Text
                    Г. Н. АБРАМОВИЧ
ПРИКЛАДНАЯ
ГАЗОВАЯ
ДИНАМИКА
ЧАСТЬ 1
ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1991


ББК 22.25 А16 УДК 553@75.8) Рекомендовано Государственным комитетом СССР по народному образованию д хр использования в учебном процессе студентами высших технических учебных заведений Л б р i руководство: рамович Г. II. Прикладная газовая динамика. В 2 ч. Ч. 1: Учеб ство: Для втузов.— 3-е изд., перераб и доп.—М.: Наука. Гл. ред. ^,т, ,. IOOI (И\(Л „ Т СТЗЛТ tt ПО (Л А /, П 1 ч ^ РУКОВОДСТВО: /1,. Г; 1 ЫуЗОВ. O-U 1ЫД., JlfpUfJclU 11 физ-маг. лиг, 1991.— E00 с—ISBN 5-02-014015-5. Изложены основы газовой динамики в применении к теории реактшшых двшагелеп и других газовых машин и аппаратов. В части 1 рассмотрена теория одномерных 1азовых течений, на которой базируются методы расчета реактивных двигателей, лопаточных машин, эжекторов, аэродинамических труб и испытательных стендов. Изложены теория пограничного слоя и теория струй, лежащие в основе определения сопротивления трения, полей скорости и температуры в соплах, диффузо- диффузорах, камерах сгорания, эжекторах и т. и. В части 2 рассмотрены гпнерзвуковые течения, элементы магнитной гидродинамики, течения разреженных газов, а также теории крыла и реше- решеток крыловых профилей. В пятое издание D-е изд—1976 г.) включены материалы по численным методам св-ерхзвуковой газовой динамики, повью сведения о струях и спутпом потоке. Для студентов авиационных вузов, инженеров и специалистов в обла- области газовой динамшат. Табл. 11. Ил. 299 Библиогр. 69 назв. Рецепзепт доктор физико-математических наук А. Н. Крайко „,,„,_„ А ISBN 5-02-014015-5 (ч. 1) ISBN 5-02-014961-6 ©«Наука» Фияматлит, 197G; с изменениями, 1991
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к пятому изданию 8 Предисловие к четвертому изданию 8 Предисловие к третьему изданию 9 Глава I. Уравнения газовой динамики для единичной струйки 11 § 1. Уравнение неразрывности 11 § 2. Уравнение энергии 13 § 3. Предельная скорость движения газа. Число Маха .... 22 § 4. Механическая форма уравнения энергии (уравнение Бер- нулли) 27 § 5. Уравнение количества движения 37 § 6. Уравнение моментов количества движения 45 § 7. Энтропия 48 § 8. Расчет реактивной силы (тяги) 51 Глава II. Элементы гидродинамики i 58 § 1. Движение жидкой частицы 58 § 2. Уравнение неразрывности 61 § 3. О силах, действующих в жидкости 62 § 4. Связь между напряжениями и деформациями .... 65 § 5. Уравнения Навье — Стокса 68 § 6. Уравнение энергии 69 § 7. Гидродинамическое подобие 75 § 8. Слоистые течения 86 § 9. Уравнения движения идеальной жидкости 90 § 10. Плоские установившиеся движения идеальных жидкости и газа 95 § 11. Циркуляция скорости 99 § 12. Примеры плоских потенциальных установившихся течений несжимаемой жидкости 108 § 13. Интегральная форма уравнений газовой динамики . . . 111 Глава III. Скачки уплотнения 114 § 1. Прямые скачки уплотнения 114 § 2. Косые скачки уплотнения 126 § 3. О применении пневматического насадка в сверхзвуковом потоке 140 Глава IV. Ускорение газового потока 143 § 1. Сверхзвуковое сопло 143 § 2. Нерасчетные режимы истечения из сопла Лаваля . . . 150 § 3. Сверхзвуковое течение газа с непрерывным увеличением ско- скорости (течение Прандтля — Майера) 155 § 4. Обтекание плоской стенки 167 § 5. Обтекание выпуклой криволинейной стенки 169 § 6. Истечение из единичного плоского сопла с косым срезом в пространство с пониженным давлением 171 § 7. Характеристики уравнений установившегося течения идеального газа ............. 173 1*
4 ОГЛАВЛЕНИЕ § 8. Плоские изэнтропические и изоэнергетические течения 176 § 9. Взаимодействие однородных сверхзвуковых потоков . . . 178 Глава V. Одномерные течения газа 181 § 1. Адиабатическое течение газа с трением. Кризис течения 181 § 2. Течение в трубе постоянного сечения 184 § 3. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного сечения 192 § 4. Общие условия перехода от дозвукового течения к сверх- сверхзвуковому и обратно 201 § 5. О распространении детонации и горения в газах .... 218 § 6. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций 233 § 7. Течение газа с трением в цилиндрической трубе при задан- заданном отношении давлений на входе и выходе 259 § 8. Осреднение параметров неравномерного потока .... 267 Глава VI. Теория пограничного слоя 276 § 1. Основные понятия пограничного слоя 276 § 2. Ламинарный пограничный слой 283 § 3. Переход от ламинарного к турбулентному режиму течения в пограничном слое 308 § 4. Турбулентный пограничный слой 314 § 5. Отрыв пограничного слоя 329 § 6. Взаимодействие пограничного слоя со скачками уплотнения 338 § 7. Течение жидкости в трубах 348 Глава VII. Турбулентные струи 361 § 1. Общие свойства струй 361 § 2. Изменение параметров по длине струи 377 § 3. Начальный и переходный участки струи 389 § 4. Основной участок струи в спутном потоке 393 § 5. Влияние неизобаричности струи на закономерности ее рас- распространения 397 § 6. Одномерная теория начального («газодинамического») участ- участка нерасчетной сверхзвуковой струи 408 Глава VIII. Течения газа в соплах и диффузорах ..... 429 § 1. Сопла 429 § 2. Формы сопел 443 § 3. Дозвуковые диффузоры 452 § 4. Сверхзвуковые диффузоры 464 Глава IX. Газовые эжекторы . 492 § 1. Назначение и схемы эжекторов 492 § 2. Рабочий процесс эжектора 496 § 3. Расчет газового эжектора 505 § 4. Критические режимы работы эжектора. Запирание эжектора 518 § 5. Характеристики эжектора 525 § 6. О режиме течения на выходе из смесительной камеры 528 § 7. Особенности работы эжектора со сверхзвуковым соплом 535 § 8. Приближенные формулы расчета эжектора 543 § 9. Примеры расчета эжектора 548 § 10. Теория эжекторного увеличителя реактивной силы . . . 553 Приложения I—V 566 Список литературы 590 Именной указатель 593 Предметный указатель t « • * . » * « 594
ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТИ 2 Глава X. Элементы газовой динамики единичного профиля и ре- решетки профилей 5 § 1. Основные геометрические параметры крылового профиля и решетки профилей 5 § 2. Теорема Жуковского о силовом воздействии потенциаль* ного потока 8 § 3. Влияние вязкости на силовое воздействие потока ... 13 § 4. Аэродинамические коэффициенты 17 § 5. Профиль в плоском потоке несжимаемой жидкости ... 19 § 6. Дозвуковое обтекание профиля 30 § 7. Сверхзвуковое обтекание профиля 41 § 8. Околозвуковое обтекание профиля 54 § 9. Обтекание решетки профилей дозвуковым потоком газа 64 § 10. Обтекание решетки профилей потоком газа со сверхзвуко- сверхзвуковой осевой составляющей скорости 73 § 11. Обтекание решетки сверхзвуковых профилей потоком газа с дозвуковой осевой составляющей скорости 83 § 12. Некоторые сведения о пространственном обтекании единич- единичного крыла и решетки крыльев 98 Глава XI. Гиперзвуковые течения газа 106 § 1. Изменение параметров газа в изоэнтропическом гиперзвуко- гиперзвуковом потоке 106 § 2. Гиперзвуковое течение около выпуклого тупого угла 108 § 3. Плоская ударная волна в гиперзвуковом течении . . . . 110 § 4. Гиперзвуковое обтекание плоской пластины при малом угле атаки 115 § 5. О гиперзвуковом обтекании тонких заостренных спереди тел § 6. Закон сопротивления Ньютона 116 § 7. Влияние малого затупления переднего конца тонкого тела 118 на его обтекание при гиперзвуковых скоростях . . . . 124 § 8. О влиянии вязкости в гиперзвуковых течениях .... 128 Глава XII. Течения разреженных газов 132 § 1. Различные типы течений разреженных газов 132 § 2. Скачки скорости и температуры у стенки при течении газа со скольжением 135 § 3. Течение газа со скольжением в трубе 140 § 4. Внешнее сопротивление тел в потоке разреженного газа при наличии скольжения 145 § 5. Свободно-молекулярные течения газа и элементы кинетиче- кинетической теории газов 147 § 6. Давление и напряжение трения при свободно-молекулярном обтекании твердого тела 153 § 7. Расчет аэродинамических сил при свободно-молекулярном обтекании твердых тел 163
6 ОГЛАВЛЕНИЕ § 8. Свободно-молекулярное течение газа в длинной трубе 169 § 9. Молекулярное истечение газа через отверстие в стенке и через короткую трубу 175 Глава XIII. Элементы магнитной газовой динамики . . . . 177 § 1. Введение 177 § 2. Элементы электростатики и электродинамики .... 178 § 3. Электромагнитные поля 192 § 4. Уравнения магнитной газодинамики 197 § 5. Критерии подобия в магнитной гидродинамике .... 204 § 6. Течение вязкой электропроводной жидкости по плоскому каналу в поперечном магнитном поле 207 § 7. Магнитогидродинамические насосы, ускорители, дроссели и генераторы 215 § 8. Вход потока электропроводной жидкости в магнитное поле и выход из него v. 217 § 9. Уравнения магнитной газовой динамики, для единичной струйки 223 § 10. Магнитогазодинамические ударные волны и слабые возму- возмущения 229 § 11. Условие обращения воздействия при течении газа в элект- электромагнитном поле 238 § 12. Простейшие решения уравнений одномерного течения газа в скрещенных полях 242 § 13. Магнитогидродинамические турбулентные течения . . . 249 Глава XIV. Численное решение задач газовой динамики . . . 266 § 1. Введение 266 § 2. Основные понятия теории разностных схем 268 § 3. Метод характеристик 273 § 4. Метод сквозного счета для двумерных сверхзвуковых тече- течений идеального газа 276 § 5. Задача о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков 281 § 6. Примеры расчета двумерных сверхзвуковых течений . . . 286 Список литературы 294 Именной указатель 297 Предметный указатель . 298
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ В пятое издание книги внесены некоторые изменения, отно- относящиеся к главам I, II, VI, VIII и X, посвященным гидравлике, основным уравнениям гидрогазодинамики, теории пограничного слоя, соплам и диффузорам, крылу и решеткам лопаток; заново написана мною глава VII (кроме § 6) о турбулентных струях, добавлена глава XIV о численных методах расчета газовых те- течений, составленная В. В. Дугановым (§ 2, 4, 5, 6) и В. Д. За- Захаровым (§ 1, 3), и дополнена В. В. Дугановым глава IV (§ 7— 9) некоторыми сведениями по теории сверхзвуковых течений. В связи ic появлением учебников по теории лопаточных ма- машин, включающих сведения о расчете решеток крыловых про- профилей, соответствующая глава предлагаемой книги (гл. X) со- сокращена. Главы I—III, V, IX, XI—XIII перенесены из четвер- четвертого издания. Поправки к главе VI внес автор этой главы Н. М. Белянин. Главы VIII, X, взятые из предыдущего издания, исправлены мною. Пятое издание книги состоит из двух частей (часть 1 — главы I—IX, часть 2 — главы X—XIV), отвечающих двум се- семестрам при чтении курса прикладной газовой динамики. Большую помощь в подготовке к печати пятого издания ока- оказал В. Д. Захаров. Полезные замечания при чтении рукописи сделал рецензент книги А. Н. Крайко. Всем упомянутым товари- товарищам автор выражает свою признательность. Г. Н. Абрамович ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ В четвертое издание книги внесены небольшие исправления и добавления, относящиеся главным образом к главам, посвя- посвященным теории пограничного слоя, течениям газа в соплах и диффузорах, теории газовых эжекторов, газодинамике крыла и решетки крыльев и магнитной гидрогазодинамике. В этом издании используется система единиц СИ вместо применявшейся в предыдущих изданиях технической системы единиц.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ 9 Поправки к главам VI, IX, X вносили авторы этих глав Н. М. Белянин, А. Я. Черкез и С. И. Гинзбург. При подготовке к печати рукописи четвертого издания автору оказали большую практическую помощь В. Д. Захаров и Д. С. Ковнер. Всем ука- указанным товарищам по работе автор выражает свою призна- признательность. Г. Н. Абрамович ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ В книге излагаются основы газовой динамики в применении к теории реактивных двигателей и других машин и аппаратов. Третье издание книги существенно переработано и допол- дополнено. Современные методы расчета реактивных двигателей, лопа- лопаточных машин, эжекторов, аэродинамических труб и испытатель- испытательных стендов основываются по преимуществу на одномерных представлениях гидрогазодинамики, поэтому одномерным тече- течениям в книге отведено значительное место. Вместе с тем многие вопросы, например определение сопро- сопротивления трения и полей скорости и температуры, построение картины течения в камере сгорания, эжекторе и сверхзвуковом диффузоре, выяснение силового и теплового воздействия выхлоп- выхлопной струи реактивного двигателя на органы управления и дру- другие части летательного аппарата, а также на стенки испытатель- испытательного стенда и т. п., не могут быть разрешены без привлечения дифференциальных уравнений гидрогазодинамики или уравне- уравнений пограничного слоя. В связи с этим в книге значительное внимание уделено основам гидродинамики, теории пограничного слоя и теории струй. За 15 лет, прошедших со времени выхода в свет предыду- предыдущего издания, приобрели большое значение летательные аппа- аппараты с реактивными двигателями новых типов, обеспечиваю- обеспечивающими полет с большой сверхзвуковой (гиперзвуковой) ско- скоростью, выход в космическое пространство и возвращение в плотные слои атмосферы. Это привело к быстрому развитию разделов газовой динамики, в которых изучаются течения раз- разреженного газа, гиперзвуковые течения и движения жидкости и газа в электромагнитных полях; в настоящем третьем издании книги изложены основы также и этих разделов современной га- газодинамики. Ряд важных вопросов (теория сверхзвуковых сопел, диффу- диффузоров, эжекторов и решеток крыльев, использование газодина- газодинамических функций и др.) в новом издании излагается более об- обстоятельно, чем прежде. Появление специальных учебников и
jO ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ монографий по теории лопаточных машин и теории реактивных двигателей позволило исключить из книги эти разделы. Книга составлена как учебник для моторных факультетов авиационных институтов по программе, утвержденной Мини- Министерством высшего и среднего специального образования СССР, и может рассматриваться как учебное пособие также для маши- машиностроительных и энергетических институтов. Автор стремился достигнуть возможно большей наглядности и доступности изложения и в освещении каждого вопроса искал наиболее простых средств. Поэтому некоторые задачи рассмот- рассмотрены дважды: сначала в упрощенной постановке, а затем более глубоко в специальных разделах книги. Для того чтобы сделать книгу доступной инженерам и студентам, не изучавшим кинети- кинетическую теорию газов и электродинамику, даны краткие сведения из этих разделов физики. Несколько разделов этой книги написали: Н. М. Белянин (гл. VI), А. Я. Черкез (§ 6-8 гл. V, § 6 гл. VII и гл. IX), С. И. Гинзбург (гл. X). Автор выражает глубокую благодарность С. О. Апельбауму, А. И. Бунимовичу, А. Б. Ватажину, А. С. Гиневскому, А. Л. Го- Гонору, И. П. Смирновой и А. А. Степчкову за ценные замечания, сделанные ими при просмотре отдельных глав книги. Г. Н. Абрамович
Глава I УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ ЕДИНИЧНОЙ СТРУЙКИ § 1. Уравнения неразрывности Основные уравнения газовой динамики мы введем для эле- элементарной (единичной) струйки газа, поперечные размеры кото- которой настолько малы, что в каждом ее сечении можно считать постоянными все основные параметры потока: скорость, давление, температуру и плотность газа. Именно в таком виде уравнения газовой динамики применяются обычно в теории реактивных двигателей. В тех случаях, когда в пределах поперечного сече- сечения рабочей струи параметры потока меняются (например, не- неодинаковы значения скорости или темпе- температуры), вводится представление о сред- средних по сечению значениях этих величин, и тогда при помощи соответствующих, в большинстве случаев незначительных, поправок удается использовать все урав- уравнения, полученные для элементарной струйки. Метод элементарной струйки лежит в основе гидравлики, поэтому га- вовую динамику элементарной (единич- (единичной) струйки иногда называют «газовой гидравликой». Чтобы получить уравнение неразрыв- неразрывности, рассмотрим стационарное (устано- (установившееся) движение элементарной струй- струйки газа (рис. 1.1). При стационарном движении в любой точке пространства сохраняются неизменны- неизменными по времени скорость движения и состояние газа или жидко- жидкости (плотность, давление, температура). Траектории частиц при таком движении называются линиями тока1). Боковая поверх- поверхность струйки, носящая название поверхности тока, является для жидкости (газа) непроницаемой (векторы скорости течения ка- сательны к ней); образующие поверхности тока являются ли- линиями тока. Рассмотрим некоторый участок струйки между двумя нор- нормальными к поверхности тока сечениями 1 и 2\ заметим, что Рис. 1.1. Элементарная струйка *) При неустановившемся движении линии тока определяются иначе и не совпадают с траекториями частиц.
12 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ в соответствии с указанным на рис. 1.1 направлением движения в объеме 1—2 приток газа осуществляется только через попереч- поперечное сечение 1, а расход газа — только через сечение 2. За бесконечно малый промежуток времени dx выделенная часть струйки переместится в новое положение V—2'. Переме- Перемещение состоит в том, что за время dx заштрихованный объем 1'—2Г вместит газ, вытесненный из области 1—Т', а известное количество газа за то же время вытечет из этого объема и за- заполнит область 2—2'. Приток газа в объем 1'—2 составляет h [кг], A) где pi — плотность газа в поперечном сечении 2, F\ — площадь поперечного сечения 1. Расстояние dl\ между сечениями 1 и Г равно произведению скорости движения на элементарный проме- промежуток времени: dl\ = w\ dx, где w\ — скорость в сечении 2, откуда dG\ = p\W\Fi dx.- Расход газа из объема Г—2 равен, очевидно, dx. При установившемся режиме и отсутствии разрывов сплош- сплошности в движущейся среде приток газа должен равняться рас- расходу: dGi = dG2 = dG. Отсюда после соответствующей подстановки получаем уравне- уравнение неразрывности — закон сохранения массы — для единичной струйки газа при установившемся течении piiviFi = p2w2F2. B) В случае несжимаемой жидкости, т. е. при р = const, урав- уравнение B) принимает более простую форму: wiFi = w2F2i C) которая применима к газовым течениям в тех случаях, когда изменениями плотности газа можно пренебречь. На основании уравнения неразрывности C) по расположе- расположению линий тока в несжимаемой среде можно судить о скорости движения. В местах сгущения линий тока скорость растет; если линии тока раздвигаются, то скорость ладает. При движении газа не всегда можно непосредственно по расположению линий тока определить изменение скорости, так как изменения плот- плотности газа могут быть значительными. В газе, как нетрудно видеть из уравнения неразрывно- неразрывности B), картина линий тока однозначно определяет изменение
плотности тока § 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 13 G представляющей собой произведение плотности газа на скорость, т. е. массовый расход газа через единицу площади поперечного сечения. В местах сгущения линий тока плотность тока увеличивается, а в местах расхождения линий тока — убывает. Уравнение постоянства расхода газа G = pwF = const можно представить также в дифференциальной форме dG = pwdF + wF dp + pF dw. Поделив почленно это соотношение на pwF, получим G ~ w ~Г~ p l F ' KV Уравнение неразрывности, так же как и уравнение энергии, выводимое в § 2 для единичной струйки, широко применяется при расчете газопроводов, гидравлических и энергетических ка- каналов и трубопроводов, реактивных двигателей и различных ап- аппаратов, в которых происходит движение газа или жидкости. В этих случаях под единичной струйкой понимается не часть общего течения, ограниченная поверхностью тока малого сече- сечения, а весь поток жидкости или газа, и используется следующая гидравлическая модель. В каждом поперечном сечении скорость течения относитель- относительно стенок и параметры, описывающие свойства среды (давление, температура, плотность и др.), считаются постоянными и равны- равными соответствующим средним значениям, для определения кото- которых существуют специальные методы (см. гл. V, § 8). Изменения средних величин скорости и параметров среды от сечения к сечению в такой (модели подчиняются одномерным уравнениям «условной» единичной струйки, анализу свойств ко- которой посвящена гл. I. § 2. Уравнение энергии Следуя первому началу термодинамики (закону сохранения энергии), составим баланс энергии в неподвижной системе коор- координат (рис. 1.1), т. е. рассмотрим преобразование энергии в од- одной и той же массе газа, заполнявшей вначале объем 1—2, а через бесконечно малый промежуток времени dx переместив- переместившейся в лоложение 1'—2'. Приращение любого вида энергии равно разности количеств этого вида энергии в положениях V—2' и 1—2. Ввиду того, что заштрихованный объем Г—2 является общим для этих
14 гл. i. уравнения газовой динамики для струйки двух положений, энергия массы газа, заполняющей объем Г—2У при вычитании сокращается1), и приращение энергии измеря- измеряется разностью количеств энергии в бесконечно малых объемах 2—2' и 1—1'. Отсюда следует, что приращение кинетической энергии равно w% — w^ dEK = 2 о х dG; здесь dG — массовый расход газа через поперечное сечение струйки за время dx. Приращение потенциальной энергии (энер- (энергии положения) dE ( — zx)dG, где z2 и %\ — высоты расположения (нивелирные уровни) сече- сечений 2 и i, g— ускорение силы тяжести. Приращение внутрен- внутренней (тепловой) энергии dET=(U2 — Ux)dG9 где U = cv T — тепловая энергия единицы массы газа (произ- (произведение теплоемкости при постояшшм объеме на абсолютную температуру). Если теплоемкость газа в сечениях 1 и 2 одина- одинакова, то прирост внутренней энергии равен dEr = cv(T2 — Tx)dG. На основания выделенной части струйки газа действуют на- направленные внутрь и по нормали к ним внешние силы давле- давления р. При перемещении газа внешние силы давления произво- производят работу. Например, перенос газа из сечения 1 в сечение V происходит как бы под действием поршня площадью F\ с дав- давлением р\. Работа поршня за время dx равна PiF-^w^dx = —dG. Точно так же можно представить себе, что давление р2 на сече- сечение 2 осуществляется поршнем площадью F2. За время dx газ переместит поршень в положение 2, производя отрицательную работу р — p2F2w2dx = dG. Силы давления, действующие на боковую поверхность струй- струйки (поверхность тока), никакой работы не производят, так как они нормальны к траекториям движения частиц газа. Таким об- образом, энергия, внесенная силами давления, равна разности !) Движение газа предполагается, как и в предыдущем параграфе, уста- установившимся.
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 15 между работами поршня 1 и поршня 2: К газовой струйке на участке 1—2 может быть за время dx подведено тепло в количестве dW. Далее газовая струйка за время dx может произвести техническую работу dl, например, приводя во вращение колесо турбины, установленное между се- сечениями 1 и 2. Наконец, следует учесть энергию, расходуемую газом за время dx на преодоление сил трения dZTp. Согласно первому началу термодинамики- подведенные к газу тепловая энергия и работа сил давления расходуются на со- совершение технической работы, работы сил трения, а также на повышение запасов потенциальной, внутренней и кинетической энергии: = dl + rfZTp + g(z2 - Zl) dG + (U2 - Ux) dG + 2 2 * JG, Разделив все члены полученного выражения на dG, приходим к уравнению энергии для единицы массы A кг) газа v р wl — w2 Q + — — — = L + L^ + g(z2 — z1) + U2 — U1+ 2 2 г. E) Здесь введены обозначения: Q = dW/dG — тепло, подводимое к 1 кг газа на участке 1—2, L = dl/dG — техническая работа, со- совершаемая 1 кг газа на том же участке, LTp = dlrv/dG — работа сил трения, приходящаяся на 1 кг газа. Приток тепла в общем случае осуществляется двумя спосо- способами: извне ((?наР) за счет теплообмена через боковую поверх- поверхность струйки, изнутри ((?вн) за счет преобразования в тепло работы трения. Таким образом, Q = <?нар + #вн. F) Вторая часть теплового потока, очевидно, в точности равна энергии, расходуемой газом на совершение работы трения: (?вн = ^Тр. G) Из термодинамики известно уравнение состояния совершен- совершенного газа pv = RTy (8) где R — газовая постоянная, а удельный объем газа и есть
16 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ величина, обратная плотности: v = 1/р. Отсюда 7 = RT- (9) Кроме того, известно соотношение, связывающее теплоемкость при постоянном объеме (,cv) и теплоемкость при постоянном дав- давлении (ср): cP = cv + R. A0) Введем в рассмотрение теплосодержание (или энтальпию) газа, т. е. произведение теплоемкости при постоянном давлении на абсолютную температуру i = cPT. (И) Тогда соотношение A0) примет несколько иной вид i = U + RT, A2) или, на основании (9), j. A3) , Используя выражения F), G) и A3), можно придать урав- уравнению энергии следующую форму: W2 — W2 <?наР — L = g (z2 — гг) -j ^2—L + h — h' A4) Уравнение энергии A4) иногда называют также уравнением теплосодержания. Существенно то обстоятельство, что уравнение теплосодержания не содержит работы трения. В самом деле, по- поскольку энергия, расходуемая на преодоление трения или любого другого вида сопротивления, преобразуется полностью в тепло, а последнее остается в газовой струе, наличие сил трения не может нарушить общий баланс энергии, а лишь приводит к пре- преобразованию одного вида энергии в другой. Обычно в технике приходится 'иметь дело с частными фор- формами уравнения теплосодержания. Так, в большинстве случаев изменение потенциальной анергии пренебрежимо мало в срав- сравнении с другими частями уравнения энергии, и членом g(z2 — z\) пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания имеет следую- следующий вид: Qh*»-L= W\Wl +i2-h. A5) При отсутствии технической работы и теплообмена с окру- окружающей средой, т. е. в случае энергетически изолированного процесса в газе, имеем
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ ч 17 В частности, уравнение A6) определяет движение газа по трубе, если нет теплопередачи через стенки. Согласно сказанному это уравнение справедливо вне зависимости от того, учитываются или нет силы трения. Иначе говоря, изменение теплосодержания (температуры) в энергетически изолированном процессе связа- связано только с изменением скорости. Если скорость газа не ме- меняется, то остается постоянной и температура. Отсутствие влияния сил трения можно объяснить следующим образом. Под действием трения давление вдоль трубы падает, т. е. газ расширяется, и, следовательно, температура должна была бы уменьшаться. Однако работа сил трения преобразуется в тепло; и так как работа сил трения в точности равна теплу, подведенному за счет этой работы, то подогрев компенсирует охлаждение. Вдоль трубы постоянного сечения под влиянием сил трения температура газа в дозвуковом течении даже убывает. Происхо- Происходит это потому, что падение давления сопровождается уменьше- уменьшением плотности газа, а плотность тока остается неизменной: ] = G/F = pw = const. Поэтому скорость газа возрастает, и тем- температура в соответствии с уравнением A6) понижается. При малой скорости движения температура изменяется только за счет теплообмена или в тех местах, где газ проходит через тур- турбину (расходует энергию, LT > 0) или через компрессор (полу- (получает энергию, LK<0). Если изменением скорости и теплообменом можно прене- пренебречь, то уравнение теплосодержания принимает следующую форму: i2-U = -L. A7) Иначе говоря, изменение теплосодержания газа при этом равно механической работе. В колесе турбины температура газа уменьшается: i2 = U-Lr (LT>0), A8) в колесе компрессора температура возрастает h = ii — LK (LR<0). Напомним, что здесь имеется в виду работа L, отнесенная к 1 кг газа. Таким образом, следуя уравнению теплосодержания, мы получаем простые соотношения для расчета температурных пе- перепадов на турбине и компрессоре при малых изменениях кине- кинетической энергии: Vi J A9) ср ср Здесь ср — среднее значение теплоемкости при постоянном дав- давлении на данном интервале температур. 2 г. Н. Абрамович, ч. i
1Й ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ Если скорость изменяется существенно, то расчет лишь не- немного усложнится. Именно: 2 2 i2-h+^^-=-L. B0) Наконец, при изотермическом процессе (J2 = U = const) ме- механическая работа расходуется целиком на изменение кинетиче- кинетической энергии <^L = -L. B1) Режим, близкий к изотермическому, можно получить в много- многоступенчатом компрессоре с промежуточным (между каждой па- парой ступеней) охлаждением газа. Когда технической работы нет, уравнение теплосодержания дает (?нар = h — h -\ в таком виде оно применяется к теплообменным процессам. Возвратимся теперь к энергетически изолированным течениям газа, когда выполняются условия (?нар = 0, L = 0 B3) и уравнение теплосодержания приобретает форму A6). При этом его можно записать следующим образом: i2 + -J- = ix + -J- = i+ J = const. B4) Отсюда нетрудно видеть, что если газовую струю затормозить полностью, то теплосодержание газа достигает максимально воз- возможного значения: i* = i + ?. B5) Получающееся при этом .значение теплосодержания i* мы будем называть полным теплосодержанием, а соответствующую абсо- абсолютную температуру Г* = — B6) ср — температурой торможения. С помощью B5) из уравнения теплосодержания A5) можно исключить скорости; получаем уравнение /1 Т 4* 4* /07\ ЧГнар — Ь = 12 — &!• \?1)
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 19 Итак, температура газа получается равной температуре тор- торможения в том случае, когда скорость течения уменьшается до нуля при отсутствии энергетического обмена с окружающей сре- средой. Пользуясь средним значением теплоемкости, можно вычис- вычислить температуру торможения по следующей формуле: B8) Для воздуха (ср ~ 1005) имеем приближенно Т* « Т + 2010* B9) Например, в воздушном потоке нормальной температуры (Г« « 300 К) при скорости движения w = 100; 350; 1000 м/с полу- получается соответственно температура торможения: Г* ~ 305, 360, 800 К. Следует подчеркнуть, что, согласно уравнению энергии B4) г в энергетически изолированном потоке идеального газа сущест- существует однозначная зависимость между температурой газа Т (теп- (теплосодержанием i) и скоростью течения w. Повышение скорости в таком потоке всегда сопро- сопровождается снижением темпера- температуры независимо от изменения других параметров газа. Если в двух сечениях энергетически изолированного потока одина- одинакова скорость течения, то в них будет одинаковой и темпе- температура газа, какие бы процессы ни происходили в потоке меж- между рассматриваемыми сечения- Рис. 1.2. Диффузор воздушно-реак- ми. При уменьшении скорости тивного двигателя течения до нуля газ приобрета- приобретает одинаковую температуру Г* независимо от особенностей про- процесса торможения и возникающих при этом необратимых потерь. В конце входного диффузора (рис. 1.2) воздушнореактивного двигателя обычно вне зависимости от скорости полета устанав- устанавливается сравнительно малая скорость потока. По этой причине температура воздуха в диффузоре двигателя получается близкой к температуре торможения. Пусть скорость воздуха в конце диф- диффузора W2 = 100 м/с. Тогда температура здесь при различной скорости полета получается из условия 2010 2010 2*
20 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ В нашем случае (w2 = 100 м/с, Т{ = 300 К) Г2«295 + 2010' C0) Результаты подсчета температуры T<i по формуле C0) сведены в следующую таблицу: wu м/с Г*, К т2, к 100 305 300 350 360 355 1000 800 795 Как видим, разогрев воздуха только за счет торможения при большой скорости потока (полета) получается весьма значи- значительным. Уравнение теплосодержания объясняет следующий весьма интересный факт. При течении газа возле твердой поверхности без теплообмена температура последней близка к температуре торможения в газе. Дело в том, что в связи с вязкостью газа возле твердой стенки всегда образуется тонкий пограничный -слой, в котором скорость газа относительно стенки меняется от величины, равной скорости обтекающего потока, до нуля (на стенке). Но раз частицы газа непосредственно возле стенки за- затормаживаются, то при отсутствии теплообмена температура на стенке должна быть равна температуре торможения. Так, на- например, в рабочей части аэродинамической трубы сверхзвуковых скоростей (рис. 1.3), где скорость газа очень велика, его тем- температура Гр.ч должна быть значительно ниже, чем в предкамере, из которой покоящийся газ (Го) поступает в трубу. Например, при скорости в рабочей части wv ч = 600 м/с и температуре тор- торможения в предкамере То = То = 300 К получается темпера- температура в потоке Т* _ Р ч 1 1о1<Г~ р.ч Несмотря на это, как показывают опыты, температура стенки на всем протяжении аэродинамической трубы, включая рабочую часть, остается постоянной и приблизительно равной темпера- температуре торможения: Тст = Г* = const. Температура термометра, помещенного в рабочую часть, также приблизительно равна температуре торможения. Это объ- объясняется образованием у стенок трубы и термометра погранич- пограничного слоя, в котором обтекающий газовый поток полностью за- затормаживается. Таким образом, неподвижный термометр не мо-
§ 2. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 21 жет измерить температуру в потоке газа. По тем же причинам поверхность тел, движущихся с большой скоростью в воздухе, бывает сильно разогрета. Например, поверхность снаряда, вы- вылетающего из орудия со скоростью w = 1500 м/с, за счет обра- образования воздушного пограничного слоя, в котором относитель- относительная скорость полностью гасится, должна была бы иметь тем- температуру (Г*), превышающую на Г* — Т = и;2/2010 = 1125 °С Рис. 1.3. Схема аэродинамической трубы сверхзвуковых скоростей температуру окружающего воздуха. В действительности темпе- температура снаряда меньше полученной здесь за счет теплоизлучения в пространство. При очень большой скорости полета делается невозможным обледенение поверхности самолета. Например, при скорости и; = 900 км/ч B50 м/с) температура торможения на величину Д77 = 2502/2010 == 31 °С выше, чем в окружающей ат- атмосфере. Температура поверхности самолета близка к темпера- температуре торможения, поэтому в данном примере даже при морозе в 20—25 °С обледенения не получится. Истинная температура обтекаемой газом поверхности обычно отличается от температуры торможения. Для определения тем- температуры поверхности пользуются следующей формулой: 2 ^пов = Т + Ф"оТ"« C1) или, для воздуха, 2010' C2) Здесь ф — поправочный коэффициент, который определяется большей частью опытным, а иногда теоретическим путем. При <р = 1 выражения C1) и C2) превращаются в известные уже формулы для температуры торможения. Для дозвукового ско- скоростного самолета приближенное значение поправочного коэф- коэффициента равно 0,8. Для сверхзвуковой высотной ракеты попра- поправочный коэффициент может уменьшиться до значения ср ~ 0,5. Остановимся еще на одном примере из практики. При обте- обтекании выпуклой поверхности в некоторой области вне погранич- пограничного слоя скорость выше, чем в набегающем потоке, и, следова-
22 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ тельно, температура в таких местах ниже, чем в набегающем потоке. Этим объясняется одно явление, иногда наблюдаемое летчиками при пикировании даже на дозвуковых самолетах. Оно состоит в том, что в момент пикирования с большой скоростью часть верхней поверхности крыла скрывается от глаз летчика под пеленой молочного цвета. Как только летчик выходит из пикирования, т. е. скорость резко снижается, пелена исчезает. По-видимому, при этом в слоях воздуха, имеющих повышенную скорость и пониженную температуру, происходит конденсация влаги, которая прекращается при выходе на меньшую скорость, т. е. при более высокой температуре. § 3. Предельная скорость движения газа. Число Маха Рассматривая истечение газа при отсутствии энергетического обмена, нетрудно убедиться в том, что скорость истечения ни при каких условиях не может быть выше некоторой максималь- максимальной величины. В самом деле, из соотношения 2 следует, что максимальная скорость достигается в том случае, когда теплосодержание в потоке равно нулю, т. е. когда полное теплосодержание газа целиком преобразуется в кинетическую энергию Отсюда получим формулу для максимального значения скорости в газе ttW=V2F. C3) Соответствующая приближенная формула для воздуха, выве- выведенная в предположении постоянства теплоемкости (ср«1005), имеет следующий вид: HW « 44,8У Г*7 Если температура торможения воздуха (температура в сосуде, из которого воздух вытекает) близка к нормальной (Г* « «300 К), то максимальная возможная скорость истечения г^тах = 776 м/с. Увеличение максимального значения скорости может быть достигнуто только путем повышения температуры торможения (полного теплосодержания). Для того чтобы перевести газ из состояния покоя в движе- движение со скоростью w, необходимо израсходовать часть его теплосо-
§ 3. ПРЕДЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА. ЧИСЛО МАХА 23 держания, равную — - i* z 2 -I — г. Разделив обе части этого равенства на полное теплосодержание, получим г* — i w2 г* ~~ 2t* # При постоянной теплоемкости это соотношение примет следую- следующий вид: Т* — т_ w2 Т* ~ 2срТ* " Если теперь умножить и разделить правую часть на газовую постоянную R, учесть 'соотношение R = cv — cv и обозначить от- отношение теплоемкостей через к = cp/cv, то получится Т* — Т w2 k—i Т* ~ kRT* 2 * Но, как известно из физики, скорость звука в газе равна1) . C4) Поэтому степень использования теплосодержания газа для полу- получения заданного значения скорости потока определяется отно- отношением скорости потока к скорости звука в неподвижном газе; Т* — Т _ w2 к — 1 Г* - а*2 2 * Отсюда выводится новое выражение для максимальной скорости истечения (Г = 0): ^max = a* Для воздуха (к = 1,4) получаем "W = 2,24а*, т. е. максимальная скорость истечения воздуха не может превос- превосходить скорость звука в неподвижном воздухе более чем в 2,24 раза; при к = 1,2 максимальная скорость газа выше: &Wt = 3,16а*. 1) Эта формула будет выведена в § 1 гл. III.
24 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ Можно тепловой перепад разделить не на полное теплосодер- теплосодержание, а на теплосодержание в потоке; тогда получим Т ~~ kRT 2 " В этом случае скорость потока оказывается отнесенной к скоро- скорости звука в потоке, а не в неподвижном газе: Т*-Т w2 к-1 Отношение скорости потока к скорости звука в потоке при- принято называть числом Маха и обозначать буквой М: М = А C7) Число Маха характеризует степень преобразования теплосодер- теплосодержания в кинетическую энергию потока Т - —2~т ' Число Маха является основным критерием подобия (см. § 7 гл. II) для газовых течений большой скорости. Если М < 1, то течение газа называется дозвуковым, если М > 1, то — сверхзвуковым. Из последнего выражения можно получить расчетную фор- формулу для отношения температуры торможения к температуре в потоке как функцию числа Маха: •у- = 1 + ^- М2. C8) Нетрудно видеть, что максимальное значение числа М (при Т = 0) равно бесконечности. Этот факт объясняется тем, что при достижении максимальной скорости вместе с абсолютной температурой обращается в нуль и скорость звука. Поскольку скорость потока может быть как выше, так и ниже скорости звука, существует и такой режим, когда скорость потока равна скорости 'звука, т. е. М = 1. Этот режим называ- называется критическим] ему соответствует значение температуры в потоке ^. C9) В воздухе (к = 1,4) критическая температура на 20 % ниже температуры торможения. Само значение скорости звука для критического режима отличается от такового для заторможен- заторможенного газа, но также является вполне определенным: D0)
§ 3. ПРЕДЕЛЬНАЯ СКОРОСТЬ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА. ЧИСЛО МАХА 25 откуда Для воздуха R = 287,3, поэтому имеем акр = 1 акр Можно характеризовать степень преобразования теплосодер- теплосодержания в кинетическую энергию еще одним способом, поделив тепловой перепад на теплосодержание при критическом режиме: Т* — т i* — i w2 к — 1 Отсюда с помощью равенства D0) получаем новую формулу для отношения температур в энергетически изолированном газовом течении: Здесь принято обозначение Величину Я, измеряющую отношение скорости потока к крити- критической скорости, будем называть приведенной скоростью. На кри- критическом режиме (w = wKp = акр) Лкр = Мкр = 1. Максимальной скорости потока при Т = 0 соответствует определенное макси- максимальное значение приведенной скорости ^max — Для воздуха (к = 1,4) имеем Лтах = 2,45. Для случая к = 1,2 соответственно А,тах = 3,31. Приведенная скорость, как и число М, может считаться кри- критерием подобия для газовых течений, характеризующим степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию. Данному значению числа М соответствует совершенно опре- определенное значение приведенной скорости. Найдем формулу пе- перехода от числа М к приведенной скорости: 2 2 2 *2 2 9 *2 2 ' a alp a a откуда на основании C9), D0) и D2) получаем •Я2 М2 = "У , ш D5) i-Tqrr^
26 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ ИЛИ D6) В газовой динамике и теории реактивных двигателей приме- применяются оба безразмерных числа — X и М. В одних случаях более простые соотношения получаются при использовании приведен- приведенной скорости, а в других — числа Маха. На рис. 1.4 представ- представлены кривые X ='/(М) для случаев к = 1,4 и к = 1,2. Иногда масштабом скоростей служит максимальная скорость газа wmax. В этих случаях безразмерное уравнение теплосодер- теплосодержания может быть представлено на основании C5) в следующем виде: я 2 1 / Т* — т -Л2. Величину 5 М В Л = D7) Рис. 1.4. Зависимость приведен- приведенной скорости К от числа м называют относительной ско- скоростью газа. Зависимость отношения температуры в потоке к температуре торможения от относительной скорости выглядит так: т __?_ _ А Д2 j* — L 1Y • Покажем в заключение, что уравнению теплосодержания для энергетически изолированной струйки можно придать чисто ки- кинематическую форму. Для этого запишем уравнение B4) в виде и затем умножим все его члены на величину R/cv И. w H ^max Использовав выражения ср = kcv, R = cv — cv и формулу для ско- скорости звука C4), получим соотношение, связывающее текущие значения скорости течения и скорости звука с максимальной скоростью газа: D8)
§ 4. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 27 § 4. Механическая форма уравнения энергии (уравнение Бернулли) Выше мы подробно рассмотрели уравнение теплосодержания. Оно связывало температуру газа со скоростью движения с уче- учетом энергетических воздействий (подвода тепла, технической работы и изменением потенциальной энергии). Такие факторы, как давление и плотность газа, в уравнение теплосодержания не входили. Можно получить иную (механическую) форму уравнения энергии, куда, наоборот, не входит температура газа, а скорость движения связана с давлением и плотностью. В дифференци- дифференциальной форме уравнение энергии E) может быть записано в виде dQ -d(pv) — dL — dLTV = dU + d^- + gdz. D9) Согласно первому закону термодинамики тепло, подводимое к га- газу, может расходоваться только на повышение внутренней энер- энергии и работу расширения (деформации), т. е. dQ = dU + pdu. E0) Вычитая из уравнения D9) равенство E0), получим 2 — dL — dLTV = d ~2—h g dz + d (pv) — p dv. E1) Подставляя в E1) выражение удельного объема (v = ljp), по- получаем ^dL = d^- + gdz + ^- + dLTp. E2) Это есть механическая форма уравнения энергии, или, что то же, уравнение живых сил для единичной струйки. После интегрирования будем иметь 2 7 ^+L^. E3) Выведенное уравнение носит название обобщенного уравне- уравнения Бернулли. Оно выражает скорость движения в функции давления и плотности газа с учетом производимой газом техни- технической работы (L), изменения потенциальной энергии g(z2 — z\) и работы сил трения (?тр). В газовой динамике часто пользу- пользуются упрощенной формой уравнения Бернулли, соответствую- соответствующей режиму, когда отсутствует техническая работа (L = 0), нет гидравлических потерь (LTp = 0) и запас потенциальной энергии не изменяется (z2 = zi). Для этого режима уравнение Бернулли
28 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ запишется в следующей форме: Уравнение Бернулли иногда используется в несколько ином виде. Для этого интеграл разбивается на две части: 2 2 1 2 0 2 2 1 Г dp _ Г dp С dp С dp С dp ^a 110 0 0 Тогда из E4) следует = — + JT = -r + )-f = const- (o6) 0 В этом случае вычисление интегралов ведется каждый раз от абсолютного вакуума до давления, соответствующего заданной скорости потока. Постоянную этого уравнения можно получить, исходя из того, что при расширении газа до абсолютного вакуума достигается максимальная скорость пото>ка. Поэтому уравнению Бернулли можно придать следующий вид: о В тех случаях, когда плотность газа на участке 1—2 элемен- элементарной струйки остается практически постоянной, интеграл в уравнении Бернулли равен 2 C_dp _ J Р " 1 и уравнение Бернулли выглядит особенно просто: 2 2 2 ^1 _|_ __2 1^ — г\ р + 2 ~U' ИЛИ Р2 , "I _ Pi , ^21 /r:ov В такой форме оно применяется в гидравлике идеальной несжи- несжимаемой жидкости. Иногда уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости записывается так: л + р4-А + р4. E9)
§ 4. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 2? В этом случае оно составлено для 1 м3 жидкости. Кинетическую энергию 1 м3 жидкости (pw2/2) называют скоростным напором. Если нельзя пренебречь технической работой, гидравличе- гидравлическими потерями и изменением потенциальной энергии, то обоб- обобщенное уравнение Бернулли для 1 кг несжимаемой жидкости имеет такой вид: _L=^lzjl + g(,2_Zl)+^A + JLTp. F0) Посредством этого равенства можно вычислить, например, ра- работу, которую отдает жидкость колесу турбины (L>0), стоя- стоящему между сечениями 1 и 2, если все прочие члены этого урав- уравнения известны. Для того чтобы пользоваться уравнением Бернулли для сжи- сжимаемого газа, нужно заранее знать термодинамический процесс изменения состояния газа, так как без этого неизвестна зависи- зависимость плотности газа от давления и нельзя взять интеграл 2 —, выражающий работу проталкивания. Вычислим этот ин- 1 теграл для основных термодинамических ^процессов. При изохорическом процессе (постоянный удельный объем, т. е. постоянная плотность), типичном для гидравлики капель- капельных жидкостей, как уже указывалось, '2 I 1 В изобарическом процессе (постоянное давление) 2 J-f=O. @2) Если осуществляется изотермический процесс (постоянная температура), то, согласно уравнению состояния газа (8), р/р — = RT = const, т. е. давление прямо пропорционально плотности газа p = pi/?//?i, откуда 2 Г dp _ рх Г dp _ рг , р2 F3) Предположим теперь, что состояние газа изменяется по идеаль- идеальной адиабате -4- = const; 9k
30 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ тогда п, следовательно, 2 Г dp РГ С dp ft-i F4) Наконец, в политропическом процессе с постоянным показа- показателем политропы (п = const)p/pn = const получим J P - n-lPl [-p-j n—i n F5) Следует отметить, что подводимое к газу тепло непосред- непосредственно не отражено в уравнении Бернулли. Однако оно учиты- учитывается при вычислении интеграла, так как влияет на вид функ- функции р = /(/?), т. е. на характер процесса, по которому изменяется состояние газа. Наибольшее значение в газовой динамике имеет идеальный адиабатический процесс, который предполагает отсутствие тепло- теплового воздействия и работы сил трения. По этой причине при идеальной адиабате энтропия1) газа остается неизменной, т. е. такой процесс является идеальным термодинамическим — изо- энтропическим — процессом. Напомним, что далеко не всякий адиабатический процесс является идеальным. Например, при выводе уравнения теплосодержания мы показали, что наличие трения не нарушает адиабатичности процесса, но процесс с тре- трением уже не может быть идеальным, так как он протекает с увеличением энтропии. Иначе говоря, адиабатичность процесса требует только отсутствия теплообмена с внешней средой, а не постоянства энтропии. Таким образом, адиабатичность совме- совмещается с постоянством энтропии только в идеальном процессе. Если изменением потенциальной энергии можно пренебречь (z\ ~ Z2) и нет технической работы (L = 0), а процесс является идеально адиабатическим, то уравнение Бернуллп на основании E4) и F4) имеет следующий ©ид: 1 K2 1 Cm. к ниже, к — § 7. Pi ft-i (pAk w\ — i F6)
§ 4. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 31 Рассмотрим случай идеального торможения газовой струи, т. е. определим давление р2 = /?*, которое получится, если ско- скорость течения изоэнтропическим путем уменьшится от w\ = w (при этом pi=p, pi = р) до i#2 = 0. Уравнение Бернулли в этом случае дает откуда Используя выражение C4), связывающее скорость звука с пара- параметрами состояния газа, получим формулу для вычисления давления в идеально затор- заторможенной газовой струе, в функции давления (р) и числа М перед торможением: k (^1Г1- F8) Величина р* носит название полного давления. Как и темпера- температура торможения, полное давление является удобной характе- характеристикой газового потока, так как оно связывает сразу два фак- фактора: скорость и давление в потоке; последнее обычно называют статическим давлением. Итак, отношение полного давления к статическому есть функция числа М. Формулу F8) можно получить непосредственно из выраже- выражения D0) для температуры торможения пользуясь соотношениями для идеальной адиабаты k п* / т* \h—i т-W ' <69> Отсюда же получается формула для вычисления плотности
32 ГЛ I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ в идеально заторможенной газовой струе 1 о* / * С помощью функции D2), связывающей температуру торможе- торможения с приведенной скоростью, находим из соотношения F9) за- зависимость полного давления от приведенной скорости k 1- G2) Для плотности идеально заторможенного газа соответственно получим 1 ft —1 Нужно отметить, что истинное давление, которое получается при торможении струи газа, может существенно отличаться от полного давления, определенного по формуле F8). Объясняется это тем, что в действительности торможение струи часто проте- протекает не по идеальной адиабате, а с более или менее существен- существенными гидравлическими потерями. Например, в диффузоре при дозвуковом течении газа уменьшение скорости обычно сопровож- сопровождается вихреобразованиями, вносящими значительные сопротив- сопротивления в газовый поток. При торможении сверхзвукового потока почти всегда образуются ударные волны, дающие специфическое «волновое» сопротивление. Итак, действительное давление в за- заторможенной струе газа обычно ниже полного давления набе- набегающей струи. Вообще, если на участке струи 1—2 наблюдаются потери, то это обязательно приводит к тому, что полное давление в сече- сечении 2 будет ниже полного давления в сечении 1: * * Если ввести безразмерную величину, носящую название коэф- коэффициента сохранения полного давления <т = 4. G4) Pi то чем больше потери, тем ниже значение коэффициента сохра- сохранения полного давления и меньше полное давление в конце рас- рассматриваемого участка струи: pt = ар\. G5)
§ 4. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 33 Можно оценивать потери и по разности полных давлений: G6) На применении уравнения Бернулли основан пневматический способ определения скорости потока, который состоит в том, что в поток вводится насадок (рис. 1.5), состоящий из двух трубок. Открытое отверстие одной из этих трубок A) размещается в но- носовой части насадка (перпендикулярно к потоку), а отверстия второй трубки B) расположены в боковой поверхности насадка (вдоль потока); при дозвуковой скорости замедление струи газа от встречи с насадком проходит без каких-либо потерь, так как трение и вихреобразование возникают уже на боковой поверх- поверхности насадка, т. е. после того, как струя минует область своего полного торможения, размещающуюся перед самым носиком насадка. По этой причине в первой трубке создается давление, почти в точности равное пол- полному давлению набегающего потока; во второй трубке, если ее входное от- отверстие достаточно удалено от носика, устанавливается давление, близкое к статическому давлению потока. Трубки 1 ж 2 сообщаются с манометром, изме- измеряющим давление. Отношение измерен- измеренных давлений Рг _ р* дает возможность по формуле F8) или Рис {5 Схема пневматиче, Gz) вычислить значения числа Маха ского насадка или приведенной скорости потока. Расчеты по этим формулам достаточно точны только для до- дозвукового потока. Объясняется это тем, что при торможении сверхзвукового потока перед насадком возникает ударная волна, пересекая которую газовые струи претерпевают значительные гидравлические потери. Поэтому давление в трубке 1 пневмати- пневматического насадка при сверхзвуковом течении существенно отли- отличается от полного давления набегающего потока, что делает фор- формулы F8) и G2) в этом случае неприменимыми. Нужно заметить, что пользоваться пневматическим насадком можно и для измерения сверхзвуковой скорости, но при этом следует применять специальные расчетные формулы, учитываю- учитывающие волновое сопротивление. Такие формулы мы выведем в дальнейшем. Итак, предельное значение скорости, выше которого нельзя применять формулы F8) и G2) при торможении газового по- потока, равно скорости звука (М = X = 1). Г. Н. Абрамович, ч. 1
34 ГЛ. I. УРАВНЕНИЕ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ Для ускоряющегося газового потока этими формулами можно пользоваться и при сверхзвуковых скоростях, так как увеличе- увеличение скорости происходит обычно без заметных потерь (изоэн- тропически) не только в области М < 1, но и в области М > 1, т. е. полное давление в ускоряющейся газовой струе почти не меняется. В частности, по формулам F8) или G2) вычисляется скорость истечения газа. При этом в сосуде, где газ покоитсяг давление равно полному давлению вытекающей струи р*, а в вы- выхлопном отверстии сопла — статическому да*влению р. Из фор- формулы F8) получим G7) а из формулы G2) » = Т±1 {}-(¦$) !• G8) Отсюда определим скорость истечения w: где k-i 1т (^), G9) ИЛИ где "'кр — «* i — Как нетрудно видеть, расчет скорости истечения более удобно вести по приведенным скоростям, чем по числам М. Истинные значения скорости истечения немного ниже определяемых по формулам G7) — (80), так как некоторых потерь трения избе- избежать нельзя, но погрешность этих формул обычно не больше 1-5%. Кривые зависимости X = f(p*/p) Для случаев к = 1,4 и к = = 1,2 представлены на рис. 1.6. Исследуем с помощью уравнения Бернулли техническую ра- работу компрессора и турбины. В компрессоре полное давление газа увеличивается: р*> р\, а в газовой турбине падает: р2< </?х. Отношение давлений pjp\ в компрессоре соответственно больше единицы, а в турбине — меньше единицы. Для большей наглядности предположим, что работа трения и изменение по- потенциальной энергии отсутствуют и изменение давления в ма~
§ 4. УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ 35 шине идет по изоэнтролическому закону. В этом случае уравне- уравнение Бернулли напишется так: — L w\-w\ ft-1 JL2.I _1 (81) Компрессор или турбина, работающие в таких условиях, носят название идеального компрессора или идеальной турбины. Рис. 1.6. Зависимость приведен- приведенной скорости истечения от отно- отношения полного давления к ста- *»\ тическому давлению в выходном ' ' сечении сопла 0,5 ZS 50 75 100 J*t2S Р Используя равенство F1), введем в выражение (81) полные давления перед и за машиной, исключив из него скорости: f I — — ¦- к ¦ А —1 Р2 к fe-l -1 --3- ft-1 ( — ) k Pi — 1 / \ [ 2 __\ Р± / ft-i ft | откуда но в идеальном адиабатическом процессе имеет место равенство 3*
36 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ с помощью которого после несложных преобразований полу- получается _* Рл к —I 4i -i (82) Итак, в идеальном случае техническая работа может быть определена по изменению полных давлений без учета конкрет- конкретных значений скорости газа до и после машины. Работа, пере- передаваемая газовой турбине, является положительной {р2 *) а подводимая компрессором,— отрицательной Отклонение от идеального изоэнтропического процесса в ма- машине учитывается обычно с помощью дополнительного множи- множителя, представляющего собой коэффициент полезного действия машины. В случае компрессора получим LK = Л- (83) В случае турбины ZT = r,:L. (84) Отношение значений полного давления за и перед машиной я* = ^| (85) 1 будем называть в дальнейшем степенью повышения давления (для компрессора) или степенью понижения давления (для тур- турбины). Уравнение идеальной технической работы можно запи- записать также в следующем виде: Г *zi 1 |[Дж/кг]. (86) Наиболее существенной особенностью технической работы является то, что ее величина, как видно из выражения (86) г прямо пропорциональна начальной температуре газа. Это свой- свойство технической работы лежит в основе рабочего процесса лю- любой тепловой газовой машины. Например, в двигателе внутрен- внутреннего сгорания всегда рабочее тело вначале сжимается, затем подогревается и расширяется. В соответствии с изложенным ра- работа, затраченная при сжатии холодного газа, меньше работы, которую он произведет после подогрева при расширении до пер- первоначального давления. Из разности этих работ, собственно го- говоря, и получается полезная работа, совершаемая двигателем внутреннего сгорания. Г *Lzi ]
§ 5. УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 37 § 5. Уравнение количества движения Согласно второму закону Ньютона элементарное изменение количества движения равно элементарному импульсу силы: d(mw) = Pdx. (87) Здесь Р — сумма проекций на какую-либо ось всех сил, прило- приложенных к телу массы т, w — проекция скорости на ту же ось, dx — время действия силы Р. В таком виде закон Ньютона ис- используется в механике твердого тела. Применительно к потокам жидкостей и газов более удобна несколько иная (гидродинамическая) форма уравнения для ко- количества движения, которую получил впервые Эйлер. Выведем уравнение количества движения в гидродинамической форме. Для этого выделим элементарную струйку (рис. 1.7) и проведем два нормальных к ее оси сечения 1 и 2. Разобьем всю массу жидко- жидкости, заключенную в объеме 1—2, на большое число частей так, чтобы в пределах каждой из них, имеющей массу т, скорость дви- движения w можно было считать по- постоянной, и установим связь меж- между проекциями сил и количества движения на ось х. Согласно уравнению (87) сумма проекций импульсов всех сил, прило- приложенных к массе жидкости 1—2, равняется изменению проекции суммарного количества движения: (88) Рис. 1.7. Элементарная струйка Рассмотрим изменение суммарного количества движения d^mwx за время dx, в течение которого выделенная масса жидкости переместится из положения 1—2 в положение 1'—2\ Предположим, как это мы делали в предыдущих параграфах, что жидкость находится в установившемся движении, тогда ко- количество движения массы Г—2, входящее как в начальное, так и в конечное значение суммарного количества движения, остает- остается неизменным и при вычитании сокращается. Иначе говоря, прирост суммарного количества движения должен быть равен раз- разности количества движения, взятого соответственно для масс 2—2' и 1—1', которые в установившемся движении одинаковы: = (wx2 — wxl) dG. Здесь dG — масса жидкости элемента 1—Г (или 2—2'), wX2, wx\ — проекции на ось х скорости потока в сечениях 2 и 1. Эле-
38 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ ментарная масса dG равна произведению секундного массового расхода жидкости на промежуток времени dx\ dG = G dr. Отсюда d^/riWx =(и?х2 — Wxi) G dx. Величина Gw носит название секундного количества движения. Подставляя полученное выражение в исходное равенство (88), приходим к уравнению количества движения в гидродина- гидродинамической форме (первому уравнению Эйлера), согласно кото- которому сумма проекций всех сил, приложенных к струе жидкости на любом ее участке, равна приращению проекции секундного количества движения на этом участке, или, что то же, произве- произведению секундной массы на приращение проекции скорости: Px=G{wx2-wxl). (89) Аналогичные уравнения можно составить и для двух других осей. Применим уравнение количества движения к прямолинейной струйке постоянного сечения F. Проведем торцовые части кон- контрольной поверхности нормально к направлению потока, причем пусть образующая боковой поверхности струйки параллельна оси х. Скорость потока w направлена в сторону положительной оси х. Составим уравнение количества движения в направлении потока. На контрольную поверхность действуют силы давления, нормальные к ней. Поэтому проекции на ось х сил давления, приложенных к боковой поверхности, равны нулю. Изменение давления на участке между торцовыми сечениями струйки про- пропорционально силе, действующей на выбранный элемент жидко- жидкости. Эта сила, па!раллельная оси х, равна (р\—P2)F. К боковой поверхности приложена сила трения, направленная параллельно потоку, против него: —Ртр. Кроме того, между торцовыми сече- сечениями струйки может находиться какая-либо машина, получаю- получающая от газа техническую работу. Пусть проекция на направле- направление движения силы, с которой действует машина на газ, равна —Р1). Итак, сумма проекций всех сил на ось х равна По уравнению количества движения эта сила должна быть равна изменению количества движения: wl). (90) Если расстояние между сечениями 1 ж 2 бесконечно мало, то уравнение количества движения нужно записать в дифференци- ]) Проекция силы, приложенной газовым потоком к машине, считается положительной.
