Text
                    Г. Н. АБРАМОВИЧ
ПРИКЛАДНАЯ
ГАЗОВАЯ
ДИНАМИКА
ЧАСТЬ 2
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991


ББК 22.25 А16 УДК 553@75.8) Рекомендовано Государственным комитетом СССР по народному образованию для использования в учебном процессе студентами высших технических учебных заведений Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 2: Учеб. руководство: Для втузов.— 5-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991.— 304 с— ISBN 5-02-014962-4. Изложены основы газовой динамики в применении к теории реактив- реактивных двигателей и других газовых машин и аппаратов. В части 2 рассмотрены гиперзвуковые течения,, элементы магнитной гидродинамики, течения разреженных газов, а также теории крыла и реше- решеток крыловых профилей. В пятое издание D-е изд.—1976 г.) включены материалы по численным методам, сверхзвуковой газовой динамике, новые сведения о струях и спутном потоке. Для студентов авиационных вузов, инженеров и специалистов в области газовой динамики. Табл. 6. Ил. 166. Библиогр. 69 назв. Рецензент доктор физико-математических наук А. Н. Крайко 1603040000—077 © «Наука». Физматлиз, 1976; А 053@2) — 91 КБ'14'82~91 ' с изменениями, 1991 ISBN 5-02-014962-4 (ч. 2) ISBN 5-02-014961-6
ОГЛАВЛЕНИЕ Глава X. Элементы газовой динамики единичного профиля и ре- решетки профилей 5 § 1. Основные геометрические параметры крылового профиля и решетки профилей . 5 § 2. Теорема Жуковского о сильном воздействии потенциально- то потока 8 § 3. Влияние вязкости на силовое воздействие потока .... 13 § 4. Аэродинамические коэффициенты 17 § 5. Профиль в плоском потоке несжимаемой жидкости ... 19 § 6. Дозвуковое обтекание профиля 30 § 7. Сверхзвуковое обтекание профиля 41 § 8. Околозвуковое обтекание профиля 54 § 9. Обтекание решетки профилей дозвуковым потоком газа 64 § 10. Обтекание решетки профилей потоком газа со сверхзвуко- сверхзвуковой осевой составляющей скорости 73 §11. Обтекание решетки сверхзвуковых профилей потоком газа с дозвуковой осевой составляющей скорости 86 § 12. Некоторые сведения о пространственном обтекании единич- г пого крыла и решетки крыльев ........ 98 Глава XI. Гиперзвуковые течения газа 106 § 1. Изменение параметров газа в изоэнтропическом гиперзвуко- гиперзвуковом потоке 106 § 2. Гиперзвуковое течение около выпуклого тупого угла . . . 108 § 3. Плоская ударная волна в гиперзвуковом течении . . . . 110 § 4. Гиперзвуковое обтекание плоской пластины при малом угле атаки 115 § 5. О гиперзвуковом обтекании тонких заостренных спереди тел 116 § 6. Закон сопротивления Ньютона 118 § 7. Влияние малого затупления переднего конца тонкого тела на его обтекание при гиперзвуковых скоростях 124 § 8. О влиянии вязкости в гиперзвуковых течениях .... 128 Глава XII. Течения разреженных газов 132 § 1. Различные типы течений разреженных газов 132 § 2. Скачки скорости и температуры у стенки при течении газа со скольжением 135 § 3. Течение газа со скольжением в трубе 140 § 4. Внешнее сопротивление тела в потоке разреженного газа при наличии скольжения 145 § 5. Свободно-молекулярные течения газа и элементы кинетиче- кинетической теории газов 147 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 6. Давление и напряжение трения при свободно-молекулярном обтекании твердого тела 153 § 7. Расчет аэродинамических сил при свободно-молекулярном обтекании твердых тел 163 § 8. Свободно-молекулярное течение газа в длинной трубе . . . 169 § 9. Молекулярное истечение газа через отверстие в стенке и че- через короткую трубу 175 Глава XIII. Элементы магнитной газовой динамики 177 § 1. Введение 177 § 2. Элементы электростатики и электродинамики . . . . 178 § 3. Электромагнитные поля 192 § 4. Уравнения магнитной газодинамики 197 § 5. Критерии подобия в магнитной гидродинамике .... 204 § 6. Течение вязкой электропроводной жидкости по плоскому каналу в поперечном магнитном поле 207 § 7. Магнитогидродинамические насосы, ускорители, дроссели и генераторы 215 § 8. Вход потока электропроводной жидкости в магнитное поле и выход из него 217 § 9. Уравнения магнитной газовой динамики для единичной струйки 223 § 10. Магнитогазодинамические ударные волны и слабые возму- возмущения 229 § 11. Условие обращения воздействия при течении газа в элект- электромагнитном поле 238 § 12. Простейшие решения уравнений одномерного течения газа в скрещенных полях 242 § 13. Магнитогидродинамические турбулентные течения . . . 249 Глава XIV. Численное решение задач газовой динамики . . г 266 § 1. Введение 266 § 2. Основные понятия теории разностных схем 268 § 3. Метод характеристик 273 § 4. Метод сквозного счета для двумерных сверхзвуковых тече- течений идеального газа 276 § 5. Задача о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков . . . 281 § 6. Примеры расчета двумерных сверхзвуковых течений . . . 286 Список литературы 294 Именной указатель 297 Предметный указатель 298
Глава X ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ЕДИНИЧНОГО ПРОФИЛЯ И РЕШЕТКИ ПРОФИЛЕЙ § 1. Основные геометрические параметры крылового профиля и решетки профилей Для обычного дозвукового крылового профиля характерны округленная передняя часть (носок) и заостренная задняя кром- кромка (рис. 10.1). Сверхзвуковой профиль, в отличие от дозвуко- дозвукового, имеет острую (клиновидную) переднюю кромку. В ряде Внешняя хйрда профиля Рис. 10.1. Дозвуковой профиль случаев контур такого профиля составляется из прямолинейных отрезков (рис. 10.2). Средней линией или дугой (дужкой) профиля называется геометрическое место центров, вписанных в профиль ок- окружностей. Искривленный профиль может быть получен в результате из- изгиба некоторого симметричного профиля. Для определения положения профиля по отношению к по- потоку, а также в качестве характерного размера вводится поня- понятие о хорде профиля. Хордой профиля называют отрезок пря- прямой, соединяющей две самые удаленные точки осевой дуги про- профиля. Для слабо изогнутых профилей определенная таким образом хорда практически совпадает с отрезком прямой, соеди- соединяющей две самые удаленные точки профиля. Координаты точек профиля задаются обычно в долях длины хорды, которая при- принимается за ось абсцисс. Конфигурация профиля определяется рядом геометрических параметров. Приведем главнейшие из них. Относительной тол- толщиной профиля с называется частное от деления максимальной толщины профиля с (рис. 10.1) на длину хорды Ъ: с = с/Ь.
6 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Относительной вогнутостью /, или относительной кривизной про- профиля, называется отношение максимальной стрелы прогиба осе- осевой дуги / к длине хорды: / =//&. Положения максимальной толщины профиля и максимальной стрелы прогиба осевой дуги являются важными параметрами и определяются соответственно величинами относительных абсцисс ХС = ХС/Ь И Xf = Xf/b. Кривизна профиля может также характеризоваться углом изгиба средней линии е, т. е. углом между касательными к осевой дуге в но- Фили: a) 4e4eSo6pae3Hnb?t сике и заДней точке> называемыми б) ромбовидный соответственно передней и задней касательными профиля (рис. 10.1). Выбрав определенный вид осевой дужки и форму исходного симметричного профиля, можно получить семейство (серию) профилей с непрерывным изменением относительных вогнутостей и толщин. Прямолинейной решеткой профилей называют совокупность бесконечного числа одинаково расположенных идентичных кры- крыловых профилей, находящихся друг от друга на одном и том же расстоянии. Линия, соединяющая соответственные точки про- профилей в решетке, называется фронтом решетки, а нормаль к ней — осью решетки (рис. 10.3). С задачей обтекания прямолинейной решетки мы сталкива- сталкиваемся в осевых компрессорах и турбинах при изучении течения через неподвижные и вращающиеся лопаточные венцы с цилинд- цилиндрическими поверхностями тока. В этом случае элементарный ве- венец, т. е. лопаточный венец, ограниченный двумя близкими поверхностями тока, можно превратить в прямолинейную ре- решетку, развернув его на плоскости; для того чтобы обтекание всех профилей было одинаковым (как в лопаточном венце), ре- решетка должна состоять из бесконечного числа профилей. Взаимное расположение профилей в прямолинейной решетке однозначно определяется двумя параметрами: расстоянием ме- между соседними профилями, называемым шагом решетки t, и уг- углом между хордой профиля и фронтом, который называется установочным углом О. Вместо установочного угла О иногда при- применяют понятие выноса, подразумевая под ним расстояние а ме- между нормалями к хордам двух соседних профилей, проведен- проведенными в подобных точках. Как видно из рис. 10.3, a/t = а = —cos Ф, и, следовательно, положительный вынос соответствует значениям О > я/2, а отри- отрицательный вынос — значениям ft < я/2. Положение данного про- профиля в решетке можно охарактеризовать также одним из углов
§ 1. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ПРОФИЛЕЙ ф1 или <р2 (рис. 10.3), образованных соответственно передней и задней касательными профиля с фронтом решетки. Разность этих углов определяет угол изгиба профиля е=ф2 — <pi. Шаг решетки, отнесенный к длине хорды профиля, называ- называется относительным шагом решетки t = t/b; обратная величина \ \ \ \ Рис. 10.3. Решетка профилей называется густотой решетки т = bit. Таким образом, решетка может быть однозначно определена формой профиля, густотой и значением установочного угла. Положение профиля и решетки профилей по отношению к набегающему потоку характеризуется углом атаки] в случае единичного профиля — это угол а между направлением скорости на бесконечности и хордой; в случае решетки профилей — это угол i между скоростью набегающего потока Wi и передней ка- касательной к дуге профиля. Угол между скоростью на выходе из решетки W2 и задней касательной называется углом отставания потока 8 (рис. 10.3). Угол ^1 между направлением скорости на входе wi и фронтом решетки называется углом входа; соответ- соответственно угол р2 между скоростью на выходе w2 и фронтом ре- решетки называется углом выхода. Разность этих углов Др = [Ь — "~Pi = e — 6 + i определяет поворот потока в решетке. В аэродинамике различают прямую и обратную задачи об обтекании единичного профиля или решетки профилей.
8 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Под прямой задачей дли единичного профиля обычно пони- понимают нахождение распределения давления по поверхности дан- данного профиля при заданном вдалеке перед профилем поле ско- скорости. Нахождение геометрии профиля, обеспечивающего задан- заданное по его поверхности распределение давления, называется обратной задачей. В аэродинамике решетки профилей обе эти задачи обычно рассматриваются применительно к суммарным параметрам ре- решетки. Здесь под прямой задачей понимается определение аэро- аэродинамических сил и нахождение угла выхода потока при задан- заданном поле скорости перед решеткой заданной конфигурации. В случае потока вязкой жидкости или газа возникает также необходимость в определении потерь полного давления. Соответственно под обратной задачей понимается нахожде- нахождение конфигурации решетки, которая поворачивает на угол A(J заданный поток, образующий с фронтом решетки угол $\. Обычно в такой постановке однозначного решения обратной за- задачи не имеется. Существует бесконечное множество решеток, отличающихся друг от друга геометрическими параметрами и формами профилей, которые удовлетворяют поставленным усло- условиям. Задача становится однозначной при наложении дополни- дополнительных условий. В случае потенциального потока эти условия обычно налагаются на геометрию решетки или на распределе- распределение давления по профилю, или, наконец, на комбинацию из ука- указанных факторов. В случае вязкого потока из всего множества решеток, осуществляющих заданный угол поворота, находится оптимальная (с минимальными потерями). § 2. Теорема Жуковского о силовом воздействии потенциального потока Рассмотрим обтекание прямолинейной бесконечной решетки крыловых профилей установившимся потоком газа. Будем пред- предполагать, что профили, образующие решетку, имеют бесконеч- бесконечный размах, и течение является плоскопараллельным. Определим силу, с которой поток воздействует на поверх- поверхность крыла единичной длины. Проведем сечения 1 — 1 я 2 — 2, параллельные фронту решетки (рис. 10.4) и настолько удален- удаленные от нее, что можно считать скорость и давление в каждом из этих сечений постоянными. Выберем любую линию тока А\А% и проведем другую линию тока В\В2 на расстоянии одного шага от .первой линии тока. Очевидно, что эти линии тока конгруэнт- конгруэнтны, т. е. совпадают при наложении. Применяя к объему жидко- жидкости, ограниченному отрезками прямых а\Ъ\ и #262 и отрезками линий тока ai#2 и bi&2, уравнение количества движения, получим (см. § 5 гл. I) следующие выражения для проекций на фронт и на ось решетки равнодействующей всех сил, приложенных
§ 2. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО к объему жидкости: Ри ="G(h?2u — Wlti), A) Pa = G(W2«— tt?i«), B) где G — масса жидкости, проходящая через сечение, равное од- одному шагу решетки1), в единицу времени и определяемая урав- уравнением неразрывности G = PlWlJ = Р2М?2а?. C) С другой стороны, силы можно определить сложением проекций всех сил, действующих на объем aib\b2a2, т. е. силы давления по Треугольник Треугольник плотностей скоростей тона Рис. 10.4. К выводу теоремы Жуковского о равнодействующей аэродинами- аэродинамических сил, приложенных к профилю решетки контуру а\Ъ\Ъ2п2Ж реакции от силы, приложенной к поверхности крыла (гравитационными силами пренебрегаем). Обозначая со- составляющие силы, приложенной к крылу, через Ru и Ra и заме- замечая, что равнодействующие силы давления, приложенные к от- отрезкам линий тока п\п2 и bi&2» равны по величине и направлены в противоположные стороны, имеем Pu = -Rtt И Pa=l-Ra + (P1-P2)t. Подставляя последние равенства в выражения A) и B), *) Здесь и далее толщина струи в направлении перпендикуляра к пло- плоскости рисунка равна единице.
10 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ получим Ru = G(M>iu-W2tt), D); R« = G(Wia~ W2u)+ t(pi — p2). E) Определим значение циркуляции Гок по контуру а,\Ъ\Ъ2п2- Обходя контур по положительному направлению, т. е. по часо- часовой стрелке, имеем следующие значения циркуляции для фрон- фронтальных участков контура; Тп1Ъх =[tW± COS pi = tWlu, Ть2а2 = tw2 COS |32 = — tW2u. Так как отрезки линий тока п\п2 и Ъ\Ъч равны и имеют одно и то же распределение скорости, то в силу разного направления при обходе их rr Таким образом, суммарная циркуляция по контуру Гок = ГаЛ + 1\ь2 + Гь2а2 + Г«л = t (wlu - W2U) F) и, следовательно, согласно DJ R« = G^. G) Формулы D), E) или D), G) позволяют определить сум- суммарное силовое воздействие любого потока жидкости и газа на произвольную решетку профилей, т. е. определить величину и направление равнодействующих всех сил, приложенных к про- профилю в решетке. В дальнейшем ограничимся рассмотрением потенциального потока. Как было доказано в § 11 гл. II, в случае потенциаль- потенциального — безвихревого — потока циркуляция Гок по определенному контуру а\Ъ\Ъ2A2 равна циркуляции Г по любому контуру, охва- охватывающему профиль, в том числе и по поверхности самого про- профиля, т. е. Гок — Г, и, следовательно, в потенциальном потоке Ru = G^-. (8) В потоке несжимаемой жидкости имеем W\a = W2a = M7e, G = ptWa. При отсутствии потерь имеем также Pi — P2 = -|-(и>1— не- несогласно E) и (8) для потенциального потока несжимаемой жидкости получим Ra = -f" (wlu — w\u) = tp -^-tj —{W2U — Wlu),
§ 2. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО Ц Введем вектор среднегеометрической скорости *г + w2 W77I ? * Из рассмотрения треугольника скоростей на рис. 10.3 следует Wiu + *2u ,qv g = wmui \p) Направление среднегеометрической скорости определяется из очевидного выражения Ctg Pm = 4" (Ctg Pi + Ctg P«)- <И> В соответствии с F), (9) и A0) имеем В.—рГш„, A2) Ru=pTWma. A3) Из этих выражений для составляющих сил давления сле- следует, что в потенциальном потоке несжимаемой жидкости вели- величина равнодействующей всех аэродинамических сил, приложен- приложенных к профилю в решетке, равна произведению плотности жид- жидкости на величину геометрической полусуммы скоростей и на значение циркуляции вокруг профиля R = piiU\ A4) Сила R направлена перпендикулярно к геометрической полу- полусумме скоростей. Для того чтобы получить направление этой силы, нужно геометрическую полусумму повернуть на угол я/2 в сторону, противоположную направлению циркуляции. Эта тео- теорема для решетки профилей была впервые получена Н. Е. Жу- Жуковским в 1912 г. При дозвуковых скоростях изоэнтропического потока газа можно пользоваться уравнением равнодействующей в форме A4), определяя только значение плотности р = рт по формуле В этом случае теорема Жуковского для решетки в изоэнтро- пическом потоке сжимаемого газа выполняется точно, если за- заменить истинную кривую изоэнтропического процесса касатель- касательной к ней прямой в точке (/?о, 1/роI)- При этом направление !) Берзон Э. М. О силе, действующей на профиль в решетке / Труды Ленинградской военно-воздушной инженерной академии.—1949, вып. 27; Лойцянский Л. Г. Обобщение формулы Жуковского на слу- случай профиля в решетке, обтекаемой сжимаемым газом при дозвуковых
12 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ равнодействующей при не очень больших дозвуковых скоростях оказывается весьма близким к нормали к геометрической полу- полусумме плотностей тока jm = (pw)m = Plwl + P2W2 В общем случае течения газа равнодействующую можно пред- представить как сумму двух составляющих — силы Жуковского, рав- равной по виличине (рм>)тТ и направленной по нормали к геомет- геометрической полусумме плотностей тока и некоторой добавочной силы, направленной по оси1). Определим силовое воздействие потенциального потока не- несжимаемой жидкости на единичный профиль. Для этого устре- устремим шаг решетки t к бесконечности. В пределе получим еди- единичный профиль. Очевидно, что если параметры потока перед решеткой считать фиксированными, то при t -*• °° имеем Ь»2и -+ W\u, |fj2 -* Pi, Wm ->¦ Wi и, следовательно, согласно A4) A5) Здесь Г — по-прежнему циркуляция скорости, взятая по любому контуру, охватывающему данный единичный профиль. Таким образом, можем сформулировать следующую теорему: при об- обтекании единичного профиля потенциальным потоком равнодей- равнодействующая сил, приложенных к профилю, равна произведению плотности и скорости набегающего потока на значение цирку- циркуляции Г вокруг профиля. Для отыскания направления равно- равнодействующей, являющейся в этом случае подъемной силой, нужно вектор скорости повернуть на угол я/2 в сторону, проти- противоположную направлению циркуляции. Эта важная теорема впервые была получена Н. Е. Жуков- Жуковским в 1906 г. В дальнейшем М. В. Келдыш и Ф. И. Франкль в 1934 г. доказали эту теорему для газового потока, ограничи- ограничиваясь достаточно малыми числами М. Вывод теоремы Жуков- Жуковского для газа путем предельного перехода от решетки к еди- единичному профилю был дан Л. И. Седовым в 1948 г. скоростях / ПММ.—1949.—Т. 13, № 2; Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Гостехиздат, 1950; Блох Э. Л., Бал тер А. Е., Д о в ж и к С. А. Теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе профиля в решетке, обтекаемого сжимаемым газом / Промышленная аэродинами- аэродинамика.— 1953.— Вып. 4. ]) Седов Л. И. Гидроаэродинамические силы при обтекании профи- профилей сжимаемой жидкостью / ДАН СССР.—1948.—Т. 63, № 6 (см. также статью Г. Ю. Степанова в обзорном бюллетене «Авиамоторостроение» A948.—№4)).
§ 3. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ 13 § 3. Влияние вязкости на силовое воздействие потока При обтекании потоком вязкой жидкости за каждым из про- профилей образуется след — область пониженного полного давле- давления где и сосредоточены все потери, возникающие в погранич- пограничном' слое Как показывают эксперименты, выравнивание стати- статического давления осуществляется в непосредственной близости за решеткой (на расстоя- расстоянии долей хорды профиля - \^\TN4^\~X~X"~' \ от среза решетки) в се- сечении z — z (рис. 10.5). Приближенно примем, что при безотрывном обтека- обтекании решетки направление скоростей в сечении z — z для вязкого и потенци- потенциального потоков одинако- одинаково, т. е. положим, что Pz ==r' Pz пот === Н2 пот' В этом случае влияние вязкости будет проявлять- проявляться только в неравномер- неравномерном распределении скоро- скоростей на выходе из ре- решетки. Обычно решетки раз- различают в зависимости от расчетного отношения ско- скоростей на входе и выходе. Рис. 10.5. Обтекание решетки профилей Срез .решетки Конфузорной решеткой потоком вязкой называют решетку, у ко- которой pz<p\. Поток, проходя через такую решетку, увеличивает свою скорость; при этом статическое давление в нем падает. При одних и тех же углах Pi1) конфузорные решетки могут быть двух типов: с углом E2 > [h и с углом ?z > я — $\. Решетку, в которой происходив торможение потока, назы- называют диффузорпой решеткой. Торможение потока сопровождает- сопровождается, естественно, ростом статического давления (/?z>/?i). Диф- фузорные решетки охватывают область углов Решетка, в которой изменяется только направление скорости, а ее величина остается неизменной (pz~Pi), называется актив- активной решеткой. В этой решетке pz=sJi--Pi. Не нарушая общности, будем всегда принимать fr ^ я/2.
14 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ При течении вязкой жидкости в пространстве за решеткой вследствие перемешивания происходит постепенное выравнива- выравнивание полей скорости. В результате, начиная с некоторого доста- достаточно удаленного от решетки сечения 2 — 2, уже имеется одно- однородный поток, параметры которого могут быть определены с помощью уравнений неразрывности и импульсов. Из этих урав- уравнений следует1), что всегда направление выровненного потока ближе к направлению фронта решетки, чем направление исход- исходного, неравномерного потока, т. е. что h < р,. Это значит, что в конфузорной и активной решетках влияние вязкости приводит как бы к увеличению угла поворота потока решеткой, т. е. к уменьшению первоначального угла отставания и к возникновению в отдельных случаях даже угла «опереже- «опережения» потока. Такой же эффект влияния вязкости проявляется и в диффу- зорных решетках, у которых {Jz > л/2. В диффузорных решет- решетках, имеющих ?2 < я/2, влияние вязкости обратное — оно при- приводит к уменьшению эффективного угла поворота потока ре- решеткой, т. е. к появлению как бы дополнительного угла от- отставания. По известным параметрам выровненного потока силовое воз- воздействие на решетку может быть непосредственно определено по формулам D), E), полученным для однородного потока. Для вязкого потока несжимаемой жидкости имеем Pi— Р2=-Т (Wt ~ H>l) + К = — р -f Wmu + hw и, согласно E), Ra — —рГ0КШтм + kwt. Здесь hw — суммарные потери полного давления, отнесенные к 1 м3 жидкости, перетекающему из сечения 1 — 1 в сечение 2 — 2. Суммарные потери включают в себя как потери, возни- возникающие при непосредственном обтекании решетки, так и потери, связанные с полным выравниванием потока в пространстве за решеткой. ,....,4* v-- Окружная составляющая силы находится из формулы G) Ru = Р^шаГок. Последние два выражения позволяют следующим образом обоб- обобщить теорему Жуковского: равнодействующая всех сил, прило- приложенных к профилю решетки при обтекании ее потоком вязкой несжимаемой жидкости, равна геометрической сумме циркуля- циркуляционной силы Жуковского G = р\УтГ0К, направленной по нор- ]) См., например, гл. X 3-го издания этой книги.
§ 3. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ НА АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ 15 мали к геометрической полусумме скоростей, и некоторой доба- добавочной силы Fa^Kt, направленной всегда по оси решетки. Проекцию равнодействующей на направление нормали к средней геометрической скорости wTO называют подъемной силой профиля в решетке Rv. При потенциальном обтекании решетки подъемная сила равна циркуляционной силе Жуковского Ry = G. Другую проекцию равнодействующей на направление сред- среднегеометрической скорости Rx будем называть вязкой силой, ха- характеризуя этим самым причину ее возникновения, поскольку в потенциальном потоке несжимаемой жидкости она равна нулю. Сравнивая обтекание данной решетки вязким и потенциаль- потенциальным потоками несжимаемой жидкости при одной и той же (по величине и направлению) скорости набегающего потока, заме- замечаем, что влияние вязкости двояко: оно приводит как к изме- изменению величины циркуляционной силы Жуковского G, так и к появлению добавочной осевой силы Fa. В результате возникает вязкая сила (сопротивление) Rx, а также изменяется величина подъемной силы Ry. Если в межлопаточных каналах густой решетки в результате турбулентного перемешивания осуществляется полное выравни- выравнивание полей скорости и на срезе решетки поток однороден1), то влияние вязкости ограничивается только возникновением осе- осевой силы Fa; сила Жуковского остается такой же, так как циркуляция Гок не изменяется. В этом частном случае ARy = —Fa cos pm = — hj cos (Jm, и, следовательно, в вязком потоке подъемная сила профиля в конфузорной решетке больше, а в диффузорной решетке меньше циркуляционной силы Жуковского (рис. 10.6). В активной ре- решетке, так же как и в потенциальном потоке, подъемная сила равна циркуляционной. Проекция равнодействующей на направление, нормальное набегающему потоку, называется подъемной силой единичного профиля Ry. Другая, нормальная к ней проекция равнодейству- равнодействующей силы называется силой сопротивления профиля Rx. В потенциальном потоке на профиль действуют только силы давления, равнодействующая которых, согласно теореме Жуков- Жуковского, равна подъемной силе профиля: R = Ry. Сопротивление отсутствует: Rx = 0. Влияние вязкости сказывается как в появ- появлении на поверхности профиля касательных сил — трения, так и в перераспределении сил давления. В результате в вязком 1) Такой случай, строго говоря, является гипотетическим. В действи- действительности, при достаточной протяженности канала устанавливается неко- некоторое неизменяющееся далее распределение скоростей (см. гл. VI).
16 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ потоке изменяется величина подъемной силы и возникает сила профильного сопротивления, состоящая из силы сопротивления давления Rxn и сопротивления трения Rxf. Эти составляющие fy 6 V \У Рис. 10.6. Влияние вязкости на силовое воздействие потока несжимаемой жидкости на густую решетку в предположении полного выравнивания в ее межлопаточных каналах: а) диффузорная решетка, б) конфузорная ре- шетка общей силы профильного сопротивления Rxf A6) равны проекции на направление движения равнодействующей соответственно нормальных и касательных сил, действующих на поверхность профиля. Отношение величины подъемной силы профиля к его сопро- сопротивлению называется качеством профиля
§ 4. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 17 Обратная величина — обратное качество профиля Здесь е — угол между направлениями подъемной и равнодей- равнодействующей сил. В потенциальном потоке 8 = 0. § 4. Аэродинамические коэффициенты Для удобства анализа и пользования данными эксперимен- экспериментов вводят безразмерные коэффициенты характерных сил, деля их значение, приходящееся на единицу длины размаха, на про- произведение хорды профиля на скоростной напор набегаю- набегающего потока. Безразмерные коэффициенты сил профиля или решетки про- профилей заданной геометрии зависят от угла атаки и от критериев подобия: чисел Маха, Рейнольдса и др. Для единичного профиля характерными силами являются подъемная сила Ry и лобовое, или профильное, сопротивление Rx. Безразмерные коэффициенты этих сил \* ) ±Ь A8) называются соответственно коэффициентом подъемной силы и коэффициентом профильного сопротивления. Согласно A6) ко- коэффициент профильного сопротивления можно представить как сумму коэффициента сопротивления давления схп и коэффици- коэффициента сопротивления трения cxf: Rxn . Rx1 С 1 . x1 . 1 Г = Cxn + Cxf. Здесь, в отличие от коэффициента трения пластины С/, коэф- коэффициент сопротивления трения профиля обозначается cxf. Иногда еще вводят понятие о сопротивлении формы. Под коэффициен- коэффициентом сопротивления формы понимают разность между коэффи- коэффициентом профильного сопротивления и коэффициентом трения плоской пластины, имеющей ту же поверхность, что и данное крыло *): сх фор = сх пр — 2с/ = схп + (cxf — 2с f). 1) Множитель 2 при с/ учитывает трение на обеих сторонах пластины. 2 Г. Н. Абрамович, ч. 2
18 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Для решетки профилей характерными силами являютск фронтальная и осевая. Фронтальная составляющая Ru равно- равнодействующей силы определяет энергетическое воздействие ра- рабочего колеса компрессора или турбины, а осевая Ra характе- характеризует то усилие, которое должны воспринимать подшипники или специальные устройства. Безразмерные коэффициенты этих составляющих определя- определяются по известным параметрам потока на бесконечности перед решеткой: п Ru n — Ra Си — ; > Са — ; # Согласно C), D) и E) в решетке для крыла единичной длины A = 1) имеем у Ru 2 &wu . а csmP Безразмерный перепад давления II .... i ^ можно представить при использовании газодинамических функ- функций (§ 6 гл. V) в следующем виде: Ар Ар ft + lT(*i) Г"(*¦«) ,1 или так: При этом предполагается, что все потери сосредоточены в пространстве между сечениями ]-] и 2-2 и могут быть уч- учтены величиной коэффициента сохранения полного давления о. При отсутствии теплообмена с внешней средой — «КР2 — ""КР
§ 5. ПРОФИЛЬ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ 19 и, следовательно, Си = — щ i ?- cos р2 — cos px j sin plf Из уравнения состояния при Г* = const имеем J% Р^_Ркр2 Р\ ~ р* "" Pkpi" В ряде случаев при обтекании решетки профилей потоком несжимаемой жидкости в качестве характерных принимают подъемную силу — силу, направленную по нормали к среднегео- среднегеометрической скорости wm, и силу, вызванную наличием вязко- вязкости и направленную вдоль ww. При этом для образования без- безразмерных коэффициентов делят соответствующие составляющие равнодействующей на скоростной напор, рассчитанный по сред- среднегеометрической скорости. Таким образом, имеем Л., -** — * = -^-. с* = —f— A9> § 5. Профиль в плоском потоке несжимаемой жидкости Рассмотрим сначала потенциальный поток несжимаемой жид- жидкости. Тогда задача обтекания тела данной формы сводится к нахождению функции тока ty(x, у) и потенциала скорости Ф(*, У)- Покажем, что при бесциркуляционном обтекании кругового цилиндра потенциал может быть определен как потенциал не- некоторого результирующего течения, образованного наложением двух течений — плоскопараллельного и диполя. Согласно фор- формулам A08) и A14) § 12 гл. II функция тока такого течения ~ ЩУ ~~ 2л х2 + уг Приравнивая я|) постоянной величине с, получим уравнение се- семейства линий тока 2*
20 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ При с = 0 (рис. 10.7, а) ^]0. B2) Это уравнение распадается на два: „-0 и *• + »._.* B3) 1 Первое изображает собой ось х, а второе — окружность с цент- центром в начале координат и радиусом Согласно A07) и (ИЗ) § 12 гл. II потенциал скоростей рас- рассматриваемого течения D) B5) Для круга единичного радиуса ф = Wl (i+A-) rc°se Bб) и соответственно Wr = 1? -¦г—f-»--^(»+^H. <27) -.гf» где s = г0 — дуга окружности. Отсюда видно, что на бесконечном удалении от окружности течение однородно и происходит со скоростью wi, направленной вдоль оси х. Согласно B7) циркуляция составляет 2Я 2Я Г= [wsds= \wsrdQ = — wJl +-^)г J sin6d0 = O. B8) Таким образом, выражение B6) есть потенциал скоростей бес- бесциркуляционного обтекания круга единичного радиуса однород- однородным потоком, имеющим скорость w\, направленную вдоль оси х. Так как на самой окружности (г=1) радиальная составля- составляющая скорости равна нулю, то w = w8 = 2w\ sin0. Отсюда сле- следует, что максимальная скорость обтекания, которая наблюдает- наблюдается при 8 = л/2 и 8 = Зл/2, равна удвоенной величине скорости набегающего потока. При 8 = 0 и 8 = я скорости равны нулю и
§ 5. ПРОФИЛЬ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ 21 соответствующие точки являются критическими. Последнее оче- очевидно, так как является следствием симметрии течения. При обтекании окружности под некоторым углом а к оси х крити- критические точки переместятся по окружности на тот же угол (рис. 10.7,6). Для получения циркуляционного обтекания окружности на- наложим на рассмотренный выше поток чисто циркуляционное те- течение от единичного вихря, поместив его в начало координат, т. е. в центр окружности. Ско- рость, индуцированная точеч- точечным вихрем с циркуляцией Г, по величине равна Г/Bяг) и направлена всегда по нормали к радиусу-вектору. Суммируя эти скорости со скоростями бесциркуляционно- бесциркуляционного обтекания окружности, по- получаем искомое выражение для распределения скоростей по контуру окружности при ее циркуляционном обтекании w = 2w18inQ + -^. B9) Последнее выражение позво- позволяет легко определить необхо- необходимое значение циркуляции, при котором одна из критиче- критических точек, например В, со- сохраняет неизменное положение при изменении направления набегающего на окружность потока. Пусть, например, при нулевом угле атаки (который а будем условно отсчитывать от диаметра АВ) окружность об- Рис. 10.7. Обтекание круга потен- текалась бесциркуляционным циальным потоком несжимаемой потоком. В этом случае одной ^^^^^^Гб)Ъ из критических точек будет цИрКулЯции при а Ф 0, в) обтекание точка В. Для того чтобы эта с циркуляцией точка продолжала оставаться критической и при обтекании окружности под некоторым углом атаки а = — 8, необходимо наложить циркуляцию Г = 4яи?1 sin ос. Зная течение вокруг окружности единичного радиуса, можно с помощью конформного отображения области, внешней данному профилю, на область, внешнюю кругу, построить течение и во- вокруг произвольного профиля. При этом используется свойство
22 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ неизменности циркуляции при конформном преобразовании1). Однако в этом случае задача об обтекании профиля потоком, у которого на бесконечности заданы величина и направление скорости, имеет бесчисленное множество решений, зависящих от выбора значения циркуляции Г. Необходимо дополнительное условие, определяющее значение, циркуляции. В целях выяснения этого условия рассмотрим обтекание по- потоком несжимаемой жидкости профиля, имеющего острую зад- заднюю кромку, наличие которой характерно для современных аэродинамических профилей. Предположим сначала, что цирку- циркуляция скорости отсутствует (Г = 0), т. е. нет подъемной силы. Получающаяся в этом гипотетическом случае картина так на- называемого бесциркуляционного обтекания профиля может быть построена известными методами теоретической гидродинамики. Точка раздела струй Точна слияния (схода) струй Точка раздела струи (передняя критическая точка) Верхняя поверхность профиля Нижняя поверхность Точка схода струй (задняя а профиля fi критическая точка) Рис. 10.8. Обтекание профиля потенциальным потоком несжимаемой жид- жидкости: а) обтекание без циркуляции, б) обтекание с циркуляцией Картина бесциркуляционного обтекания профиля обладает следующими основными особенностями. Набегающий поток раз- разделяется у профиля на две части, обтекающие соответственно его верхнюю и нижнюю поверхности (рис. 10.8, а). Точка А, в которой струи разделяются и поток имеет нулевую скорость, называется передней критической точкой или точкой раздела струй. Точка С, где струи вновь сходятся, называется точкой слияния струй или задней критической точкой. Изменение угла атаки приводит к изменению положения пе- передней и задней критических точек. Например, в случае, изобра- изображенном на рис. 10.8, при увеличении угла атаки передняя кри- критическая точка движется по нижней поверхности, приближаясь к задней кромке профиля, а задняя критическая точка, пере- перемещаясь по верхней поверхности, приближается к лобовой ча- части профиля; уменьшение угла атаки приводит к перемещению 1986. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука,
§ 5. ПРОФИЛЬ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ 23 точки разветвления струй в сторону носика, а точки слияния струй — в хвостовую часть профиля. В общем случае ввиду невозможности обтекания острой зад- задней кромки (гл. II, § 11) такое течение сопровождается отры- отрывом потока от поверхности профиля. Только при некотором ча- частном значении угла атаки (обычно отрицательном) точка схода струй совпадает с задней кромкой профиля, т. е. получается безотрывное бесциркуляционное течение; соответствующий угол атаки ао называется углом нулевой подъемной силы. Рассмотрим теперь другой крайний случай обтекания кры- крыла — чисто циркуляционное обтекание. Под чисто циркуляцион- циркуляционным течением будем понимать течение, обусловленное только наличием циркуляции вокруг профиля при отсутствии набегаю- набегающего потока, когда w\ = 0, Г Ф 0. Примером чисто циркуляци- циркуляционного течения является рассмотренное в гл. II круговое тече- течение, поле скоростей которого вызвано одиночным вихрем. В слу- случае чисто циркуляционного течения отсутствуют передняя и задняя критические точки, и линии тока представляют собой замкнутые кривые, огибающие профиль. Такое течение незави- независимо от значения циркуляции требует наличия бесконечной скорости в точке, лежащей на задней кромке профиля и, следо- следовательно, так же как бесциркуляционное течение, не может быть реализовано без отрыва потока. Общий случай плоскопараллельного обтекания крыла может быть получен наложением этих двух предельных случаев тече- течения: бесциркуляционного и чисто циркуляционного. Как можно убедиться из построения картины обтекания, в результате на- наложения на бесциркуляционное течение чисто циркуляционного течения задняя критическая точка при положительном значении циркуляции (Г > 0) сдвигается к хвостовой, а при отрицатель- отрицательном (Г < 0) — к лобовой части профиля 1). Задавая циркуляцию Г, мы однозначным образом определяем положение задней критической точки при данном направлении бесциркуляционного течения, т. е. заданном направлении скоро- скорости вдалеке от профиля. Очевидно, что при некотором вполне определенном значении циркуляции Г вокруг крыла задняя критическая точка совпа- совпадет с задней острой кромкой профиля (рис. 10.8, б). В этом единственном случае циркуляционное течение может быть физи- физически реализовано безотрывным образом. При всех других зна- значениях циркуляции требуется обтекание задней кромки, что, как указывалось, невозможно без отрыва потока. Это условие называется постулатом Чаплыгина — Жуковско- Жуковского и может быть сформулировано следующим образом: при без- безотрывном обтекании профиля вокруг него возникает циркуля- 1) Здесь положительным считается вращение по часовой стрелке.
24 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ ция Г такой величины, при которой задняя острая кромка яв- является точкой схода струй. Постулат Чаплыгина — Жуковского дает возможность вычислить значение циркуляции вокруг про- профиля, а следовательно, при помощи теоремы Жуковского и подъемную силу крыла. Рассмотрим физическую схему обтекания крыла, при кото- которой появляется подъемная сила, т. е. сила давления жидкости на крыло, направленная перпендикулярно к скорости невозму- невозмущенного потока. Как мы видели, в потоке около крыла возни- возникает циркуляция, в результате наложения которой на набегаю- набегающий поток скорость над крылом становится больше, а под кры- крылом меньше скорости невозмущенного потока. Вследствие этого Рис. 10.9. Фотография начального вихря давление над крылом понижается, а под крылом повышается, что приводит к появлению подъемной силы. Возникновение цир- циркуляции жидкости вокруг крыла в свою очередь объясняется следующими причинами. В начальный момент движения крыла у его задней острой кромки образуется жидкая поверхность раз- раздела (поверхность тангенциального разрыва скорости), свора- сворачивающаяся в вихрь, который увлекается потоком. Однако в на- набегающем потоке не было завихренности, следовательно, цирку- циркуляция по контуру, охватывающему крыло и вихрь, равна нулю. Если же этот контур рассечь линией, отделяющей крыло от вихря, то в каждом из новых двух контуров циркуляция не равна нулю. Очевидно, что эти циркуляции должны быть равны по величине, но противоположны по направлению. Итак, начальный вихрь, срывающийся с задней кромки кры- крыла, вызывает возникновение циркуляции вокруг крыла, которая
§ 5. ПРОФИЛЬ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ 25 и порождает подъемную силу. На фотографии обтекания крыла (рис. 10.9) видны как начальный вихрь, так и циркуляционное течение около крыла. Заметим, что рассмотренный выше частный случай безотрыв- безотрывного бесциркуляционного обтекания представляет собой пример выполнения условия Чаплыгина — Жуковского для режима Г = 0. Такое безотрывное бесциркуляционное течение (при Г = 0) является единственно возможным случаем, при котором бесцир- бесциркуляционное течение реализуется в действительности; в прочих случаях оно является лишь мысленной составляющей частью истинного течения, включающего также и циркуляционный поток. Пусть теперь при конформном преобразовании данного про- произвольного профиля на круг единичного радиуса задняя кромка профиля В\ переходит в точку В окружности (рис. 10.10). Это ПЛ. Z Рис. 10.10. Конформное отображение внешности профиля на внешность окружности единичного радиуса значит, что направление бесциркуляционного обтекания окруж- окружности, соответствующее бесциркуляционному обтеканию профи- профиля, параллельно диаметру окружности, проходящему через точ- точку В. Если профиль и соответственно окружность обтекаются теперь под углом (а —ао) к этому направлению бесциркуляци- бесциркуляционного обтекания, то для того, чтобы точки В\ и В по-прежнему совпадали с точкой схода струй, необходимо в соответствии со сказанным выше наложить циркуляцию Г = mubw\ sin (a — ао), C0) где ти — коэффициент пропорциональности, зависящий только от формы профиля, ао — угол нулевой подъемной силы, т. е. безотрывного бесциркуляционного обтекания. Коэффициент подъемной силы, согласно A5), A7) и C0), составляет 2Г су = -г— = 2ти sin (а — а0). 1
26 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Отсюда имеем (dA \ da Так как обычно применяемые углы атаки невелики, то можно положить sin (а — ао) « а — ао. Используя это приближение, имеем су = 2ти (а — ао). Вводя так называемый аэродинамический угол атаки ОСа == OS — Оо, т. е. угол между направлением скорости на бесконечности и направлением нулевой подъемной силы, получим су = 2тиаА. У симметричных профилей хорда совпадает с осью симметрии, вследствие чего угол нулевой подъемной силы ао = 0. Для дуж- дужки круга направление бесциркуляционного обтекания соответ- соответствует прямой, проходящей через заднюю кромку и середину профиля. Пользуясь данными по профилю Жуковского, можно полу- получить следующую приближенную формулу для определения ве- величины dcy/da произвольного профиля !): В этой формуле один из множителей учитывает кривизну про- профиля, а другой множитель — его толщину. В обычных крыловых профилях величина (//2J пренебре- пренебрежимо мала, и поэтому для них принимают -^==2яA +0,77с).' Полагая в последнем выражении с = 0, получаем для пло- плоской пластинки dc,, и, следовательно, <у= В потенциальном потоке касательные силы отсутствуют, и поэтому, казалось бы, равнодействующая всех сил давления, приложенных к пластине, должна быть направлена по нормали 1) См. Аэродинамика. Т. И/Под ред. В. Ф. Дюренда.— М.; Л.: Оборонгиз, 1939.
§ 5. ПРОФИЛЬ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ 27 к ней, а не перпендикулярно скорости набегающего потока, как это следует из теоремы Жуковского. Этот кажущийся парадокс объясняется тем, что, кроме нормальных сил, действующих на верхнюю и нижнюю поверхности пластины, у ее передней кром- кромки возникает направленная по пластине тянущая сила такой величины, при которой равнодействующая оказывается направлен- направленной по нормали к скорости набегающего потока. Возникновение этой тянущей силы связано с появлением у передней кромки бесконечно большого отрицательного давления, принципиально допускаемого в рассматриваемой математической модели иде- идеальной жидкости. Заметим, что, как уже указывалось (гл. II), вследствие не- нереальности такого давления безотрывное обтекание становится невозможным, и с передней острой кромки пластины происхо- происходит срыв струй. Поэтому применение описанных выше матема- математических методов для определения обтекания невязким потоком пластины или других профилей с острыми передней и задней кромками, строго говоря, носит несколько условный характер. Исключение составляет только случай обтекания профиля под таким углом атаки, при котором точка разветвления струй сов- совпадает с острой передней кромкой1). В этом случае обе острые кромки, передняя и задняя, лежат на линии раздела потоков, обтекающих верхнюю и нижнюю стороны профиля, и струи жидкости плавно входят и сходят с него. До сих пор мы рассматривали обтекание профиля идеальной жидкостью. Изложим некоторые соображения о влиянии вязко- вязкости. Вязкость жидкости вносит изменения в картину течения и приводит к различию между выводами теории потенциального обтекания профиля и экспериментальными данными. Влияние вязкости в случае хорошо обтекаемых тел сказывается лишь в тонком пограничном слое, вне которого движение можно счи- считать потенциальным, т. е. безвихревым. В гл. VI рассмотрено подробно обтекание с трением плоской пластины, расположенной параллельно направлению потока; в этом случае давление в потоке практически не изменяется. При обтекании же вязкой жидкостью профиля давление около его поверхности существенно изменяется. Исходя из этого, все течение вблизи профиля следует разделить на два основных участка: конфузорный участок, в котором скорость возрастает, а давление соответственно падает, т. е. градиент давления от- отрицателен (dp/dx<0I и диффузорный участок, в котором ско- скорость падает, а давление возрастает, т. е. градиент давления положителен (dp/dx > 0). К конфузорному участку относится передняя часть поверх- поверхности профиля (до точки минимума давлений /?т!п). К диффу- ) Иногда этот угол называют углом атаки безударного обтекания.
28 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ зорному участку относится задняя часть поверхности (от точки минимума давления до задней кромки). В конфузорном уча- участке течение совершается в сторону падения давления, и по- поэтому не возникает опасности отрыва пограничного слоя от по- поверхности крыла. В диффузорном участке движение направлено 0,8 0,k 0 01 0, 0,8 U2. к \ \ \ \ X \ V \ к у к У y<y у \ A >A x xxX 0 0,Z #4 0,6 0,8 1,0 Рис. 10.11. Сравнение экспериментальной и теоретических эпюр давления для симметричного профиля Жуковского с относительной толщиной с = = 0,1506 при нулевом угле атаки: кривая — расчет, крестики — эксперимент 0,01 \ 0,1 Сопротидление трения Рис. 10.12. Соотношение между сопротивлением трения и сопротивлением давления в зависимости от относительной толщины профиля с для симмет- симметричного профиля Жуковского по данным продувки при нулевом угле атаки в сторону роста давлений, что, как указывалось в гл. VI, при больших градиентах давления приводит к возможности отрыва пограничного слоя. Эти соображения подтверждаются многочисленными экспери- экспериментами с диффузорами, конфузорами и крыловыми профилями.
§ 5. ПРОФИЛЬ В ПЛОСКОМ НЕСЖИМАЕМОМ ПОТОКЕ 29 На рис. 10.11 проводится сравнение полученных из экспери- эксперимента эпюр безразмерных величин давления р= (р — Pi)/@,5pu?i) по поверхности с данными теории потенциального обтекания на нулевом угле атаки для симметричного профиля Жуковского. Как видим, разница между теоретическими и эксперимен- экспериментальными данными в распределении давления имеется только в кормовой части профиля. Этот результат справедлив не только при нулевом угле, но также и при малых углах атаки. Для иллюстрации соотношения между сопротивлением дав- давления и сопротивлением трения на рис. 10.12 приведены резуль- результаты экспериментальных исследований при нулевом угле атаки серии из семи симметричных профилей Жуковского с относи- относительной толщиной с = 0,05;.0,10; 0,15; 0,21; 0,27; 0,33; 0,40. Как видим, у тонких профилей подавляющую часть профиль- профильного сопротивления составляет сопротивление трения; например, в случае с = 0,1 на долю трения падает до 75% профильного сопротивления. С увеличением относительной толщины профиля за счет возрастания градиента давления в диффузорной части крыла растет общее профильное сопротивление и уменьшается доля сопротивления трения; при с > 0,25 сопротивление давления преобладает над сопротивлением трения; при с = 0,4 первое со- составляет ~70 % общего профиль- профильного сопротивления. Перейдем к вопросу о влиянии вязкости на подъемную силу. Ти- Типичная экспериментальная кри- кривая су (а) для аэродинамического профиля изображена на рис. 10.13. Сначала у эксперименталь- экспериментальной кривой Су (а) имеется значи- значительный прямолинейный участок, как это следует из теории по- потенциального обтекания, однако экспериментальные значения (dcy/da)a=oco получаются меньше теоретических. С увеличением угла атаки усиливается диффузорность тече- Рис. 10.13. Экспериментальные ния на верхней поверхности, что кривые су(а) и сх(а) для еди- увеличивает расхождение между ничного профиля экспериментом и теорией. При критическом значении угла атаки Окр коэффициент подъемной силы достигает максимума (су = сутах), после чего наблюдается падение величины су с увеличением угла атаки. Резкое отклонение зависимости су(а)
30 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ от линейной при больших углах атаки вызывается отрывом пограничного слоя, который с увеличением угла атаки распро- распространяется на все большую часть верхней поверхности профиля и одновременно приводит к интенсивному возрастанию коэффи- коэффициента лобового сопротивления с*. § 6. Дозвуковое обтекание профиля При малых значениях числа Маха (Mi < 0,3) величина ско- скорости набегающего потока газа не оказывает заметного влияния на характер распределения давления по профилю. Коэффициен- Коэффициенты давления р на профиле остаются практически такими же, как в несжимаемой жидкости. Увеличение скорости приводит к уменьшению минимального давления и соответственно к росту максимального числа Маха на профиле. Хотя при больших зна- значениях Mi (Mi > 0,3) эпюра коэффициентов давления и вели- величина pmin изменяются, но по-прежнему увеличение скорости на- набегающего потока приводит к росту максимального числа Маха. В результате при некотором критическом значении числа Маха набегающего потока (Mi = Mi кр) максимальная скорость на про- профиле становится равной местной скорости звука, т. е. Мтах = 1,0. При этом минимальное давление достигает своего критического значения / 2 \— Рт'т = Ркр = Р*Л A) = [j^fj) P*- Здесь р* есть полное давление набегающего потока. При Mi > Мкр около поверхности крыла возникает зона те- течения со сверхзвуковыми скоростями, в связи с чем течение при- приобретает новые качества. Величина Mi кр является границей двух основных режимов обтекания профиля при дозвуковой скорости набегающего потока: докритического (Mi<MiKp) и закритиче- ского (Mi >MiKp). Рассмотрим обтекание профиля невязким дозвуковым пото- потоком газа, направленным по оси х при докритических скоростях, т. е. при Mi < MiKp. В общем случае составляющие скорости любой точки потока могут быть выражены так: и = h;i +и', v = v\ C1) Здесь и' и i/ — величины, характеризующие возмущения скоро- скоростей однородного потока данным профилем. Подставляя C1) в уравнение A00) гл. II, которое мы пред- предварительно переписываем так: 4 ' дх \ дх 1 ду ] ' ч ' ду
§ 6. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 31 получаем следующее уравнение относительно скоростей возму- возмущения: /ч9 ди' . ,2 ди' . . . ,ч / дм' , ди' \ , /OOV J-гГ + » -gf+(vi + u)[-d?+-or)v- C2) Из уравнения теплосодержания |(формула D8) гл. I) сле- следует, что откуда а* = а\ + к-^± [w\ - (Wl + u'f - v'2] = Используя последнее выражение, приводим уравнение C2) к следующему виду: ikA+^r)(^+"^")} C4) Последнее уравнение представляет собой точное уравнение для скоростей возмущения при изоэнтропическом обтекании профиля потоком с любым числом Маха. В левой части этого уравнения имеются только линейные члены. В изоэнтропическом потоке газа коэффициент давления - P-Pi ... 2 /р Л 2 Гя(М) л Pi~2~ где в соответствии с определением функции я(М) и числа Маха
32 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ С учетом C3) формулу C5) можно записать в следующем виде: ?=7?Г2Г1 + ^М21/1-^'11^-1|. C6) Подстановка C1) в C6) дает следующую зависимость коэффи- коэффициента давления от скоростей возмущенного течения: Ограничимся случаем обтекания тонкого профиля под таки- такими малыми углами атаки, когда возмущения скорости относи- относительно невелики: Удерживая только члены первого порядка малости, получаем и, согласно C7), Р C8) Пренебрегая в уравнении C4) малыми величинами выше первого порядка и считая, что Mi настолько отличается от еди- единицы, что разность (l — М^) не является малой величиной, т. е. (l — Mi)^>i^7^7i7 приходим к следующему приближенному урав- уравнению для скорости возмущения при обтекании тонкого про- профиля дозвуковым потоком газа при докритических скоростях: 01-М;)?' + ^-О. C9) Введем потенциал ф скоростей возмущений -?-»'. % = ?/- <*» Дифференцируя обе части последних двух выражений после подстановки в C9) получим следующее линеаризованное уравнение потенциала скоростей возмущений ф(#, у):
§ 6. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 33 У поверхности крыла скорость направлена по касательной к его контуру. Это значит, что если уравнение профиля у = = 2/пр(;г), то в каждой его точке должно соблюдаться следующее граничное условие: Здесь под vup понимается значение функции v'(х, у) на профи- профиле. Разложим эту функцию при фиксированном значении х = хо в ряд Тейлора Для получения значения vup достаточно положить у = упр. В рассматриваемом случае тонкого крыла величина г/пр мала, поэтому с точностью до малых второго порядка и, согласно D0), условие D2) записывается так: Таким образом, решение задачи об обтекании дозвуковым потоком газа при докритических скоростях тонкого профиля при малых углах атаки сводится к отысканию функции ф(#, г/), удовлетворяющей дифференциальному уравнению D1) и гра- граничному условию D3). Прандтль и Глауэрт показали, что обтекание профиля при 1 > Mi > 0 можно свести к случаю Mi = 0, деформируя течение по одной координате, т. е. введя вместо координат х, у координа- координаты х, г/н = &г/, где к слабо отличается от единицы. В этом случае обтекание должно удовлетворять уравнению Лапласа для не- несжимаемой жидкости: Пусть функция фв отличается от ф на постоянный множитель фн = 4ф, D5) тогда А> к2 <?2Ф„ ..„. ^=^^г D6) Подставим D6) в D1): d2<pw к2 д2фи ^+тЬ1^ = 0- <47) 3 Г. Н. Абрамович, ч. 2
34 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Полагая А:2 = 1 — MJ, D8) имеем уравнение D4), решая которое получаем потенциал ско- скорости течения несжимаемой жидкости, при котором распреде- распределение скорости и давления по преобразованному профилю сов- совпадает с распределением этих величин при Mi ?= О около исход- исходного профиля. Преобразование сводится к увеличению всех ор- ординат в отношении (l — Mj)~1/2, т. е. к утолщению профиля и увеличению тангенса угла атаки (а ~ у ~ с): с= Вторая из этих формул учитывает, что для малых углов атаки тангенс равен углу. Согласно C8) распределение давления ли- линейно связано с распределением скорости: Для одного и того же профиля при М = var „' d(f> i Зфн откуда P = -jP*- E2) Однако при малых углах атаки коэффициент подъемной силы и максимальное разрежение на профиле согласно C0) пропорцио- пропорциональны аэродинамическому углу атаки су ~ р ~ аА, т. е. А=у1 — М^. Поэтому из D9) и E2) получаем следующие приближенные формулы Прандтля — Глауэрта, позволяющие определить коэф- коэффициенты давления и подъемной силы данного профиля в потоке газа по известным их значениям для этого профиля в потоке несжимаемой жидкости: р, E3) с = с^несж E4) На рис. 10.14 приведены экспериментальные кривые распре- распределения давления по профилю NACA 0012 при Mi = 0,4; 0,6; 0,7 и 0,8. Там же для Mi = 0,6; 0,7 и 0,8 нанесены штрихами рас-
§ 6. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 35 четные кривые, полученные с помощью формулы E3) по резуль- результатам эксперимента при Mi = 0,4. Видно, что соответствие расче- расчетов с экспериментальными данными становится все менее удов- удовлетворительным по мере приближения к критическим скоростям. -0,8 0'и го ио во so \ 021 проценты хорды Критическое значение р Рис. 1U.14. Распределение давления по крыловому профилю при разных числах Маха набегающего потоком и постоянном угле атаки: сплошная ли- линия—эксперимент (Amick I. L., NACA Т № 2174), штриховая линия —рас- —расчет по теории Прандтля — Глауэрта Сравнение формулы E3) с результатами эксперимента1) (рис. 10.15) показывает, что с ростом числа Маха ее точность падает и соответственно заметной становится ошибка. Меньшие расхождения с опытными данными дают расчеты по Седову2) и Карману — Цзяну3). Следует отметить, что формула Кармана — Цзяна Р = ]Л-м; + . E5) при малых числах Маха переходит в формулу Прандтля — Глауэрта E3). 1) Stack G., Linsey W. E., Littel R. E. / Report NACA.— 1938.— № 646. 2) Седов Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1980. 3) Karman Th. and Tsi e n // 1. ot Aeronautical Siences.— 1939.— № 12. В этой работе использован указанный Чаплыгиным приближенный прием замены действительной изоэнтропы касательной к ней прямой. 3*
30 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Используя формулу E3) для определения коэффициента ми- минимального давления на профиле при обтекании его потоком газа по значению этой величины в несжимаемой жидкости, -U Р -W -0,3 -0,8 -0,7 -0,6 Z N / /, Р \ i i "У/ У/ 4 0,1 QZ I» Ц5 0,7Mi Рис. 10.15. Сравнение различных способов приближенного определения коэффициентов давления для сжимаемой жидкости: 1 — эксперимент, 2 — по Карману-Цзяну, 3 — по Прандтлю — Глауарту, 4 — по Седову получим, согласно C5), следующую приближенную зависимость между /?несжтт и критическим числом Маха: .Рнесж.тт — т E6) 1кр Для определения влияния сжимаемости при докритических скоростях на распределение скоростей и давления по профилю можно воспользоваться также другой приближенной теорией, основанной на гипотезе «затвердевания» линий тока при обте- обтекании данного тела потенциальными потоками несжимаемой жидкости и сжимаемого газа1). Согласно уравнению неразрыв- неразрывности для элементарной струйки тока, прилегающей к профилю, в изоэнтропическом потоке газа справедливо следующее соотно- соотношение: *'. ->»-«» E7, AF я(\У Здесь индексом «1» обозначаются параметры элементарной струй- струйки далеко перед профилем, AF, AF\ — поперечные сечения струйки. ]) Нужин СР. показал (К теории обтекания тел газом при больших дозвуковых скоростях.— ПММ.— 1945.— Т. 10, вып. 5—6), что задача о без- безотрывном обтекании данного тела безвихревым потоком сжимаемой жид- жидкостью может быть сведена к задаче обтекания данного тела вихревым по- потоком несжимаемой жидкости. При этом оказывается, что линии тока в обоих течениях останутся неизменными. При пренебрежении завихрен- завихренностью мы приходим к подтверждению гипотезы затвердевания линий тока.
§ 6. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 37 Так как в несжимаемой жидкости AF несж E8) то из предыдущего выражения следует, что при условии неиз- неизменности линий тока в потоках несжимаемой и сжимаемой жид- жидкостей справедливо равенство /Л \ E9) Если в потоке несжимаемой жидкости скорость в некоторой точке на профиле достигает максимального значения, то крити- критическое значение приведенной скорости набегающего потока А,кр 0,9 0,5 0,5 V \ -0,5 -%0 -1,5 _ -2,0 Рис. 10.16. Зависимость критического числа Маха набегающего потока МКр от минимального давления на профиле в потоке несжимаемой жидкости Pmin несж: 1 — по Христиановичу, 2 — по гипотезе затвердевания, 3 — по Прандтлю — Глауэрту определяется из E9) при условии, что в этой точке Тогда имеем -Pmin несж max несж F0) Вычисленная по этой формуле зависимость критического числа М1кр от минимального давления на профиле в потоке несжи- несжимаемой жидкости приведена на рис. 10.16 (кривая 2). Там же нанесена другая приближенная зависимость E6) и зависимость, рассчитанная по методу С. А. Христиановича *). Гипотеза за- 1) Христианович С. А. Обтекание тел газом при больших дозву- дозвуковых скоростях И Труды ЦАГИ.— 1940.— Вып. 481.
38 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ твердевания дает более низкие значения Mi кр, причем разница несколько увеличивается с увеличением разрежения на профиле, т. е. с увеличением толщины профиля при фиксированном зна- значении угла атаки. Теория Прандтля — Глауэрта дает завышен- завышенные значения Mi кр. Значение Хкр, а следовательно, и Мкр зависит от тех же фак- факторов, что и величина ртт, т. е. от конфигурации профиля и угла атаки. Тонким и слабо изогнутым профилям соответствуют большие значения Мкр. Как установлено на основании эксперимента с обычными авиационными профилями, уменьшение толщины про- профиля на 5 % приводит к повышению Мкр на 0,03—0,05, а умень- уменьшение кривизны / = f/b от 5 % до 0 вызывает повышение Мкр примерно на 0,1—0,12. Для увеличения Мкр выгодно располагать места наибольшей кривизны и наибольшей толщины профиля на расстоянии, равном 0,4—0,5 хорды от передней кромки профиля. Увеличение критического зна- значения числа Маха при фиксиро- фиксированных значениях относительной толщины и кривизны может быть достигнуто путем соответствующе- соответствующего изменения формы профиля. Сделав, например, плоской верх- ОСу Та, Скачок с~0,10 0.5 0,5 Рис. 10.17. К возможности увеличе- увеличения критического числа Маха дозву- дозвукового профиля Рис. 10.18. Влияние числа Mi на величину dcyfda для крыловых профилей с различной относи- относительной толщиной. Сплошная кривая — расчет по Прандтлю — Глауэрту; кружки, крестики, тре- треугольники — эксперимент нюю поверхность, можно уменьшить местные значения числа Маха на ней, а также сдвинуть вниз по потоку место располо- расположения скачка (рис. 10.17). Увеличение вогнутости профиля у задней кромки и деформация нижней поверхности вблизи кор- кормовой части профиля компенсирует в значительной степени уменьшение подъемной силы профиля из-за деформации его верхней поверхности. Прирост критического числа Маха при такой трансформации может составлять ДМкр « 0,11). *) Мартынов А. К. Прикладная аэродинамика.— М.: Машинострое- Машиностроение, 1972.
