Text
                    ВОПРОСЫ
ТЕОРИИ
ПЛАЗМЫ
СБОРНИК НАУЧНЫХ
СТАТЕЙ
Выпуск 15
Под редакцией академика
Б. Б. КАДОМЦЕВА
эа
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
1987


УДК 533.9.01 Вопросы теории плазмы: Сб. науч. ст. Вып. 15/Под ред. акад. Б. Б. Кадомцева. М.: Энергоатомиздат, 1987. 296 с. Приведены обзоры по теории нагрева плазмы пучком ре- релятивистских электронов за счет возбуждения пучковых не- устойчивостей, изложена теория равновесия и МГД-устойчиво- сти плазмы в стеллараторах; дан обзор по теории процессов переноса в плазме высокого давления, включая вопросы диф- диффузии и генерации магнитного поля в плазме с р>1. Для научных работников и инженеров в области физики плазмы. Табл. 1. Ил. 90. Библиогр. 307. Редколлегия: А. А. Галеев, В. В. Параил, О. П. Погуце, Д. Д. Рютов В 1704040000-341 Энергоатомиздат, 1987 051@1)-87
УДК 533.932 МАГНИТОТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЕ Г. Е. Векштейн ВВЕДЕНИЕ Прогресс в создании импульсных источников энергии большой мощности (лазеры, пучки заряженных частиц и др.) вызвал появ- появление целого ряда новых предложений по использованию такой техники в работах по управляемому термоядерному синтезу (УТС). Эти предположения относятся к системам с высокой плотностью плазмы, где неприменим традиционный способ магнитного удержа- удержания плазмы. Поэтому возникает необходимость либо обеспечить эффективное термоядерное энерговыделение за время газодинами- газодинамического разлета горячей плазмы (инерционный УТС), либо меха- механически удерживать плазму жесткими стенками, а магнитное поле использовать лишь для подавления поперечной теплопроводности плазмы. Из-за малости частоты кулоновских столкновений в горя- горячей плазме для последнего достаточно уже относительно слабого магнитного поля, так что его давление еще мало по сравнению с газокинетическим давлением плазмы /?(р=8лу0/.б2>1). Поэтому такой метод удержания плазмы принято называть немагнитным или стеночным. В настоящее время имеется несколько различных направлений, связанных с использованием плазмы с р^>1 в работах по УТС. Од- Одна из возможностей, впервые отмеченная еще в работах [1, 2], со- состоит в адиабатическом сжатии и нагреве плазмы с магнитным по- полем хорошо проводящей цилиндрической оболочкой (лайнером). При этом на конечной стадии процесса предполагается получить термоядерную плазму с температурой Т~104 эВ, магнитным полем с 5~102 Тл и плотностью п~ 10204-1021 см~3. Результаты соответ- соответствующих расчетов и экспериментов приведены в [3—7]. Основной проблемой здесь является обеспечение достаточно быстрого и ус- устойчивого схлопывания лайнера при степени объемного сжатия по- порядка 103. Недавно появились предложения по применению гене- генераторов мощных электронных пучков для разгона микролайнеров с плотной плазмой [8]. Лазерный нагрев плотной (я~1021 см~3) газовой мишени с магнитным полем рассматривался в [9]. Общим для перечисленных систем является то, что нагретая до температу- температуры Г~ Ю4 эВ термоядерная плазма имеет огромное давление (по- (порядка 10й Па), так что такие установки представляют собой взрыв- взрывные устройства с разрушающейся в каждом цикле оболочкой, ко- которая удерживала плазму.
В неразрушаемых термоядерных установках давление плазмы* не должно превышать примерно 109 Па, т. е. плотность п^Ю18 см~3. Их практическая реализация связана с возможностью уменьшения потерь плазмы вдоль магнитного поля, например, на основе много- многопробочной магнитной ловушки (ММЛ) [10—12]. Вся концепция создания термоядерного реактора на основе ММЛ с немагнитным удержанием плазмы и ее нагревом с использованием релятивист- релятивистских электронных пучков обсуждалась в [13, 14]. Следует отметить и возможность применения мощных СО2-лазеров для нагрева плаз- плазмы с плотностью я~1016-т-1018 см в длинных соленоидах [15]. Другой подход к термоядерным системам со стеночным удержанием плазмы, основанный на использовании ударных труб и специальных импульсных магнитных барьеров, рассматривался в [16]. Данный обзор посвящен задачам о диффузии тепла и магнит- магнитного поля в плазме с большим р, представляющим интерес как для работ по УТС, так и для различных астрофизических приложений. Дело в том, что в плотной плазме характер тепловых процессов существенно отличается от аналогичных явлений в разреженной плазме, где р мало. Связано это с тем, что прл Р>1 тепловая энергия плазмы намного превышает энергию магнитного поля. В ре- результате этого тепловые процессы в такой плазме сопровождаются сильным искажением внешнего магнитного поля. Поскольку коэф- коэффициенты переноса горячей плазмы, в свою очередь, существенно зависят от магнитной индукции поля, то здесь возникает довольно сложная картина взаимосвязанных магнитотепловых явлений. Аналогичные процессы, обусловленные взаимным влиянием диффузии тепла и магнитного поля, могут иметь место и в том случае, когда в разреженной плазме происходит локальное увели- увеличение ее давления до значения р^В2/(8п), т. е. р^1. Например, эти эффекты проявляются при обращении внешнего магнитного поля для формирования компактного тороида в 0-пинче или при сжатии плазмы с магнитным полем лайнером. В плазменной астро- астрофизике задачи такого типа возникают при рассмотрении эволюции нейтрального слоя в плазме (что представляет интерес для пробле- проблемы солнечных вспышек) и при исследовании тепловых процессов в межгалактической среде. Дальнейший план изложения следующий. В § 1 рассматривают- рассматриваются особенности процесса остывания плазмы с Р>1, приводящие к тому, что эффективная теплопроводность такой плазмы намного больше классической (при локальных кулоновских коэффициентах переноса). Радиационные эффекты при остывании плазмы с боль- большим р рассмотрены в § 2. Там показано, это возрастание объемной мощности потерь на излучение приводит к распространению в плаз- плазме радиационной волны охлаждения. В этом случае энергетическое время жизни плазмы пропорционально лишь первой степени ее ли- линейного размера. Такая же радиационная волна описывает и про- процесс конденсации горячей плазмы на облаках холодного газа, обра- образующегося вследствие тепловой неустойчивости в межгалактической среде. В § 3 и 4 исследуются потери магнитного потока при обра- 4
щении поля в 0-пинче и сжатии плазмы с магнитным полем лайне- лайнером. В обоих случаях диффузия магнитного поля характеризуется эффективным коэффициентом магнитной вязкости, не зависящим от частоты столкновений в плазме. В § 5 обращается внимание на то, что тепловые процессы в плазме могут приводить к заметному увеличению скорости диссипации энергии магнитного поля в ней- нейтральном слое. Особенности диффузии тяжелых примесей в плот- плотной плазме, связанные с действием термосилы между ионами раз- разных сортов, описаны в § 6 и 7. 1. Особенности остывания и аномальная теплопроводность плазмы с р>1 Относительная роль теплопроводности и излучения в потерях энергии из плазмы зависит от размеров системы. Очевидно, что при достаточно малых размерах (количественный критерий укажем в дальнейшем) потерями на излучение можно пренебречь и счи- считать, что остывание плазмы определяется ее теплопроводностью. При этом качественное отличие остывания плотной плазмы с Р^>1 от аналогичного процесса в разреженной плазме (B-Cl) легко по- понять из следующих соображений. Запишем простейшее уравнение диффузии магнитного поля в плазме- at ox \ Ana ox / где cr — проводимость плазмы, а о — ее скорость. Здесь и в даль- дальнейшем будем считать магнитное поле направленным вдоль оси 2, а градиенты всех величин (и течение плазмы) — вдоль оси х. В слу- случае малых значений р, когда тепловая энергия плазмы много мень- меньше энергии магнитного поля, последнее остается практически по- постоянным при изменении параметров плазмы (бВ/В~|3<й;1). По- Поэтому в левой части уравнения A.1) можно положить dB/dt~O, так что скорость плазмы у = дВ/дх. Это — обычная диффузия F 4naB ^^¦ плазмы поперек магнитного поля. Но так как соответствующий коэффициент диффузии Dx~r2HeV(. {гя„ — ларморовский радиус электронов; v? — частота их рассеяния при кулоновских столкнове- столкновениях) в (т,/теI^ раз меньше температуропроводности плазмы у х~г2т\{ [171, то можно считать, что при своем остывании плазма с |3<Cl остается неподвижной и плотность ее не меняется. Измене- Изменение во времени температуры плазмы имеет при этом простой ха- характер (рис. 1). Потери энергии плазмы происходят за счет пони- понижения ее температуры во все более глубоких слоях. Характерная скорость продвижения такой волны остывания в глубь плазмы мт~%±/^, так что энергетическое время жизни в этом случае A.2) Теперь представим себе аналогичную картину для плазмы с боль- большим р. Так как интересующие нас тепловые процессы протекают 5
Рис. 1. Изменение во времени про- профиля температуры плазмы с Р<С1 (О, 1 а 2 — начальный и последую- последующие моменты времени) / i V Рис. 2. Профили температуры и плотности, возникающие при осты- остывании плазмы с большим Рис. 3. Временная последователь- последовательность профилей температуры для плазмы с ($»1 @, 1 и 2 — началь- начальный и последующие моменты вре- времени) гораздо медленнее гидродинамических, то давление плазмы остает- остается однородным при ее остывании: (д/дх) (пТ) ~0. Поэтому пониже- понижение температуры в пристеночном слое плазмы вызывает соответ- соответствующее увеличение плотности при течении плазмы от центра к стенкам (рис. 2). Хотя скорость такого расширения плазмы много меньше звуковой, она может (и это будет показано в дальнейшем) существенно превышать %х /R — скорость распространения волны остывания в глубь плазмы. Это приводит к тому, что волна осты- остывания «сносится» течением плазмы и уже не может проникнуть в центральные области. Весь перепад температуры происходит те- теперь в тонком пристеночном слое, а занимающая основной объем горячая плазма остывает адиабатически за счет своего расширения (рис. 3). Большой градиент температуры в пристеночном слое при- приводит к увеличению потока теплоты на стенку, так что время осты- остывания плазмы оказывается гораздо меньше, чем по оценке A.2). Для количественного решения задачи необходимо определить структуру пристеночного слоя. Будем считать, что здесь примени- применимо гидродинамическое описание плазмы на основе уравнений пере- переноса, приведенных в [17], и пользоваться принятыми там обозна- обозначениями. Уравнение диффузии магнитного поля A.1) в плазме с большим р следует дополнить слагаемым, возникающим из-за дей- действия термосилы (эффект Нернста): дВ д ( с2 as д , с - дТ\ п оч dt дх \ 4па дх е л дх )
где рд —термоэлектрический коэффициент, а плазма считается изотермической, так что Tt=Te=T. Как будет видно из дальнейше- дальнейшего, сильное искажение магнитного поля вследствие движения плаз- плазмы и эффекта Нернста может приводить к такому усилению маг- магнитного поля в пристеночном слое, что его давление сравнивается с газокинетическим давлением плазмы. Поэтому в уравнении рав- равновесия нужно учесть и давление магнитного поля, хотя в основном объеме плазмы с р>1 оно пренебрежимо мало: j-[2nT + B*/(8n)]=0 A.4) (здесь п=пе=п(—плотность электронов и ионов водородной плаз- плазмы). В тепловом балансе плазмы главную роль играют теплопро- теплопроводность и конвективный перенос тепла: дх \ х дх ) ' а джоулев нагрев и диссипация энергии, определяемая вязкостью, здесь несущественны. Вместе с уравнением непрерывности ji + ?M_o 0.6, уравнения A.3) — A.5) образуют полную систему, описывающую остывание плазмы с большим р в магнитном поле. Схема их реше- решения выглядит теперь следующим образом. Из уравнения A.4) на- находится плотность плазмы, а из уравнения A.6) —необходимая для обеспечения нужной плотности скорость течения плазмы. Профили магнитного поля и температуры регулируются уравнениями A.3) и A.5), которые нужно решать совместно, так как поперечная теп- теплопроводность плазмы хх сильно зависит от индукции магнитного поля, а последняя, в свою очередь, от неоднородности температуры плазмы. Для дальнейшего существенно, что в пристеночном слое, где имеется большой перепад температуры и плотности, происходит переход от сильно замагниченной (сонт>1) горячей плазмы к не- замагниченной (сонт<С1) холодной плазме (сон — циклотронная ча- частота; т — время между столкновениями). Входящие же в уравне- уравнения A.3) и A.5) кинетические коэффициенты а, %±п рд имеют в этих областях совершенно различный вид. Даже приближенные формулы [17], пригодные для любых значений параметра оят, довольно громоздки. Поэтому воспользуемся простыми модельными выражениями, качественно правильно описывающими поведение ко- коэффициентов переноса плазмы в обоих предельных случаях. Для этого рассмотрим отдельно три области параметров плазмы: об- область I — относительно горячая плазма с замагниченными ионами: (а>нт)<>1; область III — холодная незамагниченная плазма, где (юят)е<1; промежуточная область II, где электроны замагничены, а ионы нет. Учитывая, что (сонт){=|л1/2(сйнт)е, где (х=те/т4<1 — отношение масс электронов и ионов, границы области II записыва- записывают так: ц1/2-<(сйнтL<1. Теперь кинетические коэффициенты плаз-
A.7) мы можно представить в следующем виде [17]: 1псТ/(еВ ((ufft)i) в области I, а = — е ; их = ¦ псТ/еВ в области II, т» псТ (а>нт:)е/еВ в области III; C/B(а>„т)е) A,11), Рл 13(сонт)е/2 (III). Выше уже отмечалась важная роль эффекта Нернста в эволюции магнитного поля в плазме с р>1. Уравнение A.3) удобно интер- интерпретировать как уравнение непрерывности для магнитного поля, где магнитный поток дв дх A.8) Отсюда видно, что эффект Нернста приводит к дополнительному сносу магнитного поля, направленному противоположно градиенту температуры плазмы. Введем скорость этого сноса: т/ с я W Она связана со скоростью тепловой диффузии Vt nT дх такими соотношениями, следующими из A.7): (область I); ji^-Ут, 1<(<оят)е<ц-'/. (область II); A.9) (область III). Эта связь будет использована в дальнейшем для нахождения ин- индукции магнитного поля. Для определения скорости остывания плазмы удобно рассмот- рассмотреть следующую модельную задачу, которую удается решить точ- точно. Пусть в начальный момент времени однородная горячая плазма с температурой Го и плотностью «о, находящаяся во внешнем маг- магнитном поле Во, приходит в контакт с холодной стенкой, имеющей нулевую температуру (плазма занимает полупространство х>0). В такой задаче отсутствует характерный масштаб длины, поэтому ее решение должно быть автомодельным. Так как дальнейшая эво- эволюция системы связана с теплопроводностью плазмы, то автомо- дельность имеет диффузионный характер, а автомодельную пере- 8
I = */(Xo9Vl; Т(х, t) = Т0Т(?); п (х, t) = поп &); В (х, t) = В0В (?); v(x,t) = - (%oft)l/>v (?) менную 1 можно выразить через температуропроводность горячей плазмы xo=4i/ A.10) [течение плазмы направлено к стенке, так что v(x, ^)<0]. Теперь здесь Г(|), пA), ВA) и w(?)— безразмерные функции, для кото- которых из A.3) — A.6) можно получить следующие уравнения: A.11) A.12) A.13) 2 d? ~ dg V РоО dB dT 2^ 4 A.14) где ро^ ся сильно замагниченной, так что ниях а=Т3'2; , но при этом горячая плазма предполагает- предполагаетй () 1 В = 6о;|>1. В этих обозначе- обозначеу, = 80пТ/В (I); (II); (III); а = A.15) (I. И); /п (III). В качестве первого шага будем считать р0 бесконечно большим (из полученного решения будет видно, когда необходимо учитывать конечность этой величины). Из A.11) тогда следует, что пТ=\, а из A.13) —постоянство теплового потока, вклад в который дают течение плазмы и теплопроводность: «ЯП х {- 5v = const = 5w0. 4 A.16) Здесь v0 — скорость течения горячей плазмы при ?->-+оо, которая и определяет тепловой поток на стенку и тем самым скорость осты- остывания плазмы. Так как согласно A.10) скорость течения плазмы v <х> %(/% то темп потерь тепла можно характеризовать некоторой эффективной теплопроводностью плазмы xef, которая, очевидно, равна )x A.17) Поскольку w0 имеет большое значение (ио>1), такую теплопровод- теплопроводность называют аномальной.
С понижением температуры в пристеночном слое скорость те- течения плазмы уменьшается, поэтому конвективный тепловой по- поток существен только в области горячей плазмы с Т~1, а при Г<1 главную роль играет теплопроводность, и из A.16) следует, что x — fubv,. A.18) Это уравнение определяет в принципе профиль температуры 7(?), куда величина v0 входит как неизвестный пока параметр. Толщина пристеночного слоя Л|еои~о-Для нахождения v0 воспользуемся уравнением непрерывности A.14). Плотность потока плазмы (с учетом того, что на стенке, т. е. при ? = 0, плотность потока рав- равна нулю). Поэтому Здесь интеграл в правой части пропорционален v'o1, так что, зная решение уравнения A.18), отсюда можно определить v0. Как бу- будет показано ниже, основной вклад в интеграл A.19) дает область относительно холодной плазмы с температурой Г~7\»<С1. Это оз- означает, что вещество, приносимое течением горячей плазмы, накап- накапливается в области с Т~Т*. Поэтому при Г>7* плотность потока плазмы можно считать постоянной: nv = const = v0, т. е. v « v0T, A.20) а при Т<С.Т* она быстро падает и обращается в нуль на стенке. Для определения температуры плазмы в пристеночном слое из уравнения A.18) нужно знать индукцию магнитного поля. Допол- Дополнительный вынос последнего к стенке из-за эффекта Нернста дела- делает решение уравнения A.12) для магнитного поля очень чувстви- чувствительным к граничному условию на стенке. Естественно, поэтому, рассмотреть два предельных случая: идеально проводящую и не- непроводящую стенки. Начнем с последнего, когда индукция магнит- магнитного поля на стенке не меняется: 5(^ = 0) = 1. В систему уравнений A.11) — A.15) входят два безразмерных параметра: р0 и до, разные значения которых удобно представлять как точки на плоскости (Во, б0) (рис. 4). Здесь можно выделить четыре области (А, Б, В, Г) с различной структурой пристеночного слоя. Границы этих об- областей схематично показаны на рис. 4, а смысл такого разделения будет ясен из дальнейшего изложения (напомним, что нас интере- интересуют только значения р0 и до, большие единицы). В области Б, где значение р0 достаточно велико, можно пренебречь магнитной вяз- вязкостью и, используя введенную ранее скорость сноса магнитного 10
л\5$о чу - в Б Г JJ. ' '- Рис. 4. Разбиение плоскости безраз- безразмерных параметров ({5о, б0) на обла- области с различной структурой присте- пристеночного слоя плазмы в случае непро водящей границы 1 Т Рис. 5. Профили индукции магнитно- магнитного поля (В), скорости течения плаз- плазмы (v) и скорости теплового сноса магнитного поля (Vh) в случае не- непроводящей границы при 60>и,-1 и 60>|г-3/4 поля из-за термоэффекта Vh, записать A.12) в виде A.21) Величина Vh связана со скоростью диффузии тепла Vt соотноше- соотношениями A.9). Но уравнение A.16) означает, что VT есть теперь по- постоянная, равная 5v0. Поэтому A5/2)nV.0o (I), 7X1; A5/2) tiV'vM A5/2) v0 (III). (II) A.22) Отсюда видно, что выносимый на стенку из-за эффекта Нернста магнитный поток одного порядка с конвективным магнитным по- потоком из горячей плазмы [(?н(о°) ~<7н@) ~о0]. В то же время, как это следует из A.21), изменение магнитного потока А Тогда можно считать, что А^нС^н при достаточно больших v0, и находить индукцию магнитного поля из условия постоянства по- потока Цн'- qN = (v + VH)B = v0. A.23) Из соотношений A.20) и A.22) для скоростей у и Ун и A.23) следует, что при Г>^1/2 скорость у>Ун, поэтому там магнитное поле вморожено в плазму: В~п = Т~г. Эффект Нернста становится существенным при Г~(л1/2, а затем, с дальнейшим понижением температуры, он играет главную роль в выносе магнитного поля {Vh>v при Г<Сц<1/2). В результате профиль магнитного поля при- приобретает вид, показанный на рис. 5. При 7<C|i1/'2 поле В = = B/15) [дг1/2 к области I и 5 = 2/15 в области III. При этом нижняя 11
(по температуре) граница области I совпадает с верхней границей области III: T = Ti= A5/2J/5ц3/5 6FV', так что при Т = Т1 происхо- происходит скачок магнитного поля, а область II фактически отсутствует. Скачок индукции поля возникает также и у стенки (? = 0), где она меняется от 5 = 2/15 до 5=1 (в предположении, что замагничен- ность горячей плазмы б0 достаточно велика, так что T\<gi\Lxi2, т. е. 6о^>н-~3/4)- Как видно из полученного решения, в пристеночном слое происходит усиление индукции магнитного поля до 5тах~ц"/2- Таким образом, давлением магнитного поля можно пренебречь и считать пТ=\, если 5тах<ро/2, т. е. Ро>Ц~1. Учет магнитной вязкости в уравнении A 12) приводит, конечно, к сглажива- сглаживанию профиля магнитного поля Однако при условии Ро^ц-1, когда давление маг- магнитного поля в пристеночном слое остается меньше давления плазмы, скачки ин- индукции магнитного поля размываются слабо Для доказательства запишем ана- аналог уравнения A.23) при учете диффузии магнитного поля: (L24) (при Г^ц1'2 снос поля течением плазмы несуществен) Используя A 15), A.18) и A.22), это уравнение для области II можно записать так: 9Пп1/2 R dB Ifin1/» РДГ'А dT откуда Теперь видно, что возрастание индукции магнитного поля от .6=2/15 в области III до В = B/15)ц-1/2 в области I происходит в узком интервале температур Л71— (ЭоД)~!/27'i <C7"i. Такой изотермический скачок индукции магнитного поля аналогичен известному в газодинамике явлению изотермического скачка плот- плотности в ударных волнах [18]. Для возникновения последнего необходимо вы- выполнение двух условий: во-первых, вязкость газа должна быть мала по сравне- сравнению с его теплопроводностью, во-вторых, число Маха должно превышать неко- некоторое критическое значение. В нашем же случае замагниченной плазмы магнит- магнитная вязкость должна быть много меньше температуропроводности плазмы (что и выполняется при Т~Ти если Ро^Ц) и параметр замагниченности горячей плазмы 60 должен быть достаточно велик (бо>Ц~3/4) Решение уравнения A 24) в области III с граничным условием на стенке В(Г=0) = 1 имеет вид В =-1- [2 + 13 exp (~ -|- p>-i 6*0Т^ j , так что при ро^> 1 скачок поля на стенке остается узким, поскольку В«2/15 уже при Г.сГ.-ц'/6 б-1'». Определив индукцию магнитного поля и тем самым теплопро- теплопроводность плазмы хE, 7"), найдем теперь из A.8) профиль темпе- 12
ратурь! в пристеночном слое. Стартуя от стенки (| = 0) в области III, т. е. при T<CTi, получаем Затем при Г>711 увеличение индукции магнитного поля в \i~i/2 раз сильно подавляет теплопроводность плазмы. Поэтому слой с температурой 7\<7"<ц1/2 оказывается относительно узким: При дальнейшем повышении температуры (Т^>ц1/2) из A.16) и A.20) следует, что I = li + B/5) о?1 arcth tu (как и должно быть, горячей плазме с Т-*~1 соответствует ?-н+со). Зная зависимость ?(Г), можно из условия A.19) найти v0 — уси- усиление теплового потока на стенку: о 2 J Ь d| b 2 J b dT 2 J b V ' T* 0 0 Нетрудно проверить, что основной вклад в этот интеграл дает об- область с температурой Т~Т\ (это и есть введенная ранее темпера- температура «накопления» плазмы Г», a vo = (З6о/ЮI/2. Согласно A.17) это означает, что эффективная теплопроводность плазмы [19] х == збо "осГ ef осГо _ 3яосГо /j 25) 10 etlo(aHixi)o в этом случае порядка так называемой бомовской теплопроводно- теплопроводности. Полученное решение справедливо при условии выполнения неравенств РоЗ> »Ц~\ 6о»ц~3/4- Последнее из них означает, что при натекании горячей плазмы на стенку снос магнитного поля из-за эффекта Нернста «включается» раньше, чем происходит «накопление» плазмы (Tt~Tl<i>,1'2). Это и позволяло считать магнитный поток неизменным (q н=const = v0). Рассмотрим теперь случай рис. 4,А, когда 1<6о<С(г-3/4, но значение Ро по-прежнему достаточно велико (так что Smax/p0<l). Как и раньше, в области III магнитное поле однородно и его ин- индукция равна 2/15, так как там VH~>v He меняется и граница этой области: 7"<7'1. При переходе в область II уже при T~Tt быстрый рост индукции маг- магнитного поля приводит согласно A 22) к уменьшению Vh(Vv~v) Так как в этой же области происходит накопление плазмы, то при Т~Тг скорость v~%, поэтому в уравнении A.21) все слагаемые становятся одного порядка Упрощающим об- обстоятельством является то, что увеличение магнитного поля сужает соответствую- соответствующую область и |=const = |i при Т~^Ти Тогда из A 14) при Т^Т, следует, что т г, 13
Подставляя это выражение для скорости течения плазмы в уравнение A21) и считая i=|i, находим индукцию магнитного поля: BsT-^l-^V/'j. A.26) Как видно, при T^>Ti магнитное поле вморожено в плазму. Хотя профиль тем- температуры в этом случае (при Т>Т\) и отличается от полученного ранее, значе- значение Vo, очевидно, не изменяется. Таким образом, при всех 6о> 1 эффективная теплопроводность плазмы порядка бомовской. Этот результат справедлив и в том случае, когда необходимо учитывать дав- давление магнитного поля в A.11) и, следовательно, магнитную вязкость в A.12). Рассмотрим вначале решение при сильной замагниченности плазмы, когда »ц-3/Ч. При этом магнитное давление становится существенным, если ^ (область Г на рис. 4). Хотя теперь давление плазмы пТ уже не постоянно, оно отличается от единицы, как будет видно из дальнейшего, только в узком слое. Поэтому можно, как и раньше, использовать условие постоянства потока теплоты A.18), которое вместе с уравнением <7я=?>о позволяет определить индукцию маг- магнитного поля и плотность плазмы. В области III, где 5 = 2/15, решение, очевидно, остается прежним. При Т>Т^ в области II из условия дн—Vo получаем следую- следующее уравнение: решение которого при учете A.11) имеет вид ехр [F/5)A-Т'/«/г|/«)]. A.28) Отсюда следует, что при Т>Тх давление плазмы быстро спадает до значений лГ<с1, а индукция магнитного поля становится равной {$(/'. Решение A28) справедливо до Т=Т2~Т11п(роц)~1 — границы области II. В области I (Т>Т2) вместо A.28) получаем, что пТ = е/[1 - (ТУГI'.]; е = -j- (P0|i)V. « 1, A.29) т е. при Г>Г2 давление плазмы постоянно и равно пТ=г Это имеет следующий смысл. Из постоянства теплового потока A18) теперь следует, что скорость диф- диффузии теплоты VT = 5v0/(nT), поэтому скорость теплового сноса магнитного поля равна согласно A.9) Vh= A5/2) [il/2v0/(nT) иприВ = Р^!' пТ=г обеспечивает необходимый магнитный поток. qH=VHB = Vo Соотношение A29) остается вер- верным до температуры 7"~(х1/2, где скорость течения плазмы v = vo/n сравнивается с Vh- При r^jx1/2 магнитное поле вморожено в плазму В=п, так что в интер- интервалец1/' < Т< р^1/гиндукция В = я = Ро/г, а при Т>$^1/!, В=п=Т-К В этом слу- случае главный вклад в интеграл A.19), определяющий vo, дает, как и раньше, об- область температур T~Tl Поэтому эффективная теплопроводность здесь отлича- отличается лишь численным множителем от значения, даваемого A.25). Если замагниченность горячей плазмы такова, что параметр 1<Сбо^Ц~3/4, то эффекты, связанные с давлением магнитного поля, начинают проявляться при 14
$o^ f~2~li~2/5 ^o'1 (область В на рис. 4). Решение для этого случая следующее. Вмороженность магнитного поля в плазму сохраняется до температур Т>Ти поэтому fi=n=7"-' до Г-р^Затем В=п=Ро/'при Г<P5~Vi' и Давление плаз' мы здесь много меньше давления магнитного поля. При 7 — 7*1 индукция магнит- магнитного поля спадает до значения В=2/15, а пТ увеличивается до единицы. При T<Ti решение остается прежним. Соответственно не меняется и порядок эффек- эффективной теплопроводности плазмы. Таким образом, в случае непроводящей стенки эффективная теплопроводность плазмы при Ро>1 и 6о>1 порядка бомовской. Причиной этого является быстрый вынос магнитного поля к стенке благодаря эффекту Нернста, уменьшающий ин- индукцию магнитного поля в незамагниченной пристеночной плазме примерно до единицы. Существенно иной вид имеет решение этой задачи в случае идеально про- проводящей стенки, не пропускающей магнитный поток [20]. Теперь магнитное поле, выносимое к стенке течением горячей плазмы, накапливается в пристеночной об- области. В результате здесь происходит усиление индукции магнитного поля и воз- возрастание тепловых потерь из плазмы выражено гораздо слабее. Рассмотрим это решение подробнее. Граничное условие на стенке /. dB означает, что тепловой снос магнитного поля должен компенсироваться направ- направленным противоположно диффузионным потоком. Поэтому, в отличие от случая непроводящей стенки, магнитную вязкость (и давление магнитного поля) те- теперь необходимо учитывать при сколь угодно больших значениях параметра р0. Так как скорость V» возрастает по направлению от горячей плазмы к стенке и становится в пристеночном слое больше скорости течения плазмы v, то условие компенсации 4ц /• da ¦^7~нг + у"в = 0 е-30) должно выполняться не только на самой стенке, но и во всей области, где Vh> >». Это можно пояснить следующим образом. Течение горячей плазмы создает потоки вещества и магнитного поля к стенке. Из уравнения непрерывности A.14) следует, что в области «накопления» плазмы (Т~Т*) ?,~v, а при Т>Г. скорость ч>| и поток вещества остается постоянным. Вынос магнитного поля к стенке происходит со скоростью v + Vh. Поэтому здесь есть две возможности. Первая состоит в том, что в области накопления магнитного поля (обозначим ее темпе- температуру ft) Vh~>v. Так как при этом Vh^>\, то из A.11) видно, что при Г< <7. магнитное поле должно удовлетворять уравнению A 30), а при T>f* име- имеет место постоянный поток магнитного поля VhB = v0. Оказывается, однако, что таких решений не существует. Связано это с тем, что индукция магнитного поля в пристеночном слое ограничена сверху величиной Вшах = ?(/'» эт0 слеДУет просто из баланса давлений A.11). Следовательно, остается вторая возможность. В этом случае магнитное поле вморожено в плазму там, где Vh<v, а при Vh>v вы- выполняется условие компенсации A.30). Его можно переписать в следующем виде: 4u'/« dB 3 . " I '/. п /I оц 1Ф ~|~ о Ц СА —- U» 1 1.011 R T*/« UI I 15
Так как величина а имеет разные зависимости от п, Т и В в различных об- областях [см. A.15)], рассмотрим сначала решение этого уравнения при замагни- ченных электронах (области I и II). Учитывая A.11), получаем, что пТ1'* = const. A.32) Это хорошо известный результат для стационарной неоднородной плазмы [21]. Отсюда следует, что давление плазмы падает с уменьшением температуры (пТоо ~Т3'*), поэтому вблизи стенки образуется область буферного магнитного поля с В = р(/2 и текущим значением параметра Р<1. Решение A32) нарушается при очень низких температурах, когда плазма уже не замагничена (область III). Из A.31) и A.11) при учете A.15) получаем, что где y<1—давление плазмы на стенке. Это решение справедливо при Т<Т\~ ~Y2/5 ji,1/5 Pjj~1/f' b^l*, происходит замагничивание электронов. Поэтому во всей области III давление плазмы пТ~у. Теперь можно представить себе полное решение задачи. Начнем со случая достаточно больших значений параметров 6о и Ро, когда 60>ц~3/\ а Ро>(А~'. Тогда при Г>|х1/2 Vh<v и магнитное поле вморожено в плазму: В—п=Т-\ При T~[Li/2 скорость теплового сноса магнитного поля Vh сравнивается со скоростью течения плазмы, поэтому при Т<ц1/2 справедливо решение A 32) и пТ\~ _ц-з/87-з/4 ( а индукция магнитного поляВ=Ро/'2. Падение давления плазмы про- происходит до 7'=Г1~ц1/иб5" I' Po~2^7' гДе плазма размагничивается. При Плазма и магнитное поле «накапливаются» в области с Г~ц1/2, а скорость тече- течения горячей плазмы Чо~И-~1/8. Поэтому эффективная теплопроводность плазмы в этом случае xef ~ i^xxo ~ (mi/meI1'*^. A.33) Интересно отметить, что в случае идеально проводящей стенки эффект Нернста «работает» не на возрастание эффективной теплопроводности плазмы (как это было при непроводящей стенке), а на ее уменьшение, так как усиливает индук- индукцию магнитного поля вблизи стенки. Качественная картина пристеночного слоя у идеально проводящей стенки изображена на рис. 6. Выражение A.33) для эффективной теплопроводности плазмы получено при условии, что тепловой снос магнитного поля становится существенным (при пе- переходе от горячей плазмы к стенке) раньше, чем магнитное давление (ро>(А~а) и размагничивание ионов (бо>ц~3/4). Если же одно из этих неравенств не вы- выполняется, то «накопление» плазмы и поля происходит в области температур, где эффект Нернста и диффузия магнитного поля не играют роли. Поэтому там магнитное поле еще вморожено в плазму и становятся справедливыми оцен- оценки Кег, полученные в предположении точной вмороженности поля [22]. Рассмотрим, например, случай, когда ро велико, но 6о<ц.~3/14. Решение здесь получается следующим. Во всей области I, где Г>Г2=б^ '", поле вморожено в плазму. «Накопление» поля и плазмы происходит при 7"~Гг. Поэтому при 16
Рис. б. Профили давления плазмы (пТ) и индукции магнитного поля (В) в случае идеально проводящей границы при ро>Ц-' и 60>(i-3/4 1 Т T<J2 в области II поток вещества и поля уменьшается по закону nv=Bv~ ~6oT/Vo, т. е. v~6oT2/vo, гдеи0 ~ Sfl'«. В то же время скорость теплового сноса поля в области II VH~y>l2Vo/boTbUB и сравнивается с v при Т ~(i'/'fij""/". Сле- Следовательно, выше этой температуры поле еще вморожено в плазму: В=п=Т~1, а при более низких температурах В=р^'и давление плазмы падает по закону A.32). Если же плазма сильно замагничена, но ро<ц-1, то «накопление> плаз- плазмы и поля происходит при Г~Р5" >где давление вмороженного магнитного поля сравнивается с давлением плазмы В этом случае vo2~$'o/tn при Т<P3/jснача- Т<P3/jсначала еще есть вмороженность, так что В=п—$Уг,а. затем вступает в действие тепловой снос поля и выполняется условие A.32). В общем виде выражение для эффективной теплопроводности плазмы в случае идеально проводящей стенки можно записать так: xef ~ Xj_o min J6q'*, Pq''4, рГ" '*}. A-34) Описанные выше автомодельные решения справедливы, строго говоря, только для полубесконечной плазмы. Рассмотрим теперь, процесс остывания плазменного столба с конечным радиусом R. Из уравнения теплового переноса д(пТ) 1 д f дТ \ 3 —^-i- = — — г ( х , —- - 5nTv ) at г дг \ -1- дг J видно, что так как его левая часть при р»1 не зависит от г, то поток тепла _ _оТ <7t~Xj- дг — bnTvoor. Поскольку весь перепад температуры происходит в тонком пристеночном слое, толщина которого Д<# (см. рис. 3), то здесь можно считать, что qT «const. Учитывая, что скорость плазмы вблизи стенки мала, так что главную роль здесь играет теплопроводность, запишем это условие в виде qT = XjdTldr = anr%^> Tr/R, A.35) где яг, Xj_ и Тт — плотность, температуропроводность и температура горячей од- однородной плазмы в центре системы (см рис 3), a a (t) — некоторый (пока не- неизвестный) коэффициент. Задача состоит в том, чтобы найти, как меняются во времени величины nT(t) и TT(t) (их начальные значения при *=0 обозначим по и Го, а начальное магнитное поле — Во). Из уравнения A.35) можно опреде- определить структуру пристеночного слоя, причем если температуру и плотность изме- 2 Зак. U41 1?
рятЬ в единицах tr и пг, то в каждый момент профили я (г) и Т(г) будут иметь одинаковый вид, отличающийся лишь пространственным масштабом. Последний, очевидно, пропорционален а-1, а вся толщина пристеночного слоя Д~/?/а. (По- (Поэтому изображенная на рис. 3 картина остывания плазмы справедлива, если а>1). Так как горячая плазма остывает при этом за счет своего адиабатическо- адиабатического расширения, то p//tY = const. Считая показатель адиабаты у—Ъ/Ъ, получаем, что пт = п0(р/р0)'/'> Гг = 7у(р/р0)*/»; Вт = Вопг/по = Во(р1рв)Ч> A.36) (последнее равенство следует из условия вмороженности магнитного поля в го- горячую плазму). Как и раньше, важную роль здесь играет число частиц в при- пристеночном слое N^ . Его можно записать в таком виде: A.37) где i|) — коэффициент, определяемый из решения уравнения A.35). Теперь мож- можно записать условия баланса для энергии горячей плазмы и числа частиц в при- пристеночном слое, которые и регулируют временную эволюцию системы: ^ A.38) A.39) dt - dt При получении уравнения A.39) учтено, что скорость, с которой горячая плазма втекает в пристеночный слой, 0г|г=«=<7т/Eр)=ах^/E/?). Здесь естественным образом выделяются две стадии процесса остывания горячей плазмы: начальная, когда относительные потери энергии еще невелики, и конечная, когда запас энергии в плазме уже мал по сравнению с исходным. На первой стадии можно считать параметры горячей плазмы постоянными и равными начальным: пт=п0, ТТ=ТО, ВГ=ВО; г|з(пг, Гг, Яг)=г|H. Тогда из уравнения A.39) получаем, что d / 1 \ 2t±oa ( 5^o У11 R и(тГ!ьр- т'е- а = G~' "• (М0) Отсюда видно, что на этой стадии остывания плазмы поток теплоты qT из A.35) вообще не зависит от радиуса плазмы R и пропорционален t~x/2 (а толщина при- пристеночного слоя соответственно пропорциональна /1/2). Поэтому это есть не что иное, как построенное выше автомодельное решение уравнений A.10) —A.14). Входящий сюда коэффициент ip, определяемый структурой пристеночного слоя, как было показано, сильно зависит от граничного условия для магнитного поля. В случае, например, непроводящей стенки из сравнения формул A.25), A.35) и A.40) легко получить, что A.41) Энергия, теряемая плазмой к моменту времени t, очевидно, равна t i <* dt = 2ltPo# V 5Х±о^ (шп о о и становится сравнима с начальной тепловой энергией плазмы $о=3 18
при / = т? ~ &/%±0 (u)WltjH ~ flVXef. A.42) К этому моменту времени а становится порядка (а>мт,)о>1, а число частиц в пристеночном слое iVA~ni?2n0 — порядка полного числа частиц в горячей плазме (последнее равенство очевидно и заранее, так как при адиабатическом расшире- расширении энергия плазмы уменьшается вдвое при таком же, по порядку, изменении ее плотности), Таким образом, уравнения A.10)—A.14) описывают остывание плазмы при г<Т? Однако автомодельный характер процесса сохраняется и при г^т^, меня- меняется лишь зависимость от времени характерного пространственного масштаба [она становится более сложной, чем A.40)]. Решение соответствующих уравне- уравнений A.36), A.38), A.39) и A.41), справедливое при любых t, можно найти лишь численным их интегрированием. Но ситуация сильно упрощается, если интересо- интересоваться конечной стадией остывания плазмы, когда t~^>%E. В этом случае число частиц в пристеночном слое Мд почти не меняется, так как там уже сосредоточе- сосредоточена практически вся плазма. Поэтому Л^д = ¦фпгл/?2/а = 6 (cowT/)rrtrjiy?2/a = const, так что aconr((?>Hrti)r<s>BrT *'аслр6/6 [здесь использованы соотношения A.36)]. В свою очередь, температуропроводность горячей плазмы %*р ~'#fVj«rtnr/{BJl7'|/1)co ~р~*/ъ. После этого из уравнения A 38) следует, что dp/dt<s>—р7/6, откуда по- получается следующий закон изменения параметров горячей плазмы при То (t/xE)~K A.43) 2. Радиационная волна остывания в плотной замагниченной плазме Перейдем теперь к радиационному охлаждению горячей плаз- плазмы с большим р, находящейся в контакте с холодной стенкой. Осо- Особенность здесь состоит в том, что при постоянном давлении плазмы объемная мощность излучения резко возрастает в холодном при- пристеночном слое. Так, для тормозного излучения QTZuOon2T1/2 и ра- растет как Т~ъ/2 с уменьшением температуры (а для рекомбинацион- ного излучения, которое становится существенным при Г^ЗО эВ, Qraioon2T~^2coT~5/2 и рост мощности излучения происходит еще сильнее). Поскольку для термоядерной плазмы с температурой У—104 эВ даже для D—Т-смеси время радиационного остывания Trad = 3n7yQrad всего лишь на порядок больше необходимого для УТС времени удержания плазмы, следующего из критерия Лоусона (tl=1014/«), to вопрос о радиационных потерях обсуждался уже в первых работах по стеночному удержанию плотной плазмы [23, Картина остывания горячей плазмы, когда энергетические по- потери определяются излучением из тонкого пристеночного слоя, вы- выглядит следующим образом. Слой плазмы вблизи стенки, имеющий низкую температуру, быстро остывает в результате излучения и сжимается (так как давление плазмы должно оставаться однород- 2* 19
йым). Теплопроводйость приводит к отбору теплоты у следующегб слоя плазмы, который остывает, сжимается и т. д. Таким образом, от стенки к горячей плазме распространяется волна остывания [25]. Перед волной имеется горячая плазма с температурой TQ, плотностью п0 и магнитной индукцией Во, а за волной — «остыв- «остывшая» плазма с некоторой низкой температурой Тх<€.То- Значение Тх может определяться, например, тем, что при низких температу- температурах (и соответственно больших плотностях) излучение плазмы ста- становится запертым. Конкретное значение Гх несущественно, так как все характеристики волны остывания не зависят от этой величины. Как и в предыдущем случае (см. § 1), горячая плазма Остывает в результате адиабатического расширения. Отличие состоит в том, что там поступающий в пристеночный слой конвективный тепловой поток передавался на стенку теплопроводностью, а в данном слу- случае его энергия излучается из пристеночного слоя. Для дальнейшего удобно перейти в систему отсчета, связанную с волной, где все величины не зависят от времени. Вве- Введя характерное время радиационного остывания горячей плазмы To=3rto7'o/Qro, запишем основные уравнения A.3) — A-6), добавив в уравнение A.5) потери на излучение, в безразмерных перемен- переменных у=х/(%отоI/2; и = — У(то/хоI/2; (хо — температуропроводность горячей плазмы). Плотность, температура и магнитная индукция измеряются соответственно в единицах по, То и Во. В результате из A.3) — A.6) получаем: пГ=1; B.1) пи = щ; B.2) (+u /(D, /() Qr/Qr0; B.3) dy \ dx j «fi + i-nV.a-g- = «0. B.4) Эти уравнения записаны в приближении Ро-*00. что позволяет пре- пренебречь давлением магнитного поля и магнитной вязкостью плаз- плазмы. Безразмерные теплопроводность х и термоэлектрический ко- коэффициент а задаются формулами A.15); и0 здесь — безразмерная скорость течения горячей плазмы. Такая постановка задачи имеет смысл, если полные радиационные потери определяются излучени- излучением из переходного слоя, поэтому излучением горячей и «остывшей» плазмы можно пренебречь, т. е. формально считать, что /A) =/@) = = 0. Как следует из B.3), выражение для теплового потока в плаз- плазме <7т, состоящего из теплопроводностного и конвективного слагае- слагаемых, можно представить в виде f f|rdr, B.5) так что величина и0 связана с излучением из переходного слоя 20
соотношением Основной вклад в этот интеграл дает, как будет показано ниже, область холодной плазмы с Г~Г*<1. Поэтому из B.5) следует, что при Г»7, излучение можно не учитывать и считать тепловой поток постоянным: так что при f.cT^l, когда конвективный вклад в тепловой поток мал: qT&xdT/dy=5u0. B.7) Соотношения B,4) и B.7) позволяют найти индукцию магнитно- магнитного поля. Действительно, из B.7) при условии B.1) следует посто- постоянство скорости диффузии теплоты: Ут=5ы0- Поэтому, используя введенную выше скорость теплового сноса магнитного поля Vh и равенства A.9), из B.4) получаем Я = Лг + -^-A1/Л~1; Г>7\; Б = 2/15; Т<Г1; B.8) Как и ранее, магнитное поле вморожено в плазму при ц а при более низких температурах его профиль определяется эф- эффектом Нернста. При Т=Т\ имеется скачок индукции магнитного поля. Зная магнитную индукцию и тем самым теплопроводность плазмы х, можно определить структуру волны остывания. Напом- Напомним, что B.7) справедливо только при Т>Т*. При Т<.Т* тепловой поток уменьшается из-за излучения, так что скорость VH падает и, как видно из B.4), индукция магнитного поля будет больше, чем по формулам B.8). Однако из дальнейшего следует, что излучение начинает играть роль при Т<.Т\, когда плазма уже не замагниче- на и, следовательно, магнитное поле не влияет на структуру волны. Поэтому правильное значение В можно найти задним числом, пос- после решения уравнения B.3). В незамагниченной плазме (область III) это уравнение выглядит так: dy V dy J [здесь опущен несущественный конвективный вклад в тепловой по- поток и положено f(T)=T~3/2 для тормозного излучения]. Его реше- решение с исчезающим при Г-vO тепловым потоком имеет вид х *L = y.-v.SlT'1' 2L = (i-V^r. B.9) dy dy g AT4 \ Так как qr(T=Ti) =(x ) = 5и0, то для скорости расширения \ *У /г, 21
Рис 7. Структура радиационной вол- волны охлаждения: Т — температура плазмы; В — индук- индукция магнитного поля, <?т — тепловой поток. (Пунктиром отмечена область, дающая основной вклад в потери энергии на излучение) горячей плазмы получаем [20]: Скачок индукции магнитного поля при Т=Т\ от В = 2/15 до В = = 2/15ц~1/2 приводит к тому, что при Г>7\ теплопроводность плаз- плазмы резко падает и эта область уже не вносит вклада в полное излучение. Поэтому здесь справедливы формулы B.7) и B.8), из которых можно найти профиль температуры в этой части переход- переходного слоя. Характерная ширина фронта волны остывания Ау~уь1/4. Найдем теперь магнитную индукцию при Т<ТХ. Из B.9) следует, что ско- скорость теплового сноса Vh= A5/2)uqT/Ti и много больше скорости течения плазмы и—щТ. Поэтому при T<C.Ti поле В = щ/Ун = = 27\/A52"). Примерная структура фронта радиационной волны остывания показана на рис. 7. В приведенном выше анализе подразумевалось, что степень замагниченности плазмы достаточно высока, а именно: бо»ц~3/4- При этом |Л1/2»Г1 и термоэф- термоэффекты вступают в силу в области I. Если же 60<м,-3/4, то профиль магнитного поля в фронте меняется. В этом случае В = Т~1^\—Т'/'/Т'/'У, т. е. магнитное по- поле остается вмороженным в плазму до температур 7'>7'1, а затем уменьшается при T=Ti до значения .8=2/15. Скорость расширения горячей плазмы остается, как нетрудно видеть, прежней. Обсудим теперь кратко эффекты, связанные с конечностью параметра р0 В случае сильной замагниченности, когда бо»ц~3/4, они начинают проявляться ПРИ Ро^И~'. поэтому нужно учитывать магнитное давление и конечную прово- проводимость плазмы. Поэтому вместо B.1) и B 4) получаем: xVi dB dT В области III при T<7'i решение остается прежним. Затем при Т>Т\ давление плазмы уменьшается согласно A 28) и A.29), а магнитная индукция возрастает до В=рУ". Начиная с температур Г>(х1/2, магнитное поле становится вморо женным в плазмы, так что В = п=Р^'в интервале ц'^СГсР^'1 При Т> >Р Jp1'* давление магнитного поля уже несущественно: В=и=Т-'. 22
Рис. 8. Режимы остывания плаз- плазмы с большим Р Если же 6o<\i~3/i, то конечность Ро появляется, когда ро<Ц~2/5бо''1- В этом случае вмороженность поля в плазму сохраняется до температур Т~^Ти поэтому 5=n=r-' при r>p^"v«H В=я=РоЛпри r<p^v«. В области Т~Т, тепловой снос магнитного поля и его диффузия приводят к быстрому уменьшению В до значения 6=2/15 при Г=Г1. Поскольку при Г<Г] решение не меняется, во всех рассматриваемых случаях скорость расширения горячей плазмы по-прежне- по-прежнему определяется формулой B.10). Рассмотрим теперь области применимости описанных выше раз- различных режимов остывания плазмы. Для этого удобно построить график зависимости характерного времени остывания плазменного столба т? от его радиуса R (рис. 8). При малых R (теплопровод- ностный режим) согласна A.42) Такая оценка справедлива до тех пор, пока тепловой поток на стен- стенку из-за теплопроводности плазмы больше суммарных потерь энер- энергии на излучение. Нетрудно проверить, что при R~Ri~&'o' (%oToI/2 мощность излучения из пристеночного слоя сравнивается с тепло- тепловым потоком на стенку. Поэтому при R^>Ri остывание плазмы происходит в режиме радиационной волны. В этом случае и энергетическое время жизни плазмы пропорционально лишь пер- первой степени ее радиуса. При /?~^2~бо/в (%oToI/2>#i становится существенным излучение из всего объема горячей плазмы, так что при R^>R2 время остывания плазмы порядка ее радиационного времени: xe^xq. Как уже отмечалось, для термоядерной плазмы с температурой Г—Ю4 эВ радиационное время примерно в 30 раз больше лоусонов- ского. Поэтому вопрос о том, какому режиму остывания плазмы на рис. 8 соответствует хе^хь, зависит от параметра замагничен- ности ионов 6о= При R~Ri t?~Ti~r0 !/• Отсюда следу- следует, что если плазма замагничена очень сильно, так что имеет место режим радиационной волны, а при меньших значениях (О — режим теплопроводности. Это, конечно, очень грубые 23
оценки, но, как показывают численные расчеты [26], в практически интересных для УТС случаях, когда (сощт*) 0 ~ 103—104, потери на излучение из плазмы действительно не играют определяющей роли. Рассмотренные аномальная теплопроводность и усиленные ра- радиационные потери в плазме с большим р связаны, как нетрудно видеть, с конкретной зависимостью классических кулоновских ко- коэффициентов переноса плазмы в магнитном поле от п, Т и В. Здесь существенно, что теплопроводность плазмы подавляется в горячей замагниченной плазме и увеличивается в холодных пристеночных областях. Из приведенных выше решений следует, что определяю- определяющей для этих эффектов является та область температур в присте- пристеночном слое, где происходит размагничивание плазмы. В представ- представляющих практический интерес случаях это соответствует примерно Т~102 эВ. Поэтому все результаты, относящиеся к интегральным энергетическим характеристикам горячей плазмы, оказываются не- нечувствительными к довольно сложным процессам, происходящим в холодной пристеночной плазме с температурой в несколько элек- электрон-вольт (это неидеальность плазмы, запирание излучения и т. д.). Таким образом, здесь адекватно использование уравнений переноса для полностью ионизованной идеальной оптически прозрачной плаз- плазмы, в которых наличие стенки учитывается в виде простых гранич- граничных условий для параметров плазмы и магнитного поля. Как уже отмечалось во введении, радиационная волна остыва- остывания может описывать не только потери энергии из горячей плазмы, что представляет интерес для термоядерных приложений, но и кон- конденсацию горячей плазмы на межгалактических облаках в астро- астрофизике. Задача состоит в следующем. Пусть имеется однородная горячая плазма с объемными потерями теплоты (например, из-за тормозного излучения). Как известно [27], в такой среде возмож- возможно развитие тепловой неустойчивости, когда случайное понижение температуры плазмы в каком-то месте приводит к ускорению тем- темпа охлаждения этого участка. В результате этого вся плазма раз- разбивается на отдельные области с высокой температурой (и относи- относительно низкой плотностью) и плотные холодные облака остывшей плазмы. Так как такой процесс происходит медленно в гидродина- гидродинамическом масштабе времени, то давление плазмы успевает вырав- выравниваться. Поэтому быстрое остывание плазмы в переходных обла- областях сопровождается соответствующим увеличением плотности за счет притока горячей плазмы. Другими словами, горячая плазма как бы конденсируется на холодных межгалактических облаках (рис. 9). Скорость конденсации горячей плазмы зависит как от объемной мощности излучения, так и от теплопроводности плазмы. Для плазмы без магнитного поля этот вопрос рассматривался в [28]. Так как в этом случае электронная теплопроводность плазмы у(е>соТ5/2 и сильно уменьшается в холодных областях, то основной вклад в излучение из переходного слоя вносит плазма с температу- оой Т~ТГ (несмотря на рост объемной мощности излучения с по- понижением температуры, QrcoT-3?2 для тормозного излучения). По- Поэтому скорость конденсации горячей плазмы vT не зависит от тем- 24
Рис. 9. Конденсация горячей замагни- ченной плазмы (Т=ТТ) на облаке холод- холодного газа (Т=ТЖ). (Пунктиром показа- показаны области, определяющие излучение из переходного слоя) пературы «холодного облака» Тх и по порядку равна tf-WW. B.12) где %/ и Тг — электронная температуропроводность и радиационное время для горячей плазмы с температурой Тг. Как изменится этот результат, если плазма находится в отно- относительно слабом магнитном поле, когда его давление еще мало по сравнению с тепловым (|3^>1), но плазма уже сильно замагничена, так что (юнт)е,*>1? На первый взгляд кажется, что сильное умень- уменьшение теплопроводности плазмы (теперь X±—'^e)((oHx)-2(mi/meyf* < соответствующим образом уменьшит и скорость конденсации У' (<»ят)Г1 {mtlmefl: B.13) Однако в этом случае главный вклад в потери энергии на излуче- излучение дает уже не горячая плазма с Т~ТГ, а относительно холодная область, где происходит размагничивание плазмы. Кроме того, эф- эффект Нернста приводит к уменьшению там индукции магнитного поля (и соответственно росту теплопроводности плазмы). В резуль- результате скорость конденсации горячей плазмы оказывается намного больше, чем по оценке B.13) (хотя она по-прежнему не зависит от температуры холодного облака Тх). Используя формулу B.10), выражение для ог можно записать в таком виде: ^г~(Хге>/тгI/2(юяете);г2/б. B.14) Отсюда непосредственно видно, что магнитное поле, конечно, умень- уменьшает скорость конденсации горячей плазмы [ср. с B.12)], но го- гораздо слабее, чем это следует из простой оценки B.13). Присутствие магнитного поля качественно меняет характер ре- решения и в следующем отношении. Излучение из горячей плазмы приводит к тому, что ее конденсация происходит на фоне общего уменьшения температуры. Поскольку в случае плазмы без магнит- магнитного поля скорость конденсации определяется излучением из горя- горячих областей с Т~ТТ, то стационарной волны (в строгом смысле) здесь вообще не существует и формула B.12) имеет лишь смысл качественной оценки. В плазме же с магнитным полем остывание горячей плазмы (которое происходит с характерным временем тг) представляет собой, как это видно из полученного выше решения, адиабатически медленный процесс по отношению к радиационной волне. Поэтому остывание горячей плазмы проявляется здесь лишь в том, что в выражении B.14) для скорости конденсации величины Хг, Тг и Те медленно меняются во времени. 25
3. Потери магнитного потока при обращении поля в б-пинче Ускорение диффузионных процессов в плотной плазме, подобное рассмотренной в § 1 аномальной теплопроводности в плазме с большим р,— довольно общее явление. Оно возникает при медлен- медленных (в гидродинамическом масштабе времени) магнитотепловых процессах в плазме с Р??1, когда механическое равновесие в си- системе поддерживается течением плазмы. В этих условиях скорость диффузии магнитного поля и энергии характеризуется некоторыми эффективными коэффициентами переноса, которые намного больше классических. В качестве первого примера рассмотрим задачу о формировании компактного тороида в 0-пинче. Так принято называть изображен- изображенную на рис. 10,д замкнутую плазменную конфигурацию с чисто полоидальным магнитным полем и близким к единице аспектным отношением (отношение продольного размера к поперечному). Воз- Возможность получения достаточно плотной (Р~1) плазмы ,и наблю- наблюдаемое в экспериментах [29, 30] большое время жизни таких обра- образований делает это направление одним из перспективных в работах по управляемому термоядерному синтезу. Процесс формирования компактного тороида в 0-пинче осуществляется следующим обра- образом [31]. Начальный магнитный поток вмораживается в плазму на первом полупериоде разряда тока (рис. 10,6). На этой фазе происходит диффузия внешнего поля в холодную начальную плаз- плазму, ее сжатие и нагрев. При этом из-за повышения проводимости AKXXXXXXXXXXXXXMt г) Рис. 10 Формирование компактного тороида в Э пинче [31]: а — начальная плазма; б — вмораживание начального потока и сжатие на первом полупериоде; в — инверсия внешнего поля и расширение плазмы к стенкам; г — отрыв плазмы от стенок и сжатие обращенным внешним полем; д — конфигурация компакт- компактного тороида 26
плазмы продиффундировавший в нее магнитный поток в некоторый момент «захватывается», так что дальнейшая эволюция плазменно- плазменного столба протекает в условиях вмороженного поля. На следующей фазе (рис. 10, в) происходит уменьшение индукции внешнего маг- магнитного поля с последующей инверсией его направления, причем плазма, расширяясь вместе с полем, выходит к стенке камеры. Уве- Увеличение индукции внешнего магнитного поля обратного направле- направления приводит к образованию антипараллельной магнитной струк- структуры с оторванной от стенок камеры плазмой (фаза г на рис. 10). Компактный тороид формируется затем путем пересоединения маг- магнитных силовых линий и продольного сжатия плазмы (рис. 10, д). Важной характеристикой этого процесса является магнитный поток первоначального направления, оставшийся в плазме к моменту от- отрыва ее от стенки после инверсии внешнего магнитного поля (мо- (момент t=t0TP на рис. 10). Он и определяет в конечном счете разме- размеры и дальнейшее поведение компактного тора. Метод сжатия и нагрева плазмы при обращении магнитного по- поля широко использовался еще в 60-е годы в экспериментах на 0-пинчах. Происходящие при этом потери магнитного потока рас- рассматривались в [32], где была получена оценка для максимального поля, захваченного в плазме после инверсии. При быстром обра- обращении внешнего магнитного поля плазма вместе с вмороженным в нее магнитным потоком расширяется к стенкам камеры с альф- веновской скоростью. Поэтому скорость уменьшения магнитного по- потока в плазме — 2nRBVA = — i Если инверсия поля происходит за время т, то изменение магнит- магнитного потока АФ fa xdD/dt = - Отсюда следует, что относительные потери захваченного плазмой магнитного потока невелики, если АФ<Ф~я^?25, т. е. 7Bт). C.1) Такая оценка относится, как уже отмечалось, к случаю быстрого обращения поля, когда время инверсии т меньше альфвеновского времени R/Va. В современных же экспериментах по формированию компактных тороидов в 8-пинче обращение поля происходит ква- зистатически: %^>R/Va и потери магнитного потока определяются диффузией поля из-за конечной проводимости плазмы. Однако на- наблюдаемые экспериментально [33, 34] быстрые потери захваченно- захваченного плазмой обратного магнитного потока нельзя объяснить клас- классической кулоновской проводимостью плазмы. Поэтому в этих ра- работах был сделан вывод об аномальном сопротивлении плазмы вследствие развития микронеустойчивостей в токовом слое. На са- самом же деле, как было показано в [31, 35], причиной усиления потерь магнитного потока является движение плазмы и образова- 27
R Г О p 1 \ \ \ V \ r Be Рис. 11. Распределения давления плазмы и индукции магнитного поля, соответ- соответствующие различным фазам образования антипараллельной магнитной структуры: о — вмораживание начального потока и сжатие на первом полупериоде; б —инверсия внешнего поля и расширение плазмы к стенкам, в — отрыв плазмы от стенок и сжатие Обращенным внешним полем ние вблизи стенок тонкого слоя плазмы с р~1. При этом диффу- диффузию магнитного поля удобно характеризовать некоторым эффек- эффективным коэффициентом магнитной вязкости Det, который намного превышает свое классическое значение Dc\ = c2/Dno) [35]. Потери захваченного плазмой магнитного потока (рис. 11) про- происходят на стадии Б, когда индукция внешнего магнитного поля Ве меньше ее значения в плазме Вг. Так как характерное время изме- изменения индукции внешнего магнитного поля в интересующем теперь нас случае больше альфвеновского времени, то эволюция системы происходит при однородном полном давлении: Поэтому у стенки образуется пристеночный слой плазмы с давлени- давлением пТ~В{2/(8я) и большой плотностью п>щ, где п0 — плотность однородной плазмы в центре. Такое увеличение плотности возни- возникает за счет расширения плазмы от центра к стенкам. Но так как в основном объеме плазмы магнитное поле вморожено в нее, то течение плазмы приводит к конвективному выносу магнитного поля к стенкам, что и является причиной возрастания потерь магнитного потока. Толщина пристеночного слоя с высокой плотностью плазмы ма- мала по сравнению с радиусом системы, так что задачу можно рас- рассматривать как плоскую. Пусть стенка — плоскость х = 0^ плазма находится в области х>0, а магнитное поле направлено вдоль оси z. Тогда условие равновесия плазмы и уравнения переноса можно записать в следующем виде: C.2) 28
(nv) — 0; («j.'j) 55 д / с2 5В , с n 571 г»\ /о л\ _______ — # ^^^^^ I н ____ fin I / ч и) ,, z 1 ^ ^ 1 Рл ~т ио ) » ^°*^ or од; \ Азю дх е дх J 2 4л \ 4яа их е йд: у J ' В уравнении C.2) предполагается, что в основном объеме плаз- плазмы ее давление много меньше давления магнитного поля (|3<Cl), а в энергетическом балансе плазмы C.5) последнее слагаемое в правой части учитывает поинтинговский вклад в поток энергии. На стенке (при л:=0) заданы индукция внешнего магнитного поля Ве, температура плазмы Г@)=0 и ее скорость у@)=0. Для оценки эффективного коэффициента диффузии магнитного поля Det будем считать Ве постоянным и равным по порядку индукции магнитного поля в однородной плазме В{. Здесь можно также не учитывать изменение во времени В{ и щ, что эквивалентно приближению неограниченной вдоль оси х плазмы, когда B('+oo)=Bt, a п( + оо) =ло. В реальной задаче с плазмой конечного радиуса это соответствует той стадии процесса, когда относительные потери магнитного потока еще невелики. В такой постановке эта задача имеет автомодельное решение. Введем безразмерные величины, оп- определяемые таким образом: h = B/Bi\ p = n/tio, Q = T/T0, где То= = В\2/(8пп0). В автомодельном решении h\x, t)=h(%); p(x, t) = =р(Е); 8(дс, 0=9A); »(*. t)=—(A>/OI/2«F). r*e l=x/\Dotyi\ а /)о=с2/Dя(тG'о))—магнитная вязкость плазмы с температурой То. Уравнения C.2) — C.5) переписываются теперь так: р9 + Аа = 1; C.6) 2 d\ <% I dt d$ + \ P9« + h (e-s/- J| + а Л. + &)}, C.9) где безразмерный коэффициент теплопроводности к и термоэлек- термоэлектрический коэффициент а по-разному зависят от параметров плаз- плазмы и магнитного поля в области замагниченной и незамагниченной 29
плазм" ы": к = (I); (П); (III); (ЗЛО) а = . р/(Авш/'), (I, П). §§//р, (Ш). Здесь бо=((онете) (п0, То, ц/ Возрастание потерь магнитного потока выражается в том, что скорость натекания однородной плазмы и( + оо)=и0^1. При этом можно пренебречь левыми частями уравнений C.8) и C.9), так как f- .) 2 |_ dh 2 и считать постоянным поток магнитного поля и поток энергии: n_v, dh , dQ dQ dh uh = ы0; о = щ. C.11) C.12) Из условий C.11) и C.12) и уравнения C.6) можно найти про- профили температуры плазмы, ее плотности и индукции магнитного поля в пристеночном слое, куда «о входит как неизвестный пока параметр. Для определения и0 нужно воспользоваться уравнением непрерывности C.7), из которого после интегрирования следует, что C.13) (это означает, что натекающая с бесконечности со скоростью и0 плазма накапливается в пристеночном слое). Рассмотрим сначала уравнения C.11) и C.12) в незамагничен- ной плазме у стенки (область III). Так как внешнее магнитное поле he<.\, то у стенки давление плазмы р0~1. При этом основной вклад в потоки энергии и магнитного поля вносят теплопроводность и магнитная диффузия: dQ c2ns/s dQ . л—,з/ dh /n i л\ х = оо0 -~«0; 9 ^ "о- C-14) d| d| d\ Отсюда следует, что ?~6о2«^'07''2, a dh'~6o2Q4dQ. Это решение спра- справедливо при 0 < 0Х~ 8~г/\ где происходит замагничивание электро- электронов, а индукция магнитного поля возрастает на Л/г— 1- При 0>0j
происходит переход в область П, где электроны уже замагничены (о)нете>1), а ионы еще нет (сон;т4<1). Тогда уравнения C.11) и C.12) можно записать, используя C.6) и C.10), в таком виде: = °h т. е. C.15) Поэтому в области II при изменении температуры Дб — Gi давление плазмы падает от значения р8~1 до р0~|А1/2 (здесь происходит переход от плазмы с р~1 к плазме с р*<1). В замагниченной плазме (область I) из C.11) и C.12) следует, что давление ее быстро уменьшается при почти постоянной темпе- температуре 8~0ь — din (рб)/dlnG~(j,-1/2>l. Так происходит до тех пор, пока плотность плазмы рЗ>1. При р~1 температура достигает своего максимума 9max~6i, а затем уменьшается при удалении от стенки по закону б — ц-^2!-2 (здесь р = А=1). Качественный ха- характер полученного решения показан на рис. 12. Теперь, зная структуру пристеночного слоя, можно вернуться к уравнению C.13) для определения и0. Нетрудно убедиться, что основной вклад в этот интеграл дает та область пристеночного слоя, где параметр замагниченности электронов сояеТе~1 и р8~1: ft dp 'e,72'-W- Поэтому для величины и0 оказывается справедливой такая оценка: «о"~8 '* ^> 1.Это означает, что вынос магнитного потока из плазмы происходит с эффективным коэффициентом магнитной диффузии Интересно отметить, что Dei вообще столкновений в плазме. Поэтому такая оценка верна не только для a eh1 плазмы с парными кулоновски- ми электрон-ионными столкнове- столкновениями, но и в случае аномально- аномального сопротивления плазмы (слабая зависимость скорости потерь маг- магнитного потока от частоты рассея- рассеяния электронов подтверждается и результатами проведенных в [36] численных расчетов). Здесь можно провести аналогию с ударными Рис. 12. Структура пристеночного слоя при обращении внешнего магнитного поля -cBi/Dnn0e). C.16 не зависит от частоты)
волнами в газодинамике [18], где толщина ударной волны уста- устанавливается такой, чтобы обеспечить нужную диссипацию. В на- нашем же случае проводимость и теплопроводность плазмы регулиру- регулируют ширину токового слоя так, чтобы приносимый течением плазмы магнитный поток мог продиффундировать на стенку. Очевидно, что при формировании конфигурации с обращенным магнитным полем потери начального магнитного потока будут не- невелики, если характерное время т изменения внешнего поля удов- удовлетворяет такому условию: т < тЛ ~ R*/Def ~ AnnfWicBi) ~ ~ (-^-) • C.17) Отсюда следует, что при заданных R и т относительные потери магнитного потока возрастают при увеличении индукции магнит- магнитного поля и уменьшении плотности плазмы (такой же вывод был сделан в [31] на основе численных расчетов изменения магнитного поля в плазме). Представляет интерес и другая постановка вопро- вопроса, когда оценивается максимальная индукция магнитного поля, захваченного в плазме после инверсии [32]. Тогда из C.17) следу- следует, что В < В^ « 4nneR2/(ez) да BQ.N BRapi/c). C.18) Сравнивая этот результат с формулой C.1), можно увидеть, что при квазистатическом обращении максимальная индукция магнит- магнитного поля в плазме увеличивается в 2R(opi/c раз (в условиях экс- экспериментов [29, 30] это примерно на порядок). 4. Генерация сверхсильных магнитных полей при сжатии плазмы лайнером Задача, во многом аналогичная рассмотренной выше, возникает при исследовании возможности получения сверхсильных магнит- магнитных полей при сжатии плазмы с магнитным полем лайнером. Хо- Хорошо известно, что один из наиболее распространенных способов генерации импульсных магнитных полей мегагауссного диапазо- диапазона — сжатие магнитного потока хорошо проводящей цилиндриче- цилиндрической оболочкой (лайнером) [37]. Максимальные магнитные поля, полученные таким методом, лежат в пределах 103 Тл, причем од- одним из основных лимитирующих факторов здесь является разруше- разрушение токового скин-слоя. Дело в том, что в металлических провод- проводниках коэффициент температуропроводности много меньше магнит- магнитной вязкости (примерно на два порядка). Поэтому выделяющаяся в единице объема скин-слоя из-за джоулевых потерь энергия В2/(8л) не успевает выноситься из скин-слоя, и при ?~103 Тл происходит тепловой взрыв проводника. Недавно [38] был предло- предложен несколько иной способ достижения сверхсильных полей, поз- позволяющий, по мнению авторов, обойти эту трудность и продвинуть- продвинуться в область магнитного поля порядка 104 Тл. Суть его состоит в быстром сжатии лайнером плазмы с вмороженным начальным 32
