К ЛОНГМАИР
СРИЗИИА
ПЛАЗМЫ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ КУРС
Перевод с английского
Оф П. Бегучева
АТОМИЗДАТ МОСКВА 1966

УДК 533.9
NIMH
CONRAD L. LONGMIRE
Los Alamos Scientific Laboratory
Los Alamos, New Mexico
1963
INTERSCIENCE PUBLISHERS
a division of John Wiley & Sons, New York• London
2.3.7

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ
Имя К. Л. Лонгмайра — известного физика-теоретика,
хорошо знакомо всем, кто занимается проблемой управляе-
управляемого термоядерного синтеза. Ему принадлежит честь откры-
открытия желобковой (конвективной) неустойчивости плазмы
в установках с положительной кривизной силовых линий
удерживающего магнитного поля, испортившей много крови
как экспериментаторам, так и теоретикам. Естественно по-
поэтому, что появление в русском переводе книги К- Л. Лонг-
Лонгмайра будет встречено с большим интересом.
Книга представляет собой достаточно полное и последо-
последовательное изложение основных теоретических проблем фи-
физики высокотемпературной плазмы. Входящее в англий-
английское название книги слово «элементарная» может быть
отнесено лишь к характеру изложения этой сложной и да-
далеко не исследованной области физики. По рассмотренным
вопросам эта книга, пожалуй, наиболее полная из имею-
имеющихся в литературе. От большинства монографий по физике
плазмы ее отличает также универсальность методов иссле-
исследования плазменных задач. Наряду с наиболее строгим
методом кинетического уравнения автор широко исполь-
использует метод траекторий отдельных частиц, позволяющий
наглядно трактовать картину поведения плазмы в целом.
Даже такие нетривиальные эффекты, как затухание Ландау
и магнитотормозное поглощение волн, интерпретируются
на основе движения отдельных частиц в плазме.
Метод кинетического уравнения, положенный в основу
теории явлений переноса, освещен последовательно и с до-
достаточной полнотой. Приводится простой и наглядный
вывод уравнения Больцмана с интегралом столкновений и
уравнения Фоккера — Планка для плазмы. Детально рас-
рассмотрен вопрос о классической диффузии частиц в плазме
поперек магнитного поля.
3

С другой стороны, теория неустойчивости в плазме осве-
освещена явно недостаточно. В частности, излагается лишь
энергетический метод исследования устойчивости, с по-
помощью которого рассмотрены желобковая неустойчивость
и пинч-эффект (и очень кратко — неустойчивость, обуслов-
обусловленная анизотропией давления плазмы). Метод исследова-
исследования устойчивости, основанный на кинетическом подходе,
в книге совершенно не обсуждается, хотя известно, что
наиболее интересные результаты по «универсальной» не-
неустойчивости пространственно неоднородной плазмы низ-
низкого давления были получены с помощью именно этого
метода. При чтении книги следует иметь в виду, что в ней
не отражен прогресс, достигнутый в последние годы в изу-
изучении колебаний плазмы на основе использования метода
геометрической оптики. С этими последними проблемами
читатель может ознакомиться в сборнике «Вопросы теории
плазмы» под редакцией М. А. Леонтовича (М., Атомиздат,
1963), а также по обзорным статьям А. А. Рухадзе и
В. П. Силина [«Усп. физ. наук», 82, 499, A964)] и А. А. Га-
леева, А. Б. Михайловского и Р. 3. Сагдеева [«Атомная
энергия», 15, 451, A963)].
Ясная, физически наглядная форма изложения делает
книгу Лонгмайра доступной как теоретикам, так и экспе-
экспериментаторам. Более того, мне кажется, что она может
служить прекрасным учебником для студентов, специали-
специализирующихся в области физики плазмы.
Доктор физ.-мат. наук
А. А. РУХАДЗЕ

ОТ АВТОРА
В основу этой книги положены лекции, прочитанные
мной в Лос-Аламосе осенью и зимой 1956—1957 гг. перед
физиками-теоретиками и экспериментаторами — участни-
участниками работ по проекту Шервуд. (Цель проекта — созда-
создание термоядерного реактора). Трудно представить себе
аудиторию, более квалифицированную в разнообразных
аспектах физики плазмы. Я стремился изложить физику
плазмы как целостную научную дисциплину, заполняя
пробелы там, где они встречались. Успехом в решении этой
задачи, если о нем вообще можно говорить, я обязан, в част-
частности, критической и одновременно дружеской реакции
моей необыкновенной аудитории.
Записи лекций были размножены и розданы секретарем
Б. Келли из теоретического отдела сотрудникам Лос-
Аламосской научной лаборатории, а затем получили
еще более широкое распространение. Оценка лекций
была весьма благоприятной. Они использовались, насколько
мне известно, как основа для университетских курсов в Чи-
Чикаго, Гарварде и Принстоне. Ряд лиц любезно помог мне
исправить ошибки и внести некоторые изменения.
Настоящая книга в основном написана, следуя этим
лекциям, правда, с довольно серьезными переделками и до-
дополнениями. Ее уровень рассчитан на аспиранта-физика,
хотя я надеюсь, что и студенты найдут в ней достаточно по-
полезных и понятных сведений.
Участники проекта Шервуд (а также его аналогов за ру-
рубежом) находили истинное наслаждение в обучении друг
друга основам физики плазмы. Многие идеи родились в ре-
результате совместного мышления нескольких ученых, и сей-
сейчас вряд ли кому под силу определить степень участия и
заслугу каждого в той или иной проблеме. В этой книге
я даже не пытался решить подобную задачу. Мне все же
5

хочется выразить особую признательность тем, кому я обя-
обязан в первую очередь своим образованием в данной области
физики, а именно Маршаллу, Розенблату, Лайману, Спи-
церу и Джеймсу Таку. Этот перечень, конечно, можно было
бы продолжить.
Я также благодарен всей моей семье, позволившей мне
проводить многие вечера и дни отдыха за чтением и правкой
этой книги. И, наконец, я глубоко признателен Б. Келли,
без постоянной поддержки и ободрения которой этот
труд вряд ли был бы закончен
Конрад Л. Лонгмайр

Г Л А В А I
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
§ 1.1. Введение
Термин «плазма» употребляется в современной физике
для обозначения ионизированного газа, имеющего настоль-
настолько высокую плотность, что силами взаимодействия состав-
составляющих его частиц уже нельзя пренебречь в сравнении с си-
силами, действующими со стороны внешних полей. Так, незна-
незначительное число электронов, вращающихся по орбите
в бетатроне, еще не составляют плазмы. Однако, если их
число увеличивается настолько, что появляется так назы-
называемая дефокусировка за счет пространственного заряда,
то вступают в силу законы, характерные для плазмы.
Поскольку силы, действующие между разноименно за-
заряженными частицами, стремятся компенсировать друг
друга, всем видам плазмы .присуще стремление к макси-
максимально возможному электрически нейтральному состоянию.
По определению проблема плазмы есть проблема многих
тел.
В природе существует несколько видов плазмы. К плаз-
плазменным образованиям можно отнести: ионосферные слои,
большой радиационный пояс Земли, испускаемые Солнцем
потоки заряженных частиц, некоторые типы кометных хво-
хвостов, вещество, образующееся после взрыва звезд. В лабо-
лабораторных условиях плазма получается при электрических
разрядах в газах. Именно в этой области впервые появился
термин «плазма».
Возникший в течение последнего десятилетия интерес
к управляемому термоядерному синтезу послужил сти-
стимулом для многочисленных исследований по сильно-
сильноточным разрядам. Именно в связи с этими исследованиями
7

и появилось много новых результатов по физике плазмы.
Однако ясно, что плазма играет и будет играть важную
роль и в других практических приложениях, например
в термоэлектронных преобразователях и, возможно, в
двигателях межпланетных ракет.
Главной задачей при осуществлении регулируемого тер-
термоядерного синтеза является удержание газа, например
дейтерия, имеющего температуру порядка 10—100 кэв.
Поскольку скорость термоядерной реакции очень сильно
зависит от температуры, получение высоких температур
выгоднее, чем получение высоких плотностей. Давление
при этом может поддерживаться в умеренных пределах.
Например, давление в газе при температуре 10 кэв и плот-
плотности около 1015 частиц в кубическом сантиметре имеет
величину порядка 16 атм.
Газ такой высокой температуры, естественно, не должен
соприкасаться с какими-либо материальными поверхно-
поверхностями. Так как при подобных температурах газ полностью
ионизирован, было предложено удерживать его магнитными
полями. Известно, что одиночная заряженная частица
в соответствующе подобранном магнитном поле может
удерживаться в ограниченной области пространства как
угодно долго. Возникает вопрос: может ли большое число
таких частиц одновременно удерживаться магнитным
полем, или их взаимодействие приведет к тому, что
они преодолеют его силы?
Настоящая книга написана в основном в связи с пробле-
проблемами термоядерного синтеза, хотя изложенные в ней выводы
могут найти более широкую область применения. Тем не
менее в случаях, когда нужно было выбирать численные
значения встречавшихся величин, использовались значе-
чения, относящиеся к термоядерным задачам. В частности,
практически везде пренебрегалось присутствием нейтраль-
нейтральных частиц в плазме.
Будем рассматривать систему заряженных частиц, дви-
движущихся в своих собственных и внешнем электромагнитных
пол их. Фундаментальные уравнения, описывающие инте-
интересующие явления, хорошо известны. Электрическое поле Е
и магнитное поле В подчиняются уравнениям Максвелла:
A.1)

A.3)
rot В = 4*J +4 |f>	(L4)
где p — плотность заряда; j — плотность тока; с — ско-
скорость света.
Мы используем систему единиц Гаусса (Е и р измеряют-
измеряются в электростатической системе единиц, В и j — в электро-
электромагнитной). Движение частиц подчиняется закону Нью-
Ньютона. Для частицы с номером п
mnrn = Fn,	A.5)
где г„ — координата частицы; тп — ее масса; Еп — сила
Лоренца
{Ij	A.6)
Заряд частицы обозначается еп и ее скорость vn.
Несмотря на то что эти уравнения известны давно, пол-
полная картина, описываемая ими, весьма сложна и не может
быть уяснена с первого взгляда. Удобнее разделить всю
проблему на отдельные задачи:
1)	существование и свойства стационарных решений
уравнений A.1) — A.4) при использовании только усреднен-
усредненных значений полей;
2)	медленно меняющиеся решения этих уравнений, не
ограниченные условием малости амплитуды;
3)	малые возмущения (волны) с произвольной частотой
и рассмотрение устойчивости стационарных уравнений;
4)	ударные волны — пример возмущений большой ам-
амплитуды и частоты;
5)	эффекты, обусловленные дискретностью среды, т. е.
влиянием столкновений, такие, как диффузия в обычном
пространстве и в пространстве импульсов, а также радиа-
радиационные эффекты.
Мы будем рассматривать влияние столкновений ~ как
малое возмущение. Такой подход прямо противоположен
газодинамическому методу, где столкновения играют доми-
доминирующую роль. Он вполне применим, однако, при высо-
высоких температурах и малой плотности, когда среднее зна-
значение потенциала между соседними частицами мало по
сравнению с их тепловой энергией.
9

§ 1,2. Некоторые особенности уравнений
Максвелла
В § 1.1. уравнения Максвелла были приведены в обыч-
обычной форме. Такая форма особенно удобна для решения ста-
статических задач. Действительно, если дивергенция и ротор
какого-либо векторного поля заданы, то при наличии кон-
конкретных граничных условий оно само определяется одно-
однозначно. Однако по отношению к задачам, содержащим за-
зависимость от времени, эти уравнения в некотором смысле
излишне полные. Так, если взять дивергенцию от уравне-
уравнения A.2), то получим
^-divB=0-	A.7)
С другой стороны, дифференцирование по времени уравне-
уравнения A.3) дает тот же самый результат.
То, что два различных способа приводят к одному и тому
же результату, выглядит странно. Они могли и не привести
к одинаковому результату.
Если же продифференцировать по времени уравнение
A.1) и взять дивергенцию от выражения A.4), то получим
divj + i|=O.	A.8)
Это уравнение сохранения заряда, по счастливой случай-
случайности совпадающее с экспериментально установленными
фактами. То, что в уравнениях Максвелла содержится за-
закон сохранения заряда, — не менее странное явление.
Подход, который помогает избежать подобных проти-
противоречий, состоит в следующем.
Рассмотрим уравнения A.2) и A.4):
1 дЪ	,с
	зт = — rot E,
с dt	'
Эти уравнения определяют Е и В для любого момента
времени по их начальным значениям. Поэтому оказывается
возможным рассматривать уравнения A.1) и A.3) как на-
начальные условия. Так и есть на самом деле.
Действительно, если уравнения A.1) и A.3) удовлетво-
удовлетворяются в начальный момент, они удовлетворяются всегда,
10

как применение операций дивергенций к уравнению
A.2) дает уравнение A.7). Но из последнего уравнения
следует, что если дивергенция В равна нулю в начальный
момент, то она всегда равна нулю. Подобным образом, взяв
дивергенцию от уравнения A.4) и использовав на этот раз
уравнение сохранения заряда A.8), найдем, что соотноше-
соотношение divE — 4тгр = 0 справедливо в любой момент, если
оно имело место в начальный момент.
§ 1.3. Сохранение импульса
Из уравнения A.5), .выражающего второй закон Нью-
Ньютона, если его просуммировать по всем частицам в единице
объема, следует, что приращение импульса этих частиц
равно сумме электромагнитных сил, действующих на еди-
единичный объем. Чтобы найти более удобное выражение для
закона движения частиц плазмы, введем функцию распре-
распределения частиц.
Определим ее следующим образом:
/(г, v) dvd\ равно числу частиц в элементе объема ,л q^
dxdv фазового пространства.	v*-^)
Если имеется несколько сортов частиц, то мы будем
вводить такую функцию распределения для каждого сорта.
Пока предположим, что имеется только один сорт частиц.
Одной из главных задач является отыскание функции
распределения. В этом параграфе найдем некоторые усло-
условия, накладываемые на функцию распределения законом
Ньютона.
Пространственная плотность частиц
(r,v)dv.	A.10)
Выберем декартову систему координат xi> Х2, хз и обозна-
обозначим соответствующие компоненты скорости vi, 0.2, vs.
Плотность i-й компоненты импульса
jtz.(г) = J mvjir, v)d\ =N(r)mvi(r),	A.11)
где черта сверху обозначает усреднение по скоростям.
Написанная величина может меняться во времени под дей-
действием электромагнитных сил. Она может также меняться
оттого, что частицы приходят в выделенный объем и покй-
11

дают его. Плотность потока i-й компоненты импульса, т. е.
количество i-й компоненты импульса, которая переносится
через единичную площадку, направленную нормально
к /-й компоненте скорости, есть
Py(r) = J/ni»/i;y/(r, \)dv = N{v)n^Vj.	A.12)
Назовем Рц тензором плотности потока импульса. Этот
тензор симметричен (по индексам). Он тесно связан с тензо-
тензором давления рц (хотя не тождествен ему), который опре-
определяют следующим образом. Пусть
i^^ + fl*,,	A.13)
где б Vi (не обязательно бесконечно малая величина) —
разность между vi и средним значением v-L. Тогда тензором
давления называется выражение
р.. (г) = Nmbvt 6Vj.	A.14)
Можно легко показать, что Рц и рц связаны соотно-
соотношением
p.j = Ntnvt Vj -\- Рц.	A*15)
Таким образом, если Рц — полная плотность потока
импульса, то рц есть плотность потока импульса в системе
координат, движущейся с локальной средней скоростью.
В том случае, если распределение по bvt максвеллов-
ское с температурой Т, pij принимает вид
(NkT О О \
О NkT 0 1,	A.16)
О 0 NkT/
где k — постоянная Больцмана. Такой диагональный и по-
постоянный тензор, сохраняющий свой вид при вращениях
системы координат, называется скаляром. Вектор импульса,
переносимого в этом случае через некоторую поверх-
поверхность, перпендикулярен ей.
Обычно давление представляют как силу, отнесенную
к площади. Однако, согласно второму закону Ньютона, оно
может быть определено и как импульс, переносимый через
поверхность. Мы можем не интересоваться, чем определяет-
определяется поток импульса: переносом его частицами или силами,
действующими на поверхность. Члены NkT в выражении
12

A.16) получают обычно и при выводе силы, действующей
на единицу поверхности.
Для случая высокотемпературной плазмы рискованно
предполагать (как видно будет из дальнейшего), что тензор
давления есть скаляр, поскольку частота столкновений,
обеспечивающих изотропность функции распределения,
при этом недостаточно высока. Тензор плотности потока им-
импульса еще с меньшим основанием можно считать скаляром.
Количество i-й компоненты импульса, вытекающей из
единичного объема в единицу времени, есть ^— Р^, где, как
OX j
принято, по повторяющимся индексам производится сумми-
суммирование. Тогда, если просуммировать закон Ньютона для
всех частиц в выделенном элементе объема, получается
д-Ч + ЩЪ = РAл	A.17)
dt + dxj riv>>	v ;
где F(V) — 1-я компонента суммы электромагнитных сил,
действующих на частицы в этом объеме.
Выражение для электромагнитных сил получают сумми-
суммированием уравнения A.6):
F(V) = pE + [jB].	A.18)
Здесь использованы обозначения
P = Ne; п = Щ-1-	AЛ9)
Если бы правая часть уравнения A.17) равнялась нулю,
то из него следовало, что импульс частиц сохраняется. На-
Наличие электромагнитных сил нарушает закон сохранения
импульса частиц. Посмотрим, нельзя ли ввести для поля
плотность импульса Gt и плотность потока импульса T\j
таким образом, чтобы полный импульс для частиц и поля
сохранялся. Этого можно достигнуть, если представить
силу F(V) следующим образом:
В этом случае уравнение A.17) приобретает вид
3	|=0.	A.21)
Величины G\ и Tbj могут зависеть только от полей. Мы
должны поэтому взять выражение A.18) и попытаться
13

исключить из него с помощью уравнений Максвелла плот-
плотность заряда и плотность тока.
Из уравнения A.1) найдем
PE=^E-divE=:ir{(VE)E—(EV)E}, •
где оператор \7 действует на все величины, стоящие справа -
от него. Первый член в скобках имеет нужный нам вид, так
как его i-я компонента есть-т— E\Ej. Второй же можно пре-
преобразовать с помощью векторного тождества:
Выражая отсюда (EV) Е и учитывая уравнение A.2),
найдем
fj A.23,
Из уравнения A.4) находим
С помощью тождества A.22) получаем
[В [VB]] = V -^ — (BV) В - V — — (VB) В + В (VB).
Последний член в этой формуле обращается в нуль в силу
уравнения A.3), и тогда
= i{-7[f B
]+(VB)B-Vfj. A.24)
Теперь видно, что с помощью уравнений (.1.23) и A.24) сила
F(]/) действительно может быть представлена в форме A.20),
причем плотность импульса
4^	A.25)
а плотность потока импульса
Т» = i [Ч^ ЬЧ ~ ^ ЕГ\- Ъ Bj)}.	A.26)
14

Здесь введен символ Кронекера
fi/y = 0 для 1Ф1
6и = 1 для i = /.
Тензор 7j/ называется тензором натяжений электромагнит-
электромагнитного поля.
§ 1.4. Некоторые примеры использования
тензора натяжений
В статическом случае закон сохранения импульса A.21)
приобретает вид
?-(Р1} + Ти)=0.	A.28)
Исследуем теперь детально несколько статических задач,
чтобы показать, как давление среды уравновешивается
натяжениями полей.
- Для начала возьмем очень простой случай, при котором
магнитное поле имееет одно направление (совпадает с на-
направлением вдоль оси z), а электрическое поле равно нулю.
В этом случае
/В2 0 0\
-. •	7= ~ О В2 0 i	A.29)
\о о —в2)
Мы видим, что в направлениях, перпендикулярных
к вектору В, возникает давление 52/5п:, а в направлении,
параллельном В, действует натяжение В218ъ. Силовые
линии магнитного поля, таким образом, могут быть уподоб-
уподоблены натянутым резиновым лентам, отталкивающим друг
друга. Если тензор плотности потока импульса такого про-
простого вида, как в выражении A.16), уравнение сохранения
импульса A.28) сводится к
dz
15

Из уравнения A.3) следует, что для данного случая
Поэтому из последнего уравнения A.30) вытекает, что
давление NkT также не зависит от г. Учитывая этот факт,
из двух других уравнений системы A.30) можно найти
~ + NkT= const.	A.31)
Величину В2/8к иногда называют магнитным давлением.
Таким образом, сумма магнитного и обычного давлений
в этом примере — величина постоянная.
Натяжения, действующие в направлении оси z на каж-
каждый элемент объема, в данном случае взаимно уничтожают-
уничтожаются, хотя в общем случае это не имеет места.
Для каждой точки любого магнитного поля можно всегда
выбрать декартову систему координат с осью г вдоль линий
этого поля. Тогда в этой точке тензор натяжений прини-
принимает диагональную форму A.29). Таким образом, суще-
существование натяжений вдоль силовых линий и давления
в перпендикулярных к ним направлениях является общим
результатом. Однако условие равновесия включает про-
производные компонент тензора, которые для недиагональ-
недиагональных элементов не всегда равны нулю.
В качестве второго примера рассмотрим осесимметрич-
ный случай. Выберем цилиндрическую систему координат г,
Э и z так, чтобы магнитное поле было направлено вдоль
линий 6. Тогда тензор натяжений в местной координатной
системе имеет вид
A.32)
Предположим, что В зависит только от г и тензор плот-
плотности потока импульса есть просто скаляр вида A.16), где
р также зависит только от г.
Вместо того чтобы вычислять дивергенцию Т, проинте-
проинтегрируем уравнение A.28) по малому элементу объема.
Применив теорему Гаусса, получим выражение
ids-0,	A.33)
16

где п — внешняя нормаль к поверхности элемента объема.
Из уравнения A.33) следует, что сумма натяжений, дей-
действующих на поверхность элемента объема в случае равно-
равновесия, должна равняться нулю.
Выберем элемент объема так, чтобы его грани совпадали
с координатными плоскостями г, Э, г, как это показано на
рис. 1.1 В соответствии с уравнением A.32) силы, дей-
действующие на поверхность этого элемента объема, направ-
направлены нормально к его граням.
Рис. 1.1. Элемент объема в цилиндрической
системе координат.
Очевидно, что силы, действующие в направлении г,
уничтожаются, а действующие на грани и совпадающие
с координатными поверхностями гиб, складываются, об-
образуя равнодействующую в направлении г.
Магнитные силы, действующие на две последние боковые
поверхности, показаны на рис. 1.1; на поверхность, нор-
нормальную к направлению г, действует давление, а на по-
поверхность, нормальную к линиям 0, — натяжение. Сложим
радиальные компоненты этих сил, опуская члены более
высокого порядка малости, чем величина объема гбббгбг.
Тогда для радиальной компоненты магнитной силы имеем
2 (г) гШг - В2 (г+ 6г) (г+6г) 606 г -
— 2sin^B2(/-)Sr6z U=-
гЪвЪгог
2 К. Лонгмайр	17

Подобные вычисления для радиальной компоненты сил
давления дают
F4acT= — гбббгбг-^.	A.35)
Уравнение равновесия A.33) тогда можно записать
в форме
Это уравнение в общем случае уже не приводит к простому
результату A.31). Чтобы проинтегрировать уравнение
A.36), нужны дополнительные сведения о поведении ве-
величин В(г) или р(г).
Если нет плазмы и, следовательно, р = О, то уравнение
A.36) после интегрирования имеет вид
A.37)
Такое поле создается, в частности, током, протекающим
по оси. В этом случае натяжения, действующие на выде-
выделенный элемент объема, как и на любой другой, не содер-
содержащий токов элемент, обращаются в нуль. Это совершенно
естественно, так как магнитные силы были получены из
выражения [jB].
§ 15. Общее выражение для дивергенции тензора
.в цилиндрических координатах
Вычисление натяжений, действующих на грани эле-
элементарного объема, произведенное в предыдущем примере,
по существу сводится к нахождению дивергенции тензора
натяжений. Аналогичный способ может быть использован
для вычисления дивергенции какого-либо тензора в любой
ортогональной системе координат.
В частном случае декартовой системы координат ди-
дивергенция выражается так, как, например, в левой части
уравнения A.28).
Цилиндрическая система координат весьма удобна при
рассмотрении магнитных полей. Компоненты дивергенции
18

тензора в цилиндрических координатах, построенного
в местной декартовой системе
имеют вид:
компонента по г
1 А т
т иг
компонента по 0
компонента по z
(Т„ Tt Trz
= I TV Toe Tqz
T2Q Tv
1 д
1 д
A.38)
A.39)
L 'JL т	1 д
r ~dr zr \ ~y ~Щ
Читателю предлагается проверить самостоятельно этот
результат.
§ 1.6. Закон сохранения энергии
Если умножить уравнение движения п-й частицы A.5)
скалярно на \Пу то получим
d / 1	2\
~ат ("о" mn vn 1 ~ (Уп F) ~ ^n(vn E).	A-40)
Из уравнения A.40) следует, что увеличение кинетической
энергии частицы в единицу времени равно работе, совер-
совершаемой электрическим полем над этой частицей (магнитное
поле не совершает работы). Если просуммировать уравне-
уравнение A.40) по всем частицам в единице объема, то можно най-
найти увеличение энергии всех частиц в единицу времени:
-?-t8p = c(]E).	A.41)
Производная от энергии в формуле A.40) обозначена как ^
для того, чтобы подчеркнуть факт отношения ее к фикси-
фиксированной группе частиц (так называемая материальная,
или субстанциональная, производная).
2*	19

Плотность энергии частиц Qp может быть выражена че-
через функцию распределения, введенную в § 1.3:
J
i. mv2 f (r, v) dv - ^ ^mpl	(i.42)
Субстанциональная производная в уравнении A.41)
включает не только изменение энергии внутри единицы
объема, но также и любое изменение энергии за счет по-
потока частиц из этого объема или в него. Последняя вели-
величина может быть описана как дивергенция потока энер-
энергии Q. Количество энергии, протекающей в единицу вре-
времени через элементарную ориентированную нормально
к направлению i-й оси площадку, можно определить как
Qi = \ -о mv2l°i f(r> v)dv = -к Nmv2vi*	A,43)
В § 1.3 тензор плотности потока импульса Pls был раз-
разделен на две части, одна из которых (mviVj) описывает
средние величины скоростей, а другая—(mbvibv/) относится
к отклонениям скоростей частиц от их средних значений.
Аналогично можно поступить по отношению к плот-
плотности энергии и вектору потока энергии.
Используя соотношение A.13), можно легко найти, что
выражение A.42) для плотности энергии в среде распадает-
распадается на две части:
g = l]\rnw2 + ~ Ntnbv2.	A.42')
В этом и последующих выражениях там, где v или bv
не снабжены никакими индексами, будем подразумевать
модуль соответствующего вектора. Первый член в правой
части уравнения A.42') можно назвать макроскопической
энергией, а второй — внутренней энергией.
Для вектора потока энергии Q найдем
Qi^^-m^ (vj+6vj) (vj+6vj) (vi+6vi) f (r, v)d v,
где использовано правило суммирования по повторяющим-
повторяющимся индексам. Если перемножить выражения в скобках, то
получим шесть членов, средние от которых необходимо вы-
вычислить
20

Поскольку все величины с чертой наверху здесь постоянны,
их можно вынести за знак интеграла. Тогда средние от вто-
рого и четвертого членов обращаются в нуль, так как 6v/= О
по определению Vj.
Таким образом, для Q/ имеем
Qi = -1 Nmv2~Vi + YNm fa
A.43')
Первый член справа соответствует макроскопической энер-
энергии, второй описывает перенос внутренней энергии за счет
средней скорости среды, или, как мы будем говорить, за
счет конвекции. Этот член, как и первый, обращается в нуль
в системе координат, движущейся со средней скоростью
среды. Последний же член может быть не равен нулю даже
в такой системе координат. Этот член лучше всего назвать
энергией, переносимой за счет теплопроводности или
электропроводности.
Поскольку мы пока не указали способов вычисления
величин отдельных слагаемых gp и Q, в этой главе будем
иметь дело непосредственно с $р и Q. Вводя их в уравнение
A.41), получим
4#P + divQ = c(jE).	A.44)
Если бы правая часть уравнения A.44) обращалась
в нуль, то это означало бы, что энергия частиц сохраняется.
Однако за счет работы, производимой над частицами электри-
электрическим полем, их энергия не остается постоянной. Тем
не менее можно ввести плотность энергии S/ и вектор по-
потока энергии S для полей таким образом, чтобы полная
энергия системы плазма плюс поле сохранялась постоян-
постоянной. Этого можно достичь, если представить c(j E) следую-
следующим образом:
^.	A.45)
Величины (Р/ и S должны зависеть только от напряжен-
ностей полей, поэтому можно исключить плотность тока
21

из выражения (]Е), используя уравнения Максвелла. Из
уравнения A.4) находим
??Ц.	A-46)
Использовав уравнение A.2), получим
(E[VB]) = [E(VB)] = -[V(EB)] +
+ (В [VE]) = - (V [Е В]) + В(- ^
Тогда уравнение A.46) примет вид
При сравнении полученного результата с уравнением
A.45) видно, что полная энергия системы сохраняется в том
случае, если плотность энергии и поток энергии определены
следующим образом:
«,-!??*!.	¦ 0.47)
?	A.48)
Этот вывод, так же как и формулы A.25 ) и A.26) для
количества движения, конечно, был известен уже давно.
Однако тот факт, что плотности физических величин и
плотности их потоков могут быть определены так, что
соблюдаются законы сохранения для всей системы, крайне
примечателен.
Вектор S называется вектором Пойнтинга. Примеры
использования Sf и S можно найти в книгах по теории поля.
В частности, энергия, запасаемая в конденсаторах и ин-
дуктивностях, может быть отождествлена с плотностью
энергии поля $f, а энергия, диссипируемая в сопротивле-
сопротивлениях, может рассматриваться как вносимая в сопротивле-
сопротивление за счет вектора Пойнтинга. Примеры использования
Sf и S в физике плазмы будут встречаться в дальнейшем.
22

§ 1.7. Закон сохранения массы
Имеется еще более простой закон, о котором до сих пор
не упоминалось, — закон сохранения числа частиц или
массы. При описании движения частиц с помощью уравне-
уравнения Ньютона этот закон удовлетворяется за счет того, что
принимаются в расчет траектории всех частиц. При описа-
описании поведения частиц с помощью функции распределения
этот закон принимает форму дифференциального уравне-
уравнения.
В уравнении A.10) уже было введено понятие о плот-
плотности частиц N. Плотность потока частиц
U='jv/(r, v)dv = Wv.	A.49)
Тогда закон сохранения массы можно выразить следующим
образом:
^+divU=0.	A.50)
Если частицы могут исчезать или образовываться, напри-
например, в результате ядерных реакций, то в правую часть
уравнения A.50) следует добавить соответствующие члены
(плотность источников).
§ 1.8. Уравнение Лиувилля
При решении некоторых простых механических задач
оказывается достаточным использовать законы сохранения
энергии и импульса. В проблеме многих тел, с которой нам
приходится иметь дело, положение меняется, так как
число неизвестных в тех уравнениях, которые были при-
приведены, больше, чем число самих уравнений, т. е. уравне-
уравнения сохранения массы, импульса и энергии, если так можно
выразиться, «не всё знают». Тем не менее из них часто мож-
можно получить весьма полезные сведения как для теоретиче-
теоретических, так и для экспериментальных исследований. В част-
частности, условия равновесия (в статическом случае) A.31)
и A.36) были использованы для получения данных о дав-
давлении среды из измерений магнитного поля.
Чтобы найти решение общей задачи, необходимо вновь
возвратиться к уравнениям движения и уравнениям Мак-
Максвелла за дополнительными сведениями. Возможны два пути
решения этой задачи. Первый заключается в том, чтобы
23

сначала решить уравнения движения отдельных частиц
в некоторых произвольных полях, вычислить плотность
зарядов и токов и, подставив их значения в уравнения
Максвелла, определить величину напряженности полей.
Этот метод имеет за собой преимущество максимальной
физической наглядности и рассмотрен детально в гл. 2 и 3.
Другой метод основан на использовании уравнения
Лиувилля, описывающего поведение функции распреде-
распределения /(г, v), введенной нами ранее A.9). Этот метод более
пригоден для точного математического рассмотрения проб-
проблемы, хотя он не всегда легко допускает физическую ин-
интерпретацию. Оптимальный подход должен сочетать в себе
использование обоих методов, чтобы можно было дать фи-
физическое истолкование результатов, получаемых из уравне-
уравнения Лиувилля с помощью метода отдельных частиц.
В этом параграфе рассмотрим метод уравнения Лиувил-
Лиувилля, а в дальнейшем покажем, как его применить к постав-
поставленным задачам.
Уравнение Лиувилля описывает поведение плотности
частиц в шестимерном фазовом пространстве, координатами
в котором являются пространственные координаты и ком-
компоненты скорости частицы. Каждая частица в определен-
определенный мрмент времени описывается точкой в таком простран-
пространстве. При рассмотрении движения частицы во времени эта
точка описывает некоторую траекторию в фазовом про-
пространстве. Шестимерная скорость движения этой точки VG
имеет компоненты (х, у, z, vXy vyj v2), где точки означают
дифференцирование по времени. Используя уравнение
Ньютона, можно написать
где'7^., Fy и Fz — компоненты силы, действующей на
частицу, am — ее масса.
Положим теперь, что сила F является функцией поло-
положения и скорости частиц. Это предположение вполне оправ-
оправдано в отношении сил, обязанных своим происхождением
усредненному электромагнитному полю частиц. Силы,
связанные с взаимодействием отдельных частиц, оставим
в стороне, так как они зависят еще и от точных значений
координат других частиц. Поскольку нам предстоит опери-
оперировать с плотностью частиц, будем рассматривать лишь
24

средние силы, так как для учета отдельных взаимодей-
взаимодействий информации недостаточно. Поэтому влияние столкно-
столкновений и других флуктуационных процессов при таком описа-
описании выпадает из рассмотрения. Если учесть столкновения,
то уравнение Лиувилля превращается в уравнение Больц-
мана, которое будет рассмотрено позднее.
В соответствии со сделанным ранее предположением
вектор V6 определен положением точки в фазовом про-
пространстве, а если такая точка задана, возможно предска-
предсказать ее траекторию. Однако проще обратиться прямо к функ-
функции распределения.
Пусть f(x, уу г, vx, vy, vz) есть плотность частиц в фазо-
фазовом пространстве. Поскольку число частиц сохраняется,
уравнение сохранения в фазовом пространстве имеет вид
|	= 0.	A.52)
Здесь V6/ — поток частиц в фазовом пространстве, a V6 —
шестимерная дивергенция. Проведя векторное дифферен-
дифференцирование, найдем
Ve)=O.	. A.53)
Далее
V V - —* 4- ^ — 4- ± (— 4- dFy ^-д—\ • A.54)
У
В последнем выражении первые три члена обращаются
в нуль, так как vx, vy и vz являются независимым перемен-
переменным, а ?-, например, означает дифференцирование при
сохранении всех координат, кроме х, постоянными.
В большинстве случаев последние три члена также обра-
обращаются в нуль. В частности, они равны нулю для случая
обычной силы Лоренца:
1т. д. При этом
| + (VeVJ) = 0.	A.55)
2В к. Лонгмайр	25

Это и есть уравнение Лиувилля. Вектор V6 определяется
равенством A.51).
Поскольку
7й = Ж + ^«>	С1-56)
есть производная, взятая вдоль пути отдельной частицы,
уравнение Лиувилля гласит, что плотность частиц в фазо-
фазовом пространстве вокруг некоторой частицы сохраняется
постоянной при ее движении.
В случае сил трения зависимость сил от скорости имеет
вид
F = — k\	A.57)
и последние три члена в уравнении A.54) не исчезают, при
этом
(V6V6) = -^.	A.58)
При учете этого члена в уравнении A.53) получим модифи-
модифицированное уравнение Лиувилля. Плотность / в окрестности
траектории частицы в фазовом пространстве уже не сохра-
сохраняется постоянной, а увеличивается со временем. Это соот-
соответствует тому факту, что по мере замедления частиц за
счет сил трения они сосредоточиваются во все уменьшаю-
уменьшающейся области фазового пространства около точки v = 0.
Поэтому их плотность должна возрастать. Однако нам почти
не придется иметь дело с подобными случаями.
§ 1.9. Уравнение Лиувилля
с учетом силы Лоренца
При учете силы Лоренца уравнение A.6) принимает вид
^0. A.59)
Здесь Vr — градиент в обычном пространстве, a Vy — гра-
градиент в пространстве скоростей. Это уравнение в частных
производных с семью независимыми переменными очень
трудно точно решить, за исключением некоторых простей-
простейших задач. Однако его можно решить приближенно, ис-
используя для различных задач соответствующие способы
приближений: Рассмотрим некоторые из них в следующих
26

главах. Пока обратимся к одному из них, имеющему до-
достаточно общее значение, и ясно демонстрирующему связь
законов сохранения с функцией распределения. Этот метод
основан на вычислении моментов функции распределения
в пространстве скоростей и их связи за счет уравнения Лиу-
Лиувилля.
Уравнение для низших моментов может быть получено
интегрированием уравнения Лиувилля по всему простран-
пространству скоростей
[vB] }?vf)dv = 0.	A.60)
Первый интеграл здесь равен просто A/"(r, f) — плотности
частиц в обычном пространстве, уже введенной нами ранее
в уравнение A.10). Второй интеграл равен плотности по-
потока частиц в обычном пространстве Nv(r, t), встречав-
встречавшейся в уравнении A.49). Третий же интеграл может быть
преобразован следующим образом:
В последнем выражении первый интеграл справа можно
преобразовать, используя теорему Гаусса, в интеграл по
бесконечно удаленной поверхности в пространстве ско-
скоростей. Поскольку не может быть частиц с бесконечной ско-
скоростью и энергией, / на этой поверхности обращается
в нуль и, следовательно, первый интеграл равен нулю.
Во втором интеграле справа Е и В не зависят от ско-
скорости, поэтому (\MvBJ) = 0, что нетрудно показать. По-
Поэтому последний интеграл в уравнении A.60) обращается
в нуль:
jfN(r9t) + (VrN\i(r9t))=O.	A.61)
Это уравнение выражает закон сохранения числа частиц
в обычном пространстве. Получение такого результата не
может удивлять, поскольку само уравнение Лиувилля
выведено в § 1.8 из уравнения сохранения числа частиц
2В*	27

в фазовом пространстве и уравнения Ньютона для движе-
движения частицы.
Можно ожидать, что мы также придем снова к уравне-
уравнениям сохранения энергии и количества движения.
Уравнения для моментов следующего порядка полу-
получаются умножением уравнения A.59) на каждую компоненту
скорости v\ и интегрированием по всему пространству ско-
скоростей. Результат имеет вид
4
-f ~ J vt ( JE + 4 [vB]} V j) dv = 0.	A.62)
Интеграл в этом выражении можно преобразовать, взяв его
по частям:
При подстановке этого результата в уравнение A.62)
получим
A. (NmVi) + Л- {Nmw^ + tEi+mt, A.63)
где р — плотность заряда (в электростатических единицах),
a j — плотность электрического тока (в электромагнитных
единицах). В соответствии с нашими ожиданиями выве-
выведенное уравнение совпадает с уравнением A.17) и является
законом сохранения количества движения.
Можно также получить шесть уравнений для следую-
следующих моментов функции распределения, умножив уравне-
уравнение A.59) на v\Vj и опять проинтегрировав по пространству
скоростей. Поступая как раньше, можно найти
- -L- j / ((Е + | [vB]j у, (vt f,)) dv =0. A.64)
Если выполнить векторное дифференцирование под знаком
интеграла, то последний член принимает вид
j [vB]). о,) dv. A.65)
28

Для произвольных i и / это выражение нельзя упростить
дальше. Однако если положить i = j и просуммировать,
умножив на ^, то можно получить простой результат:
Ж
+ Ш ^Ч)=С«Е)- A-66)
Это уравнение выражает закон сохранения энергии и совпа-
совпадает с равенством A.44).
Уравнения A.63) и A.66) выражают законы сохране-
сохранения, поскольку они могут быть представлены в форме
-тг(плотность) + у (плотность потока) = 0.	A.67)
Так как левые части уравнений A.63) и A.66) уже имеют
такой вид, необходимо только показать, что и правые сто-
стороны могут быть представлены в аналогичной форме. А это
уже было доказано в § 1.3 и 1.6. Можно ли подобным путем
получить следующие законы сохранения? Например, яв-
являются ли шесть уравнений A.64) законами сохранения?
Ответ гласит — нет. Действительно, уравнение A.65) не
может быть преобразовано к виду A.67) хотя бы потому,
что оно содержит члены вида V\Vk, которые нельзя выра-
выразить, подобно плотности заряда и плотности тока, через на-
напряженности полей или какие-либо другие величины. Для
уравнений, содержащих моменты более высокого порядка,
ответ на этот вопрос также отрицательный.
Имеется еще одна сохраняющаясяX физическая вели-
величина, а именно момент количества движения относительно
какой-либо точки. Запишем закон сохранения количества
движения A.21) в виде
~\—=;	== 0,
dt	i
где & — полная плотность импульса системы, а З^ц — пол-
полная плотность потока импульса системы. Умножив это
уравнение векторно на радиус-вектор г, получим
Но
¦§; (*i 9, - х, St) + л, ?*„- х,
29

Следовательно, учитывая симметричность 5s//, имеем
j*-x,&ll)=0. A.68)
Таким образом, момент импульса [г *§\ сохраняется
при условии, что сам импульс сохраняется, а тензор плот-
плотности потока импульса симметричен. Поэтому закон сохра-
сохранения момента импульса не является независимым уравне-
нением.
Сказанное не означает, что моменты более высокого по-
порядка уравнения Лиувилля не приводят к новым уравне-
уравнениям. Такие уравнения могут быть получены, но они не
являются законами сохранения. При образовании моментов
были исключены компоненты скоростей из числа незави-
независимых переменных и получена бесконечная система уравне-
уравнений в частных производных по времени и пространству.
Эта система уравнений обладает неудобной особенностью:
число неизвестных величин, содержащихся в каждых п
уравнениях этого ряда, превышает п. Например, десять
уравнений A.61), A.63) и A.64) содержат не только десять
величин N, vit ViV/, но и десять величин V\VjVk. Такая си-
система уравнений не может быть последовательно разрешена,
и поэтому математически эта задача неразрешима. Тем не
менее, делая некоторые физические допущения, можно
получить ее приближенное решение, как это будет
показано в следующем параграфе.
§ 1.10. Магнитогидродинамическое приближение
В обычных газах при не сильном отклонении от нормаль-
нормальных условий высокая частота столкновений частиц оказы-
оказывает решающее воздействие на функцию распределения /.
Именно столкновения определяют максвелловский или
• близкий к нему вид этой функции. Максвелловское рас-
распределение может быть наложено на некоторое среднее
состояние, и тогда функция распределения имеет вид
3/2
ехр
Г—m(v—"vJl л яп\
L—hr-11 • О-69)
30

Здесь N, v и Т могут зависеть от г и /. Если эти величины
несильно меняются на протяжении одной длины свободного
пробега, формула A.69) является хорошим приближением
к действительному виду функции распределения.
В задачах, которые нас интересуют, частота столкнове-
столкновений не всегда достаточно высока, чтобы обеспечить распре-
распределение, близкое к максвелловскому. Тем не менее мак-
свелловская форма функции распределения в подавляющем
большинстве случаев из-за своей простоты может служить
по крайней мере для приблизительной оценки.
Посмотрим, какой вид принимают законы сохранения
при подстановке в них выражения A.69)*.
Закон сохранения массы A.61) не изменяется при учете
выражения A.69). Тензор плотности потока импульса при-
принимает вид A.15), в котором выражение для тензора дав-
давления pi/ дается равенством A.16). Поэтому уравнение
сохранения количества движения A.63) принимает вид
4- (Nmvi) + -?— (NmviVj) + -S- (NkT) = pEi + [jB]i, A.70)
где
p = Ne: i = — New.	(Ы9)
Далее
dXj
=mvi V (A/v)+mjVvVy,-.
Используя полученные равенства, а также закон сохране-
сохранения массы, можно преобразовать уравнение A.70) к виду
, A.71)
где pm = Nm — плотность частиц, а р = NkT — давление.
Уравнение A.71) является обычным гидродинамическим
уравнением Эйлера с учетом действующих на каждый эле-
элемент объема электромагнитных сил.
* Поскольку при столкновениях масса, импульс и энергия
сохраняются, введение члена столкновений в уравнение Лиувилля
не изменит общего вида законов сохранения.
31

Подставим функцию распределения .A.69) в уравнение
сохранения энергии A.66).
Из уравнения A.15) имеем
\ Nmv2 = ~ Nm (vJ + | NkT,	A.72)
а из уравнения A.43')
|	()% -| NkTvk.	A.73)
Учитывая эти выражения, можно преобразовать уравне-
уравнение A.66) к следующему виду:
dvi . 1 r~\2 dN . 3 д /АТ1п^\ , л г — dvi ,
+ т m ^J "air ^^*) +1 ^ air {NkT)+
В этом уравнении второй и пятый члены уничтожаются
в силу равенства A.61). Первый, четвертый и часть шестого
членов также обращаются в нуль ввиду уравнения A.71)
(если его предварительно умножить ш vi и просуммиро-
просуммировать). Остающиеся члены имеют вид
^j	^	l^=O. A.74)
Далее, согласно уравнению A.61), получим
АТ дщ	( д . - д \ АТ	dN
где -г-.—субстанциональная производная, взятая вдоль
траектории элемента объема. Поэтому можно преобразовать
уравнение A.74) к виду
^l{)^kT^L = 0 A.75)
или, заменив NkT давлением р, — к виду 3 — = 5 -^- .
32

Таким образом, для выделенного элемента объема при
его движении сохраняется справедливым соотношение
A.76)
которое выражает уравнение состояния в адиабатическом
случае с показателем политропы у = 5/3.
Трех уравнений
_+ViVv=0;	A.61)
р J^_ = _Vp-f-pE+[jB];	A.71)
p^NkT	A.77)
совместно с уравнением A.76) и уравнениями Максвелла
достаточно для определения состояния системы по заданным
начальным условиям. Счастливым обстоятельством избав-
избавления от необходимости иметь дело с высшими моментами
функции распределения мы целиком обязаны принятому
простому виду этой функции A.69). В этом приближении
она характеризуется пятью параметрами, а мы имеем как
раз пять уравнений для их отыскания.
Действительно, поскольку уравнения для других мо-
моментов не являются законами сохранения (см. сноску на
стр. 31), нельзя пренебрегать при их выводе членом столк-
столкновений, так как было предположено, что частота столкно-
столкновений достаточно высока для обеспечения поддержания
максвелловского характера распределения по скоростям.
Например, если в общем уравнении для моментов второго
порядка A.64) положить i = /, но не суммировать по /, то
получим
П = 0. A.78)
При суммировании по i это уравнение, естественно, совпадет
с уравнением A.75), но в том виде, в котором оно запи-
записано, его можно будет согласовать с формулой A.75),
только если ~~• (суммирования по i нет) равняется
т. е. если сжатие, пропорциональное -~, одинаково во всех
направлениях.
33

При сжатии только в направлении одной оси, например
х, уравнение A.78) противоречит формуле A.75). Причина
заключается в том, что при сжатии вдоль этой оси вначале
возрастает слагающая энергии, связанная с bvx, и только
впоследствии в результате столкновений это увеличение
энергии распределяется между всеми степенями свободы.
Если бы добавить в уравнение Лиувилля член, описываю-
описывающий столкновения, в уравнении A.78) справа появился бы
член, также обусловленный столкновениями, благодаря
которому уравнение A.78) для достаточно медленных сжа-
сжатий согласовалось бы с уравнением A.75).
При суммировании уравнения A.78) по i члены столкно-
столкновений выпадали бы, поскольку они отражают лишь пере-
перераспределение энергии между степенями свободы. Изло-
Изложенный пример иллюстрирует, насколько рискованно счи-
считать распределение максвелловским при недостаточно боль-
большой частоте столкновений. Как мы видели, при сжатии
в одном направлении слагающая энергия, соответствующая
этому направлению, может измениться.
Система уравнений A.61), A.71), A.76) и A.77) образует
основу теории, называемой магнитной гидродинамикой.
Обычно в ней фигурируют две системы уравнений — для
электронов и для ионов. Иногда используются также не-
несколько иные уравнения адиабаты и другие приближенные
методы.

ГЛАВА
МЕТОД ОРБИТ
§ 2.1. Введение
Помимо законов сохранения, рассмотренных в гл. I,
имеются еще два метода, с помощью которых можно описать
поведение плазмы. В этой главе будет развит один из них—
метод орбит, а в гл. 3 и 4 применим его соответственно к ста-
статическим и динамическим задачам. Метод орбит рассматри-
рассматривает поведение траекторий отдельных частиц, суммируя
которые получают плотность зарядов и ток, подстав-
подставляемые далее в уравнения Максвелла. Второй метод осно-
основан на использовании уравнения Максвелла, причем более
точном и детальном, чем в § 1.9. Основная идея этого метода
заключается в разложении решения в ряд по параметру т/е,
который считается малым. Это по существу эквивалентно
предположению о малости ларморовского радиуса в теории
орбит. Действительно, оба метода очень близки, основное
их различие заключается в том, что уравнение Лиувилля
учитывает траектории всех частиц одновременно.
Остановимся подробно на методе орбит потому, что он
позволяет глубже понять физическую сторону плазменных
явлений. С другой стороны, описание плазмы с помощью
уравнения Лиувилля отличается изяществом и, возможно,
несколько большей строгостью.
Читателям, желающим получить более глубокое зна-
знание физики плазмы, можно рекомендовать одно из изложе-
изложений этого метода, например, в серии статей Чандрасекара
и др.*
• S. Chandrasekhar etal. Ann. Phys. (N. Y.), 2,
435 A957); 5, 1 A958.)
35

§ 2.2. Ларморовские окружности
Рассмотрение метода орбит начнем с изучения полей
простейших конфигураций и затем обобщим результаты
на любые, медленно меняющиеся поля. В нулевом прибли-
приближении примем во внимание лишь постоянные во времени и
пространстве магнитные поля, не учитывая электрические.
Сила, действующая на заряженную частицу, равна
F = |[vB].	B.1)
Она не имеет компоненты, параллельной В. Поэтому ком-
компонента скорости, параллельная В, сохраняется постоян-
постоянной. Кинетическая энергия, связанная с этой компонентой
Щ = ±тх%}	B.2)
величина также постоянная. Более того, поскольку в этом
случае сила Лоренца не имеет составляющей, параллельной
скорости частицы, полная кинетическая энергия
1

w = ~ mv*	B.3)
остается постоянной. Отсюда следует, что кинетическая
энергия wl9 связанная с компонентой скорости v±, т. е.
лежащей в плоскости, перпендикулярной В, также по-
постоянна и равна
w± = Yfnv2±=w — w^	B.4)
В системе координат, движущейся со скоростью уц,
траектория частицы представляет собой окружность. Ра-
Радиус этой окружности, называемый ларморовским радиусом,
может быть получен путем приравнивания центробежной
и лоренцевой сил:
mv2, p	mv, с
-7Г = 7°±В или а = ^~-	B-5)
Угловая скорость частицы со/, называемая ларморовской
частотой, выражается следующим образом:
СО/ =	= —
1 а тс
36

Заряды противоположного знака вращаются по ларморов-
ской окружности в противоположных направлениях. На-
Направление движения определяется тем, что сила, действую-
действующая на частицу, должна быть направлена к центру враще-
вращения.
В лабораторной системе координат центр окружности,
называемый иногда ведущим центром, движется вдоль си-
силовой линии с постоянной скоростью v у так, что траекто-
траектория в этой системе представляет спираль.
§ 2.3. Магнитный момент и ток намагничения
Круговое движение заряженной частицы создает маг-
магнитный момент.
р. = ток X площадь == [ЩИ ) тш2 == W±	B 7)
\ 2тсс J	В '	\ • /
направление которого антипараллельно В. Это означает,
что магнитное поле, создаваемое частицей (рис. 2.1), вы-
вычитается из внешнего магнитного поля в области, заклю-
Иагнишмое поле
частицы
Внешнее попе В
0р5ита положительно
заряженной частицы
Рис. 2.1. Магнитный момент свободной
частицы.
ченной внутри траектории, и складывается во внешней
области, т. е. свободные заряженные частицы ведут себя
диамагнитно. Написанное в векторной форме выражение
для магнитного момента имеет вид
1* =-fir) во>	B-8)
где Во — единичный вектор в направлении В.
37

Рис. 2.2. Суммарный эф-
эффект токов намагничения.
Поведение многих заряженных частиц может заметно
повлиять на приложенное магнитное поле. Поле, образуе-
образуемое заряженными частицами, испытывает нерегулярные
изменения в пространстве и времени. Однако эти флуктуа-
флуктуации малы в сравнении со средним значением поля, если
в объеме размерами порядка ларморовского радиуса нахо-
находится достаточно много частиц и если отношения фаз дви-
движения различных частиц по своим траекториям совершен-
совершенно случайны. Среднее поле легче
всего вычислить по средним то-
токам, связанным с распределе-
распределением траекторий.
Рассмотрим элемент поверх-
поверхности S, ограниченный замкну-
замкнутой кривой С, как это изобра-
изображено на рис. 2.2. Подсчитаем
суммарный ток через этот эле-
элемент поверхности при пересе-
пересечении ее траекториями отдель-
отдельных частиц. Траектория 2 (см.
рис. 2.2), пересекающая поверх-
поверхность дважды, не вносит вклада
в средний ток. Только траекто-
траектории типа / и 5, охватывающие ограничивающую кривую
С, вносят такой вклад.
Пусть d\ — элемент длины кривой С. Если в единице
объема находится N замкнутых траекторий, несущих ток /
и имеющих площадь Л, то общее число ларморовских
окружностей, пронизанных элементом dl будет равно
NA • dl, а суммарный ток через поверхность S
/я= ftf/A-dl - f Mdl - f(rotMdS),
с	с	s
где М = NIA — магнитный момент единицы объема, или
намагниченность. Последняя форма выражения для тока
получена с помощью теоремы Стокса.
Будем считать, что этот суммарный ток обусловлен
некоторой средней плотностью тока ]т и выражается через
нее следующим образом:
38

Используя это определение, можно написать
и поскольку это уравнение справедливо для любого эле-
элемента поверхности S, из него следует
L=rotM.	B.9)
Ток, соответствующий jm, называется током намагничения.
Он может быть отличным от нуля, даже если центры лар-
моровских окружностей покоятся. В частности, в приве-
приведенном выше выводе они действительно покоились.
Уравнение B.9) является основой классической теории
магнетиков. В уравнении Максвелла A.4) можно разде-
разделить ток на две части: внешние токи ]е и токи намагниче-
намагничения jm, — и написать
rot Ъ=Ая]т+Ая\в + 7" Ж = 4я rot М+4яь + т Ж •
Определяя чисто математически величину
Н = В — 4лМ,	B.10)
можно получить уравнение
rotH=4jtj, + |^.	B.11)
Другие уравнения Максвелла при этом не претерпевают
изменений. Плотность зарядов связана только с внешними
токами, поскольку, согласно уравнению B.9),
divj>=0.	B.12)
Удобство введения величины Н в основном зависит от вы-
выполнения соотношений М — В или М — аВ, приводящих
к зависимости Н = B/[i, где |а = 1/A—4т: а). В нашей же
задаче М ~ 1 /В и введение Н не создает дополнительных
удобств. В дальнейшем будем считать ]т частью общего тока.
Для магнитного момента единицы объема среды приведем
формулу
M = -(^-jB0,	B.13)
где w± — энергия, соответствующая поперечному движе-
движению частиц. В дальнейшем будем ее называть просто попе-
поперечной энергией.
39

§ 2.4. Влияние постоянного электрического поля
Предположим теперь, что в дополнение к постоянному
магнитному полю имеется еще постоянное электрическое
поле.
Если электрическое поле Е имеет компоненту, парал-
параллельную В, то центры ларморовских окружностей будут
просто двигаться ускоренно вдоль силовых линий поля В
в соответствии с законом Ньютона.
Влияние перпендикулярной В компоненты электриче-
электрического поля несколько сложнее. Положим, что электрическое
поле перпендикулярно магнитному. Уравнение движения
mv=e jE + 7[vB]J,	B.14)
можно упростить подстановкой
v=v?+vb	B.15)
где
v?=cJ|JL,	B.16)
a Vj должно быть найдено.
Поскольку
то уравнение B.14) сводится к виду
тчх=-с [vjB].	B.17)
Это уравнение движения заряженной частицы в магнитном
поле. Таким образом, движение состоит из обычного (лар-
моровского) вращения вокруг силовой линии В и наложен-
наложенного на него движения со скоростью v^. Скорость \Е назо-
назовем скоростью электрического дрейфа. При этом дрейфе
силы, обусловленные действием электрического и магнит-
магнитного полей, в среднем компенсируются.
Скорость электрического дрейфа одинакова для всех
частиц независимо от их заряда и энергии. Следовательно,
в нейтральной плазме этот дрейф не приводит к возникно-
возникновению электрического тока. Если же плазма не нейтраль-
нейтральная, то в ней в результате этого дрейфа возникает ток, на-
направленный перпендикулярно Е и В.
40

Наш вывод скорости дрейфа был основан на нереляти-
нерелятивистском уравнении движения B.14). Поэтому уравнение
B.16) перестает быть справедливым, если Е± > В, так как
в этом случае vE^> с. Наиболее просто можно исследовать
релятивистский случай с помощью преобразований Лорен-
Лоренца. Всегда можно (за исключением случая, который будет
указан ниже) совершить преобразование к такой системе
координат, в которой Е параллельно В. Поскольку вначале
Е и В были перпендикулярны и поскольку (Е-В) является
инвариантом преобразований Лоренца, в новой системе
либо Е, либо В должны обращаться в нуль. Если вначале Е
было меньше В, то после преобразования Е должно рав-
равняться нулю, а скорость новой системы отсчета будет
даваться уравнением B.16). Если же Е ^> В, то после пре-
преобразования В должно обратиться в нуль, а скорость новой
системы отсчета будет равна с[ЕВ]/В2. В случае, когда
Е = В, указанное преобразование не может быть, очевид-
очевидно, осуществлено, поскольку скорость системы отсчета
становится равной с.
Практический вывод из этого анализа сводится к тому,
что если Е ^> 5, то магнитное поле не может помешать дви-
движению частицы в направлении Е. В дальнейшем, однако,
будем иметь дело со случаями, когда Е < В.
§ 2.5. Переменное электрическое поле
и диэлектрическая проницаемость плазмы
Как было показано ранее, постоянное электрическое
поле, направленное перпендикулярно В, не приводит к воз-
возникновению тока. В случае же переменных электрических
полей такой ток, пропорциональный -^~, может существо-
существовать. Поэтому плазма является диэлектриком.
Убедиться в этом можно, несколько обобщив метод
решения уравнения движения, применяемый в § 2.4. Пред-
Предположим снова, что Е перпендикулярно В, но зависит от
времени (поле В по-прежнему считаем постоянным).
Разделим опять уравнение B.15) с помощью введения
скорости ve, определенной по формуле B.16). Поскольку v/r
теперь зависит от времени, вместо уравнения B.17) можно
записать
=|[v1B].	B.18)
41

Если бы скорость vE была постоянной (или почти постоян-
постоянной), это уравнение можно решить тем же способом, что
и уравнение B.14), отличающееся от B.18) заменой еЕ
на — т\Е.
Положим Vj=vpH-v2, причем
"р ~ е В* ~ еВ* dt '	^#w>
Тогда уравнение B.18) принимает вид
т\2-\-т\р = — [v2 В].	B.20)
Предположим теперь, что в этом уравнении членом т\р
можно пренебречь. Остающиеся члены тогда соответствуют
движению частицы в одном магнитном поле, являющемуся,
как нам уже известно, движением по кругу. На это дви-
движение по окружности накладываются два дрейфовых дви-
движения со скоростями v^ и ур. Отметим, что величина круго-
круговой скорости v2, а следовательно, и кинетическая энергия
вращательного движения не зависят от Е.
Отношение члена т\р к правой части уравнения B.20)
можно оценить по абсолютной величине следующим обра-
образом:
mvp	I mc\2 сЁ
(e/c)v2B \еВ) v2B \о> ) v2 '
где v — частота электрического поля.
Таким образом, отброшенный член действительно мал,
пока частота электрического поля мала по сравнению с лар-
моровской частотой и при условии, что скорость электри-
электрического дрейфа не слишком велика в сравнении с круговой
скоростью v2.
Так как скорость ур имеет противоположные направле-
направления для зарядов разноименных знаков, в результате может
возникнуть ток и в нейтральной плазме. Плотность этого
тока для одного сорта частиц имеет величину
1 __^-Л/^- I-**-	B21)
h - с ~1У В с dt *	KZ'ZV>
Назовем вектор ]р током поляризации, поскольку он
возникает при смещении положительных и отрицательных
42

зарядов друг относительно друга в переменном электриче-
электрическом поле.
С другой стороны, ток jp можно рассматривать как часть
полного тока, однако его можно учесть и путем введения
диэлектрической постоянной. Для этого разобьем полный
ток j на ]р и все другие токи j0:
B.22)
Тогда уравнение A.4) примет вид
rot B^4nj0 4	-rf ,	B.23)
где
D-eE, 8-1 + В2 .	B.24)
Разделим на две части также плотность зарядов:
Р = ро+-Р^,	B.25)
где
Nmc2 ,. -,
Б2
B.26)
Поскольку рр и ]р удовлетворяют уравнению сохранения
заряда, рр можно рассматривать как заряд, создаваемый
токами поляризации; р0 — плотность заряда, возникаю-
возникающего за счет всех остальных причин. Если воспользоваться
уравнением B.25), то из уравнения Максвелла A.1) можно
получить
B.27)
Все другие уравнения Максвелла при этом остаются без
изменений.
Диэлектрическая постоянная е может достигать боль-
больших значений. Для случая дейтерия
е = 1+3,7.10-2-^-.	B.28)
При В = 104 гс и N = 1015 дейтрон!см? е ж 3,7-105. Лар-
моровская частота в этом случае со ж 5-107 сект1. Такая
большая диэлектрическая постоянная может оказывать
весьма заметное влияние на свойства электромагнитных
колебаний в плазме, как в этом мы убедимся позднее.
43

Вычислим количество энергии, запасенной в плазме
за счет ее диэлектрических свойств. Плотность энергии
самого электрического поля согласно уравнению A.7)
Плотность энергии частиц есть кинетическая энергия дви-
движения частиц с дрейфовой скоростью vj?, определяемой
уравнением B.16):
Кроме того, имеется еще кинетическая энергия враща-
вращательного движения, но она не зависит от Е и может быть
опущена при расчете энергии, запасаемой в плазме за счет
электрического поля. Суммарная плотность запасенной
энергии тогда равна
) I Е2
Полученный результат по форме совпадает с результатом
для диэлектриков. Однако для обычного диэлектрика запа-
запасенная энергия имеет вид потенциальной энергии, связан-
связанной с работой атомных или молекулярных сил против смеще-
смещения зарядов противоположного знака друг относительно
друга. В плазме же, где нет таких сдерживающих сил, их
место занимает кинетическая энергия электрического
дрейфа.
Проанализируем, как частицы приобретают эту энергию
дрейфа. Учитывая, что в соответствии с уравнением B.19)
центр ларморовской окружности при изменении Е на ве-
величину 6Е смещается на расстояние
Ar=vp6t=-^ 6E,
работа электрического поля над частицей равна
тс2 Е2
W =е(Е-Аг) = -?г- (E.flE)=6 [j
Таким образом видно, что энергия дрейфового движения
связана с работой, производимой полем над частицей в про-
процессе поляризации среды. Этот вывод согласуется с тем,
что энергия вращательного движения остается неизменной.
44

В этом параграфе было рассмотрено только влияние за-
зависимости электрического поля от времени. Однако если
плазма движется, а поле Е меняется в пространстве, то это
скажется на поведении плазмы точно таким же образом,
как изменение Е со временем *.
§ 2.6. Влияние гравитации
Если на частицы действуют гравитационные силы или
любая другая сила F, то можно для этого случая восполь-
воспользоваться результатами двух предшествующих параграфов,
сделав при этом замену
E->-f,	B.30)
Тогда, например, скорость дрейфа, вызванного гравита-
гравитационной силой g, составит
•v,= ^L!§!.	B.31)
Поскольку этот дрейф имеет разное направление для частиц
противоположных знаков, он вызывает в нейтральной плаз-
плазме электрический ток
Nev
-	B.32)
§ 2.7. Влияние зависимости магнитного поля
от времени
Если магнитное поле В изменяется со временем, то
в соответствии с уравнением Максвелла (L2) возникает
электрическое поле, которое вызывает кроме дрейфа и
поляризации, описанных в § 2.4 и 2.5, еще один эффект.
Поскольку возникающее таким образом электрическое поле
не является потенциальным, интеграл от его величины,
взятый вдоль всей ларморовской окружности, не обра-
обращается в нуль. А это означает, что энергия вращательного
движения w± может меняться.
Предположим, что поле В постоянно в пространстве и
меняется во времени. Введем систему с началом координат
Подробнее этот эффект рассмотрен в гл. 4.
45

в центре ларморовской окружности. В этой системе траек-
траекторией частицы будет окружность С. Изменение энергии
вращательного движения частицы^ ± за один оборот равно
6w± = j (E d\) = J (rot E dS),
где S — вектор, представляющий плоскую поверхность,
натянутую на орбиту частицы С. Используя уравнение
A.2) и не обращая внимания на знак, найдем
0W±~ с )[ dTab ~ с dt т " \ 2 [еВ В dt
ИЛИ
uw± _ 1 2тс dB __ ЬВ
w± ~^ ~в "^Г Ж ~~ "F '
где 65 — изменение величины 5 за один оборот. Из форму-
формулы следует, что w± возрастает с увеличением В, так что
знак выбран правильно. Этот результат можно представить
и в такой форме:
6(w±/B) = 6\i=0.	B.33)
Строго говоря, полученный вывод справедлив лишь тогда,
когда В изменяется очень мало за время одного оборота.
(В частности, можно заметить, что при изменении В траек-
траектория частицы больше не окружность). Поэтому в этом
случае мы говорим, что магнитный момент является адиаба-
адиабатическим инвариантом.
Смысл формулы B.33) можно выразить и по-иному,
сказав, что угловой момент частицы или магнитный поток,
охватываемый ее траекторией, суть адиабатические ин-
инварианты.
§ 2.8. Электрический дрейф и движение
силовых линий магнитного поля
Иногда говорят, что дрейф в скрещенных полях Ей В,
описываемый уравнением B.16), заставляет плазму пере-
перемещаться вместе с силовыми линиями В. Исследуем смысл
этого утверждения.
46