§ 6. ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 39 Увеличение угла атаки приводит к увеличению разрежения на верхней поверхности профиля и, следовательно, к уменьше- уменьшению величины Мкр. Так как сравнение различных режимов обтекания профилей производится при одинаковых углах атаки, то для линейной части зависимости су(а) можно получить, согласно E4), сле- следующую формулу: dcy (dcv/dahec»< На рис. 10.18 построена кривая, соответствующая формуле F1), и нанесены экспериментальные точки для крыльев разной относительной толщины (ос — в радианах). Эксперимент1) дает хорошее совпадение с теоретической кривой вплоть до критиче- критического значения Mi тем большего, чем тоньше профиль. При даль- дальнейшем возрастании числа Mi обтекание становится закритиче- ским и наблюдается резкое падение величины dcy/da. В связи с применением лопаточных машин, работающих на газах, отличающихся от воздуха, возникает вопрос о влиянии показателя Пуассона и числа Маха на обтекание крылового профиля. Из анализа безразмерной формы уравнения Навье — Стокса E8) из гл. IT следует, что при члене с градиентом давления имеется безразмерный множитель, в который входят показатель Пуассона и число Маха: 1 fe-i Роо == 1 р ~~ При дозвуковых скоростях Моо < 1 биномиальное разложение второго сомножителя правой части может быть ограничено дву- двучленом 1+-2*М^о, в связи с чем распределение давлений по профилям универсально при наличии геометрического подобия и постоянства угла атаки при условии сохранения неизменной величины критерия 1+0,5 (м2-м^) — idem. Если число Маха в набегающем потоке заметно меньше едини- единицы, то числитель этого выражения мало отличается от единицы и тогда дополнительным критерием подобия становится произ- произведение Г) = idem. 1) Справочник авиаконструктора.—М.: ЦАГИ, 1937.
40 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ На рис. 10.19, а изображены зависимости распределения значений числа Маха по верхней (спинка) и нижней (поверхностям) крылового профиля в решетке для двух газов (аргона — к = 1,67 и фреона — к = 1,14) при khK\ = const = 0,6. На рис. 10.19, б — г 0,9 0,8 0,7 0,6 Решетка / i-0, Re-2,5fOs, kK^cor л - ар&ои (н~ 1,67), о -фрео Jr / И л Ч Спинка Корыто -А- st=C ч(к= -оА. 1УШ) Jp* 0,03 0,02 0,01 Решетка 1 (e*f5°; b/t-r,i i=0y Re =2,5-10 о -срреон (k=/,/4) $ - углекислый газ (м = X - воздух (к = 1,4) л -аргон (к=7,б7) ** 5 у 1 / i 7 0 t 0,08 0,06 0,0 Ь 0,02 —ом 0,2 0 п 6 0,8 ее Рвшетка 2 i-О, Яе=2,5-Г0* с А / / / 0,2 0,4- 0,6 0,16 0,12 0,08 О, О ^ А I 1 [ / ( Решетка 3 •10s 0,2 0,6 0,В, 0,2 0,6 Рис. 10.19. а) Распределение значения числа Маха по поверхности профи- профиля; б, в, г) зависимость полного давления в решетке от параметра | показано изменение относительного перепада полного давления = 1—а == —~) с изменением величины &М2 в прямолиней- прямолинейной решетке профилей с разной кривизной средней линии (е — угол изгиба) для четырех газов (фреон, аргон, воздух и угле- углекислый газ (к = 1,3)). Густота в трех решетках изменялась ма- мало (Ь/?= 1—1,3, см. рис. 10.3I)- На рисунках 10.19,б,в,г М2 — число Маха за решеткой. 1) Митрофанов А. А. Влияние показателя адиабаты на характери- характеристики плоских компрессорных решеток профилей // Газотурбинные и ком- компрессорные установки. Тезисы докладов на Всесоюзной межвузовской кон- конференции.— М.: МВТУ им. Баумана, 1983.
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 41 § 7. Сверхзвуковое обтекание профиля При Mi > 1 обычно применяют специальные сверхзвуковые профили с острой, как правило, клинообразной, передней кром- кромкой, наличие которой существенно уменьшает величину сопро- сопротивления при сверхзвуковых скоростях по сравнению с закруг- закругленной передней кромкой. Покажем, что обтекание сверхзвуковых профилей в некото- некотором достаточно широком диапазоне сверхзвуковых скоростей и углов атаки можно полностью рассчитывать, пользуясь теорией Рис. 10.20. Схема сверхзвукового обтекания ромбовидного профиля под нулевым углом атаки косых скачков уплотнения и теорией обтекания внешнего тупо- тупого угла. Рассмотрим сначала простейший случай — обтекание симмет- симметричных сверхзвуковых профилей под нулевым углом атаки. Вы- Выберем в качестве первого примера ромбовидный профиль. Пусть на неподвижный ромбовидный профиль натекает рав- равномерный сверхзвуковой поток под углом атаки а = 0 (рис. 10.20). В силу симметрии достаточно рассмотреть лишь обтекание верхней стороны профиля. У передней кромки про- профиля в точке А возникает косой скачок уплотнения, так как по- поток набегает на клин с углом 2со при вершине. Пройдя через этот косой скачок, поток поворачивается на угол со и становится параллельным отрезку АВ. Статическое давление /?2 и приведен- приведенную скорость в потоке Лг вдоль отрезка АВ можно определить по формулам для косого скачка уплотнения (см. гл. III). Далее
42 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ поток, обтекая внешний угол ABC, отклоняется на угол 2со и становится параллельным отрезку ВС. Давление ръ и приведен- приведенную скорость этого потока Кг можно рассчитать по определенной выше величине Яг по формулам (см. гл. IV) или с помощью таблицы обтекания внешнего тупого угла (см. с. 566 части 1). У задней кромки профиля в точке С снова образуется косой скачок уплотнения, пройдя через который поток отклоняется в обратную сторону до направле- направления набегающего потока, а дав- давление в нем вновь повышается до величины /?4, близкой к давле- давлению р\. Приведенные на рис. 10.21 фотографии сверхзвукового обте- обтекания в аэродинамической трубе ромбовидных профилей разной толщины при нулевом угле атаки подтверждают описанную выше картину течения. Да каждой из этих фотографий отчетливо видны скачки уплотнения у носка про- профиля, пучки волн Маха у верх- верхнего и нижнего выпуклых углов профиля и волны Маха, отходя- отходящие от неровностей на стенках аэродинамической трубы, по на- наклону которых можно судить о скорости потока в трубе. На ромбовидный профиль при нулевом угле атаки действует си- сила лобового сопротивления, обус- обусловленная наличием избыточного давления на его передней поверх- поверхности АВ и разрежения на зад- задней поверхности ВС (рис. 10.20): Их = 2 (р2А В sin со — ргВС sin со) = = (Р2-Р*)с F2) Рис. 10.21. Теневые фотографии сверхзвукового обтекания ромбо- ромбовидного профиля под нулевым углом атаки при Mi = 1,7. Полу- Полуугол при вершине ромба: а) со = = 7°, б) со = 12°, в) со = 14° Таким образом, при движении профиля со сверхзвуковой ско- скоростью сопротивление не равно нулю даже в случае невязкого газа. Это сопротивление, называемое волновым сопротивлением, существенно отличается от сопротивления трения и сопротивле- сопротивления давления, которые связаны с наличием пограничного слоя в вязкой жидкости.
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 43 Согласно A9) и F2) коэффициент лобового сопротивления ромбовидного профиля о n / Ра i _i.(l__l]tg(O. Изложенная схема расчета обтекания ромбовидного профиля пригодна только в определенном диапазоне чисел Маха Mlmin ^ Ml ^ Mimax- Здесь Mimrn — значение числа Маха, при котором еще возможен у передней кромки профиля плоский косой скачок (рис. 3.12). При меньших числах Маха образуется отделившийся скачок уплотнения с криволинейным фронтом. Значение Mimax отвечает такому значению числа Маха после первого косого скачка Мг, Рис. 10.22. Схема сверхзвукового обтекания под нулевым углом атаки сим- симметричного профиля, составленного из клина и криволинейных дужек при котором угол 2со становится равным предельному углу по- поворота потока в течении Прандтля — Майера; при числах Маха Mi > Mimax возникает отрыв потока при обтекании стороны про- профиля ВС. В качестве второго примера рассмотрим обтекание сверхзву- сверхзвуковым потоком под нулевым углом атаки симметричного про- профиля, составленного из двух симметричных криволинейных по- поверхностей (рис. 10.22). Различие между обтеканиями такого профиля и ромбовидного заключается в том, что здесь после ко- косого скачка происходит обтекание некоторой криволинейной стенки, сопровождаемое непрерывным расширением потока.
44 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Рассмотрим теперь обтекание простейшего сверхзвукового профиля — плоской пластинки под заданным ненулевым углом атаки (рис. 10.23). При обтекании верхней стороны пластинки у передней кром- кромки поток отклоняется на угол i и становится параллельным направлению пластинки, т. е. возникает обтекание внешнего Рис. 10.23. Схема сверхзвукового обтекания пластинки под углом атаки i тупого угла, которое мы уже наблюдали у вершины В ромбовид- ромбовидного профиля (рис. 10.20). Давление понижается до рв и число Маха возрастает до Мв. У задней кромки пластинки поток дол- должен снова повернуть на угол i в обратном направлении, в связи с чем образуется косой скачок уплотнения, как при обтекании клина с углом 21 при вершине. С нижней стороны пластинки у передней кромки образуется косой скачок уплотнения, пройдя через который поток повер- повернется на угол i и давление возрастет в pjpi раз, а число Маха уменьшится до Мн. У задней кромки с нижней стороны пластин- пластинки поток повернется в обратном направлении. Давление в потоке, сбегающем с верхней стороны, должно быть равно давлению в потоке, сбегающем с нижней стороны /?2 = Рг- Скорости этих двух потоков могут быть различными по величине, но направле- направление их одинаково. Значения Мг и Мз могут различаться. Подъемная сила плоской пластинки на единицу длины раз- размаха равна Ry = (рн — рв) Ъ cos i = f3L_fi jbcosi, F4)
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 45 а лобовое сопротивление Rx = (рн — рв) Ъ sin i = p± ( — j 6 sin t. F5) Здесь индексы «н» и «в» относятся соответственно к верхней и нижней поверхностям пластинки. Согласно A9) 9 / D D \ " / * Н * В 1 • /г» Г*\ Си = cos i. (bo) кМ? \ Р Р ) mi. F7) Исследование показывает, что одинаковость направлений на- набегающего и сбегающего с пластинки потоков не соблюдается1), однако учет этого обстоятельства ннкак не может сказаться на величинах давлений на самой пластинке, а следовательно, и на справедливости формул F6) и F7). Изложенная схема расчета обтекания плоской пластинки становится непригодной в двух следующих случаях. Во-первых, если угол атаки i > ?пр для заданного числа Mi набегающего потока, когда при обтекании верхней стороны пла- пластинки происходит отрыв потока. Этот случай имеет малое прак- практическое значение, так как при Mi ^ 10 предельный угол атаки Во-вторых, если угол атаки i превысит максимальный угол отклонения потока в косом скачке уплотнения сотах для задан- заданного числа Mi набегающего потока (см. рис. 3.12); при i>(dmax перед нижней стороной пластинки образуется отошедшая удар- ударная волна. Случай, когда i > сотах, может иметь место при не очень больших числах Mi (например для Mi = 1,5 угол inv = = 12°). Важно отметить, что при Mi < 6,4 всегда сотах< ^пР, и по- поэтому причиной неприменимости изложенной схемы расчета яв- является образование перед пластинкой отделившегося криволиней- криволинейного скачка уплотнения. При очень больших числах Мь наобо- наоборот, гпр < сотах и причиной неприменимости расчетной схемы является срыв с верхней стороны пластинки. Как следует из выражений F6) и F7), отношение коэффи- коэффициента подъемной силы к лобовому сопротивлению, определяю- определяющее качество пластинки, равно #цл = ?- = Ctg L J) Это направление определяется из условия равенства давлений и оди- одинаковости направления скоростей в потоках, сбегающих с верхней и ниж- нижней стороны пластинки. Расчеты показывают, что при Mi < 3 отклонение потока, сбегающего с пластинки, от направления набегающего потока не превышает 1°.
46 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Таким образом, качество пластинки зависит только от угла ата- атаки; с увеличением угла атаки качество пластинки монотонно уменьшается. Заметим, что последний вывод справедлив в тех случаях, когда можно пренебречь поверхностными силами трения. / Рис. 10.24. К взаимодействию волн расширения и косых скачков при обте- обтекании ромбовидного профиля (а) и пластинки (б): 1 — волны Маха, 2— отраженные волны Маха, 3 — присоединенная ударная волна, 4 — ударная волна за профилем В разобранных выше случаях обтекания профилей сверхзву- сверхзвуковым потоком мы не рассматривали возможное взаимодействие между отходящими от профиля скачками и волнами Маха. Для установления этого взаимодействия необходимо рассмотреть зна- значительную часть поля течения (рис. 10.24 и 10.25). Волны Ма- Маха, «падая» на косые скачки, искривляют и ослабляют их. На 1 Рис. 10.25. К взаимодействию волн расширения и косых скачков при обте- обтекании симметричного профиля, составленного из клина и криволинейных дужек. (Обозначения такие же, как на рис. 10.24) больших расстояниях от профиля скачки вырождаются в волны Маха невозмущенного потока. В результате взаимодействия отходящих от профиля волн Маха и косых скачков возникают отраженные волны, и хотя их
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 47 влияние невелико, оно должно учитываться. В случае плоской пластинки (рис. 10.24) отраженные волны Маха нигде не дости- достигают поверхности профиля и, таким образом, никак не могут влиять на распределение давления по нему. Иное дело при об- обтекании профиля, участки которого имеют криволинейную по- поверхность (рис. 10.25). Здесь возможность достижения поверх- поверхности профиля отраженными волнами Маха определяется отно- относительной длиной переднего клиновидного участка Т = lib. При достаточной его величине отраженные волны Маха не попадают на профиль. При малой относительной протяженности клиновидного уча- участка отраженные волны Маха пересекаются с поверхностью про- профиля у его задней кромки. По мере дальнейшего уменьшения I все большая поверхность профиля оказывается под воздействием отраженных волн Маха и при I = 0, т. е. в случае чечевицеобраз- ного профиля уже нет такого элемента поверхности, на который не приходила бы соответствующая отраженная волна. В результате взаимодействия, идущих от профиля волн Маха со скачками, интенсивность возмущений вдалеке от профиля ока- оказывается весьма малой. Способ расчета обтекания профиля сверхзвуковым потоком, основанный на последовательном применении теории косых скач- скачков и теории обтекания тупого угла, и проиллюстрированный выше на простейших примерах, может быть применен и в об- общем случае для произвольных сверхзвуковых профилей, контур которых или составлен только из прямолинейных отрезков1), или включает в себя и криволинейные участки2). Однако ре- результаты такого метода не выражаются в аналитической форме, и поэтому он применяется в основном для численных решений. Если профиль тонкий и наклонен под малым углом атаки, то указанный метод расчета можно упростить, прибегая к простым аналитическим выражениям для коэффициентов подъемной силы и сопротивления тонкого сверхзвукового профиля произвольной формы. Пусть где-то на профиле возник косой скачок. Повышение давления в этом месте потока Ар может быть, согласно формулам D5) и E0) гл. III, определено из следующего выражения: Ар since sin со — ~/ \ р cos (а — со) где р и М есть местные значения статического давления и числа Маха (до косого скачка), а а — угол между вектором скорости *) См., например, гл. VIII 2-го издания настоящей книги (М.: Гостех- издат, 1953). 2) Исключение составляют только ограничения, связанные с наличием запредельных значений поворота потока в течении расширения или с не- невозможностью образования плоского косого скачка уплотнения.
48 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ и фронтом скачка. При малых отклонениях потока sin со ~ со, а — со «а, и направление фронта косого скачка весьма близко к направлению волны Маха, т. е. ОС ~ GCq. Здесь ао — угол Маха, для которого sin схо = 1/М и, следова- следовательно, 1 Таким образом, в случае малых углов поворота потока имеем следующее приближенное выражение для повышения давления в косом скачке: ^» /^1_со. F8) р /m2 V ' К такому же выражению мы приходим при приближенной оцен- оценке понижения давления при внешнем обтекании угла 2я — со, где со — малая величина. Разница заключается только в том, что в последнем случае следует в выражении F8) под со понимать отрицательную величину. В условиях применимости рассматриваемой сейчас прибли- приближенной теории местные значения давления р и числа М никогда не будут сильно отличаться от соответствующих значений р\ и Mi, и поэтому можно сделать, с точностью до малых первого по- порядка, дальнейшие упрощения и полагать, что « го. При этом с точностью до сделанных предположений, все углы наклона со отсчитываются от направления невозмущенного по- потока. В соответствии с последним выражением коэффициент дав- давления A9) записывается так: Таким образом, в теории тонкого профиля коэффициент дав- давления пропорционален углу наклона линии тока. Пользуясь выражением F9), можно получить приближен- приближенные формулы для коэффициентов подъемной силы и сопротив- сопротивления различных профилей. Так, например, для ромбовидного профиля с не очень большим раствором угла клиновидной пе- передней кромки, равным 2со, и при нулевом угле атаки коэффи- коэффициенты давления на передней (АВ) и задней (ВС) поверхностях
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ профиля равны соответственно -Pi 2со Рлв = Pi-7^ п РВС = 2о) ^" Согласно F2) и последним выражениям г. Wl О ^1 Для малых углов со « tg со = с, и коэффициент сопротивления ромбовидного профиля G0) В качестве второго примера определим коэффициенты подъ- подъемной силы и сопротивления плоской пластинки, обтекаемой сверхзвуковым потоком под малым углом атаки i (рис. 10.23). В этом случае, согласно F9), коэффициенты давления на верх- верхней и нижней поверхностях пластинок будут соответственно сле- следующими: Таким образом, согласно F4) и F5), Су Рн- Pi Рп- Pl — р -Л 2 - cos i = - sin i = Рц _p ~Рн p> — ^1 1~2 -Pi * Pb — ^i Pi " P ^ COS I sin i = 4t cos i 4i sin i При малых углах атаки cos i« 1, sin i« i и, следовательно, в этом случае <, = -* G1) G2) г- Н. Абрамович, ч. 2
50 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ При углах атаки i < 15° расчет коэффициентов су и сж для плоской пластинки по приближенным формулам G1) и G2) дает удовлетворительное совпадение с изложенным выше в этом параграфе точным расчетом. Для произвольных профиля и угла атаки (рис. 10.26) Ъ COS X о Ъ cos г D Р1Ш1 Г /- dyB - Wj Здесь индексы «в» и «н» относятся соответственно к верхней и нижней поверхностям крыла. При малых углах атаки местные коэффициенты давления для тонких слабо изогнутых профилей могут быть вычислены с по- Рис. 10.26. К определению составляющих равнодействующей сил давления приложенных к крыловому профилю: в — верхняя поверхность крылового профиля («спинка»), н — нижняя поверхность крылового профиля («корыт- («корытце»), с — средняя линия крылового профиля («дужка») мощью выражения F9), согласно которому в принятой системе координат (рис. 10.26) Учитывая также, что для рассматриваемого класса профилей • где у о (х) —-уравнение средней линии (дужка профиля), a h(x) — функция, характеризующая симметричное распределение тол- толщины, получаем следующие приближенные выражения для ко-
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 51 эффициентов подъемной силы и сопротивления: — 4* Су ~ 1/ ЙГГГ G3) сх = Здесь ic — угол между касательной к средней линии и хордой. Коэффициент подъемной силы, так же как и при дозвуковых скоростях, является линейной функцией угла атаки. Наклон кривой cy(i) не зависит от формы профиля и определяется, со- согласно G3), только числом Маха набегающего потока di и меньше соответствующей величины для дозвуковых потоковг значение которой в случае несжимаемой жидкости имеет порядок 2я. При возрастании числа Mi наклон зависимости cy(i) умень- уменьшается. Так, при Mi = 1,5 dcy/di = 3,58; при Mi = 2 эта величи- величина равна 2,3 и при Mi = 4 она составляет всего 1,03. Влияние формы тонкого сверхзвукового профиля сказывается только на значении его коэффициента сопротивления, который, согласно G4), можно разбить на три части: сопротивление за счет подъемной силы, сопротивление за счет кривизны и сопро- сопротивление за счет толщины. Для ромбовидного профиля dyjdx = 0, что означает равенства нулю части сопротивления, связанного с кривизной профиля. Производная -7jr=±tg(o = ±c и, следовательно, часть сопро- сопротивления, вызванная толщиной профиля, равна 4? Согласно G4) суммарное сопротивление ромбовидного про- профиля + -у===. (/5) у м21 |/м; -1 у м2-1 Полагая здесь i = 0, получаем выведенную ранее формулу G0) для коэффициента сопротивления ромбовидного профиля при нулевом угле атаки. 4*
52 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Для профиля, образованного из двух дуг круга одинакового радиуса (чечевицеобразный профиль), 16? G6) При для ОД 0,1k 0,16 с = 0 выражения G5) и G6) представляют собой формулы коэффициента сопротивления плоской пластинки, полностью совпадающие с полученной ранее формулой G2). Поэто- Поэтому выражения для коэффи- коэффициента сопротивления ромбо- ромбовидного и чечевицеобразного профилей можно записать соответственно так: 1,1 0,8 I К! А У i /¦/ 1 к сх ромб — сх пл + 4с* Сх чеч — Сх пл ~1 3] 16? м; -1 -16 -8 8 16 2Ц ° Рис. 10.27. Зависимости от угла атаки коэффициентов подъемной силы су и лобового сопротивления сх несиммет- несимметричного ромбовидного профиля; с = = 10 %, с = св + с,„ св = 0,06, сн = = 0,04 при Mi = 2,13. Сплошная ли- линия — эксперимент, штриховая — тео- теория Пластинка по сравнению с другими тонкими сверхзву- сверхзвуковыми профилями при том же угле атаки имеет наи- наименьший коэффициент вол- волнового сопротивления. В об- общем случае добавочное сла- слагаемое к коэффициенту вол- волнового сопротивления пла- пластинки для данного профиля зависит от его относительной толщины с = с/b и его кривизны. Результаты экспериментального исследования1) ромбовидного несимметричного профиля с относительной толщиной с = 10 % в сверхзвуковом потоке с числом Mi = 2,13 (рис. 10.27) под- подтверждают наличие во всем исследованном диапазоне углов ата- атаки, линейного характера зависимости су(а). При этом экспери- экспериментальная зависимость коэффициента подъемной силы от угла атаки оказывается несколько более пологой, чем теоретическая, посчитанная по формуле G3). Экспериментально подтвержден также и полученный теоре- теоретически, в соответствии с формулой G4), квадратичный харак- !) Ф е р р и А. Аэродинамика сверхзвуковых течений/Пер, с англ.— М.; Л.: Гостехиздат, 1952.
§ 7. СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 53 тер зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки. Сами величины коэффициентов сх оказываются при этом весьма близкими к их расчетным значениям. Аналогичное сравнение результатов расчета и эксперимента для чечевицеобразного профиля с тем же значением относитель- относительной толщины с = 10% и при том же числе Маха набегающего потока приведено на рис. 10.28 и целиком подтверждает общность сделанных выводов о соответствии между теоретическими и опытны- опытными данными. Так же, как и при продувках ромбовидного профиля, экспериментальная зависимость су (а) для чечевицеобразного про- профиля остается практически ли- линейной во всем исследованном диапазоне углов атаки, вплоть до а « 30°. № ¦W г,? 0,16 ДЗ ОМ и.и -Q.U -16 к, J / / ! | f J' -б 15 V* 3Z Рис. 10.28. Зависимости от угла атаки коэффициентов подъемной силы су и лобового сопротивления сх симметрич- симметричного чечевицеобразного профиля; с = == Ю % при Mi = 2,13. Сплошная ли- линия — эксперимент, штриховая — тео- теория В этой связи чрезвычайно интересно отметить, что линейный характер зависимости су(а) для симметричного дозвукового про- профиля той же относительной толщины (с = 10%) при обтекании и-Нижняя поверхность о - Верхняя поверхность Рис. 10.29. Распределение давле- давлений по симметричному чечевице- образному профилю; с = 10 % при Mi = 2,13 и различных углах атаки. Сплошная линия — экспе- эксперимент, штриховая — теория
54 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ его при малых числах Mi < 1 остается справедливым только до а « 10°, а при а = 12° коэффициент подъемной силы дозвукового профиля достигает максимального (dcy/da = 0) значения. Сравнение расчетного и экспериментального распределения давлений по чечевицеобразному профилю при различных углах атаки и Mi = 2,13 приведено на рис. 10.29. На нижней поверх- поверхности профиля теоретические и опытные данные по распределе- распределению давления практически полностью совпадают между собой при всех углах атаки. Это связано с относительно небольшим влиянием вязкости на косой скачок, поскольку он здесь возни- возникает у передней кромки профиля, где толщина пограничного слоя еще очень мала. Иначе обстоит дело на верхней поверхности, где взаимодей- взаимодействие образующегося вблизи задней кромки косого скачка про- происходит уже с максимально развитым пограничным слоем. В ре- результате этого взаимодействия и возникающего здесь отрыва по- пограничного слоя экспериментальное разрежение у задней кромки профиля становится меньше теоретического. С увеличением угла атаки скорость перед косым скачком увеличивается, соответствен- соответственно увеличивается и разница между расчетной и эксперименталь- экспериментальной эпюрой давлений на верхней части профиля и расширяется вверх по потоку область поверхности, где эта разница наблю- наблюдается. Однако даже существенное изменение в распределении дав- давления по верхней поверхности профиля весьма слабо сказыва- сказывается на величинах су и сх. Это является следствием того, что в сверхзвуковом потоке, в отличие от дозвукового, интегральная величина равнодействующей сил давления определяется в основ- основном не разрежением на верхней поверхности профиля, а повы- повышением давления на его нижней поверхности. § 8. Околозвуковое обтекание профиля В описанных выше двух случаях обтекания неподвижного профиля потоком газа предполагалось, что во всей плоскости течения имеются соответственно или только дозвуковые (дозву- (дозвуковое обтекание) или только сверхзвуковые (сверхзвуковое об- обтекание) скорости. Рассмотрим теперь околозвуковое «смешанное» обтекание профиля, когда имеются одновременно области течения с дозву- дозвуковыми и со сверхзвуковыми скоростями. При непрерывном увеличении числа Маха набегающего по- потока от нуля можно считать, что режим околозвукового течения начинается тогда, когда наибольшее из местных значений числа Маха достигает единицы, и кончается тогда, когда наименьшее из местных значений числа Маха достигает единицы.
§ 8. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 55 Число Маха набегающего потока в первом случае будем на- называть дозвуковым критическим числом Маха (М1Кр.д<1) и соответственно во втором случае — сверхзвуковым критическим числом Маха (Mi кр.с > 1). Таким образом, при фиксированном угле атаки околозвуковое обтекание данного профиля осуществляется как при сверхкрити- сверхкритических дозвуковых скоростях, т. е. при так и при докритических сверхзвуковых скоростях, т. е. при К Mi < Mi Кр.с. При обтекании дозвукового профиля потоком со сверхкрити- сверхкритическими дозвуковыми скоростями (Mi>MiKp^) вначале вблизи максимальной его толщины образуется зона сверхзвуковой ско- скорости, которая завершается скачками уплотнения. Это хорошо Рис. 10.30. Теневая фотография околозвукового обтекания единичного про- профиля при М! < 1,0 (Mi == 0,87) видно на рис. 10.30, где представлена фотография, соответствую- соответствующей картины обтекания авиационного профиля. За системой скачков виден отрыв потока от крыла, происходящий в резуль- результате взаимодействия скачка с пограничным слоем. Наличие скачков и отрыва приводит к возрастанию лобового сопротивле- сопротивления профиля (рис. 10.31), уменьшению подъемной силы (рис. 10.32) и резкому изменению в характере распределения давления по профилю; последнее обстоятельство иллюстрирует- иллюстрируется рис. 10.33, где значительная деформация кривой давления при обтекании профиля под большим углом атаки наблюдается начиная с Mi = 0,64.
56 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ По мере дальнейшего увеличения числа Mi сверхзвуковая зона расширяется и система скачков уплотнения продвигается к задней кромке профиля. При этом сопротивление круто растет (рис. 10.31). При сверхзвуковых скоростях набегающего потока перед профилем возникает отошедшая ударная вол- волна — не соприкасающийся с передней кромкой про- профиля скачок уплотнения с криволинейным фронтом (рис. 10.34). Характерные режимы обтекания чечевицеобраз- ного сверхзвукового про- профиля с острой передней кромкой изображены на рис. 10.35. Картины течения при дозвуковом и околозвуко- околозвуковом режимах течения принципиально не отлича- отличаются от соответствующих картин обтекания обычно- обычного дозвукового профиля. В обоих случаях в около- околозвуковом течении при Mi > 1 как перед дозвуко- дозвуковым профилем с закруг- закругленной передней кромкой, 0,60 0,80 Н1 Рис. 10.31. Зависимость коэффициента сопротивления симметричного профиля от числа Mi при нулевом угле атаки (в кружках изображены соответствую- соответствующие схемы скачков) так и перед сверхзвуковым профилем с острой передней кромкой, возникает отсоединенная ударная волна. Последнее связано с тем, что клин, половина угла при вершине которого со > сотах, является «тупоносым» телом по отношению к набегающему на него сверхзвуковому потоку. При данном значении числа Mi влияние контура носовой части профиля сказывается на форме самой ударной волны и на удалении ее от передней кромки крыла. Действительные картины обтекания клиновидного профиля с углом раствора 20° (со = 10°) в околозвуковом диапазоне ско- скоростей при нулевом угле атаки приведены на рис. 10.36 !). Вид- Видно, что при сверхзвуковых скоростях набегающего потока уве- увеличение числа Mi приводит к смещению отсоединенной ударной волны вниз по потоку. При значении Mi = MiKp.c, при котором данный угол клина становится равным его предельному значе- значению (в рассматриваемом случае при Mi = 1,465), ударная волна 1) Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики/Пер, с англ.— М.: ИЛ, 1960.
§ 8. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 57 достигает передней кромки профиля, одновременно трансформи- трансформируясь в прямолинейный косой скачок. Эта трансформация отсоединенной ударной волны в присо- присоединенный косой скачок и является специфической особенностью 0,6 (кг ——- — * .«1 ^ - — / / у - — Т V •ег V JY |\ А 7° \ к. 0,5 Рис. 10.32. Зависимость ко- коэффициента подъемной си- силы профиля от числа Mi при различных углах атаки Место скачка -0,6k > - Рис. 10.33. Эпюры давления на верхней поверхности профиля при различных значениях числа Mi (на большом угле атаки) Рис. 10.34. Теневая фотография околозвукового обтекания единичного про- профиля при Mi > 1,0 обтекания остроносого сверхзвукового профиля, в отличие от ту- тупоносого дозвукового, где при любых числах Mi > 1 ударная волна остается отсоединенной. При сверхкритических дозвуковых скоростях зависимость коэффициента сопротивления от числа Маха набегающего потока
58 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ для сверхзвукового чечевицеобразного профиля1) (рис. 10.37) оказывается менее крутой, чем в случае обычного дозвукового профиля (см. рис. 10.31). Значение сх продолжает монотонно увеличиваться и при сверхзвуковых скоростях набегающего по- Дозбуковое | Окопоздуиобое \С8ерхздц- 1 кобое Рис. 10.35. Характерные режимы обтекания чечевицеобразного профиля на нулевом угле атаки: 1 — дозвуковое обтекание, 2 — околозвуковое обтека- обтекание при дозвуковых сверхкритических скоростях (Mi > Мщр < 1,0), 3 — околозвуковое обтекание при сверхзвуковых докритических скоростях A,0 < Mi < Mmin), 4 — сверхзвуковое обтекание тока, достигая максимального значения при Mi = 1,2. Дальней- Дальнейшее увеличение Mi приводит к уменьшению коэффициента со- сопротивления вследствие приближения ударной волны к профилю. Скачок i \ уплотнения* \ i I I ' Mf>f \ N„=0,892 Скачок I Скачок / "уплотнения уплотнения^у! ' // \ Скачок уплотнения Mf<1 М<>1 Рис. 10.36. Изменение обтекания клина в околозвуковом диапазоне скоро- скоростей набегающего потока; Мто, Mi — значения числа Маха в набегающем потоке и местное ударная волна достигает носика профиля, превращаясь при этом в два симметричных косых скачка (см. рис. 10.22). Начиная с этого момента профиль уже обтекается чисто сверхзвуковым При Mi = 1,44 (на рисунке отмечено штрих-пунктирной линией) Bryson А. К, NACA TN. № 2560.
§ 8. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 59 потоком. Это позволяет при числах Mi ^ 1,44 точно рассчитать волновое сопротивление данного чечевицеобразного профиля. Ре- Результаты такого расчета хорошо согласуются с экспериментами. Аппроксимация потока течением ^Прандтля-Майера 0,9 М1 Рис. 10.37. Зависимость коэффициента сопротивления от числа Mi для чече- чечевицеобразного сверхзвукового профиля (с = 8,8%) на нулевом угле атаки Некоторое уменьшение расчетной величины сх по сравнению с его опытным значением связано с неучитываемым в расчете со- сопротивлением трения. 0,8 о- *4 г* С» «г И" J 6 л 1 Г I ft/ Sf ? i / \ ь N N с 1 \ \ \ > \ •s к^ \ / s>J *х *-^ • + о х t> Mill • + о х > п -k -г 0 -х- г —— — yf 0,6 f,8 Рис. 10.38. Экспериментальные зависимости коэффициента подъемной силы плоско-выпуклого профиля с относительной толщиной с = 10 % от числа Маха при различных углах атаки На рис. 10.38 приведены экспериментальные зависимости коэффициента подъемной силы плоско-выпуклого профиля от числа Mi при нескольких значениях угла атаки. Сложный харак-
60 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ тер этих зависимостей в околозвуковом диапазоне скоростей ка- качественно подтверждается также и более подробными экспери- экспериментальными данными, полученными для другого профиля, для которого приводятся также и расчетные значения су (рис. 10.39) *). При малых дозвуковых скоростях увеличение су происходит в соответствии с формулой E8), т. е. пропорцио- пропорционально II у 1 — Мр Затем интенсивность роста су увеличивается, и экспериментальные значения коэффициента подъемной силы несколько превосходят расчетные дан- данные; это объясняется возникновением на верхней поверхности профиля сверхзвуковых зон с повышенным раз- разрежением. Возрастание кривой cy{tA\) продолжается далее вплоть до появле- появления сверхзвуковых скоростей на ниж- нижней поверхности, когда соответствую- соответствующее разрежение на этой поверхности создает силу, направленную в обрат- обратную сторону. Это падение су усугубля- усугубляется еще и отрывом потока на верхней поверхности. При сверхзвуковых скоростях на- наблюдается монотонное падение коэффи- коэффициента подъемной силы с ростом ско- скорости набегающего потока. По мере увеличения числа Mi разница между расчетом и экспериментом уменьшается и практически исчезает, начиная с некоторого числа Mi=MiKP>l,0, при котором удар- ударная волна достигает передней кромки и профиль начинает об- обтекаться чисто сверхзвуковым потоком. При числах Mi больших Mi Kp коэффициент подъемной силы с ростом скорости уменьша- уменьшается в соответствии с формулой G3) пропорционально 1/у М^— 1. Наибольшие расхождения между экспериментальными и рас- расчетными данными возникают при числах Маха, близких к еди- единице (в этом случае как при дозвуковых, так и при сверхзвуко- сверхзвуковых скоростях значение су по линейной теории стремится к бес- бесконечности). Рассмотрим околозвуковое обтекание тонких сверхзвуковых профилей под малыми углами атаки2). В этом случае возмуще- возмущение однородного потока, направленного по оси х, невелико (u'/wu v'/wi < 1,0) и возможно существенное упрощение точного Рис. 10.39. Сравнение экс- экспериментальной и теорети- теоретической зависимостей коэф- коэффициента подъемной силы сверхзвукового профиля от числа Мь Сплошная ли- линия — эксперимент, штри- штриховая — теория 1) Мартынов А. К. Прикладная аэродинамика.— М.: Машинострое- Машиностроение, 1972. 2) Липман Г. В., Р о ш к о А. Элементы газовой динамики/Пер, с англ.— М.: ИЛ, 1960.
§ 8. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 61 уравнения C4), описывающего обтекание данного профиля пото- потоком газа со скоростью на бесконечности, равной по величине w\ и направленной вдоль оси х. При околозвуковом течении, когда число Маха набегающего потока близко к единице коэффициент у производной ди'/дх в левой части уравнения C4) становится по порядку малости сравнимым с величиной и /w\\ это обстоятельство не позволяет отбрасывать член М*(А; + 1) — д4- 1 v ' ' w± дх в правой части подобно всем другим членам этой части урав- уравнения C4). В результате получаем следующее уравнение отно- относительно потенциала малых возмущений, справедливое для лю- любого течения, в том числе и околозвукового: дх1 + 1 — М2 д\Г 1 - М2 w± дх дх*' Наряду с потоком газа в плоскости (х, у), обтекающим с околозвуковой скоростью w\ сверхзвуковой профиль данного се- семейства профилей, характеризуемый относительной толщиной с, рассмотрим второй поток газа с числом &*, числом Маха на бес- бесконечности Mi, скоростью на бесконечности, направленной по оси | и по величине, равной wv обтекающий в плоскости l/ #2 Г 1 __ M_ некоторый другой сверхзвуковой профиль этого же семейства с относительной толщиной с* и с потенциалом Ф(Б.Л)-^^. G8) где А — некоторая постоянная величина. Выражая с помощью дифференцирования формул G7) и G8) значения частных про- производных от потенциала ф по х и у через соответствующие про- производные от потенциала Ф по \ и т], получаем после подста- подстановки в G7) следующее уравнение: t®_ . 1 д2Ф _ (а + 1)мх А дФд2Ф df ^i_Mf dv? ^ 1-MJ w\dl df Для того чтобы функция Ф(|, ц) была потенциалом возму- возмущений обтекания профиля с относительной толщиной с*, пото- потоком газа с числом А:*, со скоростью w^ числом МахаМх, она,
62 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ во-первых, согласно G7), должна быть решением уравнения д2Ф 1 д2Ф __ (** + 1) М* 1 дф 0»ф _ м*2 drf ! __ м*2 ^! и, во-вторых, удовлетворять граничному условию D3), выпол- выполнение которого сводится к соблюдению соотношения E3). Из сравнения уравнений G9) и (80) легко видеть, что пер- первое требование выполняется, если ( ' Подстановка этого значения постоянной А в E3) и E2) при- приводит к следующим двум выражениям1): *2 М* с(А:+1)М = p* {k* + 1) M*z ^ p (k + 1) M2 1_M*2 ~ 1-M* ' из которых следует, что ¦П М2 Yrtk -HI M2 1 (82) Важно заметить, что если для докритических дозвуковых и сверхкритических сверхзвуковых течений постоянная А может быть произвольной величиной (см. § 6), то в рассматриваемом случае она определяется единственным образом согласно фор- формуле (81). Это обстоятельство не дает возможности в случае околозвукового течения сравнивать обтекание данного профиля при различных числах Маха, или обтекание различных профи- профилей одного и того же семейства при фиксированом числе Mi, как это делалось, например, при применении формул Прандт- ля — Глауэрта в § 6 настоящей главы. При околозвуковом течении можно сравнивать обтекание профилей данного семейства с различными относительными тол- толщинами только при различных числах Маха или в газах с раз- различными числами к. В этих случаях удобно с помощью вновь вводимого параметра М2-1 /v Г""// I л \ аа212/Ч ^ ' *) Более детальное обоснование зависимости (82) см. в § 6 и 8 гл. X 4-го издания настоящего учебника.
§ 8. ОКОЛОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЯ 63 представить зависимость (82) в следующем виде: РР-Л>(%). где (84) Это правило околозвукового подобия Кармана, записанное в той форме, как его представил Спрейтер1). Соотношение (84) справедливо при дозвуковых, околозвуковых и сверхзвуковых скоростях. Как частный случай из него получается "правило Прандтля — Глауэрта, справедливое при тех значениях скоро- скоростей, где могут применяться линеаризированные уравнения. Теория околозвукодого течения Рис. 10.40. Экспериментальные зависимости коэффициента сопротивления сх от числа Mi для пластин различной относительной толщины с различ- различным углом о заострения клиновидной передней кромки Формула околозвукового подобия для коэффициента давле- давления (84) не зависит от местоположения точки на профиле, и по- поэтому она может быть распространена и на интегральные вели- величины коэффициента сопротивления и подъемной силы. Таким образом, можно записать, что cx = Fx(%) и cv = Fy(x), (85) где сх = сх$, (86) су = сур. (87) На рис. 10.40 приведены экспериментальные кривые коэф- коэффициентов сопротивления различных клиньев, построенные по их продувкам при нулевом угле атаки. Для каждого клина есть l) S р г е i t е г J. R. / NACA Rep.- 1958.- № 1359.
64 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ своя кривая, лежащая тем выше, чем больше угол раствора клина. Если же данные этих испытаний представить в виде за- зависимости сж(%), где сх и % определяются соответственно соглас- согласно формулам (86) и (83), то все экспериментальные точки, полученные для различных клиньев действительно в соответст- _ \ у Линейная теория 1 1 X Рис. 10.41. Зависимость сх(%) по результатам продувок различных пластин с клиновидной передней кромкой вии с выражением (85), образуют общую универсальную зави- зависимость (рис. 10.41). На рис. 10.41 для сверхзвуковых скоростей построена также зависимость сх(%) по линейной теории. Видно, что при достаточно большом числе Маха Mi > Мкр.с. > 1, т. е. за пределами диапазо- диапазона околозвуковых скоростей эта кривая приближается к экспе- экспериментальной. § 9. Обтекание решетки профилей дозвуковым потоком газа Дозвуковое обтекание решетки, составленной из дозвуковых профилей, как и рассмотренное выше дозвуковое обтекание еди- единичного профиля, подразделяется на два вида — докритическое и закритическое. Интересующимся обтеканием решетки несжимаемой жид- жидкостью следует обратиться ко второму или четвертому изданиям настоящего учебника, а также к литературным источникам, при- приведенным в них. Критическое значение числа Маха набегающего на решетку потока газа Мкр, при котором где-то на профиле возникает ско- скорость, равная местной скорости звука, может быть приближенно определено по распределению давления на профиле в данной решетке при обтекании ее потоком несжимаемой жидкости, или согласно упомянутой уже ранее гипотезе «затвердевания», в со-
§ 9. ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ 65 ответствии с которой ' * Pmin несж где, так же как и для единичного профиля, min несж или более точной зависимости MiKp(/Jmin несж), полученной С. А. Христиановичем для единичного профиля и представлен- представленной на рис. 10.17. В последнем случае в качестве коэффициента давления в точке максимального разрежения на профиле следует брать Лп)ттнесж 2 т где Следует заметить, что применение гипотезы «затвердевания» в решетке профилей, особенно в густой решетке, более обосно- обоснованно, чем в случае единичного профиля. В предельном случае решетки тонких дужек бесконечно большой густоты эта гипотеза точно согласуется с картиной течения газа. Определим в качестве примера критическое число Маха из непосредственного рассмотрения обтекания густой решетки пла- пластин изоэнтропическим потоком газа со срывом струй с передних кромок1). Используя выражение для перепада давлений в изоэнтропи- ческом потоке (а = 1,0), преобразуем уравнение импульсов к следующему виду: ^=kY ^ [i-i^-\2^-i)+KcosL (88) Здесь О — угол наклона решетки к ее фронту, i — угол атаки набегающего потока, h = t sin^ — шаг решетки (по нормали). Зависимости А,2 и r_ от угла атаки при значениях Mi = 0,75 и О = 70° приведены на 1) Гинзбург С. И. Суммарное силовое воздействие потока газа на решетку пластин // Прочность и динамика авиационных двигателей, вып. 3.— М.: Машиностроение, 1966. 5 Г. Н. Абрамович, ч. 2
66 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ рис. 10.42. Так же как и в потоке несжимаемой жидкости, при- приведенная скорость струи на выходе из решетки А,2 с ростом угла атаки сначала увеличивается, а затем при очень больших углах ^ атаки и соответственно ма- h 0,6 / / k у h - 4 4. 4 4 4 s s V Qfi лых расходах, уменьшается, несмотря на продолжаю- продолжающееся монотонное уменьше- уменьшение относительной ширины струи h. С помощью уравнения (88) можно определить зна- значение Х\ = A,ii;p при ^2 = 1. Имеем л к + 1 т (К W ZO 30 50 6Ш° Рис. 10.42. Зависимость Х2 и h от 1° при М = 0,75 для густой решетки пластин ft = 70 X sin ft 1-- X 2 sin (ft — i) Я1Кр COS ?. Результаты расчета (рис. 10.43) показывают, что в соответствии с приведенной на рис. 10.42 кривой Я.2@ вначале с ростом углов атаки число Mi,;p уменьшается, а затем, начиная с достаточно большого угла атаки, характер зависимости МыР(?) меняется на обратный. ^ В общем случае реше- решение задачи об обтекании заданной решетки профи- профилей изоэнтропическим по- потоком газа представляет собой значительные труд- трудности ]). Один из простых приближенных способов оценки влияния сжимае- сжимаемости при докритических течениях основан на пред- предположении, что при фик- фикif 0,9. У? 07 1 . 1 ff=30° 1 ! 1 ^^ i * 70° о 10 20 30 50 Рлс. 10.43. Зависимость Миф от угла ата- кл для густой решетки пластин, обтекае- обтекаемых изоэнтропическим потоком газа срывом струй с передних кромок со сированном угле pi на- направление потока за ре- решеткой не должно зависеть от числа Mi<MiKp. Иначе говоря, зависимость fb(pi) остается такой же, как и при обтекании данной решетки потоком несжи- несжимаемой жидкости. Такое предположение не налагает никаких ограничений на возможную трансформацию линий тока в непо- ]) Седов Л. И. Плоские М.: Наука, 1980. задачи гидродинамики л аэродинамики.—
§ 9. ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ 67 средственной близости у профиля и соответственно не позволяет оценить возможное влияние сжимаемости на эпюру распределе- распределения давления по профилю; однако это предположение о неиз- неизменности угла позволяет определить влияние сжимаемости на интегральные характеристики, а именно на величину и направ- направление равнодействующей сил давления, приложенных к профилю в решетке. Заметим, что допущение о неизменности величины {$2 при изменении числа Маха набегающего потока, очевидное для гу- густых решеток, практически выполняется, как показывают точные расчеты и результаты экспери- эксперимента при докритических чис- числах Mi1) (рис. 10.44), и для не очень густых решеток. При неизменном направле- направлении потока за решеткой влия- влияние сжимаемости на величину окружного усилия связано с изменением осевой скорости. 0,5 О Op 0(t 0,5 (°а)ХгО ЯШ* j I f !5<гЪ7°ЪО' - И - == ч / /U5°\ / г i ^.—i / 40° г" 90" /35° 0,7 ар 0,5 W Рис. 10.45. Зависимость коэффи- коэффициента си от A,i для диффузорной решетки, отнесенного к его зна- значению в несжимаемой жидкости, при постоянном значении gi = 30 и различных ^2 Рис. 10.44. Зависимость коэффи- коэффициента потерь ? и угла поворота Д? от числа Mi при различных углах атаки для днффузорной ре- решетки (8 = 15°, b/t = 1,3, О = = 62,6°): 1 — ? = —2,5°; 2 — 1 = = 0°; 3 — i = +2,5°; 4 — i = = +5°; 5 — i =+10° При фиксированном значении окружной составляющей ско- скорости перед решеткой под влиянием сжимаемости изменяется ') Бунимович А. П., Святогоров А. А. Аэродинамические ха- характеристики плоских компрессорных решеток при большой дозвуковой скорости / Лопаточные машины и струнные аппараты, вып. 2.— М.: Маши- Машиностроение, 1967. 5*
68 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ величина закрутки потока Awu = W2 cos $2 — W\ cos (Ji, пропор- пропорциональная, согласно D), окружному усилию Ru. При фиксированных значениях [Ji и $2 уравнение неразрыв- неразрывности и выражение для коэффициента окружной составляющей- равнодействующей позволяют получить для изоэнтропического потока зависимость cu(Xi). Результаты такого рода расчетов ко- коэффициентов окружного усилия в диффузорной решетке, отне- отнесенных к соответствующим значениям коэффициента си в потоке несжимаемой жидкости, приведены на рис. 10.45, подтверждают высказанные выше общие соображения и указывают на довольно существенное относительное изменение окружной составляющей равнодействующей с изменением числа Mi, особенно в решетке с малым поворотом потока. Более сложен анализ влияния сжимаемости на величину осе- осевой силы Ra, которая состоит, согласно E), из двух составляю- составляющих: Rap и Raw Первая составляющая Rap = t (pi — р2) = —tAp определяется перепадом статического давления, а вторая со- составляющая — изменением количества движения в осевом направлении. Влияние сжимаемости газа на эти составляющие осевой силы противоположно. В диффузорной решетке наличие сжимаемости приводит к увеличению перепада статических давлений и, следовательно, к увеличению составляющей Rap по ее абсолютному значению. В то же время уменьшение осевой скорости за решеткой умень- уменьшает абсолютную величину другой составляющей Raw. По-разному влияет сжимаемость на составляющие осевого усилия Rap и Raw и в конфузорной решетке. На рис. 10.46 представлены зависимости коэффициентов со- составляющих осевого усилия, которые в рассматриваемом случае изоэнтропического потока, могут быть записаны следующим об- образом: с -- tAp - Сар- , - Pi— Ь t к + 1ЦК) \п(К) A_t 2 Гп(м2) - ь к Я2 [ 1\ [ =-- - —^" = "" 24~ I "Г sin P2 - sin Pi sin pJ
§ 9. ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ 69 Видно, что приращение составляющей осевого усилия Rap — другого знака и по абсолютной величине заметно превосходит соответствующее приращение другой составляющей Raw. В результате увеличение числа Маха Mi набегающего на решетку потока приводит к монотонному увеличению осевого Рис. 10.46. Зависимость ко- коэффициентов составляю- -0,7 щих осевого усилия сар и caw от h для решеток с различными углами ?2 при постоянном значении Pi = = 30 шшт а» — fif-SO' ^ 5D°;no\ Ь5°-,135\ \ > 1 !/ 1 i/ / / усилия (рис. 10.47). При этом эффект сжимаемости при углах выхода ^2 и я — ^2 оказывается одинаковым. Последнее связано с тем, что осевое усилие в изоэнтропиче- ском потоке газа при фиксированном числе Mi определяется Рис. 10.47. Зависимость от \\ ко- коэффициента осевого усилия для диффузорной решетки, отнесен- отнесенного к его значению в несжимае- несжимаемой жидкости при постоянном значении Pi = 30 и различных ?2 к 1,5 1,0 0 дО9 ?** =^ / «$> у 7 ы У / 1 0,5 только соотношением между площадями входного сечения струи ^i = t sin fli и выходного ее сечения F2 = t sin ^2. Различное влияние числа Mi на окружную и осевую состав- составляющую равнодействующей приводит к изменению направления
70 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ равнодействующей по мере роста скорости набегающего на дан- данную решетку потока (рис. 10.48). В зависимости от угла пово- Ср '?hro I, fit 60' =57 \1W° ( ! i ; : ¦ i : i : | ; | j^ 1 ¦ ; / / ^. — ш- , — J / ') % Hi 1—' 0,5 a 1%0X1 0 5 Рис. 10.48. Влияние сжимаемости на направление (а) и величину (б) рав- равнодействующей, приложенной к профилю густой диффузорной решетки при постоянном значении Pi = 30 и различных углах р2. if — Угол между равно- равнодействующей силой и осью решетки, cR — коэффициент равнодействующей силы рота потока в решетке наличие сжимаемости может привести или к увеличению, или к уменьшению величины равнодействую- равнодействующей по сравнению с ее значением в потоке несжимаемой жидко- жидкости. Так, в диффузорной решетке с [Ь < < я/2 величина равнодействующей долж- должна возрастать с увеличением числа Mi (рис. 10.47). Результаты эксперимента, проведенного А. И. Буыимовичем и Г. С. Орловой по непосредственным из- измерениям статического давления в сред- среднем сечении лопатки плоской решетки, целиком подтверждают этот вывод. При обтекании решетки потоком не- несжимаемой жидкости при больших как положительных, так и отрицательных углах атаки на поверхности профиля воз- возникают значительные местные разреже- -W -г О ния pmin несж, что должно приводить к ма- Рис 10 49 Эксперимен- льш критическим значениям числа Маха тальные зависимости при обтекании данной решетки потоком М1кр и Mimax от угла ата- сжимаемого газа. Именно такой характер ки i для типичной диф- присущ экспериментальной зависимости фузорнои решетки до- ur ;./ » yy звуковых профилей MiKp(i) для типичной диффузорной ре- решетки, приведенной на рис. 10.49. Видно, что максимальное значение критического числа Маха равно 0,7 при нулевом угле атаки. При i = 10° оно уменьшается до 0,4. а при i = —10° оно составляет 0,44.
§ 9. ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ ДОЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ 71 При Mi>MiKp в межлопаточных каналах решетки образуется сверхзвуковая зона, увеличивающаяся по мере роста числа Mi и завершаемая гораздо более сложной системой скачков, чем у единичного профиля, вследствие отражения их от соседних по- поверхностей (рис. 10.50). Соответственно наблюдается, как по- показывает эксперимент, быстрое увеличение коэффициента потерь Рис. 10.50. Последовательные снимки спектров обтекания диффузорной ре- решетки при значениях числа М набегающего потока от 0,6 до 0,7 с ростом числа Mi>MiKp (рис. 10.44). Сопоставляя последнее обстоятельство с описанной уже выше экспериментальной зави- зависимостью критического числа Маха от угла атаки, приходим к заключению, что чем больше число Маха набегающего потока, тем круче должна быть зависимость коэффициента потерь от абсолютного значения угла атаки. Этот вывод подтверждается результатами соответствующих экспериментальных исследова- исследований, представленных на рис. 10.51.
72 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ В отличие от единичного профиля, для которого скорость на- набегающего потока может быть сколь угодно большой, обтекание решеток дозвуковым потоком ограничено некоторым максималь- максимальным числом Маха MiKP ^ Mimax < 1,0, при котором возникает так называемое «запирание» решетки. Определим число Маха набегающего потока Miraax, при ко- котором происходит запирание данной решетки, в предположении, С о/о 407 OJ06 1 1 \ \ \\ _J \ \ \ ¦a» V \ \ \ \ до 1 J ) V 1 / f J / 0 \ _J jr 7_ f~ 1 у / / 1 1 / / Wo, AW / fMrO,75 \ 7 7/ - г 0,01 0 -8 S -4 ~Z 0 Z 4 6 8V Рис. 10.51. Зависимость коэффициен- коэффициента потерь ? от угла атаки при раз- различных значениях числа М для диф- фузорной решетки (е = 27,6°, b/t = = 1,3, # = 62,6) Рис. 10.52. Зависимость макси- максимального значения числа Маха набегающего на решетку потока газа от степени сужения струи в решетке Fr/F{ что в узком сечении межлопаточного канала — горле ~ поток однороден и его направление не зависит от угла атаки. В этом случае, согласно уравнению неразрывности, имеем q(Xi)tsin Pi =aBXg(Xr)Fr. Здесь aBX — коэффициент сохранения полного давления, опреде- определяющий потери во входном участке до критического сечения, ширина которого FT, а приведенная скорость потока Яг. Полагая Яг = 1 из уравнения неразрывности, получаем следующее выра- выражение для определения максимальной приведенной скорости потока перед решеткой: пах) — ' t sin Для изоэнтропического потока (овх=1,0) имеем
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 73 На рис. 10.52 приведена экспериментальная зависимость Mimax от FJFu построенная по данным испытания решеток при различных углах атаки1). Там же нанесена подобная зависи- зависимость для изоэнтропического течения, построенная в предполо- предположении постоянства по ширине канала всех параметров потока в его узком сечении. Разница между этими двумя зависимостями и выражает собой влияние всех неучитываемых факторов. Под влиянием потерь и неоднородности потока в горле запирание решетки наблюдается и в том случае, когда ширина сечения потока, поступающего в данный межлопаточный канал, на 30 % превосходит ширину его самого узкого сечения. При запирании решетки число Маха уже не определяет одно- однозначно величину потерь — характеристика решетки становится вертикальной (d?/dMi ->¦ °°); уменьшается также угол поворота в решетке (рис. 10.44). Для этого режима течения определяю- определяющим параметром становится отношение статического давления за решеткой к его значению перед ней р2/р\. По мере уменьшения противодавления увеличивается разгон сверхзвукового потока, а следовательно, и интенсивность его торможения, результатом чего является рост потерь. Обратное явление наблюдается при увеличении противодавления. Мы рассматривали результаты экспериментального исследо- исследования диффузорных решеток, имеющих применение главным об- образом в осевых компрессорах. Как показывают эксперименты, конфузорный характер тече- течения в решетках осевых турбин позволяет при правильном выбо- выборе параметров решетки и профиля обеспечить в некотором диа- диапазоне углов атаки безотрывное обтекание и в результате по- получить плавное ускорение потока вплоть до скорости звука на выходе из решетки. § 10. Обтекание решетки профилей потоком газа со сверхзвуковой осевой составляющей скорости При анализе сверхзвукового обтекания решеток профилей различают случаи, когда осевая составляющая скорости набе- набегающего потока w\a = w\ sin [$i больше и меньше скорости звука. При положительных углах атаки (г>0J) косые скачки, от- отходящие «вниз» от передних кромок сверхзвуковых профилей, всегда3), независимо от величины осевой составляющей скоро- 1) Хоуэлл А. Р. Гидродинамика осевого компрессора / Развитие газовых турбин/Под ред. В. Л. Александрова.-М.: БНТИ, МАП, 1947. 2) Имеется в виду угол между направлением скорости набегающего потока и касательной к верхней поверхности профиля в передней кромке. 3) Здесь и далее исключаются такие сочетания чисел Mi и углов ата- атаки i, при которых в соответствии с кривыми, приведенными на рис. 3.12 гл. III, невозможно образование косого присоединенного скачка уплотнепия У острой передней кромки профиля* ;
74 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ сти набегающего потока, располагаются за фронтом решетки (рис. 10.53). «Вверх» от профиля отходят волны Маха. При до- дозвуковой осевой составляющей, т. е. при Mta = Mi sin [Ji < 1 вол- волны Маха распространяются в пространстве перед решеткой (рис. 10.53, а). Их интерференция, как это будет показано ниже, приводит к образованию сильных возмущений — бесконечной си- системы отсоединенных ударных волн. Если же осевая составляю- составляющая набегающего сверхзвукового потока равна скорости звука или его превосходит, т. е. если Mu ^ 1,0, то весь пучок харак- характеристик, исходящих от передней кромки, направлен внутрь ре- решетки (рис. 10.53, б), и в этом случае во всем течении перед Рис. 10.53. К обтеканию решеток сверхзвуковых профилей сверхзвуковым потоком при положительных углах атаки, а) Mia < 1, б) MIa = 1, в) Mi ;> 1,0 решеткой отсутствует интерференция между ней и набегающим потоком. При небольших отрицательных углах атаки, когда U! < v, от передней кромки сверхзвукового профиля отходят два косых скачка (рис. 10.54, а), один из которых располагается над про- профилем (верхний скачок), а другой под ним (нижний скачок). При больших по абсолютной величине отрицательных углах атаки (Ul >v) возникает только один — верхний скачок. Вме- Вместо другого скачка за фронтом решетки образуется течение раз-
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 75 режения Прандтля — Майера (рис. 10.54, б). Так как волны Ма- Маха этого течения и нижний скачок всегда, независимо от величи- величины осевой скорости, направлены внутрь межлопаточного канала, то возможность распространения возмущений в потоке перед ре- решеткой определяется только расположением верхних скачков. Эти скачки при дозвуковой осевой составляющей скорости, т. е. Рис. 10.54. К обтеканию решеток сверхзвуковых профилей при отрицатель- 1-ых углах атаки потоком со сверхзвуковой осевой составляющей скорости а) М,> 1, |/| < v, б) М1а>М*а>1, |J|>v, в) М*а>1, |i|>v при Ми < 1,0, располагаются перед фронтом решетки, возмущая, таким образом, набегающий однородный поток. Возмущения име- имеют место и при Ми = 1, так как косые скачки, будучи всегда на- направлены круче соответствующих характеристик, и в этом случае проникают в области перед решеткой (рис. 10.54, в). По мере Дальнейшего увеличения осевой составляющей скорости (при фиксированном направлении набегающего потока) косые скачки приближаются к решетке и при некотором значении*) М а = 1) Условия, при которых вдоль фронта решетки образуется косой ска- скачок, подрооно рассмотрены в гл. X 3-го издания этой книги.
76 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ = М1а>1,0 сливаются в один общий косой скачок, располагаю- располагающийся вдоль передних кромок профилей1) (рис. 10.54, г). Начи- Начиная с этого момента, влияние решетки на течение перед ней при отрицательных углах атаки исчезает. При отсутствии интерференции между решеткой и набегаю- набегающим сверхзвуковым потоком достаточно рассматривать течение только в межлопаточных каналах и в непосредственной близо- близости за срезом решетки. Течение во входной части межлопаточного канала определя- определяется взаимодействием или между косым скачком и пучком ха- характеристик или между двумя косыми скачками (рис. 10.54). Участки профиля, прилегающие к его передней кромке и на- находящиеся до точки пересечения двух скачков или скачка и пуч- пучка характеристик набегающего потока, расположены вне зоны •возмущений от соседних профилей, и поэтому давление здесь та- такое же, как и на изолированном профиле. Распределение давле- давления на остальной части профиля определяется взаимодействием косых скачков и волн Маха и их последовательным отражением от поверхности двух соседних профилей. Применение известного графоаналитического способа2) позволяет в общем случае боль- больших возмущений построить распределение давлений по профилю и найти путем интегрирования величину и направление равно- равнодействующей силы. Задача существенно упрощается при наличии малых возму- возмущений, например при обтекании решеток слабо изогнутых про- профилей под малыми углами атаки. В этом случае удается пока- показать3), что интерференция пластин в решетке всегда приводит к уменьшению коэффициента подъемной силы по сравнению с изолированной пластиной. Аналогичный вывод может быть сде- сделан и для коэффициента волнового сопротивления, так как ка- качество пластины, как уже указывалось выше (без учета поверх- поверхностных сил трения), определяется только углом атаки #пл = "Г" = Ct? L У По мере увеличения шага данной решетки t, т. е. по мере уменьшения ее густоты, интерференция между профилями ослаб- 1) При этом у передней кромки возникает еще один дополнительный косой скачок, направленный внутрь межлопаточного канала. Интенсивность этого скачка убывает по мере уменьшения угла клина носика профиля v, и он вообще исчезает при v = 0, т. е. в случае решетки бесконечно тонких пластин. 2) К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н, В. Теоретическая гидро- гидромеханика. Т. II.— М.: Гостехиздат, 1948. 3) Келдыш В. В. Решетки профилей в сверхзвуковом потоке // Сборник теоретических работ по аэродинамике.— М.: Оборонгиз, 1957. См. также гл. X в 3-м издании этой книги.