Рис. 13. Йрофили давления й ин- индукции магнитного поля при сжа- сжатии плазмы лайнером р в V V 1 1 1 1 1 1 I —1— р\ В v=^ 1 v Л магнитным полем. При этом усиление магнитного поля происходит за счет токов, индуцируемых в плазме (так что лайнер может быть вообще непроводящим). Предполагается, что магнитное поле будет сжиматься вместе с плазмой, если выполнено условие: Rem = R(t)u(t)/Dm(t)>l, D.1) где Rem — магнитное число Рейнольдса; Я — радиус лайнера; и — радиальная скорость сжатия; Dm — магнитная вязкость плазмы, равная c2/Dna(t)); о — проводимость плазмы. Если в начальный момент времени (до сжатия) тепловая энергия плазмы меньше энергии магнитного поля (Po=&t«o7V^o2<^l; до, То — начальные плотность и температура плазмы, а Во — начальное магнитное по- поле), то при условии D.1) кинетическая энергия лайнера переходит в энергию магнитного поля. Для достижения сверхсильных магнитных полей в такой схеме важно обеспечить выполнение неравенства D.1) в момент наи- наибольшего сжатия, когда скорость потерь магнитного потока макси- максимальна. В своем предложении авторы работ [38] существенно ис- используют здесь то обстоятельство, что при сжатии плазмы проис- происходит ее адиабатический нагрев, приводящий к быстрому увеличе- увеличению проводимости плазмы (сгсо Т3'2 coR~2). Это и позволяло, со- согласно проведенным в [38] оценкам, обеспечить сохранение маг- магнитного потока в плазме (и тем самым получить сверхсильнре магнитное поле) при вполне достижимых скоростях лайнера (ы~ ~10« см/с). Однако, как отмечено в [39], при сжатии плазмы низкого дав- давления (Р<С1) потери магнитного потока происходят гораздо быст- быстрее, чем по простым оценкам, основанным на обычной кулоновской проводимости плазмы. Дело в том, что представляющие практиче- практический интерес скорости сжатия плазмы много меньше алфвеновскои скорости, поэтому процесс является адиабатическим и полное дав- давление в системе успевает выравниваться: При сжатии индукция магнитного поля в центре становится боль- больше, чем у стенки лайнера (для непроводящего лайнера магнитное поле на нем вообще не меняется и остается равным своему началь- 3 Зак. 1441 33
ному значению). Это приводит к выталкиванию плазмы к стенкам лайнера и образованию там пристеночного слоя плазмы с давлени- давлением nT~Bi2/(8n) и большой плотностью я»я,- (Bf и nt — индукция магнитного поля и плотность однородной плазмы в центре). Каче- Качественный вид профилей магнитного поля и давления плазмы при этом показан на рис. 13. Такое перераспределение плотности под- поддерживается течением плазмы от центра к стенкам. Так как в ос- основном объеме плазмы магнитное поле вморожено в нее, то тече- течение приводит к конвективному выносу магнитного поля к стенке. В то же время поток плазмы сжимает токовый слой у стенки на- настолько, что приносимый конвекцией магнитный поток уходит на стенку за счет конечной проводимости плазмы. В результате для обеспечения эффективного сжатия магнитного поля нужно выпол- выполнение условия, значительно более жесткого, чем D.1): где Z)ef — эффективный коэффициент магнитной вязкости, который много больше своего классического значения Dci = c2/ Dжг). Для грубой оценки темпа потерь магнитного потока из плазмы можно воспользоваться результатами, полученными в предыдущем разделе. Тогда согласно C.16), Ое1~сВ{/Dпп{е). Зная скорость магнитной диффузии, рассмотрим теперь возможность получения сверхсильных магнитных полей таким способом. При этом бу- будем ориентироваться примерно на те же параметры системы, что и в [38]. Так как при сжатии в области вне пристеночного слоя магнитное поле вморожено в плазму (В;/л, = const= Бо/"о), то Dei~cBQ/DKtioe). Поэтому выгодно повышать плотность плазмы п0. В то же время значение яо ограничено сверху условием малости давления плазмы по сравнению с давлением магнитного поля. Так, при В0^50 Тл и Г0~30 эВ значению ро= 16яиоГо/5о2;:аО,3 соответ- соответствует ло = 3-1О19 см~3. При этом Def~105 см2/с При сжатии плаз- плазмы ОТ Ro—lO'1 CM ДО Rk~№~2 CM (чему СООТВеТСТВует ?тах~ «*5-103 Тл) эффективное магнитное число Рейнольдса в момент наибольшего сжатия Reef = RKu/Del~\0~7u см/с. Таким образом, для обеспечения Reef~3 требуются скорости сжатия на уровне и~ »3-107 см/с, что примерно на порядок больше значений, на кото- которые ориентировались в работе [38]. Задача об эволюции магнитного поля в плазме, адиабатически сжимаемой лайнером, допускает и более детальное аналитическое решение. Основано оно на том, что толщина пристеночного слоя, где существенна неоднородность плазмы, мала по сравнению с ее радиусом. Поэтому изменение во времени параметров занимающей основную часть объема однородной плазмы можно находить из простых уравнений баланса частиц и магнитного потока. Для по- получения этих соотношений нужно знать структуру пристеночного слоя, которая описывается уравнениями C.2) — C.5). Отмеченное выше сильное сжатие пристеночного слоя приводит к тому, что в уравнениях C.4) и C.5) можно пренебречь левыми частями, т, е. 34
считать постоянными полные потоки магнитного поля й энергии: с2 дВ с Q дТ . D D ,. п\ q ^ + vB VB A2) qw^-K^~-f^^- + ±nTv + ^-viBi=^-vi, D.3) дх Але п дх 2 4л 4я где Vi — скорость втекания однородной плазмы в пристеночный слой. Вместе с условием C.2) уравнения D.2) и D.3) определяют структуру пристеночного слоя. Нетрудно видеть, что они совершен- совершенно аналогичны соотношениям C.11) и C.12). Отличие состоит в том, что полученное выше автомодельное решение соответствует случаю Bt = const, когда все пространственные масштабы растут пропорционально /1/2, а скорость соответственно уменьшается как tr112. Теперь же из-за сжатия плазмы и изменения индукции маг- магнитного поля в ней временная зависимость масштабов длины и ско- скорости становится более сложной, но автомодельный характер реше- решения сохраняется. В частности, профили плотности плазмы, ее тем- температуры и индукции магнитного поля в пристеночном слое оста- остаются такими же, как показано на рис. 12. Для дальнейшего удобно записать магнитный поток D.2) в та- таком виде: qH = aDmBlR, DЛ) где а — некоторый численный коэффициент, причем а>1. Это соот- соответствует толщине пристеночного слоя A~R/a. Тогда для магнит- магнитного потока в плазме <& = nR2B можно записать такое уравнение dfDIdt = — 2nRqH = — 2naDmB. D.5) Еще одно условие следует из баланса числа частиц между одно- однородной плазмой и пристеночным слоем. Представление qH в виде D.4) означает, что скорость расширения плазмы v = qn/B = a,Dm/R. Поэтому число части в пристеночном слое Л^д изменяется по закону dNjdt = 2nRvn = 2nanDm. D.6) Так как решение остается автомодельным, то для нахождения свя- связи величины Л^д с параметрами однородной плазмы можно восполь- воспользоваться уже описанным выше решением уравнений C.11) и C.12). Отсюда следует, что ЛГд « п^п ((оНех,)/а. D.7) Теперь, зная закон сжатия плазмы R(t) и учитывая вмороженность магнитного поля в однородную плазму: В/п — const, из уравнений D.5) — D.7) можно найти временную зависимость индукции маг- магнитного поля в плазме B(t). Пусть в начальный момент времени имеется однородная плазма с плотностью п0, магнитной индукци- индукцией Во и радиусом Ro. Введем безразмерные величины x = tu/Ro', r(x)=R/R0: *(т)=Ф/(лЯо2Яо); у(х) =NA/(nR02n0), где и — харак- 2* 35
10 Bit) 10 ,2- oo so. /, Рис. 14. Изменение индукции магнит- магнитного поля в плазме при ее сжатии лайнером, движущимся с постоянной скоростью, для различных значений эффективного магнитного числа Рей- нольдса Re^ Ог6 о,Ч терная скорость лайнера. В этих переменных уравнения D.5) — D.7) можно записать в следующем виде: dx/dx = - A/ReiV) xW2y)\ D-8) dy/dx = {l/Re^) xV(r2y), ?) — начальное эффективное магнитное поле Рейнольдса, причем равное Re<?> = RpU D.9) ¦no (wneTe)o Как видно из D.8), сумма x+i/ = const, а так как в начальный мо- момент времени х=\, а у=0, то у=\—х. С учетом этого первое из уравнений D.8) легко интегрируется: 1 , , , 1 с dx На рис. 14 показано изменение магнитного поля в плазме при ее десятикратном сжатии по радиусу в случае лайнера, движущегося с постоянной скоростью, т. е. для г(т) = 1—т. Как видно, для эф- эффективного сжатия магнитного потока и усиления индукции началь- начального поля на два порядка требуется, чтобы Re?f было примерно 30. Это означает, что при Ro^lO-1 см, ?0~50 Тл и при Ло^З-1019 см~3 необходима скорость сжатия «=»5-107 см/с. Следует здесь отме- отметить, что при учете замедления лайнера на конечной стадии сжатия требования к его начальной скорости могут быть еще более жест- жесткими. 5. Быстрая диссипация энергии магнитного поля в нейтральном слое Еще одной иллюстрацией взаимного влияния теплопроводности и диффузии магнитного поля в плотной плазме является задача о быстрой диссипации энергии магнитного поля в нейтральном слое. Токовые слои в области нулевого магнитного поля в плазме 36
Рис. 15. Структура нейтрального слоя в плазме без учета тепловых процессов (а) и с учетом теплопроводности плазмы (б) играют важную роль в астрофизике и физике лабораторной плазмы. В них может происходить мощное выделение запасенной в магнитном поле энергии, проявляющееся, на- например, в солнечных вспышках [40]. Диффузия магнитного поля через нейтральный слой может определять время существования плазменных конфигураций с обращенным маг- магнитным полем, представляющих ин- интерес для термоядерных исследова- исследований [41]. Основной проблемой, воз- возникающей при попытках объяснить возникновение вспышек на Солнце, является скорость энерговыделения. Дело в том, что из-за высокой проводимости горячей плазмы вре- время, необходимое для выделения типичной для вспышек энергии за счет обычной джоулевой диссипации энергии магнитного поля, на много порядков больше наблюдаемого. Поэтому для объяснения механизма солнечных вспышек привлекается явление пересоедине- пересоединения магнитных силовых линий вследствие развития в плазме ней- нейтрального слоя разрывной (tearing) неустойчивости [42]. Однако, как отмечено в [43], скорость диссипации энергии магнитного по- поля может существенно возрасти даже в рамках простейшей одно- одномерной модели, если наряду с омической диссипацией учесть вы- вынос энергии из нейтрального слоя за счет теплопроводности плаз- плазмы и ее излучения. Обычная оценка скорости диффузии магнитного поля в ней- нейтральном слое, проведенная без учета тепловых процессов, выгля- выглядит так. Пусть в плазме с плотностью по имеется магнитное поле Bz, равное Во при х>0 и —Во при х<0. Вне токового слоя давле- давление плазмы предполагается пренебрежимо малым по сравнению с давлением магнитного поля. В самом нейтральном слое энергия магнитного поля идет на джоулев нагрев электронов, температура которых становится равной Т0~В02/(8ппо). При этом толщина то- токового слоя Ах увеличивается по закону Дх~ (D0tI/2, где Д>= = с2/Dясто) —коэффициент магнитной вязкости, определяемый про- проводимостью плазмы Оо=аG1о) (рис. 15,а). Как уже отмечалось, из-за высокой проводимости горячей плазмы вычисленная таким образом скорость диссипации энергии магнитного поля гораздо меньше наблюдаемой. Рассмотрим теперь влияние выноса теплоты из нейтрального слоя на мощность джоулева нагрева плазмы. Такой вынос может быть связан, в частности, с теплопроводностью, так как в изотер- изотермической (Tit**Te=T) замагниченной плазме коэффициент попереч- 37
ной температуропроводности %х~г2т\( [17] при пТ~В2/{8п) в (m.i/meyi2 раз больше магнитной вязкости. Запишем уравнения переноса плазмы, опустив все несуществен- несущественные для этой задачи слагаемые: пТ + Вг/(8п) = Bl/(8n); dt дх \ Ana дх J дТ , 'В dt V 2 ^ 1Л ' дх \ Х дх ^ 4я V 4яа Эх Эти уравнения имеют автомодельное решение, так что все величи- величины зависят только от переменной l=x/(D0tI/2. После введения безразмерных величин В(х, t)=B0B(l); n(x, t)=non(l); T{x, t) = = 7*0^A); v(x, t) = (D0/01/2 v{%) основные уравнения можно пере- переписать в таком виде: п t dB _ 2 dt ( _1/г Г в2 ~2~~ Т + В* = 1; "i"(r~3/2"f" га2 dT . В i Т1/» dl 4 ' d/г d / ч -х- =-—(w), d? dE — ов) ; v ^ -vB)Y> E.1) E.2) E.3) E.4) где A=т8/т(<1. Большая теплопроводность плазмы качественно меняет харак- характер решения (рис. 15,6). Оно становится двухмасштабным: харак- характерный масштаб изменения магнитного поля |н много меньше тем- температурного масштаба |т. При этом температура плазмы в ней- нейтральном слое значительно уменьшается: Г*<;1. Тогда из условия баланса давлений E.1) сразу следует, что в нейтральном слое про- происходит сильное сжатие плазмы до плотности га*~Гг1Э>1. Это сжа- сжатие обеспечивается натеканием плазмы с периферии к нейтрально- нейтральному слою со скоростью v0. Порядок параметров Г*, |т, |н и vo можно определить из следующих соображений. Приносимая в нейтраль- нейтральный слой течением плазмы магнитная энергия переходит там в теп- тепло и выносится из нейтрального слоя за счет теплопроводности плазмы. Поэтому температура плазмы Г* и масштаб ее изменения |т устанавливаются такими, чтобы теплопроводностный поток теп- теплоты был одного порядка с пойнтинговским потоком энергии: И-v,771/2 -J - f-v. tJ'lV1 - fleB2- v0. E.5) Еще одно соотношение следует из закона сохранения энергии. Так, 38
интегрируя по | уравнение E.3), получаем, что ig = V4 или Т*Ът:~Щ E-6) -¦И' (здесь учтено, что тепловая энергия плазмы сосредоточена на мас- масштабе |т, где плотность плазмы я~1). Так как вне нейтрального слоя с толщиной |н магнитное поле вморожено в плазму, то вместе с потоком плазмы к нейтральному слою приносится магнитный поток, равный v0. В самом нейтраль- нейтральном слое, где скорость плазмы падает, аннигиляция встречных магнитных потоков происходит в результате магнитной диффузии, поэтому Последнее условие следует из уравнения непрерывности E.4) и оз- означает, что натекающий поток плазмы накапливается в нейтраль- нейтральном слое: i]^dl~ni?H~T-%H~vQ. E.8) о Таким образом, из E.6) — E.8) получаем: 7V~,iV.; gfl~,x-V..; E,~n-V,., 1>O~H,-V". E.9) Отсюда следует, что аннигиляция магнитных потоков происходит с эффективным коэффициентом магнитной диффузии Def ~ vlD0 ~ \Tb'"D0» Do. E.10) Отметим, что усиление диссипации энергии магнитного поля связа- связано не только с падением температуры плазмы (и соответствующим уменьшением проводимости) в нейтральном слое (это видно хотя бы из того, что Dei^>D(T*) ~T~'12), но и с сильным сжатием ней- нейтрального слоя потоком натекающей на него плазмы {^я <^ DlJ*). Как следует из E.10), в водородной плазме кулоновская ионная теплопроводность увеличивает эффективную магнитную вязкость плазмы примерно на порядок. Эффект может быть значительно сильнее в случае аномально большой теплопроводности (напри- (например, из-за плазменной турбулентности). Приведем соответствую- соответствующую оценку для бомовской теплопроводности плазмы, когда xj_~ ~псТ/(еВ). Тогда вместо условия E.5) имеем: ас, а о§ откуда, используя E.6) — E.8), получаем, что в этом случае Аг-ЯоКЛ)^'»^- E.11) 39
Еще одним источником выноса теплового потока из нейтрально- нейтрального слоя является излучение плазмы. Остановимся здесь на случае, когда главную роль играют тормозные потери, так что объемная мощность излучения Qrad~ n?Tl/2. Полная мощность радиационных потерь возрастает с увеличением толщины нейтрального слоя и при Дя— ( Trad ) (где trad~nr/Qrad — характерное радиацион- \ 41Ю / ное время) сравнивается с энергией джоулева нагрева плазмы. Пос- После этого теплопроводность плазмы уже не играет заметной роли и джоулева диссипация в нейтральном слое компенсируется излуче- излучением. Проводимость плазмы аооТ3/2, а в случае тормозного излу- излучения и время trader3/2 при заданном давлении плазмы пТ~ ~В02/{8л), поэтому толщина нейтрального слоя остается уже по- постоянной. Приток же плазмы в нейтральный слой приводит к росту плотности (и соответственно уменьшению температуры плазмы) Axdn/dt~>nov. E.12) Из условия энергобаланса vB02/ Dя) ~ QradA* следует, что скорость втекания плазмы в нейтральный слой E.13) Тогда из E.12) и E.13) следует, что 1/3. E.14) Таким образом, аннигиляция встречных магнитных полей приобре- приобретает в этом случае взрывной характер, и скорость этого процесса может стать порядка альфвеновской скорости за время, равное нескольким радиационным временам. Такой характер эволюции нейтрального слоя сохраняется и для других типов радиационных потерь. Так, быстрый распад плазмен- плазменной конфигурации с обращенным магнитным полем, вызванный ростом излучения из плазмы при ее загрязнении примесями, на- наблюдался в экспериментах [41]. 6. Диффузия тяжелых примесей в плотной плазме Хорошо известно, что для стационарных термоядерных устано- установок, основанных на принципе магнитного удержания разреженной плазмы, серьезной проблемой является загрязнение водородной плазмы примесями [44]. Связано это с тем, что, с одной стороны, даже небольшая (порядка 1 °/о) добавка тяжелых многозарядных ионов приводит к катастрофическому возрастанию радиационных потерь. С другой стороны, примеси с большим зарядом Z затяги- затягиваются электрическим полем в плазму, так что их концентрация Я в стационарных условиях максимальна в центре плазмы [17]: уп/п = Z^/nJn. Так как при немагнитном удержании плазмы с 0>1 вследствие 40
испарения стенок камеры происходит образование тяжелых ионов с зарядом Z>1, то для оценки их влияния на характеристики го- горячей плазмы важно знать глубину проникновения тяжелых при- примесей и распределение их плотности в плазме. Естественно начать исследование этого вопроса с простейшего случая, когда плотность примесей относительно невелика, так что параметры плазмы мало меняются из-за их присутствия. При этом движение примесей можно рассматривать как диффузию пробных частиц в плазме, параметры которой определяются уравнениями переноса, записанными в отсутствие примесей [45]. Пусть в плаз- плазме имеется один сорт примесных ионов с заданным зарядом Z. Их массу будем считать много большей массы ионов плазмы. В ре- результате частых столкновений тяжелых ионов с ионами плазмы функция распределения примесей по скоростям будет близка к максвелловской с температурой Т, равной температуре плазмы в данной точке. Это позволяет использовать здесь гидродинамиче- гидродинамическое приближение. Движение примесей происходит в плоскости по- поперечного сечения плазменного цилиндра. Плотность примесей обо- обозначим п, а компоненты их массовой скорости vr и йф. Так как диф- диффузия—медленный процесс, то в уравнениях движения примесей инерцией можно пренебречь ^^ Rer + Rir=O; F.1) ZTie (?ф -^fi)+^ + #,ф = 0. F.2) Здесь Ет и Еу — компоненты напряженности электрического поля в плазме, a Re и R, — силы, действующие на тяжелые ионы в ре- результате их кулоновских столкновений с электронами и ионами плазмы. В силу аксиальной симметрии задачи все параметры плаз- плазмы зависят только от радиуса и времени. Функции n(r, t), T(r, t), В (г, t), Er(r, t), ?ф(г, t) и V(r, t) (где V — радиальная скорость течения плазмы) предполагаются известными из решения уравне- уравнений переноса чистой плазмы. Перейдем теперь к вычислению сил Re и Rj( связанных со стол- столкновениями. Они возникают как из-за относительного движения ча- частиц различных сортов, так и вследствие искажения максвелловско- го распределения по скоростям электронов и ионов плазмы, связан- связанного с неоднородностью параметров плазмы. Рассматривая тяже- тяжелые ионы как пробные частицы, можно пренебречь их влиянием на функции распределения электронов и ионов плазмы. Тогда элек- электронная составляющая силы трения Re получается простым обоб- обобщением приведенных в [17] выражений для силы взаимодействия электронов и ионов в водородной плазме: ReT = 14 \meve {V -~vr) + б5 *L + 64meve«) ; F.3) — me\~vv + bjm^ju + 82 — j, F.4) 41
где ve — электронная частота столкновений; и=(с/Аппе)дВ/дг — азимутальная токовая скорость электронов, а 6,42*2 + 1,84 = 1 : ". °2 = Де 2,68 Ае = х\ + 14,79^2 + 3,77; хе = aHe/ve, F.5) где а>не — еВ/(тс) —электронная циклотронная частота. Здесь предполагается, что в плазме отсутствует вращение, так что азимутальная составляющая скорости ионов плазмы равна ну- нулю. Учет вращения плазмы никак не влияет на радиальную диффу- диффузию примесей, поэтому мы и ограничимся только этим случаем. Если масса примесных ионов много больше массы ионов плазмы, то ионная составляющая силы трения Rs не зависит от искажения функции распределения по скоростям тяжелых ионов, так что масса последних вообще не входит в задачу. Поэтому вклад в Rf, связан- связанный с относительным движением двух сортов ионов, можно напи- написать сразу: WUt(V—l>rY, F.6) где т, — масса ионов плазмы. Специальное вычисление необходимо лишь при определении термосилы R[r), действующей со стороны ионов плазмы на приме- примеси. Дело в том, что при вычислении «обычной» электрон-ионной термосилы искажение функции распределения электронов, вызван- вызванное градиентом температуры, определяется как электрон-электрон- электрон-электронными, так и электрон-ионными столкновениями. В нашем же случае соответствующая поправка к функции распределения по скоростям ионов плазмы связана только с ион-ионными столкновениями. Ре- Результат получается следующим (вычисления приведены в приложе- приложении): 6eVj_r - б7 [h x \T]}; + 0,38 ш g l,5*?+0,74x, . j = x* + 1,35*? + 0,17; xt = <o№/v,; h = Ъ/В. ) Входящую в уравнения F.1) и F.2) напряженность электрического поля можно выразить через параметры плазмы п, Т, V и индук- индукцию магнитного поля В, используя уравнения движения для 42
электронов и ионов: -f [ve X В]} + Rei = 0; + tie {E + -L [V X B]J- Rei = 0 F.8) и учитывая, что направленная скорость электронов ve=V—]/(пе). Тогда из F.8) и F.5) следует, что дВ n dr Anne dr = еВ с mevPc дВ Аппе дг дВ s б2 -s6 дТ dr дТ F.9) Зная теперь все действующие на тяжелые ионы силы, из уравнений F.1) и F.2) можно найти скорость их течения, а из уравнения не- непрерывности - F.10) распределение по радиусу плотности примесей n(r, t). Прежде чем приводить получающиеся здесь решения, обсудим некоторые общие свойства движения тяжелых многозарядных ионов в неоднородной плазме. Начнем с самого простого случая, когда в неподвижной замагниченной плазме с однородной температурой имеется градиент плотности. Тогда, как это следует из уравнений F.1) и F.9), радиальное электрическое поле затягивает примеси внутрь плазмы, так что в равновесии их концентрация удовлетво- удовлетворяет хорошо известному [17] соотношению: д In n F.11) д Inn dr дг т. е. плотность примесей имеет резкий максимум в центре плаз- плазменного столба. Картина, однако, становится более сложной, если в плазме имеется градиент температуры, так что на примеси дей- действуют дополнительные силы — термосилы R(eT) и Rir). Так как значение и направление термосилы существенно зависят от соот- соотношения между циклотронной частотой и частотой столкновений частиц, то результат оказывается разным для незамагниченной (<онт<1) и сильно замагниченной (сонт>1) плазмы. В последнем случае главную роль играет составляющая ионной термосилы Rir\ поперечная к магнитному полю и градиенту температуры [см. фор- формулу F.7)] R<r>~ Z2n [h x \T], F.12) которая приводит к выталкиванию примесей из горячей плазмы [45—47]. Этот эффект получил название температурной экрани- 43
ровки примесей. Механизм его следующий. Под действием термоси- термосилы F.12) тяжелые ионы приходят в движение относительно плаз- плазмы, причем их скорость v устанавливается такой, чтобы возникаю- возникающая сила трения об ионы плазмы компенсировала действие термо- термосилы: 3 Z,^ti Z^titri • v — *^ [п х v7j — = 0, т. е. v = о~5" [h ) 2 (WfrtT0 T* В результате этого движения на ионы примеси действует сила Ло- Лоренца, выталкивающая их из горячей плазмы: F.13) С учетом этого для равновесной концентрации многозарядных (Z^>1) примесей вместо уравнения F.11) получается следующее условие: d Inn fdlnjnT) 3 Э1пГ Отсюда видно, что если в плазме с малым р суммарный эффект за- зависит от соотношения градиентов температуры и плотности, то в плазме с большим р, когда д(пТ)/дг^0, тяжелые примеси вытал- выталкиваются из горячей замагниченной плазмы. Наоборот, в нрчдмяг- ниченной плазме, когда параметр ©нт<1, электронная и ионная составляющие термосилы, как видно из формул F.3) и F.7), од- одного порядка: и направлены так, что затягивают примеси в область более горя- горячей плазмы. Отсюда следует, что образующиеся у стенок камеры тяжелые ионы стремятся сконцентрироваться в области холодной пристеночной плазмы, где параметр замагниченности ионов плаз- плазмы (UHiti ~ 1. Вернемся теперь к решению уравнений F.1), F.2) и F.10) для распределения плотности примесей. Поскольку в общем случае формулы довольно громоздки, приведем результат для многоза- многозарядных ионов, когда Z^>1. В этом случае радиальную составляю- составляющую скорости примесей vr можно представить в виде: vT = V-D-L-§-, F.15) где D = T%i/'Z2m.i(\'+а>2Н1Хг2/'Z2) —коэффициент диффузии примесей, а V—величина, определяемая равенством V-V + 0 + 44
0,9 Г Рис. 16. Радиальные распределения плотности п, температуры Т и скоро- скорости плазмы У при ее нагреве мощ- мощным релятивистским электронным пучком через 2,Ы0~5 с после начала нагрева (л=1,6-1018 см-3; Т=4 кэВ; В=7 Тл; V=2-104 см/с; #=1,2 см) Рис 17. Радиальное распределений: плотности п. примесей с зарядом Z—3 и эффективной скорости среды V че- через 2,1-10~5 с после начала нагрева плазмы Таким образом, движение примесей представляет собой диффузию с ко- коэффициентом D в среде, движущей- движущейся со скоростью V, которая, как это следует из F.16), не совпадает со скоростью течения плазмы У. Это приводит к особенностям в распре- распределении по радиусу плотности при- примесей п(г). Действительно, рассмотрим вы- выражение F.16) для эффективной скорости V. Сравнение входящих сю-Рис. 18. Радиальное распределение да слагаемых показывает, что вбли-плотности я примесей с зарядом Z= зи стенки главным оказывается по-Г10 и эффективной скорости среды следний член в правой части F.16),; ечве.Рез 2>Ь1°-5 с после начада на- связанный с действием на примесигрева термосилы. Так как у самой стенки, где плазма не замагничена, термосила затягивает примеси, там эффективная скорость V на- направлена внутрь плазмы (F<0). В замагниченной же плазме примеси выталкиваются. Поэтому на некотором малом расстоянии от стенки a{a<giR) эффективная скорость обращается в нуль, а за- затем меняет знак и становится направленной от центра к стенке ) В качестве простейшей модели образования примесей рассмот- рассмотрим ситуацию, когда их плотность у стенок не зависит от времени. 45
Ё этом случае нетрудно представить вид функций п(г) при указан- указанном выше виде эффективной скорости 9(г). Поскольку плазма у стенки имеет высокую плотность и низкую температуру, коэф- коэффициент диффузии примесей D здесь мал. Поэтому почти во всем промежутке от стенки до точки остановки! в выражении F.15) для vr можно пренебречь диффузионной скоростью. Так как параметры плазмы меняются медленно по сравнению со временем, в течение которого тяжелые ионы со скоростью V пройдут расстояние а от стенки, то можно считать, что в каждый момент времени распреде- распределение плотности примесей по радиусу Я (г) близко к стационарному решению уравнения непрерывности F.10), т. е. псо?-1. Только у самой точки остановки необходимо учитывать диффузию. Таким образом, плотность примесей растет от стенки до точки остановки, где она имеет резкий максимум. При дальнейшем уда- удалении от стенки Я быстро уменьшается. Эти качественные сообра- соображения подтверждаются приведенными на рис. 16—18 результатами численного интегрирования уравнения диффузии примесей совмест- совместно с уравнениями переноса плазмы с р^>1. Из рисунков видно, что хотя плотность примесей и имеет резкий максимум в пристеночном слое, их проникновение в объем горячей плазмы сильно подавлено. 7. Радиационная неустойчивость многокомпонентной плазмы Рассмотрим специфическую радиационную неустойчивость, воз- возникающую в водородной плазме с примесью тяжелых ионов. Хотя обычно присутствие в плазме примесей нежелательно (так что за- задача состоит в уменьшении потока примесных ионов со стенок или их эффективном удалении из плазмы), в некоторых случаях тяже- тяжелые многозарядные примеси могут играть и полезную роль. Так, с их помощью можно изменять частоту кулоновских столкновений частиц и тем самым коэффициенты переноса в плазме. В плазме с термоядерным энерговыделением излучение на примесях может быть использовано для стабилизации различных тепловых неустой- чивостей. Как для защиты плазмы от примесей, так и для их по- полезного использования важно знать характер движения примесей в плазме и распределение их плотности. В этой связи в [48] было обращено внимание на возможность разбиения первоначально од- однородной многокомпонентной плазмы на отдельные сгустки с боль- большой концентрацией примесей. Такое разбиение происходит в ре- результате радиационной неустойчивости, связанной с обсуждавшим- обсуждавшимся выше эффектом температурной экранировки примесей. Пусть имеется однородная плазма с температурой Т, состоя- состоящая из двух сортов ионов: легких (водородных) ионов с массой ти плотностью п( и единичным зарядом и тяжелых ионов с массой т, плотностью Я и зарядом Z^>1 (очевидно, что при этом т^т^. Бу- Будем считать, что относительная плотность тяжелых (примесных) ионов Я/я,- удовлетворяет следующим условиям: 1/Z2 <<«/«* «1/2- G.1) 46
Первое из этих неравенстё означает, Что кулоновское рассеяние на примесях определяет частоту столкновений частиц в плазме, в то время как второе показывает, что плазма остается при этом почти чисто водородной, так что пе~Пг = п. Плазма считается поме- помещенной в сильное однородное магнитное поле, которое делает ее замагниченной настолько, что параметр ©нуъЗ>-2. Так как плазма предполагается оптически прозрачной, то ее излучение незаперто, что и является источником неравновесности, приводящим к неустой- неустойчивости. Механизм развития неустойчивости следующий: мощность излучения из единицы объема плазмы Qr пропорциональна плот- плотности примесных ионов п, поэтому флуктуационное увеличение их плотности бЯ>0 в некотором месте приводит к локальному пони- понижению температуры 6T<iO; но так как в замагниченной плазме термосила F.12) выталкивает тяжелые ионы из горячей плазмы в более холодную, то начальная флуктуация будет нарастать со временем. Более того, как это будет показано в дальнейшем, ха- характерное время развития такой неустойчивости может быть го- гораздо меньше радиационного времени остывания плазмы. Перейдем теперь к количественному описанию этой радиацион- радиационной неустойчивости, которое можно разделить на два этапа. Снача- Сначала из уравнений движения и непрерывности для разных сортов частиц и уравнений Максвелла для полей определяются изменения плотности всех компонентов плазмы, вызванные температурными флуктуациями. Затем из уравнения теплового баланса плазмы на- находится инкремент неустойчивости. Так как характерное время раз- развития неустойчивости, как это будет видно из дальнейшего, много больше времени теплообмена между различными компонентами плазмы, то температуру последних можно считать одинаковой (за- (заметим, что присутствие в плазме примесей ускоряет теплообмен между электронами и ионами). Итак, запишем основные уравнения: пете -^ = - у (пеТ) -^[vexB]- пееЕ; G.2) dt с щпц ^- = — v (ntT) + — [v, X В] + nteE — Rr — Ru; G.3) dt с nm —77- = — v (tiT) H lv x В ] + ZneE + RT + Ru; G.4) dt v v ' ' с J ' J ' "' v ' dnjdt + div (nava) = 0; G.5) ne=nt + Z7i; G.6) rot В = Dne/c) (njv,- -f- Zh v — neve); G.7) rotE = — (l/c)dB/dt. G.8) Здесь Rr и Ru обозначают термосилу и силу трения между тяже- тяжелыми и легкими ионами, в то время как соответствующие элек- электронные вклады пренебрежимо малы (в пределе те-*-0). Зависи- Зависимость возмущений температуры и всех других величин от коорди- координат и времени выберем, как обычно, в виде дТсоехр (ikr + yt), и за- 47
ййшем уравнения G.2) — G.8) в линейном (по возмущениям) при- приближении. Очевидно, что теплопроводность плазмы сглаживает температурные возмущения и является поэтому стабилизирующим фактором. Учитывая, что она очень велика вдоль магнитного поля, будем рассматривать только поперечные по отношению к магнит- магнитному полю возмущения, для которых к±В. Пусть вектор к на- направлен вдоль оси х, а магнитное поле — вдоль г, так что движение плазмы происходит в плоскости (х, у). Используя полученные ни- ниже результаты, легко проверить, что инерция частиц не играет за- заметной роли в развитии интересующих нас возмущений. Тогда из уравнений G.2) — G.4) и G.7) следует постоянство полного давле- давления в системе б {(пе + л, + л) Т + ВЩп)} = 0. G.9} Рассмотрим в отдельности случай разреженной плазмы, для ко- которой р = 8я«7'/52<1, и плотную плазму, когда р>1. Начнем с пер- первого случая, для которого из уравнения G.9) следует равенство нулю возмущения магнитного поля 6В = О. Тогда из G.8) получаем, что Еу = 0, а из «/-компоненты уравнений G.2) vex = Q. Это означает, что вместе с индукцией магнитного поля не меняется и плотность электронов, т. е. 6пе=0. Тогда условие квазинейтральности 6«< = = —Zbn и уравнения непрерывности для легких и тяжелых ионов показывают, что б„. = nv. gn = nv- v. = _±2_у <g-p , /7 10) ' Y ' 1Х у Х> IX п 3CNN X \ 1 Компоненты скорости ионов вдоль оси у удовлетворяют условию отсутствия у плазмы полного импульса в этом направлении: п,тл},у -f- пт vv = 0, т. е. vi7. = vu <^ v,, G.11) у у у пгтг у у (здесь считается, что т/т4~2). Для определения скорости примесных ионов vx, vy и возникаю- возникающего в плазме поляризационного электрического поля Ех запишем линеаризованные х-компоненты уравнений G.3) и G.4) и «/-компо- «/-компоненту уравнения G.4) и используем соотношения G.10) и G.11): — iknoT А Zn vx v,. + neE „ -\ 1-—— = 0 G.12) — ikn6T — п vx + —j- vy + ZneEx ^ = 0; G.13) j' ±ik—?—8T f!^=0. G.14) с 2 шя?тг it После простых вычислений отсюда получается следующее выраже- выражение для возмущения плотности тяжелых ионов: J5L = _J^L = ^ JL.2L. G.15) п У 2y%i [1 ¦)- khflJ(yrj)] 2n T 48
Здесь гт=7/(/Пга>н1) и учтены неравенства G.1) и условие, что ©я<т,>2>1. Отсюда видно, что для достаточно коротковолновых возмущений относительное изменение плотности примесей Ьп/п не зависит от волнового вектора k и намного больше относитель- относительного возмущения температуры плазмы 6Г/71, а именно: бЯ/п« я- (n/2nZNT/T. В этом случае действующая на примеси сила Лоренца F.13) уравновешивается электрическим полем Ех, кото- которое выталкивает ионы плазмы из областей с пониженной темпера- температурой и устанавливается таким, чтобы компенсировать градиент их давления [см. G.12)]. Запишем теперь уравнение теплового ба- баланса плазмы; в данном случае оно получается просто сложением соответствующих уравнений для каждой из компонент [17]: 0. G.16) Здесь q — микроскопический тепловой поток, главный вклад в ко- который вносит поперечная к магнитному полю теплопроводность легких ионов. Так как рассеяние легких ионов примесями ничем не отличается от рассеяния электронов на ионах в «чистой» плаз- плазме, для нахождения коэффициента теплопроводности можно исполь- использовать вычисленное в [17] значение электронной теплопроводности в плазме с большим зарядом ионов (Z-^-oo): qt = —KtfxT, хг = = 3,25 я^../v Мощность излучения из плазмы Qr есть некоторая функция тем- температуры, умноженная на плотность электронов и примесных ионов Qiad = nenf(T). Очевидно, что быстрее всего будут нарастать такие возмущения, для которых приращение 6Я максимально. Но, как уже отмечалось, для них дп/п^дТ/Т. Поэтому при таких возмуще- возмущениях изменение мощности излучения 6Qrad~Qrad6n/n. В результа- результате после линеаризации уравнения G.16) получается следующее зна- значение инкремента неустойчивости: 3 я / Trad 2Z« \ .„ ._. Т«Г7~ J— &r2m , 7.17) где trad = 3n7'/Qrad — радиационное время остывания плазмы. Это выражение справедливо для наиболее интересной области длин волн возмущений, когда к2ГнС~ (ti/trad) {n/Zn). При меньших значениях k уменьшается инкремент неустойчивости, а более ко- коротковолновые возмущения затухают из-за теплопроводности плазмы. Обсудим теперь зависимость пространственного масштаба и времени нарастания самых неустойчивых возмущений от плотно- плотности примесных ионов. Так как при n/n>l/Z2 как время рассеяния ионов т,-, так и радиационное время trad обратно пропорциональны п, то инкремент у в этом случае не зависит от плотности примесей, а длина волны %оопг/2. Если же n/n<l/Z2, то наличие примесей не влияет на время рассеяния частиц, хотя излучение из плазмы мо- может быть по-прежнему связано с их присутствием. Так происхо- 4 Зак. U4I 49
Дйт, например, когда тяжелые ионы не полностью ионизованы и из- излучение связано с их возбуждением при столкновениях с электро- электронами. Легко проверить, что все приведенные выше соотношения справедливы и для этого случая, если в них параметр n/(Zn) за- заменить величиной Z. Тогда ycoii, а Ясой~'/2. Отсюда следует, что рассматриваемая неустойчивость проявляется наиболее сильно, когда n/n~\/Z2. В этом случае инкремент и длина волны имеют следующий порядок: \ G.18) где т4«*3-106 Т3/2/п — время рассеяния ионов в водородной плаз- плазме. Используя приведенные в [49] данные по излучению плазмы с примесями, можно получить, что при ra/n~l/Z2 и температуре плазмы 7~103—104 эВ радиационное время trad лежит в интервале TradRSA012—1014)/л. Подставляя эти значения в формулы G.18), получаем, что минимальный размер таких сгустков тяжелых ионов может составлять несколько ионных ларморовских радиусов, а об- образуются они за время, много меньшее радиационного времени ос- остывания плазмы. В случае разреженной плазмы (Р<1) нетрудно оценить, до ка- какого уровня нарастают начальные возмущения плотности примесей. Так как в этом случае плотность электронов плазмы не изменяет- изменяется, то верхний предел по плотности тяжелых ионов определяется их пространственным зарядом, так что (&n)max~n/Z. Температура такого сгустка уменьшается при этом на величину порядка едини- единицы: ьт~т. Перейдем теперь к случаю плотной плазмы (Р>1), когда магнитное поле влияет только на поперечную теплопроводность плазмы, а его давлением можно пренебречь. Тогда, как это следует из выражения G.9), возмущения не влияют на газокинетическое давление плазмы, так что локальные изменения температуры вызывают соответствующие изменения плотности, т. е. плазма приходит в дви- движение. Условие постоянства давления можно записать в виде: 2пЬТ = — Т Bбяг + Zbn). G.19) Вместе с уравнениями непрерывности для двух сортов ионов это позволяет оп- определить их скорости Vix и бх. При движении плазмы возникает индукционное электрическое поле Еу. Из г/-компоненты уравнения G.2) и условия квазиней- квазинейтральности находим, что В Г ?п ~\ Ev=—\vix + —vx)- G-20) После этого из системы уравнений, аналогичной G 12) — G.14), определяется ин- интересующее нас изменение плотности примесей 6п ег +(/)m/ri = •— . G.21) п Т 1 + »r%t/Bfct) Качественно этот результат можно пояснить следующим образом. При малых значениях волнового вектора k примеси вморожены в магнитное поле и движут- 50
ся вместе с плазмой (бЯ/Я»бп//гяг—ЬТ/Т). С уменьшением длины волны возме- возмещений становится существенной термосила, которая увеличивает относительное возмущение плотности тяжелых ионов, так что при больших k величина бп/п принимает постоянное значение (как и в случае плазмы с малым Р). Соответст- Соответственно не меняется порядок и всех полученных при Р4С1 результатов. Например, инкремент неустойчивости Остается справедливой, в частности, и оценка верхней границы плотности при- примесей в сгустке: Frt)max~n/Z. Стабилизация возникает в этом случае за счет электрического поля Ех, которое выталкивает тяжелые ионы из области с пони- пониженной температурой. В заключение отметим, что рассмотренная здесь радиационная неустойчи- неустойчивость может иметь место не только в прямом магнитном поле, но и в других конфигурациях, где есть эффект температурной экранировки ионов. Так, в то- тороидальной плазме такая неустойчивость возможна в режиме редких столкнове- столкновений [50] (так называемый банановый режим), но отсутствует в режиме Пфир- ша —Шлютера [51]. ПРИЛОЖЕНИЕ Приведем здесь вычисление термосилы R\T\ действующей со стороны ионов плазмы на примеси. Эта сила возникает из-за искажения функции распределения по скоростям ионов плазмы, связанного с неоднородностью их температуры. Со- Соответственно этому представим функцию распределения ионов f;(v, r) в виде fi=foi(l+Q>), где foi=n/BnT/miK'2exp(—т&2/BТ))—максвелловское распреде- распределение, а Ф — малая поправка, определяемая из кинетического уравнения Здесь Си — ион-ионный столкновительный член, равный [17] Столкновения ионов плазмы с примесями здесь можно не учитывать, так как последние считаются пробными частицами, а влияние электронных столкновений на функцию распределения ft мало в пределе me/mi, стремящемся к нулю Для дальнейшего удобно считать, что, кроме градиента температуры в плазме, имеет- имеется и градиент плотности, причем такой, что давление остается однородным, т. е. Vln7'=—Vlnn. Это позволяет не учитывать макроскопическое движение ионов и считать задачу квазистационарной. Тогда после линеаризации уравнения (П.1) получаем: ~т) vlnт + a"ihi [vx h]I*""Сн(foi' (П.2) 4* 51
Точное решение получившегося интегрального уравнения для Ф можно найти лишь численными методами. Поэтому воспользуемся здесь хорошо известным приемом разложения искомой поправки по системе ортогональных функций [17], в качестве которых удобно взять полиномы Сонина — Лагерра L^*' • Прежде всего заметим, что из-за симметрии задачи поправка к функции распределения ионов Ф должна иметь следующий вид: Ф (v) = v {A (t>2)V || In Т +В (a2) vx In T + С (о») шт [h X V In Л}, (П.3) где V у In Г иУ_!_1пГ — компоненты вектора V In Г вдоль и поперек магнитно- магнитного поля. Не уменьшая общности, достаточно рассмотреть случай поперечного градиента температуры, так как выражение для коэффициента A (v2) должно получаться из B(v2) в пределе о>я/=0. Введя комплексную величину D(v2) = =5+ico«C, запишем ее в виде Т''Ш k 1 (слагаемое с k=0 отсутствует, так как ионы не должны иметь направленной скорости). Подставив теперь выражения (П4) и (П.З) в уравнение (П2), можно получить (см. [17]) бесконечную систему алгебраических уравнений для коэф- коэффициентов разложения а*: k = 1' 2 • • •; x = Шя;Тг' (П'5) где ы~ 15/г 2Т + cii [foiva L{iU) (у), /о.]} d3v —¦ безразмерная матрица, компоненты которой приведены в [52] /0 0 0 . 0 1 3/4 . 0 3/4 45/16. Как известно [17], достаточно хорошее приближение обеспечивается уже при ограничении первыми двумя членами разложения (П.4). Проведя соответ- соответствующие вычисления, можно получить, что 0,59л;2+ 0,38 . х3 + 0,94л: ai = ai + iai = ~ аа=а2+ ш2 = Д Д 0,24л:2— 0,1 . 0,36s _ д д (П.6) 52
Так как масса примесных ионов много больше массы ионов плазмы, искомая термосила R Jr) не зависит от функции распределения примесей по скоростям и полностью определяется найденной уже поправкой к функции распределения ионов плазмы Ф. Поэтому можно воспользоваться аналогией с обычной электрон- ионной термосилой и приведенными в [52] вычислениями, согласно которым f 2 <* (^± > ) (П.7) где с 5 = 2 Ъ1к — -1 5 I I l 3/2 15/8 3/2 13/4 69/16 15/8 69/16 433/64 Теперь, используя (П6) и (П.7), окончательно получаем, что Rp = Z4 {S,vx7- - б7 [h x \T)}; . 1,34д:2 + 0,38 C/2)^» + 0,74х [ (П.8) ов = ; о7 = - Д Д СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Алиханов С. Г., Будкер Г. И., Комин А. В. и др.//Труды VII Междунар. конф по явлениям в ионизованных газах. Белград. 1966. Т. 1. С. 776—780. 2 Linhart J. G.//Proc. Intern. Conf. Magagauss Magnetic Filds Generated by Explosives and Related Experiments, EUR2750, Rrascati. Italy. 1965. P. 387— 392. 3. Velikhov E P.//Comments on Plasma Phys. 1972. Vol. 1F). P. 171—178. 4. Rioux C.//Plasma Phys. Control. Nucl. Fus. Res. 1976. IAEA, Vienna. 1977. Vol. 3. P. 527—534. 5. Book D. L., Burton R. L. e. a.//Plasma Phys. Control. Nucl. Fus. Res. 1978, IAEA, Vienna. 1979. Vol. 2. P. 93-102. 6. Sherwood A. R., Cantrell E. L. e. a. Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. 1980. IAEA, Vienna. 1981. Vol. 2. P. 691. 7. Alikhanov S. G., Bahtin V. P. e. a.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna. 1981. Vol. 2. P. 699—705. 8. Бабыкин М. В., Рудаков Л. И. и др.//Физика плазмы. . 1982. Т, 8E). С. 901—914. 9. Пашинин П. П., Прохоров А. М.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1971, Т. 60E), С. 1630—1636. Пашинин П. П., Прохоров А. М.//Там же. 1972. Т. 62A) С. 189—194 10. Будкер Г. И., Мирное В. В., Рютов Д. Д.//Письма в ЖЭТФ. 1971, Т. 14E). С 320—322. 11. Будкер Г. И., Данилов В. В. и др.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1973. Т. 65B). С. 562—574. 12. Logan В., Brown J., Lichtenberg A., Liberman M.//Phys. Fluids. 1974. Vol. 17F). P. 1302-1313. 13. Budker G. I.//Proc. VI Europ. Conf. on Plasma Phys. 1973. Vol. 2. P. 136— 158. 14. Рютов Д. Д.//Успехи физ. наук. 1975 Т. 116B). С. 341—348. 15. Dawson J. M., Hertzberg A. e. a.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. 1971. IAEA, Vienna. 1971. Vol. 1. P. 673—687. 16. Gross R. A.//Nucl. Fus. 1973. Vol. 13B). P. 293—296. Gross R. A.//Nucl. Fus. 1975. Vol. 15.E). P. 729—735. 53
17. Брагинский С. И.//Вопросы теории плазмы: Сб. статей М.: Атомиздат, 1963. Вып. 1. 18. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1954 19 Векштейн Г. Е.//Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 30(9). С. 596—600. 20. Векштейн Г. Е.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1983. Т. 84B). С. 549— 563. 21. Тамм И. Е., Сахаров А. Д. Физика плазмы и проблема управляемых тер- термоядерных реакций. М.: Изд-во АН СССР. 1958. Т. 1. 22. Векштейн Г. Е.//Докл. АН СССР. 1977. Т. 237. № 2. С. 295—298. 23 Alikhanov S. G., Konkashbaev I. К., Chebotaev P. Z.//Nucl. Fus. 1970. Vol. 10A). P. 13-18. 24. Chebotaev P. Z., Ryutov D. D., Spector M. D., Veksteln G. E.//Proc. VI Europ. Conf. on Plasma Physics. Moscow, 1973. Vol. 1. P. 411—414. 25. Векштейн Г. Е.//Прикл. механ. и технич. физ. 1976. № 6. С. 3—8. 26. Векштейн Г. Е., Чеботаев П. 3. Препринт ИЯФ СО АН СССР 80—42, Новосибирск, 1980. 27. Field G. B.//Astrophys. J. 1965. Vol. 142. P. 531—567. 28. Дорошкевич А. Г., Зельдович Я. Б.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1981. Т. 80C). С. 801—815. 29. Es'kov A. G., Kurtmullaev R. Kh e. a.//Plasma Phys. and Control. Nucl. ' Fus. Res. 1978. IAEA, Vienna, 1979. Vol. 11. P. 187—204. 30. 30. Armstrong W. Т., Linford R. K. e. a.//Phys. Fluids, 1981. Vol. 24A1). P. 2068-2089. 31. Кутузов Н. И., Семенов В. И., Стрижов В. Ф.//Физика плазмы. 1981. Т. 7D). С 943—952. 32 Green Т. S., Newton A. A.//Phys. Fluids. 1966. Vol. 9G). P. 1386—1388. 33. Knox S. O., Menth H. e. a.//Phys Fluids. 1982. Vol. 25B). P. 262—268. 34 Armstrong W. Т., Harding O. G. e. a.//Phys. Fluids. 1982. Vol. 25A1). P. 2121—2127. 35 Векштейн Г. Е.//Докл. АН СССР. 1983. Т. 271. № 1. С. 98—101. 36. Milroy R. D., Slough J. Т., Hoffman A. L.//Phys. Fluids. 1984. Vol. 27F). P. 1545—1551. 37. Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля: Пер. с англ. М.: Мир, 1972 38. Богомолов Г. Д., Великович А. Л., Либерман М. А.//Письма в ЖТФ. 1983. Т. 9A2). С. 748—751. Liberman M. A., Velikovich A. L.//J. of Plasma Phys. 1984. Vol. 31C). P. 381—393. 39. Векштейн Г. Е.//Письма в ЖТФ. 1984. Т. 10A2). С. 760—764. 40. Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Цытович В. Н. Физика плазмы солнечной атмосферы. М: Наука, 1977 41. Семенов В. Н., Стрижов В. Ф.//Физика плазмы. 1983. Т. 9B), С. 401— 408. 42. Priest E. R.//Rep. on Progr in Phys. 1985. Vol. 48, № 7. P. 955—1090. 43. Векштейн Г. Е.//Письма в ЖЭТФ. 1983. Т. 37B). С. 70—73, 44. Behrich R., Kadomtsev R. R.//Plasma Phys. and Control Nucl. Fus. Res. 1974. IAEA, Vienna. 1975. Vol. 2. P. 229—246. 45. Векштейн Г. Е., Рютов Д. Д., Чеботаев П. 3.//Физика плазмы. 1975. Т. 1, Вып. 3 С. 401—406 46. Tange T.//J. Phys. Soc. Japan. 1975. Vol 39D). P. 1145-1146. 47. Markvoort J. A., Rem I.//Proc. VII Europ. Conf. on Plasma Phys. Lausanne. 1975. Vol 1. P. 131. 48. Vekstein G. E.//Nucl Fus. 1979. Vol. 19F). P. 841-845. 49. Jensen R. V., Post D. E. e. a.//Nucl. Fus. 1977. Vol. 17F), P. 1187-1196. 50. Connor J. W.//Plasma Phys. 1973. Vol. 15(8). P. 765—782. 51. Rutherford P. H.//Phys. Fluids. 1974. Vol. 17(9), P. 1184. 52. Брагинский С. И.//Журн. эксперим и теорет. физ. 1957. Т. 33B). С. 459— 472.
УДК 533.9 КОЛЛЕКТИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПЛАЗМОЙ Б. Н. Брейзман ВВЕДЕНИЕ В конце 60-х — начале 70-х годов в термоядерных исследовани- исследованиях наметились новые направления, основанные на использовании мощных релятивистских электронных пучков (РЭП) [1—3]. Впе- Впечатляющие успехи ускорительной техники позволили вывести тра- традиционные пучково-плазменные эксперименты в недоступную ранее область параметров: появились реальные возможности изучения пучкового нагрева плазмы в условиях, близких к термоядерным. Результаты первых экспериментов с мощными пучками и первона- первоначальные теоретические представления о взаимодействии таких пуч- пучков с плазмой (см. обзоры [4, 5] и цитированную там литературу) дали принципиальную надежду на то, что коллективные эффекты, характерные для системы плазма — пучок, позволят сделать эф- эффективность нагрева достаточно высокой, однако для более ясного понимания ситуации требовался дополнительный анализ конкрет- конкретных механизмов торможения пучка. С точки зрения теории центральной задачей было описание тур- турбулентности, возбуждаемой пучком вследствие различных микро- неустойчивостей. Время развития таких неустойчивостей обычно мало по сравнению с длительностью инжекции пучка и временем изменения макроскопических свойств плазмы. Поэтому в процессе нагрева в плазме формируется стационарный (или квазистационар- квазистационарный) спектр волн, определяющий длину пробега пучка, энергию, передаваемую плазме, и другие макроскопические характеристики. Теория должна была дать по возможности полную картину взаи- взаимодействия волн и частиц и выявить основные тенденции измене- изменения этой картины под влиянием внешних условий. В предлагаемой работе сделана попытка рассказать о сегодняшнем состоянии дел в этой области. Интерес к плазменно-пучковой турбулентности связан, разуме- разумеется, не только с термоядерными приложениями. Решение возни- возникающих здесь вопросов часто помогает лучше понять возможности и внутренние проблемы самой теории. Что же касается приложений, то из них, наряду с термоядерными, уместно упомянуть астрофизи- астрофизические. Следует вместе с тем сказать, что ориентация на обсужде- обсуждение турбулентности оставляет за рамками обзора ряд других важ- важных проявлений коллективного взаимодействия РЭП с плазмой. В обзоре не представлены, в частности, задачи о взаимодействии 55
пучка с регулярными волнами, интересные для плазменной СВЧ- электроники, задачи о транспортировке и макроскопической устой- устойчивости пучков, задачи, связанные с коллективным ускорением ионов. Соответствующий материал столь объемен (список работ по мощным РЭП насчитывает более 1500 наименований [6]), что каждый из названных вопросов требует отдельного обсуждения. 1. Линейное дисперсионное уравнение. Роль резонансов при возбуждении волн частицами Описание пучково-плазменных неустойчивостей строится по той же схеме, что и решение общей задачи о линейных колебаниях плазмы. При этом в качестве исходных уравнений используют ли- линеаризованные кинетические уравнения для частиц, в самосогласо- самосогласованном электромагнитном поле и уравнения Максвелла. В случае, когда невозмущенное состояние пучка и плазмы стационарно и пространственно однородно, применение метода Фурье сводит за- задачу к следующей системе уравнений для возмущения электриче- электрического поля [7]: (со; к) = 0. A.1) Здесь 8ар(со; к)—тензор диэлектрической проницаемости среды. Системе A.1) отвечает дисперсионное уравнение det (kakpC* - k*C*8afi + oAfe») = 0, A.2) корни которого определяют поведение возмущений во времени. Если пучок обладает достаточно малой концентрацией и не слишком малым разбросом частиц по скоростям, то возбуждаемые им неустойчивости можно описывать как индуцированное излучение частицами пучка собственных колебаний плазмы. В плазме без магнитного поля излучение обусловлено эффектом Черенкова. При этом частота и волновой вектор излучаемой волны связаны со скоростью частицы соотношением ю —kv = 0. A.3) Во внешнем магнитном поле резонанс A.3) расщепляется и пре- превращается в набор резонансов вида и — ?||Оц — п | соя | = 0, A.4) где целочисленные значения п нумеруют гармоники циклотронной частоты излучателя. При и = 0 резонанс A.4) благодаря его внеш- внешнему сходству с A.3) принято называть черенковским Остальные резонансы вида A.4) называют циклотронными (нормальными при п>0 и аномальными при п<0). Их называют также резонансами на нормальном и аномальном эффектах Доплера. Полезно иметь в виду, что резонансы A.3) и A.4) связаны с квантовыми законами сохранения энергии и импульса [8, 9]. Дей- Действительно, в элементарном акте излучения волны энергия частицы 56
изменяется на Ае = Йсо, A.5) а импульс (в отсутствие внешнего магнитного поля) — на Ар = Йк. A.6) Пользуясь тем, что Ае и Ар малы по сравнению с начальными значениями энергии и импульса, можно заменить величину Де про- произведением vAp, где v=de/dp — скорость частицы, после чего фор- формулы A.5) и A.6) приводят к соотношению A.3). Аналогичным способом можно получить и соотношение A.4). При этом обнару- обнаруживается, что в случае нормального циклотронного резонанса (п> >0) излучение волны сопровождается уменьшением энергии попе- поперечного движения электрона в магнитном поле, а в случае ано- аномального резонанса «поперечная» энергия возрастает. Если же я = 0, то излучение происходит без изменения поперечной энергии. Условие, при котором допустимо описание неустойчивости в терминах резонансного взаимодействия частиц с собственными ко- колебаниями плазмы, состоит в том, что неустойчивость должна быть кинетической. Иными словами, разброс частиц пучка по скоростям должен существенно превышать ширину резонанса, определяемую инкрементом неустойчивости Г. При выполнении этого условия ин- инкремент Г может быть вычислен по теории возмущений как малая мнимая часть корня дисперсионного уравнения A.2), связанная с малой антиэрмитовой частью тензора диэлектрической проницае- проницаемости. Если обозначить е'ар эрмитову часть тензора еар, а е"ар — антиэрмитову, то для инкремента получается формула ¦р t " /у* /у \ I f 2 ' * Д /1 7\ ар а р / U2 ло э 6сф а э; ш=Ик • Здесь ©к и еа(к)—частота и вектор поляризации волны, опреде- определяемые уравнениями A.1) и A.2), в которых тензор е«р заменен тензором е'ар. Обычно е'ар можно вычислять без учета вклада пуч- пучка, что подразумевает малость влияния пучка на закон дисперсии возбуждаемой волны. Для пучков с очень малым разбросом частиц по скоростям вы- выражение A.7) непригодно, поскольку такие пучки слишком сильно искажают дисперсионные свойства среды. Неустойчивости, возбуж- возбуждаемые этими пучками, называют гидродинамическими (в знак того, что движение холодного пучка подчиняется уравнениям гид- гидродинамики). В отличие от кинетического режима, в котором с каждой возбуждаемой волной взаимодействует лишь малая доля частиц пучка, в гидродинамическом режиме в резонансе с неустой- неустойчивым возмущением находятся сразу все частицы. Следует, одна- однако, обратить внимание на то, что при малой плотности частиц в пучке ширина резонанса, даже будучи достаточной для захвата большинства частиц, остается все же малой по сравнению с други- другими характерными параметрами задачи; это дает возможность опи- описать соответствующие неустойчивости аналитически. 57
Основной интерес в задаче о взаимодействии РЭП с плазмой представляют наиболее быстрые (высокочастотные) неустойчивости пучка, не связанные с движением ионов. Только такие неустойчи- неустойчивости и рассматриваются ниже. Прежде чем перейти к их обсуж- обсуждению, приведем в справочных целях сводку формул для тензора диэлектрической проницаемости электронной плазмы (ионы счи- считаются неподвижным нейтрализующим фоном). При наличии в плазме магнитного поля выражения для компонент тензора еар имеют вид [7]: J* S А° «Ч к± со rmHv cos 9 2 ; Jm СО J шш A.8) Здесь /„==/„(&ха sin0/©H) и /n'^//(^xysin6/©ff)—функция Бесселя и ее производная; ин — циклотронная частота, а величины ЛЛ и 5Л определяются формулами: 1 dF acosQ — k«v dF 1 Г 1 5F — псоя) ^— -^- cosine -W 1 J pv sin 6 GbSif-sine)ir]- Тензор еав вычислен в системе координат, ось z которой направле- направлена вдоль силовых линий магнитного поля, а ось х лежит в плоско- плоскости, образованной векторами к и Н (k=fej_; 0; k\\ ). Формула A.8) относится к релятивистскому случаю; электроны пучка и плазмы характеризуются в ней единой функцией распределения F(p; в), где р — импульс частицы, а 0 — угол между направлениями им- импульса и магнитного поля. 58
В случае холодной плазмы и холодного пучка компоненты тен- тензора еар принимают вид [10]: со'— со 'я ' Г сон „¦? ¦ = -«« = -i — -^Чг + I пЬ СО2 / _ Ь -v2_ 2 "V ш Ш ("СО — ft,, » р I ,п7 со to («>-*„ о)*— A.9) <в» L«73 («-^ll"J «у со* ^_к^, Здесь сор — плазменная частота; п и «ь — плотности электронов плазмы и пучка; (он и ®нь — (йн/у — циклотронные частоты этих электронов; Y—О—t^/c2)-'/2 — релятивистский фактор; скорость пучка v считается направленной вдоль магнитного поля. Если магнитное поле в плазме отсутствует, то dF о_ о» *„ dF \ —+ ау ¦—). A.10) 5^р со + 1 0 — kv d/?Y у Компоненты этого тензора в случае холодной плазмы и холодного пучка нетрудно получить из формул A.9), положив Я=0: — syx — eyz — ezy — CO — k „ = 1__^ zz 2 со 2 (a- 2. Пучковая неустойчивость в плазме без магнитного поля (возбуждение ленгмюровских волн) В электронной плазме без магнитного поля, где существуют всего две ветви собственных колебаний (ленгмюровская и электро- электромагнитная), условие черенковского резонанса с частицами может выполняться только для ленгмюровских волн, поскольку электро- 59
магнитные волны обладают сверхсветовыми фазовыми скоростями. Дисперсионное уравнение для ленгмюровской волны (с учетом ее потенциальности) имеет вид е^^_еаР = 0. B.1) Здесь тензор еар определяется формулой A.10). Выделив в этом тензоре вклады частиц холодной плазмы и пучка, получим 2 kv-ш-Ю где / — функция распределения электронов пучка. Для холодного пучка отсюда получается уравнение ¦ из которого следует, что максимум инкремента неустойчивости по продольной составляющей волнового вектора достигается при k\\ =aP/v и равен [11] г = -4тт-о)Р ^ VJ -J- + -f ¦М k\ , kL B.3) k || =И Вследствие анизотропии релятивистской массы этот инкремент представляет собой возрастающую функцию поперечного волново- волнового числа &_[_. Гидродинамическое приближение, в рамках которого получена формула B.3), подразумевает, что разброс электронов по скоро- скоростям удовлетворяет неравенству | kAv | С Г. B.4) В нерелятивистском случае это неравенство дает возможность пол- полностью пренебречь влиянием разброса на инкремент Г. Для реля- релятивистского пучка ситуация иная: благодаря разбросу может из- изменяться поведение инкремента при малых k±. Если ширина уг- углового распределения частиц по скоростям А0 превышает у~', то средняя «продольная» масса частиц уменьшается в (ДВуJ раз, в результате чего инкремент для волн, бегущих вдоль пучка, возра- возрастает. При этом формулу B.3) следует уточнить, заменив величину (k \\/kyJ на (k ||/&JA/72 + ДЭ2) (см. задачу 2.1). Разумеется, со- соотношение A0>y~1 не должно противоречить неравенству B.4). Условие их совместности дает ограничение снизу на энергию пучка: 7 > (nlnb)l'\ Еще одна особенность релятивистского случая состоит в том, что справедливость предположения о потенциальности волн здесь зара- заранее не очевидна, так как волны имеют околосветовые фазовые ско- 60
рости. Анализ общего дисперсионного уравнения A.2"), которое для холодного пучка имеет вид [12] (О 2 Ф Л „2 \ Г ,.,2 ;,2 Пу йГ с±ь ш2 со2 пу3 ш2 (tD~fe||t')' показывает, что при малой плотности пучка максимум инкремента действительно отвечает почти потенциальным волнам. Что же ка- касается возмущений с меньшими значениями Г (Г с>о nj/'}, то среди них имеются существенно непотенциальные. Примером могут слу- служить, скажем, возмущения с k у = 0, подверженные апериодической электромагнитной неустойчивости [13] с инкрементом ¦р / ILfo \ ~ Вернемся теперь к обсуждению неустойчивости ленгмюровских волн и обратимся к кинетическому предельному случаю, который характеризуется неравенством | kAv ] > Г, B.6) обратным неравенству B.4). Выразим прежде всего условие B.6) через параметры пучка и плазмы. Пусть при у>>1 пучок обладает угловым разбросом Д0<1 и энергетическим разбросом Ау<7- Тогда Ди± = сД0; До и = (с/2) Д82 -f (с/у2) ДуД>. Отсюда видно, что при АВ> A/у) (Ау/уI/2 разброс частиц по ско- скоростям определяется преимущественно значением Д0. Соотношение Д0> A/y) (Ay/yI/2 будем в дальнейшем считать выполненным. Во многих случаях выполняется даже более сильное неравенство А0>7-1. B.7) Подставив величины Дох, До ц и Г в неравенство B.6), получим соотношение де2 пу J L & где k n =©p/c. Присутствие в этой формуле величины k± приводит к тому, что при малых значениях Д0 возможна ситуация, когда для одних волн неустойчивость является гидродинамической, а для дру- других— кинетической. С увеличением разброса неустойчивость в кон- конце концов становится кинетической для всех волн. Условие полного 61
перехода в кинетический режим дает следующее ограничение на А0: Л9> (¦%)"¦¦¦ ч-^-г B.9) Кинетический инкремент пропорционален мнимой части интеграла B.2), связанной с полюсом подынтегральной функции, и имеет вид B.10) Если наряду с неравенством B.9) имеет место также соотношение B.7), то в формуле B.10) можно пренебречь зависимостью модуля скорости электрона от импульса и положить в аргументе б-функции |v|=c. Для вычисления интеграла B.10) удобно ввести сфериче- сферические координаты р, 0, ф в пространстве импульсов и k, 0', ср' в про- пространстве волновых векторов (углы 6 и 0' отсчитываются от на- направления инжекции пучка). Предположив, что функция распреде- распределения аксиально-симметрична, и выполнив интегрирование по ср, можно представить [14, 15] инкремент B.10) в виде Г = л(ор -^- dQ [(cos 9j — cos 0) (cos 0 — cos 02)Г X Г— 2gsin L -f fc где =~ \Pf(p; в)dp; J dQ COS 01; 2 = B.11) = (a>plkc) (cos 0' ± sin 0' V k2cWP — l). В дополнение к этой формуле приведем два ее предельных слу- случая. Если 0' = О, то f sin2 о) . B.12) ' cos 9 = Если же 0'>Д0 и Д0<1, то Г = лсо„ --Jr. B.13) где б = (ap/kc — cos 0')/]^1 — @2P/(k2c2) Кинетический инкремент B.11) существенно отличен от нуля только в той области пространства волновых векторов, где условие черенковского резонанса выполнено для значительной части элек- 62
Рис. 1. Резонансная область (а) (границы области образуют угол ~Дв с вертикалью); штрихами показана линия максимума ин- инкремента) и зависимость инкремента пуч- пучковой неустойчивости от продольной со- составляющей волнового вектора (б) при фик- фиксированном значении k x. обозначенном fcj.0 О д9 Рис 2 Зависимость инкремента пучковой неустойчивости, максимизированного по k ||, от поперечной составляющей волнового вектора тронов пучка. Эта резонансная область схематически изображена на рис. \,а. Из условия A.3) следует, что при А9>'у~1 форма ре- резонансной области задается соотношениями: (On де2 2, kxc: Формула B.13) показывает, что для пучка с монотонной функци- функцией распределения gF) инкремент положителен в правой половине резонансной области и отрицателен в левой. При фиксированном значении k j_ зависимость Г от ft ц имеет вид, изображенный на рис. 1,6. Положение точки максимума инкремента k ц зависит от k±:k и =К и (ftj_). Точки максимума инкремента по k л образуют линию, показанную на рис. \,а пунктиром. Зависимость инкремен- инкремента на этой линии от kx изображена на рис. 2. Вне узкой области малых значений k j_ (k± ~A0u)p/c) максимизированный инкремент T(kj_ ) убывает с увеличением ?j_no следующему закону: Г = а©, тс п р0 де2 B.14) Здесь ро и А6 — средние значения импульса и углового разброса частиц пучка; а — численный коэффициент порядка единицы, за- зависящий от вида функции распределения *. В качестве оценки фор- • В частности, для g F) ¦¦ 0,76. — ехр [—(8/Д9J] коэффициент а равен я р0 Два 63
муЛа B.14) применима при всех значениях k± (в том числе и ма- малых). Несколько по-иному выглядит кинетический инкремент в том случае, когда условие B.7) не выполнено. Такая ситуация возможна только при (tib/n)l/3<iy~1, поскольку при (п&/яI/3>1>~1 из нера- неравенства B.9) автоматически следует, что AG>v~1- Вычисления по- показывают, что при A8<v~1 кинетический инкремент также макси- максимален для волн, бегущих почти вдоль пучка (k ±^&Вв>Р/с), но оценка его значения в максимуме меняется (см. задачу 2.2): J B.15) п у 3Д64 С увеличением k j_ инкремент сначала быстро убывает: а при k±c/(up ^у выходит на асимптотику, определяемую форму- формулой B.14). Таким образом, при А0<у~1 максимум кинетического инкремента существенно обостряется и в (уД0)~2 раз превосходит значения инкремента в области k_L~(x>p/c. Рассматривая поочередно гидродинамический и кинетический режимы неустойчивости, мы уже упоминали о том, что для пучков, не удовлетворяющих условию B.9), эти режимы могут переходить друг в друга при изменении волнового вектора возбуждаемой вол- волны. Поведение инкремента в такой промежуточной ситуации про- проанализировано в [16] (см. также [17]). Инкремент в данном слу- случае имеет минимум при малых значениях й_ц, где неустойчивость гидродинамическая, и растет с увеличением k± до тех пор, пока не становится существенным учет разброса пучка. Если Д8<С(«ь/п7I/3> то инкремент достигает значения Ттах~(оР(пь/пуI/3 и остается близким к нему в широком диапазоне изменения k ± A<C& j_c/cop<C <A/Де)(/гь/л7I/3), а при k±c/u)p ^A/Д8) (пь/пуI'3 (после пере- перехода неустойчивости в кинетический режим) начинает убывать про- пропорционально 1/&jl. Если же АВ> (пь/пуI/3, то широкое плато на графике зависимости инкремента от k± отсутствует; максимум ин- инкремента при этом достигается на стыке гидродинамического и ки- кинетического приближений. По мере увеличения Д9 максимум сме- смещается в область малых значений k\_ и к моменту, когда неустой- неустойчивость станет кинетической во всем диапазоне k±, ее инкремент окажется максимальным для волн с & Задача 2.1. Найти гидродинамический инкремент возбуждения ленгмюров- ских волн ультрарелятивистским пучком с конечным угловым разбросом. Решение. Выполним в дисперсионном уравнении B 2) интегрирование по частям: со2 № , y(co — kvJ 64
Неравенство B.4) позволяет заменить в знаменателе подынтегрального выраже- выражения величину v средней скоростью частиц, после чего интеграл легко вычисляет- вычисляется. Считая пучок моноэнергетическим и переходя к сферическим координатам, получаем ,_jj_A 4 JA(J. + ,\+±]. со2 пу (@~k\lv) L k% \Va ) k2 J где черта означает усреднение по функции распределения. С учетом малости ве- величин Y и 9 здесь оставлены только старшие члены разложения. Решение этого уравнения дает следующую формулу для максимизированного по k« инкремента: Г = k || «юр/о [см. для сравнения B.3)]. Задача 2.2. Получить оценку B.15). Решение Положим в формуле B.10) f= "ь 'р ~ Рп> qiq\ и перей- 2Я /Jg дем к сферическим координатам р, 6, ер и вычислим интеграл при Ь =0, k « =k: T=z_JLa Ль тс cos2 9 д Г / m2c2cos29 Y\ ~ 2 Шр п („l + mWYI' Sin9 59 I ()(Sln + „2 _,_ m2^a J J • pjj+mV Здесь cos 9= (oop/ftc)]/l + Для функции G и ее производной можно написать оценки: О~1/(Л9J; G'~—1/(Д9K. В результате для Г при Д9<1/у получается оценка B.15), а при — оценка, согласующаяся с формулой B.14). 3. Гидродинамические неустойчивости пучка в магнитоактивной плазме Вклад холодного пучка в тензор диэлектрической проницаемо- проницаемости A.9) содержит резонансы A.4) с тремя значениями п (п =—1; 0; 1). Из них «неустойчивыми» могут быть только два резонанса (« = — 1 и п=0). Третий резонанс исключается по той причине, что поперечная энергия электронов пучка, будучи равной нулю, не мо- может уменьшаться в процессе излучения волны. Отсюда возникает, в частности, запрет на раскачку всех волн со сверхсветовыми фа- фазовыми скоростями [при л<0 и со> \k\c не выполняется соотноше- соотношение A.4)]. Подстановка тензора A.9) в дисперсионное соотношение A.2) дает алгебраическое уравнение двенадцатой степени относительно ю, которое в общем случае приходится решать численно [18]). Ес- Если, однако, плотность пучка мала, то инкременты возбуждаемых пучком неустойчивостей можно найти аналитически. Представим для этого тензор A.9) в виде суммы еар=еар'+еар, где е ?р — тен- тензор диэлектрической проницаемости плазмы, а е«р —добавка, про- 5 Зак. 1441 65