Понятие силовых линий и их движение не необходимы
в теории поля. Теория поля оперирует с векторными функ-
функциями пространства и времени, называемыми полями, ко-
которым вовсе не обязательно приписывать реальное вопло-
воплощение в виде силовых линий. Помимо всего, не существует
однозначного способа для установления соответствия между
полями и такими линиями. Тем не менее понятие силовых
линий оказывается очень полез-
ным в методе орбит.
Кроме того, эвристически
иногда полезно представить себе
магнитные силовые линии дви-
движущимися в пространстве.
Для подтверждения сказан-
сказанного рассмотрим в качестве
примера магнитное поле, созда-
создаваемое между двумя плоскими
круглыми полюсами (рис. 2, 3).
Пусть поле В направлено нор-
нормально К поверхности рисунка рис> 2.3. Электрический
(от читателя), и растет по вели- дреф в переменном магнит-
чине.. В этом случае можно	ном поле,
представить, что линии В дви-
движутся к центру радиально из бесконечности, так что
их плотность в центре возрастает. Индуцированное элек-
электрическое поле направлено по часовой стрелке и имеет
г dR
величину Е = ^ ~аТу гДе г — расстояние от центра. Час-
Частица, соответствующая ларморовской окружности с цент-
центром в г, смещается к оси со скоростью
_dr	_? __r_ dB
dt —VE — C в — 2В dt >
поэтому
1 dB , 2 dr n	d
¦вЖ + 7 di="Q> или dl
Полученное выражение означает, что магнитный поток
внутри контура, проходящего через центр ларморовской
окружности, движущейся к центру частицы, сохраняется
постоянным. Поэтому можно сказать, что частица и ли-
линии В движутся к центру вместе. Отсутствие однозначности
в определении линий В в этом примере сказывается в том,
что этим линиям можем приписать еще и некоторое
47

вращательное движение вокруг общего центра картины, не
изменив при этом никаких наблюдаемых свойств поля В.
Вообще любое перемещение, сводящееся к перемене местами
линии В, не приводит ни к каким наблюдаемым измене-
изменениям. С целью доказательства справедливости сделанного
в начале параграфа утверждения можно ввести еще ряд
простых взаимных перемеще-
перемещений силовых линий.
И все же упомянутое ут-
утверждение не всегда справед-
справедливо, в частности, когда маг-
магнитное поле однородно, а
электрическое—поле точечно-
точечного заряда. Если силовые ли-
линии В движутся в этом случае
со скоростью V?, они будут
Рис. 2.4. Поверхность, перпен- искривляться.
дикулярная силовым линиям.	Пределы справедливости
приведенного утверждения
устанавливаются с помощью двух теорем, которые можно
доказать *..
Теорема 1. Движение силовых линий В можно
всегда представить таким образом, что точки пересечения
этих линий с некоторой поверхностью, направленной нор-
нормально к ним в данный момент, будут двигаться со ско-
скоростью \е-
Для доказательства этой теоремы предположим, что
S — некоторая поверхность, в данный момент ортогональ-
ортогональная силовым линиям В (рис. 2.4). Плотность точек пересе-
пересечения, силовых линий В с поверхностью пропорциональна
напряженности В на этом участке поверхности S. Можно
для удобства считать, что их плотность просто равна В.
Для доказательства теоремы покажем, что если точки пере-
пересечения движутся со скоростью V? (вектор которой направ-
направлен по касательной к поверхности S), то плотность этих
точек меняется по тому же закону, что и 5. На языке мате-
математики это означает справедливость следующего уравнения
сохранения (для величин, взятых на поверхности S):
§	0.	B.34)
* Для более детального ознакомления см.:
W. Newcomb. Ann. Phys. (N. Y.), 3, 347 A958).
48

Дивергенция в этом уравнении берется относительно двух
координат на поверхности. Чтобы вычислить ее, введем
в локальную систему прямоугольную систему координат
с центром в рассматриваемой точке. Пусть ось z совпадает
с направлением В, а оси х и у лежат в плоскости, касатель-
касательной к поверхности5 в этой тчоке. Тогда Вуех=сЕу кВ\еу=
= —сЕх. Поэтому
Е= — д4?. B.35)
Помимо этого:
дВ
dt dt
= JL I/ д2
dt У Bx
= X
УВ2Х + В2у 4- в\
%. B.36,
поскольку в начале Вх = Ву= 0. Из уравнений B.35) и
B.36) видно, что уравнение B.34) действительно справед-
справедливо и будет также удовлетворяться в том случае, если к Уе
добавить любой вектор v', такой, чтобы поверхностная
дивергенция от В\' обращалась в нуль. Таким образом,
полученный результат справедлив не только для скорости
дрейфа vE.
Если теперь рассмотреть две поверхности, ортогональ-
ортогональные силовым линиям, то можно обнаружить, что для опре-
определенного вида движения линий В точки пересечения не
могут двигаться со скоростью v^ по обеим поверхностям.
Если по одной поверхности точки пересечения движутся
со скоростью \е, то по другой они могут двигаться со ско-
скоростью V?+v', где Вч'Ф 0, но такова, что div (Bv') = 0.
Следовательно, необходимо найти условия, при которых
точки пересечения на обеих поверхностях движутся со
СКОрОСТЬЮ V?.
Теорема 2. Пусть Ец — компонента электриче-
электрического поля, параллельная В. При этом о линиях В можно
сказать, что они движутся со скоростью v^ тогда и только
тогда, когда
rot Е и —• [VE и ] коллинеарны В.	B.37)
Пусть Si и S2 — две близкие поверхности, ортогональ-
ортогональные линиям В в момент времени / (рис. 2.5); а и b — точки
3 К. Лонгмайр	49

пересечения некоторой выделенной линии В с этими двумя
поверхностями в момент t.
Положим, что точки а и Ь, двигаясь со скоростями соот-
соответственно vE(t, а) и \e{U b) в течение интервала dt, зани-
занимают в момент t + б/ новые положения а' и Ь'. Необхо-
Необходимо показать, что точки а' и Ь' в момент времени t -\- Ы
обе лежат на линии В тогда и только тогда, когда удовлет-
удовлетворяется уравнение B.37). После этого в соответствии с тео-
теоремой 1 можно доказать, что новая линия В есть смещенная
на отрезок Уяб/ прежняя ли-
линия В.
Задача будет решена, если
будет доказано, что отрезок
Ь' — а' параллелен В (t
б^, а').
B.38)
Рис. 2.5. Схема перемеще-
перемещения силовых линий В.
Представим разность Ь' — а'
следующим образом:
b'— a'=(b — а) +
+ (Ь' — Ь) — (а7 — а). B.39)
Поскольку было предположено, что отрезок b — а парал-
параллелен В (/, а), то
(Ь —а) = еВ(/, а),	B.40)
где 8 — бесконечно малая величина.
Используя уравнения B.40) и B.16), можно предста-
представить уравнение B.39) в виде
(Ь' - а') = В+ cbt (BT
B.41)
где все значения В взяты в момент t и в точке а.
Найдем теперь выражение для вектора B(t + bt, a'),
который для кратности обозначим В':
В '=В+6*
дВ
[ЕВ]
В2
v)b.
B.42)
Если В' параллелен Ь' — а', то векторное произведение
правых частей уравнений B.41) и B.42) должно обра-
обращаться в нуль. Достаточно, чтобы оно обращалось
50

в нуль с точностью до первого порядка по 5/. Поэтому не-
необходимо, чтобы
Это равенство будет справедливо, если выражение в фигур-
фигурных скобках параллельно В. Последние два члена в
фигурных скобках можно заменить, используя тождество
[ЕВ]!"] /[ЕВ] \	( [ЕВ]
[ЕВ] [ЕВ]
В этом тождестве последний член справа равен нулю в силу
уравнения Максвелла A.3), а второй член параллелен В
и может быть опущен. Остающиеся два члена совпадают
с двумя последними членами в фигурных скобках преды-
предыдущего уравнения. Поэтому, используя уравнение Максвел-
Максвелла A.2), можно условие параллельности (Ь' — а') и В' све-
свести к условию параллельности выражения — [\7Е] +
+ V[bL—!|J вектору В. Далее, поскольку
Г [ЕВ]1_	В (BE)
это условие сводится к тому, чтобы выражение
было параллельно В. А это и требовалось доказать.
Практический вывод из теоремы 2 заключается в том,
что если центры двух или более ларморовских окружностей
лежат в некоторый момент на некоторой силовой линии В,
то они останутся на ней и в дальнейшем при выполнении
условия теоремы.
Наиболее простыми, в которых теорема 2 оказывается
выполненной, являются случаи, когда Ец =0. Следую-
Следующими по сложности будут случаи, в которых rot Е„ =
= [VE,,] = 0. Действительно, если [VEn] = 0, то можно
полностью скомпенсировать Ец соответствующим образом
подобранной плотностью заряда р = j- div Ец. Токи смо-
смогут быстро распространиться вдоль силовых линий В,
стремясь скомпенсировать Е ц, хотя полная компенсация
3*	51

таким путем не может быть достигнута. Если же[уЕц] Ф О,
то Е || никаким выбором плотности зарядов нельзя скомпен-
скомпенсировать.
Одним из неочевидных случаев приложимости теоремы 2
является следующий. На магнитное поле тока в прямом про-
проводнике наложено параллельное этому проводнику одно-
однородное поле, амплитуда которого меняется со временем.
При этом индуцируется вихревое электрическое поле во-
вокруг проводника, вызывающее радиальнонаправленный
дрейф частиц. Силовые линии В имеют в этом случае вид
спиралей, шаг которых меняется во времени в системе коор-
координат дрейфующих сквозь них частиц.
В тех случаях, когда магнитное поле обладает так назы-
называемым широм, т. е. его силовые линии пересекаются между
собой, теорема 2 обычно неприменима.
§ 2.9. Влияние пространственной неоднородности В
Допустим теперь небольшую неоднородность магнит-
магнитного поля, такую, что на расстояниях порядка ларморов-
ского радиуса оно может изменяться лишь на малую долю
своей величины, и рассмотрим влияние такой неоднород-
неоднородности магнитного поля с точностью до первой степени по уВ.
Исследуем поле в окрестности какой-либо точки, ко-
которую примем за начало координат. Выберем правую декар-
тову систему координат с осью z вдоль направления век-
вектора В в этой точке. Тогда
Вх@) = Ву@)=0, Вг@)=В@).	B.43)
Векторная производная от В есть тензор:
VB
У дВх \ дВх
<v ~W \~ду
\
1
1
11
1
dBv \
ЭВу \	UJDy '\
\
дх \ ду
I
1
I
дВу\
\
__,
дх
\
дВА \ дВ г
^7 \ ~дГ
\ дВ г \
B.44)
52

Разобьем этот тензор на части, отмеченные пунктиром, и
рассмотрим влияние выделенных членов по отдельности.
А. Влияние углового расхождения линий В. Рассмотрим
сначала диагональные члены тензора уЪ. Эти члены не
независимы, так как их сум-
ма в соответствии с уравне-
уравнением Максвелла A.3) равна
нулю. Если, например, х
дх
больше нуля, то линии В в
плоскости хОу выглядят рас-
расходящимися, как это изобра-
изображено на рис. B.6). Частица,
описывающая ларморовскую
траекторию, испытывает дей-
действие силы, имеющей компо-
компоненту F i,, направленную
параллельно осевой силовой
линии В. Среднее значение
такой силы для данной орбиты пропорционально среднему
значению радиальной компоненты Вп взятой в точках
орбиты:
Сипа
"Лоренца
/1арморо8ск&
ороита
Рис. 2.6. Частица в магнит-
магнитном поле с расходящимися
силовыми линиями.
дВх
дВ
1 dBz
дВ
где а — ларморовский радиус. Далее в соответствии с урав-
уравнениями A.6) и B.5)
с
ev
_1.±
с 2
дВ2
eB
w± дВ
Т dz'
Для решения вопроса о знаке обозначим через S расстоя-
расстояние, измеряемое вдоль осевой силовой линии В. Тогда
w± дВ	дВ
*¦	г-» c\ о	M* ^ о
B.45)
Если В возрастает в том же направлении, что и S, то сила
направлена в противоположную сторону.
Эта параллельная осевой линии сила приводит к изме-
изменению во времени продольной компоненты скорости v {{,
согласно уравнению
""F as
dt
dvtt
d_
dS
53

Поскольку полная энергия w остается в магнитном поле
постоянной, то
до I дВ	dw ¦
~~в~ Js = ~~Ж
или иначе
-J= = |х = const.	B.46)
Таким образом, видно, что магнитный момент при дви-
движении частицы через область поля, где его амплитуда ме-
меняется, также является адиабатическим инвариантом. Этот
результат можно было получить и из уравнения B.33)
путем перехода в систему, где v{{ =- 0. Тогда на частицу
действовало бы переменное во времени магнитное поле.
Поскольку магнитный момент сохраняется постоянным,
сила F и, определяемая уравнением B.45), может быть полу-
получена как производная некоторого потенциала:
F\\ =	^ Vii, V\\ =[iB.	(9 А7\
Из этого выражения следует: если частица попадает в об-
область, где величина В настолько велика, что \хВ превышает
полную энергию частицы, она может отразиться от этой
области.
Помимо этого, постоянство момента означает, что поток
магнитного поля, заключенный внутри траектории частицы,
постоянен. Именно поэтому на рис. 2.6 отсутствует ком-
компонента силы, касательная к траектории частицы, хотя
присутствие такой компоненты можно было бы ожидать
ввиду наличия vB и Вг.
Б. Влияние кривизны силовых линий В. Рассмотрим
дВх dBv
дг
линии В изогнуты так, как это показано на рис. 2.7.
Если R — радиус кривизны линий, а 6 — угол, показан-
показанный на рис. 2.7, то
дВх дВу	дВх
члены -jr- и -тр-. Если -ч—, например, больше нуля, то
Поэтому
дВх В	i	1 дВх
wm	B.48)
54

R
R2
1
В
~ —
d
dz
d
' dz
в -f
B
в
в
¦ в2
dB
dz'
Положим -г- равным нулю, поскольку влияние отличия
dB	„	Л
-Q- от нуля уже было изучено в пункте А этого пара-
параграфа.
Обычно радиус кривизны R выражают через единичный
вектор, касательный к этой кривой. Пусть Во будет таким
единичным вектором, совпадающим везде по направлению
с В. Тогда радиус кривизны
линии В в некоторой точке
определится следующим об-
образом:
¦|s=-raoV)Bo. B.49)
В нашем случае из этой фор-
формулы следует:
Рис. 2.7. Радиус кривизны си-
силовых линий В.
Этот результат согласуется с уравнением B.48), поскольку
было предположено у = —¦ = 0. В дальнейшем будем
использовать уравнение B.49).
Предположим, что в нулевом приближении центр лар-
моровской окружности частицы движется вдоль изогнутой
силовой линии В. Тогда в дополнение к силе Лоренца час-
частица будет испытывать еще и центробежную силу F =.
7=1 mv\ or Эта сила перпендикулярна Вив соответствии
с уравнениями B.30) и B.16) заставляет центр ларморов-
ской окружности дрейфовать со скоростью
B.50)
Этот дрейф приводит даже в нейтральной плазме к появле-
появлению электрического тока, равного
Ne
]R = —
B.51)
55

Поскольку скорость дрейфа v# перпендикулярна В и
радиусу кривизны силовых линий магнитного поля, траек-
траектория, описываемая ларморовской окружностью, имеет
тот же самый радиус кривизны. Поэтому способ определе-
определения v# является последовательным.
В. Влияние градиента В в направлении, перпендику-
перпендикулярном В. Рассмотрим теперь влияние членов -^ и -^А
которые
венно с
соответст-
на-
совпадают
дВ дВ г:
-з- и -д-. Если,
дх ду	9
дВ
пример, -j- > 0, то это означает
(рис. 2.8), что на линии а маг-
магнитное поле больше, чем на ли-
линии 6. Тогда траектория поло-
положительно заряженной частицы
будет иметь вид, изображенный
на этом рисунке. Поскольку
радиус кривизны траектории
вблизи прямой а меньше, чем
вблизи прямой Ь, частица будет
испытывать дрейф в направле-
направлении оси у.
Скорость этого дрейфа можно
вычислить следующим образом.
Рассмотрим один цикл движения частицы по ее траек-
траектории, скажем, между точками /и2на рис. 2.8. Из сообра-
соображений симметрии ясно, что верхний и нижний участки
этого отрезка траектории являются зеркальными отобра-
отображениями друг друга, и в силу этого частица не приобретает
суммарной скорости в направлении х. Поэтому можно
написать:
Рис. 2.8. Влияние градиен-
градиента В, направленного пер-
перпендикулярно к В.
О,
tx
где tx и t2 — времена прохождения частицей точек 1 и 2,
a /^— х-я компонента силы Лоренца, равная
F = — у В (х)
Разложим теперь Б в ряд по х:
56

Тогда
или
12.52)
Величина Sy — смещение траектории вдоль оси у за один
I	ПО
цикл. Стоящая справа в уравнении B.52) величина -к -g-
предполагается имеющей первый порядок малости. Сле-
Следовательно, с точностью до первого порядка малости можно
вычислять интеграл $xdy, как если бы траектория была
круговой. Но тогда \xdy есть просто площадь окружности,
взятая со знаком минус, так что
ev-1 дВпа*~{2тжс\с mV*- дВ
°У~ В дх Пп - [ еВ ) 2 еВ* дх '
Поскольку ~^j- есть с точностью до первого порядка
период прохождения частицей одного цикла, можно
найти
by few Л дВ -
)
Направление дрейфа параллельно [B0VB]. В общем слу-
случае скорость дрейфа vo, возникающего из-за градиента В,
равна
(^)	B.53)
Этот дрейф в точности совпадает с дрейфом, возникающим
при действии на частицу силы
FG = -\i\±Bi	B.54)
что совершенно естественно.
Дрейф со скоростью v о даже в нейтральной плазме
приводит к появлению тока
Jo = — vo.	B.55)
ЗВ к. Лонгмайр	57

Г. Влияние шира. Если у тензора VB последние две
дВх дВу ^	л
компоненты ~ и -^ не обращаются в нуль, то образуется
изгиб (или шир) магнитных силовых линий (скручивание
их относительно осевой силовой линии и взаимное пересече-
пересечение). Такая конфигурация соответствует наличию у В ком-
компоненты, касательной к ларморовской траектории частицы,
которая в сочетании с наличием продольной скорости v l
приводит к появлению направленной по радиусу силы. Эта
сила несколько изменяет значение ларморовского радиуса
частицы или вызывает отклонение вида траектории от кру-
круговой, но в первом приближении не вызывает дрейфа частиц.
§ 2.10. Порядок величины скоростей дрейфа
Скорость дрейфа в перекрещивающихся полях зависит
только от отношения Е и В. Нет никаких оснований' для
ограничений величины отношения vE к vx и ив.
Скорость дрейфа при влия-
влиянии кривизны линий, грубо,
есть
Предполагая, что V\\ и v± при-
примерно равны, найдем отношение
ll
R el
R '
Вывод значения v# справедлив,
Рис. 2.9. Движение части- ТОЛько когда ларморовский ра-
11Ы R ТО П Р
ц	р	диус мал по сравнению с ра-
радиусом кривизны линий В.
В частности, с помощью уравнения B.56) можно пока-
показать, что частица, движущаяся внутри тора, как это изо-
изображено на рис. 2.9, сместится за один оборот от своей пер-
первоначальной линии В в результате дрейфа на 2тс ларморов-
ских радиуса.
Скорость дрейфа при действии градиента приблизительно
может быть выражена следующим образом:

где L — характерное расстояние, на котором В заметно
меняется. Поэтому
^~-Г-	B-57)
И снова эта величина мала, когда справедлив предложен-
предложенный вывод.
Для магнитного поля в пустоте (rot В = 0) R и L имеют
один и тот же порядок величины.
§ 2.11. Продольный адиабатический инвариант
Рассмотрим снова движение частицы в постоянном маг-
магнитном поле. Кинетическая энергия частицы в этом случае
есть интеграл движения, а магнитный момент — адиабати-
адиабатический инвариант, т. е. он почти постоянен, когда поля
мало изменяются на протяжении ларморовского радиуса.
Помимо магнитного момента в
этом случае имеется еще один уу
адиабатический инвариант, связан-
связанный с движением вдоль магнит-
магнитных силовых линий.
Рассмотрим свойства этого ин-
инварианта на примере движения
электронов (или ионов), захва-
захваченных магнитным полем Земли.
Магнитное поле Земли можно
приближенно представить полем
магнитного диполя. Электрон с
энергией порядка 1 Мэв имеет
ларморовский радиус около 100 ж,
т. е. много меньше, чем расстоя-
расстояния, на которых земное поле суще-
существенно меняется. Поэтому для
таких электронов условия адиаба-
тичности выполняются с запасом.
Рассмотрим электрон, находящийся на силовой линии
abc (рис. 2.10). Во-первых, этот электрон движется вокруг
силовой линии по спирали. Когда электрон движется от
точки Ь к точке а, на него действует тормозящая сила, вве-
введенная в § 2.9, пункт А, так как поле в точке а больше,
чем в точке Ь. Предположим, что магнитный момент wJB
точно равен w/Ba. Тогда электрон отразится от точки а,
ЗВ*	69
Рис. 2.10. Частица в
магнитном поле Земли.

минует точку Ь и отразится опять в точке с, где поле
имеет то же значение, что ива. Таким образом, в первом
приближении электрон будет колебаться между точками
а и с (частота этих колебаний приблизительно равна 10гц
для электронов с энергией 1 Мэв).
Однако электрон не останется все время на одной и той
же магнитной силовой линии. Дрейфы, связанные с нали-
наличием градиентов В и кривизной, заставят электрон сме-
смещаться в восточном направлении (описывая полный оборот
вокруг Земли примерно за один час). Если бы поле Земли
было в точности полем диполя, то такой дрейф электрона
носил чисто азимутальный характер, т. е. электрон после
каждого обхода Земли возвращался бы на ту же самую си-
силовую линию abc. Однако магнитное поле Земли не строго
осесимметрично, и поэтому дрейф электрона не чисто ази-
азимутального характера. Куда же будет дрейфовать электрон,
и возвратится ли он на свою прежнюю силовую линию?
Известно, что кинетическая энергия частицы в магнит-
магнитном поле постоянна. Поскольку отношение w±/B также
(приблизительно) постоянно, то на новой силовой линии
ab'c' (на которой электрон окажется после дрейфа на не-
некоторый азимут) в точках поворота а' и с' напряженность
магнитного поля имеет такое же значение, как и в точках
а и с первоначальной линии. Этим, однако, новая линия
не определяется, ибо на любой линии напряженность поля
имеет значение В в каких-либо двух точках.
Чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях,
используем полученные ранее выражения для скоростей
дрейфа, с помощью которых определим движение частицы.
Покажем, что для новой линии, на которой оказывается
частица, справедливо соотношение
с'	с
v{\dsr ж \ V\\dszx const	B.58)
а'	а
или, иначе, что интеграл от v{] вдоль магнитной силовой
линии, взятый между точками поворота, является адиаба-
адиабатическим инвариантом. Значение этого инварианта опреде-
определяет длину отрезка линии между точками поворота. По-
Поскольку значение в точках поворота нам известно, мы можем
определить новую линию на новом азимуте. Очевидно, что •
в адиабатическом приближении частица после одного пол-
полного обхода Земли возвратится на прежнюю линию.
60

Для доказательства этой теоремы напишем суммарную
скорость дрейфов, вызванных кривизной и наличием гра-
градиента:
2cw, [RB] cw ,
Здесь R—вектор радиуса кривизны (уравнение 2.49).
Рассмотрим теперь элемент длины 6s исходной силовой ли-
линии и соответствующий элемент 6s' новой линии, несколько
смещенной относительно исходной
(рис. 2.11). Новый элемент линии
смещен в направлении \RG и огра-
ограничивается двумя плоскостями,
проведенными нормально через
концы исходного элемента 6s.
Тогда скорость относительного из-
изменения длины этого элемента в
системе координат дрейфующей
частицы имеет вид
R
1
[Во, VB],-J. B.60)
Рис. 2.11. Сопряженные
элементы силовой линии.
Подсчитаем теперь скорость изменения v „ в той же системе.
Поскольку
где w и [х — постоянные, имеем
1 dv,{	I
dt
dt \ W \lB	2 (ш — рВ) dt
cw, /[R,
Сравнивая уравнения B.60) и B.61), можно получить
bs dt
v,, dt
v,, bs dt
-rr (Oj, 6S) = 0,
B.62)
61

что означает постоянство величины и и 6s. Таким образом,
закон адиабатической инвариантности относится не только
с
к интегралу j v ц ds, но также и к соответствующим малым
а
элементам линий, рассмотренным выше.
В действительности, однако, не было получено доказа-
доказательства точной инвариантности величины рассматривае-
рассматриваемого интеграла между точками поворота. Точки поворота
лежат на поверхности постоянных значений 5, которая
может не совпадать с введенной ортогональной к линии
поверхностью, ограничивающей элементы линии. Тем не
менее, поскольку скорость vl{ в точках поворота обращается
в нуль, некоторое различие между точками поворота и точ-
точками пересечения с введенной поверхностью не сказывается
на величине интеграла. Таким образом, можно считать, что
с
\ v\\ds есть адиабатический инвариант.	B.63)
а
Когда поле заметно меняется на длине одного ларморов-
ского радиуса, магнитный момент и величина vnbs пере-
перестают строго удовлетворять условно адиабатической инва-
инвариантности. Превосходное изложение эффектов, связан-
связанных с невыполнением адиабатической инвариантности,
можно найти в работе Гаррена и др. *
* A. Gar ren et al. Proc. 2nd Intern. Conf. Peaceful uses
Atomic Energy (Geneva), 31, 65 A958).

ГЛАВА J
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОРБИТ
К СТАТИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
§ 3.1. Введение
В гл. 2 решением уравнений движения частиц в задан-
заданных полях был получен ряд выражений для скоростей дрей-
дрейфов и соответствующих им токов в первом приближении ме-
метода орбит. Следующим шагом является подстановка полу-
полученных значений токов в уравнения Максвелла для опре-
определения соответствующих им полей.
Решим несколько частных статических задач, начав
с простейшего случая прямолинейных силовых линий В
и обобщив решение далее на случай общей статической за-
задачи. На всем протяжении этой главы будем полагать, что
плазма нейтральна, а электрическое поле отсутствует.
Для удобства выпишем скорости и токи для различных
рассмотренных дрейфов. Вектор Во — единичный вектор,
параллельный В.
Скорости дрейфа
Электрический дрейф
Поляризационный дрейф
__ ^? с	/о о\
€ it
Дрейф из-за кривизны линий В
II I	•*	II ГП /Г» Г7\ Г» 1	/О О\

Дрейф при н аличии градиента В
^	C-4)
Дрейф при наличии внешней силы
Токи
Ток намагничения
jm = rotM, м_=-^- Во.	C.6)
Поляризационный ток
. __ е — 1 1 р	1 _ 4пМтс2
h -~ьГ 7Ь> 8~ ~" Я2 *	C-7)
Ток из-за кривизны линий В
^V|-	C.8)
Ток при наличии градиента В
Ь = ^[В0, V5].	C.9)
Ток при действии внешней силы
(ЗЛ0)
§ 3.2. Случай, когда поле В не зависит от z,
а внешние силы отсутствуют
Пусть поле В совпадает по направлению с осью г. Тогда
из уравнения Максвелла A.3) следует, что В не зависит от г.
Следовательно, можно предположить, что плотность и энер-
энергия частиц также не зависят от г. Единственными необра-
необращающимися в нуль токами в этом случае является ток на-
намагничения и ток, вызываемый градиентом В. Поскольку
вектор Во постоянен, первый из этих токов равен
Nw.
^В\В C.11)

Второй член в этом выражении компенсируется градиент-
градиентным током C.9), так что полный ток равен
C.12)
Четвертое уравнение Максвелла A.4) в нашем случае
приобретает вид
[VB]V=[5BO1 = —[
Поскольку градиенты в последних двух формулах пер-
перпендикулярны Во, получаем
— Vfi = ^-VMK/_L или ~+-Nw± = const. C.13)
Остальные уравнения Максвелла удовлетворяются, по-
поскольку было предположено, что р=?--0.
Заметим, что дивергенция полного тока равна нулю:
так как VB и VNw± коллинеарны, согласно уравнению
C.13). Следовательно, если в какой-либо момент плотность
заряда.равна нулю, она равна нулю всегда.
Уравнение C.13) является единственным условием, нала-
налагаемым уравнениями Максвелла и уравнением движения
частицы, из которого получено выражение для тока C.12).
Поэтому зависимость В2/8ки Nw± отхиу может быть произ-
произвольной при условии, что сумма этих величин сохраняется
постоянной.
В частности, граница между плазмой и магнитным по-
полем может иметь любую форму с единственным ограниче-
ограничением, состоящем в том, чтобы величина В не менялась слиш-
слишком сильно на расстоянии одного ларморовского радиуса
(в противном случае предположения, сделанные в гл. 2,
окажутся нарушенными). Сама проблема переходной
области будет подробно разобрана в гл. 5.
Соотношение C.13) следует также из закона сох-
сохранения количества движения для статического случая
A.18), если вектор потока плотности импульса частиц вы-
выбран в виде
'Nw± 0 0
Р = ( 0 NwL О J.	C.14)
О 0 2NwJ

В этом тензоре нули и 2 Nw „ могут быть заменены лю-
любыми другими постоянными. Однако вид тензора Р, как
в выражении C.14), естествен еще и по следующим сообра-
соображениям. Согласно теории орбит (см. § 2.10), движение в пер-
перпендикулярном к линиям В направлении приближенно кру-
круговое, причем скорости дрейфов малы по сравнению с окруж-
окружной скоростью (за исключением случая присутствия элек-
электрического поля, которое мы сейчас не учитываем). Следова-
Следовательно, в первом приближении Рхх = РУУ =Nwx, Pzz=2Nw{l,
а недиагональные члены равны нулю, как в уравнении
C.14). Интересно отметить, что изложенные рассуждения
приводят к уравнению C.13) непосредственно, без вычис-
вычисления скоростей дрейфа. Однако рассмотрение дрейфов
и соответствующих им токов делают этот результат более
понятным. Действительно, градиенты В и Nw± вызывают
ток, который в свою очередь вызывает появление гра-
градиента В. Вид функции Nw±{x, у) остается при этом не-
неопределенным.
§ 3.3. Искривленные линии поля В
в отсутствие внешних сил
Рассмотрим случай, отличающийся от предшествующего
только тем, что силовые линии В являются окружностями,
концентрично расположенными относительно оси г. Будем
предполагать, что напряженность поля В, плотность частиц
и их энергия являются функциями только от одной ци-
цилиндрической координаты г. Тогда все токи будут направ-
направлены параллельно оси г. Если г, г и 9 — цилиндрические
координаты, причем такие, что их направления образуют
правовинтовую систему, а вектор В направлен в сторону
увеличения 6, то возникающие в плазме токи имеют вид
N w ,
Im —	J fr g~
дв	C.15)
Опять ток /о компенсирует часть тока jm, и полный ток
равен

С учетом этого выражения четвертое уравнение Максвел-
Максвелла A.4)
1?(гВ) = 4л/	C.17)
может быть написано в виде
SS0- (ЗЛ8)
Это уравнение аналогично уравнению C.13) для плоского
случая. Так же как и ранее, это уравнение является един-
единственным условием, накладываемым уравнением Макс-
Максвелла и уравнением движения. В частности, величины N,
w±, w'\\ могут быть выбраны произвольно, а значение В
определено из уравнения C.18).
Уравнение C.18) может и в этом случае быть получено
непосредственно из уравнения сохранения количества дви-
движения A.28), если использовать для тензора натяжений
выражение A.32), а тензор плотности потока импульса
частиц выбрать в виде
/Nw± 0 0 \
Р= 0 2Nwt О .	C.19)
\ О 0 NwJ
Такой вид этого тензора, так же как и в предшествовавшем
случае, оправдан.
При преобразовании уравнения A.28) удобно восполь-
воспользоваться выражением A.39) для дивергенции тензора в ци-
цилиндрических координатах.
Рассмотренный случай представляет простейший при-
пример статического пинча. Пинчем называется цилиндрическая
плазменная конфигурация, ограниченная направленным по
координатным линиям 0 магнитным полем, которое соз-
создается токами в самой плазме. Как было показано, токи
в свою очередь обусловлены магнитным полем и его неодно-
неоднородностью, поэтому полная физическая система поля и плаз-
плазмы является самосогласованной. Для поддержания токов,
по крайней мере пока не учитываются столкновения, нет
необходимости в электрических полях. Зависимость плот-
плотности плазмы от радиуса произвольная, лишь бы она согла-
согласовывалась с магнитным полем в соответствии с уравнением
C.18).

Если учитывать столкновения, то плазма стремится,
диффундировать в область, занимаемую магнитным полем,
а поле в свою очередь проникает внутрь плазмы. Эта диф-
диффузия, однако, может быть скомпенсирована электрическим
дрейфом, если приложить параллельно оси пинча электри-
электрическое поле.
§ 3.4. Общая статическая задача
в отсутствие внешних сил
Результаты двух предыдущих параграфов наводят на
мысль, что после подстановки трех токов jm, jGn jR в урав-
уравнения Максвелла и при выборе тензора плотности потока
импульса частиц в виде
C.20)
всегда можно получить закон сохранения количества дви-
движения.
Если записать выражение для упомянутых трех токов,
не налагая никаких ограничений на поле В, и воспользо-
воспользоваться обозначениями Р± и Рц, то получим
Снова токи )т и jG частично компенсируются и сум-
сумма всех трех токов окажется равной
^-lV;B0H-^[B0((B0V)B0]. C.21)
Этот ток следует подставить в уравнение Максвелла
i(VB]=j.	C.22)
68

Первый и третий члены в уравнении C.21), очевидно, пер-
перпендикулярны В. Член же, пропорциональный [VB0], мо-
может иметь слагающую параллельную В. Но при этом не
обязательно|условие, что полный ток в направлении В
содержится в этом члене.
Согласно методу орбит, к сумме этих трех токов можно
добавить любой параллельный полю ток путем подходящего
выбора распределения скоростей V\\ центров ларморовских
окружностей частиц.
Таким образом, параллельная составляющая тока не-
неполностью определяется уравнением C.21). Однако в урав-
уравнение сохранения количества движения входит только
нормальная к полю компонента тока, поскольку сила
Лоренца есть [jB]. К компоненте j ц возвратимся позднее.
Пока сосредоточим свое внимание на нормальной полю
части полного тока imGR- Поскольку нормальная вектору
Во компонента любого вектора А есть
А± = -[В0[В0А]],	C.23)
то нормальная компонента вектора [V Во] равна
[VBO]X = —[B0[B0[VB0]]] =
= -[в0, (v ^-_(BoV)Bojj = [Во, (BoV)Bo]. C.24)
В силу этого нормальная компонента тока ]mGR равна
Jj_ = 	g	1	д	LKCb (Ko V) D0J. (д./Э)
Умножая уравнение C.22) векторно на В и подстав-
подставляя jx, находим
ln LB [VB]] = _ vx Р± - (Р, - Р±) (Во V) Во, C.26)
где у± — поперечная составляющая оператора градиента.
В соответствии с результатами параграфа 1.3 левая
часть последнего уравнения представляет дивергенцию
тензора натяжения магнитного поля. Следовательно, если
это уравнение выражает сохранение импульса в рассма-
рассматриваемой статической задаче, его правая часть должна
равняться взятой со знаком минус дивергенции тензора
плотности потока импульса частиц.
69

Вид тензора Р в декартовой системе, одна из осей кото-
которой параллельна В в рассматриваемой точке, дается уравне-
уравнением C.20). Так как направления осей такой системы коор-
координат меняются от точки к точке, при вычислении тензора Р
это должно приниматься во внимание. С этой целью ра-
разобьем тензор Р, написанный в системе координат, каса-
касательной к линии В в данной точке, на части следующим
образом:
Р = Р± 0 10+ (Р„ —Р±) 0 0 0 . C.27)
Первый член справа пропорционален единичному тензору —
символу Кронекера, который не меняется при поворотах
осей и имеет одинаковый вид в любой декартовой системе
координат.
Второй тензор в местной касательной системе координат
равен диаде ВоВо. Поскольку диада ВоВо —тензор, то
второй тензор должен быть равен ВоВо в любой системе
координат. Таким образом, в любой декартовой системе
координат
P = PJ_/ + (P|[_P±)B0B0,	C.28)
где / — единичный тензор (символ Кронекера)
/// = б//.	C.29)
Теперь можно просто вычислить дивергенцию Р:
+ (РII - Рх) Во (VB0) + Во (Во V) {Р, - Рх).	C.30)
Сравним это выражение с правой частью уравнения C.26).
Для этого заметим, что продольная составляющая	опера-
составляющая	оператора векторного дифференцирования имеет вид
У„=Во(ВоУ)	C.31)
и что
V = Vj + V,.	C.32)
С помощью этих тождеств можно разбить вектор	уР на
продольную и поперечную составляющие. Из уравнения
C.30)
(VPK = V± Р± + (Р, - Р±) (Во V)B0,	C.30')
(VP), = v, Р., + (Р, - Р±) Во (VB0).	C.30")
70

Теперь видно, что правая чисть уравнения C.26)
(VP)jl со знаком минус. Поэтому уравнение C.26) может
быть записано в виде
[[у]] 0.	C.33)
Таким образом, получили поперечную составляющую урав-
уравнения сохранения импульса. Для завершения доказатель-
доказательства закона сохранения полного импульса необходимо еще
показать, что продольная составляющая VP обращается
в нуль, т. е.
V „ Р i + (Р „ - Р±) Во (уВ0) - 0.	C.34)
В следующем параграфе покажем, что это действительно
следует из метода орбит для движения частиц вдоль линий В.
Сейчас же для будущего использования отметим, что выра-
выражение (VBo), фигурирующее в уравнении C.34), может быть
представлено в виде
(VB0) = (^) = (BV J-) ,	C.35)
поскольку (уВ) = 0. С помощью этого тождества уравне-
уравнение C.34) можно переписать в виде
В^( + ^-0	(з.34)
D ds { В ) + В ds ~ U'	V	;
где s — расстояние вдоль силовой линии В.
§ 3.5. Движение вдоль силовых линий
В § 2.9, пункт А, было рассмотрено движение одиночной
частицы вдоль силовых линий В. Применим эти результаты
к изучению коллективного движения частиц.
В соответствии с теорией § 2.9, пункт А, частица, дви-
движущаяся вдоль линий В, ведет себя так, как будто ее по-
потенциальная энергия У и равна
V, =цД,	C.36)
где |х — магнитный момент, равный
Р = ^	C-37)
71

и являющийся- (приближенно) интегралом движения. Пол-
Полная энергия частицы
w = -^ то\ +\iB = const.	C.38)
Используя это уравнение, можно описать процесс за-
захвата частицы в область малых значений 5, расположен-
расположенную вдоль направления линий В и ограниченную областями
больших значений В. Например, при конфигурации поля
типа двойного зеркала, изображенной на рис. 3.1, все час-
частицы с полной энергией w <C\x Втах могут в адиабатическом
Одмотка . _^ Обмотка
Бмакс	Силодые линии В
Рис. 3.1. Установка с магнитными зеркалами.
приближении удерживаться в области, расположенной
между обмотками. Эти захваченные частицы будут осцил-
осциллировать вдоль силовых линий в области между зеркалами.
Каждая частица, движущаяся вдоль своей линии, в неко-
некоторый момент проходит через точку минимального значе-
значения В, расположенную посередине между обмотками, од-^
нако различные частицы в соответствии со своими значе-
значениями w и [г имеют различные точки поворота. Некоторые
из них проникают и в области за зеркалами. Если при этом
силовые линии оканчиваются на стенках камеры, то такие
частицы могут быть быстро потеряны. В других конфигу-
конфигурациях величина В имеет минимум в нескольких точках,
так что будет несколько областей, в которых частицы могут
быть захвачены.
Рассмотрим небольшой пучок (трубку) силовых линий В,
начинающихся от плоскости минимального значения В.
Пусть в области, примыкающей к началу
nt{w> li)dwd\iy	C.39)
72

есть число частиц в кубическом сантиметре, движущихся
в положительном направлении вдоль трубки и имеющих
энергию между w и w + dw и магнитный момент между \л
и рь + ф. Соответствующее число частиц, движущихся
в обратном направлении, обозначим пш- Если не все час-
частицы отражаются от областей с большим значением В,
то величины nt, и Пт не обязательно равны друг другу.
Какова будет плотность частиц п+ в любой другой точке
силовой трубки? Поскольку w и |ы — интегралы движения,
величина n+(w9 у) остается постоянной. Таким образом,
в статическом случае число частиц, имеющих энергию w
и магнитный момент \л и проходящих через сечение сило-
силовой трубки в положительном направлении, не зависит от
координаты s этого сечения, пока частицы могут достиг-
достигнуть точки s. Поскольку частицы движутся вдоль силовой
трубки со скоростью и о и площадь поперечного сечения
трубки обратно пропорциональна В, получим, что величина
!L постоянна вдоль трубки.	(oAV)
В
В этом уравнении, как и в аналогичном уравнении для
nr, v и выражается через w, [x и В из уравнения C.38):
C.41)
Учитывая эти выводы, можно рассчитать, как изме-
изменяются Р± и Рц вдоль силовой трубки. Так, часть Рц,
обусловленная частицами с энергией w и магнитным момен-
моментом р, движущимися в положительном направлении, со-
согласно уравнению C.40), равна^
== mn"ji(w, \i)v„ (m) -i-v^.
Здесь ^ I, (m) и Вт — значения v{] и В в точке минимума
В. Используя далее уравнение C.41), находим
C.42)
73

Полное значение Р, будет тогда равно
— оо w/B
Pi=Sjdo; j Pf(o;, M,)d|x.	C.43)
+ 0	0
Иногда удобнее ввести вместо магнитного момента \i угол 9
между вектором скорости частицы и вектором В в точке
минимума В. Тогда
и ™ sin2 6.	C.44)
Определим новую функцию распределения равенством
пт (w, 6) 2jt sin 6 d% = n^ (ш, (г), djx.	C.45)
Область изменения угла 9 от 0 до я охватывает как поло-
положительное, так и отрицательное направления движения.
Поэтому nm(w, 9) — число частиц в единице объема про-
пространства, приходящихся на единицу энергии в единице
пространственного угла в точке, где В минимально. Выра-
Выражая Р|| через переменную 9, получим
оо
р, = §'dw§2nm(w, Q)w x
о е
х Я Cos 6 | l/l — 4- sin2 6 2я sin Ы 6. C.46)
Здесь интеграл по 9 берется в той части интервала @,я),
для которой подкоренное выражение больше нуля. Запи-
Записывая аналогично Р±, получим
pL z= j1 dw J nm (ш, 6) a; X
о е
/ Б \2	| cos 6 I sin2-6 о • а ла
(-5- A	'	2jtsin6rf6.
X
С помощью соотношений C.46) и C.47) можем выразить Рц
и Р± в любой точке силовой трубки через значение функции
пт(ш, 9) в точке ближайшего минимума В и через отноше-
отношение В1Вт. Расстояние s вдоль силовой линии входит в это
выражение неявно, в виде зависимости В = B{s).
74

Вычислять интеграл для обеих величин Рц и Р± не обя-
обязательно. Легко заметить, дифференцируя Рц и Р± по дли-
длине s, что эти величины связаны. Действительно, деля урав-
уравнение C.46) на В и дифференцируя, находим
и ds -Л в
Это равенство доказывает справедливость уравнений C.34)
и C.34') предыдущего параграфа. Кроме того, если поль-
пользоваться уравнениями C.34') и C.46), можно не учитывать
уравнение C.47). Будем просто считать, что Р± определяется
уравнением C.34'), а из уравнения C.46) получаем Рц.
Изменение Рц и Р± вдоль силовой трубки определяется
функцией распределения, проинтегрированной по энергии
.	C.48)
В том случае, когда Рт(9) не зависит от 9, из уравнений
C.46) и C.47) получаем, что Рц и Р± равны друг другу и
постоянны по всей длине трубки:
В одном частном случае этот результат является след-
следствием сохранения энергии и теоремы Лиувилля. Именно,
если не только Рт(8), но и nm(w, 0) не зависит от 6, уравне-
уравнение C.49) может быть получено из этой теоремы. Действи-
Действительно, тогда в точке минимума В распределение скоростей
сферически симметрично. Частицы с некоторой энергией
занимают шаровой слой в пространстве скоростей, как это
изображено на рис. 3.2, а. Проследим за этими частицами
вплоть до достижения ими сечения трубки, где В = Вг >BW.
Некоторые из частиц испытывают отражение еще до дости-
достижения этого сечения. Предположим, что BJBm имеет такое
значение, что частицы из экваториальной области шарового
слоя се (см. рис. 3.2, а) испытают отражение. Частицы
с энергией, лежащей на границе области ее при В = Вт,
как раз испытывают отражение в точках В = Вт, и по-
поэтому там v и = 0. При перемещении от точек Вт к точкам 5i
угол между В и скоростью частиц, лежащих вне области ее,
увеличивается. Согласно теореме Лиувилля, плотность
75

частиц в фазовом пространстве вокруг каждой из этих час-
частиц не меняется при их перемещении из точки В = Bi
в точку В = Вт. Поэтому распределение скоростей в
точке Bi будет изотропным, если оно было таким в точке
Вт. Далее, поскольку энергия и плотность частиц в фазо-
фазовом пространстве не меняется, значения Р\\ и Р± также
остаются неизменными. Объем, занимаемый в пространстве
скоростей некоторой группой частиц, увеличивается при
их перемещении от точки Вт к Bi, тогда как объем в коор-
Рис. 3.2. Распределение частиц в пространстве
скоростей.
динатном пространстве, наоборот, уменьшается, так как
в области больших значений В силовые линии распола-
располагаются теснее.
Эти рассуждения позволяют понять, почему за началь-
начальную точку выбрали минимальное значение В. Если начать
рассмотрение с точки, где В = Bi, то из предположения
об изотропности распределения скоростей в этой точке нель-
нельзя сделать вывод об его изотропности в точке В = Вт.
Действительно, нельзя сделать никаких заключений
о распределении скоростей в области ее при значении Вт,
исходя из распределения при Bi, так как ничего не известно
о частицах, испытавших отражение в точках между Bi
и Вда.
В конфигурации поля типа магнитных зеркал
(см.рис. 3.1) распределение скоростей не может быть изотроп-
изотропным, поскольку частицы со слишком большим отношением
v || lvx будут немедленно уходить сквозь зеркала. Пусть Вм—
максимальное значение В на протяжении силовой линии.
Тогда для частиц, точки поворота которых совпадают с точ-
точкой, где В = Вм, будет справедливо соотношение
w = \iBM.	C.50)
76

Если выразить значение магнитного момента в точке Вп
через угол 0, то получим
Комбинируя два последних уравнения, найдем, что ско-
скорость частиц, отражающихся в точке, где В =¦ Вм, состав-
составляет в точке Вт с В угол 0,, такой, что
sin26c = ^.	C.52)
Только частицы, движущиеся под углами в диапазоне от дс
до Qc —тс, будут отражаться от зеркала. Для данного слу-
случая можно выбрать в качестве одного из возможных сле-
следующее выражение для Рт{®).
рт F) == A (sin2 0 — sin2 0,) для sin 0 > sin дс; )	•
Pm(Q) = O	для sin0<sin0c, J
где А — постоянная. (Конечно, любая функция, исчезаю-
исчезающая при sin0<^sin6c, равно допустима). Для выбранного
распределения можно получить с помощью уравнений
C.48) и C.49):
п 	 *"" д "т ( 1	_В\5/2.
* II — ~Гг~ **¦ ~г7~ ! *	п 1 9
C.54)
Как Р ||, так и Р± обращаются в нуль при В = Вм и
имеют максимум при В = Вт.
§ 3.6. Система уравнений
для общей статической задачи
Попытаемся теперь записать полную систему уравне-
уравнений для общей статической задачи. Под полной системой
подразумеваем такую, совместное решение которой яв-
является возможным статическим решением, не нуждающимся
в каких-либо дополнительных оговорках.
77

Имеет смысл напомнить, с чего мы начали наше рас-
рассмотрение. Поскольку электрическое поле предполагается
равным нулю, уравнения Максвелла сводятся к двум:
div В = О,	C.55)
rotB = 4jtj.	C.56)
Если плотность токов j известна, то эти уравнения одно-
однозначно определяют поле Впри условии (повсеместном в фи-
физических задачах), что на бесконечности нет источников
поля. Плотность токов j распадается на две части: во-пер-
во-первых, токи во внешних обмотках, которые можно считать
заданными, и, во-вторых, токи в самой плазме, которые
нужно определить.
Исходным пунктом при изучении плазмы явилось ис-
исследование уравнений движения отдельной частицы. Чтобы
как-либо продвинуться в изучении проблемы многих тел,
предположим, что частицы взаимодействуют только через
усредненные поля, в данном случае через их среднее маг-
магнитное поле. В этом приближении на каждую частицу в не-
некоторой точке действует одно и то же непрерывное, за-
закономерно изменяющееся магнитное поле, являющееся
функцией точки. Движение частиц в таком поле затем рас-
рассчитывалось приближенно до членов первого порядка по
отношению ларморовского радиуса а к характерной длине
изменения магнитного поля. На основе этого расчета была
вычислена плотность тока, которая оказывалась пропор-
пропорциональной градиентам В и градиентам плотности энергии
частиц. После подстановки этих значений плотности тока
в уравнение Максвелла C.56) нашли, что выведенное урав-
уравнение совпадает с поперечной частью уравнения, выражаю-
выражающего сохранение импульса:
P) = Q,	C.57)
где Т — тензор натяжений магнитного поля, а Р — тензор
плотности потока импульса частиц.
Следует особо отметить два момента в наших рассужде-
рассуждениях. Во-первых, можно было заранее ожидать, что мы при-
придем к уравнению сохранения импульса, поскольку еще
в первой главе было видно, что оно является следствием
уравнений Максвелла и усредненных уравнений движения.
Во-вторых, тензор плотности потока импульса следует
вычислять с точностью до нулевого порядка по степеням
78

градиентов, так как градиенты, появляющиеся в выраже-
выражениях для токов, уже присутствуют в уравнении C.57) в виде
дивергенции тензоров.
Это означает, что в данном приближении при вычисле-
вычислении Р учитываются только ларморовская и продольная со-
составляющие энергии частиц, как это видйо из уравнения
C.20), но не дрейфы.
При внимательном анализе мы могли бы, заметив с само-
самого начала, что уравнение C.57) — закон сохранения им-
импульса в первом приближении, вывести из него, идя обрат-
обратным путем, выражения для токов в том же приближении.
Однако метод, использованный нами, дает более ясное пред-
представление о характере поведения плазмы. При рассмотрении
бесстолкновительной плазмы всегда полезно знать пове-
поведение отдельных частиц.
В итоге было обнаружено, что теория, учитывающая
градиенты до первой степени, приводит к двум уравнениям—
C.46) и C.47), описывающим изменение Рц и Р± вдоль
силовых линий В. Одна комбинация этих двух уравнений
соответствует второй (продольной) части уравнения C.57).
Однако такой вариант не исчерпывает всей информации,
содержащейся в уравнениях C.46) и C.47). Таким образом,
уравнение C.57) недостаточно само по себе. Как отмечено
в § 1.8, в проблеме многих тел усредненный закон сохра-
сохранения импульса не содержит всех сведений. Поэтому вместо
уравнения C.57) необходимо добавить к основным уравне-
уравнениям три следующих
к = [^ . {VPX + (Р, - Рх) (Во V) B0}J ; C.58)
Р =_52г(У/^	C.59)
Р, =2 fpmF)^-|cos6|l/l — ^-sin29 2nsined(
являющихся слегка видоизмененными вариантами уравне-
уравнений C.25), C.34') и C.46). При этом необходимо еще учесть
определение Рт@), т. е. уравнение C.48).
Все эти уравнения выведены из уравнений движения
частиц. Первые два из них в сочетании с уравнением C.56)
эквивалентны уравнению C.57), так что последнее может
не учитываться.
79

Теперь мы располагаем достаточно полной системой
уравнений. Уравнения C.55) и C.56) определяют вектор В,
а уравнения C.58)—C.60) — /, Р±и Рц. Из других вели-
величин в уравнениях присутствуют только /ц и Рт @). Рас-
Рассмотрим, как определяются эти величины.
Сначала обратимся к продольному току. Важно отме-
отметить, что в то время как j± является величиной первого по-
порядка по степеням градиентов (а, следовательно, по a/L),
/ц может быть величиной нулевого порядка. Величина /и
может достигать значений
/,«*?,	C.61)
где v, как обычно, — средняя скорость частиц.
Как уже было показано в § 2.10, скорости магнитных
дрейфов имеют порядок Tv, и поэтому дрейфовые токи мень-
ше/ц в alL раз.
Выражение C.61), определяющее столь большую вели-
величину /ц, получается в том случае, когда распределение
Рт(8) сильно несимметрично относительно 6 = у, т. е.
когда количество частиц, движущихся вдоль силовой ли-
линии В в одном направлении, значительно больше, чем
в обратном. В этом случае из требования сохранения за-
заряда (для статического случая) вытекает, что ток в раз-
различных точках одной и той же силовой трубки должен быть
постоянным, т. е. с точностью до нулевого порядка по гра-
градиентам
Fs (if) = °-	<3-62>
Сомножитель 1/В введен^в это уравнение, чтобьГучесть за-
зависимость площади поперечного сечения силовой трубки от
напряженности магнитного^поля" вдоль" нее.
Уравнение C.62) определяет /ц в том случае, когда /ц
имеет нулевой порядок малости по a/L. Если силовые
линии В пронизывают рассматриваемый [объем, можно
произвольно определять токи, втекающие в этот объем
(или вытекающие из него). Если же силовые линии замыка-
замыкаются внутри рассматриваемого объема, то можно произ-
произвольно задать значение /и в одной точке на каждой ли-
линии В.
80

Конфигурации, в которых j± равно нулю или очень мало
по сравнению с /ц, иногда называют бессиловыми конфи-
конфигурациями, поскольку в них магнитное поле слабо или со-
совсем не оказывает пондермоторного действия на плазму,
и наоборот. Подобные конфигурации характеризуются на-
наличием изгибов и шира у силовых линий — свойство по-
полей, для которых ротор В (т. е. ток) параллелен самому
полю В. Несколько простых примеров бессиловых конфигу-
конфигураций рассмотрено в § 3.8.
Хотя /ц может быть много больше тока/х, часто оказы-
оказываются интересными случаи, когда это не так. Если все
частицы совершают движение с отражениями, как, напри-
например, между магнитными зеркалами, число частиц, движу-
движущихся в одном направлении вдоль линий В, будет равно
(в нулевом приближении по a/L) числу движущихся в об-
обратном направлении. Поэтому с точностью до нулевого по-
порядка по a/L, /ц можно считать равным нулю. Но уже в сле-
следующем приближении /ц будет иметь конечное значение,
соизмеримое с /±.С точностью до членов первого порядка
по a/L закон сохранения заряда имеет вид
v(ii+ix) = o	C.63)
или, вводя расстояние s вдоль силовой линии В:
В
Выясним теперь, что означает это уравнение. Вспомнив,
что jj. определяется равенством C.58), можно рассматри-
рассматривать VJ х как правую часть неоднородного уравнения C.63')
для j||. Дивергенция от j±, определяемая уравнением
C.58), не обязательно должна равняться нулю. Она обра-
обращается в нуль, когда линии В прямые и в некоторых слу-
случаях высокой симметрии. Поэтому в общем случае ]± может
обусловить увеличение заряда в некоторых точках силовой
трубки и уменьшение его в других точках этой трубки,
причем дополнительный заряд не обязательно должен рав-
равняться исчезнувшему. Однако, как будет видно из дальней-
дальнейшего, только когда суммарный заряд, появляющийся
в силовой трубке при действии Vj±, обращается в нуль,
конфигурация оказывается статической или приближенно
статической, в противном случае конфигурация существен-
существенно динамическая. В этом можно убедиться на некоторых
примерах.
4 К. Лонгмайр	81

Во-первых, при высокой симметрии конфигурации Vjj.
может обращаться в куль везде. Этим свойством обладают
конфигурации, рассмотренные в § 3.2 и 3.3. Хотя в обоих
этих случаях конфигурация не ограничена в пространстве,
можно указать примеры и с ограниченной геометрией. Для
осесимметричной конфигурации с магнитными зеркалами,
изображенной на рис. 3.1, линии тока j± имеют вид окруж-
окружностей с центром на оси и дивергенция j± равна нулю. Во
всех перечисленных примерах мы имеем право выбрать
такое распределение плотности частиц, которое обращает
везде jn в нуль. Тогда уравнение C.63) оказывается выпол-
Ось
I
Тороидальная
|	одопочка
Рис. 3.3. Плазма в торе.
ненным и электрически нейтральная в начальный момент
система останется такой всегда. Подобные конфигурации
можно назвать строго статическими.
Рассмотрим теперь пример, в котором при действии Vj.L
вдоль силовых линий В возникает локальный нескомпен-
сированный заряд. На рис. 3.3 изображена схема торои-
тороидальной обмотки, образующей магнитное поле с силовыми
линиями в виде концентричные относительно общей оси
окружностей. Внутри обмотки помещается плазма. Дрейфы,
обусловленные кривизной линий В и неоднородностью гра-
градиента В, заставляют положительные частицы двигаться
вверх параллельно оси, а отрицательные — соответственно
вниз. Возникающий при этом электрический ток образует
на верхних и нижних границах плазменного тора заряды
противоположного знака. Положительный заряд —' на
верхней границе, вблизи силовой линии аа, а отрицатель-
отрицательный—вблизи линии ЬЬ. Хотя эти заряды могут переме-
перемещаться вдоль силовых линий, они не могут взаимно уничто-
82

жаться. В силу этого образуется электрическое поле, на-
направленное вниз, примерно параллельно оси. В сочетании
с перпендикулярным ему магнитным, полем оно заставляет
всю плазму двигаться в направлении от оси. В гл. 4 будет
показано, что скорость этого движения практически рав-
равняется тепловой скорости частиц. Действительно, плазма
движется во внешнюю сторону так, как будто бы магнитное
поле не препятствует действию центробежной силы. По-
Поэтому такую плазменную конфигурацию правильнее счи-
считать динамической, а не статической.
Характерной особенностью в этом примере является то,
что заряд, возникающий на некоторых силовых линиях,
не может исчезнуть вследствие растекания вдоль этих си-
силовых линий. Образующееся при этом электрическое поле
совместно с присутствующим магнитным определяет дина-
динамический характер такой конфигурации.
Путем незначительного видоизменения описанной кон-
конфигурации (см. рис. 3.3) можно создать такую, которую
будем считать приближенно равновесной. Все видоизмене-
видоизменения сводятся к тому, чтобы сделать магнитные силовые
линии изогнутыми по спирали вокруг осевой линии тора.
Этого можно достичь созданием в плазме дополнительного
суммарного тока, текущего вдоль тора, или добавле-
добавлением внешней винтовой обмотки с малым числом витков
и большим шагом. В этом случае каждая магнитная силовая
линия будет частично проходить по верхней части тора,
частично по нижней. Образующиеся заряды смогут тогда,
распространяясь вдоль такой линии, компенсировать друг
Друга.
Однако для того, чтобы заставить заряды перемещаться
вдоль силовых линий, требуется приложить некоторое элек-
электрическое поле. Даже если пренебречь столкновениями (т. е.
сопротивлением), зарядам остается преодолеть некоторые
небольшие силы, связанные с наличием магнитных зеркал,
которые образуются из-за непостоянства величины-iJ- вдоль
силовой линии.
Потенциальная энергия электрического поля, которое
нужно приложить для преодоления частицей зеркального
барьера, по порядку величины равна
W ,
eEL « ц 6В = ~ 65,	C.64)
где L — расстояние, на котором действует электрическое
поле, а ЬВ — изменение В.
83

Электрическое поле в общем случае может иметь компо-
компоненту, перпендикулярную В, которая вызовет дрейф плазмы
со скоростью
сЕ few , \ ЬВ
^] J.	C.65)
Эта скорость имеет такой же порядок величины (или мень-
меньше) как скорость магнитных дрейфов, превышающих
в alL раз тепловую скорость. Если в предыдущем примере
плазма двигалась с тепловой скоростью, то в данном случае
скорость ее движения в alL раз меньше. Поэтому можно
сказать, что последняя конфигурация может считаться ста-
статической с точностью до первого порядка по a/L.
Нейтрализующие токи j B, текущие вдоль силовых ли-
линий, будут, конечно, изменять магнитное поле. Принять
во внимание их при самосогласованном расчете поля и рас-
распределения плотности в плазме — задача очень сложная.
Насколько автору известно, подобные конфигурации рассчи-
рассчитываются только методом теории возмущений. При этом
за нулевое приближение берут магнитное поле в пустоте,
затем предполагают наличие некоторой небольшой плот-
плотности плазмы и рассчитывают токи, вызываемые в ней
исходным магнитным полем. Обычно приходят к выводу
что полученные токи не слишком сильно возмущают ис-
исходное магнитное поле.
В случаях с высокой симметрией, когда VJ± заведомо
равно нулю, можно считать, что j ц =0 или что j ц IB по-
постоянно вдоль линий В. При таких условиях задача само-
самосогласованного расчета поля в плазме уже не столь нераз-
неразрешима.
§ 3.7. Теорема вириала
Теорему вириала из механики можно легко обобщить
на случай присутствия электромагнитного поля. Обратимся
вновь к уравнению C.57), выражающему сохранение им-
импульса в статических случаях. Не пренебрегая индексами,
его можно записать в виде
C-66)
(правило суммирования учтено).
84

Помножим это уравнение скалярно на радиус-вектор х\
и проинтегрируем его по объему V, ограниченному поверх-
поверхностью S. Затем, интегрируя по частям и используя теорему
Гаусса, находим
xt±{Tl,+Pl,)dV =
dxj
= j" n, xi (Tu + Pi}) dS - f (Tu -f Pa) dV = 0,
где tif — единичный вектор нормали к поверхности. След
тензора энергии — импульса электромагнитного поля —
В2 4- Е2
равен Тц = —^—. Поэтому
= f
Это и есть теорема вириала. Применим ее к некоторым
конкретным случаям.
Вначале покажем, что ни для какой комбинации полей
и плазмы без введения дополнительных внешних натяже-
натяжений не может выполняться баланс натяжений. Предполо-
Предположим, что плазма занимает некоторый ограниченный объем.
Тогда для больших расстояний поля должны убывать по
крайней мере как 1/г2, и поверхностный интеграл в урав-
уравнении C.67) обращается на бесконечности в нуль. Поэтому
объемный интеграл в этом случае также должен равняться
нулю. Поскольку след тензора Р равен удвоенной плот-
плотности энергии плазмы и подынтегральное выражение, та-
таким образом, не может быть отрицательным, В,Е и плот-
плотность энергии частиц должны быть равны нулю.
Легко видеть, что для того чтобы удержать в равновесии
систему из полей и плазмы, необходимо ввести дополни-
дополнительные отрицательные натяжения, которые скомпенси-
скомпенсировали бы положительные натяжения в объемном интеграле.
Добавим члены с такими натяжениями, обозначим их че-
через S\f.
Устремляя опять радиус поверхности к бесконечности,
найдем
J Su dV = - [Гполя + 2В7плазм],	C.68)
v
85

где W — полная энергия. Из этого уравнения следует, что
для того чтобы удержать в равновесии систему полей и
плазмы, необходимо некоторое количество вещества,
несущего дополнительные натяжения. Рассмотрим натяже-
натяжение Si/ в некоторой точке пространства. Поскольку S//
симметричен, в соответствующим образом выбранной си-
системе координат он будет диагональным с тремя неисчезаю-
щими членами Slb S22 и S3a. Часть этих членов должна быть
отрицательной, поскольку след тензора — величина ин-
инвариантная. Для создания отрицательного натяжения S
необходимо наличие упругого материала с плотностью
в единице объема p|S|/Sw, где р — плотность массы мате-
материала, используемого для создания натяжений, a Sm —
предел прочности на разрыв для этого материала. Ясно, что
наиболее выгодна ситуация, когда все натяжения растя-
растягивающие и
масса материала, р
несущего упругие > -<т- [и/поля + 2и/пла3м]. C.69)
натяжения,	т
т
Используя значения для типичных высокопрочных мате-
материалов, можно найти, что для удержания в равновесии
конфигураций с энергией до 103 дж необходима масса ма-
материала, несущего упругие натяжения, порядка грамма.
Конечно, по другим причинам, например по соображе-
соображениям теплоотвода, могут потребоваться еще большие массы
материала. Выведенная теорема может представить инте-
интерес, в частности, при конструировании сверхпроводящих
магнитов для космических аппаратов.
У читателя может создаться впечатление, что теорема
вириала требует равенства по порядку величины натяже-
натяжений в материале и максимальных магнитного и плазмен-
плазменного давлений. Однако это не так. В противоположность
обычной жидкости, в которой по законам гидравлики дав-
давление одинаково во всех точках, магнитное (или электри-
электрическое) поле способно превращать малые давления, дей-
действующие на большие площади, в большие давления, при-
приложенные к малым площадям.
Рассмотрим в качестве примера коаксиальную конфи-
конфигурацию, изображенную на рис. 3.4. Поскольку В изме-
изменяется с радиусом как Mr, отношение давления Pt на вну-
86

тренний проводник к давлению Ро на внешний проводник
имеет вид
Й = 4>	C-70)
где г\ и г0 — соответственно радиусы внутреннего и внеш-
внешнего проводников. Таким образом, теоретически оказы-
оказывается возможным создавать давления, превосходящие по
величине максимально допустимые по соображениям проч-
прочности реальных материалов. Эта возможность основана на
том факте, что натяжения, вхо-
входящие в тензор натяжений
поля, могут быть направлены
по вектору поля.
* Применим к этому случаю
теорему вириала C.69) и пока-
покажем, что необходимая масса
внешнего проводника не зависит
от его радиуса г0. Давление на
внешний проводник
/7/юзщ w
'бнутреннии
пробойник
Внешний
прододник
(петапп'
О
Рис. 3.4. Конфигурация,
усиливающая натяжения
поля.
Это давление должно уравновешиваться натяжением во
внешнем проводнике. Полное разрывающее усилие на еди-
единицу длины цилиндра Т определяется уравнением
а зависимость Т от г0 определяется как
Толщина внешнего проводника пропорциональна разры-
разрывающему усилию, которое на него действует.
Таким образом, масса внешнего проводника, приходя-
приходящаяся на единицу длины, не зависит от его радиуса г0.
§ 3J. Бессиновые конфигурации
Если плотность электрического тока j параллельна В,
то магнитное поле не вызывает сил, действующих на ток.
Подобные конфигурации называются бессиловыми.
87

Из теоремы вириала следует, что никакая система маг-
магнитных полей не может быть полностью бессиловой. Дей-
Действительно, если j везде параллельно В, то натяжения
в плазме и материалах могут быть сведены к нулю, а тогда
из4 уравнения C.67) следует, что интеграл по объему от В2
также обращается в нуль, что может быть только тогда,
когда В везде равно нулю.
Можно, однако, представить себе конфигурации, кото-
которые являются бессиловыми в некоторой области. В каче-
качестве достаточно простого примера бессиловой области рас-
рассмотрим осесимметричную конфигурацию в цилиндриче-
цилиндрических координатах г, 0 и г, образующих правовинтовую
систему. Пусть также существующие в такой системе поля
Вв и Bz будут функциями только радиуса л Уравнение
Максвелла A.4) можно тогда записать так
1 ?	„-	C.71)
^	C.72)
Условие бессиловой конфигурации, состоящее в параллель-
параллельности векторов j и В, имеет в наших обозначениях вид
J	C-73)
Интегрируя непосредственно уравнение C.71), получаем
jlz{r),	C-74)
где Iz (r) —полный ток в направлении z, протекающий через
сечение радиусом г. Подставляя уравнение C.73) в C.72)
и используя равенство C.71) для исключения /2, находим
дВг Bfl 1 д
Определяя Be из уравнения C.74), можно из последнего
уравнения найти Bz. Уравнение C.75) выражает равновесие
магнитных натяжений.
Для дальнейшего определения полей необходимо сде-
сделать предположение о виде Iz (r). В общем случае силовые
линии должны быть винтовыми.
Конкретизируя задачу, можно потребовать, чтобы,
например, изгиб винтовых силовых линий был однород-

ным. Пусть каждая силовая линия В делает полный оборот
вокруг оси z через интервал L, измеряемый вдоль этой оси.
Тогда
Во = arBZf а = -^ .	C.76)
Используя это уравнение для исключения Во из урав-
уравнения C.75), найдем
dBz д , 9 п ч
дг дгv *'
Интегрирование этого уравнения проводится элементарно,
и мы получим
Bz - Во/[1 + {аг)\	C.77)
Ве=агВ0/[1 +(агJ].	C.78)
Постоянную Во можно определить следующим путем. Пред-
Представим, что поле окружено длинным цилиндрическим экра-
экраном из идеального проводника, имеющим радиус R. Тогда
при изменении шага винтовых силовых линий полный маг-
магнитный поток в направлении z не будет меняться. Вращая
пару торцовых пластин, которые ограничивают цилиндр и
считаются идеально проводящими, можно менять шаг си-
силовых линий. Будем считать, что в этот цилиндр помещена
идеально проводящая плазма, давление в которой равно
нулю, так что вдоль силовых линий могут свободно течь
токи и в то же время газодинамическое давление плазмы
не искажает баланса натяжений.
Если обозначить полный магнитный поток в направле-
направлении оси z величиной ф, простое интегрирование Bz по пло-
площади поперечного сечения даст
C.79)
Из уравнения видно, что чем больше параметр винто-
образности линий а, т. е. чем меньше шаг этих линий, тем
больше концентрация поля вблизи оси. Натяжения, об-
обусловленные компонентой поля Be, приводят к сжатию си-
силовых линий примерно так же, как закручивание шнура,
составленного из резиновых волокон, приводит к их сжатию
в направлении оси. В соответствии с этой аналогией можно
ожидать, что при достаточно большом значении параметра
а в таком плазменном шнуре образуются перетяжки.
4В к. Лонгмайр	89

Ситуация, несколько напоминающая только что описан-
описанную, имеет место, вероятно, на поверхности Солнца. На
рис. 3.5 изображены в проекции участок поверхности фото-
фотосферы с парой солнечных пятен и силовые линии магнит-
магнитного поля, которые, как предполагается, связывают эту
пару пятен через пространство над фотосферой. Вся рас-
рассматриваемая область характеризуется очень высокой про-
проводимостью, однако при этом в слоях ниже фотосферы гидро-
гидродинамические силы доминируют над магнитными, тогда
Рис. 3.5. Магнитное поле солнечного пятна.
как выше фотосферы положение обратное. Таким образом,
область выше фотосферы можно считать бессиловой. Про-
Происхождение магнитного поля не совсем еще ясно, однако
предполагается, что оно связано с гидродинамическими
особенностями движения плазмы ниже слоя фотосферы.
Направление вращения среды в солнечных пятнах, если
смотреть на поверхность, например, сверху, имеет одно и
то же направление, т. е. по отношению к направлению пучка
силовых линий они имеют противоположное направление.
Из-за этого силовые линии с течением времени должны по-
постепенно закручиваться. Что, собственно, происходит в ито-
итоге этого скручивания, — не удается наблюдать в деталях.
Однако из наблюдений следует, что в магнитном поле пятен
периодически происходят какие-то перестройки, носящие
характер катаклизмов и возникающие, по-видимому, когда
при слишком сильном скручивании в плазме появляются
нестабильности *. Наблюдаемые вспышки космического
излучения солнечного происхождения, вероятно, могут
быть приписаны этим перестройкам.
* G о 1 d Т. and Н о у 1 F. Monthly Notices Roy. Astron.
Soc, 120, 89 A960).
90

ГЛАВА *Т
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОРБИТ
К ДИНАМИЧЕСКИМ ЗАДАЧАМ
§ 4.1. Введение
В этой главе применим метод орбит к некоторым динами-
динамическим задачам. При этом мы обнаружим новое свойство —
возникновение электрических полей, а также увидим, что
дрейф в скрещенных электрическом и магнитном полях
вызывает гидродинамические эффекты в плазме.
§ 4.2. Плазма в магнитном поле
при наличии сил тяготения
В качестве первого примера рассмотрим поведение плаз-
плазменного цилиндра в магнитном и гравитационном поле.
Пусть магнитное поле направлено по оси z и не зависит от г.
Рассмотрим цилиндрическую конфигурацию плазмы, не
обязательно круговую в сечении, но такую, чтобы ее свой-
свойства не менялись в направлении г. Будем считать, что в пер-
первый момент плазма электрически нейтральна. В гл. 3 было
доказано, что в отсутствие гравитационного поля плазма
находится в покое, пока сумма магнитного и гидродинами-
гидродинамического давлений сохраняется постоянной. Токи, вызы-
вызываемые дрейфами, циркулируют по внешней поверхности
цилиндра и не вызывают разделения зарядов.
Для простоты предположим, что давление плазмы Nw±
постоянно внутри цилиндра и
Atoi«g.	D.1)
Тогда магнитное поле можно также считать приблизитель-
приблизительно постоянным во всех точках.
4В*	91

Теперь представим, что в некоторый момент включается
гравитационное поле g вдоль отрицательного направления
оси у (рис. 4.1). Как поведет себя плазма?
Чтобы ответить на этот вопрос, проследим всю цепь при-
причин и следствий, предсказываемых методом орбит. Первой
причиной является гравитационная сила, заставляющая
ионы дрейфовать налево, а электроны — направо. Воз-
Возникающее разделение зарядов создает электрическое поле
в направлении оси ~\-х. Это по-
j	ле в свою очередь вызывает
дрейф в отрицательном направ-
направлении оси у, т. е. в направлении
действия гравитационной силы.
Поэтому весь цилиндр плазмы
получит ускорение g, направ-
направленное вниз, как если бы на
него магнийое поле совсем не
действовало.
При решении изложенной за-
задачи необходимо вычислить
электрическое поле, создавае-
создаваемое разделением зарядов. Это
можно легко сделать, рассмат-
рассматривая поляризацию, вызывае-
вызываемую гравитационным дрейфом. Если положительные
и отрицательные заряды, первоначально находившиеся
в одной точке, под влиянием этого дрейфа удаляются на
расстояние Аг, то вызванная этим поляризация (т. е. ди-
польный момент единицы объема) выражается следующим
образом:
P = AfeAr,	D.2)
где N — плотность" зарядов одного знака, скажем, ионов.
Величина Аг определяется из выражения для скорости гра-
гравитационного дрейфа:
D.3)
В этой формуле использована^масса ионов М. Дрейф элек-
электронов меньше дрейфа ионов в число раз, равное отноше-
отношению их масс, и поэтому мы можем им пренебречь. Возни-
Возникающая при поляризации Р плотность пространственного
заряда равна
р = — VP.	D.4)
92
Рис. 4.1. Поляризация
плазмы за счет гравита-
гравитационного дрейфа.