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 77 ляется и, начиная с некоторого, достаточно малого (критиче- (критического) значения густоты (Ь/?)кР, она вообще исчезает и профили обтекаются как единичные (рис. 10.55). При положительных углах атаки критическая густота решет- решетки пластин определяется пересечением волны Маха, идущей от передней кромки с соседним профилем. Аналогично при отрица- отрицательных углах атаки критическая густота решетки пластин опре- определяется точкой пересечения с соседним профилем фронта косо- косого скачка. Рис. 10.55. К определению критической густоты решетки пластин при обте- обтекании ее потоком со сверхзвуковой осевой составляющей скорости, а) Гу- Густая решетка (b/t > (bft)KV, i > 0), решетка критической густоты (b/t) = = (Ь/Окр, i > 0, в) редкая решетка (b/t) < (b/t)KV, i > 0, г) интерферен- интерференция между волнами в течении за срезом редкой решетки (i = —10°, Mi — = 2,6). Штриховые линии — волны Маха, сплошные линии —скачки Интерференция между волнами Маха и скачками уплотнения возникает в этом случае только за решеткой и приводит к су- существенной неравномерности потока по шагу за решеткой (рис. 10.55, г). В дальнейшем течении вследствие турбулентного перемеши- перемешивания происходит выравнивание потока и в некотором достаточ- достаточно удаленном от решетки сечении 2—2 имеется полностью равно-
78 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ мерный поток. Приведенная скорость этого потока А,2 и ее направ- направление, характеризуемое углом Рг, могут быть найдены по значе- значениям коэффициентов подъемной силы и лобового сопротивления данного единичного профиля (см. § 8); коэффициенты осевой и окружной составляющей равнодействующей R (рис. 10.56) соот- соответственно равны са = сх sin Pi — Су cos Pi, си = сх cos Pi + су sin Pi. Отсюда получаем систему двух уравнений относительно двух искомых величин Яг и Рг1)- Знание этих величин позволяет, со- согласно уравнению неразрывности, найти величину а, т. е. опреде- определить суммарные потери, включающие в себя как собственно по- потери, возникающие при обте- обтекании данной достаточно редкой решетки сверхзвуко- сверхзвуковым потоком, так и потери, связанные с выравниванием потока газа в зарешеточном пространстве. Отсутствие интерферен- интерференции между решеткой и по- потоком со сверхзвуковой осе- осевой составляющей скорости и главным образом возмож- возможность «склеивания» сверх- сверхзвуковых течений по линиям слабых и сильных разрывов послужили основой для раз- разработки различных способов решения обратной задачи — построе- построения сверхзвуковой решетки, поворачивающей поток на заданный угол. Один из методов построения таких решеток, указанный С. И. Гинзбургом в 1950 г., основан на использовании в общем случае системы косых скачков на входе и последующих течений Прандтля —Майера2). Примеры такого типа решеток представ- представлены на рис. 10.57. Они носят лишь учебный характер. В первом случае (рис. 10.57, а) сверхзвуковой поток, набе- набегающий на решетку под нулевым углом атаки, частично тормо- тормозится в косом скачке с последующим торможением в течении сжатия при обтекании вершины профиля. В дальнейшем течении расширения происходит разгон потока с одновременным его по- поворотом. а Рис. 10.56. К определению окружной и осевой составляющих равнодействую- равнодействующей силы 1) В некоторых случаях может оказаться, что решения не существует. Это значит, что такие режимы обтекания решеток пластин докритической густоты неосуществимы при условии полного выравнивания потока за ними. 2) См. гл. X в 3-м издании настоящей книги (М.: Наука, 1969).
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 79 Во втором случае (рис. 10.57,6) все торможение осуществ- осуществляется в системе из трех косых скачков и задняя кромка имеет конечную толщину. Характерной особенностью третьей решетки (рис. 10.57, в) является отсутствие угловой точки в средней ча- части профиля. Здесь течение расширения происходит при обтека- обтекании плавной кривой, являющейся или дугой окружности или Течение Течение расширения Рис. 10.57. К построению чисто сверхзвурювоп решетки с диффузорными и коифузорпыми участками течения, а) Односкачковая решетка с частич- частичным торможением потока косым скачком, б) трехскачковая решетка с конечной толщиной задней кромки, в) односкачковая решетка, составлен- составленная из профилей без угловой точки, г) решетка без головного сопротивле- сопротивления (изоэнтропическая решетка) некоторой кривой, форма которой соответствует линии тока в обтекании тупого угла. При отсутствии косого скачка на входе и использовании только изоэнтропических течений сжатия и расширения Пранд- тля — Майера получаем сверхзвуковую изоэнтропическую решет- решетку без волнового сопротивления (рис. 10.57, г). Известен и другой способ построения сверхзвуковых изоэн- изоэнтропических решеток, предложенный в 1950 г. М. Ф. Жуковым и позже Осватичем 1) и основанный на использовании потока !) Oswatitsch К. Potential-Gitter fur Uberscliallgeschwindigkeiten Zeitschrift fur Flugwiss.— 1956.— V. 4. № 1_2.
80 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ от потенциального вихря (см. § 11) л const г и соответствующих спрямляющих течений. Этот способ заклю- заключается в следующем. По известным величинам приведенных Линия максимальной скорости Конфуъорное течение Ъдуновая линия а-/; г Диффузорное О n7R4RHUR Верхняя поверхность Нижняя поверхность Рис. 10.58. К построению изоэнтропической сверхзвуковой решетки с по- помощью течения от потенциального вихря, а) Потенциальный вихрь в потоке сжимаемого газа. Область течения, используемого для построения решеток, заштрихована, б) сопряжение выделенной области вихревого течения с по- поступательным потоком и построение сверхзвуковой изоэнтропической ре- решетки скоростей перед и за решеткой Х\ и %2 находят в сверхзвуковой части потока потенциального вихря соответствующие точки А и В на радиусах 1—0 и 2—0, образующих между собой угол, равный углу поворота потока решеткой Д[} (рис. 10.58, а). Через
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 81 точки А ж В проводятся волны Маха, ограничивающие исполь- используемую часть течения от потенциального вихря. Далее, слева от этих волн Маха, проходящих через точку А, с помощью ха- характеристик строится течение, переводящее однородный поток с приведенной скоростью Х\ в неоднородный с распределением скоростей по радиусу, отвечающим закону вихря (рис. 10.58,6). Аналогично правее волн Маха, проходящих через точку В, строится спрямляющее течение, трансформирующее заданный неравномерный поток в равномерный с приведенной скоростью %2- Совмещая теперь прямолиней- прямолинейные участки двух произвольных линий тока, получаем некоторый криволинейный профиль с беско- бесконечно тонкими передней и задней кромками. В результате последо- последовательного проведения подобного рода операций приходим к решет- решетке, составленной из таких профи- профилей. Густота решетки, направле- направление ее фронта и соответственно направление потока, набегающего на решетку (характеризуемое уг- углом Pi), непосредственно нахо- находятся в процессе построения. Пу- Путем подбора соответствующих ве- величин Яв и Ян можно в ряде слу- случаев построить решетку и при на- наперед заданном значении угла $\. Недостатком такого метода построения изоэнтропической сверхзвуковой решетки по сравнению с описанным выше спосо- способом, основанным на использовании двух течений Прандтля — Майера, является наличие диффузорного течения в выходном участке межлопаточного канала (у его вогнутой стенки), где имеется уже максимально развитый пограничный слой. Результаты экспериментального исследования межлопаточно- межлопаточного канала активной сверхзвуковой решетки, построенной по ме- методу «вихря» с косым скачком на входе, полученные А. М. До- машенко, М. Ф. Жуковым и Ю. Б. Елисеевым в 1952 г., при- приведены на рис. 10.59 и 10.60 при расчетном числе Маха Mi = 1,7 (Я1 = 1,48). Клиновидная передняя кромка имела угол v = 5° и соответственно расчетное значение числа Мх после косого скач- скачка составляло 1,488 (А^=1,357). Фотография течения (рис. 10.59) показывает наличие во входной части канала косого скачка, по- положение которого близко к расчетному. Линии слабых разры- разрывов в последующем течении внутри межлопаточного канала по форме близки к характеристикам потенциального вихря. Рас- Рис. 10.59. Шлирен-фотография течения в межлопаточном канале активной сверхзвуковой решетки при i = 0, и Mi = 1,7 6 Н. Абрамович, ч. 2
82 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ четные кривые распределения давления (рис. 10.60) удовлетво- удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными и особен- особенно непосредственно на входе в решетку, где повышение давле- давления по сравнению с давлением набегающего потока вызывается косым скачком уплотнения. Имеющееся заметное расхождение между теоретическими и экспериментальными значениями дав- давлений в средней части канала в основном связано с весьма ма- малым значением удлинения ло- лопаток, образующих канал, _ко- торое составляет всего h = = h/b = 0,23. Можно представить себе также сверхзвуковую решетку, в межлопаточных каналах ко- которой отсутствует конфузор- ный участок, а сжатие газа происходит только в скачках уплотнения. Для построения Рис. 10.60. Сравнение расчетного такой Диффузорной решетки (сплошная линия) и эксперимен- используем профили в форме и 0,8 и 1 1 V II \ 7 1г тального (штриховая линия) рас- пределевия давлений по верхней по- поверхности профиля активной сверх- сверхзвуковой решетки при i = 0 и М = = 1,7 (см. рис. 10.59) треугольников, направив поток с заданным числом М{ парал- параллельно стороне треугольника А'О' (рис. 10.61, а), угол тре- треугольника в точке А' выбира- выбираем меньше предельного угла для косого скачка при данном зна- значении Mi. В области А'О"В' ниже скачка уплотнения А'О" осуществляется равномерное течение газа, параллельное стенке А'В\ со скоростью Яср<Х! и давлением pcv>P\- За точкой В' частицы газа попадают в область повышенного давления (/у2>^(Г), в связи с чем возникает второй скачок уплотнения, в котором поток снова изменяет свое направление. Вершину следующего профиля решетки помещают в точку пересечения скачков О", а грани О"В" и О'В' проводят параллельно направ- направлению потока после второго скачка. Таким образом, треугольные профили А'В'О' и А"В"О" располагаются параллельно. Продолжая процесс построения йт'их профилей, получим бес- бесконечную прямолинейную решетку треугольников1). Эта ре- решетка обладает волновым сопротивлением, определяемым по из- известным формулам для потерь полного давления в системе из двух косых скачков. Заметим, что аналогичным путем можно получить решетку, состоящую из трапеций (рис. 10.61,6), ко- которая имеет большую густоту, чем соответствующая решетка из треугольников. *) Straus E. Schaufelgitter fur Uberschallgeschwindigkeit ohne Wel- Welle nw id erst and / Technische Berichte ZWB, Berlin — Adlershof.— 1944.— Bd 11, Heft 10.
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 83 Возможные режимы обтекания решетки потоком со сверх- сверхзвуковой осевой составляющей скорости при наличии сильных возмущений покажем на примере густых решеток из простейших сверхзвуковых профилей — плоских пластин. Эти течения, в общем случае, определяются не только па- параметрами набегающего потока — числом Mi и углом атаки i, Рис. 10.61. Чисто скачковая сверхзвуковая диффузорная решетка, а) Решет- Решетка треугольников, б) решетка трапеций как это, например, имеет место при дозвуковом обтекании ре- решетки1), но также и величиной давления р2 в сечении далеко за решеткой. Безразмерная величина отношения давления перед решеткой п за ней e=p2/pi имеет определенный диапазон воз- возможных значений, зависящий для данной решетки от парамет- параметров набегающего потока. Значение emln определяется тем минимальным значением про- противодавления /?2min, при превышении величины которого возму- возмущения начинают сказываться на течении в выходной части меж- межлопаточных каналов решетки. Максимальное значение етах определяется достижением та- такого /?2тах, при котором дальнейшее повышение давления при- приводит к разрушению течения на бесконечности перед решеткой. Таким образом, течение в межлопаточных каналах, а следо- следовательно, и распределение давления по профилю, определяются 6* 1) Исключая режимы их запирания.
84 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ не только параметрами набегающего потока, но и заданной ве- величиной 8min ^ 8 ^ 8тах. Остановимся сначала на обтекании решетки пластин при ну- нулевом угле атаки. Если осевая составляющая скорости потока, набегающего на решетку пластин при нулевом угле атаки, больше или равна скорости звука, то при уменьшении давления за решеткой, по сравнению с его значением перед ней, силового воздействия по- потока на пластину не будет. Это связано с тем, что при Mia = = Mi shift ^ 1,0 характеристика на выходе или совпадает с фрон- фронтом (при Mia = 1,0) или выходит за пределы решетки (при Мь > 1,0) и, следовательно, любое уменьшение давления /?2 вверх по пластине не передается. При повышении давления за решеткой до некоторого значе- значения /?2min силовое воздействие также отсутствует. Соответству- Соответствующие значения р2тт и еШп определяются из условия образо- образования на срезе решетки косого скачка уплотнения. При этом угол отставания положителен и равен углу поворота потока в косом скачке. При дальнейшем увеличении давления, т. е. при /?2>/?2mm или 8 > 8min, фронт косого скачка проходит выше фронта ре- решетки, и это приводит к перераспределению давления на участке нижней поверхности, примыкающем к задней кромке пластины. Следовательно, в этом случае возникает силовое воздействие по- потока на пластину. Равнодействующая сил давления направлена в сторону положительного направления оси п. По мере дроссе- дросселирования, т. е. по мере увеличения давления /?2, точка пере- пересечения скачка со стенкой движется вверх по потоку и увели- увеличивается силовое воздействие; угол отставания б и угол пово- поворота потока в косом скачке уменьшаются, и косой скачок при- приближается к прямому. При некотором значении р2 = Р2т^ скачок становится пря- прямым и непосредственно за решеткой имеется равномерный до- дозвуковой поток1), направленный по пластинке, т. е. с нулевым углом отставания; дальнейшее повышение противодавления (по сравнению с прямым скачком) оказывается невозможным — те- течение становится неустойчивым, и прямой скачок, перемещаясь вверх по потоку, делает невозможным заданное течение на бес- бесконечности перед решеткой. Поэтому значение 8, соответству- соответствующее прямому скачку, является максимально возможным, от- отвечающим режиму предельного дросселирования решетки при заданном числе Мь 1) Напомним, что настоящее рассмотрение проводится в упрощающем предположении отсутствия сил вязкости. В действительном течении в ре- результате взаимодействия скачка с пограничным слоем на стенках межлопа- межлопаточного канала (при достаточном росте давления в скачке) возникает отрыв, и поток за решеткой становится неравномерным.
§ 10. РЕШЕТКА ПРИ СВЕРХЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 85 При положительных углах атаки у верхней поверхности око- около передней точки профиля возникает течение Прандтля — Май- ера, в котором часть потока, набегающего на данный межлопа- межлопаточный канал, поворачивается на угол, равный углу атаки i. Направление остальной части потока изменяется на такой же угол в косом скачке, идущем от передней кромки у нижней поверхности лопатки. Соответствующая картина наблюдается и при отрицательных углах атаки. В обоих случаях поток выше ломаной линии, со- составленной из отрезка фронта косого скачка и отрезка харак- характеристики набегающего потока, остается невозмущенным и рав- равномерным. Это положение сохраняется, однако, не при всех уг- углах атаки. Если положительный угол атаки становится настолько боль- большим, что превышает предельный угол поворота потока в косом скачке уплотнения для данного числа Mi, то перед решеткой возникает криволинейная ударная волна. С возрастанием отрицательного угла атаки характеристики удаляются от фронта решетки, а плоскость косого скачка при- приближается к нему, и при некотором угле атаки фронт косого скачка совпадает с фронтом решетки. В этом случае на входе в межлопаточный канал имеется равномерный поток. Абсолют- Абсолютная величина угла атаки |tj, при котором для заданных зна- значений числа Mi и установочного угла решетки О образуется ко- косой скачок, совпадающий с фронтом решетки, определяется из следующего очевидного соотношения: Здесь ^ — угол между плоскостью косого скачка и направлени- направлением потока, натекающего на плоский клин с углом при вершине v=UJ. Рассмотренные выше случаи обтекания решетки пластин при углах атаки, отличных от нулевого, имеют место при минималь- минимальном противодавлении, когда внутри межлопаточных каналов и в пространстве за решеткой течение сверхзвуковое. При повышении давления за решеткой расчетная картина течения в выходной части межлопаточного канала начинает раз- разрушаться — появляется область дозвуковых течений, и изменя- изменяется распределение давления по части поверхности пластины, в результате чего изменяется величина равнодействующей силы, приложенной к пластине. По мере увеличения дросселирования область дозвуковых течений увеличивается, продвигаясь вверх по потоку. При некотором значении р2 возмущения начинают проникать за фронт решетки. При дальнейшем повышении дав- давления, хотя и происходит последующая перестройка течения непосредственно перед решеткой, поток на бесконечности перед пей остается еще невозмущенным. Наконец, при некотором дав-
86 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ лении р2 возмущения начинают распространяться на всю об- область потока. Это и есть максимальное давление, при котором еще возможно заданное сверхзвуковое течение на бесконечности перед решеткой. Перейдем теперь непосредственно к определению силового воздействия сверхзвукового потока на решетку. Если ограничиваться только отысканием величины равнодей- равнодействующей, то такая задача для решетки пластин при Mia ^ 1 имеет простое решение при любых параметрах набегающего по- потока и заданном противодавлении1). Для решения этой задачи достаточно определить параметры равномерного потока далеко за решеткой по известным значениям Mi и г=р2/р\. При этом предполагается, что влияние вязкости при обтека- обтекании собственно решетки пренебрежимо мало и соответственно трение на пластинах может быть принято равным нулю. Влия- Влияние вязкости начинает сказываться только за решеткой, где в результате турбулентного перемешивания поток полностью вы- выравнивается. Выравнивание потока приводит к появлению до- дополнительных потерь (по сравнению с потерями, возникающими при обтекании данной решетки невязким потоком газа), однако не влияет на обтекание самой решетки, а следовательно, и на силовое воздействие потока. Наличие дополнительных потерь скажется только на значении статического давления выровнен- выровненного потока р2 в сечении далеко за решеткой. Величина равно- равнодействующей силы, приложенной к профилю, при этом не из- изменится. Напомним, что все рассмотренные выше случаи обтекания решетки пластин потоком со сверхзвуковой осевой составляю- составляющей скорости возможны только начиная с определенной крити- критической густоты. Например, течение при нулевом угле атаки с прямым скачком возможно только при b/t ^ cos '&. В этом слу- случае критическая густота не зависит от Mi и численно равна cos О. § И. Обтекание решетки сверхзвуковых профилей потоком газа с дозвуковой осевой составляющей скорости Остановимся на обтекании решеток сверхзвуковым потошж с дозвуковой осевой составляющей скорости. Если при фиксиро- фиксированном числе Mi уменьшить осевую составляющую скорости на- набегающего потока, то направление характеристики приблизится к направлению фронта решетки и при Ми = 1 оба направления совпадут между собой. При w\a < a\ характеристики направлены выше фронта решетки, и в этом случае, так же как и при до- ]) Гинзбург С. И. Суммарное силовое воздействие потока газа на решетку пластин // Прочность и динамика авиационных двигателей, вып. 3.— М.: Машиностроение, 1966.
§ ii. РЕШЕТКА ПРИ ДОЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 87 звуковом обтекании решетки, происходит интерференция между набегающим сверхзвуковым потоком и решеткой. Возмущения, исходящие от передних кромок дужек, и возмущения, создавае- создаваемые за решеткой, распространяются вверх по потоку. Давление за решеткой уже не может являться задаваемым параметром: оно однозначно зависит от числа Mi и угла атаки набегающего на решетку потока. Таким образом, несмотря на сверхзвуковую скорость на бесконечности, такое обтекание решетки без «горла» в некотором смысле аналогично дозвуковому. Исключение составляет случай обтекания решеток пластин под нулевым углом атаки, при котором направление потока сов- совпадает с направлением пластин. В этом случае возмущения пе- перед решеткой бесконечно тонких пластин отсутствуют, и во ш Рис. 10.62. К определению минимальной длины 1т прямолинейного отрезка бесконечЕО тонкого профиля, при котором возмущения перед решеткой отсутствуют, при нулевом угле атаки и при ш{а <С «i входной части межлопаточных каналов имеется однородный сверхзвуковой поток, препятствующий независимо от величины осевой скорости распространению возмущений за решеткой на область течения перед ней. Заметим, что рассмотренное здесь свойство обтекания реше- решеток тонких пластин при нулевом угле атаки распространяется и на случай решеток бесконечно тонких изогнутых профилей, составленных из прямолинейного отрезка достаточной длины I и сопряженной с ним дужки (рис. 10.62). Минимальная длина прямолинейного отрезка определяется требованием, чтобы волна Маха, распространяющаяся от точки сопряжения, не выходила за фронт решетки. При несоблюдении этого условия слабые воз- возмущения, вызываемые течением вокруг сопряженной дужки, на- нарушат однородность потока перед _решеткой. При дальнейшем рассмотрении ограничимся только решет- решеткой пластин1). В соответствии со сказанным выше обтекание такой решетки при нулевом угле атаки становится неоднознач- неоднозначным и определяется, кроме числа Mi набегающего потока, еще и величиной г=р2/р\1 т. е. отношением давлений на бесконеч- бесконечности за решеткой и перед ней. В случае равенства давлений ]) См. сноску на с. 86.
88 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ (е = 1,0) поток проходит через решетку пластин невозмущен- невозмущенным, и силовое воздействие на решетку, естественно, отсут- отсутствует. При осевой составляющей скорости набегающего потока, меньшей скорости звука (Ми < 1), любое нарушение условия е = 1 приведет к возникновению силового воздействия потока на решетку пластин. Если 8 < 1, т. е. если давление за решет- решеткой меньше, чем перед ней, то на выходе из межлопаточного канала образуется течение с расширением около задней кромки пластины, т. е. происходит ускорение потока с одновременным его поворотом в сторону больших углов. В результате угол от- отставания потока далеко за решеткой становится отрицательным. -F w - Of 0,0 0,7 ф - 0,5- fl/i. nq 0,2- OJ 0 - ¦oj - •w ./7/ -1 U \*< i 1 n\ / r 1 1, / > 1 i / 1 / f / / It f 1 f / / 1 I / J * f / t I к J 5 i f J ~n f A / ~7 i A f f , J К о У 7/1 > > > J \ Tft - J Zfl ifl 5JJ 6fle Рис. 10.63. Зависимость от е = />2//>i коэффициента равнодействующей для густой решетки пластин с О = 30° при i = 0 и различных числах М! Во всей области потока выше характеристики, наклоненной к пластине под углом ^ = 8^8^-^-, течение остается невозму- невозмущенным. Это значит, что по всей верхней поверхности пластины и по части ее нижней поверхности давление такое же, как в на- набегающем потоке ри Изменение в распределении давления бу- будет наблюдаться только на участке пластины, где происходит отражение характеристик. На этом отрезке господствует разре- разрежение, и, следовательно, равнодействующая всегда направлена в сторону, противоположную положительному направлению оси п.
§ 11. РЕШЕТКА ПРИ ДОЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ Величина равнодействующей зависит от числа Mi и степени разрежения е. Очевидно, что при фиксированных значениях первых двух величин равнодействующая возрастает с уменьше- уменьшением е. При некотором значении е осевая скорость далеко за решеткой достигает скорости звука, и характеристика становит- становится параллельной фронту решетки. В этом случае имеющиеся возмущения (за решеткой) не распространяются вверх по по- потоку. При повышении давления за решеткой (е>1) в выходной части межлопаточного канала образуется система скачков, при- приводящая к повышению давления на нижней поверхности и воз- возникновению силы, действующей в положительном направлении оси п. С возрастанием р2 эта сила увеличивается, а угол отста- отставания уменьшается. При некотором значении р2 = /?2 max и со- соответственно 8 = 8тах в межлопаточном канале образуется пря- прямой скачок, и на выходе из решетки устанавливается дозвуко- дозвуковой поток с нулевым углом отставания. В качестве примера на рис. 10.63 приведена зависимость cnb/t от 8 при различных числах Маха сверхзвукового потока, набегающего на решетку пластин @ = 30°) под нулевым углом атаки. При Mi < 2 величина Мы < 1 и соответственно силовое воз- воздействие потока имеется и при повышении, и при понижении давления за решеткой. При Mi = 2 осевая состав- составляющая скорости набега- набегающего потока становится равной скорости звука, и в соответствии с этим си- силовое воздействие потока при Mi ^ 2 возникает только при повышении давления за решеткой. Предельные значения рав- равнодействующей силы при данном числе Mi опреде- определялись соответственно или из условия возникно- возникновения прямого скачка, или из условия равенства осевой скорости за ре- решеткой скорости звука. При положительных углах атаки перед решет- решеткой образуется система отсоединенных ударных волн (рис. 10.64); после отрыва потока около передней кромки каж- каждой пластины возникает течение Прандтля — Майера, в кото- котором поток разгоняется от скорости звука до некоторой сверхзву- ^ - - ^ ^ Пластина Рис. 10.64. Схема обтекания густой решет- решетки пластин сверхзвуковым потоком с до- дозвуковой осевой скорости при положитель- положительном угле атаки (i > 0)
90 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ ковой скорости, превышающей величину скорости на бесконеч- бесконечности перед решеткой. Волны разрежения падают на соседние ударные волны и ослабляют их, однако вблизи пластины удар- ударные волны сохраняют значительную интенсивность. Таким образом, сверхзвуковой поток, прежде чем попасть в межлопаточный канал, проходит через бесконечную систему ударных волн с постепенно увеличивающейся интенсивностью; в области между соседними ударными волнами поток разгоня- разгоняется до все больших скоростей (по мере приближения его к фронту решетки). Перед участком ударной волны, расположен- расположенным у входа в межлопаточный канал, газ движется поступа- поступательно с числом Маха, равным Мтах. На этом участке проис- происходит наиболее интенсивное торможение потока, в результате которого на выходе из межлопаточного канала устанавливается дозвуковое течение. При этом величина потерь полного давления в различных элементарных струйках, прошедших через систему ударных волн, будет различна, так как интенсивность волн па- падает слева направо. Следовательно, при рассматриваемом обте- обтекании решетки идеальным невязким потоком газа в достаточно удаленном от входа сечении межлопаточного канала, где стати- статическое давление, а значит, и направление скорости уже посто- постоянны по его ширине, величина скорости останется переменной. С целью упрощения задачи будем предполагать, что в резуль- результате турбулентного обмена между струйками поток внутри меж- межлопаточных каналов полностью выравнивается и в соответстврш с этим за решеткой устанавливается равномерный по шагу по- поток с постоянными статическим и полным давлениями, причем направление этого потока совпадает с направлением пластин (угол отставания б равен нулю). Важно отметить, что сделан- сделанное здесь предположение о выравнивании потока в межлопаточ- межлопаточных каналах существенно отличается от сделанного в предыду- предыдущем параграфе предположения о выравнивании потока в сече- сечении далеко за решеткой. В этом последнем случае мы только несколько завышаем потери по сравнению с теми потерями, ко- которые имеются в невязком потоке газа, оставляя при этом не- неизменным течение в самой решетке, а следовательно, неизмен- неизменным и силовое воздействие потока на нее. Иное дело при вырав- выравнивании потока в лопаточных каналах, при котором вследствие изменения течения в самой решетке происходит не только уве- увеличение потерь, но и изменение величины равнодействующей по сравнению с ее значением в идеальном — невязком потоке газа1). Конечно, можно предположить, что выравнивание пото- ]) См. Таганов Г. И. Потери полного давления в системе криволи- криволинейных ударных волн, расположенных перед решеткой, составленном из плоских пластин // Сборник теоретических работ по аэродинамике.— М.: Оборонгиз, 1957. Описываемый метод решения задачи изложен в предыду- предыдущем издании настоящей книги (М.: Наука, 1976).
§ 11. РЕШЕТКА ПРИ ДОЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 91 ка происходит также и за решеткой. Однако все равно это не позволило бы до конца решить задачу, так как величина воз- возникающего при таком выравнивании угла отставания сама опре- определяется распределением скоростей в выходном сечении межло- межлопаточного канала. Расчеты показывают, что относительная доля потерь на вы- выравнивание потока в межлопаточных каналах весьма мала, по- поэтому с достаточной /для практики точностью можно суммарные потери приписать только потерям в системе ударных волн. На рис. 10.65 приведена зависимость относительных потерь полного давления от угла атаки для густой решетки пластин с различными значениями уг- углов установки, но при одной и той же скорости набегающего потока. При нулевом угле ата- атаки потери не зависят от угла установки О и равны по вели- чине потерям в прямом скачке. С ростом угла атаки возника- возникает различие в потерях. Чем больше установочный угол, тем Ар*=/-б OA - 03 меньше потери в системе удар- ударных волн. При i = 10° потери в решетке с Ь = 30° в два раза больше, чем с Ф = 70°. На этом же рисунке штриховой линией нанесены потери в пря- прямом скачке при числе Маха М = Мгпах. Определенные таким образом потери не зависят от угла установки пластин, а за- 0,2 0,1 г 1 : Прямий CKCWJK ipu M-Mfjj^ уС^у^Л ^ i ! i I ; 1 У-Зд°у у +^ У У * У 70° О Ю Z0 1° Рис. 10.65. Зависимость от угла атаки относительных потерь пол- полного давления в густых решет- решетках пластин с различными угла- углами установки при /V^ = 1,5 висят только от угла атаки. При больших углах установки эти иотери больше истинных потерь в системе ударных волн. Так, например, если в результате взаимодействия погранич- пограничного слоя на пластине и падающей на нее ударной волны (при «критическом» отношении давления в ней) возникает Я-образ- ный скачок, сопровождаемый отрывом пограничного слоя (рис. 10.66), то, кроме потерь в системе ударных волн, возни- возникают принципиально новые потери, связанные с наличием отор- оторвавшегося потока. Если густота решетки пластин столь велика, что оторвавшийся поток внутри межлопаточного канала пол- полностью выравнивается, то суммарная величина потерь остается такой же, как и для рассмотренного выше случая, когда влия- влияние взаимодействия пограничного слоя и скачка не учитывалось; произойдет только перераспределение потерь между зоной удар- ных волн и областью выравнивания потока. Увеличение потерь на выравнивание полностью компенсируется уменьшением по-
92 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ терь в ударных волнах, связанных с образованием системы ко- косых скачков. При обтекании решетки пластин со сверхзвуковой осевой со- составляющей скорости набегающего потока (Mie>l) мы опре- определяем суммарные потери, происходящие только в межлопаточ- межлопаточных каналах. В этом случае физический смысл имеют дозвуко- дозвуковое и сверхзвуковое течения за решеткой, причем реализация /7//A кржтт.сшш перепадом д,„е,ил в ударной ~». " S, J3' 6) редкая решетка ' одного из двух режимов, связанных условием k"tX't= 1, опреде- определяется значением статического давления р2 за решеткой При меньшем давлении р2 = рт1п поток за решеткой будет сверхзву- сверхзвуковым (Я2 = Х2>1), а при большем давлении р2 = рт!а — до- дозвуковым (А,2 = А,2< 1). Эти значения р2 отличаются друг от друга на величину прироста статического давления в пря- прямом скачке. . р При обтекании решетки пластин дозвуковым невязким пото- потоком газа при докритических скоростях потери оказываются в точности равными потерям на удар, возникающим при расшире- расширении оторвавшегося с передней кромки потока, ширина которого увеличивается, согласно уравнению неразрывности и формуле (8»), до ширины межлопаточного канала, равной «sin-ft Если в действительности, как это уже указывалось выше, при'срыве струи с передних кромок образуется вихревое течение то в этом случае суммарные потери включают в себя как потери связанные с поддержанием вихревого течения у передней кром- ьи, так и потери на последующее выравнивание потока в меж- межлопаточных каналах решетки. р Сптгы°м^еСТ«Н°Й ве?ичине ^ коэффициент равнодействующей силы может быть найден из уравнения B2), которое в рассмат-
§ 11. РЕШЕТКА ПРИ ДОЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 93 риваемом случае 6 = 0 запишется так: cn^f== 2 sin (О — i)\ [cost — -~ J ctgd — sin и, На рис. 10.67 для густой решетки пластин, в межлопаточных каналах которой поток полностью выравнивается, представлены с -к 1,0 V -— — — / 1 й у •—. -—- / У —^ / У 1Р5 1?5 0,75^ Уо <^ +*•— = ч N \ W 2,0 3,0'Г Рис. 10.67. Зависимость cnbft от угла атаки для густой решетки пластин при обтекании ее турбулентным потоком газа (д = 30°) Ъ зависимости произведения сп— от угла атаки при различных числах Маха 1). В соответствии со сказанным выше эти кривые не зависят от характера обтекания. Последнее будет приводить только к перераспределению давления при сохранении неизменным его интеграла по поверхности профиля. Иначе говоря, изменение характера течения приводит только к смещению линий действия равнодействующей при сохранении ее величины. С увеличением угла атаки до iKV равнодействующая сила сначала возрастает от нулевого значения до максимального, а затем монотонно уменьшается. С увеличением числа Mi точка максимума силы сдвигается в сторону меньших углов атаки с одновременным увеличением коэффициента силы; при некото- некотором значении числа Mi > 1 величина ^р достигает нулевого значения. !) В тех случаях, когда силовое воздействие неоднозначное {i — 0 или Mia > 1), бралось значение коэффициента сп, соответствующее максимально возможному давлению за решеткой. На нулевом угле атаки и при сверх- сверхзвуковой скорости этот режим реализуется при возникновении прямого скачка в межлопаточных каналах решетки.
94 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ волна Маха Следует особо отметить, что в случае густой решетки пла- пластин, в отличие от единичной пластины, зависимости коэффи- коэффициентов силового воздействия потока газа от числа Маха в до- дозвуковом, околозвуковом и сверхзвуковом диапазонах имеют монотонный характер. Рассмотрим теперь некоторые результаты экспериментально- экспериментального исследования сверхзвуковых диффузорных решеток, рассчи- рассчитанных на торможение сверхзвукового потока с дозвуковой осе- осевой составляющей скоро- скорости. Остановимся на опы- опытах с изолированным межлопаточным каналом, проведенных С. И. Гинз- Гинзбургом и Л. А. Сусленни- ковым. При дозвуковой осевой составляющей ско- скорости такая замена бе- бесконечной решетки еди- единичным каналом, имею- имеющим такие же передние Рис. 10.68. Сверхзвуковая решетка кли- кромки, как и у профиля вовидвых профилей, межлопаточный решетки, справедлива канал которой испытывался в изолиро- ^ ' г ванных условиях только при нулевом угле атаки и при условии, что длина 1\ прямолинейного участка выпуклой поверхности такова, что характеристика, идущая из конца этого отрезка, не выходит за фронт решетки (рис. 10.62). На рис. 10.68 изображена решетка, межлопаточный канал которой испытывался при нулевом угле атаки, при нескольких значениях чисел Mi и различных противодавлениях. Решетка W б 0,3 0,8 OJ /7,5 w с u N -*- ч P ч X к У \ \ ?>^ '&«. *-. Mi~ Ух—1 V. 135 =/,05 Рис. 10.69. Распределение относи- относительного полного давления о = = Р*/р* по шагу за межлопаточ- межлопаточным каналом при расчетном по- положении замыкающего скачка и различных числах Маха набегаю- набегающего потока: 1 — косой скачок, 2 — замыкающий прямой скачок, 3 — А-образный скачок, 4 — зона отрыва потока 0 0,1 0,Z Of Ofi 0,5 0,0 0,7 0,0 0^ \0у рассчитана на Mi = 1,5 и имеет угол заострения передней кром- кромки v = 6°. Выпуклая поверхность профиля состоит из прямо- прямолинейного отрезка и сопряженной с ним дуги окружности. Ре- Результаты эксперимента приведены на рис. 10.69, на котором показано распределение по сечению за каналом коэффициента
§ 11. РЕШЕТКА ПРИ ДОЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 95 0 — Р*2Р\ при значениях числа Mi = 1,36; 1,5; 1,65. Эти данные относятся к расчетному положению замыкающего скачка, рас- расположенного непосредственно за первым скачком. На рис. 10.69 показано, что при всех скоростях набегающего потока потери полного давления в ядре потока сравнительно невелики и близ- близки к потерям в расчетной системе скачков. С приближением к выпуклой стенке потери резко возрастают, что объясняется от- отрывом пограничного слоя за Л-образной частью замыкающего скачка и дальнейшим развитием отрыва в дозвуковой диффу- зорной части канала. Последнее обстоятельство подтверждается тем, что при испытании другого канала с такой же сверхзвуко- сверхзвуковой частью, но с существенно меньшей диффузорностью дозву- дозвукового участка (аэ = 1,5° вместо аэ *= 7°) падение полного дав- давления начинается значительно ближе к выпуклой стенке и про- происходит значительно слабее, чем у исходного канала (рис. 10.70). w б w Ц8 Рис. 10.70. Распределение пол- ного давления о = Р2/Р1 по шагу за межлопаточными ка- каналами двух сверхзвуковых решеток, отличающихся толь- только углом эквивалентного пло- плоского диффузора для дозвуко- 0,7 вон части межлопаточкых ка- каналов, при Mi = 1,5, i = 0 и максимальном противодавле- противодавлении: 1 — исходный канал, 2 — канал с уменьшенной диффу- зорностью дозвуковой части Осреднение экспериментальных данных (рис. 10.69) дает сле- следующие средние значения коэффициента потерь (Д/>гр = 1 — сгср): 0,6 ь—1 А J ч \ о о; qz oj off oj5 os oj А"^ср 1,36 0,12 1,50 0,165 1,65 0,280 Увеличение потерь полного давления с ростом скорости на- набегающего потока обусловлено как увеличением потерь в цент- центральной части потока (связанных непосредственно с потерями в системе скачков), так и ростом интенсивности отрыва погра- пограничного слоя вследствие увеличения скорости перед замыкаю- замыкающим скачком и перемещением его вниз по потоку вместе с точ- точкой падения косого скачка. Последнее характеризуется смеще- смещением к выпуклой стороне канала точки крутого падения кривой распределения полного давления по шагу за каналом (рис. 10.69). Результаты исследования другого близкого по конфигурации канала при том же расчетном числе Mi = 1,5, но при различных
96 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ положениях замыкающего скачка приведены на рис. 10.71. Наи- Наименьшие потери, как показывают графики, наблюдаются при расчетном положении скачков, когда на входе в межлопаточныи канал располагаются один косой скачок и следующий непосред- непосредственно за ним прямой замыкающий скачок (кривая 2). При уменьшении давления <по сравнению с расчетным сказок дви- движется вниз по потоку и потери начинают увеличиваться (кри- (кривая 2) сначала несущественно, а затем очень резко и доходят W б 0J3 W 0,7 ЦР 0,5 0,4 о,з \ ft, pi \ у / / \ \ щ 7 -3 Щ 'a ~ % > \ О 0,7 Off Qfi 0,6 0,7 Of 013 7,0у Рис. 10.71. Распределение относительного полного давления а = р^/р1 по шагу за межлопаточным каналом при Mi = 1,5 и различных положениях замыкающего скачка (значки и цифры на кривых показывают примерное месторасположение замыкающего скачка) до значения А/?*р = 0,64 в крайнем положении замыкающего скачка (кривая 3) вместо Ар*р = 0,05 при расчетном его поло- положении. Такой рост потерь связан с увеличивающейся интенсив- интенсивностью отрыва при движении скачка в диффузорном канале. При этом отрыв, возникающий и развивающийся у выпуклой стенки канала, приводит к ускорению потока у противополож- противоположной — вогнутой стенки и как следствие этого к уменьшению по- потерь в этой области течения (кривая 3). При некотором повы- повышенном противодавлении на входе в канал возникает один пря- прямой скачок вместо расчетной системы двух скачков. Замена двух скачков одним скачком большей интенсивности вызывает увели- увеличение потерь и в центральной, и в пристеночной частях потока (кривая 4, рис. 10.71). Последнее обстоятельство является ре- результатом взаимодействия скачка большей интенсивности с по- пограничным слоем. Экспериментальное исследование исходной сверхзвуковой ре- решетки (рис. 10.68) при углах атаки i Ф 0 проводилось Л. А. Сус-
§ И. РЕШЕТКА ПРИ ДОЗВУКОВОЙ ОСЕВОЙ СКОРОСТИ 97 ленниковым 1) на рабочем колесе с цилиндрической формой про- проточной части и с высотой лопаток, составлявших всего ОД ча- части диаметра. Для таких лопаток изменение параметров потока по радиусу столь незначительно, что им можно пренебречь и Mmffw? ттёкшжт Твчеяш нш Рис. 10.72. Мгновенные шлирен-фотографии обтекания вращающегося ко- колеса с клиновидными лопатками (вращающаяся сверхзвуковая решетка) сверхзвуковым относительным потоком рассматривать рабочее колесо как вращающуюся решетку с по- постоянными по радиусу параметрами потока. Мгновенные фотографии течения в решетке, полученные на приборе Теплера — Фуко с помощью цилиндрической оптики, приведены на рис. 10.72. !) Сусленников Л. А. О применении оптических методов для изучения течения в лопаточных венцах осевого компрессора // Лопаточные машины и струйные аппараты, вып. 1,— М.: Машиностроение, 1966. ^ Г. Н. Абрамович, ч. 2
98 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Из этих фотографий отчетливо видно, что перед решеткой имеется периодическая система ударных волн. Перед носком каждой лопатки устанавливается криволинейная ударная волна, одна из ветвей которой уходит вперед, возмущая поток перед решеткой, а другая ветвь падает на профиль соседней лопатки. Форма и положение ударных волн зависят от угла атаки. При малых углах атаки ударная волна состоит из двух вет- ветвей — одна расположена перед решеткой, а вторая входит в межлопаточный канал и представляет собой по существу косой скачок уплотнения. По мере увеличения угла атаки ударная вол- волна выпрямляется, одновременно перемещаясь вверх по потоку. При наибольшем угле атаки ударная волна близка к прямому скачку, расположенному на заметном расстоянии от передней кромки профиля. § 12. Некоторые сведения о пространственном обтекании единичного крыла и решетки крыльев В предыдущих параграфах рассматривалось обтекание кры- крыла плоскопараллельным потоком жидкости. Такое течение мо- может быть осуществлено только на крыле бесконечного размаха. Остановимся теперь на основных вопросах теории крыла ко- конечного размаха. Бесконечное крыло воздействует на обтекаю- обтекающий его поток жидкости, как бесконечная вихревая нить. Иначе \wH Рис. 10.73. Аэродинамическая схема крыла конечного размаха с П-образным вихрем постоянной циркуляции Рис. 10.74. Схема П- образных вихрей для крыла с переменной циркуляцией по раз- размаху говоря, можно считать, что в крыло как бы помещен так назы- называемый присоединенный вихрь. Как известно из гидродинамики, вихрь может оканчиваться только на границах потока или быть замкнутым. Поэтому присоединенный вихрь не может внезапно оборваться на торцах крыла конечного размаха (рис. 10.73); его свободные концы, называемые вихревыми усами, выходят
§ 12. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА И РЕШЕТКИ за пределы размаха I и, будучи подхвачены общим течением жидкости, вытягиваются по линиям тока в бесконечность Ьсли циркуляция вокруг крыла постоянна, то такое крыло конечного размаха можно заменить П-образным вихрем В дей- действительности циркуляция по крылу конечного размаха обычно изменяется, и в общем случае крыло можно заменить системой из бесконечного числа П-образных вихрей, образующих непре- непрерывную вихревую пелену (рис. 10.74), которая, как показывают лом в два вихревых уса исследования, неустойчива и за крылом сворачивается в пня вихревых уса (рис. 10.75). У крыла^рямоугГноГ|ормы вих- Гьшо 1СЫЖ ТЮТ ГЛаВНЬШ °бразом с конп-ов' поэтому такое крыло может быть заменено приближенно одним П-образным вихрем с постоянной циркуляцией. оиразным Опыты хорошо подтверждают описанную гидродинамическую ствиеУ TZ К°НеЧН0Г0 РаЗМаХа- ПрИН™аЯ в? вГмаГие деТ ствие сбегающих с концов крыла вихрей, удается установить влияние размаха крыла на его аэродинамические свойства Для этого определяется средняя по размаху крыла индук- индуктивная скорость, вызываемая вихревыми усами и обычно назы ваемая скоростью скоса потока i Можно показать что b ~TW* -in;w«; ^CTBeHH0 ДЛЯ уГЛа скоса потока Аа имеем следующую формулу теории крыла конечного размаха '): 1938. 7* ^fЛ°ЖеНИе Те°рии крыла конечного размаха в книге- Экспериментальная аэродинамика. Ч. II.-М.: Оборонгиз,
100 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Если крыло стоит в потоке под углом атаки а, то истинный угол атаки составляет (рис. 10.76) ос, = а — Да. Для крыла бесконечного размаха (X = °°) угол скоса равен нулю (Да = 0), т. е. истинный угол атаки равен кажущемуся (а). Чем меньше относительный размах крыла Л, тем больше угол скоса потока и, следовательно, меньше истинный угол атаки. В связи со скосом потока вектор подъемной силы крыла по- поворачивается на тот же угол Да, так как его направление всег- всегда перпендикулярно к истинному направлению потока (рис. 10.76). Проекция подъемной силы крыла конечного раз- размаха ]) на направление невозмущенного потока представляет со- собой силу так называемого индуктивного сопротивления: Rxi = Rfy sin Да. Переходя к безразмерным величинам и учитывая малость угла скоса (sin Да «Да), получаем формулу для определения так называемого коэффициента индуктивного сопротивления крыла конечного размаха cxi = cyAa = 5L. Таким образом, влияние конечного размаха крыла сказывается в появлении особого рода (индуктивного) сопротивления даже в случае обтекания крыла идеальной жидкостью. Ввиду того что коэффициент подъемной силы пропорциона- пропорционален истинному углу атаки, выражение для коэффициента ин- индуктивного сопротивления в дозвуковом потоке сжимаемого газа остается таким же, как в несжимаемой жидкости (при дозвуко- дозвуковой скорости вихри, сбегающие с концов крыла, по-прежнему оказывают влияние на поток вдоль всего размаха крыла). При сверхзвуковом же обтекании возмущающее действие концевого сечения крыла распространяется только внутри кону- конуса слабых возмущений с вершиной в передней кромке конце- концевого сечения. Это приводит к существенному уменьшению ин- индуктивного сопротивления, которое, вообще говоря, может быть сведено к нулю, если концы крыла срезать так, чтобы конусы возмущений, исходящие из передних кромок концевых сечений, не заключали внутри себя элементов крыла. В этом случае при сверхзвуковой скорости полета все сечения крыла будут обте- обтекаться так же, как крыло бесконечного размаха. 1) Ввиду того что углы скоса малы, подъемная сила при скосе потока почти не меняется (с'у^су)-
§ 12. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА И РЕШЕТКИ 101 Ранее при рассмотрении крыла бесконечного размаха пред- предполагалось, что течение остается плоским и что направление скорости набегающего потока нормально к передней кромке кры- крыла. Рассмотрим теперь крыло бесконечного размаха, обдуваемое под углом к передней кромке или эквивалентное ему крыло, Рис. 10,77. Косое обтека- обтекание крыла перемещающееся в воздухе с некоторым скольжением, характе- характеризуемым углом р (рис. 10.77). При этом по-прежнему будем считать, что хорда и профиль крыла постоянны вдоль размаха. Разложим полную скорость потока wi на две составляющие: параллельно передней кромке и нормально к ней. Параллель- ная размаху крыла составляю- составляющая скорости wi cos [} при обте- обтекании крыла не изменяется и поэтому не влияет на распре- распределение давления по крылу, которое определяется только нормальной составляющей ско- скорости wi sin p. Итак, скольжение крыла асу dec 1=3,0 :c=1Z°/o ц 1 и п ? 1*0" 1 1 г 1 г» / ч '* f ч 1 \ I Ц6 0,7 0,8 0,9 М * - Рис. 10.78. Влияние стреловидности оесконечного размаха не влия- крыла с дозвуковым профилем на ет на распределение давления зависимость производной dcy/da от по его поверхности. Следова- числа Mi < 1 тельно, числом Маха, опреде- определяющим характер обтекания крыла, является уже не число Mi = wi/au а эффективное число Маха = Mi sin Результаты эксперимента (рис. 10.78) действительно пока- показывают, что при сохранении формы профиля крыла и его удли- удлинения удается путем расположения крыла под углом [} = 40° к набегающему потоку существенно увеличить значение dcjda в диапазоне чисел Маха 0,8—0,9. Таким образом, придавая крылу стреловидную форму, мож- можно, например, затянуть момент возникновения волнового кри-
102 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ зиса у крыла с данным профилем на большие числа Mi. Этот способ уменьшения сопротивления нашел широкое применение в практике современного самолетостроения. Заметим, что при появлении на стреловидном крыле местной сверхзвуковой зоны течения, замыкаемой скачком уплотнения, последний является косым скачком, фронт которого приблизи- приблизительно параллелен передней скошенной кромке крыла. Поэтому волновое сопротивление стреловидного крыла меньше, чем у прямого крыла. Наличие составляющей скорости вдоль размаха стреловид- стреловидного крыла вызывает перемещение в этом же направлении по- пограничного слоя. Это приводит к ухудшению обтекания и к уменьшению критического угла атаки у концевых профилей. На практике для устранения этого вредного влияния вязкости применяют «гребешки»—выступы, располагаемые вдоль хорды и препятствующие перетеканию пограничного слоя. Рассмотрим теперь некоторые вопросы пространственного те- течения жидкости в лопаточных машинах. В тех лопаточных машинах, венцы которых работают в прак- практически безграничном потоке (воздушные и водяные винты, вет- ветряки), с концов их лопаток, так же как и в единичном крыле конечного удлинения, сбегают присоединенные вихри. В резуль- результате возникает дополнительное индуктивное сопротивление, вы- вычисление которого по сравнению с единичным крылом ослож- осложняется наличием взаимной интерференции между сбегающими с конца каждой лопасти вихревыми усами *). Такого рода вихревые усы не могут возникнуть в турбома- гаинах других типов (осевые компрессоры и вентиляторы, осе- осевые турбины), отличающихся тем, что их лопатки ограничены с торцов поверхностью кольцевого канала 2). В результате этого индуктивное сопротивление или совсем не возникает, или оно имеет второстепенное значение. Пространственный характер течения в лопаточных машинах рассматриваемого типа сказывается в основном в тех ограниче- ограничениях возможного распределения параметров потока по высоте лопатки, которые налагаются, например, той или иной принятой формой поверхностей тока 3). Трение на стенках кольцевого ка- канала, особенно в области межлопаточных каналов, приводит к усилению влияния вязкости на характер пространственного течения. *) Жуковский Н. Е. Вихревая теория гребного винта.— М.: Гостех- издат, 1950. 2) Весьма малыми радиальными зазорами между поверхностью коль- кольцевого канала и торцами лопаток рабочих колес — вращающихся лопаточ- лопаточных венцов — можно пренебречь. 3) Подробнее см., например, Гинзбург СИ. Элементы газовой ди- динамики компрессоров и турбин (М.: Гостехиздат, 1953), а также гл. IX во втором издании книги.
§ 12. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА И РЕШЕТКИ В качестве наиболее простого примера, имеющего непосред- непосредственное отношение к явлениям, происходящим при обтекании потоком вязкой жидкости неподвижных лопаточных каналов рассмотрим обтекание решетки прямых (лопаток) постоянно™ профиля, ограниченных двумя параллельными плоскостями нор- нормальными к образующим (рис. 10.79). ' В случае идеальной невязкой жидкости рассматриваемое те- течение является плоским. Это означает, что по всей высоте ло- лопатки, в том числе и по пло- плоскостям, ограничивающим решетку, имеется один и тот же двумерный поток, не зависящий от величины уд- удлинения Я = lib лопаток, со- составляющих данную ре- решетку. При обычных углах ата- атаки давление на выпуклой стенке профиля всегда мень- ~ ~ ше, чем на вогнутой В по- Рис* 1079- Обтекание потенциальным токе невязкой жиггкпг™ тт потоком Решетки крыльев конечного юке невязкой жидкости и удлинения, расположенных между дву- газа этот градиент давления мя параллельными плоскостями полностью уравновешива- уравновешивается центробежной силой, возникающей при движении частиц, по криволинейным траекториям (рис. 10.80): Здесь R — радиус кривизны линии тока в данной точке С уче- учетом того, что Am = pAnAF, имеем 1 dp _ ц>2 р дп ~ R • Как уже указывалось, при безотрывном обтекании влияние вяз- вязкости ограничивается тонким поверхностным слоем. Вне этого слоя течение мало отличается от течения идеальной жидкости отсюда следует, что влияние вязкости почти не сказывается на течении в средних сечениях — оно остается практически невоз- невозмущенным. Наибольшие нарушения течения произойдут в пограничном- слое плоских стенок, ограничивающих поток. Уменьшение ско- скорости в этом слое приведет к тому, что градиент давления ко- который в пограничном слое остается таким же, как в ядре тече- течения, уже не будет больше уравновешиваться центробежной си- силон. Вследствие этого в пограничном слое начнется перетекание жидкости в_ направлении градиента давления от вогнутой стенки к выпуклой. Интенсивность этого перетекания возрастает по мере приближения к стенке. Действительное наличие такого пе-
104 ГЛ. X. ЭЛЕМЕНТЫ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ПРОФИЛЕЙ Линия тот Рис. 10.80. Течение в плоском кри- криволинейном межлопаточном канале Рис. 10.81. Шлирен-фотография течения в пограничном слое на боковых оптических стеклах, ог- ограничивающих межлопаточный канал активной сверхзвуковой решетки ретекания газа по боковым стенкам межлопаточного канала подтверждается фотографией (рис. 10.81), полученной А. М. До- машенко, Ю. Б. Елисеевым и М. Ф. Жуковым при продувке ак- активной сверхзвуковой решетки (см. § 10 настоящей главы). Этот снимок сделан непосредственно после окончания работы аэро- аэродинамической трубы. На снимке видны сле- следы влаги, скондесировавшейся на боковых стенках — оптических стеклах — и представ- представляющие собой линии тока в пограничном слое. Попадая по плоским стенкам, ограничи- ограничивающим межлопаточный канал, на выпук- выпуклую сторону профиля, часть жидкости или газа будет уноситься основным потоком. В результате у верхней и нижней поверх- поверхностей возникнут два вихря одинаковой ин- интенсивности, но с противоположным враще- Рис. 10.82. К образо- образованию парного вихря при обтекании вяз- нием (рис. 10.82). Такая система вихрей ким потоком решет- называется парным вихрем. Затрата энергии на вихреобразование приводит к потерям полного давления, т. е. к возникновению до- дополнительных так называемых вторичных потерь. На рис. 10.83 приведено распреде- распределение коэффициента потерь по высоте лопатки для активной и конфузорной решеток1). В средней части лопатки потери свя- ки крыльев, располо- расположенных между дву- двумя параллельными плоскостями *) Дейч М. Е., Самойлович Г. С. Основы аэродинамики осевых турбомашин.— М.: Машгиз, 1959,
§ 12. ПРОСТРАНСТВЕННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА И РЕШЕТКИ 105 заны только с обтеканием профиля и поэтому постоянны по вы- высоте. Они называются профильными. Потери, связанные с вих- реобразованием, и течение у стенок имеют локальный характер и до некоторого минимального значения удлинения не зависят t=0,7Z \ I v- ,— J у 1 10 15 6 ZO Z,MM Рис. 10.83. Распределение потерь по размаху крыла в решетке: а) активная решетка с Я = 2,25; б) конфузорная решетка с X = 1Э2; z — расстояние от среднего сечения от него. Иначе говоря, относительная доля концевых потерь ли- линейно уменьшается с ростом удлинения. По мере уменьшения удлинения вихревые области сближаются, и при некотором Кт1п обнаруживается только одна область повышенных потерь, рас- расположенная в средних сечениях лопатки. На рис. 10.84 приве- приведена зависимость Хтт от величины График на рис, 10.84 показывает, что с увеличением Арг происходит падение Ятш, что косвенно свидетельствует об умень- Ри«\ 10.84. Зависимость эт Ар 2 минимального удлинения крыльев ре- решетки A,min, При КОТО- КОТОРОМ происходит смыка- смыкание вторичных течений 'ттп Iff 7 w \ \ чУ чх А Решетки вШм&окапраА щего аппарата Конфузорные решетки 'то- 0 Активные решетки "•Ч 1 tp qp qp интенсивности вихреобразования из-ui уменьшения тол- щивы пограничного слоя. При уменьшении Д/?2, особенно когда )та величина становится отрицательной, а течение диффузор- ным, наблюдается обратный эффект.
Глава XI ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА § 1. Изменение параметров газа в изоэнтропическом гиперзвуковом потоке Течения газа со скоростью, значительно превосходящей ско- скорость звука, называемые гиперзвуковыми течениями, обладают рядом отличительных особенностей. Выразим в явном виде влияние изменения скорости течения на основные параметры газа. В единичной струйке газа при отсутствии потерь и внешней работы имеем dp = —pwdw. Отсюда с помощью известного выражения для скорости звука C4) гл. I получаем соотношение, связывающее изменение дав- давления с изменением скорости, 1?.^_.ЛМ«^-. A) р w ч ' Уравнение сохранения теплосодержания струйки при адиаба- адиабатическом течении можно представить в виде После несложных преобразований отсюда следует f -2-f —<*-1)М«?. B) Дифференцируя уравнение состояния совершенного газа и используя соотношения A) и B), получаем аналогичную зави- зависимость для изменения плотности Но dp dT ' ' kA2dw . /Qv Дифференцируя равенство w = Ma и выражая скорость звука через температуру газа, находим с помощью B) соотношение "иг: D) - ;: Соотношения, A)— D) доказывают, что при дозвуковых ско- скоростях (М < 1) происходит .незна'чит^лъное изменение давления,
§ i. ИЗМЕНЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ В ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ Ю7 плотности и температуры газа с изменением скорости, а число Маха зависит от скорости линейно. Наоборот, при гиперзвуковых скоростях (М>1) даже небольшое изменение скорости течения ведет к заметному изменению состояния газа и числа Маха. При М>1 в правой части выражения D) можно пренебречь единицей, тогда имеем dM ^ к — 1 дд2 dw ,-v "М~ ~ 2 ~мГ* ' ' Исключая из A) и E) множитель dw/w и выполняя интег- интегрирование, получаем характерную для гиперзвуковых течений зависимость давления от числа Маха 2k р __ /Мн Из B) и E) аналогичным путем выводится зависимость тем- температуры от числа Маха G) откуда следуют соответствующие выражения для скорости звука -к-% <8) и плотности газа 2 ¦р"= (т^Г1' (9) Интегрируя выражение (о), устанавливаем связь между ско- скоростью потока и числом Маха JL ~ 1 ^l (Л L 1 [ /ю^ "?н V М2 М2 ) к — i v у При выводе уравнения A0) функция In ~ была разложена и ряд по степеням (~ l/i причем ввиду близости отношения ~ к «'дпнпце все нелинейные члены этого ряда были отброшены. и Этот же результат получается из условия сохранения полной энтальпии. Он справедлив при М|^>^^ . В выражениях F)—-A0) величины без индексов соответству- соответствуют текущим значениям параметров газа, а величины с индексом ш>>— их начальным значениям,
108 ГЛ.. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА § 2. Гиперзвуковое течение около выпуклого тупого угла Рассмотрим особенности течения с очень большой скоростью около выпуклого тупого угла — гиперзвукового течения Прандт- ля — Майера (рис. 11.1). Секундная масса газа между произ- произвольной линией тока и полюсом течения О постоянна и может быть вычислена по нормальной к характеристике составляющей скорости, которая равна скорости звука par = const. Отсюда после дифференцирования имеем dp da dr р ' а ~*~ г (И) Угол Маха (между линией то- тока и характеристикой) в случае гиперзвуковой скорости (М>1) определяется следующей приближенной зависимостью: 1 1 a = arc sin м м • A2) Если б — угол отклонения потока от первоначального направле- направления, а # — угол между заданной характеристикой и первона- первоначальным направлением потока, то, очевидно, ' м ' A3) Здесь принимается во внимание, что направления отсчета углов а и б противоположны (а > 0, б < 0, так как отсчет ведется против часовой стрелки). Из рис. 11.1 видно, что — ctg а = — М, так как при М>1, согласно iA2), ctg а ляя A4) в (И), имеем A4) = М, Подстав- р ' а ' откуда на основании B), C) и E) получаем к— 1М2 Интегрируя это уравнение и учитывая соотношения A2) и A3) при условии, что начальному значению а = ан отвечает
§ 2. ГИПЕРЗВУКОВОЕ ТЕЧЕНИЕ ОКОЛО ТУПОГО УГЛА Ю9 бн = 0, получаем для гиперзвукового течения следующую связь между числом Маха и углом отклонения потока: здесь М и Мн — текущее и начальное значения числа Маха. Раз- Разрешая уравнение A5) относительно текущего значения числа Маха ^ A5а) и подставляя это значение в выражения F) — A0), получим фор- формулы для определения текущих значений давления, плотности температуры, скорости звука и скорости потока при гиперзвуко- гиперзвуковом обтекании выпуклого тупого угла. В частности, для давления имеем 2fe _Е._A+^„квр. Aб) Расчеты показывают, что все полученные таким образом фор- формулы точны при Мн > 5. Предельный угол отклонения потока бпр соответствует рас- расширению газа до полного вакуума (р = 0). Тогда из A6) имеем 2 Напомним, что при отклонении потока по часовой стрелке угол считается отрицательным (б < 0). Как видим, произведение угла отклонения потока на началь- начальное значение числа Маха Мнб, которое входит во все расчетные формулы как слитная величина, являет- является основным параметром, определяющим данное течение. Если ограничиться случаем малого отклонения потока около выпуклого ту- тупого угла и представить изменение пол- полной скорости как возмущение, характери- Рис И2 Схема векто зуемое появлением двух дополнительных ров' СКОрости и возму- составляющих скорости и и v, то, как щений при отклонении следует из рис. 11.2, потока около выпуклого угла wa + и = w cos б, v = w sin б. A8) При малых углах отклонения потока cos б ~ 1 — 62/2, sin 6 ~ б, поэтому ) w v w8 A9)
110 ГЛ. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Отсюда с помощью A0) и A5а) получаем ^=_^ + ^±1|б2, -?- = 6. B0) В первом из этих выражений отброшены вследствие малости члены с множителями б3 и б4, во втором — с множителями б2 и б3. Как видим, в гиперзвуковом течении около выпуклого угла поперечное возмущение скорости потока по крайней мере на по- порядок превосходит продольное возмущение (и>и). Это значит, что при течении происходит как бы смещение частиц по норма- нормали к направлению невозмущенного потока, величина же про- продольной скорости практически не изменяется. § 3. Плоская ударная волна в гиперзвуковом течении Остановимся теперь на соотношениях, характеризующих пло- плоскую ударную волну, возникающую при обтекании с гиыо-рзву- ковой скоростью вогнутого тупого угла. В плоской косой ударной волне изменение плотности, согласно D7) гл. III, будет к + 1 ?- i'"'. ¦ <21> -f-/c-lM|sm2a Здесь a — угол наклона фронта ударной волны к вектору ско- скорости wn. Изменение давления в такой волне, согласно D5) гл. ИГ, р 2к кА2 . о k — i -JL- = 7 i л Мн siir a — , , t ИЛИ ^н * + * к + * B2) . а 1 Зависимость угла отклонения потока в ударной волш> от yj.ia наклона фронта а определяется из E0) гл. III B3) где ,3 — угол между вектором скорости за ударной волной фронтом последней. Отсюда получаем после элементарных преобразовании tg со - ctg a • -hi -"»- Ml)
§ 3. ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА В ГИПЕРЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ 111 Из B1) и B2) с помощью уравнения состояния можно вывести соответствующие зависимости для отношения температур и зна- значений скорости звука в ударной волне. Возмущения скорости в ударной волне (a, v) найдем из оче- очевидных соотношений и = w cos со — wHi v — w sin со, B5) причем в соответствии со схемой отклонения скоростей в удар- ударной волне (рис. 11.3) имеем и = и\ /cos a cos со 4 cosp cos a v = гиИ тг sin со. B6) Заменяя cos [} = cos (a—со), после элементарных преобразований получаем sin а~~ 1 гг = — wH \ B7) В достаточно интенсивных скачках уплотнения (р/рв ^ 10) всегда имеет место неравенство sina>^. B8) Из соотношений B4) и B8) следует, что при гиперзвуковых ско- скоростях (Мн > 5) угол наклона фронта скачка а близок к углу отклонения потока в скачке со, в связи с чем слой уплотненного газа, расположенный между фрон- фронтом скачка и поверхностью тела, оказывается очень тонким (при к¦ •-> 1: а ->¦ со). При любом сколь угодно ма- малом фиксированном значении уг- угла отклонения потока со можно * достичь такого значения числа Маха, при котором условие B8) будет выполнено. Следовательно, в соотношениях B1) г— B7) можно пренебречь членами 1/Мн, и тогда окажется; "что безраз- безразмерные значения возмущений скорости u/wai v/wA, безр^азмерная плотность р/рн и угол наклона фронта скачка а не зависят от Ми, а безразмерные значения давления р/рн (и температуры Рис. 11.3. Схема отклонения по- потока в ударной волне
112 ГЛ.. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА TJTB) пропорциональны величине и 2 Р-Рк ' А+1 а, — = sin2 а или — = Рн к + 1 2к к + 1 2 sin а cos a, н sin2 а, B9) Р _^к + 1 Рн *-!' tgco = г sin a cos a 2 "А+1 sin а Таким образом, при больших гиперзвуковых скоростях в об- области за интенсивными скачками уплотнения наблюдается неко- некоторое предельное состояние газового течения, при котором ха- характеризующие его безразмерные параметры и аэродинамические • Цилиндр с конической головной частью 3 2 4 6 8МИ Рис. 11.4. Зависимость коэффициентов сопротивления сферы и цилиндра с конической передней частью от числа Маха коэффициенты не зависят от значения числа Мн. Аналогичные особенности газового течения мы наблюдали при очень малых — дозвуковых — скоростях (Мн«0), когда также свойства потока не зависят от значения Мн (несжимаемая жидкость). Опыты показывают, что указанное предельное состояние га- газового течения (при Мн -*• °°) достигается практически при срав- сравнительно умеренных значениях числа Мн. Об этом свидетельствуют, например, экспериментальные за- зависимости коэффициентов сопротивления сх(Мв) сферы и ци- цилиндра с конической головной частью, изображенные на рис. 11.4; как видим, уже при Мн = 3—4 значения сх весьма близки к асимптотическим, соответствующим Мн ->¦ °°; стабильность значе-
§ 3, ПЛОСКАЯ УДАРНАЯ ВОЛНА В ГИПЕРЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ ИЗ ний аэродинамических коэффициентов свидетельствует о неиз- неизменности всей картины течения газа вблизи тела. Общее строгое доказательство указанной автомодельности те- течений с большой сверхзвуковой скоростью было дано впервые С. В. Валандером в 1949 г.1). Если ударная волна недостаточно интенсивна, т. е. угол от- отклонения потока со в ней мал, то при гиперзвуковой скорости угол а также мал; производя замены sin a « a, sin со « со, cos а « 1, cos о « 1, и обозначая аМн = Ка, соМн = Ки, получим из B4) -к "=% / C0) откуда при а < 1 л:в - * + *яш + /p+Li^J +1. C1) Соответственно из равенства B1) получаем из равенства B2) из равенств B7) Найдем теперь число Маха за скачком уплотнения АА2 АЛ2 W% Рн Р /4ri\ М^ = Мн — — —, (*5о) M?J ^ РН Как следует из C4), в случае гиперзвукового течения отно- относительная скорость газа на скачке при малом угле последнего почти не изменяется (w&wB). Тогда из C5) с помощьф C2) 1) См. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой ско- скоростью.— М.: Физматгиз, 1960, 5 Г. н. Абрамович, ч, %
114 ГЛ.. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА и C3) получаем В предельном случае, когда Мн .-*• °°, имеем М->Ш=L=. а У 2k (к — 1) При Мн ->• оо, согласно C1), а = со(& + 1)/2, поэтому 2 C7) /с (к — 1) * V ' Иначе говоря, в случае Мн -*¦ °° при малых углах наклона скачка а число Маха за скачком будет очень большим. Если скачок имеет небольшую интенсивность, то числа Маха перед и за скачком при гиперзвуковой скорости имеют значения одного и того же порядка. При рассмотрении течения Прандтля — Майера (§ 2) мы представили все параметры в функции утла отклонения потока, тогда как для течения за ударной волной найдены зависимости, содержащие угол самой ударной волны. Пользуясь выражениями C0) и C1), получаем C8) или для сильных возмущений (Мнсо > 1) . C9) Подставляя C9) в формулы C1) —C4), можно представить изменения давления и?йлотности в ударной волне, а также вели- величины возмущений скорости в функции угла отклонения потока (угла.встречи потока с поверхностью тела). Из. этих зависимостей следует, что при гиперзвуковых скоро- скоростях в плоской косой ударной волне изменение параметров опре- определяется (как и в течении Прандтля — Майера) одним критери- критерием Z(o = Мн(о —произведением числа Маха на угол: отклонения потока.