порцйональная плотности пуЧка, и рассмотрим вблну С частотой и, близкой к одной из собственных частот плазмы сок. Малость ве- величины ©—©к позволяет заменить тензор w2e?p в уравнении A.1) его разложением в ряд по со и переписать уравнение A.1) в виде (СО - 0)к) (JL \ I / 1ш (о; к) (o; к)-f (о; к) = 0. Умножим далее обе части полученного уравнения на вектор еа*(к), сопряженный вектору поляризации волны с частотой Ок. При этом вследствие эрмитовости тензора е?р(сок; к) первое слагаемое в ле- левой части обращается в нуль. В остальных двух слагаемых, учи- учитывая их малость, можно заменить .Ер (со; к) вектором ер (к), что приводит к следующему уравнению: (со — сок) + со; к) = 0. C.1) ffl= сок В случае черенковского возбуждения волны в тензоре е*& достаточ- достаточно оставить одну только компоненту е«. Тогда уравнение C.1) при- приобретает вид Максимальный инкремент неустойчивости в этом случае пропор- пропорционален (пь/пУ/3. Выделение в тензоре еар резонансных членов, отвечающих циклотронному возбуждению волн, дает для со вместо кубичного уравнения C.2) квадратное уравнение (со — сок)(со — «ж + i «и + kjV ег 2пу C.3) из которого, в частности, видно, что циклотронный инкремент про- пропорционален (пь/пI/2. Ограничение в формулах C.2), C.3) часто- частотами, близкими к собственным частотам плазмы, разумеется, не- несколько сузило класс рассматриваемых неустойчивостей. Это, впро- впрочем, не очень существенно, поскольку все наиболее быстрые не- неустойчивости (а именно они представляют первоочередной инте- интерес) действительно связаны с возбуждением тех или иных собст- собственных колебаний плазмы. Остальные неустойчивости при малой концентрации пучка также поддаются аналитическому исследова- 66
нию, но, чтобы не загромождать изложение деталями, откажемся здесь от их обсуждения. Рассмотрим теперь особенности раскачки пучком различных собственных колебаний плазмы, ограничившись для простоты пре- предельными случаями слабого (],сйя| <<»}>) и сильного (|сон|>й)р) внешнего магнитного поля. В первом случае неустойчивыми оказы- оказываются ленгмюровские волны и геликоны; во втором — замагничен- ные электронные колебания в диапазоне плазменной частоты и медленные необыкновенные волны. 3.1. Возбуждение ленгмюровских волн. Вычисляя инкремент рас- раскачки ленгмюровских волн, можно полностью пренебречь влияни- влиянием внешнего магнитного поля на движение электронов плазмы (но не электронов пучка!), т. е. положить в формулах C.2) и C.3) «•к =соР, еар=A—сор2/а>2Nае и ea = ka/k. В случае черенковской раскачки [см. C.2)] максимум инкремента по продольной состав- составляющей волнового вектора достигается при k\ =a>p/v и равен При этом быстрее всего нарастают волны с малыми значениями kj_. Для неустойчивости, обусловленной циклотронным резонансом [см. C.3)], где k и = (шР + \(HHb\^/v. Этот инкремент, в отличие от черенков- ского, растет с увеличением k j_. Формулы C.4) и C.5) справедливы лишь в том случае, когда вычисленные с их помощью инкременты достаточно малы (Г<С <С|сонь|). Если же Г>|юнь|", то циклотронный и черенковский ре- зонансы перекрываются (расстояние между ними оказывается меньше характерной ширины резонанса). Такое слияние резонансов соответствует переходу к рассмотренному в § 2 случаю нулевого магнитного поля. Уточним теперь закон дисперсии возбуждаемых пучком волн, т. е. найдем «магнитную» добавку к плазменной частоте соР. Это нетрудно сделать с помощью уравнения A.2), разложив в нем компоненты тензора ё &р в ряд по малому параметру сон/со. Искомая дисперсионная добавка имеет вид V fe2 ( \ /о а\ C.6) Подчеркнем, что вычисление этой добавки требует учета непотен- непотенциальности волны; электростатическое приближение в данном слу- случае недостаточно. 5* 67
3.2. возбуждение геликонов. Геликоны прёдстабЛяют собой электронные колебания, относящиеся к быстрой магнитозвуковой ветви. В плотной плазме (оР>|(Вл| они обладают следующим за- законом дисперсии и вектором поляризации (см., например, [19], с. 199): C.8) Фазовая скорость геликонов мала по сравнению со скоростью све- света. Поэтому черенковское взаимодействие этих волн с релятивист- релятивистским пучком невозможно, и остается только циклотронный резо- резонанс сои — ktv+ | в>ш\ =0. C.9) Из условия C.9) и соотношения а>к<^С|кц \с следует, что продоль- продольная составляющая волнового вектора возбуждаемой волны должна быть близка к | инь |/о, а частота волны мала по сравнению с |сонь|. С учетом этого обстоятельства уравнение C.3) дает для инкремента неустойчивости следующее выражение [20]: 4 L 1*1 I k J где k о = |сон&|/1>. _ Инкремент C.10) имеет максимум при к = а)р/с]/3>& g. Его максимальное значение равно = C§/78) (| ©те | «р)>/! (п^/пс)'1: C.11) Область применимости формул C.10), C.11) определяется нера- неравенством Г<С@к, которое приводит к следующему ограничению на концентрацию пучка: Возможность раскачки геликонов сохраняется и при более высоких значениях пь, однако неустойчивость в этом случае несколько мо- модифицируется, поскольку пучок начинает существенно искажать за- закон дисперсии волн. Проиллюстрируем это на простом примере, приведенном в [5]. Будем считать, что в равновесном состоянии ток пучка полностью скомпенсирован обратным током электронов плазмы, и рассмотрим возмущения, для которых |со|<С|&ц v\, при- причем величина k ц v мала по сравнению с циклотронной частотой ре- релятивистских электронов. Тогда для поперечных компонент тензо-
pa диэлектрической проницаемости A.9) можно написать следую- следующие приближенные выражения: где Эь=4яя6ти2у/Я2. Подставляя эти компоненты в уравнение A.2) и учитывая, что продольная проводимость плазмы намного выше поперечной, по- получаем ша = ©М*4,с«ЮФь- 1) (Рь- 1 -*1/?||). C.12) В отсутствие пучка (Рь = О) формула C.12) дает закон дисперсии геликонов, а при Рь>1 она описывает апериодическую неустойчи- неустойчивость, не связанную с циклотронным резонансом. Эта неустойчи- неустойчивость может, в частности, неблагоприятно сказываться на транс- транспортировке мощных пучков. Для ее подавления требуется, как вид- видно, достаточно сильное ведущее магнитное поле. 3.3. Возбуждение замагниченных электронных колебаний при |юя|><»р. Рассматриваемые колебания лежат в диапазоне плаз- плазменной частоты сор. При |сон|^><вр движение электронов плазмы в этих колебаниях близко к одномерному. В пренебрежении попе- поперечным смещением электронов и вкладом пучка в тензор еар дис- дисперсионное уравнение A.2) принимает следующий вид: со4 — и2 (k2c2 -f <4) + k] C2D = 0. C.13) Из двух корней уравнения C.13) необходимо выбрать меньший: так как второй корень отвечает волне со сверхсветовой фазовой скоростью, не взаимодействующей с «холодным» пучком. Вектор поляризации волны C.14) равен M-LC2 \ C.15) Условие черенковского резонанса между волной C.14) и электро- электронами пучка выделяет в пространстве волновых векторов эллипсоид вращения Обратившись к уравнению C.2), нетрудно показать, что максимум черенковского инкремента отвечает волне, у которой &_l=0, a ©k= = Юр. ПрИ ЭТОМ ^±(у C.16)
Волна C.14) с нулевым значением kj_ потенциальна. Если же по- поперечная компонента волнового вектора отлична от нуля, то в вол- волне обязательно присутствует и непотенциальная составляющая. По- Поэтому для косых волн вычисление инкремента в рамках часто ис- используемого электростатического приближения (см., например, [21]) чревато ошибками. Если в нерелятивистском пределе элек- электростатический подход вполне оправдан, то в релятивистском слу- случае (уЭ) он дает для инкремента сильно завышенный результат. Рассмотрим теперь циклотронное возбуждение волны C.14). Чтобы упростить вычисление соответствующего инкремента, пред- предположим, что наряду с неравенством |(он|3><йр выполняется не- несколько более жесткое ограничение | ©ш, | ^>соР. Это дает возмож- возможность считать возбуждаемую волну потенциальной. Действитель- Действительно, при |сонь|>©р из условия циклотронного резонанса C.9) и то- того факта, что частота волны C.14) меньше плазменной частоты, следует соотношение |/W>COk/C, позволяющее пренебречь в формуле C.15) величиной сок, после че- чего векторы е и к становятся коллинеарными. С учетом потенциаль- потенциальности волны уравнение C.3) дает для искомого инкремента сле- следующее выражение: где k ц ~ \d)Hb\/v. Максимум этого инкремента достигается при k ±=~\/2k и; он соответствует волне с частотой Юр/УЗ. 3.4. Возбуждение медленных необыкновенных волн. Медленная необыкновенная волна в электронной плазме характеризуется сле- следующей зависимостью показателя преломления N от частоты ю и угла 6 между направлениями волнового вектора и магнитного поля [7]: V2 _ (е« — g» — ет]) sin2 9 + 2вт] + [(еа — g* — в*!)* sin* 9 -f- Vg8 cos* 9]I/z ~~ 2 (e sin4 6 + Tj cos» 9) C.18) Здесь использованы обозначения, принятые в [7]: е=1—i-_- "" М' =l_-i Для возбуждения волны холодным пучком необходимо, чтобы ее показатель преломления был больше единицы. Соответствующий диапазон частот определяется неравенствами: 9,9 Г / 2 2 \2 "IVa а>Ъ +№„ . I f сон — со„\ . 9<> ..„I C19) 70
Будучи необходимым, соотношение C.19) вместе с тем еще не яв- является достаточным для выполнения условий черенковского и цик- циклотронного резонансов. Чтобы получить добавочное ограничение на частоту волны, найдем предварительно с помощью формулы C.18) максимум величины N2 по 8 при заданном значении со. Нетрудно показать, что если со лежит в интервале соР2<со2<Ссоя2, то искомый максимум отвечает волне, бегущей вдоль магнитного поля @ = 0), т. е. 2 А Чтобы мог реализоваться черенковский резонанс, значение N max должно, очевидно, быть больше, чем c2/v2; это требование приво- приводит к неравенству о2 — со | ©я | + (Opityfc2 — и2) > 0. C.20) Для циклотронного резонанса соответствующее ограничение полу- получается из сравнения величин N^nax и N2 = (c2/v2) A+ |<вяь/со|J. Полное описание возбуждения медленной необыкновенной вол- волны довольно громоздко. Поэтому ограничимся предельным случа- случаем сильного магнитного поля (|сон!^>сор) и не слишком высокой энергии пучка c2/v2—1»|соР/соя!. Из неравенств C.19) и C.20) следует, что в этом случае частота волны, возбуждаемой за счет черенковского резонанса, близка к циклотронной частоте соя- По- Последнее в равной мере относится и к циклотронному резонансу. Близость со к |соя( позволяет решить дисперсионное уравнение C.18) и получить простые приближенные выражения для частоты и вектора поляризации волны: C.21) Используя теперь уравнения C.2) и C.3), находим, что для черен- черенковского резонанса а для циклотронного г = J*. Л-ь-У'1-2г й? . (з.23) 2 \ п ) |шн| ^са+и^[(с2/«2)A + 1/7J-1] 71
Здесь учтено, что в случае черенковского резонанса ^|«[сон|/у, а при циклотронном резонансе k ц « (|сон|Д>) (l + 1/v). Сравнение формул C.22), C.23) с формулами C.16), C.17) показывает, что в сильном магнитном поле эффективность возбуждения медленных необыкновенных волн довольно низка (замагниченные электронные колебания обладают существенно большими инкрементами). 4. Кинетические неустойчивости пучка в магнитоактивной плазме 4.1. Возбуждение ленгмюровских волн при <йя<?<ор. Рассмотрим неустойчивости пучка с конечным разбросом частиц по скоростям в предположении, что разброс достаточен для выполнения условия применимости кинетического описания позволяющего вычислять инкремент неустойчивости по формуле A.7), в которой антиэрмитова часть тензора диэлектрической про- проницаемости определяется резонансами A.4). Выделив в тензоре A.8) вклад, связанный с обходом полюсов подынтегральных функ- функций, можно представить инкремент A.7) в виде oq - \\ Гфб(ик — па>нь — ft||t)cos0) х л=—оо а=ик X jp \eyvsinQJn + f8tae\4 dp у sine Wjj J pvcosQ o где / — функция распределения электронов пучка. Используя это выражение для инкремента, выясним здесь, как влияет разброс частиц на неустойчивости, перечисленные в § 3. Малость циклотронной частоты по сравнению с плазменной дает возможность пренебречь в формуле D.1) непотенциальностью ленг- мюровской волны и дисперсионной добавкой к ее частоте. В ре- результате такого упрощения инкремент D.1) принимает следующий вид: Г = ^, \фб(к»р — fe||0cos0 — па>нь) X i2f w i2f kJysmQ\/ 1 Jf_ , (opcos9-y df Анализируя эту формулу, удобно различать два предельных слу- случая: |&уДо [|>|<»ш>| и |&уДи 1||<|юнд}. Первый из них соответст- 72
вует сильному перекрытию циклотронных резонансов, когда для каждой волны необходим учет большого числа слагаемых с различ- различными значениями п. Во втором случае резонансы изолированы друг от друга, т. е. задание продольной составляющей волнового вектора однозначно определяет номер резонанса. Рассмотрим сначала случай перекрывающихся резонансов и по- покажем, что в этом случае влияние магнитного поля на инкремент пренебрежимо мало, т. е. выражение D.2) переходит в B.10). Для доказательства введем вспомогательную функцию оо ih (у У> — "S1 г (т\ Л (п г\ D Л\ которая с помощью соотношения б (х) — — f exp (i xx) dx —.оо преобразуется к виду оо оо г|)(х; г) = — f exp (— i xx) dx \ J2n (z) exp (i nx). D.4) —^oo П——>oo Ряд, стоящий под знаком интеграла, суммируется: fn {z) exp (i nx) = Jo Bz sin — \ D.5) П=-^оо (см. [22], с 117). Объединив теперь соотношения D.2) — D.5), получим df ofccose-v af dp ^ Wppysine dQ J ' где х= (аР—&||Ucos0)/<OHb; 2=(^i» sin0)/©H6. Если \k\\Av || |^>|сонь|, то ширина интервала, который пробега- пробегает величина х при интегрировании по импульсам, велика по срав- сравнению с единицей. При этом основной вклад в Г вносят малые зна- значения т, что позволяет заменить sin (т/2) в аргументе функции Бесселя величиной т/2 и выполнить интегрирование по т: (см. [23], с. 750). Получающееся в итоге выражение для Г совпа- совпадает с тем, что дает формула B.10), если учесть в ней аксиальную симметрию распределения частиц и выполнить интегрирование по азимутальному углу. 73
Обратимся теперь к случаю изолированных резонансов. В зави- зависимости от соотношения между разбросом электронов по скоростям и параметрами сон/сор и у-1 здесь возможны различные оценки ин- инкремента D.2). Не выписывая этих оценок, отметим только, что наиболее прост случай предельно малых значений углового раз- разброса пучка А0, когда основная роль в сумме D.2) принадлежит черенковскому резонансу. Соответствующий инкремент с точностью до множителя &?,/?2 совпадает с инкрементом раскачки волн, бе- бегущих вдоль пучка в плазме без магнитного поля. Если сонДор-С <ку~г, то черенковский резонанс остается доминирующим вплоть до А0~ \(дн/(а>ру) |. Если же ©н/сор^у, то необходимость учета дру- других резонансов возникает при Д0~ {<?>н/(?>р)х12у~312, причем здесь важны прежде всего старшие циклотронные резонансы (и=±1), а вклад остальных остается малым вплоть до А9~ \ан/ (а>Ру) |. При дальнейшем увеличении разброса сначала происходит увеличение числа резонансов, определяющих основные качественные свойства инкремента, а затем наступает перекрытие этих резонансов. 4.2. Возбуждение геликонов. Как уже отмечалось в § 3, черен- ковское взаимодействие геликонов с релятивистским пучком от- отсутствует. Это позволяет исключить из суммы D.1) слагаемое с я = 0. Во всех остальных слагаемых можно пренебречь частотой волны по сравнению с псонь- Подставив затем в формулу D.1) яв- явные выражения для частоты и вектора поляризации геликона [см. формулы C.7), C.8)], получим xl-^-Л \ Г dp8(k и v cos Q-\-n<x>Hb)x , sin 9/; Г mf JL. D.7) J pv sin 6 cos 9 dQ Отсюда видно, что причиной неустойчивости является анизотропия функции распределения пучка, причем в случае монотонно убываю- убывающей функции f(8) к неустойчивости приводят только аномальные циклотронные резонансы (я©яь<0). Вследствие малости разброса электронов по скоростям эти резонансы не перекрываются, т. е. для каждой заданной волны в сумме D.7) остается всего лишь од- одно слагаемое. Исключение составляют только резонансы с очень большими значениями п, но их вклад в инкремент пренебрежимо мал. Если между угловым и энергетическим разбросами пучка вы- выполняется соотношение A02>Ay/v, to в формуле D.7) можно вы- выполнить интегрирование по модулю импульса, заменив величины р и v под знаком интеграла их средними значениями. Выпишем ре- результат, который получается при этом для инкремента, соответст- соответствующего первому циклотронному резонансу. (Именно этот резо- резонанс ответствен за возбуждение геликонов холодным пучком): 74
Г = JL JS_ | соя 2 » k« sin 0 cos 9 d9 cos e=-(o#6/fc и t D.8) Здесь Ф(в) = Bя/яь) Г fp2dp. о Инкремент D.8) обращается в нуль при k± — 0 и &j_->-oo и име- имеет максимум при k±^k ц /А0. Если ДЭ^сон/юр!, то для макси- максимального значения Г справедлива следующая оценка: ^' D-9) 4.3. Возбуждение замагниченных электронных колебаний. При описании гидродинамической неустойчивости этих колебаний ис- использовалось предположение о малости плазменной частоты сор по сравнению с циклотронной частотой электронов пучка сонь. Сохра- Сохраним здесь это предположение. Вместе с условием малости углового разброса пучка оно позволяет пренебречь в формуле D.1) всеми резонансами, за исключением трех старших (п — 0 и л=±1). При- Применительно к черенковскому резонансу формула D.1) с учетом C.14) и C.15) дает Ъ-*г1г)- <410> где р ц=юк/(йцс). С учетом того, что в рассматриваемой ситуации аргумент функ- функции /о мал, эта функция заменена единицей. Инкремент D.10) мак- максимален при k± = Q. В максимуме он совпадает с инкрементом для ленгмюровской волны, бегущей вдоль пучка в плазме без магнит- магнитного поля. Если волна возбуждается за счет циклотронного резонанса, то, как было показано в § 3, ее можно считать потенциальной. Тогда тт t I k к k i I (О Г= + JL_L LJLAl ^_x 8 я k3 | aHb | X \ dp-^- -^— ?-8(&||Ocos0 ± | ®нь I ). D.П) Мы пренебрегли здесь производной df/dp, что оправдано при Д02<С <С| (сонь/сйр)Др/р|, и ограничились первым членом разложения функции Бесселя. Верхний знак в формуле D.11) соответствует нормальному резонансу, нижний — аномальному. При монотонном угловом распределении пучка к раскачке приводит только ано- 75
мальный резонанс. Отметим, что вследствие убывания инкремента D.11) с ростом магнитного поля циклотронное возбуждение волны оказывается менее эффективным, чем черенковское. 4.4. Возбуждение медленных необыкновенных волн. Рассматри- Рассматривая неустойчивость этих волн, ограничимся здесь случаем изоли- изолированных резонансов, что подразумевает выполнение условия Д62<С •Cl/y- Выпишем сначала с помощью формул C.21), D.1) инкре- инкремент, отвечающий черенковскому резонансу: dp p dQ D.12) Отсутствие в этой формуле функции Бесселя /о связано с малостью ларморовского радиуса электронов. Учет конечности ларморовского радиуса существен только для волн с очень большими значениями k± , которые при черенковском резонансе возбуждаются слабо. За- Заметим, что инкремент D.12) с помощью простых переобозначений выражается через инкремент раскачки ленгмюровских волн, бегу- бегущих вдоль пучка. Это позволяет воспользоваться при анализе фор- формулы D.12) результатами § 2. Найдем теперь инкременты, соответствующие циклотронным ре- зонансам. Как видно из формулы C.23), в случае холодного пуч- пучка максимум циклотронного инкремента достигается при &х~^°°> т. е. в области, где волну можно считать потенциальной. Если раз- разброс пучка мал, то в кинетическом случае за счет циклотронных резонансов также возбуждаются преимущественно потенциальные волны. Для них о $\ С 2 I k I V S'n ® \ Г = 2я2е2Шр —— I фб( | ©я | —гшнь — ^цf cosЭ)УлI — 1 х x\±JL + ( "lm^l -sin'e^ ? _?Ll. D.13) [ v dp V I a>H I J pv sin 9 cos 9 qq J Оценка этого инкремента зависит от соотношения между величина- величинами Д62 и A/у)Ар/р. Если A62<(l/v)Ap/p, то в формуле D.13) можно опустить производную df/dp и положить в аргументе б-функ- ции cos8=1. В этом случае неустойчивость обусловлена в основ- основном анизотропией функции распределения пучка. Для резонансов с небольшими значениями п максимум инкремента отвечает воз- возмущениям, у которых поперечный масштаб сопоставим с ларморов- ским радиусом частиц, а оценка максимального значения Г имеет вид %-f -*-. D.14) ии Ар П 76
Если A6^>(l/v)Ap/p, то основной причиной неустойчивости будет не анизотропия, а неравновесность энергетического распределения частиц. Оценивая соответствующий инкремент, можно полностью пренебречь разбросом электронов по импульсам. Тогда для первых циклотронных резонансов получается следующий результат: "я деа D.15) Чтобы выявить связь обсуждаемой неустойчивости с формой энергетического распределения электронов, достаточно рассмотреть инкремент D.13) для изотропной функции f(p), положив дополни- дополнительно &ц=0. В этом случае важны только нормальные цикло- циклотронные резонансы. Если в точке резонанса производная df/dp по- положительна, то волна неустойчива. Добавим, что наличие у функ- функции распределения участка с положительной производной может приводить также к раскачке обыкновенной электромагнитной вол- волны с законом дисперсии со2 = сор2 + &2с2. Подробное исследование неустойчивостей такого типа проведено в [24]. Эти неустойчивости определяют, в частности, характер реабсорбции синхротронного из- излучения в космической плазме [25]. 5. Пучковая неустойчивость в неоднородной плазме 5.1. Регулярная неоднородность. Влияние неоднородности плаз- плазмы на пучковую неустойчивость обусловлено нарушением резонан- резонанса между частицами и волной за счет изменения волнового вектора волны в неоднородной среде. Рассмотрим этот эффект на примере ленгмюровских волн, для которых выход из резонанса связан пре- преимущественно с неоднородностью концентрации плазмы. При до- достаточно плавном пространственном распределении концентрации зависимость волнового вектора от времени определяется уравне- уравнением геометрической оптики [26] dk/dt = —d(up/dr. E.1) Малость групповой скорости ленгмюровскои волны позволяет про- проинтегрировать это уравнение, считая его правую часть постоянной, т. е. пренебрегая пространственным смещением волнового пакета. При этом k = k0 — (d(Op/dr)t, E.2) где k0 — начальное значение волнового вектора. Зная инкремент неустойчивости в однородной плазме Г (к), найдем теперь увеличе- увеличение энергии волны, возбуждаемой пучком: г и W dt E.3) Здесь №т — уровень тепловых шумов, а пределы интегрирования соответствуют пересечению линии E.2) с границами области по- 77
Ложйтельнь1х значений инкремента. Чтобы волна могла сказать заметное воздействие на электроны пучка, показатель экспоненты в формуле E.3) должен превысить некоторую достаточно большую величину Л; эту величину обычно можно считать равной кулонов- скому логарифму (см. соответствующие пояснения в обзоре [27]). Таким образом, условие возбуждения волны сводится к следую- следующему неравенству: to Для оценок этот критерий удобно представить в виде Г L^Ll— > л, E.5) | д(х)р/дг | где |Дк| —ширина резонансной области в направлении изменения волнового вектора. Рассмотрим в качестве иллюстрации тот слу- случай, когда инкремент неустойчивости задается выражением B.14), а градиент концентрации плазмы параллелен направлению инжек- ции пучка. Приняв во внимание, что для волны с заданным k_i зна- значение A&j, входящее в оценку E.5), равно &j_ Д0'+ (соР/с)Д02 (см. рис. 1), получим [28] где д 1п<Вр дг~ п пь тс Отсюда видно, что влиянию неоднородности наиболее подверже- подвержены волны, распространяющиеся под малым углом к оси пучка (ftx^A0cop/c), а также волны с очень большими значениями k±_, которые, впрочем, представляют гораздо меньший интерес, так как из-за малости инкремента они возбуждаются относительно слабо даже в однородной плазме. Поэтому в случае, когда разрешено возбуждение волн с &х = 0, а это имеет место при щ| Л^1, роль не- неоднородности можно считать пренебрежимо малой. С другой сто- стороны, при ц и Л>1/BА0), когда неравенство E.6) не может вы- выполняться ни для одной волны, неоднородность столь сильна, что она вообще подавляет пучковую неустойчивость. При промежуточ- промежуточных значениях ^цЛA<См цЛ<с1/Д0) срыв неустойчивости имеет место лишь для достаточно малых либо, напротив, очень больших значений k ±. Заметим, что результат взаимодействия волны с пучком зави- зависит не только от модуля, но и от знака градиента плотности плаз- плазмы. Если плотность возрастает в направлении инжекции пучка, то волна, «двигаясь» по плоскости k ц; kx согласно уравнению E.2), сначала проходит ту часть резонансной области, где инкремент по- 78
ложйтелен (см. рйс. 1), а затем попадает в зону затухания, йо- этому колебания, рожденные пучком, могут им же и поглощаться (см. задачу 5.1). Если же пучок инжектируется в сторону спада плотности плазмы, то направление движения волны на плоскости (к II; ?j) становится противоположным. Затухание колебаний на электронах пучка в этом случае несущественно, поскольку в тече- течение всего того времени, которое волна проводит в зоне затухания, ее энергия близка к уровню тепловых шумов. Используя соотношение E.5), нетрудно выяснить также, при каких условиях становится существенной поперечная неоднород- неоднородность плазмы. Соответствующие оценки можно найти в обзоре [27]. Не повторяя их здесь, укажем только, что при поперечной не- неоднородности для срыва неустойчивости необходим больший гра- градиент плотности, чем_ при продольной. Это объясняется вытянуто- стью резонансной области в направлении k± (см. рис. 1). Еще одна отличительная особенность поперечной неоднородности состо- состоит в том, что в случае ультрарелятивистского пучка она не приво- приводит к сколько-нибудь заметной реабсорбции волн, поскольку почти во всей резонансной области знак инкремента зависит только от продольной составляющей волнового вектора [см. формулу B.13)]. 5.2. Случайная неоднородность. Если неоднородности плотно- плотности плазмы носят не регулярный, а случайный характер *, то вме- вместо рассмотренного в предыдущем разделе плавного изменения волнового вектора возникает картина многократного рассеяния волн. При статических или достаточно медленно меняющихся во времени возмущениях плотности рассеяние упругое: оно выравни- выравнивает спектральную плотность волн вдоль поверхностей соk = const, делая спектр эргодическим (зависящим только от частоты). Для эргодизации спектра необходимо, чтобы характерное время рас- рассеяния волн было намного меньше времени их возбуждения. Если это условие выполнено (а мы будем здесь предполагать, что дело обстоит именно так), то мощность, передаваемая пучком волнам с частотой со, задается следующей формулой **: QM = 2W (со) J Г (к) 6 (и — сок) dk, E.7) где W(a)—спектральная плотность энергии, а Г — инкремент не- неустойчивости. Покажем прежде всего, что в плазме без магнитного поля величина QM отрицательна. Это обстоятельство, обнаруженное в [29], означает, что упругое рассеяние волн способно в данном * Происхождение таких неоднородностей в реальных условиях может быть различным, это могут быть неоднородности, связанные со способом приготов- приготовления плазмы, звуковые колебания, возбуждаемые текущим по плазме током, медленные возмущения, порожденные высокочастотным давлением самих ленгмю- ровских волн, и т. д ** Величина Qa представляет собой мощность, приходящуюся на единичный частотный интервал, так что полная мощность, выделяемая в единице объема плазмы, равна J Q mdw. 79
случае привести к полному подавлению пучковой неустойчивости. Знак функции Qa определяется знаком величины <r> = Jr(kN(co-cok)dk, E.8) которую будем называть интегральным инкрементом. Поскольку в отсутствие магнитного поля закон дисперсии ленгмюровских волн изотропен, вычисление <Г> включает в себя усреднение ин- инкремента B.10) по направлениям волнового вектора (см. задачу 5.2): tri'c* сор k 2p]dp E.9) где f — усредненная по углам функция распределения пучка. Отсюда видно, что при любом значении модуля волнового век- вектора, т. е. при любой частоте, вклад затухания в <Г> действительно больше вклада накачки. Выясним теперь, как влияет на интегральный инкремент нали- наличие в плазме магнитного поля. Здесь возможна качественно новая ситуация: если поле не слишком мало, то появляется область ча- частот, в которой величина <Г> положительна, т. е. упругое рассея- рассеяние волн само по себе не обеспечивает стабилизации пучковой не- неустойчивости. Зависимость <Г> от магнитного поля обусловлена, вообще говоря, двумя факторами (влиянием поля на инкремент Г и на закон дисперсии волн сок), но можно показать, что в действи- действительности существенно только изменение закона дисперсии *. По- Поэтому, вычисляя <Г>, с самого начала воспользуемся для Г выра- выражением B.10). Хотя формула B.10) относится лишь к случаю сильного перекрытия циклотронных резонансов, она оказывается пригодной для вычисления <Г> также и в случае, когда резонансы расщеплены. Причина в том, что при сон^сор интегральный ин- инкремент включает в себя вклады сразу многих резонансов, а сум- суммирование этих вкладов сводится к замене в формуле E.8) истин- истинного инкремента D.2) выражением B.10) (см. [30]). Дальнейшие выкладки для сокращения записи проведем в без- безразмерных переменных, которые вводятся посредством следующих замен: [(ор/с]к; ¦оо„ р [тс] р; v - [с] v; 2со„ со —со. шя 1 "^7 J со; \Ч_ L (meK у- Г 1пге2пъ L та„ Г; E.10) Магнитная добавка к плазменной частоте определяется формулой C 6). 80
Ё йовых обозначейиях закой Дисперсии Ленгмюровских волн и интег- интегральный инкремент имеют вид E.11) E.12) где р=3гс2сор4/сон2с2 = 12ялТ/#2, а безразмерная частота отсчи- тывается от уровня, отвечающего плазменной частоте. При достаточно малом разбросе пучка в формуле E.12) можно положить f = 6(p х)б(р || —р), где р—средний импульс электронов, и выполнить интегрирование по Pj. и р j : Выполнив теперь интегрирование по кх и k\\, получим окончательно „ д ( k*-kik\v* pv u«|| \^ k*$-\-k*k\ +А2 — E.13) ft U -1/0 Здесь k2 следует рассматривать как функцию k j и со, определяе- определяемую условием со к = со, а дифференцирование по & g ведется при по- постоянном значении со. Чтобы проследить за изменением <Г> при увеличении напря- напряженности магнитного поля, обратимся к двум предельным случа- случаям: |5->оо и р-»-0. В первом из них преобладает тепловой вклад в дисперсию ленгмюровских волн, так что сок^Й2. При этом E.14) , со>р>2. В соответствии с результатом работы [29] это выражение отрица- отрицательно. В пределе р-»-0, когда дисперсия волн определяется преимуще- преимущественно магнитным полем, формулы E.11) и E.13) дают 0 - fe* (v* + W + 5) + k* (Эо« + 7) - 4 E 15) p [fe2(l + D2) — 2]3 ' " ' Здесь квадрат волнового числа связан с со и и соотношением со = A — 1/ЙУ) A — Щ2). E.16) В нерелятивистском (р<С1) и ультрарелятивистском (р^>1) слу- случаях формула E.15) упрощается и принимает следующий вид: J^7!^' р<<1> °<@<1: EЛ7) Н41 <г>яе п_ 2">/а-; , р>>1, 0<ш< 1. E.18) 2р (o1/i(i_fiI/i)a 81
Рис. 3. К смене знака интеграль- интегрального инкремента. В области, ле- лежащей выше кривой Р(и), инте- интегральный инкремент отрицателен при всех значениях ш 1 v Сравнение этих выражений с формулой E.14) демонстрирует воз- возможность смены знака интегрального инкремента при увеличении напряженности магнитного поля. Граничное значение р, при ко- котором впервые происходит такая смена, зависит от скорости пучка. Эта зависимость показана на рис. 3. Она получена численно из со- соотношений E.11) и E.13). Как видно из формул E.17) и E.18), при р->0 и ш<1/4 знаки <Г> для нерелятивистского и ультрарелятивистского пучков проти- противоположны. Поэтому должна существовать некоторая критическая скорость пучка v0, при которой область затухания, присутствующая в инкременте E.18), исчезает. Чтобы найти эту скорость, рассмот- рассмотрим поведение <Г> при ю-И). В этом случае k^l/v и <Г> = Bn/pv2) A — 2w2)/(l — v2) E.19) [см. формулу E.15)]. Видно, что для волн с ю-»-0 инкремент <Г> меняет знак при t> —1/У2. Покажем теперь, что при v <1/У2 ин- инкремент E.15) всегда положителен. Знаменатель в формуле E.15) положителен, поскольку k2 изменяется в пределах от l/v2 до со, так что знак <Г> определяется числителем, представляющим собой многочлен третьей степени относительно к2. Если &2з>1/и2 и <1/]/2, то числитель также положителен, поскольку при &2 = он положителен вместе со всеми своими производными, в чем лег- легко убедиться непосредственно. Таким образом, искомая критиче- критическая скорость Vo равна 1/У2. Найдем в заключение максимум интегрального инкремента при малых р. Формула E.15) не позволяет это сделать, так как при (й->-1 (&2->-оо) она дает для <Г> расходящийся результат. Расходи- Расходимость исчезает, если учесть конечность величины р, т. е. тепловую добавку к закону дисперсии волны. Уточненное выражение для <Г> в окрестности точки со= 1 имеет вид — — ;т-. E.20) ф [AШJ + 4р>2]3/* Отсюда следует, что <Г>тах= я/(ррЗ 1/3 ). Задача 5.1. Показать, что в плазме с нарастающей вдоль направления ин- жекции пучка плотностью затухание ленгмюровских волн на электронах пучка преобладает над раскачкой. Решение. Соотношение между накачкой и затуханием определяется зна- знаком интеграла от инкремента Г вдоль «траектории» волны на плоскости k^; fex, 82
f. e. вДоль Линии ?x = Const. Поскольку инкремент имеет вид B.10), достаточна выяснить знак величины = J l?k "^ "Vii -kJLv Учитывая малость разброса электронов по импульсам, функцию / здесь можно заменить б-функцией {=пь6(р ц—роN(р х). В результате получим у0 1 где t)o— \сРй/^Ро2+т2с2\. Знак «—» в этом выражении указывает на преобладаю- преобладающую роль затухания. Задача 5.2. Найти средний по направлениям волнового вектора инкремент возбуждения ленгмюровских волн в плазме без магнитного поля Г29]. Решение. Воспользовавшись формулой B.10), представим искомую вели- величину в виде где a= J (k/&2N((Bp—kv)do, a do — элемент телесного угла в k-пространстве. Элементарное интегрирование дает a- W [О, k<up/v. Для вычисления интеграла по импульсам введем сферические координаты р, 9, ф. В результате получим 4л3е2а>1 An У AV J УГ ' ' 5р где черта означает усреднение по 9 и <р. При интегрировании по частям отсюда получается формула E.9) Отметим, что усредненное значение Г равно инкре- инкременту B 10), вычисленному по усредненной функции распределения. 6. Квазилинейная релаксация РЭП в плазме без магнитного поля Линейная теория, изложенная в § 1—5, не дает ответа на воп- вопрос о последствиях пучковой неустойчивости, так как в ней не учи- учитываются факторы, ограничивающие экспоненциальный рост коле- колебаний. Одним из таких факторов является квазилинейная диффу- диффузия [31, 32], приводящая к перестройке функции распределения пучка f под воздействием возбуждаемых волн. Хотя в реальных условиях стабилизация неустойчивости чаще обусловлена другим эффектом — нелинейным взаимодействием волн друг с другом, уде- уделим все же некоторое внимание чисто квазилинейной задаче, по- 6* 83
скольку это позволит получить ряд оценок, полезных для построе- построения более реалистичной теории. Квазилинейное приближение описывает, как известно, только кинетический режим пучковой неустойчивости, что предполагает наличие у пучка не слишком малого разброса [см. неравенства B.6), B.9)]. Ориентируясь здесь на ультрарелятивистские пучки, будем считать, что наряду с неравенствами B.6), B.9) выполняет- выполняется также неравенство B.7). В случае стационарной инжекции та- такого пучка в полупространство z>0, заполненное однородной плаз- плазмой, система квазилинейных уравнений может быть записана в сле- следующем виде [15] *: чт dNt Ил. k cos Э' —*_ = 2IWk; F.1) /по)р дг Здесь инкремент неустойчивости T(k; 8'; г) задается формулой B.11), а коэффициенты диффузии связаны со спектральной плот- плотностью волн N(k; 0'; z) соотношениями: ™»р г dk с nsine: Dm) 4n%c3 I k J, [He;-cos9')(cose'- F.3) I = [cos 0 — (kc/(i)p) cos 0']/sin 9; cos 8i >2 = (o)p/kc) (cos 0 + sin 9 VkWlvfp — 1). В формулах F.1) — F.3) использованы сферические координаты р, 0, ф и &„ 0', фЛ. Функция jV нормдрована условием» сор jNdk/BлK = U, где U — энергия волн в единице объема плазмы. Основная качественная особенность квазилинейной релаксации РЭП в однородной плазме состоит в том, что пучок теряет энергию, практически не рассеиваясь, т. е. релаксация почти одномерна. Первое указание на одномерность релаксации содержится в [12]. Вывод об одномерности следует из анализа выражений для инкре- инкремента неустойчивости и коэффициентов диффузии. Напомним, что для квазилинейных задач характерно «стягивание» спектра волн в узкую окрестность максимума инкремента [33]. Ширина этой окрестности в "(/Л раз, где Л — кулоновский логарифм, меньше ши- * В уравнении F.1) не учитывается влияние пучка на групповую скорость ленгмюровских волн. Это приводит к дополнительному ограничению сверху на концентрацию пучка (более жесткому, чем условие применимости кинетического приближения) пь/п <gJTe/mc2) у (Д9L. 84
рины самого максимума. Как было показано в § 2, максимум ин- инкремента в интересующем нас случае соответствует волнам, бегу- бегущим почти вдоль направления инжекции пучка (см. рис. 2). Имен- Именно эти волны и возбуждаются в квазилинейном режиме до наибо- наиболее высокого уровня. Зная положение и ширину спектра волн, можно с помощью формулы F.3) оценить отношение коэффициентов диффузии Dpp и Dm :Dj,p/Dee~ (Дб)~2>1. Эта оценка показывает, что диффузия по импульсу идет много быстрее диффузии по углу, причем за вре- время увеличения углового разброса пучка вдвое по сравнению с на- начальным значением Л60 электроны теряют в плазме уже около половины своей начальной энергии. Выделим в плазме слой, на выходе из которого средняя энергия частиц пучка равна половине начальной и условимся называть тол- толщину этого слоя / длиной релаксации. Через левую границу в слой входит электронный пучок, а через правую слой покидают, кроме пучка, еще и рожденные им волны. Чтобы найти плотность энергии волн U справа от области релаксации, заметим, что здесь поток энергии волн, равный veU, где vg — характерная групповая ско- скорость, по определению становится сравнимым с начальным пото- потоком энергии частиц пучка Поскольку групповая скорость интере- интересующих нас волн по порядку равна Те/тс, оценка для U оказыва- оказывается следующей: U ~ пьтс?утс*ГГе, Т»1. F.4) Длину релаксации / можно оценить из того условия, чтобы волна, распространяющаяся в глубь плазмы, успевала в достаточ- достаточной мере нарасти на этой длине: l~Kvg/T. Учитывая одномерность релаксации, инкремент Г в этой формуле следует вычислять по на- начальному угловому разбросу пучка А0О. В итоге имеем [см. B.14)] / _ Л -1- -2- -^- -*l. Д9?. F.5) Юр щ тс* тс Полученный результат фактически следует понимать как оценку длины релаксации снизу, так как из-за нелинейной стабилизации пучковой неустойчивости длина релаксации может сильно возрасти. Оценки F.4) и F.5) согласуются с аналитическим решением модельной задачи, в которой спектр возбуждаемых пучком волн предполагается в точности одномерным [15, 27]. Не приводя здесь это решение, отметим лишь одну его любопытную особенность: в ходе релаксации появляются не только замедленные, но также и ускоренные электроны. В этом отношении оелятивистская задача качественно отличается от нерелятивистской (при одномерной ре- релаксации нерелятивистского пучка электроны могут только замед- замедляться [34]). Механизм ускорения электронов в ультрарелятивист- ультрарелятивистском случае показан на рис 4. Из условия черенковского резонан- резонанса следует, что при одномерном спектре колебаний волна с волно- волновым числом k взаимодействует со всеми электронами, лежащими 85
Рис. 4. Релаксация РЭП при од- одномерном спектре колебаний В на- начале релаксации электроны лежат на дуге окружности радиусом р0 Р\\ в плоскости (Рц; р ±) на луче, образующем угол 0 = arccos (&p/kc) с осью z. Если же в плазме возбуждены волны с волновыми век- векторами в некотором интервале k-<.k<ck+, то с ними взаимодей- взаимодействуют электроны, лежащие на лучах с углами 0 от в^ = = arccos ((dp/k-c) до 0+=arccos ((Hp/k+c) (рис. 4). Электрическое поле волн в одномерном спектре направлено вдоль оси z. Поэтому процесс релаксации сводится к диффузии электронов в пространст- пространстве импульсов вдоль линий рх = const. При этом, как видно из рис. 4, часть электронов пучка обязательно увеличивает свою энер- энергию по сравнению с начальной. Наряду с исследованием релаксации пучка, обладающего достаточно боль- большим угловым разбросом, представляет интерес также вопрос о релаксации пер- первоначально холодного пучка. Соответствующая задача с начальными условиями для пучка в однородной неограниченной плазме рассмотрена аналитически в [12, 16]. Позднее было проведено также численное моделирование процесса ре- релаксации (сначала в одномерном варианте [35, 36], а затем с учетом возбуж- возбуждения косых волн [37]). Хотя для количественного решения этой задачи квази- квазилинейное приближение непригодно, качественные особенности релаксации с его помощью выяснить можно. Дело в том, что, как было отмечено в § 2, максимум инкремента неустойчивости для пучка с малым разбросом лежит в области сты- стыковки гидродинамического и кинетического приближений. Поскольку ход релак- релаксации определяется теми волнами, уровень которых максимален, все оценки даже для первоначально холодного пучка можно делать, исходя из квазилинейного приближения. Необходимо только учесть, что теперь в процессе релаксации уча- участвуют волны, распространяющиеся под углом к оси пучка, что делает релакса- релаксацию существенно трехмерной электрическое поле косых волн приводит к уве- увеличению углового разброса пучка. Чтобы связать изменение углового разброса с потерей энергии, оценим от- отношение коэффициентов диффузии Dpp и Z)gg Если характерное значение попе- поперечной составляющей волнового вектора возбуждаемых волн равно k0, причем йо^Д9сор/с, то ?)рр/?>ее~о)р2/(^о2с2). По смыслу величин Dpp и De9 можно напи- написать, что (Др/Д,)* « (A9)S/(feijC*), F.6) где А9 и Др — средние значения разброса частиц по углу и по им- импульсу в каждый момент времени. Величина k0 в этой формуле отвечает точке сшивки гидродинамического и кинетического выражений для инкремента (| kAv | — ~Г), т. е. [см. формулу B.8)] 86
Выясним теперь, как изменяются с увеличением углового разброса величи- величины h и Др. При самых малых значениях Л0 (АЭ^ (пь/п)х'3/у1/> Для времени возрастания Д0 до (пь/пуI'3 можно написать следующую оценку: t ~ Л/Г ~ (Л/(ор) (пь/пу)-1'*. К моменту окончания этой стадии релаксации Лр/ро~Д9~ («s/«yI/3 и потери энергии, следовательно, очень малы. Кроме того, столь малый разброс по моду- модулю импульса еще не сказывается на разбросе частиц пучка по скоростям, так что При дальнейшем увеличении Д8 V/Wp » A/ДО3) пь/пу; Ар ~ рп (Д0L (пь/пу)-1. F.7) Граница применимости этой формулы зависит от соотношения между величина- величинами (пь/пI'3 и у~\ Если (пь/пI/3<у-\ то формула F 7) справедлива до тех пор, пока угловой разброс не достигает значения (пь/п)Х1г. Это происходит за время t~(A/(up)y(rib/n)-l/3. При Д9= (пь/п)х/ъ разброс электронов по импульсу, равный роУ(пь/пУ'г, начинает существенно влиять на величину | кДv |, и не- неустойчивость оказывается кинетической для всех волн Далее эволюция пучка может быть количественно описана в рамках квазилинейного приближения, одна- однако инкремент неустойчивости при этом будет определяться не только угловым, но и энергетическим разбросом электронов, что заметно усложняет исследование квазилинейных уравнений Если же (яг,/яI/3>у~\ то формула F 7) применима вплоть до Д6~ (пь/пуУ>*. При Д9« {пь/пуУ'А неустойчивость переходит в кине- кинетическую стадию [см. неравенство B 9)]*. К моменту перехода [^~(Л/<вр)Х X (пь/пу)-1'2] спектр колебаний становится почти одномерным (йос/а>р~Д0) и пучок теряет уже значительную часть своей начальной энергии (Ар~ро). Нетрудно проверить, что при (n&/n)I/s>Y~' разброс электронов по скоростям в течение всего процесса релаксации обусловлен преимущественно угловым раз- разбросом пучка. Перечисленные результаты могут быть переформулированы применительно к задаче о стационарной инжекции пучка в плазму. При этом, правда, возника- возникает дополнительное усложнение, связанное с тем, что холодный пучок может су- существенно влиять на групповую скорость раскачиваемых волн. В заключение остановимся вкратце на особенностях релаксации пучка в неоднородной плазме. При этом ограничимся случаем регулярной неоднородности, подразумевая дополнительно, что кон- концентрация плазмы зависит только от продольной координаты z и растет в направлении инжекции пучка. Формально учет неоднород- неоднородности сводится к добавлению в левую часть уравнения F.1) ново- нового слагаемого— (d(ap/dz) (dN/dk ). Как было показано в § 5, роль * В [16] в этом месте допущена неточность: для Д0 дана заниженная оцен- оценка A0~Y-i/2 (пь/п) '/6. 87
продольной неоднородности характеризуется параметром ц ц Л |"см. E.6)]. Если щЛ<с1, то неоднородность практически не влияет на возбуждение волн и, следовательно, на процесс релаксации. Если же |лцЛ^>1, то ситуация меняется: неоднородность срывает воз- возбуждение волн с k ±^(сор/с)А0, определявших картину релаксации в однородной плазме. Вместо этих волн раскачиваются волны с существенно большими значениями k± [см. E.6)]: k± ^ К/с) ц | ЛД8 > (а>р/с) Д9. В результате возрастает поперечная составляющая электрического поля волн и становится более быстрой диффузия электронов пучка по углу. Соотношение между коэффициентами диффузии Dpp и .Dee оказывается следующим: Dee/Dpp^; (ццЛДбJ. Теперь при увели- увеличении углового разброса вдвое по сравнению с начальным значени- значением пучок теряет уже не половину своей энергии, как это было в од- однородной плазме, а лишь малую ее часть: Согласно условию E.6) диффузия электронов по углу должна про- продолжаться до тех пор, пока разброс Д0 не станет порядка (|хц Л), после чего раскачка колебаний прекращается и релаксация закан- заканчивается. Весь этот процесс удается описать количественно [15, 27], что, однако, требует довольно громоздких вычислений. Приве- Приведем здесь лишь конечные формулы для зависимостей углового раз- разброса пучка Д0 и плотности энергии ленгмюровских волн от коор- координаты 2: A6 = 2,7(g/A)V.; 3,76 ga зте /пс* ю. с Интересная особенность этого решения состоит в том, что релак- релаксация идет в две стадии. На первой из них (g ^?m) колебания воз- возбуждаются пучком, а на второй частично им же поглощаются. На возможность такого явления уже указывалось в § 5. Процесс ре- релаксации заканчивается при Ь,~1/(ц\\), когда угловой разброс пучка достигает критического значения, соответствующего срыву неустойчивости. При дальнейшем увеличении | энергия волн и раз- разброс электронов уже не изменяются.
7. Нелинейное взаимодействие и струйные спектры ленгмюровских волн Рассматривая нелинейные эффекты с участием возбуждаемых пучком волн, будем действовать в рамках теории слабой турбу- турбулентности [38—40], которая, как известно, основана на предполо- предположении о малости энергии волн U по сравнению с тепловой энергией плазмы и включает в себя процедуру статистического усреднения по фазам взаимодействующих волн. В первом порядке по параметру U/(nT) уравнения теории слабой турбулентности совпадают с ква- квазилинейными уравнениями. В следующем (втором) порядке они описывают явления индуцированного рассеяния и распада волн. Для системы плазма—пучок величина U/(nT) обычно пропорцио- пропорциональна другому малому параметру: пь/п (примером может служить квазилинейная релаксация пучка в однородной плазме). При этом оказывается, что квазилинейный вклад в кинетическое уравнение для волн и вклад процессов второго порядка зависят от пъЫ оди- одинаково (квадратично) *. Иными словами, процессы второго порядка (в отличие от остальных) могут быть существенными даже для пучков достаточно малой плотности. В этом смысле они сильно вы- выделены по сравнению со всеми другими процессами, относительный вклад которых убывает с уменьшением щ. В простейшем случае изотермической плазмы без магнитного поля ленгмюровские волны, возбуждаемые пучком, могут участво- участвовать в следующих процессах второго порядка (рис. 5): 1) рассеяние на электронах и ионах плазмы (рис. 5,а); 2) рассеяние на электронах и ионах плазмы с трансформацией в электромагнитные волны (рис. 5, б); 3) слияние двух ленгмюровских волн в электромагнитную вол- волну (рис. 5,в); 4) слияние ленгмюровской и электромагнитной волн в электро- электромагнитную волну (рис. 5,г). Сравнение вероятностей перечисленных процессов показывает, что в задаче о нагреве плазмы с помощью РЭП главным из них обычно является индуцированное рассеяние ленгмюровских волн . а) 7 Рис 5. Нелинейные процессы с уча 7*": ** *" /*~* Ю стием ленгмюровских волн: ' >ь е — электрон; I — ион; I — ленгмюровская ^ j Г^ч волна; t — электромагнитная волна -/\ Я ^v. ~t Ъ\ / * > ^ e,v e,i * Дополнительная малость квазилинейного вклада обусловлена тем, что па- параметр пь/п определшет не только энергию волн, но также и значение инкремента 89
на ионах *. Именно этому процессу и уделено ниже основное вни- внимание. При рассеянии волны с волновым вектором к и частотой и (к) на частице, движущейся со скоростью v, волновой вектор к' и ча- частота со (к') вторичной волны удовлетворяют соотношению со (к) — со (к') = (к ~ к', v), G.1) которое представляет собой условие черенковского взаимодействия частицы с биениями, образованными парой волн. В случае максвел- ловского распределения частиц биения затухают, т. е. энергия ча- частиц растет, а энергия волн, испытывающих рассеяние, уменьшает- уменьшается [42]. Поскольку число волн при рассеянии остается неизменным, уменьшение энергии волн может происходить только в результате уменьшения их частоты. Отсюда следует, что рассеяние ведет к пе- перекачке плазмонов в длинноволновую часть спектра. Возбуждение, затухание и спектральная перекачка волн описываются следующим кинетическим уравнением: kk'M,' . G.2) k BяK- 1 > В случае рассеяния на ионах входящее сюда ядро Лкк' имеет вид (см., например, [41]) 8е(м_; к_) — т ' Г к_ -^-'б (©„ — k_v) dp, G.3) J dp е(ш_; к_) где со-=со(к)—со(к'); к_ = к—к'; е — диэлектрическая проницае- проницаемость плазмы, а ее — ее электронная часть; f( — функция распре- распределения ионов. Прежде чем приступить к решению уравнения G.2), упростим ядро G.3); воспользовавшись для этого малостью шага спектральной перекачки. Из соотношения G 1) видно, что в эле- элементарном акте рассеяния частота ленгмюровской волны изменя- изменяется на kvn, а модуль волнового вектора — на G-4) При не слишком низкой температуре плазмы величина Д& (шаг перекачки) оказывается малой по сравнению с самим волновым вектором, что позволяет записать ядро A kk' в так называемом дифференциальном приближении [43]. Учтем сначала малость фа- фазовой скорости биений со-/[к_| по сравнению с тепловой скоростью электронов и положим ее= l/(k2rD2). Подставляя в формулу G.3) явное выражение для е и пренебрегая единицей по сравнению ее, получаем Акк' = co_ —k_v+io * Сводку формул для вероятностей можно найти, например, в [41]. 90
При максвелловском распределении ионов функция Ф зависит только от отношения ю-/|к_|=м. Условие дифференциальности спектральной перекачки означает, что масштаб изменения мнимой части Ф мал по сравнению с характерным значением фазовой ско- скорости биений. Поскольку к тому же 1тФ — нечетная функция и, ее можно считать пропорциональной производной от б-функции, т. е. 1тФ(и) =Л6'(«). G.6) Коэффициент А определяется из условия А =— J и\тФ{и)<Ы. —оо Для вычисления интеграла воспользуемся тем, что благодаря ана- аналитичности диэлектрической проницаемости (см. [26]) функция Ф(ы) не имеет особенностей в верхней полуплоскости комплексной переменной и. Поэтому А = 1т\и[Ф(и) — \]du, с где контур С представляет собой полуокружность большого радиу- радиуса в верхней полуплоскости. На этом контуре Ф(и) = 1 + Т/(Ми2), т. е. А = пТ/М. G.7) Комбинируя соотношения G.5) —G.7), находим А = i^V JkkT_ g, Г со (k)-co (k>) I g тМ кЧ'г L |к— к'| J V ; Если принять во внимание явный вид закона дисперсии ленгмюров- ских волн, то аргумент б'-функции можно выразить через раз- разность модулей векторов к и к': Аt ~г "^(п п'J'п ~"' '2 б'{k - п G-9) Акit i Здесь n = k/?; n' = W/kr. Для дальнейшего изложения понадобится также формула для Лкк' в аксиально-симметричном случае. Обозначив х и х' проек- проекции единичных векторов п и п' на выделенное направление и усред- усреднив Лкк' по азимутальному углу, нетрудно получить, что где Т (х; х') = 1—х2 — х'2 — Зхх' + Зх2х'2 + ЗЛ' + Зх'3х — Ьх*х'\ G.11) Из приведенного здесь вывода видно, что в случае неизотерми- ческой плазмы под Т в формулах G.9), G.10) следует понимать 91
температуру электронов. При Ге>7\- ядро G.9) описывает спек- спектральную перекачку ленгмюровских волн за счет процессов распа- распада l-*-l+s, где символом s обозначена ионно-звуковая волна. Если уровень звуковых колебаний достаточно высок, то уравнение G.2) следует уточнить, добавив в него члены, зависящие от интенсивно- интенсивности звука (см. § 11). Выясним теперь, какова структура стационарных решений урав- уравнения G.2). Для определенности будем считать при этом, что ин- инкремент Гк аксиально симметричен; тогда и функция N* зависит только от k и х. Условия, определяющие стационарный спектр, имеют вид: Г (А; х) = 0, N{k; х)фО\ G.12) Г (A; *)<0, N(k; х) = О, G.13) где *) = 2Г(*; х) +-J- JJL Л± А- ^Т(х; x>)N(k', x')dx>. G.14) Соотношение G.13) представляет собой требование устойчивости спектра. Следует обратить внимание на то, что интеграл, входящий в формулу G.14), является многочленом третьего порядка по х с ко- коэффициентами, зависящими от модуля волнового вектора. Что же касается инкремента неустойчивости T(k; x), то его угловая за- зависимость, вообще говоря, не имеет такого вида. Поэтому при каж- каждом фиксированном значении k условие G.12) может выполняться лишь в отдельных точках х(=я,(&) (?=1, 2, ...). Эти точки образу- образуют на плоскости (х; k) линии x{(k), называемые далее струями. Ясно, что спектральное распределение колебаний должно быть со- сосредоточено именно на струях [только здесь обращается в нуль Г(k; x)]. Иными словами, функция N(k; x) может быть записана в следующем виде [44]: N (А; х) = f\ Nt (k) 6[x-xt (A)], G.15) где xt(k)—форма струи с номером ?, а М( — ее интенсивность. Предположим, что нам известно количество струй К и их форма. Тогда условия f[k; *,(А)]=0, / = 1, 2, . . . , К, G.16) дают систему К обыкновенных дифференциальных уравнений для определения интенсивностей. Поскольку нули функции Г(&; х) являются одновременно ее максимумами [см. G.13)], на каждой струе должна быть равна нулю еще и производная дГ/дх, т. е. 92
дТ (к, х) = 0 . = j 2 ^ 7 j^ Исключение составляют только струи, расположенные на границах интервала изменения х. Для них знак равенства в формуле G.17) следует заменить знаком «>» при xt(k) = l и знаком «<» при *«(*)=—1. Соотношения G.16), G.17) вместе с формулой G.15) образуют замкнутую систему уравнений для определения xt(k) и Nt(k). Ко- Количество струй К должно быть подобрано таким образом, чтобы обеспечить устойчивость спектра в целом, т. е. выполнение условия G.13) при всех тех значениях х, где струи отсутствуют. (Конкрет- (Конкретные примеры струйных спектров построены в § 9, 12.) В соответствии с общим свойством процесса рассеяния струи переносят по- поток ленгмюровских квантов по спектру в область малых волновых чисел. Найдем величину П*, равную средней (по углам) плотности потока квантов через сферу радиусом k в пространстве волновых векторов. Для этого усредним уравнение ¦j- N {к; х) =Т {k; х) N (k; x) G.18) at по углам и введем обозначение 1 = — j N{k;x)dx. В результате получим д 1 д Второе слагаемое в левой части этого соотношения представляет собой дивер- дивергенцию плотности потока Щ, где п1 f 4йа jdx j dx'T {x'X>)N (k; X)N (k'x>)- Используя формулу G.15), можно выразить поток через параметры струй. В стационарном случае в области, где отсутствуют накачка и затухание, по- поток через любую сферу должен быть одинаковым. Решение уравнения G.18), от- отвечающее постоянному потоку, имеет вид N{k\x) = (\l&)F(x), G.20) где F(x)—произвольная положительная функция х. Этот спектр, вообще гово- говоря, не является струйным, поскольку для него Г(?; х) равна нулю при всех значениях х. Вид функции F(x) определяется условиями сшивки решения G.20) со спектром, существующим в области возбуждения колебаний. В заключение этого параграфа рассмотрим вопрос о ширине струй. Для этого включим в правую часть G 2) источник тепловых шумов е*. При учете шумов стационарный спектр удовлетворяет уравнению N(k; x)T(k; x)+ek=0- Принимая во внимание малость величины е», можно утверждать, что в том ме- 93
бте, где распбложена струя, функция Г(й; х) (так же, как и при е*=0) должна иметь максимум. Но теперь максимальное значение Г будет не нулем, а малой отрицательной величиной. Обозначим положение струи x(k). Тогда в окрестности точки x=x(k) Г (ft; *) = -aft-pJx-*(*)]2; Соответственно АГ (А; х) = 8ft/{aA + р„ [*-* (А)]2}. G.21) Коэффициент Рй можно найти, зная функцию T(k; x) при е*=0, т. е. в пре- пределе нулевой ширины струи. Для определения а* воспользуемся тем, что в пер- первом приближении по 8* интенсивность струи N(k) должна быть неизменной: 1 Ч dx nek N(k)~ у Отсюда имеем «ft = пЧЩ^М2). G.22) Из полученных формул видно, что при малых значениях &k ширина струи, рав- равная е*/(Р*#), мала по сравнению с характерным масштабом изменения функции Y(k; x). (Изложенные рассуждения относятся только к тем струям, которые расположены не слишком близко к краям промежутка [—1; 1].) Заметим, что в реальных условиях причиной уширения струи могут быть не только тепловые шумы, но также и нелинейные процессы высших порядков [44]. Более подробно их роль будет рассмотрена в § 11. 8. Устойчивость стационарного спектра в задаче об индуцированном рассеянии волн Продолжим исследование уравнения G.2). Дискретная система, аналогичная этому уравнению, п ^tJNj (8.1) привлекла внимание более полувека назад, когда В. Вольтерра применил ее для описания динамики биологических популяций [45]. Если иметь в виду плазменные приложения, то наряду с ин- интересующей нас задачей о турбулентности, возбуждаемой электрон- электронным пучком, к уравнению G.2) сводится ряд задач о параметриче- параметрической турбулентности (см., например, [46]). Это уравнение ис- используется также в нелинейной оптике [47]. Дополним уравнение G.2) источником шумов ек dNk/dt = 2Гк#к + #к J Akk>Nk>dk/BnK + ek (8.2) 94
й, следуя [48], рассмотрим вопрос об установлении его стационар- стационарных решений. Конкретный вид ядра Акк' в данном случае не ва- важен. Существенно лишь то, что при рассеянии сохраняется число квантов. Формальным выражением этого является антисимметрия ядра по отношению к перестановке аргументов к и к': ^кк' == —"к'к" Предположим, что стационарное решение существует и обозна- обозначим его N\i, Функция N к удовлетворяет уравнению Nk [2Гк + J Лкк^к-Л7BяK] + ек = 0. Найдем отсюда инкремент неустойчивости Гк и подставим Гк в урав- уравнение (8.2). В результате получим l\i Т; \ dk' dt - jvfe ' "»j"" * »< Bя). • Домножим обе части этого соотношения на (Nk—Nk)/Nk и проин- проинтегрируем по к. Учитывая антисимметрию ядра Акк>, имеем , (8.3) dt J NkNk BnK' V ' где -Nkin(Nk/Nk)] dk/BnK. (8.4) Интеграл / аналогичен функции Вольтерра (см. [45], с. 265), с по- помощью которой доказывается устойчивость решения системы (8.1) при отрицательно определенной квадратичной форме AikNiNh. Пра- Правая часть равенства (8.3) обращается в нуль только в том случае, когда спектр Nkсовпадает с Nk. Для любого другого распределе- распределения волн она меньше нуля, так как 8k, N кя Nk —положительно определенные функции. Таким образом, в нестационарном случае интеграл / обязательно уменьшается со временем. Заметим теперь, что этот интеграл ограничен снизу, поскольку при любых значени- значениях д;>0 выполняется неравенство х—1—lruoO. Из сказанного следует, что при любом начальном условии решение уравнения (8.2) стремится к стационарному (если, разумеется, стационарное состояние вообще существует). Ясно также, что стационарное ре- решение единственно (если бы существовали два решения, то, выбрав одно из них в качестве Nk, а другое в качестве Afk, получили бы, что д1/дЬфО). Условие (8.3) позволяет получить полезную оценку максималь- максимального числа квантов, существующих в системе в каждый момент пе- перехода к стационару. Запишем для этого следующее соотношение: ?klnA^.</gi (8.5) где величина /о соответствует начальному распределению квантов, 95
а N и #— соответственно полное число квантов в момент времени / и в стационарном состоянии (предполагается, что в стационарном состоянии число квантов конечно). Для интеграла, входящего в формулу (8.5), можно написать следующую цепочку неравенств: JVk B*) Комбинируя соотношения (8.5) и (8.6), находим, что Перейдем теперь к оценке характерного времени релаксации спектра т. Есте- Естественно ввести это время следующим образом: К Простое исследование выражения (8.7) на максимум показывает, что величина т максимальна на заключительной стадии процесса релаксации, когда Nk и Nk близки друг к другу. Поэтому 1 Nk < ~ max -i . (8.8) 2 k e % }< 2jek(JVk/Wk —1J dk 2 Как видно из формулы (8.8), при заданной спектральной функции Nk время Tmai обратно пропорционально мощности источника шумов Фактически tmax равно тому времени, в течение которого источник шумов «накачивает» в каждой обла- области k-пространства столько квантов, сколько их должно быть в стационарном состоянии. Поскольку интенсивность источника шумов, как правило, мала, ттах обычно значительно больше обратного инкремента Tj^ Эта «двухмасштабность» задачи требует соблюдения известной осторожности при численном моделирова- моделировании установления спектра: время счета должно быть согласовано с величиной Ттах. Последнее замечание относится, в частности, к [49], авторы которой ори- ориентировались при расчетах на заниженное время релаксации, полагая это время равным обратной частоте столкновений. Процесс установления спектра качественно можно представить себе следую- следующим образом На первой (быстрой) его стадии скорость спектральной перекачки волн за счет рассеяния примерно сравнивается со скоростью генерации и обес- обеспечивается выполнение «грубого» (энергетического) баланса между накачкой и затуханием; при этом в спектре могут наблюдаться значительные (порядка еди- единицы) осцилляции относительно стационарного уровня На второй, более дли- длительной стадии эти осцилляции постепенно затухают и устанавливается истинно стационарный спектр. Колебательный характер установления спектра отчетливо 96
виден на простейшем ярймере Двухуровневой системы: Линеаризовав уравнения (8.9) на фоне стационарного решения (f}x; ЛУ, нетруд- нетрудно показать, что малые отклонения величин Ni и Na от стационарных значений колеблются с частотой В отсутствие тепловых шумов (ei = 82=0) эта частота вещественна и движение периодично. Наличие шумов делает колебания затухающими, причем время за- затухания соответствует оценке (8.8). Отметим еще, что при ei = e2i=0 средние по времени значения Ni и Л^ равны Ni и N2. Это утверждение, очевидное для ма- малых колебаний, остается верным и для произвольного решения системы (8.9) (см. [45]). Изложенные в этом параграфе результаты легко распространить на тот случай, когда при рассеянии может происходить трансформация исходных волн в волны другого типа. В качестве примера можно назвать, скажем, рассеяние ленгмюровских волн с трансформацией в электромагнитные (см. рис. 5). Обоб- Обобщение формулы (8.3) на случай нескольких типов волн (iv?, t=l, 2...) имеет вид К-ЧУ ак К К Bя)« Значения величины /' для каждого сорта волн вводятся по формуле (8 4). 9. Релаксация РЭП в режиме рассеяния волн на ионах 9.1. Качественное рассмотрение. В задаче о стационарной ин- жекции РЭП в плазму спектральная перекачка волн за счет их рассеяния на ионах обычно оказывается более быстрым процес- процессом, чем учитываемый квазилинейной теорией вынос волн с группо- групповой скоростью из области релаксации пучка. Увеличение фазовой скорости волн в ходе спектральной перекачки приводит к тому, что волны выходят из резонанса с электронами пучка и, следователь- следовательно, перестают усиливаться (рис. 6). Этот механизм ограничения Рис. 6. Стабилизация пучковой не- неустойчивости вследствие индуцирован- индуцированного рассеяния ленгмюровских волн на ионах Штриховкой выделена ре- резонансная область. Стрелками пока- показано направление спектральной пере- перекачки. Точками отмечена область, вы- выделенная законами сохранения при однократномрассеянии волны k\\ 0, kxo 4 Зак. 1441 97
роста волн впервые рассматривался в [50] в связи с задачей о релаксации нерелятивистского пучка. Для релятивистского пучка соответствующая задача была решена в работах [51, 44], которых мы и будем здесь придерживаться. Как уже отмечалось в § 7, взаимодействовать друг с другом при рассеянии на ионах могут только волны с близкими по моду- модулю волновыми векторами. Из этого факта и структуры инкремента пучковой неустойчивости следует, что в нелинейном режиме релак- релаксации спектр волн, взаимодействующих с пучком, существенно трех- трехмерный, т. е. в резонансной области, показанной на рис. 6, имеют- имеются волны с большими значениями k± (k j.~a>p/c). Чтобы пояснить это, рассмотрим другую ситуацию: допустим, что спектр резонанс- резонансных волн близок к одномерному. Это значит, что в области k> >(сор/с) A + е), где е<1, резонансные волны отсутствуют, а име- имеются только нерезонансные волны, обеспечивающие стабилизацию неустойчивости. Легко понять, что такое состояние не может быть самоподдерживающимся: в результате рассеяния плазмоны из об- области k>((dp/c) A + е) быстро перекачаются в длинноволновую часть спектра, после чего нелинейная стабилизация неустойчиво- неустойчивости при k> {(dp/с) (l'+e) прекратится и пучок возбудит в резонанс- резонансной области такие волны, у которых k± по порядку равно сор/с, т. е. спектр станет трехмерным. При трехмерном спектре резонансных волн диффузия электро- электронов пучка в пространстве импульсов также трехмерная. Поэтому в нелинейном режиме релаксации (в отличие от квазилинейного) должно наблюдаться существенное увеличение углового разброса пучка. Принимая во внимание, что характерное значение kx при- примерно равно (Лр/с, и используя формулу F.3), нетрудно получить следующую оценку компонент тензора диффузии: (9.1) где UR — плотность энергии резонансных волн. Если разброс элек- электронов пучка по импульсам мал, то по смыслу величины Dee можно написать, что ?1 (9.2) СД0Яеег/«. dz pi nAQp20 Входящую в это соотношение величину Ur оценим из условия Гт?~1, (9.3) где Г — характерное значение инкремента неустойчивости, а т* — время спектральной перекачки возбуждаемых пучком волн. Соглас- Согласно уравнению G.2) и формуле G.9) ^LJLJL. (9.4) ur m пи?
