой длитель-
длительности испускания нейтронов. Поскольку дейтроны тормозятся, их
функция распределения по энергии должна эволюционировать во вре-
времени в соответствии с уравнением диффузии в энергетическом про-
пространстве
21	L(JF)--^-(eF).	D5.14)
dt	Зе	то9е
Его решением при условии т0 = const является функция
^)),	D5.15)
которая и определяет число нейтронов, рождающихся в единицу вре-
времени. Для этого необходимо вычислить интеграл
novF(e,t)dt; o = (aj e)exp(-a2/\fz).	D5.16)
Здесь о - сечение ядерной реакции D + D -* 3Не + л с параметрами Га-
мова ох = 10"аа кэВ-сма, а2 - 44 кэВ1/а. Для спектра D5.15) интегриро-
интегрирование по энергии дает результат
Y-olxK, (х); x = x(t)*x0 ef/4x°; <x«nJV0 А. /ИГ, D5.17)
«а V М
438

а последующее интегрирование по времени в пределах 0 < t < <» дает
полный выход нейтронов за один разряд:
Y = A0x-02K0(x0); A0 = ni0L-l6caie-2.	D5.18)
Здесь Kl (х) и Ко (х0) - модифицированные функции Бесселя второго
рода. Аргументх0 = 2а\12 ej/4 = 3,33///зависит от тока, а безразмер-
безразмерная постоянная Ао =2-10iaL Г3/а, где L выражено в см, Те в кэВ, / в МА,
формально не зависит от тока. Поскольку ток /0 обычно не превышает
1 МА и аргумент х0 велик, можно использовать известную асимптоти-
асимптотику функции Бесселя Ко (х0) и записать полный выход нейтронов в ви-
виде формулы
У = А/5'<ехр(-3,33//Г); 4-10"! T3'2 ,	D5.19)
СМ
где / выражено в М А, Те в кэВ, L в см.
Удовлетворительное согласие с опытными данными получается, ес-
если считать множитель А постоянным и равным 2-1012. При таком выбо-
выборе формула D5.19) оказывается близкой к эмпирической зависимости
вида Y = Ю10 I4, так что изложенная теория ускорения дейтронов и
рождения нейтронов в пинчах представляется достаточно правдопо-
правдоподобной.
Следует, однако, отметить, что ранее в § 44 мы рассмотрели и дру-
другой механизм ускорения за счет непосредственного выдавливания
струи плазмы из перетяжки до момента ее полного обрыва. Этот меха-
механизм, по-видимому, также осуществляется на практике, но он скорее
всего дает менее энергичные частицы начального участка спектра
рис. 143.
§ 46. Лазерный нагрев и сжатие плазмы
Лазеры и релятивистские электронные пучки - наиболее мощные
источники концентрированных импульсов энергии, и в принципе они
могут использоваться для осуществления термоядерной реакции, на-
например в капле из смеси дейтерия и трития. Условием того, что термо-
термоядерное выделение энергии будет превышать энергию, затраченную на
нагрев, является так называемый критерий Лоусона л т. ? 1014 с/см3,
который показывает, что при плотности твердого дейтерия л = 5-1022
время существования капли должно превышать т?2-10~9 с. Так как
капля разлетается со скоростью звука С = у/уТ/М= 108 при температу-
температуре Г = 10 кэВ, то ее радиус а должен превышать а > Ст. = 0,2 см, и энер-
энергия, необходимая для нагрева такой капли, составила бы
439

4	?
Более выгоден специальный режим нагрева, приводящий к сильно-
сильному сжатию вещества в центре капли реактивным давлением испаря-
испаряющейся наружной оболочки. Исследуем этот процесс, пользуясь урав-
уравнениями термодинамики:
p/p = -divv; pv = - Vp; p = p0 (p/po)Y.	D6.1)
Исключив давление р и выразив плотность р через C=\fy р/р =
= vУРо Р^~ / Ро> получим
-?•-—	-=-divv;v	—Vc.	D6.2)
р Т>-1 С	V-1
Рассмотрим вначале одномерный случай, считая, что
C(t, x) = C(\),
где v = v (t, x). Тогда
Зт	дм	гСС\м) дм
V = —— + V —— = —	___ ss
Э(	дх	v-1	дх
4С'(у)
Отсюда, во-первых, находим
2?^!l = l; C(v)=-l-iv + C0; C0 = v^7p7-	D6-4)
а общим решением оставшегося уравнения
— v(t, x) + [v + C(v)] JLv(t,x) = 0,	D6.5)
3t	Эх
как нетрудно проверить, будет v = Vo (x - [v + С (v)] f), где Vo ^ - про-
произвольное начальное распределение скоростей.
Найденное решение описывает так называемые волны Римана, ко-
которые лишь в пределе v «: Со, когда v + с (v) -* Со, распространяются без
изменения начального профиля. В общем случае эти волны нелиней-
нелинейные, и их профиль меняется (рис. 144). При опоеделенном моменте
440