§ 5. УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 39 альной форме: Gdw + Fdp = —dPTp — dP. Умножив все члены этого уравнения на скорость движения и разделив на массовый расход газа, получим уравнение работы всех сил для цилиндрической струйки, отнесенное к 1 кг газа, dp wdPTV Здесь использовано уравнение расхода в цилиндрической струйке pw = -г: = const. Нетрудно видеть, что стоящие в правой части члены представ- представляют собой работу сил трения — и техническую работу Таким образом, уравнение количества движения для цилиндри- цилиндрической струйки газа легко преобразуется в уравнение Бернулли ^+dLTp. (91) J3 дальнейшем уравнение количества движения для цилиндри- цилиндрической струи газа мы будем применять в следующей форме: dp + pw dw = - ijfi- - ^г-. (92) При отсутствии трения и силового воздействия газа на какую- либо машину дифференциальное уравнение количества движения приобретает особенно простой вид: dp = —pwdw. - (93) Уравнение (93) выражает важное свойство газового потока. При отсутствии внешних сил и сил трения увеличение скорости потока может быть вызвано только уменьшением статического давления, и наоборот, торможение потока в этом случае всегда связано с увеличением давления в нем независимо от характера других процессов, происходящих в потоке, и изменения осталь- остальных параметров газа. В интегральной форме уравнение количе- количества движения для цилиндрической струйки запишется так: Р2 — Р1+ PH> К Щ) F
40 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ или при условии Ртр = 0 и Р = 0: p + pw2 = const. (94) или Итак, в цилиндрической струйке давление может измениться даже в том случае, когда нет трения и технической работы. Для этого достаточно, чтобы изменялась скорость течения, что может быть достигнуто при подводе или отводе тепла. Например, при подогреве газа, в связи с уменьшением его плотности, скорость растет (piM?i =ргм>2), а давление падает. Важная особенность уравнения количества движения состоит в том, что с его помощью расчет действующих сил производится только по состоянию потока, на контрольной поверхности без проникновения в сущность процессов, происходящих внутри этой контрольной поверхности. Поэтому уравнение количества движения позволяет во многих случаях достаточно точно рас- рассчитать гидродинамический процесс, не вникая в его детали. Следует отметить, что эффективность использования уравне- уравнения количества движения зависит в основном от того, насколько удачно выбрана в потоке контрольная поверхность. Рассмотрим несколько примеров применения уравнений коли- количества движения и энергии. Пример 1. Определим гидравлические потери в потоке несжимаемой жидкости при внезапном расширении канала (рис. 1.8). Опыт показывает, что в этом случае струя, выходящая из узкой части канала, не заполняет вначале всего поперечного се- сечения широкого канала, а рас- растекается постепенно. В углах между поверхностью струи и стен- стенками образуются замкнутые то- токи жидкости, причем давление на торцевой стенке 1 по опытам оказывается почти равным стати- статическому давлению на выходе из узкой части канала (р\). При внезапном расширении канала на- наблюдается значительное гидрав- гидравлическое сопротивление, т. е. про- Рис. 1.8. Схема течения при внезапном расширении канала исходит уменьшение полного дав- давления в потоке. Если поместить сечение 2 в таком месте, где поток уже полностью выравнялся, т. е. статическое давление pi и скорость потока w2 по сечению постоянны, то потери будут равны разности полных давлении Полное давление р* в случае движения несжимаемой жидкости опре- определяется совершенно аналогично тому, как это делалось для идеального адиабатического процесса в § 4, т. е. как давление в полностью затормо- заторможенной струе без потерь и в отсутствие технической работы; при z = const,
§ 5. УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 41 согласно уравнению Бернулли для несжимаемой жидкости F0), имеем Таким образом, для несжимаемой жидкости Ар* = Скорости wi ш и?г можно связать уравнением неразрывности = w2F2; изменение статического давления (pi—р2) заранее неизвестно, т. е. полу- получается одно уравнение с двумя неизвестными. Дополнительно можно ис- использовать уравнение количества движения. Учитывая, что участок расте- растекания струи 1—2 имеет не слишком большую длину, силой трения обычно пренебрегают. Тогда уравнение количества движения можно применить в простейшей форме (94): Р\ — рг =' pw2(w2 — w{). Здесь используется постоянство давления в сечении 1, что не является самоочевидным, но, как указано выше, подтверждается опытами. В отличие от уравнения Бернулли, уравнение количества движения дает возможность сразу определить разность значений статического давления, получающихся в потоке при внезапном расширении канала. Если этот результат подста- подставить в уравнение Бернулли, то найдутся и потери полного давления при внезапном расширении канала: Следует обратить внимание на то, что применение уравнения количе- количества движения принесло в данном случае успех благодаря удачному вы- выбору контрольной поверхности 1—2, на которой оказались известными основные действующие силы. Пример 2. Произведем расчет простейшего эжектора, состоящего из сопла А и цилиндрической смесительной трубы В, расположенных в про- пространстве, заполненном неподвижной жидкостью (рис. 1.9). Из сопла по- подается струя, которая подсасывает жидкость из окружающего пространства. Пусть на выходе из смесительной трубы скорость и плотность смеси примерно постоянны. Построим контрольную поверхность из сечений г -¦ 1 и 2, проходящих нормально к по- | В \ току по срезу сопла и срезу смеси- д \ i l тельной трубы, и боковых поверхно- / ; стей, направленных параллельно по- — -f* 1 току. На всей контрольной поверхно- j | сти господствует одно и то же дав- ! ' 'i ление покоящейся жидкости, т. е. ; j главный вектор сил давления равен ) ^ нулю. Если пренебречь силой трения Рис- 19- Простейший эжектор на стенках смесительной трубы, то окажется, что сумма проекций на ось трубы всех сил в пределах контроль- контрольной поверхности 1—2 равна нулю, а следовательно, не должно быть измене- изменения количества движения. Изменение количества движения у активной струи на участке 1—2 Gi(u>2 — ^i)-
42 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ То же у жидкости, подсосанной из окружающего пространства, где она находилась в покое (w = 0): (G2 — Gi)(w2 — 0); суммарное изменение количества движения — G\Wi = 0. Здесь G\, G2 — секундные массовые расходы жидкости соответственно в соп- сопле и на выходе из смесительной трубы, w\ и w2— значения скорости исте- истечения из сопла и смесительной трубы. Отсюда получаем, что расходы жидкости в сопле и на выходе из сме- смесительной трубы обратно пропорциональны величинам соответствующих скоростей С другой стороны, очевидно, что Gn где р — плотность, F — площадь сечения. Сравнивая последние два выра- выражения, приходим к следующей расчетной формуле: Если плотность жидкости в активной струе и в окружающем пространстве одинакова, то отношение массовых расходов жидкости равно отношению диаметров смесительной трубы и сопла: Пример 3. Вычислим силу, действующую на стенки диффузора (рис. 1.10) при отсутствии гидравлических потерь в потоке несжимаемой жидкости. Пусть давление и ско- скорость в сечении 1 перед диффузором постоянны и равны ри wu а в сече- сечении 2 после диффузора также по- постоянны и равны р2, и?2. Уравнение Бернулли, если нет потерь, дает pi + ~2~ = ' Рис. 1.10. К расчету силы давления в диффузоре Из уравения чаем неразрывности полу- полуw2F2 = Gfp. Проведем контрольную поверхность из поперечных сечений 1 и 2 и боко- боковых поверхностей, расположенных параллельно потоку и охватывающих диффузор. Вследствие наклона стенок диффузора сумма проекций на про- продольную ось сил давления, приложенных от стенок к жидкости, не равна нулю (Рлф0). Сумма проекций всех сил на продольную ось, которая получается путем сложения силы Рд с силами давления на торцевые сечения, равна измене--
§ 5, УРАВНЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 43 нию количества движения — p2Fz= G{w2—wx). Производя замену величин wx и р2 с помощью уравнений неразрывности и Бернулли, приходим к следующему выражению для проекции на направ- направление потока силы, действующей на поток от стенок диффузора: Gwn Пусть внешнее давление — рн, тогда проекция на продольную ось силы внешнего давления на дуффузор В итоге получаем следующее значение проекции на продольную ось результирующей силы, которая действует на стенки диффузора: Gw2 F2- В частном случае, когда внешнее давление одинаково с давлением в узком сечении диффузора, эта сила равна Последнее выражение применяется иногда при вычислении силы, действую- действующей на входной диффузор воздушно-реактивного двигателя. Пример 4. Установим взаимосвязь между скоростью полета и ско- скоростью истечения из прямоточного воздушно-реактивного двигателя, схема которого изображена на рис. 1.11. Во входном участке двигателя происхо- происходит преобразование скоростного напора набегающего потока в давление, Рис. 1.11. Схема прямоточного воздушно-реактивного двигателя: е — вход- входное сечение, к — начальное сечение камеры сгорания, w — конечное сечение камеры сгорания, а — выходное сечение сопла т. е. динамическое сжатие воздуха. В камере сгорания подводится тепло, и образующаяся смесь сжатого воздуха с продуктами сгорания нагревается. В выходном сопле нагретые газы расширяются: здесь давление преобра- преобразуется в скоростной напор. Основы теории прямоточного воздушно-реактивного двигателя даны впервые Б. С. Стечкиным в 1929 г.1). 1) Стечкин Б. С. Теория воздушного Техника Воздушного Флота.— 1929.— № 2. реактивного двигателя /J
44 гл. i. уравнения газовой динамики для струйки Наиболее совершенный цикл работы прямоточного воздушно-реактив- воздушно-реактивного двигателя был бы получен в том случае, если бы сжатие воздуха на участке н — к (рис. 1.11) осуществлялось по идеальной адиабате и скорость потока была бы доведена до нуля, подвод тепла в камере сгорания к — ю происходил бы при постоянном давлении, после чего выхлопная смесь расширялась бы в сопле w — а до атмосферного давления также по идеаль- идеальной адиабате. Прямоточный воздушно-реактивный двигатель, работающий по указанному совершенному циклу, называют идеальным. Полное давление в камере сгорания может быть найдено из уравнения Бернулли, которое интегрируется в этом случае с помощью идеальной адиабаты: Г *=i 1 к Р„ / Р* Скорость истечения найдется из аналогичного выражения при ра = t h P I / n* \ ft I M> к- Отсюда мы получаем основное соотношение w2 w2 Рн ~2~ = ра~*- Итак, в идеальном прямоточном воздушно-реактивном двигателе скоростной напор потока в выхлопном отверстии равен скоростному напору полета. Используя это же равенство, получим для идеального двигателя \Pft== Рн1 Р& == Рн) еш>е °ДИН важный результат: т. е. приведенные скорости в выходном отверстии идеального двигателя и в набегающем невозмущенном потоке равны. Отсюда вытекает также и равенство чисел Маха полета и истечения Ма = Мн. Эти соотношения справедливы для идеального двигателя как при до- дозвуковой, так и при сверхзвуковой скорости полета. В реальном двигателе в связи с потерями давления во входном и вы- выходном участках и в камере сгорания скоростной напор па выхлопе ниже скоростного напора полета: ^а 2 ^н 2 По этой же причине число Маха и приведенная скорость в выходном отвер- отверстии имеют меньшие значения, чем в набегающем потоке: Ма < Мн, Аа "^ Ан- Таким образом, увеличение скорости истечения по сравнению со скоростью полета получается не в результате увеличения скоростного напора в двига- двигателе, а за счет уменьшения плотности газа при подогреве. Полученные соотношения приводят к простой расчетной формуле для скорости истечения в идеальном двигателе
§ 6. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 45 где аКр to, якр ь — критическая скорость газа соответственно после и до по- подогрева. Из этой формулы следует, что отношение скорости истечения к скорости полета для идеального двигателя пропорционально корню квад- квадратному из отношения температур торможения, взятых в конце и начале камеры сгорания: Следует подчеркнуть при этом, что температура торможения в начале камеры сгорания может быть подсчитана по формуле D2) как функция температуры в атмосфере и приведенной скорости полета: "* К а температура торможения в конце камеры сгорания определяется расхо- расходом горючего в двигателе и расходом воздуха. § 6. Уравнение моментов количества движения Как известно из теоретической механики, изменение суммар- суммарного момента количества движения относительно какой-либо оси, например оси г/, равно сумме моментов импульсов всех сил, приложенных к телу, z относительно той же оси (рис. 1.12): = My dx. (95) Здесь mwz, mwx — про- проекции количества дви- движения некоторой эле- элементарной массы m на оси z и х; х, z — соот- соответствующие координа- координаты, m(wxz — wzx) — мо- момент количества движения элементарной массы тп относительно оси у. Если движение жидкости является установившимся, то изме- изменение суммарного момента количества движения жидкости, пере- перемещающейся за время dx из объема 1—2 в объем 1'—2', равно разности моментов количества движения в элементарных объемах 2-2' и 1-Г d^m(wxz — wzx) = G [(wx2z2 — wz2x2) — (юх1гг — wzlxx)] dx, (96) где G — секундный расход жидкости. Объясняется это тем, что тмомент количества движения заштрихованной массы Г—2 при вычитании сокращается, так как движение жидкости предпола- тается установившимся. Рис. 1.12. К выводу уравнения моментов ко- количества движения
46 гл. i. уравнения газовой динамики для струйки Подставляя (96) в левую часть равенства (95), получим второе уравнение Эйлера, т. е. уравнение моментов количества движения в гидродинамической форме My = G[(wX2Z2— wz2x2) — (wxizi — wz\xi)\. (97) Аналогичные уравнения могут быть составлены для осей z и х. Согласно второму уравнению Эйлера сумма моментов отно- относительно любой оси всех сил, приложенных к жидкому объему, равна разности моментов относительно той же оси секундных количеств движения выходящей и входящей жидкости. Уравнение моментов количества движения приобретает более простую форму, если ввести полярные координаты1); в этом случае скорости раскладываются на радиальные и окружные составляющие, причем моменты радиальных составляющих ко- количества движения равны нулю. Уравнение (97) при этом имеет вид М = G(wU2r2— Wuiri), (98) где М — ,сумма моментов всех сил, приложенных к какому-либо жидкому объему относительно начала координат, wu — окруж- окружная составляющая скорости. Если сумма моментов всех сил равна нулю (ilf = 0), полу- получим известный закон площадей wur = const. (99) Остановимся на одном примере приложения уравнения момен- моментов количества движения. Пример. Выясним влияние температуры газа перед компрессором на степень увеличения давления в нем. По уравнению моментов количества движения (98) можно найти момент сил, возникающих на колесе компрес- компрессора. Для этого нужно знать окружные составляющие скорости газа за (и?2и) и перед (шщ) колесом, а также расстояния от оси выходящей (г2) и входящей (г\) массы газа. Секундная работа на валу колеса, как извест- известно, равна произведению момента сил на угловую скорость (со), откуда по- получаем для 1 кг газа —L = (х)Aйи2Г2 — Wuir\). Таким образом, работа 1 кг газа на колесе определяется кинематикой потока и угловой скоростью колеса, но не зависит от температуры и давле- давления газа (жидкости) перед колесом. Выше было показано, что работа коле- колеса пропорциональна разности полных теплосодержаний за и перед колесом: Поэтому при постоянных значениях числа оборотов и объемного расхода газа, определяющих кинематику потока, перепад теплосодержаний на ко- колесе не изменяется: г* — г* = const. !) При этом движение предполагается плоскопараллельпым, т. е. траек- траектории частиц суть плоские кривые.
6. УРАВНЕНИЕ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ 47 Следовательно, при постоянной теплоемкости (ср = const) перепад температур торможения на колесе также не изменяется: ДГ* = Г* - 7* = const. Отсюда, пользуясь уравнением работы компрессора в форме (86), заме- замечаем, что степень повышения давления зависит от температуры газа перед колесом: = const. Пусть, например, степень повышения давления в компрессоре на старте \ТН = ТН = 288 К) равна як0; при увеличении скорости полета, влеку- влекущем за собой увеличение температуры торможения перед колесом Г*, степень повышения давления в компрессоре при постоянных объемном расходе и числе оборотов может быть вычислена из условия постоянства работы: fe-1 к Если в первом приближении пренебречь зависимостью коэффициента по- полезного действия компрессора от температуры на входе, то'получится <*-! = • откуда с учетом равенства к + 1 Л« имеем fe-1 Итак, в конечном счете из уравнения моментов количества движения выте- вытекает, что степень повышения давления в компрессоре турбореактивного двигателя падает с увеличением скорости полета. Результаты расчета по этой формуле при стартовой степени повышения давления я*0 = 4 и к = 1,4 представлены в следующей таблице: Мн 0 4 0,5 3,8 1 3,2 1,5 2,75 2 2,3 2,5 2 3 1,75
48 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ Проведенный расчет величины як условен, так как основан на пред- предположении о независимости величины работы от температуры даже при значительном ее изменении. Основное назначение турбокомпрессорного устройства в турбореактив- турбореактивном двигателе состоит в том, чтобы создать в выходном сопле (за турбиной) большее полное давление, чем в диффузоре (перед компрессором): на основании этого должно выполняться неравенство дкятак.с> *• Здесь ак.с — коэффициент сохранения полного давления в камере сгорания (при подводе тепла). Ввиду того что с ростом скорости полета величина лк уменьшается, а величины ят и ок с остаются практически неизменными, при некотором значении скорости полета двигатель перестает удовлетворять последнему неравенству. В разобранном выше случае (л*0 = 4) при л* = 0,5 и ак с =0,95 это неравенство не выполняется уже при значениях и выше. Прирост полного давления в турбокомпрессорном устройстве в целом (рс > рд) зависит также от выбранной температуры перед турбиной, с увеличением которой уменьшается потребный перепад давления в турбине. При некотором значении скорости полета турбокомпрессорное устрой- устройство в целом перестает повышать давление в двигателе, т. е. становится нецелесообразным. На этих скоростях полета работа воздушно-реактивного двигателя обеспечивается сжатием воздуха только за счет скорости наддува. При дозвуковой, околозвуковой и не очень большой сверхзвуковой ско- скорости полета, когда сжатие газа в компрессоре существенно преобладает над расширением в турбине, турбореактивный двигатель сохраняет все свои преимущества перед прямоточным реактивным двигателем. § 7. Энтропия Согласно второму закону термодинамики при реальных не- необратимых процессах, протекающих в конечной изолированной системе, энтропия возрастает, а при обратимых — остается не- неизменной. Математически прирост энтропии dS определяется так: здесь dQ — полное количество тепла, подводимое как извне, так и изнутри (например, за счет работы сил трения), Т—абсолют- Т—абсолютная температура. По первому закону термодинамики E0) dQ = dU+pdv.
§ 7. ЭНТРОПИЯ 49> В случае идеального газа имеем dU = cv dT; отсюда с помощью уравнения состояния (pv = RT) получаем откуда после замены и интегрирования находим S -*.-{¦?-«.'¦??. 2 1 l L или на основании уравнения состояния S2-S1 = cvln-^. A00) Изменение энтропии в идеальном адиабатическом процессе, который является обратимым, равно нулю, так как в этом случае1 p2v\ = pxv\ — puk = const. Всякий реальный процесс для изолированной конечной системы протекает в таком направлении, что энтропия возрастает: S2 — S{> 0. Для того чтобы убедиться в этом на примере идеального газа, перейдем в равенстве A00) от параметров потока к параметрам торможения, используя очевидное соотношение pvh = p*v*k. Выразив удельный объем через давление и температуру 17* = RT* получим ^ -± . A01) ^1 \ 1 2 / В изолированной системе теплообмен с внешней средой отсут- отсутствует (й(?наР = 0) и температура торможения не изменяется: 4 Г. Н. Абрамович, ч 1
.50 гл. i. уравнения газовой динамики для струйки Для такой системы, согласно A01), изменение энтропии 2 # ^ = Rlnf±. A02) Так как полное давление в газовом потоке вследствие потерь падает: * * P2<Pl и соответственно тепло трения имеет всегда положительный внак: dQBB > 0, то энтропия в изолированной системе при необратимом процессе всегда увеличивается. Вводя коэффициент сохранения полного давления, учиты- учитывающий гидравлические потери, о = р2/рг, получим для энерго- энергоизолированного газового потока (без теплообмена и механиче- механической работы) прямую связь между гидравлическими потерями и (приростом энтропии: S2 — Si = —R]nc. A03) В теплоизолированном газовом потоке (dQH3iP = 0) без по- потерь (dQBH = 0) энтропия останется неизменной и при совер- совершении механической работы, несмотря на то, что полное тепло- теплосодержание газа при этом изменяется: — L = г* — h Ф0. Это значит, что в идеальном компрессоре и в идеальной тур- турбине В реальных машинах энтропия рабочего тела всегда изменяется. Пусть отличие реального процесса от идеального учитывается некоторым множителем т Тогда, согласно A01), изменение энтропии S2 — Si = -cv(k - l)ln m. A04) Как в компрессоре, так и в турбине при теплоизолированном
§ 8. РАСЧЕТ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ (ТЯГИ) 51 процессе (<2(?нар = 0) гидравлические потери выражаются в под- подводе тепла к газу (dQBB>0), т. е. в обоих случаях т<11). Поэтому в реальных турбомашинах энтропия возрастает (S2-Sx>0). § 8. Расчет реактивной силы (тяги) Полет реактивного аппарата осуществляется под действием реактивной силы, или, как ее часто называют, тяги, которую сообщает ему струя выходящих газов. Для нахождения вели- величины реактивной силы Р нет необходимости рассматривать де- детально распределение давления по внутренним и наружным стенкам реактивного аппарата. Реактивную силу можно опреде- определить в конечном виде с помощью уравнения количества дви- движения. Совершая полет, тело производит возмущение в окружаю- окружающей среде. Всегда можно выделить некоторую, достаточно боль- большую, например цилиндрическую, область, границы которой вы- выходят за пределы возмущенной части потока (рис. 1.13). На 4- „j J/ Рис. 1.13. Контур для определения реактивной силы боковых границах этой области давление и скорость потока (считаем двигатель неподвижным, а воздух — движущимся со скоростью полета) равны их значениям на бесконечности перед двигателем. Пусть ось х совпадает с направлением полета и является осью симметрии двигателя; спроектируем на ось х сдлы, дей- действующие на двигатель и на поверхность выделенного контура. Так как силы давления в жидкости нормальны к поверхности, то проекции на ось х сил, действующих на боковые поверхности контура, обращаются в нуль. Поэтому уравнение Эйлера (см.. !) И в компрессоре, и в турбине при заданных перепаде температур и начальном давлении конечное давление тем ниже, чем больше гидравли- гидравлические потери. 4*
?2 ГЛ. I. УРАВНЕНИЕ- ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ (90)) запишется так: оо оо оо ^Г J pHdF — J pxdF + P = j (^ - и;,,) dGB + }' wxdGv. 0 0 0 0 Здесь площади, на которые распространяются интегралы, и об- область интегрирования первого члена правой части бесконечны. Сила Р берется со знаком плюс потому, что при выводе формулы (90) предполагалось, что эта сила приложена телом к потоку, а равная ей по велиичне реактивная сила действует на тело, т. е. имеет обратный знак R = — Р\ 0в — секундная масса воз- воздуха, втекающая в контур через сечение F; Gv — дополнительная секундная масса горючего, которая подается в двигатель. Если взять левую торцовую поверхность далеко перед дви- двигателем, то давление на ней постоянно и равно атмосферному (/>н), а скорость потока равна скорости полета (и)я). Кроме того, можно допустить, что в поперечном направлении уже на неко- некотором конечном расстоянии от поверхности двигателя поток яв- является невозмущенным и площадь F, на которую распространя- распространяются интегралы левой части, считать конечной; точно так же конечной будет и область интегрирования в первом члене пра- правой части. Тогда следует написать: F gb Gr pHF — J p±dF + P = J (wx — wn) dGB + j WydGT. 0 0 0 В большом числе случаев возмущение, вызываемое летящим те- телом, настолько незначительно, что в плоскости среза сопла а (вне струи выхлопных газов) давление обтекающего потока мало отличается от давления на бесконечности (/?н). Тогда силы дав- давления на передней и задней торцовых поверхностях контура уравновешиваются везде, кроме участка, соответствующего по- поперечному сечению выхлопной струи {Fa). Скорости потока во всех элементарных струйках, кроме проходящих через двига- двигатель, одинаковы (здесь мы пренебрегаем влиянием трения, вих- вихревых и волновых потерь на наружной поверхности двигателя). Следовательно, изменение количества движения получается только в струе, протекающей сквозь двигатель. Тогда уравнение Эйлера принимает следующий вид: (Рш ~ Pa)Fa + P = G3{wa- wa)+ GTwai откуда получается основная формула для модуля реактивной силы P = GB(wa-wB)+GTwa + (pa-pB)Fa. A05) В этих выражениях wa — средняя скорость истечения. Следует подчеркнуть, что полученное соотношение справед- справедливо только в том случае, если скорость и давление в плоско-
§ 8. РАСЧЕТ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ (ТЯГИ) 53 сти а (за исключением участка рабочей струи) равны в точно- точности их значениям на бесконечности перед двигателем. Кроме того, мы здесь пренебрегаем внешним лобовым сопротивлением двигателя, которое всегда может быть учтено отдельно. На расчетном режиме работы реактивного двигателя давле- давление в выхлопной струе равно давлению окружающего воздуха (/?а = /?н); в этом случае тяга равна изменению количества дви- движения газа, прошедшего через двигатель: P = GB(wa-wn)+Grwa. A06) В воздушно-реактивных двигателях второй член правой части мал, и им часто пренебрегают1), т. е. принимают для воздушно- реактивных двигателей в расчетном случае2) P = GB(wa-wn). A07) Тяга жидкостного реактивного двигателя, в котором не ис- используется атмосферный воздух, определяется для расчетного режима по формуле р =i(Gr + Go) wa A08) или на нерасчетном режиме -pB)Fa. A09) Здесь Go — секундный массовый расход окислителя. Рассмотрим теперь влияние на реактивную силу непостоян- непостоянства давлений в плоскости выходного среза двигателя. Построим эпюру давления и скорости на срезе сопла (рис. 1.14). Для про- простоты остановимся на случае дозвукового истечения. Можно, например, представить себе такое обтекание двигателя, при ко- котором давление вблизи выходного среза понижено, за счет чего местная скорость во внешнем потоке увеличивается. Давление внутри дозвуковой выхлопной струи является примерно таким же, как и на ее границе. Для подсчета реактивной силы воспользуемся основным свойством неравномерных (по величинам полного давления) по- потоков, заключающимся в том, что неравномерность в распреде- распределении скорости исчезает очень медленно, а давление выравни- выравнивается быстро. Так, например, неравномерность в поле давления, возникаю- возникающая при повороте потока, выравнивается на расстоянии 1,5— 2 диаметров прямой трубы за местом поворота, скорость же вы- выравнивается на расстоянии 20—30 диаметров. Этим свойством можно воспользоваться при подсчете тяги. Из опытов известно, 1) Весовая доля горючего в воздухе, проходящем через двигатель, не превышает одного — пяти процентов: &г « @,01 -f- 0,05) GB. 2) Следует особо подчеркнуть, что величина шн есть скорость полета, а отнюдь не скорость во входном отверстии двигателя.
54 ГЛ. I. УРАВНЕНИЕ ГАЗОВОЙ: ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ что если плоскость Ъ отстоит от среза сопла на расстоянии аЬ, большем одного диаметра 'среза (рис. 1.14), то поле давлении уже равномерно. Таким образом, несколько отойдя от среза сопла, мы попадаем в плоскость постоянного давления (рь = Рн)У Рн WH WH I Рис. 1.14. Распределение давления и скорости потока перед и за двигателем в связи с чем можно определить реактивную тягу по формуле1 Остается только найти величину скорости wb, которую имеет рабочая струя в плоскости Ъ (рис. 1.14). Для этого при дозву- дозвуковом истечении можно воспользоваться уравнением Бернулли без учета гидравлических и тепловых потерь, ибо, как ука- указывалось, участок струи, заключенный между плоскостями & и Ь, мал. Рассмотрим в качестве примера случай не слишком большой дозвуко- дозвуковой скорости (М < 1). Тогда по уравнению Бернулли При такой скорости разность давлений (р& — рн) бывает невелика, вслед- вследствие чего мы приняли плотность газа неизменной. Итак, Ра - Рн откуда wh = w, /Ра fH+1' CL О В большинстве случаев при дозвуковой скорости на срезе сопла уста- устанавливается давление, очень близкое к атмосферному, и тогда полагают
§ 8. РАСЧЕТ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ (ТЯГИ) 55 ¦Wb = wa. При сверхзвуковом истечении между плоскостями а и Ъ могут образоваться скачки уплотнения. В этом случае расчет поправки несколько усложняется, но также вполне доступен. Интересна одна особенность прямоточного воздушно-реактивного дви- двигателя: если сохранять неизменной температуру в камере сгорания, то ве- величина реактивной тяги (см. § 5, пример 4) p = < вначале возрастает с увеличением скорости полета, а затем, пройдя через максимум, начинает убывать и при некотором значении скорости падает до нуля. Объясняется это тем, что увеличение скорости полета вызывает рост температуры торможения в начале камеры (^к)» но ПРИ этом Для сохранения неизменной температуры торможения в конце камеры прихо- приходится уменьшать подвод тепла. В том случае, когда температура торможе- торможения в набегающем потоке становится равной предельно допустимой тем- температуре в двигателе (Г* = Г^), подвод тепла приходится прекратить. При этом величина тяги падает до нуля. Из формулы D2) получается сле- следующее условие исчезновения тяги как для дозвукового, так и для сверх- сверхзвукового идеального двигателя: т т JiLijL *l « откуда приведенная скорость полета, при которой идеальный двигатель перестает развивать тягу, равна Повышение давления в прямоточном воздушно-реактивном двигателе достигается за счет динамического сжатия воздуха перед входом в двига- двигатель и в его диффузоре. Такой двигатель, как мы видели, эффективен только при очень большой скорости полета и вовсе не способен развивать Рис. 1.15. Схема турбореактивного двигателя: D — диффузор, К — компрес- компрессор, Т — газовая турбина, А — камера сгорания, В — выходное сопло тягу на месте. Для получения в воздушно-реактивном двигателе достаточ- достаточной тяги на старте и при умеренной скорости полета приходится приме- применять механическое сжатие воздуха. Воздушно-реактивный двигатель с ме- механическим сжатием нашел широкое применение в современной авиации. Наиболее распространенным типом воздушно-реактивного двигателя с ме- механическим сжатием является турбореактивный двигатель (рис. 1.15). В этом двигателе1) воздух засасывается компрессором. После сжатия в !) Подробное изложение теории турбореактивного двигателя см. в кни- книге: Теория воздушно-реактивных двигателей/Под ред. С. М. Шляхтенко.— М.: Машиностроение, 1987.
56 ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ДЛЯ СТРУЙКИ компрессоре воздух поступает в камеру сгорания, откуда смесь разогретого* воздуха и продуктов горения направляется на лопатки турбины. Обычно в турбине используется только часть энергии газов (для получения механи- механической работы, потребной на вращение компрессора). Остальная (свобод- (свободная) часть энергии газов преобразуется в кинетическую энергию вытекаю- вытекающей струи. В случае, если весь избыток давления, имеющийся в камере сгорания, используется на колесе турбины, двигатель перестает развивать реактив- реактивную силу, но при этом мощность турбины превосходит мощность, потреб- потребляемую компрессором; избыток мощности можно использовать, например, для вращения авиационного винта или динамомашины. Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг газа в компрессоре, как показано в § 4, равна Здесь рк, /?д — полные давления соответственно за и перед компрессором, т)* — коэффициент полезного действия компрессора, Г* — температура тор- торможения перед компрессором. Если пренебречь отводом тепла в диффузоре, то можно считать, что у* = 7*. Условимся, как прежде, под степенью повышения давления в компрессоре понимать отношение значений полного давления газа за и пе- перед компрессором • р* Под степенью уменьшения давления в турбине будем по-прежнему понимать отношение значений полного давления за и перед турбиной: * Р*с Величина ?* = л*-л* характеризует избыток давления в сопле. Работа, производимая 1 кг газа в турбине, равна д-1 Ы) ~k -i здесь Т*— температура торможения за турбиной, т]т— коэффициент по- полезного действия турбины. В турбореактивном двигателе работа турбины используется практиче- практически целиком на привод компрессора: LT « LK. Если пренебречь небольшими изменениями газовой постоянной и показателя адиабаты, то будем иметь fe-i •-* откуда < k -I ^c
§ 8. РАСЧЕТ РЕАКТИВНОЙ СИЛЫ (ТЯГИ) 57 Обычно температура заторможенного газа в выходном сопле значитель- значительно выше температуры заторможенного газа в диффузоре (Г* > Г*). Тог- Тогда из равенства работ компрессора и турбины вытекает, что степень уве- увеличения давления воздуха в компрессоре выше степени уменьшения дав- давления в турбине (я* >1/я*), т. е. при г]*т1*« 1 имеется избыточное давление в реактивном сопле двигателя. Это необходимо для того, чтобы скорость истечения из сопла wa и соответственно реактивная тяга были достаточно велики (как на старте, так и в полете). Турбореактивный дви- двигатель развивает обычно значительную стартовую тягу. Существенной особенностью этого типа двигателя является также его малая чувствительность к изменению плотности воздуха. Плотность воз- воздуха, поступающего в двигатель, заметно повышается с увеличением ско- скорости полета, благодаря чему растет массовый расход воздуха в компрес- компрессоре. Мощность, потребляемая компрессором, изменяется пропорцонально массовому расходу; однако последний возрастает одновременно и в турби- турбине. Следовательно, мощность турбины увеличивается пропорционально мощ- мощности компрессора, т. е. баланс мощности сохраняется. Суммарная работа газа в двигателе складывается из работ расширения ъ турбине и в сопле !): Таким образом, как уже отмечалось, после использования некоторой доли энергии в турбинном колесе остальная ее часть (свободная) может быть использована в выходном сопле. Доля работы компрессора (^к/2^) обычно значительно больше по- половины, следовательно, на образование свободной мощности в турбореак- турбореактивном двигателе тратится относительно малая часть располагаемой энергии. Тяга турбореактивного двигателя определяется скоростью истечения из сопла где Если давление за турбиной выше, чем перед компрессором, то приведенная скорость истечения при одинаковых условиях полета у турбореактивного двигателя выше, чем у прямоточного воздушно-реактивного двигателя. Но в последнем возможны более высокие температуры. Поэтому прямоточный воздушно-реактивный двигатель может развивать большие удельные тяги даже при меньших давлениях в реактивном сопле. Однако для увеличения тяги в турбореактивном двигателе можно поместить за турбиной вторую камеру сгорания (так называемую форсажную камеру), в которой газ мо- может дополнительно нагреваться до такой же температуры, как и в прямо- прямоточном воздушно-реактивном двигателе. В этом случае тяга турбореактив- турбореактивного двигателя существенно возрастает. Если пренебречь потерями давления во второй камере сгорания, то приведенная скорость истечения (Яа) сохранит то же значение, что и без форсажной камеры, а скорость истечения (wa) возрастет пропорционально корню квадратному из температуры. 1) Как показано выше, в турбореактивном двигателе всегда выпол- выполняется равенство LT = LK.