Вычисляя %\г по эйергии резонансных волн, мы предполагаем тем самым, что в резонансной области сосредоточена примерно поло- половина (или еще большая часть) всей энергии, приходящейся на волны с k^(op/c. Именно такая ситуация реализуется в случае струйного спектра турбулентности, что будет подтверждено ниже точным решением задачи о форме спектра. Оценки (9.3), (9.4) вместе с формулой B.14) для Г дают UR * \0пьТ — — -^—, (9.5) н ь m me* рД9а v ' Подставив значение UR в соотношение (9.2), получим следующее уравнение для углового разброса пучка Д8: п m \ me* J \ р0 ) (Д6)* ' dz Отсюда А0 = (г/01/., (9.6) где / =-L _?_ _±- JL (J0L\* (-Е*-^ (9 7) 20 со, пь М \ Т J \ me J Величину / естественно назвать длиной релаксации пучка. На рас- расстоянии / от границы плазмы угловой разброс пучка достигает зна- значения А8~1. На этом же расстоянии пучок теряет основную часть своей энергии. Действительно, поскольку порядок всех трех коэф- коэффициентов диффузии одинаков [см. (9.1)], можно утверждать, что относительное уменьшение средней энергии электронов и увеличе- увеличение углового разброса пучка в процессе релаксации связаны друг с другом соотношением : (9.8) Отсюда видно, что «энергетическая» длина пробега пучка в данном случае равна длине рассеяния. Само собой разумеется, что ввиду оценочного характера фор- формулы (9.7) численному множителю в ней не следует придавать слишком большого значения. Тем не менее он оставлен, поскольку более тщательное рассмотрение (см. ниже) показывает, что коэф- коэффициент в формуле для / близок к 0,05. Вычислим теперь энергию, которую пучок выделяет в единицу времени в единице объема плазмы: Формально эта величина расходится при малых значениях z, но надо иметь в виду, что формулы (9.6) и (9.8) применимы только при Д0^Д6О) где Д0О — начальный угловой разброс пучка, т. е. при 99
z^/(A0oM. Отсюда видно, что <?Wx~«bC2po/EZ(A0oL). Ширина мак- максимума на кривой q(z) порядка /(Д80M. На масштабе ЦД0оM пу- пучок теряет энергию порядка сроЛ0о (в расчете на одну частицу). Затем мощность энерговыделения быстро убывает, и основную энергию релятивистские электроны теряют на значительно большем расстоянии (порядка /). Изложенные оценки дают представление лишь о самых грубых свойствах процесса релаксации. Для выявления более тонких де- деталей требуется не только оценка плотности энергии ?/«, но и зна- знание спектра турбулентности. Для стационарного случая этот спектр удается найти, но время установления стационарного состояния, как было показано в § 8, довольно велико. Поэтому в реальных условиях спектр может оказаться и нестационарным. Это обстоя- обстоятельство, однако, не влияет на оценку длины релаксации (9.7), поскольку условие баланса между накачкой колебаний и их сто- стоком в длинноволновую область должно выполняться в среднем по времени даже в отсутствие истинного стационара. Таким образом, формула (9.7) не очень чувствительна к структуре спектра и по- потому достаточно надежна. В рассматриваемой схеме релаксации энергия, выделенная пуч- пучком, поступает за счет рассеяния в длинноволновую часть спектра, где фазовая скорость превосходит скорость света и отсутствует за- затухание Ландау. Одним из механизмов диссипации длинных волн может быть их затухание в результате электрон-ионных столкно- столкновений. При небольших превышениях инкремента неустойчивости Г над частотой столкновений ve>(r—Vei<Cvei) столкновения способны обеспечить поглощение волн еще до того, как волны при рассеянии попадут в область предельно малых значений^ fa^r^'Vtn/M}. Ес- Есl ли же r^>ve,-, то при k^.r dl~VtnlMформируется ленгмюровский кон- конденсат, энергия которого в случае столкновительной диссипации связана с энергией резонансных волн соотношением \лиь = Шц. (9.10) Наличие конденсата создает благоприятные условия для развития модуляционной неустойчивости [52] и включения дополнительного механизма диссипации, связанного с ленгмюровским коллапсом [53]. При этом роль столкновений становится несущественной, а попавшая в конденсат энергия быстро перебрасывается в коротко- коротковолновую часть спектра, где поглощается электронами плазмы вследствие затухания Ландау. Максимальная мощность, диссипи- руемая в результате коллапса, определяется следующей оценкой [54]: 'Us. JL\'\ (9.Ц) пТ М J К ' Включив величину Р в левую часть соотношения (9.10) и восполь- воспользовавшись формулами B.14) и (9.5), можно оценить энергию кол- лапсирующего конденсата. Заметим, что эта оценка подразумевает 100
малость влияния конденсата на остальные волны (в частности, ре- резонансные). Правомерность такого подхода обоснована в § П. Перейдем теперь от оценок к количественному анализу спектров возбуждаемых пучком волн, что позволит получить более полное представление о картине релаксации пучка. 9.2. Стационарный спектр. Если ограничиться учетом только одного нели- нелинейного эффекта — индуцированного рассеяния ленгмюровских волн на ионах,— то задача об отыскании стационарного спектра сводится, как было показано, к соотношениям G.12), G.13). В этих соотношениях удобно перейти к безразмер- безразмерным переменным, сделав следующие замены: ? Г + Г*Г; к^-^-к; ®р т mat (9.12) Здесь Г, — максимальное значение инкремента пучковой неустойчивости; соглас- согласно формуле B.14) тс 1 (9.13) Г* = асо„ (Д9)* Г О Чтобы упростить дальнейшие вычисления, будем считать, что возбуждаются двумя одинаковыми пучками, распространяющимися друг другу. (Если имеется только один пучок, то решение задачи не принципиаальных отличий, но требует чис- численного интегрирования уравнений) Ситуа- Ситуация с двумя пучками реализуется, напри- например, в случае, когда на одном конце уста- установки плазма граничит с вакуумом, а ток ускорителя велик по сравнению с критиче- критическим вакуумным током. Встречный пучок при этом возникает вследствие почти пол- полного отражения исходного пучка от ваку- вакуумной границы. Если длина плазменного сгустка мала по сравнению с длиной релак- релаксации, то во всем объеме плазмы функции распределения исходного и встречного пуч- пучков будут одинаковыми, а инкремент неус- неустойчивости Г(&; х) —симметричным относи- относительно замены х на — х. Естественно считать, что такой же симметрией колебания навстречу содержит 0 о Рис. 7. К определению числа струй. Струям соответствуют нули функции Т(х) i - S) 101
обладает и спектр. Тогда вклад в интеграл G.14) дает лишь четная по х часть ядра Т(х; х'), т. е. можно положить Т (х; х') = 1 — х2 — х'2 + 3*V2. Г9.14) Как было показано в § 7, стационарный спектр в рассматриваемой задаче должен быть струйным. Чтобы найти число струй, рассмотрим поведение полного инкремента Г (ft; x) [см. G.14)] при некотором фиксированном значении ft. Об- Обратимся для этого к рис. 7, на котором представлены три качественно различные возможности. Узкие выбросы на графиках соответствуют области взаимодействия волн с пучком. Видно, что при х>0 в спектре имеется не более двух струй, одна из которых лежит в резонансной области (*=*»)> а вторая (если она вообще существует) либо при х=0 (рис. 7,6), либо при х=1 (рис. 7, в). Заметим, что поскольку для пучка с малым разбросом резонансная область очень узка, то точка х* на графиках с хорошей точностью совпадает с положением максимума инкремента пучковой неустойчивости Г (ft; x) по х. Этот максимум находится при x,tt\fk, причем Г 1Ь' г Л 1/fcS /Q 1 Eft [см. формулы B.14) и (9.12)] Таким образом, все возможные положения струй известны, и остается только найти из уравнения G.16) интенсивности струй. Обозначим искомые интенсивности N*, No и N\. Тогда формула G.15) запи- запишется следующим образом: N(k; х) = N. [S (х- I/ft) + 8(x+Uk)] + Nob(x) + Nt [б(х- 1) + 8(х+ 1)]. (9.16) В случае, изображенном на рис 7,a, N0=Nl=0, a N. удовлетворяет уравне- уравнению {см. G.16) и G.14)] I/ft2 + N%2k (I - Ilk*) + (ft* — 2 + 3/ft2) dNjdk = 0. Отсюда N* 1 ft2(l — 2/ft2+ "¦";"- + f dftj J ftS(l_2/ft2 (9-17) Где С — постоянная интегрирования. В случае рис. 7,6 ^ = 0, а для W* и No из уравнений Г(й; l/ft)=0 и f(ft; 0)=0 имеем 2 (ft*— 1) tf* + #Wo = const: iV* = —ft/2 + const. (9.18) Наконец, в случае рис. 7, в (ft2 - 1) N, = — In -^±-1 + const; Nt + ft2^ = const. (9.19) Составим теперь из полученных решений стационарный спектр в интервале l<ft<°o. Заметим прежде всего, что при ft->-oo поток квантов по спектру дол- должен обращаться в нуль. Этому требованию удовлетворяет только решение (9.17) с нулевой константой С. Такое решение, однако, не может быть «протянуто» до точки ft=l, поскольку при близких к единице значениях ft оно неустойчиво Неустойчивости соответствуют положительные значения функции Г (ft; x). На 102
струе, где сосредоточен спектр, эта функция обращается в нуль, а в непосред- непосредственной окрестности струи она заведомо отрицательна (из-за быстрого убыва- убывания инкремента пучковой неустойчивости). Поэтому достаточно выяснить, какой знак имеет T(k; х) вне резонансной области. Здесь Г монотонно изменяется с из- изменением х2, что позволяет записать условия устойчивости решения (9.17) в сле- следующем виде: ; 0) = 2 —(*¦- Г(Л; 0 = 4 —-ЛГ,<0. ok (9.20) Первое из этих двух условий более жесткое, чем второе. Действительно, если предположить, что ГF; 1)=0, то из формулы (9 20) получается, что Г(&; 0) = =4kN*>0. Отсюда видно, что значение ?*, соответствующее границе устойчиво- устойчивости спектра (9.17), следует определять из соотношения Г(?«; 0)=0. Подставляя в это условие явный вид функции N*(k), имеем 1 4*, dk «# Численное решение этого уравнения дает ?» = 1,69. Поскольку граница устойчи- устойчивости отвечает возбуждению струи, расположенной при х=0, спектр (9.17) над- надлежит сшить со спектром (9.18). Для последнего же условия устойчивости вы- выполняются автоматически. В итоге получаются следующие формулы для интен- сивностей iVi, #o и N*: ^'='0; (9.21) 0, I 1 J ЛИ-2*? + 3I' k>K; (9.22) (9.23) l<k<km. В области 0<ft<l, где инкремент пучковой неустойчивости равен нулю, спектр соответствует постоянному потоку волн в конденсат и определяется формулой G.20). Чтобы сшить решения в точке k=\, заметим, что дифференци- дифференциальное приближение для рассеяния имеет смысл только в том случае, когда вычисленная с его помощью величина T(k; x) конечна. Иными словами, моменты 1 Лф—x2)dx, производные от которых Га углового распределения волн I Nx2dx i входят в функцию Г(&; х), не имеют скачков. Приравнивая значения этих вели- 103
чин слева и справа от точки ?=!, получаем [см. формулы G.20), (9.16), (9 21) (9 23I Остальные моменты функции F(x) остаются произвольными. Для их однознач- однозначного определения следовало бы учесть малые добавки к величине T(k; x), сни- снимающие вырождение спектра на промежутке 0<?<1, или же включить в рас- рассмотрение тепловые шумы. Мы, однако, не будем этого делать, поскольку основ- основной интерес представляет обратное влияние волн на пучок, а оно полностью ха- характеризуется спектром резонансных волн, который определен однозначно. 9.3. Диффузия электронов пучка. Для описания эволюции пучка необходи- необходимо решить квазилинейное уравнение F 2), в котором компоненты тензора диф- диффузии определяются спектром (9.23) При этом следует учесть, что в процессе релаксации изменяется инкремент неустойчивости и сам спектр Аналитически решить такую самосогласованную задачу не удается, поэтому ограничимся тем, что вычислим коэффициенты диффузии, считая функцию распределения реляти- релятивистских электронов заданной. Положим / (9. Р) = ; б (р - р0) ехр - -~ . (9.24) 9| p) представляет собой функцию распределения только одного пучка. Полная функция распределения есть f(Q; p)+f(jt—9; р). В случае двух одинаковых пучков коэффициенты Dpp и Dg9 симметричны относительно замены 0-кгс—9, а коэффициент Dpq антисимметричен. Поэтому достаточно рассмотреть интервал О<0<я/2 Учитывая, что основной вклад в тензор диффузии дают колебания, бегущие под большими углами к оси пучка (9'» 9), а также то, что 9<1, можно упростить формулу F.3) и написать для Л>р> А>еи ?>в8следУющие выражения: А рр 1; * L V ?2 J \ k J \ )( l~kXi Dee I \ " / (9.25) Здесь ?>зе A8/я)Г»(Т/сJМ/т, а х*(й)—положение струи в резонансной обла- области. Отметим, что при вычислении величин Dpp, Dpq и D gg необходимо знать х„ (k) с большей точностью, чем при определении интенсивности струи. Точка х„ (k), как уже указывалось, совпадает с положением максимума инкремента пучковой 104
неустойчивости T(k; х) по х при фиксированном значении k Вычисление ин- инкремента по формуле B.13) с учетом (9.24) дает в безразмерных переменных следующий результат: „,,. % Т/27 / kx—\ \ (kx—\)* Максимум этого выражения лежит при x=x*(k) = 1Д+(Д0/у2)У1—I/ft2. С учетом найденного значения х* формула (9 25) принимает вид Dnn ( 1 ( 1 ?> D А А62 А0 ' ~ /2~( Д02 'ее 29 Г ЛГ« ( (ft) dk (9.26) Полученное выражение применимо только при 0>Д9/У2 Диффузия частиц с меньшими значениями 0 обусловлена колебаниями, бегущими почти вдоль оси пучка @'^Д9) Простые оценки показывают, что значения коэффициентов диф- диффузии в области 0<Д0/У2 малы по сравнению с теми, что дает в области 9~ ~Д0 формула (9 26). Поэтому можно считать, что при 0<Д0/У2 значения Dpp, Dpe> -^ее Равны нулю. Зная тензор диффузии, нетрудно с помощью квазилинейного уравнения F 2) найти скорость изменения средней энергии и углового разброса релятивистских электронов Для наглядности запишем результат в размерных переменных: d(p) dz 2 М 1 dz (йр nb / me V / T wp пь / тс у [ T \* M 1 = ~lT\~f%~) \ me2 J ~m Д03 (9.27) (9.28) е Здесь /„= Л. [ Nt(k)dk~3,45, /е = 36 7 Коэффициенты/р и /д определены численно с использованием формулы (9.23). Формула (9.28) позволяет оценить длину релаксации пучка более аккурат- аккуратно, чем это было сделано в разд 9.1. Положим для оценки <02>=Д02 и будем рассматривать соотношение (9 28) как уравнение относительно Д9 Тогда имеем: Д0=(г//)!/5 [см для сравнения (9 6)] Значение / с точностью до численного коэффициента совпадает с введенной ранее длиной релаксации (9 7). Значение численного коэффициента, входящего в I (так же, как и коэффициента в форму- формуле (9 7)), невелико: оно равно 0,048 9.4. Столкновительное затухание и радиационные потери. Отыскивая в разд. 9 2 спектр возбуждаемой пучком турбулентности, мы получили реше- решение с постоянным потоком плазмонов в конденсат, что подразумевает поглощение волн за счет ленгмюровского коллапса Выясним теперь, какую роль в энергетическом балансе играют два других фактора: столкновительное 105
затухание волн и потери на электромагнитное излучение с двойной плазменной частотой. Рассмотрим для этого простую модельную задачу, в которой возбужде- возбуждение волн считается изотропным, причем U ^ '' (9.29) Такая модель, разумеется, не даст правильного углового распределения волн, но для энергетических оценок это обстоятельство не очень существенно. Начнем с учета столкновений. Если включить в Г(&, х) соответствующий декремент затухания, то уравнение для стационарного изотропного спектра при- примет вид Отсюда О, *>B/v)'/«; B/v)Vi ^9i3,j f BГ — v)dk, fe<B/vI/l . Если превышение над порогом неустойчивости велико (v<l/2), то формула (9.31) применима вплоть до k = 0. В этом случае некоторая часть волн обяза- обязательно попадает в конденсат. Если же надкритичность мала (v>l/2), то спектральная плотность волн N(k), формально вычисленная согласно (9 31), при &<2(Y2v—1) отрицательна. Это значит, что спектр обрывается в точке &=2(y2v—1), т. е. волны успевают поглотиться раньше, чем они в результате спектральной перекачки достигнут точки k=0. По спектру (9.31) можно найти мощность q, выделяемую в единице объема плазмы: Ш2 т т? L U, / Г 2 Г, <9-32) Для удобства эта формула написана в размерных переменных. Здесь Г. опреде- определяется формулой (9.13). Максимальная мощность нагрева, при которой еще нет стока энергии в конденсат, достигается при r. = 2vei и равна 54 /Jvet УМ Т г(^Aп4_1). (9.33) Следует отметить, что в случае сильной надкритичности (v->-0) струйный и изотропный спектры при одном и том же значении Г, дают значения q, раз- различающиеся всего лишь в 1,5 раза. В этом смысле изотропная модель обладает довольно хорошей точностью. 106
Добавим теперь в уравнение (9.30) слагаемые, описывающие процессы слия- слияния ленгмюровских волн в электромагнитные и рассеяния ленгмюровских волн на электронах. Обозначив эти слагаемые Ггаа и Ге, получим 4 3 (9.34) В используемых безразмерных переменных усредненные по углам величины Ге и Ггаа задаются следующими формулами [55]: 216 М М ( Т \У, */» m \ mr* I 5 Bя) '• m \тс* J N (kj k\ dkl -~ {k\ _ ft») ^-i- + -1 »J _ (9.35) "rad — JL — ( T 4 m \ me2 Г X \k~VT\ XI- k\ — 3 (9.36) Если воспользоваться непосредственно формулой (9 36), то окажется упу- упущенным тот факт, что радиационные потери сами по себе не могут привести к нелинейной стабилизации пучковой неустойчивости. Действительно, слияние резонансных волн друг с другом (в случае, когда имеется всего один пучок) запрещено законами сохранения. Если взять два пучка, то запрет снимается и тогда, казалось бы, слияние волн способно обеспечить существование стацио- стационарного спектра. На самом деле, однако, такой стационарный спектр неустойчив: при небольшом увеличении плотности энергии волн, взаимодействующих с одним из пучков, волны, взаимодействующие со вторым пучком, начинают затухать, а это, в свою очередь, приводит к дальнейшему росту волн, возбуждаемых пер- первым пучком. Аналогичная неустойчивость должна наблюдаться и при изотропном возбуждении волн. Отсюда видно, что для сохранения качественного соответст- соответствия между изотропной моделью и реальной ситуацией следует изменить формулу (9.36) так, чтобы стабилизация пучковой неустойчивости за счет одного только процесса слияния стала невозможной. С этой целью добавим под знак интеграла (9.36) множитель [1—Q(k—l)9(?i—1)], выключающий взаимодействие резонанс- резонансных (k>\) волн друг с другом [функция Q(x) равна нулю при х<0 и единице при *>0]. В итоге получим _з_^и/_г_у г* 4 rnUcV J I ft-/Г k\dkx[\— (9.37). 107
О Нис. 8. Результат численного интегрирова- интегрирования уравнения (9.34) при v=0,02 и различ- различной температуре плазмы Рис. 9. Зависимость доли радиационных по- потерь от температуры плазмы и частоты столкновений 10 7JK3B Уравнение (9 34), в котором Г, Те и Trad определены формулами (9 29), (9.35), (9.37), удается решить только численно. (Расчеты были выполнены авто- автором совместно с О. П. Соболевым ) В получающихся спектрах (рис. 8) интен- интенсивность волн с большими значениями k заметно ниже, чем в случае, когда рас- рассеяние на электронах «выключено», причем наиболее отчетливо это проявляется при высокой температуре плазмы. Такая тенденция вполне естественна, поскольку величина Те пропорциональна Г5/2 и, кроме того, растет с увеличением k. Подав- Подавление коротковолновых колебаний приводит к тому, что энерговклад в плазму растет с ростом температуры несколько медленнее, чем в отсутствие рассеяния на электронах Излучение выносит из плазмы не более 25 % энергии, выделенной пучком (рис. 9). Таким образом, радиационные потери не слишком велики, что объясняется перестройкой спектра в результате рассеяния на электронах При «выключенном» рассеянии на электронах роль излучения существенно возрастает. 10. Накопление электромагнитных волн Обсуждая нелинейную стабилизацию пучковой неустойчивости, мы до сих пор учитывали только один из двух имеющихся каналов индуцированного рассеяния ленгмюровских волн — //-рассеяние (см. рис. 5, а). Включим теперь в рассмотрение также /?-канал (рис. 5,6), отвечающий трансформации ленгмюровских волн в элек- электромагнитные. Порядок вероятностей И- и /^-процессов одинаков, но при малой оптической толщине плазмы, когда уровень электро- электромагнитных волн низок, /^-рассеяние подавляется. Именно к этому случаю и относятся изложенные выше результаты. Если же элек- электромагнитные волны с частотами, близкими к юр, не уходят из плазмы, то /f-рассеяние, как будет показано, может существенно изменить вид стационарного спектра. Наиболее отчетливо это про- проявляется при больших превышениях над порогом неустойчивости (r>vei), когда равновесие между накачкой и затуханием поддер- 108
жйвается" не Аи счёт стока* лейгмйрбвскйх: колебаний в длиййовол- новую область, а за счет //-рассеяния. Рождающиеся при этом электромагнитные волны затухают в результате столкновений, пе- передавая свою энергию электронам плазмы. В таком режиме энер- энергия электромагнитных волн намного превосходит энергию ленгмю- ровских и роль //-рассеяния оказывается незначительной. Применительно к аксиально-симметричной задаче система кине- кинетических уравнений для волн с учетом процессов //- и //-рассеяния на ионах записывается следующим образом [56]: [1 <в'/.-А-щ»/. (V(co; x')T(x; x')dx' да J 1 J -1 Я=1,2 -1 (co; xl)T%(x; x')dx' + 2T(a; x)-v ; A0.1) J K(v>; x) JLa IV (со; x')T%(x'; x)dx'~v] ; A0.2) CO) J 1. —1 J J-Nb(u; x)=N ОТ Здесь T (x; х')=\—хг- x'2 — 3xx' + 3x2x'2 + Зхх'3 + ЗА' — Ъх' V; A0.3) 7\ (x; x') eee *» + A/2) x'2 - C/2) Л'2 ; A0.4) Г2(л;; х')^ A/2) A-х2). A0.5) В уравнениях A0.1), A0.2) переменная а представляет собой без- безразмерную дисперсионную добавку к плазменной частоте (за еди- единицу частоты выбрана величина C/2)сорГ/тс2); х — косинус уг- угла между волновым вектором и направлением инжекции пучка; безразмерное время т определяется соотношением т= C/2)юрХ X(T/tnc2)t; инкремент раскачки ленгмюровских волн Г и частота столкновений v измеряются в тех же единицах, что и со; индекс Я, определяет поляризацию электромагнитной волны; безразмерные спектральные функции Л/7(со; х) и Л^(со; х) связаны с размерными спектральными плотностями квантов Л/7 (к) и Л^(к) следующими формулами: N' (со; x) dadx = — Л- (Л*- У J*p. Nl (k) /fe2t/A:rfx; A0.6) Чтобы получить качественное представление о роли //-рассея- //-рассеяния, обратимся к модели изотропного возбуждения волн, т. е. пре- пренебрежем зависимостью Г, N1 и А^ от х. Положив в уравнениях 109
A0.1), A0.2) Ni = N2 = Nt(o))/2,Nt=Nl((o) и выполнив интегрирова- интегрирование по х', получим от |_ 3 Зсо v + — — 3 dco (D^_yVn . A07) do» J (Ю.8) С точностью до обозначений эта система совпадает с приведенной в [55, с. 313] (см. также [57, с. 194]). Выясним, как меняется характер стационарного решения систе- системы A0.7), A0.8) по мере увеличения инкремента Г*. Относительно инкремента предположим для определенности, что он обращается в нуль при малых и больших со, а в промежутке положителен и имеет единственный максимум. В отсутствие W-рассеяния стационарный спектр состоит только из ленгмюровских волн и задается формулой (9.31). В используе- используемых переменных эта формула имеет вид 0 , со > ш+5 га+ - A0.9) $ Г 2Г — v , ^ .'/« J со1/. + 4@ '• J со (О где со+ — больший из двух корней уравнения r(co)=v/2. Такой спектр может существовать и при учете W-рассеяния. Необходимо только, чтобы он был устойчив относительно возбуждения t-волн, т. е. чтобы выполнялось неравенство coW—v<0 [см. A0.8) , 3 дш Используя формулу A0.9), получаем отсюда ¦4"<0. A0.10) В случае малого превышения над порогом, когда спектр A0.9) об- обрывается, не достигнув точки ю = 0, условие устойчивости выпол- выполняется. Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что величина ©1/2(Г' + Г) отрицательна при со = 0 и убывает с ростом со. Поэтому отрицательна и величина Г'. Если же имеется сток энергии в кон- конденсат, то решение A0.9) становится неустойчивым, так как не- неравенство A0.10) в этом случае обязательно нарушается при до- достаточно малых со. Таким образом, при малой надкритичности ста- стационарный спектр состоит из одних лишь ленгмюровских волн, а с увеличением инкремента в спектре обязательно появляются также и электромагнитные волны. * Отметим, что в [55, 57], где первоначально рассматривался этот вопрос, по недоразумению сделан ошибочный вывод об отсутствии у системы (Ю.7), A0.8) стационарных решений с Ы'фО 110
В области частот, где величина N* отлична от нуля, стационар- стационарное решение уравнений A0.7), A0.8) имеет вид: N1 = C/2) v + Л/со; N* = — А/со + В + 3 f" Г dco/co, A0.11) 0} где А и В — постоянные интегрирования. В точке, где Nf обращается в нуль, решение A0.11) должно быть сшито с решением A0.9). Кроме того, функции N1 и N* по своему смыслу положительны при всех значениях ю. Определяя из этих двух условий А и В, получаем окончательно следующий спектр: 0 Г 4ш C/2)v 0, со, 3 J Гс?со/со со > со+; <•> >©* со < со,, A0.12) @+ Здесь со* — корень уравнения i ¦ 2Г —v = 2vco1/2. Воспользовавшись формулой A0.12), можно вычислить полную плотность квантов в системе N: N = $ dxjda>{ —l о + = 3 j BГ —v)dco. A0.13) С точностью до малых поправок порядка &2г.о2 эта величина про- пропорциональна полной плотности энергии волн U=U' + U'. Для на- наглядности приведем результат в размерных переменных: /псо„ A0.14) [k+ — больший корень уравнения T(k)=v/2]. Заметим, что для спектра, определяемого формулой A0.12), сток энергии в конденсат отсутствует; энергия, теряемая источни- источником, полностью поглощается в результате кулоновских столкнове- столкновений. Поэтому мощность, выделяемая в плазме, равна (в размер- размерных переменных) VeiU, причем эта мощность линейно зависит от интенсивности источника Г. Нетрудно также проверить, что при больших превышениях Г над v энергия сосредоточена главным образом в электромагнитных колебаниях, а энергия ленгмюровских волн мала. Ш
Все перечисленные здесь особенности характерны не только для изотропной модели, но и для решения исходных кинетических урав- уравнений A0.1), A0.2). Струйное стационарное решение этих уравне- уравнений в задаче о возбуждении волн двумя встречными релятивист- релятивистскими пучками построено в [56]. Полная плотность энергии волн в этом решении равна A0.15) где инкремент Г* определяется формулой (9.13), причем Остановимся теперь на условиях применимости изложенных в этом пара- параграфе результатов. В исходных уравнениях мы пренебрегли выносом электромагнитных волн из плазмы. Это можно сделать, если время выноса, равное L/vg (L — размер си- системы, vg — групповая скорость волны), превосходит время столкновительного затухания. Групповая скорость электромагнитных волн, возникающих в резуль- результате ^-рассеяния при нагреве плазмы релятивистским пучком, по порядку равна тепловой скорости электронов. Поэтому ограничение на L имеет вид L>K, где X — длина свободного пробега электронов. Это довольно жесткое требование. Более реалистичен случай, когда электромагнитные волны заперты по другой причине (из-за того, что в области, по которой идет пучок, концентрация плазмы несколько ниже, чем снаружи). Для запирания интересующих нас волн необхо- необходим перепад концентрации бп/п, по порядку равный Г/(тс2). Если такой пере- перепад существует, то ограничение L>X снимается. Следующее условие относится к процессу ^-рассеяния, который также не был включен в исходные уравнения. Влиянием этого процесса можно пренебречь, если t">v-'. A0.16) где т" — характерное время ^-рассеяния Простые оценки показывают, что ве- величина т" в тс2/Т раз превосходит время /^-рассеяния (см. [55], с. 313) С дру- другой стороны, в случае сильной надкритичности (T^>vei) время ^-рассеяния оце- оценочно равно обратному инкременту пучковой неустойчивости. Поэтому неравен- неравенство A0 16) дает следующее ограничение на параметры пучка и плазмы: T/vei<mc2/T. A0.17) Не представляет труда, однако, рассмотреть и случай, когда неравенство A0 17) не выполнено. Время жизни электромагнитных волн в такой ситуации определя- определяется не столкновительным затуханием, а стоком этих волн в конденсат в резуль- результате ^-рассеяния. В этом параграфе мы интересовались только стационарными спектрами. От- Относительно нестационарной картины необходимо иметь в виду следующее. Если ^-рассеяние запрещено, то оценка энергии ленгмюровских волн, взаимодействую- взаимодействующих с пучком, не очень чувствительна к тому, является ли спектр истинно ста- стационарным, причем в случае сильной надкритичности оба решения (и стационар- стационарное, и нестационарное) соответствуют стоку волн в конденсат. При учете lt-pac- сеяния положение может быть иным Как показано в [58], где численно решалась задача с начальными условиями, в неустановившемся режиме учет ^-рассеяния 112
Приводит лишь к тому, что наряду с ленгмюровскими колебаниями появляются электромагнитные волны, плотность энергии которых по порядку равна плотности энергии ленгмюровских колебаний В остальном ситуация остается качественно такой же, как и в случае, когда имеется только //-взаимодействие. Что же каса- касается стационарного спектра, то на нем, как было показано, /^-рассеяние сказыва- сказывается в значительно большей степени. Это расхождение, по всей вероятности, обусловлено тем, что в [58] рассматривались относительно малые промежутки времени (порядка нескольких обратных инкрементов). Можно ожидать, что с увеличением времени счета до нескольких обратных частот столкновений каче- качественное соответствие между численным решением и найденным аналитически стационарным спектром улучшится. Построенное выше решение позволяет сделать вывод, что //-рассеяние (если оно разрешено) стабилизирует пучковую неустойчивость гораздо более эффек- эффективно, чем //-процесс. Отсюда следует, что при высокой надкритичности длина релаксации пучка / должна быть больше, чем (9.7) Оценочно величина / пред- представляет собой отношение потока энергии в пучке к мощности, диссипируемой в единице объема плазмы При выполнении неравенства A0 17) скорость диссипа- диссипации равна VeiU, где U задается формулой A0.15). Вспоминая, что в процессе релаксации угловой разброс пучка возрастает до Д9—1, нетрудно получить для / следующее выражение: - 10 vei M\ T J Vn\vei n p0 . (юле) Важное достоинство рассмотренного режима нагрева состоит в том, что даже при высокой надкритичности (r>ve;) вся энергия, выделенная пучком, дисси- пирует в результате кулоновских столкновений и, следовательно, передается не группе быстрых частиц, а основной массе электронов плазмы В заключение укажем, что замедление процесса релаксации при //-рассеянии имеет место и при нерелятивистских энергиях пучка. В качестве одного из воз- возможных приложений этого эффекта следует назвать проблему стабилизации пуч- пучков, генерирующих в солнечной короне радиовсплески III типа [59]. 11. Рассеяние ленгмюровских волн на вынужденных флуктуациях плотности В § 5 уже упоминалось о возможности стабилизации пучковой неустойчивости вследствие упругого рассеяния волн на неоднород- ностях плотности плазмы, но при этом неоднородности считались заданными извне. Более интересна ситуация, когда возмущения плотности порождаются самими ленгмюровскими волнами, благо- благодаря чему частота упругого рассеяния оказывается зависящей от интенсивности волн. В этом случае упругое рассеяние способно под- поддерживать динамическое равновесие между накачкой и затухани- затуханием, ограничивая тем самым уровень возбуждаемой пучком турбу- турбулентности. Из дальнейшего будет видно, что в слаботурбулентном режиме частота упругого рассеяния пропорциональна квадрату, а соответствующий вклад в кинетическое уравнение — кубу энергии волн. Поэтому с увеличением концентрации пучка упругое рассея- 8 3«. 1441 ИЗ
ние в конце концов опережает спектральную перекачку, обуслов- обусловленную индуцированным рассеянием волн на ионах. Что же каса- касается пучков низкой концентрации, то для них доминирующим эф- эффектом остается спектральная перекачка. Вывод кинетического уравнения с учетом рассеяния ленгмюров- ских волн на вынужденных флуктуациях плотности дан в [60, 61]. Процедура вывода наиболее проста в случае неизотермической плазмы (!Ге>7\), когда результат может быть получен из кинети- кинетических уравнений, описывающих распадное взаимодействие ленгмю- ровских волн с ионно-звуковыми (величины, относящиеся к звуку, помечены индексом s): —*- = 2FNk + f w (к; ki; x) [Nsx (Nkl ~Nk) - NkNkl] ^L + ot J Bя)« + Г w (kx; k; x) [NSM (Mkl - Nk) + NkNkl] -^- ; A1.1) J Bл)в (к; кх; Y.)[NkxNk + Nl{Nkl~Nk)]^^-. A1.2) dt ' Конкретное выражение для вероятности распада ш приведено в [41]: и»(k; ki; х) = -^1Л)^-^-Уб(к-к1-5с)б(сок-(ок1-со^). A1.3) Кроме распадов, в исходных уравнениях учтены возбуждение и поглощение волн. Воспользовавшись в уравнении A1.1) малостью частоты звука по сравнению с частотной шириной спектра плазмо- нов, можно записать это уравнение в следующем виде: dt ^ 8nmM \Te X №-Ъг + #k,-k) (Nkl - Nk) 8 (CDk - <Dkl) dki. A1.4) Первый из входящих сюда интегралов совпадает с нелинейным вкладом в уравнение G.2) и характеризует спектральную перекач- перекачку плазмонов, а второй, сохраняющий число плазмонов и их энер- энергию, описывает интересующий нас процесс упругого рассеяния. При не слишком высоком уровне турбулентности уравнение A1.2) поз- позволяет однозначно связать спектр звуковых шумов, ответственных за рассеяние, со спектром ленгмюровских волн: Условием применимости этой формулы является малость обрат- обратного времени нелинейного взаимодействия волн по сравнению с J14
декрементом затухания звука у8. Примечательно, что интеграл столкновений, получающийся при подстановке выражения A1.5) в A1.4), сохраняет свою структуру при произвольном отношении температур электронов и ионов. Отношение температур определяет лишь значение численного множителя перед этим интегралом. Об- Общий результат может быть получен путем замены множителя gOys в формуле A1.5) на (Те/(Те + Т,))У%(Те/Т{), где ЦТв/Т*) — безразмерный коэффициент, вычисленный в [60]. При Tt^Te об- область применимости такого интеграла столкновений совпадает с с областью применимости приближения слабой турбулентности. Ес- Если же Tt<^Te, то с увеличением энергии ленгмюровских волн раньше нарушается условие малости нелинейного вклада в затухание зву- звука, что требует перехода от выражения A1.5) к точному решению уравнения A1.2). Оценки характерных времен спектральной перекачки и упругого рассеяния волн, возбуждаемых релятивистским пучком (k~u>p/c), показывают, что в изотермической плазме (?~1) эти времена срав- сравниваются при U/(nT)~(T/Mc2)lh. A1.6) При более низком уровне турбулентности роль рассеяния сводит- сводится лишь к некоторому уширению струйного спектра, описанного в § 9. Формула A1.6) определяет значение U, при котором ширина струи становится сопоставимой с шириной резонансной области. Поскольку плотность энергии в струе задается оценкой (9.5), струй- струйная форма спектра сохраняется при выполнении следующего нера- неравенства: пь/п < (Ро/тс) (т/М)''1 (пи?/ТI/г А92. В обратном предельном случае имеются две возможности. Если Ро ( m у/, ' тс* у/, Afl2 пь Ро ( т у/, / тс2 у/, ~^\м) \~Т) <7<"^?; \~Т) ' то размытие струй вследствие рассеяния играет заметную роль лишь на начальном этапе релаксации пучка, т. е. до того момента, как угловой разброс пучка достигает Ль-Л?.\ч* (Л\и (JL Xй я р0 / \т) \тс* ) - Д9 Дальнейший ход релаксации с хорошей точностью описывается струйной моделью. Если же > (ро/тс) (т/М)'/ш (тс2/Т)у% A1.7) то струйная картина вообще теряет смысл, так как в течение всего процесса релаксации скорость спектральной перекачки волн прене- пренебрежимо мала по сравнению со скоростью упругого рассеяния. Этот режим описан в [60]. Его отличительной особенностью явля- является малость энергетических потерь пучка: быстрое рассеяние при- 8* 116
водит к тому, что пучок сам поглощает основную часть возбуждае- возбуждаемых им волн. Потери в данном случае могут быть связаны лишь со столкновительным затуханием либо с неучтенным в [60] сбро- сбросом некоторой части волн в конденсат при индуцированном рас- рассеянии на электронах. Воспроизведем оценки, позволяющие найти закон изменения уг- углового разброса пучка при его стационарной инжекции в плазму. Выделим для этого в спектре турбулентности изотропную часть N и анизотропную добавку N', которая при Д8<С1 мала по сравнению с N. Из уравнения A1.4) видно, что в стационарном состоянии NF~N'v9(N), A1.8) где v* — частота рассеяния, определяемая изотропной частью спек- спектра и связанная с плотностью энергии волн следующей формулой: •»». . nT T J Еще одно соотношение между N' и N вытекает из закона сохране- сохранения энергии: добавка N', отличная от нуля в области взаимодей- взаимодействия волн с пучком, компенсирует рассмотренное в § 5 затухание, отвечающее изотропному спектру. Отсюда следует, что N' — NAB. A1.10) Формально соотношение A1.10) можно получить из уравнения A1.4) путем усреднения по углам с учетом того, что интеграл стол- столкновений при усреднении обращается в нуль, а средний декремент затухания изотропного спектра равен ГД62 (см. § 5). Оценки A1.8)—A1.10) позволяют определить плотность энергии волн U и найти затем коэффициент квазилинейной диффузии электронов пучка ( Т Y( Мс* V'4 ( пь mc Y1' 1 п 1 1 и —- toD ( — ) (—=г- ) I ) . A1.11) В эту формулу подставлено конкретное выражение для инкремента неустойчивости Г. Воспользовавшись теперь соотношением— А82 = 1 =—jT-Dee, получим окончательно, что A8 = (z//)I/7, A1.12) где () ( Up к T J V Мс* J \nbj \mc Этот результат подкреплен в [60] точным решением соответствую- соответствующей задачи. Формула A1.13) определяет длину релаксации пучка в той об- области значений Пь, где выполнено условие A1.7). На границе при- 116
менимости эта формула сшивается с полученным в § 9 выражени- выражением (9.7). Верхняя граница допустимых концентраций пучка опреде- определяется величиной, для которой плотность энергии волн достигает порога модуляционной неустойчивости U/(nT)~k2rD2~T/(mc2). На этой границе /~ (с/сор) (р0с/ТJ. Исследование релаксации более плотных пучков требует выхода за рамки теории слабой турбу- турбулентности. Оценки, относящиеся к таким пучкам, можно найти в [62—64]. Формулируя выше условия, при которых становится существен- существенным упругое рассеяние, мы подразумевали, что возмущения плот- плотности плазмы создаются волнами, взаимодействующими с пучком. Имеется, однако, и другой источник возмущений — ленгмюровский конденсат. Вопрос о его влиянии на релаксацию пучка требует вы- выяснения даже при малых значениях пь, когда возмущения плотно- плотности, порождаемые резонансными волнами, еще не играют заметной роли. Для ответа на этот вопрос необходимо знать механизм дис- диссипации конденсата. Проведем сначала оценки в предположении, что за диссипацию ответствен сверхзвуковой ленгмюровский кол- коллапс, динамика которого подчиняется автомодельному закону [53] Здесь Q — энергия, запасенная в коллапсирующей каверне; / — характерный размер каверны, а п — время уменьшения этого раз- размера вдвое. Величина Q связана с начальным размером кавер- каверны /о: Q~nTr2Dl0. A1.15) Число каверн Nt с размерами от / до 2/, приходящихся на единицу объема плазмы, определяется диссипируемой в этом объеме мощ- мощностью q: N^Ttf/Q. A1.16) Каждая каверна представляет собой возмущение плотности 8П1/п~г%/Р. A1.17) Сталкиваясь с такими хаотически расположенными возмущениями, плазмоны с волновыми векторами k^l/l испытывают упругое рас- рассеяние под действием случайной «силы» dk/dt=—дыр/дг (см. [65]). Частота рассеяния плазмона на угол порядка единицы зада- задается при этом следующей оценкой: Воспользовавшись соотношениями (П.14) — A1.17), получим от- отсюда /V'P). A1.18) Учтем далее, что энергия поступает в конденсат благодаря инду- индуцированному рассеянию волн на ионах. Это позволяет найти по 117
величине q плотность энергии ленгмюровских волн с волновыми векторами порядка k и оценить с помощью формул A1.4), (П.5) собственный вклад этих волн в частоту упругого рассеяния: v*~«>p{MlTL>ql(nTk). A1.19) Как видно из оценок A1.18), A1.19), отношение v*/v* всегда мало. Это дает возможность полностью пренебречь рассеянием волн на коллапсирующих кавернах. Сделанный здесь вывод остается спра- справедливым также и в том случае, когда сверхзвуковому коллапсу предшествует дозвуковой [66]. Необходимо, однако, иметь в виду, что зарождающиеся в конденсате каверны с захватываемыми в них плазмонами могут представлять собой лишь часть конденсата. Их доля зависит от того, насколько вероятен переход модуляционной неустойчивости в коллапс. Ситуация здесь остается пока неопреде- неопределенной. Не исключено, в частности, что конденсат содержит зна- значительное число «лишних» плазмонов, энергия которых Uo близка к порогу модуляционной неустойчивости, а на этом фоне лишь из- изредка появляются коллапсирующие каверны. В этом случае сред- средний уровень возмущений плотности, связанных с конденсатом, за- задается соотношением 8n/n — kyD-~U0/(nT). A1.20) Здесь k0 — характерное волновое число конденсата. Значения UQ, k0 и Ьп/п определяются скоростью диссипации конденсата. Если допустить, что вероятность коллапса достаточно мала, то значение Ьп/п может оказаться столь большим, что конденсат начнет вносить определяющий вклад в упругое рассеяние резонансных волн. Пре- Предельная ситуация такого рода, в которой коллапс вообще отсутст- отсутствует, а за диссипацию ответственны только столкновения, была про- проанализирована в [29]. Напомним, следуя этой работе, как в дан- данной ситуации можно оценить потери энергии пучка с угловым раз- разбросом порядка единицы. При не слишком высокой частоте элек- электрон-ионных столкновений vei неустойчивость пучка стабилизиру- стабилизируется за счет рассеяния резонансных волн на возмущениях плотно- плотности, удовлетворяющих соотношению A1.20). При этом частота уп- упругого рассеяния должна быть того же порядка, что и инкремент пучковой неустой- неустойчивости Г, так как при v*«CF рассеяние вообще не оказывает влия- влияния на возбуждение волн, а при v*>r оно делает спектр близким к изотропному, что приводит к быстрому затуханию волн на элек- электронах пучка. Условие v*~F определяет энергию конденсата, а вместе с ней и диссипируемую мощность q ~ veiU0~ veinT (Г/со/7* (Г/пи*р\ A1 -22) 118
Чтобы найти энергию резонансных волн U, достаточно приравнять величину q потоку, поступающему в конденсат благодаря индуци- индуцированному рассеянию резонансных волн на ионах. Это дает p A1.23) Выясним теперь, какую долю своей энергии может потерять пучок к моменту окончания релаксации. Для этого следует определить по известному значению U время изотропизации электронов пучка, а затем, зная диссипируемую мощность A1.22), найти выделенную пучком энергию. Отношение этой энергии к исходной энергии пуч- пучка дается выражением Л - (vei/r)Vt K/veJ.)s/'° (Т/т*)Чш {mlMf'\ A1.24) Изложенный подход подразумевает малость величины г\, что, как видно из формулы A1.24), оправдано при достаточно малых зна- значениях Vef. Условие т)<с1 совпадает с условием малости частоты спектральной перекачки волн по сравнению с частотой их упругого рассеяния. Поэтому при т| — 1 конденсат перестает влиять на ка- качественную картину релаксации пучка. Заметим, что оценке A1.24) можно придать несколько более общий смысл, если понимать ве- величину Vei как обратное время Жизни конденсата, связанное не только со столкновительной, но и с любой другой диссипацией. Все факторы, уменьшающие это время, должны, как видно, приводить к росту энергетических потерь пучка. 12. Ленгмюровская турбулентность в магнитоаитивной плазме 12.1. Постановка задачи о струйном спектре. Влияние слабого магнитного поля на спектры турбулентности, возбуждаемой пучком в диапазоне плазменной частоты, связано с изменением закона дисперсии ленгмюровских и электромагнитных волн. Типичный вид соответствующих дисперсионных кривых показан на рис. 10. Верх- Верхняя кривая (точнее, та ее часть, где волна почти потенциальна) от- Рис. 10 Дисперсионные кривые высо- высокочастотных электронных колебаний плазмы в слабом магнитном поле при отличном от нуля угле между на- направлениями волнового вектора и маг- магнитного поля: 1 — медленная необыкновенная ветвь; 2 — обыкновенная ветвь; 3 — быстрая не- необыкновенная ветвь (использована тер- терминология, принятая в [7]) Ul-Шр 119
вечает ленгмюровским волнам, а нижние кривые — электромагнит- электромагнитным. Нелинейные эффекты, определяющие стационарный уровень волн, остаются теми же, что и в плазме без магнитного поля. При достаточно малой концентрации пучка главный из этих эффек- эффектов — индуцированное рассеяние волн на ионах. Возбуждение, за- затухание и индуцированное рассеяние волн описываются следующей системой уравнений для чисел заполнения Nx(k) (индекс К нуме- нумерует дисперсионные ветви): f A2.1) . A2.2) В слабом магнитном поле инкременты пучковой неустойчивости для ветвей 2 и 3 (см. рис. 10) очень малы. Это позволяет считать, что непосредственно пучком возбуждаются только ленгмюровские волны (ветвь Л. При не слишком малом угловом разбросе пучка инкремент для них остается таким же, как в изотропной плазме (см. разд. 4.1). Поэтому в дальнейшем будем полагать Fi = r(k) — —vei/2, где Г(к) определяется формулой B.11), а добавочное сла- слагаемое —Vei/2 учитывает столкновительное затухание волн. Для двух других ветвей Г2 = Г3 = —vei/2. Ионы, участвующие в процессе рассеяния, обычно можно счи- считать незамагниченными, поскольку при выполнении весьма мягко- мягкого условия 9>ппТ „ m Г. , m me2 "I их ларморовскии радиус велик по сравнению с характерной длиной волны биений. Это значит, что ядро Ли' (к; к') в кинетическом уравнении A2.1) отличается от G.8) только частотами и вектора- векторами поляризации волн. Действуя аналогично тому, как это было сделано в § 7, можно показать, что в дифференциальном прибли- приближении S(k; X)S.(k'; V, f x 6'[ ?, A2.3) где S(k; X)—вектор поляризации волны с частотой сох (к). Чтобы в общих чертах представить себе стационарное распре- распределение волн по частотам, вернемся к рис. 10. Область возбуж- возбуждения волн пучком лежит на рисунке справа от вертикальной штри- штриховой линии. Слева от этой линии расположена зона поглощения. Волны, попавшие сюда благодаря рассеянию, затухают, в резуль- результате чего их поток по спектру убывает с уменьшением со. Если в спектре отсутствует конденсат, то при некотором значении ю, рав- равном йр + соо, поток обращается в нуль. Роль магнитного поля, как будет показано, наиболее отчетливо проявляется, когда точка (ор'+ лежит достаточно глубоко в области ю<СсоР, но все же не 120
слишком близко к минимально возможной частоте, допускаемой законом дисперсии, т. е. C/2) <йрТЦпи?) « | <о0 | « A/2) соя. A2.4) Соотношение A2.4) означает, что нерезонансный интервал частот существенно растягивается по сравнению со случаем изотропной плазмы. Для этого, разумеется, необходимо выполнение условия «я > сор77(/лс2). A2.5) Если же неравенство A2.5) нарушено, то магнитное поле не мо- может изменить качественные свойства спектров, рассмотренных в § 9 и 10. Смысл неравенства A2.4) состоит еще и в том, что оно позво- позволяет внести в задачу заметные упрощения, разделив все волны в спектре на два типа: / (почти потенциальные ленгмюровские) и t (существенно непотенциальные электромагнитные). При этом для каждого заданного значения со ленгмюровским волнам соответ- соответствуют гораздо большие значения волнового вектора, чем электро- электромагнитным. Учитывая малость волновых векторов f-волн и непо- непотенциальных поправок к векторам поляризации /-волн, можно опу- опустить в формуле A2.2) соответствующие добавки и, в частности, полностью пренебречь взаимодействием f-волн друг с другом. Так же, как и в § 10, здесь удобно ввести в качестве независимых пе- переменных величины со и х, где со — безразмерная дисперсионная добавка к плазменной частоте, измеряемая в единицах C/2) а>рТ/ /(тс2) (в этих же единицах измеряются ниже величины Г и vei), ах — косинус угла между волновым вектором и направлением магнитного поля. За единицу измерения волнового вектора выберем величину (Ир/с. Воспользуемся, кроме того, формулой A0.6) и вве- введем безразмерные спектральные функции А^(ео; х). Если теперь обозначить Г' и Г' функции Г\, соответствующие /- и ^-волнам, то для аксиально-симметричного и четного по х спектра формула A2.2) примет следующий вид [67]: Г' (со; х) = F[ + x2F'2 + k? (со; х) [f'3 + х%] + 2Г (со; х) ~ vei;) A26) Г'(со; x) = F'l + S*F'2-vei, I где Fx (со) = \ k2 (со; х) A — хг) N1 (со; х) их; F2 (со) = (& (со; х) (Зх2 —l)Nl (со; х) dx; A2.7) Fs (со) = Г A — х2) N1 (со; х) dx + w[ (со) ; Fi (со) = J (Зх2 —\)Nl (со; х) dx + 2w{ (со) — wl (со); о 121
ш?(со) = 23 \(l 1=1 О у, x)dx; з i Я,=1 0 A2.8) Здесь S(co; x) —проекция вектора поляризации /-волны на направ- направление магнитного поля; штрих в формулах A2.6) означает диффе- дифференцирование по со. Входящий в формулы A2.6), A2.7) волновой вектор /-волны &(со; х) связан с со и л: безразмерным дисперсион- дисперсионным уравнением и = ft» + р-1 A — х2) A — кг2), A2.9) где р=12яя7уЯ2. В терминах функций Г' и Г* условия стационарности и устойчи- устойчивости спектра аналогичны соотношениям G.12), G.13): Г'(со; *) = 0; N1 (а>; х)=?0; Г'(со; *)<0; ^(со; х)=0; Г* (со; а) = 0; w*a (со) =^= 0; Г^(со; а)<0; wi(u>)=0, ст=0;1. A2.10) Распределение ленгмюровских волн в стационарном спектре представляет собой набор струй [см. G.15)], а электромагнитные волны описываются функциями ш</(со), которые могут одновремен- одновременно отличаться от нуля только в том случае, когда Г' не зависит от S, т. е. /у=0. Если же /У^О, то в спектре могут присутство- присутствовать ^-волны лишь с одним значением о @=1 при /у>0 и ст=0 при iY<0). Построение стационарного спектра сводится к отысканию для каждого интервала частот различных струйных распределений волн, отбору устойчивых решений и их сшивке друг с другом. С принципиальной стороны эта процедура проста, но соответствую- соответствующие вычисления весьма громоздки [67]. Поэтому ограничимся здесь тем, что поясним получающиеся результаты с помощью про- простой модели (разд. 12.2) и оценок (разд. 12.3). 12.2. Режим //-рассеяния. Предположим, что //-рассеяние по давлено за счет быстрого выноса электромагнитных волн из плаз- плазмы, и выясним, как в такой ситуации магнитное поле влияет на ленгмюровские волны. Рассмотрим для этого модельную задачу, в которой волновые векторы всех плазмонов считаются перпенди- перпендикулярными направлению магнитного поля, так что = N(<o)8(x—0). A2.11) Модельный инкремент неустойчивости Г (со; 0) выберем равным 122
пучковому инкременту в резонансной области, т. е. зададим Г (со; 0) следующим образом: Г (со; 0)= F*^2' k> 1; A2.12) К ' \ 0, k<l. К ' Здесь Г* —отношение инкремента (9.13) к C/2)ар(Т/тс2). Квад- Квадрат волнового вектора в формуле A2.12) связан с частотой волны уравнением A2.9), в котором следует положить х = 0: (ii=k2+^-1(l~k-2). A2.13) В рамках принятой модели уравнение для спектральной функ- функции N (со) получается из условия Г'(со; 0)=0 [см. A2.6)] и имеет вид 2Г (со; 0) — vei + 2/г — Ш(в>) = 0. A2.14) Решение уравнения A2.14) удобно с помощью формулы A2.13) выразить через переменную k: о, k> 15Р X k4+ i)]- N(\) о, Здесь iV(l)=vei(ft+— I) k<k0. ^ 15Р ' ' I A2.15) Верхняя граница спектра A2.15) k+ совпадает с точкой обра- обращения в нуль инкремента неустойчивости Г—vei/2, т. е. k+= = Br*/veiI/2; нижняя же граница k0 определяется из уравнения ve* A -k0) + (vei/3p) {l/kl -l)=N A). ЕСЛИ r*>Vei, TO k0~Г Ък 11/з . A2.16) В этом предельном случае найденному спектру соответствует (в размерных переменных) следующее выражение для вкладываемой в плазму мощности q: (JY^( J)\ A2.17) 123
При fi^>\ значение q с точностью до численного множителя, возни- возникающего из-за различия в угловом распределении волн, совпадает с найденным в § 9 [см. формулу (9.32)]. Если же 3<С1, то мощ- мощность нагрева возрастает по сравнению со случаем плазмы без магнитного поля в 1/B5р2) раз. Во столько же раз, очевидно, уменьшается длина релаксации пучка /. Иными словами, вместо формулы (9.7) следует теперь написать, что ^ = 1 с п т /тс* у/ р0 у Г бОппТ I2 /J2 18) 20 а>р пъ М \ Т ) \ тс ) \ 60ляГ + Я2 ] Что же касается закона изменения углового и энергетического раз- разброса частиц, то он остается прежним, т. е. определяется формулами (9.6), (9.8). В эти формулы, однако, следует подставлять новое значение I. Выигрыш в мощности нагрева при |3<Cl объясняется тем, что магнитное поле уменьшает фазовый объем, в который разрешена спектральная перекачка в элементарном акте рассеяния. В резуль- результате нелинейная стабилизация неустойчивости наступает при более высоком уровне турбулентности. Соответственно растет и выделяе- выделяемая пучком мощность. Наличие магнитного поля приводит также к тому, что делают- делаются более благоприятными условия поглощения нерезонансных волн из-за столкновений: сток энергии в конденсат начинается при боль- большей мощности нагрева, чем в случае изотропной плазмы. Из вида спектра A2.15) формально, казалось бы, следует, что конденсация вообще невозможна, поскольку спектр всегда обрывается, не до- достигнув точки k = 0. Необходимо, однако, иметь в виду, что при k-^. (сан/соРI/2 становится непригодным дисперсионное соотношение A2.13), которое использовалось при отыскании спектра A2.15). Вывод относительно обрыва спектра справедлив поэтому только при k0^((Он/а>рI/2- Отсюда с учетом формул A2.16) и A2.17) легко получается оценка пороговой мощности qv, при которой в спектре возникает конденсат: Вспоминая, что в отсутствие магнитного поля qv задается выраже- выражением (9.33), можно написать для этой величины простую интер- интерполяционную формулу: Наиболее жесткое условие применимости изложенных в этом разделе результатов связано с необходимостью учета рассмотрен- рассмотренного в § 11 упругого рассеяния волн на возмущениях плотности. Обратившись к соотношениям A1.4) и A1.5), нетрудно показать, что, несмотря на изменение закона дисперсии волн, условие, при котором время упругого рассеяния плазмонов с k~wp/c становит- 124
ся сопоставимом со временем спектральной перекачки, сохраняет" вид A1.6). Соответствующее значение концентрации пучка опреде- определяется оценкой JLAny (^lf JL A2.20) / \ Т J К ' 1 + Р2 ' из которой видно, что при р-Cl область допустимых концентраций существенно сужается по сравнению со случаем плазмы без маг- магнитного поля. Релаксация пучков с концентрацией, превышающей величину A2.20), рассмотрена в § 14. 12.3. //-Рассеяние. Оценивая роль //-рассеяния, будем считать выполненными неравенства A2.4). При этом полная частотная ши- ширина спектра, безразмерное значение которой будем обозначать о)о, велика по сравнению с шириной области возбуждения волн, равной в безразмерных переменных 1 + 1/Р [см. A2.9)]. Обозначим число /-волн в единице объема плазмы N1, а число /-волн— N*: N1 = 4л J dm J Nl (со; x) dx; N( = 4л J da {wl + w\). о Через эти величины нетрудно выразить характерные времена lt-,lt- и ^/-процессов в нерезонансной области [см. формулы A2.6) — A2.8)]: %"~%tl~(oo2/(k2Nl); т"~ю02/(k2N(). Здесь k — характер- характерное значение волнового вектора нерезонансных /-волн, равное |р©о|-1/2 [см. A2.9)]. В стационарном состоянии каждая из величин т", xtl и xlt дол- должна быть равна времени затухания волн v^1 Отсюда следует, что tf'W~velp|«>ol8- A2.21) С другой стороны, характерное время возбуждения /-волн должно быть равно времени их откачки из резонансной области в резуль- результате рассеяния xr. Если предположить, что откачка обусловлена в основном //-расеянием, то для оценки xr необходимо задать число /-волн в резонансном диапазоне частот. Примем, что на единичный интервал частоты здесь приходится столько же /-волн, сколько и в остальной части спектра, а именно iV'/|cDo|- Это подтверждается точным решением задачи [67]. Учи- Учитывая, что резонансная область имеет ширину 1 + р~', а волновой вектор в ней порядка единицы, имеем Обратное время откачки т^ , очевидно, совпадает с инкрементом пучковой неустойчивости Г, т. е. #'~Г|юо|A+Р)/р. A2.22) Объединяя соотношения A2.21) и A2.22), находим tf'-tf'-r'/'O +рУ/2/(^2р2); A2.23) 125
A2.24) Оценим теперь мощность нагрева плазмы q и число /-волн, взаи- взаимодействующих с пучком NrK Мощность, диссипируемая за счет столкновений, отличается от полной энергии волн только множите- множителем Vet, т. е. в безразмерных переменных <7~v#rv'p-2(l + P)Vl. A2.25) В стационарном состоянии эта величина равна мощности, которую теряет пучок. Последняя же с точностью до численного множителя равна TNRl. Поэтому Отметим, что при r>vei спектральная плотность /-волн в резонанс- резонансной области мала по сравнению с их средней спектральной плот- плотностью N1/1 «о |. Из формулы A2.25) видно, что эффективность нагрева плазмы растет с увеличением магнитного поля, но зависимость q от Н ока- оказывается иной, чем в отсутствие //-рассеяния: при C^1 мощность пропорциональна первой степени напряженности поля, а при р<1 — четвертой. Чтобы показать, как зависит мощность от остальных параметров, перепишем формулу A2.25) в размерных переменных: !±±tf!L. A2.2б) Критерий применимости формулы A2.26) дается неравенством A2.4). Подставляя в него явное выражение для ©о, получаем: A + РJ С flVve() A + Р) « Щ\ A2.27) где |Q| ?== (тс2/ЗГ)о)н/сор. Напомним, что согласно условию A2.5) ||1. Левое из неравенств A2.27) эквивалентно соотношению qqo, где </о—мощность нагрева при //-стабилизации пучковой не- неустойчивости в плазме без магнитного поля. Если это неравенство не выполнено, то вкладываемая в плазму мощность близка к q0, а добавка, связанная с магнитным полем, мала. Если же нарушает- нарушается правое неравенство, то ширина спектра, формально найденная из A2.24), больше |Q|, а это значит, что возникает сток энергии в точку © = Q. Максимальная мощность нагрева, при которой сток еще отсутствует, равна v2 M сон тс2 Она в Q раз больше критического значения qo, при котором начи- начинается конденсация /-волн в плазме без магнитного поля. 126
43. Взаимодействие пучка с геликонами Наличие в плазме магнитного поля изменяет картину релакса- релаксации пучка не только в результате перестройки спектров ленгмю- ровских и электромагнитных волн, но также и по другой причине: в плазме с магнитным полем пучок начинает возбуждать новые волны. Особенно существенна в этом смысле раскачка геликонов, которая при определенных условиях вообще может стать главной причиной релаксации пучка [68]. Дело в том, что нелинейные про- процессы с участием геликонов протекают сравнительно медленно и уровень этих волн (в отличие от уровня ленгмюровских) фактиче- фактически ограничивается одними лишь квазилинейными эффектами. По- Поэтому геликоны, несмотря на малость соответствующего им линей- линейного инкремента, могут оказывать более сильное обратное влияние на пучок, чем ленгмюровские волны. Учитывая сказанное, посту- поступим далее следующим образом: сначала рассмотрим взаимодейст- взаимодействие пучка с геликонами, полностью пренебрегая всеми остальными волнами, а затем уточним условия применимости такого подхода. 13.1. Качественное рассмотрение. Геликоны возбуждаются пуч- пучком за счет циклотронных резонансов на аномальном эффекте Доп- Доплера со—k и v cos 0—пюн/7=0. Напомним, что условие резонанса вы- вытекает из законов сохранения энергии и импульса в элементарном акте излучения волны частицей. При этом Йсо есть энергия излучае- излучаемой волны, а /шсон/y — изменение «поперечной» энергии частицы. Как уже отмечалось в разд. 3.2, в случае взаимодействия РЭП с ге- геликонами отношение величин со и ан/у очень мало. Таким образом, «поперечная» энергия частиц изменяется гораздо больше, чем их полная энергия, а это значит, что электроны претерпевают почти упругое рассеяние. Иными словами, процесс релаксации сводится в основном к увеличению углового разброса пучка А0. Чтобы найти закон изменения А0 при стационарной инжекции пучка в плазму, оценим расстояние от границы плазмы, на кото- котором плотность энергии волн, возбуждаемых пучком с заданным разбросом, достигает уровня, существенно превышающего тепловой: z~Avg/r. Здесь Л — кулоновский логарифм; vg — продольная со- составляющая групповой скорости волны; Г — инкремент неустойчиво- неустойчивости. Для Г, в свою очередь, справедлива оценка T~kxc(nb/n)(l/AQ*), A3.1) которая непосредственно следует из формулы D.8). Учитывая, что групповая скорость геликона равна О1=с — гЛт—(\ + --i- ). A3.2) получаем: 127
В квазилинейном приближении это соотношение можно рассмат- рассматривать как зависимость углового разброса пучка от координаты г, т. е. bQ(z)~(z/lhL\ A3.3) где /ftSA-i-i^±A A3.4) — длина релаксации пучка *. Оценим теперь плотность энергии волн Uh(z). Для этого удобно воспользоваться законом сохранения импульса. Суммарный поток импульса частиц и волн на расстоянии z от границы должен быть равен потоку импульса электронов пучка на входе в плазму «ь^оРо- Рассеиваясь на волнах, электроны теряют поток импульса 3й, рав- равный «bfoPoAB2- С другой стороны, g vgu, 6 СО где под vg, k || и at следует понимать их характерные значения в спектре. У геликонов порядок фазовой и групповой скоростей оди- одинаков. Поэтому оценочно поток SP можно считать равным плотно- плотности энергии Uh. Отсюда видно, что Uh (г) ~ nbvuPo№ (г) ~ nbvoPoz/lh. A3.5) При z~lh плотность энергии волн становится сопоставимой с плотностью энергии пучка. Доля волн в полном потоке энергии при этом весьма мала (~vg/c). Столь же малы и относительные поте- потери энергии частиц: Д? vs mv (здесь учтено, что при 6—1 пучок возбуждает колебания с волно- волновым вектором k~WHfn/Po)- Чтобы выяснить условия применимости квазилинейного прибли- приближения, необходимо оценить характерные времена нелинейных вза- взаимодействий геликонов. Сравнение вероятностей различных нели- нелинейных процессов показывает [69], что наиболее быстрый из них — это распад геликонов: © = coi + oJ; к = к1:+к2. Обратное время рас- распада tT-lh+h по порядку равно (aUh/H2. Воспользовавшись оцен- оценкой A3.5), нетрудно проверить, что th'lh+h <Г и становится сопо- сопоставимым с Г только при Л0 — 1. Таким образом, квазилинейная теория пригодна для описания практически всего процесса релак- релаксации, за исключением лишь самой последней его стадии. * Формула A3 3) справедлива при А9 ^Qo, где Д9о — угловой разброс пуч- пучка на входе в плазму. 128
i'3.2. Решение квазилинейной задачи. Квазилинейная задача о стационарной инжекции пучка в плоский слой плазмы 0<z<L сводится к решению следующей системы уравнений: dco dNt, ¦ = 2IWk; A3.7) dk. dz X Здесь частота волны со и инкремент Г задаются соответственно формулами C.7) и D 7), а компоненты тензора диффузии имеют вид*: А рр »- -SJ' А 'ео _(-¦ 1 COS б — k || 1>/С0 COS 0 — k || tl/CO X sin6 со — k,, v cos 8 - X >н где I \ k ,vy i.-mutf. A3.9) A3.10) Входящая в уравнения A3.7), A3 8) спектральная функция Nk связана с плот- плотностью энергии геликонов Vh соотношением Uh = J co/Vk dk. Как видно из формулы A3.9), в интересующем нас случае (со<&ци) коэф- коэффициенты Dpp и Dpq малы по сравнению с D ее; «1; ^-^—г <i. так что угловой разброс пучка в процессе релаксации должен расти гораздо быстрее, чем разброс по модулю импульса. Предположим для простоты, что на входе в плазму пучок моноэнергетичен, т. е. р; в; г) г=0 2я Тогда можно считать, что импульсы электронов и дальше остаются практически равными ро, и свести задачу к отысканию только углового распределения частиц * Общий вид квазилинейных уравнений для магнитоактивной плазмы полу- получен в [70]. 9 Зак Н41 129
Ф(б). Уравнение Для Ф получается путем интегрирования A3.8) по р с учетом малости величин Dpp, DPQ и Ар/р0: дФ oncos 9 —— = ^пеДэе Это уравнение следует дополнить уравнением для волн A3.7), в котором ин- инкремент Г с точностью до членов порядка со/ {k g о) выражается через функцию Ф: « ko0 г__ " "ь 2 и X X птч>н п=—.оо О "•п — sin 9/, В системе уравнений A3.7), A3.11) для сокращения записи удобно перейти от размерных переменных г, k ц , k ±, N кк безразмерным х, |, rj, JV: 1 я г = со„ Ро I; ан\т .Ро о сз *!=¦ После такого перехода система принимает следующий вид: оо Я »2Qn дФ ,, йФ ае ' п=—оо О „ дФ I д cos 9 —— = где Г dh\ dn д (п sine я' I Qn A3.13) N * + Ti* cosa 6)l/« sin2 6 cos2 в б(п— + "^- /„ (г) sin 9) - sin Q/n (т) sin 6) Здесь опущены все малые добавки порядка со/ (k ц и) и, кроме того, учтено, что характерные значения волнового вектора возбуждаемых колебаний малы по сравнению с сор/с. Найдем решение системы A3.12), A3.13) для случая, когда толщина слоя плазмы L намного меньше длины релаксации I. Границы слоя будем считать поглощающими. В тонком (?<0 слое угловой разброс пучка ДО остается малым по сравнению с единицей. Заметим, однако, что при этом разброс может стать существенно больше своего начального значения Дбо. Сделаем подтверждающееся результатом предположение о том, что при 130
основной вклад в правьте части уравнений A3.12), A3.13) дают члены ся*1. Это позволяет привести исходную систему уравнений к виду дФ 1 д т,* е Q.N дФ <Ш5) Здесь N — функция переменных 6, г), х, причем Идея решения системы A3.14), A3.15) состоит в использовании большого параметра Л, равного логарифму отношения плотности энергии возбуждаемых волн к плотности энергии тепловых шумов (см. [33, 34]). Как видно из уравне- уравнения A3.14), N — NT exp Q, 2 + r,2 x 1 дФ , где NT — спектральная плотность тепловых шумов. Поскольку интеграл, стоящий в показателе экспоненты, очень велик, величина JV как функция т) имеет острый максимум в точке т)=г)т, отвечающей максимуму функции Qi/B+r|2). Таким образом, можно с хорошей точностью положить NF; т); х) = ф (9; *) б (ц - т,т (9)). A3.16) При 9<1 х\т легко определяется аналитически: Подчеркнем, что волны, возбуждаемые в процессе релаксации, распространя- распространяются под большими углами к оси пучка. Если вместо электронного пучка взять ионный, то положение меняется: спектр волн на начальной стадии релаксации оказывается близким к одномерному (см. [71]). Подставив формулы A3.16), A3.17) в уравнения A3.14), A3 15), получим ? ---!- !-? ? * Система A3.18), A3.19) обладает интегралом, позволяющим найти спектр волн по известной функции распределения: Отсюда |(Ф0 — о A3.21) »• 131
Чтобы найти функцию Ф(9; х), заметим, что уравнения A3.18), A3.19) по своей структуре аналогичны системе уравнений, рассмотренной в [34]. Пользу- Пользуясь этой аналогией, можно утверждать, что при тех значениях 9, где значение ty существенно превышает тепловой уровень, производная дФ/дв обязательно дол- должна быть малой ( счэЛ~х). Обозначим границы области, где шумы велики, 8- и в+. Тогда при 8_(х)<6<6+(х) функция Ф имеет вид плато. При всех ос- остальных значениях 9 она, как видно из A3.20), равна Фо. Обозначив высоту пла- плато Р{х), получим: |Ф0(8) 6<8_(*); Ф(9; х) - \р(х) 9_ (*)<9 < 9+ (х); A3.22) U Высота плато определяется из условия сохранения числа частиц 2 9,+ K9de- С учетом формул A3.22), A3 23) выражение A3.21) для спектральной функции it> принимает вид в*-е " \ A3.24) Уравнения для 9_ и 9+ получаются путем интегрирования соотношения A3.18) по промежуткам 9_—0<9<9_+0 и 8+—0<9<9+ + 0. Принимая во вни- внимание, что логарифм отношения плотности энергии волн, возбужденных пучком, к плотности энергии тепловых шумов с хорошей точностью равен Л, получаем: A3-25) | ф°9"е~Фо(е+)] • A3-26) Граничные условия для 9_ и 9+ имеют вид 9_ @) = 9+ @) = 90, где 90 — точка ми- минимума функции 9дФо/д9. С помощью уравнений A3.25) и A3 26) нетрудно показать, что в процессе релаксации функция 9_(.к) убывает, а 9+(я) возрастает. Качественная картина релаксации изображена на рис. 11. На начальной стадии поведение 9_ и 9+ сильно зависит от деталей функции Фо(8) и его не удается найти аналитически. Однако асимптотический ход релаксации сравнительно прост: <13-27) Здесь 9* — константа, зависящая от конкретного вида Фо(9). Решение A3 27) применимо при х>ЛД9о2, т. е. при 8_<Д9о и 9+>Д90. В асимптотическом ре- 132
ф в- 0+ о в- Рис 11. Динамика релаксации РЭП при возбуждении геликонов (штриховой ли- линией изображено начальное угловое распределение частиц): а — начальная стадия релаксации; б — асимптотическая стадия жиме вместо формулы A3.27) можно пользоваться более удобным приближен- приближенным выражением для спектральной функции г|>: о<е<е+; о е>е+. Отсюда следует простая формула для потока энергии волн 3> (для наглядности поток записан в размерных переменных): A3.28) Отметим, что найденное решение полностью подтверждает оценки, изложенные в разд. 13.2. 13.3. Обсуждение результатов. Обратимся к вопросу об условиях применимости построенного решения. Рассматривая возбуждение геликонов, мы пренебрегли их затуханием на электронах и ионах плазмы. Электронный вклад в декремент затухания определяется следующей формулой (см., например, [19]): X ехр( — та>2 \т J X + т2а* 2k\ T* Если «продольная» фазовая скорость геликона о)/|?ц | существен- существенно превосходит тепловую скорость, то затухание экспоненциально мало и порог неустойчивости очень низок. В обратном пределе fJL \2 4' со к k A3.29) Сравнение формул A3.29) и D.8) показывает, что требование ма- 133
лости электронного затухания на протяжении всего процесса ре- релаксации имеет вид у/ mv0 у/ г у/ Малость затухания на ионах обеспечивается тем, что фазовая скорость волн велика по сравнению с vTi: (О т <в„ ( Т V/. Если принять во внимание, что &ц «(пг/р0) сон, то отсюда вытека- вытекает следующее ограничение на | <йн |: I «я | > со, (ро/тсL' (Т/Мс^и. A3.30) Отметим, что раскачка геликонов возможна и при нарушении неравенства A3.30). В этом случае должны возбуждаться волны с большими значениями k g, отвечающими циклотронным резонан- сам высоких порядков. Кроме неравенства A3.30) имеется еще два ограничения на ан' | соя | > (Дв/'Ч, (po/mvo) (m/Mf", Первое из них означает, что частота возбуждаемых волн велика по сравнению с циклотронной частотой ионов, второе — что Г<Сю. Эти условия совместно с A3.30) определяют минимально возмож- возможное значение длины релаксации A3.4). В реальной ситуации пучок наряду с геликонами возбуждает в плазме также ленгмюровские колебания. Сравнивая эти два эф- эффекта, будем считать для определенности, что влияние магнитного поля на закон дисперсии ленгмюровских волн мало и что уровень энергии этих волн ограничен только процессом //-рассеяния. Чтобы ленгмюровские волны не приводили к слишком быстрому размы- размытию пучка, длина релаксации A3.4) должна быть меньше /, опре- определенной формулой (9.7). В дополнение к этому существует огра- ограничение на начальный угловой разброс пучка: Д0о> D/01/3, смысл которого состоит в следующем. При «ленгмюровском» механизме релаксации разброс, как уже отмечалось, изменяется по закону Д0 (z) ~ (z/l) '/s, С другой сторо- стороны, при релаксации на геликонах AB(z)~(z/lhI/2. Отсюда видно, что релаксация пучка с малым разбросом (8До< D/01/3) происхо- происходит в две стадии: на первой (вплоть до Д8~ D/01/3) угловой раз- разброс увеличивается из-за взаимодействия электронов с ленгмюров- скими колебаниями, а на второй — из-за взаимодействия с гелико- геликонами. Если же Д0о> D/01/3. т0 первая стадия релаксации несуще- несущественна. Добавим, что даже в том случае, когда размытие пучка по углу связано с возбуждением геликонов, релаксация по энергии может 134
быть обусловлена ленгмюровскими колебаниями. Соответствующая оценка энергетических потерь пучка имеет вид де , «О v r Дво Этот результат легко получается из соотношения, связывающего потери энергии на возбуждение ленгмюровских колебаний с угло- угловым разбросом пучка (см. § 9): d Д?" 1 йг"~ё7~ где* ' Покажем теперь, что в интересующих нас условиях можно пре- пренебречь нелинейным взаимодействием геликонов с ленгмюровскими колебаниями. Речь идет о процессе распада /-»-/+Л, где символами / и h соответственно обозначены ленгмюровские волны и геликоны. Вычисление вероятности этого процесса дает для характерного вре- времени распада следующую оценку: и1 /VV Воспользовавшись этой оценкой и выражением (9.5) для плотности энергии ленгмюровских волн, нетрудно проверить, что Т/1^+й<СГ, где Г — инкремент раскачки геликонов пучком. Сделаем еще замечание относительно взаимодействия пучка с низкочастотными колебаниями, в которых существенно движение ионов. Как видно из условия циклотронного резонанса, г — состав- составляющая волнового вектора волны, взаимодействующей с пучком, ограничена снизу величиной | а>нт/ро}. Поэтому при Т/тс2^> > (т/М) (ро/тсJ выполняется неравенство позволяющее считать движение ионов в колебаниях незамагничен- ным. Более того, нетрудно показать, что при Н2<с8ппТ неравенст- неравенство A3.31) позволяет вообще пренебречь вкладом ионов в диспер- дисперсионное соотношение. (Здесь имеется в виду изотермическая плаз- плазма, где невозможна раскачка ионного звука.) Это значит, что при указанных условиях низкочастотные (ионные) колебания не влия- влияют на релаксацию пучка. В заключение отметим, что все изложенные в этом параграфе результаты относились к случаю неограниченного в поперечном на- направлении пучка. Тем самым подразумевалось выполненным нера- неравенство /?>4, где R — радиус пучка. Если же R<.lh, то волны, рас- распространяясь в радиальном направлении, покидают область взаи- взаимодействия с пучком, не успев нарасти. Ограничение #>/h может, однако, оказаться несущественным, если из-за радиальной неодно- 135
родности концентрации плазмы и магнитного поля плазменный столб представляет собой волновод. Для геликонов такая ситуа- ситуация легко осуществима. Качественная картина релаксации при этом остается той же, что и в случае неограниченного пучка. 14. Горячие электроны 14.1. Нагрев электронов в плазме без магнитного поля. При пучковом нагреве плазмы умеренной плотности, в которой роль столкновений мала, основная часть выделяемой пучком энергии мо- может передаваться малой группе надтепловых электронов. Естест- Естественное объяснение этого эффекта состоит в том, что спектр воз- возбуждаемых пучком волн благодаря нелинейным процессам уширя- уширяется в сторону меньших фазовых скоростей до тех пор, пока волны не начнут затухать на электронах плазмы (здесь и ниже имеются в виду ленгмюровские волны). При этом электроны, ответственные за поглощение волн, вовлекаются в режим ускорения, так как по мере увеличения энергии они попадают в резонанс со все более быстрыми волнами. Отсюда видна тенденция к формированию в плазме так называемых электронных хвостов. Количество частиц в хвосте и их энергетический спектр зависят от механизма пере- перекачки волн в область поглощения. В случае плазмы без магнитного поля, с которого мы начнем рассмотрение, перекачка обусловлена ленгмюровским коллапсом. В магнитоактивной плазме, где закон дисперсии волн меняется, основной причиной перекачки может стать упругое рассеяние волн на возмущениях плотности плазмы. Кол- Коллапс в этом случае играет лишь вспомогательную роль (см. разд. 14.2). В режиме развитой турбулентности, когда в объеме плазмы име- имеется большое число случайно расположенных коллапсирующих ка- каверн, нагрев электронов и поглощение волн удобно описывать с по- помощью согласованной системы уравнений, состоящей из квазили- квазилинейного уравнения для частиц и уравнения для спектральной плот- плотности волн. Такой подход позволяет легко учесть качественные осо- особенности перестройки спектра волн вследствие коллапса. В пред- предположении об изотропии волн и частиц исходная система уравнений имеет следующий вид [72, 73]: & = v>lJL±±}NhJL±M.; (ил) dt " m2 о2 dv J h k v dv v ' (N№)w(^)- (H.2) dt ft» dk \ ы dt J mk? \ k ) V ; Здесь величина dk/dt, рассматриваемая как функция k, задает ско- скорость спектральной перекачки, обусловленной коллапсом. Конкрет- 136
ный вид этой функции определяется динамикой коллапсирующих ка- каверн. Так, в частности, при сверхзвуковом коллапсе dk/dtcok''1. A4.3) (рассмотрение других моделей коллапса в связи с задачей о на- нагреве электронов проведено в [74—77]). Формула A4.3), вообще говоря, требует уточнения, так как она получена в предположении о постоянстве полной энергии захвачен- захваченных в каверну волн. Мы, однако, не будем подправлять ее здесь, поскольку изменение динамики каверны вследствие затухания не сказывается на результате дальнейших оценок. В области очень больших фазовых скоростей, где затухание на горячих частицах отсутствует, уравнение A4.2) имеет решение с постоянным потоком волн по спектру, отвечающее «свободному» коллапсу: luqlk'l\ A4.4) Здесь q — мощность, вкладываемая в единицу объема плазмы, а /о — характерный начальный размер каверн. Для отыскания ве- величин q и k необходимо воспользоваться решением задачи о спек- спектре волн, взаимодействующих с пучком. Так, в частности, для пуч- пучков достаточно малой плотности, рассмотренных в § 9, мощность q задается формулой (9.32), а размер /0 определяется условием пере- перехода коллапса из дозвукового режима в сверхзвуковой: /0~rD(M/m)v'. A4.5) Формула A4.4) справедлива при тех значениях k, для которых ха- характерное время сжатия каверны, отвечающее удвоению волнового числа, мало по сравнению со временем затухания захваченных плазмонов. На коротковолновой границе спектра A4.4) эти време- времена должны быть сопоставимыми, что позволяет найти связь между концентрацией и скоростью частиц, ответственных за затухание [77]. Обозначив искомую скорость t>*, можно оценить граничное значение волнового числа как сор/у*. Соответствующее время сжа- сжатия каверны дается выражениями A1.14) и A1.15): Ъ>./Ир ~ /о {MITL' (vj<uplo)'u . A4.6) Условие равенства этого времени обратному декременту затуха- затухания, который можно оценить как в>рп'/п, где п' — концентрация поглощающих частиц, приводит к следующему соотношению: n'^n{TlMVy'^plojvJ'\ A4.7) Эта формула вместе с условием энергетического баланса n'mv2j2~qt A4.8) полностью описывает динамику электронного хвоста. Из соотноше- соотношений A4.7) и A4.8) следует, что характерная энергия надтепловых 137