§ 4. ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНЫ 115 § 4. Гиперзвуковое обтекание плоской пластины при малом угле атаки Полученные в §§ 2 и 3 выражения дают возможность выве- вывести простые формулы для коэффициентов подъемной силы и ло- лобового сопротивления пластины, обтекаемой газовым потоком большой сверхзвуковой скорости при малом угле атаки. Коэффициент полной аэродинамической силы, направленной перпендикулярно к пластине, равен р'-р" 1р> р"\ 2 с~ „,« -\ря рн) ш|- Ря — Здесь уменьшаемое есть безразмерное давление на нижней сто- стороне пластины (за скачком), равное, согласно C3), Вычитаемое в правой части равенства D0) представляет со- собой безразмерное давление на верхней стороне пластины (как при обтекании выпуклого тупого угла), которое на основании A6) при б = —со имеет вид Преобразуя с помощью полученных выражений равенство D0) и используя C8), получим Ксли угол атаки пластины со равен пли больше предельного угла поворота потока в течении Прандтля — Майера, который определяется A7), то на верхней стороне пластины устанавли- устанавливается полный вакуум. В этом случае величина, стоящая в квад- квадратной скобке выражения D1), равна нулю. При малых углах атаки коэффициенты подъемной силы с, и лобового сопротивления сх связаны с коэффициентом полной аэродинамической силы следующим образом: су = с cos со « с, сх — с sin <о ~ со) ^ суо. D2) При М„ -> ж имеем 8*
116 ГЛ. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Как видим, аэродинамические коэффициенты при очень больших значениях Мн и при малых углах атаки весьма малы и, кроме того, не зависят от величины Мн; в общем случае эти коэффици- коэффициенты зависят от критерия Ка. § 5. О гиперзвуковом обтекании тонких заостренных спереди тел Результаты, полученные в §§ 2—4, могут быть применены непосредственно к расчету гиперзвукового обтекания тонкого заостренного спереди тела, так как течение у поверхности такого тела представляет собой либо течение за косой ударной волной (при положительном угле отклонения потока), либо в плоской задаче течение Прандтля — Майера (при отрицательном угле от- отклонения потока). Как уже было показано выше, в таких случаях при малых углах заострения тела и малых углах атаки основной критерий подобия представляет собой произведения числа Маха набегаю- набегающего потока Мн на некоторый характерный угол т. Под т может подразумеваться угол отклонения потока т = со (угол наклона поверхности тела к набегающему потоку) или относительная толщина тела т = d/l (отношение максимального поперечного размера к длине тела), так как в случае тонкого тела эти вели- величины пропорциональны. Тонкие заостренные тела, у которых критерий Кх = Мнт = idem, будем в дальнейшем называть аф- финно-подобными. Ясно, что сохранение аффинночподобного обте- обтекания тела при изменении угла атаки б достигается в том слу- случае, если последний пропорционален характерному углу тела, т. е. при условии 6/r = idem. Итак, относительные величины скоростей, коэффициенты аэродинамических сил и другие факто- факторы, характеризующие гиперзвуковое обтекание тонкого тела, со- сохраняют свои значения, если не изменяются величины Мнтиб/т. Это подтверждается опытными данными, приведенными на рис. 11.5, на котором изображены кривые безразмерных значе- значений избыточного давления на поверхности цилиндра с оживаль- ной головной частью, полученные при разных значениях числа Маха и для различных величин относительной толщины ожя- вальной части (при нулевом угле атаки). Как видим кривые распределения давлений универсальны при Мн = var и т = var, если выдерживается условие аффинного подобия: Мнт=^ет. В монографии Г. Г. Черного показано, что область действия закона подобия для гиперзвукового обтекания тонкого тела ожп- вальной формы приблизительно определяется следующими гра- границами: Мн>2, t = -j-<0,5.
§ 5. ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ЗАОСТРЕННЫХ ТЕЛ Ц7 Заметим, что область применимости закона подобия значи- значительно расширяется, если в качестве критерия подобия вместо величины Мнт взять величину т У М|—1. Выше было показано, что при гиперзвуковом обтека- обтекании тонкого тела продольное возмущение скорости ничтож- ничтожно I и < w I, а поперечная ско- скорость пропорциональна углу наклона поверхности тела v = %w. Иначе говоря, тонкое тело раздвигает слои обтекающего его газа таким образом, как будто в каждом слое (независи- (независимо от соседних слоев) происхо- происходит вытеснение газа непрони- непроницаемым подвижным поршнем в направлении, перпендикуляр- перпендикулярном к направлению движения тела. Если всю область обтека- обтекания разбить плоскостями, пер- перпендикулярными к скорости набегающего потока на мно- множество слоев, то в каждом из них будет наблюдаться неуста- неустановившееся движение, направ- направленное только параллельно этим плоскостям. Эта особенность гиперзву- гиперзвуковых течений получила на- название закона плоских сечений, с помощью которого нетрудно определить лобовое сопротив- сопротивление тела, равное работе рас- расширения соответствующей фор- формы эквивалентного поршня, совершаемой над газом в слое за время прохождения тела сквозь этот слой. Контур порш- О Рис. 11.5. Распределение давления при обтекании потоком с большой сверхзвуковой скоростью аффинно- подобных тел ня в каждый момент времени и нормальная скорость его точек определяются формой тела, а давление на его поверх- поверхности отыскивается из решения соответствующей задачи о неус- неустановившемся движении газа 1). ]) Подробнее о применении закона плоских сечений см. в цитированной монографии Г. Г. Черного.
118 ГЛ. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Аэродинамическая тень § 6. Закон сопротивления Ньютона Значительный накопленный опыт показывает, что для расче- расчета сопротивления тела при гиперзвуковом обтекании можно ис- использовать закон сопротивления Ньютона, полагавшего, что дви- движущаяся жидкость состоит из одинаковых частиц, заполняющих равномерно пространство и не взаимодействующих друг с дру- другом; при столкновении с телом частицы теря- теряют нормальную к по- поверхности тела состав- составляющую количества движения (неупругий удар), вследствие чего появляется сила давле- давления потока на тело. Избыточное давление жидкости на участки тела, расположенные позади его наиболыпе- Рис. 11.6. Обтекание тела, соответствую- соответствующее модели! Ньютона го поперечного сечения, т. е. в аэродинамической тени (рис. 11.6), Ньютон считал равным нулю. Если элемент поверхности тела площадью dF наклонен к на- набегающему потоку под углом со, то масса газа, в которой проис- происходит потеря количества движения, равна pw sin cod/7, а нор- нормальная («потерянная») составляющая скорости есть u?sin со, поэтому нормальная составляющая силы давления но закону Ньютона а местное увеличение давления газа dP 2 . ., .,,. Р-Рн-^-P^sin-to. С") В общем случае обтекания тела предположение Ньютона, разумеется, не оправдывается в связи с тем, что возмущение, вызванное телом в потоке, распространяется на большое расстоя- расстояние от тела и постепенно с удалением от тела ослабляется, т. е. соседние струйки газа имеют разные направления и величины скоростей. Однако при обтекании тела с большой сверхзвуковой скоростью закон Ньютона становится справедливым, так инк н )гом случае ударная волна располагается близко к поверхности гола и все струйки до ударной волны имеют одинаковые наорав ленде и величину скорости (невозмущенного потока), а за удар- ударной волной движутся в тонком слое между нею и телом и при- приобретают скорости, параллельные поверхности тела. Чем больше число Маха и тоньше тело, тем ближе к действительности тео- теория Ньютона, Вместе с тем следует отметпть, что даже в ш>о
§ 6. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА 119 дельном случае М -*- оо закон Ньютона отвечает точному реше- решению задачи только при к = 1 и R = °° 1). Если кФ 1, то закон Ньютона неточен даже при М ->¦ оо, так как при этом из точного решения B9) имеем tga Р — Рн = a, tg со = 2 cos2 а D5) Однако практический расчет распределения давления по по- поверхности тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком, с помощью 0,75 0,05 Мц—6,9 6,7° \ -^ 70" J ^Пофс И тона 60 120 Рис. 11.7. Распределение давления по окружности конуса, обтекаемого по- потоком под углом атаки. Сравнение формулы Ньютона и экспериментальных данных закона Ньютона дает во многих случаях удовлетворительные ре- результаты. На рис. 11.7 показано безразмерное давление /_ Р-РЯ\ в различных точках поверхности конуса с центральным углом 20° (со = 10°), обтекаемого потоком воздуха с Мн = 6,9 под уг- углом атаки б =6Д7°. Кривая на рис. 11.7 рассчитана по формуле Ньютона D4). Как видим, экспериментальные точки лежат до- достаточно близко к теоретической кривой. Пригодность формулы Ньютона для расчета давления на те- теле, свидетельствующая о том, что локальная картина обтекания определяется местным «углом встречи» поверхности тела с не- невозмущенным потоком, привела к мысли о возможности расчета гиперзвукозого обтекания .заостренного тела по методу касатель- ]) R — радиус кривизны тела,
120 ГЛ.. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА ных клиньев (для осесимметричного тела — касательных кону- конусов). В этом методе, предложенном С. В. Валандером в 1949 г., предполагается, что местное давление в любой точке на поверх- поверхности произвольного тела такое же, как на клине (конусе), касательном к поверхности в этой точке. Метод касательных клиньев (конусов) менее удобен, чем формула Ньютона, так как в общем случае зависимость давле- давления на клине от его угла представляется в неявной форме, а на конусе она определяется лишь численными методами. Однако в гиперзвуковом приближении эти зависимости, как было показано в § 3, удается получить в явной аналитической форме. Было замечено, что можно добиться значительно лучшего совпадения расчетных и экспериментальных данных, если сле- следующим образом видоизменить формулу Ньютона: - - S1IT О) рр D6) здесь р% — безразмерное давление в передней точке тела, кото- которое легко вычислить по теории сверхзвуковых течений идеально- идеального газа при заданном щ— угле между касательной к контуру р 60 90ю Рис. П.8. Распределение давления но поверхности обтекаемых в upoin.ii>- пом направлении цилиндров с головной частью в виде эллипсоидов »wa- щения •nvia в )той точке и направлением набегающего потока; <о .ша- тпшный угол в лроизвольной точке контура. На рис. 11.8 дано распределение давления по иоверхочгги симметричных продольно-обтекаемых цилиндров разли шой длпбы с эллипсоидной головной частью при М =¦ 4; оплоггшая линия, рассчитанная по уточненной формуле Ньютона D6), ауо- ходит близко к экспериментальным точкам.
§ 6. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА 121 На рис. 11.9 представлена картина распределения давлений по длине конуса со сферической головной частью радиуса R (центральный угол раскрытия конуса 2со = 80°) при значениях числа Маха М = 5,6—5,8; кривая, рассчитанная по формуле D6), проходит близко к экспериментальным точкам. Заметим, что расчеты по формуле Ньютона дают хорошие результаты для тел выпуклой формы; в случае тел вогнутой формы расчетные значения сил давления получаются занижен- заниженными. Это объясняется тем, что в действительности слой газа, 0,8 ч л \ V \ Х/\ ( \ V 8 д в д а М=5,Ь о Д 8 д 57 5.8 д 2.0 3,0 f Рис. 11.9. Распределение давления по поверхности конуса со сферической головной частью заключенный между ударной волной и поверхностью тела, не бесконечно тонок, поэтому при криволинейной форме этого слоя возникает градиент давления по его толщине; разность давле- давлений на поверхностях тела и ударной волны порождена центро- центробежной силой, учтя которую, можно получить поправку к фор- формуле Ньютона, которую впервые ввел Буземан. С помощью формулы Ньютона удается решить задачу о фор- форме тела наименьшего сопротивления при некоторых заданных условиях (при заданных объеме и длине тела или при задан- заданных площади наибольшего сечения и длине и т. д.). Для решения такой задачи нужно прежде всего составить выражения для сил, действующих на тело. Проекция элементарной силы давления на направление дви- движения—лобовое сопротивление, согласно D3), dPx = dP sin со = рн^| sin3 со dF,
122 ГЛ., XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА откуда полная сила сопротивления F Fy Рх = рн1^н j sin3 (x>dF = рн^н j sin2 со dFy, D7) о о где F — поверхность тела, Fy — ее проекция на плоскость, нор- нормальную к направлению движения. Поперечная составляющая элементарной силы давления — подъемная сила с1Ру — — PwWn sin2 со cos со dF. Отсюда полная величина подъемной силы Ру = — Рн^н J sin2 со cos со dF = — рн^н J sin со cos со dFy. D8) о о Задаваясь той или иной формой зависимости угла наклона поверхности от длины, можно произвести интегрирование D7) и D8) и получить аналитические зависимо- зависимости, которые затем использовать, в частно- частности, для отыскания оптимальных значений геометрических параметров тела при каких- либо заданных условиях путем решения за- задачи на минимум величины Рх. С помощью формулы Ньютона нетрудно, например, показать, что при гиперзвуковом обтекании затупленный конус с меньшим боковым углом может иметь меньшее сопро- сопротивление, чем заостренный конус с боль- Усечен- ншм углом (рис. 11.10). Если «площадка» в носовой части затуп- шн Рис. 11.10. ный и полный кону- конусы равной длины с ленного конуса имеет радиус г и его боко- ^ныГс^енияГ1" ««и У™* <¦>*' а У «°СТР°ГО» К0НУса той ж| длины и того же максимального радиуса Н боковой угол coi, то согласно D7) отношение сил лобового со- сопротивления этих тел составляет где sin2 co2 = Л2 sin2 со, -т2, sin2cox = Подставляя эти выражения и вводя безразмерные обозначения х = x/R, r = r/R, получим окончательно
§ 6. ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ НЬЮТОНА 123 Приравнивая нулю первую производную функции /, найдем оп- оптимальную величину радиуса гоат, которому соответствует мини- минимум значения этой функции, т. е. минумум сопротивления гопт = 1 + 0,5г2 - Ух2 + 0,25*4. Например, при х = 1 имеем гопт = 0,38 и /mln = 0,76, т. е. со- сопротивление оптимального усеченного конуса оказывается на 24 % меньше, чем у обычного конуса той же длины. Решая тем же методом эту задачу для клина, можно убе- убедиться в том, что по расчету «оптимальный» усеченный клин по- получается лишь при х<1 (со>45°), т. е. при столь большом центральном угле раскрытия, что, по-видимому, теряется прак- практическая значимость решения. Остановимся теперь на упоминавшейся выше поправке Бузе- мана к формуле Ньютона для случая обтекания криволинейной поверхности. Ввиду того что слой газа, состоящий из частиц, заключенных между поверхностью тела и ударной волной, не бесконечно тонок, давление непосредственно за волной при кри- криволинейной траектории частиц не равно давлению на поверхно- поверхности; разность этих давлений вызвана действием центробежной силы. В элементарном слое толщиной d8 эта разность давлений, очевидно, равна dd тде R — радиус кривизны слоя, р, w — значения плотности газа и скорости движения в слое (вдоль линии тока). Из условия неразрывности имеем Здесь I — ширина слоя по нормали к плоскости рисунка, Fy — площадь сечения тела плоскостью, нормальной к направлению набегающего потока. Подставляя значение d8 из этого равенства в предыдущее, имеем Здесь и ниже радиус кривизны линии тока и угол скачка заме- заменены радиусом кривизны и углом наклона тела. После интегрирования получаем изменение давления поперек слоя за счет центробежной силы Foy Составляющая скорости, касательная к поверхности тела, при
124 гл- XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА встрече частиц с телом не изменяется, следовательно, w = = wa cos со. Поскольку радиус кривизны поверхности Я— __-^i — dF ~~ did ~~ I sin a da ' где s — длина, измеренная по обводу тела, то разность давлений на стенке и на границе слоя — Р = (>н sin a ^ J cos a dFy. F J Foy Давление на границе слоя определяется по формуле Ньютона D6), поэтому избыточное давление на стенке с учетом центро- центробежной силы равно / Fv \ Pw — Рн= Рн^11 sin2 a + sin а ^- j cos a dFy I. D9) Эта зависимость впервые была получена Буземаном и назва- названа формулой Ньютона — Буземана. Для тел выпуклой формы расчет по исходному закону Ньютона D4) дает результаты, бо- более близкие к опытным данным, чем расчет по уточненной фор- формуле D9). Это объясняется тем, что по формуле Ньютона дав- давление получается ниже истинного (так как угол встречи потока с ударной волной а больше угла встречи с телом со, который фигурирует в формуле Ньютона), а для выпуклого тела поправ- поправка на центробежную силу дополнительно уменьшает давление. Наоборот, в случае вогнутого тела поправка на центробежную силу положительна, т. е. компенсирует заниженное давление, которое дает закон Ньютона. Сопоставление расчетов с опытны- опытными данными показывает, что для вогнутого тела формула D9) дает лучшие результаты, чем формула D4). § 7. Влияние малого затупления переднего конца тонкого тела на его обтекание при гиперзвуковых скоростях При гиперзвуковом обтекании тонкого тела с затупленной носовой частью образуется отошедшая ударная волна, в перед- передней части которой давление возрастает настолько сильно, что даже при малых размерах затупления аэродинамическое сопро- сопротивление может существенно увеличиться. Мимо этого факта нельзя пройти в связи с тем, что реальные тела (крылья, фюзе- фюзеляжи, корпуса ракет) всегда бывают затуплены. Осуществить полет идеально заостренного тела нельзя хотя бы потому, что при больших скоростях полета нагревание воздуха около носовой
§ 7. ВЛИЯНИЕ МАЛОГО ЗАТУПЛЕНИЯ ТОНКОГО ТЕЛА 125 части тела настолько значительно, что заостренный конец неиз- неизбежно должен оплавиться. Положим в первом приближении, что сопротивление затуп- затупленного тонкого тела равно сумме сопротивления затупления Рх\ и сопротивления остальной части тела РХ2, давление на ко- которую определяется по теории гиперзвукового обтекания заост- заостренного тела (§ 5). Отношение этих сопротивлений, согласно B9), C3) и C9): Р F Здесь со — угол между боковой поверхностью тела и направле- направлением набегающего потока, Fyi, FV2 — проекции на плоскость, перпендикулярную к направлению набегающего потока, поверх- поверхностей соответственно затупленной части и всего остального те- тела. Отсюда видно, что дополнительное сопротивление, вызванное затуплением тонкого тела, сравнимо с сопротивлением исходного заостренного тела при весьма малой относительной площади за- затупления %?- ~ со2- E1) ГУ2 Например, при угле отклонения потока со = 5° = 0,087 рад со- сопротивление затупленного тела при относительной площади за- затупления Fy\/Fy2 ~ 0,0075 примерно удваивается. Заменим отно- отношение площадей отношением линейных размеров: E2) Здесь d — поперечный размер затупленной части, D = coL — линейный размер максимального поперечного сечения тела, L — длина тела, v — показатель степени, равный единице для пло- плоских тел и двум для осесимметричных тел. Таким образом, имеем для клина а для конуса Относительный линейный размер затупленной части тонкого тела, у которого сопротивление при гиперзвуковом обтекании в два раза больше, чем у такого же заостренного тела, связан с углом отклонения потока соотношением d — d 2+v -— ~ СО v ИЛИ -у- ~ СО v . JJ Ь
126 ГЛ. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В рассмотренном выше примере (о = 0,087 радиана) относи- относительные размеры затупления у клина (d/D) ~ со2 « 0,0075, у ко- конуса (d/D)« 0,087. Детальное рассмотрение задачи о гиперзвуковом обтекании тонкого тела показывает, что затупление носовой части тела вы- вызывает существенное искажение картины распределения давле- давлений на значительной части боковой поверхности тела. На Рис. 11.11. Распределение давления на пластине с клиновидной A) и за- закругленной B) кромками рис. 11.11 представлено безразмерное распределение избыточного давления по длине пластины с клиновидной и полукруглой пе- передними кромками. Угол раскрытия переднего клина подбирался для каждого значения числа Маха в набегающем потоке (Мн = 5,00; 6,86; 9,50) так, чтобы скорость за головным присо- присоединенным скачком равнялась скорости звука (Mi = l), а пла- пластина с полукруглой кромкой испытывалась при Мн = 14. Безразмерные кривые отходят от некоторой универсальной зависимости лишь вблизи точки излома контура; значение сх для носовой части тела кли- клиновидной формы определялось по теории косого скачка уплот- уплотнения, а для полукруглой формы — по уточненной формуле
§ 7. ВЛИЯНИЕ МАЛОГО ЗАТУПЛЕНИЯ ТОНКОГО ТЕЛА 127 Ньютона (сх = 2р*/3). Расчетная зависимость (оплошная линия) \2/з удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными. Это приближенная зависимость получена с помощью теории точечного взрыва и гипотезы плоских сечений, причем сила, дей- действующая на затупленный носок тела, рассматривается как 1 Лр 15 1,0 0,5 I . \ о° о а о ¦ / о О 0,5 1,0 1,5 Рис. 11.12. Давление на поверхности затупленного конуса дополнительная сосредоточенная сила. Не останавливаясь под- подробнее на теории гиперзвукового обтекания затупленных тонких тел, отошлем интересующихся этим вопросом к специальным мо- монографиям х). Отметим в заключение только одну интересную особенность обтекания тонкого затупленного конуса, обнаруженную и теоре- теоретическим, и экспериментальным путем, которая состоит в том, что избыточное давление (рис. 11.12) на части поверхности за- затупленного конуса оказывается ниже, чем у заостренного кону- конуса. Иначе говоря, воздействие обтекания затупленного носка на соседние области потока может привести к тому, что при из- известной «степени затупленности» конуса его сопротивление ока- окажется ниже, чем у остроносого (на рис. 11.12 сплошная кри- кривая — расчетная; здесь же для сравнения приведена кривая рас- распределения давления по образующей остроносого конуса (штри- (штриховая линия). ]) Черный Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.: Физматгиз, 1960; Хейз У. Д. и Про б с тин Р. Ф. Теория гиперзву- гиперзвуковых течений.— М:. ИЛ, 1962.
128 ГЛ. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА § 8. О влиянии вязкости в гиперзвуковых течениях Влияние вязкости в гиперзвуковых течениях, на котором мы не останавливались в предыдущих параграфах главы, представ- представляет собой сложную проблему. В тех случаях, когда пограничный слой намного тоньше удар- ударного слоя (зоны между ударной волной и поверхностью тела), расчет напряжений трения и теплообмена ведется обычными ме- методами, разработанными в теории пограничного слоя (гл. VI). Правда, при гиперзвуковых скоростях температура газа вследствие торможения потока в ударных волнах и пограничном Рис. 11.13. Схема погранич- пограничного слоя и индуцирован- индуцированного им ударного слоя слое может оказаться очень высокой и тогда придется учиты- учитывать не только сжимаемость газа, но также диссоциацию, а при температурах выше 5000° и ионизацию газа. Кроме того, в ги- гиперзвуковом пограничном слое при обтекании остроносого тонко- тонкого тела (или даже поставленной по потоку плоской пластины) появляется продольный градиент давления, ибо, как известно, пограничный слой воздействует на внешний поток так же, как утолщение тела (на величину толщины вытеснения погранично- пограничного слоя), вызывая образование ударных волн (рис. 11.13). Ина- Иначе говоря, пограничный слой может породить во внешнем потоке у остроносого тела «собственный» ударный слой, начинающийся от передней кромки тела; при обтекании тела с затупленным носком обычно этого не наблюдают, в связи с тем что в погра- пограничном слое за отошедшей ударной волной скорости бывают дозвуковыми или ненамного превосходят скорость звука. Теоретическое и экспериментальное исследования гиперзвуко- гиперзвукового пограничного слоя, вызывающего на пластине и на тонком теле (клин, конус) появление ударного слоя с продольным гра- градиентом давлений, проводились в работах Беккера, Лиза и Проб- стина, Бертрама, Кендалла и др. (см. монографию Хейза и Пробстина). Сущность теоретического подхода к решению этой задачи состоит в следующем. Давление в каждом поперечном сечении пограничного слоя считается постоянным и зависящим от полно- полного угла поворота потока
§ 8. О ВЛИЯНИИ ВЯЗКОСТИ В ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ 129 здесь coo — местный угол отклонения поверхности тела от на- направления невозмущенного потока, До = db*jdx — дополнитель- дополнительное отклонение потока, соответствующее толщине вытеснения б* пограничного слоя (ввиду малости углов тангенс угла считаем равным самому углу, измеренному в радианах). Величину б* можно определить приближенно, используя известные методы расчета пограничного слоя без градиента давления; при вычис- вычислении б* давление принимается в первом приближении таким же, как в потоке без пограничного слоя, зависимость вязкости от температуры аппроксимируется линейной функцией ^0 0 где индекс «w» относится к значениям на стенке, а индекс «0»— к границе слоя; с — множитель, зависящий от интервала темпе- температур. В свою очередь изменение давления, вызванное отклонением внешнего потока под воздействием тела увеличенной вследствие нарастания пограничного слоя толщины, можно вычислить с по- помощью уточненной формулы Ньютона D6) или по методу каса- касательных клиньев или конусов. В итоге, например, для плоской пластины получается сле- следующая приближенная формула для безразмерного давления в ламинарном пограничном слое (при к = 1,4 и Рг = 0,725): ? E3) где фактор взаимодействия слоя с потоком П 1 тг Здесь Вх = wx/v — число Рейнольдса, с = =-. Сравнение расчетных данных с экспериментальными данны- данными Бертрама и Кендалла, приводимое на рис. 11.14, дает удов- удовлетворительные результаты при х =^ 4; числа Рейнольдса, вы- вычисленные по толщине передней кромки пластины, были равны соответственно в опытах Бертрама около 50, в опытах Кендалла около 100. Как видим, при малых значениях параметра взаимодействия X зависимость р/рн = /(х) универсальна. На рис. 11.15 изображена картина течения у теплоизолиро- теплоизолированной пластины при М = 5,8, рассчитанная и определенная экс- экспериментально в работе Кендалла; на рисунке даны внешняя граница пограничного слоя и вызванная им ударная волна, а также линии тока и волны Маха. Экспериментальные и рас- 9 Р. II. Абрамович, ч. 2
130 ГЛ. XI. ГИПЕРЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА четные данные Кендалла практически совпадают во всей обла- области течения. Заметим, что продольный градиент давлений сказывается на величине напряжения трения на стенке, но слабо влияет на теп- теплообмен, в чем можно убедиться, производя расчет пограничного Р/Рн 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 15 рог • • • • \ 7.0 ' 0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Рис. 11.14. Давление на теплоизолированной пластине при слабом и силь- сильном (штрихпунктир) взаимодействиях О 12 3 4 5 х, сантиметры Рис. 11.15. Поле течения около теплоизолированной пластины (по Кендал- лу) при М == 5,8, Rx = 7000 (для х = 1 см) слоя во втором приближении с учетом определенного ранее гра- градиента давлений. Рассмотренный тип взаимодействия пограничного слоя с внешним гиперзвуковым потоком принято называть слабым
§ 8. О ВЛИЯНИИ ВЯЗКОСТИ В ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ 131 взаимодействием, так как при этом наблюдается возмущение ги- гиперзвуковым пограничным слоем только части ударного слоя. Со слабым взаимодействием мы имеем дело, когда интенсив- интенсивность нарастания толщины вытеснения пограничного слоя мала по сравнению с углом встречи потока с поверхностью тела db* или при условии Если же dd* >соо или dT-^^o то говорят о сильном взаимодействии, при котором вся область ударного слоя, включая вязкий пограничный слой, должна рас- рассматриваться в теоретическом решении как единое целое. Приближенный расчет, основанный на использовании метода касательных клиньев, дает для давления в ударном слое при сильном взаимодействии линейную зависимость -^-=0,514х +0,759, E4) изображенную на рис. 11.14 штрихпунктирной линией, которая проходит сравнительно близко к экспериментальным точкам при значениях % > 4. Подробности теоретического расчета сильного взаимодействия можно найти в цитированной книге Хейза и Пробстина. Следует подчеркнуть, что рассмотренная нами картина взаи- взаимодействия пограничного слоя с набегающим равномерным пото- потоком ограничивалась случаем тела с заостренной передней частью. Затупление носовой части тела, а также неравномер- неравномерность внешнего потока (например, при сильно искривленной го- головной ударной волне) вносят дополнительные изменения в рас- распределении давления. Эти виды взаимодействия рассмотрены в монографии Хейза и Пробстина.
Глава XII ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ § 1. Различные типы течений разреженных газов До сих пор мы рассматривали газовые течения, в которых газ представляет собой сплошную среду; это справедливо, когда длина среднего свободного пробега молекул газа I весь- весьма мала по сравнению с характерным размером газового те- течения L. В одних задачах газовой динамики характерным размером является толщина пограничного слоя, в других — толщина или длина обтекаемого тела. Безразмерное отношение К (D определяющее характер среды, называется числом Кнудсеиа. При нормальном давлении длина свободного пробега молекул составляет миллионные доли сантиметра. При понижении плот- плотности газа длина свободного пробега молекул возрастает обратно пропорционально плотности, и если она становится соизмеримым с характерными размерами потока, то дискретная структура газа начинает сказываться на законах газовой динамики и тепло- теплообмена. Число Кнудсена можно выразить через известные критерии подобия — числа Маха М и Рейнольдса R; для этого следует ис- использовать формулу Чепмена из кинетической теории газов, свя- связывающую кинематическую вязкость с длиной свободного пробе- пробега и средней скоростью движения молекул с: v = 0,499/c^-yZc. B) Средняя скорость молекул выражается через скорость звука а Тогда из B) и C) имеем j D) Подставляя D) в A), получаем зависимость числа Кнудсена от
§ i. РАЗЛИЧНЫЕ ТИПЫ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ 133 отношения числа Маха к числу Рейнольдса к = Т-*.2вт"^=1,26-^. E) Lt Из теории пограничного слоя следует, что при больших зна- значениях числа Рейнольдса (RL > 1) толщина пограничного слоя б обратно пропорциональна корню квадратному из числа Рей- Рейнольдса А 1 где х — длина тела. Поэтому если речь идет о гидродинамиче- гидродинамическом трении или теплообмене, когда характерным размером яв- является толщина пограничного слоя (L = 6), то при R*>1, со- согласно E), число Кнудсена становится пропорциональным отно- отношению числа Маха к корню квадратному из числа Рейнольдса При малых значениях числа Рейнольдса (Rx ^ 1) толщина по- пограничного слоя сравнима с длиной тела (б ~ х), поэтому К~?. G) Имеющиеся теоретические и экспериментальные данные свиде- свидетельствуют о том, что при очень малых значениях числа Кнуд- Кнудсена (К < 0,01) газ ведет себя как сплошная среда. В интервале значений числа Кнудсена 0,01 < К < 0,1 можно также пользо- пользоваться уравнениями газовой динамики сплошной среды, однако при этом, как будет показано ниже, следует в граничные усло- условия на твердой поверхности вводить поправку на так называе- называемые «скольжение» и «скачок температуры». При очень больших значениях числа Кнудсена (К>1) по- пограничный слой у поверхности тела не образуется, так как ре- эмитированные (отраженные) поверхностью тела молекулы стал- сталкиваются с молекулами внешнего потока на далеком от него расстоянии, т. е. тело не вносит искажений в поле скоростей внешнего потока. Для этого режима «свободно-молекулярного те- течения газа», который по имеющимся данным наблюдается при M/R* > 3, трение и теплообмен на поверхности обтекаемого тела рассчитываются из условия однократного столкновения молекул газа с поверхностью. Переходная область между режимом со скольжением и сво- свободно-молекулярным режимом остается до сих пор мало изучен- изученной, так как в ней приходится учитывать как столкновения мо- молекул между собой, так и неоднократные столкновения их с те- телом, а это создает большие теоретические трудности.
134 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ На рис. 12.1 нанесены границы различных режимов течения газа в координатах M=7(R*), включающих: 1) нижнюю грани- границу свободно-молекулярного течения, соответствующую значению M/R* в 3; 2) верхнюю границу течения со скольжением, которая отвечает значению M/YR* = 0,1; 3) верхнюю границу течений СвОбоС Ьо-мш meve/ чекуляр* те we 1 / } у Пер /И М 1 1/ сходный а Течей жим ] сколы. / / 1 / / / ие со 1 *ением\ 1 1ОЩ LTeveHue 1 QJJJJQItlUnir f Срд ды W3 W2 W1 1 10 102 Ю3 104 Ю5 106 W7 Число Репнольдса Рис. 12.1. Границы различных режимов течения разреженного газа для сплошной среды, где M/VR* = 0,01. В табл. 12.1 представле- представлена приближенная зависимость свободного пробега молекул от высоты, рассчитанная по формуле D) для стандартной атмо- атмосферы. Высота Я, км Длина свободно- свободного пробе- пробега 1У м 0 6,9-10-8 25 2,2.10-е 50 7,8.10-5 75 2,0-Ю-3 100 9,5.10-2 Ta6j 125 2,3 1ица 150 18 175 80 12.1 200 300 Сопоставляя данные рис. 12.1 и табл. 12.1, можно получить представление о связи между высотой полета и границами раз- различных режимов. Для ракеты длиной 3 м влияние ^скольжения начинает про- проявляться с высоты 50 км при М ¦== 1 и 30 км при М = 4. Свобод- Свободно-молекулярное течение устанавливается при любой скорости полета, начиная с высоты 140 км.
§ 2. СКАЧКИ СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ У СТЕНКИ 135 § 2. Скачки скорости и температуры у стенки при течении газа со скольжением Если длина свободного пробега молекул I не пренебрежимо мала по сравнению с толщиной пограничного слоя б, но значи- значительно меньше последней: I < б, то профиль скорости направлен- направленного движения газа у стенки имеет форму, изображенную на рис. 12.2. Разность скоростей в слоях, отстоящих друг от друга на расстоянии свободного пробега, оче- очевидно, равна У\ Следовательно, молекулы, находящиеся на расстоянии I от стенки, имеют относя- $ тельно нее направленную скорость dw = -с- ^П '(О 4-„,_.!** У777/ '(*) -А Рис. 12.2. Профиль ско- скорости у стенки при те- /g\ чении со скольжением где wR — скачок скорости у стенки, т. е. величина скорости в слое газа, непосредственно примыкающем к стенке, Wo — ско- скорость невозмущенного потока газа. Совершая свободный пробег I, молекулы сохраняют свою скорость, т. е. попадают на стенку с конечной скоростью wt. Как показали опыты Милликена 1) и других исследователей, значительная часть молекул при ударе о стенку абсорбируется ею и затем реэмитируется (испускается), потеряв полностью скорость направленного движения Wi. Обо- Обозначим долю этих «диффузно» отраженных молекул буквой а; остальные молекулы, относительное число которых равно 1 — 0, отражаются «зеркально», т. е. после отражения сохраняют ско- скорость wt, которую они имели до удара о стенку. Учитывая изложенное, можно определить среднюю направ- направленную скорость слоя газа непосредственно у стенки, исходя из того, что этот слой состоит наполовину из молекул, приходящих к стенке, и наполовину из отраженных от нее - -т ]) М i 11 i k e n R. A. The isolation of an ion, a precision measurement of it charge, and the correction of Stokes's law / Phys. Rev.—1911.—V. 32, № 4.- P. 349-397.
136 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Итак, скорость «скольжения» газа у стенки равна 2 _ а 1 I dw \ wR = т . (9) Табл. 12.2 содержит значения коэффициента а, найденные раз- различными экспериментаторами для случаев взаимодействия раз- разных газов с поверхностями различной природы. Таблица 12.2 Материал поверхности Латунь Лак старый Лак свежий Масляная краска Стекло Воздух 1 1 0,79 0,895 0,89 Углекислый газ 0,92 Водород 0,93 Гелий 0,87 Ввиду того что доля диффузно отраженных молекул близка к единице (о « 1), имеем приблизительно Wr dw *'t A0) Jfi Отсюда следует, что в плотном газе (Z<6) скольжение практи- практически отсутствует (wR = 0), т. е. молекулы «прилипают» к стен- стенке, как это и принято в обычной газодинамике; в сильно разре- разреженном газе A>8) скорость скольжения близка к скорости не- невозмущенного потока газа вне пограничного слоя (wr^wq). При течении со скольжением скорость у стенки подчиняется ус- условию (9), которое обычно заменяют приближенным усло- условием A0). Следует отметить, что условие скольжения (9) не является вполне точным в том случае, когда при малом абсолютном дав- давлении газа имеется существенное изменение температуры по длине стенки, так как продольный градиент температуры вызы- вызывает «термодиффузионный» направленный поток молекул в сто- сторону возрастающей температуры (см., например, § 8). Такое ин- индуцируемое разностью температур течение получило название «температурный крип». Кеннард1) показал, что скорость температурного крипа у стенки равна 3 «?нт = -у ¦ дх ') Kennard E. H. Kinetic theory of gases.—McGraw-Hill, 1938.
§ 2. СКАЧКИ СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ У СТЕНКИ 137 здесь р, Т — плотность газа и температура у стенки, \л — коэф- коэффициент вязкости, х — расстояние, отсчитываемое вдоль стенки. Таким образом, уточненное граничное условие, характеризующее скачок скорости у стенки, должно иметь следующий вид: )• «2> Вторым членом соотношения A2), учитывающим температурный крип, чаще всего можно пренебречь, так как при высоких про- продольных градиентах температуры и очень больших разрежениях, когда этот член особенно существен, обычно реализуется свобод- свободно-молекулярное течение газа без гидродинамического погранич- пограничного слоя. Однако в некоторых специальных случаях (например, обтекание головной части ракеты во время входа ее в сравни- сравнительно плотные слои атмосферы) условие A2) используется в полном виде. Остановимся теперь на вопросе о скачке температуры у стен- стенки при режиме течения со скольжением. Захват молекул стенкой и последующая реэмиссия приводят к тому, что отраженные молекулы имеют температуру, близкую к температуре стенки. Введем так называемый коэффициент аккомодации dE dE здесь dEi и dER — соответственно потоки энергии, приносимые молекулами, падающими на бесконечно малый элемент поверх- поверхности и уносимые реэмитированными молекулами, dEw — поток энергии, который уносили бы реэмитированные молекулы, если бы они обладали максвелловским распределением скоростей при температуре стенки. При полной аккомодации (а=1): dER = = dEw, при отсутствии аккомодации (а = 0): dEt = dER. Опыты показывают, что часто значение коэффициента а близко к еди- единице, о чем можно судить по прилагаемой табл. 12.3 экспери- экспериментальных значений а для воздуха, найденных Уидманом1). Из табл. 12.3 следует, что характер обработки поверхности металла практически не оказщвает влияния на значение коэф- коэффициента аккомодации. Дикинс2) определил значения коэффициентов аккомодации для различных газов при их взаимодействии с поверхностью из платины (табл. 12.4). Как видим, газы очень малого молекулярного веса (водород и гелий) слабо аккомодируются стенкой; все остальные газы имеют коэффициент аккомодации около 0,9 и выше. ») Wiedmann M. L. // Trans. ASME.—1946.—V. 68.—Р. 57. (Рус. пер. в сб. «Механика», № 4/Под ред. Л. И. Седова.—М.: Оборонгиз, 1951. 2) Dick ins В. G. // Ргос. Roy. Soc.— 1933.— V. АШ.— P. 517.
138 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Если влияние диссоциации несущественно, то при дозвуко- дозвуковых скоростях движения газа, когда кинетическая энергия пото- потока относительно мала, коэффициент аккомодации может быть выражен через соответствующие значения температуры a = ¦ A4) где Ti — температура молекул, попадающих из слоя, отстоящего от стенки на расстоянии свободного пробега молекул, TR — тем- температура, соответствующая суммарной энергии реэмиттирован- ных стенкой молекул, TRxo — температура в пристенном слое, д» = TRw — Тю — скачок температуры у стенки. Таблица 12.3 Материал поверхности Ровный лак на бронзе Бронза полированная Бронза машинной обра- обработки Бронза травленая Литая сталь полирован- полированная а 0,88-0,89 0,91—0,94 0,89—0,93 0,93—0,95 0,87—0,93 Материал поверхности Литая сталь машинной обработки Литая сталь травленая Алюминий полированный Алюминий машинной об- обработки Алюминий травленый а 0,87—0,88 0,89—0,96 0,87—0,95 0,95—0,97 0,89—0,97 Определим скачок температуры у стенки в течении со сколь- скольжением. Эта задача сложнее, чем определение скачка скорости, так как на изменение температуры в направлении нормали к Таблица 12.4 Газ Водород Гелий Аргон Аммиак Азот Кислород а 0,35 0,51 0,88 0,88 0,90 0,90 Газ Закись азота Воздух Окись углерода Двуокись углерода Сернистый газ а 0,90 0,91 0,91 0,92 0,95 стенке влияет не только молекулярный тепловой поток, но так- также и тепло, выделяющееся в процессе молекулярного трения. Вносит осложнения и тот факт, что в толще пограничного слоя течения со скольжением теплообмен и трение близки к таковым в сплошной среде, а обмен тепловой и механической энергией между пристенным слоем и стенкой совершается по видоизме- видоизмененный законам молекулярных течений газа, в которых должно
§ 2. СКАЧКИ СКОРОСТИ И ТЕМПЕРАТУРЫ У СТЕНКИ 139 учитываться влияние реэмиттированных молекул на характер хаотического движения газа. Существует несколько теорий поведения газа в пристенном слое течения со скольжением. Мы рассмотрим сравнительно простой вариант расчета скач- скачков температуры у стенки, причем ограничимся случаем скоро- скорости потока малой по сравнению со скоростью хаотического дви- движения молекул. Приток тепла по нормали к пристенному слою газа со сторо- стороны пограничного слоя равен Тепло трения в пристенном слое определим приближенно по за- законам молекулярного течения газа. На основании G1) и (99) из§6иB)из§1 напряжение трения на стенке при скорости Wi (имеющейся на расстоянии I от стенки) и значительно мень- меньшей, чем скорость молекулярного движения, имеем а о - т = pcmwl = -г- pcwl = & у л * Тепло, отвечающее секундной работе трения, Отсюда суммарный приток тепла в пристенный слой газа Отвод тепла из пристенного слоя осуществляется реэмиттирован- ными стенкой молекулами и, очевидно, равен Секундную массу молекул, попадающую на стенку и отражае- отражаемую при числе Маха М<1, можно определить приближенно по формулам G1) из § 6 и B) из § 1 где с —средняя скорость хаотического движения молекул, ст — наиболее вероятная скорость молекул. Температура реэмиттированных молекул, в состав которых входят как диффузно, так и зеркально отраженные молекулы, согласно A4) равна
140 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ откуда \^ + A-о)Г,]}. A7) Из баланса тепла (qt = qB) имеем при R = ср — cv и к — ср/с„ 2 , 1-сс] или в безразмерном виде где Mz = м7//а^ — число Маха, определенное по скорости звука, соответствующей температуре Ти При Mz < 1 первый член правой части относительно мал и, следовательно, можно положить ±^(?) A9) при а = 1 и Рг = 1 имеем 4г— Вебер !) вывел из других соображедий следующую формулу для скачка температуры при течении со скольжением: д,„ _»»=«,(«)_. которая дает результаты, близкие к определенным по формулам A8), A9). Формулы A7) — A9) для скачка температуры у стен- стенки справедливы лишь при умеренных скоростях потока (М = 0, Т'&Т*). В случае сверхзвуковых скоростей их следует уточнить. Формула A2) для скачка скорости справедлива и при больших скоростях. Как следует из рис. 12.1, режим течения со скольжением на- наблюдается при таких умеренных значениях числа Рейнольдса, для которых реальным является существование лишь ламинар- ламинарного пограничного слоя, поэтому ниже рассматриваются только ламинарные течения со скольжением. § 3. Течение газа со скольжением в трубе Для установления закономерностей ламинарного течения га- газа со скольжением в трубе круглого сечения следует прежде всего составить баланс сил, приложенных к цилиндрическому ]) Weber S. / Kgl. danske vid. selskab. Mat.—fys. medd.—1939.— V. 16, № 9.
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА СО СКОЛЬЖЕНИЕМ В ТРУБЕ 141 жидкому элементу с текущим радиусом г и длиной dx (рис. 12.3) —nr2 dp = —%- 2nr dx, B0) где т — напряжение трения на боковой поверхности элемента, dp — разность давлений на его торцы. Здесь мы пренебрегли малой величиной изменения количе- количества движения в направлении оси трубы, которое вызывается — p л г dx R щ щ Рис. 12.3. Ламинарное течение газа со скольжением в трубе изменением плотности газа, обусловленным в свою очередь из- изменением давления. Выражая напряжения трения по формуле Ньютона, из B0) имеем dx ~ г г dr' ^l> Отсюда после интегрирования в граничных условиях, учиты- учитывающих скорость скольжения на стенке (u = uR при г = Д), по- получаем 1 dp л2-г2 На оси трубы (при г = 0) имеем 1 1 dp R2 Это дает следующую окончательную зависимость для безразмер- безразмерного профиля скорости в трубе при скольжении: uu ¦ Л2* Градиент скорости у стенки в таком течении du' напряжение трения на стенке B2) B3) B4)
142 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Средняя скорость течения в трубе оказывается равной средне- среднему арифметическому между скоростями на оси и у стенки в \ u2nr dr r 0 . . RJ B5> Уравнение B1) приводит к следующей формуле для определе- определения падения давления по длине трубы: или в безразмерном виде после замены D = dp _ Исключим из полученных выражений скорость скольжения, для чего воспользуемся граничным условием (9), установленным в §2 "я = — cl (-т^-) , гдес = -=^. (9а) Здесь перед производной взят знак минус для того, чтобы зна- значение скорости на стенке было положительным (ид>0) при отрицательном значении B3) градиента скорости. Подставляя в (9а) значение производной из B3), находим <27> Используя формулы B5), B7), B2) и B6), приходим к сле- следующим выражениям для максимальной скорости: _Г? B8) для скорости у стенки uR = U 12-j-i B9)
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ГАЗА СО СКОЛЬЖЕНИЕМ В ТРУБЕ 143 для текущего значения скорости U==U D*; C0) 0,5 + 4* д- для падения давления по длине трубы dp __ 64м> 1 dx nu ТТ^ " ~ 9UD А , о I -D' (<jl) пли в соответствии с формулой Дарси . 64 В C2) число Рейнольдса определено по диаметру трубы и сред- средней скорости течения Rp=_. Из условия неразрывности следует, что вдоль трубы постоян- постоянного сечения плотность тока не изменяется (pU = ро^о = const); если температура газа постоянна, то число Рейнольдса для всех сечений имеет одно и то же значение. В этом случае коэффи- коэффициент трения ? по длине трубы изменяется только вследствие изменения величины свободного пробега молекулы, который за- зависит от местного значения плотности 1 = 1фо/р (индекс «0» со- соответствует начальному сечению трубы). Подставляя это значе- значение в C1), получаем при Т = const г C3) где 64 — значение коэффициента трения в начале трубы. Используя уравнение состояния для идеального газа, из C3) получаем дифференциальное уравнение 8с bfdp = - которое после интегрирования с учетом граничного условия р = /?о при # = 0
144 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ и некоторых элементарных преобразований дает (при Ар: ) Отсюда следует у- DpAi + &e-? A), C4) где л; —полная длина трубы. В этом решении один корень от- отброшен (с отрицательным знаком) как не отвечающий физиче- 1000 = 1,405 <Г=/ 1ОООЯ Рис. 12.4. Зависимость коэффициента трения при течении со скольжением в трубе от числа R при разных значениях числа Маха ским условиям задачи (А/? = —2ро при # = 0). Если вычитае- вычитаемое под корнем значительно меньше единицы, то справедливо приближенное решение, позволяющее определить падение дав- давления в трубе без учета сжимаемости газа J>o_ C5) Подставим в C4) с = B — о) /о, а также на основании E)
§ 4. ВНЕШНЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ТЕЛ ПРИ СКОЛЬЖЕНИИ 145 значение _L _ -I од л/% Р _ 4 ой л/Т. о D ~ 'Z0 V ' pDa ~~ ' Y RD* Имея в виду, что получим при 0=1 ± • <36> где 64 Напомним, что решение C6) справедливо лишь при Мо<1- Зависимость коэффициента трения ? от числа Рейнольдса при различных значениях числа Маха представлена на рис. 12.4. Она хорошо согласуется с опытными данными Кнудсена и дру- других исследователей. Горизонтальные участки кривых ?(R) отве- отвечают переходу к свободно-молекулярному течению (К«1). § 4. Внешнее сопротивление тел в потоке разреженного газа при наличии скольжения Впервые влияние скольжения на сопротивление тела была обнаружено Милликеном1) в 1911 г. при исследовании скоро- скорости падения мелких масляных капель в воздухе под действием силы тяжести, а также скорости подъема против силы тяжести заряженных капель, находящихся в вертикально направленном электростатическом поле. Эти исследования Милликена позволили определить гидро- гидродинамический эффект скольжения, а также измерить с большой точностью величину заряда электрона. Мелкие капли, движущиеся с малой скоростью в сплошной среде, имеют форму сферы, сила сопротивления которой при малых значениях числа Рейнольдса Ra = puoa/\i < 1, определяет- определяется по формуле Стокса х = бя^ишо, C7) ]) См. Газовая динамика/Под ред. Н. Т. Швейковского.—М.: ИЛ, 1950.— С. 260. Ю Г. Н. Абрамович, ч. 2
146 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ где а —радиус сферы, [д, —вязкость воздуха, и0 — скорость не- невозмущенного набегающего потока. Формула C7) получена из точного решения уравнения Навье — Стокса для медленного течения несжимаемой жидко- жидкости, когда инерционными членами, стоящими в левой части уравнения, можно пренебречь; граничным условием является равенство нулю скорости течения на поверхности сферы. Если учесть скольжение, т. е. принять, согласно (9), что ско- скорость скольжения на стенке пропорциональна числу Кнудсена, то, как показал Бассет1) еще в 1888 г., справедлив видоизме- видоизмененный закон сопротивления сферы 1 + 2Л C8) где А — коэффициент пропорциональности (по опытам Милли- кена2) А = 1,22, что, согласно (9), отвечает значению а = 0,9). Разложение в ряд последнего дополнительного множителя по степеням параметра А— приводит к следующей приближенной формуле сопротивления сферы при скольжении: / i \—i X = &тцхаи011 + А — J 9 C9) справедливой при 1/а < 0,5, дозвуковых скоростях и малых зна- значениях числа Рейнольдса. Безразмерный коэффициент сопротивления сферы по Милли- кену при М < 1 УР"Х К A+1,2-) Опыты Кейна3), проведенные в интервале 2,05 <М^ 2,81 и 15 Ч Re < 786 не обнаружили влияния числа Маха и привели к следующей эмпирической формуле: J) В as 'set А. В. A treatise on hydrodynamics. V. И.—1988.—P. 271. 2) Милликен приводит значение А = 0,864, однако при вычислении длины свободного пробега по значению коэффициента вязкости он пользо- пользовался устаревшей зависимостью Максвелла [л = 0,35 pel, тогда как в на- настоящее время наиболее точной считается формула Чепмена [г = 0,499 pel, что и дает А = 1,22. 8) Kane E, D. / J. Aeron. Sci.—1951.—V. 18.—Р. 258. Русский пере- иод в сб. Вопросы ракетной техники. № 2.—М.: ИЛ, 1953.—С. 54—69.
§ 5. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 147 Значения Re Кейн определял по скорости и плотности воздуха за прямым скачком. При Ra < 80 сопротивление сферы по Мил- ликену выше, чем по Кейну (при малых Ra относительно велика роль трения, но оно уменьшается за счет усиления скольжения при росте М); при Ra > 80 сопротивление по Милликену мень- меньше, чем по Кейну (при больших Ra превалирует волновое сопро- сопротивление, которое проявляется сильнее при больших значениях числа М). Сопротивление цилиндра при поперечном обтекании его со скольжением рассмотрено Цзяном1), который получил следую- следующую теоретическую формулу для коэффициента сопротивления цилиндра, отнесенного к поперечному сечению 2aL (длина ци- цилиндра L, радиус а): тт pupaL Ra In -p- — 1,28 + 1,25 У к —— -g- I L п CL J где Опытных данных о сопротивлении цилиндра при скольжении в настоящее время нет. § 5. Свободно-молекулярные течения газа и элементы кинетической теории газов Свободно-молекулярный режим течения наблюдается в силь- сильно разреженном газе, когда число Кнудсена значительно больше единицы (M/Rit > 3). Несмотря на то, что частота столкновений молекул в эле- элементарном объеме при этом режиме пренебрежимо мала, число молекул в единице объема достаточно велико для того, чтобы можно было определять средние макроскопические свойства газа. Например, на высоте 150 км, когда длина свободного про- пробега Z = 18 м, число молекул в 1 см3 составляет ~2,5 • 10й. Установим свойства газа, определяющиеся особенностями движения его молекул. Рассмотрим для этого элементарный объ- объем dx = dx dy dz, заполненный большим числом движущихся и изредка сталкивающихся молекул udx, где п — местная концент- концентрация молекул в физическом объеме, т. е. количество молекул в единице объема. Мгновенные значения проекций скорости и, у, w отдельных молекул в объеме dx различаются очень сильно. Можно рассор- рассортировать молекулы по скоростям движения, имея в виду, что ве- ]) Сб. Газовая динамика/Под ред. Н. Т. Швейковского.— М.: ИЛ, 1950.— С 341. 10*
148 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ личины скоростей зависят от координат х, у, z и времени t. Представление о распределении молекул в объеме dx по скоро- скоростям движения дает введенная Максвеллом функция распреде- распределения скоростей f(u, и, w), которая оценивает долю общего числа молекул (в объеме dx), обладающих скоростями и, v, w. Иначе говоря, если все молекулы физического объема dx расположить в пространстве скоростей и, v, w, то в элементарной области пространства скоростей dco == du dv dw будет сосредо- сосредоточено (nfdx)d(o молекул, скорости которых заключены в ука- указанных интервалах: величина, стоящая в скобке, представляет собой концентрацию молекул в пространстве скоростей. Общее число молекул в физическом объеме можно получить путем интегрирования по пространству скоростей: ndx = \ (nf dx)d(d. Так как общее число молекул зависит только от координат и времени, то его можно вынести из-под знака интеграла и сокра- сократить. Таким образом, функция распределения скоростей должна удовлетворять следующему условию: D3) Важная роль функции распределения скоростей выявляется, на- например, при определении среднего значения любой величины Q, зависящей только от компонентов скоростей молекул. Количество Q, которым обладают все молекулы элемента dx, равнох) 2^i но число молекул в этом элементе есть ndx, поэто- поэтому среднее значение величины Q составляет [Q(nf d%) dco п = А -_ \ га Лг.л D4) = J В частности, среднее значение компонента скорости и u = §ufda. D5) Максвелл нашел для функции распределения скоростей покоя- покоящегося газа следующее выражение: / = аехр (-!¦), D6) где а, 9 — постоянные, определяемые ниже, а величина ± *) Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.—М.: Физматгиз, 1960.
§ 5. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 149 — кинетическая энергия молекулы, отвечающая мгновенному значению полной скорости ее хаотического движения с. Постоян- Постоянную а мы определим, исходя из условия D3) сю |/йсо = а \ expf _ j c?co = 1. —оо Данный интеграл можно представить как произведение трех одинаковых интегралов оо оо оо С I ти2 \ j С ( ти2 \ j С I mw2 \ , J ехР (- -w)du J exP [- -шг)dv) ехР (- иг)dw = -I/I— таким образом, имеем Для того чтобы определить параметр 6, вычислим среднее зна- значение квадрата каждого компонента скорости движения моле- молекулы по способу D5) и2 = v2 =iv2 = х = a J 1г2ехр[ \ ^ >\ dco « -. Отсюда имеем е = где т^с2/2 — внутренняя энергия молекулы, определяемая по среднему значению квадрата ее полной скорости. Подставляя D7) и D8) в D6), получим функцию распределения скоростей молекул Максвелла в окончательном виде ) Иногда бывает удобно при выкладках перейти от составляющих скорости и, г, w к полной скорости с; для этого вводят сфери- сферические координаты: с, <р, 0, где ф — угол между вектором скоро- скорости и осью 0z, 8 — угол между плоскостями zOc и zOx (рис. 12.5). В сферических координатах элемент пространства скоростей равен dco = с2 sin ф йф Й9 dc. E0J Поэтому число молекул в элементе объема d%, скорости которых
150 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ лежат в интервале с и c + dc, а направления движения —в ин- интервалах ф, ф + йф и 0, 9 + d0, составляет nc2f sin ф dq> dQ dcdx. E1) Интегрируя это выражение по ф и 0 для всех возможных на- направлений ((Хф^я, О<0<2я), получим общее число моле- молекул, имеющих скорости в интервале с и c + dc: J И sin ф dtp \dQ \ о \o / J dc dx = Annc2f dc dx. E2) Суммарное число молекул в элементарном объеме dx для всего csma> dd Диапазона скоростей @ < с ^ ^ —х определяется, очевид- w но, следующим образом: ndx [оо J о Annc2fdc\dx. E3) и Вследствие этого условие D3) в сферических коорди- координатах принимает вид Рис. 12.5. Элементарный объем в про- пространстве скоростей (к переходу от прямоугольных к сферическим коорди- координатам) 4я J с2/ dc • 1 E4) и, следовательно, среднее значение любой величины Q, зависящей только от компо- компонентов скорости, найдется из выражения E5) Запишем среднее значение квадрата скорости в сферических ко- координатах оо ?-4*Jc*/*?. E6) о Легко убедиться в том, что, подставляя в уравнения E4) и E6) выражение D9) для /, мы обращаем их в тождества; это зна- значит, что параметры а и 0 в декартовой и сферической системах координат одинаковы. На рис. 12.6 представлено изменение функции F = /c2 в зави- зависимости от с для двух значений параметра с2. Как видно, при некотором значении скорости с — ст функция F имеет максимум.