Глава II ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 1. Движение жидкой частицы Рассмотрим движение бесконечно малой жидкой частицы,, имеющей первоначальную форму параллелепипеда (рис. 2.1). В отличие от твердого тела жидкая частица при своем движении может сильно деформироваться. Грани бесконечно малой частицы жидкости, имеющей в на- начале движения форму прямого параллелепипеда с ребрами dx, dy, dz, с течением времени могут скашиваться и растягиваться (рис. 2.2 и 2.3). Пусть составляющие скорости движения частицы в точке а (рис. 2.1) суть и, v, w; тогда составляющие скорости в точке Ъ равны ¦ ди , , dv 7_ dx в точке d ди и -J ах, v — dw W -f- ( и в точке е dv x Рис. 2.1. Элементарный параллелепи- параллелепипед в потоке жидкости ди dv 1 dz Скашивание ребра ab частицы за бесконечно малое время dtf которое вызывается разностью компонент скорости в точках а и Ъ (рис. 2.2), характеризуется смещением точки &, равным Относительное смещение или угловая деформация W _ ди 7. пЪ ду
§ 1. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОЙ ЧАСТИЦЫ 59 Скашивание ребра ad приводит к угловой деформации dd' _ dv d ad dx Ввиду того что угловые деформации за время dt незначительны, угол наклона грани можно считать равным тангенсу этого угла. а ъ'_^~—~~~~~~ / - — i_ —*— с/ 'dr d ь a с d С" rt" X X Рис. 2.2. Угловая деформация граней Рис. 2.3. Линейная деформация граней Полное скашивание первоначально прямого угла в точке а в этом случае равно du . dv l ,, а скорость соответствующей угловой деформации ди ди Aа) Индекс z указывает на то, что рассматривается деформация частицы в плоскости ху, перпендикулярной к оси z; в остальных двух плоскостях скорости скашивания координатных углов рав- равны, очевидно, dv , dw dw , ди Используя те же угловые смещения граней частицы, можно определить угловые скорости ее вращения. Поскольку направле- направления вращения ребер аЪ и ad противоположны, средняя угловая скорость вращения частицы в целом около оси z составляет dv ди Для остальных двух осей вращения имеем соответственно ди d
60 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Вектор угловой скорости вращения со, составляющие кото- которого суть со*, (оу и coz, носит название завихренности, или вихря скорости, его величина определяется, очевидно, следующим равенством: 0) = у со* + со* + cof. Bв> Остановимся теперь на линейных деформациях частицы. Ско- Скорости движения точек and (рис. 2.3) в направлении оси х от- отличаются на величину ди т \ ди 7 /qv В связи с этим частица удлиняется за время dt на величину dd" = —r— dx dt. дх Относительное удлинение частицы dd" ди ,. —— = -т- at, ad дх ' а скорость относительного удлинения частицы в направлении оси х равна ди По аналогии, скорости относительного удлинения по другим осям dv dw Удлинение сторон параллелепипеда, изображающего жидкую частицу (рис. 2.1), в общем случае ведет к изменению ее объема* умножая разность скоростей поступательного движения противо- противоположных граней параллелепипеда, определенную по формуле C), на площадь каждой из этих граней, получим скорость изме- изменения его объема за счет линейной деформации в направлении оси абсцисс; составляя подобные выражения для скоростей из- изменений объема по остальным двум координатным осям и сум- суммируя все три величины, найдем полную скорость изменения объема жидкой частицы: dV ди -. -. j dv , л 7 . dw , 7 7 -jf = -fa dx dV dz + -щ; dy dzdx + — dz dx dy = = Ы + ?y + ez) dx dy dz. После деления этого выражения на первоначальный объем жидкой частицы V = dx dy dz, приходим к важной в газовой динамике величине скорости относительного изменения объема
§ 2, УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ 61 жидкой частицы: 6 ^ Т Ил = 8х + гу + 8z# ( ' На основании D) имеем окончательно ды . dv . dw ^ + + § 2. Уравнение неразрывности <6> Выражение, стоящее в правой части равенства F), называ- называется дивергенцией (или расхождением) вектора скорости и обо- обозначается так: 7 ди , ди , dw /Г7Ч где W — скорость. В сплошной несжимаемой среде объем частицы не изменяет- изменяется, следовательно, равенство представляет собой уравнение неразрывности жидкости. Условие постоянства массы жидкой частицы может быть за- записано в следующем виде: G = pF = const. (9) Здесь под плотностью жидкости р понимается предел отношения массы частицы к ее объему ^G dG причем предполагается, что, стремясь к нулю, объем AF стяги- стягивается к некоторой внутренней точке. Продифференцировав по времени обе части равенства (9) и поделив результат на величину G, получим Отсюда на основании E) приходим к уравнению неразрывно- неразрывности для сжимаемой сплошной среды Заменяя полную производную плотности жидкости по времени частными производными и используя G), получаем ди . ди . dw\ до . до , др , до
162 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ В соответствии с правилом дифференцирования произведений это уравнение неразрывности для сжимаемой среды (газа) при- приводится к виду Сумма последних трех членов представляет собой дивергенцию плотности тока pW, поэтому уравнение неразрывности для газа можно записать также в форме -^ + div(pW) = 0. A26) При выводе дифференциального уравнения неразрывности рас- рассматривалось движение отдельной жидкой частицы; такой метод исследования ввел в гидродинамику Лагранж. В другом методе исследования, развитом впервые Эйлером, рассматривается не поведение отдельных частиц, а изменение по времени парамет- параметров жидкости в фиксированных точках пространства; метод Эйлера во многих случаях удобнее метода Лагранжа — ив гид- гидродинамике, и в газовой динамике им пользуются чаще. § 3. О силах, действующих в жидкости Выделим некоторый объем жидкости и рассмотрим его изоли- изолированно от окружающей жидкой среды. Силы, действующие на заданный объем жидкости, могут быть двоякого рода: объемные и поверхностные. Объемные силы при- приложены ко всем материальным частицам, составляющим объем. К объемным силам относятся: сила тяжести, силы магнитные и электрические. Поверхностные силы распределены по поверхно- поверхности выделенного объема. Они возникают в результате воздейст- воздействия окружающей среды на данный объем. Поверхностные силы, в зависимости от того как они направ- направлены по отношению к данному элементу поверхности, подразде- подразделяются на нормальные и тангенциальные. Для того чтобы характеризовать изменение от точки к точке объемной силы АР или поверхностной силы AF, вводят понятие о напряжении, подразумевая под ним предел отношения силы к объему AF (или соответственно к поверхности AS), который достигается при стягивании объема (или поверхности) к неко- некоторой внутренней точке. Итак, напряжение объемной силы в данной точке среды есть о ,. АР dV поверхностное напряжение - ,. AF d? Д5-*0 AS dS
§ 3. О СИЛАХ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ЖИДКОСТИ Силы нормальные действуют как в покоящейся, так и в движу- движущейся жидкости; силы касательные возникают только при дви- движении жидкости, да и то лишь в том случае, когда жидкие ча- частицы деформируются. Для большинства жидкостей, как показывает опыт, справед- справедлива гипотеза Ньютона, согласно которой напряжения пропор- пропорциональны скоростям деформаций. Коэффициент пропорцио- пропорциональности, зависящий от рода жидкости и ее состояния, носит z i Рис. 2.4. Схема сил, действующих на две грани элементарного параллеле- параллелепипеда название коэффициента динамической вязкости или попросту вязкости. Составим уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости для элементарного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz (рис. 2.4). Обозначим компоненты объемного напряжения R буквами X, У, Z, нормальные напряжения, приложенные к граням па- параллелепипеда и параллельные соответствующим координатным осям,— ох, ау, oz, касательные напряжения, лежащие в плоско- плоскости каждой грани,— буквой т с двумя индексами (первый ука- указывает ось, перпендикулярную данной грани, а второй — ось, параллельную направлению напряжения, например т^, xxzi %yz). Заметим, без доказательства, что из условия равновесия парал- параллелепипеда следует равенство моментов сил относительно произ- произвольной оси и равенство касательных напряжений с одинаковы- одинаковыми, но расположенными в обратном порядке индексами: %ху=== Тдо, T&z == Tz#, Tyz =: Tzy. ^loaj По закону Ньютона произведение массы параллелепипеда на его ускорение равно равнодействующей всех сил, приложенных к параллелепипеду. Составим соответствующее уравнение для проекций ускоре- ускорения и равнодействующей силы на ось х. Нормальные напряже-
^54 гл. ii. элементы гидродинамики ния, приложенные к торцовым граням, дают составляющую ^илы: (<*х + —jr- dx) — ox\dydz — —z— dx dy dz. Составляющие силы от тангенциальных напряжений, действую- действующих на боковые и верхние грани: — twx \dz dx = --?- ух + "~^Г d^j ~~ Tv* \Uzx + —^- dzj — xzx\ dy dx = —jj?- dx dy dz. Если компоненты вектора скорости по осям х, у, 2 обозна- обозначить через u, v, w и учесть, что масса частицы dG = p dx dy dz, то уравнение движения вдоль оси х для единицы объема жидко- жидкости примет вид Полную производную скорости в уравнении A36) можно вы- выразить через частные производные: ^^ dt [ dx [ dy x dz v ' Тогда уравнение движения вдоль оси х можно представить в виде Таким же образом можно вывести уравнения движения в на- направлении осей у и z: dv . 5i; . du . du v . ( дтху , ^a?/ . P + P^hPhP^ ^+ —t^" + ""^ H dy ' r ^z ' \ ^ж ' dy ' dz Среднее арифметическое трех нормальных напряжений (среднее нормальное напряжение) <г= у (а^ + °у + az) A5а) не изменяется при преобразовании координат и для невязкой жидкости равно давлению, взятому с обратным знаком. Для дальнейшего удобно выделить из нормальных напряже- напряжений так называемые дополнительные напряжения, определяемые
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 65 из условий <*х = Gx — °"» о'у = Оу — а, A56) o'z = gz — а. Используя эти соотношения, систему дифференциальных уравнений движения можно представить в виде дх 1 у дх + ¦ ду l dz до[, дху.. дх ndw __ 7 да ( ^хг . ^yz_ , d°'z \ РЧГ~^^ ~dz~ + \1Г ~г ~~д1Г ~r dz у Разумеется, в каждом из этих уравнений можно в соответст- соответствии с A3в) в левой части полную производную составляющей скорости заменить частными ее производными, а касательные напряжения с одинаковыми, но переставленными индексами со- согласно A3а) считать равными. § 4. Связь между напряжениями и деформациями Связь между напряжениями и скоростями деформации, как уже указывалось, устанавливается законом трения Ньютона. Касательные напряжения вызывают деформации сдвига (уг- (угловые деформации), определение которых было дано в § 1 этой главы. Так как согласно гипотезе Ньютона в жидкости напряже- напряжения пропорциональны скоростям деформаций, то в соответствии с A) имеем 1ху = где, как уже указывалось, коэффициент пропорциональности jj, есть коэффициент динамической вязкости, зависящий от рода жидкости и ее состояния (температуры, давления). Касательные напряжения в двух других координатных пло- плоскостях суть соответственно (dv . dw \ ,л-7^\ 7 + -^-J = №, A76) dw . du Сложнее обстоит дело с нормальными напряжениями. 5 Г. Н Абрамович, ч 1
66 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Распространяя гипотезу Ньютона о пропорциональности на- напряжений скоростям деформаций на нормальные напряжения и деформации растяжения (сжатия), следует иметь в виду, что растяжение жидкой частицы сопровождается ее поперечным сжатием, т. е. объемной деформацией; иначе говоря, деформация в направлении любой оси вызывается напряжениями, как парал- параллельными этой оси, так и перпендикулярными к ней. Подробный анализ полей напряжений и деформаций, выпол- выполненный двумя разными методами в гидродинамике и в кинети- кинетической теории газов1), позволил установить связь между нор- нормальными и касательными напряжениями, из которой следует, что добавочное нормальное напряжение равно o'x = ox-o = 2ii(sx-je)j, A8) где гХ1 е — относительные линейная и объемная деформации, определяемые соответственно из D) и F). Кроме того, в гидродинамике вязкой сжимаемой жидкости принимается второе обобщение гипотезы Ньютона, согласно ко- которому среднее нормальное напряжение равно сумме двух чле- членов: первый член есть давление, взятое с отрицательным зна- знаком, которое не зависит от скорости объемной деформации, а второй член пропорционален последней: о = — р + це; A9) здесь ц — коэффициент, который можно назвать второй вяз- вязкостью. Знак минус при давлении учитывает, что оно всегда на- направлено внутрь выделенного объема жидкости; значение а при- принято считать положительным, если оно направлено наружу. Итак, согласно A8) и A9), нормальные напряжения выра- выражаются следующим образом: i о у ( 2 ох= — р + 2\кгх + IЛ о" оу=—р + 2ixey + (л — з" v) e> B°) / 2 \ Ог = — Р + 2[A8Z + Л — "о" И' Iе- \ ° J В несжимаемой жидкости е = 0, откуда а = —р, В кинетической теории газов доказывается, что для одно- одноатомного совершенного газа отношение ц/уь должно иметь поря- !) Паттерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.— М.: Физматгиз, 1960; Л о й ц я н с к и й Л. Г. Механика жидкости и газа.— М.: Наука, 4987.
§ 4. СВЯЗЬ МЕЖДУ НАПРЯЖЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ 67 док квадрата отношения объема, занятого молекулами, к объему газа, т. е. является весьма малой величиной, что дает право пренебречь второй вязкостью. Мы будем счдтать это справедливым для всех газов, хотя строгого обоснования такого предположения для многоатомных газов не существует. Для весьма плотного газа (при очень вы- высоком давлении), двухфазного (газо-жидкостного) течения и в других особых случаях допущение т] « 0 заведомо несправедли- несправедливо. Следует заметить, что часто второй вязкостью называют ве- величину % = ц — -о- fi, которая никогда не может быть принята равной нулю, но выпадает из уравнения движения при div W = = 0, так как является множителем при последней. В дальнейшем мы положим ц = 0, т. е. будем рассматривать газ без второй вязкости, тогда нормальные напряжения опреде- определяются следующими выражениями: ох= — р + 2 2 °У = — Р + 2|Л8у — "g- М^> B2) 2 CTz = — Р + 2|182 q- [А?. Из A8) следует, что добавочные нормальные напряжения воз- возникают только в вязких жидкостях, когда \х Ф 0. Подставляя в A8) значения гх и е из D) и F), получим ' _ 2 _^_ _ ^ (ди_ 1—4- —) ^2Я ^ и соответственно для осей у и z ' п dv 2 I du , dv , dw dw 2 I du , dv , dwx ' ^ Для несжимаемой жидкости ^ B4) 1 п dw o В несжимаемой жидкости добавочные нормальные напряже- напряжения связаны со скоростями линейной деформации точно такими же соотношениями, как касательные напряжения со скоростями угловых деформаций. В этом нетрудно убедиться, сравнивая равенства B4) и A7).
68 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ § 5. Уравнения Навье — Стокса Пользуясь формулами F), A7), A9) и B3), можно в диф- дифференциальных уравнениях A4), с учетом ц = 0, т. е. о = —р, заменить напряжения скоростями деформаций. При этом мы получим так называемые дифференциальные уравнения движе- движения вязкой жидкости Навье — Стокса. Например, для движения параллельно оси х ди . ди ди . ди Р —^г + ри —^ г Р^ ~^ г Pw -^— = r dt ' v дх ' v ду ' r dz dp , д \~ ди 2 I ди \1 Г / ди После несложных преобразований в случае неизменного зна- значения вязкости во всей области течения (\х = const) имеем ди , ди . ди ди Р + Р" + РУ + Р"' = 2 ^ (ди до . дш B5) Используя обозначения для оператора Лапласа и дивергенции скорости т \\7 ди . ди . dw div W = ——\- ——\- -j-, дх 1 ду l dz запишем уравнение B5) в более компактной форме: ди . ^w , 5м , 5м и по аналогии для движения в направлении осей у и z dv , 5у . ду 5у р-аг + рц^ + Рг;-%+р";^г = = y--| + ^ + 4^^(divW). B66) dw . dw , дш , дм; P + P" + Pi; + P"; liu^(divW). B6в)
§ 6. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 69 Уравнения B6) называются уравнениями Навъе — Стокса. В векторной форме уравнения Навье — Стокса сводятся к одно- одному уравнению р _^ = R _ grad р + jxAW + 1 [г grad (div W), B7) где R — напряжение объемной силы. В вязкой жидкости имеет место прилипание частиц жидкости к стенкам, ограничивающим течение, поэтому при интегрирова- интегрировании дифференциальных уравнений Навье — Стокса нужно ис- использовать в качестве граничного условия равенство нулю ско- скорости течения у стенки (Ww = 0). В случае несжимаемой жидкости (р = const) последние чле- члены в уравнениях Навье — Стокса B6) и B7) отсутствуют (divW = 0), вследствие чего эти уравнения принимают более простой вид: du v dp . А <28> p ™L = R - grad p + цДW. B9) Решение уравнений Навье — Стокса даже для несжимаемой жидкости представляет собой очень сложную задачу. До сих пор удалось получить точные решения этих уравне- уравнений лишь в некоторых простейших случаях, например для тече- течения вязкой жидкости по прямой трубе — задача Пуазейля; для течения между двумя параллельными плоскими стенками, из ко- которых одна неподвижна, а другая движется,— задача Куэтта; для течения вблизи критической точки — задача Хименца — Хоуарта и др. Задачи гидродинамики вязкой жидкости решаются обычно приближенно путем отбрасывания в уравнениях Навье — Стокса членов, которые в тех или иных конкретных условиях могут быть малы по сравнению с другими членами. § 6. Уравнение энергии Составим дифференциальное уравнение сохранения энергии для движущейся частицы сжимаемой среды. Согласно первому закону термодинамики подведенное к телу тепло идет на повы- повышение его внутренней энергии и на совершение работы дефор- деформации dQ = cvdT + p dv. C0)
70 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Здесь dQ = dQB + dQTV — суммарное количество тепла, подведен- подведенное к 1 кг вещества за счет теплообмена частицы с окружающей средой (dQa) и работы сил трения (d(?Tp), p du — работа сжа- сжатия (деформации), dU = cvdT — внутренняя энергия газа. Для частицы с объемом V = dx dy dz и массой G = pV усло- условие сохранения энергии запишется в следующем виде: dq = dqB + dqTV = Gcv dT + p dV. C1) Здесь dqB — тепло, полученное частицей извне, dgTp — тепло тре- трения, выделяющееся на ее гранях. Тогда секундный поток тепла, приходящийся на единицу объема частицы, равен Если подвод тепла из окружающей среды осуществляется только путем теплопроводности, то через единицу поверхности, согласно гипотезе Фурье, проходит в единицу времени поток тепла 4-igL = -*<?.. C3) F dt дп v ' Здесь % — коэффициент теплопроводности, зависящий от свойств ?кидкости (температуры, давления), dTjdn — градиент темпера- температуры по нормали к поверхности, dqF/dt — секундный поток теп- тепла, F — площадь поверхности частицы. Возвращаясь к элементарному параллелепипеду (рис. 2.4), запишем секундный расход тепла через грань площадью dy dz в направлении оси х Секундный приток тепла через противоположную грань со- составляет Таким образом, увеличение запаса тепла в объеме dx dy dz вследствие притока тепла через указанную пару граней в тече- течение промежутка времени dt составляет ±(x?L)dxdydzdt. Аналогично, приток тепла в направлении осей у и z состав- составляет соответственно д U д? ду \ ду -т— А -т- \dz dx а у dt.
§ 6. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 71 Общее количество тепла, подведенное к частице путем тепло- теплообмена с внешней средой за время dt, равно Найдем теперь количество тепла, поступающее в объем dx dy dz вследствие работы сил трения. Силы вязкости, приложенные к противоположным граням па- параллелепипеда, имеют противоположные направления. Секунд- Секундная работа равна произведению силы на проекцию скорости на направление силы. Например, дополнительные нормальные на- напряжения ох, действующие на гранях площадью dy dz, соверша- совершают за одну секунду работу (при учете только членов первого порядка малости) I — о'хи+ \°'x + j§dx) (и dxdydz. Таким же способом определяется работа, которую производят касательные напряжения хху и тХ2, приложенные к тем же гра- граням, в направлении двух других составляющих скорости (ишю): dJ^l dxdydz, dJ^pdxdydz. Работа нормальных и тангенциальных напряжений, действу- действующих на остальных двух парах граней, рассчитывается анало- аналогичным образом. В итоге получается следующее выражение для суммарной секундной работы сил трения, действующих на по- поверхности параллелепипеда: c (GxU + т*Уи + TxzW ) + "%" (хухП + -^ (ъхи + tzyV + a^)J dx dy dz. C5) Однако не вся работа вязких сил превращается в тепло. Часть этой работы, соответствующая равнодействующей вязких сил, которая вызывает ускорение частицы, расходуется на при- приращение механической энергии частицы. Компоненты равнодействующей вязких сил в направлении осей х, г/, z были определены в § 4 при выводе уравнений дви- движения; работа, совершаемая этими компонентами равнодейству-
72 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ющей сил в единицу времени, очевидно, равна ~Tt [ и\~Ш ~Т~ ду ~т~ dz ) "+" V \ дх "f" ду "^ дг дх.. Вычтя из полной работы C5) работу перемещения частицы C6), получим искомую часть секундной работы вязких сил, трансформирующуюся в тепло: +х) + [ху*дУ- + ау-дТ+Ху*-ду- ди . 'dw\] , , , ^?тр /о7\ gr + azlFjjcfa^dz = -5iB. C7) Если теперь в уравнении C2) величину суммарного секунд- секундного притока тепла dq = dqB + dgTp заменить с помощью C4) и C7), то получим уравнение энергии dT , p dV \ д I* дТ\ . д (* дТ\ . д Л дТ ди>\ , ( ди , ' dv , dw "to + т^ И + Тжг^ 1 / ди . ди <г-ЪЧ)[ Cg) После замены в C7) вязких напряжений их значениями со- согласно A7) и B4) получим тепло трения, выделяющееся за од- одну секунду в элементарном параллелепипеде: dqTXi ~тг C9) где множитель vf. 1 Г/ ' ди . ди , dw \ . ( ди . ' dv . dw ди , dv , 'dw\\ 0\(duY , /^\2 . (dw 5" V j_ (ди j_йц; Y "^"У + 1"Л + "to/ "" 2 /Зм . dv . dw \2 //Л, носит название диссипативной функции.
§ 6. УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 73 Используя определение функции Ф C9) и D0), получаем уравнение сохранения энергии в виде D1а) Преобразуем второй член левой части этого уравнения с по- помощью условия сохранения массы (На): Г d(-L.Y] У dt p dt Idt V dt J- Тогда уравнение энергии можно представить также в сле- следующем виде]): d \г Т 4- р 1 dp м д U дТ ) -и дТ\ , д L дТ Для идеального газа, подчиняющегося уравнению состояния р/р = ДГ, уравнение энергии упрощается, так как Отсюда di p Если коэффициент теплопроводности не изменяется во всей области течения, то имеем уравнение энергии в следующей форме: ^=^4t=d-dJ + ЫТ + уД>. D2) В несжимаемой жидкости второй член левой части уравне- уравнения энергии D1а) равен нулю и, кроме того, ср = cv = с, поэто- поэтому уравнение энергии получается в следующем виде: ^ D3) Диссипативная функция Ф в этом случае также принимает более простую форму, так как последний член правой части D0) равен нулю. j. 1) Здесь U = ^ cvdT = CVT, где Cv — среднее значение теплоем- теплоемкости.
74 гл. п. элементы гидродинамики Для стационарного двумерного (плоскопараллельного) тече- течения уравнение энергии D2) примет следующий вид: дТ , дТ\ I др . др \ . . (д2Т . д2Т ««*V , (9v\2] . (ди . dv\2 2 В некоторых случаях в газовой динамике удобнее пользо- пользоваться другой формой уравнения энергии, которую можно полу- получить с помощью уравнений Навье — Стокса. Умножим первое из уравнений Навье — Стокса A6) на со- составляющую скорости щ второе — на у, третье — на w и сложим почленно все три уравнения. Тогда будем иметь W2 W) [dp P~~di U^ dt ) "i" u \ dx ~r~ dy "*" dz Здесь для простоты отброшена работа объемных сил как не иг- играющих роли в газовой динамике и среднее нормальное напря- напряжение заменено давлением (а = —р). Складывая уравнение D5), отражающее изменение кинети- кинетической энергии, с уравнением D2), учитывающим изменение эн- энтальпии, и используя выражение D0), получаем после некото- некоторых преобразований + ijf (%yxU + Gyv + %yzW} + 4i (XzxU + XzyV + GzW")- Как известно из § 2 гл. I, сумма энтальпии и кинетической энергии называется полной энтальпией (полным теплосодержа- теплосодержанием) W2 i + ^=i*. D7) Подставляя D7) в левую часть уравнения D6) и заменяя с по- помощью (8), A7) и B4) напряжения скоростями деформаций, получаем после преобразований уравнение энергии в таком виде: + -J- [I (W • V) div W + -|- ц (div WJ + 2^fi, D8)
§ 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 75 где о — (^lIL ^1± —\ л_(E1L — — — —\ л. [H]L — _ dv dw \ W ~~ \~ду дх дх ду ) "¦ \ dz дх дх dz ) + \ dz ду ду dz )щ В газовой динамике имеет большое значение (см. следующий параграф) безразмерная величина ?-»¦ носящая название числа Прандтля. Введем это число в правую часть уравнения D8). Для этого прибавим и вычтем член используем D7) и учтем, что при сР = const ср Итак, имеем ^ . D9) Значение числа Прандтля зависит от физических свойств среды. Для газов число Прандтля близко к единице (например для воз- воздуха Рг = 0,72). При Рг = 1 третий член правой части равен ну- нулю и уравнение энергии упрощается: E0) § 7. Гидродинамическое подобие Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнения энергии для подавляющего боль- большинства задач гидродинамики и газовой динамики прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на мо- моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подо- подобия для обтекания натурного объекта и его модели. Первым условием такого подобия является геометрическое подобие, которое выполняется, если размеры всех сходственных элементов модели и натуры отличаются в одно и то же число раз и, кроме того, если сходственные элементы расположены под одинаковыми углами к вектору скорости набегающего потока.
76 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Пусть любой характерный размер модели гм отличается от соответствующего характерного размера натуры гн в kt раз. Тог- Тогда величина ГМ 7 /ГЛ\ — = kt (М) 'и есть линейный масштаб моделирования (рис. 2.5). Кинематиче- Кинематическое подобие течений около модели и натуры выполняется, если Рис. 2.5. Иллюстрация геометрического подобия в сходственных точках, координаты которых пропорциональны: E2) -2L = — = — = —— = к\, х„ у„ zrr гул "н ^н Лн 'н компоненты векторов скорости удовлетворяют условию U н "н "н и оон E3) где Uoo м, Uoo н — скорости невозмущенного набегающего потока соответственно у модели и у натуры на большом расстоянии («на бесконечности») от тела. Величина ки называется кинема- кинематическим масштабом моделирования. Из условия E2) вытекает, что сходственные точки двух те- течений можно определить следующим образом: JL н н E4) т. е. как точки с одинаковыми относительными значениями координат. Точно так же из условия E3) получаем, что в сходственных точках двух кинематически подобных течений, вне зависимости от кинематического масштаба моделирования, безразмерные зна- значения соответственных составляющих скорости одинаковы: Условие динамического подобия двух течений, очевидно, выпол- выполняется в том елучае, когда значения соответственных сил, при- приложенных к модели и натуре, отличаются в одно и то же
§ 7, ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 77 число раз: duM dvM. dwM ~dwn 1 dt kR, E6) Л1хм Л1ум -"zm 7 XH J/H ZH Первое из приведенных равенств содержит проекции сил инерции, стоящие в левой части уравнений Навье — Стокса, вто- второе — сил объемных, третье — сил гидродинамического давления и четвертое — сил трения, сгруппированных в правой части уравнений Навье — Стокса. Коэффициент kR характеризует динамический масштаб моде- моделирования. Из равенств E6) видно, что вне зависимости от мас- масштаба kR динамическое подобие имеет место в случае, если без- безразмерные значения соответствующих сил, приложенных к мо- модели и натурному объекту, одинаковы: V V V V Ам Ан хш хк „ _ _ Рм — RXM _ duM Рн — duH H~df duM duR ' duM duB dt dt dt dt T) T) И Т. Д., И Т. Д. Гидродинамически подобными являются течения, в которых выполняются одновременно условия геометрического, кинемати- кинематического и динамического подобия. Если записать уравнения Навье — Стокса в безразмерном ви- виде, то для двух гидродинамически подобных течений эти урав- уравнения окажутся совершенно идентичными. Приведем к безразмерному виду уравнение Навье — Стокса B5), для чего сначала все величины, входящие в уравнения, выразим в долях соответствующих величин для невозмущенно- невозмущенного течения вдали от тела (и,*, р^, ?«>) и также характерных
78 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ значений времени (to) и размера (I): ( ОО СЮ | ОО и и и Ф— д— д—- и ~оо , и ~оо , II Ф > и 11 ' "">т Р 'Р. Р д±. + р„!« Р К Р W д— д— 5 — " U 11 д~т д~г . E7) а затем разделим на величину и{ инерции для единицы массы: и и и д д д < _Z "оо U Uoo , V "оо W_ пропорциональную силе _ _?/ loo Poo loo 11 Poo .^^ *(+)'. JL i Э u v w д д д — и и и +¦ •т ei Z ¦ E8) Здесь принято, что массовая сила X представляет собой силу земного тяготения, т. е. Х/р = g. Безразмерное уравнение Навье — Стокса E8) содержит сле- следующие безразмерные комплексы: gl 'о"»' ,2 > р=х P<x,'"oo# Очевидно, что для геометрически и кинематически подобных те- течений безразмерные уравнения движения E8) будут одинако- одинаковыми в том случае, если каждый из этих комплексов имеет одно и то же значение для натурного объекта и модели и если в сходственных точках этих потоков относительные значения плотности и значения вязкости одинаковы (р/р«> = idem,
§ 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 79 [Л = idem) л __^ н ___ с 1« "сом "сон E9) Безразмерные комплексы E9) являются, таким образом, критериями динамического подобия для геометрически и кине- кинематически подобных систем. Этим критериям подобия присвоены следующие обозначения и названия: — = Sh — число Струхаля, ut •^r- = Fr — число Фруда, —г = Ей — число Эйлера, — = R — число Рейнольдса. F0) В выражениях F0) индексы опущены, так как в них следу- следует подставлять некоторые характерные значения параметров, которые не обязательно соответствуют их значениям на «беско- «бесконечности». Вспомним, что каждый из критериев динамического подобия был образован делением соответствующей силы на величину, пропорциональную силе инерции; поэтому число Фруда опреде- определяет по существу отношение веса (объемной силы) к силе инер- инерции, число Рейнольдса — отношение силы вязкости к силе инер- инерции, число Струхаля — отношение дополнительной (локальной) силы, вызванной неустановившимся характером движения, к си- силе инерции, число Эйлера — отношение силы гидродинамическо- гидродинамического давления к силе инерции. В несжимаемой жидкости критерий Эйлера не является оп- определяющим, так как в качестве характерного давления р мож- можно взять динамическое давление р^2/2, и тогда Ей — есть по- постоянное число. В сжимаемой среде критерий Ей можно представить с по- помощью известного выражения для скорости звука а2 = кр/р в виде это значит, что в случае газовых течений появляются два допол- дополнительных критерия подобия:
80 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ ЧИСЛО и число Маха значения которых при подобии течений около модели и натуры должны быть соответственно одинаковыми К = &н, Мм = Мн. Выполнить' условия полного динамического подобия при мо- моделировании в общем случае весьма затруднительно. Если мо- модель испытывается в той же среде (вода, воздух и т. д.), в кото- которой работает натуральный объект, и при одинаковом ее состоя- состоянии (р = idem, [x = idem, a = idem), то для обеспечения одина- одинаковых значений каждого из критериев динамического подобия необходимо из условия Fr = idem при переходе к модели изме- изменить скорость прямо пропорционально__корню квадратному из линейного размера (и~У1 или ku = yki), из условия R = idem следует скорость изменить обратно пропорционально линейному размеру (и ~ 1/1 или ки = 1/кг), а из условия M = idem скорость на модели должна быть такой же, как и для натуры. Нетрудно видеть, что одновременное выполнение этих условий невозмож- невозможно. Впрочем, в большинстве случаев добиваться полного динами- динамического подобия и не нужно. Обычно в каждой конкретной гид- гидродинамической задаче часть членов уравнения Навье — Стокса либо равны нулю, либо представляют собой пренебрежимо ма- малые величины. Например, для самолета число Фруда не имеет значения, так как сила тяжести на частицы воздуха, обтекаю- обтекающего самолет, не действует (воздух в воздухе невесом, Х = 0); если к тому же моделируется самолет малой скорости (М < 1), то сжимаемость воздуха не проявляется, т. е. нет необходимости в выполнении условия М = idem; наконец, в случае установив- установившегося движения самолета (t = °°, Sh = 0) отпадает и условие Sh = idem. В рассматриваемом примере достаточно удовлетворить усло- условиям геометрического и кинематического подобий и единственно- единственному условию динамического подобия: R = — =idem. В таком случае число R является определяющим критерием подобия. В частности, при испытании модели такого самолета в аэродина- аэродинамической трубе (при р = idem, \i = idem) необходимо вести ра- работу при скорости потока во столько раз большей скорости поле- полета, во сколько раз натура больше модели (им1м = ин1в, ки = l/kt). При этом будет реализовано так называемое приближенное по-
§ 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 81 добив (по определяющему критерию подобия). Естественно, что масштаб модели не должен быть очень мал, так как потребуется слишком большая скорость потока в аэродинамической трубе, что может привести к таким значениям числа Маха в модельном эксперименте (Мм~1), при которых начнет сказываться сжи- сжимаемость газа, т. е. нарушаться одно из принятых условий (М < 1). Из-за этого хорошая дозвуковая аэродинамическая труба должна иметь относительно большие размеры. Известен способ обойти эту трудность: построить аэродинамическую трубу с вы- высоким давлением воздуха, в которой малый размер модели I при R=(—= idem) частично или полностью компенсируется по- повышенной плотностью воздуха. Выполнения условия R = idem можно также добиться путем перехода к среде с другими физическими свойствами: в некото- некоторых случаях модель испытывают не в воздухе, а во фреоне, ис- используя малую вязкость последнего. Вторым примером реализации приближенного подобия может служить экспериментальное исследование сверхзвукового лета- летательного аппарата с большим сопротивлением давления. В этом примере сопротивление трения (вязкость) играет второстепен- второстепенную роль, т. е. не обязательно выдерживать условие R = idem. По тем же причинам, что и в предыдущем примере, не нужно выполнять условия Fr = idem, Sh = idem, и остается основным определяющим критерием (условием приближенного подобия): М = idem (при к = idem). Это во многих случаях позволяет осу- осуществлять моделирование в сверхзвуковой аэродинамической трубе относительно малых размеров. Остановимся еще на одном примере корабля не очень обтекае- обтекаемой формы, который при своем движении порождает большие волны на поверхности воды. В этом случае сопротивление тре- трения играет второстепенную роль по сравнению с волновым со- сопротивлением (затратой энергии на преодоление силы тяжести воды), и для обеспечения приближенного динамического подо- подобия становится определяющим критерием число Фруда Fr — = —f = idem. При испытании модели корабля в гидроканале скорость ее движения следует принять меньше, чем у натуры,, в корень квадратный раз из отношения линейных размеров. В ряде случаев нельзя добиться приближенного динамиче- динамического подобия, выдерживая постоянство одного критерия подо- подобия. Например, при моделировании хорошо обтекаемого сверх- сверхзвукового летательного аппарата необходимо выдержать посто- постоянство по крайней мере двух определяющих критериев подобия (M = idem, R = idem), так как сопротивления давления и тре- трения у такого аппарата соизмеримы. Для этого приходится 6 Г. Н. Абрамович, ч. i
82 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ создавать сверхзвуковую аэродинамическую труоу сравнительна больших размеров, а иногда и с переменным давлением воздуха в ней. Для приближенного моделирования судна обтекаемой формы требуется выполнить условия: Fr = idem, R = idem. Мож- Можно привести большое число примеров, в которых условия при- приближенного динамического моделирования не сводятся к посто- постоянству одного какого-либо критерия подобия. Перейдем теперь к рассмотрению уравнения энергии. Для приведения уравнения энергии D2) к безразмерному виду отне- отнесем, как и раньше, все значения скоростей к скорости невозму- невозмущенного набегающего потока ^го, все линейные величины — к характерному линейному размеру объекта Z, все давления — к давлению в набегающем потоке /?«>, все температуры — к раз- разности температур набегающего потока (вдали от тела) и стенки тела АГо = ^оо — Tw. Для простоты исследуем уравнение энер- энергии для установившегося режима течения (нетрудно показать, что учет нестационарных членов в уравнении энергии приводит к числу Струхаля, т. е. к критерию, полученному ранее из урав- уравнений Навье — Стокса). Тогда из D2) и D0) имеем •т AT uZ ~ у "^ АГ U Роо р U Роо uZTT W Р и д~Г I ДГ„ + , AT - A+f >(+Г i^L 2 и оо д д V у 2 1 Г д д w у z Т 2— 1" д д я v я х а 2- *-^ 9± ~г д д w X "Г 2 2 3 •-г 0± в^- l-f- 5- и далее, после деления всех членов на общий множитель левой
§ 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 83 части: AT AT AT у Poo J + ¦ Д7\. 4 f и 1 2 2 -г 2 д — д I F1) Здесь АТ = Т—rw — избыточная местная температура (по срав- сравнению с температурой стенки), причем dT = d(AT). Левая часть уравнения энергии отражает конвективный перенос тепла, по- поэтому деление всех членов на размерный множитель левой части означает, что все виды тепловых потоков выражены в долях от конвективного. Тепловое подобие двух процессов осуществляется в том слу- случае, когда оба они описываются одним и тем же безразмерным уравнением энергии. Это условие выполняется при соблюдении: 1) гидродинамического подобия; 2) подобия полей температуры, т. е. равенства безразмерных значений избыточной температуры в сходственных точках двух течений АГ/АГ«> = idem при x/l = idem, y/l = idem, z/l = idem; 3) равенства в обоих течениях значений каждого из следую- следующих безразмерных комплексов уравнения F1): Poo Woo % М'^оо Pwco P0 "роо РрО Эти комплексы целесообразно несколько преобразовать. Так, первый из них представляет собой произведение известного уже б*
84 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ критерия Эйлера на так называемый температурный критерий kR Tx ul 0 = kRTj Так как R = ср — с„, k = cp/cv, kRT^ = a|L, то в (Ь1) ML F2) о Следовательно, температурный критерий, учитывающий отноше- отношение работы сжатия, осуществляемой динамическим давлением, к конвективному тепловому потоку, пропорционален квадрату числа Маха и отношению полной температуры набегающего по- потока к избыточной его температуре. Величина 2 и т1* Т ЛТ* есть прирост температуры при адиабатическом торможении пото- потока, поэтому имеем также ^ F3) Таким образом, температурный критерий равен удвоенному от- отношению прироста температуры при торможении потока к избы- избыточной температуре газа; отсюда ясно, что этот критерий имеет значение лишь при больших скоростях потока. Множитель при втором члене правой части уравнения F1), выражающий отношение тепла, переносимого теплопроводностью, к конвективному тепловому потоку, преобразуем так: ЯМ- 11 Один из его безразмерных сомножителей есть обратная вели- величина известного нам числа Рейнольдса, второй безразмерный со- сомножитель, обратно пропорциональный величине числа Прандтля зависит лишь, как указывалось, от физических свойств среды. Величина 8 = —, которая называется коэффициентом темпера- температуропроводности, имеет размерность коэффициента кинематиче- кинематической вязкости v. Произведение чисел Прандтля п Рейнольдса называют чис- числом или критерием Пекле Ре = i± = PrR. F5)
§ 7. ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ 85 Этот критерий широко используется при моделировании процес- процессов теплообмена. Множитель при третьем члене правой части уравнения F1), представляющий собой отношение рассеивае- рассеиваемого тепла к конвективному тепловому потоку, не приводит к новым критериям, так как равен отношению температурного критерия к числу Рейнольдса: ^оо *2~ i* e F6) cpATQpl cpATQ plUoo R • К сказанному следует добавить, что для среды переменной плотности в уравнениях Навье — Стокса массовые силы суть объемные силы Архимеда, так как по закону Архимеда «части- «частица, окруженная жидкостью отличной плотности, теряет в своем весе столько, сколько весит вытесненный ею объем жидкости». Таким образом, сила Архимеда, приложенная к частице, имею- имеющей объем F, равна Проекции силы Архимеда, отнесенной к единице объема, ко- которые должны быть подставлены в уравнения Навье — Стокса, можно представить в виде X = gx(p — poo), Г = &,(р — poo), Z = g2(p — pTO), где gx, gy, gz — проекции ускорения силы тяжести на координат- координатные оси. Отношение силы Архимеда к инерционной силе, которое должно стоять в этом случае в правой части уравнения Навье — Стокса для оси г/, запишется в виде Относительное изменение объема, а следовательно и плотно- плотности, пропорционально изменению температуры: AV _ Р - Роо = р т _ V р где [} — коэффициент объемного расширения. В идеальном газе при постоянном давлении р/р» — Тоо/Т, т. е. к8 = 1/Гоо, поэтому Безразмерный множитель А^Л 1 Аг = ^— F7)
86 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ называют числом Архимеда; оно имеет значение для гидродина- гидродинамического подобия в том случае, когда перепады температур в газовом потоке велики, а скорости малы. Как видим, критерий Архимеда получается от деления отно- относительного перепада температур на число Фруда. В общем случае (jJ Ф 1/Гоо) Безразмерную величину выражающую отношение силы Архимеда к силе вязкости, назы- называют числом Грасгофа. Итак, для выполнения условий гидродинамического и тепло- теплового подобия нужно, чтобы в модели значения критериев по- подобия: и I числа Рейнольдса: R = -^—, числа Прандтля: Рг =—= —?, Е Л Е —* G0) числа Грасгофа: Gr == V ;/2 температурного критерия: 0 = были такими же, как и в натурном объекте. Для газов должно соблюдаться также равенство значений числа Маха М = — и отношения теплоемкостей СР § 8. Слоистые течения К одному из простых частных случаев точного решения урав- уравнений Навье — Стокса мы приходим в случае так называемых слоистых течений, когда сохраняется лишь одна составляющая скорости, а остальные две всюду равны нулю: и = и(х, у, z, t), v = 0, w = 0.
§ 8. СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ 87 Если массовые силы пренебрежимо малы, то в этом случае урав- уравнения движения имеют вид ди , ди 1 др (д2и д2и д2и\ 1 д (ди а уравнение неразрывности — вид dp д{ри) = q Если, кроме того, ограничиться случаем установившегося течения несжимаемой жидкости (du/dt = O, р = const), то из уравнения неразрывности вытекает неизменность скорости в на- направлении течения ди/дх = О, а из последних двух уравнений движения — постоянство давления в поперечных направлениях: = 0, dp/dz = O. Тогда dp из первого уравнения дви- движения получим ?д\_ д2и Кду2 д: У///////////////////////////////////////////////////////////, Рис. 2.6. Плоскопараллельное течение в канале Пусть слоистое течение вяз- вязкой несжимаемой жидкости является плоскопараллель- плоскопараллельным, причем скорости тече- течения в направлении оси z не изменяются: du/dz = 0. Тогда в пер- первом уравнении движения сохранятся только тангенциальные вяз- вязкие напряжения, действующие в плоскости х, у: огх=0, xzx = 0 и du ,ПЛк tyx = [i^7. G1) Соотношение G1) выражает закон вязкого трения в простейшем виде; дифференцируя G1), получим Ньютона дх.. d2u Тогда первое из уравнений движения примет вид dp d2u 17 ~~ И» TJ dx dy ,2* G2а) Рассмотрим плоскопараллельное слоистое течение вязкой не- несжимаемой жидкости в канале, образуемом двумя бесконечными параллельными пластинами. Если расстояние между пластинами равно 26 и начало коор- координат лежит на оси канала (рис. 2.6), то в качестве граничного
88 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ условия задачи можно принять условие прилипания жидкости к стенке и = 0 при у = ±Ь. G26) Интегрируя дифференциальное уравнение G2а), имеем dp , „ du /ПСк ч •?у + с1 = рщг- <72в) Из условия симметрии следует, что в средней плоскости (у = 0) du/dy = 0, и, значит, С\ = 0. Интегрируя теперь уравнение G2в), получим откуда на основании G26) имеем q = 1 dp ^2 и, следовательно, и = ~т~%№~-&2)- G2г) Скорость течения на оси канала (при у = 0) uo = -4rd<nrb2- <72д> Поделив почленно равенство G2г) на G2д), получим ~k = i~l?* G3a) Из G3а) следует, что безразмерный профиль скорости при сло- слоистом движении жидкости в плоском канале не зависит ни от величины вязкости, ни от величины продольного градиента дав- давления и представляет собой квадратичную параболу. Пользуясь условием постоянства расхода жидкости, можно, исходя из G3а), определить так называемую среднюю скорость течения в канале ь | udy Иср = V" = 1 Вычислим градиент давления вдоль канала. Для этого опре- определим из G3а) вторую производную скорости в поперечном на- направлении
§ 8. СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ 80 и подставим ее значение в G2а) dp 2Уир dx fe2 • Итак, потери давления при слоистом течении жидкости в пло- плоском канале пропорциональны скорости и обратно пропорцио- пропорциональны квадрату высоты канала. Изменение давления на участ- участке конечной длины х ==¦ I равно G4) или в безразмерном виде Ар = _ Р~ Здесь h = 26 — полная высота канала. Заменяя с помощью G36) максимальную скорость на среднюю, получаем известную формулу Дарси Ap = -X-Lpl^>1 G5) в которой коэффициент потерь на трение * = ТГ выражается через число Рейнольдса, определяемое по средней скорости и высоте канала Знак минус в формуле G5) указывает на то, что давление вдоль канала убывает. Вычислив с помощью G3а) значение поперечного градиента скорости у стенки (у = Ь), найдем из G1) напряжение трения у стенки 2\iu 6иы„Л *» = - "IT2 = - Л22. G8) или в безразмерном виде = Тц7 == _. 12^1 = _ il /79) р^ср р%г л 2 Величина С/ называется коэффициентом поверхностного трения. Значения xw и с} можно определить и непосредственно из G5),
90 гл. ii. элементы гидродинамики если учесть, что сила разности давлений, действующая на стол- столбик жидкости высотой h и длиной Z, должна уравновешиваться силой трения, приложенной к стенкам *): tw2l = Aph. Отсюда о тю = 4-Д/>4-==--ГР^?' (80) т. е. Дифференциальное уравнение G2а) описывает также слои- слоистое течение между двумя параллельными стенками, из которых одна движется в своей плоскости со скоростью С/, а другая не- неподвижна (течение Куэтта). § 9. Уравнения движения идеальной жидкости Анализ уравнений движения Навье — Стокса, проделанный Прандтлем еще в 1904 г., показал, что в случае жидкости малой вязкости (вода, воздух и т. п.) при достаточно больших значе- значениях числа Рейнольдса влияние вязкости сказывается лишь в тонком слое, прилегающем к поверхности обтекаемого тела,— пограничном слое 2). Вне этого слоя роль вязкостных сил ока- оказывается настолько малой, что соответствующими членами в уравнениях Навье — Стокса B6) или B7) можно пренебречь. В таком случае получим уравнения движения идеальной сжимаемой жидкости (идеального газа) ди . ди . ди . ди v dp dv лг dp или, или, о dv dw в векторной наконец, <: 4- и ди dw форме, t Э\Л7 + f + f J\\7 Щ It •v) dv dw = R W = (82a) ^gradp. (826) 1) Профиль скорости в поперечном сечении стабилен и плотность жидкости неизменна, а следовательно, суммарное количество движения вдоль ще/ли постоянно. 2) Подробнее о пограничном слое см. гл. VI.