Как уже было показано в § 2.5, электрическое поле само
по себе вызывает обратную поляризацию, которую можно
учесть введением диэлектрической постоянной, согласно
уравнению B.24). Тогда уравнение Максвелла B.27) при-
приобретает вид
V(eE);=— 4яУР.
Помимо него поле Е должно еще удовлетворять тождеству
[VE] = 0. Одним из решений этих двух уравнений яв-
является выражение
Е = —4л;Р/(е —1).	D.5)
То, что это есть действительно решение, можно доказать
следующим образом. Согласно уравнению D.3), Аг не^за-
висит явно от пространственных координат частиц, так "что
Р просто пропорционально N. С другой стороны, поскольку
е = 1 +4nNMc*/B2f
е—1 также должно быть пропорционально N. А из этого сле-
следует, что поле Е, определяемое равенством D.5), также не за-
зависит от координат как вне, так и внутри цилиндра плазмы.
Поэтому [VE] = 0. Далее,
V (еЕ) = (Е, Ve) = (Е, V (е — 1)) - V {(г — 1) Е} - — 4д VP,
что и требовалось доказать.
Решение D.5), однако, является не совсем таким, кото-
которое нам нужно, так как, согласно ему, электрическое поле
Е не исчезает на бесконечности. Действительно, на плос-
плоскостях с х = ±оо должен, согласно этому решению, суще-
существовать заряд с поверхностной плотностью ?"/4тт. Если бы
удалось как-то от этого заряда избавиться, получилось бы
искомое решение. Но если убрать этот поверхностный за-
заряд, то поле внутри плазмы изменится на долю, пропор-
пропорциональную 1/е.
Предположим, что внутри плазмы
е»1.	D.6)
Для такого случая выражение D.5) является решением
с точностью до 1/е.
Теперь можно вычислить скорость дрейфа при действии
электрического поля:
vE = -±-с [Аг, В].
93

Дифференцируя это уравнение по времени и пользуясь
уравнением D.3), найдем
Последнее выражение подтверждает вывод о том, что дви-
движение плазмы в этом случае есть просто свободное па-
падение.
На границах плазмы, где условие D.6) несправедливо,
поле Е обращается в вуль. Поэтому эти участки плазмы
падают со скоростью меньшей, чем в центральной области,
поэтому поляризационные заряды как бы сползают с по-
поверхности плазмы.
На этот процесс, однако, оказывает очень сильное
влияние большая величина диэлектрической постоянной
плазмы. Именно, когда поляризационные заряды покида-
покидают поверхность плазмы, на их место из внутренней обла-
области приходят другие, причем электрическое поле в плаз-
плазме меняется на долю, пропорциональную 1/е.
Исследуем сохранение энергии в рассмотренном при-
примере. Плотность энергии электрического поля равна
?2/8<т. Это энергия, которая необходима для того, чтобы
разделить заряды плазмы. Кинетическая энергия свобод-
свободного падения зависит от величины скорости ve и ее плот-
плотность равна
1^*.	D.8)
Отношение кинетической энергии к энергии разделения
зарядов равно
Тогда, как это следует из уравнения D.7), кинетическая
энергия равняется энергии, приобретаемой в поле тяготе-
тяготения. Как уже было упомянуто в § 2.5, энергия вращатель-
вращательного движения остается постоянной.
Скорость дрейфа, обусловленного электрическим полем,
является наибольшей из скоростей дрейфов. Действительно,
поляризация, вызываемая тяготением, почти полностью,
за исключением доли порядка 1/е, компенсируется про-
противоположной поляризацией, обусловленной электриче-
94

ским полем. Таким образом, суммарная скорость дрейфа
в направлении оси х равна
1 Meg
Г гв
где о)/ — ларморовская частота ионов. Поскольку v?-=
то
1
Это отношение с течением времени уменьшается. Однако
приближение, которое здесь используется, становится на-
наверняка несправедливым, когда ионы успевают под дей-
действием суммарной скорости дрейфа * vx переместиться на
расстояние, сравнимое с диаметром
цилиндра плазмы.
Полученные только что ре-
результаты одинаково применимы
для плазмы, заполняющей полость
тора в магнитном поле (рис. 4.2).
В этом случае гравитационное
ускорение g заменяется суммой
центробежного ускорения v\ IR
и ускорения у v2±/R, вызванного
наличием градиента В. Если плаз-
плазма движется с этим ускорением
во внешнем от оси направлении,
то магнитное поле ее, естественно,
не может удержать. Наличие проводящих стенок вокруг
тора плазмы может несколько увеличить время удержа-
удержания плазмы из-за отвода частиц, покидающих плазму в
процессе разделения зарядов. Однако время удержания
все равно не может быть больше, чем для случая отдель-
отдельной частицы, дрейфующей под влиянием центробежных
сил и сил, обусловленных градиентом В (см. § 2.10).
В последнем примере коллективные эффекты делают это
время еще меньшим. В результате общего электрического
поля частицы оказываются связанными и плазма ведет
себя скорее как упругое твердое тело, чем как множество
отдельных частиц.
95
Рис. 4.2. Поле торои-
тороидальной конфигурации.

§ 4.3. Общая двухмерная задача для случая,
когда силовые линии В прямые
Освободимся теперь от большинства ограничений пре-
предыдущего параграфа. Будем по-прежнему считать, что
силовые линии В прямые и направлены вдоль оси z и что
остальные свойства не зависят от z. Однако теперь свойства
плазмы и величина В могут зависеть как от х, так и от у.
Допустим также существование внешних сил, однако только
консервативных, не меняющих энергии вращательного дви-
движения. Условие Nw± <^ Б2/8" не будем более считать не-
необходимым.
Исследуем уравнение Максвелла совместно с уравне-
уравнениями теории орбит и проследим, к каким следствиям они
приводят.
Как и прежде, из уравнения div В = 0 следует, что В
не зависит от г.
В предыдущем параграфе было показано, что основное
значение среди всех скоростей дрейфов имеет скорость
электрического дрейфа ve- Поэтому отождествим эту ско-
скорость с гидродинамической скоростью плазмы и обозначим
ее просто v. Пренебрегая всеми другими скоростями, урав-
уравнение сохранения зарядов, запишем в виде
^ + V EKv) = 0,	D.9)
где 31 — полусумма электронной и ионной плотностей,
весьма мало отличающаяся от каждой из них. (Для воз-
возникновения необходимых электрических полей вполне
достаточно малой доли 9?е). Различием между %, N+ и N—
можно пренебречь, за исключением случая подсчета сум-
суммарной плотности заряда. (Справедливость этих допуще-
допущений рассмотрена в конце параграфа).
Электрическое поле должно быть перпендикулярно В.
Разрешая уравнение C.1) относительно Е, получим
E = -f-[v.B0].	D.10)
Используя это выражение, можно найти из второго
уравнения Максвелла A.2), что
[VE] = - 1 [V [flv, Во]] - ~ (Во, Vfiv) =
1 ™ дВ
96

или
^j + V(?v)=O.	D.11)
Согласно уравнениям D.9) и D.11), величины -й и В ме-
меняются одинаковым образом. Можно себе представить,
что линии В движутся вместе с плазмой. (Этот резуль-
результат — частный случай теорем, доказанных в § 2.8.)
Уравнение D.9) можно переписать в виде
W ~di ^ ~~ VV'	D-12)
где
есть материальная производная, взятая с учетом движе-
движения элемента плазмы.
Аналогично
L *ё — _
В dt ~ VV'
и поэтому
D.14)
dt[B)-0'
откуда следует, что значение 31/В для фиксированного
участка плазмы не зависит от времени.
Прежде чем решать уравнение Максвелла A.4), выпи-
выпишем все токи, которые необходимо учесть. Так же как и
в § 3.2, сумма тока намагничения и тока, обусловленного
градиентами 5, равна
U + о = [B°^J = g- [Во, Vp],	D.15)
где давление
p = Nw±.	D.16)
Внешняя сила F (в расчете на одну частицу) приводит
к появлению тока, согласно выражению (ЗЛО). Если опре-
определить плотность внешних сил
f = MF,	D.17)
97

то ток, обусловленный действием внешней силы, можно
представить в виде
Далее рассмотрим ток поляризации. Изменим определение
этого тока, приведенное в § 2.5, с целью учета зависимости
диэлектрической постоянной от координат и времени. По-
Покажем, что если принять во внимание эту зависимость,
то корректной заменой выражения B.21) будет
М
}Р ~ с dt\ Я2
где dldt — материальная производная; М — сумма масс
ионов и электронов (последней можно, очевидно, прене-
пренебречь).
Уравнение движения ионов имеет вид
? = е {Е (г, t) + I [u, В (г, 0]).	D.20)
Обозначим и скорость ионов и учтем зависимость Е и В
от координат и времени. Уравнение D.20) можно решить
аналогично прежнему, имея в виду, что и — v + vb где v —
скорость электрического дрейфа:
g[E(r,/), в0]
в (г,/) '
Тогда уравнение движения можно записать в виде
^^ Л*+^В(г0]
Электрическое поле теперь исключено, но в уравнении для vx
появилась сила
Р _ м dv _ м d [ЕВ0]
Отметим, что производная по времени в этом выражении
есть материальная производная, как и в уравнении D.20).
Наличие силы F приводит к появлению дрейфа со скоростью
[FB0] =Mc* d_(E_
В	еВ dt\B

Поэтому поляризационный ток равен
Так как материальная производная от У1/В обращается
в нуль, это выражение эквивалентно D.19). Однако в даль-
дальнейшем будем использовать форму D.21).
Каждый из перечисленных токов существует даже в слу-
случае нейтральной плазмы. Если же в плазме возникает про-
пространственный заряд с плотностью р, то появляется еще
дополнительный ток
Далее убедимся, что этим током можно пренебречь.
Подставим токи ]т + G, j/ и ]р в уравнение Максвел-
Максвелла A.4). Учитывая, что [VB] = [VB, Bo], находим
в *
4те SRMc2 d /Е \ , 1 дЕ
dt \В ) ^ с
•'с В dt\B )^ с dt *
Так как предполагалось, что диэлектрическая постоянная
плазмы велика, последним членом в приведенном уравнении
можно пренебречь по сравнению с предпоследним. Для
решения этого уравнения умножим его векторно справа
на Во. В результате получим
Вводя определение плотности массы
9т - КМ,	D.23)
результат можно переписать в окончательном виде
D-24)
Уравнение D.24) имеет вид гидродинамического уравнения
Эйлера с внешней объемной силой / и полным давлением
В2/8тт + р. Его решение можно найти, если даны началь-
начальные значения для рт и v и известно, как вычислить зави-
зависимость рт, В и р от времени. Зависимость этих величин
99

от времени выражается уравнениями D.9) и D.11). Помимо
этого получим для р уравнение состояния, которое выведем
из определения р [уравнение D.16)]. Зная, что отношение
wi/B постоянно (точнее, адиабатический инвариант) для
каждого данного элемента плазмы, найдем
Однако было установлено, что В/31 также является по-
постоянной величиной для фиксированного элемента плазмы.
Поэтому
где ро и 31 о — начальные значения этих величин для дан-
данного элемента объема.
Полученное уравнение состояния совпадает с уравне-
уравнением адиабаты при показателе политропы y = 2. Следует
напомнить, что идеальный двумерный газ также имеет
Y = 2. Так что магнитное поле в плазме ведет себя ана-
аналогично невесомому газу с y = 2.
Ток D.22), которым ранее пренебрегали, привел бы
к появлению в уравнении D.24) под знаком градиента чле-
членов вида Е2 /8п. Но так как ^ = |-|> этими членами мож-
но пренебречь, пока v <С^ с.
Может показаться странным, что полная система урав-
уравнений для определения В, 31 и v была получена без при-
привлечения уравнения Максвелла A.1) и даже уравнения
сохранения заряда. Совместимы лц полученные уравнения
с этими двумя законами? Оснований для беспокойства,
однако, нет. Действительно, уравнение сохранения заряда
нужно для вычисления плотности по полученным значе-
значениям для токов. Далее, электрическое поле полностью опре-
определяется выражением D.10) через v и В. Остается только
подставить это выражение для электрического поля в урав-
уравнение Максвелла A.1) и проверить их совместимость.
В § 1.2 было показано, что если это уравнение удовлетво-
удовлетворяется в какой-либо момент времени, оно "удовлетворяется
и в любой последующий момент. Поэтому мы имеем на-
начальное условие для Е, а следовательно, и для v, которое
может быть записано в виде
(во, VBv) = — 4ярс	D.26)
100

и которое связывает v с начальными значениями р и В.
С другой стороны, можно рассматривать это равенство как
уравнение для определения р по начальным значениям В
и v. Выведенные выше гидродинамические уравнения со-
совместимы с любым из этих подходов. Величины 5R, р, В и v
или р можно в начальный момент задавать произвольными.
Если вместо v, взять р, то все равно можно выбрать зна-
значение VBv произвольно, поскольку уравнение D.26) опре-
определяет только [V, Bv].
Исходя из аналогии полученных уравнений с гидро-
гидродинамическими, можно использовать для наших целей ре-
результаты, полученные при изучении плоских гидродинами-
гидродинамических задач. Именно по этой причине некоторые разделы
физики плазмы получили название «магнитной гидродина-
гидродинамики». Однако уже для многих трехмерных задач эта ана-
аналогия оказывается несправедливой и использование гидро-
гидродинамических законов требует осторожности.
В заключение проверим сделанное в начале этого па-
параграфа допущение о незначительном различии N+ и AL..
Это предположение справедливо, если
4«1.	D-27)
Величину плотности заряда можно оценить из уравнения
Максвелла A.1)
где L — расстояние между областями, имеющими противо-
противоположные знаки суммарного заряда, т. е. расстояние, на
котором усредненные параметры плазмы существенно ме-
меняются. Используя уравнение D.10), найдем
vB	о v В
р^й; или Ше~7
Исключив справа -К путем введения диэлектрической по-
постоянной, полупим
У1е ~ с е eBL ~ е со. l >
где w\ — ларморовская частота ионов. Поскольку мы ранее
предположили, что
е»1,	D.28)
101

нам нужно потребовать, чтобы
V
1.	D.29)
Таким образом, расстояние, на которое плазма перемещает-
перемещается за один ларморовский период, должно быть меньше L.
§ 4.4. Поляризация плазмы, заключенной
между проводящими плоскостями
В § 4.2 упоминалось, что наличие проводящих стенок
в плазме может существенно повлиять на ее поведение
в результате отвода электрических зарядов, которые в про-
противном случае привели бы к образованию электрического
поля и обусловленного им дрейфа. Характер влияния сте-
стенок зависит от их свойств, от
того, поглощают ли они только
попадающие на них частицы
или также испускают вторичные
заряженные частицы.
Рассмотрим поведение плаз-
плазмы, заключенной между плос-
плоскими проводящими поверхно-
поверхностями, поглощающими все па-
Рис. 4.3. Плазма между дающие на них частицы. Подоб-
проводящими плоскостями, ные системы можно использо-
использовать для ускорения плазмы,
прилагая электрическое поле (нормально к плоскостям)
и перпендикулярное ему магнитное поле. Покажем, что
при увеличении разности потенциалов между пластинами
вблизи положительной пластины образуется пограничный
слой. Большая часть полной разности потенциалов падает
на этом пограничном слое. Подобные слои характерны для
всех диэлектриков и отличаются только в деталях.
Пусть проводящие плоскости перпендикулярны оси х,
причем положительная плоскость имеет координату х = О,
а отрицательная х = D. Электрическое поле тогда направ-
направлено по оси х. Магнитное поле будем считать направленным
перпендикулярно поверхности чертежа (рис. 4.3) и по-
постоянным. Пусть плотности ионов и электронов в началь-
начальный момент постоянны. Предположим, что тепловая энер-
энергия или, что все равно, энергия движения частиц по лар-
моровской окружности настолько мала, что ларморовский
102

радиус также крайне мал. Более того, будем считать, что
электрическое поле включается достаточно медленно, по-
поэтому ларморовскии радиус продолжает оставаться малым.
Частица с координатой ху находящаяся в электрическом
поле Е(х), обладает энергией дрейфового движения
4*»Vi	D.30)
Если электрическое поле, действующее на частицу, из-
изменится на величину 6?, то энергия дрейфового движения
частицы изменится на
dwD=mc*~8E.	D.31)
Как мы установили в гл. 2, частица приобретает эту энер-
энергию, двигаясь в направлении поля Е. Величина смещения
частицы 6х может быть определена из соотношения
еЕ (х) 8х = тс* Ц?- 6Е.	D.32)
Интегрируя это уравнение, находим
х-хо(х) = ^Е(х),	D.33)
где хо(х) — начальная координата частицы, имеющая в на-
настоящий момент координату х. Будем считать, что электри-
электрическое поле в начальный момент равно нулю. Этот вывод
поляризационного эффекта в отличие от сделанного в гл. 2
достаточно точен для того, чтобы показать зависимость сме-
смещения частицы от значения электрического поля в ко-
конечной точке нахождения этой частицы.
Область вблизи положительной
плоскости. В соответствии с уравнением D.33) ионы
движутся направо, а электроны — налево (см. рис. 4.3).
Часть электронов попадает при этом на пластину, а ионы
уходят от нее, в силу чего вблизи этой пластины оказывается
избыток электронов. Рассмотрим подробнее эту область.
Плотность электронов в этой области должна удовлет-
удовлетворять уравнению непрерывности:
N-{x)dx^Nodxo или N-. = N0^°. D.34)
103

Из уравнения D.33)
dxo i . dE
где а_ примем равным
а_^ J-.	D.36)
В этом выражении е нужно считать положительной вели-
величиной. Уравнение Пуассона для такой области имеет вид
§	в.	D.37)
Комбинируя уравнения D.37), D.35) и D.34), находим
N--^,	D.38)
где
е_ = 1+4я^?!	D.39)
есть диэлектрическая постоянная, учитывающая влияние
электронов. Если напряженность электрического поля на
поверхности положительной пластины равна ?о, из урав-
уравнения D.37) получим
Е(х)=Е0 — 4п^-х.	D.40)
Из уравнения D.40) видно, что поле в этой области падает
линейно от положительной плоскости.
Поверхностная плотность суммарного заряда на поло-
положительной плоскости равна ао = -—. Число электронов,
попадающих на единицу поверхности этой плоскости, дает-
дается выражением
Поэтому полный положительный заряд 6+, который нужно
подвести извне к этой плоскости, должен быть равен
- сг0
D.41)
Позднее мы свяжем 0+ c полным падением потенциала между
плоскостями и тем самым определим емкость всей системы,
104

Граница рассмотренной области проходит при х = xi,
где напряженность E(xi) становится достаточной для того,
чтобы переместить ионы из точки 0 в точку xi. Учитывая
это, из уравнений D.33) и D.40) находим
у	п р(у\—-п \р 	/|тт ° г	(А А9\
где
Me2
Разрешая уравнение D.42) относительно xl9 окончательно
имеем
у — a F	iA АА\
где мы предположили, что
8_>1.	D.45)
Можно без труда получить и более точное выражение
для xi, однако случай, описываемый условием D.45), наи-
наиболее интересен и позволяет получить более простые фор-
формулы. В дальнейшем будем везде придерживаться этого
приближения и, более того, везде отбрасывать члены по-
порядка т/М по сравнению с единицей.
Используя уравнение D.44), можно из выражения
D.42) найти напряженность электрического поля в точке хг
С, ^ /: (*,) = -1- = — ?0 == - ?0.	D.46)
Значение го'тя, как видно, в этой точке в т/М раз меньше,
чем на пластине.
Центральная область плазмы. В этой
области присутствуют как ионы, так и электроны. При по-
помощи того же метода, который был нами использован для
электронов, находим плотности ионов и электронов в цент-
центральной области:
~~а+?П- D-47>
Уравнение Пуассона принимает тогда вид
§¦
105

уч
Единственное его решение есть
Е =Ег = const.	D.48)
Таким образом, поле в центральной области постоянно.
Область вблизи отрицательной
пластины. Вблизи отрицательной пластины распола-
располагается область, свободная от электронов. Исследование
свойств этой области может быть проведено совершенно
так же, как и для области около положительной пластины,
за исключением того, что ионы и электроны теперь поме-
поменялись ролями. Ввиду
этой замены эффект вблизи
отрицательной пластины
весьма мал по величине.
Толщина граничного слоя
в этом случае в М/т раз
меньше xi [равенство
D.44)]. Напряженность
электрического поля внут-
Рис. 4.4. Распределение поля в ри ЭТОГО СЛОЯ возрастает
плазме между параллельными ОТ значения Ег ЛИШЬ ДО
электродами.	^ (л , т\ и
F	Ei I + -г. . Но таким из-
V	МI
менением можно полностью пренебречь. Величина поло-
положительного заряда, передаваемого отрицательной пла-
пластине, равна величине отрицательного заряда, переда-
передаваемого положительной пластине, умноженной на (l + ~].
Вблизи отрицательной пластины имеется избыточное коли-
количество электронов, пропорциональноет/М, так что баланс
заряда соблюдается, как и следовало ожидать.
На рис. 4.4 изображено распределение напряженности
электрического поля Е(х). Полная разность потенциалов
между пластинами равна
' V^j(E0 + E1)x1+E1(D-x1)^
^-EoXi + E^^-^a-El+^DEo. D.49)
Величина Ео связана с количеством заряда сц., подводимым
извне к положительной пластине уравнением D.41). Таким
образом, связь заряда и потенциала является нелинейной,
причем эта нелинейность обусловлена резким скачком потен-
108

циала у положительной пластины. Для большинства обыч-
обычных диэлектриков величина этого скачка пренебрежимо
мала по сравнению с общей разностью потенциалов. Для
плазмы же граничным скачком потенциала зачастую
нельзя пренебречь.
Разрешая уравнение D.49) относительно Ео, найдем
М \2 1 \	ет
) 1) I4-50)
Полезно рассмотреть два предельных значения этого выра-
выражения в зависимости от у — величины второго члена под
радикалом. Его численное значение для дейтерия равно
^2^3),	D.51)
где потенциал V — в вольтах, напряженность магнитного
поля В — в гауссах, расстояние D — в сантиметрах.
Для случая у <^ 1 уравнение D.50) сводится к
Если площадь пластин равна Л, то, комбинируя выраже-
выражения D.52) и D.41), можно вычислить емкость системы
(в электростатических единицах):
С - Л= - е_ = Ат?+ (У « !)>	D-53)
где 8_|_ — диэлектрическая постоянная с учетом одних ионов.
Этот результат естествен для случая, когда граничным
скачком потенциала можно пренебречь. Выражение для
поля в глубине объема плазмы имеет вид
?i«^Y«l).	D.54)
Если у^> 1, то уравнение D.50) принимает форму
.	D.55)
В этом случае связь между полным зарядом Q (в электро-
электростатических единицах), подводимым извне к пластине
107

(имеющей площадь Д), и разностью потенциалов V опре-
определяется следующим уравнением:
"~Т- .	D.56)
Если в качестве единиц измерения физических величин
в этом выражении использовать кулоны, вольты, гауссы и
сантиметры, оно примет вид
Q -0,53- Ю-18 (^-) VV.	D.57)
В тех же единицах (вольт на сантиметр) электрические поля
Ео и Ег равны
?i = |?o,	D.58)
а толщина граничного слоя
*1 = 3,3^.	D.59)
Необходимо учитывать, что теория, построенная на
движении ларморовских окружностей, становится не-
неприменимой, когда Ео (в электростатических единицах)
больше В (в гауссах). Отношение EolB в этих единицах для
нашего случая
^ =2.10-3 J/V,	D.60)
где V в вольтах.
Проведенное рассмотрение может легко быть распро-
распространено на случай цилиндрических электродов при усло-
условиях, что толщина граничного слоя много меньше радиуса
положительного электрода и что частицы не смещаются на
расстояния, сравнимые с их начальными расстояниями от
оси. При этих условиях свойства граничного слоя практи-
практически те же, что и в плоском случае. В глубине объема
плазмы электрическое поле, однако, уже не постоянно,
а уменьшается по закону 1/г, как и должно быть в случае
осевой симметрии.
Резкое изменение напряженности электрического поля
в граничном слое должно приводить в нем к фокусировке
108

электронов по скоростям. Представляется вероятным, что
в граничном слое может возникнуть неустойчивость гельм-
гольцевского типа, в результате которой скачок потенциала
может исчезнуть.
§ 4.5. Замечания относительно общей
динамической задачи
В гл. 3 и 4 предполагалось, что средние значения таких
величин, как плотность, температура и напряженность
поля, меняются лишь незначительно на расстояниях по-
порядка ларморовского радиуса и на протяжении времени
порядка ларморовского периода. Если это предположение
перестает быть справедливым, то аналогия с гидродинами-
гидродинамикой и гидростатикой нарушается.
Сделаем еще одну оговорку, а именно — свойства
плазмы не меняются в направлении магнитного поля.
Ввиду возможности свободного перемещения частиц
вдоль силовых линий магнитного поля невозможно со-
составить уравнения типа гидродинамических, которые опи-
описывали бы крупномасштабные движения в этом направле-
направлении. "Возможность использования гидродинамического под-
подхода основывается на ограничении свободы перемещения
частиц, либо из-за столкновений (случай обычной гидро-
или газодинамики неразреженных сред), либо из-за ко-
конечности их ларморовского радиуса (поперечные к маг-
магнитным силовым линиям движения плазмы).
Когда же хотя бы одно из перечисленных ограничений
нарушается, необходимо возвратиться к исходному общему
методу — анализу уравнений Ньютона для отдельных час-
частиц или, что все равно, к уравнению Лиувилля. В гл. 5
заново рассмотрим статическую задачу, отбросив предпо-
предположение о малости градиентов. В гл. 6, рассматривая дви-
движения с малой амплитудой, избавимся от ограничения до-
достаточно низкими частотами и от условия постоянства ха-~
рактеристик плазмы вдоль направления В.

ГЛАВА
ТОЧНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ
РЕШЕНИЯ
§ 5.1. Введение
В гл. 3 было показано, что граница между плазмой и
вакуумом в магнитном поле может иметь произвольную
форму при условии, что толщина переходного слоя много
больше ларморовского радиуса.
В частности, для плоского случая единственным усло-
условием, накладываемым на конфигурацию плазмы, является
уравнение баланса давлений
— + Nw± = const.	E.1)
В настоящей главе с помощью более точного метода
исследуем граничные слои малой толщины, к которым пер-
первое приближение метода орбит неприменимо. При этом
ограничимся статическим случаем.
В § 5.2 рассматривается одномерная задача проникнове-
проникновения магнитного поля достаточно глубоко в плазму. В этом
случае нет частиц, постоянно находящихся в области маг-
магнитного поля, т. е. захваченных этим полем.
В последних трех параграфах показано, как строится
общее решение уравнений Максвелла и Лиувилля для
статической самосогласованной задачи в плоском и ци-
цилиндрическом случаях без каких бы то ни было прибли-
приближений и ограничения случаем тонких граничных
слоев.
ПО

§ 5.2. Нормальное к границе движение
положительных и отрицательных частиц
равной массы *
Сначала рассмотрим физически нереальный, но простой
случай, позволяющий легко получить точное решение.
Предположим, что массы положительных и отрицательных
частиц равны и частицы
движутся перпендикуляр-
перпендикулярно к границе с равными
скоростями. Пусть В на-
направлено по оси z и зави-
зависит только от х (рис. 5.1).
Частицы движутся к гра-
границе в положительном на-
направлении вдоль оси х.
Положительные и отрица-
отрицательные частицы откло-
отклоняются магнитным полем
в противоположных на-
Рис. 5.1. Траектории частиц в
граничном слое.
правлениях. Это создает
ток, направленный в отри-
отрицательном направлении
оси у, который приводит к затуханию магнитного поля
в граничном слое. Ввиду равенства масс положительных
и отрицательных частиц разделения зарядов не происхо-
происходит, и поэтому электрическое поле отсутствует.
Уравнения движения частиц имеют вид
[тс
где vx и vy — компоненты скорости. Поскольку все вели-
d	d
чины можно считать функциями только х и jt = Vxj^>
уравнения движения можно переписать в виде
Vt-7- = \ — )vyB\	@.2)
* В основу этого и следующих параграфов положены неопубли-
неопубликованные работы М. Розенблата и Р. Гарвина.
111

Умножив уравнение E.3) на vy и сложив его с уравне-
уравнением E.2), найдем, что энергия есть интеграл движения:
-i- (vl + Vy) = 0 или vl + Vy = v20,	E.4)
где v0 — начальная скорость в направлении оси х.
Введем векторный потенциал для магнитного поля г) (х):
В = аЛ или dx = ^.	E.5)
Используя ц в уравнениях E.4), найдем второй инте-
интеграл движения
mvy + - т] '= const = 0,	E.6)
где принято, что т] = О при х-> — оо.
Этот второй интеграл движения является обобщенным
импульсом в направлении оси у. Он действительно интег-
интеграл движения, поскольку гамильтониан не зависит от у.
Уравнение Максвелла A.4) в этом случае имеет вид
дх
где W — полная плотность частиц обоих знаков и обоих
направлений движения. (Очевидно, что для всех частиц
величина evy —одинакова.) Переписывая уравнение Макс-
Максвелла еще раз, имеем
d (R2\	Nevv
?&)>	E7>
причем плотность N должна удовлетворять уравнению
сохранения массы Nvx = No v0, где iV0 — плотность частиц
при х^ — оо. Используя уравнение E.4)
Nev0 vy Nev0 vv
Окончательно, выражая с помощью уравнения E.6) v,
через ц и подставляя в уравнение E.7), находим
/nc2 у j_
112

Это уравнение может быть непосредственно проинтегри-
проинтегрировано, в результате чего получаем
^	I E.8)
В последнем выражении первый член в скобках является
интегралом движения, выбранным таким образом, чтобы
при х -> — оо В обращается в нуль одновременно с ц.
Из уравнения E.6) максимальное значение т] равно
^р, поскольку в точке поворота (для положительных
частиц) vy = —vo. Таким образом, если Во есть значение В
за точкой поворота, то из уравнения E.8) получаем
В2
E.9)
т. е. давление, создаваемое частицами достаточно глубоко
в плазме, равно магнитному давлению вне плазмы.
Уравнение E.8) дает зависимость В от т). С помощью
уравнения E.5) можно также найти зависимость х от тр
Введем новую переменную
Тогда
**
где а — ларморовский радиус, равный
mvoc	,[- , 9ч
а-=-^~.	E.12)
Теперь видно, что толщина граничного слоя по существу
равна ларморовскому радиусу.
Уравнение E.11) может быть проинтегрировано	спосо-
проинтегрировано	способом тригонометрической подстановки:
s = sin2(p, 0<<p<j,	E.13)
5 К. Лонгмайр	113

что дает
E.14)
Переписав уравнение E.8) с использованием ф, получим
f =l/2 sin ф.	E.15)
1,0
0,8
0,$
— ¦—'
—«——
——
и- ¦—
*****
у
1
/
0,2-
0
¦1,6 -Ifi -Ц -1,0 -0,8 -0,6 -Ofi -0,1 0 0,2 0,<t 0,6'
¦	x/ai/2
Рис. 5.2. Зависимость напряженности магнитного
поля в области граничного слоя.
Зависимость ¦=- от — представлена на рис. 5.2. Из
Jdq a
формулы E.15) видно, что для малых ф (больших отри-
отрицательных х)
[aV2
E.1.6)
§ 5.3. Нормальное к границе движение
реальных частиц
Предположим теперь, что электроны и ионы прибли-
приближаются к границе с равными скоростями. Ввиду меньшей
массы электронов их траектории изгибаются магнитным
полем сильнее, чем траектории ионов. В силу этого ионы
будут опережать электроны. Возникающее при этом раз-
разделение зарядов приводит к образованию электрического
поля, направленного по оси х, которое тормозит ионы и
ускоряет электроны. Для создания соответствующего элек-
электрического поля требуется весьма незначительное разде-
разделение зарядов. Действительно, предположим, что с точ-
114

ностью до первого порядка плотности электронов и ионов
равны:
= #-(*)•"	EЛ7)
(Исследование справедливости этого приближения оста-
оставим на будущее.) В равенстве E.17) N+{x)— плотность
ионов, движущихся в обе стороны; N-(x) — плотность
электронов. Уравнения сохранения числа частиц запишут-
запишутся следующим образом:
где No — плотность ионов (и электронов) в глубине объема
плазмы. С учетом уравнения E.17) из уравнения сохра-
сохранения получаем
vx+(x) = vx-(x).	E.19)
Таким образом, если плотности ионов и электронов равны,
их скорости в положительном и отрицательном направле-
направлениях также равны. Поэтому можно опустить значки ± у vx.
Слагающая уравнения движения ионов вдоль оси х тогда
будет
dv у
MvXJ^ = eE(x).	E.20)
Действием магнитного поля на ионы пренебрежем. Допусти-
Допустимость этого будет показана позже.
Соответствующее уравнение движения для электронов
можно записать в виде
Используя уравнение E.20) для исключения Е из послед-
последнего уравнения и пренебрегая массой электрона в сравне-
сравнении с массой иона, находим*
dv у е
i B	E21>
(В этом уравнении е может иметь знак, соответствующий
электрону.) Наличие в уравнении массы иона означает,
* Здесь Vy относится к электронам.
5*	115

что импульс ионов передается с помощью электрического
поля электронам.
Другое уравнение движения для электронов, E.3),
остается неизменным, так же как и уравнение Максвелла
E.7). Вклад ионов в величину jy будет меньше вклада элек-
электронов в т/М раз. Таким образом, нам необходимо решить
совместно уравнения E.3), E.7) и E.21).
Заменой переменной vx можно придать уравнению E.21)
вид, аналогичный E.2), не меняя при этом других уравне-
уравнений. Положим
Vx ¦ = vx у % и V0 = voy ^. . E.22)
Тогда уравнение E.21) приобретает вид
х dx ~~~ тс у
Решение этого уравнения отличается от предыдущего слу-
случая лишь заменой характерной длины, определяемой выра-
выражением E.12), на величину
^?.	E.23)
Очевидно, что эта величина есть среднее геометрическое
из ларморовских радиусов иона и электрона. Поскольку
толщина пограничного слоя, определяемая величиной а',
значительно меньше ларморовского радиуса ионов, прене-
пренебрежение действием магнитного поля на ионы было вполне
оправданным.
Уравнение для энергии E.4) в данном случае приобре-
приобретает вид
т
E.24)
Оно выражает сохранение суммы энергий ионов и элек-
электронов. В точке поворота, при vx = О, электроны имеют
энергию j mv2y = ^~ Mvl, т. е. они приобретают энергию,
которой первоначально обладали ионы. Скорость элек-
электронов в направлении оси у равна vy = v0 У^М/т , и по-
поэтому их орбиты вытянуты в направлении этой оси про-
пропорционально величине AfI/2
116

Убедимся теперь, что напряженность электрического
поля, достаточная для заворачивания ионных траекторий
в обратном направлении, на длине а', может быть создана
плотностью заряда, малой по сравнению с Noe. Для того
чтобы изменить скорость ионов на равную по величине и
противоположную по направлению, необходима разность
потенциалов
Для образования электрического поля Е, согласно уравне-
уравнению Пуассона, необходима плотность
^ 1 Е ^ 1 Mvl вп e
* "*"' Д.ТГ П' '^ Si.tr
4п а' * 8п еа'* gTC тс2
Поэтому
Поскольку уравнение баланса давлений E.9) в нашем
случае имеет вид
^ = N0Mvl,	E.25)
получим
¦аГ- = —Т? •	E-26)
Л^о е тс2	ч 7
Таким образом, плотность р значительно меньше NQe
в том случае, когда отношение кинетической энергии ионов
к собственной энергии электрона B50 кэв) также мало. •
В слое между точками поворота электронов и границей
плазмы, очевидно, будут находиться только ионы, однако
толщина этой области мала по сравнению с а'.
§ 5.4. Решение задачи о граничном слое
с помощью уравнения Лиувилля
Рассмотрим теперь ту же самую задачу о граничном
слое с точки зрения уравнения Лиувилля. Результат не
будет отличаться от полученного выше, однако такое рас-
рассмотрение, при котором физический смысл результатов
117

может быть объяснен с помощью сделанного ранее одночас-
тичного рассмотрения, весьма полезно.
Сохраним те же обозначения координат, что и в § 5.2,
и пусть магнитное поле направлено вдоль оси г, а электри-
электрическое (образующееся в результате разделения зарядов) —
вдоль оси х.
Поскольку задача статическая, функция распределения
не должна зависеть от времени. Ввиду того что задача еще
и плоская, она не будет также содержать зависимость
от у. Так как в направлении оси z не действуют никакие
силы, распределение по vz произвольно, и зависимость от vz
можно опустить без ущерба для общности рассмотрения.
Таким образом,
f = f(x,vx,.vy).	E.27)
Уравнение Лиувилля для нашей задачи имеет вид
Ox°L + LE°L + J-B(vy?--vx?-)f = 0. E.28)
х дх ' т dvx ' тс \ у dvx xdvyI	v '
Для дальнейшего удобней использовать векторный по-
потенциал г), определенный равенством E.5) (точнее, г\ —
слагающая векторного потенциала вдоль оси у), и скаляр-
скалярный потенциал, определяемый соотношением
Е—%.	E.29)
С учетом этих обозначений уравнение Лиувилля приоб-
приобретает форму
»+«?&+гё(* к - * 4)'=°- <5-зо>
Общее решение этого уравнения можно получить, вос-
воспользовавшись теоремой о том, что общее решение уравне-
уравнения Лиувилля есть произвольная функция интегралов дви-
движения. Справедливость последнего утверждения очевид-
очевидна, поскольку дифференциальный оператор уравнения
A.56), фигурирующий в уравнении Лиувилля, есть просто
полная материальная производная по времени (т. е. взя-
взятая вдоль траектории движения частицы), а интегралы
движения по определению не меняются при движении час-
частицы. Обычно эта теорема не облегчает задачу, так как
найти все интегралы движения очень трудно. Однако в дан-
118

ном случае ее достаточно для решения уравнения E.30).
Одним из интегралов движения является энергия
w = ±m(v2x + v2y) + е<р(х),	E.31)
вторым — слагающая обобщенного импульса вдоль оси у
E.32)
(Наличие второго интеграла следует из того, что ф и г) не
зависят от у.) Непосредственной подстановкой можно про-
проверить, что любая функция вида
f = f(w,.Py)	E.33)
является решением уравнения E.30).
Наличие общего решения вида E.33) можно объяснить
следующим образом. Возьмем в частном случае функцию /
в виде
f = b(w-woN(py-pyo),	E.34)
где символом б обозначена дельта-функция, a wo и руо —
постоянные. Это решение везде обращается в нуль, кроме
точек, определяемых уравнениями:
ру = mvy + е- т) (х) = руо	E.35)
w
= j m (v2x + v2y) + ец (х) = w0.	E.36)
Эти уравнения определяют траекторию частицы. Дей-
Действительно, для каждого значения х из первого уравнения
можно найти ^, а из второго vX9 что достаточно для опре-
определения траектории. Уравнения E.35) и E.36) являются
обобщением на случай наличия ф уравнений E.6) и E.4), вы-
выведенных непосредственно из уравнений движения. Таким
образом, видно, что с помощью уравнения Лиувилля можно
описывать поведение даже одиночной частицы. Общее ре-
решение задачи должно представлять совокупность подоб-
подобных отдельных траекторий, наиболее общей формой описа-
описания которых является выражение E.33).
Для того чтобы исключить из рассмотрения захваченные
частицы, убедимся в том, что траектории отдельных частиц
выходят за пределы граничного слоя. Для этого окажутся
полезными уравнения E.35) и E.36).
119

§ 5.5. Два упрощающих предположения
Для ионов постоянство слагающей импульса вдоль оси у
означает, что
Mvy + e-4(x)=Mvy0,	E.37)
где М — масса иона; vyo — скорость вдоль оси у в глубине
объема плазмы, т. е. при х-> — ос; \\ = 0 (см. § 5.2).
Для электронов справедливо уравнение, отличающееся
от E.37) заменой М на т. Если ионы имеют ту же началь-.
ную скорость, что и электроны, то их импульс много больше,
чем у электронов. Это справедливо и в том случае, когда
они имеют одинаковую энергию. Поэтому оказывается воз-
возможным пренебречь векторным потенциалом в уравнении
E.37) для ионов (но не для электронов). Это можно сделать,
поскольку величина -г] имеет один порядок с mvy (электро-
(электроны), но остается малой по сравнению с Mvy (ионы). Тогда,
если опустить т] в выражении для ионов, общее решение
для них будет
f+ = ffeM[t? + v*]+e<ptVy}	E.38)
или, что то же самое
(?	)	E.39)
Как и в § 5.3, пренебрежем действием магнитного поля
на ионы и будем считать равными плотности электронов
N—(x) и ионов N+(x). Иначе, будем учитывать только
уравнение E.17), пренебрегая уравнением Пуассона.
Оправдание этого, как и ранее, заключается в том, что
разность между N+ и Л/_, необходимая для образования до-
достаточных электрических полей, весьма мала по сравнению
с N+ или ЛЛ_.
§ 5.6. Рассмотрение случая нормального
к границе движения частиц
с помощью уравнения Лиувилля
Рассмотрим еще раз случай нормального к границе
движения частиц, но с помощью уравнения Лиувилля.
Первая задача сводится к отысканию функций распреде-
120

ления для электронов и ионов, соответствующих данному
случаю. Это можно сделать, взяв функции распределения
в виде E.33) и E.39), причем в глубине объема
плазмы, где ф и г\ равны нулю, они должны иметь правиль-
правильный асимптотический вид, т. е.
f±-+NoVo6(v2x — vlN(vy).	E.40)
Эта функция описывает потоки частиц, движущиеся
в обоих направлениях (vx = ± v0) вдоль оси х, и интегри-
интегрирование ее по vK и vy дает плотность No.
Для ионов функция распределения вида E.39), имею-
имеющая асимптотическую форму E.40), есть, очевидно,
/+ = No v0 б [i? + g Ф - ^§J б (vy).	E.41)
Действительно, при ф = 0 она совпадает с уравнени-
уравнением E.40). Плотность ионов, которая получается интегри-
интегрированием по vx и vy, равна
N+ = J /+ dvx dvy = iV0 t^o J?—	^	l v, dvx =
= Novo =	Novo
Это уравнение, как легко видеть, совпадает с уравнением
непрерывности для ионов E.18).
Для электронов функция распределения типа E.33),
имеющая асимптотический вид E.40), есть
/_ = 7V0 и0 б [^ + ^ — | Ф (х) —1;§] б [t;y — ^ л W] • E.43)
Заряд электрона обозначим (—е), так что теперь е положи-
положительная величина как для ионов, так и для электронов.
Интегрируя по vx и vy, находим
V
*'-	¦	E.44,
" + ?"»
5В К. Лонгмайр

Согласно сделанному в предыдущем параграфе пред-
предположению, приравняем теперь ./V+ и iV_. Пренебрегая
1/М по сравнению с 1/т, находим
т
Поэтому
/2 т i ei\
Плотность тока в направлении оси у равна
— N__evy(x)	N_e ет{(х)
'У
тс
тс2
M\ mcv0
Подставляя полученные выражения в уравнение для по-
поля, имеем
8п) - тс* г	т еУ] у "
V l~ M\mvoc)
Последнее равенство тождественно тому, из которого не-
непосредственно выведено уравнение E.8) в § 5.2; отличается
оно тем, что вместо vo в нем фигурирует vo]/M/m. Но
в § 5.3 было показано, что подобное изменение необходимо
для распространения результата задачи для частиц с рав-
равными массами на случай реальных масс. Таким образом,
получен тот же результат, что и в § 5.3.
§ 5.7. Задача с изотропным распределением
скоростей в плазме
Казалось бы, что изложенная теория может быть обоб-
обобщена на случай максвелловского распределения скоро-
скоростей в объеме плазмы. Однако в этом случае решение обяза-
обязательно содержит захваченные частицы. При этом невоз-
невозможность избавиться от захваченных частиц связана скорее
с изотропией распределения Максвелла, а не с его экспонен-
122

циальным характером. Проиллюстрируем это на примере
изотропного распределения с фиксированной энергией.
Положим функцию распределения в глубине объема плазмы
равной
f±-*^T b{v2x+v2y-vl),	E.47)
где v± — скорость в глубине объема плазмы.
к Выберем значения v± различными для ионов и электро-
электронов, но такими, что их энергии будут равны. (В случае,
если импульсы ионов и электронов равны, их орбиты ока-
оказываются одинаковыми, и поэтому нет разделения зарядов.
Такая задача легко решается, но представляет мало ин-
интереса.)
Для ионов распределение типа E.38) должно иметь вид
О при | vy | > | v+ |,
^ б k2 + V2y + 2 ? ф - 4] при других	E-48)
значениях vy.
Если Ф = 0 внутри объема плазмы, то можно ожидать,
что в граничном слое ф примет положительное значение,
поскольку только в этом случае ионы, влетающие в гра-
граничный слой, могут от него отразиться (действием магнит-
магнитного поля на ионы пренебрегаем). Если потенциал ф поло-
положителен, то, интегрируя функцию распределения E.48),
получаем плотность ионов:
N+ = No для еср < \ Mv%\
N+ =0 для
E.49)
т. е. плотность ионов Л^+ является величиной постоянной до
некоторой точки, после которой она обращается в нуль.
Функция распределения типа E.33) для электронов,
принимающая в глубине объема вид E.47), будет
E.50)
В таком виде эта функция описывает и захваченные частицы.
Чтобы исключить их из рассмотрения, отметим, что в на-
5В*	123

чальный момент (т. е. в глубине объема) скорость электро-
электронов ограничена следующим неравенством:
Так как vy	т) для всех частиц есть величина посто-
постоянная, то скорость каждого электрона, выходящего из
объема плазмы, должна подчиняться неравенству
— t>_Oy— -^.ч<+ и_.	E.51)
Электроны с такими скоростями имеют возможность возвра-
возвратиться обратно в объем плазмы. Таким образом, необхо-
необходимо дополнительно потребовать, чтобы /L = О вне ин-
интервала, определенного неравенством E.51). Отметим, что
при этом /L все еще имеет вид E.33). Интегрируя по vx и vy,
найдем плотность электронов:
М_=1^ф2 — в1),	E.52)
где
cos62=^— тс —,	E.53)
E.54)
Если cos 02 становится меньше — 1, положим 8г = я,
а при cosGi больше +1, нужно считать 6i = 0. Если же
выражения под корнем становятся отрицательными, то
надо полагать А/_ = 0.
Потребуем снова, чтобы N+ = Л^_, тогда
62 - я, 6j = 0.	E.55)
Если Ф>0, то либо 02<л;, согласно выражению E.53)
(Л^-О)» либо 61>0, согласно выражению E.54) Сп<0).
Поэтому для ф > 0 невозможно удовлетворить уравне-
уравнению E.55).
124

Указанная трудность заключается в том, что плотность
ионов остается постоянной до точки, где еср > -^Мь\, тогда
как плотность электронов уменьшается с увеличением <р.
Можно заметить, эта трудность сохраняется и в том случае,
если вместо приближенного равенства Af+ == N- восполь-
воспользуемся точным уравнением Пуассона:
Действительно, в соответствии с высказанными ранее со-
соображениями область пограничного слоя, прилегающая
к объему плазмы, имеет положительный заряд. Поэтому,
согласно уравнению Пуассона, потенциал ср должен ста-
становиться отрицательным вопреки предположению.
Можно было бы предположить существование решения i
при котором потенциал сначала становится отрицательным,
заставляя часть электронов испытать отражение, а затем —
положительным, отражающим ионы. Однако это предполо-
предположение также не оправдывается, по крайней мере для случая,
когда ЛГ+ = #_.
Физический смысл кажущегося противоречия состоит
в том, что нельзя не учитывать захваченные электроны.
При изотропном распределении по скоростям часть элек-
электронов, пересекающих границу слоя под малыми углами,
может быть легко захвачена в слое. Когда слой уже сфор-
сформировался, для этого оказывается достаточно ничтожных
динамических воздействий.
Если же предположить наличие захваченных электро-
электронов, то можно представить себе различные способы форми-
формирования граничного слоя. Одним из путей его образования
может быть повышение электронной плотности, определяе-
определяемой выражениями E.50) и E.51) настолько, чтобы сделать
ее равной N+. Можно для простоты считать, что скорость
этих дополнительных электронов направлена вдоль оси у.
Это допустимо в том случае, когда ее величина обеспечивает
компенсацию действия электрического и магнитного поля,
т. е. vg = c-g в каждой точке. Соотношение ф и г\ при этом
может сохраняться произвольным. Установив его неко-
некоторым образом, можно выразить плотность тока в направ-
направлении оси у — ]у как функцию от т].
125

Из первого уравнения Максвелла
JL
можно тогда найти В как функцию от г). И окончательно со-
соотношение между г) и х может быть определено из уравнения
E.5). Однако рассматривать эту модель слоя детально не
имеет смысла, поскольку она далеко не единственно воз-
возможная и вряд ли соответствует действительности.
§ 5.8. Метод построения общего решения
для плоского случая
Теперь можно рассмотреть способ. построения общего
решения статического уравнения Лиувилля и уравнений
Максвелла для задач с плоской геометрией, не делая каких-
либо приближений.
Во-первых, следует выбрать функции распределения
для электронов и ионов:
Эти функции могут пока считаться произвольными, лишь
бы они зависели от указанных комбинаций переменных.
Определим заряд и плотность тока:
Р (Л, Ф) = * J (Ль - Л-) dvx dvy;	E.57)
е С
/у Ob Ф) = ~ J vy.(Ль — /-) dvx dvy.	E.58)
Подставим эти значения в уравнения Максвелла:
~гт- = — 4яр (со, yi);	E.59)
_1 — — 4at/y (ф, г)).	E.60)
126

Эти уравнения должны быть совместно проинтегрирова-
проинтегрированы для получения ф (х) и г\ (х). Отсюда можно найти Ех
и В2:
Е =—^5L- В = ^-.	E.61)
•^	дх' ^ дх *
На практике трудность этого метода заключается в том,
что удовлетворить граничным условиям для г) и ф можно
только путем случайного подбора вида функций. В част-
частности, весьма трудно подобрать /4- и /__ таким образом, чтобы
обеспечить квазинейтральность, необходимую для избе-
избежания слишком больших электрических полей.
§ 5.9. Общее решение для случая
осевой симметрии
Метод построения общего решения для плоского случая
может быть распространен и на осесимметричную задачу,
в которой электрическое поле направлено по радиусу, маг-
магнитное — по оси г и по азимуту 0, а все остальные величины
зависят только от радиуса. Выберем правую систему ци-
цилиндрических координат г, 8, г, и пусть ф(г) — потенциал
электрического поля, а т]е(г) и у\г{г) — компоненты век-
векторного потенциала. Тогда
Гамильтониан для иона в этих полях запишется сле-
следующим образом:
E.63)
где импульсы равны
±п\в; Р2 = Mv2 + ±цг. E.64)
Здесь iv, vb и vz — компоненты вектора скорости. Интег-
Интегралами движения будут:
энергия
W = jM(v2r + vl + vl) + ец>	E.65)
127

и импульсы
Ре И Рж.
Функция распределения для ионов тогда является про-
произвольной функцией от этих аргументов
f+=f+(W9 Ре, Рх)9	E.66)
и функция распределения для электронов отличается от
нее только заменой М на т и е на — е. Теперь можно
вычислить плотность заряда и токов:
р(>% ф> Ле> Лг) == ^ 1 (/+ — f—)dvrdvBdvz, E.67)
/е (^, Ф, Ле* Л^) == Т 1 ^° (^+ — f—)dvrdv^dvzi E.68)
E.69)
Уравнения Максвелла в этом случае имеют вид:
E.70)
E.71)
E.72)
Эти уравнения должны быть проинтегрированы совмест-
совместно для получения ф,^т]е и r\z как функции радиуса г.
§ 5.10. Осесимметричная задача для случая
частиц равных масс
Для иллюстрации изложенного метода рассмотрим осе-
симметричную задачу, в которой массы положительных и
отрицательных частиц предполагаются равными. При рав-
равных массах трудности, возникающие из-за разделения за-
зарядов и больших электрических полей, отсутствуют. При
этом можно считать плазму полностью нейтральной и по-
положить ф = 0. Для еще большего упрощения будем счи-
считать, что функция распределения зависит от W и Pz и со-
содержит только дельта-функции:
vl - V2} S [ va + ? г,,]. E.73)
128

В уравнении E.73) постоянная V обозначает величину
полной скорости.
Плотность положительных частиц равна
= ^-j*d [v2r
#0
2
1ЛгК
О при j 4}z | >
E.74)
Функцию распределения Д_ будем считать равной /_f., за
исключением замены ^ на (—е). При этом Л^+ = N- и
плазма полностью нейтральна.
Единственной необращающейся в нуль компонентой
плотности тока является jz. Ток, создаваемый положитель-
положительными частицами, можно записать в виде
/г+ = J Г Vz
Wo*2
О
при
при
E.75)
Ток отрицательных частиц равен току, создаваемому
положительными частицами.
Остается только найти зависимость r\z от г из уравнения
E.72). Предположим, что вблизи оси величина х\г положи-
положиE.76)
тельна и меньше, чем ^—. Тогда в этой области
¦ • dr r 5r ~
Решением этого уравнения является Бесселева функция
от мнимого аргумента
г\г - A JQ (tar),
E.77)
129

где А — произвольная поло-
положительная постоянная, мень-
меньшая, чем mcV/e, и
Магнитное поле для этой
области
Рис. 5.3. Зависимость плотно-	#0 — ^г ~
сти частиц и магнитного поля в
осесимметричном случае. обращается в нуль на оси и
растет почти экспоненциально
с радиусом. При некотором значении г ц2 становится рав-
равным тс Vie. Для больших значений радиуса плотность за-
заряда и тока обращается в нуль, а магнитное поле спадает
как 1//*. Зависимости плотности заряда и магнитного поля
Вь изображены на рис. 5.3.