Тис. 144. Изменение во времени профиля скорости волны Римана. В критический момент
времени t* фронт волны опрокидывается
t = t* волна Римана опрокидывается, после чего функция v (х) стано-
становится неоднозначной, что невозможно в плотной среде.
В действительности, момент опрокидывания соответствует образо-
образованию ударной волны, которая могла бы уйти вперед, вызывая нагрев
и увеличение давления перед основной волной, что нежелательно.
Нетрудно видеть, что наибольшее сжатие без образования ударных
волн достигалось бы в том случае, если в момент опрокидывания t=t*
весь передний фронт, который, очевидно, движется по закону хфр =
= Со t, изображался бы на рис. 144 прямой вертикальной линией х =
= Хфр (v, t*) = const. Если обратить функцию v=V0(?), написав | =
= х - [v + с (v)] t = Ло (v), то для момента опрокидывания t = t* при х =
и х* не будет зависеть от v, если Ло (v) = -
При таком выборе Ло (v) = \ имеем
26/С	2/f ,
х-[С,
vf\
7 + 1
7+1	7+11 \	2
откуда найдем явное выражение скорости
y(t,x)-
Cot-x
if
о	2
+
x'-x
7 +
у +1 t* - f
D6.6)
D6.7)
D6.8)
Если эта волна образована поршнем, который в момент t = 0 начал
441

двигаться из точки х = 0 по закону хл (t), то при х = хп (t) скорость D6.8)
должна совпадать со скоростью поршня vn= dxn(t)/dt. Обозначив
Х(Т) = Со t* - х и Т = t* - t, найдем
dX(T)	2	Х(Т) 2са
dT	у + 1
X(T) = constT TM	-Г,	D6.9)
V-1
Т-1
где const =	 Со (t *) у * . При малых Т-* 0 последним членом мож-
можно пренебречь, так что для V = 5/3 имеем закон движения поршня
х* - xn(t)~ (t* - tK14, не вызывающий преждевременного образова-
образования ударных волн. Чтобы обеспечить такой закон движения, необхо-
необходимо к единице поверхности поршня подводить удельную мощность,
затрачиваемую на работу сил давления:
2V
D6.10)
(считаем vn з> Со, у = 5/3). Таким специальным профилем и должен об-
обладать импульс, обеспечивающий максимальное сжатие в одномерном
случае.
В сферически-симметричном случае уравнения D6.2) принимают
вид
дс а с 1 3v 2v
+ v
(V-1)C[ dt	3r ] Зг	г
9v	9т	1С	дс
-т— +v-		-г-,	46.11
dt	дг	v-1	дг
442

и интересующее нас решение со сходящимся фронтом, перед которым
среда покоится, может быть получено лишь численными методами.
Однако для стадии, близкой к моменту t = t* схлопывания волны в
центре, хорошим приближением к искомому решению является дру-
другое решение уравнений D6.11):
D6.12)
t*-t	t*-t
Подставляя эти выражения в уравнения D6.11), найдем а = 2/C?- 1);
Р = \рЗ(у - 1) / C V - 1), и, поскольку при r = rn (t) скорость v должна
совпадать со скоростью поверхностной оболочки vn = drTl (t)/dt, то за-
закон движения оболочки (гп @) = а0 = Со t*) принимает вид
t=a о 1- — т ,	D6.13)
dt	(?i-D(f-t) n" °| t*
что для V = 5/3 дает гп (t) ~ Jt* -t.
Чтобы обеспечить такой закон движения, необходимо подавать к
сферической оболочке мощность [ср. формулу D6.10)]
D6.14)
что при v = 5/3 соответствует зависимости W (t) ~ (t* - t)~2 лазерного
импульса, приводящего к максимальному сжатию вещества в центре,
так как при этом не образуются ударные волны.
Помимо ударных волн сжатию может препятствовать преждевре-
преждевременный прогрев центра капли за счет электронной теплопроводности.
Если пренебречь движением вещества, то уравнения теплопроводнос-
теплопроводности будут следующие:
л	я т
— (пс1Г) = - divq; q = - / V Т; 	 =div(x V Г),	D6.15)
Э f	v	Э f
где X - так называемый коэффициент температуропроводности, для
которого из размерных соображений имеем
443

f \S'2 n0
D6.16)
где /- свободный пробег.
При То = 10 эВ; п0 = 5-Ю22 см имеем х0 ~ 1 см2/с.
Рассмотрим одномерный случай с п = п0, записав уравнение D6.15) в
виде
I \	а Г/ г \5/а
Если искать его решение в виде тепловой волны Т/То = (р (?), где ^ =
= x-uf, аи- постоянная скорость распространения, то имеем уравне-
уравнение
интегрируя которое, находим
/	X -? \2/s
-ыф = ХоФа/аФ'и); Ф(«- 5ы-	 .	D6.19)
\	2Хо /
Точка | = х0 или, иначе, х = х0 + и t указывает начальное положение
фронта волны, на котором предполагаются условия (р = 0 и (р5/а (р'Ш =
= 0. Профиль такой волны не меняется с течением времени, но движет-
движется по х со скоростью и, определяемой подводом тепла на границе хо=0.
Учитывая, что поток тепла пропорционален
4 ~ X V Т ~ Ф5'2 ср'(|) ~ (-1J'5 ~ t2/s ,	D6.20)
находим требуемую зависимость подводимой тепловой мощности от
времени.
В нашем случае подача мощности осуществляется по закону
W~ (t* -1)~2, поэтому формируется волна другого, более сложного ти-
типа. Кроме того, необходимо учесть сферическую геометрию капли,
записав уравнение теплопроводности в виде
Э / Т \]	л„:о,ч
D6.21)
X
Рассмотрим следующую модельную задачу. В коэффициенте темпе-
температуропроводности X = Хо (Т/Т0M'2 (по/п) считаем, что плотность из-
444