§ 9. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ «ЖИДКОСТИ 91 Так как во многих случаях при этих условиях теплопередача существенно проявляется тоже лишь в пограничном слое, то в остальной части газового потока согласно уравнению энергии E0) и, в частности, при установившемся движении i* = const. (84) Но в отсутствие трения и теплообмена в газе осуществляется идеальный адиабатический процесс, в связи с чем вместо урав- уравнения энергии можно использовать уравнение идеальной адиабаты -4- = const. (85) Уравнение энергии может быть также записано в виде * ^ (856) w2 w где е = U + ~2 полная (внутренняя + кинетическая) энергия единицы массы движущегося газа. Правая часть уравнения (856) представляет собой работу сил давления. В случае, если жидкость является идеальной и несжимаемой (р = const), задача интегрирования уравнений движения (81) сильно упрощается. На это указал впервые еще Эйлер, чье имя носят уравнения движения (81). Аналитические методы реше- решения уравнений движения идеальной жидкости получили боль- большое развитие, и в настоящее время изучено множество случаев обтекания тел (крылья, решетки крыльев, тела осесимметричной формы, всевозможные каналы и т. п.). Из совокупности работ этого направления образовалось важное направление современ- современной механики — классическая гидродинамика. В сочетании с теорией пограничного слоя гидродинамика идеальной жидкости стала мощным средством решения задач аэродинамики самолета, гидродинамики корабля, механики дви- движения жидкости по трубам и многих других. Например, в случае обтекания тела плавной формы при больших значениях числа Рейнольдса пограничный слой на- настолько тонок, что распределение давлений по поверхности тела определяется в первом приближении из уравнений движения идеальной жидкости. Далее, как будет показано в гл. VI, по из- известному распределению давлений можно рассчитать погранич- пограничный слой и найти напряжения трения у поверхности. При необ- необходимости можно во втором приближении рассчитать влияние пограничного слоя на внешнее обтекание тела (за пределами слоя) и затем определить более точно напряжения трения. Но
92 гл. ii. элементы гидродинамики часто к расчету второго приближения не прибегают, так как первое приближение дает удовлетворительные результаты. Особенно простой вид имеет решение уравнений движения (81) в случае безвихревого движения идеальной жидкости, ког- когда завихренность равна нулю (см. выражения B)), т. е. +-Mi-?)-<>• <¦*» 1 / dv ди\ А @2 = —- — — = 0. 2 2 \дх ду I Из условий (86) следует, что существует некоторая функция ф, частные производные которой по координатам #, г/, z равны со- соответствующим компонентам скорости, т. е. дф d(p дф dx ' ду dz Действительно, подставляя эти значения в (86), получаем тождества dm dv д2(р д2(р А _— ' J_ Г)ИТ Я ду dz dzdy ду dz ~ д* Функцию ф принято называть потенциалом скорости, а безвих- безвихревое движение — потенциальным. Заменим в левой части первого из уравнений (81) полную производную скорости суммой ее частных производных и приба- прибавим к ней равную нулю сумму dv dw dv dw dx dx dx dx Тогда это уравнение приводится к виду ди . 1 dW2 o/ N v I dp /Q7 ч ~dt + Т-^Г - 2 (™* - W^ = X p-S" (87a) где W = 1/u2 + v2 + w2 — полная скорость течения жидкости. Аналогичным путем можно преобразовать уравнения движе- движения по остальным двум координатным осям: dv . 1 dW2 o/ \ v * дР о (О /О) dw , 1 dW2 o/ N rr 1 dp v Система уравнений (87) называется уравнениями Ламба — Громеко. Если существуют потенциал скорости ф, потенциал
§ 9. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ 93 объемных сил О: дф дф дф а также некоторая функция Р(х, у, z, t), удовлетворяющая ус- условиям dP__J_dp_ дР__±_др_ дР _ 1 др дх ~~ р дх ' "ду" ~~ р ду ' dz ~~ p dz ' то уравнения (87) записываются так: дх [ dt ) + 2 дх ~~ дх дх' д L @!L\ и L ^1 д® дР dz \ dt ) ' 2 dz dz dz* Здесь использовано условие независимости смешанной производ- производной от порядка дифференцирования ди д fdcp \ д (dm \ — = — —— = — I -т— и т. д. dt dt \dx ] дх \ dt J Согласно (88) производные от комбинации по х, у и z равны нулю. Значит указанная комбинация являет- является функцией только оставшейся переменной — времени t. Это приводит нас к так называемому интегралу Лагранжа: где C(t)— произвольная функция времени. Так как по определению Р-$Ц; (906) то интеграл Лагранжа можно представить в следующем виде: Г + ?+! = » + С@- (90-) В случае установившегося движения (dy/dt = 0, C(t) = const) имеем
94 гл. п. элементы гидродинамики Если жидкость баротропна, т. е. плотность является однозначной функцией давления, то интеграл (906) всегда может быть вычислен; при установившемся движении несжимаемой жидко- жидкости (р = const) интеграл Лагранжа выглядит так: -J- + \ = Ь + const. Важной особенностью интеграла Лагранжа является то, что он справедлив во всем пространстве, заполненном жидкостью. Если потенциала скорости не существует, т. е. движение яв- является вихревым, то уравнения движения идеальной жидкости (81) также можно проинтегрировать, но только вдоль линии тока и при условии установившегося движения. При установившемся движении элементарное перемещение частицы вдоль линии тока ds = W dt или в проекциях на коор- координатные оси х, у, z dx = u dt, dy = v dt, dz = w dt. Умножим теперь каждое из уравнений (81) на соответствующую проекцию элементарного перемещения вдоль линии тока и сло- сложим эти три уравнения: и du + v dv -j- w dw = = Xdx + Ydy + Zdz - f—d/-dx + —^dy + — Ц- dz). Левая часть данного уравнения есть полный дифференциал от (W2/2). Если существует потенциал силовой функции (dd = = X dx + Y dy + Z dz) и жидкость баротропна l-?-=dPL то это уравнение можно записать в виде р?) = ЙО — dP. После интегрирования приходим к известному интегралу Бернулли w2 Р + ^- = ft + const, или J — + -5 Ф = const. Если силовое поле обусловлено только земным притяжением и ось z направлена вертикально вверх, то проекции силы, дейст- действующей на единицу массы, равны
§ 10. ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 95 В таком случае интеграл Бернулли принимает уже известную из гл. I форму — + -х- + 8Z — const, (91) или для несжимаемой жидкости — + -Т5~ + gz = const. (91a) Напомним еще раз, что в отличие от интеграла Лагранжа интег- интеграл Бернулли справедлив только вдоль линии тока, т. е. значе- значение константы в правой части (91) для разных линий тока неодинаково. Лишь в случае установившегося потенциального течения интеграл Бернулли переходит в интеграл Лагранжа и делается пригодным для любой точки пространства. § 10. Плоские установившиеся движения идеальных жидкости и газа Плоские (двумерные) установившиеся движения идеальной сжимаемой жидкости описываются следующей системой диффе- дифференциальных уравнений: уравнениями движения ди ди др dv , dv dp pu -z f- pi; -r— = — -г— r дх ' r ду ду (здесь объемные силы опущены), уравнением неразрывности д (ри) д (ру) n K. Q4 —т -z—- = (J, , (УО) дх ' ду х 7 уравнением идеального адиабатического процесса (вместо урав- уравнения энергии) _| = const. (94) В несжимаемой жидкости (р = const) уравнение (94) отпа- отпадает, а уравнение неразрывности упрощается: ди , dv ^ Если существует потенциал скорости ф, то d(p d(p /ГкГ ч fe = "' w = v- (95а) Подставляя (95а) в (95), получаем для потенциала скорости
96 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ уравнение Лапласа <9561 к решению которого и сводится задача построения плоскопарал- плоскопараллельного потенциального потока идеальной несжимаемой жидко- жидкости. При этом используется граничное условие непроницаемости для жидкости твердой границы обтекаемого тела Wnw = О, т. е. равенство нулю около стенки нормальной к ней составляющей вектора скорости. При движении вдоль линии тока частица жидкости за время dt проходит путь dS = W dt или в проекциях на координатные оси dx = u dt, dy = u dt. Исключая отсюда время, получаем урав- уравнение линии тока dx dy ИЛИ udy—vdx = 0. (96) Как известно из математики, если выполняется равенство ди ди Ту = ~"дх~' то левая часть уравнения (96) представляет собой полный диф- дифференциал некоторой функции г|)(#, у). Для потенциальных те- течений несжимаемой жидкости это условие, как следует из урав- уравнения неразрывности (95), всегда выполняется. Таким образом, дифференциальное уравнение линии тока можно записать следующим образом: dty = udy — v dx = О, или (96а) t|)(#, z/) = const. Функция 1|), значение которой вдоль линии тока сохраняется по- постоянным, называется функцией тока. Составляющие скорости можно, согласно (96а), выразить как частные производные от функции тока Если подставить (97) в уравнение неразрывности (95), то оно обратится в тождество дх ду ду дх Физический смысл функции тока очень прост. Проведем в пото- потоке две близкие линии тока через произвольные точки 1 и 2
§ 10, ПЛОСКИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ 97 (рис. 2.7). Нетрудно видеть, что объемный расход жидкости в плоском течении между соседними линиями тока равен dV = udy — v dx = di|). Таким образом, 2 V = j (и dy — и dx) = \|) (#2, у2) — г|) (а^, г/х), 1 т. е. секундный объемный расход жидкости, протекающей между линиями тока 1 и 2, равен разности значений функции тока на этих линиях. Ввиду непроницаемости линий тока для жидкости значение функции тока на каждой линии тока постоянно. Сравнивая (97) и (95а), мы видим, что семейства линий то- тока (г|) = const) и линий равного значения потенциала скорости (ф = const) образуют ортогональную сетку кривых. Если известны два каких-либо плоскопараллельных устано- установившихся течения идеальной несжимаемой жидкости, т. е. для каждого из этих течений известны величина и направление скорости в каждой точке плоскости, то можно построить новое результирующее те- течение, которое возникнет в резуль- результате наложения этих двух известных У х Рис. 2.7. К определению рас- расхода жидкости между сосед- соседними линиями тока Результирующий поток Рис. 2.8. Графическое сложение потоков течений. Для этого в каждой точке плоскости нужно построить векторы скорости каждого из двух известных течений. Сумма этих векторов представляет собой вектор скорости нового резуль- результирующего течения. Дадим простой способ графического определения линий тока результирующего потока по линиям тока накладываемых пото- потоков. Для этого нанесем на чертеж линии тока двух каких-либо плоских потоков (рис. 2.8). Пересечение этих линий тока образует сетку. Линии тока надо вычертить так, чтобы стороны клеток 7 г. Н. Абрамович, ч. 1
98 гл. ii. элементы гидродинамики этой сетки изображали в определенном масштабе векторы скоро- скорости накладываемых потоков в данной точке 1). Тогда для полу- получения линий тока результирующего потока достаточно соеди- соединить между собой последовательные точки пересечения линий тока накладываемых потоков, т. е. провести диагональ в каждой клетке сетки. Эти диагонали изображают в том же масштабе векторы скорости результирующего потока в соответствующих точках (рис. 2.8). В случае сжимаемой жидкости (газа) уравнения (92) —(94) удобно преобразовать, вводя в них скорость звука а = У dp/dp. Для этого уравнение неразрывности (93) представим в виде и выразим градиенты плотности через градиенты давления и скорость звука: dp __ dp др _ 1 др др _ dp_ др_ _J_ др_ Тх ~~!рдх'~'^дх~' ду ~~Tp!ty~~~?!hj' Выражая в (99) градиенты давления с помощью (92) через ско- скорости, получим до р { ди . ди\ др р / dv . ди\ /ПП ч дх а2 ^ дх 1 ду у ду а2\ дх дУ) Подставляя (99а) и (95а) в уравнение неразрывности (98) г имеем {а2 _ И2} Лр _ 2uv -^ + (а2 - i;2) ** = 0. A00) V ' дх2 дхдУ ду2 Мы вывели основное дифференциальное уравнение гааовой ди- динамики для плоского потенциального установившегося течения. В частном случае малых скоростей движения газа {и < а, v < а) уравнение A00) переходит в уравнение Лапласа (956), определяющее движение несжимаемой жидкости. Для построения поля скоростей в сверхзвуковом потоке обыч- обычно решают уравнение A00) методом характеристик. При исследовании обтекания тонких тел на малых углах ата- атаки как в дозвуковом, так и сверхзвуковом потоке уравнение A00) решают методом малых возмущений (метод линеаризации). 1) Легко показать, что для выполнения этого условия достаточно про- провести линии тока так, чтобы расход между любыми двумя соседними линиями тока для обоих потоков был одинаковым.
§ 11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ 99 § 11. Циркуляция скорости В установившемся плоском движении скорость частицы w яв- является функцией двух координат w w^x, у). Эта векторная функция определяет поле скоростей. При исследовании различных случаев газовых течений, в част- частности обтекания крыльев и иных тел, полезно ввести некоторую величину, связанную с полем скоростей рассматриваемого тече- течения и называемую циркуляцией скорости. Под циркуляцией скорости Г по замкнутому контуру L пони- понимают интеграл М) dl. A01) Здесь w — величина скорости, (w, I)—угол между скоростью и направлением контура в данной точке, dl — элемент длины дуги контура. Знак у показывает, что интеграл берется по замкнуто- замкнутому контуру. Таким образом, циркуляция скорости представляет собой пре- предел суммы произведений тангенциальной к контуру проекции Рис. 2.9. К суммированию цир- циркуляции Рис. 2.10. К суммированию циркуляции скорости на соответствующий элемент длины контура. Положи- Положительным направлением обхода на контуре будем считать направ- направление обхода против часовой стрелки1). Из самого определения циркуляции следует, что циркуляция по любому контуру L может быть выражена в виде суммы цир- циркуляции по отдельным клеткам произвольной сетки, покрываю- покрывающей площадь, ограниченную контуром L (рис. 2.9). В самом х) Иногда удобнее считать положительным противоположное направ- направление.
ЮО ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ деле, рассмотрим некоторый замкнутый контур ADCBA. Пусть произвольная дуга АС разбивает область, ограниченную этим контуром, на две клетки: АСВА и ABC А (рис. 2.10). Выразим циркуляцию для каждой клетки. Для первой клетки ф w cos ( (АСВА) При этом интеграл по контуру АСВА может быть разбит на два интеграла: интеграл по дуге СВА и по дуге АС. Для второй клетки 9 w cos (w, I) dl. (ADCA) Интеграл по этому контуру составляется из интегралов по дуге ABC и по дуге С А. Сумма циркуляции по контурам АСВА и ABC А равна сумме четырех интегралов, причем интеграл по ду- дуге А С, входящий в первую циркуляцию, и интеграл по дуге С А, входящий во вторую циркуляцию, взаимно уничтожаются, ибо они представляют интеграл по одной и той же дуге, проходимой в противоположных направлениях (подынтегральная функция в обоих интегралах одна и та же). Поэтому сумма циркуляции па контурам АСВА и АВСА равна сумме интегралов по дугам СВА и ABC, т. е. интегралу по контуру АВСВА. Итак, . • TaDCA == ГADCBA» Таким образом, сумма циркуляции по контурам двух смежных клеток равна циркуляции по всему контуру L. Если каждую ш клеток АВСА и АСВА разбить еще на две клетки, то для каж- каждой из них можно полностью повторить приведенное выше рас- суждение. Продолжая процесс разбиения дальше и повторяя каждый раз такие же рассуждения, мы приходим к высказан- высказанному выше положению о суммировании циркуляции (см. рис. 2.9). Выразим теперь подынтегральное выражение в формуле A01) с помощью полярных координат (г, ср). Для этого рассмотрим рис. 2.11. Пусть М(г, <р)—точка произвольного контура L, dl = =• MN — элемент дуги этого контура, w — скорость в точке М с проекциями wr и wu. Обозначим угол (w, I) = ?- NMP = аг ?- РМК = р, Z. NMK = у. Из рисунка видно, что а = Tf - р. Поэтому cos (w, I) = cos a = cos (y ~~ P) — cos if cos p + sin f sin p. Но из малого криволинейного прямоугольного треугольника MNK получаем МК dr . NK dw
§ 11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ 101 Далее, очевидно, что cos В = —, sin В = —. Подставляя эти значения в выражение для cos(w, Z), найдем v ' ' dl w ' dl w Тогда подынтегральное выражение в формуле A01) принимает вид х\ w dr -f- w r d(p w cos (w, l)dl = w dl j^ = wr dr + wu Таким образом, в полярных координатах получаем следую- следующую формулу для циркуляции скорости: Г = ф wr dr + wur dcp. A02) Элементарное перемещение частицы жидкости или газа в общем случае, как указывалось, состоит из трех частей: поступательно- поступательного перемещения, вращения и деформации частицы. Движения, Рис. 2.11. К определению связи меж- Рис. 2.12. К определению завихрен- ду вихрем и циркуляцией ности в полярных координатах в которых вращение частиц отсутствует, называются безвихре- безвихревыми, движения с вращением — вихревыми. При движении жидкой частицы MKNR (рис. 2.12) с враще- вращением форма ее в общем случае изменяется. Пусть через малый промежуток времени dx грани MR и МК займут положение MR' и МК'. Перемещение частицы в целом, определяемое поступа- поступательной скоростью, в данном вопросе не имеет значения. Опре- Определим угловые скорости вращения точек R и К относительно точ- точки М. Если составляющие скорости в точке М обозначить через
102 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ wr и wu, то составляющие скорости в точке К равны dwr dwu Wr -\ -z— Дг И Wu -\ Дг, а составляющие относительной скорости точки К (относительно dwr dwu точки М) ~^: &г и ~д^^г- Очевидно, вращение точки К отно- относительно точки М создает только вторая из этих составляющих, так как первая перпендикулярна к направлению вращения (на- (направлена по МК). Таким образом, окружная скорость вращения точки К относительно М, за счет которой проделывается путь ди?.. . А..&..Л.Л. • Yf \Л.Л-9 J^M. тельная вращения центра М (Ох = " дг угловая точки равна dw «Дг дг Аг = 7 V4. V/X J_L WJJ, скорость К ОКОЛО dwu \<р Рис. 2.13. К определению приращений скорости в полярных координатах Составляющие скорости в точке R равны (рис. 2.13) dw dw Wr + -d^AV И ^ + -^-A(P- Вращение точки R относи- относительно М происходит по на- направлению, перпендикуляр- перпендикулярному к хорде MR. В силу малости угла Аф можно счи- считать хорду MR перпендику- перпендикулярной к радиусу СМ, а длину хорды MR — равной длине ду- дуги MR. Тогда направление вращения точки R относительно М параллельно радиусу СМ. Найдем проекции обеих составляющих скорости точки R по направлению вращения. Из рис. 2.13 видно, что эти проекции соответственно равны / dw \ / dw \ — ( wr + -j- AcplcosAcp и I wu + -^— Аф ) sin Аф. Знак минус у первой проекции принят потому, что эта проекция создает вращение по часовой стрелке, а положительным считает- считается вращение против часовой стрелки. Считая приближенно cos Аф « 1 и sin Аф « Аф и отбрасывая член второго порядка малости, имеющий множителем (АфJ, получим следующие зна- значения рассматриваемых проекций: / dwr . \ ~ [Wr + 1ф"Аф/ и
§11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ ЮЗ Чтобы получить окружную скорость вращения точки R относи- относительно Л/, из полученных выражений нужно, очевидно, вычесть проекции составляющих скорости в самой точке М на то же на- направление СМ. Но проекция wr на СМ равна самой величине wr, а проекция wu на СМ равна нулю. Таким образом, окружная скорость точки R относительно М, которая обусловливает пере- перемещение RR' (рис. 2.12), выражается так: dwr \ г ~\~ ~Ъ— Дф — М?г 1 • Тогда относительная угловая скорость вращения точки R около центра М равна _^Аф-^А(Р_^ jdwr так как MR « гАф. За среднюю угловую скорость частицы относительно точки М принимают среднюю арифметическую угловых скоростей крайних точек R и К: wcp — 2 " 2 Ur т г г дер Это выражение удобно преобразовать к виду Формула A03) определяет величину завихренности или вихря скорости (см. § 1) в полярных координатах. В гидродинамике доказывается, что движения идеальной жид- жидкости, бывшие безвихревыми в некоторый момент времени, всегда остаются безвихревыми. Если же движение было в некоторый мо- момент вихревым, оно всегда будет вихревым. Возникновение вих- вихрей должно быть вызвано специальными причинами, например вязкостью газа или жидкости. Условием отсутствия вихрей является сОср = О, A04) или в полярных координатах в-Щ-р = 0. A05) дг с?ф v ' Чтобы выяснить связь между понятиями вихря и циркуляции скорости, преобразуем подынтегральное выражение в формуле A02). Рассмотрим элементарную площадку MKNR, ограничен- ограниченную координатными линиями МК, MR и RN, KN (рис. 2.14).
104 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Составим подынтегральное выражение для циркуляции по контуру MKNR. Очевидно, получим / dw \ [ dw \ dT = wrdr + \wu -f — dr) (r + dr)dcp — (wr + — dy I dr —wur dtp. Здесь wr — тангенциальная проекция скорости на отрезке МК = dr, wu+ -^dr — тангенциальная проекция скорости на ду- дуге KN = (г + dr) йф, wr + -^ г?ф — тангенциальная проекция скорости на отрезке NR = dr и м;и — тангенциальная проекция скорости на дуге RM = г <&р. У последних двух членов принят знак минус потому, что по- положительное направление скорости на отрезке NR и на дуге RM Рис. 2.14. К определению цирку- циркуляции в полярных координатах Рис. 2.15. К суммированию цирку- циркуляции и завихренности противоположно направлению обхода по контуру MKNR. Произ- Производя выкладки и отбрасывая член третьего порядка малости dw —?^ (drJ <2ф, получим Сравнивая это выражение с выражением A03) для вихря ско- скорости со и замечая, что произведение г Ар dr представляет собой элементарную площадь dF, охватываемую контуром MKNR, за- запишем последнее выражение в такой форме: dT = 2о) dF. Если теперь разбить площадь, охватываемую произволь- произвольным контуром L, на элементарные площадки, образованные сет- сеткой координатных линий (рис. 2.15), и использовать правило суммирования циркуляции, то получим
§11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ 105 или, если перейти от сумм к интегралам: = 2 f A06) (F) Полученный результат и выражает искомую связь между вих- вихрем скорости и циркуляцией1). Если величина вихря одинакова во всех точках: ш = ©о = const, то 1 = 2ш0 f dF = (F) т. е. в этом случае циркуляция по некоторому контуру равна удвоенному произведению величины вихря на площадь, охваты- охватываемую контуром. Предположим далее, что движение является установившимся и безвихревым (со = 0). В этом случае циркуляция по любому неподвижному контуру равна нулю2). Последнее заключение, од- однако, верно лишь в том случае, если внутри неподвижного кон- контура находятся только частицы жидкости, совершающие безвих- безвихревое движение. Циркуляция по неподвижному замкнутому кон- контуру отлична от нуля, если контур охватывает область, внутри которой находится, например, одиночный вихрь3) или обтекае- обтекаемое тело. Таким образом, мы видим, что возникновение циркуляции всегда связано с образованием вихрей в потоке жидкости или газа. Рассмотрим теперь некоторые простейшие примеры движе- движения жидкости, которые позволяют выяснить физический смысл понятий вихря и циркуляции. Пример 1. Вращение жидкости как твердого тела. Пусть жидкость вращается как твердое тело вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью е. Тогда величина скорости в каждой точке w = ег, где г — рас- расстояние точки от начала координат. Найдем радиальную и окружную со- составляющие скорости. Ясно, что в данном случае wr = 0, wu = w = ег. 1) Формула A06) выражает для плоского движения теорему Стокса (см., например, Фабрикант Н. Я. Аэродинамика.—М.: Наука, 1964). 2) В гидродинамике доказывается для весьма широкого класса прак- практически важных движений, что и в случае неустановившегося движения циркуляция по замкнутому контуру постоянна, однако в этом случае рас- рассматривается так называемый жидкий контур, т. е. контур, состоящий из одних и тех же частиц. Последнее утверждение называется теоремой Томпсона. Из этой теоремы следует, что если некоторая масса жидкости в начальный момент времени имела безвихревое движение или покоилась, то и впредь в этой части жидкости не возникает вихрей, о чем уже упоми- упоминалось выше (см. также учебник Н. Я. Фабриканта, цитированный выше, в первой сноске). 3) Об одиночном вихре см. ниже — пример 2.
106 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ Составим выражение для вихря скорости. По формуле A03) 2г[ дг ду\ 2гдгУ ' Величина вихря скорости во всех точках одинакова и равна постоянной угловой скорости вращения частиц жидкости. Этот результат был заранее очевиден, ибо он непосредственно следует из самого определения вихря. Найдем теперь циркуляцию по контуру, окружающему начало коорди- координат. В качестве такого контура возьмем окружность радиуса г. Из форму- формулы A02) получим Г = ф wr dr + wur dcp = I err dq> = 2лег2. L 0 Циркуляция пропорциональна квадрату радиуса. Разделив ее на пло- площадь круга F, найдем или Г = 2coF. Это равенство иллюстрирует теорему Стокса A06); в данном случае цир- циркуляция по окружности равна удвоенному произведению постоянной вели- величины вихрж со на площадь круга. Пример 2. Безвихревое циркуляционное движение. В качестве вто- второго примера рассмотрим такое плоское движение жидкости, когда части- цы жидкости движутся по концентрическим окружностям вокруг начала координат со скоростями, обратно пропорциональными расстояниям частиц от начала координат, так что скорость в каждой точке w = с/г, где с — по- постоянная. Здесь радиальная и окружная составляющие скорости равны wr = 0, wu = w = с/г. Найдем величину вихря: со = л. __. (rw ) — — . 2r [ dr v u/ дф J 2r dr Таким образом, величина вихря во всех точках, кроме начала координат, равна нулю. В начале координат (г = 0) скорость равна бесконечности, т. е. начало координат математически является особой точкой. Физически такое движение возможно лишь вне некоторого ядра конечного радиуса г0. Ядро может состоять из твердого тела или из жидкости той же или другой плот- плотности. Вне ядра течение является безвихревым. На поверхности ядра ско- скорость имеет некоторую конечную величину w0 = с/г0. Найдем значение циркуляции по окружности с центром в начале коор- координат: J г ' — const. В данном случае циркуляция по любой окружности есть величина постоян- постоянная. Так как w = с/г, то можно записать Г = 2пс = 2ягш = const = 2яг0ш0,
§11. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ 107 где r0 —радиус ядра, a w0 — скорость на его поверхности1). Таким образом, скорость в любой точке W r 2яг' ' Рассмотренное движение жидкости носит название безвихревого циркуля- циркуляционного движения, а соответствующее ему поле скоростей называется полем скоростей плоского изолированного вихря. Если считать жидкость несжимаемой, то давление 2 r2w2 р = const — 2Е- = const — р ° ° 2 2г2 убывает с уменьшением расстояния от начала координат, т. е. от центра вихря. При го-^0 ядро переходит в точку. Эту точку называют точечным изо- лированным вихрем. Поэтому безвихревое циркуляционное движение мож- можно связать с точечным вихрем; последний индуцирует в каждой точке плоскости скорость, перпендикулярную к отрезку, соединяющему эту точку с вихрем, и равную по величине Г/2яг, где г — длина указанного отрезка, т. е. индуцирует безвихревое движение с циркуляцией Г. Отметим теперь одно важное явление, относящееся к обтека- обтеканию тел потоком идеальной жидкости. Если контур обтекаемого тела имеет участок, представляющий собой дугу с малым радиу- радиусом закругления (рис. 2.16, а), то часть потока вблизи этой дуги походит на циркуляцион- циркуляционное движение: скорость увеличивается по мере приближения к контуру дуги и при достаточно ма- малых радиусах закругле- закругления может стать очень большой. При некотором (достаточно малом) ради- радиусе закругления скорость , _ должна быть столь вели- —* — ¦ — -*¦ ка, что давление (вычис- в ляемое по уравнению Бер- рис. 2.16. Схема обтекания закругленных нулли для несжимаемой и острых кромок жидкости) должно стать отрицательным, что невозможно. Когда радиус закругления равен нулю, т. е. когда жидкость обтекает острую кромку (угловую точку контура рис. 2.16, б), скорость обращается в бесконечность точ- точно так же, как в центре точечного вихря, индуцирующего цир- циркуляционное движение. Но бесконечно большая скорость требу- требует нереального бесконечного отрицательного давления. Поэтому бесконечно большая скорость невозможна, следовательно, невоз- невозможно безотрывное обтекание острых кромок, и происходит срыв !) Как нетрудно показать, циркуляция по любому замкнутому конту- контуру, не охватывающему ядро, равна нулю, т. е. ядро играет роль вихря.
108 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ струй1). Единственно возможным случаем безотрывного обтека- обтекания тела с острой кромкой (крылового профиля) потоком идеаль- идеальной несжимаемой жидкости является случай, изображенный на рис. 2.16, в; здесь острая кромка лежит на линии раздела пото- потоков, обтекающих верхнюю и нижнюю стороны профиля, и струи жидкости плавно сходят с контура тела. В реальной жидкости, обладающей вязкостью, при срыве струй из завихренных частиц пограничного слоя образуется вихрь, который как бы «округляет» острую кромку, и струи жидкости обтекают уже не острую кромку, а этот вихрь. § 12. Примеры плоских потенциальных установившихся течений несжимаемой жидкости Определим потенциальную функцию <p(#, у) и функцию тока г|)(#, у) для некоторых простейших случаев безвихревого течения несжимаемой жидкости. Пример 1. Плоскопараллельный поток. Выберем систему координат так, чтобы ось х была направлена по скорости потока W\\ тогда (рис. 2.17) Подставляя значения этих составляющих скорости в (95а) и (97), получим после интегрирования следующие выражения для потенциальной функции и функции тока: <p = Wi*, A07) Ф = Wiy. A08) Пример 2. Источник и сток. В случае источника жидкость движется по прямым, исходящим во все стороны из начала координат как из центра. у > X Рис. 2.17. Плоскопараллельный поток Рис. 2.18. Источник на пло- плоскости Мощность источника характеризуется секундным расходом жидкости Q, зная который легко определить зависимость радиальной и окружной со- составляющих скорости потока от расстояния г до центра источника 1) В дальнейшем будет показано, что в сверхзвуковом потоке газа возможно безотрывное обтекание острой кромки; при этом скорость нигде не обращается в бесконечность.
§ 12. ПРИМЕРЫ ПЛОСКИХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ТЕЧЕНИЙ ДО9 (рис. 2.18): Соответственно л Q u = w7. cos 6 = о v=wr sin 0 = «г -« 7 2Я д;2 Производя интегрирование согласно (96а), находим уравнение линий тока которые представляют собой семейство лучей, исходящих из начала коор- координат. В полярной системе координат выражение для произвольной потен- потенциальной функции (95а) записывается так: дг (HI) тде wr определяется формулой A09). В соответствии с этим получаем после интегрирования следующее выражение для потенциала: Ф = ^1пг. A12) Линии равного потенциала представляют собой семейство концентрических окружностей, центры которых совпадают с центром источника. В приведенных выше выражениях расход Q можно рассматривать как -алгебраическую величину. Положительные значения Q соответствуют источнику, отрицательные — стоку. В последнем случае жидкость движется к центру по тем же линиям тока, что и в случае источника. Пример 3. Точечный вихрь. В предыдущем параграфе было пока- показано, что в случае точечного вихря о В соответствии с этими значениями проекций скорости, индуцируемой вих- вихрем интенсивности Г, получаем следующие выражения искомых функций: Г Г в ^ l Выше уже указывался (см. § 10) графический способ построения неко- некоторого результирующего течения, образующегося в результате наложения двух известных плоскопараллельных установившихся течений идеальной несжимаемой жидкости. Эту же операцию можно провести и аналитиче- аналитическим путем, используя известное свойство линейных функций (к которым принадлежат и потенциальная функция (956), и функция тока), что сумма любого числа частных решений также является решением. Таким образом, если имеются два течения с потенциалами (pi и ф2 и с «функциями тока rfi и фг, то соответствующие функции результирующего течения будут равных их суммам: ф =
110 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ В качестве примера рассмотрим поток, который получается от нало- наложения источника и стока равных расходов. Поместим начало координат посредине расстояния между центром источника и центром стока и за ось х примем прямую, соединяющую эти центры. Пусть абсцисса источника —8, абсцисса стока +е. При таком рас- расположении системы координат потенциал скоростей и функция тока для источника и стока определяются, согласно A10) и A12), следующими фор- формулами: 8' Для результирующего потока ф = 2- [in V - In /(z- — arctg ib = -i- arc tg —-— Y 2я L x + 8 Рассмотрим предельный случай, когда расстояние между центрами источ- источника и стока, равное 2е, стремится к нулевому значению и одновременно расход каждого из них Q стремится к бесконечности, но так, что произведение 2eQ остается все время по- постоянной величиной 2е<? = М = const. Поток, который получается в пределе, называется ди- диполем, постоянная Л/, его характеризующая,— момен- моментом диполя, а ось х (в данном случае) — осью диполя. Вычислим потенциал скоростей и функцию тока ди- диполя. По определению имеем г = — lim 1 2я е-*о In - In V(x- 2е arctg -arctg 2я e-»o 28 Рис. 2.19. Линии тока плоского ди- диполя Заметим, что знаменатель каждого из выражений, ко- которые стоят здесь под знаком предела, можно рассмат- рассматривать как приращение независимого neip-еменного, а числитель — как соответствующее приращение функ- функции. В соответствии с этим по определению производной мы можем написать: т дип оГГ я^ м д [ = ^^:(arctgji- (ИЗ)
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ Ш После дифференцирования) получаем М х М cos 6 _ М у М sin 8 «Рдип = 2я J + у2 — 2л г ' ^дип = — 2я = — Анализ выражения A14) показывает, что линии тока суть окружности, про- проходящие через начало координат и имеющие центры на оси у. Жидкость но указанным окружностям вытекает из начала координат и вновь в него втекает. Очевидно, что в этом случае расход жидкости через произвольный -замкнутый контур, окружающий диполь, равен нулю (рис. 2.19). Согласно A14) линии равного потенциала также являются окружно- окружностями, проходящими через начало координат, но с центрами, расположен- расположенными на оси х. § 13. Интегральная форма уравнений газовой динамики Математическое исследование течений с резким изменением параметров (например, в ударных волнах) с помощью дифферен- дифференциальных уравнений (A2) и B6), E0)—для вязкого газа или (81), (83)—для идеального) оказывается затруднительным в связи с необходимостью выделения особых поверхностей (разры- (разрывов) и расчета изменения параметров на них по специальным соотношениям. Эти трудности можно избежать, применяя инте- интегральные уравнения, не содержащие производных от функций, характеризующих состояние среды. Для этого получим уравне- уравнения, выражающие законы сохранения массы, количества движе- движения и энергии в интегральной форме. Выделим в пространстве, заполненном потоком, фиксирован- фиксированный (не зависящий от времени) объем F, ограниченный поверх- Рис. 2.20. К выводу интегральных уравнений законов сохранения: а) рас- рассматриваемый объем V с поверхностью S, б) скорость, поверхностная сила и внешняя нормаль к элементу поверхности dS ностью S (рис. 2.20, а). В рассматриваемом объеме в каждый момент времени заключена масса газа J pdV. Количество газа, v покидающего объем V за единицу времени, составляет величину \ p(Wn) <25 *) (рис. 2.20, б), где п — единичный вектор внещней !) (Wn) — скалярное произведение векторов W и п.
112 ГЛ. II. ЭЛЕМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИКИ нормали к элементу поверхности dS. Так как скорость изменения массы в объеме V равна скорости потока массы через его грани- границу S, то получаем закон сохранения массы, или уравнение не- неразрывности, в виде ^JpdF+ fp(Wn)dS = 0. A15) V S Получим уравнение количества движения. Газ в объеме V об- обладает количеством движения \ pW dV. Изменение этой величи- v ны происходит за счет вытекания газа через границу S, причем за единицу времени теряется величина J p(Wn) W dS. Кроме того. s на газ, заключенный в объеме F, действует сила со стороны остальной части газа. В общем случае эта поверхностная сила действует под углом к внешней нормали. Касательная составля- составляющая напряжения рх связана € вязкостью. Для идеального газа напряжение поверхностной силы сведется к нормальной состав- составляющей, которую можно представить в виде рп = —/ш, где р — давление. Так как скорость изменения количества движения в объеме V равна действующей силе плюс скорость потока им- импульса через границу S, получим закон сохранения количества движения = - \pndS. A16) S Полная энергия газа (внутренняя плюс кинетическая) в объеме V равна jpf?7 +-yjdF, где U = к_ ^ Ее изменение V V- связано с переносом энергии через поверхность uS, причем за еди- ницу времени уносится ] р (U + -у) (Wn) dS, а также с работой s сил давления р, которая за единицу времени равна \ р (Wn) dS» s Скорость изменения энергии в объеме V равна мощности дей- действующих сил плюс скорость потока энергии через границу S* В результате получаем уравнение сохранения энергии в фиксиро- фиксированном объеме V ^ Jp (с/ + ^) dF + Jp («7 + ?) (Wn) J^ = _ [^(Wn) Й5. A17) V S S Эти уравнения представляют собой наиболее общую форму запи- записи уравнений газовой динамики. Они допускают существование разрывных решений. Уравнения газовой динамики в диффереи-
§ 13. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ US циальной форме могут быть получены из интегральных урав- уравнений. Для получения единственного решения задачи, кроме системы уравнений, необходимо задать дополнительные начальные и гра- граничные (или краевые) условия. При этом важно, чтобы задача была корректно поставлена. Это означает, что решение задачи существует, оно единственно и непрерывно зависит от исходных данных (малому изменению исходных данных соответствует ма- малое изменение решения). Требование корректности важно при численном решении задачи, так как всякое численное решение является приближенным и необходимо, чтобы метод решения был устойчив к малым погрешностям в исходных и промежуточных, данных. Абрамович, ч. 1
Глава HI СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ § 1. Прямые скачки уплотнения В случае полета тела со сверхзвуковой скоростью (wu>aa) перед ним возникает ударная волна (скачок уплотнения), вы- вызывающая значительное сопротивление. Если рассматриваемое тело представляет собой летательный аппарат, снабженный воздушно-реактивным двигателем, то в сверхзвуковой струе воздуха, которая тормозится при втекании в двигатель, также происходит скачок уплотнения. Принципиаль- Принципиально можно представить себе и плавный переход сверхзвукового потока в дозвуковой, осуществляемый посредством специального обратного сопла, установленного на входе в двигатель. При этом не было бы потерь полного давления. Однако торможение сверх- сверхзвукового потока таким способом осуществить в полной мере не удается, в силу чего приходится мириться с существованием ударных волн и наличием соответствующего волнового сопро- сопротивления. Многочисленные опыты показывают, что всякое повышение давления, возникшее в каком-либо месте газовой среды, распро- распространяется в ней с большой скоростью во все стороны в виде волн давления. Слабые волны давления движутся со скоростью звука; их изучением занимается акустика. Сильные волны дав- давления, как видно из опытов, распространяются со скоростями, значительно большими, чем скорость звука. Основная особен- особенность сильной волны давления заключается в том, что фронт волны очень узок, в связи с чем состояние газа (давление, плот- плотность, температура) изменяется скачком1). Можно дать следующее качественное объяснение этому фак- факту. Пусть в некоторой области (рис. 3.1) произошло изменение давления, и вначале волна получила плавную форму 1АВ2. На отдельных бесконечно узких участках волны давление возраста- возрастает незначительно, поэтому распространение такой волны проис- происходит со скоростью звука. В области высоких сжатий (А) наблюдаются, естественно, более высокие температуры, чем в об- области малых сжатий (В), в силу чего «вершина» волны давления 1) Приближенная теория гласит, что толщина области, в которой уме- умещается сильная волна давления, должна быть порядка длины свободного .пробега молекул.
§ 1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 115 движется быстрее, чем ее «подножие». В сторону меньших дав- давлений (вправо) волна распространяется как волна сжатия, в сто- сторону высоких давлений (влево)—как волна разрежения. Таким образом, если даже вначале волна сжатия является пологой, то со временем она делается все круче и круче; процесс этот оста- остановится и волна приобретет устойчивую форму только в тот мо- момент, когда фронт волны станет совсем плоским A' — 2'). Итак* х Рис. 3.1. Схема образования волн сжатия и разрежения волны сжатия распространяются как скачки давления (разрывы),, в связи с чем их называют ударными волнами. По тем же причинам, т. е. вследствие того, что в точке А волна разрежения движется быстрее, чем в точке В, фронт вол- волны разрежения со временем растягивается. Иначе говоря, возник- возникновение волны разрежения не должно приводить к образованию скачков разрежения. Ниже будет показано, что в адиабатических (без подвода тепла) скачках сжатия происходит увеличение энтропии газа, а в адиабатических скачках разрежения, если бы они существо- существовали, энтропия должна была бы уменьшаться. Этим доказы- доказывается законность существования адиабатических скачков дав- давления и одновременно невозможность возникновения адиабати- адиабатических скачков разрежения (как известно из термодинамики, в конечной замкнутой системе энтропия убывать не может). В полном соответствии с этим находится тот известный факт, что наблюдаемые иногда в действительности скачки разрежения (скачок конденсации, фронт пламени) получаются только при подводе тепла в область скачка, т. е. в таких условиях, когда и при скачке разрежения энтропия газа растет. Нужно заметить, что возникновение скачков разрежения при подводе тепла к газу отнюдь не противоречит процессу, изображенному на рис. 3.1. В самом деле, если в области пониженных давлений В за счет подвода тепла получается температура выше, чем в областж
116 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ высоких давлений А, то скорость звука у подножия волны выше, чем у вершины; в связи с этим со временем должна усилиться крутизна фронта волны разрежения, что приведет к образованию теплового скачка разрежения. Остановимся теперь на теории ударных волн. Представим себе, например, что под влиянием резкого смещения поршня {рис. 3.2) в трубе возникла и распространяется слева направо Рис. 3.2. Схема распространения ударной волны сильная волна сжатия, времени фронт волны чит, что в области 1 — ления от величины pR чины р\ (давление за с чем в области 1 — Н сти газа на величину Пусть за бесконечно малый промежуток переместился на расстояние dx. Это зна- Н за время dx произошло повышение дав- (давление невозмущенного газа) до вели- фронтом волны сжатия), в соответствии должно наблюдаться повышение плотно- Ар = pi — рн. Однако это может произойти только в том случае, если не- некоторое количество газа, равное перетечет из объема 1 — 2 в объем Н — 1 (здесь F — площадь поперечного сечения). Итак, при распространении сильной волны сжатия газ позади фронта волны должен находиться в движе- движении, следуя в том же направлении, что и волна. Из уравнения неразрывности можно определить скорость газового потока (wn): dG = p\Fwnd%, откуда A) Но производная пути по времени есть не что иное, как скорость движения волны: dx ^в = т-- B) dx * ' Отсюда получаем равенство, связывающее скорость распро- распространения волны со скоростью газа, движущегося за фронтом
§ 1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 117 волны в том же направлении Применяя к области Н — 1 уравнение количества движения, можно получить другое соотношение между теми же величи- величинами. В самом деле, за время dx масса газа, заполнявшая объем # — 2, AGH = Рн^ dx перейдет из состояния покоя в дви- движение со скоростью wn. Соответствующее изменение количества движения должно быть равно импульсу силы, вызванной раз- разностью давлений, действующих в сечениях 1 и Н: (Pi - Pn)F dx = paF(wa - 0)dx, откуда скорость волны равна D) Подставив выражение для скорости газа C) в уравнение D), получим скорость распространения волны сжатия как функцию прироста давления и прироста плотности В случае слабой волны, когда повышение давления (и плотно- плотности) получается незначительным: pi « рн, р\ » рн, имеем Слабая волна является не чем иным, как акустической волной, поэтому выражение F) представляет собой определение скоро- скорости звука. Из сравнения равенств E) и F) видно, что скорость распро- распространения сильной волны сжатия всегда выше скорости звука. Обычно распространение звука сопровождается столь незначи- незначительным изменением состояния газа, что энтропию можно счи- считать практически постоянной, т. е. полагать, что при этом имеет место идеальный адиабатический процесс p/ph = const. Но в этом случае или на основании уравнения состояния для идеального газа dp Отсюда получается уже применявшаяся выше формула [C4)
118 гл. ш. скачки уплотнения гл. I] для скорости звука в идеальном газе а = УЦ = Подставляя выражение E) в равенство C), найдем формулу для скорости газового потока за фронтом волны сжатия Нетрудно видеть, что с ослаблением волны сжатия скорость движения газа падает. В случае слабой звуковой волны газ за ее фронтом неподвижен, так как согласно равенству G) при Рх^Рп и pi « рн получается wn « 0. В действительности, как известно, звуковая волна состоит из правильно чередующихся областей сжатия и разрежения, причем газ за ее фронтом на- находится в очень слабом колебательном движении; средняя по- поступательная скорость газовых частиц равна нулю. Заметим теперь, что вследствие истечения газа из области 1 — 2 (рис. 3.2), расположенной позади фронта сильной волны сжатия, давление в этой области со временем убывает. По ука- указанной причине ударная волна, возникшая в неподвижном газе под влиянием единичного сжатия (например, взрыва или сме- смещения поршня), всегда более или менее быстро затухает. И только в том случае, когда источник возмущения не прекра- прекращает своего действия, можно получить незатухающую ударную волну. Обнаруженное выше свойство ударных волн распростра- распространяться со скоростью, большей, чем скорость звука, приводит к тому, что незатухающие ударные волны образуются перед те- телом только в тех случаях, когда движение происходит со сверх- сверхзвуковой скоростью. Например, при движении в газе с постоян- постоянной сверхзвуковой скоростью твердого тела перед последним образуется ударная волна постоянной интенсивности, которая движется с той же скоростью, что и тело. Исследуем более детально изменение состояния газа, полу- получающееся при прохождении в нем стационарной ударной волны. Обратимся сначала к простейшей схеме, когда фронт волны со- составляет прямой угол с направлением распространения. Такая волна называется прямой ударной волной. Ради удобств расчета выгодно обратить движение, т. е. оста- остановить фронт волны, направив поток навстречу волне со ско- скоростью, равной скорости распространения волны (рис. 3.3): тогда относительная скорость газа за фронтом волны w\ = wn — wB. (8) Остановив ударную волну встречным потоком газа, мы получи-
§ i. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 119 ли некоторую неподвижную поверхность, пересекая которую все элементарные струйки газа одновременно претерпевают скачкообразные изменения скорости движения, плотности, дав- давления и температуры. По этой причине ударную волну называ- называют также скачком уплотнения. Скачки уплотнения удобно на- наблюдать в сверхзвуковых аэроди- аэродинамических трубах при обтекании воздухом неподвижных твер- твердых тел. Примем площадь поперечного сечения струи равной единице рис 3.3. Схема прямого скачка (F = 1 м2) и, пользуясь извест- уплотнения ными уравнениями газовой дина- динамики, найдем связь между значениями скорости газа до и после скачка уплотнения (рис. 3.3). Уравнение неразрывности дает Пренебрегая силой трения ввиду малой толщины скачка уплот- уплотнения из уравнения количества движения получим Р\ -рн = рнн;н(м>н- wi). Сопоставляя эти уравнения, найдем Pi — Рн = Рн^н ~ Pi^i = ЩМк (Pi — Рн), (9) откуда Если извне тепло не подводится, то полное теплосодержание газа остается постоянным. Теплоотдачей можно пренебречь, так как боковые поверхности струи в области скачка ничтожно малы. Поэтому из уравнения теплосодержания следует **=срГ* = СрТн + -| = срТг + ^ = const; здесь Т* — температура торможения. Из этого уравнения имеем Согласно уравнению состояния газа Pi -Рн следовательно, * Т* = —
120 гл. ш. скачки уплотнения Здесь рп ри— полное давление соответственно за и перед скачком уплотнения, р*, рн — плотность газа, соответствующая полному торможению, в тех же сечениях. Следовательно, Из термодинамики известно соотношение о „ А-1 поэтому л-рь(-§-тг«4 <"> По аналогии получаем _ftfe_L_ 2& /рн А: — 1 2 Pi = Pi -у - ^г- ^i \^н Вычтя равенство A1) из равенства A2), имеем р* h | . Pi — Pn =(Pi — Рн)-* + 23Г откуда на основании (9) выводится н 2k РН* A3> р1 - рн Используя выражение [D1) гл. I] для критической скорости 2 _ 2к RT* 2к "ко — Т. i найдем Наконец, сопоставляя равенства A0) и A4), приходим к сле- следующему простому соотношению между величинами скорости газа до и после прямого скачка: WkWi = 4р. A5) Это кинематическое соотношение можно привести к безразмер- безразмерному виду, вводя приведенные скорости (X = м>/акр):
§ 1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 121 ИЛИ ХЛх = 1, A6) •откуда видно, что в прямом скачке уплотнения всегда сверхзву- сверхзвуковая скорость газа переходит в дозвуковую, так как если wB > > Окр, то w\ < Окр. Одновременно можно заметить, что чем боль- больше значение приведенной скорости перед скачком, тем меньше ее значение после скачка, т. е. чем выше начальная скорость wR, тем сильнее получается скачок уплотнения. С уменьшением на- начальной скорости скачок ослабевает и исчезает совсем при wB « w\ « a. Установим теперь связь между давлением и плотностью газа в скачке уплотнения. Для этого сложим равенства A1) и A2): Pi + Рк = (Pi + Рн)^| - Рн Из уравнения неразрывности следует Рн"? + PiWj = WaW± (рх + рн). Подставляя этот результат в предыдущее выражение, имеем откуда на основании A0) и A3) получаем основное динамиче- динамическое соотношение согласно которому отношение прироста давления к приросту плотности в скачке уплотнения пропорционально отношению среднего давления к средней плотности. Отсюда, между прочим, следует уже известный нам результат, что при бесконечно малом скачке уплотнения (р\ » рн, pi » рн) получается Это подтверждает сделанное выше предположение, что звуковой волне отвечает идеальный адиабатический процесс. Рассмотрим более детально термодинамический процесс из- изменения состояния газа в скачке уплотнения. Для этого пред- представим динамическое соотношение A7) в несколько ином виде: Pl+Рн Pl-Рн Разделим числитель и знаменатель в левой части этого равен-
122 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ ства на величину рн, а в правой на р\: ?1 Рн Отсюда после несложных преобразований получается зависи- зависимость отношения pi/рн от отношения pjpa в скачке уплотнения,, носящая название ударной адиабаты: Рн 9г Л-1 Рн . . Л+1 Р] Существенной особенностью ударной адиабаты является тог что при неограниченном возрастании давления в скачке уплотне- уплотнения (р\ -* оо) увеличение плотности имеет определенный пределг который как это видно из уравнения A8), равен Рн Например, для воздуха (к = 1,4) увеличение плотности в скачка уплотнения не может быть более шестикратного: h Рн При скачке уплотнения в газе с меньшим значением показате- показателя к может наблюдаться более сильное, но также ограниченное- возрастание плотности; например, при к = 1,2 = 11. Следует подчеркнуть, что в отличие от ударной адиабаты в слу- случае идеального адиабатического процесса, в котором имеет место» зависимость увеличение плотности с ростом давления является неограничен- неограниченным (pi -* оо при р\ -* °°). Сравнение адиабат ударной и идеальной произведено на рис. 3.4. Изменение давления и плотности газа в прямом скачке уплот- уплотнения можно представить в функции числа М перед скачком. Иа уравнения количества движения с учетод формулы для скорости
§ 1. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ звука [C4) гл. I] и уравнения неразрывности найдем 123 Если с помощью ударной адиабаты заменить отношение pH/pi его выражением через отношение pi/pa, то после некоторых пре- преобразований получим Г~ ~ ?_!_ \ ^н 5ПГТ# (^) В частности, для воздуха (к = 1,4) Можно выразить отношение давлений в прямом скачке уплот- уплотнения и в функции приведенной скорости перед скачком Ян; для -этого следует в равенстве B0) произвести замену переменных по формуле D5) из гл. I: Ъ 2 к-1 B1) f ч§а>0~ 10 рис з.4. Сравнение ударной и идеальной адиабат При уменьшении скоро- скорости набегающего потока до критического значения (Мн = 1) скачок уплотне- уплотнения вырождается (/?1=/?н). В дозвуковом потоке, как уже указывалось выше, скачки уплотнения невоз- невозможны. В прямом скачке уплотнения повышение давления зависит только от значения числа М в набегающем потоке, причем с возрастанием М давление увеличивается неог- неограниченно (р\-+о° при Мн->оо). Подставив результат B0) в уравнение A8), нетрудно вывести зависимость плотности за прямым скачком уплотнения непосредственно от числа М или с помощью D5) гл. I от приведенной скорости Кв в набегающем потоке: &+1 '^= к7\ ~*i B2) Рн 1 + - fc-i
124 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ Из равенства B2) еще раз заключаем, что даже при бесконечна большом значении числа М плотность газа увеличивается в скач- ке не более чем в Определим потери полного давления в прямом скачке уплот- уплотнения. Полное давление в струе после скачка, очевидно, равно Pi h ' B3) iLzl к+1 1 ~~ 7 | л с* Полное давление перед скачком равно поэтому коэффициент сохранения полного давления, учитываю- учитывающий волновое сопротивление (потери в прямом скачке), можно представить, если использовать выражение B1), следующим об- образом: 1 — k—1 J_ _ k-l B4) большой скорости полета При скорости полета, равной или меньшей скорости звука (Ян ^ 1), волновое сопротивление исчезает оп = 1; формула B4) справедлива только при Я„ > 1. При бесконечна > k+l\ n I = "jriri) п0ЛУчается ап = 0, од- однако при этом потери не поглотят всего первоначального запаса полного давления, так как другой множитель (рн) стремится к бесконечности. Кривая зависимости 0П = /(Я) для воздуха (к = 1,4) приведена на рис. 3.5. Из равенств G3) гл. I и B2) можно получить формулу для определения плотности заторможенного газа после прямого скачка уплотнения B5) *-*
§ i. ПРЯМЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 125 В заключение заметим, что выведенное выше равенство A0) и уравнение неразрывности дают возможность представить ско- скорость потока перед скачком как следующую функцию возраста- возрастания давления и плотности: Но это есть уже известное выражение E) для скорости распро- распространения прямой ударной волны в неподвижном воздухе. Такой результат является вполне естественным, так как для того, чтобы Рис. 3.5. Зависимость коэффициента сохранения полного давления за прямым скачком уплотнения от при- приведенной скорости 0,5 \ \ \ остановить ударную волну, следует направить газовый поток на- навстречу волне и сообщить ему скорость, равную скорости волны. Подставляя выражение B2) в соотношение A5), получаем новую формулу для относительной скорости газа за фронтом скачка w, = а кр Отсюда с помощью A9) обнаруживается, что относительная при- приведенная скорость газа за скачком не может быть меньше неко- некоторого определенного значения: I «-.„a 1-1/1^|. B8) Если перейти от неподвижного скачка уплотнения к скачку, распространяющемуся в неподвижном газе со скоростью wB = = — и>н, то с помощью полученных равенств можно определить абсолютную скорость, которую приобретает газ в следе за скач- скачком: B7)
126 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ или на основании B2) и в безразмерном виде J_ B8) B9) Согласно закону A6) за ударной волной скорость газа отно- относительно фронта волны получается всегда меньше звуковой (A,i<l); на основании этого становится ясным, почему всякое изменение давления, происходящее позади волны и распростра- распространяющееся со скоростью звука, может догнать фронт волны. Именно по этой причине описанное выше (рис. 3.2) падение дав- давления в следе за ударной волной, возникшей в неподвижном га- газе, приводит к ослаблению перепада давления на фронте волны и вызывает ее затухание. § 2. Косые скачки уплотнения Характерной особенностью прямого скачка уплотнения, как можно было заметить, является то, что, пересекая его фронт, газовый поток не меняет своего направления, причем фронт пря- прямого скачка располагается нормально к направлению потока. По- Помимо прямых скачков уплотнения, встречаются и так называемые косые скачки уплотнения. Фронт косого скачка располагается Рис. 3.6. Схема косого скачка уплотнения Рис. 3.7. Образование косого скачка уплотнения при обтека- обтекании клина наклонно к направлению потока (рис. 3.6). Косой скачок полу- получается в том случае, когда, пересекая фронт скачка, газовый по- поток должен изменить свое направление. Например, при сверх- сверхзвуковом обтекании газом клиновидного тела, которое отклоняет поток от начального направления на угол со, перед телом образу- образуются косые скачки уплотнения, сходящиеся на его носике (рис. 3.7). Косой скачок уплотнения образуется и при обтекании
§ 2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 127 конуса (рис. 3.8). Поверхностью разрыва в этом случае будет ко- конус с вершиной в носике обтекаемого тела. Таким образом, если до встречи струи с фронтом косого скачка скорость wH составля- составляла с ним угол а (рис. 3.6), то после пересечения фронта струя отклоняется на угол со, а угол между скоростью и фронтом скачка становится равным |3=а-со. C0) Разложим вектор скоро- скорости на две составляющие, из которых одна нормальна (wn), а другая параллельна (wt) фронту скачка (рис. 3.9). Нетрудно показать, что при пересечении струей фрон- фронта косого скачка модуль нормальной составляющей скорости уменьшается: win<wnni C1) а модуль тангенциальной составляющей остается неизменным; wt = const. C2) Обратимся для этого к рис. 3.10, на котором нанесен прямоуголь- прямоугольный контур НИН, охватывающий часть фронта косого скачка. Боковые участки контура (Н — 1) проведены перпендикулярно к Рис. 3.8. Теневая фотография косого скачка уплотнения при сверхзвуковом обтекании конуса Щи *е Рис. 3.9. Кинематика пото- потока при косом скачке уплот- уплотнения Рис ма ] у/ у . 3.10. косого Расчетная схе скачка уплот нения фронту, а торцовые (Я-Я и 1 - 2) — параллельно ему. Соста- Составим баланс количества движения для этого контура сначала в проекции на направление фронта. Ввиду того что силы давления на обеих боковых поверхностях (Н — 1) одинаковы, соответствую- соответствующая проекция количества движения остается неизменной, от- откуда и вытекает условие C2), указывающее на постоянство тан- тангенциальной составляющей скорости. Если теперь составить урав- уравнение количества движения в направлении Н — 2, перпендику-
128 гл. ш. скачки уплотнения лярном к фронту, то ввиду того, что на поверхностях Н — Н и 1 — 1 действуют существенно разные давления, получится Р\ - Р* = РнЫ>нп(н>нп - Win). Давление в скачке уплотнения возрастает (pi>pH), откуда сле- следует условие C1), согласно которому нормальная составляющая .скорости в скачке уменьшается. Приведенные соображения показывают, что косой скачок уп- уплотнения сводится к прямому скачку, который сносится вместе с потоком газа вбок со скоростью wt. В отличие от прямого скач- скачка в косом скачке претерпевает разрыв (скачкообразное умень- уменьшение) не полная скорость газового потока, а только ее состав- составляющая, нормальная к фронту скачка. В самом деле, согласно уравнению неразрывности, Уравнение теплосодержания в адиабатическом случае (нет теп- теплообмена) дает Далее мы имеем откуда w\ = w2ln Введем в рассмотрение температуру частичного торможения, по- понимая под этим следующую величину: 7/9 7/9 7/7 т. е. температуру, которая получится не при полном торможении потока, а лишь при погашении нормальных к фронту скачка со- составляющих скорости. Как показывает это равенство, темпера- температура частичного торможения имеет одно и то же значение перед и за фронтом скачка, что вытекает из условия wt = const. Если присоединить к этим уравнениям еще и уравнение состояния Рг _ Ря то окажется, как и следовало ожидать, что косой скачок уплот- уплотнения описывается в точности теми же соотношениями, что и прямой скачок уплотнения (см. стр. 119), с той лишь разницей, что в первом случае вместо полной скорости фигурируют нор-
§ 2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 129 малыше к фронту скачка ее составляющие, а вместо температуры полного торможения Г* — температура частичного тормо- торможения Г*. По этой причине, не повторяя всех выкладок, которые были подробно приведены в теории прямого скачка, можем написать сразу ряд готовых выражений. Например, вместо равенства A0) имеем -^l5- = вд». C3) Соответственно вместо равенства A4) получим 2 /о/ч р^р7т+т = а«Рл- C4) Здесь акр п — условная критическая скорость, которая соответ- соответствует температуре частичного торможения Тп. Основное кине- кинематическое соотношение для косого скачка принимает следую- следующую форму: WinWnn = Якрп- C5) Равенство C4) дает возможность связать полную критическую скорость с условной критической скоростью: RT* = а«ря + i^jwl C6) Пользуясь этим выражением, можно получить вторую часто встречающуюся форму основного кинематического соотношения для косого скачка уплотнения: + 8 частном случае, когда косой скачок переходит в прямой (а = 90°, wt = 0, wan = wH, win = wi), из соотношений C5) и C7) получаем уже известное соотношение A5). Переходя к при- приведенным скоростям %\п = w\JaKVn, Квп = мнп/акрп, получим в слу- случае косого скачка безразмерное кинематическое соотношение hlnXan = 1, C8) которое соответствует равенству A6) для прямого скачка. Есте- Естественно, что динамическое соотношение A7) пригодно для ко- косого скачка уплотнения без каких-либо изменений, и ударная адиабата применима к косому скачку уплотнения точно в таком же виде A8), как и к прямому скачку. Изменения статического и полного давлений в косом скачке находятся соответственно из зависимостей B1) и B4), если 9 rt H. Абрамович, ч. 1
130 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ вставить в эти формулы вместо Ха величину Ян„: Рн °я = -5" = Хтл~ нп к + 1 fe — 1 9 '* к — 1 т+т л к — 1 1 Л + 1 а2 1 Лм 1_ C9) D0) причем приведенная скорость Хнп подсчитана здесь по нормаль- нормальной составляющей скорости и условной критической скорости: "крп Можно, разумеется, получить и такие формулы, которые связы- связывают изменение давления в косом скачке непосредственно с аб- абсолютной скоростью набегающего потока. Согласно уравнению импульсов прирост статического дав- давления в косом скачке равен Р\ -/>н = нп- win). Подставляя уравнение C7) в это уравнение импульсов и пере- переходя к приведенным скоростям X, получим Pi ~ Рк = РнЯкр ( А? sin2 а — 1 + |qry ^н cos2 aj. Однако из D2) и D1) гл. I следует Рн Л+1 Отсюда отношение значений статического давления за и перед косым скачком уплотнения равно ^ п х _ Л - 1  ^н D1) к + 1 лн Выражение D1) при увеличении угла косого скачка до зна- значения а = 90° переходит в известное выражение B1), получен- полученное выше для прямого скачка. Вычислим значение pi/pa для
§ 2 КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 131 воздуха (к = 1,4): Р] _ ^h(! — 0,972 cos2 a)-0,167 Отношение значений полного давления за и перед косым скач- скачком является функцией приведенных скоростей и может быть определено следующим образом: где а отношение значений статического давления р\/рш берется по формуле D1). Таким образом, для определения ск в косом скачке уплотне- уплотнения нужно знать приведенную скорость Х\. Из треугольников скоростей за и перед косым скачком (рис. 3.9) следует w\ = win + и??, wHn = wH sin a, wt = wK cos a. D3) Используя эти соотношения, a также C7), выведем расчетную формулу для приведенной скорости за косым скачком уплот- уплотнения: л 2 1 ln_ I t hi hi Подставляя значения win и wt в выражения для A,i, получим I 1 л 2 2 1 I? = >i cos2 a + i -j- ^—L. D4) Яд A — cos* a) Увеличение угла скачка до прямого (a = 90°) приводит к из- известному соотношению A6) для прямого скачка. Увеличение давления в косом скачке уплотнения можно так- также представить в функции числа М набегающего потока и уг- угла а, который образует скорость wH с фронтом скачка. Подста- Подставим в уравнение импульсов 9*
132 гл. ш. скачки уплотнения значение wan из D3) и разделим обе части последнего на рп. Тогда, используя уравнение неразрывности и формулу для скоро- скорости звука [C4) гл. I], получим Выразив с помощью уравнения ударной адиабаты A8) отноше- отношение плотностей pH/pi через отношение давлений и подставив его в последнее уравнение, приходим к искомой зависимости: При одной и той же скорости набегающего потока косой скачок, как это следует из D5), всегда бывает слабее прямого. Интенсивность косого скачка уплотнения изменяется с изме- изменением угла наклона его фронта к направлению набегающего потока. В предельном случае, когда косой скачок переходит в прямой (а = 90°), увеличение давления получается максималь- максимальным. При этом равенство D5) переходит в равенство B0), из- известное из теории прямого скачка уплотнения. В другом предельном случае, когда угол наклона скачка к направлению потока перед ним определяется условием =-^-, D6) косой скачок вырождается в бесконечно слабую волну (pi ~ рн)^ Разъясним этот факт несколько подробнее. Пусть в некоторой точке О сверхзвукового газового потока возникло бесконечна шн 1с 2 с" ' Зс Рис. 3.11. Образование волны слабых возмущений малое возмущение (рис. 3.11) давления. Слабая волна сжатия (или разрежения) побежит из центра возмущения во все сторо- стороны со скоростью звука а. Через единицу времени (т = 1 с) фронт волны будет представлять собой сферу радиуса г = а. Однако вся масса газа, в которой возникла волна, сносится по потоку со
§ 2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 133 сверхзвуковой скоростью wa > а. По этой причине слабые волны давления никогда не выйдут за пределы конуса, поверхность ко- которого является огибающей для сферических волн. Образующая такого конуса носит название волны Маха или характеристики. Угол cto между образующей и осью называется углом Маха или углом распространения слабых возмущений. Этот угол, как видно из рис. 3.11, определяется равенством sina0 = -!.=_. Итак, фронт очень слабого косого скачка уплотнения располага- располагается по отношению к набегающему потоку под углом ао, который определяется равенством D6). Сильные Еозмущения, как было по- показано выше, распространяются со сверхзвуковой скоростью, в связи с чем фронт сильного скачка образует с набегающим по- потоком больший угол, чем характеристика: а > ао. Диапазон изменения угла а для косого скачка уплотнения определяется, таким образом, следующими пределами: 90° > а > а0. Подставив выражение D5) в уравнение ударной адиабаты A8), получим равенство, связывающее отношение pi/pH в случае ко- косого скачка уплотнения с числом М набегающего потока и углом наклона скачка: D7) Это равенство при М « 1/sin а дает pi ~ рн, а в случае а = 90° переходит в сооответствующее равенство B2) для прямого скачка уплотнения. Зная отношение плотностей газа за и перед косым скачком, можно вычислить угол со, на который отклоняется поток в скачке (рис. 3.6). Из уравнения неразрывности имеем В то же время из треугольников скоростей (рис. 3.9) следует тЛп tg P //Q4 = . . Dо) Отсюда получаем ~tga D9)
134 гл. ш. скачки уплотнения или на основании равенств D7) и C8) А+1 Л| sin2 a - <50> Но если известен угол [J между скоростью за скачком и фронтом последнего, то угол отклонения потока определяется соотноше- соотношением C0). Мы указали способ определения угла, на который отклоняет- отклоняется поток в скачке, когда положение фронта известно. Если, наоборот, задано определенное отклонение сверхзвукового пото- потока, то в тех случаях, когда в результате отклонения величина скорости должна уменьшиться (например, при сверхзвуковом об- обтекании клипа, изображенного на рис. 3.7, а), возникает косой скачок уплотнения; при этом по формулам C0) и E0) может быть вычислен угол а, под которым расположится фронт скачка по отношению к потоку. На рис. 3.12 представлены кривые а = /(со), соответствующие различным значениям числа М набегающего потока, построен- построенные для воздуха (к = 1,4). Как видим, каждому значению чис- числа М отвечает некоторое предельное отклонение потока (со = (Ощах). Так, при М = 2 поток может быть отклонен не более чем на угол ©шах = 23°, при М = 3 — на сотах = 34°, при М = = 4—на (Отах = 39°. Даже при бесконечно большой скорости (М = оо) поток можно отклонить максимум на угол о)тах = 46°. Наличие такого ограничения в отклонении потока после скачков уплотнения является вполне естественным фактом, ибо как при бесконечно слабом скачке, т. е. когда угол а равен углу распро- распространения слабых возмущений, а образующая конуса возмуще- возмущения является характеристикой, так и при наиболее сильном — прямом скачке угол отклонения потока'становится равным нулю, следовательно, кривые со = /(а) имеют максимумы. На кривых рис. 3.12 видно также, что одному и тому же от- отклонению потока отвечают два положения фронта скачка. Косой скачок с большим углом наклона (верхнее значение на кривой а (со)) называют сильным скачком, косой скачок с меньшим уг- углом наклона — слабым скачком. Опыты показывают, что из двух возможных положений плоского косого скачка более устойчивым является то, при котором угол между направлением потока и фронтом скачка меньше. Таким образом, на рис. 3.12 более важ- важны нижние ветви кривых, лежащие под точками максимумов. Нижнее пересечение каждой из кривых а = /(со) с осью ординат соответствует перерождению скачка в слабую волну, а получаю- получающийся при этом угол ао представляет собой угол слабых воз- возмущений.