ГЛАВА
б
ВОЛНЫ МАЛОЙ АМПЛИТУДЫ
В ПЛАЗМЕ
§ 6.1. Введение
В этой главе рассмотрим поведение малых возмущений
в стационарной однородной плазме. Преимущество рас-
рассмотрения только малых возмущений заключается в том,
что при этом уравнения становятся линейными. Сумма двух
решений таких уравнений также является их решением.
Поэтому можно, в частности, представить общее решение
в виде ряда Фурье по плоским волнам. Отдельные плоские
волны могут быть рассмотрены с большей простотой и фи-
физической ясностью, чем полное общее решение.
По ходу изложения будет показано, что уравнения до-
допускают решения в виде плоских волн, дающие нам сведе-
сведения о поляризации волн (продольные, поперечные или
с круговой поляризацией), а также приводят к диспер-
дисперсионному соотношению, связывающему частоту и волновой
вектор. Дисперсионное соотношение содержит в себе реше-
решение задачи Коши для линейных уравнений плазмы. Если
начальное возмущение разложить на плоские волны, то
последующее движение плазмы можно найти как совокуп-
совокупность плоских волн со свойственными им характеристиче-
характеристическими частотами.
§ 6.2. Случай отсутствия магнитного поля
Рассмотрим задачу без внешнего магнитного или элек-
электрического поля. С волной, естественно, связано ее соб-
собственное магнитное поле. Однако, поскольку действие
магнитного поля на частицу намного меньше действия элек-
электрических сил, пока ее скорость меньше скорости света,
131

им можно пренебрегать. Это утверждение справедливо, пока
(так же как в вакууме) электрическое поле по порядку ве-
величины равно магнитному (в гауссах). В дальнейшем ука-
укажем критерий безопасного пренебрежения магнитным
полем.
Пусть электрическое поле мало и равно
E(R, O = E1exp{i[(kR)-cDfl},	F.1)
где к — волновой. вектор, о> — угловая частота волны,
а постоянный вектор Ег определяет амплитуду и поляри-
поляризацию волны.
В невозмущенной плазме, т. е. в отсутствие любых волн,
радиус-вектор частицы равен
R = Ro + vo*,	F.2)
где Ro и v0 — ее начальное положение и скорость. Под
действием волны координата частицы будет несколько
меняться:
R = Ro + v0./ + г,	F.3)
где г, как и Е,—величина первого порядка малости.
Уравнение движения частицы гласит:
тх = eE1exp{i(k[R0 + v0/ + r]) — ico^}. F.4)
Это уравнение, как видно, нелинейно по г, однако
в первом приближении можно опустить зависимость от г
в экспоненте. Тогда уравнение движения примет вид
тх = еЕг ехр {i (kR0) — i [со — (kv0)] t).	F.5)
Член (kR0) определяет фазу, а член (со —kvo) — частоту,
сдвинутую в соответствии с эффектом Допплера для дви-
движущейся частицы.
Стационарное решение уравнения F.5) имеет вид
r--^[co-(kv0)]2E(R1, f),	F.6)
где Rx — радиус-вектор частицы в отсутствие волны, рав-
равный
Ri-Ro + v^.	F.7)
132

Уравнение F.5) является удовлетворительным приб-
приближением к уравнению F.4) при условии
(кт)«1.	F.8)
В соответствии с равенством F.6) это условие будет автома-
автоматически выполняться для случая (кЕ) = 0, т. е. яля по-
поперечных волн. В противном случае поле Е должно быть
малым. Однако даже для бесконечно малых амплитуд Е
приближение оказывается несправедливым при а> = (kvo),
т. е. тогда, когда присутствуют частицы со скоростью vo,
равной фазовой скорости волны ы/k. Для подобных волн
оказывается незаконным пренебрегать нестационарной
частью решения уравнения F.5).
Чем ближе к резонансным значениям скорости частиц,
тем больше требуется времени, чтобы амплитуда их колеба-
колебаний заметно увеличилась. Поэтому для конечных проме-
промежутков времени практически не успеют появиться частицы
с бесконечной амплитудой колебаний. Нестационарная
часть решения уравнения F.5) ответственна за явление,
известное под названием затухание Ландау, о котором бу-
будет говориться дальше. Сейчас же для упрощения предпо-
предположим; что в плазме нет частиц, движущихся с фазовой
скоростью волны, а скорость частиц много меньше фазовой
скорости волны.
Определим теперь плотность тока в плазме. Скорость
частицы
v = v0 H	ie	E (R1; /).	F.9)
т [со—(kv0)]
Ток, соответствующий одной такой частице, выражается
через дельта-функцию от аргумента R = Rx + г. Полная
плотность тока получается суммированием по всем части-
частицам. Если в отсутствие всяких возмущений распределение
по скоростям задается функцией /(vo), не зависящей от Rj,
полная плотность тока будет
F.10)
Выполним сначала интегрирование по R1# Поскольку
в аргументе дельта-функции г зависит от R, используем
Rx + r(Rx) как новую переменную интегрирования. Яко-
133

биан преобразования к новым переменным с точностью до
величин первого порядка равен
= 1+1 (кг).	F.11)
Выражение F.10) для тока тогда можно переписать
в виде
J
— — Г
" с J
i(kr)
F.12)
Вычислим этот интеграл с точностью до первого по-
порядка по ? и до второго порядка по отношению vo к фазо-
фазовой скорости волны. Члены первого порядка по vo ис-
исчезают, поскольку функция распределения предполагается
симметричной, т. е. /(vo) = /(—vo). Разлагая знаменатели
в ряд и производя несложные алгебраические преобразо-
преобразования, находим
В этом выражении N — пространственная плотность час-
частиц, а
^2	1
j(kvoJ/(vo)dvo	F.14)
есть среднеквадратичная скорость в направлении волнового
вектора. Отметим, что второй член в квадратных скобках
уравнения F.13) исчезает, если поле Е поперечное.
Строго говоря, нам следует сложить токи ионов и элек-
электронов. Однако поскольку вклад частиц в ток обратно про-
пропорционален их массам, можно пренебречь учетом ионов и
считать т в выражении F.13) массой электрона.
Подставим выражение для плотности тока F.13) в урав-
уравнение Максвелла. Предположим, что В имеет вид
B(R, /) = B1exp{i[(kR) —©П}.	F.15)
Из уравнения div В = 0 следует, что
(kBJ^O,	F.16)
134

т. е. магнитное поле всегда перпендикулярно направлению
распространения волны (это справедливо для любых элек-
электромагнитных волн).
Уравнение Максвелла A.4) при таких условиях приобре-
приобретает вид
[кЪг] =—^¦[ехЕ1 + е2^> к].	F.17)
В уравнении F.17) были введены две диэлектриче-
диэлектрические постоянные:
F.19)
Левая часть уравнения F.17) нормальна к к, относительно
же правой части это не очевидно. Умножив обе части
уравнения F.17) скалярно на к, получим
Мк, ЕО + Мк, Е0 = 0.	F.20)
Из этого равенства следует, что либо (кЕ2) = 0, т. е. поле
поперечное, либо ех + 82 = 0. Исследуем эти случаи под-
подробнее.
Поле E[ — поперечное
Согласно уравнению A.1), для этого случая выражение
VE = i(kE) = 0 равносильно равенству нулю плотности
заряда в волне. Действительно, поскольку движение частиц
под влиянием поля волны происходит в плоскостях, пер-
перпендикулярных к, оно не должно приводить к образова-
образованию сгущений зарядов разного знака. Возможность полу-
получения этого результата двумя способами связана с тем,
что, как отмечено в § 1.2, уравнения Максвелла неявно
включают требование сохранения заряда.
Уравнение A.2) для рассматриваемого случая приоб-
приобретает вид
= ^В1.	F.21)
135

Подставив выражение для Вх в уравнение F.17), найдем
Таким образом, условие существования плоских волн
гласит:
'& = %?.	F.22)
Подставив в это условие выражение F.18) для гъ полу-
получим окончательно
=Г>	F-23)
где а>р — плазменная частота, равная
^«5,6.10<У#.	F-24>
(N — количество электронов в 1 см8).
Дисперсионное соотношение F.23) связывает k и ш.
Отметим, что если ш > шр, то k действительно, что соот-
соответствует распространяющейся волне. Если же о> < о)р,
k становится чисто мнимым, и решение для волны имеет
вид
ехр [± | k х] ехр (— i со/).
Однако в этом случае неправильно утверждать, что волна
затухает, поскольку энергия нигде не поглощается. Дей-
Действительно, из уравнения F.21) следует, что когда k имеет
мнимое значение, то поля Е и В сдвинуты по фазе на 90Q,
и суммарный^поток вектора Пойнтинга равен нулю. Если
электромагнитная волна с частотой со <^ ш^ падает на слой
плазмы толщиной D, такой, что \k\D ^> 1, то эта волна
полностью отражается без потери энергии. Если же слой
имеет толщину \k\D ж 1 или меньше, то волна частично
проходит через слой.
В том случае, когда со < сор, но
$i<i> с6-25)
136

будет справедливо соотношение
*«i^-.	F.26)
Толщина слоя, для которого |&|D=1, равна
° = -Щ= 0>^3;iQ6 см.	F.27)
Например, для электронной плотности 1014 эта толщина
составляет 0,5 мм.
Когда со настолько меньше сор, что соотношение F.25)
перестает быть справедливым, то k « со/]/ v\ . Однако
в этом случае разложение интеграла F.12) перестает также
быть справедливым.
Когда k полностью мнимая величина, подынтегральное
выражение не содержит особенностей. Интеграл можно
вычислить заново, предполагая
В результате получим
Г м2м I1/3
F.28)
В этом соотношении опущен сомножитель порядка еди-
единицы. Выведенное соотношение указывает, что глубина
проникновения волны увеличивается, когда со становится
меньше значения, обращающего левую часть неравенства
F.25) в единицу.
Явление полного отражения хорошо известно в физике
ионосферы. Кроме того, дисперсионное соотношение
F.23) использовалось для измерения плотности электро-
электронов в плазменных установках путем измерения сдвига
фазы в пучке СВЧ-радиоволн, проходящих через
плазму.
2 2
V Щ
1 I, Vk Щр может
1 С2 Ш2
быть заменен единицей
137

&г + е2 = 0.
В соответствии с определением ех и е2 имеем
i-iu+3^i=o
2]-
ИЛИ
¦л2
4=1+3 5-4.
Это уравнение четвертой степени по со, однако, поскольку
его последний член справа считался малым при разложе-
разложении подынтегрального выражения в формуле F.12), полу-
полученное уравнение можно решать методом последовательных
приближений. В первом приближении, очевидно, имеем
со = (dp. Следующее приближение дает
оJ = со* + 3?2 X ч	F.29)
Это и есть дисперсионное соотношение. Прежде чем ана-
анализировать его в деталях, посмотрим, какие требования
накладываются на поля Е и В уравнениями Максвелла
в этом случае.
Та часть уравнения F.17), которая параллельна к, уже
была сведена к соотношению F.20). Таким образом,
остается только рассмотреть часть, перпендикулярную к.
Для этого умножим уравнение F.17) вектор но на к и полу-
получим
Уравнение A.2) приобретает вид
=^В1.	F.30)
Это уравнение всегда справедливо. Комбинируя послед-
последние два уравнения, находим
1 ~ с * *'
Отсюда следует, что либо Вх обращается в нуль, либо
^ = 8l = — е2.	F.31)
138

Эти уравнения не имеют решений, совместимых со сделан-
сделанными ранее предположениями. Поэтому магнитное поле
волны В] должно обращаться в нуль. Тогда из уравнения
F.30) следует, что Ех должно быть параллельно к, т. е.
поле Е — продольное. Таким образом, VE = \(kE) не
равно нулю и, следовательно, с волной связана некоторая
плотность заряда.
Возвращаясь к дисперсионному соотношению F.29),
можно заметить, что если в плазме отсутствует тепловая
энергия, т. е. v\ = 0, то частота волны всегда равна и>р не-
независимо от длины волны. Поэтому компоненты Фурье
любого возмущения имеют одну и ту же частоту. Таким
образом, если v\ = 0, то можно утверждать, что произ-
произвольное возмущение не распространяется в плазме, а ос-
осциллирует, оставаясь на месте. Этот вывод может быть по-
получен и из выражения для групповой скорости:
которое обращается в нуль при v\ = 0.
Механизм указанных колебаний крайне прост. Если
в некоторой области имеется избыток электронов, то
электростатические силы стремятся оттолкнуть их друг
от друга. Эти силы, действуя против инерции электронов,
приводят к колебаниям с частотой cdp. Член 3k2vl в урав-
уравнении F.29) обусловлен дополнительной возвратной силой,
связанной с давлением, которое в свою очередь обязано
наличию теплового разброса по скоростям.
Частота о)р достаточно велика даже в плазме невысокой
плотности. Так, согласно уравнению F.24), при N = 1014
сор = 5,6- 10й. Такая частота соответствует длине волны
около 3 мм в вакууме. Возможно, что указанные колебания
плазмы могут быть использованы для генерирования коге-
когерентных волн. Этому, однако, может помешать отсутствие
у таких колебаний магнитного поля и, следовательно, ра-
равенство нулю потока излучаемой энергии. Поэтому может
оказаться трудным отбирать энергию от таких колебаний.
Когда электронная плотность достигает значений, харак-
характеризующих, например, плотность свободных электронов
в металлах, то частота плазменных колебаний становится
настолько высокой, что могут стать заметными квантовые
эффекты. Если предположить, что на один атом приходит-
139

ся один свободный электрон, то средняя плотность элек-
электронов в металле будет порядка 6-1022, а соответствующая
частота сор^1,3-1016. Энергия кванта такой частоты
составляет около 10 эв. При пропускании пучков электро-
электронов через тонкую металлическую фольгу наблюдались ди-
дискретные потери энергии, величина которых примерно
равнялась указанной энергии квантов *.
Колебания описанного типа будем называть колеба-
колебаниями электронной плазмы. Они впервые были описаны
Ленгмюром и Тонксом в 1929 г.
§ 6.3. Доказательство законности пренебрежения
действием магнитного поля
Мы пренебрегали действием собственного магнитного
поля волны на частицу по сравнению с действием на нее
электрического поля. Это предположение оправдано в том
случае, когда
Согласно уравнению F.30), которое справедливо всегда,
это условие эквивалентно следующему:
к^Ех^Еъ т. е.^«1.	F.34)
Если скорость частицы vо определяется в основном ее
тепловой скоростью, то это условие означает, что послед-
последняя должна быть мала по сравнению с фазовой скоростью
волны ш/&. Но такое предположение уже использовалось.
Если же v0 настолько мала, что основная часть скорости
вызвана действием волны, то
V/(O = Г,
где г — смещение частицы, и условие приобретает вид
йг«1. Это условие было уже использовано в уравнении
F.8).
§ 6.4. Резонанс, или затухание, Ландау
В § 6.2 мы встретились с особенностью уравнений
F.6) и F.9), описывающих движение частиц со скоростью,
* А. В 1 а с k s t о с к et al. Phys. Rev., 100, 1078 A955).
140

равной фазовой скорости волны. В действительности ни-
никакая частица не может достигнуть бесконечной скорости
или бесконечного смещения за конечное время. Отмечен-
Отмеченное противоречие связано с тем, что мы ограничились толь-
только стационарной частью решения F.5).
Рассмотрим теперь более тщательно движение частиц,
для которых выполняются или почти выполняются усло-
условия резонанса. Предположим, что для t < О электрическое
поле равно нулю, а для t > 0 оно описывается уравнением
F.1). Делая те же предположения, что и раньше, мы опять
получим уравнение F.5). Проинтегрируем это уравнение
с учетом начальных условий:
exp{-i[tt-(kvoIf-l}. F.35)
При t = О слагаемое, вызванное действием волны, обра-
обращается в нуль, и при всех значениях /и v0 оно конечно.
Подсчитаем кинетическую энергию частицы. Для этого
необходимо взять реальную часть скорости F.35):
^	<~ sin Фо [cos [со.— (kvo)J t—l] +
+ cos ф0 sin [со — (kv0)] /},	F.36)
где фо = (kRo) — начальная фаза частицы. Различным
частицам соответствуют различные значения фазы фо.
Если частицы распределены в пространстве однородно, то
и распределение фаз также однородно. При усреднении по
начальным фазам член, содержащий произведение (v0» Ei),
выпадает из выражения для кинетической энергии. По-
Поэтому в результате усреднения получим
- F-37)
Второй член справа описывает увеличение энергии частицы
за счет волны. Он всегда конечен. Покажем, что если его
проинтегрировать по скорости с учетом распределения по
скоростям, то результат будет приблизительно линейно зави-
141

сеть от времени. Изменение кинетической энергии в еди-
единице объема
AW =
m
F.38)
где vk — компонента скорости vo, параллельная к,
a /1A^) описывает распределение по vlv после того как
по двум другим компонентам было произведено интегриро-
интегрирование.
График функции -—^— изображен на рис. 6.1. Наи-
Наибольший вклад в интеграл дает область вокруг точки v = 0.
Рис. 6.1. График функции
sin2vt
Размеры этой области уменьшаются со временем по закону
\/t. Таким образом, для больших t значение интеграла
F.38) определяется значением подынтегрального выраже-
выражения в точке Vk = оо/k:
t
dvh =
т
а2
du.
F.38')
Поскольку определенный интеграл равен тт, окончательно
имеем
AW ="•
142

Таким образом, частицы, находящиеся вблизи резонан-
резонанса, получают от электрического поля в единицу времени
количество энергии, пропорциональное Е\, что приводит
к постоянному затуханию. Как видно из выражения
F.38'), с течением времени все более точно попадающие
в резонанс частицы будут отбирать энергию от волны.
Так как размерность fx{Vk) есть число частиц/скорость,
то AW—энергия в единицу времени. Для достаточно
больших промежутков времени весь эффект определяется
значением функции распределения при скорости, равной
фазовой скорости волны.
Оценить декремент затухания можно, вычислив отно-
отношение энергии, теряемой волной за один период At =
= 2л/о) к ??/8т:. (Из этого количества только половину
составляет энергия электрического поля. Однако помимо
этой энергии с волной всегда связана какая-либо еще энер-
энергия: энергия магнитного поля, или кинетическая энергия
нерезонансных частиц, или какая-либо еще, в зависимости
от конкретного случая). Вычисляя отношение, находим
где N — плотность электронов, ч а ыр — собственная час-
частота плазмы. Величина в квадратных скобках безразмер-
безразмерная и для максвелловского распределения с температурой
0 (размерность — энергия) равна
где
VT = |/26/7ft — тепловая скорость
со
V§ — ^	фазовая скорость
F.42)
Затухание мало, если vT.<? v$. Для продольных волн
в электронной плазме ю«со^, и затухание существенно,
когда v$^vly т. е. когда
Vl	F.43)
143

где
Ля = 1/6/4л#А	F.44)
Величина %d называется дебаевским радиусом (под-
(подробнее см. гл. 8).
§ 6.5. Магнитогидродинамические,
или альфвеновские, волны
В § 6.2 было показано, что электроны оказывают очень
сильное влияние на электромагнитные волны, если они
не связаны. Наличие внешнего постоянного магнитного
поля Ввн также оказывает сильное влияние, за исключе-
исключением того случая, когда электрическое поле волны парал-
параллельно приложенному магнитному полю. Тогда Ввн не
влияет на движение частиц, вызванное электрическим
полем волны, так что выводы § 6.2 остаются в силе. Надо,
однако, отметить, что если ларморовская частота электро-
электронов превышает частоту волны, допплеровский сдвиг на-
начальной скорости частицы несколько изменяется.
В этом параграфе будем рассматривать такие волны,
у которых электрическое поле перпендикулярно внешнему
магнитному полю. Предположим, что частота волны мала
даже по сравнению с ларморовской частотой ионов. Тогда
мы вправе применять метод орбит первого приближения,
изложенный в гл. 2. В следующем параграфе распростра-
распространим результаты на случай более высоких частот, пренебре-
пренебрегая, однако, некоторыми эффектами, легко вычисляемыми
при малых частотах.
Взяв электрическое поле, перпендикулярное Ввн, в виде
Е(г, t) = Ех.ехр {i [(kr)-cof]},	F.45)
где подразумевается использование только действительной
части, можно выбрать любое направление вектора к
в плоскости, нормальной к Ei. (Электрическое поле, таким
образом, оказывается поперечным.) Рассмотрим два част-
частных случая: к параллельно Ввн и к перпендикулярно Ввн.
Пусть магнитное поле волны имеет вид
вВ (г, /) = Bxexp {i [(kr) —со/)},	F-46)
где опять имеется в виду действительная часть. Как ука-
указывалось выше, из уравнения VB=0 следует, что В! пер-
144

•i /3D
пендикулярно к. Поскольку уравнение [уЕ] =	-щ-
также приводит к перпендикулярности Вх и Еь можно
заключить, что Ех, Вх и к образуют тройку взаимно пер-
перпендикулярных векторов.
1) Вектор к перпендикулярен Ввн.
В этом случае Bi параллельно Ввн. Поэтому магнитные
силовые линии остаются прямыми, но абсолютная вели-
величина напряженности полного магнитного поля меняется
периодически в перпендикулярном к ним направлении.
Можно представить себе, что силовые линии как бы колеб-
колеблются, попеременно сгущаясь и расходясь в каждой точке.
Для этого случая оказываются выполненными условия
теоремы 2 (см. § 2.8), поэтому частицы под влиянием элек-
электрического дрейфа будут также двигаться вместе с сило-
силовыми линиями, причем отношение N к В будет сохра-
сохраняться постоянным. Одновременно частицы движутся по
ларморовским окружностям (если только их начальная
энергия не равна нулю). При этом отношение wJB также
сохраняется постоянным для каждой частицы. Поэтому
равенство
Nw ,
-g^--const	F.47)
справедливо для всех моментов времени, если оно выполня-
выполнялось в начальный момент, что мы будем предполагать.
Нам теперь нужно просто просуммировать те из упо-
упомянутых в § 3.1 токов, которые существуют в этом случае.
Во-первых, нужно учесть ток поляризации
NMc* 1 дЕ
(Вкладом электронов пренебрегаем.) Ток намагничения
имеет вид
[^]^	F.49)
При написании тока, вызванного градиентом 5, отметим,
что*
[VB] = [V5B0] - В [VB0] - [ВОэ WB] = - [Во VB],
* В этом равенстве, как и в § 3.1, Во— единичный вектор в на-
направлении В.
6 К. Лонгмайр	145

поскольку [VB0] =0 в данном случае. Поэтому ток, выз-
вызванный градиентом, равен
F.50)
Перечисленными тремя токами исчерпываются все токи,
существующие в этом случае. Подставив эти токи в урав-
уравнение A.4), получим в первом приближении
8kNw .
R2
ВВн
где N и w± равны своим начальным постоянным значениям.
Кроме того, считаем, что Nw± включает полную плотность
поперечной энергии электронов и ионов. Вместо NM мож-
можно было бы написать N(M + m), однако вкладом электро-
электронов в этом выводе пренебрегалось.
Уравнение F.51) принимает обычный вид, если ввести
диэлектрическую постоянную:
8=1 +
4kNMc*\ /Л , 8*Nw±
F.52)
Указанное разложение оправдано, поскольку для боль-
большинства случаев —^—~ > 1.
Для среды, имеющей скалярную диэлектрическую по-
постоянную, уравнения A.2) и A.4) записываются для плос-
плоских волн в виде
F.53)
гь-п 1	 с F
IV U]_ 		С/	'""'1*
Из этих уравнений следует: 1) k, Ei и Bi взаимно ортого-
ортогональны, 2) дисперсионное соотношение
О)
,2
k* = e^	F.54)
146

для рассматриваемого случая принимает вид:
I мм I I ^
F.55)
Отсюда следует, что фазовая скорость уф= т- и группо-
групповая скорость vg=d(o/dk такой волны равны
-*-/¦*
NM
давление
плотность '
F.56)
Рис. 6.2. Искривление силовых
линий в случае Ввн||к.
Аналогия со звуковыми волнами в газе с у = 2 очевидна.
По сути дела, этот результат можно было бы получить
непосредственно из выводов § 4.3, где показано, что в слу-
случае прямолинейных силовых линий В задача сводится
к гидродинамической с
7 = 2. На примере про-
стой задачи было повторе-
повторено доказательство такой
эквивалентности для боль-
большей наглядности.
2) Вектор к па-
параллелен Ввн. В этом
случае Bi ортогонально
Вви. Поэтому абсолютная
величина В не меняется в первом приближении под дей-
действием волны, в силу чего ток, вызванный градиентом,
отсутствует. Однако силовые линии В уже не прямые,
а принимают синусоидальную форму (ВХ<?ВВН), как пока-
показано на рис. 6.2.
Помимо токов поляризации и намагничения теперь
появляется еще ток, вызванный кривизной линий. Первые
два тока описываются выражениями F.48) и F.4 9), как
и в предшествующем случае. Ток, вызванный кривизной,
равен
o, (Bo V)B0].
Проведем некоторые векторные преобразования. Во-пер-
Во-первых, отметим, что, согласно тождеству A.22),
[Во [ VB0]] -± - (Во V) Во = - (Во V) Во,
6*
147

где учтено, что В>1 = 1. Следовательно, другим столь же
общим выражением для тока, вызванного кривизной, бу-
будет:
^]].	F.57)
Согласно формуле тройного векторного произведения,
[Bo[Bo[VBo]]] =(В0(В0 [VB0]))-B§[VB0].
Если, как на рис. 6.2, силовые линии лежат в плос-
плоскости страницы, вектор [VB0] перпендикулярен этой
плоскости и поэтому (Во [VB0])—0. Следовательно, в на-
нашем случае (но не в любом!)
[Bo[Bo[VBo]]]=-[VBo]=-^[VB],
так как с точностью до первого порядка величина В по-
постоянна. Итак, имеем
2Nw	/n гОЧ
F.58)
Подставляя все токи в уравнение A.4), находим
4nN iw > — 2w{])\	[ 4nNMc2\ i дВ
—4^—-Пщв^A + -^- тог-
^вн	/	\	°вн /
Это опять обычное уравнение для поля в среде с диэлек-
диэлектрической постоянной:
F.60)
где учтено обычное неравенство —^—^ *• Таким обра-
обращен
зом, дисперсионное соотношение имеет вид
k* = ±-2	^	 0J,	F.61)
2 Bi/8,. + (N/2)(w2w)
148

а фазовая и групповая скорости равны
1)Ф = vg =
- ]/ 2 [Bb2h/8jx + (ВД (ю L - wn)]/NM . F.62)
Отметим, что если распределение по скоростям изотропно,
то w± — 2шц и энергия частиц не фигурирует в уравне-
уравнениях F.61) и F.62).
3) Вектор к направлен произвольно.
Пусть теперь к имеет произвольное направление. Тогда
напряженность электрического поля ортогональна к Ввн
и к, а вектор б В снова направлен ортогонально к к и Е.
Таким образом, 6В имеет слагающую бВц, параллельную
Ввн, которая приводит к токам, рассмотренным в первом
случае, и слагающую 6В±, перпендикулярную Ввн, кото-
которая создает токи во втором случае. Рассмотрение, анало-
аналогичное приведенному выше, приводит к дисперсионному
соотношению
где 6 — угол между Ввн и к.
Фазовая скорость иф зависит от направления вектора к.
Более того, групповая скорость vv не параллельна к.
Например, если выбрать ось г вдоль Ввн, то х-я и у-я
компоненты групповой скорости будут равны:
д<» kx Г
2 V",'BL""
NM \ 8*
2
2
I8* '' ш.х|
@»J. ^I|)]J-
Таким образом, вектор групповой скорости образует с Ввн
угол, больший, чем вектор к.
Волны рассмотренного типа называются магнитогидро-
динамическими, или волнами Альфвена. Это по существу
разновидность низкочастотных электромагнитных волн.
Хотя мы проводили рассмотрение, исходя из разложения
по плоским волнам, можно вместо них использовать и
149

элементарные волны другой симметрии. Например, при
рассмотрении плазмы, заключенной в цилиндр с осью
вдоль внешнего поля, удобнее пользоваться цилиндриче-
цилиндрическими волнами. При этом надо только иметь в виду усло-
условие E_J_BBH, так что из числа волн, получаемых в теории
волноводов, в таком цилиндре могут существовать только
волны, у которых поле Е поперечное.
В завершение этого раздела упомянем еще о том, что
диэлектрическая постоянная F.60) для второго случая
может стать отрицательной,
если
Рис. 6.3. Возникновение не-
неустойчивости,	в этом случае для уравнения
F.61) для действительных k
получается положительное или отрицательное мнимое зна-
значение со, т. е. имеются решения, амплитуда которых нараста-
нарастает экспоненциально со временем. Такие решения назовем
неустойчивыми, или просто неустойчивостями, и подроб-
подробнее рассмотрим дальше. Причину появления указанной
неустойчивости легко понять. Частицы, движущиеся
вдоль изогнутой силовой линии (рис. 6.3), испытывают
действие центробежной силы 2дои IR, где R радиус кривизны
линии. Эта центробежная сила стремится еще больше изо-
изогнуть силовую линию. С другой стороны, натяжение, дей-
действующее между силовыми линиями ВвН/8тс, противодей-
противодействует их изгибанию. Силы, возникающие из-за наличия
тока намагничения (пропорционального [jmB], также стре-
стремятся возвратить линии в исходное положение. Если цент-
центробежная сила превышает эти силы, то амплитуда движения
растет экспоненциально; в противном случае движение но-
носит колебательный характер. При этом силы инерции свя-
связаны с частицами, вынужденными двигаться вслед за си-
силовыми линиями.
§ 6.6. Волны произвольной частоты.
Вектор к параллелен Ввн
Освободимся теперь от ограничения, требующего, чтобы
частота волны была меньше ларморовской. Для этого не-
необходимо снова, как в § 6.2, возвратиться к рассмотрению
непосредственно уравнений движения частиц. Электриче-
150

ское поле будем считать ортогональным постоянному внеш-
внешнему полю, поскольку задача с Е ц Ввн уже была изучена
в § 6.2. Положим для определенности, что поле направлено
вдоль оси 2, как показано на рис. 6.4. Рассмотрим два
крайних случая: когда волновой вектор к параллелен Ввн
и когда он перпендикулярен Ввн.
Рассмотрим сначала случай кц Ввн.
Электрическое поле волны направлено вдоль оси х или у.
При наличии магнитного поля движение в одном направле-
направлении вызывает движение в перпендикулярном ему направ-
направлении, поэтому поле Е должно иметь как компоненту х,
так и компоненту у. Проще всего провести рассмотрение
для волн с круговой поля-
поляризацией.
Пусть компоненты х и у
поля Е будут соответственно
равны	Е* в»
Ех = Ех cos (kz — со^),
Е = Ег sin (kz — со/),
F.66)
I!
где Пока все величины —
действительные.	Однако
можно ввести комплексную
величину
F.67)
У/
Рис. 6.4. Ориентация полей
для случая Ввн || к.
В уравнении F.67) можно считать Е\ комплексной вели-
величиной, так как это просто эквивалентно изменению фазы
волны. Подобным образом магнитное поле может быть пред-
представлено в виде
В =
г—со/)
F.68)
Отметим, что изменение знака ш соответствует изменению
направления поляризации.
Пренебрежем тепловым движением частиц, считая, что
их движение полностью определяется полем волны. Такое
пренебрежение, естественно, справедливо лишь, когда
газокинетическое давление мало по сравнению с магнит-
магнитным.
151

Уравнения движения для иона имеют вид:
F.69)
F.70)
vz = 0.	F.71)
Здесь опущены все члены второго порядка малости, такие,
как, например, vzBy. В соответствии с предположением
об отсутствии теплового движения решение уравнения
F.71) есть vz = 0. Введя комплексную скорость
v = vx + ivy,	F.72)
преобразуем уравнения F.69) и F.70) к виду
v=jjj-E — i<oiv,	F.73)
где со/ — ларморовская частота иона, равная
Поскольку Е в системе координат частицы зависит от
времени как e~ico/, скорость будет зависеть подобным же
образом, и можно написать
v — —
Поэтому решение уравнения F.73) есть
v \4 E
М О) 	 (х). '
а комплексный ток ионов
. __ Nev __ . Ne2 ?_	Ne2	J_ a^1
с	МЫ—о) Л с	УИсо Ы — со Л с dt
Аналогично ток, создаваемый электронами:
. __	Ne2	1 дЕ_
152

где ларморовская частота электронов и>е считается поло-
положительной величиной. Складывая токи ионов и электро-
электронов и учитывая ток смещения, найдем диэлектрическую
постоянную
— 1 _ 4ltNe2 (	1	!	1	\
8	аз \м(со — со,.) "г m (о) + (off) у
Подставив это выражение в дисперсионное соотношение
k2 = еоJ/с2, найдем связь между k и ш.
Можно привести выражение для 8 к более удобному
виду, преобразовав сумму в скобках, с учетом того, что
M(Di — /7zo)e, тогда
8 - 1 — -(	' • .- ,	F.76)
где со^ определяется через приведенную массу:
(Обычно именно приведенная масса фигурирует в выра-
выражении' для плазменной частоты. Однако эта масса очень
мало отличается от электронной.)
При малых частотах, когда | со | <^ со/,
8^80-1Н	—2	,	F.78)
В
где мы пренебрегли т по сравнению с М. Это выраже-
выражение совпадает с ранее найденным в гл. 2 на основе
метода ларморовских орбит; дисперсионное соотноше-
соотношение, получающееся из выражения F.78), совпадает с по-
полученным в § 6.5 при пренебрежении газокинетическим
давлением и равно
Л	Г*	Л	* т * Л1 О —»
F.79)
Зависимость общего выражения F.76) от частоты
изображена на рис. 6.5. При положительных о> направ-
направление поляризации совпадает с направлением ларморов-
ского движения ионов и поведение 8 описывается правой
6В к. Лонгмайр	153

половиной графика. При о) = о^ е стремится к беско-
бесконечности, затем между on и сох, где
F.80)
принимает отрицательное значение. При выводе выра-
выражения для о)! отношением 1/М мы пренебрегли по сравне-
сравнению с \/т. В области между щ и он волны не могут
s-r-h—bz-
о ч
м
^	I
Рис. 6.5. Диэлектрическая постоянная для случая
ВНк
распространяться в плазме, а полностью отражаются от
нее. Для больших со е асимптотически приближается
к единице.
Для отрицательных со направление круговой поляри-
поляризации совпадает с направлением ларморовского вращения
электронов, е изменяется от значения ео при 0 до мини-
минимального значения:
?Мин~Н	jr	F.81)
при со=со^/2, после чего растет, обращаясь в бесконеч-
бесконечность при со=—сое. В области от —со^ до со2, где
0J ~	2"
F.82)
8 принимает отрицательные значения и, наконец, при
со-> — оо асимптотически стремится к единице. Это рас-
рассмотрение также основано на пренебрежении \/М по
сравнению с \/т.
154

Зависимость 8 от направления поляризации соответ-
соответствует известному эффекту Фарадея, а весь приведенный
вывод совпадает с классическим выводом этого эффекта,
за исключением пренебрежения упругими связями элек-
электронов с атомами, существенными в оптике, а в рассма-
рассматриваемом случае отсутствующими.
§ 6.7. Волны произвольной частоты.
Вектор к перпендикулярен Ввн
Будем считать внешнее поле Ввн направленным вдоль
оси 2, ak —вдоль оси х, как показано на рис. 6.6, и по-
прежнему не будем интересоваться случаем Ец Ввн. По-
Поскольку поле Е стремится быть направленным ортого-
ортогонально к к, необходимо допустить существование компо-
компоненты Еу. Однако ввиду на ли-	*
чия магнитного поля, искрив-
искривляющего траектории частиц,
необходимо допустить суще-
существование и продольной ком-
компоненты у поля Ех. Прежде
чем рассматривать магнитное
поле волны, подсчитаем токи.
Зададим электрическое
поле в виде
Ех(х, 0
Еу(х, t) =
ч
F.83) Рис. 6.6. Ориентация по-
лей для случая BBHikBH.
где подразумевается использование действительных частей.
Уравнения движения ионов имеют вид:
+т *****]>
По-прежнему членами второго порядка в квадратных скоб-
скобках пренебрегаем. Также будем считать, что обратное
действие частиц на поле можно не учитывать. В этом слу-
6В*	155

чае скорость частиц будет зависеть от времени как e~/co2f,
и уравнения движения примут вид:
где со/, как обычно, — ларморовская частота ионов. На-
Находя из этих уравнений vx и vyf получим
^ [ со^ + С0/
Ж
vy = Ж [~~[ ®Еу ~ щ Ех\/№ — ю )•
Аналогичные выражения получатся и для компонент ско-
скорости электронов. Для плотности тока тогда имеем
,	F.84)
,	F-85)
где N— плотность ионов и электронов, а коэффициенты
аир даются следующими выражениями:
a==m(M2lm2) + M(J_<a,y	<6-86)'
Р = М(Г А	, 2 е 2ч •	F-87)
М y^i — w2j m \и>е — со2)
В этих уравнениях cdj.h u>e— положительные величины.
Выражения F.84) и F.85) для токов нужно подставить
в уравнения Максвелла.
Наличие^плотности тока jx приводит к появлению плот-
плотности заряда р, поскольку
В силу этого
i^P=ifc/*,	F.88)
156

4np = divE = ^ = i??x.	F.89)
Используя уравнения F.88), F.89) и F.84), находим
Ех = — 1	/д: = — Y0^* — 1 Yp?y>	F.90)
где
Y - ^.	F.91)
Уравнение F.90) дает связь между Ех и Еу, откуда
^л: = -гт—-.	tjCv-	(O.yz)
л	/ ] _i_ v.a\ У	Л	/
Обратимся теперь к уравнению Максвелла для маг-
магнитного поля. Во-первых, отметим, что полный ток в на-
направлении оси х, включая ток смещения, равен в соот-
соответствии с уравнением F.90) нулю:
Поэтому
ду dz
Это уравнение удовлетворяется, если В зависит только
от х и t, аналогично Е в формуле F.83).
Как обычно, уравнение div В = 0 приводит к ортого-
ортогональности переменной части магнитного поля б В и [век-
1 3D	"^
тора к, а уравнение rot Е = — ^ — к перпендикуляр-
перпендикулярности б В и Е. Таким образом, векторное уравнение Макс-
Максвелла сводится с помощью уравнений F.85) и F.92) к един-
единственному уравнению:
дЕу
Отсюда диэлектрическая постоянная равна
* = 1+*«-тйг-	F-93)
157

Упростим выражение F.93). Во-первых, заметим, что
\ , 9 1	г -{	-^	г] =
[/72 ((of - 0J) ^ М (со2. - 0J) J
[со^^
При выводе этого соотношения принималось во внимание
M(?>i=m(de. Используя снова в выражении для плазмен-
плазменной частоты приведенную массу, можно переписать по-
последнее уравнение в виде
(*>« (<0; (Sip 	 ОJ)
Далее, можно показать, что
СО ( СО
Из уравнений F.94), F.95) и F.93) получим после алге-
алгебраических преобразований
о / о i	2\
)„ @)о Ч> ОЬ 0)Л 	 О) )
Обратим, во:первых, внимание на то, что е не обра-
обращается в бесконечность при частоте, равной электронной
или ионной ларморовской частоте. Отсутствие резонанса
на этих частотах вызвано тем, что движение электронов
и ионов сильно связано в силу наличия их общего продоль-
продольного электрического поля Ех. Как мы увидим, резонанс
появляется при частоте, равной среднему геометрическому
из о>2 и ше.
Исследуем сначала поведение 8 при малых ш, т. е.
при со <С; щ. Полагая для этого в уравнении F.96) со = О,
найдем
<Л	4nNMc2
F.97)
8«1+1+^ .
Этот результат совпадает с полученным в § 6.5 для случая,
когда газокинетическоё давление много меньше магнитного.
158

Отношение соб к со, равно М/т и является определен-
определенным числом. Однако отношение (ор к сое зависит от плот-
плотности частиц N я от Ввн. Действительно:
При N = 1015 и Бв„ = 104 гс -? = 102. Как часто (но не
всегда!) оказывается, величинами an и cof можно прене-
У
/i
l	./A/4
f 4'We I " ' '
Рис. 6.7. Зависимость диэлектрической постоян-
постоянной от частоты для BBHj_kBH.
бречь по сравнению с со^. Если, кроме этого, со < со^, то 8
имеет вид
1
при (о
F.99)
Отсюда видно, что первая особенность г возникает при
со = |/со/ (ое , среднему геометрическому из со/ и сое. С дру-
другой стороны, если со > У сов со/ , то
ПРИ
FЛ00)
Из выражения F.100) видно, что вторая особенность воз-
возникает при со2 = со2. -|- со2 и что 8 обращается в нуль при
2
СО
2
СОр ^ СОр GV
2 , 2 •
Наконец, если со > сор, то 8 = 1 —сор/со . Зависимость
диэлектрической постоянной е для случая ые <^ сор пред-
представлена на рис. 6.7.
159

Несмотря на то что поле Е имеет продольную компоненту,
дисперсионное соотношение равно k2 = г ^ . Связь между
продольной и поперечной частями Е дается уравнени-
уравнением F.92).
§ 6.8. Задача с начальными условиями
В предшествовавших параграфах рассматривалось
дисперсионное соотношение как уравнение, определяющее
волновой вектор по заданной частоте. Такой подход соот-
соответствует условиям на практике, так как одним из воз-
возможных экспериментов является возбуждение плазмы
источником колебаний заданной частоты.
Другим возможным типом эксперимента является изу-
изучение поведения во времени определенного начального
состояния плазмы. Можно представить, что первоначаль-
первоначальное возмущенное состояние связано с какими-то внешними
источниками. После начального момента ^о внешние ис-
источники выключаются, и плазма движется самостоятельно.
Такого типа задачи называются задачами с начальными
условиями, или задачами Коши.
Обычный метод решения подобных задач состоит в раз-
разложении начального возмущения в ряд Фурье по волнам
вида exp[i(kr)], причем каждая из компонент будет во
времени осциллировать с собственной частотой, определяе-
определяемой соответствующим ей значением к. В этом случае будем
считать к заданным и должны решать дисперсионное урав-
уравнение для нахождения со.
Из графика на рис) 67, представляющего зависимость 8
от со, ясно, что при заданном к уравнение k 2 = ею2/с2
может иметь несколько решений для со. Указанным раз-
различным частотам должны соответствовать различные спо-
способы формирования начального состояния. Покажем, что
это действительно так для волн, рассмотренных в § 6.7.
Выберем, так же как и на рис. 6.6, ось z параллельно
приложенному магнитному полю Ввн. Возьмем некоторый
произвольный волновой вектор к, перпендикулярный Ввн*
Ось х пусть параллельна к. Выберем, наконец, ось у так,
чтобы полученная система координат была правой.
Как и прежде, потребуем, чтобы электрическое поле не
имело компоненты, параллельной Ввн. Тогда остаются
только компоненты Ех и Еу. Из уравнения Максвелла,
160

содержащего rot E, следует, что в этом случае магнитное
поле волны будет коллинеарно вектору
rqtE=i[kE],
т. е. направлено по оси г. Таким образом, магнитное поле
имеет всего одну компоненту Bz.
Как электроны, так и ионы движутся в плоскости хоу.
Поэтому необходимо учитывать еще четыре компоненты
скоростей: veX9 vey, viXy viy.
Перечисленные величины необходимо определить из
уравнений движения и уравнений Максвелла. Для Фурье-
компонент эти уравнения имеют вид:
V dt
\_ dEx
с dt
1 dEy
dvix
~df
UJZ-.
Vix
F.101)
dt
dvex
dt
(В этих уравнениях Bz означает лишь переменную часть
магнитного поля.) Мы имеем, таким образом, систему из
семи дифференциальных уравнений первого порядка.
Для нахождения ее решения необходимо задать еще
значения семи величинам: Bz, Ех, Еу, ViXy viyy veXi vey
в начальный момент. Эти величины могут быть выбраны
произвольно.
Учитывая изложенное, мы должны ожидать, что дис-
дисперсионное уравнение для а> имеет семь корней при за-
заданном k. Если воспользоваться выражением F.96) для
б, то функция ecoVc2 будет иметь вид, как на рис. 6.8.
Для любого действительного k из него, очевидно, следует
наличие шести значений со.
161

Создается впечатление, что одного решения не хватает.
Действительно, при делении на о> в § 6.6 было потеряно
одно решение: о> = 0. В том, что такое решение системы
F.101) существует, можно убедиться непосредственной под-
Рис. 6.8. Дисперсионное соотношение BBHi_kBH.
становкой его в эту систему. Для этого, очевидно, необ-
необходимо, чтобы все производные по времени обратились
в нуль. В результате получим
Еу = vu = vex = 0, viy =•- vey> Ex •+- - viy BBH = 0.
Полученное решение соответствует равновесию электри-
электрических и магнитных сил в плазме.
§ 6.9. Косые волны в случае нулевой температуры
В § 6.6 и 6.7 были рассмотрены волны произвольной
частоты в плазме, в которой отсутствует тепловое движе-
движение, для двух крайних случаев: когда вектор к параллелен
В и когда он перпендикулярен к Ввн. Рассуждения § 6.7
легко обобщить на случай, когда вектор составляет произ-
произвольный угол 0 с магнитным полем Ввн.
Выберем снова ось z вдоль Ввн, а ось х в плоскости
векторов Ввн и к. Тогда вектор к будет иметь только две
компоненты: kx и ky.
Выражения для плотностей токов \х и \у даются снова
уравнениями F.84) и F.85). Кроме того, необходимо пред-
предположить существование компоненты электрического поля
вдоль оси г, которая приводит к появлению еще одной
компоненты плотности тока:
4тш с
Ez.
F.102)
162

Уравнение Максвелла A.2) принимает вид
F.103)
Из уравнения F.103) по известному полю Ei можно опре-
определить Вц. Уравнение A.4) дает
С х
или, исключая с помощью уравнения F.103) Вь
Преобразуя двойное векторное произведение, окончательно
получаем
(к (кЕх)) - k* Ех = - 4ш «- j - ? Ех. F.104)
Выражая с помощью уравнений F.84), F.85) и F.102)
плотность тока j через Е, получим однородное уравнение
для Е, которое, если его написать в компонентах, имеет
вид
?A- + Y«)- кЦEx + i^y$Ey + kxkzEz = 0;
r	(<»2-4) 2]
Kx Kz tLx ~Г	72	&X
L	C	J
EZ - 0.
F.1.05)
)
Для того чтобы решение этой системы уравнений отли-
отличалось от нуля, детерминант ее должен равняться нулю:
0. F.106)
Уравнение F.106) является общим дисперсионным со-
соотношением для случая косых волн. Величины уа и у$
определяются равенствами" F.94) и F,95). Читатель может
самостоятельно убедиться в том, что для kx = 0 или kz = 0
это общее уравнение дает результаты, совпадающие с вы-
выводами § 6.7, 6.6 и 6.2 (если, конечно, в последнем пара-
параграфе положить температуру равной нулю).

ГЛАВА /
МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ
§ 7.1. Введение
В § 4.3 было установлено, что общая двумерная задача
в случае, если силовые линии В — прямые, эквивалентна
адиабатической газодинамической задаче при показателе
адиабаты 7 — 2. Этот результат был получен с помощью
метода орбит, т. е. на основании предположения, что
встречающиеся частоты малы по сравнению с ларморов-
скими, а свойства плазмы не меняются существенно на
протяжении длин порядка ларморовского радиуса.
Общим свойством волн сжатия в газодинамике при у^> 1
является увеличение крутизны их фронта со временем
так, как это изображено на рис. 7.1. Наиболее просто это
свойство доказывается с помощью метода характеристик
Римана. Однако мы не будем рассматривать здесь этот ме-
метод, а прибегнем к следующему наглядному доказатель-
доказательству этого свойства. Скорость звука
где р — давление; р — плотность массы; уравнение со-
состояния взято в виде р — рт.
Следовательно, для у > 1 скорость звука будет в мак-
максимуме плотности наибольшей. В силу этого вершина вол-
волны сжатия стремится нагнать предшествующую волну и
ее фронт становится все более крутым. В результате кру-
крутизна переднего фронта достигает таких значений, что
течение нельзя уже считать адиабатическим. В обычной
механике сплошных сред это означает, что градиент плот-
плотности достигает таких значений, при которых необходимо
учитывать силы вязкости и теплопроводности, ограничи-
164

вающие дальнейшее увеличение крутизны фронта. Дей-
Действительно, если учесть эти факторы в исходных уравне-
уравнениях газодинамики, то из них может быть определена
структура фронта такой волны. Эти фронты, получившие
названия ударных волн, распространяются со скоростью,
большей скорости звука, не меняя существенно своей
формы. Силы вязкости и теплопроводность приводят
к увеличению энтропии среды. Причем чем сильнее удар-
ударная волна, т. е. чем больше отношение давления за ее
фронтом к его величине
перед ним, тем больше
возрастает энтропия.
В высокотемператур-
высокотемпературной плазме, помещенной
в магнитное поле, вяз-
вязкость и теплопровод-
теплопроводность весьма малы, так
как частота СТОЛКНОВе- Рис- 7.1. Деформация волны сжа-
ний, определяющая ве-	тия-
личину вязкости и те-
теплопроводности (поперек направления магнитного поля),
в этом, случае незначительна. В обычной механике сплош-
сплошных сред ширина фронта ударной волны обращается
в нуль, если вязкость и теплопроводность исчезают.
Поэтому{ ширина фронта ударной магнитогидродинами-
ческой волны в высокотемпературной плазме не может
определяться только этими двумя явлениями. Помимо
них в плазме необходимо учитывать другие неадиабати-
неадиабатические эффекты, и прежде всего связанные с нарушением
приближения метода орби^при частотах, больших лар-
моровских, и на расстояниях, меньших ларморовского ра-
радиуса. Можно предположить, что структура и ширина
фронта ударной волны] в этом случае будут определяться
ларморовскими параметрами.
В § 7.2 и 7.3 мы рассмотрим, какие условия налагают-
налагаются на магнитогидродинамические ударные волны законами
сохранения массы, импульса и энергии, не затрагивая во-
вопроса о структуре волны, за исключением предположения
о том, что ширина фронта не увеличивается со временем
и условия за фронтом и перед ним сохраняются стацио-
стационарными. В остальных параграфах рассмотрим некоторые
подходы к изучению структуры фронта ударной волны,
пренебрегая для начала столкновениями.
165

§ 7.2. Распространение ударной волны
в направлении, перпендикулярном
магнитному полю
Можно рассматривать ударные волны в произвольном
относительно В направлении. Однако ограничимся двумя
крайними случаями, соответствующими распространению
волн в параллельном и перпендикулярном к В направле-
направлениях. В этом пара-
у	f	графе будет рассмот-
рассмотрен только послед-
последний случай.
В общем случае
можно рассматривать
движение ударной
волны в первоначаль-
первоначально покоящейся среде.
, Даже если среда в на-
начальный момент не на-
находится в покое, мож-
можно выбрать такую си-
систему, в которой она
1
I
1
1
Рис. 7.2. Физические величины перед и
за ударной волной, перпендикулярной
к В.
будет покоиться. Бу-
Будем называть такую
систему лабораторной
системой координат.
Можно выбрать еще и другую систему, в которой сама
ударная волна неподвижна. Эту систему будем называть
системой волны.
Система волны наиболее удобна для рассмотрения за-
законов сохранения, и поэтому будем пользоваться в ос-
основном ею.
Пусть ударная волна ограничена двумя плоскостями,
параллельными плоскости yOz, обозначенными на рис. 7.2
пунктирными линиями. Пусть далее скорость частиц, вле-
влетающих в область ударной волны, есть ш, а покидающих
ее — V2, причем движение частиц происходит вдоль оси х.
Магнитное поле будем считать направленным вдоль оси г
и принимающим значения Bi и Вг соответственно на пе-
передней и задней границах ударной волны.
Для того чтобы частицы имели возможность двигаться
поперек магнитного поля, должно существовать электри-
электрическое поле в направлении оси у.
166

Из уравнения Максвелла, содержащего rot E, получаем
д? ___ 1_ дВ
дх ~ с dt
Интегрируя это уравнение, найдем
F —Е _ L ^
где ?i и ?2 — значения напряженности электрического
поля перед и за фронтом ударной волны, а ф — магнитный
поток в области, занимаемой ударной волной. Если пред-
предположить, что ударная волна все время ограничена двумя
плоскостями, то магнитный поток ф не может монотонно
нарастать со временем, а должен изменяться в ограничен-
ограниченных пределах вокруг некоторого среднего значения. Тогда
в среднем будем иметь
и, таким образом, электрическое поле в среднем по обе
стороны ударной волны имеет одинаковые значения. На-
Напряжённость среднего электрического поля обозначим
просто через Е. Флуктуации поля, которые лишь приводят
к образованию шлейфа магнитогидродинамических волн,
в области за ударной волной учитывать не будем. Чтобы
последовательно рассмотреть флуктуационные поля, не-
необходимо знать структуру ударной волны.
Скорости vi и V2 — очевидно, скорости электрического
дрейфа:
Е	'?
Vc	v c
Заметим, что преобразование к лабораторной системе коор-
координат, в которой vx = 0, приводит к обращению электри-
электрического поля в области перед ударной волной в нуль. От-
Отношение скоростей обратно пропорционально краевым
значениям магнитного поля:
?! = el
ИЛИ
v1B^=vtBt.	G.1)
167

Если АЧ и А/2— плотности частиц впереди фронта и за ним,
то из уравнения сохранения числа частиц следует
NlVl = N2v2, или g=.-?.	G.2)
Уравнения G.1) и G.2) показывают, что плотности
частиц и напряженности магнитного поля меняются в оди-
одинаковом отношении.
Для поддержания разных значений магнитного поля
по обе стороны ударной волны в ее слое должен суще-
существовать ток, направленный вдоль оси у. Из уравнения
Максвелла, содержащего rot В, следует
*|	или -(B2-BJ=An^jydx. G.3)
Этот ток должен образовываться в результате эффектов,
подобных току намагничения и градиентного тока адиаба-
адиабатического метода ларморовских орбит. Однако, как мы
увидим, адиабатическая теория в данном случае неприме-
неприменима. Детальное объяснение механизма возникновения
тока /у может быть сделано только на основе теории строе-
строения ударной волны.
Воспользуемся теперь законом сохранения импульса.
Поскольку рассматривается статический (в среднем) слу-
случай, то с помощью уравнения A.28) находим
где индексам соответствуют слагающие по осям х, у я г.
Так как наша задача плоская, в этом уравнении остаются
только производные по х. Интегрируя его, получаем
{PiX + TixI^{Pix + TixJy	G.4)
т. е. полный" импульс "(включая электромагнитный) перед
волной должен равняться импульсу за волной.
Тензор потока импульса частиц Р1х диагоналей, т. е.
Pix = 0 для i =j= х% а
G5)
168

где ui и V2 — уже введенные скорости дрейфа, a wL —
энергия ларморовского движения. Тензор натяжений
электромагнитного поля в рассматриваемом случае также
оказывается диагональным, поэтому
ТХХ = ±(Е* + В*)^±В\	G.6)
Поскольку Е2= ^-В2, членом с Е2 в выражении G.6) можно
пренебречь для ударных волн, скорость движения которых
меньше с.
Обозначим для краткости
*+Nw±=p; tfm = p,	G.7)
где р — поперечное давление, включающее и магнитное
давление, ар — плотность массы. Подставив уравнения
G.5) и G.6) в уравнение G.4), находим
Pi и? +Pi p^ +
С помощью закона сохранения массы
Pi ^i = р2 ^2	G.8)
последнее уравнение можно переписать в виде
9iVl(v1 — v2) = p2 — pv	G.9)
Полученное равенство представляет обычный закон сохра-
сохранения импульса для ударных волн, за тем исключением, что
в общее давление входит и магнитное давление.
Наконец, используем закон сохранения энергии. Со-
Согласно уравнениям A.44) и A.45), для статического случая
сохранение энергии выражается уравнением
где Q — вектор потока энергии частиц, a S — вектор
Пойнтинга. Учитывая, что для статического случая только
производные по х не равны нулю, имеем
(Q* + S.)i-(Q* + S,J.	G.10)
Выразим Q согласно равенству A.43), в котором, очевидно,
все скорости обращаются в нуль, кроме vx (т. е. vi и V2 для
нашего случая).
169

Величинам 8v\ соответствуют скорости ларморовского
движения, наложенного на дрейф со скоростями vi и V2,
а также компоненты тепловой скорости в направлении,
параллельном В. Средние величины, фигурирующие в урав-
уравнении A.43'), будут тогда равны
1
)vx =0 для /=?*;	G.11)
mbvx 6vx = w1;
8v2 bvx = 0.
При получении этих результатов мы пользовались тем,
что 8vx для каждой частицы меняется во временило сину-
синусоидальному закону, 8vy — по косинусоидальному,
a 8vz постоянно. Предположим также, что фазы частиц
распределены случайно, в силу чего среднее по времени
для одной частицы равно среднему по совокупности частиц
в любой момент времени. Используя последние выраже-
выражения, получим
Qx = L py3 -f Nv Bw± + доц).	G.12)
Так как v — скорость электрического дрейфа, компонента
вектора Пойнтинга вдоль оси х равна
Sx = —\EJi]x=v—.	G.13)
Внося выражения G.12) и G.13) в уравнение G.10),
получим
9 Pi fl + Ni vi Bw± + w\\)i. + "IT =
= l2?2 vl + N2 v2 Bw± + w nJ + ^f2 . G.14)
Перечислим неизвестные величины и уравнения для их
определения.
Во-первых, можно рассматривать как заданные физи-
физические величины перед фронтом волны: iVi, 5i, w± A) и
W\\ A) [давление pi выражается через перечисленные вели-
величины с помощью уравнения G.7)]. Давление за ударной
170

волной /?2 также может считаться заданным. Остающиеся
величины vi, иг, Л/, Вг, ш±B) и ДоцB) должны быть опре-
определены из уравнений G.1), G.2), G.9), G.14) и G.7). Таким
образом, для шести неизвестных имеется только пять
уравнений, причем все уравнения сохранения уже ис-
использованы. Очевидно, необходимо найти еще одно урав-
уравнение.
Для обычных газов', у которых частота столкновений
высока, можно положить
шц = 2-ш±.	¦	GЛ5)
В высокотемпературной плазме, где частота столкновений
мала, условие G.15) будет выполняться только для боль-
больших расстояний за фронтом и мвжет служить дополни-
дополнительным уравнением. Если мы, однако, заинтересованы
в величинах непосредственно за фронтом ударной волны,
то указанное условие нельзя считать справедливым ввиду
малой частоты столкновений. Для случая плоских ударных
волн можно считать, наоборот, что до,, при переходе через
фронт не меняет своего значения:
а;иA) = ши B).	G.16)
Условие G.16) может рассматриваться как второе альтер-
альтернативное уравнение, необходимое для полноты нашей си-
системы. Необходимо, однако, принимать во внимание, что,
пока детальная структура ударной волны неизвестна,
у нас нет гарантии в том, что она.не носит так называемого
зернистого характера в плоскости хОу, и, следовательно,
до и также может изменять свое значение при переходе через
фронт волны. Однако пока остается предполагать, что одно
из уравнений G.15) и G.16) справедливо.
До сих пор рассуждения велись так, как если бы имели
дело только с одним типом частиц. В действительности
в плазме есть как ионы, так и электроны. Можно легко
убедиться в том, что перечисленные уравнения применимы,
если под N понимать полную плотность частиц обоих ти-
типов, a w± и до || означают средние энергии электронов и
ионов. В давление и плотность тогда вносят вклад оба
типа частиц. Приведенных уравнений по-прежнему ока-
оказывается достаточно для определения указанных средних
величин, но недостаточно для вычисления электронных. и
ионных компонент w± и до „за фронтом по отдельности.
171

Важный вопрос о неодинаковом нагреве ионов и электро-
электронов в ударной волне может быть рассмотрен только с по-
помощью теории строения ударной волны.
Плоская задача в отсутствие столк-
столкновений. Если предположить, что задача плоская и
воспользоваться уравнением G.16), то члены с w\\ выпадают
из уравнения G.14). Тогда с помощью уравнения G.8)
результат можно представить в виде
2 Pi vi (у? — VD + 2 (vi Pi — V2 Рг) = О-
Преобразуя первый член в этом равенстве с помощью
уравнения G.9), получим
(р2 — Pi) К + v2) + 4 (v± Pi — v2 p2) = 0.
Деля на произведение pxv2 и вводя отношение давлений
S = g	G-17)
и коэффициент сжатия
Р2 = ?1=ф;	G.18)
окончательно найдем
Решение этого уравнения
+ 3)	G.19)
выражает коэффициент сжатия через отношение давлений.
Если подставить этот результат в уравнение сохранения
импульса G.9), то можно найти скорость ударной волны
(в лабораторной системе):
Если отношение давлений стремится к бесконечности, то
г| -> 3, a vx -> ]/C/2) (p2/pi). Таким образом, сжатие плаз-
плазмы ограничено, скорость же ударной волны может ,быть
как угодно большой при достаточно высоких значе-
значениях /?2. При стремлении отношения давлений к едини-
единице, коэффициент сжатия также стремится к единице, а ско-
172

рость ударной волны — к ]/ 2pi/pi. Эта величина совпа-
совпадает со скоростью обычных магнитогидродинамических
волн, рассмотренных в гл. 6. Таким образом, скорость
ударной волны всегда больше, чем магнитогидродинами-
ческой.
Интересно также подсчитать отношение энергии лар-
моровского движения впереди фронта и за ним. На основе
определения величины давления G.7) и только что полу-
полученных результатов можно показать, что
^j_(i) ] ^ E + 3) C5+1) I ^
Как уже было показано, для медленного адиабатиче-
адиабатического сжатия до_|_~Б. Отсюда следует, что ы)±B)/гю±A) —
= Zb/Si = т]. Таким образом, согласно выражению G.21),
можно сделать заключение, что в ударной волне энергия
ларморовского движения увеличивается по сравнению со
случаем адиабатического сжатия, причем при \ -» 1
это дополнительное нагревание исчезает.
Учет столкновений. Если при столкнове-
столкновениях происходит равномерное перераспределение энергии
по степеням свободы, то в дополнение к уравнениям сохра-
сохранения необходимо использовать уравнение G.15). Алге-
Алгебраические вычисления, несколько более сложные на
этот раз, при условии сохранения прежних обозначений
приводят к квадратному уравнению для х\
*12 + Ч [C + I) A + рх) + U - Dg + 1) A + РО = 0. G.22)
Причем, естественно, должно быть взято положительное
решение.
В этом уравнении
2
Тогда скорость ударной волны равна
G.24)
173

Для т] и vx существуют следующие предельные пере-
переходы:
при ?->оо т)->4,
при ? + 1 т,-*1, о
В последнем случае, если еще Pi =0, то vi — ]/2р/р, т. е. .
скорость ударной волны равна скорости звука для у = 2,
соответствующей наличию магнитного поля. При очень
больших значениях pi (магнитное поле ничтожно)
vi -> V E/3) (р/р), что соответствует у — 5/3, т. е. слу-
случаю одноатомного газа.
§ 7.3. Распространение ударной волны в направлении,
параллельном магнитному полю
Существует два типа ударных волн, распространяю-
распространяющихся вдоль поля В, т. е. таких, у которых плоскость
фронта перпендикулярна вектору В. Для первого типа
магнитное поле не играет никакой роли. Это обычные
ударные волны в газе, на которые магнитное поле в на-
направлении их движения не оказывает никакого влияния.
Как хорошо известно, структура таких волн тесно связана
с соударениями частиц, в силу которых осуществляется
перераспределение энергии по степеням свободы. Пове-
Поведение этих волн может быть описано формулами преды-
предыдущего параграфа (случай 2), если положить Pi -> оо.
Тогда из уравнения G.22) коэффициент сжатия будет
равен
46 + I
а скорость ударной волны
^"зГ1- рТ •	G-26)
В формуле G.26) давление имеет чисто кинетический
характер и не должно содержать вклада, обусловленного
магнитным полем.
Для второго типа ударных волн роль магнитного поля
существенна. Перед фронтом волны магнитное поле пер-
174

пендикулярно к поверхности фронта, но при переходе че-
через фронт направление поля меняется и за фронтом состав-
составляет некоторый угол с нормалью к фронту, как показано
на рис. 7.3. На этом рисунке ударная волна представлена
в системе отсчета, связанной с ней самой. Поскольку
div В = 0, компонента В вдоль оси х, которую обозначим
Si, не меняется при
переходе через фронт
ударной волны. За
фронтом поле имеет
еще и компоненту В о
вдоль оси у. Эта ком-
компонента связана с
наличием в ударной
волне тока j в на-
направлении оси г.
В системе отсчета,
связанной с ударной
волной, компоненты
Рис. 7.3. Физические величины перед
и за ударной волной, параллельной В.
электрического поля
вдоль осей у и х
впереди волны долж-
должны равняться нулю,
ибо в противном случае скорость vi не была бы направ-
направлена точно по оси х. Более того,' поскольку в среднем
rot Е = 0 (в силу предположений § 7.2), эти же компо-
компоненты поля равны нулю и за фронтом. Более того, так как
любое электрическое поле, направленное вдоль В, может
быть легко нейтрализовано перераспределением элек-
электрического тока, электрическое поле вообще отсутствует.
Отсюда следует, что скорость V2 за фронтом ударной волны
должна быть направлена вдоль В. Силы, необходимые для
отклонения частиц, пересекающих фронт ударной волны,
определяются величиной [jB], где j—ток, текущий
вдоль фронта волны.
Запишем уравнения сохранения для рассматриваемого
случая. Сохранение массы выражается равенством
Pi^i = Hv*x,	G.27)
где р — плотность массы, a V2X — компонента v2 вдоль
оси х. Параллельность v2 и В за фронтом выражается
уравнением
v2y B2
175

Следующие два уравнения описывают сохранение им-
импульса:
(Рхх + Тхх)г - (Рхх + ТххJ,
{РуХ + Тух)г = (Рух + ТухJ	G.29)
(компоненты Pzx и Tzx обращаются в нуль).
Согласно уравнению A.26), имеем для магнитного поля
Как и в § 7.2, необходимо ввести предположение о соот-
соотношении w± и хю\\. Здесь, однако, нельзя утверждать, что
при отсутствии столкновений величина W\\ остается по-
постоянной, поскольку направление поля В меняется при
переходе через фронт ударной волны. Отношение величин
w± и W\\ может быть установлено только с помощью теории
структуры ударной волны. Так как мы не располагаем
такой теорией, можно положить, что Wj_ = 2w\\, т. е.
Р± — Р\\ — Р как впереди, так и позади фронта. Тензор
потока импульса окончательно может быть записан в виде
* хх \1) == Pi v\ ~\- Piy * ух \А/ == VJ,
Рхх B) = p2uL+ Л*, Рух B) = р2 V2y V2x.
В этих уравнениях рг и р2 соответствуют только кине-
кинетическому и не содержат магнитного давления. Преобразуя
уравнения G.29) с учетом приведенных выражений, по-
получаем
v2y-^ = 0.	G.31)
Вектор потока энергии (вектор Пойнтинга) равняется нулю
для данного случая, так как поле Е равно нулю. Поэтому
закон сохранения энергии имеет вид
176

Путем вычислений, аналогичных тем, которые приводят
к уравнению G.12), получим
¦о" Pi ^i + у Pi vi = у Р2 Щх Ых + ^У + у Р2 t;2jr G.32)
Величины pi,pi, Вг и
Р2 Ч й—	* 2	V 'дО)
можно считать заданными. Определению подлежат вели-
величины vi, v2x, v2y, p2 и р2 или J32. Для определения пяти
величин существует пять уравнений: G.27), G.28), G.30),
G.31) и G.32). Решение этой системы можно получить
следующим образом. Из уравнений G.28) и G.31) находим
p2v22x = h.	G.34)
Подставив равенства G.34) и G.33) в уравнение G.30),
найдем скорость ударной волны
^±1.	(,35,
Отметим, что для слабой ударной волны, когда Рг-^pi, эта
скорость соответствует магнитогидродинамическим вол-
волнам, рассмотренным в § 6.5 (случай 2).
Используя уравнения G.27) ji G.34), получим также
в\ ^ (р2 =	^ _
4^	р2	р2	" Р2
Исключая отсюда с помощью G.35) член pit;?, находим
коэффициент сжатия
Ч = ^ = 1 + 5(^2 -Рх).	G-36)
Для слабых ударных волн этот коэффициент становится
равным единице. Создается впечатление, что, согласно
уравнению G,36), коэффициент сжатия может принимать
сколь угодно большие значения при увеличении Рг. Однако
7 К. Лонгмайр	177

еще не было использовано уравнение сохранения энергии
G.32). Исключив из этого уравнения vly с помощью урав-
уравнения G.28), затем v\x с помощью уравнения G.34) и
V2x*— с помощью уравнения G.27) и, наконец, деля на гл,
получим
Используем далее уравнения G.35), G.33) и G.36) соответ-
соответственно для исключения pit;?, рг и Рг из последнего выра-
выражения. Тогда можно найти выражение для В% как функ-
функцию коэффициента сжатия г):
^ ВЦ = (п — 1) [D — -п) || — 5рг] .	G.37)
Для достаточно больших значений г\ правая часть выраже-
выражения G.37) становится отрицательной. Следовательно, для
этих значений решение, соответствующее рис. 7.3, отсут-
отсутствует. Наибольшее значение т), для которого оно еще суще-
существует, равно
G.38)
Поскольку т) не может быть меньше единицы, ударная волна
в рассматриваемом случае отсутствует, если
или
Наибольшей допустимой величине г) соответствует, со-
согласно уравнению G.36), наибольшее давление Рг. При
давлениях, больших этой величины, образуется ударная
волна (см. начало настоящего параграфа).
§ 7.4. Структура машитогидродинамической
ударной волны. Случай слабой ударной волны
В изучении структуры фронта ударных магнитогидро-
динамических волн получены некоторые результаты для
того случая, когда направление распространения ударной
волны параллельно В.
178

Не будем сначала принимать во внимание влияние столк-
столкновений. С точки зрения газодинамики кажется, что
тогда нельзя вообще говорить о каких-либо ударных вол-
волнах, поскольку в отсутствие столкновений не может увели-
увеличиваться энтропия, а в ударной волне энтропия всегда
должна возрастать. Однако доказательство последнего
утверждения основано на предположении о стационарности
условий за фронтом ударной волны. Такое предположение
не соответствует действительности, так как ударные волны
в*рассматриваемом случае генерируют колебания в плазме.
Энергия этих колебаний играет роль внутренней, так
что избыточная энергия (по отношению к энергии адиаба-
адиабатического сжатия) может перейти в энергию этих колеба-
колебаний. Соотношения, приведенные в §7.2, справедливы лишь
для величин, полученных путем усреднения по периоду
колебаний. При этом энергия колебаний учитывается
в давлении. Наличие энергии колебаний вовсе не означает
увеличения энтропии в строгом термодинамическом смысле,
поскольку эта; энергия не связана с хаотическим движе-
движением частиц. Действительно, энергия этих колебаний
может быть извлечена обратно в полном согласии с термо-
термодинамикой, т. е. без передачи тепла от горячих тел к хо-
холодным. Однако, когда под влиянием столкновений колеба-
колебания в конце концов затухают и макроскопические усло-
условия становятся стационарными, энтропия увеличивается
на вполне определенную величину.
Как установлено в § 7.1, крутизна переднего фронта
волн сжатия нарастает до того момента, когда начинают
играть роль неадиабатические эффекты. В частности, когда
частоты в системе координат частиц, движущихся на-
навстречу волне, превышают ларморовскую частоту, раз-
развитая в гл. 2 адиабатическая теория становится несправед-
несправедливой. В этом случае энергия w^ уже не будет пропор-
пропорциональна 5. Так как ларморовская частота для ионов
много меньше, чем для электронов, можно ожидать, что,
хотя движение ионов приобретает неадиабатический ха-
характер, электроны будут еще двигаться адиабатически.
Попытаемся положить это предположение в основу на-
нашего анализа.
Если характер движения ионов и электронов различен,
то образующееся в силу этого разделение зарядов вызовет
появление электрических полей, которые будут действо-
действовать в направлении нейтрализации образующихся заря-
7*	179

дов. Уже при самом незначительном разделении зарядов
возникают очень сильные электрические поля. Поэтому
сделаем упрощающее предположение о том, что электри-
электрические силы играют главную роль в движении ионов и что,
следовательно, действием магнитного поля на них можно
пренебречь.
Пусть магнитное поле направлено по оси z, как пока-
показано на рис. 7.4, а плазма движется вдоль оси х. Перейдем
к системе отсчета, связанной с волной. В этой системе
существует электрическое
поле, направленное по оси
у, которое будет вызывать
дрейф электронов по оси
х со скоростью
11
В
G.40)
2
Рис. 7.4. Ориентация полей в
слабой ударной волне.
Поле Еу удовлетворяет
уравнению Максвелла
или
G.41)
rot
дЕу
дх
Е = —
1
с
1 дЕ
дВ
дТ '
Ранее предполагалось, что ударная волна плоская, т. е.
физические условия не зависят от координат у и г. Если
исключить с помощью уравнения G.40) Еу из уравнения
G.41), можно получить
§-'r§-x(Bvx)=0.	G.42)
Сравнение этого уравнения с уравнением сохранения чис-
числа электронов
dN д
f <"> 0
показывает, что плотность электронов изменяется ана-
аналогично величине В. Тогда если предположить, что перед
волной значения 7V_ и В постоянны и равны No и Во соот-
соответственно, то
% = const
В
или
G.43)
180

При разделении зарядов возникает электрическое поле,
направленное вдоль оси х. Это поле заставляет электроны
дрейфовать в направлении оси у и приводит к току
. __ N_evy _N_e Ex_Noe _ Noe д<?
где е считается положительной величиной, а также введен
потенциал ф, градиент которого с отрицательным знаком
равен Ех. Согласно предположению о независимости дви-
движения ионов от магнитного поля, пренебрежем вкладом
ионов в ток ]у. Тогда уравнение Максвелла, содержащее
rot В, приобретает вид
1^ J	G.45)
дх . Jy	Во дх
В последнем уравнении током смещения пренебрегаем,
точно так же не учитываем диэлектрический эффект элек-
электронов при написании уравнений G.40) и G.44). Справед-
Справедливость этих предположений будет проверена позже.
Если принять ф = 0 впереди фронта ударной волны, то
интегрирование уравнения G.45) дает
).	G.46)
Потенциал ф удовлетворяет уравнению Пуассона
где /V_j- — плотность ионов. Далее, так как
можно с помощью уравнения G.46) написать окончательно
181