1
меняется по закону адиабаты п/п0 = (Т/То) у 1 =(Т/Т0K'2 при у =
= 5/3. Тогда X = Хо Т/То и уравнение D6.21) с таким х имеет, в частнос-
частности, решение
г	г2/1Ох„
= ф (т> t) =	,	D6.22)
где t* = г* / Ю Хо 	 ! Тгр @) - температура на границе капли
о
г = ггр в момент ?=0. Для плотности твердого дейтерия п0 = 5 ¦ 1022 и
температуры То = 10 эВ, определяемой процессом ионизации, имеем
Хо * 1. Если Г = 10 кэВ (термоядерная температура), а размер капли
г *> 0,1 см, то V * 10~6 с. Это время больше времени схлопывания
t* ~ 10"8 с, и поэтому центр капли не успевает прогреваться к моменту
кумуляции.
Задача. Показать, что в цилиндрическом случае уравнения D6.2) имеют решение
-га	гр
y=	; С=	,
P-t P-t
1	у — 1
где а = —; fj =	т=г~, которое подобно сферическому решению D6.12) близко к режи-
режиму оптимального сжатия. Цилиндрическая оболочка движется при этом по закону
при у - 5/3. Таким образом, для плоского, цилиндрического и сферического сжатия имеем
соответственно
г ~ />* 	 *K/4. -	^ /** __ *K/5 . Р ^ /** _ *K/б
гпп <' ^ ' гцил (г - ^ . гсф (f - V .
Бели цилиндр является скинированным Z-пинчем, то на границе р = В2/8 л и ток при этом
должен возрастать по закону J(t) ~ (t* - t) ' ' ~ (t* - t)'2ts. Для скинированного
8-пинча внешнее поле должно нарастать по закону Bz(t) ~ (P -t)'1.
§ 47. Элементарная теория установки токамак
В установке токамак (тороидальная камера с магнитными катушка-
катушками) тороидальный плазменный шнур находится в сильном продольном
магнитном поле, которое при условии Р = 8 л р/В\ <к 1 рассматривает-
н
445

ся как поле прямого тока в вакууме:
г
D7Л)
где е = р I R;R- большой радиус оси тора; г = R - р cos 6 - цилиндри-
цилиндрическая координата; р, в, 5- тороидальные координаты (рис. 145).
Равновесие здесь возможно лишь при протекании по шнуру про-
продольного тока, создающего поле Вв (р, в). Рассмотрим простейший ва-
вариант, когда сечения магнитных поверхностей являются окружностя-
окружностями р = const с одним центром на оси г = R. В этом случае поле В6 таково,
что магнитный поток d?e = В8 2 л г dp через полосу dp (см. рис. 145) не
зависит от угла 8, так что находим
/<р)	*
г В - / (р) или Ве = -iiili =	 ,	D7.2)
н	и г	l-ecos9
где q (р) = р BJRBq зависит при этом только от р и называется запасом
устойчивости. При q > 1 шаг силовой линии h=2 л р Bs/Be будет больше
длины тора 2 л Я, что в соответствии с критерием Крускала-Шафрано-
ва необходимо для устойчивости плазменного шнура. Поскольку ком-
компонента В„ = 0, модуль поля
		В.	/ / . \а'
D7.3)
имеем минимум при в = л, а максимум при 8 = 0, так что В I Вмакс =
= 1-е « 1 - 2е при е <с 1. В ортогональной системе координат р, в, s
1 + е
квадрат элемента длины равен
(d гJ = A - е cos 8)a (dsJ + (d p)a + (р d 8)a ,	D7.4)
Рис. 145. Схема плазменного тора в установке
токамак и тороидальные координаты р, 9, s
446

так что из соотношений
рс?8/В8 = A- ecos8)ds/Bs = dl/B	D7.5)
находим уравнение силовой линии
s (Q) = q R \ ——	* q R (8 + е sin в + const)	D7.6)
1 - е cos 8
и элемент ее длины d/ = qi?vl + (e/qJ с/в * qRdB.
Неоднородность поля вдоль силовой линии приводит к разделению
частиц на пролетные с большой продольной скоростью vVp> v и запеи-
II кр	v
тые частицы с малой продольной скоростью
При сферически-симметричном распределении доля запертых частиц,
очевидно, составляет в точке в = л:
л-а„
"кр
«кр
=п 4п J	2
= cos акр =	«= V 2 e .	D7.8)
Хотя при е = р / Ж 1 эта доля мала, однако при малой плотности
плазмы запертые частицы играют основную роль в процессах диффу-
диффузии и теплопроводности.
Считая е« 1 и qS 1, рассмотрим движение пролетных и запертых
частиц. В основном они летят вдоль силовых линий поля со скоростью
.± A..(jL),.±T/,.(i)"_i
V	\ В /п	у/	\ v /п 1-
• е cos 8
D7.9)
VI - е cos в
где С = A + ?) (vn / vJ - 1. У пролетных частиц с большими продоль-
II л
447