§ 2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 135 При сверхзвуковом обтекании клина, у которого угол при вершине больше, чем допускается по рис. 3.12, образование пло- плоского косого скачка уплотнения невозможно. Опыт показывает, что в этом случае образуется скачок уплотнения с криволиней- криволинейным фронтом (рис. 3.13), причем поверхность скачка разме- размещается впереди, не соприкасаясь с носиком клина. В централь- центральной своей части скачок получается прямым, но при удалении от 33' 13" 23° ЗЗ9 ?3' S3'со Рис. 3.12. Зависимость направления косого скачка от угла отклонения потока оси симметрии переходит в косой скачок, который на больших расстояниях вырождается в слабую волну. Такая же форма скачка уплотнения наблюдается при сверхзвуковом обтекании тела, имеющего закругленную носовую часть (рис. 3.14). В кри- криволинейной ударной волне реализуются полностью обе ветви кри-
136 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ вой а (со), начиная от прямой ударной волны (на оси симметрии) и кончая волной Маха (на периферии). Каждый элементарный участок криволинейной ударной волны отвечает касательной к этому участку плоской волне. Иногда необходимо вычислить скорость потока после косого скачка уплотнения. Проще всего это сделать, пользуясь треуголь- Рис. 3.13. Скачок уплотнения при сверхзвуковом обтекании клина со слишком большим углом при вершине (о)кл > > о)тах) Рис. 3.14. Теневая фотография скачка уплотнения при сверхзвуковом обтека- обтекании тела вращения никами скоростей (рис. 3.9), из которых следует Отсюда получаем или в безразмерных обозначениях H cos Р * E1) E2) Используя формулу D5) гл. I, можно найти соответствующее значение числа Маха за косым скачком: Mj- т+т К1 На рис. 3.15 приведены кривые зависимости числа Mi за скач- скачком уплотнения от положения фронта Mi = /(a) для трех зна- значений числа М в набегающем потоке (М = 2, 3, 4). Как видим, во всех трех случаях при углах наклона фронта a < 60° скорость потока после косого скачка уплотнения оказывается сверхзвуко-
§ 2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 137 вой. Крайняя левая точка каждой кривой отвечает режиму пере- перехода косого скачка уплотнения в слабую волну, крайняя правая точка — в прямой скачок уплотнения, скорость за которым мень- меньше скорости звука. В соответствии с результатами, представленными на рис. 3.15, находится тот факт, что позади центральной части криволинейной ударной волны (рис. 3.13) течение газа является дозвуковым, \ № \ \ О 20° М9 60° 80°а Рис. 3.15. Зависимость числа Mi за скачком уплотнения от угла наклона скачка Рис. 3.16. Схема сверхзвукового об- обтекания конуса а за пределами этой зоны — сверхзвуковым. В точке, разделяю- разделяющей эти две зоны на линии ударной волны, угол ее наклона а соответствует максимальному углу поворота потока со. Случай, когда образуется прямой скачок, является наиболее простым, так как при этом сразу получается дозвуковое течение. После косого скачка поток замедляется, но, как мы видели, мо- может оставаться сверхзвуковым. В таком случае последующее торможение должно сопровождаться вторым скачком, который может быть как прямым, так и косым. В последнем случае мо- может понадобиться еще один скачок. Итак, полное торможение сверхзвукового потока требует либо одного прямого скачка, либо системы из нескольких косых скачков, обычно завершаемой сла- слабым прямым скачком. Можно представить себе такую систему скачков, в которой потери меньше, нежели в одном прямом скачке 1). Остановимся теперь на сверхзвуковом обтекании конуса. При симметричном сверхзвуковом обтекании конуса (рис. 3.16) перед ]) Петров Г. И., Ухов Е. П. Расчет восстановления давления при переходе от сверхзвукового потока к дозвуковому при различных системах плоских скачков уплотнения.— М., 1947.
138 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ последпим устанавливается коническая ударная волна (рис. 3.7, б), причем вершины конуса и ударной волны (поверх- (поверхности скачка) практически совпадают. Ввиду того что толщина скачка всегда очень мала, приведенные выше формулы для рас- расчета плоскопараллельного косого скачка применимы и к осесим- метричному скачку. В частности, если известны угол между фрон- фронтом и направлением потока а и скорость перед скачком (рис. 3.16), то по формулам E0) и C0) можно отыскать направ- направление потока со™, по формуле E1)— скорость и по формуле D5) — статическое давление непосредственно за скачком. Однако, в от- отличие от плоского в осесимметричном потоке направление струй 70е а ВО9 so9 3D9 20е / • У / 4'' У 1 1 / / л У 1 / Рис. 3.17. Сравнение углов косого скачка на конусе и на клине 10° 20е 30е W 50° со 60° газа непосредственно за скачком (сокл) не параллельно поверхно- поверхности тела (сокл ^ сокон). В связи с этим угол отклонения струй за скачком постепенно изменяется, приближаясь асимптотически к полууглу при вершине конуса. Непосредственно за скачком угол отклонения имеет наименьшее значение соКл < сокон и, как упоми- упоминалось, получается таким же, как для плоского потока, т. е. мо- может быть определен с помощью рис. 3.12. Зависимость угла а между фронтом скачка и направлением потока от полуугла при вершине конуса ((оКОн) для случая Ян == = 2(МН = 3,16) приведена на рис. 3.17 (сплошная). Здесь же нанесена кривая а = /(сокл), дающая углы отклонения потока не- непосредственно за скачком (штриховая), т. е. отвечающая плос- плоскому потоку (обтеканию клина). Как видим, при одинаковых уг- углах конуса и клина на конусе скачок получается слабее (более наклонным). Выше было указано, что изменения направления потока, ско- скорости и состояния газа в самом скачке не зависят от формы
§ 2. КОСЫЕ СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ 139 поверхности скачка; при заданной скорости потока (Ян) и угле скачка а эти изменения получаются одинаковыми в плоскопа- плоскопараллельном и осесимметричном течениях. Различие этих двух случаев состоит только в том, что при одинаковых углах раство- раствора конуса и клина получаются разные углы наклона скачка. Ина- Иначе говоря, при сравнении осесиммметричного и плоского косых 50° ?0° 30° 20е 10° 0 у */ у у 1 J ' / Si г у /у у ш / у f/ wfl у у / у у / л тл У Z У к J л 20й уё / А г/ / у / Y\ у у А г V 30° у А о 1 и у 509а) Рис. 3.18. Зависимость полуугла при вершине копуса от угла поворота потока в скачке для различных скоростей потока скачков целесообразно выражать все факторы в функции угла скачка, а не угла при вершине обтекаемого тела. В этом случае результаты расчета осесимметричного и плоского скачков полу- получатся одинаковыми. Течение газа за скачком в осесимметричном случае отличает- отличается от плоского: скорость потока, статическое давление и плот- плотность газа с удалением от скачка немного изменяются, а углы поворота потока в скачке (угол клина) и на бесконечности (угол конуса) существенно различны. На рис. 3.18 приведены кривые «кон = /(о)кл) для различных значений чисел Маха. На рис. 3.19 изображены кривые значений числа Mi за скачком (штриховая) и Мг на поверхности конуса (сплошная) в функции угла поворо- поворота в скачке при различных значениях скорости. Как видим, уменьшение скорости между областью, лежащей непосредствен- непосредственно за Ькачком (соответствует плоскому течению), и поверхностью конуса получается незначительным; так как числа М за скачком и на поверхности конуса близки, то близки и соответственные
140 ГЛ. III. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЯ числа %. Для практических расчетов скорость за коническим скач- скачком можно принимать равной средней арифметической величине 1 I Л E3) или даже скорости за плоским скачком Xi « А,1„„. E4) При этом для осесимметричиого течения оказываются пригодными S ? 1  <в т к* i ч Ч и н N ч чЛ ч^ *ч» ч^ V ^ч, •*> ч ч "Ч^ ч ч ч •ч^ ч» *ч СЧ ч «ч^ X» ч ч. "ч^ ч^ ч ч Чч Ч Ч; ч Г\ ч ч S i i \ \ Л го' 30° икл Рис. 3.19. Значения чисел М за скачком (штриховая линия) и на поверхно- поверхности конуса в зависимости от угла поворота в скачке формулы, полученные выше для плоскопараллельного течения, с той лишь разницей, что одним и тем же углам скачка соответ- соответствуют разные углы при вершине тела (рис. 3.17). § 3. О применении пневматического насадка в сверхзвуковом потоке Для измерения скорости сверхзвукового газового течения можно пользоваться обычным пневматическим насадком (рис. 3.20). Нужно только учесть, что при сверхзвуковом обте- обтекании насадка перед ним возникает ударная волна. Если ось сим- симметрии насадка параллельна направлению потока, то центральная
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ НАСАДОК В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ 141 газовая струйка, претерпевающая полное торможение, сначала проходит через прямую часть ударной волны, где ее скорость становится дозвуковой, затем при подходе к отверстию 1 скорость плавно уменьшается до нуля. Давление в трубке 1 (р\) может быть вычислено следующим способом. Из выражения F8) гл. I имеем h vfc-1 Pi \ где р\ и Mi — статическое давление и число Маха непосредствен- непосредственно за ударной волной. Используя формулы D5), D6) гл. I и формулу A6) данной главы, переходим к числу М в набега- набегающем M2 1 h ИЛИ потоке: 2 k + l\ к — 19 1 к+1Х1 2 1 & — 1 1 + 1 ^н 2 '"г 1 к~1 ( 2 н 2 J ^ 2 н 2 i2 А 2 >1 \ -^0. Пневматический: насадок в сверхзвуковом потоке Отсюда на основании равенства B0) получаем общеизвестную формулу Релея, выражающую отношение давления р! в трубке 1 к статическому давлению в набегающем потоке (рв) как функ- функцию числа М в набегающем потоке: ii -(*±±\к-Ч 2 >fe-i 2k 1 E5) Для воздуха (к = 1,4) эта формула приводится к следующему виду: E6)
142 гл. ш. скачки уплотнения Если боковые отверстия 2 находятся на расстоянии, равном не менее 4—6 диаметрам насадка от переднего его края, то, как показывает опыт, давление в трубке 2 равно статическому дав- давлению набегающего потока (рн). Таким образом, величины Р\ и рв измеряются непосредственно на манометрах, присоединен- присоединенных соответственно к трубкам 1 ж 2 насадка. Для вычисления скорости потока по формулам E5) или E6) нужно еще знать скорость звука, или, что то же, температуру набегающего потока: В некоторых случаях удобнее пользоваться формулой, выражаю- выражающей отношение давлений в трубках насадка в функции приве- приведенной скорости набегающего потока (Хв). Эту формулу можно получить из выражений B1) и B3) данной главы: =ГГ. E7) 1 —¦ ~~ Для воздуха (к = 1,4) л* л E8) Вычисление скорости набегающего потока по формуле E7) мож- можно выполнить, если известно значение критической скорости: wB = Лнакр, где причем т 1 н & + 1 Лн Заметим, что, например, в аэродинамической трубе всегда из- известна именно температура торможения, т. е. температура всасы- всасываемого в трубу воздуха.
Глава IV УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА § 1. Сверхзвуковое сопло В сверхзвуковом сопле, называемом соплом Лаваля, газовый поток преобразуется таким образом, что скорость истечения ста- становится больше скорости звука: М > 1, wa a. Рис. 4.1. Сопло Лаваля Рассмотрим случай одномерного течения газа по сверхзвуко- сверхзвуковому соплу. Уравнение неразрывности дает G = pwF = const. Газ движется по соплу с ускорением, поэтому при малой скоро- скорости, когда плотность газа можно считать неизменной, необходимо уменьшать сечения. Этим обусловлено сужение начальной части сопла. При дальнейшем рас- расширении газа увеличение скорости сопровождается за- заметным уменьшением давле- давления и, следовательно, плот- плотности газа, что частично компенсирует рост скорости, и поэтому сужать сечение канала нужно уже не гак быстро. Наконец, процесс проходит через такую стадию, когда плотность расширяющегося газа уменьшается обратно пропорционально скорости. Как из- известно, в этом сечении канала скорость потока равна скорости звука. Дальнейшее увеличение скорости сопровождается еще бо- более быстрым падением плотности, вследствие чего, как это следу- следует из уравнения неразрывности, сечение сопла должно увели- увеличиваться. Таким образом, сверхзвуковое сопло, предназначаемое для получения сверхзвукового потока, должно состоять из сужаю- сужающейся (дозвуковой) и расширяющейся (сверхзвуковой) частей (рис. 4.1). В самом узком сечении сверхзвукового сопла (крити- (критическом сечении) скорость потока равна звуковой. Рассмотрим совместно уравнения неразрывности и Бернулли (без учета трения) в дифференциальной форме: d(pwF) = О, dp + pw dw = 0.
144 гл. iv. ускорение газового потока Разделим второе уравнение на pw2 и умножим и разделим пер- первый его член на dp. Тогда получим 1 dp dp , dw л-ч w2 dp p w Из первого уравнения имеем, согласно D) гл. I, при dG = О dp dF dw р ~~ F w Подставляя этот результат во второе уравнение и учитывая, что согласно равенству C4) гл. I производная давления по плотно- плотности в идеальном адиабатическом процессе равна квадрату ско- скорости звука в газе, получим w2 Л dw_ dF w Анализируя это равенство, можно заметить, что при расширении (ускорении) газа, когда dw/w > 0, сечение сопла должно изме- изменяться так, как указывалось выше, а именно: если w <Са, то -тг- < 0 (сужение), если w = а, то —=- = 0 (кризис), если w > а, то -тг- > 0 (расширение). Таким образом, наблюдаются три режима: дозвуковой w < акр, критический w = акр, сверхзвуковой w > а„р. Следует отметить, что около критического сечения поток очень чувствдтелен к изменению поперечного сечения канала. Так, например, для изменения числа М на 10 % (от М = 0,9 до М = 1) достаточно изменить площадь сечения на 1 %, а для пе- перехода от М = 0,95 к М = 1 — на 0,25%. По этой причине нельзя поддержать критический режим на достаточно протяжен- протяженном участке прямой трубы (пограничный слой, образующийся за счет торможения газа у стенок, как бы сужает сечение струи). Плотность, как уже отмечалось, с ростом скорости умень- уменьшается. В критическом сечении сопла dF/F = 0, это значит, что площадь поперечного сечения проходит через экстремум (мини- (минимум). Из соотношения A) следует, что именно в узком сечении сопла Лаваля получается скорость потока, равная местной ско- скорости звука. Рассмотрим зависимость скорости от площади поперечного сечения сопла. Для этого, пользуясь уравнением неразрывности, свяжем произвольное сечение сверхзвукового сопла с его мини- минимальным сечением: 1 = Ркр^кр^кР;
§ 1. СВЕРХЗВУКОВОЕ СОПЛО 145 отсюда Однако w = аМ и Мкр = 1, поэтому F РКракр Но, как известно, * 1/2 акр _ / Укр ) а -\ Т J и при идеальном процессе Р кр следовательно, F /rKP\2U-D /Гкр\2(й-1) ! На основании равенств C8) и C9) гл. I имеем Т 1 + 1 кр ' Отсюда следует й+1 Для воздуха к = 1,4, поэтому имеем F A + 0,2М2K FKX) = 1,73М B) C) Из этих формул видно, что безразмерное значение площади се- сечения сопла является функцией только числа М. Следует под- подчеркнуть, что все приведенные выражения справедливы при от- отсутствии тепловых и гидравлических потерь, т. е. при изменении состояния газа по идеальной адиабате. Если задается конфигурация сверхзвукового сопла, то можно указать, какое число М получается в любом сечении. Каждому Ю г. Н. Абрамович, ч. 1
146 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА -значению числа М соответствует определенная величина отно- отношения F/FKp. Кривая F/FKV = /(М), построенная по формуле C), приведена на рис. 4.2. При этом, как видно из кривой, уравне- уравнение C), и значит уравнение B), имеет два решения; одному и тому же F/FKp отвечают два значения числа М: одно при дозву- дозвуковой скорости и другое при сверхзвуковой скорости. Для вход- входной части сопла, предшествующей критическому сечению, годны все дозвуковые решения, а для выходной части — все сверхзву- сверхзвуковые. Однозначное решение по- получается только в критическом се- сечении (F/FKP = 1). Давление и плотность газа при идеальном процессе зависят од- однозначно от числа М и определя- определяются формулами F8) и G1) гл. I. Отсюда следует, что, выбрав про- произвольное сечение, мы получим в этом сечении определенное значе- значение числа М, которому соответ- соответствуют определенные значения температуры, давления и плотно- плотно) F 1 f з z 0 1 i A / 1 1 I 3 М ? Рис. 4.2. Зависимость безразмер- безразмерной площади сопла Лаваля от числа М (к = 1,4) сти газа (с точностью до влияпия пограничного слоя). Величина скорости в данном сечении сверхзвукового сопла зависит только от температуры торможения Т*. Изменение пол- полного давления р* на скорость не влияет, так как пропорциональ- пропорционально ему изменяется и местное давление /?, а их отношение остает- остается неизменным, также остается неизменным и отношение тем- температур Для получения на срезе сверхзвукового сопла определенного значения числа М необходимо соответствующим образом подо- подобрать площадь сечения и, кроме того, надо иметь достаточный запас давления в камере перед соплом. Другими словами, для достижения требуемого числа М на срезе сопла давление в ка- камере должно в известное число раз превосходить давление окру- окружающей среды. Предположим, что давление в камере р* возросло, тогда на срезе сопла давление также увеличивается и газ истекает с избыточным давлением. Где-то за срезом сопла давление урав- уравняется с атмосферным, избыток давления израсходуется в струе на увеличение скорости, а так как для сверхзвукового потока увеличение скорости требует увеличения поперечного сечения струи, то струя как бы образует в пространстве расширяющееся сверхзвуковое сопло. Если же давление в камере по какой-либо
§ 1. СВЕРХЗВУКОВОЕ СОПЛО 147 причине понизится, то на срезе произойдет понижение давления, причем давление в некоторых случаях может получиться ниже атмосферного; скорость истечения при этом не изменится, так как она являетоя функцией только отношения площадей выход- выходного и критического сечений оопла. Изменение давления в ат- атмосфере не сказывается на истечении из сопла, так как волна давления, распространяющаяся со скоростью звука, сносится сверхзвуковым газовым потоком. По выходе газовой струи из сопла давление в ней в конце концов должно сравняться с ат- атмосферным, т. е. повыситься за счет торможения сверхзвукового потока; этот процесс сопровождается возникновением ударных волн и будет ниже разобран более подробно. Таким образом, давление на срезе данного сверхзвукового сопла не связано с давлением атмосферы, а зависит только от давления в камере и формы сопла. Лишь в случае так называемого расчетного режима давление на срезе сопла равно атмосферному давлению: ра = /V На не- нерасчетных режимах, когда давление на срезе больше или мень- меньше атмосферного, должно происходить изменение давления в струе вне сопла (см. с. 159 и 160). Уже отмечалось, что процесс преобразования давления в ско- скорость в сверхзвуковом и в дозвуковом потоках протекает без су- существенных потерь, т. е. примерно при постоянной энтропии и, следовательно, очень близок к идеальной адиабате. Имен- Именно поэтому приведенные выше формулы расчета идеального сверхзвукового сопла дают хорошие результаты для реальных сопел«. Во многих случаях расчетные формулы упрощаются, если па- параметры состояния газа определяются в функции не от числа М, а от приведенной скорости. Удобство оперирования приведенной скоростью связано с тем, что ее знаменатель (критическая ско- скорость) зависит только от температуры торможения, которая по- постоянна для любого участка потока с изолированным процес- процессом. Законы изменения температуры, давления и плотно- плотности газа в функции К выражаются формулами D2), G2) и G3) гл. I. Выведем выражение, связывающее площадь сечения сверх- сверхзвукового сопла с приведенной скоростью. Обратимся к уравне- уравнению неразрывности F PkdSd ^кр Рш Подставляя сюда " = я«кР, 9-f л т ) ' 10*
148 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА получим F " ^кр 1 X 1- 2 к-1 к + 1 я2 1 k-1 D) Выведем в заключение формулу для расчета секундного рас- расхода газа в сверхзвуковом сопле. Удобно находить расход газа по критическому сечению сопла: G = ркрЯкр^кр, E) так как из выражений D2), G2), G3) гл. I легче всего опреде- определить состояние газа в критическом сечении (X = 1): 1 Г* к+1 _р* / I _ ^нр 2 ' Ар I 2 J -L 1 1 F) р* _ / Ar + I \fe-l a* _ (_T*i_Y _ ( к + 1 \2 J ' «кр ~UkPJ "" I 2 J В частности, для воздуха (к = 1,4) имеет место Т* = 1,2Гкр, р* = 1,58ркр, /?* = 1,89/?кр, а* = 1,1акр. G) Заменяя с помощью соотношений F) критические значения плотности и скорости звука в выражении E) значениями, соот- соответствующими состоянию торможения, т. е. состоянию в камере перед соплом, получим &+1 или, используя уравнение состояния и формулу C4) гл. I: fe+i 1 Итак, расход газа через сверхзвуковое сопло зависит только от состояния газа в камере перед соплом. Для воздуха (к = 1,4, R = 287,3) имеем следующую упрощенную формулу расхода: G = 0,0404-~^ [кг/с]. (8а) По формулам (8) определяют размер критического сечения сверхзвукового сопла для заданного расхода и известного со- состояния газа перед соплом. В тех случаях, когда скорость истечения меньше критиче- критической, в качестве сопла применяют простой сходящийся наса-
§ i. СВЕРХЗВУКОВОЕ СОПЛО 149 док — конфузор. Состояние газа и скорость течения в различных сечениях конфузора можно определять по тем же формулам, что и в случае сверхзвукового сопла. Однако поток в коыфузоре имеет ряд особенностей, которые нельзя не учитывать. Наиболее важно, что при дозвуковом режиме истечения дав- давление в струе на срезе сопла ра практически равно давлению в окружающей среде рн, так как при этом режиме любое измене- изменение давления в атмосфере в виде волны давления проникает внутрь сопла, вызывая изменение давления перед соплом и со- соответствующее изменение скорости истечения; перестройка по- потока продолжается до тех пор, пока давление в струе на срезе сопла не сравняется с атмосферным. Поэтому в отличие от сверх- сверхзвукового сопла в простом конфузоре скорость истечения опреде- определяется не его формой, а только давлением в камере перед кон- фузором. Таким образом, если известно давление в камере /?*, то при заданном давлении в плоскости выходного среза рв приведен- приведенная скорость истечения находится непосредственно по форму- формуле G8) гл. I: >2 * + 1 , (Рв\ k Величина скорости истечения равна wa = А,аакр, где критическая скорость зависит согласно D1) гл. I только от температуры в ка- камере перед соплом (температуры торможения): = «* V k+1 Расход газа в конфузоре найдем по уравнению неразрывно- неразрывности, применив его к выходному сечению: G = paWaFa. Если использовать известные уже зависимости 1 1 2 то получится или «о» Формулу A0) можно использовать и для определения расхода газа в сверхзвуковом сопле на расчетном режиме истечения,
150 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА когда давление в выходном сечении сопла Fa равно давлению в окружающей среде ра = рп. Необходимо, однако, иметь в виду, что при Fa = const и р* = const из формулы A0) следует, что с понижением давления ра = Рн, т. е. с ростом скорости истече- истечения Яа в области значений Яа> 1, расход газа через сопло умень- уменьшается: G -> 0. Это объясняется тем, что одновременно с увели- увеличением Ха должно расти отношение площади Fa к площади кри- критического сечения FKp, величина которой не зависит от ра = ра; Рис. 4.3. Зависимость расхода газа от отношения давлений в камере и окружающей среде иначе говоря, при увеличении р* для поддержания условия ра = Ря при Fa = const следует уменьшать площадь критического сечения сопла, что и вызовет уменьшение расхода газа через сопло. На рис. 4.3 представлен график функции 1 1 ft-i G кр которая описывает изменение отношения расхода газа через вы- выходное сечение расчетного сопла к расходу газа через критиче- критическое сечение той же площади в зависимости от перепада давле- давлений /?*//?н. Как видим, при_/?*//?н ~^ °° расход газа в выходном сечении стремится к нулю: Ga -* 0. § 2. Нерасчетные режимы истечения из сопла Лаваля Рассмотрим сверхзвуковое нерасчетное истечение из сопла Лаваля, когда ра > рн. На значительном удалении от сопла дав- давления в струе и в атмосфере должны уравняться. В связи с этим давление в струе по мере удаления от выходного отверстия сопла постепенно уменьшается, скорость газа возрастает и поперечное сечение сверхзвуковой струи увеличивается (рис. 4.4). Опыт показывает, что при этом происходит перерасширение струи, т. е. в некотором наиболее широком сечении струи устанавли- устанавливается давление ниже атмосферного ра\ < рн. После этого струя начинает сужаться, так как давление должно приблизиться к
§ 2. НЕРАСЧЕТНОЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОПЛА ЛАВАЛЯ 151 атмосферному, а скорость соответственно уменьшиться. Тормо- Торможение сверхзвукового потока приводит, естественно, к возникно- возникновению скачков уплотнения. В результате этого в некоторой части сечения струи скорость становится дозвуковой, а давление выше атмосферного. Затем давление вновь уменьшается, сближаясь с атмосферным. При достаточно большом избытке давления скорость вновь дости- достигает критического, а затем и сверхзвуко- сверхзвукового значения, т. е. появляется второй сверхзвуковой участок, на котором струя расширяется. В результате второго пере- перерасширения и последующего увеличения давления возникает вторая группа скач- скачков уплотнения. Естественно, что вслед- вследствие потерь в первой группе скачков второе перерасширение струи и вторая группа скачков уплотнения получаются слабее первой. Таким образом, постепен- постепенно струя рассеивает свою энергию (под- (подробнее об этом см. § 6 гл. VII). При небольшом избытке давле- давления на срезе сопла также получаются колебания скорости и давления вдоль оси струи, но без скачков уплотнения. Сверхзвуковое истечение из сопла в том случае, когда на срезе давление меньше окружающего, осуществляется посред- посредством сложной системы скачков. Рассмотрим, например, плоско- плоскопараллельную струю газа1), вытекающую в среду большего Рис. 4.4. Схема сверх- сверхзвукового истечения с избытком давления: 1 — сопло, 2 — граница струи, 3 — скачки уп- уплотнения Рис. 4.5. Схема истечения из плоскопараллельного сопла Лаваля на режиме перерасширения давления (рис. 4.5). От краев сопла отходят косые скачки уплот- уплотнения, встречающиеся на оси струи в точке О. Элементарные струйки газа, пересекая фронт косого скачка (а — О), перехо- переходят в область атмосферного давления ра > Ра. Отклонение струек от первоначального направления, происходящее при скачке, должно было бы привести к их столкновению на оси симметрии. В действительности происходит второй поворот струек, возвра- *) Речь идет о сопле, поперечное сечение которого имеет форму вытя- вытянутого прямоугольника. Сверхзвуковое истечение из осесимметричного соп- сопла сложнее, и мы его здесь рассматривать не будем (см. гл. VII).
152 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА щающий их к первоначальному направлению, но это приводит к возникновению второй группы скачков (Ob). Естественно, что если в областях аОЪ господствует атмосферное давление, то пра- правее линий О — Ъ (рис. 4.5) получится давление выше атмосфер- атмосферного. Поэтому за второй группой скачков устанавливается такой же режим, как при истечении с избытком давления (Ра>Рн)' Чем меньше давление ра на срезе сопла, тем больше получится угол между фронтом косого скачка и направлением потока; при этом увеличивается угол, на который должен повернуться поток во второй группе скачков Ob. Одновременно уменьшается ско- скорость потока за первой груп- группой скачков (в области аОЬ), поэтому в конце концов на- наступает такой режим, при котором нужный угол пово- поворота (со) потока в скачках Ob не может быть осуществ- осуществлен, т. е. со > (отах. С этого момента в центральной ча- Рис. 4.6. Мостообразный скачок при не- стп струи образуется удар- расчетном истечении из сопла Лаваля над вшша? а вся смма скач_ ков принимает мостообраз- ную форму (рис. 4.6). С увеличением противодавления участок ударной волны с — с увеличивается. При большом противо- противодавлении сверхзвуковое истечение оказывается невозможным, и скачки давления перемещаются внутрь сопла, т. е. осу- осуществляются в меньшем сечении, на меньшей скорости для данного сверхзвукового течения. В таком случае выходная часть сопла за фронтом скачка работает как обыкновенный дозвуковой диффузор. Если внутри сопла возникает отрыв потока от стенок, сопровождающийся обычно сложной системой скачков (§ 6, гл. VI), то истечение в атмосферу происходит со сверхзвуковой скоростью, меньшей, чем на расчетном режиме. С падением давления в камере скачок все ближе подходит к критическому сечению, одновременно становясь более слабым. Приблизившись вплотную к критическому сечению, скачок ис- исчезнет, сверхзвуковое сопло при этом превратится в трубку Вентури (рис. 4.7). Местоположение плоскости скачка определяется отношением давления в камере (перед соплом) к давлению в той среде, куда истекает газ. Следует отметить, что режимы, при которых скачки получаются внутри сверхзвукового сопла, встречаются в двига- двигателях редко. Обычно газ расширяется до выходного сечения со- сопла и вытекает со сверхзвуковой скоростью. Более детальное рассмотрение сверхзвуковой струи, вытекаю- вытекающей из сопла на нерасчетном режиме, дается в гл. VII, а вопрос об истечении с образованием скачков внутри сопла— в гл. VIII.
§ 2. НЕРАСЧЕТНОЕ ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОПЛА ЛАВАЛЯ 153 Остановимся на работе двигателя в нерасчетных условиях истечения газа из сопла. При работе двигателя на расчетном режиме давление в пло- плоскости выходного среза сопла как в рабочей струе, так и во внешнем потоке равно атмосферному. Однако такое условие вы- выполняется лишь при одном значении отношения давлений pjp*. 0,528 Рис. 4.7. Кривые давлений при скачке уплотнения внутри сопла Лаваля С изменением скорости полета давление на срезе сопла в воз- воздушно-реактивном двигателе изменяется. По этой причине неиз- неизменное выходное сечение становится не соответствующим расчет- расчетному режиму. Можно выделить две области нерасчетных усло- условий: первая — при недостаточной, вторая — при слишком боль- большой площади выходного отверстия сопла. В первом случае на срезе сопла Лаваля поддерживается по- постоянное давление, величина которого выше атмосферного, ибо выходное сечение меньше расчетного, вследствие чего газ в сопле расширяется не полностью. Величина давления на срезе равна и : —1 . Ра-Р [l — Чем меньше безразмерная площадь выходного отверстия (/а), тем ниже приведенная скорость (Ха) и, следовательно, тем выше давление на срезе (ра). Выходя из сопла, струя продолжает расширяться в атмосфере, а скорость потока растет. На рис. 4.8 показаны границы области в струе, внутри которых среднее давление остается избыточным. Если достроить сопло до расчетных размеров, то из-за того, что внутри дополнительной части сопла господствует повышен- повышенное давление, получится прирост тяги АР. Следовательно, при недостаточной площади выходного отверстия тяга двигателя меньше, нежели на расчетном режиме.
154 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Другая область работы сопла Лаваля отвечает тому случаю, когда площадь выходного отверстия превосходит расчетную, т. е. когда величина полного давления недостаточна для того, чтобы получить на выходе атмосферное давление. На этом режиме сопло Лаваля заполнено сверхзвуковым потоком до самого среза, а давление на срезе получается ниже атмосферного, т. е. сопло работает с перерасширением. При выходе струи в атмосферу в Рис. 4.8. Истечение из сопла с избыт- Рис. 4.9. Истечение из сопла с пе- пеком давления - рерасширением ней устанавливается сложная система скачков уплотнения, кото- которая поддерживает разрежение на срезе сопла. Работа на режиме перерасширения возможна лишь до дав- давлений ра^Рат\п. В ином случае, как указывалось, скачок уплот- уплотнения переместится внутрь сопла Лаваля, давление на срезе сравняется с атмосферным и скорость истечения станет дозвуко- дозвуковой. Этот режим работы, как уже упоминалось, в двигателях почти никогда не встречается и практического значения не имеет. Иначе говоря, при слишком широком сопле скорость на вы- выходе обычно такая же, как и на расчетном режиме, а давление здесь согласно приведенной формуле ниже атмосферного; при этом в выходной части сопла Лаваля получается участок пере- перерасширения, на котором к стенкам приложена сила АР, направ- направленная по потоку (рис. 4.9). Итак, на режиме перерасширения реактивная тяга ниже расчетной. Для увеличения тяги выгодно отбросить участок перерасширения, укоротив сопло до расчет- расчетных размеров. Таким образом, во всех случаях отклонения от расчетного режима истечения при р* = const реактивная сила меньше, не- нежели на расчетном режиме. Как следует из формулы A05) гл. I, реактивная тяга На режиме перерасширения третий член в правой части этого равенства отрицателен (/?а</?н), а первые два члена больше, чем на расчетном режиме (из-за увеличения wa); на режиме избытка давления (ра> р*) третий член положителен, а первые два члена вследствие уменьшения wa меньше, чем на расчетном режиме.
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ — МАЙЕРА 155 Вычисления показывают, что некоторый отход от расчетных условий не влечет за собой значительного уменьшения реактив- реактивной тяги. Получается это потому, что изменение третьего члена в формуле тяги компенсируется в значительной мере изменением первых двух членов. По этой причине в тех случаях, когда вы- выходное сечение сопла больше, чем сечение камеры сгорания, в целях снижения лобового сопротивления можно без особого ущерба для тяги укоротить сопло, приняв Fa = FT, т. е. работая на нерасчетном режиме. Можно доказать теоретически, на чем мы здесь не останавливаемся, что в ПВРД величина P/Fa дости- достигает максимума при условии, что скорость истечения в точности равна скорости полета (wa=wH), а давление на выходном срезе значительно выше расчетного (/?а>/?н). На таком режиме тяга образуется только вследствие избытка давления на срезе сопла: Выше установлено, что при постоянных значениях полного давления и температуры торможения в двигателе наибольшая тяга получается на расчетном режиме истечения. Естественно, что в случае нерегулируемого выхлопного сопла, т. е. сопла с постоянными сечениями, тяга возрастает при уве- увеличении полного давления, так как при этом давление на срезе сопла растет, а приведенная скорость истечения не изменяется. § 3. Сверхзвуковое течение газа с непрерывным увеличением скорости (течение Прандтля — Майера) Рассмотрим сначала простейший вид сверхзвукового течения газа — поступательный равномерный поток. При таком течении все частицы газа движутся по параллельным траекториям с по- постоянной по величине скоростью. Траектории частиц являются одновременно линиями тока, непроницаемыми для газа. Если поток не встречает никаких препятствий в виде твер- твердых тел или границ (стенок), то газ не испытывает никаких воз- возмущений. Простейшей границей, могущей изменить характер равномерного поступательного течения газа, является прямоли- прямолинейная твердая стенка. Рассмотрим сначала случай, когда такая стенка расположена параллельно направлению течения, т. е. совпадает с одной из линий тока. Если движущийся газ зани- занимает всю бесконечную область над стенкой и сама стенка тоже бесконечна по длине, то ясно, что в этом случае стенка не ока- окажет никакого влияния на течение газа1). Отметим, что это по- положение справедливо и в общем случае для кривых линий тока: Влияние вязкости газа здесь не учитывается.