§ 5. СВОБОДНО-МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА 151 Решая элементарную задачу на отыскание максимума функ- функции (/с2), находим величину наиболее вероятной скорости молекул Cm — E7) Выразим с помощью D9) и E6) среднюю арифметическую ско- скорость молекул через среднюю квадратичную скорость с = An = 2 у ^ = 0,922 E7а) Подставляя E7) в D9), получаем более удобное выражение для функции распределения Максвелла 1 3/2 E8) Как видно из рис. 12.6, с ростом величины наиболее вероятной скорости ст (или средней квадратичной с2) увеличивается отно- относительное число молекул, имеющих высокие скорости. Движение молекул сказывается на макроскопических свой- свойствах газа. Давление газа на стенку можно определить как си- F=fr.2.w4 лу' которая возникает в результате изменения нор- нормальной к стенке состав- составляющей суммарного коли- количества движения молекул 2,0 1,5 0,5 о Vfuoo, I / i / / / I \ \ \ V \ при их соударении со 200 400 800 1000 см/с Рис. 12.6. Функции распределения для двух значений средней квадратичной скорости молекул Рис. 12.7. К определению числа молекул, встречаю- встречающихся со стенкой за еди- единицу времени стенкой; при этом молекулу и стенку считают абсолютно упру- упругими твердыми телами. Расположим стенку по нормали к оси абсцисс (рис. 12.7) и определим количество молекул, которое встретится с элементар-
152 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ ной площадкой размером dF за единицу времени. Рассмотрим сначала молекулы со скоростью движения с; в течение одной секунды об эту площадку ударится половина от всего количества молекул данной скорости, заполняющих цилиндр с образующей с и площадью основания dF (вторая половина молекул данной скорости в виду хаотичности их движения в этот же промежуток времени движется в противоположном направлении, т. е. удаля- удаляется от стенки). Это количество составляет ± nfu dF dto, E9) где п — полное число молекул в единице объема, / — значение функции, соответствующее скорости с, и dF — объем элементар- элементарного цилиндра, dco = du dv dw — элемент пространства скоростей. Суммарная масса молекул, соударяющихся с площадкой dF за одну секунду, равна -j nmfu dF dco = у pfudF day. Здесь р = nm — плотность газа, т — масса одной молекулы. При упругом ударе о стенку нормальная составляющая скорости молекулы изменяется на обратную величину, чему отвечает из- изменение соответствующей проекции количества движения за од- одну секунду на величину 4- pf2u2 dF da) = pu2j dF d(o. F0) Суммируя изменения количества движения молекул во всем диапазоне скоростей @ < с < оо) ? получим полное изменение нормальной проекции количества движения за одну секунду, равное осредненной силе давления молекул на площадку dF: dP = \ jV/dco \pdF; здесь величины р и dF, как не зависящие от распределения мо- молекул по скоростям, вынесены из-под знака интеграла. Переходя, как и в формулах E0) —E5), к сферическим ко- координатам и относя силу давления к площади, получим следую- следующую формулу для определения давления: оо Р = -jp = 4др J u2c2fdc, или р = рп2, где и2 — средняя квадратичная скорость движения молекул в
§ 6. ДАВЛЕНИЕ II ТРЕНИЕ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ 153 направлении нормали к стенке, равная, согласно D4) и E5), оо оо и2 = 4я ^ u2c2fdc = \ u2f dco. о о Так как при хаотическом движении все направления равнозначны ~2 и* = Vй = м?а = с 2 = „2 _ „,2 _ 3 ' то давление газа на стенку равно 3 или в соответствии с E7) F — 2 I Так как было принято, что импульс ударяющихся о стенку мо- молекул равен импульсу отраженных молекул, то полученная ве- величина давления складывается из двух равных частей: давления ударяющихся и давления отраженных молекул где 1 2 Pi = Р2 = X РСт Из F1) получаем выражение для средней квадратичной скоро- скорости движения молекул У7УЦ. F2) Сравнивая F2) с известным выражением для скорости звука в газе -V4- можем связать среднюю квадратичную скорость молекул со ско- скоростью звука К/|. F3) § 6. Давление и напряжение трения при свободно-молекулярном обтекании твердого тела При изучении свободно-молекулярного потока газа следует учитывать то, что наряду с хаотическим движением молекул имеется упорядоченное перемещение конечных масс газа.
154 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ В первых работах Эпштейиа1) и Смолуховского2), посвящен- посвященных свободно-молекулярному течению газа около твердого тела, предполагалось, что скорость упорядоченного движения газа мала по сравнению со средней скоростью хаотического движения мо- молекул. Мы не станем пользоваться этим ограничением и приве- приведем решение задачи для произвольного значения числа Маха в набегающем на тело газовом пото- потоке. Как показал Цзян3), такое общее решение имеет достаточно простой вид. Обтекание тела разреженным газом целесообразно рассматри- рассматривать в прямоугольной системе координат, так как при этом удобно группируются одноимен- одноименные составляющие скоростей хао- хаотического и упорядоченного дви- движений. Если газ сильно разрежен, то столкновения молекул между Рис. 12.8. К определению силы давления газа на стенку при мо- молекулярном течении собой и с поверхностью тела настолько редки, что реэмитируе- мые поверхностью молекулы практически не возмущают набе- набегающий на тело невозмущенный поток газа и не нарушают мак- свелловского распределения хаотических скоростей (щ v, w) молекул в этом газе. Функция распределения Максвелла со- согласно E8) может быть представлена в виде 9 Т F4) пе Если упорядоченное движение газа происходит со скоростью то полные скорости молекул соответственно равны F5) F6) Расположим прямоугольную систему координат таким образом, чтобы ось х была перпендикулярна к элементу поверхности тела dF (рис. 12.8), и определим силу давления движущегося газа на площадку dF, следуя тем же рассуждениям* что и в предыду- предыдущем параграфе (при определении давления на стенку неподвиж- неподвижного газа). ') Эпштенн П. С. О сопротивлении сфер при движении в газах / Газовая динамика/Под ред. Н. Т. Швейковского.— М.: ИЛ, 1950. 2) Smoluchowski M. Zur kinetische Theorie der Transpiration und Diffusion verdunnter Gase // Ann. der Phys.— 1910.— Bd 33.— S. 1959—70. 3) Цзян X. Ш. Аэродинамика разреженных газов / Газовая дина- динамика/Под ред. Н. Т. Швейковского.— М.: ИЛ, 1950.
§ 6. ДАВЛЕНИЕ И ТРЕНИЕ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ 155 В неподвижной системе координат число молекул в единич- единичном объеме, имеющих скорости хаотического движения в интер- интервале и ж u + du, и я v + dv, w и w + dw, равно n/dco; за одну секунду о площадку dF успевают удариться те молекулы, кото- которые заполняют цилиндр с основанием dF и образующей Объем этого цилиндра равен mdF. Поэтому общее число молекул со скоростью щ, передающих импульс площадке dF, составляет nfii\ dF du dv dw = nfu\ dF du\ dv\ dw\. Здесь использовано предположение о постоянстве скорости на- направленного движения газа. Полное число молекул N, ударяющихся о единичный элемент площади, получим путем интегрирования последнего выражения по всей области изменения скоростей молекул. Учитывая F4), имеем F7) Нижний предел у последнего интеграла равен нулю, а не —°°, так как молекулы с отрицательными значениями нормальной составляющей скорости (щ < 0) с поверхностью тела не встре- встретятся. Нетрудно показать, что тройной интеграл в F7) сводится к произведению следующих трех интегралов: F8а) j eXP - (Ц>1 , ^ dwl = '« /я, F86) г Г /„ _ m21 l 11 pvT) I —_ I л7/у ——* J c2 I В этой записи использовано общепринятое обозначение для ин-
156 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ теграла вероятностей значения которого берутся из таблиц (заметим, что при t = °о erf(o°)=l). Подставляя выражения F8) в F7), получаем сле- следующую формулу для определения числа молекул, ударяющихся в единицу времени о единичную площадку поверхности тела: В частном случае неподвижного газа (?/ = 0) получаем N> = iva- <6tte> Секундный поток массы молекул, падающих на единичную пло- площадку поверхности тела: H?K[?)])•G0) Для неподвижного газа (t/ = 0) имеем, согласно E7) и E7а), c ^~ G1) Определяя аэродинамические силы, которые возникают на еди- единичной площадке тела при свободно-молекулярном обтекании, следует иметь в виду, что проекция аэродинамической силы рав- равна разности проекций на ту же ось количеств движения секунд- секундной массы молекул, падающих на площадку и отраженных от нее. Проекция на ось х секундного количества движения молекул со скоростями в интервале и, u + du; и, и + dv; w, w + dw, па- падающих на поверхность единичной площади, очевидно, равна pful dux dvx dwv Для проекции на нормаль секундного количества движения всех молекул, учитывая F4), получим 3 со со со 1 • \2 [' Г С — \ dvx \ dwl игХ — со о - (»,-i-) + К - JT ~ ("V-^) du^ G2) пст ¦
§ 6. ДАВЛЕНИЕ И ТРЕНИЕ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ 157 Как и при определении числа ударяющихся о поверхность молекул (см. формулы F7) и F8)), заменим тройной интеграл в G2) произведением трех интегралов. Два из них, F8а) и F86), были найдены ранее: ,_ Г„р[_К третий в данном случае имеет вид 4 + ,J7-)[l +«f(?)] + 4A"«p[?] G3), Отметим, что при интегрировании G3) принимались во внима- внимание следующие известные соотношения: х-е~хЧх = Щ e-x2dx - xe~x2j, G4) dx = -±e\ Подставляя в G2) найденные значения интегралов, определяем проекцию на нормаль (ось х) секундного количества движения молекул, падающих на единицу площади поверхности тела: В двух крайних случаях, ?/ = 6 и U > ст, выражение G5) силь- сильно упрощается. При U = 0 (упорядоченное течение газа отсут- отсутствует) /*1 = -^р4г. G6) При U > ст (скорость потока значительно больше вероятной ско- скорости хаотического движения молекул) так как в этом случае — -^- « 0, erf l^-\ « 1. Найдем теперь тангенциальную к поверхности тела составляю-
158 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ щую секундного количества движения молекул, падающих на единичную площадку (проекцию на ось z). Для молекул, скорости которых лежат в узком интервале значений ц, u + du; v, v + dv; w, w + dw, тангенциальная проекция секундного количества движения равна —pfu\W\ du\ dv\ dw\. G8) Для всех молекул имеем по аналогии с F7) или G2) 1г1 = р УтЬ) J dVl J WldWl' "lX \ ГП j _oo .„go q 1(и _ UJ + (U, — VJ + (Шл — WJ 1 -^ > ^{l 2 > Ф( 1 L\dUl. G9) ст J Заменим, как и прежде, тройной интеграл в G9) произведением трех интегралов. Значения двух из них уже известны (см. F8а) и F8в)), а третий легко определяется по аналогии с F86): Г Wiехр _(wi~wf dWi = L ст ] (80) Подставляя F8а), F8в) и (80) в выражение G9), находим тангенциальную к поверхности тела составляющую секундного количества движения молекул, ударяющихся о поверхность еди- единичной площади: В случае покоящегося газа (t/=W = 0), как и следовало ожидать, тангенциальная составляющая количества движения молекул равна нулю, так как импульсы молекул противополож- противоположного направления взаимно уничтожаются. Если скорость потока газа значительно превосходит вероят- вероятную скорость движения молекул (W>cm), то, как уже указы- указывалось при выводе выражения G7), поэтому, согласно (81), тангенциальная составляющая секунд- секундного количества движения молекул, ударяющихся о пластину, (82)
§ 6. ДАВЛЕНИЕ И ТРЕНИЕ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ 159 Отыщем теперь секундное количество движения для молекул, реэмитированных (отраженных) поверхностью тела. Если молекулы отражаются зеркально, то мы имеем дело с обращенной реэмиссией, когда для падающих и отраженных молекул нормальные составляющие количества движения равны по величине, но обратны по знаку (нормальная скорость при отражении меняет знак на противоположный): Lx = -/,з, (83) а тангенциальные составляющие количества движения до и пос- после отражения одинаковы и по величине, и по направлению (тан- (тангенциальная скорость при отражении сохраняется): /z2 = /z3 = /zl. (84) Если молекулы испускаются поверхностью дпффузно (с макс- велловским распределением скоростей хаотического движения), то ввиду отсутствия преимущественного направления у молекул тангенциальная составляющая количества движения после отра- отражения равна нулю: /*2 = /2д = 0. (85) Нормальная составляющая секундного количества движения при диффузном отражении может быть найдена с помощью следую- следующих соображений. Так как после диффузного отражения моле- молекулы газа утрачивают среднюю поступательную скорость газа (Е/ = 0), то секундная масса молекул, отбрасываемых единичной площадкой поверхности тела, определяется выражением G1) ^д. (86> 2 у л, Здесь Стл — вероятная скорость молекул при температуре ре- эмиссии, не равной температуре набегающего потока. Нормальная составляющая секундного количества движения диффузно отраженных стенкой молекул (при U = 0) определя- определяется из G6) { (87) Сопоставляя (86) и (87), имеем _ ^ (88> Величину Лсд нетрудно найти, исходя из того, что масса отра- отраженных от стенки молекул равна массе ударяющихся об нее- молекул (Схд = &х), но тогда, подставив G0) в (88), имеем
160 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Так как скорость хаотического движения молекул пропорцио- пропорциональна корню квадратному из температуры, то вероятная ско- скорость отраженных молекул может быть выражена через вероят- вероятную скорость молекул набегающего потока и отношение тем- температур Стд = Ст у Ti. (90) Здесь Гн — температура в иевозмущешюм набегающем потоке, Гд — температура молекул после отражения от стенки, которая зависит от температуры стенки Tw и коэффициента аккомода- аккомодации а. Пусть доля диффузно отраженных молекул составляет а, тогда энергия этих молекул пропорциональна величине оГд, а энергия зеркально отраженных молекул пропорциональна A — о)Тп. Суммарная энергия отраженных поверхностью моле- молекул пропорциональна величине oTn+(l-o)Tl Как было указано в § 2, коэффициентом аккомодации называ- называется отношение фактического изменения энергии молекул при их отражении от стенки к предельно возможному ее изменению, которое имеет место при полной аккомодации молекул, когда температура отраженных молекул равна температуре стенки Tw. Поэтому имеем ¦ Г*-[аТ + Ц-а)Т*] о(т*-Т) rp% rp rj'.% гр 1 н l w ' н i w Пользуясь этой формулой, можно по известным значениям ко- коэффициентов а и а найти температуру диффузио отраженных молекул Гд и затем по формуле (90) — вероятную скорость мо- молекул стд. Полученных сведений достаточно для определения аэродинамических сил, возникающих на теле при различных условиях свободно-молекулярного обтекания. Проекция силы равна изменению соответствующей проекции секундного количества движения молекул (при ударе и отраже- отражении) : Рх = /,1-7x2, Л = /,1-Л2. (92) Если доля диффузно отраженных молекул есть о, а зеркально отраженных молекул A — о), то а)/,з], (93) Рг = /21-[-а/2Д + A-а)/23], или на основании (83) и (84) />« = B-о)/,1 + о/яд, Pz = olzl. (94)
§ 6. ДАВЛЕНИЕ И ТРЕНИЕ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ОБТЕКАНИИ 161 Таблица 12.5 и ст 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 3 4 0 0,01 0,04 0,09 0,16 0,25 0,36 0,49 0,64 0,81 1 1,21 1,44 1,69 1,96 2,25 2,56 2,89 3,24 3,61 4 9 / и2 \ ехр(-— 1 V ст / 1 0,9900 0,9608 0,9139| 0,8521 0,7788 0,6977 0,6026 0,5274 0,4449 0,3679 0,2982 0,2369 0,1845 0,1409 0,1054 0,0773 0,0556 0,0392 0,0271 0,0183 0 ¦<?) 0 0,1125 0,2227 0,3286 0,4284 0,5205 0,6039 0,6778 0,7421 0,7961 0,8427 0,8802 0,9103 0,9340 0,9523 0,9661 0,9763 0,9838 0,9891 0,9928 0,9953 1 Используя выражения (94), G5) и (90), получаем окончатель- окончательное выражение для давления, которое оказывает свободно-мо- свободно-молекулярное течение газа на элемент поверхности, ориентирован- ориентированный по нормали к составляющей скорости невозмущенного по- потока газа: Аналогичным образом из (94), (80), (85) и (90) выводим И Г, Н.. Абрамович, ч, 2
162 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ общую формулу для напряжения трения на элементе поверхности при свободно-молекулярном течении В частном случае невозмущенного потока, перпендикулярного к поверхности тела (C=f/, F = 0, 1^ = 0), касательное напряже- напряжение (трение) равно нулю: тп = 0. (97) В частном случае потока, параллельного поверхности тела (С — 2 = W, U — 0, V = 0), давле- ехР\-щ)> ег^(с^/ ние 7 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 О \ \ I I I I г \/ Y / \ \ \ \ ч. •—•—. 1 2 Р = т 9сш X X и напряжение трения а 1СтС = -^ рсС. (99) При полиостью диффузном отражении молекул от стен- стенки (о = 1) имеем р-Ь 1 + A00) Рис. 12.9. Вспомогательные функции ехр(— U2/c^) и erf (Uj'cm) В формулах (95) и (96) ско- рость набегающего потока считается положительной, если вектор U направлен к обтекаемой поверхности, и направлен от поверхности, возникающих на передней отрицательной, если этот вектор Иначе говоря, при расчете сил, возщ рд стороне тела (обращенной к набегающему потоку), нужно счи- считать скорость положительной (?/>0), а на задней стороне те- тела — отрицательной (U < 0). Так как здесь под U понимается абсолютная величина ско- скорости, то для передней части тела (?/>0) формулы (95) и (96) пригодны без изменений (рп = Р, тп.= т); для задней стороны тела (U<0) формулы (95) и (96) нужно записать в следующем
§ 7. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ТЕЧЕНИИ 163 виде raJJ- A02) Для облегчения расчетов по формулам (95), (96), A01) и / U2 \ A02) в табл. 12.5 приведены значения функций ехр % I \ ст I и eri — для различных величин —. По этим данным построе- \ cmj cm ны также кривые на рис. 12.9. § 7. Расчет аэродинамических сил при свободно-молекулярном обтекании твердых тел В предыдущем параграфе указаны методы определения нор- нормальных и тангенциальных напряжений, возникающих на эле- элементарной площадке поверхности тела при свободно-молекуляр- свободно-молекулярном обтекании. Найдем аэродинамические силы, действующие на тело в целом. Пусть скорость невозмущенного потока С составляет угол р с элементом поверхности тела (местный угол атаки), тогда угол ф между вектором С и нормалью к поверхности (рис. 12.10) Следовательно, проекции скоро- скорости на нормаль и касательную к поверхности составляют со- соответственно U = С cos ф = С sin В, A03) Рис. 12.10. К определению аэродина- о мических сил на пластине при мо- Определим силы, действующие лекулярном течении газа на пластину. Нормальная к пластине составляющая аэродинамической силы равна произве- произведению площади пластины на разность давлений, приложенных к передней и задней ее сторонам: Pn = (Pa — pz)F. A04)
164 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Тангенциальная сила равна произведению площади пластины на сумму напряжений трения, возникающих на обеих ее сторонах: A05) Подставляя A03), (95) и A01) в A04) и принимая для про- простоты о = 1, Тдп. = Тх3 = Тп, найдем величину нормальной силы п = iPclFU-?^1 exp f- На основании A03), (96) и A02) получим из A05) величину тангенциальной силы С2 sin2 г> п от? \ 1 (С2 sin2 р \ , ф1п р р Pt = pcmC cos PF {-, exp ^ ?-?. j + _L_fi erf A07) Теперь нетрудно определить суммарную аэродинамическую силу, направленную перпендикулярно к скорости набегающего потока, т. е. подъемную силу на пластине Ру = Рп cos р - Pt sin p = 1 Fpci cos p [?^i /й + erf A08) и суммарную аэродинамическую силу, направленную по скорости набегающего потока, т. е. силу сопротивления пластины Рх = Рп sin р + Рх cos р = 4 pclF U= ?- exp f - 2 Ц/я cm \ ^)j. A09> Найдем из A08) и A09) аэродинамические коэффициенты пла- пластины при свободно-молекулярном обтекании A10) A11)
§ 7. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ТЕЧЕНИИ 165 Коэффициенты су и сх можно выразить в функции числа Маха, если с помощью E7) и F3) вероятную скорость хаотического движения молекул ст заменить скоростью звука. В соответствии с этим имеем A12) Зависимости су(М), с*(М) для нескольких значений угла атаки пластины представлены на рис. 12.11 и рис. 12.12. Аэродинамические силы при свободно-молекулярном обтека- обтекании можно рассчитать и для тел более сложной формы, чем СУ pi 1 А \ j == ———— 1 О Рис. 12.11. Зависимость коэффициента подъемной силы пластины от числа Маха при молекулярном течении газа плоские пластины, но при этом расчет целесообразно проделать для передней и тыльной сторон тела порознь, пользуясь соответ- соответствующими выражениями (95) и (96) или A01) и A02) для нормальных и тангенциальных напряжений. Выполним расчет аэродинамических сил при свободно-молеку- свободно-молекулярном поперечном обтекании кругового цилиндра бесконечной длины. Проекция аэродинамической силы, приложенной к элементар- элементарной площадке dF, на направление невозмущенного потока (ло- (лобовое сопротивление) в соответствии с рис. 12.13 равна dPXw = (p sin p + х cos p) dF, dPxa = (—р sin p + т cos p)dF. (ИЗ) Проекция той же силы на перпендшсуляр к направлению
166 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ 9 8 7 6 5 4 3 2 1 О 111 ж 10° \\ \зо° 60° ¦^— ^— — • ^ ' —¦ — — I ' 1. —^—.^^ «¦¦вам ¦ 123456789 10 s = Mi/ Рис. 12.12. Зависимость коэффициента лобового сопротивления пластины от числа Маха при молекулярном течении газа dPxn =(рпп sin J5 + гп cos fi)df С -рпз s»n fi)dF Рис. 12.13. К определению проекций на направление потока сил давления и трения при поперечном обтекании цилиндра
§ 7. АЭРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ ПРИ МОЛЕКУЛЯРНОМ ТЕЧЕНИИ 167 невозмущенного потока dPyn = (p cos р — т sin p) cZF, dPy3 = (p cos p + т sin p) dF. A14)' Проинтегрировав эти выражения в пределах от Pi (нижний край поверхности тела) до [Ь (верхний край), получим значения силы лобового сопротивления Рх и подъемной силы Ру, действующих на заданный участок поверхности тела. В частном случае ци- цилиндра (рис. 12.13) подъемной силы нет (Ру = 0), а сила лобо- лобового сопротивления может быть получена из A13) с помощью (95) и (96) для передней стороны цилиндра (единичной длины) Л/2 A15) где dF = —Rd(p = R dp. Аналогичным путем с помощью A01) и A02) для задней стороны цилиндра получим Я/2 A16) Коэффициент сопротивления цилиндра : + Рхз Сх=-7- \ pC22R Используя соотношения A15) и A16) и вводя обозначение s = С/ст, имеем ]) Л/2 Л/2 Л/2 ]) Очевидно (см. рис. 12.13), что выражение для сх можно получить (как и для пластины) по формуле Л/2 / сх= 1 ' f
168 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ Значения интегралов, входящих в выражения A17): Я/2 „2 о Я/2 F2 = j sin p erf (* sin p) dp О Я/2 Здесь величины - х2 dx представляют собой так называемые модифицированные функции V/ j I 1 1 j J i 1^ i / / / / / / 7 4 / / 14 12 10 8 6 4 2 \ о V \ — Теория о Опыты Г} о о гдвииа о Штал1 u/fpi ьдера, мера — Рис. 12.14. Модифицирован- ные функции Бесселя ну- левого и первого порядка ° 0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,0s Рис. 12.15. Зависимость коэффициента ло- бового сопротивления от числа s при по- поперечном обтекании цилиндра: сплош- сплошная линия — теория, кружочки — опыты Штальдера, Гудвина и Кригера Бесселя соответственно нулевого и первого порядков. Значения функций /о(s) и /i(s) приведены на рис. 12.14.
§ 8. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ 169 Подставляя значения F\, F2, F$ в уравнение A17), получим окончательно На рис. 12.15 изображена рассчитанная по формуле A17) зависимость коэффициента лобового сопротивления цилиндра от числа 5 = С/Сщ при свободно-молекулярном его обтекании гелием. Для сравнения на этом графике приведены также эксперимен- экспериментальные точки, полученные Штальдером, Гудвином и Кригером1) в аэродинамической трубе. При отыскании аэродинамических сил, возникающих при сво- свободно-молекулярном обтекании пластины и цилиндра, предпола- предполагалось, что температура поверхности тела равна температуре невозмущенного набегающего потока. Определение истинной тем- температуры тела в свободно-молекулярном потоке представляет самостоятельную задачу2), на которой мы здесь не останавли- останавливаемся. § 8. Свободно-молекулярное течение газа в длинной трубе Под свободно-молекулярным течением в длинной трубе пони- понимают такое течение, в котором длина свободного пробега моле- молекул I много больше диаметра трубы d. В этом случае необходимо учитывать столкновения молекул со стенками, но можно прене- пренебречь столкновениями молекул между собой, следовательно, максвелловское распределение скоростей хаотического движения молекул, устанавливающееся при отражении от стенок, внутри труб не нарушается. Найдем массу молекул, проходящих в единицу времени через поперечное сечение трубы (рис. 12.16). Для этой цели вырежем в поперечном сечении 2 трубы элементарную площадку dF и определим число молекул, отраженных стенками трубы, которое пересечет эту площадку. Пусть отражающий молекулы элемент поверхности трубы площадью d8 и длиной dx находится в сечении 2, отстоящем от сечения 2 на расстоянии х, а радиус-вектор В А, соединяющий площадки dF и йб, имеет длину г и составляет угол Э с осью трубы. Секундная масса молекул, отраженных площадкой d6 в на- направлении нормали к стенке, согласно G1), равна dG pcd 1) Stalder J. R., Goodwin G., Greager M. О. // NACA Report.— 1951.-№1037. 2) Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.— М.: Физматгиз, i960.
170 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ где pi — плотность газа в сечении 1 (в окрестности площадки db), с—средняя скорость молекул. Проекция площадки d6 на плоскость, нормальную к радиусу-вектору г, составляет cos ф d6, где ф — угол между радиусом-вектором г и нормалью к площад- площадке db (т. е. направлением радиуса трубы). Секундный расход Рис. 12.16. К определению расхода газа в трубе при молекулярном течении молекул, попадающих с площадки db на площадку dF, опреде- определяется, таким образом, выражением 1 ~ dy dGrl = — р±с cos ф d6 —-. A18) Здесь d% — телесный угол, под которым площадка dF видна из центра площадки d6, а отношение d%/n равно доле общего числа молекул, отражаемых площадкой d& во всю охватывающую ее внутреннюю полусферу, которая попадает на площадку dF. По определению, телесный угол d%, охватывающий площадку dF', равен отношению проекции этой площадки на плоскость, нормальную к радиусу-вектору г, к квадрату величины радиуса- вектора Обозначим ф угол между отрезком прямой, соединяющим центр площадки dF с точкой пересечения образующей трубы, прове- проведенной из центра площадки йб, с плоскостью сечения 2, и опу- опустим перпендикуляр t из центра площадки dF на нормаль к стенке трубы п. Из сравнения (рис. 12.16) двух прямоугольных треугольников BCD и ACD с треугольникам ABD, имеющим с ними общие стороны, следует, что &ABD прямоугольный, и по- поэтому имеют место равенства = gcos\|), r cos 6 = х. A20). Подставляя A19), A20) в A18), приходим к следующему вы- выражению для элементарной массы молекул, отражаемых элемен- элементом поверхности трубы db (в сечении 1) на элемент dF попереч-
S 8. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ 171 ного сечения 2: dGn = —2 Pic cos Ф cos Qd8dF = —- Pic dFq cos tyx dL dx. A21) Anr Anr Здесь элементарная дуга периметра трубы dL = r0 di|) = —, причем dip — угол, стягиваемый элементарной дугой dL, г0 — ра- радиус трубы. Так как r2 = x2 + q2, то из A21) имеем г dF Рлх dx d&n = ~— --— 2^2 ? C0S "Ф ^* Естественно, что и от элемента dF сечения 2 идет поток моле- молекул на элемент поверхности трубы d6, расположенный в сече- сечении 1; этот «обратный» поток от- отличается от рассмотренного выше потока знаком, а также тем, что плотность газа в сечении 2 имеет другое значение; таким образом, секундная масса «обратного» по- потока составляет 7л с dF Pn% (*х Здесь средняя скорость с принята такой же, как и для dGrX ввиду постоянства температуры. Результативный поток моле- молекул в направлении цадения плот- плотности имеет секундную массу dG = dGrl + dGr2 = cdF An а cos tdL A22) Рис. 12.17. К определению расхо- расхода газа через элементарную пло- ЩаДкУ поперечного сечения тру- бы при молекулярном течении Рассмотрим случай течения, при котором градиент плотности по длине трубы невелик, и поэтому можно принять A23) dp —P2 = x'dx- Подставляя A23) в A22), приходим к окончательному виду выражения для результативной секундной массы молекул, при- приходящих от элемента поверхности трубы d8 к элементу попереч- поперечного сечения dF: ts*i с dF x dx dp ¦ 7 г /л о /\ Проведем в сечении 2 через точку А — центр площадки dF —• произвольную линию отсчета MN (рис. 12.17), составляющую
172 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ с отрезком АК = q угол f- Так как элемент периметра трубы dL в окрестности К виден из dF под углом d^, то проекция дуги dL на нормаль к отрезку АК q dy = cos г|) dL. A25) Если подставить соотношение A25) в A24) и проинтегрировать полученное выражение в пределах — °° ^ # ^ <х>? 0< ч ^ 2я, т. е. решить задачу для бесконечно длинной круглой трубы, то полу- получится следующее выражение для секундного массового расхода газа через единичную площадку сечения: 2Я с» ао _ 'с dp С С <?V dx , О —оо Градиент плотности газа по длине трубы принят в A26) по- постоянным в связи с тем, что массовый расход газа из условия стационарности течения должен быть постоянным. Вычисляя предварительно интеграл оо сю Г *2dx _ J_ f ** _ J_ arctff l—\ \+°° - — — oo —oo и подставляя значение A27) в A26), имеем ¦§--¦Hs О и далее 2Я F О Для трубы круглого сечения этот двойной интеграл можно пре- преобразовать следующим образом (так как интеграл J о круга не зависит от начального положения луча q): 2Я 2Я \ dF \ q dy = | dy \ qdF = 2я j qdF. A30) f Ь о f f В прямоугольной системе координат, если выбрать для q на- направление оси у (рис. 12.17), получим
§ 8. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ 173 Подставляя A31) в A30) и затем в A25), получаем следую- следующее выражение для секундного массового расхода газа по длин- длинной круглой трубе: G = -_roc-^. A32) При постоянном градиенте плотности и постоянной температуре из уравнения состояния имеем d? dp P2 x—9- *-?• dx RTdx RTl где I — длина трубы, по которой давление изменяется от р\ до р2. Окончательная формула для секундного расхода газа при свободно-молекулярном течении по длинной круглой трубе имеет следующий вид: A33) Отсюда средняя скорость в произвольном сечении трубы р [ Pl средняя скорость в начальном сечении трубы A35) и в конечном сечении трубы ^M1- A36) Величина с — средняя скорость хаотического движения молекул согласно E7а) При очень большом падении давления в трубе (Р2<^-Р\) имеем соответственно Из выражений A34) — A37) видно, что величина средней ско- скорости течения газа при свободно-молекулярном режиме не зави- зависит от плотности (или давления) газа. Соотношение A33) позволяет найти время, необходимое для заданного понижения давления в сосуде, находящемся под боль-
174 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ шим разрежением. Например, Кеннард1) рассчитал, что в колбе объемом в 1 дм3 с начальным давлением 0,01 мм рт. ст. при соединении ее с высоким вакуумом (Р2/Р\ ~ 0) посредством труб- ки длиной 30 см и диаметром 2 мм давление понизится вдвое за 3 минуты. Как видим, откачка газа из сосуда при большом разрежении является весьма медленным процессом. Однако если бы течение в трубке в указанном примере Кен- нарда происходило по закону Пуазейля (как для сплошной сре- среды), то для снижения давления в колбе вдвое понадобилось бы не 3 минуты, а 2 часа. Мы определили выше расход газа в длинной трубе при пол- полностью диффузном отражении молекул стенками; если часть молекул а отражается диффузно, а остальные молекулы отража- отражаются зеркально, то расход газа по трубе возрастает (скорость движения вдоль трубы зеркально отраженных молекул после ударов о стенку не изменяется). Смолуховский2) показал, что увеличение расхода газа в этом случае происходит в отношении «--Ц*. I A38) где Сд—секундный расход при полностью диффузном отраже- отражении, который определяется по формуле A33). Опыты Кнудсена3), в которых различные газы (водород, кислород и углекислый газ) отсасывались через стеклянную ка- капиллярную трубку длиной 12 см и диаметром в свету около 0,3 мм, подтверждают приведенные выше формулы (для о = 1). Гэде4), проделавший позднее и более тщательно подобные опы- опыты с водородом и азотом (отсос производился с помощью стек- стеклянной трубки диаметром около 0,2 мм), также подтвердил рас- расчетную формулу, но обнаружил, что при давлении выше 0,01 мм рт. ст. опытное значение расхода газа становится на несколько процентов ниже теоретического (при о = 1). Девиен и др.5) изучали молекулярное течение сухого возду- воздуха по металлической трубке длиной 80 см и диаметром 4 см; в опытах измерялся расход газа и величины давления на рас- 1) Kennard E. H. Kinetic theory of gases: New York —London: McGraw-Hill, 1938. 2) Smoluchowski M. Zur kinetischen Theorie der Transpiration und Diffusion verdunnter Gase / Ann. der Phys.—1910.—Bd 33.—S. 1559. 3) Knudsen M. a) Die Gesetze der Molekularstromung und der innere Reibungsstromung der Gase durch Rohren // Ann. der Phys.— 1908.— Bd 28.— S. 75. 6) Molekularstromung des Wasserstoffs durch Rohren / Ann. der Phys.— 1911.— Bd 35.— S. 389. 4) Gaede W. Die aussere Reibung der Gase / Ann. der Phys.— 1913.— Bd 41.— S. 289. 5) Д е в и е н М. Течения и теплообмен разреженных газов.— М.: ИЛ.— 1962.— 188 с.
§ 9. МОЛЕКУЛЯРНОЕ ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЕ 175 стояниях 10, 30, 50 и 70 см от конца трубки; в результате были подтверждены следующие факты: постоянство градиента давле- давления по длине трубки и линейная связь между разностью давле- давлений на концах и секундным расходом газа; оказалось, что при малых скоростях течения а ~ 1, при переходе к большим скоро- скоростям значение а уменьшалось. § 9. Молекулярное истечение газа через отверстие в стенке и через короткую трубу Рассмотрим свободно-молекулярное перетекание - газа через отверстие радиуса г0 в стенке (рис. 12.18), по обе стороны кото- которой давления, температуры и плотности газа неодинаковы. Пусть толщина стенки б сравнима с длиной свободного про- пробега молекул, вследствие чего возможно лишь однократное столк- столкновение молекулы с внутренней поверхностью, ограничивающей отверстие. Секундная масса молекул, попадающая в отвер- отверстие из зоны 1 в зону 2, согласно G1) составляет Секундная масса молекул, которые ударяются о pJ}pf внутреннюю поверхность отверстия, приблизи- приблизительно равна п 1 Р2>Р2 верстие в стенке Рис. 12.18. К ра- расчету молеку- молекулярного исте- Последнее выражение не является точным, так чения через от- как состояния газа внутри отверстия и в зоне 1 отличаются. Около половины массы G& приходит из зоны 1 и после отражения от стенки делится на две равные части, из которых одна отражается в зону 1\ в итоге из зоны 1 вытекает в отверстие секундная масса Gi = Glx--±-G6=±- Аналогичным образом определяется масса, вытекающая в отвер- отверстие из зоны 2: Суммарный расход газа, устанавливающийся в направлении к зоне 2, в которой величина рс имеет меньшее значение, очевид- очевидно, равен G = G, - G2 = -I" (РЛ ~ Р2^2) (l - ?rj nri A39)
176 ГЛ. XII. ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННЫХ ГАЗОВ или на основании уравнения состояния и соотношений C) (т Мы получили для свободно-молекулярного истечения через от- отверстие в стенке выражение A40) более общего вида, чем в § 8 для длинной трубы, так как A40) учитывает не только разность давлений, но и разность температур по обе стороны стенки. В случае очень тонкой стенки F = 0) секундный расход че- через отверстие определяется следующей формулой: О[/Гх Из формул A40) и A41) следует, что молекулярное истечение возможно даже в сторону более высокого давления (если корень квадратный из температуры увеличивается сильнее, чем давле- давление); при равных давлениях истечение происходит в сторону более высокой температуры (термодиффузия); равновесие (ну- (нулевой расход) устанавливается при условии Формулы A33) и A40) не пригодны для короткой трубы, если ее длина I значительно больше длины свободного пробега моле- молекул. Для этого случая Клаузинг1) получил численное решение, которое с точностью до 1,5% аппроксимируется (при Т = const) формулой 20 + f 20 + f _ G = 20+1« Лм» г« СРх - Л) V Яг- l) Clausing P. t)ber die Stromung sehr verdiinnter gases durch Roh- ren II Ann. der Phys.— 1932.— Bd 2.— S. 961.
Глава XIII ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 1. Введение При движении электропроводной жидкости в электрическом и магнитном полях возникает электромагнитная объемная сила (э. о. с), иногда называемая пондеромоторной силой, которая действует на все частицы жидкости. Кроме того, при прохожде- прохождении через жидкость электрического тока выделяется джоулево тепло. При исследовании движения электропроводной жидкости в электрическом и магнитном полях приходится учитывать эти два новых воздействия, внося в уравнения движения и энергии соот- соответствующие дополнительные члены. Это обстоятельство приводит к увеличению числа переменных и к необходимости соответству- соответствующего увеличения числа уравнений; такими дополнительными уравнениями являются уравнения электродинамики Максвелла. Совокупность уравнений Максвелла, уравнений Навье — Стокса, в которые внесены электромагнитные объемные силы, уравнения энергии, включающего джоулево тепло, и уравнения состояния представляет собой систему дифференциальных уравнений маг- магнитной гидрогазодинамики. При высоких температурах порядка нескольких тысяч граду- градусов, а также при очень низких давлениях газы находятся в иони- ионизированном состоянии и поэтому электропроводны, подобно жид- жидким металлам и некоторым другим капельным жидкостям-элек- жидкостям-электролитам; сказанное выше о воздействии электрического и маг- магнитного полей на электропроводную жидкость и об учете этого воздействия относится и к ионизированному газу. В развитии магнитной гидрогазодинамики нуждаются астро- астрофизика, авиационная и ракетная техника, а также энергетика. Астрофизики изучают строение Солнца и других звезд, в ко- которых газ находится в сильно ионизированном состоянии под действием очень высоких температур, а также «холодного» меж- межзвездного газа, ионизированного при весьма малой его плотности. Современная авиационная и ракетная техника создает аппа- аппараты, летящие в атмосфере со скоростью порядка нескольких километров в секунду. Температура воздуха у поверхности тела, имеющего такую скорость, приближается к температуре электри- электрической дуги, вследствие чего воздух заметно ионизируется. Если на такой воздушный поток наложить электрическое и магнитное 21 Г. Н. Абрамович, ч. 2
178 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики поля, то возникнет электромагнитная объемная сила, которая при определенных условиях окажется сравнимой по величине с аэродинамическими силами. Особенностью электромагнитной объемной силы является то, что в отличие от других объемных сил (силы тяжести, инерци- инерционных сил) ею можно управлять, воздействуя на вызывающие ее электрическое и магнитное поля. Изменяя величину электро- электромагнитной силы, можно влиять на интенсивность и форму удар- ударных волн, увеличивать критическое значение числа Рейнольдса при переходе ламинарного режима течения в турбулентный, замедлять или ускорять поток электропроводной жидкости (или газа), вызвать деформацию профиля скорости и отрыв погра- пограничного слоя. Используя электропроводную жидкость или газ, можно со- создать генератор электрического тока, в котором осуществляется прямой переход тепловой энергии в электрическую; находят при- применение магнитные дозаторы, расходомеры и насосы для пере- перекачки ртути и жидких металлов; известны и другие области применения магнитной гидрогазодинамики в технике, например в приборостроении. В настоящее время четко вырисовываются две области маг- магнитной гидродинамики: в первой — считается, что среда обладает бесконечной проводимостью (астрофизика), во второй — имеют дело со средой конечной проводимости (магнитная газовая дина- динамика различных технических аппаратов). В § 10 настоящей главы рассматриваются некоторые свой- свойства магнитогазодинамических волн, которые возможны лишь в бесконечнопроводящей среде; в остальных параграфах речь идет только о средах конечной проводимости. § 2. Элементы электростатики и электродинамики Взаимодействие между двумя точечными электрическими зарядами q\ и q2, находящимися на расстоянии г друг от друга, описывается законом Кулона Здесь / измеряется в ньютонах, г — в метрах, q — в кулонах. Величина е0 называется электрической постоянной. Она равна * » 8,856-КГ12 Ф/м = 8,856-10-12А2с4/(кг.м3). ео= q9 Безразмерная величина е называется диэлектрической проницаемостью среды и указывает, во сколько раз сила взаимодействия в изотропной не- непроводящей среде меньше силы взаимодействия в вакууме. Произведение диэлектрической проницаемости е и электрической по- постоянной 80 обозначают еа и называют абсолютной диэлектрической прони- проницаемостью. Из закона Кулона A) следует, что вокруг неподвижного электрического заряда образуется силовое поле, называемое электростатическим полем.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 179 Помещая в электростатическое поле заряда q\ положительный заряд q2 и измеряя силу /, приложенную к нему, мы получаем .ректор напряженности электрического поля в данной его точке. Если поле создается несколькими точечными зарядами, то напряженность его равна векторной сумме напряженностей полей отдельных зарядов. Если провести в данном поле линию, во всех точках которой вектор напряженности касателен к ней, то мы получим линию напряженности, которая аналогична линии тока в стационарном поле скоростей. Линии напряженности проводят обычно так, чтобы через единицу пло- площади ASn, нормальной к ним, проходило число линий ANE, равное значе- значению местной напряженности поля: Тогда число линий, проходящих через произвольно расположенную площад- Д?, очевидно, составит ANE = EnAS, или NE = [ Еп dS. C) 8 Здесь Еп — проекция напряженности на нормаль к площадке. Большинство тел разделяется на два класса, на проводники, пе- передающие заряды (электризацию), и диэлектрики, не передающие зарядов. В диэлектрике, в отличие от пустоты, где линии напряженности тянут- тянутся от одних свободных зарядов до других или уходят в бесконечность» часть линий напряженности должна обрываться на связанных зарядах, возникающих вследствие поляризации. Для того чтобы избежать разрыва силовых линий, вводят дополни- дополнительное понятие — вектор электрической индукции D = 8аЕ, D) который параллелен вектору напряженности. Нетрудно показать, что линии вектора индукции (в отличие от линий напряженности) в направлении нормали к незаряженной поверхности раз- раздела двух сред1) сохраняются, обрываясь только на свободных зарядах, а тангенциальные составляющие терпят разрыв: *«=*.•" t=t- Da) Составляющие вектора электростатической напряженности ведут себя про- противоположным образом, поэтому для них справедливы соотношения Примем число линий потока вектора индукции, пересекающих единицу площади элементарной площадки Д?п, перпендикулярной к вектору индук- индукции, равным величине вектора индукции: AND Для произвольно ориентированной площадки AS получим AND = DAS cos a = DnAS, 1) Имеется в виду поверхность, на которой нет свободных зарядов. 12*
180 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ где Dn — проекция вектора индукции на нормаль к площадке AS, a — угол между нормалями к площадкам AS и ASn. Поток вектора индукции через конечную поверхность равен ^D == ) ^п ^3'• E) 8 По теореме Остроградского — Гаусса поток вектора электрической ин- индукции D через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сум- сумме охватываемых ею зарядов: ND = Xq. F) Введем функцию У, называемую потенциалом точечного заряда q: Разность потенциалов в двух точках поля измеряет работу перемещения единичного положительного заряда из одной точки в другую - Потенциал точки поля равен работе перемещения единичного положи- положительного заряда из этой точки в бесконечность (F2 = qjoo = 0). Из B) и E) следует, что между работой перемещения заряда А и на- напряженностью поля Ег существует следующая связь: 2 2 или ^Erdr = V1-V2. (9) i 1 При перемещении заряда по замкнутому контуру (Vi — V2) работа равна нулю: & A0) Как известно из теории поля, левая часть выражения A0) представляет собой циркуляцию вектора Ег по замкнутому контуру. Равенство циркуля- циркуляции нулю свидетельствует о том, что электростатическое поле является потенциальным. Семейство эквипотенциальных поверхностей ортогонально к семейству линий напряженности. Дифференцируя второе из выражений (9) вдоль линии напряженности, имеем dV Er = ~1F- (ID Таким образом, напряженность электрического поля численно равна гра- градиенту потенциала по нормали к поверхности уровня. В трехмерном электростатическом поле ьх—~~дх' ЬУ~~~ ду' tjz~~~~~dz> или в векторной форме E = -gradF. A2а) В системе СИ единицей разности потенциалов служит вольт. Если заряд q не сосредоточен в точке, а распределен равномерно по. поверхности S или по объему у, то обычно пользуются понятием о поверх-
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 181 ностной или объемной плотности заряда ррЬ <13> Из теоремы Остроградского — Гаусса F) следует соотношение, связы- связывающее суммарный поток индукции электрического поля на поверхности с плотностью зарядов в объеме v, охватываемом этой поверхностью: vdv A4) (здесь п — внешняя нормаль к поверхности S). Установим связь между напряженностью, потенциалом и объемной плотностью для сред с постоян- постоянной диэлектрической проницаемостью. Для этого выделим в прямоугольной системе координат элементарный параллелепипед объемом dv = dxdydz с зарядом dq = pvdxdydz. Разность напряжений на противоположных гранях, дЕх , параллелльных плоскости yz, равна —±dx, на остальных двух парах дЕу дЕ2 граней соответственно -^ dy и _- dz, r dy dz С помощью C) определим разность суммарных потоков напряженности на противоположных гранях параллелепипеда dN7J = 6^ldxdy dz, dNz = —Zdxdy dz. y dy dz Следовательно, изменение потока напряженности через всю поверхность параллелепипеда dNE = dNx + dNy + dNz = ^I + d^I+dJlj dx dy dz. Из теоремы Остроградского — Гаусса F) имеем dNE = dq = pvdxdydz, или, подставляя dNEi дх "*" ду + dz ~ ва* В векторной форме уравнение A5) можно записать в виде divE=-A A5а) Согласно теории поля это уравнение вытекает непосредственно из A4). Со- Составляющие вектора напряженности электрического поля ЕХч Еу, Ez можно на основании A2) заменить производными потенциала, тогда A5) прини- принимает следующий вид: дх2+ dy2+ dz2~~ ea'
182 ГЛ. XIII.; ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ИЛИ AV = --^-. A6) Зависимости A5) и A6) играют в электростатике такую же роль, как уравнение неразрывности в гидродинамике. Соотношение A5) можно рас- пространить на вектор индукции, если в правую часть подставить плот- плотность свободных зарядов р0: или в векторной форме divD = p0. A7a) В качестве основной единицы электромагнитных величин принята сила тока в один ампер. «Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участ- участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2*10~7 Н» (ГОСТ 8.417-81 «ГСИ. Единицы физических величин»). Согласно установленному опытным путем закону Ома имеем V V I = -L-—l, A8) Л где V\ — V2 — разность потенциалов на концах проводника, R — сопротив- сопротивление проводника. У проводника постоянного сечения S и длины I сопротивление равно где vR — удельное сопротивление материала. В системе СИ сопротивление измеряется в омах, причем ^=1 В/А. B0) За единицу удельного сопротивления обычно принимают сопротивление проводника длиной в 1 м и сечением в 1 мм2: 1 Ом 10~6м = 10~6 Ом-м. 1м Пользуются также удельной проводимостью (или электропроводимостьюI) Значения удельного сопротивления и электропроводимости некоторых ве- веществ при) t = 0° приведены в табл. 13.1. Данные о проводимости термически ионизированного чистого воздуха можно заимствовать из работ Лина, Сирса, а также Хинитца, Эйзена и *) Единица проводимости сименс равна 1 См = 1 Ом-1.
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 183 Грасса ). измерявших ее за ударной волной в ударной аэродинамической трубе; начальное давление перед скачком уплотнения составляло 1 мм рт. ст., начальная температура воздуха была близка к 300 К, температура Таблица 13.1 Проводник Алюминий Графит Железо чистое Медь чистая Ртуть Вода чистая Вода соленая (насыщенная при 25 °С) v#, Омм 2,53-10-8 39,20-10-8 8,69-10-8 1,55-10-8 94,30-10-8 0,50-105 0,04 См а*> — 39,50-106 2,55-106 11,48.106 64,50-106 1,06-106 2-Ю-5 25 за ударной волной определялась по значениям числа Маха. На рис. 13.1 приведены кривые проводимости чистого воздуха и воздуха, содержащего в качестве примеси 0,1 % по весу паров калия 0,01 и 0,001 % паров цезия 7ОА 1Од ю2 W1 —4 1/ / j 1 / 1 1 /м — / / >< / 1 —f / / / / { Воздух-* 0.01%С S ^,Воздух+0,001%Ьъ о. чздух+О, оздух 1 /о\\ 101 10 J 1 P/Po'K 10-1^ I к ii 1 1 /// Ш W/ V/ / ft* 1/ 10'510'b 3000 4000 5000 6000 7000 Т, К Рис. 13.1. Электрическая проводи- проводимость чистого воздуха с присад- присадками калия и цезия при р = = 1000 Н/м2 6 8 10 1Z T-10~zK Рис. 13.2. Электропроводность воздуха при разных давлениях Ро = Ю5 Н/м Расчетные кривые зависимости проводимости воздуха от температуры при разных давлениях даны на рис. 13.2. !) Lin S. G. Electrical conductivity of thermaly ionized air producted in a shock tube // AVCO Res. Note 26, 1957; Sears W. R. II ARS J— 1959.-V. 29, №,6; Chinitz L., Eisen C, Grass R. // ARS J.-1959^
184 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики Сила тока является величиной скалярной. Для определения не только количества переносимого электричества, но и направления переноса поль- пользуются вектором плотности тока, величина которого равна AL а/ ; =ASn= AS cos a' B2> Здесь ASn — поверхность площадки, ориентированной по нормали к направ- направлению тока А/, причем положительным считается ток положительных заря- зарядов; в выражении B2) величина а есть угол между нормалью к площадке AS и вектором плотности тока. Ток течет в сторону падения потенциала, т. е. вектор плотности тока j параллелен вектору напряженности Е. В связи с этим формулу закона Ома можно видоизменить, представив ее в векторной форме. В самом деле, откуда A/ AV ASn ~ —°R Al • Так как j II Е, то, согласно (И) и B2), 3 = ОдЕ. B3) Если ток течет через замкнутую поверхность AS, то положительному направлению тока соответствуют внешние нормали к этой поверхности. Убыль зарядов внутри замкнутой поверхности AS, обозначаемая Ад, равна сумме элементарных токов, протекающих сквозь эту поверхность: Щ = XjnASAt = -Aq, или / = j/n^=-ii. B4) S Распределение электрического тока принято представлять с помощью линий тока; в каждой точке поля направление вектора плотности тока каса- касательно к линии тока. Если заряд внутри замкнутой поверхности не изменяется, то все линии тока пересекают эту поверхность или замыкаются внутри нее. Линии тока обрываются лишь в тех местах, где имеется убыль (или накопление) за- зарядов. Составим уравнение сохранения заряда в дифференциальной форме. В элементарном параллелепипеде со сторонами dxdydz при объемной плот- плотности зарядов pv за время dt происходит изменение заряда на величину Это изменение обусловлено разностью сил токов на противоположных гранях \( ^\ J ^ dx dy dz dt. Kdj' \ 1 df j 4- —- dx — ;' dy dz dt = -— < * dx J x\ dx \(}y + ^dy^-}y]dxdzdt = ^dxdydzdt, [(¦ jz + d?*dz\— /zj dx dydt = ^. dx dy dz
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 185 Таким образом, имеем дя cty dz д? или в векторной форме div з = — —-. B5а) J dt ; Если в цепи Vx > V2, то ток всегда течет от V\ к \та\ для того чтобы цепь была замкнутой, ток внутри электрической батареи — источника то- тока — должен течь в обратную сторону, т. е. от отрицательного электрода к положительному. Это осуществляется за счет так называемой электро- электродвижущей силы <§ (ЭДС), уравновешивающей разность потенциалов во внешней цепи и падение потенциала на внутреннем сопротивлении Rq ба- батареи: & = ух — V2 + IRo. B6) Источниками ЭДС могут быть химические реакции (в батарее), электро- электромагнитная индукция (в генераторе) и др. Остановимся на тепловом действии электрического тока. Количество электричества, переносимое от одного конца проводника к другому за вре- время t, равное It, производит работу, пропорциональную разности потен- потенциалов А If IV, Vn ) (97\ х\ — 1 L \ V i ^^ V 2/ • V • / Отсюда на основании закона Ома имеем А = I2Rt. B7а) Работа идет на нагревание проводника. При силе тока / = 1 А за время t = 1с переносится количество электричества q = 1 Кл (кулон). При разности потенциалов в 1 В в этом случае совершается работа 1 Кл X 1 В = 1 Дж. Отношение тепловой мощности A/t к объему проводника SI называется плотностью тепловой мощности А Отсюда на основании илп с учетом B3) B2), и B7а) ? '~°R W - и: B1) имеем Дж о , ИЛИ м -с = GRE2 = jE. Вт м3 B8а) При сверхпроводимости (ая->оо), согласно B8), плотность тепловыделе- тепловыделения стремится к нулю. Полная мощность, выделяемая в цепи, слагается из мощностей внеш- внешней и внутренней частей цепи: W = /JT, т. е. полная мощность равна про- произведению силы тока на электродвижущую силу. Вокруг проводника, по которому течет электрический ток, возникает магнитное поле, характеризуемое линиями магнитной напряженности; касательная в любой точке такой линии совпадает с направлением вектора напряженности Н магнитного поля. Вокруг длинного прямого проводника линии магнитной напряженности имеют форму концентрических кругов; их направление определяется так
186 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ называемым правилом буравчика: если поступательное движение бурав- буравчика совпадает с направлением тока, то направление вращения его ру- рукоятки совпадает с направлением магнитных линий напряженности. Магнитное поле соленоида, т. е. системы одинаковых круговых токов (витков) с общей прямолинейной осью, представлено на рис. 13.3. В сред- средней части внутренней полости соленоида магнитные линии параллельны оси соленоида; у концов соленоида магнитные линии искривляются и выхо- выходят наружу, замыкаясь вне соленоида, где поле становится очень слабым. А Рис. 13.3. Магнитное по- поле соленоида Рис. 13.4. К определению поля магнитной напряжен- напряженности вокруг проводника с током Через единицу поверхности А?п, нормальной к линиям магнитной на- напряженности, проводят, как это принято в теории поля, число линий, рав- равное значению напряженности. Если нормаль к площадке AS расположена под углом а к линиям напряженности, то имеем ASn == \AS cos а, откуда общее число линий Д/V = HAS cos a. Так как Н cos a к площадке, то Нп есть проекция вектора напряженности на нормаль AN = HnAS. B9) Положительным обычно считают направление внешней нормали. В отличие от линий электростатической напряженности, которые обры- обрываются на зарядах, линии магнитной напряженности всегда замкнуты, так как магнитные заряды в природе не обнаружены. Поэтому полный поток магнитной напряженности через замкнутую поверхность S всегда равен нулю: [ndS = 0. C0) Условие неразрывности магнитного поля можно по аналогии с гидродина- гидродинамическим записать так: или дх ду dz div H = 0. C1) Напряженность магнитного поля Н в данной точке определяется действием всех отдельных участков проводника. Согласно основанному на опыте за- закону Лапласа и Био — Савара элемент контура А/, по которому течет ток силой /, создает в точке Л пространства (рис. 13.4), находящейся на рас-
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 187 стоянии г от элемента AZ, магнитное поле напряженностью „ /A/ sin а где а —угол между AZ и г (положительным считается направление тока /). В векторной форме магнитная напряженность в точке А И. C2а1 Здесь [Al X г] — векторное произведение, причем элементу длины AZ припи- приписывается направление тока, а радиусу-вектору г — направление от элемен- элемента А/ к точке А. Полная напряженность Н в точке А есть векторная сумма Н = 2 АН, C3) п образуемая напряженностями, которые создаются всеми п элементами кон- контура (проводника). В случае прямолинейного проводника (рис. 13.5) напряженности от всех его участков направлены одинаково, вследствие чего гДа Д/ Да Да или sin а ra r sin а где г0 — кратчайшее расстояние от А1 до точки А. Тогда на основании C2) и C3) для бесконечно длинного прямого проводника имеем я тт С I sin a da / Проекции вектора напряженности C2а) на оси прямоугольной системы координат xyz составляют А„ /(Ауг-АУ,) д„ I(Mzrx-Alxrz) ЦМхгу-Мугх) АЯ*= W ' АЯ*= W ' АЯ^ to? ; C4) здесь индексы обозначают проекции векторов А1 и г на соответствующие оси координат. Аналогичные соотношения определяют в гидродинамике поле скоростей, индуцируемых вихревой нитью. Составим выражение для циркуляции вектора напряженности магнит- магнитного поля по замкнутому контуру I. Если проводник расположен от эле- элемента контура на расстоянии г (рис. 13.6), то длину элемента контура мож- можно выразить через угол, под которым он виден с линии электрического тока: dl = rdy. Произведение длины элемента контура на тангенциальную к нему составляющую вектора напряженности составляет Величина циркуляции вектора Н по замкнутому контуру I равна поэтому 2Я др = /. C5)
188 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Таким образом, в отличие от электростатического поля, которое, согласно A0), является потенциальным, магнитное поле оказывается вихревым (цир- (циркуляция вектора Н по замкнутому контуру не равна нулю). Опыты Фарадея и Ампера показали, что на всякий проводник с токолг, помещенный в магнитное поле, действует электромагнитная сила. Ампер установил, что величина этой силы Af в вакууме равна А/ = \i0IHnM = \L0IHAl sin a. C6) Направление Af перпендикулярно к плоскости векторов А1 и Н и определяет- определяется правилом левой руки: если ладонь левой руки расположить так, чтобы Рис. 13.5. К определению маг- магнитного поля прямолинейного проводника с током Рис. 13.6. К определе- определению циркуляции векто- вектора магнитной напря- напряженности по замкнуто- замкнутому контуру I перпендикулярная к А1 составляющая напряженности Нп была направлена к ладони, а четыре вытянутые пальца были направлены вдоль тока /, то отставленный большой палец укажет направление силы Af. В векторной форме закон Ампера имеет вид Af = [ЛО/[А1ХН], C7) где направление А1 совпадает с направлением тока. Приведенные сведения, строго говоря, справедливы лишь в случае обра- образования магнитного поля в пустоте. Опыт показывает, что свойства среды, в которой размещены проводники с током, влияют на напряженность поля. Если поместить проводник с током в среду, которая намагничивается (магнетик), то возникает дополнительная напряженность магнитного по- поля Н', суммирующаяся с напряженностью внешнего поля Но; результирую- результирующую напряженность В называют вектором магнитной индукции Н')Цо, C8) где \Хв — абсолютная магнитная проницаемость среды. Абсолютная магнитная проницаемость записывается в виде произведе- произведения магнитной постоянной [xQ I \iQ = 4л-10~7 Гн/м = 4л -10~~7 —-jj—г) И безразмерной магнитной проницаемости р,, указывающей, во сколько раз магнитная индукция в данной среде В = [1ВН0 отличается от магнитной индукции в вакууме Во = М-о^о (при одной и той же напряженности маг- магнитного поля). Единицей измерения магнитной индукции служит тесла (Тл). В магнетике сила Ампера зависит от суммарной напряженности, т. е. от вектора магнитной индукции В = (Но -f H')^: А/ = IBM sin a = jBAv sin a, C9)
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 189 где I\v = AIS — объем участка AZ проводника, имеющего поперечное сече- сечение S. В векторной форме сила Ампера Af=[jXB]Ai;. D0) Проекции силы Ампера на оси прямоугольной системы координат А/х = Av(jyBz — ]гВу), А/у = Av(jzBx — jxBz), Д/г = Av(jxBy — jyBx). D1} У газов и плазмы (ионизированный газ) абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость имеет практически такое же значение, как в пу- пустоте (еа ~ е0; [1в~ Мю), поэтому в уравнениях магнитной газовой динамики можно обойтись без векторов электрической индукции и напряженности магнитного поля, т. е. можно не учитывать явлений поляризации и намагни- намагничения среды. Аналогично линиям напряженности, которые характеризуют магнитное поле в пустоте, можно построить линии магнитной индукции. Через единицу поверхности, нормальной к линиям индукции, проводят число линий, равное местному значению вектора индукции; полное число линий индукции, пере- пересекающих нормальную к ним элементарную площадку ASn, составляет эле- элементарный поток магнитной индукции АФ = BASn = BnAS. D2) Линии индукции, выходящие из объема, ограниченного данной поверх- поверхностью, дают положительный поток, а входящие в этот объем — отрицатель- отрицательный поток; линии магнитной индукции всегда замкнуты, следовательно, для них должно выполняться условие неразрывности divB = ??+^+?' = Q. D3> дх ду dz Полный поток индукции через поверхность S ndS. D4) Для замкнутой поверхности всегда имеем Ф = 0. В системе СИ поток индук- индукции измеряется в веберах (Во): 1 Во = 1 Тл X 1 м2. Можно показать, что при пересечении границы двух сред с разными значениями магнитной проницаемости |Xi и \i2 нормальная составляющая магнитной индукции сохраняется (если на границе нет поверхностных то- токов), а тангенциальная составляющая претерпевает разрыв: Составляющие магнитной напряженности ведут себя противоположным образом: Нн = Н2и \лхНХп = ii2H2n. D6) Иначе говоря, при потоке индукции, направленном по нормали к поверх- поверхности раздела магнетиков, и отсутствии поверхностных токов вектор индук- индукции не изменяется, а вектор напряженности испытывает скачок. Магнит- Магнитный поток в некоторых случаях переходит целиком из одной среды в дру- другую (последовательное соединение), а в других — разветвляется на отдель- отдельные части, которые затем сливаются (параллельное соединение). Электрический ток представляет собой поток заряженных частиц — электронов, ионов. Поэтому сила Ампера, действующая на проводник, сла- слагается из сил, приложенных к движущимся зарядам. Если заряженные частицы движутся внутри твердого или жидкого те- тела, то благодаря их столкновениям с молекулами или атомами тела сила
190 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ампера передается на тело. Например, если боковые стенки кольцевого сосуда, наполненного проводящей жидкостью, являются электродами, к ко- которым подведен ток, а дно представляет собой изолятор, установленный на полюсе прямого магнита, то ток течет по радиусам, а вектор магнитной напряженности параллелен стенкам. В этом случае жидкость в сосуде при- приходит в круговое движение (сила действует в одном и том же направлении на положительные и отрицательные заряды, так как они движутся в про- противоположных направлениях). Сила тока / равна суммарному заряду, перенесенному в единицу вре- времени через поперечное сечение проводника: / = en0WS = pvWS. D7) Здесь е — величина отдельного заряда, щ — число движущихся зарядов в единице объема, W — скорость их движения, S — площадь поперечного се- сечения проводника. Подставляя это выражение в C7), получаем силу, приложенную к сум- суммарному заряду на участке длиной А/: Д/ = en0WMSB sin a. Число зарядов, движущихся по участку проводника Д?, п' = n0SAl, поэтому сила, действующая на один движущийся заряд, Д/' = ^?- = eWB sin a. D8) Сила ДГ, называемая силой Лоренца, перпендикулярна к плоскости, в кото- которой лежат векторы W и В; для положительного заряда она определяется по правилу левой руки. Если WJ_B, то сила имеет наибольшее значение (sin а = 1), если W || В, то сила равна нулю (sin а = 0). В векторной форме закон Лоренца имеет вид Af' = e[W"XB], D9) а в проекциях на прямоугольные координатные оси Af'x = e(vBz-wBy), Af'y = e(wBx-uBz), Af'z = e (uBy - vBx). E0) Здесь и, у, w — компоненты скорости W. Если на заряды действует также электрическое поле, то к силе Лоренца добавится сила Кулона, которая, со- согласно B), равна еЕ. Полная электромагнитная сила, действующая на за- заряд, будет в этом случае Af=e{E+[WXB]}. E1) Электромагнитная сила, приложенная к единичному заряду, очень мала, но следует иметь в виду, что при обычных токах переносится очень боль- большое число зарядов, вследствие чего сила, приложенная к проводящему те- телу, может оказаться значительной. Если электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны (Е J_ В), то при условии E = -[WXB] силы Кулона и Лоренца уравновешиваются, т. е. результирующая электро- электромагнитная сила равна нулю (А/ = 0). В этом случае заряд движется по тшерции с постоянной скоростью, которая называется скоростью дрейфа и равна по величине
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ 191 При Е = Ех, В = By и А/к = 0 имеем w = И^д. Сопоставление E1) с B) приводит к выводу, что наличие электромагнитной силы Д/, действующей на движущийся заряд, эквивалентно существованию в неподвижной системе координат электрического поля напряженностью Е, = E+[WXB]. E3> Это выражение справедливо и для движущейся проводящей жидкости. Под- Подставляя E3) в правую часть B3), получаем выражение, носящее название обобщенного закона Ома для потока изотропной проводящей жидкости: j = afi{E-f[WXB]}. E4) Здесь W — скорость потока жидкости (а не скорость движения зарядов в ней). В E4) слагаемое Е соответствует полю в неподвижной системе коорди- координат, слагаемое Е' = [W X В] — дополнительному полю, индуцированному магнитным полем в движущейся жидкости. В 1831 г. Фарадей открыл явление электромагнитной индукции, за- заключающееся в том, что при изменении потока индукции сквозь всякий замкнутый контур в нем возникает электрический ток, вызываемый электро- электродвижущей силой индукции; этот индукционный ток появляется при при- приближении магнита или проводника с током к замкнутому проводнику, при повороте замкнутого проводника в постоянном магнитном поле и т. п. Направление и сила индукционного тока таковы, что создаваемый им собственный поток магнитной индукции компенсирует то изменение внеш- внешнего потока индукции, которое его вызывает; в результате возникают силы,, противодействующие относительному перемещению этих двух потоков маг- питной индукции. Исходя из закона сохранения энергии, Фарадей установил связь между электродвижущей силон индукции <§ и скоростью изменения потока индук- индукции через контур дФ/dt: дФ *1 = -!Г E5> Зависимость E5), называемая законом электромагнитной индукции Фара- дея, устанавливает и величину, и направление ЭДС индукции. В системе СИ поток индукции измеряют в веберах. В этом случае зави- зависимость E5) дает *i<B>=-жЧ~- E6> Если проводник неподвижен, а изменяется величина магнитной индук- индукции, то для объяснения электромагнитной индукции нужно предположить,, что при этом в каждой точке пространства возникает электрическое поле. Эта подтвержденная опытами гипотеза была положена Максвеллом в осно- основу теории электрического поля. Изменяющееся по времени электрическое поле порождает магнитное поле: при равномерно изменяющемся электрическом поле (OD/dt = const)- получается постоянное магнитное поле. Если в переменное магнитное поле помещен неподвижный проводник» то поток магнитной индукции сквозь сечение контура, охватываемого про- проводником, изменяется, в связи с чем в проводнике по закону Фарадея воз- возникает ЭДС индукции |*|| = 1Г E7> и по нему течет ток. Таким образом, переменное магнитное поле порождает электрическое поле.