ными скоростями величина v.. мало изменяется при движении, в то
время как у запертых частиц она уменьшается до нуля в точке отраже-
отражения. Период колебаний запертых частиц определяем по формуле
имин
¦4qR /1+1 — 1	-—.	D7.10)
6.
мин
При малых ? «: 1 приближенно v = v Je \JC-cosQ, причем С для за-
запертых частиц меньше единицы, так что, обозначая х = cos 8, имеем
D7.11)
Этот интеграл можно выразить через полный эллиптический К (к),
полагая A + х) (С - х) = — (С+ 1)а	г Bх - С + IJ и вводя новую пе-
переменную cos2 ф = Bх-С + 1) / (С + 1), что дает
с
dx
л/2
	yf?K (к).	D7.12)
urn
V	2
C+l
cos3
Здесь k = \j{C+ l)/2 = (vs*/у)л v A + e)/2e < 1 и для основной массы за-
запертых частиц К(к< 1)* л/2, так что период продольных колебаний
448

Т3Х 2л q я/27 v/*^ 2л/и,, а их частота Us* v\ft/qR \fl. Ее следует
сравнить с частотой электронно-ионных столкновений
D7.13)
которая пропорциональна плотности плазмы. За время т0 = 1 /v °. век-
вектор скорости электрона может отклониться на угол б а порядка 90е, од-
однако следует учитывать, что этот процесс рассеяния носит диффузион-
диффузионный характер и угол отклонения возрастает со временем t по закону
б а* У Л о'- Поэтому запертой частице, обладающей малой продоль-
продольной скоростью v3"~ /e vTe, требуется лишь небольшое время ^^
* то (б«3)а ~ то (уз'/уJ * ето "^ то для того, чтобы она могла превра-
превратиться в медленную пролетную или перейти на другую замкнутую
траекторию. Фактически запертые частицы существуют лишь при ус-
условии
1
v =	 «о « ft 	 .	D7.14)
3
Такой режим называется банановым, так как траектории запертых
частиц в сечении 5 = const похожи на бананы или серповидные фигуры.
Чтобы найти явное выражение для траекторий, воспользуемся
уравнением движения
в
в
+
V ;
яр'
V
др
= v,, 	+ V ; V = D 	,	D7.15)
dt И в яр' др	qbr
где V - скорость дрейфа частицы по бинормали Ь к силовой линии в
неоднородном поле В. При условиях е <z 1 и q ? 1 силовая линия с
большим шагом ft = 2 л р BS/BQ = 2 л Rq навивается на тонкий тор с ради-
радиусом р «. R. Поэтому радиус ее кривизны Якр * R, а бинормаль Ь. почти
совпадает с единичным вектором ег = ер sin в + ^ cos в цилиндрической
системы координат г, ф, z. Учитывая, что Удр « v,(, из уравнения D7.15)
приближенно находим для траектории
(Ь)р,	D7.16)
449

где Vw * (vj! + — v2. ) I ыв R; (b) * sin 8. Для запертых частиц vu =
= ± v /e v C- cos 8 «: v., поэтому для их траектории получим
dp	йП в
; р F)-р ±2Ai/C-cosB:	D7.17)
p
A	; р F)р
dfl	Vc-cosB	p
где Д = Рд q/^ft; pB = v./uB- ларморовский радиус; рср - постоян-
постоянная интегрирования, указывающая средний радиус магнитной поверх-
поверхности, вблизи которой частица описывает найденную траекторию, име-
имеющую при С< 1 вид банана. Ширина банана брбан * Д, и на такое рас-
расстояние запертая частица может сместиться за найденное выше время
t3 = ет°, так что для коэффициента диффузии запертых частиц получа-
получаем оценку
D7.18)
,кл	B
где Dr = — - классический коэффициент диффузии. Поскольку,
однако, доля запертых частиц мала п, * /е пполн, то диффузионный
поток можно записать так:
дп	f
др	ЭФ ар '
2~ К">	D7-19)
эф
вводя тем самым эффективный коэффициент диффузии ^^и ^
частиц в "банановом" режиме, когда выполнено условие D7.14) су-
существования бананов, т.е. при
Если это условие не выполняется, то запертые частицы фактически
не существуют. Однако быстрые пролетные частицы все еще могут об-
обладать длиной пробега 'ц = vtto, превосходящей шаг й = 2лЯч сило-
450