156 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА если стенка совпадает с линией тока, то она не оказывает воз- воздействия на движущийся газ. Если бы в некоторой точке А стенки (рис. 4.10) имелось ка- какое-либо малое препятствие, то оно вызвало бы слабое возмуще- возмущение равномерного потока. Такое возмущение распространилось бы в равномерном сверхзвуковом потоке по прямой линии — ха- характеристике, составляющей с направлением скорости угол аог определяемый из условия Этот угол, как нам уже известно, называется углом распростра- распространения слабых возмущений. Теперь мы можем дать картину обтекания внешнего тупого угла. Пусть в некоторой точке С стенка поворачивает, образуя с первоначальным направлением угол бо (рис. 4.11). При сверх- сверхзвуковом обтекании внешнего ту- тупого угла АСВ газ расширяется, ибо область, занятая газом, уве- увеличивается; при расширении газ * В Рис. 4.10. Параллельный равно- Рис. 4.11. Поворот сверхзвукового мерный поток над плоской стен- потока газа при обтекании угла кой АСВ ускоряется. Вдоль участка стенки АС скорость газа постоянна. Угловая точка С при обтекании ее газом является препятствием, которое служит источником возникновения слабых возмущений в газовом потоке. Эти возмущения, как было показано, распро- распространяются в равномерном потоке по прямой линии — характе- характеристике СК, которая отделяет невозмущенный газовый поток от возмущенного. Вдоль участка стенки СВ скорость газа снова принимает постоянное значение, большее, чем в исходном потоке вдоль АС. Это значит, что возмущение, возникшее вследствие обтекания угловой точки С, закончится на другой характеристи- характеристике CL', которая также прямолинейна. Таким образом, поворот потока к новому направлению осуществляется внутри угла KCL' между двумя прямолинейными характеристиками. Для большей наглядности разобьем участок непрерывного расширения газа внутри угла KCU на большое число участков с незначительны- незначительными, но прерывными изменениями параметров.
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ — МАЙЕРА 157 Первый малый скачок скорости и давления произойдет на плоскости, следом которой является прямая СК; так как давле- давление при этом падает, то согласно теории скачков нормальная к плоскости СК составляющая скорости увеличивается; ввиду не- неизменности тангенциальной составляющей скорости поток немно- немного изменяет свое направление, отклоняясь от плоскости скачка разрежения в сторону, противоположную той, в которую он от- отклонился бы в скачке сжатия. Итак, за плоскостью СК слабого скачка разрежения поток получил несколько большую скорость,, немного отклонился в соответствующем направлении, а давление, плотность и температура газа слегка уменьшились. Возмущение,, распространяющееся из области более низких давлений, теперь уже должно быть ограничено новой характеристикой СК', кото- которая вследствие отклонения потока и увеличения числа М распо- располагается правее прежней характеристики СК, Левее характери- характеристики СК' никакие возмущения не проникают, поэтому вдоль линии СК', так же как перед этим вдоль линии СК, параметры газа и скорость движения неизменны. Если скорость потока, которая несколько увеличилась в пер- первом скачке, спроектировать на направления, нормальное и тан- тангенциальное ко второй характеристике СК', то окажется, что нормальная составляющая скорости здесь меньше {wu<^wu), а ра- радиальная— больше (ir'r>wr), чем на линии СК. Второй слабый скачок разрежения, который мы совместим с плоскостью СК', вызывает новое отклонение потока в сторону СВ и дальнейшее расширение газа, сопровождающееся увеличе- увеличением скорости. Поворот потока, очевидно, завершится, если струйка, /при- /прилегающая к стенке, станет параллельной направлению СВ (рис. 4.11). Следовательно, у самой стенки вектор скорости па- параллелен СВ. Но в силу того, что все характеристики, исходящие из точ- точки С, прямолинейны, т. е. скорость (и остальные параметры газа) вдоль них не изменяется, то и вдоль последней характеристи- характеристики CL' вектор скорости сохраняет постоянное (по величине и направлению) значение wkl). Таким образом, за последней ха- характеристикой CL' поток снова становится поступательным. Но за точкой С поток не испытывает более никаких возмущений. Сле- Следовательно, после поворота около угла поток будет над стен- стенкой СВ таким же, каким был поток над стенкой АС, т. е. равно- равномерным и параллельным потоком с постоянной скоростью wK > wn. Последняя характеристика CL', на которой завершается поворот газового потока около точки С, располагается под углом ah к 1) Точка С является особой точкой, так как в этой точке сходятся лучи, на каждом из которых значения скорости и давления постоянны. Эти: постоянные значения скорости и давления различны для разных лучеГи
158 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА стонке СВ, соответствующим равенству sinaft = J-, тогда как первая характеристика располагается под углом а„ к стенке АС в соответствии с равенством здесь Мн, Mfe—значения чисел М до и после поворота потока. Как известно, конечные адиабатические скачки разрежения невозможны. Однако если разбить угол RCL' на бесконечно боль- большое число бесконечно малых углов, то мы перейдем от рассмот- рассмотренной выше условной схемы с малыми скачками разрежения к непрерывному расширению газа; вместо конечного числа сла- слабых скачков получается бесконечное число характеристик — пучок характеристик. Таким образом, поворот потока около тупого угла и связанное с этим расширение газа (уменьшение давления) можно рассмат- рассматривать как последовательность слабых возмущений источником которых служит вершина угла; эти возмущения распространя- распространяются в потоке по прямолинейным характеристикам, исходящим из вершины. Приведенные рассуждения показывают, что при повороте сверхзвукового газового потока около внешнего тупого угла зна- значения скорости, давления и плотности остаются постоянными вдоль лучей, исходящих из угловой точки и являющихся харак- характеристиками. Поэтому при аналитическом исследовании обтека- обтекания тупого угла удобно воспользоваться полярными координа- координатами, поместив начало координат в этой угловой точке. Коор- Координатными линиями тогда служат лучи, исходящие из угловой точки, и концентрические окружности с центром в этой угловой точке. Координатами точки на плоскости являются радиус-век- радиус-вектор г этой точки и угол ф, составляемый радиусом-вектором с лучом, имеющим фиксированное направление, которое мы опре- определим позже. Все параметры газа будем рассматривать как функ- функции от г и ф: w = w(r, ф), р=р(г, ф), р = р(г, ф). В силу того, что параметры газа вдоль лучей в нашей задаче сохраняются постоянными, частные производные от w, p и р по г равны нулю (при перемещении вдоль луча не происходит изменения пара- параметров газа). Таким образом, Составляющие скорости по радиусу-вектору и по направле- направлению, перпендикулярному к нему, обозначим соответственно че- через wr и wu. Тогда величина скорости w =]/ w\ + w\. В силу
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ — МАЙЕРА 159 того, что dw/dr = О, имеем также dw^ dw^ dr dr A2) Основное свойство характеристики, как уже известно, состоит в том, что нормальная к ней составляющая скорости равна ско- скорости звука а, но характеристика совпадает с радиусом-вектором,, поэтому в выбранной нами полярной системе координат нормальная со- составляющая скорости может быть найдена из условия wu = a. A3) Рис. 4.12. К выводу усло- условия отсутствия завихрен- завихренности Течение газа около внешнего тупо- тупого угла является плавным и уско- ускоренным, поэтому его можно считать безвихревым. Но тогда циркуляция по любому замкнутому контуру рав- равна нулю. Составим выражение для циркуляции по контуру MRNK, огра- ограниченному отрезками двух радиусов- векторов, проведенных из вершины угла, и двух дуг, обходя этог контур по часовой стрелке (рис. 4.12): Cdw \ I dw wu + -^ArJ(r + Аг) Аф - [u>r+-0j — wurAq> == 0» учитывая постоянство скорости по радиусу-вектору, являющему- являющемуся характеристикой, имеем dw. L-Wu= 0. A4) Это и есть условие отсутствия завихренности в сверхзвуковом газовом потоке, обтекающем внешний тупой угол. Его можно было бы получить также непосредственно из выражения A03) гл. П. Каждую струйку рассматриваемого течения можно счи- считать энергетически изолированной, причем уравнение энергии це- целесообразно использовать в кинематической форме D8) из гл. I: -Lj-a' + i^-auax. A5) В плавно ускоряющемся газовом потоке, который мы рассмат- рассматриваем в данном случае, потери полного давления обычно незна- незначительны, поэтому термодинамический процесс обтекания угла мы будем считать изоэнтропическим, т. е. подчиняющимся урав- уравнению идеальной адиабаты: p/pfc = const. A6)
160 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Четыре уравнения A3) — A6) составляют систему, к решению которой сводится задача об обтекании внешнего тупого угла сверхзвуковым потоком газа. Из уравнений A3) и A5) следует • + к-1 или 2 I к — 1 2 к — 1 w + w Используя теперь уравнение A4), приходим к следующему диф- дифференциальному1) уравнению: / awr у \ 5ф J Разделяя в этом уравнении переменные wr и ф получим V2 —W2 max r ИЛИ d ' Производя интегрирование, получаем Ti arcsinT;— = Ф + ci» Л"~ L шшах где ci — постоянная интегрирования. Разрешая это выражение относительно искомой величины wr, найдем Тогда из уравнения A4) сразу следует Определим теперь постоянную интегрирования с\. Рассмотрим случай, когда скорость невозмущенного потока (до поворота) 1) Так как параметры газа вдоль линий ф = const при обтекании внеш- внешнего угла не изменяются, то они являются функциями лишь одного пере- переменного—полярного угла ф. Поэтому в уравнении A8) и далее частные производные по ф заменены полными.
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ — МАЙЕРА 161 равна скорости звука (Мн = 1). Это значит, что начальная ха- характеристика КС (рис. 4.11) перпендикулярна к стенке АС, так как т. е. полярные углы ф нужно отсчитывать от перпендикуляра к направлению скорости невозмущенного потока. Тогда при Ф = 0 имеем wr = О, wu = w, и выражение для wr превращается в уравнение для определения ci: Отсюда ясно, что с\ — 0. Таким образом, получаем следующие выражения для составляющих скорости wr и wu: = ^шах Sin [ у ^j ф], м>. Wu = Wmax V ,. , . COS Пользуясь выражениями C5) и D1) гл. I, можно перейти от максимальной скорости газа к критической a и выражения для wr и wu записать в следующем виде: = «kPcos 1/-Ь-гФ. B0) При ф = 0 получим wr == 0, wu = w = акр, т. е. скорость невозму- невозмущенного потока равна критической скорости звука. Найдем теперь величину полной скорости на каждом из лу~ чей: w = у wf -f w>l. Из уравнений A9) и B0) получим Отсюда определяется приведенная скорость 11 Г. Н. Абрамович, ч. 1
162 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Все остальные параметры газа выражаются через приведенную скорость по формулам, полученным в гл. I: B2) B3) B4> = 1/ k+lx* . М = I/ ftl. .- B5) Таким образом, определив по формуле B1) величину К2 для со- соответствующих значений ф, мы сможем по формулам B2) —B5) полностью рассчитать состояние газа на каждом из лучей, про- проходящих через вершину угла. При ф = 0 получается Л = 1, при Ф>0 имеем А>1. По мере увеличения полярного угла скорость газа возрастает, а давление, плотность и температура умень- уменьшаются. Как видно из выражения B1), при некотором значении по- полярного угла приведенная скорость может достигнуть максималь- максимального значения когда давление, температура и плотность газа равны нулю. Оче- Очевидно, что дальнейшее возрастание скорости невозможно, а сле- следовательно, прекратится и поворот потока. Иначе говоря, суще- существует предельное значение полярного угла, определяемое из условия Отсюда следует УШ- B6) Заметим, что полученное решение пригодно для всех значе- значений скорости сверхзвукового невозмущенного потока, а не только в случае Кв = 1. Если скорость невозмущенного потока больше скорости звука, то отсчет по формуле B1) следует начинать не от нулевого полярного угла (ф = 0), а от того значения угла {фн)э которое соответствует заданной скорости невозмущенного
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ — МАЙЕРА 163 потока (Ян). Из формулы B1) следует arcsin B7) Пригодность полученного решения для любого значения скорости основывается на том, что в данной задаче вдоль любой характе- характеристики скорость и остальные параметры газа не изменяются, т. е. на любой характеристике поток является равномерным и параллельным. И поэтому для поворота потока, происходящего правее данной характеристики, не может иметь значения пре- предыстории потока, т. е. достигнуто ли данное значение Ян в ре- результате ускорения газа при предварительном повороте от К = 1 и ф = 0 до А, = Ян и ф = фн или поворот начинается сразу при значении приведенной скорости К = Ян. Итак, в случае Кя > 1 при ф ^ фн поток остается невозмущенным, т. е. все параметры газа сохраняют свое значение. При ф > фн параметры газа вы- вычисляются по полученным выше формулам B2) — B5). Надо О Рис. 4.13. Схема отсчета углов wa при акр Рис. 4.14. К определению линии то- тока при обтекании внешнего тупого угла только помнить, что при скорости невозмущенного потока, боль- большей скорости звука, углы ф нужно отсчитывать не от перпен- перпендикуляра к направлению невозмущенного потока, а от прямой, составляющей угол фн + ан с направлением невозмущенного по- потока, где ан = arcsin^- (рис. 4.13) является углом распростра- распространения слабых возмущений, т. е. углом между характеристикой и направлением заданного невозмущенного потока. Чтобы получить наглядную картину обтекания внешнего ту- тупого угла, найдем форму линий тока. Для этого составим диф- дифференциальное уравнение линий тока в полярных координатах. Вспомним, что направление касательной к линии тока в каждой ее точке совпадает с направлением вектора скорости в этой точ- точке. Возьмем два бесконечно близких радиуса-вектора, составля- составляющих друг с другом угол йф, и проведем в точке А первого ра- радиуса отрезок линии тока АС, вектор скорости w = АЕ, направ- 11*
164 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА ленный по касательной к линии тока в точке А и дугу окруж- окружности АВ радиуса г (рис. 4.14). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольный криволинейный треугольник ABC, Тангенс угла А этого треугольника равен отношению ВС = dr АВ ~ Но угол между кривыми АВ и АС равен углу между их каса- касательными AF и АЕ, т. е. tg(^-EAF) = dr/rdq. Вектор скорости w разложим на составляющие wr и wu. Из треугольника ADE вид- видно, что tg(^-DEA) = WrJWu. Но из построения ясно, что ^-DEA = ~ ^- EAF. Таким образом, 4- = — • B8) Уравнение B8) представляет собой дифференциальное уравне- уравнение линий тока в полярных координатах. В случае обтекания угла wr и wu определяются формулами A9) и B0), поэтому дифференциальное уравнение B8) примет вид Его можно переписать также в таком виде: Интегрируя это дифференциальное уравнение, найдем где через lnro обозначена произвольная постоянная интегриро- интегрирования. После потенцирования получим Уравнение B9) есть уравнение линий тока в полярных коорди- координатах. Здесь го — длина радиуса-вектора линии тока при ф = 0, т. е. в невозмущенном потоке. Из уравнения B9) видно, что все линии тока представляют собой подобные кривые с центром по- подобия в вершине угла. Расстояние по нормали между двумя соседними линиями тока увеличивается в направлении течения.
§ 3. ТЕЧЕНИЕ ПРАНДТЛЯ — МАЙЕРА 165 Найдем теперь угол б, между касательной к линии тока и направлением невозмущенного потока, движущегося со скоростью звука, т. е. угол, на который поворачивается поток, дойдя до соответствующего луча, составляющего угол ср с перпендикуля- перпендикуляром к направлению скорости невозмущенного потока (приЯн = 1). Для этого рассмотрим рис. 4.15. Здесь w — вектор скорости в Рис. 4.15. Связь между углами а, ф и б при обтека- обтекании тупого угла точке 5, направленный по касательной к линии тока. Угол а — местный угол распространения слабых возмущений. Этот угол равен, как известно, углу между направлением скорости w и ха- характеристикой BE в данной точке. Угол б — искомый угол пово- поворота потока. Из рисунка ясно, что ^- ABD = б, а угол ABC = a. Тогда из треугольников ABC и ABD имеем = n — ср — а и Z А = ^- — 8. Таким образом, п — ф — а = -2~- б, или Угол распространения слабых возмущений а = arcsin -п- C0) C1) Поэтому для вычисления угла поворота потока б, соответствую- соответствующего заданному значению угла ф, нужно проделать следующие операции: 1) определить по формуле B1) приведенную скорость X для заданного значения ф, 2) по формуле B5) определить число М, 3) по формуле C1) определить угол а и, наконец,
166 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА 4) вычислить угол б по формуле C0) для заданного значе- значения ф. Таким образом, мы получим угол поворота потока б в функции от полярного угла ф. До сих пор независимым переменным являлся полярный угол ф и все параметры газа вычислялись в функции от этого угла. В действительности же обычно бывают известны величина обтекаемого тупого угла, т. е. величина угла поворота потока бо и значение скорости набегающего потока. По этим данным нуж- нужно определить все параметры газа (скорость, давление, темпера- ТУРУ и т. д.) после поворота потока около заданного тупого угла. Поэтому для практических расчетов удобно составить таблицу, где за основной параметр принят угол поворота потока б, а все остальные параметры газа вычислены в функции этого угла. Та- Такая таблица, рассчитанная по формулам B1) — B5), C0) и C1), приводится в приложении I на с. 566—568. Пользоваться этой Рис. 4.16. Линия тока сверхзвукового потока, обтекающего внешний тупой угол таблицей нужно следующим образом: по заданной скорости невоз- невозмущенного потока wn определяется приведенная скорость Ян. Да- Далее отыскивается фиктивный угол поворота потока бн, соответ- соответствующий значению А,н (угол, на который должен повернуться поток, текущий со скоростью звука, чтобы достичь заданной ско- скорости wH). Затем находится угол 6к = бн + бо, где бо—заданный угол поворота потока (рис. 4.16). Для значения бк из таблицы 1 Рк Рк Тк АА выписываются величины Ак, —, —, -~г- и Мк, которые опре- опрело ро о деляют соответственно приведенную скорость, давление, плот- плотность, температуру и число М после поворота потока около за- заданного тупого угла. Кривые ф(б), М(б), а(б) и ~г = /(б) изо- изображены на рис. 4.17.
§ 4. ОБТЕКАНИЕ ПЛОСКОЙ СТЕНКИ 167 При желании можно найти форму линии тока по формуле B9), задавшись величиной го и рядом значений ф от ф = фн до ср = фк (рис. 4.16). Для определения угла поворота потока 6о в зависимости от начальной и конечной скорости можно пользоваться предло- предложенной А. Я. Черкезом простой формулой, хорошо аппроксими- аппроксимирующей точные соотношения и табличные данные при /с = 1,4: .« —А»). C2) Здесь %в и Я„ — соответственно приведенные скорости потока до 9 a \4 4 n и г 0 п -150'- fff'- \ a ou 1 I- \ / / у й^< ¦*• *** *» —* 5S9 ¦аи tea > У —- 1 ! 1 Ч-т-ч 0 -0,5 ¦з,з -0,2 и09 10° 20" 30° W 50° ВО" 70° 80° 30е 100° 110° 120° 130°д Рис. 4.17. Вспомогательные кривые к расчету сверхзвукового обтекания внешнего тупого угла и после поворота. При X < 2,3 (-^г> 0,0005j погрешность опре- определения угла бо по этой формуле обычно не превосходит Г. Изложенная теория обтекания внешнего тупого угла сверх- сверхзвуковым потоком газа применяется для решения большого чис- числа конкретных задач газовой динамики; некоторые из них мы рассмотрим ниже. § 4. Обтекание плоской стенки Пусть сверхзвуковой поток газа течет с заданной скоростью над плоской неподвижной стенкой. В точке С (рис. 4.18) стенка обрывается, а давление в пространстве за точкой С меньше, чем давление в невозмущенном потоке вдоль стенки. Тогда точно так же, как в случае обтекания внешнего тупого угла, точка С
168 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА явится источником возмущений. Поток, обтекая точку С, повер- повернется на некоторый угол б. Скорость его увеличится, а давление в потоке упадет до величины давления, существующего в про- пространстве за точкой С. Картина течения при этом совершенно аналогична обтеканию внешнего тупого угла. Различие заключа- заключается лишь в том, что в случае обтекания тупого угла задан угол поворота потока б и требуется найти все параметры газа после Рис. 4.18. Схема сверхзву- сверхзвукового обтекания стенки поворота, а в рассматриваемом нами случае обтекания полубес- полубесконечной плоской стенки задано давление в потоке после пово- поворота и требуется найти угол поворота потока и все остальные параметры газа. Угол б определяет границу, отделяющую повер- повернутый поток газа от неподвижного газа под стенкой (штриховая линия на рис. 4.18). Для расчета обтекания плоской полубесконечной стенки мож- можно воспользоваться таблицей приложения I на с. 566—568. По заданной величине давления находят угол поворота потока и все остальные параметры газа. Легко вычислить максимальный угол бшах, на который может повернуться газовый поток, сходящий с плоской стенки. Этот угол представляет собой угол поворота потока, начальная ско- скорость которого равна скорости звука, при истечении в вакуум. Положим в формуле B2) р = 0. Тогда Подставляя А=Ятах в формулу B7), найдем Фтах- 2 У k-lm Так как при Я = Хтах из B5) имеем М = °°, то а = arcsin— = 0. Тогда из формулы C0) получаем
§ 5. ОБТЕКАНИЕ ВЫПУКЛОЙ КРИВОЛИНЕЙНОЙ СТЕНКИ 169 "/7/7 125° 100е 75е 50' При ?=^1,4 ЗНачеНИЯ фтах И бтах будут фтах = 220°27', бтах^ = 130°27/. Отсюда следует, что поток, стекающий с плоской стенки в вакуум, не заполняет всего свободного пространства под стенкой. Луч ф = фтах отделяет этот поток от пу- пустоты под стенкой. Ясно, что это положение справедливо не только для случая А,н = 1, но также прп А,н > 1. Угол поворота такого потока при истечении в вакуум равен бтах ~ бн, ГДе бн — фиКТИВНЫЙ угол поворота потока, соот- соответствующий заданному зна- значению Ян. Этот предельный угол, на который может по- повернуться сверхзвуковой по- поток заданной скорости, обо- вначим бпр. Таким образом, бпр = бгаах — бн. Зависимость бпр от числа М невозмущенного потока (при к = 1,4) представлена на графике рис. 4.19. При М = 1 имеем бн = О и бпр = = бтах- ПрИ М = °° бн = бтах И бпр = 0. Если сверхзвуковой по- поток должен обтекать тупой угол, для которого б > бпр, то после поворота около вершины угла лоток отрывается и следует не по стенке, а по лучу, соответствую- соответствующему б = бпр; между лучом и стенкой образуется область ваку- вакуума. Это явление можно назвать срывом сверхзвукового потока. § 5. Обтекание выпуклой криволинейной стенки Чтобы составить себе представление о картине, возникающей при обтекании выпуклой криволинейной стенки, рассмотрим вна- вначале одну из линий тока, полученных при обтекании тупого угла и примем ее за проекцию твердой стенки (рис. 4.20). Над этой стенкой параметры потока известны, ибо они останутся такими же, какими они были над соответствующей (теперь отвердевшей) линией тока при обтекании угла. Через каждую точку обтекаемой кривой линии проходит пря- прямолинейная характеристика, вдоль которой все параметры газа остаются неизменными. Состояние газа на каждой характери- V \ \ \ \ i 1 1 1 f \ \ \ А \ \ \ L о \ rax 7/7 i i 1 ч _, ! i ! i : ! 1 i ! i ; ! ! i ! I i j ! i i t I 1 s 1 25" 123Ц56783М11М Рис. 4.19. Предельные углы поворо- поворота потока в скачке уплотнения и при обтекании внешнего тупого угла
170 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА стике определяется по углу поворота потока б, соответствующе- соответствующему этой характеристике и равному углу, между касательной к стенке в начальной точке характеристики и направлением невозмущенного потока. При расчете параметров газа нужно воспользоваться выведенными ранее формулами или таблицей приложения I к книге на с. 566—568. Заметим, что такая же точно качественная картина имеет место при обтекании выпуклой криволинейной стенки любой Рис. 4.20. Схема сверхзву- сверхзвукового обтекания выпуклой кривой формы. Необходимо только, чтобы выпуклость стенки была на- направлена всегда в сторону газа. Чтобы показать это, заменим произвольную кривую стенку вписанной ломаной линией, со- состоящей из последовательности прямолинейных отрезков (рис. 4.21, а). Обтекание такой ломаной сводится к обтеканию последовательности внешних тупых углов и, следовательно, мо- может быть полностью рассчитано. Картина обтекания показана Рис. 4.21. Переход от обтекания ломаной стенки к обтеканию выпуклой кривой на рис. 4.21, б. Если теперь безгранично увеличивать число вер- вершин ломаной, вписанной в данную кривую, то в пределе мы по- получим обтекание кривой, причем ясно, что через каждую точку кривой проходит прямолинейная характеристика, вдоль которой параметры газа не меняются (рис. 4.21, в). Чтобы рассчитать обтекание произвольной кривой выпуклой стенки, нужно знать лишь угол поворота, т. е. направление ка- касательной для каждой точки стенки. Если, .например, форма стенки задана уравнением в виде у = у(х) (ось х направлена ио вектору скорости невозмущенного потока), то, дифференцируя
§ 6. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ СОПЛА С КОСЫМ СРЕЗОМ 171 это уравнение, мы найдем угол касательной с осью х для каж- каждого значения абсциссы х, равный углу поворота потока б. Таким образом, 6 Зная б, легко определить все параметры газа, действуя точно так же, как в случае обтекания тупого угла. В частности, можно найти распределение скоростей и давлений вдоль стенки. При обтекании кривой выпуклой стенки, так же как и при обтекании угла, газ разгоняется. Скорость газа непрерывно увеличивается, а давление падает. Если окажется, что в какой-либо точке стенки б>бпр, то произойдет срыв потока. Нахождение формы линий тока при обтекании выпуклой стенки произвольного вида является более трудной задачей, и мы ее здесь рассматривать не будем. § 6. Истечение из единичного плоского сопла с косым срезом в пространство с пониженным давлением Рассмотрим истечение сверхзвукового потока газа из плоского сопла. Пусть сопло обеспечивает равномерную скорость на его срезе, а давление в свободном пространстве, в которое вытекает газ, меньше, чем давление в плоскости среза сопла. Изложенная выше теория обтекания плоской стенки позволяет определить направление границ струи непосредственно после среза сопла. Поведение газа вблизи кромок сопла А ж В (рис. 4.22, а) точ- точно такое же, как при обтекании одной плоской стенки. Около каждой из кромок поток повернется на такой угол б, чтобы дав- давление в потоке стало равным заданному давлению в свободном пространстве. Следовательно, струя в целом при истечении рас- расширяется. Угол поворота потока б около каждой из кромок мож- можно найти по заданным величинам скорости и давления на срезе сопла и давлению в свободном пространстве так же, как при обте- обтекании одной плоской стенки. Этот угол б определяет направление границ струи за срезом сопла. Вдоль всей свободной границы струи существует постоянное значение скорости, которое соответ- соответствует внешнему давлению и легко может быть вычислено по приведенным выше формулам и таблице. Пучки прямолинейных характеристик, исходящих из точек А и В, пересекаются, как показано на рисунке. После пересечения характеристик скорость потока изменяется, и, как это следует из § 2 гл. III, характеристики перестают быть прямолинейными. Если плоскость среза сопла не перпендикулярна к оси пото- потока, то такое сопло называют соплом с косым срезом. Наличие
172 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА косого среза нарушает симметрию потока. Изучение истечения из каналов с косым срезом имеет важное практическое значение, так как такое истечение имеет место при работе паровых и газо- газовых турбин, где обычно сопловые аппараты представляют собой каналы с косым срезом. Рассмотрим сверхзвуковое истечение газа из плоского сопла с косым срезом в пространство, в котором давление меньше, чем давление в потоке внутри сопла. Косой срез образует- образуется при смещении кромки В сопла относительно кромки А назад, против потока. При небольшом смещении кром- кромки S, т. е. при небольшом наклоне плоскости среза АВ (рис. 4.22, б), получится, очевидно, несимметричная свободная струя. При этом область пересечения пучков характеристик, исходящих из кромок А и В, перемещает- перемещается к точке А, Следовательно, прямоли- прямолинейные характеристики, ис- исходящие из кромки А, начи- начинают искривляться раньше, чем в случае прямого среза. За плоскостью среза АВ струя расширяется. Углы поворота потока около каж- каждой из кромок А и В, оче- очевидно, такие же, как и в случае прямого среза. Предельным положением кромки В для течения тако- такого вида является то ее поло- положение, при котором «пер- «первая» характеристика, прове- проведенная из кромки 5, прохо- проходит точно через кромку А. Такой случай изображен на рис. 4.22, #. Картина течения вблизи кромки В по-прежнему аналогична обтеканию одной плоской стенки. Поэтому направление границы струи за кромкой В со- сохраняется прежним и его легко можно определить. Характери- Характеристики, исходящие из кромки А, начнут искривляться сразу за точкой А. Это усложняет определение второй границы струи за точкой А. Рис. 4.22. Различные схемы истече- истечения из сопла с косым срезом
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ 173 Если за кромкой А сделать направляющий козырек, выпол- выполненный по линии тока, соответствующей повороту потока около кромки В (рис. 4.22, г), то течение можно рассчитать полностью. Обтекание кромки В при заданном внешнем давлении аналогично обтеканию внешнего тупого угла. Поэтому форму линии тока можно определить по формуле B9). Таким образом, мы получаем профиль направляющего ко- козырька АС. Давление на луче ВС равно заданному внешнему давлению, вследствие чего за лучом ВС струя опять становится параллельной и равномерной. Скорость в этой струе больше, чем скорость внутри сопла в сечении BD. Струя отклоняется от оси сопла на угол б, определяемый отношением внешнего давления к давлению внутри сопла в сечении BD. Смещая кромку В еще дальше назад, мы получим случай истечения из косого среза, изображенный на рис. 4.22, д. Здесь «первая» характеристика, исходящая из кромки В, приходит на противоположную стенку внутри сопла в некоторой точке ле- левее А. Если, как и в предыдущем случае, сделать направляю- направляющий козырек, поместив начало его в точку встречи первой ха- характеристики со стенкой Л, то мы сведем рассматриваемый случай к предыдущему. Практически применимыми случаями истечения из косого среза являются случаи в, г и д. В случаях вид пользуются приближенным расчетом, определяя скорость истечения и угол поворота струи в целом так же, как в случае г, т. е. пренебре- пренебрегают небольшим изменением параметров потока, связанным с нарушением принятой при расчете картины течения вблизи кромки А. Подчеркнем еще раз, что во всех практически применимых случаях истечения из плоского канала с косым срезом в прост- пространство с пониженным давлением поток в косом срезе испыты- испытывает расширение, а струя получает добавочное отклонение; при этом скорость истечения увеличивается по сравнению со ско- скоростью, которую может обеспечить то же самое сопло с прямым срезом. § 7. Характеристики уравнений установившегося течения идеального газа Установившиеся плоские течения идеального газа описывают- описываются системой уравнений (92) — (94) гл. П. Уравнение неразрыв- неразрывности (93) может быть приведено к виду (98), и после подста- подстановки соотношений (99) получаем уравнение ра2 ** ра2 dy+~te + ду ~ и'
174 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА В общем случае двумерного течения газа уравнение нераз- неразрывности может быть представлено в виде * ? ^ ? + 4 = 0, C4) pa2 дх ' pa2 ду ' дх ду ' z/^ ' где v = 0 для плоского течения и v = 1 для осесимметричного течения. Учитывая, что для двумерных установившихся течений вдоль линии тока i* = const, или а, +" а, -"• <35» уравнения движения (92) гл. II при использовании термодина- термодинамического равенства TdS = di dp C6) р можно привести к виду W2 r W2 дх ду [ р \ дх ду J Здесь W2 = и2 + v2. Преобразуем уравпепия неразрывности и движения, выбирая в качестве неизвестных модуль скорости W и угол 0 наклона вектора скорости к оси х: и = W cos 0, i> = H^sin0. C8) Подставляя эти выражения в уравнение C4) и используя урав- уравнение C7), преобразуем уравнение неразрывности к виду где ? = tg9. Подставим теперь C8) в уравнения движения (92) f гл. II; W cos 9 д (W;os 6) + W sin 9 д (W/os-9) = - ± » D0) дх 1 ду р2 дх ' ч ' ТУ cos 9 d(W^Q) g(**.e) 1 Умножая первое уравнение на sin 0, второе — на cos 0 и вычи- вычитая одно из другого, получим -)-C-?+ ¦?-<>. D1) Составим линейную комбинацию уравнений C9) и D1). Для этого умножим уравнение C9) на неопределенный множитель т
§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ УРАВНЕНИЙ 175 и сложим его с уравнением D1). Тогда получается уравнение j ду J -Г дх Распоряжаясь величиной т/г, определим в каждой точке пло- плоскости х, у такое направление с угловым коэффициентом с == = dy/dx, чтобы выражения в квадратных скобках равенства D2) представляли производные по этому направлению от 0 и р: ??_—_?§. . лам. — j^ 4- ^ё. dx ~ дх ^ ду dx ~ дх + С ду ' * dp___dp^.^dy__^P_ др_ dx ^х ' ^у dx дх ду Таким образом, из уравнения D2) имеем _g ду1 dp _ dp g(M2 —1) + трИ72 dp * * Сравнивая D3) и D4), получаем трТУ2? + 1 = gp2 + mpPF2 = mpW2 — S р2 — т?рИ^2 ' Здесь Р2 = М2—1. Из D5) получается следующее соотношение для тга: Линии, получающиеся из D5) после подстановки D6) с = называются характеристиками первого и второго семейства — с4-характеристиками и с~-характеристиками соответственно. « Подставляя полученные значения га в уравнение D2), полу- получим соотношения, выполняющиеся вдоль с+ и ^-характеристик соответственно: Ум2 — 1 • t, dx ,Q 1^м2 — i ^ dx у/Li r rl r\ п.* * /71-1 W-г» J_ л» _5 * D9) Эти соотношения называются условиями совместности.
176 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Линия тока (96) гл. II является еще одной характеристикой (^-характеристикой или характеристикой нулевого семейства) двумерного установившегося течения идеального газа. Уравнения характеристик D7) и D8) можно записать и в таком виде: -|==-ffl = tg(e±a), E0) где sin a = 1/М или a = arcsin A/M). Характеристики первого и второго семейства наклонены к вектору скорости (к линии тока) под углом Маха ос. Следова- Следовательно, проекция скорости на нормаль к характеристике всегда равна скорости звука. Таким образом, система уравнений C9) и D1) при М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, имеет два семейства (с+ и с~) действительных характеристик и относится к гиперболиче- гиперболическому типу. При М = 1 имеем Р = 0, что соответствует двум совпадающим семействам характеристик, и система имеет пара- параболический тип. При М<1, т. е. при дозвуковых скоростях, система не имеет действительных характеристик и является эллиптической. Тип системы уравнений определяет особенности постановки задачи, методы и свойства решения. В случае эллиптической задачи на решение в некоторой точке области оказывают влия- влияние краевые условия, заданные на всей границе области. При решении гиперболической задачи возмущения сносятся только вниз по потоку. § 8. Плоские изэнтропические и изоэнергетические течения Условия совместности D9) могут быть проинтегрированы, если v == 0, а энтропия и энтальпия торможения являются по- постоянными в рассматриваемой области течения. В этом случае условия совместности можно записать в виде E1) и коэффициент при dp зависит только от давления. После интегрирования, обозначая постоянные /+ и /-, полу- получаем для характеристик первого и второго семейства соответ- соответственно 1 dp==J+' dy = ^S(Q + a)dxt E2) i dp = /_) d = tg (е _ ^ dx^
§ 8. ИЗЭНТРОПИЧЕСКИЕ И -ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ 177 Таким образом, вдоль характеристик dJ+ = 0 и dJ- = 0, т. е. зна- значения /+(/>, 0) и /-(/?, 0) сохраняются неизменными. Эти вели- величины аналогичны инвариантам Римана в одномерных неустано- неустановившихся течениях. Если один из инвариантов J-(p, 0) сохра- сохраняет постоянное значение во всей области течения J-(p, 0) = const, E4) то вдоль каждой характеристики первого.семейства, где к тому же /+(/?, 0) = const, все параметры, а следовательно, и угловой коэффициент tg@ + a) сохраняются постоянными и эти харак- характеристики являются прямыми линиями. Такие течения называют простыми волнами, а в установившемся течении — волнами Прандтля — Майера. Условие совместности E1) можно записать и в другом виде. Учитывая, что в рассматриваемом течении выполняется соотно- соотношение dp = -9W dW, E5) и подставляя его в E1), получим dQ =p ctg a -т- = 0. E6) Здесь ctg a = //Л2 -1=1/ *-1 2# <57> V 1—FT!'1 Интегрируя E6), получаем 9 zp Г ctg a -у- =¦• /± (К 0). E8) Подставляя сюда выражение E7) для ctg a, можно получить E9) Рассмотрим пример обтекания выпуклой криволинейной стен- стенки сверхзвуковым однородным потоком, имеющим скорость A,i (рис. 4.23). Аналогичный пример приведен в § 5. До точки О газ движется вдоль прямолинейной стенки, а затем огибает уча- участок криволинейной стенки и после поворота на некоторый угол вновь движется вдоль прямолинейной стенки. В этом течении /-(Я, 0) = const. E9а) 12 г. Н. Абрамович, ч. 1
178 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА Значение этой константы может быть найдено из условия К = Х\ при 0 = 0 подстановкой в E9). Так как угол 6 в каждой точке стенки известен, то из урав- уравнения E9) можно найти К, а из E7) — угол наклона характе- характеристики. Так как dQ и dK имеют разные знаки, то при движении вдоль стенки угол 0 уменьшается, а скорость К возрастает. Таким образом, течение Прандтля — Майера есть течение разрежения, в котором прямые характеристики образуют расхо- расходящийся пучок. Параметры пото- потока вдоль этих характеристик по- постоянные и равны их значениям в точке их пересечения со стен- стенкой. За прямолинейной характеристикой, замыкающей течение Прандтля — Майера, течение вновь становится однородным. Если уменьшить протяженность участка вдоль стенки с течением Прандтля — Майера до нуля, а угол разворота потока сохранить, то получим центрированное течение Прандтля — Майера, кото- которое подробно исследовано в § 3. Рис. 4.23. Простая волна Прандт- Прандтля — Майера § 9. Взаимодействие однородных сверхзвуковых потоков Взаимодействие однородных сверхзвуковых потоков удобно ис- исследовать, используя зависимости давления от угла поворота по- потока. Это связано с тем, что на тангенциальном разрыве, разде- разделяющем две области течения после взаимодействия, значения дав- давления и направления потоков непрерывны. Для косого скачка уплотнения эта зависимость имеет вид 1) tgO = 2fe .., fc-1 к + 1 mi ~ к + 1 k-i p F0) Здесь 0 — угол поворота потока, Mi, p\ — число Маха и давление в набегающем потоке, р — давление за косым скачком уплот- уплотнения. В течении Прандтля — Майера для определения скорости в зависимости от угла поворота потока используется уравнение E9) с /-(^, 0) из E9а). Давление определяется по изоэнтропи- 1) Курант Г., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны.— М.: ИЛ, 1950.
§ 9. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКОВ 179 ческому соотношению ft F1) Графически эти зависимости для фиксированного значения Mi представлены на рис 4.24. Значения р/ри расположенные выше p/pi = 1, представляют так называемую ударную поляру для ко- косого скачка уплотнения. Как известно, при данном значении угла поворота 6 существует два решения для plpu соответству- соответствующие слабому и сильному скач- скачкам уплотнения. При решении газодинамических задач обыч- обычно выбирается меньшее значе- значение р/ри отвечающее слабому скачку. Значения р/ри располо- расположенные ниже р/р\ = 1, получе- получены для течения Прандтля — Майера. Правая половина гра- графика соответствует положитель- положительным значениям угла 6 относи- 9 Рис. 4.24. Зависимость давления от тельно оси абсцисс, а левая по- угла ПОВорота потока в косом скач- ловина графика — отрицатель- ке уплотнения и течении Прандтля — ным значениям угла поворота Майера потока 6 для скачка уплотне- уплотнения и течения Прандтля — Майера, как это показано на рисунке. При решении задачи о взаимодействии двух однородных сверх- сверхзвуковых потоков для каждого из потоков записываются соотно- соотношения F0) или E9) и F1) и ищутся удовлетворяющие им значения отношения давлений р/р\ и угла поворота 0. При этом Рис. 4.25. Схемы взаимодействия двух сверхзвуковых потоков: а) две удар- ударные волны, б) ударная волна и течение Прандтля — Майера давление выражается в долях от давления в одном из потоков. Если, например, имеет место картина взаимодействия с двумя косыми скачками уплотнения, как на рисунке 4.25, а, то графиче- графически решение представляет пересечение двух ударных поляр, со- 12*
180 ГЛ. IV. УСКОРЕНИЕ ГАЗОВОГО ПОТОКА ответствующих потоку с числом Маха Mi и с числом Маха Мг, причем за решение принимается точка пересечения в области слабых скачков уплотнения (рис. 4.26). Если же имеет место картина взаимодействия, изображенная на рис. 4.25, б с волной в Рис. 4.26. Взаимодействие двух потоков с образованием скачков уплотнения Рис. 4.27. Взаимодействие двух потоков с образованием скачка уплотнения и волны разрежения разрежения Прандтля — Майера для потока с числом Маха Mi и со скачком уплотнения для потока с числом Маха Мг, то графиче- графически решение представляется точкой пересечения ударной поляры для потока с числом Маха Мг с кривой для течения разреже- разрежения с числом Маха Mi (рис. 4.27). Аналогично можно провести анализ других случаев взаимодействия.
Глава V ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА § 1. Адиабатическое течение газа с трением. Кризис течения Рассмотрим установившееся течение газа в трубе постоянного сечения при наличии трения, но без теплообмена с внешней средой. Уравнение неразрывности в этом случае (G = const, F = const) имеет следующий вид: pw = const, или в дифференциальной форме dp __ dw m Дифференциальное уравнение состояния dp=R(pdT + Tdp). B) Из уравнений A) и B) получаем lE- = RdT-RT — . C) Используя уравнение Бернулли в дифференциальной форме и известное выражение для скорости звука а2 = kRT, преобразуем выражение C) к новому виду RdT + {ujt-J^i^. + dLTp = 0. D) Ввиду того что рассматриваемый процесс является энергети- энергетически изолированным, температура торможения вдоль трубы не изменяется: Г* = const. Это эквивалентно условию ср w или, принимая во внимание известные равенства Л == сР — cv,
182 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Ср — КСх)) к E) Подставляя E) в D), приходим к соотношению, связывающему изменение скорости вдоль трубы постоянного сечения с работой сил трения: Существенно, что трение является односторонним воздейст- воздействием: работа сил трения всегда положительна (dZ/TP>0). Поэтому согласно соотношению F) под влиянием трения дозвуковой по- поток (М < 1) ускоряется (dw > 0), а сверхзвуковой (М > 1)— за- замедляется (dw<0). Непрерывный переход через скорость звука при воздействии только трением невозможен. Выведем формулы, определяющие изменение параметров газа вдоль изолированной трубы при наличии трения. Ввиду того что процесс в газе энергетически изолирован, тем- температура торможения не меняется: п* Tl = T\ = const. G) Термодинамическая температура, если воспользоваться уравне- уравнениями D2) гл. I и G), определяется из соотношения k-l 2 А_Ц*±^. <8) Вследствие постоянства температуры торможения критическая скорость вдоль трубы также не изменяется; отсюда отношение приведенных скоростей равно отношению скоростей и на основа- основании уравнения неразрывности — обратному отношению плот- плотностей Подставив равенства (8) и (9) в уравнение состояния, получим зависимость давления от приведенной скорости: к-\ Р2 __ К 1- к+1 *2 Р1 \ л К г ;2 1— Л: -4- 1 А1 Ввиду постоянства температуры торможения полное давление про-
§ 1. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С ТРЕНИЕМ 183 порционально плотности заторможенного газа1) h Отсюда на основании A0) получаем р! Дадим A,i какое-либо постоянное значение и будем рассмат- рассматривать %2 как переменную величину, а параметры Т2, р2, р2, р2, Рг — как функции переменного Яг. Выше было установлено на осно- основании соотношения F), что трение ускоряет дозвуковой и замед- замедляет сверхзвуковой поток. Тогда нужно считать Яг возрастающим при дозвуковом и убывающим при сверхзвуковом потоке. Поэто- Поэтому согласно зависимостям (8), (9) и A0) термодинамическая температура, плотность и статическое давление вдоль изолирован- изолированной трубы под влиянием трения падают в дозвуковом и растут в сверхзвуковом течении. Из равенства A1) следует, что в кри- критическом сечении при Яг = 1 полное давление /?г имеет минималь- минимальное значение2), но тогда из выражения A02) гл. I вытекает, что в критическом сечении энтропия достигает максимального зна- значения. Полное давление и плотность заторможенного газа в соот- соответствии с равенством A1) как в дозвуковом, так и в сверхзвуко- сверхзвуковом потоке вдоль трубы убывают, и только один параметр — тем- температура торможения — не меняется. То обстоятельство, что энтропия достигает максимума в кри- критическом сечении, как раз и обусловливает существование кри- кризиса течения в изолированной трубе, делающего невозможным плавный переход через скорость звука под влиянием трения; при таком переходе энтропия должна была бы уменьшаться, а это противоречит второму началу термодинамики. *) Это вытекает из уравнения состояния и формулы G2) гл. I. 2) В этом можно убедиться, дифференцируя равенство A1) по Я2. Под- Подставляя в выражение производной вместо Яз единицу, получим (?\ -о Вторая производная положительна при Яг = 1.
184 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА На рис. 5.1 изображены кривые температуры, плотности, дав- давления^ температуры торможения и полного давления в изолиро- изолированной трубе в функции приведенной скорости К2 при К\ =0,1 для дозвукового потока, К\ = 2,3 для сверхзвукового потока и/с = 1,4. Рис. 5.1. Зависимость пара- параметров газа от приведен- приведенной скорости в трубе по- постоянного сечения ZJSЯ Стрелки на фигурах указывают направление протекания про- процесса. Подчеркнем, что значительное ускорение дозвукового и тор- торможение сверхзвукового потоков под действием силы трения со- сопряжено с существенным расходованием полного давления. § 2. Течение в трубе постоянного сечения Исследуем влияние трения на изменение параметров турбу- турбулентного газового потока в трубах постоянного диаметра. Для это- этого заменим работу силы трения в соотношении F) общепри- общепринятым в гидравлике выражением аЬтр=?-2--^-, A2) здесь ? — коэффициент трения в трубе, D — диаметр трубы, dx — длина бесконечно малого участка трубы. Тогда получим 2 4г D Пользуясь выражением D5) гл. I и постоянством критической скорости в трубе, из которого следует равенство dw dX
§ 2. ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 185 перейдем в соотношении F) от числа М к приведенной ско- скорости X: (^-1)^ = ттт^- <13> Допустим в первом приближении, что коэффициент трения в трубе как в дозвуковых, так и в сверхзвуковых потоках не зави- зависит от числа М, а следовательно, и от приведенной скорости X. В шероховатых трубах величина ? для несжимаемой жидкости не зависит также от числа Рейнольдса R и определяется по фор- формуле 1) 1 i?> A4) где е = 2h/D = h/r — относительная шероховатость трубы (h — высота выступов шероховатости). Рассмотрим далее трение в так называемых технически глад- гладких трубах. Технически гладкая труба характеризуется тем, что 1,0 по о, и 0,7 \ § t V V ] \ jn i Л\ \ га о » =$0 • •» =126 • » =152 ® » =507 л* 41 && «Г* У5Яс5ЙЕ И" sja 3,8 5,0 ft* ft* Рис. 5.2. Зависимость козффициента трения ? от R в трубах с различной шероховатостью по опытам Никурадзе выступы шероховатости в ней покрываются ламинарным подсло- подслоем2). Толщина подслоя уменьшается с ростом числа R; поэтому одна и та же труба при малых R является гладкой, а при боль- больших R шероховатой (рис. 5.2). 1) См. Проблемы турбулентности.—М.: ОНТИ, 1936.—С. 29. 2) Подробнее о ламинарном подслое см. гл. VI.
186 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В технически гладких трубах для турбулентного потока не- несжимаемой жидкости коэффициент трения зависит от числа R и может быть определен по формуле С = 0,0032+ Ag-, A5) Поскольку в трубе постоянного сечения согласно уравнению неразрывности pw = const, то число R по длине трубы изменяется незначительно (только за счет изменения вязкости). Итак, приближенно полагаем коэффициент трения в трубе по- постоянной величиной ? « const. В этом случае уравнение A3) легко интегрируется: здесь к\ — значение приведенной скорости в начале трубы при z = 0, А,2 — значение приведенной скорости в произвольном сече- сечении трубы на расстоянии х — Х2 от начала. С помощью выраже- выражения A6) можно определить значение приведенной скорости в про- произвольном сечении трубы, если известны приведенная скорость в начале трубы Хь диаметр трубы D, коэффициент трения ? и по- показатель идеальной адиабаты к. Введем функцию ср (к) = —%• + 2 In X и назовем безразмерную А величину, находящуюся в правой части уравнения A6) к + 1 & D ~ Х' приведенной длиной трубы. Тогда уравнение A6) можно пред- представить в виде = Х. A7) Таким образом, изменение скорости потока между двумя се- сечениями трубы таково, что разность функций ср(Я) в них равна приведенной длине данного участка трубы. Пользуясь графи- графиком функции ф(^) (рис. 5.3), можно определить изменение при- приведенной скорости потока по длине трубы в зависимости от зна- значений X и |. Функция ф(Х) имеет при Я = 1 минимум, равный ф(Я)=1. Поэтому при заданном значении К\ величина разности в левой части уравнения A7), а следовательно, и приведенная длина трубы % не могут быть больше некоторой критической ве- величины, определяемой из условия ta = 1: -l. A8)
§ 2. ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 187 Действительно, приравняем нулю производную приведенной дли- длины % по %2 при %\ = const: Отсюда находим Так как при %2 — 1 )- —- —-О А.2 == 1. то условие Яг = 1 определяет максимум величины приведенной длины трубы для заданного значения приведенной скорости на входе в трубу Яь Поскольку уравнение A7) справедливо не толь- только для всей трубы, но и для любого ее участка, то из него следует, что скорость, равная скорости звука, может быть достиг- достигнута только в выходном сечении трубы. Действительно, если представить, что при- приведенная скорость Я равна единице в ка- каком-либо промежуточном сечении цилинд- цилиндрической трубы, то из уравнения A7), записанного для последующего участка трубы, получится 16 14 12 Ю '0,4 0,8 12 1,6 2,0 2,4А Рис. 5.3. График функ- функции ф (X) = -о" + 2 In I К Так как по определению (рис. 5.3), то этот случай нереален. Выше было показано, что при течении в цилиндрической трубе с трением дозву- дозвуковой поток ускоряется, а сверхзвуковой тормозится, причем предельно возможным состоянием в обоих случаях при не- непрерывном изменении параметров является критический ре- режим, т. е. достижение потоком скорости звука в выходном се- сечении трубы. Уравнение A7) позволяет установить количествен- количественную связь между изменением скорости и приведенной длиной тру- трубы %. Если на входе в трубу поток дозвуковой и приведенная ско- скорость его равна Я1 и если приведенная длина трубы меньше кри- критического значения, определяемого формулой A8), то на выходе из трубы поток будет также дозвуковым, причем из уравнения A7) следует, что Яг > %\. Если поток на входе дозвуковой и при- приведенная длина трубы равна критической (максимальной) для данного Я1 величине, то на выходе из трубы скорость потока рав- равна скорости звука и Яг = 1.
