Ф.Чен
ШЮ1Ш
физику плазмы
Издательство „Мир

Introduction to Plasma Physics
and Controlled Fusion
Second Edition
Volume 1: Plasma Physics
Francis F. Chen
Electrical Engineering Department
School of Engineering and Applied Science
University of California, Los Angeles
Los Angeles, California
Plenum Press
New York and London

Ф.Чен
в физику плазмы
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук
Е. Н. Кручины
под редакцией
д-ра физ.-мат. наук
В. И. Шевченко
Москва «Мир» 1987

ББК 22.835
443
УДК 533.9
Чен Ф.
443 Введение в физику плазмы: Пер. с англ.— М.: Мир, 1987.—-
398 с, ил.
В книге американского физика Ф. Чена, вышедшей в США вторым изданием,
представлены практически все проблемы современной физики плазмы, начиная
с «классических», таких, как движение отдельных заряженных частиц,
гидродинамическое описание плазмы, теория волновых движений плазмы, и кончая
такими современными вопросами, как ударные волны, плазменное эхо,
параметрические неустойчивости плазмы и др. Книга написана ясным языком, содержит
много рисунков и схем, а также большое число задач. Ее можно использовать в
качестве учебного пособия.
Для студентов, аспирантов, а также в качестве справочного пособия для
специалистов по физике плазмы и работающих в смежных областях физики.
Ч I?°j;yi~7331 65-87, ч. 1 ББК 22.835
Редакция литературы по физике и астрономии
© 1984, Plenum Press, New York
(g) Перевод на русский язык, «Мир», 1987

Предисловие
редактора перевода
Книга написана известным американским специалистом по физике
высокотемпературной плазмы, работы которого в области
диагностики, аномальных явлений переноса, параметрических неустойчи-
востей, физики лазер-плазменного взаимодействия и др. снискали
заслуженное признание. Она представляет собой курс физики
плазмы, который проф. Ф. Чен уже много лет читает в
Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе.
Автор дает достаточно полное изложение основ физики плазмы,
рассматривая при этом не только классические результаты, но и
современные проблемы, которые в настоящее время интенсивно
изучаются. Большим достоинством книги являются ясность и
простота изложения материала, отсутствие утомительных
алгебраических расчетов и вместе с тем достаточная строгость доказательств.
Любой результат автор стремится пояснить «на пальцах»,
использует различные физические аналогии.
Материал, преподносимый в книге, иллюстрируется
многочисленными рисунками и схемами, что дает наглядное представление
о физических принципах, обсуждаемых в тексте. По наглядности,
ясности и простоте подачи материала настоящее издание, пожалуй,
не имеет аналогов среди многочисленной литературы по физике
плазмы.
В первой, вводной главе автор дает определение плазмы,
подробно рассматривает одну из фундаментальных ее характеристик —
дебаевское экранирование вносимых в нее электрических полей —
и приводит условия, при которых ионизованный газ является
плазмой. Здесь же кратко обсуждаются характеристики (плотность и
температура) различных плазм, начиная с плазмы газового
разряда и кончая твердотельной плазмой. Приводится краткая сводка
основных применений плазмы.
Вторая глава посвящена динамике отдельной заряженной
частицы в электрическом и магнитном полях (постоянных и медленно
меняющихся в пространстве и во времени) и приводится таблица
всех возможных дрейфов ведущих центров. Автор вводит понятие

6
Предисловие редактора перевода
об адиабатических инвариантах, обсуждая при этом достаточно
подробно три адиабатических инварианта.
В третьей главе обсуждается гидродинамическое описание
плазмы. Автор приводит полный набор уравнений, описывающих
плазму в двухжидкостном приближении, и рассматривает проблему
плазменного дрейфа в магнитном поле.
Четвертая глава одна из самых больших по объему. Достаточно
подробное рассмотрение распространения электромагнитных волн
в плазме сопровождается приведением схем экспериментов и
наиболее характерных результатов волновых измерений, что делает
стиль изложения живым и интересным. Определенное внимание
уделено диагностике; обсуждаются методы интерферометрии.
Подробно изучаются свисты, волны Альфвена, магнитный звук.
Главу завершает весьма наглядная диаграмма Клеммова — Мул-
лали — Эллиса.
В пятой главе рассматриваются вопросы распада слабоионизо-
ванной плазмы вследствие диффузии. Автор приводит выражения
для коэффициентов диффузии полностью ионизованного газа, а
также обсуждает механизмы аномального переноса (бомовская
диффузия, неоклассическая диффузия).
Значительное место в книге уделено рассмотрению устойчивости
плазмы (гл. 6). В зависимости от типа свободной энергии,
приводящей к неустойчивости, автор разбивает их на четыре категории:
потоковые, неустойчивости Рэлея—Тейлора, универсальные и
кинетические неустойчивости.
Весьма интересным представляется изложение вопросов бес-
столкновительного поглощения волн в плазме (гл. 7). Автор
подробно рассматривает физические механизмы такого затухания и
приводит наиболее важные экспериментальные результаты.
Заключительная восьмая глава посвящена нелинейным
эффектам в плазме. На примере ионно-звуковых колебаний приводятся
различные нелинейные решения (солитоны, ударные волны).
Большое внимание автор уделяет актуальной проблеме
приповерхностных слоев, а также зондовым измерениям. Описываются
нелинейные эффекты в связи с различного рода параметрическими неустой-
чивостями. Глава завершается рассмотрением двух нелинейных
уравнений, играющих важную роль в современной физике плазмы,
а именно уравнения Кортевега—де Вриза и нелинейного
уравнения Шредингера.
В конце книги помещен ряд приложений, которые принесут
несомненную пользу как справочный материал, а преподавателям
физики помогут в подготовке экзаменационных вопросов для
студентов.
Мы надеемся, что книга в целом будет весьма интересна и
полезна как студентам и преподавателям университетов и
технических вузов, так и специалистам, имеющим дело с плазмой.
В. И. Шевченко

Поэту и вечной студентке . . .
М. Конрад Чен
Эвелин Чен
Предисловие
ко второму изданию
За девять лет, которые прошли с тех пор, как эта книга была
написана, научные достижения в области ядерного синтеза,
космической физики и нелинейной теории плазмы шагнули далеко вперед.
В то же время проблема истощения энергетических запасов, с
одной стороны, и исследования Юпитера и Сатурна, с другой,
привели к осознанию в широких масштабах того, сколь важную роль
играет физика плазмы в производстве энергии и в понимании нашего
космического окружения.
За этот период в области магнитного удержания плазмы для
термоядерного синтеза на токамаках Алкатор в Массачусетском
технологическом институте было достигнуто лоусоновское число
гаЕ = 2-1013 см~3-с, на токамаке PLT Принстонской лаборатории
был осуществлен нагрев плазмы с помощью нейтрального пучка
до KTi = 6,5 кэВ, увеличено среднее значение |3 до 3—5 % на
токамаках Ок-Риджской лаборатории и фирмы «Дженерал Атомик»,
в Ливерморской лаборатории получена стабилизация
удерживаемой магнитными ловушками плазмы на установке 2X1 IB,
осуществлена инжекция ионного тока почти в условиях обращенного поля.
Благодаря изобретению сдвоенного зеркала в области магнитного
удержания достигнуты впечатляющие успехи. Предложены новые
конструкции, такие, как компактные торы, установки
поверхностного поля и ЕВТ — гибрид тора с магнитными ловушками.
Возрождены некоторые старые принципы удержания плазмы,
например, в стеллараторе или с помощью пинча в обращенном поле.
Новой яркой звездой вспыхнула идея о радиочастотном нагреве,
обещающем генерацию постоянного тока. Может быть, самое
важное — это то, что мы существенно продвинулись в понимании
МГД-поведения плазмы тороидальной конфигурации: тиринг-мод,
магнитных островов и разрывов. Вместе с тем впервые привлекли
пристальное внимание проблемы конструирования реакторов,
технологии синтеза, а также гибридных установок, использующих
синтез и расщепление ядер.
Вышел из младенческого возраста управляемый термоядерный
синтез с инерционным удержанием; сейчас на него направлена
примерно одна четверть исследовательских усилий, приходящихся на

8
Предисловие ко второму изданию
долю магнитного удержания. В Ливерморской лаборатории на
лазерной установке «Шива» мощностью 25 ТВт при направленном
взрыве одной крупинки горючего получено 3-1010 термоядерных
нейтронов, достигнуто сжатие горючего до плотности, в сотню раз
превышающей плотность жидкого водорода. Пристальное
внимание привлекли нелинейные плазменные процессы при
взаимодействии лазерного излучения с веществом. Мы также находимся на
пути к пониманию таких важных процессов, как резонансное
поглощение, вынужденное рамановское и бриллюэновское рассеяние
и спонтанное возбуждение магнитного поля. В качестве
возможной альтернативы лазерам предложено использование ускоренных
частиц, а именно электронных пучков, пучков легких или тяжелых
ионов, что привело к целому ряду новых проблем в физике плазмы.
В физике космической плазмы мы имеем четко разработанное
представление о магнитосфере, которое подтверждается
наблюдением вистлеров в магнитосфере Юпитера, предсказанных
соответствующей теорией. Теперь хорошо известна структура солнечной
короны и объяснена ее связь с магнитными полями в солнечных
пятнах и с образованием солнечного ветра. В удовлетворительном
состоянии находится теория полярных сияний.
Все возрастающий интерес к термоядерному синтезу привел
к тому, что гл. 9 первого издания вылилась в отдельную
обстоятельную книгу по физике термоядерного синтеза и будет
опубликована в виде второго тома х). Его содержание основано на конспекте
моих лекций по магнитному удержанию плазмы для студентов
старших курсов. При написании книги я заменил утомительные
математические расчеты на короткие выкладки, основанные на
физической картине поведения плазмы. Решение последней задачи и
привело к тому, что выпуск второго издания был задержан почти на
три года.
В том 1 включены первые восемь глав первого издания книги.
Он сохранил первоначальную простоту, но был исправлен и
дополнен. Устранено несколько мелких ошибок, обнаруженных
студентами и преподавателями. В ответ на их просьбы система единиц
была с неохотой заменена на СИ (МКС). Приношу извинения
физикам моего поколения; утешайтесь мыслью, что первое издание
книги стало библиографической редкостью.
В настоящий том помещен вывод тензора диэлектрической
проницаемости для холодной плазмы; чтобы не усложнять и без того
длинную и трудную для начинающего главу, данный вывод
приводится в приложении Б, которое можно использовать как готовый
справочный материал. Излагаемая в соответствующей главе
кинетическая теория дополнена изучением вопросов, связанных с
затуханием Ландау звуковых волн, дисперсионной функцией плазмы
1) В переводе на русский язык книга выходит в одном томе,
посвященном физике плазмы. — Прим. ред.

Предисловие ко второму изданию
9
и волнами Бернштейна. Глава, посвященная нелинейным явлениям,
в новом издании включает рассмотрение солитонов в рамках
уравнения Кортевега—де Вриза и нелинейного уравнения Шредингера.
Материал здесь излагается более подробно, чем в остальной части
первого тома, что сделано специально для того, чтобы разжечь
интерес у более подготовленных студентов. Здесь заслуживают
признания полезные советы, которые мне дали Дж. Моралес и К. Ни-
шикава.
Специально для преподавателей в книгу добавлены новые
задачи, предлагавшиеся на экзаменах последнего десятилетия, и
приведены решения задач, помещенных в первом издании. В
приложении В приводится пример трехчасового заключительного экзамена
для старшекурсников. Ответы к задачам проверял Дэвид Брауер;
если там есть ошибки, то это его ошибки, а не мои.
Наконец, о помещенном мною в начале книги загадочном
посвящении. Дело в том, что у меня есть хорошие и плохие новости.
Плохие новости — это то, что поэт (мой отец) отправился в страну
вечной песни. Хорошие новости — вечная студентка (моя мать)
достигла наконец своей цели, получив степень доктора философии,
когда ей исполнилось 72 года. Поистине процесс познания
бесконечен.
Лос-Анджелес, 1983
Франсис Ф. Чен

Предисловие
к первому изданию
Эта книга выросла из конспекта лекций по физике плазмы, которые
в течение ряда лет читались старшекурсникам Калифорнийского
университета в Лос-Анджелесе. При нынешнем росте интереса
к управляемому термоядерному синтезу и широком применении
физики плазмы в космических исследованиях и в релятивистской
астрофизике имеет смысл сделать изучение плазмы на старших
курсах частью основного учебного процесса наряду с такими
предметами, как термодинамика или квантовая механика. Хотя вначале
целью этой книги было удовлетворение потребностей в учебнике,
в котором материал излагался бы в форме, доступной для
студентов как старших, так и младших курсов, я надеюсь, что с помощью
этой книги и ученые других специальностей, скажем, имеющие
дело с физикой твердого тела или лазерной физикой, смогут без
особого труда познакомиться с плазмой.
Здесь я следовал двум основным принципам: не оставлять
алгебраических выкладок в качестве упражнений для читателя и не
позволять алгебраическим преобразованиям затемнять физику.
Удовлетворить этим двум противоречивым целям стало возможным
благодаря рассмотрению плазмы в виде двух взаимопроникающих
жидкостей. Двухжидкостную модель легче понять, и она
оказывается более точной, чем одножидкостное приближение, по крайней
мере для процессов, протекающих в плазме низкой плотности.
Первые главы не требуют от студента особой подготовки, однако
последние соответствуют его возросшему опыту. За учебную
четверть, состоящую из девяти или десяти недель, можно изучить
первые шесть с половиной глав. Материал этих глав прошел
тщательный отбор и содержит только то, что действительно существенно.
Последние две с половиной главы можно использовать в
семестровом курсе для дополнительной работы. Значительные усилия
автора были направлены на то, чтобы сделать более понятным
затухание Ландау. Объяснение, даваемое в этой книге, не предполагает
знания контурного интегрирования. За помощь в упрощении
физической картины затухания Ландау, которую сформулировал
Джон Даусон, я многим обязан Тому О'Нейлу и Джорджу
Шмидту.

Предисловие к первому изданию
11
Некоторые читатели будут испытывать неудобства из-за того,
что в книге используется электростатическая система СГС.
Естественно, аргументировать выбор системы единиц бессмысленно;
каждый квалифицированный физик с помощью ораторского искусства
и безупречной логики будет защищать свою любимую систему.
Используемая здесь система единиц объясняется в приложении 1.
Она была выбрана потому, что позволяет избежать ненужного
выписывания постоянных с, |Л0 и е0, а также потому, что согласуется
с большинством научных статей по физике плазмы.
Я хотел бы поблагодарить г-жу Лайзу Тартар и г-жу Бетти Рей
Браун, которые проявили большую интуицию, расшифровывая
мой почерк, г-на Тима Ламберта за аналогичное понимание при
подготовке рисунков, а более всего Анди Чен за то, что она
смирилась со многими вечерами, проведенными в одиночестве.
Лос-Анджелес, 1974
Франсис Ф. Чен

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Распространенность плазмы в природе
Нередко можно слышать, что 99 % вещества во Вселенной
находится в состоянии плазмы, т. е. в виде ионизованного газа, в
котором атомы диссоциированы на положительные ионы и
отрицательные электроны. Эта оценка, возможно, и не является точной, но
она, конечно, вполне обоснованна, если учесть тот факт, что звезды
и их атмосферы, газовые туманности и значительная часть
межзвездного газа представляют собой плазму. Что касается
непосредственного окружения нашей Земли, то, как только мы выходим за
пределы земной атмосферы, мы сталкиваемся с плазмой
радиационных поясов и солнечного ветра. Однако в повседневной жизни
наши встречи с плазмой ограничиваются всего лишь несколькими
примерами: вспышка молнии, мягкое свечение северного сияния,
проводящий газ внутри флуоресцентной трубки или неоновой
рекламы и слабоионизованная плазма ракетных факелов. По-видимому,
мы живем в той части Вселенной, составляющей один процент ее,
где плазма естественным путем не возникает.
Причину этого можно понять с помощью уравнения Саха,
которое позволяет вычислить степень ионизации газа, находящегося
в тепловом равновесии:
-^«2,4.1021 — е~и'1КТ. A.1)
Пп ГЦ
Здесь п-х и пп — плотность (число в 1 м3) ионизованных и
нейтральных атомов соответственно, Т — температура газа в Кельвинах,
К — постоянная Больцмана, V\ — энергия ионизации газа, т. е.
количество энергии, необходимое для удаления электрона с
внешней электронной оболочки атома. (В этой книге мы будем
использовать систему единиц измерения СИ.) В обычной воздушной среде
при комнатной температуре можно принять, что пп « 3-1025 м-*
(см. задачу 1.1), Т « 300 К и Ut= 14,5 эВ (для азота); 1 эВ =
= 1,6- Ю-9 Дж. Относительная ионизация, определяемая
уравнением A.1), ничтожно мала:
-^-«slO-122.
пп

1.1. Распространенность плазмы в природе
13
С ростом температуры степень ионизации остается низкой, до
тех пор пока КТ не станет всего лишь в несколько раз меньше Ut.
После этого П{/пп резко возрастает и газ переходит в плазменное
состояние. При дальнейшем возрастании температуры плотность
нейтралов пп становится меньше «t- и плазма в конечном счете
оказывается полностью ионизованной. Именно поэтому плазма
существует в астрономических телах с температурой в миллионы
градусов и отсутствует на Земле. Вряд ли можно представить себе
спокойное сосуществование биологической жизни и плазмы, по
крайней мере той плазмы, о которой идет речь в данной книге. Вот
почему плазма, естественным образом существующая при высоких
температурах, называется «четвертым состоянием вещества».
Мы не собираемся подробно изучать уравнение Саха, однако
необходимо пояснить его физический смысл. В газе атомы имеют
разброс по тепловым энергиям, и вследствие соударений между
ними может произойти ионизация атома в том случае, когда он
испытывает столкновение со скоростью, достаточной для выбивания
из него электрона. В холодном газе такие энергичные
столкновения встречаются редко, поскольку для этого атом серией
«благоприятных» столкновений нужно ускорить до энергий, во много
раз превышающих среднюю энергию. Экспоненциальный
множитель в уравнении A.1) отражает тот факт, что число быстрых
атомов экспоненциально уменьшается с увеличением отношения UtlKT.
Если атом стал ионизованным, то это его состояние сохраняется
до тех пор, пока он не столкнется с электроном; при этом весьма
вероятно, что произойдет рекомбинация с электроном и атом снова
станет нейтральным. Скорость рекомбинации, очевидно, зависит
от плотности электронов, которую можно принять равной
плотности ионов ni. Следовательно, равновесная плотность ионов должна
уменьшаться с ростом пс именно поэтому в правой части
уравнения A.1) возникает множитель п~х. Плазма в межзвездной среде
обязана своим существованием малому значению rtt- (~ 1 см~3)
и, следовательно, низкой скорости рекомбинации.
1.2. Определение плазмы
Разумеется, не всякий ионизованный газ можно называть плазмой:
какой бы газ мы ни взяли, в любом случае он имеет некоторую
небольшую степень ионизации. Удовлетворительным определением
плазмы является следующее:
Плазма — это квазинейтральный газ заряженных и
нейтральных частиц, который проявляет коллективные свойства.
Понятия «квазинейтральный» и «коллективные свойства»
требуют разъяснения. Что такое квазинейтральность, мы покажем
в разд. 1.4. Понятие «коллективные свойства» поясним на
следующем примере.

14
Гл. 1. Введение
Рис. 1.1. Иллюстрация дальнодействующих электромагнитных сил в плазме-
Рассмотрим силы, действующие на молекулу, скажем, в
обычном воздухе. Поскольку молекула нейтральна, на нее не действует
электромагнитная сила, а сила тяжести пренебрежимо мала.
Молекула движется свободно до тех пор, пока она не испытает
столкновение с другой молекулой; следовательно, движение частицы
в воздухе определяется этими столкновениями. Действие
макроскопической силы, приложенной к нейтральному газу, например
от громкоговорителя, генерирующего звуковые волны, передается
отдельным атомам благодаря столкновениям. В случае же плазмы,
которая содержит заряженные частицы, ситуация становится
совсем иной. Во время движения заряженные частицы изменяют
локальные концентрации положительного и отрицательного зарядов,
что приводит к возникновению электрических полей. С движением
зарядов связаны также токи и, следовательно, магнитные поля.
Эти поля на больших расстояниях могут влиять на движение
других заряженных частиц.
Каково же влияние, которое оказывают друг на друга две слабо
заряженные области плазмы А и В, находящиеся на расстоянии
г друг от друга (рис. 1.1)? Сила кулоновского взаимодействия
убывает с г как 1/г2. Однако при данном телесном угле (т. е. при Аг/г =
= const) объем плазмы в области В, который может воздействовать
на область А, увеличивается с г как г3. Следовательно, элементы
плазмы действуют друг на друга с силой, которая проявляется
даже на больших расстояниях. Именно эта дальнодействующая ку-
лоновская сила приводит к огромному разнообразию возможных
движений плазмы и делает столь богатой область исследований,
называемую физикой плазмы. Действительно, наиболее
интересные результаты относятся к так называемой бесстолкновительной
плазме, в которой дальнодействующие электромагнитные силы

1.3. Понятие температуры
15
настолько больше сил, обусловленных обычными локальными
столкновениями, что последними можно полностью пренебречь.
Таким образом, понятие «коллективные свойства» означает, что
в плазме движение частиц определяется не только локальными
условиями, но и ее состоянием в удаленных областях.
По-видимому, сам термин «плазма» выбран по ошибке. Это
название происходит от греческого TtX<xG\ia,— ато£, то, что означает
нечто сформированное или вылепленное. Однако плазма, напротив,
из-за коллективного поведения составляющих ее частиц не
стремится подчиняться внешним воздействиям, скорее наоборот, во
многих случаях она ведет себя так, как будто сама наделена
разумом.
1.3. Понятие температуры
Прежде всего полезно рассмотреть и обобщить наши физические
представления о температуре. Газ в тепловом равновесии состоит
из частиц, которые имеют всевозможные скорости, и наиболее ве-
Пи)
О и
Рис. 1.2. Максвелловская функция распределения по скоростям.
роятным распределением по этим скоростям является максвеллов-
ское. Для простоты рассмотрим газ, в котором частицы могут
совершать только одномерное движение. (Этот пример не является чисто
надуманным; в частности, электроны в сильном магнитном поле
могут двигаться только вдоль магнитных силовых линий.)
Одномерная максвелловская функция распределения имеет вид
/ (и) = Л ехр (— A/2) тиУКТ), A.2)
где f du — число частиц в единице объема A м3), скорости которых
лежат в интервале и -±- и + du; mu2/2 — кинетическая энергия,
а К — постоянная Больцмана (= 1,38-10~23 Дж/К). Плотность п,

16
Гл. 1. Введение
т. е. число частиц в одном кубическом метре, дается выражением
(см. рис. 1.2)
-{-оо
п= \ [ (и) du. A.3)
—оо
Постоянная А связана с плотностью п соотношением (см.
задачу 1.2)
А = п(т/2лКТI2. A.4)
Ширина распределения по скоростям определяется величиной Т,
которую мы называем температурой. Чтобы понять точный смысл
этой величины, вычислим среднюю кинетическую энергию частиц
с такой функцией распределения:
£ср
= J — mu2f(u)du\[ J f(u)du). (L5)
Вводя обозначения
vTem = BKT/m)i2, y = ulvT№nt A.6)
функцию A.2) можно записать в виде
J (и) = А ехр ( — м2Л4пл) •
При этом выражение A.5) принимает вид
-{-оо
A/2) mAv^ f {exp(-y2)]y2dy
tL со —
-{-оо
Лотепл J' ехр ( — у2) dy
—оо
В числителе интеграл берется по частям:
-J-OO
f у [zxp(-y*)}ydy= {-(l/2)[exp(-^)]^-
—оо
-{-оо -{-оо
- J (— 1/2)ехр( —^)di/ = A/2) \ exV(~y*)dy.
—оо —оо
Сокращая интегралы, имеем
A/2) mAv* A/2) i
Еср=-— тешП =-LKT. A.7)
■"итепл 2
Таким образом, средняя кинетическая энергия равна КТ/2.
Полученный нами результат нетрудно обобщить на трехмерный
случай. При этом максвелловская функция распределения
запишется в виде
f(u, v, w)= Л3ехр[(— 1/2)т(«2 + и2 + ш2)АКГ], A-8)

1.3. Понятие температуры
17
где
A^n{ml2nKTfi2- A.9)
Средняя кинетическая энергия определяется выражением
"Т"°°
Еср = jjj Л3 A/2) т («2 + у2 + о>2) ехр [ - A/2) т (и2 + и2 + w*)IKT] X
— оо
-J-00
X dudvdwl[\\ Л3ехр[ — A/2) т (и2 + w8 + w2)/KT] du dv dw.
—оо
Следует заметить, что благодаря изотропности максвелловского
распределения последнее выражение является симметричным
относительно и, v я w. Таким образом, в числителе все три слагаемых
равны друг другу. Для получения ответа достаточно вычислить
только первый член и умножить его на три:
£СР = ЗЛ3 S A/2) ти* ехр [ — A/2) ти*/КТ] du $$ ехр [( — 1/2) m (v* + w2)/KT] x
X dv dw/{A3 S exp [ — A/2) mu?/KT] du $J exp [ — A/2) m (v2 -f- w2)/KT] dv dw].
Используя предыдущий результат, имеем
Ecp=±KT. A.10)
Общий результат состоит в том, что средняя энергия Еср,
приходящаяся на одну степень свободы, равна /С772.
Поскольку величины Т и Еср столь тесно взаимосвязаны, в
физике плазмы принято измерять температуру в единицах энергии.
Чтобы избежать путаницы из-за зависимости Еср от размерности
задачи, для определения температуры используется не Еср, а
энергия, соответствующая КТ. Если КТ = 1 эВ — 1,6- Ю-19 Дж, то
1 fi-10-19
Г= 'ь =11600.
1,38-10~23
Таким образом,
1 эВ = 11 600 К. A.11)
Под плазмой с температурой 2 эВ мы понимаем такую плазму, у
которой КТ — 2 эВ, а в трех измерениях Еср = 3 эВ.
Интересно отметить, что плазма в одно и то же время может
характеризоваться несколькими температурами. Это имеет место
в тех случаях, когда ионы и электроны характеризуются
собственными максвелловскими распределениями с различными
температурами Тi и Те. Такая ситуация может возникнуть вследствие того,
что частоты столкновений ионов с ионами или электронов с
электронами больше частоты электрон-ионных столкновений. При этом
каждая компонента сама по себе может находиться в тепловом
равновесии, но плазма в целом не будет равновесной в течение
достаточно долгого времени, необходимого для выравнивания двух тем-

18
Гл. 1. Введение
ператур. При наличии магнитного поля даже одна компонента,
например ионная, может иметь две температуры. Это объясняется
тем, что силы, действующие на ионы в направлении поля В,
отличаются от сил, действующих в поперечном направлении (сил
Лоренца). В таком случае распределения по скоростям,
перпендикулярным В и параллельным В, могут описываться различными макс-
велловскими функциями — одна из них с температурой Тх, а другая
с температурой Гц.
Прежде чем закончить наше знакомство с понятием
температуры, необходимо рассеять достаточно распространенное
недоразумение, что высокая температура непременно связана с большим
количеством тепла. Многие обычно поражаются, узнав, что
температура электронов внутри лампы дневного света равна примерно
20 000 К: «По-моему, она не кажется столь горячей!» Конечно,
нужно учитывать и теплоемкость. Дело в том, что плотность
электронов внутри лампы дневного света гораздо меньше плотности
газа при атмосферном давлении, и полное количество энергии,
передаваемой стенке при столкновениях с ней тепловых электронов,
не так велико. Каждому случалось ронять на ладонь сигаретный
пепел, не ощущая при этом боли. Хотя температура пепла достаточно
высока, чтобы вызвать ожог, полное количество тепла невелико.
Во многих лабораторных устройствах плазма имеет температуру
порядка 1 000 000 К A00 эВ), но при плотностях 1018—1019 м~3
стенки не испытывают значительного нагрева.
Задачи
1.1. Вычислите плотность идеального газа (в единицах м~3) при следующих
условиях:
а) При температуре 0 °С и давлении 760 мм рт. ст. Эта величина называется
числом Лошмидта.
б) При комнатной температуре B0 °С) и давлении Ю-3 мм рт. ст.
Экспериментатору полезно запомнить это число.
1.2. Найдите постоянную А для одномерной функции распределения
Максвелла
f(u) = А ехр ( — tnuV2KT),
нормированной следующим образом:
-J-oo
j f(u)du = l.
1.4. Дебаевское экранирование
Фундаментальной особенностью поведения плазмы является ее
способность экранировать действующие на нее электрические поля.
Предположим, что мы попытались создать электрическое поле
внутри плазмы, поместив в нее два заряженных шарика, соединен-

1.4. Дебаевское экранирование
19
ные с электрический батарейкой (рис. 1.3). Шарики будут
притягивать частицы противоположного заряда, и почти сразу
отрицательно заряженный шарик будет окружен облаком ионов, а
положительно заряженный — облаком электронов. (Мы предполагаем,
что слой диэлектрика не позволяет плазме рекомбинировать на
поверхности шарика или что емкость электрической батареи
достаточно велика, чтобы поддерживать постоянной разность
потенциалов.) Если плазма холодная и тепловое движение в ней
отсутствует, то в облаке должно быть столько же зарядов, сколько и на
Рис. 1.3. Дебаевское экранирование. Рис. 1.4. Распределение потенциала
вблизи сетки, помещенной в плазме.
шарике; при этом имеет место полное экранирование и вне облака
электрическое поле в плазме равно нулю. Если же температура
плазмы конечная, то частицы, которые находятся на краях облака,
где электрическое поле слабое, имеют достаточно большую
тепловую энергию и могут покинуть электростатическую
потенциальную яму. Таким образом, «граница» облака расположена на таком
расстоянии от центра, на котором потенциальная энергия примерно
равна тепловой энергии частиц КТ, и в этом случае экранирование
не является полным. Потенциалы порядка КТ/е могут проникать
в плазму и создавать в ней конечные электрические поля.
Вычислим приближенно толщину такого заряженного облака.
Пусть в плоскости х = 0 расположена полностью прозрачная
сетка, находящаяся под потенциалом ф ~ ф0 (рис. 1.4). Нам нужно
найти распределение потенциала ф (х). Для простоты предположим,
что отношение масс иона и электрона Mlm бесконечно велико;
иными словами, ионы неподвижны и создают однородный фон
положительного заряда. Точнее говоря, отношение Mlm достаточно
велико, так что за счет своей инерции ионы не могут существенно
изменить своего положения за характерное время эксперимента.
Запишем уравнение Пуассона для одномерного случая:
8оУЧ = е0(^/^=—е(я, —яв), (Z=l). A.12)
Если плотность плазмы вдали от сетки равна Яоо, то ni=nx. При

20
Гл. 1. Введение
наличии потенциальной энергии q<j> функция распределения
электронов имеет вид
/(«)= А ехр [ _^-Lm«2 + ^ KT^ .
Мы не будем здесь терять время на то, чтобы доказывать это
выражение. Физический смысл данного распределения интуитивно
понятен: там, где потенциальная энергия велика, частиц меньше,
поскольку не все частицы имеют достаточную энергию, чтобы
проникнуть в такую область. Интегрируя / (и) по и, полагая q = — е
и замечая, что пе (ф ->• 0) = Поо, находим
пе — Поо ехр (еф/КТе).
В разд. 3.5 мы получим это выражение, основываясь на более
физическом представлении. Подставляя в уравнение Пуассона A.12)
вместо Hi величину Поо, а вместо пе последнее выражение, имеем
80 (d^ldx*) i= erioc [ехр\(еф/КТе) — 1].
В области, где \еф1КТе\ <^ 1, экспоненту можно разложить в ряд
Тейлора:
е0№фШ*) = еПоо[(еф/КТе) +A/2) (еф/КТеУ+ . % . ]. A.13)
Такое упрощение невозможно для области вблизи сетки, где
величина \еф/КТе\ может быть очень большой. К счастью, эта область
не дает значительного вклада в толщину облака (называемого
также слоем), поскольку в ней потенциал очень быстро уменьшается.
Удерживая в уравнении A.13) только линейные члены, имеем
80 ^фШ*) = (ПосеЧКТе) ф. A.14)
Определим следующую величину:
ADEEE(80/(Te/^2I2, A.15)
где мы обозначили «<х> через п. Тогда решение уравнения A.14)
можно записать в виде
*=А,ехр(—|*|A-d). 0-16)
Величина ad, называемая дебаевской длиной, является
характерным масштабом экранирования или толщины слоя.
Заметим, что с увеличением плотности величина ad уменьшается,
поскольку теперь каждый слой плазмы будет содержать больше
электронов и экранировка будет более эффективной. Кроме того,
ad увеличивается с ростом КТе. В отсутствие теплового движения
облако зарядов сжалось бы в бесконечно тонкий слой. Наконец,
надо отметить, что при определении дебаевской длины используется
именно электронная температура, поскольку экранирование
осуществляется главным образом электронами, которые, будучи более

1.5. Плазменный параметр
21
подвижными, смещаются таким образом, чтобы образовать избыток
или дефицит отрицательного заряда. Лишь в некоторых частных
случаях это происходит иным образом (см. задачу 1.5).
Полезно запомнить следующие записи выражения A.15):
Яв = 7430(/G7/гI2 м. ( '
Здесь в первом выражении температура Т измеряется в Кельвинах,
а во втором выражении величина КТ измеряется в
электрон-вольтах.
Теперь можно дать определение «квазинейтральности». Если
размеры системы L намного больше, чем A,D, то возникающие в ней
локальные концентрации зарядов или вносимые в систему внешние
потенциалы экранируются на расстояниях, малых по сравнению
с L, так что основной объем плазмы не содержит значительных
электрических потенциалов или полей. Вне слоя на стенке или на
каком-либо препятствии величина \72ф очень мала и с точностью
выше Ю-6 плотность ионов tit равна плотности электронов пе. Для
создания потенциалов порядка КТ/е требуется только
незначительный зарядовый разбаланс. Плазма является «квазинейтральной»;
иными словами, она достаточно нейтральна в том смысле, что можно
положить П{ ях пе ж п (где п — общая плотность, называемая
плотностью плазмы), но не настолько нейтральна, чтобы исчезли
абсолютно все электромагнитные силы.
Ионизованный газ является плазмой только тогда, когда его
плотность достаточно велика, т. е. Яв много меньше L.
Явление дебаевского экранирования возникает также (в
модифицированном виде) в однокомпонентных системах, таких, как
электронные потоки в клистронах и магнетронах или протонные пучки
в циклотроне. В этих случаях любая локальная группировка
частиц приводит к возникновению значительного неэкранированного
электрического поля, если только плотность частиц не является
очень низкой (что часто встречается на практике). Потенциал,
приложенный к такой системе извне, например от проволочного зонда,
будет экранироваться из-за перераспределения плотности вблизи
электрода. Заряженная плазма, т. е. система, состоящая из частиц
одного сорта, не является плазмой в точном смысле этого слова,
но для изучения таких систем можно применять математический
аппарат физики плазмы.
1.5, Плазменный параметр
Дебаевское экранирование, которое мы рассмотрели выше, имеет
место только в том случае, когда в заряженном облаке находится
достаточно много частиц. Очевидно, если слой состоит только из-

22
Гл. 1. Введение
одной или двух частиц, то дебаевское экранирование нельзя считать
статистически правильным понятием.
Используя выражения A.17), можно вычислить число частиц Л/в
в «дебаевской сфере»:
NB = n — яА,о=1,38.106Г32/я12. A.18)
О
Здесь температура измеряется в Кельвинах. Для того чтобы плазма
имела «коллективные свойства», помимо неравенства ?uD<^ L должно
выполняться условие
ЛЪ»1- A-19)
1.6. Критерии существования плазмы
Выше мы привели два условия, которым должен удовлетворять
ионизованный газ, чтобы его можно было считать плазмой. Третье
условие связано со столкновениями. Слабоионизованный газ,
например в струе реактивного двигателя, не может считаться
плазмой, поскольку заряженные частицы сталкиваются с нейтральными
атомами столь часто, что их движение определяется обычными
гидродинамическими, а не электромагнитными силами. Если со —
характерная частота плазменных колебаний, а т — среднее время
между столкновениями с нейтральными атомами, то, для того чтобы
ионизованный газ обладал свойствами плазмы, а не обычного газа,
должно выполняться условие сот >1.
Таким образом, плазма должна удовлетворять следующим трем
условиям:
1) A,D«L; 2) ND))) 1; 3) сот >1.
Задачи
1.3. Нарисуйте линии A,d= const и ,/Vd= const в системе координат пе
и КТе, считая, что масштаб для обеих осей логарифмический, плотность пе
изменяется от 106 до 1025 м-3, а температура КТе — от 0,01 до 105 эВ.
Отметьте на этом графике следующие точки (пе в м~3, КТе в эВ), типичные для
различных видов плазмы:
1) плазма термоядерного реактора (пе — 1021, КТе = 10 000);
2) плазма в типичных экспериментах по управляемому термоядерному
синтезу [пе — Ю19, КТе = 100 (тороидальная ловушка), пе = 1023, КТе =
= 1000 (пинч)];
3) ионосфера (пе = 1011, КТе = 0,05);
4) тлеющий разряд (пе = 1015, КТе = 2);
5) пламя (пе = Ю14, КТе = 0,1);
6) цезиевая плазма (пе = Ю17, К.Те — 0,2);
7) межпланетное пространство (пе = Ю6, КТе = 0,01).
Докажите, что все ионизованные газы с такими параметрами являются
плазмой.

1.7. Применения физики плазмы
23
1.4. Вычислите давление (в атмосферах и тоннах/м2), оказываемое
термоядерной плазмой на стенки ловушки. Предположите, что f(Te = KTi =
— 20 кэВ, пе = Ю21 м-3, а р = д^Г, где Г = Г; + Те.
1.5. В строго равновесном состоянии плотность ионов и электронов
определяется уравнением Больцмана
tij = n0 ехр ( — qftlKTj).
Покажите, что в случае бесконечной прозрачной сетки, заряженной до
потенциала Ф, длина экранирования приближенно описывается формулой
bn2 = (ru?/e0)(UKTe+l/KTt).
Покажите, что Хо определяется температурой более холодной компоненты.
1.6. Другой возможный способ вывода выражения для дебаевского радиуса
экранирования кг, позволит лучше понять его физический смысл.
Рассмотрим две бесконечные параллельные пластины, расположенные в точках
х = ±d, которые находятся под потенциалом Ф = 0. Пространство между
ними заполнено однородным газом частиц с зарядом q и плотностью п.
а) Используя уравнение Пуассона, покажите, что распределение потенциала
между пластинами записывается в виде
Ф = (nq/2e0) (d2 - х2).
б) Покажите, что при d>A,D энергия, необходимая для передвижения
частицы от пластины к центральной плоскости, больше средней кинетической
энергии частиц.
1.7. Вычислите Яо и A;d в следующих случаях:
а) тлеющий разряд (п = 1016 м-3, КТе = 2 эВ);
б) ионосфера Земли (п = 1012 м-3, КТе= 0,1 эВ);
в) 6-пинч (п = 1023 м-3, КТе = 800 эВ).
1.7. Применения физики плазмы
Плазму можно характеризовать следующими двумя параметрами:
п и КТе. В различных приложениях параметры плазмы п и КТе
меняются в чрезвычайно широких пределах: п меняется на 28
порядков величины (от 106 до 1034 м-3), а КТе — на семь порядков
(от 0,1 до 106эВ). Некоторые из этих применений плазмы мы кратко
обсудим ниже. Огромный диапазон плотностей плазмы можно
оценить по достоинству, если представить себе, что воздух и вода
различаются по плотности только в 103 раз, а плотности воды и
вещества белых карликов различаются в 105 раз. Даже нейтронные
звезды лишь в 1015 раз плотнее, чем вода. Тем не менее различные
типы газовой плазмы во всем диапазоне плотностей, различающихся
на 28 порядков, можно описать одним и тем же набором уравнений,
поскольку при этом нужны только классические (а не квантовомеха-
нические) законы физики.

24
Гл. 1. Введение
1.7.1. Газовый разряд (газоразрядные электронные
приборы)
Первая работа по физике плазмы была выполнена Ленгмюром, Тонк-
сом и их сотрудниками в 1920-х гг. Это исследование было вызвано
необходимостью разработать вакуумные электронные лампы,
которые могли бы пропускать большие токи, а для этого их нужно
было наполнять ионизованным газом. Были проведены
исследования слабоионизованного тлеющего разряда и положительного
столба с КТе «2эВ и 1014 <; п «<1018 м-3. Именно в этой работе
было открыто явление экранирования; оболочку, окружавшую
электрод, можно было непосредственно наблюдать в виде темного
слоя. В настоящее время мы сталкивается с газовым разрядом
в ртутных выпрямителях, водородных тиратронах, игнитронах,
разрядниках, сварочных дугах, неоновых лампах и лампах
дневного света, в грозовых разрядах.
1.7.2. Управляемый термоядерный синтез
Началом современной физики плазмы можно считать 1952 г., когда
была выдвинута идея создания термоядерного реактора на основе
управления реакцией синтеза, протекающей при взрыве
водородной бомбы. Главными реакциями синтеза с участием атомов
дейтерия (D) и трития (Т) являются следующие:
D + D-^3He + rt-f 3,2 МэВ,
D-f D->T + p + 4,0 МэВ,
D + T-+4He + «+17,6 МэВ.
Сечения этих реакций синтеза значительны, только если энергии
взаимодействующих атомов превышают 5 кэВ. Использование пучка
ускоренных атомов дейтерия для бомбардировки мишени не решает
проблему, так как вследствие рассеяния большинство атомов
теряют свою энергию еще до того, как они вступят в реакцию синтеза.
Поэтому для осуществления термоядерной реакции необходимо
создать плазму с тепловыми энергиями частиц порядка 10 кэВ.
Проблема нагрева и удержания такой плазмы и явилась причиной
быстрого роста научных исследований в области физики плазмы
начиная с 1952 г. Эта задача до сих пор не решена, и большинство
активных исследований в физике плазмы ведутся в направлении
преодоления данной проблемы.
1.7.3.Космическая физика
Другим важным применением физики плазмы является изучение
космического окружения Земли. Непрерывный поток заряженных
частиц, называемый солнечным ветром, сталкивается с земной маг-

1.7. Применения физики плазмы
25
нитосферой, которая деформируется под его воздействием и
защищает нас от этого потока частиц. Характерные параметры
солнечного ветра следующие: л = 5« 106 м-3, KTt = 10 эВ, КТе — 50 эВ,
В = 5-10~9 Тл, скорость солнечного ветра— 300 км/с. Ионосфера,
простирающаяся по высоте от 50 км до 10 земных радиусов, заполнена
слабоионизованной плазмой, плотность которой изменяется с
высотой до п — 1012 м-3. Температура ионосферной плазмы
составляет всего 0,1 эВ. Радиационные пояса ван Ал лена состоят из
захваченных магнитным полем Земли заряженных частиц с
параметрами п ^ 109 м-3, КТе < 1 кэВ, KTi^ 1 эВ, В « 500-Ю-9 Тл.
Кроме того, имеется горячая компонента' с п = 103 м-3 и КТе —
= 40 кэВ.
1.7.4. Современная астрофизика
Звезды и их атмосферы настолько горячи, что находятся в
плазменном состоянии. Например, согласно оценкам, температура в центре
Солнца равна 2 кэВ; солнечное излучение обусловлено
термоядерными реакциями, протекающими при этой температуре. Солнечная
корона представляет собой разреженную плазму с температурой
до 200 эВ. Межзвездная среда содержит ионизованный водород
с плотностью п яе: 106 м-3. Для объяснения процесса ускорения
космических лучей использовались различные теории плазмы.
Хотя звезды в галактиках не являются заряженными, они ведут
себя подобно частицам в плазме; поэтому для предсказания хода
эволюции галактик применялась кинетическая теория плазмы.
Радиоастрономия открыла многочисленные источники излучения;
весьма вероятно, что это излучение создается плазмой. Богатым
источником плазменных явлений служит Крабовидная туманность,
поскольку она, как известно, имеет магнитное поле. В ней нахо-
дится также видимый пульсар. Согласно современным теориям,
пульсары — это быстро вращающиеся нейтронные звезды, на
поверхности которых (в плазме) генерируется синхротронное
излучение.
1.7.5. МГД-преобразование энергии
и ионные двигатели
Возвращаясь с небес на Землю, рассмотрим два практических при»
менения физики плазмы. Для генерации электричества используется
магнитогидродинамическое (МГД) преобразование энергии
плотной плазменной струи, движущейся поперек внешнего магнитного
поля (рис. 1.5). Под действием силы Лоренца q [\ X В], где v —
скорость струи, ионы движутся вверх, а электроны — вниз, что
создает разность потенциалов между двумя электродами. При
этом с электродов можно снимать электрический ток, минуя
неэффективный тепловой цикл.

26
Гл. 1. Введение
©В
©
_э
0
+ evxB
-evxB
Рис. 1.5. Принцип действия МГД-генератора.
Такой же принцип, но действующий в обратном направлении,
применяется в разработках двигателей для межпланетных полетов.
Как показано на рис. 1.6, к электродам прикладывается потенциал,
вызывающий протекание тока через плазму. Под действием силы
[j X В] плазма выбрасывается из ракеты, а возникающая при этом
сила реакции ускоряет аппарат. Выбрасываемая плазма должна
быть обязательно нейтральной; в противном случае космический
корабль зарядится до высокого потенциала.
0В
Рис. 1.6. Принцип действия плазменного реактивного двигателя для
космического аппарата.
1.7.6. Плазма твердого тела
В полупроводниках свободные электроны и дырки образуют плазму,
в которой наблюдаются такие же колебания и неустойчивости, как
и в газовой плазме. Для изучения этих явлений особенно полезной
оказалась плазма в полупроводнике InSb. Было показано, что из-
за влияния кристаллической решетки частота столкновений
значительно меньше, чем следовало бы ожидать в твердом теле с
плотностью частиц п я? Ю29 м-3. Кроме того, поскольку в
полупроводнике эффективная масса дырок может быть очень небольшой
(порядка 0,01 те), даже в умеренных магнитных полях мы имеем очень
высокую циклотронную частоту. Вычисление NB для плазмы твер-

1.7. Применения физики плазмы
27
дого тела показало бы, что вследствие низкой температуры и
высокой плотности эта величина меньше единицы. Однако благодаря
квантовомеханическим эффектам (принципу неопределенности)
эффективная температура плазмы оказывается достаточно высокой,
так что JVD становится весьма большой величиной. Обнаружено,
что некоторые жидкости, например раствор натрия в аммиаке,,
ведут себя также аналогично плазме.
1.7.7. Газовые лазеры
Наиболее широко распространенным методом накачки газового
лазера, т. е. его перевода в инвертированное состояние, которое
может привести к усилению излучения, является применение
газового разряда. Это может быть тлеющий разряд при низком
давлении для непрерывного лазера или же лавинный разряд высокого
давления для импульсного лазера. Примерами непрерывных
газовых лазеров являются Не—Ne-лазеры, используемые для
юстировки и топографических съемок, а также Аг- и Kj-лазеры,
применяемые в лазерных шоу. Мощный С02-лазер нашел применение
в промышленности как режущий инструмент. Молекулярные
лазеры сделали возможным исследование недоступной до этого
далекой инфракрасной области электромагнитного спектра. Накачку
этих лазеров можно непосредственно осуществлять электрическим
разрядом как в лазере на синильной кислоте (HCN) или, как в случае
лазеров на метилфториде CH3F или метиловом спирте (СН3ОН),
использовать оптическую накачку с помощью С02-лазера. Даже
действие твердотельных лазеров, таких, как лазер на неодимо-
вом стекле, определяется плазмой, поскольку для накачки этого
лазера применяется лампа-вспышка с газовым разрядом.
Задачи
1.8. В лазерном термоядерном синтезе сердцевина крошечной таблетки из
смеси дейтерия с тритием сжимается до плотности 1033 м-3 при температуре
50 000 000 К. Оцените для такой плазмы число частиц в дебаевской сфере.
1.9. Далекая галактика состоит из облака протонов и антипротонов с
одинаковыми плотностями п = 106 м-3 и температурой 100 К. Чему равен дебаев-
ский радиус экранирования?
1.10. Сферический проводник радиусом а погружен в плазму и заряжен до
потенциала Ф0. Электроны имеют максвелловское распределение по
скоростям и движутся таким образом, чтобы образовать дебаевский слой; ионы
же за время эксперимента остаются неподвижными. Предполагая, что
<Р0 "^ КТе/е, найдите, как зависит потенциал Ф от координаты г и величин а,
Фо и ^D- (Указание: решение следует искать в виде ехр (— kr)lr.)
1.11. Полевой транзистор представляет собой по существу электронную
лампу, в основе принципа действия которой лежит эффект конечного деба-
евского радиуса. Схема такого транзистора представлена на рис. 31.11. Элек-

128
Гл. 1. Введение
троны проводимости текут от источника S к стоку D при наличии разности
потенциалов между ними. Если приложить отрицательный потенциал к
изолированному от полупроводника затвору G, то ток через G течь не сможет,
поскольку приложенный потенциал проникает внутрь полупроводника и от-
So
§
Рис. 31.11.
у///>;//;л
утишх
6G
-oD
ражает электроны. С ростом потенциала затвора ширина канала, по
которому могут течь электроны, сужается и электронный поток уменьшается.
Если толщина прибора слишком велика, то происходит дебаевское
экранирование потенциала затвора. Оцените максимальную толщину проводящего
участка в n-слое полевого транзистора при комнатной температуре, если его
уровень легирования (плотность плазмы) составляет 1022 м-3, а толщина
прибора не превышает десяти дебаевских радиусов экранирования (см.
рис. 3.1.11).

Глава 2
ДВИЖЕНИЕ ОТДЕЛЬНЫХ ЧАСТИЦ
2.1. Введение
Исследование плазмы представляет собой особенно трудную задачу
вследствие того, что она является средой, плотность которой имеет
промежуточное значение. Жидкости, такие, как вода,
характеризуются настолько высокой плотностью, что движение отдельных
молекул в них рассматривать не нужно. В этом случае главную
роль играют столкновения, и для описания жидкости достаточно
простых уравнений гидродинамики. В другом пределе, когда мы
имеем дело с очень малой плотностью вещества, например в таких
устройствах, как синхротрон с переменным градиентом, необходимо
рассматривать траектории отдельных частиц; коллективные
эффекты часто несущественны. Плазма же в некоторых случаях
ведет себя как жидкость, а в некоторых — как скопление отдельных
частиц. И первый шаг, для того чтобы понять, как иметь дело с этой
сумасбродной особой,— это изучить поведение отдельных частиц
в электрических и магнитных полях. Данная глава отличается от
последующих тем, что поля Е и В в ней предполагаются заданными
и считается, что заряженные частицы ке влияют на эти поля.
2.2. Постоянные поля Е и В
2,2.1. Е = О
В этом случае заряженная частица совершает простое
циклотронное вращение. Уравнение ее движения записывается в виде
m — =?vxB. B.1)
dt
Направляя z по В (В = Bz), мы имеем
mvx — qBvy, mvy=—qBvx, mvz = 0,
5, = .4Li,= _(.*LL, B.2)

30
Гл. 2. Движение отдельных частиц
v„ =
qB
*= -(-£-)>
Эти уравнения описывают простой гармонический осциллятор на
циклотронной частоте, которую мы определяем следующим
образом:
со
_ \q\B
B.3)
В соответствии с принятым нами соглашением сос всегда
неотрицательна. Величина В измеряется в теслах (Тл), или в веберах на
квадратный метр (Вб/м2), причем 1 Тл = 104 Гс. При этом решение
уравнения B.2) можно записать в виде
vx, y = vx exp (± i met + i дх, у),
где ± относятся к знаку заряда q. Мы можем выбрать фазу б так,
чтобы
vx = v±ei@J **х, B.4а)
где vx — положительная постоянная, обозначающая скорость в
плоскости, перпендикулярной вектору В. Следовательно,
vy = -2-'vx=±-L-lx= ±\v±et»J *=у. B.46)
qB coc
Интегрируя выражения B.4а) и B.46), получаем
JC Хп -— ■ 1
J(oJ
У — Уо= ± —
Определим ларморовский радиус как
J(£>J
п .=■
\я\в
B.5)
B.6)
Взяв вещественную часть уравнений B.5), получим
x—x0 = rLsin(uct, у—г/о= zkrLcos (oct, B.7)
Эти формулы описывают круговую орбиту вокруг фиксированного
ведущего центра (х0, у0) (рис. 2.1). Направление вращения частицы
всегда таково, что создаваемое при этом магнитное поле
направлено противоположно внешнему магнитному полю. Следовательно,
частицы плазмы стремятся уменьшить магнитное поле, и плазма
является диамагнетиком. Помимо этого движения имеет место еще
движение с произвольной скоростью vz вдоль В, на которое В не

2.2. Постоянные поля Е и В
31
Ион
Ведущий
центр
Электрой
Рис. 2.1. Ларморовские орбиты в магнитном поле.
влияет. Таким образом, заряженная частица в магнитном поле
движется в пространстве по траектории, которая в общем случае
является спиралью.
2.2.2. Конечное Е
Если мы теперь допустим, что помимо магнитного поля имеется
и электрическое, то движение частицы будет суммой двух движений:
обычного ларморовского вращения и дрейфа ведущего центра.
Выберем направление поля Е таким образом, чтобы оно
располагалось в плоскости xz, т. е. мы имеем Еу ~ 0. Как и прежде, z-kom-
понента скорости не связана с поперечными движениями и ее можно
рассматривать отдельно. Уравнение движения теперь принимает
вид
m —=<7(E + vxB). B.8)
dt
Записывая z-проекцию этого уравнения
dvz q
dt
находим
qE2
Е
t + vM.
B.9)
Это соотношение описывает движение с постоянным ускорением
вдоль поля В. Поперечные проекции уравнения B.8) запишутся
в виде
dv
dt m y
dv.
dt
У- = 0 Ч- 0)с^
B.10)

32
Гл. 2. Движение отдельных частиц
Дифференцируя, получаем (при постоянном Е):
2
B.11)
vy= =F (Ос (-^- Ех\± ©С1»Л = — о? Г-^- + иЛ
Последнее уравнение можно переписать в виде
Таким образом, если во втором уравнении B.11) заменить
vy + {EJB) на vy, то оно сведется к последнему из уравнений B.2).
При этом уравнения B.4) принимают вид
vx = v±exp{i(oct), vy= ztivxexp(i d)ct)—{EJB).
Ларморовское движение — такое же, как и раньше, но на t
Ех>0 накладывается дрейф ведущего центра vgc в нащ
— у (рис. 2.2).
Чтобы получить общую формулу для Vgc, нужно решит
нение B.8) в векторном виде. В этом уравнении член т dvldt можно
опустить, поскольку он описывает только круговое движение с
частотой сос, которое нам уже известно. Таким образом, уравнение
B.8) принимает вид
E + vxB-0. B.13)
Умножая векторно на В, имеем
ExB = Bx(vxB) = vB2-B(vB). B.14)
Поперечные компоненты этого уравнения запишутся в виде
vlgc-Ex B/£2 = v£, . B.15)
где v£ — скорость дрейфа ведущего центра в электрическом поле.
Величина этой скорости определяется выражением
Е (В/м)
B.12)
при
НИИ
урав-
Vp^
В (Тл)
м/с.
B.16)
©В
>
Ион
>
>
i
Электрон
Рис. 2.2. Дрейф частиц в скрещенных электрическом и магнитном полях.

2.2. Постоянные поля Е и В 33
ЕхВ
к
Рис. 2.3. Реальная орбита частицы в пространстве.
Важно заметить, что v£ не зависит от q, m и v±. Это очевидно
из следующей физической картины. На первом полуобороте своей
орбиты (рис. 2.2) положительно заряженный ион получает энергию
от электрического поля, увеличивается v± и, следовательно, rL.
На втором полуобороте ион теряет энергию и rL уменьшается. Эта
разница в rL на левой и правой частях орбиты и вызывает дрейф со
скоростью vE. Отрицательно заряженный электрон вращается в
противоположном направлении (рис. 2.2), но и энергию от поля он
получает при движении в направлении, противоположном тому,
в котором движется ион. Следовательно, дрейф электрона
происходит в том же направлении, что и дрейф иона. Из частиц,
имеющих разные массы, но одинаковые скорости, у более легких будет
меньше rL и, следовательно, меньше дрейф за один оборот. Однако
у более легких частиц выше частота вращения, и два эффекта в
точности компенсируют друг друга. Две частицы с одинаковыми
массами, но с разными энергиями должны иметь одну и ту же частоту
сос. Более медленная заряженная частица будет иметь меньший rL
и поэтому за один оборот получит от электрического поля меньше
энергии. Однако для менее энергичных частиц относительное
изменение в rL при данном изменении энергии будет больше, и эти
два эффекта также взаимно компенсируются (задача 2.2).
Таким образом, трехмерная орбита частицы в пространстве
представляет собой раскручивающуюся спираль с изменяющимся
шагом (рис. 2.3).
2.2.3. Гравитационное поле
Заменив в уравнении движения B.8) величину q\L на общее
обозначение силы F, можно применить полученный выше результат и к
другим видам силы. Скорость дрейфа ведущего центра, вызванного
силой F, в общем случае равна
1 F
B.17)

34 Гл. 2. Движение отдельных частиц
В частности, если F — сила тяжести mg, то скорость дрейфа
v =_^_ g х в
g q В2
B.18)
Этот вид дрейфа похож на дрейф в электрическом поле (ve) тем, что
его направление перпендикулярно как приложенной силе, так и
вектору В; но он имеет и одно важное отличие: скорость vg меняет
направление в зависимости от знака заряда частицы. Таким
образом, под действием силы тяжести ионы и электроны дрейфуют в
противоположных направлениях, что приводит к возникновению
в плазме тока, плотность которого
j« т(М + т):^-^~ • B.19)
Физически возникновение этого дрейфа (рис. 2.4), как и
рассматриваемых ранее, объясняется тем, что при движении частицы меняется
ларморовский радиус ее орбиты, поскольку она отдает или
получает энергию от поля силы тяжести. Но теперь, хотя электроны
и ионы вращаются в разные стороны, силы, действующие на них,
направлены в одну сторону, поэтому дрейфуют эти частицы в
противоположных направлениях. Величина vg, связанная с обычной
силой тяжести, в большинстве случаев пренебрежимо мала
(задача 2.4), но если силовые линии магнитного поля изогнуты, то
из-за наличия центробежной силы возникает эффективная сила
тяжести, пренебречь которой уже нельзя. Эта сила не зависит от
массы, поэтому мы и не упоминали, что в общее выражение B.18)
входит т. Отметим, что центробежная сила является причиной
так называемой «гравитационной» неустойчивости плазмы,
которая также с реальной гравитацией ничего общего не имеет.
д
I
е
ииии
и°н Электрой
Рис. 2.4. Дрейф частиц в поле силы тяжести.

2.2. Постоянные поля Е и В
35
Задачи
2.1. Пусть fjj мала. Вычислите rL в следующих случаях:
а) для электрона с энергией 10 кэВ, находящегося в магнитном поле Земли
В = 5-Ю-5 Тл;
б) для протона из потока солнечного ветра, скорость движения которого в
межпланетном магнитном поле В = 5 10~9 Тл составляет 300 км/с;
в) для иона Не+ с энергией 1 кэВ, находящегося в атмосфере Солнца вблизи
пятна, где В = 5-Ю-2 Тл;
г) для частицы примеси Не++ с энергией 3,5 МэВ в дейтериево-тритиевом
реакторе синтеза с магнитным полем В = 8 Тл.
2.2. На установке TFTR (Tokamak Fusion Test Reactor) в Принстоне плазма
будет нагреваться посредством инжекции нейтральных атомов дейтерия с
энергией 200 кэВ, которые, войдя в магнитное поле, из-за перезарядки
превратятся в ионы дейтерия с атомным номером А = 2 и с той же энергией.
Такие ионы могут удерживаться в ловушке, только если rL «С а, где а =
= 0,6 м — меньший радиус плазменного тора. Проверьте, выполняется ли
это условие, вычислив максимальный ларморовский радиус иона в
магнитном поле В = 5 Тл.
л
12а
Рис. 32.7.
2.3. В ионном двигателе (см. рис. 1.6) создается магнитное поле величиной
1 Тл, а водородная плазма вследствие Е X В-дрейфа выталкивается из него
со скоростью 1000 км/с. Насколько велико должно быть для этого
электрическое поле внутри плазмы?
2.4. Воспользовавшись картиной движения заряженных частиц (рис. 2.2),
покажите, что для двух ионов с одинаковыми массами и зарядами, но с
разными энергиями дрейфа vE равны между собой. Для этого аппроксимируйте
правую половину орбиты полуокружностью, соответствующей энергии иона
после ускорения в поле Е, а левую половину — полуокружностью,
соответствующей энергии после замедления. Можете предположить, что поле Е
слабое, так что относительное изменение vx мало.
2.5. Предположим, что в симметричном цилиндрическом столбе плазмы
плотность п (г) меняется на характерной длине %, т. е. дп/дг « — nl'k, а
распределение электронов удовлетворяет уравнению Больцмана [(задача 1.5).
а) Используя соотношение Е=—V0, вычислите при данной длине Я
радиальное распределение электрического поля.
б) Покажите, что при ve « степл существенны эффекты, связанные с
конечной величиной ларморовского радиуса электронов. В частности, покажите,
что при ve — Утепл rL = 2%.
в) Справедливо ли утверждение в п. б для ионов?
Указание: Не пользуйтесь уравнением Пуассона.
2.6. Предположим, что в так называемой Q-машине с постоянным
магнитным полем 0,2 Тл помещен плазменный цилиндр с температурой K,Tt =

36
Гл. 2. Движение отдельных частиц
= KTi — 0,2 эВ. Экспериментальным путем установлено, что профиль
плотности плазмы имеет вид
п = л0ехр [ехр(—г2/а2)—1].
Пусть плотность электронов удовлетворяет уравнению Больцмана.
а) Вычислите максимальную скорость дрейфа ve, если а = 1 см.
■б) Сравните ее со скоростью дрейфа vg, обусловленного магнитным полем
Земли.
в) До какой величины нужно понизить напряженность магнитного поля В,
чтобы ионы калия (А ~ 39, Z = 1) имели ларморовский радиус, равный а?
2.7. Заряженный пучок электронов плотностью пе = 1014 м-3 и радиусом
а = 1 см движется вдоль магнитного поля 2 Тл. Вычислите скорость и
направление Е X В-дрейфа при г — а, если В направлено по г, а Е —
электростатическое поле, связанное с зарядом пучка (см. рис, 32.7).
2.3. Неоднородное поле В
Теперь, когда понятие о дрейфе ведущего центра твердо нами
усвоено, мы можем рассмотреть движение частиц в неоднородных
полях, т. е. в полях Е и В, которые изменяются в пространстве и во
времени. В случае постоянных полей нам удалось получить точные
выражения для скорости дрейфа ведущего центра, но как только
мы вводим в задачу неоднородность, проблема становится
слишком сложной для точного решения. Чтобы получить
приближенный ответ, обычно проводят разложение по малому отношению
rJL, где L — масштаб неоднородности. Вычисления в рамках
такой теории (она называется теорией орбит) могут быть сложными,
поэтому мы рассмотрим лишь простейшие случаи, когда в системе
существует неоднородность только одного вида.
2.3.1. Градиентный дрейф; уВ±Ъ
В данном разделе мы будем считать, что силовые линии х)
магнитного поля представляют собой прямые, а их плотность возрастает,
например в направлении у (рис. 2.5). Пользуясь разработанной
нами простой физической моделью, можно заранее предвидеть,
как будут вести себя в таком поле заряженные частицы. Из-за
наличия градиента поля |В| ларморовский радиус в нижней части
орбиты движущейся частицы будет больше, чем в верхней, а это
должно приводить к дрейфу ионов и электронов в
противоположных направлениях, перпендикулярных как В, так и уВ.
Очевидно, что величина скорости дрейфа должна быть пропорциональна
rJL и vx.
Для вычисления скорости дрейфа рассмотрим силу Лоренца
F = qv х В, усредненную по периоду вращения частицы. Ясно,
*) Линии магнитного поля часто называют силовыми линиями. Они,
однако, не являются линиями действия силы в точном смысле этого слова.
Неправильный термин увековечен здесь, чтобы подготовить студента к
вероломству избранной им специальности.

2.3. Неоднородное поле В
37
» Ч * л л л ©
©0000
В © © © © VIB
иииа
0 © 0 V1 / х 0
0 0 0 0 z >^Б vi> 0 0.0 МШМ>
Рис. 2.5. Дрейф частиц, совершающих вращение в неоднородном магнитном
поле.
что Fx — О, поскольку частица движется вверх столько же времени,
сколько и вниз. Теперь приближенно вычислим Fy, используя
усреднение по невозмущенной орбите частицы. Невозмущенная
орбита в постоянном магнитном поле В описывается уравнениями
B.4) и B.7). Взяв вещественную часть уравнения B.46), получаем
Г до и
Fy=— qvxBz{y)= — qvx {cos act) B0 ± rL (cos <act) —- • B.20)
L dy J
Здесь мы разложили поле В в ряд Тейлора вблизи точки х0 = 0,
у0 = 0 я воспользовались выражениями B.7):
B-B0 + (r-V) В+ . . . ,
Bz^BQ + y{dBzldy)+ .... B.21)
Такое разложение, конечно, можно провести только в том случае-
если выполняется неравенство rJL <С 1, где L — масштаб
изменения dBjdy. Первый член в уравнении B.20) после
усреднения по периоду вращения дает нуль, а среднее от cos2coc^ равно
1/2, так что
Fy^+qvxrL±(dB/dy). B.22)
При этом скорость дрейфа ведущего центра дается выражением
V - ' F X В _ 1 Ту ~ v±rL ! дВ »
V^c_ q В* ~ q \В\ Х_+ В 2 ду Х' ^'16)
при выводе которого мы использовали формулу B.17). Поскольку
выбор оси у был произволен, последнее соотношение можно
обобщить:
vvB - ± — 0j_rL ^— • B.24)
Данная формула включает все зависимости, которые мы
предвидели исходя из физической картины процесса; не был предсказан
только множитель 1/2, возникший из-за усреднения. Заметим, что
знаки ± соответствуют знаку заряда, а светлая буква В отвечает

38
Гл. 2. Движение отдельных частиц
jfi|. Величина vvB называется скоростью градиентного дрейфа.
Дрейф имеет противоположные направления для ионов и
электронов и создает ток, перпендикулярный В. Заметим также, что
полученное выражение для скорости дрейфа является приближенным;
для точного вычисления vvB нужно при усреднении пользоваться
точной орбитой частицы с учетом дрейфа.
2.3.2. Центробежный дрейф-, искривленные силовые
линии поля В
Предположим, что силовые линии магнитного поля изогнуты и
имеют постоянный радиус кривизны Rc, а |В| = const (рис. 2.6).
Такое поле не удовлетворяет в вакууме уравнениям Максвелла,
Рис. 2.6. Магнитное поле с искривленными силовыми линиями.
поэтому на практике к изучаемому здесь эффекту всегда будет
добавляться градиентный дрейф. В рассматриваемом же случае дрейф
ведущего центра возникает из-за центробежной силы, действующей
на частицы, перемещающиеся вдоль силовых линий вследствие
теплового движения. Пусть v\ обозначает средний квадрат
скорости хаотического движения вдоль В, тогда средняя центробежная
сила
Fcf- Lr = mtJ _£_. B.25)
Rc Z2c
В соответствии с соотношением B.17) она приводит к дрейфу
'R
1 FcfXB
Я В2
qB"
Rcxb
B.26)
Дрейф со скоростью v^ называется центробежным дрейфом.
Вычислим скорость градиентного дрейфа, который сопровождает

2.3. Неоднородное поле В
39
дрейф со скоростью v^, если принять во внимание уменьшение | В|
с радиусом. Обратимся к рис. 2.6. Как известно, в вакууме
V X В = 0. В цилиндрических координатах, показанных на
рисунке, V X В имеет только z-компоненту, поскольку В имеет лишь
0-компоненту, а s/В — лишь г-компоненту. В этом случае
GхВJ=-^-^-(г£е) = 0, Бе -■ B.27)
г дг г
Таким образом,
В
1
V| В |
Используя уравнение B.24), получаем
*
B.28)
'ув
■+■
1
'±'L
В А | В
R,
1
R, X В
Я
RiB
т 2
Vj_
ц
RCX В
RlB2
B.29)
Прибавляя скорость дрейфа vvb к v^, получаем общее выражение
для дрейфа частицы в магнитном поле с изогнутыми силовыми
линиями:
VvB-T-Vfl =■
Rc X В
2D2
RiB
(* + Т*>
B.30)
К сожалению, скорости обоих дрейфов направлены в одну сторону.
Поэтому если попытаться удержать термоядерную плазму,
свернув магнитное поле в тор, то частицы будут дрейфовать из этого тора
независимо от того, как мы будем менять температуры и магнитные
поля.
В случае максвелловского распределения из уравнений A.7)
и A.10) ясно, что i^| =A/2) v\ = KTIm, поскольку v± отвечают
две степени свободы. Уравнения B.3) и A.6) позволяют записать
в этом случае среднюю скорость дрейфа в поле с искривленными
силовыми линиями в виде
"" . ^тепл л — TL ~
VR + vB = ± п У = 1>теплУ«
B.30а)
Rc<Oc Rc
где у_— единичный вектор в направлении RCX В. Отсюда следует,
что v^+vs зависит от заряда ионов, но не от их массы.
2.3.3. уВ || В; магнитные зеркала (пробкотрон)\
Рассмотрим теперь магнитное поле, направленное в основном вдоль
оси z. Пусть поле осесимметричное, BQ = 0, д/dQ = 0, а
напряженность его зависит от z. Поскольку силовые линии такого поля схо-

Гл. 2. Движение отдельных частиц
Рис. 2.7. Дрейф частицы в магнитном зеркале.
дятся и расходятся, должна существовать компонента Вг (рис. 2.7).
Покажем, что при такой конфигурации системы возникает сила,
которая может запереть частицу в магнитном поле.
Найдем компоненту Вг из условия V* В = 0:
д
дг
(гВг)
дВ,
дг
= 0.
B.31)
Если dBzidz задана при г = 0 и не очень сильно меняется с г, то мы
можем приближенно считать, что
гВг
дВг
дг
drtt -
Г дВг -[
L дг I
Вг =
m
B.32)
г=0
Изменение величины | В| с г вызывает градиентный дрейф ведущих
центров вдоль оси симметрии, однако радиальный градиентный
дрейф отсутствует, поскольку дВ/dQ = 0. Выпишем компоненты
силы Лоренца:
Fr = q(vQBz—vzBQ),
FQ = q(-vrBz + vzBr), B.33)
Fz = q(vrBe — veBr).
Проанализируем эти выражения. Если fid = 0, то в первом
выражении обращается в нуль второй член, а в третьем — первый.
Первые члены в первом и втором выражениях описывают обычное лар-
моровское вращение. Второй член во втором выражении обращается
в нуль на оси г\ в тех точках, где он не обращается в нуль, он
представляет собой азимутальную составляющую силы Лоренца,
вызывающую дрейф ведущих центров в радиальном направлении. Этот
дрейф приводит к тому, что ведущие центры движутся вдоль
искривленных силовых линий. Рассмотрим, наконец, последний член

2.3. Неоднородное поле В 41
в третьем выражении B.33). С учетом соотношений B.32) Fz можно
записать как
Fz = (\'2)qver{dBz/dz). B.34)
Усредним теперь это выражение по периоду вращения. Для
простоты рассмотрим частицу, ведущий центр которой лежит на оси
системы. В этом случае vQ при вращении остается постоянной;
в зависимости от знака заряда мы имеем vQ — =F vx. Поскольку
/- — rL, средняя сила, действующая на частицу, равна
1 дв.
Fz= H=— qv±rL
- 1 „ ^
+ 2 Ч сос
дВг
дг
1
2
2
mv ,
В
дВг
дг
2 дг
B.35)
Определим магнитный момент вращающейся частицы как
^i = mvj_/2B.
B.36)
Следовательно, в этом конкретном случае на частицу диамагнетика
действует сила
Fz= —\1{дВг/дг). B.37)
В общем случае ее можно записать в следующем виде:
F,| = — iidB/ds= — цу„Я. B.38)
Здесь ds — элемент дуги вдоль направления В. Заметим, что
определение B.36) совпадает с обычным определением магнитного
момента петли с током / площадью A: \i = IA. В случае однократно
заряженного иона ток / возбуждается зарядом е, совершающим
оос/2я оборотов в секунду: / — есос/2я. Площадь А равна яг^ =
— nv2J(ss2c. Таким образом,
nv2
со2.
есос
2л
1
2
2
v , e
ю„
1
2
2
В
ц =
При движении частицы в неоднородном поле В ларморовский
радиус ее орбиты изменяется, но \х остается инвариантным. Чтобы
доказать это, рассмотрим проекцию уравнения движения на
направление В:
„-^JL=_H-*5-. B-39>
dt ds
Умножая это уравнение слева на v\\, а справа на равную ей
величину dsldt, получаем
dv и d ( 1 2 "\ дВ ds dB
mv\
dt
d ( 1 2 *\ dB ds dB icy ac\\
= 4rbrmv4--^-df-w--^-4T' B-40)

42
Гл. 2. Движение отдельных частиц
Здесь dBIdt — это изменение величины В, которое «видит» частица;
само поле В постоянно. Поскольку энергия частицы должна
сохраняться, мы имеем
i(lMU}^)=|(j»U^) = 9. B.41)
С учетом соотношения B.40) условие B.41) принимает вид
r dt dt vr
откуда следует, что
d\i/dt = 0. B.42)
На инвариантности магнитного момента jli основана одна из
первых схем удержания плазмы — магнитное зеркало (магнитная
пробка). Идея метода состоит в следующем. Пусть вследствие
теплового движения частица перемещается из области слабого поля В
в область, где оно сильнее. Частица «видит», что В увеличивается;
следовательно, для того чтобы сохранялся \i, поперечная скорость
v_L тоже должна увеличиваться. Поскольку полная энергия частицы
должна сохраняться постоянной, v\\ при этом должна уменьшаться.
Если поле В в «горловине» достаточно велико, то г; у в конце
концов обратится в нуль и частица «отразится» назад в область более
слабого поля. К такому отражению приводит, несомненно,
существование силы F {\. Ясно, что неоднородное магнитное поле,
создаваемое парой катушек, образует два магнитных зеркала, между
которыми можно запереть плазму (рис. 2.8). Заметим, что этот
механизм работает как для ионов, так и для электронов.
К сожалению, такая ловушка несовершенна. В частности,
частица с v± = 0, не имеющая магнитного момента, вообще не
почувствует никакой силы, действующей вдоль В. Кроме того, если
максимальное значение Вт поля недостаточно велико, из ловушки
убегут также и те частицы, у которых в центральной плоскости
(В = В0) мало отношение vjv\\. Какие частицы будут покидать
ловушку при данных В0 и Вт? Для ответа на этот вопрос
рассмотрим частицу, которая в центральной плоскости ловушки имеет
v±. — ^о и v\\ ~ v\\o, B точке поворота она будет иметь некото-
Рис. 2.8. Плазма, захваченная между магнитными зеркалами

2 3. Неоднородное поле В
43
рую vx = v'± и и || = 0. Если поле в точке поворота равно В', то
из инвариантности магнитного момента \i следует, что
~mv2}QlB0=-—mv'llB. B.43)
2 2
Рис. 2.9. Конус потерь.
Закон сохранения энергии требует, чтобы выполнялось равенство
v'l = v2l0 + v\0 = vl B.44)
Из соотношений B.43) и B.44) находим
хо
хО
В
.'2
е^ sin2
B.45)
где Э — питч-угол орбиты в области слабого поля. Частицы с
меньшими Э будут отражаться от областей с большими В. Если Э
слишком мал, то В' превышает Вт и частица вообще не отразится.
Заменяя в уравнении B.45) В' на Вт, мы увидим, что наименьший
угол Э у захваченной частицы определяется равенством
sin* em = BjBm = \IRm. B.46)
Величина Rm называется пробочным {зеркальным) отношением.
Условие B.46) определяет в пространстве скоростей границу
области в виде конуса, называемого конусом потерь (рис. 2.9).
Частицы, скорости которых лежат внутри конуса, не удерживаются
магнитными пробками, поэтому плазма в такой ловушке никогда
не будет изотропной. Заметим, что форма конуса потерь не зависит
от q и т и при отсутствии столкновений ловушка будет удерживать
как ионы, так и электроны При наличии в системе столкновений
частицы могут уходить из ловушки. Это происходит в том случае,
когда при столкновениях питч-углы частиц меняются таким обра.

44
Гл. 2. Движение отдельных частиц
зом, что они рассеиваются в конус потерь. Обычно электроны
уходят из ловушки быстрее, чем ионы, поскольку частота
столкновений у них выше.
Магнитное зеркало впервые было предложено Энрико Ферми
для объяснения механизма ускорения космических лучей. Он
заметил, что протоны, осциллирующие между двумя
сближающимися с большой скоростью магнитными зеркалами, могут при
каждом пролете между ними увеличивать свою энергию. Как
возникают эти зеркала — это уже другой вопрос. Еще один пример
«зеркальных» эффектов — это захват частиц в радиационные пояса
ван Аллена. Поскольку магнитное поле Земли велико у полюсов
и мало у экватора, оно образует естественную ловушку с довольно
большим пробочным отношением.
Задачи
2.8. Предположим, что магнитное поле Земли на экваторе равно 3-Ю-5 Тл
и спадает с расстоянием по закону 1/г3, как в случае идеального диполя.
Пусть на расстоянии г = 5R3 от центра Земли в экваториальной плоскости
имеются изотропные распределения протонов с энергией 1 эВ и электронов
с энергией 30 кэВ, плотностью п = 107 м-3 каждое.
а) Вычислите скорости градиентных (\В) дрейфов ионов и электронов.
б) На запад или на восток дрейфуют электроны?
в) Сколько времени потребуется электрону, чтобы обойти вокруг Земли?
г) Вычислите плотность возникающего из-за дрейфа кольцевого тока в А/м2.
Указание: Дрейфом из-за искривленности силовых линий магнитного поля
пренебречь нельзя— он будет влиять на числа в ответе, но все-таки
пренебрегите им.
2.9. Электрон покоится в магнитном поле, которое создается током I,
текущим по бесконечному прямому проводу. В момент t = 0 при неизменном I
провод внезапно заряжается до потенциала Ф. Электрон получает от
электрического поля энергию и начинает двигаться.
а) Нарисуйте схему, показывающую орбиту электрона и направления
векторов I, В, v£, vvB и v^.
б) Вычислите скорости различных типов дрейфа на расстоянии 1 см от центра
провода, если / = 500 А, Ф = 460 В, а радиус провода 1 мм. Предположите,
что на стенках вакуумной камеры, расположенных в 10 см от провода,
поддерживается 0=0. Указание: Нужно не только знать формулы,
приведенные в тексте, но еще и хорошо представлять себе картину движения.
2.10. Ядро атома дейтерия с энергией 20 кэВ движется под питч-углом 9 =
= 45° в центральной плоскости большой установки для синтеза с В— 0,7 Тл.
Вычислите ларморовский радиус частицы.
2.11. Плазма с изотропным распределением по скоростям помещена в
магнитную зеркальную ловушку с пробочным отношением Rm = 4.
Столкновений нет, так что частицы, попавшие в конус потерь, просто убегают, а
захваченные остаются в ловушке. Какая доля частиц будет захвачена?
2.12. Протон из космических лучей захвачен в ловушке между двумя
движущимися магнитными пробками. Пробочное отношение равно 5. В
начальный момент в центральной плоскости энергия частицы W — 1 кэВ, причем
и и = v} . Каждая из пробок движется к центру системы со скоростью t'm—
= 10 км/с (рис. 2.10).

2.4. Неоднородное поле Е
45
а) Пользуясь формулой, описывающей конус потерь, и инвариантностью-
магнитного момента ц, найдите энергию, до которой будет ускорен протон,
прежде чем он покинет систему.
б) Сколько времени потребуется на то, чтобы набрать эту энергию?
ПЯЯГ
L= 10юкм
Рис. 2.10. Ускорение космических лучей.
Указания:
1. Считая пробки плоскими поршнями, покажите, что за каждый период
осцилляции между ними скорость протона увеличивается на 2 vm.
2. Рассчитайте необходимое количество осцилляции.
3. Вычислите время Т, необходимое для того, чтобы столько раз пройти
расстояние L. Достаточно получить ответ с точностью до множителя 2.
2.4. Неоднородное поле Е
Пусть теперь магнитное поле в системе однородно, а
электрическое — неоднородно. Для простоты предположим, что Е
направлено по оси х и меняется с х синусоидально (рис. 2.11):
E = £0(cos/a)x. B.47>
Это распределение поля с длиной волны Я = 2n/k создается
синусоидальным распределением заряда, на анализе которого мы
останавливаться не будем. На практике такое распределение заряда.
Рис. 2.11. Дрейф вращающейся частицы в неоднородном электрическом поле»

46 Гл. 2. Движение отдельных частиц
может возникнуть в плазме во время распространения в ней волны.
Уравнение движения частицы в поле Е(х) имеет вид
т (dv/dt) = q [Е (х) + v X В]; B.48)
поперечные составляющие этого уравнения запишутся следующим
образом:
ix = J*-vy+-3-Ex{x), iy=-—*>x, B-49)
mm m
i=-«&,±»?if-, B.50)
В
■ vy=—(ulvy—<£^l*L- B.51)
в
Здесь Ех (х) — электрическое поле в точке, где находится частица.
Чтобы вычислить его, нам нужно знать траекторию частицы,
которую мы и попытаемся в первую очередь найти. Если
электрическое поле слабое, то для приближенного вычисления Ех (х) мы
можем использовать невозмущенную орбиту, т. е. орбиту частицы
в отсутствие поля Е. Она определяется выражением B.7):
x — x0-\-rL sin a)ct' B.52)
Из уравнений B.51) и B.47) получаем
vy— —(dcVy — сос —— cos k (x0 + rL sincoci). B.53)
В
Предугадывая результат, будем искать решение в виде
суперпозиции вращения с частотой (ас и дрейфа с постоянной скоростью vE.
Поскольку нас интересует только выражение для vE, избавимся
от членов, описывающих вращение, путем усреднения по периоду.
Из уравнения B.50) тогда следует, что vx = 0. В уравнении B.53)
осциллирующий член vy, очевидно, тоже при усреднении
обращается в нуль, и мы получаем
1^ = 0= — cDcUy—©с—— cosk (xQ + rL sinco^). B.54)
В
Преобразовывая косинус, имеем
cos k (х0 -f- rL sin (£>ct) = cos (kx0) cos (krL sin co<i)—sin(&*0) s'm(krL sin coct).
B.55)
Достаточно рассмотреть случай малого ларморовского радиуса,
krL <^ 1. Разложения в ряды Тейлора
cose=l— A/2)е2+ . . . , B5б)
sine = e-j- . . .

2.4. Неоднородное поле Е
47
позволяют записать следующие соотношения:
cos k (x0 + rL sin act) ж (cos kx0) A — A/2) k2r2L sin2 Ы) —
— (sin kxQ) krL sin (oct.
Последний член при усреднении по времени исчезает, и уравнение
B.54) принимает вид
v„ =
(cosfa0)(l - -f*4) = —^-A - ~кЩ
В
B.57)
Следовательно, в неоднородном поле обычный Е X В-дрейф
изменяется таким образом, что его скорость принимает вид
Ехв л 1
V£
в2
(l--UVL). B.58)
Нетрудно понять физическую причину этого изменения.' Дело
в том, что ион, ведущий центр которого расположен в точке
максимума поля, в действительности большую часть времени проводит
в областях, где поле Е слабее. Следовательно, средняя скорость
его дрейфа будет меньше, чем скорость vE, рассчитанная по полю
в точке, где расположен ведущий центр. В линейно меняющемся
поле Е ион на одной стороне своей орбиты должен находиться в
более сильном поле, а на другой стороне — в настолько же более
слабом, и поправки к v£ должны компенсировать друг друга. Из
этого ясно, что поправочный член зависит от второй производной
поля Е. У синусоидального распределения, которое мы
рассматривали, вторая производная по отношению к Е всегда имеет
противоположный знак, что и объясняет «минус» в формуле B.58). Чтобы
обобщить эту формулу на случай произвольного распределения
поля Е, нам достаточно лишь заменить k на — t'v и записать ее в
виде
1 2 „2\ ЕХВ
A+ТгЮ
5s
B.59)
Второй член в скобках описывает эффект, связанный с конечной
величиной ларморовского радиуса частицы. Какова роль этой
поправки? Поскольку для ионов rL гораздо больше, чем для
электронов, у£ теперь зависит от вида частиц. Допустим, что в плазме
возник сгусток плотности, тогда электрическое поле Е может вызвать
разделение ионов и электронов, поскольку они дрейфуют с
разными скоростями; это приведет к появлению нового электрического
поля. Если существует механизм обратной связи, позволяющий
вторичному электрическому полю усиливать первичное, то Е
будет расти до бесконечности и плазма станет неустойчивой. Такую
неустойчивость, называемую дрейфовой, мы обсудим в одной из

48
Гл. 2. Движение отдельных частиц
последующих глав. Градиентный дрейф, разумеется, также
связан с конечностью величины ларморовского радиуса и тоже
вызывает разделение зарядов, однако, согласно B.24), скорость vv5
пропорциональна krL, а поправочный член в соотношении B.58)
9 9
пропорционален k rL. Следовательно, неоднородность поля Е играет
важную роль при относительно больших k, или малых масштабах
неоднородности. Вследствие этого дрейфовые неустойчивости
относят к более широкому классу микронеустойчивостей.
2.5. Нестационарное поле Е
Перейдем теперь к анализу движения заряженных частиц в одно
родных, но нестационарных полях Е и В. Для начала рассмотрим
случай, когда В постоянно, а поле Е синусоидально меняется со
временем. Пусть электрическое поле направлено по оси х:
Е = Е0ешх. B.60)
Поскольку Ех = i(oEx, мы можем записать уравнение движения
B.50) в виде
~»-=-*(°-*%пг)- B'61)
Введем определения:
о ==±_i£L_£*-f v == £*_. B.62)
р олс В ь В
Здесь тильда добавлена лишь для того, чтобы подчеркнуть, что
дрейф является осциллирующим. Верхний (нижний) знак, как
обычно, относится к положительному (отрицательному) заряду q.
Уравнения B.50) и B.51) в этих обозначениях принимают вид
vx= —dh(vx— vp), Vy——(dl(vy—vE). B.63)
По аналогии с соотношениями B.12) попытаемся найти решение,
которое является суперпозицией дрейфа и вращения:
vx = v±et°J +vpy vy= ±iv±etaS +vE. B.64)
Если мы дважды продифференцируем эти соотношения по времени,
то получим
vx=—(olvx+(<d2c — (i>2)vp,
vy = —atlvy + (со?— (о2) vE.
Эти уравнения совпадают с соотношениями B.63) только в том
случае, когда (о2 мало по сравнению с со2. Если теперь предположить,

2.5. Нестационарное поле Е
49
что Е действительно меняется медленно, т. е. что со2 <^ со2, то B.64)
будут приближенными решениями уравнений B.63).
Из соотношений B.64) следует, что движение ведущего центра
теперь более сложное, скорость движения имеет две составляющие;
^/-компонента скорости перпендикулярна Е и В — это обычный
Е X В-дрейф, за исключением лишь того, что vE теперь медленно
осциллирует с частотой со; ^-составляющая скорости отвечает
новому типу дрейфа вдоль направления Е, который называется
поляризационным дрейфом. Заменяя со на — dldt, мы можем обобщить
соотношение B.62) и записать скорость поляризационного дрейфа
в виде
_\ dE_
(осВ dt
B.66)
Поскольку скорости \р у ионов и электронов направлены в разные
стороны, возникает поляризационный ток. При Z = 1 он равен
}p = ne{vtp — ve,)==-^-(M + m) —= -£-—, B.67)
ip \ ip ер, еВ2 V 1 / ^ В2 dt
где р — массовая плотность.
Е *-
Рис. 2.12. Поляризационный дрейф.
Физическая причина возникновения поляризационного тока
проста (рис. 2.12). Рассмотрим ион, покоящийся в магнитном поле.
Если к нему внезапно приложить электрическое поле Е, то прежде
всего он начнет двигаться вдоль Е. Только после того как ион
наберет скорость v, он почувствует силу Лоренца и начнет
поворачивать вниз, как показано на рис. 2.12. Если теперь поддерживать
Е постоянным, то дрейф со скоростью \р прекратится, а будет
наблюдаться лишь движение со скоростью \Е. Однако если Е сменит
направление, то снова возникает мгновенный дрейф, на этот раз
влево. Таким образом, поляризационный дрейф со скоростью \р —
это дрейф «стартерного» типа. Он связан с инерцией частицы и
имеет место только на первом полупериоде каждого оборота, во
время которого поле Е меняет направление на противоположное.
Следовательно, \р стремится к нулю вместе с со/сос.

50
Гл. 2. Движение отдельных частиц
Явление поляризации в плазме аналогично тому, которое имеет
место в твердом диэлектрике, где D = е0Е + Р. В плазме диполи—
это ионы и электроны, разнесенные на расстояние rL. Несмотря
на это, в ней нельзя создать поляризационное поле Р при помощи
постоянного поля Е, поскольку ионы и электроны могут смещаться
и восстанавливать квазинейтральность плазмы. Однако если поле Е
колеблется, то из-за запаздывания, вызванного инерцией ионов,
возникает осциллирующий ток ]р.
2.6. Нестационарное поле В
Пусть теперь магнитное поле изменяется во времени. Поскольку
сила Лоренца всегда перпендикулярна В, магнитное поле не может
передать энергию заряженной частице. Однако при изменении В
возникает электрическое поле Е:
VXE=—В, B.68)
которое уже может ускорять частицы. Рассмотрим этот процесс
детальнее. Ясно, что теперь нельзя предполагать, будто поля
совершенно однородны. Пусть 1 — элемент дуги вдоль траектории
частицы, \х = d\ldt — ее поперечная скорость (скоростью V\\
пренебрегаем). Умножив скалярно уравнение движения B.8) на v_l,
мы получим
-*-(-Lmx?A = qE-v±*=qE.-^-- B.69>
dt \ 2 ) v ч dt
Интегрирование по периоду позволяет вычислить изменение
энергии частицы за один оборот:
6j—mv2±)= f qE dt.
\ 2 J 6 dt
Если поле меняется медленно, то интеграл по времени можно
заменить интегралом вдоль невозмущенной орбиты:
б (— ти2Л = § qE-d\ = q f (V X E)-dS« —q f B-dS. B.70)
V 2 / S S
Здесь S — ориентированная поверхность, окруженная ларморов-
ской орбитой; направление нормали к ней определяется по правилу
правой руки (пальцы указывают направление скорости v).
Поскольку плазма является диамагнетиком, то для ионов
произведение B-dS меньше нуля, а для электронов — больше нуля. С
учетом этого уравнение B.70) принимает вид
с/1 2\ , о 2 , о А т {\l2)mv\ 2лВ
о | — mvj_ ) = + qBnrL = ± qziB =» *
I 2 V ч сос (± qB) В со,
B.71

2.6. Нестационарное поле В
51
Величина 2jt5/co<. = Blfc равна изменению 65 за период вращения.
Таким образом,
б (— mui) = \i &B.
B.72)
Поскольку левая часть этого равенства тождественна 6(jiS), мы
получаем искомый результат:
бр.= 0. B.73)
В медленноменяющемся магнитном поле магнитный момент
остается постоянным.
Рис. 2.13. Двухступенчатое адиабатическое сжатие плазмы.
При изменении напряженности ;магнитного поля В ларморов-
ские орбиты сжимаются или расширяются, а поперечная энергия
частиц уменьшается или увеличивается. Этот обмен энергией
между полем и частицами очень просто описывается соотношением
B.73). Инвариантность величины \i позволяет без особого труда
доказать следующую теорему:
Магнитный поток через поверхность, ограниченную ларморов-
ской орбитой, постоянен.
Магнитный поток Ф = BS, где 'S = ягь, поэтому
..2 ..2 „_2 . ,, /г,\ ...9
2 2
ф= Вл—i- =Вл
2лт A/2) то
2лт
со:
q2B2
В
A. B.74)
q q
Таким образом, если \i = const, то и Ф = const.
Это свойство используется в методе нагрева плазмы, известном
как адиабатическое сжатие. На рис. 2.13 схематически показано,
как это происходит. Плазма инжектируется в область между
пробками 1 и 2, затем с помощью импульса тока в обмотках катушек 1
и 2 в системе увеличивается магнитное" поле В и, следовательно,
v±. Следующим импульсом в 1 "можно увеличить пробочное
отношение и переправить нагретую плазму в область 3—4. Подавая

52
Гл. 2. Движение отдельных частиц
затем импульсы в 3 и 4, можно еще раз сжать и нагреть плазму-
Этот тип нагрева использовался в первых установках управляв"
мого термоядерного синтеза. Адиабатическое сжатие успешно
применялось также в плазменных торах, оно является основным
элементом в схемах лазерного синтеза с использованием как
магнитного, так и инерциального удержания.
2.7. Сводка формул для скоростей дрейфа
ведущего центра
Дрейф под действием произвольной силы F:
v^~-Ч^г-- <2Л7>
q Вг
В электрическом поле:
v£=-^A- B.15)
52
В гравитационном поле:
т g X В
B.18)
q В*
В неоднородном поле Е:
v£=(l + _L^)J^JL. B.59)
В неоднородном поле В:
Градиентный дрейф:
vvB= ±—*>±rL — • B.24)
Центробежный дрейф:
«ЦЦЦ. B.26)
Я R2CB*
Дрейф из-за искривленности силовых линий в вакууме:
v„+vvB = — (v,+ — v^——■ B.30)
Поляризационный дрейф:
vp-=±—^ —• B.66)
р асВ dt

2 8. Адиабатические инварианты
53
2.8. Адиабатические инварианты
Из классической механики хорошо известно, что если в системе
есть периодическое движение, то действие ф р dq, где интеграл
берется по периоду, является интегралом движения. Здесь р и q —
периодические обобщенный импульс и обобщенная координата.
Если в системе происходят медленные изменения и движение не
является чисто периодическим, то интеграл движения остается
неизменными поэтому его называют адиабатическим инвариантом.
Под «медленными» мы понимаем величины, медленно меняющиеся
по сравнению с периодом движения, так что интеграл j> p dq имеет
смысл, хотя он и не является уже интегралом по замкнутому
контуру. Адиабатические инварианты играют важную роль в физике
плазмы; они позволяют получить простые ответы во многих
случаях сложных движений частиц. Существует три адиабатических
инварианта, которые соответствуют различным типам
периодических движений.
2.8.1. Первый адиабатический инвариант (\i)
Мы уже имели дело с величиной
\i = mv2±/2B
и показали, что в нестационарных и неоднородных магнитных
полях она сохраняется. Периодическим движением, соответствующим
этому инварианту, является, конечно, ларморовское вращение.
В самом деле, если в общей формуле для адиабатического
инварианта в качестве р выбрать момент количества движения mv±r, а
координатой q считать 6, то действие запишется в виде
то1, т
§pdq = §mvxrLdQ = 2urLmv± = 2я = 4я \х- B.75)
«с I <71
Таким образом, при постоянном отношении qlm величина \х
является интегралом движения. Мы доказали постоянство ;и, неявно
предполагая, что (со/сос) <^ 1, где со — частота, характеризующая
изменение В с точки зрения частицы. Можно, однако, показать,
что [L — инвариант даже при со < сос. На языке теоретиков \i
инвариантен «во всех порядках разложения по со/сос». На практике
это значит, что за один период вращения величина \i оказывается
значительно ближе к константе, чем В.
Одинаково важно знать, в каких случаях существует
адиабатический инвариант, а в каких его нет. Инвариантность величины \i
нарушается, если со не мала по сравнению с сос. Приведем три
примера такого нарушения.