вой линии, если имеется интервал
Этот режим называется режимом плато, так как коэффициент лиф-
фузии в этом интервале не зависит от \°{, т.е. фактически от плотности
плазмы. Гидродинамика здесь неприменима, и следует решать кинети-
кинетическое уравнение, которое в данном случае запишем в дрейфовом
приближении
Э/ Эг Э/ Эт Э/	/, ч
17 + 7Г Т7 + ТГ 17 -V-/.).
dr	В
где 	 = v..	 + V • v^ - эффективная частота столкновений, ко-
которая на последнем этапе считается равной нулю. Для стационарного
случая df/dt= 0.
Полагая /=/„ + Д, где /0 (р) не зависит от в, а Д (р, 8) - малая до-
добавка, имеем уравнения нулевого и первого приближений при
_B> dh	dT Э/о
В dt	dt dT	'
в Э/	Э/
— ——- + V —— = - v . A .	D7.22)
В dt	яр Эг	эф'1	v '
Вектор В имеет компоненты jBs и Be, а Вр = 0, но Д (р, в) не зависит от
продольной координаты 5 и поэтому
D723)
v-llAyiL
II в Эг И в рэв qR ав
Далее заметим, что/о (р) не зависит от s и 8, и поэтому
V /о = (v ) __?i • fv 1 =
?др Эг ^?др'р Эр • I'np'Q
D7.24)
451

и приближенно I Удр I* v^ /2o)fii?. Таким образом, уравнение для по-
поправки Д (р, 8, т) принимает вид
—1+v/1=-ytsin8;v=v, -5^- ; >1	±	1 ,	D7.25)
Эв	1	эф v ' 2qdy Эр
и его решение:
-\А	А
Д = asin8 + bcos8; a=—^г— ; b=—— .	D7.26)
l+v3	l+v2
Нетрудно видеть, что именно поправка/, (р, 8) определяет усред-
усредненный по поверхности тора р = const поток частиц, так как слагаемое
с/0 выпадает:
Г = (лУ > =A/2лр2лЯ)Ф A- ecos8)dspd8 x
х forw)pff,+/1)dT-{(l-ecose)^[|vJdne/1dY-
Удр| ad т.	D7.27)
Подставляя сюда значения а и А, находим
X
9/,
о
э^^ dvx dvir	D7.28)
В пределе v^ -* 0 множитель в квадратных скобках считаем равным
дельта-функции [...] = л б (v..) и, подставляя распределение Максвелла
/о = Ы0Ы3'2 v^,) exp (- va/v?) с vr= \/2 Т/т, окончательно находим
дУл1 д
Зп ЭГ .
а .-	D7-29)
Эр 2Г Эр '
452

Как видим, диффузия может быть вызвана как градиентом плотнос-
плотности, так и градиентом температуры, причем коэффициент диффузии в
режиме плато Dn]l*> qvrp*/i? не зависит от плотности и примерно ра-
равен "банановому" коэффициенту D v" = v°. р2 q2 t~3'2, взятому на гра-
границе области существования бананов, т.е. при v °. = v^№ = е 3/2 Vj/Я q.
При дальнейшем увеличении плотности плазмы область плато за-
заканчивается и переходит в так называемую область Пфирша-Шлю-
тера, где длина пробега /.. = vrT0 становится меньше шага силовых ли-
линий h = 2лRq при V!» vT/Rq. У пролетных частиц скорость v., (8)~ vr
мало зависит от угла в, поэтому для них интегрирование уравнения
D7.16) приводит к траектории
I V |	v
Р w-P1 б Pcos9;б р=^ -г= qpB -г' D7-30)
И
которая является окружностью с центром, сдвинутым на б г = ± б р =
= ± q pfi | v. / v I от оси тора. Таким образом, пролетные частицы, ос-
основная масса которых обладает тепловыми скоростями v.. * v. * vr,
удаляются от магнитной поверхности р = рср на б р * ± qpB в отличие
от медленных запертых с Уц = ye vT, которые отклоняются на ширину
банана Д = qpB/yt. Знак ± обусловлен движением частицы вдоль
или против поля.
Как уже отмечалось, при кулоновских столкновениях среднеквад-
среднеквадратичный разброс скорости возрастает со временем по диффузионному
закону 6v« ±vTJt/i0. Поэтому множитель Iv^/vJ для 6рпр =
= ±<?Pjj|vX / vi| I приближенно считаем равным у7/т^, что позволяет
по обычным правилам вычислить коэффициент диффузии
пш dt ^np^ df \Ч *В То
= Я2ЕГ.	D7.31)
Этот коэффициент Пфирша-Шлютера превышает классический
DK" = р^/т0, который правилен для поля с прямыми силовыми лини-
линиями, на множитель q2, обусловленный кривизной линий в торе. Точ-
453