Для большего удобства перепишем это уравнение в безраз-
безразмерном виде, введя следующие единицы:
единица длины	^ g = Я;	G.48)
единица потенциала — BQ X,
Обозначив новые единицы опять х и ер, получим
fj— ф ^ 1—9*+.	G.49)
Обратимся теперь к уравнениям движения для ионов.
Как сказано выше, действием магнитного поля на ионы
пренебрегаем. Одновременно пренебрежем и действием
сил, вызванных компонентой Еу, поскольку эти силы вы-
вызывают дрейф частиц в направлении оси х, т. е. поперек
магнитного поля. При пренебрежении действием магнит-
магнитного поля на ионы они могут самостоятельно двигаться
в том же направлении (вдоль оси х) без помощи компоненты
Еу. Если и — скорость иона в направлении оси х, то
ад ^и	д?
dl ~ е~дх '
Используя в этом уравнении введенные безразмерные еди-
единицы, а также единицу времени
г No e2 '
можно записать уравнение движения ионов в виде
G.50)
^ = -?-	G-51)
dt	дх	v '
Единицей скорости в этом уравнении является величина
R2
G.52)
равная скорости магнитогидродинамических вата, рас-
рассмотренных в'гл. 4, для которых кинетическое давление
много меньше магнитного.
182

Уравнение движения G.51) для каждого иона должно
быть решено совместно с уравнением Пуассона G.49) для
потенциала ф. Плотность &+ (х, t) можно найти подсчетом
числа частиц, приходящихся на единицу длины в момент t
в окрестности точки х. Таким образом, это типичная
проблема многих тел для одного измерения, точное ре-
решение которой практически невозможно. Можно несколь-
несколько упростить задачу, предположив, что скорости всех
ионов, находящихся в данной точке, одинаковы, т. е. от-
отсутствует разброс скоростей, что, другими словами, озна-
означает — ионная температура близка к нулю. В таком слу-
случае уравнение G.51) можно рассматривать как газодинами-
газодинамическое уравнение Эйлера, где скорость и (х, t) есть функ-
функция не только t, но и х. Производная по времени от этой
скорости тогда равна
du да , да	,* гОЧ
а плотность ионов должна удовлетворять уравнению со-
сохранения
d-W+k^-u)=0.	G.54)
Система уравнений G.49), G.51), G.53) и G.54) весьма
похожа на уравнение обычной газодинамики, где роль
давления играет <р. При этом роль уравнения состояния
играет дифференциальное уравнение G.49).
Можно легко показать, что эти уравнения допускают
решения в виде волн малой амплитуды, распространяю-
распространяющихся со скоростью, определяемой выражением G.52)
в том случае, когда длина волны больше единицы длины,
определяемой выражением G.48). Таким образом, в ли-
линейном приближении уравнения имеют разумное решение.
Однако нас интересует характер решений большой ампли-
амплитуды.
До сих пор не найдено решений этих уравнений, по-
подобных, скажем, простым волнам (волнам Римана) обычной
газодинамики. Можно, однако, попытаться получить неко-
некоторую информацию, ограничиваясь только стационарными
решениями, т. е. зависящими в системе волны только от
183

координаты х. При таких предположениях уравнение
G.51) приобретает вид
и *И — _ d4
и dx~ dx'
Его решение, очевидно, сводится к следующему
2	U2
\ + ф> const = -|,	G.55)
где по — скорость перед фронтом волны, или, что то же
самое, скорость волны со знаком минус в лабораторной
системе. Решая уравнение G.54), получим
9Lj_ и = const — и0,
поскольку 9i4- = l перед фронтом волны. Поэтому
« =«o = _«L=.	: G.56)
У и\ - 2<р
Подставляя эти соотношения в уравнение G.49), находим
G.57)
•Это уравнение подобно уравнению движения частицы
(если под ф подразумевать ее координату, а под х — время)
в поле с потенциалом
G.58)
Как в эквивалентной задаче механики, решение уравне-
уравнения G.57) можно качественно исследовать, исходя из за-
зависимости V (ф).
При ф = 0 У(ф) = —ио- Первая производная dV/dy
при ф = 0 обращается в нуль. Вторая производная там же
равна
д2 V 1
1	G59
Следовательно, если по <С 1» кривизна кривой 1/ имеет
положительное значение и величина ф колеблется вокруг
184

Ф = 0. Подобные решения представляют как бы след вол-
волны, сохраняющей свою амплитуду постоянной. Они, есте-
естественно, не описывают собственно ударную волну.
При по > 1 кривизна V для ф = 0 становится отрица-
отрицательной. В этом случае форма кривой имеет вид, изобра-
изображенный на рис. 7.5. Для значений ф<0 У монотонно
увеличивается по отрицательной величине. Для положи-
положительных ф V сначала убы-
убывает, достигает минимума,
а затем растет. Кривая
обрывается при ф = и1/2,
где подкоренное выраже-
выражение становится отрица-
отрицательным и, следовательно,
скорость и — мнимой.
Решение уравнения
G.57) должно содержать
постоянную интегрирова-
интегрирования, аналогичную полной
энергии в эквивалентной
механической задаче. В интересующих нас решениях
эта константа должна равняться V @) (рис. 7.5, го-
горизонтальная пунктирная линия). Таким образом, реше-
решение, начинающееся при ф = 0, сначала экспонен-
экспоненциально возрастает, затем как бы отражается от про-
Г\
Рис. 7.5. Эквивалентный потен-
потенциал для уравнения ударной
волны.
Рис. 7.6. Периодические и затухающие
колебания потенциала.
тивоположного «склона» потенциальной ямы и возвра-
возвращается к начальному состоянию опять при ф = 0. Это ре-
решение представляет сверхзвуковые импульсы (рис. 7.6,
сплошная линия). Но это еще не ударная волна. Однако
если допустить существование небольшого числа столкно-
столкновений между ионами и электронами, то «колебательное
движение» функции ф станет затухающим. Ее значения
будут осциллировать вокруг точки минимума V(y) и в кон-
7В К. Лонгмайр	185

це концов сосредоточатся в непосредственной близости от
нее. Подобная структура уже соответствует ударной волне.
Необходимо при этом отметить, что при наличии столкно-
столкновений, вызывающих тепловой разброс, наши уравнения
становятся менее строгими, так как мы положили в их
основу монохроматичность ионов по скоростям. Поэтому
минимум потенциала не будет точно соответствовать уплот-
уплотнению ударной волны. Однако ясно, что ударная волна
генерирует колебания плазмы, затухающие под влиянием
столкновений. Если затухание на самом деле вызывается
столкновениями, электроны и ионы приобретают в равной
степени энергию, диссипируемую в ударной волне.
Существует и другая^возможная причина затухания ко-
колебаний. Если ударная волна образуется перед некоторым
поршнем (расстояние от поршня до нее меньше расстояния,
на котором волны успевают затухнуть из-за столкнове-
столкновений), то волны, отражающиеся от поршня, будут сталки-
сталкиваться с волнами, идущими от ударной волны. В резуль-
результате в области между поршнем и волной возникают неста-
нестационарные «бурлящие» движения плазмы. (Численные
расчеты подтверждают это предположение.)
Можно ли уподобить эти нестационарные движения
бурунам в воде, возникающим там, где есть препятствия
ее потоку? Вопрос этот в действительности не такой наив-
наивный, как может показаться на первый взгляд. Согласно
уравнению G.49), потенциал между двумя источниками
типа дельта-функций при их сближении не стремится
к бесконечной величине. Поэтому нет причин для того,
чтобы различные элементы плазмы не могли проникать
друг в друга, разрушая при этом первоначальную упорядо-
упорядоченность своего движения. Если подобные ситуации могут
иметь место, то энергия колебаний может постепенно пе-
переходить в хаотическое движение многих групп ионов.
При этом ионы получают энергию, диссипируемую в удар-
ударной волне, в то время как электроны сохраняют свое адиа-
адиабатическое движение. Однако еще не известно, проявляется
ли подобный механизм в действительности.
Следует отметить, что теория, развитая выше, приме-
применима все же для не очень больших амплитуд ударной вол-
волны. Это связано с тем, что при ио^> 2 (т. е. если скорость
ударной волны превышает вдвое скорость волн малой ам-
амплитуды) кривая «потенциальной функции» У(ф) обры-
обрывается ниже точки ее начала. При этом ф стремится к зна-
186

чениям, большим, чем начальная кинетическая энергия
ul /2, и решение теряет смысл.
Следует еще проверить предположения, сделанные при
выводе этой теории. Одно из них заключалось в том, что
получающиеся частоты должны быть меньше ларморов-
ской частоты электронов. Поскольку частота колебаний по
порядку равна обратной величине единицы времени G.50),
должно соблюдаться неравенство
тс > У М
ИЛИ
т^ J4nN0mc2 \
М\ В» )
Однако поскольку диэлектрическими эффектами, вызы-
вызываемыми присутствием электронов, пренебрегалось, вклад
электронов в диэлектрическую постоянную мал, т. е.
<1.	G.60)
во
Это условие, очевидно, более сильное, чем первое.
Наконец, проверим справедливость пренебрежения
действием магнитных сил на ионы. Это предположение,
очевидно, будет разумным, если частота колебаний больше
ларморовской, т. е.
*^1.	G.61)
во
Таким образом, вклад ионов в величину диэлектри-
диэлектрической постоянной должен быть большим. Очевидно,
существует область значений No/Во, где удовлетворяются
оба условия: G.60) и G.61).
§ 7.5. Модель поперечной ударной волны
Если принять, что энергия, рассеиваемая в ударной
волне, идет на образование колебаний, связанных с ней,
то можно построить более детальный механизм ударной
волны. Подобное рассмотрение было проведено для удар-
ТВ*	187

ных волн, распространяющихся перпендикулярно на-
направлению магнитного поля *.
В двух словах колебательный механизм ударной волны
можно представить следующим образом. Будем считать,
что колебания возникают в области за ударной волной.
Некоторые из волн, создаваемых этими колебаниями,\ про-
проникают ив область самой ударной волны. Здесь их "энер-
"энергия возрастает в результате сжатия. Таким образом,
в ударной волне происходит усиление колебаний, причем
достаточное для поддержания колебаний в области за ее
фронтом. Образующиеся^ результате этого механизма
волны имеют довольно большую амплитуду. Поэтому бла-
благодаря нелинейному характеру взаимодействия их энер-
энергия постепенно передается все более коротковолновым ко-
колебаниям. Энергия волн играет, таким образом, роль
внутренней энергии в законах сохранения.
Если только эти волны не сносятся немедленно з: об-
область, расположенную далеко за фронтом ударной волны,
то, очевидно, их скорость по отношению к плазме должна
быть того же порядка, что и скорость ударной волны, т. е.
равной или несколько большей альфвеновской скорости.
Поскольку низкочастотные альфвеновские волны имеют
групповую скорость, равную альфвеновской, они могут
играть роль только для крайне слабых ударных волн.
Волнам с групповой скоростью, превышающей альфвенов-
скую, должны соответствовать частоты_по крайней мере
порядка ларморовской частоты ионов <оь для которых ме-
метод орбит несправедлив.
Как было установлено в § 7.1, крутизна фронта адиа-
адиабатических волн сжати-я постепенно возрастает. Разумно
предположить, что ширина фронта ударной волны пере-
перестает уменьшаться при достижениич наибольшего значе-
значения, для которого уже неадиабатические эффекты в со-
состоянии обеспечить выполнение законов сохранения. Это
означает, что частота (в системе координат, связанной
с плазмой) должна быть наименьшей, допускающей суще-
существование заметных адиабатических эффектов. Естественно
обратить внимание на ларморовскую частоту ионов.
Будем считать, что ударная волна движется сквозь
первоначальную холодную плазму, находящуюся во внеш-
* В этом параграфе излагаются результаты работы F. F i s h-
m a n et al. Rev. Mod. Phys, 32, 959 A960).
188

нем магнитном поле Ввн, направленном перпендикулярно
скорости ударной волны. Альфвеновская скорость Va
перед фронтом ударной волны имеет значение
<7-62>
Пусть скорость ударной волны равна
G.63)
Число Ж мы назовем числом Маха для ударной волны.
На передней грани ударной волны возникающие воз-
возмущения возбуждают волны в холодной плазме, группо-
групповая скорость которых должна равняться Va. Какие из
волн с частотой порядка со* могут иметь такую групповую
скорость?
"Естественно прежде всего обратиться к волнам, рас-
рассмотренным в § 6.7, у которых кXВвн. Предположим Для
простоты, что
¦ <о*«<У	G.64).
Тогда, согласно выражениям F.99) и F.97), дисперсионное
уравнение для таких волн дает
4tzNM
Va
f	COj- (x
Поскольку dk/d(u> 1/Va для со < j/co.co^,, их групповая
скорость
Отсюда видно, что подобные волны нас не устраивают.
Главная причина заключается том, что г в этом случае
есть возрастающая функция [со].
Из графика рис. 6.5 видно, что в случае, когда к || Ввн,
для отрицательных и малых по абсолютной величине зна-
значений со е — убывающая функция |со|. Групповая ско-
скорость таких волн больше Va. Однако она направлена по
Ввн, т. е. перпендикулярна скорости ударной волны, в силу
чего эти волны также не могут оказаться полезными. По-
Попытаемся воспользоваться косыми волнами, рассмотрен-
189

ными в § 6.9, для которых существует дисперсионное со-
соотношение F.106). При
со2 < со, со, и со,«сор	G.65)
это соотношение значительно упрощается, сводясь к ра-
равенству нулю членов в квадратных скобках. Из уравнений
F.94) и F.95) в том же приближении следует
где
Окончательно дисперсионное соотношение приобретает
вид
со* - со* [v2 № + 2kl) +~М + kl) kl
G.66)
где kz — компонента вектора к, параллельная Ввн, a kx—
его компонента в направлении движения ударной волны.
Мы не будем решать приведенное уравнение точно, а ог-
ограничимся случаем, когда
k2v2
1
G.67)
Справедливость этого предположения докажем впоследст-
впоследствии. Для такого случая приближенное решение уравне-
уравнения G.66) имеет вид
1/2
e>tt±?kzvki + ki.	G.68)
Групповая скорость в перпендикулярном фронту ударной
волны направлении будет равна
Vgx = *?-« + УЛ k*k* .	G.69)
190

При заданной абсолютной величине k она максимальна
тогда, когда kx = kZy т. е. когда вектор к, делит угол
между Ввн и скоростью ударной волны пополам. Это макси-
максимальное значение групповой скорости равно
G.70)
Таким образом, эта групповая скорость может стать как
угодно большой с ростом величины Vak/u>i в сравнении
с альфвеновской скоростью. Для сильных ударных волн
со скоростью, во много раз превосходящей Va, предполо-
предположение G.67), естественно, выполняется. Можно показать,
что другие решения уравнения G.66) не приводят к груп-
групповой скорости, большей Уа.
Если приравнять максимальную групповую скорость
скорости ударной волны и использовать равенство G.63),
то найдем
2Ж
G 71)
Выражение под корнем представляет собой квадрат лар-
моровского радиуса иона, движущегося с альфвеновской
скоростью. Можно считать, что даваемое этим соотно-
соотношением значение l/k соответствует длине волны основного
(наинизшего) колебания, создаваемого ударной! волной.
Поэтому можно предположить, что ширина фронта удар-
ударной волны будет соизмерима с l/k, что, кажется, соответ-
соответствует данным эксперимента *.
Теория, развитая в § 7.4, совершенно не учитывает
действия магнитного'поля на*ионы в отличие от рассуж-
рассуждений настоящего параграфа. Можно ожидать, что ширина
фронта ударной волны, вычисленная в этом параграфе,
окажется больше полученной в § 7.4, поскольку там^пре-
небрегалось некоторыми эффектами, позволяющими не-
неадиабатическому механизму проявиться при более низ-
низких частотах, т. е. при ббльших'ширинах фронта ударной
волны. В этом параграфе ширина фронта по порядку
* См. сноску на стр. 188.
191

равна l/k, тогда как в § 7.4 она определялась выражением
G.48). Их отношение равно
k 2<m
Поскольку справедливость теории, развитой в § 7.4, была
ограничена условием 3R < 2 и так как диэлектрическая
постоянная ионов (величина под корнем) считалась ^боль-
^большой, ширина l/k действительно больше, чем выведенная
в § 7.4. Исходя из гипотезы о том, что ширина ударных
волн сжатия должна быть наибольшей, можно заключить,
что последняя модель ближе к действительности.
Однако изложенная теория не является общепризнан-
общепризнанной и существуют другие подходы к этой задаче. Читатель
может познакомиться с ними в работах, упоминаемых
в списке литературы.

ГЛАВА О
СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ
§ 8.1. Введение
До сих пор мы игнорировали дискретную природу
электрических зарядов и токов, рассматривая их, а сле-
следовательно, и электромагнитные поля как непрерывные
функции пространственных координат. По существу мы
оперировали в некотором смысле средними значениями
напряженностей полей.
Причина такого приближенного рассмотрения доста-
достаточно, очевидна. Задача точного расчета состояния плаз-
плазмы — проблема многих тел, и, конечно, нет никакой на-
надежды решить ее точно.
Силы, действующие на некоторую частицу, зависят
от координат всех других частиц в данный момент, а если
учихывать запаздывание, то и от их значений в предше-
предшествующие моменты времени. В приближении непрерыв-
непрерывного поля удастся свести эту сложную взаимозависимость
частиц к проблеме решения уравнений движения для
одной частицы в усредненных полях.
В этой главе мы попытаемся выяснить, какие явления
ускользают от рассмотрения в таком приближении, и оце-
оценить их влияние. Назовем эти явления «эффектами
столкновений», хотя усредненные силы, действующие на
частицу, также являются проявлением как бы столкнове-
столкновений частицы со всеми остальными частицами одновре-
одновременно.
§ 8.2. Флуктуации в нейтральной плазме
Рассмотрим сначала простейший случай нейтральной
плазмы без магнитного поля. Под словом «нейтральная»
подразумевается такая плазма, в больших объемах кото-
193

рой число положительных и отрицательных частиц равно.
В таком случае можно утверждать, что среднее электри-
электрическое поле в этой плазме в том смысле, в котором оно
определялось в предшествующих главах, равно нулю.
Однако в малых объемах число частиц того или ионного
знака испытывает флуктуации, и нейтральность будет
выполняться только при условии усреднения либо по
времени, либо по пространству.
Рассмотрим малый элемент объема б V и подсчитаем
вероятность Р (п, т) того, что в нем содержится п электро-
электронов и т ионов (ионы предполагаются однозарядными).
Если пренебречь взаимодействием частиц, то вероят-
вероятность нахождения в элементе б V п э/лектронов будет опре-
определяться распределением Пуассона
p(n\ = an^Il	(8.1)
которое должно быть нормировано так, чтобы
J/W = l.	(8.2)
Среднее число электронов тогда будет равно
00	00	ОО
У nP(n)=e~"S< n-^==e^aa±y <L =
^ \ /	ij^ n\	da ^ п\
п=0	л=0	п=0
— \t u j-ie I — и.	\О.о)
и а	'
Поэтому параметр а следует выбрать таким образом, чтобы
a=N6V,	(8.4)
где N — среднее число электронов в единице объема.
При пренебрежении силами взаимодействия Р (п> т)
можно рассматривать просто как произведение двух рас-
распределений Пуассона
P0(n,m) = e-2aj^.	(8-5)
Из этого выражения следует, конечно, что средний заряд,
пропорциональный (т—/г), обращается в нуль, и можно
считать, что среднее электрическое поле также равно нулю.
194

Среднее
Далее,
значение (т—пу
(го — пJ = т
т2 — п2 — е
равно
-а V1
/1=0
— 2тп
(8.6)
d d
m-n = /n-л = a2.	(8.8)
Поэтому среднеквадратичный избыток числа одних частиц
над другими будет равен
(т — пJ = 2а.	(8.9)
Напомним, что это выражение справедливо при пренебре-
пренебрежении силами взаимодействия. Более высокие моменты
(т—п) могут быть вычислены аналогичным путем.
Рассмотрим теперь влияние кулоновского взаимодей-
взаимодействия частиц на их распределение. Это рассмотрение будет
приближенным, однако для большинства целей оно впол-
вполне достаточно. Вероятность Ро(я, /п), даваемая выраже-
выражением (8.5), представляет априорную вероятность того,
что в объеме 8V содержится п электронов и т ионов. При
этом не учитывается потенциальная энергия их взаимо-
взаимодействия. Естественно, п электронов и т ионов могут быть
распределены в объеме 'б V любым образом. Предположим
для определенности, что объем 8V — сферический с радиусом
г, а избыточный заряд весь сосредоточен на его поверх-
поверхности. Тогда потенциальная энергия такого заряда опре-
определяется как
V(ny m)=±e2(m-nJ/r.
Поскольку для данного радиуса и суммарного заряда эта
величина представляет наименьшее значение потенциаль-
195

ной энергии, будем считать, что она на самом деле не-
несколько больше. Положим, что она больше в 1,5 раза, т. е.
V(n9m)'=je*\m — nyr.	(8.10)
Это, конечно, лишь догадка, но она нас вполне устроит*.
Если учесть потенциальную энергию, то априорная
вероятность должна быть умножена на ехр (—V/kT), и
Р1(п,т) = Ае-2«-^е *т .	(8.Ц)
В этом выражении постоянную А нужно определить из
условия нормировки
п) = 1.	(8.12}
Для того чтобы исследовать выражение для Р (я, т) бо-
более подробно, аппроксимируем факториалы согласно фор-
формуле Стрилинга
п\^У2тг'ппе-п.	(8.13)
Поскольку ошибка при такой аппроксимации про-
пропорциональна A2 я)-1, то в случае больших я эта аппрок-
аппроксимация очень точна. Однако даже для я ~1 представле-
представление Стрилинга может быть применимо. ^
Используя это представление, получим *
ж 7^ е{п~ак	(8Л4)
Последние два сомножителя "зависят от п значительно
сильнее, чем ]/п . Пусть
Разложив эту функцию вокруг точки, в которой она
имеет максимум и перейдя к логарифмам, находим
In / = n In а — я In n + п — а
и
* Множитель 3/2 получается при усреднении величины Цг
по объему.
196

Максимум /, таким образом, расположен в точке п = а.
В этой точке
Вторая и третья производные в той же точке равны
^lnf-_l '*-lnf-±
dn2 '	[а ' dn* ' а2 *
Поэтому разложение / вокруг точки п = а имеет вид
,	( (л—а)а . 1 (л —аK
j __ ехр | -j-a t- -g а2
Первый член в скобках существен при п — а ж \/а.
Второй член в этой точке меньше первого в 1/3 У а раза.
Поэтому если величина а (которая окажется опять рав-
равной среднему числу электронов или ионов в объеме 8V)
велика, то вторым членом можно пренебречь. Тогда рас-
распределение Пуассона (8.14) превращается в распределение
Гаусса
п\
(8.15)
Здесь у.п заменен У а, поскольку У п меняется медленно
по сравнению с экспоненциальной функцией.
Используя эти упрощения, можно переписать выра-
выражение для вероятности Р (п, т) (8.11) следующим обра-
образом:
2а	[2а	4] rkT
Поскольку в последнем члене экспоненты фигурирует
(т — пJу удобнее вместо тип использовать т — п
и т + п. Проводя преобразование, получим
4а
(т — п)* 3 е2(т~пу
4а	4 rkT
(8.16)
Из этой формулы следует, что среднее значение т + п
равно 2а, а т — п — нулю. Поэтому средние значе-
197

ния тип равны а, в силу чего а опять определяется
по формуле (8.11).
Два последних члена в экспоненте выражения (8.16)
пропорциональны (т — пJ. Сравним относительное зна-
значение этих двух членов. Они имеют одинаковое значение
для
или, согласно (8.11),
vr "" з e2 •
Следовательно, эти два члена играют одинаковую
роль, если радиус элемента объема равен
= Лд.	(8.17)
Это расстояние носит название дебаевского радиуса и обоз-
обозначается обычно Хр.
Если радиус г несколько меньше XD) член, соответствую-
соответствующий потенциальной энергии в экспоненте выражения (8.16),
становится несущественным (так как а ~ г3). Для таких
объемов число электронов и число ионов по существу ни-
никак не коррелируют друг с другом, несмотря на учет по-
потенциальной энергии их взаимодействия. Однако для
объемов радиуса, несколько большего %d, потенциальная
энергия начинает играть существенную роль, в результате
чего флуктуации величины (т — п) уменьшаются в kD/r
раз по сравнению со случаем, когда взаимодействием элек-
электронов и ионов пренебрегается.
Проведенное рассмотрение становится несправедли-
несправедливым, когда число частиц в сфере дебаевского радиуса ста-
становится малым, например порядка 1. Это связано, во-пер-
во-первых, с тем, что в таком случае приближенное представле-
представление распределения Пуассона становится неточным. Во-
вторых, наша оценка величины потенциальной энергии
взаимодействия не учитывала по существу дискретной
природы электрических зарядов, которая оказывается
существенной для малого числа частиц. Условием справед-
справедливости использованного приближения поэтому может
служить неравенство
198

или с учетом определения XD
¦^>>C6яI/3
5.
(8.18)
Поскольку N1/* — величина, обратная среднему расстоя-
расстоянию между частицами, величина N1/^2 равна средней по-
потенциальной энергии взаимодействия двух соседних час-
частиц. Таким образом, условие (8.18) заключается в том, что-
чтобы величина kT была несколько больше средней потен-
потенциальной энергии взаимодействия соседних частиц.
кТ9э8
0,1
0,01
——
/
— *-
/
/
/
/
/
^-—
/
/
/
**>
12
П
18
Рис. 8.1. / — 50% ионизации водорода; 2 — одна
частица в сфере дебаевского радиуса.
На рис. 8.1 показана область, в которой выполняется
условие (8.18). Например, для плотности N = 1018 э/см3
kT должно быть больше 10~12 эрг, или 0,7 эв. В случае
меньших N kT соответственно уменьшается. Так как
нас обычно будут интересовать значительно большие зна-
значения kT (килоэлектронвольт и более), а N —небольшие
чем 1018 э/см3, то условие (8.18) будет всегда выполняться.
Помимо этого надо отметить, что приведенная выше
температура в 0,7 эв настолько низка, что водород с плот-
плотностью N — 1018 э/см3 даже не будет ионизирован. Вы-
Выясним, каково должно быть соотношение между N и kT,
чтобы ионизировать водород на 50%. Относительная засе-
заселенность основных энергетических уровней водорода
(Яо = 13,6 эв) равна
199

Относительная заселенность свободных состояний, с дру-
другой стороны, определяется как
где 2/N — объем, приходящийся на один электрон, при
условии, что газ на 50% ионизован. При [50% -ной иони-
ионизации Pg и Pf должны быть^равны друг другу *, поэтому
()
BтсJ	Ак2
В этом выражении был введен боровский радиус ао =
= 0,53-Ю"8 см. Область, соответствующая степени иони-
ионизации, большей чем 50%, также изображена на рис. 8.1.
(Ввиду экспоненциальной зависимости Р от энергии иони-
ионизация ^ростом температуры быстро достигает 100%.) tfj^
Мы видим, что в области интересующих назначений
плотности частиц ионизация прекращается раньше, чем
нарушается условие (8.18).
§ 8.3. Экранирование электрических зарядов
в плазме
Дебаевская длина играет важную роль еще в одной
проблеме, тесно связанной с только что рассмотренными
флуктуациями. Предположим, что в плазму помещен элек-
электрод, находящийся по отношению к плазме под некоторым
потенциалом. Каково будет распределение потенциала
вокруг этого электрода? Будем по-прежнему считать, что
магнитное поле отсутствует и заряженные ^частицы дви-
движутся только под действием электрического поля.
Ответ на поставленный вопрос в сильной степени зави-
зависит от того, что происходит с электронами после их удара
об электрод.
Будем предполагать для простоты, что при этом про-
происходит идеальное отражение электронов от поверхности
электрода. Именно в этом случае плазма достигает тепло-
* На возбужденные, но связанные состояния приходится лишь
малая доля всех электронов.
200

вого равновесия. Тогда плотности ионов и электронов
имеют вид
N+ = Ne
"kf
(8.20)
В этих выражениях использовался одинаковый постоян-
постоянный коэффициент N для ионов и электронов. Это не умень-
уменьшает общности рассуждений, так как если в начальный
момент эти коэффициенты не равны, то выбором произ-
произвольной постоянной у потенциала можно всегда их сделать
равными. В частности, потенциал ф был выбран таким
образом, чтобы он обращался
в нуль при равных плотно-
плотностях ионов и электронов.
Уравнение Пуассона, если -
ограничиться плоским слу-
случаем, будет иметь вид	* 105
10
10s
W2
10
10°
10
5	Ь^. (8.21)
С помощью подстановки
* "" кТ
и введения новой единицы
длины
= V Ш*
f (8-22)
это уравнение можно приве-
привести к безразмерному виду
10
10°
ж'
ю-
10"
W*
ш!
ш6
ж7
с
J
2
ж'
2 ¦
5-
ю'2-
10"'-
: ю" -
: 1 №'5:
'- *=* ю'6'-
'- 10"'-
'- 10й-
- 10" -
- »<
Рис. 8.2. Номограмма для опре-
определения дебаевского радиуса.
В том случае, когда i|) меньше единицы и, следовательно,
shi|)c-i|5, решение уравнения (8.21) имеет вид
(8.23)
201

Для величин я|), больших единицы, решение растет или
убывает еще быстрее, чем экспоненциальная функция.
Для слоя плазмы толщиной в несколько дебаевских ра-
радиусов решение, убывающее по мере увеличения расстоя-
расстояния до границы плазмы, очевидно, будет иметь вид (8.23).
Таким образом, видно, что за счет образования вблизи элек-
электрода слоя пространственного заряда, который экрани-
экранирует это поле, электростатическое поле проникает в плазму
лишь на глубину порядка дебаевского радиуса.
Дебаевский радиус обычно весьма мал, как в этом
можно убедиться из номограммы, приведенной на рис. 8.2.
§ 8.4. Дебаевский радиус в неравновесной плазме
Рассуждения двух предшествующих параграфов были
основаны на предположении о том, что плазма находится
в состоянии теплового равновесия. Однако можно пока-
показать, что результаты, полученные при этом, имеют более
общий характер.
Чтобы убедиться в этом, возвратимся к задаче о флук-
туациях. Рассмотрим элемент объема радиусом г и пред-
предположим, что электроны в этом объеме и вблизи него в не-
некоторый момент движутся таким образом, что если им пре-
предоставить возможность свободно двигаться и дальше, то
в объеме создастся избыток заряда одного знака. Если
средняя скорость электронов вблизи этого объема равна v,
то для этого потребуется время r/v. Однако избыток заряда
одного знака приводит к образованию электрического поля,
противодействующего дальнейшему накоплению этого за-
заряда. Время, за которое действие этого поля скажется на
движении электронов, очевидно, соизмеримо с периодом
плазменных колебаний -|/т/4тгА^2. Если этот период мень-
меньше времени образования избытка заряда, то хочевидно,
что флуктуации будут эффективно подавляться кулонов-
скими силами. Радиус соответствующего элемента объема
r>
Величина, стоящая справа, по существу есть дебаевский
радиус, в котором температура заменена (с точностью до
множителя порядка 1) средней энергией электронов.
202

Результаты § 8.3 также не ограничиваются только слу-
случаем распределения Максвелла — Больцмана. Наличие
больцмановского коэффициента ехр (±еу/кТ) приводит
к появлению в уравнении (8.21) члена sh (ey/kT). Однако
конкретный вид этого члена не очень существен, поскольку
многие другие виды распределения приводят для малых
значений ф также к пропорциональности плотности ве-
величине еу/Т (где Т — средняя кинетическая энергия) и,
следовательно, к дебаевскому экранированию.
Сказанное, однако, не означает, что не может суще-
существовать распределений по скоростям, приводящим к пря-
прямо противоположным результатам. Например, монохрома-
монохроматический по скорости пучок частиц, попадая в область, где
потенциальная энергия возрастает, может приводить к об-
образованию там высокой плотности частиц за счет их за-
замедления. В гл. 11 мы рассмотрим некоторые из таких ано-
аномальных распределений по скоростям, приводящих к об-
образованию областей положительного и отрицательного
заряда.
§ 8,5. Кулоновское рассеяние
В этом параграфе будут изложены некоторые основные
сведения о рассеянии частиц в кулоновском поле, которые
пригодятся нам в последующих главах.
Рассмотрим столкновение двух частиц с массами mi
и /П2, зарядами Zxe и Z2e (е — заряд протона, a Zi и Z2 могут
иметь любой знак), имеющих до столкновения скорости vi
и V2. Задачу о таком столкновении проще всего рассматри-
рассматривать в системе центра масс частиц, используя относитель-
относительную скорость и скорость центра масс, определяемые сле-
следующим образом:
v-Vx — v2;
v —
(8.24)
M
где M — полная масса, равная
M =тг + т2.	(8.25)
Введем еще одну полезную величину — приведенную
массу
го = Т'	(8*26)
203

При преобразовании к системе центра масс соблюдается
равенство
у тг v\ + \ т2 vl =
+ i Л1V*.
(8.27)
в силу которого суммарная кинетическая энергия частиц
равна сумме кинетической энергии относительного движе-
движения и кинетической энергии центра масс. Более того, если
распределение по скоростям vi и V2 максвелловское с оди-
одинаковой температурой, то распределение по скоростям v и
V будет также максвелловским с той же самой температу-
температурой:
3	/	9ч	3
1Л
! \2kT
ехр \ —
m1vl
2kT
ехр —
т2
М
з_
(8.28)
Следует отметить, что обе части этого равенства норми-
нормированы на единицу для каждого набора переменных.
Скорость центра масс V не изменяется при столкнове-
столкновении. Абсолютная величина относительной скорости так-
также сохраняется постоянной,
хотя ее направление изме-
изменяется. Обозначим относи-
относительную скорость после
столкновения через v\ Век-
Вектор v' будем характеризовать
углом 8 между ним и v, a
также углом ф в плоскости,
перпендикулярной v, как это
изображено на рис. 8.3. Углы
6 и ф соответствуют обычным
угловым координатам в по-
полярной системе координат.
Дифференциальное поперечное сечение рассеяния в едини-
единицу телесного угла дается формулой Резерфорда
а@, ф) =Z?Zfi^ (sin-|Y~\	(8.29)
в которой характеристики движения относятся к системе
центра масс.
204
Рис. 8.3. Углы рассеяния.

Часто возникает необходимость вычислить влияние
столкновений на величины скоростей vi и V2 в лаборатор-
лабораторной системе координат. Для этого нужно использовать
выражение, обратное (8.24),
а именно:
(8.30)
Рис. 8.4. Прицельное расстоя-
расстояние.
Обычно удобнее выразить
по этим формулам все вели-
величины, относящиеся к системе центра масс, и затем про-
провести интегрирование по переменным в этой системе.
Угол рассеяния 0 связан с прицельным параметром d
(рис. 8.4). Большим прицельным параметрам соответ-
соответствуют меньшие углы, поскольку кулоновский потенциал
уменьшается с расстоянием, Асимптотическое соотноше-
соотношение между 6 и d можно получить, рассматривая траекто-
траекторию рассеиваемой частицы в первом приближении как
прямую- (рис. 8.5) и вычисляя импульс, передавае-
передаваемый в перпендикулярном
ей направлении. Угол рас-
рассеяния тогда будет равным
отношению этого импульса
к начальному импульсу
частицы mv.
После простых вычис-
вычислений можно получить
6 » 2Z* Z2f . (8.31)
dmv2 K }
\
\
Траектория частицы
Рис. 8.5. Схема для приближен-
приближенного расчета рассеяния на малый
угол.
Следует отметить, что эта формула выведена без учета
квантовых эффектов. Хотя квантовый метод расчета, как
и классический, приводит к той же формуле для сечения
рассеяния (8.29), в квантовой механике уже нельзя говорить
о точной связи прицельного параметра с углом рассеяния.
Согласно квантовым законам, если прицельный параметр
равен или меньше d, неопределенность при расчете угла
рассеяния будет равна
i	(8-32>
205

В тех случаях, когда полученный классическим методом
угол рассеяния (8.31)-меньше величины 60, классический
расчет неверен.
Критерий нарушения классического метода, таким
образом, имеет вид
°класс	2ZxZ2e2
об ~ hv
(8.33)
Для электрон-электронных и электрон-протонных столк-
столкновений максимальная величина энергии относительного
движения, выше которой классический метод не применим,
составляет около 40 эв, тогда как для столкновений про-
протона с протоном — около 40 кэв.
Поскольку для малых углов сечение о@) зависит от
угла как 0~4, интегральное сечение рассеяния, получаемое
интегрированием а(б) по всем углам, расходится. Следует
отметить, что даже, умножение а(8) на 0 или б2 не дает
конечного результата (хотя более высокие моменты уже
имеют конечную величину). Обращение этих величин
в бесконечность означает, что они не могут иметь никакого
физического смысла, поскольку правильно поставленные
физические задачи всегда приводят к конечным результатам.
Появление расходящихся интегралов связано в част-
частности со статистическим подходом к системе многих частиц.,
каковой является плазма. Не имея возможности точно
учесть все бесчисленные акты| столкновений, мы вынуж-
вынуждены вычислять только некоторые средние результаты.
При этом оказывается, как мы увидим в следующих главах,
что интерес представляют такие величины, которые ведут
себя при малых 6 как 02, т. е. по сути дела определяют
среднеквадратичный угол рассеяния. Поскольку для ма-
малых углов выражение а@H2 sin QdQ ведет себя как rf0/0,
интегралы от таких величин при их строгом вычислении
логарифмически расходятся. При статистическом под-
подходе к столкновениям мы обязаны считать центры рассея-
рассеяния распределенными в пространстве совершенно беспо-
беспорядочно. ' Но, как было уже показано, координаты частиц
только в достаточно малых объемах никак не коррелируют
друг с другом. Поэтому статистический подход оправдан
лишь для близких-столкновений. При прицельных пара-
параметрах, больших дебаевского радиуса, рассеяние частиц
ослабляется ввиду тенденции соответствующих объемов
к электрической нейтральности, большей, чем допускает
206

чисто статистический подход. Такая корреляция, стре-
стремящаяся сохранить нейтральность, приводит к экспонен-
экспоненциальному убыванию эффективности парных столкнове-
столкновений для больших прицельный параметров,^или, что одно
и тоже, при малых 8. Поэтому в расчетах обычно исполь-
используется просто формула Ре-
зерфорда, но интегрирование
обрывается при некотором
минимальном угле 6ОТ, полу-	юв-
чающемся приравниванием	¦	35
прицельного параметра де- g щ5-
баевскому радиусу	Ц 3j-,T~--io
(классический случай).
8	тех случаях, когда класси-
классическая формула (8.31) неспра-
несправедлива, минимальный угол
вычисляется из соотношения
неопределенности (8.32): 5
9	(квантовый случай).
I
I
I
JJ - - W
*¦ о
-•2
/4-7
-w5 §¦
и'|
~-3S
30
25
20
w
w3
w'
io5
10s
w
w
10'
i
| 0»
w17
w13
10"-
Рис. 8.6. Номограмма для оп-
о
ределения величины In —
(8.35)
Вообще говоря, возможен
более последовательный учет
экранирования. Однако, по-
поскольку Qm входит в оконча-
окончательный результат под зна-
знаком логарифма, ошибка при
изложенном методе не слишком значительна. На рис. 8.6
приведена номограмма для определения величины
[—ln@m/2)] * по плотности и температуре, соответ-
соответствующей кинетической энергии частиц. С помощью этой
номограммы можно убедиться, что изменение расстояния
обрезания интеграла в два раза меняет величину куло-
новского логарифма незначительно.
Таким образом, корреляция в плазме предотвращает
появление бесконечностей в расчетах. Поставим вопрос,
* Расчет электрон-электронных столкновений можно прибли-
приближенно проводить, используя шкалу для электрон-протонных столк-
столкновений.
207

какой результат получится, если считать, что центры рас-
рассеяния распределены беспорядочно? Можно показать, что
и в этом случае — результат будет бесконечным.
Формула Резерфорда описывает уже состоявшееся
столкновение, где 6 — угол асимптоты траектории рас-
рассеиваемой частицы (на больших расстояниях). Далекие
столкновения, приводящие к рассеянию на малые углы,
происходят по сравнению с близкими за большее время.
Для прицельных параметров, больших некоторого пре-
предельного значения, соответствующего времени At и по
порядку равного vAt, столкновения не успевают произойти
за время At. При учете незавершенности столкновений
рассеяние уменьшается, а зависимость сечения от угла
приобретает вид 1/03 для любого конечного промежутка
времени. Это обстоятельство и устраняет расходимость
полного сечения. По сути дела максимальный прицель-
прицельный параметр должен быть приравнен vAt. В плазме,
когда vAt больше дебаевского радиуса (которым соответ-
соответствует очень малым промежуткам времени), последний
играет определяющую роль.
§ 8.6. Влияние магнитного поля
Ясно, что в тех случаях, когда ларморовский радиус
больше дебаевского, наличие магнитного поля не повлияет
существенно на результаты § 8.2 и 8.4. В подобных слу-
случаях частицы на расстояниях порядка дебаевского ра-
радиуса продолжают вести себя как свободные.
Отношение ларморовского и дебаевского радиусов
равно
V -
В этом выражении было принято равенство kT — Ktnv\ ,
что естественно для изотропного распределения. Мы ви-
видим, что ларморовский радиус больше дебаевского тогда,
когда диэлектрическая постоянная плазмы велика.
В § 8.3 установили, что в отсутствие магнитного поля
основная масса плазмы остается электрически нейтраль-
нейтральной благодаря возможности перераспределения зарядов
под действием сил, ими же создаваемыми. В магнитном
поле, если при движении вдоль его силовых линий заряды
не могут осуществить такое перераспределение, возможно
208

образование областей с отличным от нуля суммарным заря-
зарядом. Такой случай реализуется, например, в магнитном
поле прямолинейного проводника с током, где избыточный
заряд может заполнить тор, образуемый пучком магнит-
магнитных силовых линий. Проблема флуктуации при этом долж-
должна быть рассмотрена несколько по-иному. Легко пред-
представить, что происходит в данном случае. Состоянию,
соответствующему минимальной электростатической энер-
энергии и одновременно совместимому с требованием, чтобы
заряды двигались только вдоль силовых линий, отвечает
равномерное распределение заряда вдоль магнитной сило-
силовой линии. Отклонения от этого среднего равномерного
распределения плотности зарядов будут увеличивать энер-
энергию пропорционально квадрату отклонения. этой плот-
плотности. Единственным расхождением с выводами § 8.2
является отличие средней плотности зарядов от нуля.
Флуктуации плотности уменьшаются, когда размеры объ-
объема становятся больше дебаевского радиуса.
Теперь можно точнее определить понятие средней
плотности заряда, часто нами употреблявшееся, следую-
следующим образом: средняя плотность равна суммарному за-
заряду в- объемах, больших дебаевских размеров, делен-
деленному на величину этого объема. Понятие средней плот-
плотности тока может быть установлено аналогично как произ-
произведение заряда и скорости. Средние поля определяются
через средние плотности заряда и плотности токов. По-
Поэтому необходимо потребовать, чтобы поля также не
сильно менялись на протяжении дебаевского радиуса.
При соблюдении этих условий усредненные уравнения
движения будут вполне удовлетворительно описывать
измерение во времени указанных средних величин. Есте-
Естественно, усредненное влияние столкновений все равно
должно учитываться в уравнениях движения для средних
величин, однако, как убедились ранее, столкновения (т. е.
взаимодействие частиц с прицельными параметрами, мень-
меньшими дебаевского радиуса) могут быть рассмотрены от-
отдельно от далеких кулоновских взаимодействий, учиты-
учитываемых при помощи усредненных полей.
В наших задачах ларморовский радиус обычно больше
дебаевского для протонов, но не для электронов. Для
электронов
8 К. Лонгмайр	•	209

Таким образом, при В =105 гс и N менее 4-1014 частиц/см3
ларморовский радиус меньше существенного значения
прицельных параметров. В этом случае на столкновения
с такими прицельными параметрами магнитное поле будет
оказывать влияние. Можно предполагать, что при этом
столкновения происходят адиабатически. Однако при
столкновении электронов с электронами силы, с которыми
они действуют друг на друга, будут осциллировать с элек-
электронной ларморовской частотой, и в результате этого мо-
могут проявиться некоторые неадиабатические резонансные
' эффекты. Подробный анализ этой задачи еще не проведен.
§ 3.7. Корреляция частиц
В этой главе мы затронули, правда в довольно эле-
элементарной степени, глубокую проблему физики плазмы —
проблему корреляций. Существует строгий подход к этой
проблеме, развитый первоначально для обычных газов
независимо Боголюбовым *, Борном и Грином**, а также
Кирквудом*** и примененный к плазме в основном Росто-
кером и Розенблатом****. Этот метод основан на исполь-
использовании уравнения Лиувилля для системы частиц, функ-
функция распределения которых зависит от координат и скоро-
скоростей всех частиц системы. Эта функция обозначается через
fnirivi, ..., rn, vn), где п —полное число частиц в системе.
Если проинтегрировать эту функцию распределения по
координатам и скоростям всех частиц, кроме одной, то полу-
чим^функцию распределения для одной частицы, которая
и была использована в нашем изложении. Если интегриро-
интегрирование распространяется на координаты и скорости; всех
частиц, кроме двух (трех и т. д.), то соответственно полу-
получается двухчастичная (трехчастичная и т. д.) функция рас-
распределения. В частности, двухчастичная функция рас-
распределения f2(n, vi9 /% V2) описывает корреляцию между
двумя частицами.
*Н. Н. Боголюбов. Проблемы динамической теории
в статистической физике. М., Гостехиздат, 1946.
** М. Born, H. S. Green. A general Kinetic theory of
liquids. Cambridge University Press. (N. Y.), 1949.
*** J. G. К i r k w о о d. J. Chem. Phys., 15, 72 A947).
**** N. Rostoker, M. Rosenbluth. Phys. Fluids, 3,
1 (I960); 5, 776 A962); см. также М. Rostoker. Nucl. Fusion,
1, 101 A961).
210

Уравнения для определения этих функций получаются
путем интегрирования уравнения Лиувилля для п частиц
по координатам и скоростям всех частиц, кроме одной,
двух и т. д. Например, интегрирование уравнения Лиу-
Лиувилля по всем частицам, кроме одной, приводит к уравне-
уравнению Лиувилля для одной частицы, отличающемуся от
того, которым мы пользовались, дополнительным членом,
содержащим функцию /г. Этот член как раз учитывает рас-
рассеяние частиц 1 на частицах 2. Аналогично интегрирова-
интегрирование уравнения Лиувилля для п частиц по всем частицам,
кроме двух, приводит к уравнению Лиувилля для функции
/а, содержащему член с /з, описывающий взаимодействие
частиц / и 2 с частицами 3. И вообще уравнение Лиувилля
для s-частиц содержит член с fs+ь
Эту бесконечную систему уравнений в том случае, когда
число частиц в объеме дебаевского радиуса велико, можно
решать начиная с f i методом разложения по малому пара-
параметру. При этом трехчастичная функция распределения
с хорошей точностью может быть представлена в виде про-
произведения двухчастичных функций распределения. Это по
существу эквивалентно утверждению, что рассеяние части-
частицы, взаимодействующей одновременно со всеми частицами
в пределах дебаевского радиуса, может быть представлено
как сумма парных столкновений. Причина этого, более
подробно объясняемая в § 9.2, состоит в том, что углы при
каждом отдельном акте рассеяния в основном крайне малы.
Используя описанный метод, можно провести строгий
учет влияния столкновений, включая дебаевское экрани-
экранирование. Получаемые при этом в первом приближении ре-
результаты совпадают с той несколько интуитивной трак-
трактовкой эффекта экранирования, которая приведена в этой
и следующей главах. Для эффектов более высокого поряд-
порядка, чем первый, строгая трактовка становится, по-види-
по-видимому, более необходимой.

ГЛАВА
9
ДИФФУЗИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
СКОРОСТЕЙ
§ 9.1. Введение
Первое последствие столкновений состоит в том, что
изменяются скорости участвующих в них частиц, естествен-
естественно, в границах, допускаемых законами сохранения энер-
энергии и импульса. Поэтому заданное в начальный момент
распределение частиц по скоростям стремится под влия-
влиянием столкновений также измениться, или, как мы будем го-
говорить, происходит диффузия в пространстве скоростей.
В этой главе рассмотрим, как реализуется такая диффузия
в тех случаях, когда функция распределения f не зависит
от пространственных координат.
§ 9.2. Уравнение Больцмана
В § 1.8 было выведено уравнение Лиувилля для частиц,
движущихся в заданных полях. Согласно соотношениям
A.55) и A.56), уравнение Лиувилля можно записать сле-
следующим образом:
§if (r,v)=0,	(9.1)
где D/Dt — производная, взятая вдоль траектории части-
частицы в фазовом пространстве. Таким образом, в отсутствие
столкновений функция f в системе, связанной с частицей,
постоянна. В этом и состоит теорема Лиувилля. Чтобы
учесть столкновения, необходимо подсчитать вызываемое
ими изменение функции распределения в единицу вре-
212

мени j7 с, называемое интегралом столкновений, и изме-
изменить уравнение (9.1) следующим образом:
_?? f /r v\ _ &1	/п л\
Dt1 ^г' } ~' dt с'	.	^-^;.
Это уравнение Больцмана.
Уравнение (9.1) тоже часто называют уравнением Больц-
Больцмана (без интеграла столкновений), однако мы для простоты
называли его уравнением Лиувилля.
Поскольку точное положение и скорости частиц не
известны, интеграл столкновений не может быть вычис-
вычислен точно. Сведения о положении и скорости частиц со-
содержатся в функции распределения f (r, v), откуда можно
получить только средние значения физических величин.
(Средние либо по малым объемам и промежуткам времени,
либо по ансамблю систем.) Другими словами, можно вы-
вычислить только в некотором смысле среднее значение ин-
интеграла столкновений.
Рассмотрим два сорта частиц, обозначаемых индексами
1 и 2. Частицы первого сорта могут в частном случае быть
тождественны частицам второго сорта, но мы должны пред-
предусмотреть случаи, когда они различны, например когда
ими являются ионы и электроны. Пусть функции распре-
распределения для этих систем будут соответственно fi(r, v) и
/г(г, v). Число столкновений частиц первого сорта с части-
частицами второго сорта, происходящих в точке г в единицу
времени, будет пропорционально /i(r, vi) и/г(г, V2).
Скорости сталкивающихся частиц vi и V2 не обязательно
должны быть равны друг другу. Более того, эти частицы
могут не находиться в одной и той же точке, поскольку,
как мы видели в гл. 8, столкновения происходят между
частицами, находящимися друг от друга на расстояниях,
меньших дебаевского радиуса. Однако будем считать, что
fx и /г меняются на расстоянии дебаевского радиуса незна-
незначительно, так что с хорошей степенью точности можно
брать их значения в одной и той же точке.
Предположение о пропорциональности числа столкно-
столкновений произведению fx-fz означает, что учитываются
только парные столкновения. Поскольку частица одновре-
одновременно испытывает столкновения со всеми частицами, на-
находящимися от нее на расстояниях, меньших дебаевского
радиуса, может показаться, что наше предположение не-
213

верно. Но надо учесть, что столкновения при прицельных
расстояниях порядка дебаевского радиуса очень слабы,
т. е. частицы в результате этих столкновений очень мало
изменяют свое направление. Общий результат таких сла-
слабых столкновений является суммой парных столкновений
выбранной частицы со всеми другими. При близких столк-
столкновениях, приводящих к отклонению на большие углы, эта
аддитивность, конечно, нарушается. Прицельное рас-
расстояние, соответствующее отклонению на большие углы,
определяется равенством ZxZ^ld = kT. Для электронов
и протонов d оказывается меньше 10~8 см, если kT^> 10 эв.
Поэтому число частиц в сфере с радиусом d будет меньше
10~24 N. Поэтому для плазмы ciV< 1020 предположение
о том, что сильные столкновения являются парными, впол-
вполне применимо. Основной вклад вносят при этом куда более
многочисленные слабые столкновения.
В результате столкновения скорости частиц vx и v2
меняются соответственно на v'i и v^.
Относительная скорость и скорость центра масс, опре-
определенные в § 8.5 и равные до столкновения v и V, после
столкновения меняются на v' и V. Число столкновений
проще всего вычислить, используя переменные, относя-
относящиеся к центру масс. В этих переменных дифференциаль-
дифференциальное сечение рассеяния зависит только от абсолютной ве-
величины v и угла столкновения, т. е. от (v-v'):
a = cr[Mv-v')].	(9.3)
Число частиц первого сорта, покидающих объем rfvi в ре-
результате столкновений с частицами второго сорта, содер-
содержащимися в объеме ds% в результате которых их относи-
относительная скорость окажется между v' и v' + dv'9 а ско-
скорость центра масс — между V и V" + dV, равно
(г, Vj) /2 (r, v2) dvi dv2 • va [v, (v • v')] X
Наличие в этом выражении б-функции 8(v — v') соот-
соответствует неизменности относительной скорости при
столкновениях, и б-функции 6(V — V) — постоянству
скорости центра масс. Но нас больше интересуют скорости
Vi и V2. Ввиду равенства фазовых объемов
dv'dV =dv'idvi	(9.4)
214

число столкновений можно переписать следующим об-
образом:
X -i a [v (v • v')] б (у — у') б (V — Vr) dvi dv'2. (9.5)
В этом выражении переменные, соответствующие системе
центра масс, должны считаться функциями от vi, V2,
Vi HV2.
Теперь вычислим интеграл столкновений в уравнении
(9.2) для функции /i(r, vi). Рассмотрим группу частиц,
занимающих фазовый объем rfvi. В результате столкнове-
столкновений часть частиц покинет этот объем, а некоторое коли-
количество других частиц попадет в него. Число выбывших
частиц на единицу объема равно
Выражение (9.5) дает нам количество частиц, попадающих
в объем d\\. Число частиц, попадающих в этот объем,
очевидно, можно получить, просто поменяв местами штри-
штрихованные и нештрихованные величины, заметив, что
v-, а- и б- функции не меняются при такой замене. Тогда
число частиц, попадающих в результате столкновений
в фазовый объем dvi, будет равно (в расчете на единичный
объем)
Окончательно для интеграла столкновений, учитывающего
столкновения частиц первого и второго сорта, будем
иметь
(r, Vl)
ii ffi
X
dt
x\a[vy (vv7)] б (v— vf) б (V — V) d\2 dv\ dv'2. (9.6)
В окончательном виде уравнение Больцмана для
/i(r, vi) должно содержать столько подобных членов,
сколько имеется сортов частиц, включая и первый сорт.
215

Рассмотрим вопрос о том, можно ли при помощи на-
написанного интеграла столкновений вычислить среднюю
частоту столкновений. Это невозможно, поскольку инте-
интеграл столкновений содержит произведение fi-/2- ?ас"
смотрим, например, случай, когда частицы обоих сортов
тождественны. Известно, что каждая частица испытывает
столкновения со всеми другими, находящимися на рас-
расстояниях, меньших дебаевского радиуса. Пусть число та-
таких частиц равно п, а среднее от него п. Тогда п = п +
+ S/г, где 8п — флуктуация числа частиц.
Число столкновений пропорционально выражению
Поскольку в интеграле столкновений (9.6) используется
только среднее значение /i, соответствующее п, влияние
флуктуации (бя2) тем самым не учитывается. Как уже было
показано в § 8.2, для сферы дебаевского радиуса
б/г2 = -д-л; -=- =-=.
2	п2 2/1
Поэтому выражение (9.6) не отражает точно среднее число
столкновений, когда число частиц в пределах дебаевской
сферы невелико.
§ 9.3. Тепловое равновесие
Рассмотрим систему, состоящую из частиц одного сор-
сорта. Тогда можно опустить индексы у f в выражении (9.6).
Индексы же у обозначений скоростей, естественно, необ-
необходимо сохранить.
Опыт показывает, что подобная система с течением вре-
времени приходит в состояние теплового равновесия, не на-
нарушающееся в дальнейшем, если внешние условия поддер-
поддерживаются постоянными. Другими словами, функция рас-
распределения / стремится к некоторому стационарному виду.
Уравнение Больцмана описывает изменение / со временем.
Поэтому из него должно следовать, что / стремится к ста-
стационарному виду. Больцману удалось доказать, что это
действительно так. Приведем его доказательство.
Предположим, что внешние силы отсутствуют и / не
зависит от пространственных координат. Тогда функция
216

распределения меняется только из-за столкновений и урав-
уравнение Больцмана сводится к выражению (9.6), в котором
дополнительно опущена зависимость от г и индексы у /:
(y — v')&(\ — Vf)dv2d\\dY2.	(9.7)
Так как из термодинамики известно, что состояние рав-
равновесия характеризуется максимальной энтропией, наша
задача заключается в нахождении выражения для энтро-
энтропии и установлении зависимости энтропии от функции
распределения по скоростям. Если разделить пространство
скоростей на ряд ячеек, то полная энтропия будет равна
сумме энтропии отдельных ячеек. Кроме того, поскольку
энтропия каждой ячейки должна оставаться неизменной
при преобразованиях к координатной системе, движущейся
с постоянной скоростью, она не должна явно зависеть от
средней скорости этой ячейки. Поэтому энтропия от-
отдельной ячейки может быть функцией только от/(v), а пол-
полная энтропия в силу своей аддитивности' должна быть
пропорциональна величине:
гДе g(f) — некоторая функция f. Одним из способов опре-
определения g (f) может служить условие экстремальности Я
для распределения Максвелла, которое соответствует
равновесию. Если взять вариацию от Я по /, то получим
'-8fdv.	(9.8)
При вычислении этой вариации полное число частиц и пол-
полная энергия должны сохраняться постоянными. (Число
частиц, импульс и энергия сохраняются при столкновени-
столкновениях.) Таким образом,
= 0;	(9.9)
-0.	(9.10)
Для решения этой вариационной задачи используем метод
неопределенных множителей Лагранжа. Умножим урав-
уравнение (9.9) на постоянную а, уравнение (9.10) на постоян-
8В К. Лонгмайр	217

ную Р и сложим их с уравнением (9.8). Если затем прирав-
приравнять 8Н нулю, то получим
Поскольку это равенство должно быть справедливым для
любых Ь\, необходимо, чтобы
Это уравнение должно удовлетворяться для распределе-
распределения Максвелла. При этом необходимо выполнение равен-
равенства
— а — $v2 = A +
где А и В —постоянные. Решение уравнения (9.11) тогда
имеет вид
где С — также постоянная, которую нужно приравнять
нулю, для того, чтобы интеграл, определяющий Я, был
конечным.
Член (A-*-B)f может быть также опущен, поскольку
при интегрировании по скоростям он даст величину, про-
пропорциональную полному числу частиц, которая также
постоянна. Кроме того, можно опустить коэффициент 5,
определив Н следующим образом:
# = J/ln/dv,	(9.12)
и считать, что функционал Н для постоянного числа час-
частиц и постоянной энергии монотонно зависит от энтро-
энтропии.
Для подтверждения этого вывода докажем теперь на
основании уравнения Больцмана (9.7), что столкновения
стремятся уменьшить величину Н или, точнее, они не
могут ее увеличить. Таким образом, Н должно быть про-
пропорционально энтропии со знаком минус. Из уравнения
(9.12) имеем
218

а из уравнения (9.7)
X ^¦•&-&dv1dv2dv\dv2.	(9.13)
В этом интеграле произведение квадратной скобки
на —сг-б-б обладает следующими свойствами симметрии:
а)	не меняется при взаимной замене Vj на v2, при
одновременной замене vx на v2;
б)	меняет знак при замене vi на vx, при одновремен-
одновременной замене v2 на v2.
Воспользовавшись этими свойствами, можно переписать
уравнение (9.13) еще три раза, заменив vx в логарифме
последовательно v2, v-i и v2. Складывая полученные че-
четыре уравнения, найдем
п X
X \ о. б. б.dvx dv2 dv\ d\2.	(9.14)
В зависимости от значений переменных интегрирования
величина -а-б-б положительна или равна нулю. С дру-
другой стороны, в зависимости от значений f логарифм, умно-
умноженный на квадратную скобку, отрицателен или равен
нулю. Следовательно, dH/dt — отрицательно или равно
нулю, в силу чего Н не может возрастать. Этот вывод
известен как Я-теорема Больцмана.
Для большинства видов функции распределения Н
уменьшается со временем, однако не неограниченно (если
энергия и число частиц сохраняются), поскольку Н не мо-
может стать по отрицательной величине больше своего зна-
значения для случая распределения Максвелла. Как было
показано выше, функция Н имеет экстремум для рас-
распределения Максвелла. Покажем теперь, что этим экстре-
экстремумом является абсолютный минимум. Выберем некото-
некоторые значения плотности частиц и энергии (температуры).
Далее, выберем для удобства такие единицы длины и ско-
скорости, чтобы распределение Максвелла имело вид е~у2.
8В*	219

Такое распределение симметрично относительно точки
v = 0. В целях большей общности можно использовать
выражение e~iv~v«12, где \а — средняя скорость. Однако
интеграл столкновений уравнения Больцмана не *может
привести к изменению средней скорости, так как импульс
при столкновениях сохраняется. Поэтому вместо исполь-
использования общего вида функции распределения перейдем
в систему отсчета, в которой \а всегда равно нулю.
Рассмотрим теперь видоизмененную функцию распре-
распределения:
/ = e-^[l+^(v)].	(9.15)
Здесь функция f произвольна (поскольку я|) — произволь-
произвольная функция), за исключением требования, налагаемого
положительностью /:
Ф> —1.	(9.16)
Так как функция f приводит к тем же значениям плотности
и энергии, что и e~~v2, необходимо потребовать соблюдения
следующих условий:
J. фе-°" rfv =. 0;	(9.17)
j v2 ipe-v2 d\ = 0.	(9.18)
Для функции /, определенной выражением (9.15),
Я = — J v2e~vZd\
Первый член справа равен значению Я, соответствующему
распределению Максвелла — e~v2. Таким образом, нам
остается показать, что сумма двух остающихся членов
больше нуля. Второй член справа обращается в нуль в си-
силу уравнения (9.18). Из последнего члена справа, не из-
изменяя его величины, вычислим интеграл (9.17) и получим
j [A + -ф) In A + я|)) — гр] e~v2 d\.
Поскольку первое выражение в квадратных скобках поло-
положительно для я|) >- —1, этот интеграл положителен или
равен нулю. Поэтому величина Я не может быть меньше
220

значения, соответствующего распределению Максвелла,
при условии, что плотность и энергия сохраняются по-
постоянными.
Если теперь вновь допустим существование средней
скорости va, то, принимая во внимание дополнительно
сохранение импульса, придем к выводу, что Н не может
быть меньше своего значения, соответствующего распре-
распределению Максвелла, симметричного относительно точки
v = va. Поскольку интеграл столкновений в уравнении
Больцмана обеспечивает сохранение числа частиц, им-
импульса и энергии, в результате интегрирования этого
уравнения по времени мы никак не сможем получить та-
такого значения /, которое приводило бы к значениям Я,
большим по отрицательной величине, чем значения, соот-
соответствующие (при той же плотности, средней скорости
и энергии) распределению Максвелла.
Легко видеть, что распределение Максвелла вида
e-iv-vai2 обращает dH/dt (из уравнения (9.14)) в нуль.
Чтобы убедиться в этом, возьмем, например, следующие
функции распределения:
/(v1)=exp[-v?+2(v1vj-v^];
/(va)=exp[-vi+2(vavj-v2]
и аналогичные выражения для f(v\) и /(v2). Если энер-
энергия и импульс не сохраняются, то 6- функции в уравне-
уравнении (9.14) равны нулю. С другой стороны, при сохране-
сохранении энергии и импульса
При этом подынтегральное выражение тождественно об-
обращается в нуль.
Попытаемся теперь выяснить, принимает ли Н свое
минимальное значение с" течением времени. Это будет
только тогда, когда единственным распределением, обра-
обращающим dH/dt в нуль, является распределение Максвелла,
так как если dH/dt не равно нулю, то оно меньше нуля.
Поскольку подынтегральное выражение в уравнении
(9.14) больше или равно нулю, единственной возможностью
221

для обращения dH/dt в нуль является тождественное ра-
равенство нулю подынтегрального выражения. А это может
иметь место тогда и только тогда, когда выражение
[ln/fvD+lnf^-ln/tvO-ln/tv^a.e.fi (9.19)
тождественно обращается в нуль, б-Функции отличны
от нуля тогда и только тогда, когда импульс и энергия
сохраняются. Предположим, что сг имеет конечную вели-
величину (и, конечно, положительную) для всех значений ско-
скоростей, при которых, импульс и энергия сохраняются.
В частности, это справедливо для кулоновского рассея-
рассеяния. Тогда dH/dt может обратиться в нуль, если выраже-
выражение в квадратных скобках в выражении (9.19) обращается
в нуль при одновременном сохранении импульса и энер-
энергии. Обозначим для краткости
ff(v1) = ln/(v1).	(9.20)
Тогда, выражая скорости частиц через скорости центра
масс и относительные скорости, найдем условие обраще-
обращения dH/dt в нуль при сохранении энергии и импульса
Но при сохранении энергии и импульса
V = V, |v|=|v'|.
Поэтому условие обращения dH/dt в нуль будет выглядеть
следующим образом:
g(V+u) +gr(V-u) = A(V, и*),	(9.21)
где h — некоторая произвольная функция V и и2 (v/2 выра-
выражено через и). Таким образом, h не зависит от направле-
направления и. Покажем далее, что, согласно уравнению (9.21), g
должна быть квадратичной функцией своих аргументов.
Для доказательства этого продифференцируем равен-
равенство (9.21) по т A-я компонента и). В результате получим
dlg(V+u)-dtg(V-u) = 2щ ^L (V, и% (9.22)
222

где dig — производная функции g по /-й компоненте ее
аргумента. Продифференцируем еще* раз по и;. и затем по-
положим и = 0. Тогда получим
liif^(V9O).	(9.23)
Продифференцировав равенство (9.22) по Vj, получим
di di g (V+u) - di di g (V - u) = 2щ -JL ^ (V, u\
Поскольку левая часть этого уравнения симметрична по
индексам i и /, то же самое должно быть справедливо
и для правой части. В силу этого
Ut dVj ди* <V>«;-W/ dVj ди2 IV, и;.
Выведенное уравнение должно быть справедливо для всех
значений аргументов. В частности, оно будет справедливо,
если Uj = 0, сохраняя при этом щ конечным. Тогда полу-
получим
dVj ди* ^v> u )-v>
т. е. -^р (V, и2) не зависит от V. Следовательно, -^- (V, 0) —
постоянная, которую обозначим с. Тогда уравнение (9.23)
приобретает вид
и имеет следующее общее решение:
где а и b — постоянные. Поскольку g — логарифмиче-
логарифмическая функция f, видно, что dH/dt обращается в нуль только
для обобщенного распределения Максвелла.; Следова-
Следовательно, решение уравнения Больцмана (9,7) должно стре-
стремиться с течением времени к этому распределению. Пос-
Постоянные a, b и с определяются через начальные плот-
плотность, энергию и среднюю скорость.
При этом доказательстве предполагалось, что попереч-
поперечное сечение рассеяния а конечно для всех значений скоро-
223