54
Гл. 2. Движение отдельных частиц
A. Магнитная накачка. Пусть величина В в ловушке с
магнитными зеркалами синусоидально меняется во времени; тогда v±
у частиц будет осциллировать, но их энергия за большой
промежуток времени не увеличится. Однако если частицы сталкиваются
между собой, то инвариантность величины \а нарушается и плазма
может быть нагрета. В частности, у частицы, которая сталкивается
с другой частицей на стадии сжатия, часть энергии вращательного
движения может преобразоваться в энергию, связанную с v\\. На
стадии расширения эту энергию забрать обратно уже нельзя.
Б. Циклотронный нагрев. Представим себе, что поле В
осциллирует с частотой сос. Индуцированное электрическое поле будет тогда
вращаться в фазе с некоторыми частицами и непрерывно ускорять
их ларморовское вращение. В этом случае условие со <^ сос
нарушается, \i не сохраняется и плазму можно нагреть.
B. Магнитные каспы. Если изменить направление тока в одной
из катушек обычной системы с магнитными зеркалами (пробкотрона),
то образуется магнитный касп (рис. 2.14). Эта конфигурация, кроме
обычных магнитных зеркал, имеет еще круговое зеркало в виде
каспа, занимающее по азимуту угол 360°. Считается, что плазма,
запертая в такой установке, более устойчива, чем в обычной
зеркальной ловушке. К сожалению, потери частиц в этом случае
больше, поскольку кроме конуса существует еще одна область
потерь. Движение частицы в этой системе не является
адиабатическим, поскольку в центре симметрии поле В обращается в нуль,
сос там тоже равна нулю и jj. при движении не сохраняется. Лармо-
ровский радиус вблизи центра системы становится больше, чем
размер установки. Из-за этого нельзя гарантировать, что частицы,
которые были вне конуса потерь, останутся там после прохожде-
Касп
Обычное [х]
зеркало
Ось
симметрии
Рис. 2.14. Удержание плазмы в магнитном поле с каспом.

2.8. Адиабатические инварианты
55
ния области неадиабатичности. К счастью, в этом случае
существует другой инвариант — канонический момент импульса ре =
= mrvQ —егАв. В бесстолкновительном случае это гарантирует,
что в системе будут бесконечно долго существовать захваченные
ловушкой частицы.
2.8.2. Второй адиабатический инвариант (J)
Рассмотрим частицу, удерживаемую между двумя магнитными
зеркалами. Она колеблется между ними, совершая периодическое
движение с так называемой «баунс-частотой». Интеграл этого
движения записывается в виде j>mv\\ ds, где ds — элемент длины при
движении ведущего центра вдоль силовой линии. Вследствие того
что ведущий центр дрейфует поперек силовых линий, движение не
является чисто периодическим и интеграл движения оказывается
адиабатическим инвариантом. Он называется продольным инва-
Рис. 2.15. Частица, совершающая в магнитном поле колебаниям между
точками поворота а и Ъ.
Рис. 2.16. Движение заряженной частицы в магнитном поле Земли.
риантом J и вычисляется для половины цикла движения между
двумя точками поворота (рис. 2.15):
У= funds.
B.76)
Мы докажем, что / инвариантен в статическом неоднородном поле В.
Этот результат справедлив также и в том случае, когда поле
медленно меняется со временем.

56
Гл. 2. Движение отдельных частиц
Прежде чем начать довольно длинное доказательство,
рассмотрим пример в виде задачи, в которой будет полезна теорема об
инвариантности /. Как мы уже упоминали, магнитное поле Земли
захватывает заряженные частицы, которые затем медленно
дрейфуют вокруг Земли в широтном направлении (задача 2.8; см. также
рис. 2.16). Если бы магнитное поле было совершенно симметричным,
то частица в конце концов вернулась бы на исходную силовую
линию. Однако в действительности магнитное поле Земли деформи-
Рис. 2.17. К доказательству инвариантности величины /.
руется, например под действием солнечного ветра. Вернется ли в
таком случае частица на ту же силовую линию? Вследствие того
что энергия частицы сохраняется и равна A/2) mv± в точке
поворота, из сохранения первого адиабатического инварианта \i следует,
что и величина |В| в точке поворота останется прежней. Однако,
придя в результате дрейфа на исходную долготу, частица может
оказаться на другой силовой линии и на другой высоте. Этого не
случится, если / сохраняется. Величина J определяет длину
силовой линии между точками поворота, и не существует двух
линий, которые имели бы одну и ту же длину между точками с
одинаковыми |В|. Следовательно, даже в слегка асимметричном поле
частица все равно вернется на исходную силовую линию.
Чтобы доказать инвариантность величины J, рассмотрим
сначала вопрос об инвариантности V\\8s, где 6s — отрезок пути вдоль В
(рис. 2.17). Из-за дрейфа ведущего центра через время А^ частица
сместится с линии 6s на линию 6s'. Длину 6s' можно определить,
если через концы отрезка 6s провести плоскости,
перпендикулярные В. Длина 6s, очевидно, пропорциональна радиусу кривизны:
6s 6s'
следовательно, можно написать
6s' — 6s Я' — R„
B.77)
Радиальная компонента скорости vgc имеет такое значение, что
выполняется равенство
vgc--^-= *'-*' • B.78)
Re M

2 .8. Адиабатические инварианты 57
Из уравнений B.24) и B.26) получаем
1 в X VB , mv\ Rc X В
2 Б2 7 Я2£2
Заметим, что последний член не имеет составляющей, направленной
вдоль Rc . Используя равенства B.78) и B.79), выражение B.77)
можно записать в виде
^-r-6s=vgc. — =- -(BXVB). — • B.80)
Такова скорость изменения 6s с точки зрения частицы. Теперь мы
должны получить скорость изменения величины v ц в системе
координат частицы. Введем определения продольной и поперечной энергий
с помощью равенства
W~ — mv\-\.— mv\=~mv\ + \xB = W {l + W\. B.81)
Таким образом, мы имеем
и И = [B//л)(№ — ^5)]12. B.82)
Здесь f и [А постоянны, а изменяется только В. Следовательно,
v II 1 И# _ • 1 й5 ^ м-Д B.83)
v{] % W — [iB 2 w \\ mv\
Поскольку В предполагается стационарным, В не равна нулю
только из-за движения ведущего центра:
ИВ Иг *nv\ Кг X В
B~-^-.^r = vgc-VB= L_i^.vB. B.84)
dr dt q #2Б2
Теперь мы можем написать:
":'И _ 11 (RCXB)-VB I m v\ (BxV£)-Rc
v-A Я R2CB2 2 q В R2B2
Относительное изменение величины v\\ 6s равно
B.85)
1 d i с \ 1 d&s , 1 dv,,
— (u„6s) = - — + -L. B.86)
о II 6s ctf 6s dt v у d£
Как видно из соотношений B.80) и B.85), эти последние два члена
взаимно уничтожаются; следовательно,
v || 6s = const. B.87)

58
Гл. 2. Движение отдельных частиц
Отсюда, однако, не следует, что J — const. При вычислении
интеграла от и || 6s между точками поворота может случиться так, что
точки поворота на 6У не совпадут с концами отрезка, полученного
сечением 6s перпендикулярными плоскостями (рис. 2.17).
Погрешность в вычислении J из-за этого расхождения будет, однако,
пренебрежимо мала, поскольку вблизи точек поворотами почти равна
нулю. Следовательно, мы доказали, что
J= Jo;,ds:=const. B.88)
а
Пример нарушения инвариантности J дает схема нагрева
плазмы, называемая времяпролетной магнитной накачкой.
Предположим, что к катушкам пробкотрона подводятся переменные
токи, так что пробки попеременно приближаются и отдаляются
друг от друга с частотой, близкой к баунс-частоте. Частицы,
которые колеблются с этой баунс-частотой, всегда будут видеть
сближающиеся пробки и, следовательно, их скорость v\\ будет
увеличиваться. В этом случае / не сохраняется, поскольку изменение
поля В происходит на временных масштабах, которые нельзя
считать большими по сравнению с временем колебания частиц между
зеркалами.
2.8.3. Третий адиабатический инвариант (Ф)
Возвращаясь вновь к рис. 2.16, мы видим, что медленный дрейф
ведущего центра вокруг Земли представляет собой третий тип
периодического движения. Оказывается, что адиабатический
инвариант, связанный с этим движением, есть полный магнитный поток,
охватываемый дрейфовой поверхностью. Почти очевидно, что при
изменении В частица остается на такой поверхности, для которой
полное число охватываемых ею силовых линий остается
постоянным. Инвариант Ф применяется редко, поскольку большинство
флуктуации магнитного поля В происходит на временных
масштабах, которые малы по сравнению с периодом дрейфа, отвечающим
этому инварианту. Как пример нарушения инвариантности Ф
можно привести недавние исследования по возбуждению МГД-волн
в ионосфере. Эти волны имеют большой период, сравнимый со
временем перемещения частицы вокруг Земли. Следовательно, частицы
после одного оборота могут встретить волну в той же самой фазе.
Если это происходит, то передача энергии от дрейфующих частиц
к волне может привести к ее раскачке. Инвариант Ф в этом случае
не сохраняется.

2.8. Адиабатические инварианты
59
Задачи
2.13. Решите задачу 2.126, пользуясь инвариантностью величины J.
а) Положив § v»ds t& v«L, выполните дифференцирование по времени.
б) Исходя из этого, получите выражение для времени Т через dLldt.
Положив dL/dt = — 2vm, вы получите ответ.
2.14. При нагреве плазмы путем адиабатического сжатия из инвариантности
величины ц следует, что с увеличением В должна расти и КТх. Но
магнитное поле не может ускорять частицы, поскольку сила Лоренца q\ X В всегда
перпендикулярна скорости. Как же частицы получают энергию?
2.15. Выражение для скорости поляризационного дрейфа можно получить
и из закона сохранения энергии. Пусть Е осциллирует, тогда скорость EX B-
дрейфа тоже осциллирует и с движением ведущего центра связана энергия
A/2) mv2E. Поскольку энергию от электрического поля можно отобрать только
при движении вдоль Е, должен существовать дрейф со скоростью \р в
направлении Е. Найдите vp, приравнивая скорость изменения величины A/2) mvE
к скорости прироста энергии у частицы vp-E.
2.16. Водородная плазма нагревается волной радиодиапазона (to== 109 рад/с),
в которой Е перпендикулярно В; плазма удерживается магнитным полем
1 Тл. Являются ли адиабатическими движения а) электронов и б) ионов,
взаимодействующих с этой волной?
2.17. Протон с энергией 1 кэВ и о«= 0 находится в однородном магнитном
поле В = 0,1 Тл. Поле медленно возрастает до величины 1 Тл, и протон
ускоряется. После этого он упруго сталкивается с тяжелой частицей и меняет
направление движения, так что теперь vL = v«. Поле В снова уменьшается
до 0,1 Тл. Какова теперь энергия протона?
2.18. Бесстолкновительная водородная плазма удерживается в торе, внешние
обмотки которого создают магнитное поле, почти целиком направленное
по ф (рис. 32.18). Плазма в начальный момент максвелловская, ее температура
КТ = 1 кэВ. Начиная с t = 0, магнитное поле В за 100 мкс увеличивается
с 1 Тл до 3 Тл, в результате чего плазма сжимается.
а) Покажите, что магнитный момент как у ионов, так и у электронов остается
инвариантным.
б) Вычислите температуры Тх и Т,, после сжатия.
Рис. 32.18.
Рис. 32.19.

60
Гл. 2. Движение отдельных частиц
2.19. В тороидальной камере квадратного поперечного сечения содержится
однородная плазма (рис. 32.19). Магнитное поле создается током /, текущим
вдоль оси симметрии системы; размеры камеры а — 1 см, R = 10 см. Плазма
является максвелловской с температурой КТ = 100 эВ, ее плотность п =
= 1019 м-3. Электрическое поле отсутствует.
а) Нарисуйте типичные орбиты ионов и электронов с v» = 0, дрейфующих
в неоднородном поле В.
б) Вычислите скорость накопления заряда на верхней крышке камеры в Кл/с
благодаря совместному действию дрейфов vvB и v„, Магнитное поле в центре
камеры равно 1 Тл; по необходимости можно пользоваться приближением
aJR < 1.
2.20. Предположим, что магнитное поле на оси симметрии пробкотрона имеет
вид Bz = B0 A+ а^2).
а) Пусть при z=0 скорость электрона дается выражением v = 3v,, =
= 1,5 n2j_. При каком г электрон отразится?
б) Запишите уравнение движения ведущего центра вдоль поля.
в) Покажите, что движение синусоидальное; вычислите его частоту.
г) Найдите величину продольного инварианта /, соответствующего этому
движению.
2.21. По бесконечному прямому проводу течет ток / в направлении
положительных z. При t = 0 электрон, обладающий малым гирорадиусом, находится
в точке 2 = 0, г = г0, причем vх0 = v,,Q(± и || по отношению к направле.
нию магнитного поля).
а) Вычислите величину и направление скорости дрейфа ведущего центра.
б) Предположим, что ток медленно возрастает таким образом, что в системе
индуцируется постоянное электрическое поле, направленное вдоль ± 2.
Покажите на чертеже, как направлены I, В, Е и V£.
в) Уменьшаются, возрастают или сохраняются скорости vx и и,,, когда ток
растет? Почему?

Глава 3
ПЛАЗМА КАК ЖИДКОСТЬ
3.1. Введение
В предыдущей главе мы рассмотрели движение заряженных частиц
в заданных электрических и магнитных полях. В плазме ситуация
гораздо сложнее; поля Е и В не заданы, а определяются
положениями и движением самих заряженных частиц, поэтому для
анализа поведения плазмы необходимо решать самосогласованную
задачу. Иными словами, мы должны найти такой набор траекторий
частиц и распределений полей, при котором частицы, двигаясь по
своим орбитам, будут генерировать эти поля, а возникшие поля
заставят частицы двигаться в точности по тем же самым орбитам.
И все это нужно сделать в нестационарном случае!
Мы видели, что типичная плотность плазмы составляет 1012
электрон-ионных пар в 1 см3. Если бы нужно было следить за
каждой из этих частиц, движущихся по сложным орбитам, то прогноз
поведения плазмы стал бы безнадежной задачей. К счастью, в этом,
как правило, нет необходимости, поскольку (что поразительно)
большинство плазменных явлений, наблюдаемых в реальных
экспериментах (возможно, 80 %), можно объяснить с помощью
довольно простой модели, подобной той, что используется в
гидродинамике; в ней пренебрегают отличиями отдельных частиц и
рассматривают только движения элементов объема жидкости.
Разумеется, при анализе плазмы считается, что жидкость содержит
электрические заряды. В обычной жидкости частицы в элементе
объема движутся вместе потому, что они часто сталкиваются между
собой. Удивительно, что такая модель работает в плазме, где
столкновения случаются редко. Однако мы увидим, что на это есть своя
причина.
В большей части настоящей книги мы будем рассматривать те
вопросы, которые можно изучить с помощью гидродинамической
теории плазмы. Более тонкий подход — кинетическая теория
плазмы — требует больше математических выкладок, чем это
допустимо во вводном курсе. Введение в кинетическую теорию
излагается в гл. 7.
В некоторых плазменных задачах для описания поведения
плазмы недостаточно ни гидродинамической, ни кинетической тео-

62
Гл. 3. Плазма как жидкость
рии. Тогда нужно возвращаться к утомительному, процессу
отслеживания отдельных траекторий. Это по силам современным
компьютерам, однако их памяти хватает только на то, чтобы хранить
положения и скорости около 104 частиц, и, за исключением отдельных
случаев, они могут решать только одно- или двумерные задачи. Тем
не менее численное моделирование стало в последнее время играть
важную роль, заполняя пробел между теорией и экспериментом
в тех случаях, когда даже кинетическая теория не позволяет
приблизиться к объяснению наблюдаемых в плазме явлений.
3.2. Связь между физикой плазмы
и обычной электродинамикой
3.2.1. Уравнения Максвелла
Уравнения Максвелла в вакууме имеют вид
e0V-E=<j, C.1)
VXE=—В, C.2)
V-B=0, C.3)
VXB = MJ + e0E). C.4)
В среде они записываются следующим образом:
V-D = a,
VXE=—В,
v-b = o,
vxh=j + d,
D=eE,
В = цН.
C.5)
C.6)
C.7)
C.8)
C.9)
C.10)
В уравнениях C.5) и C.8) су и j — это плотности «свободных»
зарядов и токов соответственно. Плотности «связанных» зарядов и
токов, возникающих из-за поляризации и намагничивания среды,
включены в определения D и Н через е и ц. В плазме
эквивалентами «связанных» зарядов и токов являются составляющие ее ионы
и электроны. Поскольку эти заряженные частицы движутся
сложным образом, то объединять обусловленные ими эффекты в две
константы е и (х непрактично. Поэтому в физике плазмы обычно
рассматривают уравнения Максвелла для вакуума C.1) — C.4), а
под а и j понимают все заряды и токи,— как внутренние, так и
внешние.

3.2. Связь между физикой плазмы и обычной электродинамикой 63
Заметим, что в уравнениях для вакуума мы использовали
величины Е и В, а не их аналоги D и Н, связанные с Е и В через
е и [I. Это объясняется тем, что силы дЕи jxB зависят от Е и В, а
не от D и Н, и при работе с уравнениями для вакуума вводить
последние величины нет необходимости.
3.2.2. Классическая теория магнитных- материалов
Любая вращающаяся заряженная частица плазмы обладает
магнитным моментом, поэтому казалось бы логично рассматривать
плазму как магнитный материал с проницаемостью \хт. (Индекс
т у проницаемости мы поставили для того, чтобы отличить ее от
адиабатического инварианта \х.) Чтобы понять, почему на практике
так не делают, вспомним, как обычно исследуют магнитные
материалы.
Ферромагнитные домены с магнитными моментами jnt- создают,
скджем, в куске железа намагниченность
m=±-Zvi (з.п)
V i
в единице объема. Эта намагниченность эквивалентна
возникновению в веществе связанного тока с плотностью
JJ = VXM. C.12)
В уравнение C.4), определяющее магнитное поле в вакууме, мы
должны включить как этот ток, так и «свободный» ток от внешних
ИСТОЧНИКОВ jf!
^1VxB = jf + j,+e0E. C.13)
Запишем уравнение C.13) в простом виде
VxH = jf + e0E, C.14)
включив ]ь в определение Н. Это можно сделать, если положить
Н = ^В—М. C.15)
Чтобы получить простое соотношение, связывающее В и Н,
предположим, что М пропорционально В или Н:
М^ХтН. C.16)
Постоянная %т называется магнитной восприимчивостью.
Следовательно,
B = Ml+JCm)H = |lmH. (ЗЛ?)
Простая связь между В и Н оказалась возможной лишь потому,
что уравнение C.16) линейное.

64
Гл. 3. Плазма как жидкость
В плазме, помещенной в магнитное поле, любая частица имеет
магнитный момент |ша, а величина М есть сумма всех |ша в единице
объема. Но теперь
mv2± a \ \
LU = ~ 1 М ~
Га в в в
Связь между М и Н (или В) уже не является линейной; мы не можем
записать, что В = цтИ с постоянным \im, и поэтому рассматривать
плазму как магнитную среду бессмысленно.
3.2.3. Классическая теория диэлектриков $■'•' Щ
Как известно, поляризация единицы объема вещества Р равна сумме
всех отдельных моментов электрических диполей р£. Поляризация
диэлектрика приводит к возникновению в нем связанного заряда
с плотностью
0b=— V-P. C.18)
В уравнение C.1), описывающее электрическое поле в вакууме,
нужно включить как связанные, так и свободные заряды:
e0\-E = of-\-ob. C.19)
Запишем это уравнение в простом виде:
VD = a/, C.20)
включив аь в определение D. Это можно сделать, положив
D = e0E + P = eE. C.21)
Если поляризация Р пропорциональна Е, т. е.
Р-еоХеЕ, C.22)
то е является постоянной и определяется выражением
е = A + ъК- C-23)
Заранее нельзя объяснить, почему соотношение типа C.22) будет
в плазме несправедливо, поэтому можно попытаться получить
выражение для е в такой среде.
3.2.4. Диэлектрическая проницаемость плазмы
Как было показано в разд. 2.5, флуктуирующее поле Е создает
в плазме поляризационный ток jp. Это в свою очередь приводит к
возникновению поляризационного заряда, который определяется
из уравнения непрерывности
-~f-+V-jp = 0. C.24)
at
Уравнение C.24) эквивалентно уравнению C.18) с той лишь разни-

3.2. Связь между физикой плазмы и обычной электродинамикой
65
цей, что (как отмечалось ранее) поляризация в плазме возникает
только под действием нестационарного электрического поля.
Поскольку мы имеем точное выражение для jp, а не для ор, удобнее
работать с четвертым уравнением Максвелла C.4):
VXB = (x0 (if + jp -f 80E). C.25)
Перепишем это уравнение в виде
VxB = MJf + eE), C.26)
где мы положили
е=е0 + (/р/Ё). C.27)
Из уравнения B.67), определяющего jp, имеем
е = е0 + (р/Б2), 8^ ^ (е/е0) == 1 + (щр^/В8)- C.28)
Это есть диэлектрическая проницаемость плазмы для поперечных
движений в низкочастотном пределе. Такое уточнение необходимо
потому, что использованное нами выражение для jp справедливо,
только если со2 <^ со2., а электрическое поле Е перпендикулярно В.
Общее выражение для е, естественно, очень сложное; оно вряд ли
поместится на одной странице.
Заметим, что при р-> 0 относительная диэлектрическая
проницаемость е^ стремится к своему значению в вакууме, т. е. к единице,
как и должно быть. Если В -> оо, то величина &R также стремится
к единице. Это связано с тем, что поляризационный дрейф vp здесь
отсутствует и частицы не откликаются на поперечное электрическое
поле. В случае обычной лабораторной плазмы второй член в
правой части выражения C.28) много больше единицы. Например,
если п = 1016 м-3, В = 0,1 Тл, то для водородной плазмы
Поре2 __ Dл-10-7)-(Ш16)-A,67-10-27)-(9-1016) _ 18С)
Я2 _ @,1J "~
Это значит, что электрические поля, обусловленные наличием в
плазме заряженных частиц, намного превышают поля,
приложенные извне. Плазма с большим е экранирует переменные
электрические поля аналогично тому, как плазма с малым дебаевским
радиусом XD экранирует постоянные поля.
Задачи
3.1. Вычислите диэлектрическую проницаемость плазмы в низкочастотном,
приближении C.28), рассмотрев совместно производную по времени от урав-,
нения V-D = V- (еЕ) = 0 и уравнение Пуассона в вакууме C.1).
Используйте также уравнения C.24) и B.67).

66
Гл. 3. Плазма как жидкость
3.2. Пусть Qc\ обозначает циклотронную частоту ионов, а ионная плазменная
частота определяется как Qp = (пе21е0М) '2> где М — масса иона. При
каких обстоятельствах диэлектрическая проницаемость eR приближенно равна
Q2JQ2r?
р с
3.3. Гидродинамические уравнения
Уравнения Максвелла позволяют найти поля Е и В для данного
состояния плазмы. Чтобы решить самосогласованную задачу, нам
нужно иметь уравнение, описывающее отклик плазмы на данные
поля Е и В. В гидродинамическом приближении считается, что
плазма состоит из двух или более взаимопроникающих жидкостей,
каждая из которых соответствует определенному сорту частиц.
В простейшем случае, когда имеется только один вид ионов, нам
нужно получить два уравнения движения — одно для
положительно заряженной ионной жидкости, а другое для отрицательно
заряженной электронной. В случае частично ионизованного газа
необходимо также уравнение движения жидкости, состоящей из
нейтральных атомов. Нейтральная жидкость будет
взаимодействовать с ионами и электронами только посредством столкновений.
Ионная и электронная компоненты взаимодействуют друг с другом
даже в отсутствие столкновений через генерируемые ими поля Е
и В.
3.3.1. Конвективная производная
Уравнение движения отдельной заряженной частицы имеет
следующий вид:
т (dv/dt) = q (E + v x В). C.29)
Предположим вначале, что столкновения и тепловое движение в
плазме отсутствуют. В этом случае все частицы элемента жидкости
движутся вместе и средняя скорость этих частиц и совпадает со
скоростью отдельной частицы v. Уравнение движения жидкости
при этом получается просто умножением уравнения C.29) на
плотность частиц п:
тп {dix/dt) = qn (E -f u x В), C.30)
однако в такой форме им пользоваться неудобно. Дело в том, что
в уравнении C.29) производную по времени нужно брать в точке,
где находится частица. А мы хотим получить уравнение для
элементов объема жидкости, зафиксированных в пространстве, потому
что делать иначе было бы неразумно. Действительно, рассмотрим
в качестве элемента объема жидкости каплю сливок в чашке кофе.

3.3. Гидродинамические уравнения
67
При перемешивании кофе капля скручивается в нить и в конце
концов распределяется по всей чашке, теряя присущие ей
особенности. Однако элемент объема жидкости в фиксированной точке
чашки сохраняет свою индивидуальность, несмотря на то что
частицы непрерывно входят и выходят из него.
Для того чтобы перейти к переменным в фиксированной системе
координат, рассмотрим в одномерном случае любой параметр жид-
Рис. 3.1. Движение элементов жидкости в электронагревателе.
кости G (x, t). Изменение G со временем в системе отсчета,
движущейся с жидкостью, есть сумма двух членов:
dG(x, t)
dt
dG
dt
dQ dx
dx
dt
_aG_
dt
_dG_
dx
C.31)
Первый член в правой части этого равенства представляет собой
изменение величины G в фиксированной точке пространства, а
второй отвечает изменению G при перемещении наблюдателя вместе
с жидкостью в область пространства с другим значением G. В
трехмерном случае соотношение C.31) обобщается следующим образом:
dG
dG
+ (u-V)G.
C.32)
dt dt
Это выражение называется конвективной производной и иногда
обозначается DO/Dt. Заметим, что (u-v)— скалярный
дифференциальный оператор. Поскольку знак этого члена иногда вызывает
недоразумения, рассмотрим для иллюстрации три простых
примера.
На рис. 3.1 показан электронагреватель, в котором горячая
вода поднимается вверх, а холодная опускается на дно. Пусть

68
Гл. 3. Плазма как жидкость
Океан ■*— V5 Река
Рис. 3.2. Направление градиента солености в устье реки.
G (x, t) — это температура Т, тогда вектор VG направлен вверх.
Рассмотрим элемент жидкости у стенки бака. Если нагреватель
включен, то элемент жидкости при движении нагревается, и
поэтому dTldt >»0. Если же, кроме этого, с помощью вертушки
создается дополнительный поток жидкости, то температура
фиксированного элемента будет понижаться из-за выноса холодной воды
со дна бака. В этом случае дТ/дх>0 и их >>0, поэтому и-уТ >0.
Изменение температуры фиксированного элемента (dTldt)
определяется разностью этих эффектов:
-^-=-*1 u-vT. C.33)
dt dt
Ясно, что dTldt можно сделать равной нулю, по крайней мере на
короткое время.
Рассмотрим второй пример. Пусть G — это соленость воды S
вблизи устья реки (рис. 3.2). Если ось х направлена вверх по
течению, то обычно градиент S такой, что dSldx <0. Во время
прилива граница между соленой и пресной водой сдвигается вверх по
течению и их>0. Таким образом,
Л. =—их — > 0. C.34)
dt дх
Это значит, что в любой данной точке соленость увеличивается.
Если же, скажем, в дождь, соленость всюду уменьшается, то для
описания этого процесса в центральную часть соотношения C.34)
нужно добавить отрицательный член dSldt.
Рассмотрим еще один последний пример. Пусть G — это
плотность автомобилей у въезда на скоростную магистраль в часы
пик. Приближаясь к переполненной автостраде, водитель видит,
что плотность машин вокруг него увеличивается. Этому явлению
соответствует конвективный член (u-v) G. В то же время местные
улицы могут заполнять автомобили, подъехавшие по другим до-

3.3. Гидродинамические уравнения
69
x0~Ajc х0 х0+Ах
Рис. 3.3. К вычислению элементов тензора напряжений.
рогам, так что плотность будет увеличиваться даже в том случае,
если наблюдатель не движется. Этот процесс описывается членом
dG'dt. Общее увеличение численности машин, наблюдаемое
водителем, есть сумма этих двух эффектов.
Возвращаясь к анализу плазмы, положим G равной скорости
жидкости и и запишем уравнение C.30) в виде
тп
[^-+(u-V)u]=i?/i(E + uxB))
C.35)
где dxxldt — производная по времени в фиксированной точке
пространства.
3.3.2. Тензор напряжений
Для учета тепловых движений в правую часть уравнения C.35)
нужно добавить силу давления. Эта сила отсутствует в уравнении
движения для отдельной частицы; она возникает из-за
хаотического движения частиц внутри и вне элемента жидкости. Пусть
центр элемента жидкости AxAyAz расположен в точке (х0, Ау/2,
Az/2) (рис. 3.3). Для простоты будем рассматривать движение
частиц только вдоль оси х через сечения А и В. Число частиц,
проходящих за секунду через торец А со скоростью vx, равно
AnvvxAyAz, где Anv — число частиц в одном м3, имеющих
скорость vx:
Anv^=Avx\$f(vx, vy, vz)dvydvz.
Каждая из этих частиц имеет импульс mvx. (Считается, что
плотность п и температура КТ в каждом кубическом объеме
определяются их значениями в центре кубика.) При этом импульс РА+,
который вносится через торец А в элемент жидкости с центром в
точке х0, равен
РА+ = Л Anvmv2xAyAz = AyAz [ту*л/2]Жи_дх. C.36)

70
Гл. 3. Плазма как жидкость
Суммирование по Anv приводит к усредненной по функции
распределения величине v2x. Множитель 1/2 возникает из-за того, что
только половина рассматриваемых частиц в кубе в точке х0—Ах
движется к поверхности А. Аналогично через торец В выносится
импульс Рв+ = AyAz [mvl A/2) п)х , поэтому увеличение х-компо-
ненты импульса за счет движущихся вправо частиц равно
РА+ — Рв+ = Ay Az {т/2) [(nvl)Xo-AX — (nv2x)x^ =
= —AyAzm( — Ax)-^-(mS)- C.37)
2 дх
Этот результат нужно удвоить, чтобы учесть вклад частиц,
движущихся влево, поскольку они несут отрицательный импульс, а
также движутся по отношению к градиенту nvx в противоположном
направлении. Таким образом, общее изменение импульса элемента
жидкости, расположенного в точке х0, равно
(птих) Ах Ay Az = —т (nvx) Ax AyAz. C.38)
dt дх
Пусть скорость частицы состоит из двух частей: vx = их + vxr,
их = vx, где их — скорость жидкости, a vxr — скорость
хаотического теплового движения. Тогда для одномерного максвеллов-
ского распределения из уравнения A.7) следует
-L-nidr^ — KT, C.39)
2 2
и уравнение C.38) принимает вид
д , ч д r /~
(птих) =—т —— [п (ul + 2uxvxr + v2xr)\
dt x л' дх
д г /..2 , КТ
д Г С 2 . КТ \]
Взяв частные производные:
~ дих , дп д (пих) дих д , ,,^,ч
тп—-—\-тих =—ти,—-———тпих— (пКТ)
dt dt х дх дх дх К '
C.40)
и воспользовавшись уравнением сохранения массы *)
-^- + _?_(/ш,)=0, C.41)
dt дх
г) Если читатель раньше не сталкивался с этим уравнением, то можно
обратиться к разд. 3.3.5.

3.3. Гидродинамические уравнения
71
можно сократить два члена, которые стоят в соотношении C.40)
по обе стороны знака равенства. Наконец, введя определение
давления
р^пКТ,
приходим окончательно к уравнению
дих . дих
тп\
dt
+ "л
дх
) =
др
дх
C.42)
C.43)
В правой части этого уравнения стоит обычное выражение для силы,
связанной с градиентом давления. Добавляя к ней
электромагнитные силы и обобщая это соотношение на три измерения, получаем
гидродинамическое уравнение
тп
[-^- +(и.у)и]=<7л(Е + ихВ)-
■VP-
C.44)
Полученное нами уравнение справедливо только в частном
случае, поскольку мы исходили из того, что передача лг-компоненты
импульса происходит из-за движения частиц в х-направлении, а
затем предположили, что жидкость изотропна, и поэтому
аналогичные результаты справедливы и для у- и для z-направлений. Однако
^/-компоненту импульса можно передать и посредством движения
жидкости, например вдоль оси х. Предположим, что на рис. 3.3
иу = 0 при х = хй и больше нуля с обеих сторон х0. Тогда при
движении частиц через А и В они внесут в элемент объема больше
положительной компоненты импульса, чем вынесут, и элемент
жидкости приобретает импульс в направлении у. Подобное
сдвиговое напряжение нельзя представить скаляром р, оно должно
описываться тензором напряжений Р, компоненты которого Р{}- —mnviVj
определяют как направление движения, так и связанные с ним
компоненты передаваемого импульса. В общем случае член —ур
заменяется на — V-P-
Мы приведем здесь выражение для тензора напряжений только
в двух простейших случаях. Если функция распределения частиц
изотропная и максвелловская, то Р записывается в виде
Р =
(р
0
1 о
0
р
0
о \
0
р)
C.45)
и V-P в точности равно V/?- В разд. 1.3 мы отмечали, что в
присутствии магнитного поля В плазма может иметь две температуры

72
Гл. 3. Плазма как жидкость
Т± и Т\\. В этом случае и давлений тоже должно быть два: р± =
^=пКТх и р\\=пКТ\\. Тензор напряжений в такой ситуации
записывается в виде
О Pj О
V о о p.. J
C.46)
где элементы третьей строки или третьего столбца связаны с
движением частиц вдоль В. Тензор Р по-прежнему имеет диагональную
структуру; кроме того, он обеспечивает изотропию давления в
плоскости, перпендикулярной вектору магнитного поля В.
В обычной гидродинамике недиагональные элементы тензора Р,
если они существуют, связаны, как правило, с вязкостью. Дело
в том, что в жидкости после столкновения частиц их средняя
скорость направлена вдоль вектора скорости жидкости и в месте их
последней встречи. При следующем столкновении их импульс
передается другому элементу жидкости и т. д. Такой механизм
стремится выравнять и в различных точках пространства, а
возникающее в результате этого сопротивление сдвиговому течению
интуитивно воспринимается нами как вязкость. Чем больше средняя
длина свободного пробега частиц, тем дальше передается импульс
и тем больше вязкость. В плазме аналогичный эффект имеет место
даже в отсутствие столкновений. Он связан с тем, что частицы,
в особенности ионы, в результате ларморовского вращения
попадают в различные точки пространства и поэтому скорости
различных участков плазмы стремятся выравняться. Пространственный
масштаб подобной бесстолкновительной вязкости связан поэтому
не с длиной свободного пробега, а с ларморовским радиусом
частиц. Таким образом, в плазме к столкновительной вязкости
добавляется эффект, который обусловлен конечной величиной
ларморовского радиуса и тесно связан с дрейфом vE частиц в
неоднородном электрическом поле Е [см. уравнение B.58)].
3.3.3. Столкновения
Если в плазме кроме ионов и электронов имеются и нейтральные
атомы, то заряженные частицы будут обмениваться с ними
импульсами посредством столкновений. Импульс, теряемый в
столкновении, пропорционален относительной скорости и—и0, где и0 —
скорость нейтральной компоненты жидкости. Пусть среднее время
между столкновениями т приблизительно постоянно, тогда
возникающую при движении частиц силу трения можно приближенно
записать в виде —тп (и—и0)/т. Обобщим уравнение движения

3.3. Гидродинамические уравнения
73
C.44), включив в него анизотропное давление и столкновения с
нейтральными частицами:
mn[du/dt + (u-v)u] = gft(E + u хВ)-у-Р-ш(и-и0)/т.
C.47)
Столкновения между заряженными частицами сюда не включены;
они будут рассматриваться отдельно в гл. 5.
3.3.4. Сравнение с обычной гидродинамикой
Обычная жидкость удовлетворяет уравнению Навье—Стокса:
Р [-~- + (u- V)uJ = -Vp + pvV2u. C.48)
Оно аналогично уравнению C.47) для плазмы с той лишь разницей,
что здесь отсутствуют электромагнитные силы и столкновения
частиц разного сорта (имеется лишь один сорт частиц). Описывающий
вязкость член pvv2u, где v — коэффициент кинематической
вязкости, соответствует столкновительной части выражения у-Р—у/7
в отсутствие магнитных полей. Уравнение C.48) описывает
жидкость с частыми столкновениями между частицами. Однако
уравнение C.47) было выведено без какого-либо предположения о
величине частоты столкновений. Поскольку эти два уравнения
тождественны с точностью до членов, зависящих от Е и В, то возникает
вопрос: может ли уравнение C.47) действительно описывать
компоненты плазмы? Ответ с некоторой осторожностью является
утвердительным. Выяснив, почему это так, мы установим пределы
применимости гидродинамической теории.
В действительности при выводе уравнения C.47) мы неявно
предполагали, что и в плазме частицы одного вида сталкиваются
между собой. Это предположение было внесено в уравнение C.39),
когда мы приняли, что распределение по скоростям является макс-
велловским. Обычно такое распределение возникает в результате
частых столкновений. Наше предположение, однако,
использовалось только при вычислении среднего от v\r- Любое другое
распределение с той же средней величиной дало бы аналогичный
результат. Следовательно, гидродинамическая теория в целом не очень
чувствительна к отклонениям от максвелловского распределения,
хотя в некоторых случаях эти отклонения существенны и тогда
для описания плазмы нужно применять кинетическую теорию.
Еще одно эмпирическое подтверждение действенности
гидродинамической теории сделал Ирвинг Ленгмюр. Работая с
электростатическими зондами, которые сейчас носят его имя, Ленгмюр
обнаружил, что функция распределения электронов оказалась гораздо
ближе к максвелловской, чем этого можно было ожидать, исходя
из значения частоты столкновений. Это явление, названное
парадоксом Ленгмюра, иногда приписывают влиянию высокочастотных

74
Гл. 3. Плазма как жидкость
колебаний, однако удовлетворительного объяснения парадокса до
сих пор нет. Парадокс Ленгмюра — это, по-видимому, один из
немногих случаев в физике плазмы, когда природа работает на нас.
Гидродинамическую модель можно применять к плазме еще и
потому, что при наличии магнитного поля оно в определенном
смысле может играть роль столкновений. Пусть, например, частица
ускоряется в электрическом поле Е. Если бы ей позволили двигаться
свободно, то ее скорость непрерывно бы росла. Однако при частых
столкновениях частица набирает только конечную скорость,
пропорциональную Е. В частности, электроны в медном проводе
движутся вместе со скоростью v = fxE, где \i — подвижность.
Магнитное поле также ограничивает свободу передвижения частиц,
заставляя их вращаться по ларморовским орбитам. Например,
электроны в плазме тоже дрейфуют как целое со скоростью,
пропорциональной Е: vE ~ Е X В/В2. В этом смысле бесстолкнови-
тельная плазма ведет себя как жидкость со столкновениями.
Разумеется, частицы могут свободно двигаться вдоль силовых линий
магнитного поля, и гидродинамическое рассмотрение не совсем
подходит для описания движения в этом направлении, однако для
движений, перпендикудярных В, гидродинамическая теория является
хорошим[приблишением.
3.3.5. Уравнение непрерывности
Из закона сохранения вещества следует, что общее число частиц N
в объеме V может меняться только в том случае, когда существует
поток частиц через поверхность S, охватывающую этот объем.
Поскольку плотность потока частиц равна пи, из теоремы
Остроградского—Гаусса имеем
^ = ^dV=-§nu-dS=--\4-{nu)dV. C.49)
V V
Поскольку это справедливо для любого объема V, подынтегральные
выражения должны быть равны друг другу:
(dn/dt) + v-(nu)^0. C.50)
Такое уравнение непрерывности справедливо для любого сорта
частиц. При наличии любого источника или стока частиц их нужно
добавлять в правую часть этого уравнения.
3.3.6. Уравнение состояния
Для того чтобы замкнуть систему гидродинамических уравнений,
необходимо еще одно соотношение. Для его вывода мы можем ис-

3.3. Гидродинамические уравнения
75
пользовать термодинамическое уравнение состояния, связывающее
/? и р:
р^Ср\ C.51)
где С — постоянная, а у равна отношению удельных теплоемко-
стей Cp/Cv. При этом величина sjp определяется выражением
(ур/р) = у(уп/п). C.52)
Если процесс сжатия изотермический, [то Vp = V (пКТ) =
= КТуп, так что, очевидно, у = 1. При адиабатическом сжатии
температура КТ меняется, и потому величина у будет больше
единицы. Постоянная у связана с числом степеней свободы N
соотношением
y = B + N)/N. C-53)
Из применимости уравнения состояния следует, что тепловыми
потоками в системе можно пренебречь, т. е. что теплопроводность
среды должна быть низкой. Опять-таки это положение справедливо
скорее для потоков, распространяющихся поперек магнитного
поля В, чем для параллельных ему. К счастью, большинство
основных явлений в ллазме^можно описать в рамках простого
приближения C.51).
3.3.7. Полная система уравнений гидродинамики
Пусть для простоты плазма состоит только из двух компонент:
ионов и электронов. Обобщение на большее число компонент
тривиально. Плотности зарядов и токов в плазме даются
соответственно выражениями
<y = niqi-{-neqet } = niqt\i + neqeve. C.54)
Поскольку мы не будем больше рассматривать движение отдельных
частиц, скорость жидкости можно теперь обозначить через v, а не
через и. Пренебрежем столкновениями и вязкостью, тогда
уравнения C.1) — C.4), C.44), C.50) и C.51) образуют следующую
систему:
e0v-E = /i^f + «^e; C.55)
VXE=— В;
V-B = 0;
[i^1 V X В = nfltVi + neqe\e + e0E;
nijtij [(dVj/dt) -f (Vj • V) vy] = qjtif (E + v, X B)—VP/,
Cn//dO + V-("/V/) = 0, / = t, e;
pj = Cjnyi, j = i, e.
i
C.56)
C.57)
C.58)
t, e;
C.59)
C.60)
C.61)

76
Гл. 3. Плазма как жидкость
скалярных неизвестных в системе 16: /г,-, пе, р(, ре, \{, ve, E и В.
скалярных уравнений, очевидно, 18, поскольку каждое векторное
уравнение эквивалентно трем скалярным. Однако в этой системе
два уравнения Максвелла являются избыточными, поскольку
соотношения C.55) и C.57) можно получить, взяв дивергенцию от
уравнений C.58) и C.56) [см. задачу C.3)]. Совместное решение
системы из 16 уравнений с 16 неизвестными определяет
самосогласованный набор полей и движений в гидродинамическом
приближении.
3.4. Дрейф жидкости перпендикулярно
магнитному полю В
Элемент объема жидкости состоит из множества отдельных частиц,
поэтому можно ожидать, что если ведущие центры отдельных
частиц дрейфуют поперек магнитного поля, то и плазма как целое
будет совершать такой дрейф. Кроме того, поскольку в
гидродинамических уравнениях появляется член Vp, существует и
связанное с ним дрейфовое движение, в котором участвуют элементы
жидкости, а не отдельные частицы. Уравнение движения каждой
компоненты имеет следующий вид:
тп [(dv/dt) + (v • V) v] = qn (E + v x В) — Vp. C.62)
Рассмотрим отношение первого члена в левой части этого уравнения
ко второму слагаемому в правой части. Оно приближенно равно
тп ioy л
qnv В
Здесь мы положили dldt = ico и учитывали только движение со
скоростью v±. Если дрейф медленный по сравнению с временным
масштабом coj" , т. е. со <^ сос, то первым членом в уравнении C.62)
можно пренебречь. Мы пренебрежем также членом (v-v)v, а
потом покажем, что это законно. Пусть поля Е и В однородны, а
величины пир имеют градиенты. Это типичная ситуация в том
случае, когда столб плазмы удерживается магнитным полем (рис. 3.4).
Умножая уравнение C.62) на В векторно и пренебрегая
левой частью полученного равенства, имеем
0 = ^[ExB-f(VixB)xB]- VpxB = <7rt[ExB-f (v±-B) — vxB2]—
— Vp XB.
Следовательно,
vx = (E X B/B2) —(Vp X B)/qnB2 = vE + vD, C.63)

3.4. Дрейф жидкости перпендикулярно магнитному полю В
77
Vp
Bz
JDi
"De
Рис. 3.4. Диамагнитные дрейфы в плазменном цилиндре.
где
v£ = EXB/B2
C.64)
vD=— (vpxB)/^B2.
C.65)
Скорость дрейфа v£ имеет такой же вид, как и в случае Е х В-
дрейфа ведущих центров. Кроме него появляется новый тип дрейфа
со скоростью vd, который называется диамагнитным дрейфом.
Поскольку vD перпендикулярна направлению градиента, то
при Е = 0 член (v-V)v обращается в нуль, и мы правомерно им
пренебрегли. Если же Е = — V^ Ф 0, но V^ и V/? направлены
в одну сторону, то (v-v) v по-прежнему равен нулю. В противном
случае должно существовать более сложное решение, связанное
с нелинейностью (v-v)v. Используя соотношение C.52), скорость
диамагнитного дрейфа можно записать в виде
vD^= ±-
уКТ г X У/г
еВ п
C.66)
В частности, для изотермической плазмы в геометрии рис. 3.4,
обозначив уя = п'г, мы получим следующие формулы, хорошо зна-

78
Гл. 3. Плазма как жидкость
Ов
*-7п
О
О
о
Рис. 3.5. Происхождение диамагнитного дрейфа.
комые экспериментаторам, работавшим с Q-машинами1):
Уш = (KTtfeB) {пЧп)Ъ, {пг = дп/дг<0),
vDe=-(KTe/eB)(n'/ri)Q.
Величину vD легко рассчитать по формуле
C.67)
C.68)
где Л — масштаб изменения плотности в метрах: Л = \nln' |.
Физическую причину этого дрейфа можно понять из рис. 3.5.
Здесь изображены орбиты ионов, вращающихся в магнитном поле.
Судя по густоте орбит, градиент плотности плазмы направлен влево.
Через любой данный элемент объема вниз движется больше частиц,
чем вверх, поскольку опускающиеся ионы выходят из области
с большим значением плотности плазмы. Таким образом, даже
в том случае, когда ведущие центры покоятся, существует
дрейф жидкости, скорость которого перпендикулярна V« и В.
Скорость диамагнитного дрейфа меняет знак вместе с q, поскольку
при перемене знака заряда направление вращения частиц меняется
на противоположное. Величина \D не зависит от массы частиц,
так как связь скорости с массой (~ т~1/2) компенсируется
зависимостью от нее ларморовского радиуса (~ т1'2); чем меньше масса
частицы, тем меньше перепад плотности на расстоянии порядка
ее гирорадиуса.
Поскольку ионы и электроны дрейфуют в противоположных на-
х) В Q-машине спокойная плазма создается посредством термической
ионизации атомов цезия или калия, ударяющихся о горячие вольфрамовые
пластины. Именно на Q-машинах были впервые измерены скорости
диамагнитного дрейфа.

3.4. Дрейф жидкости перпендикулярно магнитному полю В
79
У////////;77777\
©в
^— Vn
0
Рис. 3.6. Дрейф частиц в
ограниченной плазме,
иллюстрирующий связь этого процесса
с гидродинамическим
дрейфом.
Рис. 3.7. Измерение диамагнитного
тока в неоднородной плазме.
правлениях, в плазме возникает диамагнитный ток. При у = Z = 1
он равен
В X V"
\D = ne (vD (— \De) = {KTi + KTe)
S2
C.69)
Рассматривая движение отдельных заряженных частиц,
казалось бы, можно утверждать, что если их ведущие центры покоятся,
то тока в системе не будет. Однако при гидродинамическом
описании плазмы в присутствии градиента давления диамагнитный ток
будет течь всегда, независимо от того, движутся ведущие центры
частиц или нет. Эти две точки зрения можно примирить, если учесть,
что все эксперименты ставятся в ограниченной плазме. Пусть плазма
находится в жестком ящике (рис. 3.6). Если вычислять полный
ток, исходя из теории движения отдельных частиц, то нужно
учитывать и частицы у стенок, траектории движения которых имеют
вид циклоид. Поскольку слева частиц больше, чем справа, то
общий ток будет направлен вниз, что согласуется с результатом,
полученным в рамках гидродинамического анализа.
Читателя может не удовлетворить это объяснение, поскольку
в нем необходимо считать стенки отражающими. Если бы стенки
были поглощающими или их не было вовсе, то обнаружилось бы,
что в системе возникают электрические поля, потому что частиц
одного сорта (с большим ларморовским радиусом) в некоторых
местах собралось бы больше, чем частиц другого сорта. В этом случае
возникает дрейф ведущих центров, и картина станет гораздо более
сложной. Приведем еще один пример, доказывающий существова-

80
Гл. 3. Плазма как жидкость
®VB
Рис. 3.8. В неоднородном магнитном поле В ведущие центры частиц
совершают дрейф, а элементы объема жидкости не дрейфуют.
ние диамагнитного тока. Пусть мы пытаемся измерить этот ток с
помощью зонда (рис. 3.7). Зонд представляет собой трансформатор
с сердечником из магнитного материала. Его первичная обмотка —
это плазменный ток, пронизывающий сердечник, а вторичная —
многовитковая обмотка вокруг сердечника. Пусть сердечник
тонкий и поэтому не мешает движению частиц. Из рис. 3.7 ясно, что
прибор будет измерять результирующий ток, направленный вверх,
поскольку слева плотность частиц, вращающихся вокруг обмотки,
будет больше, чем справа. Следовательно, диамагнитный ток вполне
реален. Из этого примера видно, что с одиночными частицами
работать трудно, а гидродинамическая теория, если ее
последовательно применять, дает правильные результаты несмотря на то,
что она оперирует с «фиктивными» дрейфами наподобие димагнит-
ного.
А что можно сказать с гидродинамической точки зрения о
градиентном дрейфе и дрейфе из-за кривизны силовых линий, которые
имели место для одиночных частиц? При гидродинамическом
описании дрейф из-за кривизны силовых линий по-прежнему
существует, поскольку при движении вдоль изгиба магнитного поля все
частицы в элементе жидкости подвергаются воздействию
центробежной силы. Для описания этого эффекта в правую часть
уравнения движения жидкости нужно добавить член Fci — nmv\\IRc =
= nKT\\/Rc. Центробежная сила эквивалентна силе тяжести Mng,
где g ~ KT\\/MRC. Как и в случае одиночных частиц, она
приводит к дрейфу со скоростью ve = (mlq) (g X В)А62 [выражение
B.18)].
Градиентный дрейф в жидкостях отсутствует. На основе
термодинамических соотношений можно показать, что магнитное поле
не влияет на распределение Максвелла. Это связано с тем, что сила
Лоренца перпендикулярна скорости v и не может изменить
энергию частиц. Наиболее вероятное распределение в отсутствие
магнитного поля является также и наиболее вероятным распределением

3.4. Дрейф жидкости перпендикулярно магнитному полю В
81
при наличии В. Если / (v) в неоднородном поле В остается максвел-
ловской, а градиент плотности отсутствует, то импульс,
передаваемый любому данному элементу жидкости, равен нулю. Дрейф в
жидкости отсутствует даже тогда, когда ведущие центры отдельных
частиц дрейфуют, поскольку скорости дрейфа частиц в элементе
жидкости взаимно компенсируются. Чтобы показать это наглядно,
рассмотрим орбиты двух частиц, движущихся через элемент объема
жидкости в неоднородном магнитном поле (рис. 3.8). Поскольку
поле Е = 0, ларморовский радиус меняется только из-за наличия
градиента магнитного поля В; ускорения частиц не происходит,
поскольку их энергия остается при движении постоянной. Если
две частицы имеют одинаковую энергию, то внутри элемента
жидкости их скорости и ларморовские радиусы тоже будут
одинаковыми. Таким образом, когда при вычислении скорости элемента
жидкости складывают скорости пары частиц, они в точности
компенсируют друг друга.
При наличии электрического поля Е картины движения
жидкости и отдельных частиц согласовать трудно. В этом случае эффект,
связанный с конечностью величины ларморовского радиуса,
рассматривавшийся в разд. 2.4, вызовет как дрейф ведущих центров,
так и дрейф жидкости. Но это не один и тот же дрейф. В
действительности скорости этих дрейфов направлены в противоположные
стороны! Дрейф частиц мы рассматривали в гл. 2. Скорость
гидродинамического дрейфа можно рассчитать, если известны
недиагональные элементы тензора Р. Однако исключительно трудно
объяснить, почему так сильно разнятся эти два эффекта, ведь оба они
обусловлены конечностью ларморовского радиуса. Простая
картина типа рис. 3.6 в этом случае бесполезна, поскольку при анализе
нужно учитывать очень тонкие эффекты, например такой: в
присутствии градиента п плотность ведущих центров не равна
плотности частиц!
Задачи
3.3. Покажите, что в системе уравнений Максвелла уравнения C.55) и C.57)
являются избыточными.
3.4. Покажите, что выражение для )d [правая часть формулы C.69)] имеет
размерность плотности тока.
3.5. Покажите, что если при заданной ширине ящика ток, вычисленный по
движению остальных частиц, совпадает с током, величина которого
рассчитана по скорости диамагнитного дрейфа (рис. 3.6), то они останутся равными
при любой ширине ящика.
3.6. Изотермическая плазма удерживается между плоскостями х = ± а
в магнитном поле В = B0z. Распределение плотности имеет вид п =
= п0 A—хУа2).
а) Получите выражение для скорости диамагнитного дрейфа электронов V£>e
как функции х.

82
Гл. 3. Плазма как жидкость
б) Нарисуйте чертеж, показывающий, как распределена плотность и куда
направлена скорость \ое по обе стороны от центральной плоскости, если
вектор магнитного поля В указывает на нас.
в) Оцените VQe при х = а/2, если В = 0,2 Тл, КТе = 2 эВ, а = 4 см.
3.7. В симметричном цилиндрическом столбе плазмы, помещенном в
однородное магнитное поле В, п (г) = п0 ехр ( — ^2/>"о) > ni ~ пе = по ехР {e&^^е) •
а) Покажите, что скорости V£ и v^e равны по величине, но противоположны
по направлению.
б) Покажите, что плазма вращается как твердое тело.
в) В системе отсчета, вращающейся со скоростью V£, некие плазменные
волны (так называемые дрейфовые волны) распространяются с фазовой
скоростью \ф = 0,5 voe. Какова величина v^ в лабораторной системе?
Нарисуйте на плоскости гв стрелки, показывающие относительные величины и
направления \е, vpe и v . в лабораторной системе.
3.8. а) Для плазмы, рассмотренной в задаче 3.7, найдите плотность
диамагнитного тока как функцию радиуса.
б) Вычислите jd в единицах А/м2, если J3 = 0,4 Тл, п0=1016м-3, КТе=
= KTt = 0,25 эВ, г = г0 = 1 см.
в) Какие частицы переносят этот ток в лабораторной системе: ионы,
электроны, или и те и другие?
3.9. На какую величину поле В на оси цилиндра уменьшает диамагнитный
ток, рассмотренный в предыдущей задаче? Указание: можно воспользоваться
законом Ампера, выбрав соответствующим образом контур.
3.5. Движение жидкости параллельно
магнитному полю
Вернемся к уравнению движения плазмы в гидродинамическом
приближении; г-компонента этого уравнения имеет вид
mn [dvjdt + (v • V) vz] = — др/dz + qnEz. C.70)
Конвективным членом часто можно пренебречь, поскольку он много
меньше члена dvjdt. Мы не будем приводить здесь сложных
доводов, а просто рассмотрим случай, когда vz пространственно
однородна. Пользуясь уравнением C.52), получаем
dvjdt = (q/tn) Ez— (yKT/mn) (дп/dz). C.71)
Отсюда видно, что вдоль направления В плазма ускоряется под
действием суммы электростатической силы и силы, связанной с
градиентом давления. Особенно важный результат получается, если
применить уравнение C.71) к безмассовым электронам. Переходя
к пределу т -> 0 и полагая q = — е, имеем х)
qEz = е (дф/dz) = (yKTJn) (дп/дг). C.72)
*) Почему нельзя считать, что vz ->- оо, а величина mvz сохраняется
постоянной? Посмотрите, как изменяется энергия частицы!

3.5. Движение жидкости параллельно магнитному полю
83
•о. о« ^ «о •$$#$ cf«P# °*° •
Y7r> ь. ^
Гп "^ -^
Е -« »~
»-
В
+
Рис. 3.9. Физическое обоснование соотношения Больцмана, связывающего
плотность и потенциал.
Электроны настолько подвижны, что их теплопроводность почти
бесконечна, поэтому их можно считать изотермическими и
положить 7=1. Интегрирование уравнения C.72) дает
еф = КТе\пп + С
или
п=^п0ехр(еф/КТе).
C.73)
Это и есть распределение Больцмана для электронов.
Каков его физический смысл? Электроны легкие, поэтому они
очень подвижны. Если бы на них действовала сила, то электроны
быстро бы ускорились до высоких энергий. Однако электроны
в массе своей не могут покинуть какую-либо область, оставив
позади большой ионный заряд. Следовательно, полная сила,
действующая на электроны, должна быть близка к нулю, т. е. электростатичес-
ские силы и силы, связанные с градиентом давления, должны с
хорошей точностью уравновешивать друг друга. Это условие и
приводит к соотношению Больцмана. Заметим, что выражение C.73)
применимо к каждой силовой линии в отдельности. Если нет
механизма, заставляющего электроны двигаться поперек В, то
различные силовые линии могут быть произвольным образом
«заряжены» до разных потенциалов. Подобное действие могут оказывать
проводники, на которых оканчиваются силовые линии, поэтому
экспериментатору нужно очень тщательно учитывать эти краевые
эффекты.
На рис. 3.9 схематически показано, что происходит, когда в
плазме образуется локальный сгусток плотности. Пусть градиент

84
Гл. 3. Плазма как жидкость
плотности направлен к середине рисунка, а величина КТ постоянна,
тогда градиент давления тоже будет направлен к середине рисунка.
Поскольку плазма квазинейтральна, то градиент имеется и в
ионной, и в электронной жидкостях. Рассмотрим силу Fp, связанную
с градиентом давления в электронной жидкости. Она выталкивает
подвижные электроны из центра, оставляя там ионы.
Возникающий в результате этого положительный заряд создает
электрическое поле Е, со стороны которого на электроны действует сила F£,
противодействующая Fp. Стационарное состояние достигается,
только когда FE равна по величине и противоположна по
направлению Fp. Если В постоянно, то мы имеем электростатическое
поле Е = — уф и потенциал ф должен быть больше в середине
системы, там, где выше концентрация п. Именно об этом и
свидетельствует выражение C.73). В плазме устанавливается такое
отклонение от точной нейтральности, что избыточный заряд
достаточен для возникновения поля Е, необходимого для
уравновешивания действующих на электроны сил.
3.6. Плазменное приближение
Рассмотренный в предыдущем разделе пример выявляет одну
важную особенность плазмы, которая имеет широкое применение. Поле
Е находят обычно из уравнения Пуассона в случае, когда задана
плотность заряда о. В плазменных же задачах используется, как
правило, обратная процедура: поле Е определяют из уравнения
движения, а уравнение Пуассона решают лишь для того, чтобы
найти о. Объясняется это тем, что плазма любым способом
стремится оставаться нейтральной: если ионы движутся, то электроны
будут следовать за ними, а электрическое поле Е подстроится
таким образом, чтобы при движении электронов и ионов сохранялась
нейтральность плазмы. Какова при этом плотность заряда, не столь
важно: она сама станет такой, чтобы удовлетворялось уравнение
Пуассона. Разумеется, все это справедливо лишь для
низкочастотных движений, когда инерция электронов не играет существенной
роли.
Можно считать, что в плазме, как правило, nt = пе и в то же
время V-E =т^0. Данное условие будем называть плазменным
приближением — это фундаментальное свойство плазмы, которое
начинающим трудно понять. Пользуйтесь уравнением Пуассона для
вычисления Е лишь в случае крайней необходимости* В плазменном
приближении из системы гидродинамических уравнений C.55) —
C.61) можно исключить уравнение Пуассона, а также одно из
неизвестных, полагая П{ = пе = п.
Плазменное приближение похоже на обсуждавшееся выше
условие квазинейтральности, но имеет более точный смысл. В то время
как термин «квазинейтральность» относится к общей тенденции

3.5. Движение жидкости параллельно магнитному полю
85
плазмы быть нейтральной в состоянии покоя, плазменное
приближение — это математическое упрощение, которое можно
использовать и при анализе волновых движений. Если эти движения
настолько медленные, что и ионы, и электроны успевают на них
откликаться, то с хорошей степенью точности уравнение Пуассона
можно заменить на равенство fit = пе. Конечно, плазменное
приближение неприменимо в тех случаях, когда могут двигаться
частицы только одного сорта, а другие не имеют возможности
следовать за ними, например в случае высокочастотных электронных
волн. При этом электрическое поле Е нужно находить не из
уравнений движения ионов и электронов, а из уравнений Максвелла.
Мы вернемся к вопросу о применимости плазменного приближения,
когда будем изучать теорию ионно-звуковых волн. К тому времени
станет ясно, почему при анализе дебаевского экранирования мы
должны были пользоваться уравнением Пуассона.

Глава 4
ВОЛНЫ В ПЛАЗМЕ
4.1. Представление волн
Любое периодическое движение с помощью фурье-разложения можно
представить в виде суперпозиции гармонических колебаний с
различными частотами со и длинами волн Я. Простейшая волна
представляет собой одну из этих компонент. Волна обычно имеет
синусоидальную форму, когда амплитуда колебаний мала. Этот случай
мы и будем рассматривать.
Любую величину, меняющуюся по синусоидальному закону,
например плотность п, можно записать в виде
п= nexp[i(k-r—со*)], D.1)
где в декартовых координатах
k-r = kxx-\-kyy + kzz. D.2)
Здесь п — постоянная, определяющая амплитуду волны, а к —
волновой вектор. Если волна распространяется вдоль оси х, то к
имеет только х-компоненту и соотношение D.1) принимает вид
п — п exp [i (kx—со/)].
Записывая величины в экспоненциальном виде, мы
подразумеваем, что физический смысл имеет только вещественная часть этого
выражения. Пусть п вещественна; вскоре мы увидим, что это
соответствует определенному выбору источника колебаний. В этом
случае вещественная часть величины п равна
Re(ft)— nzos(kx — (at). D.3)
Точка постоянной фазы движется в волне таким образом, что
(dfdt) (kx— Ы) = О или
dt k V<i>'
Величина u<j> называется фазовой скоростью. Если отношение calk
положительно, то волна движется вправо, т. е. с увеличением t

4.1. Представление волн 87
значение х возрастает таким образом, что величина kx—(at
сохраняется. Если величина <o/k отрицательна, то волна движется влево.
Ясно, что функцию п можно также записать в виде
п = п exp [i (kx -\- cat)],
и тогда положительным значением со/& будут отвечать волны,
движущиеся влево. Иногда используют и такую запись, но мы этого
делать не будем. Заметим также, что одновременная смена знаков
как у со, так и у k приводит к тем же физическим значениям
плотности [см. D.3)].
Рассмотрим теперь другую связанную с волной осциллирующую
величину, скажем электрическое поле Е. Поскольку мы уже
предположили, что фаза величины п равна нулю, необходимо приписать
Е некоторую отличную от нуля фазу 6:
E = Ecos(&x—со/-И), Е = 1ем^-^+б), D.5)
где Е — постоянный вещественный вектор.
Обычно информацию о фазе включают в Е, считая величину Е
комплексной:
Е = eYV (kx~ai) = EV (kx- ot),
где Ee — комплексная амплитуда. Зная последнюю, можно найти
фазу б, поскольку Re (Ес) = Е cos б, a Im (Ес) = Е sin б;
следовательно,
tg6=Im(Ec)/Re(Ec). D.6)
С этого момента мы будем предполагать, что амплитуды всех
величин являются комплексными и в дальнейшем будем опускать
нижний индекс с. Любую осциллирующую величину можно записать
в виде
gi-giexp[i(k.r — ©*)L D-7)
поэтому в последующих формулах gx может обозначать либо
комплексную амплитуду, либо выражение D.7) в целом. Путаницы это
не создаст, поскольку в линейной теории волн в обеих частях всех
уравнений возникает один и тот же экспоненциальный множитель
и его можно сократить.
Задача
4.1. В так называемой дрейфовой волне амплитуды колебаний плотности
п1 и потенциала Фг связаны соотношением
п1 ефх со* -\- i a
п0 КТе со + i a
Остальные входящие в эту формулу величины (кроме i) положительны.

88
Гл. 4. Волны в плазме
а) Получите выражение для сдвига фаз бмежду^1ип1 (считайте для
простоты, что величина п1 вещественна).
б) Пусть со<со+. Опережает ли потенциал Фх величину п1 по фазе или
запаздывает по отношению к ней?
4.2. Групповая скорость
Фазовая скорость волны в плазме нередко превышает скорость
света с. Это, однако, не нарушает теорию относительности,
поскольку бесконечно длинный волновой пакет постоянной
амплитуды не может переносить информацию. (Например, если несущая
радиоволна не модулирована, то с ее помощью нельзя передать
никакую информацию.) Информация же, содержащаяся в
модуляции, перемещается не с фазовой, а с групповой скоростью, которая
всегда меньше с. Для иллюстрации сказанного рассмотрим
модулированную волну, образованную сложением («биением») двух
волн с почти равными частотами. Пусть эти волны записываются
в виде
Ei-Eocosiik + Afyx—(со + Лсо)*], ,48
Е2•= Е0 cos [(k—Ak)x—(со — A©)f].
Частоты волн Ех и Е2 отличаются на величину 2Лсо. Поскольку
каждая из волн должна иметь в среде определенную фазовую
скорость со/&, в волновых числах возникнет разность 2Л&. Используя
обозначения а = kx—со/, b = (Ak)x — (Лео) t, получаем
Ex + E2 = E0 cos (a + b) + E0 cos (a — b) = E0 (cos a cos b—sinasinb +
-f- cos a cos b -f- sin a sin b) = 2E0 cos a cos b;
E1 + E2 = 2E0cos[(Ak)x — (A(xi)t]cos(kx—(»t). D.9)
Это синусоидально модулированная волна (рис. 4.1). Огибающая
волны дается выражением cos [{Ak) x — (Асо) t] и является
носителем информации. Она распространяется со скоростью Лсо/Л£.
Перейдя к пределу Лео ->- 0, определим групповую скорость
следующим образом:
vra = da)/dk.
■тр
D.10)
Эта величина не может превышать скорости света с.
Рис. 4.1. Пространственное распределение электрического поля суммы двух
волн с близкими частотами.

4.3. Плазменные колебания
89
4.3. Плазменные колебания
Если электроны плазмы сместить относительно однородного ионного
фона, то в системе возникнет электрическое поле. Оно будет
направлено так, чтобы восстановить нейтральность плазмы, т. е.
сдвигать электроны в их первоначальное местоположение. Из-за
инерции электроны проскочат свое положение равновесия и
будут колебаться вокруг него с характерной частотой, которая
называется плазменной частотой. Эти колебания являются
настолько быстрыми, что ионы не успевают откликнуться на
осциллирующее поле и их можно считать покоящимися. На рис. 4.2
светлыми прямоугольниками показаны типичные элементы ионной
жидкости, а темными — смещенные относительно них участки
электронной жидкости. Возникающие сгустки заряда создают
периодическое в пространстве поле Е, которое стремится вернуть
электроны в нейтральные положения.
Мы выведем выражение для плазменной частоты в простейшем
случае, сделав следующие предположения: 1) магнитное поле
отсутствует; 2) в плазме нет теплового движения (КТ = 0); 3) ионы
равномерно распределены в пространстве и неподвижны; 4) плазма
является бесконечно протяженной; 5) электроны движутся только
вдоль оси х. Как следствие последнего предположения, мы имеем
V^xd/дх, Е = £х, VXE = 0, Е= — Vj>- D.11)
Таким образом, переменное магнитное поле также отсутствует и
колебания являются чисто электростатическими.
Уравнение движения и уравнение непрерывности для
электронов имеют следующий вид:
mne[(dvJdt) + (ve-V) vj= -eneE, D.12)
(dne/dt) + y.(neve) = 0. D.13)
Для анализа нам потребуется единственное уравнение Максвелла,
которое не содержит В, а именно уравнение Пуассона. Этот случай
является исключением из сформулированного в разд. 3.6 общего
правила, согласно которому нельзя искать Е, пользуясь
уравнением Пуассона. Плазменные колебания являются
высокочастотными, важную роль в них играет инерция электронов, поэтому
в данном конкретном случае главный эффект связан именно с
отклонением от нейтральности. Согласно сделанным предположениям,
мы можем записать уравнение Пуассона в виде
e0v • Е = е0дЕ/дх = е(щ — пе). D.14)
Уравнения D.12) — D.14) нетрудно решить, применяя
процедуру линеаризации. Она состоит в том, что амплитуда колебаний
считается малой, и поэтому членами, содержащими высокие
степени амплитуды, пренебрегают. Сначала мы разделим все перемен-

90
Гл. 4. Волны в плазме
+ -
+
+ -
D
D11D
D11D
D11D
П
П\
Рис. 4.2. Механизм плазменных колебаний.
ные на две части: «равновесную», обозначаемую индексом 0, и
«возмущение», которое пометим индексом 1:
ne = nQ^-nx\ ve = v0 + v1; E = E0 + E1. D.15)
Равновесные величины описывает состояние плазмы в отсутствие
колебаний. Поскольку мы предположили, что, прежде чем
электроны сместили, плазма была однородной, нейтральной и
находилась в покое, то
V«o = v0=Eo = 0,
(dnjdt) = {dvo/dt) = (dEJdt) = 0. D.16)
Уравнение D.12) в наших предположениях принимает вид
m[(aVl/<?0 + (vrV) vt] = -eEj. D.17)
0
Член (vj_-V) v1 квадратичен по амплитуде и, проводя
линеаризацию, мы им пренебрежем. Линейная теория справедлива только
в том случае, если величина | их\ достаточно мала и такими
квадратичными членами действительно можно пренебречь. Аналогично
уравнение D.13) можно записать в виде
(dnjdt) + у • (rt0vi + пм) = 0,
0
или
D.18)
(dnjdt) + rc0V ■ vx + V! • Vn0 = 0.
0
Заметим, что в уравнении D.14) в положении равновесия ni0 = пе0,
а пц = 0 потому, что ионы считаются неподвижными.
Следовательно,
е0у-Е1==— еъ. D.19)

4.3. Плазменные колебания
91
Будем считать/что осциллирующие величины изменяются по
гармоническому закону:
Vi= i>ixexp [i (kx—(dt)]t n1 = n1ex^[[{kx—&t)],
Ех = ££ exp [i (kx— at)]. D.20)
Таким образом, производную по времени можно заменить на — ico,
а градиент V — на i kx. Уравнения D.17) — D.19) принимают
тогда следующий Вид:
— 'im®v1=—eE1, D 21)
— iGMi=—n0\kvu D.22)
\kE0Ex=—enx. D.23)
Исключая отсюда щ_ и Еъ из уравнения D.21) получаем
— \тш\ = (— е)- — — = — 1—— fi- D.24)
i ks0 (— ico) e0co
Если скорость vx не равна нулю, то мы должны считать, что
со2 = п0е21тг0. Таким образом, плазменная частота
(п0е2/е0тI:2 рад/с.
D.25)
Для численных расчетов можно пользоваться приближенной
формулой
а)р12п = [р^9л/п. D.26)
Плазменная частота зависит только от плотности плазмы и
является одним из основных ее параметров. Поскольку масса
электрона т мала, плазменная частота обычно очень велика. Например,
для плазмы плотностью п = 1018 м-3 имеем fp ж 9 A018I2 =
= 9 -109 с-1 = 9 ГГц. Излучение на fp чаще всего попадает в СВЧ-
диапазон. Можно сравнить сор с другой электронной частотой, а
именно с циклотронной частотой сос. Численная формула для ее
расчета имеет вид
юс/2я = /^28 ГГц/5 (Тл). D.27)
Таким образом, если п « 1018 м-3, то при В = 0,32 Тл
электронная циклотронная частота примерно равна электронной
плазменной.
Из формулы D.25) следует, что частота плазменных колебаний
должна зависеть только от п. В частности, а> не зависит от k,
поэтому групповая скорость dm/dk равна нулю, и возмущение
плотности в плазме не распространяется. Почему это происходит?
Причину можно понять с помощью аналогии с механической системой
(рис. 4.3). Представим себе тяжелые шарики, подвешенные на пру-

92
Гл. 4. Волны в плазме
Рис. 4.3. Волна в системе независимых осцилляторов.
жинках на одинаковых расстояниях друг от друга. Если пружинки
одинаковы, то каждый из шариков будет совершать вертикальные
колебания с одной и той же частотой. Если шарики начинают
движение при соответствующих фазах относительно друг друга, то
в системе может образоваться волна, бегущая в том или ином
направлении. Частота колебаний будет определяться пружинами,
однако длину волны можно выбрать произвольной. Заметим, что
такая волна не оказывает никакого воздействия на покоящиеся
концевые шарики; ясно, что начальное возмущение в этой системе
останется локализованным и никуда распространяться не будет.
Стоячие или бегущие волны, которые можно создать в такой
цепочке, напоминают волны на натянутой веревке, но в отличие от
первых волны на веревке могут распространяться вдоль нее и
переносить энергию, потому что каждый участок веревки связан с
соседними участками.
Рассмотренная аналогия не является совершенно точной,
поскольку в плазменных колебаниях частицы движутся вдоль
волнового вектора к, а не поперек него. Легко видеть, однако, что если
электроны не сталкиваются с ионами и друг с другом, то и в случае
продольных колебаний их все равно можно рассматривать как
независимые осцилляторы, только двигаться они будут (рис. 4.3)
в горизонтальном направлении. А как поведет себя электрическое
поле? Сможет ли оно выйти из области начального возмущения
и вызвать колебания близлежащих слоев плазмы? В нашем
примере — нет, потому что электрическое поле, создаваемое равным
Рис. 4.4. В ограниченной среде плазменные колебания распространяются
благодаря полям, возникающим на границах системы.

4.4. Электронные плазменные волны
93
числом положительно и отрицательно заряженных бесконечных
плоских слоев, равно нулю; однако в любой конечной системе
плазменные колебания будут распространяться. На рис. 4.4
показана цилиндрическая труба, в которую заключены области с
положительными и отрицательными зарядами, создаваемые плазменным
колебанием. Возникающее на торцах цилиндра электрическое поле
приводит к тому, что появляется связь между отдельными слоями,
и колебание больше не остается локализованным.
Задачи
4.2. Вычислите плазменную частоту с учетом движения ионов и подтвердите
таким образом наше предположение о том, что ионы остаются в покое.
(Указание: включите в уравнение Пуассона член, пропорциональный nxi, и
воспользуйтесь уравнениями движения и непрерывности для ионов.)
4.3. Для случая простого плазменного колебания, в котором ионы
неподвижны, а зависимость от координат и времени имеет вид exp [i (kx—(at)],
вычислите фазы величин Фъ Е1 и иь считая, что фаза плотности пх равна
нулю. Проиллюстрируйте фазовые сдвиги, нарисовав синусоидальные волны,
изображающие пх, Фъ Ех и vx как функции координаты х и как функции
времени t при о)/&>0и при со/k < 0. Заметим, что временные зависимости
можно получить, перемещая изображения пространственных распределений
в соответствующем направлении, как если бы волны проходили мимо
покоящегося наблюдателя.
4.4. Запишите линеаризованное уравнение Пуассона, использованное при
анализе простейших плазменных колебаний, в виде V-(eE) = 0 и получите
выражение для диэлектрической проницаемости е, справедливое для
продольных высокочастотных движений.
4.4. Электронные плазменные волны
Кроме конечных размеров системы существует и другой эффект,
который может вызвать распространение плазменных колебаний.
Это тепловое движение. Тепловые электроны, проникающие в слои
плазмы, прилегающие к области, в которой имеют место колебания,
переносят информацию о том, что происходит в этой области.
Плазменные колебания в этом случае более точно можно назвать
плазменной волной. Мы можем легко учесть этот эффект, добавив в
уравнение движения D.12) член — V/V Согласно формуле C.53), в
одномерном случае 7 = 3. Следовательно,
Vpe = ЗКТеупе = ЗКТеу {п0 + пг) = ЗКТех {dnjdx),
и линеаризованное уравнение движения принимает вид
mn0 (dvjdt) - —enuE1 — 3KTJ{dnldx). D.28)
Заметим, что при линеаризации мы пренебрегли членами пг (dvjdt),
п1Е1 и (vrv) vx. С учетом соотношений D.20) уравнение D.28)

94
Гл. 4. Волны в плазме
можно записать в виде
— \mamQVx——ещЕг — SKTgikrix. D.29)
Величины Ег и пг по-прежнему определяются из уравнений D.23)
и D.22), и мы имеем
i пкап^Рх = [enQ (—ell &е0) + ЗКТе i k] (n0 i k/i со) c/j:
(*2vx = [{n^Veotn) + 3 {KTekVm)\ vx\
2 2 , 3,22
со = (Op + —- k итепл,
D.30)
где v7eujl = 2KTJm. Частота теперь зависит от k, и групповая
скорость имеет конечное значение:
2со dсо = vTCUn2k dk,
•тр
da/dk
2
^тепл
(£/со) = —- vlznJVi
D.31)
Групповая скорость vrp плазменных волн всегда меньше скорости
света с. Это легко увидеть из графика зависимости D.30). Такая
дисперсионная кривая со (k) изображена на рис. 4.5. Для данной
точки Р на этой кривой фазовая скорость равна тангенсу угла
наклона прямой, соединяющей эту точку с началом координат. Наклон
касательной к кривой в точке Р определяет величину групповой
скорости. Ясно, что она всегда меньше, чем C/2I2 1>тепЛ, что в свою
очередь для рассматриваемого нами нерелятивистского случая много
меньшее. Заметим, что при больших k (малых X) информация
переносится с тепловой скоростью частиц. При малых k (больших X)
скорость ее распространения остается меньше итепЛ, даже если уф боль-
а>
,/ \A3/2JVmen„
~200Б
Рис. 4.5. Дисперсионная кривая
для электронных плазменных
волн (они же ленгмюровские
колебания и волны Бома—Гросса).
Рис. 4.6. Схема эксперимента Луни —
Брауна по возбуждению плазменных
колебаний.

4.4. Электронные плазменные волны
95
1,0
0,8
t °<6
*- 0,4
0,2
Разрядный ток, лгА
100 200 . 300
I
тгспт
QTYVYVn
fy\VY>
rvw>
I I I I I
/ _
9P*
— / —
s' i i i i i i
6 8 10 12 /4xf09
ie, cm-3
Рис. 4.7. Зависимость квадратов наблюдавшихся в эксперименте частот от
плотности плазмы, которая обычно пропорциональна разрядному току. На
вставке показаны наблюдавшиеся распределения интенсивности в
колебаниях. Они свидетельствуют о том, что каждой группе экспериментальных
точек соответствует своя стоячая волна. [Из работы: Looney D. Н.,
Brown S. С, Phys. Rev., 93, 965A954).]
ше Утепл- Это связано с тем, что при больших Я, градиент плотности
в волне мал и тепловое движение передает прилегающим слоям
очень небольшой импульс.
О существовании плазменных волн было известно еще
с 1920-х гг. со времен Ленгмюра. Однако только в 1949 г. Бом и
Гросс разработали детальную теорию, описывающую возбуждение
и распространение этих волн. Самый простой способ возбудить
плазменные волны — это приложить осциллирующий потенциал
к сетке или к набору сеток, помещенных в плазму. Однако в то
время генераторы гигагерцевого диапазона еще не были
распространены и вместо них в экспериментах по возбуждению
плазменных волн использовались пучки электронов. Если электроны пучка
сгруппированы в сгустки, проходящие мимо данной точки с
частотой fp, то они будут генерировать на этой частоте электрическое
поле и, следовательно, возбуждать плазменные колебания. Нет
необходимости заранее создавать такие сгустки электронов; после
того как в плазме возникнут колебания, они сами сгруппируют
электроны, а это в свою очередь приведет к росту плазменных
колебаний благодаря положительной обратной связи. Первый
эксперимент по проверке этой теории выполнили Луни и Браун в 1954 г.
Их прибор представлял собой стеклянную колбу диаметром около
10 см (рис. 4.6). Плазма, заполнявшая колбу, создавалась в парах
ртути при низком давлении C-10~3 мм рт. ст.) с помощью
электрического разряда между катодом К и анодным кольцом А. Электрон-

96
Гл. 4. Волны в плазме
ный пучок формировался в боковом отводе, где помещалась
отрицательно заряженная нить накала. Эмиттированные электроны
ускорялись напряжением 200 В и выстреливались в плазму через
маленькое отверстие. Для регистрации колебаний использовался
тонкий подвижный проволочный зонд, подсоединенный к
приемнику радиосигнала. На рис. 4.7 показана полученная в
эксперименте зависимость квадрата частоты наблюдаемых колебаний /2
от тока разряда, который обычно пропорционален плотности
плазмы. Эта зависимость линейная, что в целом согласуется с
выражением D.26). Отклонения от прямой можно, казалось бы,
приписать влиянию члена &2£>тепл из формулы D.30), однако следует
заметить, что в эксперименте наблюдались не все частоты;
величина k должна была быть такой, чтобы на длине плазменного столба
могло уложиться полуцелое число длин волн. Слева на рис. 4.7
показаны распределения поля в таких стоячих волнах.
Предсказанные ранее распространяющиеся волны в этом эксперименте
увидеть не удалось. Вероятнее всего, это объясняется тем, что пучок
был очень тонкий и вследствие теплового движения электроны
покидали его, унося с собой энергию колебаний. К тому же
оказалось, что электроны окончательно собирались в сгустки не в самой
плазме, а в колеблющихся слоях у концов плазменного столба.
Этот ранний эксперимент показал, что для создания в лаборатории
тех условий, которые предполагает теория однородной плазмы,
необходимо большое искусство.
Эксперименты, проведенные в последнее время, с большой
точностью подтвердили, что дисперсионное соотношение Бома—Гросса
D.30) справедливо. В качестве примера современного
экспериментального метода рассмотрим работу Баррета, Джонса и
Франклина. Схема их установки показана на рис. 4.8. Цилиндрический
столб спокойной плазмы был получен на Q-машине посредством
термической ионизации атомов цезия на горячих вольфрамовых
пластинах (на рисунке не показаны). Сильное магнитное поле
заставляло электроны двигаться только вдоль столба плазмы. Волны
возбуждались с помощью проволочного зонда, подсоединенного
к источнику колебаний, а регистрировались вторым, подвижным
зондом. Плазма была окружена металлическим кожухом,
представлявшим собой волновод, частота отсечки которого была выбрана
так, чтобы не допустить взаимодействия между зондами из-за
распространения в плазме обычных электромагнитных СВЧ-колебаний.
Бегущие плазменные волны регистрировались интерферометр иче-
ским методом: переданный и полученный сигналы детектировались
кристаллическим смесителем, который давал на выходе большой
постоянный ток, если сигналы были в фазе, и не давал тока, если
сдвиг фаз между сигналами составлял 90°. На рис. 4.9 показаны
зависимости результирующего сигнала от положения зонда в
плазменном столбе при различных плотностях плазмы. Для понижения
уровня шумов в эксперименте использовался метод синхронного

4.4. Электронные плазменные волны
Возбуждающий, зонд
Блокировка
пост, тока
97
Приемный зонд
<(<- -Г^"'
штшшшшт е
VI шипит пинии inuiuunn

Аттенюатор
Генератор
сигнала
/0-7200 МГц,
I Блокировка
пост, тока

Кристаллический
смеситель
Фазовая
задержка
Модулятор
500 кГц
Усилитель
на частоте
500 кГц
Самописец
Рис. 4.8. Схема эксперимента по измерению параметров плазменных волн
[Из работы; Barrett P. J., Jones H. G., Franklin R. N., Plasma Physicks,
10, 911 A968).]
детектирования: сигнал возбуждения модулировался с частотой
500 кГц, поэтому и выходной сигнал должен оказаться промодули-
рованным с этой же частотой. Регистрируя только компоненту
сигнала с частотой 500 кГц, экспериментаторы избавились от шумов
на других частотах. Зависимости, представленные на рис. 4.9,
позволяют найти в каждом случае волновое число k. Изменяя частоту
со, авторы получили зависимость величины (со/сорJ от ka, где а —
радиус плазменного столба (рис. 4.10). Разным кривым на этом
рисунке отвечают разные значения сора/уГепл- При vTeTm = 0
имеем кривую, отмеченную знаком оо. Она соответствует
дисперсионному уравнению со = сор. В случае итепл Ф 0 кривые,
изображенные на рисунке, соответствуют дисперсионной кривой,
представленной на рис. 4.5. Экспериментальные точки хорошо
согласуются с теоретическими кривыми. Уменьшение со при малых ka
связано с влиянием ограниченности системы, которое
иллюстрирует рис. 4.4. Впрочем, в данном эксперименте это отклонение
может быть связано и с другими причинами. Дело в том, что для
выполнения граничного условия, налагаемого из-за наличия
проводящего кожуха, т. е. условия Е = 0 на проводнике, плазменные

nQ= 2-70ю см'3
f = 950 МГц
X = 3,5 см
п0= 4>Ю8см'3
f = гю МГц
Л. = 7,3 ел»
п0= J'W7 см'3
■Г = 20 МГц
А = 5,7 см
Рис. 4.9. Пространственное распределение возмущения плотности в
плазменной волне, измеряемое с помощью интерферометра, который перемножает
мгновенные значения сигналов от двух зондов и берет от произведения
среднее по времени. Интерферометр настроен на частоту волны, которая зависит
от плотности. Затухание, заметное при малых плотностях, вызвано шумами
в плазме. [Из работы: Barrett P. /., Jones H. G., Franklin R. N,, Plasma
Physics, 10, 911 A968).]
Рис. 4.10. Сравнение расчетной дисперсионной кривой с измерениями для
случая электронных плазменных волн, распространяющихся в цилиндре
радиусом а. [Из работы: Barrett P. J., Jones H. G., Franklin R. N., Plasma
Physics, 10, 911 A968).!
WW

4.4. Электронные плазменные волны
99
к
■*- В »»
Ч г* Л, sec 9
Рис. 4.11. Фронты волн, движущихся под углом к направлению магнитного
поля, вдоль поля разделены между собой расстоянием, которое больше длины
волны Я.
волны должны распространяться под некоторым углом к
магнитному полю. Деструктивная интерференция между теми бегущими
волнами, у которых радиальная компонента волнового вектора к
направлена наружу, и теми волнами, у которых она направлена
внутрь, и позволяет удовлетворить граничному условию Е = 0.
Однако если волна распространяется под углом к магнитному
полю, то расстояние между ее максимумами и минимумами,
измеряемое вдоль поля, будет больше чем Х/2 (рис. 4.11). Поскольку
электроны в сильном магнитном поле В могут двигаться только
вдоль В, они будут взаимодействовать именно с этим, более
длинноволновым колебанием. В результате электроны будут двигаться
медленнее, чем это предсказывается в теории волн в изотропной
плазме, и частота раскачиваемых ими колебаний окажется меньше
чем сор.
Задачи
4.5. Электронная плазменная волна распространяется в однородной плазме
с параметрами КТе = 100 эВ, п = ЮХ6 м~3, В = 0. Пусть частота волны
равна / = 1,1 ГГц. Какова длина волны в сантиметрах?
4.6. а) Изучите влияние столкновительного затухания на распространение
плазменных волн (ленгмюровских колебаний). Для этого добавьте к правой
части уравнения движения электронов член —tnnvv и заново выведите
дисперсионное уравнение при Те = 0.
б) Выпишите точное выражение для Im (<o) и покажите, что его знак
указывает на затухание волны со временем.

100
Гл. 4. Волны в плазме
4.5. Звуковые волны
В качестве введения в теорию ионно-звуковых волн кратко
рассмотрим теорию звуковых волн в обычном воздухе. Пренебрегая
вязкостью, мы можем записать следующее уравнение Навье—Стокса:
р \{dv)dt) + (v • V) v] = — VP = — TPVp/p. D.32)
Уравнение непрерывности имеет вид
(dp/dtf) + V-(pv) = 0. D.33)
Линеаризуя эти уравнения вблизи положения равновесия при
постоянных р0 и р0, имеем
— i copoVi = — уро 1 kpi/po, D.34)
— i copx + poi k-vi = 0. D.35)
Здесь мы снова предположили, что зависимость всех величин в
волне от координат и времени имеет вид ехр [i (k-г—a>t) ]. В случае
плоской волны, когда k = kx, v = vx, после исключения рх
получаем
— i ©p0t»! = — (ypolpo) Щр0 i kvjl со),
или
12 , тгггЧл/,\\2
(<o/k)*= (ypjpo) -= (уКТ/МI A = с
D.36)
Это формула для скорости звуковых волн в нейтральном газе,
которые представляют собой волны сжатия, распространяющиеся от
одного слоя к другому вследствие столкновений составляющих
его молекул. Аналогичное явление имеет место и в плазме, причем
даже если в ней нет нейтральных атомов, а столкновения
происходят редко. Подобные колебания называются ионно-звуковыми
или ионными волнами.
4.6. Ионно-звуковые волны
В бесстолкновительной плазме обычные звуковые волны
распространяться не могут, однако из-за того, что ионы плазмы заряжены,
они могут передавать колебания друг другу через действие
электрического поля. Поскольку ионы, участвующие в таких
движениях, обладают большой массой, эти колебания будут
низкочастотными и для их анализа можно применить плазменное приближение,
о котором шла речь в разд. 3.6. Таким образом, предположим, что
tit — пе = п, и не будем пользоваться уравнением Пуассона. Урав-

4.6. Ионно-звуковые волны
101
нение движения ионной жидкости в отсутствие магнитного поля
записывается в виде
Afn[(dvf/d*) + (vrv)v,] = enE —V/?= —em^—ytKTtvn. D.37)
Здесь мы предположили, что Е = — S/ф и воспользовались
уравнением состояния. Проводя линеаризацию и считая волны
плоскими, имеем
— i a)Mn0V{i = —en0i kfa —yiKTi i knv D.38)
Что касается электронов, то мы можем положить т = 0 и
воспользоваться аргументами, изложенными в разд. 3.5, где
рассматривалось движение вдоль магнитного поля В, применив их на этот раз
при В = 0. Для равенства сил, действующих на электроны,
необходимо, чтобы
П„==П:
-Ч£г)-Ч1+-й7+
поэтому возмущение плотности электронов, а следовательно, и
ионов, будет равно
п1 = п0(еф1/КТе). D.39)
Величина п0 в распределении Больцмана равна плотности
равновесной плазмы, поскольку мы предположили, что в этом случае Е0=0,
и потому можем считать, что равновесный потенциал <j>0 = 0.
Заметим также, что при выводе линейного уравнения D.39) мы
пренебрегли в разложении экспоненты членами более высоких
порядков.
Теперь нам осталось рассмотреть лишь линеаризованное
уравнение непрерывности для ионов. Из соотношения D.22) имеем
i ami = n0 i коц. D.40)
Подставляя в уравнение D.38) фг и mxh3 выражений D.39) и D.40),
получаем
i (£>Мп0иц = [еп0 i k (KTJen0) + ytKTi i k] (n0 i kva/ica),
со2 = /г2 [(KTJM) + (yKTc/M)],
D.41)
Это дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн; vs
обозначает здесь скорость звука в плазме. Поскольку мы предположили,
что рассматриваемые волны плоские, т. е. ионные облака сжимаются
только в одном направлении, то можно считать, что ус = 3.
Электроны по отношению к этим волнам движутся настолько быстро,
что их температура успевает повсюду выровняться, и поэтому для
них уе = 1. Если электроны не являются изотермическими, то в
формуле D.41) перед KJe нужно поставить коэффициент уе.

102
Гл. 4. Волны в плазме
Дисперсионная кривая для ионно-звуковых волн (рис. 4.12)
ведет себя совсем не так, как кривая для электронных (ленгмюров*
ских) волн (см. рис. 4.5). Плазменные колебания представляют
собой волны с постоянной частотой, незначительные поправки к
которой связаны с тепловыми движениями. Ионные колебания — это
волны, имеющие постоянную скорость; они могут существовать
только в том случае, когда в плазме есть тепловое движение.
Групповая скорость ионно-звуковых волн равна фазовой. Причины раз-
Рис. 4.12. Дисперсионная кривая для ионно-звуковых волн в пределе
малого дебаевского радиуса.
личия между плазменными и ионно-звуковыми волнами можно
понять из следующей физической картины. В случае электронных
колебаний частицы иного сорта (ионы) в них не участвуют. В ионно-
звуковых колебаниях, напротив, частицы другого сорта (электроны)
никак нельзя считать неподвижными; действительно, электроны
всюду следуют за ионами и стремятся скомпенсировать
электрические поля, создаваемые ионными сгустками. Но это экранирование
не является полным; как показано в разд. 1.4, из-за теплового
движения электронов за пределы экранирующего облака может
просочиться потенциал порядка KTJe. Поэтому в ионно-звуковой
волне происходит следующий процесс. Ионы перераспределяются
и создают области разрежения и сжатия, как в обычной звуковой
волне. Области сжатия стремятся расширяться и занять области
разрежения по двум причинам. Во-первых, ионы расплываются
из-за теплового движения; этому эффекту соответствует второй
член подкоренного выражения в формуле D.41). Во-вторых,
вследствие того что ионы в сгустках положительно заряжены, они
стремятся рассеяться из-за возникающего в результате их
взаимодействия электрического поля. Это поле, однако, почти полностью
экранируется электронами, и на ионные сгустки действует только его
малая часть, пропорциональная КТе. Упомянутый эффект
приводит к появлению первого члена в формуле D.41). Ионы из-за своей
инерции проскакивают положение равновесия, и в плазме
возникает волна разрежений и сжатий.
Второй из рассмотренных эффектов приводит к интересному
следствию: ионно-звуковые волны существуют даже в том случае,.

4.7. Обоснованность плазменного приближения
103
когда величина KTi очень мала. В нейтральном газе этого не
происходит [см. формулу D.36) ]. Скорость звука в плазме при 7\ = 0
дается выражением
vs = (KTJM)li2. D.42)
Такие колебания часто наблюдаются в лабораторной плазме, для
которой обычно выполняется равенство 7\ С Те. В этом пределе
скорость звука зависит от температуры электронов (поскольку
электрическое поле в волне пропорционально Те) и от массы ионов
(поскольку она является мерой инерции ионной жидкости).
4.7. Обоснованность плазменного приближения
При выводе выражения для скорости ионно-звуковых волн мы
пользовались условием нейтральности щ = пе, но считали Е
отличным от нуля. Чтобы увидеть, какая при этом вносится
погрешность в решение, будем считать, что щ отличается от пе и запишем
линеаризованное уравнение Пуассона в виде
e0v ■ Е1 = e0feVi = e (ntl — nel). D.43)
Возмущение плотности электронов определяется из
линеаризованного уравнения Больцмана:
Пе^ПоШКТ). D.44)
Подставляя это соотношение в уравнение D.43), имеем
*оф1[Р + (Щ?/боКТ1]*=еп{1,
e0<J>1(l + k%) = enilX2D- D.45)
Возмущение плотности ионов можно определить из
линеаризованного уравнения непрерывности D.40):
nil = (k/a))n0vil. D.46)
Подставляя </>! и пц из соотношений D.45) и D.46) в уравнение
движения ионов D.38), находим
, епп i k e'K-r, \ / ь »
ia>M/ioDn= — ~- +yiKTiik\(-^~)n0vi
80 1 + k\2D
a)
<* = — I VV.^ +Т1*Г<1. D-47)
k'
Последнее соотношение аналогично выведенной ранее формуле
D.41) и отличается от нее только множителем (l + £2Яп)-1 перед

104
Гл. 4. Волны в плазме
KTJM. Наше предположение о том, что щ = пе, внесло, таким
образом, в ответ погрешность порядка k XD= BjiAdM,) . Поскольку
в большинстве экспериментов XD очень мала, плазменное
приближение справедливо почти для всех длин волн (за исключением
самых коротких).
4.8. Различие между ионно-звуковыми
и плазменными волнами
Если рассматривать коротковолновые ионно-звуковые колебания,,
полагая, что k2lku > 1, то уравнение D.47) примет вид
со2 = k2 {n0e2/e0Mk2) =- ще2/е0М = Q2P, D.49)
где Qp — ионная плазменная частота (для простоты мы также
перешли к пределу 7\- ->- 0). Следовательно, при малых длинах волн
Электронные
волны
Ионно-звуковые
золны
Рис. 4.13. Сравнение дисперсионных кривых, отвечающих электронным
плазменным волнам (ленгмюровским колебаниям) и ионно-звуковым волнам.
Ленгмюровсний зонд
Вакуумная камера
\ Соленоид
.'J'|^,1.'.'.1 > п 111 i ij* г M.tt it,i г 11111 м i м 1 i jJ11 Milt ri.M.r'.W '.'^J *''
Генератор

синусоидального сигнала
i и и н м in 11 in ни i
I J iiiffiii miiiiiniiii и iiiiiiiii iiiiiin mi
I III 1,1,1,11 III Mill III I III Ml I III II 1,111 II
'MM ШИПИ ilhhliil'lll ними \\\\Г
Пучок Возбуждающая nP«eJ™™ "™"
нейтральных сетка
атомов
Напряженш
постоянного
смещения
И осциллографу
Рис. 4.14. Эксперимент по регистрации ионно-звуковых волн на Q-машине.
[Из работы: Wong A. Y., Motley R. W., D'Angelo N., Phys. Rev., 133, A436
A964).]

