Text
                    Г Г. Черный
ДИНАМИКА


Г. Г. ЧЕРНЫЙ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Допущено Государственным комитетом СССР по народному образованию в качестве учебника для студентов высших учебных заведеь МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 8
ББК 22.25 4-49 УДК 533@75 8) Черный Г. Г. Газовая динамика: Учебник для университетов и втузов.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—424 с—ISBN 5-02-013814-2 Книга знакомит читателя с теоретическими основами газовой динамики, ее понятиями, связанными с приложением теоретических методов. Даются термоди- термодинамическое введение и основные математические соотношения, описывающие дви- движение сжимаемых сред. Вводится ряд важных для приложений понятий, описы- описываются теоретические модели газовых машин. Рассматриваются классы решений дифференциальных уравнений газавой динамики, соответствующие основным видам движений сжимаемых сред. Для студентов и аспирантов университетов и втузов, а также для инженеров и научных работников, соприкасающихся в своей деятельности с изучением дви- движений сжимаемых жидкостей и газов. Табл. 7. Ил. 224. Библиогр. 32 назв. Рецензенты: кафедра газовой динамики, горения и теплообмена Московского физико-тех- физико-технического института; доктор физико-математических наук Г. Ю. Степанов Учебное издание ЧЕРНЫЙ Горимир Горимирович ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА Заведующий редакцией Л. А. Русаков Редактор А. Г. Мордвинцев Художественный редактор Т. Н. Кольченко Технические редакторы И. Щ. Аксельрод, Л. В. Лихачева, А. П. Колесникова, С. #. Шкляр Корректоры О. М. Березина, М. Н. Дронова ИБ № 12910 Сдано в набор 30.03.88. Подписано к печати 27.10.88. Формат 60X90/16. Бумага типографская № 1. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 26,5. Усл. кр.-отт. 26,5. Уч.-изд. л. 28,46. Тираж 7 500 экз. Заказ № 2723. Цена 1 р. 30 к. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» Союзполиграфпрома при Государственном ко- комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 113054 Москва М-54, Валовая, 28 Отпечатано во 2-ой типографии издательства «Наука» 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6. Заказ 2302 тт 1703040000—189 пооо Ч ПгО /поч QQ— Уо-оо © Издательство «Наука». \)О6 \\)Z)-qq Главная редакция ISBN 5-02-013814-2 ^
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие . . . Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 1. Введение 11 § 2. Законы сохранения для конечных объемов среды (интегральные законы сохранения) 30 § 3. Установившиеся движения газа в трубке 42 § 4. Течения с разрывами 70 § 5. Установившиеся движения газа в трубке. Течения с разрывами (про- (продолжение) 89 § 6. Взаимодействие газа с движущимся в нем телом 118 § 7. Дифференциальные уравнения, соотношения на сильных разрывах и краевые условия 132 § ?8. Некоторые свойства системы дифференциальных уравнений газовой динамики 142 Глава II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ § 1. Основные уравнения 149 § 2. Начальные условия и внешние граничные условия 154 § 3. Уравнения в характеристической форме 156 § 4. Метод характеристик 162 § 5. Задача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывы 164 § 6. Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с усло- условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей) 168 § 7. Простые волны (волны Римана) 172 § 8. Задача о поршне. Истечение газа в вакуум 178 § 9. Соотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные раз- разрывы. Слабые и сильные ударные волны 186 § 10. Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Обра- Образование разрыва 193 § 11. Взаимодействие бегущей волны с ударной волной неконтактным раз- разрывом 196 § 12. Распад произвольного разрыва 207 § 13. Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы 212 § 14. Ударная труба. Задача о взрыве 217 § 15. Асимптотическое поведение затухающих ударных^волн 220 § 16. Сильный взрыв 223 § 17. Распространение волн детонации и горения в трубах 226 § 18. Акустическое приближение 229
4 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава III. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ § 1. Установившиеся движения газа. Основные уравнения и их интегралы. Двумерные движения 240 § 2. Граничные (краевые) условия 249 § 3. Плоские и осесимметричные потенциальные движения. Уравнения Чаплыгина 252 § 4. Некоторые точные решения в переменных годографа 257 § 5. Метод Чаплыгина решения задач о газовых струях 265 § 6. Приближенный метод Чаплыгина и его обобщения 269 § 7. Сверхзвуковые течения. Метод характеристик 280 § 8. Задача Коши. Задачи с условиями на характеристиках 283 § 9. Изоэнтропические течения. Характеристики в плоскости годографа . . 284 § 10. Простые волны (течения Прандтля — Майера) 285 § 11. Обтекание искривленной стенки. Истечение газа в пространство с по- пониженным давлением. Течение в канале 287 § 12. Обтекание вогнутого контура. Образование разрывов 291 § 13. Графическое представление соотношений на скачке: ударная поляра, сердцевидная кривая 293 § 14. Течение внутри угла. Сверхзвуковое обтекание клина и профиля. Истечение газа в пространство с повышенным давлением 297 § 15. Пересечение скачков уплотнения. Взаимодействие скачков с твердой и свободной границами и с тангенциальным разрывом 306 § 16. Осесимметричные простые волны. Сверхзвуковое обтекание кругового конуса 317 17. Общая постановка задач об обтекании тел идеальным газом 326 18. Метод малых возмущений 335 19. Линейная теория плоских течений. Обтекание профиля. Законы подобия 348 20. Линейная теория обтекания тел вращения. Законы подобия 367 21. Линейная теория обтекания крыла конечного размаха 373 22. Околозвуковые течения. Общие свойства. Законы подобия при обте- обтекании тел. Течения в соплах и струях 383 § 23. Гиперзвуковые течения. Общие свойства. Обтекание тонких тел. За- Законы подобия. Формулы Ньютона и Буземана 398 Список литературы 418 Именной указатель 419 Предметный указатель 421
ПРЕДИСЛОВИЕ Газовая динамика—естественная наука и основывается на наблю- наблюдении и анализе происходящих в природе, в технических устройствах и в специальных экспериментах движений газов и сопутствующих этим движениям явлений. Как и в других разделах механики, в га- газовой динамике можно выделить теоретическое направление, цель которого предсказать поведение газов и их взаимодействие с другими телами в реальных условиях путем построения адекватных матема- математических моделей и изучения их поведения в соответствующих условиях. Как самостоятельная наука теоретическая газовая динамика начала складываться еще в первой половине XIX века. Тогда в работах С. Пуассона, Дж. Стокса, Р. Ирншоу были впервые теоретически проанализированы нелинейные эффекты, возникающие при распро- распространении волн давления в сжимаемой среде, и впервые, еще не вполне отчетливо, прозвучало утверждение о том, что при распрост- распространении волн возможно появление разрывов в пространственном рас- распределении параметров среды. Во второй половине XIX века в работах Б. Римана, а затем Ж. Адамара нелинейная теория распространения волн в сжимаемой среде была доведена до высокой степени совершенства. В. Рэнкин, А. Гюгонио заложили основы теории движения сжимаемых сред с раз- разрывами. Б. Риман еще до них сделал это, но допустил ошибку, посчитав, что плотность и давление с обеих сторон разрыва связаны уравнением адиабаты Пуассона. Едва ли следует строго судить его за эту ошибку, так как теория разрывов требовала отчетливого пред- представления о сохранении полной энергии в механических процессах, тогда как эти представления при жизни Б. Римана только выраба- вырабатывались и не вошли еще прочно в систему мышления математиков и механиков. В 70-х гг. XIX века Э. Мах выполнил серию блестящих экспе- экспериментальных исследований, визуально зафиксировав появление раз- разрывов при движениях воздуха, вызванных взрывом, и при движении тел в воздухе со сверхзвуковой скоростью. Им же были даны пра- правильные качественные схемы поведения разрывов при полете тел и при истечении в пространство сверхзвуковых струй. В 60-х—80-х гг. XIX века стала ясной необходимость использо- использования при исследовании движений сжимаемых сред представлений термодинамики (этой совсем новой еще в то время науки), причем не
6 ПРЕДИСЛОВИЕ только ее первого начала, выражающего закон сохранения энергии, но и второго начала—закона неубывания энтропии в замкнутых адиабатических системах. Теорема Цемплена о невозможности скач- скачков разрежения в газе, позволившая придать завершенный вид пер- первому этапу развития теории разрывных движений сжимаемых сред, долгое время была уникальным примером использования второго начала термодинамики в механике сплошных сред. На рубеже XIX и XX столетий В. А. Михельсон, Д. Чепмен и Э. Жуге заложили основы газодинамической теории горения и де- детонации. В самом начале нашего века С. А. Чаплыгин опубликовал работу о газовых струях, которой было суждено после более чем тридцати- тридцатилетнего забвения стать в середине 30-х гг. основой следующего, бур- бурного этапа развития газовой динамики. С начала века и до середины 30-х гг. в теоретической газовой динамике шло накопление фактов, создавались вызванные потребно- потребностями практики и порой предвосхищавшие эти потребности теория обтекания тел сжимаемым газом—в первую очередь крыла бесконеч- бесконечного размаха и тел вращения, теория движения газа в межлопаточных каналах и соплах турбин. Л. Прандтль и А. Буземан—в Германии, Я. Аккерет и А. Стодола—в Швейцарии, Л. Крокко—в Италии, Дж. Тэйлор—в Англии, Т. Карман и С. Тзян—в США, Н. Е. Жу- Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. А. Фридман, Н. Е. Кочин, М. В. Келдыш, И. А. Кибель, Ф. И. Франкль, С. А. Христианович—в России и в Советском Союзе, многие другие исследователи в разных странах постепенно придавали газовой динамике образ самостоятельной еди- единой на/ки. В эги жг годы создавались основы экспериментальной техники для моделирования течений сжимаемого газа. К середине 30-х гг. в Англии, Италии, Германии, США, СССР были построены первые аэродинамические трубы для изучения течений газа с большими ско- скоростями. В 1935 г. в Риме состоялось первое представительное междуна- международное собрание, специально посвященное теоретическим и экспери- экспериментальным аспектам аэродинамики больших скоростей,— V Вольта- конгресс. Труды этого конгресса были изданы и в СССР*). С этого времени термин «газовая динамика» (англ.—gasdynamics, нем.— Gasdy- namik, фр.— dynamique des gaz) стал общепринятым для обозна- обозначения той ветви механики жидкости и газа, которая изучает про- проблемы движения сжимаемых сред в условиях, когда сжимаемость среды проявляется в основном вследствие изменения ее давления при движении. Динамическая метеорология, изучающая движения воздуха в ат- атмосфере под влиянием солнечной радиации и при взаимодействии с поверхностью суши и океана, выделилась в самостоятельную область *) Рус. пер.: Газовая динамика.—М.; Л.: ОНТИ, 1938.
ПРЕДИСЛОВИЕ 7 знания. Точно так же, в значительной мере самостоятельно (хотя и во многом в соприкосновении с газовой динамикой), стала разви- развиваться акустика, изучающая распространение в сжимаемой среде зву- звуковых волн, т. е. малых периодических возмущений давления. В предвоенные годы, главным образом в связи с практическими проблемами повышения скорости полета самолетов, наступил период бурного развития газовой динамики. При этом основополагающую роль в теории сыграла извлеченная из забвения упоминавшаяся ранее работа С. А. Чаплыгина. В послевоенные годы продолжалось стремительное развитие газо- газовой динамики; к середине 60-х гг. она превратилась в разветвленную область знания, составляющую основу ряда направлений естество- естествознания и многих областей современной техники. Прогресс в этих направлениях в значительной мере стал основываться на достижениях газовой динамики. Газовая динамика с ее сложными и хорошо поставленными мате- математическими задачами на всем протяжении ее развития оказывала значительное стимулирующее влияние на ряд областей математики, и некоторые из них целиком обязаны своим возникновением пробле- проблемам газовой динамики. Под определенным воздействием потребностей газовой динамики происходило и происходит развитие вычислитель- вычислительной математики и вычислительной техники. Нелишне в связи с этим упомянуть, что в числе первых задач, решенных с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин еще в 40-х гг., наряду с задачами атомной техники, были задачи газовой динамики: задача обтекания кругового конуса сверхзвуковым потоком, задача о распространении волны сильного взрыва с учетом противодавления воздуха и некоторые другие. На фундаменте классической газовой динамики в последние деся- десятилетия интенсивно развиваются ее новые специальные и прикладные разделы: физико-химическая газодинамика, сама уже представляющая совокупность ряда направлений, таких как физико-химическая гипер- гиперзвуковая газовая динамика, связанная с изучением полета тел в ат- атмосфере Земли и других планет с очень большой скоростью, когда возникающая высокая температура обтекающих тело газов делает необходимым учет разнообразных химических превращений в газах; радиационная газодинамика, связанная с тем же кругом проблем гиперзвукового полета, с задачами горения газовых смесей, в которых необходимо учитывать процессы переноса лучистой энергии в газах, с задачами распространения мощных потоков излучения в газах; релаксационная газовая динамика, в которой определяющую роль играет неравновесный характер протекающих в газе физико-химиче- физико-химических процессов, имеющая приложения и в гиперзвуковой аэродина- аэродинамике, и в теории многих процессов химической технологии, и в теории газодинамических лазеров; магнитная газодинамика, тесно смыкаю- смыкающаяся с теорией плазмы, традиционно относящейся к физике высоких температур, хотя во всех перечисленных выше областях физико-хи-
8 ПРЕДИСЛОВИЕ мической газодинамики, относящихся к разделам механики, прихо- приходится иметь дело и с ионизованными газами, т. е. с плазмой. В обширную область науки превратилась газодинамика горения и взрыва, основы которой заложены классической газодинамикой, с такими ее разделами, как горение однородных смесей в замкнутых и свободных объемах и в проточных каналах, теория взрыва и дето- детонации газовых смесей и конденсированных сред, диффузионное горе- горение, теория пожаров. Сохраняются еще проблемы и в классической газодинамике. Эти проблемы связаны в значительной мере со строгим математическим обоснованием разрешимости ряда задач газовой дина- динамики и с изучением тех свойств пространственных трехмерных тече- течений и неустановившихся двумерных течений, которые не проявляются в течениях меньшей размерности. Нужно подчеркнуть, что точное предсказание деталей течений газов более или менее сложной про- пространственной конфигурации может быть произведено только с ис- использованием численных методов и быстродействующих вычислитель- вычислительных машин. И в некоторых сравнительно простых условиях, рассмат- рассматриваемых в классической газодинамике, количественные результаты тоже можно получить только путем численных расчетов. Задача классической газодинамики состоит в первую очередь в том, чтобы объяснить и описать качественно главные свойства и особен- особенности течений газа в различных условиях. Для этого в большинстве случаев достаточно рассмотреть движения, зависящие от двух коор- координат: от одной пространственной координаты и от времени—для неустановившихся движений, от двух пространственных координат — для установившихся движений. Кроме того, в классической газоди- газодинамике используется простейшая термодинамическая и механическая модель сжимаемой среды—идеальный в механическом отношении газ, представляющий собой двупараметрическую среду, частицы которой находятся при движении в состоянии локального термодинамического равновесия. При этих упрощениях основная масса результатов может быть получена аналитическими методами. В настоящей книге преследовалась именно эта цель—изложение классической газовой динамики на основе использования наглядных аналитических и геометрических методов. Некоторые конечно-раз- конечно-разностные схемы расчета течений, использованные в книге, не пресле- преследуют цели фактических вычислений, они в большей мере являются эвристическим приемом, показывающим разрешимость соответствую- соответствующих задач и облегчающим описание некоторых свойств течений газа. Во многих учебных руководствах используется только простая конкретная термодинамическая модель газа—совершенный газ с по- постоянными теплоемкостями. Мы сочли возможным основную часть материала изложить для более общей модели — нормального газа, однако все результаты доведены до конечных формул и для совер- совершенного газа с постоянными теплоемкостями, поэтому при желании можно ограничиться рассмотрением лишь этой модели.
ПРЕДИСЛОВИЕ 9 В книге значительное место (большая часть гл. I) отведено во- вопросам, обычно не включаемым в руководства по теоретической газо- газовой динамике. Этот материал служит цели облегчить переход от теоретической газовой динамики к некоторым ее прикладным техни- техническим разделам—аэродинамике, теории воздушно-реактивных дви- двигателей и других газовых машин, теории трубопроводного транспорта газа и т. п. *). Усвоение материала книги требует знания основ механики сплош- сплошной среды, включая ее термодинамические разделы, желательна осве- осведомленность в общих вопросах механики жидкости и газа [1—4]. Несколько слов личного характера. Мне посчастливилось учиться газовой динамике в первые послевоенные годы на лекциях и семи- семинарах И. А. Кибеля, X. А. Рахматулина, Л. И. Седова, Ф. И. Франкля в Московском государственном университете. Разные по характеру, по манере чтения лекций, по стилю общения со студентами на семи- семинарах, эти люди своей страстностью, эрудицией, причастностью к решению наиболее актуальных тогда естественнонаучных и техни- технических проблем увлекли в мир науки многих молодых людей из тех, кому выпала радость общения с ними. После университета я начал работу в коллективе, где царила атмосфера творческого поиска, общего устремления к решению при- прикладных проблем газовой динамики больших скоростей. Я с благо- благодарностью думаю о Г. Н. Абрамовиче, Г. И. Петрове и многих дру- других, с кем мне довелось общаться и вместе работать. Именно тогда в далеком уже теперь 1951 году по просьбе М. В. Келдыша я сна- сначала заменил его на первых лекциях по газовой динамике для группы студентов Московского физико-технического института, а затем и прочитал курс до конца. М. В. Келдыш обсудил со мной план курса и содержание отдельных лекций, ему принадлежит и совет—не из- изменяя основной теоретической направленности курса, стремиться сблизить его с прикладными техническими вопросами. ь<~-фщ С того времени и поныне я ежегодно читаю курс газовой дина- динамики—сначала в Московском физико-техническом институте и более тридцати лет—в Московском государственном университете. %*,?&$*]$ На моих глазах происходило становление современной газовой динамики. Многие замечательные ученые, мои коллеги, а позже и ученики, перечислить которых я здесь не в состоянии, в обстановке сотрудничества и доброжелательного творческого соперничества самым существенным образом способствовали превращению газовой динамики в то, что она есть сейчас. Из многих коллег назову лишь двух, кто рано ушел из жизни и частые острые дискуссии с кем оказали влия- влияние на мою деятельность: из советских коллег это А. А. Никольский, из зарубежных—А. Ферри. Их имена известны всем специалистам — газодинамикам. *) Более детально многие вопросы прикладной газовой динамики изложены в книге [8].
10 ПРЕДИСЛОВИЕ Я многому научился и продолжаю учиться у своих первых уче- учеников, а ныне коллег—Г. А. Любимова, А. А. Гонора, А. Н. Крайко, А. Б. Ватажина и у других—более молодых. Первые исследования в области газовой динамики я выполнил под руководством Л. И. Седова, и все годы он был и остается стро- строгим судьей моих работ и благородным примером творческой увлечен- увлеченности, преданности науке и трудолюбия. С волнением я буду ожи- ожидать его оценки и этой моей книги. Не скрою, мне было очень трудно решиться написать этот учеб- учебник. В нашей отечественной литературе непревзойденными образцами многие годы были разделы теоретической газовой динамики в двух- двухтомнике И. А. Кибеля, Н. Е. Кочина и Н. В. Розе «Теоретическая гидромеханика» [2] и в томе курса теоретической физики Л. Д. Лан- Ландау и Е. М. Лифшииа «Механика сплошной среды» (в новых посмерт- посмертных изданиях—«Гидромеханика» [3]). Сравнительно недавно появи- появились университетские «Лекции по основам газовой динамики» Л. В. Овсянникова [5]—хорошо продуманное сжатое изложение ма- математических основ газовой динамики. И в зарубежной литературе есть фундаментальные руководства по газовой динамике; назову из них лишь книгу К. Осватича «Grundlagen der Gasdynamik» [7]. И все же я надеюсь, что предлагаемая мною книга найдет своего читателя—и студента, и инженера, и научного сотрудника, для ко- которых основной целью является не постижение строгих математиче- математических основ газовой динамики, а изучение изложенного в книге ма- материала для дальнейшего использования при решении конкретных естественно-научных или технических задач. Я искренне благодарен Г. Ю. Степанову, внимательно прочитав- прочитавшему рукопись и сделавшему большое число замечаний, позволивших улучшить первоначальный текст книги. Приношу благодарность А. Н. Крайко за полезные советы по дополнению содержания рукописи. Я заранее признателен всем, кто выскажет замечания по содер- содержанию книги и форме изложения материала.
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ И ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 1. Введение Г азовая] динамика—раздел механики, изучающий движения лег- легкоподвижных материальных сред в условиях, когда на свойства дви- движения влияет сжимаемость вещества, т. е. его способность изменять свою плотность *). Все реальные среды—газообразные, жидкие и твердые—сжимаемы; при этом повседневный опыт показывает, что газы могут сравнительно легко и значительно изменять свою плотность, тогда как даже очень малое изменение плотности жидкостей и многих твердых тел требует значительных усилий. Однако проявление свойства сжимаемости зависит не только от среды, но и в первую очередь от условий ее движения. В некоторых случаях даже относительно легкая сжимаемость среды слабо сказы- сказывается на основных закономерностях изучаемых движений. Так, при установившемся полете самолета с не очень большими скоростями (до 100—150 м/с) сжимаемость воздуха проявляется слабо и практи- практически не влияет на распределение давления по поверхности крыла самолета и на другие важные характеристики движения воздуха. В этих условиях воздух можно считать несжимаемым. При дальней- дальнейшем увеличении скорости полета относительные изменения плотности воздуха растут и его сжимаемость начинает сказываться все сильнее — сначала на количественных характеристиках течения, а затем и на его качественных особенностях. В ряде случаев движений основные закономерности поведения среды целиком обусловлены ее сжимаемостью; при этом, сколь бы малы ни были изменения плотности среды, ими пренебрегать нельзя. Так, при распространении в воде области повышенного давления от произведенного взрыва или при распространении в воздухе, воде, металлах звуковых возмущений относительные изменения плотности сред могут быть очень малыми и иметь порядок соответственно Ю~3 „ли 10~в и менее. И все же, несмотря на столь малое прояв- проявление сжимаемости среды, именно это ее свойство и обусловливает само существование явлений распространения по среде сильного воз- возмущения давления от взрыва или слабых звуковых возмущений и определяет основные закономерности этих явлений. *) Слово «газ» для обозначения сред в особом состоянии ввел голландский естествоиспытатель Ян Баптист ван Хелмонт A579—1644) от греческого слова chaos—хаос.
12 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Отметим еще, что при действии на конденсированные среды—твер- среды—твердые тела и жидкости—очень высоких давлений, возникающих при соударении тел с очень большой скоростью или при взрывах высо- высокоэнергетических взрывчатых веществ и, тем более, при выделении энергии ядерных зарядов, может происходить динамическое сжатие вещества с увеличением его плотности в полтора—два раза. При еще более концентрированном энергетическом воздействии на твердое тело, например при всестороннем облучении небольшой твердой сферы мощным лазерным излучением, плотность вещества может возрасти в десятки раз. Таким образом, наряду с газообразными средами (такими как воздух, природный газ, водяной пар, продукты горения или взрыва твердых веществ и т. п.) объектами изучения в газовой динамике — при определенных условиях — являются капельные жидкости (напри- (например, вода, керосин, расплавы и т. п.) и твердые в обычном состоянии вещества (например, металлы, лед, грунты и т. п. Для теоретического изучения поведения реальных сред при раз- различных условиях их движения в газовой динамике, как и в других разделах механики, вводятся механические модели этих сред. В зна- значительном числе случаев движения реальных сред происходят в условиях, когда эти среды с достаточным приближением можно опи- описать моделью материальной сплошной среды или—иначе—моделью материального континуума. Для возможности такого описания необходимо, чтобы в любом занятом средой объеме, даже столь малом, что в масштабах рассмат- рассматриваемого явления его можно принять за материальную точку, число структурных элементов реальной среды было бы все еще очень боль- большим. По-иному это означает, что характерный масштаб внутренней структуры среды должен быть пренебрежимо мал в сравнении с масштабом изучаемого движения в целом. Если реальная среда макроскопически однородна, то ее струк- структурными элементами могут являться свободные электроны, атомы, молекулы, а также надмолекулярные микроскопические образования — кластеры, глобулы и др. В макроскопически неоднородных сжимаемых средах структурные элементы весьма разнообразны. Например, такой макроскопически неоднородной средой является грунт, состоящий из твердых дефор- деформируемых частиц разного вида (песок, глина) и заполненных возду- воздухом и водой пустот между ними. Макроскопически неоднородны также влажный пар—газообразная среда с взвешенными в ней капельками жидкости—и жидкость с распределенными в ней пузырьками соб- собственного пара или другого газа. Масштабы внутренней структуры макроскопически однородных и макроскопически неоднородных сред могут быть весьма различными. Напомним, что в воздухе при нормальных условиях кубик со стороной 0,001 см содержит 2,7-1010 молекул, при этом длина свободного про- пробега молекулы имеет порядок 10~4 мм; число молекул в таком же
fl. ВВЕДЕНИЕ 13 объеме воды еще на три порядка больше, а расстояние между моле- молекулами воды имеет порядок Ю" мм. Характерным масштабом струк- структуры грунта или влажного пара могут быть доли миллиметра и миллиметры, а например, для космической плазмы с распределенными в ней пылевидными частицами—километры и сотни километров. Соответственно и наименьший масштаб явлений, изучаемых ме- методами газовой динамики с использованием моделей сжимаемой сплошной среды, различен: так, для газов обычной плотности и для жидкостей это могут быть доли миллиметра и даже много менее, для грунта или влажного пара, в зависимости от размера твердых ча- частиц или капель и концентрации последних,—миллиметры и выше, а для запыленной космической плазмы—тысячи километров и более. При континуальном описании среды в каждой точке занятой ею области пространства можно определить плотность р как предел отношения суммарной массы всех структурных элементов среды в окружающем точку объеме к этому объему при его уменьшении до достаточно малых размеров. Скорость среды V определяется как предел отношения суммарного количества движения всех элементов объема к их массе (скорость V есть удельное, т. е. отнесенное к единице массы, количество движения). Удельный внутренний момент количества движения k определяется как предел отношения суммы моментов количества движения всех элементов объема относительно центра их масс к суммарной массе, а удельная внутренняя энергия е — как предел отношения суммарной энергии всех структурных эле- элементов объема в системе координат, движущейся поступательно со скоростью V, к их массе. У сред, состоящих из структурных элементов нескольких видов, соотношение между числом этих элементов в частице может при движении изменяться. Если это изменение важно для рассматривае- рассматриваемого круга явлений, то названные выше величины следует определять отдельно для каждого вида структурных элементов, вводя тем самым несколько континуумов, заполняющих одну и ту же область про- пространства и имеющих каждый свои значения плотности, скорости и других характеристик (взаимно проникающие континуумы). Подобно многим другим разделам механики сплошных сред в газовой динамике движущиеся малые индивидуальные или субстан- субстанциональные (т. е. состоящие из одного и того же вещества) объемы среды, которые мы будем называть частицами, рассматриваются как термодинамические системы, состояние которых характеризуется ко- конечным числом определяющих параметров*). Помимо геометрических координат частицы и уже введенных ее характеристик—плотности, скорости, внутреннего момента количе- количества движения, внутренней энергии,—для описания механического напряженного состояния частицы используется тензорная величина — *) Дальнейшее изложение в этом параграфе предполагает знание основных сведений из термодинамики, например, по книге [1].
14 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ напряжение. Напряжение рп есть отнесенная к единице площади сила, действующая на мысленно выделенную внутри среды площадку с той ее стороны, куда направлена нормаль п к площадке. В общем случае рп зависит от ориентации площадки. Если это необходимо, то вводятся дополнительные механические и кинематические параметры и дополнительные параметры физической и химической природы: температура, фазовый состав среды (напри- (например, во влажном паре—соотношение между количеством вещества в паровой и в жидкой фазах), концентрации различных составляющих газ или жидкость химических компонент, коэффициенты диффузии, теплопроводности, вязкости, величины, характеризующие свойства лучистого переноса в газе, концентрации атомов с электронами, на- находящимися на различных энергетических уровнях, концентрации ионизованных атомов и свободных электронов и т. п. При движении каждая частица взаимодействует с внешними по отношению к ней телами, в частности с окружающими ее частицами той же среды, и с внешними полями. В результате этого взаимо- взаимодействия и вследствие происходящих в частице внутренних явлений ее параметры состояния при движении изменяются. Последовательность состояний, которые проходит частица с тече- течением времени, называется процессом. Если по завершении процесса частица вновь оказывается в исходном состоянии, то такой замкну- замкнутый процесс называется циклом. Математическая модель движения сплошной среды должна вклю- включать набор существенных для рассматриваемых явлений параметров состояния частиц и необходимое число соотношений для их опреде- определения в точках занятой средой области пространства в зависимости от координат точки и от времени. Большое значение при описании поведения частицы имеет со- соотношение, характеризующее энергетическое взаимодействие частицы с ее окружением. Согласно первому началу термодинамики (выражающему закон сохранения энергии с учетом теоремы живых сил) подводимое к частице в расчете на единицу массы в процессе малого изменения ее состояния тепло dq связано с изменением внутренней энергии частицы de и работой dA{i\ совершаемой в частице внутренними силами, соотношением причем de есть полный дифференциал внутренней энергии е, рассмат- рассматриваемой как функция параметров состояния. Таким образом, из первого начала термодинамики следует существование функции со- состояния—внутренней энергии. Внутренняя энергия определена с точ- точностью до аддитивной постоянной. Первое начало термодинамики в приведенной выше форме назы- называется также уравнением притока тепла.
9 1. ВВЕДЕНИЕ 15 В термодинамике принимается, что при сохранении внешних условий неограниченно долго неизменными параметры состояния системы приобретают постоянные значения. Такое состояние системы называется равновесным, а соответствующие ему значения парамет- параметров—равновесными значениями. В предельном случае, когда внешние условия меняются очень медленно, можно считать, что при соответствующем медленном изме- изменении параметров системы каждое ее промежуточное состояние яв- является равновесным. При этом сам процесс изменения состояния системы называется равновесным. Напротив, если при изменении внешних условий меняющиеся состояния системы не являются равно- равновесными, то процесс называется неравновесным. При изменении внеш- внешних условий параметры состояния системы стремятся к равновесным значениям, соответствующим меняющимся внешним условиям. Этот процесс стремления внутренних механических и физико-химических параметров к равновесным значениям называется часто релаксацией *). Таблица 1.1 Среда Азот N2 Воздух Вид процесса Изменение энергии ( Поступательная различных мод дви- ! Вращательная жения молекул и | Колебательная атомов в них { Колебательная Диссоциация Образование окиси азота в реакции N2 + O2 = 2NO Образование двуокиси азота в реакции 2NO + O2 = 2NO2 Г, К 273 300 2000 4000 4000 6000 1700 2600 4000 1600 2300 4000 т, с 1,8-Ю-10 7,3-Ю-10 ю-3 5,6-10-в 7,7.10-1 2,5-Ю-4 140 1,4.10 7,2.Ю-7 0,69 0,9-10~3 1,0-Ю-6 Скорость релаксации можно характеризовать временем, необхо- необходимым для того, чтобы при внезапном изменении внешних условий разность между исходным значением параметра состояния и его новым равновесным значением уменьшилась в е раз,—так называемым вре- временем релаксации т. Время релаксации для различных физико-хи- физико-химических процессов и для разных условий их протекания весьма различно. Для иллюстрации этого в табл. 1.1 приведены значения *) От латинского relaxatio—ослабление, уменьшение напряжения.
16 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ времени релаксации некоторых процессов в газах при нормальной плотности *). В тех случаях, когда время релаксации важных для рассматри- рассматриваемых явлений механических и физико-химических процессов срав- сравнимо с характерным временем изменения внешних условий для частиц среды, в модели явления необходимо учитывать неравновесный характер процесса. Так, основу расчета генерации лазерного излу- излучения движущейся смесью газов (в так называемых газодинамических лазерах) составляет определение отклонения от равновесных значений энергии колебательных степеней свободы или электронных состояний молекул газов, образующих смесь. В силу значительно меньшего времени релаксации энергии поступательных степеней свободы мо- молекул ее значения можно при этом считать равновесными. В термодинамике существенная роль отводится различию обра- обратимых и необратимых процессов. Если система при росте времени может проходить некоторую последовательность состояний как в одном, так и в другом направлении, то этой последовательности со- состояний соответствует обратимый процесс; в противном случае про- процесс называется необратимым. Очевидно, что непрерывный процесс обратим, если все описывающие процесс соотношения для бесконечно малых изменений параметров состояния сохраняются при замене знаков этих изменений на обратные. В большинстве случаев равновесные процессы в силу того, что они происходят с бесконечно малой скоростью, являются обратимыми **). Согласно второму началу термодинамики существует функция состояния s (отнесенная к единице массы среды), называемая энтро- энтропией***), такая, что при обратимых изменениях состояния частицы где Т—абсолютная температура частицы, dq—подведенное к ней извне тепло. Энтропия, как и внутренняя энергия, определена с точностью до аддитивной постоянной. При необратимых изменениях состояния Tds = dq + dq'. A.1) Здесь dq'—так называемое некомпенсированное тепло, причем всегда *) Эти и многие другие данные о релаксационных процессах в газах имеются в книгах: Кондратьев В. Н., Никитин Е. Е. Кинетика и механизм газо- газофазных реакций.— М.: Наука, 1974; Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Фи- Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений.— М.: На- Наука, 1966. **) Однако, если при предельном переходе к бесконечно малой скорости изме- изменения параметров состояния направление их изменения остается существенным, то равновесный процесс необратим. Примером может служить изменение состояния малой частицы при выравнивании температуры вследствие теплопроводности в пер- первоначально неравномерно нагретом теле. ***) От греческого entropia—поворот, превращение.
SI. ВВЕДЕНИЕ 17 dq' ^ 0 (знак равенства соответствует обратимым изменениям состо- состояния). Если система (частица среды) теплоизолирована, хотя и может под- подвергаться различным силовым воздействиям, то dq = O. Такой про- процесс называется адиабатическим *). Если адиабатический процесс обратим, то ds=-O9 т. е. энтропия частицы в таком процессе сохра- сохраняется постоянной: s = const. При адиабатическом необратимом про- процессе ds>0—энтропия возрастает. Во многих важных приложениях механики сплошных сжимаемых сред адиабатический обратимый процесс служит хорошим прибли- приближением действительного процесса изменения состояния. Классической моделью, используемой в газовой динамике, является модель идеальной жидкости (идеального текучего тела), т. е. модель сжимаемой сплошной среды, в которой и в состоянии покоя, и при движении отсутствуют внутренние касательные напряжения. Напря- Напряженное состояние среды в точке характеризуется при этом лишь одной скалярной величиной—давлением /?, так что в идеальной среде рп = — рп (давление положительно, если оно оказывает сжимающее действие на площадку с нормалью п). Помимо внутренней энергии е и энтропии s единицы массы газа, плотности р (или удельного объема u=sl/p), давления р и темпе- температуры Т9 в дальнейшем будет использоваться еще термодинами- термодинамическая величина Л, определяемая формулой h—c + pv, или h = <?-(- — . Эта величина называется теплосодержанием или энтальпией**) (единицы массы) газа. Для идеальной среды, в которой работа внутренних сил сводится лишь к работе сил внутренних напряжений, эта работа, отнесенная к единице массы среды, равна pdv\ поэтому уравнение притока тепла для такой среды имеет вид dq=:de + pdu = dh—&. A.2) Для обратимых процессов справедливо соотношение Tds=--de + pdv, A.3) или Tds=-dh—^. A.4) В дальнейшем будут рассматриваться идеальные среды, состояние которых существенным образом зависит только от двух термодина- термодинамических параметров (такими параметрами может быть любая пара *) От греческого adiabatos —непереходимый. •*) От греческого enthalpo —нагреваю.
18 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ из перечисленных выше величин; разумеется, кроме пары v и р). Такие среды называются двухпараметрическими или простыми сре- средами. Все термодинамические параметры двухпараметрической среды выражаются через заданные два с помощью так называемых уравне- уравнений состояния, В некоторых случаях, когда кроме двух термодинамических величин среда характеризуется дополнительными параметрами физи- физико-химической природы (например, концентрациями различных ком- компонент смеси газов), ее тоже можно приближенно считать двухпа- двухпараметрической. Так, если время релаксации дополнительных пара- параметров много больше характерного времени изменения основных величин, то можно принять, что дополнительные параметры не изме- изменяются совсем в рассматриваемых движениях—их значения остаются «замороженными»; если же время релаксации дополнительных пара- параметров пренебрежимо мало, то в течение всего времени движения эти параметры имеют равновесные значения, которые являются из- известными функциями двух основных термодинамических параметров. Часто используется уравнение состояния, связывающее доступные непосредственному измерению в широком диапазоне их изменения величины—давление р, плотность р (или удельный объем v) и тем- температуру Т. Это уравнение ? или, в более общем виде, f[(p, v, Т) = 0, называется^ термическим уравнением состояния. Одно только термическое уравнение состояния не дает полной характеристики термодинамической модели среды. Для- определения зависимости от v и Т других термодинамических величин необходимо еще одно соотношение, например Это соотношение называется калорическим уравнением состояния. Входящие в термическое и калорическое уравнения состояния функции р (v, T) и e(v, T) не являются независимыми. Действи- Действительно, так как величина в правой части соотношения A.3) есть полный дифференциал, то эти две функции должны удовлетворять условию совместности дТ IT {dv^r ) | - dv V T дТ или, после упрощения, условию Т%-Р\-^ = О- A.5) При задании из двух функций p(v, T) и e(v, T) только одной это соотношение можно рассматривать как линейное дифференциаль- дифференциальное уравнение первого порядка для определения второй функции.
§ 1 ВВЕДЕНИЕ 19 Такое уравнение, как известно, допускает различные решения, и для того чтобы устранить эту неоднозначность, нужно выбрать какое- либо одно из решений. После этого энтропия s как функция v и Т находится из A.3) с точностью до аддитивной постоянной; теплосо- теплосодержание h определяется формулой h^e + pv. Соотношения A.3) и A.4) показывают, что все уравнения состо- состояния двухпараметрической среды можно определить, если задать лишь одно уравнение в виде e = e(v, s) или в виде h = h(p, s). Действи- Действительно, в первом случае из A.3) следует rr_de(v, s) de(v,~s) а во втором случае из A.4) получаем l ц = 1^G,5) Aб) Tz=^jl ц = 1^Aб) dst w p dp v ' В дальнейшем при изучении движений идеальных сжимаемых сред мы будем считать термодинамическую модель среды заданной с помощью необходимого числа уравнений состояния *). При изменении состояния частицы в общем случае меняется и ее температура. Величина с> определенная формулой где приток тепла dq отнесен к единице массы среды, называется удельной теплоемкостью. Удельная теплоемкость зависит от вида процесса изменения состояния. При адиабатическом процессе тепло- теплоемкость, очевидно, равна нулю. Если при неадиабатическом процессе температура остается постоянной (состояние изменяется изотермически), то теплоемкость равна бесконечности. Из A.2) следует, что при постоянном объеме (при изохорическом изменении состояния) Соответствующая теплоемкость cv = de/dT\v называется теплоемко- теплоемкостью при постоянном объеме. Так как при постоянном давлении (при изобарическом изменении состояния) то величина cp=^dh/dT \p есть теплоемкость при постоянном дав- давлении. ¦) Точность уравнений состояния в виде сравнительно простых аналитических зависимостей не всегда достаточна для практических целей при расчетах поведения реальных сред. Поэтому для ряда сред (для воздуха, водяного пара, продуктов взрыва некоторых конденсированных взрывчатых веществ, воды, ряда металлов и др.) имеются подробные табличные данные об их термодинамических свойствах.
20 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Важной характеристикой сжимаемой среды является отношение теплоемкостей y = cp/cv. Как уже говорилось ранее, среди различных процессов изменения состояния частиц среды важное место принадлежит адиабатическому обратимому процессу, при котором энтропия частицы не изменяется, так что ds = O и s = const. Уравнение состояния вида s = s(p, v)> где вместо р и v могут быть любые два независимых термодинамических параметра, обращается при этом в соотношение вида s(p, v) = const. Такая связь между термодинамическими параметрами при s = const называется адиабатой Пуассона*) или изоэнтропой. Ряд важных свойств движения сжимаемых сред зависит от неко- некоторых характеристик изоэнтроп. Большую роль играет производная dp/dp\s. Эта производная для всех сред неотрицательна, так как при всестороннем действии одно- однородного давления на адиабатически изолированную сжимаемую ча- частицу рост давления должен приводить к уменьшению объема частицы (и возрастанию ее плотности) и, наоборот, падение давления должно сопровождаться увеличением объема частицы. Величина а, определенная формулой имеет размерность скорости и называется скоростью звука. Это на- название объясняется тем, что, как будет показано в дальнейшем, именно с такой скоростью распространяются в сжимаемых идеальных средах малые возмущения давления и, в частности, звуковые волны. Характерные значения скорости, с которой распространяется звук в нормальных условиях, для большинства реальных сред лежат в следующих пределах: для газов и паров—от 150 до 1000 м/с, для жидкостей—от 750 до 2000 м/с, для твердых тел—от 2000 до 6000 м/с. В модели идеальной несжимаемой среды скорость звука, очевидно, равна бесконечности (плотность среды не меняется при изменении давления). В некоторых вопросах динамики идеальных сжимаемых сред имеет значение также производная др/dv \s = — р2 др/др \s = — р2а2. Величина A.8) называется акустическим импедансом**). Многие качественные особенности течений идеальных сжимаемых сред зависят от знака и величины производной d2v/dp2\s. Удобно *) Пуассон (Poisson) Симеон Дени A781—1840) — французский [математик и механик, автор ряда работ по газовой динамике (см. гл. II). **) От латинского impedire—препятствовать. Акустический импеданс ра—ме- ра—мера «жесткости» материала в том смысле, что величина -—р2аа есть коэффициент пропорциональности между изменением удельного объема среды и требуемым для этого изменением давления.
§ !. ВВЕДЕНИЕ 21 ввести связанную с этой производной безразмерную величину Г: •р дрсг v d2v * a4 d2v I « (] Q\ dp s I dv \ 2 dp2 s v3 dp2 \s У - / 3a ее роль в теории движений идеальных сжимаемых сред величину Г можно назвать фундаментальным термодинамическим параметром этой теории. Из определения величин а и Г с учетом того, что dh/dp\s = v, получаем да2 да2 I __ p да2 dh — 1. A.10) Рассмотрим более подробно некоторые термодинамические модели, которые используются при теоретическом изучении движений газов, жидкостей и твердых тел в различных условиях. В достаточно разреженных газах среднее расстояние между моле- молекулами велико сравнительно с расстоянием, на котором проявляются силы межмолекулярного взаимодействия, так что потенциальная энер- энергия этого взаимодействия мала по сравнению с энергией самих мо- молекул. В связи с этим внутреннюю энергию газа e(v, T) можно считать не зависящей от расстояния между молекулами, т. е. от объема, который занимает данная масса газа. При де/до\т = 0 из условия совместности A.5) получаем, что тер- термическое уравнение состояния такого газа имеет вид где f(v)—некоторая функция удельного объема. В хорошем согласии с опытными данными для разных газов можно принять f(v)~ l/v. Газ, удовлетворяющий термическому уравнению состояния или p = RpTf A.11) где R—постоянная величина (газовая постоянная), называется со- совершенным (термически совершенным) газом*). Если \х—молекуляр- \х—молекулярная масса газа, то R = R0/\i, где Ro—универсальная газовая постоян- постоянная, Ro = 8,3144 ДжДмоль- К) **). Уравнение состояния A.11) назы- называется уравнением Клапейрона***). Задание внутренней энергии как функции температуры е = е(Т) доопределяет конкретную модель совершенного газа. При известной *) Во многих курсах термодинамики и статистической физики такой газ на- называется идеальным. Однако в механике термин «идеальный газ» используется для обозначения сплошной среды, у которой рп — —рп (см. с. 14). **) Один моль содержит ц граммов вещества. ***) Клапейрон (Clapeyron) Бенуа Поль Эмиль A799—1864)—французский физик и инженер, в 1820—30 гг. работал в России, был членом-корреспондентом Петербургской академии наук.
22 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ е(Т) из A.3) получим выражение для энтропии s = Rlnv+<\Cv{T1!dT.] 1A.12) Так как для совершенного газа h = e + pv= e(T) + RT, то тепло- теплосодержание такого газа есть функция только температуры. Теплоем- Теплоемкости ср и cv совершенного газа, как и их отношение y~cp/cv, тоже зависят только от температуры; при этом cp—cv = R. Так как R > 0 и cv > 0, то всегда у > 1. Если предположить, что в некотором интервале температур cv = =const, то и ср =const, и у = cp/cv = const. Основанная на таком предположении модель совершенного газа с постоянными теплоемко- стями (термически и калорически совершенный газ) благодаря своей простоте широко используется в теоретической газовой динамике (иногда эта модель называется политропным газом, см. с. 162). Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями ,>_ с т h — rT (\ l.Ti а энтропия $ выражается согласно A.12) формулой s = R In v + cv In T + const. Отсюда и из A.11) получаем S = Cv In -~ + Const, /? s= const • ?S/C*pv. A.14) Здесь 7 = ^/^ = const. : Согласно классическому результату статистической механики *) энергия молекул газа, находящегося в равновесном состоянии, рас- распределяется одинаковыми долями по всем степеням свободы возмож- возможных движений молекулы; энергия, приходящаяся на одну степень сво- свободы, составляет (в расчете на единицу массы газа) 1/2RT. Таким образом, если /—число сгепеней свободы движений молекулы, удель- удельная внутренняя энергия газа е равна а удельное теплосодержание совершенного газа h есть Соответственно теплоемкости cv и ср и их отношение y = cp/cv даются *) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.— М.: Наука, 1976.
§ 1. ВВЕДЕНИЕ * 23 формулами с -LR с -f-±*R y~f+2 Таким образом, находящийся в равновесном состоянии совершен- совершенный газ с равномерным распределением энергии по степеням свободы является и калорически совершенным—теплоемкости его постоянны. Наименьшее число степеней свободы—три—имеют одноатомные газы (при обычных условиях—гелий Не, неон Ne и др., при высо- высокой температуре—полностью диссоциированные кислород О, азот N и др.). Для таких газов у = 5/3, и это значение хорошо подтверж- подтверждается экспериментальными данными. Газы с очень сложными моле- молекулами имеют большое число внутренних степеней свободы и для них у—» 1. Таким образом, величина у для совершенных газов за- заключена в пределах 1 < у ^ 5/3. Классический результат статистической механики не дает пра- правильного представления о распределении энергии по колебательным степеням свободы, а при очень низких температурах—и по враща- вращательным степеням свободы молекул. Так, для двухатомной молекулы (О2, N2, окись углерода СО и др.) число степеней свободы / = 7 (три поступательных, две враща- вращательные—вокруг двух главных осей, две колебательные—симметрич- колебательные—симметричные и антисимметричные колебания около центра масс), и согласно классической теории 7 = 9/7. Однако более точный результат для теплоемкости двухатомных молекул при постоянном объеме приводит к выражению ^ (Л/г-02 где 6С—характеристическая колебательная температура (Э^ для кис- кислорода равна 2273 К, для азота—3393 К, для СО—3122 К). Отсюда при T<^QV cv^^R и 7-|-, при 7>е„ cv = \R и Y = y- Таким образом, отношение теплоемкостей у двухатомных газов при нормальной температуре с большой точностью равно 7/5 и, до- степенно уменьшаясь с ростом температуры, лишь при температуре в несколько тысяч градусов (меньшей, чем температура, при которой существенную роль начинает играть диссоциация) приближается к значению 9/7, следующему из классической теории. У воздуха, представляющего собой в основном смесь двухатом- двухатомных газов—азота и кислорода, значения 7 при нормальных усло- условиях близки к 1,40. Уравнение A.14) при s = const есть уравнение адиабаты Пуассона для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В связи
24 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ с этим величина у для такого газа называется также показателем адиабаты, она является важной безразмерной характеристикой со- совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Пользуясь величи- величиной у» выражениям A.13) для е и h можно придать вид Ц й A.15) 7—1 р ' 7—1 Р Для скорости звука в совершенном газе с постоянными теплоем- теплоемкостями с помощью A.7) и A.14) получаем выражение J, (Мб) которое с использованием уравнения состояния A.11) можно пре- преобразовать к следующему виду: Скорость звука есть в этом случае функция только температуры. У реальных газов, близких к модели совершенного газа, вследствие различия у и \i скорости звука при одинаковой температуре раз- различны. Так, при температуре 300 К и нормальном давлении скорость звука в водороде (у= 1,405) равна 1320 м/с, в гелии G= 1,667)—1020 м/с, в воздухе (у= 1,400)—347 м/с, а в тяжелом газе—шестифтористом уране UFe (у= 1,200)—всего 92,4 м/с. Внутреннюю энергию и теплосодержание совершенного газа (см. A.15) и A.16)) можно выразить через скорость звука: Отсюда da2/dh~y— 1, так что согласно последнему из равенств A.10) для совершенного газа с постоянными теплоемкостями фундаменталь- фундаментальный термодинамический параметр Г постоянен и равен у. Из A.16) и A.14) следует, что в таком газе а—*0 при р-+0 и s = const. Многие основные закономерности движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями сохраняются и для двухпараметри- ческих сред с более общими термодинамическими свойствами, если только задающие эти среды функции e(v, s) или h(p,s) удовлетво- удовлетворяют некоторым ограничениям. Большая часть этих ограничений вполне естественна с физической точки зрения. Такие среды принято называть нормальными газами. Определения нормального газа несколько отличаются у различных авторов, в связи с чем несколько отличается и совокупность свойств совершенного газа с постоянными теплоемкостями, которая сохраняется и для нор- нормального газа. Будем называть нормальным газом двухпараметрическую среду, для которой характеризующая ее функция h(p,s) обладает следую- следующими свойствами.
SI. ВВЕДЕНИЕ 25 1. Функция h(pys) определена и трижды непрерывно дифферен- дифференцируема в области 0 < р < оо, s_ <s <s+ (может быть s_ = — оо, S+ = oo). 2. Всюду в указанной области функция h(p, s) и ее производные удовлетворяют неравенствам: а) h > О, б) Ая = и>0, hs=T>0, A.18) в) hpp = vp<0, hps = vs = Тр> О, г) hppp = vpp > 0 (или согласно A.9) Г > —1). 3. Функция /i(p, s) удовлетворяет предельным соотношениям Km h (p, s) = 0, lim/i(p, s) = 0, lim/t(/?, s) = oo, A.19) 0 а ее производная hp = v—соотношениям Km h (/>, s) = oo, Km hp {p, s) = 0. A.20) Отметим, что свойства а), б), в) A.18) физически очевидны или совершенно естественны. В самом деле, свойство а) следует из опре- определения h = e + pv и положительности внутренней энергии е и дав- давления р (для сжимаемых капельных жидкостей, в которых давление может быть отрицательным, условие а) может не выполняться; однако в обычных условиях и капельные жидкости не допускают заметных отрицательных давлений). Очевидно, что условия б) всегда выпол- выполнены. Условия в) утверждают, что адиабатическое обратимое увели- увеличение давления должно приводить к росту плотности нормального газа и его температуры—поведение, вполне естественное с физиче- физической точки зрения. И лишь условие г) не является физически оче- очевидным или вытекающим из каких-либо общих термодинамических соображений; могут существовать реальные сжимаемые среды, в ко- которых это условие не выполняется. Однако все распространенные газы, их смеси, пары различных веществ удовлетворяют условию hppp = d2v/dp2 \s>0 (заметим, что вместе с условием hpp < 0 отсюда следует d2p/dv2\s > 0). В некоторых случаях вместо условия г) мы будем пользоваться более сильным условием г') Г«5ф*-1>1, A.21) Прр эквивалентным условию д*р/дрг\3>0. (Для совершенного газа с по- постоянными теплоемкостями получаем, что условие г) требует выпол- выполнения неравенства у>—1, а условие г')—неравенства у> 1.) Неравенства A.18) определяют простые свойства адиабат Пуас- Пуассона, т. е. кривых s = const, нормального газа в плоскости v, p (точнее—в квадранте v > 0, р > 0; рис. 1.1.1).
26 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ s<sf Рис. 1.1.1 Покажем, что через любую точку этого квадранта проходит одна и только одна адиабата v = hp(p, Si). Действительно, из второго условия в) A.18) следует dv/ds\p > 0; поэтому при каждом данном р значение v монотонно возрастает с ростом s, меняясь в силу пре- предельных соотношений A.19) от 0 до оо; этим и доказывается утверж- утверждение. Соотношения A.19) показывают также, что оси v и р являются асимптотами для всех адиабат. Согласно условию A.18г) все адиабаты строго выпук- выпуклы в сторону осей v и р. И, наконец, сог- согласно второму условию A.18в) большим значениям энтропии соответствуют адиаба- адиабаты, лежащие дальше от начала координат. На рис. 1.1.1 в плоскости v, p изоб- изображены адиабаты Пуассона и проведена пересекающая эти адиабаты прямая. В си- силу сказанного о поведении адиабат Пуас- Пуассона, при движении вдоль любой такой прямой с tg a > 0 (угол а обозначен на рисунке) в сторону роста давления энтро- энтропия сначала монотонно увеличивается, дос- достигает максимума (в точке С) и затем снова монотонно убывает. При tga < 0 энтропия вдоль прямой с ростом давления монотонно возрас- возрастает. Это поведение энтропии на прямых tga = const будет использо- использовано в § 4 настоящей главы. Покажем, что в нормальном газе, как и в совершенном газе с постоянными теплоемкостями lim a(p, s) = 0. s=const Для этого преобразуем выражение для а2 следующим образом: dp \s dv Рассматривая а как функцию h и s и произведя интегрирование при постоянной s, получим Так как при р —* 0 одновременно выполнены условия h —>• 0, v —> оо, то интеграл в этой формуле при р —> 0 расходится и, следовательно, а—0. Если выполнено условие A.21), т. е. если Г> 1, то из A.10) следует р да2/др \s = Г— 1 > 0, и при s = const скорость звука моно- монотонно возрастает с ростом давления.