стей, для которых инпульс и энергия сохраняются. Если
сечение связывает скорость vi только со скоростями в не-
некоторой области R(vi) вокруг vi, то функция распреде-
распределения / будет максвелловской только в этой области.
Допустим, что \ь —значение скорости в этой области и
R(vb) — область, соответствующая скорости \ь частиц,
испытавших рассеяние. Поскольку функция f должна
быть в области R(\b) также максвелловской, а области
R(vi) и R(\b), согласно нашему предположению, должны
перекрываться, для них справедливо распределение Мак-
Максвелла. Тогда можно заключить, что одно и то же распре-
распределение Максвелла справедливо для всех скоростей при
условии, что существует последовательность актов рассея-
рассеяния, приводящих к любой заданной скорости, начиная
от одного значения скорости. С другой' стороны, если
имеются отдельные области в пространстве скоростей, ко-
которые не могут быть связаны посредством столкновений,
то распределение Максвелла в этих областях не должно
быть одинаковым. В случае кулоновского рассеяния та-
таких областей, однако, нет.
§ 9.4. Обобщение //-теоремы
В предыдущем параграфе было доказано несколько
теорем, относящихся к проблеме равновесия при следую-
следующих ограничениях:
а)	был выбран только один сорт взаимодействующих
частиц;
б)	отсутствовали внешние силы;
в)	функция распределения не зависела от простран-
пространственных координат.
Суммируем эти теоремы.
Теорема 1. Столкновения стремятся уменьшить
(не могут увеличить) величину Я.
Теорема 2. Наименьшее значение функции Н
с -учетом постоянства плотности, средней скорости и
средней энергии реализуется при подстановке в нее обоб-
обобщенного распределения Максвелла.
Теорема 3. Указанное распределение является
асимптотическим, к которому с течением времени стремит-
стремится любое распределение, поскольку только это распре-
распределение обращает dH/dt в нуль.
224

В этом параграфе мы обобщим некоторые из этих тео-
теорем. Другие обобщения будут сделаны в следующей главе.
Вначале освободимся от условия а). Нетрудно видеть,
что если определить Н следующим образом:
ln/,dv,	(9.24)
где сумма берется по всем сортам взаимодействующих час-
частиц, то теоремы 1, 2 и 3 остаются справедливыми. В тео-
теореме 2 предполагается сохранение плотности частиц каж-
каждого сорта, среднего импульса всех частиц и средней энер-
энергии частиц, а обобщенные распределения Максвелла ха-
характеризуются одинаковыми средними скоростями и
средними энергиями (температурами) для всех сортов
частиц.
Общая задача при наличии внешних сил будет рас-
рассмотрена полнее в дальнейшем, сейчас обратим внимание
лишь на один случай, для которого изложенные выше ре-
результаты оказываются применимыми. Предположим, что
имеется постоянное магнитное поле В. Тогда в уравнении
Больцмана появится член, пропорциональный
• [vB] у J = - [В, (vy* /)] - - (В, [vVJ /).
Если теперь ввести в пространстве скоростей цилиндриче-
цилиндрическую систему координат с осью вдоль направления поля В,
то
(B,[vs/jn=B^-f,	(9.25)
где Qv — угловая координата. Таким образом, если рас-
распределение скоростей не зависит от этой угловой коорди-
координаты, то написанный член обращается в нуль, и уравнение
Больцмана принимает первоначальную форму. Более того,
поскольку интеграл столкновений не влияет на зависи-
зависимость функции распределения от 9t, то предыдущие тео-
теоремы будут применимы в том случае, если функция / в на-
начальный момент не зависела от 60.
§ 9.5. Упрощение интеграла столкновений
Форма интеграла столкновений, использованная в
уравнении (9.6), была выбрана с целью сделать симме-
симметричность подынтегрального выражения по различным
225

переменным максимально очевидной, поскольку эта симме-
симметричность важна для доказательства упомянутых теорем.
Наша дальнейшая задача при рассмотрении диффузии
в пространстве скоростей — изучение характера прибли-
приближения распределения по скоростям к равновесному рас-
распределению Максвелла, т. е. по существу решение урав-
уравнения (9.6). Для этого необходимо проинтегрировать вы-
выражение (9.6). Начнем с интегрирования по тем перемен-
переменным, которые содержатся в аргументе б-функций. Пред-
Предположим для упрощения, что частицы первого сорта в на-
начальный момент образуют направленный моноэнергети-
моноэнергетический пучок, т. е.
/x(v1)=6(v1-v0).	(9.26)
Очевидно, пространственная плотность такого распреде-
распределения равна единице, а скорость каждой частицы —vo.
Если подставить эту функцию распределения в уравне-
уравнение (9.6), то можно вычислить dfi/dt, т. е. определить тен-
тенденцию пучка к рассеянию в пространстве скоростей.
Рассматривая сначала член, соответствующий части-
частицам, покидающим элементарный объем [второй член в квад-
квадратной скобке в уравнении (9.6)], можно заметить, что
интегрирование по конечным (штрихованным) скоростям
может быть проведено сразу и что в результате получается
бесконечная величина. Этот результат объясняется тем, что
полное сечение рассеяния бесконечно. Следовательно,
имеющееся в начальный момент распределение типа
б-функции сразу же нарушается, т. е. за произвольно
малое время все частицы в какой-либо степени испыты-
испытывают рассеяние. Указанный результат остается справед-
справедливым даже для экранированного потенциала e~rD/r.
В этом случае рассеяние большинства частиц все равно
происходит немедленно.
Рассмотрение члена, соответствующего частицам, по-
попадающим в элементарный объем, приводит к более содер-
содержательным результатам. Обозначая этот член через /, запи-
запишем его в виде
xd(V —V)dv8dv'rfV'.	(9.27)
226

Поскольку зависимость а- и б-функций от относительных
скоростей имеет более простой вид, мы заменили
dv\ dv'2 на эквивалентное выражение dv' dV. При
интегрировании по V2, v' и V мы должны считать vi
и vo постоянными, а все остальные переменные необходимо
выразить через переменные интегрирования. Например,
V2 = v'i — V.
Ввиду присутствия б-функции 6(v'i—v0) заменим v'i на
v0, так что
V2 -» v0 — v', /2 (vs) ->/2 (v0 — v').	(9.28)
Сечение рассеяния равно
Z2 Z2 еА
G =
где 0 — угол рассеяния в системе центра масс, показан-
показанный на рис. 9.1. Поскольку присутствие б-функции
6(v'—v) делает v и v' рав-
равными по абсолютной величине
2irsin-y = |v' — v|, (9.29)
так что
т	|v v |	рис g у Связь приращения
/g oq\ скорости и угла рассеяния.
Так как v не является здесь ни переменной интегрирова-
интегрирования, ни постоянной, нам необходимо выразить ее через
другие переменные. Удобнее всего это сделать, заметив,
что
'	'«7/1	/По	Г
Vl = V -j	— V
где можно заменить v'i на v о, а V на V ввиду наличия
под интегралом соответствующих б-функций. Вычитая
эти уравнения друг из друга, найдем
v__v' :==^L(Vl_vo) = ~ Avj.	(9.32)
227

В уравнении (9.32) была введена' новая величина Avi,
равная изменению скорости частицы первого сорта в ре-
результате рассеяния. Эта величина, очевидно, должна счи-
считаться постоянной при интегрировании в (9.27). Таким
образом, поперечное сечение
/ma\4 4Z^Z^4
\J 		Л Я I	О I Л	I/I	Il/.UWI
может быть вынесено за знак интеграла.
Проведем теперь интегрирование по v', используя
присутствие б-функции 6(V — V). В результате получим
/ (v0, AvO = ^у т2|д^|4 ^ J б (vi — vo) /2 (v0 — vr) X
X b(V~V } dvsrfv'.	(9.34)
В аргументе 6(v — vr) выразим v при помощи соотно-
соотношения (9.32), т. е.
v=v/ + -^- Av3.	(9.35)
Обозначение v сохраним только для краткости.
Затем проведем интегрирование по v2. Первая б-функ-
ция теперь будет зависеть от v2, так как
поэтому
Все другие члены подынтегрального выражения не за-
зависят от v2. В результате интегрирования по v2 получаем
.(v.-V) ^l rfv', (9.36)
где v определяется согласно равенству (9.35). Дальнейшее
интегрирование не может быть проведено до тех пор, пока
228

не установим конкретный вид /г. (В действительности
можно провести интегрирование по одной из компонент v',
но лучше здесь этого не делать.)
§ 9.6. Рассеяние направленного пучка
В этом параграфе упростим выражение (9.36) и приме-
применим его к случаю, когда /г является максвелловским рас-
распределением.
Заметим, что поскольку v и v' — не отрицательные
величины, то
1^1 = 26 (v>-v'2).
Далее, согласно выражению (9.35),
Теперь удобнее ввести взамен v' новую переменную и.
Положим
1 М
V =~U-2 ^
тогда
Ъ(и — v')
где щ — компонента и, параллельная Avx. Следовательно,
интегрирование выражения (9.36) сводится к интегриро-
интегрированию по плоскости иц=0, перпендикулярной Дуь в ре-
результате которого получаем
u jl Avj
Применим эту формулу к случаю, когда /г является
максвелловским распределением
3/2 Ш^
е 2kT >	(9-38)
229

где N2 — плотность, a kT — температура в энергетических
единицах. Тогда функция /2 в выражении (9.37) будет
равна
v +uJ
Здесь уОц — слагающая v0> параллельная Avx, a vOJ_ — сла-
слагающая v0, перпендикулярная Avb т. е. лежащая в пло-
плоскости u. Заменим u на w=v0 j.+u и проинтегрируем по w.
В результате получим
/(vo,Ava) =
AZ2Z2eA
| 2
2
(9.39)
Эта формула дает выражение для вероятности изменений
скорости Avi в единицу времени. Для того чтобы иссле-
исследовать ее более детально, представим экспоненциальное
выражение в виде трех сомножителей:
ехр \— -Щ~кт\'
v0 cos d»
~2kf ~
ехр —
m9 vf, cos2 <\>
exp<j —	и?
Здесь гр — угол между vo и Avi. Наличие второго из этих
сомножителей соответствует большей вероятности изме-
изменения скорости в обратном движению направлении (cosif)
отрицателен). Третий сомножитель приводит к большей
вероятности изменения скорости в перпендикулярном
направлении (cosi|) «0), чем в направлении движения,
в том случае, когда vo много больше тепловой скорости
{rri2vy2kT^>\). Это связано с тем, что траектории бы-
быстрых электронов имеют извилистый характер. И, на-
наконец, множитель 1/|Аш|5 указывает, что основной вклад
в рассеяние вносят малые изменения скорости.
230

§ 9.7. Средняя скорость изменения энергии частиц
Другой интересной задачей является определение
средней скорости изменения величины скорости частиц
и их энергии в первоначально монохроматическом по
скорости пучке. Будем искать эти величины, не ограни-
ограничиваясь пока распределением Максвелла.
Для упрощения обозначений опустим индекс 1 у Avi
и будем считать, что Av — изменение скорости частицы,
обладавшей начальной скоростью vo. Пусть Av\ — ком-
компоненты Av в некоторой декартовой системе координат.
Вычислим моменты
AtT; = j Avt I (v0, Av) d (Av);	(9.40)
AviAv, = J Avi Av, I (v0, Av) d (Av).	(9.41)
Рассмотрим сначала моменты Av\. Подставив выраже-
выражение (9.36) в уравнение (9.40) и изменив порядок интегри-
интегрирования, получим
Avt — ~- —{—?— \ dvr ^v°. v ^ I Vi, [v lAv d(Av), (9.42)
M m2 ]	v	I	Av 4	\ /» \ /
где, согласно выражению (9.35),
v=v +-— Av.
Поскольку в аргументе б-функции фигурирует v, более
удобно в качестве переменной интегрирования во втором
интеграле вместо Av использовать v. Тогда второй инте-
интеграл в выражении (9.42), который мы обозначили через
Ji, будет иметь вид
* /V"",vJi!y,7V/) dv.	(9.43)
При наличии б-функции в уравнении (9.43) интегриро-
интегрирование по v сводится к интегрированию по поверхности
сферы радиусом v=v'. Введем на поверхности этой сферы
систему полярных координат 0, <р, причем v' будет слу-
служить полярной осью (рис. 9.2). Тогда для 1-х компо-
компонент, перпендикулярных v', J\ обращается в нуль в силу
симметричности.
231

Учитывая далее, что
v —
а параллельная v' компонента (v — v') равна
получим
(9.44)
(9.45)
2к J^ [ sin 0
v'
U
sin2 у
. О 0
sin — cos—-
jz_ \ 	2 2
' 2v'
0
sin2 ^
sin —-"-
—	— In
—	. in
V
Так как v и v' — по существу относительные скорости до
и после столкновения, угол 0т — минимальный угол
рассеяния, введенный в §8.5. Обычно 0т имеет очень ма-
малую величину, и синус угла
можно заменить на значение
его аргумента. Тогда для век-
вектора J получим
v'
(9.46)
Подставим полученное выра-
выражение в уравнение (9.42).
Согласно соотношениям (8.34)
и (8.35), 6т зависит от относи-
тельной скорости v' (v В ЭТОЙ
формуле соответствует нашему
ния.	vf). Однако, так как лога-
логарифм — медленно меняющаяся
функция, можно считать его постоянным и использо-
использовать среднее значение относительной скорости для
определения Qm. Тогда для вектора Av получим
Рис. 9.2. Введение поляр-
ных координат для рассея-
м
232

Интеграл в этом выражении можно дальше упростить,
заметив, что
С использованием этой замены можно взять интеграл по
частям, причем v^'Mvo—v') можно заменить величиной —
Vt'O/2(vo — v')- Таким образом, получаем
Интеграл в этом выражении имеет вид, часто встречаю-
встречающийся в электростатике. Он соответствует выражению для
электростатического потенциала в точке vo, создаваемого
распределением заряда /2(vo). Поэтому если обозначить
этот интеграл через S(vo), то будет справедливым уравне-
уравнение
yl0 S (v0) = — 4jt/2 (v0).	(9.48)
Последний результат полезен для численных расчетов,
поскольку методы решения уравнения Пуассона хорошо
разработаны.
Вычисление моментов AviAvj производится аналогич-
аналогично. Но в этом случае вместо интеграла J\ получим тензор
	1-г-	-Ал	dv.
Для проведения интегрирования в этом выражении по-
положим, что направление, соответствующее индексу 1,
параллельно v', а направления, соответствующие индек-
индексам 2 и 3, перпендикулярны v' (а также друг другу).
При помощи методов, использованных выше, найдем
К и = 0 для i =f= /;
К 	 тс m2 .
Поскольку величина lnB/9m) обычно имеет порядок 10 и
операция обрезания носит приближенный характер, при-
принято опускать малые члены в подобных выражениях
233

[члены, не пропорциональные lnB/6m) ]. Поэтому тензор Кг/
можно приближенно представить в виде
о о о
Приведенный тензор записан в особой системе координат,
у которой индекс 1 соответствует оси, параллельной v'.
Поскольку по v' предстоит интегрировать, необходимо
преобразовать этот тензор к обычной системе координат.
С этой целью отметим, что в использованной нами системе
координат справедливо равенство
О 0\
1 о)= б// — ^Ц-.
0 1/
Так как в этом равенстве справа стоит тензор, равный на-
нашему тензору в использованной системе координат, то
он равен ему в любой системе.
Используя этот факт, можно найти выражение для AvL Av.
4:t72 72 И
Помимо этого, учитывая, что
hi — lllL д д у'
v	v 6 dvl dvj
можно еще раз проинтегрировать это выражение по частям.
Заменив далее производные по v' производными по v0,
окончательно получим
«-v')dv' (9-49)
Приведенное выражение может быть использовано для
вычисления моментов заданной функции /г. Оно, так же
как и выражение (9.47), имеет аналогию с электростати-
234

ческими уравнениями. Обозначим интеграл в уравнении
(9.49) T(vo). Тогда, дифференцируя и интегрируя по час-
частям, можно показать, что
V*o Т Ы = 2 Jк(Хо_рП dy> = 2S(v0), (9.50)
и поэтому с помощью уравнения (9.48) получим
v2Xnvo) = -&iMvo).	(9.51)
Теперь подсчитаем среднюю скорость изменения энер-
энергии. Изменение энергии для одной частицы первого сорта
равно
Поэтому средняя скорость изменения энергии опреде-
определяется как
. (9.52)
Применим эту формулу к случаю, когда /2 соответ-
соответствует распределению Максвелла (9.38), получаем
з/2 р _^2(vo-y-J . .-
Введем для простоты новую переменную
и обозначим угол между v0 и v' через i|). Пусть также
(9.53)
235

Тогда
о
X j expBaacoso|))sini|)di|;,
о
что после интегрирования по if дает
5(у.) = N,
Положим в первом интеграле и — а = .у, а во втором
& -|- ос = у. После этого находим
je-v^y.	(9.54)
о
Подставляя этот результат в уравнение (9.52), находим
dt
x{|er»'rfy-(l + s)«^|.	(9-55)
Последнее выражение дает нам среднюю скорость изме-
изменения энергии частицы первого сорта, обладающей ско-
скоростью vо, сталкивающейся с ансамблем частиц второго
сорта, для которого действительно распределение Мак-
Максвелла. Параметр а выражается следующим образом:
Здесь kT — температура ансамбля частиц второго сорта,
a W — энергия частицы первого сорта.
Применим формулу (9.55) к передаче энергии от ядер-
ядерных частиц (протонов, дейтонов, a-частиц и т. д.) к элек-
электронам. Поскольку в этом случае величина mz/mi очень
мала, параметр а будет также мал до весьма больших зна-
значений отношения энергии тяжелой частицы к электронной
236

температуре. Поэтому разложим выражение в фигурной
скобке в (9.55) по малым а, в результате чего получим
_
т \т1
3 kTj
Вместо того чтобы вычислять величину ^-, разделим вы-
выражение (9.55) на Vo и получим таким образом потери энер-
энергии на единицу длины пути
^~-кУ;2АЗе\п(>\ 1/S.YVL--1V (9.57)
dx	2 /wkT	VmJ Г m.f я	\ v
Это выражение справедливо вплоть до энергий тяжелых
частиц, исчисляемых миллионами электронвольт, в том
случае, если температура электронов не менее 1 кэв.
Для потерь энергии быстрой частицей, взаимодей-
взаимодействующей с коллективом частиц сравнимой массы, для ко-
которых справедливо распределение Максвелла, а имеет
большую величину. Тогда фигурная скобка приблизи-
приблизительно равна |/тг/2 и
1W	., 2tcZ? Zl e* л
Данное выражение может быть использовано для нахож-
нахождения передачи энергии от быстрых электронов к элек-
электронам или от быстрых нуклонов к нуклонам. Следует
отметить, что потери энергии тяжелых частиц с энергией
в несколько мегаэлектронвольт в результате ядерного
взаимодействия могут почти равняться потерям в резуль-
результате кулоновского рассеяния, даваемых выражением
(9.58).
При вычислении lnB/8m) следует помнить, что номо-
номограмма на рис. 8.6 действительна лишь в предположении,
что величина -^mv2 [в выражениях (8.34) и (8.35)] примерно
равна -^Тэлектр, гдет — приведенная масса, a v — средняя
относительная скорость. Для случая, соответствующего
237

уравнению (9.57), это предположение справедливо, и ука-
указанной номограммой можно пользоваться. Однако оно
не верно для случая, описываемого выражением (9.58), и
здесь необходимо пользоваться непосредственно выраже-
выражениями (8.34) и (8.35).
В заключение рассмотрим среднюю скорость обмена
энергией двух коллективов частиц, обладающих мак-
свелловскими] распределениями. Для этого проинтегри-
проинтегрируем выражение (9.55) по vo, предварительно умножив
его на
2
mt v0
Г
Величина kT из выражения (9.56) теперь обозначена &7V
Проще использовать в качестве переменной интегрирова-
интегрирования а вместо v0. Поступая таким образом, найдем
-?"' a da J е~Уг dy — (l + —) f а2 е->2 е~а2 da ,
о	V Шг' о	J
где
Первый член в квадратных скобках может быть проинте-
проинтегрирован по частям, после чего все выражение в скобках
легко вычислить:
l/	1	( 1	/	ги
4 mi Г, (m%Tx'+
Используя этот результат, получим
dW
/^у UiT* s a. am t«Ti \3/2	* '
238

Это выражение дает среднее значение энергии, передавае-
передаваемой в единицу времени от частиц первого сорта частицам
второго сорта, в расчете на одну частицу первого сорта.
Несмотря на приближенный способ учета рассеяния на
малые углы, это выражение обращается в нуль, как и
должно быть, при 74 = Тг.
. Сравним скорость передачи энергии для случаев
взаимодействия электронов с электронами, ионов с иона-
ионами и электронов с ионами, предполагая, что разность
температур при этом небольшая. Тогда скорость пере-
передачи энергии будет определяться массой частиц. Для элек-
электрон-электронных взаимодействий коэффициент равен
1/Уте,ддя ион-ионных \l\fт\ и для электрон-ионных
(\IYт\) Уmjm\. Скорость обмена энергией, таким образом,
наименьшая в случае системы электроны-ионы. Это естест-
естественно, так как при столкновениях частиц с сильно отличаю-
отличающимися массами передача энергии мала. Малость ско-
скорости обмена энергией электронов и ионов означает, что
электроны и ионы, взаимодействующие между собой, могут
иметь максвелловские распределения по скоростям, ха-
характеризующиеся различными температурами.
Электроны и ионы могут достичь равновесия по от-
отдельности значительно раньше, чем обмен энергией между
ними может этому помешать.
В случае передачи энергии от ионов к электронам тог-
тогда, когда температура ионов много меньше умноженной
на т\1те температуры электронов (что обычно соблюдает-
соблюдается), выражение (9.59) имеет более простой^вид
= - Ne 4 /27Й? * in (A) ^^-f) . (9.60)
§ 9.8. Уравнение Фоккера — Планка
В предшествующем параграфе моменты приращений
скорости были использованы для вычисления средней
скорости передачи энергии. Они могут также быть приме-
применены для вывода упрощенной формы интеграла столкно-
столкновений, соответствующего так называемому уравнению
Фоккера — Планка. В этом параграфе выведем эту фор-
форму интеграла столкновений.
239

Пусть G(vo, Av)dvi — вероятность рассеяния в еди-
единицу времени частицы с начальной скоростью vo в интер-
интервал скоростей d\i с изменением при этом ее скорости на
Av = vi — vo. Тогда скорость изменения функции рас-
распределения этих частиц в результате столкновений будет
равна
{v1, Av)d(Av) +
+ J/i(vo)G(vo> Av)dv0.	(9.61)
Первый член справа соответствует частицам, покидающим
элементарный объем вокруг точки vi в результате рассея-
рассеяния, а второй — попадающим в него по той же причине.
Таким образом, мы просто записали интеграл столкнове-
столкновений в сжатом виде.
Покажем, что подынтегральное выражение во втором
интеграле зависит от vo как явным образом, так и при
помощи выражения Av = vi — vo, где vi—постоянная.
Представим явную зависимость от vo в виде ряда Т.эй-
лора
/i (vo) G (v0, Av) - h (Vl) G (vlf Av) +
+ (vo-v1)^~/1(v1)G(v1, Av) +
+ у (v0 — vi)/ (v0 — Vi)y ^ щ/x (vx) G (vb Av)
Подставив далее это разложение во второй интеграл ра-
равенства (9.61) и заменяя переменную интегрирования v0
на Av, получим
(vi)
dt
b Av)d(Av)
+ YdV.d!.
\ I	1 /
Интегралы в последнем выражении совпадают с момен-
моментами Av, вычисленными в § 9.7, если в них vo заменить vi.
240

Поэтому, используя обозначения этого параграфа, можно
написать
dt „	ииц
Если опустить члены более высокого порядка, которые
обозначены многоточием, то мы получим интеграл столк-
столкновений в приближении Фоккера — Планка. Отбрасы-
Отбрасываемые члены будут малы тогда, когда
Ai^/i(fi)«l,	(9.63)
т. е. если fi(vi) не будет испытывать сильных изменений
на интервалах, сравнимых со средним изменением ско-
скорости при столкновениях. Поскольку основная часть
столкновений сопровождается малыми изменениями ско-
скорости, можно ожидать, что приближение Фоккера —
Планка будет достаточно точным, если, конечно, /i(vi)
не будет иметь разрывов или очень больших градиентов.
Если воспользоваться результатами § 9.7, то интеграл
столкновений для двух сортов частиц может в этом прибли-
приближении быть записан следующим образом:
dt
где
72 72 ^_
(9.65)
Функции 52 и Т2 определяются выражениями
(9.66)
J	(9.67)
или, что одно и то же
V2Vl 52 (vi) = — 4я/2 (vj);	(9.68)
V|,71i(vi) = 2S,(v1).	(9.69)
9 К. Лонгмайр	241

Покажем теперь, что эта форма интеграла столкнове-
столкновений не нарушает законов сохранения числа частиц, им-
импульса и энергии. Сохранение числа частиц легко дока-
доказывается путем интегрирования уравнения (9.64) по всей
области изменения компонент скорости vi. Правая часть
исчезает потому, что она содержит производные по компо-
компонентам скорости. В результате имеем
т. е. пространственная плотность частиц первого сорта
не изменяется в результате столкновений.
Для того чтобы доказать совместимость нашей формы
интеграла1 столкновений с законами сохранения импульса
и энергии, рассмотрим сначала частный случай одинако-
одинаковых частиц и покажем, что при этом не происходит
(в среднем) изменения скорости или энергии, и множи-
множитель mi/ni2 в уравнении (9.64) будет равен
^=2."	(9.71)
Чтобы показать сохранение средней скорости, умножим
уравнение (9.64) на любую из компонент скорости v (ин-
(индексы 1 и 2 опускаем) и проинтегрируем по всему про-
пространству скоростей. Тогда слева получим производную по
времени от пространственной плотности импульса (де-
(деленной на массу частиц), а правая часть будет содержать
два члена, каждый из которых, как мы сейчас убедимся,
обращается в нуль. Из этого следует, в частности, что
каждый из двух членов в правой части уравнения (9.64)
совместим с уравнением сохранения импульса.
Первый член после умножения на Vk и интегрирования
по пространству скоростей приводит к выражению
J k dvt' dvi	J \ dvt fi ] ' dvt	J ' dvk
Поэтому, согласно уравнению (9.68), f и S связаны друг
;с другом аналогично плотности зарядов р и потенциалу ф
в электростатике. Последний интеграл в последнем выра-
выражении имеет форму, аналогичную J pEdr, т. е. полной
силе действия распределенного заряда на самого себя,

которая, как известно, равна нулю. Доказать это очень
просто:
Если частицы первого и второго сортов отличаются друг
от друга, можно показать, что суммарная потеря импульоа
у частиц одного сорта в точности равна суммарному увели-
увеличению его у частиц другого сорта. Доказательство этого
аналогично доказательству в электростатике равенства
силы, действующей со стороны одного пространствен-
пространственного заряда на другой, силе, действующей на первый со
стороны второго.
Второй член в правой части уравнения (9.64) не вызы-
вызывает вообще изменений в скорости, так как после интегри-
интегрирования по частям он обращается в нуль:
Го д д f д д Т dv~ Udv*\ д f д д Т dv-
Г д * д д гр , п
= — \ T-/ij-T-r2rfv = 0.
J dvj' L dvkdvj *
Совместимость интеграла столкновений в форме Фок-
кера — Планка с законом сохранения энергии доказы-
доказывается путем умножения уравнения (9.64) на vkvk (с уче-
учетом правила суммирования по повторяющимся индексам)
и интегрирования по пространству скоростей. В данном
случае два члена в правой части уже не обеспечивают по
отдельности сохранения энергии. Если считать частицы
обоих сортов идентичными, то первый член справа будет
равен
-2А Jy*v* к f kSdv =4А j * / wt
а второй —
AC	д д , д д rri	л С д ? д д
243
= А J *щ wt Tdv =2A f

|(уф)(Гу)ф^г-— ~
По аналогии с электростатикой (/-^р, S-xp) выражение
(9.73) соответствует умноженной на А А потенциальной
энергии, а выражение (9.72) — умноженной на — 4А
потенциальной энергии кулоновских сил. В обозначе-
обозначениях электростатики доказательство последнего утверж-
утверждения выглядит следующим образом:
J р (г • у) ф^г = — J фу (гр) rfr = — 3 J pcpdr — j ф (гу) pdr.
С другой стороны, тот же интеграл можно выразить
по-иному:
f Р(гу)ф^г
= ~L \ ф
= J Ф (ry) P dv + 2 j фр dr.
Складывая оба выражения, получим
Jp (rV) фdr = — у|рфйг,	(9.74)
что и требовалось доказать.
Таким образом, оба члена выражений (9.72) и (9.73)
взаимно уничтожаются. Если частицы одного сорта не тож-
тождественны частицам другого сорта, то легко показать, что
потеря энергии частицами одного сорта в точности равна
увеличению энергии частиц другого сорта.
Для целей дальнейших вычислений упростим фигури-
фигурирующие в уравнении (9.64) производные. Воспользовав-
Воспользовавшись равенствами (9.68) и (9.69), можно найти другую
форму для интеграла столкновений в приближении Фок-
кера — Планка
A dt
12
-L-L °/i	a /2	(9.75)
2 du•dv-dv•dv•
Для одинаковых частиц
A dt
%?.•	(9-76)
2
244

Вероятно, в общем виде нельзя показать, что интеграл
столкновений в форме Фоккера — Планка не приводит
к росту Я-функции, т. е. к уменьшению энтропии. Можно,
однако, убедиться, что этот интеграл столкновений обра-
обращается в нуль для случая распределения Максвелла. Для
изотропного распределения по скоростям уравнение
(9.76) упрощается:
A dt
и
" ' ' v2 dv dv * v ^2
d2f д2Т
(9.77)
При выводе последнего выражения используется следую-
следующее свойство оператора дифференцирования по компонен-
компонентам v
г
Для функции
получим
d vj d
3vj v dv
/(o)=e-«
(9.78)
V	V
д^- - - е- — -2 Г е~ du + 2я Г е~ du\
dv v	v2 J	' J	*
(9.79)
2n
v3
Читатель может самостоятельно проверить этот резуль-
результат и убедиться, что он приводит к обращению правой
части уравнения (9.77) в нуль.
Уравнение типа Фоккера — Планка было применено
Макдональдом и др. * к расчету времени релаксации для
системы частиц, имевших в начальный момент изотропное
распределение по скоростям, причем такое, что энергия
каждой частицы одинакова. Уравнение решалось чис-
численными методами. Было получено, что с течением времени
W. М. М а с D о п а 1 d et al. Phys. Rev., 107, 350 A957).
245

распределение стремится к максвелловскому. При этом
в области больших значений скорости максвелловское
распределение устанавливается позже, чем при меньших
скоростях. Приближенно основная часть максвеллов-
ского распределения формируется за время Ti, определяе-
определяемое из выражения
J- = Ngv = N . v . -^- In 1^1,	(9.80)
' 1	mf у4 ww;
где t; — среднеквадратичная скорость. Авторы этой ра-
работы сделали в аналитической форме оценку времени Tv,
необходимого для формирования «хвоста» максвеловского
распределения вплоть до значения скорости v, которое
оказалось равным
m? \
(9.80')
In U
Эта величина по существу равна времени столкновения
для частиц, обладающих скоростью v.
§ 9.9. Электропроводность плазмы
При воздействии на плазму слабого электрического
поля и отсутствии магнитного поля (или параллельности
последнего электрическому) электроны и ионы начинают
двигаться в противоположных направлениях, образуя
ток. Средняя относительная скорость электронов и ионов
будет возрастать до того момента, пока электрические
силы не уравновесятся «трением», вызванным столкно-
столкновениями этих двух сортов частиц. После достижения такого
равновесия устанавливается стационарное состояние.
Функции распределения не становятся при этом равновес-
равновесными, поскольку происходит выделение тепла в количе-
количестве с (j-E) на единицу объема (j—в электромагнит-
электромагнитных, а Е — в электростатических единицах). Однако если
количество тепла, выделяемого за время одного столкно-
столкновения, невелико, то функцию распределения можно счи-
считать почти равновесной. Количество выделяющегося тепла
можно сделать как угодно малым путем уменьшения вели-
величины Е.
246

Поскольку ионы и электроны приобретают равные и
противоположные по знаку импульсы, почти весь ток
будет обусловлен электронами, так что вкладом ионов
в ток можно пренебречь. Кроме того, если' температуры
ионов и электронов имеют сравнимую величину, относи-
относительная скорость в электрон-ионных столкновениях почти
полностью определяется скоростью электрона. Учитывая
сказанное, можно без сильного влияния на окончательные
результаты считать ионы покоящимися, а их температуру
равной нулю.
Будем считать, что электрическое поле действует в на-
направлении оси г. Уравнение Больцмана для электронов
тогда будет иметь вид
еЕ д г , ч 	dfe
"т~о d^Je ^ == ~di
uz
dt
(9,81)
Здесь заряд электрона обозначен (—е). Интегралы столкно-
столкновений возьмем в форме Фоккера — Планка.
Если напряженность электрического поля невелика,
функция fe только мало будет отличаться от максвеллов-
ской. Поэтому ее можно представить следующим образом:
Uv) = Mv) + /i(v),	(9.82)
где /o(v) — максвелловская функция распределения,
a fi мало по сравнению с fо. Подставим выражение (9.82)
в уравнение (9.81) и сохраним члены не выше первого по-
порядка малости. Сумма членов нулевого порядка равна
интегралу столкновений для равновесного случая, кото-
который, как было установлено в § 9.8, равен нулю.
Левая часть уравнения (9.81) с точностью до членов
первого порядка имеет вид
еЕ д f (v) - еЕ N { Ше
кТе
где 6 — угол между направлением скорости v и осью г.
Интеграл электрон-электронных столкновений с точ-
247

ностью до членов первого порядка равен, согласно урав-
уравнению (9.76),
где температура также разложена по степеням малости
Te = T0+Tv	(9.85)
Теперь /о и То зависят только от абсолютной величины
скорости v. rio3TOMyi получим, используя, например,
уравнение (9.78)
д2 То _ д vj дТ0 = Ьи дТ0 vt vj д 1 дТ0
dvjdvi dvi v dv v dv	v dv v dv
и, следовательно,
(
dvtdvj dvtdvj~ {v dv
.Mai дТ0\ д	д г	/п о^ч
+ — 5	тг^ viviir-	л—/i-	(9.86)
1 \и да и dv ) l J dvt	dvj11	¦ v ;
Далее
4dvj
а2 р
Таким образом, в интеграле столкновений (9.84) все опе-
операторы, действующие на функции первого приближения,
суть либо производные по абсолютной величине v, либо
имеют вид V?.. Собственными функциями таких операторов
являются сферические гармоники, такие, как cos 0. По-
Поскольку левая часть уравнения (9.83) зависит от 8 как
cos 0, такая же зависимость должна быть у /i и Ti.
Остающаяся задача — определение радиальной зависи-
зависимости /i (т. е. зависимости от v) сводится к решению
интегрального уравнения, поскольку 74 выражена через
интеграл от fi. Это интегральное уравнение было числен-
численно решено Ландсхоффом * путем разложения функции fi
* R. Landshoff. Phys. Rev., 76, 904 A949); 82, 442
A951). Ландсхофф также рассмотрел некоторые другие явления
переноса.
248

по полиномам Лагерра. Полученное им выражение для
проводимости в отсутствие магнитного поля и для Zi =
= Z2 = 1 равно
в = "*= 1'97 ^7 •	<9-87>
где / — в электромагнитных, Е — в электростатических
единицах, a vc — частота столкновений, равная
Обращает на себя внимание то обстоятельство, что плот-
плотность электронов N выпадает из выражения для а, ко-
которое оказывается пропорциональным (kTe)*f*.
Выражая для случая водорода проводимость в прак-
практических единицах, получим
a Q = 192 (Те (ав))*'*/1п (А).	(9.89)
При больших напряженностях электрического поля
изложенная теория перестает быть справедливой. Если
электрическое поле столь велико, что за время между столк-
столкновениями электрон приобретает энергию, сравнимую
с kTe, то предположение о квазиравновесности функций
распределения, очевидно, не годится. Таким образом,
условие применимости изложенной теории состоит в том,
чтобы скорость электронов, приобретаемая за время между
столкновениями, была мала в сравнении с их тепловой
скоростью, т. е.
-^-Cl/^.	(9.90)
В практических единицах для случая водорода это усло-
условие имеет вид
Как видно из этого неравенства, условие применимости
изложенной теории для плазмы низкой плотности доволь-
довольно легко может быть нарушено.
Поскольку резерфордовское сечение рассеяния убы-
убывает обратно пропорционально квадрату энергии частицы,
9В к. Лонгмайр	249

то в случае, если частица между столкновениями успевает
приобрести энергию, сравнимую с ее начальной энергией,
она может перейти в режим непрерывного ускорения, не
испытывая при этом вообще столкновений. Это явление,
известное под названием «убегающих электронов», было
изучено Дрэйсером *.
Следует сделать еще одну оговорку по поводу приве-
приведенного выше расчета проводимости. В этом расчете пола-
полагалось, что состояние плазмы лишь слегка отклоняется от
равновесия. В то же время получаемая в лаборатории или
наблюдающаяся в природе плазма обычно далека от рав-
равновесия. Действительно, уже само прохождение тока через
плазму может возбудить в ней волны или создать турбулент-
турбулентность одного из многих типов. Поскольку в турбулентной
плазме могут возникать электрические поля, превышающие
приложенное, принято считать, что проводимость реальной
плазмы, как и другие характеристики явлений переноса
в ней, может сильно отличаться от рассчитанных для рав-
равновесной плазмы.
* Дрэйс.ер. В кн. «Труды Второй международной конфе-
конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева,
1958». Избранные доклады иностранных ученых. Т. 1. М., Атом-
издат, 1959, стр. 170.

ГЛАВА
ю
ДИФФУЗИЯ В ОБЫЧНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
ПОПЕРЕК НАПРАВЛЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
§ 10.1. Введение
В гл. 9 была рассмотрена вызываемая столкновениями
диффузия в пространстве скоростей при оправданных
предположениях, что внешние силы отсутствуют, а функ-
функция распределения не зависит от координат. Мы убеди-
убедились в том, что столкновения приводят с течением вре-
времени к установлению максвелловского распределения по
скоростям.
В настоящей главе будет исследовано влияние про-
пространственной неоднородности плотности и температуры
плазмы. Мы найдем, что столкновения вызывают диффу-
диффузию частиц и энергии в обычном пространстве, стремя-
стремящуюся выравнять начальные неоднородности в плотности
и температуре. Рассмотрим только тот случай, когда
имеется внешнее магнитное поле и средние характеристики
плазмы мало меняются на протяжении ларморовского
радиуса.
§ 10.2. Конфигурации, соответствующие тепловому
равновесию
Аналогично случаю диффузии в пространстве скоро-
скоростей можно найти то состояние, к которому приводят в пре-
пределе столкновения, т. е. состояние равновесия. И в этом
случае удобно обратиться к Я-функции Больцмана. Вве-
Введем величину Нт:
$	§	A0.1)
9В*	251

Представим себе, что наша система помещена в трехмерную
потенциальную яму, стенки которой достаточно высоки
для того, чтобы отражать^все частицы. Тогда интегрирова-
интегрирование достаточно распространить только на объем потен-
потенциальной ямы.
Посмотрим, как Нт меняется с течением времени.
Для этого рассмотрим значение Нт в два бесконечно близ-
близких момента времени t0 и tu так что 6/= tx—to —
бесконечно малая величина.
Разобьем в момент t0 объем фазового пространства на
большое число элементов 6Vi(t0) (где i = 1, 2, 3, ...). Тогда
величина HT(t0) может быть аппроксимирована суммой
6Vi{t0),	A0.2)
где f\ — среднее значение f для каждого элемента фазо-
фазового объема. Посмотрим, что будет происходить в следую-
следующие близкие моменты времени. Под влиянием средних по-
полей Е и В точки фазового пространства, представляющие
отдельные частицы, слегка изменят свое положение. Счи-
Считая, что элементарные объемы 8Vi движутся вслед за час-
частицами таким же образом, как сами частицы двигались бы
в отсутствие столкновений, определим 6V\(ti).
Когда столкновения отсутствуют, значения функции />
в системе координат, связанной с движущейся частицей,
не зависят от времени. Так как число частиц в каждом
элементе объема не меняется с течением времени (в отсут-
отсутствие столкновений), величины 8V\(t0) и 8Vi(ti) должны
быть равны. Напомним для полной ясности, что альтер-
альтернативной формулировкой теоремы Лиувилля является
требование сохранения фазового объема.
В момент tx
A0.3)
где f\ — средние значения / в новых элементах объема.
Отметим, что новые элементы бУ^) содержат все частицы
и не перекрываются, так как траектории частиц в фазо-
фазовом пространстве в отсутствие столкновений не пересе-
пересекаются.
252

Вычитая уравнение A0.2) из A0.3) и используя равен-
равенство 8Vj(/i) = 8V\(t0), получим при переходе к бесконечно
малым элементам объема
Jv^(/ln/)f	A0.4)
где D/Dt — субстанциональная производная (берется
вдоль траектории движения частицы).
Для любой заданной точки г интеграл по v в уравне-
уравнении A0.4) должен быть меньше или равен нулю, причем
он равен нулю только в том случае, если распределение по
скоростям в этой точке максвелловское. Последнее сле-
следует из выводов гл. 9. Таким образом, величина dHr/dt
будет меньше нуля, если распределение f не является
максвелловским во всех точках пространства. Равновес-
Равновесная функция распределения имеет вид
/(r,t>)=a(r)e-P<'>°\	A0.5)
где а — величина, пропорциональная плотности частиц,
а Р равно
Пока мы оставляем в стороне распределение с неравной
нулю средней скоростью, но позднее к нему вернемся.
Для определения аир необходимо подставить выра-
выражение A0.5) в уравнение Больцмана. Правая часть
уравнения при этом обращается в нуль, производная
по времени от f также равна нулю, как и величина [vB] Vz/.
Поэтому уравнение Больцмана приобретает вид
или после учета равенства A0.5)
^	- 0,	A0.7)
где градиенты относятся к обычному пространству. По-
Поскольку полученное уравнение должно быть справедливо
при любом значении v, коэффициенты при всех степенях
v должны равняться нулкгпо отдельности. В силу этого
253

VP обращается в нуль, что означает независимость тем-
температуры от координат, и, кроме того,
уа — ^аЕ=0.	A0.8)
Это уравнение может быть удовлетворено лишь для потен-
потенциальных полей Е, таких, при которых
Е = -уф(г).	A0.9)
В частности, это справедливо для статического поля. Для
таких полей получаем из уравнения' A0.8)
е? (г)
kT
где а0 — постоянная. Равновесная функция распределе-
распределения, таким образом, имеет вид
(г)
f (r, v) == а0 е~~*т ~*bf .	A0.10)
Это распределение известно как распределение Макс-
Максвелла — Больцмана.
Читателю предоставляется возможность самостоятель-
самостоятельно убедиться в том, что равновесное распределение с не
равной нулю средней скоростью v0 может осуществляться
только при условии, что электрическое и магнитное поля
«движутся » с той же скоростью, т. е. что в движущейся
со скоростью v0 системе эти поля статические. Тепловое
равновесие, естественно, может реализовываться лишь
при отсутствии движения со средней скоростью относи-
относительно стенок потенциальной ямы.
Можно показать, что распределение Максвелла —
Больцмана соответствует абсолютному минимуму функ-
функции Яг, когда число частиц и полная энергия (включая
потенциальную) постоянны. Доказательство этого мало
отличается от аналогичной теоремы, приведенной в § 9.3;
Поскольку все другие возможные распределения соответ-
соответствуют большим значениям Нт и отрицательным значениям
dHr/dt, они должны асимптотически приближаться с те-
течением времени к распределению Максвелла — Больцмана.
В любой реальной физической системе стенки не яв-
являются, конечно, неизменными потенциальными барье-
барьерами, а обладают некоторыми динамическими свойствами
254

и могут испытывать тепловые колебания, в результате
чего в конечном итоге температуры плазмы и ограничиваю-
ограничивающих ее стенок выравниваются.
Из выражения A0.10) видно, что магнитное поле со-
совершенно не влияет на состояние теплового равновесия.
Это означает, что для достаточно больших промежутков
времени ограничивающее влияние постоянного магнит-
магнитного поля исчезает. Постоянное магнитное поле может
лишь временно удерживать плазму, которая постепенно
за счет столкновений будет диффундировать, стремясь
к распределению A0.10). В этой главе мы попытаемся про-
провести расчет диффузии поперек направления магнитного
поля.
§ 10.3. Отклонение от теплового равновесия
Приступим/к вычислению переноса частиц и энергии
(теплопроводности) для случая, когда распределение плот-
плотности не является равновесным. Будем, однако, считать
градиенты малыми величинами и попытаемся вычислить
зависимость потока массы и по-	у
тока-тепла от этих градиентов
в линейном приближении.
Градиент магнитного поля
не может вызывать потоков
массы или тепла, поскольку
равновесное распределение, при
котором эти потоки отсутст-
отсутствуют, не зависит от магнит-
магнитного поля. Следовательно, с
точностью до первого порядка
можно считать магнитное поле
постоянным. Пусть оно щ на-
направлено по оси z и абсолют-
абсолютная величина его напряжен-
напряженности равна В (рис. 10.1). Будем считать, что градиенты
температуры и плотности направлены по оси х, т. е. N
и Т не зависят от у и г.
Каково будет распределение частиц в отсутствие столк-
столкновений? Проще всего для ответа на этот вопрос рассмо-
рассмотреть поведение ларморовских окружностей. Предполо-
Предположим сначала, что все поля, кроме В, отсутствуют. Тогда
ларморовские окружности будут связаны с одной и той же
255
VnJT
Рис. 10.1. Ориентация поля
В и градиентов N я Т при
диффузии.

линией В, и, следовательно, значение их координаты х
не изменяется. Далее, вращающиеся частицы обладают по-
постоянной (во времени) поперечной слагающей скорости v±
и постоянной параллельной скоростью vz. Следовательно,
в качестве функции распределения ларморовских окруж-
окружностей можно выбрать любую функцию вида F (х, и L, v2).
Необходимо только не забывать, что v± — скорость части-
частицы, а не ее ларморовской окружности. Подобное распре-
распределение остается неизменным во времени, если нет столк-
столкновений. Можно в качестве такого распределения выбрать
распределение Максвелла. Оставляя обоснование этого
временно в стороне, положим
A0.11)
где N и Т — произвольные функции х, а
v2 = v2± + v\ = v\ 4- vl + vl	A0.12)
Плотность ларморовских окружностей равна N(x). Видо-
Видоизменим распределение A0.11) с тем, чтобы учесть влия-
влияние других полей. Электрическое или гравитационное поле,
направленное по оси х, вызовет стационарный дрейф в на-
направлении оси у, который будет складываться со скоро-
скоростями всех частиц. Поскольку N и Т предполагаются не
зависящими от у, распределение F остается равновесным,
но его средняя скорость будет отличаться от нуля. При
напряженностях электрического и гравитационного полей,
равных Ех и gX9 скорость дрейфа va вдоль оси у будет равна:
°< = -тг~.	<10ЛЗ>
где со — ларморовская частота
© = —.	A0.14)
me	v	;
Теперь, видоизменив функцию распределения ларморов-
ларморовских окружностей, получим
\2Щх)	y A0.15)
256

В направлении оси z не должно действовать никаких
внешних сил, поскольку это привело бы к возникновению
быстрых изменений в функции распределения, значи-
значительно превышающих влияние диффузии. Наша задача
сейчас состоит в вычислении диффузии в равновесных кон-
конфигурациях. Гравитационная сила в направлении оси у
обусловливает дрейф в направлении оси х> который при
наличии неоднородностей плотности (VW^O) приводит
к разделению зарядов. Конечным результатом действия
этой силы является свободное падение плазмы в направ-
направлении оси г/, как это было показано в гл. 3. Поэтому силу gy
можно не учитывать.
Электрическое поле, направленное по оси у, заставляет
всю плазму как целое двигаться в направлении оси х. По-
Поскольку подобное поле может быть обращено в нуль выбо-
выбором системы координат, его действие также не существен-
существенно. Будем пока считать, что поле Еу отсутствует, однако
впоследствии мы еще к нему возвратимся. По сути дела
поле Ех тоже можно было бы исключить при помощи пре-
преобразований, но для наглядности результатов мы его сохра-
сохраним в выражении A0.13).
При соблюдении указанных условий выражение A0.15)
дает плотность ларморовских окружностей в фазовом про-
пространстве. Определим теперь плотность частиц в фазовом
пространстве. Ларморовской окружности с координатами
х, vx, vyy vz в фазовом пространстве, очевидно, соответ-
ствует частица с координатами х •	-, vx, vy, vz. Можно
показать, что уу/ш — компонента ларморовского радиуса
вдоль оси х и она должна вычитаться из х. Следовательно,
функции распределения ларморовских окружностей и час-
частиц связаны соотношением:
f{x, vx, vy, vz) = f{x+V^> vXi vyy vz). A0.16)
В силу этого функция распределения частиц, соответст-
соответствующая выражению A0.15), определяется как
X exp f	m	[vl + {v- vdf+ оЩ. A0.17)
257

Непосредственной подстановкой в уравнение Лиувилля
можно доказать, что эта функция является его решением
при наличии полей Ех, gx и Bz. Общее равновесное реше-
решение имеет вид
Однако нами выбран максвелловский вид распределения
A0.17).
Интеграл столкновений нельзя вычислить, пока не
уточнен вид функций N я Т. Не определяя вида этих функ-
функций точно, предположим, что они мало меняются на про-
протяжении ларморовского радиуса и, следовательно, могут
быть представлены следующим образом:
N (х +
т[х+%)жТ{х)+%Т'{х).	A0.18)
Штрихами здесь обозначены производные по х. Одновремен-
Одновременно предполагается, что скорость Vd мала по сравнению со
средней тепловой скоростью. Разлагая f с учетом малости
N', Т' и Vd и опуская члены выше первого порядка малости,
получим
mv2
X
Из выражения A0.19) видно, что в этом приближении про-
пространственная плотность остается равной N(x), так как
члены, пропорциональные Vd, при интегрировании по ско-
скорости исчезают.
Итак, функция f, определяемая выражением A0.19),
есть приближенная функция распределения в отсутствие
столкновений, точность которой определяется малостью
величин N'9 T' и vd. Поскольку влияние столкновений
еще не было принято во внимание, обозначим эту функ-
функцию /<0).
258

§ 10.4. Возмущения, вносимые столкновениями
В этом параграфе будет учтено влияние столкновений
и найдена поправка f({) к функции f(°K Функция f(l) будет
описывать потоки энергии и частиц в направлении оси х.
Учет столкновений может быть произведен двумя экви-
эквивалентными способами. Согласно первому способу, следят
за траекторией, описываемой центрами ларморовских
окружностей. Когда частица испытывает столкновение,
центр ее ларморовской окружности делает как бы скачок.
Можно взять за основу такие скачки центров ларморов-
ларморовских окружностей и, используя метод случайных блужда-
блужданий, выразить потоки массы и энергии через среднюю и
среднеквадратичную величины скачков до первого поряд-
порядка малости. Второй способ, которому мы будем следовать
ниже, состоит в вычислении функции распределения частиц
путем решения уравнения Больцмана *.
Для двух сортов частиц (ионов и электронов) уравне-
уравнение Больцмана можно сокращенно записать в виде
ЙЛ = С(Ш + С(М2),	A0.20)
где индексы соответствуют сортам частиц, а С — оператор
интеграла столкновений. Предположим, что интегралы
столкновений малы по сравнению с величинами в левой
части уравнения. Главный вклад в левую часть уравнения
вносит член — ([vBlyJ), поскольку остальные члены про-
пропорциональны малым величинам Ех, gx и оператору уг.
Член ^- (lvB]yvf) соответствует искривлению траектории
частиц в магнитном поле. Поэтому, если интегралы столк-
столкновений малы по величине, время столкновения оказы-
оказывается больше периода ларморовского вращения, т. е.
сотс>1.	A0.21)
Малость интегралов столкновений позволяет надеяться
найти решения уравнения A0.20) методом итераций. Умно-
.* Метод ларморовских окружностей использовался в статье
С. L. Longmire, M. N. Rosenbluth. Phys. Rev.,
103, 507 A956). Метод уравнения Больцмана излагается в соответ-
соответствии с работой М. N. Rosenbluth, A. N. Kaufman
Phys. Rev., 109, 1 A958).
259

жим правую часть этого уравнения на параметр X, который
впоследствии положим равным единице. Тогда
§t	h)}-	(Ю.22)
Разложив /i и /а в ряд по степеням X, получим
\°> A) B) ...	A0.23)
и аналогичное выражение для /2. Приравняв члены при
одинаковых степенях X нулю, получим систему уравне-
уравнений
^/(i0) = 0;	A0.24)
?t	№) (Ю.25)
и так далее.
Уравнение A0.24) удовлетворяется функцией f<°>, най-
найденной в предыдущем параграфе [выражение A0.19)].
Чтобы найти поправку к этой функции, обусловленную
столкновениями, необходимо решить уравнение A0.25),
Рассмотрим интеграл столкновений C(/(i0)/20)). Для крат-
краткости представим функцию /<0) следующим образом:
(V) ==/<«> (о) [l+t>,q>(tO],	A0.26)
где fm — ее максвелловская часть,
3	tnv*
Y° '" ¦ с»-27)
Отметим, что /("*>, как и ф, — функции только абсолютной
величины скорости v. Также нужно отметить, что ф зави-
зависит от массы и заряда рассматриваемых частиц. В зави-
зависимости от сорта частиц функция ф будет принимать
значения фх или ф2.
Предположим, что температура Т (х) имеет одно зна-
значение для обоих сортов частиц, а плотности N±(x) и N2(x)
различаются.
260

Используя указанные обозначения, получим с точ-
точностью до первого порядка малости
С(/<,°> Л = /<«>(Ol) $$] /f > (v2) [v\y Ф, (v\) +
+ v2y Ф2 (v'2) — vly фх fa) — v2y Ф2 (y2)] x
X-J -e.e.dv'idvsrfv,.	A0.29)
При получении этого результата был учтен тот факт, что
интеграл столкновений стремится к нулю для максвеллов-
ского распределения и что
f\n) (o'i) fim) (v'2) = f\m) (о,) /Г (^2) (Ю.30)
в соответствии с законом сохранения энергии.
Все функции в правой части выражения A0.29) яв-
являются скалярами в пространстве скоростей, за исключе-
исключением величин vy. Поэтому, если величины vy заменить
соответствующим им вектором v, все выражение также
станет некоторым вектором С. Единственная переменная,
по которой не производится интегрирование, это век-
вектор vj-, и по соображениям симметрии ясно, чтсГвектор С
должен быть коллинеарен vx. Из тех же соображений сле-
следует, что абсолютная величина вектора С не зависит от
направления вектора vi. Поэтому можно написать
C = v1g(t;1),	A0.31)
где givj — некоторая функция абсолютной величины век-
вектора х>г. Интеграл столкновений A0.29) есть тогда слагаю-
слагающая вдоль оси у этого вектора
C{f\o)№)) = viyg(v1).,.	(Ю.32)
Этого вывода уже достаточно, чтобы решить уравнение
Больцмана в первом приближении A0.25). Оба интеграла
столкновений в этом уравнении будут иметь вид A0.32),
хотя функции g для них неодинаковы. Обозначим эти
функции gn и g22. С точностью до первого порядка по ма-
малым величинам уравнение A0.25) может быть приведено
к виду
- A0-33)
261

Члены, содержащие Ех ^~ и gx -т-^-, имеют второй по-
рядок малости, так как Ех, gx и fx— сами малые вели-
величины первого порядка. Уравнение A0.33) можно упро-
упростить, если ввести в пространстве скоростей сферические
координаты vl9 0, ф, причем ось . z ^вдоль которой на-
направлено магнитное поле В) должна соответствовать 0=0:
vlx = vx sin б cos ф; vly = иг sin б sin ф; vl2 = vA cos 0.
В этой системе координат оператор [v^oj* принимает
вид 5/Зф. Поэтому уравнение A0.33) можно записать в
виде
— ®! щ f[l) = ух sin 0 sin ф [gn (vt) + g12 (о,)].
Решение его равно
/(/) = (El sine cos Ф) [gn (vx) + g12 (v,)} =
^)].	(Ю.34)
Представим теперь, например, величину v^g^ivj) как
компоненту вектора С вдоль оси х [выражение в правой
части равенства A0.29), в котором вместо vy фигурирует
vx]. Поэтому
/=1,2 Х
ОиФгЫ —^Ф/Ы] G-
f f f /^ (^) [°^ Ф1 (°0 + ^, Ф, fe) -
G-b-b-dv\dv2dv2.	A0.35)
§ 10.5. Диффузия частиц
Вычислим теперь потоки частиц и энергии, соответ-
соответствующие поправке /i(vj), путем определения моментов
этой функции.
Во-первых, из выражения A0.34) следует
= 0.	A0.36)
262

Таким образом, ft не изменяет пространственной плотности
частиц, которая остается равной Nv
Далее рассмотрим моменты первого порядка, описываю-
описывающие потоки частиц. Как легко заметить из уравнения
A0.29), /<°> не дает вклада в поток вдоль оси х. Однако
этой функции соответствует поток в направлении оси у.
Этот поток входит в уравнение баланса давлений, которое
обсудим несколько позже. Наконец, член, обусловленный
столкновениями, вызывает поток вдоль оси х9 т. е. в на-
направлении градиентов плотности и температуры, а также
сил, создающих дрейф. Этот поток частиц равен
Рг-= J vlxf[l) (vO йуг = Fn + F12,	A0.37)
где Fn и F12 соответствуют столкновениям с частицами
соответственно первого и второго сорта.
Величины Fn и F12 могут быть вычислены путем под-
подстановки обоих членов выражения A0.35) в интеграл
A0.37). Для облегчения вычисления получающегося ин-
интеграла удобнее ввести вектор f*}*, который получается,
если заменить в выражении A0.35) компоненты vx век-
вектором v. Тогда, в частности, для F12 имеем
Fl2 = * »г JTO f[m) (Vl) ^ Ы {Vl [Vl ^ (Vl) +
+ V2 Ф2 (V2) — VX Фх (Oj) — V2 Ф2 (V2)] } X
x -Je-e.rfvidv^rfvjrfve.	A0.38)
Вычисление последнего интеграла довольно утомительно,
и мы не будем его здесь проводить детально. Для тех, кто
хотел бы это сделать самостоятельно, отметим, что подоб-
подобный интеграл проще всего вычисляется после преобразо-
преобразования входящих в него переменных к системе центра масс
с помощью соотношений (8.27) и (8.28). После интегрирова-
интегрирования по V одна из б-функций исчезает, а V заменяется
на V. Интегрируя затем по модулю v', используем нали-
наличие второй б-функции, что приводит к замене v'2 на и2.
Замена с самого начала V на V и у'2 на у2 сильно облегчает
вычисление выражения vx[...] в формуле A0.38). Там, где
вектор v' все же сохраняется, он должен быть заменен
согласно соотношению v' = v + Av. Затем проводится
263

интегрирование по углам вектора v , т. е. по углам рас-
рассеяния. Оно может быть проведено очень просто, если счи-
считать 0/2, где Э — угол рассеяния переменной интегри-
интегрирования, как в §9.7. В результате помимо члена с lnB/9m)
получается еще ряд членов, даже конечных, если не про-
проводить обрезания по углам, Однако эти члены примерно
в 10 раз меньше члена с lnB/0m) и поэтому могут быть опу-
опущены. Наконец, проводится интегрирование по V и v.
Часть членов в окончательном результате оказывается
равной нулю, а оставшиеся дают
и -
4 <?4 /2ятч1/2 2
T* \ег (тг тЛ ел тг /1 IV 1
Здесь тъ т2, ^, е2 — массы и заряды двух сортов частиц;
т — приведенная масса, равная m-jnJM, а М = тх + т2.
Из выражения A0.39) можно получить и Fn, если за-
заменить в нем везде индекс 2 на 1, тогда
Fn=0.	A0.40)
Этот результат означает, что столкновения частиц пер-
первого сорта между собой не приводят к появлению суммар-
суммарного потока частиц в данном приближении. Обращение
величины Fn в нуль — результат случайный.
Никакой из основных законов типа закона сохранения
импульса не требует, чтобы поток частиц при их столкно-
столкновении между собой был равен нулю. Действительно, если
в разложении, приводящем к выражению A0.19), сохра-
сохранить производные выше первого порядка, то поток Fu
оказывается отличным от нуля. Однако поправки высшего
порядка оказываются несущественными, если N и Т ме-
меняются мало на протяжении ларморовского радиуса.
Выражение F12 для частиц различного сорта не равно
нулю. Сформулируем наши выводы для случая, представ-
представляющего наибольший интерес, именно для случая водо-
водорода, когда *! = —е2:=е. (Впрочем, формула, которую мы
264

выведем, будет справедлива для любого однократно иони-
ионизованного газа.) В этом случае получим
(Приведенная масса практически совпадает с массой
трона.) При получении выражения A0.41) было исполь-
использовано выражение для гравитационного и других дрейфов.
Отметим, что скорость электрического дрейфа выпала из
окончательного выражения в соответствии с тем, что она
имеет одну и ту же величину для обоих сортов частиц.
Поскольку выражение A0.41) ^симметрично по индек-
индексам 1 и 2, можно заключить, что поток электронов равен
потоку ионов. Поэтому, если плазма первоначально ней-
нейтральна и Nx = N2, это свойство будет соблюдаться в про-
процессе диффузии. Этот вывод, однако, перестает быть спра-
справедливым, если учесть высшие производные N и Г, или
при ег =г—е2.
Интересно рассмотреть вклад, вносимый в поток грави-
гравитационным дрейфом, с точки зрения теоремы о равновесии.
Пусть плазма приходит в равновесное состояние при на-
наличии гравитационного поля. Тогда, согласно статисти-
статистической механике, плотности частиц будут равны
где (р(х) — устанавливающийся при равновесии электро-
электростатический потенциал. Температура при равновесии не
зависит от х. Поэтому поток частиц должен обращаться
в нуль, что действительно наблюдается. Это соответствует
компенсации членов (N1N2)'/NiN2 и Mgx/kT. В этом слу-
случае нам совсем не нужно знать распределение электриче-
электрического потенциала. Этот вывод справедлив вне зависимости
от равенства зарядов частиц.
.С взаимным уничтожением скоростей электрического
дрейфа частиц обоих сортов связан один любопытный пара-
парадокс. Как может плазма достичь равновесного распреде-
265

ления вида Ыг — Nloexp(—etp/kT), если электрическое
поле Е = —dy/dx не вызывает никакого дрейфа? Ведь
если поток частиц отсутствует, то
N1 = const и . N2 = const.
Ответ связан с выводами теории относительности. По-
Постоянное электрическое поле, направленное вдоль оси х, мо-
может быть исключено переходом к системе координат, дви-
движущейся вдоль оси у. Система, в которой плазма достигает
равновесия безотносительно к внешним силам, не может
быть определена. Только в результате взаимодействия со
стенками камеры эта система может быть конкретизи-
конкретизирована. Ею, естественно, может быть только система, в ко-
которой стенки покоятся. Можно представить себе, что гра-
градиент электрического поля вызывает поток частиц и влия-
влияние стенок распространяется внутрь плазмы, приводя
к установлению распределения вида ехр (—eq>/kT).
§ 10.6. Некоторые решения уравнений диффузии
в изотермическом случае
Как будет вести себя плазма, если позволить ее части-
частицам диффундировать в магнитном поле?
Предположим для простоты, что магнитное поле, на-
направленное вдоль оси z, постоянно, а все остальные усло-
условия не зависят от z. Будем также считать, что гравита-
гравитационными эффектами можно пренебречь, а в начальный
момент температура не зависит от координат. По мере про-
проникновения магнитного поля внутрь объема плазмы воз-
возбуждается электрическое поле, а температура повышается.
Однако изменения температуры малы в том случае, если
магнитное давление много больше кинетического, что мы
будем предполагать. Будем также считать, что Т не зави-
зависит от координат и времени, отложив оправдание этого
предположения до § 10.8.
Закон сохранения числа частиц первого сорта имеет
вид
^T+VFi=0,	A0.42)
где
F1= — ayN2u	A0.43)
266

а ~ з
2
Чг(ж) lnt- <10-44>
3 JD~ \ Kl /	\}т
При выводе соотношения A0.42) предполагалось, что
Nx — N2. Будем считать а постоянной величиной. По-
Поскольку а зависит от В, необходимо предположить, что
кинетическое давление мало по сравнению с магнитным.
В противном случае для сохранения баланса давлений
нам пришлось бы предположить, что В существенно зави-
зависит от Nlt Помимо этого, мы должны считать кулоновский
логарифм величиной постоянной. Комбинируя уравнения
A0.42) и A0.43), получим
^ = ау2#?.	A0.45)
Это уравнение определяет функцию N^r, t) по ее значению
N (г, to)9 заданному в момент t0.
Поскольку уравнение A0.45) нелинейно, общее ре-
решение его найти трудно. Некоторое представление о по-
поведении решения этого уравнения дает рассмотрение его
автомодельных решений. При нахождении этих решений
предполагаем, что они имеют вид
),	A0.46)
где а и b — постоянные, определяемые в процессе подста-
подстановки этого решения в уравнение. Введем новую перемен-
переменную
Подставив решение A0.46) в уравнение A0.45), получим
ata~l n| — bt"-1 (| уп (D) - at2a-2b у2 п2 (§). A0.47)
В последнем уравнении оператор V соответствует диф-
дифференцированию по ?. Так как п(|) зависит только от |,
члены с различными степенями t сокращаются. Отсюда
получаем условие
а = 26—1.	A0.48)
Любой из параметров а и b можно выбирать произвольно.
267

Одним из интересных для нае решений будет такое,
которое соответствует наличию на определенном расстоя-
расстоянии стенок, поглощающих частицы. В этом случае функ-
функция п должна обращаться в нуль при двух определенных
значениях г. Отсюда следует, что
6=0, а = — 1.	A0.49)
Рассмотрим два типа конфигураций — плоскую и осесим-
метричную. Уравнение A0.47) для этих конфигураций
принимает вид
— П (х) = a jjp П2 (х) (плоский случай);	A0.50)
— п(г) = 7 dr Г сГгП2(Г) (осесимметРичный случай). A0.51)
Пусть поглощающие стенки расположены при х = ± R,
г = R. Введем новые переменные x/R и r/R. Для этих
переменных уравнения A0.50) и A0.51) сохраняют преж-
прежний вид, за исключением замены а на a/R2. Заменяя п наап,
можно исключить а из уравнения. В результате этих пре-
преобразований выражение A0.46) для плотности частиц при-
приобретает вид
Граничное условие для п состоит в том, что эта функ-
функция должна обращаться в нуль при значениях своего аргу-
аргумента, равных ±1, и на этом интервале должна быть боль-
больше нуля. Эти условия удовлетворяются только для одного
значения величины п@), поэтому решение — единствей-
ное. Уравнение A0.50) может быть решено аналитически,
а уравнение A0.51) — только численно.
Решения данных уравнений изображены на рис. 10.2.
Используя.их и уравнение A0.52), можно определить вре-
время, за которое плотность частиц уменьшается в два раза:
*1/2=J. xj°'448 (ПЛОСКЙЙ случай);	A0.53)
0 @,208 (осесимметричный случай)
(No - плотность частиц в начальный момент в точке 0).
268

Второй интересный тип решения соответствует случаю
отсутствия стенок, когда плазма может диффундировать
свободно во все стороны. В этом случае необходимо по-
потребовать постоянства во времени полного числа частиц,
п
0,3
0,8
OJ
0,6
0,5
0,3
0,2
OJ
	.
N
|
1
ч
—
к
2
1—
I
Л

Si
\
\
О 0,1 0,2 0,3
0,5 0,6 0J 0,8 H/R//R
Рис. 10.2. Решение уравнения диффузии
для поглощающих стенок:
/ — решение для плоского случая, умноженное на
@,448)~1; 2 — решение для цилиндра, умноженное
на @,20s)—1. Выбор такого масштаба позволяет
проиллюстрировать близкое подобие этих решений.
т. е. величина \Nxdx или JNxrdr должна быть постоянной.
Из этого условия получаются следующие соотношения,
определяющие а и Ь:
а + Ъ = 0 (плоский случай);
п ~Ь 2& = 0 (осесимметричный случай).
Решая эти уравнения совместно с уравнением A0.48),
получим
A0.54)
1
а = —-т:
а = —
-g (плоский случай);
: -г (осесимметричный случай).
A0.55)
269