4.8. Различие между ионно-звуковыми и плазменными волнами 105
d=3cM
d=5,5 см
"^~ТГ ~*~
/ysfSy/K/1
k L L
ДШТЮХ^
у |\> J v 1
J 1
Сигнал на возбуокд.
сетке
Сигнал на прием,
сетке ('SO)
Сигнал на возбужд.
сетке
Сигнал на прием,
сетке (0)
0 40 SO 120 ISO ZOO
t, МКС
Рис. 4.15. Осциллограммы
сигналов от возбуждающей и
приемной сеток, разнесенных на
расстояние d. Видно запаздывание
сигналов во времени, которое
свидетельствует о том, что волна
движется. [Из работы: Wong
A. Г., Motley R. W., D'Angelo N.,
Phys. Rev., 133, A436 A964).]
2 4 6 8 10 1Z 14 16 18
Расстояние между зондами, с/л
Рис. 4.16. Экспериментальные
измерения зависимости времени
задержки от расстояния между
зондами при различных частотах
возбуждаемых волн. Фазовая скорость
колебаний определяется по наклону
кривых. [Из работы: Wong A. Y.,
Motley R. W., D'Angelo N., Phys.
Rev., 133, A436A964).]
частоты ионно-звуковых колебаний постоянны. Таким образом,
плазменные (ленгмюровские) и ионно-звуковые волны взаимно
дополняют друг друга: у первых при малых k примерно постоянные
частоты, а при больших k постоянные скорости, а у
ионно-звуковых волн — наоборот: при малых k скорости волн одинаковы и
постоянны, т. е. не зависят от k, а при больших k постоянны и не
зависят от k частоты. Сравнение этих волн представлено графически
на рис. 4.13.
Первыми экспериментально доказали существование ионно-
звуковых волн Вонг, Мотли и Д'Анджело. На рис. 4.14 показана
схема их установки. Это снова Q-машина. (Мы не случайно так
часто упоминаем Q-машины; только после того, как были
разработаны способы создания спокойной плазмы, стали возможны тонкие
эксперименты по проверке плазменной теории.) Волны в
эксперименте излучались и регистрировались с помощью погруженных
в плазму сеток. На рис. 4.15 показаны осциллограммы переданного
и полученного сигналов. Зная фазовый сдвиг, по этим
осциллограммам можно найти фазовую скорость волн, которая в этом случае
равна групповой. На рис. 4.16 эти фазовые сдвиги отложены как
функции расстояния между зондами, находящимися в плазме
плотностью 3-1017 м-3. По наклону этих кривых можно найти величину
фазовой скорости. На рис. 4.17 представлены фазовые скорости
ионно-звуковых волн для двух значений масс ионов М и разных
плотностей плазмы. Эксперимент показал, что скорость звука в
плазме vs постоянна и не зависит от со и п0. Как видно из последнего

106
Гл. 4. Волны в плазме
1
• ж
1ëç
О
▲
А
- л й А
1
i
▲
Я
1
1
т
~о
1
К
Cs
1
*»
1
1
о^.
1
0 20 40 60 80 100
f, кГц
Рис. 4.17. Измеренные в эксперименте фазовые скорости ионно-звуковых
волн в калиевой и цезиевои плазмах как функции частоты. Различные группы
точек отвечают разным плотностям плазмы. [Из работы: Wong А. У'.,
Motley R. W., D'Angelo N., Phys. Rev., 133, A436 A964).]
рисунка, на котором представлены две группы экспериментальных
данных для случая калиевой и цезиевои плазмы, vs демонстрирует
установленную выше зависимость от М.
4.9. Электростатические электронные колебания,
распространяющиеся перпендикулярно
магнитному полю
До сих пор в этой главе мы считали, что В = 0. В плазме,
находящейся во внешнем магнитном поле, может существовать много
других типов волн. Мы рассмотрим только самые простые из них.
Начнем с высокочастотных электростатических электронных
колебаний, распространяющихся под прямым углом к магнитному
полю. Прежде всего определим термины «перпендикулярный»,
«параллельный», «продольный», «поперечный»,
«электростатический» и «электромагнитный». Слова параллельный и
перпендикулярный будут использоваться для обозначения направления к по
отношению к невозмущенному магнитному полю В0. Продольный
и поперечный относятся к направлению к относительно
электрического поля волны Ev Далее, если осциллирующее магнитное поле
Вх равно нулю, то волна электростатическая, в противном случае
она является электромагнитной. Происхождение последних
четырех терминов связано с уравнением Максвелла
VXE!=—Blf D.50)
которое можно записать в виде
кхЕ1=юВ1. D.51)
Если волна продольная, то к X Ех обращается в нуль; поэтому
продольная волна является также электростатической. В попереч-

4.9. Электростатические электронные колебания
107
ной волне, как следует из этого соотношения, Вх отлично от нуля,
и, следовательно, поперечная волна представляет собой
электромагнитную волну. Разумеется, в общем случае волновой вектор к
может быть направлен под произвольным углом к В0 или Ех; при
этом мы должны иметь смесь упомянутых выше типов колебаний.
Вернемся к электронным плазменным колебаниям,
распространяющимся перпендикулярно магнитному полю В0. Будем считать,
что ионы являются очень массивными и при рассматриваемых
частотах колебаний не движутся, образуя неподвижный однородный
фон положительного заряда. Пренебрежем также тепловым
движением электронов и положим КТг = 0. Как обычно, будем считать,
что в равновесии п0 и В0 постоянны и однородны, а Е0 и v0 равны
нулю. В этом случае движение электронов описывается
следующими линеаризованными уравнениями:
m(dvjdt) = -e(Ex + vd X BG), D.52)
dnJdt + ntf-v^O, D.53)
е0УЕА=— епл. D.54)
Мы рассмотрим только продольные волны, у которых кЦЕ^ Без
ограничения общности можно выбрать систему координат так,
чтобы ось х была направлена вдоль к и Elf а ось z — вдоль В0
(рис. 4.18). Таким образом, ky = kz = Еу = Ez = 0, k = kx,
E = Ex. Запишем уравнение D.52) покомпонентно и перейдем к
фурье-представлению, опустив индексы i и е:
—i (amvx~ —еЕ—evyB0, D.55)
— i(omvy= -\-evxBr„ D.56)
— i (omv2~0.
Выражая vy из соотношения D.56) и подставляя ее в D.55),
получаем
mmvx — eE-\- eB0vx (ieB0/mco),
vx= еЕГш(й . D.57)
l-W/co2)
Заметим, что vx обращается в бесконечность на частоте
циклотронного резонанса со = сос. Этого и следовало ожидать, поскольку
в таком случае электрическое поле, находясь в резонансе с
циклотронным вращением частиц вокруг оси z, всегда направлено в ту же
сторону, что и vx, и поэтому непрерывно ускоряет электроны.
[Если пренебречь членами (v-V) v и vp, то уравнения
гидродинамики тождественны уравнениям движения отдельных частиц;
в этом приближении все частицы движутся вместе. ] Далее,
линеаризуя уравнение D.53) и переходя к фур ье-компонентам, получаем
n1 = (k/(o)n0vx. D.58)

108
Гл. 4. Волны в плазме
©В
Волновые
фронты
к, Ег
О
Орбита электрона
х
Плоскости постоянной
плотности
Рис. 4.18. Плоская волна, Рис. 4.19. Движение электронов в верхнегиб-
распространяющаяся под ридных колебаниях,
прямым углом к
магнитному полю В0.
Переходя в уравнении D.54) к фурье-компонентам и пользуясь
двумя последними соотношениями, имеем
ike0E= —е
еЕ
lmco
(-4Г-
(■-4)
D.59)
Следовательно, дисперсионное уравнение для этих волн имеет вид
D.60)
2 2
СО — СО„
2 2
Частота соЛ называется верхнегибридной частотой. Такую частоту
имеют электростатические электронные волны,
распространяющиеся поперек магнитного поля В. Волны, движущиеся вдоль В,
представляют собой обычные плазменные колебания, их частота
со = ©р. Если не учитывать теплового движения, то групповая
скорость верхнегибридных колебаний, как и плазменных, будет
равна нулю.
Рис. 4.19 иллюстрирует физическую картину движения
электронов в этих колебаниях. В плоской волне электроны образуют
области разрежения и сжатия подобно тому, как это происходит
в обычных плазменных колебаниях. Однако, поскольку в плазме
теперь имеется магнитное поле, перпендикулярное направлению
движения частиц, под действием силы Лоренца траектории
движения электронов преобразуются в эллипсы. На электроны теперь
действуют две возвращающие силы: кулоновская сила,
обусловленная электрическим полем, и сила Лоренца. Поскольку величина
возвращающей силы возросла, частота колебаний будет выше,
чем у плазменных волн. Если магнитное поле стремится к нулю,,

4.9. Электростатические электронные колебания
109
со:
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
ОА
0,3
0,2
0,1
А
\»
~ V
-
-
-
|\ I»
Z0 40 60 80 100 120 ПО
Разрядный тон, мА
Рис. 4.20. Результаты эксперимента по измерению верхнегибридной
частоты. Регистрировались параметры плазмы, при которых достигается
максимум поглощения (минимум коэффициента передачи) энергии СВЧ-колеба-
ний, распространяющихся поперек магнитного поля. На графике изображена
2/2
зависимость величины сос/ш , соответствующей напояженности магнитного
поля, при которой достигается максимум поглощения, от разрядного тока
(пропорционального плотности плазмы). [Из работы: Harp R. S., Proc.
Seventh Intern. Confer, on Phenomena in Ionized Gases, Belgrade, 1965, II, 294
A966).]
то в соотношении D.60) частота coc также стремится к нулю и мы
имеем снова случай плазменных колебаний. Если же устремить
к нулю плотность плазмы, то сор тоже стремится к нулю,
электростатические силы станут малыми и мы придем к случаю простого
ларморовского вращения частиц с частотой сос.
Существование колебаний на верхнегибридной частоте было
подтверждено в эксперименте по передаче СВЧ-волн поперек
направления магнитного поля. При изменении плотности плазмы
эффективность передачи волн с частотой со уменьшается при
значениях плотности, соответствующих выполнению условия со = co/i.
Это происходит потому, что энергия волн поглощается
возбуждаемыми в плазме верхнегибридными колебаниями. Из соотношения
D.60) ясно, что величина сос/со линейно зависит от плотности:
(со2/со2)=- 1 — (сор/со2)= 1 — (пе2/е0т(£> ).
На рис. 4.20 показана полученная в эксперименте зависимость от-

по
Гл. 4. Волны в плазме
cvcycop
coDycoc
СО
CJOr
Рис. 4.21. Дисперсионные кривые
Трайвелписа—Гоулда для
электростатических электронных волн,
распространяющихся в проводящем
цилиндре, заполненном однородной
плазмой. Магнитное поле
направлено вдоль оси цилиндра. [Из
работы: TrivelpieceA. W., Gould R. W.,
J. Appl. Phys.,30, 1784 A959).]
Рис. 4.22. Проверка правильности
соотношений Трайвелписа—Гоулда
в эксперименте; при этом было
также показано, что в плазме
существуют обратные волны, у которых
групповая скорость, определяемая
по наклону дисперсионной кривой,
направлена противоположно фазовой
скорости. [Из работы: Trivelpiece
A. W., Gould R. W.,J. Appl. Phys.,
30, 1784 A959).]
ношения оJ/сй2 от тока разряда, который пропорционален
плотности плазмы п. Видно, что эта зависимость линейная.
Рассмотрим распространение волн в плазме под углом 0 к
магнитному полю В. В этом случае в плазме могут существовать два
типа волн. Первые будут похожи на плазменные колебания,
вторые — на верхнегибридные, но свойства и тех и других будут
зависеть от угла 0. Подробный анализ этих волн мы оставляем
читателю в качестве упражнения (задача 4.8). На рис. 4.21
схематически показаны зависимости со (kz) при фиксированных kx для этих
двух мод (здесь kjkz = tg 0). Поскольку соотношение D.60)
симметрично относительно сос и сор, случай сос >сор полностью
аналогичен случаю сор >сос, нужно лишь поменять у переменных индексы.

4.9. Электростатические электронные колебания
111
При больших kz волна распространяется параллельно В0 и
представляет собой плазменное колебание с частотой со = сор. Второе
решение, со = сос при kz->- со, является посторонним, поскольку
при 0 ->- О величина В0 в ответ входить не должна. При малых kz
мы возвращаемся к случаю поперечного распространения, kj_ B0,
уже рассмотренному в этом разделе. При kz ->- 0 на нижней ветви
колебаний частота со стремится к нулю, а на верхней —
приближается к верхнегибридной частоте соЛ. Кривые, приведенные на
рис. 4.21, впервые были получены Трайвелписом и Гоулдом,
которые также подтвердили их в эксперименте (рис. 4.22). В
эксперименте Трайвелписа—Гоулда использовался цилиндрический столб
плазмы; можно показать, что в этом случае изменение kz
эквивалентно тому, что в плазме под различными углами к В0
распространяются плоские волны.
Задачи
4.7. Покажите, что в верхнегибридных колебаниях эллиптические орбиты
частиц всегда вытянуты вдоль волнового вектора к. (Указание: выразите из
уравнения движения отношение vx/vy как функцию отношения со/сос.)
*МВ0
Рис. 34.8.
4.8. Получите дисперсионное уравнение для электростатических
электронных волн, распространяющихся под произвольным углом 0 к магнитному
полю В0. Указание: выберите ось х так, чтобы векторы к и Е лежали в
плоскости xz (рис. 34.8). В этом случае Ех = £xsin 0, Ez = £xcos 6, Еу = 0.
Аналогичные соотношения имеют место и для компонент волнового вектора к.
После этого, как обычно, решите уравнение движения, уравнение
непрерывности и уравнение Пуассона, полагая, что v0 = Е = 0, а плотность п„
постоянна.
а) Покажите, что ответ имеет вид
со2 (со2 — со2,) + со2со2 cos2 6 = 0.
б) Выпишите два решения этого квадратного относительно со2 уравнения
и покажите, что в пределах 0 -> 0 и 0 -v я/2 из них следуют результаты,
приведенные нами выше. Покажите, что в этих пределах одно из двух реше
ний постороннее и не имеет физического смысла.
в) Покажите, что дисперсионное уравнение, полученное в п. а, представляет
собой уравнение эллипса:
(У— IJ ■ *2 _{
I2

112
Гл. 4. Волны в плазме
в координатах х = cos 6, у s= 2(o /(oh, где с = (о^о^Ор.
г) Нарисуйте этот эллипс при о)р/(ос=1,2 и оо.
д) Покажите, что в случае о)с>о)р при любом 9 >0 меньшее значение <а
всегда меньше, чем (йр, а большее всегда лежит между (ас и o)/j. Покажите
также, что при (ор >тс меньшее значение со меньше, чем (йс, а верхний
корень дисперсионного уравнения расположен между сор и сй^.
4.10. Электростатические ионные волны,
распространяющиеся перпендикулярно В
Теперь посмотрим, что происходит с ионно-звуковой волной, если
к перпендикулярен В0. Казалось бы, можно считать, что
произведение к-В0 в точности равно нулю, но это приведет к результату,
который, хотя и является математически корректным, не
описывает процессы, происходящие в реальной плазме (см. разд. 4.11).
Вместо этого будем считать, что к почти перпендикулярен В0. Что
кроется за этим «почти», выяснится позднее. Как обычно,
предположим, что в состоянии равновесия плазма безгранична, параметры
п0\я В0 постоянны и однородны, a v0 = Е0 = 0. Для простоты
положим Ti = 0; мы знаем, что при 7\- = 0 звуковые волны все равно
существуют, поэтому никаких важных эффектов при этом не
потеряем. Предположим также, что волны являются
электростатическими, т. е. к X Е = 0, а Е = — уф. Ориентация векторов к и Е
относительно магнитного поля показана на рис. 4.23. Будем
считать, что угол A/2) л—Э настолько мал, что при описании
движения ионов можно положить Е = Егх, у = i kx и пренебречь в этих
соотношениях соответствующими z-компонентами. При описании
электронов, однако, далеко не все равно, считать ли A/2) я—9
нулем или малой, но конечной величиной. Дело в том, что лармо-
Волиовые срронты
Рис. 4.23. Электростатические ионно-циклотронные волны,
распространяющиеся почти под прямым углом к направлению магнитного поля В0.

4.10. Электростатические ионные волны
113
ровские радиусы электронов малы, и поэтому при 9 = л/2 они не
могут двигаться вдоль оси х и обеспечивать нейтральность плазмы;
поле Е заставляет электроны двигаться в прямом и обратном
направлениях лишь вдоль оси у. Если же угол 9 не в точности равен
л/2, то электроны могут двигаться вдоль показанной на рис. 4.23
штриховой линии (т. е. вдоль В0) и переносить отрицательный
заряд в области, заряженные положительно, осуществляя таким
образом дебаевское экранирование. Ионы же этого эффективно делать
не могут, поскольку из-за своей большой массы они не могут
смещаться за один период волны на такие большие расстояния. Именно
по этой причине при описании движения ионов мы пренебрегли
величиной kz. Критический угол, начиная с которого нужно
учитывать движение электронов, %о = A/2) л—90, будет
пропорционален отношению продольных скоростей ионов и электронов:
Хо « {т/МУ/2 (в радианах). Если % = A/2) л—9 больше этого угла,
то справедливо приближение, анализируемое ниже. Если же
X <Хо> то применимо рассмотрение, представленное в разд. 4.11.
После этой длинной вводной части перейдем теперь к короткому
выводу результата. Уравнение движения ионов имеет вид
М (dv{1/dt) = —eyfi + evH X B0. D.61)
Предполагая, что рассматриваются плоские волны,
распространяющиеся вдоль оси х, запишем проекции последнего уравнения на
оси х я у:
— mMvix= — еЩх + eviyB0,
— mMviy= —evixB0. D.62)
Решая эту систему так, как и раньше, находим
vix = {ekIMiu) [ 1 — (Й/оJ)]-1 фи D.63)
где Qc = eBjM — ионно-циклотронная частота. Из уравнения
непрерывности для ионов, как обычно, получаем
пц = (к/(й)п0и{х. D.64)
Предполагая, что угол % Ф 0 и электроны могут двигаться вдоль
В0, применим для их описания распределение Больцмана. В
линеаризованной форме оно имеет вид
(пе11п0) = (ефг/КТе). D.65)
Замыкает систему уравнение плазменного приближения Пс = пе.
С помощью соотношений D.64) и D.65) уравнение D.63) можно
записать в виде
[ 1 — (€Й/(о2)] vix = {ek/M(D) {КТе/еп0) (л0£/со) vix>
a?~Ql = k\KTJM). D.66)

114
Гл. 4. Волны в плазме
п
Рис. 4.24. Схема эксперимента по возбуждению электростатических ионно-
циклотронных волн на Q-машине. [Из работы: Motley P. W., D'Angelo N.,
Phys. Fluids, 6, 296 A963).]
Рис. 4.25. Измеренные зависимости частот электростатических ионно-цикло-
тронных волн от магнитного поля. [Из работы: Motley R. W.,D' Angelo N,,
Phys. Fluids, 6, 296 A963).]
Поскольку мы предположили, что KTt =[0, уравнение D.66) можно
переписать следующим образом:
e>=Qfc + kVs.
D.67)
Это — дисперсионное уравнение для электростатических ионно-
циклотронных волн.
Физическая картина процессов, происходящих в этих волнах,
во многом аналогична той, которая показана на рис. 4.19 для
случая верхнегибридных колебаний. В ионно-циклотронных волнах
ионы совершают колебания, подобные ионно-звуковым, но теперь
на них действует дополнительная возвращающая сила — сила
Лоренца, что и приводит к появлению в соотношении D.67)
слагаемого Qc. Роль электронов сводится к экранировке возникающих
при колебаниях электрических полей. Напомним, что именно де-
баевское экранирование электронами обеспечивает выполнение
дисперсионного уравнения для обычных ионно-звуковых волн со2 —
=■ k vs. В случае ионно-циклотронных волн, для того чтобы прои-

4.11. Нижнегибридная частота
115
зошла экранировка, электроны должны пройти большое
расстояние вдоль В0.
Электростатические ионно-циклотронные волны впервые
экспериментально наблюдали Мотли и Д'Анджело и снова на Q-ма-
шине (рис. 4.24). Волны генерировались с помощью тока, который
протекал вдоль оси установки и попадал на маленький
дополнительный электрод. Возбужденные током волны распространялись
в радиальном направлении поперек магнитного поля. Механизм
возбуждения волн в такой системе довольно сложный, поэтому
здесь мы его рассматривать не будем. На рис. 4.25 представлены
полученные в эксперименте зависимости частоты ионно-циклот-
ронной волны от магнитного поля. В условиях эксперимента член
k2v2s был мал по сравнению с QCi поэтому измеренные частоты лишь
ненамного превышают Qc.
4.11. Нижнегибридная частота
Рассмотрим теперь, что происходит, если угол Э в точности равен
jt/2: при этом электроны не могут свободно двигаться вдоль
силовых линий и обеспечивать нейтральность плазмы. В этом случае
плотность электронов нужно находить не из уравнения Больцмана,
а из полного уравнения движения C.62). Если масса электрона
считается отличной от нуля, то это уравнение имеет нетривиальные
решения даже в том случае, если Те = 0 и членом Уре можно
пренебречь; мы это и предположим для простоты. Уравнение
движения ионов совпадает с уравнением D.63):
vtx = (ek/Ma) [1 — (Q2/co2)]-1 <j>x. D.68)
Решение уравнения C.62) для электронов при Те = О можно
выписать сразу, заменив в соотношении D.68) заряд е на — е, М на
m, a Qc на — сос:
vex = — (efe/mco) [ 1 —(со^/со2)]-1 фх. D.69)
Из уравнений непрерывности получаем
nn = (k/(n)n0vil, пл = (Ш)п<ре1. D.70)
При этом из плазменного приближения я* = пе следует vix — vel.
Приравнивая друг другу правые части соотношений D.68) и D.69),
имеем
M[l-(^/oJ)]=-m[l-(coV)],
(йЧМ+т) = ш(д2с-{-Ма2с = е2вЧ-—h —V
\ т М )
oJ = eaB2/Mm-=Q,(oc,
D.71)

116
Гл. 4. Волны в плазме
Частота со/ называется нижнегибридной частотой. Если бы вместо
плазменного приближения мы воспользовались уравнением
Пуассона, то в результате получили бы соотношение
_1_я_!— -f—L. D.71а)
о)? o)cQc Q2p
В случае плазмы низкой плотности преобладающим является
последний член этого соотношения. Напомним, что нижнегибридные
колебания могут наблюдаться только тогда, когда угол 6 очень
близок к я/2.
4.12. Электромагнитные волны при В0 = 0
Следующими по степени сложности являются волны, у которых
собственное магнитное поле Вх Ф 0. Примерами таких волн в плазме
могут служить свет или радиоволны, которые представляют собой
поперечные электромагнитные колебания. Вначале рассмотрим
кратко электромагнитные волны в вакууме. Поскольку в этом
случае токи отсутствуют (/ = 0), a e0(i0 = c~2, уравнения Максвелла
принимают вид
VXEi=-Bb D.72)
с^хВ^Ё!. D.73)
Взяв ротор от уравнения D.73) и выразив V X Ех из соотношения
D.72), получаем
c2v X (v X ВО = v X Ёх- —Вх. D.74)
Предполагая, что волна плоская и все величины в ней
пропорциональны exp [i (kx—со/)], приходим к соотношению
@%= — с2к х (к х Вх) = — с2 [к(к- ВО —^BJ. D.75)
Поскольку из уравнения Максвелла C.7) следует, что к-Вх =
= — iV • Вх = 0, окончательно имеем
со2 = /г2с2. D.76)
Таким образом, фазовая скорость электромагнитных волн в вакууме
равна скорости света с.
В плазме без магнитного поля уравнение D.72) сохраняет свой
вид, а в правую часть D.73) нужно добавить член jjso, чтобы учесть
токи, обусловленные движением заряженных частиц в первом
порядке по амплитуде поля:
^VXB^fei + Ui/eo). D77)

4.12. Электромагнитные волны при В0=0 И'
Дифференцируя это соотношение по времени, получаем
c2V X Bx« Ёх + ^ (dji/df). D.78)
Кроме того, применим операцию ротора к обеим частям уравнения
D.72):
V X (V X Е0 = V(V-Ei)-V2Ei= -|V X hi. D.79)
Исключая из двух последних равенств V X Вх и предполагая
зависимость в виде exp [i (k-г—(at)], получаем
— к (к • Ех) + £2Ех = (i со/е0с2) h + (со2/с2) Ev D.80)
Считая, что волны являются поперечными, положим к-Ех = 0,
тогда уравнение примет вид
(о2—с2£2) Е1== — 1а>Ь/е0. D.81)
Частоты электромагнитных волн микроволнового и оптического
диапазонов столь высоки, что ионы плазмы можно считать
покоящимися. В этих случаях ток в плазме jx будет определяться
исключительно движением электронов:
ji=-n0evel. D.82)
Из линеаризованного уравнения движения электронов мы имеем
(для КГе = 0):
m(dvel/dt)= —eEJt
vei = eE1/imco. D.83)
Уравнение D.81) теперь можно записать в виде
(со2 — c2k2) Ех = (ico/e0) пф (eEi/ima) = (п0е2/е0т) Et. D.84)
Легко заметить, что множитель перед Ег в правой части этого
соотношения равен (йр; следовательно, мы имеем
со2=со2+Л2. D.85)
Это дисперсионное уравнение для электромагнитных волн,
распространяющихся в плазме без магнитного поля. Как видите, от
дисперсионного уравнения для волн в вакууме D.76) оно отличается
членом о)р, напоминающим о плазменных колебаниях. Фазовая
скорость электромагнитных волн в плазме выше скорости света:
4 = со2/^2 = С2 + (со2р//г2)>с2. D.86)
Однако групповая скорость не может превышать скорости света.
Действительно, из соотношения D.85) следует, что]
dca/dk = vrp = с2/иф, D.87)
так что при сф>с величина агр<с. Дисперсионная кривая со (k),

118
Гл. 4. Волны в плазме
соответствующая уравнению D.85), показана на рис. 4.26. График
напоминает кривую, изображенную на рис. 4.5 для случая
плазменных волн, но на самом деле дисперсионные соотношения у этих
волн совершенно различны, поскольку асимптотическое значение
фазовой скорости электромагнитных волн равно с (рис. 4.26), что
намного выше, чем асимптотическое значение фазовой скорости
Рис. 4.26. Дисперсионная кривая для электромагнитных волн,
распространяющихся в плазме в отсутствие постоянного магнитного поля.
плазменных волн C/2I'2 итепЛ (рис. 4.5). Еще более важно то, что
эти волны имеют различное затухание. Как будет показано на
основе кинетической теории в гл. 7, ленгмюровские (плазменные)
волны при больших kvTeI]n затухают очень сильно.
Электромагнитные же волны при больших k ведут себя как обычные световые
волны в вакууме и в этом пределе из-за присутствия плазмы не
затухают.
Из дисперсионного уравнения типа D.85) следует
существование явления, которое называется отсечкой. Если через плазму
распространяется микроволновый пучок с частотой со, то длина
волны в плазме 2nlk будет определяться соотношением D.85). С
увеличением плотности плазмы и, следовательно, величины сор
значение k2 будет уменьшаться, а длина волны увеличиваться. При
дальнейшем увеличении плотность может достичь такого
значения, что k2 обратится в нуль. Для плотностей, больших этого
значения, уравнение D.85) не удовлетворяется ни при каком
вещественном k и волна в плазме распространяться не может. Эта отсечка
волны происходит при такой критической плотности пс, для
которой выполняется условие со = сор, а именно
яс = те0со2/еа. D.88)
Если плотность п слишком велика или же частота со слишком мала,
то электромагнитная волна не может пройти сквозь плазму. В этом
случае из уравнения D.85) следует, что k является мнимой
величиной:
^ = (co2-co^I/2=,i|co2p-co2|12. D.89)

4.13. Экспериментальные приложения
19
Поскольку мы предположили, что зависимость всех величин в волне
от координаты имеет вид exp (i kx), то при мнимых k волна будет
экспоненциально затухать. Длина затухания, или глубина скин-
слоя, определяется следующим образом:
eift*ee-l*l*=e-*/'
6Н*П='
К-»2)
2М/2
. D.90)
Для лабораторной плазмы в большинстве случаев частоты отсечек
попадают в СВЧ-диапазон.
4.13. Экспериментальные приложения
Явление отсечки позволяет легко измерить плотность плазмы.
Микроволновый пучок, генерируемый клистроном, с помощью
рупорной антенны направляется в плазму (рис. 4.27). Прошедший через
плазму пучок принимается другим рупором и детектируется
кристаллическим детектором. Если менять частоту
электромагнитной волны или плотность плазмы, то сигнал на детекторе будет
пропадать всякий раз, когда где-нибудь в плазме выполняется
соотношение D.88). Этот метод позволяет измерить максимальную
плотность плазмы, но он не очень удобен и гибок, поскольку
диапазон частот, генерируемых СВЧ-генератором, ограничен.
Широко применяемый метод измерения плотности основан на
изменении показателя преломления, т. е. дисперсии,
предсказываемой уравнением D.85). Показатель преломления п определяется
как
п ==с/аф = с/?/со.
D.91)
Очевидно, что п зависит от со, поэтому плазма является
диспергирующей средой. Для измерения плотности используется СВЧ-
интерферометр, работающий по тому же принципу, что и
интерферометр Майкельсона (рис. 4.28). Сигнал от клистрона разделяется
на два; одна его часть поступает через опорной канал прямо на
детектор, а другая с помощью рупорной антенны посылается в плазму.
Плазма
Клистрон
Детектор
Рис. 4.27. Измерение плотности плазмы по отсечке проходящего через нее
СВЧ-сигнала.

120
Гл. 4. Золиы в плазме
Клистрон
Волновод
н*—Опорный канал —*-j
Плазменный
канал
Тройник.
Аттенюатор
Фазовращатель
~Г Ц—^чПЛААЛГ I/S/W/ Л/WW^ZZ^^ h/\f J
Детектор
Осциллограф
Плазма
Рис. 4.28. СВЧ-интерферометр для измерения плотности плазмы.
Детектор откликается на средний квадрат суммы амплитуд двух
принятых сигналов. С помощью аттенюатора и фазовращателя оба
сигнала регулируются таким образом, чтобы в отсутствие плазмы
их амплитуды были равны друг другу, а фазы сдвинуты на 180°,
так что на выходе детектора мы имеем нулевой сигнал. Когда в
системе появляется плазма, фаза сигнала в плазменном канале
изменяется, поскольку увеличивается длина волны (рис. 4.29) и на
выходе детектора возникает сигнал конечной величины. С
увеличением плотности плазмы сигнал на выходе детектора проходит
через максимум и минимум всякий раз, когда разность фаз меняется
на 360°. Средняя плотность плазмы в каждый момент времени
определяется по величине фазового сдвига, т. е. по числу интерфе-
\
1ЛДЛЛЛ
1/VW
^
Сигнал
на выссоде
детектора
\f\f\M
Отсечка
Плотность
Ра спределение
поля волны
в плазме
Рис. 4.29. Сигнал на выходе интерферометра
при увеличении плотности плазмы (справа);
соответствующие распределения электрического
поля волны в плазме (слева).
Рис. 4.30. Показатель
преломления плазмы
меньше единицы,
поэтому плазменные линзы
обладают необычными
оптическими свойствами.

4.13. Экспериментальные приложения
12Е
Рис. 4.31. Плазма, удерживаемая в длинном линейном соленоиде, будет
захватывать используемое для ее нагрева излучение С02-лазера только в том
случае, если плотность плазмы минимальна на оси системы. Вакуумная
камера на рисунке не показана.
ренционных полос. Обычно частота используемых волн настолько
высока, что сдвиг фаз оказывается малым. При этом он
пропорционален плотности плазмы (задача 4.13). Чувствительность этого
метода при низких плотностях плазмы ограничена тем, насколько
устойчив к тепловому расширению материал, из которого
выполнен волновод опорного канала. Необходимо также вводить поправки
на затухание сигнала, обусловленное столкновениями, а также на
дифракцию и рефракцию волн за счет конечных размеров плазмы.
То, что у плазмы показатель преломления меньше единицы,
имеет интересные следствия. К примеру, выпуклые плазменные
линзы являются не собирающими, а рассеивающими (рис. 4.30).
Этот эффект используется в лазер но-соленоидальном «стартере»
для линейного реактора синтеза. В таком реакторе столб плазмы
длиной несколько сот метров удерживается сильным магнитным
полем. Нагрев плазмы осуществляется за счет поглощения
излучения С02-лазера (рис. 4.31). Если профиль плазмы имеет обычный
вид с максимумом на оси, то плазма ведет себя как рассеивающая
линза, что приводит к расфокусировке лазерного пучка, в
результате чего он попадает на стенки. Если же создать инверсный
профиль плазмы с минимумом на оси, то плазменная линза становится
собирающей: при этом излучение фокусируется и захватывается
плазмой. Инверсный профиль плотности можно создать
посредством сжатия плазмы с помощью импульсов тока в окружающей
ее обмотке или непосредственно с помощью самого лазерного пучка.
Когда пучок нагревает плазму, она расширяется, вследствие чего
ее плотность вблизи оси пучка уменьшается. С02-лазер генерирует
излучение с X = 10,6 мкм, которая соответствует частоте / =
= сГк = 3-108/10,6- Ю-6 = 2,8-1013 Гц. Как видно из соотношения
D.88), этой частоте соответствует критическая плотность пс =
= те0 Bя/J/е2 = 1025 м-3. Однако, поскольку лазерный пучок
проходит в плазме большое расстояние, рефракция становится
существенной уже при плотностях порядка 1022 м-3. Фокусировка
света в областях пониженной плотности плазмы была подтверждена
экспериментально.
Возможно, самое известное явление, связанное с отсечкой волн
в плазме, наблюдается при коротковолновой радиосвязи. Когда.

122
Гл. 4. Волны в плазме
Ионосфера
Рис. 4.32. Иллюстрация влияния плазмы земной ионосферы на радиосвязь.
(На самом деле ионосфера расположена ближе к Земле, чем показано на
рисунке.)
распространяющийся в ионосфере радиосигнал достигает высоты,
на которой плотность плазмы достаточно велика, то он отражается
обратно (рис. 4.32), что позволяет радиосигналу огибать Землю.
Если считать, что максимальная плотность плазмы в ионосфере
равна 1012 м-3, то критическая частота будет порядка 10 МГц [см.
формулу D.26)]. Именно поэтому для связи с космическими
аппаратами нужно пользоваться более высокими частотами, чтобы
сигнал мог пройти через ионосферу. При возвращении космического
корабля на Землю вокруг него из-за нагрева, вызванного силой
трения, образуется собственная плазма. Это приводит к отсечке
волн и обрыву связи с кораблем на участке спуска (см. рис. 4.32).
Задачи
4.9. Перед отсеком космического корабля, спускающимся в атмосфере Земли,
образуется ударная волна, в результате чего вокруг корабля возникает
плазма и связь с ним прерывается. Пусть радиопередатчик работает на
частоте 300 МГц. Какова минимальная плотность плазмы в момент обрыва
связи?
4.10. Согласно предположению Ханнеса Альфвена, первого из специалистов
в области физики плазмы, удостоенного Нобелевской премии, на начальной
стадии развития Вселенной в ней было поровну материи и антиматерии.
Допустим, что Вселенная в то время представляла собой однородную смесь
протонов, антипротонов, электронов и позитронов, причем плотность частиц
каждого вида была равна п0.
а) Выведите дисперсионное уравнение для высокочастотных
электромагнитных волн, распространяющихся в такой плазме. Столкновениями, тепловыми
эффектами и аннигиляцией частиц можно пренебречь.

4.14. Электромаг. волны распространяющиеся перпендикулярно В0 123
б) Пользуясь уравнением Пуассона, выведите дисперсионное уравнение для
ионно-звуковых волн. Можно считать, что лептоны удовлетворяют
уравнению Больцмана, и пренебречь температурой 77 (но не Те).
4.11. Покажите, что для электромагнитных волн показатель преломления
равен квадратному корню из относительной диэлектрической
проницаемости плазмы (ср. с задачей 4.4).
5лш
н к-
8 см
Рис. 34.13.
4.12. В калиевой плазме Q-машины доля к электронов может быть замещена
на отрицательные ионы хлора С1—. При этом в 1 м3 плазмы будет содержаться
п0 ионов К+, ия0 ионов С1_ и A—к) п0 электронов. Пусть к = 0,6. Найдите
критическую плотность п0, при которой в плазме произойдет отсечка СВЧ-
сигнала с длиной волны 3 см.
4.13. Для определения плотности плазмы в бесконечном плоском слое
толщиной 8 см используется СВЧ-интерферометр, работающий на длине волны
8 мм (рис. 34.13).
а) Пусть плазма однородна, а фазовый сдвиг составляет 1/10
интерференционной полосы. Какова плотность плазмы? (Указание: одна полоса
соответствует фазовому сдвигу 360°).
б) Покажите, что если фазовый сдвиг мал, то он пропорционален плотности
плазмы.
4.14. Электромагнитные волны,
распространяющиеся перпендикулярно В0
Рассмотрим теперь распространение электромагнитных волн в
плазме при наличии магнитного поля. Сначала проанализируем
случай перпендикулярного распространения (k_J_ B0). Если
рассматривать поперечные волны, в которых k_J_Elf то возможны два
варианта: электрическое поле волны Ех может быть либо
параллельно В0, либо перпендикулярно В0 (рис.4.33).
4.14.1. Обыкновенная волна (Ег || В0)
Пусть Ех параллельно В0, тогда можно положить В0 = BQz, Ег =
= Exz, a k = kx. В эксперименте такую ситуацию можно
реализовать, если микроволновый пучок направить на столб плазмы из

124
Гл. 4. Волны в плазме
Рис. 4.33. Электромагнитные волны, распространяющиеся под прямым
углом к магнитному полю В0.
рупорной антенны, узкая сторона которой параллельна
направлению магнитного поля В0 (рис. 4.34).
Волновое уравнение в этом случае по-прежнему записывается
в виде D.81):
(со2—c2k?) Ех = — icoji/бо == т0есоуе1/е0. D.92)
Поскольку Ех = Exz, из всех компонент скорости нужно
рассматривать только vez. Она определяется из уравнения движения
m(dvez/dt)= —еЕх.
D.93)
Рис. 4.34. Обыкновенная волна, падающая из волноводпой антенны на столб
замагниченной плазмы.

4.14. Электромаг. волны, распространяющиеся перпендикулярно В0 125
Благодаря тому что уравнение имеет такой же вид, как и в случае
В0 — 0, мы имеем то же дисперсионное уравнение
2 2 . 2,2
(О = С0Р + С k .
D.94)
Электромагнитная волна, в которой электрическое поле Ех || В0,
называется обыкновенной волной. Термины «обыкновенная» и
«необыкновенная» заимствованы из кристаллооптики, но в случае
плазмы их значения поменялись местами. В физике плазмы более
резонно называть обыкновенной ту волну, на которую магнитное
поле не влияет. По точной аналогии с кристаллооптикой волну
с Ех |[ В0 следовало бы назвать «необыкновенной».
4.14.2. Необыкновенная волна (Е^Во)
Если Е^Во, то магнитное поле В0 будет влиять на движение
электронов в волне и дисперсионное уравнение изменится. Казалось
бы, при анализе этого случая можно считать, что Е1 = Егу,
1во
Рис. 4.35. Необыкновенная волна эллиптически поляризована. Сдвиг фаз
между осциллирующими компонентами Ех и Еу равен 90°, так что конец
вектора электрического поля волны Ех за каждый период колебаний
описывает эллипс.
а к — kx (см.
рис. 4.33). Однако волны с Ег _[_ B0 поляризованы не линейно,
а эллиптически. Это значит, что при распространении такой волны
в плазме у нее появляется компонента Ех, направленная вдоль к.
Таким образом, волна становится частично продольной и частично
поперечной. Чтобы правильно проанализировать поведение этой
волны, мы должны считать, что электрическое поле имеет как у-,
так и ^-составляющие (рис. 4.35):
Е1 = Ехх + Еуу.
D.95)

126 Гл. 4. Волны в плазме
При КТе = 0 линеаризованное уравнение движения
электронов можно записать в виде
—imcovel=— е^ + УдХ B0). D.96)
Не обращаются в нуль только х- и ^-компоненты скорости:
vx = (—ie/mco) (Ex + иуВ0),
vv = (— ie/mco) (£, — ожВ0) D.97>
(мы опустили индексы 1 и е). Разрешая, как обычно, эту
систему относительно vx и vy, находим
maK M A t;-, D-98)
-".+-^H-2-)~-
В волновом уравнении D.80) теперь нужно сохранить член
k-E-L^kEx, отвечающий продольному распространению:
(со2—с2£2) Ех + c2kExk*= —icoji/e0= m0coevel/e0. D.99)
Разделяя это уравнение на х- и ^/-компоненты и используя
выражения D.98), имеем
тп0е е ( юс U ©J у1
Ю£*= r""^-l£'+"="£vl1_"S"J ' D-ЮО)
V 7 ^ е0 mto V со V V со2 У
Воспользовавшись определением сор, можно записать эту систему
в виде
[»*A—J)-»?]^ + i^£,=o.
В
[(co2-feV)(l-4)-co2P]^-i^^ = 0.
D.101)
Эти уравнения совместны только в том случае, если
составленный из их коэффициентов детерминат обращается в нуль:
А В I
с D] = 0. D.102)
Поскольку Л = со —соЛ, где соЛ — верхнегибридная частота, опре-

4.15. Отсечки и резонансы
127
деляемая выражением D.60), условие равенства нулю детерминанта
AD — ВС можно записать в виде
(<о2-тЮ[
2 2 2,2 | л
со —сой—с k I 1
(-4-)]-№f
Ы со2-со2-[(со2рсо»2/(со2-соЭ]
D.103)
Это уравнение можно упростить, сделав несколько алгебраических
преобразований. Заменяя в правой части co/i на сос + сор и умножая
обе части уравнения на со —coh, получаем
,2*,2
C*k
1
»2рК-»2) + К*>2)
(со2-
= 1-
со2 (со2
-со2) (со2-со2)
9 9
= 1-
(со2-со2) (со2-со2) со2
со2 (со2-со2)-со2 (со2-со2)
со2
c2k2
со2
с2
4
(со2-
— 1
-^(•*—4)
<«2(<«2-Ч) '
D.104)
Это—дисперсионное уравнение для необыкновенной волны. Она
представляет собой продольно-поперечную электромагнитную
волну, которая распространяется под прямым углом к магнитному
полю В0. Собственное электрическое поле волны Ех также
перпендикулярно В0.
4.15. Отсечки и резонансы
Дисперсионное уравнение для необыкновенной волны гораздо
сложнее любого из уравнений, с которыми мы имели дело до настоящего
времени. Чтобы его проанализировать, полезно определить
понятия отсечки и резонанса. Отсечка электромагнитной волны в плазме
имеет место тогда, когда показатель преломления обращается в
нуль или, поскольку п — cklm, когда длина волны сигнала
становится бесконечной. Резонанс возникает, когда показатель
преломления становится бесконечным, т. е. длина волны обращается
в нуль. Если волна распространяется через область плазмы, в
которой сор и сос меняются, то она может встретиться с точками отсечки
и резонанса. Как правило, в точке отсечки волна отражается, а
в резонансе — поглощается.

128 Гл. 4. Волны в плазме
Точки резонанса для необыкновенной волны можно найти, если
в уравнении D.104) устремить k к бесконечности. При любой
конечной со из условия k -> оо следует, что со -> со^; поэтому
резонанс возникает в той точке плазмы, где выполняется равенство
(о£ = сор + со? = со2. D.105)
Очевидно, это соотношение представляет собой дисперсионное
уравнение для электростатических волн, распространяющихся
поперек В0 [см. D.60)]. По мере приближения волны к точке
резонанса как фазовая, так и групповая ее скорости стремятся к нулю,
а энергия волны переходит в энергию верхнегибридных
колебаний. Как отмечалось выше, необыкновенная волна является
частично электромагнитной, а частично электростатической; нетрудно
показать (задача 4.14), что в точке резонанса она теряет свой
электромагнитный характер и становится чисто электростатической.
Частоты отсечки необыкновенной волны можно найти, положив
в уравнении D.104) k — 0. Разделив получившееся равенство на
со —сор, можно записать его в виде
< 1
1 = —р- . D.106)
со2 l-fco^-co2,)]
Выполнив несколько хитроумных алгебраических преобразований,
получаем простое выражение для со:
1 2// 2 2\ 27^2
1 — СОДСО —Сйр) = СОр/СО ,
1-_(со2р/со2) = (со?/со2)/[1-(сор/со2)],
[1-(со2/со2)]2 = со2с/со2,
1 — (сор/со2) = ± сос/со,
со2Тсосос — со2=0. D.107)
Знаки минус и плюс отвечают разным частотам отсечки; мы будем
обозначать их со^ и coL. Корни квадратного уравнения равны
. <Оя = у[сос + (со2 + 4со2I2],
coL=-^-[-coc+(co2 + 4co2I2]. D.108)
По принятому нами соглашению частота со всегда положительна,
поэтому в обоих случаях мы выбрали перед квадратным корнем
знак плюс. Заметим, что волнам, которые распространяются в
направлении отрицательных х, будут соответствовать
отрицательные k. По причине, которая выяснится в следующем разделе,
частоты со^ и coL называются частотами отсечек соответственно
правополяризованной моды и левополяризоеанной моды.

4.15. Отсечки и резонансы 129
Рис. 4.36. Дисперсия необыкновенной волны, т. е. зависимость ее фазовой
скорости от частоты. В областях частот, заштрихованных на рисунке,
необыкновенная волна распространяться не может.
Частоты отсечки и резонанса разделяют график дисперсионной
кривой на участки, соответствующие распространяющимся и не-
распространяющимся волнам. Вместо обычного графика со (k)
удобнее пользоваться зависимостью фазовой скорости от частоты, или,
более точно, зависимостью величины со2/с2&2 = \/п2 от частоты а>
(рис. 4.36). Чтобы объяснить эти зависимости, представим себе,
что частота сос задана и волна с фиксированной частотой со падает
на плазму извне. Когда волна проходит участки, где плотность
возрастает, частоты coL, сор, со/j, соЛ увеличиваются, т. е. сдвигаются
на графике вправо. Это эквивалентно тому, что при фиксированной
плотности плазмы частота со уменьшается. Становясь на эту точку
зрения, мы видим, что при больших со (или низкой плотности) фа-
Рис 4.37. Дисперсия обыкновенной волны.

130
Гл. 4. Волны в плазме
зовая скорость волны стремится к скорости света. По мере того как
волна движется дальше и плотность плазмы возрастает, фазовая
скорость волны увеличивается и наконец в точке отсечки правопо-
ляризованной моды она становится бесконечной. Между теми
слоями плазмы, в которых со = со^ и ау = (>ук, величина со2/&2 отрицательна
и поэтому волна там распространяться не может. При со = со^
наступает резонанс и фазовая скорость v$ обращается в нуль.
Между точками со = coh и со = coL волны опять могут
распространяться. Фазовая скорость волны в этой области будет больше или
меньше скорости света в зависимости от того, больше со, чем сор,
или же меньше ее. Из уравнения D.104) ясно, что волна при со = сор
движется со скоростью с. При со <C&>L имеется еще одна область
нераспространения. Таким образом, у необыкновенной волны есть
две области распространения, разделенные полосой непропускания.
С целью сравнения на рис. 4.37 показана аналогичная диаграмма
для обыкновенной волны. В этом случае у дисперсионного
уравнения имеется только одна отсечка, а резонансы отсутствуют.
4.16. Электромагнитные волны,
распространяющиеся параллельно В0
Пусть теперь волновой вектор к направлен по оси z, а
электрическое поле волны Ех имеет обе поперечные составляющие Ех и Еу:
k^fez, Е1 = Ехх + Еуу. D.109)
Мы по-прежнему можем пользоваться волновым уравнением для
необыкновенной волны D.99), поменяв в нем k = kx на к = кг.
Как следует из системы D.100), проекции волнового уравнения
на оси координат имеют теперь следующий вид:
1 — со2/со2 V со /
.2
D.110)
(•■-cW) Еи = ' [Е, +-*-Е,\.
1 — со^/со2 V со /
Вводя обозначение
а~с0р/[1 — со^/со2], D.111)
мы можем записать систему уравнений для Ех и Еу в виде
(со2—с2/г2—а)Ех + [а((йс/(й)Еу = 0, D.112а)
(со2 — с2/г2 — а)Еу—ia (сос/со)£* = 0. D.1126)
Приравнивая нулю детерминант, составленный из коэффициентов
этой системы, получаем
(со2—с2/г2—aJ = (acoc/coJ, D.113)
со2—с2/?2 —a=±acoc/co. D.114)

4.16. Электромаг. волны, распространяющиеся параллельно В0
Таким образом,
131
со2—с2/г2 = а 1 ±
= со,
о*-*-)
со У 1-(со>2)
1 ± (сос/со)
1+(со»][1-(со»]
0*^)-
(со»
D.115)
Вг
I ±k
4 ±к
едсэЕ1
Рис. 4.38. Право- и левополяризованные волны, распространяющиеся вдоль
направления магнитного поля В0.
Знаки =F показывают, что у системы уравнений D.112) есть два
решения, которые соответствуют двум разным волнам,
распространяющимся вдоль магнитного поля В0. Дисперсионные уравнения
для этих волн записываются в виде
D.116)
~2
«/? =
п2г-
c2k2
CD2
c2k2
(О2
-1
-= 1
»2»
1 — (coc/cd)
co2p/co2
1 + (COc/@)
R -волна,
L-волна.
D.117)
Оказывается, эти волны имеют круговую поляризацию. Символы
R и L означают соответственно правую и левую круговые
поляризации (задача 4.17). Ориентация векторных величин в этих волнах
показана на рис. 4.38. Вектор напряженности электрического
поля в правополяризованной волне с течением времени
поворачивается по часовой стрелке, если смотреть по направлению
вектора В0. В левополяризованной волне он вращается в
противоположную сторону. Поскольку дисперсионные уравнения D.116) и
D.117) зависят только от k2, направление вращения вектора Е не

132
Гл. 4. Волны в плазме
Правополяриз.
волна
Рис. 4.39. Зависимость величины vl/c2 от частоты со для право- и левополяри-
зованных волн. Области частот, в которых волны распространяться не могут
(fi/c2 < О),не заштрихованы, поскольку для этих двух волн они различны.
зависит от знака величины k; поэтому у волн, распространяющихся
в противоположных направлениях, поляризация будет одной и
той же. Таким образом, можно сделать следующее заключение:
основные типы электромагнитных волн, распространяющихся вдоль
магнитного поля В0,— это волны с правой (R) и левой (L) круговой
поляризацией; основные типы волн, распространяющиеся поперек
В0, — это линейно-поляризованная обыкновенная волна (О-волна)
и эллиптически поляризованная необыкновенная волна (Х-волна).
Рассмотрим теперь отсечки и резонансы право- и левополяри-
зованных волн. Для правополяризованной волны k становится
бесконечным при со = сос; в этом случае волна попадает в резонанс
с циклотронным вращением электронов. Направление вращения
плоскости поляризации этой волны совпадает с направлением
вращения электронов в магнитном поле; непрерывно ускоряя
электроны, волна теряет свою энергию и не может больше
распространяться. Напротив, левополяризованная волна не попадает в
резонанс с электронами, поскольку в ней вектор электрического поля
вращается в противоположную сторону. Как легко видеть из
уравнения D.117), при положительных со левополяризованная волна
не имеет резонансов. Если бы в нашем анализе мы учли движение
ионов, то обнаружили бы, что левополяризованная волна попадает
в резонанс при со = Qc, поскольку вектор электрического поля
в ней вращается в ту же сторону, что и ионы.
Чтобы найти частоты отсечек, в уравнениях D.116) и D.117)
нужно положить k = 0. В этом случае мы получим то же
уравнение, что и в случае отсечек необыкновенной волны [см. уравнение

4.17. Экспериментальные следствия
133
D.107)]. Таким образом, при продольном распространении
частоты отсечек остаются теми же, что и в случае
поперечного распространения колебаний. Правополяризованная волна,
которой в уравнениях D.116) и D.107) соответствует знак минус,
имеет более высокую частоту отсечки оо^, определяемую первым
из выражений D.108). Частота отсечки левополяризованной волны
ниже. В уравнении D.107) ей соответствует знак плюс, на оси со
она лежит левее оо^. Вот почему ранее мы обозначили эти частоты
со я и ooL. Дисперсионные кривые для право- и левополяризованных
волн показаны на рис. 4.39. Полоса непропускания
левополяризованной волны лежит в области низких частот; в целом она ведет
себя как обыкновенная волна, только отсечка ее происходит не
при со = о)р, а при со = gol. Полоса непропускания
правополяризованнои волны лежит между частотами оо^ и оос, но ниже оос
располагается еще одна область, где может распространяться волна
с фазовой скоростью 1>ф<< с. В этой низкочастотной области волна
называется вистлерной (свистовой) модой. Вистлеры имеют очень
большое значение для изучения ионосферных явлений.
4.17. Экспериментальные следствия
4.17.1. Вистлерная мода
Первые исследователи ионосферного радиоизлучения были
вознаграждены за свои усилия разнообразными свистящими звуками,
прослушивавшимися в диапазоне частот, воспринимаемых на слух.
I I:
0 1
t.c
Рис. 4.40. Реальная спектрограмма вистлерных сигналов, изгибы на которой
связаны с дисперсией правополяризованнои волны в области низких частот
(рис. 4.39). Приемник в каждый момент времени t быстро просматривает
частотный диапазон от 0 до 20 кГц, что соответствует на спектрограмме
вертикальной линии. Самописец рисует на этой линии точки, густота которых
пропорциональна интенсивности сигнала на данной частоте. Отклонение
точек от вертикали со временем свидетельствует о существовании в
излучении нисходящего тона. [Из работы: Carpenter D. L., J. Geophys. Res., 71,
693 A966).]

134
Рис. 4.41. Схема, иллюстрирующая механизм распространения вистлеров.
Сигналы, распространяющиеся по каналам А, В и С, отмечены на рис. 4.40
этими же буквами.
На рис. 4.40 представлена частотно-временная спектрограмма
этого явления, т. е. зависимость частот принимаемых колебаний
от времени. На ней виден типичный ряд нисходящих тонов. Такие
свисты можно было также прослушивать через громкоговоритель.
Это явление легко объяснить, исходя из дисперсионных
характеристик правополяризованной волны. Когда в Южном полушарии
происходит вспышка молнии, генерируются радиошумы на всех
частотах. Среди возбуждаемых в ионосфере и магнитосфере волн
есть и волны с правой поляризацией, распространяющиеся вдоль
магнитного поля Земли. Эти волны перемещаются вдоль силовых
линий и регистрируются, скажем, наблюдателями в Канаде.
Колебания с разными частотами приходят туда в разное время. Как
видно из рис. 4.39, при со <Ссос/2 фазовая скорость волн растет с
частотой (задача 4.19). Можно показать, что и групповая скорость
также увеличивается с частотой (задача 4.20). Таким образом»
низкочастотные колебания приходят в точку наблюдения позже.
Это и приводит к тому, что тон становится нисходящим. Одна
вспышка молнии может вызвать несколько вистлеров,
распространяющихся вдоль различных трубок силовых линий Л, В, С
(рис. 4.41). Частоты этих волн всегда меньше местной
циклотронной, поэтому для того, чтобы вистлеры могли регистрироваться
в другом полушарии, их частоты должны быть ниже, чем
минимальная электронная гирочастота на всей длине силовой трубки.
Эта частота равна примерно 100 кГц. Частоты вистлеров либо
непосредственно лежат в аудиодиапазоне, либо их можно
преобразовать в этот диапазон посредством гетеродинирования.
4.17.2. Фарадеево вращение
Если в плазме вдоль магнитного поля распространяется линейно-
поляризованная волна, то ее плоскость поляризации
поворачивается (рис. 4.42). Это явление можно объяснить тем, что фазовые
скорости право- и левополяризованных волн различны.
Действительно, из рис. 4.39 видно, что при больших со правополяризован-
ная волна движется быстрее левополяризованной. Линейно-поля-

4.17. Экспериментальные следствия
135
В
J0%T
Рис. 4.42. Фарадеево вращение плоскости поляризации волны,
распространяющейся вдоль магнитного поля В0.
ризованную волну можно считать суммой волн правой и левой
круговой поляризации (рис. 4.43). Частоты этих волн, естественно,
одинаковы. Совершив N оборотов, векторы электрического поля
право- и левополяризованной волн ER и EL возвращаются в их
исходные положения. Однако если линейно-поляризованная волна
прошла данное расстояние d, то составляющие ее ER и EL сделают
разное число оборотов, поскольку для того, чтобы пройти это
расстояние, право- и левополяризованной волнам требуется разное
время. Поскольку волна левой поляризации движется медленнее,
в точке, в которой вектор Е^ в правополяризованной волне сделает
N оборотов, вектор EL в левополяризованной волне успеет сделать
уже N + £ оборотов, и векторы окажутся в положении,
показанном на рис. 4.44. Очевидно, что плоскость поляризации
повернулась. Измеряя угол поворота с помощью рупорной СВЧ-антенны,
можно вычислить величину о)р и, следовательно, плотность плазмы
(задача 4.22). Явление фарадеева вращения было подтверждено
экспериментально, но как метод измерения плотности плазмы оно
оказалось не столь удобным, как СВЧ-интерферометрия, поскольку
к торцам плазменного столба обычно трудно подобраться. Другая
причина состоит в том, что при небольшой плотности среды этот
эффект очень слаб, а в противном случае нужно учитывать
преломление волн в плазме.
При создании плотной плазмы с помощью мощных импульсных
лазеров, испаряющих твердую мишень, иногда спонтанно
генерируются магнитные поля напряженностью до нескольких мегагаусс.
Они были зарегистрированы по фарадееву вращению лазерного
излучения с более высокой, чем у основного лазера, частотой. В
межзвездном пространстве волны проходят настолько большие
расстояния, что фарадеево вращение становится заметным, несмотря на
низкие плотности плазмы. Этот эффект использовался, в частности,
для объяснения поляризации микроволнового излучения, которое
на стадии образования новых звезд генерируется с помощью мазер-
ного механизма в облаках, состоящих из радикалов ОН- или
молекул Н20.

136
Гл. 4. Волны в плазме
®В0
Рис. 4.43. Плоскополяризованную волну можно представить как сумму
волн с левой и правой круговой поляризацией.
Рис. 4.44. После прохождения плазмы левополяризованная волна опережает
по фазе правополяризованную, и плоскость поляризации поворачивается.
Задачи
4.14. Докажите, что в точке резонанса необыкновенная волна является чисто
электрической. Указание: выразите отношение Еу/Ех через частоту со и
положите СО = (Oft.
4.15. Докажите, что критические точки на рис. 4.36 расположены в
правильном порядке, т. е. что со^ <сор <со/г <со^.
4.16. Покажите, что групповая скорость необыкновенной волны в точках
отсечки и резонанса обращается в нуль. Движением ионов можете пренебречь.
4.17. Докажите, что право- и левополяризованные волны действительно так
поляризованы. Для этого:
а) покажите, что систему уравнений для Ехя Еу можно записать в виде
F (<£>)(ЕХ — iEy) = О, G (со) (Ех + i Еу) — 0, где для правополяризованной
волны F (со) = 0, а для левополяризованной G(co) = 0;
б) заметьте, что для правополяризованной волны G (со)^0 и, следовательно,
Ех = — i Еу. Восстановив экспоненциальные зависимости поля Е от
времени [Е ~ ехр (— i (£>t)\, покажите, что вектор £^ вращается в
направлении вращения электронов в магнитном поле; докажите, что в
левополяризованной волне вектор El вращается в противоположном направлении;
в) нарисуйте спирали, которые описывает в пространстве в данный момент
времени конец вектора Е^ в правополяризованной волне; рассмотрите
случаи 1) kz>0 и 2) &2<0; заметьте, что для неподвижного наблюдателя,
рассматривающего движущуюся мимо него спираль, вектор Е в обоих случаях
вращается в одну и ту же сторону.
\

4.18. Магнитогидродинамические волны
137
4.18. Левополяризованные волны распространяются в плазме вдоль одно"
родного магнитного поля В = B0z. Плотность плазмы растет с г. При какой
плотности плазмы произойдет отсечка волн, если / = 2,8 ГГц, а В0 — 0,3 Тл?
4.19. Покажите, что максимальная фазовая скорость вистлеров достигается
на частоте со = сос/2 и что она меньше скорости света.
4.20. Покажите, что в области частот (о « о^ (е >1) групповая скорость ви-
стлерных колебаний пропорциональна со ' .
4.21. Покажите, что в позитрониевой плазме с равным числом позитронов
и электронов фарадеево вращение отсутствует.
4.22. В однородной плазме, помещенной в магнитное поле 0,1 Тл, изучается
фарадеево вращение СВЧ-колебаний с длиной волны 8 мм. Обнаружено,
что после прохождения 1 м плазмы плоскость поляризации повернулась на
90е. Какова плотность плазмы?
4.23. Покажите, что для линейно-поляризованной поперечной волны,
распространяющейся вдоль магнитного поля Б0, угол фарадеева вращения в
градусах дается выражением
L
6= 1,5-10_11Я,2 [ В (z) ne (z) dz,
6
где ^о — длина волны колебаний вне плазмы, a L —■ расстояние, пройденное
волной в плазме. Считайте, что со > со„. ок.
4.24. В некотором эксперименте по лазерному синтезу плазма создается с
помощью импульса излучения с длиной волны 1,06 мкм, падающего на твердую
мишень. Возникающие при этом термоэлектрические токи генерируют
очень сильные магнитные поля. Напряженность этих полей можно измерить
по фарадееву вращению излучения с удвоенной частотой (А,0 = 0,53 мкм),
получаемого с помощью преобразования света от того же лазера. Пусть В =
= 100 Тл, п = 1027 м-3, а длина пути, который проходит свет в плазме, равна
30 мкм. Чему равен угол фарадеева вращения в градусах? (Считайте, что
k i| В.)
4.25. Если плотность плазмы выше критической плотности пс, то для ее
измерения нельзя использовать СВЧ-интерферометр, работающий на
обыкновенной волне. Для измерения больших плотностей можно использовать
необыкновенную волну.
а) Выпишите выражение для плотности псх, при которой происходит отсечка
необыкновенной волны.
б) На графике зависимости vJc от о покажите, на какой ветви
дисперсионного уравнения для необыкновенной волны будет работать такой
интерферометр.
4.18. Магнитогидродинамические волны
В последней части нашего обзора основных типов волн в плазме
анализируются низкочастотные ионные колебания в присутствии
магнитного поля. Из многих возможных мод мы рассмотрим только
две: магнитогидродинамическую волну, распространяющуюся вдоль
магнитного поля В0, или альфвеновскую волну, и магнитозвуковую

138
Гл. 4. Волны в плазме
волну. У плоской альфвеновской волны волновой вектор к
направлен вдоль В0, Ех и jx перпендикулярны В0, а Вх и vx
перпендикулярны как В0, так и Ех (рис. 4.45). Из уравнения Максвелла, как
обычно, получаем
v X v X Е1= — к (к- Ех) + k2Ex = (со2/с2) Ех + (ico,'e0c2) j4 D.118)
[см. уравнение D.80)].
Согласно нашему предположению, к = &z и Ег ~ Егх; поэтому
отлична от нуля будет только х-составляющая этого уравнения.
лк, В0
X
Рис. 4.45. Альфвеновская волна, распространяющаяся вдоль магнитного
поля В0.
Поскольку мы рассматриваем низкочастотные колебания, в ток j\
теперь вносят вклад как электроны, так и ионы. Проекцию
уравнения D.118) на ось х можно записать в виде
е0(со2—с2/г2)£1== —[агце^—Ум). D.119)
Тепловые движения для этой волны несущественны, поэтому
скорость движения ионов можно определять из формулы D.63),
полученной в предположении Тi = 0. Для полноты анализа включим
в рассмотрение также компоненту viy, которая в явном виде нигде
ранее не выписывалась:
vir. =
Wco V со2 У
viy =
со
0-4Г«>
Mm V со2 У "' "а Мсо со \ со
D.120)
Решения уравнений движения для электронов получаются, если
сделать в этих формулах следующие замены: М -> т, е -э— е,
Ос -> — сос, а затем перейти к пределу сос > со :
i« о2 р л е (£>с со2 г, Ег
■Ег-*0,
Vey =
Ег =
в,
D.121)

4.18. Магнитогидродинамические волны 139
В этом пределе ларморовским вращением электронов
пренебрегают. Электроны совершают лишь Е X В-дрейф в направлении у.
Подставляя выражения для скоростей частиц в уравнение D.119),
получаем
е0(со2 —сЧ?)Ех=^ — тп()е-^— A ^-| EL. D.122)
Mm V. со2 /
Проекция скорости vx на направление у нужна нам лишь для того,
чтобы построить представленную ниже физическую картину
распространения альфвеновских волн. Воспользовавшись
определением ионной плазменной частоты Qp [см. формулу D.49) ], имеем
2 2,2 гл
СО — С К = 11
9 ( & V1
Теперь мы должны сделать еще одно предположение. Будем считать,
что со2 <С £2с т. е. что частоты магнитогидродинамических волн
значительно ниже частоты ионно-циклотронного резонанса. В этом
пределе уравнение D.123) принимает вид
со2-^= -co2(Q2/fi2) = -co2(^2/80M)(MV502) = _а>2(р/е0$),
D.124)
© V = c2l[ 1 + (p/e0B5)] = с2![\ + (pw'Bt) с2],
где р — массовая плотность: р = п0М. Последнее выражение не
является неожиданным, поскольку знаменатель в нем равен
относительной диэлектрической проницаемости для низкочастотных
поперечных движений [формула C.28)]. Уравнение D.124)
определяет просто фазовую скорость электромагнитной волны в
диэлектрике: со//г = cl(sR\iR) 2 = cl&R при [\.R= 1. Как было показано
ранее, в большинстве случаев для лабораторной плазмы е > 1
и уравнение D.124) можно приближенно записать в следующем
виде:
со//г = иф=: B0/(ji0pI/2. D.125)
Такие магнитогидродинамические волны распространяются вдоль
магнитного поля В0 с постоянной скоростью vA, которая называется
альфвеновской скоростью:
»а^В,/(М' • D-126)
Это — характерная скорость распространения возмущений
силовых линий. Диэлектрическую проницаемость C.28) теперь можно
записать в виде
&r = eIe0=\ + (c2Iv2a). D.127)
Заметим, что для типичной плазмы плотность р достаточно велика,
и потому иА мала, a eR ^> 1.

140
Гл. 4. Волны в плазме
Рис. 4.46. Соотношения между осциллирующими величинами в альфвенов-
ской волне и возмущение силовых линий магнитного поля (увеличено).
Чтобы понять физические процессы, происходящие в альфве-
новской волне, вспомним, что это электромагнитная волна,
собственное магнитное поле Вх которой определяется уравнениями
VXE^-Вь Ex={a>/k)By. D.128)
Когда к В0 добавляется малая компонента Ву, на силовых линиях
появляется синусоидальная рябь; на рис. 4.46 она изображена
в увеличенном масштабе. В точке, отмеченной на рисунке, Ву
направлена в сторону положительных у; поэтому в соответствии с
уравнением D.128) у волны, распространяющейся в направлении
положительных z, компонента Ех направлена в сторону
положительных х. Электрическое поле Ех вызывает Ei X В0-дрейф в
сторону отрицательных у. Как следует из уравнений D.120) и D.121),
в выбранном нами предельном случае со2 <^ Qc ионы и электроны
дрейфуют с одинаковыми скоростями vy. Таким образом, на
рис. 4.45 плазма как единое целое будет двигаться взад-вперед по
оси у. Это же движение изображено на рис. 4.46. Амплитуда
колебаний скорости в таких движениях равна \ЕХ/В0\. Рассмотрим
теперь движение силовых линий. Поскольку изгиб силовой линии
движется в направлении z со скоростью со/&, то силовая линия в
точке, отмеченной на рис. 4.46, движется вниз, туда же, куда и
плазма в этой точке. Скорость движения силовой линии равна
{(aIk) \ВУ1В0\. Как следует из уравнения D.128), эта величина
в точности равна скорости движения жидкости | Ех/В0 |. Таким
образом, плазма и силовые линии колеблются вместе, как будто
силовые линии вморожены в плазму. Иными словами, силовые
линии ведут себя как нагруженные плазмой массивные струны, а
альфвеновскую волну можно считать возмущением, которое
распространяется вдоль струн после щипка. Понятие о вмороженности
силовых линий в плазму и их совместном движении полезно для
понимания многих низкочастотных плазменных явлений. Можно

4.18. Магнйтогидродинамические волны
141
Рис. 4.47. Направления
векторов скорости и
электрического поля в
торсионной (шировой) аль-
фвеновской волне,
распространяющейся в
цилиндрическом столбе
плазмы.
4—f77Z%
*z
1
ФЩ—
AY
Рис. 4.48. Схема эксперимента по
регистрации альфвеновских волн. [Из работы:
Wilcox J. AT., Boley F. I., DeSilva A. W., Phys,
Fluids, 3, 15 (I960).]
показать, что если в плазме нет электрических полей,
направленных вдоль В0, то это приближение является точным.
Нам осталось выяснить, какая сила поддерживает поле ЕХУ
которое мы считали заданным. Дело в том, что в осциллирующем
поле Ех ионы из-за своей большой массы не успевают следовать
за электронами и вследствие этого запаздывания в плазме
возникает поляризационный дрейф со скоростью vp, направленной вдоль
Ev Компонента скорости этого дрейфа ^определяется уравнением
D.120). Такое дрейфовое движение приводит к появлению тока jt
вдоль оси х. В результате на плазму действует направленная по>
оси у сила ji X В0, которая сдвинута по фазе относительно
скорости vx на 90°. Как всякая сила, действующая на осциллятор не
в фазе со скоростью, она поддерживает его колебания. Естественно,
источником колебаний является инерция ионов, проскакивающих
свое положение равновесия; в плазме их импульс с помощью
электромагнитных сил сложным образом передается полю.
В системе с более реалистической для экспериментов
геометрией поле Ег будет направлено в радиальном, а скорость vx
направлена в азимутальном направлении (рис. 4.47). В этом случае плазму
можно считать несжимаемой и пренебречь в уравнении движения
членом VP- Возникающая при этом мода колебаний называется
торсионной альфвеновской волной. Впервые ее наблюдал в жидкой
ртути Б. Ленерт.
Альфвеновские волны в плазме впервые возбуждались и
регистрировались в экспериментах Аллена, Бейкера, Пайла и Уил-
кокса в Беркли (шт. Калифорния, США) и Джефкотта (Англия)
в 1959 г. Опыты ставились в водородной плазме медленного
самостягивающегося разряда между электродами, вытянутыми вдоль

142
Гл. 4. Волны в плазме
Рис. 4.49. Результаты измерений зависимости
фазовой скорости альфвеновских волн от магнитного
поля. [Из работы: Wilcox J. M., Boley F. I.,De-
Silva A. №.,Phys. Fluids, 3, 15 (I960).]
Рис. 4.50. Магнито-
звуковая волна,
распространяющаяся под
прямым углом к
магнитному полю В0.
направления магнитного поля (рис. 4.48), с помощью конденсатора
Ki большой емкости. Соединенный с металлической стенкой кон-
денсатор|К2 малой емкости использовался для того, чтобы создать
электрическое поле Еъ перпендикулярное В0. После замыкания
этого конденсатора в плазме возникала волна, которая спустя
некоторое время регистрировалась зондами 3. На рис. 4.49 приведена
полученная в эксперименте зависимость фазовой скорости волны
от магнитного поля, которая, как и предсказывает формула D.126),
является линейной.
Этот эксперимент был очень сложным, поскольку для того,
чтобы преодолеть затухание волн, нужно было создавать сильное
магнитное поле напряженностью 1 Тл. Однако если В0 велико, то
vA и, следовательно, длина волны альфвеновского колебания
становятся очень большими. Для уменьшения vA нужно было
поэтому создавать более плотную плазму. Чтобы достичь низкой альф-
веновской скорости 2,8-105 м/с, в эксперименте Уилкокса и др.
применялась плазма плотностью 6-1021 м-3. Заметим, что в
эксперименте нельзя увеличивать массовую плотность плазмы (р =
= п0М), используя более тяжелые атомы. Дело в том, что частота
волны со = kuA пропорциональна М~1/2, а циклотронная частота
Qc пропорциональна М~х. Таким образом, отношение co/Qc
пропорционально М12 и, применяя более тяжелые ионы, нельзя
выполнить условие со2 С ^с-

4.19. Магнитозвуковые волны 143
4.19. Магнитозвуковые волны
Рассмотрим, наконец, низкочастотные электромагнитные волны,
распространяющиеся поперек магнитного поля В0. Снова положим
В0 = B0z и Ех = £iX, но теперь будем считать, что k = ky
(рис. 4.50). Очевидно, скорости Ег X В0-дрейфов направлены
теперь вдоль волнового вектора к, так что в процессе
распространения волн плазма будет сжиматься и расширяться. Следовательно,
в уравнении движения нужно сохранить член VP- Уравнение
движения для ионов можно записать в виде
Mn0{dvil/dt) = en0(E1 + vtlxBQ)—ytKTtfnt. D.129)
Направляя Ег и к так, как указывалось выше, уравнение D.129)
можно записать в виде
vix = (ip/M со) (Ех + vtyBQ), D.130)
viy = (ie/Af ю) (~vixB0) + (/г/со) (ytKTtIM) {щ/п0). D.131)
Уравнение непрерывности дает
nxlnQ = (/г/со) viy\ D.132)
при этом уравнение D.131) принимает вид
viy=-~(ie/Ma)vixB0+(kytf)(ylKTi/M)vly. D.133)
Введя сокращенное обозначение А = (&2/со2) (ytKTi/M),
уравнение D.133) можно переписать в виде
Viy(] — A)= —([Qc/(o)vix. D.134)
Выражая отсюда компоненту viy и подставляя ее в уравнение
D.130), получаем
vix = (ie/Mco) Ex + (iQc/co) (- iQc/co) A - А у1 vix,
/ 9 ох D.135>
vix [ 1 — (Ф со2)/( 1 — А)] = (ie/Mco) £х.
Для дальнейшего анализа нам нужна только эта составляющая
вектора vil} поскольку единственная не равная нулю компонента
волнового уравнения D.81) имеет вид
е0(со2—c2k2)Ex= —mn0e(vix—vex). D.136)
Чтобы получить выражение для vex, необходимо лишь поменять
обозначения в уравнении D.135) и перейти к пределу малых масс
электронов, т. е. считать, что со2 < со? и со2 < $vlmn,e:
H-^-f^J^Mb^E,^ !*L-J££-£,. D.137)
mm

144
Гл. 4. Волны в плазме
Из последних трех уравнений получаем
е0(со2—c2k2)Ex= — тп0е\-£—,
М(й
\k2M УеКТе
{ 1~Л-@>2))
+
+
<В#
еМ
D.138)
Снова предположим, что со С ^с» и поэтому разностью 1—Л можно
пренебречь по сравнению с Qc/co . Используя определения величин
Qp и vA, имеем
,2
(о2 - сЧ*) = - со2 (fi2/fi2) A - А) + (АЭД) (тДГе/М),
с2/:2 1
MvA J Q2 V M У
Поскольку
уравнение D.139) принимает вид
D.139)
D.140)
or
*л)"
c2kH l
Ми
= c2k2\ l
„2
где ds — скорость звука. Окончательно имеем
D.141)
D.142)
Это — дисперсионное соотношение для магнитозвуковои волны,
распространяющейся перпендикулярно магнитному полю В0. В
такой звуковой волне области сжатия и разрежения образуются
не из-за движения частиц вдоль электрического поля Е, а из-за
их Е X В-дрейфа поперек Е. В пределе В0 -> 0, vA -+■ 0 магнито-
звуковая волна переходит в обычную ионно-звуковую волну.
В пределе КТ ->0, vs -> 0 силы, связанные с градиентом давления,
становятся малыми и волна превращается в модифицированную
альфвеновскую волну. Фазовая скорость магнитозвуковои моды
почти всегда выше альфвеновскои скорости vA, поэтому ее часто
называют просто «быстрой» магнитогидродинамической волной.
4.20. Основные типы волн в плазме
(сводка формул)
Электр остатические электронные волны
,В0 = 0 или к || В0: со2
шр ~ 2 тепл
(плазменные колебания или
ленгмюровские волны)
D.143)

4.20. Основные типы волн в плазме (сводка формул)
145
k J_ Bq : СО = CO -j- C0C = C0ft (верхнегибридные колебания). D.144)
Электростатические ионные волны
В0 = 0 или k||B0: co2=^s2=^2(VeKTe+Y./cr.)/M £СК?ВуК°ВЫе
D.145)
k J_ Bq : СО = Qc -\- k vs (электростатические ионно-циклотронные волны)
D.146)
(О2 = со? = Q со (нижнегибридные колебания).
Электромагнитные электронные волны
D.147)
В0 = 0: СО2 = СО2 -f k2C2 (световые волны). D.148)
к _1_ В0, Ej || В0: C2k2/®2 = 1 —СО2/СО2 (обыкновенная волна). D.149)
k _L В0, Ех j. Во
,2^,2
к И В0:
cLk
c2k2
1
ОJ
»>2
1 /,л /,.,
со2 со2 — со2
2 2 2
СО ОГ — СО^
D.150)
(правополяризованная волна); (д 1^П
1вистлерная мода;. v D >
со2 1 — (сос/со)
сЧ2 со2/со2
1 v (левополяризованная волна). /л ico)
СО2 1 + (С0с/С0)
Электромагнитные ионные волны
В0 = 0 : Нет
к || Bq : СО = k "Од (альфвеновская волна). D.153)
со2 v2s + у\
к _]_ BqI ~~~ = С2 - - (магнитозвуковая волна). D.154)
Приведенный выше набор дисперсионных уравнений является очень
упрощенным; он охватывает только главные направления
распространения — вдоль и поперек магнитного поля. Тем не менее его
полезно запомнить как основу для анализа более сложных
волновых движений. Нередко сложную волну можно представить как
модификацию или суперпозицию этих основных типов колебаний.

146
Гл. 4. Волны в плазме
4.21. Диаграмма Клеммова — Муллали — Эллиса
Если волна распространяется под углом к магнитному полю, то
ее фазовая скорость зависит от угла. Некоторые из типов
колебаний, перечисленных выше для случаев к || В0 и k_L B0, при
изменении угла плавно переходят друг в друга, другие же при некотором
критическом угле исчезают. Эту сложную картину помогает
прояснить диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса (КМЭ), названная
так Т. X. Стиксом по фамилиям ее изобретателей. Такая диаграмма
О / 2
сОр/си? или плотность
Рис. 4.51. Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса, иллюстрирующаяг
классификацию волн в холодной плазме. Буквы R, L, О и X обозначают
соответственно правополяризованную, левополяризованную, обыкновенную*
и необыкновенную волны.

4.21. Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса
147
изображена на рис. 4.51. КМЭ-диаграмма описывает только волны
в холодной плазме, когда 7\- = Те = 0. Обобщение на случай
конечных температур настолько усложняет диаграмму, что
использование ее теряет смысл.
На рис. 4.51 на осях координат отложены величины сос/со и
*0р со2 или пропорциональные им напряженность магнитного поля
и плотность плазмы. При данной частоте со любой
экспериментальной ситуации, характеризуемой величинами со0 и сос, на диаграмме
отвечает определенная точка. Плоскость диаграммы разделяется
на участки кривыми, которые соответствуют уже знакомым нам
отсечкам и резонансам. Например, условие отсечки
необыкновенной волны со2 = сос + сор представляет собой квадратичную
[зависимость величины сор/со от сос/со. Получающаяся в результате
деления дисперсионного уравнения на со2 парабола (сос/соJ -г
-г (сор/со2) — 1 отмечена на рис. 4.51 надписью
«верхнегибридный резонанс». Кривые, отвечающие отсечкам и резонансам,
отделяют области распространения различных типов волн от областей
непропускания. Таким образом, на различных участках диаграммы
могут существовать разные наборы волн.
Изображенные в каждой области маленькие диаграммы не
только показывают, какие волны существуют при данном наборе
параметров, но и демонстрируют, как фазовые скорости этих волн
зависят от угла. Условимся, что магнитное поле направлено на
диаграмме вертикально вверх. Тогда расстояние от центра
маленькой диаграммы до любой точки на эллипсе или восьмерке вдоль
прямой, наклоненной под углом 0 к вертикали, будет
пропорционально фазовой скорости волн, распространяющихся под углом 0
к магнитному полю. Например, в треугольной области,
помеченной на рис. 4.51 знаком*, при изменении угла 0 от нуля до я/2 ле-
вополяризованная волна переходит в необыкновенную волну.
Фазовая скорость у левополяризованной волны всегда больше, чем
у правополяризованной, а при 0 = я/2 скорость последней вообще
обращается в нуль. Правополяризованная волна не переходит в
обыкновенную, поскольку в этой области параметров со2<!сОр, и
обыкновенная мода вообще не существует.
Верхние участки КМЭ-диаграммы соответствуют случаю со <^ сос.
Здесь показаны характеристики низкочастотных ионных волн.
Электростатические ионные волны на диаграмме отсутствуют,
поскольку они могут распространяться только в теплой плазме,
а тепловыми скоростями мы пренебрегли. КМЭ-диаграмму можно
рассматривать как «плазменный пруд». Если бросить в
какой-нибудь участок такого пруда камень, то от него пойдут волны, форма
которых напоминает фигуры, изображенные на маленьких
диаграммах.

148
Гл. 4. Волны в плазме
Задачи
4.26. Водородная плазма газового разряда плотностью 101в м~3 помещена
в магнитное поле В0 = 0,1 Тл.
а) Чему равна альфвеновская скорость ид?
б) Предположим, что va оказалась больше с. Значит ли это, что альфве-
новские волны движутся быстрее света?
4.27. Вычислите альфвеновскую скорость в области магнитосферы, где
В = Ю-8 Тл, п = 108 м~3, а М = Мн = 1,67-10~27 кг.
4.28. Предположим, вы создали в лаборатории плазму, плотность которой
п — 1015 м~3. Плазма удерживается магнитным полем В = Ю-2 Тл. Вы
подключаете к зонду, помещенному в плазму, генератор сигнала,
работающий на частоте 160 МГц.
а) Нарисуйте КМЭ-диаграмму. Покажите на ней область, отвечающую
параметрам эксперимента.
б) Какие электромагнитные волны могут распространяться в такой плазме?
4.29. Предположим, что вы хотите поставить эксперимент по возбуждению
стоячих торсионных альфвеновских волн в цилиндрическом плазменном
столбе, причем амплитуда стоячей волны должна быть максимальна в
центральной плоскости системы и обращаться в нуль на концах цилиндра. Чтобы
удовлетворить условию со < Qc, вы выбрали со = 0,1 Qc-
а) Какова должна быть длина плазменного столба, если вы можете создать
в магнитном поле 5=0,1 Тл плазму с концентрацией п=1019 м—3?
б) Какова должна быть длина плазменного столба для того, чтобы можно
было поставить эксперимент в Q-машине, если напряженность магнитного
поля в ней В0 = 0,3 Тл, а плазма имеет плотность п = 1018 м-3 и состоит
из однократно заряженных ионов цезия с атомным номером 133? Указание:
вынесите масштабные множители и примените результат, полученный в п. а
данной задачи.
4.30. Пульсар излучает широкий спектр электромагнитных волн. Они
регистрируются приемником, настроенным на частоты, лежащие около f =
= 80 МГц. Из-за дисперсии групповой скорости, обусловленной
межпланетной плазмой, частота принимаемой волны дрейфует со скоростью df/dt =
= 5 МГц/с.
а) Пренебрегая межзвездным магнитным полем и считая со2 > со^, покажите,.
что df/dt « — (с/х) (f3/fp), где f — плазменная частота, ах— расстояние
до пульсара.
б) Пусть средняя плотность электронов в космосе равна 2-Ю5 м~3. Как
далеко от нас находится этот пульсар? A парсек = 3-Ю16 м.)
4.31. В трехкомпонентной плазме плотность электронов пп, плотность ионов
с массой Мг равна A—е) п0, а плотность ионов с массой М2 составляет еп0.
Пусть Ti! = Ti2 = 0, Те Ф 0.
а) Выведите дисперсионное уравнение для электростатических ионно-цикло-
тронных волн в такой плазме.
б) Получите упрощенное выражение для со2 при малых е.
в) Оцените частоты волн в случае, когда 8 не мало, например для смеси из
равных количеств ионов дейтерия и трития, при условии что КТе = 10 кэВ,.
В0 = 5 Тл, а волновое число k = 1 см-1.
4.32. Покажите, что в ленгмюровской плазменной волне усредненная по
времени кинетическая энергия частиц, содержащихся в 1 м3 плазмы, равна
плотности энергии A/2) е0 (Е2), запасенной в электрическом поле.

4.2!. Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса
149
4.33. Покажите, что в альфвеновской волне усредненная по времени
кинетическая энергия ионов, содержащихся в 1 м3 плазмы, равна плотности
энергии магнитного поля волны /Bj\/2(x0-
4.34. На рис. 34.34 изображен лазер, работающий в дальней инфракрасной
области спектра на длине волны % = 337 мкм. В отсутствие магнитного поля
его излучение свободно проникает в плазму, если только (Ор меньше рабочей
частоты со или п<.пс = 1022 м-3. Однако вследствие того, что луч в плазме
проходит очень большое расстояние, в ней из-за дефокусировки образуется
оптическая полость с меньшей плотностью (ср. рис. 4.30) и излучение может
попасть в плазму только в том случае, когда (о^ <есо2, где е« 1. Для того
чтобы увеличить предельную плотность плазмы, а следовательно, и
выходную мощность лазера, на систему накладывается магнитное поле В0.
Е
№
®
Плазма
Е
Импульсный разряд
_ Вогнутое
зер7«хло
Е Е Е
у
Е
А т
Плоское зеркало
и отверстие вывода
Пластиковое окно-
Рис. 34.34. Схема импульсного HCN-лазера.
а) Покажите, что если в плазме распространяются левополяризованные
волны, то при неизменном е ее предельную плотность можно увеличить.
б) Пусть концентрация плазмы удвоилась. Насколько должна возрасти
напряженность магнитного поля, чтобы предельная плотность плазмы осталась
неизменной?
в) Покажите, что для вистлеров плазма является фокусирующей линзой.
г) Можно ли для увеличения предельной плотности использовать вистлер-
ную моду?
4.35. Используя уравнения Максвелла и уравнения движения электронов,
выведите дисперсионное соотношение для световых волн,
распространяющихся в однородной незамагниченной бесстолкновительной изотермической
плазме плотностью п, электронная температура которой Те отлична от нуля.
(Пренебрегите движением ионов.)
4.36. Докажите, что даже с учетом движения ионов член Vp не влияет на
поперечные волны с к X В0 = 0.
4.37. Рассмотрим затухание обыкновенной волны, вызванное
столкновениями между ионами и электронами с постоянной частотой v.
а) Покажите, что дисперсионное уравнение для необыкновенной волны в этом
случае имеет вид
2 l2 i 2 ,
(Op/(о ((о -j- iv).

150
Гл. 4. Волны в плазме
б) Покажите, что для волн, затухающих со временем (k вещественно), в
пределе v/co С 1 декремент затухания у гз — Imto приближенно равен у «
« (v/2) (со2/со2).
в) Покажите, что для волн, затухающих с расстоянием (со вещественна),
в пределе v/coCl характерная длина затухания 6s=(Im k)~x приближенно
равна б * Bc/v) (co2/coJ) [l-(co2/co2)]1/2.
4.38. Есть предложение построить в космосе электростанцию с большими
панелями солнечных батарей, которые собирали бы солнечный свет 24 часа
в сутки. Энергия должна передаваться на Землю с помощью
микроволнового пучка с длиной волны 30 см. Требуется оценить долю мощности
излучения, которая теряется на нагрев ионосферы. Будем считать ионосферу слабо-
ионизованным газом, в котором частота столкновений между электронами
и нейтральными атомами постоянна. Какая доля энергии волн потеряется
после того, как они пройдут в такой плазме 100 км, если концентрации
электронов и нейтральных молекул равны соответственно пе — 1011 м—3 и пп =
= 1016 м-3, а среднее от произведения сечения рассеяния частиц на скорость
частиц в плазме ov = Ю-14 м3/с?
4.39. Дисперсионное уравнение Эпплтона — Хартри для высокочастотных
электромагнитных волн, распространяющихся под углом 0 к магнитному
полю, имеет вид
„2-2
С^/Ю* =
1 — 2со* (l -co2/co2)/{2co2(l — coj/co2) —co2sin29±coc X
X (со2 sin4 9 + 4со2 A - со2/со2J cos29]1/2}.
Найдите из этого уравнения частоты отсечек и резонансов. Какие из них не
зависят от 9?
4.40. Микроволны, которые в свободном пространстве имеют длину волны
Я0 == 1 см, проходят через слой плазмы плотностью п0 = 2,8-1018 м-3 и
толщиной 10 см, помещенный в постоянное магнитное поле В0 = 1,07 Тл.
Вычислите число длин волн, укладывающихся внутри слоя, если (см. рис. 34.40):
а) волновод ориентирован так, что вектор электрического поля волны Ei
параллелен оси г;
б) волновод ориентирован так, что вектор Ei параллелен оси у.
Рис. 34.40.

4.21. Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса
151
4.41. Холодная плазма состоит из положительных ионов с зарядом Ze и
массой М+ и отрицательных ионов, с зарядом —ей массой М В состоянии
равновесия, когда в покоящейся плазме нет ни электрического, ни
магнитного полей, концентрации ионов равны соответственно п0+ и гс0_ = Zn0+-
Выведите дисперсионное уравнение для плоских электромагнитных волн,
распространяющихся в такой плазме.
4.42. В плазме газового разряда, состоящей из смеси гелия и аргона,
генерируются ионно-звуковые волны. Плазма состоит из следующих компонент:
а) электронов с концентрацией п0 и температурой КТе;
б) холодных ионов (Т = 0) аргона с массой Мд, зарядом + Ze и
концентрацией па',
в) ионов гелия с концентрацией пн, массой М^, зарядом -+- е и
температурой КТН= 0.
Пользуясь линеаризованной одномерной теорией в рамках плазменного
приближения и считая, что электроны удовлетворяют уравнению Больцмана,
получите выражение для фазовой скорости волн в такой плазме.
4.43. В отдаленной области Вселенной существует плазма, состоящая из
позитронов и полностью оголенных ядер атомов антифермия с зарядом —Ze,
где Z = 100. Выведите дисперсионное уравнение для плазменных колебаний
в такой плазме исходя из уравнений движения, непрерывности и уравнения
Пуассона с учетом движения ионов. Найдите плазменные частоты. Можете
считать, что К.Т = 0, В0 — 0, а также ввести любые другие упрощающие
предположения.
4.44. Высокоразвитая цивилизация с планеты, находящейся в Крабовидной
туманности, пытается связаться с нами, «примитивными» земными
существами. Мы получаем от них радиосигналы в диапазоне 108—109 Гц, однако на
частоте 120 МГц спектр излучения резко обрывается. Из оптических
измерений можно заключить, что вблизи звезды верхний предел величины
магнитного поля составляет 36 Гс. A Гс = Ю-4 Тл.) Оцените нижний предел
плотности вблизи звезды, считая, что она расположена в области НИ, которая
содержит ионизованный водород, а на распространение радиоволн в ней
влияет какая-то плазменная отсечка.
4.45. Космический корабль движется в ионосфере Юпитера со скоростью
100 км/с параллельно магнитному полю напряженностью Ю-5 Тл. Если
движение является сверхзвуковым (v >vs), то вокруг аппарата должны
генерироваться ионно-звуковые ударные волны. Если же, кроме того, скорость
движения корабля превышает альфвеновскую (v >ид), то перед ним
возникнут также магнитозвуковые ударные волны. Приборы на борту корабля
показывают, однако, что наблюдаются ударные волны только первого типа.
Найдите пределы, в которых меняются плотность и температура плазмы.
Укажите, являются ли эти значения верхними или нижними пределами
параметров. Считайте, что атмосфера Юпитера состоит из смеси холодных,
однократно ионизованных молекул Н2, Не, СН4, С02 и NH4, средняя
молекулярная масса которых равна 10.
4.46. На плазму извне падает необыкновенная волна с частотой со.
На рис. 34.46 показано, как изменяются с расстоянием г частота отсечки
правополяризованной волны со^ и частота верхнегибридного резонанса со^.
Из рисунка видно, что в плазме существует узкий слой, в котором не
может распространяться волна. Покажите, что расстояние d между точками,
в которых со = со/? и со = coft, равно d « (coc/w) r0 (здесь г0 — характерный
масштаб изменения плотности в точке, где со « co/j : | дп/дг | « п/г0).
4.47. Если создать градиент магнитного поля В0, то для необыкновенной
волны, падающей извне на плазму, можно сделать достижимой точку
верхнегибридного резонанса.