электронов растет со временем пропорционально t4, а концентра- концентрация частиц, ответственных за поглощение, убывает как t~3. Отсюда видно, что большинство электронов «не поспевает» за движением границы хвоста в сторону больших скоростей. Иными словами, дви- движущаяся граница как бы оставляет за собой в пространстве ско- скоростей стационарный шлейф [76]. Поскольку при этом в каждый момент времени выполняется соотношение A4.7), функция распре- распределения частиц в шлейфе имеет следующий вид [73, 76, 78]: f^n{TlML' (<opt0)iu (l/vf>). A4.9) Подставив выражение A4.9) в уравнение A4.1), нетрудно найти спектр волн, обеспечивающих стационарность шлейфа: Nk=C{t)lk"': A4.10) Входящая сюда функция C(t) определяется сшивкой решений A4.10) и A4.4) npH*~©p/i>.(f): C(t) = (M/Tl0)l/'q(Op/vl С14-11) Рассматривая динамику нагрева электронов, мы пренебрегли их уходом из плазмы. В этом случае изложенные результаты при- применимы до тех пор, пока горячие электроны не влияют на закон дисперсии ленгмюровских волн, для чего их полная энергия дол- должна быть меньше тепловой энергии плазмы. При наличии потерь рост энергии горячих электронов со временем прекращается. Чтобы оценить соответствующую предельную энергию, достаточно заме- заменить время t в формуле A4.8) энергетическим временем жизни быстрого электрона x(v*). При свободном вылете электронов t(o*)~L/o*, где L — размер зоны нагрева. Что же касается соот- соотношений A4.7) и A4.9) — A4.11), то они при учете потерь сохра- сохраняют свой первоначальный вид. 14.2. Нагрев электронов в магнитоактивной плазме [79]. Чтобы пояснить роль магнитного поля в задаче о формировании электрон- электронного хвоста, обратимся к рис. 12, на котором изображены линии постоянной частоты, отвечающие дисперсионному соотношению для ленгмюровских волн при a>ir<Cci)p: СОц = -L А А A _ А.) + ± 2 ft» 0,2 V kVr 2 «II Рис 12. Линии постоянной ча- частоты ленгмюровских волн в магнитном поле и область воз- возбуждения волн пучком 138
Штриховкой на рисунке выделена область взаимодействия волн с пучком (резонансная область). Рисунок соответствует малым значениям параметра р=8лл7уЯ2, когда вклад магнитного поля в закон дисперсии резонансных волн велик по сравнению с тепло- тепловым. В этом случае на резонансные волны приходится лишь малая доля полного фазового объема (^р3/2). Показанные на рисунке линии постоянной частоты простираются вплоть до волновых чисел порядка Гд'щяг/(йр. Соответствующая фазовая скорость волн оценоч- оценочно равна ОгеСОр/сон. Если в плазме имеется достаточное число элек- электронов со скоростями, превышающими УгеИр/сон, то перераспре- перераспределение ленгмюровских волн вдоль линий wk = const в результате упругого рассеяния на возмущениях плотности может приводить к поглощению волн этими электронами [80]. Важной особенностью такого режима является то, что упругое рассеяние волн одновре- одновременно выступает как механизм стабилизации пучковой неустойчи- неустойчивости. Поэтому задача о нагреве электронов должна в данном слу- случае с самого начала решаться совместно с задачей о возбуждении волн пучком. Применительно к этой задаче можно написать сле- следующее условие энергетического баланса: TUR=T,U9, A4.12) где Г — инкремент пучковой неустойчивости; Г* — декремент зату- затухания волн на горячих электронах, a Ur и U* — плотности энергии возбуждаемых и затухающих волн. Относительно возмущений плотности, обеспечивающих переброс волн вдоль линий юк=const из одной области фазового простран- пространства в другую и поддерживающих баланс между накачкой и зату- затуханием, предположим, что они порождаются высокочастотным дав- давлением самих ленгмюровских волн. Чтобы упругое рассеяние волн на этих возмущениях действительно было основным механизмом поддержания энергетического баланса, частота такого рассеяния должна быть выше частоты спектральной перекачки, обусловленной индуцированным рассеянием ленгмюровских волн на частицах плаз- плазмы. Проделав в этом предположении все оценки, сформулируем затем соответствующее условие количественно [см. формулу A4.34)]. Возбуждение, затухание и упругое рассеяние ленгмюровских волн описываются кинетическим уравнением, аналогичным по сво- своей структуре уравнению A1.4): A4.13) Входящая сюда спектральная функция возмущений плотности лх нормирована условием <(бл/пJ> = J«Hdx/BnK, где <(б«/лJ> — средний квадрат возмущений, измеряемый в относительных едини- единицах. 139
Оценивая скорость рассеяния, примем, что переброс волн из ре- резонансной области в область затухания идет не диффузионным пу- путем, а за один шаг; иными словами, что среднее волновое число возмущений плотности сопоставимо с волновым числом затухаю- затухающих волн. Получающийся результат оправдывает это предположе- предположение. Характерные частоты рассеяния резонансных и нерезонансных волн в такой ситуации одинаковы; уравнение A4.13) дает для них следующую оценку: A4. И) Выясним далее, как соотносятся друг с другом величины Г, Г* и v*. Для этого необходимо предварительно рассмотреть вопрос об ускорении электронов до энергии Е~Т(юр/(днJ— той минимальной энергии, начиная с которой электроны могут поглощать ленгмюров- ские волны, возникающие в результате упругого рассеяния резо- резонансных волн. Чтобы электроны приобрели требуемую «затравоч- «затравочную» энергию, необходим переброс некоторой доли ленгмюровских волн в область достаточно малых фазовых скоростей ((oP/k-<. <Отев)р/(дн). В теории известен только один механизм такого пе- переброса — ленгмюровский коллапс. Естественно предположить, что именно он и ответствен за подогрев электронов до Е~Т((ор/(анJ. Поскольку нас в конечном счете интересует ускорение электронов до существенно больших энергий, мощность, диссипируемая в про- процессе коллапса, должна составлять в рассматриваемой модели ма- малую часть мощности нагрева. Это обеспечивается уже упоминав- упоминавшейся медленностью индуцированного рассеяния, т. е. малостью энергии, стекающей в ленгмюровский конденсат и вовлекаемой в коллапс. Обозначим Я* концентрацию электронов, попавших бла- благодаря коллапсу в область ?1>71(соР/о)нJ. Оценка декремента за- затухания ленгмюровских волн на этих электронах имеет вид Г*~ Я/ / Будем считать, что подогрев электронов в результате коллапса достаточен для выполнения условия Г*» Г. A4.15) (Обратный случай рассмотрен в [30]). Тогда все дальнейшие оцен- оценки оказываются нечувствительными к конкретному значению Я*. Возвращаясь к вопросу о соотношении между Г, Г* и v*, заме- заметим, что в стационарном режиме не может выполняться ни одно из неравенств v,«r; A4.16) v,«r,. A4.17) Действительно, неравенство A4.16) означало бы, что рассеяние не успевает выводить возбуждаемые пучком волны из резонансной области, а неравенство A4.17)—что волны поглощаются быстрее, чем рассеяние поставляет их в область затухания. 140
В интересующих нас условиях исключена также возможность того, что v* существенно превышает наибольшую из величин Г и Г*. Этот случай соответствовал бы эргодическому распределению ленгмюровских волн, в котором спектральная плотность энергии постоянна на линиях wi< = const, т. е. спектральные плотности энер- энергии в областях возбуждения и затухания одинаковы. Поскольку область затухания отвечает большим волновым числам, ее фазовый объем заведомо превышает объем резонансной области, но тогда A4.18) С другой стороны, эргодичность спектра означает, что в затухание вносят вклад все частицы с энергией, превышающей Г(юр/со#J; при этом Г*~Г* и Г*>Г [см. формулу A4.15)]. Нетрудно видеть, что столь сильное затухание несовместимо с условием энергети- энергетического баланса. Изложенные соображения показывают, что частота рассеяния оценочно равна максимальной из величин Г и Г*. При этом в зави- зависимости от соотношения между Г и Г, имеются три возможности: ëÄ~у,; A4.19) r*«r~V, A4.20) r.~-r~v,. A4.21) Первая из них должна быть отброшена по той же причине, что и рассмотренный выше случай v*>max (Г, Г*) (условие v*>T при- приводит к соотношению A4.18), которое при Г*>Г вступает в про- противоречие с A4.12)). Соотношение A4.20) также неприемлемо, так как оно включает в себя неравенство v*^F*, позволяющее считать спектр нерезонансных волн эргодическим, а в этом случае Г*~Г„ что приводит к противоречию между A4.20) и A4.15). Таким об- образом, при выполнении неравенства A4.15) может осуществиться только режим A4.21). Подчеркнем, что условие Г*~Г, входящее в соотношение A4.21), не противоречит неравенству A4.15). Оно лишь налагает определенное ограничение на форму спектра ленг- ленгмюровских волн: волны должны быть сосредоточены преимущест- преимущественно в той области k-пространства, где декремент их затухания меньше или порядка Г, а в области более сильного затухания энергия волн мала. Декремент затухания естественно считать ра- растущей функцией волнового числа. При этом спектр волн спадает в сторону малых фазовых скоростей, так что на долю наиболее медленных электронов [из числа присутствующих в области Е> >7'(шр/а)нJ] приходится сравнительно небольшая часть погло- поглощаемой энергии. Это значит, что концентрация электронов, реаль- реально ответственных за поглощение ленгмюровских волн, меньше Я*. Она определяется условием Г*~Г и равна пг ~ пГМр. A4.22) Помимо л* оценка A4.21) (с учетом A4.14)) позволяет найти 141
уровень возмущений плотности плазмы (ЬпЩ? ~ (<оя/(ор)г Г/ш„. A4.23) Кроме того, из формул A4.21) и A4.12) следует, что плотности энергии резонансных (UR) и нерезонансных (?/,) волн по порядку одинаковы. Заслуживает внимания то обстоятельство, что для оценки я. и Ьп/п не требуется конкретизировать зависимость величины Ьп/п от энергии ленгмюровских волн U. Знание этой зависимости необ- необходимо лишь для определения скорости нагрева плазмы и харак- характерной энергии горячих электронов. В условиях применимости при- приближения слабой турбулентности величину (Ьп/пJ можно выразить через U с помощью уравнения, описывающего распадное взаимо- взаимодействие ленгмюровских и ионно-звуковых волн, аналогично тому, как был найден уровень вынужденных возмущений плотности в § И [см. формулу A1.5)]. Обозначив k* характерное волновое число ленгмюровских колебаний, получим {ЬпШУ ~ {TIML' (kjap) {UjnTf (<ор/со„J A4.24) (эта оценка относится к изотермической плазме). При одинаковых плотностях энергии резонансных и нерезонансных волн величина Ьп/п определяется преимущественно нерезонансными волнами, так как этим волнам соответствуют большие значения k. Поскольку примерно половина всех нерезонансных волн сосредоточена в об- области поглощения, волновое число k* можно выразить через харак- характерную скорость горячих электронов k^^dip/v. A4.25) Скорость v, в свою очередь, определяется вкладываемой в плазму мощностью: A4.26) Комбинируя теперь соотношения A4.21) — A4.26), находим /ПИ2 *) 2Т v"p'i Как видно из полученных формул, величина U/nT растет со вре- временем пропорционально ?1/3. Если не принимать в расчет потери горячих частиц, то рост U ограничивается тем, что к моменту A4.29) энергия волн достигает порога модуляционной неустойчивости U/nT ~ (соя/ЮрJ. A4,30) 142
Вблизи порога A4.30) возмущения плотности начинают расти б увеличением U гораздо быстрее, чем это следует из формулы A4.24). По этой причине энергия ленгмюровских волн не может превысить порог A4.30), а оказывается «замороженной» на не- несколько более низком уровне, мало отличающемся от порогового. Действительно, при подходе величины U к порогу A4.30) одновре- одновременно с возмущениями плотности резко возрастает и v*. Связан- Связанный с этим усиленный переброс волн из резонансной области в об- область затухания приостанавливает рост U. Чтобы такая схема мог- могла реализоваться, возмущения плотности должны успевать «сле- «следить» за уровнем ленгмюровских шумов. Иными словами, харак- характерное время релаксации этих возмущений, равное по порядку ю/71 (М/т) '/2, должно быть меньше обратного инкремента пучковой неустойчивости: Т<«>н(т№1/: A4.31) Подчеркнем, что, несмотря на близость энергии к порогу A4.30), роль коллапса в режиме A4.31) остается малой. Коллапс начинает вносить существенный вклад в диссипацию только при нарушении неравенства A4.31), когда ленгмюровские волны возбуждаются пучком настолько быстро, что их энергия может превысить порог A4.30). Из высказанных здесь замечаний видно, что при выполне- выполнении условия A4.31) формулу A4.24), начиная с момента времени A4.29), надлежит заменить соотношением A4.30). Это дает вместо A4.28) следующую оценку энергии горячих электронов: E/T~2a>pt(<x>H/e>p)\ A4.32) Предельно достижимая энергия определяется либо длительностью инжекции пучка, либо временем вылета электрона из плазмы, рав- равным L/v, где L — длина системы. В последнем случае Е/Т ~ (LlrD)tu W»/1. A4.33) Чтобы на начальной стадии нагрева мог осуществляться режим, описываемый формулами A4.27), A4.28), характерная энергия, приобретаемая электроном к моменту времени A4.29), должна превышать Г(юр/@яJ. Возникающее отсюда ограничение на инкре- инкремент неустойчивости Г совпадает с неравенством A4.31). Уточним наконец условие, при котором можно пренебречь пе- перекачкой энергии в ленгмюровский конденсат из-за индуцирован- индуцированного рассеяния волн на частицах плазмы. Частота рассеяния на ионах оценочно равна а>р (kvTe/a>HJ (m/M) (сор/со„J V/nT и в режиме A4.30) не превышает а>Рпг/М. Предельно возможное значение частоты рассеяния на электронах для данного режима равно <ор(сйя/й)}>M. Искомое условие представляет собой требование малости этих частот по сравнению с Г: Г > (ор [m/M + (соя/о)^M]. A4.34) Это ограничение дополняет полученное ранее неравенство A4.31). 143
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Winterberg F.//Phys. Rev. 1968. Vol. 174. P. 212-226. 2. Бабыкин М. В., Завойский Е. К-, Иванов А- А., Рудаков Л. H.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. 1971. Vienna, IAEA. 1971. Vol. 1. P. 635—643. 3. Budker G. I.//6th Europ. Conf. on Control. Fus. and Plasma Phys. Moscow, 1973. M., 1974. Vol. 2. P. 136—158. 4. Sudan R. N.//Ibid. P. 184—199. 5. Breizman B. N., Ryutov D. D.//Nucl. Fus. 1974. Vol. 14. P. 873-907. 6. Мощные электронные и ионные пучки (библиографический указатель). Препринт ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск, 1979. 7. Шафранов В. Д.//Вопросы теории плазмы./Под ред. М. А, Леонтовича, М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 3. 8. Гинзбург В. Л.//Успехи физ. наук. 1959. Т. 69. С. 537—564. 9. Железняков В. В.//Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, С. 14—27, 10. Wright H., Wiginton С. L., Neufeld J.//Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 1375— 1384. 11. Bludman S. A., Watson K. M., Rosenbluth M. N.//Ibid. 1960. Vol. 3. P. 741 — 757. 12. Файнберг Я. Б., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.//Журн, эксперим. и теорет, физ. 1969, Т. 57. С. 966—977. 3. Weib 13. Weibel E. S.//Phys. Rev. Lett. 1959. Vol. 2. P. 83-84. 14. Брейзман Б. Н., Мирное В. В.//Геомагнетизм и аэрономия, 1970. Т. 10, С. 34—37, 15. Брейзман Б. Н., Рютов Д. Д.//Журн, эксперим, и теорет. физ, 1971, Т, 60, С. 408—422. 16. Рудаков Л. И.//Там же. 1970. Т. 59. С. 2091—2104. 17. Ferch R. L., Sudan R. N.//Plasma Phys. 1975. Vol. 17. P. 905-915. 18. Godfrey В. В., Shanahan W. R., Thode L. E.//Phys. Fluids. 1975. Vol. 18. P. 346-355. 19. Ахиезер А. И., Ахиезер И. А., Половин Р. В. и др. Электродинамика плаз- плазмы. М.: Наука, 1974. 20. Zayed К. Е., Kitsenko A. B.//Plasma Phys. 1968. Vol. 10. P. 147—160. 21. Богданкевич Л. С, Рухадзе А. А.//Успехи физ. наук. 1971. Т. 103. С. 609— 640. 22. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1966. Т. 2. 23. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про- произведений. М.: Физматгиз, 1963. 24. Железняков В. В., Суворов Е. В.//Журн, эксперим. и теорет, физ. 1968, Т. 54. С. 627—640. 25. Железняков В. В.//Астроном. журн. 1967. Т. 44. С. 42—54. 26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982. 27. Веденов А. А., Рютов Д. Д.//Вопросы теории плазмы./Под ред. М. А. Леон- Леонтовича. М.: Атомиздат, 1972. Вып. 6. 28. Брейзман Б. Н., Рютов Д. Д.//Письма в ЖЭТФ. 1970. Т. 11. С. 606—609. 29. Nishikawa К., Ryutov D. D.//J. Phys. Soc. Japan. 1976. Vol. 41. P. 1757— 1765. 30. Брейзман Б. Н., Ерофеев В. И. Препринт ИЯФ СО АН СССР № 83—52, Новосибирск, 1983. 31. Веденов А. А., Велихов Е. П.. Сагдеев Р. 3.//Ядерный синтез. 1961. Т. 1. С. 82. 32. Drummond W. E., Pines D.// Nucl. Fus., Suppl. 1962. Vol. 3. P. 1049—1058. 33. Drummond W. E.//Phys. Fluids. 1962. Vol. 5. P. 1133—1134. 34. Иванов А. А., Рудаков Л. И.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1966, Т. 51. С. 1522-1534. 35. Thode L. E., Sudan R. N.//Rhys. Fluids, 1975. Vol. 18. P. 1552—1563. 36. Lampe M., Sprangle P.//Ibid. 1975. Vol. 18. P. 475—481. 37. Thode L. E.//Ibid. 1976. Vol. 19. P. 305-315. 144
3*8. Веденов А. А.//Йопросы Теории плазмы./Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 3. 39. Кадомцев Б. Б.//Там же./Под ред. М, А, Леонтовича, М.: Атомиздат, 1964. Вып. 4. 40. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3.//Там же./Под ред, М, А, Леонтовича. М.: Атомиздат, 1973. Вып. 7. 41. Цытович В. Н. Нелинейные эффекты в плазме: М.: Наука, 1967, 42. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3.//Ядерный синтез, 1965. Т. 5. С. 20—40. 43. Галеев А. А., Карпман В. И., Сагдеев Р. 3.//Докл. АН СССР, 1964, Т, 157, С. 1087—1091. 44 Брейзман Б. Н., Захаров В. Е., Мушер С. Л.//Журн. эксперим. и теорет, физ. 1973. Т. 64. С. 1297—1313. 45. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. Пер, с франц. М.: Наука, 1976. 46. Kruer W. L., Valeo E. J.//Phys. Fluids, 1973. Vol. 16. P. 675—682. 47. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е.//Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 18. С. 519—522, 48 Брейзман Б. Н.//Журн. эксперИм. и теорет. физ. 1977. Т. 72. С. 518—520. 49. Захаров В. Е., Мушер С. Л., Рубенчик А. М.//Там же. 1975. Т. 69. С. 155. 50. Цытович В. Н., Шапиро В. Д.//Ядерный синтез, 1965. Т. 5. С. 228—233, 51. Брейзмаи Б. Н., Рютов Д. Д., Чеботаев П. 3.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1972. Т. 62. С. 1409—1423. 52. Веденов А. А., Рудаков Л. И.//Докл. АН СССР. 1964. Т. 159. С. 767. 53. Захаров В. Е.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1972. Т. 62. С. 1745—1759. 54. Дегтярев Л. М., Захаров В. Е. Препринт ИПМ АН СССР № 106. М, 1974. 55. Цытович В. Н. Теория турбулентной плазмы. М.: Атомиздат, 1971. 56. Брейзман Б. Н.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1975. Т. 69. С. 896—908. 57. Каплан С. А., Цытович В. Н. Плазменная астрофизика. М.: Наука, 1972, 58. Каплан С. А., Цытович В. Н.//Астроном. журн. 1967, Т. 44. С. 1194—1205, 59. Каплан С. А., Пикельнер С. Б., Цытович В. Н. Физика плазмы солнечной атмосферы. М.: Наука, 1977. 60. Малкин В. М.//Журн. эксперим. и теорет физ. 1982. Т. 83, С. 88—105. 61. Малкин В. М.//Там же. С. 1725—1737. 62. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. Иу//Там же, 1977. Т. 72. С. 507—517. 63. Рудаков Л. И.//Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 19. С. 729—733. 64. Papadopoulos K.//Phys. Fluids. 1975. Vol. 18. P. 1769—1777. 65. Веденов А. А. Теория турбулентной плазмы. М • Изд-во ВИНИТИ, 1965. 66. Малкин В. М.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1984. Т. 86, С. 1263—1272. 67. Брейзман Б. Н., Малкин В. М., Соболев О. П.//Там же. 1977, Т. 72, С. 1783—1796. 68. Брейзман Б. Н., Феизов С. Г.//Там же. 1974. Т. 66. С. 200—211. 69. Лившиц М. А., Цытович В. Н.//Там же. 1972. Т. 62. С. 606—613. 70. Якименко В. Л.//Там же. 1963. Т. 44. С. 1534—1543. 71. Роуландс Дж., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.//Там же. 1966. Т. 50, С. 979—993. 72. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Сигов И>. С. и др.//Физика плазмы.. 1975. Т. 1. С. 10—20. 73. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Шевченко В. И.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1977. Т. 73. С 1352—1369. 74. Горев В. В., Кингсеп А. С, Рудаков Л. И.//Изв. вузов. Радиофизика. 1976, Т. 19. С. 691—720. 75 Кингсеп А. С, Яньков В. В.//Физика плазмы. 1975. Т. 1. С. 722—728. 76. Горев В. В., Кингсеп А. С, Яньков В. В.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1976. Т. 70. С. 921—928. 77. Кингсеп А. С//Там же. 1978. Т. 74. С. 99—111. 78. Горбушина Т. А., Дегтярев Л. М., Захаров В. Е„ Равинская В. Н. Пре- Препринт ИПМ АН СССР № 128. М., 1975. 79. Брейзман Б. Н., Ерофеев В. И. Физика плазмы. 1985. Т. 11, С. 387—393. 80. Breizman В. N., Ryutov D. D.//Proc. Intern. Conf. on Plasma Phys. Nagoya, 1980. Vol. 2. P. 55—61. ЮЗак I44J 145
УДК 553.951.g РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В СТЕЛЛАРАТОРАХ В. Д. Пустовитов, В. Д. Шафранов ВВЕДЕНИЕ Стеллараторы — это класс тороидальных магнитных систем, в которых магнитные поверхности создаются не током, возбуждае- возбуждаемым вдоль плазменного шнура, как это делается в токамаке, а внешним магнитным полем, имеющим винтовую структуру. Воз- Возможны два способа создания вращательного преобразования без продольного тока в плазме. Соответственно различают два типа стеллараторов. Первый способ — создание вращательного преобразования за счет кручения (вывода из плоскости) оси соленоида, формирующе- формирующего продольное поле (рис. 1). Этот способ реализован в первом стеллараторе — восьмерке Спитцера [1, 2] и впоследствии был ис- использован в установках М-8 [3], асператор [4] (рис. 2) и при разработке систем дракон [5] и гелиак [6]. Второй способ — создание полоидальных полей внешними вин- винтовыми токами. Несмотря на то что циркуляция таких полей по лю- Рис. 1. Прокручивание магнитной силовой линии РР' относительно нормали к оси (пунктир) соленоида с пространственной осью; линии 1—2 и 2'—3 — след нормали на магнитной поверхности Рис. 2. Стеллараторы с пространственной осью: а — восьмерка с прямыми участками, б — восьмерка из четырех полуторов; а — многопериодная винтовая система 146
Рис. 3. Магнитнйе поверхности двуХ- заходного стелларатора в разных се- сечениях плоскостью ?=const. Силовые линии частично увлекаются во вра- вращение. Концы стрелок — положение выделенной силовой линии (пунктир) Рис. 4. Стеллараторы с винтовыми обмотками- а — двухзаходный стелларатор; 6 — торсатрон Рис. 5. Схематическое изображение токамака бому полоидальному контуру в области удержания плазмы равна нулю, магнитные линии за счет квадратичного эффекта перемены наклона испытывают вращательное преобразование (рис. 3, [7]). Этот способ используется в «обычных» стеллараторах с винтовыми обмотками, в том числе в торсатронах и гелиотронах (рис. 4). Главное преимущество стеллараторов перед токамаками (рис. 5) —возможность стационарной работы без затраты энергии на генерацию тока в плазме. В условиях термоядерного реактора стационарность означает снижение эффекта усталости конструк- конструкционных материалов, а следовательно, повышение его долговечно- долговечности и экономичности. Недостатком стеллараторов является относи- относительная (по сравнению с токамаками) сложность конструкции. Исследования на стеллараторах до самого последнего времени сосредотачивались фактически на проверке принципов стелларатор- ных систем. Из-за сложной трехмерной структуры магнитного поля в теории вначале приходилось уделять много внимания исследова- исследованию вакуумной магнитной конфигурации стеллараторов [8, 9], дви- движению заряженных частиц в этих системах [10—12] и исследова- исследованию процессов переноса в заданной геометрии магнитного поля [13—16]. Подробное изложение этих вопросов содержится в [17]. После недавно осуществленных успешных экспериментов по со- созданию, нагреву и удержанию бестоковой плазмы в стеллараторах 10* 147
[18, 19] становится все более актуальным исследование удержа- удержания плазмы с реакторными параметрами, т. е. с относительно вы- высоким давлением плазмы (параметр р = 2р/В2 должен быть мас- масштаба десятка процентов) и низкой частотой столкновений заря- заряженных частиц, когда переносы начинают определяться плохо удер- удерживаемыми локально запертыми частицами. Тороидальные магнит- магнитные системы не имеют большого «запаса прочности» по параметру р. Наоборот, расчеты показывают, что значения р~10% (по край- крайней мере в обычных стеллараторах) близки к пределу, при котором нарушаются условия устойчивого равновесия и осуществление ко- которого требует деликатного подбора параметров системы. Выясне- Выяснение условий осуществления таких значений р требует разработки теории равновесия и устойчивости плазмы в трехмерных магнитных конфигурациях. Различные вопросы теории равновесия и устойчи- устойчивости плазмы в стеллараторах освещались в обзорах [20, 21], в том числе и в выпусках настоящей серии [9]. Современному состоянию этой теории посвящен и данный обзор. Хотя научные интересы авторов, естественно, не могли не сказаться на выборе и изложе- изложении материала, мы стремились по возможности шире охватить имеющиеся результаты. Обзор построен следующим образом. В первой главе, имеющей общий описательный характер, дан краткий очерк развития теоретических исследований по стеллара- торам. Затем приведено краткое описание основных характеристик удержания плазмы в стеллараторе, изложены принципы, на которых основано равновесие тороидальной плазмы и ее стабилизация, а также пути повышения предельного значения р в стеллараторах. В заключение в этой главе представлены результаты численного исследования равновесия и устойчивости плазмы. Вторая глава обзора посвящена общему аппарату теоретическо- теоретического исследования равновесия плазмы в трехмерных (т. е. не обла- обладающих осевой и винтовой симметрией) магнитных системах. В предположении существования вложенных тороидальных магнит- магнитных поверхностей вводятся связанные с ними координаты и форму- формулируются уравнения равновесия в различных постановках задачи. Если представляет интерес стационарное (с точки зрения диффузии магнитных полей) состояние, то естественно считать заданным то- тороидальный ток (равный нулю в наиболее интересном для стеллара- торов случае). При этом магнитное поле в уравнении равновесия естественно выразить через тороидальный и полоидальный электри- электрические токи (токовое представление). Если равновесие эволюцио- эволюционирует, то естественно выразить магнитное поле через магнитные потоки (потоковое представление). Здесь легко учитывается случай вмороженных потоков (быстрое изменение внешних параметров системы) и их диффузия. Как известно, при осевой симметрии урав- уравнения равновесия имеют наиболее простой вид в смешанном пред- представлении, когда тороидальное магнитное поле выражается через полоидальный ток, а полоидальное магнитное поле — через полои- полоидальный магнитный поток (это представление можно назвать «по- 148
лоидальным»). Полоидальное представление не требует введения контуров, охватывающих магнитную ось, которые необходимы для определения тороидальных тока и магнитного потока. Поэтому оно применимо в принципе и для описания разомкнутых магнитных поверхностей. Развитую для токамаков технику решения задач в этом представлении естественно использовать и для стеллараторов. Поэтому уравнения равновесия приведены здесь и в этом пред- представлении. В третьей главе подробно рассмотрены конфигурации с винто- винтовой симметрией, являющиеся асимптотическим приближением ре- реальных замкнутых стеллараторов с пространственной осью. Четвертая глава обзора посвящена выводу и анализу различ- различных формулировок двумерного уравнения равновесия плазмы в обычных стеллараторах. Методы приближенного решения полученных в предыдущих главах двумерных уравнений, а также некоторые частные вопросы (вычисление диамагнитного сигнала в обычных стеллараторах, рав- равновесие с вмороженными потоками, возможность контроля профиля вращательного преобразования и т. д.) рассмотрены в пятой главе. Наконец, в шестой главе описаны методы исследования МГД- устойчивости плазмы. Здесь приведены выводы критерия Мерсье, уравнения для описания баллонных мод, которые вместе с уравне- уравнениями равновесия и определяют предельное значение р. Наряду с необходимыми приведен достаточный критерий устойчивости, вы- выполнение которого обеспечивает устойчивость плазмы относительно произвольных возмущений. Хотя достаточный критерий выполня- выполняется лишь при низких значениях р, его наличие демонстрирует луч- лучшую устойчивость плазмы в стеллараторных системах Глава 1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕОРИИ 1.1. Развитие теоретических исследований В теории равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторах можно выделить три линии. Первая линия — это получение самых общих соотношений без конкретизации типа рассматриваемых си- систем (сюда относятся, например, различные формы записи урав- уравнений равновесия, получение общегеометрических достаточных или необходимых критериев устойчивости, анализ расщепления магнит- магнитных поверхностей под действием резонансных возмущений и т. д.). Вторая линия — это исследование стеллараторов с винтовыми об- обмотками (обычные стелларатооы) и третья — теория стеллараторов с пространственной замкнутой осью (сюда относятся системы ти- типа винтотрон, гелиак, дракон и т. д.). Общие соотношения. Общие соотношения между равновесными величинами тороидальной плазмы в магнитном поле, описываемой уравнениями равновесия I = rot В, divB = 0, A.1) 149
в предположении существования системы вложенных магнитных поверхностей были получены в работе Крускала и Кульсруда 1958 г. [22]. Здесь был введен язык поверхностных величин V(a), J(a), Ф(а), F(a), ij)(a) и т. п., где а — метка тороидальной магнит- магнитной поверхности a(r)=const; V(a) —объем, ограниченный поверх- поверхностью а=const; / и Ф — тороидальные электрический ток и поток магнитного поля, а F и ф — внешние полоидальные ток и поток (по поводу определения этих величин — см. гл. 2). Наряду с F(a) и ¦ф(а) используют также полоидальные ток 1(а) и поток х(а), от- отсчитываемые от магнитной оси: I=F0-F, х = Ч>о-1>, A-2) где Fo и af>0 — значения F и if) на магнитной оси. Введенные интегральные величины связаны между собой гео- геометрическими соотношениями (см. далее гл. 2) и интегральным уравнением равновесия Крускала — Кульсруда pV = yV — FW, A.3) обобщающим уравнение равновесия цилиндрического шнура р'{г) = = /<pBz—/гВф на случай произвольных тороидальных конфигураций. Тороидальный поток Ф обычно определяют как поток через контур, обходящий вокруг магнитной оси один раз. Полоидальный поток ф естественно ввести как поток через контур, вообще не имеющий за- зацеплений с магнитной осью (как в токамаках). Однако в стелла- раторах с прокручивающимися при движении вдоль оси магнитны- магнитными поверхностями удобно с теоретической точки зрения опериро- оперировать с полоидальным потоком через контур, прокручивающийся вместе с сечением (при винтовой симметрии задача в этом случае становится двумерной). Такой поток будем называть геликоидаль- геликоидальным. Если число прокручиваний сечения и, следовательно, число зацеплений соответствующего контура с магнитной осью равно N, то геликоидальный магнитный поток %ь. = '§—ifo отличается от обыч- обычного на N тороидальных потоков. Соответственно вращательное преобразование, рассчитанное по геликоидальному потоку, отлича- отличается на целое число N от обычного. Независимо от этого формула A.3) является инвариантной, поскольку добавка ЫФ' к if' в пер- первом члене правой части компенсируется соответствующей добавкой NJ' к F' во втором члене. Следует отметить, что при небольших N (например, в восьмерке Спитцера, где N—2) наилучший выбор контура для определения полоидального потока не всегда очевиден. При расчетах следует четко оговаривать, о каком контуре идет речь, так как от выбора его топологии зависит, например, что понимает- понимается под первой винтовой модой возмущения. Задание топологии полоидального и тороидального контуров позволяет ввести криволинейные потоковые координаты а, 0, % так, что нужные магнитные потоки определяются как потоки через кон- контуры, лежащие на соответствующих координатных поверхностях. При этом получаются наиболее простые и естественные представ- представления для магнитного поля (см. гл. 2). Введение специальных по- 150
токовых криволинейных координат и соответствующего фромализма позволило записать «обращенные» уравнения равновесия, где одной из независимых переменных является а, а неизвестными считаются координаты магнитной поверхности г (а, 0, ?). На этом пути в даль- дальнейшем удалось найти различные удобные формулировки уравне- уравнений равновесия, пригодные как для приближенного аналитического, так и для точного численного исследования. К ним относятся вариа- вариационный принцип и описание равновесия в представлении полои- дального тока и потока. Важным шагом на пути исследования равновесия и устойчиво- устойчивости плазмы в стеллараторах весьма широкого класса стала разра- разработка метода, основанного на представлении функции магнитного потока в аналитической форме в виде разложения по степеням р расстояния от магнитной оси (метод Мерсье) [23—25]: . . . A.4) Этот метод является асимптотически точным и позволяет описы- описывать приосевую область любой конфигурации, в том числе обычно- обычного стелларатора и стелларатора с пространственной осью. Его при- применение позволило выявить ряд характерных свойств стелларатор- ных систем с малым широм, но произвольными эллиптичностью и треугольностью сечений магнитных поверхностей. Основной не- недостаток этого метода — трудность отделения внутренних парамет- параметров от внешних, в частности определения параметров магнитной оси [кривизны &(?) и кручения х(?)], которая в стеллараторах изменя- изменяется при заданных внешних условиях под действием токов, вызы- вызываемых градиентом давления. К общим соотношениям в теории устойчивости относится в пер- первую очередь необходимый общегеометрический критерий локаль- локальной устойчивости — критерий Мерсье [25—29], а также достаточ- достаточные общегеометрические критерии [30—32], позволяющие сделать заключение о возможности создания стеллараторной конфигурации, устойчивой относительно любых идеальных МГД-мод. Еще один общий результат теории МГД-устойчивости плазмы — уравнение для баллонных мод возмущений в трехмерных конфигурациях [30— 35]. Все эти соотношения приведены ниже в соответствующих гла- главах. Что касается крупномасштабных возмущений, то здесь требу- требуется конкретизация геометрии системы, и никаких общих заклю- заключений, помимо упомянутых достаточных критериев устойчивости, по-видимому, сделать нельзя. Реальный прогресс здесь связывается с численными исследованиями устойчивости трехмерных систем. Последнее время в этом направлении ведется интенсивная работа. Остановимся кратко на физике равновесия плазмы тороидаль- тороидальных систем. Прежде всего о токах в плазме. Естественно, что в стеллараторе, как и в токамаке, можно возбуждать продольный ток с плотностью jo=cto(a)B, удовлетворяющей условию divjo=O. Этот ток не связан с градиентом давления. При появлении Vp в плазме возникает диамагнитный ток j x = pr(a) [BVa]/B2 с div j±Ф Ф0. Этот «первичный» ток удержания вызывает «вторичный» ток 151
или ток Пфирша —Шлютера* j в =p'aiB/B2, так что суммарная плотность тока представляется в виде ±) A.5) Будем считать, что среднее по объему магнитного слоя <сц> = 0, тогда ao = <jB>/<B2>. Для сн из условия div j = 0 получается уравне- уравнение g 5r A-6) Ясно, что равновесие осуществляется благодаря взаимодействию тока j х с полным магнитным полем В. Однако для наглядного представления действующих сил удобнее оперировать с полоидаль- ной и тороидальной составляющими j. Первая обеспечивает равно- равновесие «по малому радиусу», а вторая — «по большому радиусу». Силы, действующие по большому радиусу, — это баллонная, рав- равная в случае круговой оси радиусом R F™ = J pdV/R, где инте- интеграл берется по объему плазмы, и сила взаимодействия тока /ф с внешним полем Fg1 =§ foBl** dV. В токамаке 5|xt —примерно однородное удерживающее поле, так что fjf* = 2nRJBl%t . В стел- лараторе же В Iх —это компонента внешнего усредненного поля винтовых обмоток В txt = 5ext cos Q = BoaR~1n cos 0, где ц=—¦ф'/Ф' — вращательное преобразование. Это поле взаимодействует с током Пфирша — Шлютера, равным в простейшем случае стелларатора с приблизительно круглым сечением /ф = 2/ ± cos 9/ц. Таким обра- образом, можно сказать, что тороидальное равновесие в стеллараторе осуществляется взаимодействием токов Пфирша — Шлютера со стеллараторным магнитным полем. Обычные стеллараторы. Основы теории равновесия и устойчи- устойчивости плазмы в обычных стеллараторах были заложены в работах принстон'ских теоретиков (Джонсон и др.) еще в начале 60-х годов [36—41]. В этих работах был разработан подход, основанный на разложении по малым параметрам и сводящий трехмерные урав- уравнения, описывающие тороидальные стеллараторы с винтовыми по- полями, к двумерным. Как выяснилось уже в 80-е годы, эти упрощен- упрощенные уравнения — не только удобный, но и достаточно надежный ин- инструмент исследования стеллараторов. Перечислим кратко основ- основные результаты принстонской группы. В 1961 г. Грином и Джонсоном было получено скалярное дву- двумерное уравнение равновесия плазмы в «обычных» стеллараторах (подробнее — см. гл. 4): А (ф _ фг) = _ 4я2ЯУ (ф) A — 2kp cos и + fi°) — FF' (ф), A.7) * Обычно под током Пфирша — Шлютера понимают основную, дипольную компоненту j. 152
аналогичное уравнению Грэда — Шафранова. Входящие в A.7) ве- величины Й° и if», характеризующие магнитную конфигурацию стел- ларатора, вычисляются по известному вакуумному полю, после че- чего постановка задачи равновесия на основе A.7) и ее решение ни- ничем не отличаются от используемых в теории токамаков. Уравне- Уравнение A.7) описывает форму сечений магнитных поверхностей, усред- усредненную по тороидальному направлению. Винтовая структура си- системы описывается довольно просто при учете дополнительной по- поправки г|)(г, г, ?) к двумерной функции потока ф(г, z). Полученное в [37] уравнение A.7) позволило впервые учесть влияние тороидальности на равновесие в стеллараторах с винтовы- винтовыми полями. Основным эффектом, связанным с кривизной оси стел- ларатора, как в токамаках, является смещение магнитных поверх- поверхностей наружу от центра кривизны. Важным результатом было об- обнаружение улучшения устойчивости плазмы при таком смещении [39]. Именно благодаря этому эффекту, как было показано позже другими авторами [42—46], можно надеяться на достижение в стеллараторах с широм высоких значений р. Техника расчетов в [36—39] была довольно громоздкой, что приводило к необходимости пользоваться упрощающими модель- модельными представлениями, особенно при рассмотрении трехзаходных стеллараторов [39]. Здесь еще не был использован удобный способ описания равновесия на языке параметра Л — смещения центра магнитной поверхности относительно геометрической оси. Введение А, как было показано в [47] для токамака, сущест- существенно упрощает описание тороидальных конфигураций, поскольку все тороидальные поправки к полям и токам в плазме выражаются непосредственно через А. Впервые такой подход при решении A.7) был применен в работе [40], завершающей первый цикл работ принстонских теоретиков по стеллараторам (см. обзорную статью [41]). Здесь получено линейное уравнение для смещения А с уче- учетом винтовых полей и численным решением этого уравнения пока- показано, что в стеллараторе с достаточно большим магнитным бугром V"ф>) (V—объем, Ф — продольный поток магнитного поля внутри магнитной поверхности) существует предел на |5: при давлении плазмы выше критического равновесие становится неустойчивым относительно смещения плазмы как целого. Этот предел проявля- проявляется лишь при очень большом аспектном отношении, когда вклад кривизны в V"(Ф) мал; с ним, вероятно, связана неустойчивость плазмы в тороидальном Э-пинче «Сциллак». Для существующих стеллараторов этот предел не возникает [48, 49]. Использование стеллараторного приближения [37, 41] позволи- позволило упростить не только уравнения равновесия, но и функционал энергии для крупномасштабных идеальных возмущений. Получен- Полученный в [38] редуцированный двумерный функционал послужил впо- впоследствии основой при анализе устойчивости винтовых мод со сво- свободной границей в бестоковом стеллараторе [50]. Заметное влияние на развитие теории стеллараторов оказала концепция стабилизации плазменных неустойчивостей «магнитной 153
ямой». Она возникла под влиянием успешных опытов М. С. Иоффе и др. [51] по стабилизации плазмы в ловушке с магнитными проб- пробками при создании в ней абсолютного минимума В, что соответст- соответствует вогнутым по отношению к плазме магнитным силовым линиям. В замкнутых тороидальных системах обязательно есть участки с выпуклыми магнитными силовыми линиями (в токамаке — на внешнем обводе тора) и поэтому абсолютного минимума В не мо- может быть. Отметим, что, говоря о минимуме В, следует иметь в ви- виду не модуль В при наличии плазмы, а модуль вакуумного магнит- магнитного поля, точнее, модуль В2 за вычетом диамагнитного ослабле- ослабления поля при наличии плазмы. В большинстве случаев это соот- соответствует просто минимуму суммы В2 + 2р. Именно знак градиента этой величины определяет знак кривизны силовой линии, так как согласно уравнению равновесия V(p + B2/2) = (BV)B, A.8) вектор кривизны силовой линии \ J[ Ва ~ В* *1<у' можно выразить в виде k = v±BP+B*)/BB% A.10) где Vx =V—В (BV)/B2. Из общих теоретических исследований по МГД-устойчивости плазмы было видно, что по крайней мере для плазмы низкого дав- давления стабилизирующим фактором служит средний по силовой ли- линии минимум 5:<В2> = J B2(dl/B)/ J (dl/B), что в тороидальных системах соответствует среднему по магнитному слою <В2> = = f B2dx/dV. В бестоковой системе эта величина может быть вы- dV ражена в виде <B2> = F/F'@). Внешний относительно магнитной поверхности, ограничивающей объем V, ток F, создающий торои- тороидальный поток Ф, можно считать при малом давлении плазмы по- постоянным. Таким образом, минимуму В соответствует условие У"(Ф)-<0. Отсюда вытекает, что стабилизация за счет «миниму- «минимума 5» или отрицательной V" (Ф) возможна и в системах со знако- знакопеременной кривизной магнитных силовых линий. Впервые воз- возможность создания среднего минимума В в системах с вращатель- вращательным преобразованием была продемонстрирована в работе Джон- Джонсона и др. [39]. Примененная в ней сложная техника расчета не позволила сделать выводы работы убедительными. Ясная демон- демонстрация возможности создания среднего минимума В была дана после опытов М. С. Иоффе Фюртом и Розенблутом [52] для си- системы с чередующимися квадрупольными элементами. Здесь вдоль системы, которая может быть прямолинейной, одновременно меня- меняются напряженность магнитного поля Bo(s) и эллиптичность сече- сечений магнитных поверхностей 8 (S) = th т] = (б2— а2)/F2 + а2), A.11)
где b, a — полуоси эллипса. В этом случае для получения значения V" (Ф) в приосевой области достаточно учесть в параксиальном приближении лишь квадратичные по р члены в выражениях для V и Ф. При этом В работах [53, 54] этот же принцип создания ямы был рассмотрен в прямолинейных системах с вращательным преобразованием. По- Получить достаточно глубокий минимум В таким способом не удается. К тому же требуемая неоднородность B0(s) не благоприятна в от- отношении переносов. В тороидальных системах средний минимум В может быть соз- создан смещением магнитной оси относительно граничной магнитной поверхности в область ослабленного тороидального поля, т. е. от центра кривизны оси. В работе Тэйлора [55] было показано, что сместить ось в стеллараторах для получения минимума В можно наложением однородного вертикального к плоскости тора магнит- магнитного поля. В отличие от шира — грубой характеристики системы средняя магнитная яма, будучи разностным эффектом, является более тон- тонкой характеристикой системы. Чтобы понять, от каких параметров она зависит, необходима высокая точность расчетов. Точные расче- расчеты У"(Ф) в окрестности магнитной оси с учетом кривизны (для чего необходим учет членов порядка р3) был выполнен в [9. 56, 57]. Это позволило на основе необходимого критерия устойчивости Мерсье уточнить ограничения на давление плазмы в бесшировом двухзаходном стеллараторе [32]. Одним из существенных резуль- результатов последней работы было уяснение того, что диамагнитное уг- углубление ямы не влияет на устойчивость. Ранее для желобковых возмущений получали критерий устойчивости р'Bр|+<В2»'<0, что при р'<0 приводило к условию 2//+<В2>'>0. Из него делали вывод, что критическое C определяется относительной глубиной ва- вакуумной магнитной ямы (см., например, [58, 30]), рс = б<В„2>/ /<Bt.2>, поскольку расчет выполнялся при р->0, когда считалось В = Ва. В [24, 32, 59] показано, что приближенно можно считать <В2> = <ВО2>—2р, так что условие B/? + <В2>)':>0 сводится к усло- условию, не содержащему давления плазмы, <Вг,2>'>0, и ич него нель- нельзя определить рг. Аккуратные расчеты для плазмы конечного дав- давления [32] показали, что в стеллараторе с круговой осью при малой эллиптичности сечений (е2<С1) критическое давление связано с от- относительной глубиной магнитной ямы bw/w (до = <В2> + 2р) соот- соотношением 2/ег) A.13) где [х = —г|//Ф'— вращательное преобразование, и, как следует из оценок, может составлять до десятка процентов. Более того, в [60] показано, что и достаточный критерий устойчивости относительно 155
произвольных МГД-возмущений дает хотя и меньшее, но конечное значение ре: 2 w В более позднем анализе Лортца и Нюренберга [61, 62] сделан иной, пессимистический вывод о том, что предельное р в стеллара- торах очень низкое: рс<0,66%. Наше объяснение расхождений выводов [61, 62 и 32] следующее. В [32j решалась задача с фиксированной граничной магнитной поверхностью. Разложение по степеням р делалось фактически от- относительно геометрической оси системы. При заданной границе па- параметры магнитной оси меняются с давлением плазмы (ось закру- закручивается в винт) и с такой осью нельзя связать систему координат. Фактически в [32] рассматривается область, примыкающая к гра- границе, где изменения геометрии оси не сказываются. Эта область занимает основной объем плазмы и представляет наибольший ин- интерес. Узкая область в окрестности винтящейся магнитной оси прак- практически не может иметь значения из-за малого объема приосевой области. Что же касается работ [61, 62], то в них магнитная ось фикси- фиксировалась заданием кривизны /г(?) и кручения «(%). С изменением давления менялась граничная поверхность плазмы. Давление вхо- входит в коэффициенты перед членами с р3, которые определяют сепа- сепаратрису. Ее поперечный размер уменьшается с ростом градиента давления. Поскольку условие устойчивости фиксирует градиент дав- давления, то уменьшение размера означает уменьшение р. Исследова- Исследование всего множества параметров, характеризующих равновесие в параксиальном приближении, привело к пределу рс = 0,66%, ка- кажущемуся, на первый взгляд, непреложным. Но если рассмотреть наружную область, далекую от сепаратрисы, то, по нашему мнению, в ней возможны гладкие поверхности, охватывающие приосевую «розеточную» структуру, которые опять хорошо описываются пред- представлением 1р=Л@, ?)р2 + ?@, ?)р3. Эту область не могли рассмо- рассмотреть Лортц и Нюренберг, но именно эта внешняя область, опреде- определяемая внешними граничными условиями, а не «легкомысленной» магнитной осью, и рассматривалась в [32]. Поэтому вывод этой работы имеет большее отношение к реальности, чем вывод работ [61, 62]. Рассмотрение бесшировых систем прояснило многое в физике равновесия и устойчивости обычных стеллараторов. В частности, оно позволило установить эффект самостабилизации плазмы, свя- связанный с углублением магнитной ямы при увеличении давления вследствие относительного смещения магнитных поверхностей [63, 64] (баллонные растяжения тороидальной плазмы) и появления слабой эллиптичности. Но сами эти системы не представлялись перспективными из-за топологической неустойчивости — даже ма- малые резонансные возмущения , в том числе связанные с давлением плазмы, приводят к островной структуре и ухудшению удержания. 156
Поэтому в 80-е гбды происходит вновь активизаций теоретических исследований стеллараторов с широм. В эти годы независимо не- несколькими группами исследователей были, по существу, заново рассмотрены вопросы равновесия и устойчивости плазмы в обыч- обычных стеллараторах. Сначала с использованием метода обращения переменных [65—67] и метода усреднения [42, 68, 69] были полу- получены в стеллараторном приближении новые формулировки двумер- двумерного уравнения равновесия Грина — Джонсона A.7). В дальнейшем двумерное уравнение для функции полоидального потока было обобщено на случай большой [70] и произвольной [71] тороидаль- ности. Одновременно исследовалась устойчивость локальных мод на основе общегеометрического необходимого критерия устойчивости Мерсье и на основе уравнения для баллонных мод. При этом об- обнаружилось два эффекта, благоприятных для устойчивости: 1) при типичном для стеллараторов положительном шире (растущее от оси вращательное преобразование) в критерии устойчивости сла- слагаемое, соответствующее баллонному эффекту,— положительное (в отличие от токамака), так что баллонные моды не ограничивают давления; 2) положительный шир благоприятен для стабилизации: под действием поперечного поля внутренние поверхности смещают- смещаются сильнее наружных, что соответствует углублению магнитной ямы (об этом упоминалось еще в [39]). В результате эффект само- самостабилизации проявляется уже в линейном (а не в квадратичном, как в бесшировых системах) приближении по градиенту давления. В результате этих двух эффектов локальные моды не ограни- ограничивают давления плазмы в стеллараторах с положительным широм. Эти выводы были подтверждены численными расчетами [72]. Что касается нелокальных крупномасштабных мод, то для них, как и в бесшировых системах, справедливо достаточное условие устойчивости $<.§с = \л2Ьт/ Bw). Вопрос о более высоком пределе требует конкретных расчетов. С этой целью используются трехмер- трехмерные коды — наиболее развитый код BETA (или BBG) (Бауер, Бе- танкур, Гарабедян) [73, 74], основанный на минимизации потен- потенциальной энергии плазмы, и др. [50, 69, 75, 76]. Интерпретация результатов численного счета часто требует большой осторожности. Например, авторам [74] не удалось получить р>3 % для стелла- стеллараторов с ц<1, в то время как расчеты [76] для ATF давали бо- более высокие оценки C. Поэтому задача исследования МГД-устойчи- вости продолжает оставаться актуальной. Стеллараторы с пространственной осью. К третьей линии раз- развития относится теория стеллараторов с пространственной осью (типа спитцеровской восьмерки [1, 2]). Теория равновесия таких систем в приближении круглых магнитных поверхностей была раз- развита в [77, 78] (метод разложения по кривизне, аналогичный ме- методу, использованному при первых исследованиях токамаков [79]). В дальнейшем в [36, 80], где для расчета равновесия использовал- использовался метод разложения по степеням расстояния от магнитной оси, было показано, что устойчивость по Мерсье в бесшировой системе 157
при наличии вакуумной магнитной ямы не накладывает серьезных ограничений на давление плазмы, Магнитная яма в таких системах может быть создана приданием каплеобразной (с острием, на- направленным внутрь тора) [57] или D-образной [56] формы маг- магнитным поверхностям. D-образная форма представляется более привлекательной, так как плазма высокого давления сама способ- способствует ее образованию. В многопериодных системах с пространст- пространственной осью магнитная яма определяется не кривизной тора, а ло- локальной кривизной; такие системы поэтому могут иметь магнитную яму и при большом общем аспектном отношении. В этом их прин- принципиальное преимущество перед обычными стеллараторами. Для многопериодных стеллараторов с пространственной осью часто ис- используется приближение винтовой симметрии, когда задача стано- становится двумерной и легко может быть решена численно. Проведен- Проведенные в таком приближении численные исследования равновесия и устойчивости показали, что в системах с винтовой осью достижимы предельные по равновесию и локальной устойчивости значения р до 30% [81,82]. Высокие предельные по равновесию и устойчивости локальных мод значения р характерны для конфигураций с малым широм при наличии вакуумной магнитной ямы (обеспечиваемой здесь D-образной формой сечения магнитных поверхностей). Такие же высокие значения р получают и для токамака с той же формой се- сечения и такой же кривизной оси. Однако в токамаке есть дополни- дополнительные винтовые неустойчивости, связанные с током, которые и приводят к снижению общего уровня р примерно до 4—5 % • Интерес к системам с пространственной осью повысился в связи с предложением простой конструкции винтового тора (система ге- лиак [6]) и с развитием идеи системы дракон [5]. Из-за большей своей громоздкости системы с пространственной осью могут представлять интерес как системы с высоким р лишь в отдаленной перспективе. В настоящее время основное внимание со- сосредоточено пока на более компактных (хотя и с меньшими пре- предельными р) обычных стеллараторах с прокручивающимся некруг- некруглым сечением магнитных поверхностей. 1.2. Основные параметры стеллараторов Вакуумное магнитное поле обычного стелларатора состоит из двух частей — тороидального поля BT = fio/?V? и винтового поля ВУ Здесь Во — поле на оси тора; 2nR — длина оси; Z, = s/R, где s — длина дуги оси. При достаточно большом аспектном отношении для Фл можно использовать цилиндрическое приближение Фл = SВ°е'т ~^ h (~*~ l.m 158
Обычно в стеЛлйраторах преобладает одна гармоника го поля с относительной амплитудой гш. В этом случае основными магнитными параметрами являются мультипольность /, амплитуда е/т и «крутизна» винтового поля mb/R (b — радиус плазменного шнура). Аспектное отношение A=R/b и параметры, характеризую- характеризующие форму граничной магнитной поверхности (усредненные по дли- длине смещение центра сечения Л, эллиптичность а и т. д.), будем на- называть геометрическими параметрами. Системы с mb/R^.1, т. е. с шагом винтового поля, большим по сравнению с радиусом плаз- плазмы, будем называть длиннопериодными, а с mb/R^l — коротко- периодными. Конфигурация стелларатора с пространственной осью определя- определяется кривизной k(t,) и кручением х(?) магнитной оси, а также формой граничной магнитной поверхности. Наиболее важными характеристиками стеллараторов явля- являются: а) вращательное преобразование ц=—й^/йф=с1х/йф=уц(+\и, состоящее из собственно стеллараторного вращательного преобра- преобразования Ust, определяющегося лишь формой магнитных поверхно- поверхностей, и токового вращательного преобразования, [ну, б) глобальный шир магнитных силовых линий s(a) =ац' (а)/ц = = —aq'(a)/q, где q(a) = \/\a(a)—коэффициент запаса устойчиво- устойчивости по терминологии токамаков; в) величина, характеризующая зависимость среднего по маг- магнитной поверхности квадрата напряженности вакуумного магнит- магнитного поля от радиуса магнитной поверхности. Часто в качестве та- такой величины используют вторую производную от объема по про- продольному магнитному потоку У"(Ф). Поскольку в стеллараторном приближении поле, создаваемое продольным током, мало, то <В2> = = F/V'((D) и для вакуумного случая (F=const) У"(Ф) = =— ,Р<В2>ф7<В2>2. При <В2У>0 (К"(Ф)<0) конфигурация име- имеет магнитную яму, а при <В2>/<0 (У"(Ф) >0) —магнитный бугор. Из выражения для нормальной кривизны магнитных силовых ли- линий (в вакууме) kn=—VaVB2/2B2| Va| следует, что условие <В2>'>0 соответствует отрицательной средней кривизне магнитных силовых линий. Как уже отмечалось, при наличии плазмы вместо <В2>' в критерии устойчивости входит величина w'= Bp+<B2>)' (см. гл. 6); г) предельные по равновесию (peq) и устойчивости (pst) значе- значения параметра р. В пренебрежении кривизной оси для обычного стелларатора с одной гармоникой винтового поля при р' = 0 можно написать про- простые выражения для стеллараторного вращательного преобразова- преобразования n.st = Hft и величины Fo» (Ф) (здесь индексы 0 и оо означают ну- нулевое давление, т. е. постоянство F, и пренебрежение кривизной, т. е. большое аспектное отношение А) в двух различных приближени- приближениях. Так, для длиннопериодного (tnb/R<^l) двухзаходного стеллара- стелларатора с произвольной эллиптичностью сечения 62=(ai2—#22)/(°i2 + 159
, где аь а2 —йолуоси эллиптйческогб сбчейия [9], (i*=(/n/2)(l-V^l-e2 ); A.16) V"Ox (Ф) = m2e|/| Б?}/1—e| ). A.17) Эллиптичность 62 совпадает с относительной амплитудой винтового поля в формуле A.15). Простые выражения можно получить и при произвольных mb/R, но малых е [37]: , ч 2 ml3 d ( 1 d/?(«) \ ma ,, 1ON * =eto-——I i— , « = —; 1.18 4u du \ и du J R В длиннопериодном пределе (ы<с1) из A.18) следует ma \2(/—2> —) . A.18а) В стеллараторе с пространственной осью в приближении круг- круглых магнитных поверхностей указанные величины имеют следую- следующие выражения [9]: . A.21) Из приведенных формул видно, что как прямолинейный обыч- обычный стелларатор, так и стелларатор с пространственной осью и круглыми магнитными поверхностями имеют магнитный бугор. Тем не менее за счет кривизны необходимая для обеспечения устойчиво- устойчивости плазмы магнитная яма может быть создана и в тех, и в других системах. С учетом кривизны геометрической оси в выражении Уо"(Ф) появляется дополнительное слагаемое: Vo (Ф) = У'*, (Ф) 2— [<r cos ©>e> d' . A.22) Здесь г, а, % — квазицилиндрические, а а, 0, ? — потоковые коорди- координаты с выпрямленными силовыми линиями. Связанная с кривизной добавка в Уо"(Ф) зависит от формы магнитных поверхностей. Для расчета конфигураций с магнитной ямой в обычном стеллараторе достаточно приближения круглых магнитных поверхностей, которое дает V"o (Ф) = Vao (Ф) + ~- + ^Р- А, A.23) где Д — смещение центра магнитной поверхности относительно гео- 160
Метрической оси; смещение Наружу от центра кривизны соответст- соответствует А<0. Используя A.18), A.19), легко показать, что при ы<с1 вблизи магнитной оси 1=2 стелларатора магнитная яма создается при— А/а^г22А/8. Магнитную яму за счет локальной кривизны можно создать и в системе с винтовой симметрией. Однако в отличие от обычных стеллараторов простого смещения магнитных поверхностей здесь недостаточно — необходимы еще эллиптичность и треугольность се- сечений магнитных поверхностей [56, 57]. 1.3. Удержание плазмы в стеллараторах с пространственной осью Равновесие плазмы, а) Равновесие в системе с вин- винтовой симметрией. В теории стеллараторов с пространствен- пространственной осью большое внимание уделяется системам с винтовой сим- симметрией, поскольку они являются достаточно хорошим приближе- приближением для замкнутых систем, причем даже при не слишком большом числе периодов [83, 84]. Подробно равновесие плазмы в таких си- системах рассмотрено в гл. 3 и 5. Здесь же этот вопрос рассмотрен лишь качественно. Основные параметры винтовой оси — радиус опорного цилиндра Го и шаг винта Ц%=к/2л). Кручение и кривизна оси выражаются через них следующим образом: J{ * sin? • и г° cosv A24) Peq где tgy=V^o; 2nRh= 2л у r\ -f- X2 —длина одного периода винто- винтовой оси. Вращательное преобразование связано с к и k соотношением A.20). Как показано в [77, 78], предельное по равновесию давле- давление плазмы дается при круглых поверхностях соотношением у?ъ _ _b_ sin2 у ,, „гч k Rh cos 7 которое можно записать в более привычном виде: Peq — l*?b/Rh. A.26) Из A.24), A.25) видно, что с уменьшением шага винта К предель- предельное по равновесию давление плазмы стремится к нулю (винт пере- переходит в тор без вращательного преобразования). С увеличением же Я равновесное р растет, поскольку кривизна стремится к нулю. При замыкании такой системы, она, очевидно, снова переходит в тор с нулевым вращательным преобразованием (и = 0), что снова озна- означает потерю равновесия. Ясно, что в отношении равновесия плазмы в замкнутом стеллараторе с пространственной осью существует не- некоторый оптимальный угол наклона винта v- Поясним особенности замкнутых систем простым примером. 11 Зак. J441 161'
б) Замкнутый стелларатор. Рассмотрим конфигурации, ось которых представляет собой в некотором смысле простейшую замкнутую кривую из семейства «спирэлей» (спиралей элементар- элементарных) [85]. Такие пространственные кривые удобно характеризовать не локальными кривизной и кручением, а комплексной кривизной JC(O = *(Oexp[i(K,C-a(O)]. A-27) где a(?)= |и(?)</?, а ко выбирается из условия периодичности: хо=аBя)/Bя) + АГ. A.28) В A.28) М — целое число. Кривые, комплексная кривизна которых содержит только два члена разложения Фурье ?), A-29) и названы спирэлями [85]. Параметры ko, kn при заданных п, щ однозначно определяются (численно) из условия замыкания кривой, а кривизна и кручение выражаются через ko, kn следующим образом: cos{nt) ; A.30) к @ = к0 - {nlk?) [kl + kokn cos Ю). A.31) Каждый из коэффициентов kQ и kn вносит свой вклад в эффекты, связанные с кривизной. Например, смещение дрейфовых магнитных поверхностей вдоль радиуса имеет вид [20]: = rH (-Ь- cos со + —^— cos (© + пО) , A.32) где со — угол, отсчитываемый от главной нормали, а гя=тси $/еВ0. Максимальное смещение можно записать в виде е?тах=>'я<7ь где <7i = ko/xo + kj(n — х0). A.33) Коэффициент увеличения диффузии Пфирша — Шлютера со- состоит соответственно из двух слагаемых ql = kVHl + kV(n-Xo)\ A.34) Максимальная амплитуда смещения центра магнитной поверх- поверхности радиусом а относительно поверхности радиусом Ь>а дается выражением Д = (L/And) A - aW) $qV A.35) где <72 = ?о/Ио + М"-ИоJ. A.36) В качестве примера на рис. 6 показаны зависимости от ио коэффи- коэффициентов <7ь ^22, Цг' Для п = 3. Здесь изображены также две проекции соответствующих замкнутых кривых. Как видно из этого рисунка, 162
¦Xq-3,0 Рис. 6 Влияние параметра щ на форму спирэлей и на удерживающие свойства «спирэльных» конфигураций: а — зависимость параметров qt от х0; б — две проекции (вид сверху и сбоку) спирэли с л=3 при различных значениях к0 при хо=0 и у,о = п спирэль переходит в окружности, обходимые 1 и 2 раза соответственно. Поведение кривых <7i(xo), <722(xo), <7з2(*о) и отражает факт потери равновесия в этих предельных случаях. Минимумы кривых смещены влево. При я>1 минимумы достига- достигаются при xi = BлI/3, х2 = я1/5, х3 = л1/3. в) Система дракон. Система дракон (рис. 7) состоит из прямолинейных частей с чисто продольным магнитным полем, кото- которые замыкаются специальными «криволинейными равновесными элементами» (КРЭЛами). Параметры КРЭЛа выбирают так, что- чтобы вторичные токи полностью замыкались внутри его и не выходи- выходили в прямолинейные участки [5]. Так как прямолинейные части при этом не возмущаются, предельное давление плазмы определя- определяется только КРЭЛом. Снижение напряженности магнитного поля в прямых частях позволяет заметно повысить эффективное р си- системы. Идею КРЭЛа легко пояснить на примере соленоида, состоя- состоящего из трех полуторов, плоскости которых образуют угол а. Для компенсации токов Пфирша — Шлютера необходимо, чтобы инте- интеграл U = $dl/B A.37) был одинаков для всех магнитных силовых линий, соединяющих сечения магнитных поверхностей на концах КРЭЛа. В каждом по- полуторе с кривизной k имеем В=В0/A—kx), dl=R(\—kx)dts, где х — проекция полярного радиуса г силовой линии магнитного поля на главную нормаль п оси. Для выбранной силовой линии угол меж- между п и г равен со в первом полуторе, ш + а во втором и щ'+2а в третьем. Тогда в линейном по kx приближении, которое достаточно 11" 163
Рис. 7. Схематическое изображение системы дрйкбн й крэлами из трех полуторов: а — вид сверху; б — вид сбоку Рис. 8. Диаграмма дрейфа пролетных частиц в крэле из грех полуторов. Сплошными стрелками /—3 показано смещение частицы после прохождения каждого полу- , гора. Перенос этих смещений при следовании вдоль V системы показан пунктирными стрелками /', /" и 2' для рассматриваемого магнитного поля, U = (nR/B0) [3 — 2kr (cos со + cos (со + а) + cos |co + 2а))]. A.38) Для того чтобы это выражение не зависело от начального азимута со магнитной силовой линии, должны быть выполнены условия 1 -f- cosa-f cos 2a — 0; sin a + sh\2a = 0, A.39) которые, очевидно, удовлетворяются при a=120°. Векторная диаграмма (рис. 8) [20] иллюстрирует замыкание дрейфов, вызывающих вторичные токи. Заряженные частицы, дви- движущиеся вдоль первого полутора, дрейфуют в направлении, пер- перпендикулярном тороидальной плоскости. Во втором полуторе они сдрейфовывают на то же расстояние, но под углом в 120° к перво- первоначальному. В третьем полуторе направление дрейфа снова изменя- изменяется на 120° и вектор дрейфа замыкается сам на себя. Таким обра- образом, проходя через КРЭЛ, частицы возвращаются на свой первона- первоначальный азимут. Интерес могут представить и более сложные КРЭЛы. Так, со- состоящий из пяти полуторов КРЭЛ, как показано в [86], может обеспечить не только прямизну силовых линий на выходе, но и кон- концентричность сечений магнитных поверхностей. Этим обеспечивает- обеспечивается совпадение магнитных поверхностей с дрейфовыми В2 = const на прямолинейных участках и тем самым отсутствие дополнительных «неоклассических» переносов. В более общем случае систем с произвольной кривизной и не- неоднородным полем B0(s) условие замыкания при близких к круг- круглым сечениям магнитных поверхностей в параксиальном прибли- приближении имеет вид 1/2 ' k (s) cos Bяц (s)) , _ q ,j щ B'o'-is) • ' У 164
Здесь / — длина КРЭЛа (предполагается, что он имеет ось симмет- симметрии второго порядка, проходящую через точку s = 0); 2n\i(s) —те- —текущий угол вращательного преобразования. При однородном маг- магнитном поле и постоянной кривизне это условие может быть выпол- выполнено, если вращательное преобразование на половине длины КРЭЛа равно я Dл на всей длине системы). Если же вращательное пре- преобразование невелико и cos Bn\i(s)) не меняет знака, кривизна должна быть знакопеременной, а магнитное поле — неоднородным. Например, при k = ko(\ + kl cosNt,), B = B0(l—biCOsNQ-2 условие A.40) удовлетворяется на каждом периоде, если 3bi = 2/ki. Факти- Фактически условие A.40) является математическим выражением пред- предложенной Л. Спитцером на заре термоядерных исследований кон- концепции скэллопса [1, 2]. Устойчивость плазмы в стеллараторах с пространственной осью. Условие устойчивости локальных мод возмущений в стеллараторах с пространственной осью, имеющих малый шир, сводится к крите- критерию Мерсье [87]. Из критерия Мерсье следует, что для устойчиво- устойчивости плазмы такие системы должны иметь геометрическую магнит- магнитную яму, т. е. Vo" {Ф) —связанная с геометрией магнитных поверх- поверхностей часть V" (Ф)—должна быть отрицательной. Условия обра- образования магнитной ямы в вакуумных конфигурациях можно уяс- уяснить из рассмотрения выражения для IV (Ф), полученного методом разложения по степеням расстояния от магнитной оси. На магнит- магнитной оси произвольной трехмерной конфигурации величина Уо"(Ф) имеет вид [9]: cos6 sin6l]. A.41) 1-е JJ Здесь штрих означает дифференцирование по длине; B0(s)—на- B0(s)—напряженность продольного магнитного поля; e(s)=thr)— параметр эллиптичности магнитных поверхностей; 8(s) характеризует про- проворачивание сечений магнитных поверхностей вокруг магнитной оси; <xo'(s)=x— кручение оси; k(s) —ее кривизна; сц, аг, а3, сц — «параметры» формы магнитных поверхностей, причем аз и сц свя- связаны, главным образом, с треугольностью сечений. Анализ выражения A.41) показывает, что магнитная яма может быть создана при наличии эллиптичности и треугольности магнит- магнитных поверхностей (члены, пропорциональные 3&еа3, З&еа,}). Такой путь повышения устойчивости плазмы, применяемый в токамаках, вначале был предложен именно для стеллараторов с пространствен- пространственной осью (D-образные сечения магнитных поверхностей [56]). Рас- Расчеты для систем с винтовой симметрией, когда исходным служит 165
двумерное уравнение равновесия, показывают, что при D-образной форме сечений возможно равновесие без потери локальной МГД- устойчивости при весьма высоких р — 30 % (см. разд. 1.5). Магнитная яма может быть создана и в системах с круглыми сечениями магнитных поверхностей при соответствующим образом изменяющихся кривизне k(s) и продольном магнитном поле B0(s). Благодаря простоте осуществления (нет необходимости в продоль- продольных стабилизирующих обмотках) эта возможность представляет интерес в системах типа дракон (S-пробки) [88]. При наличии плазмы конечного давления необходимая для ста- стабилизации геометрическая магнитная яма возникает из-за деформа- деформаций магнитных поверхностей. Так, для систем с винтовой симмет- симметрией в соответствующем приближении критерий Мерсье принима- принимает вид [64] Здесь k = ro/Rh2; Rh2 = r02 + №. Коэффициент перед р' в A.42) про- пропорционален глубине геометрической магнитной ямы, которая зави- зависит от давления через смещение Л(а) и эллиптичность а магнит- магнитных поверхностей (по поводу их определения — см. гл. 5). При параболическом профиле давления р = роA—а2/Ь2) критерий A.42) принимает вид 4-G-J-4-^-П+^2-Зрв^2]>0, A.43) где ре = 4я2Ро#2/%'2- Отсюда следует, что в системе, не имеющей вакуумной магнитной ямы, может быть две зоны устойчивости: при малых р устойчивость определяется широм, затем следует неустой- неустойчивость, связанная с существованием магнитного бугра, и лишь при больших р наступает самостабилизация [64] (см. также резуль- результаты численного счета, разд. 1.5). 1.4. Удержание плазмы в обычных стеллараторах Стеллараторы имеют много общего с токамаками. Как и в то- камаках, неоднородность тороидального магнитного поля является причиной вторичных токов (токи Пфирша — Шлютера) и соответ- соответствующего ограничения на давление плазмы, P~[i2&/i?. Поскольку при фиксированных магнитных параметрах \i~L, то с ростом ас- пектного отношения А предельное по равновесию peq растет линей- линейно (рис. 9). Предельное же по устойчивости локальных мод Pst при большом аспектном отношении мало из-за влияния магнитного буг- бугра. С уменьшением А уменьшается peq, но одновременно уменьша- уменьшается и магнитный бугор — становится существенным связанный с кривизной благоприятный вклад в У0"(Ф). При некотором опти- оптимальном аспектном отношении peq и pst сравниваются. Абсолютное значение Ртах зависит от магнитных параметров и оказывается вы- выше в короткопериодных системах. 166
Рис. 9. Качественная зависимость peq и p,t от аспектного отношения при фиксированных параметрах е< и mb/R. Область устойчивого равнове- равновесия заштрихована Aiax . Особенности равновесия. Укажем здесь на некоторые особенно- особенности удержания плазмы в обычных стеллараторах, отличающие эти системы от токамака. Главное отличие, проявляющееся в системах с широм (рн'ФО), связано с выделенностью геометрической оси винтовых обмоток и своеобразной жесткостью стеллараторных маг- магнитных поверхностей [89]. Формально это отличие проявляется в том, что такие величины, как ц, 1/"(Ф), определяются не только формой магнитных поверхностей, но и их положением относитель- относительно геометрического центра винтовых обмоток. «Эффект жесткости» магнитных поверхностей легко обнаруживается с помощью уравне- уравнения Грина — Джонсона — Веймер для смещения Д(а) магнитных поверхностей [40]. Для системы с набором «невзаимодействующих» винтовых гармоник магнитного поля его можно записать в виде [90] (подробнее — см. гл. 5) [ 1 - JtfVo- (Ф) 41 • A -44) L 2 J Невзаимодействующими будем называть гармоники винтового маг- магнитного поля, характеризуемые параметрами t, m и V, т' с тфт''. Их вклад в |х, V"(<D) аддитивен. Решение уравнения A.44) при // = 0 описывает влияние одно- однородного магнитного поля на конфигурацию магнитных поверхно- поверхностей. В токамаке (ц,/,=0), а также в стеллараторе без шира (ць' = = 0) однородное магнитное поле сдвигает плазму как целое, без изменения относительного положения магнитных поверхностей (ре- (решение однородного уравнения A=const). В стеллараторе же с ши- широм (jj,j = O, ци'ФО) решение однородного уравнения A (a) = const/Ma) A-45) показывает, что под действием поперечного магнитного поля внеш- внешние поверхности (поверхности с большим \ih) смещаются меньше, чем внутренние. При общем смещении от центра кривизны внут- внутренние поверхности оказываются больше смещенными в область слабого продольного поля. При не слишком большом аспектном отношении такое смещение может привести к созданию магнитной ямы (рис. 10). Этот эффект, как уже упоминалось, играет боль- большую роль в стабилизации МГД-возмущений. 167
а) Рис. 10. Влияние поперечного поля на смещение магнитных поверхностей и глу- глубину магнитной ямы для токамака (а) и стелларатора с широм (б): / — локальное значение напряженности маг- магнитного поля; г —ее среднее значение на магнитной поверхности Другое отличие стелларатора от токамака связано с членом р'^о»(Ф) в уравнении для смеще- смещения. Учет этого члена правомерен лишь для систем с большим ас- пектным отношением, когда кон- конфигурация имеет магнитный бу- [ г гор [связанным с кривизной вкла- вкладом в Уо"(Ф) можно пренебречь]. Грин, Джонсон и Веймер [40] по- показали, что из линейного уравнения A.44) следует существование критического значения р, соответствующего A-voo. Это значение совпадает с предельным по устойчивости моды т—\, /г = 0 значени- значением р для прямого стелларатора с аналогичными магнитными па- параметрами. Из расчетов, полученных численным решением двумер- двумерного уравнения A.7) методом моментов [72] и представленных на рис. 11, видно, что при больших аспектных отношениях при Р = рс существует особенность, а при малых А намечается насыщение, смещения. Вывод об отсутствии критического значения р в стелла- раторах с магнитной ямой был сделан на основании аналитических расчетов в [48, 49]. ь 0,3 0,2 0,1 O,S 1 2 S I1 / / и//У ^^ i 1 i— A/AA.Z~1O / / 1Ог 10ъ I J / L_ 6 8 10 12/з,°/о fic Рис. 11. Зависимость смещения магнитной оси относительно геометриче- геометрической от давления плазмы и аспектного отношения в двухзаходном стелла- раторе с магнитными па- параметрами 8=0,25, mb/R=\,6. Форма и по- положение граничной маг- магнитной поверхности фик- фиксированы. ^л.2 = 8,7 Наличие члена сУ0оо(Ф) в правой части уравнения A.44) свя- связано с тем, что в стеллараторе наряду с обычным дипольным про- продольным током Пфирша—Шлютера /j=—2p'cos9/(|iBo), возни- возникающим из-за тороидальной неоднородности магнитного поля, воз- возникает дополнительный ток / j = p'Fo» ?0Д cos б/ц, вызываемый не- 168
однородностью винтового поля. В системах с большим магнитным бугром при определенных условиях эти токи могут скомпенсировать друг друга и конфигурация станет слабо чувствительной к давле- давлению плазмы. В пределе длиннопериодного A=2) стелларатора ус- условие компенсации Во^ос» (Ф)А=2 требует \=к/(т2г22); магнит- магнитные поверхности должны быть смещены к центру кривизны. Такой результат был получен при численном решении двумерного уравне- уравнения равновесия уже в [37]. Отметим, что наличие винтовых маг- магнитных полей позволяет несколько уменьшить ток Пфирша — Шлю- тера даже в системе с магнитной ямой (правда, за счет ее умень- уменьшения). Идея компенсации дипольного тока и создания нечувствительных к давлению плазмы конфигураций была положена в основу уста- установок типа «Сциллак» (тороидальные 0-пинчи). Такие конфигура- конфигурации неустойчивы при р>|Зкр относительно «твердотельного» смеще- смещения плазменного шнура (см. также [91]). Устойчивость плазмы в обычных стеллараторах а) Крупно- Крупномасштабные неустойчивости. Основой при изучении крупномасштабных неустойчивостей в стеллараторах обычно слу- служат полученные в стеллараторном приближении двумерные урав- уравнения Страусса [68, 69, 76], Л. М. Коврижных и С. В. Щепетова [42, 49] или «редуцированный» функционал энергии [38]: W = (l/2)J{Qi+ /|*±Qx-(gxVP)ExVfl)}*. A.46) где [ (f ^ )] A -47) В функционал A.46) входят только не зависящие от продольной координаты равновесные величины. В силу этого колебания с раз- различными волновыми числами Ч'= 24nnexp[i(n?-me)] A.48) т, п оказываются, как и в двумерном случае, независимыми. Из круп- крупномасштабных неустойчивостей наиболее изучены связанные с про- продольным током винтовые или kink-моды. Если пренебречь при их описании тороидальностью и давлением плазмы, то возмущения с разными тип будут независимы и задача сведется к решению уравнения для г\тп: (aVnT - {(m2- 1) av2- 3 {(щ + a^h) av] т, = 0, A.49) где т] = г]тп; v = —n/fn + iij-i- \ah. A.50) Для решения этого уравнения необходимо задать профили \ih(a) и \и(а). Согласно теореме Ньюкомба [92] колебания будут неустой- 169
rn=1, n-1 Рис. 12. Диаграмма ус- устойчивости винтовых воз- возмущений в стеллараторах с током при \ih=const (о) и ц,,,= ^"@,286+ +0,714а2/&2) (б) [94]: вертикальная штрихов- штриховка — области неустойчиво- неустойчивости внутренних мод, го- горизонтальная — внешних (при наличии резонансной поверхности между плаз- плазмой и кожухом — сплош- сплошные линии, при отсутст- отсутствии — пунктир), точки — области неустойчивости тиринг-мод. Профиль плот- плотности тока — параболиче- параболический, радиус кожу- кожуха составляет 1,44 ра- радиуса плазмы Ь. Обо- Обозначения: aso—as/b, где аа — радиус резонансной по- поверхности; nho — стелла- раторное, a ц/> — токовое вращательное преобразо- преобразование на границе плазмы чивыми, если решение уравнения A.49) обращается в нуль в обла- области, где v>0. Пояснение физического смысла связи с устойчивостью решения аналогичного A.49) уравнения для токамака дано в [93]. 170