188 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Если, наконец, приведенная длина трубы больше максималь- максимальной, определяемой из формулы A8), то уравнение A7) не имеет решения для Яг (ф(А,г)< 1). Это означает, что принятое началь- начальное значение приведенной скорости Xi не может быть реализова- реализовано. В начале трубы с заданной приведенной длиной % скорость потока не может превышать величины, получаемой из формулы = X+i, A9) так как при этом скорость на выходе из трубы равна критической, и через трубу протекает максимально возможный секундный рас- расход газа. Чпр 0,8 0,6 ПН ОЛ п 1 \ ч 50 100 - — ^ 150 I X D Рис. 5.4. Зависимость предельного значения приведенной скорости в начале трубы от ее длины На рис. 5.4 представлена зависимость предельного значения приведенной скорости на входе в трубу Xinp от безразмерной дли- длины трубы x/D для дозвукового потока при ? = 0,015 и к = 1,4. При этих значениях ? и к Следует отметить, что полученному изменению приведенной ско- скорости (формула A6)) как при Х\ < 1, так и при Х\ > 1 соответ- соответствует вполне определенное изменение полного и статического давления газа (см. формулы A0) и A1) § 1). Выше мы везде полагали, что такое изменение давления может быть всегда осу- осуществлено: это являлось условием сохранения постоянного значе- значения Х\ при изменении приведенной длины трубы вплоть до по- получения Л2 = 1. Если почему-либо указанное изменение давления невозможно, например при заданной величине перепада давле- давлений на входе и выходе, то рассматриваемое течение с заданной начальной приведенной скоростью может оказаться нереальным. Подробнее этот вопрос рассмотрен ниже, в § 7.
§ 2. ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 189 При сверхзвуковом течении, для которого формула A6) так- также пригодна, возможны следующие режимы. Если при заданной начальной скорости К\ приведенная длина меньше максимальной 1(%<%кр)> то в конце трубы получается сверхзвуковое течение (Хг > 1). Если приведенная длина равна максимальной (% = %кр), то скорость в конце трубы равна критической (%2 = 1). Если же* приведенная длина, вычисленная по формуле A7), получается больше максимальной, определенной по формуле A8) при задан- заданном значении приведенной скорости в начале трубы Ль то плав- плавное торможение сверхзвукового потока на протяжении всей тру- трубы невозможно; в некотором сечении трубы произойдет скачок уплотнения, за которым установится ускоренное дозвуковое те- течение. Определение положения этого скачка уплотнения можно про- произвести следующим образом. Пусть задана сверхзвуковая ско- скорость в начале трубы Х\, длина трубы х, диаметр трубы D, коэф- коэффициент трения ? и показатель идеальной адиабаты к. Вычисля- Вычисляем по формуле A7) приведенную длину трубы %. По формуле A8) определяем максимальную приведенную длину /кр и убеж- убеждаемся в том, что истинная приведенная длина больше макси- максимальной (% > %кр)« В этом случае, как было указано, в некотором сечении, отстоящем на расстоянии хСК от начала трубы, возни- возникает скачок уплотнения. Для простоты допустим, что скачок уп- уплотнения прямой, тогда приведенные скорости до скачка (А/) и после скачка (X") связаны соотношением A6) гл. III AV =1. Приведенную скорость перед скачком (к') можно найти из фор- формулы A6): ^2 ^/2 Ш ^2 к + 1^ D Приведенная скорость за скачком, где устанавливается ускорен- ускоренное дозвуковое течение (%" < 1), связана с длиной дозвукового участка трубы, в конце которого имеет место кризис {%2 — 1)» формулой A8): ^,2 1 Ш ^,2 — ? + 1 откуда Л'2-1-1пГ2 = Х-Хск. B1) Решая совместно два уравнения B0) и B1) с двумя неизвест- неизвестными (%ск, V), приходим к уравнению с одним неизвестным, по которому вычисляется скорость перед скачком: я"+^""Р~1п^я=х' B2>
190 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА после чего по формуле B1) определяется местоположение скачка. Формулы B0)— B2) для определения местоположения скачка уплотнения неудобны, так как по ним приходится вести расчеты методом последовательных приближений. Можно рекомендо- рекомендовать вспомогательные графики (рис. 5.5), существенно упро- упрощающие расчеты. Кривая 1 от- отвечает вспомогательной зависи- зависимости ф Ш = —-f In №, B3) изображенной на рис. 5.3. Кри- Кривая 2 изображает функцию B1) 2,0 Д5 У г* у / / у \ ; у тл к / и с у/ У 7 t )^ 1 1 / f 1 1 -< у / у X -1 **0)^ I I I I I iWI I I I I I L I Кривая 3 соответствует функции A8) 1 , __ j J_ ^кр л 2 л 2 А1 А1 Поясним способ пользова- пользования этими кривыми на конкрет- конкретном примере. Пусть дана труба с приведенной длиной % = 0,6. По кривой 3 видно, что в этой трубе установится критический режим (А,2=1) при значении приведенной скорости на входе А.1 = 1,95. Проверим сначала характер течения в трубе в случае К\ > 1,95, например для Xi = 2,2. По формуле A6) можно вы- вычислить скорость в конце трубы 2,0 2,5 X Рис. 5.5. Вспомогательные кривые для расчета сверхзвукового потока в трубе постоянного сечения или в соответствии с обозначением B3) Ф2 = Ф1 - Х- B4) На кривой 1 при Х\ = 2,2 находим точку cpi = 1,78, откуда ф2 = 1,78 - 0,60 = 1,18, чему на кривой 1 отвечает значение приведенной скорости в кон- конце трубы Лг = 1,4. Итак, в трубе, имеющей приведенную длину X = 0,6, при начальном значении приведенной скорости К\ = 2,2 происходит плавное торможение сверхзвукового потока до значе- значения приведенной скорости %2 = 1,4.
§ 2. ТЕЧЕНИЕ В ТРУБЕ ПОСТОЯННОГО СЕЧЕНИЯ 191 Пусть теперь труба имеет приведенную длину больше макси- максимальной (х>Хкр)? т- е- в данном примере к\ < 1,95. Положим ^ = 1Д Тогда, согласно кривой 5, ХкР = 0,48, т. е. ХкР < Х- В этом случае в трубе возникает скачок уплотнения, в результа- результате чего на участке трубы длиной % — %ск установится дозвуковое течение, причем, как видно из сравнения кривых 2 и 3, критиче- критическая длина трубы существенно увеличивается. Для отыскания местоположения скачка уплотнения преобразуем формулу B0) 2,2 Л 2,0 1,8 1,2 ч ч ч Ч Ч ч 0 ч ^Ч ч. ч^ Ч> ' 24 ч \ N ч, ч 0,1 — — —— ч ч NN ч ч ч ч ч ч. ч ч ч. 0, ч N 3 ——' ч ч^^ 0,? ч ч Чч L ^^!ч! ЧчJ ч> is 0,8 0,8 Рис. 5.6. Кривые распределения значений приведенной скорости по трубе» с приведенной длиной % = 0,6 при различных начальных скоростях с помощью обозначений B3). Тогда расстояние от начала тру- трубы до сечения, в котором происходит скачок уплотнения, равна Хек = Ф1 - ф'. B5) Но, с другой стороны, X = (X "~ Хек) ~» Хск5 заменяя последнее слагаемое в правой части этой формулы по кB5), получаем Ф1-Х = ф'-(Х-Хск). B6)
192 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Теперь, пользуясь кривыми рис. 5.5, определим местоположение скачка уплотнения в трубе при Х\ = 1,8. По кривой 1 находим <Pi = 1,148, откуда ф1-х = 1,48-0,60 = 0,88. Остается найти значение Я', при котором расстояние между кри- кривыми 1 и 2 равно согласно B6) ф'- (Х- Хек) =0,88. Получается по рис. 5.5 Г = 1,4, ф' = 1,18, чему соответствует по формуле B4) приведенное расстояние от начала трубы до скачка уплотнения: Хек = ф1 - ф' = 0,3. Описанным способом по кривым рис. 5.5 вычислены и нане- нанесены на рис. 5.6 кривые изменения приведенной скорости ^= /(х) в трубе с приведенной длиной % = 0,6, получающиеся при различных значениях приведенной скорости К\ в начале трубы (при % = 0). Как видим, скачок уплотнения располагается тем ближе к началу трубы, чем меньше начальная сверхзвуковая ско- скорость газа. Значения дозвуковой скорости после скачка уплотне- уплотнения лежат во всех случаях на универсальной кривой, соответст- соответствующей формуле При Х\ = 1,6 скачок помещается в начале трубы (Ki =A/), т. е. участок сверхзвукового течения вовсе ликвидируется. Течение га- газа в трубе при заданном перепаде давлений рассмотрено в § 7. § 3. Движение подогреваемого газа по трубе постоянного сечения1) Процесс подвода тепла вносит особый вид сопротивления: при подогреве движущегося газа полное давление падает. Т>удем рассматривать движение газа в трубе, изображенной на рис. 5.7. Обозначим Ях и Яг приведенные скорости в соответ- соответственных сечениях. Пусть скорость в трубе мала: Прибегнем к следующей идеализированной схеме. Газ посту- поступает в трубу х — г из канала с большим поперечным сечением / (рис. 5.7). На участке / — х реализуется течение без потерь *) См. Абрамович Г. Н. О тепловом кризисе в газовом течении ДАН СССР,- 1946.- Т. 54, № 7.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПОДОГРЕВАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ J93 и теплообмена. Подвод тепла осуществляется только в цилиндри- цилиндрической трубе х — г. После этого газ без потерь и теплообмена вы- вытекает в широкий канал //. Несмотря на то, что в каналах I ж II скорость мала, а гидравлическими потерями можно пренебречь, значения полного давления в сечениях I ж II неодинаковы; как мы покажем сейчас, вслед- вследствие подогрева полное давление во втором канале меньше. Согласно уравнению Бер- нулли Px=JPi—Рх~» Рт=Р2 —Рг"~2~' Отсюда изменение полного давления К определению теплового сопротивления Из уравнения неразрывности~р*м>* — РгХ#? „еледует, что если вслед- вследствие подогрева плотность газа уменьшается, то скорость его рас- растет и, следовательно, статическое давление падает. И^ можно определить падение статиче- статиче(б ^рМ? р ского давления при подогреве на участке х — г (пренебрегая трением): J или Подставив эту разность в уравнение B7), имеем B8) Отсюда видно, что при подогреве медленно движущегося газа величина потерь мала. При значительной же скорости ими пре- пренебрегать уже нельзя. Обнаруженное «тепловое» сопротивление нетрудно объяснить с точки зрения термодинамики. В рассмотренном примере имеет место расширение газа в конфузоре, затем подогрев его при пониженном давлении и, наконец, сжатие в диффузоре. Но такой цикл противоположен обычному циклу тепловой машины, в кото- котором подвод тепла идет при повышенном давлении. По_этой причи- причине рассматриваемый процесс связан с поглощением, а не выделе- выделением энергииГ Можно предложить и другой способ термодинамического ис- истолкования «теплового сопротивления». Как известно, повышение 13 г. Н. Абрамович, ч. i
194 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА энтропии в газе зависит как от количества подведенного тепла, так и от температурного уровня: При одном и том же количестве тепла прирост энтропии, а сле- следовательно, и потери тем больше, чем ниже средняя температу- температура процесса, т. е. чем выше скорость потока. Оценим влияние подвода тепла на расход газа в трубе. Пусть исте- истечение газа происходит через трубу постоянного сечения (рис. 5.8), в которой температура газа увели- "Ч^ ^" чивается от значения Тх до Тт. Ог- _^ раничиваясь случаем малых скоро- . *• стей (Яг<1), при котором абсо- ; | ~** лютная величина давления меня- х^/ кется незначительно, получим и? р Тх Т* Рис. 5.8. К учету влияния подо- -—- = —- »-=- &—+» грева на расход газа в трубе "'г Рх * г Тт Из уравнения импульсов, пренебрегая сопротивлением трения, имеем и по определению Рх — Рх = -у Тогда ¦ / \ , / * п \ 1 п 2 I 9 L A I B,Q\ Здесь рх = р* есть полное давление в сосуде, из которого газ выте- вытекает, а рт = рв. — статическое давление в выходном сечении трубы. Расход газа при заданном перепаде давлений Н == р* — ря равен где F — поперечное сечение трубы. Так как из B9) следует, что IV* =
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПОДОГРЕВАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 195 то отношение расходов газа при отсутствии и наличии подогрева в трубе Как видим, подвод тепла при заданном перепаде давлений ведет к уменьшению расхода газа при одновременном увеличении ско- скорости истечения. Исследуем теперь падение давления на участке х — г трубы при большой дозвуковой скорости движения газа. При значительных скоростях течения плотность газа при по- подогреве уменьшается не только из-за повышения температуры, но и вследствие понижения статического давления. В связи с этим скорость газа увеличивается вдоль трубы быстрее, чем тем- температура. Скорость звука, которая пропорциональна корню квад- квадратному из абсолютной температуры, увеличивается вдоль трубы значительно медленнее, чем скорость потока. По этой причине число М = w/a по длине трубы растет. Поток, имеющий любую начальную скорость, можно за счет соответствующего подогрева довести до критической скорости (Мг = 1). При большом начальном значении числа М понадобит- понадобится незначительный подогрев. Чем ниже скорость, тем более силь- сильный критический подогрев необходим. Но никаким подогревом нельзя перевести поток в цилиндрической трубе в сверхзвуковую область. Это явление носит название теплового кризиса1). Естественно, что после того, как в конце трубы достигнут кри- кризис, скорость потока в начале трубы не может быть увеличена никакими способами. Если по достижении кризиса продолжать подогрев газа, то величина критической скорости в конце трубы растет, а скорость в начале трубы падает. Иначе говоря, заданно- заданному количеству тепла соответствует совершенно определенное пре- предельное значение числа М в начале трубы. Теплосодержание заторможенного газа складывается из тепло- теплосодержания в потоке и кинетической энергии: .* . , wl .* . , wl *х = *х + ~2"> гг = h Т" ~2" • Вследствие подвода тепла теплосодержание в конце трубы боль- больше, чем в начале, на количество подведенного тепла Отсюда получаем Q = ср (Т* - Tt) = ср (Тт - Тх) + -f (и* - ">!)• C1) *) Более подробное обоснование явления теплового кризиса дается в следующем параграфе. 13*
196 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Уравнение C1) вместе с уравнениями неразрывности, коли- количества движения и состояния образуют систему, достаточную для определения четырех неизвестных параметров газа — рг, рг, Гг, wr — в конце трубы. Из уравнения количества движения имеем Рт (*-')- Вставляя в это уравнение значения рх и рт из уравнения со- состояния / Рг и учитывая, что по формуле C4) гл. I крт/рг = а?, получим ?.?*_1 = /cM*(l--M. C2) "г х г \ ^х / Отношение температур Гх и Гг можно представить в виде w2 T* и,2 сР К 2срТ* Вводя критическую скорость акр г, получим 1 Лг Вставляя в C2) это выражение для TJTr и заменяя М? по фор- формуле D5) гл. I, приходим к квадратному уравнению pw 1+л? Рх г* 1+я.а v ' решая которое, находим') Р 'х~ 2Я? L К A + «)"^J Л ол 2 I - -1- ¦/ ~ /j i лЗ\2 /л* I" N ' ]) Один из корней уравнения, отвечающий дозвуковой скорости тече- течения, получается при знаке «минус», второй корень (при знаке «плюс») дает решение для сверхзвуковой скорости течения.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПОДОГРЕВАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 197 или Уравнение C5) используется в тех случаях, когда известно состояние газа в начале трубы. Если же скорость газа в конце трубы доводится до критической, то удобнее применять уравне- уравнение C4). При отсутствии подогрева (Г* = Т*) имеем рг ^рх. Если в конце трубы имеет место тепловой кризис (Яг = 1)т то уравнение C4) примет следующий вид: C6) При этом Предельное значение скорости в начале трубы в этом случае равно =/ 1-?| C7) Разделив обе части равенства C7) на акр.х, можно перейти к при- приведенной скорости: ^ |np : Так как то np C8) Данные об изменении максимальной дозвуковой скорости на вхо- входе в трубу при варьировании подогрева приведены в нижеследую- нижеследующей таблице: Ыпр 1 1 2 0,41 4 0,27 6 0,22 8 0,17
198 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Уменьшение скорости в начале трубы (при Ях < 1) с усиле- усилением подогрева в условиях теплового кризиса объясняется сокра- сокращением расхода газа. В самом деле, при тепловом кризисе ско- скорость газа увеличивается пропорционально корню квадратному из температуры: а плотность газа падает быстрее, чем величина 1/Тт (ввиду умень- уменьшения давления): Рг Рг~ у-, ¦* г G = pTwrF ~ yj^. поэтому расход газа Так как плотность в начале трубы не зависит от подогрева, то падение расхода газа приводит к уменьшению скорости в начале трубы. Малые значения приведенной скорости на входе в камеру сгорания, получающиеся при сильном подогреве, приводят к боль- большим габаритам двигателя. С увеличением скорости полета растут начальная температура Т\ и предельное значение скорости на входе в камеру сгорания. Согласно уравнению импульсов перепад давления в трубе равен I L На основании формул C4) и D5) гл. I имеем к— = а? = Рг поэтому |Хг ' "' C9) Предельное изменение давления получается при достижении теп- теплового кризиса (Лг = 1). В этом случае на основании C6) Е D0) пр Г /Р Здесь знак минус отвечает Ях > 1, знак плюс отвечает Лх < 1. Осу-
§ 3. ДВИЖЕНИЕ ПОДОГРЕВАЕМОГО ГАЗА ПО ТРУБЕ 199 ществляя при Ях < 1 1) очень сильный подогрев I —у -> 0 , можно довести падение давления до следующей величины: Рт пр или при & ¦« 1,4 2,4, пр Напомним, что падение давления, необходимое для получения критической скорости в сопле, составляет т. е. при к = 1,4 V ? Определим теперь падение полного давления в цилиндриче- цилиндрической трубе. В начале и в конце трубы имеем соответственно Р* = - 1 Разделив первое уравнение на второе, получим к + 1 Отсюда коэффициент сохранения полного давления в трубе равен D1) к+1лт) Наибольшее падение полного давления получается при тепловом кризисе. Подставляя выражения C8) и D0) в равенство D1), ') О случае Xz > 1 будет сказано ниже.
200 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА получим для этого режима течения D2) i±*l/ !--? Здесь верхние знаки соответствуют режиму А* > 1. Зависимость изменения полного давления при тепловом кризисе в трубе от отношения температур торможения, вычисленная для Я* < 1 по «формуле D2), представлена в нижеследующей таблице (ft = 1,4): т*/т* 1 1 1,5 0,89 2 0,86 4 0,82 6 0,81 8 0,80 оо 0,79 Как видим, при Ях < 1 потери полного давления при реальном подогреве {Т*/Тх&4—8) получаются такого же порядка, как и при бесконечно сильном подогреве. Итак, при Ях<1 и ft = 1,4 полное давление в конце подо* ерева составляет не меньше 80 % от полного давления в начале подогрева. Для большей наглядности результатов несколько преобразуем выражение D2). Для этого из C8) получим связь между крити- критическим подогревом газа (А,г = 1) и соответствующим значением начальной скорости до подогрева: \ х/кр D2а) Отсюда следует, что при максимально возможной скорости газа до подогрева (Я| = ,__ Л критический подогрев не превосходит значения кр.тах (*-!)(*+!)* что при к = 1,4 дает v х/кр.тах
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 201 Подставляя D2а) в D2) и отбирая знаки по физическому смыслу задачи, имеем lV-i (, к - 1. ,\*-i к + lV- Отсюда следует: при А,х = 0, т. е. -? = оо, акр = D26) 1; при ^ =1, т. е. -рг = 1, акр = 1, и при А| = |i|, т. е. ^ = -г^> огКр = 0. / т*\ Кривые Окр(Аа) и I—^\ =f(K), полученные с помощью А/кр формул D2а) и D26), нанесены на рис. 5.9. б 7 - Рис. 5.9. Зависимость степени подогрева и коэффициента со- сохранения полного давления от 0,5- приведенной скорости потока при кризисе (Хг = 1) Выше было показано, что при малых скоростях течения газа по трубе с подводом тепла в случае постоянного перепада давле- давлений усиление подогрева ведет к снижению расхода газа. В § 6 будет показано, что при постоянном перепаде давлений подогрев вызывает уменьшение расхода газа и при больших ско- скоростях течения. § 4. Общие условия перехода от дозвукового течения к сверхзвуковому и обратно В предыдущих параграфах было показано, что при подводе тепла или совершении работы трения в движущемся по цилиндри- цилиндрической трубе с дозвуковой скоростью газе происходит увеличение числа М; то же явление наблюдается в дозвуковом потоке при течении без теплообмена и трения в суживающейся трубе. Ниже будет доказано, что изменение числа М в газовом пото- потоке происходит не только под влиянием трения, теплового и гео- геометрического воздействий, но также при изменении расхода гаэа
202 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА в канале и при совершении механической работы. Указанные воз- воздействия вызывают изменение числа М как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом потоке газа. Рассмотрим в общем виде влияние этих воздействий на ско- скорость движения газа. Для простоты будем считать газ идеальным. Расход газа равен G = pwF. Отсюда после дифференцирования и почленного деления на G имеем dG dF dp , dw ~G = — + T + ~ Дифференцируя уравнение состояния для идеального газа (р = pRT), получаем d или jf=R(dT + Tf). D4) Сопоставление выражений D3) и D4) дает ¦f =RdT+RT(*. -%¦-%). D5) С другой стороны, из уравнения Бернулли в дифференциальной форме (формула (91) гл. I) имеем w dw- dL - dLTp, D6) где L — техническая работа, LTp — работа трения. Сопоставляя D5) и D6), а также освобождаясь от членов, содержащих плот- плотность и давление, получим D) + ^ + ^p = 0. D7) Здесь используется выражение для скорости звука (а2 = kRT). От члена, содержащего температуру (RdT), можно избавиться с помощью дифференциального уравнения энергии dQK3LP=di + d (^-) + dL = ^A- R dT +w dw+ dL, D8) где ()нар — тепло, подводимое к газу извне, di = cvdT = = Л^-—rd?7— прирост теплосодержания. Подставляя D8) в D7) и производя элементарные преобразования, приходим к соотно- .шению, связывающему изменение скорости газового потока с внешними воздействиями (геометрическим, расходным, механи- механическим, тепловым и трением): dw dF &G 1 йТ к—^ЛП к ЙТ //Q\ ^4 ^^?. D?)
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 203 Это соотношение было установлено Л. А. Вулисом *) и полу- получило название условия обращения воздействия. Особенность это- этого соотношения состоит в том, что знак его левой части изменяет- изменяется при переходе значения скорости через критическое. Поэтому характер влияния отдельных физических воздействий на газовое течение противоположен при дозвуковом и сверхзвуковом режи- режимах. Воздействия, вызывающие ускорение в дозвуковом потоке (сужение канала, подвод дополнительной массы газа, совершение газом работы, трение и подвод тепла: dF < 0, dG > 0, dL > 0, йфнар > 0), приводят к замедлению сверхзвукового потока; воз- воздействия обратного знака (расширение канала, отсос газа, сооб- сообщение газу механической энергии и отвод тепла: dF > 0, dG < 0, dL < 0, d^nap < 0) приводят к замедлению дозвукового и уско- ускорению сверхзвукового потоков. Отсюда следует важный вывод, что под влиянием одностороннего воздействия величину скорости га- газового потока можно довести только до критической, но нельзя перевести через нее. Например, путем подвода тепла можно уско- ускорять дозвуковой поток, но только до тех пор, пока не получится М = 1. Для того, чтобы перевести дозвуковой поток в сверхзвуко- сверхзвуковой, нужно переменить знак воздействия, т. е. в зоне М = 1 на- начать отводить тепло. Таково обоснование описанного в предыду- предыдущем параграфе явления теплового кризиса в камере сгорания. Подогрев газа в сверхзвуковом течении вызывает торможение по- потока, но переход к дозвуковому течению и дальнейшее торможе- торможение станут возможными только в том случае, если, начиная с М = 1, мы переключимся на охлаждение газа. Разумеется, что ускорение газового потока в сопле при любой комбинации воздействий требует достаточного перепада давлений между сечениями, расположенными перед и за соплом. Рассмотрим раздельно каждое из четырех воздействий. При этом получим в дополнение к известному соплу Лаваля (геометрическое воздействие) еще три указанных Л. А. Вулисом способа перехода через скорость звука, т. е. расходное, механиче- механическое и тепловое сопла. Геометрическое сопло, т. е. известное сопло Лаваля, представ- представляет собой канал, в котором только за счет придания ему соответ- соответствующей формы можно осуществить переход от дозвуковой ско- скорости к сверхзвуковой. В этом частном случае чисто геометриче* ского воздействия на поток (dF Ф0) отсутствуют прочие воздей- воздействия, т. е. не меняется расход газа (dG = 0), нет обмена теплоШ и работой с внешней средой (dQB&lt = O, d.L = Q) ш нет трения (dL (T) l) By лис Л. А. О переходе через скорость звука в гзюовом течении.— ДАН СССР.— 1946.— Т. 54, № 8; By лис Д. А. Термодинамика газовых дотохов.—:М.:_анерголздат,.1950;„ . .-. jr.с . s , Г .: -:i
204 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Но тогда соотношение D9) переходит в полученное ранее ра- равенство A) гл. IV: Не останавливаясь вторично на исследовании течения в con ле Лаваля, напомним только, что ускорение потока в дозвуково! части сопла Лаваля (М<1) получается путем сужения канал г (dF < 0), но, начиная с критического сечения (М = 1), для полл чения сверхзвукового потока и дальнейшего его ускорения при ходится изменять знак воздействия, т. е. расширять канал ) Течение идеального газа в геометрическом сопле (рис. 4.1) при отсутствии трения является изоэнтропическим. В критиче ском сечении (М = 1) сопла воздействие проходит через минимум (dF 0) ) Расходное сопло дает возможность получить переход через ско рость звука за счет изменения расхода газа в трубе постоянного сечения (dF = 0) при отсутствии обмена с внешней средой рабо ты (dL = 0) и тепла (dQB2iV = 0) и без трения (dLTp = 0). В этом случае соотношение D9) принимает следующую форму: Ускорение движения (dw > 0) достигается здесь за счет под- подвода дополнительной массы газа в дозвуковой части канала и от- отсоса газа в сверхзвуковой его части. В критическом сечении (М = 1) расход газа и, следовательно, плотность тока проходят через максимум. Расходное сопло в принципе аналогично геометрическому. Ес- Если разбить поток в расходном сопле на отдельные струйки по- постоянного расхода, то каждая из них представляет собой геомет- геометрическое сопло с наиболее узким сечением в области кризиса (М = 1); однако сужение элементарных струек в нем осуществля- осуществляется не путем сужения общего канала, а за счет подвода и отвода дополнительных количеств газа (рис. 5.10). Естественно, что изменение состояния идеального газа в рас- расходном сопле (без трения) идет по изоэнтропическому закону. Механическое сопло дает еще один принципиально возможный иуть перехода через скорость звука: за счет технической работы при отсутствии других воздействий (dF = 0, dG = 0, dQEup = 0, Ц0) р) В этом случае основное соотношение D9) выглядит так: <M«-iLr---yrfb из чего следует, что если газовый ноток совершает работу
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 205 (dL > 0), например, на колесе турбины, то в дозвуковом режиме (М < 1) он ускоряется (dw > 0), а в сверхзвуковом (М > 1) за- замедляется (dw<0). При подводе работы к газу (dL<0), т. е. на лопатках компрессора, в дозвуковом течении наблюдается за- замедление, а в сверхзвуковом — ускорение. Непрерывный переход через скорость звука в механическом сои ле получается при изменении знака воздействия в критическом ПП1АААА V II I Рис Г) 10. Схема течения в расход- расходном сопле Рис. 5.11. Схема механическою сопла сечении. В принципе, пропуская дозвуковой поток газа через тур- бину, можно разогнать его до критической скорости; после этогб нужно пустить его через компрессор, и тогда получится ускоряю- ускоряющийся сверхзвуковой поток (рис. 5.11). Таким образом, сверхзвуковое механическое сопло должно состоять из последовательно включенных турбины (в области М< 1) и компрессора (в области М> 1), между которыми рас- располагается критическое сечение (М = 1). Особенностью механического сопла является то, что парамет- параметры торможения проходят в его критическом сечении через мини- минимум. В самом деле, уравнение теплосодержания для механическо- механического сопла можно записать следующим образом: Здесь iH, ?* — значения полного теплосодержания газа соответ- соответственно в начальном и произвольном сечениях сопла, L — техни- техническая работа, совершенная газом между начальным и произ- произвольным сечениями сопла. Поэтому в дозвуковой части механиче- механического сопла, где газ совершает работу LT (на турбине), т. е. L > 0, полное теплосодержание (и температура торможения) убывает *•<?. В сверхзвуковой области, где к газу подводится компрессором механическая энергия LK(L<0I происходит увеличение полного теплосодержания по сравнению с его значением в критическом сечении: **>ЙР или Г*>ГкР. В том, что полное давление и плотность заторможенного газа проходят вместе с температурой торможения в критическом
206 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА сечении механического сопла через минимумы, можно убедиться и иным способом. Для двух произвольных сечений идеального ме- механического сопла, представляющего собой, по определению, ка- канал постоянного сечения, имеем АЛ iv п р п * X X 2 2 2 Ввиду отсутствия трения и теплоотдачи параметры газа в таком сопле изменяются как при идеальном адиабатическом процессе: fi. = (рЛ * = (?i Р2 \ Р2 ) \Т2 Учитывая, что отношение значений скорости звука получим следующие простые зависимости между значением чис- числа М и параметрами газа в идеальном механическом сопле: (so> Итак, монотонное возрастание значения числа М в механиче- механическом сопле сопровождается монотонным падением температуры, давления и плотности. Кривые изменения параметров потока и торможения в сверх- сверхзвуковом механическом сопле при Mi =0,1 представлены на рис. 5.12 и 5.13. Из E0) следует, что максимальная скорость истечения из ме- механического сопла ничем не ограничена, так как из при М2 -»- «> имеем 1^2-^°°. Этот результат не должен вызывать удивления, так как в сверхзвуковом участке механического сопла к газу подводится энергия (dL < 0). Тепловое сопло, пока еще не осуществленное, дает принципи- принципиальную возможность перехода газового потока через скорость зву- звука за счет еще одного — чисто теплового — воздействия при отсут-т ствии других воздействий, т. е. в цилиндрической трубе (dF = 0), при постоянном расходе газа (dG = 0), без совершения механиче- механической работы (dL• = 0) и без трения (dLTp = 0). Основное соотно- D9), применительно к теиловому соилу имеет следующий
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 207 вид: /ХА2 4\ dw — Ускорение газа (dw > 0) в дозвуковом потоке (М < 1) здесь свя- связано с подводом тепла (dQB&v> > 0), а в сверхзвуковом — с его от- отводом (й(?наР < 0)- Подвод тепла при сверхзвуковом и отвод тепла рг.ТгЛ 0,8 0,6 0,4 0,2 к \ 1 \ V \ \ N V ч ч Ч ч ч 2 ч*. г мм зм2 Рис. 5.12. Зависимость параметров газа от числа М2 в механическом сопле при Mi в 0,1; к = 1,4 Тг. рг*Л* 0.8 0,6- 0,4 0,2 1 1 и 1\ 1 U \ ¦MB ^^ ¦о -— ** f* /\ У гг4 / / м2 з Рис. 5.13. Зависимость параметров торможения от числа М2 в механиче- механическом сопле при Mi = 0,1; к = 1,4 при дозвуковом режиме вызывают замедление потока (dw<0). Таким образом, для того чтобы преобразовать дозвуковой поток в сверхзвуковой посредством теплового сопла, в дозвуковом участке последнего нужно повышать теплосодержание газа, ав сверхзву- сверхзвуковом—понижать его, т. е*. в.. критическом сечрццд: теплового
208 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА сопла, где количество подведенного к газу тепла проходит через максимум (й^наркр = 0), следует изменить знак воздействия. Температура торможения в критическом сечении теплового соп- сопла (в противоположность случаю механического сопла) достига- достигает максимального значения; это вытекает из уравнения теплосо- теплосодержания, которое применительно к тепловому соплу имеет сле- следующий вид: ^н = 1 чгнар* Из предыдущего параграфа, содержащего теорию теплового сопротивления, следует, что^при подводе теплая газовому потоку полное давление в нем падает, а при отводе тепла — растёт. Фор- Формулы теплового сопротивления были выведены применительно к случаю движения газа без трения по трубе постоянного сечения, т. е. именно к случаю теплового сопла. Из этой теории следует, что полное давление в критическом сечении теплового сопла, как и в механическом сопле, проходит через минимум. Плотность заторможенного газа, прямо пропор- пропорциональная полному давлению и обратно пропорциональная тем- температуре торможения, достигает в критическом сечении мини- минимального значения. В рассмотренных выше идеальных соплах: геометрическом, расходном и механическом, изменение состояния газа было изо- энтропическим, т. е. описывалось уравнением идеальной адиабаты plpk = const. В тепловом сопле в связи с подводом и отводом тепла энтропия изменяется. Исследуем термодинамический процесс, который имеет место в тепловом сопле1). Дифференциальная форма уравнения коли- количества движения применительно к цилиндрической трубе при от- отсутствии трения имеет следующий вид: dp =• —ipu; dw. Уравнение неразрывности в этом случае (dF — 0, dG = 0) дает dp dw в р w ' отсюда dp d9 - Л <51> 1) См. В у л и с Л. А. О переходе через скорость звука в газовом тече- течении.- ДАН СССР.- 1946.- Т. 54, № 8.
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 209 Для политропического процесса при постоянном показателе по- политропы р/рп = const, после дифференцирования 1) имеем %. = п JL = п ¦?, E2) dp р к ' v ' так как скорость звука в газе а2 = кр/р. Приравнивая правые час- части выражений E1) и E2), замечаем, что показатель политропы в тепловом сопле является существенно переменной величиной п = Ж2. E3) Формула E3) показывает наличие двух характерных сечений в тепловом сопле. _ В сечении, где М = 1/УА, местное значение показателя поли- политропы равно единице: п = 1, т. е. элементарный термодинамиче- термодинамический процесс в этом сечении — изотермический (dT = 0), и, следо- следовательно, температура газа здесь проходит через максимум. В критическом сечении теплового сопла, т. е. при М = 1, по- показатель политропы на основании формулы E3) равен показате- показателю идеальной адиабаты: п = ft, т. е. здесь имеет место элементар- элементарный изоэнтропический процесс, при котором, как уже указыва- указывалось выше, количество подведенного к газу тепла и температура торможения проходят через максимум {dQBap = 0, dT* = 0). От изотермического до критического сечений теплового сопла наблюдается интересное явление: понижение температуры газа (dT<0) при подводе тепла (d(?HaP>0). На этом участке сопла прирост кинетической энергии газа больше прироста полного теп- теплосодержания. Для отыскания зависимости давления газа от числа М в теп- тепловом сопле без трения используем уравнение количества движе- движения в следующей форме: Pi + рМ = Р2 + Р2^; E4) отсюда р1A или р 1+*м; ( } Иначе говоря, давление газа в тепловом сопле с ростом числа М монотонно падает, несмотря на увеличение полного давления в сверхзвуковой части. 1) При плавном протекании термодинамического процесса на любом участке малого изменения параметров состояния можно допустить, что локальное значение показателя п постоянно, хотя в целом процесс проте- протекает с изменением показателя политропы, 14 г. н. Абрамович, ч. i
210 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Зависимость плотности газа и скорости течения в тепловом соп- сопле от числа М можно найти следующим способом: М2 w2 a2 w2 T 2 2 1 __ _2 22 М1 ~ »\ *\ Т2 w* но из уравнений состояния и неразрывности имеем Т2 Р2 Pi' Pi W2* поэтому . I М2 Pi Pi Используя зависимость E5), получаем E6) откуда видно, что плотность газа вдоль теплового сопла монотон- монотонно падает с ростом числа М. Температура газа в тепловом сопле как функция числа М мо- может быть получена делением равенства E5) на равенство E6): т, Как нетрудно убедиться из выражения E7), кривая температу- температуры имеет максимум в точке *.) В любых двух сечениях теплового сопла с одинаковой темпе- температурой (T2 = Ti) значения числа М, как это явствует из вы- выражения E7), связаны следующей зависимостью: м2м, = 4-. Выведем формулы для параметров торможения в тепловом сопле. Эти формулы приобретают более простой вид, если в них ]) Для этого в равенстве E7) будем рассматривать Mi и Т\ как по- стоянные величины. Приравнивая нулю производную ^м~» находим i 1
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 211 число М заменить приведенной скоростью Я, для чего можно воспользоваться известным соотношением D5) гл. I. Температуру торможения найдем, пользуясь формулой D2)] гл. I, из равенства 1 "" к + 1 Л2 подставив сюда E7), предварительно заменив М на К по форму- формуле D5) гл. I, получаем Т* I2 ( \ Л- ^2\2 р-? 7ТГ* • E8) Полное давление в тепловом сопле может быть получено с помощью формулы G2) гл. I из выражения отсюда, используя равенство E5), приходим к следующей зави- зависимости: Плотность заторможенного газа в тепловом сопле можно оп- определить путем деления выражения E9) на выражение E8): Кривые изменения параметров потока в тепловом -сопле в за- зависимости от числа Мг при Mi = 0,1 даны на рис. 5.14 и 5.15. Определим количество тепла (Q), которое нужно подвести в тепловом сопле, чтобы изменить скорость газа от какого-либо одного значения (к\) до другого (Яг). При постоянной теплоем- теплоемкости имеем: или в безразмерном виде - ), e-JL.U-i. ' ' ' * ~ с 'Т* ' Т* 14*
212 ГЛ. V, ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА подставляя сюда отношение температур торможения из равен- равенства E8), находим Максимальное количество тепла, отвечающее критическому пс» догреву (до %2 = 1), равно ftnax = уж) • Оно резко уменьшается с ростом начальной скорости газа (Х\)\ о чем свидетельствует график рис. 5.16. Предельно возможная 2,0 18 16 1,2 ио 0,8 0,6 0,4 о,г \ \ 7 } / 1 / / / / / р 3 М, Рис. 5.14. Зависимость статиче- статического и полного давлений от чис- числа М2 в тепловом сопле при М! = 0,1; к = 1,4 '1 h 22 20 18 16 12 10 8 6 ? 2 Рис. 5.15. Зависимость темпера- температур потока и торможения от чис- числа М2 в тепловом сопле при Mi = 0,1; к = 1,4 Г / ,1 1 \ к /. 1 • Г" 1 $ i | \ \ \ Ч \ ч ч к ч 7м скорость истечения из теплового сопла (при Мг = °°) согласно равенству E6) зависит от начального значения числа1 fA\: "max l В частности, если вести отсчет от критического сечения, т. е. положить1) ¦ 1) Следует учитывать, что в связи с подводом тепла значение критиче- критической скорости по длине сопла меняется.
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 213 то получится Помимо четырех описанных «чистых» схем сверхзвуковых ее* пел, принципиально возможны комбинированные схемы. Нак более реальным комбинированным соплом является так назы ваемое полутепловое сопло, в котором дозвуковой участок являете? тепловым, а сверхзвуковой - геометрическим (рис. 5.17 . В таком сопле газ ускоряет ся от некоторого начального дозвукового значения скоро сти до критического в цтт линдрической трубе 1—2 за счет подвода тепла, а пере- переход к сверхзвуковой скоро- скорости и дальнейшее ускорение потока осуществляются бег теплообмена в расширяю- расширяющейся трубе 2—3. Расчет до- дозвукового участка полутеп - лового сопла ведется по г-г* 1 Ч го 15 10 5 A \ \ \ ! V \ ч ч О 0,2 Ot? Of OJS 1,0 Xf Рис. 5.16. Зависимость критического по- подогрева в трубе постоянного сечения от начального значения приведенной ско- скорости Рис. 5.17. Схема полутепло- полутеплового сопла формулам теплового сопла, а сверхзвукового участка — по фор- формулам геометрического сопла. Сравним полутепловое сопло с геометрическим при одинако- одинаковом конечном значении полного теплосодержания \}ъ), имея в виду, что в полутепловом сопле подогрев газа совершается в ци- цилиндрической трубе 2—2, а в геометрическом сопле то же ко- количество тепла подводится к газу до его входа в сопло. Значения скорости истечения из обоих сопел одинаковы, так как в кри- яических сечениях величина температуры торможения одна и
214 гл. v. одном йрные течения газа та же. Полное давление на выходе из полутеплового сопла ниже в связи с наличием теплового сопротивления в его дозвуковом участке, поэтому ниже и статическое давление на выходе из полутеплового сопла. Рассмотрим пример полутеплового сопла с начальной ско- скоростью газа, соответствующей значению приведенной скорости Кг = 0,2. При этом безразмерная величина подогрева газа в до- дозвуковом участке сопла согласно выражению F1) должна быть равна Потери полного давления в полутепловом сопле (^2 = 1) можно вычислить по формуле E9): 1 Ar + 1 Л1 I*-1 * + l J ' ПТ \ x J ПТ При ^i = 0,2 и fe = 1,4 имеем j j^L j =anT=o,82. Полное давление в геометрическом сопле сохраняет постоянное значение: Поэтому статическое давление на выходе из полутеплового соп- сопла при одной и той же скорости истечения в опт раз отличается от статического давления на выходе из геометрического сопла: далее где Лз — приведенная скорость истечения из сопла, Р\ — полное давление в начальном сечении сопла. При равных перепадах давления ^„ скорость истечения из полутеплового сопла меньше,, чем из хео?
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 215 метрического сопла (Хзпт < ^зг); это вытекает из равенства f k ~~ * ? 2 ^ связывающего отношение статического давления к полному с приведенной скоростью. Например, при опт = 0,82 и Язг = 2 приведенная скорость истечения из полутеплового сопла Язпт я в 1,97, т. е. на 1,5 % меньше приведенной скорости истечения из геометрического сопла. Рассматривая различные типы сопел, предназначаемых для перехода через скорость звука, мы во всех случаях имели в ви- виду переход от дозвуковой к сверхзвуковой скорости. Полученные формулы принципиально пригодны и для обратного случая, т. е. плавного преобразования сверхзвукового потока в дозвуковой, однако при торможении сверхзвукового потока могут возник- возникнуть^ скачки уплотнения, которые усложняют явление. Остановимся теперь кратко на совместном проявлении двух или нескольких воздействий. В качестве первого примера разбе- разберем случай геометрического сопла с трением. Основное соотно- соотношение D9) имеет в этом случае вид /кАо м dw dF к jj (M2-l)— = — -—riLTp. Наиболее интересной особенностью этого сопла является то, что критическая скорость получается в его расходящейся части, так как при М = 1 dF к ,, ^п а в узком сечении {dF = 0 при dw > 0) имеет место дозвуковая скорость и М < 1. Выясним теперь главные особенности геометрического сопла с теплообменом. Из основного соотношения D9) в этом случае имеем Местоположение критического сечения (М=1) определяется равенством dF __ fe-1 дп -у — -^2~- "ЧГнар- При подводе тепла {dQUSiV> 0), например при догорании газов • в сопле, критическая скорость достигается в расходящейся части сопла (dF>0I при отводе тепла (d@Hap<0), т. е. теплоотда- теплоотдаче через стенки сопла, критическая скорость достигается в схо- сходящейся части сопла (dF<df;* В первом'бл^аё в уйкбк сече-
216 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА пии сопла (dF = 0) имеет место дозвуковая, а во втором слу- случае — сверхзвуковая скорость. Таким же путем можно исследовать совместное влияние в га- газовом течении любых других воздействий. При этом важно подчеркнуть, что в соответствии с уравнением D9) переход от М < 1 к М > 1 требует в любом случае изменения знака сум- суммарного воздействия. В заключение отметим одно обстоятельство, приводящее иног- иногда к недоразумениям при качественном анализе закономерно- закономерностей некоторых течений. В связи с этим вновь вернемся к урав- уравнению D9). Выше при анализе уравнения количества движения (92) гл. I мы отмечали, что независимо от процессов, происходящих в по- потоке, изменение скорости течения всегда вызывается действием силы трения, внешних сил, а также разности сил давления на выделенный элемент газового потока. Различные виды внеш- внешнего воздействия по разному влияют на статическое давление в потоке. Смысл совместного решения уравнений D3) — D7), в результате которого было получено соотношение D9), сво- сводился к тому, чтобы величину градиента давлений в потоке вы- выразить через внешние воздействия; величина dp при этом исклю- исключалась из уравнения импульсов или уравнения Бернулли D6). При анализе уравнения D9) выявлено, что: а) изменение скорости газа вызывается и такими факторами, которые не свя- связаны с непосредственным силовым воздействием на поток (на- (например, подвод тепла), б) суммарный эффект в ряде случаев оказывается обратным тому, который можно ожидать, исходя из анализа действия внешних сил. Действительно, например, сила трения, всегда действующая против направления движения, в дозвуковом потоке приводит не к торможению, а к ускорению потока. Последнее означает, что при течении с трением проис- происходит такое снижение статического давления, что действующая по потоку сила давления превышает силу трения. Точно так же при подводе механической энергии к дозвуко- дозвуковому газовому потоку давление его повышается настолько, что сила давления, действующая навстречу потоку, превышает выз- вызвавшую ее внешнюю силу. В результате поток, к которому при- приложена внешняя сила в направлении движения, при М < 1 не ускоряется, а тормозится. Таким образом, выше, при анализе внешних воздействий на газовый поток, везде предполагалось, что в потоке возникают соответствующие градиенты давления, которые в конечном итоге и определяют изменение скорости течения. Так, например, для ускорения дозвукового газового потока в тепловом сопле (т. е, при F = const) давление на входе в сопло должно превышать давление на выходе на величину, определяющуюся начальным и конечным числами М (см. формулу E5)).
§ 4. УСЛОВИЯ ПЕРЕХОДА ТЕЧЕНИЯ ЧЕРЕЗ КРИЗИС 217 Такой же смысл имеют полученные выше соотношения ме- между статическими давлениями газа при течении с трением E0), при течении с подводом механической энергии и т. п. Во многих случаях, однако, заранее известно, что в рассматриваемом по- потоке нет продольного градиента давления. Изменение скорости газа в этом случае (dp = 0) полностью определяется уравнением количества движения в виде pw dw = — -у (dP + dPTp), где dPrp — сила трения, a dP — внешняя сила. Отсюда следует, что в изобарическом потоке как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях трение приводит к уменьшению ско- скорости; внешние силы, действующие по потоку, или подводимая внешняя механическая энергия (dP < 0) всегда ускоряют газо- газовый поток; подвод тепла при dp = 0 вообще не изменяет ско- скорости направленного движения газа, так как при этом нет внеш- внешних сил. Примером изобарического течения может быть, в частности, сверхзвуковое течение у твердой стевки. Пограничный слой вблизи такой стенки образуется в результате непрерывного тор-* можения потока силами внешнего воздействия (трения). В итоге величина скорости течения в нем уменьшается при р = const от сверхзвукового до небольшого дозвукового значения. Точно так же изобарическая сверхзвуковая струя, смеши- смешиваясь с неподвижным атмосферным воздухом, разгоняет его ча- частицы до сверхзвуковой скорости путем одностороннего механи- механического воздействия — подвода количества движения при соуда- соударении частиц газа и воздуха. При дальнейшем течении в любой струйке тока внутри изо- изобарической сверхзвуковой струи происходит непрерывное тормо- торможение — с переходом через скорость звука — до малых скоростей, также за счет одностороннего внешнего воздействия — передачи количества движения во внешнюю среду. Эти примеры не противоречат установленным выше законо- закономерностям и уравнению обращения воздействий D9). Дело в том, что при наличии какого-либо внешнего воздействия условие изо- баричности (р = const) может быть выполнено только при впол- вполне определенном изменении площади сечения F. Так, например, при дозвуковом течении в цилиндрической трубе с трением скорость газа увеличивается, а статическое дав- давление падает. Чтобы давление в потоке было постоянным, ка- канал надо сделать расширяющимся, т. е. к воздействию трения добавить геометрическое воздействие dF>0. Так как независи- независимо от формы канала при течении с трением полное давление сни- снижается, то в таком изобарическом потоке скорость газа умень- уменьшается.