ный гидродинамический расчет (см. задачу) показывает, что более
правильным является выражение
Алл * <1 + Я2) Окп± при v °. R q / vT » 1,	D7.32)
совпадающее с формулой D7.31) при q» 1. Заметим, что на границе
применимости при \°. = \T/Rq коэффициент Пфирша-Шлютера D7.31)
совпадает со значением 0^ = q P^vr/ R.
Суммируя результаты, имеем следующую "кусочную" зависимость
неоклассических коэффициентов диффузии от плотности плазмы в ус-
установке токамак:
D*" = -*!_ D** , v° -i^ S е3'2 (режим "бананов");
D
0 = — р2= -^- Д?". ?3/а ~ v° ^ ? 1 (режим "плато");
Z? =A+ qa)?7K" v°.	SI (режимПфирша-Ылютера).
К	х « Vj,	D?зз)
Неоклассическими коэффициентами их называют потому, что они
при е <?¦ 1 и q ? 1 оказываются значительно больше классического
Ок|п=Рд/т()> но это превышение не связано с какой-либо турбулент-
турбулентностью плазмы, а обусловлено лишь кривизной силовых линий в уста-
установке токамак. Формулы D7.33) изображены на рис. 146, где по оси аб-
абсцисс отложена безразмерная приведенная частота столкновений v* =
= \°. qR/\T, пропорциональная плотности плазмы п.
В действительности, конечно, имеет место не ломаная, а более плав-
плавная зависимость D = D (n), которая в экспериментах хорошо подтверж-
подтверждается для ионов, но хуже для электронов (различие примерно в
100 раз при низкой плотности).
Отметим, что на опыте обычно измеряется не уход частиц, а потери
энергии, характеризуемые так называемым энергетическим .временем
жизни плазмы т?, учитывающим все виды потерь за счет перезарядки
(около 10%), излучения (около 50%) и, наконец, теплопроводности ио-
ионов и электронов. Коэффициент теплопроводности и = — п X связан с
коэффициентом температуропроводности X, имеющим ту же размерность в
квадратных сантиметрах за секунду, что и коэффициент диффузии D.
454

1)*
Рис. 146. Зависимость коэффициента диффузии плазмы от ее плотности в установке тока-
мак для трех различных режимов - "бананового" (редкие столкновения), "плато" и ре-
режима Пфирша-Шлютера (частые столкновения)
Величина X также должна описываться неоклассическими формулами
D7.33), что на опыте удовлетворительно с точностью до множителя по-
порядка 2 выполняется для ионов.
Поведение электронов имеет более сложный характер. Ввиду усло-
условия компенсации суммарного заряда плазмы уход электронов не мо-
может отличаться от ухода ионов, определяемого неоклассической
диффузией ионов D7.33). Однако теплопроводность электронов,
которая по неоклассическим формулам D7.33), например, в режиме
плато, где Хе,,~ JmeJ> должна быть в у/те/ т('меньше теплопровод-
теплопроводности ионов, в действительности оказывается на опыте значительно
(в 20-100 раз) более высокой. Для объяснения этих аномальных элект-
электронных потерь тепла в работах Окавы, а также Кадомцева и Погуце
был предложен так называемый флаттерный механизм дрожания маг-
магнитных силовых линий, обусловленный непотенциальными (попереч-
(поперечными) электромагнитными волнами.
При отсутствии магнитного поля такие волны обладают законом
дисперсии и = уп| + са к2 и в случае низкой частоты u <c u0 прони-
проникают из вакуума в плазму на глубину порядка 6 =с/и0. Это справед-
справедливо и при наличии магнитного поля Во, если волна распространяется
перпендикулярно Во, но обладает линейной поляризацией с векто-
вектором Е^ II Во, так что наличие поля Во не сказывается на движении час-
частиц. Такие волны всегда найдутся среди набора многочисленных ма-
малых возмущений плазмы в установке токамак. Таким образом, на
длинах порядка 6 = с/оH не сохраняется вмороженность магнитного
455

поля и силовые линии, обладающие в установке токамак длиной шага
/i=2n/?q(/i*10M при R = 1,5 м и q = 1), могут отклоняться в попереч-
поперечном направлении на длину порядка б * 0,5 мм при л = 1014, если ам-
амплитуда магнитного поля возмущающей волны равна В^/ Во~ б /ft
[~5-10"s и В^ = 2Гс B-Ю Тл) при Во = 50 кГс E Тл)] или более. Соот-
Соответственно этому электроны, обегающие силовую линию за период
Т.. = ft/vTe с частотой 0)! = vTe/qR, могут отклоняться от своих магнит-
магнитных поверхностей на расстояние примерно 6. Поэтому их коэффициент
температуропроводности по порядку величины равен
в то время как по неоклассическим формулам D7.33) для режима пла-
плато имели бы хе = Qv_ pf/JR. Флаттерный коэффициент D7.34) превы-
ПЛ	ic с
шает указанный неоклассический примерно в 1 / Р = В2 / 8 л р ~ 100 раз
и удовлетворительно объясняет аномальные электронные потери в ус-
установке токамак.
Для описанного механизма флаттера необходимы низкочастотные
непотенциальные возмущения с амплитудами магнитного поля
В^ й; 1 Гс A0~4 Тл). Такие сравнительно слабые поля могут сопутство-
сопутствовать, например, так называемым дрейфовым волнам, возникающим
при наличии градиентов плотности или температуры плазмы. Ввиду
их медленности эти волны можно считать почти электростатическими
Е = - V <р и описывать потенциалом Ф. При наличии возмущающего по-
потенциала Ф быстрые электроны, двигаясь вдоль поля Во, успевают под-
подстроиться под распределение Больцмана с плотностью
пе = п0 exp Jill « п0 + п\\ п\ = п0 -Ш1- « п0 .	D7.35)
Тяжелые ионы не успевают это сделать, и возмущение их плотности
п1 следует определять из уравнения непрерывности с учетом скорости
электрического дрейфа ионов:
V	D7.36)