Отметим, что поведение решений A.49) вблизи особых точек, нахо- находящихся в плазме, определяет устойчивость тиринг-мод. На рис. 12, а представлена полученная численным решением A.49) диаграмма устойчивости для стелларатора с постоянным стеллараторным вращательным преобразованием и /г=/оA—а2/Ь2) [94]. Как видно из этого рисунка, зоны неустойчивости сужаются при уменьшении тока в плазме. В случае ци'ФО при малых токах зоны неустойчивости вообще пропадают (рис. 12,6). Более подроб- подробно об устойчивости винтовых мод возмущений — см. обзоры [21, 95]. Для замкнутого стелларатора коэффициенты функционала A.46) зависят уже не только от радиуса, но и от полоидального угла, и уравнения для цтп с различными т оказываются связанными. По- Поэтому устойчивость крупномасштабных возмущений, вызываемых градиентом давления, в замкнутом бестоковом стеллараторе рас- рассчитывается, как и в токамаках, численными методами. Имеющие- Имеющиеся расчеты приводят к значению критического |3j порядка трех про- процентов J50]. б) Устойчивость локальных мод возмущений. Более простым является вопрос об устойчивости локальных мод возмущений. Здесь задача, как известно, сводится к решению одно- одномерного дифференциального уравнения второго порядка [33]. Как показывают и аналитические, и численные [96] расчеты, для обычных стеллараторов можно пренебречь быстроосциллирую- щими «стеллараторными» членами. При этом в стеллараторном приближении уравнение для баллонных мод принимает вид [72] (подробнее — см. гл. 6) dy V dy j hi, A.51) ay \ ay i где A.52) В A.52) a}k =(gikHg\ —не зависящие от продольной коорди- координаты элементы метрического тензора потоковой системы координат (а, 0, ?;) с выпрямленными силовыми линиями; штрихом отмечены производные по а. Условием неустойчивости является наличие достаточно быстро убывающего решения уравнения A.51) [97, 98]. При численных расчетах уравнение A.51) обычно исследуют на конечном интер- интервале, а асимптотическое поведение решения при у-*~оо определяют аналитически. В этом пределе, как и для токамаков [97—100], ус- условие устойчивости сводится к критерию Мерсье. Качественно влияние основных параметров на устойчивость бал- 171
лонных мод можно пояснить на примере полученного в стеллара- торном приближении необходимого аналитического критерия устой- устойчивости [46], аналогичного критерию Погуце и Юрченко для тока- мака [99, 100]. Для стелларатора со смесью «невзаимодействую- «невзаимодействующих» гармоник винтового магнитного поля его можно записать в виде Этот критерий в явном виде демонстрирует одну из характерных особенностей устойчивости локальных мод в стеллараторах — от- отсутствие баллонных мод в стеллараторах с положительным широм. Вклад баллонного эффекта описывается в A.53) последним чле- членом. В токамаках при спадающей плотности тока s<0, поэтому этот член приводит к существенным ограничениям на предельное давление плазмы. В стеллараторах же обычно s>0 и критерий A.53) оказывается мягче критерия Мерсье. Отметим, что это ут- утверждение справедливо для стеллараторов с ц,//>0 лишь при не очень высоких р — с ростом р величина s может существенно изме- измениться [67] и даже изменить знак [101]. Распишем критерий Мерсье для стелларатора со смесью 1=2 и 1=3 «взаимодействующих» (т = т') гармоник. При mb/R^l он имеет вид [102] 4 В20ц* L R \ № J \ia3 J Эффект углубления магнитной ямы из-за смещения магнитных по- поверхностей [39] описывается здесь последним слагаемым. Отме- Отметим, что его появление в A.54) связано с уже упоминавшейся «жесткостью» магнитных поверхностей в стеллараторе с широм. Дополнительная стабилизация возникает из-за «взаимодействия» соответствующим образом подобранных винтовых двух- и трехза- ходных полей (см. [37]). Критерий A.54) позволяет ответить на вопрос о том, что лучше для устойчивости — шир или магнитная яма: лучше шир, но по- постольку, поскольку он обеспечивает создание необходимой для ус- устойчивости магнитной ямы. Входящее в A.54) смещение А магнит- магнитных поверхностей может быть создано как внешним поперечным полем, так и поперечным полем, создаваемым протекающим по плазме дипольным током, вызываемым градиентом давления. В по- последнем случае имеет место эффект самостабилизации [39, 42—46]. В отличие от токамака или системы с пространственной осью в обычных стеллараторах этот эффект проявляется уже в линейном по смещению приближении. 172
4.S. Результаты чйсленнбгд счета Качественные закономерности удержания плазмы в стелларато- рах, выясненные при аналитическом рассмотрении равновесия и устойчивости, были подтверждены и детализированы многочислен- многочисленными численными расчетами. Для стеллараторов с пространствен- пространственной осью они проводились главным образом на основе точного дву- двумерного уравнения равновесия для систем с винтовой симметрией, а для обычных стеллараторов — исходя из приближенного двумер- двумерного уравнения A.7). Наиболее детально изучена устойчивость от- относительно локальных мод возмущений. Системы с винтовой осью. Как следовало из аналитических рас- расчетов, предельное по равновесию давление плазмы в стеллараторах с пространственной осью оказывается достаточно большим, а ус- устойчивость локальных мод определяется главным образом наличи- наличием магнитной ямы, создаваемой деформацией магнитных поверх- поверхностей. Остановимся вначале на расчетах, использующих приближение винтовой симметрии. Зависимости предельных по равновесию и ус- устойчивости локальных мод значений р от эллиптичности Е и тре- угольности б граничной магнитной поверхности, а также от «аспект- ного отношения» Ah = Rh/b и угла намотки y(tgy = b/r0) демонстри- демонстрируют данные, представленные на рис. 13 [81]. Во всех случаях предельное по равновесию давление плазмы увеличивается с ростом у. При круговом сечении граничной магнитной поверхности (Е=\, 30 Рис. 13. Зоны устойчивого удержания плазмы (заштрихованы) в стеллараторе с винтовой осью: — Ре([, —————»- граница устойчивости. Форма крайней магнитной поверхности описывается уравнением r=r0+b(cos в—б sin2 6), г-?й sin в: а —?=1,0, б=»0, б — Е- -1,3, 6=0,3; Лл = 4,0, в —?=1,3, 6 = 0,6, Ah = 4,0; г —?=1,6, <4h = 4,0 173
о o,s Рис. 15. Зависимость от радиуса магнит- магнитной индукции Bs(l) и обратного враща- вращательного преобразования <7=ц~' B) Рис. 14. Карта магнитных поверхностей стелларатора с винтовой осью: ?-1,6, в=0,3, Ah-4,0, Y-56°, P=32% 6 = 0), когда вакуумной магнитной ямы нет, устойчивость связана с эффектом самостабилизации и наступает лишь при (J, близких к предельному по равновесию (рис. 13,а). Увеличение б при нали- наличии эллиптичности магнитных поверхностей (?>1) приводит к рас- расширению зоны самостабилизации (рис. 13,6), а затем и к появле- появлению первой зоны устойчивости, обусловленной широм (рис. 13, в). Дальнейшее увеличение Е и б приводит к слиянию этих зон (рис. 13,г); при ¦у<50° плазма становится устойчивой относительно локальных мод при всех |3, вплоть до предельных по равновесию. Все эти расчеты были выполнены для бестоковой плазмы. В качестве примера на рис. 14 показана форма магнитных по- поверхностей рассчитанной в [81] устойчивой конфигурации с р = = 32%. Приведенные на рис. 15 профили среднего продольного магнитного поля и q демонстрируют наличие магнитной ямы и ма- малый шир. z 0,4 0,2 0 0,2 0,4 0,6 - MkJ - /I ^~-y О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2г 0,5 0,7 0,9 1,1 1,3 1,5 В Рис. 16. Стелларатор с винтовой осью и бобообразным сечением магнитных по- поверхностей: а — сечения границы плазиы, задаваемой уравнениями r=p cos o+0,2, г=р sin о, v—B sin 9, р=0,5( 1+0,5 cos 9); б — зависимость предельных значений Р=>2р/Веот параметра В. Для случая р <-»J)—"фо>2 показаны области неустойчивости по Мерсье (/), неустойчивости бал- баллонных мод B) и устойчивого равновесия C) 174
Рис. 17. Изменение профиля вра- JU щательного преобразования с ро- 0,6 стом р в стеллараторе для двух случаев, показанных на рис. 16: ^ 0,2- Влияние эллиптичности и треугольности магнитных поверхно- поверхностей на устойчивость плазмы (по Мерсье) исследовалось и в [80]. Здесь для случая р'($) =const и /s0=0 (/«о — плотность тока на оси) была определена оптимальная форма граничной поверхности и кривизна оси, при которых р достигает своего максимального зна- значения (—40 %). Показано, что только выбором эллиптичности, тре- треугольности поверхностей и кривизны оси можно добиться 20-крат- 20-кратного увеличения р по сравнению со случаем недеформированной границы. Равновесие и устойчивость плазмы при «бобообразной» форме магнитных поверхностей исследовались в [82]. На рис. 16 приве- приведены различные контуры сечений магнитных поверхностей, харак- характеризуемые параметром В, и результаты расчета предельных по устойчивости локальных мод и равновесию значений р. Как следу- следует из этих расчетов, при соответствующем выборе формы гранич- граничной магнитной поверхности максимально допустимое значение р оказывается высоким — порядка 30%. Из рис. 16 видно, что при сильной бобообразности магнитных поверхностей критерий Мерсье и критерий устойчивости баллонных мод дают уже сильно разли- различающиеся результаты. Это объясняется наличием заметного отри- отрицательного шира (рис. 17), когда вклад баллонного эффекта [по- [последний член в A.53)] приводит, как и в токамаке, к появлению более опасных локальных возмущений, чем моды Мерсье, Однако и при отрицательном шире сильная деформация магнитных поверх- поверхностей позволяет получать высокие предельные р. Простое замыкание винта в тор должно, вообще говоря, при- приводить к ухудшению удерживающих свойств конфигурации, по- поскольку теперь сечения магнитных поверхностей не всюду будут смещены точно от центра кривизны и магнитная яма уменьшится. Однако наложением дополнительных магнитных полей [например, неоднородного продольного магнитного поля, изменяющегося в соот- соответствии с кривизной (см. A.41)], можно и в этом случае получить конфигурации с достаточно высокими р. Даже без такой оптими- оптимизации в трехмерных расчетах удавалось получать для гелиака р-~ — 8% [74]. Здесь же отмечалось, что по расчетам гелиак —наи- —наилучшая из рассмотренных авторами [74] стеллараторная конфигу- конфигурация. Вопрос о выборе основных параметров замкнутых винтовых си- систем пока остается открытым. Так, из расчетов [83] следует, что 175
Таблица Установка WVII-A Л-2 Н-Е Л-3 У-3 1. Параметры некоторых стеллараторой 1 2 2 2 2 3 А 20 8,7 10 6,4 6,7 т. 5 14 19 9 9 8 0,43 0,25 0,32 0,47 0,63 КО) 0,22 0,22 0,5 0,5 0 0,22 0,68 2,6 2,3 0,7 замкнутые винтовые конфигурации способны удерживать плазму высокого давления даже при малом числе периодов, начиная с двух- трех. В [84] минимальное число периодов, необходимое для обес- обеспечения устойчивости, составляет 6—8. Недавние трехмерные рас- расчеты Л. М. Дегтярева и др. подтвердили возможность устойчиво- устойчивости даже при двух периодах винта. Обычные стеллараторы. Для расчета равновесия, а также устой- устойчивости локальных мод возмущений в стеллараторном приближе- приближении, когда задача сводится к двумерной, можно использовать чис- численные коды, разработанные для осесимметричных систем [72, 103]. Специфические стеллараторные члены ф0 и й° в A.7) выра- выражаются через потенциал вакуумного винтового магнитного поля. Основные закономерности можно выяснить, ограничиваясь в пред- представлении магнитного поля A.15) одной гармоникой. Такой под- подход использовался в [72] для расчета моделей существующих или обсуждавшихся стеллараторов (рис. 18—21). Параметры исследуе- исследуемых конфигураций приведены в табл. 1. В силу принятого допуще- допущения (одна гармоника вакуумного винтового магнитного поля) они могут несколько отличаться от реальных. На рис. 18 представлены зависимости peq и pst от смещения До центра граничной поверхности относительно центра винтовых про- проводников для двухзаходных стеллараторов Л-2, Л-3 и Н-Е. На гра- графиках отложено половинное значение р на магнитной оси. Рост peq при смещении (любого знака) граничной поверхности объясняется, по-видимому, увеличением вращательного преобразования на сме- смещенных поверхностях. Такое смещение означает приближение гра- граничной поверхности к винтовой сепаратрисе и может привести к на- нарушению условий применимости исходного уравнения A.7). Срав- Сравнение данных для разных установок показывает, что peq выше в си- системах с большими 8г (большое вращательное преобразование) и может достигать 10 %. Зависимость pst от Ао для различных установок имеет общую характерную черту: смещение граничной поверхности внутрь к главной оси тора приводит к уменьшению pst, смещение же от оси улучшает устойчивость, причем зависимость pst от До носит поро- пороговый характер. Такой же вывод следует и из аналитического кри- критерия A.54), согласно которому резкое увеличение Cst происходит 176
Рис. 18. Зависимость пре- предельных по равновесию и локальной устойчивости зна- значений р от смещения До границы плазмы относитель- относительно геометрического центра в стеллараторах Л-2, Л-3 и Н-Е. Заштрихованы области устойчивости относительно баллонных мод; р0— значе- значение Р на оси -0,8 \ Л-3 -0,6 о'/. ' 15 At -0,4 / щ I -0,2 0 А. i I, o,z ец 5 fist f 0,6 ~J Ao/6 \ \ \ z' У ч 2 _ - ^*^fit fist - t 1 a) Я -0,2 О 0,2 Ао/Ь -0,2 О C,Zbo/b 0 \Ю 15 20 А fiOo, 7'/0 8 fi Aa = 0 fist 15 ZO 25 О 5 JO JS А Рис. 19. Зависимости peq и pst от аспектного отношения для стеллараторов с магнитными параметрами Л-2 (а, б) и Н-Е (в). Стрелками отмечены аспектные отношения этих установок при изменении знака множителя перед р'. Из рис. 18 видно, одна- однако, и некоторое различие зависимости pst(Ao) для различных уста- установок. Так, для параметров проекта Л-3 при До=0 есть две зоны устойчивости. Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Стабилизация широм обеспечивает лишь малые значения Pst, а достаточные для перехода к самостабилизации смещения магнитных поверхностей возникают лишь при значительно боль- больших давлениях. Для обеспечения устойчивости при всех р вплоть до максимального необходимо позволить магнитным поверхностям сместиться. Характерной чертой зависимости Pst(Ao) в установке Н-Е является отсутствие устойчивости практически при всех р в случае Ао=0, что может быть связано с недостаточностью стаби- стабилизации широм на краю плазменного шнура. Однако уже неболь- небольшое смещение граничной поверхности обеспечивает получение вы- 12 Зак. 1441 177
-1 ( f xj I I [till - -1 - 0 _ 4 Рис. 20. Сечения усред» ненных и реальных трех- трехмерных магнитных повер- поверхностей в стеллараторе «Ливень-2»- а-р-2,5%; б —Р-4,4% 3 а) 8 6) 8
-1 1 -1 - ч 1 -1 - Рис. 21. Сечения усредненных и реальных трехмерных магнитных поверхностей в стеллараторе «Ураган-3»: о-р-0,23%; б-Р-0,9%; в-Э-1,8%; г-Р-2,7% сокого A0 %) предельного р как по равновесию, так и по устойчи- устойчивости локальных мод. На рис. 19 представлена зависимость предельного давления от другого геометрического параметра — аспектного отношения — при магнитных параметрах, соответствующих стеллараторам Л-2 и Н-Е. Аспектные отношения названных установок отмечены на рис. 19 стрелками. Как видно из рис. 19, при рассмотренных набо- наборах магнитных параметров с ростом А предельное по равновесию давление плазмы растет, a pst, вообще говоря, падает, как это сле- следует и из аналитических расчетов (ср. с рис. 9). Численные расче- 12* 179
Рис. 22. Зависимость $eq и Pst от аспектного отноше- отношения А в стеллараторе с маг- магнитными параметрами WVII-A 40 80 120 160 ты позволяют, однако, получить более детальную картину и вы- выявить некоторые особенности в поведении Pst (Л) при различных магнитных параметрах. Из приведенных данных видно, например, что увеличение аспектного отношения при магнитных параметрах Л-2 приводит к увеличению peq, не нарушая при этом устойчиво- устойчивости. Можно сказать, что стелларатор Л-2 обладает значительным запасом по устойчивости при всех допустимых по равновесию дав- давлениях. Это следует и из данных, приведенных на рис. 18: предель- предельное по устойчивости значение р велико даже при неблагоприятных смещениях граничной поверхности. Увеличение аспектного отноше- отношения при До=О приводит, как и в Л-3 (см. рис. 18), к появлению двух зон устойчивости. Максимальное возможное р0 в установке с магнитными параметрами Л-2 даже при оптимальном аспектном отношении А-20 не превышает 8%. Как видно из рис. 19, оптимальное аспектное отношение для стелларатора с магнитными параметрами Н-Е (Лор^8) несколько меньше, чем у существую- существующей установки. На рис. 20 и 21 приведены сечения магнитных поверхностей при различных значениях ? двухзаходного стелларатора «Ливень-2» и трехзаходного стелларатора «Ураган-3». Рисунок 22 [20] демонстрирует различие ограничений на pst, даваемых критерием Мерсье и общим условием устойчивости бал- баллонных мод. Как и в стеллараторах с пространственной осью, бо- более сильные ограничения, следующие из условия устойчивости бал- баллонных мод, связаны с возникновением отрицательного шира, когда последний член в критерии A.53) становится дестаби- дестабилизирующим. Для более детального исследования конкретных конфигураций вакуумное винтовое магнитное поле нужно рассчитывать точно, исходя из геометрии винтовых проводников и токов в них. Такие расчеты были проведены в [76, 104] для проектируемого торсатро- на ATF. Если в проведенных в [72] расчетах радиус плазменного шнура считался заданным, то в этих работах он определялся после построения вакуумных магнитных поверхностей как радиус послед- последней неразрушенной магнитной поверхности. Эта процедура прово- проводилась при каждом значении заданного внешнего поперечного поля. 180
AV7vr@), % ч о -ч -15 -10 -5 45 Г Ь,см 30 15 -20 -15 -1Q J_ SAV,CM Рис. 23. Зависимость цл@), цч(Ь), У(Ф) и & от вакуумного смещения магнитной оси Av в стеллараторе торсатроне ATF 0,2 - Рис. 24. Зависимость смещения магни- магнитной оси от Р в стеллараторе ATF: Д, *•—'результаты двумерных расчетов; О , • —трехмерные расчеты (О —код Ходу- ры — Шлютера, • —код NEAR), ¦*¦ — бестоковая плазма G—0); А, О и • —равнове- —равновесие с вмороженными потоками; смещение, рассчитанное с помощью одномер- одномерного, линейного по Д уравнения, р — 2 \t?lfi)jA Зависимости ца@), \ih(b), У(Ф) и среднего радиуса сечения Ь от вакуумного смещения магнитной оси представлены на рис. 23 [76]. Результаты [76] относятся в основном к торсатронам с фиксирован- фиксированным углом наклона (tg-y^M) двухзаходных винтовых проводни- проводников, выбор которого позволяет (по крайней мере для рассчитанного варианта с аспектным отношением обмоток Лс=4,4) получить хоро- хорошие вакуумные магнитные поверхности и большой шир при не слишком малом значении |д. на оси. При заданном у в [76] были исследованы равновесие и устойчивость по отношению к крупно- крупномасштабным возмущениям в зависимости от аспектного отноше- отношения, профиля давления плазмы и напряженности внешнего попе- поперечного поля, смещающего магнитную ось. В этой работе было проведено сравнение результатов двумерных расчетов равновесия (код RSTEQ [105]), основанных на уравнении A.7), и трехмерных расчетов (коды Ходуры — Шлютера [106] и NEAR [107]). При этом оказалось, что все эти методы дают очень близкие результа- результаты (рис. 24). Расчеты устойчивости крупномасштабных идеальных возмуще- возмущений на основе уравнений Страусса [68, 69] показали, что в двух- двухзаходных торсатронах с умеренным аспектным отношением решаю- шее влияние на устойчивость имеет положение нуля V" (Ф) отно- относительно резонансных магнитных поверхностей. Важная роль маг- магнитной ямы для стабилизации плазмы была подтверждена и рас- 181
0,75 0,50 0,25 а) __ \ %з ч2% А, Ч // 1 уу 1 /s' // ^ // "^23,9 I Z,m 05 0 -0,5 - 01 ~D1r D2 0 иг' ———— - f 0 I 5) аз аз' 0,5 0,75 1,0 a/6 1,5 2,0 2,5 г,м (кз компенсации) % 5 (с компенсацией) Рис. 25 Контроль профиля вращатель- вращательного преобразования в стеллараторе ATF: а — изменение вращательного преобразо- преобразования с ростом Р; б — положение трех пар управляющих витков; в — влияние управ- управляющих полей на профиль вращательного преобразования 0,5 а/Ь четами конфигураций, получающихся при наложении внешнего по- поперечного поля. Было показано, что, как и для мелкомасштабных мод [72], смещение магнитной оси наружу существенно улучшает устойчивость, а внутрь — ухудшает. Выводы работы [76] оптимистичны: эффект самостабилизации плазмы обеспечивает при выбранных параметрах ATF прямой пе- переход во вторую зону устойчивости. Расчеты демонстрируют лег- легкую возможность получения в ATF р —10 %¦ В [76] речь шла лишь о возмущениях плазмы с закрепленной границей. В [50] численно, с использованием функционала A.46), было показано, что наибольшую опасность для стелларатора с па- параметрами ATF представляют винтовые моды со свободной грани- границей, которые возбуждаются токами Пфирша — Шлютера (в отсут- отсутствие интегрального продольного тока) и становятся неустойчивы- неустойчивыми при р« 2,6 ч-2,7%. На устойчивость плазмы относительно исследованных в [50] возмущений существенно влияет профиль вращательного преобра- преобразования. В [101] было показано, что с помощью трех пар провод- проводников, создающих однородное по ?; поперечное поле, в ATF можно частично (при ро=4,5°/о почти полностью) скомпенсировать неже- нежелательные изменения профиля ц, возникающие с ростом р (рис. 25) 182
[101]. Устойчивость плазмы при этом улучшается и возможно до- достижение больших Р, чем это предсказано в [50]. Как уже отмечалось, трехмерные коды Ходуры — Шлютера и NEAR дают результаты, близкие к получаемым на основе упрощен- упрощенных двумерных уравнений [37, 49, 68, 71]. В отличие от них код BETA (или BBG) [74] дает гораздо худшую оценку для р. Так, для стеллараторов с вращательным преобразованием, не превышаю- превышающим единицы (к ним же относится и ATF), авторам [74] не уда- удалось получить р больше 3 %. Это наиболее пессимистическое пред- предсказание пока не было подтверждено или опровергнуто другими столь же детальными расчетами. Глава 2. УРАВНЕНИЯ ТРЕХМЕРНОГО РАВНОВЕСИЯ 2.1. Магнитное поле в потоковых координатах Потоковые координаты имеют исключительное значение в тео- теории равновесия и устойчивости тороидальной плазмы. Они исполь- используются при изучении самых разных систем — токамаков [29, 100, 108—ПО], конфигураций с винтовой симметрией [81, 82, 111], стел- стеллараторов различных типов как обычных, допускающих двумерное описание [46, 50, 65—67, 71, 72], так и чисто трехмерных [24, 32, 60, 112, 113]. Перечисление это не является исчерпывающим, их применение постоянно расширяется. Потоковые координаты прочно вошли не только в аналитическую теорию [22, 27, 30, 60, 114— 121], они стали основой и многих численных методов [72—74, 107, 122—126]. Так же как и для изотропной, они оказались удобными и для анизотропной плазмы [127—130]. Фундаментальным при введении потоковых координат является предположение о существовании в равновесной конфигурации вло- вложенных магнитных поверхностей. Для двумерных (симметричных)' систем существование решений уравнений равновесия, обладающих таким свойством, показывается строго [22, 131]. Для трехмерных систем, хотя и не доказана возможность получения решений с та- такой топологией, тем не менее модель вложенных поверхностей пред- представляется вполне допустимой, по крайней мере в качестве нулево- нулевого приближения (см., например, [74]). Такие поверхности а(г) = = const, если они существуют (в трехмерных системах для этого может потребоваться аккуратная «настройка» магнитной системы), естественно выбрать в качестве координатных, поскольку на них, как следует из уравнения равновесия Vp=[jB], лежат линии поля и плотности тока, а давление плазмы постоянно. Привязка системы координат к магнитным поверхностям позво- позволяет максимально упростить выражения для векторов поля В, плот- плотности тока j = rotB, а также для ряда дифференциальных операто- операторов (div, BV и др.). Потоковыми или магнитными [116] называют координаты х{= = (а, 9, %), где 0 и ? — переменные, определяющие положение точки 183
на поверхности а — const. Обычно 8 и ? выбирают так, чтобы они менялись от 0 до 2л при обходе вокруг магнитной (малый обход) и главной оси системы (большой обход) соответственно. Будем считать, что 6 и ? заданы подобным образом, более подробно об кх выборе поговорим позже. Если функции х*(т) = (а, 0, ?) известны, то определены кова- риантные е* и котравариантные базисные векторы et: B.1) якобиан преобразования г-va;1' Vg = [exe2] es = ([v*V*2] У*?Г\ B.2) определяющий элемент объема в координатах xi dx^Vg йхЧхЧх*, B.3) и метрические коэффициенты gtk = е«еЬ) B.4) определяющие квадрат элемента длины № = gikdxldxk. B.5) Связь базисных векторов е* и ей, ~^g и gth дается формулами B.6) здесь подразумевается, что xi±3 = x\ Два набора B.1) базисных векторов позволяют получить два представления произвольного вектора А А = Attl = Л'е,, B.7) в которых Л, = Ае„ Лг = Аег. B.8) Более полная сводка формул, используемых при работе с криволи- криволинейными координатами, приведена в [108, с. 229]. Для анализа поведения магнитного поля В и плотности тока j в равновесной конфигурации достаточно из системы A.1), описы- описывающей равновесие плазмы, выделить группу чисто геометрических уравнений Вуа==0; divB = 0; j у a = div [Bya] = 0, B.9) не содержащих давления плазмы. В уравнениях divB = 0 и div[BVa]=0 дифференцирование осуществляется лишь по 0 и ?. При их решении знания а (г) поэтому не требуется. Это позволяет рассматривать B.9) независимо от собственно уравнения равнове- равновесия [rot BB] Va = p'(я) I V*IJ. B-10) 184
остающегося после выделения B.9) из A.1) и служащего для на- нахождения а (г). Легко убедиться, что общее решение уравнения divB = 0 при BVa=0 имеет вид [22, 27] (множитель 2л введен для удобства) 2яВ = [v^pva + [уФув] + IveV^J. B-11) где ф = ф(а); Ф=Ф(а), a ri(a, 9, ?) —периодическая по 0 и ? функ- функция с равным нулю средним: <ri>e,? = O. Действительно, любой век- вектор В, не имеющий составляющей по Va, можно разложить на две компоненты: В = х[уауд] + у[уау$. B.12) Если В — соленоидальное поле, divB = 0, то л; и у должны быть связаны уравнением О. B.13) Следовательно, их переменные по 9 и ? составляющие выражаются через одну периодическую по 9 и ? функцию, которую обозначим /B) х = хо(а) + ^-^-; y=yo(a)+JL^L. B.14) 2я от 2я dt, Подставляя х и у в B.12) и обозначая *о=Ф'(а)/Bл), Уо= =г|/(а)/Bя), получаем формулу B.11). Угловые координаты 0 и ?, соответствующие им полоидальный 1р и тороидальный /г контуры @ = const и ? = const) на магнитной поверхности a = const (рис. 26) могут быть введены произвольно (необходимо лишь, чтобы (VafVGV^JJ-^O). От выбора 0 и ?, естественно, должны зависеть и входящие в B.11) величины % Ф, Т). Функция г] при заданных 0(г) и ?(г) определяется уравнением div [ya, [vW + [VOV0]] + div WlW V4H = 0. B-15) которое получается при подстановке В в виде B.11) в последнее, еще не использованное уравнение системы B.9) div[BVa]=0 (jVa=0). Она очень чувствительна к деформациям контуров 1Р и 1т. Замена переменных в B.11) 0=0х+/е; С = С + /С, B.16) где /е, f% — периодические по 0* и ?* функции, ведет к замене в этом представлении ц на цх: т1ж = Л + ^ + Ф7е. B.17) По своему физическому смыслу функции Ф и г|з в B.11) —это тороидальный и полоидальный магнитные потоки через поверхно- поверхности ST и SP, ограниченные контурами 1Р и h соответственно 185
Рис. 26. Полоидальный и тороидальный кон- гуры на магнитной поверхности (см. рис. 26): где А — векторный потенциал; В = rot А. Чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в эти фор- формулы А в виде 2лА = 1|эу? + 0>V9 — ЦЩ + yh, B.19) что эквивалентно B.11). Здесь h — произвольная однозначная (в отличие от в, ?, изменяющихся на 2я при обходе вдоль 1Р, 1т) функция. При вычислении контурных интегралов в B.18) были использо- использованы простейшие следствия определений 8 и %, 1Р и lT: Vad\PJ = = VQdlT=Vt,dlP = O; fVQd\P= fVt,d\T=2n, периодичность h: § Vhdlp,T=0. Очевидно, результат интегрирования в B.18) опре- определяется лишь топологией замкнутых контуров 1Р и 1Т, а непрерыв- непрерывные деформации 1Р и 1Т, описываемые уравнениями B.16), на него не влияют. Это является следствием отсутствия у В составляющей по нормали к поверхности а = const. Формально это можно пока- показать, перейдя в B.18) к интегрированию по d\P и d\/, соответст- соответствующим новым координатам 9* и %х, используя по-прежнему А в виде B.19). По определению контуры 1Р и 1т, 1р' и // задаются на поверхности а = const уравнениями: Ip-.t, =- Со = const; 1Т:0 = 60 = const; Вычисляя § Adlp' и § Adi/, снова получаем ip> и Ф соответственно, так как j> VQdlP'= §V?,d\/ = 2n в силу периодичности (однознач- (однозначности) функций /е, h, Для которых интеграл §Vftdl по любому зам- замкнутому контуру равен нулю. Представление В B.11) оказывается очень удобным при описа- описании равновесных конфигураций. Оно явно учитывает два свойства магнитного поля — соленоидальность (divB = 0) и отсутствие у не- него нормальной к магнитной поверхности составляющей (BVa = 0). Лишь условие jVa = 0 не выполняется автоматически при задании В формулой B.11) и требует решения уравнения B.15), связываю- связывающего все входящие в B.11) величины. При заданных 0(г) и ?(г) из него однозначно определяется через i|/ и Ф' неизвестная функция т| (г). Будем далее называть B.11) потоковым представлением маг- магнитного поля. Другое, токовое представление В, дополняющее B.11), легко получить, разлагая В по векторам Va, V0, V?: B = Xye + YyZ + Zya B.21) 186
и определяя X, Y, Z из геометрических уравнений для магнитного поля B.9). Функции X и У, как следует из уравнения jVa= = div[BVa] =0, связаны тем же уравнением дх/д$~ ак/ае = о, B.13а) что и х, у в B.12). Следовательно, X = J(a) + дф/дд; Y = F(a) + дф?, B.22) где ф — периодическая по 0 и ? функция. Подставляя эти выраже- выражения в B.21), получаем с учетом BVa = 0: 2nB = y(a)v9 + /7(a)vS —vya + V9. I2-23) где v = (/V9 + Fy? + УФ) V«/l ya I2- B-24) Для плотности тока j = rot В получаем отсюда = [V/V0] + lyFyQ + Ivavv]. B.25) Представление B.23) дает простые выражения компонент В{= = Ве„ поэтому его иногда называют ковариантным. Будем называть его также токовым, поскольку / и F — это продольный и полои- дальный токи, аналогичные потокам Ф и г|> B.18): F(a) $]dS §Bd\\ Отметим, что представление B.23) по виду в точности совпадает с B.19) [а B.25) с B.11)], так что вычисления в B.26) ничем не отличаются от только что проделанных при нахождении J BdSr и J BdSp. Так же, как и B.18), определения токов B.26) являют- являются, очевидно, инвариантными — не зависящими от деформаций 1р и 1Т при фиксированной их топологии. При выводе формулы B.23), которую можно записать в виде где Vo — поверхностный градиент: были использованы только два из трех уравнений B.9) — BVa = 0 и jVa = 0. Оставшееся уравнение divB = 0 служит при заданных 8 (г) и ?(г) для нахождения ф: div (Ууаб + F VaO + div уаФ = 0- B-29) При замене в B.27) и B.29) 6, ? на 0*. ?* в соответствии с B.16) функция ф, как нетрудно видеть, заменяется в них на ф* = Ф + Jfe + Ffv B.30) Подведем итоги. Как видно из проведенного рассмотрения, в потоковых координатах два из трех «магнитных» уравнений B.9) 187
элементарно решаются в самом общем виде, а третье сводился к эллиптическому уравнению, не содержащему дифференцирования по а: B.15) для потокового представления B.11) или B.29) для токового B.23). В ряде случаев мы будем пользоваться двумя пред- представлениями одновременно. Уравнение B.29) удобно при этом при- привести к виду J div [у а [уду а]] + F div [у a [ytya]] + + div [у a [v<PV«J] = 2лВу | у а |2, B.31) содержащему 0 и t, в комбинациях вида [Va[VxfVa]], как и в B.15). Проще всего получить B.31), умножая B.27) на |Vaj,2 и действуя на получившееся равенство оператором div. Точно так же, умножая B.11) векторно на Va/|Va|2 и действуя оператором div, получаем эквивалентное B.15) уравнение, связывающее 0, Z, i|/ div уа? + Ф' div Va9 + div уо*1 = 2л [Bya] A | Aa Г2, B.32) которое удобно использовать вместе с B.29). Наличие двух представлений поля позволяет при исследовании равновесных конфигураций провести многие вычисления в общем виде, без использования какой-либо конкретной системы коорди- координат (см., например, разд. 2.3, 2.6, 4.3, 6.3—6.7). С другой стороны, удачным выбором 0(г) и ?(г) можно привести эти представления к более простому виду. Рассмотрим несколько полезных вариантов выбора потоковых координат. 2.2. Специальный выбор потоковых координат Как уже отмечалось выше, угловые координаты 0 и ? могут быть введены на магнитной поверхности произвольно. От их выбора за- зависит в первую очередь вид функций т] в B.11) и <р в B.27), кото- которые однозначно определяются уравнениями B.15) и B.29). Сво- Свободой в выборе 0 и Z, можно распорядиться, добавив к этим урав- уравнениям, содержащим по три неизвестных функции — 0(г), ?(г) и г] (г) или ф(г), по два каких-либо (непротиворечивых) дополни- дополнительных условия. В этом случае необходимо определять 0(г) и ?(г) из получившейся системы уравнений. Потоковые координаты с выпрямленными силовыми линиями (ВСЛ). Начнем с того, что рассмотрим класс потоковых систем координат (a, 0S, ?s) с ВСЛ, получающихся при дополнительном требовании г) = 0 [см. B.11)]. Потоковое представление поля в них имеет вид [22, 58, 27] 2лВ = MjvU + [уФубЛ, B.33) угловые переменные 0S и t,s связаны уравнением Мр' div [Vfl [vCvaJ] + ф' div [ye [vQ.VaH = 0, B.34) а силовые линии—прямые: dQjdHU = ВувДВуУ = - 1|>7Ф' = и (а). B.35) 188
Токовое представление по-прежнему имеет вид B.27), а функция <р, определяется уравнением (J\i -f F) div [ya [y?sVa]l + div [ya [уф„уа]] = 2лВу | уа |2, B.36) которое получается из B.31) исключением 6S с помощью B.34). Для расчета конфигураций с заданным током (например, стелла- раторов с / = 0) более удобна другая форма записи B.36) (/|i + F) div VaC, + 2я №') [BVfl] v p^ + di v Va<Ps = 0. B.37) Это соотношение легко получить из B.29) и B.32). Для нахождения vs нужно использовать уравнение равновесия V/;=[jB], приводящееся в системе с ВСЛ к виду , = р'V (lf\/g7~ 4л2/Г), B.38) где у?Г= ([VaV0s] V^)-'. Завершая сводку основных формул в потоковых координатах с ВСЛ, приведем выражения для величин В2 и jB, которые при- приходится вычислять при изучении равновесия и устойчивости: В* = <В*> К7Dя» V&) + В7Ф,/Bя); B.39) ^V-^]. B.40, Здесь использованы обозначения (подробнее — см. разд. 6.3) <В2>У' = ^Ф'—Л|/; QW = J'F—JF'; скобки < > — усреднение по слою между близкими магнитными поверхностями. Формулы B.39) и B.40) получаются умножением токового представления В на В в виде B.33) и на j в виде B.25). К координатам с ВСЛ легко перейти от любых фиксированных 0 и ? путем замены одной из координат, полагая в B.16) /Е = 0 B.41) или /е = 0; /с = — т]Л|/. B.42) Последующее преобразование 08 = е; + г|/О; ?, = ?-04/, B.43) оставляющее неизменным представление поля B.33), позволяет ох- охватить все множество систем с ВСЛ. Мы использовали одно (ц = 0) из двух возможных ограничений для конкретизации координат 0 и 5- При этом их выбор остается еще достаточно произвольным — для двух переменных 9S и ?s имеем лишь одно уравнение B.34). Рассмотрим несколько способов од- однозначного выделения систем с ВСЛ. Система координат с ВСЛ с заданным ?,(г). Конкретное зада- задание ?s(r) является наиболее простым и распространенным спосо- 189
бом введения тороидальной координаты. Обычно в качестве ?s вы- выбирается t,g = 2ns/L, где s — текущая, a L — полная длина геометри- геометрической оси. Полоидальный угол 6g определяется при этом неодно- неоднородным уравнением с заданной правой частью (ц = —1|//Ф') div [ya [ув,уа]] = И div [ya [у?*уа]]. B.44) Мы будем пользоваться такой системой координат в гл. 4, 5. В слу- случае аксиальной симметрии правая часть B.44) равна нулю, угол Qg не зависит явно от потоков. Координаты Хамады [114]—т)Н=0, vh = 0. При замене в общем токовом представлении В B.23) 9 и Z, на 0* и ?* B.16) мы должны, сохраняя вид B.23), одновременно заменить ф на ф* B.30), a v на vx: vx = V + J% + F'fv B.45) Функция т} в потоковом представлении B.11) при таком переходе (8, ?)-v(8*, %х) преобразуется в х\х B.17). Таким образом, система координат Хамады (a, QH, ?я) получается из произвольной потоко- потоковой системы (а, в, ?) путем деформации контуров 1р и 1т по форму- формулам B.16) с /е и ft, удовлетворяющими уравнениям: Ф'/в + ф7с = -Л, J'fe + F'fz = -v. B.46) Обычно переход к координатам Хамады осуществляется в два приема [27, 60]. Сначала строится система с ВСЛ (например, с за- заданным ?) с требованием лишь ti = 0, а потом с помощью преобра- преобразования B.43), не нарушающего условия выпрямленное™ силовых линий 1-1 = 0, определяется нужная система (а, 6я, ?н), в которой и vh=0. Функции \н и vs, соответствующие координатам Хамады и произвольной системе с ВСЛ, связаны согласно B.45) уравне- уравнением vh = vs + (/у - РФ') GH. B.47) Полагая vh=0, определяем отсюда GH, описывающую переход B.43) (в., ?.)-»-(вя, Сн): Gh = - vJ(p'V). B.48) Мы воспользовались здесь уравнением Крускала — Кульсруда A.3). Для нахождения vs нужно использовать B.38), поэтому фактически функция GH должна определяться из 2nBvGw = 4я2/У — 1/ViT • B-49) Представления поля B.11) и B.23) в координатах Хамады принимают вид 2яВ = [у^у^я] + [ уФу0я]; B.50) 2лВ = Д/9я + FylH + уфя- B.51) 190
Входящие сюда функции 0я, ?н и фя связаны уравнениями; ¦ф' div [у a [у?яУ°]] ~Ь Ф' div [у а \ div (Ууавя + Fv«C«) + div уаФя = 0; B.52) Одним из способов их решения является описанный выше поэтап- поэтапный переход от произвольно заданной потоковой системы коорди- координат к системе с ВСЛ и затем определение функции Gh, дающей связь е, = ея+Ф'Ся; Ъ = 1н-Ф'вн. B.53) После того, как найдены Он и ?я, функцию фя можно определить приравнивая B.50) и B.51). В координатах Хамады линии плотности тока . B.54) как и линии В, — прямые. Кроме того, как следует из уравнения равновесия B.38), простой вид имеет У^н: К&Г = V'/Dn*)- B.55) Если в качестве а взять объем V, заключенный внутри магнитной поверхности, то V'=l, У^н=1/4п2. Независимость У^н от углов (и от а при а= V), выпрямленность линий поля и тока обусловили широкое использование координат Хамады в аналитических расчетах, особенно в исследованиях по локальной устойчивости [27, 30, 29, 132]. Отметим, что связь B.55) l/ён с У и выпрямленность линий тока (vh = 0) позволяют полу- получить для величин В2 и jB, входящих в критерии устойчивости (см. гл. 6), простые выражения: В2 = <В*> + ВУФя/Bя); B.56) jB = <jB> + ]уфн/Bл). B.57) эквивалентные B.39) и B.40), причем операторы BV и jV прини- принимают максимально простой вид: B.58) (Г_1 F' д \ V Координаты Бузера [116] —tib==0, фВ = 0. Более универсаль- универсальной, удобной как для аналитических [116—119], так и для числен- численных [107, 133, 96, 74] вычислений, оказалась система координат с ВСЛ, предложенная Бузером [116—118]. 191
Два представления поля в координатах Бузбра (а, бв, ?в) име- имеют вид 2лВ = [уг|>уУ + [УФу9в]; B.59) 2яВ = Ууо0в + FVaCB, B-60) а детерминант метрического тензора ^ge = det gtk пропорционален 1/В2. Это свойство легко установить, перемножив B.59) и B.60): Уравнения для функций 0В и ?в, получающиеся из B.29) и B.32) ПрИ фв = 0, Т]в = 0, более просты, чем B.52) для 0н и ?н. Решения этих уравнений можно искать, задавая произвольные угловые переменные на по- поверхности а=const, определяя из B.15) и B.29) соответствующие им функции т] и ф и переходя затем к новым угловым переменным 6в, ?в, в которых т1в = 0, фв = 0. Переход от произвольной потоковой системы координат к (а, 6в, ?в) производится по формулам B.16) с fe, ft, выбранными так, что Чв = Л + Ф'/е + ф7с = 0; B.63) Фв = Ф + Jh + Fh = °- B.64) Как и в предыдущем случае, удобно искать (а, вв, ?в) как частный случай системы с ВСЛ, определяя функцию GB, связывающую 0S, ?s известной (заданной) системы с ВСЛ с 0в, %в. При этом в соот- соответствии с B.43) fe = ty'GB, fz=—Ф'йв, уравнение B.63) удовлетво- удовлетворяется тождественно (ris=O), а B.64) сводится к Ф* + W — F&) GB = 0. B.65) Отсюда следует GB = ф8/<В2> V = Ф5/В2 VgB~ • B.66) Теперь можно записать связь 0В, ^в с угловыми переменными 0S, произвольной потоковой системы с ВСЛ в виде 6в = 0S — Ф s <В2> V Т B.67) Г Г I Ф' °" 5 <B2>V" Т5 Напомним, что функция ф„ определяется уравнением B.36). 192
«Натуральные» координаты с ВСЛ [121]. Угловые Переменные 0s, ?« произвольной потоковой системы с ВСЛ связаны соотношения- соотношениями B.34) и в общем случае зависят не только от геометрии маг- магнитных поверхностей, определяемой функцией а (г), но и от явно входящих в B.34) потоков фиф. Произволом в выборе 6» и ?» можно воспользоваться, выбирая ?8 так, чтобы обратилось в нуль первое слагаемое в B.34). В этом случае получим зависящие лишь от а (г) координаты 0jv, ?jv, названные в [121] натуральными, кото- которые удовлетворяют уравнениям [121, 134]: div [щ [yQNya]] = °: div [у« [V^Vfl]] = °- B.68) Уравнением для функции ф^, фигурирующей в токовом представле- представлении В B.23) при 9==9iv, S=Sjv» служит 2яВу | Va I2 = div [Va [V<fVVa]]- B.69) Оно, очевидно, является следствием B.31) при дополнительных ус- условиях B.68). Определение 0jv и t,N сводится к решению двух неоднородных эллиптических уравнений: div [щ [y/eVa] ] = div [уа [увуа]]; | j для периодических функций fe и fi, с помощью которых осущест- осуществляется переход от опорных (заданных) координат 0, ? к 0jv, ?лг: /е = 0-А: /? = ?-^. B.71) Отыскание /е и /Е из B.70) эквивалентно построению произвольной системы с ВСЛ и нахождению затем одной функции, например fe(h=—/еФ'/Ф'Ь из первого уравнения B.70) с 0 = 0S. Натуральные координаты удобны в аналитических расчетах, осо- особенно при явном параметрическом задании формы магнитных по- поверхностей. В случае аксиальной симметрии (а, 0дг, ?w) совпадает с рассмотренной выше системой с ВСЛ с заданным ?. Все системы с ВСЛ хороши тем, что в них простой вид имеет потоковое представление поля. Системы Хамады и Бузера строятся так, чтобы в них упрощалось и токовое представление. Рассмотрим теперь аналогичные натуральным потоковые координаты (а, 0С, ?с) без ВСЛ, но с выпрямленными линиями [BVa] и соответственно линиями диамагнитного тока jx =p'[BVa]/B2. Конатуральные координаты с фс=0 [121]. Названные в [121] конатуральными координаты (а, 0С, ?с) задаются так, чтобы токо- токовое представление поля было таким же, как B.60) в координатах Бузера 2яВ=/увве + ^у.Се, B.72) а угловые координаты определялись лишь геометрией магнитных поверхностей независимо от / и F. Уравнения для 0С, ?с получают- 13 Зак. М41 193
ся из B.29), где нужно положить ф —фс=0 и приравнять нулю одно из слагаемых [121, 134]: divV«ee = O; divV(&=0. B.73) Для функции Tic, входящей в потоковое представление поля B.11) при 0 = 6С, ?=?с, получаем из B.32) div у.Ч. = 2л [Вуа] у —Ц. . B.74) Оператор в правой части B.74) имеет простой вид, поскольку ли- линии вектора [BVc] в координатах 8С, %с — прямые: 2л [Вуа] = J [уб.уа] + F [у^аЬ B.75) В конатуральных кординатах 3&-?¦• BJ6) -г- B-77) Ниже будет показано, что конатуральная система координат яв- является в некотором смысле взаимной к натуральной. Одновременное использование этих двух систем координат удобно при работе со смешанным, или полоидальным, представлением поля В — через ф и F. Для того чтобы перейти к нему, рассмотрим связь токов с по- потоками. 2.3. Связь токов с потоками Линейная связь токов / и F с потоками Фиф является след- следствием уравнения Максвелла j = rotB. Получим эту связь, исполь- используя два представления поля — токовое B.27) и потоковое B.11) (отметим, что уравнением j = rotB мы пользовались, чтобы убе- убедиться, что / и F в B.27) — продольный и внешний полоидальный токи). Пусть токовое представление поля задано в произвольной пото- потоковой системе координат, а потоковое — в натуральной, описанной в предыдущем разделе. Приравнивая их, получаем векторное урав- уравнение -Л7аб + Fy? + УаФ = 4>'[V aytN] + Ф' [WVQN], B.78) которое эквивалентно двум скалярным (проекции на е2 и е3; ') ] B.79) где /,m=2, 3; VflT= Aim = е»емп / Y~8n '• B.80) 194
слева в B.79) — компоненты токового представления, а справа потокового. Усредненные по б и ? уравнения B.79) B8I) дают выражения для токов через магнитные потоки и геометриче- геометрические коэффициенты c- B-82) Соответственно магнитные потоки можно выразить через токи 7;) B g3) где Я?от — «удельные индуктивности» [135], связанные с аш соотно- соотношениями: /а Я°/а° ^/« W- B.84) Здесь B.85) Рассмотрим свойства величин Aim B.80). Любой вектор и = = UiVx\ ортогональный к Va, uVa=0, может быть записан в виде u = [Va [ща]]/\ у а |а = щуах1, B.86 где ы< = ие<; е,- — базисные векторы произвольной потоковой систе- системы координат х*. Представим в таком виде базисные векторы и е^з натуральной системы координат: ем» / y~g^ s ^V^+'V*aT~'J = ^/mVe^ • B.87) Здесь и далее для краткости угловые координаты 0, % обозначаются как х с верхними индексами I, т, п, принимающими в отличие от i, j, k только два значения: I, от, я=2, 3 (х2=в, Х3=?). При этом подразумевается, что x'±3 = xl, xl = a. Используя условия натураль- натуральности B.68), которые можно записать как div|VaeNm/yrgN ]—0, для Aim получаем lyayxl]yAlm=0 B.88) или в раскрытом виде dA2Jdx* - дАВт/дх* =. 0. B.89) Из этого уравнения следует, что ° B.90) где h2 и Аз — периодические по х2 и х3 функции. Таким образом, величины а^ , связывающие токи с потоками, получаются из Аш 13* 195
B.80) усреднением лишь по одной угловой координате х1 произ- произвольной потоковой системы координат с базисными векторами е; в B.80), что является следствием натуральности координат х^т. Отметим, что при фиксированной топологии системы координат х{= (а, 6, Z,) величины а°т, получаемые таким усреднением B.80), не зависят от выбора 6 и ?. Действительно, если ограничиться клас- классом координатных систем, угловые переменные которых связаны преобразованием B.16), не изменяющим числа зацеплений конту- контуров O = cohst и ? = const, то, подставив B.16) в B.87), которое с учетом B.90) принимает вид I Y B-91) получим уравнение *Nm/YeN =a//nVa^ + Va(/lm+ato/l). B.92) Здесь /2=/е, /з=/&. Умножение B.92) на базисный вектор exi новой системы координат (а, 9*, %х) дает A'lm = aL + -±- {hm + aljr), B.93) дх{ X что и доказывает независимость средних (АшУх1 от выбора коор- координат х1. Как видно из B.93), координаты а, 6, (; можно выбрать так, чтобы в B.90) /i2 = /i3 = 0, т. е. Aim = a°lm. Обладающую таким свой- свойством систему координат естественно назвать дополнительной к натуральной. Покажем, что единственной системой, дополнитель- дополнительной к натуральной, является конатуральная [134]. Применив опе- операцию div к B.91), для hm получим уравнение аш div Va*' + div V A, = 0. B.94) Если hm = 0, то однородная система двух уравнений B.94) с нену- ненулевым определителем сводится к уравнениям B.73), которыми оп- определяется конатуральная система координат. Если же в B.94) по- положить xl=xcl(A\v Va#' = 0), то для пт получится однородное урав- уравнение div Vaftm = 0, не имеющее нетривиального периодического ре- решения. Итак, ecJejvm//^T=aL. B.95) Отметим одно важное следствие этого соотношения. Вычислив де- детерминант матрицы a?m, непосредственно получим D (а) = det o?m = Р^зП**.] = VgL | ya ,*. B.96) 8n VS С учетом соотношения B.95) уравнение B.86) дает следующую связь базисных векторов t^m и Waxcl: eWVg^ = a/mVa4. B.97) 196
Эта связь замечательна тем, что коэффициенты <z°m не зависят от угловых переменных. Она позволяет без решения пары уравнений B.73) находить базисные векторы конатуральной системы коорди- координат, если известна натуральная, и наоборот [121, 134]. Независимость а?тот выбора потоковых переменных х' позво- позволяет найти связь ct?m с метрическими коэффициентами gNim/^gN натуральных координат: gmmlVg^ = «L + дЩдх'М), B.98) где h — периодическая по QN и ?jv функция. Чтобы получить эту связь, достаточно в B.80) положить et = eNi и воспользоваться за- затем уравнениями B.90). Из B.98) вытекает симметрия матрицы а°3 = а°2. B.99) Получим теперь выражения для агтчерез метрические коэффи- коэффициенты gimfVg произвольной потоковой системы координат. По оп- определению ei=ygr[Vx>'+1V%1'-1]. Соотношения B.71) позволяют пред- представить векторы ZnIV gN в виде i B-100) Здесь для компактности записи использованы обозначения ti2 = = —/j, г|з = /е. Умножая это уравнение на е/ и исключая с помощью B.90) возникающую при этом в левой части величину Aim, полу- получаем 8imlVg + ег [V4™Va] = «?- + *фт. B.101) Таким образом, \ Vg Sim , gla I V дх3 Vs дх* VI Vg дх3 Vs 2.4. Общая постановка задач равновесия Как уже видно из предыдущего изложения, условия равновесия плазмы в магнитном поле разделяются на одномерные интеграль- интегральные, определяющие связь между поверхностными (зависящими только от метки а магнитной поверхности) функциями р, J, F, Ф, 1|), и локальные — уравнения для определения формы магнитных по- поверхностей а(г). Пять упомянутых интегральных характеристик связаны тремя уравнениями — уравнением Крускала — Кульсруда 197
A.3) и уравнениями связи токов с потоками B.81): ру = ./Y _ F 'Ф'; | J = - с& (а) %' + с& (а) Ф'; B.103) Здесь V(а)—объем, ограниченный тороидальной поверхностью; а (г) = const — чисто геометрическая характеристика, остальные пять — физические. Из этих соотношений следует, что независимых физических поверхностей функций — две. Поэтому задачу о равно- равновесии в простейшем виде можно сформулировать так: при задан- заданных граничной тороидальной магнитной поверхности и двух функ- функциональных зависимостях, например p(if) и F(if>) (либо p(ty) и <7(ф)=—Ф'/-ф'; либо p(i|)) и /(ф) и т. д.), найти систему внутрен- внутренних магнитных поверхностей. В более сложном варианте задачи вместо граничной магнитной поверхности можно задать токи во внешних проводниках и положение лимитера, поглощающего плаз- плазму со всех магнитных силовых линий, доходящих до него. Разуме- Разумеется, чтобы решение существовало в трехмерном (несимметричном) случае, граничная поверхность или распределение внешних токов должны быть подобраны специально. Действительно, при /=0, на- например, магнитные поверхности существуют, если только граничная поверхность винтообразная. Но и при этом типичной ситуацией является островная структура, а не система вложенных торов. Бо- Более того, строго математически уравнение B.10) в трехмерном слу- случае не имеет, вероятно, вообще решения в виде системы вложен- вложенных торов при плавной (без особенностей) плотности тока j. Как же следует тогда понимать введение системы потоковых коорди- координат? При ее введении мы основывались на двух «магнитных» урав- уравнениях BVa=0, jVa=0, что с учетом соленоидальности вектора В и тождества div [BVa] =Varot B = jVa составляет систему уравне- уравнений B.9) div В = 0; Bya = 0; div [Bya] = 0 для векторного поля В. Последние два уравнения эквивалентны од- одному векторному B.104) При заданной функции а (г) и двух поверхностных функциях, ска- скажем Ф(а), ¦ф(а), векторное поле В определяется с помощью двух вспомогательных функций 0s(r), ?«(г), удовлетворяющих уравне- уравнению B.34), формулой B.33) 2яВ = Тогда уравнение B.104) служит для определения функции Z(r): Z-(r) = j[BVal/Iva|>. B.Ю5) Если бы удалось подобрать поверхности а (г) = const так, что 198
Z(r)=p'(a), то тем самым было бы найдено решение уравнения равновесия B.10). Более реалистичная постановка состоит в по- поисках решения с функцией Z(r), приближающейся к р'(а). Можно ввести меру отклонения б (г) функции Z(r) на поверхности а(г) = = const от поверхностной функции f(a) формулой 6(r)] B.106) и говорить, что уравнение равновесия удовлетворено с точностью бтах. При этом не исключено обращение / (а) в нуль на рациональ- рациональных магнитных поверхностях, где q(anm)=n/m. Действительно, ес- если / (т. е. р') рассматривать как возмущение, то линейный отклик (плотность тока), пропорциональный f, как видно из нижеследую- нижеследующей формулы B.109), содержит резонансный знаменатель mq—п и может быть конечным лишь при р' (атп)=0. Альтернативой яв- являются особенности на плотности тока (физически допустимые при идеальной электропроводности) или островная структура. Запишем уравнение B.104) в системе координат с ВСЛ B.107) Как видно, в нем можно выделить среднюю и переменную части Представляя правую часть в виде разложения и|/2Ст„ехр —rt?s)], получаем формальное решение последнего уравнения в ви- виде Svmnexp [i(/n0s—n^s)], где m). B.109) В случае осевой или винтовой симметрии (д/д?=О) отличны от ну- нуля только коэффициенты с n=O:vmo=—Ст0/т. Очевидно, что эти коэффициенты конечны. В трехмерном же случае обязательно воз- возникают малые знаменатели (о чем упоминалось выше), свидетель- свидетельствуя о возможности расщепления системы вложенных поверхно- поверхностей. Подбор внешних условий (граничной поверхности или токов во внешних обмотках) соответствует выбору такой конфигурации, в которой коэффициенты Стп достаточно малы, так что с точки зре- зрения физики удержания расщеплением можно пренебречь. 2.5. Постановка задач равновесия на основе двумерных уравнений. Описание эволюции равновесия Равновесие в системах с винтовой симметрией и (в стелларатор- ном приближении) в обычных стеллараторах с плоской осью и вин- винтовыми полями описывается однотипными двумерными эллиптиче- эллиптическими уравнениями C.8) и D.34), аналогичными уравнению Грэ- да — Шафранова D.36) для аксиально-симметричных систем. 199
Сходство этих уравнений позволяет (после очевидного обобщения) использовать для их решения методы, развитые для токамака, до- достаточно полный обзор которых содержится в [108]. При расчете равновесия на основе этих двумерных уравнений необходимо задать две поверхностные функции. Наиболее простым является задание p(ty) и F(ty). Физически же более естественно для стеллараторов задавать давление p(tf) и тороидальный ток /(ф), который может быть определен с помощью закона Ома. Ста- Стационарному равновесию соответствует /(tf>)=0. Задача с заданны- заданными р(ф) и /(г{>) сложнее, чем с р(ф) и F(\{>), так как входящий в правую часть уравнения полоидальный ток F(ty) связан с /(ф) интегральным соотношением. Поэтому двумерное уравнение равно- равновесия становится интегродифференциальным, см. C.75), D.56). Примеры такой постановки задачи содержатся в [69]. При реше- решении задач эволюции равновесия удобно задаваться профилями дав- давления р(гр) и вращательного преобразования цСф). Остановимся подробнее на этом случае. Типичной задачей эволюции является равновесие с вморожен- вмороженными потоками, предложенное первоначально для токамаков Клар- Кларком и Сигмаром [1361 как средство нахождения решений для то- токамака с высоким р. Вмороженность потоков и, как следствие, не- неизменность профиля \i могут осуществляться при достаточно бы- быстром — за время, меньшее скинового, — нагреве плазмы. При этом не происходит образования сепаратрисы на границе плазмы, что и позволяет получать равновесие с Р значительно выше обычного предельного значения ^eq — \x2kb [136, 137, 29], получающегося при простой правой части уравнения равновесия, соответствующей плав- плавному профилю тока. Вмороженности магнитного поля при быстром нагреве соответствует автоматическое возбуждение в плазме доста- достаточно сильного тока /(ф). Его релаксация к своему стационарному значению приводит к новому стационарному состоянию, если р< <РеЧ, либо, если р>реч, к нарушению равновесия — возникает се- сепаратриса, проникающая внутрь плазмы [138]. Установление но- нового стационарного равновесия после подъема тока (или распад конфигурации при p>peq) происходит за время порядка скиново- скинового [138, 139]. Для описания эволюции плазмы уравнения равновесия A.1) достаточно дополнить уравнением Максвелла для электрического поля B.110) и проекцией обобщенного закона Ома на магнитное поле, имеющей в отсутствие неиндукционных механизмов поддержания тока (бут- стрэп-ток, токи увлечения) следующий простой вид: jB = (T||EB. B.111) Эти уравнения при заданном давлении р и проводимости а и позво- позволяют описать эволюцию равновесия без привлечения уравнений диффузии и теплопроводности, которые из-за обычной аномально- 200
сти переносов ненадежны. Такой подход, известный как метод за- заданного давления, предложенный в [140], использовался для опи- описания как токамаков [138], так и стеллараторов [139, 67] и вин- винтовых пинчей с обращенным шагом силовых линий [112, 141]. Временная эволюция плазмы описывается уравнением, которое получается усреднением B.111) по объему между двумя близкими магнитными поверхностями [140]: <jB> = — а и (а) (ВдА/dty. B.112) Здесь А — векторный потенциал магнитного поля; B = rotA; E = = —dA/dt—Vcpe; q>?— скалярный электрический потенциал, выпа- выпадающий при усреднении из B.112) в силу очевидного тождества <BV/> = 0 для любой периодической по в и ? функции. Используя для А представление B.19), которое соответствует заданию В че- через потоки и периодическую функцию т] в виде B.11), входящее в правую часть B.112) выражение BdA/dt можно записать в виде 2лВ— = В*Ф + ВЦ, + (ВЧ>' + fiy -f Вут)) — + dt dt Ф —+ i|)^--ti —V BЛ13) dt V dt ' dt ) V ' Здесь Ф=вдФ(а, t)/dt; Ф'=дФ(а, t)/da и т. д. Третий член в правой части B.113) равен нулю — коэффициент перед da/dt можно запи- записать как скалярное произведение Ви, где и = Ф/\7Э + ф'У? + Vi^, а В согласно B.11) представляется в виде В= [Уаи]/Bя). Послед- Последний член в B.113) при усреднении (...) исчезает; таким образом, в уравнении эволюции B.112) остаются производные по времени лишь от магнитных потоков if> и Ф. Выражая теперь с помощью B.11) В2 и В3 через потоки, a <jB> в правой части — через токи, получаем окончательно [140] ф'ф _ г|/ф = _L (jp > _ FJ'). B.114) Для описания эволюции профиля вращательного преобразова- преобразования ц(а, t) это уравнение можно переписать иначе 0 _ Ф ... , 9 Г Я B-П5) или, полагая а=Ф(Ф'=1, Ф=0), ф(Ф,0 =J_\_F^ J_ Г±\Л B dt дФ La|| дФ V F /J v Это уравнение должно быть дополнено выражением для ц: ц = _ г|//Ф' = — G&/a202 + У/аггФ', B.117) которое в общем случае получается из уравнений связи токов с потоками B.81). Наиболее просто коэффициенты a,-* (a) выража- 201
ются в системе координат с ВСЛ:сс?* = (gtkfVgye.v Для случая винтовой и аксиальной симметрии другие способы вычисления а % обсуждаются в гл. 3. Уравнение эволюции B.114) и уравнение баланса давлений Крускала — Кульсруда A.3) позволяют после исключения из них /' представить входящую в уравнения равновесия величину FF'(ty) в виде С С / U\ Р \ т/ I II * * /О t I O\ г г пр) = 1 (тф Ф tbi U.1IBI /R2\ /П2\ 1/' \ • т/ * \D / \О ) V где <В2>У'=РФ'—Уф'. Тем самым приходим к эволюционной фор- формулировке уравнений равновесия C.8), D.34), D.36). В стационарном случае Ф=0, ¦§ =—eo=const, где ео — внешняя эдс. 2.6. Системы трехмерных уравнений равновесия в различных представлениях В аналитических 'исследованиях равновесных конфигураций удобным оказывается одновременное использование контравариант- ного (потокового) и ковариантного (токового) представлений маг- магнитного поля В. В гл. 4 и 5 подробно описаны способы решения задач равновесия в рамках этого подхода. Процедура решения уравнений, возникающих при приравнивании выражений поля в контра- и. ковариантном представлениях, не обладает регулярно- регулярностью и поэтому затруднительна при численном моделировании рав- равновесия. Для получения регулярного алгоритма решения задачи равнове- равновесия естественно работать в каком-либо одном представлении. При этом получаем различные формулировки уравнений равновесия. Токовое и потоковое представления. При использовании потоко- потокового представления B.33) условия BVa = 0 и divB = 0 удовлетворя- удовлетворяются тождественно, a jVa = 0 приводит к линейному, при фиксиро- фиксированном а (г), уравнению B.34) для Э и ? типа уравнения Лапласа. Собственно уравнение равновесия B.10) легко преобразовать, учи- учитывая, что [[УЯУ*1 Vя! rot В = | уя I2 Vх • rot В = | ya |2 div [By*]. B.119) Полная система уравнений приобретет вид: 2я 2я B120) q div [ya [y6sya]] = div [уa [у?,УяП; div [By?s] = q div [By9,] -f- 2n-dp/dip, где <72==—ф'(а)/1|)'(с). Различный выбор координат 0S и ?s системы с ВСЛ обсуждался в разд. 2.2. Пользуясь токовым представлением, удобно выбрать 6 и ? так, 202
чтобы исключить из него функцию <р [см. B.23) и B.72)]. В этом случае уравнения равновесия A.1) сводятся к системе B.121) Byv = — 2np' — F'By? — Г где v = J vav° -j.F-gggL. | ya I* | ya I* В B.121), как и в B.120), одну из переменных, 0 или ?, можно считать заданной, например, положить t, = 2ns/L, где s — длина дуги оси, а L — ее полная длина. Два других варианта определения 0 и ?, удовлетворяющих A.121), описаны в разд. 2.2: это коорди- координаты Бузера и конатуральные. Система уравнений B.120) удобна для решения задач об эволю- эволюции равновесия, поскольку она выражена на языке почти сохраняю- сохраняющейся при достаточно быстрых изменениях внешних условий вели- величины q (ф). Система же B.121) адекватна для описания установившегося стационарного равновесия, когда ток / выражается по закону Ома B.114) через напряжение обхода (или через мощность инжекции в случае токов увлечения). Она обладает определенными преимуще- преимуществами перед другими системами уравнений в случае /=0, в част- частности при учете диверторных (уходящих из объема плазмы) маг- магнитных поверхностей. Тороидальное равновесие, допускающее наличие незамкнутых магнитных поверхностей. Уравнение равновесия для -ф в случае осевой или винтовой симметрии задачи позволяет находить реше- решение не только в виде системы винтовых торов, но и с сепаратриса- сепаратрисами и в виде многоосевых конфигураций, если только симметрия не нарушается. Введение же потоковых переменных (с, 0, ?) сразу ограничивает рассмотрение случаем односвязных торов. Нетрудно видеть, что это ограничение связано с теми слагаемыми в пред- представлениях вектора В B.11), B.23), которые требуют введения полоидального обхода (переменной 0) для определения тороидаль- тороидальных магнитного потока Ф и электрического тока /. Так как в стел- лараторах нельзя положить Ф=0, то представление B.11) непри- непригодно для описания разомкнутых магнитных поверхностей. Однако для стелларатора с /=0 в представлении B.23) сохраняется лишь тороидальная переменная ? и нет необходимости введения перемен- переменной 0. Соответствующая система уравнений имеет вид B.122) = 4я*р' - FF' яр F v« I2 lv«l2 203
Она не связана с выделением замкнутых контуров в полоидальном направлении и, следовательно, пригодна и для описания присепа- ратрисных областей. Здесь фигурируют только полоидальные поток и ток, не требую- требующие для своего определения представления о замкнутом полои- полоидальном контуре. При наличии продольного тока можно воспользоваться смешан- смешанным, или полоидальным, представлением [121], когда векторное поле выражается по аналогии со случаем симметрии с помощью опорных векторных полей bF и Ц: 2яВ = [у^Ър] + /Tv B.123) В случае винтовой симметрии bF = b^=(%tz + req>)/(%2 + r2) (см. гл. 3). В общем случае векторы bF, Ц, нельзя задать извне. Их не- необходимо согласовывать с магнитными поверхностями равновесной конфигурации. Для плотности тока j = rot В получаем из B.123) 2nj = rot [ V#f] + F rot Ьф + [vFb^]. B.124) Векторы В и j должны удовлетворять уравнениям B.9) и B.10): divB = 0; Вуг|5 = 0; jy^ = 0; \ Требуя независимого выполнения первых трех соотношений B.125) для полоидальной [Vifibj?] и тороидальной Fb$ составляющих век- вектора 2лВ, получаем уравнения для определения bF, Ц: j div | у a \2bF = 0; bpyty = 0; ya rotbp = 0. j Эту систему векторных уравнений можно свести к двум однотип- однотипным скалярным уравнениям. Положим с этой целью B.127) При этом автоматически удовлетворяются три из условий B.126): ЬфУа=0, divb^ = 0, birVa = 0. Учитывая, что [byVa] = [b^,Va]'+ + [VAVa], имеем Va rot bF — div [birVa] = Va rot Ц, т. е. третье и шестое условия в B.126) совпадают. Поэтому осталось необходи- необходимым удовлетворить условиям Varotb^=0 и div |Va|2bir=0, кото- которые приводят к следующим уравнениям для функции К и h: div [щ [yhya]] = [yhja] v I V« I2- Заметим, что выражение для bF можно было бы выбрать в виде Тогда правая часть уравнения для Н обратилась бы в нуль. Добав- Добавление в bF слагаемого Ь^, позволяет более непринужденно перехо- переходить к случаю винтовой симметрии. В этом случае ft = 0, bj?=b^. 204
Чтобы ip и F представляли магнитный поток и ток, векторы Ьц>, Ц должны быть определенным образом нормированы. Введем век- векторные элементы длины d\$, d\& в направлении векторов Ц, Ьр и ориентированный элемент площади полоидальной перегородки dSp соотношениями i ^ . B.129) Здесь ^, ?F — тороидальные циклические переменные, изменяющие- изменяющиеся на единицу при полном обходе тора [аналог ф/Bл) осесиммет- ричной системы]; dh — элемент длины в направлении изменения метки а. При таком определении d\F, dl$ имеем в согласии со смыс- смыслом ¦ф и F: J В dSP = — J <ty; § В Л, = F. B.130) После подстановки смешанного представления В B.123) в послед- последнее уравнение B.125) получим уравнение равновесия в виде \j. B.131) Подставляя сюда выражение B.124) для плотности тока, нахо- находим уравнение для полоидального потока ф, являющееся обобще- обобщением известных уравнений осевой и винтовой симметрии на трех- трехмерный случай: div bfv^ = — 4я2 -^- — F — b| + [bF rot M щ — JL [ + FbF rotlH -F-j^ rot [hFVq] + f 2-y^y rotb^. B.132) Вместе с уравнениями B.128) для функций К, h, входящих в вы- выражение для вспомогательных векторов Ьр, Ц,, уравнение B.132) составляет основу для решения трехмерных уравнений равновесия при заданных р(ф), -f(^). Граничными условиями к этой задаче могут быть задание знакопеременных токов во внешних винтовых («стеллараторных») обмотках. В [121, 134] уравнение B.132) получено с использованием на- натуральной и конатуральной метрик. Там показано, что bF = ес3/(елзес3); Ц = eN3/(emec3). B.133) Чтобы получить эти соотношения, достаточно исключить из потокового представления B.33) продольный поток Ф, выразив его через ip и F с помощью B.81). Описанный выше вывод с самого начала не предполагает наличия замкнутых магнитных поверхно- поверхностей. Вопрос о решении приведенных уравнений трехмерного равно- равновесия еще не ясен. Это касается как случая замкнутых магнит- магнитных поверхностей, так и случая многосвязных и разомкнутых по- 205
верхностей. Строго говоря, сомнительно вообще существование ма- математически точного решения. Для практических целей, однако, до- достаточно приближенных решений, соответствующих пренебреже- пренебрежению мелкоостровной структурой в конфигурации. На формальном языке это означает, что вместо функции р'(ф) в уравнении равно- равновесия следует использовать функцию Z(r), близкую к pf{ty), но не совпадающую в точности с ней. Представляется, что такая поста- постановка задачи позволит создать необходимые алгоритмы для реше- решения трехмерных уравнений равновесия. Глава 3. КОНФИГУРАЦИИ С ВИНТОВОЙ СИММЕТРИЕЙ 3.1. Уравнение равновесия В этой главе рассмотрены уравнения равновесия плазмы в си- системах с винтовой симметрией. Это промежуточный шаг от систем с аксиальной симметрией к замкнутым трехмерным конфигурациям стеллараторного типа. С одной стороны, приближение винтовой симметрии — идеализация; это простейшая модель тороидального стелларатора с большим аспектным отношением или стелларатора с пространственной осью. Основное преимущество такой модели — двумерность, а основной недостаток — незамкнутость. С другой стороны, предположение наличия у системы винтовой симметрии позволяет включить в рассмотрение и системы с аксиальной сим- симметрией (вырожденная винтовая), для которых описание в рамках такой модели является точным. Кроме точного описания аксиаль- аксиально-симметричных систем теория винтового равновесия дает воз- возможность исследовать равновесные состояния в таких системах, возникающих при развитии винтовых возмущений [143, 144]. Системы с винтовой симметрией рассматривались в ряде работ [9, 36, 82, 111, 145]. Основой для изучения равновесия таких си- систем служит скалярное двумерное уравнение [36] для функций полоидального потока if», содержащее в правой части внешний по- лоидальный ток F и давление р. В ряде задач вместо F(ilp) удобно задавать продольный ток /(ф) (например, всюду равный нулю) или профиль вращательного преобразования ^(¦ф). Чтобы переформулировать задачу равно- равновесия, необходимо воспользоваться уравнениями связи токов с потоками. Эти уравнения рассмот- рассмотрены в разд. 3.3. Другая цель настоящей гла- главы (кроме вывода этих уравнений) — получение геометрических соотношений, позволяющих при рассмотрении систем с винтовой симметрией вы- бирать наиболее удобный способ описания кон- фигурации. Рис. 27. Винтовая линия на цилиндре: г, — радиус цилиндра; |Х|—шаг винтовой линии во оси г; 1И у — угол наклона винтовой линии, tg V""X/ft 206
Система считается обладающей винтовой симметрией, если опи- описывающие ее физические величины /< зависят в цилиндрической системе координат г, ф, z, связанной с осью конфигурации, лишь от двух координат — г и z* = z— ф: ft=ft(r, z*). Линии z* = const при г—const, на которых эти функции постоянны, являются винтовыми линиями с шагом %=2п%, навитыми на цилиндр радиусом г (рис. 27). Знак * определяет направление вращения этой линии: при ft>0 спираль правовинтовая, при ft <0>— левовинтовая. Каса- Касательный вектор к этой линии можно представить в виде b = C(r, z*)[V/-vz*L (ЗЛ) По определению bV/i(r, z*)=0. Функция С(г, г*) в C.1) может быть выбрана произвольно. Для вычислений удобно задать C = -ftr/[L(ft2 + ra)], C.2) где L — полная длина системы вдоль оси z. При таком выборе С Ь = % K» + %tz , C.3) где еф и ez — единичные векторы вдоль Уф и Vz, rotb = 2% b; Ь2 = -! ^—. C.4) По существу Ъ(г, z*) —бесшировое бессиловое поле, так как, кро- кроме C.4), выполняется и divb = 0. Аксиальной симметрии в C.1) — C.4) соответствует "К =0 при L/% =2я. Вектор напряженности магнитного поля В, не имеющий состав- составляющей по Va (как и прежде, а — «метка» магнитной поверхно- поверхности), можно представить в виде разложения по ортогональным векторам b и [Vab] В = А (г, z*) [щЬ] + F (г, г*) Ь. C.5) Уравнения divB = 0 и VarotB = 0 накладывают определенные ог- ограничения на функции А и F. Из divB = 0 следует [Vab]V.<4 = 0. Вместе с условием bV7l = 0 (из-за выбора Ь) это означает, что А — поверхностная функция: А=А(а). Второе условие, VarotB = = div[BVa]=0, приводит к [Vab]VF=0. Таким образом, F== =F(а). Обозначая A (a) =t)/(a), получаем C.6) b. C.7) Проще всего проверить формулу C.7), вычисляя проекции вектора j=rotB на b и [Vab] и используя получаемое прямым вычислени- вычислением в координатах г, ф, г равенство [Vab]rot[Vab] =0. Уравнение 207
равновесия Vp=fjB] с учетом (З.б) и C.7) приводится к виду fo), C.8) где \N\=L/\%\—полное число периодов системы (исчезающее из уравнения при замене 1|з и F на q/N и F/iV — величины, рассчитан- рассчитанные на период). Это скалярное двумерное уравнение равновесия конфигураций с винтовой симметрией было впервые получено в слегка отличном от C.8) виде в [36]. Как частный случай, соответ- соответствующий % — 0 и N=1, в C.8) содержится уравнение Грэда — Шафранова div (уф/г2) = — FF' (ty/r2 — 4я2р' (i|>). C.9) Формально введенные в C.6) величины if и F можно связать с полоидальными потоками %(а) и током 1(а) через поверхность 2* = const, ограниченную с одной стороны линией ее пересечения с магнитной поверхностью а = const, а с другой — магнитной осью. Ориентированный элемент такой поверхности равен (см., например, [108, с. 232]) dSa = ± [d^dlj = ± [ехе2] йхЧх2 = ± njfdrdy. C.10) Здесь х*= (г, ф, 2*), yg = r; верхний знак соответствует случаю, когда магнитная ось находится на цилиндре большего, а нижний — меньшего радиуса, чем у цилиндра, на который навит второй край полоски; 2* = const. Магнитный поток и ток через эту спиральную поверхность определяются интегралами C.11) Используя C.6) и C.7), находим BV2* = A^L; Jvz. * _?. C.12 Lr dr Lr дг и, проводя интегрирование в C.11), получаем (с учетом равенства 2N%L \) I(a)=F0-F(a). C.13) Таким образом, if>(a) и F(a)—внешние дополнительные к %(а) и /(а) полоидальные поток и ток соответственно. Уравнение C.8) позволяет описывать любые равновесные кон- конфигурации, обладающие винтовой симметрией: с прямой или с вин- винтовой осью, односвязные (с одной магнитной осью) и многосвяз- многосвязные, как с вложенными, так и с разомкнутыми магнитными по- поверхностями. При описании одноосевых конфигураций с винтовой магнитной осью бывает удобно работать не в цилиндрической си- системе координат г, ф, 2, связанной с прямой осью (ось 2), а в ква- квазицилиндрической р, 0„, s, связанной с винтовой геометрической осью системы. В следующем разделе рассмотрены основные гео- 208
Метрические сббтношенйй, позволяющие перейти of Цилиндриче- Цилиндрической системы координат г, ф, z к квазицилиндрической р, 0п, s и обратно. 3.2. Основные геометрические соотношения Винтовая ось r=ro(s), навитая на цилиндр радиусом го с шагом |Я| (см. рис. 27), может быть задана в параметрическом виде уравнениями: r = r0; <p = Qt; z = Vt. C.14) Здесь можно положить V>0, тогда правовинтовой спирали будет соответствовать Q>0, а левовинтовой — Q<0. Элемент длины кри- кривой C.14) дается выражением ds= К WqP + dz* = |/ 1 -f- -—¦ dz = К Го + *2 -ПП-^Р. I3-15) где ft = У/Q. Определив величину /?д соотношением Rh = V rl+%2 = VBn | # | ), C.16) где Lh — полная длина винтовой оси, N—L/Х, \N\ —число ее пе- периодов, перепишем уравнения C.14) с учетом C.15) в виде г = г0, ф = фо(*)=т?- « z = zo(s)=-^-s. C.17) Здесь параметром является длина рассматриваемой винтовой ли- линии, отсчитываемая от точки ее пересечения с плоскостью z=0 в направлении возрастания z. Радиус-вектор точки, лежащей на этой линии, задается уравнением (так называемая «естественная параметризация») r0 (s) =>/ + гое2 = roe°r + (\b\/Rh) sez. C.18) Угол, на который повернут вектор ег° относительно направления Ф = 0, равен (VI ^1) S/Rh- Ориентация векторов ег и еф зависит от положения рассматриваемой точки пространства, поэтому, чтобы выделить векторы еГ) еф, соответствующие точке s на винтовой ли- линии ro(s) C.18), они снабжены индексом Q. Дифференцируя C.18) по 5, получаем, согласно общим прави- правилам дифференциальной геометрии, уравнение единичного вектора t, касательного к кривой C.14): i2 ^ C.19) : Щ^ЛЛИ-^ЛЗ-^А-^-. C.20) ds dip ds ds Rh \%\ 14 Зак. 1441 209 Дифференцирование е,.0 осуществляется следующим образом:
Аналогично пблучаеМ A$/ds = -(eX)x/|Xl, C.21) что позволяет определить dr/ds = —t°rr0/Rl C.22) Пространственные кривые r(s) с точностью до положения в про- пространстве определяются формулами Серре — Френе: dt/ds = kn; dn/ds = — kx + x$; d$/ds = —im, C.23) где t=dr/ds — единичный вектор касательной к кривой r(s); n — главная нормаль; {3—бинормаль; k и к — кривизна и кручение со- соответственно. Для винтовой линии C.14) согласно C.22) и C.19) ° JL ^ Ш$ C.24) е$. | [ «Л С учетом C.21) находим ?2 C.25) Сравнивая C.22) и C.25) с первой и третьей формулами C.23) (второе уравнение C.23) удовлетворяется тождественно в силу Р = |Чп]), определяем связь кривизны k и кручения х винтовой оси с параметрами го и ft: k = ro/R2h; x = *//#. C.26) Переходя к квазицилиндрическим координатам, рассмотрим вна- вначале общий случай, когда осью системы координат является про- произвольная пространственная кривая ro(s). Получив основные гео- геометрические связи, положим в них затем k=const и к=const в соответствии с C.26) и тем самым перейдем к системам с осью в виде винтовой линии. Квазицилиндрические координаты р, 0„, s вводятся следующим образом. На кривой г0 фиксируется точка s — Q и задается направ- направление возрастания s. На векторы нормали п и бинормали $, про- проведенные из точки s, натягивается плоскость, в этой плоскости вво- вводятся обычные цилиндрические координаты р, Qn, угол 8П отсчиты- вается от нормали п (рис. 28). В этих координатах выражение для радиус-вектора произвольной точки пространства записывается в виде r = ro(s) + pep. C.27) По определению C.28) Используя формулы Серре — Френе C.23), получаем выражение для квадрата элемента длины в координатах р, Э„, s dxz = dp2 + P2dQ2n + 2xp2dGnds -f {h2s + x2p2) ds\ C.29) 210
где hs=l—kpcosQn; k(s) и x(s)—кривизна и кручение пространственной оси. Согласно общим . правилам дифференциальной геомет- геометрии, см., например [9, 108], dr2=gihdxtdxk, где ?л = е4ейA, k= = l, 2, 3) —метрический тензор криволинейной системы координат х1, х2, я3). Выражение C.29) позволяет выписать метри- метрический тензор gib. координат х*'= (р, Вп, s) и об- обратный ему тензор g<k 'ViVk (gad = 0 хр2 (gik) = X «.2 0 — Рис. 28. Квазицилин- Квазицилиндрическая система ко- координат, связанная с пространственной осью C.30) Выразим с помощью этих соотношений единичный вектор ееп— = V0n/|Ven| через орты т, п, р. Используя определения g2i — = V8nVA:i) \Vxk\=yghh, находим еелер=0, e07iee=— яр/ ^h2s+к2р2, а условие е е„ = 1 позволяет вычислить ееп [евер] = ha J yh2s-{- x2pa. Таким образом, ih. (В cos 9„ — n sin 9 J — хот). C.31) Здесь мы воспользовались очевидным соотношением es = х, C.32) которое с учетом связи dro=dsVs/\ Vs| получается из определения В дальнейшем нам понадобится вектор еш = У©/| Va|, где со = 0„ + a (s); а (s) = J x (s') ds'. C.33) о Вводя вместо 6Л новый угол со, получаем ортогональные координа- координаты Мерсье р, со, s [9], в которых dt2 = dp2 + рШ2 + h2sds2. C.34) Нетрудно убедиться с помощью C.31) и C.32), что вектор еи = рУ(?22евЛ+хр Vg38 ^(ошибочно обозначаемый на с. 26, 27 ра- 14* 211