Дифференциальное уравнение A0.47) тогда приобретает
вид
— ~3 п[A) — "§" ^ 51 ^ а dP п2 (плоский слУчай); A0.56)
1 ,^ч 1 с. dn a d с. d 9
— У n Vb) — T^df^T Ж* Ж (осесимметричный случай).
A0.57)
В отличие от линейного уравнения диффузии эти урав-
уравнения определяют решения, обращающиеся в нуль при
конечных значениях координат; т. е. плазма занимает
вполне определенный объем в каждый момент времени.
Пусть Nx в момент t0 обращается в нуль в точках х = ±/?,
г — R. Аналогично предшествующему типу решений мож-
можно опять выбрать новые переменные g так, что решение
обращается в нуль в точках ? = ± 1 и 1, а а исчезает из
уравнений. Решения уравнений A0.56) и A0.57) по счастли-
счастливой случайности находятся очень просто и равны
П (I) = у2 A — ?2) (плоский случай);	A0.58)
Л (g) = jg A —|2) (осесимметричный случай). A0.59)
Соответствующие выражения для плотности частиц равны
[1 ф (O] (плоский случай);
A0.60)
2
X
270
W /	(осесимметричный случай).	A0.61)

Если No — плотность в начале координат в момент /0> а
начальный радиус R, то время, необходимое для увели-
увеличения радиуса вдвое, равно
то (плоский случай),
A0.62)
15	v	;
тт* (осесимметричный случай).
Необходимо заметить, что есть и другие виды авто-
автомодельных решений *.
§ 10.7. Баланс давлений и сопротивление плазмы
Моменты второго порядка функции распределения об-
образуют тензор потока импульса. Из вида функции f± [выра-
[выражение A0.34) ] следует, что она не вносит вклада в тензор
потока импульса:
jfi)(yi)dw1 = 0.	A0.63)
Закон сохранения импульса или баланса давлений имеет
тот же вид, что и в случае распределения /<°>, определяе-
определяемого выражением A0.19). Для простоты ограничимся
в этом параграфе случаем, когда е1 = —е2 = е, плазма
нейтральна, т. е. Л^ = N2} и пренебрежем гравитацион-
гравитационными эффектами. Выражение для полного давления тогда
имеет вид
р = (Ыг +N2)kT,	A0.64)
а уравнение баланса давлений
VP = [J-B],	A0.65)
где j — полный электрический ток (в направлении оси у),
обусловленный распределениями /i0) (vx) и f^ (v2). Не-
Непосредственный расчет величины j = ]г + j2 на основе
уравнения A0.19) подтверждает справедливость уравнения
A0.65).
Дрейф частиц поперек силовых линий магнитного поля
может быть скомпенсирован приложением электрического
* J. С. Н о 1 1 a d а у. U. S. Atomic Energy Commiss.
Rept. LA-1962 A955).
271

поля вдоль оси у. Поток частиц первого (или второго) сорта
при наличии электрического поля равен
N1.	A0.66)
Приравнивая нулю сумму этого потока и потока в ре-
результате диффузии, получим после небольших преобра-
преобразований
f1}=0. A0.67)
Здесь введена новая величина
4	-I	-А	о
г). = i-ce2BnmJ {kT) 2 In -f-.	A0.68)
(Напомним еще раз, что приведенная масса т очень близка
к массе электрона.)
С помощью уравнения A0.65) можно исключить из
уравнения A0.67) градиент давления. Умножая получив-
получившееся после этого выражение векторно на В, получим
A0.69)
где
^ = 1.2^/5.	A0.70)
Уравнение A0.69) удовлетворяется в системе коорди-
координат, в которой плазма в среднем покоится. Ранее было
введено электрическое поле для нейтрализации диффузион-
диффузионного дрейфа. Однако даже если бы в первоначальной систе-
системе электрическое поле отсутствовало, то в системе, движу-
движущейся со скоростью диффузионного дрейфа, в соответ-
соответствии с уравнением A0.69) появляется электрическое
поле.
Согласно этому уравнению, электрическое поле со-
состоит из двух слагаемых, первое из которых соответствует
закону Ома гц j. Назовем величину тц сопротивлением в на-
направлении, перпендикулярном магнитному полю. Сопро-
Сопротивление в направлении, параллельном магнитному полю,
сохраняет то же значение, что и в отсутствие магнитного
поля (выведенное в § 9.9). Сравнение этих двух величин
дает
Tlj_ = l,97Tin.	A0.71)
272

Коэффициент 1,97 следует из численных расчетов т) в, про-
проведенных Ландсхоффом *.
Второе слагаемое Е обусловлено градиентом темпера-
температуры и соответствует термоэлектрическому эффекту. Коэф-
Коэффициент jit — термоэлектрическая постоянная. Отметим,
что электрическое поле перпендикулярно градиенту Г и В.
§ 10.8. Теплопроводность
Поток энергии в направлении оси х равен
[A0.72)
(Функция f(°) не дает никакого вклада в этот поток.) Для
облегчения вычислений здесь также удобно использовать
для f\l) вместо выражения A0.35) векторную форму, полу-
получающуюся путем замены vx на v. Тогда выражение для
потока энергии, переносимой частицами первого сорта
в результате столкновений с частицами второго сорта,
будет иметь вид
п	1 1 %ГГГГ dm) / v dm) , v 2
Qi2= yy—JJJJ n (vi)h (v2)vix
X (vj [vi Фх (v\) + у2 Ф2 (v2) — vx Фг (vt) — v2Ф2 (v2)]) x
X —-e-e-dvidvadv^va.	A0.73)
Вычисление этого интеграла крайне громоздко ввиду
большого количества членов. Поэтому здесь целесообразно
применить тот же метод, который использовался при вы-
вычислении потока частиц. В результате получим
Qu = - }BrtS"
ei N2 + gx (w ei
м—J
1 kT\ Л ^Л
2" kT [ [l~^\
* См. сноску на стр. 248. Напомним, что наши выражения для
сопротивления соответствуют выражению Е в электростатической,
а / в электромагнитной системе.
10 к. Лонгмайр	273

тх ех т2\ ( 55 т1 + 10 т2\ , / т2 ех mx
"Г Л/Г	*_ М
М	) ' \М е2 М
/1	?l\ H
Х '	л^ ) ^ {	е) М
-"?)¦
(т — приведенная масса, a 7W = тх + т2).
Проанализируем значения Q12 для различных предпо-
предположений о типе частиц первого и второго сорта. Во-
первых, отметим, что для идентичных частиц все члены
в фигурных скобках обращаются в нуль, кроме послед-
последнего, так что
ln (-L
Легко заметить, что Qn (для ионов) значительно больше,
чем Qee (для электронов), из-за присутствия коэффициента
/mi. В действительности из общего выражения A0.74)
легко получить следующие оценки величины потока энер-
энергии для различных случаев:
±	1	(Ю.76)
(ее = —е{). Поскольку даже для водорода Vm\ = 43/mey
можно с хорошей точностью считать, что поток энергии,
вызываемой градиентом температуры, целиком опреде-
определяется величиной Qn. Этот результат можно уточнить,
умножив Qn на множитель [1+7,5(m<p/miIM, получаю-
получающийся суммированием всех членов в формулах A0.76).
Из общего выражения A0.74) также следует, что суще-
существует поток энергии, вызванный градиентом плотности
и гравитационным дрейфом. Соответствующие такому
потоку члены не обращаются в нуль только тогда, когда
274

частицы не идентичны и имеют порядок (те/тгу/* по
сравнению с Qn. Сравнивая эти члены выражения A0.74)
с формулой A0.41), можно сделать вывод, что для тех же
самых значений градиента плотности и скорости грави-
гравитационного дрейфа
FkT l(F + F)kT A0.77)
где Fi + Fe— полный поток частиц.
В § 10.7, добавив вспомогательное электрическое поле;4
мы обратили суммарный поток частиц в нуль. Электриче-
Электрическое поле было выбрано таким, чтобы скорость обуслов-
обусловленного им дрейфа
Уе=с[-^-	A0.78)
приводила к равенству потоков, вызванных диффузией и
электрическим дрейфом:
v*M + tf,) = -(F/ + F,).	A0.79)
Добавим подобное электрическое поле и в рассматри-
рассматриваемом случае. Скорости V? будет соответствовать допол-
дополнительный поток энергии
A0.80)
Приведенное выражение объединяется с членом A0.77),
и полный поток энергии в такой «покоящейся» системе
будет равен
Q = _ KV (kT) + [ickT l-±j^ ,	A0.81)
где
2пц
me
A0.82)
Величины \1--и т|± определены выражениями A0.70) и
A0.68), Для дальнейшего уточнения в выражении A0.81)
коэффициент К уменьшен на малую величину, перенесен,
10*	275

ную во второй член с тем, чтобы члены, пропорциональные
градиенту температуры, в формуле A0.77) уравновешивали
друг друга.
Поскольку в новой системе координат суммарный поток
частиц равен нулю, Q — только поток тепла, а величина
К — теплопроводность. Появление в выражениях A0.69)
и A0.81) одного и того же множителя \х соответствует тре-
требованию термодинамики (соотношения Онзагера). Если
N'/N и 7"IT сравнимы по величине, то последним членом
в формуле A0.81) можно пренебречь.
Сравнение выражений A0.75) и A0.41) показывает, что
поток тепла намного больше, чем умноженный на kT поток
частиц, в том случае, если величины N'/N и Т'IT имеют
один порядок:
f3L\-2p.kT.	A0.83)
Таким образом, тепло распространяется значительно
быстрее самих частиц, и диффузия частиц протекает прак-
практически изотермически. Этот вывод оправдывает пред-
предположение, сделанное в § 10.6.
§ 10.9. Квазиравновесный пинч с конечной
проводимостью
Пинчем мы назвали в § 3.3 цилиндрическую конфигура-
конфигурацию плазмы, давление в которой компенсируется магнит-
магнитным полем, вызывающим дрейфовые токи в плазме. Как
было установлено, в отсутствие столкновений для поддер-
поддержания пинча нет нужды в электрическом поле, так как
действия магнитного поля и дрейфовых токов взаимно
компенсируются.
Если же допустить столкновения между частицами,
то плазма начнет диффундировать сквозь силовые линии
магнитного поля. Диффузия может, однако, быть нейтра-
нейтрализована приложением электрического поля вдоль оси
пинча, так что дрейф, обусловленный электрическим по-
полем и направленный внутрь, компенсирует диффузию
частиц. Таким образом, конфигурация и в этом случае
получается равновесной. Состояние плазмы при этом
нельзя назвать полностью равновесным, поскольку из-за
наличия электрического поля в направлении дрейфа тем-
276

пература будет со временем возрастать. Однако можно
пренебречь медленным изменением равновесности. По-
Помимо этого, поскольку энергия переносится быстрее, чем
движутся сами частицы, можно считать, что температура
постоянна.
Пусть г, Э и z образуют правовинтовую систему ци-
цилиндрических координат. Электрическое поле Е пусть
будет направлено по z и постоянно, так как плазма счи-
считается нейтральной, a rot E = 0 в статических задачах.
Основное магнитное поле пинча направлено вдоль коор-
координатных линий 0, однако для общности допустим суще-
существование магнитного поля и вдоль оси z. BQ и Bz будем
считать функциями только г. В такой системе могут суще-
существовать токи /е и j..
Рассмотрение начнем с уравнения
rot В = 4orj.	A0.84)
Первым шагом обычно являлась подстановка в это урав-
уравнение вместо j дрейфовых токов и тока проводимости.
Однако было уже показано в § 10.7, что если диффузия
частиц компенсируется дрейфом, вызванным электриче-
электрическим полем, то это поле пропорционально току попереч-
поперечного дрейфа:
jx=o±EL.	A0.85)
В этом выражении поперечная проводимость о± равна об-
обратной величине сопротивления гц, определенного форму-
формулой A0.68). С другой стороны, часть тока /ц, параллель-
параллельного В, связана с продольной компонентой Е с помощью
рассмотренной в § 9.9 величины <хц:
/,, = а„Д,.	A0.86)
Согласно соотношению A0.71),
ои=1,97а±.	A0.87)
Величины <jj и а у в изотермической задаче могут считаться
постоянными, несмотря на слабую зависимость от плот-
плотности, входящую под знаком логарифма lnB/9m).
Поэтому вместо подстановки дрейфовых токов в урав-
уравнение A0.84) удобнее исключить j из этого уравнения,
используя соотношения A0.85) и A0.86). Для упрощения
этой операции найдем сначала продольную и поперечную
277

слагающие уравнения A0.84), умножив его соответственно
скалярно и векторно на В:
(В-rot В) = 4jx(Bj) = 4штц(В.Е);.	A0.88)
rot rot В - 4л [BjJ = 4ло± [BE].	A0.89)
Для рассматриваемого случая компоненты rot В равны:
1 д
rote В = -^В2; .
rotrB-0.
Уравнения A0.88) и A0.89), записанные в этих компонен-
компонентах, имеют вид
l ^	|	A0.88')
у ^	^	A0.89')
при г = 0; Bz принимает некоторое значение BZOf а Вв обра-
обращается в нуль. Этих данных достаточно для интегрирова-
интегрирования уравнений. Однако прежде чем приступить к решению
уравнений, удобнее преобразовать их к безразмерному
виду. Введем новую единицу длины
L = j^S-	A0.90)
и новую координату
х--= 4"-	A0.91)
Затем пусть
ф = А, * = ^i.	A0.92)
Уравнения A0.88'). и A0.89') в новых переменных бу-
будут иметь вид
фя|)'_.-фф' = 1,97хф;	A0.93)
г|5г|)' + ^2фф' — xty,
где штрихи означают дифференцирование по х. В начале
координат ср = 1, а г|) = 0.
2,78

Разрешая систему уравнений A0.93) относительно г|/
и ср', найдем
1,97*3ф2 + *Ф2 .
Ф =¦-
* V + ф
0,
A0.94)
A0.95)
Из уравнения A0.94) следует, что яр монотонно воз-
возрастает с х, в силу чего -фи Ле всегда положительны. Урав-
Уравнение A0.95) приводит к монотонному убыванию ер от
г
А
ч
у
\
<
>
ЛА,
Sg
7
/
бг1в'±
'0 ®1
у
—
/
У*
Рис. 10.3. Характеристики квазиравновесного
пинча.
единицы в начале координат. Однако фиВ2 нигде не ста-
становятся меньше нуля, а асимптотически стремятся к нулю
для больших х.
Для больших значений
2
A0.96)
Ф
Отношения величин Вг/Вг0 и Be/Bz0, полученных числен-
численным интегрированием, приведены на рис. 10.3.
279

Наконец, определим плотность частиц из уравнения
баланса давлений
V(NkT) = [}.B].	A0.97)
Поскольку величина — 4ох [jB] получается из уравнений
A0.88') и "A0.89'), имеем
дх	4л:
или, вводя значение плотности в начале координат No,
Следовательно, N(x) обращается в нуль при некотором
значении х = xi, зависящем лишь от значения отношения
магнитного и кинетического давлений в начале коорди-
координат. Будем считать, что в области х > xi нет плазмы.
Тогда в этой области магнитное поле будет таким же, как
в вакууме, т. е.
Bz = const, BQ^^ (х>хг).	A0.99)
Значения интеграла, входящего в уравнение A0.98), так-
также графически изображены на рис. 10.3. Пунктирные ли-
линии соответствуют на этом рисунке случаю, когда
4izNokT

11
Г Л ABA
УСТОЙЧИВОСТЬ
§ 11.1. Введение
Вопрос о возможности удержания горячей плазмы от
контакта со стенками при помощи магнитного поля имеет
несколько аспектов. Во-первых, необходимо выяснить,
обладают ли усредненные уравнения такими равновес-
равновесными решениями, согласно которым обеспечивается удер-
удержание плазмы магнитным полем. Как было показано, от-
ответ на этот вопрос положительный. Во-вторых, представ-
представляет интерес влияние, оказываемое на удержание плазмы
ее дискретной структурой, т. е. столкновениями. Было
выяснено, что столкновения приводят к диффузии частиц
перпендикулярно направлению магнитного поля, так что
в пределе давление плазмы не может быть уравновешено
давлением магнитного поля, и плазма ограничивается
только материальными стенками. Однако, если темпера-
температура плазмы достаточно высока, диффузия протекает мед-
медленно.
Рассмотрим еще один аспект проблемы удержания
плазмы — постараемся выяснить, являются ли равновес-
равновесные решения усредненных уравнений устойчивыми.
Малые отклонения от равновесия всегда имеют место
из-за наличия тепловых флуктуации. В том случае, если
такие отклонения нарастают со временем, соответствующее
равновесное решение будет, очевидно, неустойчивым.
Проблема устойчивости весьма обширна и привлекает,
пожалуй, наибольшее внимание среди всех других аспек-
аспектов физики плазмы. В этой главе мы не в состоянии пол-
полностью осветить ее и потому ограничимся лишь изложе-
изложением основных причин неустойчивости, а также методов
определения устойчивости той или иной конфигурации
плазмы.
ЮВ к. Лонгмайр	281

§ 11.2. Полностью диамагнитная плазма
Рассмотрим сначала идеализированный случай. Пред-
Предположим, что в области, занимаемой плазмой, полностью
отсутствует магнитное поле, в то время как в области,
где существует магнитное поле, нет плазмы. Подобное
распределение соответствует так называемой полностью
диамагнитной плазме.
В такой плазме должен существовать слой конечной тол-
толщины, реализующий плавный переход от поля к плазме.
Однако мы будем считать,
что толщина этого слоя
много меньше всех разме-
размеров, которые существенны
в нашей задаче.
Одна из возможных
равновесных конфигура-
п "• 11 1 Лг , .	ций такой плазмы изобра-"
Рис. 11.1. Конфигурация пол-	111	л
ностью диамагнитной плазмы в жена на рис* 11.1, где А И
установке с магнитными зерка- В — две обмотки, ПО КО-
лами.	торым течет ток одинако-
одинакового направления. Магнит-
Магнитные линии изображены пунктиром. Область, занимаемая
плазмой, показана штриховкой и представляет тело вра-
вращения вокруг оси, проходящей через центры обмоток.
Изображенная конфигурация соответствует так назщвае-
мой установке с магнитными зеркалами. Конечно, .не во
всякой подобной установке плазму можно считать пол-
полностью диамагнитной.
При равновесии давление полностью диамагнитной
плазмы должно быть постоянным и не зависеть от коорди-
координат. Обозначим его ро. Силовые линии магнитного поля
везде касательны к поверхности плазмы, а в поверхностном
слое течет ток, компенсирующий поле внутри объема
плазмы. Поскольку натяжение, вызываемое магнитным
полем в поверхностном слое, равно В2/8тг, при равновесии
должно соблюдаться соотношение
В = Bs = ]/ 8я/?о (на поверхности).	(П.. 1)
Форма равновесной конфигурации плазмы определяется
соотношением A1.1), справедливым в каждой точке по-
поверхности. Совершенно ясно, что такое равновесное со-
состояние может быть реализовано. Действительно, так
282

как при ЁытягиЁанйй й конфигурации плазмы вдоль оси
на ее концы действует более сильное магнитное давление,
а при ее утолщении это давление увеличивается вокруг
средней части, то должна существовать промежуточная кон-
конфигурация, при которой давления на концах и в средней
части уравновешиваются. Точное доказательство суще-
существования равновесных состояний полностью диамагнит-
диамагнитной плазмы было проведено Берковицом *. Концы рас-
рассматриваемой конфигурации «абсолютно острые», т. е. их
3	Углубление
Вид с торца
Рис. 11.2. Желобковые возмущения.
внутренний угол стремится к нулю, так что составляющие
острие дуги касаются. (На самом деле наша модель не-
несправедлива вблизи концов острия в силу конечной тол-
толщины переходного слоя.)
Покажем теперь, что указанная равновесная конфигу-
конфигурация неустойчива, т. е. найдем по крайней мере одно
отклонение от нее, которое будет нарастать со временем.
Пусть гиб — две из цилиндрических координат точки
на поверхности плазмы. Предположим, что поверхность
сместилась на некоторое расстояние бг, следующим обра-
образом зависящее от угла 9:
br — ersinne.	A1.2)
Здесь п — любое целое число, включая нуль, а 8 — малая
величина. В результате образуется желобчатая поверх-
поверхность, углубления и гребни которой направлены вдоль
невозмущенных силовых линий. Такая деформирован-
деформированная поверхность для п = 4 изображена на рис. 11.2.
Сплошные линии на этом рисунке соответствуют невозму-
* Д ж. Б е р к о в и ц и др. В кн. «Труды Второй между-
международной конференции по мирному использованию атомной энер-
энергии. Женева, 1958». Избранные доклады иностранных ученых,
Т. 1, М., Атомиздат, 1959, стр. 109.
10В*	283

щенной поверхности, а пунктирные— деформированной.
Концы конфигурации отмечены точками а и Ь. Сравним
величину напряженности магнитного поля в углублениях
и на гребнях деформированной поверхности. В процессе
деформации поверхности плазмы магнитное поле изме-
изменяется, приходя в соответствие с новой формой поверх-
поверхности. Ток, компенсирующий поле, теперь также проте-
протекает по указанной новой поверхности. Дивергенция этого
тока равна нулю, поскольку плотность тока выражается
следующим образом:
j = т- rot В.
Поэтому накопление зарядов не происходит. Полученная
новая конфигурация, очевидно, также равновесна при
условии, что к поверхности приложены дополнительные
силы, компенсирующие возможное нарушение равенства
магнитного и кинетического давлений.
. Ввиду симметрии желобчатой конфигурации очевидно,
что как вдоль углубления, так и вдоль гребня проходят
магнитные силовые линии, которые сливаются в точках а
и Ь. Рассмотрим интеграл от напряженности поля В,
взятый вдоль силовой линии, расположенной в углублении,
от точки а до Ь, и затем вдоль силовой линии, идущей по
гребню от Ь до а. Будем считать, что этот контур распо-
расположен на внешней стороне поверхности. Указанный ин-
интеграл должен равняться нулю, поскольку через охваты-
охватываемую его контуром поверхность не течет никакой ток.
Следовательно,
ь	ь
\ (Bd!)= \ (Bdl) ,	A1.3)
д (гребень) д (углубление)
где d\ — элемент длины контура. Так как расстояние от а
до Ь вдоль гребня больше соответствующего расстояния
вдоль углубления, среднее значение В на гребне должно
быть меньше среднего значения В в углублении. Поэтому
магнитное давление в углублении больше своего значения
на гребне. А поскольку давление плазмы одинаково на
всей поверхности, разность давлений будет способствовать
увеличению глубины желобков.
Попытаемся выразить то же самое на математическом
языке. Пусть ось z направлена вдоль оси симметрии кон-
284

фигурации. Радиус невозмущенной поверхности пред-
представляет собой функцию г. Тогда элемент длины вдоль
гребня или углубления равен
A1.4)
где «+» соответствует гребню, а «—» — углублению. Из
этой формулы, в частности, ясно следует, что расстояние
вдоль гребня больше расстояния вдоль углубления. Пусть
поле В в углублении имеет вид
B(z)=Bs + bB(z) (углубление),	A1.5)
где 8В(г) — малая величина того же порядка, что и 8,
a Bs — невозмущенное значение напряженности поля на
поверхности. Если 8 очень мало, то В на гребне равно
6B(z) (гребень).	A1.6)
Подставив уравнения A1.4) — (П.6) в A1.3) и собрав чле-
члены первого порядка по 8 и 6В, получим
a	a
A1.7)
Из последнего, уравнения следует, что среднее значение
65 положительно, как было качественно показано- раньше.
Чтобы вычислить интегралы в уравнении A1.7), нам
необходимо знать точный вид функции г (г). Однако, по-
поскольку под знаком второго интеграла стоит существенно
положительная величина, использование приближенной
зависимости г = r(z) не сильно повлияет на характер вы-
выводов. Например, можно задать r(z) в виде
A1.8)
где гт — максимальное значение r\ L — расстояние от
а АО Ь> а начало координат выбрано в точке а. Когда гт
достаточно мало по сравнению с L (т. е. конфигурация
сильно вытянутая), из уравнения A1.7) можно получить
приближенно среднее значение 8В
J-	(И-9)
285

Если вместо выражения A1.8) воспользоваться параболи-
параболической зависимостью, то это приведет лишь к замене мно-
множителя п2/2 на 16/3. Соответствующее среднее значение
изменения магнитного давления 6рт = -^-BS6B равно
V	(НЛО)
Давление плазмы с точностью до первого порядка по г
не изменяется. (Изменение объема плазмы — величина
второго порядка малости в силу его осесимметричнои кон-
конфигурации.) Таким образом, как и было предсказано выше,
давления не уравновешиваются.
Если эта разность давлений не компенсируется ника-
никакими внешними силами на поверхности, то она приведет
к росту амплитуды возмущений. Чтобы возмущения могли
расти, плазма должна перемещаться из областей, лежащих
под углублениями поверхности, в области, расположенные
под гребнями. Эти перемещения плазмы происходят под
действием силы, соответствующей разности давлений.
Используя закон Ньютона, можно написать уравнение
dv
где рт — плотность массы. Скорость v соответствует ско-
скорости нарастания амплитуды rde/dt. Для возмущения
с длиной волны к = >с/2ти операции векторного дифферен-
дифференцирования соответствует умножение на 1А. Учитывая
выражение A1.2), получим
Уравнение движения, таким образом, приобретает вид
dt* pm r
В этом уравнении г все еще есть функция z, однако для
наших целей достаточно положить г = гт. Полученное
уравнение имеет решения вида г—ехр (±?/т), где постоян-
постоянная времени т определяется следующим соотношением:
I	AU2)
пр{}
286

Центр
кривизны
Рис.
инте-
Чтобы получить общее решение, соответствующее началь-
начальному возмущению, вообще говоря, необходимы оба реше-
решения, однако через непродолжительное время только член
с положительной степенью окажется существенным. Это объ-
объясняет, почему, несмотря на присутствие как затухающих,
так и нарастающих членов, решение в целом неустойчиво.
Скорость звука в плазме, а также средняя тепловая
скорость ионов по порядку равны ]/ро/рт. Таким образом,
постоянная времени, если не
учитывать тс и п, по существу
равна времени прохождения зву-
звуком (или ионом) расстояния L.
Это время значительно меньше
продолжительности термоядер -
ной реакции в установках ра-
разумных размеров (длиной не бо-
более нескольких метров). Поэтому
надежды на осуществление уп-
управляемой термоядерной реак-
реакции связаны с поисками устой-
устойчивой конфигурации системы
из плазмы и магнитного поля.
Причина неустойчивости конфигурации, изображенной
на рис. 11.1, связана с тем, что большая часть ее поверх-
поверхности выпуклая. Именно из-за выпуклости поверхности
магнитное поле возрастает в углублениях и уменьшается
на гребнях возмущения. Для магнитного поля с равным
нулю ротором и изогнутыми силовыми линиями напряжен-
напряженность поля уменьшается при удалении от центра кривизны
поля. Равенство нулю ротора поля обусловливает равен-
равенство нулю контурного интеграла от В, взятого по беско-
бесконечно малому контуру, например такому, как контур С
на рис. 11.3. Две стороны этого контура перпендикулярны
силовым линиям и две расположены вдоль силовых линий.
Поскольку длина дуги двух последних сторон пропор-
пропорциональна их расстоянию от центра кривизны, напряжен-
напряженность поля обратно пропорциональна этому расстоянию.
Для более точного доказательства этой теоремы предста-
представим вектор поля В в виде ВВо, где В — абсолютная вели-
величина, а Во — единичный вектор, направленный парал-
параллельно полю В. Тогда
11.3. Контур
грирования.
rot В =. rot ВВ0 == В rot Вр — [Вр • Vfi] = О,
287

поэтому
[B0VB] -
Умножим левую часть этого уравнения векторно на Во.
В результате этого его левая часть будет равна перпен-
перпендикулярной В компоненте s/В (взятой со знаком минус),
которую обозначим у В. Далее,
A1.13)
= -?(B0V)Bc.
MMI
III11
Как было показано в гл. 2, произведение (BoV)Bo —
вектор, направленный в сторону центра кривизны и по
абсолютной величине обратно
пропорциональный радиусу кри-
кривизны. Если s — расстояние,
измеряемое вдоль силовой линии
от центра кривизны, a R(s) —
местное значение радиуса кри-
кривизны, то можно написать
дВ_
ds
В
A1.14)
Рис. 11.4. Ловушка со
встречными полями, обла-
обладающими отрицательной
кривизной.
Производная от В обращается в
нуль для направлений, перпен-
перпендикулярных В и радиусу кри-
кривизны. Такова точная математи-
математическая формулировка теоремы.
Таким образом, если центр кривизны расположен на
стороне поверхности, обращенной к плазме, напряжен-
напряженность В и магнитное давление будут меньше на гребнях,
чем в углублениях. Если же центр кривизны находится
на внешней по отношению к плазме стороне поверхности,
эта связь заменяется противоположной, и желобковые воз-
возмущения оказываются устойчивыми. Несмотря на то что
конфигурация, изображенная на рис. 11.1, обладает как
выпуклыми, так и вогнутыми участками, результат вы-
вычислений показывает, что она неустойчива к возмущениям
типа A1.2). Еще менее устойчива конфигурация по отно-
отношению к возмущениям, имеющим относительно меньшую
амплитуду в вогнутых участках поверхности,

Если изменить направление тока в одной из обмоток,
изображенных на рис. 11.1, то можно получить конфигу-
конфигурацию, подобную изображенной на рис. 11.4. Поскольку
в этой конфигурации центр кривизны всегда располагается
со стороны магнитного поля, возмущения желобкового
типа не смогут экспоненциально нарастать, а будут в луч-
лучшем случае осциллировать.
Заметим, что, согласно уравнению A1.12), время нара-
нарастания возмущения уменьшается с ростом п. Этот резуль-
результат общий для многих задач
на устойчивость. Конечно,
при достаточно больших я,
таких, что длина волны ста-
становится сравнимой с тол-
толщиной переходного" слоя,
наша модель становится не-
несправедливой.	Рис. 11.5. Желобковые воз-
Мы рассмотрели только мУЩения в перпендикуляр-
r	r	ном полю направлении.
такие возмущения, у которых
желобки параллельны сило-
силовым линиям поля. Совершенно ясно, что именно эти
возмущения наименее устойчивы. Когда желобки перпен-
перпендикулярны силовым линиям, как, например, на рис. 11.5,
силовые линии оказываются сжатыми в районе гребней
и разреженными в углублениях. В этом случае разность
давлений действует в направлении, соответствующем подав-
подавлению возмущений.
§ 11.3. Неустойчивость, плазмы низкого давления
В предыдущем параграфе было показано, что для пол-
полностью диамагнитной плазмы области, где поверхность
плазмы выпуклая, неустойчивы. В этом параграфе дока-
докажем, что аналогично ведет себя и плазма, давление кото-
которой мало по сравнению с магнитным давлением,
Прежде чем рассмотреть границу произвольной формы,
исследуем неустойчивости, возникающие при плоской
границе за счет действия нормально направленного к ней
гравитационного поля. На рис. 11.6, а область сверху
соответствует плазме и магнитному полю, область внизу —
одному магнитному полю. Магнитное поле везде перпен-
перпендикулярно плоскости чертежа и направлено к читателю.
Предположим для простоты, что давление плазмы намного
289

меньше давления магнитного поля и величина магнитного
поля в состоянии равновесия примерно одинакова как
вне плазмы, так и внутри нее. Ускорение силы тяжести g
будем считать направленным вниз. Предположим также,
что в начальный момент возмущение поверхности плазмы
имеет синусоидальный характер.
Механизм нарастания возмущения поясняется на
рис. 11.6, б. Направленная перпендикулярно В гравита-
гравитационная сила заставляет ионы дрейфовать налево, а элек-
плазма t магнитном поле
о 9
Положительный
заряд
Граница области,
донимаемой
электронами
заряд
области,
занимаемой
ионами
Рис. 11.6. Механизм гравитационной неустой-
неустойчивости:
а—-начальное возмущение; б—развитие неустойчивости.
троны — направо. Возникающее в результате дрейфа на
склонах синусоиды разделение зарядов приводит к обра-
образованию электрического поля, частично компенсируемого
диэлектрическими свойствами плазмы. Это поле совместно
с перпендикулярным ему В заставляет плазму переме-
перемещаться в наиболее низко расположенные (на нашем чер-
чертеже) точки, увеличивая таким образом амплитуду воз-
возмущения. Простой расчет *, аналогичный проделанному
в § 4.2, показывает, что амплитуда возмущения нара-
нарастает экспоненциально, как exp (-iiVg/M), где X—длина
волны, деленная на 2тг. Таким образом, рассмотренная
* М. N. Rosenbluth,
Phys. (N. Y.), 1, 120 A957),
290
С. L, L о ri'g mire. Ann,

конфигурация неустойчива. Если же^ направлено в обрат-
обратную сторону, то возмущение только осциллирует с час-
частотой
Полученные выводы в точности соответствуют гидро-
гидродинамической задаче об устойчивости жидкости, находя-
находящейся в поле тяжести и покоящейся на невесомом газе.
Этот факт — еще одна иллюстрация закона применимости
уравнений гидродинамики к плазме в случае прямых си-
силовых линий В и постоянства других характеристик вдоль
направления силовых линий. Естественно, что ларморов-
ский радиус при этом должен быть мал по сравнению
с длиной волны возмущения к.
Посмотрим теперь, нельзя ли заменить влияние тяго-
тяготения искривлением линий магнитного поля. Предполо-
Предположим, что на рис. 11.6 магнитные силовые линии, выходя-
выходящие из плоскости чертежа, изогнуты кверху. Тогда центр
кривизны будет расположен внутри объема плазмы и
можно предположить, что конфигурация станет неустой-
неустойчивой. Так и происходит на самом деле. Первопричиной
неустойчивости в задаче с тяготением был гравитационный
дрейф, заставлявший положительные и отрицательные
частицы двигаться в противоположных направлениях,
приводя к разделению зарядов. В последнем случае имеют-
имеются два типа дрейфа, способствующие разделению зарядов.
Одним из них является дрейф, обусловленный кривиз-
кривизной силовых линий, рассмотренный в § 2.9, пункт Б.
Как было показано, этот дрейф связан с наличием центро-
центробежной силы mv\ /R, возникающей при движении частиц
вдоль изогнутых силовых линий В (R — радиус кривизны
линий). В настоящей задаче эта сила действует вниз,
и гравитационное ускорение можно заменить следующим
образом:
?+4"-	01.15)
Вторым типом дрейфа является дрейф, вызванный
наличием градиента поля (см. § 2.9, пункт В), которому
соответствует сила
291

В соответствии с результатами § 11.2 [ уравнение
A1.14)] искривление силовых линий приводит к появле-
появлению градиента, величина которого дается выражением
1 d 1 '
B
Для рассматриваемого случая этот градиент направлен
вверх, а соответствующая ему сила — вниз. Следователь-
Следовательно, гравитационное ускорение можно заменить так
Таким образом, вызванные как кривизной, так и гра-
градиентом дрейфы приводят к неустойчивости рассматривае-
рассматриваемой конфигурации, нарастающей по закону exp (±at), где
Rk ¦	(И.17)
Учитывая влияние распределения скоростей и различие
масс электронов и ионов, необходимо заменить равенство
A1.17) таким:
где Р|| и р± — компоненты давления плазмы.
Если центр кривизны линий лежит вне объема плазмы,
то возмущения имеют периодический характер с часто-
частотой а.
Полученные результаты могут найти применение в сле-
следующей задаче. Предположим, что магнитное поле обра-
образуется при протекании тока в длинном прямолинейном
проводнике. Поместим плазму в цилиндрическую камеру,
ось которой совпадает с проводником. Тогда внутренняя
поверхность плазмы ведет себя устойчиво, в то время,
как внешняя — неустойчиво. На внешней поверхности
развивается желобковая неустойчивость, отмеченная пунк-
пунктиром на рис. 11.7, углубления и гребни которой распо-
располагаются концентрично относительно оси конфигурации.
Такой тип неустойчивости, называемый перетяжками,
является основным препятствием при исследовании прямо-
292

линейных разрядов, не имеющих компоненты магнитного
поля В2 вдоль оси разряда.
В рассмотренном примере давление и плотность плазмы
резко падают до нуля на некотором расстоянии, и не-
неустойчивость развивается на самой границе. Легко ви-
видеть, однако, что если в объеме плазмы существует не-
неоднородность плотности, то неустойчивость может охва-
Видс5оку^	Вид с торца
Рис. 11.7. Неустойчивость типа перетяжек.
тить и объем. Когда давление не сильно меняется на длине
волны возмущения, компоненты давления в выражении
A1.17') следует заменить согласно
A1-18)
В последней модели учитывалась только электроста-
электростатическая часть электрического поля, обусловленная раз-
разделением зарядов. Однако при движении плазмы и сме-
смещении токов в результате изменения магнитного поля
возникает дополнительное электрическое поле. Можно
показать, что отношение индуцированного поля к элек-
электростатическому имеет порядок отношения давления
плазмы к магнитному давлению. Поэтому, в то время как
для плазмы низкого давления индуцированным полем
можно пренебречь, для больших давлений оно становится
существенным.
До сих пор в этом параграфе изучалась конфигурация,
параметры которой не менялись вдоль направления сило-
силовых линий В. Однако, например, в ловушке с магнитными
зеркалами радиус кривизны линии меняется и даже меняет
знак вдоль траекторий некоторых частиц. Для таких слу-
случаев необходимо проводить усреднение скорости дрейфа
вдоль всей траектории частицы.
Возвратимся к конфигурации с магнитными зеркалами,
изображенной на рис. 11.1, и предположим теперь, что
293

давление плазмы Мало вёЗдё по сравнению с ШгмтныМ
давлением. Введем цилиндрические координаты >, 0 и z,
причем ось z пусть будет направлена по оси симметрии
системы. Дрейфы, обусловленные кривизной линий и на-
наличием градиента Б, будут влиять на угловую скорость
дрейфа б/), которая будет меняться при движении частицы
вдоль силовой линии. Каждая частица будет двигаться
по часовой стрелке или в обратном направлении в зави-
зависимости от знака интеграла \Qodt при одном обороте
вокруг оси. От величины средней скорости углового дрейфа
каждой частицы зависит, будет ли она способствовать или,
наоборот, мешать устойчивости всей конфигурации. Пусть
dl — элемент длины силовой линии S, а у,, —продольная
скорость. Тогда
где интегралы должны браться между точками поворота
траектории частицы. Будем считать радиус кривизны
положительным, если центр кривизны расположен по ту
же сторону, что и центральная ось конфигурации, и отри-
отрицательным — в противоположном случае. Тогда мгновен-
мгновенное значение угловой скорости дрейфа будет равно
2 _|_ _ 2
ft — 1 тС V{1 2 V±	/11 9П\
где г — мгновенное значение радиальной координаты. Для
положительно заряженных частиц положительным зна-
значениям 0о будет соответствовать неустойчивость. Поэтому
частица будет двигаться неустойчиво в том случае, когда
Используя слагающие энергии Доц и w± (полная энергия
равна w), связанные соотношением
w = дон + wx = const,
и магнитный момент
--^-= const,
294

можно выразить условие неустойчивости A1.21) так:
Естественно, интеграл / больше нуля (что соответ-
соответствует неустойчивости), когда параметры w и \х таковы,
что траектория частицы ограничена центральной областью
ловушки с магнитными зеркалами, где кривизна 1/R по-
положительна. С другой стороны, если траектория прони-
проникает глубоко в область обмоток, где кривизна отрицатель-
отрицательна, интеграл становится отрицательным, что соответ-
соответствует устойчивости. В последнем случае приведенное
условие особенно хорошо соблюдается в точках поворота,
где
V~w — \хВ = 0.
Обыкновенно мы имеем дело с каким-либо распреде-
распределением частиц j(w, jli), обладающих набором значений w и \х
и движущихся вдоль одной и той же силовой линии или
вдоль поверхности вращения этой линии. В том случае,
когда граница плазмы совпадает с поверхностью, она не
будет устойчивой при условии
J /(ш, v)f(w, \x)dwd\i>0.	A1.23)
Ясно, что конфигурация плазмы низкого давления в си-
системе с магнитными зеркалами может быть как устойчивой,
так и неустойчивой в зависимости от того, какая часть
траекторий частиц проникает далеко в область отрица-
отрицательной кривизны *.
§ 11.4. Энергетический метод
исследования устойчивости
В равновесной плазме силы, вызываемые магнитным и
кинетическим давлениями, должны компенсироваться.
Следовательно, потенциальная энергия равновесной си-
системы по отношению к другим возможным конфигурациям
должна быть минимальной (или максимальной). Если
при всех возможных деформациях системы потенциальная
энергия возрастает, то такая система устойчива, поскольку
* См. сноску на стр. 290.
295

кинетическая энергия не может быть отрицательной.
Если при некоторых деформациях потенциальная энер-
энергия уменьшается, то по отношению к этим деформациям
система неустойчива.
Высказанные положения звучат вполне правдоподобно.
Посмотрим, в какой степени они соответствуют действи-
действительности. Во-первых, нужно иметь возможность разде-
разделить полную энергию системы на две части: эффективную
кинетическую энергию Те и эффективную потенциальную
Ve. Энергия Те в состоянии равновесия обращается в нуль,
а при отклонениях от равновесия положительна. Энергия
Ve зависит только от степени отклонения от равновесия,
но не от скорости отклонения. При соблюдении указанных
условий высказанные в начале параграфа признаки спра-
справедливы.
Полная энергия системы частиц и полей представляет
собой сумму кинетических энергий отдельных частиц и
энергии поля. Энергия поля, очевидно, составляет часть
потенциальной энергии системы, так как она зависит
только от конфигурации системы, а отнюдь не от скорости
ее изменения. Однако эффективная кинетическая энергия
не может быть просто суммой кинетических энергий от-
отдельных частиц, поскольку последние обращаются в нуль
при равновесии. По-видимому, необходимо разделить ки-
кинетическую энергию частиц на две части: макроскопиче-
макроскопическую, зависящую от средней скорости и обращающуюся
в нуль при равновесии, и внутреннюю энергию, которая
определяется через среднюю величину отклонения с по-
помощью, например, адиабатического закона. Тогда вну-
внутренняя энергия может войти в выражение для эффектив-
эффективной потенциальной энергии. Более того, нам необходимо
располагать законом, связывающим изменения полей
со средними отклонениями конфигурации плазмы.
Очевидно, чтобы иметь возможность применить энерге-
энергетический принцип, мы должны описывать плазму макро-
макроскопически. Как было показано в гл. 1—4, не существует,
вообще говоря, системы уравнений сплошной среды, ко-
которая могла бы точно описывать поведение плазмы. При-
Причина этого в том, что частицы могут свободно перемещаться
вдоль силовых линий магнитного поля. Единственным
исключением из этого правила являются конфигурации,
в которых свойства не меняются вдоль направления сило-
силовых линий.
296

Тем не менее весьма поучительно рассмотреть вопросы
устойчивости в гидродинамическом приближении. Для тех
случаев, когда свойства системы не сильно изменяются
вдоль направления силовых линий, можно ожидать близ-
близких к действительности результатов. Кроме того, для
таких сред, как, например, жидкие металлы, где частота
столкновений высока и в то же время электропроводность
достаточно велика, гидродинамическое приближение мо-
может дать вполне удовлетворительные результаты.
Запишем уравнения магнитной гидродинамики*:
^ + v(pmv)^ + pmVv = O; A1.25)
E+ i[vB] =0;	A1.26)
А(рр-т)=0;	A1.27)
rotEj=--i^;	A1.28)
rotB = 4ttj;	A1.29)
divB-0.	A1.30*
Уравнение A1.24) является приближенной формой урав
нения Ньютона, где рт — плотность массы; v — средняя
макроскопическая скорость среды. Плазма предполагает-
предполагается электрически нейтральной, а тензор кинетического дав-
давления считаем скаляром. Производная по времени в этом
уравнении означает дифференцирование вдоль траектории
элемента объема, т. е. является так называемой субстан-
субстанциональной производной
Уравнения A1.25) соответствуют двум формам уравнения
непрерывности.
Уравнение A1.26) имеет несколько следствий. Во-пер-
Во-первых, из него следует, что у поля Е нет компоненты, па-
параллельной В. Это полностью справедливо лишь в том
* J. Bernstein et a 1. Proc. Roy. Soc, A244, 17 A958).
297

случае, когда проводимость вдоль силовых линий В бес-
бесконечна. Такое допущение действительно можно сделать,
если пренебречь инерцией электронов (т. е. пренебречь
другими частотами в сравнении с плазменной частотой
и>р) и предположить, что для части электронов величина
w± столь мала, что они не испытывают отражающего дей-
действия магнитных зеркал.
Во-вторых, из того же уравнения следует, что \± —
перпендикулярная В компонента v — равна скорости элек-
электрического дрейфа. Последнее утверждение заведомо спра-
справедливо для частот, малых по сравнению с ларморовской
частотой ионов.
Уравнение A1.27) представляет уравнение адиабаты,
связывающее плотность и давление плазмы. Предположе-
Предположения о справедливости этого уравнения и о том, что дав-
давление есть скаляр, являются наиболее уязвимыми пункта-
пунктами магнитогидродинамического приближения для плазмы
без столкновений.
Уравнения A1.28) — A1.30) — уравнения Максвелла,
в которых опущен ток смещения. Это предположение
вполне допустимо в случаях, когда ионная часть диэлек-
« л NMc2 л
трическои постоянной 4п 2 больше единицы.
Самым удобным свойством уравнений A1.24) — A1.30)
является наличие для них интеграла полной энергии
U = j dr j± Pn v* + ± ?2+ ^-pj = const. A1.32)
То, что величина U — действительно постоянная, может
быть показано дифференцированием подынтегрального
выражения по времени с учетом системы уравнений
A1.24) — A1.30). Выполнив некоторые преобразования,
можно записать подынтегральное выражение в A1.32)
в виде дивергенции
+ JL[B[vB]]}.	A1.33)
Этот интеграл по объему может быть, как известно, пре-
преобразован в интеграл по поверхности от нормальной ком-
компоненты вектора, стоящего в фигурных скобках и пред-
298

ставляющего поток различных видов энергии. Первый
член в скобках есть поток макроскопической кинетиче-
кинетической энергии, второй состоит из двух частей: р\ — ско-
скорости переноса давления через поверхность и р\/(у — 1) —
потока внутренней энергии. Последний член, согласно
уравнению A1.26), равен вектору Пойнтинга, т. е. потоку
энергии электромагнитного поля.
В качестве поверхности интегрирования обычно берут
либо поверхности сфер бесконечного радиуса, либо жест-
жесткие проводящие стенки, на которых нормальная компо-
компонента v и вектора Пойнтинга обращаются в нуль. В обоих
случаях весь поверхностный интеграл равен нулю, так
что
°	(п34)
Для того чтобы иметь возможность применить энерге-
энергетический метод, необходимо вычислить изменения Вир,
соответствующие произвольным деформациям конфигура-
конфигурации плазмы. Наиболее легко эти величины вычисляются
для малых отклонений от состояния равновесия. Поэтому
при интегрировании будем исходить из равновесной кон-
конфигурации, описываемой величинами р0, р0, j0, Во. Ско-
Скорость v и поле Е для этой конфигурации равны нулю.
Соответствующие магнитогидродинамические уравнения
имеют вид
rot Во = 4jtj0.	A1.35)
Предположим теперь наличие малых отклонений значе-
значений v и Е от нуля, а величин j = j0 + ji — от равновес-
равновесных, и т. д. Таким образом, величины с индексом 1 имеют
первый порядок малости. С точностью до первого порядка
по ним уравнение A1.24) может быть написано следую-
следующим образом:
Ро |г = — VPi + [Jo BJ + [jJBo].
Взяв от него частную производную по времени, получим
299

Далее с точностью до первого порядка имеем
^Г = ^Г — (VV) Ро=— УРо VV - (vv) Ро
d^f- = -cvot Е = rot [vB0] = Q(v),	A1.37)
где введена новая величина Q(v).
Кроме того,
|Ь= 1 rot^L= I rotQ.
dt 4тс	dt	4к
Используя эти соотношения, преобразуем уравнение
A1.36):
Ро -*w = YV (Ро Vv) + V (vy) Ро + [ jo
--L[B0rotQ(v)].	A1.38)
В последнем уравнении скорость v есть функция г и t.
Введем смещение | (г, t) следующим образом:
При соответствующем выборе постояньсй интегрирова-
интегрирования ? с точностью до первого порядка равно смещению
элемента объема плазмы от своего равновесного положе-
положения. Интегрируя уравнение A1.38) по времени, получим
Ро^г- = — F{|},	A1.39)
где оператор F имеет вид
i)],	A1.40)
а
Q(S)=rot[SB0].	A1.41)
Величина F (|) — нескомпенсированная сила, возникаю-
возникающая в результате смещения элемента объема.
300

Важным свойством оператора F является его самосо-
самосопряженность, т. е. если |(г) и п(г) — две вектор-функ-
вектор-функции г, то
JJF{n}dr.	A1.42)
Область интегрирования в последнем выражении либо
распространяется на все пространство, либо ограничивает-
ограничивается жесткими проводящими стенками. Указанное свой-
свойство оператора может быть выведено непосредственно из
выражения A1.40) и уравнения A1,35). Однако этот вывод
довольно громоздок. Бернштейном и др.* было доказано,
что самосопряженность F {?} следует непосредственно
из наличия у системы магнитогидродинамических урав-
уравнений интеграла энергии A1.32).
Поскольку уравнение A1.39) линейно по |, можно
искать его решения в виде
l(r, O = S(r)e"<.	A1.43)
Подставляя A1.43) в A1.39), получим
F{g} =co2Pog.	A1.44)
Решение уравнения A1.44) сводится к решению краевой
задачи, заключающейся в нахождении таких решений
?л(г), которые удовлетворяют краевым условиям (обра-
(обращение нормальных компонент | в нуль на стенках) лишь
для вполне определенных значений ш2 • = со^, называемых
собственными значениями. Частоты ±]/^п соответствуют
собственным колебаниям конфигурации. Поскольку опе-
оператор F самосопряженный, все значения с% действи-
действительны, и, следовательно, шл — либо чисто действитель-
действительные, либо чисто мнимые величины. Если хотя бы одна из
величин ш„ отрицательна, то соответствующее значение
а)л мнимо, и конфигурация будет неустойчивой.
Таким образом, один из способов изучения устойчивости
связан с нахождением собственных значений а>д. Обычно
это крайне трудная задача. Поэтому попытаемся исполь-
См. сноску на стр. 297.
301

зовать принцип минимума энергии. Определим кинети-
кинетическую энергию конфигурации следующим образом:
С помощью уравнения A1.39) можно вычислить измене-
изменение кинетической энергии в единицу времени
Из самосопряженности оператора F следует, что
Поэтому уравнение A1.46) может быть записано в виде
~T(T + V)=Q,	A1.47)
где V — потенциальная энергия, равная
A1.48)
Полная энергия тогда равна Т + V и постоянна.
Если все собственные значения ш^ положительны (си-
(система устойчива), то величина V будет положительна при
любых смещениях от положения равновесия. Если же
некоторые из о>^ отрицательны (система неустойчива),
то для некоторых смещений величина V может стать отри-
отрицательной. Чтобы убедиться в этом, разложим | по соб-
собственным функциям уравнения A1.44):
6(г)=2а„1я(г).	(П.49)
п
и подставим его в уравнение A1.48). Ввиду ортогональ-
ортогональности собственных функций
выражение для V принимает вид
V=^aUl	A1.51)
302

Так как все ап действительны, то для положительных зна-
значений Шп V также положительно. Однако если часть о>?
меньше нуля, то V может также стать отрицательным.
Ясно, что если для каких-либо § V отрицательно, то по
крайней мере одна из величин с% также отрицательна.
Следовательно, достаточное условие неустойчивости за-
заключается в нахождении таких смещений, для которых V
отрицательно. Устойчивость же может быть доказана
только в том случае, если V положительно для любых
возможных смещений.
Приведенный принцип очень широко используется
при исследовании устойчивости плазмы*.
§11.5. Устойчивость пинча
Как было показано в § 11.3, простой пинч, обладающий
только аксиальным полем Во, неустойчив по отношению
к перетяжкам. Если описывать возмущение поверхности
плазмы следующим образом:
8Г = аеЦкг+тВ)9.	A1.52)
то перетяжкам, очевидно, соответствует случай т —О.
Однако простой пинч неустойчив также и при других
значениях т. При т = 1
плазменный цилиндр стре-	Ппазма.
мится принять форму спи-
спирали, или штопора. Подоб-
Подобный тип неустойчивости
называется винтовой не-
неустойчивостью. Главная
причина этого вида не-
неустойчивости может быть Рис. 11.8. Винтовая неустойчи-
понята с помощью	вость.
рис. 11.8. Когда плазмен-
плазменный цилиндр изгибается, магнитное поле становится
сильнее на его стороне, обращенной к центру кривизны.
Это более сильное, чем с другой стороны, поле стремится
еще больше изогнуть цилиндр плазмы, что и приводит
к неустойчивости.
Такие крупномасштабные неустойчивости пинча могут
быть подавлены созданием продольного магнитного поля Bz
См. сноску на стр. 297.
303

внутри плазмы. В этом случае смещения поверхности
плазмы, соответствующие т = 0 или т — 1, стремятся
растянуть линии Bz, что при достаточно больших значе-
значениях Bz приводит к стабилизации пинча*.
Однако введение поля В2 не избавляет пинч от всех не-
устойчивостей. Дело в том, что переход от поля В2 внутри
плазмы к полю В$ вне ее происходит не резко, а занимает
некоторую область, где поле постепенно искривляется.
Например, для квазистатического пинча, рассмотренного
в § 10.9, переходная область занимает весь объем плазмы
от оси до поверхности. Линии поля В в этой так назы-
называемой области шира образуют спирали. Возмущение,
возникающее в окрестности некоторой спиральной сило-
силовой линии с такими тик, что шаг возмущения равен
шагу данной силовой линии, будут также неустойчивы-
неустойчивыми, как это было показано независимо Ньюкомбом**, Ро-
зенблатом*** и Сайдамом****.
Квазистатический пинч, рассмотренный в § 10.9, имеет
именно этот вид неустойчивости. Ньюкомбом и Сайдамом
было показано, что такая неустойчивость может быть подав-
подавлена введением наряду с полем Bz внутри плазмы противо-
противоположно направленного поля вне ее.
§ 11.6. Уточнение теории устойчивости
Мы предполагали в § 11.4, что давление плазмы яв-
является скаляром и подчиняется закону адиабаты pz-^Pm-
Можно распространить энергетический метод и на тот слу-
случай, когда давление — диагональный тензор, причем р{1
не обязательно равно р±*****, Каждая из компонент дав-
давления теперь подчиняется своему собственному закону
адиабаты. Для сжатий в поперечном к линиям В направ-
* Р. И. Т а у л е р. В кн. «Труды Второй международной кон-
конференции по мирному использованию атомной энергии. Женева,
1958». Избранные доклады иностранных ученых. Т. 8. М.,Атомиздат,
1959, стр.
** W. N е w с от b. Ann. Phys. (N. Y.), 10, 232 A960).
*** M. H. Р о з е н б л а т. В кн. «Труды Второй международ-
международной конференции по мирному использованию атомной энергии.
Женева, 1958». Избранные доклады иностранных ученых. Т. 1. М.,
Атомиздат, 1959, стр. 55.
**** Б. Сайдам. Там же, стр. 89.
***** См. сноску на стр. 297.
304

лении известно, что ш±~5, a N—B, в то время как
не меняется. Поэтому
' > (поперечное сжатие). A1.53)
При сжатии вдоль линий В Wj_ не меняется, тогда как
Р\\ — р^, поскольку для одномерного газа у = 3. Таким
образом,
т \ (продольное сжатие).	A1.54)
Р\\ ^Pm J
Применение энергетического метода для такой анизот-
анизотропной плазмы значительно сложнее, чем для изотропной
-плазмы со скалярным давлением. Кроме того, этот метод
также неточен. Последнее связана с гидродинамическим
подходом, при котором считается, что частицы, находив-
находившиеся первоначально в элементе объема, который начинает
двигаться и испытывать сжатие, продолжают оставаться
в нем, и только величины w (, и w± меняются при сжатии.
В действительности частицы могут легко двигаться вдоль
силовых линий, унося с собой энергию. При этом суще-
существует как бы очень быстрый перенос «тепла» вдоль сило-
силовых линий, который в рамках гидродинамического под-
подхода никак не учитывается.
Некоторое улучшение энергетического метода в этом
пункте было достигнуто в результате работ Крускалаи
Обермана*, а также Розенблата и Ростокера**, исполь-
использовавших уравнение Лиувилля. Метод Розенблата и Ро-
Ростокера кратко сводится к вычислению реакции каждой
частицы, движущейся по своей начальной траектории на
вводимые возмущения поля, затем к вычислению резуль-
результирующих возмущений плотности и тока и подстановке
их в уравнения Максвелла для определения возмущений
поля. Этот метод подобен использованному в § 6.2 с той
разницей, что там невозмущенные начальные траектории
* М. Крускал и К. Оберман. В кн. «Труды Вто^-
рой международной конференции по мирному использованию атом-
атомной энергии. Женева, 1958». Избранные доклады иностранных уче-
ученых. Т. ¦ 1. М., Атомиздат, стр. 42.
** М. Р о з е н б л а т и Н. Ростокер. Там же, стр. 52.
И К- Лонгмайр	.	305

считались прямыми. Крускалу и Оберману, как и Ро
зенблату и Ростокеру, удалось показать, что в том случае,
когда давление в невозмущенной плазме скаляр, потен-
потенциальная энергия возмущения больше энергии, получае-
получаемой по магнитогидродинамическому методу в предположе-
предположении, что давление — скаляр, и меньше, чем следует из
магнитогидродинамического метода, в котором давление
считается диагональным тензором.
Упомянутые расчеты крайне трудно использовать для
практических целей. Кроме того, в них предполагается,
что ларморовский радиус весьма мал в сравнении с раз-
размерами конфигурации, а частоты возмущения малы по
сравнению с ларморовскими.
Исследование влияния конечности ларморовского ра-
радиуса на устойчивость конфигурации с магнитными зер-
зеркалами было проведено Розенблатом, Ростокером и Крал-
§ 11.7. Пучковая неустойчивость
По существу все рассмотренные до сих пор в этой главе
типы неустойчивости можно считать связанными с неодно-
неоднородным распределением плазмы в обычном пространстве.
Однако даже при равномерном распределении плотности
плазмы может возникать неустойчивость, обусловленная
неоднородностью функции распределения в пространстве
скоростей.
С одним из примеров подобной неустойчивости мы уже
встречались в § 6.5 (случай 2), когда
Р„>РХ+^.	(П.55)
Механизм возникновения этого типа неустойчивости был
рассмотрен в том же параграфе.
В качестве второго примера неустойчивости, связан-
связанной с характером распределения в пространстве скоростей,
рассмотрим так называемую пучковую неустойчивость.
Пусть плотность ионов постоянна в пространстве и равна
No- Пусть также заданы два пучка электронов каждый
плотностью Nq/2, движущиеся вдоль оси х со скоростями
* М. Rosenbluth et al. Suppl. Nucl. Fision., 1962,
p. 143.
306

+ v0 и — v0. Предположим, что продольное электрическое
поле имеет вид
Ex=Et4**-»t)u	(П.56)
Используя метод § 6.2, можно найти, что это поле приво-
приводит к образованию малых отклонений скорости электро-
электронов от начальной скорости, имеющих вид
Малые отклонения плотности N1 электронов можно найти,
линеаризовав уравнение непрерывности
dNi 4- г, dNl 4- N» dVl - П
из которого получим
Малое отклонение плотности заряда рх для электронов
равно
K Ne kE{x °
Для электронов, обладающих скоростью (—v0), отклоне-
отклонения плотности заряда можно получить, просто заменив
v0 на —v0. Подставляя полученное выражение в уравне-
уравнение Пуассона и пренебрегая движением ионов, найдем
\ьр — 4тг ° е	I	и ЪF
2m I (со — kv0J ' (w + kv0JJ
что приводит к дисперсионному соотношению
1	2 <о2 -
где сор—плазменная электронная частота. Разрешая по-
последнее уравнение относительно со2, получим
0J = 1{2(Ь0J+сор±1/8сор(Ь0J+сор}. A1.58)
11*	307

Одно из значений для со2 — отрицательно, если корень
больше остальных членов. Отрицательным со2, очевидно,
соответствует решение, экспоненциально возрастающее со
временем. Таким образом, можно получить условие воз-
возникновений пучковой неустойчивости
(to0J < со;;.	A1.59)
В литературе рассмотрено много примеров неустойчи-
неустойчивости, вызванной распределением по скоростям, а также
приводятся характеристики функций распределения по
скоростям, обеспечивающих устойчивость*. Как и следо-
следовало ожидать, распределение Максвелла удовлетворяет
этим признакам.
* О. Penrose. Phys. Fluids, 3, 258 (I960).