192 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Оба переменных поля — электрическое и магнитное,— связанные между собой, образуют электромагнитное поле. Электрическое поле, порожденное переменным магнитным полем, имеет вихревой характер, т. е. существенно отличается от потенциального элект- электростатического поля неподвижных зарядов. Вихревой характер магнитного поля вытекает из соотношения C5). Учи- Учитывая B2), из C5) получаем для постоянного тока1) ,«*/= j/n«tt\ E8) 8 Аналогичное соотношение можно получить и для электрического вих- вихревого поля. Согласно E5), ЭДС индукции дф где поток магнитной индукции Таким образом, имеем На основании (9) и B6) ЭДС выражается через напряженность электриче- электрического поля (при Rq = 0) Поэтому UJLdS. E9) Электрическое поле является вихревым (электромагнитным), если пра- правая часть выражения E9) отлична от нуля, и становится потенциальным, если правая часть равна нулю (dBn/dt = 0), т. е. если магнитное поле постоянно или отсутствует. § 3. Электромагнитные поля В предыдущем параграфе показано, что электромагнитные поля описываются в общем случае следующей системой инте- интегральных соотношений Максвелла: 1. Соотношением E8), которое связывает циркуляцию век- вектора напряженности магнитного поля Н по замкнутому контуру I с суммарной силой постоянного тока, протекающего через пло- площадь S, охватываемую этим контуром: = /n dS. s *) Ниже мы ограничимся рассмотрением постоянного тока,
§ 3. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ 193 2. Соотношением A4), связывающим суммарный поток элек- электростатической индукции через замкнутую поверхность пло- площадью S с суммарным свободным зарядом в объеме v, охваты- охватываемым этой поверхностью: \ Dn dS = J pr0 dv9 8 V 3. Соотношением E9), связывающим циркуляцию вектора напряженности электрического поля Е по замкнутому контуру I со скоростью изменения по времени потока вектора магнитной индукции через площадь, охватываемую этим контуром: 4. Соотношением D4), свидетельствующим о неразрывности потока магнитной индукции В через замкнутую поверхность: К этим интегральным соотношениям нужно добавить выра- выражения D) и C8), с помощью которых можно перейти от век- векторов напряженности электромагнит- электромагнитных полей к векторам индукции D = 8аЕ, В = |iBH, и обобщенный закон Ома E4) J = 0*{E + [WXB]}. тз ,, Рис. 13.7. Система коорди- Выведем теперь уравнения Макс- нат (к выводу уравнений велла в дифференциальной форме, Максвелла) причем разобьем их на две системы. Первую систему получим для магнитного поля постоянного тока. Так как линии напряженности магнитного поля лежат в пло- плоскости, перпендикулярной к направлению тока, то проекция плот- плотности тока U (рис. 13.7) связана только с проекциями Нх и Ну напряженностей магнитного поля в той же точке пространства. Циркуляция вектора напряженности по бесконечно малому кон- контуру abed состоит из следующих слагаемых (обход против часо- часовой стрелки): С другой стороны, согласно E8) циркуляция вектора Н должна равняться силе тока, протекающего через эту площадку: Vabcd = h = h dx dy. 13 Г» Н. Абрамович, ч^ 2
194 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Итак, имеем d2bL-dJk=j F0) дх ду Jz' v ' Аналогично для составляющих плотности тока по другим осям найдем дНг дНу т дНх дНг ~у дГ = 1х'> Tz д7= Jv F0a) Уравнения F0) связывают плотность тока проводимости j с пространственными производными от напряженности магнитного поля Н. Если к уравнениям F0) добавить уравнение A7), свя- связывающее вектор электростатической индукции D с распределе- распределением плотности свободных зарядов в объеме рг-о дх + ду * dz ~Рг0' то мы и получим первую систему уравнений Максвелла, которая в векторной форме может быть представлена так: rotH = j, divD = pr0. F1) Эта система справедлива для однородных магнетиков, целиком заполняющих все поле, так как в таком случае напряженность магнитного поля токов не зависит от магнитной проницаемо- проницаемости среды. Вторую систему уравнений Максвелла получим, используя данное им обобщение закона индукции Фарадея. Составим выражение для циркуляции напряженности элек- электрического поля Е по бесконечно малому контуру abed (рис. 13.7), вызванного изменением по времени вектора магнит- магнитной индукции dB/dt, перпендикулярного вектору Е: Tabcd = -Eydy + Exdx + (еу + ^ Циркуляция вектора Е по замкнутому контуру равна производ- производной потока магнитной индукции через площадь, охватываемую этим контуром, взятую со знаком минус: ¦р дф дВг Отсюда имеем дх ду dt
— § з. электромагнитные поля 195 По аналогии имеем также 6Ег дЕу_ Ю, !?*_??«_•_?!?!* F2а) 17 ~~ "«Г " ~ <?* ' dz dx - dt' \°M' Добавляя к уравнениям F2) уравнение неразрывности линий магнитной индукции D3) дх ду dz ' получим вторую систему уравнений Максвелла, которая в век- векторной форме имеет вид rotE = --^-, divB = 0. F3) В случае неоднородной среды на границах отдельных ее участков при отсутствии поверхностных зарядов и токов должны быть выполнены условия Dа) и D5) л л Dlt — °2*' Вщ = В2П, — = -—. Исключим из дифференциальных уравнений Максвелла век- векторы плотности тока j и напряженности электрического тока Е. Для этого воспользуемся законом Ома E4), преобразовав его в уравнение завихренности поля плотности тока: rot j = GHfrot E +rot [W X В]}. F4) Уравнение для завихренности вектора напряженности маг- магнитного поля F1) с помощью C8) заменим уравнением завих- завихренности вектора магнитной индукции rot В = |iBj. F5) Как известно из теории поля, Из F4), F5) и F6) находим при ад = const -AB = fiBrotj = |iBaH{rotE + rot[WXB]}. F7) Из уравнения F3) имеем rotE = -^r- Подставляя этот результат в F7), получим 13*
196 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Это уравнение, связывающее магнитное поле с полем скоростей в электропроводной жидкости, называется уравнением магнитной индукции. В случае очень большой электропроводимости среды (gr-*- °°) вторым членом правой части уравнения F8) можно пренебречь, в связи с чем оно приобретает следующий вид: ^- = rot[WxB], F8а) Это уравнение тождественно уравнению вихря скорости в гидро- гидродинамике идеальной жидкости, которое означает, что линии вихря движутся вместе с жидкостью. Но в данном случае речь идет о линиях магнитного поля, которые оказываются жестко связанными с веществом — «вмороженными», и если частицы жидкости движутся, то линии магнитной индукции перемещают- перемещаются вместе с ними (частицы не могут пересечь линий индукции). «Вмороженность» магнитных линий связана с тем, что при изменении потока вектора магнитной индукции через контур в нем появляются электрические токи, препятствующие изменению этого потока, причем тем большие, чем выше oR; при gr ->• °° изменение потока индукции становится невозможным. Движение вдоль силовых линий не сказывается на поле; при движении в поперечном направлении силовые линии полностью увлекаются вместе с веществом (если oR-+°°). В случае неподвижной среды (W = 0) уравнение индукции имеет вид уравнения диффузии или нестационарной теплопро- теплопроводности (уравнения Фурье) Оно показывает, что в теле, находящемся в магнитном поле внешних источников, магнитное поле исчезает не сразу после их выключения; магнитные силовые линии постепенно «просачива- «просачиваются» через тело и ослабляются. Например, в медной сфере радиусом 1 м магнитное поле за- затухает в течение приблизительно 10 с: чем выше проводимость, тем затухание поля слабее. Величина " 4 ,. аналогичная коэффициенту переноса в уравнениях диффузии и теплопроводности и имеющая размерность кинематической вяз- вязкости, получила название магнитной вязкости. Численные зна- значения магнитной вязкости обычно намного больше значений кинематической вязкости. В общем случае, когда ни одним из членов в правой части уравнения магнитной индукции прене-
§ 4. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ; 197 бречь нельзя, силовые линии стремятся двигаться вместе с ве- веществом и одновременно просачиваются сквозь вещество. ¦ В книге использована система единиц СИ. Недостатком си- системы СИ является то, что в ней, в отличие от системы СГСМ, магнитная проницаемость и электрическая постоянная вакуума являются размерными величинами, отличными от единицы. § 4. Уравнения магнитной газодинамики Уравнения гидродинамики (и газовой динамики) электропро* водной жидкости при наличии электрического и магнитного по- полей должны в отличие от уравнений гидродинамики непрово- непроводящей жидкости содержать дополнительный член, учитывающий электромагнитную объемную силу. На элемент объема проводника (или проводящей жидкости) dv, если по нему протекает ток плотностью j, со стороны маг- магнитного поля действует сила Ампера D0) diH = []XB]dv, а со стороны электрического доля — сила Кулона B) ; dfe = Epu0^, где Рио — плотность зарядов в объеме du (pvodv = dq). Таким образом^ полная объемная электромагнитная сила, приложенная к объему dv: di = die + diH = {pvoE + []XB]}dv, G0); сила, действующая на единицу объема F = lk = Fe + Fh ^ftoE + [3]Х В]. G1) Оценка порядка членов в соотношении G0) показывает, что си- силой Кулона часто можно пренебречь *). Тогда с учетом F5) 1) Относительная величина силы Кулона оценивается следующим образом: |[JXB]| ~ GrWB2' PvQ = div D ^ T PVOE\ E2 Согласно E2) Е/В = \УЛ есть скорость дрейфа, которая, как известно, является величиной порядка скорости потока, в системе СИ еа ~ 10~и, ли- линейный размер L — порядка 1м, ол — порядка См/м. Таким образом, даже при скоростях потока W порядка 102 км/с отно- относительная величина силы Кулона имеет порядок 10~6,
198 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ получаем для электромагнитной силы, приложенной к единице объема, выражение F = [jXB] = -L[rotBxB]. G2) Ив Проекции вектора электромагнитной силы на оси прямоугольной системы координат составляют UBy), Fv = (jtBx-jxBz), F,-(jfy-j&), G2a) или в другой форме (при замене согласно F5) вектора плотно- плотности тока ротором вектора магнитной индукции) HSFX = ayBz — azBv = Вх-^ + ?„_? + Bz-^- — -у-^-* y = агВх - axB2 = Bx Ц± + Ву -^ + Вг Ц± - ± ™L% G26) Здесь В2 = Bl + Щ + Bl — величина вектора магнитной индук- индукции, а = rot В. При выводе выражений G26) было использовано также условие неразрывности магнитных силовых линий F3). Добавляя силу F G2) в правую часть уравнения B8) из гл. II, получим уравнение движения электропроводной жидкости в электрическом и магнитном полях в векторной форме (при р. = const) или + 4 Ц grad (div W) + -f- [rot В X В]. G3а) Для газа система дифференциальных уравнений должна вклю- включать уравнение энергии. В случае электропроводного газа, нахо- находящегося в магнитном и электрическом полях, правая часть уравнения энергии D2) из гл. II должна содержать дополни- дополнительный член B8), выражающий плотность джоулева тепловы- тепловыделения (тепловыделение на единицу объема). Тогда уравнение энергии для электропроводного газа примет следующий вид (при К = const, (л = const): f A G4)
§ 4. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ 199 или с учетом F5) p = G4а) К уравнениям G3) и G4) следует добавить уравнение магнит- магнитной индукции F8) ^ = rot[WxB]+-L_AB, G5) гидродинамическое уравнение неразрывности -тр + div pW = 0 G6) и уравнение состояния Г), G7) которое в случае совершенного газа заменяется уравнением Кла- Клапейрона. Система уравнений G3а) — G7) является полной си- системой дифференциальных уравнений магнитной газовой дина- динамики. Если уравнение движения используется в форме G3), то в систему уравнений необходимо ввести уравнение закона Ома E4), уравнения Максвелла F1), F3), а также уравнения F5) и F8). В этих уравнениях мы пренебрегаем электростатической си- силой Кулона; если принять во внимание силу Кулона, то полу- получится полная система уравнений электромагнитной газодина- газодинамики. Для несжимаемой жидкости система уравнений G3) —G7)л упрощается, так как уравнения движения решаются независимо от уравнения энергии, отпадает надобность в уравнении состоя- состояния G7) и более простой вид имеют уравнения неразрывности G6) и движения G3). Таким образом, полная система уравнений магнитной гидро- гидродинамики несжимаемой жидкости в векторной форме состоит из уравнения движения pf = R - grad p + цД\У + [j X В], G8) или \ p?? = R_gradp-f !*AW + J-[rotBxB], G8a) at. \iB уравнения энергии D3) из гл. II, которое разрешается незави-
200 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики симо от остальных уравнений: ^г ^ G9) уравнения магнитной индукции ^ = rot [W X В] + -jJL. ДВ, (80) уравнения неразрывности divW = 0. (81); Если уравнения движения и энергии используются в форме G8) и G9), то для получения замкнутой системы нужно добавить уравнение закона Ома E4), уравнения Максвелла F1), F3) и уравнение F5). Если перейти к проекциям на оси прямоугольной системы координат xyz, то векторное уравнение движения G8) распада- распадается на три уравнения движения:. ди . ди , ди , ди + u + v + w д2и (dv . dv . dv . ди\ dt [ дх ' ду ' ^1 (82) dp , ( d2v t d2v i d2v\ Cdw , dw , dw . dw\ dp Используя зависимости G2а) и G26), систему уравнений дви- движения можно привести к следующему виду: ди . ди , ди . ди \ 9Рс , + u + v + w) + Bz х~+Bv^r + Bz~ двл
§ 4. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ 201 + ^ + "^ + В эти уравнения входит величина называемая эффективным давлением, которая представляет со- ( в* \ бой сумму гидродинамического (р) и магнитного [Рт^'ЩГ I давлений. Отметим, что в уравнениях (82) неэлектромагнитные силы {сила тяжести и др.) для краткости опущены. Векторное уравнение индукции (80) в прямоугольной систе- системе координат также распадается на три уравнения: ЬВХ i Г д2Вх д2Вх д2Вх 1 д, — "~i I 2—  2~* ' 2~^ I диВх \ я~ "г аву I О Ij ~—___ I I 2 ^ I 1 I л Li дО^ р I дзс Щ J dwB^ (ди^- dv dw\ ~ai t>z\dZ + ~W~i~ "л"/' В уравнении энергии G4) член, учитывающий джоулево тепло, можно выразить через магнитную индукцию, Для этого следует использовать уравнение Максвелла F5). В результате получим где в соответствии с теорией поля (86)
202 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Уравнение закона Ома E4) в проекциях на оси координат имеет вид j [ U = оя [Еу + {wBx - uBz) ], (87) При р = const гидродинамическое уравнение неразрывности име- имеет вид ди ди dw ~ ~д! + ~д7 + ~дГ = ' поэтому уравнения магнитной индукции (84) упрощаются, так как последние члены в их правых частях равны нулю. Во многих конкретных случаях уравнения движения и ин- индукции можно существенно упростить, отбрасывая те или иные относительно малые члены. В гл. II представлено несколько вариантов уравнения энер- энергии для газового потока. Часто уравнение энергии используют в такой форме, в которой энтальпия и кинетическая энергия объединены в полную энтальпию; таким является уравнение D9) из § 6 гл. II. Для того чтобы прийти к соответствующей форме уравнения энергии магнитной гидродинамики, следует дополнительный член уравнения движения — электромагнитную силу f = [jXB] спроектировать на оси прямоугольной системы координат и за- затем каждую проекцию этого вектора умножить на соответствую- соответствующую проекцию скорости; сложив три полученных произведения, находим дополнительный электромагнитный член к уравнению ,D5) гл. II yv + fzw = [и,(jyBz - j2By) + v (jzBx - / • + w(jxBy - jyBx) ] = [jx(wBv - vBz) + jy(uBz - wBx) + + U{vBx-uBv)]. При составлении этого выражения были использованы выраже- выражения G2а) для составляющих электромагнитной силы. Иначе го- говоря, скалярное произведение вектора скорости на вектор элек- электромагнитной силы было представлено в виде W f = -j [W X В]. Из закона Ома E4) следует
§ 4. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ 203 Подставляя этот результат в предыдущее равенство, находим w.f = -il + j.E. Если этот дополнительный член, выражающий работу электро- электромагнитной силы, сложить с джоулевым теплом & = А (88) °R то получим окончательные выражения для дополнительного «электромагнитного» члена уравнения энергии <?н = ]-Е. (89) Эту величину нужно добавить к правой части уравнения D9) гл. II, тогда уравнение энергии газа при наличии электромаг- электромагнитного поля записывается в следующей форме: -|-n(divWJ + 2jxQ + 3-Е- (90) В ряде случаев работу электромагнитных сил представляют в другой форме, которую можно получить, если заменить с по- помощью F5) плотность тока в скалярном произведении (89^ магнитной индукцией <?H = -j^rotB (91) и использовать известную формулу теории поля div [Е X В] = В rot Е - Е rot В. В случае стационарного магнитного поля (dB/dt = O) из F3) имеем rot Е = 0, и, следовательно, ErotB = -div[EXB]. Подставляя этот результат в (91), приходим к следующему выражению для дополнительного электромагнитного члена в уравнении энергии: <?H = --^div[ExB]. (92) После замены в (90) последнего члена выражением (92) полу- получаем еще одну форму уравнения энергии магнитной газовой
204 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ динамики: -|. |i (WV) div W + 4" Iх (div wJ + 2^Q — -jj- div [E X B] (93) В стационарном случае и при отсутствии вязкости и теплопро- теплопроводности уравнение энергии (93) принимает вид ^ div[ExB]. (94) § 5. Критерии подобия в магнитной гидродинамике1) С появлением дополнительного члена в уравнении движения электропроводной жидкости в магнитном поле (82) возникает необходимость ввести новый критерий подобия, учитывающий отношение магнитной силы к силе инерции. Следуя методу, из- изложенному в § 7 гл. II, приведем последний член правой части уравнения (82) к безразмернрму виду путем деления его на ве- величину PqUI/L В результате получим W ( hB* hB ( Здесь I — характерный размер, ро, Uo, /о, Be — значения плотно- плотности жидкости, скорости, плотности тока и магнитной индукции 3 некоторой характерной точке потока. Если электромагнитная 'сила записана так, как это сделано в уравнении движения (82а), то в безразмерном виде соответствующий член этого уравнения можно представить в виде Динамическое подобие обтекания модели и натурного объекта (см. § 7 гл. II) в электропроводной жидкости при наличии внешнего магнитного поля, очевидно, требует того, чтобы у мо- модели и натуры были одинаковые значения множителя = idem (95) . !) Бай Ш и-и. Магнитная газовая динамика и динамика плазмы.—* М.:.Мир, 1964,
§ 5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ В МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКЕ 205 пли с учетом того, что, согласно F5), 7о~т;—^-, имеем (96) Этот множитель характеризует отношение магнитной и кинети- кинетической энергий единицы объема. Величина А = VSB называется* числом Алъфвена. Разумеется, необходимо, чтобы остальные гид- гидродинамические критерии подобия (числа Струхаля, Фруда, Ма- Маха и Рейнольдса) также были соответственно одинаковыми. Учитывая, что при конечной проводимости согласно закону Ома E4) плотность тока, индуцированного магнитным полем, пропорциональна отношению можно из (95) получить критерий магнитогидродинамического взаимодействия, выражающий отношение йагннтной силы от индуцированных токов к силе инерции So = ZzgL = idem. (97) Величину So называют критерием магнитогидродинамическо- магнитогидродинамического взаимодействия. Приведем к безразмерному виду члены уравнения закона Ома E4) vBz wBy Л + Ео Если /о — ток проводимости в характерной точке, то, согласно B3), jo — GbqEo- Отсюда следует М °R \Е* , U0BO ( VBZ WBV \\ h~°m[Eo + Eo K*o UoBoj\' Здесь отношение индуцированного магнитным полем тока к току внешнего электрического поля определяется при cR = oRo без- безразмерным критерием П U°Bo Uo U° Здесь 1УЛ — скорость дрейфа E2), определенная ранее в § 2. Величина ¦ Э*Л, ; (99)
206 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ характеризующая отношение электромагнитной силы от нало- наложенного извне тока к силе инерции, является критерием элек* трогидродинамического взаимодействия. Приведем к безразмерному виду уравнение магнитной индук- индукции (84) A00) В левой части A00) стоит уже известный безразмерный мно- множитель — число Струхаля (Sh = l/Uoto). В правой части появил- появился новый безразмерный множитель, обратную величину которого называют магнитным числом Рейнолъдса RH = HaRlU0 = ^. A01) н Этот критерий характеризует отношение магнитного поля от ин- индуцированных токов к наложенному внешнему магнитному по- полю1). Иногда пользуются отношением магнитного числа Рей- Рейнольдса к обычному числу Рейнольдса, т. е. магнитным числом Прандтля Ргш = ^ = HoRv = -f-, A02) которое представляет собой отношение обычной вязкости к маг- магнитной вязкости. Если умножить критерий магнитогидродинами- ческого взаимодействия (97) на число Рейнольдса, то получим отношение магнитной силы от индуцированного магнитным то- током поля к силе вязкости Корень квадратный из этой величины получил название числа *) Магнитное поле от индуцированных токов определяется из извест- известного соотношения = \1в\}\ ~ где |rotBi| ~ Bill, Be — напряженность внешнего поля. Отсюда имеем
§ 6. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОЛЕ 207 Гартмана На = ?0 Здесь \х = pov — коэффициент динамической вязкости. При опре- определении величины числа Гартмана в качестве характерного I берется поперечный размер канала. Число Гартмана является основным критерием подобия в таких магнитогидродинамических задачах, в которых существенную роль играют силы вязкости. Из перечисленных дополнительных критериев магнитной гид- гидродинамики взаимно независимыми являются только три (на- (например, числа П, На и Rh). Остальные параметры (S, Э, Prm) можно получить из приведенных соотношений как производные. При некоторых значениях отдельных критериев подобия си- система уравнений магнитной гидродинамики допускает упроще- упрощения. Так, при Rh < 1 можно пренебречь магнитными полями от индуцированных токов и считать, что течение происходит только под действием внешнего магнитного поля. С такого рода тече- течениями имеют дело в магнитной гидрогазодинамике каналов (дви- (движение при наличии электромагнитных полей технической плазмы или жидкого металла в трубах, каналах магнитных насосов и магнитогазодинамических генераторов электрического тока) и в случае обтекания тела, когда электропроводность среды не очень велика. При Rh > 1 магнитное поле оказывается «вмороженным» в вещество и перемещается вместе с ним; эта область магнитной газовой динамики находит применение в астрофизике, где имеют дело с очень протяженными областями сильно разреженного межзвездного газа достаточной проводимости или с разогретым до миллионов градусов весьма проводящим звездным веществом (например, протуберанцы солнца). При лабораторных опытах с жидкими металлами обычно Rh = 0,01—ОД, а число Гартмана может достигать нескольких сотен; в опытах с технической плазмой (температуры порядка 104 К) возможно значение Rh = 1, тогда как число П может быть как меньше, так и больше единицы. § 6. Течение вязкой электропроводной жидкости по плоскому каналу в поперечном магнитном поле Рассмотрим так называемое течение Гартмана1)—ламинар- Гартмана1)—ламинарное течение несжимаемой электропроводной жидкости по пло- плоскому каналу постоянного, сечения (рис. 13.8) при наличии по- постоянного внешнего поперечного магнитного поля с магнитной l) HartmannJ. Theory of the laminar flow in a homogeneous magnetic field / Kgl. danske vid. selskab. Mat.—fуз. medd.-1937.-V. 15, № 6,
208 ГЛ., XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ индукцией By = Во. По длине канала — на участке стабилизированного течения — изменяется только давление (др/дхФО); остальные параметры остаются неизменными (dW/dx = дВ/дх = 0). При достаточно большой относительной ширине канала (а > Ь) течение можно считать плоскопараллельным, при котором скорость и индукция 2b « 11 U 2a и Во Рис, 13,8, Плоское течение вязкой жидкости в поперечном магнитном поле не изменяются в направлении оси z (<9W/dz = <9B/dz= 0), а по- поперечные составляющие скорости отсутствуют (у = 0, iv = 0). Из уравнения неразрывности линий магнитной индукции D3) имеем div В = 0, или -j? dz Вследствие условия dBJdx = dBJdz = 0 имеем также дВу/ду = 0, или Ву = const = BOl т. е. магнитная индукция внутри канала в направлении оси у не изменяется. Из уравнения F3) при постоянном магнитном поле следует rot Е = 0. Отсюда, в предположении что д/дх = д/ду = 0, полу- получаем Ег = const, Ех == const. Из условия отсутствия тока в на- направлении х необходимо принять Ех = 0. Из уравнения div j = 0 имеем /у = const. Предполагая стенки у = ±Ь непроводящими, имеем /у= 0. Тогда из закона Ома следует Еу = — jy = 0. По закону Ома плотность тока в проекции на ось z равна YuBo]. A04) Если боковые стенки z = ±a также являются изоляторами, то суммарный ток в направлении оси z Ix = f U dy « aR\ Ez2b + B0 f и dy = 0» -ь L -о J
§ 6. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОЛЕ 209 Так как величина ь % J ь J —ь есть средняя скорость потока, то напряженность электрического поля . A05) Подставляя A05) в A04), приходим к окончательному вы- выражению для плотности тока вр). A06) Как видим, несмотря на то, что суммарная сила тока равна нулю, ток в направлении оси z течет, причем в слоях с малой скоростью (u<ucv) плотность тока отрицательна, а в слоях большой скорости (u>ucv)—положительна. Электромагнитная сила — последний член в правой части уравнения (82) — в данном случае составляет Fx = - UB0 = - oRBl (и - мер). A07) Из A07) следует, что в средней части сечения канала электро- электромагнитная сила отрицательна (тормозит поток), а у стенок — положительна (ускоряет поток). Так как /2 = 0, то суммарная электромагнитная сила, приложенная ко всему потоку, также равна нулю. В связи с изложенным уравнение движения (82) вдоль оси х запишется так: Отсюда на основании A06) имеем А = % - "чРвВ1 = l* J - oRBlu. A08а) Из уравнения движения (82а) для оси у имеем откуда следует, что величина др/дх не зависит от у. Левая часть уравнения A08а) зависит только от х, а правая только от зу, поэтому А должно быть величиной постоянной (Л = const). После приведения к безразмерному виду имеем « = ^- = 5-Ha2«. A09) 14 Г. Н. Абрамович, ч. 2
210 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ГEтъ Здесь На = В0Ь 1/ — — число Гартмана, я — безразмерный ко- коэффициент, и = —, у = \ — безразмерные значения скорости и расстояния от оси канала. Интеграл этого неоднородного линейного уравнения с посто- постоянными коэффициентами есть На4 Из граничных условий гг = О при г/ = ±1 определяются постоян- постоянные интегрирования о » Ha2chHa Таким образом, скорость течения жидкости в канале ? = jl[i_cA<^|. (no) Из определения средней скорости (для половины канала) ь 1 иср = -г- I udy = иср \ и dy О 0 следует I и dy = 1. о Подставляя в этот интеграл значение п из A10), имеем л . n (V th Hal n На 1=f^[1 Hi-]' ИЛИ JV = Ha~thHa* Подставляя этот результат в A10), приходим к окончательному выражению для скорости потока ~ = Не ch На — ch ^ На^ При На -> 0 имеем т. е. предельным профилем скорости в канале для неэлектропро- водной жидкости, как и следовало ожидать, является профиль Пуазейля (см. гл. И). Максимальное значение скорости на оси канала (при г/=0) согласно A11) равно — Ha(chHa —1)
§ 6. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОЛЕ 211 Профили скорости в поперечном сечении канала при различных значениях чисел На, вычисленные с помощью A11), изображе- изображены на рис. 13.9. Усиление магнитного поля приводит к вырав- выравниванию (уплощению) профиля скорости. При На = °° имеем и = йш = 1. Как видно на рис. 13.9, при больших значениях числа Гартмана течение состоит из ядра постоянной скорости и сравнительно тонкого погранич- пограничного слоя. н 0,5 10 0,5 о 10 15 На Рис. 13.9. Профили скорости при Рис. 13.10. Зависимость максимальной различных значениях числа скорости и коэффициента трения от Гартмана числа Гартмана Выравнивание профиля скорости с увеличением числа Гарт- Гартмана ведет к возрастанию градиента скорости у стенки, что вы- вызывает рост силы трения. Градиент скорости, согласно A11), Ha2sh(yHa) р b На ch На — sh На* Отсюда по формуле Ньютона находим напряжение трения у стенки (при у = 6, т. е. у = 1) Л и ti Ha2shHa или в безразмерном виде Ъ HachHa —shHa': На2 ch На R HachHa —sh На* A12) Здесь R = pucpb/pi — число Рейнольдса. При На -> °° имеем cf - при На-^ 0 из A12) получаем известную формулу Пуазейля 14*
212 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Поделив почленно A12) и A12а), найдем отношение коэффици- коэффициентов трения при наличии и отсутствии магнитного поля - cf На2 thHa При больших значениях числа Гартмана (На^З) thHa «^по- «^поэтому в случае сильного магнитного поля формула (ИЗ) прини- принимает следующий вид: */ = ¦§¦ На. A13a) Функции A11а) и (ИЗ) изображены графически на рис. 13.10. Опыты Гартмана, Лазаруса и Маргетройта 1) подтверждают спра- справедливость найденных выше закономерностей течения Гартмана. Изменение давления по длине канала можно найти из равен- равенства A08), при условии что на стенке u = uw = 0: Согласно A11) д2и ду* У стенки при у = - Следовательно, иср о и b д'уг 1 имеем (':) - \dy4w Ь2 мср б2 ) На3 ch Су На) HachHa— sh На' На3 На — th На* А = *Е..-Г --»»- ЦИср На3 ^ "" "CPU*"<> - "^2~ Ha-thHa^ или в безразмерном виде при х = х/Ь д~р 2Ь др 2 На2 thHa дх ри% дх R На —thHa- Из сопоставления A14) с выражением A12) имеем Этот результат можно получить также исходя из того отмечен- отмеченного выше факта, что в течении Гартмана суммарная электро- электромагнитная сила равна нулю, вследствие чего изменение давле- ]) Гарри с Л, Магнитогидродинамические течения в каналах,—М.: ИЛ, 1963,
§ 6. ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПОПЕРЕЧНОМ ПОЛЕ 213 яия уравновешивается силой трения на стенке 2ти; dx •= — 2b-~dx, т. е. -? = — с/. При наличии суммарной электромагнитной силы условие /г = О не выполняется и равенство A14а) несправедливо. Остановимся теперь на электромагнитных особенностях тече- течения Гартмана. Из закона Максвелла F0) и формулы A06) по- получаем в проекции на ось z дВу дВх_ Так как по условию дВу/дх = 0, то ' d(Bx/Bo)-№«b ду или в соответствии с A01) д (ВХ1В ) , Отсюда с учетом A11) имеем Вх р Г- Ha^chHa Во П1 HachHa —shHa f0 {и — МСр). (мср — U) г , sh G На) 1 HachHa —shHa Учитывая граничные условия Вх = 0 при у = 1 и ^ = 0 (при отсутствии суммарного тока индуцируемое магнитное поле вне канала отсутствует), находим, что постоянная С = 0. В резуль- результате прлучаем вх р sh (у На) —• у sh На Fo = Кя HachHa-shHa * f Итак, в течении Гартмана возникает магнитная индукция в на- направлении оси х, относительная величина которой пропорцио- пропорциональна значению магнитного числа Рейнольдса. -¦ В связи с наличием магнитной индукции Вх давление по се- сечению канала переменно. Изменение давления в поперечном на- направлении можно определить из уравнения движения (82) в направлении оси у. В условиях данной задачи (у = 0, w = 0, а также д\дх = *= dldz =*= 0 для всех величин, кроме давления), уравнение дви- движения в проекции на ось у имеет следующий вид; ПЛИ В„ ,-
214 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Отсюда получаем ...^ или в безразмерном виде для р деляемого из (97), 2jV(pwcp)> У и So, опре- опреA16) Итак, градиент давления в поперечном направлении пропорцио- пропорционален величине критерия магнитогазодинамического взаимодей- взаимодействия So. Расчеты, проведенные по формулам A16), A15) и A11), по- показывают, что поперечный градиент давления значительно мень- меньше продольного др/ду < др/дх. 1 B*,Jt,p* Рис. 13.11. Кривые распределения плотности тока, магнитной индукции и градиента давления в поперечном сечении канала при На = 5 На рис. 13.11 изображены кривые распределения безразмер- безразмерных величин плотности электрического тока jz, магнитной ин- индукции (#*) и градиента давления р* по высоте канала, рассчи- рассчитанные соответственно по формулам A06), A11), A15) и A16), при На = 5 у* и —у shHa Здсь RH = " 2$оянду О nOXJ л С it О Р' Ь0 = ср
§ 7. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ НАСОСЫ И УСКОРИТЕЛИ 215 § 7. Магнитогидродинамические насосы, ускорители, дроссели и генераторы Электромагнитная сила, которая вызывается электрическим и магнитным полями, приложенными к потоку электропроводя- электропроводящей жидкости, может быть направлена по потоку или против потока. В первом случае электромагнитную силу можно исполь- использовать как средство для повышения давления (электромагнит- (электромагнитный насос) или как средство для увеличения скорости течения (реактивный двигатель). Во втором случае электромагнитная си- сила тормозит поток (электромагнитный дроссельI). Если электрический ток, индуцируемый магнитным полем в потоке жидкости, направить во внешнюю цепь, то получится магнитогидродинамический генератор тока (МГД-генератор). Зависимость индуцируемой разности потенциалов от средней скорости потока используется для измерения расхода жидкости (магнитогидродинамический расходомер). Все эти способы использования электромагнитогидродинами- ческих эффектов можно рассмотреть на примере течения элек- электропроводной жидкости в плоском канале, который помещен в электромагнит- электромагнитное поле; один случай тако- такого течения разобран в пре- предыдущем параграфе (задача Гартмана). В течении Гартмана пред- предполагалось, что стенки кана- канала являются изоляторами, и суммарный электрический ток, возникающий в направ- направлении, перпендикулярном Рис. 13.12. Схема канала с боковыми стенками-электродами полная электромагнитная сила как к вектору скорости, так и к вектору индукции нало- наложенного магнитного поля, равен нулю, вследствие чего также равна нулю. Если боковые стенки канала (z = ±a) представляют собой электроды, соединенные с внешней электрической цепью, то электродвижущая сила поддерживает разность потенциалов на этих электродах. Внутри канала (рис. 13.12) ток течет от электрода 1 к элек- электроду 2, во внешней цепи — в обратном направлении. Средняя 1) Ш ер к лиф Д. А. Теория электромагнитного измерения расхода.— М.: Мир, 1965.
216 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ плотность тока в канале согласно A04) ь h ср = ^ j h dy = oR (— Ео + ucvB)x A17) а местная плотность тока jz = oR{-E0+uBo). A17а) Для течения Гартмана (/2ср = 0) из сопоставления A04) и A17) получаем известное уже равенство A05) Если электроды замкнуты накоротко (сопротивление внешней цепи Д = 0), то напряженность электрического тока равна нулю (Е0 = 0) и плотность тока /zcp = В этом случае к потоку согласно A07) приложена тормозящая электромагнитная сила Fx = — U ср^о = — OrBoUcq. В общем случае выражение A17) удобно представить в сле- следующем виде: /2cp = c*S0(uCp--Wy, A18) где вычитаемое \?л = Ео/Во есть скорость дрейфа. Для того чтобы канал работал на режиме МГД-генератора (/z^O), нужно, чтобы средняя скорость потока была больше скорости дрейфа; в случае работы канала на режиме насоса или ускорителя (/2 < 0) средняя скорость в канале меньше скорости дрейфа. Знак плотности тока определяет и направление электро- электромагнитной силы. На основании A07) заключаем, что в МГД-ге- нераторе электромагнитная сила направлена против потока (/^<0), а в насосе и ускорителе —- по потоку (Fx>0); гради- градиент давления по длине канала (без учета трения) в МГД-гене- раторе должен быть отрицательным (др/дх<0), а в насосе или ускорителе — положительным (др/дх > 0I). Во всех рассматриваемых в данном параграфе аппаратах, ис- использующих движение несжимаемой жидкости по плоскому ка- каналу постоянного сечения, пригодно уравнение движения A08), которому с помощью A05) можно придать следующий вид: d d^. A19) l) Указаннв1е неравенства для др/дх справедливы в случае жидкого металла; в газе они могут не выполняться.
§ 8. ВХОД ПОТОКА В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ВЫХОД 217 Уравнение A19) тождественно уравнению A08а), решение которого получено в предыдущем параграфе. В связи с этим профиль относительной скорости в поперечном сечении канала и {у) и относительное значение коэффициента трения cf не зави- зависят от величины Ео и описываются во всех случаях соответствен- соответственно уравнениями A11) и (ИЗ). Подставляя в A19) значение А, найденное в § 6 для тече- течения Гартмана, приходим к выражению для градиента давления в направлении течения ? = А + oRE0B0 - - ^ _^_ + айвд. A20) Как видим, в случае электромагнитного насоса (др/дх>0) напряженность электрического поля должна быть достаточно ве- велика для того, чтобы правая часть A20) оказалась положи- положительной. В МГД-генераторе (др/дх < 0) напряженность электрическо- электрического поля должна быть такой, чтобы знак правой части A20) был отрицательным. При постоянных электрическом и магнитном полях во всех электромагнитогидродинамических аппаратах, в которых жид- жидкость течет по каналу постоянного сечения, градиент давления по длине канала не изменяется, следовательно, перепад давле^ иия в канале длиной х ( ^wcp На3 Используя выражения (97) и (98), получаем из A21) безраз- безразмерную величину перепада давления 2Д/> __ 0 х_ 5 М На^ Ъ °П На- м Здесь „- В насосе или ускорителе (П<1) вычитаемое в скобке мень- меньше уменьшаемого, а в МГД-генераторе (П > 1)—наоборот. Для течения Гартмана (П = 1) имеем с учетом A12) § 8. Вход потока электропроводной жидкости в магнитное поле и выход из него Около концов электродов электрическое поле неоднородно, в связи с чем плотность электрического тока в этих местах из- изменяется по величине и направлению.
218 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Рассмотрим поток электропроводной жидкости в зоне входа в участок канала с магнитным полем (рис. 13.13). Обозначим высоту канала (расстояние между электродами) 2а, а ширину канала 26. Течение в канале будем считать двумерным, что до- допустимо при условии Ь>а. Начало электродов находится в пло- плоскости х = 0; при х < 0 стенки ка- канала неэлектропроводны. Магнитное поле в области х < О отсутствует E = 0), а в области х > 0 оно постоянно и ориентирова- ориентировано по оси у в отрицательном на- направлении (Вх = 0, Ву = В<0, Bz = = 0), т. е. перпендикулярно к плос- плоскости рис. 13.13. Вязкость жидкости не принима- принимается во внимание, так что поток при х = —оо является равномерным (скорость W постоянна и направле- направлена вдоль оси х). Магнитное число Р Рис. 13.13. Схема течения при входе в участок канала с маг- магнитным полем ) Рейнольдса полагаем малым (RH 1)!) <1)). Жидкость для простоты считаем несжимаемой (р = const), а течение установившимся. Около концов электродов линии электрического тока дефор- деформируются и вызывают возмущение поля скорости: u = U + u\ w = w'. A23) Дополнительные скорости (возмущения) и\ w' по осям х и z считаем малыми относительно начальной скорости W, т. е. и' < < W, wr < W. Данную задачу можно решить методом последовательных приближений. В первом приближении уравнения движения (82) вдоль осей х и z имеют следующий вид: дх A24) Составляющие плотности электрического тока в первом прибли- приближении (при W = const) согласно (87) определяются как Здесь 5 = 0 при х < 0, В = const < 0 при х > 0. Если на участке х>0 в достаточном удалении от сечения х = 0 стенки (z = ±a) электроизолировать, то поперечная со- rn !) Ли V°/ G' W-' C*Tls°n A- W. End effects in inviscid flow in a magnetohydrodynamics channel / J. of Fluid Mech.—1961.—V. 11.— P. 123—131.
§ 8. ВХОД ПОТОКА В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ВЫХОД 219 ставляющая тока у стенок будет равна нулю Отсюда имеем или в случае В < О Следовательно, положительные заряды скапливаются у ниж- нижней стенки канала, а отрицательные — у верхней стенки. Если изолированные стенки заменить электродами, то нижний элек- электрод будет положительным, а верхний — отрицательным. Соеди- Соединив электроды внешней цепью, мы получим в ней электрический ток, идущий от положительного электрода к отрицательному. В случае стационарного двумерного электрического поля, со- согласно B5), имеем Отсюда в нулевом приближении получаем с помощью A25) уравнение для поля электрической напряженности справедливое при W = const и В = В(х) во всей области тече- течения (—оо < х< о©). Вводя в A27), согласно A2), электрический потенциал V получаем уравнение Лапласа ?+?-0. A28) OX OZ Граничные условия в зоне расположения электродов (х>0) z = ±a, Va = ±Vw. A29) Значение потенциала на электроде (Vw) при высокой проводи- проводимости последнего практически постоянно. В зоне изолированных стенок (х < 0) граничные условия за- записываются в виде г = ±а, Ezw = jzw = O, т.е. (^)ш = 0. A30) Решение уравнения Лапласа A28), удовлетворяющее граничным
220 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ условиям A29) и A30), может быть представлено в виде г-Mrs- 5 где 7 = arcsin Знак плюс в A32) соответствует значениям я>т]>л;/2, ми- минус — значениям л/2 > ц > 0. В справедливости решения A32) можно убедиться, подставив его в уравнение Лапласа A28), которое в переменных A33) приводится к виду §1 ^ = 0. A34) дг\ Заменим в выражениях A25) для составляющих плотности тока компоненты напряженности электрического поля (Ех, Ez) производными электрического потенциала (dV/dx, dV/dz), вос- воспользовавшись выражениями A31) и A33): dV ®R^W д~х A.35) При выбранных знаках поперечная составляющая плотности то- тока j2, обусловленная электрическим полем, как было указаног направлена снизу вверх (dVfdz <0). Продольная составляющая плотности тока ;* в верхней части канала положительна, а в нижней отрицательна; на оси канала /х = 0. Поперечный компонент плотности тока j2 внутри канала на участке с электродами в зоне х ->• °° (где В < 0) направлен от отрицательного электрода к положительному (сверху вниз), так .как здесь доминирует ток, индуцируемый магнитным полем; на участке изолированных стенок E = 0) индуцируемого магнит- магнитным полем тока нет, и поэтому здесь вектор jz имеет противопо- противоположное направление (снизу вверх). Таким образом, при входе жидкости в магнитное поле возникает зона замкнутой циркуля- циркуляции электрического тока, в которой последний меняет свое на- направление на противоположное. Поле плотности электрического тока \J = у jx + 7zj» рассчи- рассчитанное с помощью формул A35) для случая aWB/Vw = 21 изо- изображено на рис. 13.14.
§ 8. ВХОД ПОТОКА В МАГНИТНОЕ ПОЛЕ И ВЫХОД 221 Используя уравнения движения A24), можно найти измене- изменение среднего по площади статического давления по длине кана- канала. Интегрируя первое из уравнений A24) в пределах от —а до Рис. 13.14. Линии равных значений потенциала и плотности тока при входе потока в магнитное поле Н-а и деля все его члены на 2а, получаем Перепишем уравнение A36) в виде Введем обозначения а а ± J pdz = рср, 2j J. ¦/,<& = /2CP. Учитывая, что из условия неразрывности следует A37) а из уравнения A36а) имеем f cp 7 /Z СР. 038)
222 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики При х<0 В = 0, поэтому /?ср на участке —оо<#<0 по длине не изменяется. Вычислим dpcv/dx на участке расположения элек- электродов (х>0). Используя соотношения A35) и A32), найдем среднее по сечению значение составляющей плотности тока /zcp L о J я Очевидно, что интеграл \ — dr\ равен разности значений функ- _ о ции хг в точках л и 0, т. е. я _ гр \ — dx\ = Jt. о Следовательно, т. е. среднее по сечению значение составляющей тока /2СР на участке расположения электродов не изменяется. Используя со- соотношение A39), из уравнения A38) находим дх Итак, оказывается, что градиент среднего давления дрср/дх по длине канала (при х>0) является постоянной величиной. Обо- Обозначив /?о среднее значение статического давления в сечении х = ~ 0, окончательно имеем при х > О A40) Используя электрическое поле первого приближения, можно определить поле скорости первого приближения, для чего следу- следует обратиться к уравнениям движения A24I). Мы рассмотрели вопрос о течении жидкости на участке, рас- расположенном непосредственно перед входом в канал с магнитным полем. Аналогичным образом решается задача о выходе потока жид- жидкости из магнитного поля, однако в этом случае при использова- использовании тех же уравнений следует знак переменной х изменить на обратный. *) См. сноску на с. 218.
§ 9. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ 223 Решение уравнения Лапласа A34) для случая выхода из по- поля представим в виде V = VW^, A41) где х"=х"/а определяется по A32) путем замены знака перед х: x = arcsin При этом в качестве граничных применяются условия х < 0; V = =f Vw для ц = 0; я; #>0; -~ = 0 для г] = 0; я. Учитывая связь между производными финиций #" ж хг дх дх дх дх ~lx ~~ ~~ "Ix" ~дЦ~~дч' находим, что направление поперечной составляющей плотности тока остается таким же, как и на участке входа в поле, а на- направление продольной составляющей плотности тока изменяется на обратное: /я< 0 при т|> -тр jx>0 при г] <-j. Знак продольного градиента давления остается прежним (от- (отрицательным), иначе говоря, как выход потока из магнитного поля, так и вход в него сопровождаются падением давления (сопротивлением). Направления поперечных градиентов давления при выходе и входе потока жидкости в магнитное поле противо- противоположны. § 9. Уравнения магнитной газовой динамики для единичной струйки Понятие «единичная струйка» в магнитной гидрогазодинами- гидрогазодинамике не имеет такого универсального применения, как в обычной газовой динамике, ибо лишь в немногих случаях можно считать неизменными в поперечном сечении струйки величины и направ- направления векторов электрической напряженности и магнитной ин- индукции, а вместе с ними и векторов плотности тока и электро- электромагнитной силы. Приведем два примера магнитогазодинамических течений, в которых концепция единичной струйки строго справедлива:
224 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики 1. Канал постоянного сечения z = ±a, образованный двумя параллельными стенками, по которому в направлении х движет- движется электропроводный газ; стенки канала являются разноимен- разноименными электродами бесконечной проводимости, вязкость и тепло- теплопроводность не учитываются. Если на стенках поддерживается разность потенциалов, то возникает электрический ток /2, индуцирующий «собственное» магнитное поле, линии напряженности которого по правилу бу- буравчика направлены перпендикулярно к плоскости течения (по оси у). Течение в таком канале эквивалентно течению единичной струйки, находящейся в постоянных скрещенных электромагнит- электромагнитных полях W(a,. О, 0), Е@, 0, Ez), В@, Ву, 0), f(/x, 0, 0). 2. Равномерное течение газа перед и за прямой магнитогазо- динамической волной (с линиями магнитной индукции, перпен- перпендикулярными к направлению течения). Этот случай подробно рассматривается в § 10. Запишем уравнения магнитной газовой динамики для еди- единичной струйки газа, пренебрегая вязкостью и теплопровод- теплопроводностью жидкости. Будем считать движение жидкости установив- установившимся, магнитное поле — стационарным, а вектор [Е X В], опре- определяющий работу электромагнитной силы (см. (94)),—направ- (94)),—направленным параллельно вектору скорости W. В этом случае поток вектора [Е X В] направлен по нормали к поперечному сечению струйки. Как известно из теории поля, div [Е X В] = lim -i- f[E X B]n dS, о где Az; — объем, охватываемый замкнутой поверхносью S, сквозь которую проходит поток вектора [Е X В] n, n — внешняя нормаль к поверхности S. В нашем случае, при малой протяженности объема Ду, имеем Здесь F — площадь поперечного сечения трубки тока, индекс I указывает на то, что берется проекция вектора [ЕХВ] на ли- линию тока. Объем участка трубки тока длийой 61 равен dv = F dl, поэтому 4| Подставляя это выражение в уравнение энергии (94J и учиты- учитывая, что W = dl/dt, получаем ,di* I d /rT^ v
§ 9. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ 225 Так как секундный расход жидкости GceK e COtlSt вдоль трубки тока не изменяется, то после интегрирования имеем pWFi* + — [Е X В], F = const. Отсюда получаем эффективное значение полного теплосодер- теплосодержания или C-i + Jf + J^t. <ш> Итак, эффективное значение полного теплосодержания U, включающего электромагнитную энергию, остается вдоль трубки тока постоянным, если поток электромагнитной энергии направ- направлен вдоль вектора скорости. В случае Е = О или при параллельности векторов напряжен- ностей электрического и магнитного полей (EIIB) уравнение A43) выражает условие постоянства полного теплосодержания для энергетически изолированной струйки i* = const. С помощью уравнений E4) и F1) можно исключить вектор Е из уравнения энергии. В самом деле, E=(vHrotB-[W:XB]), откуда [EXB] = (vH[rotBXB]— {[WXBJXB}). В проекции на направление линии тока получаем [Е X В]я = {vH [rot В X В]х + и (В* + В2,)}. Здесь предполагается, что ось х направлена вдоль струйки (v — w — O). Подставляя последнее выражение в A43), получа- получаем уравнение энергии для струйки при условии Е J- W, В J- W ? = ** + ТГ^ + ТГ^Г trot в X В]х = const. A44) Ввиду того что в поперечном сечении единичной струйки все па- параметры принимаются постоянными (dfdy — d/dz — O), выраже- выражение A44) можно упростить. В самом деле, в данном случае (v = w = Bx = Bz = Ex = Ey = 0, т. е. W = и, В = ВУ1 Е = Ег) со- 15 г. Н. Абрамович, ч» 2
226 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ставляющие ротора магнитной индукции двг дВ„ л дВх дВ2 B 0 tBf0 rot2B = ^-^ = 4l z дх ду ах и составляющая векторного произведения [rot В X В]ж = (rot, В) Вг - (rot, В) Ву = - В -Ц = - А ^- A45) Подставляя это выражение в A44), приходим к следующему виду уравнения энергии для струйки, находящейся в перпенди- перпендикулярных (скрещенных) электромагнитных полях $i^?= const- A46) Если газ обладает очень высокой проводимостью (oR -> оог Vh-^0), последним членом в уравнении A46) можно прене- пренебречь, и тогда условие сохранения эффективного полного тепло- теплосодержания для струйки в скрещенных полях запишется так: il = j* + — = const. A46a) Уравнение магнитной индукции (84) применительно к еди- единичной струйке также существенно упрощается. При поперечных электромагнитных полях (Вх = BZ = Ex~ E f /O W В В Е Е //) v y , , У, ) в рассматриваемом случае в уравнении E4) сохраняется только одна составляющая плотности тока из уравнения Максвелла F8а) для стационарного поля (dB/dt = 0) следует Е =*Ег = const, а из уравнения Максвелла F5), как уже было показано, имеем Отсюда получаем уравнение индукции для струйки в попереч- поперечных скрещенных полях где = —Ег+
§ 9. УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОЙ ГАЗОДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ 227' Если проводимость газа очень велика (ол -> °°), то уравнение магнитной индукции для единичной струйки, находящейся в по- поперечном магнитном поле, приобретает особенно простой вид иВу =• const. A47а) В случае невязкой несжимаемой жидкости (ji = 0, p = const) можно вместо (90) получить другую форму уравнения энергии для единичной струйки. Используем для этой цели уравнение движения (82а), которое в проекции на направление струйки (W =• и, v = w = 0) при поперечном магнитном поле (В = Вуу Вх = fiz = 0) имеет следующий вид: ди д I , В \ /л /о\ [P + A48) Интегрируя A48), получаем или * в2 Рс = Р* + 97Г- = const. A49а) Уравнение A49) представляет собой уравнение Бернулли для струйки несжимаемой электропроводной жидкости, находя- находящейся в поперечном магнитном поле. Третий член этого уравне- / В2 \ ния называется магнитным давлением \ рт = о— • При сложе- нии рт с полным давлением р* получается эффективное полное давление рс, сохраняющее в данном случае постоянное значение по длине струйки. При действии на струйку продольного магнитного поля (В = ВХ1 2?y='Bz=0) интегрирование уравнения (82а) приводит к уравнению Бернулли обычного (гидравлического) вида р -f- p-7J- = /?* = const, так как при этом ~~ ~дх Составим уравнение количества движения для струйки, нахо- находящейся в электромагнитных полях. В гл. I была получена об- общая форма уравнения количества движения для единичной струйки, справедливая для всех случаев движения: 15»
228 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Учет воздействия магнитного поля состоит в том, что проекцию равнодействующей всех сил Рх мы разбиваем на две части: р р л- Р где Рхр —- проекция равнодействующей всех гидродинамических сил; Рхт — проекция электромагнитной объемной силы, прило- приложенной на участке струйки 1 — 2. Проекция электромагнитной силы, приложенной к единице объема согласно G2), Проекция на ось х силы, действующей на элементарный объ- объем, составляет Здесь F — площадь поперечного сечения струйки, их — длина ее элементарного участка (в направлении вектора скорости и). Проекция электромагнитной силы, действующей на участок струйки 1 — 2, В случае поперечного магнитного поля этот интеграл можно пре- преобразовать с помощью A45): 2 Pxm--~\FdBK A50) Электромагнитная сила, приложенная к конечному участку элементарной струйки постоянного сечения при поперечном маг- магнитном поле, равна р** = щ(в1-в1)- A50а> Сила гидродинамического давления в этом случае составляет Поэтому уравнение количества движения для элементарной струйки постоянного сечения при поперечном магнитном поле имеет следующий вид: Отсюда согласно уравнению неразрывности (G = puF=: const) имеем Р1 — Р2+ V 2 = Pi"i ( ~ ui) = Р2И2 — PxmJ- A51) i В
§ 10. МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 229 Вводя в уравнение A51) эффективное давление, равное сум- сумме гидродинамического и магнитного давлений Рс=Р + Рт = Р + ^, A52) приводим уравнение количества движения для единичной струй- струйки постоянного сечения при поперечном магнитном поле к сле- следующему простейшему виду: Ра + PiU2x = Рс2 + P2ul A53) Иногда удобно уравнение количества движения для струйки постоянного сечения при поперечном магнитном поле представ- представлять в следующем виде: В2 р + 2JT + ри2 = const- A54) Уравнение количества движения A54) в отличие от уравне- уравнения Бернулли A49) пригодно не только для несжимаемых жид- жидкостей, но также и для газов, т. е. для сред переменной плот- плотности. § 10. Магнитогазодинамические ударные волны и слабые возмущения Если в пространстве, заполненном газом бесконечно большой проводимости, возникла волна магнитной индукции аЬ (рис. 13.15), то, как будет показано далее, скорость ее распрост- распространения выше в тех местах, где больше значение магнитной индукции В. Поэтому зона а у «вершины» волны перемещается быстрее, чем зона Ь, расположенная у «подножия» волны. Это приводят к тому, что при перемещении в сторону меньшей напряженно- напряженности поля (вправо на рис. 13.15), куда данная волна распростра- распространяется как волна сгущения, она со временем приобретает все бо- более крутую форму, пока не превратится в скачок магнитной индукции. При распространении в сторону большей напряженности по- поля (влево на рис. 13.15) волна аЪ является волной «разрежения магнитного поля», причем по-прежнему скорость ее продвиже- продвижения в зоне а выше, чем в зоне Ь, отчего волна разрежения по- постепенно сглаживается и ослабляется. Исследуем особенности скачка сгущения — ударной волны — магнитного поля. Ввиду сложности теории магнитогазодинамиче- ских волн мы ограничимся простейшим примером —- прямой маг- нитогазодинамической ударной волной.
230 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Пусть фронт скачка магнитной индукции В расположен пер- перпендикулярно к направлению газового потока (рис. 13.16). Сообщим невозмущенному потоку газа скорость мн, равную по величине скорости распространения скачка wb, но противопо- противоположную по знаку: ия = —wb. В этом случае фронт скачка будет неподвижен, а поток не- невозмущенного газа будет натекать на плоскость фронта со ско- скоростью ив. Пусть (рис. 13.16) вектор магнитной индукции перпендику- перпендикулярен к направлению течения В = @, BV1 0), т. е. фронт скачка 1 Mill Ui х Рис. 13.15. Образование скачка сгу- сгущения и плавной волны разреже- разрежения в поле магнитной индукции в, Рис. 13.16. Магнитогазодина- мическая прямая ударная волна представляет собой тангенциальный разрыв потока магнитной индукции. Будем также считать, что до и после скачка значения магнитной индукции постоянны (Вш = const, В\ = const). Так как проводимость среды бесконечна, то к струйке жидкости при- применима зависимость A47а), найденная в § 9: ишВв = и\В\ = const. A55) Иначе говоря, скачкообразное возрастание магнитной индукции (В{>ВВ) требует скачкообразного уменьшения скорости тече- течения (щ<ив). При этом, согласно уравнению неразрывности, произойдет также скачок плотности газа (pi > рн) ?*- = -^ A56) Рн ui V ' и в соответствии с уравнением количества движения A51) ска- скачок эффективного давления Pel ""~~ Рея ==: Рн^н (^н — ^l) • (lO / ) Поэтому согласно A55) и A56) плотность в скачке должна воз- возрастать.