Рис. 29. Проекция сече- сечения s=const на плос- плоскость z=const боты [9] как ее) определяется уравнением еа =— n sin 9„ + р cos 0„ = дер/двп. C.35) Переходя теперь к рассмотрению систем с винтовой геометрической осью с постоян- постоянными кривизной и кручением C.26), опреде- определим связь координат р, 0„, s с г, ф, г. С уче- учетом C.18), C.28) выражение для радиус- вектора C.27) произвольной точки Р про- пространства может быть записано так где /г = /-0 — pcos9n; /<p = г - г0 (s) + рер == /ге? — 4 , C.36) Rh rB% C.37) На рис. 29 показана проекция этого вектора на плоскость z=const. На этой плоскости полярные координаты точки Р'-проекции Р равны г = V 12Г + 4 , Ф = Ф0 (s) - arc tg (/ф//г). Дополняя эти формулы очевидным соотношением г = 1Ж, C.38) C.39) получаем полный набор уравнений связи цилиндрических коорди- координат г, ф, z произвольной точки Р пространства с квазицилиндриче- квазицилиндрическими координатами р, 0«, s. Первое уравнение C.38) позволяет выразить входящую в урав- уравнение равновесия C.8) комбинацию г2 + ^2 в переменных р, 0Л: Г2 -f X2 = i?A (/is -f x2p2jf. C.40) С учетом C.40) уравнение равновесия конфигураций с винтовой симметрией C.8) приводится к виду [9, 25] div FF' C.41) Напомним, что здесь Lw=2n\N\Rh — полная длина винтовой гео- геометрической оси C.14). При переходе к квазицилиндрическим ко- координатам р, 9n, s следует преобразовать также аргументы гиг* функции ф. Согласно C.38), C.37) и C.17) г=г(р, 0„), z* = tz— —Xq>0+*arctg(/,p//,)=z*(p, в«), так что в C.14) -ф = -ф(р, 0„). Та- Таким образом, условие винтовой симметрии формулируется в квази- квазицилиндрических координатах, связанных с винтовой осью, как 212
независимость физических величин от продольной координа- координаты s. Для того чтобы завершить переход к координатам р, 9n, s, ос- остается выразить через их базисные векторы входящий в C.6) и C.7) вектор b C.3). Связь ер, ее , es с ег°, еф°( ег выше уже полу- получена—формулы C.28), C.31), C.32) и C.19), C.24). Недостаю- Недостающую связь ег, еф с еД еФ° получаем, используя рис. 29: е? = (ег/г -Ь е«р/ф)/г; | Связь г с р, 0л дается первой формулой C.38). Теперь можно за- записать уравнения связи ортов естественного трехгранника t, n, ? с ортами цилиндрической системы координат: , — % в 4- % г° - I е / 4- р / V п = — (ет1г + е^/ф)/г; [ C.43) С помощью этих соотношений получаем окончательно C.44) где А — ортогональная матрица 3x3: A (p_rocosen), у^- ^^о psin6n X r0 r0 — p cos 9n C.45) Отметим, что deti4 = l; при го=0 Л становится единичной матри- матрицей. Теперь нетрудно показать, что == -^\- 4" («ф + ***) С3-46) 213
и соответственно вектор Ь C.3) преобразуется к виду ift Aj + xV где Lft=2n|A^|^ft. Подставив C.47) в инвариантные выражения C.6), C.7), получим представления поля В и плотности тока j в квазицилиндрических координатах Мерсье р, со, s, или, с учетом C.33) — в координатах р, 6„, s. Выше получены представления полей и токов в двух равноцен- равноценных системах координат — цилиндрической г, ф, z и квазицилин- квазицилиндрической р, 6«, s. Выведенные уравнения связи координат г, ф, z и р, 0л, s и соответствующих базисных векторов позволяют без труда устанавливать соответствие выражений, полученных в этих системах координат. Цилиндрические координаты г, ф, z удобны для расчета прямых систем (т. е. в пренебрежении кривизной системы) — стеллараторов и винтовых пинчей [146]. Для описания систем с осью в виде вин- винтовой линии более удобна квазицилиндрическая система коорди- координат р, 0„, s. 3.3. Уравнения связи токов с потоками В гл. 2 получены уравнения связи токов с потоками для конфи- конфигураций произвольной геометрии с вложенными магнитными по- поверхностями. При выводе этих уравнений использовались два пред- представления поля В — токовое и потоковое, а коэффициенты связи <xim выражались через базисные векторы двух специальных пото- потоковых систем координат или через метрические коэффициенты gimlV g произвольной потоковой системы координат. Теперь приве- приведем независимый вывод уравнений связи токов с потоками для конфигураций с винтовой симметрией и получим, используя лишь смешанное (через ток F и поток г|э) представление В C.6), выра- выражения для коэффициентов am, отличающиеся от приведенных в гл. 2. Подчеркивая важность винтовой симметрии, будем обозна- обозначать эти коэффициенты a im. Вычисляя продольные потоки Ф и ток / ф (а) = j- j" Byzdr, J (a) = j- Г \yzdx, C.48) V V где интегрирование производится по объему V(a), заключенному внутри магнитной поверхности, получаем с учетом C.6) и C.7): Ф' (а) = ^М- {*' < [Vflb] Vz> + j- 214
угловые скобки означают усреднение по слою между близкими маг- магнитными поверхностями dV Формула C.49) получается непосредственным интегрированием скалярного произведения BVz с В в виде C.6). Формула C.50) получается следующим образом. Умножая уравнение j = rotB на Vz, получаем jAz=div[BVz]. Таким образом, dJ = —(div[Byz]}. C.51) L Для любого вектора q, компоненты которого не являются много- многозначными функциями, C.52) поэтому C.51) после интегрирования по V с условием J(V=O)=O дает 1 d\ Подставляя сюда В в виде C.6), получаем C.50). Чтобы вычис- вычислить <[Vab]Vz>, воспользуемся формулой C.52), где положим q=[bVz]. Интегрируя по V, получаем - -~ J" уг rot b dr C.54) V и окончательно с учетом C.4) = — — f . C.55) j Теперь формулы C.49) и C.50) можно записать в виде / = — н тг\ dV a33=L l^ C.56) -1. Л Л 2*8 Г dx [ C.57) ь Выражения C.57) для aim впервые были приведены (без вы- вывода) в [147]. При выводе C.57) мы следовали [129], где рас- рассмотрен более общий случай анизотропного давления. В C.57) со- 215
держатся как частный случай коэффициенты связи с потоками для токамака [16, 140, 148] W / ' Аа а22(а) __/_-- C.56) токов , a23 e 0, C.58) которые получаются в пределе ft-И) при L2/%2=4n2. Все приведенные выше соотношения для систем с винтовой симметрией пригодны для конфигураций с прямой и с винтовой осью. При переходе к квазицилиндрическим координатам, связан- связанным с винтовой осью, формулы C.57) преобразуются к виду ft ,2 \ av «33 = Lh —— «2Л3 = h «22 = 2х 33 -1 «33 C.59) Преобразование осуществляется с помощью C.40). В заключение приведем формулы для геометрических коэффи- коэффициентов aim C.57) системы с прямой осью, обладающей винтовой симметрией, магнитные поверхности которой — несмещенные эл- эллипсы, описываемые уравнением а2 = г2 A + е cos 2а); а = г*/К = z/% — (р. C.60) Усреднение <...> в C.57) сводится в этом случае к интегрированию по углу а: 2Я У 1 — еа Г" f (a, a) da 2л; J 1 о . + е cos 2a С помощью этой формулы получаем л 2яо «22 = «23 = "Г", C.61) Эти выражения будут использованы при описании эффекта транс- трансляционного преобразования в гл. 5. 3.4. Другие формулировки уравнения равновесия Уравнение равновесия C.41) может быть записано в потоковых координатах как уравнение для функции р(а, 8), которая вместе с Qn = u(a, 6) определяет связь квазицилиндрических координат р, 216
0п с потоковыми а, 0. При работе с потоковыми координатами х'= — (а, 6, ?)_приходится использовать метрические коэффициенты aik = StkfVs и ~Vg .Их общие представления через функции р(а, 0) и и(а, 0) получаются при переходе в C.29) от р, и, s к а, 0, ?: о, = Р'Р+рУ" . = р2 + р2 . а13 = Kpu'/(hsD); а23 = %pul{hsD). Здесь Rh=Lh/Bя), так что t,=s/Rh; f' = df/da; f = df/dQ. Отметим, что сиг и а22, как и аЬи а 22 D.29), полученные усреднением по ? для обычного стелларатора, имеют «токамачный» вид. Случаю ак- аксиальной симметрии (токамак) соответствует и = 0. Выражения C.62) позволяют выразить входящую в уравнение равновесия C.41) комбинацию fts2l+x2p2 в потоковых переменных: hs -j- и2р2 = «зз ~Vg iRh. C.63) Этого достаточно для преобразования правой части уравнения рав- равновесия. Левую часть преобразуем, используя общие свойства кри- криволинейных координат (см., например, [108, с. 229]): div А*+х»р» Vga33 VI дх1 L «зз yg да Г V «33 )\ * yg dQ \ n «33 / ^ ; В теории токамаков и обычных стеллараторов часто использу- используется приближение большого аспектного отношения. Для стеллара- стеллараторов с винтовой осью аналогичным приближением является &р<С1 и ир<С1- Малость величины хр по сравнению с hs позволяет прене- пренебречь в уравнении равновесия всеми членами, квадратичными по ир. При этом исчезает не только явно входящая в hs2+x2p2 вели- величина и2р2, но и члены, пропорциональные а|з и аиагз, в правой F C62) р рр р части C.64), имеющие, как нетрудно убедиться с помощью C.62), тот же порядок малости. Уравнение равновесия в этом случае при- принимает вид i^EflL»). C.65) От уравнения, описывающего аксиально-симметричные системы (при любых kp), оно отличается лишь первым членом в правой ча- 217
сти. Если, кроме хр<1, положить k = 0 (прямая ось), то C.65) сво- сводится к д , г \ г д PD /о в да 39 Rh где /0 (т|)) = 4n2Rhp' (ф) -f- FF' (ф). C.67) При дополнительных условиях р<1 и BZ^>BV в C.66) можно заме- заменить F на его вакуумное значение Fo. Получается упрощенное урав- уравнение А I • • / |Л /О CQ\ Дф = Jg — Jo (ipj, (О.DO) где /b = 2xF0, которое используется при описании винтовых равнове- равновесий в токамаке и, в частности, при исследовании устойчивости ти- ринг-мод [108, 143—145]. Рассмотрим другой путь преобразования уравнения равновесия. Попытаемся (как это сделано в разд. 4.4 для обычного стеллара- тора) явно выделить в его правой части продольный ток. Функцию F'(if>) исключаем, выражая ее через р и / из уравнения Круска- ла — Кульсруда A.3). В получившемся уравнении F_ J'(a 2 ф' C.69) следует теперь учесть неявную зависимость F и Ф' от тока / и дав- давления р. В принципе это можно сделать точно, поскольку в нашем распоряжении имеются два уравнения для этих величин: f\ C.71) 22 L « J первое из которых является следствием уравнения Крускала — Кульсруда A.3), в котором i|/ выражена с помощью C.56) через J и Ф', а второе получается непосредственно из C.56). Однако необходимость решать дифференциальное уравнение, чтобы опре- определить из этой системы входящие в C.69) величины F/Ф' и F, де- делает эту задачу сложной. Только в случае аксиальной симметрии (агз=0, %=0, L2/?t2=:4n2), когда в C.69) нужно исключить лишь F/Ф', это отношение определяется явно из C.71). Уравнение рав- равновесия при этом записывается в виде D.57) с фо = 0. Для обычных стеллараторов (см. гл. 4), пользуясь малостью параметров D.3), двумерное уравнение равновесия удается приве- привести к виду D.56) с р и / в правой части с помощью одних лишь алгебраических преобразований. Основное отличие от общего слу- 218
чая винтовой симметрии состоит в том, что выражение div (Vi|b/ /(R2h2)), соответствующее первому члену в правой части C.69), вычисляется в гл. 4 в приближении F=F0=const (р<1) и, кроме того, для величины F/Ф' используется приближенное равенство D.48), не содержащее члена, подобного первому слагаемому в C.71). В частном случае малых р и сильного продольного поля можно и для стеллараторов с винтовой симметрией сделать подоб- подобные упрощения, полагая в C.69) F=F0 и пренебрегая в C.71) чле- членом /агз/ай- Уравнение равновесия C.69) при этом приводится к виду X где t|bft — его точное вакуумное решение: i|? = F0r2/B*). C.73) В стеллараторах с винтовой симметрией теоретически достижи- достижимы предельные по равновесию и устойчивости р — порядка 30 % [81, 82, 103]. При столь большом давлении плазмы необходимо учитывать диамагнетизм плазмы, т. е. изменение с ростом р зави- зависимости F(i|>). He считая р малым, рассмотрим лишь соответствую- соответствующий стационарному удержанию плазмы [22] случай /(а)=0, когда C.71) сразу дает необходимое выражение F/Ф', а C.70) вместе с C.71) сводится к уравнению для F: FF' (с) = -p'V [ah33 - (с&J/с&]. C.74) Уравнение равновесия C.69) для бестоковой плазмы принимает вид div где согласно C.74) F должно быть определено из уравнения P=Fl + 2 ]p'V [c& — НзУ/42] da. C.76) а Здесь Fo—суммарный полоидальный ток в катушках тороидаль- тороидального поля; b — значение потоковой координаты а на границе плаз- плазмы. При задании р(т|з) и J(ty) уравнение равновесия становится интегродифференциальным, более сложным, чем при классической постановке задачи равновесия — задании полностью определяющих правую часть уравнения равновесия функций р(г|)) и F(i|>). 219
Глава 4. ТЕОРИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ В ОБЫЧНЫХ СТЕЛЛАРАТОРАХ 4.1. Стеллараторное приближение В исследованиях стеллараторов особую роль играет основан- основанный на использовании «стеллараторного разложения» метод усред- усреднения, сводящий исходные трехмерные уравнения равновесия A.1) VP = [JBJ, div В = 0, rot В = j к двумерным. Предложенный в 1958 г. в [36] и развитый затем Грином и Джонсоном [37—41], он долгое время не получал широ- широкого распространения и был по достоинству оценен лишь в 80-е годы, когда стеллараторные исследования заметно оживились. Бла- Благодаря тому, что получающиеся в результате усреднения двумер- двумерные МГД-уравнения имеют «квазитокамачный» вид, для их реше- решения оказались применимыми различные — как численные, так и аналитические — методы решения аналогичных токамачных уравне- уравнений, что позволило в короткий срок решить ряд важных для стел- лараторной программы задач (см., например, [20, 142]). Другой привлекательной стороной усредненных двумерных уравнений яв- является их высокая точность — совпадение результатов двумерных и требующих гораздо больше машинной памяти и времени трех- трехмерных численных расчетов [76] показало, что она даже более высока, чем это можно было ожидать [50]. Учитывая важность стеллараторного приближения, подробно опишем процедуру све- сведения трехмерных уравнений A.1) к двумерным. Несмотря на то что уже в [37] было получено скалярное дву- двумерное уравнение равновесия плазмы в стеллараторах, аналогич- аналогичное уравнению Грэда — Шафранова для аксиально-симметричных систем и позволяющее описать как существующие, так и проекти- проектируемые стеллараторы с плоской круговой осью, в начале 80-х го- годов проблема описания стеллараторов вновь оказалась в центре внимания. Результатом развития новых подходов было не только «переоткрытие» уравнения Грина—Джонсона [37], но и вывод обобщающих его двумерных уравнений, описывающих динамику плазмы [42, 68], равновесие плазмы в стеллараторе с произволь- произвольным аспектным отношением [71], а также приведение этих урав- уравнений к виду, допускающему естественное обобщение уже разви- развитых токамачных методов для их решения. Обсудим вначале выбор малых параметров. Основой стеллара- стеллараторного приближения [37, 41], используемого в ряде подходов [41, 42, 65—69], является разложение по четырем малым параметрам — обратному аспектному отношению A-^ssb/R, отношению амплиту- амплитуды вакуумного винтового поля Bft к напряженности продольного поля So, отношению поля продольного тока Bj к Вп, относительно- относительному диамагнитному изменению продольного поля 5Р/5О. Порядок 220
э№х малых величин определяется соотношениями 8ft2s | ВЛ ml ~Вр/В0~Bj/B0~ &/Д « I. D.1) Это позволяет описать стеллараторы с вращательным преобразо- преобразованием вплоть до нескольких единиц. Продольный ток в них может достигать уровня, при котором создаваемое им вращательное пре- преобразование оказывается одного порядка с чисто стеллараторным. Давление плазмы может быть достаточно большим ($~b/R). Кроме малости параметров D.1) обычно требуют выполнения по крайней мере еще одного условия. Если стелларатор считается, как в [37, 68, 69], периодическим по продольной координате, т. е. обладающим осью симметрии N-ro порядка, то предполагается ли- либо ц/i/Wcl [37], где jift — вакуумное вращательное преобразование, либо N~R/b^>l [68, 69]. В [42], где потенциал вакуумного винто- винтового поля ф/, задавался в виде Фа = S lAi (г> Ф) sin N& + Bj (r, q>) cos М&], т. е. в принципе допускалось наличие гармоник с некратными пе- периодами (Nj — целые числа, Nj+i>Nj), кроме D.1) требовалось выполнение еще трех условий: Л^>1, |дщ/д^| > |дщ/ду | и р у |щ/| |щ/у | R ——In x<g.Nj, | Nj—Nk | при j?=k, где x — произвольная усреднен- усреднение ная по ? физическая величина. В [70, 71] было показано, что двумеризация уравнений A.1) для стелларатора может быть проведена и без требования b/R<g\, т. е. без ограничений на аспектное отношение. Снимая ограничение на b/R, авторы [70] накладывали более сильное, чем в обычном стеллараторном приближении, ограничение р~О(ел4), и, кроме то- того, ограничение на вращательное преобразование: ц,~О(ел2). В [71] дополнительными ограничениями были: \к1/т<^\, где / — заход- ность стелларатора, т — число периодов винтового доля; йя/Д21 / Вычисления начнем, считая малыми два параметра, ел и р. Чтобы избежать неоправданных усложнений, в ходе вычислений введем еще два малых параметра, \ilfm и (ла|3/а|3- Здесь по-преж- по-прежнему \х — вращательное преобразование; I — заходность; т — число периодов винтового поля; ajfc= (gWV^X» gib. — элементы метриче- метрического тензора потоковой системы координат; g== \ det gtk \. Ниже показано, что не аспектное отношение А само по себе, а величина Eh2A является важной характеристикой стелларатора. Получив ска- скалярное двумерное уравнение равновесия без ограничения на эту величину, обсудим подробно два случая: гк2А^1 (при этом Л>1, так как по предположению ед2<С1), когда возникающие при усред- усреднении члены ~ел2 могут конкурировать с тороидальными поправ- поправками, и противоположный случай, ел2Л<с1. Вид получающихся уравнений, их содержание и область приме- применимости, естественно, зависят от соотношений между величинами, 221
по которым производится разложение. Поскольку наш выбор ма- малых параметров ед= | ВЛ \/В0, р, ц///п, ^а1з/«1з D.2) отличается от традиционного D.1), остановимся на этом вопросе подробнее в конце этой главы. 4.2. Потоковые координаты, основные уравнения, особенности их решения методом разложения Одним из удобных методов, широко применяемых в теории рав- равновесия и устойчивости плазмы, является метод обращения пере- переменных. Использование потоковых координат позволяет сущест- существенно упростить аналитические выкладки (в силу BVa=jVa=0), а в численных расчетах — легко обеспечить необходимую точность определения формы и взаимного расположения магнитных поверх- поверхностей. При упрощении уравнений равновесия A.1) с самого нача- начала будем пользоваться потоковой системой координат. Определен- Определенная сложность использования этих координат связана с тем, что они не ортогональны. Необходимые для теории равновесия и устой- устойчивости сведения о них содержатся в [108] и в гл. 2. В произвольной потоковой системе координат (а, 0, ?) уравне- уравнения, описывающие равновесную конфигурацию, можно, используя одновременно токовое и потоковое представления поля B.23), B.11), записать в виде [24] j D.3) D.4) где gtk — элементы метрического тензора системы координат (с, 8, ?)', g= |detg,-b|. Входящие в D.4) компоненты магнитного поля В' и В{ согласно B.11), B.23) выражаются через тороидальные и внешние полоидальные потоки Ф и ф и токи / и F и неизвестные периодические по 9 и? функции ф, ц, v (см. также [108, 138]) D.5) 2л I да '' ' dQ ' ~~ Токовое представление поля B.23) позволяет получить для компо- компонент плотности тока j = rotB выражения, аналогичные В* D.5): dv „ , дv^ D 6) р. ' + Vg dZ дв Уравнения D.3) и D.4) служат для определения метрического тен- тензора (gik), вид которого зависит как от формы и взаимного рас- расположения магнитных поверхностей, так и от выбора угловых пе- переменных 0 и ?. Переход от «лабораторной» квазицилиндрической системы ко- 222
ординат (г, a, t), связанной с кругбвой геометрической осью ларатора, к потоковой (**) = (а, 0, J;) может быть в самом общем виде записан с помощью четырех функций: г=р(а, 6) + б(а, 0Д); | Функции р и и описывают форму магнитных поверхностей «в сред- среднем», а осциллирующие по ? функции б и Я позволяют учесть трех- трехмерность конфигурации. Если вакуумные магнитные поверхности «в среднем» круглые, то р и и можно рассматривать как вакуум- вакуумные потоковые координаты [65]. В качестве хг будем использовать полярный угол ? цилиндри- цилиндрической системы координат, связанной с главной осью тора. Такой выбор % является традиционным. Угол 0 обычно выбирают из сооб- соображений удобства вычислений. В отличие от работ [65, 67], по аналогии с которыми в настоящей работе делается ряд вычисле- вычислений, будем считать угол 0 произвольным. При этом, однако, за счет Я в D.7) можно сделать функцию ц не зависящей от ?. Всюду в дальнейшем будем считать т) = г)(а, 0). Более подробное обсуж- обсуждение выбора угловых координат 0, ? и детальное описание свойств потоковых координат содержатся в гл. 2. Метрические коэффициенты g^, определяющие квадрат элемен- элемента длины d\2 = gikdxidxk в координатах (а, 0, ?), выражаются через функции р, и, б и А, после подстановки гивв виде D.7) в формулу d\2 = dr* + rtfco2 + R*h\dg D.8) или по правилу [108] 8ih-!J-dJr+r -Mls+Rhs-Mls> D-9) где hs=\—urcosoo; k — кривизна круговой геометрической оси стел- ларатора; 2я7? — ее полная длина. Удобно поступить следующим образом: сначала, рассматривая в D.7) р и и как независимые ко- координаты, определить тензор (g% ) системы координат (р, и, ?), а затем уже, воспользовавшись двумерностью переходу (р, ы)-> ~*~(а> б). — необходимый тензор (gik)- Его элементы и ~\/g= |det^| связаны с g % и У?°= Idetg?*. | простыми соотношениями [71]: git (P'« + P«') + gliu'u; gi2 = gl IP2 + 2g°l2pU + g22«2; j gl3 = g°l39' + g°U' 223 =g°33; Vg =
Здесь штрихом обозначена производная по а, точкой — производ- производная по 6; D=p'u—pu' — якобиан преобразования (р, и)-+(а, в), который всегда выбором знака 0 можно сделать неотрицательным. Элементы метрического тензора (g9k ), вычисленного по аналогии с [65], но без разложения по kr, приведены в приложении 1. Как и в [65, 67], будем считать малыми по сравнению с единицей вели- величины |б|/р; |б«'|/р; \Х\; |Jw'|. Это означает, что рассматривается только область, далекая от вакуумной сепаратрисы. Но поскольку никаких предположений о виде функции р(а, 6) не делается, при наличии плазмы форма магнитных поверхностей и положение се- сепаратрисы могут быть в этой области любыми. Трехмерные уравнения D.3) и D.4) будем решать методом раз- разложения, считая малыми |Вь|,/В0 и р = 2р/В02- Основные этапы вычислений, в ходе которых будут введены ограничения и на дру- другие величины, легко показать на примере решения методом возму- возмущений [9] уравнения BVi|> = 0, D.11) определяющего магнитные поверхности (см. также [37, 41]). Принятое предположение о малости величины е& позволяет представить В и г)> в D.11) в виде разложения В = В°+ВЛ, гр = =\f>°+ij>, где B/j и ф — малые по сравнению с В0 и -ф°(г, и) осцил- осциллирующие по ? величины, и свести D.11) к двум уравнениям — двумерному для t|)° и трехмерному для if: D.12) Последнее уравнение, в котором B°Vi|) можно заменить на B°VE;(?i|)/(??; (подробнее об этом упрощении — см. ниже), служит для нахождения функции ф: () D.13) При р<1 можно считать В^° и ВЛ заданными, Bt°=B0/hs, ВЛ = = V<pfc, таким образом в линейном по гк приближении функция if выражается через одну неизвестную функцию — ф0: ф = Г (г, со) - hi (R/Bo) уфЛуФ° ¦ D-14) Здесь и далее & / = /_</>t; </>t:=JLJ/d?. D.15) о Функция \)з D.14), зависящая от г, и и ?, может быть представ- представлена как функция двух переменных: r* = r*(r, ш, t.) и ю* = = со*(г, ©, ?). Действительно, правую часть D.14) можно рассмат- рассматривать как обычное разложение по формуле Тейлора 224
и записать где D.14) г в Ф< виде [г, ©, А2* 8 в ; (''-f би •бл, @ + вю), R 1 5„ г' уфл D.16) D.17) В переменных r*=r+6r, ео* = со'+бсо выражение D.16)—двумер- D.16)—двумерное. Первый этап перехода к потоковым координатам, которые здесь используются при упрощении уравнений равновесия, как раз и со- состоит в нахождении такого преобразования (функций б и Я), сво- сводящего задачу к двумерной. __В потоковых координатах, которые мы используем, величины l/gB* не зависят от ?• Поэтому при выделении из уравнения D.3) не зависящей от ? части необходимо определить лишь </2>Е и </3>j. Мы будем вычислять величины(Vg j*\ и Qfg /"/^[усреднять D.3) по X, после умножения его на ~]/g], которые в силу j = rotB связаны с <#<>?• Часть вычислений при получении явных выражений <?<>? из D.4) эквивалентна стандартной процедуре [37, 41] нахождения В0 из первого уравнения D.12), сводящегося с учетом D.13) к ~Ь [V4wa) Vf = 0, D,18) подробнее — см. приложение 2. На этом этапе вычислений возника- возникает функция г|з0 (П2.12). Это одна из основных характеристик стел- ларатора. Она описывает усредненные вакуумные магнитные по- поверхности: ifvac =|фо. В общем случае функция i|)° должна опреде- определяться из уравнения равновесия Vp=[jB] (см. двумерные урав- уравнения, разд. 4.4). Для вакуума же потоковую функцию ij)vac мож- можно определить прямо из D.18). Среднее вакуумное поле Bvac имеет только продольную составляющую, поэтому из D.18) для ifVac п0" лучается уравнение (УФоУЙ V^vac = 0, из которого следует i|>vac=if>vac (i|b) и, в частности, можно поло- положить фтас =1фо. Отметим два обстоятельства, на которые обычно не обращают внимания при решении уравнения D.11). Во-первых, при замене D.1 \) двумя уравнениями D.12) во втором уравнении, был отбро- отброшен член BftViJ), который по предположению мал по сравнению с B/iV\|j0. На магнитной оси это условие не выполняется: ВдУг|>= =—B>,Vi{H, так как Vi|) = V(if°+Tp) =0. Следовательно, магнитная ось определяется неточно. Естественно, ее точное положение может быть определено лишь при полном учете всех полей. Во-вторых, решая, как обычно, второе уравнение D.12), мы в его левой части 15 Зак. 1441 225
сохранили единственный член B^d^/dt,- (B0/ha2R)d^/dt,, после че- чего получили D.13) и D.14). Ясно, что при этом в скалярном про- произведении В°Уг|з должны быть малыми по сравнению с ним два других члена: Ва°д^/гд(л и Вг°д^/дг. Однако в том случае, когда магнитная ось а=0 не совпадает с геометрической г=0, два условия Bl дЦ ?03 Ж\Вт~ьт нарушаются при г=О и, следовательно, наша процедура определе- определения if становится при г~+-0 некорректной. Если ij>~cos(/(»—ml,), то у jn_ Bor ^ m r 1 1 h2sRB^ I r0 |i(r0) где Го — средний радиус сечения 1,=const магнитной поверхности, проходящей через геометрическую ось г=0; ц(г0)—вращательное преобразование на этой поверхности. Очевидно, условие Х~^1 на- нарушается в области г/г0 ^ (г (г0) 1/пг. D.19) В стеллараторах эта величина обычно бывает малой (примерно 0,1—0,25), поэтому неточность определения if в этой области несу- несущественна. 4.3. Сведение трехмерных уравнений равновесия к двумерным Цель рассмотрения состоит в решении трехмерного уравнения равновесия «VIР' - *' (Г + ¦?-)- (Г + f) (О' + -Й-). D.20, которое получается из уравнения D.3) в результате умножения его на 4я2Уйг и подстановки компонент /'", В1 в виде D.5), D.6) и си- системы трех вспомогательных уравнений . = _. w _,_ _ Sis да - и/ -г- - ae D.21) выражающих связь D.4) ко- и контравариантных компонент векто- вектора; В. Выделение из уравнений D.20) и D.21) осциллирующих по % составляющих дает уравнения для функций б, к, <р и v. Решая их 226
так же, как и в [90], для <р получаем уравнений где Л=1—&pcos«. Таким образом, Ф = 2яфл(р, и, 0, D.23) где фй — потенциал вакуумного поля, созданного винтовыми обмот- обмотками: ВЛ = Уфл(г, со, ?). Заметим, что уравнение D.22) можно за- записать в виде Дф = 0, если формально рассматривать систему коор- координат (р, и, %) как квазицилиндрическую. Функции б и X выражаются, как и ф, через фд [ср. с D.17)] 6 = /r>jZ, b=*-*L, D.24) dp ра ди v ' где f= (Я/В0)щ(р, и, ?); Во — напряженность продольного поля на геометрической оси стелларатора. При ?r<Cl выражения D.24) совпадают с результатом [90]. В уравнениях D.21) для осциллирующих составляющих члены {gi2lV~g)^ не учтены, так как всюду, за исключением малой области D.19), эти члены малы:| gi?/Vg" 11|>'< I gjjVg I Ф'+дц[де).Ма- Ф'+дц[де).Малой оказывается и функция v (порядка р'ф/Бо2), поэтому в левой части первого уравнения D.21) сохраняем лишь dyjda. Переходим теперь к преобразованию двумерных уравнений, к которым свелись D.20) и D.21) после исключения осциллирующих по ? составляющих. В двумерном уравнении 4л* tyJX JlL = /j>+ JL\ -*L(<v+*L\t D.25) v ё E dq \ dQ /z d^ \ ^ dQ J ' V ' которое получается из D.20), необходимо исключить функции v и т). Из последнего уравнения D.21) с точностью до членов порядка ца гз/а |з определяем Ф' + дг\/дв = F/G& D.26) и из первых двух, исключая ф, получаем D.27) где a\k = <gih/Vg\. D.28) Входящие в D.27) величины а**, вычисленные, в отличие от [67], без разложения no ftp и с учетом «взаимодействия» гармоник, 15* 227
имеют вид _5а_ , 1 dOpv да ) . dp pa ди ди J ' D,29) где fi, /г и -фг» — функции, получающиеся при усреднении квадратич- квадратичных по б и Я комбинаций (см. приложение 1). Отметим, что первые два выражения в D.29) имеют чисто «токамачный» вид [67]. Два последних отличаются от «токамачных» малыми поправками /i и f2, учет которых, однако, принципиально важен при малом или рав- равном нулю продольном токе /. Величины сиз и а|з, которые для то- камака равны нулю, выражаются через функцию i|b [см. также (П2.11)] h? / Р \ d<ph ди D.30) которая, как было показано, определяет семейство вакуумных маг- магнитных поверхностей — их уравнение имеет вид ijjo=const. Входящие в D.27) величины аЬф' и ala^' могут быть записаны подобно выражениям аЬи а1г: D.31) К такому же виду, но с заменой if на г|зо, приводятся и выражения a%F/ahn агз^/а^з при подстановке вместо F его приближенного (вакуумного) значения 2nRB0 и отбрасывании в азз малой величи- величины fi. Подставляя эти выражения в D.27), получаем (с точностью до членов порядка E и еь2 по отношению к основным) д (v)t D Г д р д 1 д р д Функции if» и ip зависят только от р и и, поэтому в оператор [...] в D.32) можно добавить дифференцирование по 5. так что он пре- превратится в p/idiv(V//i2), записанный в координатах (р, и, ?) в «ну- 228
левом» приближении, т. е. так, как если бы р, и, ? была квазици- квазицилиндрической системой координат. В дальнейшем будет использо- использована именно такая компактная запись. Подставляя теперь D.26) и D.32) в D.25), получаем оконча- окончательно скалярное двумерное уравнение равновесия которое можно записать с учетом D.29) в виде div V (*-*,) = _ 4лу №) A + f) ТЖ_ . D.34) В потоковых координатах (а, 6, ?) скалярное двумерное уравнение равновесия имеет вид Р' № - D.35) Я L dp V h dp J pa ди \ h ди 4.4. Анализ двумерных уравнений и другие их формулировки Итак, трехмерные уравнения равновесия D.20), D.21) свелись к одному скалярному двумерному уравнению D.34) для функции ¦ф(р, и) или D.35) для p(a, G). «Квазицилиндрические» координаты р, и, в которых записано уравнение D.34) и дифференциальный оператор в правой части D.35), связаны с опорной системой коор- координат (г, о, ?) трехмерными соотношениями D.7) с 5 и Я в виде D.24). Двумерное уравнение D.34) получено с точным учетом торои- дальности, без разложения по kr, поэтому оно точно переходит при Ф/г->-0 в уравнение Грэда — Шафранова для осесимметричных си- систем = — 4лУ (ф) — FF (!>)/(/?%•). D.36) Переход же уравнения Грина — Джонсона [37, 41], а также урав- уравнения из [66] к D.36) осуществляется лишь в приближении боль- большого аспектного отношения. Уравнение для стелларатора D.34) отличается от токамачного D.36), методы решения которого хорошо разработаны [108], во- первых, тем, что содержит в левой части функцию i|jt> — усреднен- усредненный полоидальный поток вакуумных винтовых полей. Второе от- отличие связано с малыми поправками fi и /г (П1.4), которые приво- приводят к появлению в уравнении для смещения члена с магнитным бугром [40, 65]. Функция фо(р, и), однозначно определяемая заданием потенциа- потенциала винтового поля ф/, D.30), является важнейшей характеристикой конфигурации вакуумного поля стелларатора. Она описывает се- 229
мейство усредненных вакуумных поверхностей (не обязательно вло- вложенных торов); их уравнение, как это следует из D.34), гЫг) = = const. Создать необходимое для удержания плазмы семейство вложенных тороидальных магнитных поверхностей (в стеллараторе с большим аспектным отношением) довольно просто — достаточно одной гармоники винтового поля. Эти поверхности могут в опре- определенных пределах сохранять желаемую топологию и при наличии дополнительных гармоник винтового поля [37]. Они способны вы- выдерживать также (при величинах р меньше критической) возмуще- возмущения, вносимые плазмой. Остановимся на значении учета малых членов fi и fz в правой части уравнения D.34). Очевидно, они играют такую же роль, как и аналогичные члены fercosco в токамаке с Л^>1. Для токамака с Л^>1 сохранение малой величины krcosa под оператором div в уравнении D.36) позволяет описать связанное с тороидальностью вакуумное (р->0) смещение с |Д'|~&а<1, а наличие krcosco в правой части и перед производными в операторе div — смещение из-за конечности давления, которое в рр (полоидальное р, дости- достигающее значений порядка А) раз больше вакуумного. Поэтому, со- сохраняя f 1 и f2 в^VgXи азз , мы пренебрегли аналогичными по- поправками ~ед2 в левой части D.33), пользуясь при выводе этого уравнения вычисленными в «нулевом» приближении величинами <4 D.29). Конкурируя с kr cos со, члены fi и f2 важны лишь при Eh2^A~l. При малых А, т. е. для компактных стеллараторов, ft и J2 можно опустить; при этом уравнение D.34) переходит в уравнение Лортца и Нюренберга [70]: div ^5^" = - 4"V ft) - -^ • D.37) Для стеллараторов с большим аспектным отношением, для случая, когда величина /с (ф) == 2nRp' ($) + FF (ф)/BяД) D.38) не очень велика по сравнению с 2nRp'(ty)Q0, где (с точностью до малых тороидальных поправок) О» == Д + ft = <(v<pA)*VB20> D.39) уравнение D.34) может быть приведено к более простому виду так, что вместо fi и f2, входящих раздельно в D.34), в уравнение равно- равновесия войдет их сумма й°: или div 230
При переходе к этим уравнениям после выделения в правой части D.34) выражения 2jt/j(i|))/# члены, содержащие fi и f2, преобразу- преобразуем, используя приближенное равенство 4n2R2p'(ty)^FF'(y!p). Очевидно, в силу ?р<1 уравнения D.40) и D.41) могут быть преобразованы к виду ДЛ = — 2nRp' ty) Q ~ /; (г|з); D.42) m=ff^Lq_.^)> D>43) где Q==Qp — 2?pcos«; As= (¦$ — $„)/BnR). D.44) Уравнение D.42) —это уравнение Грина — Джонсона [37, 41]. Со- Совершая переход к нему от D.40), мы положили в левой части D.40) h=\. Замена h единицей под оператором div в уравнении D.40) соответствует, как уже отмечалось, пренебрежению связанным с то- роидальностью вакуумным смещением (с |Д'|~&а). Обсудим содержание условия Jz(ty)/2nRp'(i!p)Q0=O(l), исполь- используемого при приведении уравнения D.34) к виду D.40) или D.41). Преобразуем вначале величину /\(ф). Из уравнения баланса дав- давлений p'V = j'f — F'O', D.45) которое получается при усреднении D.20) по 9 и ?, следует, что где |л — вращательное преобразование: |i = —Ч>'/Ф\ D.47) Связь F и Ф' получаем из уравнения D.26) D.48) где < ) —усреднение по слою между близкими магнитными поверх- поверхностями: Подставляя в таком виде Ф' в D.46), получаем связь L(ft) с р и У: /, (я|з) = 2nRp' (я|э) [ 1 — / ! V' 1 — pJ' (*) — ¦ D-50) Для стелларатора с большим аспектным отношением (kp<? 1) /; (*) = - 2nRp' (Tfe) <Й> - yj' (ф) F/Bj»^). D.51) Здесь Q — величина D.44), 231
Первый член в полученном выражении D.51) по порядку вели- величины таков же, как и величина 2nRp'Q°, с которой мы сравниваем JtW- Условие /j(if>)/2n#p'Q°=O(l) сводится таким образом к ог- ограничению на продольный ток: I F < 4я»/? | р' (ф) | Ъ\1В1 D.52) Используя простые оценки \J'W/p/(^>)\~\J/p\; F=2nRB0; р/Б02~Р; Hj~RJ/2nb2B0, это условие можно привести к виду (Ay/fi^(/?/6)(B2/5?)p/peq> D.53) где peq = n2V#- Величины b/R=A~1 и В/^/Во2 в нашем случае, ког- когда имеет смысл сохранять fi и ^2 в уравнении D.34), должны быть одного порядка малости. При этом неравенство D.53) может быть записано как М*<Р/РеЧ. D-54) Оно оказывается довольно мягким. При большом давлении плазмы (P~peq) оно не дает никакого ограничения на продольный ток. Итак, при А-^Ъ^/Во2 (традиционно используемое приближе- приближение в теории стеллараторов [37—41]) и при дополнительном сла- слабом условии D.54) равновесие плазмы в стеллараторе описывается одним из двух эквивалентных скалярных двумерных уравнений D.42) и D.43), которые отличаются от аналогичного уравнения D.37) для стелларатора с малым аспектным отношением, Л;» Э>В/12/502, наличием члена Q0 в правой части. Отметим, что в рас- рассматриваемом случае порядок стеллараторного члена Q0 в правой части уравнения такой же, как и остальных, поэтому его учет прин- принципиально важен в отличие от случая малого аспектного отноше- отношения. Приведем еще одну формулировку скалярного двумерного урав- уравнения равновесия, удобную при расчете равновесия бестоковой плазмы. С помощью формулы D.48), связывающей Ф' с F, можно выразить из уравнения баланса давлений D.45) входящую в урав- уравнение равновесия D.34) величину FF'(ty) через давление р и про- продольный ток /: FF' fy) = 4nW [Г (У)- р' Ш /_-i__\-1. D.55) Подставляя это выражение в D.34), получаем di vtt-ib) = _ 4 x\/ J Для стелларатора с малым аспектным отношением (Л~! > Вй/?о) это 232
уравнение сводится к div у**-*»» = - 4яУ (*) х x I a» \a« / J a» \a« / Для стелларатора с большим аспектным отношением при токе не выше определяемого соотношением D.53), т. е. при i^j/n^p/Peq, уравнение D.56) может быть записано как А (¦ - %) = - 4л2/?2} Р' W [Q - <Q>] + Г (V)} D.58) или аналогично уравнению Грина — Джонсона D.42) АЛ = — 2nRp' (ф) [Q — <Q>] — 2nRf (V), D.59) где Q и А — величины, определяемые D.44). Это уравнение, являющееся модификацией уравнения Грина — Джонсона, в котором в правой части явно выделен продольный ток, впервые было приведено в [103], а для бестоковой плазмы (/(¦$) = = 0), т. е. для стационарного равновесия [22], — в работе Страус- са и Монтичелло [69]. Возвращаясь к потоковым координатам, приведем удобную для аналитического исследования с помощью метода моментов (см., например, [108]) запись уравнения равновесия D.35) для стелла- стелларатора с большим аспектным отношением, поле которого является суперпозицией гармоник с разным шагом по 5 («невзаимодействую- («невзаимодействующие» гармоники). Для такого стелларатора T|b = iMp)> поэтому один член в D.35) выпадает и это уравнение принимает вид [66] - -^SL - FDR-2 JL [ph (p) рЧ, D.60) где цн — вакуумное вращательное преобразование стелларатора: i D-61) Отметим во избежание путаницы, что нашему обозначению D соот- соответствует pZ> в [66]. 4.5. Вывод скалярного двумерного уравнения равновесия из усредненных МГД-уравнений [42] Система двумерных векторных уравнений для усредненных по Х> величин (знак усреднения опущен) [42] div В = div В* = 0, rot (В — В*) = j.J где В* — «эффективное» магнитное поле, создаваемое токами вин- 233
товых обмоток, а (В—В*) —среднее по ? поле, порожденное дру- другими токами, может быть также приведена к одному скалярному двумерному уравнению для функции -ф0 (г, м). В первом уравнении D.62), которое получено, как и D.34), D.35), методом разложения, последний член мал — порядка В*/Во по сравнению с |[]'В]|. По- Поэтому его можно отбросить, как это и делалось при вычислениях в [42] и других работах этих же авторов [44, 45], тогда уравнение равновесия примет обычный вид Vp=[jB]. Именно таким уравне- уравнением и будем далее пользоваться. Уравнения D.62) являются по существу «токамачными», отли- отличаясь от них лишь дополнительными членами. Так же, как и для токамака [108], векторы В и В* могут быть представлены в виде в=~ЬlvrvU+~ЬfvS: D-63) в*= ~Ь т^]+~ЬFM- D-64) Очевидно, условия divB = 0 и divB* = 0 удовлетворяются тождест- тождественно. Сравнивая D.64) с выражениями для компонент вектора В* [42], определяем . (г, «,) = ^ Л- /-JL Г ^L *\ ; D.65) Fv (г, со) = - ^ Л82<(УФЛJ>Е • D.66) Отметим, что D.65) отличается от D.30) лишь переменными: в D.65) г, ю, а в D.30) р и «, связанные с (г, и) соотношениями D.7). Подставляя D.63) и D.64) в последнее уравнение D.62), полу- получаем выражение для вектора плотности тока: } D-67) Уравнение равновесия Vp=[jB] с учетом D.63) и D.67) записы- записывается в виде W = 7Т (- V*0div | vU2 V (Г -•*,) - I VH2 ГУ (f - Fv) - -VC(V^[V^°. V(f-^)])}- D-68) Умножая D.68) на V^, получаем первое следствие: Fsf-f, = F(f). D,69) Подставляя D.69) в D.68), получаем окончательно уравнение для ф° div v<*-»> = - 4nV W) ~ -ZLSCL . D.70) R*h2 Rah] 234
Это уравнение совпадает по виду с уравнением D.41), поскольку согласно D.69) и D.66) Г = F (Г) [ 1 - ti<lw^h/Bl]. D.71) Как уже отмечалось, член <(V(pftJ>E/B02 следует учитывать в урав- уравнении равновесия лишь для стеллараторов с Лел2^1. При этом, естественно, можно положить в D.71) hs=\, тогда совпадение D.70) с D.41) будет полным. 4.6. Об истинных параметрах разложения Использование потоковых координат существенно упрощает опи- описание равновесной конфигурации по сравнению с другими метода- методами. Отсутствие у векторов j и В составляющих по Va позволяет легко разрешить уравнения Максвелла divB = 0 и j = rot В в общем виде [см. D.5), D.6)]. Осциллирующая по g составляющая j, оп- определение которой является непростой задачей в обычных коорди- координатах [42], учитывается при этом автоматически. Уравнение рав- равновесия Vp=[jB] сводится к одному скалярному уравнению D.3). Сравнительная простота описания плазмы в потоковых коорди- координатах позволила нам отказаться от обычно используемого набора малых параметров D.1) и рассмотреть задачу равновесия в более общей постановке. Как и в обычном стеллараторном приближении, величины ел и р мы с самого начала считали малыми. В ходе вы- вычисления, чтобы избежать неоправданных усложнений, были вве- введены еще два малых параметра — \al/m и цагз/азз, которые есте- естественно возникают при упрощении уравнений равновесия. Рассмот- Рассмотрим каждый из этих четырех параметров в отдельности. 1. Основной параметр разложения — отношение амплитуды вин- винтового поля к продольному 8h=|Bh|/50. Малость е/, используется как при решении трехмерных, так и при упрощении двумерных уравнений. В трехмерных уравнениях, разлагая gikfVg по б/р, Ьи'/р, Я и "Ки, по существу следует требовать малости величины Ash/fn, т. е. ограничения e.h<^.m/A, которое тем слабее, чем боль- больше т. В компактных системах число периодов винтового поля мо- может быть не очень большим. При переходе к двумерным уравне- уравнениям малость ед позволяет представить величины а« в виде D.29) и рассматривать f\ и f2 в аззи в ^"Vg~\ как малые поправки. 2. Вторым по важности является использование условия р<С1. Этот параметр нужен лишь в связи с вычислением б и Я,, характе- характеризующих чисто стеллараторные осциллирующие деформации маг- магнитных поверхностей, и преобразованием в двумерном уравнении членов, сводящихся в конечном итоге к div(Vtf)o//t2). Малость Р позволяет рассчитывать входящие в скалярное двумерное уравнение функции фо и ?2° (или U и f2) по вакуумному полю стелларатора, т. е. до решения задачи равновесия. 3. Параметр \xl/m; выше он использовался лишь при вычислении б и К. Еще в первых теоретических работах по стеллараторам [1, 235
37] отмечалась важность условия \к/т<^,\. Впоследствии классиче- классическим стал набор малых параметров D.1), а это условие практиче- практически перестало упоминаться. Связано это, возможно, с тем, что оно довольно слабое и заведомо выполняется в действующих установ- установках. Здесь этот параметр использован формально при упрощении уравнений для осциллирующих величин. Этим далеко не исчерпы- исчерпывается его роль. Малость \х,/т, как было показано Крускалом [1], гарантирует существование в асимптотическом смысле магнитных поверхностей, что и делает обоснованным использование уравнения BVi{> = 0. Эта проблема обычно остается за рамками обсуждения. Внимание к ней вновь было привлечено Лортцем и Нюренбергом [70, 149]. Отметим, что обычно, когда речь идет о допустимых значениях |л, имеют в виду \ль, — вакуумное вращательное преобразование. Мы же используем условие ц//т<с1, ограничивающее сверху суммарное равновесное вращательное преобразование. Это в принципе позво- позволяет описать и стеллараторы с большим цн, которое компенсируется токовым вращательным преобразованием обратного знака. 4. В ходе вычислений для величины Ф'+дг)/дд, входящей в дву- двумерное уравнение равновесия D.20), использовалось приближен- приближенное выражение D.26), которое получается из D.21) в пренебреже- пренебрежении членами порядка ца?з/азз. В то же время в аззв D.26) со- сохранялись члены kp cos и и U, что позволило учесть эффекты торои- тороидального смещения из-за конечности давления и влияния магнитно- магнитного бугра на равновесие. Естественно, при этом должно быть I |ю5з/а§з | <max {е?, kp}. D.72) Рассмотрим это условие (определяющее вид окончательного двумерного уравнения) подробнее. Используя для oj30 оценку 4 D.73) и формулу D.29) для а1з, определяем ab-Rhhla/mp*. D.74) При этом принято, что (dnpv/dp)da/dp~tyva/p2. Оценивая величи- величину а|з, можно с учетом равенства da/dp = u/D считать, что pD~ ~р2/а и соответственно al3~Rha/p*. D.75) Таким образом, а|3/а|з ~ eftftVm ~ &т, D.76) и условие D.72) сводится к цЛе^/и < max {Аг1, 1). D.77) При Агь2^ 1 (обычное стеллараторное приближение) отсюда 236
следует ограничение на ц [37] При решении уравнений для осциллирующих по ? величин мы пользовались немного более жестким условием /ц/т<с1, так что D.78) не дает ничего нового. В стеллараторах с Лел2<1 условие на ц оказывается гораздо слабее, чем D.78): ИМС^Г1. D.79) При ел->-0, т. е. при переходе к аксиально-симметричным системам ограничение на ц исчезает. Отметим, что рассмотренное выше (п. 3) ограничение ц//п<1 определяет лишь точность вычисления б и К и, следовательно, точность квадратичных по ел стеллараторных чле- членов в двумерном уравнении. Естественно, предельный переход ел-*- -¦-О, когда члены порядка ел2 становятся несущественными, делает ненужным это ограничение. Таким образом, наше приближение в отличие от обычного стеллараторного D.1) допускает переход к аксиально-симметричным системам без ограничений ва аспектное отношение и на вращательное преобразование. Расширение области применимости стеллараторного приближе- приближения при снятии ограничений на аспектное отношение и (частично) на продольный ток позволяет более уверенно решать задачи рав- равновесия, используя в качестве основы скалярное двумерное урав- уравнение D.34), обобщающее уравнение Грина — Джонсона, или его модификации. Глава 5. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ РАВНОВЕСИЯ ПЛАЗМЫ В СТЕЛЛАРАТОРАХ 5.1. Приближенное описание равновесия Устойчивость плазмы, процессы переносов во многом зависят от формы и взаимного расположения магнитных поверхностей. По- Поэтому определение их искажений, вызванных полями токов, проте- протекающих по плазме, является важной задачей теории равновесия. Основной эффект конечности давления — смещение магнитных поверхностей друг относительно друга — возникает уже при малом давлении плазмы. С ростом давления меняется не только взаим- взаимное расположение поверхностей, но и их форма, так что их геомет- геометрия может сильно отличаться от исходной. При достижении неко* торого критического давления происходит нарушение топологии магнитных поверхностей — образование сепаратрисы в рабочем объеме магнитных островов. Внутренняя геометрия равновесной конфигурации в ряде случа- случаев может быть описана с помощью нескольких параметров. Пара- Параметрическое задание магнитных поверхностей позволяет свести уравнения равновесия к более простым одномерным, определяющим 237
зависимость введенных параметров от маркирующей поверхности координаты а. В простейшем случае достаточно ограничиться лишь учетом смещения магнитных поверхностей, а их форму при этом считать неизменной. При более точном описании следует учитывать и воз- возникающую из-за конечности давления эллиптичность магнитных поверхностей. Часто более сложного описания и не требуется (см., например, [100, 108, 109]). В настоящем разделе рассмотрим та- такую двухпараметрическую модель, получим и обсудим уравнения для смещения и эллиптичности магнитных поверхностей. Общие уравнения. При выводе одномерных уравнения для сме- смещения Д и эллиптичности а магнитных поверхностей обычно, сле- следуя [24, 32], используют потоковую систему координат с выпрям- выпрямленными силовыми линиями (ВСЛ), в которой полная система уравнений равновесия D.3), D.4) принимает вид (индекс s, кото- которым раньше обозначалась принадлежность величин к системе с ВСЛ, здесь и далее опускаем): р'У = /Y _ F'U>'\ E.1) Коэффициенты связи B.81) токов с потоками а°т выражаются, как это следует из двух последних уравнений, через средние по 6 и % метрических коэффициентов системы с ВСЛ: а^т{а) = Эта система уравнений применялась, по-видимому, впервые в [24] при исследовании устойчивости в стеллараторных системах с круглым сечением магнитных поверхностей (пространственная ось, малая кривизна) и в системах с D-образной формой сечения (вин- (винтовая симметрия или обычный длиннопериодный стелларатор [32], разложение по степеням расстояния от магнитной оси). Координа- Координаты а, В, t, определялись методом возмущений. В качестве нулевого приближения в первом случае брались цилиндрические поверхности. В первом приближении по кривизне учитывалось их смещение. (Описание методов расчета равновесия, развитых в [24, 32], — см. ниже). Для сведения уравнений равновесия к одномерным требуется явное задание формы магнитных поверхностей. Оно позволяет вы- выразить через введенные параметры метрические коэффициенты. Мы пользуемся системой с ВСЛ, поэтому кроме физических парамет- 238
ров — смещения, эллиптичности и т. Д. — требуется вводить еще и параметры выпрямления силовых линий. Уравнением для них слу- служит B.34). Вместо B.34) обычно пользуются уравнением 4-<4=0, E.2) которое для токамака является точным, а для стелларатора-— при- приближенным, получающимся в пренебрежении членом ^'gtjVgB по- последнем уравнении E.1). Геометрическое уравнение E.2) легко решается без привлече- привлечения остальных четырех уравнений системы E.1). Два последних из них позволяют (дифференцированием по в и а и вычитанием) ис- исключить функцию <р и сводятся к r + -S- = -г ( dQ да Задача равновесия сводится теперь к определению v из второго уравнения системы E.1), параметров выпрямления из E.2) и ре- решению E.3) с уже известной функцией v. Такая процедура будет использована в § 5.1 при рассмотрении трехмерных систем. Для обычного стелларатора с еь<с1 часть задачи равновесия уже решена в гл. 2 — найдено преобразование D.7), сводящее уравнения равновесия к двумерным. На языке используемых сей- сейчас уравнений это соответствует нахождению из них всех осцилли- осциллирующих по ? величин. Не повторяя этих вычислений, обратимся сразу к остающимся двумерным уравнениям, которые получаются усреднением по ? E.1) и E.3). Для систем, допускающих двумерное описание, в том числе и для обычных стеллараторов с e/i^l, достаточно универсально зада- задание формы с помощью Л и а соотношениями: р cos и = рх cos 0Х + А (а);| g^ р sin и — рг sin 0!, J где (при почти круглых поверхностях) р1 = а + а(а)сав2&1; 0Х = 0 + Я,! (a) sin 0 + К (а)sin 20; Xi и А.2 — параметры выпрямления силовых линий. В трехмерных системах смещение и эллиптичность зависят не только от а, но и от ?, причем смещение имеет дополнительную составляющую по бинормали [24, 32]. В нашем подходе для стеллараторов с ел,<С1 эти эффекты трехмерности учитываются автоматически на первом шаге D.7) перехода к потоковым координатам. Параметрическое задание E.4), E.5) функций р и и, с которы- которыми метрические коэффициенты ah связаны соотношениями C.62) и D.29), использовано в § 5.2 при описании двух типов стелларато- стеллараторов— с винтовой и с плоской осью. Как обычно, будем считать, 239
что |Д'[, (о|, |^i | и [tal малы по сравнению с единицей, и вычис- вычислять а % разложением по этим величинам. При этом a\k представ- представляются в виде рядов Фурье по cos/гб или по sinn0 с коэффициента- коэффициентами, порядок малости которых растет с п. Для вывода уравнений для смещения Д и эллиптичности а достаточно сохранить члены лишь с я=0, 1, 2. Формулы, необходимые для вычисления в таком приближении коэффициентов а%, приведены в приложении 3. Там же даны и явные, через Д и а, выражения для неизвестных функций Xi и Я2, которые определяются из E.2). Отметим в заключение, что рассмотренные ранее двумерные уравнения C.8), D.34) или C.65), D.35) эквивалентны уравнению 4л2 < У][\ р' ®) = -?-(- да которое получается объединением двух первых уравнений системы E.1) с учетом E.3) и усреднением по ?• Напомним, что для пере- перехода к C.65) и D.35) от уравнений равновесия C.8) и D.34) в ,ин- вариантной формулировке достаточно преобразовать лишь диффе- дифференциальные операторы в их левой части. В разд. 3.4 расписано в потоковых координатах выражение div[Vifi(p, ы)/(Л8я+и2р2)], вхо- входящее в уравнения равновесия систем с винтовой и аксиальной (и = 0, сиз = а2з = 0) симметрией. Точно так же, как и для аксиаль- аксиально-симметричной конфигурации, при переходе (р, и)->-(а, 0) пре- преобразуется и div(Vaf>//i2) в двумерном уравнении равновесия плаз- плазмы в обычном стеллараторе. Примеры аналитического решения трехмерных уравнений. Рас- Рассмотрим конфигурацию, магнитная ось которой представляет со- собой пространственную кривую с заданными кривизной k(s) и кру- кручением x(s), s — длина дуги оси. Пусть х, у — координаты, отсчи- отсчитываемые в направлении нормали п и бинормали р к магнитной оси. Обозначим ro(s) радиус-вектор положения точки на магнит- магнитной оси. Тогда радиус-вектор произвольной точки r = ro(s) + xn + yp. E.7) Используя формулы Серре—Френе, нетрудно найти квадрат элемента длины [9] e?r2 = dx2 + dy2 + 2x(xdy~y dx) ds -f + R*l(l-kxy + xz(x* + y*)]dt?, E.8) где ? = s/R; R = L/2n; L — полная длина оси. Запишем уравнение искомых магнитных поверхностей в парамет- параметрической форме у=р(а, 9, 240 = р(а, в, QcosY + S(a, ?); J T|(e, О 1
Й ПОЛОЖИМ Y = Yo + ?i? Yo = 0 + ft(Q; Y! = К (а, 0, ?) sin y0 + Я2 (a, 9, Q cos у0. Эллиптическая деформация магнитных поверхностей оказывается, как следует из уравнений равновесия, порядка k2a2, поэтому при разложении по ka, которым будем пользоваться далее, ее можно не учитывать [24]. Полагая р==а и подставляя выражения E.9) и E.10) в E.8), находим метрические коэффициенты координат ВСЛ: --jLcost.]; да cosYo+4 да да g22 = a2 [ 1 + 2 (Aa cos Yo — X2 sin v0)]; #23 = a2 (-^r + xR) A + К cos Yo — К sin Yo) + f$ ) cosVo- 1 ~~ a ( ^зз=^2A — 2 to cos Yo); E.11) \ да J \ да J J ) Приравнивая в двух последних уравнениях E.1) члены с оди- одинаковой зависимостью от yo и сохраняя лишь основные члены, на- находим: E.12) 2Я где щ = ~- Г xd^; о ^ = — Ы — 3g/5a, X2 = дц/да. E.13) Для определения величины v произведем разложение комплексной кривизны ®) E-14) в ряд Фурье: /С(?)= 2 ^exp(inS). E.15) Л=—оо 16 Зак. 1441 241
Полагая далее v = Re j] vn( E.16) г 5) gnexp[i@ + nQ], находим из второго уравнения E,1) (й) R ^п^ /С 17\ у— E.17) ф' ¦ где (i = q~~l = —ty'/Ф', а из E.3) получаем уравнение для фурье-коэф- фициентов смещения |„: "г "?" [flS (|i+nJ ^t ]= М2 [(fi+n) (fA ~Зп+4iloR) ~ Это уравнение без использования координат ВСЛ получено в [9, с. 120J. Оно легко интегрируется в общем виде (формула A1.143) в [9]). В методе разложения по степеням расстояния р от магнитной оси за нулевое приближение принимается система магнитных по- поверхностей, сечения которых — подобные эллипсы, прокручиваю- прокручивающиеся при движении вдоль оси [32]: г|>0 = ^0=-(l + scos2u)9>. E.19) Здесь ы = 9 + б(«); 6 — угол, отсчитываемый от главной нормали в плоскости х, у; 6(s)=2nns/L + 6(s). Координаты *=pcosu, y= = psinu прокручиваются вместе с эллипсами, так что № =dx2 + dy2 + 2 [б' (s) — и (s)] ds (ydx — xdy) + + [F' — иJ р2 + A — kp cos Qf] ds2. E.20) Полагая в = thr], получаем ijH в виде л)]. E.21) Теперь мы перейдем к «скругленным» координатам ро, со, пола- полагая х=В^%/' ехр(—rj/2)pocosco, у=В^1г exp(Ti/2)posinco, так что ¦фо=ро2. В дальнейшем ограничимся случаем однородного магнит- магнитного поля BQ(s) =const. Кроме того, будем считать, что колебания фазы 6(s) относительно прямой 2nns/L в точности компенсируют колебания J к ds относительно прямой kqS, т. е. 6'(s)=x—хо. В этом случае метрические коэффициенты скругленной системы 242
координат *о'=ро, Хо*=а, хо*=8/#о=?, определяются формулами: tJj = ch т] — sh т] cos 2co; >?2 == g"® 1 = ^ sh Tj sin 2co; E.22) ?22 = a2 (ch tj+ sh т) cos 2co); т0 ^ „О _ п2 /v Л'\ Р = Нетрудно убедиться, что эта метрика удовлетворяет уравнениям E.1) с 0s=со, т. е. соответствует координатам ВСЛ. В следующем приближении разложения по степеням расстояния от оси учтем возможное искажение формы магнитных поверхностей (появление «треугольное™»), положив pg = а — (a cos со + 0 sin со) а2. E.23) Одновременно следует учесть смещение «геометрического центра» ро=0 поверхностей относительно магнитной оси: х = ехр (— т]/2) р0 cos со + а% (?); у = ехр (т]/2) ро sin со + а% (Q. Чтобы и в этом приближении сохранилось условие ВСЛ, нужно ввести преобразование угловой переменной со: со = 98 + а (А,х sin 9S + Hi cos 9S + X3 sin 398 + ц3 cos 39,). E.25) Рассчитывая метрические коэффициенты системы координат а, 0s, t, и подставляя их в систему уравнений ВСЛ E.1), получим, приравняв коэффициенты перед одинаковыми тригонометрически- тригонометрическими функциями в левой и правой частях уравнений: *i =-B?i+exp(—T]/2)?cos6); | Иа = 2|2 + ехр(— Щ2) k sin б; E.26) Я3 = а; Я4 = — p. J После нахождения v и ср получаем всю информацию о равновесии в рассмотренном приближении. Не останавливаясь на деталях вычислений, обсудим одномер- одномерные уравнения для смещения и эллиптичности, которые получаются из двумерных уравнений E.2) и E.6) для стеллараторов различ- различных типов. Стелларатор с винтовой геометрической осью. В системе с вин- винтовой симметрией без продольного тока смещение круглых магнит- магнитных поверхностей радиусом а описывается уравнением [78, 24] сД" + ЗА' + ЗАа = — Bk№) р'/В20, E.27) 16* 243
содержащемся в E.18) как частйый случай. Здесь ^ = consf и к— = const — кривизна и кручение геометрической оси соответственно. При выводе этого уравнения предполагалась малость по сравнению с единицей параметров ka, %a и А'. Здесь Д<0 соответствует сме- смещению шнура наружу от центра кривизны, а А>0 внутрь. В силу линейности уравнений E.27) смещение А можно пред- представить в виде суммы АВ + АР вакуумного смещения, удовлетворяю- удовлетворяющего уравнению aAv + ЗА^, + 3ka = 0, E.28) и смещения Ар, вызванного давлением плазмы: аА"р + ЗА; = — B?/и2) p'/Bl. E.29) Решение уравнения E.28) E.30) показывает, что центр магнитной поверхности а=const смещен от- относительно вакуумной магнитной оси а = 0 наружу от центра кри- кривизны оси (на расстояние C/8)ka2), т. е. в область более слабого поля. Магнитная ось при этом находится в области более сильного поля, система обладает магнитным бугром [9, с. 150]: V'o (Ф)]Ф/Уо(Ф) = k2a\ E.31) По этой причине первые стеллараторы с пространственной осью были забракованы, как не удовлетворяющие условию устойчивости относительно конвективных возмущений [2, 36]. Позже было по- показано [63, 64], что такие конфигурации, неустойчивые при малом давлении плазмы, могут стать устойчивыми при большем давлении, когда существенными становятся деформации магнитных поверх- поверхностей, связанные с давлением плазмы. Давление плазмы, при котором поверхности заметно искажают- искажаются, можно оценить, пользуясь линейным уравнением E.29). Умно- Умножая его на а2 и интегрируя по а, получаем аА'р = - №/(%*Bl)] [р (а) -р (а)], E.32) где р{а) —среднее по сечению давление: p = {2la2)]p{a)ada. E.33) о Величина Ар' становится большой, т. е. искажения магнитных по- поверхностей уже нельзя считать малыми при значениях р, близких к пределу A.25): peq = x2fr/&. Это выражение может служить оцен- оценкой предельного по равновесию давления плазмы в бестоковом стеллараторе с винтовой осью с круглыми магнитными поверхностя- поверхностями. Для токамака оценка предельного по равновесию давления имеет, как известно, вид РеЧ = b/(Rq*) = tfbjR = (ii/Rf b/k. E.34) 244
Оценка A.25) для стелларатора, соответствующая смещению маг- магнитной оси на половину радиуса плазменного шнура при параболи- параболическом профиле давления плазмы р=роA—а2/Ь2), в точности сов- совпадает с последним выражением E.34) для токамака. Напомним, что в бестоковой системе с винтовой осью (см. A.20)) fi = Hx = — kR. E.35) Уравнение E.27) для смещения справедливо лишь при При больших давлениях смещение описывается более сложным не- нелинейным уравнением [64]: Д" 4- ЗА> -I V д> 4/Ы: _ t[i _ 8n2Rap' f. ,3a а ц ц [ %'* \ 2 а i 3 , 9 А»2\"| . ЗА' /а , , 3 Л,г\ ._ __ + —а—— Д \\ + —-1—.— а + — Д ). E.36) ^ 4/J о\а // Здесь х — винтовой полоидальный поток, отсчитываемый от магнит- магнитной оси; а — эллиптичность магнитных поверхностей, удовлетворяю- удовлетворяющая уравнению [64, 150] „ , За' За A + y E.37) В этих уравнениях в отличие от E.27) учтен и продольный ток /: вращательное преобразование \i складывается из токового \ij = = RJ/a<&' и чисто стеллараторного \xk — —kR: }х = (Ш/(аФг) — xR) A — А'2/2), E.38) геометрический множитель 1—Д'2/2 описывает влияние на ц. некон- неконцентричности магнитных поверхностей. При [ij = 0 уравнения E.36) и E.37) описывают стелларатор с однородным полем с осью в виде винтовой линии, при х = 0—^токамак. Нелинейные уравнения для смещения и эллиптичности магнитных поверхностей используются обычно при аналитическом исследовании устойчивости плазмы вы- высокого давления. Линейное уравнение для смещения при наличии продольного то- тока E.18) для стелларатора с винтовой осью может быть записано в виде (яУД'У = ka? \\i (ц + 4и#) — 8яу #2/Ф'21, E.39) где ц определяется формулой E.38); Д'2<С1. В качестве простей- простейшего примера использования этого уравнения рассмотрим случай ^j = const, а профиль р(а) —параболический: p=po(\-aW). E.40) В этом случае 245
где р = 2р/В0. Полагая Арф) =0) (крайняя поверхность несмещена), определяем смещение магнитной оси E.42) Ось смещена наружу от центра кривизны, в область более слабого поля. Вращательное преобразование \i = iiK+[ij зависит от направ- направления тока омического нагрева /. Следствием этого является силь- сильная зависимость магнитной конфигурации стелларатора от направ- направления тока. Из E.42) видно, что для рассмотренного случая ц2Ао= = const-р, поэтому при одинаковых р и при (ij = 0,5fxK 9, E.43) т. е. изменение направления тока приводит к 9-кратному увеличе- увеличению смещения оси. Стелларатор с пространственной осью при /=0 — это практиче- практически бесшировая система, \i — const, слабая зависимость ц, от радиу- радиуса появляется лишь при большом давлении плазмы. Именно вслед- вследствие бесшировости вакуумной конфигурации такого стелларатора уравнение для смещения содержит лишь производные А" и А', а сама величина А в уравнение не входит (нет выделенного цен- центра). Рассмотрим более сложный случай стелларатора с широм. Стелларатор с винтовыми полями. На начальном этапе экспе- экспериментальных исследований для создания вращательного преобра- преобразования использовалось простейшее средство — закручивание гео- геометрической оси стелларатора (первый стелларатор — восьмерка Спитцера [1, 2]). После того как теоретически было показано [36], что для устойчивости плазмы в стеллараторе необходим шир (отсутствующий в стеллараторе с пространственной осью) и был указан практический способ создания в стеллараторе вращатель- вращательного преобразования, зависящего от радиуса, — использование вин- винтовых полей — произошел переход к стеллараторам с плоской осью с винтовыми проводниками [2]. Стеллараторы с широм принципиально отличаются от бесширо- вых тем, что имеют выделенную ось — ось, на которой вакуумное вращательное преобразование минимально. Формально наличие такой оси проявляется в том, что смещение магнитных поверхно- поверхностей равновесной конфигурации описывается более сложным, чем E.27), уравнением A.44), содержащим, кроме производных, и само смещение. Это приводит к двум важным следствиям, которые мы обсуждали в разд. 1.4,— своеобразной упругости магнитных по- поверхностей и наличию критического давления. Линейное уравнение A.44) пригодно для описания лишь внеш- внешней части плазменного шнура в стеллараторах с широм. В качест- качестве множителя при А" и знаменателя в правой части оно содержит (при (ij=0) функцию [X/i(a)—вакуумное вращательное преобразо- преобразование, которая может обращаться в нуль на оси (в трехзаходном стеллараторе, например, вблизи оси \ih = М.2Я2, \i2 = const). Непри- 246
годность A.44) для описания всего шнура видна в этом случае уже на примере решения A.45) однородного уравнения A.44). Уравнение, позволяющее описать весь плазменный шнур пол- полностью, включая магнитную ось, было получено (без разложения по Л/а [40—43, 65], пригодного лишь для периферии) в [67]. Это уравнение даже при небольшом давлении плазмы в стеллараторах с широм становится нелинейным. Нелинейность возникает вследст- вследствие сильной зависимости вращательного преобразования \i(a) от смещения, которая не учитывалась при выводе A.44). Для стелла- ратора, вакуумное поле которого имеет вращательное преобразова- преобразование Ust = f*o + М-зР2 + М^Р*. E-44) эта зависимость такова [67]: |х (а) = ц„ A - А'2/2) + ц2 (а2 + 2А2 - ± + ЗД4 — а*Д'2/2) + (Ш/аФ') A — А'"/2). E.45) Эта формула применима как к обычным стеллараторам с круговой осью, так и к стеллараторам с винтовой осью (цо = —"&R, ц.2 = щ=0), к комбинированным стеллараторам [151] (|xst = [W+M./i) и к тока- макам ((ял = 0, ц/=^0). Она может быть переписана в виде ц (а) = [iist (а) + pj (а)] A - Д'2/2) + Д* [2fx2 + Зц4 Bа2 + Д2)]. E.46) Здесь геометрический множитель A—IS.'2/2) в первом слагаемом описывает уменьшение вращательного преобразования на перифе- периферии шнура (на оси Д' = 0 величина |Л'| растет к краю). Второе неотрицательное слагаемое, максимальное на магнитной оси, опи- описывает увеличение вращательного преобразования в центральной части плазменного шнура при смещении магнитных поверхностей. Отметим, что изменение \а{а) зависит лишь от модуля смещения, но не от его знака. Простейшее уравнение для смещения в стеллараторе с |xst (p) = = ^о+М'2Р2. позволяющее описать как двухзаходные стеллараторы, в том числе и с большим широм, так и трехзаходные, А" + -№Ид'+ -ЗИ-Д- *В!*-(НП-±№„Щ?\ E.47) отличается от A.44) лишь тем, что при выводе E.47) учтено от- отличие \i(a) от fXst(a). Как и A.44), это уравнение, полученное как частный случай более общих нелинейных уравнений для смещения и эллиптичности [67], применимо лишь при | Л' | <^ 1, но в отличие от A.44) для всего плазменного шнура, включая магнитную ось. Нелинейные уравнения для смещения А и эллиптичности а в стеллараторе с Hst = Ho+H2P2, аналогичные уравнениям E.36) и 247
E.37) для случая jj,st = —и/? = const, имеют вид [67] д" + _И±!1 д' + 3±. А = _ W*L ( 1 + JEL + J- а' - А А' «V f* щРВ* I 2а Т 2 4 —^ Г-|- (ааД)' АА'21; E.48) а3ц.2 5>4 Здесь %' = 2лаВ0ц(а); % — полоидальный магнитный поток, отсчи- отсчитываемый от магнитной оси. Подобные уравнения, полученные в [45] для внешней области плазменного шнура (разложением по А/а), использовались при исследовании устойчивости плазмы по отношению к желобковым и баллонным возмущениям [45] и при изучении влияния на равновесие магнитного бугра [48]. Нелинейные уравнения E.48) и E.49) и аналогичные более сложные уравнения [67] для случая jxst = м-о+ М^гр2 + М-4Р4 + }Хбр6, позволяющего учесть четвертую и пятую гармоники винтового по- поля, хотя и позволяют описать плазму более высокого давления, чем уравнение E.47), обладают все же ограниченной областью приме- применимости. Расчеты показывают (см., например, [72, 101]), что при высоких, но еще далеких от предельного давлениях магнитные по- поверхности могут так деформироваться, что для их описания уже явно недостаточно двух параметров — смещения и эллиптичности (рис. 14, 21). Введение треугольности, четырехугольное™ и т. д. сильно осложняет аналитическое описание, поэтому многопарамет- многопараметрические модели используются лишь в численных кодах [107, 152, 153]. 5.2. Эволюция равновесия плазмы в стеллараторах Рассмотрим в рамках метода заданного давления [138, 140] эффекты, сопровождающие повышение давления плазмы или изме- изменение его профиля. Необходимость такого рассмотрения диктует- диктуется широким использованием мощных источников нагрева, способ- способных за короткое (много меньше скинового) время существенно по- повысить давление плазмы. Равновесие плазмы в стеллараторе при быстром повышении давления. Возможность получения в сталлараторе больших C свя- связывается обычно с благоприятной для устойчивости плазмы зави- зависимостью от радиуса угла вращательного преобразования [20, 42— 46, 50, 69, 75] и с возможностью работы стелларатора в бестоковом режиме [1, 2, 17—19]. Вращательное преобразование ц=—ip'/Ф', 248
как это следует из общих формул B.81), складывается в стеллара- торе из двух частей — «токамачной», пропорциональной продольно- продольному току, и чисто стеллараторной, определяющейся только формой магнитных поверхностей B.177): ц (я) = ./ДссггФ / — о^з/о^г. Здесь a ik = <g?fc/Vg%,j в системе координат с ВСЛ. Уже из простейших уравнений для смещения E.47) и эллип- эллиптичности E.49) видно, что рост давления плазмы или изменение его профиля, включение дополнительных внешних полей (например, по- поперечного для коррекции положения плазменного шнура) могут приводить к существенным изменениям внутренней геометрии. Это, в свою очередь, приводит к сильному изменению геометрической (не зависящей явно от тока /) части вращательного преобразова- преобразования, так что в конечном итоге профиль ц(а) может стать даже не- немонотонным [50, 101], что неблагоприятно для устойчивости. Общая тенденция изменения профиля \i в бестоковом стеллараторе при смещении магнитных поверхностей видна из E.46): на периферии плазменного шнура вращательное преобразование уменьшается, а в центре возрастает при [x'st(p)>0 или сохраняет прежнее значе- значение при |/st(p) =0 [67]. Здесь по-прежнему символом \ist обозначе- обозначено вакуумное вращательное преобразование в отсутствие сдвигаю- сдвигающих магнитные поверхности поперечных полей. Основой для анализа временной эволюции профиля \i(a) может служить уравнение B.114) или эквивалентное ему B.116). По по- порядку правая часть B.116) может быть оценена как 4nj/tSk, где Tsk = cr н Ь2 — скиновое время, которое, таким образом, является ха- характерным временем изменения ц. Если же разогрев плазмы про- производится быстро, за время Tft<Ctsk, то профиль ^ (<!>)> как следует из этого уравнения, должен остаться неизменным. Это возможно при изменении геометрических величин а,-йв B.117) лишь за счет генерации продольного тока J — ОС22Ф' (fi (а) + «2з/«22), E.50) где а « — величины, соответствующие конечному (после нагрева) равновесному состоянию. Используя величины а а D.29), характе- характеризующие произвольную (не обязательно с ВСЛ) потоковую систе- систему координат, выражение для возникающего при быстром нагреве плазмы продольного тока можно записать в виде J = Индексом 0 здесь обозначено усреднение по 9. Эта формула по- получается из двух последних уравнений D.21), где членом а2зф' мы пренебрегли. Напомним, что в D.21) ri = r|(a, 0), что обеспечивает- обеспечивается выбором Я, на первом шаге D.7) перехода к потоковым коорди- координатам. В системе координат с ВСЛ а|3не зависит от 0, в этом случае E.51) сводится к E.50). 249
Для стелларатора, вакуумные магнитные поверхности которого в среднем круглые и концентричные, ^0 = я|ь(р)> величина а|3 выра- выражается с помощью D.29) и D.61) непосредственно через вакуумное вращательное преобразование M-st(p) (эта формула пригодна и для стеллараторов с винтовой осью): сс1з = — (pu/RD) \ist (p). E.52) Если в начальном состоянии давление плазмы мало, то ц(а) после быстрого подъема давления просто совпадает с Hst(o). В этом слу- случае формула E.50) принимает вид E.53) '\ PDR /e R(9D)e Входящие сюда геометрические величины вычислены в приложе- приложении 3 для модели E.4) слабоэллиптических (при конечном давле- давлении плазмы) магнитных поверхностей. Используя эти выражения и разложение E.44) |xst(p) по степеням р2, легко привести E.53) к виду E.45), где в правой части мы должны положить ц (а) = = ^@). Получаем, таким образом, явную связь тока, возникшего в плазме при быстром ее нагреве, со смещением магнитных по- поверхностей [67]: Мы воспользовались здесь приближенным равенством Ф' И ПОЛОЖИЛИ ДЛЯ ПрОСТОТЫ (Х4 = 0. При выводе формулы E.54) учтена лишь вмороженность пото- потоков внутри плазменного шнура. Она обеспечивается возникновени- возникновением объемного тока E.54). Теперь следует учесть и вморожениость внешнего полоидального потока — между плазмой и кожухом или хорошо проводящими катушками продольного поля. Приравнивая, как и в плазме при a<.b, \i(ac, t=—0) и ц(ас, ^=+0), где ас — ра- радиус кожуха, получаем выражение для полного продольного тока, текущего в плазме: ^ -^. E.55) В E.55) учтено, что Д(ае)=0. В вакуумном промежутке Ь<.а<.ас, Ца, ?=0)=/o = const. Несовпадение пределов lim /(с, t=0) и lim J(a, t=0) означает, что по поверхности плазмы течет по- а-Ъ+О верхностный ток. Этот ток Js равен разности токов /0 и / E.54) для а = Ь: js = _*Й1 ( ± ,х0 Ш2 (ае) - Ь*А'2 ф)} + ± (alA'2 (ае) - 64А'2 (Ь)) + 2Л2 F)] j. E.56) 250
Поверхностный ток должен течь и по кожуху, так как полный ток /(ас+0, ?=0) должен быть равен нулю (внешний по отношению к проводящему кожуху поток магнитного поля не изменяется). Ес- Естественно, поверхностный ток — это идеализация, связанная с ис- используемой при описании упрощенной моделью (резкая граница, высокая проводимость). Формулы E.54) — E.56) совместно с уравнениями равновесия E.48), E.49) полностью описывают генерацию продольного тока при быстром нагреве плазмы в стеллараторах. Генерация тока может быть легко обнаружена экспериментально. Ток, который можно измерить поясом Роговского, помещенным в вакуумный про- промежуток b<Ca<iac, определяется формулой E.55). Он несколько меньше полного объемного тока E.54), так как его частично ком- компенсирует поверхностный ток E.56). Распределение объемного тока, индуцированного при быстром нагреве плазмы, существенно зависит от профиля ^ist(p)- В стел- стеллараторах без шира (й2 = 0) как в двухзаходных (щ = тг22/4) ти- типа WVII-A, так и в стеллараторах с винтовой осью (цо=—и/?) типа асператор ток E.54) скинирован. На магнитной оси средняя плотность тока / = //яа2 обращается в нуль: к=о=МВД)Д'2, E-57) на оси Д'@)=0. Величина |А'| растет к краю плазменного шнура, индуцированный ток течет на периферии шнура. В стеллараторах же с широм вакуумного поля (ц.2=^0), в кото- которых геометрическая ось является физически выделенной, распре- распределение индуцированного тока значительно сложнее. В трехзаход- ном стеллараторе L-o = Ц2 (Во/Я) (а2А'а - 4Д2). E.58) Ток течет во всем объеме плазменного шнура, причем на оси и на периферии шнура — в противоположных направлениях. При значи- значительных смещениях магнитной оси относительно геометрической в приосевой области индуцируется довольно сильный ток с плотно- плотностью 7о=«—4[х25оАо2/^<О. При этом в зависимости от граничных условий полный объемный ток может оказаться положительным (/>0), если смещение на краю мало, либо отрицательным (/< <0), если смещение границы велико. В первом случае кроме тока, текущего в приосевой области, более сильный ток противополож- противоположного знака течет во внешней области плазмы. Во втором случае должен возникнуть сильный поверхностный ток /s>0, поскольку /0=/(frL-/s>0 согласно формуле E.55). Генерация продольного тока при быстром нагреве плазмы воз- возможна и в токамаках (nst = O). При наличии внешней ЭДС для описания генерации тока достаточно учесть не зависящий от вре- времени продольный ток омического нагрева. Как нетрудно видеть из E.45), при быстром нагреве плазмы в токамаке полный ток воз- возрастает, дополнительный ток скинирован. Генерация тока на оси — 251