152
Гл. 4. Волны в плазме
Рис. 34.46.
а) Нарисуйте на КМЭ-диаграмме в координатах у = (лс/со, л; = со2/со2 путь,
который прошла волна. Покажите, как можно обойти точку отсечки со = со^
(ср. с предыдущей задачей).
б) Покажите, что необходимое для этого изменение магнитного поля между
поверхностью плазмы и слоем, в котором со = со^, составляет А50 =
= Я0»2р/2со2.
4.48. Некая плазменная волна удовлетворяет дисперсионному уравнению
c2k2 5!
со„Я,
со2 (сос — QcJ
? — со2 4- со Q
v _
где (Op = а>р -+- Й~ Выпишите точные выражения для частот отсечек и ре-
зонансов (или для их квадратов) в пределе е =т/Л4 -С 1-
4.49. Дисперсионное уравнение для необыкновенной волны с учетом
движения ионов имеет следующий вид:
2/,2
CZk
со:
Й2
со
со -со-
2 Q
р ±
2
- <±Г СО
со2-Й
О2
"р
со2 —Й^
со;
й2
"р
Я
а) Покажите, что оно совпадает с дисперсионным уравнением, приведенным
в условии предыдущей задачи. (Автор предупреждает: эта задача может
оказаться опасной для вашего здоровья.)
б) Пусть со/ и со/, — соответственно нижнегибридная частота и частота
отсечки лсвополяризованнои волны, удовлетворяющей приведенному выше

4.21. Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса
153
дисперсионному уравнению. Покажите, что неравенства £2С <g; со/ ^ со^
справедливы всегда.
в) Используя полученные результаты и зная фазовую скорость колебаний
в пределе со-»-О, постройте качественную зависимость величины vUc от
частоты со. Покажите области, в которых могут и не могут распространяться
волны.
4.50. С помощью нижнегибридных колебаний пытаются нагреть столб
водородной плазмы радиусом а, помещенный в однородное магнитное псле.
На оси плазменного цилиндра сор = сос/2, а при г = а плазменная частота
(ар = 0. Антенна возбуждает в плазме необыкновенную волну с ku = 0.
а) Постройте качественные зависимости величин сос, Qc, &>l и ^i 0T Радиуса т.
Масштаб на графиках соблюдать не нужно, однако они должны давать
правильное представление об относительных значениях этих величин на оси
и на образующей цилиндра.
б) Пусть на оси цилиндра частота со = сос. Вычислите толщину непропускаю-
щего слоя, лежащего между точками, в которых со = со/ и со = со^ (см.
предыдущую задачу).
в) Повторите вычисления, проделанные в п. а и б для случая сор (шах) = 2сос.
Какой должна быть конструкция излучающей антенны?
4.51. Иногда для высокочастотного нагрева термоядерной плазмы
используется электромагнитная ионно-циклотронная волна (волна Стикса).
Выведите ее дисперсионное уравнение. Для этого:
а) запишите волновое уравнение в виде D.118) и пренебрегите током
смещения;
б) считая, что kykzEz&0, k2 = k? -j- k2, kx = 0, запишите проекции этого
уравнения па оси х и у;
в) выведите аналоги уравнений D.98) для ионов и получите из них
выражение для \с, считайте, что в низкочастотном приближении скорость
электронов уе равна скорости Е X В-дрейфа; зная vt- и ve, вычислите ток ]1 =
= п0е (yi—ve).
г) подставьте выражение для тока, полученное в п. в, в уравнения,
выведенные в п. б; пользуясь определением Q^ D.49), получите систему из двух
однородных уравнений для Ех и Еу;
д) приравняйте детерминант этой системы нулю и решите полученное
уравнение в наинизшем приближении по Q2 Вы должны получить следующее
дисперсионное уравнение:

Глава 5
ДИФФУЗИЯ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
5.1. Диффузия и подвижность
в слабоионизованных газах
В предыдущей главе мы предполагали, что в состоянии равновесия
плазма является безграничной и однородной. Это, разумеется,
сильная идеализация. В любой реальной плазме всегда
существует градиент плотности, и плазма стремится диффундировать в
области с более низкой концентрацией частиц. Главная проблема
в реализации управляемых термоядерных реакций состоит в том,
чтобы с помощью магнитного поля уменьшить скорость этой
диффузии. Однако прежде чем браться за задачу с магнитным полем,
рассмотрим диффузию в его отсутствие. Задача еще более упрощается,
если предположить, что плазма слабоионизована и поэтому
заряженные частицы сталкиваются в основном не друг с другом, а с
нейтральными атомами. Анализ полностью ионизованной плазмы
мы отложим до следующих разделов, поскольку он сводится к
рассмотрению нелинейного уравнения, для которого простых
иллюстративных решений найдено мало. Впрочем, частично
ионизованная плазма встречается довольно часто: в эту категорию попадают
ионосферная плазма, плазма дуговых разрядов при высоком
давлении; большинство ранних работ по газовым разрядам было
выполнено при степенях ионизации Ю-3— 10~в, когда в плазме
преобладают именно столкновения заряженных частиц с
нейтральными атомами.
Таким образом, мы будем анализировать неоднородное
распределение ионов и электронов на фоне плотного газа нейтральных
атомов (рис. 5.1), считая, что в процессе расширения плазмы под
действием градиента давления и электрических полей отдельные
ее частицы будут совершать случайные блуждания, часто
сталкиваясь с нейтральными атомами. Начнем с краткого обзора понятий
атомарной теории.
5.1.1. Параметры столкновений
Пусть электрон сталкивается, скажем, с нейтральным атомом.
Тогда в зависимости от угла отскока легкая частица может
потерять любую долю своего начального импульса. При лобовом со-

5.1. Диффузия и подвижность в слабоионизованных газах
155
о °
А
о -о
о
dec
Рис. 5.1. Диффузия атомов газа,
обусловленная случайными
столкновениями.
Рис. 5.2. К определению [сечения
взаимодействия.
ударении с тяжелым атомом изменение импульса электрона будет
в два раза больше его начального импульса, поскольку после
(упругого) столкновения скорость легкой частицы меняет знак.
Вероятность изменения импульса можно выразить через
эквивалентное сечение о. Это площадь поперечного сечения, которое имел бы
атом, если бы он полностью поглощал импульс падающей на него
частицы.
На рис. 5.2 показаны электроны, падающие на плоский слой
площадью Л и толщиной dx, в одном кубическом метре которого
содержится пп нейтральных атомов. Считается, что атомы
представляют собой неупругие шарики с поперечным сечением а; т. е.
попадая на участок слоя, занимаемый атомом, электрон теряет
весь свой импульс. Число атомов в слое равно ппЛ dx. Доля
перекрываемой ими площади в сечении слоя составляет ппоА dxIA =
— nnodx. Пусть на слой падает поток электронов плотностью Г,
тогда с другой стороны слоя выходит поток плотностью Г' =
= Г A—nnodx). Таким образом, изменение Г с расстоянием (dT/dx)
равно —ппоГ, откуда получаем
Г = Г0 ехр ( — ппах) == Г0 ехр (—х/Хт). E.1)
Пройдя расстояние Хт, поток уменьшается в е раз по сравнению
со своим начальным значением. Величина Хт называется средней
длиной свободного пробега между столкновениями:
\/ппа.
E-2)
Миновав расстояние Хт, частица с большой вероятностью
столкнется с атомом. Для частицы, движущейся со скоростью и, среднее
время между столкновениями равно т = "kjv, а средняя частота
столкновений дается выражением
т-1 = v/Xm = nnov. E.3)

156
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Если теперь усреднить это соотношение по всем скоростям макс-
велловского распределения, то получим величину
v=nnov, E.4)
которую обычно и называют частотой столкновений.
5.1.2. Параметры диффузии
Рассмотрим гидродинамическое уравнение, справедливое для
любого сорта частиц с учетом столкновений:
тп (dv/dt) = mn [dv/dt -\- (v • V) v] = ± епЕ— Vp — mnvv, E.5)
где ± снова относится к знаку заряда. Здесь предполагается, что
для вычисления v использовался процесс усреднения. Нам нет
необходимости вникать в детали этих вычислений, достаточно
считать, что они приводят к корректному уравнению E.5). Это
уравнение будет полезно только в том случае, если считать, что v =
= const. Рассмотрим стационарное состояние, в котором dv/dt = 0.
Пусть v достаточно мала (или v достаточно велика), тогда за время
между столкновениями элемент жидкости не успеет сместиться
в области, в которых Е и s/p сильно отличаются от исходных и
конвективная производная dv/dt тоже будет мала. Приравнивая нулю
правую часть уравнения E.5), для случая изотермической плазмы
(Т = const) получаем
v = (± enE — KTS7n)/mnv=± (e/mv)E — {KT/mv)(s/n/n). E.6)
Множители перед Е и s/n/n в этом соотношении называются
соответственно nodeuMHOcmbto и коэффициентом duффyзuu:
\x = \q\ Imv
D = KT/tnv
(подвижность),
(коэффициент диффузии)
E-7)
E.8)
Эти величины для разных сортов частиц различны. Заметим, что
D измеряется в единицах м2/с. Коэффициенты переноса ji и D
связаны соотношением Эйнштейна:
y. = \q\D/KT.
E.9)
Используя эти выражения, формулу для потока частиц/-го сорта Г;-
можно представить в виде
Гу = tiVj = ± \ij-nE — DjS/n.
E.10)

5.2. Распад плазмы вследствие диффузии
157
Частным случаем этого соотношения является закон диффузии
Фика, который имеет место в том случае, если Е = 0 или же если
частицы не заряжены, и \i = 0:
Ds/n
(закон Фика). E.11)
Это уравнение отражает тот простой факт, что диффузия
представляет собой процесс случайного блуждания. При этом поток частиц
из области большей их концентрации в область меньшей
концентрации возникает благодаря лишь тому, что из объема с более
высокой плотностью начинает свое движение большее число частиц.
Очевидно, поток частиц должен быть пропорционален градиенту
их плотности. В плазме закон Фика выполняется не всегда,
поскольку в ней могут существовать согласованные движения
(плазменные волны), под действием которых плазма уже не будет
расширяться чисто хаотическим образом.
5.2. Распад плазмы вследствие диффузии
5.2.1. Амбиполярная диффузия
Рассмотрим, как распадается плазма, созданная в контейнере,
из-за диффузии на его стенки. Когда ионы или электроны
достигают стенки, они у нее рекомбинируют. Следовательно, плотность
плазмы у стенок почти равна нулю. Поведение плазмы описывается
гидродинамическими уравнениями и уравнениями непрерывности.
Пусть распад идет медленно, тогда в уравнении непрерывности
можно удержать только временную производную. В уравнении
движения E.5), наоборот, при достаточно высокой частоте
столкновений временной производной можно пренебречь. Поступая
таким образом, мы приходим к уравнению
(dn!dt) + v.T; = 0, E.12)
где Г;- определяется формулой E.10). Ясно, что если бы
выполнялось неравенство 1\ ф. Те, то очень скоро в плазме возникло бы
сильное разделение зарядов. Однако если размеры плазмы много
больше дебаевского радиуса, то плазма должна оставаться
квазинейтральной, поэтому следует ожидать, что скорости диффузии
ионов и электронов будут как-то подстраиваться друг к другу, так
чтобы потоки этих частиц были одинаковы. Нетрудно понять, как
это происходит. У более легких электронов тепловая скорость
выше, поэтому они первыми стремятся покинуть плазму. В плазме
остается положительный заряд, вследствие чего в ней возникает
электрическое поле такой поляризации, что оно стремится
замедлить вынос электронов и увеличить потери ионов. Напряженность
такого поля Е можно найти, положив Г£ = Те = Г. Как следует
из уравнения E.10),

158
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Г = р&Е —Dtfn = — \ienE—DeS/n, E.13)
Е = [(Dt-De)!(V>t + M (V/i/л). E.14)
Таким образом, поток Г можно записать в виде
Г = \it [{Dt — De)/{\it + М S/n—DiS/n = уя (iifDj— ^De— |лА~
— [i.DiVdii -f- |ie) = — v« (|iA+ иЛУ(Н* + И*)- E-15 )
Это соотношение представляет собой закон Фика с новым
коэффициентом
Da = (и-А + иЛ)/(Мч + М»
E.16)
который называется коэффициентом амбиполярной диффузии. Если
он является постоянной величиной, то уравнение E.12) принимает
простой вид:
dn/dt = DaV2n. E.17)
Величину Da легко оценить, если считать, что \ie ^> д,;. Из
уравнения E.7) видно, что это действительно так. Поскольку частота
столкновений v пропорциональна тепловой скорости, а та в свою
очередь пропорциональна m-12, to \i ~ т~1/2; следовательно,
в приближении \ie ^> jxt- из уравнений E.16) и E.9) имеем
Da[^ Di + (vMPe = Di + (TJTt) Dt. E.18)
При Те = r£
Da^2Dt. E.19)
Таким образом, из-за наличия электрического поля, вызванного
разделением зарядов, коэффициент диффузии ионов увеличивается
в два раза, скорость же совместной диффузии определяется в
основном менее подвижными ионами.
5.2.2. Диффузия в слое
Уравнение диффузии E.17) легко решается методом разделения
переменных. Положим
л (г, t) = T{t)S{r). E.20)
При этом уравнение E.17) принимает вид
S(dT/dt) = DTv2S E.21)
или
A/7) (dT/dt) = (D/S) V2S E.22)
(здесь индекс а мы опустили). Поскольку левая часть этого
равенства зависит только от времени, а правая — от пространственных
переменных, то обе они порознь должны быть равны некоторой

5.2. Распад плазмы вследствие диффузии
159
константе, которую мы обозначим через —1/т. Таким образом,
функция Т удовлетворяет уравнению
Т/т,
E.23)
dT/dt:
решение которого имеет вид
Г = Т0ехр( — tfr). E.24)
Функция пространственных переменных S удовлетворяет
уравнению
V2S=— (l/Dr)S, E.25)
которое в плоской геометрии принимает вид
d2S/dx2^=— A/Dt)S. E.26)
Решение этого уравнения записывается следующим образом:
S = A cos[jc/(DtI/2] + В sin [jc/(DtI,2]. E.27)
Мы вправе ожидать, что у стенок решение будет обращаться в нуль,
а внутри слоя иметь один или несколько максимумов (рис. 5.3).
Простейший вид имеет решение с одним максимумом. В этом
случае из соображений симметрии в формуле E.27) нечетное
слагаемое (синус) можно опустить. Тогда из граничных условий 5 (— L)~
= S (L) ~ 0 следует, что L/(DtI2 = я/2, или
т=--BШJШ.
E.28)
Рис. 5.3. Профили плотности при
различных временах в задаче о
диффузии плазмы на стенки.
Рис. 5.4. Начальное неоднородное
распределение плотности плазмы и
его эволюция со временем. Видно
быстрое исчезновение диффузионных
мод высоких порядков.

160
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Используя соотношения E.20), E.24), E.27) и E.28), имеем
/г = л0ехр( — th)cos(nx/2L). E.29)
Это решение называется наинизшей диффузионной модой. В этой
моде плотность плазмы внутри слоя распределена по косинусу,
а максимум плотности экспоненциально уменьшается со временем.
Как и следовало ожидать, т увеличивается с ростом L и обратно
пропорционально коэффициенту диффузии D.
Существуют, разумеется, диффузионные моды и более высоких
порядков, имеющие несколько максимумов. Пусть начальное
распределение плотности таково, как показано на рис. 5.4 (верхняя
кривая). Функцию, описывающую это распределение, можно
разложить в ряд Фурье:
n = /z0jVaicos ПН jju:/L|+ V frmsin [mnxlL}\ • E.30)
W m >
При этой форме записи граничные условия при х = ± L
удовлетворяются автоматически. Для анализа зависимости решения от
времени будем искать его в виде
п = по \Yi ai ехР (— Мъ) cos ГО Н ) njt/LJ -f
•\-^,Ьтехтр( — thm) sm[mnx/L]\ • E.31)
Подставив это выражение в уравнение диффузии E.17), мы увидим,
что E.31) является решением E.17) только в том случае, если
коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях
получающегося уравнения равны между собой, т. е. если
— 1/т, = —D \(l + —) ji/lT • E.32)
Таким образом, характерное время затухания /-й моды можно
записать в виде
t^^L/^ + ^^V/D). E.33)
Отсюда видно, что тонкая структура распределения плотности,
которой соответствуют гармоники с большими номерами /, затухает
быстрее, с меньшими постоянными времени т1. Процесс распада
плазмы будет происходить так, как показано на рис. 5.4. Вначале
диффузия смажет тонкую структуру распределения плотности,
затем решение выйдет на наинизшую диффузионную моду, и
плотность распределится по косинусу, как показано на рис. 5.3. Потом
будет происходить уменьшение максимальной плотности плазмы,
в то время как форма распределения будет оставаться неизменной.

5.2. Распад плазмы вследствие диффузии
161
5.2. Распад плазмы вследствие диффузии
В цилиндрической системе координат пространственную часть
уравнения диффузии E.25) можно записать в виде
d2S/dr* + (Mr) dSldr + ( 1/Dt) 5 = 0. E.34)
Это выражение отличается от уравнения E.26) только средним
членом, появление которого связано со сменой системы координат.
Из рис. 5.5 видно, почему нужно добавить к уравнению E.26) это
слагаемое. В самом деле, рассмотрим вначале плоский слой плазмы
неизменной толщины, который движется в направлении больших
значений х (на рис. 5.5 случай а). Ясно, что плотность вещества
в нем остается неизменной. Однако в цилиндрическом слое (случай б
на рисунке) при неизменном расстоянии между его стенками
движение слоя в область больших г приводит к уменьшению плотности
вещества в нем пропорционально Mr. Это уменьшение и описывает
средний член уравнения E.34). Отсюда, в частности, следует, что
решение E.34) должно напоминать затухающий косинус (рис. 5.6).
Такая функция называется функцией Бесселя нулевого порядка.
а уравнение E.34) — уравнением Бессёля нулевого порядка. В
цилиндрической геометрии в решение уравнения диффузии вместо
cos всюду будет входить J0, и точно так же, как функция
cos [xI(DtI12] представляет собой решение уравнения E.26),
функция J0 (г/Ют]112) является решением уравнения E.34). Как cos kx,
так и /0 (kr) можно представить в виде бесконечных рядов.
Значения этих функций можно также найти в таблицах. К сожалению,
микрокалькуляторы не содержат функций Бесселя.
Для того чтобы удовлетворить граничному условию п = 0 при
г — а, мы должны положить al(D%y 2 равной первому нулю
функции Бесселя, т. е. 2,4. Это условие определяет постоянную времени т.
Рис. 5.5. Движение плазменного слоя в плоской и цилиндрической
геометриях, иллюстрирующее разницу между косинусом и функцией Бесселя.

162 Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Рис. 5.6. Функция Бесселя нулевого порядка.
Вследствие того что временная часть уравнения диффузии E.23)
осталась неизменной, уменьшение концентрации плазмы со
временем по-прежнему будет происходить по экспоненциальному закону.
В этом разделе мы рассмотрели только наинизшую
диффузионную моду в цилиндре. По аналогии со случаем плоской геометрии
в цилиндрических системах существуют диффузионные моды и
более высоких порядков, имеющие внутри цилиндра несколько
максимумов. Эти моды можно выразить через функции Бесселя более
высоких порядков.
5.3. Стационарные решения
Во многих экспериментах плазма поддерживается в стационарном
состоянии путем непрерывной дополнительной ионизации или ин-
жекции плазмы, которые компенсируют ее потери. Чтобы
рассчитать плотность плазмы в этом случае, нужно добавить в уравнение
диффузии дополнительный член, описывающий источник:
дп/dt — Dv2n = Q(r). E.35)
Знак величины Q в этом уравнении выбран так, что при Q ;>0
дополнительный член описывает именно источник, т. е. приводит
к росту концентрации со временем. В стационарном состоянии
dnldt — 0, и для определения п (R) остается решить уравнение типа
уравнения Пуассона.
5.3.1. Функция постоянной ионизации
Во многих случаях ионизация слабоионизованных газов
происходит под действием высокоэнергетических электронов из хвоста мак-
свелловского распределения. В такой ситуации вклад от источника
Q пропорционален плотности электронов п. Полагая Q = Zn, где
Z — так называемая функция ионизации, получаем в стационарном
случае следующее уравнение:
V2n=— (Z/D)n. E.36)

5.3. Стационарные решения
163
Это уравнение аналогично соотношению E.25) для
пространственной части распределения плотности S. Следовательно, как и при
распаде плазмы, профиль плотности описывается косинусоидальным
распределением или функцией Бесселя с той только разницей, что
в стационарном случае плотность плазмы не меняется со временем.
Несмотря на диффузионные потери, плазма находится в
стационарном состоянии благодаря тому, что источник тепла поддерживает
в ней постоянную температуру электронов, а малый поток
нейтральных частиц заменяет те атомы, которые были ионизованы за
время эксперимента.
5.3.2. Плоский источник
Рассмотрим теперь вопрос о том, каким будет профиль плазмы
в случае плоской геометрии, если источник локализован в
плоскости х = 0. Таким источником может быть, например, коллимиро-
ванный с помощью щели пучок ультрафиолетового излучения,
если его интенсивность достаточно высока для того, чтобы
ионизовать нейтральный газ. В этом случае стационарное уравнение
диффузии принимает вид
d2n/dx2=— (Q/D) 6@),
E.37)
Всюду, кроме точки х = 0, плотность плазмы должна
удовлетворять уравнению д2п/дх* = 0, решение которого, очевидно, имеет
вид (рис. 5.7)
n = «o(l~ \x\/L).
E.38)
Таким образом, по обе стороны от плоскости х = 0, в которой
находится источник, профиль плотности плазмы линейный. Скачок
производной в точке, где находится источник, представляет собой
характерную особенность источников типа б-функции.
Рис. 5.7. Треугольный профиль
плотности плазмы, возникающий при
диффузии от плоского источника.
Рис. 5.8. Логарифмический профиль
плотности плазмы, возникающий при
диффузии от линейного источника.

164
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
5.3.3. Линейный источник
В заключение этого раздела рассмотрим источник, расположенный
на оси плазменного цилиндра. Таким источником может быть,
например, пучок энергичных электронов, который вызывает
ионизацию при своем движении вдоль оси цилиндра. Плотность плазмы
всюду, кроме оси г = О, должна удовлетворять уравнению
—-Н'-т-'И- <5-39>
г дг \ дг J
Решение этого уравнения, обращающееся в нуль при г = а, имеет
вид
п= щ In (а/г). E.40)
При г = 0 плотность плазмы обращается в бесконечность (рис. 5.8).
Таким образом, если считать источник бесконечно тонким, то вблизи
оси симметрии плотность плазмы определить нельзя.
5.4. Рекомбинация
Если электрон сталкивается с ионом, то они с большой вероятностью
(особенно при малых относительных скоростях) могут рекомбиниро-
вать и образовать нейтральный атом. Для того чтобы обеспечить
выполнение закона сохранения импульса, в этом процессе должна
участвовать третья частица. Если этой частицей является
излучаемый в результате взаимодействия фотон, то процесс называется
излучательной рекомбинацией. Если же это частица плазмы, то
рекомбинацию называют трехчастичной. Уменьшение плотности
плазмы из-за рекомбинации можно описать, введя отрицательный
источник в уравнение непрерывности. Ясно, что этот член будет
пропорционален njii = /г2, и тогда в отсутствие диффузионных
членов уравнение непрерывности можно записать в виде
dn/dt=— an2. E.41)
Постоянная а называется коэффициентом рекомбинации, она имеет
размерность м3/с. Уравнение E.41) нелинейно относительно п.
Поэтому его решение нельзя получить как суперпозицию частных
решений, удовлетворяющих граничным и начальным условиям.
К счастью, это уравнение имеет настолько простой вид, что его
решение можно сразу записать в явном виде:
—1— =—[—+<*t, E.42)
п (г, /) п0 (г)
где /го (г) — начальное распределение плотности. Легко проверить,
что такое решение действительно удовлетворяет уравнению E.41).
Как видно из формулы E.42), после того как плотность станет

5.5. Диффузия поперек магнитного поля
165
Рис. 5.9. Уменьшение плотности заряженной компоненты слабоионизован-
ного газа в результате рекомбинации и диффузии. [Из работы: Brown S. С,
Basic Data of Plasma Physics, John Wiley and Sons, N. Y., 1959.]
существенно меньше своего начального значения, она будет
убывать обратно пропорционально времени:
п ~ Mat. E.43)
Эта зависимость радикальным образом отличается от поведения
плазмы при диффузии, когда ее плотность уменьшается со временем
экспоненциально.
На рис. 5.9 показаны результаты измерений плотности плазмы
после окончания разряда в слабоионизированном водороде. Когда
плотность велика, ведущую роль в уменьшении концентрации
играет рекомбинация, скорость которой пропорциональна п2.
Плотность при этом обратно пропорциональна времени. При низких
плотностях плазмы главную роль начинает играть диффузия и
уменьшение плотности плазмы идет по экспоненциальному закону.
5.5. Диффузия поперек магнитного поля
Поместив плазму в магнитное поле, можно уменьшить скорость
диффузионных потерь. Именно в реализации этой задачи и состоит
проблема удержания плазмы при исследованиях по управляемому
термоядерному синтезу. Рассмотрим слабоионизированную плазму,
помещенную в магнитное поле (рис. 5.10). Оно не влияет на
движение заряженных частиц вдоль В, поэтому в продольном направ-

166
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
о о о
ПГКТГЪ
о о
о о
о о °
о °
о о
о
о о
о
о
о
о о
о
о
о
о
Рис. 5.10. Заряженная частица вращается вокруг одной и той же силовой
линии магнитного поля до тех пор, пока не столкнется с другой частицей.
лении частицы будут диффундировать в соответствии с уравнением
E.10). Таким образом, для каждого сорта частиц
Г2 = ± \тЕг—D (дп/дг). E.44)
Если бы в плазме не было столкновений, то в поперечном
направлении частицы вообще бы не диффундировали, поскольку они
непрерывно вращались бы вокруг одних и тех же силовых линий
магнитного поля. Конечно, из-за того что в системе существуют
электрические поля или градиенты магнитного поля В, имели бы место
дрейфовые движения поперек В, но, изменив конфигурацию
прибора, их можно было бы направить вдоль стенок. Например, в
симметричном цилиндре (рис. 5.11) градиенты всех параметров плазмы
направлены по радиусу цилиндра, поэтому скорости всех типов
дрейфа ведущих центров направлены по азимуту и с точки зрения
распада плазмы эти дрейфы опасности не представляют.
Если же в плазме имеют место столкновения, то из-за вызванного
ими процесса хаотического блуждания частицы будут перемещаться
поперек магнитного поля и могут попасть на стенки установки
(рис. 5.12). Механизм этого процесса следующий. Пусть ион
сталкивается, скажем, с нейтральным атомом. После столкновения
направление движения иона изменится. Он снова начнет вращаться
вокруг силовой линии в ту же сторону, что и раньше, но фаза его
вращения испытает резкий скачок. (Может, конечно, измениться
и ларморовский радиус орбиты, но мы будем считать, что в среднем
Рис. 5.11. Дрейф частицы в
симметричном плазменном цилиндре не
приводит к потерям плазмы.
Рис. 5.12. Диффузия вращающейся
заряженной частицы под действием
столкновений с нейтральными
атомами.

5.5. Диффузия поперек магнитного поля 167
энергия иона остается неизменной.) Следовательно, под действием
столкновений ведущий центр частицы случайным образом
сдвигается. Частица в результате этого процесса будет диффундировать
против направления градиента уп, причем шаг случайного
блуждания будет уже равен не длине свободного пробега Кт, как в
случае диффузии в среде без магнитного поля, а величине порядка
ларморовского радиуса rL. Значит, уменьшая rL, т. е. увеличивая В,
можно ослабить диффузию поперек магнитного поля.
Чтобы количественно проанализировать этот процесс, запишем
перпендикулярную магнитному полю составляющую
гидродинамического уравнения для каждого сорта частиц:
тп(с1\х/сИ) = ±еп(Е + \± xB) — KTyn—mnvv = 0. E.45)
Здесь мы предположили, что плазма изотермическая, а частота
столкновений v настолько велика, что членом dv\\/dt можно
пренебречь. Проекции этого уравнения на оси х я у имеют вид
mnvvx = ± епЕх—КТ (дп/дх) ± envyB,
mnvVy = ± епЕу—КТ (дп/ду) ^ envxB.
Используя определения коэффициента диффузии D и подвижности
|х, мы можем записать эти уравнения в виде
vx=± \iEx—(D/n) (дп/дх) ± (ajv) vy,
vy ^= ± \iEy—(Din) (дп/ду) ± (ooc/v) vx.
Подставляя во второе из предыдущих уравнений выражение для vx
из первого, находим vy\
vg(l~t-ю2т2) = ± цЕу—(В/п)(дп/ду) — ю2т2 (ЕХ1В) ±
± (о?т2 (КТ/еВп) (дп/дх), E.48)
где т = v. Компонента vx определяется аналогичным равенством:
vx A + оз?т2) = ± \iEx—(D/n) (дп/дх) + ю2т2 (Еу/В) =р
=F ю?т2 (КТ/еВп) (дп/ду). E.49)
Последние два члена в каждом из этих уравнений пропорциональны
скоростям Е X В-дрейфа и диамагнитного дрейфа соответственно.
Действительно,
vEx = Еу/В, vEy = — EJB,
vDx=^(KT/eBn) (дп/ду), vDy = ± (КТ/еВп) (дп/дх).
Первые же два члена в каждом из уравнений можно упростить,
если ввести определения подвижности в перпендикулярном
направлении и поперечного коэффициента диффузии:
^х = м,/A + со2т2), Dx = D/A + w*t2).. E.51)

168
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Пользуясь соотношениями E.50) и E.51), мы можем объединить
уравнения E.48) и E.49) и записать их в виде
v±-±^xE-D±(V"/«) + (v£+vD)/[l + (v2/(o2c)]. E.52)
Отсюда видно, что поперечная скорость частиц любого сорта
состоит из двух компонент. Во-первых, это обычные дрейфовые
движения: Е X В-дрейф и диамагнитный дрейф со скоростями \Е
и \D, перпендикулярными направлениям градиентов плотности
и потенциала. Скорости этих движений меньше в 1 + (^2/°>с) раз
из-за столкновений с нейтралами. (Заметим, что при v ->- 0 этот
множитель стремится к единице.) Во-вторых, имеют место
дрейфовые движения, связанные с подвижностью и диффузией частиц.
Скорости этих движений направлены параллельно градиентам
плотности и потенциала, а соответствующие им коэффициенты \i и D
уменьшены из-за столкновений частиц в 1 + »сх" раз.
Величина сост является важной характеристикой магнитного
удержания. Если юст <С U то магнитное поле слабо влияет на
диффузию. Если же »ст ^> 1, то скорость диффузии поперек В
сильно уменьшается. Легко показать, что параметр сост можно
также представить в виде
юст = coc/v = \iB s* hmlrL. E.53)
В пределе ®с% > 1 мы имеем
D± = (KT/mv) A/ю?т2) = KTv/ma2c. E.54)
Сравнивая это равенство с соотношением E.8), мы видим, что роль
частоты столкновений v стала иной: если для случая диффузии
вдоль В коэффициент диффузии D пропорционален v1, поскольку
столкновения мешают движению, то в случае диффузии поперек
магнитного поля величина D± пропорциональна v, поскольку
именно столкновения частиц обеспечивают их диффузию поперек В.
Зависимость от массы также иная. Вспоминая, что v ~ т~12, мы
видим, что D ~ m~1/2, a D± ~ т1'2. В случае диффузии вдоль
магнитного поля электроны движутся быстрее ионов, поскольку
тепловая скорость электронов выше; при диффузии же поперек поля
электроны движутся медленнее, поскольку их ларморовский
радиус меньше, чем у ионов.
Пренебрегая численными множителями порядка единицы,
выражение E.8) можно записать в виде
D = KTImv ~ i&Mx ~ л5/т. E.55)
Из такой формы записи коэффициента диффузии (квадрат длины,
деленный на время) видно, что диффузия представляет собой
процесс случайного блуждания с характерной длиной шага %т.
Формулу E.54) можно записать в виде
Dx = KTv/m(ol ~ vlennvrl/v^nn ~ rlh. E.56)

5.5. Диффузия поперек магнитного поля
169
Отсюда ясно, что диффузия поперек магнитного поля — это
процесс случайного блуждания с характерным шагом rL, а не %т.
5.5.1. Лмбиполярная диффузия поперек
магнитного поля
Анализ процесса амбиполярной диффузии при наличии магнитного
поля нельзя выполнить аналогично тому, как это было сделано
в случае В = 0, поскольку теперь подвижность и коэффициент
TiLl
l
i
Tel
i
*-
Рис. 5.13. Потоки частиц вдоль и поперек магнитного поля.
диффузии анизотропны. Рассмотрим компоненту потока частиц,
перпендикулярную В (рис. 5.13). Поскольку Те± меньше, чем Tix,
то в системе должно возникнуть поперечное электрическое поле,
которое будет направлено так, чтобы усилить диффузию
электронов и затормозить диффузию ионов. Это электрическое поле можно
экранировать, создав разность потоков вдоль магнитного поля.
В частности, отрицательный заряд, возникающий из-за того, что
ГеХ<с1\±, можно скомпенсировать с помощью электронов,
двигающихся вдоль силовых линий. И хотя б целом диффузия должна
быть амбиполярной, часть потерь, связанная с движением поперек
поля, не обязательно будет носить амбиполярный характер. Может
случиться и так, что электроны будут диффундировать главным
образом вдоль В, а ионы — в перпендикулярном к магнитному
полю направлении. Так ли происходит все на самом деле или нет,—
зависит от конфигурации плазмы в конкретном эксперименте.
Можно ожидать, что в коротких плазменных столбах, когда
силовые линии оканчиваются на проводящих пластинах, амбиполяр-
яое электрическое поле будет закорочено. В этом случае частицы
разных сортов будут диффундировать поперек поля с различными
скоростями. В длинных и тонких столбах плазмы, ограниченных
изоляторами, поперечная диффузия будет амбиполярной, потому
что в этом случае частицам трудно уходить вдоль магнитного
поля В.
С математической точки зрения исследование процесса
диффузии сводится к совместному решению уравнений непрерывности
E.12) для ионов и электронов, причем в этом случае нужно при-

170
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
равнивать не потоки Гу, а их дивергенции V-Гу. Выделяя в Г,-
продольные и поперечные составляющие, имеем
V • Г; = Va • (и* l«E± — Dtxvn) + (д/dz) [\itnEz —Dc (dn/dz)], E.57)
V-re = v^-( —jieXrtEx— D^V«) + (a/dz)[ — |i/i£2—De(dn/dz)\.
Следует заметить, что уравнение, получающееся в результате
приравнивания V-I\- = V-re, нельзя разделить на одномерные
уравнения. Кроме того, решение этого уравнения сильно зависит от
граничных условий, т. е. от условий на концах силовых линий.
Простого ответа в задаче об амбиполярной диффузии поперек
магнитного поля не существует. Исключение составляет только тот
случай, когда столб плазмы является настолько длинным, что
диффузией в продольном направлении вообще можно пренебречь.
5.5.2. Экспериментальная проверка
Действительно ли магнитное поле уменьшает поперечную
диффузию в соответствии с формулами E.51)? Этот вопрос стал предметом
многочисленных исследований. Первый эксперимент подобного рода
был выполнен в Швеции Ленертом и Хохом в положительном столбе
гелиевой плазмы длиной 3,5 м и диаметром 1 см (рис. 5.14). Таким
образом, длина трубки, в которой создавалась плазма, была столь
велика, что диффузией через торцы трубки можно было пренебречь,
и уменьшение концентрации плазмы было связано только с
диффузией ее на стенки. Эти потери компенсировались посредством
ионизации нейтральных атомов электронами из хвоста функции
распределения по скоростям. В свою очередь быстрые электроны
замещались другими, ускоренными в продольном электрическом
поле Ez. Следовательно, можно было ожидать, что Ez будет, грубо
говоря, пропорционально скорости поперечной диффузии. Для
измерения Ez (В) на стенке трубки были установлены два зонда.
На рис. 5.15 показана зависимость отношения Ez(B)/Ez@) от
величины магнитного поля В. При малых В экспериментальные
точки в точности следуют зависимости, рассчитанной на основе
уравнения E.52). Однако, начиная с критического значения поля
Вс ~ 0,2 Тл, они отходят от теоретической кривой. Эксперимент
показал, что в действительности при В ;>£с коэффициент диффу-
Ъопды
Катод
Рис. 5.14. Эксперимент Ленерта—Хоха по проверке влияния магнитного поля
на процесс диффузии в слабоионизованном газе.

5.5. Диффузия поперек магнитного поля
о, г ол
В, Тл
Рис. 5.15. Зависимость нормированного продольного электрического поля
от магнитного поля В при различных давлениях плазмы. Для сравнения
приведены теоретические кривые. [Из работы: HohF. С, Lehnert В., Phys. Fluids,
3, 600 (I960).]
зии растет с В. Было обнаружено также, что критическое поле В
увеличивается с давлением, т. е. что критическая точка определяется
не просто магнитным полем, а некоторым значением параметра
(ост. При очень больших юст с «классической» теорией диффузии
было что-то не так.
Причина расхождения вскоре была найдена советскими
физиками Кадомцевым и Недоспасовым. Они показали, что в сильных
магнитных полях должна развиваться неустойчивость, т. е. что
поле Ег должно возбуждать плазменную волну, которая и будет
усиливать радиальные потери. Теория правильно предсказала
значение Вс. Позднее в эксперименте, выполненном в Беркли Алленом,
Пауликасом и Пайлом, эта волна непосредственно наблюдалась
в плазменном столбе в виде спиралевидного возмущения.
Привлекая механизм спиральной неустойчивости положительного столба,
впервые удалось объяснить «аномальную диффузию» плазмы
поперек магнитного поля. Это объяснение, однако, оказалось
пригодным только для случая слабоионизованных газов. Для полностью
ионизованной плазмы, каковой является плазма термоядерного
реактора, объяснение аномальной диффузии представляет собой
значительно более трудную задачу.

172
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Задачи
5.1. Для электронов с энергией 2 эВ, движущихся в гелии, сечение
столкновения с нейтральными атомами приближенно равно 6ла0, где #0 =
= 0,53-Ю-8 см — радиус первой боровской орбиты атома водорода. Пусть
в положительном столбе гелиевой плазмы в отсутствие магнитного поля
и при комнатной температуре давление р равно 1 мм рт. ст. и f\Te = 2 эВ.
а) Вычислите коэффициент диффузии электронов в м2/с, считая, что
усредненная по распределению скоростей величина ov равна ov для электронов
с энергией 2 эВ.
б) Пусть плотность тока, текущего вдоль столба, равна 2 кА/м2, а плотность
плазмы — 1016 м-3. Какова величина направленного вдоль столба
электрического поля?
5.2. В плоском слое слабоионизованного газа плотность распределена по за
кону п (х) = n0cos (nxIlL) (—Ls^x^iL). Концентрация плазмы из-за
диффузии и рекомбинации начинает убывать. Пусть L = 0,03 м,
коэффициент диффузии D = 0,4 м2/с, а коэффициент рекомбинации а = Ю-15 м3/с.
При какой плотности плазмы скорость ее убыли из-за диффузии будет равна
скорости потерь из-за рекомбинации?
5.3. В кубическом алюминиевом ящике, длина которого равна L, создана
плазма. Ее концентрация уменьшается из-за амбиполярной диффузии.
а) Выпишите выражение для распределения плотности в наинизшей
диффузионной моде.
б) Дайте для этого случая определение постоянной времени распада.
Вычислите ее при Da = Ю-3 м2/с.
5.4. Длинный цилиндрический положительный столб имеет параметры:
КТ( — 0,1 эВ, В = 0,2 Тл. Остальные характеристики плазмы такие же,
как в задаче 5.1. Распределение плотности по радиусу имеет вид п (г) —
= J0 (/"/[Dt]1'2) л0, причем л= 0 при г = а = 1 см. (Заметим, что J0 (z) = 0
при z — 2,4.)
а) Покажите, что рассматриваемый выше коэффициент амбиполярной
диффузии можно аппроксимировать величиной D± .
б) Пренебрегая рекомбинацией плазмы и ее потерями через торцы столба,
вычислите время удержания т.
5.5. Для профиля плотности плазмы, изображенного на рис. 5.7, выразите
максимальную плотность п0 через интенсивность источника Q и другие
параметры задачи. (Указание: приравняйте поток частиц от источника,
проходящий через 1 м2, к потоку частиц через 1 м2 поверхности стенок.)
5.6. Вы выполняете эксперимент по исследованию рекомбинации в слабо-
ионизованном газе, в котором главным механизмом потерь является именно
рекомбинация. С помощью внезапной вспышки ультрафиолетового
излучения вы создали плазму плотностью 1020 м-3 и наблюдаете ее распад.
Обнаружилось, что за 10 мс плотность плазмы уменьшилась вдвое. Чему равен
коэффициент рекомбинации а? Какова его размерность?
5.6. Столкновения в полностью
ионизованной плазме
Если плазма состоит только из ионов и электронов, то все
происходящие в ней соударения представляют собой кулоновские
столкновения между заряженными частицами. Есть, однако, существенная

5.6 Столкновения в полностью ионизованной плазме
173
Рис. 5.16. Сдвиг ведущих центров Рис. 5.17. Сдвиг ведущих центров
двух тождественных частиц в резуль- двух противоположно заряженных
тате их столкновения под углом 90°. частиц после их столкновения под
углом 180°.
разница между а) столкновениями частиц одного сорта
(столкновения иона с ионом и электрона с электроном) и б) столкновениями
между частицами разного сорта (столкновения иона с
электроном или электрона с ионом). Рассмотрим столкновение двух
идентичных частиц (рис. 5.16). Если столкновение лобовое, то
скорости частиц после него меняются на противоположные, т. е.
частицы просто обмениваются своими орбитами, а два ведущих центра
остаются на прежних местах. Этот результат справедлив и при
касательном соударении частиц, когда их траектории значительно
возмущаются. Сильнее всего смещаются ведущие центры в том
случае, когда частицы сталкиваются, двигаясь под прямым углом
друг к другу, и вектор скорости каждой из них после соударения
поворачивается на 90°. (Орбиты частиц после столкновения
показаны на рисунке штриховыми линиями.) Однако ясно, что и в этом
случае «центр масс» двух ведущих центров останется неподвижным.
Поэтому диффузия, вызванная столкновениями между частицами
одного сорта, является очень слабой. В частности, в любом ион-
ионном столкновении выполняется строгий баланс: на каждый
ион, движущийся в результате столкновения внутрь системы,
приходится другой, который движется наружу. Иное дело
рассматривавшиеся выше столкновения ионов с нейтральными атомами: ион
в результате ряда соударений с нейтралами будет совершать
случайное блуждание, все более отдаляясь от своего первоначального
положения; скорости же нейтральных атомов после столкновений
нас обычно не интересуют.
Совершенно другая ситуация имеет место при столкновении
противоположно заряженных частиц (рис. 5.17). С точки зрения

174
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
потерь из-за диффузии самый худший для нас случай теперь — это
столкновение под углом 180°, в результате которого направления
скоростей частиц меняются на противоположные. Поскольку после
столкновения частицы должны продолжать вращение вокруг
силовых линий в тех же направлениях, что и раньше, оба ведущих
центра частиц сдвинутся после их соударения в одну и ту же
сторону. Столкновения частиц разных сортов приводят к
возникновению диффузии. Диффузия ионов и электронов происходит
по-разному, что связано с разницей в их массах. Электроны отскакивают
от почти неподвижных ионов, и, как обычно, совершают случайные
блуждания. Ионы же при каждом соударении получают лишь
легкий толчок, они перемещаются с места на место в результате частой
бомбардировки их электронами. Однако, как мы покажем ниже,
скорости диффузии ионов и электронов одинаковы, поскольку при
столкновениях сохраняется общий импульс частиц.
5.6.1. Сопротивление плазмы
Гидродинамические уравения с учетом столкновений заряженных
частиц можно записать в следующем виде [ср. уравнение C.47)]:
Mn(dvl/dt) = en(E + v{xb) — Vpi—y-nt + Pie,
mn(d\Jdt)= — en(E-\-ve х В)—Vpe —V-^ + P^-.
Члены Pie и Pei описывают изменения импульсов из-за
столкновений ионов с электронами соответственно ионной и электронной
жидкостей. Выписывая уравнения E.58), мы расщепили тензор Р/
на изотропную часть pj и анизотропный тензор вязких
напряжений Лу. В последний включены столкновения между частицами
одного сорта, приводящие к возникновению напряжений в каждой
из жидкостей в отдельности. Поскольку такие столкновения не
приводят к возникновению сильной диффузии, мы в дальнейшем будем
опускать соответствующие им члены V-я/. Что касается сил Pei
и Pie, которые описывают трение между двумя жидкостями, то из
закона сохранения импульса следует, что
Р«е=—Pei E.59)
Мы можем выразить Pei через частоту столкновений с помощью
известного соотношения
Pet = mn (v,—ve) vei. E.60)
Аналогичное соотношение имеет место и для Pie. Поскольку
столкновения в плазме являются кулоновскими, можно ожидать, что Pet-
будет пропорциональна силе кулоновского взаимодействия,
которая для однократно заряженных ионов пропорциональна е2. Кроме
того, сила трения Ре1- должна быть пропорциональна плотности
электронов пе и плотности рассеивающих центров п(, которая,
естественно, равна пе. Наконец, Pet- должна быть пропорциональна

5.6. Столкновения в полностью ионизованной плазме
175
относительной скорости ионной и электронной жидкостей. Таким
образом, из физических соображений мы можем записать Pet- в виде
P,, = rieWv, —ve), E.61)
где г| — коэффициент пропорциональности. Сравнивая полученное
соотношение с формулой E.60), мы видим, что
■vei~(ne2/m)x\.
E.62)
Постоянная т] называется удельным сопротивлением плазмы; вскоре
станет ясно, как оно связано с обычным удельным сопротивлением.
5.6.2. Механика кулоновских столкновений
Рассмотрим процесс столкновения электрона с нейтральным
атомом. До тех пор пока электрон не приблизился к атому на
расстояние порядка атомных размеров, никакие силы на него не действуют.
Такое столкновение похоже на соударение двух бильярдных шаров.
Столкновение электрона с ионом протекает по-иному: электрон
постепенно отклоняется приложенной к нему со стороны иона
дальнодеиствующей кулоновскои силой. Тем не менее и для этого
вида столкновений можно вывести выражение для эффективного
сечения. Для наших целей достаточно оценить его по порядку
величины. На рис. 5.18 показан электрон, который со скоростью v
приближается к неподвижному иону с зарядом е. В отсутствие
кулоновских сил электрон пролетел бы мимо иона на минимальном
расстоянии г0, которое называется прицельным параметром. Из-за
кулоновского притяжения траектория электрона отклонится на
угол х, который зависит от г0. Сила кулоновского взаимодействия
дается выражением
F =— е2/4ле0г2. E.63)
Электрон ощущает действие этой силы только в течение того
промежутка времени, когда он находится вблизи иона. Это время
приближенно равно
Т « ф. E.64)
ТТП)
Рис. 5.18. Траектория электрона при кулоновском столкновении с ионом.

176
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Таким образом, изменение импульса электрона при соударении
описывается приближенным выражением
A (mv) = | FT | « е2/4яе0г01>. E.65)
Вычислим сечение взаимодействия для случая, когда электрон
после столкновения отклоняется на большой угол % > 90°. Если
частица рассеивается на угол 90°, то ее импульс mv изменяется на
величину порядка самого импульса mv. Таким образом,
A (mv) ж mvm e2/4ne0r0v, r0 = еа/4л;е0ту2. |E.66)
Сечение рассеяния в этом случае
о = ш\ = е*/ 16jT8otfiV. E.67)
Следовательно, частота столкновений равна
v#l- = nov = пе4116я8о/п21>3. E.68)
а удельное сопротивление плазмы дается выражением
ц — vei {mine2) ■— е2/ 16л82/?до3. E.69)
Если распределение электронов по скоростям является максвеллов-
ским, то в нашей оценке, справедливой только по порядку величины,
можно заменить v% на KTJm: *M
т) « пе2тх 2/Dле0J (KTef 2J E.70)
Формула E.70) определяет удельное сопротивление с учетом
лишь тех столкновений, в результате которых электроны
рассеиваются на большие углы. Однако на практике из-за дальнодейст-
вующего характера кулоновских сил гораздо чаще происходит
рассеяние на малые углы. Оказывается, что последовательные
отклонения на малые углы дают более значительный эффект, чем
рассеяние на большие углы. Как показал Спитцер, для учета этого
обстоятельства нужно умножить правую часть соотношения E.70)
на коэффициент In Л:
|] « ле2т1'2 In Л/Dле0J (КТ/2,
E.71)
где
A=XD/r0. E.72)
Величина Л представляет собой максимальное прицельное
расстояние, выраженное в единицах г0 [см. E.66)] и усредненное по
максвелловскому распределению. Считается, что максимальное
прицельное расстояние в размерных величинах равно A,D, поскольку
при больших расстояниях кулоновское поле не действует на
пролетающую частицу из-за дебаевского экранирования. Хотя Л
зависит от плотности плазмы и ее температуры КТе, логарифм этой

5.6. Столкновения в полностью ионизованной плазме
177
величины нечувствителен к значениям плазменных параметров.
В табл. 5.1 приводятся типичные значения In Л. Из нее видно, что,
даже если параметры плазмы изменяются на много порядков
величины, In Л меняется лишь в два раза. В большинстве случаев
независимо от вида плазмы с достаточной степенью точности можно
считать, что In Л = 10.
Таблица 5.1
Q-машина
Лабораторная плазма
Типичный плазменный тор
Термоядерный реактор
Плазма лазерного синтеза
КТе, эВ п> м-3
0,2
2
100
104
103
1015
101?
1019
1021
1Q27
In Л
9,1
10,2
13,7
16,0
6,8
5.6.3. Физический смысл величины г]
Предположим, что в плазме существует электрическое поле Е и что
возникающий вследствие этого ток целиком переносится
электронами как более легкими частицами. Пусть В = 0, КТе = 0, так что
V-Pe = 0. Тогда в стационарном случае уравнение движения
электронов сводится к следующему [см. E.58I:
епЕ = Ре1. E.73)
Поскольку j = en (vt-—ve), выражение E.61) для Ре1- можно записать
следующим образом:
Pei = r\en}, E.74}
в результате чего уравнение E.73) примет вид
E = tij E.75)
Это есть не что иное, как закон Ома, в котором константа г| является
удельным сопротивлением плазмы. Отметим некоторые особенности
величины г| в плазме, определяемой выражением E.71) или E.69).
А. Из формулы E.71) видно, что т] не зависит от плотности
(если не считать слабой зависимости от нее In Л). Такой результат,
является довольно неожиданным, поскольку из него следует, что
если к плазме приложить поле Е, то в ней, согласно формуле E.75),
возникнет ток /, величина которого не будет зависеть от числа
носителей заряда. Это объясняется следующим образом. Ток j
возрастает с ростом числа носителей заряда пе, а сила трения,
действующая на электроны со стороны ионов, растет с щ. Поскольку
пе = П[ = п, эти два эффекта взаимно компенсируются.
Действительно, как видно из уравнений E.68) и E.69), частота
столкновений пропорциональна п, а величина ц от п не зависит. В этом

178
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
смысле полностью ионизованная плазма ведет себя совершенно
иначе, чем частично ионизованный газ: в слабоионизованной
плазме j = — пе\е, ve = — ^ieE, поэтому j = пецеЕ. Вследствие
того что подвижность [ie зависит только от концентрации
нейтральных частиц, ток в слабоионизованной плазме пропорционален ее
плотности п.
Б. Из формулы E.71) следует, что величина т] пропорциональна
(КТе)~32. При нагреве плазмы сечение кулоновского рассеяния
уменьшается, и поэтому с ростом температуры удельное
сопротивление довольно быстро падает. При термоядерных температурах
(десятки килоэлектронвольт) столкновения в плазме происходят
очень редко. Именно поэтому большинство теоретических
исследований по управляемому термоядерному синтезу посвящено бес-
столкновительной плазме. Конечно, какие-то столкновения в плазме
обязательно должны быть, в противном случае в ней вообще не
смогут протекать реакции термоядерного синтеза. Самый простой
способ нагреть плазму — это пропустить через нее ток. Связанные с
ним омические потери PR (или рц) приводят к росту электронной
температуры. Такой тип нагрева называется омическим нагревом.
Однако вследствие того, что т] ~ (КТе)'3^, до термоядерных
температур плазму этим методом нагреть нельзя. При температурах выше
1 кэВ она становится настолько хорошим проводником, что
омический нагрев в этом диапазоне температур идет очень медленно.
В. Из формулы E.68) видно, что частота столкновений vei
пропорциональна и-3. Поэтому быстрые электроны из хвоста функции
распределения сталкиваются с ионами очень редко. Иными словами,
ток в плазме переносят главным образом эти быстрые частицы, а не
электроны из основной части функции распределения. Сильная
зависимость vei от v имеет и другое интересное следствие. Если
к плазме внезапно приложить электрическое поле Е, то в ней может
возникнуть явление, известное как убегание электронов. Механизм
его следующий. В плазме имеется небольшое число электронов,
которые в момент приложения поля быстро двигались в
направлении —Е. До следующей встречи с ионами эти частицы успеют
настолько сильно ускориться, что совершат с ионами только
скользящие соударения. Это позволит электронам получить от поля
дополнительную энергию, и сечение столкновения этих частиц с
ионами еще более уменьшится. Если Е достаточно велико, то
сечение столкновения уменьшается настолько быстро, что
убегающие электроны вообще больше никогда не столкнутся с ионами.
Они образуют пучок ускоренных частиц, отделенный от основной
части функции распределения электронов.
5.6.4. Численные значения г\
Точное вычисление удельного сопротивления г\, в котором
учитывается отдача ионов в каждом столкновении и выполняется
усреднение по функции распределения электронов, было впервые выпол-

5.7. Уравнения одножидкостной магнитогидродинамики
179
нено Спитцером; поэтому величину ц часто, особенно для случая
водородной плазмы, называют удельным сопротивлением Спит-
цера. Полученная им формула имеет следующий вид:
т| у = 5,2 • 10-5Z In Л/Г3<2 (эВ) Ом • м. E.76)
Здесь Z — заряд ионов, который всюду в этой книге мы считали
равным единице. Поскольку в приведенном соотношении все
величины слабо зависят от массы ионов М, то эту формулу можно
использовать при анализе плазмы других газов. Индекс || у
величины г| означает, что определяемое формулой E.76) удельное
сопротивление можно применять только для анализа движений,
параллельных магнитному полю В. Для описания движения поперек
В нужно пользоваться величиной
гц =2,0*1,,. E-77)
Отсюда, разумеется, не следует, что продольная проводимость
только в два раза выше, чем поперечная; при вычислении
последней нужно еще учитывать множители типа сост . Коэффициент 2,0
в формуле E.77) возник из-за того, что при вычислении удельного
сопротивления разные компоненты скорости электронов
учитываются по-разному, В частности, медленные электроны, у которых
ларморовские радиусы малы, дают больший вклад в поперечное
удельное сопротивление, нежели в продольное.
При КТе = 100 эВ из формулы E.76) получаем г] =
= 5-Ю-7 Ом-м. Сравним эту величину с удельными
сопротивлениями различных металлов:
медь т]=2-10-8 Ом-м
нержавеющая сталь г) = 7-Ю-7 Ом-м
ртуть ц = 10_6 Ом-м.
Таким образом, мы видим, что проводимость плазмы, нагретой до
100 эВ, примерно такая же, как у нержавеющей стали.
5.7. Уравнения одножидкостной
магнитогидродинамики
Перейдем теперь к задаче о диффузии в полностью ионизованной
плазме. Поскольку диссипативное слагаемое Pei содержит разность
скоростей vt-—ve, проще считать, что неизвестными величинами
в задаче являются не сами скорости v£ и \е, а их разность vt-—\е,
и иметь дело с линейной комбинацией уравнений движения ионов
и электронов. До сих пор мы считали, что плазма состоит из двух
несмешивающихся жидкостей. Линейная комбинация
гидродинамических уравнений, к которой мы собираемся перейти, будет
описывать плазму как одну жидкость, аналогичную жидкой ртути.
Массовую плотность этой жидкости обозначим через р, а удельную
проводимость — через 1/т]. Получающиеся в результате такого

180
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
перехода уравнения называются уравнениями одножидкостной
магнитогидродинамики (МГД).
Для квазинейтральной плазмы с однозарядными ионами массовую
плотность р, массовую скорость v и плотность тока j можно
определить следующим образом:
р==я<М + яет« я(М + т), E.78)
v = (riiMvt + nem\e)lp « (M\i + mve)/(M + m), E.79)
\ = e(n(Wi — ne\e) « tie (vf — ve). E.80)
В уравнение движения мы добавим слагаемое Mng, отвечающее
силе тяжести. Этот член можно использовать для описания любой
силы неэлектромагнитного характера, действующей на плазму.
Уравнения движения ионов и электронов запишем в виде
Afn(dv(-/dO = en(E + vfxB) — VP,- + Mng + P,e, E.81)
тп (dvjdt) = — en (E + v, х В)—vpe + mng + Pei. E.82)
Для простоты, как и прежде, мы пренебрегли тензором вязких
напряжений я. Это можно сделать только в том случае, если лармо-
ровский радиус частиц много меньше характерных масштабов, на
которых меняются все параметры плазмы. Мы также пренебрегли
членами (v-v) v, поскольку в противном случае вывод уравнений
очень усложняется. Последнее упрощение обосновать труднее.
Не вдаваясь в длительное обсуждение, скажем просто, что v
считается настолько малой, что квадратичным членом можно
пренебречь.
Теперь сложим уравнения E.81) и E.82):
п(д/dt) (Mvi+mve)^=en(vf — ve) X В—vp + п(М + m)g. E.83)
В полученном уравнении через р обозначено полное давление в
плазме:
P = Pt + Pe- E-84)
Электрические поля и столкновительные члены Pet- и Р^ = — Vet
при сложении уравнений E.81) и E.82) взаимно уничтожаются.
Используя соотношения E.78) — E.80), уравнение E.83) можно
записать в простом виде:
p(dv/d*)«jx В—vp + pg. E.85)
Это есть уравнение одножидкостной гидродинамики, описывающее
перенос массы. В его правую часть включены выражения для сил,
которые можно было ожидать из общих соображений.
Электрическое поле Е в силу общей нейтральности жидкости в явном виде
в уравнение не входит.
Менее очевидное уравнение получается в том случае, если из
уравнений для ионной и электронной жидкостей составить другую
линейную комбинацию. Умножим уравнение E.81) на т, а урав-

5.7. Уравнения одножидкостной магнитогидродинамики
181
нение E.82) на М и вычтем их друг из друга. В результате получаем
следующее уравнение:
Мпт (dldt) (vf — ve) = en (M + m) E + en (mv( + Mve) x В — tnypt +
+ Mype—(M +m) Pei. E.86)
С помощью выражений E.78), E.80) и E.61) это уравнение можно
переписать в виде
(Мпт/е) (dldt) (]ln) = <?рЕ — (М+т) пец] — mvpt + MVpe +
+ ея (mvt- -f Mve) X В. E.87)
Последний член можно упростить следующим образом:
tnvt -{-Mve = Mv{-{-mve + М (ve — Vi) + т (vt- — ve) =
= (pin) v—(M—m) (\lne). E.88)
Разделив уравнение E.87) на ер, с учетом E.88) получаем
E + vxB — T)j = (Мер) [(Мпт/е) (dldt) (]ln) + (М — т) j x В +
+ тур{—Mvpe]. E.89)
При описании медленных движений, когда эффекты, связанные
с массами частиц (например, их циклотронное вращение), являются
несущественными, членом dldt можно пренебречь. В пределе
т/М ->■ 0 уравнение E.89) записывается в виде
E + vxB = t,J + A/«m)(JXB —V/V). E.90)
Это — второе уравнение одножидкостной магнитогидродинамики,
которое называется обобщенным законом Ома и описывает
электрические свойства проводящей жидкости. Член j X В отвечает току
Холла. Последние два члена в правой части E.90) часто являются
малыми, и ими можно пренебречь. В этом случае закон Ома
записывается в виде простого соотношения
E + vxB = riJ- E-91)
Уравнения непрерывности для массовой плотности р и заряда а
легко получить, складывая или вычитая уравнения непрерывности
для ионов и электронов. В результате мы приходим к следующей
системе МГД-уравнений:
pdv/dt = j x B-vp + pg, E.85)
E + vXB = tiJ, E.91)
(dp/d*) + V-(pv) = 0, E.92)
(da/dO + V-j = 0. E.93)
Вместе с уравнениями Максвелла такая система уравнений нередко
используется для описания равновесного состояния плазмы. Ее
можно применять и для анализа волн в плазме, однако нужно
помнить, что точность этой системы уравнений значительно меньше,

182
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
чем у использовавшихся нами ранее двухжидкостных уравнении.
Благодаря своей простоте МГД-уравнения весьма полезны при
исследовании вопросов, связанных с сопротивлением плазмы. Их
широко применяют астрофизики, работающие в области
космической электродинамики, специалисты по проблеме МГД-преобразо-
вания энергии, а также теоретики — специалисты в области
управляемого термоядерного синтеза, рассматривающие магнитные
системы сложной конфигурации.
5.8. Диффузия в полностью ионизованной плазме
В отсутствие силы тяжести для описания равновесного состояния
плазмы можно воспользоваться уравнениями E.85) и E.91),
которые в стационарном случае принимают вид
jxB = vp, E.94)
E + vxB = r)j. E.95)
Проекция последнего уравнения на направление магнитного поля
имеет простой вид Е ц =т] ц/ ц и представляет собой запись обычного
закона Ома. Перпендикулярную компоненту скорости можно найти,
умножив уравнение E.95) векторно на В:
Ex B + (v± X В)х В = гц] х В = тцУр,
EX В—v±B2 = r)±vp,
vx = Е х В/В2—(г) ±/В2) vp. E.96)
Первый член в правой части последнего равенства описывает
совместный Е X В-дрейф частиц обоих сортов. Второй член связан
с диффузией против направления градиента давления (— vp)- В
частности, в осесимметричном плазменном цилиндре, где Ей Vp
направлены по радиусу,
ve = —ErIBt vr = — (гц/В2) (др/дг). E.97)
Диффузионный поток частиц в полностью ионизованной плазме
равен
r±=ny± = -^±n(KTi + KTe)/B2}m. E.98)
Это соотношение имеет форму закона Фика [см. E.11)] с
коэффициентом диффузии
D± = i\±nZKT/B*,
E.99)
который называется «классическим» коэффициентом диффузии в
полностью ионизованном газе.
Заметим, что, как и в случае слабоионизованного газа, D
пропорционален 1/В2. Такая зависимость характерна для классиче-

5.9. Решения уравнения диффузии
183
ской диффузии, которую в конечном счете можно свести к процессу
случайного блуждания с шагом rL. Однако формула E.99) имеет
три существенных отличия от выражения E.54), описывающего
диффузию в слабоионизованном газе. Во-первых, в полностью
ионизованном газе коэффициент диффузии D х не является
константой; он пропорционален плотности плазмы п. Это связано с тем,
что плотность рассеивающих центров определяется не плотностью
нейтральных атомов, а плотностью плазмы в целом. Во-вторых,
в полностью ионизованной плазме коэффициент диффузии D±
уменьшается с ростом температуры, поскольку г\ пропорциональна
(КТ)~~3/2. В слабоионизованном газе, наоборот, с ростом
температуры диффузия усиливается. Это различие объясняется тем, что
сечение кулоновского взаимодействия зависит от скорости частиц
и, следовательно, от температуры плазмы. В-третьих, диффузия
в полностью ионизованной плазме автоматически является амби-
полярной (если не учитывать столкновений частиц одного сорта).
В такой плазме частицы обоих сортов дрейфуют с одинаковыми
скоростями, разделения зарядов не происходит, электрические поля
не возникают, поэтому плазма диффундирует как единое целое
с коэффициентом диффузии D х, определяемым формулой E.99).
Такое поведение плазмы является следствием закона сохранения
импульса при электрон-ионных столкновениях. Это положение
станет более ясным, если проанализировать задачу о диффузии
в рамках двухжидкостных уравнений [см. задачу E.15)].
Наконец, хотелось бы отметить, что в полностью ионизованном
газе отсутствует поперечная подвижность. В выражении E.96),
определяющем vx, нет составляющей, зависящей от
электрического поля Е и направленной вдоль него. Если приложить к
однородной плазме электрическое поле E_LB, то ионы обоих сортов
будут дрейфовать вместе со скоростью (Е X В)АВ2. Поскольку
относительная скорость ионов разных сортов равна нулю, они не
будут сталкиваться между собой и поэтому движения в направлении
Е не будет. Разумеется, в плазме происходят столкновения,
вызванные тепловым движением частиц, так что вывод об отсутствии
поперечной подвижности является приближенным. Он обусловлен
тем, что при анализе задачи мы пренебрегли: а) столкновениями
между частицами одного сорта, б) массой электрона по сравнению
с массой иона и в) последними двумя членами в правой части
выражения E.90), представляющего собой обобщенный закон Ома.
5.9. Решения уравнения диффузии
Поскольку в полностью ионизованном газе коэффициент диффузии
D± не является постоянным, введем величину А, которая
представляет собой константу:
А = г]КТ/В2. E.100)

184
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Здесь мы предположили, что КТ и В однородны, а слабой
зависимостью удельного сопротивления ц от плотности п через In Л можно
пренебречь. В таком случае при Г* = Те имеем
D±=z2nA. E.101)
Уравнение непрерывности E.92) можно теперь записать в виде
dnldt = V • (£>х Щ = Л V • B/iV/i)
или
дп№ = Афп%. E.102)
Уравнение для п является нелинейным, и простых решений у него
очень мало.
5.9.1. Зависимость решений от времени
Если разделить переменные, полагая, что п — Т (t) S (г), то
уравнение E.102) можно записать в виде
A/Г2) (dT/dt) = (A IS) V2S2 = — 11%, E.103)
где —1/т — константа разделения. Зависящую от
пространственных координат часть этого уравнения решить трудно. Что касается
его временной части, то она аналогична уравнению E.41), с
которым мы встречались при анализе процесса рекомбинации в плазме,
и решение T(t) можно выписать сразу:
-г~£-+-Ь <5Л04>
При больших t, как и в случае рекомбинации, плотность убывает
как lit. Выражение E.104) описывает классическую диффузию в
полностью ионизованном газе. Напомним, что в слабоионизованном
газе диффузия протекает совершенно иначе: там плотность убывает
со временем экспоненциально.
5.9.2. Стационарные решения
Есть один случай, когда уравнение диффузии в полностью
ионизованном газе можно решить довольно просто. Рассмотрим длинный
столб плазмы, на оси которого расположен источник (рис. 5.19).
Этот источник компенсирует потери плазмы из-за рекомбинации
и диффузии в радиальном направлении и поддерживает плазму
в стационарном состоянии. Вне области источника профиль
плотности плазмы будет определяться тем, какой из двух
механизмов—диффузия или рекомбинация — является преобладающим.
Если диффузия мала, а рекомбинация велика, то плотность плазмы
будет быстро уменьшаться с расстоянием от источника. В против-

5.9. Решения уравнения диффузии 185
ном случае ее уменьшение будет медленным. Из уравнения
непрерывности следует, что в области вне источника
— Asj2n2= — an2. E.105)
Это уравнение линейно относительно п2, и найти его решение
нетрудно. В цилиндрической геометрии его решением является функ-
Рис. 5.19. Диффузия поперек магнитного поля в цилиндрическом столбе пол
ностью ионизованной плазмы.
ция Бесселя. В плоской геометрии уравнение E.105) принимает
вид
д2п2/дх2 = (а/А)п*, E.106)
а его решение записывается следующим образом:
п2 = nl ехр [ —(а1АI12х\. E.107)
Характерный масштаб убывания плотности равен
l = (A/af2. E.108)
Поскольку А зависит от напряженности магнитного поля, а
константа рекомбинации а сохраняется постоянной, измерение
зависимости / (В) позволяет проверить справедливость классической
теории диффузии. Такой эксперимент действительно пытались
поставить на Q-машине в полностью ионизованной плазме. К
сожалению, из-за наличия асимметричного Е X В-дрейфа в системе
возникли потери еще одного типа, а именно за счет конвекции, так
что однозначного вывода из эксперимента сделать не удалось.
В заключение следует заметить, что существует закон подобия,
справедливый для любой равновесной плазмы, поддерживаемой
постоянным источником Q в однородном магнитном поле В. В
самом деле, уравнение непрерывности для этого случая имеет вид
— A v2n2 = — r\KTv2 (п2/В2) = Q. E.109)
Поскольку плотность п и магнитное поле В входят в это уравнение
только в виде комбинации п/В, профиль плотности при изменении

186
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
В будет оставаться неизменным, а величина плотности будет
линейно зависеть от В:
п~В. E.110)
Казалось бы, в состоянии равновесия плотность п должна быть
пропорциональна В2, поскольку D±_ ~ В~2, однако коэффициент
диффузии £>_;_ сам пропорционален п и потому п ~ В.
5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия
Хотя теория диффузии под действием кулоновских столкновений
была разработана довольно давно, до начала 1960-х гг. зависимость
D± ~ В не удавалось подтвердить в эксперименте. В
большинстве выполненных до этого экспериментов коэффициент Dx
оказывался пропорционален не В~2, а В~х и концентрация плазмы
уменьшалась со временем не по закону \/t, а экспоненциальным
образом. Кроме того, абсолютная величина коэффициента диффузии D±
была выше, чем предсказывала формула E.99). Впервые на
аномально слабое магнитное удержание обратили внимание в 1946 г.
Бом, Бархоп и Месси, которые разрабатывали магнитную дугу для
разделения изотопов урана. Бом предложил для коэффициента
диффузии следующую полуэмпирическую формулу:
D±=KTj\6eB = DB. E.111)
Эта формула неожиданно была подтверждена в большом числе
различных экспериментов. Диффузия такого типа называется бомов-
ской диффузией. Поскольку DB не зависит от плотности,
концентрация плазмы со временем в режиме бомовской диффузии будет
уменьшаться по экспоненциальному закону. В цилиндрическом столбе
плазмы длиной L и радиусом R постоянную времени этого процесса
можно оценить следующим образом:
т « NI{dNldt) = nnR2L/Tr2nRL = nR/2Fr,
где N — полное число электрон-ионных пар в плазме, а Гг —
радиальная компонента потока частиц. Если Гг найти из закона Фика
с бомовским коэффициентом диффузии, то окажется, что
т » nR/2DBdn/dr « nRl[2DBn!R] = R2/2DB == тв. E.112)
Величину тв часто называют бомовским временем.
Возможно, самая значительная серия экспериментов,
подтверждающих формулу Бома, была выполнена в Принстоне на шести
установках, называемых стеллараторами. Стелларатор представляет
собой тороидальный контейнер, помещенный в магнитное поле,

5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия
187
100
10
1,0
0,1
л—i i 11111
.Плазма щелочных
металлов
i—i i linn
-| 1—Mill
СВЧ-нагрев
Нагрев на электронном
циклотронном
резонансе
Доюоулев нагрев;
~ послесвечение
~ , Бомовская
- диффузия,, сс~В/КТе
'_ Омический
нагрев
Нагрев на ионном
циклотронном резонансе
1 \ \ \\\\\\ I ' I I Mill
J \ I I 11II
0,1 1,0 10
ЛТе/3, произв. ед.
100
Рис. 5.20. Результаты измерений времени удержания т в зависимости
от КТе/В для различных типов разрядов на стеллараторах модели С, под-
тверждающие справедливость бомовского закона диффузии. Данные
нормированы к величине магнитного поля 12,3 кГс и радиусу г *= 5,0 см. (С
любезного разрешения Д. Грова из лаборатории физики плазмы Принстонскога
университета. Работы выполнены при поддержке Комиссии по атомной
энергии США.)
силовые линии которого закручены таким образом, что в среднем
градиентный и центробежный дрейфы компенсируют друг друга.
(Эти типы дрейфовых движений были рассмотрены в разд. 2.3).
На рис. 5.20 приведена сводка данных, полученных за последнее
десятилетие при различных видах разрядов на стеллараторах
модели С. Измеренные значения т почти в точности лежат на линии,
отвечающей бомовскому времени тв. Близкое соответствие
наблюдаемых процессов и бомовской диффузии имеет серьезные следствия
для проблемы управляемого термоядерного синтеза. Из формулы
E.111) видно, что коэффициент бомовской диффузии с ростом
температуры увеличивается. Что касается его зависимости от
магнитного поля, то хотя DB и уменьшается с В, но не так быстро, как
ожидалось. Кроме того, по абсолютной величине DB намного
больше, чем D±. Например, для плазмы с температурой 100 эВ,
помещенной в магнитное поле 1 Тл,
£>«:=
A02) A,6-10—1в)
16 A,6-10~19)A)
= 6,25 м2/с.

188
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Если плотность плазмы равна 1019 м-3, то классический
коэффициент диффузии
п _ 2пКТг\± B) A019) A02) A,6 -Ю-19) C,3) E,2-Ю-5) A0)
±~~ В* AJ (Ш0K/2 _
= A,06 • 103) E,2 • Ю-7) = 5,49 • Ю-4 м2/с.
Расхождение составляет четыре порядка величины!
Было предложено несколько объяснений бомовской диффузии.
Первое из них связано с возможным искажением магнитного поля.
Если установка, в частности термоядерный реактор, имеет сложную
форму, то не очевидно, что все силовые линии магнитного поля
являются замкнутыми. Они могут даже выходить из камеры, в
которой находится плазма. Поскольку длина свободного пробега может
быть очень велика, то даже слабой асимметрии в магнитных
обмотках будет достаточно для того, чтобы электроны без каких-бы то
ни было соударений вылетели на стенки, а возникшее вследствие
этого электрическое поле вытолкнуло бы на стенки и ионы. Второе
объяснение связано с возможной асимметрией электрических
полей. Она может быть обусловлена наличием в плазме каких-либо
препятствий, асимметрией самой вакуумной камеры, наконец, тем,
что плазма создается или нагревается асимметричными
источниками. В этом случае скорость Е X В-дрейфа в постоянном поле Е
не обязательно будет направлена параллельно стенкам, в
результате чего на них будут одновременно выноситься и электроны и
ионы. Такие дрейфовые движения, называемые конвективными
ячейками, действительно наблюдались в плазме. Наконец, в плазме
могут существовать осциллирующие электрические поля,
связанные с неустойчивыми плазменными волнами. Если эти поля
случайным образом флуктуируют, то Е X В-дрейф даже в отсутствие
столкновений вызовет хаотическое блуждание частиц. Впрочем,
даже если волна является чисто синусоидальной, она все равно
может вызвать дополнительные потери, потому что фаза у скорости
Е X В-дрейфа может быть такова, что любая область с повышенной
концентрацией плазмы будет выталкиваться из нее наружу; такую
картину можно себе представить в виде движущихся конвективных
ячеек. Если в плазме есть аномальная диффузия, в ней
действительно часто наблюдаются флуктуирующие электрические поля.
Можно, однако, показать, что во многих случаях влиянием только
этих полей все потери объяснить нельзя. В экспериментах,
которые ставятся в полностью ионизованной плазме, могут
одновременно действовать все три рассмотренных выше механизма
аномальных потерь.
Можно показать, что если потери вызваны Е х В-дрейфом
частиц, то независимо от того, осциллирует электрическое поле или
нет, коэффициент диффузии DB будет пропорционален KTJB

5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия
Рис. 5.21. Орбита частицы, удерживаемой в тороидальном контейнере с
помощью магнитного поля с закрученными силовыми линиями, по форме
напоминает банан. «Орбита» представляет собой геометрическое место точек,
в которых частица при своем движении пересекает данное сечение тора.
Действительно, пусть поток покидающих плазму частиц
пропорционален скорости Е X В-дрейфа:
1\ =т>± ~пЕ/В. E.113)
Вследствие дебаевского экранирования максимальный потенциал
в плазме определяется соотношением
ефмакс^КТе. E.114)
Если R — характерный масштаб длины, на которой меняется
плотность плазмы (например, величина порядка радиуса плазменного
цилиндра), то максимальное электрическое поле равно
£макС« фмакс/R « KTJeR. E.115)
Отсюда следует, что поток 1\ можно записать в виде
1\ « у (n/R) {KTJeB) « —у (КТе/еВ) уп = —DBvn, E.116)
где у — некоторый множитель, меньший единицы. Таким образом,
не удивительно, что DB ~ KTJeB. Значение у = 1/16 не следует
из теории. Это эмпирический коэффициент, который с точностью
до множителя 2—3 обеспечивает согласие теории с большинством
экспериментов.
В последних экспериментах на тороидальных установках время
удержания плазмы было доведено до величин порядка 100 тв. Это
было достигнуто путем тщательного подавления колебаний и
устранения асимметрии в установках. Впрочем, в тороидальных
приборах существуют и другие эффекты, усиливающие столкновитель-
ную диффузию. Рассмотрим кратко эти явления. На рис. 5.21
изображен тор, вокруг которого создано магнитное поле, силовые
линии этого поля представляют собой спирали. Такая закрутка
необходима для того, чтобы устранить дрейфовые движения,
связанные с кривизной силовых линий и наличием градиента магнитного
поля. При движении вдоль силовых линий частицы попадают то
в область больших В у внутренней стенки тора, то в область мень-

190 Гл. 5. Диффузия и сопротивление
„ Банановая " диффузия
I Модифицированная
Область \ классическая
плато I диффузия
Рис. 5.22. Зависимость коэффициента неоклассической диффузии D х от
частоты столкновений v.
шей напряженности поля вблизи внешней стенки установки.
Некоторые из частиц оказываются захваченными между магнитными
пробками и не делают вокруг оси тора ни одного оборота. Ведущие
центры таких частиц, последовательно проходя через данное
сечение тора, описывают орбиты, по форме напоминающие бананы
(рис. 5.21). Если частица участвует в столкновениях, то она
последовательно может становиться то захваченной, то незахваченнои
и таким образом, переходить с одной банановой орбиты на другую.
Вследствие этого пространственный шаг процесса случайного
блуждания будет равен не ларморовскому радиусу частицы п., а ширине
банановой орбиты и коэффициент диффузии станет больше своего
«классического» значения. Такой режим называется
неоклассической диффузией. На рис. 5.22 показана зависимость коэффициента
диффузии поперек магнитного поля от частоты столкновений v.
В области малых v «банановая» диффузия больше классической.
При больших v диффузия снова становится классической, но ее
характер модифицируется из-за наличия токов, текущих вдоль
магнитного поля В. Теоретическая кривая для случая
неоклассической диффузии была подтверждена в экспериментах, выполненных
Окавой в Ла-Холья (шт. Калифорния).
Задачи
5.7. Покажите, что средняя длина свободного пробега %ei между электрон-
ионными столкновениями пропорциональна Т2е.
5.8. Токамак представляет собой тороидальный контейнер, заполненный
полностью ионизованной плазмой, к которой прикладывается
электрическое поле, направленное вдоль В. В результате в плазме возникает ток J
(рис. 35.8). Какова должна быть напряженность электрического поля в
вольтах на метр, чтобы через поперечное сечение S = 75 см2 в плазме, нагретой
до К.Те — 500 эВ, протекал полный ток 200 к А?
5.9. Пусть плазма в термоядерном реакторе имеет форму цилиндра
диаметром 1,2 м и длиной 100 м. Магнитное поле 5 Тл однородно всюду, кроме тор-

5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия
191
Рис. 35.8. Рис. 35.9.
нов плазменного цилиндра, где оно образует магнитные пробки (этой
неоднородностью можно пренебречь). Остальные параметры плазмы таковы:
KTi = 20 кэВ, КТе = 10 кэВ, п = 1021 м-3 (при г = 0). Экспериментально
обнаружено, что профиль плотности плазмы имеет примерно такой вид, как
показано на рис. 35.9.
а) Предполагая, что диффузия носит классический характер, вычислите
D х при г = 0,5 м.
б) Вычислите величину dNldt, равную полному числу электрон-ионных пар,
выходящих за одну секунду из центральной области реактора в радиальном
направлении.
в) Оцените время удержания плазмы т, считая, что т«—Ni (dNldt).
Замечание: в подобных задачах можно получить только грубые оценки.
Очевидно, на профиль плотности плазмы кроме классической диффузии будут
влиять и другие процессы.
5.10. Оцените время классической диффузии для плазменного цилиндра
радиусом 10 см, считая, что плотность плазмы п — 1021 м~3, ее температуры
КТе = KTi = 10 кэВ, а В = 5 Тл.
5.11. Распределение плотности в цилиндрическом столбе плазмы имеет вид
п = п0 A—г2/а2), где а = 10 см, а п0 = 101в м-3. Пусть КТе = 100 эВ,
KTi = 0, а магнитное поле на оси цилиндра равно В0 = 1 Тл. Чему равно
отношение коэффициента бомовской диффузии к коэффициенту
классической диффузии поперек 50?
5.12. Выражение для удельного сопротивления Спитцера справедливо и для
случая слабоионизованной плазмы, если только частота электрон-ионных
столкновений в ней выше частоты столкновений электронов с нейтральными
атомами: vei ^> veo. Ниже приводятся данные о сечениях передачи импульса
при столкновениях электронов с нейтральными атомами в квадратных
ангстремах (А2):
Е = 2 эВ Е = 10 эВ
Гелий 6,3 4,1
Аргон 2,5 13,8
Рассмотрим плазму, состоящую из однократно ионизованных атомов гелия
или аргона. Пусть электронная температура плазмы КТе составляет либо 2,
либо 10 эВ. (Возможно, таким образом, четыре случая: гелиевая плазма с
КТе = 2 эВ, гелиевая плазма с КТе = 10 эВ, аргоновая плазма с КТе —
= 2 эВ и, наконец, аргоновая плазма с КТе = 10 эВ.) Оцените для каждого
случая степень_ионизации / = «^(ло "Ь ni), при которой vec — veo, полагая,
что величину av (Те) можно грубо аппроксимировать выражением о (Е) \ v\(E

192
Гл. 5. Диффузия и сопротивление
Рис. 35.14.
где Е = КТе. [Указание: при вычислении veo пользуйтесь формулой G.11);
величину vei рассчитайте по формулам E.62) и E.76).]
5.13. В тороидальном стеллараторе однородная плазма нагревается за счет
джоулева тепла током плотностью / = 105 А/м2, текущим вдоль магнитного
поля В. Плотность плазмы п = 1019 м-3 в эксперименте с течением времени
не меняется. Выделяющееся в результате джоулева нагрева тепло nj2
передается электронам. Вычислите скорость нагрева плазмы в единицах эВ/мкс
в тот момент, когда ее температура равна КТе = 10 эВ.
5.14. При создании 6-пинча через одновитковую обмотку, окружающую
хорошо проводящую плазму, пропускается импульс тока большой силы.
Магнитное поле, возникающее внутри обмотки, индуцирует в плазме
поверхностный ток, который направлен против тока в обмотке и, следовательно,
стремится вытолкнуть магнитное поле из плазмы. Давление магнитного поля,
возникающего между обмоткой и плазмой, стремится сжать последнюю.
Этот механизм сжатия может работать только в том случае, если за время
импульса магнитное поле не успевает проникнуть внутрь плазмы.
Используя формулу Спитцера для удельного сопротивления, оцените
максимальную длительность импульса для 6-пинча в водородной плазме с начальными
условиями КТе = 10 эВ, п = 1022 м-3, г — 2 см, если поле должно
проникать в плазму на расстояния, не превышающие 1/10 радиуса плазменного
цилиндра.
5.15. Пусть имеется осесимметричный плазменный цилиндр, в котором Е =
= Егт, В = Bz, a Vpt — Vpe = г dpi dr. Если пренебречь членом (v-V) v
или, что то же самое, центробежной силой, то в стационарном случае
уравнения двухжидкостной гидродинамики можно записать в виде
еп(Е + Vi X В) — Vpt -~ е2пЧ-\ (v* — ve) = 0,
— en (E + ve X В) — Vpe -f e2n2ri (v( — ve) = 0.
а) Спроектировав эти уравнения на направление 6, покажите, что V(r = ver.
б) Спроектировав их на направление г, покажите, что
о/в = vE + vDj (/ = i, e).
в) Получите выражение для ut> и покажите, что эта величина не зависит от Ег.
5.16. В приближении одножидкостной магнитогидродинамики вычислите
фазовую скорость ионно-звуковой волны в неизотермической (Т1*. >■ Т{)
однородной незамагниченной плазме, воспользовавшись для этого уравнением
движения и уравнением сохранения массы.
5.17. Проанализируйте процесс затухания альфвеновских волн,
обусловленного сопротивлением плазмы. Для этого выведите дисперсионное урав-

5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия
193
нение для альфвеновских колебаний исходя из уравнений Максвелла D.72)
и D.77) и линеаризованных уравнений одножидкостной
магнитогидродинамики E.85) и E.91), в которых пренебрегите силой тяжести, током смещения
и градиентом давления Vp.
а) Покажите, что
со2/k2 = c\ [(Bq/Po) — * <»л].
б) Выпишите явное выражение для Im (k) в случае вещественных со в
пределе малых т].
5.18. Плазменный цилиндр размывается под действием бомовской диффузии.
Рассчитайте радиальное распределение плотности п (г), пренебрегая тем
фактом, что оно может быть неустойчивым. Для этого предположите, что
при /-=оо плотность п — О, а при г — г0 она равна щ.
5.19. В цилиндрическом столбе плазмы, помещенном в однородное
магнитное поле В == Bzz, течет постоянный ток плотностью j = /zz, где z —
единичный вектор, параллельный оси цилиндра.
а) Рассчитайте распределение магнитного поля В (г), создаваемое этим током.
б) Выразите скорость градиентного дрейфа заряженной частицы с v,, = О
через величины Bz, jz, r, v±, q и га. Можно предположить, что напряженность
поля, рассчитанная в п. а данной задачи, мала по сравнению с Bz, но не равна
нулю.
в) Если сопротивление плазмы отлично от нуля, то в ней должно также
существовать электрическое поле Е = Ezz. Вычислите скорость азимутального
дрейфа электронов, вызванного наличием этого поля, учитывая, что силовые
линии магнитного поля В представляют собой спирали.
г) Нарисуйте диаграмму направлений скоростей дрейфов ионов и
электронов, вычисленных в пп. бив данной задачи, в плоскости г0.

Глава 6
РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ
6.1. Введение
Если бы поведение плазмы определялось лишь движениями
составляющих ее отдельных частиц, то создать магнитное поле для
удержания плазмы было бы довольно просто. Для этого нужно только
убедиться, что его силовые линии не упираются в стенки
вакуумной камеры, и обеспечить такую степень симметрии установки,
чтобы все скорости дрейфовых движений частиц (vE, vv5 и т. п.)
были направлены параллельно стенкам. Однако с
макроскопической точки зрения не очевидно, что магнитное поле, созданное
таким образом, чтобы удерживать отдельные частицы, будет
удерживать плазму как целое. Дело в том, что независимо от конфигурации
внешних полей в плазме могут возникать внутренние поля,
которые также будут влиять на ее движение. В частности, из-за
группирования частиц в сгустки в плазме может возникнуть
электрическое поле Е, которое вызовет Е X В-дрейф частиц к стенкам
установки. Токи, текущие в плазме, могут генерировать магнитное
поле, которое приведет к выносу частиц из-за градиентного дрейфа.
Проблему удержания плазмы можно произвольным образом
разделить на две, а именно на задачу о равновесии и задачу об
устойчивости. Разницу между равновесием и устойчивостью лучше
всего проиллюстрировать с помощью механической аналогии. На
рис. 6.1 показаны различные случаи равновесия шарика на твердой
поверхности. Равновесие представляет собой состояние, когда все
действующие на систему силы взаимно компенсируют друг друга
и возможно не зависящее от времени решение уравнений
движения. Равновесие является устойчивым или неустойчивым в
зависимости от того, затухают или нарастают в системе малые
возмущения. В частности, на рис. 6.1 в состоянии Е шарик находится в
положении устойчивого равновесия (если только его не отклонять
из этого положения слишком сильно). Если же сдвинуть шарик
за показанный на рисунке порог, то система становится
неустойчивой. Такое поведение называется взрывной неустойчивостью. В
случае Ж равновесие шарика неустойчиво, но он не может сильно
отклоняться от положения равновесия. Такая неустойчивость не

6.1. Введение
195
7/,
v
Равновесие
отсутствует
Безразличное
равновесие
Условное
равновесие
Устойчивое
равновесие
Д
Неустой, чивое
равновесие
Е Ж
Равновесие, устойчивое Равновесие, неустойчивое
в линейном приближении, в линейном приближении,
но неустойчивое в нелинейном но устойчивое в нелинейном
режиме режиме
Рис. 6.1. Механическая аналогия различных типов равновесия.
очень опасна, если нелинейная амплитуда колебаний достаточно
мала. В случае плазмы ситуация, естественно, гораздо сложнее
показанной на рис. 6.1, поскольку для достижения полного равновесия
плазмы нужно, чтобы уравновешивались силы, действующие на
каждый элемент ее объема. Из двух проблем — равновесия и
устойчивости — легче решать последнюю. Для этого можно считать
отклонения от состояния равновесия малыми и провести
линеаризацию уравнений движения. При этом, как и в случае анализа волн
в плазме, мы придем к линейным уравнениям. Проблема
равновесия, напротив, сводится к нелинейной задаче, похожей на задачу
о диффузии. При наличии магнитных полей сложной
конфигурации исследование равновесия представляет собой весьма непростую
задачу.

196
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
6.2. Равновесие в МГД-приближении
Хотя в целом проблема исследования равновесия достаточно
сложна, некоторые полезные с физической точки зрения сведения
можно довольно просто получить из МГД-уравнений. Пусть
ускорение свободного падения g = О, тогда в стационарном случае,
d/dt = 0 плазма должна описываться уравнением [ср. с E.85)]
Vp = jxB F.1)
и уравнением Максвелла
VxB^oj. F.2)
Некоторые выводы о характере равновесия можно сделать уже на
основе простого уравнения F.1).
1. Из этого уравнения видно, что имеется равновесие сил между
градиентом давления и силой Лоренца. Как это обеспечивается?
Рассмотрим плазменный цилиндр, в котором градиент давления vp
направлен к оси цилиндра (рис. 6.2). Для того чтобы
противодействовать силе давления, направленной к внешней границе плазмы,
в ней должен существовать ток, текущий в азимутальном
направлении, как показано на рисунке. Плотность тока, необходимого для
уравновешивания давления плазмы, можно найти, если умножить
векторно уравнение F.1) на В:
]± = (В х VP)/B2 = (KTt + КТе) (В х Щ1В\ F.3)
Эго выражение в точности совпадает с полученной ранее
формулой C.69) для диамагнитного тока! Таким образом, с точки зрения
теории движения отдельных частиц диамагнитный ток возникает
из-за того, что при наличии градиента плотности средние скорости
частиц, совершающих ларморовское вращение, не обращаются
Рис. 6.2. В стационарном Рис. 6.3. Векторы j и В лежат на поверхно^
состоянии сила Лоренца стях постоянного давления.
I X В, связанная с
диамагнитным током, равна
градиенту давления плазмы.

6.3. Понятие о величине |3
197
в нуль. С точки зрения магнитогидродинамики диамагнитный ток
генерируется потому, что поперек магнитного поля В действует
сила, связанная с градиентом давления Vp. Возникающий при
этом ток достаточен для того, чтобы уравновесить силы,
действующие на каждый элемент объема плазмы, и таким образом остановить
ее движение.
2. Из уравнения 6.1 очевидно, что в равновесии и вектор j, и
вектор В перпендикулярны Vp- Это не тривиальное утверждение,
если учесть, что конфигурация системы может быть очень сложной.
Представим себе плазменный тор, в котором существует плавный
радиальный градиент плотности, так что поверхности постоянной
плотности (на самом деле — постоянного давления) представляют
собой вложенные друг в друга торы (рис. 6.3). Поскольку векторы
j и В перпендикулярны s/p, они должны лежать на поверхностях
постоянных р (изобарических поверхностях). Вообще говоря,
силовые линии магнитного поля и ток могут быть закручены как
угодно, но все равно в состоянии равновесия они не должны
пересекать поверхности постоянных р.
3. Рассмотрим проекцию уравнения F.1) на направление В.
Ее можно записать в виде
dp/ds^=0, F.4)
где s — координата, отсчитываемая вдоль силовой линии. Отсюда
следует, что при К.Т = const в состоянии равновесия плотность
плазмы вдоль каждой силовой линии должна быть постоянна. На
первый взгляд этот вывод может показаться ошибочным. В самом
деле, рассмотрим стационарный поток плазмы, который
инжектируется в область между двумя магнитными пробками (рис. 6.4).
При движении плазмы вдоль силовых линий она сначала
расширяется, а затем сжимается, поэтому ясно, что плотность на силовой
линии не является константой. Однако парадокса здесь нет. Все
дело в том, что в этой ситуации в системе нет статического
равновесия. Производная d\ldt действительно равна нулю, но член
(v-v) v, которым мы пренебрегли, в нуль не обращается. Мы же
должны рассматривать неподвижную плазму, в которой v — 0.
Если плазма покоится, то частицы оказываются запертыми в
ловушке, причем большинство из них группируется в центральной
плоскости системы, а не у ее краев, поскольку у торцов пробочное
отношение больше. Этот эффект компенсирует уширение ловушки
в ее центральной части, и в результате плотность вдоль силовой
линии магнитного поля оказывается постоянной.
6.3. Понятие о величине р
Подставляя выражение для тока j из F.2) в уравнение F.1),
получаем
VP = Ц5 (V X В) х В = ^ Г(В- V) В - -~ vBa] , F.5)

198
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
Рис. 6.4. Расширение потока плазмы при
его инжекции в пробкотрон.
или
V[p + (B2%)] = (B-v)BW
F.6)
Рис. 6.5. В плазме с fi ф О
диамагнитный ток уменьшает
магнитное поле таким образом,
что сумма давления частиц и
давления магнитного поля
сохраняется постоянной. 1
—область слабого магнитного поля
В и высокого давления р, 2—
область сильного поля В и
низкого давления р.
Во многих интересных для
практики конфигурациях плазмы,
например в виде прямого цилиндра, помещенного в магнитное поле,
параллельное оси цилиндра, правая часть этого уравнения
обращается в нуль, поскольку величина магнитного поля не меняется
вдоль В. В других случаях правая часть уравнения F.6) отлична
от нуля, но мала. В этом приближении из F.6) следует, что
р + (В2/2ц0) = const. F.7)
Поскольку величина В2/2ц0 равна давлению магнитного поля,
отсюда видно, что в состоянии равновесия сумма кинетического
давления частиц и давления магнитного поля должна быть
постоянной. Иными словами, если в плазме есть градиент плотности
(рис. 6.5), то там, где концентрация частиц велика, магнитное поле
должно быть мало, и наоборот. Ослабление магнитного поля в
плазме, естественно, вызывается диамагнитным током. О величине
диамагнитного эффекта можно судить по отношению двух
слагаемых, входящих в F.7). Это отношение обычно обозначается
греческой буквой Р:
Давление частиц /п 0ч
(Ь.8)
fi^ZnKT
B2/2[i0
Давление магнитного поля
До сих пор, не оговаривая этого, мы рассматривали плазму только
с малыми |3, когда величина |3 заключена в диапазоне Ю-3—10~6.
Следовательно, в рассматриваемых нами случаях диамагнитный
эффект был очень мал. Именно поэтому при анализе волн в плазме
мы могли считать поле В0 однородным. При малых |3 все равно,
вычислять ли знаменатель в выражении F.8) для случая магнит-

6.4. Диффузия магнитного поля в плазму
199
ного поля в вакууме или для поля в присутствии плазмы. Если же
параметр |3 велик, то из-за наличия плазмы локальное магнитное
поле В может сильно уменьшиться. В этом случае в определение C
обычно включают значение магнитного поля в вакууме. Плазма
с большими |3 характерна для космического пространства и для
исследований по МГД-преобразованию энергии. Для того чтобы
термоядерный реактор был экономичным, значение |3 в нем должно
существенно превышать 1 %, поскольку энергетический выход
реактора пропорционален квадрату плотности плазмы п2, а
стоимость реактора растет с увеличением В по степенному закону.
В принципе может существовать и плазма с Р= 1, в которой
диамагнитный ток создает поле, в точности равное по величине и
противоположное по направлению внешнему магнитному полю.
В этом случае система должна разделиться на две части: область
плазмы без магнитного поля и область, в которой имеется лишь
магнитное поле, а плазма отсутствует. Если силовые линии
магнитного поля являются прямыми, то равновесие в этой системе будет
неустойчивым, поскольку такая конфигурация напоминает желе,
которое удерживают на натянутых резиновых лентах. Поэтому
надо еще доказать, можно ли вообще создать подобную плазму с
|3 = 1. В некоторых магнитных конфигурациях поле В внутри
плазмы обращается в нуль, и локальное значение |3 в таком случае
должно равняться бесконечности. Это происходит, в частности,
в том случае, когда магнитное поле прикладывается вблизи
поверхности большого объема плазмы. Вследствие этого |3 обычно
определяют как отношение максимального давления частиц к
максимальному магнитному давлению, и в этом смысле у плазмы,
удерживаемой магнитным полем, величина |3 не может быть больше единицы.
6.4. Диффузия магнитного поля в плазму
В астрофизике часто возникает задача о проникновении
магнитного поля в плазму. Пусть между областью, в которой есть плазма,
но нет поля, и областью, в которой есть магнитное поле, но нет
плазмы, существует резкая граница (рис. 6.6). Если электрическое
Только магнитное поле В
ТЬлько плазма
Рис. 6.6. Между идеально проводящей плазмой и магнитным полем может
существовать резкая граница. Поверхностные токи выталкивают поле из
плазмы.