§1. ВВЕДЕНИЕ 27 В случае газов большой плотности, образующихся, например, при взрыве конденсированных взрывчатых веществ *), и в случае жидко- жидкостей уравнение состояния Клапейрона перестает быть хорошим при- приближением к действительности. Причиной этого служит большая роль в таких случаях взаимодействия между молекулами. Характер этого взаимодействия сильно зависит от конкретного рода жидкости или газа, в связи с чем нельзя указать универсальные уравнения со- состояния, которые хорошо описывали бы свойства жидкостей и газов с сильным взаимодействием молекул. Как уже упоминалось, для ряда сред имеются подробные термодинамические данные в виде таб- таблиц. Тем не менее для описания общих закономерностей поведения различных сред желательно иметь достаточно простые уравнения в аналитической форме. Простейшим термическим уравнением [состояния плотных газов является уравнение Постоянная Ь здесь учитывает объем, занимаемый молекулами; дав- давление р неограниченно возрастает при v —>• b. При достаточно высо- высоких давлении и температуре (значительно больших их критических значений) это уравнение обладает удовлетворительной точностью. Можно легко установить, что внутренняя энергия в таком газе, как и в совершенном газе, есть функция только температуры: е = е(Т), по-прежнему ср—cv = R, а уравнение адиабаты Пуассона при по- постоянном отношении теплоемкостей у имеет вид p(v—b)y = const. Более сложным уравнением состояния является уравнение Ван- дер-Ваальса **) _тгг с Р служащее обобщением предыдущего уравнения; второе "слагаемое в правой части уравнения Ван-дер-Ваальса учитывает силы взаимо- взаимодействия (с > О соответствует преобладанию сил притяжения) между молекулами при достаточно большой плотности среды. Для внутренней энергии и энтропии ^среды Ван-дер-Ваальса с по- помощью A.5) и A.3) получаем т ~ = § co(T)]dT~+canst, т F s=FcJifldT + fl In ^=* +const. 7\ ¦) Плотность газообразных продуктов взрыва может составлять яри этом 1,5—2,0 г/см3. ¦*) Ван-дер-Ваальс (van der Waals) Иоганнес Дидерик A837—1923), голланд- голландский гученый, один из основоположников молекулярной физики и ряда направле- направлений физической химии.
28 гл. i. основные понятия газовой динамики Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно удовлетворительно описы- описывает поведение газов и жидкостей в широком диапазоне изменения параметров и может рассматриваться как интерполяционная формула между уравнениями для газообразного и жидкого состояний. При некотором усложнении интерпретации уравнения Ван-дер-Ваальса его можно использовать и для описания поведения двухфазных сред, состоящих из находящихся в термодинамически равновесном состоя- состоянии жидкости и ее пара. С помощью еще более общего термического уравнения состояния при соответствующем подборе входящих в него функций Ф (v) и / (v) удается удовлетворительно описать поведение реальных плотных сред—газов, жидкостей и твердых тел в диапазоне давлений до 10° кгс/см2 и температур до 10е К. С использованием этого уравне- уравнения получаем ^ ^1Ц1*1^ f(v)dv. Ранее уже указывалось, что в отличие от газов небольшой плот- плотности сжимаемость жидкостей и твердых тел невелика. Установим связь между зависимостью внутренней энергии среды е{р, Т) от давления и характеристиками сжимаемости среды. Из основного термодинамического соотношения A.3) следует т — др де dv Из того [же соотношения в виде A.4) путем несложного преобразо- преобразования получаем d (h—Ts) = — s dT + v dp. Выражение справа есть, следовательно, полный дифференциал, vt поэтому \ds/dp \т = — dv/dT \р. Таким образом, де I dv | dp \т ^ др дТ Это соотношение и дает связь между зависимостью внутренней энер- энергии среды от давления и коэффициентами ее теплового расширения, ос = — ^г\ и упругого сжатия при постоянной температуре |3 = V 01 \р \_dv_ ~ v др Определим несжимаемую среду условием dv = 0. Так как для* такой среды dv/дТ\р — 0, dv/dp\T = 0 и, следовательно, де/др\т = 0%. то ее внутренняя энергия есть функция только температуры: е= е(Т).
§1. ВВЕДЕНИЕ 29 Из A.3) находим s = \ —^ Ь const, т. е. энтропия такой среды тоже есть функция одной только темпе- температуры. Таким образом, при обратимых адиабатических процессах в несжимаемой среде ее температура остается неизменной (адиабата и изотерма в такой среде совпадают). Установим в общем виде связь между коэффициентом теплового 1 а I 1 дТ 1 аи I у 1 дТ —относительным изме- изме1 аи I 1 дТ расширения а=~57г и величин°й "f"T" нением температуры среды при адиабатическом обратимом изменении давления. Представим для этого зависимость v от р и Т в виде слож- сложной функции v = v[p, s(p,T)]. Очевидно, что дТ dv ~~ds ds_ ¦ дТ Но из так как ОI р OS р 01 р A.4) следует, что Т ds/dT \р = dh/dT\р = ср. С другой стороны, так как согласно A.6) v=dh/dp\s, T = dh/ds\p9 то (для гладких функций h(p9s)) dv/ds\p = dT/dp\s. Таким образом, a = l)lFr\p~~v~Tfdp' s* Коэффициент теплового расширения в левой части этого равен- равенства для конденсированных сред очень мал. Так, при 20 °С для воды он равен 2- Ш^К. Отсюда, зная теплоемкость воды нее удельный объем, можно найти, что при изоэнтропическом сжатии воды от дав- давления 1 атм до 1000 атм температура ее возрастает всего примерно на 1,5 К (в совершенном газе с y =^ 1,4 при таком росте давления абсолютная температура возрастает более чем в 7 раз и достигнет 2100 К). Для воды и ряда других жидкостей при высоких давлениях часто используют уравнение состояния Тэта близкое по форме к уравнению состояния совершенного газа с посто- постоянными теплоемкостями в виде A.14). В уравнении Тэта В слабо зависит от энтропии (обычно этой зависимостью пренебрегают и счи- считают В константой), а р0 есть плотность жидкости, экстраполирован- экстраполированная на нулевое давление (так как величина В весьма велика сравни- сравнительно с нормальным давлением, то можно считать, что р0 есть плот- плотность жидкости при нормальном давлении). Величина у в уравнении Тэта не есть отношение теплоемкостей; такое обозначение показателя степени принято для того, чтобы подчеркнуть совпадение по форме уравнения Тэта с уравнением адиабаты Пуассона для совершенного газа при замене в последнем величины р на р-\-В.
30 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Таблица 1.2 Жидкость Вода Четыреххлористый углерод Ртуть Гептан Силикон В, кгс/см* 3000 1000 3000 654 597 V 7,15 9,35 8,2 10,6 9,1 р0. кг/м3 1000 1600 13 500 684 760 В табл. 1.2 приведены значения параметров в уравнении Тэта для некоторых жидкостей (с энтропией, близкой к ее значениям при нор- нормальных давлении и температуре). § 2. Законы сохранения для конечных объемов среды (интегральные законы сохранения) Кинематические характеристики движущейся среды. Рассмотрим движение среды, т. е. изменение со временем положения частиц среды и их параметров состояния, в некоторой области трехмерного прост- пространства векторов (точек) х. Частицы среды движутся со скоростью V(x, t), так что движение каждой частицы описывается уравнением или—в декартовой системе координат х(х, у, z)—системой скаляр- скалярных уравнений dx dy dz i, и(х, у, z, t)~~v(x, у, z, t)~~w(x, у, z, t)~~ ' где и, v, w—составляющие вектора V вдоль осей х% у, z соответ- соответственно. Если в рассматриваемой области пространства поле скорости V(x, t)\ непрерывно дифференцируемо (достаточно непрерывности и выполнения условий Липшица по лг), то интегральные кривые выпи- выписанной системы уравнений—траектории частиц—покрывают область однократно, т. е. не пересекаясь. Введем для функций, зависящих от координат х и от времени /, оператор дифференцирования (производную) по времени [вдоль траектории частицы Здесь (•) означает скалярное произведение величин, стоящих в скоб- скобках. Введенный оператор называется полной или индивидуальной {иногда — субстанциональной) производной. Полная производная dA (x, t)/dt есть скорость изменения во времени величины А в частице.
§2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 31 Не опасаясь путаницы, этот же знак d/dt мы будем использовать, как обычно, при дифференцировании по t функций, зависящих только от времени. Целью построения модели, используемой в газовой динамике, яв- является установление математических соотношений, позволяющих найти распределение параметров газа в занятой им области пространства при различных конкретных условиях движения. Для достижения этой цели обратимся к общим законам сохране- сохранения массы, количества движения, момента количества движения и энергии и применим их к конечным объемам газа. • с Рис. 1.2.1 Рис. 1.2.2 Введем понятия материального объема и контрольного объема. Выделенный в газе объем 9^*, состоящий из !одних и тех же частиц, называется материальным объемом (или индивидуальным объемом). Рис. 1.2.1 иллюстрирует последовательные !положения в пространстве в моменты времени tl9 t и t2 материального объема (заштрихован) при его движении. Контрольным объемом называется выделенный в пространстве объем fv с границей <У—контрольной поверхностью. Объем Сможет быть неподвижным, но в общем случае может перемещаться в прост- пространстве и деформироваться; объем У* не связан с газом и может частично выходить за пределы занятой газом части пространства. На рис. 1.2.1 штрихами обозначена поверхность (У контрольного объема ^ в момент времени t. Часть контрольной поверхности & совпадает в этот момент с частью поверхности движущегося материаль- материального объема У>* (t). Как и материальный объем Т°*, контрольный объем 9° может быть неодносвязным. Дадим кинематическую характеристику перемещения в простран- пространстве произвольной поверхности. На рис. 1.2.2 изображена часть по- поверхности (У объема f^ в моменты времени t и t + Ы. На площадке da поверхности of(t) взята внешняя к объему 4^(f) нормаль я. Обо- Обозначим длину отрезка этой нормали между поверхностями tf (t) и ^(* Д) через A/t. Величина D= Hm(AhfAt) называется скоростью перемещения в пространстве поверхности of в рассматриваемой точке*
32 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Если ^(t) есть индивидуальный объем cP*(t), то для него вели- величина D равна нормальной к of составляющей скорости vn частиц газа, образующих поверхность <У. Основные физико-механические характеристики конечного объема сплошной среды. Объем °РУ занятый сплошной средой, обладает мас- массой М, количеством движения (или импульсом) А*, моментом коли- количества движения (моментом импульса) Ш относительно выбранной точки, полной энергией (или престо энергией) ? и энтропией S. Эти величины определяются интегралами (dx— элемент объема t, K= \ pVdx, ак=, ] (rxpK)dr, cj/д суъ у + еЫт, S= \ psat. В выражении для Яй через г обозначен радиус-вектор частиц, отсчитываемый от точки, относительно которой определяется момент количества движения объема f^. При написании выражений для <§ и S сделано предположение об аддитивности внутренней энергии и энтропии по массе частиц, составляющих материальный объем. Распределения в пространстве величин, входящих под знаки ин- интегралов, могут не быть непрерывными и тем более гладкими; допу- допустимы интегрируемые особенности этих величин в точках или вдоль линий и поверхностей в пространстве. Закон сохранения массы. В ньютоновской механике фундаменталь- фундаментальным законом является свойство любого материального объема сохра- сохранять свою массу во времени. Следовательно, производная по вре- времени t от массы M(t) материального объема равна нулю: = 0. B.1) Интегрируя это соотношение по времени от момента /0 до момента t, получим \ р dx \ — / \ р dx \ = 0. Отметим, это для любой аддитивной величины А (скаляра или вектора), определенной для частиц среды, вследствие сохранения массы каждой частицы и массы всего материального объема справед- справедливо соотношение dt = -7f\ Adm=^\ -jj-dm= \ P-jfdx, B.2) м м где dm = pdx—элемент массы в объеме °Р* и dA/dt—полная произ- производная по времени от А.
§2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 33 Закон сохранения количества движения (второй закон Ньютона) и закон сохранения момента количества движения. Основным дина- динамическим соотношением механики сплошной среды является закон сохранения количества движения. Согласно этому закону скорость изменения во времени количества движения К (t) любого материаль- материального объема равна главному вектору F всех действующих на него внешних сил—массовых и поверхностных: pndo+F'. B.3) Здесь в правой части из F выделен явно интеграл сил давления, действующих по поверхности of объема сУд*. В проинтегрированной по времени форме соотношение B.3) имеет вид ( I 9Vdx\-(l 9Vdx\ - Fdt и называется уравнением импульсов, так как его правая часть пред- представляет собой импульс внешних сил, действующих на материаль- материальный объем в течение времени от t0 до /. Стоящее под знаком инте- интеграла выражение для внешних сил не обязательно непрерывно по времени и может иметь при некоторых значениях t особенности, при- приводящие к мгновенным конечным изменениям импульса внешних сил, а следовательно, и количества движения материального объема. В общем случае независимо от закона сохранения количества движения формулируется закон сохранения момента количества дви- движения. Согласно этому закону скорость изменения момента коли- количества движения 5Ш(/) произвольного материального объема равна сумме моментов ^, действующих на этот объем внешних массовых и поверхностных сил: П' B.4) В правой части из o/ft выделен явно момент от распределенных по поверхности & сил давления. Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики). Со- Согласно закону сохранения энергии скорость изменения во времени полной энергии <§ (t) материального объема равна сумме отнесенной к единице времени работы (мощности) W действующих на объем внешних массовых и поверхностных сил и притока извне к объему тепла и других видов энергии немеханической природы Q: (+* [ _ / f ' i ^ \ J_ TV7 i /"Ч 1 J_ i 11// . I /*\ /Л С\ Вновь здесь из работы W выделена явно работа сил давления, дей- действующих на поверхность if. Для конечного промежутка времени из 2 Г. Г. Черный
34 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ уравнения B.5) получаем \<уд* Как и в уравнении импульсов, выражение под знаком интеграла в правой части может иметь особенности, приводящие в некоторые моменты времени к мгновенному изменению энергии материального объема на конечную величину. Отметим следующее обстоятельство, которое полезно иметь в виду при использовании уравнения энергии. Внутренняя энергия среды может быть суммой двух или более составляющих где ет—тепловая энергия, т. е. кинетическая энергия хаотического движения молекул газа, et—другие составляющие внутренней энер- энергии, например, энергия, связанная с относительными движениями составляющих молекулу частиц—атомов, энергия окружающих их электронов, энергия химических связей атомов в молекуле и т. п. Если в рассматриваемом процессе мбгут происходить взаимные пре- превращения составляющей ет и остальных составляющих, то уравнение энерг . и можно записать в виде т. 5 суэ . 5 @ суэ* 1 При этой записи использовано преобразование B.2) для величины Последнее слагаемое в полученном уравнении можно подобно пре - дыдущему слагаемому рассматривать как внешний приток тепла с массовой скоростью теплоподвода — ^de^dt); при этом частицы материального объема следует считать обладающими лишь одной со- составляющей внутренней энергии ет. Влияние на газ внутренних физико- химических энергетических процессов заменяется при такой трактовке влиянием притока энергии извне. Выражение для скорости изменения энтропии. Для нахождения скорости изменения энтропии S(t) материального объема используем соотношение B.2), беря в нем в качестве А энтропию единицы массы s: dS d С , Г ds 3*
$2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 35 Выразим ds согласно термодинамическому соотношению A.4), кото- которое преобразуем к виду где qt—тепло, подводимое к частице извне, и q't—выделяющееся в частице некомпенсированное тепло, отнесенные к единице массы и единице времени. В результате получим -§= С ±r(qt+q't)dx. Если приток тепла к частице происходит ск зь ее поверхность, то, введя вектор потока тепла q*) и используя формулу Остроград- Остроградского— Гаусса, получим для каждой бесконечно малой частицы с объемом Ат и поверхностью а nda = — J divqdx =—[divq*A% (qn—составляющая вектора q по внешней нормали к поверхности а). Поэтому можно написать -f qtdx=- $ З^Л— J [div-f +±(Q cj/д* <fO* так что -J If-do. суэ* суэ* Из найденного выражения для скорости изменения энтропии получаем, в частности, что при отсутствии диссипативных механиз- механизмов, приводящих к выделению некомпенсированного тепла, т. е. при 97 = 0, и при теплоизолированной границе материального объема, т. е. при qn = 0, Так как согласно второму началу термодинамики энтропия адиа- адиабатически изолированного объема не может уменьшаться, то из послед- последнего равенства следует, что скалярное произведение (^-gradT) всегда отрицательно. *) Вектор д определяет направление [передачи тепла и по величине равен количеству тепла, протекающему в единицу времени через перпендикулярную этому направлению единичную площадку.
36 ГЛ. I. OCHOBHblF ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Для теплового потока, обусловленного теплопроводностью среды, обычно принимают закон Фурье, согласно которому <7 = —xgradT, x>0 (х—коэффициент теплопроводности). При этом dS __ r xl Г* Таким образом, энтропия теплоизолированного объема теплопро- теплопроводной среды не сохраняется неизменной, а возрастает, если при движении в объеме имеется неоднородность температуры. Этот вывод дает пример процесса, необратимого в целом (для конечного объема среды), при котором изменение состояния каждой частицы можно считать равновесным (<^ = 0). Законы сохранения для газа в контрольном объеме. Из сформу- сформулированных законов сохранения основных физико-механических характеристик материального объема можно получить выражения для изменения этих величин в произвольном контрольном объеме. Эти выражения в ряде случаев более удобны для приложений. Выведем предварительную формулу дифференцирования по вре- времени функции, заданной в виде интеграла по подвижному объему. Пусть величина А (скаляр, вектор) зависит от х и времени t, так что интеграл J A(x, t)dx по подвижному объему °Р есть некоторая функция /. По определе- определению производной — Г А(х t\dx- lim — J A(x9t)dT Z3 -A(x, t)]dx+ A(x, t+M)dx Беря в интеграле J A (jc, t + A/) dx при A/ —>¦ 0 в каче- °Р (f + AO-^tf) стве элемента интегрирования dx = doAh (см. рис. 1.2.2), найдем lim 4т f lim 4г С Л(лг,
<> 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 37 Таким образом, A(x, t)dx= j ^-dx + J ADda. B.6) CJ/Ъ tST Если ^@ есть индивидуальный объем f^*(t), то Комбинируя два последних выражения, получаем формулу ± I A(x,t)dx= j Л(дг, ОЛ-l-J Л(ип-О)йа, B.7) которая связывает производную интеграла от функции А по инди-# видуальному объему еР* и производную интеграла от той же функ- функции по подвижному объему if7>(t)f совпадающему в момент времени t с индивидуальным объемом f^*^). Для установившихся движений, когда всюду dA/dt = O, формула B.6) принимает вид и показывает, что изменение суммарного значения величины А в объеме Уд связано лишь с перемещением границы этого объема в неизменяющемся во времени поле величины А. Заменив в полученных ранее законах сохранения массы, количе- количества движения, момента количества движения, энергии и в выраже- выражении для скорости изменения энтропии производные от интегралов по индивидуальному объему f°* производными от интегралов по неподвижному контрольному объему °Р согласно формуле B.7), получим: B.8) 4? + j PVvnda=F= - j pndo+F9, B.9) B.10) , B.11) -g- + j psvndo = j f (qt + q't) dr. B.12)
38 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Эти уравнения часто называются уравнениями в балансовой форме или просто уравнениями баланса массы, импульса и т. д. Если движение установившееся, то левые части уравнений ба- баланса B.8)—B.12) не содержат слагаемых с производными по вре- времени и представляют собой суммарные потоки соответствующих ве- величин (массы, импульса и т. д.) сквозь неподвижную поверхность if. Отметим важную для дальнейшего форму записи уравнения ба- баланса энергии B.11). Перенеся слагаемое, соответствующее работе сил давления на поверхности if, из правой части этого уравнения в левую, придадим уравнению баланса энергии в неподвижном объеме су* следующую форму: dt ИЛИ B.13) Введенная здесь величина /i0, определяемая формулой ho = ~ + e+j = ^ + h B.14) и равная сумме кинетической энергии и теплосодержания единицы массы газа, называется полным теплосодержанием (или полной эн- энтальпией). Таким образом, (полная) энергия <§ объема ^ изменяется вследствие потока полного теплосодержания газа сквозь границу объема, вследствие обмена теплом с внешней средой и вследствие работы внешних сил за вычетом работы сил давления на поверх- поверхности of. В частности, если W' = 0 и Q = 0, то полная энергия объема ^Q меняется лишь благодаря притоку в объем полного теп- теплосодержания; для установившихся движений d?/dt = O, и, следова- следовательно, суммарный поток полного теплосодержания сквозь поверх- поверхность of равен нулю. Полученные выше уравнения в интегральной форме служат не только основой для вывода дифференциальных уравнений движения газа и для получения соотношений между параметрами газа на по- поверхностях разрыва газодинамических величин (это будет сделано ниже—в § 7), но используются непосредственно при решении мно- многих задач. Пример использования законов сохранения при нестационарном течении: заполнение вакуумированного сосуда газом. Замкнутый со- сосуд объемом °Р окружен газом (рис. 1.2.3); давление газа внутри сосуда пренебрежимо мало по сравнению с давлением р„ газа в окружающем пространстве. При открывании крана, соединяющего внутренность сосуда с окружающей средой, газ извне втекает в со- сосуд. Кран держат открытым лишь небольшое время t0, достаточное
§ 2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 39 для заполнения сосуда газом и выравнивания давления в нем с внешним давлением, но недостаточное для того, чтобы успел произойти заметный теплообмен в газе и на границе между газом и стенками, трубы. После этого кран закрывают. Требуется определить массу газа в сосуде, его температуру Т непосредственно после закрытия крана, а также давление ре в сосуде после того, как температура газа в нем выравняется с тем- температурой внешней среды Т„. Окружим мысленно сосуд неподвижной замк- замкнутой поверхностью <&\ достаточно удаленной от него, и применим к газу в контрольном объе- объеме внутри поверхности & уравнения баланса массы и энергии. Интегрируя уравнение балан- баланса массы B.8) по времени от t = 0 до t=t0, получим Рис. 1.2.3 Так как вне сосуда состояния газа в момент / = 0 и t = t0 оди- одинаковы, то разность Mt0—Мо равна массе М газа, заполнившего сосуд, т. е. to B.15) Если в уравнении баланса энергии B.13) пренебречь в течение времени от t = 0 до t = t0 теплообменом со стенками сосуда и при- притоком тепла к газу сквозь поверхность of и учитывать лишь работу сил давления на этой поверхности, то после его интегрирования по времени получи и phovHdci\dt = O. B.16) Вновь из того, что состояния газа вне сосуда при / = 0 и t = t0 совпадают, заключаем (считая газ в сосуде при t = t0 однородным и неподвижным), что разность ?to—<?о равна Me, где е—внутренняя энергия единицы массы газа в сосуде при t = @. Так как граница of взята далеко от сосуда, где скорость движения газа сколь угодно мала, то величину h0 на границе of можно считать совпадающей с 'h^ т. е. одинаковой V2 ее значением в покоящемся газе h0 = h + —к- во всех точках границы of в течение всего времени от 0 до t0. По- Поэтому, с учетом выражения B.15), последнее слагаемое в уравнении энергии B.16) равно —Mh^. Таким образом, получаем равенство
40 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОЬОЙ ДИНАМИКИ из которого и определяется температура Т. Из уравнения состояния, связывающего плотность с давлением и температурой, найдем плот- плотность р газа в сосуде и масс^ газа М = pf°. Если газ совершенный и имеет постоянные теплоемкости cv и ср, то e — cvT, h^ — CpT^, так что cvT = срТ m или ~ = ^ = у, ¦«оо с%f т. е. температура газа в сосуде после закрытия крана превышает температуру окружающего газа в у раз. Плотность р выразится формулой p^pjy, а масса М газа в сосуде—формулой При последующем выравнивании температуры газа Т в сосуде с температурой окружающей среды Т^ плотность газа в сосуде р оста- остается неизменной (сосуд замкнут), давление же в нем изменяется от значения р^р» при t = t0 до значения ре, которое определится из уравнения состояния. Для совершенного газа Ре __ Те где Те—температура газа в сосуде после ее выравнивания с темпе- температурой окружающей среды, т. е. Те = Т^ так что Ре = Р~ _ 1 Роо Т V * Эта формула может служить для экспериментального определения отношения теплоемкостей у по измеряемым в опыте давлениям р„ и ре. Из уравнения баланса энергии B.13) путем его интегрирования по времени от t = t0 до достаточно больших t (t—>¦ оо) с учетом при- притока тепла сквозь поверхность & при выравнивании температур по- получим и Отсюда переданное сквозь поверхность of наружу тепло, рав- равное —Q, есть (отметим, что тепловое состояние стенок сосуда при t == t0 и / = оо одно и то же) - Q = М (е-ej = М (hm-em) = ? Роо. Это тепло выделяется вследствие диссипации механической энер- энергии газа при заполнении им сосуда и равно работе сил давления на поверхности if (объем ^^ протекающего сквозь эту поверхность газа за время заполнения сосуда равен М/р^ а давление на ней сохраняется равным р*,).
§2. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ ОБЪЕМОВ СРЕДЫ 4! Пример использования законов сохранения при установившемся течении: вертолет в режиме зависания. Пусть вертолет с располо- расположенным горизонтально несущим винтом неподвижен относительно удаленного от него воздуха. Представим схематически вертолет (рис. 1.2.4) в виде диска в плоскости вращения винта и подвешен- подвешенного к нему груза с общим весом G. От винта | х вниз отходит струя воздуха, в результате чего на винте возникает направленная вверх подъем- подъемная сила Р, уравновешивающая вес G. Дейст- Действием силы тяжести на воздух будем пренебре- пренебрегать. Окружим вертолет замкнутой контрольной поверхностью of\ удаленной от него настолько, чтобы давление всюду на поверхности можно ШШЩД] у было считать постоянным и равным давлению в невозмущенном воздухе. Применим к газу внутри Рис. 1.2.4 поверхности tf законы сохранения в интеграль- интегральной форме. Отходящую от винта вниз струю будем считать ци- цилиндрической. Пусть G^ = G^a-bc^c, где tfz—часть поверхности <У, пересекаемая струей; примем, что участок &с горизонтален и скорость газа на нем Vc распределена равномерно и направлена вниз. Из уравнения баланса массы B.8) получим ДОс = 0. B.17) Уравнение баланса импульсов B.9) в проекции на идущее вниз направление дает —i\j pcos{n$ x)dv. B.18) Так как в точках поверхности с^а при ее удалении от вертолета скорость и может быть сделана сколь угодно малой, а давление р стремится к постоянной величине р^, то с учетом B.17) оба интег- интеграла в равенстве B.18) стремятся к нулю при удалении & в беско- бесконечность, так что Рс1/^С = Р, B.19) т. е. подъемная сила винта равна по величине импульсу отбрасыва- отбрасываемого винтом в единицу времени воздуха в струе. Обозначив буквой W мощность, сообщаемую винтом воздуху, из уравнения баланса энергии B.13) находим ph0vndo+pcVc#
42 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ При удалении контрольной поверхности от вертолета величина h0 под знаком интеграла стремится к постоянной h^ так что, учи- учитывая B.17), получим W = pcV^A^f- + hc—h\. B-20) Согласно этой формуле мощность W расходуется на сообщение проходящему через винт воздуху кинетической энергии и избыточ- избыточного теплосодержания. Образование же тяги, как это следует из вы- выражения B.19), связано с сообщением газу только кинетической энергии. Отличие от нуля разности hc—hao = h(j)oo9 sc)—h(poo, sj обуслов- обусловлено ростом энтропии при необратимом процессе подвода механиче- механической энергии к воздуху в винте. Так как dh/ds\p = T > 0, то при sc > s^ эта разность, очевидно, положительна. При данной подъемной силе Р мощность W согласно формуле B.20) минимальна при Sc—s^ и равна Отношение мощности №ид идеального винта к затрачиваемой в действительности есть коэффициент полезного действия винта т] 1 ^ B 2 ) Используя выражения B.19) и B.21), находим Отсюда следует, что при данной мощности, передаваемой винтом воздуху, целесообразно лопасти винта иметь по возможности длин- длинными, для того чтобы площадь сечения отбрасываемой винтом струи была наибольшей и соответственно скорость воздуха в струе—наи- струе—наименьшей. На практике значения <zfc ограничиваются прочностью винта и его весом. Отметим, что и в других случаях, когда требуется получить большой поток импульса при заданном значении потока энергии (если эта энергия в значительной мере является кинетической энер- энергией), выгодно иметь малую скорость и соответственно большой мас- массовый расход газа, а не наоборот. § 3. Установившиеся движения газа в трубке Рассмотрим установившееся движение газа в объеме внутри конт- контрольной поверхности, имеющей вид трубки (рис. 1.3.1), замкнутой ,с концов плоскими поперечными сечениями <9f1 и & (этими же бук- буквами будем обозначать и площадь соответствующих сечений). Боко-
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 4$ вая поверхность трубки с^0 может быть поверхностью тока, мысленно выделенной внутри потока газа, но может частично или целиком совпадать с ограничивающими газ твердыми поверхностями. Внутри трубки могут находиться обтекаемые газом тела; их поверхность принимается за часть поверхности <SP0. Предположим, что в плоских сечениях <^>1 и tf параметры газа распределены равномерно и скорость направлена нормально поверх- поверхности сечений; скорость в сечении if1 будем считать направленной внутрь объема. Допустим также, что вязкими нормальными напряжения- напряжениями и тепловыми потоками в сечениях of^YLof можно пренебречь. Применим при сделанных допу- допущениях к газу внутри контрольной поверхности законы сохранения рис B.8)—B.11). Уравнение сохранения массы. Уравнение B.8) дает следующее соотношение: wndo. C.1) Произведения p1V1<^?1 и pV<^ называются массовым расходом (или просто расходом) газа в соответствующих сечениях трубки. Величина = — ^ pvnda есть суммарная масса газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями <^1 и of через поверхность ofo. Соотношение C.1) определяет М{е) по известным значениям расхода газа в сечениях ^ и tf. Если величина М{е) задана заранее или известным образом за- зависит только от значений параметров газа в сечениях <^>1 и <?Р9 то уравнение C.1) связывает параметры газа в сечениях &г и <?? соот- соотношением, не зависящим от распределения параметров в объеме трубки между этими сечениями. В частности, при МАе) = 0 это акт ношение имеет вид pW=pMi C.2) и выражает равенство значений расхода газа в сечениях &г и &*\ Уравнения сохранения количества движения (импульса) и мо- момента количества движения (момента импульса). Из уравнения B.9) получаем R. C.3) Здесь f{e)—внешняя сила, действующая на единицу массы газа
44 I Л. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ внутри трубки, а R=— J pnda C.4) <*% есть главный вектор сил, действующих на поверхность <5% со сто- стороны протекающего в трубке газа. Если поверхность <SP0 твердая (рассматривается участок трубы и скрепленные с трубой тела внутри нее; последних может не быть), то R есть действующая на if\ сила реакции протекающего сквозь трубу газа. у Величина (р-\- pV2)if -у называется полным импульсом газа в се- сечении трубки. Величина К{е) — —\ pVvnda есть суммарный импульс газа, втекающего за единицу времени в трубку между сечениями if ± к if через поверхность if0. При отсутствии массовых сил формула C.3) связывает силу R со значениями полного импульса газа в сечениях if± и if и импульса втекающего сквозь поверхность if0 газа и определяет силу /?, если эти величины известны. Силу R нельзя задать заранее, так как согласно C.4) она зави- зависит от распределения напряжений на поверхности if^ между сече- сечениями ifx и if. Единственным важным частным случаем, когда это можно сделать, является течение идеального газа в непроницаемой цилиндрической трубке без помещенных в нее тел и при отсутствии массовых сил. В этом случае векторы Vlt V\ а следовательно и /?, направлены вдоль образующей трубки; с другой стороны, напряже- напряжения /?„, а вместе с ними и /?, ортогональны образующей. Таким образом, /? = 0. Проектируя уравнение C.3) на направление обра- образующей, получаем соотношение между параметрами газа в сечениях ifx и if в виде C.5) не зависящем от распределения параметров в объеме трубки между этими сечениями. Из уравнения сохранения момента количества движения B.10) при отсутствии создающих момент массовых сил находим (p + pV*)i?!^ = (p1+PiVl)i?l2^+ §(rxpV)vndo-M. C.6) •Го Здесь М=— J (rxpn)da 'есть суммарный момент относительно некоторой точки поверхност- поверхностных сил, действующих на поверхность сУ0 со стороны протекающего
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 45 газа, а г{ и г*—радиусы-векторы относительно той же точки цент- центров тяжести площадей сечений *fY и &. Если на поверхность трубки извне действует постоянное давле- давление ра> то после замены в выражениях C.3) и C.6) рх и р соответ- соответственно разностями рх—/?а и р—ра величины R или М в этих вы- выражениях будут представлять силу или момент, действующие на трубку изнутри со стороны движущегося газа и извне вследствие приложенного к ней внешнего давления ра. Это следует из того, что при /?а = const для произвольной замкнутой поверхности 2 интегралы равны нулю и их можно добавить в правые части равенств C.3) и C.6) соответственно, не изменив эти равенства. Уравнение энергии. Обратимся к уравнению баланса энергии в виде B.13). Из него получаем Л» — S ph,vndo+W' + Q. C.7) «*% Произведение pVzfh0 называется потоком полного теплосодержа ния в сечении трубки. Величина Hie) = — J phovnda есть суммарное полное теплосодер- жание газа, втекающего за единицу времени в трубку через поверх- поверхность сУ0. Последние два слагаемых в правой части C.7), W и Q, пред- представляют собой соответственно работу, совершаемую в единицу вре- времени над газом в контрольном объеме внешними силами, и приток к газу сквозь поверхность с^0 тепла и других немеханических видов энергии. При этом работа W есть сумма двух составляющих: \pnVda. Первая составляющая соответствует работе внешних массовых сил и равна нулю, если эти силы отсутствуют. Вторая составляющая характеризует работу, сообщаемую газу силами со стороны поверх- поверхности сУ0, в том числе и со стороны поверхности тел, расположен- расположенных внутри трубки. Если сУ0 непроницаема для газа и если газ идеален, то эта составляющая равняется нулю из-за того, что по- поверхностные напряжения нормальны к направлению скорости газа и потому не производят работы над газом; если газ вязкий, но <?Р0 неподвижна, то вследствие прилипания вязкого газа к поверхности скорость его равна на ней нулю и, следовательно, касательные со- составляющие напряжения на <Э% тоже не производят работы.
46 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В некоторых случаях при использовании соотношения C.7) (и соотношения C.3)) допускают, что тела, расположенные внутри трубки, деформируемы или подвижны, так что поверхность <У0 ме- меняется со временем. Учитывая производимую такими телами работу над газом (или вычисляя согласно уравнению C.3) силу /?), пре- пренебрегают возможным эффектом нестационарности течения, связан- связанным с изменением of0 со временем. Работу поверхностных сил, совершаемую над газом помещенным в трубу техническим устройством с подвижными элементами — венти- вентилятором, компрессором и т. п.,—часто называют технической работой. Соотношение C.7) определяет величину W=W' + Q через зна- значения потока полного теплосодержания газа в сечениях <^t и & и приток полного теплосодержания с втекающим сквозь поверхность с^0 газом. В общем случае W зависит от распределения параметров в объеме трубки между сечениями ^ и ^. Однако во многих важ- важных случаях значения величин W и Q могут быть указаны зара- заранее и, в частности, они могут равняться нулю. Во всех случаях, когда три последних слагаемых в правой части соотношения C.7) известны или зависят только от значений па- параметров газа в сечениях <^t и <У, это соотношение устанавливает связь между параметрами газа в этих сечениях, не зависящую от распределения параметров в объеме трубки между сечениями. В ча- частности, если приток массы сквозь поверхность <У0 отсутствует и работа W внешних сил равна нулю, из выражения C.7) получим откуда, учитывая C.2), находим C.8) где q—приток тепла, отнесенный к единице массы протекающего газа. Для адиабатических течений q = 0 n Ao = Aoi. C.9) т. е. значения полного теплосодержания газа в сечениях ^ и^! одинаковы. Соотношения C.1), C.3), C.6), C.7) применимы как для непре- непрерывных движений, так и для случая, когда внутри рассматриваемого объема могут быть поверхности разрыва параметров газа; они явля- являются точными при принятых предположениях о поведении газа в сечениях cS^ и <У\ Если течение газа между выбранными сечениями трубки проис- происходит адиабатически и обратимо, то энтропия газа в обоих сече- сечениях трубки одинакова, т. е. s = s^ (ЗЛО) Это равенство и соотношения C.2) и C.9), следующие из законов сохранения массы и энергии, образуют систему уравнений для оп-
§ 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 47 ределения параметров газа в выходном сечении трубки по их зна- значениям во входном сечении. В некоторых случаях течений газа (например, при движении газа с высокой теплопроводностью в длинных трубопроводах, имею- имеющих хороший тепловой контакт с окружающей средой) температуру всех его частиц можно считать одинаковой и неизменной во времени. Такие движения с Т = const называются изотермическими. При установившихся изотермических движениях газа в трубах справед- справедливо равенство Т = Тг. C.11) Дифференциальные соотношения. Обозначим буквой х расстоя- расстояние вдоль средней линии трубки, отсчитывая его, например, от на- начального сечения <^>1 в сторону течения газа. Предположим, что условия о равномерном распределении параметров газа в сечении of выполнены при всех значениях х, при которых рассматривается движение. Описание течений газа в трубке при таком предположе- предположении называется квазиодномерным (иногда — гидравлическим). Кроме того, будем пренебрегать в каждом сечении нормальным тепловым потоком и вязкими напряжениями. Если при этом распределения параметров газа по длине трубки являются непрерывно дифферен- дифференцируемыми функциями от х (для этого площадь сечения трубки & (х) и внешние воздействия М(е), К(е) и т. д. тоже должны обла- обладать этим свойством), то соотношения C.1), C.3) и C.7) можно дифференцировать по х. Ограничимся случаем, когда стенки трубки непроницаемы для газа, так что М(в) = 0, ЛГ(в) = О, Я(е) = 0. Дифференцируя вдоль х соотношение C.1), получим d(pVcf) = 0 C.12) или Из уравнения импульсов C.3) найдем J pnda. C.14) Здесь d<ffQ — кольцевой элемент поверхности трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями. Продифференцировав по х тождество получим
48 гл. i. основные понятия газовой динамики Добавим эту равную нулю сумму, умножив ее предварительно на р9 к правой части равенства C.14). После некоторых преобразо- преобразований с использованием соотношения C.12) получим xnde, где хп—вязкая составляющая поверхностного напряжения (Рп = — РП + хп). Проектируя это уравнение на направление оси трубки и поделив результат на рсУ, найдем VdV + 4j- = f?dx + -±r J xnxda. C.15) При течении вязкого газа в цилиндрической трубке кругового 2т сечения последнее слагаемое в соотношении C.15) равно —-w-dx, где R—радиус сечения трубки и т—напряжение поверхностного трения. Будем считать это выражение справедливым и для трубок некругового сечения и нецилиндрических, понимая под R так назы- называемый гидравлический радиус сечения, равный удвоенному отношению площади сечения к его периметру. Тогда, если вместо т ввести безразмерный коэффициент трения ? по формуле т=?рУ2/2, уравнение импульсов C.15) примет вид VdV + ^- - ff dx—|- V*dx. C.16) Обратимся к уравнению энергии C.7). Продифференцировав его вдоль х, получим Будем считать, что механическая энергия сообщается газу только вследствие работы массовой силы /jf\ Тогда с учетом равенства C.12) получим dh, = ffdx + qxdx. C.17) Здесь qx—подводимое к газу тепло, отнесенное к единице длины трубы и к единице массы протекающего газа. Для адиабатических течений газа при отсутствии подвода меха- механической энергии извне dfto = O и, следовательно, /io = const, C.18) т. е. полное теплосодержание газа сохраняется при его движении в трубке. При этом полная энергия газа в общем случае меняется вследствие работы сил давления, совершаемой над частицами газа. Уравнения C.13), C.16) и C.17) представляют собой математи- математическую модель установившихся непрерывных адиабатических (при 9^ = 0) и неадиабатических (при qx^0) движений идеального
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 49 (при ? = 0) или вязкого (при ? > 0) газа в слабо искривленных трубках с плавно меняющейся формой и площадью поперечного сечения. Напомним, что, согласно изложенному ранее (§ 2), под величи- величиной qx можно понимать не только подвод тепла извне, но и тепло- тепловыделение внутри газа, вызванное превращением в тепловую энергию других видов внутренней энергии газа. Получим еще уравнение для изменения энтропии. Заменив в урав- уравнении C.17) dh0 по формуле и пользуясь уравнением импульсов C.14), получим ^V*dx. C.19) Величина ~- V2 есть, таким образом, некомпенсированное тепло, вы- выделяющееся на единице длины трубки в единице массы протекающего газа вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением. Из трех уравнений C.16), C.17), C.19) лишь два независимы; поэтому вместе с соотношением C.13), следующим из закона сохра- сохранения массы, можно пользоваться любыми двумя из них. Отметим, что уравнение импульсов и уравнение энергии приводят к одному и тому же соотношению *L + VdV = f?dx, C.20) если движение не сопровождается необратимыми процессами, т. е. если qxdx = Tds и газ идеален, так что ? = 0. Если внешняя сила имеет потенциал ?/, то соотношение C.20) можно проинтегрировать, получив в результате интеграл Бернулли *) fe_tf_0. C.21) При установившихся движениях идеального газа в трубке тока бесконечно малого сечения дифференциальные соотношения C.12), C.20) и C.17), полученные из законов сохранения массы, импульса и энергии, являются точными; при этом первые два из них не зави- зависят от энергетических процессов, сопровождающих движение. В случае трубок тока в вязком газе соотношение C.12) по-прежнему справед- справедливо; соотношения же C.20) и C.17) теряют силу, так как в них *) Бернулли (Bernoulli) Даниил A700 — 1782) — швейцарский ученый, один из основоположников механики жидкости и газа. В 1725—1733 г. работал в России и был членом Петербургской академии наук (после 1733 г.— иностранным почет- почетным членом).
50 Г-Л- !• ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ не учтены, соответственно, сообщаемые газу импульс вязких напря- напряжений на поверхности трубки и работа вязких напряжений на этой подвижной поверхности. Дадим некоторые необходимые для дальнейшего определения. Пусть известна скорость V частицы газа и ее термодинамическое состояние, в частности, теплосодержание h и энтропия s. Согласно данному ранее определению B.14) найдем полное теплосодержание h0 газа в частице как сумму h0 = V2/2 + h. Введем условное термодинамическое состояние рассматриваемой частицы с теплосодержанием h0 и с той же энтропией s, что и в дейст- действительном состоянии. Назовем это условное состояние состоянием торможения. Определив теплосодержание и энтропию, найдем осталь- остальные термодинамические величины в состоянии торможения: давление, плотность, температуру и др. Параметры газа в состоянии торможения (или просто—параметры торможения) отметим нижним индексом «нуль», например р0—дав- р0—давление торможения (его принято называть также полным давлением). По определению, теплосодержание торможения h0 совпадает с полным теплосодержанием, а энтропия торможения — с энтропией s. Очевидно, что у покоящегося газа состояние торможения и дейст- действительное термодинамическое состояние тождественны, у движущегося газа эти состояния различны. Покажем, что полное давление движущегося газа всегда больше действительного давления и что в случае нормального газа то же справедливо для температуры и плотности. Действительно, из определения полного теплосодержания как суммы ho = h + V2/2 и определения параметров торможения следует ho = h{po, s) > h(p, s). Так как hp = v > 0, то всегда р0 > р. Отсюда и из того, что T = hs(p,s), v = hp(p,s) и To = hs{pOy s), vo = hp(po, s), получаем, что при hps > 0, hpp < 0 (два из условий, входящих в определение нормального газа) всегда То > Г, ро= l/v0 > p= \/v. При установившихся адиабатических обратимых движениях газа ho = const и s = const; поэтому при таких движениях параметры торможения в частицах газа сохраняются неизменными, несмотря на изменение скорости и действительного термодинамического состояния частиц. Таким образом, можно дать следующее наглядное определение: параметры торможения—это значения термодинамических величин, которые имел бы газ в частице после адиабатического обратимого замедления ее при установившемся течении без действия массовых сил до скорости F = 0. Пользуясь обратимостью предполагаемого процесса замедления частицы, можно определить параметры торможения по-иному—как значения термодинамических величин в резервуаре с покоящимся газом, при установившемся адиабатическом обратимом истечении из которого частица может иметь данные значения скорости и термо- термодинамических параметров.
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 51 При нарушении предположений об адиабатичности и обратимости процесса в установившемся течении газа без действия внешних сил параметры торможения изменяются. Полное теплосодержание изменяется согласно уравнению C.17) с /ie) = 0, а энтропия—согласно соотношению C.18). Эти соотношения связывают параметры состояния в действитель- действительном движении. Наряду с ними рассмотрим связь между параметрами торможения: 7 An AU Ро /О ОО\ 0US = Un0 . (o.ZZ) Ро Отсюда при адиабатических движениях ^ = Tods, т. е. полное давление газа в течениях с необратимыми процессами уменьшается: происходят, как говорят, потери полного давления или просто—потери. Происхождение этого термина можно уяснить из следующего. Рассмотрим (рис. 1.3.2) установившееся адиабатическое перетека- перетекание газа через трубку из одного большого резервуара (пусть это будет левый резервуар) в другой. Вдали от соединяющей трубки газ в резервуарах можно считать покоя- покоящимся. Согласно предыдущему, если состояние текущего газа изменяется обратимо, то два термодинамических параметра газа—теплосодержание и Рис. 1.3.2 энтропия — будут в правом резервуа- резервуаре теми же, что и в левом. Таким образом, термодинамическое сос- состояние газа в обоих резервуарах одно и то же и, в частности, тем- температура и давление в них одинаковы. Если процесс течения необратим и энтропия газа при течении возрастает, то давление в правом сосуде будет ниже давления в левом сосуде. Таким образом, после необратимого перетекания газа из левого сосуда в правый произошла потеря технической ценности запасенного газа—давление в нем упало. Рассмотренный пример показывает также, что в согласии с нашим интуитивным представлением газ не может стационарно перетекать из резервуара с меньшим давлением в резервуар с большим давле- давлением. Однако это интуитивное представление не оправдывается в общем случае неадиабатического течения: при наличии теплообмена с внешней средой газ может течь в резервуар с более высоким давлением. Для неадиабатических течений, заменив в C.22) ds согласно A.4) и полагая dho = dqy получим h0 ~ h01
52 ГЛ. I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Разность 1—То/Т всегда отрицательна, так как согласно дока- доказанному ранее температура торможения выше действительной темпе- температуры газа. Поэтому при подводе тепла к газу в установившемся течении полное давление всегда падает, отводом же тепла можно полное давление увеличить. В формуле h + V2/2 = h0 вместо величины h0 можно ввести равную ей величину V2max/2 и трактовать Утах как наибольшее значение скорости, которое можно получить, если газ с данным состоянием ускорять в трубке при установившемся адиабатическом течении в ней. При таком значении скорости теплосодержание обращается в нуль; вместе с ним обращается в нуль давление. Скорость VmXK = V2/i0 называется максимальной скоростью установившегося адиабатиче- адиабатического течения газа или скоростью установившегося адиабатического истечения газа в вакуум. Для совершенного газа теплосодержание есть функция только температуры, поэтому максимальная скорость есть в этом случае функция только температуры торможения. Если теплоемкости совер- совершенного газа постоянны, то max v max — * ^Lpl о* Для воздуха при Г0 = 293К независимо от давления Vmax = 767 м/с. В общем случае нормального газа максимальная скорость зави- зависит не только от температуры торможения, но и от давления газа в этом состоянии. Отметим, что в состоянии покоя полная энергия газа совпадает с его внутренней энергией е0. При V = VmaK полная энергия газа есть его кинетическая энергия V'2maj2 = ho = eo-\- po/po > е0. Таким образом, при установившемся адиабатическом разгоне газа из состоя- состояния покоя до максимальной скорости газ приобретает за счет работы сил давления дополнительную энергию ро/ро (для совершенного газа У'тах/2 == сД'о =^ycvTQ = ye(h т.е. при таком разгоне энергия газа воз- возрастает в у раз). Понятие максимальной скорости можно обобщить и на случаи неадиабатических движений газа. Для этого запишем интеграл Бернулли C.21) в виде к* _ г dp 2 "J р • Если связь между плотностью и давлением при течении газа не является адиабатической, но при р —> 0 интеграл в правой части Ро Ро сходится, то существует конечная максимальная скорость -—• = \ -? , о в противном случае Vmax=oo. Так, при изотермическом течении
S3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 53 совершенного газа p = RpT1 G\ = const) и -«ЯТИп-^-, так что ^тах=оо. То, что газ в этом случае может приобретать сколь угодно большую скорость, связано с подводом к газу при его расширении тепла извне. Скорость звука, число Маха, критические параметры. Как гово- говорилось в § 1, в газовой динамике важную роль играет скорость звука а—термодинамический параметр, который определяется фор- формулой A.7) Если скорость частицы газа V меньше скорости звука а в частице, то скорость называется дозвуковой; при V > а скорость называется сверхзвуковой. Отношение hA = V/a является фундаментальным безразмерным параметром в газовой динамике и называется числом Маха *). В ряде случаев величину а удобно считать одним из термодина- термодинамических параметров, характеризующих состояние среды. Примем теплосодержание h за функцию энтропии s и скорости звука а, т.е. h = h(s, а); тогда из определения полного теплосодер- теплосодержания следует: ¦? + A(s,a) = A0. C.23) При установившемся адиабатическом обратимом движении, когда Ао и s—константы, это соотношение связывает скорость газа V и ско- скорость звука а в нем. Из монотонной зависимости h от а (см. A.10)) следует, что с ростом скорости V скорость звука а уменьшается. В заторможенном состоянии, т.е. при У = 0, скорость звука максимальна: а — ао\ при У - ^тах А=0 и а=0. В диапазоне 0 < V < Vmax существует единст- единственное состояние, при котором скорость и скорость звука совпадают, т. е. V=a — VKV. Это состояние газа называется критическим, а соот- соответствующие ему значения скорости VKV и термодинамических пара- параметров /7кр, ркр, Гкр—критическими значениями. Очевидно, что при критическом состоянии М = Мкр=1. *) Max (Mach) Эрнст A838—1916) — австрийский физик и философ, автор трудов по основам механики, физической акустике, оптике, газовой динамике. Экспериментально подтвердил существование ударных волн в воздухе при взрывах и при сверхзвуковом обтекании тел. Название «число Маха» и обозначение М для величины V/a предложил в 1929 г. Я. Аккерет (см. с. 357 и 363). В литературе встречалось также обозначение Ва — число Берстоу (Bairstow). Отметим, что величиной V/a пользовался еще русский ученый — артил- артиллерист Николай Владимирович Маиезский A823—1892), основатель русской науч- научной школы, баллистики.
54 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Связь между параметрами газа в данном сечении трубки и рас- расходом. Рассмотрим выражение для расхода газа G = pVtf в некотором* сечении трубки. Отнесенная к единице площади сечения величина расхода G/^=p]/ называется удельным расходом или плотностью потока массы. Пользуясь определением полного теплосодержания газа, напишем ~r = pV=pV2(ho-h) C.24) и будем считать р и h функциями давления р и энтропии s. Выра- Выражение C.24) дает тогда зависимость удельного расхода от давле- давления р и от параметров торможения h0 и s (или от h0 и р0). Пред- Представим связь C.24) в дифференциальной форме: dG dpV dff dp dho—dh dtf __ G-pV^tf-p^ 2(Ло-Л) + ?> "" (Ля, +^ds + d^i+d-f. C.25) Здесь использованы соотношения A.6) hp = — , hs = T и A.7) др_ _J_ dp s~ a** Приведем некоторые следствия полученного выражения: 1) если сохранять неизменными площадь сечения, полное тепло- теплосодержание и давление газа (ЖУ = 0, d/io = O, ф = 0), то dG/ds<0 (hps > 0 для нормального газа), т. е. расход газа уменьшается с ростом его энтропии; 2) при сохранении площади сечения, расхода и полного тепло* содержания (d<!f = 0, dG^O, dho = O) dp/ds имеет тот же знак, что и М2—1: с ростом энтропии давление газа падает при дозвуковой скорости и увеличивается при сверхзвуковой; уменьшение энтропии влияет на давление противоположным образом; 3) при сохранении расхода, полного теплосодержания и энтропии 0 d/ O d O) A-М*)^. = ^, C.26) т.е. в этих условиях при дозвуковой скорости площадь сечения трубки и давление газа изменяются в одном направлении, а при сверхзвуковой скорости их изменения противоположны по знаку. Некоторые другие выводы из C.25) будут сделаны в дальнейшем. Остановимся подробнее на зависимости удельного расхода pV от давления р во всем диапазоне его изменения 0^р^.р0 при посто- постоянных h0 и s. При /? = 0 и при р = Ро функция рУ обращается в нуль. Действительно, как это следует из предельных соотношений для нормального газа (формулы A.19) и A.20)), р = 0 и А = 0 при л = 0, т.е. V^VmuX = V'W0; р = р0 и h = h0 при р==р0» т.е. V = 0.