§ 10. МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 231 Итак, скачок магнитной индукции в газовом потоке, пересе- пересекающем линии индукции, обязательно совместится со скачком уплотнения, т. е. мы имеем дело с магнитогазодинамической ударной волной. Для замыкания системы уравнений A55) —A57) добавим ус- условие сохранения эффективного полного теплосодержания A46а), которое согласно A55) и A56) запишем в виде il = i + -f + ^ - const, A58) я уравнение состояния = w; = R- A59) Решая совместно систему из пяти уравнений A55) — A59), ножно по заданным значениям скорости распространения пря- прямой магнитогазодинамической волны (wb = —ия) и параметров состояния газа и магнитного поля перед фронтом волны (рн, рн, Гн, 2?н) найти значения относительной скорости газа (щ) и па- параметров газа и поля (pi, pi, T\, B\) за фронтом волны. Если известны параметры состояния невозмущенного газа и прирост давления в скачке, то нетрудно определить скорость распространения магнитогазодинамической волны. Из уравнений A57) и A56) получаем Л1-.рст = и2(р1-Рн)^, A60) откуда следует, что скорость распространения ударной магнито- тазодинамической волны в покоящемся газе (wb) или равная ей по величине скорость потока, которая останавливает встречную волну (ия), составляет 7Г? ,.2 _ Pel — Реп ?! Из A60а) следует также wi = Pf^r- A61) Формулы A60а) и A61) отличаются от соответствующих фор- формул E) и A0) гл. III для обычной ударной волны только тем, что в них давление (р) газа заменено эффективным давле- давлением (/?с). Представим на основании (83) эффективное давление в виде .суммы гидродинамического и магнитного давлений В2 Рс = Р + Pm = P + 2JT-
232 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Тогда формулы A60а) и A61) примут вид Магнитная индукция за фронтом волны больше, чем перед ним (В\>ВШI поэтому магнитогазодинамическая волна A62) рас- распространяется быстрее, чем обычная волна сжатия той же ин- интенсивности. Из уравнений магнитной индукции A55) и неразрывности A56) имеем В, В„ Подставляя это отношение в A62), приходим к следующему выражению для скорости магнитогазодинамической ударной волны: * Pi-Рщ Pi , К ( Рг , Л Pi „ ™ "* = р7^^ + ~Ж?Г Ur+ * j 5Г A65) В предельном случае очень слабого разрыва (р\ « рИ1 р\ « рнг В\&Вп) получаем скорость его распространения в направлении, перпендикулярном к линиям напряженности магнитного поля: 9десь первое слагаемое правой части есть квадрат скорости зву- звука в газе 1) а второе слагаемое — квадрат скорости распространения волны Альфвена ^=^=2т- <168> Отношение скорости волны Альфвена к скорости газа равна введенному в § 5 числу Альфвена (см. (96)) A69) 1) Ниже будет доказано, что в слабых магнитогазодинамических волнах dp осуществляется идеальный адиабатический процесс, для которого "^г =* кр
§ 10. МАГНИТ0ГА30ДИНАМИЧЕСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 23S Из A67)— A69) получаем д = ^ = |м2М A70> В магнитной газодинамике доказывается, что волна Альфве- на распространяется со скоростью Ьв вдоль силовых линий маг- магнитного поля (ЬВ\\ВШ) в газе бесконечно большой проводимости (ол -> оо) и представляет собой слабую вращательную волну (составляющие скорости и магнитной индукции, касательные к ее плоскости, поворачиваются, не изменяя своей величины); су- существование таких волн было открыто Альфвеном в 1942 г. В волне Альфвена плотность и давление не изменяются, и она имеет конечную скорость распространения в несжимаемой жидкости. Итак, скорость A66) распространения слабой магнитогазоди- намической волны (слабого разрыва) в направлении, перпенди- перпендикулярном к линиям магнитной индукции, превышает скорость звука и составляет с* = Val + bl A71) Можно показать, что вдоль силовых линий магнитного поля слабые магнитогазодинамические волны распространяются либо со скоростью звука ан, либо со скоростью Альфвена Ъя. Из магнитной газодинамики известно, что в общем случае- скорости распространения слабых магнитогазодинамических волн, которые подразделяются на быстрые (с) и медленные (с')* а также скорость распространения альфвеновской волны (Ь) за- зависят от угла Ф между выбранным направлением и вектором магнитной индукции В: Ъ = bn cos fl1, с — он — 4rcosO , A72> Здесь г = / В частном случае, когда Ф = 0 (распространение волн вдоль силовых линий), имеем b = ЬН, с = с ц = ан, с' = с\ = йн (при г > 1), Ь = 6Н, с = с 0 = Ъп, с' = с 'и = ан (при г < 1). В другом частном случае Ф = я/2 (распространение волн r направлении нормали к силовым линиям) имеем
234 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики В отличие от слабых (акустических) волн обычной газовой динамики, которые изотропны (распространяются во всех на- направлениях с одной скоростью), магнитогазодинамические сла- слабые волны анизотропны и, кроме того, подразделяются на быст- быстрые и медленные. Перейдем к отысканию основных соотношений между пара- параметрами газа и поля в магнитогазодинамической ударной волне. Из A55), <156), A68) и A69) имеем Если обозначить отношение давлений за и перед фронтом ударной волны » = ¦?. A74) то отношение температур, согласно уравнению состояния, можно представить в виде ?=-?¦• <177> Используя известные соотношения ср — cv —> Д, ср = kcVi вы- выражение A64) и уравнение неразрывности A56), преобразуем уравнение энергии A46а) к виду о Из уравнения состояния A59) и формулы A76) находим давление газа rtm* к— 1 9 &— 1 -^ /ЛП1\ p = pRTc 2Гри ~^' ( ' Из A77) получаем величину перепада давлений в ударной волне Рх - Р* = (Pi - Рн) RTe + -gg- «н»! (Pl - Рн) j- — -J- • в ^н A78) Здесь приняты во внимание постоянство эффективной темпе- температуры торможения (Г* = idem) и следующие из уравнения ин- индукции A64) и уравнения неразрывности A56) равенства 2 2 / \ 2 | 2 /-. | _ \ О2 — р2 Р2 + Р2
§ 10. МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКЙЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 235 Подставляя A63) и A73) в A78) и выполняя элементарные преобразования, получаем основное кинематическое соотношение для прямой магнитогазодинамической ударной волны RT+ Здесь первый член правой части представляет собой квадрат критической скорости, соответствующей эффективной температу- температуре торможения: A81) В этом случае отличие A80) от кинематического соотношения {15) гл. III для обычной ударной волны заключается в дополни- дополнительном члене, учитывающем влияние магнитного поля. Складывая давления перед и за ударной волной, имеем из A77) ., * = (Pi Исключая отсюда с помощью A63) произведение скоростей, получим основное динамическое соотношение для прямой магни- магнитогазодинамической ударной волны которое отличается от аналогичного соотношения A7) гл. III {для простой ударной волны) дополнительным («магнитным») членом в правой части. В частном случае слабого разрыва (р\ « рв, р\ « рн, тм«1) из A82) имеем -~ =к—, т. е. -^г= const, что доказывает постоянство энтропии в слабой магнитогазодина- магнитогазодинамической волне. Поделив все члены уравнения A82) на величи- величину Рв/ря и решая его относительно величины р\/ра, приходим к уравнению ударной магнитогазодинамической адиабаты , п== ем-н-^т-р3; ю о •— fit
236 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Здесь приняты обозначения Рн' V Ч Рн Т. I Л 0 = При отсутствии магнитного поля (q = 0) уравнение A83) сов- совпадает с уравнением A8) гл. III для обычной ударной адиаба- адиабаты. В случае очень сильной ударной волны (р\ ->• °о) получаем из A83) такое же предельное значение плотности \ __ &+1 (PlJmax — д. ^ Рн? как и в простой ударной волне (см. выражение A9) гл. III)'- При pi -> рн имеем р\ -> рв. Степень отклонения магнитогазодинамической ударной адиа- адиабаты от простой ударной адиабаты показана на рис. 13.17, где- Рис. 13.17. Ударные адиабаты маг- магнитогазодинамической волны прв разных величинах параметра маг- магнитного давления (к = 5/3) нанесены кривые т(п) при разных величинах относительного магнитного давления q для к =• 1,67 (одноатомный газ). С помощью A62) и A83) можно выразить число Маха, со- соответствующее скорости распространения магнитогазодинамиче- окой волны, через отношение плотностей на ее фронте: m Зависимости Мн(иг), рассчитанные по формуле A84) при 0 = 4 (А: =• 1,67), нанесены на рис. 13.18. Остается определить число Маха в газовом потоке за магни- магнитогазодинамической волной, для чего используем выражения A56) и A75): М2 Ч < Р! Гн м| М1=и^в1й157"=ь- A85>
§ 10. МАГНИТОГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ УДАРНЫЕ ВОЛНЫ 237 Кривые Mi(/n) при разных значениях параметра магнитного давления q приведены на рис. 13.19. При вырождении магнитогазодинамической ударной волны в слабый разрыв (яг->1, п-+1) скорость ее распространения, как «было установлено выше, оказывается больше скорости звука; 3 \ 'К 777=- Рис. 13Л8. Зависимость скорости магнитогазодинамической удар- ударной волны от степени сжатия га- газа при разных величинах пара- параметра давления (к = 5/3) 0,5 3 Рис. 13.19. Зависимость скоро- скорости за магнитогазодинамической ударной волной от степени сжа- сжатия газа при разных величинах параметра магнитного давления (к = 5/3) в этом предельном случае из A84) и A85) получаем ='1 + М = М В другом предельном случае — бесконечно сильной магнито- магнитогазодинамической волны (т -*- 6, п -> °о) — имеем из A84), A85) и A83). М* оо, Mim<
238 гл-: XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ §11. Условие обращения воздействия при течении газа в электромагнитном поле Рассмотрим стационарное одномерное течение (W(x)=> = (и, О, 0)) невязкого и нетеплопроводного газа конечной прово- проводимости в поперечных скрещенных магнитном и электрическом полях. Предполагая, что можно пренебречь индуцированным магнит- магнитным полем, зададим распределение средних по сечению значе- значений электрической напряженности и магнитной индукции по длине канала переменного сечения Е(#) = @, Еу, 0), В(х)=* = @, 0, Bz). Это позволяет решать задачу, не привлекая уравне- уравнений Максвелла. Продифференцировав уравнение расхода puF = const =• G по направлению движения, получим 1 dp I du I dF n /4QA\ 7~^ + ~^+ir^ = 0- A86) Аналогичным образом из уравнения состояния для идеально- идеального газа имеем Уравнение движения (82) для одномерного течения невязко- невязкого и нетеплопроводного газа при поперечных электромагнитных полях может быть приведено к виду ' Р" "S+ll =°в№-иВ]В. A88) Уравнение энергии такого одномерного течения получим из (90) и (87) ри^ = ав[Е-иВ]Е. A89) Учитывая, что ?*=•? + и2/2, R = cp — cv и сР = ксщ уравнению энергии A89) при ср = const придадим следующий вид: jJLj Rpu fx + Ри* g = oRE [E - uB]. A89a) В этих уравнениях все параметры зависят только от х, при- причем скорость и(х) направлена по оси х, а напряженности маг- магнитного и электрического полей перпендикулярны между собой и к направлению движения: В2 = В(х), Еу = Е(х); будем счи- считать функции Вг и ЕУ1 а также функцию F(x), описывающую изменение площади поперечного сечения канала, заданными.
8 11. ОБРАЩЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 23& Систему уравнений A86) — A89) в общем случае нельзя ре- решить в явном виде, но с ее помощью можно определить, как за- зависят производные скорости и числа Маха от основных пара- параметров задачи. Исключая из A87) и A89а) градиент температуры, получим Исключая из A88) и A90) градиент давления, имеем 1 огг— « \Е к Заменяя в этом выражении градиент плотности с помощью A86), приходим к выражению 4 ' и dx F dx pa и \ В ]\В к ) которое показывает, как влияет изменение площади сечения и фактора, отражающего характер электромагнитного поля (второй член правой части), на изменение скорости по длине канала. Если электромагнитное поле отсутствует, то уравнение A91) переходит в известное соотношение для сопла Лаваля (гл. IV, A)). Если добавить в исходные уравнения члены, характери- характеризующие изменение расхода газа, работы трения, технической ра- работы и подвода тепла извне, то путем элементарных преобразо- преобразований можно уравнение A91) превратить в условие обращения воздействия еще более общего вида, чем условие D9) гл. V: /Ал* i\ JL^L Li^ J^ J^L k-1 ****** и dx F dx G dx a2 dx — a2 dx 4^ a2 dx pa2 u Член, учитывающий электромагнитное воздействие в уравне- уравнении A92), отличается от всех остальных членов этого выраже- выражения тем, что в него входят значения действующих параметров, а не их производные и, кроме того, его величина зависит от аб- абсолютных значений скорости и давления газа, а знак определя- определяется произведением двух разностей, одна из которых есть раз- разность между скоростью газа и и скоростью дрейфа ]?Л=*Е/ВТ а другая — разность между скоростью газа и некоторой ско- тт Е к — 1 ттт к — 1 ростью Ux = -g- —j- = ТУД -J-. Таким образом, если отбросить все воздействия, кроме элек- электромагнитного, т. е. рассматривать одномерное движение идеаль- идеального газа в теплоизолированном канале постоянного сечения при наличии скрещенных электромагнитных полей, то условие обра-
240 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ щения воздействия для производной скорости, запишется так: JL(*-UMu- W*) = = -*-? (и-UJfr-Wjd. A93) Напомним, что при движении газа со скоростью дрейфа (см. § 5) индуцированное электрическое поле равно и противоположно на- наложенному, в результате чего ток через газ не идет и никакого магнитогидродинамического воздействия нет. Как видим, при не- неизменной величине электромагнитного воздействия знак произ- производной скорости изменяется на противоположный при переходе от дозвукового течения (М<1) к сверхзвуковому (М>1) и наоборот. Таким же путем, как A93), можно вывести условие обраще- обращения воздействия для производной числа Маха по длине канала. В случае dF/dx?=0 имеем сходное с A91) выражение 1 dF к °RB2(E WE 1 + Ш2 1 dF к °RB2(E WE ~ F dx ра* и [В и)^В Для канала постоянного сечения (dF/dx ==* 0) получаем = - -2- (и - Wn) (и - U2), A95) где Таким образом, в выражении для dtA/dx появляется новая характерная скорость С/2, величина которой зависит от числа Маха. С помощью A94) и A95) на рис. 13.20 построена диаграмма возможных режимов одномерного течения газа в скрещенных электрическом и магнитном полях. По оси ординат отложены значения скорости, по оси абсцисс — числа Маха. Прямые линии u=*U\, u=*Wju М=1 и кривая ^7г(М) разбивают плоскость
§ 11. ОБРАЩЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ 241 (и; М) на области I. М>1 II. M<1 A2-Wu<u B2.U1<u<WJk C2.U2<u<Ul DU C1.U1<u<U2 D1-u<U1 Пусть и и М известны в некотором сечении х. Тогда при сме- смещении вдоль оси х эти параметры изменяются так, что в обла- областях Аи В2 и D\ происходит смещение налево вниз, в областях А%, В\, D2 — направо вверх, областях С\ ж С2 — налево вверх. A94) ясно, и = ТУД и плавный как и указывают стрелки, и в // / и в, У Из уранения что на линиях и = U\ возможен переход через значение М = = 1 в первой точке в сторо- сторону возрастания М, а во вто- второй — убывания. В областях С\ и С2 про- происходит ускорение потока при уменьшении числа Ма- Маха; здесь скорость звука ра- растет быстрее скорости по- потока. Полученные результаты легко объяснить, если вспом- вспомнить, что воздействие элект- электромагнитного поля на течение газа сводится к механической ра- работе электромагнитной силы, приложенной к единице объема1), Рис. 13.20. Возможные режимы одно- одномерного течения в скрещенных элект- электромагнитных полях и к выделению джоулева тепла, с учетом которого полная под- подводимая энергия на единицу объема В рассматриваемом одномерном случае отношение механиче- механической работы к полной энергии oR [Е — иВ] иВ oR[E — uB]E '' и A96) 1) Знак минус означает, что при F > 0 энергия сообщается газу; выше мы всегда считали положительной работу, совершаемую газом, J6 г. Н, Абрамович, ч., 2
242 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики Если и > WR, то механическая работа электромагнитной силы превосходит изменение полного запаса энергии газа, т. е. меха- механическая энергия частично переходит в энергию электромагнит- электромагнитного поля в виде тока, который может совершать работу во внешней цепи МГД-генератора. Если и<\?д, то энергия элек- электромагнитного поля передается газу в виде механической работы или тепла (насос или ускоритель). В первом случае электромагнитная сила направлена против движения газа, а во втором — по движению. Во втором случае при П, близких к единице, воздействие поля выражается в ос- основном в виде работы электромагнитных сил, а при П, близких к нулю,— в основном в виде подвода тепла. При и =• U\, т. е. П = U\IWn, тепловое и механическое дейст- действия электромагнитного поля компенсируются, вследствие чего скорость газа не изменяется (du/dx =•()), при u^W^ оба воздей- воздействия равны нулю1), из-за чего также du/dx = 0. Особенность линии и = U2 состоит в том, что в точках пересечения с ней кривых м(М) изменение значения скорости звука пропорцио- пропорционально изменению значения скорости газа, в силу чего производ- производная от числа Маха по длине канала при и = ?/г всегда равна нулю. Переход через линию и =• С/г возможен на диаграмме рис. 13.20 только по вертикали (при М = const). § 12, Простейшие решения уравнений одномерного течения газа в скрещенных полях Простейшее решение уравнения одномерного течения идеаль- идеального газа в скрещенных электрическом и магнитном полях полу- получается для канала постоянного сечения при В = const и Е =» = const; последние два условия можно реализовать лишь при малых значениях магнитного числа Рейнольдса (RH<1), когда индуцируемые в потоке газа поля значительно слабее наложен- наложенных полей2). Поделив почленно уравнение A93) на уравнение A95) г найдем При 2?= const и Е = const имеем \?д=* const и ЕЛ = const; кроме 1) Такой режим получается при отсутствии джоулева тепла, но это возможно лишь при отсутствии электрического тока, а следовательно, и электромагнитной силы. 2) Р е с л е р Е. Л., Сире В. Р. / Механика: Сб. переводов и обзоров иностранной литературы.— Т. 6, вып. З/Под ред. Л. И. Седова.— М.: Оборон- гиз, 1959.
§ 12. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕЧЕНИЯ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 243 того в соответствии с обозначением, принятым в A95), имеем ¦ fc + 1 2 U2 1 + Ш2 А , 2 ¦Li тт J . 1 —| : . Подставляя это выражение в A97), приводим последнее к виду Нетрудно показать, что левая часть A98) есть дифференциал произведения, поэтому откуда Постоянную интегрирования выбирают по какому-либо на- начальному условию. Например, если принять и =* U\ при М = 1, то получим const = —1. Тогда имеем ТГ = к 1 ' или М2-1 = !„¦ B00) °1 л | ^~ 1 ДА2 4 а Найдем теперь изменение скорости по длине канала. Для этого воспользуемся уравнением неразрывности течения с ри = -тг = const = т. Подставляя значение ри в A93), находим Это выражение с помощью B00) приводится к следующему виду: -тУ-йпЧ'-тУ- <201) dx к -\- L тп где х = д:/й, fe — высота канала, отсчитываемая по нормали к оси х, a So =' GRB2h/m — параметр магнитогидродинамического взаимодействия, определяемый соотношением (97). 16*
244 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики Интегрируя B01), получаем закон изменения скорости па длине канала Hi.i^jrV, B02) где S - 2к S Как видим, и = 0 получается при х = —In &/Si, и — — 1 при х =.— оо. Для определения постоянной интегрирования длину от- отсчитывают от критического сечения, т. е. принимают х = 0 при д. | М = 1, где по условию и = U1 = Wff —т—. Изменение плотности по длине канала находится из уравне- уравнения неразрывности и зависимости B02) р р и± к — iW^ к—1[ к ) v/ Здесь pi — плотность газа в критическом сечении канала. Градиент давления вдоль канала находим с помощью уравне- уравнения движения A88) и выражений B01) и B02) dp г>9 /ттг ч du к—ldu UigrB s x Е=ОВЦ]Уи)т =т^фе г. B04) Интегрируя B04), имеем pL = * * e~~six -f const. В критическом сечении (М = 1, u = a=>Uu р = pi, p = P\),r т. е. при х = 0, р1 = -rjT-^ + const. Но, с другой стороны, из формулы для скорости звука следует „ _ Ptf _ PA1 поэтому const Итак, изменение давления по длине канала ~Р = Т- = -f (l + *-S^). B05>
§ 12. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕЧЕНИЯ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 245 При и = 0[х = — ) имеем р = 1,2, при и = 1 (х = — оо) ? = 0,5. Теперь с помощью B04) и B05) нетрудно отыскать измене- изменение температуры вдоль канала, так как из уравнения состояния Плотность электриче- электрического тока в произволь- произвольном сечении канала / = oR (Е — иВ) = oRE X Отсюда для плотности то- тока в критическом сечении (х = 0) имеем Безразмерное плотности тока 1 i значение B07) Результаты расчета по формулам A64) —B07) не зависят от системы единиц, так как величина А -2 -15 / -0,5 ^^ б/ / * р i -5 0 5 W X Рис. 13.21. Изменение основных парамет- S = GRB2hlm - безразмер- Ров по «лине пл°ского канала постоянно- го сечения при Е = Еу = const; В = Bz = = const; ад = const; к = 1,4; 2/c = 0,075 ная. Кривые, показываю- показывающие изменение величина, р, /?, Т в зависимости от безразмерной длины х == = x/h, выраженной в до- долях от высоты канала fe, приведены на рис. 13.21; при расчете этих зависимостей использовались следующие значения параметров: oR = 102 См/м; Л = 1,4; Тх = 2000 К; р{ = 9,8 • 104 Н/м2; fii = 1 Тл. Этим значениям соответствуют величины pi = 0,167 кг/м3; Ux = ах = 9,4 • 102 м/с; TFд = 32,1 • 102 м/с; E=UiB = = 9,4 -102 В/м; /I = 2,23 А/м2. При высоте канала h = 10 см разность потенциалов на его стенках составляет ДУ = ?7г = 94 В, а универсальный показа- <*ifi\h 2k тель степени S2 = i 1 = 0,075.
246 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ На рис. 13.21 приведены также кривые изменения по длине канала числа Маха (при к = 1,4) M-f--Г"?"- ^7 ^-^ = 3,5-^ B08) и относительной величины полного давления а = 4- = — —^г = 0,528 A + 0,2М2)з.5 ^. B09) Рг Р Pi Рг Разумеется, проведенный расчет носит условный характер, так как не все принятые при выводе формул B02) —B09) усло- условия можно реализовать на практике. В частности, проводимость газа Or существенно зависит от температуры, которая по длине канала изменяется. При переменных значениях основных пара- параметров можно вести расчет численными или графическими мето- методами непосредственно по дифференциальным уравнениям B01) и B04) и соответствующим соотношениям для плотности газа, температуры и плотности электрического тока. Другой вид одномерного течения газа в скрещенных электро- электромагнитных полях получается при постоянной температуре, но переменном сечении канала. В этом случае вывод расчетных формул основывается на следующих исходных уравнениях: уравнении неразрывности puF = const = G; уравнении состояния уравнении движения A88) уравнении энергии A89а), которое при Т = const имеет вид ри2 ^ = jE = oRE [E - иВ]. B10) Подставляя B10) в уравнение движения A88), получим Исключая из B10) плотность, имеем р <>du откуда р = RTE -4— = RTEI, B12) и и'
§ 12. ПРОСТЕЙШИЕ ТЕЧЕНИЯ В СКРЕЩЕННЫХ ПОЛЯХ 247 где и' = _, \ =—s—, ?' = -—-. Отсюда при постоянной напря- dx и и' ах женности электрического тока (Е = const) -р- = RTEQ . Подстав- /2 ляя это выражение в B11), получаем RTE%' = = = 4^2 "^— и' следовательно, oRRTE\= —и3(и'J. Интегри- Интегрируя от х — 0 (| = |о) До текущего значения #, имеем -| J- ] = J а3 (и'J cte. B13) Зададимся степенным распределением скорости по длине канала (при Е = const и В = В(х)) и = Ьхп, и' = Ъпхп~\ B14) Подставляя B14) в B13) после интегрирования (при /г > 1/5) t получим 1 Ъ5п2 я571 6 GRRTE Ъп — 1' B15) Здесь принято во внимание, что при х = 0 и = 0, и' = О, т.е. при / Ф О 1/?о = 0. В случае /г = 1/5 интеграл B13) дает логарифмическую функ- функцию, что изменяет вид всех расчетных формул. В рассматривае- рассматриваемом примере плотность электрического тока в канале ^ B16) и напряженность магнитного поля Е (, RT (Ъп -1) 1 ,917. Давление находим из B12) и B15) oR(RTE? 5n- Р = Площадь сечения канала находится из уравнения неразрыв- неразрывности ОцЛТ(Е) 1 2 5« —1
248 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики Число Маха согласно B14) составляет М = — = -%?= . B20) В критическом сечении (х = x\)tA = 1, поэтому Ь = ^. B21) Подставляя значение Ъ в полученные формулы, окончательно имеем En — В критическом сечении (х = х\): <223> En - 1) Абсциссу критического сечения можно найти по заданному значению давления pi в критическом сечении. В безразмерном виде основные расчетные формулы выглядят так: м=[ —vn -" =?-, B24) ~F F Из B24) следует, что при п = 1/4 канал имеет постоянное сечение. _ На рис. 13.22 изображены кривые М(?), ]{х), В(х), р(х) и F(x) для рассматриваемого изотермического течения в канале
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 249 при п = 1/6 и ft = 1,4. Кривая изменения полного давления по длине канала была рассчитана по формуле B09), в которую подставлялись значения р, отыскиваемые с помощью B24). При Рис. 13.22. Изменение параметров по длине канала при Е — Еу — = const; ал = const; к = 1,4; Т = const; n = 1/6 выбранном законе изменения скорости по длине канала (п = = 1/6) площадь сечения канала изменяется не очень сильно. При больших значениях п все параметры будут изменяться бо- более заметно. § 13. Магнитогидродинамические турбулентные течения При рассмотрении турбулентного пограничного слоя в § 4 гл. VI мгновенные значения скорости, давления и температуры в уравнениях пограничного слоя несжимаемой жидкости заме- заменяются суммами средних по времени и пульсационных состав- составляющих. При последующем осреднении по времени преобразованных уравнений в них появляются дополнительные члены, представ- представляющие собой турбулентные напряжения трения, турбулентный поток тепла и дополнительную диссипацию энергии, отвечающую рассеиванию работы турбулентного трения.
250 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Окончательный вид системы уравнений турбулентного погра- пограничного слоя представлен выражениями A01), A02) и A03) из гл. VI. Аналогичные преобразования можно произвести с основны- основными уравнениями магнитной гидродинамики, выведенными в § 2 настоящей главы. Применительно к магнитогидродинамическому турбулентно- турбулентному пограничному слою несжимающей жидкости в случае малых значений магнитного числа Рейнольдса (RH<1), когда влияни- влиянием пульсаций магнитной индукции можно пренебречь (Z?'~0), уравнение установившегося осредненного движения отличается от уравнения A02) гл. VI, используемого при отсутствии маг- магнитного поля, только одним дополнительным членом — осред- ненной электромагнитной объемной силой: ди , ди др . д ( ди , ,\ . ,. ^ . r> \ /оосг\ ^u^ + ^-^--w + ^[\xw~9uv) + {hBz~hBv)- B25) где, согласно (87), компоненты вектора плотности электрического тока имеют вид j = o[E + (wB-uB2)], vBx)]. В случае продольного магнитного поля (ВхФ0, 2?у=0, Bz = 0) продольная электромагнитная объемая сила отсутствует; в по- поперечном магнитном поле (Вх = 0, Ву Ф 0, Bz = 0) электромагнит- электромагнитная сила равна U = -UBy; B27) при наличии так называемого «окружного» магнитного поля (Вх = 0, Ву = 0, Вz Ф 0), силовые линии которого направлены параллельно поверхности стенки и вдоль составляющей ско- скорости w: U-jyB,. B28) Из сказанного следует, что магнитное поле не вносит в уравне- уравнение осредненного движения никаких дополнительных напряже- напряжений, связанных с пульсационными величинами скорости (и', и', w'), плотности электрического тока (/х, jy, f'z) и напряженности электрического поля {ЕХ1 Е'у, Ёг\ Однако опыты показывают, что магнитное поле сильно влияет на напряжение трения и профиль скорости. Ниже излагается сравнительно простая полуэмпирическая теория, позволяющая учитывать влияние напряженности и на- направления магнитного поля на пульсационные составляющие скорости потока, что в свою очередь сказывается на напряжении трения и профиле осредненной скорости.
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 251 Основная идея этой теории1) состоит в том, что на единицу объема турбулентной частицы жидкости (турбулентного моля) действует возникающая при ее дискретном движении пульса- ционная величина вектора электромагнитной силы, равная, со- согласно B25) и B26), f' = oR [ (Е' + [w' X В]) X В]. B29) Эта сила изменяет величину пульсационной скорости в процессе движения моля, т. е. приводит к тому, что конечная величина пульсационной скорости в момент слияния моля с новым слоем жидкости uk отличается от ее начальной величины в момент за- зарождения моля и0. В течении со сдвигом обычно принято считать все состав- составляющие пульсационной скорости одинаковыми (локальная изо- изотропия) и равными разности осредненных скоростей на расстоя- расстоянии пути смешения: uottvottwo&l-^. B30) При отсутствии объемной силы эти значения пульсационной ско- скорости сохраняются на длине пути смешения и в момент слияния моля с новым слоем жидкости скачкообразно (пульсационно) исчезают, образуя напряжение турбулентного трения за счет потери соответствующего количества движения: B31) Этот процесс подробно рассмотрен в i§ 4 гл. VI. При действии пульсационной электромагнитной силы на еди- единицу объема турбулентного моля жидкости величина пульсаци- пульсационной скорости за время дискретного движения моля изменяется согласно второму закону Ньютона: p^ = f! B32) В выражение для напряжения турбулентного трения B31) сле- следует подставлять конечную величину пульсационной скорости моля \ик, vK), которая может сильно отличаться от начальной {и'о, v'o). При разных направлениях магнитного поля отдельные составляющие пульсационной скорости изменяются неодинаково, т. е. возникает анизотропия турбулентного потока &'кфик). Примем, что пульсация напряженности электрического то- тока пропорциональна индуцированному электрическому полю и !) Абрамович Г. Н., Ковнер Д. С, Л у щи к В. Г. О воздей- воздействии магнитного поля на турбулентность в течении со сдвигом / ДАН СССР.— 1972.—Т. 202, № 4.—С. 783—786.
252 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики направлена ему навстречу: E' = -p[w'XB]. B33) Коэффициент р учитывает сопротивление цепи, по которой за- замыкается электродвижущая сила [w' X В]; для A можно прове- провести оценку: при движении моля конечной проводимости в бес- бесконечно проводящей среде р = 0, а при движении в непроводя- непроводящей среде fi = l. Подставляя B33) в B29), получаем следую- следующее выражение для вектора пульсационной электромагнитной силы: f'=aa«[[w'XB]XB]. B34) где а = 1 — р. Составляющие пульсационной силы при различных ориента- циях магнитного поля: О, f i—uorvB* (Яя,0,0), f'x= — aoRuBl, f'v = I 0 @, By, 0), B35) .— aujRuBl, v— aoRvB2z @, 0, Bz). Видно, что объемные силы, действующие на турбулентный моль в магнитном поле, всегда направлены против движения, т. е. вызывают уменьшение пульсационных скоростей, причем состав- составляющая пульсационной силы в направлении магнитного поля равна нулю. Подставляя в уравнение движения моля B32) вы- выражение для пульсациоиной силы B34), можно определить ко- конечное значение пульсационной скорости. Решая задачу для каж- каждой составляющей пульсационной скорости, получаем, напри- например, для пульсации продольной скорости в поперечном магнит- магнитном поле @, Ву, 0), согласно B32) и B35), Р -^ = /х = — aoRByu', откуда с учетом условия и = и0 при t = 0 и' = и& р • B36) Разлагая экспоненту в ряд, ограничиваясь первыми членами разложения и полагая, согласно B30), иож ldu/dy, а также ZK л? » 1/и0, имеем ^aS^ B37) кальный критерий магнитогидродинамического взаимодействия Константа а определяется из экспериментов. Здесь введен ло- W
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 253 Поперечная составляющая пульсационной скорости i/ при поперечном магнитном поле (О, ВУ1 0) не испытывает воздействия поля, так как, согласно B35), в этом случае fy = 0, т. е. vK = v0. В продольном магнитном поле (Вх, 0, 0) из тех же соображе- соображений получаем t t t t j. U}{ === Uqj Vr ^= Vq \1 — Qb^l)* В окружном магнитном поле @, 0, Bz), согласно B35), две составляющие пульсационной электромагнитной силы отличны от нуля (/^=7^=0, fy Ф 0), поэтому в данном случае две состав- составляющие пульсационной скорости при дискретном движении мо- моля уменьшаются: и'к = и'0A — aSj), v^ = v'0(l — aSf). При определении величины критерия МГД-взаимодействия Si для заданной ориентации магнитного поля в B38) подстав- подставляется соответствующая величина магнитной индукции. Подставляя полученные зависимости для конечных значений компонентов пульсационной скорости в выражение B31) для напряжения турбулентного трения, получим с учетом B30) сле- следующие формулы, отвечающие различной ориентации магнит- магнитного поля: l-aSz) (Я*,0,0), 1 — aSz) @,5 ,0), B39) Видно, что наиболее сильное воздействие на величину турбу- турбулентного трения в плоском пограничном слое оказывает окруж- окружное магнитное поле, что объясняется его влиянием на две со- составляющие пульсационной скорости, входящие в выражение для напряжения трения. Описанный метод учета влияния маг- магнитного поля на турбулентность можно применять и в том слу- случае, если направление магнитного поля не совпадает с направ- направлением одной из составляющих пульсационной скорости; при этом вектор магнитной индукции следует разложить на компо- компоненты, параллельные составляющим скорости, и затем вести расчет по приведенным выше формулам, учитывая воздействие на турбулентность каждого компонента вектора магнитной ин- индукции. Рассмотрим несколько примеров турбулентных мапштогид- родииамических течений. В случае течения около безграничной плоской стенки, как было показано ранее (см. формулу (ИЗ) § 4 гл. VI), вблизи стенки напряжения трения является постоянным, и уравнение
254 гл. хш. элементы магнитной газовой: динамики движения принимает наиболее простой вид Хху = т„ = const для (Вх, 0, 0) и @, 0? Bz). B40) При этом предполагается, что градиент давления отсутствует (др/дх = О), а внешнее электрическое поле не создает осред- ненного электрического тока. Из B38) — B40) для пограничного слоя в продольном маг- магнитном поле (Вх, 0, 0) имеем А^_^нМ t B41) dy p I v ' Принимая прандтлевское распределение пути смешения (фор- (формула A12) гл. VI) 1=ку, вводя скорость на границе слоя (и = = щ при у = б) в ОЕфитерий МГ,Д-В1заимодействия So = aH#26/(puo) и переходя к безразмерным величинам (у = г//б, п = ujuo), полу- получим из B41) ^у oe]. B42) Решим это уравнение относительно производной dy " и выполним интегрирование При граничном условии п = 1 при г/ = 1 получим следующий профиль скорости в пограничном слое при продольном магнит- магнитном поле: 2с _. т/:2 , Jl 2с , о В частном случае So = 0 B44) переходит в известный логариф- • B44)
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 255 мический профиль обычного турбулентного слоя (формула A14) гл. VI): H=l + -J-lnp. B45) В непосредственной близости от стенки, т. е. в ламинарном подслое, данное решение непригодно; здесь, как и при отсут- отсутствии магнитного поля, можно предположить, что границе пере- перехода ламинарного подслоя в турбулентный слой отвечает посто- постоянное значение локального числа Рейнольдса (см. формулу A25) гл. VI), в первом приближении такое же, как и при отсутствии поля: 1*л = ^j^L = Const = 156, B46) а профиль скорости в подслое линейный (и/ил = у/8л). Сшивая турбулентный профиль скорости с линейным на границе под- подслоя, найдем с учетом B46) толщину последнего бл и значение скорости в точке у = бл, после чего по закону Ньютона опреде- определим напряжение трения на стенке *« = **v = l*^- = f*% B47) и константу с в формулах B42) и B43). Для турбулентного пограничного слоя в окружном магнит- магнитном поле (О, О, BZ) уравнение движения, согласно B38) — B40), принимает вид [% пг) =const' <248) или в безразмерном виде du с . с откуда Tr- = aS0 + -^ и dy ky и = aSoy + -j^- In у + const. При граничном условии п = 1 для i/ = 1 имеем и = 1 + -f In»- aS0(l - у). B50) Расчет ламинарного подслоя и трения на стенке произво- производится из тех же соображений, что и в предыдущем случае. При действии поперечного магнитного поля @, Ву, 0) профиль скоро-
256 гл. хш. элементы магнитной газовой динамики сти в пограничном слое нельзя получить, основываясь на пред- предположении о постоянстве напряжения трения, так как при этом направлении магнитного поля в потоке действуют осредненные электромагнитные силы, соизмеримые с силами трения. Рассмотрим теперь турбулентное течение проводящей жид- жидкости в плоском канале при наличии магнитного поля. Для те- течения в канале обычно задается средняя скорость, а максималь- максимальная скорость, величина которой зависит от профиля скорости, определяется решением задачи. Уравнение движения в канале при действии магнитных по- полей (Вх, О, 0) и @, 0, Bz), когда в осредненном течении электро- электромагнитная объемная сила отсутствует, согласно B25) и B31) г имеет следующий вид: B51) Используя выражения B39) для т^, можно из B51) получить профиль скорости. В случае поперечного магнитного поля (О, Ву, 0) получаем турбулентный аналог задачи Гартмана, рассмотренный в § 6 на- настоящей главы. Как и в задаче Гартмана, при Еу = —исрВу в направлении течения действует электромагнитная сила Fx = oRBl (ирр — и), где ь мср = —г- \ и dy, Ъ — полуширина канала. о Уравнение движения в этом случае выглядит так: |х —\ + -j^- — oRBlu = ¦?; OrBIucp = const. B52) Задачу о турбулентном магнитогидродинамическом течении в канале удобно решать в безразмерных переменных: ср = u/v%, r] = r] = -|-R*- B53) Заметим, что для поля @, Ву, 0) суммарная электромагнитная сила в поперечном сечении канала с влектроизолированными ъ ь стенками равна нулю (см. § 6): ] fxdy = 0, поскольку J udy = о о = ucvb. Таким образом, градиент давления уравновешивается си- силой трения на стенке 2 dx Ъ Ъ
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 257 Преобразуем уравнение движения с использованием безраз- безразмерных универсальных координат B53). Для продольного поля (Дс, 0, 0) при 1 = ку имеем dyf г лгГ i'- "i ^г 1л, ^~* /I r~~» B55) где s = ад^2^ = /на_\2 На== въ l/°2.m B56) * ру* vR* / "м- v ' Первый интеграл уравнения B55): Для окружного поля @, 0, В2) уравнение движения имеет вид а его первый интеграл Для поперечного поля @, Ву, 0) уравнение движения ^+ - *•¦ - - ? - s'<f«-<260> л, где в соответствии с B53) фср = J Ф^Л- Интегрирование урав- о нения B60) выполняется с помощью ЭВМ. Принимая во внимание наличие ламинарного подслоя с ли- линейным профилем скорости и полагая, что в канале, как и в случае турбулентного пограничного слоя, параметры подслоя, согласно B46), B47) и B53), отвечают постоянному значению локального числа Рейнольдса на его границе ^л =стдМл6л/Н'=т)л ==• = 156, т. е. г)л = бл/Zju = 12,5, получим (в пределах «двухслой- «двухслойной» модели течения) с помощью уравнений B55), B58) и B60) напряжения трения на стенке канала и профили скорости при соответствующих ориентациях магнитного поля. Из сопоставления расчетных и экспериментальных данных было подобрано постоянное значение коэффициента а в форму- формулах B39): а = 0,22. Решение уравнений проводится следующим образом: а) задаются значениями числа Гартмана На и числа Рей- Рейнольдса R#; 17 Г. Н. Абрамович, ч. 2
258 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ б) проводится интегрирование уравнения движения от стен- зга (т] = 0) до оси канала (г) = R^) с использованием началь- начальных условий ф@) = 0, ф'@)=1; в) при ф'= dq/dr]<i aS% решение несправедливо, так как, со- согласно B39), при dq/dr) = aS^ напряжение турбулентного тре- трения равно нулю (т = 0). Получив профиль скорости ф(г]) и определив среднюю ско- рость фСр = J Ф^г], найдем напряжение трения на стенке канала о т«, и коэффициент трения Ри3р Фср Зависимость X(R) получается в параметрической форме, по- поскольку R = 4pucvb/\i = 4RSj.фcp. Объем вычислений существенно сокращается при использо- использовании логарифмического шага по аргументу г). На рис. 13.23 показан результат расчета по двухслойной схе- схеме течения в плоском канале в окружном магнитном поле 0,08 0,06 0,04 0,008 0,006 0,005 i i i _п 3Kcnep.@,0,Bz) расчет @,0,Bz) расчет FХуО,0) 5 6 789Ю5 Рис. 13.23. Зависимость коэффициента трения в плоском канале от числа Рейнольдса при поперечном (окружном) магнитном поле, параллельном длинной стороне прямоугольного сечения канала @, 0, Z?z), и продольном магнитном поле (Вх, 0, 0) @, 0, Вz), направленном параллельно длинной стороне попереч- поперечного сечения (штриховая линия), и в продольном поле (Вх, 0, 0) (штрихпунктир) при одном значении числа Гартмана На = 112,4. Для сравнения нанесена экспериментальная кривая, получен- полученная при окружном магнитном поле. Сопоставление штриховой
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 259? и штрихпунктирной линий характеризует влияние ориентации поля на величину коэффициента трения в канале. На рис. 13.24 представлена зависимость коэффициента тре- трения от числа Рейнольдса для течения в плоском канале при на- наличии поперечного магнитного поля (О, Ву, 0). Расчетные кри- кривые даны штриховыми, экспериментальные — сплошными ли- линиями. А 0,6 0,4 ал 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 ПО1 \ К > ¦N— \ — ч На=О 'ч. ! i Ч, — \ ч ч^ i i ! ч \ \Ч > \ ч 1 _\ ч ч hi ч ч N ч» ч ч ч "Ч > @,6и,0) а =0,22 ^ эксперим. расчет 126 ^ ч "Ч. --- 2 3 4 5 6 8 10* 2 3 4 5 6 8 105 2 3 4 56 810е Рис. 13.24. Зависимость коэффициента трения в плоском канале от числа Рейнольдса при поперечном магнитном поле, параллельном короткой сторо- стороне поперечного сечения канала @, Ву, 0) На рис. 13.25 изображены расчетные профили скорости в плоском канале, полученные при продольном (Вх, 0, 0) и окруж- окружном @, 0, Bz) магнитных полях и при отсутствии поля (На = 0) для одних и тех же значений чисел Гартмана (На = 112) и Рейнольдса (R = 15 000). Как видим, при таких ориентациях поля последнее способствует уменьшению наполненности про- профиля скорости. На рис. 13.26 представлены профили скорости при наличии поперечного магнитного поля @, Ву, 0) и при отсутствии поля (На = 0); поперечное магнитное поле вызывает увеличение на- наполненности профиля скорости, что объясняется влиянием ос- редненных электромагнитных сил, направленных параллельно течению жидкости. Описанный способ решения задачи (двухслойная модель) пригоден только в условиях развитого турбулентного течения. Для учета роли вязкости в пристенной области и с целью полу- получения результатов, справедливых в широком диапазоне чисел 17*
260 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Рейнольдса (вплоть до ламинарного режима течения), можно ис- использовать формулу для пути смешения, предложенную в ра- работе И. Г. Васецкой и В. А. Иоселевича1) в развитие идей 1 0*9 0,7 0,5 0,3 0,1 О 0,9 0,7 0,5 43 0,1 О R^ 15000 НаЧП Ф.ШЛ М- / / / / 1 (ВхДО)/ / к Л 1 1 1 /на=0 R460000 @,Ву,0) ^—- 1 На=0^ \/ , '** I 1 / / / / у \ — 0,2 0,1* 0,6 ТП01 Рис. 13.25. Профили скорости в плоском канале при продольном (Вх, 0, 0) и окружном @, 0, В г) магнитных полях 0,1 0,3 0,5 Рис. 13.26. Профиль скорости в плоском канале при поперечном магнитном поле @, Ву, 0) Л. Г. Лойцянского, Ван-Дриста, М. Д. Миллионщикова, Л. А. Ву- лиса2): (^) B62) где выражение в скобках обеспечивает резкое убывание пути смешения при приближении к стенке (за счет больших значе- значений градиента скорости <$' = dy/dr)) и при приближении режима течения в целом к критическому в связи с убыванием функ- функции F, имеющей вид (*f\ B63) Здесь R0:}: — значение числа Рейнольдса при переходе ламинар- ламинарного режима в турбулентный, зависящее от магнитного поля R R 0H. ий = (берется по данным эксперимента); п = 1 при при К* < ROj|{; коэффициент А = 0,168. Интегрирование уравнения движения " с учетом выражений B62) и B63) и эмпирической зависимости3) критического числа 1) В а с е ц к а я И. Г., И о с е л е в и ч В. А. О построении полуэмпири- ческол теории турбулентности слабых растворов полимеров / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1970.—№ 2. 2) Миллионщиков М. Д. Турбулентные течения в пограничном слое и трубах.— М.: Наука, 1969. 3) Б р а н о в е р Г. Г., Ц и н о б е р А. Б. Магнитная гидродинамика несжимаемых сред.— М.: Наука, 1970.
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 261 Рейнольдса от числа Гартмана R0*(^a)» выполненное числен- численным методом на ЭВМ, позволяет найти профиль скорости и установить зависимость коэффициента трения от значений чисел Гартмана и Рейнольдса, которая лучше согласуется с опытными данными, чем при использовании «двухслойной» модели и, что Ъ1ОЪ 3 4 5 6 7 8 910^ 5 6 7 8 910°R Рис. 13.27. Сравнение с экспериментом теоретической зависимости коэффи- коэффициента трения от числа Рейнольдса в плоском канале при продольном маг- магнитном поле (Вх, О, 0) особенно важно, справедлива вплоть до перехода к ламинарному режиму течения. На рис. 13.27 и 13.28 представлены зависимости X(R) для широкого диапазона значений На и R, соответственно при про- продольной (Вх, 0, 0) и окружной @, 0, Bz) ориентациях магнитного поля. Сплошными линиями даны расчетные кривые, точками — экспериментальные данные, которые для всех рисунков этого параграфа заимствованы из монографии, ссылка на которую при- приведена на с. 260. В 1967—1973 гг. опубликовано несколько экспериментальных: и теоретических работ, посвященных исследованию магнитогидро- динамических свободных струй, которые привели к построению полуэмпирической теории турбулентной струи, находящейся в магнитном поле х). Опыт показывает, что в продольном магнитном поле форма профиля продольной составляющей скорости в струе остается *) Абрамович Г. И., Ковнер Д. С, Колпаков А. Я., Л у- щ и к В. Г. О влиянии магнитного поля на турбулентное течение со сдви- сдвигом / Магнитная гидродинамика.—1973.—№ 1.
262 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ практически такой же, как и при отсутствии магнитного поля. Это и естественно, так как остаются неизменными граничные ус- условия, которые на обоих краях пограничного слоя струи требуюг равенства нулю поперечного градиента скорости (ди/ду = 0). iff(fOOOA) 3,0 3,2 3,4 3,6 3,8 4,0 4,2 4,4 LgR Рис. 13.28. Сравнение с экспериментом теоретической зависимости коэффи- коэффициента трения от числа Рейнольдса в плоском канале при окружном маг- магнитном поле (О, О, Bz) Ввиду того, что в большей своей части струйный профиль скорости близок к линейному, локальный критерий МГД-взаимо- действия B38) можно считать приблизительно постоянным в поперечном сечении струи и равным ; B64) здесь Ъ — толщина слоя смешения, Аи = щ — и^ разность скоро- скоростей на его границах. Но тогда, согласно B39), относительное уменьшение напряжения трения под действием магнитного поля во всех точках поперечного сечения струи одинаково: . . B65) ГВ= В=0 Если ввести следующие переменные: B66) то уравнение плоского турбулентного движения B25) при дей- действии продольного (Дс, 0, 0) или окружного @, 0, Bz) магнит-
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 263 ных полей, когда электромагнитная сила в осредненном движе- движении отсутствует, имеет такой же вид, как и при отсутствии маг- магнитного поля ttiL + ^ = ±i**=o. B67) Здесь давление принято постоянным (др/дх = 0) и молекуляр- молекулярное трение опущено, так как оно мало по сравнению с турбу- турбулентным трением. Уравнение B67) для различных случаев свободной струи ре- решено, поэтому остается осуществить переход из плоскости (Ж, у) в физическую плоскость (х, у) в каждом конкретном случае. В слое смешения двух полубесконечных струй в отсутствие магнитного поля толщина зоны смешения изменяется линейно с расстоянием (Ь = сх): Ъ = сх, B68) где с — эмпирическая постоянная в теории струи. Установим связь между переменными х ж х, для чего подста- подставим зависимость напряжения турбулентного трения от магнит- магнитного поля B39) в B65). В случае продольного магнитного поля (ВХ1 0, 0) получим t|b=l-aS,, B69) или, согласно B64) и B68), Из B70) и B66) имеем dx dx a откуда aoRB*xc Но х = 0 при х = 0, поэтому С\ = О и, следовательно, при дей- действии продольного магнитного поля на слой смешения I=±ZfIL!!Lt B71) где Если слой смешения проводящей жидкости находится в окружном магнитном поле @, 0, Bt)t то, согласно B39), B64),
264 ГЛ. XIII. ЭЛЕМЕНТЫ МАГНИТНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ B65) ИЛИ С и B68) учетом отсюда ih B66) = A — а (l C 1 dx tGRBlc 9Аи эгх ¦(• ) аса • = dx; тР> с B73) рАгг Однако Ж = 0 при х = 0, т. е. Ci = 1; поэтому при действии окружного магнитного поля на слой смешения * 1 здесь B74> B75) Сопоставление кривых — (Sx) для продольного и окружного магнитных полей приведено на рис. 13.29. В обоих случаях с усилением магнитного поля толщина зоны смешения в фик- фиксированном сечении уменьша- уменьшается (х <. х), причем воздей- воздействие окружного поля сильнее, чем продольного. Имеющиеся эксперимен- экспериментальные данные о воздействии продольного магнитного поля на слой смешения (в началь- начальном участке струи) относятся к случаю, когда начальная толщина слоя смешения не равна нулю, так как спут- ные потоки стекают с разде- г" \ V 1-поле (Вх,0,0) 2-поле ЮЛ Вz) ! ! 1 т Рис. 13.29. Зависимость отношения приведенной длины к истинной дли- длине плоского слоя смешения турбу- ляющей стенки, по обе сторо- лентной струи от параметра МГД- ны которой имеются погранич- взаимодействия при продольном и * Е считать что окружном магнитных полях ные слои* ^сли считать. что начальная толщина зоны сме- смешения равна б, то вместо B68) получаем Ь = 8 + сх. B76) Подставив B76) в B64) и используя последовательно B69) и
§ 13. МАГНИТОГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ТУРБУЛЕНТНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 265 <B66), после соответствующих преобразований имеем X X где рАгг B77) B78) В экспериментах1) получены следующие значения парамет- параметров: 6 = 6,5 мм, Да = 0,48 м/с, о* «¦ 3,33 • ДО6 См/м, р = 6,4Х X 103 кг/м3 (сплав индий — галлий — олово). При отсутствии по- поля получено значение константы с = 0,095 (толщина слоя сме- смешения Ъ определялась как расстояние между точками попереч- поперечного сечения, в которых и — и2 = 0,9Ди, и — и2 = 0,1Ди) и при- принято а = 0,22. Эксперимент — расчет (сс=О, 22) с 7 ы 1 / 0,5 Тл г Рис. 13.30. Сравнение расчетных и экспериментальных толщин слоя смеше- смешения турбулентной струи при продольном магнитном поле Расчетные зависимости Ъ(х) для двух значений магнитной шздукции продольного поля Вх\ =0,34Тл и 5Х2 = 0,5 Тл, а также при отсутствии поля (Вх = 0) изображены на рис. 13.30 сплош- сплошными линиями, экспериментальные данные — точками трех ти- типов. Как видим, получилось хорошее согласие расчета с экспе- экспериментом. Аналогичным образом можно произвести теоретический рас- расчет влияния магнитного поля на основные параметры осесим- метричной струи проводящей жидкости, причем результаты экс- экспериментов подтверждают расчетные данные2). 1) Баушев Б. Н., Красильников Е. Ю., Лущик В. Г., Пане- в и н И. Г. Смешение спутных струй в продольном магнитном поле / Изв. АН СССР. МЖГ.- 1972.— № 5.- С. 33—44. 2) S a i b e n M., Fay LA. Measurement of the growth of a turbulent mercury jet in a coaxial magnetic field / J. Fluid Mech.— 1967.— V. 27.— P. 81. Преображенский С. С, Чиненков И. А. Эксперименталь- Экспериментальное исследование влияния магнитного поля на турбулентные струи прово- проводящей жидкости / Магнитная гидродинамика.— 1970.— № 2.— С. 65.
Глава XIV ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 1. Введение Течение газа в практических задачах газовой динамики со- сопровождается сложными явлениями: нестационарностью и про- пространственной неоднородностью, резким изменением параметров газа в скачках уплотнения, изменением свойств газа и т. д. Сложность физических явлений и происходящих процессов в газе определяет и сложную математическую модель — систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производ- производных с соответствующими дополнительными (начальными и гра- граничными) условиями, решение которой имеет свои математиче- математические трудности. Аналитические методы исследования уравнений газовой дина- динамики развиваются давно, но несмотря на это существует ограни- ограниченное число задач, которые могут быть решены аналитически. Круг решаемых задач значительно расширился в связи с при- применением электронных вычислительных машин (ЭВМ) и разви- развитием численных методов исследования, которые позволяют полу- получить решение с заданной степенью точности и обладают большей универсальностью, чем аналитические методы. Аналитические* решения, получаемые обычно для упрощенного варианта задачи, позволяют понять физическую сущность явления и его зависи- зависимость от характерных параметров, а кроме того, выполпяют роль тестов при отработке численного алгоритма на ЭВМ. Точность аналитических и численных методов проверяется путем сопостав- сопоставления решений с результатами экспериментов. Таким образомг в газовой динамике численные, аналитические и эксперименталь- экспериментальные методы должны разумным образом сочетаться и дополнять друг друга. Математические вопросы решения уравнений газовой динами- динамики изучаются в специальных разделах математики: в математи- математической физике (вопросы постановки задачи, исследования существования и единственности решения и др.)» в вычислитель- вычислительной математике (методы построения решения, построение алго- алгоритма вычислительного процесса и др.)- Для успешного числен- численного решения задач требуется также знание алгоритмических языков, программирования, умение работать с ЭВМ в диалоговом режиме.
