Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов. Многотемпературные модели. М.: ИПМех РАН, 2013
Аннотация
Оглавление
Предисловие
Глава 1. Двумерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
1.2. Двухмерная вычислительная модель
1.3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений
1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе координат
1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики
1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках с использованием схемы AUSM
1.8. Тестирование компьютерных моделей в двухмерном случае на структурированных сетках
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
2.3. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода полумоментов
2.4. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник для двухмерной осесимметричной криволинейной геометрии на структурированной сетке
2.5. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник на неструктурированной сетке
3.2. Постановка задачи и метод решения
3.3. Результаты методических исследований
3.4. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферического КА в атмосфере двуокиси углерода
3.5. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота
3.6. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода в условиях сильной неравновесности
4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO
4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
4.4. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Exomars
4.5. Расчет радиационной газовой динамики спускаемого космического аппарата Exomars с использованием трехблочной сетки
5.2. Радиационная газовая динамика космического аппарата Orion в осесимметричной постановке
5.3. Результаты расчетов радиационной аэротермодинамики СА Orion с использованием различных кинетических моделей и моделей неравновесной диссоциации
6.2. Интегральные результаты радиационно-газодинамического расчета движения сегментально-конического спускаемого аппарата по траекториям орбитального и сверхорбитального входа
6.3. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в условиях орбитального входа СККА
6.4. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в условиях сверхорбитального входа СККА
6.5. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в окрестности СККА с использованием трехмерной вычислительной модели
6.6. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в окрестности СККА с использованием кинетической модели ЦНИИмаш
Заключение к части 1
Список литературы к части 1
ЧАСТЬ 2. Трехмерная аэротермодинамика спускаемых космических аппаратов
7.2. Трехмерная вычислительная модель
7.3. Модели химической кинетики, релаксации, теплофизических и переносных свойств
8.2. Общие закономерности радиационной газовой динамики марсианских аппаратов
8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева некоторых марсианских зондов
8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
8.6. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Exomars
8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion. Сравнение с результатами экспериментального исследования гиперзвуковой аэродинамической трубе AEDC NASA
9.3. Результаты численного моделирования аэротермодинамики космического аппарата Orion под углом атаки 250
9.4. Результаты трехмерного численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
10.1. Введение
10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
10.3. Систематическое исследование радиационной аэротермодинамики в широком диапазоне чисел Маха и высот полета
11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Союз
12.2. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА Stardust под углом атаки 8
12.3. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА Stardust под углом атаки 16
Заключение к части 2
Список литературы к части 2
Приложения
Приложение 2. Параметры потенциала Ленарда-Джонса, используемые при расчете свойств переноса
Приложение 3. Энтальпия образования при Т=0 К
Приложение 4. Электронные и колебательные полосы двухатомных молекул, учитываемые при радиационно-газодинамических расчетах
Приложение 5. Спектральная излучательная способность равновесного высокотемпературного воздуха в спектральном диапазоне 2000-8000 A
Приложение 6. Анализ некоторых кинетических моделей, используемых в аэрофизике спускаемых космических аппаратов
Приложение 7. Модели химической кинетики, использованные при решении задач аэротермодинамики входа космических аппаратов в атмосферу Земли
Приложение 8. Модели химической кинетики, использованные при решении задач аэротермодинамики марсианского входа космических аппаратов
Приложение 9. Уравнения механики сплошной среды, используемые в расчетных кодах NERAT
П.9.2. Система уравнений Навье-Стокса в ортогональной криволинейной системе координат
П.9.3. Криволинейные координаты
П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
Список литературы к приложениям
Text
                    РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН
С.Т. Суржиков
РАДИАЦИОННАЯ ГАЗ О ВА Я ДИНАМИКА
СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.
МНОГОТЕМПЕРАТУРНЫЕ МОДЕЛИ
Москва, ИПМех РАН
2013


2 УДК 533.6 ББК 22.253.3 С90 Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов. Многотемпературные модели. -- М.: Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, 2013. -- 706 с. ISBN 978-5-91741-088-3 Рассматриваются актуальные проблемы компьютерной радиационной аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов, предназначенных для исследования планет Солнечной системы и возвращения на Землю. Изложены вычислительные модели радиационной газовой динамики, положенные в основу двухмерного и трехмерного компьютерных кодов NERAT (Non-Equilibrium Radiation Aero Thermodynamics), разработанных в ИПМех РАН. Обсуждаются особенности применения многотемпературных моделей термически неравновесных гиперзвуковых потоков к решению пространственных задач аэрофизики спускаемых космических аппаратов. Особое внимание уделено проблемам расчета переноса селективного теплового излучения в сжатых слоях газа, окружающих космический аппарат, входящий в плотные слои атмосферы. Представлены результаты систематических двухмерных и трехмерных расчетов аэротермодинамики космических аппаратов разных классов, предназначенных для возвращения на Землю и для полета на Марс. Для студентов старших курсов физико-математических и аэрокосмических специальностей, научных работников и инженеров в области аэрокосмической техники. Утверждено к печати Ученым советом Института проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов базовой кафедры МФТИ «Физическая и химическая механика» Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. С.А.Лосев д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.П.Райзер ISBN 978-5-91741-088-3 © С.Т.Суржиков, 2013 © ИПМех РАН, 2013
3 Оглавление Предисловие 8 ЧАСТЬ 1. Двухмерная радиационная аэротермодинамика спускаемых космических аппаратов (СКА).............................. .... 11 Глава 1. Двумерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов ............. ........... 12 1.1. Введение ..................................................................... ..... 12 1.2. Двухмерная вычислительная модель ........................................ 13 1.3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений ............ 19 1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе координат ............................ ... ............................................... 25 1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики ............... 28 1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии ...... 31 1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках с использованием схемы AUSM ........................................ 34 1.8. Тестирование компьютерных моделей в двухмерном случае на структурированных сетках .................................... ... ................. 54 Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения .............. 61 2.1. Введение .................................... .................................... 61 2.2. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода дискретных направлений (Ray-Tracing method, RTM) ............ 61 2.3. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода полумоментов ..................... ... ................................................ 64 2.4. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник для двухмерной осесимметричной криволинейной геометрии на структурированной сетке .................... 68 2.5. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник на неструктурированной сетке ..................... 108 2.6. Решение уравнения переноса излучения методом дискретных ординат (МДО) на неструктурированной сетке ............ ... ............... 124 Глава 3. Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов сферической формы в атмосфере Марса ..................... 164 3.1. Введение ........................ ... .............................................. 164 3.2. Постановка задачи и метод решения ....................................... 164 3.3. Результаты методических исследований ... ............................... 166
Оглавление 4 3.4. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферического КА в атмосфере двуокиси углерода... 170 3.5. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота ............... ... .............................................. 184 3.6. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода в условиях сильной неравновесности ........................ ... .............................. 192 Глава 4. Радиационно-газодинамическая модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса ............. 201 4.1. Введение .................................... ... ................................. 201 4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO .................................... ... ............................... 201 4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder ............................................................ ... ... 206 4.4. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Exomars ...... ......................................................... ..... 219 4.5. Расчет радиационной газовой динамики спускаемого космического аппарата Exomars с использованием трехблочной сетки . 222 Глава 5. Двухмерная радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Orion в атмосфере Земли ........................................... 225 5.1. Введение ........................ ... .............................................. 225 5.2. Радиационная газовая динамика космического аппарата Orion в осесимметричной постановке ..................... ................................ 225 5.3. Результаты расчетов радиационной аэротермодинамики СА Orion с использованием различных кинетических моделей и моделей неравновесной диссоциации .................................... ... ............... 234 Глава 6. Радиационная газодинамика сегментально-конического космического аппарата (СККА) ............................................... 247 6.1. Введение ........................ ... .............................................. 247 6.2. Интегральные результаты радиационно-газодинамического расчета движения сегментально-конического спускаемого аппарата по траекториям орбитального и сверх-орбитального входа .................... 247 6.3. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в условиях орбитального входа СККА ........................ ... ............... 263 6.4. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в условиях сверхорбитального входа СККА .................. ................ 292
Оглавление 5 6.5. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в окрестности СККА с использованием трехмерной вычислительной модели ................................................................................. 314 6.6. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в окрестности СККА с использованием кинетической модели ЦНИИмаш ............ ... ......................................................... ..... 326 Заключение к части 1 ............ ... .............................................. 337 Список литературы к части 1 .................................................. 338 ЧАСТЬ 2. Трехмерная аэротермодинамика спускаемых космических аппаратов ...................................................... .... 351 Глава 7. Трехмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов ........................ 352 7.1. Введение ........................ ... .............................................. 352 7.2. Трехмерная вычислительная модель ....................................... 356 7.3. Модели химической кинетики, релаксации, теплофизических и переносных свойств .................................................................. 359 Глава 8. Пространственная радиационная газовая динамика марсианских спускаемых аппаратов .................................... ..... 366 8.1. Введение ........................ ... .............................................. 366 8.2. Общие закономерности радиационной газовой динамики марсианских аппаратов .......................................... ... ................ 366 8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO с использованием кодов NERAT(2D) и NERAT(3D) ........................... 372 8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева некоторых марсианских зондов ................................................... 382 8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder .. 400 8.6. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Exomars .... 418 8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL ......... 428 Глава 9. Пространственная радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Orion ............... ... ............... 460 9.1. Введение ........................ ... .............................................. 460 9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion. Сравнение с результатами экспериментального исследования гиперзвуковой аэродинамической трубе AEDC NASA .................. ... 460 9.3. Результаты численного моделирования аэротермодинамики
Оглавление 6 космического аппарата Orion под углом атаки 250 ........................... 472 9.4. Результаты трехмерного численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа ............ ... ............................................. 479 Глава 10. Пространственная (3D) радиационная газовая динамика (РадГД) сегментально-конического спускаемого аппарата (СККА) с использованием разных моделей физической и химической кинетики .............................................................................. 498 10.1. Введение 498 10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе 500 10.3. Систематическое исследование радиационной аэротермодинамики в широком диапазоне чисел Маха и высот полета ............... ............ 518 Глава 11. Пространственная радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Союз ................................. ... ................ 552 11.1. Исходные данные для расчета КА Союз ................................. 552 11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Союз ...... 552 Глава 12. Численное моделирования радиационной аэротермодинамики космического аппарата Stardust в трехмерной постановке .......................................... ... .............................. 570 12.1. Космическая миссия Stardust .............................. ... .............. 570 12.2. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА Stardust под углом атаки 80 ........................................................ 570 12.3. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА Stardust под углом атаки 160 ....................................................... 592 Заключение к части 2 ............ ................................................ 603 Список литературы к части 2 .................................................. 605 Приложение 1. Константы колебаний двух и трехатомных молекул .. 617 Приложение 2. Параметры потенциала Ленарда-Джонса, используемые при расчете свойств переноса ................................. 618 Приложение 3. Энтальпия образования при Т=0 К ........................ 619 Приложение 4. Электронные и колебательные полосы двухатомных молекул, учитываемые при радиационно- газодинамических расчетах ................................................ 620 Приложение 5. Спектральная излучательная способность равновесного высокотемпературного воздуха в спектральном диапазоне 2000-8000 Å ........................................................................... 625
Оглавление 7 Приложение 6. Анализ некоторых кинетических моделей, используемых в аэрофизике спускаемых космических аппаратов ........ 631 Приложение 7. Модели химической кинетики, использованные при решении задач аэротермодинамики входа космических аппаратов в атмосферу Земли ..................................................................... 658 Приложение 8. Модели химической кинетики, использованные при решении задач аэротермодинамики марсианского входа космических аппаратов ............................................................ ... ............... 668 Приложение 9. Уравнения механики сплошной среды, используемые в расчетных кодах NERAT ........................ ... ................................ 682 П.9.1. Основные формы записи уравнений Навье-Стокса .................. 682 П.9.2. Система уравнений Навье-Стокса в ортогональной криволинейной системе координат ............ ... ............................... 685 П.9.3. Криволинейные координаты .......................................... .... 688 П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат .............................................................................. Список литературы к приложениям ............................................. 693 704
8 ПРЕДИСЛОВИЕ Одной из наиболее актуальных фундаментальных теоретических проблем физической механики последних двух десятилетий в мировом аэрокосмическом сообществе является создание пространственных вычислительных моделей аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов, предназначенных для входа в плотные слои атмосферы Земли и планет Солнечной системы с орбитальными и сверхорбитальными скоростями. В аэрокосмических агентствах создаются космические аппараты и материалы нового поколения, планируются летные эксперименты, а также активно изучаются результаты наземных и летных испытаний космических аппаратов, выполненные недавно и в предшествующие годы. Развитие компьютерной аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов является важной составной частью научных программ изучения планет Солнечной системы и возвращения на Землю. Значительные усилия специалистов в области компьютерной аэротермодинамики и теории сложного теплообмена в последние годы сосредоточены на совершенствовании и тестировании используемых моделей аэрофизики и компьютерных кодов (verification), а также на подтверждении достоверности получаемых результатов (validation). Важной составной частью этих усилий является создание пространственных компьютерных кодов, ориентированных на использование суперкомпьютеров и соответствующих вычислительных технологий. Следует отметить, что теоретические основы современных моделей были заложены в работах 60-80-х годов. Впечатляющие достижения в этой области продемонстрированы значительным количеством успешных космических миссий. Тем не менее, анализ документов многочисленных международных аэрокосмических конференций показывает, что к настоящему времени модели физико-химической кинетики и радиационного переноса отработаны для прогностических целей в недостаточной степени. Особенно это относится к неравновесным условиям и к условиям сильного радиационно- газодинамического взаимодействия, что обуславливает значительную неопределенность в предсказании радиационных и конвективных тепловых нагрузок спускаемых космических аппаратов. Традиционные подходы аэротермодинамики, основанные на приближении локального термодинамического равновесия, становятся неприемлемыми в неравновесных условиях, хотя опыт практической аэрофизики указывает на то, что получаемые с их использованием результаты оказываются непротиворечивыми. В тоже время, современные концепции развития аэрокосмической техники и космонавтики основываются на повышенных требованиях к предсказательным компьютерным моделям, способным решать поставленные
Предисловие 9 задачи в широком диапазоне условий полета космических аппаратов. Поэтому разработка достоверных моделей аэрофизики неравновесных гиперзвуковых течений является в настоящее время одной из приоритетных. Компьютерные коды семейства NERAT (Non-Equilibrium Radiative Aero Thermodynamics), разрабатываемые автором в ИПМех РАН с целью проведения пространственных аэротермодинамических расчетов спускаемых космических аппаратов, основаны на базовых знаниях в области механики сплошных сред, термодинамики, статистической физики, квантовой механики и квантовой химии. Комплекс программ NERAT обладает свойствами самотестирования, что достигается при параллельном использовании кодов разной размерности, но включающих в себя модели физической и химической кинетики, спектральных оптических свойств и методов расчета переноса неравновесного теплового излучения разной подробности. Создаваемая структура вычислительных моделей, реализованных в компьютерных кодах NERAT, отвечает современным тенденциям в развитии методов компьютерной аэрофизики: от моделей локального термодинамического равновесия -- к радиационно-столкновительным моделям, которые, к сожалению, пока являются чрезмерно трудоемкими для их использования в пространственных моделях течения. Поэтому данная книга посвящена опыту использования только многотемпературных моделей радиационной аэротермодинамики -- первому и простейшему этапу перехода к неравновесному описанию термической неравновесности высокотемпературного газа. Тем не менее, в книге показано, что создаваемые радиационно-газодинамические модели и компьютерные коды с успехом применяются для тестирования и обоснования моделей физической и химической кинетики колебательно и электронно-возбужденных газов. Принципиальной особенностью компьютерных кодов NERAT является их интеграция с авторским комплексом программ ASTEROID, в котором реализованы компьютерные модели квантовой механики и квазиклассической физики, позволяющие предсказывать спектральные оптические свойства нагретых газов и низкотемпературной плазмы (атомов, ионов, двух- и многоатомных молекул) вплоть до температур ~ 100 000 К в спектральном диапазоне от инфракрасной области (~20 мкм) до вакуумной ультрафиолетовой области (~ 0.01 мкм). Книга состоит из двух частей. В первой части даны разнообразные примеры использования двухмерных моделей аэрофизики, а во второй части -- пространственных трехмерных моделей. В начале каждой части приводится описание компьютерной модели. Книга содержит большое количество графических результатов численных исследований радиационной аэротермодинамики космических аппаратов различных типов. Много внимания уделяется сравнению с доступными экспериментальными и расчетными данными других авторов.
Предисловие 10 Значительная часть полученных расчетных данных носит прогностический характер. Приводятся и подробно анализируются расчетные данные по аэротермодинамике марсианских космических аппаратов сферической формы, Pathfinder, Mars Sample Return Orbiter (MSRO), Exomars, Mars Science Laboratory (MSL). Важным элементом новизны представленных данных по радиационной аэротермодинамике марсианского входа является демонстрация важности расчета интегрального радиационного нагрева всей поверхности спускаемых в атмосфере Марса космических аппаратов. Аэротермодинамика космических аппаратов возвращаемых на Землю исследуется на примере космического аппарата « Союз», а также проектируемых космических аппаратов Orion и перспективного транспортного корабля сегментально-конической формы. Проблемы сверхорбитального входа космических аппаратов, при котором начинается заметное радиационно-конвективное взаимодействие, исследуются на примере космического аппарата Stardust. Изучение аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов в условиях сильной неравновесности показало сильную чувствительность рассчитываемых данных к используемым моделям химической кинетики и неравновесной диссоциации, в особенности по интенсивности радиационного нагрева обтекаемой поверхности, что является важным доводом к дальнейшему развитию компьютерных моделей неравновесной аэрофизики. В книге используется нумерация формул, рисунков и таблиц в пределах каждой главы. Списки используемой литературы приведены отдельно для первой и второй частей книги, а также для приложения, в котором приведены полезные справочные данные. Результаты работы, представленные в данной книге, были получены автором примерно в десятилетний период исследований в области компьютерной аэрофизики спускаемых космических аппаратов. На разных этапах принципиально важной оказалась поддержка работы со стороны Программ фундаментальных исследований РАН, а также грантами РФФИ №№ 07-01-00133, 10-01-00544, 13-01-00537, 13-08-12033-ОФИм. Чрезвычайно полезным и стимулирующим оказалось сотрудничество с коллегами из Российских аэрокосмических организаций и Европейского космического агентства, а также с коллегами из Американского Института по Аэронавтике и Астронавтике (AIAA). Интересной и плодотворной была совместная работа с сотрудниками Лаборатории радиационной газовой динамики ИПМех РАН, с аспирантами и студентами базовой кафедры МФТИ «Физической и химической механики». Результаты этого сотрудничества частично отражены в списке литературы, используемой в книге. Автор благодарит своих учителей, признателен своим коллегам и ученикам за многолетнее плодотворное сотрудничество.
ЧАСТЬ 1 ДВУХМЕРНАЯ РАДИАЦИОННАЯ АЭРОТЕРМОДИНАМИКА СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ (СКА)
12 ГЛАВА 1 ДВУХМЕРНАЯ РАДИАЦИОННО-ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АЭРОФИЗИКИ СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ 1.1. Введение Производительность современных компьютеров и развитие вычислительных методов решения задач аэрофизики позволяют моделировать поле течения, теплофизические, термохимические и радиационные процессы во всей возмущенной области вокруг летательных аппаратов, входящих в плотные слои атмосферы: от фронта головной ударной волны до дальнего следа. Актуальными проблемами компьютерной аэрофизики сегодняшнего дня являются тестирование и аттестация разрабатываемых расчетно-теоретических моделей и программных кодов, повышение их вычислительной эффективности, а также дальнейшее развитие методов численного моделирования и моделей физической и химической механики, обеспечивающих математическое моделирование сложных (трехмерных) элементов течения у поверхности летательных аппаратов (отрывные течения и течения присоединения, ламинарно-турбулентный переход, сложные ударно-волновые взаимодействия, явления гистерезиса и бифуркации). Особое значение приобретает создание и тестирование новых моделей физико-химических и радиационных процессов. Важной особенностью современных моделей компьютерной аэрофизики является увеличивающийся удельный вес ab-initio моделей (моделей процессов, основанных на так называемых первых принципах). Такие модели позволяют производить расчет элементарных физико-химических процессов, теплофизических, переносных и спектральных оптических свойств веществ с использованием систем уравнений формулируемых в квантовой механике, физической и химической кинетике, в статистической физике. Интеграция указанных моделей с феноменологическими подходами механики сплошных и разреженных сред составляет основу так называемого интегрированного или многоуровневого описания процессов и явлений. По мере расширения областей применения аэрофизики в направлении анализа неравновесных и неидеальных процессов интегрированные подходы становятся все более необходимыми. В данной главе излагается расчетно-теоретический метод, хорошо себя зарекомендовавший в последние годы при исследовании аэротермодинамики космических аппаратов, предназначенных для входа в плотные слои атмосфер планет и возвращения на Землю [1, 2]. Особенностью указанного метода является использование принципа расщепления полной системы уравнений динамики вязкого и теплопроводного газа на две группы, а также применение для интегрирования уравнений каждой из групп различных подходов. Первую группу составляют уравнения Навье − Стокса, а вторую
1.1. Введение 13 группу составляют уравнения, описывающие энергетическое состояние газа (уравнение сохранения внутренней энергии, уравнения диффузии химически реагирующих газовых компонент, уравнения колебательной и электронной релаксации). Сам по себе принцип расщепления уже давно применяется в вычислительной математике и аэродинамике [3−6]. Более того, подавляющее большинство расчетных методик компьютерной физики используют в той или иной степени этот принцип. Специфику различающихся методов и расчетных подходов составляет алгоритмическое решение процедуры расщепления. При этом хорошо известно, что при неудачном выборе такого алгоритма, качество вычислительного процесса может даже ухудшиться. Представленные в данной работе метод основан на использовании для численного интегрирования уравнений Навье − Стокса AUSM (Advective Upwind Splitting Method) [7] конечно-разностных схем и на применении полностью неявных конечно-разностных схем для численного интегрирования уравнения сохранения энергии и диффузии компонентов смеси газов. При этом уравнение сохранения энергии формулируется в форме уравнения Фурье − Кирхгофа, т.е. относительно температуры поступательного движения частиц. Выбранный для численного интегрирования уравнений движения AUSM метод является одним из приближенных методов решения задачи Римана о распаде разрыва и может быть отнесен к классу приближенных методов Годунова. Изложенный метод реализован в компьютерном коде NERAT (Non- Equilibrium Radiation Aero Thermodynamics), разработанном в ИПМех РАН и предназначенном для численного моделирования аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов с учетом радиационного переноса энергии и неравновесных физико-химических превращений. Показано, что использование излагаемого подхода к решению указанных задач динамики излучающего газа имеет ряд весомых преимуществ. 1.2. Двухмерная вычислительная модель При решении задач радиационной газовой динамики спускаемых космических аппаратов вычислительный код NERAT реализует численное интегрирование уравнений движения вязкого теплопроводного химически реагирующего излучающего газа методом установления. На каждом временном итерационном слое интегрируются уравнения Навье − Стокса и уравнение неразрывности, уравнение, выражающее закон сохранения энергии, и система уравнений диффузии химических компонентов смеси, уравнение переноса излучения и система уравнений колебательной кинетики. Уравнения движения, физической и химической кинетики формулируются в двумерной осесимметричной постановке (о формулировке уравнений см. Приложение 9):
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 14 () div 0 t ∂+= ∂ V ρ ρ , ( 1 ) (), div x up uS tx ∂∂ += − + ∂∂ V µ ρ ρ , ( 2 ) (), v div r pS tr ∂∂ += − + ∂∂ V µ ρ ρv , ( 3 ) div div ,1,2,, i ii i s wiN t ∂+= − + = ∂ VJ & K ρ ρ , ( 4 ) () grad div grad grad pp vib Tp ccT T pQ tt ∂∂ +=+ + + Φ + − ∂∂ VV µ ρρ λ () , 11 div grad grad ss NN Ri ip i ii ii hw cDYT == −−+ ⋅ ∑∑ q &ρ , ( 5 ) () , ,, div ,1,2,, mm mmm V e ee mN t ∂+= = ∂ V v vv & K ρ ρ , ( 6 ) где () ,21 div 2 3 x uu Sr x rr xr xx ⎡⎤ ∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ⎛⎞⎛ ⎞ =− + + + ⎜⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ V µ µµµ v , () ,2div 2 2 3 r u S rx x r r r r r ⎡⎤ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ =− + + + + ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢⎥ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣⎦ V µ µµ µ µ vv v компоненты сил вязкого трения, 222 2 2 2 222 3 uu u rrx x rx r r ⎡⎤ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ Φ= + + ++−++ ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂∂∂∂∂ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢⎥ ⎣⎦ µµvv v v v (7) диссипативная функция; t − время; , x r -- ортогональные цилиндрические координаты; u, v -- проекции скорости V на оси координат x и r; , pρ− давление и плотность; T -- температура поступательного движения частиц; , µ λ − динамический коэффициент вязкости и коэффициент теплопроводности; p c − удельная теплоемкость смеси при постоянном давлении; , s N pi p i i cY c =∑;i Y − массовая доля i-го компонента смеси; , , pii ch − удельная теплоемкость при постоянном давлении, энтальпия и плотность i-го компонента смеси; i w & − массовая скорость химических превращений для i-го компонента смеси; i D − эффективный коэффициент диффузии i-го компонента смеси; i J − плотность диффузионного потока i-го компонента; grad ii i DY =− Jρ ;s N − число химических компонентов смеси газов; vib Q− объемная мощность тепловыделения, обусловленная процессами колебательной релаксации в газовой смеси; V N − число колебательных мод.
1.2. Двухмерная вычислительная модель 15 При исследовании движения смеси газов CO2-N2 учитываются V N=6 колебательных мод: 1 m = для колебательной энергии N 2, 2 m= для колебательной энергии O2, 3, 4, 5 m= для колебательной энергии CO2 (симметричная, деформационная и несимметричная колебательные моды), 6 m = для колебательной энергии CO. В случае моделирования воздушной смеси учитываются V N =3 колебательные моды: 1 m = для колебательной энергии N2, 2 m = для колебательной энергии O2, m=3 для колебательной энергии NO. Скорость изменения удельной колебательной энергии в моде m находится по следующей формуле: 0,, ,( ) , ( ) mm mi m m i m m ee ee w − =− vv vv && ρ τ , ( 8 ) () 0 , () , exp 1 m m im mVm R eMT = ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ v θ θ , ( 9 ) ,m ev − удельная энергия колебательного движения в m-й колебательной моде i-го компонента газовой смеси; () im ρ − плотность i-го компонента газовой смеси, обладающего m-й модой колебательного движения ( m ρ − плотность молекулярного компонента газовой смеси, обладающего m-й модой колебательного движения); m θ - характеристическая колебательная температура m-ой моды; ( ) 0,, mm V ee T T = = vv − равновесная удельная энергия колебательного движения в m-й колебательной моде i-го компонента; 7 0 8.314 10 R=× эрг/(K⋅моль) -- универсальная газовая постоянная; , Vm T− колебательная температура, соответствующая m-й колебательной моде i-го компонента. Константы колебаний молекул приведены в таблице П.1. (см Приложение 1). После нахождения удельной энергии колебательного движения в м-ой колебательной моде, соответствующая ей колебательная температура находится по формуле: , 0 (), ln1 m Vm m im Vm T R Me θ =⎛⎞ θ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ . Уравнение переноса селективного теплового излучение формулируется в общем виде: ()()() () , , J Jj ∂ += ∂ r rr r r ω ωω ω κ , ( 1 0 ) где () , Jr ω − спектральная интенсивность излучения; () r ω κ − спектральный коэффициент поглощения; ( ) jr ω − спектральный
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 16 коэффициент испускания, который вычисляется с использованием закона Кирхгоффа (в приближении локального термодинамического равновесия): () ()( ) , b jJ = rr r ωω ω κ , ( 1 1 ) где () , b Jr ω − интенсивность излучения абсолютно черного тела (функция Планка); r -- радиус-вектор рассматриваемой точки пространства; − единичный вектор направления распространения излучения. Интегрирование интенсивности излучения по направлениям (с весом ) и по волновому числу излучения позволяет определить вектор плотности потока излучения: () () 4d, d tot rad rad Jω πω ω ∆ == Ω ∫∫ qqr r. ( 1 2 ) Плотность спектрального, спектрально-группового и интегрального радиационного теплового потока, достигающего поверхности с единичной нормалью n определяется по формулам: ()() , 4 ,d rad qJ ωω π =⋅ Ω ∫Ωnr , ( 1 3 ) ()() , 4 1 ,d rad qd J ωω ωπ ω ω ∆ ∆ =⋅ Ω ∆∫∫Ωnr ( 1 4 ) ()() max min 4 ,d rad qdJ ω ω ωπ ω =⋅Ω ∫∫ Ωnr , ( 1 5 ) где min ω =1000 см-1, max ω =150 000 см-1. В дальнейшем будет использоваться следующая система обозначений для плотности радиационных тепловых потоков: , rad q ω - плотность спектрального радиационного теплового потока в критической точке обтекаемого космического аппарата (или в любой заданной точке на поверхности), , rad W ω - распределение плотности спектрального радиационного теплового потока вдоль поверхности обтекаемого космического аппарата, rad Q - кумулятивная функция плотности спектрального радиационного теплового потока в заданной точке на поверхности обтекаемого космического аппарата, которая рассчитывается по формуле: min , () rad rad rad QQ qd ω ω ω ω ω == ∫. При расчете неравновесного излучения от релаксационной зоны ударной волны и сжатого слоя спектральный коэффициент испускания рассчитывался с учетом различия температур поступательного, колебательного и электронного возбуждения. Температура вращательного движения полагалась равной поступательной температуре. Для того чтобы определить способ расчета массовой скорости химических превращений i w & для i-го компонента смеси, используются базовые понятия
1.2. Двухмерная вычислительная модель 17 химической кинетики. Используя символическую формулу для n-й химической реакции: ,, 11 ,1 , 2 , , ss NN jnj j nj r jj aXbXnN == ⎡⎤ ⎡⎤ == ⎣⎦ ⎣⎦ ∑∑K , ( 1 6 ) скорость образования i-й компоненты в n-й химической реакции записывается в виде: () () ,, ,,, ,,, dd ss jn jn NN ab i fninin j rninin j jj n Xk b aXk b aX t ⎛⎞ =− − − = ⎜⎟ ⎝⎠ ∏∏ ()() ,,,, ininfn rn baS S =− −, ( 1 7 ) где,, in in ab− стехиометрические коэффициенты n-й химической реакции; i X − объемно-мольная концентрация i-й компоненты; j X ⎡⎤ ⎣ ⎦ − химические символы реагентов и продуктов химических реакций; r N − число химических реакций; , fn k, , rn k − константы скоростей прямых и обратных реакций; , fn S, , rn S − скорости прямой и обратной реакции. Тогда, скорость образования числа молей i-й компоненты в единице объема определяется следующим образом: () () ,,,, 1 r N ii n i n f n r n n Wb a S S = =− − ∑ ( 1 8 ) Скорость образования i W имеет размерность моль/(см3⋅с), поэтому массовая скорость образования i-й компоненты может быть рассчитана следующим образом: ii i wM W = & , ( 1 9 ) где i M − молекулярный вес i-й компоненты. Из (17)−(19) следует, что для вычисления массовой скорости образования i-й компоненты необходимо определить константы скоростей прямой и обратной реакций для каждой из r N реакций, которые аппроксимируются в данной работе обобщенной аррениусовской зависимостью: () , (), (), (), exp frn n frn frn frn E kA TkT ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ , ( 2 0 ) где (), (), (), ,, frnfrnfrn nE A − аппроксимирующие коэффициенты для констант скоростей прямой ( f ) и обратной ( r ) химических реакций. Константа равновесия для n-й химической реакции определяется следующим образом: ,, nf n r n Kkk = . ( 2 1 ) Константа равновесия n K и термодинамические свойства индивидуальных химических компонентов (с индексом j) определяются с
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 18 использованием полиномиальной аппроксимации приведенной энергии Гиббса следующего вида [8]:21 2 3 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ln jjjjjjjj x xxx xx −− Φ=+ + + ++ + ϕϕϕϕϕϕϕ, ( 2 2 ) () 21 23 2, 3, 4, 5, 6, 7, d1 22 3 d jjjjjj j xxxx x x x −− Φ ⎛⎞ =− −+++ ⎜⎟ ⎝⎠ϕ ϕϕϕϕϕ, (23) () 2 21 2 3 2, 3, 4, 6, 7, 2 2 d1 6226 d jjjjj j xxxx x x −− ⎛⎞ Φ=−+ + + + ⎜⎟ ⎝⎠ϕϕϕϕϕ, (24) 3 8, d 10 d jj j hx Tx Φ ⎛⎞ =+ × ⎜⎟ ⎝⎠ϕ , Дж/моль, ( 2 5 ) 2 2 , 2 dd 2dd pj j j cxx xx ⎛⎞ Φ Φ ⎛⎞ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ , Дж/моль⋅K , ( 2 6 ) () () () 3 0, , 8 , 1 0 1 ln 10 s N nj n j n j j j Kpp abT RT= =− − Φ + × ∑ ϕ , ( 2 7 ) где 0 101325 p= Pa, 4 10 xT− =× . Константы аппроксимации в температурном диапазоне 298 ÷ 20000 K представлены в [8]. В левой части (27) отношение 0 ppпоказывает функциональную зависимость n K от давления. Заметим, что при температурах в ударном слое выше ~ 10000 К предпочтительнее использовать иную формулировку термодинамической модели, разделив поступательную, электронную, колебательную и вращательную составляющие полной и внутренней энергии, то есть применив приближение Борна-Оппенгеймера. Коэффициенты вязкости и теплопроводности вычисляются по следующим аппроксимирующим соотношениям [9−11]: () 1 1c N ii iY = =∑ µ µ, () 11 1 1 2 cc NN ii ii ii xx == ⎡⎤ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ∑∑ λ λλ ( 2 8 ) 5 2( 2 , 2 ) 2.67 10 i i ii MT − ∗ =×Ω µ σ , г/см⋅с, ( 2 9 ) 2( 2 , 2 ) 1 8330 i iii T M ∗ = Ω λ σ , эрг/см⋅K , ( 3 0 ) где i σ − эффективный диаметр столкновений, Å; () (2,2) ii fT ∗ Ω= − интеграл столкновений; ii Tk T =ε;ik ε − параметр, характеризующий глубину потенциальной энергии взаимодействия частиц i-го типа. Значения i σиik ε приведены в таблице П.2 (приложение 2). Эффективный коэффициент диффузии i-го компонента вычисляется по формуле Уилки [9]:
1.2. Двухмерная вычислительная модель 19 () 1 c i iN jij ji x D xD ≠ − =∑ , см2/с, ( 3 1 ) 33 , 2( 1 , 1 ) ,, 1 1.858 10 ij ij ij ijij MM DT MMp − ∗ + =× Ω σ ( 3 2 ) В расчетах использовались другие аппроксимационные соотношения, которые дают близкие результаты (кроме отдельных случаев, которые здесь не рассматриваются). Интегралы столкновений вычисляются по аппроксимациям, предложенным Н.А. Анфимовым [12]: (2,2) 0.1472 (1,1) 0.1604 ,, 1.157 , 1.074 i i ij ij TT ∗− ∗− Ω= Ω= , ( 3 3 ) Две работы [13,14], вышедшие в последнее время и содержащие подробные таблицы интегралов столкновений, позволяют отказаться от такого рода аппроксимаций в пользу более точных расчетных данных. Функции, определяющие столкновения двух частиц, определяются по так называемым комбинаторным формулам [15]: () ,, , , 1 ,, 2 ij ijijij ij ij kT T== = + ε εεσ σσ ε . ( 3 4 ) 1.3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений Система приведенных уравнений интегрировалась до сходимости сеточных функций проекций скорости, температуры, давления, плотности и концентраций химических компонентов с точностью 4 10− . Погрешность расчетов оценивалась по относительной ошибке расчета каждой функции по всему полю течения. Уравнения газовой динамики (уравнение неразрывности и два уравнения Навье − Стокса) интегрировались с применением AUSM конечно-разностной схем первого и второго порядка точности без использования дополнительных численных ограничителей решения и искусственной вязкости [7]. Уравнение, выражающее закон сохранения энергии, интегрировалось с использованием неявной конечно-разностной схемы второго порядка точности по пространству и времени. Уравнения диффузии химических компонентов ( уравнения сохранения массы химических компонентов) интегрировалась также с использованием неявной схемы второго порядка точности. Применение неявных конечно-разностных схем к решению двух последних групп уравнений значительно повышало эффективность вычислительной процедуры. В большинстве случаев расчеты велись с параболическими числами Куранта-Фридрихса-Леви (CFL) значительно превосходящими единицу. Подавляющее число расчетов выполнено с гиперболическим числом
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 20 CFL=0.5. Причем, шаг по фиктивному времени рассчитывался по минимальному пространственному шагу расчетной сетки и по максимальной скорости (с учетом скорости звука) во всей расчетной области. Расчет поля течения выполнялось с использованием многосеточной технологии на нескольких блоках конечно-разностной сетки «О» или «C»- типа. В каждом блоке сеток последовательно использовалось три типа конечно-разностных сеток: начальная, промежуточная и конечная сетки. Каждая последующая сетка рассчитывалась удвоением узлов предыдущей сетки. Примеры использованных многоблочных сеток показаны на рис. 1.1- 1.5. Рис.1.1. Пример использования многосеточной технологии для космического аппарата (КА) MSRO. Сетка на правом рисунке получена удвоением сетки слева Расчет теплообмена излучением проводился с использованием двух методов. Для вычисления объемной плотности спектральной и интегральной энергии теплового излучения внутри расчетной области применялось P1- приближение метода сферических гармоник. Дивергенция вектора плотности интегрального теплового потока излучения div R q , рассчитанная таким образом, использовалась в правой части уравнения сохранения энергии (5). Плотность потока теплового излучения к поверхности космического аппарата рассчитывалась методом дискретных направлений (так называемый «Ray- tracing» метод) [16]. В работе [17] выполнен сравнительный анализ результатов расчетов по двум методам: методом дискретных ординат (МДО) и методом дискретных направлений. Указанное исследование позволило найти оптимальные параметры численного моделирования методом дискретных направлений (количество дискретных направлений, число узлов расчетной сетки вдоль луча).