200
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
сопротивление плазмы равно нулю, то эта граница будет оставаться
неизменной по той же причине, по которой магнитное поле не
может проникнуть в сверхпроводник: всякая ЭДС, создаваемая
движущимися силовыми линиями, генерировала бы в плазме
бесконечный ток, а это невозможно. Следовательно, и плазма при своем
движении будет выталкивать из себя силовые линии, а также
изгибать и скручивать их. Возможно, этот эффект является причиной
образования нитевидных структур газа, которые наблюдаются
в Крабовидной туманности. Если же проводимость плазмы отлична
от нуля, то плазма может двигаться сквозь силовые линии
магнитного поля и, наоборот, магнитное поле может проникать в плазму.
Такая диффузия требует определенного времени, и если движение
происходит достаточно медленно, то силовые линии за время этого
процесса не успевают сильно исказиться. Время диффузии нетрудно
вычислить из уравнений
VXE=—В, F.9)
E + vxB = tij. F.10)
[ср. с уравнением E.91)]. Для простоты будем считать, что
силовые линии проникают в покоящуюся плазму. Тогда v = 0 и
дв/а*=—vxT)j- F.П)
Вспоминая, что j определяется выражением F.2), уравнение F.11)
можно переписать в виде
ав/а*= —(т)/и«)vx(vx в)= —(Ti/m>Hv(v-B)—vaB]. F.12)
Вследствие того что V-B = 0, мы приходим к уравнению
диффузии, с которым уже встречались в гл. 5:
dB/d/ = (ri/Mo)VaB. F.13)
Его можно решить с помощью разделения переменных, однако мы
ограничимся здесь грубой оценкой времени диффузии. Пусть L —
характерный масштаб пространственного изменения магнитного
поля В; тогда
ав/а/=(т1/(А0^8)в, F.14)
В = В0ехр(±*/т), F.15)
где
т— [x0L2/r]. F.16)
Это и есть характерное время проникновения магнитного поля в
плазму.
Величину т можно также интерпретировать как время
аннигиляции магнитного поля. Дело в том, что при движении силовых
линий сквозь плазму наводимые ими токи вызывают ее нагрев. На
этот нагрев тратится энергия магнитного поля. Потери энергии

6.4. Диффузия магнитного поля в плазму
201
в единице объема (м3) плазмы за время т равны т]/2т. Если
пренебречь током смещения, то из уравнения Максвелла C.4) следует,
что
jioJ = VXB«B/L. F.17)
Отсюда можно найти диссипацию энергии:
Tlf т = т) (B/\i0L)* (fio^An) = BVii0 = 2 (В2/2ц0)- F-18)
Таким образом, величина т приближенно равна времени, которое
требуется для того, чтобы энергия магнитного поля рассеялась на
джоулев нагрев.
Задачи
6.1. Предположите, что в дейтериево-дейтериевом реакторе из-за
электромагнитной неустойчивости величина р" не может превышать (т/МI/2. Пусть
также из-за свойств материалов конструкции реактора магнитное поле
ограничено величиной В = 20 Тл. Найдите максимальную плотность плазмы,
которую можно удержать в этом реакторе, если K.Tt = КТе = 20 кэВ.
6.2. В экспериментах по лазерному синтезу у поверхности мишени
вследствие поглощения излучения лазера создается плазма плотностью п та 1027 м—3
с температурой КТе та KTi та 10* эВ. Возникающие при этом
термоэлектрические токи могут спонтанно генерировать магнитные поля до 103 Тл.
а) Покажите, что в такой плазме (осте1-^>1, и, следовательно, магнитное
поле сильно влияет на движение электронов.
б) Покажите, что Р^> 1, и поэтому такую плазму невозможно надежно
удержать с помощью магнитного поля.
в) Каким образом должны двигаться плазма и силовые линии магнитного
поля, чтобы одновременно удовлетворялись условия, сформулированные
в п. а и б, которые на первый взгляд противоречат друг другу?
6.3. Цилиндрический столб плазмы радиусом а помещен в магнитное поле
В = B0z, параллельное его оси. Профиль давления плазмы имеет вид р =
= p0cos2 (я/7 2а).
а) Вычислите максимальное давление р0.
б) Используя это значение Ро, найдите распределение диамагнитного тока
j (r) и полного магнитного поля В (г).
в) Постройте зависимости / (г), Вв (г) и р (г).
г) Если этот цилиндр свернуть в тор таким образом, что силовые линии,
совершив один оборот, замкнутся сами на себя, то равновесие, при котором
макроскопические силы повсюду компенсируют друг друга, очевидно,
будет нарушено. Можно ли так перераспределить давление р (г, 0), чтобы
равновесие в системе восстановилось?
6.4. Рассмотрите бесконечный прямой плазменный цилиндр, помещенный
в магнитное поле В0, считая что профиль плотности плазмы имеет форму
прямоугольника (рис. 36.4). Покажите, что при р" = 1 магнитное поле на оси
цилиндра обращается в нуль. Для этого проделайте следующие операции:
а) Используя МГД-уравнения и считая, что КТ = const, найдите в
стационарном состоянии ток j

202
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
п(г)
B = Bq
Рис. 36.4.
б) Проинтегрируйте уравнение Максвелла V X В = |х0 j по площади петли,
изображенной на рисунке. Используя теорему Стокса, покажите, что
В ах -В0=ц0]?КТ\ [(дп/дг)/В (г)] dr,
*0
Вах = Вг==0.
в) Вычислите интеграл, считая, что производная dnldr равна б-функции и
потому В (г) при г = а есть среднее арифметическое величин ВаХ и BQ.
6.5. Диамагнитная петля представляет собой устройство, которое
применяется для измерения давления плазмы путем регистрации диамагнитного
эффекта (рис. 36.5). Такая петля действует следующим образом: при
возникновении плазмы в ней нарастает диамагнитный ток и уменьшается В;
как следствие уменьшается магнитный поток Ф через поверхность петли.
В результате этого в контуре индуцируется ЭДС, которая затем усредняется
по времени с помощью .КС-цепочки (рис. 36.5).
а) Покажите, что
J Vdt = — Л/АФ = — N J Bd-dS,
По петле
Bd^B- В0.
N витков
17 Индуцированное
v напряжение
Вне плазмы
В-В0
п
UL
Рис. 36.5.

6.5. Классификация неустойчивостей
203
б) Пользуясь методом, применявшимся в предыдущей задаче, и полагая, что
п (г) — п0ехр [—(г/г0J], найдите В а (г). При вычислении интеграла
считайте, что Р <С 1, и поэтому в интеграле величину В можно заменить на В0.
в) Покажите, что I Vdt — — Nnr^BQ, где f> определяется выражением F.8).
J о
6.5. Классификация неустойчивостей
При исследовании волн в плазме мы предполагали, что она
находится в невозмущенном состоянии полного термодинамического
равновесия, т. е. что частицы имеют максвелловское распределение
по скоростям, а плотность и магнитное поле являются
однородными. В этом состоянии энтропия системы максимальна, в ней нет
источника свободной энергии, который мог бы возбуждать волны,
и поэтому нам пришлось рассматривать колебания, генерируемые
в плазме внешними источниками. Исследуем теперь такое
состояние плазмы, в котором она не является полностью
термодинамически равновесной, но находится в равновесии в том смысле, что
все действующие на нее силы компенсируют друг друга, а
уравнения движения могут иметь стационарное решение. Свободная
энергия, имеющаяся в системе, может привести к
самовозбуждению волн; при этом равновесие плазмы является неустойчивым.
Неустойчивость всегда представляет собой такое движение,
которое уменьшает свободную энергию плазмы и переводит ее в
состояние, более близкое к термодинамическому равновесию.
Неустойчивости можно классифицировать в соответствии с
видом свободной энергии, приводящей к их раскачке. Существует
четыре основных типа неустойчивостей.
1. Потоковые неустойчивости. В этом случае через плазму
либо движется пучок частиц высокой энергии, либо протекает ток,
вследствие чего частицы разных сортов движутся относительно
друг друга. Энергия этого движения и используется для
возбуждения волн; колебания усиливаются за счет запаса кинетической
энергии, который имеется в начальном невозмущенном состоянии.
2. Неустойчивости Релея—Тейлора. В этом случае в плазме
существует резкая граница или градиент плотности; иными
словами, плазму нельзя считать однородной. Кроме того, к плазме
должна быть приложена внешняя сила неэлектромагнитного
характера, которая и вызывает неустойчивость. Аналогию с неустой-
чивостями такого типа можно провести на примере перевернутого
стакана с водой (рис. 6.7). Хотя плоская поверхность раздела
между водой и воздухом находится в состоянии равновесия в том
смысле, что вес воды уравновешивается силой атмосферного
давления, это равновесие является неустойчивым. Любой пузырек,
появившийся на поверхности, будет стремиться вырасти за счет
потенциальной энергии поля силы тяжести. Как хорошо известно

204
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
>^
У//////////
з g
Рис. 6.7. Гидродинамическая неустойчивость Релея—Тейлора возникает
в том случае, когда тяжелая жидкость покоится на легкой.
из гидродинамики, это явление всегда имеет место в том случае,
когда слой тяжелой жидкости лежит на более легкой.
3. Универсальные неустойчивости. Когда плазма тем или иным
способом удерживается в ловушке, то даже при отсутствии сил,
вызывающих ее движение, например электрических или
гравитационных, плазма все равно не находится в полном
термодинамическом равновесии. Давление плазмы стремится ее расширить, а
связанная с этим процессом энергия может высвободиться в виде
неустойчивости. Такого рода свободная энергия всегда присутствует
в любой ограниченной плазме, поэтому подобные неустойчивости
называются универсальными.
4. Кинетические неустойчивости. В гидродинамической теории
предполагается, что распределения частиц по скоростям являются
максвелловскими. Если же функции распределения отличны от
максвелловских, то в плазме существует отклонение от
термодинамического равновесия и вследствие анизотропии распределений
по скоростям в ней могут раскачиваться неустойчивости.
Например, если Гц Ф Т±, то может возникнуть неустойчивость, которая
называется модифицированной неустойчивостью Харриса. В проб-
котронах из-за наличия конуса потерь существует дефицит частиц
с большим отношением V\\/Vj_; эта анизотропия приводит к так
называемой «конусной» неустойчивости.
В последующих разделах будут приведены простые примеры
каждого из упомянутых выше типов неустойчивостей. Отметим,
что неустойчивости, раскачиваемые вследствие анизотропии, нельзя
описать с помощью гидродинамической теории и их детальный
анализ выходит за рамки этой книги.
Не все неустойчивости одинаково опасны с точки зрения
удержания плазмы. Скажем, высокочастотные неустойчивости, в
которых раскачиваются волны с частотами, близкими к wp, не могут
влиять на движение тяжелых ионов. А вот низкочастотные
неустойчивости с to « йс могут привести к аномальным амбиполярным
потерям из-за Е X В-дрейфа. Неустойчивости с <о « Qc не
приводят к эффективному переносу частиц поперек магнитного поля,
однако являются опасными в пробкотронах, где убыль частиц
происходит из-за их диффузии в конус потерь в пространстве скоростей.
и

6.6. Двухпотоковая неустойчивость 205
6.6. Двухпотоковая неустойчивость
В качестве простого примера потоковой неустойчивости
рассмотрим однородную плазму, в которой ионы неподвижны, а электроны
движутся относительно них со скоростью v0. Иными словами,
наблюдатель находится в системе отсчета, движущейся вместе с
ионами. Пусть плазма холодная (КТе = KTt = 0), а магнитное
поле отсутствует (В0 = 0). Линеаризованные уравнения движения
частиц запишутся в этом случае в виде
MnJfdvn'dty^enoEu F.19)
mn0 [dvel/dt + (v0 • V) vel] = — er^Ei. F.20)
В уравнении F.20) мы пренебрегли членом (vel-v) v0, полагая,
что скорость v0 постоянна во всем объеме плазмы. Слагаемое
(v0-v) Vi в уравнении F.19) отсутствует потому, что мы считаем
Vi0 = 0. Будем рассматривать электростатические волны в виде
Ех = ЕхехрЦ (kx— со/)], F.21)
где х— единичный вектор, направленный вдоль v0 и к. Уравнения
F.19) и F.20) можно переписать следующим образом:
— i (йМп0\ц = еп0Е1, vl-i = (ie/Mco)Ex, F.22)
пгщ( — i со + i kv0) vel = —ещЕъ vel = —(i elm) Ex/(си—fa/0).
F.23)
Поскольку все скорости частиц v;1 направлены вдоль оси х, мы
опустили в уравнениях индекс х. Уравнение непрерывности для ионов
дает
дпц/dt + n0V • vtl = 0,
па = (&/со) n0v tl = (i еп0/г/Мсо2) Е. F.24)
Заметим, что другие члены вида V-(ftv<) обращаются в нуль,
поскольку Vft0 = v0,- — 0. Уравнение непрерывности для
электронов можно записать в виде
дпе1Ш + n0v • vel + (v0 • V) пе1 = 0, F.25)
(— i со + i kv0) nel -f- i kn0vel = 0; F.26)
таким образом,
пе1 — kn0vel/((x>—kv0) =. —iekrioE/m (со—kv0J. F.27)
Поскольку неустойчивые волны представляют собой
высокочастотные плазменные колебания, мы должны пользоваться не
плазменным приближением, а уравнением Пуассона:
е0У-Е1 = е(пл—пе1), F.28)
i ke0E = е (i en0kE) Г—— + 1. F.29)

206
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
Разделив обе части последнего выражения на [kz^E, приходим к
следующему дисперсионному уравнению:
i = (Bjr_£_+ 1—1 F.зо)
Ч Мш2 ^ (ш-Ь0J J V
Выясним, устойчивы или неустойчивы колебания с
вещественными значениями k. Умножая предыдущее уравнение на общий
знаменатель, можно получить уравнение четвертого порядка
относительно со. Если все его корни со у вещественны, то каждый из
них отвечает колебанию Ех — Ex exp [i (kx—coy/1)]. Если же
некоторые из корней комплексны, то они появляются в виде пар
комплексно-сопряженных величин. Запишем эти комплексные корни
как
coy = a/ + iT/, F.31)
где <Xj = Re (со;), у}- = Im (соу). Таким образом, зависимость поля
от времени имеет вид
E1 = Exexp(yjt)-exp[[(kx—ее jt)]. F.32)
Если Im(coy)>»0, то амплитуда волны экспоненциально нарастает
со временем. Отрицательное значение Im (coy) соответствует
затухающей волне. Поскольку coy появляются в виде пары комплексно-
сопряженных корней, один корень из этой пары обязательно
отвечает неустойчивой волне (если только оба корня не являются
вещественными). Корни с отрицательными мнимыми частями не
описывают самовозбуждающиеся волны и потому не представляют
интереса.
Анализ дисперсионного уравнения F.30) можно провести, и не
решая уравнения четвертого порядка. Определим величины
дг=со/сор, £/ = /го0/сор. F.33)
Подставляя эти величины в уравнение F.30), его можно переписать
в виде
1 = —^-+ Ц- = F (х, у). F.34)
Мх2 ^ (х- у?
Для любого у можно построить график F (х, у) в виде функции от х.
Эта функция имеет сингулярности при х = 0 и при х = у (рис. 6.8).
Точки пересечения этой кривой с прямой F (х, у) = 1 дают
значения х, которые удовлетворяют дисперсионному уравнению. На
примере рис. 6.8 видно, что таких точек четыре, и поэтому
дисперсионное уравнение имеет четыре вещественных корня coy. Если, однако,
взять меньшее значение у, то зависимость F (х, у) будет выглядеть
так, как показано на рис. 6.9. Теперь имеются лишь две точки
пересечения и, следовательно, два вещественных корня. Другие
два корня должны быть комплексными, и один из них будет
обязательно соответствовать неустойчивой волне. Таким образом, при

6.6. Двухпотоковая неустойчивость
207
Пъу)
Пх,у)
У
Рис. 6.8. Функция F (х, у) для двух-
потоковой неустойчивости. Плазма
устойчива.
Рис. 6.9. Функция F (х, у) для двух-
потоковой неустойчивости. Плазма
неустойчива.
достаточно малых kv0 плазма становится неустойчивой, а если
скорость v0 задана, плазма всегда неустойчива относительно
длинноволновых колебаний. Если т/М <С 1, то максимальный
инкремент неустойчивости, определяемый из F.30), равен
1т((о/юр)«(т/М)
i/з
F.35)
Для реализации неустойчивости необходимо, чтобы величина
kv0 была достаточно мала. Иными словами, чтобы при данном
волновом числе k имела место неустойчивость, скорость v0 должна
быть достаточно мала. Это положение противоречит физическому
смыслу: ведь именно движение со скоростью v0 является
источником энергии для неустойчивости. Парадокс возник потому, что для
описания плазмы мы использовали гидродинамические уравнения
в пределе КТ = 0. В действительности всякая плазма имеет
конечную температуру, и при ее анализе в рамках кинетической теории
нужно учитывать тепловые эффекты. При этом оказывается, что
для скоростей v0 c< vTenn имеет место явление, которое называется
затуханием Ландау (см. гл. 7), и если v0 становится слишком
малой, то из кинетического рассмотрения следует, что
неустойчивости не будет.
Из физических соображений такую неустойчивость (ее
называют бунемановской неустойчивостью) можно объяснить следующим
образом. Собственные частоты колебаний электронной и ионной
жидкостей равны соответственно а>р и Qp — (m/7WI/2 cop. При
некотором значении kv0 из-за доплеровского сдвига, вызванного
движением электронной жидкости, в лабораторной системе отсчета эти
две частоты могут совпасть. При этом в плазме возникнет волна
потенциала, связанного с флуктуациями плотности ионов и
электронов уравнением Пуассона. Можно показать, что электронные
колебания в этом случае обладают отрицательной энергией, т. е.
полная кинетическая энергия электронов при наличии волны
меньше, чем в том случае, когда волна отсутствует. Действительно,
в невозмущенном потоке электронов плотность кинетической
энергии равна A/2) mn0vl. Если же в плазме имеются колебания, то
плотность кинетической энергии будет равна A/2) т (я0 +

208
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
~Ь ni) (uo + viY- После усреднения этого выражения по
пространственным координатам его значение оказывается меньше
A/2) mn0vl, поскольку из уравнения непрерывности следует, что
пх и v± определенным образом связаны между собой. Следовательно,
электронные колебания обладают запасом отрицательной энергии,
а ионные волны — положительной энергией, так что оба типа
волн могут раскачиваться одновременно, причем полная энергия
системы будет при этом сохраняться. Подобная неустойчивость
используется для генерации СВЧ-колебаний в клистронах.
Модуляция скорости в поле волны Ех заставляет электроны
группироваться в сгустки. Проходя через резонатор, эти сгустки могут
возбудить его собственные моды и, таким образом, вызвать генерацию
энергии в СВЧ-диапазоне.
Задачи
6.6. а) Выведите дисперсионное уравнение для двухпотоковой
неустойчивости, возникающей в том случае, когда два холодных электронных потока
плотностью A/2) п0 каждый движутся в противоположных направлениях
с равными скоростями v0 на фоне неподвижных ионов.
б) Вычислите максимальный инкремент неустойчивости.
6.7. Протонная компонента плазмы состоит из двух однородных потоков,
скорости которых равны -Ь w0x и — у0х, а плотности —• соответственно
B/3) п0 и A/3) п0. Нейтрализующая заряд протонов электронная жидкость
имеет плотность п0 и voe = 0. Обе компоненты холодные, магнитное поле в
плазме отсутствует. Выведите дисперсионное уравнение для потоковых не-
устойчивостей в такой системе.
6.8. В покоящуюся плазму плотностью щ падает пучок холодных
электронов плотностью я0б (б — числовой параметр), движущийся со скоростью и.
а) Выведите дисперсионное уравнение для возникающей в такой системе
высокочастотной плазменно-пучковой неустойчивости.
б) Максимальный инкремент неустойчивости ут в общем случае вычислить
трудно, однако если б <С 1, то по аналогии с бунемановской
электрон-ионной неустойчивостью можно сделать приближенную оценку этой величины.
Воспользовавшись приведенной без доказательства формулой F.35),
выразите Ут. через б.
6.9. Пусть в магнитном поле B0z на фоне нейтрализующей холодной
электронной жидкости имеются два потока ионов плотностью A/2) п0 каждый,
один из которых движется со скоростью + v0y, а другой — со скоростью
— i'0y. Поле В0 достаточно велико для того, чтобы удерживать электроны
(считается, что они совершают только одномерное движение), но не влияет
на траектории ионов.
а) Считая, что частоты электростатических волн, распространяющихся в
направлениях ± у, лежат в диапазоне й2 <С со2 < ш2, выведите для этих волн
следующее дисперсионное уравнение:
Р 1 В =—Е- -f 1.
2 (со — Ь0J 2 (и -f kvQf со2
б) Получите закон дисперсии ы (k), а также инкременту (k) и выясните, в
каком диапазоне частот возбуждаются неустойчивые колебания.

6.7. Гравитационная неустойчивость
209
6.7. Гравитационная неустойчивость
Вследствие того что с точки зрения удержания плазмы магнитное
поле действует как легкая жидкость, удерживающая тяжелую
плазму, в ней может возникнуть неустойчивость Релея—Тейлора.
В случае искривленных силовых линий магнитного поля роль
эквивалентной силы тяжести играет центробежная сила,
обусловленная движением частиц вдоль этих силовых линий. В качестве
простейшего примера такой неустойчивости рассмотрим поведение
границы плазмы, лежащей в плоскости yz (рис. 6.10). Пусть градиент
плотности V^o ориентирован в направлении —х, а поле силы
тяжести g — по х. Для простоты будем считать, что КТ( = КТе = 0
и рассмотрим случай малых р, когда магнитное поле однородно.
В стационарном состоянии уравнение движения ионов принимает
вид
М»о (v0 ■ V) v0 = en0v0 x B0 + Mn0g. F.36)
t
yn Плазма © в
У///////////^/////У///////////у
Вакуум д \х
I
Рис. 6.10. Гравитационная неустойчивость поверхности плазмы.
Если g = const, то v0 тоже постоянна, и потому член (v0-V) v0
обращается в нуль. Умножив векторно уравнение F.36) на В0,
получим (как и в разд. 2.2)
v0 = (M/eBl) g X В0 = — (g/Qc)у. F.37)
Электроны движутся в противоположном направлении; скорость
этого движения в пределе mlM -> 0 пренебрежимо мала. Поскольку
КТ = 0, диамагнитный дрейф в плазме отсутствует; нет и Е0 X Во-
дрейфа, поскольку Е0 = 0.
Если под действием случайной тепловой флуктуации на
поверхности раздела возникнет рябь, то из-за того, что слой движется
со скоростью v0, это возмущение будет нарастать (рис. 6.11).
Физическая причина неустойчивости следующая. Дрейф ионов
приводит к появлению зарядов на склонах изогнутой поверхности
раздела. Возникает электрическое поле, которое имеет неоднородный
характер; если двигаться вдоль поверхности раздела, то при
каждом переходе от горба к впадине электрическое поле меняет знак.
Как видно из рис. 6.11, на тех участках, на которых поверхность
сместилась вверх, скорость Ех X В0-дрейфа тоже направлена
вверх, а на участках, сместившихся вниз, она всегда направлена

3210
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
Рис. 6.11. Физический механизм гравитационной неустойчивости.
вниз, поэтому в результате Ех X В0-дрейфа начальное возмущение
будет расти.
Чтобы найти инкремент неустойчивости, нужно, как обычно,
рассмотреть уравнения движения в линейном приближении,
считая, что волны распространяются вдоль оси у: k = ky. Уравнение
движения ионов с учетом поправок, связанных с волной, имеет
вид
М (п0 + nx) Цд/dt) (v0 4- У\) + (v0 + Vi) • V (v0 + va)] = e {n0 + %) х
X №i + (v0 + v5) xB0l + M (n0 + ni) g- F-38)
Умножим уравнение F.36) на 1 + {nxlnj). В результате мы
получим следующее соотношение:
М (По + «О (v0 • V) v0 = е(п0 -Ь щ) v0 X В0 -f М (n0 -f nx) g. F.39)
Вычитая это равенство из уравнения F.38) и пренебрегая членами
второго порядка, имеем
Мп0 [{dvildt) + (v0- V) Vil - ещ (Ег + vx X В0). F.40)
Заметим, что g в конечный результат не входит. Информация об
этой величине, однако, содержится в выражении для v0.
Рассматривая возмущения, пропорциональные exp [i (ky—со/)], можно
записать следующее уравнение:
М(<о—feo0)v1=ie(E1 + v1xB0). F.41)
Оно аналогично уравнению D.96), за исключением того что
величина со заменена в нем на со—kvQ и все величины относятся теперь
не к электронам, а к ионам. Следовательно, решение уравнения
F.41) дается выражением D.98), в котором сделаны
соответствующие изменения. Если Ех — 0, а
$»(<0—kv0f, F.42)
то решение имеет вид
vix = Ey/BQ, viy = — i (Ey/Bo) (со — kv0)/Qc. F.43)

6.7. Гравитационная неустойчивость 211
Последнее выражение представляет собой скорость
поляризационного дрейфа в системе отсчета, движущейся вместе с ионами.
Соответствующая величина для электронов в пределе т/М -> 0
пренебрежимо мала. Следовательно, у электронов
vex = Ey/B0, vey = 0. F.44)
В первом приближении теории возмущений уравнение
непрерывности для ионов имеет вид
dnjdt + V • (n0v0) + (v0 • V) /ii + MiV • v0 -f (vi • V) n0 -f «0V • vx +
+ V-("iV1) = 0. F.45)
Член нулевого порядка V-(tt0vo) обращается в нуль, поскольку
вектор v0 перпендикулярен уя0; при постоянном v0 обращается
в нуль также слагаемое п-^-Vq. Следовательно, уравнение
первого порядка теории возмущений можно записать в виде
— i ami + i ки0пх -+- vixti0 -f- i knnVcy = 0. F.46)
где по = dnjdx. Уравнение непрерывности для электронов проще,
поскольку ve0 = vey — 0:
— i ып1-{-иехп0= 0. F.47)
Заметим, что здесь мы воспользовались плазменным приближением
и положили nil = пе1. Это можно сделать только в том случае,
если неустойчивые волны имеют низкие частоты (что можно
подтвердить a posteriori). Из уравнений F.43) и F.46) получаем
(a> — kv0) nx + i {Ey/B0) n'o + i kn0 (Ey/B0)((xi—kv0)/Qc = 0, F.48)
а из уравнений F.44) и F.47) —
a)Hi -f i (Еу/В0) п0 = 0, Еу/В0 = i (ап^п'о- F.49)
Подставляя последнее выражение в уравнение F.48), имеем
(ю —kv0) пх—[п0 + kn0 ((o — kv0)/Qc] (co%/«o) = 0,
ю—kv0— [ 1 + (knJQc) (a» — kv0)/n0] (o = 0, F.50)
о)(ю — ко0)=—v0Qcno/n0. F.51)
Заменяя в последнем равенстве величину vQ ее значением из
формулы F.37), получаем квадратное уравнение для частоты at:
со2—kv0(a— g(n'o/n0) = 0. F.52)
Его решения имеют вид
« = -—Н±[—^о + ^("оЧ)| 2- F.53)

212
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
Рис. 6.12. Желобковая неустойчи- Рис. 6.13. Дрейфовая неустойчивость
вость. в плазме цилиндрической
конфигурации. Область, заключенная в
прямоугольнике, изображена в
увеличенном виде на рис. 6.14.
Неустойчивость существует в том случае, если со комплексна, т. е.
если
1 ',2 2
—gnQ/n0> kvo-
F.54)
Отсюда видно, что для реализации неустойчивости нужно, чтобы
g и п01п0 имели разные знаки. Это требование эквивалентно тому,
что тяжелая жидкость должна лежать на легкой; в противном
случае частота со оказывается вещественной и плазма является
устойчивой. Поскольку величина g моделирует эффекты, обусловленные
кривизной силовых линий магнитного поля, устойчивость системы
зависит от знака этой кривизны. Если силовые линии выгнуты
в сторону плазмы, то такая конфигурация устойчива. И наоборот,
когда силовые линии охватывают плазму, система оказывается
неустойчивой. При достаточно малых k (больших длинах волн)
инкремент неустойчивости дается выражением
7= Im (<»)«[— g(n'0/n0)]
1/2
F.55)
а вещественная часть частоты со равна A/2) kv0. Поскольку v0 —
это скорость ионов, колебания являются низкочастотными, как и
предполагалось первоначально.
Подобную неустойчивость колебаний границы плазмы с k J_ В0
иногда называют желобковой, потому что в плазменном цилиндре,
когда все силы направлены по радиусу, эти волны распространяются
в направлении 0, а поверхности постоянной плотности напоминают
рифленые греческие колонны (рис. 6.12).

6.8. Резистивные дрейфовые волны
213
6.8. Резистивные дрейфовые волны
Простой пример универсальной неустойчивости дает возбуждение
резистивной дрейфовой волны. В отличие от связанных с силой
тяжести желобковых мод в дрейфовых колебаниях волновой
вектор к имеет малую, но конечную составляющую вдоль магнитного
поля В0. Поэтому поверхности постоянной плотности в этих ос-
цилляциях напоминают слегка закрученные желоба (рис. 6.13).
Если увеличить участок поверхности, обведенный на этом рисунке
прямоугольником, и выпрямить его, то он будет выглядеть так, как
показано на рис. 6.14. Единственная сила, которая может вызвать
неустойчивость,— это градиент давления КТуп0 (для простоты
предполагаем, что К.Т = const). В этом случае скорости
дрейфовых движений в нулевом приближении по амплитуде волн
записываются (при Е0 = 0) в виде
vrt*= vDl- == (KTi/eBo) (щ/по) у,
ve0 - vDe = — (КТе/еВ0) (ni/n0) у.
F.56)
F.57)
По аналогии с желобковой неустойчивостью можно ожидать, что
фазовая скорость дрейфовых волн должна быть порядка vDi или
vDe. Мы покажем, что (alky действительно приближенно равна vDe.
В дрейфовых волнах величина kz ф 0, поэтому электроны
могут двигаться вдоль В0, в результате чего они должны прийти в
состояние термодинамического равновесия (ср. обсуждение этого
вопроса при анализе нижнегибридных колебаний в разд. 4.10).
-*—7п0
t
к
Плотная
плазма
Ц
АЪ
//Ж
\ ®в°
\
Ет
Л Менее
Я плотная
уплазма
Изобара
X
Рис. 6.14. Физический механизм дрейфовой неустойчивости.

214
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
Следовательно, электроны должны удовлетворять уравнению Больц-
мана (см. разд. 3.5):
п1/п0 = еф1/КТе. F.58)
Обратимся к рис. 6.14. В точке А плотность плазмы будет выше,
чем в состоянии равновесия, величина п1 >» 0 и, следовательно,
фг >0. По той же причине в точке Б пх и фх отрицательны. Раз
между точками А и Б имеется разность потенциалов, должно
существовать и электрическое поле Ег. Как и в случае желобковой
неустойчивости, поле Ех вызывает дрейф частиц вдоль оси х со
скоростью v-l = Ег х В0/В0. В процессе распространения волны вдоль
оси у наблюдатель, находящийся в точке А, будет видеть, что п1
и </>! со временем осциллируют. Скорость дрейфа vx также будет
осциллировать со временем; фактически именно движение со
знакопеременной скоростью vx и вызывает колебания плотности.
Поскольку градиент плотности S/n0 направлен в сторону
отрицательных х, из-за дрейфа со скоростью \г через точку А будет проходить
плазма разной плотности. Следовательно, плазма в дрейфовой
волне совершает колебания вдоль оси х, хотя сама волна
распространяется в направлении у.
Перейдем к количественным оценкам. Запишем величину vlx
в виде
vlx = Ey/B0 = —ikyfv'B0. F.59)
Будем предполагать, что vlx не зависит от х, a kz <^ ky, т. е. что
жидкость является несжимаемой и колеблется вдоль оси х.
Вычислим, какое число ведущих центров частиц п1 вносится в единицу
времени в 1 м3 плазмы, расположенный вблизи точки А. Очевидно,
dnjdt = —vJx dnjdx. F.60)
Это условие представляет собой уравнение непрерывности для
ведущих центров, а они, естественно, не совершают дрейфа со
скоростью vD. Член n0^-v1 обращается в нуль из-за сделанных нами
ранее предположений. Разница между плотностью ведущих центров
и плотностью частиц пх, вообще говоря, должна приводить к
появлению поправок в уравнении F.60), однако эти поправки имеют
более высокий порядок и ими можно пренебречь. Используя
соотношения F.58) и F.59), запишем уравнение F.60) в виде
—i (ani = iky<j>1no/B0= —[(jarioief^KTg). F.61)
Таким образом,
«>/ky = —(КТе/еВ0) (п0/п0) *= vDe. F.62)
Следовательно, рассматриваемые нами волны движутся со
скоростью, равной скорости диамагнитного дрейфа электронов. Именно
поэтому они называются дрейфовыми волнами. Скорость этих волн
направлена вдоль оси у или (в цилиндрическом случае) по азимуту.

6.8. Резистивные дрейфовые волны
215
Кроме ky волновой вектор к имеет и составляющую kz. По причинам,
которые здесь не рассматриваются, величина kz должна
удовлетворять условиям
F.63)
Чтобы понять, почему дрейфовые волны являются
неустойчивыми, нужно учесть, что компонента скорости ионов vlx не равна
в точности Еу/В0. Существуют поправки к этой величине,
связанные с поляризационным дрейфом B.66) и дрейфом из-за
неоднородности электрического поля B.59). Под их влиянием распределение
потенциала ф± в дрейфовых колебаниях отстает по фазе от
распределения плотности п1 (задача 4.1). Из-за этого сдвига скорость vx
будет направлена из плазмы на тех участках, где плазма уже
сдвинута наружу (и наоборот); поэтому возмущения в дрейфовых
колебаниях будут нарастать. Если бы дополнительного фазового
сдвига не было, то разность фаз между vx и ф1 составляла бы 90°,
как показано на рис. 6.14, и дрейфовые волны были бы чисто
осциллирующими.
Роль электрического сопротивления в дрейфовых волнах состоит
в том, что оно не позволяет электронам, движущимся вдоль В0,
полностью экранировать электрическое поле волны Ex. Точнее,
если расстояние между гребнем волны и впадиной A/2) Xz
достаточно велико, а частота электрон-ионных столкновений
значительна, то в системе из-за сопротивления среды может возникнуть
яма потенциала и, следовательно, отличное от нуля электрическое
поле Ev Дисперсионное уравнение для резистивной дрейфовой
волны с учетом этих эффектов можно приближенно записать в виде
<B2 + ian(<o — <b„J = 0,
где
<*>* = kJ}Det
F.64)
F.65)
а у == Qc (kllky) состе1-. F.66)
Если а у > со, то уравнению F.64) можно удовлетворить только
при со « со*. В этом случае в первом члене уравнения частоту со
можно заменить на со*, и тогда
со
со* + i соI/а.
F.67)
Отсюда видно, что величина Im (со) всегда больше нуля и
пропорциональна удельному сопротивлению т). Следовательно,
дрейфовые волны неустойчивы в любой плазме, имеющей градиент плот-

216
Гл. 6. Равновесие и устойчивость
ности. К счастью, инкремент этой неустойчивости мал, а сделав
поле В0 неоднородным, ее развитие вообще можно остановить.
Заметим, что уравнение F.52), описывающее желобковую
неустойчивость, и уравнение F.64) для дрейфовой неустойчивости
по своей структуре разные. В первом из них коэффициенты
вещественны, и со будет комплексной только в том случае, если
дискриминант квадратного уравнения отрицателен. Это типичная
реактивная неустойчивость. Коэффициенты второго уравнения комплексны,
поэтому со будет комплексна всегда — это характерная особенность
диссипативной неустойчивости.
Задача
6.10. Водородная плазма помещена в тор, большой радиус которого R =
= 50 см, а малый а = 2 см. Параметры плазмы следующие: В0 = 1 Тл,
КТе — 10 эВ, KTt = 1 эВ, п0 = 1019 м~3. Оцените инкременты для рези-
стивной дрейфовой волны и гравитационной желобковои моды, считая, что
п0/пц& а/2, g ж (КТе-\-КТ?)/MR, а обе волны характеризуются
азимутальным числом m = 1. (Обычно формулы, полученные для систем плоской
геометрии, можно применять к цилиндрическим системам, положив ky =
= mlr.)
6.9. Неустойчивость Вейбеля1)
В качестве примера неустойчивости, раскачиваемой из-за
анизотропии функции распределения, рассмотрим неустойчивость
Вейбеля, физическая интерпретация которой предложена Б. Фридом.
Эта неустойчивость сопровождается ростом возмущений
магнитного поля, поэтому она может также служить примером электро-
Рис. 6.15. Физический механизм неустойчивости Вейбеля.
а) Честь и слава старому другу Эрику Вейбелю A925 —1983).

6.9. Неустойчивость Вейбеля
217
магнитной неустойчивости. Пусть ионы покоятся, а температура
электронов, движущихся вдоль оси у, выше, чем при движении
в х- и z-направлениях. В этом случае в плазме имеется избыток
быстрых электронов, движущихся вдоль оси у, однако вследствие
того, что вверх движется столько же частиц, сколько и вниз, полный
ток равен нулю (рис. 6.15). Пусть из шумового фона спонтанно
возникло распределение магнитного поля В = Bz z cos kx. Тогда
сила Лоренца —е\ X В искривит траектории электронов так,
как это показано на рисунке штриховыми линиями, и в результате
частицы, движущиеся вниз, будут собираться в слое А, а
электроны, движущиеся вверх,— в слое Б. Возникающие при этом
токовые слои с j = — en0ve будут сфазированы в точности таким
образом, чтобы усилить возникшее вначале распределение
магнитного поля, и возмущение В будет расти. Хотя в общем случае
анализ этой неустойчивости требует кинетического рассмотрения,
в пределе vy — атепл, vx = vz = 0 результат можно легко
получить из этой физической картины. Инкремент при этом равен у =
= СОрУтепл/с.

Глава 7
КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
7.1. Функция распределения /(v)
Гидродинамическая теория, используемая нами до сих пор,
представляет собой простейшую теорию плазмы; нам действительно
повезло, что для описания большинства наблюдаемых явлений это
приближение является достаточно точным. Существуют, однако,
некоторые явления, которые гидродинамическая теория не может
описать адекватным образом. Для них мы должны рассматривать
функцию распределения / (v) частиц каждого сорта по скоростям;
такой подход называется кинетической теорией. В гидродинамике
все зависимые переменные являются функциями лишь четырех
независимых величин: х, у, z и t. Это возможно потому, что
распределение по скоростям для каждого сорта частиц всюду
предполагается максвелловским и может быть единственным образом задано
с помощью одного параметра, а именно температуры Т. Поскольку
столкновения частиц в высокотемпературной плазме происходят
редко, отклонение от теплового равновесия может в этом случае
поддерживаться в течение относительно длительного времени. В
качестве примера рассмотрим две функции распределения: f1 (vx)
и /2 (vx) Для одномерной системы (рис. 7.1). Эти две функции могут
вести себя совершенно по-разному, но если площади под кривыми
/i и /2 одинаковы, гидродинамическая теория не обнаружит
различия между ними.
Плотность частиц есть функция четырех скалярных переменных:
п = п (г, t). Когда мы рассматриваем функцию распределения, то
ъы
Рис. 7.1. Примеры немаксвелловских функций распределения.

7.1. Функция распределения f (v) 219
имеем семь независимых переменных: / = / (г, v, t). Функция
/ (г, v, t) означает, что число частиц в кубическом метре в точке
г в момент времени t с компонентами скорости между vx и vx +
+ dvx, vy и vy + dvy, vz и vz + dvz равно
f(x, y, z, vx> Vy, vz, t)dvxdVydvz.
Интеграл от этого выражения записывается несколькими
эквивалентными способами:
оо оо оо сю
л (г, 0=1 dvx J dvy J dvzf(r, v, *)= I f(r. v, t)d*v =
—oo —oo —oo —oo
= I f(r, v, t)dv. G.1)
—oo
Следует заметить, что здесь dv не вектор, а трехмерный элемент
объема в фазовом пространстве. Если / нормирована следующим
образом:
оо
J f(r, v,Mdv=l, G.2)
—оо
то / представляет собой распределение вероятности, которое мы
обозначаем через /. Таким образом,
/(г, v, t) = n(r, Of(r, v, t). G.3)
Заметим, что / — по-прежнему функция семи переменных,
поскольку форма функции распределения, как и плотность частиц,
может меняться во времени и пространстве. Из выражения G.2)
ясно, что / имеет размерность с3/м3; следовательно, размерность /,
как видно из G.3), равна с3-м_6.
Особенно важную роль играет функция распределения
Максвелла
fm = (т/2пКТ)ш ехр (— v2/v2Tenjl), G.4)
где у = (и2 + и2 + и2у/2> а Vremi^BKT/m)m. G.5)
Используя определенный интеграл
оо
J ехр(—x2)dx =--aJti , G.6)
—оо
легко проверить, что интегрирование/m no dvxdvydvz№w единицу.
Обычно используют несколько средних скоростей по максвел-
ловскому распределению. В разд. 1.3 мы видели, что
среднеквадратичная скорость дается выражением
(и*I/2=C/С77тI/2. G.7)

220
Гл. 7. Кинетическая теория
Среднее значение скорости \v\, или просто среднюю скорость v,
определяют следующим образом:
v= J vf(v)d3v.
G.8)
Поскольку fm изотропна, интеграл вычисляется наиболее просто
в сферической системе координат ^-пространства (рис. 7.2). Так как
элемент объема каждой сферической оболочки равен 4nv2dv, имеем
с»
v = (m/2nKTf2 J v [ехр (— u2/t&™)] 4яу2 dv = G.9)
о
00
= (я14пл)~3/24яг4пл I СехР (—У2)] yZdy. G.10)
о
Определенный интеграл равен 1/2, что можно найти
интегрированием по частям. Таким образом,
v= 2л-1/Чепл = 2B7ШлтI/2. G.11)
Компонента скорости в одном выделенном направлении, скажем
vx, имеет другое среднее. В случае изотропного распределения vx,
разумеется, равно нулю, но \vx\ не равно нулю:
K\ = U°*\L(v)d*v= G.12)
/ m \3/2 °° / V \ °° ( — V \
°° ( ~vx \
X f 2vxexV\—2 \dvx.
О \ "тепл /
X
G.13)
Из соотношения G.6) видно, что каждый из первых двух интегра-
и2
Рис. 7.2. Трехмерное пространство скоростей.

7.1. Функция распределения / (v)
221
лов
равен я1/2утепл
равно Утепл- Таким образом, имеем
Последний интеграл простой; его значение
lf*l —Мепл)
2 \—3/2 4
я~1/2итепл = {2КТ/лт)
1/2
G.14)
Случайный поток частиц через некоторую воображаемую плоскость
дается выражением
Гслуч = A/2)п|^ = A/4)ли. G.15)
Здесь мы использовали соотношение G.11) и тот факт, что лишь
половина частиц пересекает плоскость в каком-то одном
направлении. Таким образом, в случае распределения Максвелла мы имеем
следующие выражения:
УсР.кв = C7ШтI/2, G.7)
М = 2B707ятI/2, G.11)
К|==B7ШятI/2, G.14)
Ц* = 0. G.16)
Для изотропной функции распределения типа максвелловской
мы можем определить другую функцию g (v), которая представляет
собой функцию скалярной величины v, такую, что
g{v)dv= J /(v)d4>.
G.17)
Для распределения Максвелла из уравнения G.9) видно, что
g (v) = Ann (m/2nKT)mv2 exp (— v2/v2Tenn). G.18)
Рис. 7.3 показывает различие между g(v) и одномерным максвел-
ловским распределением / (vx). В отличие от / (vx), которая при
vх = 0 максимальна, g (v) при v = 0 равна нулю. Это есть
следствие обращения в нуль элемента объема фазового простран-
f(v*)
Рис. 7.3. Одно- и трехмерные максвелловские функции распределения по
скоростям.

222
Гл. 7. Кинетическая теория
Рис. 7.4. Неоднородная одномерная
функция распределения / (х, vx).
Рис. 7.5. Линии постоянных / для
двумерного анизотропного
распределения.
Смещенное
максвелловское
распределение
Рис. 7.6. Линии постоянных / в двух
измерениях длямаксвелловского
распределения с дрейфом и «пучка».
Рис. 7.7. Линии постоянных / для
распределения с конусом потерь.
Здесь у |, и v L — компоненты v
соответственно вдоль и поперек
магнитного поля.
ства (рис. 7.2) при v = 0. Иногда функцию ^ (v) небрежно
записывают как / (и), чтобы отличить ее от / (v); но g (v) совсем по иному
зависит от своего аргумента, чем функция / (v) от своего аргумента.
Из соотношения G.18) ясно, что g (v) имеет размерность с/м4.
До тех пор пока мы не уменьшим число измерений, невозможно
построить график функции /(г, v) в данный момент времени t. В
одномерном случае / (х, vx) можно изобразить в виде поверхности
(рис. 7.4). Сечения этой поверхности плоскостями х = const
представляют собой распределения / (vx), а сечения ее плоскостями
vx = const дают профили плотности частиц, имеющих данную
скорость vx. Если форма всех распределений / (vx) одинакова, то
кривая, проходящая через максимумы этих распределений,
представляет собой профиль плотности. Штриховые кривые на рис. 7.4
показывают сечения плоскостями / = const, которые образуют ли-

7.2. Уравнения кинетической теории
223
нии уровня, или кривые постоянных /. Проецируя эти линии на
плоскость xvx, получаем топографическую карту значений /.
Такие карты оказываются очень полезными для получения
предварительных представлений, о поведении плазмы; в следующем разделе
мы приведем соответствующий пример.
Другой тип контурной карты для / можно построить, если
рассмотреть / (v) в данной точке пространства. Например, если
движение является двумерным, а / в переменных vx и vy изотропна,
то контуры / (vx, vy) будут представлять собой окружности.
Анизотропное распределение должно описываться эллиптическими
контурами (рис. 7.5). Максвелловское распределение с дрейфом будет
иметь контуры в виде окружностей, смещенных относительно
начала координат, а пучок частиц, летящих вдоль оси х, проявится
как отдельный пик (рис. 7.6).
Функция распределения с конусом потерь для плазмы,
удерживаемой в зеркальной ловушке, может быть представлена
контурами/ в (v±, v ц)-пространстве. На рис. 7.7 показано, как выглядят
эти контуры.
7.2. Уравнения кинетической теории
Фундаментальным уравнением, которому должна удовлетворять
функция / (г, v, t), является уравнение Больцмана
df . ^г , F df
dt
+ v.v/ + -5-.f- = (JL). G.19,
т dv \ dt /с
Здесь F — сила, действующая на частицы, a (dfldt)c — скорость
изменения / во времени вследствие столкновений. Символом V
обозначен, как обычно, градиент в координатном пространстве х, у,
2. Символ d/dv или Vy обозначает градиент в пространстве
скоростей:
+ y-f-+z-^-. G.20)
dv dvx dvu dv
Смысл уравнения Больцмана становится ясным, если
вспомнить, что / есть функция семи независимых переменных.
Следовательно, полную производную от / по времени можно записать в виде
df df
dt dt
df
dx
dvx
dx ]
dt '
1 df
df
dy
dvy
df dvx df dvy df dvz
dvx dt dvu dt ^' dv, dt G-21)
Здесь dfldt представляет собой производную по времени при явной

224
Гл. 7. Кинетическая теория
временной зависимости. Следующие три слагаемых можно записать
в виде v-v/- С помощью второго закона Ньютона
dv' с
m^T=F G-22)
видим, что в G.21) последние три члена записываются как
(Flm)-(dfldv). В разд. 3.3 мы показали, что полную производную
dfldt можно интерпретировать как скорость изменения / в системе
отсчета, движущейся с частицами. Отличие состоит в том, что
теперь мы должны рассматривать частицы, движущиеся в
шестимерном (г, у)-пространстве; dfldt в данном случае представляет
собой конвективную производную в фазовом пространстве. Согласно
уравнению Больцмана G.19), до тех пор пока отсутствуют
столкновения, dfldt = 0. То, что это утверждение справедливо, можно
видеть из рис. 7.8 для одномерного случая.
Все частицы, попадающие в элемент dx dvx, обозначенный на
рис. 7.8 через Л, имеют скорость vx и координату х. Плотность
частиц в фазовом пространстве х, vx равна / (х, vx). С течением
времени эти частицы благодаря наличию у них скорости vx
переместятся в другую точку х, и их скорость изменится под действием
приложенных к ним сил. Поскольку силы зависят лишь от л: и vx,
все частицы в элементе Л ускорятся на одну и ту же величину.
Через время t все частицы окажутся в элементе В фазового
пространства. Поскольку все частицы движутся вместе, плотность в элементе
В будет такая же, как и в Л. Однако если в системе имеются
столкновения, то частицы могут рассеиваться и / может измениться
благодаря наличию члена (dfldt)c.
В достаточно горячей плазме столкновениями можно пренебречь.
Если, кроме того, сила F полностью электромагнитная, то
уравнение G.19) принимает частный вид:
df +v-v/+-^-(E + vxB)^-=0.
dt m dv
G.23)
Это уравнение называется уравнением Власова. Благодаря своей
относительной простоте это уравнение наиболее часто применяется
в кинетической теории. При наличии столкновений с нейтральными
атомами столкновительный член в уравнении G.19) можно
приближенно записать в виде
(dfldt)c = (fn~f)lx, G.24)
где /„ — функция распределения нейтральных атомов, а т —
характерное время между столкновениями. Это выражение называют
столкновительным членом Крука. Оно является кинетическим
обобщением столкновительного члена в уравнении E.5). Для случая

7.2. Уравнения кинетической теории
225
Ух
0
Vx
X
ц>
Рис. 7.8. Группа точек в фазовом
пространстве, описывающая
положения и скорости группы частиц,
сохраняет плотность в фазовом
пространстве по мере своего
.перемещения со временем.
Рис. 7.9. Представление траектории
пучка электронов с одинаковыми
скоростями v0 в одномерном
фазовом пространстве. Функция
распределения f (х, vx) бесконечна на
линии v = v0 и равна нулю вне ее.
Линия v ~ v0 является также
траекторией отдельных электронов.
Направление их движения показано
стрелкой.
Свободный
электрон
Рис. 7.10. Изменение траектории
пучка, показанной на рис. 7.9, когда
в электронном пучке возникает
плазменная волна. Картина движется
вправо с фазовой скоростью волны.
Для наблюдателя, находящегося
в системе отсчета, связанной с
волной, картина будет неподвижна,
а электроны будут двигаться вдоль
КРИВОЙ СО СКОРОСТЬЮ V0 — Уф.
Рис. 7.11. Распределение
потенциала плазменной волны, каким его
видит электрон. Распределение
движется со скоростью Уф. Электрон,,
имеющий малую скорость
относительно волны, будет захвачен в
потенциальную яму и начнет двигаться
вместе с волной.
Рис. 7.12. Траектории электронов и линии постоянных / в системе отсчета,
связанной с волной. В этой системе картина неподвижна. Диаграммы такого
типа, типичные для конечных распределений /, представить себе легче, чем
распределения в виде б-функции, показанные на рис. 7.10.

226 Гл. 7. Кинетическая теория
Рис. 7.13. Линии уровня в фазовом пространстве для электронов в случае
двухпотоковой неустойчивости. Заштрихованная область, которая
первоначально представляла собой в лабораторной системе область малых скоростей,
не содержит электронов. По мере того как развивающаяся неустойчивость
выходит за линейную стадию, эта область фазового пространства
закручивается и принимает вид, напоминающий «водяной мешок». [Из работы:
Berk H. L., Nielson С. Е., Roberts К. V., Phys. Fluids, 13, 986 A970).]
кулоновских столкновений уравнение G.19) можно записать в виде
^-^~-f-.(/<Av»-^-^-:(f<AvAv». G.25)
dt o\ 2 dvdv
Это уравнение называется уравнением Фоккера—Планка; оно
учитывает только парные кулоновские столкновения (Av— изменение
скорости при столкновении) и представляет собой более короткую
форму записи достаточно сложного выражения.
Тот факт, что в отсутствие столкновений dfldt — 0, означает,
что при своем движении в фазовом пространстве частицы следуют
вдоль линий постоянных /. В качестве примера того, как могут
быть использованы эти контуры, рассмотрим неустойчивость в
системе плазма — пучок, рассмотренную в разд. 6.6. В невозмущен-

7.3. Вывод гидродинамических уравнений
227
ной плазме все электроны имеют скорость v0 и линия постоянных /
является прямой (рис. 7.9). На рисунке функция / (х, vx)
представляет собой стенку, поднимающуюся от плоскости бумаги вдоль
линии vx = vQ. Электроны движутся вдоль этой прямой. При
возникновении волны ее электрическое поле Ех вынуждает электроны
изменять свою скорость vx при движении их вдоль траектории.
При этом на траектории развивается синусоидальная рябь
(рис. 7.10). Эта рябь перемещается с фазовой скоростью волны, а не
со скоростью частиц. При своем движении относительно волны
частицы остаются на кривой. Если при увеличении амплитуды волны
напряженность Ех становится очень большой, а столкновения при
этом происходят редко, то некоторые электроны будут захвачены
в электростатический потенциал волны. В координатном
пространстве потенциал волны имеет вид, показанный на рис. 7.11. Функция
/ (х, vx) будет максимальной в тех областях фазового пространства,
в которых имеется потенциальная яма (рис. 7.12). Поскольку
кривые постоянной / являются также траекториями электронов, видно,
что некоторые электроны в фазовом пространстве движутся по
замкнутым орбитам; именно эти электроны оказываются захваченными.
Захват электронов — это нелинейное явление, которое не
удается исследовать с помощью непосредственного решения
уравнения Власова. Однако расчеты с помощью ЭВМ позволяют
рассчитать траектории электронов, причем результаты их расчетов
нередко имеют вид кривых, аналогичных изображенным на
рис. 7.12. Пример получаемых при этом численных результатов
показан в виде графиков на рис. 7.13. Данный пример относится к
случаю двухпотоковой неустойчивости, когда линии постоянных f
первоначально имели щель вблизи vx = 0, которая разделяла
электроны, движущиеся в противоположных направлениях. Эволюция
этой незаполненной щели во времени показана на рис. 7.13 в виде
заштрихованных областей. Мы видим, что неустойчивость искажает
/ (v) столь сложным образом, что едва ли все это можно описать
аналитически.
7.3. Вывод гидродинамических уравнений
Гидродинамические уравнения, которые мы использовали выше,
являются просто моментами уравнения Больцмана. Низший
момент получается посредством интегрирования уравнения G.19),
когда F представляет собой силу Лоренца:
JJL^+Jv.^v+-l.J(E+vxe).JL*-5(-|-)f*r.
G.26)
Первый член можно записать в виде
f-iLdv=--M/dv = —• G.27)
J dt dt У dt V '

228 Гл. 7. Кинетическая теория
Поскольку v — независимая переменная и, следовательно, на нее
не действует оператор V, второй член дается выражением
JvvMv = V-Ifvdv = V-(«v) = V-(iu). G-28)
где средняя скорость и по определению есть скорость жидкости.
Член, в который входит Е, обращается в нуль, в силу того что
CE.-^-dv=f-^- -tfE)dv= f fE-dS = 0. G.29)
Интегрирование полной дивергенции дает среднее значение
величины/Е на поверхности при v — оо, которое равно нулю, если /->■ О
быстрее, чем v~2 при £-> оо, поскольку это необходимое условие
для любого распределения с конечной энергией. Член с v X В
можно записать следующим образом:
C(vxB)--^-dv= С -±--tfvxB)dv— G_!_x(vxB)dv = 0.
J dv J dv J dv
G.30)
Первый интеграл снова может быть преобразован в поверхностный
интеграл. Максвелловская функция распределения / при v ->- оо
спадает быстрее, чем любая степень величины v; следовательно,
этот интеграл равен нулю. Второй интеграл обращается в нуль,
поскольку вектор v X В перпендикулярен d/dv. Наконец,
четвертый член в уравнении G.26) оказывается тоже равным нулю,
поскольку столкновения не могут изменить полное число частиц
(рекомбинация здесь не рассматривается). Таким образом, уравнения
G.27) — G.30) сводятся к уравнению непрерывности
_££-+у(ли)=0. G.31)
at
Следующий момент уравнения Больцмана получается умножением
уравнения G.19) на /nv и интегрированием уравнения по d\. Мы
имеем
m[v-y—dv+[m\(\-v)fd\ + q[\(E + \xB)- -^—dx =
J dt J J dv
=mH-f-).dv- G-32)
Правая часть этого уравнения представляет собой изменение
импульса вследствие столкновений и приводит к члену Pf/ в уравнении
E.58). Первый член в левой части уравнения G.32) записывается
в виде
т
[yJl_dv^m—[vfdv = -?-m(nu). G.33)
J dt dt J dt

7.3. Вывод гидродинамических уравнений 229
Третий интеграл в G.32) можно представить следующим образом:
{ v(E-f vxB)--^-dv= С — .[fv(E + vxB)]dv —
J dv J dv
- rfv-^-(E4-vxB)dv— C/(E + vXB)- -£_vdv. G.34)
J dv J dv
Здесь в правой части первые два интеграла обращаются в нуль по
тем же причинам, что и выше, a dv/dv является единичным тензором
I. Следовательно,
?Cv(E + vxB).-^-dv==—<Д(Е + ухВ)^у= — ?n(E + vxB).
G.35)
Окончательно, чтобы вычислить второй интеграл в уравнении G.32),
используем сначала тот факт, что v — независимая переменная,
не связанная с V. и запишем
Jv(v-V)/dv=fv4frv)dv = V-j7vvdv. G.36)
Поскольку среднее значение какой-либо величины равно
взвешенному интегралу этой величины по v, деленному на п, мы имеем
V-j7vvdv = v-nvv. G.37)
Скорость v можно представить теперь в виде суммы средней
(гидродинамической) скорости и и тепловой скорости w:
v = u + w. G.38)
Поскольку и уже средняя величина, можно написать следующее
выражение:
V • (tiv\) = v • (лии) + V • (www) + 2v • (miw). G.39)
Очевидно, среднее значение w равно нулю. Величина mnww есть
не что иное, как тензор напряжений Р:
P==/?mww. G.40)
Оставшийся первый член в правой части уравнения G.39) можно
записать в виде
V-(nu\i) = uV-(nu) + n(\i-v)ii. G-41)
Объединяя полученные нами результаты, а именно выражения
G.33), G.35), G.40) и G.41), уравнение G.32) можно переписать
в виде
т——- (mi)+ muV'(/111L- mw(u-v)u + V-P — qn(E + u X B) = PtJ.
G.42)
Преобразовывая первые два члена с помощью уравнения непре-

230
Гл. 7. Кинетическая теория
рывности G.31), окончательно получаем следующее
гидродинамическое уравнение:
тп\— +(u-V)ul =<7л(Е + ихВ) —V-P + P*/- G.43)
Это уравнение описывает поток импульса. Чтобы вычислить
поток энергии, необходимо найти следующий момент уравнения
Больцмана, умножив его на A/2) mvv и проинтегрировав по v.
При этом мы получим уравнение теплового потока, в которое
входит коэффициент теплопроводности х так же, как, в
гидродинамическое уравнение тензор напряжений Р. Простейшей формой
уравнения теплового потока при х= 0 является уравнение состояния
р = рч.
7.4. Плазменные колебания и затухание Ландау
В качестве элементарной иллюстрации использования уравнения
Власова выведем дисперсионное уравнение для плазменных
колебаний, которые мы рассматривали с гидродинамической точки
зрения в разд. 4.3. Для этого нам потребуется контурное
интегрирование. Те, кто не знаком с ним, могут сразу перейти к разд. 7.5.
В разд. 7.6 мы дадим более простой, хотя и более длинный, вывод
без применения теории функций комплексного переменного.
Предположим, что в нулевом порядке плазма однородна и имеет
функцию распределения /0 (v), и положим В0 = Е0 = 0.
Обозначим возмущение функции/ (г, v, t) в первом порядке как/\ (г, v, t):
№. v, *) = Mv) + Mr, v, t). G.44)
Так как v теперь независимая переменная и ее не следует линеари-
зовывать, уравнение Власова для электронов в первом порядке
запишется в виде
+ vv/i-— Er-^-=0. G.45)
at m ov
Как и прежде, предположим, что ионы тяжелые и неподвижные,
а волны являются плоскими и распространяются вдоль оси х:
/х ~ exp [i (b— ©*)]• G-46)
При этом уравнение G.45) принимает вид
-\<*h + ihuxh= ^Ex^, G.47)
т
ieEx
dfo
dvx
dfoldvx
f _ lCUX VlQlVVX /J дач
tn со — kvx

7.4. Плазменные колебания и затухание Ландау 231
Уравнение Пуассона дает
80у • Ех != i ks0Ex =—епг^=—e\<\\f1(Pv. G.49)
Подставляя сюда выражение G.48) для fx и сокращая на ike0Ex,
получаем
dfo/dvx
1 =
SW-^r*- <7-50>
/гте0
Множитель /г0 можно факторизовать, если заменить /0
нормированной функцией /0:
рОО ОО ООо/ \ ; -,
1=4(^^1 °{°" \"ж)' '*>,. G.5!)
k J J J @ — ЯУ*
ОО ОО ОО
Если /0 является распределением Максвелла или другой фактори-
зуемой функцией, то интегрирование по v2 и иу легко выполняется
и остается одномерное распределение/0 (vx). Например, одномерное
распределение Максвелла имеет вид
?т (vx) = (т/2лКТ)шехр {—пк&/2КТ). G.52)
Следовательно, дисперсионное уравнение запишется в виде
, wp Г d7o(vx)/dvx
k2 J vx—{(a Ik)
dvx. G.53)
Поскольку мы имеем здесь дело с одномерной задачей, можно
опустить индекс х; при этом следует быть внимательным и не путать v
(которое есть на самом деле vx) с полной скоростью v,
используемой выше:
1
шо Г д?о/ди
р
SOT п OV
—^ dv. G.54)
Под /0 здесь понимается одномерная функция распределения,
причем мы считаем, что интегрирование по vy и vz выполнено.
Соотношение G.54) справедливо для любой равновесной функции
распределения /0 (v); в частности, если /0 максвелловская, то следует
использовать выражение G.52).
Интеграл в G.54) нельзя вычислить непосредственно, поскольку
при v = a>/k имеется сингулярность. Эта сингулярность, однако,
не дает повода для беспокойства, поскольку на практике со почти
никогда не бывает вещественной; обычно волны слабо затухают
вследствие столкновений или усиливаются благодаря некоторому
механизму неустойчивости. Поскольку скорость v является
вещественной, знаменатель в G.54) никогда не обращается в нуль.

232
Гл. 7. Кинетическая теория
Im (v)
Re (и)
Im(u)
Рис. 7.14. Контуры интегрирования в задаче Ландау при Im (со) >0 (а) и
Im (со) <0 (б).
Первым, кто правильно исследовал это уравнение, был Ландау.
Он обнаружил, что даже если сингулярность лежит вне пути
интегрирования, ее наличие приводит к существенному изменению
дисперсионного уравнения плазменных волн — этот эффект не
предсказывается гидродинамической теорией.
Рассмотрим начальную задачу, когда задано синусоидальное
возмущение плазмы и, следовательно, величина k вещественна.
Если возмущение нарастает или затухает, то частота со будет
комплексной. Интеграл в G.54) следует рассматривать как
контурный интеграл в комплексной ^-плоскости. Возможные контуры
интегрирования показаны на рис. 7.14 для неустойчивой волны
с Im (co);>0 и для затухающей волны с Im(co)<;0. Обычно
интеграл вдоль вещественной оси v вычисляют с помощью теоремы
вычетов:
$Gdu + $Gdv = 2n[R((u/k),
Ci С2
G.55>
где G — подынтегральное выражение, Сг — путь вдоль
вещественной оси, С2 — полуокружность с радиусом, стремящимся к
бесконечности, a R (со/А) — вычет при v — со/А. Такое вычисление
справедливо, если интеграл по пути С2 обращается в нуль. К
сожалению, это не имеет места в случае максвелловского
распределения, которое содержит множитель
ехр(— и2/и?епл)-
Этот множитель становится большим при v-^ + i oo, и вкладом
от С2 нельзя пренебречь. Ландау показал, что если задача
рассматривается последовательно как начальная задача, то правильный
контур интегрирования следует выбрать так, чтобы кривая Сг
проходила ниже сингулярности. В общем случае этот интеграл
приходится вычислять численно. Фрид и Конте составили таблицы
численных значений этого интеграла для случая, когда функция /0
является максвелловской.

7.4. Плазменные колебания и затухание Ландау
233
Im(v)
со/к Re (и)
Рис. 7.15. Контур интегрирования
в комплексной плоскости v для
случая малых Im (со).
fo(v)
Рис. 7.16. Нормированное максвел-
ловское распределение для случая,
когда иф > vjenn.
Несмотря на то что точное рассмотрение этой задачи сложно,
можно получить приближенное дисперсионное уравнение для
случая больших фазовых скоростей и слабого затухания. В этом
случае полюс при ы/k находится вблизи вещественной оси v (рис. 7.15).
При этом контур интегрирования, предписанный Ландау, состоит
из прямой линии вдоль оси Re (v) и из небольшой полуокружности
вокруг полюса. Обход вокруг полюса дает величину, равную
произведению 2ni на половину вычета в этой точке. Таким образом,
уравнение G.54) принимает вид
1 =
р
k2
\~
df0ldv
(<o/k)
dv-\-\n
df{
dv
v=a/k
G.56)
где Р означает, что интеграл вычисляется в смысле главного
значения Коши. Чтобы вычислить это выражение, начнем
интегрирование вдоль вещественной оси и остановимся перед самым полюсом.
Если фазовая скорость уф = со/& достаточно велика, как мы и
предполагаем, то вклад от пренебрегаемой части контура будет мал,
поскольку как /0, так и dfjdv на нем очень малы (рис. 7.16).
Интеграл в выражении G.56) можно вычислить интегрированием по
частям:
dh
dv
dv v — Оф
h Т _ Г -fodv _ Г Го dv
V ~ 4 J-oc J (V - УфJ ) (V - V<bf
G.57)
Поскольку последнее выражение равно среднему от (v— v^)~2 no
функции распределения, вещественную часть дисперсионного
уравнения можно записать в виде
1 = (®2/*2)A>-1,фГ2.
G.58)

234 Гл. 7. Кинетическая теория
Мы предположили, что ^ф ^> v, поэтому величину (v—v$)~2 можно
разложить следующим образом:
. ._2 -2/, V \-2 2/, , 2D . ЗУ2 , 4v3 . \
(и—иф) =с/ф f 1 | =Оф[1 + +— — + -—+ • • • Ь
V *ъ) \ % 4 4 /
G.59)
При усреднении нечетные члены обращаются в нуль, и мы имеем
(и-иФГ2жиф2(\ + -~-) . G.60)
Вычислим v1 при условии, что функция/0 является максвелловской.
Вспоминая, что v на самом деле есть vx, мы можем записать
~-m7x^-±-KTei G.61)
при условии что рассматривается только одна степень свободы.
При этом дисперсионное уравнение G.58) принимает вид
1=-^^т-|1 + 3-^^-). G-62)
G.63)
со" т
Если тепловая поправка мала, то во втором члене со2 можно
заменить на сор, и мы имеем
со2 =D + -^-/г2- G.64)
т
Это соотношение совпадает с дисперсионным уравнением D.30),
полученным из гидродинамических уравнений при у = 3.
Теперь вернемся к мнимому члену в соотношении G.56). При
вычислении этого члена можно с достаточной точностью пренебречь
тепловой поправкой к вещественной части со и положить со2 т сор.
Из соотношений G.57) и G.60) мы видим, что главная часть
интеграла в G.56) приблизительно равна k2/a>2. Дисперсионное
уравнение G.56) при этом принимает вид
ч2
«*
k2
2
@ =
*2 (i+з *2 КТ'
со2 V со3 от
9 со2 3/СГ,
-<4+—л -&■
1= —-*- +1л
до
G.65)
"Ф
"O-'-^-t-f-I-J-!- G66)
Считая мнимые члены малыми, их можно перенести в правую часть
и взять квадратный корень, используя разложение в ряд Тейлора.

7.5. Физический смысл затухания Ландау
235
В результате мы имеем следующее дисперсионное уравнение:
G.67)
Если /0 — одномерное максвелловское распределение, то можно
написать
дТа /'„..г \—1/2 / 2d
= Мепл) 1/2( / \expf-~j \ =
\ утепл / \ ^'тепл /
( т—\ G-68)
V утепл /
до
2V
л/nv
3
тепл
Здесь можно заменить приближенно v§ на сор/&, но в экспоненте
необходимо учесть тепловую поправку, включенную в G.64). При
этом затухание определяется выражениями
(О- 2@,
Im (со) = ^ ^ ехр
k уп &Тепл
v^fcJexp(-^r)exp(-^)
G.69)
Up J l Чепл J 4 2^2D )
Поскольку Im (со) отрицательна, существует бесстолкновительное
затухание плазменных волн; оно называется затуханием Ландау.
Из уравнения G.70) очевидно., что при малых kXD затухание
чрезвычайно мало, но при kXr> — 0A) оно становится существенным.
Этот эффект связан с fx, т. е. с возмущением функции
распределения, вызываемым волной.
7.5. Физический смысл затухания Ландау
Теоретическое открытие затухания волн в отсутствие столкнови-
тельной диссипации энергии явилось, возможно, наиболее
выдающимся результатом исследований в области физики плазмы. То, что
этот эффект вполне реален, было продемонстрировано
лабораторными исследованиями. Хотя в настоящее время имеется простое
физическое объяснение затухания Ландау, этот неожиданный
эффект был первоначально обнаружен чисто математически, а именно
в результате анализа контурного интеграла, что явилось
подлинным триумфом прикладной математики. Затухание Ландау харак-

236
Гл. 7. Кинетическая теория
Частица Волна,
получает получает
энергию энергию
Рис. 7.17. Физическая модель, иллюстрирующая затухание Ландау.
терно для бесстолкновительной плазмы, но оно имеет приложение
и в других областях. Например, при кинетическом рассмотрении
образования галактик звезды можно считать как бы атомами
плазмы, взаимодействующими через гравитационные силы, а не
посредством электромагнитных сил. Неустойчивости в газе звезд
могут вызвать образование спиральных рукавов галактик, но этот
процесс лимитируется затуханием Ландау.
Чтобы понять, чем обусловлено затухание Ландау, заметим
сначала, что Im (со) определяется полюсом при v = v$.
Следовательно, эффект вызван теми частицами, которые имеют скорости,
почти равные фазовой скорости волны, т. е. «резонансными
частицами». Эти частицы движутся вместе с волной и не видят быстро
флуктуирующего электрического поля; следовательно, они могут
эффективно обмениваться энергией с волной. Простейший способ
понять этот обмен энергией — это представить спортсмена,
занимающегося серфингом, который пытается оседлать океанскую
волну (рис. 7.17). [Предупреждаем, что эта картина служит лишь
для того, чтобы направить наши мысли в нужную сторону;
правильного объяснения уравнения G.70) она не дает.] Если доска стоит
на месте, то при прохождении волны она только болтается вверх-
вниз и в среднем не приобретает никакой энергии. Аналогично
доска, движущаяся много быстрее волны, не может получить
сколько-нибудь заметную энергию от волны. Однако если доска
имеет почти ту же скорость, что и волна, она может быть
подхвачена и унесена волной; именно это и есть главная цель спортсмена.
В этом случае доска приобретает энергию и, следовательно, волна
должна терять энергию и затухать. С другой стороны, если бы доска
двигалась чуточку быстрее волны, она подталкивала бы волну,
взбираясь на нее; тогда волна приобретала бы энергию. В плазме
одни электроны движутся быстрее, другие медленнее, чем волна.
Однако если распределение максвелловское, то медленных электро-

7.5. Физический смысл затухания Ландау
237
нов больше, чем быстрых (рис. 7.18). Следовательно, большее число
частиц отбирает энергию от волны, чем отдает ей, и волна затухает.
Как только частицы с v « v$ захватятся волной, распределение
/ (v) становится плоским вблизи фазовой скорости. Это искажение
есть не что иное, как возмущение ft (v), которое мы вычислили.
Как видно на рис. 7.18, возмущенная функция распределения
содержит то же число частиц, но их общая энергия стала больше (за
счет энергии волны).
Исходя из проведенного обсуждения, можно прийти к
заключению, что если /0 (и) содержит больше быстрых частиц, чем
медленных, то возможна генерация волны. Действительно, из
соотношения G.67) очевидно, что Im (со) положительна, если
положительна производная dfjdv при v = Оф. Такая функция
распределения показана на рис. 7.19. Волны с v$ в области положительнога
градиента функции /0 становятся неустойчивыми, поскольку они
получили энергию за счет частиц. Этот процесс аналогичен двухпо-
токовой неустойчивости, но только при наличии конечной
температуры. Если рассматривать два холодных (К.Т = 0) электронных
потока в движении, то /0 (v) будет состоять из двух б-функций.
В этом случае мы имеем неустойчивость, поскольку величина
dfjdv является бесконечной; в самом деле, гидродинамическая
теория в этом случае предсказывает неустойчивость. Если потоки
имеют конечную температуру, то, согласно кинетической теории,
относительные плотности и температуры двух потоков должны быть
такими, чтобы между ними имелась область положительной
величины dfjdv; точнее говоря, в случае неустойчивости полная
функция распределения должна иметь минимум.
Физическая модель, в которой рассматривается спортсмен,
пытающийся оседлать волну, очень привлекательна, но она
недостаточно точна, чтобы дать нам действительное понимание затухания
Ландау. Фактически существуют два вида затухания Ландау:
линейное и нелинейное. Оба этих затухания не зависят от
механизмов столкновительной диссоциации. Если частица оказывается
ы*>)
Рис. 7.18. Искажение максвеллов-
ского распределения в окрестности
v « "Оф , вызванное затуханием
Ландау.
Рис. 7.19. Двугорбое распределение
и область, в которой будет
развиваться неустойчивость.

238
Гл. 7. Кинетическая теория
пойманной в потенциальной яме волны, то это явление называется
«захватом». Как и в примере с серфингом, захваченные частицы
могут приобретать или терять энергию. Однако сам процесс захвата
нельзя описать с помощью линейной теории. То, что это так, можно
увидеть из уравнения движения
md2x/dt*^qE(x). G.71)
Если вычислять Е (х), подставляя точное значение х, то уравнение
будет нелинейным, поскольку Е (х) ведет себя примерно как
sin kx. В линейной теории х представляет собой невозмущенную
орбиту, т. е. х = х0 + v0t. При этом уравнение G.71) является
линейным. Однако приближение становится несправедливым, когда
частица захватывается. Когда частица встречает потенциальный
горб, достаточно высокий, чтобы отразить ее, то на ее скорость и
положение оказывает сильное влияние волна, так что эти величины
значительно отличаются от их невозмущенных значений. В
гидродинамической теории уравнение движения имеет вид
т[~~- +(v-V)v] =qE(x). ,G.72)
Здесь Е(х) должно быть вычислено в лабораторной системе
координат, что нетрудно выполнить; однако здесь имеется член (v-v) v.
Пренебрежение членом (v^v) vx в линейной теории означает то
же, что и использование невозмущенных орбит. В кинетической
теории нелинейный члан, который не учитывается в уравнении
•{7.45), имеет вид
Если частицы захватываются, то направление их движения
относительно волны становится обратным, так что функция распределения
/(и) сильно искажается вблизи v = a/k. Это означает, что dfjdv
становится сравнимым с dfjdv и величиной G.73) нельзя
пренебрегать. Следовательно, в рамках линейной теории захват описать
нельзя.
Когда волна нарастает до большой амплитуды, происходит ее
бесстолкновительное затухание, связанное с захватом. При этом
волна не затухает монотонно; наоборот, ее амплитуда флуктуирует
в процессе затухания, в то время как захваченные частицы скачут
взад-вперед в потенциальных ямах. Это и есть нелинейное
затухание Ландау. Поскольку результирующее соотношение G.67)
выведено из линейной теории, оно должно быть связано с другим
физическим механизмом. В связи с этим возникает вопрос: могут ли
незахваченные электроны, движущиеся со скоростью, близкой
к фазовой скорости волны, обмениваться с ней энергией? Прежде
чем ответить на этот вопрос, рассмотрим энергию таких электронов.

7.5. Физический смысл затухания Ландау
239
7.5.1. Кинетическая энергия пучка электронов
Мы можем представить распределение электронов /0 (v) в виде
большого числа моноэнергетических пучков (рис. 7.20). Рассмотрим
один из таких пучков: пусть он имеет невозмущенную скорость и
и плотность пи. Скорость и может быть близка к Вф, так что этот
пучок может состоять из резонансных электронов. Введем теперь
плазменные колебания Е {х, t) и рассмотрим кинетическую энергию
пучка по мере того, как он проходит через гребни и ямы потенциала
волны. Волна определяется самосогласованным движением сразу
всех пучков. Если плотность пи достаточно мала (число пучков
достаточно велико), то рассматриваемый пучок оказывает
пренебрежимо малое воздействие на волну и может быть рассмотрен как.
движущийся в данном поле Е (х, t). Предположим, что
Е = £0 sin (kx— ©0 = —dj>ldx, G.74}
ф = (EJk) co^kx—at). G.75)
Линеаризованное гидродинамическое уравнение для пучка
запишется следующим образом:
m(J°±- +и-2?±Л = -eE0sin(kc-orf). G.76)
\ dt дх )
Его возможное решение имеет
вид
е£0 cos (kx — cut)
Vx == — .
m со — ku
G.77)
о
Рис. 7.20. Разбиение распределения
/0 (v) на большое число
моноэнергетических пучков, имеющих скорость
и и плотность пи.
Рис. 7.21. Фазовые соотношения для
скорости и плотности электронов,
движущихся в электростатической,
волне.
fo(v)
kx-wt

240
Гл. 7. Кинетическая теория
Это выражение определяет модуляцию скорости электронов пучка
волной, когда пучок проходит вблизи волны. Сохранение потока
частиц требует существования соответствующих колебаний
плотности, которые описываются линеаризованным уравнением
непрерывности:
J^+uJZL^-n^. G.78)
dt дх дх v ;
Так как иг пропорционально cos (kx—(at), можно положить пх =
= ^cos (kx—(at). Подставляя это выражение в уравнение G.78),
получаем
eE0k cos (kx — at) . 7Q
m (со — kuJ
Смысл выражений G.77) и G.79) иллюстрируется рис. 7.21.
Первые две кривые показывают на одной длине волны поле Е и
потенциал —еф, как их «видят» электроны пучка. Третья кривая
построена в соответствии с выражением G.77) для случая со—ku <;0,
или и ;> Уф. Ее поведение нетрудно объяснить: когда электрон а
взбирается на потенциальный горб, его скорость мала, и наоборот.
Четвертая кривая описывает поведение vx для случая и <С v$\ мы
видим, что знак величины vx обращен. Это обусловлено тем, что
электрон Ь, движущийся налево в системе отсчета волны,
замедляется по пути к вершине потенциального барьера; но поскольку
он движется в противоположном направлении, его скорость ut
в положительном направлении оси х в этом месте максимальна.
Последняя кривая на рис. 7.21 демонстрирует поведение
плотности пг, определяемой выражением G.79). Она не меняет свой знак
вместе с и— v$, поскольку в системе отсчета волны как электрон а,
так и электрон Ь на вершине потенциального барьера имеют
наименьшую скорость, и, следовательно, плотность в этом месте
наибольшая. Это объясняется тем, что относительная фаза между пг
и vt меняет свой знак вместе с и— v$.
Теперь можно вычислить кинетическую энергию Wh пучка:
Wk= ~^-m(nu^rn1)(u + v1J =
= — m{nuu2 + nuv\ + 2uniV1 + nxu2 + 2nuuv1-\-nlv2i). G.80)
Последние три члена содержат нечетные степени осциллирующих
величин, и, следовательно, при усреднении по длине волны они
обратятся в нуль. Изменение величины Wk за счет энергии волны
можно получить, если вычесть первый член, который представляет
собой начальную энергию. При этом среднее изменение энергии
дается выражением
^Wk) = — m(nuvi + 2unlv1). G.81)

7.5. Физический смысл затухания Ландау
241
Из выражения G.77) имеем
1
па <»?> = — пи ° ; G.82)
2 /n2(co — kuf
здесь множитель 1/2 представляет собой (cos2 (kx—со7)). Аналогично
из выражения G.79) находим
e2E2ku
2и (вд> = пи ° . G.83)
т2 (со — даK
Следовательно,
1 е2Е\ Г 2&« I
4 ; 4 /л2 (со - £«J L со - ku J
(со — fewJ
?2£д со + ku
т (со — &«K
G.84)
Это выражение показывает, что (AWk) зависит от системы отсчета,
в которой находится наблюдатель, и не меняется со временем. Для
пояснения рассмотрим брусок, скользящий без трения по
поверхности тела, напоминающего стиральную доску (рис. 7.22). Из
выражения G.84) при со = 0 мы видим, что в системе отсчета,
связанной с доской, (AWk) ~— (ku)~2. Интуитивно ясно, что 1) величина
(AWh) отрицательна, поскольку брусок проводит больше времени
на вершинах, чем в долинах, и 2) после того как брусок начал
двигаться, его энергия в среднем сохраняется постоянной. Если
теперь перейти в систему отсчета, в которой стиральная доска
движется с постоянной скоростью со/& (на скорость перемещения доски
движение бруска не влияет, поскольку мы предположили, что
плотность пи пренебрежимо мала по сравнению с плотностью всей
плазмы), то по-прежнему ясно, что брусок в среднем не теряет и не
приобретает энергии. Однако из формулы G.84) следует, что (AWk)
зависит от скорости со/& и, следовательно, от системы отсчета, в
которой находится наблюдатель. В частности, мы видим, что при
наличии волны энергия пучка меньше, чем без нее, если со—ku <[0,
т. е. и >• v$, или больше, чем без нее, если со—ku >0, т. е. и <С v$.
Почему так происходит, можно понять из фазового соотношения
между пх и vx. Из рис. 7.23 ясно, что Wk является квадратичной
функцией скорости v. Когда v колеблется между значениями
и—\vx\ и u + \vx\, среднее значение энергии Wk будет больше
ш/к
Рис. 7.22. Механическая аналогия для электрона, перемещающегося
относительно движущегося распределения потенциала.

242 Гл. 7. Кинетическая теория
Щ I
Що
U-Щ U. U+\Vj\ V
Рис. 7.23. Квадратичная зависимость кинетической энергии от скорости
приводит к тому, что симметричное возмущение скорости вызывает увеличение-
средней энергии.
равновесного значения Wk0, при условии что частица затрачивает
одинаковое время на каждую половину колебания. Этим и
объясняется наличие первого члена в выражении G.81), которое
представляет собой положительно определенную величину. Второй член
в этом выражении является поправкой, учитывающей то
обстоятельство, что частицы неодинаково распределяют свое время. Из
рис. 7.21 можно видеть, что как электрон а, так и электрон Ъ
проводят больше времени на вершине потенциального горба, чем
в яме, но электрон а достигает этой точки после периода торможения,
так что величина vx здесь отрицательна, в то время как электрон b
оказывается в этой точке после периода ускорения (направо), и
здесь v! положительна. Благодаря этому изменяется знак величины
(AWk) при и = v$.
7.5.2. Влияние начальных условий
Результат, к которому мы только что пришли, по-прежнему не
имеет никакого отношения к линейному затуханию Ландау.
Затухание требует постоянного увеличения Wk за счет энергии волны,
а мы нашли, что для незахваченной частицы средняя энергия
(AWk) не меняется во времени. Если линейное затухание Ландау
не определяется ни захваченными, ни незахваченными частицами,
то чем же тогда? Ответ можно получить с помощью следующего^
наблюдения: если, скажем, величина (AWk) положительна, то,
наверное, было время, в течение которого она увеличивалась.
Действительно, в первоначальном распределении имеются частицы,
скорости которых столь близки к иф, что к моменту времени t они
еще не успевают пройти половину длины волны относительно*
волны. Для них нельзя вычислять среднее значение (AWfe). Эти
частицы могут поглощать энергию волны и обоснованно называются
«резонансными». Стечением времени число резонансных электронов
уменьшается, поскольку все большее их число будет смещаться

7.5. Физический смысл затухания Ландау
243
более чем на A/2) к от своего первоначального положения. Однако
скорость затухания может оставаться постоянной, так как теперь
амплитуда волны меньше и требуется меньшее число электронов
для поддержания постоянной скорости затухания.
Влияние начальных условий наиболее просто понять с помощью
фазовой диаграммы (рис. 7.24). На этом рисунке изображены
траектории электронов в фазовом пространстве, а также
электростатический потенциал —e<j>lf в котором они находятся. Мы
предположили, что этот электростатический потенциал существует,
начиная с t = 0, и что распределение /0 (v), которое на рисунке
помещено в плоскости, перпендикулярной листу бумаги, является
однородным в пространстве и монотонно уменьшается с \v\ в
начальный момент времени. Для ясности, размер волны на рисунке
сильно увеличен. Разумеется, наличие волны предполагает
существование возмущения f± (v) при t — 0. Однако обусловленное
этим затухание есть эффект более высокого порядка и не
учитывается в линейной теории. Перейдем теперь в систему отсчета,
Рис. 7.24. Траектории электронов в фазовом пространстве (вверху) для
случая частиц, движущихся в потенциале волны (распределение потенциала
показано внизу). Стрелки указывают направление движения электронов
относительно волны. Слева в плоскости, перпендикулярной листу бумаги,
отложена равновесная функция распределения.

244
Гл. 7. Кинетическая теория
связанную с волной, так что картина на рис. 7.24 оказывается
неподвижной, и рассмотрим движение электронов. Электроны,
расположенные вначале в точке А, начинают двигаться от вершины
потенциала направо, поскольку их скорость v > v$. Электроны,
находящиеся первоначально в точке В, движутся налево, так как
их скорость v < Уф. Те же электроны, что находились в точках С
и D, начинают двигаться от дна потенциальной ямы и перемещаются
соответственно направо и налево. Энергия электронов, находящихся
на замкнутых контурах Е, недостаточна, чтобы преодолеть
потенциальный барьер, и они оказываются запертыми. В пределе малой
начальной амплитуды волны число захваченных электронов может
быть произвольно малым. После некоторого времени t, достаточно
короткого, чтобы ни один из электронов, находящихся в точках Л,
В, С или D, не прошел более чем половину длины волны, электроны
переместятся в положения, обозначенные маленькими кружочками.
Видно, что электроны, находившиеся в точках Л и D, приобрели
энергию, а в точках В и С потеряли. Если распределение /0 (v)
яыло вначале однородным в пространстве, то в Л сначала было
больше электронов, чем в С, а в D больше, чем в В. Следовательно,
энергия у электронов возрастает, а у волны теряется. Это и есть
линейное затухание Ландау, которое критическим образом зависит
от начальных условий. Спустя некоторое время электроны
настолько размешаются по фазам, что начальное распределение
забудется, и в полном согласии с результатом, полученным в
предыдущем разделе, энергия частиц в среднем возрастать не будет.
В этом представлении энергия как электронов с v > v$, так и
электронов с и<Уф при усреднении по длине волны будет
увеличиваться за счет волны. Это кажущееся противоречие с моделью
серфинга мы разрешим ниже.
7.6. Физический вывод затухания Ландау
Теперь мы в состоянии вывести формулу для декремента
затухания Ландау без использования контурного интегрирования. Как
и прежде, разделим плазму на пучки со скоростями и и
плотностями пи и будем исследовать их движение в волне
£ = £1sin(fcc—(ot). [G.85)
Из выражения G.77) следует, что скорость каждого пучка равна
т (о — ы
Это решение удовлетворяет уравнению движения G.76), но не
удовлетворяет начальному условию vх = 0 при t = 0. Ясно, что это
условие должно быть наложено обязательно, иначе в окрестности
и = со/& v1 будет очень велико и плазма будет находиться в специ-

7.6. Физический вывод затухания Ландау
245
ально приготовленном начальном состоянии. Добавляя
произвольную функцию величины kx—kut, выражение G.86) можно
подправить так, чтобы оно удовлетворяло начальному условию.
Результирующее выражение по-прежнему будет удовлетворять
уравнению G.76), поскольку оператор в левой части выражения G.76),
действуя на произвольную функцию / {kx—kut), дает нуль. Для
того чтобы получить v1 = 0 при t = 0, функция / {kx—kut) должна
быть выбрана в виде —cos {kx—kut). Таким образом, вместо
выражения G.86) мы имеем
__ —еЕг cos (kx— со/)— cos (kx— kut) /7 ft7\
m со — ku
Затем нужно найти пг, решая уравнение непрерывности G.78)
при начальном условии пх = 0 при t — 0. Поскольку мы стали
теперь умнее, попробуем искать решение в виде
пх= nx[zos(kx—at) — cos(&x—kut)]. G.88)
Подставляя это выражение в G.78) и используя формулу G.87)
для vlt находим
— • /и 4\ eExk s\n(kx—(at)— sin (kx — kut)
nism(#x—m)~ —nu—- - - —.
m (со — kuf
G.89)
По-видимому, мы были недостаточно умны, так как множитель
sin {kx—(at) не сократился. Для того чтобы получить член вида
sin {kx—kut), который возникает из-за добавленного к v± члена,
к п1 можно добавить член вида At sin {kx—kut). Этот член,
очевидно, обращается в нуль при t = 0, а при действии на него
оператора, стоящего в левой части уравнения G.78), мы будем иметь
sin {kx—kut). Этот же оператор, действуя на sin {kx—kut), дает
нуль. Коэффициент Л должен быть пропорционален величине
(со—ku)~x, чтобы производная dvjdx имела этот же коэффициент.
Таким образом, мы имеем
лх— —пи [cos(&a:—со/)—cos(&x—kut)—
m (со — kuf
— (®—ku)t sin (kx—kut)]. G.90)
Мы видим, что при t = 0 это выражение обращается в нуль, и
нетрудно проверить, что оно удовлетворяет уравнению G.78).
Записанные выше выражения для vx и пг позволяют вычислить
работу, производимую волной над каждым пучком. Сила,
действующая на единичный объем каждого пучка, дается выражением
Fu~ —eEtsm{kx — mt) (яц + пх); G.91)

246 Гл. 7. Кинетическая теория
следовательно, скорость изменения энергии этого объема можно
записать в виде
^— =Fu(u + v1)= —eE1s'm{kx—ii)t)(nuu + nuv1 + n1u + n1v1).
dt
G.92)
Вычислим теперь среднее этой величины по длине волны. Первый
член исчезает, поскольку произведение пии = const. Четвертым
членом можно пренебречь, как числом второго порядка малости,
причем можно показать, что в любом случае среднее от него по
времени равно нулю. Второй и третий члены можно вычислить с
помощью выражений G.87) и G.90), используя выражения
(sin (foe—G)t)cos{kx—kut))= sin((o^ — kut),
G.93)
(sin (foe—cat) sin(fo£—kut))~ cos(a)t—kut).
Нетрудно показать, что среднее значение скорости изменения
энергии дается выражением
dW \ е2Е\ Г sin (at —kut)
dt J,, 2m L со — ku
4
+
, s'm((at — kut) — (со — ku) t cos (tot — kut)  /7 сш
_[_ U _____ j.
Следует заметить, что в процессе усреднения уцелели лишь члены,
определяемые начальными условиями.
Полную работу, производимую над частицами, получаем
суммированием по всем пучкам:
_/__Л _.Г__./__Л = п,Г_<_/__\ _. G.95,
Z_j\ dt I и J пи \ dt /и J "к \ dt /и
и
Подставляя сюда выражение G.94) и используя определение
величины сор, находим скорость изменения кинетической энергии:
dWh \ гпЕ
dt 2
2 Г Г ~ sin (со* — kut)
ОМ 2
) —duAr
со — ku
S~ sin (со*— kut) — (со — ku) t cos (со*— kut) 1
0 (u) Ь _—_ _ _ L kudu\= G.96
4 (со — kuf . J
00
1 -2 2 С Г / ч i ( sin (со*— kut) , d Г sin (at — kut) 1)
2 J I, to — ku
du L со — ku })
G.97)

7.6. Физический вывод затухания Ландау 247
i-e0£f«= jj Г. <«) du -L- [и ""j^-*1"» ] ■ G.98)
—сю
Это выражение следует положить равным скорости потери
плотности энергии волны Ww. Энергия волны состоит из двух частей.
Первая — это энергия электростатического поля с плотностью
(WE) = е0 (Е2)/2 = е0£?/4. G.99)
Вторая часть представляет собой энергию колебаний частиц в волне.
Если снова разделить плазму на пучки, то выражение G.84) дает
энергию одного пучка:
<АГ*>В = -1 и— ±-\ 1 + ~ • G.100)
4 m (со — kuy L со — to J
При выводе этой формулы мы не использовали истинные начальные
условия, которые существенны только для резонансных частиц;
однако последние дают очень небольшой вклад в полную энергию
волны. Суммируя по пучкам, имеем
„2гг2
{AWk) = J-^L [ -M^.\l + -^LJ\du.\ G.101)
4 т J (со — kuJ L со — ku J
—ею
Здесь вторым слагаемым в квадратных скобках можно пренебречь
в пределе (o/k > иТепл, который мы используем, чтобы провести
сравнение с нашими предыдущими результатами. Дисперсионное
уравнение мы получим, используя уравнение Пуассона:
kE0E1cos(kx—wt) =—ej]«i- G.102)
Из формулы G.79) для пх имеем
оо
Znu _ е2 Г /о (и) du # .у 10д.
(со—kuJ e0m J (со — kuJ
е0т
и —оо
Сравнивая это соотношение с G.101), находим
(AWk) = -] 1- -V = -~ = We)- G- Ю4)
4 т е2 4
Таким образом,
Ww = e0E2i/2. G.105)
Скорость изменения энергии Ww дается выражением G.98), взятым
с отрицательным знаком:
dWw w/ 2 Г г, ч d Г sin (со — ku) t
dt
,* г />)-J-L ""("-^"U. G.Ю6)
J du L (o — ku J

248
Гл. 7. Кинетическая теория
Интегрирование по частям дает
dW,
dt
w/ 2 Г ? / \ sin (со — ku) t ~\°°
= — Wwd)p uf0 (U) - —!■— —
L © — kU J—oo
oo
Sd/o sin (со — ku) t
и
du со — ku
В случае регулярной функции /0 (и) проинтегрированная часть
равна нулю, и мы имеем
dWw „„ со
dt
- W » „J Г /„ (и, Г ""(—*»)'] а,, G.107)
& J L (O — kU J
Таким образом,
dW
dt
где и положено равным (o/k (постоянной), поскольку в интеграл
дают вклад только скорости, очень близкие к этой величине.
Действительно, при больших t квадратную скобку в G.107) можно
приближенно заменить дельта-функцией
б(гц--д.Л=-А-НтГ sin(«o-h0f I G.i08)
)М,
9 л со ~,/ со \ со^^г/соЛ
= Vrf— — fol-y) = W^»-J- Л, (-j .
G.109)
Поскольку Im со — это скорость нарастания (инкремент) величины
Ег, а энергия Ww пропорциональна Ё\, мы имеем
dWjdt = 2 [Im (©)] Ww. G.110)
Следовательно,
Im (со) = (я/2) (о (cdpV)/o (ю//г), G.111)
что при со = сор согласуется с полученным ранее выражением G.67).
7.6.1. Резонансные частицы
Теперь мы можем точно определить, какие частицы являются
резонансными, т. е. какие частицы дают вклад в линейное затухание
Ландау. На рис. 7.25 показана функции /0 (и), которая в G.107)
стоит множителем в подынтегральном выражении. Мы видим, что
наибольший вклад дают частицы, у которых | со—ku \ <C nit, или
! v—£>ф| <CnIk = Я/2; иными словами, это те частицы в начальном
распределении, которые не успели пройти половину длины волны

7.6. Физический вывод затухания Ландау
249
относительно волны. Как и ожидалось, ширина центрального
максимума с течением времени уменьшается. Дополнительные
максимумы в «дифракционной картине» на рис. 7.25 обусловливаются
теми частицами, которые прошли приблизительно одну половину
длины волны. Поскольку у этих частиц быстро нарастает разброс
по фазе, их вклад в среднем оказывается малым; начальное
распределение забывается. Заметим, что ширина центрального пика не
зависит от начальной амплитуды волны; следовательно, в группу
резонансных частиц могут входить как захваченные, так и незах-
ваченные частицы. Это явление не связано с захватом частиц.
7.6.2. Разрешение двух парадоксов
На рис. 7.25 видно, что подынтегральное выражение в уравнении
G.107) является четной функцией переменной со—ku\ это означает,
что в затухание Ландау дают вклад как частицы, движущиеся
быстрее волны, так и частицы, движущиеся медленнее волны. Именно
так и происходит согласно физической картине, представленной на
рис. 7.24. Однако наклон кривой на рис. 7.25, который входит
сомножителем в подынтегральное выражение в G.106), представляет
собой нечетную функцию переменной со—ku; это означает, что
частицы, движущиеся быстрее волны, отдают ей энергию, в то время
как частицы, движущиеся медленнее волны, отбирают от нее
энергию. Оба этих случая отличаются способом интегрирования
по частям. Рассмотрение в обоих случаях является правильным;
которое из них должно быть выбрано, зависит от того, что мы
хотим иметь под интегралом: /0 (и) или/0 (и).
Другой парадокс связан с галилеевской инвариантностью. Если
встать на точку зрения, что для затухания число частиц,
движущихся быстрее волны, должно быть меньше, чем более медленных
частиц, то до тех пор, пока мы находимся в системе отсчета, в
которой плазма покоится, никаких проблем не возникает. Однако
со-Ы
Рис. 7.25. Функция, определяющая
относительный вклад частиц с
различными скоростями в затухание
Ландау.
Рис. 7.26. Максвелловское
распределение, в котором с точки зрения
движущейся системы отсчета может
быть область, приводящая к
неустойчивости.