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 55 Так как да2 дм2 др др а2 ha, s = const то согласно равенству A.10) для нормального газа, удовлетворяющего условию A.21), д№/др \h0, s=const < 0 при всех М, так что число Маха есть монотонно убывающая функция давления, причем М = 0 при р=-р0 и М=оо при р = 0. Из C.25) при постоянных h0 и s следует, что d(pV) = у (М2— \)dp, т. е. функция pi/ монотонно возрастает от нуля в диапазоне 0рркр достигает при p = pKV, т.е. при М= 1, максимума и монотонно убывает при рКр<Р<Ро» обращаясь при р = р0 снова в нуль. Так как плотность потока массы pV при постоянных параметрах торможения имеет максимум, то ясно, что при заданных значениях этих параметров существует предельный расход газа, который может протекать сквозь заданное сечение трубки. Это наибольшее значение расхода называется критическим. Наоборот, при заданном расходе газа G площадь сечения трубки не может быть меньше предельной, определяемой формулой Эта минимальная площадь сечения трубки называется крити- критической. При заданных параметрах торможения <^кр определяется значением расхода G и может задаваться вместо него. Подчеркнем, что при критическом значении расхода скорость газа равна скорости звука. Формулы для совершенного газа. В случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями все полученные выше соотношения между параметрами газа можно выписать явно в виде простых формул. Так как для совершенного газа теплосодержание есть функция только температуры, то для него полное теплосодержание определяет температуру торможения То и ее связь с максимальной скоростью 1/тах: ^ + C/r = C/T0=V4f C.27) ' шах * ^р* о* Соотношение C.23) принимает в этом случае вид V2 , а* V* 2 ~ у— 1 "" 2 ' Полагая в нем V=a = VK?, получим v -\ГзЕ?у КкР— у у , j I шах-
56 ГЛ. I ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Введем безразмерные отношения V/Vmax = A и V/VKV = X. Величины Л и К меняются соответственно в пределах 0 ^ Л ^ 1 и 0 А ^ у 1—1 и называются приведенными по VmaLX или VKV скоростями (иногда—коэффициентами скорости). Используя эти величины, из C.27) найдем связь температуры газа с его скоростью и пара- параметрами торможения в виде Л^ C.29) Из уравнений состояния A.7) и A.8) с учетом того, что энтропия в состоянии торможения и в действительном состоянии одна и та же, получим и, следовательно, связь давления и плотности газа с его скоростью и параметрами торможения дается формулами C.зо) Ро Поделив в соотношении C.28) все слагаемые на V*/2, получим зависимости между величиной Л или "К и числом Маха: Пользуясь этими зависимостями и формулами C.29), C.30), можно представить температуру, давление и плотность в функции числа Маха и параметров торможения: C.32) Полагая в формулах C.29) и C.30) 5с =1 или в формулах C.32) М=1, найдем связь критических значений параметров газа ркр, ркр, ГКр с параметрами торможения в виде отношений Тк Ро В табл. 1.3 приведены значения этих отношений для нескольких значений у.
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 57 Таблица 1.3 V 1 1,2 1,4 5/3 00 Гкр/Го 1 0,9091 0,8333 0,7500 0 Ркр/Р° 0,6065 0,5645 0,5283 0,4871 0 Ркр/Ро 0,6065 0,6209 0,6339 0,6495 1 На рис. 1.3.3 приведены зависимости Т/То, р/р0 и р/р0 от X при Y=lf4t а на рис. 1.3.4—связь между к и М для этого же значения у. 0,8 0,* V То \ 1 \ \ л О 0,4- 1,2 2,0 К Рис. 1.3.3 1 2 1 / и*1 — * 2 4 Рис. 1.3.4 Запишем выражение для расхода газа G в виде Из этого уравнения найдем связь между площадью сечения трубки of и приведенной скоростью к или числом Маха М в виде ) Y+1 MV-0 M C.33) Функция q(k) представляет собой зависимость от к безразмерной плотности потока массы—^—. Ее график при Y^M приведен Ркр^кр на рис. 1.3.5. Функция q (к) обращается в нуль при Я= 0 (из-за того, что обращается в нуль скорость V; плотность при этом равна
58 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ плотности торможения р0) и при А,= j/-1±I (из-за того, что обра- обращается в нуль плотность; скорость при этом равна Vmax); при 5с = = 1 функция q(k) имеет максимум, равный единице. Полезно величину q=^ -ILr- выразить как функцию отношения — .. Ркр^кр J ро Пользуясь соотношением —?— = C.30) между к и р/р0, получим 7-1 — ) и связью- Ро я = V-1 Y+1 Y-1 - / hi C.34). График этой функции при 7=1,4 приведен на рис. 1.3.6. Обра- Обравнимание на то что ЗГ^ и, следовательно, графики- тим внимание на то, что q = Я 0,8 0,6 0,2 о / / / / / \ \ \ \ ч 9 0,8 0,6 О,* 0,2 0$ 1,2 1,6 2,0 h Рис. 1.3.5 / / / / • \ \ \ О 0,2 0,4- Оф Of 2 Ро Рис. 1.3.6 на рис. 1.3.5 и 1.3.6 иллюстрируют также зависимость от X и р/р0,ве- р/р0,величины сУкр/сУ\ обратной относительной площади сечения трубки. Выражение C.24) для совершенного газа с постоянными тепло- емкостями дает в явной форме зависимость расхода газа от давле- давления и от параметров торможения J Г Y-1 11/2 Эта зависимость называется формулой Сен-Венана—Ванцеля. Формулы C.27) — C.30) при заданной совокупности значений! параметров газа V, /7, р и Т служат просто определениями величин То, Vmax, Л, /?0, р0. Эти величины можно ввести для любого потока. Как уже подчеркивалось ранее, удобство их введения для устано- установившихся адиабатических обратимых течений состоит в том*, что значения 70, Vmax, /?0, р0 при таком течении остаются неизменными. Формулы C.29) и C.30) дают при этом зависимость температуры, давления и плотности от меняющейся скорости газа. Формула же* C.33) при постоянном значении с^кр, определяемом расходом и пара-
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 59 метрами торможения, устанавливает связь между скоростью и пло- площадью сечения трубки. Адиабатические обратимые течения. Применим теперь получен- полученные соотношения к адиабатическим обратимым течениям газа без действия массовых сил в трубке с непроницаемыми стенками и ме- меняющейся по длине площадью сечения tf. Для таких течений G -const, ho==-const, s^ const; уравнение расхода C.24) определяет при этом зависимость давления от ^, т. е. изменение его при движении газа вдоль трубки. Так как s = = const, то по давлению находятся и все остальные термодинами- термодинамические параметры, в частности, теплосодержание газа к. Условие Ло = h + V2/2 = const позволяет найти зависимость скорости V от рас- расстояния вдоль трубки. Для рассматриваемых движений dho = O, ds = O; поэтому, исполь- используя связь A.3) и определение /i0, можно написать dp __ dp р — dp 4 s p pa2 Отсюда наглядно видна роль числа Маха в проявлении свойств ¦сжимаемости среды при установившихся адиабатических движениях. Если число Маха очень мало, то даже сравнительно большое отно- относительное изменение скорости не вызывает заметного относительного -изменения плотности, т. е. газ ведет себя как несжимаемая среда. Напротив, при больших числах Маха незначительное относительное изменение скорости может приводить к весьма большому относи- относительному изменению плотности. Из соотношения C.26), заменив в нем ^-?- на —VdV, получим Таким образом, при малых значениях числа Маха скорость меня- меняется при движении газа в трубке, как и в несжимаемой среде, об- обратно пропорционально площади сечения трубки. При дозвуковой скорости, т. е. при М< 1, скорость при суже- гнии трубки растет, соответственно скорость звука падает (см. A.10)), так что число Маха растет. При этом влияние уменьшения площади vCeчeния на увеличение скорости проявляется с ростом числа Маха все сильнее. При сверхзвуковой скорости, т. е. при М> 1, напро- напротив, скорость при расширении трубки растет. Это связано с тем, <что относительное увеличение скорости газа в трубке уже не ком- компенсирует относительного уменьшения его плотности. Влияние расширения трубки на увеличение скорости при М > 1 с ростом числа Ма.ха падает; при очень больших числах Маха скорость газа .при изменении площади сечения трубки не изменяется — она дости- тает своего максимального значения Vmax.
60 гл. i. основные понятия газовой динамики Для того чтобы при движении вдоль трубки при переходе сече- сечения, где М= 1, величина dV сохраняла знак, необходимо, чтобы величина d?f в этом сечении обращалась в нуль и меняла знак. При М=1 площадь сечения минимальна, трубка имеет в этом сече- сечении пережатие—так называемое «горло». Таким образом, непрерывное ускорение квазиодномерного потока газа от дозвуковой скорости до сверхзвуковой или непрерывное торможение сверхзвукового потока до дозву- дозвуковой скорости возможно лишь в трубке с \ср горлом. Такая трубка, изображенная на рис. в 1.3.7,а, называется соплом Лаваля*). Сопла Лаваля широко используются в технике. Течение в сопле Лаваля (I). Рассмотрим возможные режимы истечения газа из сосуда Ра больших размеров через сопло Лаваля (рис. 1.3.7) с заданными площадью минимального поперечного сечения (в горле) <1РТ и площадью выходного сечения с^в. Изучим сначала изменение режимов те- р чения газа в сопле при изменении расхода •- газа G через сопло. При G- 0 скорость Ро 5 газа всюду в сопле равна нулю, а давление Рис. 1.3.7 постоянно и равно давлению в резервуаре р% (прямая / на рис. 1.3.7,6). При малых G величина <^кр^ G/(pKpl/Kp) будет меньше <УТ. Вели- Величина <7~^крА^\ равная нулю при неограниченно больших значе- значениях &у возрастает при движении вдоль трубки с уменьшением &у достигает наибольшего значения, равного ^кр/^г в горле сопла, а при дальнейшем движении вдоль сопла вновь убывает до значения ^кр/^в в выходном сечении. В соответствии с таким поведением величины q и согласно выражению C.34) (см. также рис. 1.3.6) давление газа в сопле уменьшается при приближении к минималь- минимальному сечению, а затем вновь возрастает к выходу из сопла (кривая 2 на рис. 1.3.7,6). Скорость газа всюду дозвуковая и имеет максимум в горле. При увеличении G до некоторого значения GKp величина <Укр станет равной <$РТ. При этом наибольшее значение функции q в горле сопла станет равным единице, т. е. функция q достигнет своего мак- максимума. Скорость газа в горле достигнет критического значения, т. е. станет равной скорости звука, а давление упадет до значения ркр (кривая 3 на рис. 1.3.7,6). Очевидно, что дальнейшее увеличение G при данных условиях в резервуаре и данной площади горла невозможно, так как при этом отношение о^кр/<^\ а следовательно, и величина q достигли бы наи- наибольшего возможного значения, равного единице, еще до горла. *) Лаваль (Laval) Карл Густав Патрик де A845—1913) — шведский инженер и изобретатель, впервые применил такие трубки для создания сверхзвуковых струй водяного пара, вращающих рабочее колесо паровой турбины.
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 61 Так как при G = GKp функция q достигает максимума в горле сопла, то дальнейшее движение вдоль сопла, сопровождающееся ростом of и соответствующим уменьшением q, может происходить с уменьшением скорости и увеличением давления (кривая За на рис. 1.3.7,6) или с увеличением скорости и падением давления (кривая 36 на рис. 1.3.7,6). Иными словами, при достижении скорости звука в горле продолжение течения в расширяющуюся часть сопла может происходить двумя различными способами: это может быть либо замедляющийся дозвуковой поток, либо ускоряющийся сверхзвуко- сверхзвуковой поток. Огметим следующее свойство течения газа в горле сопла при достижении там скорости звука. Из уравнения расхода pVdf = = pKpVKpG^KP, ограничиваясь в нем главными членами при малых Р~ А<р и &— <^кр, получим 2 др* "кр * G/Kp Коэффициент при (р—/?крJ для нормального газа положителен, так как простыми выкладками для него находим выражение Р "* "~ ' ~"~ 2 др2 (см. A.10)). Итак, при звуковой скорости в горле сопла, вблизи него Течению перед горлом и его продолжению за горлом с дозвуко- дозвуковой скоростью соответствует знак «плюс», продолжению со сверх- сверхзвуковой скоростью—знак «минус». Если вблизи горла сУ/сУкр = = \ + А{х—*КрJ/я, то величина производной dp/dx\KV, а вместе с ней и ускорение газа в горле сопла равны нулю при т>1, равны бесконечности при т < 1 и остаются конечными при /п=1 (этот случай изображен на рис. 1.3.7). Таким образом, изменению расхода G от нуля до G = GKp соот- соответствует совокупность возможных установившихся адиабатических обратимых течений в сопле Лаваля, в которых давление в выходном сечении сопла меняется в интервале от р0 при G = 0 до некоторого минимального значения /?д > /?кр при G = GKp. Значению G = GKp соответствует также второй—сверхзвуковой—режим течения в рас- расширяющейся части сопла, при котором давление газа в выходном сечении сопла равно некоторой величине рс < /?кр. Рассмотрим теперь истечение газа из резервуара с давлением р0 через сопло Лаваля в пространство с давлением рй^р0. При ра=р0 газ покоится, так что G = 0. Как будет показано в последующем, при дозвуковом истечении газа из сопла давление газа в выходном сечении следует принимать равным давлению в окружающем про-
62 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ странстве. Поэтому при понижении давления /?а в интервале от р0 до рд давление в выходном сечении изменяется как /?а, и расход газа через сопло возрастает от нуля до максимальной возможной величины GKp. Что произойдет, если /?а будет падать дальше—ниже значения рд? Изложенная выше теория не дает ответа на этот вопрос; из этой теории следует, что при /?а < /?д установившиеся адиабати- адиабатические обратимые течения с давлением в выходном сечении сопла, равным ра, не существуют. Исключение составляет лишь так назы- называемое расчетное сверхзвуковое истечение из сопла, когда Ръ = рс. Ответ на поставленный вопрос требует дальнейшего существен- существенного развития теории, которое будет дано в § 5. Забегая вперед, укажем, что для этого мы должны будем, во-первых, отказаться от предположения об обратимом и непрерывном характере течения, обнаружив механизм возникновения необратимого уменьшения пол- полного давления в потоке, и, во-вторых,—в случае сверхзвукового истечения,—должны будем отказаться от предположения о постоян- постоянстве параметров газа по сечению истекающей из сопла сверхзвуковой струи, показав, что давление в выходном сечении сопла может не совпадать с давлением в окружающем пространстве. Истечение из сужающегося насадка. Из предыдущего ясно, что если трубка, через которую истекает газ, не имеет расширяющейся части (такие трубки называются сужающимися насадками или соп- соплами, также—дозвуковыми соплами), то при понижении давления /?а в окружающем пространстве от р0 до /?кр расход через насадок будет возрастать от нуля при рЛ = р0 до GKp при рй = /?кр, когда в выходном сечении сопла будет достигнута критическая скорость. Дальнейшее понижение давления в окружающем пространстве не изменяет течение внутри сопла и не может увеличить расход газа через сопло (происходит так называемое «запирание» сопла), приводя лишь к изменению течения в струе вне сопла. Расход газа через сопло определяется при этом формулой Сен- Венана—Ванцеля C.35) при р = р&> ркр и равен GKp при /?а^/?кР- Укажем, что согласно этой формуле из резервуара с воздухом нормальной температуры истекает через отверстие в 1 см2 при критическом режиме 19,7 л/с воздуха. Из-за невыполнения в действительности предположения о посто- постоянстве параметров в выходном сечении сопла, особенно при резком изменении площади и формы поперечного сечения сопла на его выходном участке, действительный расход газа через сопло отлича- отличается от вычисленного по формуле C.35). Вычисленное по этой фор- формуле значение расхода уточняют умножением его на так называемый коэффициент сужения струи \i. Значение коэффициента \i зависит от формы выходного участка сопла и от отношения давления в окру- окружающем пространстве к полному давлению истекающего газа (или от соответствующего этому отношению давлений числа Маха); на реальное значение коэффициента \i может влиять и вязкость газа. Определение коэффициента сужения струи теоретическим путем пред-
$3 УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 63 ставляет собой сложную газодинамическую задачу; поэтому во многих случаях его находят экспериментально. Известна, однако, частная форма насадка, для которой при до- дозвуковом истечении газа коэффициент сужения струи можно найти теоретически достаточно просто. Решение этой газодинамической задачи основано на использовании интегральных законов сохранения и установленных в настоящем парагра- параграфе соотношений между параметрами газа при адиабатическом обратимом те- течении. Насадок Борда. Рассмотрим со- сосуд большого объема (рис. 1.3.8), из кото- которого газ, находящийся в нем под давлением р0, истекает струей через сужающийся насадок в пространство с давлением /?а. На большом расстоянии от отверстия струя приобретает цилинд- цилиндрическую форму. Пусть ^—площадь выходного сечения насадка, а <Уа=^ рической струи. Возьмем замкнутую контрольную поверхность 2, состоящую из достаточно удаленной от входа в трубку поверхности &т внутри объема с газом, части поверхности стенок резервуара и поверхности трубки с^ст, поверхности струи и поперечного сечения струи с^а там, где струю можно считать цилиндрической и параметры газа по сечению—однородными. Считая течение стационарным, применим к газу внутри поверх- поверхности 2 закон сохранения массы Рис. 1.3.8 — площадь сечения цилинд- цилинди закон сохранения количества движения do =- — J (p—Pa)nda. Очевидно, что подынтегральные выражения в левых частях обоих равенств отличны от нуля только на поверхности of^ и в сечении струи с^а, так что из уравнения сохранения массы следует )aVa^a = 0, C.36) а из уравнения количества движения в проекции на ось трубки х (p—pa)cos(n,x)do. C.37>
64 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ При удалении поверхности &„ от входа в трубку внутрь резер- резервуара скорость в точках этой поверхности стремится к нулю, а давление р стремится к давлению р0. Учтем, что согласно C.36) интеграл j pvnda имеет конечное значение. Кроме того, воспользуемся тем, что на замкнутой поверх- поверхности <Р„+<Рст + <? S (Ро—Pa) cos (я, x)da + ST{p0—рш)=0. Поэтому уравнение количества движения C.37) дает (р0-р) cos (n, x) do, откуда (А>—p)cos(n, x)do. C.38) -4= j Так как давление на стенке сосуда не может превосходить пол- полного давления (р0 > р) и для сужающихся насадков cos (я, л;) > О, то наименьшее значение коэффициент |х будет иметь в случае, когда интеграл в правой части C.38) обращается в нуль. Этот слу- случай реализуется для насадков Борда (рис. ,п 1.3.9), вдвинутых внутрь сосуда и имеющих \ —^ цилиндрическую форму вблизи отверстия, так что на всей внутренней поверхности <УСТ либо | р — Ро, либо вблизи отверстия, где р изме- • няется от р0 до /?а, cos (я, *)=-0. Рис. 1.3.9 При адиабатическом и обратимом исте- истечении совершенного газа через насадок Бор- Борда из формулы C.38) и связи C.32) между ро/р и числом Маха М найдем —-1 .._ Y-1 Ра __ 1 2у У-1 Vм2 Ро ' Ра При рл— р0 или при М = 0, что соответствует течению несжи- несжимаемой жидкости, \i= 1/2. С уменьшением рш коэффициент f.i воз- возрастает. При Ра^Ркр ИЛИ М= 1
§3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 65 Таблица 1.4 м и- 0 0,500 0,1 0,501 0,2 0,505 0,4 0,520 0,6 0,547 0,8 0,585 1,0 0,638 1,2 0,707 1,4 0,795 1,6 0,884 1,738 1,000 При дальнейшем падении рш до значения, удовлетворяющего уравнению У-1 Pi р* (при v= 1,4 /?а=--0,19\р0 и соответственно М= 1,738), величина \\ обращается в единицу, так что площадь сечения струи становится равной площади сечения трубки. Если трубка достаточно длинная, так что при [i==l струя целиком заполняет трубку, то дальнейшее уменьшение /?а не изменяет течение в трубке. В табл. 1.4 приведены значения \х при 7^ 1,4 и нескольких значениях М. Сила, действующая на трубку или соп- сопло, по которым течет газ. С помощью уравнения количества движения C.3) мож- можно определить силу /?, действующую на неподвижную или движущуюся поступательно с постоянной ско- скоростью трубу или другое газопроводное устройство при протекании по ним газа (рис. 1.3.10). Согласно этому уравнению (с учетом сде- сделанного выше замечания об учете внешнего постоянного давле- давления /;а) получаем i — Рш) ^l ~T/ (P — Ра)^~ТГ' C.39) Рис. 1.3.10 Если линии действия векторов V и Vu проходящие через центры тяжести сечений <& и о?и пересекаются в точке О, то из выражения C.6) следует равенство нулю суммарного момента относительно точки О сил, действующих на трубу при протекании по ней газа. Поэтому в таком случае действие на трубу протекающего газа сво- сводится к силе /?, приложенной в скрепленной с трубой точке О. В общем случае это действие сводится к силе и паре сил. Если скорости в выходном и входном сечениях трубы направ- направлены одинаково (а = 0), то сила R действует вдоль того же направ- направления и по величине равна -V) + (p1-Pu)lf1-(p-pJ<!?. C.40) 3 Г. Г. Черный
бб ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Эта формула дает, в частности, силу, действующую со стороны протекающего газа на сопло с прямой осью (рис. 1.3.11). Если эта сила противоположна по направлению скорости истекающего газа, т. е. если R < 0, то величина Г = — R > 0 называется тягой сопла. Как отмечалось ранее, при дозвуковом истечении газа из сопла, а в случае расчетного значения площади выходного сечения сопла of — и при сверхзвуковом истечении, дав- давление газа р в выходном сечении сопла равно наружному давлению /?а. ^ Формула C.40) принимает при этом ~^~ вид Я = G{VX-V)+ (л-р,)^. Рис. 1.3.11 При дозвуковом течении газа в сопле с заданным значением of рас- расход газа G и скорость истечения V в этом выражении определя- определяются через ра по приведенным ранее формулам. При сверхзвуковом истечении через сопло Лаваля расход газа равен критическому. Давление газа в выходном сечении может отличаться от /?а в ту или иную сторону. Покажем, что при откло- отклонении площади выходного сечения сопла от расчетного значения тяга сопла падает. Действительно, если уменьшить площадь выхода (рис. 1.3.11), то для создания тяги не будет использоваться участок сопла, где р > /?а; если же увеличить площадь выхода, то на участке сопла, где площадь больше ofy газ будет продолжать ускоряться, так что давление в нем станет ниже /?а и тяга тоже уменьшится. Это объяснение, конечно, следует и из формулы C.40). Варьируя в этой формуле величины, относящиеся к выходному сечению сопла, получим При условии, что изменение площади of не нарушает непрерывность течения в сопле, и без учета трения газа о стенки сопла справедливо равенство pVdV + dp = 0. Таким образом, Данное выше объяснение как раз и соответствует этому соотно- соотношению, из которого получаем, что при dof < 0 и соответственно р > /?а будет dT < 0; если же dof > 0 и соответственно р < /?а, то опять dT < 0; таким образом, при р = /?а тяга Т имеет максимум. Тяга ракетного двигателя. Если скорость истекающего газа нормальна к направлению вектора импульса во входном сечении (рис. 1.3.12), то согласно выражению C.39) составляющая действую- действующей на сопло силы в направлении, противоположном направлению истекающей струи, т. е. тяга сопла, равна
§ 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 67 Очевидно, что эта же формула для тяги справедлива и в случае ракетного двигателя, когда истекающий газ первоначально покоится относительно сопла. Так будет, если на вход в сопло подается за- заранее запасенный газ из баллона с высоким давлением или если этот газ образуется в результате сгорания запасенного твердого (рис. 1.3.13) или жидкого топлива; при этом для пользования фор- формулой C.39) нужно предполагать стационарность течения газа, т е. Г' п • Рис. 1.3.12 Рис. 1.3.13 в уравнении импульса B.9) нужно пренебречь первым слагаемым, связанным с расходованием запасенного рабочего тепла. Как уже говорилось, при сверхзвуковом истечении из сопла Лаваля тяга максимальна при p = pd. Для ракетного двигателя мак- максимальная тяга T = GV пропорциональна скорости истечения газа из сопла. Эта скорость имеет наибольшее значение J/max при истечении газа в вакуум, когда все теплосодержание газа в камере перед соплом (где скорость можно считать равной нулю) превращается в кинетическую энергию исте- истекающего газа: V2m3j2 = h0. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями V —]/r9r T — Л/ —LUlt (Ro—универсальная газовая постоянная, \i—молекулярная масса газа). Отсюда видно, что для увеличения скорости нужно повышать темпе- температуру газа перед соплом (и применять газы с малым молекулярным весом). В современных ракетных двигателях достигаются скорости истечения до 3500 — 4000 м/с при использовании жидких топлив (в жидкостных ракетных двигателях—ЖРД) и до 2200—2600 м/с в случае твердых топлив (в ракетных двигателях с твердым топли- топливом— РДТТ). Используются для вспомогательных целей и двигатели с предварительно сжатым газообразным рабочим телом. В таких двигателях газ может нагреваться до высокой температуры перед входом в сопло посредством электрического разряда (плазменные ра- ракетные двигатели). В перспективе возможно создание плазменных ракетных двигателей с использованием ядерного горючего для нагре- нагревания больших масс рабочего тела до очень высокой температуры, а также использование в качестве носителей энергии атомарного
68 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОП ДИНАМИКИ водорода и кислорода, у которых при объединении атомов в моле- молекулы выделяется много тепла. Работа ступени лопаточной машины. Важным и широко исполь- используемым типом газовых машин являются лопаточные машины. Основ- Основное назначение лопаточной машины состоит в преобразовании части энергии протекающего в ней газа в работу (турбина) или, наоборот, в сообщении газу работы для увеличения его механической энергии с преобразованием ее в потенциальную энергию давления (компрессор). В обоих случаях работа совершается вращающимся рабочим колесом, в котором газ проходит через периодически повто- повторяющиеся по окружности каналы между про- профилированными лопатками. Рабочее колесо (или ротор) является основной частью каждой ло- лопаточной машины. Оно может иметь один ряд или несколько рядов лопаток—лопаточных вен- венцов. 1Между вращающимися лопаточными венца- Рис. 1.3.14 Ш1 могут располагаться неподвижные направ- направляющие аппараты, каналы которых образованы аналогично каналам рабочих колес. Направляющие аппараты не являются в общем случае необходимыми и служат для обеспечения благоприятных в том или ином отношении условий течения газа и для перераспределения его кинетической и потенциальной энергий. •Лопаточными газовыми машинами являются паровые и газовые турбины электростанций, транспортных силовых установок, турбо- детандеры холодильных установок, компрессоры и нагнетатели авиа- авиационных и ракетных двигателей и газопроводных станций и многие другие технические устройства. На рис. 1.3.14 приведена схема лопаточной машины. Внутри осесимметричного канала между кожухом и центральным телом рас- расположен ряд профилированных лопаток, скрепленных с вращающимся диском,—это и есть рабочее колесо; неподвижные направляющие аппараты не показаны. Для определения работы, совершаемой рабочим колесом при движении газа в проточной части лопаточной машины, можно исполь- использовать либо теорему моментов количества движения, либо теорему энергии. Введем вращающийся вместе с рабочим колесом с постоянной угловой скоростью со контрольный объем ^ с границей tf, состоя- состоящей (рис. 1.3.14) из поверхности поперечных сечений канала <У\ и <Уа, заключенных между ними участков стенок канала и омываемой газом новерхности рабочего колеса. Применим к газу внутри контрольной поверхности закон сохра- сохранения момента количества движения B.4) в виде ± C.41)
« 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 69 Здесь Qjfi—суммарный момент всех действующих на газ внутри кон- контрольной поверхности внешних сил, г—радиус-вектор частицы газа, отсчитываемый от некоторой точки оси канала. Так как распределения параметров газа в сечении <Уг осесиммет- ричны, то движение газа в системе координат, связанной с вращаю- вращающимся контрольным объемом, будет установившимся, и, следовательно, интеграл по объему в выражении C.41) не будет зависеть от вре- времени, так что ^=5 (rxpV)(vn-D)do. C.42) Представим момент ^JH в виде суммы o4t= оМ к + qJH n) момента qMik\ действующего на газ со стороны движущейся поверх- поверхности рабочего колеса, и момента оМ(п)—со стороны остальной части границы of (внешние массовые силы не учитываются). В проекции на направление оси канала из выражения C.42) получим = \ rpcttvnda, где г—расстояние до оси вращения, си—окружная (трансверсальная) составляющая абсолютной скорости газа. Интегрирование распро- распространяется лишь на поверхность сечений &>1 и <У2, так как на остальной части поверхности if имеем vn—D = 0. Умножая обе части этого равенства на угловую скорость вращения рабочего колеса со, найдем J rpcmvnda—(Mw^ C-43) где W—работа, подводимая к газу рабочим колесом в единицу времени. Если не учитывать действия на газ касательных к поверхности сил трения на стенках канала и в сечениях <У\ и of2, то а^(п> = 0. Действительно, эти части контрольной поверхности являются поверх- поверхностями вращения вокруг оси канала; поэтому нормальные к ним силы не дают момента относительно оси. Выражение C.43) при оМ{п) = 0 можно записать следующим образом: G W^^rcX-irc^dm. C.44) О Здесь G — полный массовый расход газа через канал, dm—масса газа, протекающего в единицу времени через соответствующие эле- элементы площади dOi и da2 поверхности сечений ^г и ?f2; в силу закона сохранения массы
70 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Формуле C.44) можно придать вид W^c[(rcaJ-(rcu)irGt где знак * обозначает среднее по массе протекающего газа значение разности в квадратных скобках. В таком виде формула для вели- величины работы колеса лопаточной машины была получена Эйлером *) и носит его имя. Применим теперь к газу в контрольном объеме^ закон сохранения энергии. Если пренебречь теплообменом между газом и окружаю- окружающими его поверхностями и работой сил трения в сечениях S>1 и g/\, то, рассуждая аналогично предыдущему, получим G W= J hopvnda, или W = J (h02 — hol)dtn. C.45) <У1+<У2 0 Опять, пользуясь средним значением, можно написать № = (/io2-V)*G, или, в расчете на единицу массы протекающего газа, w = h*02 — h*01. Приравнивая правые части выражений C.44) и C.45) для работы колеса лопаточной машины W, получим соотношение G [(Ао + <>>rcaJ—(h0 + (orcji] dm = 0, или (ho + (»rca)l = (ho + (»rca)l C.46) Это выражение позволяет определить h*02 по параметрам газа перед колесом и окружной скорости газа за ним. Без учета трения и теплообмена газа между отдельными его струйками в установившемся относительном движении соотношение C.46) справедливо не только в среднем (по массе газа), но и для каждой трубки тока. Оно выражает собой закон изменения полного теплосодержания с учетом работы массовой силы инерции в подвиж- подвижной (вращающейся) системе координат. § 4. Течения с разрывами В предыдущем параграфе при изучении распределений параметров газа в установившихся течениях в трубке предполагалось, что эти распределения непрерывны. Как следует из дальнейшего, такое пред- *) Эйлер (Euler) Леонард A707—1783), швейцарец по происхождению, круп- крупнейший математик, механик, физик и астроном, один из основателей теоретической механики жидкости и газа. Работал в России (в 1727—1741 и 1766—1783 гг., в промежутке —в Берлине), был членом Петербургской академии наук.
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ Ji положение ограничивает возможные виды движений и не позволяет получить в рамках изучаемых моделей газа решение многих важных задач. В связи с этим рассмотрим вопрос о возможности существо- существования разрывов в распределениях параметров движущегося в трубке газа и изучим основные свойства таких разрывов *). Для удобства выпишем вновь при тех же предположениях, что и в § 3, соотношения между параметрами газа в двух сечениях трубки, следующие из законов сохранения массы, импульса и энергии. Уравнение сохранения массы возьмем в виде C.1) рМУ^рда,- J pvndo. D.1) При использовании уравнения импульсов C.3) ось трубки будем считать прямолинейной, и уравнение импульсов запишем в проекции на эту ось: i- S puvnda+ J pf">dxt + X. D.2) Здесь X—проекция на ось трубки сил, действующих на газ со сто- стороны боковой поверхности трубки (считаем, что внутри трубки нет помещенных в нее тел). Уравнение энергии возьмем в виде C.7): + Q. D.3) Упростим написанные соотношения, рассматривая сначала случай, когда притока массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки между выбранными сечениями нет, массовые силы отсутствуют и газ идеален; будем считать также, что трубка цилиндрическая. При таких условиях в правых частях соотношений D.1)—D.3) отличны от нуля лишь первые слагаемые; с учетом того, что <У = <zfu эти соотношения примут вид V Р + рУ^Рг + РгП, D.4) 1/2 1/? ng-+ * = -?- +Ai- При получении последнего соотношения—уравнения энергии — принято, что расход газа через трубку не равен нулю. Очевидно, что при заданных параметрах газа в одном из сечений (например, в левом) параметры газа во втором сечении согласно этой системе соотношений могут иметь те же значения: V = VU p=- ри p=r.pli ft=rft1. Но оказывается, что в сжимаемой среде они могут иметь и другие значения! *) В более общем виде этот вопрос будет изложен в § 7.
72 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Покажем это сначала для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Для такого газа h= j\ —. Подставим выражения для h и hx в третье соотношение D.4) и исключим из него с помощью первых двух равенств плотность р и давление р. В результате получим квадратное уравнение для определения V: V2 , У Pi + PiVl-piViVv V\ , у Pi 2 * Y-l PiKi " 2 ^ V-i pi Решив его, найдем Верхний знак перед круглой скобкой дает упоминавшееся очевидное решение V = V1. Нижнему знаку соответствует второе решение. Используя его и первые два уравнения системы D.4), представим эту систему в разрешенном относительно V, р, р виде: X- = lL=l 2_Л* \ Т-1 , 2 М? Здесь M« . Итак, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, действительно, существует решение системы D.4), отличное от оче- очевидного решения V=--Vu p = Pi, p = Pi- Обратим теперь внимание на то, что в соотношения D.4) не входят слагаемые, зависящие от расстояния между сечениями трубки. Будем это расстояние уменьшать, приближая правое сечение к ле- левому, в котором параметры газа известны, так, что в пределе оба сечения сольются в одно. Тогда в этом сечении возможен разрыв параметров газа: газ слева втекает в сечение со значениями пара- параметров Vl9 р,, ри а вытекает из него вправо с другими значениями параметров К, р, р\ для совершенного газа с постоянными теплоем- теплоемкостями эти значения определены формулами D.5). При неограниченном сближении сечений условия D.4) будут выполняться и тогда, когда исходные соотношения D.1)—D.3) не упрощены, т. е. когда есть приток массы и тепла сквозь боковую поверхность трубки, имеются массовые силы, газ в области между сечениями не идеален, трубка не цилиндрическая и ее ось не прямо- прямолинейна. Нужно лишь предположить, что при уменьшении расстоя- расстояния между сечениями до нуля, т. е. при стремлении к нулю объема 7/?}/ между сечениями и площади о?о боковой поверхности между ними, стремятся к нулю и соответствующие объемные и поверхност- поверхностные интегралы в правых частях уравнений D.1)—D.3). Иными ело-
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 73 вами, условия D.4) на разрыве справедливы, если в сечении разрыва отсутствуют сосредоточенные внешние воздействия (сосредоточенный в сечении приток массы, имеющей некоторые импул1с и теплосодер- теплосодержание, сосредоточенные массовые и поверхностные силы, сообщающие газу конечный импульс и совершающие над ним конечную работу, сосредоточенный приток тепла); в противном случае эти сосредото- сосредоточенные воздействия должны быть учтены и условия D.4) соответст- соответствующим образом изменены. Разумеется, соотношения D.4) справедливы лишь при выпол- выполнении условий, которые были приняты при записи законов сохране- сохранения в виде D.1)—D.3), т. е., как об этом говорилось в начале § 3, щ.и пренебрежении в сечениях of x и if вязкими нормальными на- напряжениями и тепловыми потоками. Таким образом, соотношения D.4) представляют собой условия, которым должны удовлетворять параметры движущейся идеальной среды с двух сторон поверхности разрыва или — иначе—скачка. Эти соотношения называются условиями Рэнкина*)—Гюгонио**) (или условиями динамической совместности на разрыве). Мы приняли, что газ движется слева направо. Сторона поверх- поверхности или фронта разрыва, в которую газ втекает, называется пе- передней стороной (в нашем случае это левая сторона), а сторона фронта разрыва, из которой газ вытекает, называется задней стороной. Введем обозначение pV = p1V1=m (m—удельный расход газа сквозь поверхности разрыва). Из уравнения импульсов тогда получаем Pi P Отсюда следует, что возможны скачки двух видов. Для первых P>Pi. P>Pu V<Vlu D.7) Эти скачки называются скачками уплотнения. Во втором случае P<Pi, P<Pu V>V±. D.8) Такие скачки называются скачками разрежения. Поскольку заключение о двух возможных видах скачков в идеальной среде является следствием лишь законов сохранения массы и импульса (без сосредоточенных на поверхности скачка притоков этих величин), оно имеет весьма общую природу и не зависит от возможных физико- *) Рэнкин (Rankine) Вильям A820—1872) —английский ученый; впервые в 1870 г. выписал условия на разрыве в виде D.4), исправив неточность Римана, который не пользовался уравнением энергии, а считал давление и плотность с двух сторон скачка связанными адиабатой Пуассона. **) Гюгонио (Hugoniot) Анри A851 —1887) — французский ученый и инженер. Автор трудов по баллистике, теории упругости, математическому анализу, газовой динамике. Один из основателей теории ударных волн в газах и жидкостях.
74 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОЗОЙ ДИНАМИКИ химических превращений среды при прохождении ею скачка и от сосредоточенных энергетических воздействий на скачке. Из D.6) получаем выражения для скоростей т/2 JL P—Pi _P_ p—Pi 1 pi _L_i Pi P~Pif . pl p D.9) T/2^ l P—Pl = Pi P— Pi P2 J 1 P P-Pl' Pl P с помощью которых последнее соотношение D.4) можно преобразо- преобразовать к виду н-Ъ = тЦ;+т)(р-р^ DЛ0) или, после замены h по формуле h = e+p/p, к иному виду: Выражения D.10) или D.11) связывают лишь значения термоди- термодинамических величин с обеих сторон скачка. Из этих выражений следует, что для скачков уплотнения h > ftlf e > е19 а для скачков разрежения h<hu e< ег. Ранее, в § 3, мы рассматривали непрерывные движения сред, у которых все термодинамические функции, в том числе и внутрен- внутренняя энергия, зависят лишь от двух параметров. В более общем случае внутренняя энергия среды зависит от дополнительных пара- параметров физико-химической природы. Как уже указывалось в § 1, при изучении непрерывных движений таких сред их иногда тоже можно считать двухпараметрическими. Так, при некоторых условиях изменением дополнительных параметров можно пренебречь (считать их «замороженными»); в некоторых других случаях дополнительные параметры можно считать функциями основных термодинамических параметров, соответствующими термодинамически равновесному со- состоянию. При прохождении поверхности разрыва дополнительные параметры, от которых зависит внутренняя энергия, могут изменяться скачком, например, от значений, соответствующих «замороженному» состоянию перед скачком, до значений, соответствующих термодинамически равновесному состоянию за скачком. При этом в соотношении D.10) или D.11) вид функциональной зависимости теплосодержания h или внутренней энергии е от основных термодинамических парамет- параметров может быть разным перед скачком и за ним. К примеру, для совершенного газа с постоянными теплоемкостями выражение для
$4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 75 внутренней энергии имеет вид е = Y^T ~|Г Здесь е0 есть, например, химическая составляющая внутренней энергии, т. е. энергия связей атомов в молекулах. При прохождении газа через поверхность разрыва его химический состав вследствие быстрого протекания химических реакций может скачком измениться, в резуль- результате чего изменится е0 и, в общем случае, изменятся и теплоемкости газа. Равенство D.10) или D.11), являющееся следствием всех трех условий на поверхности разрыва, называется соотношением Гюгонио. Если входящие в равенство D.10) или D.11) величины h или е представить как функции от р и /7, то при фиксированных рх и рг этим равенствам соответствует в плоскости 1/р, р кривая, называемая адиабатой Гюгонио или ударной адиабатой (с центром в точке I/Pi. Pi). При заданном состоянии среды (у1Е=1/р1, рх) с одной стороны разрыва эта кривая есть геометрическое место точек плоскости v= 1/р, /?, соответствующих допускаемым законами сохранения со- состояниям с другой его стороны. Если функция е(р, р) совпадает с функцией е1{р9 р), т. е. если термодинамические свойства среды при прохождении ею скачка не изменяются, то *(Pi. Pi) = MPi. Pi) и, следовательно, адиабата Гюгонио проходит через точку l/plt рг— свой центр. Если же как говорилось выше, определяющие внутреннюю энер- энергию дополнительные параметры изменяются при прохождении разрыва, то е(ри Pi)=^?i(Pi> Pi) и точка l/plt рг не принадлежит адиабате Гюгонио. Для изучения свойств адиабаты Гюгонио введем функцию Гюгонио H{v, p\ vl9 \p1) = h — h1—-jiv + vJip—рг) и будем рассматривать Н как функцию двух переменных v и р% параметрически зависящую от v1 и р1# Из D.10) очевидно, что Н = 0 в точках адиабаты Гюгонио с цент- центром в точке O(vlf рг). Получим выражение для полного дифференциала функции Н: dH - dh—j (v -I- vx) dp~Y (p—Pi) dv. С учетом термодинамического равенства A.3) = dh—vdp
76 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ это выражение примет вид ^~(p—pl)dv. D.12) Будем считать, что среда с обеих сторон скачка имеет одни и те же термодинамические свойства, так что адиабата Гюгонио про- проходит через свой центр. Примем также, что h(p,v)—дважды непре- непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов (для нормаль- нормального газа это свойство вытекает из его определения). Изучим вначале поведение адиабаты Гюгонио вблизи центра. При малом изменении давления в скачке представим уравнение адиабаты Гюгонио # = 0 в виде разложения где производные вычисляются вдоль адиабаты Гюгонио в ее центре. Пользуясь ^этим представлением, из формулы D.12) при dtf = 0 находим или, после интегрирования, ±@)(p-Ply+ ... D.13) Здесь многоточием обозначены члены более высокого порядка, чем (р-РгГ. Таким образом, при малом изменении давления газа р—рх при переходе через скачок изменение энтропии s—sx есть малая величина порядка (р—рху. Отсюда следует, что в начальной точке адиабата Гюгонио имеет касание второго порядка с проходящей через ту же точку адиабатой Пуассона. Действительно, для каждой среды значения i\ p и s связаны уравнением состояния v~hp(p, s). Отсюда уравнение адиабаты Пуас- Пуассона, проходящей через начальную точку, есть v = hp{p, s^, а уравнение адиабаты Гюгонио вблизи начальной точки v = hp[p, sl + k(p — pl)*+ ...] = hp(p, sl) + (hpsI-k(p—p1)*+ ..., где коэффициент k определяется выражением D.13). Отсюда и получаем, что в начальной точке [dp ,r~" [dp yn' [dp2jr~[ dp*jn' Здесь индексы Г и П относятся соответственно к дифференцированию вдоль адиабаты Гюгонио и адиабаты Пуассона.
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 77 Производные от?и по р вдоль адиабаты Пуассона, очевидно, суть частные производные по р от удельного объема и, рассматриваемого как функция давления р и энтропии s. Таким образом, выражение для изменения энтропии D.13) можно переписать в виде D.14) Производная d2u/dp2\s=hprp определяется термодинамическими свойст- свойствами среды. Так как при адиабатическом переходе через скачок энтропия в силу второго начала термодинамики может лишь возрастать, т. е. Рис. 1.4.1 должно быть s—S! > 0, то выражение D.14) налагает условие на знак разности р—рх для физически допустимых слабых скачков. Для сред, в которых d2v/dp2 \s > 0, и, в частности, для нормальных газов, должно быть р—/?! > 0, т. е. допустимы лишь скачки уплотнения. Для сред, в которых d2v/dp2 \s < 0, наоборот, допустимы лишь скачки разре- разрежения. На рис. 1.4.1, а и б показаны вид и взаимное расположение адиабат Гюгонио (Г) и Пуассона (П) вблизи начальной точки соот- соответственно для случая hppp>0 и hps>0 (т. е., в частности, для нормального газа) и для случая hppp < 0. Изучим теперь поведение адиабаты Гюгонио в целом для случая нормального газа. Покажем, что любая прямая, проходящая через центр, пересекает адиабату Гюгонио не более чем еще в одной точке (адиабата Гюгонио «звездна» относительно своего центра). Покажем также, что при следовании вдоль адиабаты Гюгонио в сторону уве- увеличения давления энтропия монотонно возрастает. Рассмотрим вначале связь V—1 Эта связь определяет при a = const прямую в плоскости р, проходя* щую через центр (рис. 1.4.2).
78 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ С использованием величины tga выражению D.12) для dH можно придать вид dH = Tds—j(v—vl) D.15) Вдоль адиабаты Пуассона П, проходящей через центр (рис. 1.4.2), Вследствие сформулированных в § 1 свойств адиабат Пуассона для нормального газа (dv/dp = hp/?<0, d2v/dp2 = hppp > 0) при дви- движении вдоль адиабаты П dtga/d/?> 0 и, следовательно, dH/dp<0. Таким образом, на верхней части адиабаты П (при р > рг) Я < 0, а на нижней ее части (при Р < Рг) Н > 0. Вдоль прямой tg a = const из D.15) следует V Pi Hi v! n\ \ \ r, / / ^ак что на такой прямой dH и ds имеют одинаковые знаки и, в частности, в точках максимума s (ds = 0) функция Я тоже имеет максимум. Учитывая описанное в § 1 поведение энтропии s на пря- »1 щ 1>*~гг мых tga = const, получим сле- Рис. 1.4.2 дующие выводы о поведении функции Я на таких прямых. На прямых с tga<0 (прямая / на рис. 1.4.2) Я монотонно возрастает с ростом р. Следовательно, на таких прямых не может быть точек, принадлежащих адиабате Гюгонио (Я = 0). Этот вывод справедлив, конечно, и для произвольного газа, так как согласно D.6) при tga < 0 величина т2 — p\V\ = p2l/2 отрицательна, что невозможно. Прямые при tga = m2 = plV{ > 0, соответствующие связи D.6), называются прямыми Рэлея (также прямыми Рэлея—Михельсона, см. § 5); мы для краткости назовем их т-прямыми. Угол а харак- характеризует скорость газа перед скачком; при изменении а от 0 до я/2 скорость V1 меняется от 0 до оо. Так как угловой коэффициент адиабаты Пуассона равен dp/dv= — p2a2, то для m-прямой, касатель- касательной к адиабате Пуассона (прямая Т на рис. 1.4.2), Vl = al, т. е. скорость газа перед скачком точно равна скорости звука. Для пря- прямых с большими или меньшими значениями а соответственно Vx > ах и V1<al. Вдоль /л-прямой, пересекающей адиабату Пуассона П в верхней ее части (прямая 2 на рис. 1.4.2), функция Я монотонно возрастает
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 79 от нуля в точке О до некоторого максимального значения (в точке С, где прямая касается адиабаты Пуассона П'), а затем монотонно убы- убывает, принимая, согласно сказанному выше о знаке функции Я, отри- отрицательное значение в точке пересечения /л-прямой с адиабатой Пуассона П. Следовательно, на такой прямой между точкой С, где она касается адиабаты П', и точкой ее пересечения с адиабатой П есть точка, где Я = 0, т. е. точка адиабаты Гюгонио. Если /п-прямая пересекает адиабату П в ее нижней части (прямая 3 на рис. 1.4.2), то при следовании вдоль такой прямой от центра функция Я моно- монотонно возрастает до некоторого максимума в точке Си где она касается адиабаты Пуассона П", а затем монотонно убывает. В точке пересе- пересечения m-прямой с адиабатой П функция Я все еще положительна и продолжает убывать до точки встречи прямой с осью v. На этой оси /7 = 0, /г@, s_) = 0; поэтому Я (у, 0; vly Pi) = — h1 + Y(Vi + v)p1 и, следовательно, функция Я линейно возрастает с ростом v, оставаясь отрицательной до значения v = v*~vl-\- 2ejpu при котором она обра- обращается в нуль. Таким образом, на каждой га-прямой, пересекающей ось v в про- промежутке vT <v^v*y есть точка, где Я = 0, т. е. точка адиабаты Гюгонио, причем эта точка лежит между точками пересечения /п-пря- мой с адиабатой П и с осью v. На га-прямых, пересекающих ось v при v > v*, точек адиабаты Гюгонио нет. Итак, мы показали, что существует непрерывная гладкая кривая Гюгонио, проходящая через центр O(vu рг). Эта кривая звездна относительно своего центра. Если потребовать, чтобы давление вдоль адиабаты Гюгонио моно- монотонно возрастало с уменьшением v, стремясь к бесконечности при v~+v_ <vly то нужно дополнить введенные в § 1 ограничения на функцию Л(/?, s) для нормального газа условием —у1-^—у(^+У1)>0. После некоторых выкладок, которые мы опускаем, это условие можно представить и как условие на поведение адиабаты Пуассона в переменных v, T: Vl-v^-2Tw Очевидно также условие v* > vT, [которое должно выполняться для того, чтобы адиабата Гюгонио имела ветвь при v>vx\ Pi Hl d Нетрудно проверить, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями выписанные условия удовлетворены: первое при у> 1 и и> t-j-jи1 = у_, а второе—при у> — 1.
80 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ На адиабате Гюгонпо согласно D.15) Tds (ui^dtga так что при условии монотонности адиабаты вдоль нее с ростом давления (т. е. с ростом tga) энтропия газа монотонно возрастает. На верхней ветви адиабаты Гюгонио (при р> рх) s > slf на нижней (при p<Pi) s< sx. Из доказанного следует утверждение: в нормальном газе скачки любой интенсивности могут быть только скачками уплотнения, вызы- вызывающими увеличение плотности и давления и уменьшение скорости газа. Это утверждение составляет теорему Цемплена. При Уг > ах m-прямая пересекает адиабату Гюгонио в верхней ее части; согласно предыдущему в точке пересечения, которая соответствует состоянию газа за скачком, ds < 0 вдоль m-прямой н ds > 0 вдоль адиабаты Гюгонио. Таким образом, в этой точке адиабата Пуассона ds = O пересекает адиабату Гюгонио между ней и m-прямой, так что ov s s Следовательно, в состоянии газа за скачком V<a, т. е. скорость газа перед скачком уплотнения больше скорости звука, а скорость газа за скачком меньше скорости звука. Иначе: скорость скачка по отношению к газу перед ним сверхзвуковая, а по отноше- отношению к газу за ним—дозвуковая. Легко проверить, что для скачков разрежения это утверждение меняется на обратное. При уменьшении интенсивности скачка значения скорости газа перед скачком и за ним приближаются к скорости звука, как это следует и из формул D.9): HmVi- lim -?- t Pi P — Pi Wp /Ti dp |si lJ и аналогично для V2. Таким образом, скорость бесконечно слабого скачка по отношению к газу перед ним и по отношению к газу за ним равна скорости звука. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями согласно D.5) уу^ „о/Y-l , 2 4V+1 ' ч+1 мх2 Заменив здесь /AJ через л? по формуле C.31), получим W^Vip. D.16)
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 81 Это соотношение, из которого, очевидно, следует, что при V\ > аг будет V < а, называется соотношением Прандтля*). Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями уравнение Гюгонио D.10) имеет вид 7-1 VP Pi Pi В разрешенной относительно р форме _ Pi (Y+l)pi — (Y—О P p Pi D.17) у—(Y— На рис. 1.4.3 представлена соответствующая этим выражениям адиабата Гюгонио для р > рх при y= K4. Там же приведена адиабата Пуассона, проходящая через начальную точку (штриховая линия). Адиабата Гюгонио для совершенного газа имеет асимптоту — = ^ . , к кото- которой она приближается при р-^оо. При ~^"~Т адиабата Гюгонио пересекает ось v. Таким образом, плотность совершенно- совершенного газа за скачком не возрастает беспре- беспредельно при р— .* оо, а стремится к конеч- конечной величине (для совершенного газа при Y=l,4 эта величина равна шести, при 7= 1,2—одиннадцати). Как показывает рис. 1.4.3, для скачков в газе с у= 1,4 при — <2 изоэнтропа -~ = ~ является очень хорошим приближением Pi P pi адиабаты 1 югонио. При увеличении интенсивности скачка энтропия газа за скачком резко возрастает. Так как согласно уравнению энергии D.4) полное теплосодержание газа при переходе через (покоящийся) скачок сохра- сохраняется, то полное давление газа за скачком с увеличением интен- интенсивности скачка падает. Получим, используя формулы C.32) и D.5), выражение для отношения полных давлений газа за скачком и *) Прандтль (Prandtl) Людвиг A875—1953) —немецкий ученый, один из осно- основателей аэродинамики. Автор трудов по теории пограничного слоя, теории крыла конечного размаха, теории турбулентности, о сверхзвуковых течениях газа и др.
82 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ перед Ро Pol ним: р,(. 7 — 1 2 у ( УР , у ) у 1 D.18) На рис. 1.4.4 приведен график этой зависимости при y=1>4. При числах Маха М,, близких к единице, уменьшение полного дав- давления невелико и выражается формулой Однако с ростом Мх полное давление за скачком р0 быстро падает; при ^>1 i ^ s— Poi V 2V Интенсивные скачки уплотнения являются мощным механизмом диссипации механической энергии — в них механическая энергия газа необратимым образом переходит в тепловую. Следовательно, в тех случаях, когда необходимо при торможении сверхзвукового потока 0,5 \ 2 3 Рис. 1.4.4 Рис. 1.4.5 с достаточно большими значениями числа Маха получить возможно высокое давление газа, следует избегать возникновения интенсивных скачков уплотнения. Наоборот, если необходимо снизить высокое давление, развивающееся при торможении сверхзвукового потока, то можно использовать для этого скачки уплотнения. Применим теперь законы сохранения D.1)—D.3) к более общему случаю, чем изученное ранее течение в цилиндрической трубе без притока массы и импульса извне. Рассмотрим (рис. 1.4.5) течение в трубе из двух соединенных между собой цилиндрических участков с общим направлением оси и с разными площадями сечения. Пусть газ течет в трубе слева направо из части с меньшим сечением &\ в часть с большим сечением оУ.