1.3. Алгоритм численного интегрирования систем уравнений 21 Рис.1.2. Трехблочная сетка, использованная для расчета аэротермодинамики КА Pathfinder Представленная система уравнений позволяет реализовать общую схему задач радиационной газовой динамик (РадГД) применительно к проблемам аэрофизики входа космических аппаратов (а также тел естественного происхождения) в плотные слои атмосферы. Указанная схема показана на Рис.1.2. Как видно их данной схемы, полный цикл решения задач радиационной газовой динамики включает в себя решение системы уравнений механики сплошной среды (в нашем случае, − уравнений (1)−(3)), уравнения сохранения энергии (5), системы уравнений химической кинетики ((4), (16), (17)) и физической кинетики ((6), (8)−(9)), расчет переносных свойств химически реагирующих газовых смесей ((28)−(32)) и решение уравнения переноса селективного теплового излучения (10). В силу значительной нелинейности всех решаемых уравнений, в пределах каждой обозначенной группы необходимо производить итерационные процессы (локальные или внутренние итерационные процессы) численного интегрирования. Для сходимости решения всей задачи в целом необходимо реализовывать
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 22 глобальные итерационные процессы между отдельными группами уравнений или между всеми уравнениями. (а) (б ) Рис. 1.3. Первая (а) и вторая (б) конфигурация расчетной сетки для двухмерного расчета КА Pathfinder и Exomars; x, y -- в см Рис. 1.4. Пример использования многосеточной технологии при расчете КА Pathfinder и Exomars: (а) сетка с удвоенным числом узлов по отношению к показанной на рис. 1.3б, (б) Фрагмент неоднородной расчетной сетки (рис. 1.3б) вблизи лобового щита КА
1.3. Алгоритм численного интегрирования систем уравнений 23 x, cm y, cm 0 500 1000 1500 -500 0 500 Grid#1 x, cm y, cm 0 500 1000 1500 -500 0 500 Grid#2 x, cm y, cm 0 500 1000 1500 -500 0 500 Grid#3 Рис. 1.5. Пример использования многосеточной технологии для расчета аэротермодинамики сегментально- конического космического аппарата (СККА). Показаны результаты двукратного измельчения сетки Как видно из представленной схемы, отличительной особенностью задач компьютерной аэрофизики от задач вычислительной механики ( в общепринятом понимании этого термина) является необходимость учета реальных свойств газов, элементарных физических и химических процессов. Такой учет может быть выполнен на разных уровнях детализации вычислительной процедуры. Один из наиболее широко распространенных подходов -- это использование баз данных термодинамических, кинетических и радиационных свойств среды. Однако по мере усложнения решаемых задач и повышения требований к достоверности получаемым результатам, возникает необходимость сопряжения компьютерных кодов расчета течения газа с компьютерными кодами расчета указанных выше свойств (в особенности, в условиях неравновесности процессов переноса энергии). В этом случае говорят об интегрированных моделях компьютерной аэрофизики. Частично такой подход реализован в данной работе, где в единый расчетный цикл включен программный код ASTEROID [18,19], в
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 24 котором производится расчет спектральных оптических свойств от первых принципов (ab-initio). Рис.1.6. Блок-схема тематических разделов аэрофизики излучающего газа Вычислительный код NERAT сопряжен с пятью локальными базами данных (в данном случае понятие локальной базы данных используется для того чтобы подчеркнуть, что они были сформированы из других более общих баз данных в виде опубликованных таблиц, электронных баз данных или библиотек программных модулей): 1) База данных термодинамических свойств индивидуальных веществ. Эта база данных включает таблицу аппроксимационных коэффициентов полного термодинамического потенциала (, in ϕ, 1, 2, ,8 i= K ) для расчета термодинамических свойств каждого n-го компонента (22)−(27). Эта локальная база данных основана на табличных данных [8], и использовалась для расчета энтальпии, удельной теплоемкости при постоянном давлении и констант химического равновесия при температурах в ударном слое менее 10000 К. 2) База данных химической кинетики. Эта база данных содержит аппроксимирующие коэффициенты констант скоростей прямых и обратных химических реакций, заимствованных из различных литературных источников (например, для атмосферы Марса − из работ [20−22]). 3) База данных параметров потенциалов межмолекулярного взаимодействия. Эта база данных используется для расчета свойств переноса многокомпонентных высокотемпературных смесей газов. В нее включены Химическая кинетика Термодинамические и переносные свойства Радиационный перенос Спектральные оптические свойства Физическая кинетика Механика сплошной среды Базы данных Базы данных Базы данных Базы данных
1.3. Алгоритм численного интегрирования систем уравнений 25 параметры потенциалов межмолекулярных взаимодействий i k ε иi σ, которые заимствовались из работы [15]. 4) База данных физической кинетики. Эта база данных содержит аппроксимационные коэффициенты для описания времен колебательной релаксации в форме, предложенной в работе [23], а также времен жизни возбужденных электронных состояний молекул. Времена колебательной релаксации молекул N2 и O2 рассчитывались также с использованием метода молекулярной динамики [24,25]. Заметим, что показанная в цитированных работах принципиальная возможность ab-initio расчетов релаксационных процессов и констант скоростей высокотемпературных химических реакций позволяет планировать в ближайшем будущем создание кинетических моделей (химической и физической кинетики) на основе ab-initio расчетов, исключив, тем самым, использование экстраполяции данных физических экспериментов. 5) База данных спектральных оптических свойств. Эта база данных формируется с использованием компьютерного кода ASTEROID [18,19], составные части которого, предназначенные для радиационно- газодинамических расчетов, включены в расчетный код NERAT [19]. Еще одной особенностью компьютерной аэрофизики неравновесных химически реагирующих газовых смесей является чувствительность решения задачи в целом от используемых данных по всем разделам решаемой задачи (переносные свойства, физическая и химическая кинетика, спектральные оптические свойства, топология и подробность расчетных сеток). Это объясняет то, что одной из актуальных задач компьютерной аэрофизики является исследование степени этого влияния и получение наиболее достоверных свойств. Далее будут рассмотрены две кинетические модели гетерогенных химических реакций на поверхности космического аппарата: модели некаталитической и псевдо-каталитической поверхности. В последнем случае концентрации химических компонентов на поверхности полагались равными концентрациям в набегающем потоке. В специальной литературе для указанной модели также используются термины абсолютно каталитической и сверх-каталитической поверхности. Рекомендуется в каждом конкретном случае уточнять специфику использования модели полной каталитичности. 1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе координат Для решения системы уравнений (1)−(6) воспользуемся методом расщепления по физическим процессам: расчеты на каждом временном слое будем проводить в два этапа. На первом этапе интегрируются уравнения неразрывности и движения, а на втором этапе − уравнение сохранения энергии, сохранения массы отдельных компонент и сохранения энергии в
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 26 колебательных модах. При необходимости организуются дополнительные внутренние итерации между указанными двумя этапами. Система уравнений Навье − Стокса (1)−(6) формулируется в произвольной криволинейной системе координат: ( ) ( ) ,, , xyx y == ξξ ηη , которая вводится для каждого блока расчетной сетки. Пример многоблочной сетки показан на Рис.1.1. Тогда (1)−(3) представим в следующем виде: vv t ∂∂ ∂∂∂ ++=++ ∂∂∂∂∂ EE fEF ξηξη, ( 3 5 ) 1u J ⎡⎤ ⎢⎥ =⎢⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ f ρ ρ ρv , 1 x y U uUp JUp ⎡⎤ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎢⎥ + ⎣⎦ E ρ ρξ ρξ v , 1 x y V uVp JVp ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ F ρ ρη ρη v , (36) 0 1 Rexxx yxy xxy yyy J ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =+ ⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ Ev ξτξ τ ξτξ τ , 0 1 Rexxx yxy xxy yyy J ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ =+ ⎢ ⎥ ⋅⎢ ⎥ + ⎣ ⎦ Fv ητη τ ητη τ , ( 3 7 ) 2 Re 2 Re xy yy yJ u yJ yJ yJ yJ yJ ⎡⎤ ⎢⎥ − ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ =− ⎢⎥ ⎢⎥ ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂ ⎢⎥ +− ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ ⎣⎦ ρ τρ α ξη µρ ξη v v vv v , ( 3 8 ) где , x yx y Uu Vu =+ =+ ξξη η vv , 2 2 3 xx xx uu UV J J JJ J y J ⎧⎫ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎪⎪ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =+ − + + ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎨⎬ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎪⎪ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎩⎭ ξη ξη ξη τµ α v, xy UV JJJ ∗∗ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ =+ ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ξ η τµ , 2 2 3 yy yy UV J J JJ J y J ⎧⎫ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎛⎞⎛⎞ ⎪⎪ ⎛⎞ ⎛⎞ =+ − + + ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎨⎬ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎪⎪ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎩⎭ ξη ξη ξη τµ α vv v, , y xy x Uu Vu ∗∗ =+ =+ ξξη η vv ; 0 = α для плоского случая, 1 = α для осесимметричного случая; () , xy = ξξ, () , xy = ηη − криволинейные координаты, однозначно связанные с исходной
1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе координат 27 декартовой системой координат; , , xxx yy y τ ττ − компоненты тензора вязких напряжений. Уравнения (31)−(37) записаны в безразмерном виде, 0 Re VL ∞∞ ∞ =ρ µ− число Рейнольдса, 0 L − характерный размер; индексом ∞ помечены величины в невозмущенном потоке. Однозначность преобразования систем координат гарантирует неравенство нулю Якобиана преобразования det xy xyy x xy J⎡⎤ == − ⎢⎥ ⎣⎦ ξξξηξ η ηη , где ,,, xyx y x yxy ∂∂∂ ∂ === = ∂∂∂∂ ξ ξηη ξξηη . Якобиан обратного преобразования 1detxx J xy yx yy −⎡⎤ == − ⎢⎥ ⎣⎦ ξηξηξ η ξη позволяет рассчитать площадь в физическом пространстве для ячейки, заданной в расчетной области (для двумерного случая). В преобразованиях систем координат весьма полезны соотношения: 1 1,, , , yyx x Jxxyy J JJJ J − = = =− =− = ξηξη η ξ η ξ. Уравнение сохранения энергии (5) преобразуется к виду p pp cTU TV T cc JtJ J ∂∂∂ ++= ∂∂∂ ρρρ ξ η ()() 22 22 11 Re Pr Re Pr xy xy TT JJ ⎡ ⎤⎡⎤ ++ ∂∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎢⎥ =++ ∂∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎢⎥ ⎣ ⎦⎣⎦ ξξ ηη λλ ξξ ηη ()() 11 Re Pr Re Pr xx yy xx yy TT JJ ⎡ ⎤⎡⎤ ++ ∂∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎢⎥ +++ ∂∂ ∂∂ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣⎦ ξη ξη ξη ξη λλ ξη ηξ 1 Re Pr V yyQ TT yJ J ⎛⎞ ∂∂ ++ + ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ λ αξ η ξη ( 3 9 ) где Pr p c∞ ∞ ∞ =µ λ − число Прандтля. Функция в правой части включает в себя следующие составляющие: p V rad ch vib QQ QQ QQ J JJJJJ =+ + ++ µ , где div rad R Qq =− − объемная мощность тепловыделения, обусловленная радиационными процессами; grad p Qp =V − объемная мощность
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 28 тепловыделения, обусловленная работой сил давления; Q = Φ µ µ − объемная мощность тепловыделения диссипативных процессов; , ch vib QQ − объемное тепловыделение, обусловленное химическими превращениями и процессами колебательной релаксации. Слагаемые p Q и Qµ представляются в виде: 2 p p Q V Up Vp J JJc T ∞ ∞ ∞ ⎛⎞ ∂∂ =+ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ξη, 2 2 22 yy xx Q uu J JJ JJ J ⎧ ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ ⎪ ⎛⎞⎛⎞ =+ + + + ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎨ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎪⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎩ µ ξη ξη ξη ξη µ vv 2 2 2 2 2 2 3 Rep UV UV J J J J yJ yJ V cT ξη ξη αα ∞ ∗∗ ∞ ∞ ⎫ ⎡⎤ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎪ ⎛⎞ ⎛⎞ ++−+ ++⋅ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎬ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠⎝⎠ ⎪ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎭ ⋅ vv 1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики Систему уравнений (35) для газодинамического этапа решения задачи представим в виде: VV t ∂∂ ∂∂ ∂ ++=++ ∂∂∂∂∂ EF EF f µµ ξηξη, ( 4 0 ) или pp UV t ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂ ++++=++ ∂∂∂∂∂∂∂ EF EF fffµµ ξξηηξη, ( 4 1 ) где 00 111 ,, px px yy upp JJJ p p ⎡⎤⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ === ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦⎣ ⎦ fEF ρ ρξη ρξη v . ( 4 2 ) Для численного интегрирования (41) используются конечно-разностная схема AUSM [7]. Далее рассмотрим построения расчетных соотношений. Воспользуемся конечно-разностной сеткой { } 1 , 1,2,..., ; , 1,2,..., ; , 0,1, 2, ... pp ji jN J iN I t t p + == = = − = ϖξ η τ (43) и уравнение (41) проинтегрируем по площади заштрихованной ячейки (Рис.1.7).
1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики 29 Рис.1.7. Расчетная ячейка Воспользуемся следующей аппроксимацией производных конвективных потоков через выделенную ячейку: ,1 2,1 2 12 12 ij ij jj U +− +− − ∂= ∂− SS fξξ ξξξ, ( 4 4 ) 12, 12, 12 12 ij ij ii V+− +− − ∂= ∂− SS fηη ηηη, ( 4 5 ) где ()() ,12 ,12 ,12 ,12 ,12 ,, 1 11 22 UU UU ij ij ij ij ij ij ij aJ aJ MMu a JMMu a J aJ aJ ++ + + + + ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ +− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ S vv ξ ρρ ρρ ρρ (46) ()() ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 , 11 22 UU UU ij ij ij ij ij ij ij aJ aJ M Mu a JM Mu a J aJ aJ −− − − − − ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ +− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ S vv ξ ρρ ρρ ρρ (47) ()() 12, 12, 12, 12, 12, ,1 , 11 22 VV VV ij ijij ij ij ij ij aJ aJ MMu a JMMu a J vaJ vaJ ++ + + + + ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ +− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ Sη ρρ ρρ ρρ (48) ()() 12, 12, 12, 12, 12, 1, , 11 22 VV VV ij ijij ij ij ij i j aJ aJ M Mu a JM Mu a J aJ aJ −− − − − − ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ +− ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ S vv η ρρ ρρ ρρ (49) () () ,1 2 ,1 2 ,1 2 UUU ij ij ij LR MMM +− +++ =+, ( 5 0 )
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 30 ()() () 2 ,, ,1 2 ,, , 1 1, при 1, 41 , при 1; 2 UU ij ij U ijL UU U ij ij ij MM M MM M + + ⎧+≤ ⎪⎪ =⎨⎪ +> ⎪⎩ () () () 2 ,1 ,1 ,1 2 ,1 ,1 ,1 1 1, при 1, 4 1 , при 1; 2 UU ij ij U ijR UU U ij ij ij MM M MM M ++ − + ++ + ⎧−− ≤ ⎪⎪ =⎨⎪ −> ⎪⎩ () () ,1 2 ,1 2 ,1 2 UUU ij ij ij LR MMM +− −− − =+, ( 5 1 ) ()() () 2 ,1 ,1 ,1 2 ,1 ,1 ,1 1 1, при 1, 41 , при 1; 2 UU ij ij U ijL UU U ij ij ij MM M MM M −− + − −− − ⎧+≤ ⎪⎪ =⎨⎪ +> ⎪⎩ () () () 2 ,, ,1 2 ,, , 1 1, при 1, 4 1 , при 1; 2 UU ij ij U ijR UU U ij ij ij MM M MM M − − ⎧−− ≤ ⎪⎪ =⎨⎪ −> ⎪⎩ ,, ,, ,, , ij ij U ij ij ij ij Up Ma a == γρ. ( 5 2 ) Конечно-разностные формулы для 12, 12, , ,, V ijij i j M +− SS ηη записываются аналогично. Аппроксимация производных потоков импульса обусловленного действием давления используется в виде ,, ,1 2,1 2 12 12 pp ij ij p jj +− +− − ∂= ∂− SS E ξξ ξξξ, ( 5 3 ) ,, 12, 12, 12 12 pp ij ij p ii +− +− − ∂= ∂− SS F ηη ηηη, ( 5 4 ) , ,1 2 ,, 1 00 p ij Lx Rx yy ij ij pJpJ JJ +− + + ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ Sξ ξξ ξξ , ( 5 5 ) () ,, , ,, ,, , 11, при 1, 2 1 , при 1; 2 UU ij ij ij UU L ij ij U ij ij U ij pM M p MM pM M +⎧ +≤ ⎪⎪ =⎨ + ⎪ > ⎪⎩
1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики 31 () ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 11, при 1, 2 1 , при 1; 2 UU ij ij ij UU R ij ij U ij ij U ij pM M p MM pM M ++ + − ++ ++ + ⎧−≤ ⎪⎪ =⎨ − ⎪ > ⎪⎩ , ,1 2 1, , 00 p ij Lx Rx yy ij i j pJp J J J +− − − ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ Sξ ξξ ξξ , ( 5 6 ) () ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 11, при 1, 2 1 , при 1; 2 UU ij ij ij UU L ij ij U ij ij U ij pM M p MM pM M −− − + −− −− − ⎧+≤ ⎪⎪ =⎨ + ⎪ > ⎪⎩ () ,, , ,, ,, , 11, при 1, 2 1 , при 1. 2 UU ij ij ij UU R ij ij U ij ij U ij pM M p MM pM M −⎧ −≤ ⎪⎪ =⎨ − ⎪ > ⎪⎩ Важным элементом вычислительной схемы является способ расчета скорости звука, по которой определяется число Маха в разложениях вида (46)−(56). Приведенные ниже соотношения позволяют несколько сгладить решения на сильных разрывах ,1 2 (1) ,1 2 ,1 2 ij ij ij p a + + + =γρ , ( 5 7 ) где () ,1 2 , ,1 1 2 ij ij ij pp p ++ =+, () ,1 2 , ,1 1 2 ij ij ij ++ =+ ρρ ρ ( 5 8 ) или () (2) ,1 2 , ,1 1 2 ij ij ij aa a ++ =+. ( 5 9 ) Однако принципиального изменения получаемых численных решений как правило не наблюдается. 1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии За основу возьмем уравнение сохранения энергии в следующем виде: 1 ppp T TU TV T ccc R JtJ J ∂∂∂ ++= ∂∂∂ ρρρ ξη , ( 6 0 ) где T R включает все слагаемые в правой части (39). Как уже отмечалось, в рассматриваемом случае уравнение сохранения энергии интегрируется в неконсервативном виде. Имея в виду возможность
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 32 использования излагаемого алгоритма для задач сильного радиационно- конвективного взаимодействия, для численного интегрирования (60) построена неявная конечно-разностная схема. Конечно-разностное соотношение получим для расчетной ячейки, показанной на Рис.1.7. Ее объем равен: () () 12 12 12 12 ,1 2 1 2 1 2 1 2 dd ji ji ij j j i i ij Vol pq ++ −− +−+− == − − = ∫∫ ξη ξη ξηξξηη . ( 6 1 ) Тогда использование интегро-интерполяционного метода [3] дает: 12 12 12 12 dd ji ji p cT I J ++ −− ⎧⎫ ∂ == ⎨⎬ ∂ ⎩⎭ ∫∫ ξη ξξη ρξη ξ 12 12 , ,1 2 ,1 2 d j j pp p ii i j ij ij cUT cUT cU pp T JJ J + − +− ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ∂ =− − ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ ∫ξ ξ ρρ ρ ξ ξ или ,, 1 , 1 , pppp iR R L L ij ij ij ij cccc I p bTbTbTbT JJJJ +−+− +− ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ =+ − − − ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ ξ ρρρρ , ,, 1 , 1 , pppp iij R R L L ij ij ij ij cccc pTb b b b JJJJ +−+− +− ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞ −+ − − = ⎢⎥ ⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎣⎦ ρρρρ ,, 1 , 1 ,1 ,1 ,1 ,1 pp p p ii jL R i jR i jL ij ij ij ij cc cc pTb b Tb Tb JJJJ +− − + +− −+ + − ⎧⎫ ⎡⎤ ⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎪⎪ =− + − ⎢⎥ ⎨⎬ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎪⎪ ⎣⎦ ⎩⎭ ρρρρ , где () ,1 2,1 2 1 2 Ri ji j bUU ± ++ =±, () ,1 2,1 2 1 2 Li ji j bUU ± −− =±, () ,1 2 , ,1 1 2 ij ij ij UU U ±± =+. Интегрирование в направлении η производится аналогично. В итоге получается 5-ти точечная конечно-разностная схема: 11111 ,1 , ,1 , ,, 1,, 1,, ,0 nnnnn iji j iji j ijij ijij ijij ij ATBTATBTCTF +++++ −+ −+ +++−+ = , ( 6 2 ) где ( )1, , Lpij h ij ii i ac Ja A p pp + − − − =+ ρ ,()1, , Rpij h ij ii i ac Ja B p pp − + + + =− + ρ , ( ),1 , Lpij h ij j jj bc Jb A qq q + − − − =+ ρ ,(),1 , Rpij h ij j jj bc Jb B qq q − + + + =− + ρ ,
1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии 33 ,,,,, , 1 p ijijijijij ij c CABAB J ⎛⎞ =++++ ⎜⎟ ⎝⎠ ρ τ, () 12, 12, 1 2 R ij ij aVV ± ++ =±, () 12, 12, 1 2 Li j i j aVV ± −− =±, () ,1 2 , 1 , 1 2 ij ij ij VV V ±± =+, ,, , , ,, , , , , , , , , , , n pij ij ij ij ijpijijx yij ij ij cT FQ Q Q Q Q JT Σ ∞ =+ + + + + µα ρ τ , () 5 ,, ,, ,, 1 Re ij ij k ij ij k J QQ = =∑ µµ µ , () 2 , ,1,1 , ,1,1 ,1 ,1 , ,1 ,1 , 1,, ,1 ,1 1 , 1 , 11 2 22 xij ij xij ij xijij xijij ij ij ij j ij ij i uu uu Q J Jq JJp ++ −− ++ −− +− +− ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ =−+ − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ µξξηη, () 2 , ,1,1 , ,1,1 ,1 ,1 , ,1 ,1 , 2,, ,1 ,1 1, 1, 11 2 22 yij ij yij ij yijij yijij ij ij ij j ij ij i Q J Jq JJp ++ −− ++ −− +− +− ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ =−+ − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ µξξηη vv vv, () 2 , 3,, ,, 2ij ij ij ij Q yJ ⎛⎞ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ µ αv , () 2 ,1 ,1 1 , 1 , 4,, ,1 ,1 1, 1, 11 22 ij ij ij ij ij ij ij jijiji UU VV QJ Jq JJp ∗∗ ∗∗ +− +− +− +− ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ =−+ − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ µ , () 2 ,1 ,1 1, 1, , 5,, ,1 ,1 1 , 1 , ,, 211 322 ij ij ij ij ij ij ij ij jijiji ij ij UU VV Q JJq JJ py J +− +− +− +− ⎡ ⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ =− − + − + ⎢ ⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢ ⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣ ⎦ µ αv , ,1 ,1 1 , 1 , 0 ,, , , , 22 ij ij ij ij pij ij ij ji i j p ppppL QU V qp J V c T +− +− ∞∞∞ ∞ ⎛⎞ −− =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ρ , ()() 11 1111,1 ,1 1 , 1 , 1,1 1,1 1,1 1,1 ,, , 2 44 ss ssssij ij ij ij ijijijij x yij ij ij ij kkTT TTTT Qk pq pq ++ ++++ +− +− ++ −− −+ +− −− −++ =+ + ()() 11 1, 1, ,1 ,1 4 ss ijiji ji j ij kkTT pq ++ +− +− −− + ,()() 11 11 ,, ,1 ,1 ,, 1, 1, , ,, ,, 1 Re Pr 2 2 ss ss yij ij ij yijijij ij ij ij ij j i TT TT Q yJ q p ++ ++ +− +− ⎡⎤ −− ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ α ξη λ α ,
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 34 () ,, , , Re Pr xx yy ij ij ij ij k J + = ξηξη λ , () ,, ,1, 1 2 hh i j h i j aa a ± ± =+, () ,, ,,1 1 2 hh i j h i j bbb ± ± =+, () 22 ,, , Re Pr xy ij ij h ij a J + = ηη λ ,() 22 ,, , Re Pr xy ij ij h ij b J + =ξξ λ , 1 iii p+ + =− ηη, 1 iii p− − =− ηη, 1 jjj q+ + = − ξξ, 1 jjj q− − =− ξξ, 0 ,, ,, rad ch vib ij pi j QQQ L Q JV c T J Σ ∞∞ ∞∞ ⎛⎞ ++ ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ρ . 1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках с использованием схемы AUSM Главной задачей данного раздела является обсуждение алгоритма построения схемы AUSM, основанного на главной идее схемы Годунова о целесообразности решения задачи о распаде произвольного разрыва. Указанная задача решается на примере численного интегрирования двумерных уравнений Навье-Стокса на треугольных неструктурированных сетках. При расчетах используется как первый, так и второй порядок точности пространственной аппроксимации. При вычислении потоков на границах ячеек используется решение задачи распада разрыва по схеме AUSM. Проводится сравнение решения, полученного с использованием данного подхода с результатами, полученными при решении задачи о распаде разрыва методом Годунова. Пример другого подхода к использованию неструктурированных сеток можно найти в [24]. В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о течении вязкого теплопроводного газа в плоском канале, для чего воспользуемся уравнениями Навье − Стокса, имеющими вид: div div t ∂+= ∂ wFG, ( 6 3 ) u E ρ ρ ρ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ v w , 2 2 () () u upu up uEp Ep ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎜⎟ ⎜⎟ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎝⎠ ⎝⎠ i j ρρ ρρ ρρ v v vv v F ,
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 35 0 0 xy xx yy yx yx yy xx yx T Tuv uv y x ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟∂ ∂⎜⎟ ⎜⎟ ++ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ∂ ⎝⎠ ⎝⎠ i j τ τ τ τ ττλ ττλ G , 42 33 42 33 uu xyy x uu yx yx µ ∂∂∂ ∂ ⎛⎞ −+ ⎜⎟ ∂∂∂ ∂ ⎜⎟ =∂∂∂∂ ⎜⎟ +− ⎜⎟ ∂∂∂∂ ⎝⎠ vv vv, где w -- столбец консервативных переменных, F -- вектор конвективного потока, G -- вектор вязкого потока, ρ -- плотность, p -- давление, u, v -- компоненты вектора скорости, E -- полная энергия в единице объема, T -- температура, -- тензор вязких напряжений, µ -- коэффициент вязкости, λ -- коэффициент теплопроводности. Система (63) замыкается уравнением состояния идеального газа: ()() () 22 1 11 2 pUE u γγρ ⎡⎤ =− =− −+ ⎢⎥ ⎣⎦ v. ( 6 4 ) Здесь: U -- внутренняя энергия в единице объема, ;, pp cc cc γ= vv -- удельные теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно. В данном разделе температурная зависимость термодинамических величин не учитывалась. В соответствии с идеологией метода контрольного объема вся расчетная область разбивается на конечное число непересекающихся элементов, в данном случае -- треугольников. Уравнения (63) можно записать относительно компонент векторных величин F и G: () ()0 fw gw w txy ∂∂ ∂ ++= ∂∂∂, ( 6 5 ) где w -- любая из строк вектора-столбца консервативных переменных, f, g -- проекции соответствующих компонент вектора − F Gнаосиxиy. Проинтегрируем уравнение (65) по i-му треугольнику ABC (см. рис.1.9): () ()()() 1 i AB BC CA i wt qtqtqt tS ∂=− + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∂ , ( 6 6 )
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 36 где Si -- площадь треугольника ABC, i w -- осредненное по треугольнику значение w, () ( ) dd AB AB qt fyg x =− ∫ -- поток через грань треугольника. Явная численная схема для треугольника ABC запишется очевидным образом: () () 1 () () pp p p i i abba abba i wwf wy yg w x x S τ + ⎡ =− −− −+ ⎣ ()()()() ()()()() pppp bc cb bc cb ca a c ca a c f wyyg wxx f wyy g wxx ⎤ +− −− +− −− ⎦. где ,, ab bc ca www -- значения консервативных переменных, вычисленные в середине отрезков AB, ВС, СА соответственно, τ -- временной шаг, p и p+1-- индексы временных слоев. Таким образом, для определения приращения консервативных переменных w нужно определить ab w , то есть фактически рассчитать потоки массы, импульса и энергии через грани треугольника. Для этого, в соответствии с идеей С.К.Годунова [25,26], используется автомодельное решение задачи распада разрыва (задача Римана) на границе между двумя соседними треугольниками. При этом решается одномерная задача Римана, входными параметрами для которой служат проекции скоростей на нормаль к грани, в то время как касательные скорости переносятся непосредственно на грань с той стороны, откуда течет поток. В ряде расчетов, проведенных в данном разделе, использовался первый порядок пространственной аппроксимации. То есть при вычислении потоков на грани считалось, что значение консервативных переменных внутри ячейки постоянно и равно значению в центре ячейки. Для получения более высокого порядка точности численного решения значения переменных можно аппроксимировать линейными, квадратичными и т.д. зависимостями (в вычислительной механике используется термин «восстановление» значений переменных с более высоким порядком точности). Однако при этом для сохранения монотонности численной схемы необходимо использовать ограничители задаваемого распределения. Один из возможных вариантов такой процедуры восстановления параметров подробно описан в [33]. Его суть состоит в ограничении наклонов линейного распределения параметров в ячейке, исходя из средних значений параметров в соседних ячейках. Пусть в ячейке с центром в точке 00 (,) xy параметр f распределен линейно: 000 () () ffa x xb yy =+−+−,
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 37 где 0f соответствует значению в центре ячейки. Коэффициенты наклона этой плоскости a и b можно определить из системы линейных уравнений: 2 00 0 0 0 2 00 0 00 () () ( )() () , () ()()() () . ii i i i i iii i ax xbx xyy ffx x axxyybyy ffyy ⎧ −+− − =− − ⎪⎨ −− +− =−− ⎪⎩∑∑ ∑ ∑∑ ∑ Здесь суммирование ведется по всем соседним ячейкам. Теперь для расчета значений в центрах граней ячеек cf введем ограничитель наклона плоскости α:[ ] 00 0 () () cf fa x x b y y α =+ −+− . В качестве ограничителя наклона плоскости c α выбирается минимальное из значений коэффициента ограничения на каждой грани: min( )i α α = , 00 0 0 00 0 0 0 max(,) min 1, , ; min(,) min 1, , ; 1, . c c c c cc c c fffff ff fffff ff ff α ⎧⎛⎞ − > ⎪⎜⎟ − ⎝⎠ ⎪⎪ ⎛⎞ − ⎪ =< ⎨⎜⎟ − ⎝⎠ ⎪⎪ = ⎪⎪⎩ 1.7.1. Вычисление градиентов Для расчета вязких слагаемых в (63) необходимо вычислить производные скорости и температуры по пространству в центрах граней ячеек. Для этой цели обычно используют усреднение производной по некоторому контрольному объему. Такая схема является достаточно стабильной. Тем не менее, она обладает рядом недостатков, один из которых -- трудоемкость реализации применительно к граничным ячейкам. В связи с этим в данном разделе использовался другой подход к вычислению производных, более экономичный с точки зрения реализации и, возможно, вычислительных затрат. В пространстве (, , ) x yF в окрестности точки Q проводится плоскость () () , qq Pab xxc yy =+ − + − параметры b и c которой являются искомыми производными и определяются из системы уравнений:
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 38 2 2 , , . ii ii i i i ii ii iii iii ii iii ii iii ab x c yF axbx cx yx F ay bx ycy y F ξξξξ ξ ξξξ ξ ξξξ ⎧ ++= ⎪ ++= ⎨⎪ ++ = ⎩ ∑∑∑∑ ∑∑∑ ∑ ∑∑ ∑∑ ( 6 7 ) Здесь: xi и yi -- координаты центра i-ой ячейки относительно точки Q. Суммирование в (67) ведется по всем ячейкам, содержащим одну или обе вершины грани, на которой лежит точка Q. Коэффициент iξ учитывает вклад ячейки в зависимости от расстояния от ее центра для точки Q, обеспечивая монотонность схемы. В данной работе этот коэффициент определялся выражением 44 1/( ) ii i xy ξ=+ . Отметим, что при использовании такой схемы нет необходимости в использовании фиктивных ячеек. 1.7.2. Аппроксимация по времени Система уравнений (66) представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В данной работе она интегрируется с помощью двухшагового метода Рунге − Кутта: () (1) (0) (0) wwt R w =+ ∆, () () (2) (0) (1) (1) 1 22 t ww wR w ∆ =+ +, где R -- правая часть системы (66). Шаг по времени t ∆ выбирается следующим образом: () 2 min min CFL min , max max 2 max ii iii i iii hh t cv ⎛⎞ ⎜⎟ ∆= ⎜⎟ + ⎝⎠ µρ, где i -- номер ячейки, сi -- скорость звука в i-й ячейке, hi min -- минимальное расстояние между центром ячейки и ее гранями, CFL -- число Куранта- Фриндрихса-Леви, CFL<1. В расчетах, представленных ниже, число CFL составляло 0,5. Основная проблема, возникающая при решении газодинамических уравнений -- это устойчивость численной схемы. Для того чтобы схема была устойчивой, она должна быть построена «против потока». То есть на этапе построения схемы необходимо определить, в каких направлениях каждая из анализируемых групп волн распространяется по расчетной сетке. Для этого необходимо иметь физическую модель взаимодействия расчетных ячеек. На данный момент существует две модели такого взаимодействия. В первой модели взаимодействие осуществляется посредством дискретных волн, получаемых с помощью точного или приближенного
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 39 решения задачи о распаде произвольного разрыва, заданного на границе между ячейками (задача Римана). К схемам такого типа относятся схемы Годунова [25,26], Ошера [34], Роу [35]. Во второй модели взаимодействие между ячейками осуществляется через группы частиц, перемещающихся между ячейками и имеющими заданное распределение скоростей. Численные методы для различения групп частиц, движущихся «вперед» и «назад», называются методами расщепления потока. К схемам такого типа относятся схемы Ван-Лира [36], Лиу и Стефана [28]. Группа схем типа [28] получила название AUSM (Advection Upstream Splitting Method). Как уже было отмечено, итерационная процедура, позволяющая получить «точное» решение задачи Римана является достаточно трудоемкой как с точки зрения вычислительных затрат, так и в плане технической реализации. В связи с этим, для расчета параметров на границе ячеек применялась вторая модель, в частности, использовалась схема AUSM. Дополнительным преимуществом использования этой модели является возможность сравнительно просто построить неявную схему решения системы уравнений (65). На данный момент разработано множество модификаций AUSM [28,37- 43]. Первоначально метод был предложен Лио и Стефаном [28] для расчета типичных аэродинамических задач и усовершенствован в работах [37,38] с целью повышения точности метода. Позже метод был обобщен на все скоростные режимы и на многофазные течения [39-41]. Также были предложены модификации этих обобщений [42,43]. В данной работе в качестве основного метода расщепления потоков использовался простой вариант, предложенный в [28]. В этом методе расщепление проводится отдельно по числу Маха (с аппроксимацией полиномом второго порядка) и давлению (с аппроксимацией полиномом третьего порядка). Также для сравнения проводились расчеты с использованием расщепления AUSM+ [42,43], в котором аппроксимация числа Маха осуществлялась полиномом четвертого, а давления -- пятого порядка. Как отмечалось выше, для определения параметров на границе ячеек достаточно решить одномерную задачу Римана. Поэтому в качестве исходной задачи возьмем одномерные уравнения Эйлера: 0 wF tx ∂∂ += ∂∂, u E ρ ρ ⎛⎞ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ w , 2 () u up uEp ρ ρ ⎛⎞ ⎜⎟ =+ ⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ F . (68) Первым шагом на пути к построению схемы AUSM является отделение двух физически независимых процессов: распространения конвективных и акустических волн:
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 40 CP FFF =+, () C c FMu c Epc ρ ρ ⎛⎞ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ , 0 0 P Fp ⎛⎞ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠. ( 6 9 ) Здесь c -- скорость звука, M -- число Маха. Конвективный поток Fc выражен через конвективное число Маха M и столбец «пассивных» величин. Они получили такое название, поскольку «сносятся» через границы ячейки в зависимости от скорости потока. Акустический поток Fp содержит только одну величину -- давление. Рассмотрим конвективный поток Fc. Обозначим индексом «L» величины внутри ячейки слева, индексом «R» величины внутри ячейки справа, а индексом «1/2» величины на границе этих ячеек. Конвективный поток на границе ячеек запишем в виде: 1/2 1/2 / () C LR c FMu c Ep c ρ ρ ⎛⎞ ⎜⎟ =⎜⎟ ⎜⎟ + ⎝⎠ . Основная идея подхода AUSM заключается в том, что все расщепление потоков производится за счет числа 1/ 2 M , в то время как «пассивные» величины переносятся из той ячейки, откуда направлен поток: 1/2 / 1/2 ,0 ,0 L LR RfM ffM ≥ ⎧ =⎨ < ⎩ . Теперь вся задача состоит в том, чтобы правильно представить число Маха 1/2 M . Эта проблема является определяющей для развития всего семейства схем AUSM. Далее будем придерживаться логики схемы AUSM [28]. Число 1/ 2 M будем расщеплять на вклад «слева» Lf + и «справа» Rf − : 1/2 L R Mff +− =+. ( 7 0 ) Будем искать функции () LfM + и() RfM − , удовлетворяющие следующим критериям: 1а. LR ffM +− +=; 2а. 0 Lf+≥и 0 Rf−≤ ; 3а. функции () LfM + и() RfM − должны быть непрерывны и монотонно возрастающие; 4а. функции () LfM + и() RfM − должны быть непрерывно дифференцируемы.