218 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА § 5. О распространении детонации и горения в газах *) Творцом теории распространения детонации в газах является известный русский физик В. А. Михельсоя, посвятивший в 1889 г. этому вопросу работу «О нормальной скорости воспламенения гремучих газовых смесей»2). Выдающиеся теоретические и экспериментальные исследо- исследования в области горения и детонации принадлежат Н. Н. Семе- Семенову, Я. Б. Зельдовичу, Д. А. Франк-Каменецкому, К. И. Щел- кину и другим советским ученым3). Распространение пламени в горючей газовой смеси вне за- зависимости от механизма воспламенения (теплопроводностью при медленном горении или ударной волной при детонации) подчи- подчиняется основным законам газовой динамики и, следовательно, может быть описано уравнениями сохранения массы, количества движения и энергии. Фронт пламени представляет собой тонкий слой газа прак- практически постоянного сечения, по обе стороны которого значения скорости движения (относительно фронта волны), температуры,, давления и других параметров различны. В соответствии с этим фронт пламени можно трактовать как поверхность сильного раз- разрыва (теплового скачка). В современном представлении детонационная волна, распро- распространяющаяся в горючей газовой среде, является двухслойной. Первый слой представляет собой адиабатическую ударную вол- волну, при прохождении через которую газ сильно разогревается. В химически активном газе разогрев этот, если он достаточна интенсивен, может вызвать воспламенение. В связи с тем что толщина ударной волны ничтожно мала (порядка длины свобод- свободного пробега молекулы), в пределах ее процесс горения, по-ви- по-видимому, развиться не в состоянии. Поэтому область, в которой протекает горение, образует второй, более протяженный, но пра- практически также весьма тонкий слой, примыкающий непосредст- непосредственно к ударной волне (рис. 5.18). Разогрев газа при прохождении его через ударную волну в де- детонационном горении заменяет собой в сущности подогрев его» теплопроводностью в нормальном горении. Рассмотрим явление детонации в условиях одноразмерной задачи. В этом случае для плоской ударной волны по известному соотношению A5) гл. III произведение скоростей газа относи- 1) В этом параграфе дается расширенное изложение работы: Абра- Абрамович Г. Н., By лис Л. А. К механике распространения детонации- и горения.— ДАН СССР.— 1947.— Т. 55, вып. 2. 2) М и х е л ь с о н В. А. Полное собрание сочинений. Т. 1.— М.: ГТТИ, 1930. 3) См., например, Зельдович Я. Б. Теория горения и детонации газов.— Изд-во АН СССР, 1944.
§ 5. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 219 тельно фронта волны (взятых соответственно перед и за фрон- фронтом) равно квадрату критической скорости wifv% = акр. Величина w\ является скоростью распространения ударной вол- волны (в нашем случае волны детонации в неподвижном газе). Для исследования процесса удобнее считать, что газ притекает со •скоростью w\ к области детонации, а фронт волны неподвижен. Эта обращенная схема явления при- принята нами в последующем изло- изложении. Ударная волна (скачок уплотне- уплотнения), как известно, распространяет- распространяется €0 сверхкритической скоростью (wi>aKp), поэтому скорость газа за ' -фронтом волны всегда ниже крити- критической (и?2<акр). Иначе говоря, яроц°сс горения при детонации, как is при медленном горении, протекает в дозвуковой части газового потока. w В конце второго слоя детонаци- детонационной волны вследствие подвода теп- тепла при горении скорость газа выше, чем вначале, а давление соответ- соответственно ниже. Таким образом, пер- / z S х вый слой детонационной волны Рис. 5.18. Схема детонацион- лредставляет собой скачок сжатия, ной волны: А — свежая смесь, а второй слой, где происходит горе- fK~ о^°д^лотненияРа//— зона тше,— скачок разрежения. Пример- скачок упл??рения' ный характер распределения давле- давления и скорости газа в детонационной волне показан на рис. 5.18. Перейдем к расчету окачка уплотнения. При расчете изменения состояния газа в первом слое пло- плотской детонационной волны мы можем воспользоваться сотноше- ниями для прямого скачка уплотнения. Для рассматриваемого случая существенно, что в первом юлое детонационной волны (адиабатическом скачке уплотнения) температура торможения остается неизменной: Т1 = Т2. Следо- Следовательно, критическая скорость в первом слое не изменяется: *Я1кр = #2кр, тогда Как в продуктах сгорания значение ее увели- увеличивается, Т3 > 7\ и, соответственно, азкр > #1кР. Это обстоятель- обстоятельство необходимо учесть в дальнейшем при вычислении приве- приведенных скоростей: "ЗКр Из уравнения неразрывности pii#i=p2itf2 и выражения A6)
220 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА гл. III найдем для изменения плотности и скорости соотношения Закон изменения давления в прямом скачке уплотнения может быть получен из уравнения импульсов в виде известного равен- равенства B1) гл. III — к + 1 F3) Из F2) и F3) следует, что изменение температуры газа в скач- скачке уплотнения т -г = — 1 1 к + 1 Например, при скорости распространения ударной волны w\ = = 2000 м/с, начальной температуре газа Т\ = 400 К, R = =• 300 Дж/(кг -К) и & = 1,4 имеем Г? « 2340 К, ах кр « 900 м/с, %х « 2,2, Я2 « 0,45, чему соответствует Т2 « 2260 К. Нет сомнений, что в данном случае ударная волна может вызвать воспламенение горючей газовой смеси. Займемся теперь расчетом зоны горения. Естественно, что все формулы, выведенные в §§ 3 и 4 для случая подогрева газа в цилиндрической трубе, пригодны и для расчета второго (теплового) слоя детонационной волны, так как при выводе указанных формул длина трубы не имела зна- значения (трением и теплоотдачей через боковую поверхность мы пренебрегали). Для расчета состояния газа во втором (дозвуковом) слое де- детонационной волны — в области горения —- проще всего прибег- прибегнуть к соотношению E8) между температурой торможения и приведенной скоростью откуда после решения биквадратного уравнения получим сле- следующее выражение: 31 F6)
§ 5. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 221 ИЛИ Здесь отброшены корни, дающие сверхзвуковые решения, так как рассматривается зона горения, где относительные скорости ниже скорости звука (Яг<1); кроме того, принято Т\ = Т\. Приведенная скорость Х% — непосредственно за скачком уплот- уплотнения — обычно значительно меньше единицы; если при этом и относительный прирост температуры торможения в области горе- горения невелик (Т7*/^* «О» то формулу F7) можно существенно упростить: 1 ^2 (так как при сделанных предположениях Х\<^.1). Таким обра- образом, Г +4?. F8) где А Г* = Q/cp, если (? — количество теплоты, выделяющейся при сгорании единицы массы смеси. Из формулы F8) видно, что при слабом разогреве (АГ*/Г*«0) приведенная скорость для продуктов сгорания близка к приведенной скорости за скач- скачком уплотнения. С усилением скачка уплотнения, т. е. с увеличением скоро- скорости распространения ударной волны, температура торможения исходной смеси Т* = Г* резко возрастает согласно известному равенству D2) гл. I: при этом резко увеличивается и температура в потоке перед об* ластью горения Гг. В пределе при Mi = «> иХ1=|/^-^ имеем Т\ = Т\ = оо и Т2 == °°. С увеличением температуры Гг в связи с возрастающей ролью термической диссоциации1) несколько уменьшается абсолютная разность температур торможения: ДГ* = Г* ~ Т\. 1) Термической диссоциацией называется наблюдающееся при высоких температурах, а также при низких давлениях явление частичного разло- разложения продуктов горения; реакция идет в обратном направлении и сопро- сопровождается поглощением теплоты.
222 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Следовательно, с усилением ударной волны уменьшается как от- относительный разогрев газа AT*/TV так и приведенная скорость продуктов сгорания Яз. Наиболее отчетливо это видно, если в формулу F8) вместо деременной температуры торможения ввести постоянную тем- температуру холодного газа: <70> Горение, протекающее за фронтом очень сильной ударной волны, начинается на столь высоком тепловом уровне, что мо- может вызвать лишь относительно небольшой прирост темпера- температуры торможения. Поэтому в пределе п \ ^ 1 _ * \™3/ПР ^^ 2 — л » т. е. детонационная волна сближается с обычным скачком уп- уплотнения. Изучим стационарный режим детонации. Изложенные соображения позволяют представить себе про- процесс образования стационарной волны детонации в следующем виде. Обычно детонационная волна возникает как результат местного взрыва в горючей смеси. В области взрыва развиваются весьма высокие давления и от нее устремляется очень сильная ударная волна. При прохождении через холодную горючую смесь эта волна, как указывалось выше, вызывает значительный разо- разогрев газа и может довести его до воспламенения. Именно в этом случае за фронтом ударной волны следует область горения, об- образующая в совокупности с ударной волной волну детонацион- детонационную. Так как вблизи центра взрыва скорость распространения волны и интенсивность ее очень велики, то относительные ско- скорости газа в начале области горения и в конце ее близки между собой и существенно ниже критической скорости: Яг ^ Яз ^ 1. Однако с удалением от центра взрыва волна детонации ослаб- ослабляется м скорость распространения ее Я1 падает. В связи с этим происходит снижение температуры торможения в начале области горения {Т*2) и рост приведенной скорости газа (Яг). При этом увеличиваются относительный разогрев газа {АТ^/Т^ и ско- скорость движения F8) продуктов сгорания (Яз). Очевидно, что, когда детонационная волна ослабится настолько, что Яз подни-
§ 5. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 223 мется до критического значения (Хзкр = 1), дальнейшее снижение скорости детонации окажется невозможным *). Следовательно, процесс детонации, начавшийся со взрыва, непрерывно ослабевает до тех пор, пока скорость распространен ния не снизится до минимального значения, отвечающего на- наступлению теплового кризиса в зоне горения. С этого момента распространение детонационной волны приобретает устойчивый стационарный характер. Как было указано в § 4, дальнейшее ускорение и переход в сверхзвуковую область возможны единственно при перемене знака воздействия — в данном случае при переходе от выделе- выделения тепла в зоне горения к отводу его, начиная от критического сечения (тепловое сопло). Таким образом, наступление тепло- теплового кризиса в зоне горения приводит к установлению стацио- стационарных значений Яь Яг и Яз. Мы можем определить приведенную скорость распростране- распространения установившейся детонационной волны, подставив в уравне- уравнение F0) значение Аз = 1. При этом ! f т\ Г Т* G1) или после освобождения от радикалов ?I Заменяя Т3 = Тг -f- А Г*, получим также AT* G3) Последние два выражения, так же как и уравнение F5), сохраняют одинаковый вид при подстановке в них приведенных скоростей Ai и Яг. Тем самым изменение температуры торможе- торможения связывается здесь или со скоростью распространения дето- детонации (Xi), или с максимальной скоростью распространения зоны горения (Лг). Существенно, что максимальное значение %2 сохраняется вне зависимости от механизма зажигания, т. е. от- относится как к детонационному, так и к нормальному распро- распространению пламени. Перейдем к вычислению скорости распространения волны. Обозначим для краткости тепловую характеристику горючей *) В отличие от этого простая ударная волна, образовавшаяся в резуль- результате взрыва и распространяющаяся в инертной среде, по мере удаления от центра взрыва полностью вырождается в волну акустическую.
224 гл- V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА смеси ft 1) 1 11 Из формул F9), G2) имеем откуда квадрат приведенной скорости распространения волны равен G4) В уравнении G4) оба знака перед корнем отвечают реаль- реальным значениям приведенной скорости. Положительный знак со- соответствует детонационному горению (Xi>l), т. е. скорости распространения ударной волны. Отрицательный знак отвечает распространению медленного горения. Следует заметить, что формула G4) также и при отрицательном знаке пригодна для детонации. В этом случае она связывает приведенную скорость непосредственно за фронтом скачка уплотнения Хг (вместо К\) с величиной ft' = ДГ*/Г2 (вместо ft = AT7*/!7!). В практически интересных случаях, когда ft > 1, вместо выра- выражения G4) можно с ошибкой менее 2 % принять лриближенно: а) для скорости распространения стационарной волны детона- детонации ,2 2 + 4ft . к — V G5) б) для предельной скорости распространения волны горения ^ = 2Т4Г G6) Пользуясь известной связью между приведенной скоростью и числом М, можно получить также аналогичные зависимости числа М для волн детонации и горения от тепловой характери- характеристики газовой смеси. На рис. 5.19а и 5.196 изображены графики зависимостей Я,1 = /(О) и Mi = F(ft) 1) По смыслу ата величина равна отношению количества выделившего- выделившегося тепла к начальной энтальпии газа ft = QI(cvT\). Например, для холод- холодной (Т\ & 300 К) смеси бензина с воздухом (при а « 1) ft « 6,5.
§ 5, О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 225 для газовой смеси (при fc = l,4). Верхние ветви обеих кривых (в сверхзвуковой области движения Х\ > 1, Mi > 1) отвечают установившейся минимальной скорости распространения детона- детонации, нижние ветви (в дозвуковой области %\ < 1, Mi < 1)— мак- максимальной скорости горения, т. е. предельно возможной скоро- скорости нормального распространения пламени. Рис. 5.19а. Зависимость экст- экстремальной величины приве- приведенной скорости распростране- распространения волны горения от тепло- тепловой характеристики смеси: 1 — область нестационарной детонации; 2 — стационарный режим детонации, 3 — макси- максимальная скорость горения, 4 — область нормального го- горения Мы приходим, таким образом, к единому представлению о скорости распространения горения. При этом в сверхзвуковой области (выше кривой) лежат значения, соответствующие не- неустановившемуся режиму детонации, тогда как в дозвуковой (ниже кривой)—бесчисленное множество значений, отвечающих Рис. 5.196. Зависимость экст- экстремальной величины числа Mi для распространения волны горения от тепловой характе- характеристики смеси: 1 — область нестационарной детонации, 2 — стационарный режим де- детонации, 3 — максимальная скорость горения, 4 — область нормального горения 10 5 А / (/ *•' У // /, /\ / А у 7 7 7 / / У/ 7 /\ /, А / 7 V V V/ 'V о Л /, /, / /J /, 7 V V // / V /, /, /, / 7 /, /, 7 7 7 7 // // / г/ 7 7 /, /, /, / / 7 / / /, /, / 7 7 7 7 // /, 7 7 /А /, /, /, / 7 7 у, /, / 7 7 7 // 7 // /, -И 7 7 Л // 'Л /, Г 7, 7 7 Т/ /, /, 7 7 7 7 // /' /, /, to 20 30 стационарному нормальному распространению горения при ма- малых скоростях движения газа. Наконец, режимы, отвечающие заштрихованной области (рис. 5.19а и 5.196), не могут быть 15 г. Н. Абрамович, ч. 1
226 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА реализованы в связи с явлением теплового кризиса (т. е. невоз- невозможностью перейти через скорость звука при подводе тепла). Именно этим, по-видимому, следует объяснить тот факт, что переход от медленного горения к детонации, как показывают опыты в трубах, всегда осуществляется скачкообразно. Следует отметить одну интересную особенность полученных кривых. Как видно из графиков, достаточно самого незначитель- незначительного теплового воздействия, чтобы предельная скорость горения стала существенно ниже, а скорость детонации существенно вы- выше звуковой. Дадим расчет давлений при детонации и горении. Расчет предельного скачка разрежения во фронте пламени, достигаемого при тепловом кризисе, можно произвести посред- посредством уравнения импульсов. В случае Яз = Мз = 1 имеем 1) но на этом режиме 3 откуда на основании зависимости G1) получается 1 - ? G7> 3 Таким образом, предельное падение давления в газовом по- потоке в области горения равно -А = 1 + Лу i__;f G8) или на основании выражения G2) Т) ' л' I л 2 ' л 2 i /< * ^ ' ') Чтобы получить это выражение, напишем уравнение импульсов (94) гл. I для нашего случая: Р2 — РЗ ИЛИ во
§ 5. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 227 При этом значение приведенной скорости как в детонационном, так и в предельном случае нормального горения берется из соот- соотношения G4). Если воспользоваться равенством G5), то найдется следую- следующая приближенная формула падения давления во второй обла- области волны детонации (для О* > 1): i+ Р3 1^ Соответственно равенство G6) приведет к приближенному выражению перепада давлений для предельной скорости нор- нормального горения: ? #& (8D Изменение давления при прохождении через всю область де- детонации, состоящую из адиабатического скачка уплотнения и зоны горения, получится при делении равенства F3) на G9): Весьма простые зависимости получаются для изменения плот- плотности газа. При предельной скорости нормального горения на основании уравнения неразрывности и выражений G7) и G2) получаем ^ = W-± = _L_ = 2Х* (83) Р W ^l + i Xj + l' При стационарном режиме детонационного горения, исполь- используя равенства A6) гл. III и F2), имеем (84) pi р2 Pi я; + 1 Остановимся более подробно на некоторых общих свойствах одноразмерных неадиабатических волн и дадим, в частности, расчетные формулы для определения абсолютной скорости рас- распространения волны. Из уравнений импульсов и неразрывности следует, что в любом случае ударной волны (в пренебрежении силами трения) справедливо следующее соотношение: ^р = wLwz. (85) С другой стороны, уравнение теплосодержания с учетом урав- уравнения состояния идеального газа дает для скачка давления при 15*
228 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА любом подводе (или отводе) тепла1) Г5г = в»р + р4р" Dф-<4ф)- (86) Из уравнений (85), (86) и неразрывности нетрудно вывести со- соотношение между скоростями для произвольного скачка давле- давлений: ЩЩ (wi — ws) = Яз2кр^1 — a21KV>w3. (87) В частном случае, когда подвод тепла отсутствует и #iKp = = ^зкр» мы снова получаем соотношение A6) гл. III для адиаба- адиабатического скачка уплотнения. В интересующем нас случае установившейся детонации (или распространения горения с предельной скоростью), когда насту- наступает тепловой кризис, т. е. Яз = 1 и 1#з = язкр, уравнение (87) принимает вид (w± — азкрJ = Язкр — а?Кр, (88) причем для детонации для медленного горения Как и в приведенных ранее безразмерных уравнениях, мы имеем здесь два решения: w, = у ^зкр ^1кр» отвечающих минимальной скорости распространения детонации (при знаке +) и максимальной скорости медленного горения (при знаке —). Полученные общие соотношения применимы к любым не- неадиабатическим скачкам давления вне зависимости от меха- *) Напишем уравнение теплосодержания B5) гл. I для газа до и после ударной волны о о с (т* _Т \ — Wl с (т^ — ТЛ— W* или, заменяя из уравнения состояния Т = p/(Rp), Вычитая из второго уравнения первое, с учетом равенств 2ср— 2к ' акр""Л + и закона импульсов, получим (86).
§ 5, О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 229 низма выделения тепла. Мы видели, что в рассмотренных выше двух случаях распространения фронта пламени непосредственно тепловой скачок (т. е. зона горения) представлял как при дето- детонации, так и при нормальном горении скачок разрежения в до- дозвуковом течении. Нетрудно указать и случай теплового скачка сжатия в сверхзвуковом потоке. Мы имеем в виду хорошо из- известные скачки конденсации, сопровождающейся переходом от большей сверхзвуковой скорости к меньшей, но все еще сверх- сверхзвуковой скорости. И в этом случае приведенные выше уравне- уравнения и выводы остаются справедливыми. В заключение исследуем движение газов за фронтом волны. Выше были получены основные соотношения, характеризую- характеризующие газовый поток, проходящдй через область скачка детона- детонации или пламени с неподвижным фронтом, т. е. в обращенной схеме. Рассмотрим теперь, какой вид приобретут все соотноше- соотношения, если перейти к нормальной схеме, когда газ неподвижен, а в нем распространяется волна детонации или горения со ско- скоростью w\. В этом случае за фронтом ударной волны следуют еще не воспламенившиеся частицы газа со скоростью а позади области горения движутся продукты горения со ско- скоростью Wr = W\ — Wz, где под wx и wr мы понимаем абсолютные скорости. Нетрудно видеть, что в случае детонации W^l > ^3 > ^2» т. е. фронт пламени и продукты горения движутся в том же на- направлении, что и фронт ударной волны, но только скорость ча- частиц во фронте пламени выше, чем в продуктах горения: wx > wr. В случае нормального горения, когда величина wv получается отрицательной, т. е. направления дви- движения продуктов горения и фронта пламени противоположны. Как было установлено, при стационарном режиме детонации и при предельной скорости нормального горения имеет место ра- равенство и?з = азкр, или Хз = 1, вследствие чего в этих режимах скорость движения продуктов горения равна
230 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА где согласно полученной выше зависимости (89) = а3кр ± У а\^ — а Пкр* Отсюда приходим к следующему выражению для скорости рас- распространения продуктов горения в случаях стационарной дето- детонации и предельного режима нормального горения: шг = ±|/а2зкр-а21кр. (90) Знак плюс отвечает детонации, знак минус — нормальному го- горению. Найдем теперь значения приведенных скоростей. Для фронта ударной волны получим Х\ = wila\KV. Для частиц, следующих непосредственно за фронтом ударной волны, (91) а1кр так как а\кр = а2Кр. Наконец, для продуктов горения согласно (90) имеем Отсюда с помощью G2) находим (92) Положительные значения К получаются при детонации (К\ > 1), отрицательные — при нормальном горении (A,i<l). В случае Л,1 = 1 имеем К = 0, т. е. при движении волны со скоростью звука газ остается неподвижным, что вполне соответствует фи- физической природе явления 1). Наибольшее значение скорости продуктов нормального горе- горения Яг = — 1 получается, естественно, в неподвижной смеси бесконечно большой калорийности [Ф = <», т. е. К\ = 0, см. G6)]. Максимум скорости продуктов детонации достигается также при бесконечно большой калорийности. по G5) О1 = оо, %\ = ]с j jl ^fcZTl Г но в этом случае, как нетрудно видеть из (92), он равен лг = -г. 1) Выше [см. G4)] было показано, что %\ = 1 получается только при нулевой калорийности смеси, когда детонация и горение вырождаются в обычные звуковые волны.
§ 5. О РАСПРОСТРАНЕНИИ ДЕТОНАЦИИ И ГОРЕНИЯ 231 Итак, абсолютная скорость движения сгоревших частиц всеь- да меньше скорости звука. Этот результат справедлив как при нормальном горении, так и при детонации. Между тем, как нетрудно видеть из (91), скорость несгорев- ших частиц (в начале зоны горения) в случае детонации может быть больше звуковой; получается это на режиме Ях = кг — ^- > 1, т. е. при Х\ — %г — 1 > 0. Решая это неравенство, получаем 1,62 и Мх>2. Максимальное значение этой скорости, очевидно, получается на режиме Mi = оо и Ai = ^—т, оно равно л 1/Л-Г1 1 / # — 1 лх max — r Если к = 1,4, то Xxmax = 2,04 и Mxmax = 3,4. Интересный результат получится, если связать абсолютные скорости газа в начале и в конце зоны детонационного горения: wr К азкр * Отсюда, используя зависимости (91), (92) и G2), находим сле- следующее простое соотношение: wx = 2wr, (93); т. е. при детонации скорость частиц перед фронтом пламени всегда вдвое выше скорости сгоревших частиц. Давления как за фронтом ударной волны (/?г), так и в конце зоны горения (/?з), очевидно, не изменяются от того, что мы об- обратили движение, т. е. могут быть определены по формулам F3) и G9). Можно, однако, посредством (92) придать формуле G9)] следующий особенно простой вид: РЛ. = 1 ± kXT. (94) Здесь минус берется при нормальном горении, знак плюс — при детонации. В предельных случаях нормального горения (КГ = = — 1) и детонации (К = 1/к) получаем соответственно для мак- максимальной скорости нормального горения
232 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА и для минимальной скорости детонации у = 2. (96) При встрече продуктов горения с плохообтекаемым телом произойдет повышение давления до величины р5, которая для обоих этих режимов найдется из одного и того же выражения, соответствующего изоэнтропийному процессу сжатия: Более значительное повышение давления произойдет при остановке частиц еще не загоревшегося газа, движущихся со скоростью wx. На режимах Хх < 1 действует та же изоэнтропи- ческая зависимость: /QQ4 (98) Для сверхзвуковых режимов (Хх>1), когда торможение начи- начинается с прямого скачка уплотнения, переводящего поток к до- дозвуковой скорости Я,х = 1 Ах и давлению, определяемому форму- формулой F3), (99) имеем при полном торможении или окончательно В предельном случае ^i = jrirp т. е. Ях = 2,04 (при А: = 1,4), получим предельное повышение давления при торможении
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 233 или по сравнению с давлением в продуктах горения ^«30. При встрече газов, следующих непосредственно за фронтом детонационной волны, с остроносым препятствием может воз- возникнуть вместо прямого косой скачок уплотнения. В последнем случае повышение давления при торможении газов оказывается меньшим. § 6. Расчет газовых течений с помощью газодинамических функций Выше были установлены количественные соотношения ме- между давлением, плотностью, температурой и приведенной ско- скоростью газового потока, а также параметрами торможения для некоторых течений газа. Эти уравнения содержат параметры газа, в частности приведенную скорость Я, в высоких и дробных степенях, поэтому преобразование их, получение явных зависи- зависимостей между параметрами в общем виде и решение численных задач часто представляют значительные трудности. Вместе с тем, рассматривая различные уравнения газового потока, выведен- выведенные, например, в § 4 гл. I и § 4 гл. V, можно заметить, что ве- величина приведенной скорости к входит в них в виде нескольких часто встречающихся комбинаций или выражений, которые по- получили название газодинамических функций. Этим функциям присвоены сокращенные обозначения, и значения их в зависи- зависимости от величины X и показателя адиабаты к вычислены и сведены в таблицы. Расчет газовых потоков при помощи таблиц газодинамиче- газодинамических функций получил широкое распространение и является в настоящее время общепринятым. Помимо сокращения вычис- вычислительной работы, преимуществом расчета с использованием газодинамических функций является значительное упрощение преобразований при совместном решении основных уравнений, что позволяет получать в общем виде решения весьма сложных задач. При таком расчете более четко выявляются основные ка- качественные закономерности течения и связи между параметрами газового потока. Как можно будет видеть ниже, использование газодинамических функций позволяет вести расчет одномерных газовых течений с учетом сжимаемости практически так же про- просто, как ведется расчет течений несжимаемой жидкости. Рассмотрим основные из применяющихся в настоящее время газодинамических функций и на ряде примеров проиллюстри- проиллюстрируем использование их для решения различных задач. Первая, простейшая группа газодинамических функций вве- введена для упрощения записи соотношений между параметрами
234 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА в потоке, параметрами торможения и приведенной скоростью газа. В § 3 гл. I путем преобразования уравнения теплосодержа- теплосодержания была получена формула D2) т* к +1Л ' связывающая температуру торможения Т* с температурой в по- потоке Т ж приведенной скоростью %. Обозначим l — ~jX2 = r(X). A01) В § 4 гл. I были получены выражения G2) и G3) для отно- отношения давления и плотности в потоке к полному давлению и Рис. 5.20. Графики газодинамических функций т(А,), г (к), л (К) при к *¦ 1,4 плотности изоэнтропически заторможенного газа. Введем для них обозначения h__ "\ (Ю2) A03) Связь между газодинамическими функциями т(Х), я (к) и г (К) вытекает из очевидного соотношения между величинами р, р и Т: л (Я) A04)
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 235 Следует заметить, что уравнения A01), A02), A03) связывают параметры газа в одном и том же сечении потока и справед- справедливы независимо от характера течения и происходящих в газе процессов: переход от параметров в потоке к параметрам за- заторможенного газа по определению происходит по идеальной адиабате. Характер изменения газодинамических функций т(Л), я (X) и г(Х) в зависимости от X показан на рис. 5.20: с увеличе- нием л от нуля до максимального значения Атах = у j—t функции х(Х), п(Х) и г(Х) монотонно уменьшаются от единицы до нуля. Это вполне соответствует и их физическому смыслу: при весьма малых скоростях (X -*¦ 0) параметры в потоке прак- практически не отличаются от параметров полностью заторможен- заторможенного газа; с увеличением скорости до предельного значения (М ->¦ оо, Х-*- Хтгх) температура, давление и плотность газа при конечном значении параметров торможения стремятся к нулю. Располагая графиками или таблицами, в которых для каж- каждого значения X приведены значения функций л(Х), е(Х), т(Х), можно быстро определять параметры торможения по параме- параметрам в потоке и наоборот. Такие таблицы для значений к = 1,40 и 1,33 приведены на с. 569—586. Имеются (с. 587, 588) вспомо- вспомогательные графики, которыми можно пользоваться вместо таб- таблиц, если не требуется высокая точность вычислений. Пример 1. В сечении 1 дозвуковой части идеального сопла Л аваля известны: давление в потоке />i = 16-105 Н/м2, температура торможения Г* = 400 К, приведенная скорость Х\ = 0,6. Требуется определить приве- приведенную скорость Яг и давление газа в сечении 2, где температура Т2 рав- равна 273 К. Поскольку температура торможения и полное давление газа в рассмат- рассматриваемом идеальном сопле не меняются, то Г2 = Тг и Р2== Р±- Исполь- Используя первое равенство и соотношение A01), записываем Т Т Подставив сюда заданные значения Гг и Г1? находим т(Яг) =0,6825 и по таблицам определяем (при к = 1,40) Я2 = 1,38. Таким образом, искомое сечение находится в сверхзвуковой части сопла. Далее используем условие постоянства полного давления в сопле. Выражая полное давление через давление в потоке и функцию л(Х) согласно A02), получаем или р* = Для Xi = 0,6 и %2 = 1,38 в таблицах находим значения функций я (Я) и определяем р2 =16.105.^ Найдем теперь, какова при тех же исходных данных будет темпера- температура газа в сечении сопла 5, где давление газа равно атмосферному'
236 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА рх= 1,01-105 Н/м2. Записываем я(Х3)=;1=А или я(*3) = Рз^ Отсюда находим а затем из таблиц определяем величину Хз = 1,855. Этому значению при- приведенной скорости в таблице соответствует т(^3) =0,4265. Далее легко на- находим температуру газа в сечении 3 Г3 = Г*т(Я3) = 400-0,4265 =170,6 К. Таким же образом решаются и другие задачи, связанные с нахождением зависимости между параметрами газа в различных сечениях потока. Рассмотрим далее две газодинамические функции, которые используются в уравнениях неразрывности потока. Подставим в выражение секундного расхода газа G = pwF через сечение пло- площади F соотношения, выражающие плотность газа р и скорость потока w через параметры торможения р* и Г* и приведенную скорость Я: - о* U - Тогда получим 1 Г Умножив обе части этого выражения на акр = у после сокращения имеем ; A06) Это уравнение связывает расход газа в данном сечении с пол- полным давлением, критической скоростью звука й некоторой функ- функцией приведенной скорости где е (Я)—введенная выше газодинамическая функция A03). Новая Газодинамическая функция q(X) определяется как вели*
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 237 чина, пропорциональная произведению Кг (X): 1 1 q (Я) = X (l - j A07) Коэффициент пропорциональности выбран так, чтобы при; % = 1 иметь д(А,)=1. Вследствие этого газодинамическая функция 12 IS 2,0 Л Д^ Рис. 5.21. Графики газодинамических функций <?(Я), у(У) при /с = 1,4 5 (А,) приобретает физический смысл безразмерной плотности тока: где (р^)кр — максимальное значение плотности тока (при за- заданных параметрах торможения), соответствующее течению со скоростью звука. Действительно, 1 Р* Р кр"'кр [ График функции д(Я) приведен на рис. 5.21. При увеличении приведенной скорости К от нуля до единицы величина q(X) растет от нуля до своего максимального значения #(А,)= 1, а да- далее вновь снижается до нуля при значении к = Ятах. Таким об- образом, плотность тока максимальна при #(А,)=1 и снижается как с уменьшением, так и с увеличением скорости по сравнению с критическим значением. Одно и то же значение функции (Х)
238 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА соответствует двум возможным значениям приведенной скоро- скорости, одно из которых больше, а другое меньше единицы. Подставляя в выражение A06) функцию #(А,), имеем A08) Заменяя в A08) величину а„р ее значением, получаем следую- следующую формулу для вычисления расхода газа (см. также § 1 гл. IV): A09) где В нижеследующей таблице приведены значения L для раз- различных значений А:: к L 1,67 0,725 1,4 0,685 1,35 0,676 1,33 0,673 1,30 0,667 1,25 0,658 1,10 0,628 Для воздуха (к = 1,4, R = 287,3 Дж/(кг-К)) численный коэф- коэффициент в уравнении A09) т = 0,0404 [м • с • К05]. Для вых- выхлопных газов в турбореактивных двигателях (к = 1,33, R = = 288,3 Дж/(кг-К)) т = 0,0396. Для пороховых газов в сред- среднем можно считать т = 0,035. При течении со скоростью звука д(Я)= 1 и уравнение A09) сводится ^полученному^ ш._ ГУ-ДЩ^жвнию (8) для._вычисле- ния расхода газазёрёз „сопло Лаваля по параметрам газа в кри- критическом сечении сопла, При решении ряда задач требуется связать расход газа не с полным, а со статическим давлением в потоке. Такую связь легко получить из выражений A08) или A09), если заменить в их правых частях величину полного давления согласно вы- выражению р Тогда получаем соотношения
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 239 (Ill) у т" где функция 1 ,.т _*(*)/* + * k-i 2 является второй газодинамической функцией, с помощью кото- которой можно вычислять расход газа (см. рис. 5.21). Значения ее, так же как и значения функции q(X) для различных значений к приведены в таблицах (Приложение II) и на графиках (Прило- (Приложение III). С увеличением X функция у (X) монотонно возрастает, причем при X -*¦ Хтах у(^)~^°°- Как формула A09), так и фор- формула A11) выражают расход газа через параметры его состоя- состояния в рассматриваемом сечении потока, и потому справедливы независимо от характера процессов, происходящих в потоке газа. Формулами A09) и A11) удобно пользоваться при составлении уравнений неразрывности для газового потока, причем для каж- каждого сечения может быть выбрана та из формул, которая лучше соответствует заданным или искомым величинам. Выражения A09)» A11) и составленные при их помощи урав- уравнения неразрывности непосредственно приводят к ряду зависи- зависимостей, выведенных ранее более сложным путем, а также по- позволяют достаточно просто решать разнообразные задачи. При- Приведем несколько примеров расчета. Пример 2. Определить зависимость между площадью какого-либо сечения идеального сопла Лаваля и приведенной скоростью потока в этом сечении, т. е. найти закон изменения площади в сопле Лаваля. Так как для любого сечения идеального сопла расход, полное давление и температура торможения одинаковы, то из A09) следует Fq(X) = const. Так как для F 1 критического сечения q(X)KV = 1, то Fq(X) = FKP или т;—= т, т. е. пло- щадь сечения сопла изменяется обратно пропорционально значению функ- функции q(X). В соответствии с графиком функции q(X) это означает, что с увеличением скорости площадь уменьшается при дозвуковых скоростях и увеличивается при сверхзвуковых скоростях, имея минимум при X = 1. Пример 3. На участке цилиндрической трубы между двумя сече- сечениями 1 и 2 в результате гидравлических потерь (трение, местные сопро- сопротивления) снижается полное давление движущегося газа. Потери полного давления между сечениями 1 ж 2 оцениваются величиной коэффициента со- сохранения полного давления о = р2/р1<1. Определить характер измене- изменения скорости и статического давления газа в трубе при отсутствии тепло- теплообмена с внешней средой. Запишем, воспользовавшись формулой A09), усло- условие равенства расходов газа в сечениях 1 и 2:
240 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА Поскольку в данном случае Fx = F2 и Г* = Г*, то Отсюда по заданным значениям Xi и о можно с помощью таблиц газо- газодинамических функций определить Х2. Полученный результат справедлив как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых скоростей потока. Так как а < 1, то q(l2) > q(hi). Из этого неравенства следует (см. график функции д(А,) на рис. 5.21), что при наличии гидравлических сопротивлений (при G = const, F = const, Т* = const) скорость дозвукового потока по длине трубы возрастает, а ско- скорость сверхзвукового потока уменьшается. Чюбы определить изменение статического давления, можно сравнить между собой величины рг = р*п (Я2) и р2 = р*п (Я2). Однако более на- наглядно искомый результат может быть получен из условия равенства рас- расходов газа, если воспользоваться при этом выражением A11): V|g(*l) PlFf»^t) Р, У (К) или Так как функция у (А,) возрастающая, то отсюда заключаем, что при нали- наличии сопротивления, в соответствии с найденным выше изменением приве- приведенной скорости, статическое давление будет уменьшаться, если скорость потока дозвуковая, и увеличиваться, если скорость сверхзвуковая. Пример 4. Определить приведенную скорость Я2 и статическое дав- давление воздуха р2 на выходе из диффузора, если известно, что на входе в диффузор полное давление р* = 3-Ю5 Н/ма, приведенная скорость Х\ = = 0,85, отношение площадей выходного и входного сечений F2/Fi = 2,5 и коэффициент сохранения полного давления o^/^/^i =0,94. Для решения задачи записываем уравнение неразрывности, пользуясь формулой A09): Пренебрегая теплообменом через стенки диффузора, имеем Г* = Г* и, 1 ^i следовательно, ?(y = "a"F?(^i)' ^° та^лицам для Xi = 0,85 находим q(l{) = 0,9729. Тогда q(l2) = 0,425 • 0,9729 = 0,413, чему соответствует ta = 0,27 и л(Я2) = 0,9581. Из соотношения A02) имеем р2 = р*л (К2) = = ор*±л (Х2) или р2 = 0,94 . 3 • 105 • 0,9581 = 2,7 • 10Ч1/м2. Пример 5. При испытании компрессора в выходном его сечении, площадь которого F = 0,1 м2, измерены статическое давление р = 4,2 X X Ю5 Н/м2 и температура торможения воздуха Т* = 480 К. Определить пол- полное давление воздуха, если его расход G = 50 кг/с. Из выражения расхода A11) определяем функцию у (X) по известному значению статического давления воздуха: G УТ* 50 Т/480 У W = 1^Г 0,0404-4,2.105.0,1
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 241 По таблицам газодинамических функций находим, что этому значению у(Х) соответствуют величины X = 0,399 и л(Х) = 0,9101. Отсюда полное давле- давление воздуха р* = р/п(Х) = 4,2 • 105/0,9101 = 4,61 • 105 Н/м2. Если не пользоваться газодинамическими функциями, то подобные вы- вычисления, которые часто делают при обработке экспериментальных данных, приходится проводить более сложным методом, путем последовательных приближений. Рассмотрим газодинамические функции, которые используются в уравнении количества движения газа. Сумму секундного коли- количества движения и силы давления газа в рассматриваемом по- поперечном сечении потока принято называть полным импульсом потока /: ( ±). (ИЗ) Если в A13) подставить соотношения w = Яакр; Р ЯТ РТ* М ^ ~~ 1 J ] к -\- 1 2 / л к — { «2 то получим Gw + pF = СЧ JuzKp + 2fe "PH ~FT1^2) г A14) После раскрытия скобок и упрощений приводим выражение A14) к виду Gw -\- pF = "Г, GaKpZ (X), A15) где z(X) = X + ±. A16) График газодинамической функции z(X) приведен на рис. 5.22. Минимальное значение функции z(X) = 2 соответствует крити- критической скорости течения (Х = 1). Как в дозвуковых, так и в сверхзвуковых потоках z(X)>2; значениям z(X)<2 не соот- соответствуют какие-либо реальные режимы течения. Легко видеть, что при замене величины X обратной ей величиной X' = 1/Х зна- значение функции z(X) не изменяется. Таким образом, одному зна- значению z(X) могут соответствовать два взаимно обратных значе- значения приведенной скорости X — одно из них определяет дозвуко- дозвуковое, а другое — сверхзвуковое течение газа. Отметим также, что функция z(X), в отличие от всех остальных газодинамических функций, не зависит от величины показателя адиабаты к. Выражение A15) для импульса потока значительно упро- упрощает запись и преобразования уравнения количества движения газа. Оно оказывается чрезвычайно полезным при решении пш- 16 Г. Н. Абрамович, ч. 1
242 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА рокого круга задач газовой динамики, как, например, в расчете течений с ударными волнами, подводом тепла и охлаждением, течений с трением, с ударом при внезапном расширении канала, при расчете процесса смешения потоков, при определении сил, о о ом о,д iz i,6 Рис. 5.22. Графики газодинамических функций Z,0 A W к), /(Я), г(Х) при к = 1,4 действующих на стенки канала, при вычислении реактивной тя- тяги и др. Следующие два примера позволяют наглядно показать, на- насколько упрощается решение задач при использовании соотно- соотношения A15). В первом из них рассмотрена ранее решенная за- задача (гл. III, § 1) о прямом скачке уплотнения, во втором— за- задача о течении подогреваемого газа в цилиндрической трубе (гл. V, §3). Пример 6. Определить соотношения между параметрами газа до и после прямого скачка уплотнения. Связь между параметрами газа в скачке уплотнения мы выше уста- устанавливали исходя из того, что при переходе через прямой скачок сохра- сохраняются неизменными полная энергия, расход и импульс потока. Запишем те же уравнения с использованием газодинамических функций. Уравнение количества движения или импульса потока PlFi = G2w2 + pqF2 с учетом выражения A15) принимает вид Из уравнений сохранения расхода и полной энергии имеем Gi = Gr T\ = T\, или акр1=акр2. Учитывая это и сокращая соответствующие величины расхода и скорости
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 243 ввука в уравнении импульсов, получаем Это уравнение имеет два решения: либо Я2 = Яь что соответствует безудар- безударному течению с неизменными параметрами газа, либо что соответствует прямому скачку. Такое же выражение — основное кине- кинематическое соотношение теории ударных волн — было получено выше, см. формулу A6) гл. III. По известному значению приведенной скорости с помощью уравнения неразрывности легко определяем изменение полного и статического давле- давлений в скачке уплотнения. Так как F2 = F\ и T2 = TV то, используя фор- формулы A09) и A11), можно уравнение неразрывности для потока газа до и после скачка представить в виде Отсюда, учитывая, что Х2 = 1Дь получаем р\/р\ = Я (^i) (i) = 2/(^i)/#(lAi). Эти соотношения эквивалентны уравнениям B4) и B1) гл. III, но получены значительно более простым путем. Пример 7. Газ, движущийся в цилиндрической трубе, подогревается от 400 К на входе в трубу до 800 К на выходе из нее. Приведенная скорость потока на входе в трубу hi = 0,4. Требуется определить, пренебрегая тре- трением, приведенную скорость потока после подогрева, а также изменение полного и статического давлений в потоке. Основное соотношение, определяющее закономерности течения газа в цилиндрической трубе с подводом тепла, получим из уравнения количества движения. В данном случае оно имеет вид так как подвод тепла не связан с силовым воздействием на поток и силы давления в начальном и конечном сечении являются единственными сила- силами, вызывающими изменение количества движения газа. Заменяя выраже- выражения для импульсов потока газа согласно соотношению A15) и считая, что теплоемкость газа и показатель адиабаты при подогреве не изменяются, получаем а„„л СкЛ = avintkzCkX или z (X)=z(X, Так как при Ki = 0,4 z(X,i) = 2,9, то »<Ч>-'.» 1/31 = 2,05. С помощью таблиц функции z(%) или непосредственным вычислением из квадратного уравнения Я2 + 1Д2 = 2,05 определяем два возможных значе- значения приведенной скорости на выходе: Х'2 = 0,8, Х2 = 1/х'2 = 1,25. Реаль- Реальным будет только первое решение, поскольку подогревом невозможно пере- перевести дозвуковой поток в сверхзвуковой (см. § 4). Зная приведенную скорость потока Я2 = 0,8, легко определить измене- изменение полного и статического давлений в процессе подогрева. Для этого, как и в предыдущем примере, можно воспользоваться уравнением неразрывно- 16*
244 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА сти, из которого для данного случая (G = const, F = const) следует ^2_g(Mi A*'„0,5897 1/800 = о,875, Р2_У(К) р1 у{К) У Т* I»4!26 * 400 ' " Таким образом, как полное, так и статическое давление в результате подо- подогрева газа уменьшается. Полученное значение рг/pi = 0,648 и есть то соот- соотношение статических давлений газа в начальном и конечном сечениях рас- рассматриваемого участка трубы, которое необходимо создать, чтобы поддер- поддержать при данном подогреве заданную величину приведенной скорости на входе X = 0,4. Уравнение сохранения количества движения позволяет установить не- некоторые общие закономерности течения в цилиндрической трубе с подогре- подогревом или охлаждением. Так, например, легко видеть, что с увеличением отношения ^*/^1 значения функции z(K2) (при z(X\) = const) всегда уменьшаются. В соответствии с характером функции z(X) (рис. 5.22) это означает, что с ростом подогрева в дозвуковом потоке приведенная скорость увеличивается, а в сверхзвуковом — уменьшается. В обоих случаях ско- скорость потока будет приближаться к критическому значению %ч = 1, при котором функция z(А,) принимает минимально возможное значение я(А,г) = = 2. Этим обусловлено значение предельно возможного подогрева для за- заданной начальной скорости (^/^l/max (^i)/^* Для принятых в данном примере значений параметров предельная величина подогрева соответствует 7*2— 840 К. Из уравнения расхода можно определить отношение давлений Р2/Ри необходимое для реализации такого режима при сохранении К\ = const. При увеличении подогрева сверх найденного значения получим 2(^2) < 2, что указывает на физическую невозможность такого подогрева при задан- заданной скорости течения на входе. Заменив в соотношении A15) произведение GukV его значе- значением согласно A08) или A10), получим выражение для им- импульса газового потока в первом случае через полное давление, а во втором случае через статическое давление: '1p*Fq(k)z(l) Gw + PF = (щ-^1 pFy (ty z (К). Введем обозначения для двух новых функций приведенной ско- скорости Я, входящих в правые части этих выражений: 1 1 / (*¦) = (Т1 (*>(*> ^2 + DI1 . fc-1 ,2
§ 6. ГАЗОДИНАМИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 245 Подставляя эти обозначения, получаем окончательно A19) A20) Функция г(Х) введена как величина, обратная произведению y(X)z(X) с тем, чтобы облегчить пользование таблицами (произ- (произведение у (X)z (X) быстро возрастает с увеличением X, стремясь к бесконечности при X -+• Хтах; величина же г(Х) изменяется в пределах от единицы до нуля). Графики функций f(X) и г(X) приведены на рис. 5.22. Уравнения A19) и A20) показывают ряд свойств импульса газового потока. Обратим внимание на то, что в правой части этих уравнений отсутствуют величины расхода газа и температу- температуры или критической скорости. Из этого следует, что если при заданной площади сечения F и приведенной скорости X полное или статическое давление в потоке постоянно, то импульс сохра- сохраняет постоянное значение независимо от температуры и расхо- расхода газа. Физический смысл этого состоит в том, что при изменении температуры (или температуры торможения) газа при X = const скорость течения изменяется прямо пропорционально, а рас- расход — обратно пропорционально корню квадратному из темпера- температуры, так что произведение Gw остается постоянным. Отметим, что функция f(X) в области дозвуковых и небольших сверхзву- сверхзвуковых скоростей изменяется очень мало (приблизительно на 10% в интервале X = 0,55 -г-1,35). Отсюда согласно A19) сле- следует, что импульс газового потока при постоянных полном дав- давлении и площади сечения слабо зависит от величины X в широ- широком диапазоне ее изменения и определяется в основном величи- величиной произведения p*F. Выражения A19) и A20) для импульса газа очень удобны при решении задач, связанных с определением сил, действующих со стороны газа на стенки канала, что необходимо, в частности, при вычислении реактивной тяги различных двигательных ус- установок. Для реактивной тяги ракетного двигателя выше (§ 8 гл. I) было получено выражение Эта же формула определяет тягу воздушно-реактивного двигате- двигателя любого типа при работе на месте, когда начальное количество движения воздуха, поступающего в двигатель, равно нулю. Пре- Преобразуем эту формулу при помощи полученных выше соотноше- соотношений, для чего в ее правой части заменим выражение импульса газа в выходном сечении сопла согласно формулам A19) и
246 ГЛ. V. ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА A20). В первом случае получаем *-p*Fa ИЛИ P = PnFa[Jtcf(K)—l), A21) где пс = pl/pn — так называемое располагаемое отношение давлений в сопле. Точно так же можно получить второе выражение где N = pJPh — так называемая степень нерасчетиости сопла, т. е. отношение статического давления газа на срезе сопла к ат- атмосферному давлению. Формула A21) весьма удобна для вычисления реактивной тяги и широко применяется в расчете двигателей. Приведенная скорость Ха определяется типом реактивного сопла и располагае- располагаемым отношением давлений. Если сопло выполнено нерасширяю- нерасширяющимся и отношение давлений превышает критическое значение, то Ха=1\ для сверхзвукового сопла Ka = KvaC4 при всех значе- значениях яс, больших расчетного значения, и в значительной части диапазона jtc < лс Расч- Отсюда следует, что в широком диапазоне режимов современных двигателей К = const, и формулой A21) определяется линейная зависимость реактивной тяги от распо- располагаемого отношения давлений пс, так как /(Ха)= const. Напом- Напомним, что и при Ка Ф const функция f(k) весьма мало изменяется в значительной области до- и сверхзвуковых скоростей. Формула A22) удобна для вычисления тяги на режимах, когда статическое давление на срезе сопла равно атмосферному и N = 1. Такие условия существуют, в частности, при дозвуковой скорости истечения газа из сопла, а также при работе сверхзву- сверхзвуковых сопел на расчетном режиме. Отметим, что для вычисления реактивной тяги согласно A21) и A22) не требуется знать расход газа и его температуру. Из- Изменение температуры, как видно из A21) и A22), при ра = = const, p* = const и Fa = const вообще не влияет на величину тяги, что связано с взаимно обратной зависимостью скорости ис- истечения и расхода газа от температуры. Выражения A21) и A22) могут быть применены также для вычисления тяги воздушно-реактивных двигателей в полете; при: этом з правой части необходимо вычесть так называемый вход- входной импульс потока воздуха GBwH,