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 83 Цилиндрические участки трубы непроницаемы для газа, а на соеди- соединяющем их участке может подводиться газ, обладающий некоторыми импульсом и теплосодержанием. Примем, что в сечении левой трубы перед соединительным участком параметры газа распределены равно- равномерно. Допустим также, что достаточно далеко вниз по потоку и во второй цилиндрической части трубы параметры газа распределены по сечению равномерно. На соединительном участке трубы и в близ- близкой к нему части правой трубы могут происходить сложные движения, вызванные перемешиванием втекающего снаружи газа с газом, теку- текущим из левой трубы, и резким изменением площади сечения трубы. Для нахождения связей между параметрами газа в сечении 2, где завершилось их выравнивание по сечению трубы, и параметрами газа в сечении / перед соединительным участком, а также параметрами газа, вте- втекающего на участке //' (рис. 1.4.5), при- применим вновь законы сохранения D.1) — D.3). Заметим, что если найдена какая-либо система значений параметров газа в сече- сечении 2, то обязательно существует (для Рис- 1-4*6 нормального газа) еще одна система значе- значений, связанная с первой соотношениями на скачке. Физически допус- допустимые решения для адиабатических течений должны удовлетворять условию Заранее отбросить систему с меньшим значением энтропии нельзя, так как может оказаться, что в общем случае адиабатических течений оба решения удовлетворяют выписанному условию, т. е. соответствуют значениям энтропии, большим, чем суммарная энтропия газа в сече- сечении / и газа, втекающего в трубу между сечениями / и 1\ так что оба решения не противоречат второму началу термодинамики. Остановимся на двух важных примерах. Пусть длина участка //' равна нулю (рис. 1.4.6) и в месте соеди- соединения труб с разной площадью сечения нет подвода массы и энергии (течение в трубе с внезапным расширением). Пренебрежем также внешними массовыми силами. Уравнения D.1) — D.3) примут тогда вид От соотношений D.4), представляющих собой условия на разрывах, эти выражения отличаются тем, что 8*ф&^ и тем, что в уравнении
84 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ импульсов присутствует слагаемое X, равное проекции на ось трубы действующей на газ внешней поверхностной силы (кроме сил давления в сечениях трубы 1 и 2). Пренебрегая трением газа о стенки между сечениями / и /', эту силу можно записать в виде X = ?{?-&!), D.20) где // есть среднее давление на стенке трубы, образующей ступеньку площадью tf—c^V Отметим, что уравнение энергии в системе D.19) с учетом урав- уравнения сохранения расхода приобретает вид так что полное теплосодержание газа в сечении 2 равно полному теплосодержанию газа, текущего в левом участке трубы. Система трех уравнений D.19) после замены X по формуле D.20) позволяет выразить р, р и V через заданные значения р1У р, Vb пло- площади сечений труб ^ и <У и величину р'. Поэтому для нахождения р, р и V необходимо еще одно условие, позволяющее определить и величину /?'. Если скорость втекающего газа в сечении / дозвуковая, то, как и при дозвуковом истечении газа в неограниченное прост- пространство, можно принять, что давления рг и р' одинаковы. При зву- звуковой и сверхзвуковой скорости втекающего газа давление р' может сильно отличаться от давления ри и его можно найти лишь в резуль- результате специального расчета, учитывающего перемешивание газов на границе между вытекающей струей и областью медленного циркуля- циркуляционного движения газа за уступом стенки трубы. Нужно подчеркнуть, что выравнивание параметров газа по сечению трубы при сверхзвуковой скорости происходит медленно и требует значительного расстояния; при этом становится заметной роль трения газа о стенки, что необходимо учитывать в расчетах. Если скорость всюду дозвуковая и в сечении 2 труба выходит в пространство с заданным давлением ра, то следует принять р = ра, после чего система D.19) с учетом D.20) позволит определить р, V и P'=Pi (a» следовательно, и расход газа через трубу). Из уравнений неразрывности и импульса при р' = р получаем выражение Piz?± = ?l(\ v pill <? V I В предельном случае несжимаемой среды скорость V находится из уравнения расхода тг^^У так что это выражение определяет давление /?: Р — Pi of \ I 1 сУ\\
Н. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 85 pl/2 р]/2 Так как р0—pOi = P—Pii ^ ^г » т0 Таким образом, при течении с малыми скоростями в трубе с вне- внезапным расширением происходят потери полного давления, тем боль- большие, чем больше увеличивается сечение трубы. Так как для несжи- V2 р маемой среды ко = -х--\-сТ-\-— , где с—теплоемкость и сТ—внутрен- сТ—внутренняя энергия, то из уравнения сохранения полного теплосодержания найдем Это соотношение, позволяет вычислить температуру среды после прохождения ею внезапного расширения трубы и показывает, какая доля кинетической энергии среды необратимо переходит в тепловую. Такая потеря кинетической энергии аналогична ее потере при неупру- неупругом ударе сталкивающихся тел; поэтому и в газодинамике потери полного давления газа при внезапном расширении трубы называют потерями на удар. При течении сжимаемого газа формула D.21) верна с точностью до членов порядка MJ включительно. Для получения точного выражения для потерь полного давления разрешим сначала систему D.19) с учетом D.20) относительно V для случая совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В резуль- результате получим D.22) Два параметра, p'lpi и <^>1<У1У входят в это соотношение в ком- бинации — ( -^— 1 ]. При <SP/dP1= 1 верхний знак перед корнем дает равенство V—Vu а нижний знак — значение скорости за скач- скачком уплотнения при Мх > 1 и за скачком разрежения — при /А1<1. Выведем формулу для изменения энтропии, необходимую для исключения физически не реализуемых течений. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями t р , RVTV . RT По определению состояния торможения (§ 3) можно также написать s -- с„ In ¦
86 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Учитывая, что е рассматриваемом течении То = То] и 17кр — VKp,, по- получим L—7 1 ' 01 (¦-&!) Используя последнее выражение для Г/Г, и то, что согласно урав- уравнению сохранения расхода — = -т71^» приведем формулу для измене- изменения энтропии к виду: где VlVx выражается согласно D.22). Рассмотрим течение в газовом эжекторе. Газовый эжектор представляет собой устройство, в котором две или несколько газо- газовых струй смешиваются при их спутном течении в ограниченном пространстве, и это их свойство ис- используется для повышения полного давления (напора) газа в одной из струй за счет уменьшения полного давления в другой струе. Эжекторы применяются также для создания раз- разрежения в замкнутых емкостях, для Рис* ХАЛ увеличения импульса реактивных струй воздушно-реактивных двигате- двигателей (в так называемых эжекторных соплах) и для многих других технических целей. Приведенную на рис. 1.4.5 схему с подводом газа на участке IV можно рассматривать и как схему эжектора с цилиндрической каме- камерой смешения газов между сечениями V и 2. В наиболее распрост- распространенных случаях газы подводятся в камеру смешения двумя парал- параллельными струями с однородным распределением параметров по се- сечению каждой из них. Такой простейший одноступенчатый эжектор стационарного дей- действия изображен на рис. 1.4.7. Газы с параметрами /?01э Т01 и р'ои Т'О1 истекают в сечении / параллельными струями в камеру смешения (площадь входа этой камеры в сечении / не обязательно равна сумме площадей сечений обеих истекающих струй, а может быть и больше нее; камера может быть цилиндрической, но может иметь и пере- переменное по длине сечение). Между сечениями 1 и 2 происходит пере- перемешивание обеих струй газа и выравнивание параметров газа по сечению.
§4. ТЕЧЕНИЯ С РАЗРЫВАМИ 87 Применим вновь законы сохранения к газу внутри замкнутой поверхности, состоящей из сечений / и 2 и боковой стенки камеры смешения между ними. Уравнение сохранения массы дает PiV^ + pW^pKy. D.23) Здесь &х и <jf[—площади начального сечения струй; пусть штрих вверху обозначает величины, относящиеся к струе с более низким пол- полным давлением р'01\ tf — площадь выхода из камеры смешения. Уравнение сохранения импульсов напишем для цилиндрической камеры смешения при условии с^\ -у of[^tf и без учета сил трения газа о стенки камеры смешения: (Pi + РгП) <?iJ- (Pi + рМ1) &i = (р + pV>) У. D.24) Уравнение сохранения энергии имеет вид (^)D.25) В этом уравнении не учтен теплообмен газа со стенками канала. Одна из основных задач расчета течения в эжекторе состоит в определении зависимости значений параметров газа в выходном сече- сечении от их начальных значений в сечении / и от условий, характе- характеризующих истечение газов. При заданных <Sfx и &>[ три соотношения D.23), D.24) и D.25) связывают девять величин: значения Vy p и р в j сечении выхода из камеры смешения и значения Vu pu рх и V[y p'u р[ — в струях. В общем случае задаваемые величины и определяемые параметры при расчете эжектора могут быть различными и зависят от поста- постановки задачи; соответственно меняется вид дополнительных опреде- определяющих соотношений. Примем, что значения параметров торможения в каждой из вте- втекающих струй известны (к примеру, газы истекают из резервуаров с заданными условиями и до начального сечения камеры смешения течение происходит адиабатически и обратимо). Значения трех пара- параметров газа в начальном сечении каждой из струй связаны двумя соотношениями между собой и с параметрами торможения: 7>- ~1~ ^1 ~ ^01» Sl—Soi» L D.26) Если для совершенного газа перейти от У, /?, р к безразмерным переменным A = V/VmaXf л = р/р0, © = р/р0, то девять величин Л, я, со (по три в сечениях &и tf\ и & соответственно) будут функциями следующих безразмерных параметров: * = Я = ^ 0 = ^ * = ?-F' Т.. V, pluTl
88 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Наиболее интересными характеристиками эжектора являются за- зависимости от этих параметров величин ро!р'О1 (т. е. увеличения пол- полного давления низконапорного газа) и GjG1 или G[tGl (т. е. относи- относительного расхода низконапорного газа, называемого коэффициентом эжекции). Фактическое определение характеристик эжектора неслож- несложно, но сопряжено с громоздкими выкладками. При дозвуковой скорости обеих струй в начальном сечении можно считать, что давления в этом сечении в обеих стуях одинаковы, т. е. Недостающее в этом случае для определения К, /?, р девятое соотношение можно брать в различных формах; часто при расчете задают расход высоконапорного газа Рассмотрим важный предельный случай. Так как р01 > р'ои то ясно, что эжектор будет действовать только начиная с такого значе- значения расхода Gu при котором p1 = p'i^p'Oi (в противном случае газ с полным давлением /?01 будет перетекать навстречу газу с полным давлением р'О1). При р1 = р'1 = р'О1 скорость^ равна нулю. Определив при этих условиях /?0, найдем полное давление р'ои т. е. определим разрежение, которое можно создать с помощью дозвукового эжектора в емкости с газом. При V[ = 0 задача об эжекторе полностью совпадает с задачей о течении газа в трубе с внезапным расширением, рассмотренной ранее. Задаваемыми параметрами (кроме <У\ и <У[) являются в этом случае параметры торможения высоконапорного газа рои /z0l, его расход G1 и давление торможения при выходе из камеры смешения р0. При V[ = 0 величины h'01 и s'ol выпадают из системы соотношений— они могут быть любыми. Для определения трех параметров газа в сечении 1 (Vu px, р1=р'О1) и двух параметров в сечении 2 имеем пять уравнений: три уравнения D.23)—D.25) с V[ = 0 и р[ = рг и первые два соотношения D.26). Как и при течении газа в канале с внезапным расширением, при адиабатическом смешении газов в эжекторе из-за необратимого ха- характера этого процесса энтропия газа возрастает. Можно рассмот- рассмотреть идеальный процесс смешения, в котором суммарный поток энтропии газа после смешения равен сумме потоков энтропии газов при входе в камеру смешения, т. е. в котором Это соотношение вместе с уравнением энергии GAi + Gihn^iGt + Gl) h0 определяет sHA и h0 по параметрам газа на входе в камеру (сохра- (сохранение расхода учтено уже при записи этих соотношений) и, следо- следовательно, определяет из уравнения состояния полное давление газа
§ 5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 89 на выходе из камеры смешения: Огношение р0 в действительном процессе к р%д v\ = po/plo* можно использовать в качестве характеристики потерь полного давления при смешении газов в эжекторе. При одинаковом полном теплосодержании кинетическая энергия газа при его ускорении до некоторого давления р < р0 различна в зависимости от энтропии газа. Величина представляет собой потери кинетической энергии вследствие отличия процесса от идеального и тоже может быть принята в качестве характеристики процесса. В общем случае эта величина зависит от значения давления /?, при котором производится сравнение, и поэ- поэтому не очень удобна для использования. В случае несжимаемой жидкости, когда потери кинетической энергии определены однозначно: и дают величину полных потерь механической энергии, необратимым образом переходящей в тепловую. Для несжимаемых газов механические параметры — значения V и р—находятся независимо от уравнения энергии. Последнее служит для определения температуры на выходе из эжектора (по заданной температуре газов до смешения). § 5. Установившиеся движения газа в трубке. Течения с разрывами (продолжение) Сферический источник. Рассмотрим пример установившегося адиа- адиабатического течения идеального газа, для которого имеется простое точное решение уравнений газовой динамики. Пусть течение газа происходит вдоль лучей, идущих из точки О (рис. 1.5.1, а), и его параметры зависят лишь от расстояния х до этой точки (т. е. сохраняют одинаковые значения на сферах с цент- центром в точке О). Такое течение называется сферическим источником (если газ движется от центра) или стоком (при движении газа к центру). При изучении сферического источника (стока) достаточно рассмат- рассматривать течение внутри конической трубки с вгршлнэл в точке О и с произвольной фэрмой поперечного сечения.
90 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Уравнение расхода определяет зависимость плотности потока массы pV от х в виде Здесь G — полный расход источника. При данных значениях параметров торможения течение от сфери- сферического источника вследствие двузначной зависимости параметров /?• i / I \ Рис. 1.5.1 потока, например давления /?, от pV может быть двух видов, а из-за наличия максимума у pV возможно лишь вне сферы радиуса хтш («ядра» источника), определяемого формулой G В течении первого вида давление газа р растет (верхняя ветвь на рис. 1.5.1,6) от критического значения /?кр при x = xm-ln до дав- давления торможения р0 при х—>оо (аналогично меняется плотность); соответственно скорость газа вменяется от звуковой прнх=^хт1п до нуля при х~+оо (число Маха уменьшается от единицы до нуля). Такой источник называется дозвуковым. В течении второго вида давление падает (нижняя ветвь на рис. 1.5.1,6) от /?кр при x = xm-m до нуля при х—^оо (так же ведет себя плотность), скорость растет от звуковой при x = xmin до максимальной скорости Vmax при х—>оо (число Маха растет от 1 до оо). Такой источник называется сверх- сверхзвуковым. В дозвуковом и сверхзвуковом источниках давление в бесконеч- бесконечности р^ равно его крайним значениям—давлению торможения ис- истекающего газа и нулю соответственно. Покажем, что существуют течения с одинаковым расходом и одинаковыми параметрами тормо- торможения истекающего из ядра газа при всех значениях р^ в диапазоне Рассмотрим сверхзвуковой источник. В таком течении при любом х=-хс > xmin, и, следовательно, при значении числа Маха в диапа- диапазоне 1 <М<оо, можно поместить сферический скачок уплотнения (нормальный в каждой точке к набегающему потоку и не изменяю- изменяющий движения газа вдоль лучей), переводящий сверхзвуковое тече- течение в дозвуковое. Течение при х>д:с, т. е. за скачком, будет при этом таким же, как и течение от дозвукового источника с тем же расходом
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 91 и тем же полным теплосодержанием, но с меньшим значением пол- полного давления, чем перед скачком. Так как при изменении числа Маха перед скачком от 1 до оо полное давление за скачком меняется от /?0 до нуля, то и давление в бесконечности рм будет при этом меняться от р0 до нуля. Таким образом, при любом значении рж в диапазоне 0 < рм < р0 течение состоит из сверхзвуковой части между ядром источника (х^хт{п) и скачком (х=-хс) и дозвуковой части—вне скачка (при х > хс). До- Дозвуковой и сверхзвуковой источники являются предельными случаями такого течения, когда скачок совпадает с поверхностью ядра (хс = хт-1п, Роо^ Ро) или уходит в бесконечность (хс~^оо, р„ — 0) соответственно. Рассмотрим некоторое сечение х = ха > хт1п в дозвуковом источ- источнике; пусть давление в этом сечении равно p.d. Сохраняя параметры истекающего из ядра газа неизменными, начнем понижать давление в бесконечности. Как следует из предыдущего, при этом у ядра источника возникнет скачок уплотнения, сначала бесконечно слабый, который, постепенно перемещаясь к сечению х=^х^ будет усиливать- усиливаться и вызывать все больший рост энтропии газа. Согласно второму следствию из формулы C.25) давление при х--ха% как и во всех других сечениях за скачком, будут уменьшаться по мере приближе- приближения скачка к рассматриваемому сечению и роста энтропии газа. После прохождения скачка через сечение х = хй давление в этом се- сечении будет сохраняться неизменным —равным давлению в сверх- сверхзвуковом источнике. Аналогичным образом можно рассмотреть сферический сток, в котором скорость направленного к центру течения сверхзвуковая вне скачка (х > хс) и дозвуковая — между скачком и ядром (при *min<*<*c). Подобно сферическому источнику (или стоку) с движением газа вдоль лучей, идущих из центра, можно рассмотреть цилиндрический источник (сток), в котором газ движется вдоль прямых, нормальных к некоторой оси, и параметры его постоянны на соосных круговых цилиндрических поверхностях. В цилиндрическом источнике измене- изменение параметров газа определяется уравнением где G—расход источника на единицу длины его оси. Цилиндрический источник будет описан в § 4 гл. III при рас- рассмотрении плоских движений газа. Течение в сопле Лаваля (II). Продолжим начатое в § 3 изучение квазиодномерного течения в сопле Лаваля. Для того чтобы выяс- выяснить, что происходит при понижении давления в пространстве, куда истекает газ из сопла, до значений, меньших /?д (см. рис. 1.3.7,6), допустим, что после достижения критической скорости в горле сопла поток за горлом продолжает ускоряться, приобретая сверхзвуковую скорость. Поместим в этом сверхзвуковом потоке в некотором сече- сечении сопла скачок уплотнения. За скачком скорость газа становится
92 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ дозвуковой и уменьшается при дальнейшем движении газа вдоль сопла. Как и в рассмотренном выше случае сверхзвукового источ- источника, давление газа в выходном сечении сопла (и во всех других сечениях сопла за скачком) будет падать по мере продвижения скачка от горла сопла от значения /?д до давления р'А за прямым скачком, расположенным в этом сечении. На рис. 1.5.2 (см. также рис. 1.3.7, б) приведены распределения давления в сопле при максимальном рас- расходе газа и наличии скачка уплотнения в различных сечениях рас- расширяющейся части сопла. Так как газ из сопла истекает с дозвуковой скоростью в окру- окружающее пространство, то полученное решение описывает течение газа в сопле при наружном давлении /?а, меньшем рл и меняющемся в диа- диапазоне /?д < рл ^ /?д. По-прежнему решение получено не во всем диапа- диапазоне давлений в окружающем прост- пространстве 0 < /7а < /?0, а лишь в неко- некоторой его части. При давлении ра, меньшем /?д, происходит перестройка течения в струе вне сопла, причем это течение нельзя уже рассматривать в рамках квазиодномерного приближения. Течение внутри сопла остается при этом неизменным, так что давление в выходном сечении сопла перестает быть равным давлению в окружающем пространстве (исключение составляет лишь расчетный режим сверхзвукового истечения из сопла, при котором Ра'-Рс)- Нужно отметить, что при движении газа в сопле против нарас- нарастающего давления, особенно при наличии в сопле скачка уплотне- уплотнения, большое влияние на течение оказывает вязкость в пристенном слое газа. Результаты изложенной простой теории могут при этом значительно отличаться от экспериментальных данных. Рис. 1.5.2 Pi.c. 1.5.3 Рис. 1.5.4 В некоторых случаях лучше соответствует опытным данным дру- другая схема истечения газа из сопла в пространство с давлением, меньшим /?., чем описанная выше. В этой схеме поток в сопле с однородным распределением параметров по сечению продолжается непрерывно до места, в котором расположен скачок уплотнения; за скачком поток отрывается от стенок сопла и движется дальше в виде цилиндрической струи с постоянными параметрами и с давле- давлением, равным ра (рис. 1.5.3).
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 93 Для более точного описания течения в сопле с торможением потока в скачках уплотнения и с отрывом потока от стенок сопла развиты более сложные теории, излагаемые в специальной литера- литературе. Рассмотрим еще течение в канале с двумя сужениями 1 и 2 (рис. 1.5.4). Такой канал можно рассматривать как два последова- последовательно расположенных сопла Лаваля с площадью критических сече- сечений, равной <ffx и tf2 соответственно. Изучим режимы течения в этом канале при сохранении постоянным полного давления р0 втекающего в канал газа и при постепенном понижении давления ра в его вы- выходном сечении. Пусть площадь <zf2 меньше площади <У\; тогда пои постепенном понижении давления /?а от величины р0 скорость газа впервые достигнет критического значения в сечении 2. При даль- дальнейшем понижении давления /?а дозвуковое течение слева от сече- сечения 2 не будет изменяться, а перестройка течения в расширяющей- расширяющейся части канала справа от сечения 2 будет происходить так, как это описано выше для одиночного сопла Лаваля. Более сложен и интересен случай &л < of2. В этом случае при понижении давления ра критическая скорость впервые будет достиг- достигнута в сечении /. При дальнейшем понижении давления ра в левом сопле осуществляется такой же режим движения с областью сверх- сверхзвукового течения, замыкаемой скачком уплотнения, что и в оди- одиночном сопле. Этот режим будет единственным до тех пор, пока скачок не переместится до того места в расширяющейся части пер- первого сопла, где площадь сечения равна & 2. Если после этого еще несколько понизить давление /?а, то наряду с решением, в котором скачок сдвинется вправо в сечение с несколько большей площадью of (of > c^2), при том же /?а существуют еще два других решения, в ко- которых скачок расположен в сечениях с такой же площадью of справа или слева от сечения 2. Считая, что положение скачка при постепен- постепенном уменьшении давления /?а меняется непрерывно, продолжим рас- рассмотрение того решения, в котором скачок расположен в расши- расширяющейся части первого сопла *). Из уравнения расхода, записан- записанного для сечений 2 и /, получим p2V2^2 еее q (к2) Ркр 2!/кр &г = ркр ^кр ^ Так как Ккр при переходе через скачок сохраняется, а изменение ркр пропорционально изменению полного давления /?0, то отсюда следует &* = P*i&i. E-1) *) Для исключения решения со скачком в сужающейся части канала приведем качественное соображение о неустойчивости такого скачка. Действительно, пусть скачок вследствие какой-либо причины сместился против потока, так что число Маха перед ним возросло. При этом энтропия газа за скачком увеличится, полное же теплосодержание останется неизменным. В согласии с выражением C.25) расход газа в выходном сечении сопла уменьшится (d<ff — O> dp—0, d/z0 = 0, ds > 0, так что dG < 0), что приведет к накоплению газа в объеме между этим сечением и скачком, повышению давления в объеме и, как следствие, к дальнейшему переме- перемещению скачка навстречу потоку.
94 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Отношение рО2/рО1 есть убывающая функция числа Маха перед скачком или отношения площади сечения &\ где расположен скачок, к площади сУ7! критического сечения 1. Поэтому при росте & вели- величина q(l2) возрастает. Так как q(K)^ U то уравнение расхода E.1) может удовлетворяться только при росте of до такого значения, при котором p02/po\=(^i/^2- При перемещении скачка до сечения с таким значением if скорость газа в сечении 2 становится равной скорости звука. После этого при дальнейшем уменьшении ра течение слева от сечения 2 перестает изменяться, а справа от этого сечения изменяется так, как в одиночном сопле Лаваля. Если площадь с^тах наибольшего сечения канала между двумя сужениями такова, что при нахождении скачка в этом сечении в горле 2 все еще не достигается скорость звука, то при дальнейшем понижении р3 скачок должен сразу же переместиться вправо от горла 2 в сечение с площадью, большей <^тах. Если площадь выхода из сопла меньше <^тах, то скачок выхо- выходит за пределы сопла, причем давление сверхзвукового потока в вы- выходном сечении становится больше /?а (т. е. устанавливается режим нерасчетного истечения). Этот переход от одного режима к другому с прохождением скачка через горло 2 и установлением сверхзвукового потока во всей области между сечениями 1 и 2 называют запуском канала (сам переход скачка из сечения с максимальной площадью через второе горло в расширяю- расширяющуюся часть второго сопла называют проглатыванием скачка). Наступ- Наступление при достаточно больших с^тах критического режима во втором горле с установлением скачка в расширяющейся части первого сопла и дозвукового течения за ним называют, как и в случае одиночного сопла, запиранием канала. Из равенства расходов в сечении 2 и в потоке перед скачком в сечении cfmax, записанного в виде p^qj^m^ = /W72^2> получим условие запуска канала (д2 < 1) в виде (Мтах—число Маха в сечении канала с наибольшим сечением сУтах). Отсюда следует, что для возможности установления сверхзвукового потока в канале с наибольшим сечением <?тах отношение площади сече- сечения второго горла канала к <^тах должно быть больше определенной величины, зависящей от Мтах. Значения этой величины (минимальной относительной величины площади горла, необходимой для запуска) при некоторых Мтах приведены в табл. 1.5. Как видно из таблицы, запуск канала можно осуществить лишь при довольно малом сужении второго горла, особенно при небольших и умеренных сверхзвуковых скоростях. После запуска канала сверхзвуковое число Маха во втором горле определится равенством
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 95 Таблица 1.5 AW ( <?2 M2 /min 1 1 1 0 1 1,5 ,915 ,32 2 0, 1, ,0 82 75 2 0, 2, ,5 76 20 0 2 3 ,72 ,65 0 3 4 ,67 ,56 0 4 5 ,65 ,5 0 9 10 ,60 ,0 00 0,60 CO Ра П0рс т. е. при больших значениях Мтах число М2 будет также большим (см. табл. 1.5). Изученные свойства течения в канале с двумя сужениями имеют важное значение во многих прикладных задачах и, в частности, в теории сверхзвуковых аэродинамических труб продолжительного действия (в которых поток можно считать стационарным). Пусть сверхзвуковой поток воздуха в аэродинамической трубе создается при его истечении в атмосферу с давлением /?а из резер- резервуара с давлением /?01 через сопло Лаваля с присоединенной к нему цилиндрической рабочей частью трубы (рис. 1.5.5,а). Для создания таким путем, к примеру, потока с числом Маха М = 5при расчетном истечении требуется согласно C.32) давление p0i~530/?a. Это дав- давление можно существенно умень- уменьшить, если присоединить к концу цилиндрической рабочей части рас- расширяющийся (диффузорный) канал и перед его началом поместить скачок уплотнения (рис. 1.5.5,6). В скачке поток перейдет в дозвуковой и начнет тормозиться в диф- диффузоре; при достаточно большом расширении диффузора скорость газа при выходе из него приблизится к нулю, а давление — к /?02. При М = 5 отношение /?02//?01 = 0,0618, так что при/?02 = /?а требуемое давление в резервуаре /?01« 160/?а. Если же перед диффузором про- произвести допустимое для запуска трубы сужение канала (рис. 1.5.5, в), согласно табл. 1.5 равное 0,65, то в горле при этом число Маха станет равным 4,5; поместив в горле при таком числе Маха скачок, получим /?02//?01 = 0,0917 и необходимое давление в резервуаре /?01 « « 1Юра, чт0 почти на одну треть меньше предыдущего. Для дальнейшего снижения требуемого давления /?01 в аэродина- аэродинамических трубах применяют регулируемые диффузоры: в них после запуска площадь горла еще уменьшается, так что число Маха в горле падает; это дает возможность снизить потери полного давления при торможении сверхзвукового потока в скачке уплотнения. В идеаль- Рис. 1.5.5
96 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ном случае при отсутствии потерь полного давления в рабочей части трубы площадь горла диффузора можно уменьшить до площади горла сопла и сделать скорость в горле диффузора равной скорости звука с последующим непрерывным торможением дозвукового потока в диф- диффузоре до давления /?а = /?01. Такая идеальная труба работала бы при любой сверхзвуковой скорости в ее рабочей части без превышения давления в резервуаре над атмосферным давлением, т. е. без потреб- потребления энергии извне (ср. рис. 1.3.2). В действительности, вследствие необратимых потерь в тракте аэро- аэродинамической трубы, возрастающих при росте числа Маха в ее рабо- рабочей части, создание потоков газа большой скорости связано со зна- значительными затратами энергии. При работе аэродинамических труб по замкнутому циклу полное давление воздуха, выходящего из диффузора, необходимо увеличивать в компрессоре (вентиляторе) для восполнения потерь, после чего воздух вновь поступает к входу в сопло. При этом из-за необратимого пере- перехода сообщаемой газу механической энергии в тепловую в трубах достаточно большой мощности требуется установка специальных уст- устройств для отвода тепла от газового потока. Течения в трубе при наличии трения и теплообмена. Рассмотрим теперь квазиодномерное движение сжимаемого газа в трубе с учетом трения газа о стенки трубы, теплоподвода к газу и действия внеш- внешних массовых сил. В § 3 была получена математическая модель таких установившихся непрерывных движений газа в слабо искривленных трубах с плавно меняющимися формой и площадью поперечного сечения в виде соот- соотношений C.13), C.16) и C.17): d(pV<?>) = 0: E.2) VdV + 4e = ff dx—Ц- V2 dx, E.3) xdx. E.4) Изменение энтропии газа определяется при этом из соотношения C.19): ^V*dx. E.5) Если в потоке имеются разрывы (скачки уплотнения), то на них должны быть выполнены установленные в § 4 условия D.4), вытека- вытекающие из законов сохранения массы, импульса и энергии. Уравнения E.3)—E.5) дают возможность конкретизировать выражения для dh0 и ds в соотношении C.25) и преобразовать это соотношение (при dG = 0) к виду
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 97 Коэффициенты при внешнем теплоподводе qxdx и при величине ~ V2 dx, представляющей собой некомпенсированный теплоподвод вследствие необратимого характера движения газа в трубке с трением (см. § 3, с. 49), положительны. Поэтому знаки первых двух слагае- слагаемых в правой части соотношения E.6) зависят от того, сообщается ли газу или отбирается от него энергия в виде механической работы и тепла соответственно; знак же третьего слагаемого всегда поло- положителен. Как показывает соотношение E.6), при фиксированном знаке каждого из слагаемых в правой его части влияние этого слагаемого на изменение скорости газа противоположно при М < 1 и при М > 1. При М = 1 происходит обращение воздействия на изменение скорости газа каждого из факторов, влияющих на течение в трубке: подвода механической и тепловой энергии, трения газа о стенки, изменения площади сечения трубки. В связи с этим соотношение E.6) (как и подобные ему соотношения, получаемые из выражения C.25) для других моделей установившихся течений газа в трубке) называют иногда уравнением обращения воздействий. Рассмотрим несколько важных классов течений в трубах, опи- описываемых моделью E.2)—E.4). Течения с трением. Изучим вначале течения с учетом трения (? > 0), но без подвода механической и тепловой энергий {ffdx = = qxdx**0). Вследствие наличия интеграла ho = const в таких течениях, как и при адиабатических течениях без трения, существует постоянная по длине трубки максимальная скорость Vmax~V2h0. Однако переход через скорость звука при течении с трением в сопле Л аваля проис- происходит не в горле сопла, а на некотором удалении от него в расши- расширяющейся часги сопла. Это следует из того, что согласно соотношению E.6) при М=1 должно быть dJf/dxyO. В последующем ограничимся изучением течений в трубе постоян- постоянного сечения, когда <& = const и d^ = 0. Так как энтропия газа согласно E.5) при движении растет, то его полное давление и плотность торможения уменьшаются; из соот- соотношения E.6) следует, что дозвуковой поток при этом ускоряется, а сверхзвуковой замедляется. В обоих случаях скорость приближается к критической, а число Маха—к единице. Очевидно, что при дости- достижении критических условий энтропия достигает максимума, а даль- дальнейшее продолжение течения становится невозможным. Таким обра- образом, при заданных параметрах газа при входе в трубу существует предельная длина трубы, в которой возможно непрерывное течение. При дозвуковой скорости это течение единственно. Если скорость газа при входе в трубу сверхзвуковая, то кроме непрерывного тече- течения существует семейство решений со скачком уплотнения в разных сечениях исходного непрерывного течения и с дозвуковым течением за скачком. 4 Г. Г. Черный
98 гл. i. основные понятия газовой динамики Изучим эти течения, пользуясь моделью совершенного газа. Для такого газа ~-тр =—— , поэтому уравнение E.6) при f%)dx=qxdx = O и = 0 примет вид Энтальпия h совершенного газа, рассматриваемая как функция скорости звука а и энтропии s, не зависит от s (меняющейся при движении газа); поэтому, наряду с Vmax, существует постоянная по длине трубы критическая скорость Укр, как решение уравнения C.23) при V = a = VKp. Произведя замену — = у- (ПРИ этом учтено, что 1/кр = const) и пользуясь формулой C.31), связывающей X и М, получим %dx. E.7) Коэффициент трения ? зависит от местных значений чисел Рей- нольдса и Маха, а также от параметров, характеризующих термоди- термодинамические свойства газа (для совершенного газа с постоянными теп- лоемкостями—от величины у), и от шероховатости поверхности. Эти зависимости определяются главным образом из экспериментов по те- течению газа в длинных цилиндрических трубах. Сделаем для простоты допущение, что ? не меняется по длине трубы. Тогда из E.7) после интегрирования найдем С Г х + const * E.8) Таким образом, имеется единая (с точностью до сдвига по а:) зави- зависимость X от безразмерной координаты —-ру ?-~-. Эта зависимость т ~ \ \ 4,5 -0,5 - —— —" \ \ \ h о 1 17 1ч R -0,5 0 0,5 5 Рис. 1.5.6 при условии Я=1 при а: = 0 изображена графически на рис. 1.5.6,а. Нижняя ее ветвь соответствует дозвуковым течениям, верхняя—сверх- верхняя—сверхзвуковым непрерывным течениям. Если положить А в А*, д: = — L и считать L длиной трубы, то график на рис. 1.5.6, а даст зависимость
$5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 99 наибольшей приведенной длины трубы --— -~ L (при которой дости- достигается скорость звука в выходном сечении) от числа Хг на входе в трубу при непрерывном течении в ней. Зависимость E.8) можно использовать для расчета течений со скачком уплотнения. Для этого при каждом х найдем значение Я', которое соответствует течению за скачком, расположенным в сверх- сверхзвуковом потоке в этом сечении. Согласно формуле Прандтля D.16) так что соответствующая зависимость имеет вид i.(l_X") + lnr = JjL-i.*- E.9) На рис. 1.5.6, б изображена сверхзвуковая ветвь зависимости E.8) и штриховой линией—зависимость E.9). Пусть течение перед скачком соответствует точке /; тогда течению за скачком соответствует точка 2. Для продолжения течения за скачком нужно перенести изобра- изображенную на рис. 1.5.6, а дозвуковую ветвь зависимости E.8) на рис. 1.5.6,6 так, чтобы она прошла через точку 2\ часть этой ветви правее точки 2 и будет соответствовать течению за скачком. Изложенная простая теория достаточно хорошо подтверждается экспериментальными данными при дозвуковых скоростях и менее удовлетворительно—при околозвуковых и сверхзвуковых скоростях. В частности, при сверхзвуковых скоростях переход к дозвуковым скоростям происходит не скачком, а в довольно протяженной зоне со сложным, неоднородным по сечению потоком. Рассмотрим, основываясь на уже полученных данных, истечение газа через трубу заданной длины из резервуара с давлением р0 в окру- окружающее пространство при постепенном уменьшении давления рл в нем. Для этого запишем условие равенства расходов газа во входном и выходном сечениях трубы: Р1^1 = Р^. E.10) Так как в начале трубы скорость газа дозвуковая, то истечение газа из трубы может происходить либо с дозвуковой скоростью (X < 1), и тогда давление газа в выходном сечении должно равняться давле- давлению ра, либо газ может истекать со скоростью звука (к= 1), и тогда его давление при выходе может превышать давление ра. Преобразуем уравнение E.10) так, чтобы в его левой части вели- величины рх и Vx были выражены через параметры торможения р01 и Т01 в этом сечении (известные) и величину Хх (неизвестную), а в правой части величины р и V выразим через давление р, температуру тор- торможения То и величину X (если А, < 1, то она неизвестна, но известны р = ра и 7 = 701, если же i= 1, то известны К и 70, а р неизвестно).
100 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В результате (при <У = с^1) получим уравнение Y+l Согласно соотношению E.8) при заданной длине трубы L значения X и Хх связаны уравнением l^-J-UlnA-^Jl.i.L. E.l2) 2 \Xl W X y+1 R V ; При pjpol, близких к единице, течение дозвуковое; полагая в E.11) /7 = /?а, имеем два уравнения E.11) и E.12) для определения Хг и X через -Ш- и —jj|-H"^- Используя эти уравнения, несложными, но довольно громоздкими выкладками можно показать, что при умень- уменьшении pjpol величина X растет. Когда достигается равенство X = 1, величина Хг находится из E.12), а условие E.11) служит для опре- определения давления р в выходном сечении трубы. Значение отношения давлений pjpou при котором наступает кри- критическое истечение, определяется зависимостями Ра \ Poi/кр Vv+1/ 4KV \PoiJkp.»a С ростом приведенной длины трубы величина Хг и вместе с ней q(K) уменьшаются, так что отношение давлений ро1/ра> требуемое для достижения критического истечения газа, возрастает. Согласно первому следствию из формулы C.25) расход газа через трубу при наличии трения при данном отношении рпф01 меньше, чем без трения, и тем меньше, чем больше приведенная длина трубы. Пусть теперь сверхзвуковой поток газа, создаваемый, например, в сопле Лаваля, истекает через цилиндрическую трубу в простран- пространство с давлением ра. Как будут меняться режимы течения" в трубе в зависимости от длины трубы и от внешнего давления /?а? В этом случае, в отличие от предыдущего, во входном сечении трубы известны не только значения параметров торможения, но и зна- значение Я1в Если длина трубы меньше или равна предельной для дан- данного значения Х19 то из уравнения E.12) определится Я^1, а из уравнения E.11)—давление р газа в выходном сечении трубы. Если при этом давление /?а меньше или равно /?, или больше его, но меньше, чем давление за прямым скачком в выходном сечении, то течение в трубе непрерывно, и газ истекает из трубы со сверхзвуковой ско- скоростью. Если давление /?а выше давления за прямым скачком, располо- расположенным в выходном сечении трубы, то течение в трубе перестанет
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 101 быть непрерывным. В нем возникнет скачок уплотнения, истечение из трубы станет дозвуковым с давлением р при выходе газа, равным /?а. Из уравнения E.11), справедливого и при наличии скачка уплотне- уплотнения, определится к. Для нахождения положения скачка нужно вос- воспользоваться исходным соотношением E.8), учитывая, что значения к перед скачком (к') и за ним (А,") связаны формулой Прандтля к'к" = 1. Пусть * = 0—координата начального сечения трубы, L—длина трубы, хс—координата скачка. Применим соотношение E.8) к сечению перед скачком, определив константу в правой части из условия при х=0. Это даст ! 1пА' = -^--^*с Х-—\пК E.14) Применим далее соотношение E.8) к сечению за скачком, опре- определив константу из условий в выходном сечении—при x = L. При этом заменим V по формуле Прандтля. В результате получим Соотношения E.14) и E.15) определяют хс и к' по известным L и Яа и по найденному из уравнения E.11) значению к. Из E.11) следует, что при росте р значение к падает. Вычитая E.15) из E.14), получим выражение, из которого нетрудно устано- установить, что при уменьшении к величина к' растет, так что скачок сме- смещается в сторону сопла. При некотором р скачок достигнет сопла (лгс = О, А/ = А,). После этого дальнейшее повышение /?а приведет к перестройке течения внутри сопла, которая уже была описана ранее в § 4. Течения с теплоподводом. Рассмотрим теперь течения газа в трубе без учета трения (?=^0) и действия массовых сил (ffdx=^Q), но при наличии теплоподвода (qxdx=?Q). Ранее уже говорилось, что в уравнении энергии под теплоподво- теплоподводом можно понимать не только приток тепла извне (например, путем теплопередачи через стенки трубы), но и — при соответствующем определении внутренней энергии—тепловыделение внутри газа вслед- вследствие превращения некоторых видов внутренней энергии (химической, ядерной) в тепловую. На практике нагрев воздуха при движении его в технических устройствах, имеющих схематически вид труб, часто производится путем предварительного образования горючей смеси при добавлении к воздуху различных топлив, главным образом углеводородных (бензин, керосин, природный газ и т. п.), и после- последующего сгорания этой смеси. При этом к воздушному потоку под- подводится масса, обладающая некоторым полным теплосодержанием и—в общем случае—импульсом в направлении оси трубы. При необ- необходимости такой подвод массы можно учесть в расчетах течения. Однако во многих реальных случаях масса подводимого топлива, его импульс и теплосодержание (та его часть, которая учитывает только
102 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ тепловую составляющую внутренней энергии) малы по сравнению с соответствующими величинами для воздушного потока (так, в каме- камерах сгорания воздушно-реактивных двигателей масса подводимого топлива обычно не превышает немногих процентов массы протекаю- протекающего воздуха), и эффект добавления топлива к потоку сводится лишь к подводу тепла к воздуху в результате химических реакций при горении. Согласно соотношению E.6) подвод тепла к газу, текущему в трубе, увеличивает скорость газа, если она дозвуковая, и уменьшает ско- скорость, если она сверхзвуковая. Таким образом, подвод тепла влияет на течение качественно так же, как трение газа о стенки; при теп- лоотводе влияние будет обратным. В § 3 было получено выражение для изменения полного давления газа при теплоподвбде. Полное дав- давление газа при теплоподводе всегда уменьшается даже при отсутствии необратимых потерь (dqf = 0). Для того чтобы в необходимых случаях уменьшить падение полного давления, нужно стремиться подводить тепло к движущемуся газу при наиболее высокой температуре — в предельном случае при Т = Т0, т. е. при температуре торможения, когда скорость газа равна нулю; полное давление не будет при этом изменяться. По этой причине при больших скоростях воздушного потока относительно камеры сгорания (например, у летящего снаря- снаряда с воздушно-реактивным двигателем) воздух перед входом в камеру тормозят в специальных устройствах—диффузорах. При расчете течений газа в трубе переменного сечения можно задавать не изменение площади сечения трубы по ее длине, а изме- изменение какого-либо другого параметра, например давления газа или числа Маха; площадь сечения трубы будет тогда определяемой вели- величиной. Среди различных возможных течений газа в трубах с подводом тепла выделим течения с постоянным давлением. В этом случае из E.3) следует постоянство скорости по длине трубы, так что в соот- соответствии с уравнением энергии E.4), справедливыми при &Фconst (см. D.3)), h = /*! + q, где q—суммарное тепло, подведенное к газу до данного сечения трубы. Так как при постоянном давлении теплосодержание есть функ- функция только температуры, то это уравнение устанавливает связь тем- температуры газа с теплоподводом. Уравнение состояния дает при этом зависимость плотности от температуры, после чего уравнение расхода определит зависимость от температуры площади сечения трубы. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями эти зави- зависимости имеют особенно простой вид:
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ ЮЗ Изменение числа Маха определяется формулой м _ ,/ТГ 1 так что число Маха при изобарическом подводе тепла уменьшается независимо от того, является ли скорость в начальном состоянии дозвуковой или сверхзвуковой, причем при Мх > 1 возможен непре- непрерывный переход к дозвуковому течению (заметим, что площадь сече- сечения канала при этом растет). Падение полного давления при изобарическом подводе тепла происходит в соответствии с формулой При малых значениях числа Маха так что относительное падение полного давления газа *7°~~*7°1 неве- Poi лико и имеет порядок М|; при больших числах Маха (М?^> 1) Ро „ 1 2_ СрТг и потери полного давления могут быть значительными. Изучим более подробно течения газа с подводом тепла в трубе постоянного сечения. В этом случае при сделанных предположениях законы сохранения массы, импульса и энергии D.1)—D.3) приобре- приобретают вид pV=PlVlf E.16) E.17) E.18) Индексом 1 обозначены значения параметров газа в сечении трубы до подвода к нему тепла, величины без индекса относятся к любому расположенному ниже по потоку сечению, Q—подведенная к газу извне между обоими сечениями тепловая энергия (отнесенная к еди- единице времени и единице площади сечения трубы). Если тепловая энергия черпается из самого газа за счет изменения других состав- составляющих его внутренней энергии и эти составляющие не учтены в теп- теплосодержании газа А, то выделяющееся тепло, пропорциональное
104 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ протекающей массе газа, следует включить в Q, При этом, полагая Q=p1K1G и учитывая сохранение массы газа, уравнение энергии можно написать в виде E.19) или Ао = Ао1 + <7. E.20) Здесь q—тепло, подведенное к единице массы газа до рассматри- рассматриваемого сечения. Если теплоподвод q задан как функция расстояния х вдоль трубы, то три соотношения E.16), E.17) и E.19) определяют изменение параметров газа Vf p и р в зависимости от х. Качественное поведе- поведение этих величин удобно изучать в плос- плоскости v, p (v= 1/р—удельный объем), принимая во внимание, что при данной плотности р скорость V находится из урав- уравнения расхода E.16) pV=^1^ = /^ (т = = const). Как уже говорилось в § 4, уравнение импульсов E.17), преобразованное к виду р—/V— — m2(v—уД определяет в плос- плоскости и, р прямые, проходящие через на- начальную точку vupx (точка Она рис. 1.5.7) с отрицательным угловым коэффициен- коэффициентом—т (m-прямые, или прямые Рэлея— Михельсона; Михельсон *) впервые исполь- использовал их при изучении течений с тепло- подводом). Состояниям газа в любом сече- сечении трубы при подводе к нему тепла должны соответствовать точки одной /n-прямой независимо от того, подводится ли тепло обратимо или его подвод сопровождают необратимые процессы. Проведем через точку О адиабату Пуассона—линию p = p(vt s) при s = s1 = const. Напомним (см. § 4), что касательная к этой адиа- адиабате в точке О с угловым коэффициентом -~ = — pfof принадлежит к семейству m-прямых при значении /п, определяемом равенством т2 = р\а{, т. е. при скорости Vly равной скорости звука ах. Если в начальном состоянии до подвода к газу тепла его ско- скорость дозвуковая, то соответствующая /n-прямая наклонена к оси v более полого, чем касательная к адиабате Пуассона в точке О (пря- (прямая ОСг на рис. 1.5.7). При подводе тепла к газу его энтропия *) Михельсон Владимир Андреевич (I860—1927) — один из основоположников газодинамической теории горзния и детонации. Его диссертация «О нормальной скорости воспламенения гремучих газовых смесей» опубликована в Ученых запис- записках Московского университета в 1890 г. (Собр. соч. Т. 1.— М.: Новый агроном, 1930).
$5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ Ю5 растет, так что изображающая состояние газа точка движется по m-прямой от точки О вправо. При этом плотность и давление газа падают, скорость же газа V увеличивается, приближаясь к скорости звука (различие между угловым коэффициентом m-прямой, равным — р2!/2, и угловым коэффициентом пересекаемой ею адиабаты Пуас- Пуассона в точке пересечения, равным dp/dv = — р2а2, уменьшается). Если теплоподвод достаточно велик, то энтропия при движении вдоль m-прямой достигнет максимума в точке касания этой прямой с адиа- адиабатой Пуассона (точка Сг на рис. 1.5.7); скорость газа при этом станет равной скорости звука, т. е. газ достигнет критического со- состояния. Так как еще больших значений энтропия на /л-прямой не имеет, то и дальнейший подвод тепла к газу при данном /л = р^ невозможен—наступает так называемый тепловой кризис. Если в начальном состоянии скорость газа превосходит звуковую, так что m-прямая наклонена к оси v круче касательной к адиабате Пуассона в точке О (прямая ОС на рис. 1.5.7), то при подводе тепла, сопровождаемом ростом энтропии, изображающая состояние газа точка движется от точки О по m-прямой вверх. Давление и плотность газа при этом возрастают, а скорость его падает, вновь, как и в слу- случае дозвуковой начальной скорости, приближаясь к скорости звука. Тепло к газу можно подводить до тех пор, пока не будет достигнут максимум энтропии в точке касания m-прямой с адиабатой Пуассона (точка С на рис. 1.5.7). При этом наступает тепловой кризис и даль- дальнейший подвод тепла к газу становится невозможным. При следовании вдоль прямой 0Сх за точку С\ (где скорость газа становится сверхзвуковой) или вдоль прямой ОС за точку С (где скорость становится дозвуковой) энтропия газа вновь уменьшается. Это возможно при условии, что от газа отбирается тепло. Таким образом, непрерывное изменение скорости газа в цилиндрической трубе ог дозвуковой до сверхзвуковой и обратно возможно, если сна- сначала тепло подводить к газу до достижения им критической скорости, а затем отводить тепло от газа. Из рассмотрения рис. 1.5.7 следует, что при V1<^:a1 (когда т-пря- мая близка к горизонтальной), т. е. при малых начальных значениях числа Маха М1 = У1/а1, относительное падение давления газа при теплоподводе мало по сравнению с относительным изменением плот- плотности (а, следовательно, и скорости), так что подвод тепла можно приближенно считать изобарическим. Если Vy^>ax (когда /л-прямая близка к вертикальной), т. е. при больших сверхзвуковых значениях числа Маха Mlt относительное изменение давления при подводе тепла велико сравнительно с относительным изменением плотности (и ско- скорости), так что подвод тепла можно приближенно считать происхо- происходящим без изменения объема, т. е. изохорическим. Проиллюстрируем предыдущие качественные выводы формулами для совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Используя соотношение E.6) и записав уравнения расхода E.16) и импульса E.17), а также уравнение состояния совершенного газа p~RT
106 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ в виде связей между дифференциалами, получим V dq yi АЛ2\^Р ^ У2 Из определения числа Маха М2 = —j- найдем E.22) AT Выражение E.21) для -=г указывает на необычное поведение тем- температуры при подводе тепла к движущемуся газу при числах Маха в диапазоне 1/y<M2<1: подвод тепла приводит к охлаждению газа, а отвод тепла, наоборот, к его нагреванию. Такое поведение температуры, свидетельствующее об отрицательной теплоемкости газа, связано с тем, что в этом диапазоне чисел Маха относительное паде- падение плотности газа происходит при подводе тепла быстрее относи- относительного падения давления. Соотношение E.22), связывающее изменение числа Маха с тепло- подводом, подтверждает уже сделанный для общего случая сжимае- сжимаемого газа вывод о невозможности перехода через скорость звука при движении газа в цилиндрической трубе с сохранением знака dq. Исключив в каждом из соотношений E.21) величину —^ с по- Cpl мощью E.22), можно проинтегрировать эти дифференциальные соот- соотношения и получить конечные связи параметров потока с числом Маха; после этого из E.22) получим зависимость числа Маха и дру- других параметров от теплопровода q. Однако проще найти эти зависи- зависимости непосредственно из конечных соотношений E.16), E.17) и E.19). Заменив в уравнении энергии E.19) р и р из уравнений сохранения массы E.16) и импульса E.17), получим квадратное уравнение отно- относительно V. Преобразуем его, для чего введем вместо скорости V величину X=V/VKV и учтем, что Укр, определяемая формулами Ккр = = у ^зу ^тах и -^7^-=срТ0, при подводе тепла изменяется в соот- соответствии с уравнением энергии в форме E.20), т. е. для совершен- совершенного газа В результате преобразований уравнение для определения X примет вид % + 1 =0. E.23)
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ Ю7 Отсюда находим Нижний знак перед радикалом нужно брать при 5tt<l, верхний — при Хх > 1 (т.е. так, чтобы Х = А,Х при q = 0\ при другом выборе знака получим А,= 1/5^ при q = 0, что соответствует в силу соотно- соотношения Прандтля D.16) скачку уплотнения при Хг > 1 или скачку разрежения при Ях < 1). После нахождения к зависимость плотности от q находится из уравнений E.16) Р _ ^vi ^Kpl _ ^ij +срТ01 зависимость температуры от q—из уравнения т т тпт0_[ у+1 /i Т1 - То 7\ Tol _rzi Я2 V " а зависимость давления от q—из уравнения состояния Р __ р т Pi pi Т± • Наибольшее значение величины —%г-, при котором наступает теп- ср * 01 ловой кризис, получим, полагая в уравнении E.23) Х= 1: Я \ =LA % V Bjl\ =if±j-xV ^oi/кр 4 V ^i 1/ ' Woi/kp 4 V ^i / Используя предыдущие формулы, несложными выкладками найдем отношение полного давления при тепловом кризисе к начальному При Яг —> 0 теплоподвод -Ар- до достижения теплового кризиса СР J oi может быть сколь угодно велик; при А,х -^ А,тах= 1/ ^—-^ максималь- максимальный теплоподвод (—^-) —* -s—г A,04 при 7=1,4 и 2,27 при \ cpJ oi /кр Y —А 7-1,2). Отношение полных давлений при тепловом кризисе при лх —> 0 равно у f1^-O @,789 при у= 1,4; 0,805 при у= 1,2) и стремится
108 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 1 Рис. 1.5.8 л,, к нулю при Хг —¦> 5imax. Зависимости GуГ01)кр и (po/Poi)w 0T ^i (послед- (последняя—при 7= 1,4) приведены на рис. 1.5.8. Рассмотрим теперь некоторые механизмы тепловыделения в газах и механизмы распространения по газу зон, в которых происходит те пловыделение. Наиболее распросч раненным в практике и хорошо изученным механизмом тепловыделения в газах является горение—химические реакции в смесях газов, сопровождае- сопровождаемые переходом в тепловую энергию внут- внутренней энергии химических связей ато- атомов в молекулах при их перестройке. Обычно скорости химических реакций сильно зависят от температуры, увели- увеличиваясь вместе с ней. Поэтому при дос- достаточно низкой температуре смесь газов, способных к химической реакции с вы- выделением тепла (такие реакции называ- называются экзотермическими), например смесь кислорода и водорода, смесь паров бен- бензина и воздуха и т. п., может нахо- находиться в инертном, «замороженном» состоянии, когда реакции между компонентами смеси не происходят. Если в каком-либо месте такую смесь подогреть путем подвода тепла извне, то в этом месте начнется быстрая химическая реакция с вы- выделением тепла и повышением температуры газа. При этом газ в общем случае придет в движение. Если бы в газе отсутствовали механизмы распространения зон тепловыделения, то реакция в предварительно подогретой зоне быстро завершилась бы установлением в ней хими- химически равновесного состояния, соответствующего новым, изменившимся в результате тепловыделения и движения газа значениям темпера- температуры и давления. Однако в газах есть механизмы, вызывающие распространение зоны химического тепловыделения на новые, пред- предварительно не подогретые порции газа. Основными из этих механиз- механизмов являются теплопроводность и диффузия, т. е. молекулярный перенос тепловой энергии и вещества; при этом относительная роль этих двух факторов может быть различной в зависимости от кон- конкретных веществ, участвующих в реакции. Теплопроводность приво- приводит к повышению температуры в прилегающей к зоне тепловыделения еще непрореагировавшей смеси и тем самым увеличивает скорость реакций в ней; вследствие диффузии в холодную смесь из зоны ре- реакции проникают активные промежуточные продукты реакции — радикалы, способные инициировать реакции и при более низких температурах. Средняя тепловая скорость движения молекул (т.е. средняя ско- скорость их хаотического движения) и скорость распространения звука в газе имеют одинаковый порядок величины. Однако количество соударений между молекулами, необходимое в среднем для одного
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 109 акта химической реакции между ними, весьма велико. В связи с этим скорость распространения в горючей газовой смеси зоны тепловы- тепловыделения, обусловленная молекулярным переносом (ее называют нор- нормальной скоростью горения), весьма мала сравнительно со скоростью звука и при обычных условиях (т. е. при нормальных давлении и температуре) лежит в диапазоне от 10—20 сантиметров в секунду до нескольких сотен сантиметров в секунду *). Толщина зоны горения или «пламени», т. е. зоны интенсивного тепловыделения, отделяющей еще непрореагировавшую смесь от продуктов сгорания, составляет при этом обычно доли миллиметра. При некоторых интенсивно протекающих реакциях горения опре- определенную роль в распространении зоны тепловыделения играет теп- тепловое излучение из этой зоны; однако это не влияет на порядок величины скорости распространения пламени и толщины зоны горения. На практике при достаточно больших размерах занятой газом области (например, при движении в трубе большого диаметра) в по- потоке развиваются значительные пульсации скорости, приводящие к интенсивному перемешиванию нагретого газа в зоне реакции и за ней с холодным газом перед зоной тепловыделения и, вследствие этого, к его воспламенению. При таком механизме скорость распро- распространения зоны тепловыделения (ее называют скоростью турбулент- турбулентного горения) может в несколько раз превышать нормальную ско- скорость горения; тем не менее она все равно мала сравнительно со скоростью звука. Толщина такой зоны тепловыделения—турбулент- тепловыделения—турбулентного пламени—может быть порядка нескольких сантиметров. Помимо механизма тепловыделения химической природы, о кото- котором речь шла выше, существуют и другие механизмы теплоподвода к газу. При очень высокой температуре—порядка сотен миллионов и миллиардов градусов—в некоторых газах (находящихся при этих условиях в плазменном состоянии, т. е. представляющих собой смесь тяжелых частиц—ионов и легких частиц—свободных электронов) могут происходить ядерные реакции с превращением огромной энер- энергии ядерных связей в конечном счете в тепловую энергию плазмы. При этом механизмы распространения зоны тепловыделения, связан- связанные с переносом тяжелых частиц (ионная теплопроводность и диф- диффузия), перестают быть главными, основными же становятся элект- электронная теплопроводность, излучение и диффузия высокоэнергетиче- высокоэнергетических нейтронов. Эти механизмы могут в некоторых случаях обеспе- обеспечивать распространение зон тепловыделения (так называемого ядерного горения) с громадной скоростью (в дейтерий-тритиевой смеси с плотно- плотностью порядка 0,22 г/см3 скорость составляет 103—105 км/с), превос- превосходящей скорость звука, определяемую тепловым движением тяжелых частиц—ионов, не только в холодной смеси, нов некоторых случаях и в продуктах реакции. *) Так, нормальная скорость горения смеси метана A0 %) с воздухом равна 30 см/с, а смеси водорода G0 %) с кислородом достигает 900 см/с.