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 41 5а. () () LR fM fM +− =− −; 6а. LfM +=при1 M≥иRfM − =при1 M≤; Физический смысл критериев (1а) -- (2а) очевиден. Критерий (3а) обеспечивает выполнение неравенств 1 Lf+< и 1 Rf− >− при 1 M<. Выполнение этих неравенств является необходимым, так как в противном случае волны будут распространяться только в направлении потока даже при дозвуковой скорости. Критерий (4а) обеспечивает гладкость полученного решения. Критерий (5а) обеспечивает симметричность расщепления. Критерий (6а) соответствует стандартной противопоточной схеме, обеспечивая распространение сверхзвуковых волн только в направлении потока. Из критерия (6а) следует, что искомая функция записывается в виде: () 1 ,1 2() ,1 MMM fgMM ⎧±≥ ⎪ =⎨⎪ < ⎩ . Функцию расщепления g(M) будем искать в виде полинома наименьшей степени из возможных полиномов. Полином первого порядка: ga Mb =+ ; (1) 0 , (1) 1; L L g g + + ⎧−= ⎨= ⎩ (1) 1 , (1) 0; R R g g − − ⎧−= ⎨= ⎩ () 11 2 gM ±=± . Отсюда согласно (70) число Маха на границе ячеек в дозвуковом случае равно: () () 1/2 1 11 2LR MMM =+ + − ⎡⎤ ⎣⎦ . Полученное выражение соответствует простому усреднению числа Маха. Заметим, что здесь неявно используются собственные значения системы (68), соответствующие распространению нелинейных волн: 1 M λ=± . Использование собственных функций в качестве базиса для расщепления потока является обычной практикой для противопоточных методов. График всей функции f приведен на рис. 1.8. В точках 1 M = функция f не дифференцируема, поэтому, чтобы удовлетворить критерию (4а), будем искать решение в виде полинома второго порядка.
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 42 Рис. 1.8. Зависимость функции расщепления f ± от числа Маха: 1 -- линейная зависимость, 2 -- параболическая зависимость, 3 -- полином 4-го порядка Полином второго порядка. Применяя критерии (4а) и (6а) для получения условий на производные в точках 1 M=± ,имеем: 2 ga Mb Mc =+ + ; (1) 0 , (1) 1, (1) 0 , (1) 1, L L L L g g g g + + + + ⎧−= ⎪ = ⎪⎨′− = ⎪⎪ ′= ⎩ , (1) 1 , (1) 0, (1) 1 , (1) 0; R R R R g g g g − − − − ⎧−= ⎪= ⎪⎨′− = ⎪⎪ ′= ⎩ 22 111 111 , 424 424 LR gMMgMM +− =+ += −+ − ; или: () 2 11 4 gM ±=± ±. Таким образом, полная функция f запишется в виде: () () 2 1 ,1 21 1, 1 4 MM если M f M если M ±⎧± > ⎪⎪ = ⎨⎪±± ≤ ⎪⎩ , ( 7 1 ) что удовлетворяет всем заданным выше критериям.
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 43 Такое расщепление было предложено ван-Лиром [36]. В работе [37] предложена аппроксимация более высокого порядка, также удовлетворяющая указанным критериям: () ()() 2 2 2 1 ,1 2 11 11 ,1 48 MM если M f MMесли M ±⎧ ±> ⎪⎪ = ⎨⎪±± ±− ≤ ⎪⎩ . ( 7 2 ) Графики соответствующих функций приведены на рис.1.8. Перейдем к расщеплению давления. По аналогии с числом Маха, число 1/2 p будем расщеплять на вклад «слева» L ϕ+ и «справа» R ϕ−: 1/2 L R pϕϕ +− =+. ( 7 3 ) Будем искать функции () LM ϕ+ и() RM ϕ− , удовлетворяющие следующим критериям: 1б. LRp ϕϕ +− +=; 2б. 0 ϕ±≥ ; 3б. функция () LM ϕ+ должна быть непрерывна и монотонно возрастать, а () RM ϕ− -- убывать; 4б. функции () LM ϕ+ и() RM ϕ− должны быть непрерывно дифференцируемы. 5б. ()() LR M M ϕϕ +− =−; 6б. Lp ϕ+= при 1 M≥иRfp − =при1 M≤; Смысл критериев для расщепления давления аналогичен смыслу критериев для числа Маха. Отличие состоит в физическом ограничении на давление, которое должно быть неотрицательной величиной. Это отличие приводит к соответствующим изменениям в критериях (2б), (3б), (5б), (6б). Из критерия (6б) следует, что искомая функция записывается в виде: () 1( ) ,1 2() ,1 p signM M pMM ϕ γ ⎧±≥ ⎪ =⎨⎪ < ⎩ . Функцию расщепления g(M) будем искать в виде полинома наименьшей степени из возможных. Полином первого порядка не подходит по тем же причинам, что и полином для числа Маха.
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 44 Полином второго порядка. Применяя критерии (4б) и (6б) для получения условий на производные в точках 1 M=± ,имеем: 2 aMbMc γ=+ + ; (1) 0 (1) 1 (1) 0 (1) 0 L L L L γ γ γ γ + + + + ⎧−= ⎪ = ⎪⎨′− = ⎪⎪ ′= ⎩ , (1) 1 (1) 0 (1) 0 (1) 0 R R R R γ γ γ γ − − − − ⎧−= ⎪= ⎪⎨′− = ⎪⎪ ′= ⎩ . Полученная система является несовместной, поэтому полином второго порядка для расщепления давления не подходит. Полином третьего порядка: 32 aMbMcMd γ =++ + ; (1) 0 (1) 1 (1) 0 (1) 0 L L L L γ γ γ γ + + + + ⎧−= ⎪ = ⎪⎨′− = ⎪⎪ ′= ⎩ , (1) 1 (1) 0 (1) 0 (1) 0 R R R R γ γ γ γ − − − − ⎧−= ⎪= ⎪⎨′− = ⎪⎪ ′= ⎩ ; 33 131 131 , 442 442 LR MM MM γγ +− =− ++ = −+; или: () () 2 112 4M M γ±=±m . Таким образом, полную функцию ϕ можно записать в виде: () () () 2 /, 1 , 2 12, 1 . 4 p MMMесли M pMM если M ±⎧ ±> ⎪⎪ =⎨⎪ ± ≤ ⎪⎩ m ϕ . ( 7 4 ) Аппроксимация более высоким порядком, предложенная в работе [37]: () () () () 2 2 2 /, 1 , 2 3 12 1, 1 . 41 6 p MMMесли M pp MM M M если M ±⎧ ±> ⎪⎪ =⎨⎪ ± ±−≤ ⎪⎩ m ϕ (75)
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 45 Рис. 1.9. Зависимость функции расщепления ϕ ± от числа Маха: 1 -- линейная зависимость, 2 -- полином 3-го порядка, 3 -- полином 5-го порядка Графики соответствующих функций приведены на рис.1.9. В работе [37] показано, что аппроксимация высоким порядком (72),(75) приводит к устранению колебаний на фронте ударной волны, присущих решению с низким порядком аппроксимации (71),(74). Впрочем, при практической реализации данного метода в коде NERAT этого не замечено. Рассмотрим некоторые результаты численных методических экспериментов. В качестве рабочего варианта AUSM использовалось расщепление по формулам (71),(74). Для оценки эффективности этого алгоритма проводилось сравнение с «точным» решением, полученным с помощью итерационной процедуры Годунова. Сравнение проводилось на отдельной тестовой задаче (течение в канале с сегментарным утолщением), в которой не учитывались диссипативные слагаемые. В результате вычислительные эксперименты показали, что скорость расчета при использовании AUSM вырастает более чем в два раза по сравнению с алгоритмом Годунова. Для сравнения алгоритмов производился анализ невязки R полной энергии E, определяемой по формуле: () () ,2 ,1 ,2 ,1 ln max /( 1) ii ii i RE E E E =− + + , где ,1 i Eи,2 i E -- величины полной энергии в ячейке i на предыдущем и на текущем шаге по времени соответственно. Графики невязки для обоих алгоритмов показаны на рис.1.10. Здесь метод Годунова выходит на константу вследствие ограничения по точности, до которой сходится итерационная процедура [26]. На графике хорошо видно, что AUSM дает более гладкую невязку.
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 46 Рис. 1.10. График невязки при решении задачи Римана: черный -- AUSM, серый -- алгоритм Годунова В качестве сравнения решений на рис. 1.11 представлены профили давления на верхнюю и нижнюю стенки канала, полученные двумя алгоритмами. Отличия между схемами хорошо заметны только вблизи локальных максимумов. Также из рисунка видно, что схема Годунова дает более гладкое решение -- без осцилляций, заметных у AUSM. Однако в целом решения, полученные двумя алгоритмами, совпадают с достаточно хорошей точностью. Это позволяет считать схему AUSM более предпочтительной для практического решения рассматриваемой задачи. Рис.1.11. Давление на стенках: черный -- AUSM, серый -- алгоритм Годунова Также проводилось сравнение с вариантом расщепления по формулам высокого порядка (формулы (72),(75)). Расчеты с использованием полиномов более высокого порядка показали близость результатов, причем повышение порядка не привело к уменьшению осцилляций. Таким образом, в данной задаче нет необходимости в использовании полиномов более высокой степени.
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 47 1.7.3. Результаты методических расчетов Задача 1. Невязкое течение в канале с сегментарным утолщением. Рассматривается задача течения невязкого совершенного газа в канале с 10%-ым утолщением сегментарной формы [44]. Входной поток направлен параллельно стенкам канала. Использовалась однородная сетка из 10582 треугольников ( рис.1.12). Для сравнения использовались результаты расчетов, полученные при помощи пакета FLUENT (версия 6.2.16) [48], а также расчет на структурированной сетке со сгущением вблизи границы, выполненный в [49]. На рис. 1.13 представлено распределение числа Маха по расчетной области при числе Маха на входе в канал 0 1.6 M= . Структура течения и количественные характеристики практически точно соответствуют приведенным работе [44]. Тем не менее, хорошо заметны колебания изолиний особенно в окрестности ударных волн, что является типичным для решений, полученных на неструктурированных сетках. Рис.1.12. Расчетная сетка Рис.1.13. Распределение числа Маха по расчетной области. Число Маха на входе 1.6
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 48 Рис.1.14. Число Маха на стенках: темные точки -- FLUENT, светлые точки -- [44], сплошная линия -- расчеты данной работы. Число Маха на входе M = 1.6 На рис.1.14 представлено сравнение числа Маха на верхней и нижней стенках, полученного в данной работе с решением из [44], а также показано решение, полученное на той же неструктурированной сетке с помощью пакета FLUENT. Видно, что в целом результаты расчетов оказались достаточно близки. Расхождение в точке 2.0 x = см можно объяснить различием в подробности расчетной сетки вблизи границы. Отметим также, что результаты, полученные с помощью пакета FLUENT, оказались более близкими к расчетам, проведенным в данной работе, чем в [44], что вероятнее всего объясняется различием топологии и качества сеток. Задача 2. Вязкое течение в канале. В данной задаче рассматривалось течение вязкого газа в канале шириной 3,11 см. Расчеты проводились на двух типах сеток: на обычной неструктурированной сетке (рис.15а) и на « квазиструктурированной» (рис.15,б). «Квазиструктурированной» сеткой здесь будем называть неструктурированную сетку, полученную из двух сеток: структурированной сетки вблизи границы и неструктурированной -- вдали от границы расчетной области. Стенки канала начинаются на расстоянии 1 см справа от входа в расчетную область (рис.1.16). Условия в потоке на входе в канал: давление P = 78.37 Па, температура T = 245 K, число Маха M = 5. На рис.1.16 представлено сравнение расчетов на этих сетках. Видно, что на« квазиструктурированной» сетке результаты получаются менее размытыми, а пограничный слой более узким, чем на обычной сетке. По видимому, это говорит о меньшей сеточной вязкости, а следовательно, и большей достоверности результатов расчетов, проведенных на «квазиструктурированной» сетке.
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 49 (а) (б) Рис.1.15. Два типа расчетных сеток: а -- обычная неструктурированная, б -- «квазиструктурированная» сетка (представлены фрагменты сеток) (а) (б) Рис. 1.16. Распределение числа Маха по расчетной области. Сравнение расчетов на двух типах сеток: а -- на обычной неструктурированной, б -- на «квазиструктурированной» сетке На рис.1.17 представлено распределение давления по стенке канала. Здесь особенно хорошо заметна гладкость решения, полученного при расчете на «квазиструктурированной» сетке. Также на этом рисунке представлены результаты расчетов [45], проведенные на гораздо более подробной сетке. На этом же графике изображено поведение давления по асимптотической теории. С точки зрения этой теории в точке, где начинается стенка ( 1 x= см), давление бесконечно. К тому же очевидно, что в бесконечно малой окрестности кромки пластины уравнения Навье − Стокса неприменимы. В конечно-разностном представлении наблюдается скачок давления вблизи указанной точки на некоторую большую величину, зависящую, прежде всего от подробности сетки. При измельчении сетки в этой точке будет получаться все большее давление. Данный вопрос анализировался, например, в работе [45].
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 50 Рис.1.17. Давление на стенке канала: 1 -- расчет на «квазиструктурированной» сетке, 2 -- на обычной неструктурированной, 3 -- на структурированной [45], 4 -- асимптотическая теория Задача 3. Вязкое течение в канале с выпуклостью. В данной задаче рассматривалось течение как вязкого, так и невязкого газа в канале толщиной 2 см и длиной 10 см. На одной из стенок канала присутствовало утолщение сегментарной формы. Продольные координаты криволинейного сегмента: 1 1 x=см, 25 x = см; высота сегмента: 0.2 см. Параметры на входе в канал: давление P = 295.6 Па, температура T = 257 K, число Маха M = 4. Предварительные расчеты проводились на « квазиструктурированной» сетке из 23800 треугольников (рис.1.18). После получения результатов производилось уточнение решения на сетке из 95200 треугольников. Волновая структура вязкого течения в данной задаче является достаточно сложной, так как присутствует взаимодействие ударных волн с пограничным слоем. Для выявления всех существенных особенностей течения было необходимо получить решение с достаточно высокой точностью. Поэтому при расчетах использовалась процедура восстановления значений внутри ячеек, описанная выше. Это позволило поднять уровень пространственной аппроксимации до второго порядка. Результаты расчетов представлены на рис. 1.19-1.21. В целом картины распределений давления в невязком и вязком газе подобны. Однако в вязком газе ударно-волновая структура оказывается более сложной (рис. 1.20). При вязком течении появляются ударные волны, развивающиеся от входного сечения в канал. Утолщение на нижней стенке порождает еще одну волну, которая, интерферируя с первыми двумя волнами, изменяет свой наклон на несколько градусов. Далее эта волна взаимодействует с пограничным слоем
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 51 на противоположной стенке. На рис.1.22 отчетливо видны две волны, порождаемые этим взаимодействием: первая ударная волна появляется в результате взаимодействия падающей волны с пограничным слоем, вторая ударная волна отражается от стенки. Таким образом, от верхней стенки отражаются две ударных волны. В невязком случае (Рис.1.21) от верхней стенки отражается только одна волна, т.к. взаимодействие с пограничным слоем отсутствует. Рис. 1.18. Фрагмент расчетной сетки Рис.1.19. Поле давления. Расчет по уравнениям Эйлера Рис.1.20. Поле давления. Расчет по уравнениям Навье-Стокса
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 52 Рис.1.21. Число Маха. Расчет по уравнениям Навье-Стокса На рис.1.24 и 1.25 показаны распределения давления вдоль нижней и верхней стенок, полученные в численных экспериментах с вязким и невязким газом. Для сравнения на рисунках приведены результаты, полученные на структурированной сетке [45]. При расчетах вязкого газа виден резкий рост давления на входе в канал. Этот эффект, связанный с неприменимостью уравнений Навье-Стокса для расчета обтекания абсолютно тонкой стенки, обсуждался в предыдущем параграфе. Из рис.1.22,1.23 видно, что различия между расчетами на разных сетках вполне закономерны: на более грубой сетке наблюдается уменьшение амплитудных значений давления в месте падения ударной волны на поверхность. Также, при внимательном рассмотрении, на решении, полученном при расчете со вторым порядком аппроксимации, в некоторых участках заметны малые колебания, характерные для схем с повышенным порядком. Незначительные расхождения с расчетом на структурированной сетке, особенно заметные в случае вязкого течения (рис.1.22), могут быть связаны с тем, что расчет в работе [45] был произведен на очень подробной сетке из 1301x201 узлов, что соответствует 523002 треугольникам. Рис.1.22. Распределение давления вдоль стенок при невязком течении: 1 -- сетка из 23000 ячеек, первый порядок аппроксимации, 2 -- сетка из 95200 ячеек, второй порядок аппроксимации, 3 -- расчет на структурированной сетке [45]
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках 53 Рис.1.23. Распределение давления вдоль стенок при вязком течении: 1 -- сетка из 23000 ячеек, первый порядок аппроксимации, 2 -- сетка из 95200 ячеек, второй порядок аппроксимации, 3 -- расчет на структурированной сетке [45] Подводя итог выполненным методическим расчетам можно отметить, что для получения гладкого решения может оказаться полезным строить «квази- структурированную» сетку вблизи стенок расчетной области. Проведено исследование влияния порядка пространственной аппроксимации на качество численного решения на примере расчета вязкого и невязкого течения в канале с сегментарным утолщением.. Исследование показало, что повышение порядка аппроксимации позволяет получить приемлемое решение, заметно снизив схемную вязкость. В проведенных расчетах улучшение качества решения соответствовало примерно четырехкратному измельчению сетки. Как и ожидалось, побочным эффектом использования схемы второго порядка является присутствие малых колебаний в некоторых участках расчетной области. Результаты исследований, проведенных в данной работе, были применены для расчета тепловых потоков к стенкам модельного прямоточного воздушно-реактивного двигателя [49]. Таким образом, в данном разделе выполнен подробный анализ способа конструирования AUSM конечно-разностной схемы, а также представлены результаты методических экспериментов с ее использованием. Несмотря на то, что данная схема относится к классу приближенных методов решения задачи Римана о распаде разрыва, результаты решения тестовых задач показали эффективность схемы AUSM при использовании в качестве составной части вычислительной программы, реализующей численное интегрирование уравнений Эйлера и Навье-Стокса.
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 54 1.8. Тестирование компьютерных моделей в двухмерном случае на структурированных сетках Важным этапом отработки компьютерных кодов является сравнение предсказываемых ими аэротермодинамических данных с результатами экспериментальных и расчетных работ других авторов, в особенности с экспериментальными данными, многократно проверенными в других работах. Тестирование компьютерного кода NERAT-2D выполнялось при решении ряда задач, примеры расчетов которых представлены ниже. 1.8.1. Обтекание сферы совершенным газом Компьютерный код NERAT тестировался сравнением с результатами расчета параметров ударного слоя у сферы, обтекаемой сверхзвуковым потоком, представленными в работах [4,131]. Результаты систематических расчетов представлены в работе [131]. В качестве примера такого сравнения на Рис.1.24а показано распределение чисел Маха ( M Va ∞ ∞ = , a∞ − скорость звука) у поверхности сферы радиусом 66 R = см вязким теплопроводным совершенным газом с показателем адиабаты 1.4 = γ при следующих исходных данных: 7.6 p∞ = эрг/см3, 8 2.82 10− ∞=× ρ г/см3, 29 M Σ = г/моль, 297 T∞= K,V∞= 5 1.035 10 × см/с (здесь M Σ − суммарный молекулярный вес газа). Приведенные данные отвечают одной из наиболее грубых из использованных расчетных сеток ( 55 101 NI NJ = ×=,где NI −числоузлов по нормальной к поверхности переменной (η )). Поэтому точность расчетов газодинамических функций у обтекаемой сферы, в особенности вблизи боковой и задней поверхности, является здесь весьма низкой. Тем не менее, представленные на Рис.1.24а данные свидетельствуют о правильном предсказании формы ударной волны и основных элементов течения вблизи лобовой поверхности (развивающийся пограничный слой, местоположение звуковой линии). Распределение скорости u (Рис.1.24б), температуры T (Рис.1.25а) и давления p (Рис.1.25б) вдоль передней критической линии тока при различных числах Маха набегающего потока дано для разных расчетных сеток. Маркеры на линиях отвечают реальному местоположению значений сеточных функций. Для одного из вариантов (M1 0 = ) сетка измельчалась в два раза. Последствия этого хорошо видны на Рис.1.24б и Рис.1.25. При улучшении сетки наблюдается некоторое увеличение отхода ударной волны от поверхности тела и некоторое увеличение температуры в сжатом слое. На Рис.1.24 и 1.25 показаны результаты расчета обтекания сферы при разных числах Маха: M 3, 6,10, 20 = . В работе [131] выполнено исследование обтекания при разных условиях теплообмена у поверхности сферы −
1.8. Тестирование компьютерных моделей на структурированных сетках 55 охлаждаемой и теплоизолированной стенки. В случае теплоизолированной стенки толщина ударного слоя увеличивается примерно на 1 см. Однако, при этом следует иметь в виду, что в целом температура сжатого слоя при M2 0 = получается завышенной в силу использования предположения о совершенном газе. В реальности, при таких скоростях движения уже заметно проявляются реальные свойства газа. ( а) ( б) Рис.1.24. (а) Изолинии числа Маха при M3 =,1.4 γ= вблизи поверхности сферы; кружками показаны результаты расчета [4] для положения ударной волны; x и y в см. (б) Распределение продольной скорости вдоль критической линии тока Uu V ∞ = ( а) ( б) Рис.1.25. Распределение температуры Т, K (а) и давления 2 PpV ρ∞∞ = (б) вдоль передней критической линии тока от поверхности сферы (слева) до границы расчетной области вверх по потоку (справа) для разных чисел Маха; х в см Влияние подробности расчетных сеток на результаты расчетов распределения давления и плотности конвективных тепловых потоков по поверхности сферы показаны на Рис.1.26. Приведенные данные
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 56 свидетельствует о сходимости численного решения на используемых сетках «О» типа. 1.8.2. Обтекание модели сегментально-конического космического аппарата В данном параграфе представлены результаты расчетов поля течения и плотностей конвективных тепловых потоков на подветренной стороне модели космического аппарата сегментально-конической формы. Эксперименты были выполнены на экспериментальных установках ЦАГИ В.Я. Боровым и А.С. Скуратовым [132]. Рис.1.26. Распределение давления (а, в эрг/см3) и плотности конвективного теплового потока (б, в Вт/см2) вдоль поверхности сферы для разных расчетных сеток при M1 0 = ; 1 -- сетка 51×101, 2 -- 101×201, 3 -- 201×401 Расчеты проводились с использованием кода NERAT в расчетной области, состоящей из двух блоков. Структура расчетной сетки показана на Рис.1.27. Сетка «с»-типа была построена с применением аналитической методики [55]. Заметим, что направления изменения узлов расчетной сетки в двух блоках были различными (см. Рис.1.27). Задавались следующие исходные данные, моделирующие условия эксперимента: 1) Геометрия исследуемой модели (Рис.1.28) − диаметр миделевого сечения M 21 5 DR = = см, − радиус кривизны лобовой поверхности 0 19.5 R= см, − радиус кривизны донной поверхности в окрестности задней критической точки 1.2 r= см, − центральный угол лобовой поверхности 24 5 = ° ϕ, угол раскрытия обратного конуса 27 0 =° ψ.
1.8. Тестирование компьютерных моделей на структурированных сетках 57 X Y 0 10 20 30 40 50 60 0 10 20 30 40 50 Block No.1 Block No.2 i=1 i=NI1 j=1 j=NJ1 i=1 j=1 i=NI2 j=NJ2 Рис.1.27. Исходная конечно-разностная сетка для расчетов обтекания экспериментальной модели сегментально-конического КА 2) Термодинамические и переносные соотношения, использованные в расчетах: − молекулярный вес 28 M Σ = г/моль (для молекулярного азота) и 44 г/моль (CO2), − показатель адиабаты 1.4 = γ (N2), 1.23 (CO2), − динамический коэффициент вязкости и коэффициент теплопроводности (см. табл.1.1) 32 0 0 0 CTT CTT ⎛⎞ + = ⎜⎟ +⎝⎠ µµ , 0273 T= K, 3/2 0 0 0 CTT CTT ⎛⎞ + = ⎜⎟ +⎝⎠ λλ , 0 R pT MΣ = ρ , Pr 0.7 = , Pr p c =µ λ , 0 1 p R c MΣ =⋅ − γ γ , 7 0 8.314 10 R=× эрг/(K⋅моль) (1 )p p cT − =γρ γ , 7 0 8.314 10 R=× эрг/см3. Целевой функцией проведения расчетов являлось определение конвективного теплового потока на лобовой и донной поверхности исследуемой модели в зависимости от параметров расчетной модели. Поэтому анализировалось все поле течения вблизи исследуемой модели (в передней и задней полусферах) и рассчитывались конвективные тепловые потоки на поверхности. Пример расчета структуры потока для варианта M 19.8 ∞= и 5 , Re 210 D ∞ =× приведен на Рис.1.29. Использовалась модель ламинарного течения. Представленная на этом рисунке скорость отнесена к V∞ . Отчетливо видна зона отрыва потока от подветренной стороны модели и образование
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 58 крупномасштабного вихревого движения. Максимум скорости возвратного течения вдоль задней критической линии тока достигает M0 . 8 5 = . Именно указанный поток создает область повышенного нагрева в окрестности задней критической точки. Сравнение интенсивности конвективного нагрева, предсказываемого расчетами, с экспериментальными данными ЦАГИ дано на Рис.1.30. Рис.1.28. Геометрия модели в экспериментах ЦАГИ Таблица 1.1 Использованные коэффициенты в формуле Сазерленда Газ 0 λ , В/(м⋅K) 0 µ , кг/(м⋅с) C, K CO2 0.01444 1.384×10−5 274 N2 0.02486 1.667×10−5 114 Рис.1.29. Расчетные данные (код NERAT): осевая скорость x Vu = .M1 9 . 8 ∞= . Угол атаки 0 α=
1.8. Тестирование компьютерных моделей на структурированных сетках 59 0 0,3 0,6 0,9 1,2 1234 Experiment Calc N-S S/R q, W/cm2 Рис.1.30. Конвективный поток на подветренной поверхности. M1 9 . 8 ∞= . Угол атаки 0 = α (кривая с точками − эксперимент; сплошная кривая − расчет). Продольная координата поверхности (от передней критической точки) отнесена к радиусу Миделя M RR = 1.8.3. Обтекание модели КА Pathfinder химически реагирующими газами Результаты экспериментальных исследований конвективного нагрева модели КА Pathfinder представлены в работах [133,134]. Эксперименты выполнены в разных газах (воздух, CO2) на модели, профиль которой показан на рис.1.31. В работе [134] представлены результаты расчетов с использованием программного кода LAURA (Langley Aerothermodynamic Upwind Relaxation Algorithm). Исходные данные для проведения расчетов в CO2 выбирались в соответствии с экспериментальными условиями: 4 1.187 10 p∞ =× эрг/см3, 6 5.79 10− ∞=× ρ г/см3, 1088 T∞= K, 5 4.775 10 V∞ =× см/с Температура поверхности полагалась постоянной 300 w T= K. Для расчета химической кинетики использовалась кинетическая модель Парка [20]. В учет были приняты 18 реакций, в которых учитывались химические превращения следующих компонент: C, O, C2, O2, CO, CO2. Результаты сравнения расчетных данных с экспериментальными данными [133] показаны на Рис.1.32 ( b R − радиус миделевого сечения; s − координата вдоль поверхности модели). В целом можно отметить хорошее согласие экспериментальных и расчетных данных. Однако следует учесть, что в расчетах отмечалась высокая чувствительность результатов расчета конвективного нагрева к свойствам конечно-разностных сеток. Также были выполнены расчеты аэротермодинамики модели, показанной на рис.1.31 для воздуха. Во всех расчетных случаях плотность конвективных тепловых потоков на лобовой поверхности модели хорошо совпала с экспериментальными данными.
Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА 60 Рис.1.31. Предельная скорость x Vu = при обтекании модели КА Pathfinder в экспериментах [133] (CO2) ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ Ι ΙΙΙΙΙΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ S/Rb Qw, W/cm^2 00 . 511 . 522 . 533 . 544 . 555 . 5 100 101 102 103 Рис.1.32. Распределение конвективных тепловых потоков вдоль поверхности модели от передней критической точки; дискретные точки -- эксперимент [133,134] в атмосфере CO2; сплошные кривые -- расчет данной работы (кружки показывают местоположение узлов расчетной сетки вдоль поверхности модели)
61 ГЛАВА 2 МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЕРЕНОСА ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 2.1. Введение В данной главе рассмотрены четыре метода расчета переноса теплового излучения, которые использовались при решении задач аэрофизики спускаемых космических аппаратов: метод дискретных направлений, метод полумоментов, метод дискретных ординат и P 1-приближение метода сферических гармоник. Расчет спектральных радиационных характеристик во всех случаях производился с использованием многогруппового подхода [18]. 2.2. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода дискретных направлений (Ray-Tracing method, RTM) Алгоритм метода дискретных направлений рассмотрим на примере расчета радиационных потоков к поверхности космического аппарата сложной формы, показанного на Рис.2.1. Для того чтобы рассчитать плотности радиационного теплового потока, к элементу поверхности вводится локальная сферическая система координат с нормалью n. В этой системе координат каждый луч определяется двумя угловыми координатами: углом широты [0, 2] ∈ θπ и азимутальным углом [0, 2 ] ∈ ϕπ. Плотность спектрального радиационного потока на поверхности определяется по формуле: ()2 2 00 d( , ) c o s s i n d WJ =∫∫ rr π πϕ θθ θ , ( 1 ) где r − радиус-вектор точки на поверхности в лабораторной системе координат; ( , ) Jr − спектральная интенсивность излучения, соответствующая лучу . Рис.2.1. Схема космического аппарата
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 62 Введение расчетной сетки угловых направлений позволяет провести интегрирование спектральной интенсивности излучения на поверхности по пространству угловых переменных и найти спектральную плотность потока: ()( )()() ( ) 1 1 1, 1 11 11 1 sin cos sin cos 2 N N mm m n nn nn nn mn WJ − − ++ + + == =− + − ∑∑ r ϕ θ ϕϕθ θ θ θ θ θ (2) или () () ( ) 22 1 1 1 1, 11 cos cos () 2 N N nn mm m n mn WJ − − + + == − =− ∑∑ r ϕ θ θ θ ϕϕ , ( 3 ) где , NN ϕ θ − числа дискретных угловых направлений. Направляющие косинусы вектора ()()() , , min , mn x y zmn mn =++ ijk ωωω рассчитываются по следующим формулам: (), z n mn= ω µ, ()2 ,1c o s x nm mn=− ⋅ ω µϕ , ()2 ,1s i n yn m mn=− ⋅ ω µϕ , где () () 11 11 ;c o s , ; 22 nn n nn nn n ++ =+= =+ µµ µµθ ϕϕ ϕ . Ось z системы координат угловых направлений совпадает с локальной нормалью к поверхности. Для того чтобы определить величину ( ), mn J , необходимо проинтегрировать уравнение переноса вдоль неоднородного оптического луча. Здесь целесообразно воспользоваться формальным решением уравнения переноса следующего вида: ()() 0 () e xp d b JJ ′′ ′ =⎡ − − ⎤ ⎣⎦ ∫τ τ ττ τ τ , ( 4 ) где 0 s=иsL = начальная (на поверхности) и конечная (на внешней границе расчетной области) координаты отрезка луча , mn, вдоль которого проводится интегрирование уравнения переноса излучения (1.10). Конечно-разностная сетка по пространственной переменной s, с использованием которой проводится численное интегрирование, находится для каждого луча , mn. С этой целью отыскиваются координаты пересечения в лабораторной системе координат луча , mn со всеми встречающимися на его пути поверхностями конечно-разностной сетки, начиная от первой точки (на поверхности, 0 s = ) и кончая последней точкой (на внешней границе расчетной области или на сопряженной поверхности, s L = ). Этот алгоритм иллюстрируется графически на Рис.2.2 (луч а). Для определения координат
2.2. Метод дискретных направлений (Ray-Tracing method) 63 пересечения следует использовать соотношения аналитической геометрии. Однако такой алгоритм оказывается неэкономичным применительно к криволинейным (а особенно − неструктурированным) расчетным сеткам. В работах [1,2] применен алгоритм квазислучайной выборки координат расчетной сетки. Этот алгоритм состоит в следующем. Отрезок луча с направляющим вектором , mn, заключенный между первой и последней точками, делится на 1 s N − одинаковых участков, как это показано на Рис.2.2 (луч b). Очевидно, что требование однородности расчетной сетки на участке [] 0, sL ∈ необязательно для используемого алгоритма. Хорошо работает также алгоритм случайной выборки координат точек вдоль луча. Затем для каждого узла расчетной сетки вдоль луча , mn отыскивается ближайший узел пространственной расчетной сетки (или ячейка, которой принадлежит этот узел), на которой заданы теплофизические и оптические свойства среды. Температура и спектральный коэффициент поглощения найденного узла (или ячейки) присваиваются текущему узлу расчетной сетки вдоль луча. Таким образом, в каждом узле расчетной сетки вдоль луча , mn становятся известными температура и оптические свойства газа. sk x y j i b a Рис.2.2. Два способа введения расчетной сетки вдоль луча Численное интегрирование уравнения переноса (1.10) производится по формуле: ()() ()( ) 1 ,, 1 1 , exp exp exp 1 S S N NS mn N bk k k k k JJ − + = ⎧ ⎫ ⎪ =− ⎡− − ⎤ ⎨⎬ ⎣ ⎦ ⎪ ⎭ ⎩∑% τττ τ τ , () ,, 1 , 2 bk bk bk JJ J + + = % ,()() 1 1 1 12 l ii li i i ss − + + = + =− ∑κκ τ , 1,..., S lN = , (5) где , bk J% − спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела, рассчитанная по температуре отрезка 1 [,] kk ss+. В заключение подчеркнем, что метод дискретных направлений выгодно отличается от методов дискретных ординат, характеристических методов, n S
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 64 и n DS -методов [16] возможностью численного интегрирования уравнения переноса излучения в задачах с произвольной геометрией с учетом линейчатой структуры спектра посредством статистических моделей. В последнем случае, уравнение переноса излучения аналитически интегрируется по спектру электромагнитного излучения в спектральных группах вдоль каждого из выделенных направлений. Дополнительные затраты компьютерного времени на расчеты по несколько усложненным формулам [16] многократно окупаются тем, что вместо сотен и тысяч спектральных точек внутри каждого спектрального диапазона, расчет производится сразу для всего спектрального диапазона, то есть как бы для одной спектральной точки. 2.3. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода полумоментов В данном разделе приводится алгоритм решения уравнения методом полумоментов, который используется в коде NERAT-2D для расчета лучистого теплообмена в неоднородном плоском слое, которым аппроксимируется сжатый слой у лобовой поверхности космического аппарата. Уравнение переноса селективного излучения применительно к плоскопараллельной геометрии без учета светорассеяния в приближении локального термодинамического равновесия запишем относительно спектральной интенсивности излучения Jω : , d d b JJJ x+= ω ωωω ω µκκ , ( 6 ) где , b J ω − планковская спектральная интенсивность; cos = µ θ,θ−угол между направлением распространения излучения и положительным направлением оси x, нормальной к рассматриваемому слою ( 1 0, H x xH = = − границы плоского слоя, рис.2.3). Рис. 2.3. Схема переноса излучения в плоской геометрии Введем спектральную оптическую толщину dd x = ωω τ κ . В соответствии с методом полумоментов подействуем на (6) полумоментными операторами
2.3. Метод полумоментов 65 следующего вида: 1 0 2d n + Λ= ∫π µµи 0 1 2d n − − Λ=∫π µµ , в результате чего получим () 1, ,, 1, ,, d 2 ,0 , 1 , 2 , d1 d 21,0,1,2, d1 n nb n n nb M MJn n M MJ n n + + + − + − += =… + +=− =… + ω ωω ω ω ωω ω π τ π τ ( 7 ) где 10 ,, 01 2, 2 nn nn M JdM Jd ++− − − == ∫∫ ωω ωω πµµ πµµ , ( 8 ) индексами «+» и « −» у спектральной интенсивности фиксирована ее принадлежность областям [0, 2] ∈ θπ и[2 ,] ∈ θππ соответственно. Для замыкания бесконечной системы уравнений необходимо постулировать вид угловой зависимости интенсивности излучения, в каждом из полупространств, например: 1 P Pp p p Ja ±± − = =∑ ω µ, ( 9 ) где Р − порядок приближения. Далее рассмотрим приближение второго порядка 2 P = , в котором имеется линейная зависимость интенсивности от 12 :J aa ±±± =+ ω µµ , что дает однозначную связь между полумоментными характеристиками 2, 0, 1, 2, 0, 1, 6, 6 MMM MMM +++ −− − =− + =− − ω ωω ωωω , ( 1 0 ) Подставляя (10) в (7) при 0, 1 n= , получаем систему уравнений: 0, 0, 1, , d 66 d b M MMJ + ++ +− = ω ω ωω ω π τ , ( 1 1 ) 1, 0, , d 2 d b MM J + + += ω ω ω ω π τ , ( 1 2 ) 0, 0, 1, , d 666 d b M MMJ − −− −−= − ω ω ωω ω π τ , ( 1 3 ) 1, 0, , d 2 d b MM J − − += ω ω ω ω π τ ( 1 4 ) которая при граничных условиях вида ()()()() 1, 0, 1, 0, 00 0 Mx Mx MxHMx H ++− − == == == == ωωω ω ,
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 66 имеет следующее решение: [] () [] , 21 ,, 1 0 21 ,, 1 ()0 . 5 e x p()d, ()0 . 51 e x p()d, H n nm b m m n nm b m m MI MI +− = −− = =− − =− − − ∑∫ ∑∫ ω ω ω τ ωω ω ω τ ωω ω ω τ τββ τ τ τ τ ββ τ τ τ( 1 5 ) где ,, 12 0 2, 33 ,33 ,0 , 1 ;d x bb IJ n x == + = − = = ∫ ωω ω ω πββ τκ . Если в постановке задачи учитываются потоки излучения, падающие на границы 0 x= иxH = , то соответствующие граничные условия формулируются с использованием формул (8) и подходящей аппроксимации угловой зависимости спектральной интенсивности излучения. Заметим, что, несмотря на простоту соотношений (15), следует иметь в виду особенность аппроксимации функции Планка на оптически толстых расчетных ячейках. С целью применения статистического метода учета линейчатой структуры, проинтегрируем по спектру соотношения (15) в пределах спектрального диапазона ∆ω () 22 11 11 () 0. 5 , ()0. 51 nn nm m n m m mm MxI M xI +− + − − − == == − ∑∑ ββ , ( 1 6 ) где () ()() () , 0 0,d exp dd xx mm b m x IIxxx Ix xx ++ ′ ∆ ⎡ ⎤ ′′′ ′ ′ ′ ′ == − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫ ωω ω ω κβ κ ω , () ()() () , ,d e x pd d Hx mm b m xx IIx Hxx Ix xx ′ −− ∆ ⎡ ⎤ ′′′ ′ ′ ′ ′ == − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫∫ ∫ ωω ω ω κβ κ ω . Дальнейший анализ достаточно выполнить для одного из интегралов, например () m Ix − () () 1 ,d, ,d d H m mb m x Wx x Ix HI x x −− ∆ ′ ′ = ′ ∫ωβ , ( 1 7 ) где () () ,1 e x pd d x mm x Wx x xx ′ ∆ ⎧⎫ ⎡⎤ ⎪⎪ ′′ ′ ′ ′ =−− ⎨⎬ ⎢⎥ ⎪⎪ ⎣⎦ ⎩⎭ ∫∫ ω ω βκω , () 1 ,, d bb II − ∆ ∆ =∆∫ ωω ω ω ω. Введем конечно-разностную сетку { ,1 , 2 , 3 , , j xj ==K ϖ δгде10 x=, } xH = δ . Тогда для любого фиксированного узла сетки с индексом f имеем () ()() 1 1 ,, 1 ,, , mf m bjmfj mfj jf Ixx I Wxx Wxx − −− ∆+ = ⎡⎤ =− ⎣⎦ ∑ δ δω β . ( 1 8 )
2.3. Метод полумоментов 67 Считая поглощение в атомных линиях ( ) dx ω κ аддитивным с поглощением в непрерывном спектре () ( ) cc x x = ω κκ ,т.е. () () () dc x xx =+ ωωω κκκ , получаем ()() { }()() ,1 e x p e x p , cc cc mfj mjf mjfmfj Wxx Wxx ∗ ⎡⎤ ⎡⎤ = − −−∆ + −− ⎣⎦ ⎣⎦ βττ ω βττ (19) где () () 00 d, d jf xx cc cc jf xxx x ′′ ′′ == ∫∫ τκ τκ, () () ,1 e x pd d j f x d mfj m x Wxx xx ∗ ∆ ⎧⎫ ⎡⎤ ⎪⎪ ′′ ′′ ⎢⎥ =−− ⎨⎬ ⎢⎥ ⎪⎪ ⎣⎦ ⎩⎭ ∫∫ ω ω βκω , ( 2 0 ) где () , mfj Wxx ∗ − эквивалентная ширина линий, попавших в спектральный диапазон ∆ω . Для определения эквивалентной ширины ( ) , mfj Wxx ∗ воспользуемся статистической моделью спектра (),, ,11 e x p m mfj m m g g Wxx A T D ∗ ∆∆ ⎧⎫ ⎪⎪ ⎡⎤ ⎡⎤ = ∆=−∆∆=− −∆∆ ⎨⎬ ⎣⎦ ⎣⎦ ⎪⎪ ⎩⎭ ∏ ωω ω ωω ω ω(21) а среднее пропускание группы линий g, имеющих фойгтовский контур, аппроксимируем следующей связью между пропусканием групп линий с лоренцовским , m Lg D и доплеровским контуром , m Dg D: ()()()() 22 2 ,,, , , , mm m m m g f jL gD gL g D g m g DxxDDDD =+ +χ, ()() ,, , , , ,1 4 mm m Lg Lgfjmg mg Lg DDx x a == + χχ, ( 2 2 ) ()() ,, , ,, , 1.7 ln1 1.7 mm m m Dg Dgfj Dg mg Dg DDx xa a ⎡ ⎤ ==+ ⎣ ⎦ χ . Функции ,,, ,, mm mgLgDg aa χ определяются в рамках приближения Кертиса − Годсона для каждой g-й группы линий: () ()( ) ,, ,d j f x mg mgfj m ag x xxN F T x x ′ ′ == ∆ ⎡ ⎤ ⎣⎦ ∫ χχ βω , ( 2 3 ) () ()() () 2 ,, , , ,d j f x mm LgLgfj m mg ag eLg x aaxx NFTxNGTx x ′ ′′ == ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦⎣⎦ ∫ βω χ (24) () ()() () 2 ,, , , ,d j f x mm DgDgfj m mg ag eDg x aa x x N F T x N GT x x ′ ′′ == ∆⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣⎦⎣ ⎦ ∫ βω χ (25) Введенные групповые функции , , gL g FGи , Dg G пропорциональны суммарному интегральному поглощению всех линий g N данной g-й группы,
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 68 сумме лоренцевских L γ и доплеровских D γ полуширин: () () 2 11 2 11 exp gg NN ga j j jj jj e FTNSQf gE k T mc −− == == − ∑∑ π , ( 2 6 ) () () () 17 16 4, 1 1 ,, 1 16 12 4, 1 4.57 10 , 1.11 10 , g g g Naj N j Lg e Lj N j ij j TC GTN TC − = − = − = ⎧× ⎪⎪ == ⎨⎪× ⎪⎩ ∑ ∑ ∑ γ ( 2 7 ) ()7 ,0 , 1 3.58 10 g N Dg a j j GT T M − = =×∑ω, ( 2 8 ) где , ae NN− концентрация поглощающих атомов и электронов; , jj fg−сила осциллятора в поглощении и статистический вес нижнего уровня с энергией j E , при переходе с которого образуется атомная линия; 4, 4, , ai jj CC− константы квадратичного эффекта Штарка при уширении атомных (a) и ионных (i) линий; 0, j ω − волновое число центра j-й линии; j S− интегральный коэффициент поглощения в j-й линии; a M −атомныйвес;Q− статистическая сумма по состояниям: 1 exp a L i i i E Qg kT =⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ , ( 2 9 ) где a L − число энергетических состояний, учитываемых для данного атома, k − постоянная Больцмана. Обратим внимание на то, что в условиях локального термодинамического равновесия групповые функции зависят только от температуры и не зависят от заселенностей поглощающих уровней. Это означает, что при расчетах переноса излучения они могут быть определены один раз заранее. При практической численной реализации такого подхода температурные зависимости в круглых скобках (27) можно включить в подынтегральные выражения (24) и (25), тогда для каждой группы остается запомнить в памяти компьютера лишь две постоянные, вычисляемые суммированием констант квадратичного эффекта Штарка и волновых чисел центров линий. 2.4. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник (МСГ) для двухмерной осесимметричной криволинейной геометрии на структурированной сетке [62-64] Уравнение переноса излучения в нерассеивающей среде для двумерной осесимметричной криволинейной геометрии представляется в виде замкнутой системы из трех дифференциальных уравнений, связывающей объемную плотность лучистой энергии и проекции плотности радиационного
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 69 потока на оси декартовой системы координат [16]. Данная система уравнений приводится к одному эквивалентному уравнению относительно объемной плотности энергии излучения, которое решается несколькими альтернативными методами. В данном разделе рассматривается решение задачи переноса теплового излучения для трех типов геометрии: для цилиндрической, сферической, а также для геометрии, соответствующей осесимметричному соплу модельного реактивного двигателя (рис.2.4-2.6). Изучается поведение вычисляемого поля объемной плотности энергии излучения в зависимости от объемного коэффициента поглощения излучения в среде. Проверяется асимптотическое поведение численного решения в приближении оптически плотной и прозрачной среды. Выясняется особенность получаемых результатов в зависимости от способа численного интегрирования. Для различных сеток вычисляется численная ошибка, вносимая в решения в окрестности оси симметрии. В качестве примера применения метода выполняется многогрупповой спектральный расчет плотности радиационного потока к поверхности космического аппарата сферической формы для реального значения коэффициента поглощения, соответствующего атмосфере Марса. Полученные результаты сопоставляются с результатами, предсказываемыми методом дискретных направлений (ray-tracing method, RTM). Спектральный многогрупповой расчет выполнен для случая, когда коэффициент поглощения излучения имеет полосы поглощения СО2 и CO. Заметим, что из всего многообразия методов, позволяющих решить уравнение переноса излучения, метод сферических гармоник выделяется как относительно простой и экономичный для компьютерной реализации [16,50- 53]. Этот метод позволяет находить объемную мощность тепловыделения и плотность потока излучения в объеме и рассчитывать потоки излучения и рассчитывать потоки излучения к поверхности. Однако, помимо указанных достоинств P1-приближения, хорошо известны его недостатки, которые неоднократно обсуждались в литературе [50-53]. Среди этих недостатков следует указать в первую очередь низкую точность метода вблизи границы расчетной области и при малой оптической толщине. Несмотря на это, имеются веские доводы в его использовании для решения многомерных задач переноса излучения в криволинейной геометрии. Это является главной причиной дальнейшего изучения вычислительных свойств P1-приближения применительно к ряду задач физической механики. 2.4.1.Формулировка уравнений P1-приближения метода сферических гармоник для двумерной осесимметричной криволинейной геометрии В данном разделе исследуется область применимости P1-приближения метода сферических гармоник по коэффициенту объемного поглощения
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 70 излучения в среде, а также рассматривается влияние сильного искажения геометрии расчетной области на получаемое решение. Ниже приводятся типы двумерной цилиндрической геометрии, используемых в расчетах. Рис. 2.4. Цилиндрическая геометрия Рис. 2.5. Геометрия модельного реактивного двигателя Рис. 2.6. Геометрия, моделирующая перенос теплового излучения в окрестности космического аппарата сферической формы Во всех расчетных случаях уравнение переноса излучения в нерассеивающей среде формулируется в цилиндрической системе координат [16]: 2 (,, ,) (,, ,) (1) 2 1[ ] (,, ,) (,, ,) em v Jrz Jrz J rr z Jr zJr z ∂∂ ∂ − −++ + ∂∂ ∂ = νν ν νν µγ µγ γ µγ µ γ κµ γµ γ ( 3 0 )
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 71 где : r, z -- оси декартовой системы координат, Jν - спектральная интенсивность излучения, (, , , ) em Jr z υ µ γ - излучательная способность источников излучения, () s υ κ -спектральный коэффициент поглощения, cos , cos == µθγϕ. Полагаем справедливость приближения локального термодинамического равновесия, так что , (,, ,) em vv b Jrz J = υµγκ,где , vb J - спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела (функция Планка). Обозначения переменных уравнения (30) пояснены на рис.2.7. Граничные условия для уравнения (30) имеют вид: 0 0, 0:(,0, ,) (, ,), zJ rJ r + => = µ µγ µγ 0 ,0 : ( , , , )( , , ) , zHJ r HJr − =< = µ µγ µγ (31) , 0:(,, ,) (, ,), R rRJ R zJz − =< = γ µγ µγ где функции 0 (, ,) Jr +µγ,0(,,) Jr −µγ,(,,) R Jz − µ γ являются внешними по отношению к изучаемому объему источниками излучения. Далее, кроме особо оговоренных случаев, спектральный индекс будет опускаться. Рис.2.7. Цилиндрическая геометрия В методе сферических гармоник (МСГ) спектральная интенсивность излучения разлагается в ряд по сферических функциям следующим образом [16,50-53]: 0 ,0 , , 1 0 1 () ()(c o s s i n) 2 m ll l l m l lm m l PP mm J = ∞ = ⎤ ⎡ + ⎥ ⎢⎣ ⎦ =+ ∑ ∑α µµ α ϕ β ϕ , ( 3 2 ) где , ,,lm lmβ α - функции, зависимые от пространственных координат, () m l Pµ- присоединенные полиномы Лежандра [54]. Далее, разложение (32) подставляется в уравнение (30) и используется свойство ортогональности полиномов Лежандра:
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 72 1 '' 1 2() ! 21 () ! mm ll l l lm PPd ll m − + =+− ∫µ δ, ( 3 3 ) где ' ll δ - дельта-функция Дирака. Для получения системы дифференциальных уравнений применяется моментная процедура, заключающаяся в том, что интегральный оператор {} {} ,, , 21()(c o s s i n) 01 m lm l lm lm Pm m d d •= Λ•+ ∫∫ − π µαϕ βϕ ϕ µ применяется к уравнению (30) с учетом (32) и (33). Принимая во внимание то, что решаемая задача обладает свойством аксиальной симметрии, можно положить (,,,)(,,,) Jrz Jrz =− µϕµ ϕ , и, таким образом, , 0 lm= β . Задача заключается в нахождении коэффициентов , lm α . Результат применения указанного интегрального оператора к уравнению (30) имеет следующий вид [16]: 1 11 11 11 11 11 11 1 11 11 (1 ) (1 ) 2(2 1) 2(2 1) (1)()(1) (1 ) 2(2 1) (1)()(1) (1 ) 2(2 1) m ll mm ll mm ll mm m ll FF FF mm lr rlr r FF lm lm m lr r FF lm lm m lr r + −− −− −− −− ++ ++ + ++⎡ ⎤ ⎡⎤ ∂ ∂ ++ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ++ − +++ +∂ +∂ ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎡⎤ ∂ +−+−⎢⎥ −− − +∂ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ ∂ −++−⎢⎥ −−+ +∂ ⎢⎥ ⎣⎦ δδ δ δ 11 ,0 ,0 1 4, 21 21 mm m ll lb l m FF lm lm FJ lz lz +− ∂∂ −+ + ++ = +∂ +∂κπ κ δ δ (34) где 0, lN ≤≤ 1 11 11 11 1 11 ,0 ,0 1 (1 ) 2(2 1) (1 ) ( ) ( 1 )(1 ) 2(2 1) 1 4, 21 21 m ll mm NN m mm m ll lb l m FF m lrr FF Nm Nm m lr r FF lm lm FJ lz lz + −− −− −− + +− ⎡⎤ ∂ +⎢⎥ −+ + + +∂ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎡⎤ ∂ +−+−⎢⎥ − −+ +∂ ⎢⎥ ⎣⎦ ∂∂ −+ + ++ = +∂ +∂ δ δ κπ κ δ δ ( 3 5 ) где , lN = 1 1 2 0 ()c o s . mm ll F JP mdd − = ∫∫π µ ϕϕµ.
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 73 Полученная система дифференциальных уравнений является незамкнутой, поэтому для ее замыкания используется предположение: 10 N s + ∂= ∂ α ,гдеs- пространственная координата. Число N называется порядком приближения. В данном разделе система уравнений (34) и (35) решается в предположении 1 N = . Это и является P1-приближением метода сферических гармоник. В этом случае система уравнений (34),(35) приобретает более простой вид: 100 110 1 4, b rFFF J rrz ∂∂ ++= ∂∂ κπ κ ( 3 6 ) 0 0 0 11, 3 F F z ∂ =−∂ κ ( 3 7 ) 0 1 0 11. 3 F F r ∂ =−∂ κ ( 3 8 ) Функции m l F имеют простую связь с физическими характеристиками теории радиационного переноса, в частности: 00 00 1 1 21 01 , ()2 F dd Jd cU JP − − − = == ∫ ∫∫ π µϕµπµ ( 3 9 ) 00 11 21 01 ()c o s z F mdd W JP − = = ∫∫ π µϕ ϕ µ, ( 4 0 ) 11 11 21 01 ()c o s r FJ Pm d d W − = = ∫∫ π µϕ ϕ µ ( 4 1 ) где , rz WW - проекции плотности радиационного потока на оси цилиндрической системы координат, U - объемная плотность энергии излучения. Принимая во внимание соотношения (39)-(41), систему уравнений (36)- (38) можно переписать в виде 1 4, rz b rWWсUJ rrz ∂∂ ++= ∂∂ κπ κ ( 4 2 ) 0, 3 r cUW r ∂+= ∂ κ ( 4 3 ) 0. 3 z cUW z ∂+= ∂ κ ( 4 4 ) Можно свести систему уравнений (42)-(44) к одному эквивалентному уравнению, выразив из уравнений (43) и (44) проекции r Wиz W , и подставив их в уравнение (42):
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 74 3 1() (), 3 b crUc U cU cU rr rz z ∂∂∂∂ ++ = ∂∂ ∂∂ κ κκ κ ( 4 5 ) где введено обозначение 4/ bb UJ c =π - объемная плотность излучения абсолютно черного тела. Граничные условия на оси симметрии имеют вид 0. U r ∂= ∂ На внешней границе zL = граничное условие имеет асимптотический вид: () (). b LL Ur Ur = Однако в случае, если внешняя граница является стенкой или образующей цилиндра ( рис.2.7), то физическое граничное условие должно формулироваться в виде условия Маршака [51,52]: ()()() 1 0 2 043 dU c MU d + = ⎡⎤ == − ⎢⎥ ⎣⎦ τ τ ττ πτ ,()() () 1 2 43H H dU c MU d − = ⎡⎤ == + ⎢⎥ ⎣⎦ ττ τ ττ τ πτ , где () 1 1 0 ,0 MJd ++ => ∫µµµµ, () 1 1 0 ,0 MJd −− = < ∫µµµµ. В частности, граничное условие отсутствия потока будет выглядеть следующим образом: 21 3 UU n ∂=− ∂ κ , ( 4 6 ) здесь n - нормаль к поверхности, к которой задается граничное условие. Уравнение (45) решается не в декартовой системе координат, а в криволинейной. Это делается для упрощения построения вычислительной процедуры в области с криволинейными границами, в частности, для выполнения расчетов на сложных многоблочных структурированных сетках. Воспользуемся преобразованием координат (,), (,) rz rz == ξξη η ( 4 7 ) общего вида, наложив условие их взаимной однозначности. Производные в уравнении (45) U z ∂∂иU r ∂∂ заменяются на z z UU ∂ ∂ + ∂∂ ξη ξηи rr UU ∂∂ + ∂∂ ξη ξ η соответственно, дифференциалы () z ∂• ∂ и() r ∂• ∂ заменяются на()() z z ∂∂ •+• ∂∂ ξ η ξη и()() rr ∂∂ •+• ∂∂ ξ η ξη соответственно. Кроме этого, используются соотношения , r zJ = ξη , r zJ =− ηξ , z rJ =− ηξ z rJ =− ξη,где
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 75 det rz rz J⎛⎞ =⎜⎟ ⎝⎠ ξξ η η - якобиан преобразования (47). Заметим, что условие взаимной однозначности преобразования координат гарантирует выполнения условия 0 J ≠ . В криволинейной системе координат уравнение (45) принимает вид: 22 22 ()()() () 1 . rz rz r r z z rr zz r r b DDD UUU JJJ DD D UU U cU cU Jr J J +++ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ++ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ + ∂∂ ∂ ∂ ++ + = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ∂ ∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ξξ ηη ξ ηξ η ξ ξη ηξ η ξη ξη ξη κκ ηξ ξ η (48) Здесь, для краткости опущен аргумент и спектральный индекс у функции (,) Uξη. 2.4.2. Проекции вектора плотности радиационного потока Проекции вектора плотности радиационного потока к произвольной поверхности с единичной нормалью n вычисляется по следующей формуле: , 3 сU W n ∂ =−∂ κ ( 4 9 ) где () U U n ∂=⋅ ∇ ∂n , c - скорость света, κ - коэффициент поглощения излучения в среде. Как известно, , rr zz UUUU UU U rz⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂∂∂ ∂∂ ∇=+= + + + ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂∂ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ rz r z rz r z ξη ξη ξη ξη поэтому, rr zz UUU UU n ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ∂∂∂ ∂∂ =+⋅ ++⋅ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂∂ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ rz rz nn rz ξη ξη ξη ξη. ( 5 0 ) Здесь r nиz n - компоненты единичного вектора нормали. 2.4.3. Мощность объемного тепловыделения Дивергенция вектора плотности потока излучения является одной из искомых функций теории радиационного переноса, которая широко используется в физической механики и радиационной газовой динамике. В [16] показано, что дивергенция плотности радиационного потока по определению равна мощности объемного тепловыделения, обусловленного радиационными процессами. В цилиндрической системе координат: 1() () 33 cU cU Qd i v r rr rz z ∂ ∂∂∂ == + ∂ ∂∂∂ W κκ ( 5 1 )
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 76 Сравнивая (51) и левую часть уравнения (45) можно заключить, что () b QcU U =− κ . ( 5 2 ) Выражение (52) позволяет очень просто находить количество теплоты, выделяемое в единицу времени, обусловленное радиационными процессами, избегая численного дифференцирования " напрямую" в соответствии с формулой (51), а значит, избегая и дополнительной численной погрешности. 2.4.4. Конечно-разностная схема Уравнение переноса излучения в P 1-приближении будет решаться итерационным методом установления, поэтому искусственно модифицируем (45) путем введения фиктивного времени: 4, b U div сUJ ∂+ ∂ += W τ κπ κ ( 5 3 ) Для численного решения уравнения (53) применяется метод конечных разностей. Интегрирование в этом случае ведется по элементарному физическому объему 0 Vr d r d z = . () 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 . 1() () 33 jj i jj i ji ji zz r zz r z r zr b U rdrdz r rdrdz rdrdz cU cU rr rz z cUU ++ + −− − + + −− ∂ + ∂ =− ∂∂∂∂ + = ∂∂ ∂∂ ∫∫ ∫ ∫∫ τ κκ κ Введем обозначения: 01 / 21 / 2 jj Pzz +− = − , 1/2 j j Pzz ++ = − , 1/2 jj Pzz −− =−, 01 / 21 / 2 ii Qrr +− =−, 1/2 ii Qrr ++ =− , 1/2 ii Qrr −− = − , ,, /3 ij ij Dc =κ. Тогда уравнение (53) в конечно-разностной формулировке примет вид () () 1 ,, 1 , , ,1 , 0 1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 1 ,1, , ,1 22 1/2 1/2 , 1/2 , 1/2 , ,, , 1 . 2 ss pp p p ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij s pp p p ij ij ij ij p i i ij ij ij bij ij UU UU UU PrD rD PP UUU U rrD D UU QQ + +− ++ − − + +− +− +−+ − +− ⎛⎞ +− − +− + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎛⎞ −− +− − = − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ τ κ где 1, , 1/ 2, 2 iji j ij rr r ± ± + = , ,1. ,1 / 22 ij ij ij zz z ± ± + = .
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 77 Здесь: 1, s+s- верхний и нижний временной слой соответственно. 11 s ss tt ++ =− τ .Приps = имеем явную схему, при 1 ps = + имеем полностью неявную схему. Далее везде полагается 1 ps =+. Деля на объем элементарной ячейки, получаем следующую неявную конечно-разностную схему: 11 1 1 1 ,,, 1 , 1 , 1 , , 1 , 1 ,, ,, 1 , ss s s s ijijij ij ij ij ij ij s ij ij ij ij UCc F AUBUAUBU ++ + + + −++ + + ⎛⎞ ++= + ⎜⎟ ⎝⎠ +++ κτ (54) где 0 1/2, 1/2, 0 1/2, 1/2, ,1/2,1/2 ,1/2,1/2 ,,, , 00 ,, , ijij ijij ij ij ij ij ij ij ij ij Pr Pr z z ABA B PP Q Q Q Q −− ++ −− ++ −+− + === = λ λλλ , ,,,, ijijijijij CAABB =+++, 1 , ,, ,1 s ij ij ijbij s U FcU + + =+ κ τ. Соотношения (54) назовем конечно-разностной схемой 1. Заметим, что при получении конечно-разностных соотношений для уравнения переноса, записанного в любой осесимметричной геометрии имеются два математически различающихся подхода. В первом из них, уравнение переноса интегрируется по элементарной расчетной ячейке цилиндрической формы. Именно так была получена конечно-разностная схема 1. Однако имеется другая возможность, состоящая во введении новой функции Ur Φ= путем умножения всего уравнения на радиус r . Очевидно, что при этом должно быть изменено граничное условие на оси симметрии: при 0 r=,0 Φ= . Если такой замены не сделать, то вблизи оси симметрии может возникнуть численная неопределенность, обусловленная наличием слагаемых вида 1 U rr ∂∂ , поскольку вблизи оси симметрии должно выполняться условие 0 U r ∂= ∂ . Данная проблема отмечалась раннее в работах [51,52]. Различные аспекты этой проблемы будут рассмотрены ниже в данной работе. Согласно сделанным замечаниям, рассмотрим вид уравнения переноса излучения с введением новой функции: Ur Φ= . Тогда уравнение (53) примет вид: (). 3 ()() 33b cU r cc crU rr zz ∂Φ ∂⎛⎞ +− Φ − ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ∂∂ Φ∂∂ Φ += ∂∂∂∂ τκ κ κκ (55) Аналогичную операцию замены переменной можно сделать в уравнении (48):
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 78 ()() () 22 22 () () () 1 () // . rz rz rr zz rr zz rr b DD JJ D J J D J rr DD cr U JJ ++ ∂∂ Φ ∂∂ Φ + ∂∂ ∂∂ + ∂∂ Φ ++ ∂∂ ⎛⎞ ⎛⎞ ∂Φ ⎜⎟ ⎜⎟ ++ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞ + ∂∂ Φ ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛∂ Φ∂ Φ⎞ =− Φ − + ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ξξ ηη ξξ ηη ξη ξη ξη τ ξη ξη ηξ ξη κ ξη (56) В правой части уравнения слагаемое ( ) ( ) // rr rr DD JJ ⎛∂ Φ∂ Φ⎞ + ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ξη ξη заключает в себе отношение / r Φ и, хотя на оси симметрии возникает неопределенность вида [] 0/0 , отношение / r Φ остается конечной величиной, т.к. / rU Φ= . Численное интегрирование уравнения (48) приводит к интегралам , 1...5 n In = : () 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1 1/2 1/2 22 () 22 () j i ij j j rz rz ii D U J D U J Id d d + + −− + − +− + ∂∂ ∂∂ + ∂∂ ∂∂ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ =+ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ ∫ ξ η ηξ ξ ξ ξξ ξξ ξξ ξξ ξη ηηξ () ,1 / 2 22 1/2 1/2 ,1 / 2 22 22 11 11 () () (). 2 ij rz ii ij ii rz rz ij ij D U J DD UU JJ + +− − +− +− ⎛⎞ +∂ =+ = ⎜⎟ ∂ ⎝⎠ ⎛⎞ + ++ ∂∂ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ξξ ηη ξ ηη ξξ ξξ ξξ Интегрирование слагаемого 22 () rz D U J + ∂∂ ∂∂ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ηη ηη производится аналогично: 22 22 11 2 11 () (). 2 jj rz rz ij ij DD UU I JJ +− +− ⎛⎞ + ++ ∂∂ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ ξξ ηη ηη ηη Слагаемые со смешанными производными интегрируются следующим образом: 1/2 1/2 1/2 1/2 3 () j i ij rr zz D U J Id d + + −− + ∂∂ ∂∂ ⎛⎞ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ ξ η ηξ ξη ξη ξη ξη () ()( ) () ,1 .1 1,1 1,1 1,1 1,1 , , ,, ,1 ,1 1, 1, ,1 ,1 , ri ji j ijijijij i j ij ij ij ijijijij ij ij UU UUUU D k rJ +− ++ − − +− −+ +− +− +− − +−− =+ −− − ξ ξξηη ξξ
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 79 () () () () 1/2 1/2 1/2 1/2 4 ,1 .1 1,1 1,1 1,1 1,1 , , ,, ,1 ,1 1, 1, 1, 1, () , j i ij rr zz ri ji j ijijijij i j ij ij ij ijijijij ij ij D U J Id d UU UUUU D k rJ + + −− +− ++ −− +− −+ +− +− +− + ∂∂ ∂∂ ⎛⎞ ⎛⎞ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ − +−− =+ −− − ∫∫ ξ η ηξ ξη ξη ηξ ξη η ξξηη ηη 1/2 1/2 1/2 1/2 5 ,, 1 , 11 , 1 , ,, 1 () () . 22 j i ij rr ijrij ij rijij ij ij DD UU Id d rJJ DU UU U rJ Q P + + −− +− +− ⎛⎞ ∂∂ =+ = ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ −− ⎡⎤ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫∫ ξ η ηξ ξηξη ξη ξη В итоге получается пятиточечная конечно-разностная схема вида , 11 1 1 1 , , 1, 1, 1, ,1 , 1 ,, ,, 1 , ij ss s s s ij ij ij ij ij ij ij s ij ij ij ij c UC F JJAUBUAUBU + ++++ −++ + + ⎛⎞ ++= + ⎜⎟ ⎝⎠ +++ κ τ где 22 22 ,, , , , ,, , , , , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD A PP J PP J ++ + ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ηη ηη (57.1) 22 22 ,, , , , ,, , , , , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD B PP J PP J −− − ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ξξ ξξ (57.2) 22 22 ,, , , , ,, , , , , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD AQQJ QQJ ++ − ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ξξ ξξ (57.3) 22 22 , ,, ,, , ,, ,, , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD BQQJ QQJ −− + ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ηη ηη (57.4) ,, ,,, , ij ij ijijij CABAB =++ + ( 5 7 . 5 ) () () 1,1 1,1 1,1 1,1 ,, 1, 1, ,1 , ,1 ,1 1 , 1 , 1 ,, 1 , 11 , 1 , ,, 1 ,, ,, 2 4 44 () (). 22 ijijijij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij s ijrijij rijij ijb ijs ij ij ij ij UUUU Fk PQ UU UU kk kk PQ PQ DU UU Uc U U rJ Q P JJ ++ −− +− −+ +− + +− +− + +− +− + +−− =+ −− +− +− + −− ⎡⎤ ++ + + ⎢⎥ ⎣⎦ ξηκ τ (57.6)
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 80 Здесь , ,, () rr zzij ij ij kDJ + = ξηξ η, () ,1 ,1 1 , 2ij ij Q+− =− ξξ () 1, 1, 1 , 2ijij P +− =− ηη () ,1, 1 2ij ij Q+ + =− ξξ,() 1, , 1 2iji j P+ + =− ηη,() ,, 1 1 2ijij Q− − =− ξξ, () ,1 , 1 . 2ijij P− − =− ηη Численную схему (57) назовем конечно-разностной схемой 2. Численное интегрирование уравнения (56) приводит к интегралам , 1...5 n Jn = : 22 22 , ,, ,, , ,, ,, 11 1 ,, 11 () () , 2 ij rij zij ij rij zij ii ij ij ij ij DD J JJ +− +− ⎛⎞ ++ + ∂Φ ∂Φ ⎜⎟ =− ⎜∂∂ ⎟ ⎝⎠ ξξ ξξ ηη ξξ 22 22 1 1, ,, ,, , ,, ,, 2 ,, 11 () () , 2 j j ijrij zij ij rij zij ij ij ij ij DD J JJ +− +− ⎛⎞ ++ + ∂Φ ∂Φ ⎜⎟ =− ⎜∂ ∂ ⎟ ⎝⎠ ξξ ηη ηη ηη () ()( ) () ,1 .1 1,1 1,1 1,1 1,1 , 3, ,, ,1,11 , 1 , ,1 ,1 , ri ji j ijijijij i j ij ij ij ijijijij ij ij UU UUUU D Jk rJ +− ++ −− +− −+ +− +− +− − +−− =+ −− − ξ ξξηη ξξ () ()( ) () ,1 .1 1,1 1,1 1,1 1,1 , 4, ,, ,1 ,1 1, 1, 1, 1, , ri ji j ijijijij i j ij ij ij i ji jijij ij ij UU UUUU D Jk rJ +− ++ −− +− −+ +− +− +− − +−− =+ −− − η ξξηη ηη ,, , , 1, 1, ,1 ,1 , 5 ,, , 1, 1 1 , 1 , . 22 ij rij ij ij rij ij ij ij ij ij ij ij ij DU U JrJQr r Pr r ++ +− ++ +− ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ΦΦ =− + − ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ ξη Конечно-разностная схема, соответствующая уравнению (56) имеет вид 22 22 ,, , , , ,, , , , , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD A PP J PP J ++ + ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ηη ηη (58.1) 22 22 , ,, ,, , ,, ,, , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD B PP J PP J −− − ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ξξ ξξ (58.2) 22 22 , ,, ,, , ,, ,, , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD AQQJ QQJ ++ − ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ξξ ξξ (58.3) 22 22 ,, , , , ,, , , , , ,, 1, , () () 11 1 , 2 ij rij zij ij rij zij ij ij ij ij i j DD BQQJ QQJ −− + ⎡⎤ ++ ⎢⎥ =+ ⎢⎥ ⎣⎦ ηη ηη (58.4)
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 81 ,, ,,, , ij ij ijijij CABAB =++ + ( 5 8 . 5 ) () () 1,1 1,1 1,1 1,1 ,, 1, 1, ,1 , ,1 ,1 1 , 1 , , ,1,1 ,1 , ,1,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 , 2 4 44 1 2 1 2 ijijijij ij ij ij ij ij ij ij ij ijij rijijijrijijij ij ij ij ij riji UUUU Fk PQ UU UU kk kk PQ PQ DU DU QJrJr D P ++ −− +− −+ +− + +− +− +++ −− − ++− − + +−− =+ −− +− +− + ⎛⎞ +− + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ + ξξ η 1 1, 1, ,1, 1, 1, , , 1 1, 1, 1, 1, , , . s jij r ijij ij i jbi j s ij ij ij ij i ji j UD U c U U JrJrJJ + ++− −− + ++ −− ⎛⎞ −+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ηκ τ (58.6) Соотношения (58) назовем конечно-разностной схемой 3. Подведем итоги построения трех конечно-разностных схем. 1. Конечно-разностная схема 1 отвечает интегрированию по элементарному математическому объему rdrdz цилиндрической геометрии уравнения (45). 2. Конечно-разностная схема 2 отвечает интегрированию по элементарному математическому объему dd ξ η цилиндрической геометрии уравнения (51). 3. Конечно-разностная схема 3 отвечает интегрированию по элементарному математическому объему dd ξ η цилиндрической геометрии уравнения (56), то есть уравнению для функции Φ . Ключевой задачей проводимых ниже численных экспериментов является выяснение, какую особенность в решение задач вносит присутствие криволинейности и интегрирование уравнения переноса излучения по физическому и математическому объему rdrdz и dd ξ η соответственно. 2.4.5. Результаты вычислений. Сравнение плотности радиационного потока, предсказываемого по P1-приближению с аналитическим решением для плоского слоя В случае P1-приближения выбирался цилиндр, с радиусом R H >> ,где H -- высота цилиндра (рис.2.8). В этом случае на оси симметрии цилиндра имеем одномерную задачу переноса излучения в нерассеивающей среде. В данном случае предполагается, что =1 см H , =5 см R . На образующей цилиндра граничное условие для объемной плотности энергии излучения формулировалось в виде условия симметрии 0 U r ∂= ∂. На плоской границе 0 z=иzH = использовалось граничное условие Маршака [52]. Температурное поле задавалось линейным распределением вдоль оси z: min max min () / TTTTzH =+− . Здесь min 1000 K T= , max 10000 K T= .