12
ГЛАВА
ПЛАЗМА И ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 12.1. Введение
В этой главе мы кратко остановимся на связи между
плазмой и электромагнитным излучением. Поскольку плаз-
плазма представляет газ из заряженных частиц, можно ожидать,
что эта связь будет весьма глубокой.
В гл. 4 мы уже встречались с одним из аспектов этой
проблемы, когда показали, что плазма в среднем ведет
себя как диэлектрическая среда, изменяющая соотношение
между частотой и длиной электромагнитной волны по срав-
сравнению с вакуумом. Поэтому если поместить плазму в замк-
замкнутую полость и разложить электромагнитное поле на
волны вида exp[i(kr)], используя обычные граничные
условия, то можно прийти к выводу, что частота <o(k)
и энергия квантов излучения fna(k) отличны от своих зна-
значений для вакуума. Это отличие имеет наибольшую вели-
величину для частот, близких к плазменной или несколько мень-
меньших ее. Эти эффекты подробно рассмотрены в настоящей
главе.
§ 12.2. Излучение в плазме
при тепловом равновесии
Рассмотрим плазму, находящуюся в тепловом равно-
равновесии с излучением, в отсутствие магнитного поля. Пред-
Предположим, что плазма заключена в полость объемом V с иде-
идеально отражающими стенками. Разложим электрическое
поле на волны вида Eoexp[i(k r)]. Рассмотрим сначала
поперечные колебания с E0JL_k.
Число колебаний Щк), приходящихся на интервал
dk9 равно
^	A2.1)

Это выражение получается путем нахождения числа зна-
значений k в интервале dk, удовлетворяющих периодическим
граничным условиям (после умножения его на 2 для учета
обоих направлений поляризации). Выражение A2.1)
никак не зависит от наличия или отсутствия плазмы.
Согласно уравнению F.23), частота волны, соответст-
соответствующей волновому вектору к, приближенно равняется*
(* = ((o2p + c2k2)l/2.	A2.2)
В вакууме это соотношение заменяется на ш = с/г. Таким
образом, энергия квантов %т в плазме отличается от случая
вакуума.
Суммарная энергия излучения, однако, никак не за-
зависит от разницы частот. Согласно квантовой статистике,
средняя энергия колебания с волновым вектором к равна**
Если ?tco<6, получим
&«е",	A2.4)
т. е. средняя энергия одного колебания равна 0 и не за-
зависит от частоты колебания. Далее, когда "С>®р, выражение
A2.2) стремится к со = ck. Поэтому энергия излучения
при равновесии не изменяется, если
ясорСб,	A2.5)
или (подставляя численные значения) если плотность
электронов удовлетворяет неравенству
УУ< 102i62 (сж~3),	A2.6)
где Э в электронвольтах.
Для большинства видов плазмы последнее условие хорошо
соблюдается.
* Поскольку для действительных k со > <лр, данное прибли-
приближение хорошо выполняется, когда тепловая скорость много меньше
скорости света.
** В этой главе через 0 мы будем обозначать температуру
в энергетических единицах, чтобы не спутать постоянную Больц-
мана с волновым вектором к.
310

Если указанное условие выполнено, то полную плот-
плотность излучения $изл получают как обычно суммированием
величин 3k каждого колебания:
&зл = 137 6* (эрг/см*),	A2.7)
Давление излучения равно
Ризл = g- &зл.	A2.8)
Излучение черного тела с единицы поверхности равно
Рассмотрим теперь продольные волны, для которых
Ео || к. Этим волнам не соответствуют степени свободы,
отличные от степеней свободы частиц. Действительно,
если разложить плотность заряда, определяющуюся мгно-
мгновенным положением всех частиц, по плоским волнам, то
уравнение Пуассона выглядит так:
i(kE0(k)) = 4np(k),	A2.10)
где р(к) — Фурье-компонента плотности заряда. По-
Поэтому продольное поле определяется положением частиц.
В отношении поперечных полей это утверждение неспра-
несправедливо, так как уравнения Максвелла допускают решения
в отсутствие заряда и тока.
Продольное электрическое поле соответствует потен-
потенциальной энергии движения частиц. Поэтому в то время
как для полностью свободной частицы средняя энергия,
приходящаяся на одну степень свободы, равна 6/2, в при-
присутствии продольного электрического поля средняя энер-
энергия превосходит эту величину. Таким образом, продоль-
продольные колебания плазмы составляют некоторую часть всех
степеней свободы частиц, которую точнее определим ниже.
Средняя энергия каждой из степеней свободы оказывается
равной G в соответствии с выражением A2.4) при том же
условии A2.5).
Доказательство высказанных утверждений может быть
проведено следующим образом. Дисперсионное соотно-
соотношение для продольных волн имеет вид F.29). Это соотно-
311

шение справедливо лишь в том случае, когда последний
член справа не становится сравнимым с «v, или пока
J 4nNe 1 2
— = я" ^?>> A2.11)
О
т. е. для длин волн, больших дебаевского радиуса. Однако
волновая картина описания плазмы справедлива только
для длин волн, больших дебаевского радиуса, поскольку,
как мы видим в § 6.4, продольные волны с длиной волны,
сравнимой или меньшей дебаевского радиуса, затухают
быстрее, чем за один период*. Для более коротких длин
волн правильнее считать движение частиц независимым.
К этому нужно еще добавить, что, согласно § 8.2, флуктуа-
флуктуации плотности частиц в объеме с размерами меньше де-
дебаевского радиуса не испытывают влияния кулоновского
потенциала, и, следовательно, частицы можно действи-
действительно считать свободными.
Итак, если k < IAd, из дисперсионного соотношения
F.29) следует, что частота примерно равна оу Поэтому,
если условие A2.5) удовлетворяется, средняя энергия
одного колебания должна равняться 0 вместо 6/2.
Подсчитаем теперь полное число продольных колеба-
колебаний. Их число, приходящееся на интервал dk, равно поло-
половине правой части уравнения A2.1). Поэтому, интегрируя
до значения k = 1/Kd, найдем полное число продольных
колебаний
#~*L*	A2.12)
Поскольку полное число степеней свободы частиц равно
3NV, доля этих степеней свободы fm, соответствующая про-
продольным волнам, равна
A2.13)
Эта доля мала в том случае, когда число частиц в элементе
с дебаевскими размерами велико. Она является показате-
* Поперечные волны не подвержены сильному затуханию, так
как их фазовая скорость, согласно уравнению A2.2), больше ско-
скорости света, и поэтому не может быть частиц, движущихся вместе
с ними.
312

лем того, насколько средняя тепловая энергия, приходя-
приходящаяся на одну степень свободы, отличается от 6/2. В свя-
связи с этим выражение A2.13) выглядит более наглядно, если
его представить в виде
<12Л4>
и иметь в виду, что ЛГ/« е2 — средняя потенциальная
энергия взаимодействия соседних частиц. Величина Д»
обычно очень мала*.
Если ввести внешнее магнитное поле, наши результаты
несколько усложнятся. Волны уже нельзя разделить на
чисто продольные и чисто поперечные, и степени свободы
частиц и излучения оказываются перепутанными. Однако
для значений со, существенно больших <ор, и электронной
ларморовской частоты ые дисперсионное соотношение приб-
приближается к виду, которое оно имеет в вакууме.
При выполнении условий
ftCDp<6, йо>,«6, М,?>1	A2.15)
энергия излучения и суммарная энергия частиц не могут
сильно измениться. Если выразить условие &«><>< 6 числен-
численно, оно имеет вид
В(гс)<^108Ь(эв).	A2.16)
Это условие обычно выполняется.
§ 12.3. Неравновесный случай
Часто приходится иметь дело с плазмой, для которой
энергия излучения много меньше, чем в случае равновесия
излучения и плазмы. В частности, в устройстве для управ-
управляемого термоядерного синтеза нельзя допустить, чтобы
энергия передавалась полю излучения в соответствии
с условиями равновесия. Плотность энергии частиц плаз-
плазмы равна
$част = 2,4-W-12 № {эрг/см3).	A2.17)
См., например, объяснения к рис. 8.1.
ИВ К. Лонгмайр

Сравнивая это выражение с соотношением A2.7), видно,
что для плотности N = 1017 и 6 = 104 эв
$част = 2,4-109 эрг /еж3,
&w= 1,37-1018
энергия излучения в 1 см3 для данного случая оказывается
эквивалентной энергии 30 т тринитротолуола, а радиацион-
радиационное давление — 1012 атм\
В небольших системах излучение может покидать объем
быстрее, чем оно генерируется заряженными частицами,
и способствовать непрерывной потере энергии плазмой.
В следующих параграфах мы рассмотрим основные меха-
механизмы излучения частиц.
Известно, что заряженные частицы излучают при уско-
ускоренном движении. Следовательно, наша задача сводится
к выяснению различных механизмов ускорения и торможе-
торможения частиц.
Необходимо постоянно помнить, что заряд излучает
тогда и только тогда, когда он испытывает ускорение.
Рассмотрим, например, плазму, помещенную в полость
с идеально отражающими стенками. Если потенциал взаи-
взаимодействия соседних частиц значительно меньше темпера-
температуры, то можно предположить, что частицы движутся по
прямой, пока не столкнутся со стенкой. Излучение в этом
случае возникает только при отражении от стенок, не-
несмотря на то что в объеме плазмы могут существовать
флуктуации заряда или тока.
§ 12.4. Тормозное излучение
Одной из причин излучения частиц являются столкно-
столкновения. Излучение электромагнитных волн, возникающее
при столкновениях, называется тормозным излучением.
Точный расчет спектра и интенсивности тормозного излу-
излучения довольно громоздок, и мы не будем его приводить.
Однако, используя формулу Лармора для скорости потери
энергии нерелятивистской заряженной частицей
(е — заряд; а — ускорение), можно оценить интеграль-
интегральную интенсивность излучения.
314

Рассмотрим столкновение электрона и иона с зарядом
Ze, изображенное на рис. 12.1. Если прицельный параметр
равен s, то продолжительность столкновения можно счи-
считать примерно равной
v
A2.19)
где v — скорость электро-
электрона.
Ускорение электрона
равно
Ze*
' ms2 '
а.
Ze
Рис. 12.1. Столкновение электро-
на и иона.
Следовательно, полная энергия, излученная при столкно-
столкновении, может быть вычислена следующим образом:
w =^Ji\t^-l—J i = Z2g6 I
т dt	c3\ms2) v ~ m2csv's3'
Поперечное сечение, соответствующее приращению при-
прицельного параметра ds, равно 27rs rfs, и, следовательно,
интегральное сечение потери энергии равно
aw/r — j wr znsas — zn ^^^ j ? . (i^.zu>
Этот интеграл расходится при нижнем пределе в силу приб-
приближенной трактовки процесса столкновения. Применяемый
нами метод перестает быть справедливым, когда потен-
потенциальная энергия превышает кинетическую, т. е. когда
ИЛИ
:??• A2-21>
Так же как и в § 8.5, необходимо учитывать квантово-
механическое ограничение минимальной величины при-
прицельного параметра. Поскольку неопределенность в рас-
расчетах прицельного параметра равна
As = — ,
A2.22)
столкновения с прицельными параметрами, меньшими
As, нельзя рассматривать классическим методом. Таким об-
образом, интегрирование в выражении A2.20) необходимо
оборвать на значении $, равном большей из величин
11В*	315

A2.21) и A2.22). Следует иметь в виду, что квантовомеха-
нический предел больше классического при условии
Для электронов с энергией, большей 50 эв (если Z = 1),
квантовомеханический предел больше классического и
интегральное сечение потерь энергии равно
^[~2Jmc2 {эрг-см2}. A2.24)
Сравним теперь нашу приближенную формулу с ре-
результатами точных вычислений*. Дифференциальное се-
сечение рассеяния электронов на ядре с зарядом Ze при ки-
кинетической энергии электронов 70, меньшей их собствен-
собственной энергии E10 кэв), и одновременно излучении фотона
энергии и равно
*M2mt_« du , \(УТп+ /ту^)] ?
Ьс \rncV То* и Ш[	и	J'^
Ь^Г'	A2'25)
где
Ъ=Щ, 1г = *?.	A2.26)
Здесь и0 и vx — соответственно начальная и конечная ско-
скорости электрона; следовательно,
2	2
То=~\ Т1 = П^- = Т0-и.	A2.27)
Уравнение A2.25) определяет спектр фотонов, излу-
излучаемых электронами энергии Го. Спектр энергии излуче-
излучения, приходящийся на интервал du энергии фотонов, можно
получить, умножив выражение A2.25) на энергию фотона и.
Исследуем характер этого энергетического спектра, кото-
который пропорционален функции
* См. Г а й т л е р. «Квантовая теория излучения». М., Изд-во
иностр. лит., 1956.
316

Во-первых, при малых и \г стремится к ?0 и, следова-
следовательно, множитель, зависящий от |, стремится к единице.
Тогда
S(tt)«ln2pL дЛя а«70.	A2.29)
Хотя спектр обращается в бесконечность при стремлении и
к нулю, эта особенность несущественна, так как не мешает
получить конечное выражение для полной энергии. Кроме
того, в плазме эта особенность несущественна еще и из-за
наличия дебаевского экранирования. (При рассеянии элект-
электронов на нейтральных атомах данная особенность компен-
компенсируется экранированием ядра электронами оболочки.)
Если прицельные параметры больше дебаевского радиуса,
то рассеяние сильно ослабляется. Основная частота тока,
соответствующего частице, рассеивающейся с прицельным
параметром, равным Ко, составит
Очевидно, что основная частота испускаемого в этом случае
излучения такая же. Поэтому минимальная энергия, ниже
которой выражение A2.28) перестает быть справедливым,
имеет вид .
2 mvi
где vt — тепловая скорость электронов в экранирующей
области плазмы, а а>р — плазменная частота. Согласно вы-
выражению A2.5) или A2.6), эта энергия фотона должна быть
много меньше средней кинетической энергии электронов.
Далее, рассмотрим случай больших энергий фотонов и.
Очевидно, что и не может быть больше начальной кинети-
кинетической энергии электронов То. При стремлении и к То ло-
логарифм в выражении A2.28) обращается в нуль. Однако
^одновременно стремится к бесконечности, и в результате
все выражение для S(u) остается конечным.
На рис. 12.2 изображен вид точной функции S(u),
рассчитанной для электронов с энергией 1 и 10 кэв, рас-
рассеивающихся на ионах водорода (Z = 1). На том же ри-
рисунке показана кривая, получающаяся при замене функции
I на L
317

Для получения интегрального сечения потерь энергии
необходимо проинтегрировать S(u) по интервалу 0<и<Т0.
Если заменить функцию I на 1, интеграл вычисляется ана-
аналитически
То
\ S(u)du^2TQ.	A2.31)
\
\
\
V
/
0,2
0,6
0,8 и/Т0
Рис. 12.2. Энергетический спектр тормозного
излучения в водороде:
/—с энергией электронов 1 кэв; 2 — энергии 10 кэв;
3 — соответствует замене функции Е на 1.
Интегральное сечение потерь энергии при этом оказывает-
оказывается приближенно равным
42.32)
Полученная нами ранее оценка той же величины A2.24)
хорошо совпадает с A2.32).
Для рассеяния электронов на водороде с энергией 1 кэв
приближенный результат A2.31) лишь на 15% меньше
818

точного значения, полученного численным интегрировани-
интегрированием. При больших энергиях ошибка становится еще меньше.
Для большинства приложений приближенное выражение
A2.32) интегрального сечения потерь энергии вполне дос-
достаточно. Это сечение не зависит от энергии электронов.
Выражая его численно, получим
GWrttlfi-l0-24Z2(K9e-cM2).	A2.33)
С помощью последнего выражения можно вычислить
скорость потери энергии плазмой в результате тормозного
излучения при температуре 6 в расчете на один электрон:
|	Q, A2.34)
где N\ —- плотность ионов.
Следует отметить, что при столкновениях электрона
с электроном излучение отсутствует, поскольку электри-
электрический дипольный момент двух электронов равен нулю.
В таких столкновениях может возникать квадрупольное
электрическое или магнитное дипольное излучение, но
для нерелятивистских температур оно пренебрежимо слабо.
Выражение A2.34) применимо к оптически прозрачной
плазме,' т. е. к такой, которая не поглощает собственного
излучения.
Наиболее просто оптическую прозрачность плазмы можно
оценить, сравнивая полное количество излучения, испус-
испускаемого плазмой A2.34), с излучением, которое бы она
испускала, если бы была черным телом A2.9).
Если энергия тормозного излучения намного меньше
энергии излучения плазмы как черного тела, то плазму
можно считать оптически прозрачной. В противном случае,
если плазма оптически непрозрачна, для определения по-
потерь энергии за счет излучения необходимо решать задачу
переноса лучистой энергии*.
§ 12.5. Циклотронное излучение
Поскольку на заряженные частицы, находящиеся в маг-
магнитном поле, постоянно действует сила Лоренца, они долж-
должны непрерывно излучать. Это излучение называется цик-
циклотронным излучением.
* См., например, С. Чандрасекар. Перенос лучистой
энергии. М., Изд-во иностр. лит., 1953.
319

Для того чтобы определить поток излучения, испускае-
испускаемого электронами с энергией меньше тс2 E10 кэв), можно
опять воспользоваться формулой Лармора A2.18)
dWr 2 е2 t ч2 4 е* /еВ\^/\ 2\/эрг\ /1О осч
-or = з ? (». ^>а = з-^-з У (у mOj.) (?). A2.35)
Выражая численно входящие в последнюю формулу вели-
величины, получаем для электронного газа с температурой 9
^ = 4,0- Ю-9В2 6 Q ,	A2.36)
где В — в гауссах, а 0 — в килоэлектронвольтах.
Для сравнения потерь энергии при циклотронном излу-
излучении с потерями при тормозном излучении обозначим от-
отношение магнитного и кинетического давлений т). Тогда
? = ^6,	A2.37)
где Ne — плотность электронов. Уравнение A2.36) можно
переписать в виде
^ = 1,6.10-16М?.т|-е2,	A2.38)
где 0 снова в килоэлектронвольтах. Сравнивая последнее
уравнение с выражением A2.34), можно сделать вывод,
что потери энергии в водороде на циклотронное излучение
больше потерь на тормозное излучение для температуры
свыше 7,5 кэв при т) = 1. Если же кинетическое давление
меньше магнитного, то циклотронное излучение начинает
доминировать при еще более низких температурах.
Частотный спектр циклотронного излучения состоит
из ларморовской частоты и ее гармоник. Наличие гармоник
объясняется весьма просто. Плотность тока в каждой точке
круговой траектории иона как функция времени может
быть представлена в виде последовательности б-функций,
отстоящих друг от друга на ларморовский период. Поэ-
Поэтому в разложении плотности тока в ряд Фурье по времени
фигурируют все кратные частоты. Эти же частоты, конечно,
содержатся и в излучении.
Когда скорость v электрона значительно меньше с, подав-
подавляющая часть энергии излучается на основной частоте.
Эти свойства циклотронного излучения рассмотрены в де-
320

талях в работе Швингера* для произвольной энергии элект-
электронов. Количество энергии, излучаемой в единицу времени
на каждой гармонике основной частоты, может быть пред-
представлено в виде ряда по степеням vie, (Выбираем такую
систему координат, в которой центр ларморовской окруж-
окружности неподвижен.) Для небольших vie мощность излуче-
излучения на каждой гармонике приближенно дается первым
членом такого ряда. Мощность, соответствующая п-й
гармонике, равна
2п
. A2.39)
В частности,
243 е2 2/гм6
Для энергии электронов 50 кэв v2lc2^l/5 и относительная
величина Ръ Р2 и Р3 соответственно равна 1, 1/2, 1/5.
Следует отметить, что ларморовская частота умень-
уменьшается с приближением к релятивистской области энергий.
Релятивистское выражение для ларморовской частоты
имеет вид
где т — масса покоя.
Изложенные результаты относятся к одной частице.
При рассмотрении излучения в плазме необходимо учиты-
учитывать ее диэлектрические свойства. В частности, если лар-
моровская частота меньше плазменной, то излучение с ос-
основной частотой может оказаться сильно ослабленным.
Условие малости частоты плазмы по сравнению с частотой
п-и гармоники излучения выглядит следующим образом:
* J.Sc hwinger. Phys. Rev., 75, 1912 A949).
321

Его можно также представить одной из нижеприведенных
форм:
250 кэв
выражая явно через температуру и отношение давлений rj.
При температуре 50 кэв и tj = 1 частоты третьей и более
высоких гармоник выше плазменной. Для этих гармоник
результаты, полученные для одной частицы, имеют приб-
приближенный характер.
В случае оптически плотной плазмы необходимо учиты-
учитывать собственное поглощение излучения. Роль циклотрон-
циклотронного излучения для проблемы управляемых термоядерных
реакций была проанализирована Трубниковым и Кудряв-
Кудрявцевым*, а также многими другими.
Обзор и библиография работ, посвященных этому воп-
вопросу, приведены в статье Ризенфельда**.
*Б. А. Трубников и В. С. Кудрявцев. В кн.
«Труды Второй международной конференции по мирному исполь-
использованию атомной энергии. Женева, 1958». Доклады советских уче-
ученых. Ядерная физика. М., Атомиздат, 1959, стр. 165.
** W. Riesenfeld. Plasma Physics and Thermonuclear
Reactors. Vol. 2. Pergamon Press. (N. Y.), 1963.

ЛИТЕРАТУРА
Глава 1
V 1 a s о v A. Kinetic theory of an assembly of particles with col-
collective interaction. J. Phys. USSR, 9, 25 A945).
Greenstein J., Minkowski R. The crab nebula as
a radio source. Astrophys. J., 118, 1 A953).
Fermi F. Galactic magnetic fields and the origin of cosmic ra-
radiation. Astrophys. J., 119, 1 A954).
В a a d e W., Minkowski R. On the identification of ra-
radio sources. Astrophys. J., 119, 215 A954).
Balcock H., Babcock H. The sun's magnetic field 1952—
1954. Astrophys. J., 121, 349 A955).
Babcock H. The magnetic variable HD71866. Astrophys. J.,
124, 489 A956).
Fan C. Non-thermal radio emission of the galaxy and the origin
of cosmic radiations. Astrophys. J., 123, 491 A956).
Watson I. K. Use of Boltzmann equation for study of ionized
gases of low density. Phys. Rev., 102, 12 A956); Brueckner
K., W a t s о n K. Phys. Rev., 102, 19 A956).
Chew G. et al. The Boltzmann equation and the one-fluid
hybromagnetic equations in the absence of particle collisions.
Proc. Roy. Soc, A236, 112 A956).
Chandrasekhar S. etal. Properties of an ionized gas, of low
density in a magnetic field. Ann. Phys., 2, 435 A957); 5, 1 A958).
Low F. A Lagrangian formulation of the Boltzmann — Vlasov
equation for plasmas. Proc. Roy. Soc, A248, 282 A958).
W e i b e 1 E. Confinement of a plasma by magnetostatic fields.
Phys. Fluids, 2, 52 A959).
E 1 m о r e W. et al. Inertial-electrostatic confinement of a plasma.
Phys. Fluids, 2, 239 A959).
Green H. Ionic theory of plasmas and magnetohydrodynamics.
Phys. Fluids, 2, 341 A959).
Babcock H. The 34-kilogauss magnetic field of HD215441.
Astrophys. J., 132, 521 A960).
W о 1 t j e r L. The magnetic field intensity in the galaxy. Astrophys.
J., 133, 352 A961).
Buneman O. Gas law and conductivity of a collision-free
plasma. Phys. Fluids, 4, 669 A961).
H о у 1 e F., H a r w i t M. Plasma dynamics in comets. Astrophys.
J., 135, 867, 875 A962).
Yang H. Moment equations and boundary conditions for magneto-
gas dynamics. Phys. Fluids, 5, 1580 A962).
Hepner J. et al. Explorer 10 magnetic field measurements.
J. Geophys. Res., 68, 1 A963).
323

Pope J. A high latitude investigation of the natural very — low-
frequency electromagnetic radiation known as chorus. J. Geophys.
Res., 68, 83 A963).
Akasofu S., Chapman S. The development of the main
phase of magnetic storms. J. Geophys. Res., 68, 125 A963).
Глава 2
S p i t z e r L. Equations of motion for an ideal plasma. Astrophys.
J., 116, 299 A952).
Wentzel D. Motion of charged particles in a force-free magnetic
field. Astrophys. J., 126, 559 A957).
Брагинский С. И. О поведении полностью ионизованной
плазмы в сильном магнитном поле. «Ж- Эксперим. и теор.
физ.», 33, 645A957).
Newcomb W. Motion of magnetic lines of force. Ann. Phys.
(N.—Y), 3, 347 A958).
L e n a• r d A. Adiabatic invariance to all orders. Ann. Phys. (N.—Y),
6, 261 A959).
Vandervoort P. The nonconstancy of the adiabatic invariants.
Ann. Phys. (N. Y.), 12, 436 A961).
Northrop T. The quiding center approximation to charged par-
particle motion. Ann. Phys. (N. Y.), 15, 79 A961).
Mishkin E., Rader C. Motion of a charged particle in an
axially symmetric magnetostatic field. Phys. Fluids, 4, 783
A961).
Ray E., К a s p e r J. Some theorems concerning' the motion
of an electrically charged particle in a dipole magnetic field.
Ann. Phys. (N. Y.), 20, 119 A962).
Глава 3
Bennett W. Magnetically self-focussing streams. Phys. Rev., 45,
890 A934).
Chandrasekhar S., Fermi E. Problems of gravitational
stability in the presence of a magnetic field. Astrophys. J., 118,
116 A953).
Giellestad G. On equilibrium configurations of oblate fluid
spheroids with a magnetic field. Astrophys. J., 119, 14 A954).
Ferraro V. On the equilibrium of magnetic stars. Astrophys. J.,
119, 407 A954).
Chandrasekhar S., Kendall P. On force-free magne-
magnetic fields. Astrophys. J., 126, 457 A957).
Паргаманик Л. Э. К кинетической теории электронного
газа при наличии границ. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 33, 251
A957).
Кг us k a I M., Kulsrud R. Equilibrium of magnetically
confined plasmas in a toroid. Phys. Fluids, 1, 265 A958).
Шафранов В. Д. О равновесии плазменного тора в магнит-
магнитном поле. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 1088 A959).
Кадомцев Б. Б. О равновесии плазмы при винтовой сим-
симметрии. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37, 1352 A959).
Bernstein I. and Rabinowitz I. Theory of electrostatic
probes in a low-density plasma. Phys. Fluids, 2, 112 A959).
324

Newcomb W. Magnetic differential equations. Phys. Fluids, 2,
362 A959).
Cole J., H u t h J. Some interior problems in hydromagnetics.
Phys. Fluids, 2, 624 A959).
W e n t z e 1 D. On the shape of magnetic stars. Astrophys. J., 133,
170, A961).
Комаров Н. Н., Фадеев В. М. Плазма в самосогласован-
самосогласованном поле. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 41, 528 A961).
Kulsrudd R. Hydromagnetic equilibria in a toroid from the
particle point of view. Phys. Fluids, 4, 302 A961).
S h e r s b y-H a r v i e R. B. R. Schmidt's virial theorem for
plasmas. Phys. Fluids, 4, 389 A961).
Greene J., Johnson J. Determination of hydromagnetic
equilibria. Phys. Fluids, 4, 875 A961).
Hand G., L e v i n e M. New approach to force-free magnetic
fields. Phys. Rev., 127, 1856 A962).
Глава 4
Batchelor G. On the spontaneous magnetic field in a condu-
conducting liquid in turbulent motion. Proc. Roy. Soc, A201, 405
A950).	v
Chandrasekhar S. The invariant theory of isotropic turbu-
turbulence in magnetohydrodynamics. Proc. Roy. Soc. (Lond), A204,
435 A951); 207, 301 A951).
Parker E. Hydromagnetic dynamo models. Astrophys. J., 122,
293 A955).
Parker E., К г о о к М. Diffusion and severing of magnetic
lines of force. Astrophys. J., 124, 214 A956).
Chandrasekhar S. Effect of internal motions on the decay
of a magnetic field in a fluid conductor. Astrophys. J., 124, 244
A956).
Backus G. The ecternal electric field of a rotating magnet.
Astrophys. J., 123, 508 A956).
В о s t i с k W. Experimental study of ionized matter projected
across a magnetic field. Phys. Rev., 104, 292 A956).
Backus G. The axisymmetric self-excited fluid dynamo. Actro-
phys. J., 125, 500 A957).
Шафранов В. Д. Магнито-вихревые кольца. «Ж. эксперим.
и теор. физ.», 33, 831 A957).
В о s t i с k W. Experimental study of plasmoids. Phys. Rev., 106,
404 A957).
Backus G. A class of self-sustaining dissipative spherical dyna-
dynamos. Ann. Phys. (N. Y.), 4, 372 A958).
Parker E. Interaction of the solar wind with the geomagnetic
field. Phys. Fluids, 1, 171 A958).
К r a u s L., Watson K. Plasma motions induced by satel-
satellites in the ionosphere. Phys. Fluids, 1, 480 A958).
Миллер М. А. Ускорение плазменных сгустков высокочастот-
высокочастотным электромагнитным полем. «Ж. эксперим. и теор. физ.»,
36, 1909 A959).
Linhart J. Accelerated self-constricted electron streams in
a plasma. Proc. Roy. Soc. (Lond), A249, 318 A959).
325

Kal man G. Non-linear oscillations and nonstationary flow
in a zero temperature plasma. Arin. Phys. (N. Y.), 10, 1, 29 A960).
Parker E. Sudden expansion of the corona following a large
solar flare and the attendant magnetic field and cosmic-ray ef-
effects. Astrophys. J., 133, 1014 A961).
A 1 f v ё n H. On the origin of cosmic magnetic fields. Astrophys.
J., 133, 1049 A961).
Hurley J. Interaction of a streaming plasma with the magnetic
field of a line current. Phys. Fluids, 4, 109 A961).
К a t z S. Lagrangean density for an inviscid, perfect, compres-
compressible plasma. Phys. Fluids, 4, 345 A961).
Hurl у J. Interaction of a streming plasma with the mag-
;netic field of a two-dimensional dipole. Phys. Fluids, 4, 854
A961).
Lin S. Limiting velocity for a rotating plasma. Phys. Fluids, 4,
1277 A961).
S u С Variational principles in plasma dynamics. Phys. Fluids, 4,
1376 A961).
Eubank H.. Wilkerson T. Plasma motion in a curved
magnetic field. Phys. Fluids. 4, 1407 A961).
Baker D. et al. Rotating plasma experiments. Phys. Fluids, 4,
1534, 1549 A961).
Mestel L., Roxburgh I. On the thermal generation of
toroidal magnetic fields in rotating stars. Astrophys. J., 136,
615 A962).
К a r 1 s о n E. Motion of charged particles in an inhomogeneous
magnetic field. Phys. Fluids, 5, 476 A962).
Глава 5
T о n к s L. Trajectory-wise analysis of plasmas in magnetic field
without collisions. Phys. Rev., 113, 400 A959).
К i 1 1 e e n J. et al. Boundary-layer formation in the pinch. Phys.
Fluids, 3, 387 A960).
Морозов А. И.,Соловьев Л. С. Кинетическое рассмотре-
рассмотрение некоторых равновесных плазменных конфигураций.
«Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 1316 A961).
Hurley J. Analysis of the transition region between a plas-
plasma and its confining magnetic field. Phys. Rev., 124, 1307
A961).
M j о 1 s n e s s R. et al. Self-consistent reversed field sheath. Phys.
Fluids, 4, 730 A961).
Grad H. Boundary layer between a plasma and a magnetic field.
Phys. Fluids, 4, 1366 A961). .
Глава 6
Thomson J. J. The electrodeless discharge through gases. Phys.
Soc. Proc, 40, 82 A928).
Langmuirl., Tonks L. Oscillations in ionized gases. Phys.
Rev., 33, 195 A929).
Tonks L. The high frequency behavior of a plasma. Phys. Rev.,
37, 1458 A931).
326

Landau L. On the vibrations of the electronic plasma. J. Phys.
USSR, 10, 25 A946).
В о h m • D., Gross E. Theory of plasma oscillations. Phys.
Rev., 75, 1851, 1864 A949).
Bohm D., Gross E. Effects of plasma boundaries in plasma
oscillations. Phys. Rev., 79, 992 A950).
Gross E. Plasma oscillations in a static magnetic field. Phys.
Rev., 82, 232 A951).
Bohm D., Pines D. A collective description of electron inte-
interactions, Phys. Rev., 82, 625 A951); 85, 338 A952).
Ко к J. On electrostatic plasma oscillations in metals. Physica,
17, 543 A951).
Gabor D. Wave theory of plasmas. Proc. Roy. Soc, A213,
73 A952).
Ferraro V. On the reflection and refraction of Alfven waves.
Astrophys. J., 119, 393 A954).
L о о n e у D., Brown S. Excitation of plasma oscillations.
Phys. Rev., 93, 965 A954).
Roberts P. On the reflection and refraction of hydromagnetic
waves. Astrophys. J., 121, 720 A955).
Jensen E. Toroidal oscillations of an incompressible condu-
conductive fluid sphere in a decay field. Astrophys. J., Suppl., Ser. 2.,
141 A955—56).
Van Kampen N. On the theory of stationary waves in plasmas.
Physica, 21, 949 A955).
Ахиезер А. И., Ситенко А. Г. О колебаниях электрон-
электронной плазмы во внешнем магнитном поле. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 30, 216 A956).
Половин Р. В. К нелинейной теории продольных колебаний
плазмы. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 31, 354 A956).
Кадомцев Б. Б. О гидродинамическом описании плазменных
колебаний. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 31, 1083 A956).
S t i х Т. Oscillations of a cylindrical plasma. Phys. Rev., 106,
1146 A957).
Pradhan T. Plasma oscillations in a steady magnetic field.
Phys. Rev., 107, 1222 A957).
Bernstein I. et al. Exact non-linear plasma oscillations. Phys.
Rev. 108, 546 A957).
Sturrock P. Non-linear effects in electron plasmas. Proc. Roy.
Soc, A242, 277 A957).
Sturrock P. A variational principle and an energy theorem for
small-amplitude disturbances of electron beams and of electron—
ion plasmas. Ann. Phys. (N. Y.), 4, 306 A958).
Ferraro V., Plumpton C. Hydromagnetic waves in a ho-
horizontally statified atmosphere. Astrophys. J., 127, 459 A958).
Parker E. Suprather.mal particle generation in the solar corona.
Astrophys. J., 128, 677 A958).
Денисов Н. Г. К вопросу о поглощении электромагнитных
волн в резонансных областях неоднородной плазмы. «Ж. эспе-
рим. и теор. физ.», 34, 528 A958).
Степанов К. Н. Низкочастотные колебания плазмы в маг-
магнитном поле. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 35, 1155 A958).
Bernstein I. Waves in a plasma in a magnetic field. Phys.
Rev., 109, 10 A958).
327

Drummond J. Basic microwave properties of hot magneto-
plasmas. Phys. Rev., 110, 293 A958); 112, 1460 A958).
H w a R. Effects of electron-electron interactions on cyclotron re-
resonance in gaseous plasmas. Phys. Rev., 110, 307 A958).
Lenard A., Bernstein I. Plasma oscillations with dif-
diffusion in velocity space. Phys. Rev., 112, 1456 A958).
Berger J. etal. Heating of a confined plasma by oscillating
electromagnetic fields. Phys. Fluids, 1, 301 A958).
Stix T. Generation and thermalization of plasma waves. Phys.
Fluids, 1, 308 A958).
A u e r P. et al. Collective oscillations in a cold plasma. Phys.
Fluids, 1, 501 A958).
Case K. Plasma oscillations. Ann. Phys. (N. Y.), 7, 349 A959).
Габович М. Д., Пасечник Л. Л. Аномальное рассеяние
электронов и возбуждение плазменных колебаний. «Ж. экспе-
рим. и теор. физ.», 36, 1025 A959).
К л и м о н т о в и ч Ю. Л. Потери энергии заряженных частиц
на возбуждение колебаний в плазме. «Ж. эксперим. и теор.
физ.», 36, 1405 A959).
Степанов К. Н. О проникновении электромагнитного поля
в плазму. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 36, 1457 A959).
Ахиезер И. А., Половин Р. В. К теории релятивистских
магнитогидродинамических волн. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
36, 1845 A959).
Гершман Б. Н. О негирорезонансном поглощении электро-
электромагнитных волн в плазме. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 38, 912
A960).
Dawson J., Oberman С. Oscillations of a finite cold plasma
in a strong magnetic field. Phys. Fluids., 2, 103 A959).
Doyle P., .N e u f e 1 d J. Behavior of plasma at ionic resonance.
Phys. Fluids, 2, 390 A959).
Montgomery D. Non-linear *Alfven waves in a cold ionized
gas. Phys. Fluids, 2, 585 A959).
Dawson J. Non-linear electron oscillations in a cold plasma.
Phys. Rev., 113, 383 A959).
Sturrock P. Action transfer and frequency-shift relations in
the nonlinear theory of waves and oscillations. Ann. Phys. (N. Y.),
9, 422 A960).
Гершман Б. Н. О гирорезонансном поглощении электромаг-
электромагнитных волн в плазме. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 38, 912
A960).
Kritz A., Mintzer D. Propagation of plasma waves across
a density discontinuity. Phys. Rev., 117, 382 A960).
Dawson'J. .Plasma oscillations of a large number of electron
beams. Phys. Rev., 118, 381 A960). '
Stix T. Absorption of plasma waves. Phys. Fluids, 3, 19 A960).
Rand S. Wake of a satellite traversing the ionosphere. Phys.
Fluids, 3, 265 A960).
Montgomery D. Stability of large amplitude waves in the
onedimensional plasma. Phys. Fluids, 3, 274 A960).
W e i b e 1 E. S. Oscillations of a nonuniform plasma. Phys.
Fluids, 3, 399 A960).
328

Rand S. Damping of the satellite wake in the ionosphere. Phys.
Fluids, 3, 588 A960).
К a r p 1 u s R. Radiation of hydromagnetic waves. Phys. Fluids,
3, 800 A960).
В u с h s b a u m S. et al. Interaction between cold plasmas and
guided electromagnetic waves. Phys. Fluids, 3, 806 A960).
Pappert R. Charge excitation of plasma motion in a magnetic
field. Phys. Fluids, 3, 966 A960).
Dougherty J., Farley D. A theory of incoherent scat-
scattering of radio waves by a plasma. Proc. Roy. Soc, A259, 79
A960); 263, 238 A961).
G r e i f i n g e r P. Induced oscillations in a rarefied plasma in
a magnetic field. Phys. Fluids, 4, 104 A961).
Fried В., Gould R. Longitudinal ion oscillations in a hot
plasma. Phys. Fluids, 4, 139 A961).
Wilhelmsson H. Stationary nonlinear plasma oscillations.
Phys. Fluids, 4, 335 A961).
Rosen P. Generation of the third harmonic by an electromagnetic
signal in a plasma. Phyc. Fluids, 4, 341 A961).
Poeverlein H. Propagation of electromagnetic waves
in a plasma with strong magnetic field. Phys. Fluids, 4, 397
A961).
D a w s о n J. Landau damping. Phys. Fluids, 4, 869 A961).
H о о к e W. et al. Experiments on ion cyclotron waves. Phys.
Fluids, 4, 1131 A961).
Schubert G., Turcotte D. Interaction of low-frequency
electromagnetic waves with a plasma. Phys. Fluids, 4, 1156
A961).
К о g a T. Interaction between a radio wave and a plasma. Phys.
Fluids, 4, 1162 A961).
Weitzner H. Green's function for two-dimensional magne-
tohydrodynamic waves. Phys. Fluids, 4, 1238, 1246 A961).
Platzman P., Buchsbaum S. Effect of collisions on
the Landau damping of plasma oscillations. Phys. Fluids, 4, 1288
A961).
Hayes J. Damping of plasma oscillations in the linear theory.
Phys. Fluids, 4, 1387 A961).
V e r n о n R. Influence of ion motions on nonline plasma oscilla-
oscillations, Phys. Fluids, 4, 1524 A961).
Whitmer R., Barrett E. Non-linear interaction of an
electromagnetic wave with a plasma layer. Phys. Rev., 121,
661 A961); 125, 1478 A962).
Pradhan T. Causality and the dispersion formulas for waves
in a plasma. Ann. Phys. (N. Y\), 17, 418 A962).
W u C. Landau damping and resonant energy absorption. Phys.
Rev., 127, 1419 A962).
Weinberg S. Eikonal method in magnetohydrodynamics. Phys.
Rev., 126, 1899 A962).
Daws on j. One-dimensional plasma model. Phys. Fluids, 5,
445 A962).
Enoch J. Non-linearized theory of transverse plasma oscilla-
oscillations. Phys. Fluids, 5, 467 A962).
12 к. Лонгмайр	329

К о f о i d M. Experimental two-beam excitation of plasma oscil-
oscillations. Phys. Fluids, 5, 712 A962).
Weitzner H. Green's function for the linearized Vlasov equa-
equation. Phys. Fluids, 5, 933 A962).
О b e r m a n C. et al. High-frequency conductivity of a fully ioni-
ionized plasma. Phys. Fluids, 5, 1514 A962).
Z e 1 a z n у R. The general solution of the initial value problem
for longitudinal plasma oscillations. Ann. Phys. (N. Y.), 19,
177 A962); 20, 261 A962).
Bazer J., Hurley J. Geometrical hydromagnetics. J. Geophys.
Res., 68, 147 A963).
Глава 7
Hoffmann F., Teller E. Magneto-hydrodynamic shock
waves. Phys. Rev., 80, 692 A950).
Heifer H. Magnetohydrodynamic shock. Astrophys. J., 117
A953).
Киселев М. И., Цепляев В. И. Наклонные ударные
волны в плазме с конечной проводимостью. (Ж. эксперим. и
теор. физ>\, 34, 1605 A958).
Т i d m a n D. Structure of a shock wave in fully ionized hydrogen.
Phys. Rev., Ill, 1439 A958).
К г о о k M. Structure of shock fronts in ionized gases. Ann. Phys.
(N. Y.), 6, 188 A959).
Parker E. Plasma dynamical determination of shock thickness
in an ionized gas. Astrophys. J., 129, 217 A959).
Bszer J., Ericson W. Hydromagnetic shocks. Astrophys. J.,
129, 758 A959).
Colgate S. Collisionless plasma shock. Phys. Fluids, 2, 485
A959).
Ericson W., Bazer J. Certain properties of hydromagnetic
shocks. Phys. Fluids, 3, 631 A960).
Noerd linger P. Concerining certain collisionless plasma-
shock wave models. Astrophys. J., 133, 1034 A961).
Grei finger C, Cole J. Cylindrical magnetohydrodynamic
shock waves. Phys. Fluids, 4, 527 A961).
Morawets С S. Magnetohydrodynamic shock structure wit-
without collisions. Phys. Fluids, 4, 988 A961); 5, 1447 A962).
A u e r P. et al. Low Mach number magnetic compression waves
in a collisionfree plasma. Phys. Fluids, 4, 1105 A961); 5, 298
A962).
Yoshihara H. Collisionless plasma shock waves. Phys. Fluids,
4, 1361 A961).
Whang Y., Chang C. Structure of a weak shock wave in
a plasma. Phys. Fluids, 5, 228 A962).
Г лав а 8
Pe.rsico E. On the kinetic theory of a hifhly ionized gas. Monthly
Notices Roy. Astron. Soc, 86, 93 A926).
В о h m D., Pines D. A collective description of electron in-
interactions. Phys. Rev., 82, 625 A951); 85, 338 A952).
Parzen P., Goldstein L. Current fluctuations in de gas
discharge plasma. Phys. Rev., 82, 724 A951).
330

G a s i о г о w i с z S. et al. Dynamics of ionized media. Phys.
Rev., 101, 922 A956).
Rosenbluth M. et al. Fokker — Planck equation for inverse-
square force. Phys. Rev., 107, 1 A957).
Green H. Propagation of disturbances at high frequencies in
gases, liquids and plasmas. Phys. Fluids, 2, 31 A959).
Rand S. Electrostatic field about an ion moving slowly in a plasma.
Phys. Fluids, 2, 649 A959).
T с h e n C. Kinetic equation for a plasma with unsteady correla-
correlations. Phys., Rev., 114, 394 A959).
L e n a r d A. On Bogoliubov's kinetic equation for a spatially homo-
homogeneous plasma. Ann. Phys. 10, 390 A960).
Константинов О. В., Пере ль В. И. Столкновения
частиц в высокотемпературной плазме. «Ж- эксперим. и теор.
физ.», 39, 861 A960).
Rostoker N., Rosenbluth M. Test particles in a comp-
completely ionized plasma. Phys. Fluids, 3, 1 A960).
Simon A., Harris E. Kinetic equations for plasma and ra-
radiation. Phys. Fluids, 3, 245 A960).
Taylor J. Electric field correlation and plasma dynamics. Phys.
Fluids, 3, 792 (I960).
Rostoker N. Kinetic equation with a constant magnetic field.
Phys, Fluids, 3, 922 A960).
Jackson J. Electric field distribution in a dense plasma. Phys.
Fluids, 3, 927 A960).
Salpeter E. Electron density fluctuations in a plasma. Phys.
Rev., 120, 1528 A960); 122, 1663 A961).
Бара б-а ненков Ю. Н. Изменения импульсов зарядов,
сталкивающихся в магнитном поле. «Ж- эксперим. и теор.
физ»., 40, 1476 A961).
Ахиезер А. И. и др. К теории флуктуации в плазме
«Ж- эксперим. и теор. физ.», 41, 478 A961).
Fried В., Wyld H. Solution for two-electron correlation
function in plasma. Phys. Rev., 122, 1 A961).
Ron А., К a 1 m a n G. Velocity-dependent correlations in the
statistical distribution of the electric microfield in a plasma
Phys. Rev., 123, 1100 A961).
К a 1 m a n G. Statistical distibution of the magnetic microfield in
a plasma. Phys. Fluids, 4, 300 A961).
D u p г е е Т. Н. Dynamics of ionized gases. Phys. Fluids., 4,
696 A961).
Gartenhaus S. Variational principle for a classical plasma.
Phys. Fluids, 4, 1122 A961).
Ichimaru S. Theory of fluctuations in a plasma. Ann. Phys.
20, 78 A962).
Willis C. Kinetic equation for a classical plasma. Phys. Fluids,
5, 219 A962).
Wolff P. Pair correlation in a plasma. Phys. Fluids, 5, 316
A962).
Guernsey R. Kinetic equation for a completely ionized gas.
Phys. Fluids., 5, 322 A962).
Baldwin D. Close collisions in a plasma. Phys. Fluids., 5, 1523
A962).
12*	331

Глава 9
Landshoff R. Transport phenomena in a completely ionized
gas in presence of a magnetic field. Landshoff R. Phys.
Rev., 76, 904 A949).
Landshoff R. Convergence of Chapman — Enskog method for
a completely ionized gas. Phys. Rev., 82, 442 A951).
Spitzer L., Harm R. Transport phenomena in a completely
ionized gas. Phys. Rev., 89, 977 A953).
M а с D о n a 1 d W. et al. Relaxation of system of particles with
Coulomb interaction's. Phys. Rev., 107, 350 A957).
D r e i с е г Н. Electron and ion run-away in fully ionized gases.
Phys. Rev., 115, 238 A959); 117, 329 A960).
Гуревич А. В. К теории эффекта убегающих электронов.
«Ж. эксперим. и теор. физ.», 39, 1296 A960).
S a k u n t a I a M. et al. Ionic conductivity of highly ionized
plasmas Phys. Rev., 118, 1459 (I960).
Kalman G., Ron A. Interaction of a test particle with a plas-
plasma. Ann. Phys. (N. Y.), 16, 118 A961).
Kranzer H. C. Thermalization of a fast ion in a plasma. Phys.
Fluids, 4, 214 A961).
Simon A. Exact relativistic Fokker — Planck coefficients for
plasma and radiation. Phys. Fluids, 4, 586, 691 A961).
В i n g G., Roberts I. End-losses from mirror machines. Phys.
Fluids, 4, 1039 A961).
F г i s с h H. L. Lime lag in the thermalization of a fast ion in a
plasma. Phys. Fluids, 4, 1167 A961).
Theimen O., Taylor L. The dependence of the plasma
conductivity on frequency and collision time. Ann Phys. (N. Y.),
11, 377 A960).
Цытович В. Н. О потерях энергии заряженных частиц в
плазме. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 42, 803 A962).
Глава 10
Chapman S. The viscosity and thermal conductivity of a comp-
completely ionized gas. Astrophys. J., 120, 151 A954).
Simon A. Diffusion of like particles across magnetic field. Phys.
Rev., 100, 1557 A955).
L о n g m i r e C, Rosenbluth M. Diffusion of charged
particles across a magnetic field. Phys. Rev., 103, 507 A956).
Rosenbluth M., Kaufman A. Plasma diffusion in magne-
magnetic field. Phys. Rev., 109, 1 A958).
Kaufman A. Effect of charge separation on plasma diffusion in
a strong magnetic field. Phys. Fluids, 1, 252 A958).
Hoh F., Lehnert B. Diffusion processes in a plasma column
in a longitudinal magnetic field. Phys. Fluids, 3, 600 A960).
Tonks L. Diffusion through a finite plasma in a uniform magnetic
field. Phys. Fluids, 3, 758 A960).
Spitzer L. Particle diffusion across a magnetic field. Phys.
Fluids, 3, 659 A960).
Kaufman A. Plasma viscosity in a magnetic field. Phys. Fluids,
3, 610 A960).
332

W e t z e 1 L. Electric-field induced anisotropies in inhomogeneous
plasma. Phys. Rev., 123, 722 A961).
M e e г о n E. Transport equations for plasmas in strong external
fields. Phys. Rev., 124, 308 A961).
Taylor J. Diffusion of plasma ions across a magnetic field. Phys.
Fluids, 4, 1142 A961).
Robinson В., Bernstein I. A variatiohal description of
transport phenomena in a plasma. Ann. Phys. 18, 110 A962).
Yoshikama S., Rose D. Anomalous diffusion of a plasma
across a magnetic field. Phys. Fluids, 5, 334 A962).
Глава 11
Lundquist S. On the stability of magneto-hydrostatic fields.
Phys. Rev., 83, 307 A951).
К r u s к a 1 M., Sch.warzschild M. Some instabilities
of a completely ionized plasma. Proc. Roy. Soc. (Lond), A223,
348 A954).
Northrup T. Helmholz instability of a plasma. Phys. Rev.,
103, 1150 A956).
Pierce J., Walker L. Growing electric space charge waves.
Phys. Rev., 104, 306 A956).
Rosenbluth M., Longmire С Stability of plasmas
confined by magnetic fields. Ann. Phys. 1, 120 A957).
С h a'n drasekhar S. The partition of energy in hydromagne-
tic turbulence. Ann. Phys. (N. Y.), 2, 615 A957).
Trehan S. On the stability of force-free magnetic fields. Astrophys
J., 126, 429 A957).
T а у 1 e r R. The influence of an axial magnetic field on the stabi-
stability of a constricted gas discharge. Proc. Phys., Soc, B70, 1C49
A957).
Parker E. Dynamical instability in an anisotropic ionized gas
of low density. Phys. Rev., 109, 1874 A958).
Sturrock P. Kinematics of growing waves. Phys. Rev., 112,
1488 A958); 117, 1426 A960).
Edmonds F. Hydromagnetic stability of a conducting fluid in a
circular magnetic field. Phys. Fluids., 1, 30 A958).
К г u s к a 1 M., Oberman C. Stability of plasma in static
equilibrium Phys. Fluids., 1, 275 A958).
Johnson J. et al. Some stable hydromagnetic equilibria. Phys.
Fluids, 1, 281 A958).
К r u s к a 1 M. et al. Hydromagnetic instability in a stellarator.
Phys. Fluids, 1, 421 A958).
Bernstein I. et al. An energy principle for hydromagnetic sta-
stability problems. Proc. Roy. Soc, A244, 17 A958).
К r u s к a 1 M., Tuck J. The instability of a pinched fluid with
a longitudinal magnetic field. Proc Roy. Soc, A245, 222 A958).
Chandrasekhar S. etal. The stability of trie pinch. Proc
Roy. Soc, A245, 435 A958).
Коврижных Л. М. Об устойчивости полого газового про-
проводника в магнитном поле. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 37,
92 A959).
Кадомцев Б. Б. О конвективной неустойчивости плазмен-
плазменного шнура. «Д. эксперим, и теор. физ.», 37, 1096 A959).
ззз

Ro sen b 1 u t h M., Rostoker N. Theoretical Structure of
plasma equations. Phys. Fluids., 2, 23 A959).
Buneman O. Dissipation of currents in ionized media. Phys.
Rev., 115, 503 A959).
Киценко А. Б., Степанов К. Н. О неустойчивости
плазмы с анизотропным распределением скоростей ионов и
электронов. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 38, 1841 A960).
Сагдеев Р. 3., ШафрановВ. Д. О неустойчивости
плазмы с анизотропным распределением скоростей в магнитном
поле. «Ж- эсперим. и теор. физ.», 39, 181 A960).
Тимофеев А. В. Раскачка ионных звуковых колебаний в ани-
анизотропной плазме. «Ж. эксперим. и теор. физ.», 39, 397 A960).
Алексин В. Ф., Яшин В. И. Исследование устойчивости
плазмы с помощью обобщенного энергетического принципа.
«Ж. эксперим. и теор. физ.», 39, 822 A960).
Newcomb W. Hydromagnetic stability of a diffuse linear pinch.
Ann. Phys. 10, 232 A960).
Kellogg P., L i e m о h n H. Instability of contra-streaming
plasmas. Phys. Fluids, 3, 40 A960).
Bernstein I. et al. Ion wave instabilities. Phys. Fluids, 3,136
A960).
Penrose O. Electrostatic instabilities of a uniform non-Maxwel-
lian plasma. Phys. Fluids, 3, 258 A960).
Jackson E. Drift instabilities in a Maxwellian plasma. Phys.
Fluids, 3, 786 A960).
Rosenbluth M. Long-wavelength beam instability. Phys.
Fluids, 3, 932 A960).
Bernstein I., Kulsrud R. Ion wave instabilities. Phys.
Fluids, 3, 937 A960).
W e i b e 1 E. Dunamic stabilization of a plasma column. Phys.
Fluids, 3, 946 A960).
Furth H. Sufficient conditions for hydromagnetic stability of
a diffuse linear pinch. Phys. Fluids, 3, 977 A960).
Colgate S., Furth H. Stabilization of pinch discharges.
Phys. Fluids, 3, 982 A960).
A x и е з е р А. И. и др. Об условиях устойчивости функции
распределения в плазме. «Ж- эксперим. и теор. физ.», 40, 963
A960).
Neufeld J., Doyle P. Electromagnetic interaction of a beam
of charged particles with plasma. Phys. Rev., 121, 654 A961).
Rostoker N., Ко 1 b A. Fission of a hot plasma. Phys. Rev.,
124, 965 A961).
Gerjuoy E., Rosenbluth M. Pinch with rotating plasma
Phys. Fluids., 4, 112 A961).
К r a 1 1 N., Rosenbluth M. Stability of a slightly inhomo-
geneous plasma. Phys. Fluids, 4, 163 A961).
Newcomb W., Kaufman A. Hydromagnetic stability of
a tubular pinch. Phys. Fluids, 4, 314 A961).
Low F. Persistence of stability in Lagrangian systems. Phys.
Fluids, 4, 842 A961).
Lehnert B. Stability of a plasma boundary in a magnetic
field. Phys. Fluids., 4, 847 A961).
334

Lust R. et al. Hydromagnetic stability of a toroidal gas discharge.
Phys. Fluids, 4, 891 A961).
Frieman E., Pytte A. Electrostatic instabilities in slightly
inhomogenecus plasmas. Phys. Fluids, 4, 1026 A961).
A 1 b a r e s D. et al. Rayleigh — Taylor instability in a stabilized
linear pinchtube Phys. Fluids, 4, 1031 A961).
Bernstein I., Kulsrud R. Stability of a current-carrying
plasma. Phys. Fluids, 4, 1037 A961).
Tidman D. Effect of Coulomb scattering on two-stream insta-
instabilities in a plasma. Phys. Fluids, 4, 1379 A961).
Fowler T. Stability of plasmas against electrostatic perturba-
perturbations. Phys. Fluids, 4, 1393 A961).
Burt P., Harris F. Unstable cyclotron oscillations in a cylind-
cylindrical plasma shell, Phys. Fluids, 4, 1412 A961).
Johnson J., Greene J. Hydromagnetic stability of toroidal
equilibria with an externally imposed rotational transform. Phys.
Fluids, 4, 1417 A961).
Jukes J>^ Stability of the sharp pinch and unpinch with finite
conductivity. Phys. Fluids, 4, 1527 A961).
R о s e n b 1 u t h M. et al. Finite Larmor radius stabilization of
weakly unstable confined plasmas. Proc. Conf. plasma phys.
and contr. Nucl. Fusion. Austria, Salzburg, 1962, p. 143 (Suppl.
to Nucl. Fusion).
Ware A. Harmonics of the Kruskal limit and field diffusion in
toroidal pinch discharge. Phys. Rev., 125, 417 A962).
Neil V. Stability of thin electron layers. Phys. Fluids., 5, 14 A962).
H о h F. Screw instability of plasma column. Phys. Fluids, 5, 22
A962).
Trubnikov B. Dynamical principle of stability for magne-
tohydrostatic systems. Phys. Fluids, 5, 184 A962).
Kulsrud R. On the necessity of the energy principle of Kruskal
and Oberman for stability. Phys. Fluids, 5, 192 A962).
Frieman F. et al. Two-stream instability in finite beams. Phys.
Fluids, 5, 196 A962).
Bernstein I., Kulsrud R. Effect of charge exchange on the
critical current for ion-wave instabilities. Phys. Flunids, 5, 210
A962).
Lehnert • B. Plasma stability in an inhomogeneous magnetic
field. Phys. Fluids, 5, 432 A962).
Lust R. et al. Stability of a plasma torus against disturbances
not dependent on the azimuth. Phys. Fluids, 5, 439 A962).
Johnson J. et al. Hydromagnetic stability of toroidal equilibria.
with an externally imposed rotational transform. Phys. Fluids,
5, 815 A962).
Greene J. et al. Equilibrium and stability of helical hydromagne-
hydromagnetic systems. Phys. Fluids, 5, 1063 A962).
Ichimaru S. Wave properties of a plasma with a doubly humped
velocity distribution. Phys. Fluids, 5, 1264 A962).
К r a 1 1 N., Rosenbluth M. Trapping instabilities in a
slightly inhomogeneous plasma. Phys. Fluids, 5, 1435 A962).
Drummond W., Rosenbluth M. Anomalous diffusion
arising from microinstabjlities in a plasma, Phys, Fluids, 5,
1507 A962),
335

D r e i с е г Н., Mjolsness R. Formation of drift instabili-
instabilities by collisional relaxation of high energy particles. Phys.
Fluids, 5, 1531 A962).
SonnerupB., Laird M. On magnetospheric interchange
instability. J. Geophys. Res., 68, 131 A963).
Scarf F. Plasma instability and the microwave radiation of
Venus. J. Geophys. Res., 68, 141 A963).
Г л а в а 12
Edmonds F. Compton scattering by electrons with a Maxwellian
distribution of thermal velocities. Astrophys. J., 117, 298 A953).
Berger J. Absorption coefficients for free-free transitions in
a hydrogen plasma. Astrophys. J., 124, 550 A956).
Fiel d G. Radiation by plasma oscillations. Astophys. J., 124,
555 A956).
H i 1 t n e r W. Polarization of the crab nebula. Astophys. J., 125,
300 A957).
Трубников Б. А. Излучение плазмы в магнитном поле.
«Докл. АН СССР», 118, 913 A958).
Эйдман В. Я. Излучение электрона, движущегося в магнито-
активной плазме. «Ж. зксперим. и теор. физ»., 34, 131 A958).
Beard D. Cyclotron radiation from magnetically confined plasmas.
Phys. Fluids, 2, 379 A959).
Степанов К. Н., Пахомов В. И. О магнитотормозном
излучении ограниченной плазмы. «Ж- эксперим. и теор. физ.»,
38, 1564 A960).
Drummond W., Rosenbluth M. Cyclotron radiation
from a hot plasma. Phys. Fluids, 3, 45, 491 A960).
Harris E., Simon A. Coherent and incoherent radiation
from a plasma. Phys. Fluids, 3, 255 A960).
Beard D. Relativistic calculation for cyclotron radiation from
hot plasmas Phys. Fluids, 3, 324 A960).
Parker E., Ti'dman D. Radio emission from pasma shocks.
Phys. Fluids, 3, 369 A960).
Wy 1 d H. Radiation by plasma oscillations in a bounded plasma
in a magnetic field. Phys. Fluids, 3, 408 A960).
Rosen P. Scattering of electromagnetic waves by longitudinal
plasma waves. Phys. Fluids, 3, 416 A960).
О s t e r L. Effects of collisions on the cyclotron radiation, Phys.
Rev., 119, 1444 A960); 121, 961 A961).
Browne P. On the origin of radio emission from cosmic gas
clouds. Astrophys. J., 134, 963 A961); 136, 442 A962).
Ford G. Electromagnetic radiation from a source in a plasma.
Ann. Phys. 16, 185 A961).
Bekefi G. et al. Cyclotron emission from plasmas with non-
Maxwellian distributions. Phys. Rev., 122, 1037 A961).
Cohen M. Cerenkov effect in plasma. Phys. Rev., 123, 711 A961).
Bekefi G. et al. Kirchholf's radiation law for plasmas with non-
Maxwellian distributions. Phys. Fluids, 4, 173 A961).
Trubnikov B. Angular distribution of cyclotron radiation
from a hot plasma. Phys. Fluids, 4, 195 A961).
Hirshfield J. etal. Cyclotron radiation from a hot plasma.
Phys. Fluids, 4, 198 A961),
36

Drummond W., R osenb 1 u t h M. Comments on synchro-
synchrotron radiation. Phys. Fluids, 4, 277 A961).
Beard D., Baker J. Comment on the angular dependence of
plasma synchrotron emission. Phys. Fluids, 4, 278 A961).
Beard D., Baker J. Synchrotron radiation from mirror ma-
machine geometries. Phys. Fluids., 4, 611 A961).
T i d m a n D., Weiss G. Radio emission by plasma oscilla-
oscillations in nonuniform plasmas. Phys. Fluids, 4, 703 A961).
Hirshfield J., Brown S. Incoherent microwave radiation
from plasma in magnetic field. Phys. Rev., 122, 719 A961).
Gajewski R., Hirshfield J. Influence of Coulomb inte-
interactions on the cyclotron radiation of electrons woving on a single
orbit. Phys. Fluids., 4, 736 A961).
Hershberger W. Radiation field and О of a resonant cylindri-
cylindrical plasma column. Phys. Fluids, 4, 740 A961).
Tidman D., Weiss G. Radiation by a large-amplitude plasma
oscillation. Phys. Fluids., 4, 866, 1186 A961).
Jukes J. High-frequency tail of cyclotron radiation from a hot
plasma. Phys. Fluids, 4, 1184 A961).
Hirshfield J., Brown S. Reply to comments by J. Jukes.
Phys. Fluids, 4, 1185 A961).
T о r t i a E. Cyclotron radiation from a hot plasma. Phys. Fluids,
4, 1572 A961).
Chang D., Davis L. Synchrotron radiation as the source
of Jupiter's polarized decimeter radiation. Astrophys. J., 136,
567 A962).
T i d m..a n D., В о у d J. Radiation by plasma oscillations inci-
incident on a density discontinuity. Phys. Fluids, 5, 213 A962).
Rosenbluth M., Rostoker N. Scattering of electro-
electromagnetic waves by a nonequilibrium plasma. Phys. Fluids, 5,
776 A962).
Chang D. Bremsstrahlung from a plasma. Phys. Fluids, 5, 1558
A962).
Chang D. Plasma correction to single-particle cyclotron radia-
radiation. Phys. Fluids, 5, 1564 A962).

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому переводу		3
От автора		5
Глава 1. Основные уравнения и законы сохранения . .	7
§1.1. Введение		7
§ 1.2. Некоторые особенности уравнений Максвелла . .	10
§ 1.3. Сохранение импульса		11
§ 1.4. Некоторые примеры использования тензора на-
натяжений .		15
§ 1.5. Общее выражение для дивергенции тензора в ци-
цилиндрических координатах	¦ ,	18-
§ 1.6. Закон сохранения энергии .		19
§ 1.7. Закон сохранения массы		23
§ 1.8. Уравнение Лиувилля		23
§ 1.9. Уравнение Лиувилля с учетом силы Лоренца .	26
§ 1.10. Магнитогидродинамическое приближение ...	30
Глава 2. Метод орбит		35
§ 2.1. Введение		35
§ 2.2. Ларморовские окружности		36
§ 2.3. Магнитный момент и ток намагничения		37
§ 2.4. Влияние постоянного электрического поля ...	40
§ 2.5. Переменное электрическое поле и диэлектриче-
диэлектрическая проницаемость плазмы		41
§ 2.6. Влияние гравитации		45
§ 2.7. Влияние зависимости магнитного поля от времени	45
§ 2.8. Электрический дрейф и движение силовых линий
магнитного поля		46
§ 2.9. Влияние пространственной неоднородности В. .	52
§ 2.10. Пор'ядок величины скоростей дрейфа		58
§ 2.11. Продольный адиабатический инвариант ....	59
Глава 3. Применение метода орбит к статическим задачам	63
§ 3.1. Введение		63
§ 3.2. Случай, когда поле В не зависит от г, а внешние
силы отсутствуют ............. ? ? ..	§4
338

§ 3.3.	Искривленные линии поля В в отсутствие внешних
сил		66
§ 3.4.	Общая статическая задача в отсутствие внешних
сил		68
§ 3.5.	Движение вдоль силовых линий ........	71
§ 3.6.	Система уравнений для общей статической задачи	77
§ 3.7. Теорема вириала		84
§ 3.8. Бессиловые конфигурации		87
Глава 4. Применение метода орбит к динамическим зада-
задачам	 91
§ 4.1. Введение	91
§ 4.2. Плазма в магнитном поле при наличии сил тяго-
тяготения	 . 91
§ 4.3. Общая двухмерная задача для случая, когда си-
силовые линии В прямые	96
§ 4.4. Поляризация плазмы, заключенной между прово-
проводящими плоскостями	 102
§ 4.5. Замечания относительно общей динамической
задачи	109
Глава 5. Точные статические решения	ПО
§ 5.1. Введение	ПО
§ 5.2. Нормальное к границе движение положительных
и отрицательных частиц равной массы . . .	111
§ 5.3. Нормальное к границе движение реальных частиц 114
§ 5.4. Решение задачи о граничном слое с помощью урав-
уравнения Лиувилля		1 IT
§ 5.5. Два упрощающих предположения	120
§ 5.6. Рассмотрение случая нормального к границе дви-
движения частиц с помощью уравнения Лиувилля . . .120
§ 5.7. Задача с изотропным распределением скоростей
в плазме	122
§ 5.8. Метод построения общего решения для плоского
случая	126
§ 5.9. Общее решение для случая осевой симметрии . 127
§ 5.10. Осесимметричная задача для случая частиц рав-
равных масс	128
Глава 6. Волны малой амплитуды в плазме	.131
§ 6.1. Введение	131
§ 6.2. Случай отсутствия магнитного поля ...... 131
§ 6.3. Доказательство законности пренебрежения дей-
действием магнитного поля . , - 	140
339

§ 6.4. Резонанс, или затухание, Ландау		140
§ 6.5. Магнитогидродинамические, или альфвеновские,
волны		144
§ 6.6. Волны произвольной частоты. Вектор к паралле-
параллелен Ввн		150
§ 6.7. Волны произвольной частоты. Вектор к перпен-
перпендикулярен Ввн		155
§ 6.8. Задача с начальными условиями		160
§ 6.9. Косые волны в случае нулевой температуры . .	162
Глава 7. Магнитогидродинамические ударные волны . 164
§ 7.1. Введение	164
§ 7.2. Распространение ударной волны в направлении,
перпендикулярном магнитному полю	166
§ 7.3. Распространение ударной волны в направлении,
параллельном магнитному полю	174
§ 7.4. Структура магнитогидродинамической ударной
волны. Случай слабой ударной волны	178
§ 7.5. Модель полеречной ударной волны	187
Глава 8. Столкновения частиц	 . 193
§ 8.1. Введение	,193
§ 8.2. Флуктуации в нейтральной плазме	193
§ 8.3.	Экранирование электрических зарядов в плазме . 200
§ 8.4.	Дебаевский радиус в неравновесной плазме*. . . 202
§ 8.5. Кулоновское рассеяние	203
§ 8.6. Влияние магнитного поля	 208
§ 8.7. Корреляция частиц	210
Глава 9. Диффузия в пространстве скоростей		212
§ 9.1. Введение .	212
§ 9.2. Уравнение Больцмана		212
§ 9.3. Тепловое равновесие		216
§ 9.4. Обобщение Я-теоремы		224
§ 9.5. Упрощение интеграла столкновений	 , .	225
§ 9.6. Рассеяние направленного пучка		229
§ 9.7. Средняя скорость изменения энергии частиц . . .	231
§ 9.8. Уравнение Фоккера — Планка		239
§ 9.9. Электропроводность плазмы		246
Глава 10. Диффузия в обычном пространстве поперек на-
направления магнитного поля	251
§ 10.1. Введение	251
§ 10.2. Конфигурации, соответствующие тепловому рав-
равновесию 	251
§ 10.3. Отклонение от теплового равновесия .... . , 255
340

§ 10.4. Возмущения, вносимые столкновениями .... 259
§ 10.5. Диффузия частиц	262
§ 10.6. Некоторые решения уравнений диффузии в изо-
изотермическом случае	266
§ 10.7. Баланс давлений и сопротивление плазмы . . . 271
§ 10.8. Теплопроводность 	273
§ 10.9. Квазиравновесный пинч с конечной проводи-
проводимостью 	276
Глава 11. Устойчивость	281
§ 11.1. Введение	281
§ 11.2. Полностью диамагнитная плазма	282
§ 11.3. Неустойчивость плазмы низкого давления . . . 289
§ 11.4. Энергетический метод исследования устойчивости 295
§ 11.5. Устойчивость пинча	303
§ 11.6. Уточнение теории устойчивости	304
§ 11.7. Пучковая неустойчивость	306
Глава 12. Плазма и излучение	309
§ 12.1. Введение	309
§ 12.2. Излучение в плазме при тепловом равновесии . 309
§ 12.3. Неравновесный случай	313
§ 12.4. Тормозное излучение	314
§ 12.5. Циклотронное излучение	319
Литература	 .	•. . . 323

К. Лонгмайр
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ
элементарный курс
Тем. план 1966 г. № 10
Редактор В. Н. Безрукова
Переплет худож. А. С. Александрова
Технический редактор Е. И. Мазель
Корректор 3. А. Авдюшева
Сдано в набор 11/IV 1966 г.
Подписано в печать 31 /VIII 1966 г.
Бумага^ 84x108/32 № 2
Физ. печ. л. 10,75
Уч.-изд. л. 16,56. Прйвед. печ. л. 17,95
Заказ изд. 1359. Тираж 13.500 экз.
Цена 1 руб. 34 коп. Зак. тип 303
Атомиздат, Москва, К-31,
ул. Жданова, 5/7
Московская типография № 4
Главполиграфпрома Комитета
по печати при Совете
Министров СССР
Б. Переяславская, 46

В 1967 г. в АТОМИЗДАТЕ
выходят следующие книги:
ХИЛД М., УОРТОН С. Микроволновая диаг-
диагностика плазмы. Пер. с англ. Атомиздат, 30 п .л.,
5000 экз., 2 р. 30 к., в переплете, IV кв., индекс
2-3-7.
В настоящее время ни одна лаборатория, свя-
связанная с исследованиями плазмы, не обходится
без использования СВЧ для диагностики плазмы,
т. е. определения ее температуры, концентрации
и других параметров.
Монография посвящена изучению радиоволн
СВЧ сантиметрового и миллиметрового диапазо-
диапазонов — важнейшего орудия экспериментального
исследования плазмы. В десяти главах и двух
приложениях книги изложены основы теории рас-
распространения высокочастотных волн в плазме.
Подробно рассмотрены теория волн в холодной
плазме, геометрическая оптика, используемая при
распространении волн в ограниченной и Неодно-
Неоднородной плазме, и ряд других вопросов. Превос-
Превосходно описаны методы активной диагностики и
способы измерения теплового и нетеплового из-
излучения плазмы.
В конце книги приведены описания приборов
и аппаратуры для микроволновых измерений.
Монография иллюстрирована графиками, схемами
и фотографиями экспериментальных установок.
Книга вызовет большой интерес у инженерно-
технических и научных работников-физиков. Она
будет полезна студентам и преподавателям ву-
вузов, интересующимся вопросами диагностики
плазмы.

Вопросы теории плазмы. Вып. 5. Под общей
редакцией акад. М. А. Леонтовича. Атомиздат,
28 п. л., 6000 экз., 1 р. 50 к., в переплете, II кв.,
индекс 2-3-7.
Серия выпусков «Вопросы теории плазмы»,
подготовлена к печати ведущими сотрудниками
Института атомной энергии им. И. В. Курчатова.
Пятый выпуск серии «Вопросы теории плазмы»
содержит несколько работ, посвященных в основ-
основном изложению теории излучения плазмы.
В одной из работ рассматриваются тормозное,
рекомбинационное и линейчатое излучение, уши-
рение спектральных линий, перенос излучения в
плазме, ионизационное равновесие примесей и
смежные вопросы. Другая посвящена изложению
теории циклотронного излучения плазмы в маг-
магнитном поле и его роли в энергетическом балан-
балансе высокотемпературной плазмы. В третьей дает-
дается обзор современного состояния вопроса о точ-
точности сохранения адиабатических инвариантов
при движении заряженных частиц в электромаг-
электромагнитных полях и т. д.
Книга рассчитана на научных работников, ин-
инженеров-физиков, аспирантов и студентов, спе-
специализирующихся по физике плазмы.