ПО ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Упомянем, наконец, о еще одном механизме теплоподвода к газу, привлекшем внимание в сравнительно недавнее время. Пусть пучок мощного электромагнитного излучения (например, пучок света от лазера непрерывного действия или пучок сверхвы- сверхвысокочастотного радиоизлучения) пронизывает покоящийся газ. В обыч- обычных условиях многие газы почти прозрачны для электромагнитного излучения и не взаимодействуют с ним. Однако, если на пути пучка поместить поглощающий излучение слой, то в этом слое за счет поглощения энергии электромагнитного поля начнется выделение тепловой энергии. Таким слоем может служить область самого газа, если газ в этой области нагреть до высокой температуры, при кото- которой он становится ионизованным (превращается в плазму) и сильно поглощает электромагнитное излучение. В зависимости от темпера- температуры, до которой нагревается в области поглощения излучения и выделения тепла плазма (при разной плотности потока энергии в пучке, достаточной для ионизации газа, это могут быть десятки тысяч, сотни тысяч и даже миллионы градусов), действуют те или иные упомянутые ранее механизмы передачи тепла близлежащим слоям газа. Нагреваясь, эти слои сами становятся способными по- поглощать электромагнитную энергию; в результате зона тепловыделения в газе перемещается навстречу пучку излучения. По аналогии с го- горением химически реагирующих смесей описанное явление получило название—в случае, если источником излучения служит лазер,— светового (лазерного) горения. Волна лазерного горения при более низких температурах рас- распространяется по холодному газу вследствие молекулярных механиз- механизмов переноса с дозвуковой скоростью, а при высоких температурах вследствие механизма электронной теплопроводности и излучения — с сверхзвуковой скоростью; в некоторых случаях скорость распро- распространения зоны тепловыделения может, по-видимому, быть сверхзву- сверхзвуковой и по отношению к нагретой плазме. Толщина зоны тепловыделения при ядерном или световом горе- горении, как и при обычном горении, определяется соответствующими механизмами тепловыделения и распространения тепла. Перечисленные выше механизмы распространения зон тепловы- тепловыделения связаны в основном с переносом частицами (молекулами, ионами, электронами, фотонами) энергии из нагретой зоны; при этом перенос импульса не является существенным. Обусловленная этими механизмами скорость распространения зон тепловыделения и их толщина зависят от деталей физических и химических взаимодействий, протекающих в веществе при тепловыделении и теплопередаче, и являются, таким образом, характеристиками вещества. Имеется, однако, механизм распространения зон тепловыделения, который обусловлен в основном переносом частицами (молекулами, ионами) импульса; этот механизм можно назвать газодинамическим. Суть его состоит в следующем. При быстром значительном повышении температуры газа в некоторой области вследствие подвода тепла
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ \Ц извне или внутреннего тепловыделения, в этой области резко повы- повысится давление (так как из-за инерционности газа при быстром росте температуры его плотность не успевает измениться). Повышенное давление в нагретой области сообщает импульс прилегающим слоям газа, вызывая распространение по газу волны давления и приводя газ в движение. Если волна давления опережает тепловую волну, идущую от зоны тепловыделения, то в волне давления газ адиабатически сжи- сжимается и температура его возрастает. Как следствие, увеличивается скорость экзотермических реакций в газе и в нем происходит интен- интенсивное тепловыделение. Скорость распространения волны тепловы- тепловыделения такого вида определяется скоростью распространения волны повышения давления в газе. В дальнейшем (в гл. II) будет уста- установлено, что волны непрерывного повышения давления в газе рас- распространяются со скоростью звука и имеют тенденцию превращаться в разрывы—скачки уплотнения, скорость распространения которых по газу сверхзвуковая. Таким образом, механизм, о котором идет речь, приводит к сверхзвуковой скорости распространения зон тепло- тепловыделения по газу. Этот механизм может быть не связан с физико- химическими процессами переноса энергии и вещества на молеку- молекулярном и субмолекулярном уровнях; он может приводить к распро- распространению зоны экзотермических химических реакций и при полном отсутствии теплопроводности и диффузии. В приложениях большое значение имеют движения газа с тепло- подводом, в которых толщина зоны тепловыделения весьма мала в сравнении с характерными размерами рассматриваемой области движения газа (например, с длиной и диаметром трубы, по которой движется горючая смесь). В таких случаях зону тепловыделения можно рассматривать как разрыв. Из законов сохранения D.1)—D.3) следует, что с двух сторон поверхности разрыва параметры газа связаны вновь соотношениями E.16)—E.18). В предыдущем изложе- изложении эти соотношения использовались как связи между параметрами газа в двух сечениях трубы, находящихся на конечном расстоянии одно от другого; для их получения требовался ряд допущений: труба цилиндрическая и стенки ее непроницаемы, газ не испытывает дей- действия массовых сил и сил трения на стенках трубы. При использо- использовании соотношений E.16)—E.18) как условий с двух сторон разрыва эти допущения сводятся только к отсутствию на поверхности раз- разрыва сосредоточенного притока массы, импульса и механической энергии. Если тепло выделяется в самом газе, то, по-прежнему, в урав- уравнении E.18) Q = p1V1q9 где q—сосредоточенный на разрыве подвод тепла к единице массы газа, и это уравнение можно использовать в виде E.19) или E.20); если же тепло сообщается газу путем по- поглощения подходящего к фронту разрыва излучения, то Q есть та часть удельного потока энергии излучения, которая поглощается на скачке.
112 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Ограничимся случаем, когда Q = piVr1q', и будем для простоты считать, величину q постоянной и заданной заранее, а Л и hx—оди- hx—одинаковыми функциями от давления и плотности *). Исключив из равенства E.19) скорости V и Уг с помощью ра- равенств E.16) и E.17), получим уравнение h-K = 4 (t>i + v) (p-Pl) + q. E.24) Это уравнение обобщает соотношение Гюгонио D.10) на случай, когда при переходе газа через скачок ему сообщается тепловая энер- энергия q. Если эта энергия подводится в результате преобразования других видов внутренней энергии самого движущегося газа, то про- процесс перехода газа через скачок в целом является адиабатическим. В связи с этим соотношение E.24) и при q=?0 часто называют так же, как и при q = 0>—адиабатой Гюгонио. Соотношению E.24) при данных v± и рх и при каждом фиксиро- фиксированном q соответствует в плоскости v, р кривая Гюгонио с центром v19 ри точки которой дают возможные состояния газа со скачком. Очевидно, что и после постепенного подвода данного количества тепла q к газу с начальным состоянием vu pu текущему в цилинд- цилиндрической трубе без трения и действия массовых сил, его конечному состоянию должны соответствовать точки той же кривой Гюгонио. При разных значениях q кривые Гюгонио образуют семейство, которому принадлежит (при q = 0) и обычная адиабата Гюгонио. *) Энтальпия (теплосодержание) смеси газов перед скачком и за ним с учетом нетепловых видов внутренней энергии е есть сумма энтальпий компонент смеси: п t l где a/i — начальные массовые концентрации исходных компонент смеси (в общем случае неравновесные), гх;—их нетепловая внутренняя энергия, а/—концентрации продуктов реакции (которые часто можно считать равновесными), 8/ — их нетепло- нетепловая внутренняя энергия. Входящая в уравнение энергии разность Л-Лх= 2 «/№i +8/)- 2 a/i(/j/i + 8/i) = il *1 п nt пх 2 «л-— 2 а<'Л*1— 2 а'1е*1— 2 *i i \i 2 а'1е*1— 2 определяет тепловой эффект реакций q при прохождении газом скачка (выражение справа в круглых скобках). При заданном составе смеси перед скачком этот эф- эффект в общем случае зависит от термодинамического состояния газа за скачком (по- п скольку от него зависят концентрации а/). Вид зависимости функций h— Hi и hi— 2 a/i^ l от р и р тоже в общем случае различен.
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 113 При q?*0 кривая Гюгонио в общем случае не проходит через свой центр. Так как точка, соответствующая состоянию газа после подвода к нему тепла q, должна одновременно принадлежать и прямой Рэ- лея — Михельсона р—рх = — m2(v—vt), то физический смысл могут иметь лишь участки кривой, определяемой соотношением E.24), в квадрантах р > ри v < vA и р < ри и > v1. Эти условия выделяют на кривой Гюгонио две отдельные ветви. На рис. 1.5.9 приведены кривые Гюгонио для совершенного га- газа (с v= 1,4) при <7=0 и при q>0 (конкретно—при q/(cpT1)^2)\ там же в более удобных масштабах приведены отдельно две части этих кривых. Кривая при q > 0 целиком лежит над кривой, для которой q = 0, и тем выше над ней, чем больше q. Действительно, продифференцируем соотношение E.24) при v = const. В результате получим Для совершенного газа h=^—^pvy и выражение в скобках, рав- равное y['^Z71v—V4> положительно (кривая Гюгонио определена при v > ^—}vt для всех q > 0 ], так что на кривых Гюгонио -?¦ > 7+ / Щ t»=const > 0, чем доказывается высказанное утверждение (оно справедливо при некоторых дополнительных ограничениях и в случае нормаль- нормального газа). Режимы тепловыделения, при которых состоянию газа после под-
?14 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ вода тепла соответствуют точки нижней ветви кривой Гюгонио, на- называются дефлаграцией, а режимы, которым соответствуют точки верхней ветви,—детонацией. Если подвод тепла происходит в скач- скачке, скачок называется соответственно волной дефлаграции или вол- волной детонации. При детонации происходит уплотнение газа и по- повышение его давления, энтропия во всех точках соответствующей ветви кривой Гюгонио больше ее значения перед подводом тепла. При дефлаграции, напротив, газ разрежается и давление в нем па- падает. На части дефлаграционной ветви кривой Гюгонио энтропия, несмотря на подвод тепла, меньше начальной и соответствующие ей режимы теплоподвода не могут реализоваться (эта часть кривой ле- лежит ниже адиабаты Пуассона, проходящей через начальную точку; см. рис. 1.5.9, где эта адиабата показана штрихпунктиром). Напомним, что в уравнении прямой Рэлея—Михельсона m = p1V1, и каждая такая прямая соответствует определенной скорости Vx газа в начальном состоянии. Отметим на каждой ветви кривой Гюгонио точку, в которой ее касается m-прямая (рис. 1.5.9); обозначим соответствующие этим точкам J и J± значения скорости Vx через Vj и VJt. Из рис. 1.5.9 видно, что Vj больше скорости звука aL в начальном состоянии, а Vjt—меньше ее (это следует из сравнения наклона касательных J0 и OJj с наклоном касательной к адиабате Пуассона в точке О). Значения V j и VJx зависят от теплоподвода q\ при больших q ско- скорость Vj значительно превышает скорость звука а19 скорость же VJt$ напротив, мала сравнительно с ах. При q > 0 и детонационных ре- режимах теплоподвода скорость V1 может изменяться в диапазоне аг < < Vj (q) ^ Vx < оо, а при дефлаграционных—в диапазоне 0 < Vx ^ ^Vjt(q) < ах. При данном q режимы со скоростью газа V1 перед зоной тепловыделения в диапазоне VJx < Vy < Vj не осуществляются. Точки J и J1 называются точками Чепмена—Жуге, а соответ- соответствующий им режим тепловыделения называется нормальным или режимом Чепмена—Жуге. На детонационной ветви кривой Гюгонио различают режимы сильной (пересжатой) детонации—вверх от точ- точки J, и режимы слабой детонации (быстрого или сверхзвукового горения)—вниз от нее. На дефлаграционной ветви точка Jx отделяет режимы слабой дефлаграции (или медленного горения)—вверх от нее, от режимов сильной дефлаграции. Ранее, в § 4, было получено дифференциальное соотношение D.12) вдоль адиабаты Гюгонио (при <7 = 0) Tds =*1 (p-Plf d -L =, _ | (V-VlLm\ E.25) справедливое, очевидно, и при q Ф 0 (при дифференцировании вдоль кривой Гюгонио в соотношении E.24) q-=-const). Таким образом, в точках J к Jt кривая Гюгонио и адиабата Пуассона имеют общую касательную, откуда следует, что в режиме Чепмена—Жуге ско- скорость газа V после подвода к нему тепла равна скорости звука в
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ 115 этом состоянии. Кроме того, в этих точках вдоль кривой Гюгонио d V2 д V2 I 9 д v* \ о d*v dp а2 " dp а2 \s Ш dp а2 \s Ш Для нормального газа -^ —hppp>0> так что на кривой Гю- Гюгонио вблизи точек Чепмена—Жуге с ростом давления отношение V/a уменьшается. Это свойство сохраняется вдоль всей кривой Гю- Гюгонио. Таким образом, после теплоподвода в режимах медленного горения и сильной детонации V < а, в режимах сильной дефлагра- ции и сверхзвукового горения V > а. При фиксированном q одному и тому же значению скорости Уг в диапазоне Vj < Vx < 00 может соответствовать и сильная детона- детонация, и быстрое горение (точки D и D' на рис. 1.5.9). В диапазоне О < Vx < VJx по мере роста скорости V± возможны следующие режи- режимы тепловыделения. При значениях V19 меньших некоторой вели- величины, возможно лишь медленное горение, так как m-прямая пере- пересекает кривую Гюгонио в одной точке над точкой J± (точка С на рис. 1.5.9). При увеличении Vx появляется вторая точка пересече- пересечения—на участке сильной дефлаграции. Вначале эта точка лежит ниже кривой s = s1 и не должна приниматься во внимание; при дальнейшем приближении скорости Vx к VJx одному и тому же зна- значению Ух может соответствовать и медленное горение, и сильная дефлаграция (точки F и F' на рис. 1.5.9). Если к газу, движущемуся в цилиндрической трубе, тепло q под- подводится постепенно (dq/dx > 0), то соответствующая состоянию газа точка в плоскости и, р перемещается в одном направлении вдоль прямой Рэлея—Михельсона. Таким путем достижимы только точки кривой Гюгонио на участках режимов медленного и быстрого горе- горения, включая и нормальные режимы. Для того чтобы достичь, пе- перемещаясь вдоль /л-прямой, точку на участке режима сильной деф- дефлаграции (точка/7') или на участке сильной детонации (точка D), требо- требовалось бы после прохождения точки F или D', когда к газу уже подведено тепло q9 сообщать ему дополнительное тепло до достиже- достижения критического режима, а затем, перейдя через скорость звука, все это дополнительное тепло отвести. Точки на участке режимов сильной детонации могут быть дос- достигнуты и иным образом. Поместим в сечении трубы после подвода к газу некоторого количества тепла (точка Р на рис. 1.5.10) при все еще сверхзвуковой скорости газа скачок уплотнения. Построим адиабату Гюгонио с центром в точке Р. Точка S пересечения этой адиабаты с m-прямой соответствует состоянию газа за скачком; ско- скорость газа в этом состоянии дозвуковая. Продолжим после скачка подвод тепла к газу; при этом изображающая точка на /л-прямой будет перемещаться в сторону роста энтропии, т. е. к точке D, ко- которую она достигнет, когда суммарный подвод тепла станет равным q. Так как точка Р на отрезке OD' выбрана произвольно, то отсюда
]1б ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ следует, что состояние газа в точке D, соответствующей режиму •сильной детонации с теплоподводом q при сверхзвуковой начальной «скорости, может быть достигнуто, если в каком-либо месте в зоне подвода тепла имеется скачок уплотнения. В частности, скачок мо- может находиться в начальном сечении—до подвода к газу тепла, или в сечении, где подвод тепла уже завершился. В первом случае газ из начального состояния (точка О на рис. 1.5.10) адиабатически переходит в сос- состояние за скачком (точка 50), после чего состояние газа меняется при подводе теп- тепла непрерывно вдоль отрезка S0D m-пря- мой. Во втором случае состояние газа при подводе тепла меняется непрерывно вдоль той же m-прямой от начального состояния в точке О до состояния D', а затем адиа- адиабатически скачком—до состояния D. Оче- Очевидно, что состояние в точке D связано законами сохранения (без теплоподвода) с v состоянием в точке D', и поэтому точка Рис. 1.5.10 D принадлежит адиабате Гюгонио с цент- центром в точке D' (эта адиабата не показана на рис. 1.5.10, но она не совпадает с проведенной там и тоже про- проходящей через точки D' и D кривой Гюгонио с центром в точке О и с теплоподводом q > 0). Состояний, соответствующих режиму сильной дефлаграции, нельзя достичь аналогичным образом, т. е. помещая адиабатический скачок в каком-либо месте внутри зоны теплоподвода, так как скачок в этом случае был бы скачком разрежения, что невозможно в нор- нормальном газе. Если вся распространяющаяся по газу зона тепловыделения мо- моделируется разрывом, то изменение давления и удельного объема газа при прохождении им этой зоны, т. е. при переходе от началь- начального состояния (точка О) к конечному (точка пересечения кривой Гюгоиио и прямой Рэлея—Михельсона), ни в какой части зоны тепловыделения не обязано следовать прямой Рэлея—Михельсона. Внутреннее строение (структура) зон тепловыделения, которые заменяются поверхностями разрыва, может быть очень сложным, и для его описания должны в необходимых случаях использоваться соответствующие усложненные модели среды и процессов в ней. Хорошо изучена теоретически и экспериментально структура эк- экзотермических волн, в которых тепло выделяется при химических реакциях и которые распространяются либо благодаря теплопровод- теплопроводности и диффузии (волны медленного горения), либо благодаря ударной волне, нагревающей газ и инициирующей химические реакции (волны сильной и нормальной детонации). Показано теоретически, что описанные механизмы тепловыделения и распрост- распространения волны могли бы приводить к образованию волн сверхзву-
§5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ГАЗА В ТРУБКЕ Ц7 нового горения, но для этого требуются значения скоростей хими- химических реакций и коэффициентов теплопроводности (и диффузии), которых у реальных смесей газов не бывает. Экспериментально та- такие волны не наблюдались. В случае лазерного горения имеются экспериментальные наблю- наблюдения самораспространяющихся волн сильной и слабой детонации и волн медленного горения, в небольшом числе случаев теоретически изучена их структура. При теоретическом рассмотрении внутренней структуры волн с тепловыделением при ядерных реакциях показана возможность распространения таких волн в зависимости от условий в режимах сильной и слабой детонации и в режиме медленного го- горения. Что касается волн сильной дефлаграции (допускаемых законами сохранения и вторым началом термодинамики), то до настоящего времени распространение таких волн не наблюдалось эксперимен- экспериментально. Проведенные теоретические исследования химического, ла- лазерного и ядерного горения не указывают на возможность сущест- существования таких волн. Не предложены и какие-либо другие модели реальных физических процессов тепловыделения и теплопередачи, которые приводили бы к самораспространяющимся волнам сильной дефлаграции. При решении задач газовой динамики с моделированием зон тепловыделения поверхностями разрыва заранее должно быть ука- указано, в каком из четырех возможных режимов распространяется волна тепловыделения *). В случае волн медленного и быстрого горения дополнительно к соотношениям, которыми вследствие законов сохранения связаны параметры газа с обеих сторон поверхности разрыва, необходимо задавать скорость распространения волны по газу (как уже говори- говорилось, эта скорость не может быть произвольной, а является харак- характеристикой среды, в которой происходит тепловыделение). При ре- решении задач с волнами сильной дефлаграции (если такие задачи возникнут) требуется задавать два дополнительных условия. Лишь для волн сильной (и нормальной) детонации дополнительные усло- условия к законам сохранения не требуются: эти волны в одной и той же среде могут распространяться с любой сверхзвуковой скоростью, большей или равной скорости волны в режиме Чепмена—Жуге (определяемой начальным состоянием газа vl9 рг и величиной тепло- подвода q). Причины различия в числе требуемых условий на экзотермиче- экзотермических скачках при разных режимах их распространения связаны с различием в соотношениях между скоростью газа и скоростью звука за скачком и перед ним и будут пояснены позднее (см. § 9 гл. II). *) При распространении экзотермической волны ее режим может измениться; например, волна медленного горения может перейти в волну сильной детонации. Постановка газодинамических задач должна включать в таких случаях и критерии, определяющие смену режима распространения волны.
118 ГЛ. 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ § 6. Взаимодействие газа с движущимся в нем телом Изучим силовое и энергетическое взаимодействие газа с движу- движущимся в нем поступательно с постоянной скоростью телом (или си- системой тел). Будем предполагать, что газ занимает безграничное пространство и что вдали перед телом он однороден и покоится. Сообщив системе газ—тело поступательную скорость, равную по ве- величине и противоположную по направлению скорости тела, обратим движение, т. е. рассмотрим установившееся обтекание покоящегося тела неограниченным однородным в бесконечности перед телом по- потоком газа *). В хорошем соответствии с опытом можно считать, что по мере удаления вниз по течению от тела давление газа р в поперечных к набегающему потоку плоскостях вырав- выравнивается и приближается к давлению набегающего невозмущенного потока *) //////////////У///////////////, //у////////////////////////// Pi) Для определения силы, действующей со стороны газа на тело, поместим мыс- мысленно тело в длинную цилиндрическую трубу, образующие которой параллель- Рис- 1#6Л ны скорости набегающего потока (рис. 1.6.1). Поперечное сечение трубы выбе- выберем столь большим, чтобы течение около тела не отличалось за- заметно от течения при отсутствии трубы. Обтекание тела безгранич- безграничным потоком будем рассматривать как предел его обтекания в трубе при удалении контура сечения трубы в бесконечность. Применив к объему газа в трубе между ее сечениями далеко перед телом и далеко позади него (площади этих сечений <У1 и of одинаковы) уравнение сохранения массы и уравнение импульсов (в последнем пренебрежем внешними массовыми силами), получим puda=p1V1<?1, F.1) R. F.2) Здесь и—проекция скорости газа на направление набегающего по- потока, i—единичный вектор в этом направлении, R есть сумма силы *) Установившийся характер обтекания в системе координат, в которой тела неподвижно, является предположением: при постоянной скорости набегающего по- потока вблизи тела и за ним могут возникать колебания газового потока (см. § 17 гл. III). **) В теоретических моделях обтекания тел идеальным газом предположение о выравнивании давления позади тела не всегда выполняется. Так, в результате взаимодействия с телом движущийся газ в целом или в отдельных областях может приобретать момент количества движения в направлении набегающего потока, не исчезающий при удалении от тела вниз по течению. Связанные с этим моментом незатухающие вращательные движения газа служат причиной сохранения неодно- неоднородности давления в поперечных к набегающему потоку плоскостях.
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ Ц9 Р19 действующей со стороны газа на обтекаемое им тело, и силы У?2, действующей изнутри на участок поверхности трубы между се- сечениями if\ И if. Как и ранее, вязкие напряжения в сечениях if1 и if не учиты- учитываются. Если пренебречь вязкими напряжениями и на поверхности трубы, то сила /?2 может быть лишь нормальной к направлению набегающего потока, так что, проектируя уравнение F.2) на это направление, получим Rix = (Pi-p)* + или, заменив (как это уже делалось выше в § 3) интеграл по пло- площади интегралом по потоку массы протекающего газа с учетом его сохранения в трубках тока, V1—u)dm. F 3) Здесь Rlx—сила, действующая на обтекаемое тело в направлении набегающего потока. Если сила Rlx положительна, то величина X=^Rlx есть сопротивление тела; если Rlx отрицательна, то вели- величину Т = — Rlx называют тягой тела (системы тел). Пусть течение газа между сечениями if ^ ^ if происходит без энергетического взаимодействия с расположенными в трубе телами или с внешними источниками энергии и обратимо. В соответствии с результатами § 3 полное теплосодержание и энтропия газа в се- сечении if будут при этом постоянны и равны их значениям в набе- набегающем потоке: ho = hou s^Sx. Но тогда из постоянства давления р в этом сечении следует, что теплосодержание h(p, s), плотность р(р, s) и скорость V в этом сечении тоже постоянны. Примем до- дополнительно, что скорость в сечении if направлена вдоль образую- образующей трубы, так что в выражениях F.1) и F.3) u = Vlt Уравнение расхода после сокращения на Sf = Sf>1 примет при этом вид При постоянных h0 и s произведение рУ есть функция одного только давления. Для совершенного газа эта функция изображена на рис. 1.3.6 (согласно § 3 аналогичный вид она имеет и в случае нормального газа, удовлетворяющего условию г', см. § 1). Видно, что давление р есть двузначная функция от рУ, т. е. при равенстве pV = pxVx давление р либо равно ри либо отличается от него на конечную величину. Так как по предположению сечение трубы выб- выбрано столь большим, чтобы р отличалось от рх сколь угодно мало, то следует считать р = рг. При р = ру очевидно и V=VU так что согласно формуле F.3) /?1а: = 0 и, следовательно, сила /?х может действовать на тело лишь в поперечном к набегающему потоку направлении.
120 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Этот вывод об отсутствии действующей на тело силы сопротив- сопротивления при обтекании его газом в цилиндрической трубе достаточно большого произвольного сечения и в пределе—в неограниченном пространстве называется, как известно, парадоксом Эйлера—Да- ламбера. В случае, если в потоке находится не одно тело, а система тел, сила, действующая параллельно скорости набегающего потока на каждое отдельное тело, не обязана быть равной нулю; нулю равна лишь сумма таких сил, приложенных ко тзсем телам. Вернемся вновь к формуле F.3). Во многих случаях, в том числе и при энергетическом взаимодействии газа с помещенными в трубу телами и с расположенными в ограниченной области потока источ- источниками внешней энергии, можно считать, что при if —*¦ оо разность давлений р—рг в сечениях трубы далеко за телом и в набегающем потоке стремится к нулю так, что II п (pl—p)<99 = 0. 5-> оо Следовательно, в таких случаях сопротивление или тяга тела в неограниченном потоке определяются формулой F.4) где интеграл берется по всему бесконечному массовому расходу об- обтекающего телом потока. Если при взаимодействии тела с потоком полное теплосодержа- теплосодержание и энтропия (или давление торможения) газа изменяются вдоль трубок тока, то сила Rlx, определенная по формуле F.4), в общем случае не равна нулю и может быть положительной (и тогда тело при движении в газе испытывает сопротивление X = Rlx) или отри- отрицательной (тогда на тело при движении его в газе действует сила тяги T = — Rlx). В случае, когда в обтекающем тело адиабатическом потоке про- происходят необратимые процессы (например, имеются скачки уплотне- уплотнения, что возможно либо при сверхзвуковой скорости набегающего потока, либо тогда, когда при набегающем дозвуковом потоке вблизи тела образуются зоны со сверхзвуковой скоростью), полное тепло- теплосодержание Ао газа за телом сохраняется тем же, что и в набегаю- набегающем потоке, т. е. равным А01, а энтропия газа возрастает (соответ- (соответственно его полное давление падает). Применим интеграл адиабатич- ности к сечениям далеко перед телом и за ним: 1/2 I/? Из этого интеграла, равенства р = рг и того, что А5 = Г>0, полу- получаем, что u2^V2 <V\ и, следовательно, Rlx > 0, т. е. тело при движении испытывает сопротивление. (Сопротивление, связанное с
$ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ 121 образованием скачков уплотнения и необратимым ростом энтропии газа в них, называют волновым сопротивлением.) При небольшом росте энтропии (например, в случае слабых ударных волн) можно явно выразить сопротивление тела через из- изменение энтропии в потоке. Действительно, считая разность s—slt и, следовательно, разность V1—V малыми величинами, получим из интеграла адиабатичности -J-^ (s-Sl) ^ 7\ (s-Sl) = V, (V.-V). Отсюда и из формулы F.4) (принимая u = V) получим Х- lim J Pi7\(s—sjdor. &-*• °° & Так как при сохранении полного теплосодержания h0 и росте энтропии s тело испытывает сопротивление при движении в газе, то возникновение тяги связано в общем случае с ростом h0 при отно- относительном движении газа, т. е. с подводом к газу энергии—меха- энергии—механической или тепловой. В уравнении энергии, примененном к одной и той же частице газа в сечениях далеко перед телом и за ним: А(Л, «) + —= MPi> sJ + ^ + w' + q, s s величину h{pl9 s)—h(pl9 sx)= ^ hsds= j Tds = qPi можно p = Pi p = pt = const трактовать как тепло, которое нужно отвести от газа в сечении за телом обратимым образом при постоянном давлении рг для того, чтобы вернуть газ в начальное термодинамическое состояние. Эта величина характеризует необратимые потери подводимой к газу энергии, т. е. ту ее часть, которая не переходит в кинетическую энергию газа в сечении за телом, а сохраняется в газе в виде избы- избыточного тепла; вследствие потерь газ в этом сечении и при <7 = 0 обладает более высокой температурой, чем в первоначальном состоянии перед телом. При ^^--0 и при отсутствии потерь вся подводимая к газу механическая энергия переходит в его кинетическую энергию. В отличие от этого, подводимая тепловая энергия не может пол- полностью перейти в кинетическую энергию газа; в кинетическую энер- энергию превращается лишь разность q—qPi, причем qPx, очевидно, тем больше, чем больше потери при подводе тепловой энергии. Для полетов в атмосфере Земли (или в газовой среде других планет) используются различные типы двигателей, т. е. устройств, создающих тягу. При взаимодействии элементов таких устройств с воздухом к воздуху подводится энергия: тепловая при его нагреве, механическая—при работе винта, вентилятора или компрессора.
122 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Во всех существующих типах двигателей, создающих тягу при подводе энергии воздуху, источником подводимой энергии является химическое топливо. В будущем может стать возможным использо- использование для нагревания воздуха ядерных источников энергии, а также энергии подводимого дистанционно извне излучения. В поршневых двигателях энергия, выделяющаяся в его цилиндрах при горении топливо-воздушной смеси, преобразуется винтом (про- (пропеллером) в механическую энергию, которая сообщается воздуху, создавая тягу. Тяга, возникающая при истечении самих продуктов сгорания топливо-воздушной смеси, при этом незначительна или вообще отсутствует. При вращении винта (вентилятора) газовой турбиной (турбокомп- (турбокомпрессор ным агрегатом) тяга создается частично винтом, а частично образуется при истечении через сопло про- Y//////////////////////////////A дуктов сгорания и нагретого ими воздуха, причем эта часть тяги сравнима с тягой Т в' с <zzz>. Ct винта или превосходит ее. Такие двига- двигательные установки называются турбовин- f товыми (ТВД) и турбовентиляторными (дву хконтур ными реактивными—Т РДД). Если тяга создается только при исте- г? чении из сопла продуктов сгорания и наг- нагретого ими воздуха, прошедших через тур- РиСр 1#6 бокомпрессорный агрегат, то такой двига- двигатель называется турбореактивным (ТРД). При достаточно большой скорости полета, когда необходимое повышение давления воздуха в двигателе перед подводом к нему тепла может достигаться путем торможения воздуха, надобность в компрессоре, повышающем давление воздуха (и в турбине, необхо- необходимой для вращения компрессора), отпадает и турбореактивный двигатель превращается в прямоточный воздушно-реактивный (ПВРД). Существуют и другие типы воздушно-реактивных двигателей (ВРД), приспособленные для разных условий полета. Изложим элементы теории воздушно-реактивных двигателей, вклю- включая в их число и двигатель с подводом воздуху только механической энергии в винте (вентиляторе). Разделим поток воздуха, в который помещен двигатель, на две части (рис. 1.6.2). Ту часть потока, которая энергетически взаимо- взаимодействует с элементами двигателя, т. е. к которой подводится энер- энергия—механическая или тепловая, назовем внутренним потоком (ограничен линиями АСВ и А1С1В1 на рис. 1.6.2), остальную часть назовем внешним потоком (вне линий АСВ и А&В^). Силовое воздействие на летательный аппарат в целом оказывают и внутренний поток, и внешний поток. При этом, особенно при больших скоростях полета, силы, действующие на аппарат со стороны внешнего и внутреннего потоков, неразделимы.
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ 123 Границы внутреннего и внешнего потоков могут частично совпа- совпадать с обтекаемыми газом твердыми поверхностями (как н,а рис. 1.6.2 на участках А'В' и А[В'^), а в остальной части (или целиком) пред- представляют собой поверхности раздела обоих потоков. Введем для каждого из двух потоков—внешнего и внутреннего — соответственно силы Re и /?,, с которыми поток действует на нахо- находящиеся в нем тела и на поверхность его границы. Обе эти силы определим формулами где R обозначает Re или /?,,, <ff—соответствующая каждому из двух потоков поверхность его границы и поверхность обтекаемых им тел, п—внешняя по отношению к рассматриваемому потоку нормаль в точках поверхности <SP. Проекцию X=-Rex силы Re на направление набегающего потока назовем внешним сопротивлением, а величину Т = — Rix—внутренней тягой двигателя. При сложении обеих сил Re и Rt их сумма представит полную силу, действующую со стороны газа на все обтекаемые им тела, так как на свободных участках поверхности раздела двух потоков силы взаимно уничтожаются. Если проекция Rx этой полной силы на направление набегающего потока отрицательна, то величина ТЭф = — Rx^T—Rex называется полной или эффективной тягой (или просто тягой). Имея в виду ограничиться в дальнейшем лишь простейшими схемами двигателей, в которых во внутреннем потоке энергия подво- подводится одинаковым образом ко всем частицам (схемы двигателя с воз- воздушным винтом, прямоточного и турбореактивного воздушно-реактив- воздушно-реактивных двигателей), применим для внутреннего потока квазиодномерное описание. Обозначим через G расход газа (воздуха) во внутреннем потоке. В тех случаях, когда воздуху сообщается тепловая энергия путем сжигания в нем топлива, влиянием подвода топлива на изменение G будем пренебрегать (см. с. 101—102). Из теоремы импульсов для внутреннего потока между его сечениями далеко перед телом и за ним получим Q(V-VJ= J (pn + Pln)da. Здесь <&" — замкнутая поверхность, состоящая из границы & внут- внутреннего потока, поверхности помещенных в него тел и поверхности сечений потока перед телом и за ним. Так как в этих сечениях рп = —/?!#, то их вклад в интеграл в правой части предыдущего выражения равен нулю и, согласно данному выше определению, этот интеграл представляет собой силу —/?,-. В проекции на направление набегающего потока получаем формулу, определяющую внутреннюю тягу: Ух). F.5)
124 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Покажем теперь, что при обратимом течении во внешнем потоке внешнее сопротивление равно нулю, так что внутренняя тяга дви- двигателя совпадает в этом случае с эффективной тягой. Как и раньше, изучим вначале движение в цилиндрической трубе с образующими, параллельными набегающему потоку (рис. 1.6.2), и с площадью сечения <^0, считая, что давления рг и р в бесконечности впереди и сзади выравниваются по сечению трубы. Проводя те же рас- рассуждения, что и в случае обтекания в трубе тела конечных размеров, из уравнений сохранения массы и уравнения импульсов для внешнего потока получаем ^^-Pi^iC^o-^OKx^ \ {pn-\ pvti)da. Здесь <У—замкнутая поверхность, состоящая из границы of внешнего потока и поверхности помещенных в него тел, поверхности сечений этого потока и внутренней поверхности цилиндрической трубы. Так как на поверхности сечений давление постоянно и равно соответ- соответственно рх и р, то интеграл в правой части можно представить в виде суммы где R2 есть интеграл от рп + рхп по поверхности трубы. Первое слагаемое в правой части, взятое с обратным знаком, есть по опре- определению сила Re. Таким образом, Пренебрегая вязкими напряжениями на поверхности цилиндри- цилиндрической трубы и проектируя это выражение на направление набегаю- набегающего потока, получим Если площади сечений внутреннего потока 9Х и & сохраняются коечными при сУ0—*оо, то при этом р—>рх и V-+Vx. В пределе значения Ар = р—рх и AV = V—Vx связаны, как это следует из уравнений движения при отсутствии необратимых процессов соотно- соотношением так что —X = (pV AV + Др) (сУ0—if) -> 0. Таким образом, при обратимом течении во внешнем потоке внеш- внешнее сопротивление равно нулю и, следовательно, внутренняя тяга
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ 125 и эффективная тяга совпадают. Если течение во внешнем потоке необратимо, то внешнее сопротивление отлично от нуля и положи- положительно, так что эффективная тяга меньше внутренней тяги, опреде- определенной формулой F.5). Важной характеристикой двигателя летательного аппарата является полетный коэффициент полезного действия (к. п. д.), определяемый формулой Т. Ух где Т—тяга (эффективная), Vx—скорость полета, W—мощность, подводимая к газу в двигателе. Полетный к. п. д. выражает долю этой мощности, идущую на перемещение летательного аппарата. Согласно предыдущему, т} можно представить в виде или в виде где v2 мэ- W' + Q представляет собой долю подводимой энергии, которая идет на приращение кинетической энергии внутреннего потока. Величи- Величина г)э характеризует совершенство двигателя как такового и на- называется его энергетическим к. п. д. или просто /с. п. д. Выше было показано, что при идеальном подводе механической энер- энергии к газу вся энергия может идти на увеличение кинетической энергии газа, т. е. может быть г\э= 1; при идеальном подводе тепло- тепловой энергии всегда г)э < 1. Значение т)э можно повысить путем по- повышения давления, при котором к газу подводится тепло. Величина Лп = vjla/ ' связана с использованием тяги двигателя для перемеще- перемещения летательного аппарата (при этом должно быть V > Vt) и назы- называется пропульсивным к. п. д. Очевидно, что цп < 1 и тем ближе к единице, чем ближе V к Vy\ однако при малых V—Vy для получения заданной тяги необходимы большие расходы проходящего через дви- двигатель воздуха. Поэтому в реальных двигателях разность V—Vt не может быть слишком малой. Рассмотрим простейшие по схеме их работы ВРД—прямоточ- ВРД—прямоточный (ПВРД) и турбореактивный (ТРД). В идеальном прямоточном ВРД (рис. 1.6.3) воздух перед подводом тепла тормозится адиабатически и обратимо до нулевой скорости, так что давление его рОх становится равным давлению
126 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ торможения р01 набегающего потока *): Т —Т п - п — р1 1 ох ~-i oi» Pox - Pol - _ Ai)V/(Y- 1) Л — 2срТ01 Затем, при сохранении давления и при нулевой скорости воздуха, к нему подводится тепло, так что срТог=срТОх + q, рог = Рох- Пос- После этого газ адиабатически обратимо расширяется от давления Рис. 1.6.3 Рот = Pot Д° Давления р = рг. При этом ГО = 7ОГ, /7Ot= P1 А-/. Отсюда 2СрТ0г .Таким образом, в идеальном прямоточном ВРД и, следовательно, тяга идеального прямоточного ВРД выражается формулой ;*;-О- Это выражение^показывает, что прямоточный ВРД может разви- развивать тягу лишь в полете, т. е. при УгФ0, и не может создавать тягу на старте. Для энергетического и пропульсивного к. п. д. идеального ПВРД легко получить формулы А2 2 2 В идеальном пгурбокомпрессорном двигателе (рис. 1.6.4) газ, предварительно заторможенный и сжатый при этом до давления рОх=,р01= 2P4v/(v-d при Т^ = Тоъ дополнительно сжимается в компрессоре адиабатически обратимо до полного давления рОх, с *) При таком торможении до нулевой скорости площадь сечения внутреннего потока должна была бы неограниченно возрасти. Можно, однако, считать, что торможение происходит не до нулевой скорости, а например, до Л. = 0,1; при этом давление будет отличаться от полного менее чем на 1 %.
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ 127 подводом к единице массы газа работы wK, так что v (Величина як = РоХ'/Рох называется степенью сжатия газа в компрес- компрессоре.) Затем при постоянном давлении к воздуху подводится тепло: Рог = Рох>, СрТог = CpTw + Ц. Далее воздух адиабатически обратимо расширяется сначала в турбине, X ss= К ¦а = - т Г г Рис. 1.6.4 совершая над ее рабочим колесом работу wlf так что у Т Т г/,, Por' ^or'V r r Рог \ L or / Величина пт = рог/рОг, называется степенью расширения газа a турбине. Затем воздух адиабатически обратимо расширяется до давления р = Рг\ при этом Т —Т л Pi Из приведенных формул получаем 1 —Л2 1-л! 1+: WT 1 + wK F.6) В идеальном одноконтурном турбокомпрессорном двигателе wT = — wK=r-w, т. е. в турбине от газа отбирается ровно столько механи- механической энергии, сколько сообщается ему в компрессоре. В этом случае формула F.6) имеет вид w 1 + срТо1 При w = 0 отсюда получаем т. е. соотношение для идеального прямоточного двигателя. Естественно,
128 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ что при 0 = 0 v=vlt т. е. тяга равна нулю при любом значении w. В отличие от прямоточного ВРД, турбокомпрессорный двигатель способен развивать тягу на старте, т. е. при Vj = O. Действительно, из формулы F.7) следует, что при Vt^0 (Л1==0) и а>0 V > 0 (так как Л>0) и, следовательно, Т > 0. Эта же формула показывает, что при данном теплоподводе q величина Л, а вместе с ней и тяга двигателя, растет при росте w. Однако при этом возрастают степень сжатия газа в компрессоре и температура газа перед подводом к нему тепла. Это на практике ограничивает возможность увеличивать тягу двигателя путем роста до. Энергетический и пропульсивный к. п. д. такого двигателя равны i + и w cpToi w CpToi ] 2 /, i-л! v-i Як V Cpl 01 Энергетический к. п. д. не зависит от подводимого тепла q и растет с увеличением w/(cpT0l) или степени сжатия газа в компрессоре як. Если отбирать от газа при прохождении им турбины большую мощность, чем сообщается ему в компрессоре, т. е. если wT > wK9 то V уменьшится по сравнению со случаем wT = wK и соответственно уменьшится реактивная тяга истекающей струи. Однако при этом избыточную по сравнению с wK мощность турбины можно использо- использовать для создания дополнительной тяги от воздушного винта или вентилятора. Так устроены турбовинтовые и турбовентиляторные ВРД. В некоторых схемах турбокомпрессорных ВРД для увеличения тяги двигателя (как правило, кратковременного) к газу может под- подводиться дополнительное тепло уже после турбины—это двигатели с форсажной (дополнительной) камерой сгорания. В заключение рассмотрим теорию двигателя с идеальным подво- подводом к газу механической энергии. Будем различать два разных типа такого двигателя. В первом случае идеальный механический двигатель можно представить как предельный случай турбокомпрессорного двигателя при отсутствии подвода тепла к газу и отвода от газа механической энергии в тур- турбине. Вращение компрессора должно производиться при этом неза- независимым источником энергии с мощностью wK = w. Из формулы F.6) при wT=^0 следует 1—л2 1 W
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ 129 Подставив сюда Л* = и A* = получим 1/2 v\ Из этого соотношения, как и следовало ожидать, находим, что энерге- энергетический к. п. д. двигателя г)э равен единице; его полетный к. п. д. (он же пропульсивный к. п. д.) равен 14- I/ 14-=- Т) = Выразив w/(cpTol) через степень сжатия газа, преобразуем эту формулу к виду 2 1+ 1/ "kV "I приведена на Зависимость г) от як при некоторых значениях рис. 1.6.5. Рассмотренный случай соответствует винту или вентилятору, по- помещенному в кожух (насадок); сила тяги формируется при этом на подвижной поверхности винта и на поверхности обтекателя. П 0,8\ ¦**«^. **—— — т — — — — —— — — == — ^ ав« ¦ II 2 1 М 0,2 Рис. 1.6.5 Рис. 1.6.6 Вторым типом простой модели идеального движителя с подводом механической энергии—идеального винта (пропеллера) является так называемый несущий (тянущий) диск. В этом случае действие диска, моделирующего вращающийся винт, на протекающий воздух сосре- сосредоточено в плоскости диска. Поместим диск в середину слоя толщиной h (рис. 1.6.6) и заменим силовое действие диска на газ в струе, проходящей через диск, дей- действием равномерно распределенной в слое объемной силы fx, а энер- энергетическое действие—равномерным по объему слоя подводом меха- механической энергии w. 5 Г. Г. Черный
130 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Пусть при h —> 0 fx—+o° и w-^оо так, что h+0 где X есть суммарная сила, действующая со стороны диска на газ в направлении набегающего потока, и где W есть суммарная механическая энергия, подводимая к газу. Представим w в виде w = fxu, где и—некоторая условная скорость газа в слое. Если подвод механической энергии к газу связан только с действием силы fx, то и есть действительная скорость газа в слое (для несжимаемой жидкости в силу уравнения расхода и постоянна по толщине слоя). Тогда ( lfx 9 h-+0 \ о J где V—предельное значение средней по толщине слоя скорости и (в несжимаемой жидкости V есть просто значение скорости в пло- плоскости диска). С другой стороны, из уравнений сохранения имеем X = G(V-V1), w=. так что и, следовательно, т. е. средняя скорость V равна полусумме скоростей далеко перед диском и за ним. В несжимаемой жидкости приложенная к диску сила вызвана лишь разностью давлений с двух его сторон. В сжимаемом газе из-за возможного изменения скорости газа эта сила обусловлена и разно- разностью потоков количеств движения газа с обеих сторон диска. В за- зависимости от внутреннего устройства тянущего диска соотношение между обеими составляющими силы тяги может быть различным. Если, как и в несжимаемой жидкости, сила тяги связана лишь с разностью давлений, тянущий диск называется активным. Если же часть тяги обусловлена увеличением скорости газа при прохождении им диска, то тянущий диск называется реактивным.
§ 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГАЗА С ДВИЖУЩИМСЯ В НЕМ ТЕЛОМ 131 Для моделей идеальных механических двигателей (винтов) важ- важными характеристиками являются коэффициенты расхода и нагрузки. Из сохранения расхода в струе, проходящей через диск, в сече- сечении далеко перед винтом и в плоскости непосредственно перед винтом следует где р;—плотность в адиабатическом вующая скорости V[. Отсюда обратимом течении, соответст- соответстm Ф if Величина ф называется коэффициентом расхода. Коэффициент нагрузки определяется формулой Полетный к. п. д. идеального винта выражается через коэффи- коэффициенты расхода и нагрузки в виде 1 4ф При заданном коэффициенте нагрузки к. п. д. винта увеличивается с ростом ф. Для дозвуковой скорости полета наибольшее значение ф дости- достигается при звуковой скорости в сечении if, когда q(K)= 1 и Фтах = = Vq(K), Для сверхзвуковой скорости наибольшее значение ср = = const = 1. Таким образом, в случае, когда фиВ могут изменяться независимо, наибольшие значе- ния полетного к. п. д. идеально- го механического двигателя как функции от В даются формулами 1) 1 при при 0,8 0,6 — — *— — =^ — — — — Рис. 1.6.7 Графики этих зависимостей при некоторых Мх приведены на рис. 1.6.7. Для модели тянущего диска ср и В не являются независимыми. Так, в случае несжимаемой жидкости они связаны соотношениями так что -4Ф(?-1) и ф = ?
132 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ На рис. 1.6.7 штриховой линией представлен график этой зави- зависимости. Значения ц согласно этому графику ниже представленных там же сплошной линией значений при М^О, полученных для слу- случая, когда ф и В независимы. Модель тянущего диска в приведенной простой форме пригодна лишь при дозвуковой скорости набегающего потока и должна быть изменена при сверхзвуковых скоростях. § 7. Дифференциальные уравнения, соотношения на сильных разрывах и краевые условия Соотношения между параметрами газа для конечных объемов, полученные в § 2 из законов сохранения массы, импульса и энергии, справедливы для произвольного объема, занятого газом, и допускают существование разрывов в распределениях параметров газа. В области движения, где параметры газа непрерывны вместе со своими производными по координатам и по времени, из интеграль- интегральных законов сохранения можно получить эквивалентные им диффе- дифференциальные уравнения для нахождения зависимости искомых пара- параметров газа К, р и р от координат и от времени. Из этих же интегральных законов сохранения следуют и соотношения, которым должны удовлетворять параметры газа с двух сторон поверхностей разрыва, если они присутствуют в потоке. Интегральные соотношения B.8) — B.12) между параметрами газа в неподвижном объеме f° можно записать в следующей общей ска- скалярной форме: ~- J Adx + ^(AV+B)nda= j С dx9 G.1) где А и С—соответствующие скаляры, а В—вектор (векторные урав- уравнения B.9), B.10) представляются при этом в проекциях на оси координат). Вывод дифференциального уравнения, эквивалентного интеграль- интегральному соотношению G.1), основан на преобразовании в этом соотно- соотношении интеграла по поверхности of в интеграл по объему f^ по формуле Остроградского—Гаусса: l(W-n)do= J divWdx. Здесь вектор W имеет составляющие, непрерывные вместе со своими производными по координатам в объеме Ф. Используя приведенную формулу и то, что объем °Р неподвижен, так что производную по времени в соотношении G.1) можно внести под знак интеграла, преобразуем это соотношение к виду суэ
§7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 133 В силу произвольности объема ^ подынтегральное выражение в этом соотношении должно равняться нулю, т. е. a-? + d\v(AV+B)-C---0. G.2) При сделанных предположениях о непрерывности течения газа диф- дифференциальное уравнение G.2) эквивалентно интегральному соотно- соотношению G.1). С использованием тождественного преобразования где d/dt есть полная производная, уравнение G.2) можно записать в виде ^ + A div V -г div В—С = 0. G.3) Применим теперь это уравнение к конкретным законам сохране- сохранения, сопоставляя общий вид интегрального соотношения G.1) с выра- выражениями B.8)—B.12). В законе сохранения массы B.8) Л = р, # = 0, С = 0, так что из G.3) следует ^ + PdivV = 0. G.4) Это уравнение сохранения массы в дифференциальной форме назы- называется уравнением неразрывности. Векторное уравнение импульсов B.9) рассмотрим в проекциях на оси декартовой системы координат. Обозначим и, и, w компоненты вектора V вдоль осей ху у, z. Для проекции на ось х будет А = pi/, B = pi, C = pfx, где fx—проекция на ось х внешней массовой силы, действующей на среду. Таким образом, проекция на ось х интеграль- интегрального соотношения импульсов B.9) эквивалентна дифференциальному уравнению M + PMdivK После преобразования с учетом уже полученного уравнения G.4) найдем du_ , Ф_ f р dt^dx ~~р'*' или Преобразуя аналогичным образом проекции соотношения B.9) на оси у и z и объединив затем три скалярных уравнения в одно век- векторное, получим ^ = p/, G.5)
134 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ИЛИ А\/ 1 =/• G-6) Дифференциальное уравнение G.5) или G.6) есть уравнение импульсов или уравнение количества движения и называется уровне- нием Эйлера. Можно проверить, что получаемое из интегрального соотношения момента количества движения B.10) векторное дифференциальное уравнение удовлетворяется тождественно в силу уравнения импуль- импульсов, т. е. закон сохранения момента количества движения для конеч- конечного объема, в общем случае независимый от интегрального закона сохранения количества движения, не дает в рассматриваемом случае идеальной среды локального соотношения между параметрами, отли- отличающегося от уравнения импульсов. Для закона сохранения энергии B.11), при отсутствии притока тепла сквозь поверхность <zfy но с учетом тепловыделения q в единице массы газа, следует положить А = р(-^- + е), B = pV, C = p(f-V) + + РЯ, так что согласно G.5) получаем уравнение V) + pq. G.7) С использованием уравнений неразрывности и импульсов это уравне- уравнение можно привести к виду Уравнение G.7) есть уравнение энергии в дифференциальной форме; уравнение G.8), являющееся его следствием, называется уравнением притока тепла. Пользуясь термодинамическим соотношением Т ds — de-\- pd( 1/p), справедливым для движущейся частицы, из G.8) получаем TW = 1- G-9) В интегральном выражении B.12) для скорости роста энтропии A=ps, C = jrq (при отсутствии некомпенсированного теплопод- вода qr), так что с учетом уравнения неразрывности уравнение B.12) приводит к тому же дифференциальному выражению G.9), что и закон сохранения энергии B.11). Итак, для непрерывных движений получаем следующую систему дифференциальных уравнений газовой динамики: G.10)
§7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 135 Для замыкания этой системы необходимо привлечь термодинами- термодинамические уравнения состояния, выражающие /?, р, s и Т через какие- либо две термодинамические величины, и задать внешнюю массовую силу / и приток тепла q. В дальнейшем будут в основном рассматриваться адиабатические движения (q^-О) без учета внешних массовых сил (/=0). В этом случае для замыкания системы G.10) достаточно одного уравнения состояния s = s(p, p). G.11) Система уравнений газовой динамики G.10) в некоторых случаях упрощается путем замены последнего уравнения в этой системе конеч- конечным соотношением, связывающим р и р. В таких случаях из диффе- дифференциальных уравнений находится лишь скорость V и одна из двух других искомых величин— р или р, вторая же определяется конечной связью Движения с заданной связью между давлением и плотностью называются баропгропными*). В случае адиабатических движений (q = 0) последнее уравнение системы G.10) показывает, что при непрерывных движениях энтропия каждой частицы сохраняется во времени. Отсюда следует, что если в некоторый момент времени энтропия всех частиц в каком-либо объеме газа одинакова, то она останется одинаковой и при дальней- дальнейшем движении этого объема (при условии сохранения непрерывности движения). В таких случаях в уравнении состояния G.11) s (/?, р)= = const. Движения с s=- const называются изоэнтропическими и представляют собой частный пример баротропных движений. Баротропными являются и изотермические движения, в которых температура всех частиц газа в рассматриваемой области одинакова и не изменяется во времени: Т(р, р) = const. При задании определенной связи между давлением и плотностью баротропное движение в общем случае не будет адиабатическим (исключение составляют изоэнтропические движения): для обеспече- обеспечения наложенной связи между р и р должен происходить подвод (или отвод) тепла к частицам, который можно найти из уравнения при- притока тепла G.8) или G.9) после определения движения газа. Система дифференциальных уравнений G.10) может быть преобра- преобразована к различным эквивалентным формам. В частности, при изу- изучении некоторых общих свойств системы G.10) в случае адиабати- адиабатических движений удобно использовать в качестве основных термоди- термодинамических переменных р и s и преобразовать эту систему к виду *) Термин «баротропный» происходит из метеорологии, где он в приложении к атмосфере обозначает совпадение поверхностей постоянного давления и постоян- постоянной плотности (противоположный термин — «бароклинный»).