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 82 Разбиение пространства узлами сетки было равномерным вдоль обеих осей. Размерность сетки составляла 500х100 узлов вдоль оси r и z соответственно. Результаты расчетов показаны на рис. 2.9. Аналитическое решение для z -компоненты плотности радиационного потока плоского слоя взято из [16]. Согласно приведенным формулам, для изотропной интенсивности внешнего излучения и нерассеивающей среды имеем: ()( )( )() 32 0 ()2 0 b WJE J T Ed τ τπτ τ ττ τ τ + ⎡⎤ ′ ′′ == + ⎡ ⎤ − − ⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ ∫ () ()( ) () 32 2 H HHb J EJ T E d τ τ π ττ ττ τ τττ − ⎡⎤ ′ ′′ −=− + ⎡ ⎤ − ⎢⎥ ⎣⎦ ⎢⎥ ⎣⎦ ∫ , ( 5 9 ) здесь () 1 2 0 exp n n x Exd − ⎛⎞ =− ⎜⎟ ⎝⎠ ∫µµ µ - интегро-экспоненциальная функция, введенная Чандрасекхаром [59]. В данном случае предполагалось, что внешнее излучение отсутствует: 0 JJ +− = =. Рис.2.8. Цилиндрическая геометрии, моделирующая плоский слой Рис. 2.9. Осевая компонента радиационной плотности потока, 2 Вт/см , =10 κ см-1 и =1 κ см-1 (справа). Сплошой кривой показан результат P1-приближения метода сферических гармоник, пунктирной кривой -- аналитическое решение
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 83 Видно, что при оптической толщине излучающего слоя 10 H= τ результаты, предсказываемые P 1-приближением метода сферических гармоник и аналитическим решением находятся в хорошем соответствии друг с другом (рис.2.9). При уменьшении оптической толщины слоя относительное различие увеличивается. Так, для 1 H= τ (рис.2.9) оно составляет 23%. 2.4.6. Результаты вычислений. Сравнение плотности радиационного потока, предсказываемого по P1-приближению с аналитическим решением для цилиндрической геометрии В первую очередь код для решения уравнения переноса излучения в нерассеивающей среде тестировался для объема цилиндрической геометрии, в центре которого размещалась высокотемпературная область с резким температурным градиентом. Такая модельная задача предложена и исследована в [16]. Достоинства этой тестовой задачи для проведения численных исследований конечно-разностных схем состоит в возможности изучать свойства решения для наименее благоприятных ситуаций излучающих областей с резкими температурными границами. Расчеты проводились для конечно-разностных схем, соответствующим уравнениям (45), (51) и (56). В рассматриваемом случае якобиан преобразования 1 J= ,то есть реализуется тождественное преобразование координат. Для всех трех схем проведены расчеты при различных "серых" коэффициентах поглощения излучения (постоянных в пространстве и по частоте излучения), меняющихся для разных вариантов в диапазоне -31-1 10 -10 см = κ . Для уравнений (51) и (56) полагается 1,0,0,1 zrzr ==== ξ ξηη. Температурное поле задавалось экспоненциальным законом: () ()4 min max 0 exp / TTT RR =+− , где 22 00 () () Rrrzz =−+ −, min 300 TK = , max 18000 TK = , 0 0см r= ,05см z= (рис.2.10). Использовались следующие граничные условия для объемной плотности энергии излучения. Вдоль прямых 0 см z= и 10см z= граничное условие записывалось в виде 0 U z ∂= ∂ , на прямой 0см y= соответственно 0 U r ∂= ∂ , на прямой 3см y= соответственно 4b J Uc = π . Распределение объемной плотности энергии излучения показано на рис.2.11. На рис.2.12-2.30 приведены результаты численного исследования. Для каждого коэффициента поглощения представлена объемная плотность энергии излучения (рис. 2.12 -- для -1 0.1 см = κ , в расчетах по схеме 1, рис.2.16 -- для -1 0.1 см = κ в расчетах по схеме 3, рис.2.20 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 1, рис.22.24 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 3),
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 84 аксиальная проекция плотности потока излучения ( рис.2.13 -- для -1 0.1 см = κ , в расчетах по схеме 1, рис.2.17 -- для -1 0.1 см = κ в расчетах по схеме 3, рис.2.21 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 1, рис.2.25 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 3), радиальная проекция плотности потока излучения (рис.2.14 -- для -1 0.1 см = κ , в расчетах по схеме 1, рис.2.18 -- для -1 0.1 см = κ в расчетах по схеме 3, рис.2.22 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 1, рис.2.26 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 3). Представлены также результаты расчетов мощности тепловыделения, обусловленной радиационными процессами (рис.2.15 -- для -1 0.1 см = κ , в расчетах по схеме 1, рис.2.19 -- для -1 0.1 см = κ в расчетах по схеме 3, рис.2.23 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 1, рис.2.27 -- для -1 0.01 см = κ в расчетах по схеме 3). Двумерные поля объемной плотности энергии излучения, аксиальной и радиальной составляющих плотности потока излучения, а также мощность объемного тепловыделения, соответствующие конечно- разностной схеме 2 здесь не приводится из-за отсутствия визуального отличия от результатов конечно-разностной схемы 3. На рис.2.28-2.31 показаны результаты сравнения рассчитанных разными методами профилей радиальных проекция потока излучения и объемной плотности энергии излучения в центре горячей области. Рис.2.28 и 2.30 соответствуют радиальной проекции плотности потока излучения для коэффициента поглощения -1 0.01 см = κ и -1 0.1 см = κ соответственно, рис. 2.29 и 2.31 соответствуют объемной плотности энергии излучения для коэффициента поглощения -1 0.01 см = κ и -1 0.1 см = κ соответственно. Рис. 2.10. Температурное поле, К
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 85 Рис.2.11. Объемная плотность энергии излучения абсолютно черного тела, соответствующая температурному полю, изображенному на рис.2.10 Рис.2.12. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.1 см = κ , схема 1 Рис.2.13. Осевая проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , -1 0.1 см = κ , схема 1 Рис.2.14. Радиальная проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , -1 0.1 см = κ , схема 1
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 86 Рис. 2.15. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 0.1 см = κ , схема 1 Рис.2.16. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.1 см = κ , схема 3 Рис.2.17. Радиальная проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , -1 0.1 см = κ ,схема 3 Рис.2.18. Осевая проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , -1 0.1 см = κ , схема 3
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 87 Рис.2.19. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 0.1 см = κ , схема 3 Рис. 2.20. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.01 см = κ , схема 1 Рис. 2.21. Аксиальная проекция плотности потока, 2 Вт/см , -1 0.01 см = κ , схема 1 Рис. 2.22. Радиальная проекция плотности потока, 2 Вт/см , -1 0.01 см = κ , схема 1
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 88 Рис. 2.23. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 0.01 см = κ , схема 1 Рис. 2.24. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.01 см = κ , схема 3 Рис. 2.25. Аксиальная проекция плотности потока, 2 Вт/см , -1 0.01 см = κ , схема 3 Рис. 2.26. Радиальная проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , -1 0.01 см = κ , схема 3
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 89 Рис. 2.27. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 0.01 см = κ , схема 3 Y Wy 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0E+00 1.0E+03 2.0E+03 3.0E+03 SCHEME 1 SCHEME 3 SURZIKOV SCHEME 2 Y U 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0.01 0.02 0.03 0.04 SCHEME 1 SCHEME 3 SURZIKOV SCHEME 2 Рис. 2.28. Радиальная проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , и объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.01 см = κ Квадраты -- численная схема 1, ромбы -- численная схема 2, треугольники -- численная схема 3, окружности -- результаты из [16] Y Wy 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.0E+00 5.0E+03 1.0E+04 1.5E+04 2.0E+04 2.5E+04 3.0E+04 3.5E+04 SCHEME 1 SCHEME 3 SURZIKOV SCHEME 2 Y U 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 1 2 3 4 SCHEME 1 SCHEME 3 SURZIKOV SCHEME 2 Рис. 2.29. Радиальная проекция плотности потока излучения, 2 Вт/см , и объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см -1 0.1 см = κ Квадраты -- численная схема 1, ромбы -- численная схема 2, треугольники -- численная схема 3, окружности -- результаты из [16]
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 90 Сравнивая указанные осевые распределения, приходим к выводу, что все три схемы дают хорошо совпадающие между собой результаты при коэффициентах поглощения -1 0.1 см = κ и -1 0.01 см = κ ,атакжес результатами расчетов из [16]. 2.4.7. Результаты вычислений. Плотность радиационного потока, предсказываемая по P1-приближению для соплового блока В данном расчетном случае моделировался перенос излучения в сопле модельного реактивного двигателя. Насколько известно авторам, задача в подобной постановке решалась ранее в работе [60,61]. Верхняя граница сопла задается двумя параболическими функциями. Геометрия профиля и расчетная сетка показана на рис.2.5. Температурное поле задавалось в виде тороида функцией (рис.2.30): () () 4 min max 0 exp / TTT RR =+− , где 22 00 ()( ) Rrrzz =−+ −, min 300 K T= , max 18000 K T= ,00 r= ,05см z= , 0 4.5см R= . Целью данного численного эксперимента является вычисление нормальной составляющей плотности радиационного потока к образующей сопла при использовании различных численных схем (конечно-разностные схемы 2 и 3), а также выяснение влияния криволинейности расчетной сетки на получаемое численное решение. Задача решается на сетках с различной степенью густоты, чтобы проверить сходимость результатов. Граничное условие на оси симметрии задавалось в виде 0 U r ∂= ∂ .Налевой и правой границе - 0 U z ∂= ∂ , на образующей -- отсутствие потока: 3 Uc U n ∂=− ∂κ. Расчетная сетка строилась аналитическим способом. Расчетная область разбивалась на три подобласти по оси z , в каждой подобласти проводилось сгущение узлов к границе подобласти с помощью сжимающей функции. В данном случае сжимающей функций является тангенс. Более подробно об аналитических способах построения сеток см. в [55]. Во всех расчетах значение объемной плотности энергии излучения получено с относительной точностью 10-8 . На рис.2.32 и 2.34 приведены поля объемной энергии излучения, соответствующей коэффициенту поглощения -1 1см = κ для конечно- разностных схем 2 и 3 соответственно, рис.2.33 и 2.35 приведены поля
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 91 объемной энергии излучения, соответствующей коэффициенту поглощения -1 0.1 см = κ для конечно-разностных схем 2 и 3 соответственно. Кроме этого были проведены расчеты объемной мощности тепловыделения. Рис.2.33 и 2.35 соответствуют мощности тепловыделения, соответствующей коэффициенту поглощения -1 1см = κ для конечно-разностных схем 2 и 3. Рис.2.37 и 2.39 соответствуют мощности тепловыделения, соответствующей коэффициенту поглощения -1 0.1 см = κ для конечно-разностных схем 2 и 3. На рис.2.40-2.42 приведены сравнительные графики объемной плотности энергии излучения и нормальной составляющей плотности радиационного потока на внешнюю границу расчетной области для постоянного по пространству коэффициента поглощения -1 1см = κ при использовании расчетных сеток, различающихся по густоте: 75х35, 150х75 и 300х150 узлов, откуда можно судить о хорошей сходимости решения на конечно-разностных сетках. Рис.2.30. Температурное поле, К Рис.2.31. Объемная плотность энергии излучения абсолютно черного тела, соответствующая температурному полю на рис. 32, 3 эрг/см Рис.2.32. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 1см κ= ,схема 2
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 92 Рис. 2.33. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 1см κ= , схема 2 Рис.2.34. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 1см κ= , схема 3 Рис. 2.35. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 1см κ= , схема 3 Рис.2.36. Объемная плотность энергии излучения абсолютно, 3 эрг/см , -1 κ=0.1 см , схема 2
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 93 Рис.2.37. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 κ=0.1 см , схема 2 Рис.2.38. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 κ=0.1 см , схема 3 Рис.2.39. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 κ=0.1 см , схема 3 Рис.2.40. Распределение объемной плотности энергии излучения, 3 эрг/см , и нормальная составляющая плотности радиационного потока, 2 Вт/см , -1 1см κ= , сетка 75х35 узлов. Сплошная кривая с кругами -- схема 2, треугольники -- схема 3
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 94 Рис.2.41. Распределение объемной плотности энергии излучения, 3 эрг/см , и нормальная составляющая плотности радиационного потока, 2 Вт/см , -1 1см κ= , сетка 150х75 узлов. Сплошная кривая с кругами -- схема 2, треугольники -- схема 3 Рис.2.42. Распределение объемная плотности энергии излучения, 3 эрг/см , и нормальная составляющая плотности радиационного потока, 2 Вт/см , -1 1см κ= , сетка 300х150 узлов. Сплошная кривая с кругами -- схема 2, треугольники -- схема 3
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 95 Из-за криволинейности верхней границы в данном расчетном случае, конечно-разностная схема 1 не применялась. Относительная ошибка конечно- разностой схемы 2 по отношению конечно-разностой схемы 3 составила 5.6% для сетки 75x35 узлов (рис.2.40), 2.4% для сетки 150x75 узлов (рис.2.41) и 0.2% для сетки 300x150 узлов (рис. 2.42) соответственно. Таким образом, можно заключить, что конечно-разностные схемы 2 и 3 при наличии криволинейности в схеме дают удовлетворительную относительную ошибку только на подробных расчетных сетках. Более того, конечно-разностная схема 3 в области стыков блоков сетки дает более гладкие результаты, чем схема 3. 2.4.8. Результаты вычислений. Плотность радиационного потока, предсказываемая по P1-приближению в сферической геометрии Третий расчетный случай состоял в исследовании переноса излучения в сферической геометрии. Целью данной задачи является расчет плотностей радиационных потоков к поверхности космического аппарата сферической формы и мощности радиационного тепловыделения при спуске аппарата в атмосфере Марса. Сферическое тело имеет диаметр ~ 66 см. Поле объемной плотности энергии излучения рассчитывалось в прилегающей сферической области диаметром 10 м. Вычисления искомых функций проводится в два этапа. На первом этапе предполагается, что коэффициент поглощения в среде не зависит от частоты излучения и является постоянной функцией по пространству. Данное приближение позволяет проинтегрировать спектральную интенсивность излучения по частоте, и в качестве радиационной испускательной способности окружающей среды можно принять 4/ b UT =% σ π,где () 52 4 5.67 10 / эрг ссмК σ − =× ⋅ ⋅ % - постоянная Стефана-Больцмана. Такое предположение хоть и является грубым, но позволяет за очень короткий промежуток времени (по сравнению, например, с методом дискретных направлений), избегая спектрального расчета, оценить порядок величины плотности радиационного потока и объемную мощность тепловыделения, обусловленную радиационными процессами. В дальнейшем, к задаче об интегральной по спектру спектральной интенсивности излучения будет применяться термин интегральная задача переноса излучения, или, короче, интегральная задача. На втором этапе предполагается, что коэффициент поглощения в среде зависит от состава среды и является функцией частоты излучения. Температурное поле, поле скоростей, концентрации компонентов атмосферы получены с помощью программного кода NERAT 2D [56]. Коэффициенты объемного поглощения излучения в среде получены с помощью программного кода ASTEROID [18]. Спектральный тип расчета является
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 96 весьма трудоемким, поскольку приходится решать интегральную задачу в пределах каждой спектральной группы, число которых может исчисляться сотнями. Однако этот метод позволяет предсказать реальные радиационные плотности потоков более точно в широком спектральном диапазоне при дальнейшем исследовании. В дальнейшем, задачу о переносе излучения с учетом спектральных свойств среды будем называть спектральной задачей переноса излучения, или, короче, спектральной задачей. Расчетная схема строилась аналитическими методами и имела число узлов 61х141 узлов (см. рис.2.6). Сначала рассмотрим результаты, полученные при решении интегральной задачи. Плотность радиационного потока к поверхности сферы вычислялась в широком диапазоне изменения " серого" коэффициента поглощения (-4 -1 κ=10 - 1 см ).Температурное поле для интегрального расчета показано на рис.2.43. Результаты расчета по численным схемам 2 и 3 сравниваются по полю объемной плотности энергии излучения, мощности тепловыделения в объеме и плотности радиационного потока к поверхности сферы. Плотности радиационного потока к поверхности сферы при " сером" коэффициенте поглощения, полученные в P 1-приближении метода сферических гармоник сравниваются с решением, полученным методом дискретных направлений (МДН). В методе дискретных направлений количество лучей, выпущенных в полуплоскость с поверхности сферы бралось равным 121, их распределение в телесном угле 2π было равномерным. Количество точек интегрирования вдоль каждого луча было одинаковым и бралось равным 100. Расчетное время при таких параметрах составляло примерно 10 часов. Коэффициенту поглощения излучения в среде -1 κ<<1 см соответствует большие значения коэффициента диффузии излучения в среде, поэтому поле объемной плотности излучения легко диффундирует по пространству. При таком поглощении выполняется соотношение b UU <<. На рис.2.44, 2.47 и 2.49 изображено поле объемной плотности энергии излучения для коэффициентов поглощения излучения в среде -1 =1 см κ , -1 =0.1 см κ , -1 =0.01 см κ соответственно. На рис.2.45 приведен график сравнения плотности потока излучения к поверхности сферы, полученный по результатов расчетов по схеме 2 и 3 для коэффициента поглощения -1 =1 см κ . Максимальное относительное различие между результатами, соответствующим двум конечно-разностным схемам, составило 0.007%. При уменьшении коэффициента поглощения излучения относительная ошибка между результатами, соответствующим схемам 2 и 3 существенно не изменяется, поэтому аналогичные сравнительные графики для меньших коэффициентов поглощения излучения не приводятся. На рис.2.48 приведено сравнение плотности радиационного потока к поверхности сферы для коэффициента поглощения -1 =0.1 см κ , рассчитанного двумя способами: по 3
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 97 конечно-разностной схеме P1-приближения метода сферических гармоник и по методу дискретных направлений. Объемная мощность тепловыделения при коэффициенте поглощения -1 1см = κ представлена на рис.2.46. Рис. 2.43. Температурное поле, К Рис.2.44. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 1см κ= , схема 3 Рис. 2.45. Плотность потока к поверхности, 2 Вт/см , -1 1см κ= . Сплошная кривая -- схема 2, треугольники -- схема 3
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 98 Рис. 2.46. Мощность тепловыделения, 3 Вт/см , -1 1см κ= Рис. 2.47. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.1 см κ= Рис. 2.48. Плотность радиационного потока к поверхности сферы. -1 0.1 см κ= . Сплошная кривая соответствует методу дискретных направлений, пунктирная кривая -- схеме 3 P1-приближения МСГ
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 99 Рис. 2.49. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см , -1 0.01 см κ= Из рис.2.48 видно, что относительное различие в величине плотности потока для передней критической точки на поверхности сферы составляет 17.6%. При дальнейшем уменьшении коэффициента поглощения стоит принять в учет следующее. Плотность радиационного потока находится по следующей формуле 3 c gradU κ =− W . Легко оценить порядок абсолютной разности между значениями объемной плотности энергии излучения, скажем, в передней критической точке и к ней соседней. Тогда формула плотности потока преобразуется к простому виду 3 cU x κ ∆ =−∆ W , где учтено, что луч, исходящий из передней критической точки совпадает с осью х. Исходя из геометрии заложенной сетки, находим, что 0.03 см x ∆≈ , 3 1.5 эрг/см U≈ , 2 2300 Вт/см W≈ . В результате получаем -4 3 5x10 эрг/см U ∆≈ . Относительная разность объемной плотности энергии излучения в двух соседних узлах расчетной сетки вблизи критической точки составит 4 10 U U− ∆≈ . Понятно, что относительная ошибка итерации при задачи полностью неявным методом должна составить величину порядка 1 ,,6 , 10 nn ij ij n ij UU U + − − =≈ ε , чтобы обеспечить точность нахождения плотности потока излучения величиной порядка 1%. Было замечено, что относительная ошибка между соседними временными слоями при использовании полностью неявной схемы при любом "сером" коэффициенте поглощения излучения никогда не падает ниже величины 7 10− . Это обусловлено конечностью разрядности представления переменных в памяти компьютера. В данном случае на каждую переменную типа real с плавающей запятой отводилось 4 байта памяти. Соответственно, чтобы более точно вычислить значения функции в узлах сетки, а, следовательно, и
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 100 абсолютную разность между ними в соседних узлах, использовалась двойная точность. Поэтому код, работающий с переменными размером 4 байта, назовем кодом с одинарной точностью, а код с переменными по 8 байт назовем кодом с двойной точностью. Понятно, что использование двойной точности будет тем актуальнее, чем меньше коэффициент поглощения. На рис.2.50 и 2.51 приведены данные, сравнивающие плотности потока излучения между кодами одинарной и двойной точности, а также - с методом дискретных направлений для коэффициентов поглощения излучения -1 0.01 см = κ и -1 0.001 см = κ . S W 0 50 100 150 200 500 1000 1500 2000 2500 3000 W _double precise_10-6 W_single precise_10-6 W _double precise_10-9 R ay tracing method Рис.2.50. Сравнение величины плотности радиационного потока к поверхности для программ с различной ошибкой вычисления объемной плотности энергии излучения; -1 0.01 см κ= Из рис.2.50 видно, что код с одинарной точностью и с двойной при итерировании до относительной ошибки функции объемной плотности энергии излучения 6 10− дают практически одинаковые результаты. Однако, при уменьшении относительной ошибки до величины 9 10− (такую точно уже не может обеспечить код с одинарной точностью переменных), результирующая плотность потока меняется на 7%, что является существенным отличием. Максимальное относительное отличие величины плотности потока, предсказанного кодом с двойной точностью, от результата, рассчитанного с помощью метода дискретных направлений составляет 11%. Из рис.2.51 видно, что относительная разность в значении плотности потока между решениями, полученными с относительной точностью вычисления объемной плотности энергии излучения 6 10− и 9 10− соответственно, достигает 15% в передней критической точке, относительное различие с методом дискретных направлений для результата, вычисленного с относительной точностью 9 10− составляет 60%. Таким образом, выполненное численное исследование показало, что численное отличие результатов расчетов P 1-приближения метода
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 101 сферических гармоник от результатов расчетов по методу дискретных направлений тем больше, чем меньше коэффициент поглощения излучения в среде. Для оптически толстой ( -1 1см ≥ κ ) и умеренно тонкой (-1 -1 0.01 см 1см ≤≤ κ ) среды данное приближение дает удовлетворительно согласующиеся результаты с погрешностью несколько десятков процентов. Время интегрального расчета не распараллеленного кода на компьютере с частотой процессора 2,33 ГГц составляет около одного часа при коэффициенте поглощения -1 0.1 см κ< . Рис.2.51. Сравнение величины плотности радиационного потока к поверхности для программ с различной ошибкой вычисления объемной плотности энергии излучения. -1 0.001 см = κ Для тонкой оптической среды -1 -1 0.0001 см 0.01 см ≤≤ κ время интегрального расчета может достигать ~ 20 часов, а относительная погрешность вычисления -- сотни процентов. Для такого рода оптической среды созданный код расчета плотности радиационного потока неприменим. Однако стоит отметить, что полученное пространственное поле значения объемной плотности энергии излучения следует использовать не столько для нахождения плотности радиационного потока, сколько для расчета мощности тепловыделения в пространстве за счет радиационных процессов. 2.4.9. Об устойчивости конечно-разностной схемы Конечно-разностная неявная схема одномерного уравнения переноса излучения имеет вид 11 1 1 1 11 2 2 sssss s iiiii ib UUUUU D cU cU h ++ + + + +− −− + =+ + κ κ τ ( 6 0 ) Аппроксимируя гармоническое возмущение вида ()() (,) exp exp Utx tix =µ ω , на равномерной пространственной и временной
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 102 сетках m xmh =иn tn = τ имеем exp( ) nn m Ui m h =λω . Подставляя его в конечно- разностную схему имеем 2 2 1 4 1s i n 2 Dh c h = ⎛⎞ +− ⎜⎟ ⎝⎠ λ τωκτ . Согласно критерию Неймана, схема безусловно устойчива при 1 ≤ λ . При отсутствии испускательной способности среды 2 2 1 4 1s i n 2 D h h = ⎛⎞ + ⎜⎟ ⎝⎠ λ τω , т.е. полностью неявная схема является безусловно устойчивой в пределе 0 → τ и0 h→. Здесь уместно ввести параболическое число CFLp= 2 2D h τ.Однако в реальности необходимо сравнить порядок величин 2 4D hτи cκτ.Для сохранения безусловной устойчивости имеем 2 4Dc h> τ κτили,чтотоже самое, 1h < κ . Данное условие является весьма сильным ограничением на недостаточно подробных сетках. На практике, при решении двумерного уравнения переноса излучения с использованием неявной конечно- разностной схемы, отсутствует практическая устойчивость при числе CFLp>1 1 П k ≥ . Причем отмечено, что чем меньше число CFLp, тем медленнее сходится итерационный процесс, однако и колебания относительной ошибки ε при этом менее выражены. 2.4.10. Спектральная задача Для учета оптических свойств среды необходимо заменить проинтегрированную по всему спектру функцию Планка групповой функцией интенсивности излучения абсолютно черного тела для спектрального диапазона g ∆ω: () () 0 0,, g bb JTJ T d ωω ω ω ∆ =∫ ,гдеT -температура,вК, 0 ω - волновое число, h , k -- постоянные Планка и Больцмана соответственно. Таким образом, излучательная способность тела в спектральном интервале [] /2, /2 −∆ +∆ ωωωω находится как () () 0 ,, gg g gb g b UJ T d J T ωω ω ω κω κ ∆∆ ∆ =≈ ∫ , здесь 1 g g gd ∆ =∆∫ω ω κκ ω ω - групповой коэффициент поглощения.
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 103 Предполагается, что спектральный коэффициент поглощения постоянен в переделах каждой спектральной группы. Интегральная объемная плотность энергии излучения находится суммированием спектральной плотности энергии излучения по всем спектральным группам: 1 g N g UU ω ∆ = =∑, интегральная плотность радиационного потока находится аналогично: 1 . 3g N g g c WU ω κ∆ = =∑ На рис.2.52 показано значение максимума коэффициента поглощения излучения по пространству в каждой спектральной группе. Пики поглощения излучения в инфракрасном диапазоне соответствуют колебательным полосам СО2, а в относительно коротковолновой части спектра - четвертой положительной системе полос СО. Спектральный интервал волновых чисел в диапазоне от 1400 см-1 до 100000 см-1 разбивается на 90 групп, в пределах каждой из которых коэффициент поглощения излучения в объеме считается постоянным. Поскольку характерная величина объемной плотности энергии излучения при малых значениях коэффициента поглощения в среде ( 4- 1 10 см − ≤ κ ) существенно меньше соответствующего значения в умеренно оптически тонкой среде 0- 4 - 1 10 10 см ≤≤ κ , вводилось ограничение коэффициента поглощения излучения фиксированным значением коэффициента поглощения во-избежании внесения больших арифметических погрешностей при вычислении коэффициента диффузии излучения. Такое численное приближение имеет также вычислительные достоинства. Было замечено, что скорость сходимость итерационной процедуры резко падает в оптически тонких слоях. Фактически, вычисления становятся неэффективными во временном плане при коэффициентах поглощения 41 10 см −− ≤ κ . Поэтому, было решено провести две серии численного эксперимента, ограничив снизу поле спектрального коэффициента поглощения значениями 31 10 см − − = κ и 21 10 см − − = κ , и сравнить полученные значения плотности радиационного потока к поверхности сферы с результатом метода дискретных направлений. При ограничении реального коэффициента поглощения какой-либо конкретной величиной происходит искусственное завышение радиационных потоков от спектральных групп, в которых коэффициент поглощения очень мал. Понятно, что искусственное завышение коэффициента поглощения некоторой величиной (например, -2 -1 10 см ) сильно завысит реальный поток от спектральных групп, в которых спектральный коэффициент поглощения меньше, чем -2 -1 10 см . Однако, как показывают расчеты столь грубая оценка является весьма выгодной не только в плане экономии машинного времени, но и в плане точности.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 104 На рис.2.53 показано сравнение интегральной плотности потока, вычисленной для пяти спектральных групп с коэффициентом поглощения 2 10 κ − > см1 с использованием P1 -- приближения МСГ. Относительная отличие с МДН для передней критической точки составила примерно 10%. Это меньше, чем дало аналогичное сравнение, проведенное для серого коэффициента поглощения (рис.2.50). Уменьшение относительной разницы может быть обусловлено тем, что отличие P1- приближения от метода дискретных направлений компенсировалась учётом пяти наиболее интенсивно светящих спектральных групп из всего спектрального интервала. Объемная плотность энергии излучения, соответствующая плотности потока излучения на рис.2.53 показана на рис. 2.54. Рис. 2.52. Зависимость спектрального коэффициента поглощения от волнового числа в диапазоне 1.5х103-105 см-1 для температурного поля, изображенного на рис.2.43. Треугольниками помечены середина спектральной группы, в пределах которой коэффициент поглощения считался постоянной величиной, по оси ординат отложено максимальное по пространству значение коэффициента поглощения в соответствующей спектральной группе Сравнивая значения объемной плотности энергии излучения вдоль критической линии тока с соответствующим значением интегральной интенсивности излучения, приходим к выводу, что при малых поглощениях функции мощность тепловыделения может быть легко оценена по формуле () 4-4 bb Qd i v JJ J πκπ κ == > > W . Также был проведен численный эксперимент при ограничении коэффициента поглощения величиной -3 -1 10 см . Сравнение полученного значения плотности радиационного потока в P 1-приближении и МДН представлено на рис.2.55. Объемная плотность энергии излучения,
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 105 соответствующая минимальному коэффициенту поглощения в среде -3 -1 10 см = κ показана на рис.2.56. Несмотря на то, что при аналогичном численном эксперименте с "серым" коэффициентом поглощения (рис.2.51) достигается значительно большее численное различие с плотности радиационного потока, предсказанного разными методами, при решении спектральной задачи относительная ошибка составила примерно 8% для передней критической точки, что является очень хорошим результатом. Хорошее согласование значения плотности потока для передней критической точки в этом случае можно объяснить также, как и в случае с ограничением минимального коэффициента поглощения величиной 2- 1 10 см − (рис.2.53). Рис.2.53. Сравнение P1-приближения МСГ и МДН (Ray-tracing method, RTM). Потоки по МСГ посчитаны и просуммированы только для спектральных групп с коэффициентом поглощения -2 -1 10 см κ≥ Рис. 2.54. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см . Расчет произведен для спектральных групп с -2 -1 10 см κ≥
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 106 Рис.2.55. Плотность потока, посчитанная в P1-приближении МСГ. Учтены спектральные группы с коэффициентом поглощения -3 -1 10 см κ≥ . Сплошная кривая соответствует методу сферических гармоник, пунктирная кривая -- методу дискретных направлений Рис.2.56. Объемная плотность энергии излучения, 3 эрг/см . Учтены спектральные группы с коэффициентом поглощения -3 -1 10 см κ≥ Таким образом, в данном разделе показаны результаты расчетов переноса излучения для объемов трех разных геометрий, которые показали сильную зависимость от способа составления конечно-разностной схемы. При интегрировании по элементарному объему уравнения переноса излучения в полу дивергентном виде (уравнение (51) и (45)): скорость изменения скалярной величины в некотором физическом объеме (в нашем случае это
2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке 107 цилиндрический объем rdrdz ) есть сумма излучения, производимого внутри этого объема и излучения, проникающего через границу. При переходе от цилиндрических координат (, ) rz к криволинейным координатам (,) ξ η объем rdrdz переходит в объем Jdd ξ η . Интегрирование уравнения (56) по объему Jdd ξ η показывает, что наиболее точным способом аппроксимации подынтегральных выражений является вынесение якобиана преобразования за интеграл с последующим его сокращением во всем уравнении, что эквивалентно интегрированию уравнения по криволинейному объему dd ξ η , для которого физический смысл переноса излучения через границу, сформулированный ранее, может не сохраняться. Сравнение результатов расчетов для переноса излучения в цилиндрической области без криволинейности показывают, что численные схемы, соответствующие различным объемам интегрирования (физическому и криволинейному) дают хорошее согласование результатов для коэффициентов поглощение больших -1 0.1 см , т.е. для оптически плотной среды. Тестирование кода для геометрии, имеющей сильную криволинейность, показало, что в областях, где якобиан преобразования наиболее сильно отличается от 1, наблюдается сильное расхождение результатов между численными схемами, использующими дивергентный и недивергентный вид уравнения переноса излучения. Установлено, что предсказываемые по P 1-приближению плотности спектральных потоков имеют некоторое расхождение с результатами, полученными по методу дискретных направлений. Это расхождение оказалось тем больше, чем меньше коэффициент поглощения излучения в среде. При коэффициентах поглощения -1 ~1 см κ различие составляет примерно 51 5 % − , что является достаточно хорошим совпадением. Однако в более тонких оптических слоях ( -3 -1 ~10 см κ ) различие интегральной плотности потока может достигать сотни процентов. Кроме этого, было отмечено, что время расчета интегральной задачи при реальных коэффициентах поглощения до необходимой относительной точности (8 ~10 ε − ) при малых коэффициентах поглощения излучения существенно возрастает по сравнению с оптически плотными слоями, доходя до нескольких суток. С целью уменьшения расчетного времени применялся следующий подход: реальное поле коэффициента поглощения в каждой спектральной группе ограничивалось снизу наперед заданной величиной. Спектральные группы, имеющие коэффициент поглощения меньше заданной величины не рассчитывались вообще. Это позволило сократить количество ощутимо излучающих спектральных групп на порядок и, в то же время, получить приемлемую точность расчета плотности радиационного потока, так как погрешность приближения вносилась существенно меньшим количеством спектральных групп.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 108 2.5. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник на неструктурированной сетке В данном разделе исследуется возможность использования P1- приближения метода сферических гармоник для расчета лучистого теплообмена в неоднородных объемах сложной геометрии на неструктурированных сетках. Уже отмечалось, что среди большого количества методов решения уравнения переноса излучения можно выделить метод сферических гармоник (МСГ). Наиболее простая реализация МСГ называется P1-приближением, в котором интенсивность излучения представляется в виде суммы двух полиномов Лежандра. P1-приближение МСГ является широко распространенным методом расчета переноса излучения в силу простоты реализации для объемов сложных геометрий и хорошей точности в оптически плотной и умеренно тонкой среде (см. предыдущий раздел). Недостатки P1-приближения МСГ в теории переноса теплового излучения хорошо известны и неоднократно обсуждались в литературе: понижение точности расчетов в оптически прозрачной среде, около границ расчетной области и в среде с сильными градиентами оптических и газодинамических переменных. Аналогичные проблемы отмечались физике защиты ядерных реакторов. Несмотря на отмеченные недостатки, P1-приближение представляет собой мощный и эффективный инструмент расчета спектрального радиационного нагрева в теории теплообмена излучением и радиационной газовой динамики. Трудоемкость P1-приближения не увеличивается слишком сильно при увеличении размерности задачи и при использовании неструктурированных сеток, а учет и алгоритмическая компенсация недостатков данного метода позволяет достичь точности расчетов, сопоставимых с общей точностью получаемых при решении радиационно- газодинамической задачи результатов. Это является мотивацией для исследования свойств метода применительно к задачам переноса излучения в сжатом слое и следе входящих в плотные слои атмосферы космических аппаратов. Кроме этого, опыт вычисления объемной плотности энергии излучения и дивергенции вектора плотности потока, задающей объемную мощность тепловыделения, обусловленного радиационными процессами, показывает, что данные физические величины вычисляются с применением P1- приближения заметно точнее, чем плотность потока изучения, на ограничивающих объем поверхностях. В данном разделе обсуждаются некоторые алгоритмические способы решения уравнения переноса селективного теплового излучения, сформулированного в P1-приближении МСГ, позволяющие получить распределение спектральных потоков вдоль поверхности КА для оптически тонких слоев с удовлетворительной точностью по сравнению с
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 109 асимптотически точным методом решения уравнения переноса излучения (метод дискретных направлений -- Ray-Tracing Method). Предлагаемые алгоритмы обладают высокой вычислительной эффективностью по сравнению с другими альтернативными способами решения уравнения переноса излучения. Материал данного раздела основан на работах [66-68]. 2.5.1. Постановка задачи и система уравнений В качестве примера рассмотрим перенос селективного излучения к поверхности тела сложной формы в марсианской атмосфере. Геометрия задачи является двумерной осесимметричной. Рассматриваются две геометрии КА: сферической формы и формы, подобной аппарату Pathfinder. Такая форма также рассматривается как одна из возможных при создании тепловой защиты спускаемого аппарата в Европейском проекте EXOMARS [65]. Геометрия этих форм представлена на рис.2.57. Рис. 2.57. Неструктурированная сетка для сферического КА и для КА формы Pathfinder. Уравнение переноса излучения в P1-приближении МСГ решается на неструктурированных треугольных сетках. Ориентированность на неструктурированные сетки обусловлена желанием исследовать данный расчетный метод для решения задач теплообмена излучением в объемах произвольной геометрии. К преимуществу данного подхода также относится возможность использовать в расчетах подробные адаптивные сетки при относительно небольших усилиях, прилагаемых к их построению.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 110 В данном разделе используется центрированная в объеме схема первого порядка точности. Для вычисления и интегрирования потока по граням расчетной ячейки применяется метод наименьших квадратов [66]. Верификация расчетов производится с помощью альтернативного метода расчета переноса излучения -- метода дискретных направлений (МДН) [16]. Этот метод представляет собой прямое интегрирование по угловым переменным формального решения уравнения переноса излучения, поэтому он является чрезвычайно трудоемким для двумерной и трехмерной геометрий. Однако данный метод позволяет получить асимптотическую сходимость при одной и той же спектральной оптической модели к точному решению уравнения переноса излучения в пределе бесконечно большого количества лучей, испущенных для интегрирования уравнения переноса излучения. Вывод системы уравнений P1-приближения МСГ для уравнения переноса излучения в двумерной цилиндрической осесимметричной геометрии дан в работе [16]. Здесь приводится результирующая система уравнений P1- приближения, называемая также "диффузионным" приближением уравнения переноса излучения в силу ее эквивалентности феноменологически вводимому уравнению диффузии теплового излучения: , div , 4 vv v v bv сUJ += Wκπ κ ( 6 1 ) grad , vvv DU =− W ( 6 2 ) где v U -- объемная спектральная плотность энергии излучения, v W -- вектор плотности спектрального потока, v κ -- спектральный объемный коэффициент поглощения излучения, , bv J -- интенсивность спектрального излучения абсолютно черного тела (функция Планка), c -- скорость света, v D-- коэффициент диффузии спектрального излучения, 1/3 vv D=κ,v-- спектральный индекс. Система уравнений (61) и (62) сводится к одному уравнению относительно функции объемной плотности энергии излучения v U.В цилиндрической осесимметричной геометрии уравнение переноса излучения в P1-приближении МСГ имеет вид: , 4 1 , bv vv vv v v J UU Dr D U rr rz z c ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ ⎛⎞ ⎛⎞ += − − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ∂∂ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ π κ ( 6 3 ) где r и z -- цилиндрические координаты. Спектральный индекс далее будет опускаться для краткости, кроме особо оговоренных случаев.