250
Гл. 7. Кинетическая теория
если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью V
(рис. 7.26), то частиц, движущихся быстрее волны, окажется
больше, чем тех, которые движутся медленнее ее, и волна на
первый взгляд будет не затухать, а нарастать. Этот парадокс снимается,
если в выражении G.100) восстановить второй член, которым мы
пренебрегли. Как показано в разд. 7.5.1, наличие этого члена
может привести к тому, что величина (AWk) станет отрицательной.
Действительно, в системе отсчета на рис. 7.26 второй член в
выражении G.100) не является пренебрежимо малым, величина (AWh)
отрицательна и волна, по-видимому, имеет отрицательную энергию
(т. е. в невозмущенном распределении Максвелла с дрейфом
заключено больше энергии, чем в том же распределении в присутствии
волны). И хотя волна «нарастает», добавление энергии к такой волне
с отрицательной энергией уменьшает ее амплитуду.
7.7. БГК-моды и моды ван Кампена
Мы видели, что затухание Ландау связано непосредственно с
требованием, чтобы начальное распределение /0 (v) было однородным
в пространстве. Однако если с самого начала f (v, t — 0) сделать
постоянной вдоль траекторий частиц, то можно создать
незатухающие электронные волны. Как нетрудно видеть из рис. 7.24, если
плазма приготовлена таким образом, что вдоль каждой траектории
плотность постоянна, частицы в среднем не приобретают и не
теряют энергии. Соответствующая волна называется БГК-модой
в честь Бернштейна, Грина и Крускала, которые первыми показали,
что возможно существование незатухающих волн с произвольными
(о, k, амплитудой и профилем. Образование БГК-моды
определяется относительным числом захваченных и незахваченных
частиц, представляющим собой критический параметр при
конструировании / (v, t = 0). В пределе малой амплитуды БГК-мода
превращается в так называемую моду ван Кампена. В этом пределе
захватываются лишь частицы с v = иф. Число захваченных частиц
можно изменить, если добавить к / (v, t = 0) член,
пропорциональный б (v—Уф). Из рис. 7.24 следует, что добавление частиц
вдоль линии v = Уф не будет приводить к затуханию в
последующие моменты времени, поскольку при этом частиц, приобретающих
энергию, будет столько же, сколько и теряющих ее. Действительно,
выбирая распределения с б-функциями при других значениях иф,
можно генерировать незатухающие волны ван Кампена с
произвольной Уф. Однако такие начальные условия не имеют физического
смысла. Для того чтобы ^получить гладко меняющуюся функцию
/ (v, t = 0), необходимо выполнить суммирование по модам ван
Кампена с|распределением по скоростям иф. Теперь, хотя каждая
мода не является затухающей, полное возмущение проявит
затухание Ландау, поскольку фазы различных мод оказываются не-
синхронизованными друг с другом.

7.8. Экспериментальная проверка
251
7.8. Экспериментальная проверка
Хотя Ландау дал безупречный и четкий вывод бесстолкновительного
затухания, сначала было не ясно, что это имеет отношение к
физически наблюдаемому явлению, до тех пор пока Даусон не выполнил
более длинного, основанного на интуиции вывода,
воспроизведенного в разд. 7.6. Даже после этого были сомнения относительно
того, удастся ли в лаборатории создать подходящие для наблюде-
10
20 30
Расстояние между зондами.
Рис. 7.27. Интерферометрическая запись, показывающая распределение
возмущенной плотности в затухающей плазменной волне. [Из работы: Malm-
berg J. H., Warton С. В., Phys. Rev. Lett., 17, 175 A966). ]
0,10
0,05
Im(ft)
МьH,ог
0,01
0,005
• KT = 6,5эВ
о КТ ^9,6эЪ
5 10 15 20 25
\2
("ф/и^у
Рис. 7.28. Проверка затухания Ландау в эксперименте
тона. [Из работы: Malmberg J. H., Warton С. В., Phys.
1966).]
Малмберга и Bap-
Rev. Lett., 17, 175

252 Гл. 7. Кинетическая теория
/
/
- / -
/
У\ I I 1 I I I 1 I 1 I
0 0,8 1,6 2,4
к, мм'1
Рис. 7.29. Экспериментальное определение дисперсионной зависимости для
плазменных волн в плоской геометрии. [Из работы: Derfler H., Simonen Т.,
J. Appl. Phys., 38, 5018 A967).]
ния условия. Эти сомнения разрешил проведенный в 1965 г.
эксперимент Малмберга и Вартона. Для возбуждения и детектирования
плазменных волн в столбе бесстолкновительной плазмы в этом
эксперименте использовались электростатические зонды. С
помощью интерферометрии были получены зависимости фаз и
амплитуд волн от расстояния между зондами. На рис. 7.27 показана
запись волны, затухающей в пространстве. Поскольку в эксперименте
величина со вещественна, a k комплексна, полученный нами
результат в виде выражения G.70) нельзя сравнить с экспериментальными
данными. Вместо этого мы должны вычислить отношение
Im (k)/Re (k) при вещественных со. Это отношение содержит также
множитель ехр (— vl/vleuJ1), который пропорционален числу
резонансных частиц в максвелловском распределении. Следовательно,
логарифм отношения Im (k)/Re (k) должен быть пропорционален
(Уф/отеплJ- Из рис. 7.28 мы видим, что экспериментальные и
теоретические результаты согласуются друг с другом.
Аналогичный эксперимент в плоской геометрии выполнили Дер-
флер и Симонен; этот эксперимент позволил сравнить измеренные

7.8. Экспериментальная проверка
253
значения Re (со) с выражением G.64). На рис. 7.29 представлены
результаты измерений для Re (k) и Im (k), полученные этими
авторами при различных частотах. Штриховая кривая построена
в соответствии с выражением G.64) и является той же самой, что
и на рис. 4.5. Отклонение экспериментальных точек от штриховой
кривой обусловлено тем, что в разложении G.59) мы не учитывали
члены более высокого порядка. Однако построенная в соответствии
с выражением G.54) теоретическая кривая хорошо согласуется
с экспериментальными данными.
Задачи
7.1. В плазме с п= 1017 м-3 и КТе= 10 эВ возбуждаются плазменные вол ны.
Вычислите приближенно декремент затухания Ландау | Im (Wcop) |, если
k = 10* м-1.
7.2. В плазме с п = Ю15 м—3 и КТе = Ю эВ возбуждается электронная
плазменная волна с длиной волны 1 см. Затем источник возбуждения отключается
и волна затухает бесстолкновительным образом (затухание Ландау). Через
какой промежуток времени амплитуда волны уменьшится в е раз?
7.3. Неограниченная однородная плазма с неподвижными ионами имеет
функцию распределения электронов, составленную из 1) максвелловского
распределения собственно «плазменных» электронов с плотностью ttp и
температурой Тр, находящегося в покое в лабораторной системе, и 2) максвелловского
распределения электронов «пучка» с плотностью щ и температурой Ть,
имеющего центр при v = Vx (рис. 37.3). Если плотность щ бесконечно мала, то
колебания вдоль оси х затухают. Ес-ли же плотность пь велика, то возникает
двухпотоковая неустойчивость. Критическое значение пь, при котором
устанавливается неустойчивость, можно найти, полагая наклон общей функции
распределения равным нулю. Для того чтобы ограничиться простыми
выкладками, предлагается получить приближенный ответ следующим образом:
а) запишите выражения для fp(v) и /&(и), используя следующие
сокращенные обозначения: v = vx, a2 = 2KTplm, b2 = 2F(Tblm;
б) предположите, что фазовая скорость Уф равна значению скорости v, при
котором fb (v) имеет наибольший положительный наклон. Найдите Уф и
в) вычислите fp (уф) и положите fp (уф) +/ь (оф) = 0;
Рис. 37.3. Невозмущенные функции распределения электронов плазмы fp (vx)
и пучка fb (vx) при рассмотрении взаимодействия плазмы с пучком.

254
Гл. 7. Кинетическая теория
г) покажите, что в случае V>6 критическая плотность пучка приближенно
записывается в виде
(nb/np) = Be)W (Tb/Tp) {Via) exp (- VW).
7.4. Предположите, что в некоторой модели теплой плазмы ионная и
электронная функции распределения даются соответственно выражениями
?*о (о) = О» О2+«Э-1. Йо с> = (Vя) (°2+а?)-1 •
а) Используя уравнение Власова, получите точное дисперсионное уравнение
для электростатических возмущений.
б) Получите приближенное выражение для дисперсионного уравнения при
со ^ Qp. При каких условиях волны слабо затухают? Дайте физическое
объяснение, почему со ж Qp в случае очень больших k.
7.5. Рассмотрите незамагниченную плазму с нейтрализующим неподвижным
фоном ионов. Одномерная функция распределения электронов имеет вид
foe{v) = go(v) + h0(v),
где
go (v) = np (ав/п) (У -f af)-1, h0 (v) = nb8 (v — vQ),
n0 — rip -f- nb и щ < Пр\
а) выведите дисперсионное уравнение для высокочастотных
электростатических возмущений;
б) в пределе со/& <С ае покажите, что существует решение, в котором
Im (со) > 0 (т. е. возмущения нарастают).
7.6. Имеется одномерная функция распределения
f(v)=A, \v\<vm,
f(v) = 0, \v\^vm.
а) Найдите выражение для постоянной А через плотность плазмы п0.
б) С помощью уравнений Власова и Пуассона попробуйте получить
интегральное выражение для электростатических электронных плазменных волн.
в) Вычислите интеграл и получите дисперсионную зависимость со (k) с
точностью до членов третьего порядка относительно малой величины kvm/(a.
7.9. Затухание Ландау на ионах
Резонансными частицами могут быть не только электроны. Если
фазовая скорость волны достаточно мала и оказывается сравнимой
с тепловой скоростью ионов, то становится возможным затухание
Ландау на ионах. В частности, сильно подвержены затуханию
Ландау ионно-звуковые волны. Напомним, что в соответствии с
D.41) дисперсионное уравнение для ионных волн имеет вид
-^--р.= ( *г'+ **г')'я, G.112)
Если Те ^ Ti, то фазовая скорость попадает в область, в которой
наклон функции распределения/0l- (v) отрицательный (рис. 7.30, а).
Следовательно, в этом случае ионные волны испытывают сильное

7.9. Затухание Ландау на ионах
255
-^ \Щ
те»тс
Рис. 7.30. К объяснению затухания Ландау ионно-звуковых волн, а —
Те « 7Y, фазовая скорость волн лежит внутри ионной функции
распределения; б — Те > Тс, очень немногие ионы имеют скорость, близкую к
фазовой; добавление легких ионов (штриховая кривая) приводит к увеличению
затухания Ландау.
затухание Ландау. Их можно наблюдать лишь в случае Те ^> 7\-
(рис. 7.30, б), когда фазовая скорость лежит далеко в хвосте
распределения ионов по скоростям. Алексеев, Джонс и Монтгомери
использовали хитроумный способ введения затухания Ландау
контролируемым образом. В плазме с тяжелыми ионами (такими, как
ксенон) при Те > Ti создавалась слабозатухающая ионно-звуко-
вая волна. Затем к плазме добавлялось небольшое количество
легких атомов (гелия). Поскольку образовавшиеся ионы гелия имели
почти ту же самую температуру, что и ионы ксенона, но значительно
меньшую массу, функция распределения атомов гелия была более
широкой (на рис. 7.30, б это распределение показано штриховой
кривой). При этом волна испытывала затухание на резонансных
ионах гелия.
7.9.1. Дисперсионная функция плазмы
Рассмотрим теперь ионное затухание Ландау ионно-звуковых волн
в отсутствие магнитного поля; это позволит нам познакомить
читателя с некоторыми общепринятыми понятиями кинетической
теории. Ионы и электроны подчиняются уравнению Власова G.23),
а их возмущения описываются выражением G.46), определяющим
распространение этих возмущений в виде плоской волны вдоль
оси х. Решение для /х дается выражением G.48) с соответствующими
изменениями:
dfojldvj
ь=-
Я1
0) — kVi
G.113)
ч ш ~ кч
где Ех и vXj мы обозначили просто через Е и v}-, причем /-й сорт
частиц имеет заряд q-v массу т;- и скорость v-v Возмущение
плотности частиц /-го сорта можно записать в виде
dv,-
— 1
Я!
Е [ df"fdvl dv,.. G.114)
J @ — kVj .

256 Гл. 7. Кинетическая теория
Пусть равновесные функции распределения /0/- являются
одномерными максвелловскими распределениями:
/о' = „ "°U е~^еПЛ''"' v^-1 = (ЖТ,/т,)ш.
°тепл./"
G.115)
Вводя немую переменную интегрирования s = Vj/vrenjltj,
возмущение плотности пх/ можно записать в виде
iqjEn0]- 1 Г (d/ds) e"
kmjvienn.j
J_ Г (dlds)e &> GЛШ)
л1/2 J S-S/
где
£у S3 0>/&>тепл. /• G.117)
Определим дисперсионную функцию плазмы Z (Q:
оо
ZQ=-L- С -Цг&, Im(£)>0. G.118)
л1/2 J s—l
■—оо
В разд. 7.4 мы показали, что этот интеграл является контурным
и что, если Im (£) <0, следует использовать его аналитическое
продолжение на нижнюю полуплоскость. Величина Z (£) — это
комплексная функция комплексного аргумента (поскольку со или
k имеет, как правило, мнимую часть). В тех случаях, когда Z (£)
не может быть аппроксимирована какой-либо аналитической
формулой, можно воспользоваться таблицами Фрида и Конте или
стандартной подпрограммой для компьютера.
Чтобы выразить nlf через Z (£), вычислим производную от Z
по £:
оо
Z'(§ = -±— [
' я1/2 J
as.
(s-D2
—оо
Интегрирование по частям дает
я L «-£ J-J я J. S~E
Как и для любой регулярной функции распределения, первый член
обращается в нуль. При этом выражение G.116) можно переписать
в виде
пу = - iq'En°j Z' (Q. G.119)
*тД2епл,/

7.9. Затухание Ландау на ионах 257
Запишем уравнение Пуассона
e0v • Е = i ke0E = £ qjnir G.120)
/
Объединяя последние два уравнения, выписывая явно электронный
член и определяя величину
QFJ^{n0lZ*e%oMiI/2, G.121)
получаем следующее дисперсионное уравнение
со2 V^ Q2 •
k*« —-2— 2' (Q + > -т^- Z'(£y). G.122)
итепл.е ; итепл./
Отсюда, полагая QpJ- = 0 (для бесконечно тяжелых ионов), можно
получить электронные плазменные волны. Определим величину
кто, = 2(ор/итепл, е = ^п • G.123)
Тогда мы можем написать соотношение
k2lkl=-^Z'{le), G.124)
которое есть не что иное, как соотношение G.54), полученное для
случая максвелловского распределения /0е.
7.9.2. Ионные волны и их затухание
Для того чтобы получить ионные волны, вернемся к соотношению
G.122) и воспользуемся тем обстоятельством, что их фазовые
скорости ю/k много меньше, чем иТеПл, e; следовательно, £е мало и
можно разложить Z (Q в степенной ряд:
Z(g=iy^e-^-2^1--|-g+ . . ту G.125)
Мнимый член возникает благодаря вычету в полюсе,
расположенному вблизи вещественной оси s [см. G.56)], и представляет
электронное затухание Ландау. В случае £е <^ 1 производная
выражения G.125) запишется в виде
Z'(Q=-2iV^e~^-2+ . . .«-2. G.126)
Электронным затуханием Ландау обычно можно пренебречь,
поскольку наклон функции fe (v) вблизи ее максимума мал. Заменяя
в дисперсионном уравнении G.122) Z'(t,e) на — 2, получаем
дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн:
A-d У 9Qpi Z (у = 1 + /eYD « 1. G.127)
^^ V
1 итепл,/
Здесь член &>D представляет отклонение от квазинейтральности.

258
Гл. 7. Кинетическая теория
Рассмотрим случай, когда имеется один сорт ионов. Так как
nQe — Ztnoi, коэффициент при Z'(£/) в G.127) запишется в виде
2 ®l *oKTe n0iZ2e2 M I ZTe
A-D
п0/ г0М 2КТ, 2 т
В случае k2k% <^ 1 дисперсионное уравнение принимает вид
G.128)
\ ^^тепл. i У
2Tj
ZTe
Решение этого уравнения не простая задача. Предположим, что
для изучения затухания во времени мы выбрали величину k
вещественной, а со комплексной. При этом вещественную и мнимую
части величины со мы должны подобрать таким образом, чтобы
выполнялись условия Im (Z') = 0 и Re (Z') = 2T{/ZTe. В общем
случае имеется множество корней со, удовлетворяющих этим условиям,
причем все они имеют Im со <<0. Главным из этих корней является
тот, который дает наименьшее затухание, т. е. имеет наименьшую
величину |Im(co)|. Затухание в пространстве обычно исследуют,
полагая частоту со вещественной, а волновое число k комплексным.
Снова мы получаем ряд корней k с \mk >0, которые определяют
затухание в координатном пространстве. Однако главный корень
здесь не соответствует тому же значению £t-, что и в случае
комплексной величины со. Оказывается, при решении пространственной
задачи следует относиться с особым вниманием к механизму
возбуждения на границе и более аккуратно обращаться с членом Z'(Q
для электронной компоненты.
Чтобы получить аналитические выражения, рассмотрим
предельный случай £,{ > 1, соответствующий большому отношению
температур 9 = ZTe/Tt. Асимптотическое выражение для Z' (£f)
записывается в виде
Zr(^) = -2iV^Ct-e-£t' + Cr2+ -|-СГ4+ • • • • G-129)
Если затухание мало, то в первом приближении можно пренебречь
членом, отвечающим затуханию Ландау. При этом выражение
G.128) принимает вид
i] \ 2 Й ) в
Поскольку мы предположили, что 9 велико, величина t,i также
велика; поэтому во втором члене ^ можно заменить на 9/2. Таким
образом, мы имеем

7.9. Затухание Ландау на ионах
259
ИЛИ
йJ 2KTi /3 , ZTe \ ZKTe + 3KTi
k* М
t / 3 . ZTe \ __ ZKTe -\-3KTj ,rj |oix
V 2 ~*~ 27; / Af '
Это есть не что иное, как дисперсионное уравнение D.41) для ионно-
звуковых волн при Yf = 3, обобщенное на случай произвольных Z.
Подставим затем выражения G.129) и G.130) в G.128), сохранив
член, отвечающий затуханию Ландау:
С? i е ; ' е
Л—2iV« ^£е *' = ■
1+ J-^-i-G + iV" в^е S<),
,2\-1
й=(-1±^)A-И^9?ге-^
Раскладывая квадратный корень в ряд, мы имеем
£t«(-^-I/2(l--f iVnebe?). G.132)
Используя в мнимом члене выражение G.130), мы находим
приближенное выражение для декремента затухания:
Щ^= 112_^.=^у/2еC + еI/2е-C+е)/2) G.133)
Re& Re со V 8 У
где Э = ZTJTi, a Re со определяется формулой G.131).
Выражение G.133) является асимптотическим; оно справедливо
при больших Э и показывает, что с ростом Э затухание уменьшается
по экспоненте. В случае когда Э <10, выражение G.133) становится
неточным и затухание следует вычислять с помощью формулы
G.128), в которой сохраняется Z-функция. Для экспериментально
интересной области 1 <0 <10 достаточную точность дает
следующая простая аналитическая формула:
Im со/Re со - 1,1 Э7/4 ехр (- О2). G.134)
На рис. 7.31 сравниваются результаты расчетов по приближенным
формулам G.133) и G.134) с точным расчетом по формуле G.128).-
Что произойдет, если к ионному затуханию Ландау добавить
столкновения? Оказывается, удивительно немного. Столкновения ионов
с электронами малоэффективны, так как ионная и электронная
жидкости движутся почти совместно и трение между ними
небольшое. Ион-ионные столкновения (ионная вязкость) могут привести
к затуханию ионно-звуковых волн, но известно, что, несмотря на
столкновения, звуковые волны хорошо распространяются в воздухе.

260
Гл. 7. Кинетическая теория
/с
ю-1
\vr\w
Re а;
ю-£-
10'
Л 1 1 | МП
—
1 о /
Г /
/
1 .) 1 Г1 ш
1 1 1 | МП
о/
i i i I i in
I 1 | | 1 IIU
^А z
oB ~
о
1 1 1 1 1 1II
1 1 1 1 IIII
0,01
0,1
7V /ZTe
10
Рис. 7.31. Затухание Ландау ионно-звуковых волн на ионах. Кривая А —
точное решение с помощью формулы G.128); кривая Б —асимптотическая
формула G.133); кривая В —эмпирическая формула G.134), справедливая
в области I <8 <Ю.
Действительно, столкновения нарушают резонансы частиц с
волной, которые обусловливают затухание Ландау, и полное затухание
оказывается даже меньше затухания Ландау, если только частота
столкновений не слишком велика. Таким образом, ионное
затухание Ландау почти всегда является доминирующим процессом для
ионных волн и экспоненциально зависит от отношения ZTjTt.
Задачи
7.7. В однократно ионизованной плазме из ксенона (Л=131) с Те = 1 эВ и
Ti ~ 0,1 эВ возбуждается ионно-звуковая волна с длиной 1 см. Сколько
времени понадобится на то, чтобы после отключения генератора амплитуда
волны благодаря затуханию Ландау уменьшилась в е раз по сравнению со
своим начальным значением?
7.8. В однократно ионизованной аргоновой плазме с пе= Ю16 м-3, Те=2 эВ,
Ti = 0,2 эВ возбуждается ионная волна с длиной 'к = 5 см и измеряется ее
декремент затухания Ландау. Затем в плазму вводят примесь водорода с
плотностью пц= апе. Вычислите значение а, при котором декремент
затухания увеличится в два раза.
7.9. В экспериментах по лазерному термоядерному синтезу кроме основного
распределения электронов с плотностью пе и температурой Те нередко
встречается группа горячих электронов с плотностью л/, и температурой Г/,. Го-

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
261
рячие электроны могут изменить затухание ионных волн и, следовательно,
повлиять на такие процессы, как вынужденное бриллюэновское рассеяние.
Предполагая, что Z = 1 для ионов с гц и 7\, определите Qe = TjTu 9ft —
= T/t/Ti, a = rtftlm, 1—a = пе/щ, e = mlM и k*Di = гце21е0КТ(.
а) Запишите дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн в трехком-
понентной плазме, раскладывая в ряд электронные Z-функции.
б) Покажите, что с ростом п^ электронное затухание Ландау не увеличивается
заметно, если Тд > Те.
в) Покажите, что с ростом % ионное затухание Ландау уменьшается и что
это явление можно представить как увеличение эффективного отношения
температур Te/Ti.
7.10. Дисперсионное уравнение для электронных плазменных волн,
распространяющихся вдоль B0z, можно получить из диэлектрического тензора 8
(см. приложение Б) и уравнения Пуассона, v(8'E) = 0, где Е = — v^-
При этом для однородной плазмы
дг V дг )
или Ezz= 0. Для холодной плазмы задача 4.4 и уравнение (Б. 18) дают
Ezz= 1 — Сйр/С02 ИЛИ С02=@^.
Для горячей плазмы из G.124) имеем
г„=\ р- Z'
ь2..2
Ъ„КФ = 0
ZZ
k итепл V ^тепл
Используя разложение Z-функции в соответствующем пределе, покажите,
что это уравнение дает частоту волны Бома—Гросса [выражение D.30)]
и декремент затухания Ландау [выражение G.70)].
7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
Если имеется конечное постоянное магнитное поле В0 или
осциллирующее магнитное поле Вг, то в уравнение Власова для бесстолк-
новительной плазмы G.23) следует включить член v X В. При этом
линеаризованное уравнение G.45) заменяется уравнением
dh- ' v.Vfx + ^-tvxBo).^1—-— (Ег + vxBO- ^
dt m д\ m д\
G.135)
Движущиеся вдоль В0 резонансные частицы по-прежнему
вызывают затухание Ландау, если со/& « степл, но теперь появляются
два новых кинетических эффекта, которые связаны с компонентой
скорости vx, перпендикулярной В0. Один из них—это
циклотронное затухание, которое мы рассмотрим ниже, другой — генерация
циклотронных гармоник, приводящая к возбуждению колебаний,
называемых обычно модами Бернштейна.

262 Гл. 7. Кинетическая теория
Гармоники циклотронной частоты возбуждаются, когда
круговое движение частицы по ларморовской орбите возмущается
полями Ех и Вх. В обычной гидродинамической теории пренебрегают
этими эффектами, связанными с конечным rL, но они могут быть
учтены до членов порядка k Гь, если ввести тензор вязкости я.
Кинетический подход является аккуратным даже при k2r1 — О A).
Для того чтобы понять, как возникают гармоники, рассмотрим
движение частицы в электрическом поле:
E = Exei{kx-ot)x. G.136)
При этом уравнение движения [ср. с уравнением B.10)] запишется
в виде
х + ш2сх = S- Ех е1 {kx~at). G.137)
т
Если krL не мало, то экспонента имеет различные значения на
разных сторонах орбиты. В соответствии с B.7) величину х в
экспоненте можно приближенно заменить невозмущенной траекторией
х = rLsin (oct:
х + со?х = -3- Ех е1 ^sin ^-. G.138)
т
Для функции Бесселя Jn (z) производящая функция записывается
в виде
оо
ег«-1№= £ t*Jn(z). G.139)
П=—оо
Полагая z = kr^ и t — exp (i (oct), получаем
e
'^""^EinWe'^, G.140)
i + i = ^£,E^Ne"i(^(. G.141)
m —oo
Следующее решение можно проверить прямой подстановкой:
оо
yJn(krAe-'l(a-nac)t
"\ , г; G-142)
т
I
— (со — псосУ
Отсюда следует, что в движении присутствуют компоненты,
частоты которых отличаются от ведущей на величину, кратную сос,
и что амплитуды этих компонент пропорциональны
Jn(krL)/[a% — (со—/шсJ].
В случае когда знаменатель обращается в нуль, амплитуда стано-

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
263
вится очень большой. Это имеет место при (о—пи>с = ± а>с> или
оо = (п ±1) сос, где п = 0, ± 1, ± 2, . . . ; иными словами, когда
поле Е (х, i) резонирует с какой-либо гармоникой основной час-
стоты сос, амплитуда резко возрастает. В гидродинамическом
пределе krL ->- 0 функцию Jn (krL) можно аппроксимировать
выражением (krL/2)n/n\, которое стремится к нулю при всех п, кроме
п = 0. При п = 0 коэффициент в разложении G.142) равен
(юс—(о )~~\ что совпадает с результатом, полученным в рамках
гидродинамической теории [ср. с D.57)] и содержащим только
основную циклотронную частоту.
7.10.1. Диэлектрический тензор горячей плазмы
Проведя анализ Фурье для f± (r, v, t) в координатном пространстве
и во времени, уравнение G.135) можно решить в случае максвел-
ловского распределения /0 (v) и затем использовать полученные
решения для f1 (k, v, со), чтобы вычислить плотность и ток,
создаваемые каждым сортом частиц. Результат такого вычисления обычно
выражают в виде эквивалентного диэлектрического тензора е, так
что при получении дисперсионных уравнений для различных волн
(см. приложение Б) в уравнениях Максвелла V-D = 0 и VX В =
= |я0Г) можно использовать вектор смещения D = е-Е.
Алгебраические выкладки имеют устрашающие размеры, и поэтому мы их не
приводим. Приведем здесь лишь частный результат, справедливый
для нерелятивистской плазмы с изотропным давлением (Тх = Гц)
в отсутствие дрейфа v0/ в нулевом порядке; этих ограничений легко
избежать, но для наших целей общие формулы слишком
необозримы. Таким образом, положим k = kxx + kzz, причем
единичный вектор z направим вдоль вектора В0; поскольку в плоскости,
перпендикулярной В0, плазма изотропна, то, полагая ky равным
нулю, мы нисколько не теряем общности рассмотрения. Теперь
выпишем компоненты тензора eR — е/е0:
+ 00
&хх ~i+Z ~2~ "V ^° Zn*in {b)z (Ся)'
S —оо
+оо
Zco2 e~b Y
S —оо
+оо
*** = -*ух = i £ ±-^-e~% ^Г n [ln(b)-l'n(b)]Z (£„),
S —оо
G.143)

264
Гл. 7. Кинетическая теория
-|-оо
Zco2D e-fi V
S —оо
-j-oo
*Уг= -еад = -1 Y, ±^{тТе~^ X ^n(b)-l'n(b)]Z'{tn)t
S —оо
е22 = 1 - X -^- е-*&, ^Г /n (b) InZ' (С„),
S —оо
где Z (£) — плазменная дисперсионная функция, определяемая
выражением G.118), In{b) — функция Бесселя я-го порядка
мнимого аргумента, а другие величины определяются следующим
образом:
tiJpS = n0sZ2se2/e()ms,
Ins = (© + ЛЮсзУ^тепл, s, lbs = <о/Мтепл, 5,
(Dcs = (Zse60/ms|, G.144)
^?епл, s = 2KTs/ms,
bs = — &2хг1 s = k2xKTs/ms(£>ls.
В выражениях G.143) первая сумма берется по сортам частиц s,
причем предполагается, что сор, 6, £0 и £,п зависят от s и что знак ±
определяется зарядом частиц. Второе суммирование производится
по номерам гармоник п. Штрих означает дифференцирование по
аргументу.
Как мы и предвидели, появились функции Бесселя от
параметра Ь, связанного с конечным ларморовским радиусом гь-
[Замена Jп (Ь) на /„ (Ь) происходит при интегрировании по
скоростям. ] Компоненты тензора 8, отвечающие составляющей движения
вдоль z, содержат функцию Z' (£„), которая приводит к затуханию
Ландау, когда п — 0 и ы/к2 « Утепл- Наличие членов с п Ф 0
приводит к другому возможному механизму бесстолкновительного
затухания, а именно к циклотронному затуханию, которое имеет
место при (о ± ncoc)/kz « итепл-
Задача
7.11. Покажите, что в пределе нулевой температуры компоненты тензора 8
в выражениях G.143) сводятся к компонентам диэлектрического тензора
для холодной плазмы, представленного в приложении Б.

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
265
7.10,2. Циклотронное затухание
При определенной скорости частица, движущаяся вдоль внешнего
магнитного поля В0 в волне с конечным kz, будет «видеть» волну
со сдвинутой вследствие эффекта Доплера частотой со—kzvz =
= ± пыс и поэтому под действием электрического поля волны Е±
она будет непрерывно ускоряться (замедляться). Энергия тех
частиц, которые находятся в «правильной» фазе относительно Е±,
будет увеличиваться, а тех, что в «неправильной» фазе,— будет
уменьшаться. Поскольку изменение энергии есть произведение
силы на путь, более быстрые ускоряемые частицы приобретут за
единицу времени больше энергии, чем потеряют медленные частицы,
испытывающие торможение. Таким образом, в среднем происходит
увеличение энергии частиц за счет энергии волны, и волна затухает.
Этот механизм совсем не тот, что в случае затухания Ландау,
поскольку усиление энергии происходит здесь в направлении,
перпендикулярном В0, и, следовательно, перпендикулярно компоненте
скорости частицы, дающей резонанс. Такое явление, как захват,
не может легко нарушить этот резонанс. Кроме того, для затухания
достаточно лишь наличие резонансных частиц; нет необходимости
иметь положительный наклон /о (vz), как в случае затухания
Ландау.
Для того чтобы прояснить физический механизм циклотронного
затухания, рассмотрим волну, у которой k = kx\ + kzz, причем
составляющая kz положительна. Электрическое поле Ех можно
разложить на левую и правую циркулярно поляризованные
компоненты, как изображено на рис. 7.32. На рис. 7.32, а показано
расположение вектора Ех в точках Л, В и С вдоль оси + z для ле-
вополяризованной компоненты. Так как волна распространяется
в положительном направлении оси z, неподвижный электрон уви-
Рис. 7.32. Механизм циклотронного затухания, а — для левоп'оляризованной
компоненты; б — для правополяризованной компоненты.

266
Гл. 7. Кинетическая теория
дит эти векторы сначала в точке С, потом в В, а затем уже в А;
следовательно, он увидит поле Е, имеющее левое вращение. При
этом электрон не будет ускоряться, поскольку его ларморово
вращение является правосторонним (по часовой стрелке). Однако,
если бы скорость электрона в направлении z была больше, чем у
волны, то он увидел бы векторы в А, В и С, т. е. в прямой
последовательности и, следовательно, должен был бы ускоряться
резонансно, когда его скорость удовлетворяет соотношению
со—kzvz — —• сос. Поведение правополяризованной компоненты Е
показано на рис. 7.32, б. Теперь электрон, если он движется
медленнее волны, будет видеть электрическое поле, вращающееся по
часовой стрелке, так что на него последовательно действуют
векторы электрического поля в точках С, В и А. Этот электрон будет
ускоряться при выполнении условия со—kzvz — + (ос. Таким
образом, плоская или эллиптически поляризованная волна будет
затухать благодаря электронам, движущимся в любом
направлении в системе отсчета, связанной с волной.
7.10.3. Моды Бернштейна
Электростатические волны с частотами, кратными циклотронной,
распространяющиеся под прямым углом к В0, называются модами
Бернштейна. Их дисперсионное соотношение можно найти,
подставляя выражения G.143) для компонент диэлектрического
тензора в уравнение Пуассона V-s-E = 0. Если предположить
возмущение электрическим, так что Ех = — v^i, и рассматривать
волны вида </>! = «/чехр [i (k-r—cot)], то уравнение Пуассона
можно записать следующим образом:
$*« + 2fc A«« + $*« = 0. G-145)
Заметим, что мы выбрали такую систему координат, что вектор к
лежит в плоскости xz, a ky = 0. Подставим в уравнение G.145)
выражения для ехх, ехг, и ezz из G.143) и выразим Z' (£„) через Z (t,n)
с помощью тождества
Z'(b.)=-2[1 + U(9b G-146)
Задача
7.12. Докажите тождество G.146) непосредственно из интегральных
выражений для Z (£) и 2' (£).
Уравнение G.145) принимает вид
оо
**+**+£-^ге~*ь> Yj In{b) k'x~vz^
S /1=—оо
- 2 (AI2 nkxkz A + lnZ)-2klin A + &.Z)] = 0. G.147)

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле 267
Пользуясь тем, что b = &*иТепл/2сос, а £„ = (со + ясос)/&2иТепл,
выражение в квадратных скобках с помощью небольших
алгебраических преобразований можно упростить и свести к виду:
2kl [£_„ + йг (£„)].
Замечая затем, что для каждого сорта частиц 2&2сор£0/со =
= 2сор/итепл = #е>, уравнение G.147) можно переписать
следующим образом:
оо
Й + Й + Е&е-6 Z /« W £[_„/&» + CoZ (&.)] -= 0. G.148)
S rt=—оо
В этом уравнении член £_rt/£o равен 1—ясос/со. Поскольку /„ =
= I-п (Ь), сумма слагаемых In (b) я со с/со по п от — оо до оо дает
нуль; следовательно, £-л/£о можно заменить на 1. Определяя k2 =
= kl + k2z, получаем общее дисперсионное уравнение для волн
Бернштейна:
оо
1+ У-^Ге У I(b)[\ + UZ(L)] = 0. G.149)
S П=—ОО
/. Электронные моды Бернштейна. Рассмотрим сначала
высокочастотные волны, в которых ионы остаются неподвижными. Эти
волны не чувствительны к малым отклонениям от
перпендикулярного распространения, и мы можем положить kz = 0, так что £,п ->оо.
Следовательно, циклотронное затухание отсутствует; найденные
нами ниже щели в спектре волн обусловлены не этим затуханием.
В соответствии с разложением G.129) мы можем заменить Z (£„)
при больших £,п на — 1/£„. Во второй сумме G.149) слагаемое с
п = 0 сокращается, и эту сумму можно разбить на две следующим
образом:
[ОО ОО 
Z /«(ft)A-&>/£«)+Z 1-пФ){\-1Л-п) =о
я=1 п=\ J
G.150)
или
оо
k\ + У kl е-6 V /я (Ь) [2 ^ —5 1 = 0. G.151)
Z^ Z_j L со + псос со — n(oc J
n=l
После приведения к общему знаменателю квадратные скобки
сводятся к единственному члену:
s я=1
,2„2
2nW
(Ь)— fj- G-152)

268
Гл. 7. Кинетическая теория
-^
\
1
\
\
Л
1
1
6=7
Ч
>
<JL)/WC
Рис. 7.33. Функция а (со, Ь) для электронных волн Бернштейна. [Из работы:
Bernstein I. В., Phys. Rev., 109, 10 A958).]
Используя определения величин ku и Ь, получаем известное
дисперсионное уравнение для случая kz = 0:
Ut'-t
Inib)
(w/ncocJ— 1
G.153)
Рассмотрим теперь конкретный случай электронных колебаний.
Опуская суммирование по сортам частиц, из уравнения G.152)
получаем
= 2(о;
I
ь1п(Ь)п*
= а(со, Ь).
G.154)
Функция а (со, Ь) для b = 1 показана на рис. 7.33. Значения со
определяются точками пересечения графика функции а с
горизонтальной прямой kx/ko >-0. Из рисунка видно, что возможные
значения со лежат чуть выше каждой циклотронной гармоники и что
ниже каждой гармоники расположена запрещенная зона.
Чтобы перейти к гидродинамическому пределу, заменим в
соотношении G.153) функцию /„ (Ь) ее асимптотическим значением
(Ь/2)п/п\ при малых Ь. В пределе b ->- 0 остается только член с
п = 1 и мы имеем:
1 =
Ь 2
— 1
G.155)
или со = сор + сос = со/г, т. е. дисперсионное уравнение для
верхнегибридных колебаний. Таким образом, при k±-^Q частота со,,

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
269
Рис. 7.34. Дисперсионные кривые для электронной моды Бернштейна. [Из
работы: Crawford F. W., J. Appl. Phys., 36, 2930 A965); рисунок приведен
с упрощениями. ]
должна быть одним из корней уравнения G.154). Если соЛ попадает
между двумя высшими гармониками частоты сос, то вблизи со = соЛ
форма кривой со (k) изменяется таким образом, что при k± -> 0
частота со -> соЛ. Для построения кривых со (k) умножим
уравнение G.154) на 2сор/сОс и получим k\rt = 4с0р а (со, Ь). Нарис. 7.34
представлены кривые зависимости величин со/сос от k±ri для
различных значений сор/сое- Заметим, что для каждого значения сор/сос
выше соответствующей этому случаю гибридной частоты характер
кривой заметно меняется. В крайней левой части данного графика,
где фазовая скорость приближается к скорости света в плазме,
в эти кривые следует включить электромагнитные поправки.
Электронные моды Бернштейна были зарегистрированы в
лабораторных исследованиях. В газовых разрядах при этом
наблюдались также необъяснимо большие спонтанные колебания на
высших гармониках сос. Однако это слишком долгая история, чтобы
ее здесь рассказывать.
2. Ионные моды Бернштейна. Среди волн с частотами, лежащими
вблизи гармоник ионно-циклотронной частоты, следует различать
чисто ионные моды Бернштейна, для которых kz = 0, и
нейтрализованные ионные моды Бернштейна, для которых kz имеет малое,
но конечное значение. Различие между ними состоит в том, что,
как и выше для нижнегибридных колебаний, это конечное значение
kz позволяет электронам перетекать вдоль В0, компенсируя
разделение зарядов. Хотя предел kz = 0 уже был рассмотрен при ана-

270
Гл. 7. Кинетическая теория
лизе соотношения G.153), различие между этими двумя случаями
станет яснее, если мы вернемся назад к соотношениям G.148) и
G.149). Отделяя член с п — 0 и пользуясь соотношением G.146),
получаем
Ь\ + Й + Z ЬЪ е-6/,, Ф)[--~ Z' (&>)] +
+ Ей>е-6 Zln(b)[l + &Z(У ] =0. G.156)
s п=£0
Линия раздела между чисто ионными и нейтрализованными
ионными модами Бернштейна определяется электронным членом
сп = 0. Если для электронов Сое > 1, то с помощью разложения
G.129) можно записать Z (С0е) « 1/Сое- Поскольку в этом случае
(o/k2 > итепл, е, электроны не успевают достаточно быстро
перетекать вдоль В0 и нейтрализовать заряд. Если же Сое С 1> то нужно
использовать выражение G.126), откуда имеем Z' (С0е) « — 2.
В этом случае со/&2 <С £>тепл, е и У электронов достаточно времени
для установления распределения Больцмана C.73).
Обратившись сначала к случаю Сое > 1, заметим, что при этом
обязательно и Cot 3> 1 и, следовательно, член сл = 0в уравнении
G.156) принимает вид
Здесь мы перешли к пределу Ье -> 0 и положили 6 = ftf. Члены
с п Ф 0 в уравнении G.156) рассматриваются, как и прежде;
поэтому электронные волны здесь определяются дисперсионным
уравнением G.155), а ионные — ионным членом дисперсионного
уравнения G.153). При этом дисперсионное уравнение для чисто
ионных мод Бернштейна принимает вид
оо
о? fe Zj (W«oe-iJ
л=1
Поскольку условие Сое ^> 1 подразумевает, что k\ малы, то первое
слагаемое в G.157) обычно пренебрежимо мало. Для анализа
гидродинамического приближения мы можем положить вторые скобки
равными нулю, выделить слагаемое с п = 1 и использовать разло-
= 0. G.157)

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
271
600-
%.
400-
Рис. 7.35. Чисто ионные моды Бернштейна; сравнение теории с
экспериментом, проводившимся на Q-машине. [Из работы: Schmidt J. P. M., Phys. Rev.
Lett., 31, 982 A973).]
жение /„ (b) при малых b. В результате мы придем к следующему
равенству:
1
О
Z
rial
tn=2
К Ф/2)
п—\
(со2_п2й2с)
О. G.158)
При b = 0 сумма здесь обращается в нуль, а оставшиеся члены
равны величине S, определенной в приложении Б. Условие 5 = 0
дает верхнюю и нижнюю гибридные частоты [см. выражения,
следующие за соотношениями D.70I. Таким образом, при k± -> 0
низкочастотный корень дисперсионного уравнения стремится к goj.
При конечных b и со ж nQc один из членов суммы в G.158) может
скомпенсировать электронный член, так что корни дисперсионного
уравнения будут находиться вблизи гармоник ионной
циклотронной частоты. В этом случае дисперсионные зависимости co/Qe от
k±ru напоминают кривые для электронных мод, изображенные на
рис. 7.34. На рис. 7.35 показано поведение двух наинизших корней
для ионных мод, а также экспериментальные данные,
подтверждающие справедливость дисперсионных уравнений.
Нижняя ветвь дисперсионного уравнения для мод Бернштейна
проявляется в виде так называемой обратной волны; для нее кривая
со (k) имеет отрицательный наклон. Это указывает на то, что
групповая скорость волны противоположна по направлению фазовой.
Обратные волны действительно существуют. Это было
подтверждено в лабораторных экспериментах не только путем измерений за-

272
Гл. 7. Кинетическая теория
Рис. 7.36. Нейтрализованные ионные моды Бернштейна; сравнение теории
с экспериментом в высокочастотном разряде гелия. [Из работы: Ault E.,
Ikezi #., Phys. Fluids, 13, 2874 A970).]
висимости со от k, но и данными интерферометрии, которые
подтвердили, что фазовые фронты в такой волне движутся в обратном
направлении — от приемника к передатчику.
В заключение рассмотрим нейтрализованные моды Бернштейна,
для которых toe мало и Z' (£0е) « — 2. Электронный член в
уравнении G.156) при п = 0 оказывается равным kue- Считая, что
неравенство tot i> 1 по-прежнему выполняется, можно повторить
выкладки, с помощью которых было получено уравнение G.157);
при этом уравнение G.156) принимает вид
К 1 +
k2
Qi
е
-bh{b)
+ P
о»
2 _
— e
b
v-
oo
T
CO2-CO*
Inib)
(co/nQc —
- +
02
= 0, G.159)
а при kz <^ kx для нейтрализованных ионных волн Бернштейна
можно записать следующее приближенное соотношение:
2л 2
1+^ль
1
Q2
i__,
Z
л=1
(co/nQc-lJ
-=0.
G.160)

7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле
273
Заметим, что теперь Ad вычисляется по электронной температуре,
в то время как чисто ионные моды Бернштейна не зависят от К.Т
[см. соотношение G.157) ]. Если величина k Ad мала, то выражение,
стоящее в формуле G.160) в квадратных скобках, должно быть
велико, а это возможно только вблизи резонанса со « nQc. Таким
образом, нейтрализованные моды оказываются нечувствительными
к нижнегибридному резонансу со ж со;. Действительно, при
k±rLi ->- 0 огибающая дисперсионных кривых приближенно
описывается дисперсионным уравнением D.67) для электростатических
ионно-циклотронных волн. Следовательно, в гидродинамическом
пределе нейтрализованные волны переходят в ионно-циклотронную
волну.
Нейтрализованные моды Бернштейна исследованы
экспериментально не столь хорошо, как чистые моды Бернштейна. Один из
случаев наблюдения нейтрализованной моды в эксперименте
показан на рис. 7.36.

Глава 8
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
8.1. Введение
До сих пор наше внимание было привлечено почти исключительно
к линейным явлениям, т. е. к процессам, описываемым уравнениями,
в которые зависимые переменные входят в степени не выше первой.
В частности, весь анализ волн, выполненный в гл. 4, был основан
на процедуре линеаризации, при проведении которой считалось,
что члены высоких порядков малы и ими можно пренебречь. Это
позволяло нам рассматривать только отдельные фурье-компоненты
в полной уверенности, что всякую несинусоидальную волну можно
представить как соответствующую сумму фурье-компонент. Такое
приближение справедливо лишь до тех пор, пока амплитуда волны
достаточно мала и ее можно описать линейным уравнением.
К сожалению, во многих экспериментах ко времени начала
наблюдений волны уже нельзя описывать с помощью линейной
теории. Рассмотрим, например, дрейфовые волны. Такие волны
являются неустойчивыми, и поэтому в соответствии с линейной
теорией их амплитуды должны экспоненциально возрастать со
временем. В период роста эти волны чаще всего не наблюдаются,
поскольку обычно не ясно, когда же именно начинать наблюдения;
колебания видят уже после того, как их амплитуды выросли до
больших стационарных значений. Прекращение роста колебаний
означает, что линейная теория уже несправедлива и рост
амплитуды волны ограничивается каким-то нелинейным механизмом.
Теоретическое объяснение этого простого экспериментального факта
оказалось на удивление сложной задачей, поскольку амплитуды
волн в состоянии насыщения весьма малы.
Если амплитуда волны велика, то она может испытать целый
ряд модификаций. Может измениться форма волны; скажем, из
синусоидальной она может стать пилообразной. Иными словами,
в системе могут генерироваться фурье-компоненты с другими
частотами (или волновыми числами). В конечном счете волна может
«опрокинуться» подобно набегающей на берег океанской волне.
Энергия волны при этом переходит в тепловую энергию частиц.
Волна большой амплитуды может захватить частицы в связанные

8.1. Введение 275
Рис. 8.1. Неустойчивая функция распределения электронов с двумя
максимумами.
с волной потенциальные ямы, изменяя таким образом свойства
среды, в которой она распространяется. С этим явлением мы уже
встречались при анализе нелинейного затухания Ландау. Если
плазма находится в сильно возбужденном состоянии, так что в ней
наблюдаются колебания с непрерывным спектром частот, то ее
называют турбулентной. Для описания такого состояния плазмы
нужно привлекать статистические методы, подобные тем, которые
используются в обычной гидродинамике. Важным следствием
плазменной турбулентности является аномальное сопротивление, когда
движущиеся электроны замедляются не из-за столкновений с ионами,
а вследствие рассеяния на хаотических флуктуациях
электрического поля. Это явление используется для омического нагрева
плазмы (разд. 5.6.3) до высоких температур, при которых обычное
сопротивление является недостаточным.
Нелинейные явления можно разбить на три большие группы.
1. Существенно нелинеаризуемые задачи. К ним, в частности,
относится нелинейная задача о диффузии в полностью
ионизованном газе (разд. 5.8), поскольку в этом случае коэффициент
диффузии зависит от плотности. Как показано в разд. 6.1, нелинейными
являются также задачи о равновесии плазмы в МГД-приближении.
Еще один пример подобной задачи будет дан в разд. 8.2, где речь
пойдет о таких важных объектах, как плазменные слои.
2. Взаимодействие волна — частица. Примером такого
взаимодействия является захват частиц (разд. 7.5), который может
привести к нелинейному затуханию. Классическим примером служат
также квазилинейные эффекты, вызывающие изменение
равновесного состояния плазмы из-за присутствия в ней волн. Рассмотрим
плазму, в которой имеется электронный пучок (рис. 8.1). Поскольку
функция распределения частиц содержит область с
положительными значениями dfQ/dv, знак декремента затухания Ландау в этом
интервале скоростей изменяется на противоположный. Как
следствие плазменные колебания, фазовые скорости которых v$ лежат
в этой области, станут неустойчивыми [см. формулу G.67)]. В
первую очередь взаимодействие таких неустойчивых волн с частицами

276
Гл. 8. Нелинейные явления
скажется на резонансных электронах — под действием волновых
электрических полей их функция распределения изменится. Рост
волн остановится только после того, как в результате их
взаимодействия с частицами функция распределения fe (v) станет
совершенно плоской, как показано штриховой линией на рис. 8.1, т. е.
установится новое состояние равновесия, при котором у функции
распределения уже не будет областей с положительной
производной. Это и есть типичный квазилинейный процесс. Другим
примером взаимодействия волна — частица является так называемое
плазменное эхо, которое мы рассмотрим в разд. 8.6.
3. Взаимодействие волна — волна. Взаимодействие волн друг
с другом можно описать уже в рамках гидродинамических
уравнений, которые не учитывают эффекты, связанные с отдельными
плазменными частицами. Прежде всего плазменная волна может
генерировать другие волны на гармониках основной частоты.
Затем гармоники могут взаимодействовать друг с другом и с
первичной волной, в результате чего на частотах биений будут возникать
новые волны. В свою очередь волны, частоты которых отвечают
этим биениям, могут вырасти до такого большого уровня, что
начнут взаимодействовать друг с другом, создавая все новые и новые
волны, и в конце концов спектр колебаний станет непрерывным.
Интересно выяснить, в каком направлении будет перекачиваться
энергия по спектру волн в турбулентной плазме. В гидродинамике,
как известно, длинноволновые моды распадаются на
коротковолновые, поскольку большие вихревые образования обладают большими
запасами энергии и могут распадаться только на вихри меньших
размеров, каждый из которых содержит меньшее количество
энергии. Кинетическая энергия движения жидкости в малых вихрях
в конце концов из-за затухания, вызванного вязкостью, переходит
в тепло. В плазме процесс перекачки энергии чаще всего идет в
противоположном направлении: коротковолновые моды стремятся
слиться в длинноволновые, поскольку последние обладают
меньшими запасами энергии. Это связано с тем, что плотность энергии
электрического поля в колебаниях равна Е2/8п = k2<f>2/8n и при
фиксированных еф (обычно еф = КТе) моды с меньшими k
(большими X) имеет меньшую энергию. Как следствие энергия
плазменных волн, созданных неустойчивостями при больших k, будет
переноситься в область меньших k, где должен существовать некий
механизм диссипации энергии. При больших k искать такой
механизм не надо — это затухание Ландау. В случае малых k дело
обстоит сложнее. Оказывается, что при движениях вдоль магнитного
поля таким механизмом является нелинейная «модуляционная»
неустойчивость, в результате развития которой энергия волн
с малыми k передается ионам и идет на их нагрев. В случае
поперечных движений самые крупные вихри имеют размеры порядка
размеров самой плазмы и затухают из-за ее выноса на стенки установки
вследствие конвекции.

8.2. Слои в плазме
277
Хотя в линейной теории волн и неустойчивостей еще
существуют нерешенные проблемы, исследования по физике плазмы
сейчас ведутся главным образом в области гораздо менее
понятных нелинейных явлений. Примеры, которые будут приведены в
последующих разделах, дадут представление о некоторых
нелинейных эффектах, изучаемых теоретическими и экспериментальными
методами физики плазмы.
8.2. Слои в плазме
8.2.1. Почему в плазме возникают слои?
Во всех применяемых на практике плазменных установках плазма
удерживается в вакуумных камерах конечных размеров. Что
происходит с плазмой у стенки такой камеры? Рассмотрим для
простоты одномерную модель, описывающую плазму без магнитного
поля (рис. 8.2). Предположим, что электрическое поле в плазме
отсутствует; тогда потенциал ф внутри нее можно считать равным
нулю. Когда электроны или ионы ударяются о стенку, они на ней
рекомбинируют и в плазму не возвращаются. Поскольку тепловая
скорость у электронов намного выше, чем у ионов, потеря
электронов происходит гораздо быстрее и в плазме накапливается
свободный положительный заряд. Вследствие этого потенциал плазмы
относительно стенки должен стать положительным, т. е. потенциал
стенки фю будет меньше нуля. Перепад потенциалов между стенкой
и плазмой не может распределиться по всему объему плазмы,
поскольку из-за дебаевского экранирования (разд. 1.4) изменение
потенциала должно происходить у стенки в области толщиной в
несколько дебаевских радиусов. Эта область, которая должна сущест-
Рис. 8.2. Вблизи стенок потенциал еф Рис. 8.3. Распределение потенциала
образует слои, которые отражают Ф в плоском слое. Предполагается,
электроны плазмы. Кулоновский ба- что холодные ионы проникают в слой,
рьер ei>w подстраивается так, что о имея постоянную скорость и0.
стенку каждую секунду ударяется
равное число электронов и ионов.

278
Гл. 8. Нелинейные явления
вовать у любой холодной стенки, граничащей с плазмой, и
называется плазменным слоем. Такой слой создает потенциальный
барьер, благодаря которому в плазме за счет электростатических
сил удерживаются более подвижные частицы (обычно это
электроны). Высота потенциального барьера подстраивается таким
образом, чтобы поток электронов, энергия которых достаточно
велика для преодоления этого барьера и выхода на стенку, был в
точности равен потоку достигающих стенки ионов.
8.2.2. Плоский слой
В разд. 1.4 для анализа дебаевского экранирования и определения
дебаевского радиуса мы пользовались линеаризованным
уравнением Пуассона. Для того чтобы выяснить, как ведет себя
потенциал ф (х) в слое, нужно решить линейную задачу. (Как будет
показано ниже, ее решение существует не всегда.) На рис. 8.3
изображено распределение потенциала вблизи стенки. Пусть ионы
создаются в основном объеме плазмы посредством ионизации и
попадают из него в слой, имея в плоскости х = 0 направленную
скорость и0. Такое движение ионов должно компенсировать их потери
из-за рекомбинации на стенке. Для простоты будем считать, что
Tt = 0; иными словами, скорость ионов в плоскости х — 0 равна
v = uQ. Мы будем анализировать задачу о стационарном слое без
учета столкновений, считая, что потенциал ф монотонно
уменьшается с увеличением х. В действительности потенциал ф может
иметь внутри слоя локальные максимумы, и тогда в стационарном
случае в слое могут существовать захваченные частицы. Однако
на практике этого не происходит, поскольку диссипативные
процессы стремятся разрушить эту столь «высокоорганизованную»
структуру.
Пусть и (х) — скорость ионов. Тогда из закона сохранения
энергии мы имеем
— Ми2 =— МиЪ—еф (х), (8.1)
и = (и1—2еф/мУ2. (8.2)
Из уравнения непрерывности для ионов плотность ионов tit можно
выразить через плотность фоновой плазмы п0:
n0u0 = rii(x)u(x), (8.3)
щ (х) = п0 A — 2еф/Ми1)~12. (8.4)
В стационарном состоянии электроны будут подчиняться
распределению Больцмана:
пе(х)=п0ехр{еф!КТе). (8.5)

8.2. Слои в плазме 279
С учетом этого уравнение Пуассона можно записать в виде
e0d*<j>/dx* = е(пе-гц) = ещ Гехр (-**-}- A - "^Т'*] ' <8-6>
Структура этого уравнения станет более понятной, если его
упростить, перейдя к безразмерным переменным
КТе ^ \ е0КТе ) {KTjMf2
(8.7)
В этих переменных уравнение (8.6) принимает следующий вид:
^-О + ^Г--*- (88)
где штрих означает производную &1&\. Это — нелинейное
уравнение, которое описывает распределение потенциала в плоском слое;
его решение имеет смысл, только если число Ж достаточно велико.
(В разделе, посвященном ударным волнам, выяснится, почему мы
обозначили отношение скоростей через Ж)
8.2.3. Критерий Бома для образования слоев
Умножив обе части уравнения (8.8) на %', его можно один раз
проинтегрировать:
\ xY'dSi = 5A + -Jr)2 Л - \ e~V dei, (8.9)
0 0 0
где |х — переменная интегрирования. Интегрирование легко
выполнить, если учесть, что при g — 0 функция %=0:
4-(x'2-Xo2)=-#2[(l+-^),2-l]+e-,'-l. (8.10)
Если электрическое поле в плазме отсутствует (Е = 0), то мы
должны считать, что при £ — 0 величина %о также обращается в
нуль. Второе интегрирование и определение % должно выполняться
численно. Следует, однако, отметить, что независимо от того,
какой получится ответ, правая часть уравнения (8.10) должна быть
положительна при любом %. В частности, если считать, что % < 1,
и разложить правую часть уравнения (8.10) в ряд Тейлора
[' +
X 1 X3 .
Лг 2 Ж* '
+ ~t + • •
...->]+>-
. —1>0,
-эс +

280
Гл. 8. Нелинейные явления
ni2\uQ>{KTe/MI/2~\
пи\и0<(КТе/МI/г]
К стенке
Х=-еф/КТе
Рис. 8.4. Зависимости плотностей ионов и электронов в плазменном слое ог
нормированного потенциала % (в логарифмическом масштабе). График
плотности ионов построен для двух случаев: и0 больше критической скорости
и «о меньше ее.
то получим
т*2(-^к + 1)>0'
Л2>\ или UoXKTJMy'2. (8.11)
Это неравенство называется критерием Бома для образования слоев.
Из него следует, что скорость входящих в слой ионов должна
превышать скорость звука vs. Чтобы разогнать ионы до скорости и0,
в плазме должно существовать электрическое поле конечной
величины. Поэтому наше предположение о том, что при £ = 0
величина %' — 0, является лишь приближенным. Оно справедливо
только потому, что размер слоя обычно много меньше размеров
основной плазменной области, в которой происходит ускорение
ионов. Величина и0 является до некоторой степени произвольной,
поскольку она зависит от того, где мы поместим границу х = 0
между слоем и плазмой. Ясно, однако, что, поскольку поток ионов
п0и0 определяется скоростью их генерации внутри плазмы и
потому является константой, при изменении и0 величина п0 при х = 0
будет обратно пропорциональна и0. Отметим также, что если
температура Ti отлична от нуля, то критическая скорость и0
оказывается несколько ниже vs.
Физический смысл критерия Бома легко понять, если построить
графики зависимостей концентраций ионов и электронов от
величины х (рис. 8.4). В соответствии с уравнением Больцмана
плотность электронов экспоненциально убывает с ростом %. Плотность
ионов также уменьшается с ростом %, поскольку они ускоряются
потенциалом слоя. Если начальная скорость ионов достаточно
велика, то связанное со слоем электрическое поле мало меняет их
скорости и уменьшение плотности ионов происходит медленно.
Если же начальная энергия ионов невелика, то nt- (%) уменьшается
быстро и при некоторых % кривая щ (%) может пройти под кривой

8.2. Слои в плазме
281
пе {%). В этом случае вблизи точки % = 0 разность пе—rit является
положительной и из уравнения (8.6) следует, что кривая ф (х)
должна быть вогнутой, а это противоречит требованию о том, что
слой должен отражать электроны. Чтобы такого противоречия не
возникало, наклон кривой nt (%) в точке % = 0 по абсолютному
значению должен быть меньше, чем наклон кривой пе (%); это
условие тождественно требованию Ж%>\.
8.2.4. Закон Чайлда—Ленгмюра
Поскольку пе (%) экспоненциально уменьшается с ростом %, в
области больших х, которая находится близко к стенке (или к любому
отрицательно заряженному электроду, помещенному в плазму),
плотностью электронов можно пренебречь и уравнение Пуассона
можно приближенно записать в виде
х" ~ 0+~жУ12 ~ ж1{2г){ 2- (8-12)
Умножив его на % и проинтегрировав от £х = £s до £х = £, имеем
-^(г'-ь,) = л/2л(л1а-Л'г)- (8.13)
Здесь |s отвечает той точке, начиная с которой мы пренебрегаем
вкладом пе в уравнение Пуассона. Можно переопределить
функцию х и считать, что при | = |s величина %s равна нулю. Мы можем
также пренебречь величиной %s поскольку следует ожидать, что
наклон кривой, описывающей распределение потенциала в области
пе = 0, значительно меньше, чем наклон этой кривой в области,
где концентрация пе конечна. В этом приближении уравнение
(8.13) принимает следующий вид:
x'2 = 232y#xU, X=23VV4 (8.14)
или
dtly\A^2^Mx4l. (8.15)
Интегрируя последнее равенство от| = ^5до| = |5+ d/XD= lw
(нижний индекс w означает, что значение соответствующей
величины берется у стенки), имеем
^-xi4 = 23V2rfAD, (8.16)
откуда находим
Ж = D У279) (xiX/d2). (8.17)
Возвращаясь к переменным и0 и ф и замечая, что ток, переносимый
движущимися к стенке ионами, равен J = enQu0, приходим к
выражению
J = D!9)Be/My*M<f>w\**Id*). . (8.18)

282
Гл. 8. Нелинейные явления
Это — хорошо известный закон Чайлда—Ленгмюра для тока в
плоском диоде, ограниченного пространственным зарядом.
Таким образом, распределение потенциала в системе плазма —
стенка можно разделить на три области. Ближе всего к стенке
расположена свободная от электронов область, толщину которой d
можно найти из условия (8.18), считая, что J определяется
скоростью генерации ионов внутри плазмы, а потенциал <j>w находится
из условия равенства ионного и электронного потоков. К этой
области примыкает другая, в которой пе Ф 0. Как показано
в разд. 1.4, толщина последней области порядка дебаевского
радиуса экранирования. Наконец, в плазме существует так
называемый предслой, имеющий значительно большие размеры, в котором
ионы ускоряются до необходимой скорости разностью потенциалов
\ф\~> A/2) KTJe. В зависимости от условий эксперимента размер
предслоя может определяться размерами установки, средней
длиной свободного пробега или механизмом ионизации частиц.
Разумеется, в реальной системе распределение потенциала является
плавным; разделение на упомянутые три области вызвано лишь
соображениями удобства и стало возможным лишь благодаря тому,
что размеры этих областей существенно различны. В ранних
экспериментах по газовым разрядам плазменные слои наблюдались
в виде темных областей, в которых отсутствовали электроны,
возбуждающие атомы и вынуждающие их излучать энергию. Профиль
потенциала в таких экспериментах измерялся по отражению в
электрическом поле тонкого пучка электронов, выстреливаемого
параллельно стенке газоразрядной трубки.
8.2.5. Электростатические зонды
Критерий образования слоя [(8.11) ] можно использовать для оценки
потока ионов, попадающих на помещенный в плазму зонд, который
находится под отрицательным потенциалом. Пусть площадь
поверхности зонда равна А, а попадающие на зонд ионы имеют
направленную скорость п0 > (КТе1МУ12; тогда собираемый зондом
ионный ток равен
/ =-- п&еА {KTJMf2. (8.19)
Если зонд заряжен до значительного потенциала относительно
плазмы (в несколько раз больше, чем KTJe) и отталкивает все
электроны, кроме самых быстрых частиц из хвоста максвелловского
распределения, то электронным током, текущим через зонд, можно
пренебречь. В формуле (8.19) величина ns представляет собой
плотность плазмы у внешней границы слоя. Будем считать, что эта
граница расположена в том месте, где скорость и0 в точности равна
(KTJMI2. Для ускорения ионов до такой скорости необходимо,
чтобы в предслое существовал потенциал \Ф\> A/2) KTJe; при

8.2. Слои в плазме
283
этом потенциал на границе слоя относительно плазмы будет равен
ф£ъ -—KTJe. (8.20)
Считая, что электроны являются максвелловскими, определим
отсюда ns:
п3 = п0ехр{еф8/КТе)==п0е-12 = 0,Ш0. (8.21)
С достаточной для наших целей точностью можно заменить 0,61 на
1/2; при этом ионный ток, текущий в состоянии насыщения через
отрицательно заряженный зонд, будет определяться
приближенным равенством
/в « — щеЛ (КТе/МI'2. (8.22)
Ток /в иногда называют «бомовским» током. Зная эту величину
и температуру плазмы, легко найти ее плотность.
Если дебаевский радиус A,D и, следовательно, толщина слоя
много меньше размеров зонда, то площадь внешней поверхности
слоя будет близка к площади поверхности зонда А, независимо от
формы последнего. При низких плотностях плазмы величина Яс
становится большой, так что некоторые из попадающих в слой ионов
могут обогнуть зонд и не попасть на него. Расчеты траекторий
движения частиц при различных формах зондов впервые были
выполнены Ленгмюром и Тонксом, поэтому прибор для измерения
плотности плазмы таким методом называется ленгмюровским зондом.
Несмотря на то что такие вычисления являются очень
громоздкими, они позволяют достаточно точно определить плотность
плазмы, поскольку при таком анализе нет необходимости вводить
в рассмотрение понятие о границе слоя, которое, конечно же,
является условным. Изменяя напряжение, подаваемое на зонд,
который помещен в плазму с максвелловским распределением частиц
по скоростям, можно построить вольт-амперную характеристику
прибора и определить по ней электронную температуру плазмы.
Электростатический (ленгмюровский) зонд был первым
устройством, предназначенным для диагностики плазмы, и до сих пор
остается самым простым и компактным измерительным прибором
подобного рода. К сожалению, эти зонды можно использовать только
для измерения параметров холодной плазмы низкой плотности.
Задачи
8.1. Зонд, собирающая поверхность которого представляет собой квадрат
из танталовой фольги размерами 2X2 мм, помещен в плазму, состоящую
из электронов и однократно ионизованных атомов аргона (атомная масса 40).
В состоянии насыщения через зонд течет ток 100 мкА. Пусть электронная

284
Гл. 8. Нелинейные явления
температура плазмы КТе = 2 эВ. Какова примерно плотность плазмы?
(Указание: ионы попадают на обе стороны зонда1)
8.2. На геостационарной орбите находится спутник, площадь солнечных
батарей которого равна 10 км2. Он окружен водородной плазмой плотностью
10_6 м-3 и температурой 1 эВ. Во время солнечной бури спутник
бомбардируется высокоэнергетическими электронами, в результате чего он заряжается
до потенциала — 2 кВ. Рассчитайте величину потока высокоэнергетических
ионов, проходящего через 1 м2 солнечных батарей.
8.3. Критерий образования слоя (8.11) выведен для случая плазмы с
холодными ионами. Пусть теперь функция распределения ионов по скоростям имеет
тепловой разброс, а средняя направленная скорость ионов по-прежнему
равна и0. Не производя математических выкладок, укажите, будет ли
пороговая величина скорости выше или ниже бомовского значения. Почему?
8.4. Анализатор скорости ионов представляет собой цилиндр из
нержавеющей стали диаметром 5 мм, один торец которого закрыт тонкой танталовой
сеткой (пусть это будет сетка 1). За этой сеткой (внутри цилиндра) находится
еще ряд параллельных сеток. Потенциал сетки 1 «плавает» — она не
подсоединена ни к какому источнику. На сетку 2 подано отрицательное
смещение, в результате чего она отражает все электроны, прошедшие через сетку 1,
но пропускает ионы. Сетка 3 служит для анализа частиц; на нее подается
такое смещение, чтобы замедлить ионы, которые были ускорены сеткой 2.
Те ионы, которые смогли пройти через сетку 3, собираются коллектором.
Сетка 4 служит для подавления потока эмиттируемых с поверхности
коллектора вторичных электронов: она заворачивает их обратно к коллектору.
Если плотность плазмы достаточно велика, то вблизи сетки 3 может
происходить накопление пространственного заряда, поскольку плотность ионов
там столь велика, что перед сеткой 3 образуется горб потенциала, который
отражает ионы и не позволяет им приблизиться к третьей сетке. Пользуясь
законом Чайлда—Ленгмюра, оцените максимальный ток, который может
течь через коллектор в случае гелиевой (Не+) плазмы, если диаметр
коллектора равен 4 мм, расстояние между сетками 2 и 3 равно 1 мм, а разность
потенциалов между ними составляет 100 В.
8.3. Ионно-звуковые ударные волны
Если реактивный самолет движется быстрее звука, то перед ним
возникает ударная волна. Она представляет собой существенно
нелинейное явление, так как наблюдается уже в виде
оформившегося образования; период роста из состояния с малой амплитудой
у такой волны отсутствует. Поскольку скорость самолета
превышает скорость распространения волн в воздухе, не существует
сигналов, которые могли бы «предупредить» невозмущенную среду
перед самолетом о том, что на нее надвигается ударная волна.
Определяющим процессом в гидродинамике ударных волн являются
столкновения. В плазме ударные волны существуют даже в
отсутствие столкновений. В частности, межпланетная плазма, обтекая
Землю по силовым линиям ее магнитного поля, образует
магнитную ударную волну, напоминающую по форме изогнутый лук.
Рассмотрим в качестве примера более простую бесстолкновитель-
ную одномерную ударную волну, которая образуется из ионно-
звуковой волны большой амплитуды.

8.3. Ионно-звуковые ударные волны
285
8.3.1. Потенциал Сагдеева
На рис. 8.5 изображен идеализированный профиль потенциала
в ионно-звуковой ударной волне. Пусть волна движется влево со
скоростью и0. Если перейти в систему отсчета, движущуюся вместе
с волной, то функция ф (х) не будет зависеть от времени, а поток
плазмы будет набегать на ударную волну слева со скоростью и0.
Положим для простоты Т{ = 0, так что все ионы падают на волну
со скоростью и0. Электроны будем считать максвелловскими.
Поскольку скорость ударной волны много меньше тепловой скорости
электронов, сдвигом максвелловского распределения на величину и0
можно пренебречь. Из закона сохранения энергии следует, что
скорость ионов внутри ударной волны определяется соотношением
ы=^-^)'2- (8.23)
Пусть плотность невозмущенной плазмы равна п0, тогда профиль
плотности ионов в ударной волне имеет вид
„,= ^^0Л^>Г12. (8.24)
Плотность электронов удовлетворяет уравнению Больцмана.
Распределение потенциала в ударной волне определяется уравнением
Пуассона
-^-^-^-["Ч^-О-^ГТ (8'25)
которое аналогично уравнению (8.6), определяющему ход
потенциала в плазменном слое. Другими словами, ударная волна
представляет собой не что иное, как слой, движущийся через плазму.
Введем безразмерные переменные:
X = + еф/КТе, I = xAD, Jt=u0/(KTe/My2. (8.26)
* Вверх
по течению
—*-"о / \
Вниз
по течению
О х
Рис. 8.5. Типичное распределение потенциала в^ионно-звуковой ударной
волне. Волна движется в левую сторону, поэтому в системе отсчета,
связанной с волной, ионы налетают на нее слева со скоростью и0.

286
Гл. 8. Нелинейные явления
Заметим, что, определяя %, мы заменили знак этой величины на
противоположный [ср. (8.7) ], с тем чтобы %, как и в задаче о слое,
была положительной. Величина Ж называется числом Маха. В
новых переменных уравнение (8.25) записывается в виде
J^ = e*-(\--^-Tli2^ _^М_. (8.27)
di2 \- Ж2) йг к
Это уравнение отличается от уравнения (8.8) лишь знаком
величины %.
Р. 3. Сагдеев объяснил поведение решения уравнения (8.27),
пользуясь аналогией с движением частицы, осциллирующей в
потенциальной яме. Для частицы, на которую действует сила
— т dV(x)ldx, смещение х определяется уравнением
d2x/dt2= — dVldx. (8.28)
Если правую часть уравнения (8.27) обозначить через — dV/d%f
то оно станет тождественным уравнению движения осциллятора,
причем потенциал % будет играть роль х, а производная dld\
заменит dldt. Квазипотенциал V (%) иногда называют потенциалом
Сагдеева. Функцию V (%) можно найти из уравнения (8.27),
интегрируя его с учетом граничного условия V (%) = 0 при % = 0:
V(x)=l-ex + jr2[l-(l--^I2]. (8.29)
При определенных значениях Ж график функции V{%) имеет такой
вид, как показано на рис. 8.6. Если бы это была обычная яма, то
частица, попав в нее слева при х = 0, дошла бы до правого края
ямы, отразилась и вернулась бы к точке х ~ 0, совершив таким
образом внутри ямы одно колебание. По аналогии и в нашем
случае квазичастица совершит такое же движение: она дойдет до
некоторого положительного % и вернется к % = 0 (рис. 8.7).
Подобное импульсное распределение потенциала или плотности
называется солитоном; в нашем случае он движется влево со
скоростью и0.
Пусть теперь частица при движении в яме теряет энергию, тогда
она никогда не вернется в точку х = 0, а будет стечением времени
совершать колебания около некоторой точки х^>0. Аналогично
небольшое затухание вызовет пространственные осцилляции
потенциала в ударной волне вокруг некоторого положительного
значения ф, что и показано на рис. 8.5. В действительности для
создания такого распределения в системе не обязательно должна
существовать диссипация; тот же эффект дает отражение ионов от
фронта ударной волны. Чтобы понять это, допустим, что ионы
имеют малый тепловой разброс по энергиям, а высота
потенциального барьера в волне ej> достаточно велика для того, чтобы часть
ионов от него отразилась и ушла влево, а часть перевалила через

8.3. Ионно-звуковые ударные волны 287
о
Рис. 8.6. Потенциал Сагдеева V (%). Верхняя стрелка соответствует
траектории движения квазичастицы, которая соответствует солитону. Эта
квазичастица отражается от барьера и возвращается к началу координат. Нижние
стрелки показывают траекторию движения квазичастицы, которая теряет
свою энергию и оказывается захваченной в потенциальную яму. Движение
такой квазичастицы взад-вперед в потенциальной яме описывает осцилляции
за фронтом ударной волны.
барьер и продолжала бы движение в правую сторону. Из-за
наличия отраженных ионов плотность плазмы вверх по течению от
ударной волны (на рис. 8.5 слева от нее) увеличится. Отсюда следует,
что величина
X^-Ljfo-n,)^ (8.30)
п0 0 •
уменьшится. Поскольку %' является аналогом dx/dt, это значит,
что наш воображаемый осциллятор теряет энергию и оказывается
захваченным в потенциальную яму (рис. 8.6).
8.3.2. Критические числа Маха
Решения типа солитонов или волновых пакетов существуют только
при определенных значениях Ж. Нижний предел этих чисел
определяется из условия, что функция V (%) должна описывать именно
яму, а не горб потенциала. Разложение правой части (8.29) в ряд
при х С 1 Дает условие
^2-(Х2/2лГ)>0, JT2>1, (8.31)
которое и с физической, и с математической точки зрения совпада.
ет с бомовским критерием образования слоев [формула (8.11)].
•о-
а: {или £)
Рис. 8.7. Распределение потенциала в движущемся слева солитоне.

288
Гл. 8. Нелинейные явления
Верхний предел значений Ж определяется тем обстоятельством,
что для существования потенциальной ямы функция V (%) должна
пересекать ось % при % >0; в противном случае квазичастица не
сможет отражаться, а потенциал будет неограниченно расти. Как
видно из формулы (8.29), для этого необходимо, чтобы при
некотором % >>0 удовлетворялось неравенство
е*-1<.*«[1-A--^.)"]. (8.32)
Пусть число Маха больше нижнего критического (Ж>>1); тогда
при малых % левая часть неравенства (8.32), которая представляет
собой интеграл от электронной плотности по потенциалу в
пределах от нуля до х, будет больше, чем его правая часть, отвечающая
аналогичному интегралу от плотности ионов. Если число Ж2
не очень велико, то с ростом х правая часть может стать больше
левой. Однако х не может расти до бесконечности; его
максимальное значение определяется из условия неотрицательности
подкоренного выражения: Хм?кс = Ж2/2. Физически это связано с тем,
что величина еф не может превышать A/2) Ми0; в противном случае
ионы не смогут проникнуть за ударную волну. Подставляя Хмгкс
в неравенство (8.32), приходим к условию
exp(jt2/2)— \<Ж\ Ж<\£, (8.33)
которое определяет верхний предел чисел Маха. Таким образом,
ударные волны в плазме с холодными ионами существуют только
при 1 <Ж <1,6.
Как и при анализе плазменных слоев, физическую причину
этого лучше всего понять с помощью графиков зависимостей nt
и пе от х (рис. 8.8). Поскольку мы сменили знак в определении %,
эти графики отличаются от тех, которые изображены на рис. 8.4.
niz(M>1,6)
О Х = еф/КТе MZIZ
Рис. 8.8. Зависимость
плотностей ионов и электронов от
нормированного потенциала % Для
солитонного решения
(логарифмическая шкала). Плотность
ионов изображена для двух
случаев: в первом число Маха Ж<_
v, 1,6, во втором — Ж^> 1,6.
Нелинейная волна
Рис. 8.9. Ионно-звуковая волна
большой амплитуды со временем укручается,
так что передние кромки горбов
становятся круче задних.

8.3. Ионно-звуковые ударные волны
289
Ионы теперь не ускоряются, как в случае плазменного слоя, а
замедляются, поэтому при %->-Ж212 имеем nt -»- оо. Поскольку
Ж <1,6, при малых % кривая пс (%) лежит под кривой пе (%) и
кривизна функции ф (х) имеет требуемый знак. При значениях %,
соответствующих условию tii = ne, потенциал ф в солитоне имеет
точку перегиба (рис. 8.7). Наконец, если % настолько велико, что
площади под кривыми пе (%) и tii (%) становятся одинаковыми, то
потенциал солитона ф достигает максимума, после чего ф
начинает уменьшаться и убывает до нуля, а плотности частиц тоже
стремятся к нулю, двигаясь по тем же кривым ti{ (%) и пе (%). Из
условия равенства площадей под кривыми следует, что полный
заряд солитона равен нулю; следовательно, вне солитона
электрическое поле отсутствует. Числу Маха Ж>\,6 соответствует такая
кривая я*2, площадь под которой слишком мала и не может
уравновесить вклад от электронов даже в том случае, когда % = Хмакс =
= Ж2/2.
8.3.3. У кручение волны
Пусть в плазме с холодными ионами распространяется ионно-зву-
ковая волна. Ее фазовая скорость определяется выражением D.42)
и соответствует числу Маха Ж = 1. Каким образом из нее можно
образовать ударную волну с Ж >1? Для того чтобы ответить на
этот вопрос, вспомним, что формула D.42) была получена в
линейном приближении и справедлива лишь для волн малой амплитуды.
Оказывается, с ростом амплитуды скорость ионно-звуковой волны
возрастает. Меняется и ее форма: из синусоидальной волна
превращается в пилообразную; передние кромки у бегущих вправо
горбов становятся круче (рис. 8.9). Это связано с тем, что
электрическое поле волны ускоряет ионы. Рассмотрим более подробно
механизм такого процесса. На рис. 8.9 ионы, находящиеся у пика
распределения потенциала, имеют более высокую скорость в
направлении иф, чем частицы, находящиеся в яме, поскольку первые
были ускорены только что прошедшим мимо них максимальным
значением потенциала. Это различие в скоростях частиц
учитывается и в рамках линейной теории, однако вытекающими из него
различиями в положениях частиц линейная теория пренебрегает.
В нелинейной теории нетрудно показать, что ионы, находящиеся
у пиков потенциала, будут сдвинуты вправо, а частицы,
расположенные у дна потенциальных ям,— влево, что и приведет к ук-
ручению профиля волны. Поскольку возмущение плотности
находится в фазе с потенциалом, число ионов, ускоряемых волной
вправо, превышает число частиц, которые ускоряются влево. В
результате возникает поток частиц, движущихся в направлении
распространения волны. При этом скорость волны превышает скорость
звука в невозмущенной плазме и число Маха Ж становится больше
единицы.

290
Гл. 8. Нелинейные явления
8.3.4. Результаты экспериментов
Ионно-звуковые ударные волны, похожие на ту, что изображена
на рис. 8.5, наблюдались в экспериментах Р. Тейлора, Д. Бейкера
и X. Икедзи. Для возбуждения волн был разработан специальный
w
-X L
ишшдшш&
fwM^mmw]
Л-
+*
X.
шштйштт.
чат ь
'&
V
_ Т
—т+—
W
Рис. 8.10. Схема двухплазменной установки, на которой создавались и
регистрировались ионно-звуковые ударные волны. [Из работы: Taylor R J ,
Baker D. R., Ikezi #., Phys. Rev. Lett., 24, 206 A970)].
ie m /4 m
10 8 6 b
- Расстояние, см.
Рис. 8.11. Распределение плотности в ударной волне в различные моменты
времени по результатам наблюдений в эксперименте. [Из работы: Taylor R. J.,
Baker D. R., I kezi #., Phys. Rev. Lett., 24, 206 A970).] Заметно
возникновение характерной структуры типа той, которая изображена на рис. 8.5.

8.3. Ионно-звуковые ударные волны
291
плазменный источник, так называемая двухплазменная установка,
схема которой показана на рис. 8.10. Принцип действия установки
следующий. В' двух электрически изолированных камерах с
помощью разрядов между проволочными электродами F и стенками
W создается два плазменных сгустка с идентичными параметрами.
Они разделены сеткой G, на которую подается отрицательное
смещение, вследствие чего она отталкивает электроны и по обе стороны
сетки образуются ионные слои. Между двумя камерами
пропускается импульс напряжения (обычно треугольной формы). В
результате ионы из одной камеры попадают в другую и возбуждают
там плоскую волну большой амплитуды. Эта волна регистрируется
с помощью подвижного зонда или анализатора скорости частиц Р.
На рис. 8.11 представлены результаты измерений зависимости
плотности в ударной волне от времени и положения
регистрирующего зонда. Из них видно, что при распространении фронт ионно-
звуковой волны укручается и в конце концов в системе образуется
классическая ударная волна. Столкновения между частицами
приводят к затуханию осцилляции плотности.
Задача
8.5. Вычислите максимальную скорость, которую может иметь ионно-зву-
ковая ударная волна, создаваемая в установке, изображенной на рис. 8.10,
если эксперимент ставится в аргоновой плазме с параметрами Те = 1,5 эВ,
Ti = 0,2 эВ. Какую максимальную амплитуду (в вольтах) может иметь
такая ударная волна?
8.3.5. Двойные слои
С плазменными слоями и ионно-звукозыми ударными волнами
тесно связано еще одно явление — так называемые двойные слои.
Двойной слой представляет собой неподвижный локализованный
внутри плазмы скачок потенциала, не связанный ни с какими
границами. Такое образование, как полагают, может естественным
путем возникнуть в ионосферной плазме. Название «двойной слой»
связано с тем, что для создания скачка потенциала ф (х) в плазме
должны существовать отделенные друг от друга области
положительного и отрицательного зарядов. Такой скачок потенциала
может быть стационарным в пространстве, только если в системе
имеется поток плазмы и движущийся против него фронт ударной
волны имеет в лабораторной системе нулевую скорость или если
функции распределения прошедших и отраженных от разрыва
ионов и электронов по обе стороны от скачка потенциала
специально подогнаны друг к другу. В лабораторных экспериментах
двойные слои создавались с помощью «трехплазменных» ус ано-
вок, которые похожи на двухплазменную машину, изображенную
на рис. 8.10, и отличаются от нее только третьей, безэлектродной

292
Гл. 8. Нелинейные явления
камерой, располагаемой между двумя камерами, в которых
создается плазма. Подбирая величины относительных потенциалов,
прикладываемых к трем камерам, разделенным между собой
сетками, можно создать потоки ионов и электронов, которые после
столкновения в центральной камере образуют двойной слой. В
естественных условиях двойные слои, вероятнее всего, образуются
там, где существуют градиенты магнитного поля В, а не в
однородном поле или в незамагниченной плазме, как это происходит при
их моделировании в лабораторных условиях. В локализации
двойных слоев вдали от границ плазмы значительную роль может
сыграть сила F = — \iyB [см. формулу B.38)]. Примером двойного
слоя, который образуется в результате магнитного захвата,
является так называемый тепловой барьер, существующий в тандем-
чых зеркальных ловушках.
8.4. Сила высокочастотного давления1)
Обычно давление световых волн очень мало, и зарегистрировать
его трудно. Даже пример с загадочными кометными хвостами,
образуемыми под действием солнечного излучения, не является
в этом смысле идеальным: ведь кроме излучения на комету
воздействуют и испускаемые Солнцем частицы. А вот радиационное
давление, развиваемое мощными пучками лазерного или СВЧ-излуче-
ния, с помощью которых производится нагрев и удержание плазмы,
может достигать сотен тысяч атмосфер! Давление излучения
воздействует на частицы плазмы довольно сложным образом.
Связанную с этим давлением силу называют силой высокочастотного (ВЧ)
давления. Пользуясь понятием этой силы, можно довольно просто
объяснить многие нелинейные явления.
Выражение для нелинейной силы ВЧ-давления проще всего
вывести, если рассмотреть движение электрона в осциллирующих
полях Е и В, связанных с волной. Пренебрегая постоянными
полями Е0 и В0, запишем уравнение движения электрона в виде
т {dvldt) = — е [Е (г) -f v x В (г)]. (8.34)
Если поля Е и В вычисляются в точке, где находится электрон,
то уравнение (8.34) является абсолютно точным. Что касается
нелинейности, то одним из ее источников служит член v X В,
который представляет собой величину второго порядка малости, ибо
в равновесии как v, так и В обращаются в нуль. Вследствие этого
член v X В по абсолютной величине не может превышать
произведение vx X В1? в котором векторы vx и Вх определяются из
линейной теории. Другая нелинейность, как мы увидим, возникает
вследствие того, что электрическое поле нужно вычислять в точке на-
') Ее называют также пондеромоторной силой.— Прим. пере*.

8.4. Сила высокочастотного давления
293
хождения электрона в данный момент времени, а не в той точке,
где он находился вначале. Предположим, что электрическое поле
волны имеет вид
Е = Es (r) cos oaf, (8.35)
где Es (r) — пространственное распределение поля. В первом
приближении по амплитуде волны в уравнении (8.34) можно пренебречь
слагаемым v X В и считать, что величина Е равна значению
электрического поля в точке г0, соответствующей начальному
положению частиц:
m(dv1/dt) = —eE(r0), (8.36)
Vi = —(elm®) Es sin mt ■= dxjdt, (8.37)
6ri = (e/mto2) Es cos &t. (8.38)
Следует заметить, что при вычислении нелинейных величин мы не
можем пользоваться зависимостями от времени в виде exp (i a>t),
а затем брать вещественные части получающихся функций; теперь
мы вынуждены писать временную часть в виде cos со/. Это связано
с тем, что в нелинейной теории мы будем иметь дело с
произведениями величин, а операции умножения и нахождения
вещественной части комплексного числа не коммутируют между собой.
Переходя к анализу величин второго порядка по амплитуде
волны, разложим Е (г) в ряд вблизи точки г=г0:
E(r) = E(r0)+Fr1-v)E|r=I-o+ . . . . (8.39)
В уравнении движения электрона нужно теперь учесть член
\х X Вх, где Вх определяется из уравнения Максвелла:
vxe=- а в/а/,
В=—(l/a>)vxEs|r=r0sina>tf. (8.40)
Часть уравнения (8.34), имеющую второй порядок малости, можно
записать в виде
mdv2/dt= _e[Fivv) E + Vi X Bi]. (8.41)
Подставляя выражения (8.37), (8.38) и (8.40) в уравнение (8.41)
и усредняя получающееся равенство по времени, получаем
m(d\Jdt)= —1-(e2/m©2)[(Es-v)Es + Esx(VXEs)]= fHeflHH.
(8.42)
Здесь мы воспользовались тем, что (sin2(o/> = <cos2co/> = 1/2.
Двойное векторное произведение можно записать в виде суммы
двух членов, один из которых сокращается со слагаемым (Es-v) Es.
Таким образом, мы приходим к выражению
^елин (e2/W) v£s2, (8.43)
4

294
Гл. 8. Нелинейные явления
определяющему эффективное значение нелинейной силы,
действующей на отдельный электрон. Сила, действующая на 1 м3 плазмы,
получается, если умножить ^елин на плотность электронов п0,
которую можно выразить через сор. Пользуясь тем, что Es = 2 (£2),
получаем следующую формулу для силы ВЧ-давления:
Рнелин = Р- V -^-^ ■ (8.44)
со2 2
Если волна является электромагнитной, то в центральной
части уравнения (8.42) преобладает второй член. В этом случае
физический механизм действия Риелин состоит в следующем.
Электроны осциллируют вдоль направления Е, но магнитное поле
волны искажает их траектории, поскольку сила Лоренца —ev X В
толкает электроны в направлении к (напомним, что скорость
частиц v направлена вдоль Е, поэтому сила —ev X В действует
вдоль к). Фазы осциллирующих величин v и В таковы, что средняя
по периоду скорость частиц не равна нулю и они смещаются вдоль
направления к. Если бы амплитуда волны была однородной, то
для поддержания этого направленного движения не требовалось бы
никакой силы. Однако в неоднородной волне электроны будут
накапливаться там, где напряженность электрического поля меньше,
и для преодоления возникающего при этом пространственного
заряда потребуется дополнительная сила. Именно поэтому
эффективное значение силы Рнелин пропорционально градиенту
величины (Е2). Поскольку все электроны плазмы движутся
одинаковым образом, сила Рнелин пропорциональна плотности плазмы,
которой в формуле (8.44) соответствует множитель сор/со .
Пусть теперь волна является электростатической, тогда в
центральной части (8.42) доминирует первое слагаемое. Физический
механизм возникновения нелинейной силы в этом случае состоит
просто в том, что электрон, колеблющийся вдоль направления
k ]| E, при движении из области более сильного поля в область
слабого поля сдвигается на большее расстояние, чем при движении
в обратном направлении.
Хотя Рнелин действует главным образом на электроны, эта
сила при посредстве низкочастотных движений или постоянных
полей может влиять и на ионы. Если электроны под действием силы
Рнелин будут сгруппированы в сгустки, то в плазме произойдет
разделение зарядов и возникнет электрическое поле Ера3д. Полная
сила, действующая на электроны, будет равна
Ге = —бЕразд 4-Рнелин- (о.45)
Сила ВЧ-давления Р„еЛин, действующая на ионы, в <op/Qp ~ М/т
раз меньше силы, определяемой формулой (8.44), и ею можно пре-

8.4. Сила высокочастотного давления
295
| I г»еЛии Плазма
Рис. 8.12. Самофокусировка лазерного луча под действием силы
высокочастотного давления.
небречь. Следовательно, на ионную жидкость будет действовать
только сила
Ft-=eEpa3«. (8.46)
Складывая два последних равенства, приходим к выводу, что
полная сила, действующая на плазму, равна Рнелин.
С действием силы ВЧ-давления РнелИн непосредственно
связана самофокусировка лазерного излучения в плазме. Из рис. 8.12
видно, что на плазму, через которую проходит лазерный пучок
конечного диаметра, действует сила ВЧ-давления, направленная
от оси пучка наружу. Эта сила выталкивает плазму из пучка,
вследствие чего плазменная частота <ор и диэлектрическая
проницаемость 8 внутри пучка становятся меньше, чем снаружи. Плазма
при этом действует как собирающая линза, фокусирующая
лазерное излучение в пучок меньшего диаметра.
Задачи
8.6. Лазерный пучок мощностью 1012 Вт A ТВт) фокусируется на твердой
мишени в пятно диаметром 50 мкм. Созданная и нагретая таким пучком
плазма стремится расшириться. Сила ВЧ-давления, которая действует
главным образом там, где плотность плазмы близка к критической (п = пс или
со = dtp), стремится вернуть плазму обратно, вследствие чего возникает так
называемая модификация профиля, а именно резкое изменение плотности
плазмы вблизи слоя с критической концентрацией.
а) Какое давление (в Н/м2) создает сила Т^елин? (Указание: обратите
внимание на то, что эта сила измеряется в Н/м3 и что градиентный масштаб в ответ
не входит. При вычислении (Е2) считайте, что эта величина равна своему
значению в вакууме, а поток вектора Пойнтинга мощностью 1 ТВт равен
произведению плотности энергии в лазерном пучке на групповую скорость
волн в вакууме.)
б) Чему равна (в тоннах) общая сила давления лазерного пучка на плазму?
в) Какой скачок плотности может создать давление световых волн, если
KTi = КТе = 1 кэВ?
8.7. Исследуется процесс самофокусировки цилиндрического пучка
лазерного излучения с частотой ш, распространяющегося в плазме докритической
плотности, у которой п <лс =; е0тш2/е2. В состоянии равновесия профиль
интенсивности излучения и профиль плотности плазмы определяются из
условия равенства кинетического и ВЧ-давлений (рис. 8.12). Пренебрегая

296
Гл. 8. Нелинейные явления
нагревом плазмы (т. е. считая, что КТ = КТе + KTt = const), докажите,
что плотность плазмы распределена по закону
п = п0 ехр (— 80 (Е2I2псКТ) = щ ехр [ - а (г)].
Величина а @) является мерой отношения ВЧ-давления к давлению плазмы.
8.5. Параметрические неустойчивости
Из процессов нелинейного взаимодействия волн наиболее
детально исследованы параметрические неустойчивости, названные
так по аналогии с распространенными радиотехническими
устройствами — параметрическими усилителями. Такого полного
понимания предмета удалось достичь потому, что теория этих
процессов в основном аналогична линейной и отличается от нее только
тем, что линеаризация уравнений задачи производится не около
стационарного, а около осциллирующего состояния равновесия.
8.5.1. Связанные осцилляторы
Рассмотрим изображенную на рис. 8.13 механическую модель,
которая состоит из двух осцилляторов М.г и М2, связанных с
помощью бруса, покоящегося на основании Р. Собственные частоты
осцилляторов равны ыг и оо2, а основание может двигаться взад-
вперед с частотой со0. Ясно, что если Мх и М2 неподвижны, то в
отсутствие силы трения основание может свободно колебаться, не
испытывая сопротивления. Если же основание Р неподвижно,
а осциллятор М2 пришел в движение, то и Mi начнет двигаться,
однако, вследствие того что собственные частоты осцилляторов
различны, амплитуда колебаний Мх будет мала. Теперь предположим,
что двигаются как Р, так и М2. Тогда смещение осциллятора Мь
пропорциональное произведению смещения осциллятора М2 на
длину плеча, будет меняться со временем по закону
cos a>.2t cos <о0* = A/2) cos [(<o2 -f ©o) t] + (l/2)]cos [(<o2 — <o„) *] ■ (8-47)
Рис. 8.13. Механический аналог параметрической неустойчивости.

8.5. Параметрические неустойчивости
297
Если частота (йг равна со2 -}- со0 или со2—со0, то Мх окажется в
резонансе и амплитуда его колебаний начнет расти. Вследствие этого
М2 тоже будет получать дополнительную энергию, поскольку одна
из частот биений между (аг и со0 в точности равна собственной
частоте этого осциллятора со2- Таким образом, после начала
колебаний одного из осцилляторов каждый из них будет возбуждаться
от другого, и система станет неустойчивой. Энергия колебаний,
разумеется, поступает от «накачки» Р, которая при своем
движении должна преодолевать сопротивление наклонного бруса. Если
накачка достаточно сильная, то амплитуда колебаний основания
не будет зависеть от Мх и М2 и возникающую в системе
неустойчивость можно рассматривать в рамках линейной теории. В плазме
в качестве осцилляторов Р, Мх и М2 могут выступать различные
типы волн.
8.5.2. Резонансное взаимодействие волн
Уравнение движения простого гармонического осциллятора имеет
вид
d2x1/df + (i)\x-i = 0, (8.48)
где о»! — резонансная частота осциллятора. В случае когда на
осциллятор действует нестационарная сила, пропорциональная
произведению амплитуды накачки Е0 на амплитуду смещения
второго осциллятора х2, уравнение движения принимает вид
(Fxjdt2 + и?*!=ctxzE0, (8.49)
где сг — константа связи. Аналогичное уравнение имеет место
и для второго осциллятора:
d x2/dt2 + a>2X2 = c2xxEQ . (8.50)
Пусть хг = jqcos at, x2 — х2 cos a't, a E0 = £0 cos (xHt, тогда из
уравнения (8.50) [следует, что
(саг — (о 2) х2 cos со t = c2Eqxx cos to0 t cos at =
= c2EoXi — {cos[(co0 + (o)^+cos[(co0— со) t]}, (8.51)
В правой части этого равенства стоит выражение для
вынуждающей силы, которая заставляет второй осциллятор совершать
колебания с частотами
со' = со0 + со. (8.52)
Если бы нелинейного взаимодействия не было, то второй
осциллятор мог бы совершать колебания только с частотой со2, т. е. должно
было бы выполняться равенство со' = со2. Однако наличие
вынуждающей силы вызывает сдвиг частоты, и со' будет равна со2 только

298
Гл. 8. Нелинейные явления
приближенно. Кроме того, если в системе существует затухание
(пока мы им для простоты пренебрегали) или неустойчивость, то
со' может быть комплексной величиной. Во всяком случае теперь
осциллятор х2 представляет собой систему с конечной добротностью
Q, т. е. может откликаться не только на чисто синусоидальное
возмущение с со = со2, но и на колебания, частоты которых находятся
вблизи со2. Из условия (8.52) видно, что при малых со оба
значения со' могут лежать в полосе частот, на которые откликается
второй осциллятор х2, и поэтому при анализе системы нужно
учитывать возможность существования двух осцилляторов: х2 (со0 + со)
и х2 (со0—со).
Положим хх = хх cos со'7, х2 — x2cos [(co0 4: со) /] и
подставим эти выражения в уравнение (8.49):
0I
со
\ —
) хх cos со t —
- 1
с^ЕоХ^ —(cos {[co0 + (co0± ©)]*} +cos{[co0 —(соо + со)]^}) =
= сгЕоХ2 — {cos [Bco0 ± со) t] + cos Ы}. (8.53)
Таким образом, вынуждающая сила, действующая на первый
осциллятор, возбуждает не только колебания с частотой со, но и
осцилляции с новыми частотами со" — 2со0 + со. Мы будем
рассматривать случай |со0| )>> | со-,_ |. При этом частоты 2со0 ± со
располагаются вне диапазона частот, на которые откликается первый
осциллятор, и амплитудой хх Bсо0 + со) можно пренебречь. Таким
образом, мы имеем систему из трех осцилляторов хх (со), х2 (со0—со)
и х2 (со0 + со), которые связаны между собой уравнениями (8.49)
и (8.50):
(со? — со2) хх (со) —схЕ0 (со„) [х2 (со0— со) + х2 (со0 + со)] = 0,
[со2— (со0 — соJ]х2(со0 — со)—с2Е0((й0)хх((х))= 0, (8.54)
[со2, — (со„ + со'J] х2 (со0 + со) — с2Е0 (со0) хх (со) = 0.
Приравняв нулю детерминант, составленный из коэффициентов
этой системы уравнений, приходим к следующему дисперсионному
уравнению:
со
2
COi
с2Е0
(сос
схЕ0
\2 2
-СО) —С02
о
схЕ0
0
(со0+соJ-
2
со2
0. (8.55)
Если среди корней этого уравнения есть решение с Im (со) >0,
то это свидетельствует о неустойчивости системы связанных
осцилляторов.