136 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ (полагая /= 0) $-•• G.12) Коэффициенты в этой системе суть функции р и s. Перейдем теперь к установлению соотношений между параметрами газа на поверхностях сильного разрыва, считая, что с каждой сто- стороны поверхности разрыва эти параметры ог- раничены вместе со своими производными по координатам и времени. Выделим на поверхности разрыва некоторую ее гладкую часть а с гладкой границей (рис. 1.7.1). Обозначим параметры газа с одной из сторон участка поверхности а индексом 1 и ус- условимся направлять нормаль к поверхности раз- разрыва в сторону, которой соответствует индекс 1. Рис. 1.7.1 Проведем из всех точек области а в обе стороны от поверхности отрезки нормалей до- достаточно малой длины h/2. Эти отрезки заполняют объем f^, по- поверхность if которого состоит из эквидистантных поверхности раз- разрыва участков &х и <SP2 и боковой поверхности <^, образованной отрезками нормалей длиной h в точках границы области а. Наряду с объемом °Р (подвижным, если поверхность разрыва перемещается в пространстве) введем подвижный объем СУЭ*У связанный с частицами среды и совпадающий в момент времени t с объемом °Р. Законы сохранения массы, импульса, момента импульса (послед- (последние два—в проекциях на оси координат), энергии и интегральное выражение для скорости изменения энтропии в индивидуальном объеме 9^*, приведенные в § 2, можно записать в следующей общей форме (Л, В и С — величины, о которых говорилось ранее): = — f (В n)da+ f Cdx. ± В том же § 2 была получена формула, связывающая производные интеграла от функции А по индивидуальному объему сУд* и по под- подвижному объему У0: Tt Используя эту связь между производными, для объема ^ можно
$7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 137 написать соотношение \{vn—D)-f (B-n)]do = — 4т [ Adx+ С Cdx. G.13) at J J v ' Перейдем теперь в этом соотношении к пределу при h —> 0. Так как выражение под знаком интеграла в левой части ограничено, а пло- площадь боковой поверхности & стремится к нулю, то в пределе этот интеграл перейдет в интеграл по разным сторонам области а с про- противоположными направлениями нормалей п2 = — пг. Первый интеграл в правой части G.13) можно записать в виде где А*—среднее значение А на отрезке длиной Л, нормальном к поверхности разрыва. При Л—^0 это выражение стремится к нулю, поскольку предполагалось, что функция А ограничена вместе со сво- своими производными по координатам и времени с каждой стороны поверхности разрыва. Второй интеграл в правой части G.13) при ограниченных внеш- внешних объемных воздействиях С, очевидно, тоже стремится к нулю при h—>0. Однако в некоторых важных теоретических вопросах и в приложениях поверхностями разрыва параметров газа модели- моделируются различные реальные проницаемые тонкие структуры, напри- например, сетки или перфорированные пластины, ткань паруса или пара- парашюта, плоскость вращения винта самолета или лопаточного венца осевого компрессора и т. п. На этих поверхностях к газу может подводиться или от него может отводиться энергия в виде тепла или совершаемой над газом или отбираемой от него работы, газу может сообщаться или отниматься от него импульс, к нему может подво- подводиться или от него может отводиться дополнительная масса того же или другого газа. На таких поверхностях разрыва условия, следующие из законов сохранения, должны, естественно, записываться с учетом распределения по поверхности источников энергии, массы и импульса. Величина /1/2 С*- li.il f Cdh G.14) "-*°i/2 остается при этом конечной, когда h —> 0. В силу произвольности области а после предельного перехода h —> 0 получаем общий вид соотношений между параметрами газа на поверхности разрыва (для векторных уравнений такое соотноше- соотношение справедливо для каждой компоненты уравнения): [A(vn-D)-Bn] = &. Здесь знак [а] означает разность значений а с двух сторон поверх- поверхности разрыва.
138 гл- 1. основные понятия газовой динамики При отсутствии сосредоточенных на поверхности разрыва воз- воздействий законы сохранения массы, импульса и энергии (без учета тепловых потоков сквозь поверхность &) дают [p(vn-D)]=0, 0, G.15) Условие, получаемое из уравнения моментов количества движения, тождественно удовлетворяется в силу соотношения, следующего из уравнения импульсов. Равенства G.15) указывают на два возможных типа поверхностей разрыва. Для поверхностей первого типа vnl—D = 0, vni—D = 0, G.16) т. е. нормальные составляющие скорости газа с обеих сторон поверх- поверхности разрыва одинаковы и равны ее скорости (предполагается, что р^О). Частицы среды не пересекают разрыв или — иначе—разрыв не распространяется по среде. Такие поверхности разрыва называются контактными. Плотность с обеих сторон контактного разрыва может быть произвольной; однако, согласно второму уравнению G.15), дав- давление с обеих его сторон должно быть одинаковым. При этом урав- уравнение энергии (третье уравнение G.15)) тождественно удовлетво- удовлетворяется *). Контактный разрыв может быть и границей раздела между газами с различными уравнениями связи между термодинамическими величинами (это могут быть, например, совершенные газы с постоян- постоянными, но различными значениями теплоемкостей). Обозначим Vx составляющую вектора скорости V в плоскости, касательной к поверхности разрыва. Из уравнения импульсов и урав- уравнения сохранения массы получим 0. G.17) Отсюда следует, что на контактном разрыве составляющая скорости в касательной к разрыву плоскости может меняться скачком: массы газа, находящиеся в контакте и отделенные одна от другой непро* ницаемой для них поверхностью разрыва, могут с разными скоростями с обеих сторон «скользить» вдоль этой поверхности. В связи с этим контактные поверхности разрыва называются также тангенциальными (иногда— касательными) разрывами и вихревыми поверхностями. На них всегда [*>„] = 0 и [р] = 0, но, в общем случае, [р]=^=0, [е] б и [УХ]ФО. *) Уравнение импульсов допускает наличие нормальной сосредоточенной поверх- поверхностной силы fit на контактном разрыве (типа силы поверхностного натяжения на границе раздела двух сред). Эта сила будет уравновешиваться соответствующей разностью давлений: [р] — /. Уравнение энергии при этом по-прежнему тождест- тождественно удовлетворяется, так как работа сосредоточенной поверхностной силы fD равна [pvn] = [p]D.
§7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 139 Для разрывов второго типа ьпфВ, т. е. газ течет сквозь разрыв, или — иначе—разрыв распространяется по газу. Согласно G.17) на таких разрывах [Vt] = 0. G.18) Разрывы второго типа называются ударными волнами (ранее, в § 4 и далее, говорилось об этих разрывах как скачках уплотнения). На ударных волнах [Кт]^0, но, в общем случае, [ип]Ф0, [р]^0, [/?]=й=0, [е]=т^0. Равенство G.18) показывает, что в точках ударной волны векторы скорости газа перед волной и за ней и вектор нормали к волне компланарны, так что при переходе через ударную волну газ локально движется в плоскости, содержащей нормаль к волне. Для ударных волн индексом 1 будем обозначать параметры газа, по которому распространяется волна. Установленные соотношения на разрывах должны выполняться в каждой точке разрыва и справедливы в любой инерциальной или неинерциальной системе координат (в неинерциальной системе коор- координат в интегральных законах сохранения появятся распределенные по объему конечные массовые силы—силы инерции, которые, как было показано, не влияют на вид получаемых из этих законов соотношений на разрыве). Предельный переход в уравнении для изменения энтропии требует некоторых пояснений. Уравнение G.13) для этого случая (вновь без учета тепловых потоков сквозь поверхность <zf) имеет вид] f ps (vn-D) da = - ~ j psjdt + j f (<7 + q') dx. Даже при отсутствии сосредоточенного теплоподвода на ударной волне (т. е. при ограниченной величине q) нельзя полагать, что вто- второй интеграл в правой части при h —> 0 стремится к нулю. Ранее, в § 5, было установлено, что переход газа через скачок (ударную волну) представляет собой существенно необратимый процесс, в кото- котором при адиабатическом течении энтропия возрастает. Таким образом, [ps{vu-D)] = b*, G.19) где согласно G.14) А/ 2 A*- lim ( 7r(q-\-q')dh. h^° -л/2 Система G.15) в случае ударных волн содержит пять скалярных связей между одиннадцатью величинами: пятью параметрами газа (три составляющих скорости и две термодинамические величины) с каждой из сторон волны и скоростью D. Поэтому, если задать состояние газа с одной стороны волны и ее скорость Ь, то соотно- соотношения G.15) определят состояние газа с другой стороны. В частности, при этом определится и величина, стоящая слева в выражении G.19),
( V \ = P2vn2 (^ + е2 J + p2vn2. G.22) 140 гл. i. основные понятия газовой динамики т. е. поверхностная плотность притока энтропии из-за необратимости процесса перехода газа через разрыв (и сосредоточенного внешнего теплоподвода, если он не равен нулю). Подчеркнем, как следствие этого, что хотя прирост энтропии при адиабатическом переходе газа через разрыв обусловлен необратимыми диссипативными процессами, сопровождающими этот переход, величина прироста энтропии не зави- зависит от конкретного вида диссипативных процессов. Выпишем условия на разрыве G.15) в системе координат, в кото- которой скорость распространения поверхности разрыва D в данной точке равна нулю: РА.1 = РЛ». G.20) №i^i -г рхП - P2Vn2V2 + р%п% G.2 1) V2 -?- + Для поверхности контактного (тангенциального) разрыва в этом случае vnl = vn2 = 0, т. е. газ вблизи рассматриваемого элемента поверхности разрыва может иметь лишь касательную к элементу составляющую скорости. Для ударных волн, для которых vnl=?0, vn2=?0, преобразуем систему G.20)—G.22) следующим образом. Вместо уравнения G.21) запишем его проекцию на нормаль к разрыву и его векторную состав- составляющую G.18) в касательной к разрыву плоскости. С учетом того, что vn Ф 0, это даст Pi^i + Pi = P2^2 + /?2, G.23) Kti=Kt2. G 24) В уравнении энергии G.23) разделим все слагаемые на руя=^0 Так как согласно G.24) 1^=1^2, то в результате получим: 4 + ei + g_A + ,f + g. G.25) Система соотношений G.20), G.23) и G.25) имеет точно тот же вид, что и полученная в § 4 система D.4) условий на скачках, нор- нормальных к направлению потока (Кт = 0), если в последней величину скорости V заменить ее составляющей, нормальной к скачку. В об- общем случае Утф0 к этой системе добавляется условие G.24) со- сохранения касательной составляющей скорости газа при переходе через ударную волну. Подчеркнем, однако, что выражения в левой и правой частях соотношения G.25) при Vx?=0 не равны полному теплосодержанию газа до разрыва и после него, так как они не со- содержат слагаемых V%xl2 и V|2/2 соответственно. Однако в силу ра- равенства этих слагаемых очевидно, что полное теплосодержание газа при переходе через ударную волну сохраняется и в этом случае (в сис- системе координат, в которой ударная волна в данной точке неподвижна). Все выводы, полученные в § 4 для скачков, остаются в силе и в общем случае, если под скоростью там понимать ее нормальную
§7. УРАВНЕНИЯ, СООТНОШЕНИЯ НА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВАХ 141 составляющую. В частности, сохраняется соотношение Гюгонио и все следствия, вытекающие из его анализа. Для газов, для которых jp > 0, скорость газа перед скачком в системе координат, в кото- которой скачок покоится, всегда сверхзвуковая (Vt > vnl > at). Полная скорость газа за скачком может быть и дозвуковой, и сверхзвуковой (но всегда vn2 < а2). Приведем еще условия на ударной волне в системе координат, в которой газ перед волной покоится. После несложных преобразо- преобразований получим (Ръ — Pi)n= — ~piDe1 = — p,D (?± + е%) + p2vn2. Выведем одно важное следствие соотношений G.15) для ударных волн. Уравнение импульсов в проекции на нормаль к волне умно- умножим почленно на D, после чего вычтем из уравнения энергии. Это даст Умножив и разделив последнее слагаемое на р, вынесем за скобки [ ] Р ivn — &)• Используя уравнение сохранения массы, найдем Отсюда следует, что при пфО полное теплосодержание газа изме- изменяется при прохождении по нему ударной волны, причем Так как для волн сжатия рх < ра, a D и D—vnl имеют одина- одинаковые знаки, то при пфО всегда hO2> h01, т. е. полное теплосо- теплосодержание газа после прохождения по нему ударной волны увеличи- увеличивается. В конкретной задаче о движении газа дифференциальные урав- уравнения G.10) и соотношения G.15) на возможных внутри области течения поверхностях разрыва параметров газа должны быть допол- дополнены условиями, позволяющими выделить отыскиваемое движение из всей совокупности возможных движений. Как правило, эти условия вытекают из физической постановки задачи, и их формулировка не вызывает значительных трудностей. Необходимо, однако, чтобы при сформулированных условиях решение задачи существовало и было единственным (иногда поста- постановка задачи может допускать и неединственность ее решения; отбор нужного решения производится при этом на основе дополнительных требований физического и математического характера). Кроме этого,
142 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ в большинстве случаев решение задачи должно непрерывно зависеть от задаваемых условий. Задачи, удовлетворяющие перечисленным требованиям, называют корректно или хорошо поставленными. Нужно сказать, что коррект- корректность постановки многих задач газовой динамики, встречающихся в приложениях, математически строго не доказана, хотя она может представляться достаточно вероятной из физических соображений и подтверждаться эмпирическим путем. Подробно различные виды дополнительных условий будут рас- рассмотрены в гл. II и III в связи с изучением конкретных классов движений. Сейчас же ограничимся лишь краткими сведениями о не- некоторых типах этих условий. Если движение газа неустановившееся, то во всей области про- пространства л:, первоначально занятой газом, нужно задать начальные распределения всех определяемых параметров. При соприкосновении газа с непроницаемыми поверхностями должно выполняться условие непротекания газа — равенство нор- нормальной к поверхности составляющей скорости газа vn и скорости D перемеще ия поверхности в направлении нормали к самой себе. На не- неподвижных поверхностях это условие требует, чтобы выполнялось равенство vn — 0. На границе области течения может быть задана связь между давлением газа и геометрическими характеристиками поверхности — конечными или дифференциальными (например, если поверхность представляет собой упругую пленку). В частности, на границе может быть задано постоянное или меняющееся со временем давление р; при р~ const граница называется свободной. Условия перечисленных выше типов называются краевыми или граничными. Если занятая газом область простирается в бесконечность, то параметры газа в бесконечности также могут подчиняться некоторым условиям. § 8. Некоторые свойства системы дифференциальных уравнений газовой динамики В предыдущих разделах было установлено, что параметры дви- движущегося газа (скорость, давление, плотность и другие) являются в общем случае кусочно-непрерывными функциями координат и вре- времени. Эти функции должны удовлетворять законам сохранения массы, импульса и энергии для произвольного индивидуального объема. Как следствие, в области их непрерывности и гладкости они должны быть решениями дифференциальных уравнений G.10), а на разрывах должны удовлетворять соотношениям G.15). Уравнения G.10) вместе с замыкающим соотношением G.11) пред- представляют собой систему пяти дифференциальных уравнений в част- частных производных для определения зависимости трех компонент ско-
§ 8. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ J43 рости, давления и плотности от четырех переменных: трех прост- пространственных координат и времени. Эта система квазилинейна, т. е. линейна относительно производных искомых функций и нелинейна относительно совокупности этих производных и самих искомых функций. Важнейшим свойством системы уравнений газовой динамики в общем случае неустановившихся движений является ее гиперболич- гиперболичность. Для установившихся течений, когда распределения парамет- параметров движущегося газа в пространстве не зависят от времени, сис- система уравнений приобретает особые свойства и при некоторых усло- условиях утрачивает гиперболичность: становится эллиптической или смешанной — гиперболической в одной части области пространства, занятой газом, и эллиптической—в другой. Изучение общих свойств решений таких систем и получение част- частных решений, соответствующих конкретным условиям движения газа,— весьма трудная математическая проблема. Теория гиперболических систем квазилинейных уравнений быстро развивается. Тем не менее построение ее теоретического фундамента все еще нельзя считать законченным. Наибольшее продвижение до- достигнуто при изучении уравнений с двумя независимыми перемен- переменными. Но и для таких систем теория приобрела определенную завер- завершенность лишь в случае одного уравнения или системы двух урав- уравнений; для систем с большим числом уравнений нет достаточно общих теорем существования и единственности решения задачи с начальными данными. В газовой динамике система уравнений G.10) имеет две незави- независимые неременные только при одномерных неустановившихся и дву- двумерных установившихся движениях (см. гл. II и III). При этом в общем случае одномерных движений система гиперболична и состоит из трех уравнений. К такому же числу уравнений можно свести сис- систему для двумерных установившихся движений (эта система может быть гиперболической, эллиптической и смешанной). В специальных случаях баротропных движений обе эти системы можно привести к двум уравнениям. Трудности, возникающие при изучении решений систем со мно- многими независимыми переменными, в полной мере проявляются уже при исследовании решений систем из трех или большего числа урав- уравнений с более чем двумя независимыми переменными. С другой сто- стороны, большая часть важных характерных свойств решений много- многомерных систем обнаруживается и у решений систем из трех уравне- уравнений с двумя независимыми переменными. Поэтому мы не будем излагать теоретические данные о свойствах решений системы уравнений газовой динамики G.10), вытекающих из ее гиперболичности, в общем многомерном случае*). Важныесве- *) Подробное изложение этого вопроса для общих квазилинейных систем и приложения к уравнениям газовой динамики даны в книгах [5,6, 10].
144 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ дения о свойствах решений гиперболических систем будут получены ни- ниже при рассмотрении одномерных неустановившихся движений (гл. II) и двумерных установившихся движений (гл. III). Напомним некоторые кинематические свойства поля скоростей и динамические свойства движений газа, определяемых системой G.10). Важными кинематическими характеристиками поля скорости V являются уже введенный ранее вихрь скорости и циркуляция скорости вдоль линии г= J (на линии & выбрано направление и б/ есть векторный элемент этой линии). Остановимся кратко на основных теоремах о циркуляции скорости и о вихрях, подробно излагаемых в общих курсах механики жид- жидкости и газа и механики сплошных сред [1—4]. Рассмотрим циркуляцию скорости Г по отрезку АВ, состоящему из одних и тех же частиц газа. Если поле скоростей непрерывно по пространственным координатам и по времени, то и деформация отрезка Л5 при движении газа будет происходить непрерывно. Вычислим производную по времени от Г: dT С dV Я1 . Г., d A/ -3—i 4F6l+)Vdt61' АВ АВ Заменим под знаком первого интеграла величину dV/dt согласно уравнению импульсов G.10), а под знаком второго интеграла сде- сделаем преобразование V jtbl=-VbV^b-^. В результате получим АВ Применим это выражение к случаю, когда сила / имеет одно- однозначный потенциал /=grad(/ и движение баротропно, т. е. р = г' ч При этих условиях Если контур АВ замкнут, то отсюда следует равенство dT п 0 которое известно под названием теоремы Томсона: при непрерывном баротропном движении идеальной жидкосги в поле потенциальных
§ 8. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 145t ч сил циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, состоя- состоящему из одних и тех же частиц жидкости, остается постоянной. Согласно теореме Стокса (см., например, [1]) циркуляция век- вектора А по замкнутому контуру равна потоку вектора rot Л через поверхность, натянутую на этот контур. Применив эту теорему к вектору скорости газа, получим Г = ^1/6/ = 2 J o>ndo. Из равенства dT/dt = O следует тогда, что в условиях, при кото- которых справедлива теорема Томсона, поток вектора вихря скорости через любую поверхность, натянутую на контур, движущийся вместе с частицами, сохраняется неизменным по времени: dt (Г Огсюда вытекают теоремы Гельмгольца (см. [1—4]) о том, что вихревые поверхности, в частности вихревые трубки, и вихревые линии перемещаются в пространстве вместе с частицами газа, причем напряженность вихревых трубок остается во время движения посто- постоянной. При нарушении предположений о баротропии и о непрерывности течения теорема Томсона и ее следствия теряют силу. Если движение не баротропно, то, считая вновь силу / потен- потенциальной, для замкнутого контура из формулы (8.1) и теоремы Стокса получим if С помощью тождества rot (A grad <р) = (grad A x grad ф) преобразуем это выражение к виду i)da. (8.3) Если воспользоваться равенством — grad р то, аналогично (8.3), получим — grad р = grad A—T grad s,
{46 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ Соотношение (8.3) для скорости изменения циркуляции по замк- замкнутому жидкому контуру или равной ей удвоенной скорости изме- изменения потока вектора вихря сквозь такой контур выражает собой теорему Бьеркнеса\ эта теорема используется в динамической метео- метеорологии. При соблюдении условий теоремы Томсона вихри в движущемся газе сохраняются, т. е. если их нет в некотором индивидуальном объеме в данный момент, то их не будет в дальнейшем и не было прежде. В этом утверждении состоит теорема Лагранжа*). Отсутствие вихрей равносильно существованию потенциала ско- скорости: V ^= Поэтому согласно теореме Лагранжа при условиях теоремы Томсона потенциальные движения обладают свойством сохраняемости; этим объясняется большая роль, которую играет в теории изучение по- потенциальных движений. Подчеркнем еще раз, что все предыдущие утверждения теряют силу, если либо движение не баротропно, либо внешние массовые силы не обладают однозначным потенциалом, либо поле скоростей не непрерывно. Одна из употребительных форм уравнения импульсов (второе уравнение системы G.10)) получается при использовании тож- тождества Заменив в уравнении импульсов производную dV/dt согласно этому соотношению, получаем уравнение Эйлера в форме Лэмба — Гро- тмеки **) (8.4) Учитывая, что T grad s = grad h grad p, этому уравнению можно придать вид / 1/2 \ (8.5) где о) = -jr- rot V—вектор вихря скорости. *) Теорема Лагранжа не препятствует возможности схода вихрей внутрь об- области, занятой движущимся газом, с поверхности обтекаемых тел (см. об этом § 17 гл. III). **) Громека Ипполит Степанович A851—1889) — профессор Казанского универ- университета, автор трудов по механике жидкостей и газов: по теории капиллярных яв- явлений, движениям жидкости в трубах, по распространению звука и др.
§8. СВОЙСТВА СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ]4? Запись уравнения Эйлера в таком виде принадлежит А. А. Фрид* ману *). Уравнение импульсов в форме (8.4) или (8.5) часто употребляется при изучении установившихся движений (см. § 1 гл. III). Для потенциальных баротропных движений в потенциальном поле внешних массовых сил уравнение импульсов в форме Лэмба—Гро- меки (8.4) может быть проинтегрировано. Действительно, при ы=0 это уравнение имеет вид dV . .V* 1 , ,гт -^ + grad у = — — grad р + grad U. Введя функцию Р= \ — и сделав в этом уравнении замены по фор- О V О 1 1 <7ф 1 1 1 Г иР 1 г^ / \ мулам -gj- = щgradф^grad ^~ и — grad/7 = grad \ — = gradP(p),по- gradP(p),получим откуда 4?+i-|grad<p|* + />(p)-(/ = 0. (8.6) Возникшая при интегрировании произвольная функция от вре- времени положена, без ограничения общности, равной нулю, поскольку потенциал ф определен с точностью до слагаемого, зависящего от времени. Интеграл (8.6) называется интегралом Коши—Лагранжа и заменяет в случае потенциальных баротропных движений вектор- векторное уравнение импульсов. Уравнение неразрывности G.4) для потенциальных движений с учетом того, что div V = div grad ф = Аф (Д—оператор Лапласа), можно записать в виде -J* + (grad ф-grad р)+рАф = 0. (8.7> Уравнения (8.6) и (8.7) образуют систему для определения двух функций: потенциала скорости ф и плотности р, которыми описыва- описываются потенциальные баротропные (в частности, изоэнтропические) движения сжимаемого газа. Из интеграла Коши—Лагранжа (8.6) и уравнения неразрывности можно получить одно уравнение второго порядка для потенциала ф„ *) Фридман А. А. Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости.— Петроград, 1922. Фридман Александр Александрович A888—1925) —советский физик, один из основателей динамической метеорологии. Труды по теории вихревых движений; газа, по теории турбулентности, по общей теории относительности.
•U8 ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ 'если записать уравнение неразрывности из системы G.12) в виде (здесь использовано то, что dp=pdP) и подставить в него р и Р% ъыражеиные через производные от ср с помощью интеграла Коши — Лагранжа и условия баротропии р = р(р). При этом оператор djdt также выражается с использованием потенциала ф: Приведем полученное таким путем квазилинейное дифференци- дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка для ф б декартовых координатах: <Vtt + 2щхХ + 2iKp^+2a*p,t + (и*-а*) ухх + (и2-а2) %у + (о/2-а2) q>22+ 4- 2ииуху + 2uwyx2 + 2vwyyz = 0. (8.8) Здесь и = ух, v = yy, ^ = Ф2, скорость звука а выражается через производные от ф, как сказано выше.
Глава II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ § 1. Основные уравнения Одномерным называется движение, при котором все характерис- характеристики среды зависят только от расстояния х до некоторой плоскости (движение с плоскими волнами), или только от расстояния х до не- некоторой прямой—оси симметрии (движение с цилиндрическими вол- нами), или только от расстояния х до некоторой точки — центра симметрии (движение со сферическими волнами) и от времени, если движение неустановившееся. В одномерных движениях со сферичес- сферическими волнами вектор скорости имеет в соответствующей сферической системе координат лишь одну отличную от нуля компоненту — ради- радиальную. В одномерных движениях с цилиндрическими и плоскими волнами отличными от нуля могут быть все три компоненты вектора скорости в соответствующих цилиндрической и декартовой прямо- прямоугольной системах координат. Оставляя вывод уравнений для общего случая на конец параграфа, будем считать далее не равной нулю лишь одну составляющую скорости — вдоль той координаты, вдоль которой меняются характеристики среды. При наличии внешней массовой силы движение может быть од- одномерным, если эта сила зависит лишь от х и /; примем, что она имеет лишь одну составляющую—в направлении изменения х. При изучении одномерных неустановившихся движений газа с эйлеровой точки зрения искомыми функциями являются одна компо- компонента скорости и и две термодинамические переменные, например, давление р и плотность р, а независимыми переменными—линейная координата х и время t. В случае плоских волн координата сможет меняться от —оо до оо, в случае цилиндрических и сферических волн—от 0 до сю. Вместо давления и плотности бывает удобно использовать другие величины, связанные с ними определенными соотношениями. Одномерным неустановившимся движениям газа можно придавать наглядную форму, используя плоскость х, t\ условно назовем эту плоскость плоскостью течения, а кривую в плоскости течения, соот- соответствующую движению частицы газа, назовем путем частицы или ее траекторией. Если в некоторой области плоскости х, t движение газа непре- непрерывно, то описывающие это движение функции и(х, t), p(x, t) и р (a:, t) удовлетворяют во всей этой области дифференциальным урав- уравнениям G.10) гл. I. Для одномерных движений уравнение нераз-
150 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ рывности (закон сохранения массы) и уравнение количества движе- движения (уравнение Эйлера в проекции на направление х) имеют вид: du.du.ldpv /1 лч 31 + ^^-Н -? = Х. A.2) dt ' дх ' р дх v f Здесь v—параметр размерности пространства: v= 1, 2, 3 для дви- движений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами соот- соответственно, и Х = Х(х, f) есть внешняя массовая сила. Для адиабатических обратимых изменений состояния газа систему уравнений A.1) и A.2) дополним уравнением сохранения энтропии s в частице ds , ds Л /1 оч и соотношением P = /(P.s)f A.4) связывающим энтропию с давлением и плотностью. Уравнения A.1)— A.3) вместе с соотношением A.4) образуют замкнутую систему для определения трех функций и(х, /), р(х, t), р(х, t). Рассматривая плотность, как функцию давления и энтропии, уравнению A.1) с учетом A.3) можно придать вид (см. G.12) гл. I): МЗ+Ф+'Е + С-'^-О. A.1.) Здесь а—скорость звука. Если движение баротропно, так что давление и плотность газа связаны в области движения заранее известным соотношением Р = р(/>), A.5) то для определения функций и, р, р достаточно уравнений A.1), A.2) и соотношения A.5). В дальнейшем при рассмотрении баротропных процессов будем считать выполненным условие р' (р) > 0. Очевидно, что в одномерных движениях линии тока и траектории частиц в физическом пространстве совпадают между собой и являются прямыми линиями. Образованные линиями тока трубки не меняются во времени, так что одномерные неустановившиеся движения можно интерпретировать как движения в таких трубках. Форма сечения трубки поверхностью х = const при изменении х остается при v= 1 неизменной, при v = 2 меняется аффинноподобно, а при v = 3—подобно самой себе; площадь сечения растет пропорционально a:v~1. Особенно удобна такая интерпретация для движений с плоскими волнами; трубки в этом случае имеют цилиндрическую форму. Конечно, используя такую интерпретацию для описания течений в реальных трубах, необ- необходимо помнить о прилипании газа к стенке трубы, которое не учи- учитывается принятой моделью течения.
§ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 151 Как и в случае стационарных течений, можно рассматривать неста- нестационарные квазиодномерные движения газа в тонких слабо искрив- искривленных трубках с плавным изменением формы и площади поперечного сечения трубки по ее длине. Напомним, что при квазиодномерном описании движений пренебрегают изменением параметров потока в поперечном сечении трубки и не учитывают в уравнении движения в проекции на ось трубки влияние искривления траекторий частиц. Если под х понимать расстояние вдоль оси трубки от некоторой ее точки, то уравнения A.2) и A.3) сохранятся и при описании квазиодномерных течений. Уравнение же неразрывности A.1) требует в этом случае некоторой модификации. Рассмотрим объем трубки между двумя ее бесконечно близкими сечениями, расположенными на расстоянии dx. Убыль массы газа в этом объеме вследствие вытекания и втекания газа сквозь сечения за время dt равна Здесь площадь сечения трубки <SP зависит от х и, в случае если рассматривается движение газа в трубке с деформируемыми стенками, от /. С другой стороны, уменьшение массы газа связано с изменением плотности газа в выделенном объеме и самого объема и равно Приравнивая оба выражения, получаем после несложного преобра- преобразования вместо A.1) уравнение ?? + d.B + JLdj?ou-0 A 16) & dt ^ дх ^ tf дх P"-u- \l-iD) В частном случае, когда of ~ х?*у где а—произвольное число, имеем dtf 1 d?f —0 и f-^r=-— '» ПРИ a = v—1 получаем уравнение A.1). Для изучения одномерных движений можно с успехом использо- использовать и лагранжево представление. При этом искомыми функциями являются координата частицы х и две термодинамические переменные, например р и р, а независимыми переменными служат время t и лаг- ранжева координата частицы ?, за которую можно принять, в част- частности, начальную координату частицы х0. Скорость частицы и опре- определяется при этом формулой ь I) а ускорение частицы равно <3w(?, t)/dt. Уравнение неразрывности в переменных Лагранжа получим, при- приравнивая массу частицы в момент времени t ее массе в начальный
152 ГЛ. П. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ момент рл;^1 дх = ро^Г1дх0 = дт. A.6) Здесь m—массовая лагранжева координата. В уравнении импульсов заменим согласно A.6) производную по х производной по массовой лагранжевой координате т. Тогда систему уравнений одномерных адиабатических движений в лагранжевых переменных можно записать в виде pjcv-i * lf r dm * Последнее из этих уравнений имеет интеграл s = S(m), с исполь- использованием которого всю систему A.7) можно привести к одному урав- уравнению где /(р, s) есть функция, определенная формулой A.4). Для непре- непрерывных движений функция S(m) сохраняет свой вид во все время движения и должна быть задана дополнительными условиями. Осо- Особенно простым становится уравнение A.8) при v=l для нзоэнтро- пических движений (т. е. при условии S(m) = const) совершенного газа с постоянными теплоемкостями. В этом случае и уравнение A.8) приобретает вид д2* уС д2х у п qv a/2 ~/^?\Y+i dm2 ~1'^' К ' \ dm J Аналогично плоскости течения ху t при эйлеровом подходе, при лагранжевом представлении можно ввести плоскость течения |, t. Траекториями частиц в этой плоскости будут прямые ? = const. Допустим теперь, что все составляющие скорости в одномерном движении могут быть отличны от нуля. Очевидно, что и в этом слу- случае уравнение неразрывности в эйлеровых переменных имеет вид A.1). Для движений с плоскими волнами (v=l) кроме проекции A.2) уравнения Эйлера на ось х декартовой системы координат ху уу z с составляющими скорости иу и, w его проекции на оси у и z при
$ 1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ 153 сделанном выше предположении о массовой силе имеют вид dv , dv A dw . dw Л ,, 1/ЛЧ + u° +" 0 AЛ°) Таким образом, частицы при их движении сохраняют составляю- составляющие скорости v и до, а составляющая скорости и, давление р и плот- плотность р находятся независимо из трех уравнений A.1) — A.3). В одномерных движениях с цилиндрическими волнами в цилиндри- цилиндрической системе координат х, ф, z (x—расстояние от оси симметрии, z—расстояние вдоль нее, ф—угловая координата меридианной пло- плоскости) с компонентами скорости иу и, w проекции уравнения Эйлера имеют вид (см. [2]) du du v2 . 1 dp у dt dx x p dx * dv , dv . uv Л dt дх Третье уравнение выражает постоянство составляющей скорости до вдоль оси симметрии. Из второго уравнения, преобразованного к виду dxv . dxv A + следует постоянство величины xv в частице. Вместе с уравнением сохранения массы A.1) при v = 2 отсюда легко получить уравнение сохранения момента количества движения частицы относительно оси симметрии. Итак, в случае одномерных «закрученных» (т.е. с у^=0) движе- движений с цилиндрической симметрией уравнения для составляющих ско- скорости и и v оказываются связанными, составляющая же скорости w определяется из независимого соотношения. При движениях со сферической симметрией в сферической системе координат ху ф, 0 с составляющими скорости «, v, w проекции урав- уравнения Эйлера для одномерных движений должны иметь вид (см. [2]): v2-{-'w2 I dp __ Y х ' р дх ' Отсюда видно, что для того, чтобы движение было одномерным, т. е. чтобы параметры газа зависели только от х, необходимо v = 0 (иначе в уравнения входит переменная 0). При v = 0 второе уравнение си-
154 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ стемы тождественно удовлетворяется; из третьего уравнения получаем дш -I- и дш - О dt ^ U дх ~~U' т. е. сохранение величины хш в частице. При этом, очевидно, на поверхностях (сферах) х = const при 0 = 0 и 0 = я скорость газа (ее направление) при гюфО не определена; таким образом, не удовлет- удовлетворено требование зависимости физических параметров только от х и, следовательно, как говорилось выше, в сферически-симметричных одномерных движениях отличной от нуля может быть только одна составляющая скорости и*). § 2. Начальные условия и внешние граничные условия Для решения задач об одномерных или квазиодномерных неуста- неустановившихся движениях газа необходимо, кроме уравнений A.1) [A.16)]—A.5), сформулировать в математической форме дополнитель- дополнительные условия, которым должны в соответствии с физической поста- постановкой задачи удовлетворять параметры газа в данном конкретном движении. Эти условия могут быть весьма разнообразными. В большинстве задач о нестационарных движениях задают началь- начальные значения параметров газа во всей занятой им области, т. е. в плоскости ху t задают значения трех параметров газа на отрезке оси ху являющемся частью границы области движения: и(х, 0) = «0D р (х, О) = ро{х), р(х$ О) = ро(х). Начальные распределения газодинамических величин могут не быть гладкими, могут иметь разрывы и обладать другими более сложными особенностями. Если область, занятая движущимся газом, ограничена по коор- координате х с одной стороны или с обеих сторон, то, кроме начальных условий, нужно задавать и условия, которым должны удовлетворять параметры газа на границах,— граничные или краевые условия. При интерпретации одномерных движений как движений в труб- трубках неподвижную границу х = const часто называют стенкой, а под- подвижную границу x = xn(t)—поршнем. Если граница соприкасается с газом и непроницаема для него, то скорость границы и скорость соприкасающегося с ней газа должны быть одинаковы, т. е. на поршне должно быть выполнено краевое условие u = xn(t) при x = xn(t) B.1) (точкой вверху обозначено дифференцирование по времени t). *) Это не исключает возможность использования сферически-симметричных решений с и—0, w 7= 0 с особенностями на прямой 6 = 0, я.
§ 2. НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ И ВНЕШНИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 155 В частности, на непроницаемой стенке хп = const скорость газа должна равняться нулю: и = 0 при A: = xn = const. B.2) В некоторых задачах на поршне задается давление газа р = pn(t), а скорость перемещения поршня xn(t) и, следовательно, равная ей скорость газа, прилегающего к поршню, определяются при решении задачи. Как уже говорилось в § 7 гл. I, при р = const непроницае- непроницаемая граница называется свободной. Таким образом, на части границы области движения в плоскости х, /, соответствующей непроницаемым стенке или поршню, задается одно граничное условие. В случае, если газ может протекать сквозь неподвижную или подвижную границу, вопрос о числе требуемых краевых условий на такой границе интуитивно не так ясен. Рассмотрим пример. Пусть газ может вытекать наружу из занятой им области в трубе сквозь проницаемую правую границу трубы х = хои пусть массовый расход газа ри сквозь границу есть некоторая, например, линейная функция разности давлений р—ра по обе стороны границы, причем ра—наруж- ра—наружное давление — задано. Граничное условие ри = к(р—рш) при х = х0 B.3) связывает на границе значения трех искомых функций и, р, р. Если считать это условие справедливым и при р < ра, когда газ втекает снаружи в трубу, то физическая интуиция подсказывает, что одного этого условия недостаточно и дополнительно на границе нужно зада- задавать энтропию втекающего газа. Однако, как будет показано далее (§ 6), в некоторых случаях вытекания газа сквозь границу даже одно условие может оказаться излишним, а при втекании — и двух усло- условий может быть недостаточно и нужны три граничных условия, подобно тому, как это необходимо при задании начальных условий на части границы при t = 0. Условия B.1)—B.3) связывают значения искомых функций на границе (и скорость движения границы, если она подвижна) конеч- конечными соотношениями. Однако в некоторых случаях граничные условия могут быть и более сложными. Так, представим себе, что поршень с массой М, ограничивающий со стороны больших значений х заня- занятую газом область в цилиндрической трубе, движется под влиянием разности сил давления, приложенных к нему со стороны газа и с внеш- внешней стороны, где давление ра задано. Дифференциальные уравнения движения поршня {of — площадь поршня) вместе с начальными условиями для решения этих уравнений хп@) = х0, ип@) = и°п связывают значения двух иско- искомых функций и и р на поршне и закон движения поршня x=xn(t)
156 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ и служат в рассматриваемой задаче требуемыми граничными усло- условиями. Если центр или ось симметрии течений со сферическими или цилиндрическими волнами принадлежат границе области, занятой газом в плоскости х, t, то должно быть выполнено условие и = 0 при х = 0. B.4) Это же справедливо и для течений с плоскими волнами, если для них плоскость х=0 есть плоскость симметрии. Однако параметры течения со сферической или цилиндрической симметрией и симметричные относительно плоскости х = 0 течения с плоскими волнами могут подчиняться и другим условиям при л: = 0. Так, если при л: = 0 имеется источник массы с мощностью q(t), то условие B.4) нужно заменить условием lim Cvpuxv-^qit), B.5) 0 где av= 1, 2л, 4л для течений с плоскими, цилиндрическими и сфе- сферическими волнами соответственно. При v = 2 и v=3 условие B.5) задает особенность в поведении плотности потока массы ри при х-+ 0. Аналогично в некоторых зада- задачах могут задаваться особенности в поведении на границах области течения потока импульса или потока энергии. Могут быть и другие следующие из постановки физической задачи особенности поведения параметров газа при приближении к части границы области движения в плоскости х, t или к отдельным точкам этой границы. В конкретных механических задачах выбор начальных и граничных условий обычно не вызывает особых трудностей, поскольку он дик- диктуется непосредственно физическими соображениями. Однако в более сложных случаях, как показывает приведенный выше пример течения с проницаемой границей, может возникнуть вопрос о числе условий, которые необходимо задавать на отдельных частях границы области движения. Как уже было сказано, этот вопрос будет рассмотрен позже при изучении свойств решений системы уравнений одномерных неста- нестационарных движений. § 3. Уравнения в характеристической форме Вернемся к уравнениям § 1 в эйлеровых переменных
§3. УРАВНЕНИЯ В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 157 Система C.1)—C.3) линейна относительно частных производных, искомых функций по координате х и по времени t. Коэффициенты в уравнениях при производных и свободный член зависят от иско- искомых функций, так что эта система является квазилинейной (см. § & гл. I). Попытаемся заменить уравнения системы C.1)—C.3) их линейными- комбинациями так, чтобы каждое уравнение новой системы содержала производные от входящих в него функций только по одному направ- направлению в плоскости х, /, т. е. чтобы k-e уравнение содержало только производные вида ? <3-4> где ск—некоторые функции независимых переменных и искомых: величин. Системы квазилинейных (и линейных) уравнений, которые допу- допускают такое преобразование, причем у преобразованной системы определитель из коэффициентов при производных C.4) отличен от нуля, называют гиперболическими. Направления дифференцирования в плоскости х, t, определяемые формулами 1Г = с'-! <3-5> называют характеристическими направлениями, а линии, определяе- определяемые уравнениями C.5),— характеристиками исходной системы урав- уравнений, в нашем случае уравнений C.1)—C.3). Очевидно, что если характеристические скорости ck зависят от искомых функций, то харак- характеристики системы уравнений различны для разных решений этой системы. Уравнения, связывающие производные искомых функций вдоль характеристических направлений, называют уравнениями в характе- характеристической форме или иногда — условиями совместности. Итак, попытаемся привести уравнения C.1)—C.3) к характери- характеристической форме. Не описывая алгоритм такого приведения в общем случае *), заметим, что уравнение C.3) уже имеет характеристическую форму. Для того чтобы привести к характеристической форме урав- уравнения C.1) и C.2), рассмотрим следующие их линейные комбинации: прибавим второе из уравнений к первому, умноженному сначала на а/р, а затем—умноженному на —а/р. В результате вместе с урав- уравнением C.3) получаем систему ди . { . ч ди . 1 Г др , , . ч др  , / л, аи А /о ~. *) С ним можно познакомиться, например, в [5] или [9].
158 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Это—система в характеристической форме (определитель из коэф- коэффициентов при производных по характеристическим направлениям 2 равен —— =^0). Таким образом, система уравнений одномерных неустановившихся движений является гиперболической при всех зна- значениях независимых переменных и искомых функций. Из уравнений C.6)—C.8) следует, что характеристические направ- направления и характеристические скорости для одномерных неустановив- неустановившихся движений определяются формулами Согласно этим выражениям для каждого решения уравнений (ЗА)—C.3) в области плоскости х, t, где определено решение, можно построить три семейства линий — характеристик. В случае непрерыв- непрерывных движений через каждую точку области движения проходит одна и только одна характеристика каждого семейства. Уравнения C.9) определяют перемещение в физическом простран- пространстве поверхностей (сфер, цилиндров, плоскостей при v = 3, 2, 1 соот- соответственно) с характеристическими скоростями. Очевидно, что поверх- поверхности, соответствующие первым двум уравнениям C.9), движутся относительно частиц газа со скоростью звука а в сторону роста или убывания координаты х (вправо или влево), а поверхности, соответ- соответствующие третьему уравнению C.9), движутся вместе с частицами газа. Характеристики %+ и %~ первых двух семейств в плоскости ху t называют звуковыми (акустическими) характеристиками, а характе- характеристики третьего семейства (ё°—контактными (энтропийными) харак- характеристиками или, согласно уже принятому ранее наименованию,— траекториями. Очевидно, что в каждой точке направление траекто- траектории разделяет направления звуковых характеристик (при одном и том же знаке dt). Уравнения C.6)—C.8) можно представить в виде соотношений между дифференциалами искомых функций вдоль соответствующих характеристических направлений, а именно в виде du + ^=— (v— 1)™Л, dx = (u + a)dt, du—&- = (v-\)^dt, dx = (u-a)dt9 (ЗЛ°) рс* х ds = 0, dx=udt. Наряду с плоскостью х, t бывает удобно рассматривать движение и в плоскости и, р (или и, а), изображая на этой плоскости, в част- частности, линии, соответствующие характеристикам, т. е. линии, вдоль которых выполняются характеристические соотношения. Эти линии для краткости тоже называют характеристиками. Особенная нагляд- наглядность представления результатов решения ряда задач достигается при использовании плоскости переменных и, р.
§3. УРАВНЕНИЯ В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 159' В случае баротропных и, в частности, в случае изоэнтропических течений достаточно рассматривать две первые пары соотношений C.10). Уравнение dx=udt в этом случае может использоваться при необходимости для опреде- определения закона движения частиц. Для баротропных течений соотношениям C.10) можно придать более удобный вид. Для этого, пользуясь тем, что ), C.11) введем функцию v, имеющую размерность скорости, с помощью формул; - <312> Pi Pi Здесь постоянные пределы интегрирования определяются в конкрет- конкретных случаях соображениями удобства представления формул. С по- помощью новых переменных r = u + v, l = u-v C.13) придадим двум первым парам соотношений C.10) вид Х ' C.14) dl= {y—\JLdt, dx=(u—a)dt или—в форме уравнений в частных производных— дг . , v дг , 1v аи 01 иХ X dt * дх * ' х В этих уравнениях величины и и а суть известные в силу фор- формул C.11)—C.13) функции г и /: ±I, v[p(a)] = r-^. C.15) Переменные г и / называются переменными Римана*) или инвариан- инвариантами Римана. Смысл последнего названия ясен из того, что в случае баротроп- баротропных движений с плоскими волнами (которые изучал Риман) в левом столбце соотношений C.14) dr = 0 и dl^O и эти соотношения при- *) Риман (Riemann) Бернхард A826—1866) —немецкий ученый, основоположник ряда плодотворных направлений в математике. Развил, в частности, теорию диф- дифференциальных уравнений, описывающих одномерные движения газа.
160 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ нимают вид г = const при dx=(u 1 = const при dx=(u—a)dt, C.16) так что величины г и / не меняются (инвариантны) вдоль характе- характеристик первого и второго семейств соответственно. Таким образом, при баротропных движениях с плоскими волнами каждая акустическая характеристика «несет» определенное значение инварианта г или /. В плоскости г, I или и, v сеть характеристик, т. е. линий г = =const и / = const, представляет собой два семейства прямых линий. В плоскости переменных и, р или и, а или других связанных с ними параметров эта сеть то- тоже не зависит от конкретного решения и целиком определяется свойствами газа. Для совершенного газа с постоянными р теплоемкостями при адиабатических течениях так что и, обратно, 2а 2а 2а C.17) ;— 1 Линии г —const и / = const в плоскости и, а представляют собой при этом два семейства параллельных прямых, заполняющих верхнюю лоловину плоскости (рис. 2.3.1). Отметим, что при у = 3 инварианты Римана C.17) имеют вид г = и + а, 1 = и—а. Согласно C.16) характеристики обоих семейств в плоскости х, t являются в этом случае прямыми линиями x-rt = f(r), x-lt = g(t), где / и g—произвольные функции своих аргументов. Разрешив эти выражения относительно х и t, получаем X — —j , f = —j , (<5-lo) u = T(r + l), a=T(r—/). Это простое общее решение уравнений одномерных движений с пло- плоскими волнами определяет в параметрическом виде зависимость и и а от х и t и будет использовано в дальнейшем при описании некото- некоторых течений газа.
§3. УРАВНЕНИЯ В ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФОРМЕ 161 При изотермических течениях совершенного газа a = VRT = = ао = const и функция v определяется следующей формулой: v = а0 In р + const = а0 In p + const. C.19) В этом случае линии г =¦- const и / = const удобно изображать в пло- плоскости переменных и, р. Если в соотношениях вдоль характеристик C.16) для баротроп- ных течений с плоскими волнами принять за определяемые функции х и t, а независимыми переменными считать г и /, то эти соотноше- соотношения приведутся к линейным дифференциальным уравнениям в част- частных производных (это преобразование принадлежит Риману, см. сноску на с. 159) дх . , ч dt дх , v dt /o О/ЛЧ — = (и + а)ж, Fr = (u-a)w C.20) (напомним, что и и а суть известные функции от г и /). Для ади- адиабатических течений совершенного газа с постоянными теплоемкостями дх _(y+\)r + C-y)ldt dx_C-y)r + (y+l)ldt «91 dl 4 а/' дг— 4 дг * (*-Zi) Эти уравнения для последовательности значений y = ^-jrj (^== — 1» 0» 1, 2 ..., соответственно у = — 1, 3, 5/3, 7/5, ...) допускают общий интеграл в аналитической форме*)). Особенно просто выглядит ре- решение при у=*—1: и полученное уже ранее решение C.18) при 7 = 3. Хотя, как уже говорилось в § 1 гл. I, значения у для совершен- совершенного газа с постоянными теплоемкостями заключены в пределах 1 < у ^ 5/3, для газов с более сложными термодинамическими свой- свойствами можно использовать приближенные уравнения состояния вида p = A + Bpi, C.22) где Л и В в общем случае зависят от энтропии, а^не есть обяза- обязательно отношение теплоемкостей и может иметь любое значение (к такому виду уравнений состояния относится упоминавшееся в § 1 гл. I уравнение Тэта для плотных сред). Очевидно, что для газов с таким уравнением состояния функция v (а) имеет тот же вид v = = 2а/(у—1) и параметры Римана г и I выражаются теми же фор- формулами C.17), что и в случае совершенного газа с постоянными теп- теплоемкостями. *) См., например, [9] 6 Г. Г. Черный
162 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Модель газа с уравнением состояния G = —1) называется газом Чаплыгина и будет использована в§ 6 гл. III. Для плотных газов, образующихся при детонации ряда конденси- конденсированных взрывчатых веществ, в эмпирическом уравнении состояния C.22) 7~2,7—2,8, что близко к величине 7 = 3 (модель газа при 7 = 3 называется газом Бехерта—Станюковича). Баротропные процессы со связью между плотностью и давлением частного вида p = Bpv G—любая величина) называются политроп- ними (упомянутому на предыдущей странице изотермическому течению совершенного газа соответствует политропный процесс с особым зна- значением 7=1» пРи котором функция v выражается формулой C.19)). Переход в соотношениях C.16) от искомых функций r = r(x, t) и / = /(*, t) к г и I как независимым переменным возможен, если для данного решения существуют однозначные обратные функции х=х (г, /), t = t(r, /), т. е. если якобиан dr дх дг dt dl дх dl dt D(x,t) отличен от нуля. Из соотношений C.16) следует, что этот якобиан равен 2а §-¦*-. Следовательно, если афО, то такой переход возмо- возможен всегда, кроме случаев, когда дг/дх = 0 и, согласно первой паре соотношений C.16), г = const, либо когда д1/дх = 0 и, согласно вто- второй паре соотношений C.16), / = const, либо когда одновременно г = const, / = const, что, очевидно, соответствует однородному потоку. Эти особые случаи течений, для которых г = const, либо / = const, будут рассмотрены в § 7. § 4. Метод характеристик Уравнения одномерных нестационарных движений в форме соот- соотношений вдоль характеристик C.10) удобно использовать для нахож- нахождения решений различных конкретных задач, а также для анализа зависимости решения от данных на границах области движения. Рассмотрим сначала следующую задачу, которую назовем элемен- элементарной задачей метода характеристик (в том смысле, что решение этой задачи служит элементом решения более сложных задач). В дальнейших рассуждениях мы не будем стремиться к матема- математической строгости, ограничившись ссылкой на уже упоминавшиеся книги по теории дифференциальных уравнений в частных производ- производных гиперболического типа и ее приложениям к газовой дина- динамике [5,9].