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 111 Для решения уравнения переноса теплового излучения в форме (63) необходимо в каждом узле расчетной сетки (или в каждом элементарном объеме), показанной на рис.2.57, задать температуру и концентрации химических компонент, с использованием которых затем рассчитывается спектральный коэффициент поглощения и спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела. Указанные величины находились при численном интегрировании системы уравнений движения вязкого, теплопроводного, химически неравновесного газа [56,69,72]. В указанных расчетах принимался в учет неравновесный характер кинетических процессов в смеси газов CO2, CO, C, O, O2, C2, N, N2, CN, NO, а также различие поступательных и колебательных температур в релаксационной зоне сжатого слоя и в следе. Особенностью используемой вычислительной модели является ее сопряженность с электронными базами данных химической и физической кинетики, термодинамических, теплофизических и оптических свойств. Газодинамическая система уравнений и уравнение переноса излучения решаются в рамках модели слабого радиационно-газодинамического взаимодействия. Правомерность такого приближения определяется отношением радиационной энергии налетающего потока к его полной энергии: rad3 4. q V ∞∞ Γ=ρ Здесь: rad q -- плотность потока интегрального по спектру излучения в передней критической точке, ∞ ρ и V∞ -- плотность и скорость налетающего невозмущенного потока. Число Γ называется числом Гуларда и вводится в работе [73]. Предположение о малости влияния процессов переноса излучения на пространственное распределение газодинамических переменных справедливо при 2 10− Γ≤. Параметры налетающего потока, используемые для расчета нагрева сферы, следующие: p∞ =2.462×100 эрг/см3, ∞ ρ = 1.01×10-8 г/см3, T∞ = 129 K, V∞ =7.49×105 см/с. Такие параметры соответствуют 42-й секунде полета MSRO [74]. Параметры налетающего потока для аппарата формы Pathfinder следующие: p∞ =3.528×102 эрг/см3, ∞ ρ = 1.186×10-6 г/см3, T∞ = 155.3 K, V∞ =3.842×105 см/с [75]. Такие параметры соответствуют высоте 50 км. Число Гуларда для обеих точек траектории не превышает 10-3. Это означает, что радиационные процессы оказывают слабое влияние на пространственное распределение газодинамических параметров. 2.5.2. Постановка задачи и система уравнений Для интегрирования (63) использован конечно-объемный метод первого порядка точности. Предполагается, что объемная плотность энергии
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 112 излучения Uν постоянна в каждом элементарном объеме и ее значение приписывается центру масс элементарного объема. Плотность потока излучения рассчитывается в центре границы элементарного объема и предполагается также постоянной для каждой отдельной границы данного элементарного объема. Конечно-объемная запись уравнения имеет следующий вид: () , , v vv b v v sV U dU U d V κ τ ∂+= − − ∂∫∫ Ws ( 6 4 ) где V -- элементарный объем; S -- поверхность, ограничивающая элементарный объем V ; ν W -- вектор спектральной плотности потока через поверхность элементарного объема. В (64) введено фиктивное временное слагаемое для решения задачи методом установления. В данной работе реализован итерационный метод нижней релаксации. Для вычисления компонент вектора плотности потока через поверхность элементарного объема использовался метод наименьших квадратов. Для геометрического центра каждой грани элементарного объема находились и запоминались номера соседних элементарных объемов, которым принадлежат один или несколько узлов, образующих данную грань. Данная процедура является весьма трудоемкой в силу необходимости полного перебора всех элементов и граней расчетной сетки, поэтому представляется целесообразным провести такого рода поиск один раз и записать таблицу соседних элементов в файл. Предполагается, что значение объемной плотности энергии излучения в интересующей точке (а именно, в центре грани текущего элементарного объема) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности центра соседнего элементарного объема, удержав члены первого порядка малости: ,, 00 0 () () vv vi v i i UU UUyy z z yz ∂∂ =+ −+ − ∂∂ . ( 6 5 ) Из соотношения вида (65), записанного для каждого соседнего объема, составляется нормальная система уравнений: ˆ , A= XF ( 6 6 ) где () () ()()() () () () () () 00 2 000 0 2 00 00 ˆ , ii ii i ii i ii ii iii iii iiiii ii ii i yy zz Ay y y y y y z z zz yyzz zz ξξξ ξ ξξ ξξ ξ ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =− − − − ⎜⎟ ⎜⎟ −− − − ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑∑ ∑∑∑ ∑∑∑
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 113 ,0 0 0 /, / v v v U Uy Uz ⎛⎞ ⎜⎟ =∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ X () () , 0, 0, . vii i iv i i i iv i i i U yyU zzU ξ ξ ξ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ ∑∑ F Коэффициенты матрицы А зависят только от геометрических свойств сетки, поэтому эффективным способом решения системы (66) является метод LU-разложения, поскольку матрицу А можно разложить на верхнюю и нижнюю треугольные матрицы один раз и запомнить это разложение. Весовые коэффициенты iξ вводятся с целью уменьшения влияния элементарных объемов, далеко отстоящих от центра грани текущего элементарного объема при нахождении величины ,0 v U и ее частных производных. Хорошо зарекомендовал себя следующий способ задания весов:() () () 1 44 00 ii i yy zz − =−+ − ξ . Вектор спектрального потока v W через грань элементарного объема вычисляется следующим образом: 0 0 3 vv vy z v UU c yz κ⎛⎞ ∂∂ =− + ⎜⎟ ⎜⎟ ∂∂ ⎝⎠ Wn n . 2.5.3. Расчетные сетки и граничные условия Для выполнения расчетов используются двумерные треугольные неструктурированные сетки. Расчетные сетки для сферического тела и КА формы Pathfinder представлены на рис.2.57 и содержат 9000 и 15000 элементов соответственно. Сетки имеют адаптивное сгущение в предполагаемой области больших градиентов газодинамических величин. Проблема определения граничных условий для уравнений переноса изучения, сформулированных в приближении МСГ, состоит в том, что объемная плотность энергии излучения находится в результате интегрирования интенсивности излучения по полному телесному углу, однако на границе расчетной области угловое распределение интенсивности излучения может быть задано только в половине телесного угла. Принципиальная невозможность сформулировать точные граничные условия приводит к необходимости использовать различного рода приближения. В данной работе используется граничное условие Маршака [16], полученное в результате усреднения интенсивности излучения с помощью моментной процедуры. Указанное условие, применяемое на поверхности КА, имеет вид:
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 114 , 4 2 , 3 bw J UUc ∇+= n π κκ где n -- единичный вектор нормали, , bw J -- спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела при температуре поверхности. Предполагается, что граница тела излучает как абсолютно черное тело со степенью черноты ε = 1. 2.5.4. Газовая динамика и химическая кинетика Поля температуры, давления и концентрации химически активных компонент смеси рассчитывались с помощью программного комплекса NERAT-2D [56]. Для сферического тела марсианская атмосфера моделировалась шестикомпонентой смесью (CO2, CO, C, O, O2, C2) и 18 химическими реакциями [76]. Использованная кинетическая модель приведена в [77]. Для КА формы Pathfinder в химическую модель системы добавляется молекулярный азот. Такая модель атмосферы содержит 10 химических соединений (CO2, CO, C, O, O2, C2, N, N2, CN, NO) и включает в себя 79 химических реакций. Использованная кинетическая модель приведена в [77]. Учет молекулярного азота в химической модели марсианской атмосферы не приводит к существенному увеличению плотности интегрального радиационного потока [77,78], несмотря на большое сечение испускания CN по сравнению с сечениями испускания молекул CO2 и CO. Это объясняется двумя причинами: относительной малостью доли молекулярного азота в набегающем потоке и малым вкладом излучения молекул азота и азотистых соединений в интегральный радиационный поток. Пространственные распределения температуры и давления, использованные в расчетах переноса излучения, показаны на рис.2.58 и 2.59 для сферического тела и КА формы Pathfinder. Рассчитанная концентрация оптически активных компонент CO и CO2 показана на рис.2.60 и 2.61 для тех же геометрий. Оптические свойства среды рассчитаны с помощью программы ASTEROID [18,79]. Использовалась многогрупповая модель переноса излучения. Диапазон волновых чисел ∆ω = 1400--100000 см-1 разбивался на 90 неоднородных по спектру групп, в каждой из которых проведено усреднение коэффициента поглощения по вращательной структуре. В спектральном диапазоне ∆ω учитывались колебательно-вращательные полосы поглощения молекул CO2, CO, электронно-колебательные полосы молекул CO, O2, процессы фотодиссоциации молекул CO, O2. В силу малости ионизации радиационные процессы с участием электронов не учитывались.
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 115 Рис. 2.58. Поля температуры в К и давления для сферического КА; давление нормировано на величину 5666.11 эрг/см3 Рис. 2.59. Поля температуры в К и давления для КА формы Pathfinder; давление нормировано на величину 175065 эрг/см3
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 116 Рис.2.60. Концентрация CO и CO2, массовая доля; давление нормировано на величину 5666.11 эрг/см3 Рис.2.61. Концентрация CO и CO2, массовая доля; давление нормировано на величину 175065 эрг/см3 На рис.2.62 изображен пространственный максимум коэффициента поглощения в зависимости от волнового числа в каждой спектральной группе для сферического тела и тела формы Pathfinder соответственно. Указанная
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 117 величина находилась в результате поиска максимальной величины коэффициента поглощения в заданной спектральной группе v по всей расчетной области: {} max , max , vv k k∈Ω = κκ где Ω -- сеточное пространство, покрывающее всю расчетную область; k -- номер элементарного расчетного объема. Пунктирная кривая соответствует сферическому КА, сплошная кривая -- КА формы Pathfinder. Хорошо идентифицируются колебательно-вращательные полосы поглощения CO2 (1, 2) и электронные полосы CO (2--4) в ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. Вся остальная часть спектра имеет относительно малый коэффициент поглощения. Основываясь на такой зависимости коэффициента поглощения от волнового числа, можно сделать предположение о том, что основная часть радиационного потока обуславливается именно полосами поглощения CO2 и CO, что подтверждается анализом кумулятивных функций интегральных радиационных потоков, выполненным в [78]. Как известно, P1-приближение принципиально неприменимо для описания переноса излучения в оптически прозрачных средах. Причем это утверждение касается как физического аспекта проблемы, так и сложности интегрирования уравнения (63). Однако преимущества P1-приближения МСГ в контексте проблемы построения эффективного алгоритма решения задачи радиационной газовой динамики космических аппаратов стимулируют поиск путей получения приемлемого приближенного решения указанной проблемы без заметного усложнения вычислительной процедуры. Напрашивается, по крайней мере, два простейших пути решения этой проблемы. Первый путь состоит в отбрасывании спектральных групп с малой оптической толщиной. Недостатком такого подхода является отсутствие априорных знаний о величине указанного предельного уровня. Второй путь состоит в учете всех спектральных групп, но такой модификацией (ограничением) коэффициента поглощения в группах с малой оптической толщиной, чтобы, с одной стороны, эта модификация позволила эффективно интегрировать уравнение (63), а с другой стороны, не искажала правильное решение. Очевидно, что оба указанных подхода подразумевают необходимость проведения априорных оценок. Алгоритмическая реализация такой оценки может быть различной. Задача данной работы показать практическую реализацию такого подхода. При этом заметим, что суть проблемы состоит в поиске оптимального уровня ограничения коэффициента поглощения. Большая величина min κ приведет к увеличению погрешности, связанной с нефизическим увеличением коэффициента поглощения и испускания газа. Чрезмерно малая величина min κ приведет к увеличению погрешности
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 118 решения уравнения переноса из-за искусственно завышаемой роли диффузии излучения. Для сферического тела вводится два уровня ограничения коэффициента поглощения: 10-2 см-1 и 10-3 см-1. Ограничение коэффициента поглощения min κ = 10-2 см-1 означает, что в расчет принимаются только те спектральные группы, максимальный по пространству коэффициент поглощения которых max min v> κκ = 10-2 см-1 (лежит выше соответствующей пунктирной прямой на рис.2.62). Далее в выбранных группах расчет ведется с коэффициентом поглощения k κ% , который определяется по формуле () min max , kk κκ κ = % . Аналогичные действия проводятся с ограничением коэффициента поглощения 10-3 см-1. Для второй формы КА процедура ограничения поглощения проводится несколько по-другому. Выбираются следующие три уровня ограничения поглощения: min κ = 10-1, 10-2 и 10-3 см-1. Для каждого уровня ограничения поглощения проводится аналогичный выбор спектральных групп с максимальным по пространству коэффициентом поглощения, большим, чем ограничитель поглощения. Но ограничения поглощения в пределах группы по пространству не производится. Таким образом, расчет переноса излучения для спектральных групп с достаточным коэффициентом поглощения сделан для реального коэффициента поглощения. Для каждой такой выборки спектральных групп проводится расчет плотности потока излучения к поверхности КА. Плотность потока излучения на поверхности КА. Рассчитываемая спектральная и интегральная по спектру плотность потока излучения вдоль поверхности КА сравнивалась с принятыми за эталон результатами расчетов по методу дискретных направлений. На рис.2.63 показано распределение интегральных плотностей радиационного потока вдоль поверхности сферического тела, полученные с использованием трех моделей переноса излучения. Кривая 1 соответствует расчету методом дискретных направлений для всех спектральных групп, кривая 2 -- расчету в P1-приближении МСГ с ограничением коэффициента поглощения 10-2 см-1, кривая 3 -- расчету в P1-приближении МСГ с ограничением коэффициента поглощения 10-3 см-1. Как и следовало ожидать, расчет плотности потока излучения к поверхности сферы демонстрирует зависимость величины плотности потока от принятого уровня ограничения поглощения. Ограничение поглощения 10-2 см-1 дает значение интегральной плотности потока излучения, различающееся от МДН на 3% для передней критической точки. Выбор ограничения поглощения 10-3 см-1 приводит к существенному завышению значения плотности потока. Представленные данные иллюстрируют пример неверного
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 119 решения уравнения переноса излучения, связанного с завышением коэффициента диффузии излучения , , 1 3 gk gk D=κ. Рис.2.62. Групповой коэффициент поглощения. Штрихпунктирные кривые -- уровни ограничения коэффициента поглощения, принятые в расчетах; 1, 2 -- колебательно- вращательные полосы CO2; 3, 4 -- электронные полосы CO Рис.2.63. Интегральная по спектру плотность потока излучения вдоль поверхности сферического КА
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 120 Распределение интегральной по спектру плотности радиационного потока для КА формы Pathfinder показано на рис.2.64. Кривая 1 -- расчет методом дискретных направлений для всех спектральных групп, кривые 2--4 -- расчет в P1-приближении МСГ для спектральных групп, соответствующих первому алгоритму решения уравнения переноса: из групповой модели исключаются спектральные группы с малым коэффициентом поглощения. Кривые 2--4 соответствуют ограничению коэффициента поглощения min κ = 10-3, 10-2 и 10-1 см-1. Кривая 5, иллюстрирующая результат расчета по второму пути модификации коэффициента поглощения, свидетельствует о неверном решении уравнения (63) для мажорированного по пространству величиной {} min max , kk k∈Ω = κκ κ коэффициента поглощения. Кривая 4 на рис.2.64 представляет расчет переноса излучения в 13 спектральных группах, кривая 3 -- в 30 группах, кривая 2 -- в 36 группах. Плотность потока предсказывается с точностью 20% для передней критической точки (кривая 1 и 2) и с точностью 30% для кромки КА (кривая 1 и 2). Для задней поверхности КА наблюдается худшее согласие результатов P1-приближения и МДН. Лучшее согласование результатов с МДН можно видеть для кривой 4 (P1-приближения с выборкой групп 10-1 см-1). Рис.2.64. Интегральная плотность потока излучения вдоль поверхности КА формы Pathfinder: 1 -- метод дискретных направлений; 2 -- P1-приближение МСГ, первый подход, min κ =10-3 см-1, 3 -- min κ =10-2 см-1, 4 -- min κ =10-1 см-1; 5 -- P1-приближение МСГ, второй подход, min κ =10-2 см-1
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 121 Учет спектральных групп с меньшим коэффициентом поглощения приводит к предсказанию завышенного значения интегральной плотности потока излучения на задней поверхности КА вследствие существенно большего коэффициента диффузии в следе КА по сравнению с областью, прилежащей к лобовой поверхности. Отсюда следует важный вывод: расчет радиационного нагрева задней поверхности КА в P1-приближении МСГ следует проводить с осторожностью, принимая во внимание существенную физическую погрешность P1-приближения для среды с малой оптической толщиной. Искусственное ограничение поглощения на уровне 10-2 см-1 по пространству внутри каждой группы приводит к существенному завышению значения плотности потока (кривая 5) по сравнению с аналогичным расчетом без ограничения поглощения внутри каждой группы (кривая 3). Завышение плотности потока происходит вдоль всей поверхности КА: так, для передней критической точки происходит увеличение интегрального потока с 8 до 15 Вт/см2. Аналогичная ситуация наблюдалась и при расчете сферического тела (кривые 1 и 3, рис. 2.63). Рис.2.64 демонстрирует увеличение плотности потока излучения вдоль поверхности КА для его передней области. Это объясняется отходом ударной волны от поверхности КА около кромки и увеличением излучающей области. Кроме этого, расчеты в P1-приближении и МДН предсказывают существенный нагрев задней поверхности КА на уровне 2--4 Вт/см2, что подтверждают выводы работы [80]. Кумулятивная функция плотности потока излучения для передней и задней критических точек КА формы Pathfinder представлена на рис.2.65а и б соответственно. Кривая 1 -- расчет в P1-приближении при выборке групп с ограничением 10-1 см-1, кривая 2 -- 10-2 см-1, кривая 3 -- 10-3 см-1. Диапазон волновых чисел, представленных на рис.2.65а и 2.65б соответствует инфракрасной части спектра. Ультрафиолетовая часть спектра вносит менее 0.5% в величину интегрального потока как для передней, так и для задней критических точек. 99.5% интегрального потока обусловлены инфракрасными полосами поглощения CO2 и CO (рис.2.62). Необходимо заметить, что расчет переноса излучения без модификации коэффициента поглощения по пространству для выборки спектральных групп с ограничением поглощения 10-1 см-1 не отображает вклад электронной полосы поглощения CO 2 на рис.2.62 как в передней, так и в задней критических точках КА, поскольку максимальное значение коэффициента поглощения в этой полосе меньше 10-1 см-1. Плотность потока, обусловленная первой полосой поглощения, составляет 76% для передней критической точки и 50% для задней критической точки от полного значения интегрального потока.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 122 (а) (б) Рис.2.65. Кумулятивная функция интегральной по спектру плотности потока излучения для КА формы Pathfinder; передняя (а) и задняя (б) критические точки; P1-приближение МСГ, первый подход: 1-- min κ =10-1 см-1, 2 -- min κ =10-2 см-1, 3 -- min κ =10-3 см-1 2.5.5. Оценка экономичности расчета с использованием P1-приближения Время работы МДН и P1-приближения для различных уровней ограничения коэффициента поглощения представлено в таблице 2.1. Следует отметить, что МДН представляет собой принципиально другую модель решения переноса излучения в отличие от метода сферических гармоник. Целью сравнения временной эффективности P1-приближения и МДН является демонстрация того факта, что, несмотря на отмеченные недостатки P1-приближения МСГ, можно предсказать радиационную плотность потока излучения с удовлетворительной точностью за существенно более короткое время. Таблица Время расчетов с использованнием МДН и P1-приближения Форма КА МДН P1, 10-1 см-1 P1, 10-2 см-1 P1, 10-3 см-1 Сфера 16ч - 42 мин 2.5 ч Форма Pathfinder 21 ч 20 мин 50 мин 3.2 ч Из таблицы 2.1 следует увеличение времени работы P1-приближения при уменьшении уровня ограничения коэффициента поглощения. Это объясняется увеличением количества спектральных групп, требующих
2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке 123 расчета, а также увеличением коэффициента диффузии в ячейках с малым коэффициентом поглощения. Для расчета сферического тела P1-приближение с ограничением поглощения 10-2 см-1 требует в 22 раза меньше времени, чем МДН. Аналогичную эффективность демонстрирует расчет КА формы Pathfinder. Таким образом, в данном разделе предложены алгоритмические способы использования метода сферических гармоник применительно к задачам радиационного нагрева КА сложной формы. Разработаны различные способы последовательного ограничения коэффициента поглощения в многогрупповой спектральной модели и обсуждена правомерность полученных результатов. Введенные способы ограничения коэффициента поглощения позволяют проводить расчеты спектрального радиационного нагрева поверхности КА в умеренно прозрачной оптической среде с сохранением приемлемой точности результатов и высокой временной эффективности расчетов. Проведены расчеты спектральной и интегральной плотности потока излучения к поверхности КА сферической формы и формы КА Pathfinder для наиболее теплонапряженных участков траектории спуска тела в атмосфере Марса. Расчеты проведены с использованием треугольных неструктурированных сеток. Показано, что с уменьшением оптической толщины возрастает не только физическая погрешность, но и резко увеличивается время, необходимое для получения конечного решения. Говоря о точках траектории и параметрах налетающего потока, представленных в данной работе, можно сделать вывод о нецелесообразности применения P1-приближения МСГ для спектральных групп с максимальным коэффициентом поглощения 10-3 см-1 и ниже. Выполнен анализ спектрального нагрева в области передней и задней критических точек КА формы Pathfinder. Выяснено, что радиационный нагрев как передней, так и задней критических точек обусловлен колебательно-вращательными полосами поглощения CO2 и электронными полосами поглощения CO, лежащими в инфракрасном диапазоне длин волн. Радиационный нагрев, обусловленный излучением в ультрафиолетовой части спектра, мал настолько (< 0.5%), что при дальнейших аналогичных расчетах спектральные группы, лежащие в интервале волновых чисел, больших 7×104 см-1, могут быть опущены для сокращения времени расчета. Остается открытым вопрос о степени чувствительности полученных значений плотности радиационного потока в зависимости от подробности расчетной сетки. В разделе представлена явная реализация метода конечного объема, поэтому время, затрачиваемое на получение численного решения, увеличивается пропорционально квадрату минимального размера ячейки при фиксированном значении числа Куранта--Фридрихса--Леви. Для сеток с очень подробной детализацией разработанная методика теряет свою временную эффективность.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 124 2.6. Решение уравнения переноса излучения методом дискретных ординат (МДО) на неструктурированной сетке В данном разделе дается анализ еще одного эффективного метода решения уравнения переноса теплового излучения в области сложной геометрии -- метода дискретных ординат (МДО). Представлен обзор работ по применению метода дискретных ординат к расчету переноса теплового излучения в однородных и неоднородных светорассеивающих средах. Анализируются различные варианты метода применительно к одно-, двух- и трехмерной геометрии. Обсуждается мотивация использования метода в задачах аэрофизики. Дана формулировка метода дискретных ординат, ориентированного на интегрирование уравнения переноса излучения в двух- и трехмерных объемах с использованием ортогональных конечно-разностных сеток. Особое внимание уделяется решению задач переноса в осесимметричной постановке. Обсуждается проблема расчета угловых ординат. Представлены результаты расчетов квадратур высоких порядков. Приведены результаты расчетов плотностей радиационных тепловых потоков на поверхности космического аппарата сложной геометрии. 2.6.1. История развития метода дискретных ординат и современное состояние Для решения плоскопараллельных задач переноса излучения в астрофизике С. Чандрасекаром [59] было предложено заменить угловой интеграл рассеяния квадратурным разложением, по причине чего такой подход получил название метода дискретных ординат. При дальнейшей разработке метода наметились два основных пути. В первом случае использовалась интегро-дифференциальная форма уравнения переноса излучения для получения балансных соотношений для ячейки конечного объема (SN-метод, метод конечного объема). Во втором случае использовалось формальное решение уравнения переноса вдоль характеристик (метод характеристик, метод характеристик с интерполяцией). Подробное описание методов дискретных ординат для решения уравнения переноса излучения применительно к простейшим типам геометрии можно найти в работе Л.П. Басса и др. [81]. Первые разработки SN метода связаны с именами ученых, внесших определяющий вклад в его формулировку и развитие: Б. Карлсона, В.Я.Гольдина, В.Н. Морозова, Е.С. Кузнецова. В работе [82] Карлсон и др. описывает вывод балансных соотношений метода дискретных ординат для переноса нейтронных ансамблей в реакторе. В основе лежат принципы физики переноса нейтронов. Приведены точные
2.6. МДО на неструктурированной сетке 125 соотношения баланса частиц для конечной ячейки, записанные в различных ортогональных системах координат. Уравнение переноса для ортогональной ячейки, записанное в разностном виде, связывает средние интегральные функции распределения нейтронов на гранях ячейки со средней интегральной функцией распределения по объему. Полученная разностная схема имеет больше неизвестных параметров, чем необходимо для решения задачи, поэтому из соображений непрерывности решения в ячейке вводятся аппроксимирующие формулы, связывающие средние величины на гранях со средней величиной функции распределения в объеме. При учете рассеяния, решение предполагается искать итерационными методами, последовательно учитывая вклад интеграла по столкновениям в суммарном балансе переносимой энергии. Также в этой работе даны рекомендации по выбору дискретных направлений, с целью повышения точности расчета баланса частиц в расчетной ячейке. Теория и вычислительные алгоритмы метода дискретных ординат наиболее детально разработаны для плоскопараллельной геометрии. Это связано с простотой записи одномерного уравнения переноса излучения. В этой геометрии уравнение в частных производных сводится к дифференциальному виду, что упрощает структуру решения и позволяет создать ряд специализированных и высокоэффективных алгоритмов. В [81] подробно рассматривается ряд алгоритмов для плоскопараллельной геометрии. Наряду с традиционными (так называемыми, характеристической, алмазной и т.п.) обсуждаются схемы повышенного порядка точности. В работе [83] производился расчет методом дискретных ординат для плоской одномерной геометрии. Среда предполагалась излучающей, поглощающей и рассеивающей. При расчете использовались Гауссовы и SN квадратуры. Установлено, что SN квадратура дает более точное решение, чем квадратура Гаусса того же порядка. В работе [84] Файвлэнд применил метод дискретных ординат для расчета поглощающей, излучающей и изотропно-рассеивающей среды ограниченной двумерной полостью с диффузно-отражающими стенками. Для аппроксимации интегралов по направлениям распространения излучения использовались квадратуры разных порядков. При сравнении суммарных потоков на стенку граничной области, полученных в Р3 приближении метода сферических гармоник, зональным методом и точным решением установлено, что метод дискретных ординат дает достаточно точное решение при меньших вычислительных затратах по сравнению с остальными методами. При моделировании переноса излучения от неравномерно нагретых сред или локально нагретых ограничивающих стенок в методе дискретных ординат возникает погрешность, названная «эффектом луча». В результате этого лучевого эффекта часто наблюдаются осцилляции решения, которые не могут быть убраны сгущением пространственной или угловой сеток. В
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 126 работах [85], [86] предложен способ, позволяющий устранить лучевой эффект от локально нагретой стенки без использования угловых сеток высоких порядков. Учитывая линейность уравнения переноса излучения, интенсивность представляется в виде суммы двух компонент, а решаемое уравнение переноса представляется в виде системы двух уравнений. Первое уравнение описывает перенос излучения от стенок внутри холодной среды без учета излучения, которое рассеивается в направлении распространения. Решение для указанной компоненты интенсивности излучения может быть найдено точно. Второе уравнение решается методом дискретных ординат при нулевых граничных условиях. Интеграл рассеяния от первой компоненты, который учитывается при решении второго уравнения, можно взять с большой точностью, используя численные методы. Такой подход, когда одна из компонент находится с высокой точностью, позволил значительно уменьшить лучевой эффект. Этот метод особенно эффективен, когда область ограничена локально нагретой поверхностью. Данный подход реализован для нахождения потоков падающих на стенку параллелепипеда ограничивающего среду с рассеянием в работе [85]. В [86] метод распространен на трехмерную геометрию. В [87] с помощью метода дискретных ординат проведен расчет радиационного теплопереноса в объеме трехмерной геометрии. Уравнения дискретных ординат получены для среды с поглощением, анизотропным рассеянием и переизлучением, ограниченной серыми стенками. Обсуждается стратегия решения и приводятся условия вычислительной устойчивости. Проведено моделирование нескольких тестовых задач. Получены результаты для S2, S4, S6, и S8- аппроксимаций, соответствующих 8, 24, 48 и 80 потокам (угловым направлениям), и проведено их сравнение с точными зональными решениями и разностной аппроксимацией Р3. Получены решения для условий, моделирующих поглощающие среды, а также среды с изотропным рассеянием. Для различных потоковых приближений обсуждается точность решения и сходимость. Сравнение с другими методами показало, что S4, S6 и S8- аппроксимации дают удовлетворительную точность. Эти решения могут использоваться при прогнозировании интенсивности излучения, падающей энергии и потока тепла через поверхность. Радиационный теплоперенос в двумерной цилиндрической геометрии исследован с помощью метода дискретных ординат в работе [88]. Численное решение уравнения переноса излучения получено при использовании SN- аппроксимации, а также при помощи итерационного алгоритма первоначально разработанного для переноса нейтронов [82]. Для демонстрации точности изложенного метода рассчитан радиационный теплоперенос для двух одномерных объемов с поглощением и рассеянием. Произведено сравнение с ранее опубликованными точными и экспериментальными данными, измеренными для реальных топок паровых котлов.