В силу квазинейтральности п1= п1 = п0 \ е | <р/Ге, так что для «р полу-
получим уравнение дрейфовых волн
dtp
с Т. Г V п
е\В
в
_в
в
D7.37)
Отсюда видно, что эти волны распространяются в "третьем" направ-
направлении, перпендикулярном как магнитному полю Во, так и градиенту
плотности V п0, и обладают фазовой скоростью
уфаз.др " с Те V "о / е В "о и уТе QJLn « vTe '
где Ln = п011 V п01 - характерная длина изменения плотности плазмы,
очевидно, превышающая ларморовский радиус электронов Pe=vre/@Be.
Такие волны были экспериментально обнаружены в установке тока-
мак. Их раскачка, по-видимому, обусловлена наличием группы запер-
запертых электронов, которые ввиду малых продольных скоростей
vflan ~ \Те \/)Г испытывают сильное трение из-за столкновений с ионами.
Напомним, что сечение кулоновских столкновений о «Xe4/m2v4~
~ v растет с уменьшением скорости, и эти столкновения мешают ус-
установлению равновесного больцмановского распределения электро-
электронов, что и приводит к нарастанию дрейфовых волн до определенного,
сравнительно небольшого уровня насыщения (экспериментально на-
наблюдаются флуктуации плотности порядка бп/п~10 с характерны-
характерными дрейфовыми частотами ыдр = к УфМ _ и длинами волн порядка
ионного ларморовского радиуса к р; ~ 1). Эти волны, по-видимому,
несут в себе небольшую неэлектростатическую (непотенциальную) до-
добавку, которая и приводит к флаттеру силовых линий и аномальным
электронным потерям тепла. Возможно, однако, что аномально высо-
высокая теплопроводность электронов играет положительную роль, при-
приводя к более равномерному распределению температуры электронов,
а следовательно, и тока ] = оЕ, где о ~ ^\12, по сечению плазменного
шнура в установке токамак, что способствует его устойчивости.
Задача. Получить коэффициент диффузии в установке токамак для области Пфирша-
Шлютера из уравнений гидродинамики и закона Ома, учитывающего различие продольной
и поперечной электропроводности (о = 1,96 о , о = пее2 т°./те), при внешнем продоль-
продольном поле Е$.
Решение. В области Пфирша-Шлютера длина пробега мала: 1 = vrx°( < h = 2n Rq, так
что применимы уравнения двухжидкостной гидродинамики. Из них, учитывая конеч-
конечную электропроводность и пренебрегая инерцией как электронов, так и ионов, получаем
«57

уравнение равновесия Vp = — [ j В] и закон Ома для плазмы, движущейся с малой ско-
скоростью:	с
II	1	1Ч»е
Из 8-компоненты этого уравнения находим скорость
с I	"no 'хе
Ток j,_ получим из уравнения равновесия j^ = (c/B2) [BVp], которое дает ;,„ =
= (cBs/B2) dp/dp, причем р (р) не зависит от 8, и при малых е < 1 имеем cBs/BIxi
* (с/Вд) (l-ecos8). Тогда из уравнения divj = 0, учитывая, чтоУр=0, имеем divj(|g =
= — div j. „. Это дает соотношение
Э	3	cdp
— f(l-ecos8);||8] = -Fe[(l-ecos8);ie]«-2eSin8 —,
интегрируя которое находим Уц g к 2 е cos 8 (с р' ( р) /Во) + const, где постоянная связана
с внешним п^олем Е$. Поскольку j(( =Уц В/В, то j^ =;'ц Вд/В = Оц ?ц В^ /В, а ?ц можно
связать с компонентой Eg, фигурирующей в скорости v^. Для этого заметим, что внутрен-
внутреннее поляризационное поле Б . возникает из-за дрейфа электронов против бинормали,
а ионов вдоль бинормали Ь = ег, так что поле Б g направлено по вектору -ег=-ер sin8-
- eg cos 8 и, следовательно, имеем компоненты
Учитывая также внешнее индукционное поле Es, имеем
БВ = ?ц B = EgBg + ESBS; ?g = (Е|( B-ESBS)/Be =
Bs B h	q1
= — E,	+ — — =	const —
B8 B8 o, e30||
е > е0||В0	dp '
где const = е Оц EJq, так что радиальная скорость
е.Е, c2dp(p)	Г
V~c ПГ " с -2j- A-scos9)l1-ecO!i9- rrr- cos9
458