особенность стеллараторов с широм. Этот эффект связан с тем, что магнитная ось попадает в область, где вакуумное вращательное преобразование больше, чем было на несмещенной оси. Для получения явной зависимости генерируемого тока от давле- давления плазмы необходимо решить уравнение для смещения E.48). Рассмотрим случай jX2 = 0, когда для оценки тока достаточно вос- воспользоваться линейным уравнением для смещения, справедливым при |Д'|<1, (а3А'У = — 2p'a?kR2/(poBb), E.59) которое получается из E.47) в пренебрежении малым членом по- порядка А. Решение этого уравнения при произвольной зависимости р(а) имеет вид kR* P (а) А' = kR* Р а Ь* а3 а<Ъ; E.60) а>Ъ, где р = рF); р(а) определяется формулой E.33), а р(а)=2[р(а)— -р(а)]/В0*. Подставляя А' в E.54) и E.55), получаем явную связь тока с давлением плазмы J(a, 0) = р.(а)-=*?-*„ а<Ь; .4 E-61) а Ток, который можно измерить сразу же после быстрого нагрева плазмы, определяется формулой E.61) для Ь<.а<.ас. Он может оказаться довольно большим. Так, для стелларатора с винтовой осью при k = K, x6 = 0,l, 6 = 10 см, Ь/ас = 0,9, Во=0,5 Тл генерируе- генерируемый ток при р=5% равен 2 кА. Для стелларатора WVII-A, пара- параметры которого [17] # = 200 см, цо=0,23, Ь/ас=10/17, 50=3,5 кГс, при р=0,1 % ток E.61) составляет 20 А. При оценках следует иметь в виду, что для того, чтобы привести E.61) в гауссову систему еди- единиц, ток / следует умножить на 4я/с, где с — скорость света. Фор- Формула E.61) получена при условии lA'l^l, поэтому в E.61) можно подставлять лишь р, не превышающие равновесный предел. Заме- Заметим, что измеряемый ток существенно зависит от ширины вакуум- вакуумного зазора. Если кожуха нет (ас->-сю), то /о = 0, объемный ток пол- полностью компенсируется поверхностным. Мы рассмотрели до конца лишь случай ц = const. Решение за- задачи эволюции в стеллараторах с широм требует применения чис- численных методов. Эволюция равновесия плазмы в двухзаходном стеллараторе при вмороженности магнитных потоков численно ис- исследовалась в [68]. Было обнаружено, в частности, что при нагре- 252
ё6 плазмы в вей индуцируется продольный ток. Этот результат численного счета в [68] объяснен не был. Релаксация равновесия после быстрого нагрева. Возникший при быстром нагреве плазмы продольный ток из-за конечной проводи- проводимости плазмы о и затухает, при этом меняется вращательное пре- преобразование и равновесие эволюционирует к стационарному со- состоянию. Преобразуем уравнение эволюции B.114) к виду, более удобному для описания затухания тока. С помощью уравнения Крускала — Кульсруда A.3) оно приводится к виду фг|/ _ ф> = J'^Jp' V, E.62) где (B2)—(F<b'—/ф'/V" — среднее по слою между близкими маг- магнитными поверхностями. Мы рассматриваем случай сильного про- продольного поля, поэтому в этом уравнении можно пренебречь чле- членом Ф/Ф' по сравнению с if>/i|/, вместо <В2> подставить В02. Учи- Учитывая, что с высокой точностью Ф' = 2лаВ0, V =4л2(Уg )e,?=2naL, из уравнения E.62) получаем при естественном допущении |/'/^ |^> ~^>\р'/В02\ [при ^ = 0 это неравенство следует из E.54) или E.61)] — (*о — %) = — 1', E.63) dt alla где % — внутренний полоидальный поток A.2), и, дифференцируя по а, Ж-=Л-\-*-Щ. E.64) dt да 1ст||а да J V ' Входящую сюда величину % выражаем из первого уравнения B.81): %' = - (с&/с&) Ф' + У/с&. E.65) Коэффициенты а « легко вычисляются с помощью формул, приве- приведенных в приложении 3. Если давление плазмы ниже равновесного предела, который оп- определяется при равном нулю продольном токе, то в процессе релак- релаксации смещение и эллиптичность в стеллараторах с цо=/=0 и малым широм меняются слабо. Это следует из уравнений E.48), E.49): решая их при ^= + 0, когда \к{а)=\х,^(а), и при ?= + °о, когда воз- возникший при быстром нагреве ток затух, можно убедиться, что в процессе релаксации равновесия внутренняя геометрия плазмы ме- меняется незначительно. Подчеркнем, что это утверждение справед- справедливо лишь при P<peq — максимального по равновесию р. Если же PPq, то конечного равновесного состояния с / = 0 не существует. Итак, при p<peq, дифференцируя по времени %' E.65), можно отбросить малые члены и оставить только (агг)/. Учитывая, что с высокой точностью a.22 = R/a, из E.64) получаем уравнение, опи- описывающее затухание продольного тока: iL=flJ_r_L.ii1 E.66) dt да L al\a да \ 253
Это уравнение, полученное в пренебрежении малыми по сравнению с единицей членами р, kb, А'2, /Д'//Д', имеет такой же вид, как и для цилиндра. При (Гц = const его общее решение записывается J{a, f) = J C"fl/i(УпФ) ехр (-т„*/о-ц62), E.67) где /i — функция Бесселя. Вне плазмы, где оц =0, J=J0(t). Значение тока при t=0 известно [см. E.54), E.55)]. Остается поставить граничные условия. Этим условием является равенство нулю электрического поля на проводящем кожухе. В сильном про- продольном поле при дФ(Ь, t)/dt=O это условие сводится к требова- требованию ?3|а=ь = —сН|зF, t)/dt—O. Поток i|>, равный ifH—х. зависит от потока %, определяемого уравнением E.65). Интегрируя %' в ва- вакуумном промежутке Ь<.а<ас, где J=J0(t), получаем с точностью до малых членов X (a, t) = х Ф, t) + Jo (t) R In {alb) + л (а2 - 62) FoBo. E.68) Теперь, учитывая, что потоки и их производные по времени явля- являются непрерывными функциями а, и, используя уравнение E.63), получаем с) -*^ jt /t. C\ f\ J? I In ^ C\ (^\ fiQ^ gexpl--^-]. E.70) _ a b ^ ' u a ОТ || у Его решение, убывающее до нуля при t-+°o, имеет вид _ Yn In (ac/6) В любой момент времени, кроме t=0, ток — непрерывная функция а, т. е. Jo{t)=J(b, t). Сравнивая E.67) и E.70), получаем урав- уравнение которое сводится к 6)-/0(Tn) = 0 E.72) и служит для определения величин уп. Заметим, что при этом функ- функции Jo{yna/b) ортогональны с весом а на интервале @, Ь). Это не- нетрудно показать, используя хорошо известную формулу { а \ . ,, «iJ'n (ai) Jn Ш — a2Jn (ax) j' (a2) Г2 т/dG=й ^г^ •E73) О ^ 1 Коэффициенты Сп определяются начальными условиями. Вместо тока E.67), который выражается через функции Ji(yna/b), удобно при определении Сп использовать производную /', которую можно 254
представить в ЁиДе Г {а, * = f/o(vnf> а<Ь, E.74) О а > Ь. Производная /' выражается с помощью полной системы ортого- ортогональных функций {Jo{yna/b)}. С другой стороны, из полученных формул для продольного тока следует dJ (a, / = 0) Г (a,t = O) = . да J,8(a — О а<Ь; а = Ь; а>Ь. E.75) Эту производную с б-функцией, учитывающей скачок тока на гра- границе плазмы, следует рассматривать как обобщенную функцию [154]. По общим правилам (см., например, [155]) получаем для коэффициентов Сп уравнения: 1 Уп dJ(a, t = да a<b E.76) где n т) — квадрат нормы функции Бесселя. Эта формула легко получа- получается из E.73) при переходе к пределу при ci2-»-ai и раскрытии не- неопределенности в правой части. Теперь, когда определены коэффициенты Сп и уп, задача релак- релаксации тока решена полностью. Индукционный ток, возникший при быстром нагреве плазмы, затухает с характерным временем %=а \\Ъ2/у\2. Для описания ре- релаксации в формуле E.67) достаточно оставить несколько первых членов, потому что они описывают более медленные изменения то- тока, чем последующие члены. Числа уп составляют последователь- последовательность, немного (особевно при больших п) отличающуюся от после- последовательности корней функции J\{x), что следует из E.72), где при больших п второй член мал, lim Jo(yn)/yn~O. Из асимптотической л-»оо формулы для функции Бесселя v-ro порядка 2 jtv — E.77) 255
следует, что каждый следующий коэффициент уп при больших п больше предыдущего на я/2. Первый корень уравнения E.72), -уь находится в интервале 0<Yi<2,4. Следующий, у2 — между вторы- вторыми корнями функций /i и /0: 3,8<Y2<5,5. Для отношения уп/у2 можно пользоваться оценкой уп/у2^п—1. В процессе релаксации тока существенно изменяется его рас- распределение. Так, в стеллараторе без шира, где ток при ?=0 скини- роваи, возникает ток и на магнитной оси. Из-за быстрого затуха- затухания поверхностного тока меняется полный ток Jo(t), который можно измерить электротехническими методами. Значение J0(t) может даже возрастать в начальный момент, так что можно зарегистриро- зарегистрировать ток, который при / = 0 был полностью компенсирован поверх- поверхностным током Js. Эффект генерации тока может быть использован для целей ди- диагностики плазмы. Ток, индуцированный при быстром нагреве плазмы, определяется значением р, а время его затухания зави- зависит от or и . Таким образом, по току и его производной dJ/dt можно оценить р и сг к. 5.3. Об особенности диамагнитного эффекта в стеллараторах Среди методов бесконтактной диагностики плазмы одними из самых простых являются измерения диамагнитного эффекта. Техника этих измерений на токамаках и стеллараторах экспери- экспериментаторами хорошо освоена [156—160]. В случае токамака ин- интерпретация результатов измерений не вызывает сомнений. Полу- Полученная еЩе в 1958 г. простая формула [161], связывающая отноше- отношение газокинетического давления плазмы к магнитному р = 2р/В02, относительное изменение потока продольного поля в сечении плаз- плазменного шнура ДФ/Ф и квадрат отношения напряженностей поло- идального поля Bj = J/Bnb) и тороидального Во, — Р E.78) позволяет без труда по данным измерений определить энергосодер- энергосодержание плазмы (см. также [162 и 163]). Для стелларатора эта формула требует уточнения: при ее вы- выводе необходимо учитывать модуляцию (зависимость от ?) полей и токов. В конечном итоге различие проявляется в том, что выра- выражение для АФ/Ф содержит дополнительный член, пропорциональ- пропорциональный отношению напряженностей полоидального поля тока и про- продольного тока, т. е. диамагнитный сигнал зависит от направления тока омического нагрева. Впервые эта зависимость была экспериментально установлена Э. Д. Андрюхиной и О. И. Федяниным на стеллараторе «Ливень-2» [159]. В этой же работе был проведен и теоретический расчет эф- эффекта. Одновременно в [164] был получен несколько отличающий- отличающийся результат. Еще одно выражение для АФ в двухзаходном стелла- стеллараторе с током омического нагрева, не совпадающее с аналогич- 256
Рис. 30. Схема диамагнитных измерений: / — измерительный контур; 2 — граница области ус- усреднения; 3 —граница плазмы ными формулами предшествующих работ [159, 164], было получено М. И. Михайло- Михайловым [65]. Причины различия этих трех резуль-| татов объяснены в [165]. В токамаках1 и стеллараторах с камерой круглого се- сечения изменение в процессе разряда про- продольного потока измеряется обычно с помощью круглой петли r=const. В [164] был рассчитан диа- диамагнитный сигнал АФ через некруглый контур, лежащий на магнит- магнитной поверхности, в предположении неизменности полного тока в плазме, который в начале разряда (Р = 0) сосредоточен на оси, и неизменности внутренней геометрии системы с ростом р. Хотя расчеты в [164] верны, постановка задачи несколько искусствен- искусственная. В [159] вычислялся сигнал АФ через круглый контур, но бы- были допущены ошибки: не полностью учтена модуляция плотности тока, усреднение по углу ф при г=const ошибочно отождествляет- отождествляется с усреднением вдоль магнитной поверхности. Результат расчета в [65], выполненного для двухзаходного стелларатора корректно и без модельных предположений, верен. Однако вычисления, в ходе которых вначале совершается переход от опорной системы коор- координат к потоковой, а затем обратно, неоправданно сложны. Заме- Заметим, что высказанное в [65] предположение о причинах отличия полученного для ДФ выражения от аналогичного результата в [159] неверно. Следуя [165], где использован простой метод расчета диамаг- диамагнитного эффекта, сходный с предложенным в [159], рассмотрим прямой стелларатор и вычислим для него АФ методом разложения. Все вычисления проведем в обычной цилиндрической системе коор- координат г, ф, z, ось z которой совпадает с прямой осью стелларатора. Малыми параметрами будем считать ел= [В|/Бо, Bj/B0 и р. Здесь и далее 2я А = Лгег + ЛАр + Azez, A = A —A. Для стеллараторов, в которых зависимость физических величин от ф и г имеет вид 2Япехр(ш(ф—anz)), усреднение по ф, очевидно, эквивалентно усреднению по z. Продольный поток Ф, охватываемый круглым измерительным контуром r=c — const, лежащим в плоскости г = const (рис. 30), Ф = J Вгг dr dy = 2я J Bzr dr, E.79) 17 Зак. 1441 257
изменяется в процессе разряда из-за вызванного полоидальныМй токами изменения поля Вг. Связь Вг с /ф дается ф-й компонентой уравнения Максвелла j = rot В: dBJdr = — /ф + дВт1дг. E.80) Умножая это уравнение на г2 и интегрируя по г и ф, получаем E.81) где Bze=const — среднее продольное поле вне плазменного шнура. Круглой диамагнитной петлей г —с измеряется разность потоков Ф E.81) в момент разряда и Ф0=пс2В0 — вакуумного потока при р = 0 (и отсутствии токов в рабочем объеме): АФ = яс2 (Ви — Во) + л j /фгУл E.82) о Обычно диамагнитным сигналом называют второе слагаемое в E.82), описывающее изменение в процессе разряда Ф, связанное только с диамагнитными плазменными токами. Для того чтобы отделить его от изменения Ф из-за непостоянства во времени внеш- внешнего продольного поля [первое слагаемое в E.82)], необходимо контролировать ток в катушках продольного поля. При быстром на- нарастании давления плазмы он должен так измениться, чтобы обес- обеспечить сохранение полного потока продольного поля, охватываемо- охватываемого этими катушками. В некоторых экспериментах на токамаках этот эффект использовался для определения изменения потока 6Ф в сечении плазменного витка [156, 157]. Изменение тока в ка- катушках продольного поля в эксперименте может быть легко опре- определено, поэтому первое слагаемое в E.82), связанное с отличием Bze от Во, при измерениях можно компенсировать [159], так что бу- будет измеряться АФк = п^^гЧг, E.83) о где индекс k указывает на то, что часть сигнала компенсирована. Усредненную ф-ю компоненту плотности тока, входящую в E.83), будем определять из общего выражения j = [Вур]/В2 + аВ E.84) методом разложения. При малых |3 вклад в /ф диамагнитного тока [первое слагаемое в E.84)] достаточно учесть в низшем прибли- приближении, в то же время при усреднении слагаемого аВ необходимо сохранить квадратичные по гн члены: -j =Л.^+аВ9 + Щ. E.85) В2 dr Специфическая для стеллараторов зависимость диамагнитного сиг- 258
нала от направления тока омического нагрева связана именно с наличием а?фв E.85). Легко убедиться, разлагая a = jB/B2 по ел, что о = /В/В2; a - (fB + J В — 25вб)/В2. E.86) Как обычно, поле В можно считать известным, поэтому для того, чтобы вычислить аВф , нужно выразить j в E.86) через В и средние поля и токи. Для случая, когда порядок всех входящих в E.85) членов одинаков (только тогда и может проявиться обнаруженный Э. Д. Андрюхиной и О. М. Федяниным эффект [159]), полоидаль- ная составляющая j, определяемая из E.84), равна Ь = «Sp. E.87) ЗдесьЪр = В—Bzez. Уравнение непрерывности тока div j = 0 прини- принимает с учетом E.87) вид djjdz = adBJdz — Вруа, E.88) где с помощью divB = 0 исключена div Вр, и позволяет опреде- определить ~}г: \ = a Bz — R% ya. E.89) По аналогии с D.15) переменную часть неопределенного интеграла j / dz обозначаем Rf; 2nR— полная длина системы (по оси z). Подставляя теперь j в формулу E.86) для а, получаем a = — (Sz/B2) ^Bpya + (j — аВ)В/В2. E.90) Последним членом, содержащим лишь поперечную компоненту j, можно при малых Р пренебречь. В этом случае В2 52 dr 2ni?S0 dr где 1|з0 — это функция, о которой уже шла речь в гл. 1 и 3; см. так- также приложение 2. Отметим, что для плазменного шнура с круглым в среднем сечением \jpv = tyv(r). После подстановки /ф, выраженной через средние величины, в E.82) и простейших преобразований для ДФь получаем формулу A(Dft = - (р/2) я&»В0 + Л/(8пВ0) + ДФ84, E.92) где Ь — средний радиус плазменного шнура; /&¦—полный ток в плазме (Bj = Jb/{2nb)); с Дф. = L_ Г ) А (ГЧ _) dr. E.93) st 2RB0 )lz drK ^v' о 17* 259
Связь D.61) ijju (г) с [1л(г) позволяет переписать E.93) в более удобном для практического использования виде: E-94) A°st=f hi {** f№ (p) Adr- Формула E.92) отличается от аналогичной для токамака нали- наличием члена A<J>st (в [159] ему соответствует член 4яФз), знак кото- которого определяется знаком ]2. Как видно из E.94), A<Dst существенно зависит от распределения ]z. Наибольшее значение A<I>st может иметь при скинированных профилях ]г(г), поскольку множитель при Jz в подынтегральном выражении E.94) является растущей функцией радиуса. Заметим в заключение, что вычисления АФ просты лишь для круглого в среднем плазменного шнура и круглого измерительного контура. При больших р, сравнимых с peq, определение АФ возмож- возможно лишь после решения уравнений равновесия. Зависимость диамагнитного сигнала от направления продольно- продольного тока является следствием «трансляционного преобразования» [146] полоидального потока в тороидальный, которое, как и ана- аналогичное вращательное преобразование, осуществляется с помощью внешних винтовых полей. Этот эффект особенно ярко может про- проявиться в пинчах — конфигурациях со слабым продольным полем. Как известно, в стабилизированном пинче в результате неуправ- неуправляемого процесса перехода конфигурации в устойчивое состояние возникает самопроизвольное обращение продольного поля. При этом обеспечивается необходимый для устойчивости монотонный профиль q (запас устойчивости по терминологии токамаков) с об- обращением на границе плазмы. В винтовом пинче, который получа- получается из обычного стабилизированного пинча при наложении допол- дополнительных винтовых полей, обращение q может частично или пол- полностью осуществляться за счет трансляционного преобразования, порожденного внешними винтовыми полями. Такая конфигурация, в которой обращение q осуществляется в результате управляемого процесса, была предложена Т. Окавой [146]. (В предложении Ока- вы речь идет не об обращении продольного поля локально в каж- каждой точке по азимуту, а о более тонком эффекте, таком же, как эффект вращательного преобразования в стеллараторах.) Наличие эффекта трансляционного преобразования и его основ- основные свойства можно установить при анализе самых общих МГД- уравнений. В частности, зависимость Ф от / следует уже из уравне- уравнений B.103), связывающих токи с потоками. Для пинчей с обращен- обращенным полем, где g<Cl, кривизна тора, в отличие от токамака (<7~1), не играет существенной роли, поэтому винтовой пинч можно рас- рассматривать в приближении винтовой симметрии, считая, что его ось — прямая. Равновесие плазмы в конфигурации с винтовой симметрией опи- описывается уравнением C.8). Входящие в C.8) поток ф и ток F свя- 260
заны с внешними полоидальными потоком г|)ш и током / соотно- соотношениями: П;+Г} Из E.95) и B.103) следует, что Ф' = Л (/ + pJ), E.96) где Л = а202 [а2о2а3°з - (аЦзJ]; p=N- a°23/a°22. При цФО продольный поток явно зависит от продольного то- тока, что и является проявлением трансляционного преобразования. Величина ц определяется только формой магнитных поверхностей (при круглых поверхностях (х = 0). В двухзаходной конфигурации, например, магнитные поверхности которой — несмещенные эллип- эллипсы [см. C.60)], с помощью C.61) легко получить для ц формулу E-97) аналогичную формуле A.16) для вращательного преобразования \щ- Уравнение E.96) показывает, что в принципе эффект трансля- трансляционного преобразования может помочь обращению (переходу че- через ноль) величины q = —Ф'/if,/, характеризующей шаг силовых линий. Однако формула E.96) еще не доказывает возможности предложенного в [146] стационарного поддержания обращенного профиля q за счет трансляционного преобразования. Для осуще- осуществимости длительного, стационарного поддержания такой конфигу- конфигурации нужно, чтобы она была совместима с законом Ома. Закон Ома [уравнение эволюции B.114) или B.118)] вместе с интегральными соотношениями B.103) при заданном давлении (|) однозначно определяют распределения токов и потоков. Для г^=-Ф'IBла) из этой системы получается уравнение [141] E.98) <В*> • a\Aj • " <В»> V ао2 Отсюда следует, что стационарная конфигурация с обращенным ша- шагом силовых линий возможна. Но для ее поддержания одного толь- только условия (х=т^0 недостаточно. Необходимо, чтобы была отлична от нуля величина [х'(а)=с?ц/с?а. В этом случае при обращении Бг в нуль производная В/ отлична от нуля [последнее слагаемое в уравнении E.98)] и Bz может перейти через нуль. Возможность получения стационарных конфигураций с обращением шага сило- силовых линий за счет одного только трансляционного преобразования была доказана детальными численными расчетами [111]. 261
Глава 6. МГД-НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПЛАЗМЫ 6.1. Уравнения малых колебаний Как известно, для равновесных плазменных систем наибольшую опасность представляют МГД-неустойчивости, имеющие большой инкремент и приводящие поэтому к быстрой перестройке началь- начального (неустойчивого) равновесия. Изложению теории МГД-неустой- чивостей плазмы посвящен ряд обзоров и монографий (см., напри- например, [29, 31, 109, 166—168]). Со времени их публикации теория по- пополнилась исследованием баллонной моды неустойчивости в ре- реальных конфигурациях. Эта неустойчивость во многом определяет предельно осуществимое давление плазмы в магнитных системах. Вместе с тем в областях с малым широм достаточным критерием устойчивости локальных мод является критерий Мерсье. В отличие от критерия устойчивости баллонных мод, получение которого требует решения дифференциальных уравнений для кон- конкретной геометрии системы, критерий Мерсье записывается в яв- явном виде через равновесные величины. Несмотря на важность кри- критерия Мерсье, в литературе нет простого изложения его вывода. Нам представляется уместным дать такой вывод наряду с выводом уравнения для баллонных мод. Приведем также вывод достаточ- достаточных критериев устойчивости, которые в случае стелларатора оказы- оказываются содержательными: позволяют найти |3, при котором плазма устойчива относительно произвольных возмущений в рамках иде- идеальной магнитной гидродинамики. Основу линейной теории МГД-устойчивости составляют линеа- линеаризованные уравнения идеальной магнитогидродинамики (МГД). В рамках МГД, являющейся простейшей моделью плазмы, находя- находящейся в магнитном поле, плазма рассматривается как идеально проводящая изотропная квазинейтральная жидкость, описываемая уравнениями (см., например, [29, 168, 169]): dp/d/ + divpv = O; F.1) р (dv/dt + (w) v) = - VP + [JB]; F.2) дВ/dt = rot [vB]; F.3) (д/dt + vy) (p/py) = 0; F.4) j = rotB; divB = 0, F.5) где p — плотность; v — локальная макроскопическая скорость эле- элемента жидкости; у — показатель адиабаты (в общем случае —по- —политропы). Символами р, j и В обозначены, как и раньше, давление плазмы, плотность тока и напряженность магнитного поля. Малые отклонения от статического равновесия без течений мож- можно описывать линеаризованными уравнениями F.1) — F.5) [29, 166—168]: dpi/dt + 6ivpv1=0; F.6) р dvjdt = - vPi + [JxB] + [jBJ; F.7) 262
SBjdt = rot [vxBJ; F.8) =-vlV(p/pv); F.9) j1 = rotB1; divBx=0. F.10) Здесь индекс 1 используется для обозначения малых возмущений, а равновесные невозмущенные величины обозначены символами без индексов. Вводя, как обычно, смещение 1 элемента плазмы, связанное с Vi соотношением Уг^дЦдг, F.11) для pi, pu Bt получаем из F.6), F.8), F.9) известные выражения Pi = — divpf; F.12) Pi = — YPdivg — 5vp; F.13) B1sQ = rot[|B]. F.14) Преобразуем теперь оставшееся уравнение F.7) к виду, удоб- удобному для исследования устойчивости мелкомасштабных возмуще- возмущений. Входящие в F.7) возмущения магнитного поля Q и плотности тока ji = rotQ выразим через вектор Т, который определим как Т^гоЩВ]+Ш.1щ. F.15) Здесь, как и прежде, а — метка магнитной поверхности. Уравнение F.7) прямой подстановкой величин vb plt ji и Bi приводится к виду при этом мы пользуемся лишь уравнениями равновесия A.1) и следствием определения F.15) Qya = By <&щ). F.17) Разлагая вектор Т по тройке ортогональных векторов Va, В и [BVa] Т = 7\уа + Тг -№?L — T3b, F.18) преобразуем первые два члена в правой части F.16): [rot ТВ] + [j, Т - (TVa) ^ ] = уа [ВуГ, - ^ Т2 - 2р'Тя + - FЛ9) Для завершения вычислений необходимо преобразовать выражения v . Для первого, используя вытекающее 263 rot "ya' и rot v- . Для первого, используя вытекающее из
уравнения равновесия Vp=fjB] представление j = аВ + [Bvp]/B2; а = JB/B2 F.20) и следствие уравнения divj = O Вуа = -р'[Вуа]уA/В2). F-21) получаем A + iBV?L5 F>23) / в2 rot=B + arotj + | V« 1а 1 V« Iя I V« l2 ва I Va I2 F.22) Легко убедиться, взяв проекции на векторы у«> [Вуя] и В, что _[Bv«L = _B_CdivB, _va_ IvM3 в* \ IvM2 где S= [By«] t [Bya] F24) 1 v« I2 lv«\2 Подставляя теперь F.19), F.22) и F.23) в F.16) и обозначая TQ=Bypdivt, F.25) получаем окончательно: Р-Цг = V^o + V« {^^V« + BV7\ + Г2 E - -p^) - 2p'T3 + div (Г2В + Та [BVa]). F.62) Величина /С, играющая в теории устойчивости важную роль, имеет вид К = -1— + ^-(р' + ^^-) - «S. F.27) Другое выражение для К получается исключением j2 с помощью F.20): ^(V\ JL v^^ + b2) F>28) B^ | Vfl I» * Итак, преобразовав правую часть уравнения малых колебаний F.7), мы привели его к виду F.26). Будем в дальнейшем пользо- пользоваться этим векторным уравнением, представляя возмущение | в виде [170] и проецируя F.26) на векторы В, [BVa]/B2 и Va/(B2|Va|2). Проекция F.26) на В pdh/dt2 = ВуГ0 F.30) 264
является простейшим из получающихся трех скалярных уравнений. Из этого уравнения следует, что продольная (вдоль В) компонен- компонента смещения 1 может возникать лишь благодаря сжимаемости плазмы (divi^O), да и то только в том случае, когда div§=^=/(a). Из F.30) следует также, что на границе устойчивости (ю = 0) в то- тороидальных системах с незамкнутыми силовыми линиями TQ = f(a) и, следовательно, VTo в этом случае не имеет проекций на В и [BVa]. Второе уравнение, позволяющее установить связь ц с |, простое -L^J1P^L = -^LVn + Bvr2+[Bva]Vr8, F.31) для мелкомасштабных квазижелобковых или баллонных возму- возмущений. При исследовании устойчивости относительно таких воз- возмущений, вытянутых вдоль силовых линий и сильно локализован- локализованных в поперечных направлениях, в правой части F.31) можно ос- оставить при о) = 0, т. е. при Т0 = Т0(а), лишь последний член, так как только в нем компоненты смещения дважды дифференциру- дифференцируются по направлениям [BVa] и Va (см. разд. 6.6). Последнее уравнение 1 ( уауГ0 д В2 1 | уа |2 Р г'Г В2 | уа I2 У дР | уа I2 В2 1 | уа |2 + Т2 (S - J^y) + ВуП + Ц F-32) оказывается самым сложным. Вместо него будем в дальнейшем пользоваться другим, которое получим из F.31) и F.32), действуя на F.31) оператором |Va|-2VaV, а на F.32)—оператором [BVa]V и вычитая из первого уравнения второе. Используя при этом векторное тождество ау (by/) = by (ау/) + (а div b — b div а — rot [ab]) у/ F.33) для исключения высших производных величин Т3 и То, получаем в ре- результате (вывод см. в приложении 4): В2 «S 7 I W I2 В2 V 2 - [BVfl] V в2 + Т2 [Вуа] у J^p— + 2р'Т3 [Вуа] у ж + g div asVa -l!LB(yT3 + -±r уГ0) - 2 Ж уГ0. F.34) Здесь использованы традиционные обозначения [109]: as = В2/| V^ |2; У3 = jB/| v« I2- F.35) Символом к обозначен вектор кривизны силовой линии A.10): v)= (Ву), В v J В 2Ва В4 v 2 18 Зак. 1441 265
направленный по нормали к силовой линии с модулем |к|, равным ее локальной кривизне. Уравнение F.34), полученное без предположений о виде смеще- смещения, существенно упрощается, если возмущения квазижелобковые или баллонные, а Т0 = Т0(а) (граница устойчивости). В этом случае в F.34) достаточно сохранить лишь первые три члена в правой части. Такое укороченное уравнение будем использовать в разд. 6.6 и 6.7. 6.2. Энергетический принцип Три уравнения F.30), F.31), F.32) [или F.34)] для компонент смещения §, к которым свелись линеаризованные уравнения дви- движения F.6) — F.10), могут быть получены и вариационным мето- методом с использованием принципа наименьшего действия [29, 171] 0, F.36) где Т — кинетическая энергия движения плазмы: * <6-37> a W — потенциальная энергия: W=—Lfe^dr = -±-^ (-VPl + tii*} + UBJ) dr. F.38) Действительно, последнее выражение приводится к виду (см. при ложение 5) W = — Г (т2 + — — Kl2 )dr = 2 J V УР I } dr. F.39) у J Чтобы получить из F.36) уравнения малых колебаний, нужно вы- выразить входящие в W функции Tt через |, т) и т. Подставляя F.29) в F.15), получаем для них с учетом F.18) 7\ = BV?/| W I2; F.40) ^2 = ^ [ВV4 + (YS-?)?]; F-41) Т, = v"V5 + 1DV"J VT| + -i- fdiv В2 -^- + 2рЛ F.42) | ya I2 B2 V ' ^ B2 \ |Va|2 ) Отметим, что величина Гз связана с ro=vpdiv§ соотношением (оно будет использовано при выводе уравнений баллонных мод в разд. 6.7) Т3 = Tjyp — div (тВ/В2) + 2gk. F.43) Здесь, как и прежде, к — кривизна силовой линии. 266
Пространственные производные функций |, ц, % входят в То—Т3 лишь в комбинациях вида qVy {у=Ь,, г\, т), поэтому при варьиро- варьировании F.36) для этих функций получаются уравнения: A2L^A^=0, F.44) divq0, ду d(qVy) dt ^ где y=dy/dt; %=k—w, a k я w — подынтегральные выражения Т F.37) и W F.39) соответственно. Используя F.40) — F.42), легко убедиться, что уравнения F.44) действительно приводят к урав- уравнениям малых колебаний, полученным в предыдущем разделе. Важное следствие принципа Гамильтона F.36) в идеальной МГД — сохранение энергии [29, 168, 169, 171]: W + Т = Е = const. F.45) Нарастание кинетической энергии Т возможно лишь при уменьше- уменьшении W. Условием устойчивости, соответствующим ограниченности кинетической энергии, является неотрицательность W: W>0. F.46) Согласно F.39) потенциальная энергия возмущенного состоя- состояния W, которую с учетом определений F.15) и F.25) можно при- привести к виду [166] Ц7 = — \\( Q -j-| uv J ) -f Yp(div?J — /СЕ 2Ыг, F.47) может стать отрицательной лишь за счет члена —КЪ? в подынте- подынтегральном выражении. При К<0 потенциальная энергия заведомо положительна. Условие ^<0 является, таким образом, простейшим достаточным критерием устойчивости плазмы, гарантирующим ус- устойчивость относительно возмущений любого типа. Ввиду важности величины К в теории устойчивости в § 6.4 бу- будут даны ее различные представления. Прежде чем перейти к этому рассмотрению, получим ряд вспомогательных соотношений, связы- связывающих различные поверхностные величины, характеризующие рав- равновесную конфигурацию. 6.3. Интегральные величины В теории равновесия важнейшими интегральными соотношения- соотношениями являются уравнение Крускала — Кульсруда A.3) рУ = /у _ F'Ф' и уравнения связи токов с потоками B.81) J = _ a202i]/ + с&Ф'; F = — aaV + & При исследовании устойчивости этих трех уравнений уже недоста- недостаточно. Приведем здесь выражения еще пяти интегральных величин. Вычисление величины <В2>, где скобками <> обозначено усред- усреднение по объему dV между близкими магнитными поверхностями 18* 267
(так называемое микроканоническое усреднение [172]) dV V удобно проводить, используя одновременно токовое B.23) и потоко- потоковое B.11) представления В. Объем интегрирования при усредне- усреднении <> ограничен магнитными поверхностями, поэтому в силу BVa=0 <Bv/> = <div/B>=0, F.48) где / — любая периодическая по Э и t, функция. Точно так же = 0, F.49) поэтому величины BVqp, /[VaV0]Vi] и F[VaVJ;] Vr], возникаю- возникающие при умножении B.11) на B.23), не дают вклада в <В2>. Пред- Представляя элемент объема dx в виде dr= ([VaVQ]'Vt,)'1dadQdt,; по- получаем окончательно <В2> V = ^Ф' — /i|>'. F.50) Аналогично, используя для В и j представления B.23) и B.25), получаем ' = y'F — JF. F.51) Отметим, что и уравнение Крускала — Кульсруда получается точно таким же усреднением уравнения р'(а) = [jB] Va/| Va|2 с j и В в виде B.25) и B.11) соответственно. В теории устойчивости тороидальных систем, кроме <В2> и <jB>, фигурируют и такие величины, как глобальный шир Л=<5> [S—-величина F.24)], характеризующий скорость изменения вра- вращательного преобразования ц{а)=—1|//Ф', и величины w==2p + + <В2> [59] и Q в -L- (— p'V" + fy — F'<S"), F.52) характеризующие магнитную яму. Используя потоковое представление В B.11), легко показать, что Л = <5> = (Ф Y — ty"G>')/V = \и'Ф'*/У. F.53) Действительно, согласно B.11) В = [yaa], 2яи = Ф'уЭ + ^'v? + V4- F-54) Подставляя в таком виде В под знак rot в F.24), прямым вычис- вычислением получаем 5= Je_rotu_Bv^L-. F.55) 268
Преобразуем первый член в этом выражении, используя явный вид и и В F.54): -№L rot и = - Bu' = -L- (Ф 'у - | уа \2 4я2 — т]5"Ф') [уауЭ] V? — u' IV^V1!]» F-56) где 2ли' a O"V0 + fv?- F.57) Функции uVa и rj периодичны по 0 и ?, поэтому при усреднении S последний член в F.55) и слагаемое u'[VaVri] исчезают [см. F.48) и F.49)]; в результате получаем F.53). Введенные поверхностные величины Q, w, Л, как нетрудно по- показать прямым вычислением, связаны соотношением p'8 + <B2>Q = pV — <jB>A. F.58) Входящая сюда производная функции w(a) может быть с учетом F.50) и уравнения Крускала — Кульсруда выражена через токи /, F, потоки Ф, \р и производную объема V'(a), заключенного внут- внутри магнитной поверхности а = const: ^)'(^)' (^)V F.59, Полученные выражения использованы в § 6.4—6.6. 6.4. Различные представления источника неустойчивостей ЛГ Входящие в F.28) величины 5 F.24) и jB можно, используя уравнения Максвелла и условие BVa=0, представить в виде IB — I | уа |2 | уа JB = Uve] _М_ = {(bv) Va + (Vav) В) т» . F.61) В последнем выражении использовано тождество [yaj] = lva rot в] + tB rot Vfl] = V (BVa) + (VaV)B + (BV) Va- Здесь учтено, что rot Va^O, BVa=0. Уравнения F.60) и F.61) совместно со следствием уравнения равновесия A.8) уау Bр + В2) = 2ya (By) В F.62) позволяют привести К F.28) к виду (удобному для случая jB = O), явно показывающему источники возможной неустойчивости — гра- градиент давления Vp и продольный ток jB: К = l™^ {(jB) [Bya] —р' | V« I2В}- F-63) 269
В токамаке продольный ток приводит к наиболее опасным крупно- крупномасштабным неустойчивостям. В стеллараторе продольный ток — это вторичный ток, пропорциональный градиенту давления и кри- визае оси, поэтому оба источника сводятся к одному — градиенту давления. Легко убедиться, используя равенство р'\Va|2 = j[BVa], что фигурная скобка в F.63) равна B2[jVa], таким образом К = 2 Пуа] (Bv)va F.64) | V« \а I V« I2 * Это выражение для К, часто используемое при анализе устойчиво- устойчивости тороидальных конфигураций, впервые было приведено в [166]. Еще два представления К получаем, умножая F.22) на fBVa]/ /1 Va |2, F.23) на [jVa]/|Va|2 и подставляя получившиеся при этом выражения aS в F.27) и F.28) соответственно: F.65) Kpdivrot, F-66) | Aa I2 | Да |2 | Va I2 I V« I2 Отметим, что F.65) и F.66) можно легко свести одно к другому, используя векторное тождество arotb = div[ba]+brota. Получим еще одно полезное представление К, преобразуя в F.65) последний член. Очевидно, его можно записать в виде F.56), заменив и вектором w ш --L (/'Ve + F'vC + yv). F-67) поскольку согласно B.25) j = lyflw]. F.68) Среднее по объему значение величины К—}2/1 Va |2 вычисляется теперь так же, как и <5> в предыдущем разделе; в результате по- получаем К = j'2/| Щ |2 + Q (a) + BV^, F.69) где п — величина F.52), а BV? — переменная часть разности К— —j2/|Va|2. Функцию % вычисляем, используя представления B.11) и B.25) для В и j (см. приложение 6): L^\!VSLei+J"F'-J'F\. F.70) ^(Qp) + ei+ 2яр' ^ И ' 2п да I V« 1а 2ярТ' Как следует из ее определения F.69), % не зависит от выбора си- системы координат, хотя взятые отдельно входящие в U слагаемые неинвариантны. Выражение F.70) удобно использовать при работе в потоковой системе координат. При специальном выборе угловых переменных 0, ? оно упрощается: в системе координат с ВСЛ ц = 0; в системе координат Хамады ti = 0 и v = 0, но при этом сложным 270
становится вычисление вектора еь который в системе координат Хамады может сильно отличаться от Va/| Va|2. Отметим, что полученное представление К можно привести к виду - Л1 /J К = -^ + В*|уя|2 (В2) <В2> исключая из F.69) Q с помощью F.58) и j2: j2B2= [jB]2+ (jBJ. 6.5. Достаточные критерии устойчивости Как уже отмечалось в § 6.2, простейшим формальным достаточ- достаточным критерием устойчивости является К<0. F.72) Для конфигурации с одним только поперечным током (jB = O) для устойчивости достаточно, как видно из F.63), чтобы силовая ли- линия была выгнута в сторону увеличения давления: Vp(bV)b<0, где Ъ=В/В. Этому условию удовлетворяют конфигурации остроко- остроконечной геометрии типа1 «антипробкотрон». Применим теперь достаточное условие устойчивости F.72) к цилиндрически симметричному плазменному шнуру (д/дср = д/дг= = 0). В этом случае jB = <jB>, B2 = <B2>, BV?=0, а для двух дру- других величин, Л и до', входящих в выражение F.71) для К, получаем: Л = rBl (Ву/гВгУ = JB - 2В9В2/г; J W = — 2Bllr. I Таким образом, для цилиндра 9, F.74) достаточное условие устойчивости F.72) сводится к критерию Ро- зенблюта [92] ]'zBy<i0. В обычном 2-пинче, где поле 5ф создается током ]г, условие устойчивости не выполняется: /гВф>0. Если же внутри плазменного шнура с током jz поместить жесткий проводник с током обратного направления, то суммарное магнитное поле Вф может стать отрицательным. Таким образом, в системах с жестким сердечником достаточное условие гидромагнитной устойчивости мо- может быть удовлетворено. В обычных токамаках и стеллараторах без продольного тока критерий F.72) не выполняется [60]: в то- камаке он сводится к /^Б9<;0, а для стелларатора главный член в К знакопеременен; он пропорционален p'ftcosG, где k — кривиз- кривизна оси. Отметим, что критерий F.72) представляет собой частный слу- случай достаточного критерия устойчивости Лили [173] 0, F-75) который получается отбрасыванием в W F.39) неотрицательных слагаемых ~ГД Критерий Лили исследовался в [174], где из не- 271
го для токамака с большим аспектным отношением и с малым 0 был получен критерий устойчивости относительно специального класса возмущений, минимально искривляющих силовые линии. Функционал F.47) можно преобразовать так, что в подынтег- подынтегральном выражении единственное слагаемое (~?2), которое может быть отрицательным, изменится. В результате получится новый до- достаточный критерий устойчивости, аналогичный F.72), но менее жесткий. Преобразование W начнем с того, что в F.47) Va/|Va|2 пред- представим в виде суммы двух произвольных векторов уа/| у а |2 = g — h, F.76) наложив единственное ограничение на h:hVa = 0. Выделяя теперь в F.47) слагаемое (Q + E[jg]J, а два других преобразуя по фор- формулам [jh] [jg]= [jh]j, Г va + hi = [jh]2; и jljkj и jj.| ]vfll, -r ] F>77) [jh] Q = div [RB] [jh]] + [IB] rot [jh] = XBy?, где вследствие jya = 0 и hya = 0 [jh] = Xya, F,78) получаем новое представление W: W = A/2) j {(Q + I [jg]J + W (divlJ - ? (К + X2 | ya I2 - ByX)} dr. F.79) Член |XBVg в подынтегральном выражении преобразован с по- помощью формулы J XBVl2dr=— J l2BVXdr. Теперь можно написать новый достаточный критерий устойчиво- устойчивости, обобщающий критерий Лили F.75) J |2 (К + X2 [ уа |2 — ВуХ) dr < 0 F.80) или критерий, аналогичный F.72), ; о. F.81) Достаточный критерий устойчивости в виде F.81) был впервые получен в [132], в [127] дано его обобщение на случай анизотроп- анизотропной плазмы. В отличие от F.72) он содержит дестабилизирующий член X2\Va\2 и член BVX, который при определенном выборе функции X может быть стабилизирующим. Функция X в F.81) произвольна. Вопрос о ее оптимальном вы- выборе рассматривался в [132]. Не останавливаясь на его обсужде- обсуждении, покажем, как из F.81) получается достаточный критерий ус- устойчивости Соловьева [30]. Легко проверить (разложением по степеням р), что в окрестно- окрестности магнитной оси главным членом в К является BV? [см. F.69)]. Естественно попытаться выбором X уничтожить эту большую зна- знакопеременную величину в критерии F.81). Это можно сделать, по- 272
лагая Х—%. Достаточный критерий устойчивости при этом прини- принимает вид ]2/| у а I2 + Я + & | у а |« < 0 F.82) [мы воспользовались выражением F.69) для величины К]. Функцию k согласно F.70) можно записать как * = Цед] S/al I Va I2. F-83) где е# = b^gHV^a^t,n] —базисный вектор системы координат Ха- мады (т] = 0, v=0). С учетом F.83) критерий F.82) может быть записан в виде, полученном впервые Соловьевым [30]: О + Цея]а<0. F.84) Переход от F.82) к F.84) осуществляется с помощью векторного тождества Ь2 | щ |2 = [Ьуа]2 + (ЬуаJ. Выражая Q с помощью F.69) и F.71), получаем критерий F.82) в физически более наглядной форме л+ в21 v« I2 <в2) ^ <в2 F.85) Известно, что достаточный критерий Соловьева оказывается со- содержательным для бестоковых стеллараторов [60]. Для исследова- исследования таких систем удобно выразить величину [jeH] в F.84) через интегральные токи. Учитывая, что в координатах Хамады вектор плотности тока j представляется в виде B.54), легко получить [Je«] = ^- (J\Qh + F's/У). F.86) Эта формула позволяет записать F.84) при равном нулю продоль- продольном токе / в виде <0. F.87) Во втором члене переменная по в часть в kb (обратное аспектное отношение) раз меньше, чем не зависящая от 0. Это и позволяет удовлетворить достаточный критерий устойчивости при некоторых конечных значениях р. Для бестоковой плазмы можно произвести дальнейшее упроще- упрощение достаточного критерия. При / = 0 ток F явно выражается через давление р из уравнения Крускала — Кульсруда A.3): F'= = — p'V'/Ф'. В этом случае Q = — р'У"(Ф)Ф'г/У F.88) и F.87) сводится при р'<0 к ~ IF^ + ~ЬР> (Ф) Г'(Ф)' vSh 12 > °' F>89) 273
Еще одну формулировку этого критерия можно получить, вы- выражая Q из F.58), где при / = 0 следует положить согласно F.51) <jB> = 0, и F' из A.3) и F.50): F' = —рТ/<В2>. F.90) После подстановки этих выражений в F.87) и сокращения общего отрицательного множителя ///<В2> достаточный критерий устойчи- устойчивости сводится к {bik}0. F.91) 6.6. Вывод критерия Мерсье Критерий Мерсье [24—29] — один из важнейших, часто исполь- используемых результатов теории МГД-устойчивости плазмы. Его значи- значимость в теории определяется его универсальностью: он является общегеометрическим (применим к любым тороидальным системам с широм) и не требует при выводе ограничений на р, токи и поля. Основное условие его применимости — наличие шира. Критерий Мерсье дает границу устойчивости относительно спе- специального класса возмущений, компоненты |, ц которых удовлетво- удовлетворяют соотношениям I ВуЛ" | „ | X \ ЦВуд] уХ | . 1 уауХ | ,gщ В Ь В | уа | | уа | ' Для таких квазижелобковых возмущений (как иногда гово- говорят— типа Мерсье), вытянутых вдоль силовых линий и мелкомас- мелкомасштабных поперек В, уравнения F.31) и F.34), полученные без предположения о виде функций |, ц, сводятся при ш->-0 и соответ- соответственно ^0=0 [см. F.30)] к системе Т3 = 0; F.93) wl=°- F-94) При выводе критерия Мерсье обычно используют потоковую си- систему координат с ВСЛ. Мы проведем вычисления в общем виде, пользуясь только свойствами дифференциальных операторов и по- потоковым представлением B.11) поля В, которое может быть запи- записано как В = (Ф'/2я) [уауи], F.95) где и = 6-ц? + т1/Ф'; F.96) 9 и ? — углы произвольной потоковой системы координат. Функция «(г) постоянна вдоль силовых линий, поэтому квази- желобковые возмущения можно представить в виде X = exp (imu0) [Хо (а) + Хг (а, О, Q], F.97) 274
где IXiI'd-Xol; Uo=u(ao); a0 — метка «резонансной» поверхности: \i(ao)—n/m. Для выполнения всех трех условий F.92) следует еще потребовать «»1; *Ь/*«1; тхо/Ь<?1, F.98) где х0 и Ъ — характерные масштабы по а, на которых заметно ме- меняются |, г\ и равновесные величины соответственно. При решении уравнений F.93) и F.94) понадобятся две про- простые вспомогательные формулы: [Вуа] V" = Bя/Ф') В2; F.99) Вум0 = 2л (х/Ф') 5. F.100) Здесь * = а—а0—расстояние по а от резонансной поверхности а = — по; S — величина, определяемая формулой F.24). Обе формулы являются следствием F.95). Последнее соотношение, справедливое в малой окрестности поверхности а = а0, легко получается из урав- уравнения BVm=0 при подстановке в него и в виде V" Переходим к решению уравнений F.93) и F.94). Из первого уравнения, которое в силу F.42) и F.92) может быть записано как ^T ^Vn^O, F.102) | уа I2 В2 определяем tj: , ? ( Величина Т2 F.41), входящая в F.94), теперь может быть выра- выражена через ?•: = -«Г Г" Т- Мы воспользовались здесь тождеством F.33) и сохранили лишь основные члены. Оставшееся уравнение F.94), служащее для определения |, за- запишем в виде Bv + im^BV«o + i^(Ys/-/Cy=O) F.105) да да СР где f=r2exp(—imu0). Основным в этом уравнении является первое слагаемое, остальные малы в силу предположения F.98). Поэтому в низшем приближении F.105) сводится к Ву/о = 0. F.106) Следовательно, fo=fo(a). Усредняя теперь уравнение F.105) по слою между близкими магнитными поверхностями, получаем 275
уравнение, содержащее только /0 и go (я): /о <Ву«о> + Bя/Ф') «Ys> /о - <*> Бо) = 0- F-107) Величина <BV«0> в отличие от <BVd//da> не равна нулю, посколь- поскольку и0 — многозначная (непериодическая) функция. Из F.100) и F.53) следует <Вуи„> = 2яхц'Ф'/Г. F.108) Выразим входящую в F.107) функцию f0 через go. Из F.104) следует 4^ ^ -54" W + V&.- F-Ю9) Здесь сохранены лишь члены одного порядка. Усредняя это уравнение по dV, избавляемся от |г: Подставляя /0 в F.107), получаем окончательно уравнение для g0: (i'a* Dо)" - (^'>'4) {<УзУ - </С> <«s> - ц' <vs> Ф'>') g0 = 0, F.111) к которому свелись уравнения малых колебаний F.93) и F.94). Полу- Полученное уравнение имеет решение без особенности в нуле, если (ц'/2 - <vs> V'/Ф'У - [V'W*) <«s> </C> > 0. F.112) Это условие и является критерием Мерсье. Мы получили его как необходимое условие устойчивости плазмы относительно квазиже- лобковых возмущений. Легко проверить (см., например, [29]), что при выполнении F.112) функционал энергии для возмущений типа F.97) положителен. Это означает, что критерий Мерсье является также и достаточным условием устойчивости для квазижелобковых возмущений. 6.7. Вывод уравнений баллонных мод Баллонными называются коротковолновые в поперечном к В и длинноволновые в продольном направлении возмущения, которые в отличие от желобковых не являются почти постоянными вдоль си- силовой линии. Такие возмущения удовлетворяют условиям: |Vav*l 1[Вуа]уХ| ^ |Х| I ya I ' В I уа | b В где b — характерный поперечный размер плазменного шнура, по- поэтому их удобно представлять в эйкональной форме [35]: F.114) полагая е<1, 6|VS|~OA), ft|vi|~O(?)> Bkx =0, где 276
Условия F.113) при afoM выполняются за счет малости е. Малость е позволяет упростить уравнения малых колебаний F.30), F.31), F.34). Входящие в них величины Т{ после подста- подстановки в F.25), F.40) —F.42) | в виде F.114) принимают вид Tt = = Тt ехр Г — S — /соЛ, где (f i) F.116) F.118) = Л _ div ti- + 2fk. F.119) Из уравнения F.31), которое теперь сводится к V^o + В v^ + № va] V?s, F.120) где использовано обозначение J^»L±, F.121) получаем, опуская члены порядка е, Т0+В27\,=0, F.122) что с учетом связи ?3 cfo F.119) приводит к V F.123) Подставляя сюда явное выражение ?о F.116), получаем с точно- точностью до членов порядка е kJ = 0. F.124) Это условие позволяет с нужной для дальнейших вычислений точ- точностью выразить Го через две компоненты вектора § [вместо трех в F.123)]: Здесь мы воспользовались следствием F.124) И ? F.126) 277
Вычислив to и f3, можно теперь упростить уравнение малых ко- колебаний F.34). Поскольку согласно F.125) и F.116) —F.119) все величины 7\, входящие в F.34), одного порядка по е—О(е°), со- сохраним в этом уравнении лишь члены (порядка е~')> содержащие дифференцирование Tt и | в поперечном к В направлении: + iB [Bg] BV+ уГа —2 J|L V7O. F.127) Разделив F.127) на ie-'^xpexpIie-'S — ico/], придем к уравнению, содержащему f, т и Т2; р тт—* = т~ -То. F.128) Нетрудно показать, используя векторное тождество F.38) и условие § = 0, что (^ J = 0. F.129) Аналогично можно получить с учетом F.23): F.130) где S — величина, определенная равенством F.24). С помощью этих соотношений и с учетом связи Ц = -ЬхЩ/(\ W\2k±fi), F.131) вытекающей из F.126) (следствие к±| =0), величина f2, входящая в уравнение F.128), может быть выражена через ? и равновесные параметры конфигурации: Т -JL? kJ-va Используя теперь равенство JB ?\ ]В » jB / jB , F.133) В* |va|2*xp ' V ' 278
которое Легко проверить, используя F.129), F.130) и следствие урав- уравнения равновесия ур = [jB] -i, F.134) В2 В2 получаем из F.128) к 2 d ri» i>i FRH L- / 1г \ ¦ *"Ч В I Л. | Л| ^Lllij К | 'Л / п. | "^ \ F.135) Из последнего уравнения малых колебаний F.30) следует рсоЧ = Ву^о- F.136) Подставляя То F.125) в уравнения F.135) и F.136), получаем окончательно два уравнения баллонных мод для функций | и т: V ВЧ ) M; F.137) F.138) Уравнения идеальных баллонных мод для тороидальных систем произвольной геометрии впервые были получены в [33], а для дис- сипативных баллонных мод (при учете конечной проводимости) — в [175]. В виде F.137) и F.138) уравнения баллонных мод были получены в [35]. Авторы благодарны М. И. Михайлову за помощь в работе. ПРИЛОЖЕНИЯ Ш. МЕТРИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ СИСТЕМ КООРДИНАТ (р,и, ?) В отличие от [65], где вычислены метрические коэффициенты для случая ?p<Cl, сохраним в ?зз и в V^g0 все члены порядка; kp, возникающие при преобразовании выражения hs=l—kr cos to к переменным р и и: — h + kp [Xs'mu cosu H cosw -\ sinu ). (П1.1) \ P 2 p J Здесь h— 1—^p cos и. При вычислениях будем считать малыми вели- величины б/р, Ьи /р, К %и • Разложением по ним получаем 279
V g° = Fi + p%)/(Rph); 822 2 p г, б p kp (Xsmu cosu ) ; \ p /J Vi5" » йр \ р / J pL p P " h \ p ' i <i ' \2 i fep ,'л о COS U . 6X . \ p+K) H—^- ^2—^ 1 sinuj — ^.p_+6;+^ Asinu—— costtYl; = Rhpll + — + 6p + ^ + - L p " — — cosu h \ 2 -— cos aj (П1.2) He зависящие от t, части последних четырех величин могут быть с уче- учетом D.24) представлены в виде «13 = — ¦ 1 2nRB0p* ди = -j- A+ к), ¦ . «23 — 1 2nRB0 dp (Ш.4) где rf« — функция D.30); /i и /г — квадратичные по |Bh|/B0 выра- выражения, возникающие при усреднении и V? (П1.2) по С: 280
</l,>; = kp/ — COSU + — Sinu . П2. ВЫЧИСЛЕНИЕ <BhV\jJ» > ДЛЯ СТЕЛЛАРАТОРА С КРУГОВОЙ ОСЬЮ Для любого вектора а и не зависящей от % функции f выраже- выражение aV(aV/), подобное RhsBhVty/Bz°, может быть записано в виде 2ау (ay/) - -^-[(ay) (ау/)] + у/(adiva — adiva) + у/rot faa]. (П2.1) Это равенство получается из тождества F.33) а у (Ь у/) = b у (а у/) + (a div b — b div a — rot [ab]) y/, где полагаем а = а, Ь = а и исключаем из правой части а у (а у/) с помощью -|- [(а V) (а у/)] = а у (а у/) + а у (а у/). (П2.2) Если а = Cb, где С = C(r, z), a div b = 0, то a div а — a div а = Гу — [ЬЪ] 1 ; (П2.3) rot [аа] - [уС2 [Ь Ь]] + С2 rot [Щ. (П2.4) При этом 2а у (ау/) = 4" К» V) (a v/)l + Cy/rot С [ЬЬ]. (П2.5) Пользуясь тождествам у / (г, (о) rot а - у / [у (-^г-) V ?] - "|- (V/ [a V9), (П2.6) которое легко проверить, представив в его левой части а в виде преобразуем последнее слагаемое в (П2.5). Усредняя получающееся равенство 2а у (а у /) = -А- [(а у) (а у/)] - С2 -~ (у / [[6В] у?]) + (П2.8) L \ I Vb Г / J находим <t>y (СЪy/)>t = у/ у (c/^bbj yS \ ) VH, (П2.9) L \ \ 21 vS I2 / ;/ J 19 Зак 1441 281
Подставляя сюда b = ВЛ, С = — Rh\lB0 / = -ф0. получаем (П2.10) где \ \ Л о„ {BhTBha\. (П2.П) П.З. СВЯЗЬ ПЛАЗМЕННОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ (а, 6, ?) с ВАКУУМНОЙ (р, «, g) И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ВЫПРЯМЛЕНИЯ СИЛОВЫХ ЛИНИЙ >., И >-2 Метрические коэффициенты g,ft и ^?А при р = р(а, 0), и — и(а, 0) связаны соотношениями D.29). Для преобразования координат E.4), E.5) входящие в D.29) комбинации, через которые выра- выражаются a,\k, имеют вид: 2 J -A'JJsin20j; 2 ^) cos 8 V = Г (A-aA') (l_i- ' — a'A al [(a~a— — + aA — + 2 + A —- si sin0 + ^- (A — aA') sin 20; 4- аХ1 (l — —) I cos 0 + [2а^2 + 2а + ХХА] cos 29 J ; р(р'и-ри')=аA+ [А' ^1-Л^ + А---^ + [ а' + А': 282 ! + 2A2 + —Icos20 a J (П3.1)
Параметры Х\ и %2 определяются из условия независимости от 8 величины азз, которое с помощью (П1.4) может быть записано как -?-( & )=0. (П3.2) ае \ 1 — kpcosu + ft ) к ' Подставляя в (П3.2) р(р'ы—рц') в виде (П3.1), получаем с точно- точностью до членов порядка Д'3 '3 *! = - А' + А'3/8 + аД'/Dа) - а'Д'/4 + v,~ ka; I Я2 = Д'г/2-а/Bа)-а72, ( где vx— коэффициент разложениия /2(р) в ряд Фурье h(9)-flvn(a)cos(nQ). (П3.4) Выражение рсоэы, входящее в метрические коэффициенты, записы- записывается теперь в виде +a(l — — cos9--—cos29. (П3.5) П4. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ F.34) Прямой способ получения уравнения F.34), поясняющий основ- основную цель перехода от F.32) к F.34) — исключение высших произ- производных величин То и Т3, указан в разд. F.1). Дадим здесь более простой, хотя и несколько формальный, вывод F.34). Исходное уравнение малых колебаний F.26) может быть запи- записано как Здесь использовано обозначение WU = К !уа + В V7\ + T2(S -L) - 2рТ3. (П4.2) Умножив (П4.1) векторно на В/В2 и подействовав на получившееся уравнение оператором div, получим В2 r " В2 уа a (П4.3) 19* 283
Собираем в правой части (П4.3) члены с Т, и преобразуем их с учетом F.20) и A.10) ^ ^. (П4.4) Последний член в (П4.3) преобразуем по формуле F.33) Теперь уравнение (П4.3) принимает вид divpBv dt* ^ В2 v |va (П4.6) Для дальнейшего его упрощения понадобятся два легко проверяемых тождества: ! *m^M (П4.7) В2 Ва В2 Ва В2 l. (п4.8) V 1 Vl У В» С их помощью получаем (П4.9) Для исключения комбинации BVr2 + VT0[BVa]/B2 здесь исполь- использовано уравнение F.31). Подстановка (П4.9) в уравнение (П4.6) позволяет привести его к виду vp pT1 Bv v в2 в2 в8 r7 I vo Г 284
Va 2 Д-уГ0+ ВуГ' divB2 va . (П4.10) B2 V B2 I ya Is П.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДЫНТЕГРАЛЬНОГО ВЫРАЖЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛА W F.38) После умножения уравнения малых колебаний F.26) на § вы- выделим в нем для удобства комбинации с каждой из величин 7\. С учетом определений F.25), F.29) и F.40) — F.42) их можно записать так: 1 уТ0 = div То 5 - То div 1 = div To I - TllW, (П5.1) A Va) В v7\ = div \Тг В - Тг В vg = div \Тг В — \ у а \2 Г?; (П5.2) Ц div Га В = div г,Г2 В -^_ Г^; (П5.3) I Va I2 ) Ц а ,2 V« I2 / I Va I2 |х В2 Vn - 2pT3 S v« =" div T3 B2 g± - ^3 Bp'? = div713B2ix — В2Г|. (П5.4) В последней формуле использовано очевидное следствие F.29) и F.42): divB'Sx = Вз _Ш1- + [BVa] V^ + |divB2—^— =В2Г3-2р'|. I V« I2 i V« I (П5.5) Вспомогательные соотношения (П5.1) — (П5.4) позволяют представить pld%/dt2 в виде + div (|7\ + г]Г2) В + div (Го§ + T, В2§х). (П5.6) При интегрировании этого выражения по объему плазмы член div(...)B исчезает, поскольку В не имеет нормальной составляющей на границе. Последний член дает вклад в W только в том случае, если смещение \ возмущает границу плазмы. В противном случае, при § (Ь) = 0, интегрирование (П5.6) приводит к F.47). 285
П.6. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО РАВЕНСТВА F.70) Для определения к необходимо вычислить последний член в (G.G5). Из уравнения равновесия Vp=[jB], которое с учетом B.11) и B.25) может быть приведено к виду р' = -~P'V [WV6] V? - ~ В yv + + ~hj VT1 + l^r tvwv] уа. (П6. i) получаем (П6.2) Последний член в F.65) теперь может быть записан так: -H^])}v^. (П6.3, Прямым вычислением, используя уравнение A.3), находим p'V'W — (J'Y — ^"Ф') (w — V у- ) = = (УТ" — J"F') -L (ф'уе + ife'vO- (П6.4) 2л Это позюляет преобразовать фигурную скобку в (П6.3): rotw= J"V-F"*' y, | V \ p / pT' V 2я (П6.5) Вспомогательное тождество ei = Jvii^valL = 1 Ival2 ' дает последнее нужное нам соотношение Т2я So | v<42 что соответствует компактной записи F.69) с k в виде F.70). 286 wya =_L jv. [IV^L. (П6.7) | ус 1а 2л да I V« I2 Подставляя (П6.5) и (П6.7) в F.65), получаем окончательно: _rp"-J"F' jn (П6.8) P'V 2я J* v '
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Spitzer L.//Phys. Fluids. 1958. Vol. 1. P. 253—264. 2. Бишоп А. Проект Шервуд М.: Атомиздат, 1960. 3. Дремин М. И., Стефановский А. М.//Физнка плазмы 1979 Т. 5 С 892— 901. 4 Nagao S. Asperator Group.//Proc. 7th Symp. Engng. Fus. Res. Knoxville. USA. 1977. Vol. 1 P. 841—853. 5. Glagolev V. M., Kadomtsev В. В., Shafranov V. D., Trubnikov B. A.// X Europ. Conf. on Control. Fus. and Plasma Phys. Moscow. 1981. Vol. 1. E-8. 6. Yoshikawa S.//Fourth International Stellarator Workshop. Cape-May, New Jersey, 1982. Vol. 2. P. 1—22. 7. Shafranov V. D.//Nucl. Fus. 1980, Vol. 20. P. 1075—1083. 8. Морозов А. И., Соловьев Л. С.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича М • Госатомиздат, 1963. Вып. 2. 9. Соловьев Л. С, Шафранов В. Д.//Там же, 1967. Вып. 5. 10. Морозов А. И., Соловьев Л. С.//Там же, 1967. Вып. 2. 11. Gibson A.//Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. P. 1553-1560. 12. Hastie R.J., Taylor J. В., Haas F. A.//Ann. Phys. 1967. Vol. 41. P. 302—338. 13. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леон- Леонтовича М: Атомиздат, 1973. Вып. 7 14 Kovrizhnykh L. M.//Nucl. Fus. 1984. Vol. 24. P. 851—936. 15. Stringer T.//Phys. Fluids. 1970. Vol. 13. P. 810—819. 16 Hinton F. L., Hazeltine R. D.//Rev. Mod. Phys. 1976. Vol 48, P. 239—308. 17. Волков Е. Д., Супруненко В. А., Шишкин А. А. Стелларатор. Киев: Науко- ва думка, 1983 18 Grieger G., Renner H., Wobig H.//Nucl. Fus. 1985. Vol. 25. P. 1231—1242. 19. Uo K.-Ibid. P. 1243-1248. 20. Shafranov V. D.//Phys. Eluids. 1983. Vol. 26. P. 357—364. 21 Коврижных Л. М„ Щепетов С. В. Тр. ФИАН. 1985 Т. 160 С. 58—92. 22 Kruskal M. D., Kulsrud R. M.//Phys. Fluids. 1985. Vol. 1. P. 265-274. 23. Mercier C.//Nucl. Fus. 1963. Vol. 3. P. 89—98. 24. Shafranov V. D.//Ibid 1968. Vol. 8. P. 253—262. 25. Mercier С In colloboration with Luc H. Lecture in Plasma Physics. Lu- Luxemburg, CEC, September 1974 26. Mercier C.//Nucl. Fus. Suppl. 1962. Vol. 2. P. 801—808. 27. Greene J. M., Johnson J. L.//Phys Fluids. 1962. Vol. 5. P. 510-517. 28. Соловьев Л. С.//Журн эксперим. и теорет. физ. 1967. Т. 53. С. 626—643. 29 Бейтман Г. МГД-неустойчивости. М • Энергоиздат, 1982 30 Соловьев Л. С.//Журн. эксперим. и теорет физ 1967 Т 53 С 2063—2069. 31. Соловьев Л. С.//Вопросы теории плазмы/Под ред М А. Леонтовича. М: Атомиздат, 1972 Вып 6 32. Shafranov V. D., Yurchenko E. I.//Nucl. Fus. 1968. Vol. 8. P. 329—339. 33. Correa-Restrepo D.//Z. Naturforsch. 1978. Bd 33a. S. 789—797. 34. Shafranov V. D.//IX Europ. Conf. on Control. Fus. and Plasma Phvs. Oxford. Invited Papers. 1979. P. 503—524. 35. Dewar R. L., Glasser A. H.//Phys. Fluids. 1983 Vol. 26. P. 3038—3052. 36. Johnson J. L., Oberman С R., Kulsrud R. M., Frieman E. A.//Phys. Fluids, 1958. Vol. 1. P. 281—296. 37. Greene J. M., Johnson J. L.//Phys. Fluids. 1961. Vol. 4 P. 875—890. 38. Johnson J. L., Greene J. M.//Phys. Fluids. 1961. Vol. 4. P. 1417—1426. 39. Johnson J. L., Greene J. M., Weimer K. E.//Nucl. Fus. 1962. Vol. 2. P. 16— 22. 40. Greene J. M., Johnson J. L., Weimer K. E.//Plasma Phys. 1966. Vol. 8. P. 145—155. 41. Johnson J. L. Prepr. IPP 6/162. Garching, 1977. 42. Коврижных Л. М., Щепетов С. В.//Физика плазмы. 1980. Т. 6. С. 976— 986. 43. Коврижных Л. М., Щепетов С. В.//Там же. 1981, X, 7» С. 419—427. 287
44. Коврижных Л. М., Щепетов С. В.//Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 33. С. 441— 444. 45 Коврижных Л. М., Щепетов С. В.//Физика плазмы. 1981. Т. 7. С. 965— 967. 46. Zakharov L. E., Mikhailov M. I., Pistunovich V. I. e. a.//PIasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna. 1981. Vol. 1. P. 313—328. 47. Шафранов В. Д.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1963. Вып. 2. 48. Danilkin J. S., Kovrizhnykh L. M., Shchepetov S. V.//X Europ. Conf. on Control. Fus. and Plasma Phys. Moscow, 1981. Vol. 1. E-10. 49. Kovrizhnykh L. M., Shchepetov S. V.//Nucl. Fus. 1983. Vol. 23. P. 859— 867. 50. Rewoldt G., Johnson J. L.//Nucl. Fus. 1984 Vol. 24. P. 733-738. 51. Готт Ю. В., Иоффе М. С, Тельковский В. Г.//Ядерный синтез: Дополне- Дополнение. 1962. Т. 3 С. 1045—1047. 52. Furth H. P., Rosenbluth М. N.//Phys. Fluids. 1964. Vol. 7. P. 764—766. 53. Lenard A.//Phys. Fluids. 1964. Vol. 7. P. 1875—1877. 54. Johnson J. L.//Phys. Fluids 1964. Vol 7. P. 2015—2016. 55. Taylor J. B.//Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 1203—1205. 56. Solov'ev L. S., Shafranov V. D.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna 1966. Vol. 1. P. 169—190. 57. McNamara В., Whiteman K. J-, Taylor J. B.//Ibid. P. 145—167. 58. Кадомцев Б. Б.//Журн. эксперим. и теорет. физ. 1959. Т. 37, С. 1646—1651. 59. Shafranov V. D.//Plasma Phys. 1971. Vol. 13. P. 349—352. 60. Shafranov V. D., Yurchenko E. I.//Nucl. Fus. 1969. Vol. 9. P. 285—289. 61. Lortz D., Nuhrenberg J.//Z. Naturforsch. 1976. Bd 31a. S. 1277—1288. 62 Lortz D., Nuhrenberg J.//Nucl Fus. 1977. Vol. 17. P. 125—133. 63. Михайловский А. Б., Шафранов В. Д.//Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 18. С 208-210. 64. Михайловский А. Б., Шафранов В. Д.//Журн. эксперим, и теорет. физ. 1974. Т. 66 С. 190—199 65. Михайлов М. И.//Физика плазмы 1980. Т. 6. С. 45—54. 66 Михайлов М. И., Пустовитов В. Д., Шафранов В. Д.//Письма в ЖЭТФ. 1982 Т 35 С 152 154 67. Пустовитов В. Д.//Физика плазмы. 1983 Т. 9. С. 575—584. 68. Strauss H. R.//Plasma Phys. 1980. Vol. 22. P. 733—745. 69. Strauss H. R., Monticello D. A.//Phys. Fluids. 1981. Vol. 24. P. 1148—1155. 70. Lortz D., Nuhrenberg J. Abstract» of Sherwood Meeting. Austin, Texas, 1981. Paper 3B46. 71. Pustovitov V. D.//Nucl. Fus. 1983. Vol. 23. P. 1079—1088. 72. Pustovitov V. D., Shafranov V. D., Zakharov L. E. e. a.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus Res. IAEA, Vienna 1983. Vol. 2. P. 541—556. 73. Bauer F., Betancourt O., Garabedian P. A Computational Method in Plasma Physics. Springer Series in Computational Physics. N. Y.: Springer—Verlag, 1978. 74. Bauer F., Betancourt O., Garabedian P. Magnetohydrodynamic Equilibrium and Stability of Stellarators. N. Y.: Springer — Verlag, 1984. 75. Wakatani M.//IEEE Transactions on Plasma Science. 1981. Vol. PS-9. P. 243—247. 76. Carreras B. A., Hicks H. R., Holmes J. A. e. a.//Phys. Fluids. 1983. Vol. 26. P. 3569—3579. 77. Шафранов В. Д.//Ядерный синтез. 1964. Т. 4. С. 114—124. 78. Шафранов В. Д.//Там же. С 232—243. 79. Шафранов В. Д.//Там же 1963 Т 3. С. 183—189 80. Глаголев В. М., Ленёва А. Е. Препринт ИАЭ-3052. М, 1978. 81. Degtyarev L. M., Poshekhonov Yu. Yu., Shafranov V. D.//XI Europ. Conf. on Control Fus. and Plasma Phys. Aachen. 1983. Vol. 7D. Part II. P. 103— 105. 82. Monticello D. A., Dewar R. L., Furth H. P., Reiman A.//Phys. Fluids. 1984. Vol. 27. P. 1248—1252. 288
83. Betancourt O.//Proc. of the US-Japan Workshop on 3d MHD Simulations. Nagoya, Japan. 1983. P. 76—80. 84. Grossman R., Herrnegger F., Ntihrenberg J.//XI Europ. Conf. on Control. Fus. and Plasma Phys. Aachen. 1983. Vol. 7D. Part II. P. 155—158. 85 Захаров Л. E.r Шафранов В. Д. Препринт ИАЭ-2789. М„ 1977. 86. Arsenin V. V., Glagolev V. М., Kadomtsev В. В. е. a./yPlasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna. 1983. Vol. 3. P. 159—170. 87. Михайловский А. Б., Демченко В. В., Омельченко А. Я.//Физика плазмы. 1983. Т 9. С. 351—356. 88. Трубников Б. А., Глаголев В. М., Лазарев С. Л., Добряков А. В.//Там же. 1985. Т. 11. С. 155—162. 89 Shafranov V. D.//X Europ. Conf. on Control. Fus. and Plasma Phys. Moscow. 1981. Vol. 2. P. 77—86. 90. Пустовитов В. Д.//Физика плазмы 1982. Т. 8. С 473—483. 91. Schmidt M. J.//Phys. Fluids. 1979. Vol. 22. P. 2400-2407. 92. Newcomb W. A.//Ann. Phys. 1960. Vol. 10. P. 232—245. 93. Шафранов В. Д.//Журн техн физ. 1970. Т 40. С. 241—253. 94. Matsuoka К., Miyamoto К., Ohasa К., Wakatani M.//Nucl. Fus. 1977. Vol. 14. P. 1123—1131. 95. Miyamoto K.//Nucl. Fus. 1978. Vol. 18. P. 243—284. 96. Cooper W. A., Hender T. C.//Plasma Phys. and Control. Fus. 1984. Vol. 26. P. 921-933. 97. Connor J. W., Hastie R. J., Taylor J. B.//Phys. Rev. Lett. 1978. Vol. 40. P. 396-399. 98. Connor J. W., Hastie R. J., Taylor J. B.//Proc. Roy. Soc. Lond. 1979, Vol. A365. P. 1—27. 99. Погуце О. П., Юрченко Э. И.//Физика плазмы. 1979. Т. 5. С. 786—795. 100 Погуце О. П., Юрченко Э. И.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леон- товича и Б. Б. Кадомцева. М: Энергоиздат, 1982 Вып. 11. 101. Carreras В. A., Hicks H. R., Holmes J. A. e. a.//Nucl. Fus. 1984. Vol. 24. P. 1347—1355. 102. Mikhailov M. I., Shafranov V. D.//Plasma Phys. 1982 Vol. 24. P. 233—242. 103. Anania G., Johnson J. L.//Phys. Fluids. 1983. Vol. 26. P. 3070—3078. 104. Garcia L., Carreras B. A, Harris J. H. e. a.//Nucl. Fute. 1984. Vol. 24. P. 115—129. 105. Holmes J. A., Peng Y.-K. M., Lynch S. J.//J. Comput. Phys. 1980. Vol. 36. P. 35—54. 106. Chodura R., Schluter A.//J. Comput. Phys. 1981. Vol. 41. P. 68-88. 107. Hender T. C, Carreras B. A., Garcia L. e. a. Preprint OKNL/TM-9239. Oak Ridge, 1984. 108. Захаров Л. Е., Шафранов В. Д.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича и Б Б. Кадомцева. М.: Энергоиздат, 1982. Вып. 11. 109. Михайловский А. Б. Неустойчивости плазмы в магнитных ловушках. М.: Атомиздат, 1978. 110. Михайловский А. Б.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Атомиздат, 1979. Вып 9. 111. Вабищевич П. Н., Дегтярев Л. М., Пошехонов Ю. Ю. и др.//Физика плаз- плазмы. 1983 Т 9. С. 484—494. 112. Volkov Т. F., Dobryakov A. V., Trubnikov В. A.//Nucl. Fus. 1985. Vol. 25. P. 891—905. 113. Mikhailovskii А. В., Aburdzhania Kh. D.//Plasma Phys. 1979. Vol. 21. P. 109-126. 114. Hamada S.//Nucl. Fus. 1962. Vol. 2 P. 23—37. 115. Cary J. R., Kotschenreuther M.//Phys. Fluids. 1985. Vol. 28. P. 1392—1401. 116. Boozer A. H.//Ibid 1981. Vol. 24. P. 1999—2003. 117. Boozer A. H.//Ibid. 1984. Vol. 27. P. 2110—2114. 118. Boozer A. H.//Ibid. 1984. Vol. 27. P. 2441—2445. 119. Hender T. C, Carreras B. A.//Ibid 1984. Vol. 27. P. 2101—2109. 120. Dewar R. L., Monticello D. A., Sy W. N.//Ibid. 1984. Vol. 27, P. 1723—1732. 121. Дегтярев Л. М., Дроздов В. В., Михайлов М. И. и др.//Физика плазмы. 1985. Т, П. С, 39—50. 289
122. Delucia J., Jardin S. C, Todd M. M.//J. Comput. Phys., 1980. Vol. 37. P. 183—204. 123. Lao L. L, Weiland R. M., Houlberg W. A., Hirshman S. P.//Comput. Phys. Commun 1982. Vol. 27. P. 129—146. 124. Hicks H. R., Dory R. A., Holmes J. A.//Comput. Phys. Rep. 1984. Vol. 1. P. 373—388 125. Degtyarev L. M., Drozdov V. V.//Ibid. 1985. Vol. 2. P. 341—387. 126. Hirshman S. P., Weitzner H.//Physi Fluids. 1985. Vol. 28. P. 1207-1209. 127. Spies G. O., Nelson D. B.//Ibid. 1974. Vol. 17. P. 1865—1878. 128. Spies G. O., Nelson D. B.//Ibid. P. 1879—1884. 129. Пустовитов В. Д.//Физика плазмы 1984 Т. 10. С 1148—1156. 130. Пустовитов В. Д.//Там же 1985 Т И. С 594—599. 131 Grad H.//Phys. Fluids. 1967. Vol. 10 P. 137—154. 132. Lortz D., Rebhan E., Spies G.//Nucl. Fus. 1971. Vol. 11. P. 583—590. 133. Kuo-Petravic G., Boozer A. H., Rome J. A., Fowler R. M.//J. Comput. Phys. 1983. Vol. 51. P 261—272 134. Дегтярев Л. М., Дроздов В. В. Препринт № 32 ИПМ им. М В. Келдыша АН СССР. М , 1984. 135. Bateman G.//Nucl. Fus. 1973. Vol. 13. P. 227—238. 136. Clarke J. F., Sigmar D. J.//Phys. Rev. Lett. 1977. Vol. 38. P. 70-74. 137. Dory R. A., Peng H.-K. M.//Nucl. Fus. 1977. Vol. 18, P. 21—31. 138. Захаров Л. Е., Шафранов В. Д. Препринт ИАЭ-3075 М, 1978. 139. Пустовитов В. Д., Шафранов В. Д.//Физика плазмы. 1979. Т. 5. С. 962— 968. 140. Pereverzev G. V., Shafranov V. D., Zakharov L. E.//Theoretical and Compu- Computational Plasma Physics. IAEA, Vienna. 1978. P. 469—481. 141. Пустовитов В. Д.//Письма в ЖЭТФ. 1982. Т. 35 С. 3—5. 142. Johnson J. L. Preprint PPPL-2017. Princeton, 1983. 143. Захаров Л. Е.//Физика плазмы. 1981. Т. 7. С. 18—40 144. Богомолов Л. М., Захаров Л. Е. Препринт ИАЭ 4060/6. М., 1984. 145. Zakharov L. E., Goedbloed J. P.//Nucl. Fus. 1980. Vol. 20. P. 1515—1527. 146. Okhawa Т., Chu M., Chu C, Schaffer M.//Ibid. 1980. Vol. 20. P. 1464—1469. 147. Grad H., Hu P. N., Stevens D. S.//Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1975. Vol. 72. P. 3789—3796. 148. Pao Y. P.//Phys Fluids. 1976. Vol. 19. P. 1177—1182. 149. Lortz D., Nuhrehberg J.//Z. Naturforsch. 1982. Bd 37a. S. 876—878. 150. Шафранов В. Д., Юрченко Э. H.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna. 1971. Vol. 2. P. 519—526. 151. Михайлов М. И., Пустовитов В. Д.//Письма в ЖЭТФ. 1981. Т. 34. С. 388— 391. 152. Захаров Л. Е. Препринт ИАЭ 4114/6 М, 1985 153. Hirshman S. P., Hogan J. Т. Preprint ORNL/TM-9547. Oak Ridge, 1986. 154. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979 155. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. М • Наука, 1978 156. Разумова К. А.//Атомная энергия. 1966. Т 20. С 459—464. 157. Мирное С. В.//Там же 1969. Т 26 С. 458—458. 158. Artsimovich L. A.//Nucl. Fus. 1972. Vol. 12. P 215—252. 159. Андрюхина Э. Д., Федянин О. И.//Физика плазмы. 1977. Т. 3. С. 792—798. 160. Голдсуон Р. Дж.//Основы физики плазмы/Под ред. А А Галеева и Р. Судана М • Энергоатомиздат, 1984 Т. 2. С. 583—627. 161. Брагинский С. И., Шафранов В. Д.//Физика плазмы и проблема управ- управляемых термоядерных реакций. М.: Изд-во АН СССР. 1958. Т. 2. С. 26— 80. 162. Шафранов В. Д.//Атомная энергия. 1965. Т. 19. С. 175—181. 163. Greene J. M., Johnson J. L., Weimer К- E.//Phys Fluids. 1971. Vol. 14. P. 671-683. 164. Zakharov L. E., Shafranov V. D.//Plasma Phys. and Control. Nucl. Fus. Res. IAEA, Vienna. 1977. Vol. 2. P. 155—167. 165. Пустовитов В. Д.//Физика плазмы. 1982. Т. 8. С. 34—36.
166. Bernstein I. В., Frieman E. A., Kxuskal M. D., Kulsrud R. M.//Proc. Roy. Soc. 1958. Vol. A244. P. 17—40. 167. Friedberg J. P.//Rev. Mod. Phys. 1982. Vol. 54. P. 801—902. 168. Бернштейн А.//Основы физики плазмы/Под ред. А. А. Галеева и Р. Судана. М.: Энергоатомиздат, 1983 Т. 1. 169. Калсруд Р.//Там же. С. 122—152. 170. Greene J. M., Johnson J. L.//Plasma Phys. 1968. Vol. 10. P. 729-745. 171. Кадомцев Б. Б.//Вопросы теории плазмы/Под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат, 1963. Вып. 2. 172. Grad H.//Ann. of the New York Academy of Sciences, 1980. Vol. 357, p 223 235 173. Liley B. C.//J. Nucl. Energy. 1962. Vol. Pt. C4. P. 325—330. 174. Ware A. A.//Phys. Fluids. 1964. Vol. 7. P. 2006—2011. 175. Correa-Restrepo D.//Z. Naturforsch. 1982. Bd 37a. S. 848—858.
УДК 533.932 Векштейн Г. Е. Магнитотепловые процессы в плотной плазме. — В кн.: Воп- Вопросы теории плазмы. Вып. 15/Под ред. акад. Б. Б. Кадомцева. — М.: Энергоатом- издат, 1986.—50 с. Рассмотрены процессы переноса в плазме высокого давления, когда величи- величина Р=з8яя7уЯ2^1. Проведена классификация различных режимов остывания плазмы с р<1. По- Показано, что эффективная теплопроводность такой плазмы намного больше клас- классической. Решена задача о распространении в плотной плазме радиационной волны остывания. Исследованы особенности диффузии магнитного поля и тепла в плазме с Р^1, проявляющиеся при обращении магнитного поля в 6-пинче, генерации мега- гауссных магнитных полей при сжатии плазмы лайнером, диссипации энергии магнитного поля в нейтральном слое Описана диффузия многозарядных ионов в плазме с р»1 и показано, что эффект «температурной экранировки» тяжелых ионов приводит к развитию ра- радиационной неустойчивости многокомпонентной плазмы. Ил. 18. Библиогр. 52 УДК 533.9 Брейзман Б. Н. Коллективное взаимодействие релятивистских электронных пучков с плазмой—В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 15/Под ред акад. Б. Б. Кадомцева.— М.: Энергоатомиздат. 1986.— 89 с Рассмотрены коллективные механизмы нагрева, плазмы пучком релятивист- релятивистских электронов В первой части изложена линейная теория неустойчивостей пучка в изотропной и магнитоактивной плазме. Во второй части рассмотрены квазилинейные и нелинейные эффекты, ограничивающие развитие неустойчиво- неустойчивостей, и описаны соответствующие режимы релаксации пучка. Основное внимание уделено взаимодействию пучка с ленгмюровскими волнами. Подробно проанали- проанализированы, в частности, стационарные спектры возбуждаемой пучком слабой ленг- мюровской турбулентности, включая особенности установления этих спектров и их перестройку под влиянием внешнего магнитного поля Обсуждена картина нагре- нагрева электронов плазмы при поглощении возбужденных пучком волн. Ил. 12. Библиогр. 80 УДК 533.951 8 Пустовитов В. Д., Шафранов В. Д. Равновесие и устойчивость плазмы в стеллараторах.— В кн.: Вопросы теории плазмы. Вып. 15/Под ред. акад. Б. Б. Кадомцева.— М.: Энергоатомиздат. 1986.— 140 с. Дан обзор теоретических методов исследования равновесия и устойчивости плазмы в стеллараторах, изложены принципы, на которых основаны равновесие тороидальной плазмы и ее стабилизация, и приведены основные результаты ана- аналитической теории и численного счета. Большое внимание уделено потоковым координатам: описано построение различных систем координат, показаны спосо- способы их практического применения. Подробно рассмотрены конфигурации с винтовой симметрией и обычные стеллараторы с плоской осью и винтовыми полями. Дан вывод скалярных дву- двумерных уравнений, которыми описывается равновесие в этих системах. Из этих 292
уравнений получены одномерные уравнения для смещений и эллиптичности магнитных поверхностей. С использованием модели слабоэллиптических смещен- смещенных поверхностей рассмотрена эволюция равновесия плазмы в стеллараторах при повышении ее давления: описаны изменение профиля вращательного пре- преобразования при изменении давления плазмы, генерация тока при быстром ее нагреве и последующее его затухание из-за конечной проводимости плазмы. Обсужден вопрос о зависимости измеряемого экспериментально диамагнитного сигнала от направления тока омического нагрева в обычных стеллараторах. Приведен вывод уравнений малых колебаний в форме, удобной для изуче- изучения локальных возмущений. Из этих уравнений получены критерий Мерсье и урав- уравнения баллонных мод. Выведены общие достаточные условия устойчивости плаз' мы в системах с магнитным удержанием. Ил. 30. Табл. 1. Библиогр. 175
СОДЕРЖАНИЕ МАГНИТОТЕПЛОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ПЛОТНОЙ ПЛАЗМЕ. Г. Е. Век- штейн 3 Введение 3 1. Особенности остывания и аномальная теплопроводность плазмы с Р>1 5 2. Радиационная волна остывания в плотной замагниченной плазме 19 3. Потери магнитного потока при обращении поля в 0-пинче ... 26 4. Генерация сверхсильных магнитных полей при сжатии плазмы лай- лайнером 32 5. Быстрая диссипация энергии магнитного поля в нейтральном слое 36 6. Диффузия тяжелых примесей в плотной плазме 40 7. Радиационная неустойчивость многокомпонентной плазмы ... 46 Приложение 51 Список литературы 53 КОЛЛЕКТИВНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕК- ЭЛЕКТРОННЫХ ПУЧКОВ С ПЛАЗМОЙ. Б. Н. Брейзман 55 Введение 55 1. Линейное дисперсионное уравнение. Роль резонансов при возбуж- возбуждении волн частицами 56 2. Пучковая неустойчивость в плазме без магнитного поля (возбужде- (возбуждение ленгмюровских волн) 59 3. Гидродинамические неустойчивости пучка в магнитоактивной плазме 65 4. Кинетические неустойчивости пучка в магнитоактивной плазме . . 72 5. Пучковая неустойчивость в неоднородной плазме 77 6. Квазилинейная релаксация РЭП в плазме без магнитного поля 83 7. Нелинейное взаимодействие и струйные спектры ленгмюровских волн 89 8. Устойчивость стационарного спектра в задаче об индуцированном рассеянии волн 94 9. Релаксация РЭП в режиме рассеяния волн на ионах 97 10. Накопление электромагнитных волн 108 11. Рассеяние ленгмюровских волн на вынужденных флуктуациях плотности 113 12. Ленгмюровская турбулентность в магнитоактивной плазме . . . 119 13. Взаимодействие пучка с геликонами 127 14. Горячие электроны 136 Список литературы 144 РАВНОВЕСИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПЛАЗМЫ В СТЕЛЛАРАТОРАХ. В. Д. Пустовитов, В. Д. Шафранов 146 Введение 146 294
Глава 1. Основные результаты теорий 149 1.1. Развитие теоретических исследований 149 1.2. Основные параметры стеллараторов 158 1.3. Удержание плазмы в стеллараторах с пространственной осью . . 161 1.4. Удержание плазмы в обычных стеллараторах 166 1.5. Результаты численного счета 173 Глава 2. Уравнения трехмерного равновесия 183 2.1. Магнитное поле в потоковых координатах 183 2.2. Специальный выбор потоковых координат 188 2 3. Связь токов с потоками 194 2.4. Общая постановка задач равновесия 197 2.5. Постановка задач равновесия на основе двумерных уравнений. Описание эволюции равновесия 199 2 6 Системы трехмерных уравнений равновесия в различных представ- представлениях 202 Глава 3. Конфигурации с винтовой симметрией 206 3.1. Уравнение равновесия 206 3.2. Основные геометрические соотношения 209 3.3. Уравнения связи токов с потоками 214 3.4. Другие формулировки уравнения равновесия 216 Глава 4. Теория равновесия плазмы в обычных стеллараторах . . . 220 4.1. Стеллараторное приближение 220 4.2. Потоковые координаты, основные уравнения, особенности их ре- решения методом разложения 222 4 3. Сведение трехмерных уравнений равновесия к двумерным . . 226 4.4. Анализ двумерных уравнений и другие их формулировки . . . 229 4.5. Вывод скалярного двумерного уравнения равновесия из усреднен- усредненных МГД-уравнений [42] 233 4.6. Об истинных параметрах разложения 235 Глава 5. Некоторые особенности равновесия плазмы в стеллараторах 237 5.1. Приближенное описание равновесия 237 5.2. Эволюция равновесия плазмы в стеллараторах 248 5.3. Об особенности диамагнитного эффекта в стеллараторах . . . 256 Глава 6. МГД-неустойчивости плазмы 262 6.1. Уравнения малых колебаний 262 6.2. Энергетический принцип 266 6.3. Интегральные величины 267 6.4. Различные представления источника неустойчивостей К . 269 6 5. Достаточные критерии устойчивости 271 6 6: Вывод критерия Мерсье 274 6.7. Вывод уравнений баллонных мод 276 Приложения 279 Список литературы 287
СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ПЛАЗМЫ Вып. 15 Редактор 3. Д. Андреенко Художественный редактор А. Т. Кирьянов Технический редактор Н. П. Собакина Корректор Р. К. Шилова ИБ № 1710 Сдано в набор 19.06.86 Подписано в печать 06.02.87 Т-08702 Формат бОХЭО'/ц Бумага офсетная № 1 Гарнитура литературная Печать высокая Усл. печ. л. 18,5 Усл. кр.-отт. 18,5 Уч.-изд. л. 19,56 Тираж 1450 экз. Заказ 1441. Цена 3 р. 40 к. Энергоатомиздат, 113114, Москва, М-114, Шлюзовая иаб., 10. Московская типография № 6 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 109088, Москва, Ж-88, Южнопортовая ул.. 24