2.6. МДО на неструктурированной сетке 127 В вычислительном коде [89] использовались S 2, S4 квадратурные аппроксимации для решения уравнения переноса в цилиндрической осесимметричной геометрии. Сравнение с точным решением и данными, полученными экспериментально, показало приемлемую точность указанных аппроксимаций. Разработанный код использовался для расчета переноса тепла излучением в топках паровых котлов с частицами угля. Показана высокая чувствительность разработанного метода к температуре и плотности числа частиц. Первая попытка моделирования переноса излучения методом дискретных ординат в трехмерной цилиндрической геометрии предпринята в [90]. Для трехмерных цилиндрических областей отсутствуют экспериментальные данные или результаты, полученные с привлечением высокоточных методов (Монте-Карло, зональный метод). По этой причине производилось сравнение численных результатов зонального метода для трехмерной прямоугольной области с методом дискретных ординат, примененным в трехмерном цилиндрическом аналоге. Оценка модели показала, что метод дискретных ординат дает приемлемую точность при нахождении решения для несимметричных цилиндрических областей. В [91] применен SN- метод дискретных ординат для излучающей, поглощающей и анизотропно-рассеивающей среды заключенной в цилиндрическую полость с диффузно отражающими стенками. Функция рассеяния разлагалась в ряд по полиномам Лежандра, все расчеты производились с использованием S14 угловой квадратуры. Применение квадратур такого высокого порядка точности оправдано при расчете сред с высокой степенью анизотропии рассеяния. В работе исследуется влияние функции рассеяния на поток излучения падающего на стенку ограничивающей объем области. В работе [92] использована стандартная формулировка SN- метода дискретных ординат для описания переноса излучения плазмы дугового разряда в аргоне при атмосферном давлении. Распределение поля температур в дуге считается известным и взято из ранее опубликованных работ. Спектральный коэффициент поглощения аргона рассчитывался по специализированному коду NASA. Для определения температурной зависимости спектрального коэффициента поглощения в условиях резкой температурной использовалась экспоненциальная интерполяция. Расчет производился в многогрупповом приближении. В работе исследовалась зависимость характеристик поля излучения плазмы от пространственных и угловых сеток, от температуры и количества спектральных групп. В работе [93] произведено сравнение радиационных потоков в цилиндрических топках для различных угловых аппроксимаций низких порядков с точным решением. Сравнение показало, что полностью симметричное угловое распределение дает более точное решение, чем квадратура, основанная на кусочно-постоянном угловом распределении.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 128 Также произведено исследование чувствительности решения к изменению коэффициента поглощения. В основе работы [94] лежит вывод уравнения переноса излучения в формулировке метода дискретных ординат применительно к криволинейной ортогональной системе координат. Решена задача сложного теплообмена и найдена температура в среде заключенной между двумя бесконечными эллиптическими цилиндрами. В [95] применен аналогичный подход для определения температурного поля в изогнутых симметричных пластинах. Результаты получены для эллиптических, гиперболических и параболических профилей. Как уже отмечалось, успешным развитием метода дискретных ординат оказался метод характеристик. В методе характеристик численное интегрирование производится вдоль направления полета фотонов. В простейшем случае плоского слоя интегрирование вдоль характеристики проводится с использованием формального решения уравнения переноса. В прямоугольной декартовой системе координат характеристики являются прямыми линиями. Сложнее использовать метод характеристик в криволинейных системах координат. Владимировым В.С. был предложен алгоритм, в котором уравнение переноса в одномерной сферической геометрии интегрируется вдоль направления характеристики. Причем все характеристики проводятся параллельно некоторому направлению. Число угловых точек на каждом радиусе определяется числом пересечения окружности этого радиуса с характеристиками. Решение, полученное таким способом, сходится к точному решению уравнения переноса при уменьшении шага расчетной сетки по радиусы. Каждая характеристика может рассчитываться независимо от других, что делает данный алгоритм удобным для расчета на многопроцессорных ЭВМ. Однако, наличие жесткой связи между пространственной и угловой сеткой делает алгоритм Владимирова В.С. не экономичным. Часто для численного решения задач переноса излучения требуется значительно менее подробная сетка по углу, чем по пространственной переменной. Геометрия сетки такова, что на радиусах, удаленных от центра шара, располагается значительное число угловых точек сетки, а вблизи центра их число мало. В многомерных задачах узлы пространственной сетки могут не пересекаться характеристиками. В методе характеристик с интерполяцией для нахождения интенсивности в узле ячейки уравнение переноса интегрируют вдоль характеристики от грани ячейки до узла, в котором ищется интенсивность. Интенсивность на грани ячейки отыскивается интерполяцией через известные значения интенсивностей в узлах ячейки принадлежащих грани. В работе [96] предложен один из методов интерполяции, позволяющий упростить логическую схему счета. Для криволинейных ячеек производится спрямление границ. Приведены расчетные формулы для разных типов геометрии. В сравнении со
2.6. МДО на неструктурированной сетке 129 стандартным SN- методом метод характеристик с интерполяцией потребляет времени на 10-20% больше, зато имеет запас точности на более грубых сетках и не дает осциллирующего решения, чего нельзя сказать о SN- методе. Для двумерных областей в работе [97] применен метод характеристик с интерполяцией. Получены соотношения в предположении, что функция источника линейно изменяется вдоль характеристики. В работе применена линейная и кубическая интерполяция. Для параллелепипеда произведенное сравнение со стандартным методом дискретных ординат и с методом конечного объема показало более высокую точность метода характеристик. Причем при использовании кубической интерполяции ошибка расчета ниже, чем у линейной. В этой же работе выполнены расчеты для сред изотропно- рассеивающих и без рассеяния для разных оптических длин. Данный метод позволяет вести расчет на криволинейных сетках. В работе [98] использовался SN- метод для исследования переноса излучения в нерассеивающей среде (пары воды) в одномерной геометрии, ограниченной черными нерассеивающими стенками. Одномерная формулировка задачи позволила использовать метод характеристик для нахождения интенсивностей на гранях ячеек. Вычислялся полный тепловой поток на стенку при разных профилях температуры внутри области. Представлены результаты расчетов и произведено сравнение с результатами полученными методом потоков. Работа [99] является логическим продолжением работы [98], выполнена теми же авторами. Разработанный подход распространен на излучающую, поглощающую среду ограниченную диффузно-отражающими стенками. В работе установлено, что для используемых параметров среды (пары воды) для достижения высокой точности решения хватает двукратного учета отражения на стенке. В случае оптически тонких сред необходимо учитывать большее число отражений от стенок. Интегрирование уравнения переноса излучения в формулировке метода дискретных ординат позволяет связать среднюю интенсивность по объему ячейки со средними интенсивностями на гранях. В SN- методе указанные уравнения связи выбираются из условия непрерывности решения в ячейки. В работе [100] применялся метод характеристик для нахождения неизвестных интенсивностей на гранях через известные. В расчетной двумерной области вводится произвольная треугольная сетка. Внутри каждой ячейки характеристики среды считаются постоянными. В работе рассматривается задача переноса излучения с теплопроводностью для двумерных областей. Рассеивающая среда ограничена равномерно нагретыми диффузно отражающими стенками. Приведены радиационные потоки на поверхностях и температурные профили внутри параллелепипедов, круглых и эллиптических бесконечных цилиндров. Данный метод не имеет ограничений на форму области, так как все расчетные формулы записаны в
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 130 декартовой системе координат. Авторы [100] утверждают, что метод не дает осцилляций решений. В последующей работе тех же авторов [101] применен метод [85], позволяющий заметно повысить точность расчета сред с рассеянием, ограниченных локально нагретыми стенками. Если в работе [85] применялась двумерная ортогональная сетка, то в данной работе уменьшение лучевого эффекта стало возможным в двумерных областях произвольной формы. В работе [102] приведены соотношения для трехмерной геометрии, используя подход развитый ранее в [100]. При численном сравнении с расчетными данными, даваемыми зональным методом для параллелепипеда содержащего нерассеивающую среду, метод с использованием характеристик дает более точное решение, чем стандартный метод дискретных ординат [87]. В работе приведены численные результаты его применения для расчета радиационных полей сред ограниченных стенками произвольной геометрии. В работе [103] предложена схема численного решения задач переноса излучения в произвольных осесимметричных областях, которые могут содержать внутренние границы, разделяющие среды с различными показателями преломления, а также зеркально отражающие границы. Область разбивается на трехмерные пространственные ячейки, и уравнение переноса излучения интегрируется вдоль характеристик от одной грани ячейки до другой. Решение ищется во всей трехмерной области для лучей параллельных плоскости, которая содержит ось симметрии исследуемого объема и одну из главных координатных осей. Приводятся результаты для нерассеивающих сред, однако предлагаемая схема достаточно легко обобщается на случай изотропного и анизотропного рассеяния. Низкая точность стандартного SN- метода дискретных ординат для расчета поля излучения в областях, содержащих вакуумные полости, выдвигает необходимость разработки специальных методов нахождения решения. Тот факт, что в вакууме уравнение переноса излучения имеет аналитическое решение, позволил разработать специализированный VAC алгоритм [104]. В вакууме излучение распространяется без изменения вдоль характеристик. Алгоритм является локальным, то есть при расчете каждой расчетной ячейки производится геометрический анализ только соседних ячеек. Благодаря своей локальности алгоритм VAC может рассчитывать вакуум произвольной формы и легко включается в цикл расчета по разностной сетке. Таким образом, область с пустотами рассчитывается следующим образом: плотная среда рассчитывается каким-либо вариантом метода дискретных ординат, а вакуумные полости VAC алгоритмом. В работах [105]-[107] приведен метод выбора весовых коэффициентов с помощью метода характеристик для SN- метода дискретных ординат. В работах [105], [107] исследованы балансные уравнения метода дискретных ординат на предмет возникновения нефизических осцилляций интенсивности. С помощью метода характеристик находится решение в
2.6. МДО на неструктурированной сетке 131 ячейке [106]. Это решение используется для нахождения весов в балансном уравнении переноса излучения метода дискретных ординат. В [106] приведены характеристические поверхности для расчетной ячейки в цилиндрической системе координат. Другой способ решения уравнения переноса излучения называется методом конечного объема [108]. В этом методе узлы расчетной сетки окружаются непересекающимися объемами. Уравнение интегрируется по конечному объему и по элементу телесного угла около направления распространения фотонов. При переходе от объемного интеграла к поверхностному получается балансное уравнение связи средней объемной интенсивности и потоков излучения через грани. Неизвестные потоки на гранях находятся с использованием метода характеристик с интерполяцией. В работе представлены результаты решения одномерной задачи. Рассматривалась рассеивающая среда, заключенная между двумя бесконечными параллельными пластинами. В этой же работе выполнен двумерный расчет переноса излучения на ортогональной сетке в параллелепипеде. Хотя данная формулировка метода конечного объема позволяет производить вычисления на произвольных не ортогональных сетках, представленные результаты получены на ортогональных сетках. В работе [109] приведены расчеты для произвольных двумерных областей с использованием не ортогональных сеток. Так как при использовании криволинейных сеток необходимо производить анализ, в каком порядке производить расчет ячеек, в работе предложено использовать ранее созданный файл, содержащий номера ячеек в порядке расчета криволинейной области. В работе [110] метод конечного объема применен для расчета трехмерного поля излучения для цилиндрической области содержащей излучающую, поглощающую и рассеивающую среду, ограниченную диффузно отражающими стенками. При сравнении метода конечного объема и метода дискретных ординат, полученного посредством преобразования координат, установлено, что метод конечного объема является более точным [111], причем потребление машинного времени практически одинаково у обоих методов. В работе представлены результаты пяти тестовых случаев в двумерной и трехмерной геометрии для излучающих, поглощающих и рассеивающих сред находящиеся в областях сложной формы. Известно, что уравнение переноса излучения удается сформулировать в разных формах. При выводе уравнения переноса излучения в частных производных второго порядка вводятся две функции. Первая является суммой интенсивностей в противоположных направлениях, вторая -- их разностью. Уравнение переноса, записанное через сумму интенсивностей в противоположных направлениях, решается только в половине угловых направлений. В работе [112] сделан вывод уравнения второго порядка и предложены способы аппроксимации. В этой работе произведено
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 132 исследование разных видов аппроксимации уравнения и граничных условий на ортогональной сетке для параллелепипеда, содержащего нерассеивающую изотермическую среду. Приведены зависимости ошибок расчета для разных оптических толщин. В криволинейных системах координат произведено сравнение решения уравнения полученного преобразованием координат для стандартного уравнения дискретных ординат и для уравнения переноса второго порядка [113]. Для исследования точности решения использовалось пять тестовых случаев для двумерных и трехмерных сред с рассеянием. Для более точного решения уравнения второго порядка требуется сгущение сетки у стенок, ограничивающих среду. Исследование показало, что решение уравнения второго порядка требует больше машинного времени из-за увеличения количества итераций, особенно при расчете оптически тонких сред. В работе [114] применен метод конечного объема, основанный на методе конечных элементов, к решению уравнения переноса излучения первого и второго порядков в двумерной геометрии для поглощающих, изотропно- рассеивающих и излучающих сред, окруженных серыми стенками. Сравнение потоков на поверхности параллелепипеда с точным решением позволяет заключить, что решение уравнения первого порядка имеет меньшую ошибку. В работе [115] уравнение второго порядка решалось методом конечного объема. Кубическая область, заполненная излучающим и поглощающим газом, располагалась в пространстве произвольным образом. После преобразования координат радиационные потоки, падающие на стенки области, находились методом конечного объема. Повышение точности решения требовало увеличения порядка используемой квадратуры, что в свою очередь приводило к большим потерям процессорного времени. Сравнение радиационных потоков на стенку ограничивающей области с результатами, полученными в [84], [108], показало приемлемую точность данного метода. 2.6.2. Типичные формулировки уравнения переноса теплового излучения Энергия излучения в направлении Ω в телесном угле d Ω в элементарном объеме (рис.2.66), заполненном поглощающей, излучающей и рассеивающей средой, увеличивается за счет излучения среды и за счет рассеяния излучения, приходящего с направления ′ Ω , в направление Ω , и уменьшается за счет поглощения среды и рассеяния с направления Ω в направление ′ Ω. Стационарное уравнение переноса излучения имеет следующий вид: ()()( )( ) ,, II λλ λ λ κσ ∇= − ++ ΩrΩ rΩ () () () 4 () , 4 b IT I d λ λλ λ π σ κ π ′′ ′ ++Φ → Ω ∫ rr ΩΩΩ , ( 6 7 )
2.6. МДО на неструктурированной сетке 133 где() , Iλ r Ω -- спектральная интенсивность излучения в точке с координатами r , в направлении единичного вектора Ω ; ( ) b I λ r -- спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела при температуре среды в точке с координатами r ; λ κиλ σ -- спектральные коэффициенты поглощения и рассеяния; () ′ Φ→ ΩΩ -- индикатриса рассеяния излучения, то есть вероятность того, что излучение пришедшее в элементарный объем с направления ′ Ω рассеется в направлении Ω . При ( ) 1 ′ Φ→= ΩΩ среда считается изотропно-рассеивающей. В чистых газах без примесей частиц (углерод, пыль, капли воды и т.д.) среда считается нерассеивающей и λ σ =0. Граничные условия формулируются для различных оптических свойств поверхностей. Так, если область, содержащая среду, ограничена дифузно отражающими стенками Γ , тогда излучение покидающее стенку выражается следующем образом: () () () 0 ,( ), b II T I d λλ λ ρ ε π′< ′ ′′ =+ Ω ∫nΩ rΩ rn ΩrΩ, ∈Γ r, ( 6 8 ) где ε -- степень черноты стенок, ρ -- коэффициент отражения стенки и n -- единичная нормаль к границе Γ в точке r принадлежащей границе. Излучение, покидающее стенку, состоит из излучения самой стенки и доли отраженного стенкой лучистого потока. Рис.2.66. Перенос излучения в элементарном объеме Одной из сложностей решения системы уравнений (67), (68) является зависимость коэффициентов поглощения и рассеяния от длины волны, а в общем случае может возникнуть спектральная зависимость для индикатрисы рассеяния, а также для степени черноты стенок и для коэффициента отражения. По этой причине решают задачу в многогрупповом приближении. Оптический диапазон разбивается на спектральные группы (12 1 1 ... ... ii N ++ <<<< << λλλ λλ ), внутри которых спектральные параметры считают постоянными: 1 1 1g g g ggd + + = −∫λ λ λ κκ λ λλ, 1 1 1g g g ggd + + = −∫λ λ λ σ σλ λλ, ( 6 9 )
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 134 где g -- номер спектральной группы. Точность решения задачи зависит от степени аппроксимации спектральных коэффициентов групповыми, то есть от количества спектральных групп N . Система уравнений (67), (68) в многогрупповом приближении имеет следующий вид: ()()( )() ,, gg g g II κσ ∇= − ++ ΩrΩ rΩ () () () 4 () , 4g gb g g IT I d π σ κ π ′′ ′ ++Φ → Ω ∫ rr ΩΩΩ , ( 7 0 ) () () () 0 ,( ), gb g g II T I d ρ ε π′< ′ ′′ =+ Ω ∫nΩ rΩ rn Ω nΩ ,r∈Γ r , где () () 11 2 5 11 11 2 () () exp 1 gg gg bg b gg gg hc IT ITd d hc kT λλ λ λλ λ λ λλ λλλ λ ++ ++ == −− ⎡⎤ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣⎦ ∫∫ rr ; h , k -- постоянные Планка и Больцмана, c -- скорость света, T -- температура среды в точке r . В дальнейшем при формулировке системы уравнений (70) в разных координатных системах индекс g будем опускать. Трехмерная геометрия. Дифференциальный оператор в (70) для трехмерной декартовой системы координат ( рис.2.67) имеет вид: xyz ∂∂∂ ++ ∂∂∂ ηµξ, где ,, η µξ-- координаты единичного вектора Ω r (направляющие косинусы), тогда (70) в трехмерной декартовой системе координат примет вид:() 4 4 b IIIIII d xyz ∂∂∂ ′ ++= − ++ +Φ Ω ∂∂∂ ∫π σ ηµξ κ σκπ , ( 7 1 ) где() , II =rΩ,() ′ Φ=Φ → ΩΩ ,() () bb II T = r. Двумерная геометрия. В задачах, где применяется двумерная ортогональная система координат (решение ищется в плоскости xy ), в (71) производная по оси z равна нулю. Тогда (70) будет иметь более простую форму: () 4 4 b IIIII d xy ∂∂ ′ += − ++ +Φ Ω ∂∂ ∫π σ ηµκ σκπ . ( 7 2 ) Цилиндрическая геометрия. Часто бывает удобным решать (70) в цилиндрической системе координат. Цилиндрические координаты () ,, rz θ связаны с декартовыми координатами ( ) ,, x yz , следующими соотношениями 22 rxy =+ ,tgx y = θ,zz = или cos xr =θ, sin yr = θ . Производные в
2.6. МДО на неструктурированной сетке 135 декартовых координатах при переходе к цилиндрической системе координат преобразуются с использованием указанных выше соотношений: r rz xxxx x rz z xyz yyyyy rz zzzz z ∂ ⎛⎞ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ∂ ′ ⎛⎞ ∂∂ ∂∂ ∂⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ′ ⎛⎞ ∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ == ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ′ ∂∂∂∂∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ∂∂∂∂ ∂ ⎝⎠ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ′ ∂ ⎝⎠ θψ ϕ θ θψ ϕ θψ ϕ ψ ϕ 11 sin cos00 cos 11 cos sin00 sin 00 1 0 0 r rr z rr ∂ ⎛⎞ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎜⎟ ∂ ⎜⎟ ⎜⎟ ′ ∂ ⎝⎠ θθ θ θ θθθ ψ ϕ . ( 7 3 ) Направляющие косинусы в декартовой системе координат sin sin = ηϕψ , cos sin = µϕψ , cos = ξ ψ выражаются через направляющие косинусы sin sin ′′ = ηϕψ , cos sin ′′ = µϕψ , cos ′= ξ ψ в цилиндрической системе координат (см. рис.1.3) () cos sin 0 sin cos 0 00 1 ′ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ′ =− ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ′ ⎝⎠ ⎝ ⎠ θθη ηµξθθµ ξ. ( 7 4 ) Используя (73), (74) выразим оператор градиента в направлении единичного вектора Ω : ()xyzr rz r η η ηµξµ ξ θ ϕ ′ ′ ∂∂∂∂∂∂∂ ′′ ∇=++=+ +− ′ ∂∂∂∂∂∂∂ Ω . В итоге, уравнение (70) в цилиндрической системе координат имеет вид:
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 136 ()4 4 b IIII II I d rr zr ∂∂∂∂ ′ ++− = − + + +Φ Ω ∂∂∂∂ ∫π η ησ µξκ σ κ θϕ π . ( 7 5 ) При записи (75) штрихи при направляющих косинусах и при угле между направлением Ω и осью µ в цилиндрической геометрии, которые были введены для удобства вывода формулы, опущены. Для осесимметричной постановки задачи в (75) производная по углу θ равна нулю: ()4 4 b IIIIII d rr z ∂∂∂ ′ −+= − + + +Φ Ω ∂∂∂ ∫π η σ µξ κ σ κ ϕπ . ( 7 6 ) Уравнение (76) удобно записать в дивергентной форме: ()4 1 4 b rI II III d rrr z ∂∂∂ ′ −+ = − + + +Φ Ω ∂∂∂ ∫π µ ησ ξκ σ κ ϕπ . ( 7 7 ) (а) (б) Рис. 2.67. К расчету переноса излучения в сферической (а) и цилиндрической (б) системах координат Сферическая геометрия. Приведем уравнение (70) в центрально- симметричной сферической системе координат в консервативной форме: ()() 2 2 2 4 1 1 4 b I rI III d rrr ∂− ∂ ′ += − + + + Φ Ω ∂∂ ∫π µ µσ κσκ µπ . ( 7 8 ) 2.6.3. Метод дискретных ординат на ортогональных сетках Точное решение уравнения (70) применительно к широкому кругу задач радиационного теплопереноса является трудоемким, а порой даже невозможным. Поэтому для нахождения решения уравнения переноса используют различные приближения метода. Как уже отмечалось, к настоящему времени разработана серия таких методов, но здесь будет рассмотрен только метод решения уравнения переноса в формулировке
2.6. МДО на неструктурированной сетке 137 дискретных ординат на ортогональных сетках. Идея этого метода заключается в выборе конечного числа дискретных направлений и установлении связи между интенсивностями излучения, рассчитанными в указанных направлениях. Все интегралы по угловым переменным разлагаются в квадратурные формулы по конечному числу выбранных направлений. Таким образом, интегро-дифференциальная краевая задача (70) преобразуется в систему уравнений в частных производных, зависящих только от пространственных переменных. Разобьем область угловых направлений Ω на конечное число единичных векторов m Ω (где m -- номер дискретного направления, общим числом M ) и каждому направлению присвоим некоторое весовое значение m ω.Для лучшего понимания, представим точки m на поверхности сферы единичного радиуса, каждой точке соответствует некоторая площадь поверхности сферы. Сумма всех весов равняется площади поверхности сферы, то есть 14 M m m= = ∑ω π. Направляющие векторы имеют координаты ( ) ,, mmmm ηµξ Ω , где ,, mmm η µξ-- направляющие косинусы вектора m Ω . Способу выбора угловых направлений (используется также термин угловых квадратур) посвящен отдельный раздел данной работы. Тогда уравнение (70) можно записать в виде системы уравнений переноса излучения для каждого направления m Ω: () () ' 1 4 M mm m m m mb m m II II σ κσκ ω π ′ ′ = ∇= − +++ Φ ∑ Ω , ( 7 9 ) ' 0 m mm bW m m II I ρ εω π′ ′′ < =+∑ nΩ nΩ ,r∈Γ r , где () , mg m II =rΩ,() mm mm ′ ′ ′ Φ= Φ→ ΩΩ ,() bWbW II T = ,W T -- температура границы области, n -- нормаль к границе в точке r при ∈ Γ r. Интеграл рассеяния в правой части уравнения переноса заменяется квадратурной суммой. Индикатриса рассеяния (в случае анизотропии среды) разлагается по полиномам Лежандра. В дальнейшем будем рассматривать (79) применительно к изотропно-рассеивающей среде (1 Φ≡ ). Введем пространственную сетку. Для этого всю расчетную область разобьем на прямоугольные ячейки рис.2.68. Центр ячейки имеет координаты ( ) ,, ijk xyz r ,гдеиндекс( ) 1, iI X ∈ означает разбиение по оси x , () 1, jJ Y ∈ --поосиy,() 1, kK Z ∈ -- по оси z . Координаты грани ячейки обозначаются смещением соответствующего индекса на половину. Таким образом, объем ячейки с координатами ( ) ,, ijk xyz r равняется ()()() ,, 12 12 12 12 12 12 ijk i i j j k k ijkp Vxxyyzz x y z V +−+−+− =− − −= ∆ ∆ ∆ = . Индекс p
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 138 будет в дальнейшем означать, что величина относится к центру ячейки. Будем считать коэффициенты поглощения и рассеяния постоянными внутри каждой ячейки и равными p κиp σ соответственно. Трехмерная геометрия В работах [82], [86], [87] описан метод дискретных ординат применительно к трехмерной декартовой системе координат. Проинтегрируем (79) для случая изотропно-рассеивающей среды по объему элементарной ячейки ,, ijk V()p V с координатами ( ) ,, ijk x yz: 121212 121212 ijk ijk xyz mmm mmm xyz III dxdydz xyz +++ −− − ⎛⎞ ∂∂∂ ++ = ⎜⎟ ∂∂∂ ⎝⎠ ∫∫∫ηµξ () 121212 121212 1 4 ijk ijk xyz M mm bm m xyz II I d x d y d z +++ −− − ′ ′ ′= ⎛⎞ =− + + + ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ ∫∫∫ σ κσκ ω π , ( 8 0 ) ()()() 12 12, 12 12, 12 12, mm mm mm mi ij kmjji kmkki j IIA IIB IIC +− +− +− −+−+− = ηµξ (), 1 4 M pp mm pp p pp b p p m p m V IV IV I′ ′ ′= =−+ + +∑ σ κσ κ ω π , ( 8 1 ) где ,j kj k Ay z =∆∆, , ik ik Bxz =∆∆, , ij ij Cx y =∆∆; () 12 12 12 12 12 12 ,,, jk jk yz im yz m i jk Ixyzd y d z I yz ++ −− + + Ω = ∆∆ ∫∫ , () 12 12 12 12 12 12 ,,, jk jk yz im yz m i jk Ixyzd y d z I yz ++ −− − − Ω = ∆∆ ∫∫ , () 12 12 12 12 12 12 ,, , ik ik xz jm xz mj ik Ixy z dxdz I xz ++ −− + + Ω = ∆∆ ∫∫ , () 12 12 12 12 12 12 ,, , ik ik xz jm xz mj ik Ixyzd x d z I xz ++ −− − − Ω = ∆∆ ∫∫ , () 12 12 12 12 12 12 ,, , ji ji yx km yx m k ji Ixyz dydx I yx ++ −− + + Ω = ∆∆ ∫∫ , () 12 12 12 12 12 12 ,, , ji ji yx km yx m k ji Ixyz dydx I yx ++ −− − − Ω = ∆∆ ∫∫ , () 121212 121212 ,,, jik jik yxz m yxz m p jik Ixyz dydxdz I yxz +++ −− − Ω = ∆∆∆ ∫∫∫ , () 121212 121212 , ,, jik jik yxz b yxz bp jik I xyzdydxdz I yxz +++ −− − = ∆∆∆ ∫∫∫ . Аналогично запишем уравнения для граничных условий:
2.6. МДО на неструктурированной сетке 139 12 1,, 0 m mm ib Wm m i j k m II I ′ ′ ′′ == ′ < =+∑ η ρ εω η π , ( 8 2 a) 12 ,, 0 m mm iI X b W mmiI Xjk m II I ′ ′ ′′ =+ = ′ > =+∑ η ρ εω η π , ( 8 2 b) 12 ,1, 0 m mm j bW m mijk m II I ′ ′ ′′ == ′ < =+∑ µ ρ εω µ π , ( 8 2 c) 12 , , 0 m mm jJY bW m m ijJYk m II I ′ ′ ′′ =+ = ′ > =+∑ µ ρ εω µ π , ( 8 2 d) 12 ,,1 0 m mm kb Wm m i j k m II I ′ ′ ′′ == ′ < =+∑ ξ ρ εω ξ π , ( 8 2 e) 12 ,, 0 m mm kK Z b W mmijkK Z m II I ′ ′ ′′ =+ = ′ > =+∑ ξ ρ εω ξ π . ( 8 2 f) В (82) второе слагаемое в правой части описывает диффузное отражение стенки. Граничные условия зависят от потока лучистой энергии падающей на стенку. Подчеркнем, что в правой части уравнения (81), сумма по интенсивностям рассеянного излучения зависит от решения. Это обстоятельство означает необходимость организации итерационного процесса нахождения решения. В левой части (81) из шести средних интенсивностей на гранях ячейки только три могут быть определены при помощи граничных условий (2.4). В правой части (81) в сумму входят интенсивности, полученные с предыдущей итерации. Исходя из предположения о неразрывности решения, введем аппроксимационные формулы, связывающие средние интенсивности на гранях ячейки со средней интенсивностью в центре ячейки: () () () 111 mm mm mm m i iref i iend j jref j jend k kref k kend p II II III −+= −+= −+= γγγγγγ.(83) Здесь: γ -- весовая функция, принимающая значения 0.5 1 ≤≤ γ . Индекс при весовой функции обозначает номер и координату ячейки. Средняя интенсивность на опорной (reference) грани ячейки обозначается индексом ref , а на конечной -- end . Выбор опорных и конечных граней зависит от направления излучения m Ω . Грань считается опорной, если она излучает и конечной, если излучение падает на эту грань. Наглядный пример приведен на рис.2.68.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 140 Рис.2.68. Разбиение трехмерной расчетной области на элементарные объемы. Справа дано пояснение обозначения опорных и конечных граней Уравнения (81)--(83) составляют систему уравнений. Для положительных направляющих косинусов ,,0 mmm > η µξ формула (81) может быть представлена в виде () ,1 2 ,1 2 ,1 2, 1 ,, , 4 M pp mmm m mmm jki ikj ijk pbp p mp m ijk m p mm m jk ik ijppp ijk V AI BI CI IV I I ABC V ′ ′ −− − ′= +++ + = +++ + ∑ σ ηµξκω γγγ π ηµξ κσ γγγ . (84) Запишем уравнение (84) в общем виде для произвольных направляющих косинусов, то есть выразим интенсивность в центре ячейки через известные интенсивности на опорных гранях. В табл.2.2 приведена полная расшифровка индексов для опорных и конечных граней ячейки. () ,,, ,1 ,,, 4 M pp mmm mmm m jk iref ik jref ijkref pbpp mp m ijk m p mm m jk ik ijppp ijk V AI BI CI IV I I ABC V ′ ′ ′= +++ + = +++ + ∑ σ ηµξκω γγγ π ηµξκσ γγγ . (85) Решение (85) для каждого направления m Ω отыскивается посредством итераций, поскольку граничные условия и аппроксимация интеграла рассеяния зависят от неизвестных интенсивностей. Для примера покажем алгоритм вычисления на первом шаге итераций в одном групповом спектральном диапазоне. Для того, чтобы начать вычисления полагают, что стенки расчетной области являются абсолютно черными, а коэффициент рассеяния равен нулю. В направлении m Ω с положительными направляющими косинусами вычисления начинаются с ячейки с координатами ( , , ) (1,1,1) ijk = . Именно для этого элементарного объема все три интенсивности на опорных гранях ячейки известны из граничных условий. С помощью (85) вычисляется интенсивность в центре ячейке. Используя (83) вычисляются интенсивности на конечных гранях, эти конечные грани являются опорными для граничащих ячеек. Таким образом, для соседних граней становится известными все три величины необходимые для решения (85). Процесс продолжается, пока
2.6. МДО на неструктурированной сетке 141 интенсивности в каждой ячейке во всей расчетной области ни будут найдены. Для другого дискретного направления выбирается ячейка, в которой все три интенсивности на опорных гранях известны из граничных условий. Первая итерация заканчивается, когда все направления будут просканированы. На втором итерационном шаге расчетный алгоритм аналогичен приведенному выше, отличаясь только тем, что в граничных условиях (82), в слагаемом дающим вклад от отражения, и в уравнении (85), в аппроксимации интеграла рассеяния, неизвестные интенсивности берутся с предыдущей итерации. Итерации прекращаются при достижении заданной точности решения. Итерационный процесс может и не иметь сходимости. Это происходит, когда интенсивности, найденные экстраполяцией на концевых гранях ячейки, становятся отрицательными, что является физически невозможным. Иногда отрицательные интенсивности приравнивают нулю и вычисления продолжают. Однако в этом случае могут возникать осцилляции решения. Эта проблема решается подбором весов γ . Сходимость и точность решения зависит от выбора весовых функций γ , которые в свою очередь могут зависеть от координатной и угловой сеток [82], [87], [116], [117]. В работах [82], [118] обсуждаются пути решения проблемы ускорения итерационного процесса. Двумерная геометрия Работы [84], [104] посвящены решению уравнения переноса излучения в двумерной геометрии c применением метода дискретных ординат. Запишем (79) для изотропно-рассеивающей среды в прямоугольной декартовой системе координат для двумерного случая: ()1 4 mm M mm mm bm m II II I xy ′ ′ ′= ∂∂ += − + + + ∂∂ ∑ σ ηµκ σ κω π . ( 8 6 ) После интегрирования (86) по объему p V прямоугольной ячейки с координатами центра () , ij x y ячейки, получим: ()() 12 12 12 12 mm mm mi ijmjji IIA IIB +− +− −+ −= ηµ (), 1 4 M pp mm pp p pp b p p m p m V IV IV I′ ′ ′= =−+ + +∑ σ κσ κ ω π , ( 8 7 ) где()() ,1 2 1 2 1 2 1 2 pi jiijj ij VVxxyyx y +−+− ==− − = ∆ ∆ , 12 12 j jjj Ayyy +− = −= ∆ , 12 12 iii i Bxxx +− =−= ∆ . Средние интенсивности на гранях ячейки и в объеме равны: () 12 12 12 12 1 ,, j j y m ii m jy II x y d y y + − ++ =Ω ∆∫ , () 12 12 12 12 1 ,, j j y m ii m jy II x y d y y + − −− =Ω ∆∫ ,
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 142 () 12 12 12 12 1 ,, i i x mjj m ix II x y d x x + − ++ =Ω ∆∫ , () 12 12 12 12 1 ,, i i x mjj m ix II x y d x x + − −− =Ω ∆∫ , () 12 12 12 12 1 ,, ji ji yx m pm ji yx I Ixy dydx yx ++ −− =Ω ∆∆ ∫∫ , () 12 12 12 12 , 1 , ji ji yx bp b ji yx II x y d y d x yx ++ −− =∆∆∫∫ . Граничные условия запишутся в следующем виде: 12 1, 0 m mm ib Wm m i j m II I ′ ′ ′′ == ′ < =+∑ η ρ εω η π , ( 8 8 a) 12 , 0 m mm iI X b W mmiI Xj m II I ′ ′ ′′ =+ = ′ > =+∑ η ρ εω η π , ( 8 8 b) 12 ,1 0 m mm j bW m mij m II I ′ ′ ′′ == ′ < =+∑ µ ρ εω µ π , ( 8 8 c) 12 , 0 m mm jJY bW m m ijJY m II I ′ ′ ′′ =+ = ′ > =+∑ µ ρ εω µ π . ( 8 8 d) Добавим к системе уравнений (87), (88) аппроксимационные формулы, связывающие средние интенсивности на гранях ячейки с интенсивностью в центре: () () 11 mm mm m i iref i iend j jref j jend p II III −+= −+= γγγγ. ( 8 9 ) Выразим интенсивность в центре ячейки, через интенсивности на опорных гранях (см. табл.2.2): () , 1 4 M pp mm mm m ji r e f ij r e f pbpp mp m ij m p mm ji p p p ij V AI BI IV I I ABV ′ ′ ′= ++ + = ++ + ∑ σ ηµκω γγ π ηµκσ γγ . ( 9 0 ) Итерационный алгоритм нахождения решения внутри спектральной группы аналогичен нахождению решения в трехмерной геометрии. Находятся интенсивности при положительных направляющих косинусах ξ (или при отрицательных ξ ). В силу симметрии оси z эти интенсивности приравниваются соответствующим интенсивностям при отрицательных ξ (или при положительных ξ ).