8.5. Параметрические неустойчивости
299
В случае когда сдвиги частот или инкременты неустойчивостей
малы, частоты со и со' можно приближенно считать равными
невозмущенным частотам сох и со2. В этом случае из уравнения (8.52)
получаем следующее резонансное условие для частот:
со0 ж со2 ± coi- (8.56)
Если осцилляторы представляют собой волны в плазме, то в
предыдущих выкладках величину со/ нужно заменить на со/—к-г. Кроме
упомянутого условия, связывающего между собой частоты
взаимодействующих волн, в последнем случае должно также выполняться
следующее условие для волновых векторов (условие
пространственного резонанса):
к0 « к2 ± К (8.57)
Физический смысл условий (8.56) и (8.57) легко понять из кванто-
вомеханической аналогии. Умножим равенство (8.56) на
постоянную Планка Н:
Нщ ж Йсо2 ± fia>i- (8.58)
Пусть Е0 и х2 представляют собой, например, электромагнитные
волны, а осциллятору хг отвечает ленгмюровская волна. Тогда
величины Н(£>0 и /гсо2 соответствуют энергиям фотонов, а /го^— это
энергия ленгмюровского плазмона. Таким образом, формула (8.56)
выражает просто закон сохранения энергии, а условие (8.57)
является аналогом закона сохранения импульса Нк.
Одновременное выполнение условий (8.56) и (8.57) для волн
в плазме в одномерном случае возможно лишь при
определенных комбинациях волн. Необходимые соотношения лучше всего
уяснить с помощью диаграмм со (k), представленных на рис. 8.14.
На рис. 8.14, а приведены дисперсионные кривые для электронной
плазменной волны (волны Бома—Гросса) и ионно-звуковой волны
(ср. с рис. 4.13). Плазменная волна (со0, к0) большой амплитуды
может испытать распад на движущуюся в обратном направлении
плазменную волну (со2, к2) и на ионно-звуковую волну (сох, кг).
Из построенного на рисунке параллелограмма следует, что со0 =
= сох + со2, а к0 = кг -\- к2. Для выполнения этих соотношений
положения точек (со0, к0) и (со2, к2) на дисперсионной кривой
электронных волн нужно выбрать таким образом, чтобы вектор кг,
равный разности векторов к0 ик2, лежал на дисперсионной кривой
ионно-звуковых волн. Заметим, что ленгмюровская волна не
может распадаться на две ленгмюровские, поскольку конец
разностного вектора (к0—к2) не может лежать на дисперсионной кривой
электронных плазменных волн.
На рис. 8.14, б построен параллелограмм волновых векторов
для так называемой параметрической распадной неустойчивости.
В этом случае (со0, к0) представляет собой электромагнитную волну
большой амплитуды с высокой фазовой скоростью (со0/£0 « с). Она

300
Гл. 8. Нелинейные явления
Рис. 8.14. Распадные условия для частот со и волновых чисел k при
различных типах параметрических неустойчивостей: а — неустойчивость
относительно распада электронной плазменной (ленгмюровской) волны; б —
параметрическая распадная неустойчивость; в — вынужденное бриллюэнов-
ское рассеяние, г — неустойчивость относительно распада на два плазмона.
В каждом из примеров со0 — частота первичной волны, tOj и со2 — частоты
волн, возникающих в результате распада. Прямые линии — дисперсионные
зависимости для ионно-звуковых волн; узкие параболы — для
электромагнитных волн; широкие параболы — для электронных плазменных (ленгмю-
ровских) колебаний.
возбуждает электронную и ионно-звуковую волны,
распространяющиеся в противоположных направлениях. Поскольку величина
|к0| мала, для этой неустойчивости мы имеем IkJ»— |к2| и
со0 = о»! + со2.
На рис. 8.14, в представлена диаграмма со (k) для так
называемого обратного параметрического рассеяния, когда
электромагнитная волна возбуждает ионно-звуковую волну и другую
электромагнитную волну, распространяющуюся противоположно
первичной волне. Заметим, что в этом процессе вместо ионно-звуковой
волны может возбуждаться плазменная волна. По аналогии с
похожими явлениями в физике твердого тела эти процессы называются
соответственно «вынужденным бриллюэновским рассеянием» и
«вынужденным комбинационным рассеянием».
На рис. 8.14, г изображен распад электромагнитной волны на
два плазмона. Поскольку обе волны, получающиеся в результате
распада, представляют собой электронные плазменные колебания,

8.5. Параметрические неустойчивости
301
распадное условие для частот можно выполнить только в том
случае, если со0 я^ 2сор. Выразив частоты со0 и сор через плотность
плазмы, приходим к выводу, что последнее условие эквивалентно
условию п яь; пс/4, где пс — критическая плотность, отвечающая
частоте со0 [см. D.88)]. Таким образом, можно ожидать, что в
неоднородной плазме эта неустойчивость будет возникать только
в том слое плазмы, где ее плотность равна четверти критической
плотности.
8.5.3. Порог неустойчивости
Если затухание волн в плазме отсутствует, то параметрические
неустойчивости могут возникнуть при любой амплитуде колебаний.
На практике, однако, всегда существует небольшое столкнови-
тельное затухание или затухание Ландау, и потому неустойчивость
может развиваться только в том случае, когда амплитуда волны
накачки достаточно велика. Для того чтобы рассчитать порог
неустойчивости, нужно ввести в рассмотрение декременты 1\ и Г2,
характеризующие затухание колебаний осцилляторов хг и х2.
Уравнение (8.48) примет тогда вид
d2x1ld? + и?*! + 2I\ (dxjdt) = 0. (8.59)
Если хг представляет собой, скажем, смещение груза под дейст
вием пружины, то в уравнении (8.59) последнее слагаемое описы
вает силу трения, которая пропорциональна скорости груза. Если
хг отвечает плотности электронов в плазменной волне, затухающей
из-за столкновений электронов с нейтральными атомами, то Tj =
= vc/2 (ср. с задачей 4.5). Из соотношений (8.49) и (8.50) следует,
что зависимость амплитуд волн от времени можно искать в виде
экспоненциального множителя и, считая Е0 вещественной
величиной, а хг и х2 — комплексными, заменить производную dldt на
— i со. При этом уравнения (8.49) и (8.50) можно переписать в виде
(со?— со2—2i corv) хг (со) s= [с&Ео,
[©2 —(со — со0J —2i (со— со0)кГ2]х2 (со—со0)— c2XiE0. (8.60)
Сделаем еще одно упрощение: ограничимся случаем двухволнового
взаимодействия, т. е. будем считать, что со я^ соь со0—со яг; со2, а
частота со0 + со столь сильно отличается от со2, что
соответствующая ей волна является нерезонансной. В этом случае третью строку
и третий столбец в детерминанте (8.55) можно не рассматривать.
Если теперь выразить хг, х2 и Е0 через их максимальные значения,
как это было сделано при выводе уравнения (8.53), то в правых
частях уравнений (8.60) появится множитель 1/2. Пренебрегая

302
Гл. 8. Нелинейные явления
нерезонансными членами и исключая х1 и хг из уравнений (8.60),
получаем
(со2 — со? + 2i соГ\) [(со0 — соJ — со2 — 2i (со0 — со) Г2] = — схсгЕ0.
(8.61)
Можно считать, что на пороге неустойчивости Im (со) = 0.
Наинизший порог соответствует точному выполнению резонансного
условия, он достигается при со = со1; со0—со = со2. При этом из
(8.61) следует, что
схс2 (£о)поР= Шсо^Г^. (8.62)
Если хотя бы одна из волн не затухает, то порог неустойчивости
равен нулю.
Задачи
8.8. Докажите, что при плотностях /г>/гс/4 не может быть вынужденного
комбинационного рассеяния.
8.9. В эксперименте по облучению мишени из твердого дейтерия (Z= 1, М =
= 2Мц) лазером на неодимовом стекле (к = 1,06 мкм) наблюдается
вынужденное бриллюэновское рассеяние. Длина волны рассеянного света
оказывается сдвинутой в красную сторону спектра на 21,9 А. Из измерения в
рентгеновской части спектра известно, что температура электронов КТе =
= 1 кэВ. С помощью формулы D.41) при ус = 3 оцените температуру ионов,
о о
предполагая, что рассеяние идет в области частот (ар <С <° •
8.10. Анализируя процесс вынужденного бриллюэновского рассеяния,
будем считать, что в системе уравнений (8.60) величина хх равна пг —
возмущению плотности в ионно-звуковой волне, а х2 — это электрическое поле
отраженной волны Е2. Коэффициенты связи сг и с2 определяются при этом
выражениями сх = e0k2{(i>2J а>0(о2М, с2 = Юр(О2/п0со0, а пороговую амплитуду
накачки в однородной плазме можно вычислить по формуле (8.62). Обычно
квадрат амплитуды волны накачки выражают через (у^сЛ, средний квадрат
скорости осцилляции электронов в волне f2cu- Как известно [см. (8.37)],
уосц = еЕ0/та>0. Величину декремента Г2 в пределе v/w <^ 1 можно найти
в условии задачи 4.376.
а) Покажите, что при Тс <C Те порог вынужденного бриллюэновского
рассеяния определяется формулой
(уосц)/й = 4riv/co1co2,
где ve = KTjm, соj = k{vs, а Г! — декремент затухания Ландау,
определяемый выражением G.133).
б) Излучение С02-лазера падает на однородную водородную плазму
(КТе = 100 эВ, KTi = 10 эВ, п0 = 1023 м-3). Вычислите пороговую
интенсивность /0 лазерного излучения в Вт/см2, необходимую для возбуждения
вынужденного бриллюэновского рассеяния. (Указание: для расчета vec
пользуйтесь формулой Спитцера.)

8.5. Параметрические неустойчивости
303
8.11. Инкремент вынужденного бриллюэновского рассеяния в однородной
плазме вдали от порога неустойчивости можно найти из уравнения (8.61),
если пренебречь в нем членами, описывающими затухание. Предположим,
что w=cos+i у, причем у2 <^ w2s, а п < пс. Покажите, что у — A/2) уосц X
X Qp(w0/cds) '2, где vQC„—максимальная скорость колеблющихся электронов.
8.5.4. Физический механизм неустойчивостей
Параметрическое возбуждение волн очень легко понять,
рассмотрев силу ВЧ-давления (разд. 8.4). В качестве иллюстрации
рассмотрим процесс распада электромагнитной волны (со0, k0) на
электронную плазменную волну (со2, k2) и низкочастотную ионно-
звуковую волну (о»!, kx) (рис. 8.14, б). Поскольку частота (о1 мала,
со0 должна быть близка к сор. Оказывается, однако, что при со0<;сор
и со0 >сор система ведет себя совершенно по-разному. В первом
случае возникает так называемая осциллирующая двухпотоковая
неустойчивость (ее мы детально рассмотрим ниже), во втором —
распадная параметрическая неустойчивость.
Предположим, что в плазме существует возмущение плотности
вида n^os kxx; такое возмущение может, например, спонтанно
возникнуть как составляющая теплового шума. Пусть электрическое
поле волны накачки Е0 cos со0t направлено по оси х (рис. 8.15).
В незамагниченной плазме дисперсионное соотношение,
связывающее между собой параметры со0 и k0 в электромагнитной волне,
9 9 9 9 9
имеет вид со0 = сор + с k0, так что если со0 я^ сор, то #о ~ 0.
Следовательно, мы можем считать, что распределение поля волны
накачки Е0 почти однородно в пространстве. Пусть со0 <сор (сор —
резонансная частота колебаний холодной электронной жидкости);
тогда электроны в волне будут смещаться против направления Е0,
а ионы за времена порядка соо~ вообще не успеют сместиться и
останутся неподвижными. В системе, таким образом, возникнут
разделение зарядов (рис. 8.15) и электрическое поле Еъ
осциллирующее с частотой со0. Силу ВЧ-давления, обусловленную суммарным
полем Е0 + Ех, можно найти из формулы (8.44):
FHe»HH= —^(«p/«o)v((£o-f-£iJK- (8.63)
Поскольку Е0 однородно в пространстве и гораздо больше, чем Elf
основной вклад в Рнелин дает лишь произведение Е0Ег:
Рнелин = (сор/соо) —— B£0£i) ео- (8.64)
2 ох
Среднее от Е0Е1У вообще говоря, не равно нулю, поскольку
величина Ех сама зависит от Е0. Из рис. 8.15 видно, что Рнелин в
точках минимума и максимума плотности п1 обращается в нуль, но
там, где градиент упх имеет значительную величину, сила Fhwihh

304
Гл. 8. Нелинейные явления
Рис. 8.15. Физический механизм осциллирующей двухпотоковой
неустойчивости.
также велика. Как следует из рис. 8.15, в системе возникает такое
пространственное распределение концентрации, что FHMhh
выталкивает электроны из областей с низкой плотностью в области
высокой плотности. Возникающее при этом электрическое поле
втягивает в эти области и ионы, так что возмущения плотности
плазмы все время нарастают. Давление s/пц (КТС + КТе)
стремится сгладить эту неоднородность концентрации. Ясно, что
пороговое значение Fh^hh будет достигнуто тогда, когда силе ВЧ-
давления удастся превзойти силу давления плазмы. Если Рнелин
становится выше этого порогового значения, то в системе
развивается неустойчивость, которую называют осциллирующей
двухпотоковой неустойчивостью, поскольку усредненная по времени
функция распределения электронов имеет два пика, совсем как в
случае двухпотоковой неустойчивости [разд. 6.6]. Заметим, что
у неустойчивых колебаний Re (со^ = 0, поскольку возмущение
плотности представляет собой стоячую волну.
Если же частота со0 больше, чем сор, то рассмотренный выше
механизм не работает. Дело в том, что в последнем случае
направление силы, действующей на осциллятор, меняется с частотой,
превышающей собственную частоту этого осциллятора, и поэтому
осциллятор движется против действующей на него силы, а это
приводит к стабилизации неустойчивости (подробнее мы
расскажем об этом в следующем разделе). При со0 >со0 направления \е,

8.5. Параметрические неустойчивости
305
Ех и Рнелин на рис. 8.15 меняются на противоположные. В этом
случае сила ВЧ-давления выталкивает ионы из областей с
повышенной концентрацией частиц и нераспространяющееся возмущение
плотности будет со временем затухать. Однако если при со0;>сор
имеется еще и бегущая ионно-звуковая волна, то ситуация
коренным образом меняется. Из-за инерции ионов между моментом
приложения силы Рнелин и моментом максимального смещения ионов
проходит какое-то время. За это время максимум плотности в
ионно-звуковой волне может сместиться именно туда, куда сила
Рнелин вытолкнула ионы, и концентрация частиц в этой точке
начнет возрастать. Естественно, это может произойти только в том
случае, если фазовая скорость ионно-звуковой волны имеет
необходимое для этого значение. Легко понять, что такое значение
равно vs. Последнее видно уже из того факта, что фаза силы Рнелин
в точности равна фазе электрической силы, действующей на ионы
в ионно-звуковой волне, где потенциал достигает максимума в
точках максимума плотности, и наоборот (см. рис. 8.15, на котором
направления стрелок в этом случае нужно изменить на
противоположные). Следовательно, сила ВЧ-давления Рнелин складывается
с электростатической силой, действующей на ионы в звуковой волне,
что приводит к увеличению амплитуды ионно-звуковых колебаний.
Что касается электронов, то амплитуда их колебаний также будет
достаточно велика, если частота волны накачки близка к
собственной частоте осцилляции электронной жидкости: со| =
= сор + C/2) k2vTenn. Отметим, впрочем, что частота волны
накачки со0 не может быть в точности равна со2, поскольку разность
между со0 и со2 должна быть равна частоте ионно-звуковой волны
001 = kivs- Это нужно для того, чтобы сила Риелин возбуждала
именно ионно-звуковые волны. Поэтому если частоты
удовлетворяют условию <»! = со0—со 2, то в присутствии волны накачки в
среде будут возбуждаться как ионно-звуковая, так и электронная
плазменная волны. Таков механизм распадной параметрической
неустойчивости.
8.5.5. Осциллирующая двухпотоковая неустойчивость
Основываясь на физической картине, рассмотренной в предыдущем
разделе, выведем теперь уравнения для этого простейшего примера
параметрической неустойчивости. Пусть для простоты Т i = Те =
= ve = V* = 0. Тогда низкочастотные движения ионной жидкости
можно описать уравнениями
МП0 (dvn/dt) = еП0Е = Рнелин, (8.65)
{dtitJdt) + n0 {dvtJdx) = 0. (8.66)
Предположим, что в состоянии равновесия плазма является
пространственно однородной, тогда мы можем произвести фурье.

306
Гл. 8. Нелинейные явления
разложение по х и заменить д/дх на ik. При этом из (8.65) и (8.66)
получаем следующее уравнение:
PntlldP + (ik/M) FraH = 0, (8.67)
где .Рнелин дается формулой (8.64). Чтобы найти Еъ нужно
рассмотреть движение электронов. Оно описывается уравнением
т [dvjdt + ve (dvjdx)] = —е(Е0+Е1), . (8.68)
в котором Е± связано с пе1 уравнением Пуассона
i/ee^^—епе1. (8.69)
Следует заметить, что любая из величин Ех, ve и пе1 состоит из двух
частей: высокочастотной моды, в которой движение электронов
осуществляется независимо от движения ионов, и низкочастотной
моды, в которой электроны движутся вместе с ионами
квазинейтральным образом. В наинизшем приближении по амплитуде волн
движение частиц представляет собой отклик на пространственно
однородное поле Е0:
dvjdt — — (elm) E0 = — {elm) Ё0 cos (o0t. (8.70)
Линеаризуя уравнение движения ионов вблизи этого
осциллирующего положения равновесия, получаем следующее уравнение:
[ dvjdt + i kve0vel = — (elm) £t = — (elm) (Elh -f Elt), (8.71)
где индексами / и h помечены соответственно низкочастотная и
высокочастотная части меняющихся величин. Вклад в первое
слагаемое определяется в основном высокочастотной скоростью иен,
описываемой уравнением
dvehldt = — (elm) Eih = nehe2/i ke0m, (8.72)
где мы воспользовались уравнением Пуассона (8.69).
Низкочастотная составляющая уравнения (8.71) имеет вид
ikve0veh^ —(е/т)Ец.
Правая часть этого выражения представляет собой силу ВЧ-давле-
ния, действующую на ионы плазмы [см. (8.65)]. Эта сила
обусловлена низкочастотными биениями между ve0 и veh. Левая часть этого
выражения определяется электростатической частью силы ВЧ-дав-
ления [см. (8.42)].
Уравнение непрерывности для электронов записывается в виде
dnelldt -4- i kve0nel + п0 i kvel = 0. (8.73)
Рассмотрим высокочастотную часть этого уравнения. Если
пренебречь возбуждением волн с частотой 2со0 и более высоких
гармоник, то в среднем члене высокочастотная составляющая может
появиться только в результате наложения низкочастотной
плотности nei на ve0. Но, как следует из квазинейтральности плазмы

8.5. Параметрические неустойчивости
307
в низкочастотных движениях, nei — /ztl; поэтому высокочастотная
часть уравнения непрерывности (8.73) принимает вид
dnjdt + i kn0veh + i kVgonn = 0. (8.74)
Продифференцируем последнее уравнение по времени и
пренебрежем членом driijdt. Используя для dve0/dt и dvehldt выражения
(8.70) и (8.72), получаем
d2nehldt2 + (x>2pneh = (i kelm) nixEQ. (8.75)
Пусть neh зависит от времени как ехр (— ico/); тогда
(со2,— со2) neh = (i kelm) пС1Е0. (8.76)
Уравнения (8.69) и (8.76) позволяют найти высокочастотную
составляющую электрического поля:
Е — е2 nilE° ж е% nilE° (8 77)
е0т а) — ю е0т и> — ю0
(Предполагая, что скорость роста П{Х много меньше частоты волны
накачки Е0, мы заменили здесь со на со0.) Теперь из формулы (8.64)
можно найти силу ВЧ-давления:
^„елин « (е2/т) (cop/coo) i &rttl(£o)/(a>J—<oo). (8.78)
Заметим, что знаки величин Егн и FHMhh зависят от знака
разности со2,—coq. Именно по этой причине при со0 >сор механизм
осциллирующей двухпотоковой неустойчивости не работает. Максимум
О О/О/О \
силы ВЧ-давления достигается при со5 « сор (сор/соо « 1).
Уравнение (8.67) в этом случае можно записать в виде
дРпц/dt2 « (e2k2l2Mm) Ё20па/и2р — ы20). (8.79)
Низкочастотное возмущение плотности в такой неустойчивости
является нераспространяющимся, поэтому можно считать, что
ftii = псхехр (yt), где у — инкремент неустойчивости. Таким
образом,
Y2^ (в2/г2/2Мт)£о2/(со2 —со2о). (8.80)
о о
Величина у вещественна только в том случае, если со0 <Ссор.
Фактическое значение у зависит от того, насколько в действительности
мал знаменатель со2—со2, в центральной части выражения (8.77).
(Приближение со2 = соо является грубым.) При наличии затухания
мнимая часть разности со2—со2 будет порядка 2Г2сор, где Г2 —
декремент затухания электронных плазменных волн. В этом случае
мы имеем
y~EJTT. (8.81)
Вдали от порога неустойчивости мнимая часть частоты со будет

308
Гл. 8. Нелинейные явления
определяться не значением Г2, а величиной у. В последнем случае
у2 ~ ЪУу или у ~ (Ёо)
2/3
(8.82)
Такая зависимость у (Е0) характерна для всех параметрических
неустойчивостей. Для точного вычисления у и порогового
значения Е0 нужно более аккуратно, чем мы это сделали здесь, найти
сдвиг частоты сор—со0. При этом nil нужно определить из (8.76)
и соответствующее выражение подставить в правую часть
уравнения (8.79):
d*ntlldt2 =—{i ke/2M) nehEQ. (8.83)
Уравнения (8.75) и (8.83) при этом образуют систему уравнений,
напоминающую (8.49) и (8.50). Решение со (k, EQ) можно найти,
приравняв нулю определитель, составленный из коэффициентов
в уравнениях (8.75) и (8.83). Собственная частота первого
осциллятора сох в этом случае в ответ не войдет, поскольку в пределе
Те = Ti = 0 ионно-звуковые волны в плазме отсутствуют и сох =0.
8.5.6. Распадная параметрическая неустойчивость
Анализ взаимодействия волн при со0 >сор можно провести по той
же схеме, которая была применена выше для случая со0 <Ссор. Как
отмечалось ранее, при со0 >»сор электромагнитная волна
распадается на электронную плазменную (ленгмюровскую) и ионно-
Генератор
ВЧ-сигнала
C50 МГц)
Горячие
проволочные
нити (катод)
Металлическая
камера
(анод)
Усилитель
ВЧ-мощности
(Р£20Втп)
Изолирующий,
конденсатор
Зонд
Рис. 8.16. Схема эксперимента, в котором было подтверждено существование
распадной параметрической неустойчивости. [Из работы: Wong A. Y. et
al. Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research.— Iiternational
Atomic Energy Agency, Vienna, 1971, v. I, p. 335.]

8.5. Параметрические неустойчивости
309
Ионно-звуковая
волна
Плазменная Волна
волна накачки
j и
Л
4 -г-
»«м^._ш
Ниже
порога
§
^
«8 Ь
1>
1 F^
\i*WiSI
= = :
= ::= —т-н
it—
A™
Выше
порога
i i i I i i i i i l l
100 ZOO 300 400 500 -0,6 -0,4 -0,2 0 *0,Z +0,4
f, кГц _ f, МГц^
Низкочастотный спектр Высокочастотный спектр
Рис. 8.17. Частотные спектры колебаний, наблюдаемые с помощью устройства,
показанного схематически на рис. 8.16. В случае когда амплитуда
возмущения чуть ниже пороговой, в низкочастотной части спектра наблюдается лишь
шумовой фон, а в высокочастотной — сама волна накачки. После
небольшого увеличения амплитуды накачки система выходит за порог
неустойчивости и в спектре появляются колебания, соответствующие частотам
плазменной и ионно-звуковой волн. [С любезного разрешения Р. Стенцеля,
Калифорнийский университет, Лос-Анджелес]
звуковую волны. Мы не будем приводить здесь алгебраические
выкладки, описывающие этот процесс (они немного длиннее, чем
при анализе осциллирующей двухпотоковой неустойчивости).
Вместо этого рассмотрим некоторые эксперименты. Распадная
параметрическая неустойчивость хорошо изучена, она наблюдалась
как в лаборатории, так и в условиях ионосферы. Осциллирующая
двухпотоковая неустойчивость наблюдается гораздо реже.
Частично это связано с апериодическим характером такой
неустойчивости [Re (со) = 0], частично — с тем, что данная неустойчивость
реализуется при со0 <«,,, когда волна, падающая на плазму,
поглощается ею. На рис. 8.16 схематически показана установка,
применявшаяся в экспериментах Стенцеля и Вонга. Она состоит из
источника плазмы, аналогичного изображенному на рис. 8.10,
пары сеток, между которыми с помощью генератора создается поле
Е0, и зонда, подсоединенного к двум анализаторам спектра. Спектры
зарегистрированных в плазме сигналов показаны на рис. 8.17. Ниже

310 Гл. 8. Нелинейные явления
Рис. 8.18. Схема активного эксперимента для исследования ионосферной
плазмы, в котором наблюдалось поглощение СВЧ-колебаний, обусловленное
их параметрической неустойчивостью. [Из работы: Utlaut W. E., Cohen R.,
Science, 174, 245 A971).]
порога неустойчивости высокочастотный спектр состоит только
из волны накачки, частота которой f0 = 400 хЧГц. В
низкочастотном канале при этом наблюдается лишь слабый шум. После
небольшого увеличения амплитуды волны накачки в низкочастотной
части спектра образовалась ионно-звуковая волна с частотой fx =
= 300 кГц. Одновременно в высокочастотной части спектра
возникал сателлитный сигнал на частоте 399,7 МГц, представляющий
собой электронную плазменную волну с частотой, равной
разности частот f0—f± волны накачки и ионно-звуковсй волны.
Наблюдались также биения волны накачки и ионно-звуковой волны, что
приводило к появлению слабого сигнала на частоте /0 + /i =
= 400,3 МГц.
Подобная неустойчивость наблюдалась также в ионосферных
экспериментах. На рис. 8.18 показана схема активного
эксперимента по изменению состояния ионосферы, выполненного с помощью
большого радиотелескопа, расположенного в Платвилле (шт.
Колорадо, США). Антенна телескопа посылала в ионосферу мощный
B МВт) поток СВЧ-излучения на частоте 7 МГц. В том слое ионо-

8.6. Плазменное эхо
311
сферы, где выполняется условие со0 > сор, наблюдалась генерация
плазменных и ионно-звуковых волн, а также нагрев ионосферных
электронов. В другом эксперименте, выполненном с помощью
большой параболической антенны в Аресибо (Пуэрто-Рико), были
измерены параметры со и к возникших в результате неустойчивости
ленгмюровских волн. Авторы эксперимента зондировали
ионосферу лучом радара (частота 430 МГц) и наблюдали его рассеяние
от решетчатой структуры, образованной возмущениями плотности
электронов в плазменных колебаниях.
Задачи
8.12. В установках лазерного, синтеза луч лазера нагревает мишень в виде
таблетки, содержащей топливо для термоядерной реакции. Параметрическая
распадная неустойчивость может увеличить эффективность такого нагрева,
поскольку в процессе ее развития энергия лазерного излучения будет
сначала трансформироваться в энергию плазменных волн, а затем посредством
затухания Ландау передаваться электронам. При какой плотности плазмы
начнется параметрический распад, если используется лазер на иоде,
который излучает на длине волны X = 1,3 мкм?
8.13. а) Получите следующее уравнение для возмущения плотности в ионно-
звуковой волне в присутствии силы ВЧ-давления ^нелин^
(со2 + 2i Гсо — kVs) ПХ = i №елинШ .
Здесь Г — декремент затухания собственной моды (при ^нелин = 0)-
(Указание: введите эффективную частоту столкновений v в уравнение движения
ионов, а после того, как будет получено дисперсионное уравнение, выразите
v через Г.)
б) Для случая вынужденного бриллюэновского рассеяния выразите FHejimi
через амплитуды соответственно волны накачки Е0 и рассеянной волны Ег.
Таким образом вы подтвердите, что константа связи с± в задаче 8.10 была
выбрана правильно. [Указание: см. формулу (8.64).]
8.14. На рис. 8.17 верхний сателлит с частотой ю0 +&>! отсутствует. Это не
случайно. Оказывается, в большинстве параметрических процессов
амплитуда верхнего сателлита меньше амплитуды нижнего. Объясните, почему
это так, пользуясь простыми энергетическими соображениями и квантово-
механическими аналогиями.
8.6. Плазменное эхо
Затухание Ландау не связано со столкновениями или диссипацией
энергии и потому является обратимым процессом. Наглядным
подтверждением этого служит замечательное явление плазменного
эха. На рис. 8.19 приведена схема эксперимента по его регистрации.
Первая сетка возбуждает плазменную волну с частотой о»! и
длиной волны Хх. Эта волна распространяется вправо. Вследствие
затухания Ландау ее амплитуда все время уменьшается и в конце
концов становится ниже порога детектирования. Вторая сетка,
расположенная на расстоянии / от первой, генерирует другую плаз-

312
Гл. 8. Нелинейные явления
менную волну, частота которой равна со2, а длина волны — А,2#
Эта волна также затухает. Однако с помощью третьей, подвижной
сетки, которая подсоединена к приемнику, настроенному на частоту
со = со2—»!, на расстоянии /' = /со2/(со2—cojj от первой сетки
в плазменном столбе можно обнаружить эхо. Каков механизм его
возникновения? Дело в том, что частицы, вызвавшие затухание
первой волны, сохраняют информацию о ней в своей функции
распределения. Если с помощью второй сетки удастся восстановить
первоначальную функцию распределения резонансных частиц, то
в плазме снова может появиться затухшая было волна. Ясно, что
этот процесс может иметь место только в почти бесстолкновитель-
ной плазме. На практике именно по амплитуде эха часто
определяют, насколько велико столкновительное затухание в плазме.
Аналогичный механизм объясняет и появление эха при затухании
циклотронных волн. Физическая причина возникновения эха
иллюстрируется рис. 8.20. На нем изображены зависимости положений
различных частиц от времени. Траектории частиц, движущихся
с постоянными скоростями, представляют собой прямые линии.
При х = 0 с помощью решетки в системе создаются сгустки частиц,
в каждом из которых имеется некоторый разброс по скоростям.
Из-за наличия этого разброса сгустки при движении
перемешиваются и после преодоления расстояния / плотность вещества,
как это показано на рисунке, снова становится постоянной во
времени. Вторая, более частая решетка, которая расположена на
расстоянии / от первой, снова разбивает поток на сгустки. Такое
разделение частиц в пространстве и времени приводит к образованию
новых сгустков при х = /'.
Зависимость /' (/) можно найти, исходя даже из упрощенной
физической картины, в которой не учитывается влияние
электрического поля волны на траектории плазменных частиц. Пусть
функция распределения электронов у первой сетки равна /х (v). Если
с помощью первой сетки функцию распределения промодулиро-
вать по закону cos co^, то при х >»0 она запишется в виде
f(x, v, t) = f1(v)'cos[(d1t — (xIx/v]. (8.84)
Вторая сетка при х = I дополнительно модулирует эту функцию
распределения, причем вместо со х и х в модулирующий косинус
входят соответственно со2 и х—/:
f(x, v, 0 = /i2(^)cos(co^— о^х/и) cos [aJt—(iJ(x— l)lv\= (8.85)
=fa (v) -L {cos [(», + «,,)/- «.('-у.'] +
+ соз[(Ю2-Ю1)<- М*-0-<°.*1|, (886)
Появление эха связано со вторым слагаемым последнего равенства,

x=0
x -I
x = V
Плазма

Возбуждающие сетки
Приемник
V
Т
Рис. 8.19. Схема эксперимента по регистрации плазменного эха. [Из работы:
Wong A. Y., Baker L. /?., Phys. Rev., 188, 326 A969).]
л(£)
fr
5т
6т
Зт 4т
Время
Рис. 8.20. Траектории частиц, прошедших через решетки. Видно
образование сгустков частиц, ответственных за возникновение плазменного эха.
Справа показаны распределения плотности на различных расстояниях от
первой решетки. [Из работы: Baker D. R., Ahem N. R., Wong A. Y., Phys.
Rev. Lett., 20, 318 A968).]

314
Гл. 8. Нелинейные явления
120
100 Ь
80
60
40
20
| о
5 80
% 60
§ *°
| го
Б О
I
<3 ZO
о
20
О
й
□
D
СО, СО о
□ -^ =40 кГц <-^= 95 кГц
2^г 2я;
а»; сог
• —- = 95 кГц > т— = 40 кГц
2^Г 2л:
1= 2,0 см
D
D D
а d
l = 5,5см
L *'
I = 9,0см
j l
J L
• I = 75,0 см
i3MEE^EKSJLm_nJ
0 4 8 12 W 20 24 28 32 36 40
Расстояние между сетками, см
Рис. 8.21. Результаты измерений профилей амплитуды плазменного эха при
различных расстояниях / между возбуждающими сетками. Черные точки
соответствуют случаю со2 <ю1> когда эхо наблюдаться не должно. [Из
работы: Baker D. R., Ahem N. R., Wong A. Y., Phys. Rev. Lett., 20, 318A968).]
осциллирующим с частотой со
вия со2 (л:—/) = cuj х или
со2—сох и при выполнении усло-
а>а//(а>2 —©Osh// (8.87)
не зависящим от v. Таким образом, при х = /' разброс по
скоростям в плазме не влияет на второй член в (8.86) и фазового
размешивания не происходит. Интегрируя второе слагаемое при х = V
по скорости, мы придем к выводу, что оно описывает флуктуации
плотности с частотой со = со2—ых. Вклад от первого члена в (8.86)
обнаружить нельзя, поскольку фазовое размешивание сглаживает
соответствующие этому члену осцилляции плотности. Ясно, что /'
является положительной величиной, только если со2 >c°i-
Физическая причина этого состоит в том, что вторая решетка,
модулирующая распределение частиц, должна быть гуще первой, по-

8.7. Нелинейное затухание Ландау
315
скольку в противном случае она не сможет «распутать»
флуктуации, созданные первой решеткой.
На рис. 8.21 представлены результаты измерений эха,
создаваемого ионно-звуковой волной; эти эксперименты выполнили Бей-
кер, Ахерн и Вонг. Измеренная зависимость /' (/) соответствует
выражению (8.87). Черные точки, отвечающие случаю со2 <ft>i,
как и ожидалось, указывают на отсутствие эха. Столкновения
разрушают когерентную картину модуляции скоростей, поэтому
амплитуда плазменного эха уменьшается с расстоянием.
8.7. Нелинейное затухание Ландау
Если проследить, как меняется с расстоянием амплитуда
электронной или ионно-звуковой волны, возбуждаемой погруженной в
плазму сеткой, то окажется, что волна большой амплитуды не
затухает экспоненциальным образом, как это предсказывает
линейная теория. Вместо этого наблюдается уменьшение амплитуды,
затем снова ее рост, и в конце концов амплитуда, совершив несколько
колебаний, выходит на некоторый стационарный уровень.
Подобное поведение электронной плазменной волны с частотой 38 МГц
иллюстрирует рис. 8.22. Такие колебания амплитуды хорошо
укладываются в картину нелинейного захвата частиц, которая
рассматривалась в разд. 7.5, хотя, естественно, здесь могут иметь
место и другие эффекты. Частица, движущаяся со скоростью и,
будет захвачена волной только в том случае, если ее кинетическая
энергия в системе волны будет меньше, чем потенциальная, т. е.
если \еф\ >т (и—Уф J/2. Волны малой амплитуды могут
захватить лишь быстрые частицы, скорости которых близки к Уф . Для
того чтобы волна смогла захватить частицы с у «О из основной
части функции распределения, должно выполняться условие
|^| ^±-mvl = ±-m{alkf. (8.88)
При таких больших амплитудах поведение волны уже нельзя
описывать с помощью линейной теории. Поскольку \ф\ ~ \Elk\,
последнее равенство эквивалентно условию
со я^ <ав, где со! = |<7&£/т|. (8.89)
Величина сов называется баунс-частотой. Она равна частоте
колебаний частицы, запертой у дна потенциальной ямы,
образованной синусоидальной волной (рис. 8.23). Действительно, потенциал
вблизи дна ямы описывается формулой
j>^j>0(\ — coskx) = <j>0(— k2x2 + . . Л. . (8.90)

316
Гл. 8. Нелинейные явления
Рис. 8.23. Запертые частицы
осциллируют в образованной
волной потенциальной яме.
W0 -
^-20
Рис. 8.22. Измеренный профиль
амплитуды нелинейной электронной плазменной
волны. Наблюдается немонотонное
убывание амплитуды со временем. [Из работы:
Franklin R. N., Hamberger S. M., Ikezi H.,
LampisG., Smith G. J., Phys. Rev. Lett.,
28, 1114 A972).]
Уравнение движения частицы у дна ямы имеет вид
md2x/dt*= ~ma2x = qE=—qdj>ldx = —q<j>0k sin kx. (8.91)
Частота колебаний со является постоянной величиной только в том
случае, когда отклонение х мало (sin kx « kx), а профиль
потенциала ф (х) можно считать параболическим. В этом пределе час-
стота со равна величине сов, определяемой выражением (8.89).
Взаимодействие волны и запертых частиц происходит следующим
образом. В точке отражения резонансных частиц от профиля
потенциала они передают кинетическую энергию волне, и ее
амплитуда увеличивается. Когда запертые частицы, совершив одно
колебание, оказываются у противоположной границы ямы, то волна
возвращает им энергию и амплитуда ее уменьшается. Таким
образом, можно ожидать, что в системе покоя волны ее амплитуда будет
осциллировать с частотой сов. В лабораторной системе частота
этих осцилляции будет равна со' = сов+ kv$ , а волновое число —
k' = а>7Уф = k [1 -Ь (сов/соI.
Оказывается, условие сов> со дает границу применимости
линейной теории и в том случае, когда поведение системы
определяется не захватом частиц, а какими-то другими процессами.
Рассмотрим в качестве примера другой тип нелинейного затухания
Ландау, в котором главную роль играют биения двух волн. Пусть
в плазме имеются две высокочастотные ленгмюровские волны
(со1( kx) и (со2, k2). Биение этих волн приводит к образованию
огибающей амплитуды, распространяющейся со скоростью
(со2—со1)/(^2—kt) « угр. Если эта скорость достаточно мала и
лежит внутри основной функции распределения ионов, то может

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы
317
Рис. 8.24. Сила ВЧ-давления, обусловленная наличием огибающей волны,
может вызвать захват частиц, а при выполнении условия v « vrp » (co2 —
—a>i)/(k2—k{) привести к резонансному взаимодействию их с волнами.
наблюдаться обмен энергией между огибающей и резонансными
с ней ионами. Последние будут двигаться под действием силы
высокочастотного давления (рис. 8.24). В результате в системе будет
наблюдаться нелинейное затухание Ландау или нарастание волн.
Поглощение огибающей двух плазменных волн резонансными с ней
ионами представляет собой эффективный способ нагрева ионов,
с которыми высокочастотные волны обычно не взаимодействуют.
Отметим также, что если функция распределения ионов по
скоростям имеет два максимума, то с помощью аналогичного механизма
в плазме можно возбуждать высокочастотные ленгмюровские
колебания. Такая неустойчивость относится к классу
модуляционных неустойчивостей.
Задачи
8.15. На основе анализа данных, приведенных на рис. 8.21, постройте
зависимость /'(/) и выясните, насколько хорошо результаты эксперимента
соответствуют формуле (8.87).
8.16. Вычислите баунс-частоту колебаний электрона вблизи минимума
потенциала плазменной волны, среднеквадратичная амплитуда которой равна
10 В, а длина волны — 1 см.
8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы
Среди уравнений, которые используются при анализе нелинейных
волн в плазме, наиболее подробно изучены два: это уравнение Кор-
тевега—де Вриза и нелинейное уравнение Шредингера. Каждое
из этих уравнений описывает определенный тип нелинейности.
В случае когда большой амплитуды достигает ионно-звуковая
волна, главный нелинейный эффект состоит в укручении фронта
волны, физический смысл которого мы объясняли в разд. 8.3.3.
Этот эффект возникает из-за наличия в уравнении движения ионов
члена (v-V) v и описывается уравнением Кортевега—де Вриза.
Это уравнение предсказывает также существование решений в виде
нелинейных волн и солитонов (см. рис. 8.5 и 8.7).

318
Гл. 8. Нелинейные явления
В случае когда нелинейной становится электронная плазменная
волна, преобладающим оказывается новый эффект, состоящий в
том, что сила ВЧ-давления волны приводит к выталкиванию
фоновой плазмы из области больших напряженностей поля. В
результате в плазме возникают области пониженной плотности,
называемые кавитонами. Запертые в такой области плазменные
волны образуют изолированную структуру, называемую солитоном
огибающей, или уединенной волной огибающей. Такие солитоны
описываются нелинейным уравнением Шредингера. Вызывает
удивление тот факт, что хотя физические модели и уравнения,
описывающие солитоны и солитоны огибающих, различны, эти
образования по форме похожи друг на друга.
8.8.1. Уравнение Кортевега—де В риза
Это уравнение возникает при решении различных физических
задач, в частности при анализе эволюции слабо нелинейной ионно-
звуковой волны. Оно имеет следующий вид:
dU/dr+U(dU/dl) + — d9U/dl9 = 0. (8.92)
Здесь U — амплитуда, а т и Н — соответственно временная и
пространственная переменные. Для приведения исходного уравнения
к подобному виду обычно требуется провести несколько процедур
замены переменных, однако физический смысл двух последних
членов в левой части (8.92) ясен и из такой простой формы записи.
Второе слагаемое в (8.92) соответствует конвективному члену
(v-v) v> который описывает укручение волнового фронта.
Происхождение третьего слагаемого связано с дисперсией волны, т. е.
с зависимостью ее фазовой скорости от волнового числа k.
Напомним, что при Tt = 0 частота ионно-звуковой волны определяется
соотношением [D.48) ]
&2 = k4s{\ + k2,k\)-\ (8.93)
Дисперсионный член k\\> возникает из-за отклонений от
нейтральности плазмы. Производя разложение в ряд Тейлора при малых
kX-o, находим, что
со = kvs k3vsl2D, (8.94)
т. е. дисперсионный член пропорционален k9. Именно поэтому
последнее слагаемое в левой части (8.92) содержит третью
производную. Учет дисперсии позволяет предотвратить появление решений
с очень крутыми волновыми фронтами (им соответствуют очень
большие k).

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 319
Уравнение Кортевега—де Вриза допускает решение в виде со-
литона, т. е. одиночного импульса, который движется с некоторой
скоростью с (не равной скорости света!) и при этом сохраняет свою
форму. Это значит, что решение U зависит от переменной £ = £—ст,
а не от величин £ и т в отдельности. Вводя переменную £ = £—сх
и пользуясь тем, что д/дт = — cd/dt,, а д/д% = d/dt,, мы можем
записать уравнение (8.92) в виде
—cdU/d£-\-UdU/dZ, + ~d3U/dt>3=Q. (8.95)
Проинтегрируем (8.95) от £ до оо:
оо оо оо
J d£' bT2 J d£' ^ 2 J d£' I dS'a J
: : с
(8.96)
Если /7 (£) и ее производные на больших расстояниях от центра
солитона (| £ | -> оо) обращаются в нуль, то мы имеем следующее
уравнение:
cU -U2 L_^L = o. (8.97)
2 2 dt?
Умножим обе части этого уравнения на dU/dt, и еще раз
выполним интегрирование:
2 6
(-f-)' = °. (8-98>
ИЛИ
{dU/dt,J = — £/2 (Зс— £/). (8.99)
Этому уравнению удовлетворяет решение в виде солитона:
U (£) = Зс sch2 [(с/2I'2 а, (8.100)
что можно проверить непосредственной подстановкой, если
воспользоваться тождествами
(dldx) sch x = — sch x ■ th х (8.101)
и
sch2x + th2x- l. (8.102)
Выражение (8.100) описывает структуру, похожую на ту, что
изображена на рис. 8.7: решение О (£) достигает максимума при
£ — 0 и обращается в нуль при t, -> ± оо. Скорость солитона

320 Гл. 8. Нелинейные явления
/ЛАНИ-
Рис. 8.25. Цепочка солитонов, движущихся вправо, с течением времени
выстраивается по порядку, соответствующему их скорости, высоте и ширине.
равна с, амплитуда — 3 с и полуширина — B1сI2. Все три
величины связаны между собой, поэтому скорость с определяет также
и полную энергию солитона; чем больше энергия, тем выше
скорость и амплитуда солитона и тем меньше его ширина. Солитоны
могут возникать только из определенных начальных
распределений поля. Для возникновения солитона энергия начального
возмущения должна быть достаточно велика, а фазы составляющих
его колебаний распределены заданным образом. Если хотя бы одно
из этих условий не выполнено, то в системе возникает не солитон,
а нелинейная волна большой амплитуды. Если же энергия
начального возмущения столь велика, что ее хватит на несколько
солитонов, и фазы имеют необходимое распределение, то могут
возникнуть N солитонов. Поскольку скорость солитонов пропорциональна
их амплитуде, спустя некоторое время после возникновения они
обязательно выстроятся по росту, как показано на рис. 8.25.
Докажем теперь, что уравнение Кортевега—де Вриза
описывает ионно-звуковые волны большой амплитуды. Рассмотрим
простой случай одномерных волн, распространяющихся в плазме с
холодными ионами. Уравнение движения ионов и уравнение
непрерывности запишутся соответственно в виде
dVildt + Vi dvtldx = ~(е/М)дф/дх, (8.103)
dntldt + (д/дх) (mvt) = 0. (8.104)
Предположим, что плотность электронов удовлетворяет уравнению
Больцмана [C.73)]; при этом уравнение Пуассона принимает вид
е0 д*ф/дх* = е [щ exp (e<j>/kTe) — nt]. (8.105)

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 32?
Чтобы все коэффициенты уравнений сделать равными единице,
перейдем к следующим безразмерным переменным:
х' = x/lD = х (n0e2/E0KTeyi2,
t'^Qpt=-t(n0e2/E0Myi2,
% = еф/КТе, n' = nt/no, (8.106)
v, = v/vs = v(M/KTe)W.
При этом рассматриваемая нами система уравнений запишется
следующим образом:
dv'ldt' + v'do'ldx' = — d^ldxr, (8.107)
dn'ldt' + {dldx') (n'vf) = 0, (8.108)
д\1дх/2 = &-п'. (8.109)
Если теперь перейти в систему отсчета, которая движется со
скоростью v' = Ж, то мы придем к аналогу уравнения (8.27).
Опираясь на анализ уравнения (8.27), выполненный в разд. 8.3, можно
сделать вывод, что и система (8.107)—(8.109) при определенных
значениях числа Маха Ж допускает решения в виде солитонов.
Задача
8.17. Предполагая, что х, я'и v' зависят только от комбинации g'=s х'—Mt\
сведите систему (8.107)—(8.109) к аналогу уравнения (8.27). Дважды
проинтегрируйте результат, как при выводе уравнений (8.96) — (8.98), и получите
уравнение
— (dl/diy = &~\А-Ж [(Ж2 — 2хУ^—Ж].
Покажите, что решения в виде солитонов могут существовать только при
1 < J?<1,6 И 0 < Хмакс <1,3.
Для вывода уравнения Кортевега—де Вриза нужно произвести
разложение функций п , v' и % по амплитуде волны и удержать
в этом разложении члены более высоких порядков (на единицу
выше, чем в линейной теории). Поскольку в солитонах амплитуда
и скорость связаны между собой, в качестве параметра разложения
можно взять величину б, равную превышению числа Маха над
единицей:
Ь = Ж~ 1. (8.110)
Таким образом, можем написать
^=1 + 6^ + 84+ . . . ,
Х = 6Х1 + 62'/2+ .... (8.111)
и'^= б»! + бЧ;а + ....

322 Гл. 8. Нелинейные явления
Произведем также масштабирование, т. е. перейдем к новым
переменным х)
Ъ^ЬМ'Ах'—Ц, % = ЬЩГ. (8.112)
Таким образом, имеем
д _ д3'2 д gi/2 д
dt' ~ [ дх dfc
a ci2 д (8.113)
= о
дх' dl
Подставляя разложение (8.111) в уравнение (8.109) и пользуясь
формулами (8.113), приходим к выводу, что члены наинизшего
порядка пропорциональны б, а
%i = "i. (8.114)
Производя аналогичные преобразования с уравнениями (8.107)
и (8.108), находим, что в этом случае члены наинизшего порядка
пропорциональны б3/2, а
dvM = diM^dnJdt (8.115)
Поскольку все величины при | ->- оо обращаются в нуль,
интегрирование равенств (8.115) дает
n^ti = ^=U. (8.116)
Таким образом, наша нормировка оказалась настолько удачной,
что все линейные возмущения оказались равными и любое из них
можно выбрать в качестве U. Соберем в уравнении (8.109) члены
пропорциональные б2, а в уравнениях (8.107) и (8.108) — члены,
пропорциональные б5/2. В результате мы получим систему
(8.117)
(8.118)
(8.119)
dvi
дх
drii
dv% , „ dvx дгг
— -+- V\ ■ — — |
• dl dl dl
—S~ + "IT (u2 + л1и1)=0.
дх dl dl
Подставляя в уравнение (8.119) значение щ из (8.117) и величину
dv2/dl из соотношения (8.118), имеем
dnx d\ d%2 i dx? , do,1 do, d%2
dx dg8 ag 2 ag at dl dl
~dl
+ —(n1u1) = 0. (8.120)
*) Без объяснения причины. Цель оправдывает средства!

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы
323
К счастью, величина %2 сокращается, и, заменяя все величины
первого порядка на V', мы приходим к уравнению
_^L + uJ^ + ^_i!£. = o, .121)
дх dl 2 3£з
которое тождественно уравнению (8.92). Таким образом, в
следующем после линейного порядке по амплитуде ионно-звуковая волна
описывается уравнением Кортевега—де Вриза.
Задача
8.18. В водородной плазме с плотностью п0 = 1016м~3и температурой КТе —
— 10 эВ возбуждается солитон потенциала, амплитуда которого равна 12 В.
Вычислите скорость этого солитона (в м/с) и его полную ширину по половине
максимума амплитуды (в мм), предполагая, что солитон описывается
уравнением Кортевега—де Вриза. (Указание: сначала покажите, что в
нормированных переменных скорость солитона равна единице.)
8.8.2. Нелинейное уравнение Шредингера
В безразмерных переменных это уравнение имеет вид
i d^ldt + р д2^1дх2 + Я \ ф |2 ^ - 0. (8.122)
Здесь г|э — амплитуда волны, i = (—II'2. Физический смысл
коэффициентов р и q мы выясним ниже. От обычного уравнения Шредингера
i h дЦ/dt + (h2/2m) д^/дх2 — V(x, t)ty = 0
уравнение (8.122) отличается тем, что в последнем потенциал
V (х, t) сам зависит от if>, и потому третий член в левой части
становится нелинейным. Следует заметить, что V зависит только от
квадрата амплитуды |ij)|2 и не зависит от фазы функции г|э. Для
случая электронных плазменных волн последнее обстоятельство
является естественным, поскольку нелинейность ленгмюровских
колебаний связана с действием силы ВЧ-давления, которая
зависит от градиента интенсивности волны.
Рассмотрим решения уравнения (8.122), имеющие вид плоских
волн. Оказывается, при выполнении условия pq ;>0 эти решения
становятся модуляционно-неустойчивыми; иными словами,
модуляция огибающей волны имеет тенденцию к росту. Картина
процесса во многом аналогична изображенной на рис. 8.24, несмотря
на то что мы рассматриваем здесь движение жидкости, а не
взаимодействие с волной отдельных частиц. Поясним, как сила
ВЧ-давления может вызвать модуляционную неустойчивость плазменных
волн. Плазменное колебание с пульсирующей огибающей
показано на рис. 8.26. Сила ВЧ-давления, обусловленная градиентом
интенсивности плазменной волны, будет сдвигать электроны и
ионы в те точки, где интенсивность волны минимальна. Это при-

324
Гл. 8. Нелинейные явления
Рис. 8.26. Сила ВЧ-давления, возникающая из-за неоднородности амплитуды
плазменной волны, заставляет ионы смещаться в точки минимумов
интенсивности колебаний. В результате в плазме образуются каверны плотности,
в которые захватываются ленгмюровские волны, и модуляция исходной
плазменной волны возрастает.
ведет к модуляции плотности плазмы. Из дисперсионного
уравнения для ленгмюровских волн
о2 = с4 + C/2)£\4Пл D.30)
следует, что волны с большими k могут существовать только там,
где мала локальная величина сор и, следовательно, мала плотность п.
Вследствие этого плазменные волны окажутся запертыми в
областях пониженной плотности плазмы. Захват части плазменных
волн еще более увеличит интенсивность плазменных колебаний
в тех областях, где они и без того были велики, и приведет таким
образом к дальнейшему росту амплитуды огибающей.
Какой смысл имеет в этом случае условие pq >0? Оказывается,
для плазменных волн р и q пропорциональны соответственно
дисперсии групповой скорости dvrp/dk и нелинейному сдвигу частоты
бсо ~dco/d|iJ)|2. Ниже мы покажем, что
р = A/2) dvjdk, q = — dco/d | ty |2 ~ — бсо. (8.123)
Модуляционная неустойчивость может возникнуть только в том
случае, когда pq >0, т. е. бсо и dvrV/dk имеют противоположные
знаки. Для того чтобы понять, почему это так, обратимся
к рис. 8.27. На рис. 8.27, а показана модуляция огибающей волны,
которая возникла вследствие случайных флуктуации амплитуды.
Пусть бсо <<0. Тогда в области большей амплитуды ленгмюров-
ской волны частота со, а значит, и пропорциональная ей фазовая
скорость (d/k станут несколько меньше исходной. Вследствие этой
неоднородности фазовой скорости распределение поля в левой
части образования станет гуще, а в правой — более разреженным
(рис. 8.27, б). Таким образом, локальное значение волнового числа
k в левой части пакета станет больше, чем в правой. Если
dvrp/dk >0, то групповая скорость в левой части пакета при этом
окажется выше, чем в правой, и энергия волны локализуется в бо-

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы
325
а
иф
'гр
Рис. 8.27. Модуляционная неустойчивость может возникнуть только в том
случае, когда нелинейный сдвиг частоты и дисперсия групповой скорости
имеют противоположные знаки.
Рис. 8.28. Солитон огибающей.
лее узкой области пространства. Иными словами, огибающая
станет выше, а охватываемая ею область — уже (рис. 8.27, в). Если
же бсо и dVrp/dk имеют одинаковые знаки, то модуляционная
неустойчивость возникнуть не может.
Несмотря на то что решения уравнения (8.122) в виде плоских
волн при pq >0 являются неустойчивыми, у этого уравнения
могут существовать и устойчивые решения в виде так называемых
солитонов огибающей. Их можно получить из фундаментального
решения
w(x, t)=BA/q)msch[(A/p)ll2x]eiAt. (8.124)

326
Гл. 8. Нелинейные явления
Здесь Л — произвольная константа, которая связывает между
собой амплитуду, ширину и частоту колебаний в волновом пакете.
В любой заданный момент времени решение (8.124) представляет
собой обычный солитон наподобие того, который описывается
формулой (8.100) (правда, теперь гиперболический секанс входит
в решение в первой степени, а не в квадрате). Из-за наличия
экспоненциального множителя решение w (х, t) осциллирует между
максимальным и минимальным значениями. Существуют и другие
солитонные решения уравнения (8.122); среди них — солитон
огибающей, движущийся со скоростью V (рис. 8.28):
г|>(х, t) =(-— Y/2sch|Y—Y/2(*—x0—Vt)\expUfAt + -^-x —
Чг'+во)]- (8Л25)
Здесь х0 и 0О — начальные положение и фаза колебаний в солитоне.
Из решения видно, что значение скорости V определяет число длин
волн, которые в каждый момент времени укладываются внутри
огибающей.
Задачи
8.19. Прямой подстановкой покажите, что выражение (8.124) является
решением уравнения (8.122).
8.20. Докажите, что (8.125) является решением уравнения (8.122). Для этого
покажите, что если w (x, t) есть решение уравнения (8.122), то функция
\\> = w{x —х0 — Vt, t)exp[\{Vx/2p — V2//4p + 90)]
также является его решением.
Теперь мы хотим показать, что нелинейное уравнение Шредин-
гера описывает электронные плазменные волны большой амплитуды.
Для этого нужно решить самосогласованную задачу, которая
определяла бы образование каверны плотности под действием силы
высокочастотного давления и поведение волн в такой каверне.
Высокочастотные движения электронов описываются уравнениями
D.18), D.19) и D.28), которые мы перепишем в виде
ди/dt = —{elm) E — {3KTJmn0) {дп/дх), (8.126)
dnfdt4-n0(du/dx)=:0, (8.127)
дЕ/дх^=—Е^1еп, (8.128)
где п0 — плотность однородной невозмущенной плазмы; Е, п и
и — соответственно возмущения электрического поля, плотности
электронов и скорости электронной жидкости. Эти уравнения
линеаризованы, поэтому нелинейности (u-V) и и У-(пи) в них
отсутствуют. Взяв производную по времени от уравнения (8.127) и произ-

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 327
водную по х от уравнения (8.126), можно исключить из системы
величины и и Е м записать уравнение (8.128) в виде
д2п/дР—(ЗКТе/т) д2п/дх2 + (п0е2/те0) п = 0. (8.129)
Теперь заменим п0 на п0 + Ьп, где Ьп — возмущение плотности
в каверне; это единственный нелинейный эффект, который мы
будем рассматривать. Естественно, линейному уравнению (8.29)
удовлетворяет любое линейное возмущение, однако для последующего
удобнее записать это уравнение для скорости и и воспользоваться
определением величины сор. Таким образом, мы будем
рассматривать уравнение
d2u/dt2 — CKTe/m) д2и/дх2 + сор A + Ьп/п0) и = 0. (8.130)
Скорость и состоит из высокочастотной составляющей, которая
осциллирует с частотой со0, близкой к плазменной частоте сор, и
низкочастотной части щ, описывающей квазинейтральное движе- .
ние электронов вслед за ионами, когда последние образуют каверну
плотности. (Заметим, что все пространственные вариации
плотности, как крупномасштабные, так и мелкомасштабные, включены
в щ.)
Пусть
и(х, t) = in{x, t)e-'mJ. (8.131)
Дважды дифференцируя это равенство по времени, получаем
d2u/dt2 = (iii — 2\щщ — cooщ) е~'ш°*,
где точки означают дифференцирование по «медленному» времени.
Поскольку вторая производная щ <^ «о"ь ею можно пренебречь,
и мы имеем
d2uldt2 = — (coo^z + 2i(D0i) e~'mot. (8.132)
Подставляя это выражение в уравнение (8.130), получаем
[2i«U +^^- + (^-^-4^-)«,]e-"»-' = 0. (8.133)
Переходя к безразмерным переменным
t' = <upt, со' — со/о)р, x' — xl'kn,
(8.134)
и1 = и (КТе/т)~12, Ьп' = Ьп/п0,
перепишем (8.133) в виде
Ш°^Г + 2 -^- + T(aH~1~6n)"/Je =0' (8ЛЗЗа)
Введем обозначение А для относительного сдвига частоты:
Л==(о>0—©р)/юр = оH—1 (8.135)

328 Гл. 8. Нелинейные явления
и будем считать, что Л <^ 1; тогда а'—1 т 2Л. Теперь можно
убрать штрихи (путаницы это не создаст), вернуться с помощью
соотношения (8.131) к функции и (х, t) и заменить в первом члене
(8.133а) величину со0 на единицу. В результате мы придем к
уравнению
iJEfL + A^L + fA_lLfinV = 0. (8-136)
dt 2 дх2 \ 2 )
Заметим, что в последнем соотношении производная dldt берется
по «медленному» времени, хотя функция и содержит как быстро-
осциллирующий фактор ехр (— ico0/), так и медленно меняющийся
сомножитель щ. Таким образом, мы получили нелинейное
уравнение Шредингера; осталось лишь выразить Ьп через \ui\2.
Уравнение, описывающее движение электронов в
низкочастотном пределе, можно получить из уравнения D.28), если пренебречь
в нем инерционным членом и добавить в правую часть этого
уравнения выражение (8.44) для силы ВЧ-давления:
0=—епЕ—КТе— р-— V ° ' . (8.137)
дх ю2 дх 2
(Здесь мы положили уе = 1, поскольку низкочастотные движения
являются не адиабатическими, а изотермическими.) Если
пренебречь тепловыми поправками, то из уравнения (8.126) следует:
(E2)^{mWo/e2)(u2/. (8.138)
Положим Е = — у/» и введем обозначение % = еф/КТе; тогда
уравнение (8.137) запишется в виде
(д/дх) (х — In п) (ш/КТе) (д/дх) (и2) = 0. (8.139)
Проинтегрировав это уравнение, положив п = п0 -{- 6п и перейдя
к безразмерным переменным, определяемым выражениями (8.134),
получим следующее соотношение:
4-<и2> = 4-|и|я = х—ln(l + 6n)«x-firt- (8-140)
2 4
Теперь с помощью уравнений (8.103) и (8.104), описывающих
поведение холодных ионов, исключим величину %. Поскольку Qp —
= 80)р, vs = e (KTJmI'2, где е = (пг/МI/2, то в безразмерных
переменных (8.134) уравнения движения ионов запишутся в виде
1 \дщ +И£^_+^Х_=0> (8И1)
е dt дх дх
1 дЬщ , д
dt дх
[A+6л,)и<] = 0. (8.142)

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 329
Здесь мы положили щ = (п0 + Stii)/n0 = 1 + btit и опустили
штрихи. Если в системе координат, движущейся со скоростью V,
решение является стационарным, то в лабораторной системе все
возмущения зависят от х и t только через комбинацию | =
= х—х0—Vt. Таким образом, д/дх = д/dl, dldt = — Vd/дЬ,, и
после линеаризации безразмерные уравнения движения ионов
запишутся в виде
-^^+^- = 0, «, = -£*, (8.143)
е dt dl V
- е dl dl V
Используя эти уравнения и условие квазинейтральности в
медленных движениях, получаем
6ne=6/it- = eax/Va. (8.145)
Выражая отсюда % и подставляя его в равенство (8.140), в котором
величина Ьп в действительности равна Ьпе, находим
Ьпе = A/4) | и |2 (V2/e2— l)-i. (8.146)
Подставляя это выражение в уравнение (8.136), окончательно
получаем
i^L + AZfL+rA__L^_iy1lMl2]tt=:o. (8.147)
dt 2 дх* ^ L 8 V е2 J J
Сравнивая последнее равенство с уравнением (8.122), мы видим,
что если пренебречь Л, то (8.147) представляет собой нелинейное
уравнение Шредингера с параметрами
„> q=—U тШ■ ). (8.148)
2 8 V V2 — т/М )
Осталось показать, что р и q связаны с дисперсией групповой
скорости и нелинейным сдвигом частоты формулами (8.123). Это
действительно имеет место при V2 -С т/М. В самом деле, в
безразмерных переменных дисперсионное уравнение Бома—Гросса D.30)
записывается в виде
а)'2=1 + 6л' + 3/г'2, (8.149)
где k' = k'ko, a со выражена в единицах величины сор0, равной
плазменной частоте вне каверны плотности. Групповая скорость ленг-
мюровских волн дается выражением
игр = da'/dk = З/г'/со'; (8.150)
поэтому dvrx>ldk' = 3/со ж 3 и
p = — dv'rpldk'^ —. (8.151)

330
Гл. 8. Нелинейные явления
При V2 «С в2 из формулы (8.146) следует Ьп' — — \и |2/4, так что
уравнение (8.144) можно записать в виде
со'2=1 !_|и'|2 + з/гЛ (8.152)
4
Следовательно,
2а>'Ло'= —X-d\u'\2,
4
(8.153)
6co'~doOd|w'l2^ — 1/8.
При V2 < s2 из второго выражения (8.148) имеем <7 « 1/8 =
= — d«>'/d\u'\2.
Если условие V2 <£ е2 не выполняется, то при анализе
нелинейных процессов нужно более детально рассматривать динамику
движения ионов; в этом случае в плазме возникают
нестационарные взаимосвязанные солитоны ленгмюровских волн и плотности
ионов. Именно такая ситуация обычно реализуется в эксперименте
и изучается теоретиками.
Таким образом, функция (8.125) при р = 3/2 и q = 1/8
описывает ленгмюровский солитон. При этом г[5 (х, t) равна
низкочастотной составляющей скорости и (х, t) (величины и, хи t безразмерны!).
Восстанавливая зависимость ехр (— i со0/) и полагая х0 = 90 = О,
можно записать (8.125) в следующем виде:
u(x, 0 = 44usch|Y—Y;2(jc-W)]
Xexp[-i[(co0+-^ Л) *--£-*]]. (8-154)
Огибающая солитона перемещается со скоростью V, которая до
сих пор считалась произвольной. Для точного определения V
одновременно с уравнением для ленгмюровских волн нужно решать
уравнение Кортевега—де Вриза, описывающее поведение каверны
плотности. Впрочем, физические соображения, лежащие в основе
этого решения, довольно просты. Если высокочастотные волны
заперты в каверне плотности и перемещаются вместе с ней, то
групповая скорость этих колебаний должна быть равна скорости
движения каверны V, т. е. (в безразмерных переменных)
3k' (8.155)
х
[см. (8.150)]. Следовательно, множитель i(V/3)x в экспоненте
выражения (8.154) равен именно величине i kx, показывающей, как
происходит движение ленгмюровской волны вместе с каверной
плотности. Член —i(V2/6)t в точности равен — i C/2) k t' и
соответствует сдвигу частоты в дисперсионном уравнении Бома—

8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 321
i0, мкс
4
4
4
4
,4
4
3 6 9
Z, СМ
Рис. 8.29. Каверна плотности, или кавитон, образованный вблизи
критического слоя под действием силы высокочастотного давления СВЧ-колебаний.
Высокочастотные волны (не показаны) генерировались с помощью пучка
электронов. [Из работы: Kim Н. С, Stenzel R. L., Wong A. Y., Phys Rev.
Lett., 33, 886 A974).]
Гросса (8.149) при Ьп = 0 (множитель 1/2 возник из разложения
квадратного корня). Поскольку со0 « сор, то со0 + A/2/6)
представляет собой частоту волны, удовлетворяющей уравнению Бома—
Гросса в однородной плазме. Следовательно, величина А равна
сдвигу частоты, вызванному присутствием каверны плотности Ьп'.
Как видно из формулы (8.154), А определяет также ширину соли-
тона и его амплитуду. Интенсивность высокочастотного
электрического поля можно найти из соотношения (8.138).
Кавитоны действительно наблюдались на установках,
подобных той, которая изображена на рис. 8.16. На рис. 8.29 и 8.30
представлены результаты экспериментов по созданию структур,
напоминающих солитоны огибающих, путем подведения к спокойной
плазме высокой мощности СВЧ-колебаний. Благодаря этим
экспериментам была получена интерпретация данных по лазерному син-

332
Гл. 8. Нелинейные явления
соо = шр Время, cv0 = cvp
0 5 10 15 0 5 Ю 15
7 Расстояние от центра, см л
Рис. 8.30. Взаимосвязанные ленгмюровский и ионно-звуковой солитоны.
а — низкочастотные ямы плотности, смещающиеся влево; б —
интенсивность высокочастотного электрического поля, измеренная проволочными
зондами; видно, что в минимумах локальной плотности интенсивность
возрастает. [Из работы: Ikezi #., Nishikawa K-, Hop #., Mima К- — Plasma
Physics and Controlled Nuclear Fusion Research, 1974, II, 609, International
Atomic Energy Agency, Vienna, 1975. ]
тезу как «модификация профиля», т. е. изменение профиля
плотности плазмы под действием силы ВЧ-давления лазерного
излучения. Изменение профиля происходит вблизи критического слоя,
в котором сор т со0 (со0 — рабочая частота лазера).
Задачи
8.21. Покажите, что нелинейный сдвиг частоты А связан с амплитудой со-
литона в соответствии с "выражением (8.154), вычислив для этого среднее
уменьшение плотности плазмы в каверне и соответствующее ему изменение
величины сор. (Указание: воспользуйтесь уравнением (8.146); считайте, что
среднее значение sch2 по ширине солитона равно примерно 1/2.)
8.22. В плазме с параметрами п0~ 1015 м-3, КТе = 2 эВ возбуждается
ленгмюровский солитон огибающей, амплитуда которого равна 3,2 В. Пусть
у ленгмюровских волн k%D = 0,3. Найдите: а) полную ширину солитона
по половине максимума амплитуды (в мм); б) число длин волн,
укладывающихся на этой ширине; в) сдвиг частоты (в МГц) относительно значения,
предсказываемого линейной теорией Бома—Гросса.
8.23. В одномерной плазме, температура которой КТе = 3 эВ, создана
прямоугольная каверна плотности. Плотность плазмы вне каверны п0 —
= 1016 м-3, а внутри нее щ = 0,4-1016 м-3. Пусть каверна достаточно
протяженная и резонансами, связанными с ее границами, можно пренебречь.
Какова длина самой короткой плазменной волны, которую можно запереть
в каверне?

Приложение А
СИСТЕМА ЕДИНИЦ,
КОНСТАНТЫ И ФОРМУЛЫ,
ВЕКТОРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
АЛ. Системы единиц
Все формулы в этой книге записаны в системе СИ. Однако в большей части
научных публикаций до сих пор используется гауссова система СГС. Ниже
представлены уравнения Максвелла в вакууме, гидродинамические
уравнения движения и закон Ома в идеальной плазме в этих двух системах:
СИ
V-D = е(гц ~-пе),
V X Е= —В,
v-b = o,
V X H = j + D,
D =80Е, В = ц0Н,
dv
т п — цп (Е + v X В) — VP»
dt
E + v X В =0,
Уравнение непрерывности в обеих системах выглядит одинаково.
В гауссовой системе единиц все величины, относящиеся к электрическим
явлениям, измеряются в электростатической системе единиц СГСЭ.
Исключение составляет магнитная индукция В, которая измеряется в гауссах, т. е.
в единицах СГСМ. Чтобы учесть это исключение, приходится записывать
в явном виде множители, в которые входит скорость света с. В системе СИ
(МКСА) В измеряется в теслах (Тл), равных веберу на квадратный метр-
(Вб/м2), причем 1 Тл = 104 Гс. Напряженность электрического поля Е в
системе СГС имеет размерность 1 ед. заряда СГС/см, а в системе СИ — В/м.
Поскольку 1 ед. потенциала СГС равна 300 В, то 1 ед. СГС/см = 3-Ю4 В/м.
Отношение Е/В в гауссовой системе единиц является безразмерным, так что'
V£ = сЕ/В. В системе СИ величина Е/В имеет размерность скорости, и
потому V£ = Е/В. Это полезно помнить при проверке размерностей различных
членов уравнения в поисках алгебраических ошибок.
Плотность тока j = nev в обеих рассматриваемых системах записывается
одинаково. В СГС величины п и v имеют размерности соответственно см-s
и см/с, а е — 4,8-10~10 ед. заряда СГСЭ. Таким образом, j выражается в ед.
заряда СГСЭ/см2, причем 1 ед. тока СГСЭ = с~х СГСМ или 10/с = 1/C-10») А.
В системе СИ яиу измеряются соответственно в м—3 и м/с,| ае = 1,6 • Ю-19 Кл;.
следовательно, j выражается в А/м2.
СГС (гауссова)
V-E = Апе (щ — пе),
су X Е = — В,
v-b = o,
с\7ХВ = 4nj + Ё\
6 = jx = 1,
dv / 1 \
тп —— = qn { Е -f- v X В ) — ург
at \ с J
1
Е+ vXB = 0.

334
Приложение А
Большинство формул, записанных в системе СГС, можно перевести в
систему СИ, если заменить В/с на В, а 4л: — на е^, где 1/4яе0= 9-Ю9.
Например, плотность энергии электрического поля в СГС равна £2/8я, а в СИ
это будет е0£2/2, плотность энергии магнитного поля в СГС равна В2/8л,
з. в СИ—В2/2ц0. Здесь мы использовали соотношение (&0\i0) '2—с=3-108 м/с.
Энергия К.Т обычно выражается в электрон-вольтах. Для пересчета ее
в единицы энергии СГС, т. е. в эрги, мы должны умножить ГэВ
на 1,6-Ю-12 эрг/эВ. Для пересчета в джоули (СИ) энергию в
электрон-вольтах нужно умножить на 1,6- Ю-19 Дж/эВ. Это последнее число, как следует
,из определения электрон-вольта, равно заряду электрона е в системе единиц
СИ.
А.2. Полезные константы и формулы
Константы
СИ СГС
с скорость света 3-Ю8 м/с 3-Ю10 см/с
е заряд электрона 1,6- Ю9 Кл 4,8- К)-10 СГСЭ
т масса электрона 0,91-Ю-30 кг 0,91-Ю-27 г
М масса протона 1,67-10~27 кг 1,67-10~24 г
М/т 1837 1837
(М/т)'1* 43 43
К постоянная Больцмана 1,38-10~23 Дж/К 1,38-10~16 эрг/К
эВ электрон-вольт 1,6- Ю-19 Дж 1,6-Ю-12 эрг
температура, соответствующая 11 600 К И 600 К
1 эВ
kuq поперечное сечение атома во- 0,88-10_2°м2 0,88-Ю-16 см2
дорода
плотность нейтральных ато- 3,3-1019 м-3 3,3-1013см_3
мов при комнатной
температуре и давлении Ю-3 мм
рт. ст.
Формулы
плазменная
частота
Формулы для
СИ СГС (гауссова) расчетов
(п в см-3)
/ пе2 \1/2 / 4л/ге3 \1'2 ,_ ,
( ( ) /p = 9000V>* с-1
электронная еВ еВ
циклотронная /с = 2,8 ГГц/кГс
частота
т тс
. дебаевский / e0/CTe V'2 / КТе V 2 ^ / ГэВ V'2
^D оалиус Г" —: г- 740 см
/*кр_у* /_*£_у. 740(_£в_у
V пе2 ) \ Аппе2 ) \ п )
радиус
экранирования
ларморовский mvx mvxc M^Jb
радиус —£- -^— -J-^- мм(Н)

Приложение А
335.
альфеновская В
(ШРI
СКОрОСТЬ (КТе Y 2
звука при
Ti = 0
скорость ЕХВ- Е сЕ 108£ (В/см)
альфеновская о а , ,—
VA скорость ( а/2 DярI/2 2,2-10uB/Vn см/с(Н)
/КГ, V'2 / КГг \i/2 R ,,9
Ьг) (IT") Ю6^см/с(Н>
fE дрейфа -^ -у- ^ см/с
скорость ДТ /г' с/СГ п' Гэв 1
^D диамагнитного 7> "То"- „ ^8 й « ,см/с:
о. еВ п еВ п В
дрейфа
отношение n/C7"
кинетического
давления к
магнитному
DлрI/2
/^ КТе у/2
с£
с/СГ /г'
еВ п
пКТ
В212ц0 52/8зг
электронов ч ' ч у
частота coD Zn«. In Л
р - 2-Ю-6
iVD гз/2
электрон-ионных
столкновений " " 1 эв
частота _ и In Л
электрон- «5-10 6 ——
электронных ^эв
столкновений
частота ион-
ионных
столкновений
-ШШ%<
средняя длина у2
*••< свободного та \еетх\ц л; 3,4-1013 ——см (НУ
пробега «In Л
максимальная е£ е£ у2
\>осц скорость коле- L L осц = 7,3/19Л2
баний электро- тсо0 /исо0 с2
нов в
электромагнитной волне
3,7/13Ь2/Г(эВ).
А.З. Полезные векторные соотношения
А (В XC) = B-(CX A) = C(Ax В)^(АВС),
А Х(В ХС)= В (АС) — С (А-В),
(А х В)-(С х D) = (А-С) (В D) — (A D) (В-С),
(А X В) X (С х D) = (ABD) С — (ABC) D = (ACD) В — (BCD) A,
V-(M)= A-W + ^V-A,
V х (М) = Vtf> x A + <t>V X А,
A x(V X B) = V(A-B) —(A-V)B —(B-V)A — В X (V X A),

336
Приложение А
v(T")
(A-V) А- V — Л2)— АХ (V X А),
V-(A X B) = B-(V X A) —A-(V X В),
V X (А X В)- A(v-B) —B(V-A) + (B-v) А —(А-у)В,
V X [(A-V) А] - (A-V)(V X А) + (V-А) (V X А) - [(V X А).V] А,
V X VX A-V(V-A)-(V-V)A,
V X V* = О,
V-(VX A) = 0.
Цилиндрические координаты (г, 9, г)
1 д ( дф \ , 1
ее2 ' oz2
1 д , , 1 д , д
г дг г дЬ дг
8 +
, Г 1 д , 1 Мг п.
+ |__Ме)-т--^-]г,
V2A = (v.V)A=[vMr--^^r + 2-^-)]? +
+ [vMe - -±- (л6 - 2 ~~)] е + умД
- / дВг 1 дВг дВг 1 N ,
\ дг г дв дг г J
~ ( . дВ% 1 dBQ дВв 1 \ ,
, ~ ( < дВг , , * дВг t дВг \

Приложение Б
ТЕОРИЯ ВОЛН В ХОЛОДНОЙ
ОДНОРОДНОЙ ПЛАЗМЕ
При Те = Ti = О анализ волн, который был выполнен в гл. 4, легко
обобщить на случай произвольного числа сортов заряженных частиц и
произвольного угла распространения 8 по отношению к направлению
магнитного поля. В это рассмотрение мы не включаем волны, свойства которых
зависят от температуры Т, например ионно-звуковые волны.
Прежде всего найдем тензор диэлектрической проницаемости плазмы.
Запишем четвертое уравнение Максвелла .
VX В = цо0 +е0Ё), (Б.1)
где j — ток в плазме, обусловленный движением s сортов частиц с плотностью
ns, зарядом qs и скоростью vs:
j =£ns<7svs. (Б.2)
s
Считая плазму диэлектриком, плотность тока внутри которого равна j,
уравнение (Б.1) можно переписать в виде
V X В = ii0b, (Б.З)
где
D = е0Е + (i/co) j. (Б.4)
Здесь мы предположили, что все величины, описывающие движение плазмы,
зависят от времени как ехр (— ia>t). Пусть ток j пропорционален Е, но из-за
влияния магнитного поля B0z не обязательно направлен вдоль Е, тогда с
помощью соотношения
j = a E (Б.5)
мы можем определить тензор проводимости а. Уравнение (Б.4) принимает
вид
D = e0(l +—■—о )Е = е Е.
V 80С0 J
(Б.6)
Таким образом, диэлектрическая проницаемость плазмы представляет собой
тензор
е = е0 A + ia/e0co), (Б.7)
где I — единичный тензор.

338 Приложение Б
Для вычисления а воспользуемся линеаризованным уравнением
движения частиц сорта s, пренебрегая членами, связанными со столкновениями
и давлением:
ms(dvs/dt) = qs(E -f vs X B0). (Б.8)
Определяя циклотронную и плазменную частоты для каждого сорта частиц:
юсз = | <7s Vms | • <V = nQq2s/eQms, (Б.9)
уравнение (Б.8) можно разбить на компоненты по осям х, у и г и найти
составляющие вектора скорости vs:
igs [£* ± i («Wco) £y]
y*s== \ ; ГТ^ ' (Б.10a)
msco 1 — (cocs/coJ
vus = ; » (Б.106)
^S msco 1-(соС5/соJ v
o» = —^^г. (Б. Юв)
msco
где знаки ± относятся к заряду qs. Ток в плазме
J=X>os<7,vs; (Б. 11)
поэтому
i V in0s iq2s Ех± i К» Еь
е0со / -< е0со msco 1 — (cocs/to):
s
^2 N £, ± i (ю>>) Е
I (-4)
1 — (C0cs/wJ
(Б.12)
Воспользовавшись тождествами
1 1 Г со
1 — Ocs/coJ
_J_[_^ ь—£—1
2 L й + cocs to ± cocs J
(Б.13)
C0cs/C0 1
__ 1 Г со со "I
2 L со + cocs со ± cocs J
1 — (tocs/coK
уравнение (Б. 12) можно переписать в следующем виде:
1 1 ^ 
епсо
]у
1_и со2 LV со + cocs со ± cocs /
S
/СО СО \ "I
( )i£j. (Б.Н>
V со + cocs со ± cocs ) \
тенты плотности тока определяются раве]
_ _L V i \(—2— - —=—Л \е, +
2 /_-< to2 LV со ± cocs со =р cocs J
е0со 2
Аналогично у- и г-компоненты плотности тока определяются равенствами
,2

Приложение Б
339
+ ( ^ + 5 )Е 1
V. (О + C0CS CD ± COcs / У]
(Б.15)
!г- ~ ^—T~EZ. (Б.16)
-.2
боСО / -I СО
S
Определяя величину jx из (Б.14) и подставляя ее в (Б.4), получаем
^ „ • VT
е0
2 £_J L со2 \ со q: cocs to ± toCs /
s
/со to \ I
I )iEy\- (Б.17)
V CO q: C0CS CO ± COcs / J
•J.
Введем следующие обозначения:
Z-/ CO2 V CO ± C0CS /
s
1я1_У4(_1_)
Z—< CO2 V CO q: C0CS /
Ss-^-ftf + L), D = Y^_LI)'
(Б.18)
-I
p., • "'■■
С помощью этих определений уравнение (Б.17) и аналогичные соотношения,
получающиеся, если спроектировать уравнение (Б. И) на оси у vs. г vs.
воспользоваться формулами (Б. 106) и (Б.10в), можно записать в виде
e^Dx=SEx-iDEy, e^lDy = iDEx + SEy,
(Б.19)
HlDz=PEz.
Сравнивая последние равенства с соотношением (Б.6), мы видим, что
/ S —Ю 0\
е = е0 Ш S 0 =е0ед. (Б.20)
V о о р)
Теперь выведем волновое уравнение, взяв ротор от уравнения Максвелла
V X Е = — В и заменив V X В на ji0e-E. В результате получим
уравнение
V X V X Е= — ц0ео(е^-Ё) = — ——eR't. (Б.21)
х) Заметим, что здесь D — это не вектор электрической индукции D,
■а величина, связанная с разностью величин R к L.

340
Приложение Б
Предположим, что Е зависит от пространственных переменных как exp (ik-r)„
и введем определение векторного показателя преломления:
fi = ck/to. (Б.22)
Тогда уравнение (Б.21) запишется в виде
М X (fi X Е)+8Л.Е = 0. (Б.23>
В плоскости ху однородная замагниченная плазма изотропна; поэтому без
потери общности можно выбрать ось у так, чтобы выполнялось равенства
ky = 0. Пусть угол между векторами к и В0 равен 0, тогда
[Хлг=Ц51п0, ^2=ncos0, \iy = 0. (Б.24)
Теперь выпишем уравнение (Б.23) в компонентах, воспользовавшись
соотношением (Б.20) для составляющих тензора е^:
/S—n2cos2Q — Ю |i2sin0cos0\ /Ех\
R E = \D S — ц2 0 I £у|=0. (Б. 25)
Vu2sin0cos0 0 Р — ja2sin2 6/ \Ег)
Отсюда видно, что компоненты Ех и Еу связаны с Ez только в том случае,
когда угол 6 не равен 0 или 90°.
Матричное уравнение (Б.25) эквивалентно системе трех однородных
уравнений, решение которой существует, только если детерминант матрицы
R обращается в нуль: det ||R|| = 0. Раскладывая этот определитель по
минорам элементов второго столбца, получаем
(iDJ (p _ ц2 sin2 е) + (S — ц2) [(S — ц2 cos2 0) (Р - ц2 sin2 0) —
— ц4 sin2 0 cos2 0] = 0. (Б.26>
Заменив cos20 на 1—sin20, можно разрешить это уравнение относительно
sin20:
,i„.e = -pw-^ + rl)
\ii(S-P) + li4PS-RL)
Здесь мы воспользовались тождеством S2—D2 = RL. Аналогично
2 a S^-(PS + RL)^ + PRL
cos20= . (Б.28)
H*(S-P) + ^(PS-RL)
Разделив последние два соотношения друг на друга, получим
Р(ц4— 2S\i2-\-RL)
tg20 =
Siii-(PS + RLliL* + PRL
Поскольку 2S = R + L, то числитель и знаменатель этого соотношения
можно разложить на множители, и в результате дисперсионное уравнение
для волн в холодной плазме принимает следующий вид:
t 26= P№-R)(li2-L)
(%2- RL) (ii2— P)
(Б.29)
Если положить 0=0 или 90°, то из (Б.29) можно получить основные
моды колебаний, рассматривавшиеся в гл. 4. Пусть 0 = 0, тогда уравнение
имеет три корня: Р = 0 (ленгмюровская волна), ц2 = R (правополяризо-
ванная волна), ц2 = L (левополяризованная волна). В случае 0 = 90° мы
имеем два корня: \а2 = RL/S (необыкновенная волна) и [х2 = Р
(обыкновенная волна). Воспользовавшись определениями (Б. 18), можно показать, чта

Приложение Б
341
получающиеся дисперсионные уравнения тождественны выведенным в гл. 4
с точностью до поправок, возникающих из-за учета движения ионов.
Полагая \i -*■ оо, можно найти резонансы:
tg2 ерез = —P/S. (Б.30)
Из этого соотношения следует, что резонансные частоты зависят от угла 0.
При 0 = 0 возможными решениями являются Р = 0 или S = оо. Первое
отвечает плазменному резонансу со = сор. а второе реализуется либо при
R = оо (электронный циклотронный резонанс), либо при L = оо (ионный
циклотронный резонанс). В случае 0 = 90° возможны решения Р = оо или
5 = 0. Первому из этих равенств при конечных сор и со удовлетворить нельзя;
второе позволяет получить выражения для верхне- и нижнегибридных
резонансных частот, а также для двухионных гибридных частот (в том случае,
когда в плазме имеются ионы двух или более сортов).
Частоты отсечек можно найти, если в уравнении (Б.26) положить |Л = 0.
Воспользовавшись тождеством S2—D2 — RL, получаем
PRL = 0. (Б-31)
Частоты отсечек не зависят от угла 0. Условия R = 0 и L = 0 приводят
к выражениям для частот отсечек со^ и со/,, полученным в гл. 4 (с точностью
до поправок, учитывающих движение ионов). Условие Р = 0 (или со = а>р)
отвечает как отсечке (для поперечных волн), так и резонансу (для
продольных колебаний). Это вырождение связано с тем, что при выводе
дисперсионных уравнений мы пренебрегли тепловыми движениями.
Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса обобщает информацию,
содержащуюся в дисперсионном уравнении (Б.29). Из него нетрудно получить
еще один, не показанный на диаграмме результат; из второго уравнения
системы (Б.25) мы видим, что
iDEx + (S~ii2)Ey = 0. (Б.32)
Таким образом, поляризация в плоскости, перпендикулярной вектору В0,
дается выражением
i(Ex/Ey) = (v?-S)/D. (Б.ЗЗ)
Отсюда нетрудно видеть, что в резонансе (|л2 = оо) волны поляризованы
линейно, а в точке отсечки (\i2 = 0) они имеют круговую поляризацию,
поскольку в этом случае либо R = 0, либо L = 0, и, следовательно, S = ± D.

Приложение В
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОЕ
КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
(ДЛЯ ТРЕХЧАСОВОГО ЭКЗАМЕНА)
Часть А (рассчитана на одночасовое выполнение
задания без права пользования литературой)
1. Число электронов в дебаевской сфере при п = 1017 м-3 и КТе = 10 эВ
приближенно равно
а) 135; б) 0,14; в) 7,4-103; г) 1,7-105; д) 3,5-1010.
2. Для плазмы плотностью п = 1020 м~3 электронная плазменная частота
равна
а) 90 МГц; б) 900 МГц; в) 9 ГГц; г) 90 ГГц; д) с точностью до 10 %
не равна ни одной из приведенных выше величин.
3. Максимальный ларморовский радиус для ядра гелия с зарядом Z = 2
и энергией 3,5 МэВ, находящегося в магнитном поле В = 8 Тл, приближенно
равен
а) 2 мм; б) 2 см; в) 20 см; г) 2 м; д) 61 см.
4. В лабораторной плазме cn= 1016 м-3, КТе = 2 эВ, KTi = 0,1 эВ и В =
= 0,3 Тл величина Р (отношение газокинетического давления к давлению
магнитного поля) приближенно равна
а) Ю-7; б) Ю-6; в) 10~4; г) 10; д) К)-1.
5. Скорость градиентного дрейфа vvB
а) всегда направлена в ту же сторону, что и v^; б) всегда направлена
против ve; в) иногда параллельна В; г) всегда направлена против скорости
центробежного дрейфа v^; д) иногда параллельна вектору скорости
диамагнитного дрейфа vD.
6. В плазменном торе, показанном на рисунке, диамагнитный ток течет в
основном в направлении
а) +
б) -
в) +
Д) + z
Ч*Ф
7. В плазменном торе, изображенном на рисунке в п. 6, торсионные альфве-
новские волны могут распространяться в направлениях
а) ± г; б) ± 0; в) ± Ф; г) только в направлении + 6; д)только в
направлении — в.
8. Плазма типа Л в 10 раз более плотная, чем плазма типа В, но имеет такую
же температуру и ионный состав. Сопротивление плазмы А по отношению
к плазме В
а) в 100 раз меньше; б) в 10 раз меньше; в) примерно такое же; г) в
10 раз больше; д) в 100 раз больше.

Приложение В
343
9. Средняя скорость электронов |v| в максвелловской плазме с температурой
10 кэВ равна
а) 7-Ю2 м/с; б) 7-10* м/с; в) 7-Ю5 м/с; г) 7-Ю6 м/с; д) 7-Ю7 м/с.
10. Какие из следующих волн не могут распространяться в плазме без
магнитного поля (В0 — 0)?
а) Электронная плазменная волна; б) обыкновенная волна; в) альфве-
новская волна; г) ионно-звуковая волна; д) волна Бома—Гросса.
11. Волна, «распространяющаяся назад»,— это такая волна, у которой
а) к направлен против В0; б) (o/k <0; в) dmldk <0; г) v(- = — \е\ д) Уф
направлена против vrp.
12. Термины «отсечка» и «резонанс» относятся к условиям, когда
относительная диэлектрическая проницаемость 8 равна соответственно
а) 0 и оо; б) оо и 0; в) 0 и 1; г) 1 и 0; д) е нельзя вычислить,
пользуясь плазменным приближением.
13. Нижнегибридная и верхнегибридная частоты равны соответственно
а) (Qpae)i* и (сорсосу/2;
б) (Qj + Q2I'2 и К+со2)'/2;
в) (a>eQ,) и (со2+со2I2;
г) (сор-со^2 и (со2+со2);
д) Ka)LI2 и (о>ро)сI/2.
14. В полностью ионизованной плазме диффузия поперек магнитного поля
В происходит главным образом вследствие
а) ион-ионных столкновений; б) электрон-электронных столкновений;
в) электрон-ионных столкновений; г) тройных соударений; д) диамагнетизма
плазмы.
15. Экспоненциальное уменьшение плотности со временем характерно
а) для классической диффузии в полностью ионизованной плазме; б) для
рекомбинации в полностью ионизованной плазме; в) для рекомбинации в
слабоионизованной плазме; г) для классической диффузии в слабоионизованной
плазме; д) как для диффузии, так и для рекомбинации в полностью
ионизованной плазме.
16. Вистлерная мода имеет круговую поляризацию, причем вектор
электрического поля волны
а) вращается по часовой стрелке, если смотреть в направлении + В0;
б) вращается по часовой стрелке, если смотреть в направлении — В0; в)
вращается против часовой стрелки, если смотреть в направлении + k; г)
вращается против часовой стрелки, если смотреть в направлении — k; д) вообще
не вращается, поскольку волна линейно поляризована.
17. Фазовая скорость электромагнитных волн в плазме
а) всегда больше с; б) никогда не может быть больше с; в) иногда бывает
больше с; г) всегда меньше с; д) никогда не может быть меньше с.
18. Температуру плазмы нельзя повысить с помощью
а) нагрева на циклотронном резонансе; б) адиабатического сжатия;
в) омического нагрева; г) магнитной накачки за время пролета; д) процесса
неоклассического переноса.
19. Плазму нельзя удержать в
а) бейсбольной маске; б) диамагнитной петле; в) стеллараторе, свернутом
в виде цифры 8; г) системе из восьми одинаковых зарядов, расположенных
в вершинах куба; д) тета-пинче.
20. Затухание Ландау
а) вызывается резонансными частицами; б) всегда имеет место в бесстолк-
новительной плазме; в) никогда не возникает в бесстолкновительной плазме;

344
Приложение В
г) это математический результат, который не подтверждается в эксперименте;
д) связано с вычетом в точке сингулярности, лежащей на полуокружности
вне действительной оси.
Часть Б (двухчасовое выполнение задания;
пользуясь учебником, нужно решить четыре
задачи из пяти)
1. Рассматривается холодная плазма, которая состоит из ионов водорода
с концентрацией я0, ионов Не++ с концентрацией A/2) п0 и электронов с
плотностью 2 п0. Покажите, что в такой плазме существуют две
нижнегибридные частоты. Получите для каждой из них приближенную формулу.
(Указание: можете пользоваться плазменным приближением, условием
mlМ <С. 1 и формулами для v]( приведенными в тексте. Заново решать
уравнения движения не нужно, достаточно использовать известное решение.)
2. Разумные существа с далекой планеты пытаются связаться с Землей,
посылая мощные радиоволны, частота которых каждую минуту меняется
от 10 до 50 МГц. Линейно-поляризованные волны должны проходить через
плазму радиационных поясов таким образом, чтобы векторы Е и к были
перпендикулярны В0. Обнаружено, что во время солнечных вспышек (на их
солнце) волны с частотами от 24,25 до 28 МГц через радиационный пояс
планеты не проходят. Определите, плотность плазмы и напряженность
магнитного поля в их радиационном поясе. (Указание: не округляйте полученные
числа раньше времени.)
3. Если величина Р больше, чем mlM, то существует возможность связи
между дрейфовой и альфвеновской волнами, которая приводит к
неустойчивости. Для этого необходимо, чтобы продольные скорости волн вдоль В0
были одинаковы.
а) Покажите, что условие Р > mlM эквивалентно неравенству гм<»тепл-
б) Пусть в плазме КТе = 10 эВ, В = 0,2 Тл, ky = 1 см-1, а п =
= 1021 м-3. Найдите, какова должна быть величина kz для реализации
этой связи в водородной плазме. Можете считать, что п0/п0 = 1 см-1, где
nQ — dnQ/dr.
4. Для аномальной диффузии, вызеоииг,й неустойчивыми колебаниями,
закон диффузии Фика выполняется н^ „а. Например, инкремент
дрейфовых волн зависит от Vn/n; поэтому и коэффициент дифузии D ± может сам
зависеть от Vn. Рассмотрев общее выражение для D± в цилиндрической
системе координат, а именно
покажите, что временная эволюция плазмы, распадающейся вследствие
диффузии, описывается уравнением
дп
= f (г) ПР+Ч+1.
dt
Покажите также, что в соответствующих пределах из этого соотношения
можно получить уравнения, описывающие диффузию в полностью и частично
ионизованной плазме.