§ i. ВВЕДЕНИЕ 267 Численные методы являются наиболее эффективным средством решения задач газовой динамики. В связи со сложностью реше- решения нелинейной системы уравнений газовой динамики численные методы отличаются большим разнообразием при решении конк- конкретных задач. Учитывая стремительный прогресс численных методов и огра- ограниченный объем главы учебника, невозможно дать сколько-ни- сколько-нибудь полное представление о всем их многообразии. Для интегрирования системы нелинейных уравнений гипер- гиперболического типа широко используется метод характеристик. Ре- Решение рассчитывается с помощью характеристической сетки, вы- выстраиваемой в процессе счета. Этот метод позволяет детально изучить физическую картину течения. Но его трудно применять при расчете сложных сверхзвуковых течений, когда внутри по- потока содержатся интерферирующие ударные волны, тангенциаль- тангенциальные разрывы и другие особенности. Метод конечных разностей применим для решения уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов. При этом расчетная область разбивается на счетные ячейки. Произ- Производные от функций заменяются конечными разностями с по- помощью тех или иных соотношений. Этим методом решаются ста- стационарные и нестационарные задачи для дозвуковых, сверхзву- сверхзвуковых и смешанных течений. Предложено большое количество разностных схем для решения конкретных задач, применимых к уравнениям разного типа. Ниже будут рассмотрены основные идеи метода характе- характеристик и подробно описан нашедший широкое применение конечно-разностный метод сквозного счета сверхзвуковых тече- течений, являющийся стационарным аналогом метода С. К. Го- Годунова. При работе с любым численным методом знание метода харак- характеристик помогает при формулировке граничных условий, опре- определении областей влияния и т. п. Распадные схемы сквозного счета в настоящее время интенсивно совершенствуются и явля- являются весьма перспективными для расчета течений, развиваю- развивающихся по времени или по одной из координат. На практике приходится решать смешанные стационарные за- задачи, когда в поле течения имеются области как дозвукового, так и сверхзвукового потока. Такого рода задачи возникают при внешнем сверхзвуковом обтекании затупленных тел с отошедшей ударной волной, во внутреннем течении в сопле Лаваля и в других каналах. В этом случае математическая модель имеет наиболее сложный вид — течение газа описывается системой ква- квазилинейных уравнений в частных производных, имеющей сме- смешанный эллиптико-гиперболический тип. При этом положение поверхности перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому заранее неизвестно. Расчет таких течений является затрудни-
268 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ тельным, так как отличаются методы численного интегрирования эллиптических и гиперболических уравнений. Возможный способ решения смешанных задач состоит в рас- рассмотрении их как нестационарных и использовании процесса установления по времени. В основе такого приема лежит физи- физический факт, что стационарное течение на достаточно большом отрезке времени при неизменных внешних условиях является пределом нестационарного течения. Численные эксперименты подтверждают, что стационарное решение задач газовой динами- динамики может быть найдено как предел при t -*- оо нестационарного решения при стационарных (не зависящих от времени) гранич- граничных условиях. С этой целью в стационарные уравнения вводится новая независимая переменная — время, в результате чего слож- сложные эллиптико-гиперболические краевые задачи заменяются на смешанные задачи для гиперболической системы уравнений не- нестационарной газовой динамики, для которых разработаны эф- эффективные численные методы решения. Начальные условия мо- могут быть заданы довольно свободно, так как в процессе установ- установления решения по времени их влияние ослабевает и процессом управляют стационарные граничные условия. § 2. Основные понятия теории разностных схем Основная идея метода конечных разностей заключается в томг что в рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного» аргумента, вводится дискретная модель среды, описываемая функциями дискретного аргумента, определенными на конечном множестве точек. Это множество точек называется разностной сеткой. Отдельные точки называются узлами сетки. Функции дискретного аргумента, определенные на сетке, называются се- сеточными функциями. В численных конечно-разностных методах дифференциальная задача заменяется или, как говорят, аппроксимируется системой разностных уравнений. Совокупность разностных уравнений и краевых условий, записанных в разностной форме, называется разностной схемой1). Методы решения системы разностных урав- уравнений, возникающей при записи разностных операторов для всех точек сетки, представляют самостоятельную проблему. Рассмотрим примеры сеток. а) Равномерная сетка на отрезке а^х^Ь (рис. 14.1,а). Расстояние между соседними узлами h = xi+\ — х{ = (Ъ — a)IN называется шагом сетки. Множество узлов gv= {хг = а + ih, i = = 1, 2, ..., N— 1} составляет сетку. В нее могут быть включены и граничные узлы еол = {xi• = а + ih, i = 0, 1, ..., N). Сеточную *) Годунов С. К., Рябенький B.C. Разностные схемы-—М.: Нау- Наука, 1977.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ функцию будем обозначать щ = и(хг), где и — решение исходной непрерывной задачи. б) Равномерная сетка на плоскости (рис. 14.1,6) Х% — Xq i" iilx^ t — Uj x, . • ., iV, y> = yo + jhy, y = 0, 1, ..., M. Шаги сетки hx = Xi+\ — Xi = (XN — Xq) /JV, К = Уя-i — Уз = (Ум — у о) /М могут в общем случае не совпадать. Сеточная функция узла (i,j) обозначается uitj. На практике могут использоваться более слож- сложные конфигурации сеток. Функция и(х, у) может быть представлена на сетке различ- различным образом: можно принять, что значение сеточной функции » Ч а ^ 6 Рис. 14.1. Примеры сеток: а) равномерная сетка на отрезке, б) равномерная: сетка на плоскости узле (х{, у3) равно соответствующей непрерывной функции в этой точке щ5 = и(хи уз). Этот прием называется проектированием функции на сетку. Если функция является разрывной, но ин- интеграл от нее по любому конечному отрезку существует, то для Uij можно принять осредненное по некоторому промежутку зна- значение и(х, у) Xi+h/2 Mi, i = 4" j и(х>У)dx- Xt—h/2 Чем большее количество узлов сетки берется при решении: конкретной задачи, тем на лучшую аппроксимацию непрерывного решения сеточными функциями можно надеяться. Но количество узлов сетки органичивается быстродействием и памятью ЭВМ, что заставляет использовать сетки с относительно небольшим числом узлов. При разностной аппроксимации дифференциальных операто- операторов входящие в дифференциальный оператор производные заме-
270 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ няются разностными выражениями, являющимися линейной ком- комбинацией значений сеточной функции на некотором множестве узлов сетки, называемом шаблоном. Рассмотрим простейшие примеры. Обозначим Л^и разностную аппроксимацию производной ди/дх. Разностная аппроксимация может быть введена несколькими способами: , иг-\-\ — иг AZu = —±-т правая разностная производная (производ- (производная вперед); А^и = —-—, г~~1 — левая разностная производная (производ- (производная назад); Ахи = г+1 о, г~1 — центральная разностная производная. Разные аппроксимации производных позволяют конструиро- конструировать разностные схемы с различными свойствами. Оценим по- погрешность разностной аппроксимации первой производной в точ- точке х{. Для этого разложим в ряд Тейлора функцию и в окрест- окрестности точки Х{. Для правой разностной производной имеем h ~" h "" + a + +J + Окончательно получим ^ A) Символическая запись O(h) означает величину, имеющую тот же порядок малости, что и Л. Говорят, что разностный оператор аппроксимирует дифференциальный с порядком т в точке х = х{, зсли разность их значений в этой точке равна O(hm). В этом -случае правая (аналогично левая) разностная производная имеет первый порядок аппроксимации. Разностное выражение А^и определено на двух точках xt и хг + h, т. е. имеет двухточечный шаблон. Для центральной разностной производной получим 2h "~ 2h da ' d2u h2 d3u h3 —4- — d2u h2 dsu h?___ 1 ___ _ди_ , <Ри_ jf_ дх2 ^ дх3 ^ I ^x Q2$ 6 J
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ 271 ИЛИ № = -?? +О (h% B> т. е. центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации. Вторая разностная производная представляет собой разност- разностную производную от первой разностной производной. Исходя иа этого вторую разностную производную можно представить сле- следующим образом: ) <" 2u + ") Оценка погрешности показывает, что при таком представлении, имеем второй порядок аппроксимации При этом используются три точки (Xi + h, Xi, Xi — h), т. е. взят трехточечный шаблон. Аналогичным образом оценивается порядок аппроксимации для дифференциальных уравнений. Рассмотрим уравнение дх ду Заменив дифференциальные операторы разностными, получим: уравнение которое аппроксимирует исходное со вторым порядком О {h% -f~ + hi). Свойство аппроксимации характеризует степень близости разностной и дифференциальной задач.* Кроме ошибок аппроксимации, существует другой источник ошибок численного решения, связанный с погрешностью вычис- вычислений. В зависимости от вычислительного алгоритма могут умень- уменьшаться и возрастать ошибки округления. В случае возрастания говорят, что вычислительный метод неустойчив, в случае убыва- убывания — устойчив. Для решения задач используют устойчивые ме- методы. Один и тот же алгоритм может быть устойчив при выпол- выполнении некоторых условий и неустойчив при их нарушении. Ус- Условие неустойчивости является внутренним свойством разностной схемы и не связано с исходной дифференциальной задачей. Ис- Исследование устойчивости обычно проводится для линейных задач: с постоянными коэффициентами, и результаты исследования, по- полученные для линейных систем, переносят на нелинейные урав- уравнения газовой динамики, но при этом надо иметь в виду, что
272 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ линеаризация нелинейных задач может существенно исказить представления об устойчивости разностной схемы. В теории разностных схем доказывается теорема: если разно- разностная схема аппроксимирует дифференциальные уравнения и она устойчива, то при уменьшении шагов ее разностное решение сходится к решению дифференциальных уравнений. Обладание свойством сходимости является обязательным требованием, предъ- предъявляемым к разностной схеме при численном решении диффе- дифференциальной задачи. Если сходимость имеет место, то с по- помощью разностной схемы можно вычислить решение и с любой наперед заданной точностью, выбирая для этого шаг h достаточ- достаточно малым. Кроме требований аппроксимации, устойчивости и сходимости tR разностным схемам, предъявляется ряд других не обязатель- обязательных требований. Таково, в частности, требование консервативно- консервативности разностной схемы. Разностная схема должна отражать ос- основные свойства непрерывной среды, и поэтому желательно, что- чтобы в схеме выполнялись разностные аналоги основных законов сохранения. Разностные схемы, обладающие этим свойством, на- называются консервативными. С этой целью разностные уравнения ^строятся на основе интегральных соотношений, выражающих за- законы сохранения для элементарной ячейки сетки. С другой сто- стороны, если исходные дифференциальные уравнения записаны в дивергентном виде, то соответствующую разностную схему не- нетрудно сделать консервативной. При решении задач газовой динамики возможны разрывы ре- решения — ударные волны и тангенциальные разрывы. Наличие таких особенностей заставляет видоизменять алгоритм решения вблизи них, что значительно усложняет логическую структуру программы, особенно когда по- положение этих особенностей в r\ I \ потоке неизвестно. Для преодо- v/\ / \ —г—V-] ления этих трудностей созда- V/ \ / \ Точное ются разностные схемы, позво- позволяющие считать течение без специального выделения ука- указанных особенностей, т. е. «сквозным» образом. Важно, чтобы на сильных разрывах, которые представляются при этом областями непрерывного, но резкого изменения парамет- параметров, с точностью до ошибок аппроксимации удовлетворялись соответствующие законы сохранения. Схемы такого типа назы- называются схемами сквозного счета. При сверхзвуковых течениях газа могут образовываться скач- ws уплотнения. При расчету ^аких течений методами сквозного Точное решение Рис. 14.2. Осцилляции решения для немонотонной разностной схемы
§ 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 273 счета могут возникать осцилляции решения в окрестности скач- скачков уплотнения (рис. 14.2) (i — номер узла сетки). Эти осцилля- осцилляции сильно искажают результаты счета и не являются проявле- проявлением неустойчивости схемы, а следуют из немонотонности разностной схемы. При расчете по таким схемам применяют специальные меры по подавлению осцилляции. С этой целью к уравнениям приписываются специальные члены, называемые искусственной вязкостью, либо прибегают к сглаживанию ре- результатов. При построении разностной схемы желательно, чтобы она была монотонной. Разностные схемы называются явными, если разностные урав- уравнения можно решать последовательно от одного слоя сеточных точек к последующему, причем параметры в каждой точке но- нового слоя при х + 1гх выражаются через уже известные параметры (обычно со слоя х). В противном случае схемы называются неявными. § 3. Метод характеристик Метод характеристик применяется для расчета сверхзвуковых течений, при этом используются физические закономерности распространения в сверхзвуковом потоке слабых волн разреже- разрежения и сжатия, волн Маха. Выше (§ 7 гл. 4) были получены уравнения D7) и D8) характеристик первого и второго семейства, а также соотноше- соотношения D9), выполняющиеся вдоль этих характеристик (условия совместности). В случае плоского течения условия совместности упрощаются (уравнение 1E1) § 8 гл. 4). Если рассматривав- мая область течения настолько мала, что коэффициенты в урав- уравнениях характеристик и условиях совместности можно считать постоянными, то эти уравнения могут быть записаны в виде dy == ш\ dx, dy = т,2 dx, D) dd = тпз dp, dQ = ж* dp, E) постоянные коэффициенты, имеющие смысл угловых коэффици- коэффициентов касательных к соответствующим кривым. Расчет методом характеристик1) представляет собой решение ряда типовых элементарных задач определения координат точ- точки в потоке и параметров газа в этой точке (рис. 14.3), а имен- 1) Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Шмыглевский Д. Д., Шу- л и ш н и н а Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуко- сверхзвуковых течений газа методом характеристик.—М.: ВЦ АН СССР, 1964; Чуш- Чушки н П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений.— М.: ВЦ АН СССР, 1968. 18 Г. Н. Абрамович, ч. 2
274 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ но расчет точки: а) в поле течения (на пересечении двух со- соседних характеристик разных семейств); б) на твердой границе течения (на пересечении характеристики и контура тела, задан- заданного уравнением */ = /(#)); в) у оси симметрии; г) на ударной Характеристика второго семейстда Характеристика первого семейства //Характеристика '/ первого семейства Характеристика второго семейства Ось Характеристика е Рис. 14.3. Элементарные типовые задачи метода характеристик волне, а также д) расчет течения Прандтля — Майера при об- обтекании угловой точки твердой стенки. Остановимся подробнее на расчете точки в поле течения (рис. 14.3, а). Пусть в соседних точках 1 ж 2 с координатами х\, у\ и Х2, у2 известны параметры потока. Из точек 1 ж 2 ис- исходят и пересекаются в некоторой искомой точке 3 две харак- характеристики разных семейств. По известным параметрам потока определяем коэффициенты mi и Ш2 дифференциальных уравнений D). Точку пересечения характеристик можно определить (в пер- первом приближении) как точку 3' пересечения касательных к характеристикам в точках 1 ж 2 решением разностных аналогов дифференциальных уравнений D) Уг—У\ = гпх (хъ — Х\), Уъ~ У2 = т2 (хг - х2). Отсюда найдем значения х$ и г/з. Значения 6з и р$ в точце 5' определяют подобным образом из решения разностных аналогов исходных дифференциальных уравнений совместности E). Для нахождения остальных параметров в точке Зг необхо- необходимо воспользоваться уравнениями E0) и E9) гл. IV и соот- соотношением pW2Jp йМ2
§ 3. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 275 Найденные с погрешностью значения #з, Уз, 9з, Рг затем уточ- уточняются. Для этого коэффициенты т\, Ш2 и т. д. вычисляются как средние от значений в уже найденной точке 3' и соответ- соответственно в точке 1 или 2. После этого определяются параметры течения последовательно в других точках (узлах) характеристи- характеристической сетки и, таким образом, рассчитывается все поле течения. w ее Рис. 14.4. Расчет поля течения. Характеристическая сетка Так, например, если на некоторой начальной линии АВ (рис. 14.4) в точках 1, 2, 3, 4 задано распределение параметров потока, то с помощью характеристик можно сначала рассчитать параметры течения в точках 5, 6, 7, а затем в точках S, 9 и т. д. Решение других элементарных типовых задач проводится аналогично с учетом индивидуальных особенностей каждой за- задачи. Решение задачи определения точки в поле при расчете течения занимает основную часть времени, поэтому составление рационального вычислительного алгоритма влияет на экономич- экономичность решения всей задачи. При расчете необходимо контролировать возникновение пере- пересечений характеристик одного семейства, что является призна- признаком появления в потоке ударных волн. При больших градиентах параметров в течении Прандтля — Майера шаг следует выби- выбирать из условия требуемой точности. При расчете точки пере- пересечения скачка уплотнения и характеристики ((рис. 14.3, г) на- набегающий поток предполагается известным и равномерным. Ис- Используются известные соотношения на ударной волне. Расчет в точке 3 проводится подбором наклона ударной волны методом последовательных приближений. Примерами использования метода характеристик могут слу- служить: а) расчет профилированной сверхзвуковой части сопла Лаваля с равномерным полем параметров на выходе, рис. 14.5, а (расчет разгонного в пучке характеристик В\АВ и выравниваю- выравнивающего ABC участков с замыкающей прямолинейной характери- 18*
276 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ стикой ВС, удовлетворяющей условию а = arcsin 1/MC) и б) рас- расчет сверхзвуковой части сопла, не имеющего равномерного поля параметров на выходе, но реализующего максимальное тяговое усилие *), рис. 14.5, б. Метод характеристик имеет следующие достоинства: 1) в ме- методе используется физичная характеристическая сетка, 2) ме- метод позволяет строго рассматривать (выделять) особенности те- течения (центрированные волны разрежения, ударные волны), М^= const X Рис. 14.5. Расчет сверхзвуковой части сопла Лаваля: а) сопло с равномер- равномерным полем параметров в выходном сечении, б) сопло максимальной тяго- тяговой составляющей 3) при расчете методом характеристик выстраиваются линии тока, 4) на характеристических линиях упрощаются дифферен- дифференциальные уравнения. К недостаткам метода следует отнести: 1) неприменимость метода к расчету дозвуковых течений, 2) сложность формы ха- характеристических поверхностей, особенно при наличии взаимо- взаимодействующих ударных волн, 3) трудоемкость расчетов. Эффективной модификацией метода является послойный ме- метод характеристик, при котором расчет ведется по слоям. Каж- Каждый слой ограничивается координатной линией, на которой из физических соображений располагаются узловые точки в зара- заранее намеченных местах. § 4. Метод сквозного счета для двумерных сверхзвуковых течений идеального газа Для расчета нестационарных сверхзвуковых течений газа применяется ряд методов сквозного счета. Одним из наиболее широко применяемых методов является метод Мак-Кормака2) второго порядка точности. Если использовать установление по времени, то с помощью этого метода можно найти решение ста- 1) Край ко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики.— М.: Нау- Наука, 1979. 2) Mac-Cormack R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering // AIAA Paper.— 1969.— № 69.— 354.
§ 4. МЕТОД СКВОЗНОГО СЧЕТА ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ 277 ционарных задач. При расчете стационарных чисто сверхзвуко- сверхзвуковых течений используемая система уравнений является гипер- гиперболической и без введения времени. Поэтому целесообразно при расчете сверхзвуковых течений применять методы сквозного сче- счета непосредственно для интегрирования уравнений стационарно- стационарного течения. Необходимо учитывать также, что в сверхзвуковых течениях, как правило, при наличии скачков уплотнения и дру- других особенностей имеет место гораздо большая неравномерность параметров потока по сечению, чем в областях дозвуковых и трансзвуковых течений. Поэтому при расчете сверхзвуковой об- области методом установления требуется большее число расчет- расчетных точек и, как следствие, значительное увеличение времени счета. Для расчета чисто сверхзвуковых стационарных течений мо- может быть использована схема Мак-Кормака, но при этом в ок- окрестности разрывов наблюдаются осцилляции решения, связан- связанные с немонотонностью схемы. С. К. Годуновым1) для решения нестационарных течений газа предложена монотонная явная схема сквозного счета пер- первого порядка точности. Эта схема не приводит к образованию осцилляции вблизи разрывов, хотя и дает меньшую точность расчета в областях плавного изменения параметров по сравне- сравнению со схемами второго порядка точности. Ниже будет подробно рассмотрена монотонная схема сквоз- сквозного счета первого порядка точности, предназначенная для рас- расчета чисто сверхзвуковых двумерных течений газа и являющая- являющаяся стационарным аналогом схемы Годунова 2). В схеме Годунова параметры определяются из решения не- нестационарной автомодельной задачи о распаде произвольного разрыва. В рассматриваемом методе расчета параметры находят- находятся из решения автомодельной задачи о взаимодействии двух полубесконечных сверхзвуковых потоков. Основные идеи метода расчета остаются неизменными при расчетах трехмерных сверхзвуковых течений. Отметим, что имеется возможность повысить порядок аппрок- аппроксимации дифференциального оператора до второго с сохранением монотонности схемы3). Система интегральных уравнений A15) —A17) из гл. II для установившегося двумерного (осесимметричного или плоского) течения идеального газа может быть записана в прямоугольной *) См. книгу С. К. Годунова и др. 2) Иванов М. Я., К р а й к о А. Н., Михайлов М. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых тече- течений // ЖВМ и МФ.— 1972.—Т. 12, № 2.—С. 441-463. 3) Ко л га н В. П. Применение принципа минимальных значении про- производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики / Ученые записки ЦАГИ.— 1972.— Т. 3, № 6.— С. 68-77. 1
278 гл- XIV- ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ системе координат х, г в виде Afa^ar'-b) |+vjfdr. F) Здесь v = О для плоского и v = 1 для осесимметричного случа- случаев. Пределы интегрирования г+ и г- зависят от x1r±=dr/dx, г- (х) ^ г ^ г+ (х). Векторы-столбцы имеют вид: а = , Ь = pv puv ]Г рр 1 11 Pwy] I L(e+p)vJ I W2 \ Полная энергия единицы объема газа е = р ( U + -зр), где W2 = В развернутом виде эта система уравнений запишется так: -^ J ри dr = (pur' — pv) — v j ^- dr, -v G) -^ I pwy dr = dr = (ur' - i;) Bi +W2) p - v J -^ Bi r. о . к р одесь энтальпия i = -г—т —• /с — 1 р Рассмотрим стационарное «^-сверхзвуковое» (гг>а) осесим- метричное течение. В методе расчета все переменные представляют в безразмер- безразмерном виде, относя плотность, скорость, давление, удельную эн- энтальпию к значениям при критическом режиме соответственно плотности газа ркр, скорости звука акр, удвоенного скоростного напора РкрЯкр* квадрата скорости звука а2р, а все размеры — к не- некоторому характерному размеру I. В задачах внешнего обтека- обтекания, особенно при гиперзвуковых скоростях, в качестве харак- характерных масштабов лучше брать р^, F*, и PooF2*» которые явля- являются функциями числа Маха М*, и скорости звука а».
§ 4. МЕТОД СКВОЗНОГО СЧЕТА ДЛЯ ДВУМЕРНОГО ТЕЧЕНИЯ 279 Решение ищется в области течения |(рис. 14.6) #Х), огра- ограниченной: а) твердыми стенками, задаваемыми функциями г-(х) и г+(х), или осью симметрии; б) границей струи, нахо- находимой в процессе расчета. Опишем разбиение исследуемой области течения на ячейки. Разделим отрезок расчетной области с координатой хо на N рав- равных элементарных отрезков hr = {r+ — r-)/N. Точкам разбиения Граница струи Рис. 14.6. Разбиение на расчетные ячейки (концам отрезков) присвоим в направлении снизу вверх номера п (п = 0, 1, ..., N), а отрезком — номера п — 1/2 (п = 1, ... ..., N). Значения п = О и n = N принадлежат границам (ниж- (нижней и верхней) области. Отрезок в сечении х = хо + йх, отстоя- отстоящий по оси х на расстоянии шага hx, разделим аналогично на N отрезков и так же пронумеруем. Соединяя точки с одинаковыми номерами, получим расчетные ячейки. Параметрам газа на каж- каждом «элементарном» отрезке сечения xq присваивается нижний индекс (pn-i/2, ип-\/2 и т. д.), а в сечении x = xo + hx — такой же верхний индекс (рп~1/2, ип~1/2 и т. д.). Параметры на продольных границах ячейки обозначаются заглавными буквами с соответ- соответствующими нижними индексами (Pn, i?n, C/n, Vn). Пусть изве- известны параметры газа в некотором предыдущем сечении xq и от- отрезки hx, hr , hr, т. е. геометрия ячеек в слое между xq и х = = xq + hx. Запишем систему F) для каждой элементарной ячей- ячейки. Разностная схема для определения параметров на правой границе каждой ячейки получается интегрированием по х от хо до xo + hx с последующим применением теоремы о среднем при вычислении интегралов по граням и площади четырехуголь-
280 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ника (ячейки) в плоскости х, г (рис. 14.6) (ahrf-1"^ (afcr)n_1/2 + (АД - Bhx)n - (АА - B*x)»-i + + v ^ (tfyn-i/M + v -у (fhrf-112. (8) Здесь введено обозначение Д^ = Иf — rjt Правило присвоения ниж- нижних и верхних индексов распространяется на длины отрезков hr и ординаты точек разбиения. Если ввести обозначения ), D=R(UA-Vhx), { то уравнения (8) принимают вид an~l/2 = ccn-i/2 A0) In .* /^ P , u2 + v2 . , ТУ2 I адесь i* = ^_ -— -) ^— — l ~r -g полная энтальпия.) По известным an"/2, pn/2, ^n~1/2, t*w-i/2 можно найти парамет- параметры un~U2, vn~l/2, pn"/2, pn~U2 в сечении я; = ;го + йх по формулам У а 3 — сш а составляющая скорости по оси х получается по значению эн- энтальпии г*: Из двух возможных решений для и принимают то, которое удовлетворяет условию и>а. Второе решение отвечает пере- переходу в прямом скачке уплотнения к дозвуковому потоку. Если полная энтальпия потока в плоскости начальных дан- данных постоянна, то она постоянна во всем потоке. В этом случае течение называется изоэнергетическим, а уравнение энергии для безразмерных переменных записывается в виде откуда и находится и. Значения для «больших» величин (C/n, Fn, Pn, Rn) на про- продольных границах ячеек получаются из решения автомодельной
§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКОВ 281 задачи о взаимодействии двух полубесконечных равномерных сверхзвуковых потоков, которая будет описана в следующем па- параграфе. В правых частях уравнений (8) присутствуют слагаемые с верхними индексами п —1/2, требующие итераций в процессе счета. Опыт расчетов показывает, что достаточно двух итераций, причем в первой итерации используются параметры на слое х = xq. Если рассматривается течение сверхзвукового потока в кана- канале с твердыми стенками, то параметры U, F, P, R на верхней и нижней стенках находятся из решения автомодельной задачи обтекания плоской стенки с известным углом наклона 6±(#) к оси х, причем ?±(#)=2 tg Q^(x) = [r±(x)]'. Если же рассчитыва- рассчитывается конфигурация затопленной струи, вытекающей в простран- пространство с заданным давлением р, то «большие» величины находят- находятся из решения автомодельной задачи о вытекании равномерного плоского сверхзвукового потока в область с пониженным или повышенным давлением. При расчете внешнего обтекания или расчете течения в воз- воздухозаборнике в качестве одной из границ может быть взята ударная волна (характеристика), направление которой может быть рассчитано в ходе решения задачи о взаимодействии двух однородных сверхзвуковых потоков. § 5. Задача о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков Параметры на верхней и нижней продольных границах ячей- ячейки определяются из решения плоской задачи о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков (см. § 9, гл. IV). По- Потоки начинают взаимодействовать по прямой линии, проходя- проходящей через точку с координатами х = хо, г = rh где / = п и п — 1 для верхней и нижней границы соответственно. Возможные ва- варианты решения задачи схематически изображены на рис. 14.7. Двойные линии обозначают ударные волны, штриховые — тан- тангенциальные разрывы, пунктирные — границы веера характери- характеристик, сплошная прямая — возможное расположение продольной границы ячейки. Напомним, что на тангенциальном разрыве име- имеет место разрыв касательной составляющей скорости и произ- произвольный разрыв плотности. Давление на таком разрыве непре- непрерывно. Через тангенциальный разрыв газ не течет. На ударной волне наблюдается разрыв нормальной составляющей скорости, плотности и давления, тангенциальная составляющая скорости непрерывна на таком разрыве. Указанные линии разбивают плоскость течения на ряд об- областей, пронумерованных цифрами от 1 до 6. В областях 1—4 для случаев а —г и в областях 1—3 для случая д параметры течения постоянны. Вариант д относится к случаю, когда в об-
282 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ласти 3 имеется вакуум. Стрелками изображены направления взаимодействующих потоков. В первом приближении во всех случаях значения давления р и тангенса угла наклона скорости ? = tg 8 = vju в областях 3 и 4 вычисляются по формулам A4) //"~ 2 ^ 2а Б = Sn-i/2 — а (р — Pn-i/г) = Эти соотношения получаются, если для веера волн разрежения использовать условие совместности вдоль характеристик в виде (гл. IV, § 8, уравнение E1)) /ПГТ A5) ПГТ dp = 0, где верхний знак соответствует характеристикам первого семей- семейства, а нижний знак — характеристикам второго семейства, Рис. 14.7. К задаче о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков и произвести интегрирование через каждый веер характеристик. В результате интегрирования получим соотношение E-ti=Fa(p-ft)=Of A6) в котором верхнему вееру соответствует знак минус и j + 1/2, а нижнему — знак плюс и / = /г— 1/2. Коэффициент а определяется из соотношения ,A7) где М =» WJa — число Маха.
§ 5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКОВ 283 Учитывая непрерывность давления и направления потоков на тангенциальном разрыве, получим соотношения A4), спра- справедливые для случая айв первом приближении для остальных случаев. Появление области вакуума в случае д говорит о боль- больших различиях параметров в соседних ячейках на слое х = хо, что требует увеличения числа расчетных интервалов N. Формулы расчета плотности в областях 3 и 4 определяются соотношением между давлением газа в области 3 или 1ив об- области 1 или 2. Если р < Pj i(случай волны разрежения), то плот- плотность газа вычисляется по формуле При р > pj (случай ударной волны) плотность определяется по уравнению ударной адиабаты [гл. III, зависимость A8)] ()i( ) р - {k+i)Pi+(k__i)p Pi- Модуль и компоненты скорости, скорость звука и число М в областях 3 и 4 определяются по формулам W-\2i* 2kp 11/2 ц W v-tu w-[21 -<*-i)pJ ' u~ /lT?r "-&*• a = Vkp/p, M = rL. о •* к p t W2 одесь i* = , __ )—к полная энтальпия, постоянная вдоль линии тока. Если отличие р и ? от аналогичных величин с нижними ин- индексами п — 1/2 и п + 1/2 велико, то итерационный процесс сле- следует продолжить, используя формулы Р = Рп-1/2?п-1/2 ~ ?Wl/2?n+l/2 + OSn-l/2/?n-l/2 + ^п+1/2^п+1/2, /q^i v ? = Рп-1/2?п-1/2 — СХ,п-1/2(/? — />п-1/2)'= Коэффициенты щ и рз- вычисляются так: в случае волн раз- разрежения -1 , ^ = 1, B2) причем второе слагаемое в ocj вычисляется по параметрам, най- найденным в предыдущем приближении; в случае ударных волн «; = v;Pi, P; = r±l7W B3) где верхний знак соответствует j = п— 1/2, а нижний — j = п +
284 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ + 1/2; ft вычисляется из соотношения Ъ = i&W) + Pi - РГ1 L ^^а^п ~ 1 Т> B4) 6j — угол отклонения потока при прохождении через ударную волну. Соотношения B1) следуют из условия совпадения направ- направлений потоков в областях 3 и 4 tgFn-l/2 - 6n-l/2) = tg@n+i/2 + бп+1/2) B5) и из уравнения, справедливого для косого скачка уплотнения, ft), B6) где j = ndz 1/2 и при вычислении коэффициентов используется значение р, найденное в предыдущем приближении. Любой из случаев взаимодействия двух сверхзвуковых пото- потоков, изображенный на рис. 14.7, может быть рассчитан с по- помощью приведенных соотношений. При этом параметры на продольной границе ячейки («боль- («большие» величины, входящие в разностные уравнения) берутся рав- равными параметрам той области течения, в которой располагается эта граница. Если луч, соответствующий границе ячейки, попа- попадает в веер волн разрежения, то при определении «больших» величин используется линейная интерполяция по угловому ко- коэффициенту данного луча. Если граница ячейки совпадает с твердой стенкой (или осью симметрии), наклон которой ? из- известен, то из решения задачи обтекания прямолинейной стенки равномерным сверхзвуковым потоком получается следующее со- соотношение для давления на стенке: р = р}±?&=±. ' B7) В случае струи с заданным давлением на границе р анало- аналогично можно получить соотношение CePitj=F<xj(p-ft). B8) В выражениях B7) и B8) верхний знак соответствует верхней границе и j = N — 1/2, а нижний знак — нижней границе и 7 = 1/2. Для увеличения точности приближенного интегрирования уравнений, описывающих взаимодействие двух сверхзвуковых потоков, используем замену переменной р на Тогда формулы для вычисления р и ? совпадают с вышеприве- вышеприведенными формулами для вычисления р и ?, если в них заменить
5. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКОВ 285 р на /?, а коэффициенты а, а,, fi заменить на а, а, и ^ в виде 5 У* j?V-uJ |l/2 \ h- 1/2 „I/ft ъ Yi P — Pj •-*] 112 Определив /?, можно найти значение давления p = (pJh/{h l\ а остальные неизвестные по соотношениям A8), A9) и B0). В ходе решения задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков определяется также допустимый шаг по координате х из условия устойчивости. Из анализа устойчиво- п +/ сти разностной схемы для линеаризованной системы гиперболиче- гиперболических уравнений для двумерного стационар- стационарного сверхзвукового те- течения следует, что на шаг по координате х должно быть наложено ограничение n lf 2, ..., iV— 1. п-Уг Рис. 14.8. К выводу условия устойчивости разностной схемы Здесь ft*i — расстояние вдоль оси х, на кото- котором ударная волна или характеристика, обра- образующаяся при взаимо- взаимодействии сверхзвуковых потоков в узле г=*гп достигает верхней продольной границы ячейки, h& — аналогичное расстояние для нижней продольной границы ячейки (рис. 14.8). Введя обозначения: а — угол наклона косого скачка (или ха- характеристики) , в —- угол между вектором скорости и осью х, $ — угол наклона продольной границы ячейки, получим C0)
286 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Поскольку ограничение на шаг hx получено для линеаризован- линеаризованной системы уравнений, то в случае описанной разностной схе- схемы для системы уравнений G) значения hx\ и h^ уменьшаются путем умножения на некоторый коэффициент е < 1, обычно на- называемый коэффициентом запаса устойчивости. Ниже приводятся примеры расчета двумерных сверхзвуковых течений, относящиеся к течениям в воздухозаборниках и соплах. § 6. Примеры расчета двумерных сверхзвуковых течений Рассмотрим течение идеального совершенного газа с показа- показателем адиабаты к = 1,4 в плоском гиперзвуковом воздухозабор- воздухозаборнике, схема которого представлена на рис. 14.9. В таком воздухо- воздухозаборнике скорость потока на выходе остается сверхзвуковой. Расчетное число М для воздухозаборника МНр = 6. Вычисления Рис. 14.9. Схема плоского гиперзвукового воздухозаборника проведены в диапазоне чисел Мн = 3—10. Все геометрические размеры отнесены к высоте воздухозаборника. При расчетах варьировался угол поднутрения обечайки [} = 0; 5; 10° и относи- относительная высота «горла» h = 0,14; 0,175; 0,2. Расстояние I до се- сечения, от которого начинается прямолинейный канал, выбира- выбиралось из условия, что поворот верхней и последний поворот ниж- нижней стенки осуществляются в одном сечении. Значения I для раз- разных величин р и h указаны в таблице на рис. 14.9. В результате расчетов определялся коэффициент расхода воздухозаборника Ф = hH/hBX, коэффициент внешнего сопротивления по жидкой ли- Р (Рт — сила сопротивления), коэффи- нии тока схж = циент сохранения полного давления на выходе из воздухозабор- воздухозаборника ад = р*1рн?
§ 6. РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ 287 Структура течения перед входом воздухозаборника при трех значениях чисел Мя = 5; 6; 8 приведена на рис. 14.10. Ударная волна от первого клина воздухозаборника выделялась в процес- процессе счета и обозначена на рисунке сплошной жирной линией. Ударные волны от последующих клиньев не выделялись. При 5 X Рис. 14.10. Структура течения перед входом воздухозаборника расчете методом сквозного счета ударные волны «размазывают- «размазываются» на несколько счетчных ячеек. Их расположение определяется из построения линий постоянного значения безразмерного стати- статического давления р/(ркракр)« Значения безразмерного давления нанесены на рисунке для каждой выделенной линии. При рас- расчетном числе Маха МНр = 6 ударная волна от первого клина воз- воздухозаборника приходит на кромку обечайки. Коэффициент рас- расхода при этом равен 1. При числе Маха Мн = 5 < МНр ударная волна от первого клина проходит перед кромкой обечайки и Ф < 1. При Мн = 8 > МнР ударная волна идет под обечайку (при этом ф = 1). Картина течения в горле воздухозаборника для Мя = 5, (J = = 0°, й = 0,2 показана на рис. 14.11. Масштабы по осям х и г — разные. В местах расположения ударных волн линии постоян- постоянного безразмерного давления сгущаются. В области «горла» на входе наблюдается скачок, отраженный от обечайки. Этот скачок взаимодействует с течением расширения от угловой точки и па- падает на нижнюю стенку. Затем происходит последовательное от- отражение скачка от нижней стенки и обечайки воздухозаборника. Полученные в результате расчета характеристики воздухоза- воздухозаборника ф и схт приведены на рис. 14.12. Значения коэффициен- коэффициента сохранения полного давления ад приведены для сечения на
288 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ выходе (х = 6) и получены путем осреднения параметров нерав- неравномерного сверхзвукового потока при сохранении в процессе осреднения расхода, полного теплосодержания и_^нтропии (см. гл. V, § 8). Значение од зависит от параметров h и [}, так как 4,2 4,4 4,6 4,8 5,0 5,2 5,4 5,6 5,8 а? Рис, 14.11. Картина течения «в горле» воздухозаборника; Мн = 5, р = 0°т Б = 0,2 при этом меняется структура течения и величина потерь полного давления. На рис. 14.13 приведены значения сд при угле поднут- поднутрения обечайки (J = 0° и значениях h = 0,14; 0,175; 0,2. При 1УО 0,8 0,6 I \ J / / < \ / / \ ? 0,24- 0,16 0,08. 0,6 0,4 0,2 \ % h = 0,14 ,0,175 Л 2 « 6 М„ Рис. 14.12. Зависимость коэффи- коэффициента расхода ср и коэффициен- коэффициента сопротивления по жидкой ли- линии тока сХж от числа Маха по- полета Ькп 8 Рис. 14.13. Зависимость коэффици- коэффициента сохранения полного давления ад от числа Маха полета Мя ^отно- ^относительного размера «горла» h при угле поднутрения обечайки § = 0° й=0,14 отсутствует перерасширение поток-а у угловой точки, что приводит к меньшим потерям полного давления. Расчеты прово- проводились при чиюле ячеек в поперечном сечении N = 30. Рассмотрим течение идеального газа с гиперзвуковой ско- скоростью в коническом сужающемся канале, схема которого приве-
§ 6. РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ дена на рис. 14.14. Исследование течения в таком канале пред- представляет интерес с точки зрения его использования в гиперзву- гиперзвуковых воздухозаборниках. В осесимметричном канале наблюдает- наблюдается система ударных волн, отражающихся от стенки и оси. Канал имеет острую переднюю кромку и прямолинейную стенку. Era геометрия определяется двумя размерами — радиусом R и дли- длиной L (см. рис. 14.14). Для внутреннего гиперзвукового течения Рис. 14.14. Схема конического сужающегося канала в таком канале выполняется закон подобия, в соответствии с ко- которым для аффинноподобных тел распределения безразмерных параметров в потоке будут подобными, если сохраняется значе- значение критерия Я*=Мн-т, где Мн — число М набегающего потока газа, т — безразмерная величина, характеризующая наибольший tp 0,5 «i^^ 0,6-10~3 Линия тока i i ОЛ-10~2 0,7-W 0,P10~1 ^^ OJ-1O 5 7 X Рис. 14.15. Картина течения в коническом сужающемся канале при К = 1, Мн = 10 угол отклонения потока (см. гл. XI, § 5). В нашем случае т =• •=* tg 6, где б — полуугол конического канала. Для подтвержде- подтверждения этого факта был выполнен расчет течения при показателе адиабаты, равном 1,67, Z=l и числах Мн = 5, 10, 15, 20, 25,30. Пример расчета течения в канале при К-—А, Мн = 10 пока- показан на рис. 14.15. Ввиду осесимметричности течения изображена только верхняя половина канала. Масштабы по осям х и г вы- выбраны разные. Все размеры отнесены к радиусу входного сече- сечения канала R. Проведены линии постоянного безразмерного дав- 19 Г. Н. Абрамович, ч. 2
290 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ления и одна из линий тока, которой в начальном сечении соот- соответствует безразмерная координата г = 0,5. Значения, которым отвечают линии постоянного давления, нанесены на рисунке. Места сгущения линий постоянного давления отвечают располо- расположению скачков уплотнения. Интенсивность ударной волны, при- присоединенной к острой передней кромке, по мере приближения к оси канала возрастает (угол наклона к оси растет). За скач- скачком, отраженным от оси, наблюдается существенный рост давле- лия. Расчет проведен при числе ячеек, задаваемых по радиусу 10°г ? tos ю ¦ 10х 10' 10 Рн К Ш1 j Г In i Ш / 4 j LH 10 a 15 • 20 a 25 а 55 •¦ m 0,2 0,4 0,6 0,8 X/L Рис. 14.16. Выполнение закона подобия для аффинноподобных каналов канала, 7V = 60. В этом случае погрешность в определении рас- расхода меньше 1,5 %. В случае выполнения закона подобия рас- распределения давления р/рн на стенках аффинноподобных каналов должны совпадать, если их построить в зависимости от коорди- координаты x/L. При этом значение К должно быть фиксировано. На рис. 14.16 приведены результаты расчета распределения давле- давления вдоль стенки при К = 1 для шести аффинноподобных кана- каналов. Скачкообразный рост давления соответствует местам паде- падения скачков уплотнения на стенку канала. Давление в канале возрастает более чем в 104 раз. Распределения давления для аф- аффинноподобных каналов совпадают. Из дополнительного анализа следует, что закон подобия при течении идеального газа с гипер- гиперзвуковой скоростью в коническом сужающемся канале выполня- выполняется с погрешностью, меньшей 5 %, если локальные значения числа М в канале остаются больше 4.
§ 6. РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ 291 Следующий пример расчета относится к течению сверхзвуко- сверхзвукового потока в плоском несимметричном сопле, применение кото- которого возможно на гиперзвуковом летательном аппарате. Такое сопло имеет преимущество перед соплом Лаваля на режимах перерасширения, когда давление в окружающей среде больше давления на срезе сопла (см. гл. VIII, § 2). Рассматривается плоское сопло с частично внутренним расширением с прямоли- прямолинейной обечайкой. На расчетном режиме число М на входе в сопло равно Мвх = 2, на срезе сопла Ма = 4 и отношение полного давления на входе в сопло к давлению в окружающей среде равно пс = Рвх/ря=152. Отношение площади на срезе сопла Fa к площади на входе в сопло FBX равно FJFBX=6,35. Контур про- профилированной стенки сопла рассчитывался методом характери- характеристик для течения идеального совершенного газа с показателем адиабаты к = 1,4. Значению пс = 152 на расчетном режиме соответствует значе- значение безразмерного давления в окружающей среде рн = 0,008?L Рис. 14.17. Картина течения в плоском несимметричном сопле с профили- профилированной стенкой при Мвх = 2 Приведем результаты расчета течения в сопле на режиме пере- перерасширения при Рн= 0,0676(яс = 20). При расчете распределе- распределения параметров на входе в сопло считались равномерными. По- Поперечная компонента скорости на входе v = 0. Картина течения для этого случая показана на рис. 14.17. Все линейные размеры в расчете отнесены к высоте сопла в сечении среза. Показана граница струи, одна из линий тока, которой в начальном сече- сечении соответствует координата г = 0,925, а также линии постоян- постоянного безразмерного давления. Сначала поток расширяется, при этом давление от исходного значения /?вх = 0,1728 понижается до давления, приблизительна равного 0,2 • 10. На кромке формируется интенсивный скачок уплотнения, в котором давление повышается до давления в окру- окружающей среде рн = 0,0676, и отражается от профилированной стенки; в результате давление возрастает до /? = 0,18, что пре- превышает значение давления на входе в сопло; затем происходит отражение скачка от границы струи в виде волн разрежения. В результате давления падает до давления в окружающей среде* 19*
292 ГЛ. XIV. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Рн = 0,0676. Волны разрежения отражаются от твердой границы в виде волн разрежения, что приводит к дальнейшему пониже- понижению давления вплоть до значения р = 0,4 • 10~*. Таким образом, в сопле наблюдается нерегулярная структура течения, что при- приводит к неравномерному распределению давления вдоль нижней стенки. Если заменить профилированную стенку прямолинейной, рас- расположенной под углом 9° к оси х (рис. 14.18), то картина те- течения в сопле меняется. В этом случае поток во внутренней ча- части сопла перерасширен в меньшей степени по сравнению со ю 00 ?,85 Рис. 14.18. Картина течения в плоском несимметричном сопле с прямоли- прямолинейной стенкой при МВх = 2 случаем профилированной стенки (давление падает до величи- величины р = 0,4 • 10), что приводит к более плавному изменению давления вдоль стенки. Если же число М на входе в такое сопло Мвх = 2,5 (рис. 14.19), то давление во внутренней части сопла 10- Рис. 14.19. Картина течения в плоском несимметричном сопле с прямоли- прямолинейной стенкой при Мвх = 2,5 падает до величины р = 0,2 • 10 и на срезе формируется весьма интенсивный скачок уплотнения, приводящий к нерегулярной структуре течения, так что на стенке образуются две области повышенного давления, значение которого (р = 0,2) в несколько раз превышает давление на входе в сопло (/?« = 0,0791). Расчеты выполнялись для 60 ячеек, задаваемых в поперечном направле- направлении, при этом погрешность в значении расхода была мень- меньше 1 %.
§ 6. РАСЧЕТ ДВУМЕРНЫХ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ 293 Другие примеры, иллюстрирующие точность и возможности стационарной схемы, можно найти в книге под редакцией €. К. Годунова, указанной в списке литературы. Заметим, что все вышеприведенные расчеты выполнены без учета нарастания пограничного слоя на обтекаемых поверхностях. Влияние пограничного слоя может быть учтено введением по- поправки в контур тела на толщину вытеснения б*. Для этого не- необходимо применить какой-либо численный или интегральный метод расчета ламинарного или турбулентного пограничного слоя (гл. VI) совместно с изложенным выше методом сквозного сче- счета. При наличии интенсивных скачков уплотнения в сверхзвуко- сверхзвуковом потоке возможен отрыв пограничного слоя (гл. VI, § 6). Отрыв пограничного слоя приводит к картине течения в канале, существенно отличающейся от идеального расчета. Оставаясь в рамках приведенной выше методики расчета, можно попытаться в первом приближении учесть влияние отрыва на характеристи- характеристики течения. С этой целью предлагается использовать зависимо- зависимости для отношения давлений в зоне отрыва pjpo и для длины отрывной зоны Ь/8* (гл. VI, § 6). При расчете течения методом сквозного счета от сечения, где начинается отрывная зона, как и в случае струи, на границе задается давление, равное давлению в зоне отрыва. Заметим также, что при расчете струи, вытекаю- вытекающей из сопла во внешний поток, возможно учесть влияние спут- ного потока, решая соответствующую задачу о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков на границе струи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Абрамович Г. Н. Теория турбулентных струй.—М.: Физматгиз,, 1960. 2. Абрамович Г. Н., Гиршович Т. А., Крашенинников С. Ю.„ Секундов А. Н., Смирнова И. П. Теория турбулентных струй/ Под ред. Г. Н. Абрамовича.— М.: Наука, 1984. 3. Абрамович Г. Н., Крашенинников С. Ю.„ Секу<н|дов A. ?L Смирнова И. П. Турбулентное смешениегазовых струй.— М.: Наука, 1974. 4. Абрамович Г. Н., Крашенинников С. Ю., Секундов А. Н. Турбулентные течения при наличии объемных сил и неавтомодельно- сти.— М.: Машиностроение, 1975. 5. А л ь т ш у л ь А. Д., Киселев П. Г. Гидравлика и аэродинамика.— М.: Стройиздат, 1965. 6. Аржанников Н. С, С а д д е к о в а Г. С. Аэродинамика больших скоростей.— М.: Высшая школа, 1965. 7. Б а й Ши-и. Магнитная газодинамика и динамика плазмы.—М.: Мир, 1964. 8. Боржсенко А. И. Газовая динамика двигателей.— М.: Оборонгизг 1962. 9. Б е т ч е л о р Ж. К. Введение в динамику жидкости.-— М.: Мир, 1973. 10. В а т а ж и н А. В., Любимов Г. А., Р е г и р е р С. А. Магнитогидро- динамические течения в каналах.-— М.: Наука, 1970. 11. By лис Л. А. Термодинамика газовых потоков.— М.: Госэнергоиздат, 1950. 12. By лис Л. А. Теория струй вязкой жидкости.— М.: Наука, 1965. 13. Газодинамика разреженных газов/Под ред. М. Девиена.— М.: ИЛ, 1963 14. Газовая динамика. Сборник переводов.— М.: ИЛ, 1963. 15. Г а р р и с Л. Магнитогидродинамические течения в каналах.— М.: ИЛ, 1963. 16. Герман Р. Сверхзвуковые входные диффузоры.—М.: Физматгиз, I960. 17. Гинзбург И. П. Прикладная гидрогазодинамика.— М.: Л.: Изд-во ЛГУ, 1958. 18. Г и р о Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений.— М.: Мир, 1965. 19. Дейч М. Е. Техническая газодинамика.— М.: Энергия, 1974. 20. Дейч М. Е., Зарянкин А. Е. Гидрогазодинамика.— М.: Энергоиз- дат, 1984. 21. Жуковский В. С. Техническая термодинамика.— М.: Гостехиздат, 1952. 22. Зауэр Р. Течения сжимаемой жидкости.— М.: ИЛ, 1954. 23. 3 е л ь д о в и ч Я. Б. Теория ударных волн и введение в газодинами- газодинамику.— М.: Изд-во АН СССР, 1946. 24. И д е л ь ч и к И. Е. Гидравлические сопротивления.— М.: Госэнергоиз- дат, 1954.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 295 25. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям.— М.: Машиностроение, 1975. 26. Идельчик И. Е. Аэродинамика промышленных аппаратов.— М.: Энергия, 1964. 27. Калихман Л. Е. Элементы магнитной газодинамики.—М.: Атомиз- дат, 1964. 28. К о г а н М. Н. Динамика разреженного газа.— М.: Наука, 1967. 29. К очи н Н. Е., Кибель И. А., Розе И. В. Теоретическая гидроме- гидромеханика.— М.: Гостехиздат, 1963. 30. К у л и к о в с к и й А. Г., Л ю б и м ов Г. А. Магнитная гидродинами- гидродинамика.— М.: Физматгиз, 1962. 31. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Гидродинамика.—М.: Наука, 1986. 32. Л е в и н с о н Я. И. Аэродинамика больших скоростей.— М.: Оборонгиз, 1950. 33. Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики.—М.: ИЛ, 1960. 34. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука, 1987. 35. Лойцянский Л. Г. Аэродинамика пограничного слоя.— М.: Гостех- Гостехиздат, 1941. 36. Лойцянский Л. Г. Ламинарный пограничный слой.— М.: Физмат- Физматгиз, 1962. 37. Магнитная гидродинамика: Труды симпозиума.— М.: Атомиздат, 1960. 38. Нечаев Ю. Н., Ф е д о р о в Р. М. Теория авиационных газотурбинных двигателей.— М.: Машиностроение, 1978. 39. Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.— М.: Физматгиз, 1960. 40. Прикладная магнитная гидродинамика: Сборник переводов.— М.: Мир, 1965. 41. Прандтль Л. Гидроаэродинамика. Т. 1, 2.— М.: ИЛ, 1949. 42. Ра хм а ту лин X. А. и др. Газовая динамика.—М.: Высшая школа, 1965. 43. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения за- задач газовой динамики.— М.: Наука, 1990. 44. Самойлович Г. С. Гидроаэромеханика.— М.: Машиностроение, 1980. 45. С е р г е л ь О. С. Прикладная гидрогазодинамика.— М.: Машинострое- Машиностроение, 1981. 46. Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости/Под ред. С. Гольдштейна. Т. 1, 2.— М.: ИЛ, 1948. 47. Современное состояние аэродинамики больших скоростей/Под ред. Хоуарта.— М.: ИЛ, 1955. 48. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике.— М.: Наука, 1987. 49. С е д о в Л. И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука, 1966. 50. Седов Л. И. Механика сплошной среды.— М.: Наука, 1983.— 1984.— Т. 1.— 1983; Т. 2.— 1984. 51. Степанов Г. Ю. Гидромеханика решеток турбомашин.— М.: Физмат- Физматгиз, 1962. 52. С т е п а н о в Г. Ю. Основы теории лопаточных машин комбинирован- комбинированных и газотурбинных двигателей.— М.: Машиностроение, 1958. 53. Степчков А. А. Задачи по гидрогазодинамике.—М.: Машинострое- Машиностроение, 1980. 54. Теория воздушно-реактивных двигателей/Под ред. С. М. Шляхтенко.— М.: Машиностроение, 1987. 55. Ф а б р и к а н т Н. Я. Аэродинамика.— М.: Наука, 1964. 56. Ф е р р и А. Аэродинамика сверхзвуковых скоростей.— М.: Гостехиздат, 1952.
296 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 57. Франк-Каменецкий Д. А. Лекции по физике плазмы.—М.: Атомиздат, 1968, 58. Ф р а н к л ь Ф. И., Христианович С. А., Алексеева Р. Н. Ос- Основы газовой динамики // Труды ЦАГИ.— 1938.— Вып. 364. 59. X е й з У. Д., П р о б с т и н Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений.— М.: ИЛ, 1962. 60. Хинце И. О. Турбулентность.— М.: Физматгиз, 1963. 61. Ч арный И. А. Основы газовой динамики.— М.: Гостоптехиздат, 1961. 62. Черный Г. Г. Газовая динамика.— М.: Наука, 1988. 63. Ч е р н ы й Г. Г. Течение газа с большой сверхзвуковой скоростью.— М.э Физматгиз, 1959. 64. X о л щ е в н и к о в К. В., Е м и н О. Н., Митрохин В. Т. Теория и расчет лопаточных машин.— М.: Машиностроение, 1986. 65. Численные решения многомерных задач газовой динамики/Под ред. С. К. Годунова.— М.: Наука, 1976. 66. Ш и д л о в с к и й В. П. Введение в динамику разреженного газа.— М.г Наука, 1965. 67. Ш е р к л и ф Д. Теория электромагнитного измерения расхода.— М.^ Мир. 1965. 68. Ш л и х т и н г Г. Теория пограничного слоя.— М.: Наука, 1974.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Абрамович Г. Н. 47, 75, 251, 261, 294 Александров В. Л. 73 Алексеева Р. Н. 296 Альтшуль А. Д. 294 Альфвен X. (Alfven H.) 205 Аржанников Н. С. 294 Бай Ши-и (Bai S. I.) 204, 294 Балтер А. Е. 12 Баушев Б. Н. 265 Берзон Э. М. И Бертрам М. (Bertram M.) 128, 129 Бетчелор Г. К. (Batchelor G. К.) 294 Блох Э. Л. 12 Борисенко А. И. 294 Брайсон А. Э. (Bryson A. E.) 58 Брановер Г. Г. 260 Буземан A. (Busemann A.) 121 Бунимович А. П. 67, 70 Валандер С. В. 113, 120, 127 Ван-Дрист Э. P. (Driest E. R. van) 260 Васецкая И. Г. 260 Ватажин А. Б. 294 Вебер С. (Weber S.) 140 Вулис Л. А. 260, 294 Гаррис Л. (Harris L.) 212, 294 Гартман (Hartmann J.) 207, 212, 261 Герман P. (Hermann R.) 294 Гинзбург И. П. 294 Гинзбург С. И. 65, 86, 94, 102 Гиршович Т. А. 294 Глауэрт М. Б. (Glauert M. В.) 33, 34, 36. 37, 63 Годунов С. К. 267, 268, 277, 293, 296 Гольдштейн С. (Goldstein S.) 295 Трасс P. (Grass R.) 183 Тудвин (Goodwin G.) 169 Гэде У. (Gaede W.) 174 Дейч М. Е. 104, 294 Дикинс (Dickins В. С.) 137 Довжик С. А. 12 Домашенко А. М. 81, 104 Дюренд В. Ф. 26 Елисеев Ю. Б. 81, 104 Емин О. Н. 296 Жуков М. Ф. 79, 81, 104 Чуковский В. С. 294 Жуковский Н. Е. И, 23, 102 Зарянкин А. Е. 294 Зельдович Я. Б. 294 Иванов М. Я. 277 Идельчик И. Е. 294, 295 Иоселевич В. А. 260 Калихман Л. Е. 295 Карлсон (Carlson A. W.) 218 Карман Т. (Кйгтйп Th. van) 35, 63 СКацкова О. Н. 273 Кейн (Kane E. D.) 146, 147 Келдыш М. В. 12, 76 Кендалл (Kendall P. D.) 129, 130 Кеннард (Kennard E. Н.) 136, 174 Кибель И. А. 76, 295 Киселев П. Г. 294 Клаузинг П. (Clausing P.) 176 Кнудсен М. (Knudsen M.) 132, 145, 174 Ковнер Д. С. 251, 262 Коган М. Н. 295 Колган В. П. 277 Колпаков А. Я. 261 Кочин Н. Е. 76, 295 Крайко А. Н. 276, 277 Красильщиков Е. Ю. 265 Крашенинников Q. Ю. 294 Кригер М. (Greager M. О.) 169 Куликовский А. Г. 295 Ландау Л. Д. 295 Левинсон Я. И. 295 Лившиц Е. М. 295 Лиз Л. (Lees L.) 128 Лин С. (Lin S. С.) 182, 183 Линей У. (Linsey W. Е.) 35 Липман Г. (Liepmann H. W.) 56, 60, 295 Литтель P. (Littel R. Е.) 35 Лойцянский Л. Г. 11, 12, 22, 260, 295 Лущик В. Г. 251, 261, 265 Любимов Г. А. 294, 295 Мак-Кормак P. (Mac-Cormack R. W.) 276 Максвелл Д. К. (Maxwell J. С.) 146, 148, 151 Мартынов А. Г. 38, 60 Милликен P. (Milliken R. А.) 135, 145— 147 Миллионщиков М. Д. 260 Митрофанов А. А. 40 Митрохин В. Т. 296 Михайлов М. В. 277 Наумова И. Н. 273 Нечаев Ю. Н. 295 Нужин С. Р. 36 Орлова Г. С. 70 Осватич К. (Oswatitsch К.) 79 Паневин И. Г. 265 Паттерсон Г. Н. (Patterson G. N.) 148, 169, 295 Прандтль Л. (Prandtl L.) 33, 34, 36, 37, 63, 206, 295 Преображенский С. С. 265 Пробстин Р. Ф. (Probstein R. F.) 127, 128, 131 Рахматулин X. А. 295 Регирер С. А. 294
298 ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ Рейнольде О. (Reynolds О.) 129, 206 Реслер Е. (Resler E.) 242 Розе Н. В. 76, 295 Рошко A. (Roshko A. J.) 56, 60, 295 Рябенький В. С. 268 Саддекова Г. С. 294 Сайбен М. (Saiben M.) 265 Самарский А. А. 295 Самойлович Г. С. 104, 295 Саттон Г. (Sutton G. W.) 218 Святогоров А. А. 67 Седов Л. И. 12, 35, 36, 66, 242, 295 Секундов А. Н. 294 Сергель О. С. 295 Сире В. P. (Sears W. R.) 182, 183, 242 Смирнова И. П. 294 Смолуховский М. (Smoluchowski M.) 154, 174 Спрейтер (Spreiter J. R.) 63 Стак (Stack G.) 35 Степанов Г. Ю. 12, 295 Степчков А. А. 295 Сусленников Л. А. 94, 96, 97 Таганов Г. И. 90 Уидман М. ("Wiedmann M. L.) 137 Фабрикант Н. Я. 295 Федоров Р. М. 295 Ферри A. (Ferri A.) 52, 295 Франк-Каменецкий Д. А. 295 Франкль Ф. И. 12, 296 Фэй (Fay I. A.) 265 Хейз У. Д. (Hayes W. D.) 127, 131, 295 Хинитц Л. (Chinitz L.) 182, 183 Хинце И. О. (Hinze J. О.) 296 Холщевников К. В. 296 Хоуарт Л. (Howarth L.) 295 Христианович С. А. 37, 65, 296 Цзян X. (Tsien H. S.) 35, 36, 147, 154 Цинобер А. Б. 260 Чаплыгин С. А. 23 Чарный И. А. 296 Чепмен Д. P. (Chapman D. Р.) 146 Черный Г. Г. 113, 116, 117, 296 Чиненков И. А. 265 Чушкин П. И. 273 Швейковский Н. Т. 145, 147, 154 Шерклиф Д. А. 215, 296 Шидловский В. П. 296 Шлихтинг Г. (Schlichting H.) 296 Шляхтенко С. М. 295 Шмыглевский Д. Д. 273 Штальдер Дж. P. (Stalder J. R.) 169s Штраус (Straus E.) 82 Шулишнина Н. П. 273 Эйзен (Eisen С.) 182, 183 Эпштейн П. С. (Epstain P.) 154 Юрьев Б. Н. 99 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Абсолютная диэлектрическая проницае- проницаемость 178 — магнитная проницаемость 188 Альфвена волна 232, 233 — число 205, 232 Ампера закон 188 — сила 197 Бернулли уравнение для струйки несжи- несжимаемой электропроводной жидкости в поперечном магнитном поле 227 Бесселя модифицированные функции 168 Буземана поправка к формуле Ньютона 121, 123 Валандера метод 120 Вектор магнитной индукции 188 — напряженности электрического поля 179 — плотности тока 184 — пульсационной электромагнитной си- силы 252 — электрической индукции 179 Взаимодействие двух сверхзвуковых по- потоков 281—286 — слабое 130, 131 Вихревые усы 99, 102 Вихрь парный 104 — присоединенный 98 Вогнутость крылового профиля относи- относительная 6 Волна Альфвена 232, 233 — ударная плоская в гиперзвуковом те- течении 110—114 — ударная прямая магнитогазодинами- ческая 229—231 Волновое сопротивление 42 Волны Маха 46, 47 — ударные магнитогазодинамические 229—237 Вязкость, влияние в гиперзвуковых те- течениях 128—131 . —, влияние на подъемную силу 29, 30 — магнитная 196 Гартмана течение 207—214 — число 206, 207 Гинзбурга метод построения сверхзвуко- сверхзвуковой решетки профилей 78 Гипотеза затвердевания линий тока 36— 38, 65 Густота решетки крыловых профилей 7 Давление в пограничном слое 128 — газа на стенку 152. 153 — гидродинамическое 228 — магнитное 227 — полное 227 эффективное 227, 231, 232 Дарси формула 143 Диффузорный участок течения 27 Длина свободного пробега молекул 132; 134 Единичная струйка в магнитной гидро^ газодинамике 223, 224 Жуковского профиль симметричный 28 — сила 12, 15 — способ построения сверхзвуковых изо- энтропических решеток 79—81
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 299 Жуковского теорема 8—12, 14, 15, 22, 27 Задача аэродинамики решетки профи- профилей 8 —• о форме тела наименьшего сопротив- сопротивления 121, 122 — об обтекании единичного профиля 8 Закон Ампера 188 — (Кулона 178 — Ома обобщенный 191, 193 — плоских сечений 117 — Пуазейля 174 Запирание решетки профилей 72, 73 Интеграл вероятностей 156 Истечение газа молекулярное через от- отверстие 175 Кармана правило околозвукового подо- подобия 63 Кармана — Цзяна формула 35 Качество пластинки 45, 46, 76 — профиля 16 обратное 17 Кнудсена число 132 Конформное преобразование произволь- произвольного профиля 25 Конфузорный участок течения 27 Коэффициент аккомодации 137, 160 — давления 31, 32, 34, 65 для ромбовидного профиля 48 — динамической вязкости 207 — индуктивного сопротивления крыла конечного размаха 100 — подъемной силы 17, 19, 25, 34 несимметричного ромбовидного профиля 52 чечевицеобразного профиля 53 пластинки 49 плоско-выпуклого профиля 59 — полной аэродинамической силы 1*5 — профильного сопротивления 17, 19 — сопротивления давления 17 несимметричного ромбовидного профиля 52 пластинки 49 ромбовидного профиля 43, 49 симметричного чечевицеобразного профиля 53 сферы 146 в гиперзвуковом течении 112 формы 17 цилиндра 147 с конусом в гиперзвуковом те- течении 112 — сохранения полного давления 72 — трения при течении со скольжением в трубе 143, 144 Коэффициенты аэродинамические плас- пластины при свободно-молекулярном об- обтекании 164 "Кривизна крылового профиля относи- относительная 6 Критерий магнитогидродинамического взаимодействия 205, 252 — подобия в магнитной гидродинамике 204—206 — электрогидродинамического взаимо- взаимодействия 205, 206 Критическая густота решетки 77 Крыло конечного размаха 98 Кулона закон 178 — сила 197 Лаваля сопло 276 Лапласа уравнение 219 для несжимаемой жидкости 33 Магнитогидродинамический генератор тока 215, 216 Мак-Кормака метод 276 Максвелла система интегральных соот- соотношений 192, 193 — уравнения в дифференциальной форме 193—195 — функция распределения скоростей 148, 149, 151, 154 Маха волны 46, 47, 75 — угол 108 — число 30, 39, 107, 132, 133, 134 за скачком уплотнения 113, 114 критическое 37, 38 для решетки профилей 64, 65, 70, 71 дозвуковое 55 сверхзвуковое 55 Метод касательных клиньев при расче- расчете гиперзвукового обтекания заострен- заостренного тела 119 — конечных разностей при численном решении задач газовой динамики 267 — сквозного счета для двумерных сверх- сверхзвуковых течений идеального газа 276 — характеристик при численном реше- решении задач газовой динамики 267, 273—276 Напряженность магнитного поля 187 — электрического поля 179 Ньютона — Буземана формула 124 Ньютона закон сопротивления 118, 119 Обтекание круга потенциальным пото- потоком несжимаемой жидкости 21 — крыла косое 101 — плоской пластинки сверхзвуковое 44 пластины при малом угле атаки гиперзвуковое 115, 116 — профиля бесциркуляционное 22 в общем случае 23 дозвуковое 30—40 невязким звуковым потоком 30 околозвуковое 54—64 потенциальным потоком несжима- несжимаемой жидкости 22 с острой задней кромкой потоком несжимаемой жидкости 22 сверхзвуковое 41—54 чисто циркуляционное 23 — решетки крыльев конечного удлине- удлинения 103 профилей дозвуковым потоком га- газа 64—73 потоком вязкой жидкости 13 газа со сверхзвуковой осевой составляющей скорости 86—98 — ромбовидного профиля сверхзвуковое 41, 42 — симметричного профиля сверхзвуко- сверхзвуковое 43 — твердого тела свободно-молекулярное 153—169 — тела по модели Ньютона 118 — тонких заостренных спереди тел ги- гиперзвуковое 116, 117 затупленных тел гиперзвуковое 124—127 — чечевицеобразного профиля около- околозвуковое 58 Ома закон 202, 205 обобщенный 191 Остроградского — Гаусса теорема 181 Ось решетки крыловых профилей 6 Плотность тепловой мощности 185 Пограничный слой 128
300 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Поле магнитное 185, 186 — электромагнитное 192 — электростатическое 179 Постулат Чаплыгина — Жуковского 23, 24 Потенциал скоростей возмущения 32 — точечного заряда 180 Поток вектора индукции электрического поля 180 — индукции магнитного поля 191 Прандтля — Глауэрта формулы 34 — магнитное число 206 Прандтля — Майера течение гиперзву- гиперзвуковое 108, 114 Проектирование функции на сетку 269 Профиль Жуковского симметричный 28 — крыловой дозвуковой 5 сверхзвуковой 5, 6 — ромбовидный 41, 42 несимметричный 52 — чечевицеобразный 53 Пуазейля закон 174 — профиль скорости 210 — формула 211 Пуассона показатель 39 Разностная сетка 268 — схема 268—273 Распределение давления по крыловому профилю 35 по поверхности конуса при обте- обтекании под углом атаки 119 симметричному чечевицеобраз- ному профилю 53 — значения числа Маха по поверхности профиля 40 Расход газа в трубе при молекулярном течении 170, 171, 173 через отверстие 176 Рейнольдса число 129, 132, 133, 143 магнитное 206 Решетка крыловых профилей 13—16 — профилей без волнового сопротивле- сопротивления 79, 80 Сила Ампера 188, 189 — вязкая в решетке профилей 15 — давления газа на стенку 154, 155 — Жуковского 12, 15 — Лоренца 190 — подъемная плоской пластинки 44, 164, 165 профиля в решетке 15 — пондермоторная 177 — профильного сопротивления 16 — сопротивления давления 16 трения 16 — электромагнитная объемная 178 осредненная 250 полная 197, 198 Силы аэродинамические при свободно- молекулярном обтекании тел 163—169 Скачок скорости у стенки 137 — уплотнения косой 41, 44, 47 Скорость возмущения при обтекании тонкого профиля дозвуковым потоком 32 — дрейфа 190 — звука в газе 153 — молекул среднеквадратичная 153 средняя 132 — скорость скоса потока 99 — ударной магнитогазодинамической волны 232 Сопротивление волновое 42 — давления 28, 29 — индуктивное 100 Сопротивление лобовое кругового ци- цилиндра при поперечном обтекании? 165—169 плоской пластинки 44, 168 — трения 28, 29 Средняя линия крылово