€4. МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК 163 Пусть на отрезке АВ прямой t = t0 = const (если v = 2,3, то хА > 0) заданы непрерывно дифференцируемые распределения значений иско- искомых величин и, р, s (причем давление р и вместе с ним скорость звука а нигде не равны нулю). Не ограничивая общности, будем считать to = O. Известно [5,10], что при этом в некотором интервале 0 < t^tx существует гладкое решение уравнений C.6)—C.8), удов- удовлетворяющее заданным начальным данным. Возьмем на отрезке АВ две достаточно близкие внутренние точки Р+ и Р_ (рис. 2.4.1). Если решение извест- известно, то из точек Р+ и Р„ можно (при условии, что в этих точках афО) провес- провести акустические характеристики разных семейств до пересечения их в точке Р. Из точки Р можно затем провести назад характеристику третьего семейства до пе- пересечения ее в точке Ро между Р+ и Р_ А р+ ро р~ в х с осью х. Рис. 2.4.1 Если решение при t > 0 заранее неиз- неизвестно, то определить координаты хр> tp точки Р можно приближен- приближенно, считая вдоль малых отрезков характеристик Р+Р и Р_Р харак- характеристические скорости с+ и с_ постоянными и равными их извест- известным значениям в точках Р+ и Р_ соответственно. Для этого нужно решить линейные уравнения /Л Для нахождения значений и и р в точке Р заменим первые два дифференциальных соотношения C.10) вдоль характеристик линей- линейными конечно-разностными уравнениями Определив отсюда ир и рр, найдем координату хРо точки Ро, счи- считая на малом отрезке характеристики РР0 характеристическую ско- скорость cQ постоянной и равной ее известному значению в точке Р9 т. е. решая линейное уравнение — tPo). Для нахождения величины s в точке Р воспользуемся соотношением C.10) вдоль характеристики третьего семейства, из которого после интегрирования получим sp—Spo = 0. Значение Sp0 известно (если же начальные условия заданы в дис- дискретных точках оси х, оно может быть получено приближенно путем 6*
164 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ линейной интерполяции по значениям s в точках Р+ и Р_: Описанный способ нахождения решения в точке Р по известным при меньших значениях времени t («в прошлом») данным в точках Р+ и Я_ применим и тогда, когда эти точки лежат не на линии t = const, а принадлежат отрезку кривой, в точках которого при заданных на нем значениях искомых функций акустические харак- характеристики обоих семейств выходят при росте времени t в одну сторону от кривой. Такие кривые (рис. 2.4.2, кривые а, б) бу- будем называть пространственно-подобными. Очевидно, что любая линия t = const являет- является пространственно-подобной. В другом воз- возможном случае, когда направление кривой в каждой точке разделяет направления акусти- акустических характеристик обоих семейств, выходя- выходящих из точек кривой при dt > 0, кривая назы- Рис. 2.4.2 вается временно-подобной (рис. 2.4.2, кривая в). Примером временно-подобной кривой может служить характеристика третьего семейства (траектория), не являю- являющаяся линией вакуума, т. е. линией, на которой р и а равны нулю. Для баротропных течений с плоскими волнами элементарная задача метода характеристик может решаться с более высокой точ- точностью, чем в общем случае. По известным значениям и и а в точках Р+ и Р_ их значения в точке Р находятся из точных интегралов C.16) г = const на ха- характеристике ^+ и / = const на характеристике g": r{up9 aP) = r(uP+% аР+), l(uPt aP) = l(uP_, aPmm). D.1) Положение же точки Р, как и ранее, находится приближенно из соответствующей системы двух линейных алгебраических уравнений. При фактических вычислениях, учитывая малость отличия значений иру ар от их значений в точках Р+ иР_, соотношения D.1) также можно линеаризовать. Для совершенного газа с постоянными теп- лоемкостями эти соотношения и в точном виде линейны относи- относительно ир и ар: 2 2 uP — Up+ + —^ (аР—аР+) = 0, иР — иР_—^—{ {aP—aPJ = 0. § 5. Задача Коши. Область зависимости и область влияния. Слабые разрывы Рассмотрим следующую задачу. Пусть при / = 0 на некотором отрезке А В оси х (рис. 2.5.1) задано начальное состояние газа и(х, О)*=ио(х)% р(х, О) = роМ. s(x> O) = so(x). Требуется найти дви-
$5. ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ И ОБЛАСТЬ ВЛИЯНИЯ 165 жение газа при t > 0, предполагая при этом существование непре- непрерывно дифференцируемого решения этой задачи в области его опре- определения. Возьмем на отрезке АВу кроме его конечных точек, еще ряд достаточно густо расположенных точек. К каждой паре соседних точек можно применить процедуру, использованную в элементарной задаче метода характеристик, т. е. построить элементы акустических характеристик разных семейств, выходящих из выбранных на отрезке АВ точек, и найти решение в точках пересечения этих характери- характеристик. Далее ту же процедуру можно применить к каждой паре най- найденной системы точек, построив следующие элементы характеристик Рис* 2.5.1 Рис. 2.5.2 и вновь найдя решение в точках их пересечения, и т. д. В резуль- результате приближенно находится сетка характеристик и значения искомых функций в узловых точках этой сетки в области, ограниченной отрез- отрезком АВ оси х и акустическими характеристиками первого и второго семейств, выходящими из концов этого отрезка. В общем случае эта область представляет собой криволинейный треугольник ABC (однако при некоторых специальных начальных условиях граничные характеристики могут не пересекаться: точка С уходит в бесконечность). Имеется доказательство (см., например, [5]) того, что если суще- существует непрерывно дифференцируемое решение описанной задачи, то оно единственно; приближенное решение задачи, данное выше, при уменьшении расстояний между узлами сетки все более точно аппрок- аппроксимирует точное решение в узлах сетки. Совершенно аналогично предыдущему решение может быть най- найдено и тогда, когда начальные значения искомых функций заданы в плоскости х, t на отрезке А В пространственно-подобной кривой (рис. 2.5.2). Описанная задача о построении решения по значениям трех иско- искомых функций на отрезке пространственно-подобной кривой называ- называется задачей с нехарактеристическими начальными данными или зада- задачей Коти (ее называют еще задачей I типа). Область, в которой находится решение по начальным данным, называется областью оп- определенности решения этими начальными данными.
166 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Используем решение задачи Коши для анализа вопроса о зави- зависимости решения от начальных данных. Возьмем внутри области найденного решения (рис. 2.5.2) какую- либо точку Р и проведем через нее акустические характеристики обоих семейств до пересечения их с начальной кривой в точках Р+ и Я_. Отрезок начальной кривой между точками Р+ и Р_ называется областью зависимости точки Р. По построению решения ясно, что решение в точке Р зависит только от начальных значений на от- отрезке Р+Р_; изменение начальных значений вне этого отрезка не сказывается на решении в точке Р (для непрерывных решений). Отсутствие такого влияния есть следствие конечной скорости распространения слабых возмущений: возмущения из области вне отрезка Р+Р- не успевают прийти в точку Р, распространяясь в пространстве с конечными характеристическими скоростями и + а и и—а соответственно. Если изменить начальные данные только на отрезке Р+Р_> то, как вновь ясно из построения решения, это проявится в изменении решения между акустическими характеристиками P+Q+ и P_Q_. Область между этими характеристиками называется поэтому областью влияния отрезка Р+Р-. Характеристика P+Q+, распространяющаяся из точки Р+ со скоростью звука по частицам газа влево, есть, таким образом, левый фронт возмущений, вызванных изменением условий на отрезке Р+Р_; аналогично характеристика P_Q_ есть правый фронт этих возмущений. Существование областей определенности, зависимости и влияния позволяет во многих случаях проводить качественный анализ одно- одномерных течений, не прибегая к решению описывающих их уравне- уравнений. Пусть начальные данные на отрезке АВ (рис. 2.5.2) таковы, что определенное ими решение в области ABC непрерывно дифференци- дифференцируемо. Изменим начальные данные на участке АР+ отрезка АВ с сохранением их непрерывности в точке Р+. Будем считать, что новое решение задачи Коши по-прежнему непрерывно в области определенности. Решение в области Р+ВС+. и, в частности, на ха- характеристике Р+С+ осталось после изменения начальных данных прежним, поскольку оно целиком определено данными на Р+В, реше- решение же левее характеристики Р+С+ изменилось, так как эта часть области определенности решения входит в область влияния от- отрезка АР+. Таким образом, решение в области Р+ВС+ может быть непре- непрерывно продолжено через характеристику Р+С+ неединственным образом. Отличие измененного решения от первоначального может состоять в том, что производные от некоторых искомых функций по нормали к характеристике станут различными при подходе к ней с разных сторон (производные по касательной к характеристике с обеих ее сторон одинаковы из-за непрерывности решения на характеристике).
§ о. ОБЛАСТЬ ЗАВИСИМОСТИ И ОБЛАСТЬ ВЛИЯНИЯ 167 В таком случае говорят, что на характеристике искомые функции имеют слабый разрыв. Уточним понятие слабого разрыва решения. Гладкая кривая Г в области определенности решения называется линией слабого раз- разрыва, если решение непрерывно всюду, его первые производные тоже непрерывны вне кривой Г и односторонне непрерывны на ней, но некоторые производные по нормали к Г имеют в ее точках разрыв первого рода. Из сказанного выше следует, что характеристика может быть линией слабого разрыва решения (но может и не быть ей). Покажем, что если на какой-либо линии решение имеет слабый разрыв, то'эта линия обязательно является характеристикой. Действительно, обратимся к уравнениям C.6)—C.8). Пусть'^на некоторой линии Г нормальная производная какой-либо из функций и, р или s терпит разрыв. Так как производные по касательной к Г непрерывны с обеих ее сторон, то можно считать, не уменьшая общности, что терпят разрыв производные по х. Записывая каждое из уравнений C.6)—C.8) дважды—в точках при подходе к кривой Г с одной и с другой стороны — и вычитая почленно одно такое урав- уравнение из другого, получим Знак [ ] обозначает скачок значения соответствующей величины с двух сторон Г. Если x = x{t)—уравнение кривой Г, то из непрерывности производных вдоль Г с обеих ее сторон следует, что Исключая из выписанных соотношений скачки производных по времени, получим Отсюда следует, что слабые разрывы скорости и давления могут быть только на акустических характеристиках; слабые разрывы энтро- энтропии на них невозможны. Вместе с давлением на акустической харак- характеристике имеют слабый разрыв и все другие величины, зависящие от давления и энтропии: плотность, температура, скорость звука и
168 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ другие. На характеристике &+ слабые разрывы скорости и давления связаны соотношением [их] -[/?х] = 0, а на характеристике #~ — соотношением [их]-\—[р*] = 0- Слабый разрыв энтропии возможен только на характеристиках &°—траекториях; слабых разрывов ско- скорости и давления на этих характеристиках быть не может. § 6. Задачи с условиями на характеристиках (задача Гурса, задачи с условием на траектории: задача о поршне, задача со свободной границей) Пусть теперь два пересекающихся в точке О отрезка ОА и ОВ (рис. 2.6.1) представляют собой акустические характеристики разных семейств; пусть на каждом отрезке известны значения трех искомых функций (на каждой характеристике эти значения связаны соответ- соответствующим характеристическим соотношением, так что только две из трех функций являются независимыми). Предположим также, что распределения искомых функций на обеих характерис- характеристиках непрерывно дифференцируемы и что их значения в точке О совпадают. Будем искать решение в угловой облас- области между заданными характеристиками ОА и ОВ. Поставленная таким образом задача называется задачей с характерис- характеристическими начальными данными или Рис. 2.6.1 задачей Гурса (назовем ее также зада- задачей II типа). Применим для ее решения метод характеристик. Для этого возьмем на отрезке ОА и ОВ кроме граничных точек еще ряд промежуточных точек. Для пары точек Р+ и Р_, ближайших к угловой точке О и принадлежащих разным харак- характеристическим отрезкам, можно применить процедуру решения эле- элементарной задачи метода характеристик, проведя из этих точек внутрь угла между отрезками ОА и ОВ элементы характеристик разных семейств Р+Р и Р_Р до их пересечения в точке Р. Затем та же процедура применяется к парам точек Р+, Р и PL, Рит. д., пока не будет построено решение для узлов характеристической сетки, лежащих на характеристиках разных семейств, выходящих из точек Р+ и Р.. Далее процедура очевидным образом повторяется вновь и вновь до тех пор, пока не будет построена сетка характеристик и найдено решение в ее узловых точках в области, ограниченной заданными отрезками характеристик и характеристиками разных семейств, выходящими из конечных точек А и В. В общем случае эта область представляет собой четырехугольник, однако при не- некоторых специальных условиях она может быть и неограни- неограниченной.
§6. ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 169 Рассмотрим еще одну задачу (назовем ее задачей III типа). Пусть (рис. 2.6.2) на отрезке ОА акустической характеристики, например первого семейства, заданы значения искомых функций (опять из них только две независимы) и пусть на неизвестной заранее траектории частицы, проходящей через точку О, задана некоторая связь между искомыми функциями и, может быть, х и t (кроме заданного на ней постоянного значения энтропии; последнее не требуется, если дви- движение баротропно). Примем также, что начальные значения искомых функций на отрезке ОА удовлетворяют в точке О наложенной на траектории 0L связи между ними и имеют в этой точке то же значение энтропии. Тре- Требуется найти область определенности решения и найти это решение, в част- частности, найти форму траектории OL. Как и в предыдущих задачах, вы- выделим на отрезке ОА кроме концевых точек ряд промежуточных точек. По из- известным начальным данным проведем из Рис. 2.6.2 точки О элемент траектории, а из точки Р_ элемент характеристики второго семейства до их пересечения в точке Р. Для определения двух параметров течения в этой точке (третий — энтропия—известен) имеем два соотношения: заданную связь между этими параметрами (ее при фактических вычислениях можно при необходимости линеаризовать) и соотношение. вдоль характеристики второго семейства Р_Р. После определения таким образом парамет- параметров течения в точке Р решим элементарную задачу метода характе- характеристик для пары точек Р и Pi, в результате чего найдем узел характеристической сетки Р' и значения параметров потока в нем. Повторяя аналогичную процедуру, найдем решение в узловых точках Р" и т. д. характеристики первого семейства, выходящей из точки Р. Далее очевидным образом строим сетку характеристик и находим решение в ее узловых точках во всей области определенности реше- решения, представляющей собой треугольник, сторонами которого является начальный отрезок характеристики ОА и отрезки выстраиваемых в процессе решения характеристики второго семейства AL и траек- траектории частицы (характеристики третьего семейства) 0L. Укажем на два частных случая рассмотренной задачи. . Первый случай: пусть заданная на траектории связь между иско- искомыми функциями G{u, p; х, t) = 0 не содержит /?. Так как вдоль траектории dx/dt = u, то задание такой связи, очевидно, эквивалентно просто заданию самой траектории в плоскости х, /, а следовательно, и значений скорости и вдоль нее. Эта задача возникает при нахож- нахождении движения газа, вызываемого движением поршня по заданному закону. Второй случай: пусть, наоборот, связь G (и, р\ х, t)~ О не со- содержит и. Эта задача возникает при нахождении движения газа,
170 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ вызываемого движением поршня, на котором давление изменяется заданным образом. Траектория поршня при этом не задана и должна быть определена. Интересным является случай, когда р=р (х, /)=consl, т. е. когда давление на поршне или в пространстве, с которым гра- граничит газ, постоянно; в таком случае траектория является так на- называемой свободной границей. Несколько более сложной связью на траектории в задаче III типа является дифференциальная связь в упоминавшемся ранее случае разгона поршня газом: dx Mdu ( dt = U. Еще раз подчеркнем, что изложенное описание решения сформу- сформулированных задач предполагает существование их непрерывно диф- дифференцируемого решения (в задаче Гурса траектория, исходящая из точки пересечения характеристик, может быть линией слабого раз- разрыва энтропии). Рассмотрим границу области течения со стороны меньших t. Пусть участок этой границы является пространственно-подобным. Тогда возможны два случая: характеристики &+, #°, %~ либо все исходят из точек границы внутрь области течения (рис. 2.6.3, а), либо все они направлены из этой области наружу (рис. 2.6.3, б). х х Рис.2.6.3 В первом случае на участке границы должны задаваться значения всех трех определяемых величин, так как параметры течения во внутренних точках области течения в окрестности такого участка границы находятся из соотношений вдоль характеристик, исходящих из точек границы; во втором случае на границе не следует задавать никаких условий, так как все величины во внутренних точках области течения и на самой границе определяются из соотношений вдоль характеристик, идущих из области течения. Если участок границы области течения является временно-подоб ным, то из него внутрь области течения могут исходить либо две характеристики—одна акустическая, например ^+, и энтропийная #° (рис. 2.6.4, а), либо только одна акустическая характеристика (рис. 2.6.4,6). Соответственно из области течения к границе под- подходит либо только одна акустическая характеристика, либо еще и
§6. ЗАДАЧИ С УСЛОВИЯМИ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ 171 энтропийная. На таком участке границы должны соответственно задаваться либо два условия для искомых функций, либо только одно такое условие, а параметры течения во внутренних точках области течения находятся при этом в первом случае (рис. 2.6.4, а) из двух соотношений вдоль характеристик, исходящих из точек гра- границы, и одного—вдоль характеристики, идущей из области течения при меньших / («из прошлого»), а во втором случае (рис. 2.6.4, б)— из одного соотношения вдоль характеристики, исходящей из точки t X Рис. 2.6.4 границы, и двух—из соотношений вдоль характеристик, идущих из области течения. Подчеркнем, что характер кривой (пространственно-подобная или временно-подобная в первом или втором вариантах) связан с значениями искомых функций на ней и поэтому не во всех случаях заранее определен. Соответственно с этим в процессе движения может меняться число условий, которые необходимо задавать на границе для определения решения. При постановке граничных условий полезно учитывать, что про- пространственно-подобная граница в плоскости х, t соответствует, оче- очевидно, перемещению этой границы со сверхзвуковой скоростью отно- относительно газа, а временно-подобная—дозвуковой. При этом сквозь пространственно-подобную границу газ втекает внутрь области течения в первом случае и вытекает—во втором, сквозь временно- подобную тоже либо втекает (в первом из рассмотренных случаев), либо вытекает (во втором случае), в промежуточном случае, когда граница совпадает с характеристикой #° (траекторией), она непро- непроницаема для газа. Если сама граница области течения должна находиться при реше- решении задачи (как это было, например, выше в задаче со свободной границей), то число краевых условий на такой границе должно быть на единицу большим, чем это следует из предыдущего рассмотрения. При отыскании непрерывных решений задач, в которых гранич- граничные значения функций задаются на пересекающихся отрезках кривых различных типов, должны быть выполнены условия согласования этих значений в точке пересечения кривых. В противном случае в потоке возникнут разрывы или другие особенности. С примерами
172 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ такого несогласованного задания краевых условий (обусловленного постановкой физической задачи) мы встретимся позднее. Заметим, что в ряде случаев вопрос о математической коррект- корректности постановок задач с краевыми условиями различных типов до настоящего времени не решен. Вернемся к рассмотренному в § 2 примеру, когда неподвижная правая граница области течения проницаема для газа, причем связь между массовым расходом газа сквозь границу и давлением на ней определяется соотношением B.3). Могут представиться различные случаи. Если газ вытекает из трубы с дозвуковой скоростью, то граница х — х0, очевидно, является временно-подобной с одной исходящей от нее внутрь области течения акустической характеристикой (характе- (характеристические скорости с0 > О, с+ > 0, с_ < 0). В этом случае при определении течения внутри трубы на границе х — х0 достаточно задавать одно условие B.3). Если газ втекает в трубу с дозвуковой скоростью, то граница вновь является временно-подобной, но с двумя идущими внутрь об- области течения характеристиками—акустической %~~ и энтропийной #0(с0<0, с+ > 0, с_ < 0). Поэтому в этом случае дополни- дополнительно к условию B.3) на границе нужно задавать еще одно усло- условие—энтропию втекающего газа. Если скорость втекания газа в трубу у границы х = х0 сверх- сверхзвуковая, то граница является пространственно-подобной и все три характеристики направлены внутрь области течения (с0 < 0, с+ < 0, с_ < 0); на границе должны быть заданы значения всех трех пара- параметров газа или эквивалентные этому три связи между параметрами. (К примеру, если граница х = х0 представляет собой выходное сечение сопла Лаваля, через которое газ из большого резервуара втекает в трубу, и движение в сопле можно принять за установившееся, то должны быть заданы скорость, давление и энтропия газа в выход- выходном сечении сопла.) Наконец, если газ вытекает через сечение х = х0 со сверхзвуко- сверхзвуковой скоростью, то все три характеристики подходят к границе из области течения (с0 > 0, с+ > 0, с_ > 0) и на границе не могут быть предписаны заранее никакие условия. § 7. Простые волны (волны Римана) Рассмотрим баротропные, в частности, изоэнтропические течения с плоскими волнами. Для таких течений вдоль характеристик спра- справедливы соотношения C.16) г = const при dx = (и 4- a) dt, 1 = const при dx = (u—a) dt. Пусть один из инвариантов Римана, например /, постоянен не только вдоль каждой характеристики второго семейства, но имеет
§7. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ (ВОЛНЫ РИМАНА) 173 одно и то же значение во всей области течения, т. е. пусть в этой области имеется интеграл / = /0 = const. Тогда вдоль каждой характе- характеристики первого семейства постоянны оба инварианта Римана г и /, а следовательно, постоянна и сумма и+а, так что можно проинте- проинтегрировать и второе соотношение вдоль характеристики первого семей- семейства и получить еще один интеграл х—{u + a)t = F{r), содержащий произвольную функцию F(r)*). Таким образом, в рас- рассматриваемом течении характеристики первого семейства являются прямыми линиями, причем вдоль каждой из них все газодинамиче- газодинамические величины постоянны. Функцию F можно, конечно, считать за- зависящей не от г, а от любой из величин р, р, а или от скорости и. Интегралы l(u, a) = l09 x—(u + a)t = f(u) G.1) определяют в неявной форме зависимости скорости и и скорости звука а от координаты х и времени t. Течения, описываемые этими интегралами, называются простыми волнами или волнами Римана. Аналогичные интегралы г {и, а) = г0, х—(и—a)t=*g(u) G.2) описывают простые волны с прямолинейными характеристиками вто- второго семейства. Название «волна» для описанных движений газа оправдано тем, что при таких движениях состояние с неизменными значениями пара- параметров—скорости, давления, плотности, скорости звука—распрост- звука—распространяется по частицам газа со своей постоянной скоростью звука, опережая частицы или отставая от них. В связи с этим простые волны, описываемые интегралами G.1), называют еще бегущими вперед, а описываемые интегралами G.2)—бегущими назад. Очевидно, что область в плоскости течения х, /, занятая волной Римана, при переходе в плоскость г, / вырождается в отрезок линии г = const или / = const. Таким образом, простые волны и есть те особые случаи течений, о которых говорилось в конце § 3. Наличие в формулах для простой волны одной произвольной функции позволяет удовлетворить одному условию, наложенному на искомые функции. Для совершенного газа с постоянными теплоемкостями волны Римана с использованием зависимых переменных и и а описываются формулами = const, x—(u ±a) t = f(u), :const, x—(u—a) t = g(u). *) Этот интеграл для случая а = const (т. е. когда поведение газа описывается законом Бойля—Мариотта р = а2р, a = const) впервые получил в 1808 г. Пуассон (см. ссылку на с. 20).
174 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Рассмотрим волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Для такой волны 1 = и—v = const, х—(и + a) t = f(u). Пусть распределение параметров в волне известно в некоторый мо- момент времени. С ростом времени прямолинейные характеристики в этой волне сходятся, если в ней д(и+а) Q дх ' и расходятся при выполнении противоположного неравенства. Пре- Преобразуя написанное неравенство к виду d(u + a) dp _ d(v+a) dp ^ [dp дх dp дх и используя выражения C.11) и C.12) для а и и, после несложных выкладок получим р2аЗ 02у ftp Здесь и до конца абзаца v—удельный объем. Из последней фор- мулы следует, что для сред, для которых -^- >0, а, следовательно, для нормальных газов и, в частности, для совершенных газов с посто- постоянными теплоемкостями при у > — 1 или для баротропных процессов, Рис. 2.7.1 d2v ^ Л в которых -r-g- > 0, характеристики с ростом времени сходятся (рис. 2.7.1, а), если давление в частицах возрастает при распростра- распространении по ним волны Римана (такие волны называются волнами сжа- сжатия), и расходятся (рис. 2.7.1,6), если давление в частицах умень- уменьшается (эти волны называются волнами разрежения). Для сред, для которых d2v/dp2 \s < 0, этот вывод меняется на противоположный. В случае, если d2vldp2=-0, т.е. если р = А — Bv, где А и В — постоянные (модель газа': Чаплыгина, см. с. 162), прямолинейные характеристики в волне Римана параллельны независимо от
§7. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ (ВОЛНЫ РИМАНА) 175 того, является ли волна Римана волной сжатия или волной раз- разрежения. Из того, что в волне, бегущей вперед, 1=--и—v = const, следует du dv 1 do z~-=z — = — -?-, так что волны сжатия ускоряют частицы в направ- направлении своего распространения; в волнах разрежения, наоборот, частицы получают ускорение в противоположном направлении. Оче- Очевидно, это же верно и для волн, бегущих назад. Если все прямолинейные характеристики волны Римана выходят из одной точки х0, t0 плоскости х, t (рис. 2.7.1, в), то волна назы- называется центрированной с центром (х0, t0). В формулах G.1), описываю- описывающих такую волну Римана, в этом случае нужно считать f(u)=x0— —(а + и) t0. Центрированная волна Римана представляет собой пример автомодельного решения уравнений газовой динамики, в котором иско- искомые функции зависят не от двух переменных х и t, а лишь от их ком- комбинации x/t (в системе координат, начало которой совмещено с центром волны Римана). Несмотря на то, что волны Ри- Римана представляют собой лишь уз- узкий класс одномерных нестационарных движений с плоскими вол- волнами (соответствующие решения уравнений содержат лишь одну произвольную функцию, тогда как в общем случае решение должно зависеть от трех таких функций), они возникают при решении мно- многих задач газовой динамики. Это объясняется, в частности, тем, что если в каком-либо непрерывном течении с плоскими волнами есть прямолинейная акустическая характеристика АВ с постоянными зна- значениями и, р, р вдоль нее (причем афО), то к этой характеристике примыкает либо течение с постоянными параметрами, либо простая волна. Докажем это утверждение. Пусть характеристика О А (рис. 2.7.2) принадлежит, например, семейству <ё+. Проведем из каждой ее точки траекторию (характе- (характеристику третьего семейства %*—штриховые линии на рис. 2.7.2) в сторону роста времени. Ясно, что в области, покрываемой этими траекториями, энтропия всюду одна и та же (это следует из посто- постоянства ее на характеристике ОА). Проведем далее в туже сторону от О А характеристики второго семейства 8?~. На каждой такой характеристике / = /0 = const, причем эта константа, очевидно, одна и та же для всех характеристик второго семейства, выходящих из точек характеристики ОА. Таким образом, в области изэнтропиче- ского течения OAL имеется интеграл / = const, и, следовательно, течение в этой области есть волна Римана (или движение с постоян- Рис. 2.7.2
176 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ ными параметрами). Утверждение доказано. Из доказанного следует, что если покоящийся однородный газ приходит непрерывным образом в движение с плоскими волнами, то при этом неизбежно возникает волна Римана. Точно так же к однородному поступательному потоку в одномерном движении может непрерывно примыкать (через прямо- прямолинейную характеристику) только продолжение самого этого потока или волна Римана. В волне Римана состояние газа неизменно вдоль прямолинейных характеристик, т. е. распространяется в пространстве с постоянной скоростью, зависящей от термо- термодинамического состояния газа. Следовательно, распределения параметров газа по координате х в волне Римана меняются при ее распространении (исключе- (исключение составляет газ Чаплыгина, в котором характеристики парал- параллельны). Проследим за этим из- изменением на примере волны, распространяющейся вправо (в дальнейшем газ считается нор- нормальным). Рис. 2.7.3 Будем считать, что в начальный момент t0 (рис. 2.7.3) волна Римана занимает конечную область (л:0, хх)у вне которой состояния газа однородны и одинаковы. На рис. 2.7.3 нижняя кривая изобра- изображает начальный профиль возмущения давления в волне Др(д:, t0). На этом же рисунке приведены в плоскости х, t прямолинейные харак- характеристики бегущей вправо волны Римана, соответствующей этому распределению давления. Ее передний и задний фронты распростра- распространяются с одинаковой скоростью ах\ состояния с большим давлением распространяются с большей скоростью (так как d(a + u)/dp > 0). Характеристика, соответствующая состоянию с наибольшим давле- давлением, делит волну Римана на две части: переднюю, представляю- представляющую собой волну сжатия, и заднюю—волну разрежения. В волне разрежения прямолинейные характеристики расходятся, в волне сжатия—сближаются. Соответственно профиль возмущения давления в волне разрежения становится со временем более поло- пологим и градиент давления (и других газодинамических параметров) уменьшается. В волне сжатия крутизна фронта нарастает, возрастает по величине градиент давления (см. на рис. 2.7.3 профиль давле- давления Ар(ху tj). В момент времени t2 в волне сжатия впервые происходит пере- пересечение характеристик. При приближении к этому моменту произ- производные от газодинамических величин их, рх и т. д. неограниченно возрастают и в месте пересечения характеристик обращаются в беско- бесконечность (на рис. 2.7.3 профиль давления Ар(х, t2)). Это явление неограниченного роста абсолютной величины производных образно
>7. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ (ВОЛНЫ РИМАНА 177 называют градиентной катастрофой. Начиная с момента времени t2 непрерывное решение теряет физический смысл: нарушается его одно- однозначность (профиль давления Ар (л:, /3)); при этом говорят об «опро- «опрокидывании» волны сжатия *). Пример с простой волной сжатия показывает, что даже при сколь угодно гладких распределениях искомых величин в начальных или краевых условиях описанных выше типичных задач I — III их реше- решение может не существовать не только в классе гладких функций > но и в классе непрерывных функций. Рассмотрим следующее начальное (при t = 0) непрерывное распре- распределение параметров газа. На отрезке АВ (рис. 2.7.4) параметры газа заданы произвольно, а справа и сле- слева от отрезка А В состояния газа однородны и в общем случае различ- различны. Изучим качественно возникаю- возникающее движение сначала для случая изоэнтропического движения (началь- (начальные значения энтропии должны быть для этого всюду одинаковы). Будем считать, что начальные распределе- л в * ния параметров не связаны соотно- Рис. 2.7.4 шением в бегущей вправо или влево волне Римана (иначе возникающее движение будет соответствующей простой волной). Решая задачу Коши с начальными данными на отрезке АВУ найдем решение в треугольной области ABC (предполагается, что непрерывное решение существует во всей этой области). Так как состояние газа при х>хв однородно, то характеристика ВВ' пер- первого семейства прямолинейна и, следовательно, решение задачи Гурса с известными теперь данными на характеристиках ВС и ВВГ представляет собой волну Римана, распространяющуюся по газу вправо. Аналогичным образом в области между характеристиками АС и А А' возникает волна Римана, распространяющаяся по газу влево. В угловой области между двумя прямолинейными характери- характеристиками, выходящими из точки С, характеристики обоих семейств прямолинейны, так что состояние газа в этой области однородно. Если в обеих волнах Римана характеристики расходятся, то най- найденное решение справедливо при всех t, если же хоть в одной из волн характеристики сходятся, то непрерывное решение существует лишь до момента пересечения характеристик. *) На эту трудность при изучении распространения волн в газе, описываемых интегралом Пуассона (см. сноску нас. 173), впервые указал в 1848 г. Стоке (Stokes). Джордж Габриель Стоке A819—1903) — английский физик и математик, автор ряда основополагающих работ по механике жидкости и газа. Для политропной связи между р и р распространение волн Римана и их «опрокидывание» изучали английский ученый С. Ирншоу (Earnshow, 1858) и сам Риман A860).
178 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Таким образом, при выполнении определенных условий описан- описанная начальная локальная неоднородность приводит к образованию двух волн Римана, бегущих по газу в обе стороны, с областью однородного течения между ними. Если начальные значения энтропии на участке АВ переменны, то волны Римана будут только в областях правее траектории ВВ" и левее траектории ЛЛ", так как в каждой из этих областей зна- значения энтропии постоянны (при условии непрерывности течения). В области между этими траекториями течение не будет изоэнтропи- ческим и, следовательно, не будет волной Римана или течением с постоянными параметрами. Однако и в тех случаях, когда при развитии возмущений тече- течение перестает быть непрерывным и образуются перемещающиеся по газу и в пространстве разрывы, качественно вывод о возникновении из начальной локальной неоднородности двух волн, бегущих по газу в разные стороны, остается в силе. § 8. Задача о поршне. Истечение газа в вакуум Рассмотрим задачу о поршне, которая формулируется следующим образом (рис. 2.8.1). В момент времени / = 0 в области цилиндри- цилиндрической трубы л:>0 справа от подвижной границы—поршня нахо- находится газ с известными распределениями параметров. При / > О задан закон движения поршня x = X(t) (линия OL на рис. 2.8.1). Требуется определить движение газа при / > 0. Ограничимся пока случаем, когда в начальном состоянии газ одноро- однороден и неподвижен, скорость поршня в начальный момент равна нулю Х@) = 0 Рис. 2.8.1 и X (t) ^ 0, т. е. скорость поршня во время его выдвигания влево растет по величине. В этом случае область / на рис. 2.8.1, ограниченная слева харак- характеристикой О А, есть область покоящегося однородного газа и харак- характеристика ОА прямолинейна. Действительно, параметры газа в каж- каждой точке области / определяются значениями инвариантов Римана на характеристиках, приходящих в эту точку из концов области ее зависимости на оси х\ значения же этих инвариантов одинаковы во всех точках оси х. Задача, которую нужно решить для определе- определения течения в области // между характеристикой ОА—передним фронтом возмущений от начавшегося двигаться поршня—и траекто- траекторией поршня OL, с которой в силу требуемого краевого условия и(Х, t)
§ 8. ЗАДАЧА О ПОРШНЕ. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ 179 совпадает траектория частицы, есть частный пример задачи III типа» рассматривавшейся ранее (ср. рис. 2.8.1 и рис. 2.6.2). Так как об- область // граничит с областью однородного состояния газа, то тече- течение в этой области представляет собой волну Римана u-.v(a) = — v(al)9 x—(u + a)t = f(u), (8.1) где аг—скорость звука в покоящемся газе. Константа в правой части первого соотношения определена из условия непрерывности значе- значений и и а па характеристике О А, вид функции f(u) можно опреде- определить по известному закону движения поршня x = X(t). Действи- Действительно, представим этот закон движения в параметрической формеу взяв в качестве параметра скорость поршня un = X(t), т.е. будем считать на поршне х = xn(u), t=tu(u). Подставив эти параметри- параметрические выражения для х и t во второе соотношение (8.1), получим -=^0, то Так как по условию -^- < 0 и в волне Римана du— возникающая волна есть волна разрежения и, согласно доказанному в предыдущем параграфе, при (здесь v—удельный объем) О Рис. 2.8.2 прямолинейные характеристики в ней образуют расходящийся пучок. Функция v монотонно убывает при уменьшении давления или плот- плотности. При адиабатических движени- движениях нормального газа она остается ограниченной по модулю при обра- обращении давления и плотности в нуль (при этом обращается в нуль и ско- скорость звука). Для таких движений, как и при других баротропных про- процессах, обладающих этими свойст- свойствами, удовлетворить условию u = un(t) при x = X(t) можно только, если |ип(/)| не превосходит некоторого предельного значения итах> при котором давление и плотность газа у поршня обращаются в нуль. Если после того, как давление и плотность газа у поршня обра- обратятся в нуль (точка В на рис. 2.8.2), скорость поршня продолжает возрастать, условие на траектории граничной частицы газа, требующее совпадения скорости этой частицы со скоростью поршня, следует заме- заменить условием равенства нулю давления р=^0 на граничной траек- траектории. (Здесь мы встречаемся со случаем, когда заданное первона- первоначально условие на границе области движения газа оказывается, начиная с некоторого момента времени, невыполнимым и требует замены его другим.) Форма траектории, которая становится при этом свободной границей, должна определиться из решения. В рас- рассматриваемом случае граничная траектория частицы совпадает с пря-
180 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ молинейной акустической характеристикой первого семейства, так как на последней а = 0. Между траекторией поршня x = X(t) и передним фронтом движущегося газа образуется зона, где давление равно нулю и газа нет, т. е. зона вакуума (на рис. 2.8.2 заштрихо- заштрихована). Значение скорости в волне Римана, определяемое первой форму- формулой (8.1) при v(a) = 09 называется максимальной скоростью неста- нестационарного расширения газа или скоростью нестационарного исте- истечения газа в вакуум dp При изучении установившихся квазиодномерных течений (§ 3 гл. I) мы уже сталкивались с понятием максимальной скорости истечения газа Vmax, которая может достигаться в сопле Лаваля при неогра- неограниченном его расширении. В этих условиях Утах определяется фор- формулой Утах _ f dp -T--JT- Значение максимальной скорости «тах, как и Угаах, зависит от вида связи между плотностью и давлением при течении газа. Для адиабатических движений совершенного газа с постоянными теплоемкостями v — , . Поэтому предельное значение скорости wmax определится формулой "п.ах = ^. (8-2) значение же Утах равно где ау есть скорость звука в покоящемся газе соответственно в ци- цилиндрической трубе или в резервуаре, откуда происходит истечение. Как видим, максимальная скорость расширения газа в вакуум из одного и того же состояния покоя зависит от условий истечения. При нестационарном расширении газа в цилиндрической трубе эта скорость выше (при у < 3), чем при стационарном истечении через неограниченно расширяющееся сопло Лаваля. При изотермическом расширении совершенного газа в трубе, как следует из вида функции v(p) (формула C.19)), предела увеличения скорости нет: итйХ = оо. Как и в случае установившихся течений (см. конец § 3 гл. I), способность газа приобретать при изотерми- изотермическом нестационарном расширении сколь угодно большую скорость связана с тем, что при этом к газу извне должна подводиться энер- энергия в виде тепла.
§ 8- ЗАДАЧА О ПОРШНЕ. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ 181 Вернемся вновь к задаче о поршне. Пусть закон движения поршня задан в следующей форме. Сначала, как и ранее, поршень начинает выдвигаться влево с нулевой скоростью в точке О, ускоряясь до неко- некоторого значения скорости, меньшего максимальной, в точке 5, после чего скорость поршня остается постоянной (рис. 2.8.3, а). Тогда ясно, что волна Римана будет лишь в области // между прямоли- прямолинейными характеристиками ОА и ВС. К характеристике ВС слева примыкает зона /// однородного состояния газа, движущегося со скоростью, равной скорости поршня. Это следует из краевого усло- условия и(Х, t)=ua = const, согласно которому в области /// и второй инвариант Римана имеет постоянное значение. с t х 5 Рис. 2.8.3 х Будем теперь уменьшать длину отрезка ОВ траектории поршня, сохраняя неизменной конечную скорость поршня. В пределе, когда длина участка ОВ обращается в нуль, все прямолинейные характе- характеристики волны Римана в зоне // выходят из одной точки О и волна Римана становится центрированной (рис. 2.8.3,6). При этом пор- поршень с самого начала будет иметь постоянную скорость. Отметим, что в найденном течении с центрированной волной Римана имеется особенность в распределении параметров газа: при подходе к точке О по разным направлениям значения параметров различны. Эта особенность вызвана, как уже о том говорилось в конце § 6, несогласованностью граничных значений скорости в точке О пересечения двух участков границы области течения: полу- полуоси х > 0 и траектории поршня 0L. Если конечная скорость поршня превосходит по величине макси- максимальное значение скорости расширения газа итах и, следовательно, начиная с некоторого момента, поршень отрывается от газа и пере- перестает влиять на его движение, то можно считать, что, начиная с этого момента, поршня просто нет и фронт расширяющегося газа граничит с областью вакуума. Если при этом вновь совершить пре- предельный переход, устремляя к нулю длину отрезка траектории поршня, на котором скорость возрастает до итах, то получим тече- течение с центрированной волной Римана, на границе которой давление и плотность равны нулю, а скорость газа равна скорости истечения газа в вакуум; поршень при этом можно считать «исчезнувшим» в начальный момент времени. Эту задачу можно трактовать следую-
182 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ щим образом. Покоящийся однородный газ в области х >[0 отделен при л; = 0 перегородкой от области вакуума при х < 0. В момент времени / = 0 перегородку мгновенно убирают, и газ начинает истекать в пустоту (рис. 2.8.4). Нетрудно убедиться в том, что движение газа при выдвигании поршня с постоянной скоростью и движение газа при истечении его в вакуум после мгновенного исчезновения перегородки автомодельны во всей области, занятой газом. Действительно, оба эти движения состоят из областей, занятых либо газом в однородном состоянии, либо центрирован- центрированной волной Римана, причем эти области ограничены прямыми x/t = const. Таким образом, оба движения в целом автомо- автомодельны, т. е. распределения всех пара- параметров газа в них зависят лишь от ком- J бинации независимых переменных x/t. 0 х Отметим, что автомодельный характер Рис. 2.8.4 найденных движений следует уже из пос- постановки соответствующих задач. В самом деле, обе задачи состоят в нахождении зависимости скорости и, дав- давления р и плотности р от координаты х и времени t при данных начальных значениях р1 и рх в покоящемся газе, при заданной скорос- скорости поршня U в первой задаче и при р = 0 на левой границе области движения—во второй задаче. Уравнения, которыми описывается возникающее движение, содержат в случае совершенного га?а с постоянными теплоемкостями лишь один параметр—отношение теп- лоемкостей у. Легко убедиться, что система постоянных определяющих пара- параметров задачи содержит масштабы для давления, плотности и ско- скорости (ри рх, U или аг =¦• VypJPt) и не содержит масштабов длины и времени, позволяя определять лишь их комбинацию x/t. Таким образом, безразмерные отношения р/ри р/рх и и/ах должны быть функциями лишь одной переменной x/(axt) и одной постоян- постоянной у, а в первой задаче—еще и постоянной и/аг. Это и доказывает автомодельный характер возникающего движения. Возникновение центрированной волны Римана с особенностью в точке О в задаче об истечении газа в вакуум при удалении пере- перегородки вновь вызвано несогласованностью условий, задаваемых на границе области движения: при подходе к точке О вдоль участка границы / = 0 давление равно ри а при подходе к этой точке вдоль неизвестного заранее участка границы—переднего фронта истекаю- истекающего газа—давление равно нулю. В более общем случае задачи о поршне с заданной скоростью или давлением на нем, когда распределения параметров газа при * = 0 неоднородны, движение в области / находится путем решения задачи Коши, а движение в области //—путем изложенного в § 6
§ 8. ЗАДАЧА О ПОРШНЕ. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ 133 решения задачи III типа. Конечно, при этом предполагается, что непрерывное решение существует. Если скорость выдвигаемой гра- границы относительно прилегающего к ней газа в начальный момент времени не равна нулю и направлена в сторону от газа, то локально течение в окрестности точки О описывается центрированной волной Римана. Если же эта скорость не равна нулю и направлена в сто- сторону области, занятой газом, то непрерывное течение невозможно — в газе образуются поверхности разрыва. Этот слу- случай подробно рассмотрен ниже—в § 10. При нестационарном истечении покоившегося вначале газа в вакуум через цилиндрическую трубу можно осуществить его разгон до скорости, боль- шей итах. Пусть при л;>0 справа от перегородки, от- отделяющей газ от вакуума, к трубе присоединен посредством плавно сужающегося насадка боль- Рис- 2-8-5 шой резервуар (рис. 2.8.5) с неподвижным одно- однородным газом. При / = 0 перегородка мгновенно убирается; предпо- предположим, что в то же мгновение справа от перегородки устанавливает- устанавливается стационарное течение газа с максимальным расходом, т. е. с критическими условиями в сечении х = 0. Газ слева от перегородки будет расширяться в вакуум в волне Римана. В этой волне имеет место интеграл Jv=o a*a, В стационарном потоке справа от сечения х = 0 справедлив инте- интеграл Бернулли, согласно которому 2 t7-lA=o~2(T-l) а*=° - v—1 • где ах—скорость звука в покоящемся газе. Таким образом, в волне Римана „ 2а -i/7+Г '2<*i так что скорость ее переднего фронта (при а = 0) равна 2 у — \ • т. е. превосходит цтах= °^. по величине в у г ' * раз. Конечно, нужно иметь в виду, что стационарное течение газа при #>0 устанавливается не мгновенно, так что найденное значе- значение скорости фронта достигается тоже лишь постепенно. Рассмотрим еще задачу о взаимодействии простых волн или — иначе—задачу о двух поршнях.
184 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Пусть по однородному покоящемуся газу (рис. 2.8.6, я, область /) распространяются во встречных направлениях две бегущие волны разрежения // и ///; волны можно считать возникшими в результате соответствующего движения поршней, между которыми в области 0<^#^#i первоначально (при ? = 0) был заключен невозмущен- невозмущенный газ Встретившись (в точке О на рис. 2.8.6, а), волны начинают взаи- взаимодействовать, проникая одна сквозь другую. а Рис. 2.8.6 Область взаимодействия волн представляет собой четырехугольник ОАСВ, стороны которого образованы отрезками акустических харак- характеристик. Распределение параметров Римана вдоль характеристик обоих семейств в этой области известно по их значениям на отрез- отрезках О А и ОВ, однако сами характеристики искривлены и для их на- нахождения в области О АС В нужно решить задачу Гурса. Для простоты изложения далее рассматривается случай, когда обе волны Римана являются центрированными (именно такой случай изображен на рис. 2.8.6, а). Пусть в области невозмущенного состояния газа / и = 0, v=v11t а центрами каждой из волн являются точки @, 0) и (хи tj соот- соответственно. Тогда бегущая вправо волна Римана // описывается формулами (см. G.1)) )/=;0, (8.3) (8.4) а бегущая влево волна ///—формулами (см. G.2)) r= u + v = vl9 х—ху—{и—a)(t—t1) = i Пользуясь этими выражениями, легко найти уравнения характе- характеристик ОВ и ОА и распределения параметров газа на них. Так, если в уравнении характеристики OB dx—(u—a)dt заменить диф- дифференциал dx с использованием выражений, полученных из (8.3): dx—(u + a)dt+ t^du + da) = 09 du—dv~0f то это уравнение примет вид
§ 8. ЗАДАЧА О ПОРШНЕ. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА В ВАКУУМ 185 Учитывая, что согласно C.12) dv = a—, отсюда получаем ин- интеграл tVpa^UVipdJl, (8.5) где постоянная интегрирования определена по условиям в точке О (t0—соответствующий этой точке момент времени). Интеграл (8.5) вдоль характеристики ОВ вместе с соотношениями (8.3) и определяет форму этой характеристики и распределение пара- параметров газа на ней. Аналогично находится интеграл вдоль харак- характеристики О А: (t- tx) VVa =-,- (/„-/,) V№» (8-6) определяющий вместе с (8.4) ее форму и распределение на ней параметров газа. Сформулированную задачу Гурса удобно решать с помощью урав- уравнений C.20), принимая за независимые переменные инварианты Римана г и / и считая х и / искомыми функциями. Область О АС В переходит в плоскости г, / (рис. 2.8.6,6) в прямоугольник, ограни- ограниченный указанными на рис. 2.8.6,6 линиями г = const и / = const. На сторонах ОА и ОВ этого прямоугольника искомые функции х и / известны (напомним, что при этом их значения связаны соот- соотношениями на характеристиках). На рис. 2.8.6,6 приведена также линия г—l=2v(p) = 0, т. е. линия, где давление равно нулю—линия вакуума. При увеличении интенсивности одной или обеих взаимодействующих волн Римана характеристики / = const и г = const, идущие из точек А и В в на- направлении линии вакуума, заканчиваются в точках этой линии; отрезок линии вакуума образует тогда часть границы области взаимодействия. При этом точка С плоскости х, t уходит в беско- бесконечность, так как из (8.5) и (8.6) следует, что на границах АС и ВС области взаимодействия / —> оо при ра—*0. Таким образом, область определенности решения в рассматриваемой задаче Гурса стано- становится бесконечной. Не описывая общего метода решения задачи о взаимодействии волн, укажем лишь, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями, когда уравнения C.20) приводятся к виду C.21), решение удается получить в аналитической форме, а для указанной в § 3 совокупности значений у—и выразить его через элементар- элементарные функции. Совсем просто получить решение при у = 3. В этом случае, как было показано в § 3, акустические характеристики обоих семейств в плоскости х, t прямолинейны. Прямолинейные характеристики в области взаимодействия являются просто продолжением соответ- соответствующих характеристик бегущих волн, и распределение параметров Римана г и / по ним известно—оно такое же, как и в самих бегу- бегущих волнах.
186 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Если в одиночной волне, бегущей вправо, 1 = const, r=r+(x, t)> а в одиночной волне, бегущей влево, г = const, / = /_(*, /), то при Т-Зв области взаимодействия волн r==r+(x, t)9 l=L(x9 t). Напомним, что при 7 = 3 р= * = а, так что в рассматриваемом примере центрированных волн Римана r+ = u+a=-j, /_=и—а= j-^j и, следовательно, в области взаимодействия ) <87> Очевидно, что если взаимодействующие бегущие волны (не обя- обязательно центрированные и в любом нормальном газе) отличаются только направлением распространения, то течение симметрично отно- относительно плоскости встречи обеих волн. В силу симметрии в этой пло- плоскости и=0 и ее можно принять за неподвижную стенку. Рассмат- Рассматривая течение лишь с одной стороны стенки, получаем, таким обра- образом, решение задачи об отражении бегущей волны от жесткой стенки. Так, полагая в решении (8.7) /, = 0, получаем в области взаи- взаимодействия падающей и отраженной волн 2х—xi _ jci u-~Tt • a~~2f Интересно, что при этом давление во всей области^ взаимодействия одно и то же и зависит только от времени. Как уже говорилось ранее, если при решении задач о движениях газа в области движения происходит пересечение характеристик одного и того же семейства (как, например, в бегущих волнах сжа- сжатия), то непрерывность распределений параметров газа нарушается и необходимо рассматривать движения с разрывами. В связи с этими следующий параграф посвящен необходимым для дальнейшего допол- дополнительным сведениям о соотношениях на разрывах в газе. § 9. Соотношения между параметрами газа на разрыве. Эволюционные разрывы. Слабые и сильные ударные волны В гл. I было установлено, что внутри занятой газом области могут быть поверхности, на которых параметры газа терпят разрыв. Значения параметров газа с обеих сторон такой внутренней границы и скорость ее перемещения в пространстве связаны условиями, налагаемыми законами сохранения. В § 4 и § 7 гл. I эти условия были получены для поверхностей разрыва без сосредоточенных на них притоков массы, импульса и энергии—для ударных волн и кон- контактных разрывов. В § 5 гл. I получены условия для поверхностей разрыва с сосредоточенным притоком тепла—волн детонации и волн дефлаграции.
§ 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА РАЗРЫВЕ 187 В случае одномерных движений условия G.15) гл. I для раз- разрывов без сосредоточенных воздействий принимают вид p(u-D) = Pl(Ul-D) = mt (9.1) р + р (u-Df = Pl + Pl (u,-D)\ (9.2) p (u-D) (^ + e) + pu = Pl K-D) (-? + ex) + Plux. (9.3) На контактном разрыве, т. е. при m = 0, из соотношений (9.1) и (9.2) получаем условия u = Ul = D9 p = Pl9 (9.4) соотношение (9.3) удовлетворяется тождественно. На ударных волнах, т. е. при тфО, соотношения (9.1)—(9.3) можно записать в виде p(u-D)=px(Ul-D)9 (95) Последнее соотношение выражает собой условие сохранения полного теплосодержания газа при прохождении им ударной волны в системе координат, связанной с поверхностью разрыва. (Для его получения нужно вычесть из равенства (9.3) почленно равенство (9.2), умно- умноженное на D.) Рассмотрим вопрос о числе условий на поверхностях разрыва различного типа, необходимом для решения задач о течениях газа с разрывами. Значения параметров газа в точках внутренней гра- границы— по три с каждой ее стороны, скорость перемещения границы D, и, может быть, еще N каких-либо других заранее неизвестных вели- величин, характеризующих свойства границы, образуют систему из 7+Л/" величин. Для их определения необходимо такое же число условий. Часть этих условий числом п дают соотношения вдоль характе- характеристик, подходящих к границе (идущих «из прошлого») из области движения с обеих ее сторон. Недостающие условия на границе должны следовать из законов сохранения и, в необходимых случаях, формулироваться дополнительно. Если соотношений вдоль подходящих к разрыву характеристик и граничных условий на разрыве как раз достаточно для определе- определения всех искомых величин, то такие разрывы называются эволю- эволюционными (т. е. позволяющими проследить за эволюцией во времени течений газа с такими разрывами). В противном случае разрывы называются неэволюционными. Для эволюционности газодинамиче- газодинамического разрыва число граничных условий на нем должно быть равно 7 + N—п или 7 + N—m+ s, где s—число уходящих от разрыва (идущих «в будущее») характеристик, a m = n + s—общее число приходящих и уходящих характеристик.