где первый член соответствует дрейфу во внешнем поле В,. Усредняя ее по поверхности
тора с радиусом Р, получаем
it Л
< v0 ) = — ФA - e cos 8) vD d 9 *
qB0 s \ О,, / OlBl dp
2ol \ кл/ dn dT \ ее
гдер = In T; o^ = ne3 to/me. Для потока, обусловленного градиентом плотности, это дает
Г = -1)пш——, гдеХ)пш= U+ 	 qa I D^ - коэффициент диффузии Пфирша-Шлю-
тера, причем 2о . / о,. = 1,02.
§ 48.Стелларатор с круговой осью
Здесь мы рассмотрим лишь проблемы "бестокового равновесия" плазмы
в стеллараторах. В токамаках, где продольный ток необходим, равновесие
описывается двумерным уравнением Грэда-Шафранова A6.7)
Р— 16л3р'(ф),	D8Л>
где ф (г, z) = 2лгДф = \ B22nrdr - магнитный поток, пронизывающий
О
круг радиуса г. Из решения A6.8) именно этого уравнения мы нашли
значение A6.23) параметра peq = 8лро/Вц = a/Rq2, определяющее дав-
459

ление плазмы. Здесь о и R - малый и большой радиус плазменного
шнура, и, например, при аспектом отношении А = R/a = 3, q = 2 имеем
Peq - 8%.
В отличие от осесимметричных токамаков, стеллараторы имеют
несимметричную трехмерную структуру. Помимо продольного торо-
тороидального поля В„ в них имеется слабое полоидальное винтовое по-
поле Вр, создаваемое внешними винтовыми обмотками и нарушающее
осевую симметрию. Однако, используя разложение по малому пара-
параметру е = |.Вр/?ф| <зс 1, все же можно и для стеллараторов получить
приближенное осесимметричное уравнение равновесия, эквивалент-
эквивалентное уравнению Грэда-Шафранова,
D8.2)
со "стеллараторными добавками" ф,, Qt, роль которых мы поясним
ниже.
Наряду с цилиндрическими координатами г, ср, z будем использо-
использовать, как и в предыдущем параграфе, квазицилиндрические коорди-
координаты р, 9, 5 = Дер. Тогда при R » а вакуумное винтовое поле вблизи
круговой оси г = R приближенно можно считать равным полю E.7)
для прямой оси, и записать E.7) в "стеллараторном виде":
V4>h) Фь = Cn-mIn (х) sin (пв - mcp), х = тр/Я.	D8.3)
Здесь Сп>т - постоянная; 1п(х) - модифицированная функция Бессе-
Бесселя; т, п - целые числа, при п = 2 стелларатор называют двухзаход-
ным (с эллиптическими сечениями), а при п = 3 - трехзаходным
(с трехугольными сечениями магнитных поверхностей). Величина
h = 2 л Rn/m равна шагу винтовой обмотки и шагу прокручивающихся
магнитных поверхностей. Но, как было показано в § 5, закручивание
силовых линий вокруг магнитной оси отстает от закручивания маг-
магнитных поверхностей и определяется формулами E.27) - E.29). Для
сопоставления с § 5 полагаем Сп>т = B1R/m и тогда суммарная про-
продольная компонента E.8) поля примерно равна Яф * Во[1-
- e/ncos(n6 - mcp)], где обозначено е = BJBO « 1. Тогда для п = 2, 3
формула E.29) дает прокручивание силовых линий
460

= 2	1» \ 2
^jn = 3 = e2-^-x2(l+-x2 + ...l.	D8.4)
Здесь x = mp/R, & m - число периодов обмотки по большому об-
обходу. Умножив эти выражения на 2 л Я, найдем угол прокручива-
прокручивания за оддин обход 68 = 2яц, где величину принято называть
вакуумным вращательным преобразованием. Для п = 2 она рав-
равна ц = е2т/16 и по существу обратна запасу устойчивости q в
токамаках. Поэтому для стеллараторов имеем равновесное зна-
значение параметра peq = ii2a/R. Например, в японском стелларато-
ре "Гелиотрон-Е" эти параметры равны соответственно: т = 19,
а = 20 см, R = 220 см, ц = 2,5, так что peq = 60%. Однако столь высокое
значение "истинного" параметра Р не достигается, поскольку это-
этому препятствуют ограничения, накладываемые условиями устойчи-
устойчивости плазмы, которые мы не будем здесь рассматривать.
Возвращаясь теперь к формуле D8,2), которую мы хотим обосно-
обосновать и в которой фигурирует разность ф - ф», заметим,что величи-
величина ф * как раз и обусловлена найденным выше прокручиванием сило-
силовых линий. И поскольку вращательное преобразование можно также
выразить формулой ц = с?фл/с?Фц, где Фц = лр2Б0 - продольный маг-
магнитный поток, при п = 2, ц = цо= const (безшировый стелларатор)
имеем
D8.5)
В этом случае можно найти и вторую поправку в формуле D8.2)
D8.6)
и так как р2 = z2 + (R-rJ, то уравнение усредненного стеллара-
торного равновесия D8.2) содержит цилиндрические аргументы г
и z, однако для него не удается найти простое аналитическое реше-
решение типа токамачного решения A6.8).