Приложение В
345
5. В некоторых полупроводниках, например арсениде галлия,
вольт-амперная характеристика выглядит^так, как показано на рисунке:
1
V
На ней имеется участок, соответствующий отрицательному сопротивлению
или отрицательной подвижности. Допустим, что существует вещество,
обладающее отрицательной подвижностью при любых значениях тока.
Используя уравнение движения холодной слабоионизованной плазмы без магнит-
ного поля, уравнение непрерывности для электронов и уравнение Пуассона,
проведите обычный анализ волн в линейном приближении и покажите, что
при [ie <0 в плазме существует неустойчивость.

Приложение Г
ОТВЕТЫ К НЕКОТОРЫМ ЗАДАЧАМ
1.1.а. При нормальных условиях (давлении 760 мм рт. ст. и температуре
О °С) 1 моль идеального газа содержит 6,022-1023 молекул (число Авогадро)
и занимает объем 22,4 л. Следовательно, число частиц в 1 м3 равно
6,022- 1023/2,24- 10~2 = 2,69-1025 м~3.
б. Поскольку PV = NRT,Ton = NIV = P/RT. Следовательно, njn0 =
= P^q/PqTj. Зная плотность при нормальных условиях [она вычислена
в п. а)], имеем
Ю-3 273
пг = B,69-1016) = 3,30-1019 м-3.
v 760 B73 + 20)
Заметим, что двухатомный газ, например Н2, при данном давлении содержит
в два раза больше атомов, чем, скажем, Не.
1.2. Рассмотрим интеграл
сю ос оо
/2s J eT^dx J e~yidy= f{ e-^+y\xdy
00 OO OO
в двумерном пространстве. Переходя к полярным координатам, имеем
/2 = f f e-r> dr d4> = 2я j' e-rV dr = я f e^d (r2) = - 7ie~r21 ~ - я.
о -
Следовательно,
OO
/ = Г e~x'dx = Уя~
1 = j f (и) du = A BKT/mI2 J е- 2*r d [« (m/2/СГI'2] = Л/ BKT/m)
OO —-OO
поэтому Л == (т/2л/СГI/2.
1.4. _p =. n (KTe + /CTi) = 1021 D-104) A,6-10-19) = 6,4-106 H/m2. 1 атм;
» 105 H/m2, следовательно, р = 64 атм.
1 2-

Приложение Г
347
1.5.
&Ч
dx2
е (tij — пе)
е0
п00е(е-е^т1-~ее^!КТе)
Ф = Фпё
,-\х\Кт
п„е
ее
где
еФ
еФ
KTi
КТе
XD
-)
Если
Если
Ti « Те,
Те « Ti,
то Яо'
то Яо
(КТт0/посе2)и2>
(КТег0/посе2I12.
-0j). При
1.6.
а) d^/dx2=—nq/eQ. ПустьФ= Ах2 + Вх-\-С\
Ф' = 2Ах + В; Ф" = 2А. При х = 0
производная <£' = О из симметрии. Следовательно,
В = 0. При х — ± d потенциал $ = 0; поэтому
0 = Ли2 + С, С=— Ad2. Поскольку Ф" =
= 2Л = — nqle0, то Л = — nq/2e0, а Ф =Лх2—
— ;4d2 = л? (d2—х2)/2е0.
б) Энергия, необходимая для того, чтобы
перенести заряд q из точки хх в точку х2,
равна изменению потенциальной энергии A(9$) = 9 (^2
х = ± d потенциал 0 = ^ = 0, а при л: = 0 потенциал Ф — Ф2 =
— A/2е0) «<?d2; следовательно, <£ = nq2d2/2e0. Если d = ^d, to для
одномерного максвелловского распределения <S = (l/2s0)n92(^C^eo/'re<?2) —
= A/2) КТ =£'ср- Следовательно, если d >^d, to <£ >£'ср- Если же функция
распределения по скоростям трехмерная, то £Ср = C/2) КТ и S > A/3) £ср.
Множитель 1/3 особой роли не играет; главное в другом: если заряд одной
компоненты плазмы не полностью нейтрализован зарядом другой компоненты,
то тепловой энергии частиц недостаточно для того, чтобы частицы могли
уйти в плазме на большие расстояния d > Яо.
1.7. а) Я0= 7400 B/1016I2 = Ю-4 м, /VD=4,8-1010 м-3.
б) kD= 7400 @,1/Ю12I'2 = 2,3-Ю-3 м, tfD = 5,4-1010 м~3.
В) AD= 7400 (800/1023I/2 = 6,6-10-' м, ЛЪ= 1,2-1011 м-3.
2.1. Е — A/2) mv\; следовательно, v± = B£7mI/2 и rL = mvJeB.
_ Г B) A04) A,6.10—1а) -]l/2
a
9,1b 10~31 J
(9,11-10-31) E,93-107)
A,6-L0-") @,5-10-*)
= 5,93-107 м/с,
= 6,75 м.
v± == C00) A000) = 3-105 м/с,
A,67-10-27) C-105)
A,6-10-19) E-10-9)
6,26-105 м = 626 км.

348
Приложение Г
Г B)AQ3)A,6-10-") -11/2
v , = — = 2,19-105 м/с,
± L D) A,67-Ю-27) J
D) A,67- Ю-27) B,19-105)
rL A,6-10-19) E,00-10-2)
0,183 м.
г)
2МЕ
3,38-Ю-2 м.
[B) D) A,67- IP7) C,5-106) A,6- Ю-19)]1-'2
B) A,6-Ю-19) (8)
2.4. Пусть начальная энергия частицы равна &0,
а ларморовские радиусы равны соответственно гх и г2,
как показано на рисунке. Энергия частицы в точке 1
равна <?! = €0 + еЕгг, энергия в точке 2 — &2 = ё0—
—еЕг2. (Можно сказать, что S % = ё0± е^г^-)
Очевидно, v_1>2 = 2б],2/М. В используемом нами
приближении
П,2 =
1 B*о YV e£ v2
При малых Е квадратный корень можно разложить
в ряд Тейлора:
гиг
гг,2
1 2
1 / 2£0 У/2/ 1 еЕ \
яс \ м ) [1±Т s0 Г1'2)
Ш2[
1 ±
еЕ
Ш*Г
-^Г-2£о-У2Г, , 1 ^ 1 / 2£0 \l.2-i
яс V м ) L ~ 2 £0 йД м J J"
Таким образом, независимо от величины £,
f\~~r2 =
еЕ
1 2ёг
2еЕ
Q2 М
MQ".
Иными словами, за время 2я/йс ведущий центр частицы смещается на
расстояние 2 (г1~г2), поэтому
tfec = 2(п-гя) (Ос.'2я) = -i^- J- =_L -L « _*_,
Mfic 2л я В В
т. е. скорость дрейфа ведущего центра не зависит от энергии иона S0. Если
бы мы работали в рамках более строгого приближения, то вместо 2/л
получили бы множитель 1.
2.5. а)
П = tlr/S.
?Ф КТ,
£= —
дф
дг
Ф=(КТе/е)\п(п/п0),
КТе 1 дп л /СГе
дг
еЯ,

Приложение Г
349
б)
£ В еВк
Для электронов утеПл — B/СТУгаI . Следовательно, \ve\ = (КТе/т) X
X(m/eBX)=v^enJl/B(acXy Теперь нужно найти rL, усреднив величину rL =
= mvJeB по функции распределения. Поскольку поперечной скорости у±
отвечают две степени свободы, то A/2) mv\= 2-KTJ2 = КТе. Удобнее всего
пользоваться среднеквадратичной величиной (f±)cp, кв = B/СТ'е/тI/2=
— Утепл- Подставляя эту скорость в определение rL, находим |ое1=A/2)Х
Х(иТещД) (^j./0^) = (^2) °тепл''ь/^; поэтому из условия | ре | = отепл
следует, что rL = 2Я.
в) Если вместо электронов рассматривать ионы, то vTenjlt i = {2h\TjMI'2 —
1 / 2КТ. \ / М \ 1 Т„
X
li'^ct и
1 /2KW М у
X —
1 Г,
2Я Г,-
утепл, irhi~
a>ci 2 Г;
Если | vE\ = итепл, i , то и в этом случае ш = 2А,, при условии, что Ть —Те
2.6. а) п = п0 ехр (е-^2 - l) = п^ф!КТе,
6 ■ф(г)=е"'в-в,-1,
ЯГв
dr
2г2
(.--£-).--о.
кге
е
г2
о2
л/2~е"
2г
а2
1
2
-1 2 _
е-/* а2
-»
17 В/м,
/СП 2 г_1;2 _ @,2) A,6-Ю-19)
еа V2" £' ~~ A,6- Ю-19) A)
Ег " "£«акс = -%£-= 17/0,2 = 85 м/с.
б) Сравним силу тяжести Mg с силой еЕ, действующей на ион (величина mg
для электрона будет в 1836 раз меньше). Ускорение свободного падения
g = 9,80 м/с2, Mg=C9) A,67-Ю-27) (9,80) = 6,38-10~25 Н, еЕмакс =
= A,6- Ю-19) A7) = 2,75-Ю8 Н «4-Ю6 Mg. Таким образом,
гравитационный дрейф слабее электрического в четыре миллиона раз.
в)
а =——-=ю-2м,
еВ

350
Приложение Г
2,8.
v,=BKT/M)
■'-[■
B) @,2) A,6-10-") -11/2
I =9,9-102 м/с,
C9) A,67- Ю-27)
C9) A,67-Ю-27) (9,9-102)
(Ю-2) A,6-Ю-19)
4,0-Ю-2 Тл.
0,3-Ю-4
л»
(r/RK
Тл,
GpBxVB
^' (Запад)
а)
V^T0"
_LrL
Вхуб
В'-
'LrL
дВ л с ~
VB = г= — 3 г
v аг л4
1
• и , г
1 о'
s(-7),
1 2KTlm
\В
VB
КТ
.l'L
еВ
2 <йс 2 еВ/т
A,6-10-19)(/СТЬв ^ (КГ)эв .
A,6-Ю-19) В В
0,3-Ю-4
В (г - 5/?) =
5R = 3,2< 107 м,
\в
10
53
= 2,4-Ю-7 Тл,
2,4-10
ГГ-0,39(/СГ)эВ м/с.
Таким образом, для ионов с температурой КТ = 1 эВ скорость дрейфа ovg=
= 0,39 м/с, а для электронов с температурой КТ = 3-10* эВ скорость дрейфа
i>vB = 1,17-10* м/с.
б) Ионы дрейфуют на запад, электроны — на восток.
в) 2яг = F,28) C,2-107) = 2,0-10е м,
2т 2,0-108
t = = :
vvB 1,17-Ю4
1,7-104 с = 4,8 ч.

Приложение Г
351
In@,01)
X [In r —In @,1)] = 460
In @,1
InA00)
В;
г) Если пренебречь движением ионов, то / = nev в= A07) A,6-10 19)Х
ХA,17-104) = 1,87-10-8 А/и".
2.9. а) Поскольку энергия движения электрона вдоль направления 6 не
увеличивается, то и;?— 0. Вначале электрон покоится, поэтому после одного
оборота он снова окажется в состоянии покоя. Следовательно, траектория
его движения состоит не из петель, а из цепочки дуг, образующих между
собой острые углы (см. рисунок). Ясно, что
преобладающим будет электрический дрейф
ve> поскольку электрон вначале смещается
влево, а под действием силы Лоренца
начинает двигаться вверх. .
б) В цилиндрической геометрии Ф = Е*В |
=А in г Л-В. Поскольку ф A0~3) = 460 В,
а 0@,1 м) = 0, то BxVBj -«- VB
460 = A lnA0-3) + S,
0 = A In @,1) + В, В= — Л In @,1),
460 = Л In (Ю-3) — Л In @,1) = A In @,01),
А = 460/1п @,01).
460
Ф (г) = . ,_ ... X
VE t
VVB{
— 460
дг
InA00)
460
V 0,1 Д г2 ) In 100
4,6- Ю-2
= 104 В/м при г = 10"
m;
e
/(AI0-4 500-10-
5r
E)A)
0,01 Тл,
VE
\EIB
104 B/m
0,01 Тл
-=106 м /с.
Для того чтобы оценить скорость градиентного дрейфа, мы должны найти v±
в системе отсчета, движущейся вместе с ведущим центром. Напомним, что
при выводе выражения для o„s считалось, что v± — это скорость движения
по невозмущенной круговой орбите. В нашем случае сама эта орбита
движется со скоростью ve, и движение в лабораторной системе никак нельзя
считать круговым, однако его можно представить в виде суммы кругового
движения со скоростью v± и Е X В-дрейфа ведущего центра. Рассмотрим
2-компоненту скорости частицы (скорость вдоль провода). В точке / скорость
Vz ~ ve + u^cos (oct = 0, причем здесь cos (act = — 1, т. е. косинус
достигает максимальной отрицательной величины. Следовательно, ve — vx.
Аналогичное соотношение между ve и у^можно получить, если рассмотреть
скорость v2 в точке 2: vz = ve + v ±(cos (act = 1). Энергия частицы в этой точке
JJ1/2) (wyz)] должна равняться энергии, которую получила частица от элек-

352
Приложение Г
трического поля, пройдя в нем расстояние 2rL. Таким образом,
mv
т
(vE + v±f 2rLeE = 2еЕ—~ = 2mv± —
v2E + 2v±vE + v2±
4yj.y£.
eB ~""-L В
(»в-О2 = 0-
: 2mu , у
iu£»
Теперь мы в состоянии вычислить vvB'.
\в
1 v±
2 ю£
dB
уВ
еВ A,6-Ю-19) (Ю-2)
В
/( — !)• 10-*
dr
(9,11 -10-31)
VB
= 1,76-10*с
,9„-l
В
102 м-1,
4
VB
в
12
1 Ю'МО*
2 1,8-Ю9
= 2,8-10* м/с.
На такую величину замедляется vg-дрейф из-за того, что ларморовский
радиус частиц меняется со временем, а траектория по форме напоминает е.
Невозмущенная орбита в этом случае напоминает траекторию ниппеля на
колесе движущегося велосипеда:
OfXT-Qr
В заключение отметим, что поправка к vE, связанная с конечностью лармо-
ровского радиуса, пренебрежимо мала:
4 L В ~ 4 г2 В
(9,1Ы0-31)A06)
а
а поскольку г = 10
,-2
A,6- Ю-19) @,01)
I, то A/4)(г£/г2) = 0,08 %.
5,7-10-* м;
2.12. Будем рассматривать скорости частиц в центральной плоскости;
пусть нижние индексы i и / относятся к начальному и конечному состояниям
(д® и после ускорения)
а) По условию Rm— 5, vxi — v,,t. Поскольку магнитный момент [i
сохраняется, то v±f = v±i и только у и будет увеличиваться. Это увеличение будет
идти до тех пор, пока питч-угол_9 не превысит критический:
sin2 Ьт =
Ъ
v2±f+v\f
i+4M(
1
Я-
Следовательно, v\f/vxi= 4, v,,f=2 uxt-. Энергия частицы в конечном и
начальном состояниях равна соответственно

Приложение Г
353
Следовательно, Ef = 2,5£t- = B,5)A) = 2,5 кэВ.
б) 1. Пусть частица, имеющая скорость v0 >0, ударяется о поршень,
движущийся со скоростью vm <0. В системе отсчета, связанной с поршнем,
частица испытает упругое соударение и отскочит от поршня, имея скорость,
равную начальной, но с противоположным знаком. Будем обозначать
скорости в системе отсчета, связанной с поршнем, буквами со штрихом. Тогда
начальная и конечная скорости частицы в этой системе будут равны
соответственно
vi =v0~vm> v'f = -Ц-V)-
V
(Напомним, что vm отрицательна.) Возвращаясь в лабораторную систему
отсчета, имеем
vf = v't +vm= -y0+4n-
Поскольку vm <0, изменение скорости частицы равно 2| vm\ , что и
требовалось доказать.
2. При каждой осцилляции между поршнями изменение импульса частицы
составляет Ар» — 2m\vm\ . Если N —число таких осцилляции, то Paf —
= P«t+ NAP,,. Таким образом,
N
_ p\\f~~p\\i __ v\\i
2vxi~vxi
1
Д^|| 2vm 2vm 2 Vm
Et=Mv2±i= 1 кэВ = A03)A,6-10-19)= 1,6-10—16 Дж.
/ 1,6-10-" V'2
Следовательно, vxi= I 67 1Q_27 j = З.Ы05 м/с.
Поскольку vm= 10* м/с, то число осцилляции
2 10*
3. Среднее значение v,, равно
1_
v ~~ 2 v "l ' ' ";/ 2
а поскольку L — 1013 м, то
NL A5) A013)
(v\\i + v\\f) = -T(v±i + 2vxi) =-Jv±i
4,610s,
t
= 3,2-108 c= 10 лет.
v 4,6-105
За это время расстояние между поршнями уменьшится на
AL = 2vmt = B) A04) C,2-108) = 6,4- Ю12 м,

354
Приложение Г
так что в действительности время / » 2,5-108 с. Поскольку нас интересует
ответ с точностью до коэффициента порядка двойки, суммирования по всем
отражениям производить не нужно: точность приведенного выше ответа
C,2-108 с) оказывается достаточной.
2.13. а) Поскольку S v ц ds « и у L = const, то v« L + и п L г» 0.
б)
Jj_ ==_.£- j ~ Л ._= "■ ( i)
До., L 2yi£ —uif L 2 101?
= 3,310s с
2.14. Как следует из уравнения Максвелла V X Е = — В, с
увеличением В возникает электрическое поле Е. Это индуцированное поле Е имеет
компоненту вдоль скорости v и, следовательно может ускорять частицу. Если
В медленно возрастает адиабатическим образом, то поле Е будет мало,
однако интегральное действие этого поля за времена, превышающие лармо-
ровские, будет заметным. Инвариантность \i позволяет найти увеличение
энергии частицы, не рассматривая этот интегральный процесс.
3.1. Будем исходить из уравнения doldt + V-j = 0, где j = \р = (p/Sa) E.
Отсюда следует, что о — — V- [(р/52) Е]. Производная по времени от
уравнения Пуассона имеет вид V-E = о7е0. Следовательно,
'■*—Ш'Ш6- *-A+-£-)'-°-
Предполагая, что относительная диэлектрическая проницаемость е не
зависит от времени, имеем V-D = V-(eE) = 0. Сравнивая между собой два
последних равенства, заключаем, что 8=1 + р/е0В3.
3.2.
, , пМ йр пе2 М2 пМ
е0В2 Q2 eQM e2B2 eQ£2
Это справедливо, если s > 1.
3.3. Возьмем дивергенцию от уравнений C.56) и C.58):
V-(V X Е)= — V В = 0, — (V-B) = 0.
dt
Следовательно, если в начальный момент V-B = 0, то это равенство будет
соблюдаться и в дальнейшем. Именно это и утверждает уравнение C.57).
Далее,
V • (V X В) = 0 = Цо folV '{niVi) + geV • (пеУе)] + ^~~ •

Приложение Г
355
Из уравнения C.60) следует, что V'(nivi) = —n»> V-(neve) =
тому
пе\ поэ-
_д_
dt
• • V- Е
|*о (— Я1П( — qene) + — = 0,
с2
- V Е (mqi + neqe)\ = 0.
Если в начальный момент величина, стоящая в квадратных скобках, равна
нулю, то V-E= (l/e0) (niQi ~\~ ne4e)t что эквивалентно уравнению C.55).
3.4.
Ь = (КТ{ + КТе)-
В X V"
кт
пе
В2 е BL
Поскольку КТ ~ еФ, Е ~ — Ф/L, мы имеем KTleL ~ E; следовательно,
JD ~ пеЕ/Ь ~ nev, так как El В = vg.
3.5. Пусть уд постоянен в ящике размером L. Из разности токов, текущих
по двум стенкам, получаем: An — nfL, [Jpl = | hnevy\ = \nfLevy\.
Поскольку этот ток распределен по ящику с длиной ребра L, то эквивалентная
плотность тока равна |/£>| = \JD\ /L = \п'еиу\. Из уравнения C.69)
следует, что \jd\ = | KTVn/B] = \KTn'lB\; следовательно, если скорость vs
такова, что две формулы согласуются для одного значения L, то они будут
согласовываться и при любом L; ведь L в ответ не входит.
Q ft * уКТе z X V"
3.6. a) vDe = '—- -
еВ п
Из условия изотермичности следует, что у = 1:
__, - дп п02х -
SJn = х — х,
дх а2
vd«
/С Г. 2я0
2 \_1
еВ а2
б) См. рисунок:
-а 0
В) од, = B)/@,2) Л:
■Mi—*Ч
п0 V а2 У
- /сгв
_ Bп0/а2) (а/2) г 4/р,04
п0 A — а2/4а2) ~~ 3/4
Следовательно, уде = A0) A33,3) = 1333jw/c
—rfyr2 ефКТе
3.7. п = п0е и = я0е
2х / х2 Ч-1
"a^V ~"о2"/
= 133,3 м~]

356
Приложение Г
Ф =
КТе
In
КТе
е
(-f)
а)
VE
V/Je
== -е
дф
~~ дг
Е X В
В2
В X Ур
епВ*
КТе д
еВ дг
КТе 2г
г,
е= —g
кте
К Те 2г
еВ Л
еВ
1пл= — И
дп/дг
п
КТе
еВ
— v£,
г0
что и требовалось доказать.
б) Из результатов, полученных в п. а, следует, что частота вращения
является константой, поскольку независимо от того, взять ли в качестве v
одну из величин v^, \£,е, vdi или же их линейную комбинацию,
vq ~ г, а (о = vq/г — const.
в) В лабораторной системе отсчета
V = Уф + \Е = 0,5V£,e + ( — \De) = — A/2) VDe.
3.8. а)
\D = Пе {VDi — VDe) = - в
б)
ИЛИ
п0(КТе + КЪ) 2r Л Л
. ц и
в л
/д= AQU)@,6)A,6.10-») д0>147 д/м2
@,4) (rg/2r) B,718)
D= Лв(|Оое|+ |0/)il).
, . . . (КТ)эВ 2г @,25) 2r r
0.4.S
/■2
0

Приложение Г
357
Пользуясь тем, что е= 1,6- Ю-19 Кл, е — 2,718, получаем:
jD = ( Ю26) A,6- Ю-19) B) A,25).
= 0,147 А/м2.
в) Поскольку в лабораторной системе уе = V£ + V£>e = Ve — V£ = 0, то ток
целиком переносится ионами.
3.9.
V X В = HoJD>
HVX B)-dS = n0Sb-dS,
$B.dL = HoJb-dS.
Рассмотрим контур, одна сторона которого совпадает с осью цилиндра
(В = В0), а другая находится настолько далеко от него, что там В = Boo.
Поскольку ток J£> направлен по — 8, мы можем выбрать направление
интегрирования так, чтобы величина j/j-dS была положительна, как показано
на рисунке. Компонента Вг равна нулю; следовательно,
^B-dL = (£TO-B0)L,
n(KTe + KTi) 2r
]£> =
G
В
о
4z.B
L oo
В
В.
где Tg = Ti. При вычислении этого интеграла мы считали, что В (r)= Boo,
поскольку такой малый ток / не может заметно изменить значение В. Таким
образом, D
ДЯ = В,
Bt
И*
2п0КТ 2 Dя- Ю-7) (Ю16) @,25) A,6- 10~19) __
В,
@,4)
2,5-Ю-9 Тл.

358
Приложение Г
4.1.а) Найдем Фх.
КТе пх со -f- i a со*
X
г пв со* + i а со* — \а
_ КТе coco* + a2+ia'(co*--co) пх
е со*2 -f- а2 Щ
Если величина пх вещественна, то
lm@i) а (со* —со) , „
ь—— = — — = те о;
следовательно,
Re (Фх) сосо*+ а2
mtg г «(»•—> ]
L coco* -f- Ф \
б) Пусть пх = nxel {kx at), а Фх =\ Anxei{kx~at+6), где А — положительная
постоянная. При со <со* величина б >0. Пусть в точке х0 в момент времени t0
фаза пх равна нулю: kx0—со/0 = 0. Если величины со и k положительны, а
точка х0 фиксирована, то фаза потенциала Фх обращается в нуль при
kx0—(at + б = 0, т. е. при t >t0. Следовательно, Фх запаздывает по времени
относительно пх. При фиксированном t0 величина kx—со^0 + 6 = 0 при
х <лс0; поэтому в пространстве Фх тоже запаздывает относительно пх.
(Поскольку (д/k >0, а волна движется вправо, то ее начало находится при
больших х.) Если k <0, а со >0, то фаза потенциала Фх обратится в нуль при
х >х0; однако, поскольку теперь волна движется влево, Фх по-прежнему
будет запаздывать относительно пх.
4.2. ikEi= е(щх — пех),
So
— i <£>mvex = — eEx (для электронов),
— i coTWuii = eEi (Для ионов),
— i amex = — i kn0vel (для электронов),
— i cottti = — i kn0Vii (для ионов),
k / — ie \ c k / ie \c
«*i = "о ■ I Ex, пц = n0[ -)Ei,
со V mco J со V Mco J
s0 со со V M m ) со2 v p pJ
co2=co2+Q2.
4.3. Выразим Фъ Ех vi ux через nx; из уравнений D.22) и D.23) следует, что
со пх „ 4я 1 е
vx = • , Ех = пх.
k nQ k
Но, поскольку Ех= — i кфх, то
4яе
фх = п
■ k2
Следовательно, разность фаз между Ех и пх составляет 90°, Фх и пх сдвинуты
по фазе на 180°, a vx либо синфазна с плотностью пх, либо сдвинута относи-

Приложение Г
359
тельно нее на 180° в зависимости от знака фазовой скорости (л/k. Далее,
поскольку Ех = —дФх1дх, то величина Е, определяется по наклону кривой
Фг (случай а). В случае б мы имеем Е1/п1 ~ i sign (k); следовательно, б =
= ± п/2. Если со/к >0, то
Ег ~ exp [i (kx ± | со \t ± п/2)],
где ± соответствуют знакам величины k. Таким образом, Ег на 90°
опережает пг или отстает от нее, если со/6 < 0 (см. рисунок).
Ф1
Vi
>о<е
4.4.
1 kEx =
\ moo /
\Л\ ^—|£i = 0, или V- ( 1 ^-| Ях = 0;
\ 80тю2 / V со2 /
1 1 k \ k { — ie
— епх — еп0 Vi = еп0 —
е0 е0 со е0 со
iftll - 1£\ = 0. или V-I 1 р
Следовательно,
4.6.
е= 1
а) тп0( — i со) v-l = —еп0Ех — тп0\иъ
С i v \ ieE1
тсо
1 k
ikEi = епъ tii = "o^i (из уравнения непрерывности),
£о со
1 kEi = е п0
со2 | 1 -\ ^—) = Cup, со2 -f i vco =
е„ со
iv
б) Пусть со = х + \ у. Тогда дисперсионное уравнение принимает вид
* —У + 2\ху -\- ivx — vy = co2. Приравняем мнимую часть этого уравне-

360 Приложение Г
ния нулю: 2ху + vx = 0, т. е. у = — v/2; следовательно, Im (со) = — v/2.
Поскольку х = Re (со), a v >0, то
Ех ~ е-'1 ш = е-1 ю'е# = е xte~^^ *,
и колебание со временем затухает.
4.7. Рассмотрим уравнение тп0 (— i со) vx = ея,^—еп0 (vx X В0)- Пусть
вектор В0 направлен вдоль z, а Ех и к — вдоль х. Тогда «/-компонента этого
уравнения имеет вид
—1 (sitnvy = evxB0, —— = — i
vy <oc
Поскольку со = (О/, >сос, то | t>*/t^| >1 и орбита частицы вытянута в х-на-
правлении, которое одновременно является направлением вектора к.
4.8. а)
V • £i = епъ к = kx\ -f- kzi, Ey = ky — 0,
So
i (kxEx -f £z£z) = e«i-
Запишем выражения для nx:
—?- + «oV- Vi = 0, — i ©Я! -f n0 i (ft*!»* + ил) = 0,
и выражения для vx и vz:
Мп0 ( — i со) vx = — en0Ei — ел0 (vx X В„);
i e _ i сос
проекция на ось х: vx = Ех vy;
та со
i wc
проекция на ось у: vy= 0-j — vx,
.2 \-х
тсо со2 тсо
Ч-4Г-
проекция на ось г: i>z = Ez;
тсо
Из уравнения непрерывности следует, что
Я1 = _^_ (-^Л Г № fi - -^-) ч- мч>
и \ тш Я V со2/ J
^£х + k2Ez = i -^- ( —) kxEx A - -^- ) Ч- № '
ею V яш / L V со2 / J
kx — k sin 0, kz = k cos 0,
< r f «r v1 i
JfeEi sin2 6 4- kEi cos2 0 = —£- fe£i sin2 ell I 4- fe^i cos2 0 ,

Приложение Г
361
2 \-1
со2 L V со2 /
! ©i Г f
--=—^- l-cos20 + 1
8 со2 L v
4-cos2 e
]■
I cos2 e ,
4 -®р =
<4°>2с
cos2 0,
СО2 ((О2 — @^) + ЮрОЭ2, COS2G = О,
что и требовалось доказать.
б)
со4 — со^со2 -f со2 со2 cos2 6 = 0,
2co2 = co2±(co2-4cojco2cos29I'2.
При 0->О величина cos28-»-l; поэтому
2С02 = со2 ± [(со2 + со2J - 4со2со2р = со2 + со2 ± (со2 - со2),
со2 = со2, со2.
Корень со = сор отвечает обычному ленгмюровскому колебанию. Корень
«о = сос является посторонним, поскольку при 0 ->- О величина В0 в ответ
входить не должна. При 0 ->- (я/2) величина cos20 -> 0, а 2со2
со:
т. е. со = 0, «ft. Корень со = со^ отвечает обычному верхнегибридному
колебанию. Корень со = 0 не имеет физического смысла, поскольку вначале
предполагалось, что в системе существует осциллирующее возмущение.
В) СО4 —- 0)\ CO2 -J СО^ = СО^— CO2CO2COS20,
(f - ~ wfc) + Kw,cos 0J = (— a)hj
(У- IJ
что и требовалось доказать.
tOp/coc а = A /2) (сос/со р -f- cop/coc)
K+co?]±[(co2+co2cJ-4co2co2cos20]^
1/2

362
Приложение Г
Для получения меньшего корня возьмем знак минус. Частота со достигает
своего максимального значения в том случае, когда величина cos26
максимальна (и равна единице). Следовательно,
со^ = со2, если сор > ас,
со2 = со2 если a.Xfl..
Большему корню соответствует знак плюс. Частота со достигает максимума
при cos2 6 = 0, в этом случае со = со^. Следовательно, со , <соА. Этот
корень принимает минимальное значение при cos29 = 1; таким образом,
и+ > \ [К+С0Э+K-^lb
со^ = сОр, если сор>сос,
со+^со2, если сос>сор.
4.10. Обозначим через V+ и N+ соответственно скорость и плотность
протонов, а через V_ и N— — соответственно скорость и плотность
антипротонов, через v_ и п— — скорость и плотность электронов, а через v+ и п+ —
эти величины для позитронов.
а)
VXE=—В, VxB=mJ + —, VX VX Е= — ( (ioJ + JL),
с2 V. с2 /
- (к X к X Е) = — [\i0n0e (v+ - *v_) — -^- е! ,
— (к X к X Е) = &2Е — к (к- Е),
о
(со2 — c2k2) Е = n0e(v+ — v_), mnQv±= ± ед0Е,
v±=± —Е, со2— СЧ*= — Лое _£_(! + 1) = 2со2
т е0 т
«4=-^-, со2 = 2со20+С2£2.
е0т ■
(Множитель 2 можно включить в определение сор.)
б) V-Ei = A/ео) (М+ —N- + п+ - п-)ъ где п+ =щъ~ефКТ+>
п_ = п0ееф кг_. Пусть Т+ = Т- = Те, щ± = + щеф1КТе. (Заметим, что
#о± =п0±=5п0.)
dNj_ k k
tf0±V -V± = 0, Nl± = NQ± — У = %— V±,
a*
CO

Приложение Г 363
М( —ico)V+ = ±eE1= ±ike0 (M+ = M_ = M),
Vm=±JLJHL, N-± k* *«еф
со M x± со2 M
еФ
KTe
I P со2 X|J»
"oea 2ЙЗ 0 •^—2Ф=2Ф1&
e0M со2 е0/СГй
^2 , 9 2Й2 2.2 2k2 2 2_ КГв
CO3 CO2 M
2i».2 ^2 . / КТ,ъ
kD =
e°0
1 2
4.11.
2 + 6% 1 + A/2) №D V noe'
Ck 2 2 , 2,2 ^^ , ИР
n = , co = cot, -\-clkl, =1 — = e;
CO CO'1 CO*
следозательно, n = л/г •
4.12. Рассмотрим уравнение V X В = fx0Ji- Ток jx переносится только
электронами, поскольку ионы хлора очень тяжелые и не успевают
откликнуться на высокочастотный СВЧ-сигнал. Следовательно,
/i = — n0eeve = — A — х) n0evel.
Если ввести со по правилу со2 = п0е /г0т, то дисперсионное соотношение
принимает следующий вид:
сЧ2 со2
1 - A - х) -f
СО'2 СО-2
Отсечка происходит при / = A—хI//2 /р = @,4I,/2 9 (п0I,2, где
_^ = _3_io-_==1010>
Я 3
Таким образом,
Г 1Q10 -[
L @,63)(9) J
л0=| -3,Ы018м-3.
4.13. а) Способ 1: Пусть N —это число длин волн, укладывающихся на
длине L = 0,08 м, a N0 — это число длин волн, укладывающихся на той же
длине, но в отсутствие плазмы. Таким образом,
N=-b-, N0=-L, Х=-^, —
Я Ао k со
,Л \ 1 2
Я0 2я Х0 2л с
■(-4)"
0-4Г-

364
Приложение Г
2яс Kq ao
L 0,08
—Н-(-5-Л-
- 10.
Я0 0,008
Таким образом,
,2 \1/2 f
(-4)
^==/2-2.10~2 = f—Y-2-10-2 = 2,8-1019,
= 1 — 10-a, 1 ^— = 1 — 2-10-
/2
2,8-1019 . _ 1Л1. з
— = 3,5-1017 м-3,
Способ 2: Пусть k0 — волновое число в свободном пространстве. Тогда
фазовый сдвиг можно вычислить следующим образом:
L
о
Этот способ приводит к тому же ответу.
б) Как видно из предыдущих рассуждений, если отношение со /со мало, то
величина AiV также мала; поэтому квадратный корень можно разложить
в ряд:
"^ L 1 <
"~H-0-i-£)]
\>0 L Ч z ш- / j Ло 2 СО2
Это и требовалось доказать.
4.14. Для необыкновенной волны из уравнения D.101а) имеем
В резонансе со = co/j; следовательно, Еу = 0, Е — Я^х. Поскольку k = k%,
то Е || к и волна является продольной и электростатической.
4.15. Поскольку со^ —- со^-{-со2 , очевидно, что со <соА. Кроме того,
®l= —[-«< +К+ ЧН-
WL < -у [ ~ ttc + К + *<V°p + 4(°p)U] >
coL = — [ — сос + (сос + 2сор)] = сор;
следовательно, со^ < сор. Аналогично
1
ш«=-тК+К+ЧI2]>

Приложение Г
365
]Ншс
отсюда
<°Д = Ur^c + <°р > <*1 + Ир = <»1
4.17 а) Умножим уравнение D.1126) на i и сложим его с уравнением
D.112а):
@32 - С2£2 _ а) {Ех + \Еу) + а-^{Ех+[ Еу) = 0.
со
Теперь умножим снова D.1126) на i и вычтем его из D.112а):
(со2 — с2&2 ___ aj (Ex _-iEy)_a _^£_ (Ex _-lEy)=z о.
со
Следовательно,
Поскольку
то
F (со) = со2 — c*k2a — A + сос/со),
G(w)= ca2 — c2k*—a(l + сос/со).
A - со?/со2)
F(co) =
со2/со2
G (со) == со2 ( 1 - В
1 + сос го
( со20/со2 сЧ2 \
= 0J 1 В— ,
V 1 — сос/со со2 /
с2*2 \
со2 /
Из уравнений D.116) и D.117) следует, что для правополяризованной волны
F (со) = 0, а для левополяризованной G (со) = 0.
б) Ех = - i Еу, Еу = i Я*. Пусть Ех - / (г) e-ico', тогда
Еу = / (г) ie~'mt = f (z) е~ш+ 1 <я'2> = f (г) е [@'-<я 2>1.
У
/
/
1
\
\
^ч\\0ВО
1 *
1
/
У
о о
Je =~?Ve
Таким образом, Еу запаздывает относительно Ех на 90°; поэтому на рисунке
вектор Е вращается против часовой стрелки. В эту же сторону вращаются
электроны, которые создают ток, текущий по часовой стрелке. Последний
генерирует магнитное поле В, направленное против В0. Для левополяризо-

366
Приложение Г
ванной волны Еу — — i Ех, так что Еу = f (z) e+l [(oi (я/2)^ и gy опережает
Ex на 90°.
в) Для правополяризованной волны Еу = i Ex. Выделяя зависимости от
пространственных переменных, имеем Ех— f (t) e , Еу = f (t) i e1 z =
= f (t) е1 ^2+я/2). При k >0 fy опережает 1ЕХ, поскольку при меньших г
имеет ту же самую фазу. При k <0 компонента Еу запаздывает относительно
Ех (имеет ту же самую фазу при больших значениях г).
А2_, ю>2 «J/»»
= 1 ^-— rt^ = i
1 — С0с/A) ф • 1 — @с/@
„2, o4.,_3 <&ф „2 (— !)
ф dco ^ (to2 — сососJ
Следовательно,
При со = (Ос/2 имеем
2со— сос = 0, со =— со£
2
с2 со2 4со*
= 1 £ = i + £->1;
1 2 1
— «с
4 2
УФ -Lffl2—Lfi>?
поэтому иф ^ с.
4.20.
c2k2 g>2/co2 coco2
Р . ~Ъ.иЪ ,л2 Р
= 1 £ ■ С2£2 = СО2
c*2kdk = 2<ud(>> ((й~@с)~@ cojUco =[2со + ^ 1 dco,
(со-сосJ L (со-сосJ J

Приложение Г
367
da> kc2 kc%
, если <o < coc.
dk (fl + tocto2/2(to-cocJ to + 0J/2 „c
Ho
/ «J \1<2 / COCO2 V 2
c& = ( со2 К « I oJ -| £- , если о) С ©<..
V 1 — 0)c/0) / \ 0)c /
Следовательно,
do) (co2+oHJp/o)cy/2 (l+oJp/2coo)cy/2
dk o)+0J/2 0)c 1+0J/2 cotoc
Для того чтобы получить требуемый результат, нужно предположить, что
Оф < с2 (для вистлеров это действительно) так и считать, что оJ/оH)с < 1.
Таким образом, получаем
dCD _, / 0H)с \1/2
2с
dfc
/ С00)с \1
4.21. (to2 — с2&2) Ех = —— i o)J! [см. уравнение D.81)],
jx = п0е (\р — \е) (vp — скорость позитронов).
Из уравнения движения имеем
vx
_^u±j!*B;)A_4r\
mo) V со /V со2 /
^(^,^-^(,-4)"';
о \ со /V оJ /
Jy —
та>
следовательно,
(ОJ - №) Ех=( J- 1оЛ (я0е) (-^") (} + ^f * ~ "^N
2<
Р Ех.
2/„2
1 — СО^/0)
Члены, содержащие Еу, взаимно сократились. Аналогично
20)
(со2 - с2*2) Еу = р—— Еу.
1-0J/0J
В этом случае сокращаются члены, содержащие Ех. Из обоих уравнений
следует, что
„21,2 Л/-.^2
czr 2to
= 1
(О*
Право- и левополяризованные волны вырождаются, их фазовые скорости
совпадают. Следовательно, фарадеево вращение в системе отсутствует.

368
Приложение Г
4.22. Поскольку разность фаз между право- и левополяризованной волнами
в два раза превышает угол фарадеева вращения, то
е ( <°2>2 V'2
J (kL — kR) dz = n, kR, L = % I 1 p-——
о \ 1 ± coc/w /
Для того чтобы получить простое выражение для ki—kR, нужно разложить
квадратный корень. Предположим, что это можно сделать, а потом проверим
справедливость этого предположения:
kR, L * k0 I 1 - —- —S- — I;
\ 2 1 ± coc/o) /
2 со2 V 1 — coc/co 1 + coc/co )
1 L % 2toc/to
— «o
2
CO2 l-CD^/CD2
co2coc i
л = L {ki — &^) = ft0L —-— ; &o = to/c;
G> CD2 — CO2
f 2 _ *2
ЯС / 9 9Л ,9. С / /с
К-"?). fl =
p Lcoc v -/■'/' 2L K
fc=2,8-1010@,l) Гц,
с 3 • 108
/ = -£_ = J ш = 3,75-1010 Гц,
Ло 8-Ю-3
2_ CX10*) _ (l,41.10'i-7,8-10») __75101..0,д.
р B)A) B,8-109)
п = 9,3-1017 м-3.
Квадратный корень можно раскладывать в ряд, поскольку fc < /» так что
«р/а2 fp 7,5-Ю9
= 0,05« 1.
1 ± сос/со /а C,75-1010J
4.24. 12,7°.
4.25. а) Отсечка необыкновенной волны определяется из условия D.107).
Таким образом,
о / \ пе2 тсое0 / , ч
С0;= 0)(О) ± О) ) = , rtc* = (@ + С0С).
Мы выбрали знак -}-, соответствующий отсечке левополяризованной моды,
поскольку она отвечает большей плотности.

Приложение Г 369
б)
Левая ветвь соответствует волне, имеющей отсечку при со = со^.
Казалось бы, эта ветвь недостижима для волны, падающей на плазму извне,
однако если со <сос, то полосы непропускания между со/, и со^ можно избежать.
4.28. а)
fp = 9^n = (9) A015I 2 = 2,85-108 Гц,
/с = 28 ГГц/Тл = B,8-1010)-A0-2) = 2,8-108 Гц,
/ = 1,6-108 Гц; следовательно, сор/со > 1, сос/со > 1;
•i—i-[—«*W+4)l--f(—« + ^-.)=
= 0,62сос при (дс « сор;
/L = @,62) B,8-108) =1,73-108 > /.
Аналогично можно показать, что / больше всех ионных частот.
®
Участок кривой, помеченной на рисунке крестиком в кружочке, и
соответствует параметрам эксперимента. Он расположен на низкочастотной части
кривой, отвечающей отсечке левополяризованнои моды. Частота волны ниже
электронной циклотронной частоты.

370 Приложение Г
б) Единственная волна, которая может распространяться в плазме при
этих условиях,— это правополяризованная (вистлерная) мода.
4.29. а)
в 1
vA = = —— =6,9-106 м/с;
(\i0nM) [A,26-10—в)A01в) A,67-10—а7)]1,2
О, = -^ = A'6-'°а>"> = 9,58.10' рад/с;
М A,67-Ю-27)
<о = 0,1Йс = 9,58-106 рад/с;
0) = kVA = 2nVA Д..
Если Х= 2L, то
. __ tiva J
~~ ~" 9,58-106
L= juu_ я F,9.10») =2>26Mi
б)
I ~ оЛ/(о ~ ил/^с - В (пМ)~112 В'1 М ~ {М1п)т\
следовательно,
/ 133 \1;2 / mi» \1;2
/.-<*.*)(_) (-JL.) =82 м.
Вот почему альфвеновские волны независимо от величины В нельзя изу
чать на Q-машинах.
4.30. а)
0)z = 0)д +c^z. 2со d© = cz2£ d&; arD = d(o/dk = c^/w;
-2—'Ор-т-с2*2, 2(й d@ = c22k dk; vrp - A-,AU - ~2'
„2 \1,2
cfe
°rp=c(I_^r) ~c('-tiI0 при ><
0)
следовательно,
ч2 \1 2
6)
orptf = *; tf = x/urp;
do) с V 2 оJ У \ оJ У
df _ с f3
df х *2
■А»
с/3 / d/ Л~!_ C-108) (8-107K
С ОK
- —1,9-1018 ]
^2 V dt J (9J B-105) E-106)
х = A,9 • 1018) C • 1016)-1 = 63 парсек.

Приложение Г 37Г
4.31 а) Пусть п^ = A — е) nQ, n^ — еп0, пе = п0еФ/КТе. В
предположении Zj 2 = 1 уравнение Пуассона принимает следующий вид:
Из уравнения непрерывности следует, что
п[1> = A -е) nQ±- v^, „р> = еп0-*-v
СО О)
B)
Уравнение движения дает
,</)
Mi
[см. D.68)].
Следовательно,
г20г=_^_ A
е0 L
Q2 ^-!
+ еп0
Ms
•(-4)
е) п0 I 1 I
со2 All V со2 /
V со2 / КП J
(здесь использовано плазменное приближение). Следовательно,
1 = A~е)
Q2,
с!
+ е-
..2-2
^2
б) Существуют два корня: один из них расположен вблизи со=ЙС1, а
другой — около со = Qc2. Если устремить е к нулю, то корень, лежащий вблизи
&с%, будет приближаться к QC2, поскольку второй член должен быть
конечным. Обычный корень, лежащий вблизи QC1, будет сдвинут из-за
присутствия ионов с массой М9:
*8-а?1 = *Ч
I.2..2
VZ, — klV,
s2
СО
Й
с2
2,2
В последнем члене мы можем заменить со на QcX-{-kvs^. Таким образом,
Q?i + *4i+e
В)
*&
Q2, - Q2
с\ с2
'] *й-
2„2
&V
2..2
sT
klV
JcD
2 со2 - Й2Г
^D = KTe!MD = (Ю4) A,6-10~19)/B) A,67- К)7) = 4,79-1011,
-'sT
— и2 = 3,19-Ю11;
3

32 Приложение Г
QcD ■■= eB/MD = A,6-Ю-19) E)/B) A,67- Ю~27) = 2,40- 10е;
2
QCT = — Qco= 1,60-Ю8, А=100м~1;
- «2 [°2d + °?г + -у ^ (<&> + <М] + Q^
со* — со2 (8,32- 10ls -Ь 3,99- Ю15) + 1.47- 10м + 1,53- Ю32 = 0;
04 _ 8i72- 1016со2 + 1,63- Юзз = 0;
со2 =J_[8;72.1016 ± G,60-1033 —6,52-1033I/2] = 6,0-10" и 2,72-1016;
4.32.
со = 2,45, 1,65-108 с-1, / = 39 и 26,3 МГц.
1 9.\ е
По(-^^>
Е;
1 тсо
<«»=^г<^
т^со
» ! е2 /Р2ч 80WP (£2>
2 т2со2 со2 2
а поскольку со2 = со2 то S=—е0(Е2\.
4.33.
* = noD"Al0')' vi*EilB»
£='—Мп0(£2)/В0. Поскольку V X Ej = —В,, то (£2) = (со2/&2) (£2),
252 ft2 X 7
Для альфвеновской волны имеем
в1 _ (вЬ
k2 |A0«oM 2ц0
4.34. а) Отсечка левополяризованной волны происходит при со = со/,,
так что необходимо выполнить условие со^<есо2. Поскольку при
фиксированной плотности п0 частота со^ <сор (задача 4.15), то, используя левополяри-

Приложение Г
373
зованную волну, можно при постоянном значении есо2 достичь большей
плотности п0.
б) При отсечке левополяризованной моды
(О2 СО в2 '
-)
со /
Таким образом, для того чтобы удвоить плотность, 80тсо2/е2, при которой
происходит отсечка, нужно выполнить условие /с = /:
с 3-Ю8
/ = —=—— =8,9.10" Гц,
X 337-10-»
8 9-1011
fc = 28-109 Гц/Тл; следовательно, В0 = —'- =31,8 Тл.
2810»
Создание такого поля потребует непомерно больших затрат.
в) Плотность плазмы достигает своего максимума в центре, поэтому плазма
ведет себя как выпуклая линза. Такая линза при п >1 фокусирует лучи, а
при п <1 их рассеивает. Вистлерная волна распространяется с фазовой
скоростью 1>ф <с (задача 4.19), так что п = с/сф >1, и для этой волны плазма
является фокусирующей линзой.
г) Вопрос заключается в том, может ли эта волна достичь любой точки
плазмы. Если для всей плазмы выполняется условие со <сос, то в ней
независимо от значения п0 будет распространяться вистлерная волна. Однако
осли со >сос, то в областях пониженной плотности такая волна будет
испытывать отсечку. Из анализа, проведенного в п. б, следует, что для выполнения
неравенства со <сос магнитное поле должно быть больше, чем 31,8 Тл. Это
значение слишком велико для того, чтобы предложенная схема нашла
практическое применение.
4.35. Ответ такой же, как и для холодной плазмы.
4.36. Линеаризованное уравнение движения для каждого сорта частиц
имеет вид
— i (amn0v1 = qn0 (E -j- vx X B0) — yKTkn±.
Таким образом,
— i (nmn0k • vi = qn0 (k • Е + k • vx X B0) — у К Тк*пг.
Для поперечной волны к-Е = 0, a k-(vx X В0) — —\г-(к X В0) =0
по предположению. Линеаризованное'уравнение непрерывности имеет вид
— i ami -j- n0 i k-vi = 0.
Подставляя сюда значение k-vlt имеем
i со2тп! = i yKTk2nx.
Поскольку величина п1 произвольна, мы можем положить ее равной нулю,
откуда следует, что член Vp как для ионов, так и для электронов также
обращается в нуль.
4.44. При данной плотности плазмы максимальная частота отсечки равна
«Я, поэтому минимальное значение п определяется из условия со = со^.
< _ « _, <°< _, A.6-ю-")C6-ю-4) _
1 1^=1 Ь i-i 1—=0,16,
со2 /2 со @,91 ■ Ю-30) Bя) A,2-108)
п = fp(q2 = @,16) A,2-Ю8J q~~2 = 2,8- Ю13
м-3.

374
Приложение Г
4.46. Пусть при г = г1 частота со = со^ (п = пъ сор = о)Р]), а при г = гг
частота со = сод, п — п2, «р = сорг- Тогда
wp2=0) йс
cot. 1 = со — coco.
Jpl
D.105)
D.107)
Таким образом,
но
">% — ш?1 = °>* (°> - «с) = (Л2 - nl) g2/e0m>
п2 — «1 « d | дп/дг | ж /iid/r0 = (е0т/е2) (со) (со — сос) (d/r0),
поэтому
d ж (сос/со) г0.
4.47. а) Достижимый резонанс находится с дальней стороны, после
максимума плотности.
OJj\;\?
СХ)*/Ш2
б) Пусть на левой границе слоя циклотронная частота равна сос0> а в
резонансном слое, где со = сор, циклотронная частота равна сос. Потребуем, чтобы
со0>со, где со2 = со2' со2
Таким образом,
wcO>COc + COp'
Jc0'
(исо + °>с) (^со - ыс) « 2сосАсос > со2,
Асо,
Абл
>
В.
2(di
4.48. Уравнение описывает верхне- и нижнегибридные частоты, а также
частоты отсечек лево- и правополяризованнои мод с учетом движения ионов.
Заметим, что со2/сос = Qp/fy..

Приложение Г
375
Резонанс:
ОL - (o)J + @? + Q2p + О») + 0J Q2C + 0JQ2 + GJ^2 = 0,
о, « o)jj -j~ Йр (l — ^с/^л) (верхнегибридный резонанс),
1 1
co_ x (dcQ /(д£ или = 1 (нижнегибридный резонанс).
9 л -~\2
сосйс fl£
Отсечка:
:2
(■•*)('*■*-)
^р ( , _ ^с ^ f , _,_ ^с | I отсечка правополяризованной
""" |и левополяризованной волн.
Эти соотношения получаются более простым образом (без дополнительных
предположений) из дисперсионного уравнения, приведенного в условии
задачи 4.49.
5.1. a) De = KTelmv\
о = Fя) @,53- К)0J = 5,29• Ю-20 м2;
v = ( 2Е V 2 == Г B)B)A,6-10-Ц) -11/2 =
U; L (9,пю-31) J
8,39-105 м/с.
Из ответов к задаче 1.1 следует, что
«0 = C.3 1019) A03) = 3,3-1022 м-3;
v = п0от = л0ау== C,3-Ю22) E,29-10~20) (8,39-105) = 1,46-10" с"*,
D.= B)A.6-1Q-") =2,4.10» м'/с
(9,11-Ю-31) A,46-10е)
б) / = цпеЕ;
у.д<Р^Г.-A-6-")"М>(а-4-'0^ =1.2.10' MV(B.c);
B) A,6-Ю-18)
/" 2-103
Я= -i—= — =1,04-10* В/м.
\ine (l,2-102)A0ie)(l,6-10-19)
дп _„„ „
5.2. = DV2rc— an2;
£>У2я = £> = — -D^o I I cos = — D l I n = — an2;
dx2 \2L J 2L \2L J
D ( я\2 0,4 / я \2
следовательно, я = 1 I = — —I ) = 1,1 • 1018м-3.
a V 2L ) 10~15 V 0,06 )
5.4. а) Из ответа к задаче 5.1 (п. а) имеем ven = 1,46-109 с-1. Нужно
определить, является ли отношение Н^/ц^ большим или малым:
V" — МЩп п - п т, т~!2
pi mlien
поскольку сечения а при столкновениях ионов с нейтральными атомами и
при столкновениях электронов с нейтралами приблизительно одинаковы.

376
Приложение Г
Таким образом,
М V.2
Ji£_«fJLY2 = D.i836I'2 = [85O
Щ \ т J
еВ A,6-Ю-19) @,2)
т 9,1 ЬЮ-31
= 3,52-1010;
о>Л д 3'52-1010 .24> 1 + со2с4 = 580;
1 46-109
ЙЛ„ = о)стел ( ) = B4) (85,7)-1 = 0,28;
М \ т J
Ив i Ие ! + йст£л 1 08
ех е ' = (85,7)-^2-=0,16 « 1;
Ие|| Hi * т шс1ел
следовательно,
И,- 1 D„ 1 + Ho, О. и,
Кроме того,
D = (X,
е
Di± _ Hfx Ti __ 1 0,1 _Q 3#
б)
De± *ex Te 0,16 2
Dax = D,lV + (°'16) (О-3)] = Ь05ОвХ « D-x.
= 2,4; т = ( ) ;
(ОтI-2 V 2,4 ) Da±
1 1
5.5.
5.7.
B.4-Ю-2J Dgx '
2 4-102
£> =_J ^L_=o,4140 (см. задачу 5.1);
e- 580
т = 42 mkc.
Г=— Ddn/dx, n — no (I — xlL) ;
T = Dn0IL (x>0);
Q = 2Г = 2Dn0/L, n„ = QL/2D.
Ле(- ?» УТепл, Де! ^ утепл, e/^ei-
Поскольку ^епл,,-^2, a vri~77*2,To

Приложение Г
377
5.8.
5.9. а)
In Л
г] ,| =5,2-Ю-5 Ом-м (предполагаем, что Z— 1);
1 эВ
E,2-Ю-5) A0) , _. 1П_. п
П,, _-^ 5^тг——=4,65-10 8 Ом-м;
|! ~~ E00K2
/ = ЦА = B-105)/G,5- Ю-3) = 2,67-107 А/м2,
Е = т]ц/ = D,65-10~8) B,67- Ю7) = 1,2 В/м.
-1 62
К7'е= 10 кэВ, п= 1021 м-»;
rU = C,3) E,2-10-5) -1ПА-Ом.м= (Ь9-'0-4)О0) = ц.ц-. 0м.м;
Г.» A0*)*2
D, _0.7-Ю-H0ц)C-10*)A.6-10-") ^3,3-10-^2/0.
52
б)
—2nrLTr, Гг= — D.
dt дг
дп п
дг 0,1м
dN
г = 0,50 м, L = 102 м;
= Bл) @,50) A02) C,3-10-*) A021/0,10) = 1021 с-1.
в) _ N nnr2L
т = =—— , /"эф* = 0,55 м;
- dNIdt - dNIdt ФФ
5.13.
A021)(я)@,55JA02) _Q2 c
A02i)
П„ =5,2-10-5 1пА Ом-м = 5,2-10-5 10 = 1,6-10~5 Ом-м;
' ТЦ Ю32
т)„/2= A,6-10-5)A05J = 1,6-105 Вт/м3= 1,6-105 Дж/(м3-с) =
= A,6-105)/A,6-10-19) = 102* эВ/(м3-с) = йЕзЪ ■
d^
3 „r^^ d£9B 3 dTgB
£=— л/СГе, "^эВ =.—к
2 d* 2 d/
— =— {- 1024 = 0,67- Ю5 эВ/с = 0,067 эВ/мкс.
dt 3 lQi»

378
Приложение Г
5.15. а)
о о
еп (Е& — vcrB) — VePt — <?п\ (ofв — ve%) = О,
о о
— en (Eq — verB) — VePe + e2n2r\ (viQ — veo) = 0.
Сложим два этих равенства:
— vtrB + verB — 0, v(r = ver.
(Отсюда видно, что в системе существует амбиполярная диффузия.)
б)
д ■ о
en (Er -f ViQB) ~ е2п2\] (vir — ver) = 0;
or
- en (Er + ceS) - -^- + й2Л ("»> - M = 0;
dr
£r 1 dpf
^•e= — —-r—=VE + vDi;
В епВ or
Er 1 dpe .
Vee= =V£ + VDe-
В епВ дг
в) Из первого уравнения, приведенного в п. а, имеем
е2п2г) . . ет\ 1 / dpi . дре \ n, dp
(Отсюда видно, что в системе отсутствует подвижность поперек магнитного
поля.)
5.17. а)
Po-iXi_=jlXB0; A)
dt
Ei + vx X Во = nji; B)
V X Ei = — Вь V X Bi = HoJi;
VXVXEi=—VXBX= — noji;
0
-k(lTE,) + ftaEi=i(omJ1, C)
k-Ei — 0 (это поперечная волна).
Найдем Vi из соотношения B):
Ei X В0 + (vi X В0) X В0 = TiJi X В0;
Е, ХВ0-У1±В§ = Т1|, X В0;
__ Ei X В0 тщ X В„

Приложение Г 379
Подставим это выражение в соотношение A), которое не зависит от
компоненты скорости, параллельной магнитному полю:
— l COPo I — I = Ji X B0.
V Bb Bl )
Поскольку, согласно соотношению B), векторы Ех и ]1 параллельны друг
другу, будем считать, что они ориентированы вдоль х. Тогда ^-компонента
последнего уравнения принимает вид
В0 \ (ор0 В0 )
Уравнение C) записывается в виде
/fe2£^x = (Хо 1 со 1 1 — I = Mo*»2 I 1 «Л I Ех,
В0 V соро Во J V Ро /
( В1 ■ \
б)
k = (|х0со2) I i coti 1 =
V Ро /
= и / И-оРо V 2 ({ — ' ют1Ро Ч 2
/ И-оРо \
Im(fe) = tt mT|Po ^-gg^V2- -тН»
2502
При малых г] частота to « feu^, где & = Re (k). Следовательно,
Im (k) » -^~
2iu
6.4. a) j х В = уР = ктуп (КТ=КТе + КТс);
(j X В) X Ъ^КТ^п X B = B(jB) — jB2.
Параллельная полю компонента последнего равенства дает нуль:
0= j у В2—j||52; следовательно, ток j ц произволен. Перпендикулярная
компонента имеет вид
КТ _ ^ „ /С71 <3« ^
J, = BXV«= в.
В2 В дг
б)
JV X B.dS=n0Jj-dS,
оо
(j) B-dL = ц0 J j-dS = (ioL f /e dr,
b
поскольку оба вектора (j и dS) направлены вдоль 6, а величина L равна

380
Приложение Г
длине петли в направлении г. Из симметрии ясно, что Вг = 0; следовательно,
в интеграл дают вклад только те два участка петли, которые параллельны
оси г. Подставляя в последнее равенство значение /е, имеем
(Bax-B0)L
щ/лсгС
дп/дг
В (г)
dr.
в) Функция дп/дг равна нулю всюду, за исключением точки г = а, где она
равна минус бесконечности, а интеграл от этой функции равен — п0.
Поэтому можно считать, что дп/дг — — п06(г—а). Таким образом,
Вах-В0=110КТ [(-по)
б (г — а)
В (г)
dr.
Поскольку весь диамагнитный ток сконцентрирован вблизи поверхности
г = а, магнитное поле В испытывает скачок от постоянного значения Вах
внутри плазмы до другого постоянного значения В0 вне ее. (Напомним, что
поле внутри бесконечного соленоида является однородным.)
Проинтегрировав поле вблизи этого скачка, получим среднее значение на двух сторонах
петли: В (а) = A/2) (Вах + В0). Таким образом,
В ах — В0 = \1оКТп0
— 1
A/2)(В«+Во) '
2ц0п0КТ;
1 -
2[i0nQKT
~~В2
s р = 1; следовательно, Вах = 0.
6.5. а) Согласно закону Фарадея, V = — d<&/dt; поэтому
f Vdt = -n[ _*L dt= — NAQ).
Поскольку изменение потока АФ обусловлено диамагнитным эффектом
(уменьшением В), то
МДФ= - Wj(B— B0)-dS.
Знак выражения зависит от того, какую сторону объема Усчитать
положительной. Практических следствий эта неопределенность не имеет, поскольку
сигнал на экране осциллографа можно легко перевернуть, пользуясь
переключателем полярности.
б) Заметим, что в задаче 6.4 (п. б) петлю можно нарисовать так, чтобы ее
внутренняя сторона не лежала на оси цилиндра, а проходила бы на
произвольном расстоянии г от нее. В этом случае
Б(г)-В0=ц0/(Г'
дп/дг'
В(П
dr' да [Ао/СТ
дп/дг'
Во
dr'.

Приложение Г 381
(Здесь КТ = £ДТ/.\ Поскольку
дп / 2r\ ~r2irl
дг
Ч~т)е
мы имеем
В (г) -В0= »«КТ JbL- j е~Г ' Г° 2r'dr' = ^KT [ e~' 2"°]~ =
liofhKT -Я'о
B0
Таково изменение В (г) из-за диамагнитного эффекта. Для того чтобы найти
сигнал, снимаемый с петли, нужно произвести интегрирование по
поперечному сечению плазмы:
J Vdt = - N j (В — B0)-dS = -N ^[B (г) - В0] rdrdQ.
Здесь как В, так и dS ориентированы вдоль г. Подставляя сюда выражение
для В (г) — В0 и предполагая, что обмотка находится вне плазмы, имеем
Во о ^о
в) Величина в круглых скобках по определению равна р*; следовательно*
lVdt= -±-Nnr$B0.
Обе части этого равенства имеют размерность потока.
6.6. а) Для каждого из потоков имеем
m (—р- + (v0- V) уЛ = — еЕх = ( — ico + i kv0) vb
— i гЕл
Vi= ,
m (to — kv0)
dtiy
+ /»o(V-v1) + (ve.V)ni = 0,
dt
( — i @ + i kv0) ni -f- i kn0Vx =0, пг = n0
to — kv0
следовательно,
— i kE\t
m (со — A%)a

382 Приложение Г
Из уравнения Пуассона следует, что i kEx = (e/e0) (nia + «i&), где для
потока а скорость voa = vQx, а плотность поа = A/2) п0; для потока Ъ: у0& ==
= — v0x, п0ь = A/2) п0. Таким образом,
i££1== - ( g V -tfee£!\r A/2) n0 A/2) n0 1
-i-Г ! + ! 1-
2 L (со — ^oJ (co + HJ J'
n0e2 1 Г 1 , 1
1 2 Г 1 . 1
i = — to:
A
2 " L (со — kv0J (со -f- kv0J
€)
юр
2 Ю2 + ^
(со2-*2*2J '
to4 - (со2 + 2^2) to2 + k%l {k%l - to2) = 0;
-i-(co2 + 2^2)±-i-(co4p + 8co2^2)
1/2
Положим
тогда
•Ч
Zk'vi 2ш2
9 9
1/2
y*=l +x±(\+4x)
Величина у будет комплексной, только если здесь выбрать знак минус.
В этом случае у будет чисто мнимой величиной и мы можем положить у = iyt
Y2 = (l-f-4xI/2-(l+x),
d /,,2'j o/l i л.л—1/2 • 3
G2) = 2A + 4x)_,/2 —1=0,
dx 4
Таким образом,
Y2=(l + 3I/2-7/4=l/4,
€.8. a)
1 2co2 i / ч юр
Y = = , Im (to) = £-
2 ico2 гф
p L со2 (со — быJ J
где co£ = n0e7e0m.
■б) Это уравнение отличается от уравнения F.30) только тем, что отношение
mlM в нем заменено на величину б, которая также мала, а лабораторная

Приложение Г
383
система заменена на систему отсчета, движущуюся со скоростью и.
Максимальный инкремент не зависит от системы отсчета. Это можно понять иа
рис. 6.11, представив себе, что величина у отложена вдоль оси z как функция
х и у. Ясно, что сдвиг х не влияет на максимальное значение у. По аналогии
с уравнением F.35) имеем
Умакс « 61,3сор.
Точное значение коэффициента, который должен стоять здесь в правой
части, равно 31122~~4'3 = 0,69. (Вывод выражения для Умакс, который
представляет собой трудную задачу, поскольку дисперсионное уравнение —
кубическое, а также доказательство того, что в случае вещественных k
величина Умакс не зависит от системы отсчета, оставляем в качестве упражнений
для подготовленного студента.)
6.9. а) Поскольку решение зависит только от «/-компонент векторов v/
и Е, приведенное в условии задачи соотношение легко получить, пользуясь
уравнениями D.986) и F.23), а также уравнением непрерывности и
уравнением Пуассона. Заметим, что при вычислении частоты Qp берется не A/2) п0>.
а п0.
б) Пусть а = Q2(l +й>р/й>с)-1' Р = £2с>о; тогда дисперсионное
уравнение сводится к следующему:
со4 — 2 (а + Р) ю2 + Р2 — 2сф = 0.
Закон дисперсии со (k) имеет вид
со2 = а + р ± (а2 + 4сф)! 2.
Неустойчивость возникает в том случае, если (а + 4оф) > а -+- р\ или;
Р < 2а, т. е.
*2<И/«2о)A+^/<о5)-1.
Если это условие удовлетворяется, то инкремент дается выражением
у=[(а2 + 4арр-(а+Р)]1/2-
7.3. а)
fp (°) = —тт е
О
йя1'2
h (°> = —ГГо о е '
Ьп
v—V=±b/<y/2» иф=У — Ь/л/2>

384
Приложение Г
^-■^(-т)С'-^)
2nDV — v1 a-
e-(V-b!^)W
а\112
V>6.
г)
(т)
1/2 пь -1/2 2npV -Паг
е = ■ е
Ъ2 aV'2
-Bi- = BсI 2 -iL Fe"^\ _*L = Л-,
пР о3 а2 Тр
-^~ =BeI2-i--il-e-l'2/a2.
Пр Гр а
7.8. Из уравнения G.127) получаем XayZ' (С/) = 2TtlTe, где а/ = п0]-!пое,
t,j = й)//^отепл, /• Предположим вначале, что параметр а// мал, так что ал ~ 1.
«/у = а. Малость а означает также, что Уф будет почти равна скорости звука vs
в аргоне. Для удвоения декремента затухания Ландау необходимо, чтобы
_ -I2
Im Z'(t,H) = Im Z'(^)> где Im Z'(£/) = — 2i У я £/e '• Таким образом,
£2 = KTe + 3KTj MA _ 13
Л МЛ ' 2/Crf 2 '
a = V40 e~6'5 (°'975> =1,12-1(Г2 «1%.
Таким образом, величина ее настолько мала, что наши начальные
предположения справедливы.
7.9. а) -^- = Z' (&) + -^=^_ Z' (Ы + — Z' (W.
Z'(D« -2-2iV^ Се~;2-
б)
Поскольку Ц < Се < 1, то
|ImZ'(Sft)l«|ImZ'(Se)|.
в) Поскольку Z' (^) « Z' (^е) ~ — 2, то в уравнении, приведенном в п. а,
при выполнении условий 9ft > 0е и a < 1/2 членом, содержащим £е, можно
пренебречь. В этом приближении дисперсионное уравнение принимает
следующий вид:
г О--31+ 2"-«> =Л1Л-,+ v V
*Ь; е, Г, (. Г,.*2Ш j

Приложение Г
385
Последний член приближенно равен k к^ и, если в системе поддерживается
квазинейтральность, им можно пренебречь. Таким образом, дисперсионное
уравнение для ионно-звуковой волны имеет обычную форму, за
исключением того, что отношение TilTe в нем заменено на A—a) TilTe. Поскольку
при малых TilTe затухание Ландау мало, горячие электроны уменьшают
затухание Ландау на ионах.
8.3. Обратимся к рис. 8.4. Рассмотрим ионы, имеющие скорости вблизи
v = и0, и разделим их на две группы — одну с v = и0 + А, а другую
с v=u0—А. После ускорения в потенциале ф более быстрая часть ионов
увеличит свою энергию на меньшую величину, поскольку она начинала
движение с большей энергией. Следовательно, относительное уменьшение
плотности в этой группе частиц будет меньше. Для более медленной группы
частиц ситуация будет противоположной, и в первом порядке общее
уменьшение плотности будет таким, как если бы все ионы имели v = и0. Однако
существует эффект второго порядка, когда преобладают более медленные
частицы. Это легко понять, если сделать А настолько большим, что для
медленных частиц будет выполняться условие v « 0, из которого, очевидно,
следует, что плотность таких частиц должна заметно уменьшиться. Для того
чтобы компенсировать это уменьшение, скорость и0 должна увеличиться
и превзойти бомовское значение.
в.4. Максимальный ток через систему будет протекать в том случае, если
из-за наличия пространственного заряда замедленных ионов электрическое
поле вблизи третьей сетки уменьшится до нуля. Вследствие этого к области,
лежащей между сетками 2 и 3, можно применить закон Чайлда—Ленгмюра:
4 Г B) A,6-Ю-19) I12 (8,85-Ю-12) A00K2
Г B) A,6-ИГ19) Т
[D) A,67-Ю-27) J
9 [_ D)A,67-10-*7) J (К)J
А = (я/4) D- Ю-3J = 1,26- Ю-5 м2,
/ = J A = 0,34 мА.
= 27,2 А/м2;
8.6. а) При со = (др имеем
8о <£2> _ Vn ^ _ Рэфф
— — УРэфф —
следовательно, рэфф = е0(£2). Кроме того, /0 = сг0(Е2) = Р/А, где Р
= 1012, и А = я/4 E0- Ю-6J = 1,96-10-° м2, и мы
имеем
Р 1012
рэфф = _L_ — ™ = 8,50- Ю11 Н/ма;
2сА B) C-10е) A,96-Ю-9)
б)
F = РА, Р/2с = 1012/B) C- 10е) = 1667 Н;
F = Mg, M = F/g= 1667/9,8= 170 кг = 0,17 т.
В)
2пКТ = рэфф,

386
Приложение Г
откуда
п= 2^_^ = 2,66-1027 м-з.
B) (Ю3) A,6 10—19)
8.7.
^нелин = Vp; —— (пКТ) = — )—i- );
дг пс дг V 2 )
\ дп е0 д .„„. , е0(£2) . .
= (Е2), In п — ——- \- In n0t
п дг 2псКТ дг 2псКТ
п = п0 ехр [ — е0 (Е*I2псКТ\.
При г==0
следовательно,
8.9.
«мин = п0е~ ео(Е%акс^скт = п0е~а;
е0\Е /макс
~~ 2псКТ
k0 = 2я/Я„ = 2я/A,06- Ю-6) = 5,93-Ю6 м-1;
kitt2k0= 1,19-107 м-1;
0 = / /CTg + Э^СГг У-2 Г A0s) A.6-Ю-19) 112Л 3 у2.
°* V Л* J _|_ B) A,67- Ю-27) J V 6 J '
ю*= Aco =^os = (l,19-107)B,19-106)A+—Y'2= 2,61-10й Л + — Y*;
Aco AX
= ; следовательно,
co0 Я0
Aco = <^AX = - -^AK= - Bя)C-108) 21,9-10-" = 3,67. W.
KQ K2Q A,06-10-8J
v e J \ 2,6i -io12 J
3, откуда
7\
Tt = — кэВ.
3
8.10. a)
1 C\C<i
1 -=2 всОгСОгГ^'з
— £ = ;
г с - ^H . г ЮР V .
Схсг t ia_— f
H0(OqM Щ 2
4coir1co2)v nQM 4co1rico2)vMm
(£o) =
co2A:2 e0coj ©2ftfe2

Приложение Г
<■*>=
9 Ю1
1 ~ 2
9 9
®\м
кт.
4(o1rivM
9 '
cD2&jm
v>\v]M
— т
m
4F,v
CO,C09
387
6)
<*o> 4r,vrf
CO, CO
1Ш0
поскольку при п < nc частота со2 « g>0. Таким образом,
i™L=j2HHLi2!L=1,78.10uc-1;
>.о A0,6-10-»)
о2 = _КТ± = (№) A,6.10-°) = , 76.Ш13 м!/Л
е m @,91-Ю-30)
D_ = (JLI,2 е (з + еI/2 е- <3+е>'2.
Их V 8 /
9= — = Ю, -^- =3,40-10-2;
Ti cox
со ,_ . In Л E,2-Ю-5) A0) _0 .. _ __
Ti = 5,2- Ю-5 = - ——— =5,2-Ю-7 Ом-м;
ТЦ A00K2
пе*ц _AQ23) A,6-10-19J E,2- 1Q-*) =lf46>Ioe c_1;
m @,9 Ы0-30)
,* D)C,4.10-2)A,46-1Q9) A>76.10M) = lt96.1QI м2/с2.
X 0/ A,78-1014)
Из решения задачи 8.6 (п. а) следует, что
9 9
/ТГйГ
/0 = cE()(fi2) = «„—5-(»;;),
/. - C. Ю», (8,854-10-) i»^-"'-30)' С"- ">">! О'96'>°'>
A,6-Ю-19J
= 5,34-101° Вт/м2 = 5,34-10" Вт/см2.
8.И.
(cos2 + 2i y«s __ to2) [(cos + i у - w0J - со2] - — cxc~E\.
Пусть со2=со2, (cos—co0J= со2, атЦ«1;

388
Приложение Г
тогда
Bi ya>s) [2i 7 (cos — ©0)] = — cxc2E2 = 4у2со5со2.
Из решения задачи 8.10 следует, что
CiC2
п0а%М (о^тМ
k\<s?/E\ k\^\m {2kQJQ2~2 -2-2
8.13. а)
ipuQ w0-p4)
16cosco2coQmM 16cosco2M 16oHcos 4c2co0cos
следовательно, у = —— ( —— ) «/>•
2 V tos )
Mn0 = en0E — ViK TiSJn — Mn0vv -f- FHejimi;
dt
Mn0 (— ito + v) v = en0 ( — i кф) — Yi^i i knx + ^нелИн.
Если еФ/КТе = tii/n0, то последнее уравнение принимает вид
(со + iv) v = kv\ ^- + 1/ГнелИН •
Из уравнения непрерывности следует, что
- icon, + ikn0v = - ico^ + i knJco + iv)-1 \kv2. -^- + ' f нелин 1
L n0 Mn0 J
(to2 + i vco - ft2*2) nx = ikFReJiaJM.
Если ^нелин = 0, TO
to2M + i—— j = &2y2, откуда
со « &os [1 i J
v 2 to ;
0,
1 . v \ , i
kvs— —v.
2
Следовательно, — Im со s= Г = v/2, поэтому (со2 -j- 2irco — ft2t>2) nj =
= 1^нелинШ-
6)
co2Ve0(£0£2> to2
p
i ke0 (E0E2).
co0co2 co0uJ
Следовательно,
M (E0E2) M \ cd0cd2 / co00J M

Прилоложение Г
389
8.14. Частота верхнего сателлита определяется из условия Йсо2 =
= h(o0 -f- h(d1. Иными словами, энергия вторичного фотона больше, чем
энергия йсо0; поэтому из энергетических соображений более предпочтительно
образование нижнего сателлита. Он образуется в результате
экзотермической реакции и имеет частоту со2, такую, что Йсо3 = Йь>0—Л(о1.
8.18. и (I — сх) = 3sch2 [(с/2I/2 (l—cz)], где I = б1/2 (х'—Г), т = б3 V,
х' = x/K-d, t' = Qpt, б = Ж—1. Пусть
;1;2 / X — Vj
1 = 1-сх=Ь1'Ч л . ^ -бс-
Поскольку kj}Qp = vs, то
б12
£ = — [*-A+6с)о8ф
Солитон имеет максимум при t, = 0. Скорость этого максимума равна
dxldt — A + бс) us. По определению
= JCvs = A -f-6) vs.
dt
Следовательно, с=1, а £/макс = Зс = 3. Из уравнения (8.111) имеем
„ е^макс ^ s _ «;/
хмакс = ~ их1 макс — ии макс»
кте
откуда
Фмакс 12
кте ииакс ю
»ф = A +6)ц,= 1,4оа,
0,4:
,,= /JC7^Y/2-rAQ)A'6-1Q9)r = 3.10-10^
\ /И У L 1,67-Ю-27 J
иф = 4,33-104 м/с.
На половине максимума sch2a=l/2, а = 0,8814 = £/2,
£= 1,25= 61/2jcAd при * = 0.
б1/2 = д/М =0,632,
Яс = С £oATg V/2 = 2,35-10-* м = 0,235 мм,
V п0е2 )
l,25bD лла
х= =0,46 мм.
0,632
Полная ширина по половине максимума 2х — 0,93 мм.
8.21.
\и |=4Л1/2 |sch*|; |«|2= 16Л |schx|2;

390 Приложение Г
1 / V2 \-i 1
fin = _L_ | и |«I -1 11 « | « 12 = _4Л | sch x |2;
4 V е2 У 4
6п= — 4Л |schx|2« — 2Л;
бй)р 1 бп 1
= — BЛ)= - Л.
Юр 2 п 2
Следовательно, величина Л представляет собой относительный сдвиг частоты
из-за наличия вариаций плотности бп.
8.22. в реальных переменных
v
и = —
Xexpl-i |(-=^- + -L-KL- Л^сОр'- ^ *
6 к2 J 3d, bD
/ AT. \l/2 / tie2 V/2
0e = ( -^- ) = 5,93 ■ 105 м/с, ©p = ( -^- ) = 1,78 • Ю9 рад/с;
V m / V e0m /
^D = -H£_ = 3,33 • Ю-4 м, ft = -^°- = JblL = 9,02-102 M-i;
^p_p = 4Л1/2; — i ют» = — eE = —e{ — '\ k<t>), откуда Ф = —
mcou
ek
ф ~ _^L 4Л1/\; со » (со2 + 3ft2t;2I/2 « 2,01 • 109;
ek
д\ 2_ ke<pp_p _ ft ерФр-р КTe 1 _ _ftx)g_ _£0p_p_ _
4m(ove 4co KTe m oe 4co ATe
*0' 3'2 =0,106;
a)
4co 2
Л = 1,13-10—2.
sch X = , X=l, 315=1 I ;
V 3 J Id
2
xn /3_ЧЬЧ1.315)C,33-10-*) =504.10_з.
\ 2 ) 0,106
Полная ширина по половине максимума 2а: = 1,01 -10—2 == 10,1 мм;
б)
., 1.0Ы0-2 , ._
N — —'. = 1,45.
2nlk

Приложение Г
в)
бсо = Лсор = A,13- Ю-2) A,78-10») = 2-107 рад/с;
б/ = бсо/2л = 3,2-106 = 3,2 МГц.
8.23.
3v2 C)C) A,6-lo-i») =1>58.1012м2/с,
0,91 Ю-30
»>не) = ("^(Ьб-Ю-»)» .10И ,
р (8,824-Ю-") @,91-Ю-30)
Юд (внутри) = 0,4о)д (вне);
„ со; (вне) —со; (внутри) 3,18-1019
ямакс — ~ — ^Г~ у1 — и>4)
Щ 1,58-10
= 1,21-107 м-2,
2я
^мин = = 1,81 ■ Ю-3 м = 1,81 мм.
«макс

Предметный указатель
Авогадро число 346
Адиабатический инвариант 53
Адиабатическое сжатие 51, 52
Альфвеновская волна 137
затухание 192, 193, 379
плотность энергии 149
торсионная 141
шировая 141
— скорость 139, 151, 335
Анализатор скорости 284
Аннигиляция магнитного поля 200
Аномальное сопротивление 275
Антиматерия 122
«Банановая» диффузия 190
— орбита 189
Баунс-частота 315
БГК-мода 250
Бернштейна моды 266
ионные 269
нейтрализованные 272
электронные 267
Бесселя функции 161, 162
Больцмана постоянная 15, 334
— распределение 83
— уравнение 223
Бомовская диффузия 186
Бомовский ток 283
Бомовское время 186
Бунемановская неустойчивость 207
Ван Кампена моды 250
Ведущий центр 30
Вейбеля неустойчивость 216
Векторные соотношения 335
Верхнегибридная частота 108
Взаимодействие волна — волна 276
— волна — частица 275
Вистлерная мода 133, 134, 137
Вихри 276
Власова уравнение 224
Волна накачки 297
Волны Бома—Гросса 234
— в плазме, сводка формул 144, 145
холодной 337
— с отрицательной энергией 250
Восприимчивость магнитная 63, 64
— электрическая 64
Вынужденное рассеяние, бриллюэ-
новское 300, 302, 303, 311, 387
— — комбинационное 300, 302
Высокочастотный нагрев 153
Вязкость 72, 73
— бесстолкновительная 72
— магнитная 72
Газовый разряд 24
Гармоники 274
— циклотронной частоты 262
Гравитационная неустойчивость 209
инкремент 212
Групповая скорость 88, 136, 137
Давление 71
— магнитного поля 198
Двойной слой 291
Двухплазменная установка 291
Двухпотоковая неустойчивость 205
Дебаевское экранирование 18
радиус 20, 334
Диаграмма Клеммова—Муллали —
Эллиса 146, 341
Диамагнетизм 30
Диамагнитная петля 202
Диамагнитный ток 78, 79, 96
Дисперсионная функция плазмы 255,
256
Дисперсионное уравнение для
холодной плазмы 340
Дисперсия групповой скорости 324
Диффузионные моды 159, 160
Диффузия 182
— амбиполярная 157, 169, 183
— аномальная 170
— бомовская 186
— магнитного поля 199

Предметный указатель
393
— неоклассическая 190
— поперек магнитного поля 165
Длина свободного пробега, средняя
155
между
электрон-ионными столкновениями 190, 335
Дрейф гравитационный 34
— градиентный 36, 37, 80
— диамагнитный 77, 335
— поляризационный 49
— центробежный 38
Дрейфовая неустойчивость 212, 215
Дрейфовые волны 87, 214
— скорости 52
Диэлектрическая проницаемость 93,
139
в низкочастотном пределе 65
Желобковая неустойчивость 212
Захват 227
— электронов 225
Звуковые волны 100
Зеркало магнитное 39, 42, 197
Зонд электростатический 282
Изобары 197
Инвариант адиабатический 53
/54
fx 41, 51, 53
Ф 58
Ионно-звуковая ударная волна 284
Ионно-звуковые волны 100, 254,
311
— — дисперсионное уравнение в
кинетике 258
нелинейные 317
скорость 101, 103
Ионно-циклотронные волны,
электромагнитные 152
электростатические 114, 148
Ионный двигатель 25
Ионосфера 25
Кавитон 318, 330
К.асп 54
Квазилинейные эффекты 275
Квазинейтральность 21
Коллективное поведение 22
Конвективная производная 66
Конвективные ячейки 188
Конечный ларморовский радиус 47
Конусная неустойчивость 204
Конус потерь 43
Корона солнечная 25
Кортевега—де Вриза уравнение 318
Космическая физика 24
Коэффициент диффузии 157
амбиполярной 157
бомовской 186
в частично ионизованной
плазме 156
классический 182
Крабовидная туманность 25, 151, 200
Критерий Бома для образования
слоев 279, 280
Критическая плотность 121
Крука столкновительный член 224
Кулоновские столкновения 175
Кулоновскии логарифм 176, 177
Лазер газовый 27
— на иоде 311
синильной кислоте 27, 149
углекислом газе 121
— работающий в далекой ИК-об-
ласти спектра 27, 149
Лазерный синтез 311
Ландау затухание на ионах 254,
259, 260
электронах 235
нелинейное 238, 315
Ларморовский радиус 30, 334
Левополяризованная волна 131
Ленгмюра парадокс 73
Ленгмюровские колебания 99
плотность энергии 148
Ленгмюровский зонд 283
— солитон 323, 331
Ленерта—Хоха эксперимент 170
Линейный соленоид 121
Лошмидта число 18, 334
Луни—Брауна эксперимент 95
Магнитное поле, выталкивание из
плазмы 199
диффузия в плазму 199
Земли 55
спонтанное генерирование 135
Магнитный момент 41, 64
Магнитогидродинамические волны
137
Магнитозвуковые волны 143
скорость 144
Магнитосфера 24
Максвелла уравнения 63
Максвелловское распределение 15,
219, 221
Малмберга—Вартона эксперимент
251, 252
Масса эффективная 26
Маха число 285, 286
МГД-преобразование энергии 25
МГД-уравнения 179
Модификация профиля 295, 331
Модуляционная неустойчивость 276,
317, 324, 325

394
Предметный указатель
Навье—Стокса уравнение 73, 100
Нагрев на нижнегибридной частоте
153
Накачка магнитная 54, 58
Нейтронные звезды 23
Нелинейное уравнение Шредингера
323
Нелинейный сдвиг частоты 324
Немаксвелловская функция
распределения 218
Необыкновенная волна 125—128, 152
Неоклассическая диффузия 190
Неустойчивость 203
— бунемановская 207
— в пространстве скоростей 204
— Вейбеля 216
— взрывная 194
— гравитационная 209
— двухпотоковая 205
— дрейфовая 215
— Кадомцева—Недоспасова 171
— кинетическая 204
— классификация 203
— конусная 204
— относительно распада на два
плазмой а 300
— плазменно-пучковая 205
— потоковая 203
—^Релея—Тейлора 203
— универсальная 204
— Харриса 204
Нижнегибридная частота 115, 116
Обратное параметрическое
рассеяние 300
Обыкновенная волна 123
затухание 149
Ома закон обобщенный 181
Омический нагрев 178, 192
Опрокидывание 274
Отрицательные ионы 123, 151
Отсечка 118, 127, 341, 375
— левополяризованной моды 128
— правополяризованной моды 128
Параллельное распространение волн
106
Параметрическая неустойчивость 296
порог 301, 302
распадная 299, 300, 305, 308
Перпендикулярное распространение
волн 106
Плазма, определение 13
— с большим Р 199
Плазменная линза 120, 121
— частота 89, 91, 334, 338
Плазменное Р 197, 335
— приближение 84, 103
— эхо 311
Плазменно-пучковая неустойчивость
253, 254, 383
Плазменные колебания 230
затухание 99
Плазменный параметр 21
Подвижность 156
— поперечная 183
Поляризационный ток 49
Поляризация 131, 132, 135
Пондеромоторная сила 292
Поперечные волны, определение 106
Правополяризованная волна 131, 136
Предслой 282
Прицельный параметр 175
Пробка магнитная 39, 42, 197
Пробочное отношение 43
Продольные волны, определение 106
Пространственный резонанс,
условие 299
Пуассона уравнение 19
Пульсар 25, 148
Равновесие 195
Радиационные пояса 12, 25, 44
Радиосвязь 121, 122
Радиотелескоп 310
Распадная неустойчивость
плазменных волн 299, 300
Распределение с конусом потерь 222
Реакция синтеза дейтерия и трития
24
Резистивная дрейфовая волна 213,
215
Резонанс 127, 341
Резонансное условие для частот 299
Резонансные частицы 248
Резонансный угол 341
Рекомбинация излучательная 164
— коэффициент 164
— трехчастичная 164
Релея—Тейлора неустойчивость 203,
209
Сагдеева потенциал 285, 286
Самофокусировка 295, 386
Саха формула 12
Сверхзвуковое движение 151
СВЧ-интерферометр 119, 123, 137
СВЧ-колебания 119
Связанные осцилляторы 296
Сечение атома водорода 344
— определение 155
— передачи импульса 191
— столкновений электронов с
нейтралами 191
Сила ВЧ-давления 292
Силовые линии 36
вмороженность в плазму 140

Предметный указатель
395
Скин-слоя глубина 119
Скорость звука 335
— колебаний частиц в волне 335
Слабоионизованный газ 154
Слой в плазме 21, 277
Случайное блуждание 168
Солитоны 286, 287, 320, 323
— огибающей 318, 325
— связанные 330
Солнечный ветер 12, 24
Сопротивление плазмы 174, 176
— поперечное 179
— продольное 179
Спитцера сопротивление 176, 179
Спускаемый аппарат 122
Средние скорости для максвеллов-
ского распределения 221
Стелларатор 186, 187
Стикса волны 153
Столкновения кулоновские 175
— тождественных частиц 173
— частиц разных сортов 174
Температура 15
— плазмы 17
Тензор вязкости 174
— давлений 69, 71, 72
— диэлектрической проницаемости
337
— в кинетике 263, 264
— напряжений 69, 229
Тепловая скорость 219
электронов 335
Термоядерный синтез 24
Тета-пинч 192
Точка поворота 55
Траектории частиц 225, 227
Трайвелписа—Гоулда
дисперсионные кривые ПО—112
Транзистор полевой 27
Турбулентность 275, 276
Убегание электронов 178
Ударная волна 284
вблизи Земли 284
Укручение волны 289
Универсальная неустойчивость 204
Уравнения гидродинамики 75
— диффузии 183
вывод 227
— непрерывности 74
— одножидкостной
магнитогидродинамики 179
— состояния 74
— теплового потока 230
Ускорение космических лучей 44,^45
Фазовая скорость 86 '
— плоскость 226, 227
Фарадеево вращение 134, 137
Электронные плазменные волны 93,
230
дисперсионное уравнение в
кинетике 261
нелинейные 323
Электростатические ионно-циклот-
ронные волны 114
Электростатический зонд 282
Эпплтона—Хартри дисперсионное
уравнение 150
Эхо в плазме 311
Е X В-дрейф 32, 77, 335
Q-машина 78, 104, 114
Z-функция 256

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 10
Глава 1. Введение 12
1.1. Распространенность плазмы в природе 12
1.2. Определение плазмы 13
1.3. Понятие температуры 15
Задачи 18
1.4. Дебаевское экранирование 18
1.5. Плазменный параметр 21
1.6. Критерии существования плазмы 22
Задачи 22
1.7. Применения физики плазмы 23
Задачи 27
Глава 2. Движение отдельных частиц 29
2.1. Введение 29
2.2. Постоянные поля Е и В 29
Задачи 35
2.3. Неоднородное поле В 36
Задачи 44
2.4. Неоднородное поле Е 45
2.5. Нестационарное поле Е 48
2.6. Нестационарное поле В 50
2.7. Сводка формул для скоростей дрейфа ведущего центра 52
2.8. Адиабатические инварианты 53
Задачи 59
Глава 3. Плазма как жидкость 61
3.1. Введение 61
3.2. Связь между физикой плазмы и обычной электродинамикой
Задачи 65
3.3. Гидродинамические уравнения 66
3.4. Дрейф жидкости перпендикулярно магнитному полю В
Задачи 81
3.5. Движение жидкости параллельно магнитному полю 82
3.6. Плазменное приближение 84

Оглавление
397
Глава 4. Волны в плазме 86
4.1. Представление волн 86
Задача 87
4.2. Групповая скорость 88
4.3. Плазменные колебания 89
Задачи 93
4.4. Электронные плазменные волны 93
Задачи 99
4.5. Звуковые волны 100
4.6. Ионно-звуковые волны 100
4.7. Обоснованность плазменного приближения 103
4.8. Различие между ионно-звуковыми и плазменными волнами 104
4.9. Электростатические электронные колебания,
распространяющиеся перпендикулярно магнитному полю 106
Задачи 111
4.10. Электростатические ионные волны, распространяющиеся
перпендикулярно В 112
4.11. Нижнегибридная частота 115
4.12. Электромагнитные волны при В0 = 0 116
4.13. Экспериментальные приложения 119
Задачи 122
4.14. Электромагнитные волны, распространяющиеся
перпендикулярно В0 123
4.15. Отсечки и резонансы 127
4.16. Электромагнитные волны, распространяющиеся
параллельно В0 130
4.17. Экспериментальные следствия 133
Задачи 136
4.18. Магнитогидродинамические волны 137
4.19. Магнитозвуковые волны 143
4.20. Основные типы волн в плазме (сводка формул) 144
4.21. Диаграмма Клеммова—Муллали—Эллиса 146
Задачи 148
Глава 5. Диффузия и сопротивление 154
5.1. Диффузия и подвижность в слабоионизованных газах 154
5.2. Распад плазмы вследствие диффузии 157
5.3. Стационарные решения 162
5.4. Рекомбинация 164
5.5. Диффузия поперек магнитного поля 165
Задачи 172
5.6. Столкновения в полностью ионизованной плазме 172
5.7. Уравнения одножидкостной магнитогидродинамики 179
5.8. Диффузия в полностью ионизованной плазме 182
5.9. Решения уравнения диффузии 183
5.10. Диффузия Бома и неоклассическая диффузия 186
Задачи 190
Глава 6. Равновесие и устойчивость 194
6.1. Введение 194
6.2. Равновесие в МГД-приближении 196
6.3. Понятие о величине Р 197
6.4. Диффузия магнитного поля в плазму 199
Задачи 201
6.5. Классификация неустойчивостей 203
6.6. Двухпотоковая неустойчивость 205

Задачи 208
6.7. Гравитационная неустойчивость 209
6.8. Резистивные дрейфовые волны 213
Задачи 216
6.9. Неустойчивость Вейбеля 216
Глава 7. Кинетическая теория 218
7.1. Функция распределения / (v) 218
7.2. Уравнение кинетической теории 223
7.3. Вывод гидродинамических уравнений 227
7.4. Плазменные колебания и затухание Ландау 230
7.5. Физический смысл затухания Ландау 235
7.6. Физический вывод затухания Ландау 244
7.7. БГК-моды и моды ван Кампена 250
7.8. Экспериментальная проверка 251
Задачи 253
7.9. Затухание Ландау на ионах 254
Задачи 260
7.10. Кинетические эффекты в магнитном поле 261
Задача 264
Задача 266
Глава 8. Нелинейные явления 274
8.1. Введение 274
8.2. Слои в плазме 277
Задачи 283
8.3. Ионно-звуковые ударные волны 284
Задача 291
8.4. Сила высокочастотного давления 292
Задачи 295
8.5. Параметрические неустойчивости 296
Задачи 302
Задачи 311
8.6. Плазменное эхо 311
8.7. Нелинейное затухание Ландау 315
Задачи 317
8.8. Нелинейные уравнения физики плазмы 317
Задача 321
Задача 323
Задачи 326
Задачи 331
Приложение А. Система единиц, константы и формулы, векторные
соотношения 332
Приложение Б. Теория волн в холодной однородной плазме 337
Приложение В. Заключительное контрольное задание (для трехчасового
экзамена) 342
Приложение Г. Ответы к некоторым задачам 346
Предметный указатель 392

Учебное издание
Франсис Ф. Чен
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ ПЛАЗМЫ
Научный редактор А. Н. Куксенко
Мл. научные редакторы:
В. Н. Цлаф. В. И. Аксенова, И. А. Зиновьева
Художник В. Б. Прищепа
Художественный редактор К- В. Радченко
Технический редактор И. И. Володина
Корректор Т. И. Стифеева
ИБ № 6071
Сдано в набор 27.11.86. Подписано к печати 25.05 87.
Формат 60 X 90 1/16. Бумага книжн.-журнальная.
Печать высокая. Гарнитура литературная.
Объем 12,5 бум. л. Усл. печ. л. 25,0. Усл. кр.-отт. 25,0.
Уч.-изд. л. 23,34. Изд. № 2/4763. Тираж 5000 экз. Зак.3170.
Цена 3 р 80 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 4 ордена Трудового
Красного Знамени Ленинградского объединения
«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам
издательств, полиграфии и книжной торговли. 191126,
Ленинград, Социалистическая, 14