188 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ВИДЕНИЯ Выясним, являются ли эволюционными изученные ранее раз- разрывы— контактные разрывы, ударные волны, волны детонации и волны дефлаграции. Для разрывов первых двух типов N = 0\ поэтому для их эволю- ционности число граничных условий на разрыве должно быть равно 7—m + s. В соотношениях на волнах детонации и дефлаграции входит величина теплоподвода q, в общем случае заранее неизвест- неизвестная (см. сноску на с. 112), так что для таких волн N= 1; если, однако, как предполагалось выше, считать величину q заданной, то и в этом случае N = 0. Контактный разрыВ 777=0, 5«* Ударная Волна сильная детонация т=6 j s-Z Слабая детонация 6 J Сильная дефлаерация Сладая оефлаграция (скачок разрежения) 6 3 Рис. 2.9.1 Скорость контактного разрыва по отношению к газу с обеих его сторон равна нулю. Поэтому от такого разрыва в каждую сторону отходят по две характеристики—одна акустическая и [одна энтро- энтропийная (рис. 2.9.1, а), причем обе энтропийные характеристики обра- образуют одну сдвоенную, совпадающую, с траекторией разрыва. Таким образом, в этом случае s = 4, /л = 8, так что число требуемых допол- дополнительно условий есть 7 + 5—m=-Z, что как раз равно числу усло- условий на контактном разрыве (9.4), следующих из законов сохранения. Таким образом, контактный разрыв эволюционен. Скорость ударной волны сжатия относительно газа за ней до- дозвуковая, а относительно газа перед ней—сверхзвуковая. Вслед- Вследствие этого от ударной волны по газу за ней уходят две характе- характеристики—энтропийная и акустическая (рис. 2.9.1,6), все остальные характеристики подходят к волне. В этом случае m = 6, s=^2 и число требуемых условий совпадает с числом условий на ударной
§ 9 СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА РАЗРЫВЕ 189 волне (9.5), следующих из законов сохранения. Следовательно, ударная волна есть тоже эволюционный разрыв. Аналогичное рассуждение свидетельствует об эволюционное™ волны сильной детонации (рис. 2.9.1,6). Волна слабой детонации (быстрого горения) распространяется по газу перед ней и за ней со сверхзвуковой скоростью, а волна слабой дефлаграции (медленного горения)—с дозвуковой скоростью. От волны слабой детонации уходят три характеристики — все в сто- сторону газа за ней (рис. 2.9.1,в); со стороны газа перед волной все характеристики — приходящие. От волны слабой дефлаграции уходят тоже три характеристики: две акустические—по одной в каждую сторону и энтропийная — по газу за волной (рис. 2.9.1, г). Таким образом, для эволюционное™ этих двух видов разрывов необходимо к трем условиям, следующим из законов сохранения, добавить еще одно. В конце § 5 гл. I уже говорилось, что таким условием может быть задание скорости распространения волны по газу перед ней как характеристики физико-химических свойств среды. От волны сильной дефлаграции, имеющей дозвуковую скорость по газу перед ней и сверхзвуковую—по газу за ней, вперед уходит акустическая характеристика, а назад—все три характеристики (рис. 2.9.1,E). Для эволюционности такого разрыва дополнительно к трем условиям, налагаемым законами сохранения, необходимы еще два условия (об этом также говорилось в § 5 гл. I). Детонация и дефлаграция Чепмена—Жуге являются предельными случаями соответственно сильной детонации (рис. 2.9.1,6) и слабойг дефлаграции (рис. 2.9.1, г); в этих случаях подходящая к разрыву сзади характеристика ^+ касается траектории фронта или совпадает с ней. Расположение характеристик на рис. 2.9.1 показывает, что тече- течения с обеих сторон контактного разрыва или фронта медленного горения (слабой дефлаграции) взаимосвязаны: с каждой стороны ли- линии разрыва есть характеристики, идущие по направлению к ней и от нее (линия разрыва является временно-подобной для обеих областей течения, см. § 4). В случае ударной волны или волны сильной детонации нет характеристик, идущих от волны вперед; для течений же позади этих волн они являются временно-подобными линиями. Таким обра- образом, ударная волна или волна сильной детонации распространяется по независимо развивающемуся перед ней течению и подвержена влия- влиянию идущих к ней сзади акустических возмущений. Волны слабой детонации или сильной дефлаграции пространст- пространственно-подобны по отношению к течению позади них; их распростра- распространение не зависит от того, что происходит в области течения за ними, а наоборот, полностью определяет это течение. При этом волна сильной дефлаграции влияет на течение перед ней (по отношению к нему она является временно-подобной линией), тогда как волна слабой детонации, подобно ударным волнам и волнам сильной дето-
190 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ нации, никакого влияния на течение перед ней не оказывает (нет характеристик, идущих от волны вперед) *). Выведем теперь дополнительно к тому, что было сделано ранее — в гл. I, еще некоторые важные и нужные для дальнейшего связи между параметрами газа на ударной волне, следующие из соотно- соотношений (9.5). Уравнению импульсов (9.2) с использованием величины т можно придать одну из следующих форм: Р—Pi = /и (их—и), р—Рх = т2 fa—v). Здесь v—удельный объем. Заменив во втором соотношении величину т2 на Pi(«x—DJ или на р2(и—DJ и разрешив его относительно D, получим ^ или D-u=*±y*?=&. (9.6) Эти выражения дают скорость ударной волны, распространяющейся по газу в одну или другую сторону, через изменение термодинами- термодинамических параметров в волне. Исключив же из обоих выражений для р—рг величину т, найдем формулу для изменения скорости в волне и—их = ± У (p—Pl)(Vl—v). (9.7) Формулы (9.6) и (9.7) получены только из законов сохранения массы и импульса; их вид не связан с энергетическими процессами в газе при переходе его через волну. Закон сохранения энергии, с помощью которого устанавливается дополнительное условие для изменения термодинамических параметров газа в волне—соотношение Гюгонио, позволяет выразить правые части формул (9.6) и (9.7) через изменение лишь одной величины—давления или удельного объема (плотности). Рассмотрим теперь некоторые следствия соотношений на ударных волнах, справедливые для предельных случаев волн малой или, наоборот, очень большой интенсивности. Ранее при изучении адиабаты Гюгонио было выяснено, что изме- изменение состояния газа в ударных волнах небольшой интенсивности с точностью до членов порядка (р—ргJ включительно происходит изоэнтропически. Ударные волны, которые удовлетворяют этому условию, назовем слабыми. В.слабой ударной волне и в волне Римана связь между удельным объемом и давлением до членов порядка *) Отметим, что у адиабатического скачка разрежения (допускаемого законами сохранения, но противоречащего в средах с d2v/dp2 > 0 второму началу термоди- термодинамики) расположение характеристик такое же, как у волны сильной дефлаграции (см. рис. 2.9.1,6). Это значит, что такой скачок был бы неэволюционным, а его распространение в противоречии с физическим смыслом не зависело бы от условий течения позади (него, т. е. от причин, как раз и вызывающих образование и рас- распространение скачка.
§ 9. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ ГАЗА НА РАЗРЫВЕ (р—рхJ включительно одинаково, а именно: V—01 = i> (p—Pi) + -j vpp (p—Pi)\ (9.8) где производные vp и vpp берутся при постоянной энтропии и соот- соответствуют состоянию газа перед волной. Связь (9.7) между скоростью и давлением в слабой ударной волне приобретает тот же вид du=±V—dpdv, (9.9) что и в бегущей волне Римана. Используя при интегрировании выражения (9.9) соотношение (9.8), получим в обоих случаях (9.10) (верхний знак соответствует распространению волн вправо, нижний — влево). Поскольку в слабых ударных волнах связь между измене- изменением скорости и изменением давления или плотности та же, что и в бегущей в ту же сторону простой волне, то отсюда следует, что в слабой ударной волне соответствующий инвариант Римана не тер- терпит разрыва. Выражение (9.6) для скорости ударной волны показывает, что при учете в разложении (9.8) только членов порядка р—ри т. е. в линейном приближении, скорость ударной волны по частицам есть скорость звука D = u±a1. Выразим скорость D с учетом членов следующего приближения в разложении (9.8), т. е. с учетом в нем членов порядка (р—рхJ. Найдем сначала выражение для скорости звука а: Простыми выкладками, подставляя в первую формулу (9.7) разло- разложение (9.8) для v, получаем ^р-р1)- (9.12) С другой стороны, сложение и вычитание выражений (9.10) и (9.11) для и и а дает ^p—Pi). (9.13) Исключив из двух последних соотношений слагаемое с разностью р—ри находим D = ±(ul±al + u±a). (9.14)
J92 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Таким образом, скорость распространения слабой ударной волны равна полусумме скоростей распространения слабых возмущений перед волной и за ней. Заметим, что этот результат не связан с конкретными термодина- термодинамическими свойствами вещества (единственным требованием является условие vp < 0). Выражение (9.14) будет использовано ниже в задаче о затухании ударных волн и в других задачах о движениях газа со слабыми ударными волнами. При очень большой скорости распространения ударной волны D в соотношениях на волне (9.5) можно пренебречь слагаемыми ujD, Pi/(Pi^2)» eJD2 по сравнению с единицей. Ударные волны, для ко- которых можно считать выполненными эти условия, называются силь- сильными. Для сильных ударных волн соотношения на волне (9.5) имеют вид р(и—D) = — pxD, p = pxuDy (9.15) (u-D)* {h^t>\ Таким образом, в случае сильных ударных волн состояние газа перед волной влияет на параметры газа за ней только через вели- величину плотности рх; величина давления рг и значение скорости иг перед волной становятся при этом несущественными. Запишем соотношения (9.15) в системе координат, в которой волна неподвижна, полагая u = D+u' и D = — и[: ри'г = Эти соотношения отличаются от исходных условий на неподвижной волне тем, что в уравнении импульсов опущена величина давления рх по сравнению с количеством движения набегающего на волну потока, а в уравнении энергии опущена величина теплосодержания hx по сравнению с кинетической энергией набегающего на волну потока. Пусть ударная волна распространяется по покоящемуся газу со скоростью D. Газ за волной имеет скорость и, определяемую из уравнения неразрывности В ударных волнах сжатия (р > рг) газ приобретает скорость в на- направлении распространения ударной волны, причем скорость газа тем ближе к скорости самой волны, чем сильнее уплотнение газа в волне. Если воспользоваться полученным ранее выражением D.5) гл. I для отношения рх/р в ударных волнах в совершенном газе, то
§ 10. ЗАДАЧА О ПОРШНЕ, ДВИЖУЩЕМСЯ ВНУТРЬ ОБЛАСТИ 193 получим формулу (9.16) Здесь М2 = D2/a\. Согласно этой формуле скорость газа и меняется от нуля для очень слабых волн, когда Мх—> 1, до значения , . D для сильных волн, когда Мх —^oo. Таким образом, скорость газа в потоке за ударной волной может быть сколь угодно большой, если скорость ударной волны достаточно велика. Однако число Маха этого потока, т. е. безразмерный параметр !Л = и/а> характеризующий скорость, не может быть большим, так как в ударной волне растет и температура газа, а вместе с ней и скорость звука в нем. Дейст- Действительно, для совершенного газа М2 = - При личине оо число Маха М потока за волной стремится к ве- При 7-1,4 Mmax= 1,890, при 7= 1,2 Mmax = 2,887. § 10. Задача о поршне, движущемся внутрь области, занятой газом. Образование разрыва Рассмотрим ту же задачу о поршне, что и в § 8, но будем пред- предполагать теперь, что поршень, постепенно ускоряясь от нулевой скорости, вдвигается в область, занятую газом, т.е. Х@) = Х@) = 0, X(t)^0 при />0. Вновь мы должны зак- заключить (рис. 2.10.1), что к области невозму- невозмущенного состояния газа примыкает вдоль прямолинейной характеристики ОА волна Римана, которая в этом случае является вол- волной сжатия, и, следовательно, при d2v2/dp2\s> > 0 характеристики первого семейства в этой волне образуют сходящийся пучок, так что непрерывное решение этой задачи о поршне, начиная с некоторого момента времени, пе- перестанет существовать. Если пересечение характеристик происхо- происходит уже в начальный момент времени или если поршень сразу на- начинает двигаться с конечной скоростью X @) > 0, то непрерывно- непрерывного решения вообще не существует ни при каких / > 0. (При сверх- звукоЕОй начальной скорости поршня этот факт очевиден, так как Рис. 2.10.1 Г. Г. Черный
194 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ траектория поршня попадает при этом в область, где решение опре- определено начальными данными и не удовлетворяет краевому условию на поршне). При этом, как и во всех других случаях, в которых, начиная с какого-то момента времени, непрерывного решения не существует, следует рассматривать решения с разрывами—ударными волнами и, возможно, с контактными разрывами. Начнем с наиболее простой задачи, когда поршень сразу начи- начинает двигаться с конечной и постоянной в дальнейшем скоростью. \ \ \ \ \ V чч \ \ JL в=и Рис. 2.10.2 Решение этой задачи легко получить следующим образом. Рас- Рассмотрим стационарную ударную волну с набегающим на нее со ско- скоростью и{) справа сверхзвуковым потоком (рис. 2.10.2, а); ударной волне соответствует х=^0, ее скорость D равна нулю, их обозначает величину скорости за скачком. Если это стационарное течение рас- рассмотреть в системе координат, движущейся вместе с набегающим потоком, то оно станет нестационарным с ударной волной, распро- распространяющейся с постоянной скоростью D=u0 по покоящемуся газу вправо (рис. 2.10.2,6). Выберем начало отсчета х и t в новой системе координат так, чтобы ударная волна прошла через точку 0@,0), и рассмотрим движение в угловой области, ограниченной полуосью Ох и траекторией частицы, проходящей через точку О (границы этой области заштрихованы на рис. 2.10.2,6). Если считать траекторию этой частицы траекторией поршня, то ясно, что рассмотренное дви- движение при t > 0 дает решение поставленной задачи: при вдвигании с постоянной скоростью поршня в область однородного покоящегося газа по газу распространяется с постоянной скоростью ударная волна такой интенсивности, что газ за ней приобретает скорость, равную скорости поршня. Решение этой задачи автомодельно (что следует, конечно, и из ее постановки): параметры газа постоянны на лучах x/t = const. Отметим, что в средах, для которых d2v/dp2 < 0, решение задачи о вдвигании поршня с постоянной скоростью в область, занятую однородным газом, включало бы центрированную непрерывную волну
§10. ЗАДАЧА О ПОРШНЕ, ДВИЖУЩЕМСЯ ВНУТРЬ ОБЛАСТИ 195 сжатия, а решение задачи о поршне при Х = const < 0, наоборот, включало бы не центрированную волну разрежения, как при d2v/dpz > 0, а скачок разрежения. Вернемся вновь к задаче, сформулированной в начале параграфа, когда поршень сжимает покоившийся первоначально однородный газ, постепенно разгоняясь от нулевой скорости. Примем за параметр, имеющий постоянное значение на прямоли- прямолинейной характеристике волны Римана, тот момент времени т, когда эта характеристика исходит из точки траектории поршня / = т, х = Х(х). Тогда интегралы (8.1), описывающие волну Римана, при- примут вид u—v(a) = — v{a1), x = X(x) + (u + a){t—%), (ЮЛ) причем и + а во втором выражении есть в силу первого интеграла и того, что и = Х(х), известная функция от т: В § 7 было показано, что в волне Римана, бегущей вправо, V~ > 0 (для нормального газа). Поэтому при X > 0 производ- d(u+a) xr ^ r\ ^ г\ ная сг — —^—-л > U при т > и. Найдем огибающую семейства прямолинейных характеристик, обозначив координаты ее точек через х° и t°. Вдоль огибающей производная от х по параметру т во втором выражении A0.1) должна обращаться в нуль, так что параметрическое представление огибаю- огибающей имеет вид о а Из того, что а > 0 и а—Х = а(т) > 0, следует, что на огибающей / > т х > X (т); огибающая находится внутри области течения (дока- (доказательство см. в конце параграфа); при Х—+0 огибающая уходит в бесконечность. Если Х@) = 0, то при т = 0 л^=оо, /°=оо; если затем при t > 0 X (t) > 0, то при т —> оо х? и t° неограниченно возрастают, так что х° и t° сначала уменьшаются, а затем увеличи- увеличиваются, т.е. имеют общий минимум при некотором х = хе (общее значение хе следует из того, что л:0 = (//0). Огибающая имеет при этом угловую точку, которая, исключая специальный случай, когда в некотором интервале значений т характеристики пересекаются в одной и той же точке, является точкой возврата (рис. 2.10.3). Если ускорение поршня Х{0) конечно (и, по предположению, положительно), то /°@) =~^~, х°@) =-т^—, так что огибающая в этом случае начинается на характеристике х = а^9 т.е. на перед- переднем фронте возмущений, идущих от поршня (рис. 2.10.4). При воз- 7*
196 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ растании начального ускорения поршня Х@) значение /°@) умень- уменьшается и при Х@)—>оо /°@)->0, так что при бесконечном начальном ускорении поршня огибающая возникает в начальный момент и непрерывное движение не может существовать ни при каких t > 0. При различных законах движе- движения поршня огибающие могут иметь разнообразную форму. Важно, од- однако, что при любом законе дви- движения поршня при наличии ин- интервала значений ty где X > 0, в области течения справа от порш- поршня всегда возникает пересечение характеристик. Рис. 2.10.3 Пусть (рис. 2.10.5) на участке АВ траектории поршня X > 0, так что характеристики, выходящие из точек А и В, пересекаются в точке О при t = tt (так как на АВ а > 0, то точка О расположена Ь Рис. 2.10.4 Рис. 2.10.5 на конечном расстоянии в плоскости л:, /). Если к моменту t± пор- поршень находится левее точки О (в точке С), то точка О лежит в области движения. Если же в этот момент поршень находится правее точки О (в точке С) или совпадает с ней, то траектория поршня пересекает характеристику ВО при t = tP^t1. И тогда характеристика, выходящая из точки D траектории поршня до мо- момента /Р, но близко к нему, обязательно пересекает характери- характеристику ВО внутри области движения. §11. Взаимодействие бегущей волны с ударной волной и с контактным разрывом Рассмотрим некоторые задачи о течениях с ударными волнами и контактными разрывами и покажем, как эти задачи могут быть решены методом характеристик.
§ 11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 197 Обратимся вновь к задаче о поршне. Пусть поршень вдвигается в область, занятую газом, и на некотором начальном участке своего пути ОА имеет постоянную скорость, после чего его скорость умень- уменьшается (рис. 2.11.1). Тогда на участке ОВ траектории ударной волны до прихода к ней характеристики первого семейства из точки А волна имеет постоянную скорость, параметры потока за ней одно- однородны и характеристика АВ прямолинейна. Следовательно, решение задачи III типа в области ABC между этой характеристикой и тра- траекторией поршня представляет собой волну Римана, распространяю- распространяющуюся от поршня в сторону ударной волны и взаимодействующую с ней, начиная с точ- точки В. Область взаимодействия ограничена слева известной характеристикой второго семейства ВС волны Римана, а справа—удар- справа—ударной волной. Траектория ударной волны под влиянием подходящих к ней сзади возмуще- возмущений отклоняется от прямолинейной и зара- заранее неизвестна. Требуется определить дви- движение в области взаимодействия и найти саму эту область, в частности, найти форму ударной волны. Отметим, что в части области взаимодействия, ограниченной ударной вол- волной и траекторией частицы, проходящей через точку В (штриховая линия на рис. 2.11.1), движение будет неизоэн- топическим в отличие от движения в области за ударной волной между этой траекторией и поршнем, где энтропия всех частиц одина- одинакова, поскольку все они прошли через ударную волну постоянной интенсивности на участке ОВ. Выделим на характеристике ВС ряд промежуточных точек Р+, Р'+ и т. д. Через точку Р+ проведем элемент характеристики первого семейства в направлении ударной волны. Вдоль этого элемента с точностью до малых величин справедлива связь О Рис. 2.11.1 Кроме этого, в заранее неизвестной точке В1 пересечения характе- характеристики с ударной волной значения и и р связаны соотношениями на ударной волне (см. формулу (9.7)). Две связи между значениями и и р в точке Ву за ударной волной позволяют определить эти значения и с помощью соотношения (9.6) найти скорость ударной волны, т. е. угловой коэффициент траектории ударной волны в этой точке. Положение точки Вх выберем так, чтобы элемент скачка, идущий из этой точки с найденным угловым коэффициентом (или со средним значением углового коэффициента в точках Ву и В), прошел через точку В. После этого применим процедуру решения элемен- элементарной задачи методом характеристик к точкам Р'+ и Ви в резуль- результате чего найдем решение в точке Р\ затем найдем решение в точке Р'
198 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ и т. д., пока не будет найдено решение в узловых точках на харак- характеристике В1С1 и сама эта характеристика. Повторяя описанное построение, найдем решение в треугольной области, ограниченной известной характеристикой ВС, отраженной от поршня характеристикой СЕ и ударной волной BE. Две послед- последние границы определяются в процессе решения. Дальнейшее продолжение решения в случае, если задана траек- траектория поршня после точки С, сводится вновь к решению задачи III типа в области между известной характеристикой СЕ и траек- траекторией поршня, после чего может быть построен дальнейший участок течения за ударной волной и т. д. Описанное построение применимо и в случае, если с самого на- начала скорость поршня переменна; для этого достаточно заменить небольшой начальный криволинейный участок траектории поршня отрезком прямой. Если газ перед ударной волной находится в движении, то это движение, как уже говорилось ранее, рассчитывается независимо от движения за волной, так как ударная волна распространяется по газу со сверхзвуковой скоростью и поэтому не может влиять на движение газа перед ней. Расчет в этом случае отличается от описанного выше тем, что в соотношениях (9.6) и (9.7) на ударной волне величины ии plf vx не постоянны, а являются известными функциями точки плоскости х, t. В случае слабых ударных волн многие задачи о течениях с ударными волнами могут быть решены аналитически. Пусть движение первоначально покоившегося однородного газа вызывается движением поршня на левой границе области, занятой газом. Если при этом возникающие в потоке ударные волны можно считать слабыми, то инвариант Римана и—v (а) остается неизмен- неизменным при переходе через них и, следовательно, во всем потоке вы- выполняются соотношения u—v(a) = — v(al), x = (u + a)t + f(u). A1.1) Функция f(u) определяется законом движения поршня. На возни- возникающих при пересечении характеристик ударных волнах должно выполняться соотношение (9.14): угловой коэффициент dx/dt траек- траектории ударной волны должен быть равен среднему арифметическому угловых коэффициентов характеристик первого семейства, подходя- подходящих к волне спереди и сзади: ЧГ= 2 * В тех случаях, когда с одной стороны ударной волны газ не возмущен, это уравнение приобретает вид dx _ причем at = const.
§11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 199 В таких случаях, рассматривая х и t на ударной волне как функции параметра и, после несложных выкладок с использованием соотношений A1.1) и A1.2) получим линейное уравнение первого порядка для определения t(u) Зависимость х(и) определится вторым соотношением A1.1). Постоян- Постоянная интегрирования уравнения A1.3) находится из условия начала волны в ближайшей по времени / точке пересечения характерик: t = te при и = ие. Таким образом, все течение в целом определяется как волна Римана с разрывом на ударной волне, форма которой находится аналитически. Рассмотрим, например, задачу о равноускоренном вдвигании поршня в трубу, которая при / = 0 занята однородным покоящимся газом. Газ будем считать совершенным с постоянным у. Пусть при t > О скорость поршня меняется по закону с* с>0 Траекторию поршня в плоскости х, t можно тогда представить в параметрическом виде где параметр и^О есть скорость поршня. В возникающей простой волне справедливы соотношения (ИЛ), где для совершенного газа v ' у— 1 Для определения во втором соотношении A1 Л) функции f(u) подставим в него выражения A1.4), в результате чего найдем A1.5) Характеристики в волне Римана образуют в рассматриваемом случае сходящийся пучок. Найдем момент времени, начиная с кото- которого эти характеристики пересекаются, т. е. начиная с которого в газе образуется ударная волна. Для этого продифференцируем второе уравнение (ИЛ) по параметру и и результат приравняем нулю: Это уравнение вместе со вторым уравнением A1.1) и выражением A1.5) при и ^ 0 определяет огибающую характеристик в плоскости х, t. Наименьшее значение t на этой линии соответствует значению и = О, т. е. в соответствии с уже доказанным ранее (§ 10) точка, где на-
200 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ чинается ударная волна, лежит на переднем фронте волны Римана Координаты этой точки: te = t ~ , хе = axte. Таким образом, удар- ударная волна, начинаясь на передней характеристике, распространяется по покоящемуся газу, и угловой коэффициент траектории ударной волны можно определять по формуле A1.2). Следовательно, на тра- траектории волны и уравнение A1.3) в рассматриваемом примере имеет вид dt . о t 4 / fll\ и,i • /у AjXhr it // / • du ^ и Интегрируя это уравнение, находим * 4 где С—постоянная интегрирования. Зависимость х(и) определится формулой Из условия начала ударной волны в точке хе, te находим постоян- постоянную интегрирования С = 0. При этом из двух последних формул следует, что образующаяся ударная волна имеет параболическую форму, а ее интенсивность монотонно возрастает от нулевой в начальной точке. Если (рис. 2.11.2), начиная с некото- некоторого момента, соответствующего точке Л, скорость поршня сохранить постоянной, то после прихода к ударной волне харак- характеристики волны Римана, исходящей из точки Л, интенсивность ударной волны тоже будет сохраняться неизменной. Пусть теперь движение поршня проис- происходит следующим образом (рис. 2.11.3). О & Сначала он движется с постоянной ско- Рис. 2.П.2 ростью их в область, занятую газом. По истечении некоторого времени поршень внезапно начинает двигаться в другую сторону со скоростью и2 (и2 < 0) и затем вновь останавливается. Будем считать скорости поршня их и и2 настолько малыми по величине сравнительно со скоростью звука в первоначально покоившемся газе, чтобы возникающие ударные волны можно было считать слабыми. При движении поршня со скоростью их по газу из точки Ох распро- распространяется ударная волна постоянной интенсивности, за которой в об- области / образуется однородный поток со скоростью щ. В момент
§ 11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 201 смены скорости поршня от него из точки О отходит центрированная волна Римана; ее передний фронт догоняет ударную волну в точке В1У после чего волна Римана начинает взаимодействовать с ударной волной. За задним фронтом волны Римана в области // однородный поток газа имеет скорость, равную скорости поршня и2, так что в момент остановки поршня в точке О2 от него по газу начинает рас- распространяться вторая ударная волна по- постоянной интенсивности, в которой газ останавливается. Эта ударная волна через некоторое время встречает задний фронт волны Римана в точке В2 и начинает вза- взаимодействовать с ней. Как и в предыдущей задаче, во всей области течения справедливы соотношения (и.о. Примем за начало координат в плос- плоскости х, t точку О, в которой происходит Рис. 2.11.3 смена скорости поршня и образование центрированной волны Римана. Тогда соотношения для этой волны Римана в случае совершенного газа примут вид w — -p1 = — -^-1 = const, x=(u + a)t. A1.7) Так как первая ударная волна распространяется по покоящемуся газу, то для определения ее формы вновь получим дифференциаль- дифференциальное уравнение A1.6). При использовании соотношений A1.7) оно становится следующим: Это уравнение справедливо и для второй ударной волны, так как слева от этой волны газ согласно первому интегралу A1.7) находится в том же однородном состоянии, что и перед первой волной. Решение уравнения A1.8) есть где С—постоянная интегрирования. Обозначим координаты точек начала взаимодействия волны Римана с ударными волнами хи /х и х2, t2 соответственно. Тогда, определив значение постоянной Сиз условия прохождения ударной волны через точку начала взаимо- взаимодействия, получим для первой волны (при t > tx) A1.9) а для второй волны (при t>t2) — A1.10)
202 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Отметим следующие важные свойства поведения ударных волн. Обе волны на участке взаимодействия имеют параболическую форму с асимптотическим направлением x^axt\ протяженность волны Ри- Римана, ограниченной ударными волнами, растет как tl/2. Интенсив- Интенсивность обеих волн уменьшается с течением времени. Действительно, из выражений A1.9) и A1.10) следует, что скорость первой волны по газу перед ней уменьшается, стремясь к скорости звука ах как 1/V Ту скорость же второй волны относительно газа за ней (этот газ имеет то же состояние, что и газ перед первой волной) увели- увеличивается, а, следовательно, относительно газа передней—уменьшается и тоже стремится к скорости звука ах как \/V t. Давление в пер- первой (головной) ударной волне скачком возрастает, в волне Римана оно непрерыв- непрерывно уменьшается и становится ниже дав- давления рг в невозмущенном газе; затем во второй (хвостовой) ударной волне давле- давление скачком вновь возрастает до величины pv Это распределение давления показано Рис. 2.П.4 на рис. 2.11.4. В связи с таким пове- поведением давления совокупность затухающих головной и хвостовой ударных волн с волной Римана между ними называют N-волной. Часть волны Римана влево от характеристики x = a^t не взаимо- взаимодействует с первой ударной волной, поэтому поведение первой удар- ударной волны одинаково при любом ы2<0 (при и2 = 0 интенсивность второй ударной волны обращается в нуль). При 0 < и2 < иг задний фронт волны Римана, образующейся при изменении скорости поршня в точке О, взаимодействует с ударной волной A1.9) конечное время, после чего интенсивность ударной волны будет сохраняться неизмен- неизменной, пока ее не догонит фронт волны Римана, идущей от точки второго изменения скорости поршня, после чего вновь начинается ослабление ударной волны. Совершенно аналогично предыдущему можно решить задачу об ослаблении или об усилении ударной волны в случае, когда волна Римана за ударной волной или перед ней не является центрирован- центрированной, но газ с одной из сторон ударной волны покоится. В этом слу- случае вместо связи A1.7) между и, х и t будем иметь с f(u)^O. Это соотношение вместе с уравнением A1.6) дает в па- параметрическом виде (с параметром и) дифференциальное уравнение для определения формы ударной волны. Естественно, что предыдущие выводы справедливы лишь в рамках приближений теории слабых волн. В более точной теории при вза- взаимодействии простой волны с ударной волной образуется отражен- отраженная волна, изменяющая падающую, и возникают возмущения энтро-
§ 11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 203 пии. Эти эффекты для волн небольшой интенсивности имеют поря- порядок (Р—РгN. Рассмотрим теперь задачу о движении газа при наличии контакт- контактного разрыва. Пусть контактный разрыв разделяет области однород- однородного состояния различных газов или одного и того же газа, но имеющего в обеих областях разную плотность и температуру (давле- (давления с обеих сторон контактного разрыва одинаковы;области справа и слева от контактного разрыва будем для краткости называть соответственно «правым» и «левым» газом). Для простоты допустим, что газ вначале не- неподвижен (рис. 2.11.5). Пусть к контактной поверхности подходит, например, слева, бе- бегущая волна /-—и—v--=lx Aг = const), x = = (и 4 a) t -I / (и), где f (и)—заданная функ- функция. Начиная с точки О (при х = х]) эта волна взаимодействует с контактной поверх- поверхностью. От точки О по правому газу вдоль известной прямолинейной характеристики ОА будет распространяться фронт возмущений, к которому примыкает бегущая волна (про- Рис- ходящая или преломленная волна). Влево по газу передний фронт отраженной волны будет распространяться вдоль известной характеристики второго семейства ОВ. Требуется опреде- определить движение газа в угловой области между характеристиками ОА и ОВ и найти, в частности, траекторию контактного разрыва. Отметим, что для правого газа контактный разрыв служит порш- поршнем, движение которого, однако, заранее неизвестно и определяется при решении задачи. Движение в правом газе является волной Римана с интегралом lz=u—v = l + 1 = const, дающим связь между давлением и скоростью A1.11) Здесь и ниже индексом + обозначены величины для правого газа. Так как на контактном разрыве скорость и давление газа с обеих сторон одинаковы, то эта же связь должна выполняться на контакт- контактном разрыве для левого газа. Таким образом, для левого газа нужно рассчитать течение в области между акустической характеристикой (второго семейства) и траекторией частицы, на которой задано условие A1.11) между искомыми функциями. Такая задача рассматривалась ранее (задача III типа в § 6). Если подходящая к разрыву волна Римана переходит сзади в зону однородного течения, то характеристика второго семейства за точ- точкой В будет прямолинейной и, следовательно, к ней будет примы- примыкать волна Римана, бегущая по газу влево (отраженная волна). Контактный разрыв за точкой С будет в этом случае двигаться с постоянной скоростью, отделяя две области однородного состояния газа за проходящей и отраженной бегущими волнами.
204 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Дадим качественный анализ поведения проходящей и отраженной волн. Для этого установим связь между изменением параметра Ри- мана г в падающей волне и изменением параметра Римана I в отра- отраженной волне и параметра г+—в проходящей волне. Согласно определению C.15) в левом газе r+l t ч г — I так что условие A1.11) на контактном разрыве можно записать в виде связи между параметрами Римана Здесь Р (v)—функция, обратная v(p). Дифференцируя это соотноше- соотношение вдоль контактной поверхности, найдем откуда, используя определение C.12) функции v(p), получаем ло- локальную связь между изменением параметра I в отраженной волне и изменением параметра г в падающей волне ;; dr = kdr. A1.12a) Множитель k, связывающий dr и d/, назовем коэффициентом отражения. Так как этот коэффициент по модулю не превосходит единицу, то интенсивность отраженных возмущений меньше интен- интенсивности падающих и лишь при (ра)+=0 или (ра)+ = оо равна ей. Величина ра, как уже говорилось в гл. I (см. формулу A.8)), называется импедансом среды и характеризует ее «жесткость». Если в падающей волне происходит разрежение (dr/dt < 0 вдоль линии контакта), то оно отражается вновь как разрежение (dl/dt > 0) от более жесткой среды и меняет свой характер, т. е. отражается как сжатие (dl/dt < 0) от более мягкой среды. Аналогичный вывод справедлив для волн сжатия. Для совершенных газов импеданс pa^pVyp/p; поэтому в силу равенства давлений с обеих сторон контактного разрыва при одинаковых у у обоих газов вместо более жесткой или более мягкой среды можно говорить о более плотной или менее плотной среде. Так как на контактном разрыве скорость и с обеих сторон оди- одинакова, то r+l _r±±l±1 и-~Г~- 2 ' Отсюда Следовательно,
§ 11. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С УДАРНОЙ ВОЛНОЙ 205 Множитель k1=\Jrk, связывающий dr и dr+, назовем коэффициен- коэффициентом преломления. Поскольку dr+ и dr имеют одинаковые знаки, то проходящая волна всегда имеет тот же характер, что и падающая. Одинаковые знаки у du и dr показывают, что при падении волны разрежения (dr/dt < 0) контактный разрыв получает ускорение навстречу волне, при падении волны сжатия—в направлении рас- распространения волны. Отражению от твердой (неподвижной) границы соответствует бесконечная величина импеданса (ра)+ = оо, так что k= — 1 ndl = —dr, т. е. характер волны и ее амплитуда при отражении не изменяются. Отражению от свободной поверхности р = рх = const соответствует нулевое значение импеданса (ра) + = 0, так что k=\ к dl--=dr, т.е. амплитуда отраженной волны сохраняется, а характер ее изменяется на противоположный; при этом изменение скорости контактного разрыва вдвое превосходит изменение скорости в падающей волне (в этой волне du = dr/2, на контактном разрыве du — dr). Так как коэффициент преломления в соотношении A1.13) изме- изменяется от нуля при (ра)+ = оо до двух при (ра)+ = 0, то интенсив- интенсивность проходящей волны в более мягкой среде может превосходить интенсивность падающей волны до двух раз. Если у обеих сред, разделенных контактным разрывом, значения акустического импеданса (и объемной сжимаемости dv/dp) одинаково зависят от давления, то k = 0 и, следовательно, отраженной волны нет, а скорость и давление в проходящей волне распределены по характеристикам так же, как в падающей волне. Для волн конечной амплитуды знак разности ра—(ра) + может измениться при следовании вдоль линии контакта в плоскости ху t: среда, бывшая первоначально более жесткой, станет более мягкой, и наоборот. I р \ 2V Для совершенного газа ра=(раI ( — ] , так что при одина- одинаковых у У контактирующих газов коэффициенты отражения и пре- преломления на линии контакта сохраняются постоянными. (Нетрудно показать, что в общем случае при одном и том же газе с двух сто- сторон разрыва достаточным условием сохранения знака разности им- педансов является необращение в нуль в рассматриваемом диапа- диапазоне значений давления и энтропии производной dpa/ds или, как следствие, производной hpps.) Как и в других уже рассматривавшихся случаях, если подходя- подходящая к поверхности контакта волна есть непрерывная волна сжатия, то в проходящей волне и в отраженной волне, если она тоже яв- является волной сжатия, обязательно с течением времени возникнут ударные волны. Расчет течения в области взаимодействия падающей и отражен- отраженной волн, т. е. решение упомянутой выше задачи III типа, можно произвести тем же аналитическим методом, что и при изучении
206 ГЛ. И. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ взаимодействия простых волн (§ 8), используя в качестве независи- независимых переменных параметры Римана г и /, т. е. решая уравне- уравнения C.20). В плоскости г, I область взаимодействия ОВС переходит в тре- треугольник (рис. 2.11.6). Сторона ОВ этого треугольника соответствует падающей волне Римана, где I = 1г = const, сто- сторона ОС определяется уравнением A1.12), за- ~ мыкающая сторона с г = /^ --=const соответствует отраженной волне Римана. На стороне ОВ из- известны искомые функции х и / (связанные ха- характеристическим соотношением), на стороне ОС (она соответствует траектории частицы) х и t подчинены условию dx=udt, т. е. dx = f( Выпишем уравнение A1.12) для адиабатичес- ких Движений совершенного газа с одинаковыми значениями у с обеих сторон разрыва. Как гово- говорилось ранее, в этом случае коэффициент k пос- постоянен, так что, интегрируя A1.12а), получим l = kr—(l+k)vlm (П.14) Таким образом, линия ОС—прямая. Рассмотрим вновь наиболее простей случай 7 = 3. При 7 = 3 вследствие прямолинейности характеристик в плоскости х, t связи для простых волн x = rt + f(r)—для падающей волны и x = lt + g(l)— для отраженной сохраняются и в области их взаимодействия. Не- Необходимость одновременного выполнения на линии контакта этих связей и условия dx=1/2(r + l)dt дает возможность по заданной функции f(r) найти траекторию разрыва х=х(г), / = /(г) (опреде- (определяющую преломленную волну Римана) и функцию g (I), определяю- определяющую отраженную волну Римана и—вместе с функцией / (г)—течение в области взаимодействия. Проведем выкладки для центрированной падающей волны, т. е. для случая, когда / (/•) = () и, следовательно, t = g(l)/(r—/), х=- = rg(l)/(r—I). Беря дифференциалы от правых и левых частей этих выражений и пользуясь условием dx=1/2(rJrl)dt, после несложных выкладок получим уравнение L1± g + r-l U' или, принимая во внимание связь A1.14), dg (\+k)dl Интегрируя это уравнение и определив постоянную интегрирования из условий в точке О при х = хг (хг—расстояние от центра падаю- падающей волны до невозмущенного контактного разрыва), находим: при
§ 12. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 207 =l, т. е. при отражении от свободной поверхности, 1+ k при k Ф 1 Отсюда, в частности, следует, что при k = —1, т. е. при отражении волны от твердой стенки, g{l) — 2xu так что отраженная волна яв- является частью центрированной волны с центром в точке 2xlt 0. § 12. Распад произвольного разрыва В некоторых из рассмотренных ранее задач в непрерывном перво- первоначально потоке возникали и продолжали в дальнейшем существо- существовать разрывы. В других задачах разрывы имелись в распределении параметров газа, задаваемых начально-краевыми условиями, и при- приводили к образованию разрывов и центрированных волн разрежения в потоке с самого начала движения. В связи с этим в газовой ди- динамике важной является задача о движениях, возникающих при разрывах в начально-краевых условиях. Рассмотрим простейшую из этих задач *). Пусть в момент времени / = 0 при х < 0 находится однородный газ с параметрами и0, р0, р0, а при х > 0 — газ с параметрами ии Ри Pi- Газы могут быть различными по термодинамическим свой- свойствам, а значения их параметров вполне произвольны. Требуется определить движение газа, возникающее при / > 0. Сформулиро- Сформулированная таким образом задача Коши называется задачей с началь- начальным разрывом или задачей о распаде произвольного разрыва. По- Последнее название связано с тем, что, как показано ниже, начальный разрыв приводит к движению с несколькими распространяющимися по газу в разные стороны волнами—один разрыв «распадается» на несколько сильных и слабых разрывов. В силу того, что уже говорилось ранее при рассмотрении задачи о поршне, начинающем двигаться сразу с постоянной скоростью, возникающее при распаде произвольного разрыва движение должно быть автомодельным, т. е. искомые параметры газа и/а0, р/р0, р/р0 должны быть функциями одной переменной х/(а0 t) и постоянных параметров ио/ао, ujao, рг/р0, Pi/p0, а также у0 и уи если рассмат- рассматриваются совершенные газы с постоянными теплоемкостями. Ясно, что если возникающее движение состоит из нескольких областей, то эти области должны отделяться линиями x/t = const. *) Впервые ее решение было дано в работах Н. Е. Кочина в 1924—1925 гг. (Соч., т. II.— М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1949). Кочин Николай Евграфович A901—1944) —советский математик и механик. Один из основателей динамической метеорологии. Труды по гидро- и аэродинамике, газовой динамике, теоретической механике.
208 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Ранее мы уже нашли два элемента автомодельных движений—одно- движений—однородное состояние газа и центрированную волну Римана. Покажем, что все автомодельные неустановившиеся движения с плоскими волнами (с постоянными по времени масштабами для параметров газа и одной независимой переменной x/t) представляют собой ком- комбинацию только этих двух элементов. Будем искать решения исходной системы уравнений одномерных нестационарных движений с плоскими волнами, зависящие лишь от переменной \ = хЦ. Так как ^ = 1^, А = _ 1^ то уравнения A.1)—A.3) при- примут вид (u-t) f = 0. Эти уравнения (как и исходные) имеют очевидное решение и = const, p = const, p = const, соответствующее однородному состоянию газа. Будем отыскивать другие решения системы A2.1), т.е. элементы решения автомодельных задач. Последнее уравнение этой системы имеет два решения. Одно из этих решений и—5 = 0 не удовлетво- удовлетворяет первому уравнению и должно быть отброшено. Второе решение S(pf /?) = const A2.2) показывает, что разыскиваемый элемент автомодельного движения должен быть изоэнтропическим. Исключая из первых двух уравне- уравнений A2.1) и—?, получаем 5—=qfn. = of или р иЧ: J?^fP. = const. A2.3) Po Наконец, из первого уравнения находим Ъ = и±а. A2.4) Но последние два соотношения представляют собой решения для центрированных волн Римана. Таким образом, действительно, все автомодельные движения должны состоять только из двух элемен- элементов—однородных состояний газа и центрированных волн Римана,
§12. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 209 примыкающих одни к другим вдоль линий x/t — const. Волны Римана примыкают к однородным состояниям газа вдоль прямолинейных характеристик x/t = const, однородные же состояния газа могут быть отделены одно от другого ударными волнами или контактными раз- разрывами постоянной интенсивности, траектории которых в плоскости х, t суть линии дс// = const. Так как в задаче о начальном разрыве кусочно-постоянные на- начальные значения параметров газа по обе стороны плоскости х = 0 вполне произвольны, то соединить эти два состояния при t > 0 по- посредством ударной волны, контактного разрыва или центрированной волны Римана в общем случае, очевидно, невозможно, так как при заданном состоянии газа перед волной или разрывом соотношения на волне или разрыве допускают варьирование лишь одного из па- параметров в газе позади них. Поэтому система волн должна содержать три элемента, включая контактный разрыв. Покажем, что в каждую сторону о г контактного разрыва по газу может распространяться только либо одна волна Римана, либо одна ударная волна (предполагается, что оба газа являются нормальными). В самом деле, если по газу распространяется центрированная волна Римана, то ее задний фронт перемещается по частицам газа со скоростью звука. В автомодельном движении распространение скачка за волной Римана в ту же сторону невозможно, так как ско- скорость скачка по частицам перед ним больше скорости звука. Точно так же невозможна и вторая волна Римана, отделенная от первой конечной зоной однородного состояния. Ширина этой зоны при дви- движении сохраняется неизменной из-за равенства скоростей заднего фронта первой волны и переднего фронта второй волны, что невоз- невозможно в автомодельном движении. Если по газу распространяется ударная волна, то ни вторая ударная волна, ни волна Римана распространяться по газу в том же направлении в автомодельном движении не может. Действительно, первая волна распространяется по газу за ней с дозвуковой ско- скоростью, тогда как следующая ударная волна распространяется по тому же газу со сверхзвуковой скоростью, а волна Римана—точно со скоростью звука. В автомодельном движении это невозможно. Таким образом, при распаде произвольного разрыва возможно образование лишь трех существенно различных волновых конфи- конфигураций. В первой из них в каждую сторону от контактного разрыва по газу распространяются ударные волны. Во второй конфигурации в одну сторону распространяется ударная волна, в другую—центри- другую—центрированная волна Римана. Наконец, в третьей конфигурации в обе стороны от контактного разрыва распространяются центрированные волны Римана. Во всех случаях между расходящимися волнами об- образуется область постоянных значений давления и скорости газа, включающая контактную поверхность, на которой в общем случае терпит разрыв плотность газа.
210 ГЛ. И. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Образующаяся в результате распада разрыва конфигурация волн зависит, естественно, от принадлежности начальных значений пара- параметров газа той или иной области пространства определяющих пара- параметров. На рис. 2.12.1, а, б, ej приведены волновые конфигурации v л с —^ с ' / ) Р i t 7 и i / X X С з^^ / (У 1 р 0 и / 1 1 ! X X X X X в X X Рис. 2.12.1 X в трех типичных случаях и соответствующие им распределения дав- давления и скорости газа. Мы не останавливаемся на доказательстве того, что в случае нормального газа при любых начальных данных решение задачи о
§12. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА 211 распаде произвольного разрыва существует и единственно. Это дока- доказательство и формулы для расчета образующихся течений имеются, например, в [5, 9]. Из физических соображений ясно, что конфигурация с двумя ударными волнами обязательно осуществляется, например, если начальные значения параметров отличаются лишь направлением ско- скорости в обоих полупространствах и скорости направлены к поверх- поверхности раздела (задача о симметричном соударении двух масс газа). Конфигурация с одной ударной волной и одной волной Римана воз- возникает, к примеру, в случае, если газы по обе стороны поверхности раздела первоначально покоятся, но имеют разное давление (задача о выравнивании давления). Наконец, конфигурация с двумя волнами Римана образуется, например, если при одинаковых начальных дав- давлении и плотности скорости газа с обеих сторон поверхности раз- раздела направлены от этой поверхности (задача о разлете двух масс газа). В случае распада разрыва с образованием двух волн Римана возможен отрыв одной массы газа от другой. Действительно, ранее было установлено, что имеется максимальная скорость расширения газа при нестационарном адиабатическом движении с плоскими вол- волнами. Поэтому, если модуль разности начальных скоростей разле- разлетающихся газов больше суммы величин их максимальных скоростей расширения, то газы при расширении не смогут заполнить образую- образующуюся при разлете полость и между передними фронтами расши- расширяющихся во встречных направлениях газов образуется зона вакуума — в таком случае говорят о полном разлете газов. Соответствующая полному разлету конфигурация волн разрежения и графики распре- распределения давления и скорости в этом случае приведены на рис. 2.12.1, г. Задача о распаде произвольного разрыва может возникнуть и при более сложных, чем одномерные, пространственных распределениях параметров газа, когда начальная поверхность раздела искривлена и скорость газа с обеих сторон в общем случае имеет все три ком- компоненты, не равные нулю. Для выяснения того, что происходит при распаде такого разрыва, обобщим сначала сформулированную ранее постановку задачи об одномерном разрыве на случай, когда газ с каждой стороны плоской поверхности раздела однороден, но ско- скорость его может иметь все три компоненты не равными нулю. Очевидно, что и в этом случае вывод об автомодельном харак- характере возникающего движения сохраняет силу. Разыскивая зависящее только от x/t решение для компонент скорости и, vy wy легко убе- убедиться, что единственным автомодельным решением, отличным от одно- однородного потока с постоянными значениями и0, v0, w0, будет решение, в котором продольная компонента скорости удовлетворяет тем же соотношениям для волны Римана A2.2)—A2.4), а поперечные ком- компоненты скорости сохраняются постоянными *). Так как поперечные компоненты скорости не изменяются и при прохождении ударной *) Это следует из выводов § 1 относительно одномерных движений с плоскими волнами в случае, когда скорость не направлена вдоль оси х (см. уравнения A.10)).
212 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ волны, а условия на контактном разрыве допускают произвольный скачок тангенциальных скоростей, то образующиеся волновые кон- конфигурации в этом случае ничем не отличаются от рассмотренных ранее, а возникающие течения отличаются от прежних лишь тем, что в областях с каждой стороны контактного разрыва сохраняются первоначальные значения тангенциальной скорости, не обязательно равные нулю. Если первоначальная поверхность криволинейна, а начальные распределения параметров не однородны и не одномерны, то полу- полученное описание распада произвольного разрыва может применяться пишь локально в окрестности каждой точки и лишь в течение малого промежутка времени. При этом конфигурация образующихся перво- первоначально волн может быть различной вблизи разных участков на- начального разрыва. Помимо приложений к разнообразным случаям движений газа с разрывами, решение задачи о распаде произвольного разрыва стало основой некоторых эффективных численных методов расчета произ- произвольных одномерных движений газа—непрерывных и с разрывами. Суть этих методов состоит в следующем. В момент времени ti не- непрерывные распределения параметров газа заменяются ступенчатыми путем осреднения параметров на малых интервалах (#,-,/, х^;-+1) оси х. Для получения распределений параметров при ti+1 = t/-r At решаются локальные задачи о распаде произвольного разрыва (до начала взаимодействия волн от соседних разрывов между собой; этим определяется наибольшее допустимое значение А/). Полученные таким путем при ti+1 распределения параметров вновь осредняются, вновь решается задача о распаде разрывов, и т. д. В следующих параграфах приведены примеры одномерных дви- движений, при изучении которых возникает задача о распаде произ- произвольного разрыва. § 13. Столкновение ударных волн. Отражение ударной волны от стенки. Взаимодействие ударной волны с контактным разрывом. Отражение ударной волны от открытого конца трубы Пусть две ударные волны распространяются навстречу одна дру- другой по однородному покоящемуся газу (рис. 2.13.1). В момент встречи волн известное распределение параметров газа в пространстве будет разрывным в точке встречи и не удовлетво- удовлетворяющим на разрыве законам сохранения; при этом скорости газа с обеих сторон разрыва направлены одна навстречу другой. В следую- следующий момент разрыв распадается, образуя две ударные волны, бегу- бегущие по газу в разные стороны, и контактный разрыв между ними ¦). *) Можно показать, что для совершенного газа с постоянными теплоемкостями всегда образуются две ударные волны; для нормальных газов с другими термо- термодинамическими свойствами более слабая из сталкивающихся ударных волн может превратиться в волну разрежения (см. [5, 9]).
§13. СТОЛКНОВЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 213 Если обе сталкивающиеся ударные волны имеют одну и ту же интенсивность, то ясно, что возникающий после столкновения кон- контактный разрыв будет неподвижен в пространстве (рис. 2.13.2). В таком случае можно рассматривать течение лишь с одной стороны его плоскости симметрии. Заменив эту плоскость стенкой (рис. 2.13.3), t \ \ A I /\ t / l/ Jr Р+У\ О \ \ X \ \ \ X \ \ \ \ 4 \ \ \ \ \ 777 X x Рис. 2.13.1 Рис. 2.13.2 Рис. 2.13.3 получаем решение задачи об отражении ударной волны от стенки (от закрытого конца трубы). Рассмотрим это решение более подробно для случая совершен- совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Газ между стенкой и бегущей по направлению к ней со скоро- скоростью D+ ударной волной (область 0 на рис. 2.13.3) первоначально покоится и имеет давление р0 и плотность р0. За волной (область /) давление и плотность газа повышаются до значений р, и pt и газ приобретает скорость их по направлению к стенке. При столкновении движущегося газа со стенкой в момент прихода к ней ударной волны образуется отраженная волна, бегущая от стенки со скоростью D_. Между отраженной волной и стенкой (область //) газ вновь покоится и имеет давление р2 и плотность р2, более высокие, чем их начальные значения р0 и р0. Определим давление р2 на стенке после отражения от нее удар- ударной волны и скорость отраженной волны D_. Воспользуемся для этого следующим соображением. Так как па- параметры газа в областях 0 и II связаны законами сохранения с па- параметрами газа в одном и том же состоянии в области /, то эти законы сохранения на падающей и отраженной волнах имеют сле- следующий вид: D2 , Y P = 2 "^Y—l P i у hi A3.1)
214 ГЛ. II. ОДНОМЕРНЫЕ НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ Здесь величины без индексов обозначают либо D+, /?0, р0, либо D_, /?2, р2, так что эти две совокупности параметров являются реше- решениями одних и тех же уравнений A3.1). Введя безразмерные вели- величины р/ри р/рг, Djux и обозначив их для сокращения записи просто как /?, р, D, перепишем уравнения A3.1) в виде -PD=1-D, W2 . l 'p 2 -тG_1)М2 р ,2 где M2 ?/^ Заменим в последнем уравнении р и D их выражениями через р из первых двух уравнений. В результате для определения двух зна- значений р (р0 и р2) получаем квадратное уравнение Так как коэффициенты этого уравнения связаны с его корнями формулами то, исключив отсюда М2 и возвращаясь к исходным размерным пе- переменным, получим (Зу—l)Pl —(у—1)р0 р2-ро_(Зу-1)Р1-}Чу+1)Ро И* Hl (Y—l)Pi + (V+l)Po Pi-Po (Y-l)Pi + (Y+l)Pe" При очень слабой падающей ударной волне, когда /7Х—ро<^ро> находим Р2—Ро_ о Pi —Ро~~ ' т. е. избыточное давление на стенке вдвое превышает увеличение давления в падающей волне. При сильной падающей волне, когда рг^>р0, р2 — Ро ^3У—1 Pi—Ро 7—1 ' т. е. избыточное давление за отраженной волной превышает увели- увеличение давления в падающей волне уже не в два раза, а значительно сильнее. Так, при у= 1,4 это превышение составляет 8, а при у = = 1,2—13 раз. Этим сильным возрастанием давления при торможе- торможении в отраженной волне газа, движущегося к стенке за падающей волной, в значительной мере объясняется разрушительное действие интенсивных ударных волн. Для отношения скоростей волн у^- из первых двух уравнений
$13. СТОЛКНОВЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 215 A3.1) находим 2 — Ро Отсюда, учитывая формулу (9.16), для очень слабых падающих волн ( P2—Pi ~+ Pi—Ло, тг — 0 ) при всех у а для сильных волн .27. Для таких волн скорость отраженной волны при у < 3 меньше ско- скорости падающей волны. Так, тр =— -о- при у = 1,4; ^=- = — -g- при 7=1,2. При 7>3 скорость Г>_ превосходит скорость падающей волны. Пусть теперь по однородному газу распространяется ударная волна постоянной интенсивности и вслед за ней по газу идет еще одна ударная волна. Ранее уже было выяснено, что вторая волна должна дог- догнать первую. В момент встречи обеих волн в распределении параметров газа образуется разрыв, на котором вновь не удовлетворены законы сохранения, так что в следующий момент этот разрыв распадается (рис. 2.13.4). В этом случае после распада раз- разрыва по газу в ту же сторону, что и встречающиеся волны, пойдет ударная волна большей интенсивности, чем была первая волна, т. е. дого- догоняющая волна усиливает первую (в этом нетрудно убедиться, учи- учитывая параметры начального разрыва и перебирая все возможные при этом комбинации волн). Количественный анализ показывает, что в обратном направлении от контактного разрыва по газу может распространяться как ударная волна, так и волна разре