2.6. МДО на неструктурированной сетке 143 Цилиндрическая геометрия Ряд работ [88-93], [105-107] посвящен решению задачи переноса излучения в цилиндрической ортогональной системе координат. Разобьем расчетную область на элементарные объемы с координатами центров ячеек в точках i rиj z . Индексы изменяются в пределах ( ) 1, iI X ∈ ,() 1, jJ Z ∈ . Увеличение или уменьшение индекса на половину соответствует грани ячейки. Запишем осесимметричное уравнение (90) для излучающей, поглощающей и изотропно-рассеивающей среды в представлении метода дискретных ординат: ()1 1 4 m mm M mm mm mb m m I rI I II I rrr z ′ ′ ′= ∂ ∂∂ −+ = − + + + ∂∂∂ ∑ µη σ ξκ σ κω ϕπ . (91) Пусть среда ограничена диффузно-отражающими стенками со степенью черноты ε и коэффициентом отражения ρ при температуре ограничивающей поверхности W T . Тогда граничные условия на стенке запишем в виде: ' 0 m mm bW m m II I ρ εω π′ ′′ < =+∑ nΩ nΩ. ( 9 2 ) Умножим (91) на 2 rdrdz π и проинтегрируем по объему элементарной ячейки: () 12 12 12 12 12 12 12 12 22 ij ij rz m mm m mii iij rz rI rdrdz rIrIz rr ++ −− ++ −− ∂ =− ∆ ∂ ∫∫µ ππ µ, ( 9 3 a) () 12 12 12 12 12 12 22 ij ij rz m mm mm j j i i rz I rdrdz IIrr z ++ −− +− ∂ =− ∆ ∂ ∫∫ πξπ ξ , ( 9 3 b) ()( ) 12 12 12 12 12 12 12 12 1 22 ij ij rz mm n mm p m p ij m rz II I rdrdz rz r ++ −− +− +− ∂− =∆ ∆ ∂ ∫∫ ηη η ππ ϕω , (93c) () () 12 12 12 12 22 ij ij rz mm bp p p p b p i i j rz I I rdrdz I Irrz ++ −− ⎡⎤ ⎡⎤ −++ =−++∆ ∆ ⎣⎦ ⎣⎦ ∫∫ πκ σ κπ κ σ κ , (93d) 12 12 12 12 11 22 44 ij ij rz MM p mm mm p i i j mm rz I rdrdz Irrz ++ −− ′′ ′′ ′′ == =∆ ∆ ∑∑ ∫∫ σ σ πωπ ω ππ , ( 9 3 e ) где 12 12 iii rrr +− ∆= − , 12 12 jjj zzz +− ∆= − ; интенсивности 12 m i I±, 12 mj I ± являются средними интенсивностями на соответствующих гранях ячейки. Индекс p , как и прежде, означает середину ячейки. Все величины с индексом p
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 144 являются средними величинами, усредненными по объему элементарной ячейки. Направляющие косинусы, которые входят в (93) для единичного вектора направления m Ω имеют координаты cos mm = ξψ, cos sin mm m = µ ϕψ и 12 12 sin sin mm m ±± = η ϕψ . Для того чтобы получить производную по углу (93c) в конечно-разностном виде, проинтегрируем производную в пределах углового диапазона 12 12 mmm +− ∆= − ϕϕϕ : 12 12 12 12 m m mm IdI I + − +− ∂=− ∂ ∫ϕ ϕ ηϕηη ϕ . ( 9 4 a ) С другой стороны этот интеграл можно выразить через квадратурные формулы: 12 12 m m m m II d + − ∂∂ = ∂∂ ∫ϕ ϕ ηη ϕ ω ϕϕ , ( 9 4 b) где m ω -- весовой коэффициент квадратурного разложения соответствующего направления с номером m . Приравнивая (2.16a) и (2.16b) получим производную в конечно-разностном виде: () () 12 12 mm m m II I +− − ∂= ∂ ηη η ϕω . Уравнение (91) примет вид: () () ( ) 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 mm mpmpi j mm m m mii iijmjjii m II r z rIrIzIIr r +− +− ++ −− +− −∆ ∆ −∆ +− ∆ − = ηη µξω () 1 4 M p mm ppp iij p b p iij m p iij m Irrz I rrz Irrz ′ ′ ′= =−+ ∆∆+ ∆∆+ ∆∆ ∑ σ κσ κ ω π . ( 9 5 ) Граничные условия для (91) с использованием условия симметрии на оси z запишем в виде: ,1 2 ,1 2 0 m mm ij b W mmij m II I ′ ′ ′′ == ′ < =+∑ ξ ρ εω ξ π , ( 9 6 a) 12 ,12 0 m mm jJ Z b W mmijJ Z m II I ′ ′ ′′ =+ =+ ′ > =+∑ ξ ρ εω ξ π , ( 9 6 b) 12 12 mm ii II ′ == = ,при 0 m′< µ, mm ′=− µµ, ( 9 6 c) 12 12, 0 m mm iI X b W mmiI Xj m II I ′ ′ ′′ =+ =+ ′ > =+∑ µ ρ εω ξ π . ( 9 6 b) До настоящего времени не обсуждался вопрос о свойствах используемых квадратур. Из (95) следует, что точки на единичной сфере для направляющих
2.6. МДО на неструктурированной сетке 145 косинусов µ и η должны лежать на окружностях образованных сферой 222 1 ++= µξη и плоскостями const = ξ. Граничное условие (96c) также накладывает ограничение на использование квадратур. Дискретные ординаты η и µ должны быть симметричны относительно оси ξ , рис.2.69. Используемая квадратура должна позволять точно вычислять интеграл 4 0 d ΩΩ= ∫π . Этому условию удовлетворяют квадратуры с направлениями симметричными относительно нуля. Учитывая осевую симметрию рассматриваемой задачи, решение можно искать только для положительных (отрицательных) значений η . В двух и трехмерной геометрии уравнение переноса излучения распадается на систему уравнений по независимым направлениям. Каждое такое уравнение может быть решено отдельно для конкретного выбранного направления. В цилиндрической геометрии в записи уравнения переноса излучения входит дифференциальный оператор, который имеет угловую зависимость. Это означает, что каждое уравнение системы, на которую распадается уравнение переноса излучения, уже не может быть решено независимо для каждого направления. В выведенном разностном уравнении (95) используются половинные углы (то есть в явном виде присутствует зависимость одного уравнения системы от другого), что делает данное уравнение не очень пригодным для его дальнейшего использования, так как при вводе угловых направлений их нумерация бралась произвольной. Для более понятной записи введем индексы l и n при помощи которых будут нумероваться направляющие косинусы. Индекс l соответствует номеру дискретного уровня для направления m Ω по оси ξ , n соответствует номеру проекции направления m Ω на ось µ . Количество проекций на ось µ может произвольным образом зависеть от номера уровня lξ . Направление m Ω имеет координаты 22 , 1lnl −− µξ, , ln µ,lξ. Индексы для косинусов изменяются в пределах [ ] 1, lL ∈ и[] 1,l nN ∈ , количество проекций l N по оси µ произвольным образом зависит от количества разбиений L по оси ξ . Данная запись означает, что в плоскости выбранного фиксированного дискретного направления lξ существует l N проекций , ln ηили, ln µ. К примеру, для трехмерной геометрии это условие может не выполняться, так как в дифференциальный оператор в декартовой системе координат не входит производная по углу, и выбор направлений, грубо говоря, может быть произвольным.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 146 Рис.2.69. Половинные значения направляющих косинусов ( точки означают направления дискретных ординат, штрихи-- половинные направления) После введения двух индексов для обозначения направления распространения излучения вместо одного, перепишем уравнение (95) в виде: ( )() ,, , , ,1 2 1 21 2 1 2 1 21 2 ln ln ln ln lni i ii jlj jii rIrIzIIr r ++ −− +− − ∆+ −∆− µξ ( ) ,1 2 ,1 2 ,1 2 ,1 2 , ln ln lnp lnp ij ln II r z +− +− −∆ ∆ −= ηη ω () ,, , 11 2 4 l N L p ln ln ppp iij p b p iij l n piij ln I rrz Irrz I rrz ′′ ′′ ′′ == =−+ ∆∆+ ∆∆+ ∆∆ ∑∑ σ κσ κ ω π . (97) Определим половинные направления η , входящие в (97). Для этого запишем (97) для газа имеющего постоянную температуру во всей области, излучающего как абсолютно черное тело. Излучение по всем направлениям одинаково. Сократим интенсивность в (97) и используем свойство весов дискретных направлений , 11 1 24 l N ML ml n ml n == = == ∑∑ ∑ ω ωπ . Двойка перед двойной суммой возникает из-за того, что суммирование ведется только для положительных или только для отрицательных значений η . В Результате получим рекуррентную формулу для половинных направлений: ,1 2,1 2,, ln ln ln ln +− =+ η ηµ ω , при l const = = ξ ξ. ( 9 8 ) Просуммируем (97) по углу ϕ в диапазоне [ ] 0, π для среды с изотропным абсолютно черным излучением. Получим следующее выражение для половинных направлений: () ,1 2 ,1 2 ,1 2 , 1 2 ,12 ,12 ,12 ,12 1 0 l l l N lN ln ln l lnp lnp lN p lp n II II + +− +−+ = −=− = ∑ηηηη. ( 9 9 )
2.6. МДО на неструктурированной сетке 147 Для выполнения этого равенства положим ,1 2 0 l= η , так как интенсивность не равна нулю. Из симметрии проекций направлений на ось µ следует ,1 20 l lN+ = η . Аналогично трехмерному случаю (83), введем уравнения связи средних интенсивностей на гранях со средней интенсивностью в центре ячейки: ()()() ,, ,, , 1 2 , 1 2 , 111 ln ln ln ln ln ln ln r rref r rend z zref z zend p p p II II III −+ −+= −+= −+= ϕϕ γγγγγγ,(100) где0.5,,1 rz ≤≤ ϕ γγγ. Учитывая направление распространения излучения (рис.2.68), выразим излучение в центре ячейки, через интенсивности на опорных гранях, для чего подставим (100) в (98) и найдем , ln p I: () ,, , , 1 2 , , , 11 , , , 2 4 l N L p lm lm ln ln ln lnprreflpzrefpp pbp lnp p ln lm p ln lnplp p ppp AI BI CI I ID I aABcC D ′′ − ′′ ′′ == ⎛⎞ +−+ + ⎜⎟ ⎝⎠ = +−+ +∑∑ σ µξ κ ω π µξκ σ ,(101) 1r pe n d r e f j r A rrz ⎛⎞ − =+ ∆ ⎜⎟ ⎝⎠ γ γ , end j p r rz aA ∆ =γ, ii p z rr B∆ =γ, , ,1 2,1 2 , 1 ij ln pl n l n ln rz C +− ⎛⎞ ∆∆− =− + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ϕ ϕ γηη ωγ , ,1 2 , , ln ln pi j ln cC rz + = ∆∆ ϕ η γω ,pi ij D rrz =∆∆. Граничные условия (96) запишутся в виде: /2 ,, ,1 2 , ,1 2 11 2l N L ln ln ij bW lnlij ln II I ′′ ′′′ == ′′ == =+∑∑ ρ εω ξ π , ( 1 0 2 a) ,, ,1 2 , ,1 2 /21 2l N L ln ln ijJ Z b W lnlijJ Z lLn II I ′′ ′′′ =+ =+ ′′ == =+∑∑ ρ εω ξ π , ( 1 0 2 b) , ,12 12 l lNn ln ii II − == = ,при,0 ln> µ, ( 1 0 2 c) ,, 12, , , 12, 1/ 2 2l l N L ln ln iI Xjb W lnlniI Xj ln N II I ′′ ′′ ′′ =+ =+ ′′ == =+∑∑ ρ εω µ π . ( 1 0 2 d) В (102) множитель двойка перед знаком суммы появляется в силу осевой симметрии рассматриваемой задачи. Индексы для опорных и конечных граней приведены в табл.2.3. Так как граничные условия (102) зависят от искомого решения в случае диффузно-отражающих поверхностей, а газ предполагается рассеивающим-- интенсивность излучения в направлении , ln Ω зависит от интенсивностей в остальных направлениях. Поэтому процедура поиска решения задачи (101), (102) является итеративной. Первая итерация производится в предположении,
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 148 что рассеяние отсутствует (0 p= σ ), стенки считаются абсолютно черными и не рассеивающими (1 ,0 == ε ρ ). На последующих итерациях в уравнении (101) и в граничных условиях (102) используются интенсивности с предыдущей итерации. Для начала счета при каждой итерации ищется интенсивность в половинном направлении ,1 2 lp I для каждого уровня lξ . В уравнении (101) пренебрегают угловой зависимостью решения, то есть коэффициенты , ln p cC, , ln p C полагают равными нулю и ищут решение в направлении () 2 0,1, ll Ω− − ξ ξ . Используя известные средние интенсивности на гранях ячейки, находят среднюю интенсивность в объеме ячейки по (101). После этого выполняют расчет неизвестных интенсивностей на конечных гранях с использованием (100). Половинные направления вычисляются один раз по рекуррентной формуле (98) вначале работы программы. Далее используя найденные интенсивности в половинных направлениях ,1 2 lp I , граничные условия (102), уравнение (101) и уравнения связи на гранях ячейки (100) находят интенсивности для направлений 0 < µ . Применив граничное условие (102с) на оси симметрии аналогичным образом продолжают счет для направлений 0 > µ . Итерации прекращаются при достижении желаемой точности. Погрешность расчетов определяется по формуле ,, , , ln ln pp ln p ln p II I − = % α , где , ln p I% -- интенсивность с предыдущей итерации. Если ( ),6 max 10 ln p − <= αε ,то вычисления прекращают. Как уже отмечалось выше, при решении системы уравнений (100)-(102) могут появляться отрицательные интенсивности, что противоречит физическому смыслу. Положительность решения можно обеспечить при правильном подборе весовых γ функций. В работах [92], [105-107] приведены способы подбора весовых функций. 2.6.4. Квадратуры на поверхности сферы После описания алгоритма решения уравнения переноса излучения методом дискретных ординат, осталось определить используемые угловые ординаты и соответствующие им веса. Методы расчета угловых ординат обсуждаются в работах [119-125] приведены квадратурные разложения. Напомним, что в уравнение переноса излучения входит интеграл рассеяния по телесному углу 4π , в граничные условия входит интеграл диффузного отражения стенки по половине телесного угла 2π . Некоторые
2.6. МДО на неструктурированной сетке 149 характеристики поля излучения находятся также путем интегрирования по сфере (например, поток лучистой энергии в направлении r Ω , плотность лучистой энергии). Поэтому, естественным является использование одного набора направлений для аппроксимации интегралов следующих типов: () 4 , Ird ΩΩ ∫π ,() 4 , Ird ΩΩΩ ∫π ,()() 2 , r Ir d ΩΩΩΩ ∫π . (103) Теперь задача сводится к нахождению точек на сфере и присвоению им соответствующих весов, чтобы как можно точнее брались интегралы (103). Согласно методу дискретных ординат [123] разложим интенсивность в ряд по ортогональным сферическим функциям ( ) ( ) , l ll i l nn n YC P e = ϕ ψϕ ψ: () ()() ()()() 01 ,, Nn n ll llN nn nn nln n Nln Ir ArY ArY Ir ∞ == − =+= − Ω= Ω+ Ω= Ω+ ∑∑ ∑∑ ε ,(3.2) (104) где N -- порядок аппроксимации интенсивности сферическими функциями; ε -- ошибка аппроксимации. Подставим (104) в (103), тогда интегрирование интенсивности сведется к интегрированию сферических функций. Для того чтобы уменьшить погрешность расчета интегралов (103) потребуем точного интегрирования сферических функций до порядка аппроксимации N включительно квадратурными рядами порядка M . То есть, для всех nN ≤ ,ln ≤ потребуем точного выполнения равенств: () () 1 4 M ll mnm n mYY d = Ω= ΩΩ ∑∫π ω , ( 1 0 5 a) () () /2 1 2 M ll mnm n mYY d = Ω= ΩΩ ∑∫π ω . ( 1 0 5 b) Для нахождения интегралов удобно записать сферические функции, через их тригонометрические представления: () ()() ()() ()() 2 02 sin , cos , cos , nl nl ll n nl P anl anl anl −− − − ⎡ ⎤ =+ + + ⎣ ⎦ K ψψ ψ ψ , (106a) () 1 011 cos cos sin 01 l il l ll ei i− ⎛⎞ ⎛⎞ =+ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ϕ ϕ ϕϕ () 2 22 cos sin sin 2l ll ll ii l − ⎛⎞ ⎛⎞ ++ + ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ K ϕϕϕ , ( 1 0 6 b) ()() 2 02 ,, nl nl ll nn nl YC a aa −− − − =+ + + × K ηµξξξ 01 1 1 2 2 2 012 ll ll l lll l iii i l −− ⎡⎤ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ×+++ + ⎢⎥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎣⎦ K µ µη µη η. ( 1 0 6 c) Подставляя (106c) в (105) получим условие точного интегрирования разложения интенсивности в ряд с порядком аппроксимации N квадратурным рядом порядка M :
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 150 33 12 12 1 4 M ll ll ll m m d = = Ω ∑∫π ωηµξ ηµξ , ( 1 0 7 a) 33 12 12 /2 1 2 M ll ll ll m m d = = Ω ∑∫π ωηµξ ηµξ , ( 1 0 7 b) где 123 lll N ++≤ . Сформулируем некоторые основные свойства квадратур. Направления m Ω представлены точками на сфере единичного радиуса, 222 1 ++= ηµξ . Направления m Ω должны не зависеть от выбора пространственного базиса, т.е. при любом вращении на 900 вокруг координатных осей квадратурные формулы не должны изменяться. Все веса должны быть положительными. Рис.2.70. Расположение дискретных направлений в T5 квадратуре. Обычно на сфере в первом октанте выбирают направление (, ,) mαβγ Ω , при последовательном вращении получают точки в первом октанте (, ,) αβγ, (,, ) αγβ,(, ,) βαγ,(, ,) βγα,(, ,) γαβ,(, ,) γ βα , веса этих направлений должны быть одинаковыми. Существует три способа задания симметричных направлений. Когда все три координаты различны, возможны шесть направлений с идентичными весами. Для случая, когда две координаты вектора совпадают, получается три направления с одинаковыми весами. И когда вектор имеет все три одинаковые координаты, возможен только один случай. В остальных октантах получают направления, используя первый октант, путем вращения сферы на 900 вокруг главных осей. Например, в работе [124] рассмотрена так называемая TN квадратура (рис.2.70). Она получается путем разбиения плоскости 1 ++= η µξ в первом октанте на одинаковые треугольники. В записи TN, индекс N означает на
2.6. МДО на неструктурированной сетке 151 сколько частей разбивается сторона главного треугольника. Центральные точки треугольников соответствуют дискретным направлениям. Проекции данных треугольников на сферу единичного радиуса образует TN квадратуру. Веса такой квадратуры находят, как площади проекций треугольников на сфере. В работе [82] предложен выбор дискретных направлений, которые лежат на широтах сферы. Этот способ выбора направлений называется S N квадратурой, где N означает количество проекций на ось. На рис.2.71 представлена S8 квадратура. В одном октанте всего четыре проекции направлений m Ω на ось. В силу симметрии относительно вращения, всего восемь проекций. Координаты на поверхности сферы даны формулой [82]: () () () 22 1 2 1 1, 213 2. i i N ⎧=+ −∆ ⎪⎨∆= − − ⎪⎩ µµ µ (108) От выбора первого направляющего косинуса 1 µ зависит распределение направлений по сфере. При малых 2 1 µ направления расположены ближе к осям. При больших значениях 2 11 3 < µ , направляющие косинусы группируются ближе к направлению ( ) 131313. Для нахождения весов квадратуры используют систему уравнений (107b). В силу симметрии (107a) будет выполняться автоматически. Для записи системы уравнений (107b), выберем половину сферы 0 > ξ . Из симметрии относительно вращения вокруг оси ξ следует, что интегралы с нечетными степенями 1l , 2 l при направляющих косинусах η и µ будут равняться нулю. Значения интегралов полученных перестановкой степеней имеют одни и те же значения. Рассмотрим пример расчета весов. Так как мы используем симметричные направления относительно вращений вокруг координатных осей, интегралы можно брать в первом октанте. В S8 квадратуре в первом октанте всего три вектора направления: ( ) 1111 ,, Ωαβγ,( ) 2222 ,, Ωααγ,( ) 3333 ,, Ω α αα . Остальные направления получаются после вращения. Используя обозначения, приведенные на рис.2.71 запишем систему уравнений для нахождения весов: ( ) 3333 12 12 12 12 33 12 12 2111 111 111 111 111 111 llll ll ll ll ll ll ll ll ωαβγ αγβ βαγ βγα γαβ γβα + +++ +++ () 333 3 12 12 12 12 1222 222 222 3 333 lll l ll ll ll ll ++ + += ωααβ αβα βαα ω ααα
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 152 () () ( ) 12 3 22 00 sin sin cos sin cos sin ll l dd == ∫∫ππ ϕψϕ ψψ ψ ψ ϕ ()() () () 12 3 1 2 22 1 00 sin cos sin cos ll l l l dd ++ =∫∫ ππ ψ ψψϕϕϕ . (109) Вычислим интегралы в (109) для набора степеней 12 3 ,, lll () 0,0,0 , () 0,0,1 ,() 0, 0, 2 . Из (109) получим систему уравнений относительно неизвестных весов: 12 3 362 ++ = π ωωω , () () 11421233 2 22 2 24 ++ +++= π ωµµωµµµω µ, (110) () () 22 222 2 11421233 2 22 2 26 ++ +++= π ωµµωµµµω µ. При первом направляющем косинусе 1 µ , равном 0.1422555, и остальных проекциях направлений, вычисленных при помощи (108), решением системы (110) будут веса 1 ω =0.1712359, 2 ω =0.0992284, 3 ω =0.4617179. Рис.2.71. S8 квадратура В табл.2.4 приведены направляющие косинусы и соответствующие им веса для квадратур различных порядков. В таблице даны направления только для первого октанта, взятые из [87]. В остальных октантах искомые направления получаются путем вращения вокруг главных осей на углы кратные 900. В табл.2.5 приведены некоторые
2.6. МДО на неструктурированной сетке 153 дискретные ординаты и веса. Остальные направления получаются в первом октанте при вращении на 1200 приведенных ординат вокруг оси проходящей через начало координат и точку 111 ,, 333 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ . В работах [123-125] приведены оценки точности для наиболее часто используемых квадратур. Для расчетов в методе дискретных ординат можно брать направления, получаемые при делении направляющих углов ψ и ϕ на целое количество интервалов. Однако это может привести к ошибкам при вычислении потоков. Ясно, что ошибка будет уменьшаться при увеличении количества разбиений, что в свою очередь повысит время расчета. В [126] исследованы величины ошибок в зависимости от количества направлений. Использование квадратурных формул в методе дискретных ординат повышает точность расчета и понижает время счета. 2.6.5. Расчет радиационных потоков к поверхности космического аппарата с помощью метода дискретных ординат В работе [92] МДО использовался для нахождения спектральных характеристик поля теплового излучения плазмы дугового осесимметричного разряда в атмосфере аргона. Радиационный нагрев внутренней поверхности воздушного и водородного лазерного плазменного генератора с использованием МДО исследован в [127,128]. Помимо математических аспектов разработки МДО отметим ряд решенных задач физической механики. В работе [16] дан анализ других методов, которые также можно использовать: метод сферических гармоник, метод дискретных направлений ("Ray-tracing" метод), метод имитационного моделирования Монте-Карло. В этом ряду МДО обладает рядом преимуществ ( вычислительная экономичность, точность), которые целесообразно использовать при решении поставленной задачи. Однако на пути применения МДО еще имеется ряд нерешенных проблем. К основной следует отнести сложность использования МДО для решения уравнения переноса теплового излучения в произвольных объемах сложной геометрии. В работе [87] предложена модификация стандартного МДО, которая позволяет решить уравнение переноса излучения на неструктурированных тетраэдральных сетках. Использование МДО на тетраэдральных сетках позволяет значительно расширить круг решаемых задач теории переноса теплового излучения, снимая ограничение на используемую геометрию. В данном разделе применен алгоритм [87], который развивается для нахождения радиационных потоков к поверхности космического аппарата типа MSRO (Mars Sampler Return Orbiter) Европейского космического агентства.
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 154 Метод дискретных ординат в произвольной трехмерной геометрии формулируется для расчетной области, в которой введена неструктурированная сетка, содержащая конечное число непересекающихся тетраэдров. Уравнение переноса излучения в представлении МДО имеет вид: () b, mmm m mmm IIIII xyz ∂∂∂ ++=− ∂∂∂ λλλ λλλ ηµξκ (111) где m Iλ -- спектральная интенсивность излучения, зависящая от пространственных координат ,, x yzи единичного вектора направления Ωm ; b, I λ -- спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела при температуре среды; λ κ -- спектральный коэффициент поглощения среды; ,, mmm η µξ-- направляющие косинусы единичного вектора Ωm ; λ -- длина волны. Задание излучения ,0 m Iλ на границе вычислительного объема Γ позволяет сформулировать граничное условие вида: ,0 mm II = λ λ. (112) Заменим спектральные величины групповыми и проинтегрируем уравнение (1) по объему тетраэдральной ячейки: () () 4 b, 1Ωmm imi ip ppp i SIVII = ⋅=− ∑n κ , (113) где 1 i mm i iS II d S S = ∫ -- усредненная групповая интенсивность по площади i -ой грани тетраэдральной ячейки; 1 p mm p pV II d V V = ∫ -- средняя групповая интенсивность в объеме ячейки; i S -- площадь i -ой грани ячейки; p V -- объем ячейки; i n -- вектор нормали к грани с номером i ; p κ -- групповой коэффициент поглощения в ячейке; b, p I -- групповое излучение абсолютно черного тела при температуре среды в ячейке с номером p . Групповые характеристики находятся по формуле 1 f fd λ λλ λ∆ = ∆ ∫ , где fλ -- спектральная величина; f -- групповая величина; λ -- длина волны; λ ∆ -- групповой диапазон усреднения. Выразив из (113) групповую интенсивность в центре ячейки через средние групповые интенсивности на гранях ячейки, получим: () 4 b, 1 1 mm pp i m i i i pp II S I V= =− ⋅ ∑nΩ κ . (114)
2.6. МДО на неструктурированной сетке 155 Для решения уравнения (114) необходимо сформулировать уравнения связи между средними интенсивностями на гранях тетраэдральной ячейки. На рис.2.72 представлены три возможных случая распространения излучения внутри ячейки. Рис.2.72. Три возможных варианта распространения излучения в тетраэдральной ячейке: (а)-- одна грань получает излучение от трех остальных; (б)-- две грани получают излучение от двух других; (в)-- три грани получают излучение от четвертой Если одна грань получает излучение от трех остальных (рис.2.72а), то средняя интенсивность на принимающей грани 4 зависит от интенсивностей на остальных следующим образом: () 34 14 24 41 2 3b , 444 1 mm m m ppp S SS IIIII SSS ⎛⎞ =+ ++ − ⎜⎟ ⎝⎠ χ χ. (115) Во втором случае (рис.2.72б), когда две грани получают излучение от двух остальных, интенсивность на принимающих гранях () 32 12 21 3b , 22 1 mm m ppp S S IIII SS ⎛⎞ =++ − ⎜⎟ ⎝⎠ χ χ, (116) () 34 14 41 3b , 44 1 mm m ppp S S IIII SS ⎛⎞ =++ − ⎜⎟ ⎝⎠ χ χ. (117) Третий случай (рис.2.72в) описывает ситуацию, когда три грани получают излучение от четвертой. Интенсивности на гранях, получающих излучение от грани с номером 4: ( ) 1234 b , 1 mmmm ppp IIII I ===+− χ χ. (118) В уравнения (115)--(118) входит весовая функция p χ , которая выражается следующим образом:( ) 1e x p 21 p p pp ⎛⎞ −− ⎜⎟ =− ⎜⎟ ⎝⎠ τ χττ , (119) где p τ -- максимальная оптическая длина в ячейке p в направлении распространения излучения Ωm .
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 156 Поскольку расчет переноса излучения тесно связан с задачей определения распределений газодинамических функций, часто целесообразно использовать одни и те же расчетные сетки. Наибольшей общностью для пространственных трехмерных задач обладают неструктурированные тетраэдральные сетки. При решении пространственной задачи трехмерная шестигранная ячейка, использовавшаяся для газодинамических расчетов, разбивается на шесть тетраэдров ABCF , AFDE , FCDA , DEGH , GEFD , GFCD (рис.2.73а). Если область имеет осевую симметрию, то сетка в цилиндрической системе координат содержит трехмерные пятигранные ячейки, граничащие с осью z , которые разбиваются на три тетраэдра ABCD , BCEF , CDEB (рис. 2.73б). На рис. 2.74а представлено поперечное сечение тетраэдральной сетки, полученной разбиением цилиндрической сетки на тетраэдры. Если постановка задачи подразумевает осесимметричное задание параметров среды, то иногда предпочтительно использовать квазиравномерное распределение ячеек в цилиндрическом объеме. Пример поперечного сечения квазиравномерной сетки представлен на рис.2.74б. Рис. 2.73. Разбиение ячейки на тетраэдры: (а)-- разбиение шестигранной ячейки; (б)-- разбиение ячейки граничащей с осью z Рис. 2.74. Поперечное сечение цилиндрической сетки разбитой на тетраэдры (a). Поперечное сечение цилиндрического объема с квазиравномерной сеткой (б) Наряду с пространственной дискретизацией вводится также сетка по направлениям полного телесного угла. При наличии процесса рассеяния в
2.6. МДО на неструктурированной сетке 157 уравнении переноса теплового излучения интеграл рассеяния по телесному углу в МДО заменяется квадратурным разложением по дискретным направлениям. Точность аппроксимации интеграла рассеяния определяется точностью разложения интеграла по квадратурным формулам. Уравнение переноса теплового излучения решается для каждого конкретного углового направления. При отсутствии рассеяния эти направления могут быть выбраны произвольным образом. Однако при нахождении характеристик поля теплового излучения (например, тепловых радиационных потоков) возникает необходимость интегрирования интенсивности по углу. В свою очередь эти интегралы могут быть вычислены при помощи разложения по квадратурным формулам. Поэтому целесообразно ввести угловую сетку, совпадающую с направлениями квадратурной формулы. Для повышения точности расчетов в теории МДО доказывается предпочтительность того, чтобы выбранная квадратурная схема позволяла находить с наименьшей погрешностью первые моменты и была инвариантна относительно вращения на 90° вокруг главных координатных осей. В данном разделе использовалась S N квадратура, которая удовлетворяет перечисленным требованиям. Количество дискретных направлений в SN квадратуре определяется формулой (+ 2 ) NN и зависит от ее порядка N. Применялся следующий порядок вычислений. Чтобы вычислить среднюю интенсивность в объеме ячейки с помощью уравнения (114), необходимо знать интенсивности на гранях. Для решения задачи переноса излучения был разработан алгоритм распознавания пространственной взаимной ориентации ячейки и направления распространения излучения Ωm . Данный алгоритм позволяет осуществить выбор соответствующего характеристического уравнения (115)--(118) для случая, соответствующего варианту распространения излучения в ячейке. Если интенсивность на излучающих гранях известна, то алгоритм, записанный в виде компьютерного кода, производит расчет интенсивностей на принимающих гранях. С помощью уравнения (114) может быть определена средняя объемная интенсивность в центре ячейки. Последовательно производится расчет во всей трехмерной области. При использовании неструктурированных сеток последовательность прохождения ячеек для каждого выбранного направления не является очевидной. Поэтому для уменьшения затрат машинного времени полезно до начала счета создать карту прохождения ячеек в порядке их вычислений. Новую карту последовательности вовлечения ячеек в процесс счета необходимо создавать заново при изменении угловой или пространственной сетки. С использованием разработанного метода выполнены расчеты плотностей радиационных тепловых потоков к поверхности космического аппарата, выбранного в Европейском космическом агентстве в качестве базового, для сравнительной оценки различных расчетных методик аэротермодинамики
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 158 спускаемых в атмосферу космических аппаратов. Предполагается, что атмосфера Марса состоит из 97% CO2 и 3% N2 (массовые доли). Оптический диапазон, в котором осуществляется основной перенос тепла излучением, выбран равным 1970--4000 см-1. Этот оптический диапазон впоследствии делится на количество спектральных групп равное GR, и решается уравнение переноса излучения в каждой группе. Распределение температуры (рис.2.75) и массовых концентраций компонент высокотемпературной смеси газов вблизи поверхности космического аппарата взяты из [72,129,130]. Групповые коэффициенты поглощения рассчитывались при помощи компьютерного кода ASTEROID. Граничные условия формулируются для абсолютно черной поверхности космического корабля при температуре 500 К; газ на границе расчетной области является холодным и не излучающим; при расчете полей газодинамических функций на выходе из расчетной области вниз по потоку вдоль координатных линий задавались граничные условия второго рода. Рис. 2.75. Температурное распределение за космическим кораблем (поступательная температура в К) Газодинамические расчеты проводились на последовательности криволинейных неортогональных структурированных сеток. Начальная наиболее грубая сетка, использованная при радиационных расчетах, показана на рис.2.76. Местоположения каждой элементарной расчетной ячейки в декартовой системе координат может быть определено осевой координатой z и радиусом 22 rxy =+ , а так же угловой координатой [] 0,2 ∈ θπ, определяющей разворот плоскости r -- z вокруг оси z . Тетраэдральная сетка создавалась из указанной цилиндрической сетки путем разбиения цилиндрических ячеек на тетраэдры, как это показано на рис.2.73. На рис.2.76б показан порядок расположения точек на поверхности космического корабля, в которых приводятся радиационные потоки. Интегральные радиационные потоки на поверхности космического корабля зависят от количества спектральных диапазонов (GR), от порядка
2.6. МДО на неструктурированной сетке 159 применяемой квадратуры (SN), а также от порядка углового разбиения по углу θ (NK). Рис. 2.76. Вычислительная сетка и расположение координатных точек N на задней поверхности космического аппарата На рис.2.77 показано распределение плотности интегральных радиационных потоков вдоль задней поверхности космического корабля в зависимости от углового разбиения по углу θ . При увеличении NK углового разбиения по θ , наблюдается сходимость решения уравнения переноса излучения. Для дальнейших вычислений было выбрано NK=30. На точность решения весьма заметно влияет выбор порядка квадратуры. Распределения плотностей интегральных радиационных потоков вдоль задней поверхности космического корабля, с использованием квадратур разных порядков приведены на рис.2.77б. Расчет представлен для 10 групповой оптической модели. На рис.2.78 показана зависимость распределения плотностей интегральных радиационных потоков для S6 аппроксимации в зависимости от числа оптических групп. Еще раз подчеркнем, что приведенные распределения плотностей радиационных тепловых потоков были получены МДО на криволинейных неструктурированных сетках. Для тестирования полученных результатов аналогичные расчеты были выполнены с помощью стандартного МДО [84,85] в ортогональном цилиндре радиусом 600 R= см и высотой цилиндра 900 Z= см. Вычислительная область разбита на неравномерную сетку по r и z на 171 и 91 соответственно. Поверхность космического корабля моделировалась ячейками с высоким коэффициентом поглощения ( 5 10 см-1) и с температурой 500 К. Распределение температуры (рис.2.75) и массовых концентраций компонент высокотемпературной смеси газов вблизи поверхности космического аппарата на цилиндрической сетке вычислялись методом интерполяции с газодинамической сетки (рис.2.76).
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 160 Рис. 2.77. Слева: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического аппарата для S6 аппроксимации и GR=10 в зависимости от порядка угловой дискретизации по углу θ NK=8; 16; 20; 30 и 60 -- 1--5 соответственно Справа: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического аппарата при NK=30 и GR=10 в зависимости от порядка применяемой квадратуры SN: S6, S8, S10, S12, S16 -- 1--5 соответственно Рис. 2.78. Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического аппарата при NK=30 и S6 квадратуре в зависимости от числа спектральных групп GR=10; 30; 50; 200 -- 1--4 соответственно На рис.2.79 приведены распределения плотностей интегральных радиационных потоков вдоль задней поверхности космического аппарата, полученные при использовании квадратур разных порядков, здесь применялась 200 групповая оптическая модель. Зависимость численного решения от количества учитываемых спектральных групп также
2.6. МДО на неструктурированной сетке 161 иллюстрируется на рис.2.79. В данном случае решение находилось с использованием S16 квадратуры. На рис.2.80 показаны распределения интегральных радиационных потоков, полученные для одинаковых квадратур (S16) и числа спектральных групп (NG=200) при расчетах на структурированных и неструктурированных сетках. Итак, отметим, что преимуществом МДО является то, что этот метод позволяет достаточно просто находить распределения характеристик поля излучения во всей расчетной области, а не только вдоль поверхности. Рис.2.79. Слева: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического аппарата полученный стандартным МДО при GR=200 в зависимости от порядка применяемой квадратуры SN: S6, S8, S10, S12, S16 -- 1--5 соответственно Справа: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического аппарата полученный стандартным МДО для S16 квадратуры в зависимости от числа групп спектральных групп GR=10; 30; 50; 200 -- 1--4 соответственно Рис.2.80. Сравнение интегральных потоков вдоль задней поверхности космического аппарата полученные 1 -- стандартным МДО при GR=200 и S16 квадратуре; 2 -- МДО на тетраэдральных сетках при GR=200, S16 квадратуре и NK=30
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения 162 Табл.2.2. Расшифровка индексов опорных и конечных граней 0 > η 0 < η 0 > µ 0 < µ 0 > µ 0 < µ 0 > ξ 0 < ξ 0 > ξ 0 < ξ 0 > ξ 0 < ξ 0 > ξ 0 < ξ m iref I 12, , m ij k I− 12, , m ij k I− 12, , m ij k I− 12, , m ij k I− 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I+ m iend I 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I+ 12, , m ij k I− 12, , m ij k I− 12, , m ij k I− 12, , m ij k I− mjref I ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I+ mjend I ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I+ ,1 2 , m ijk I− ,1 2 , m ijk I− m kref I ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ m kend I ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− ,, 12 m ijk I+ ,, 12 m ijk I− Индекс p ,, ijk Табл.2.3. Расшифровка индексов для опорных и конечных граней в ячейке 0 l> ξ 0 l< ξ ,0 lm> µ ,0 lm< µ ,0 lm> µ ,0 lm< µ , lm rref I , 12, ln ij I− , 12, ln ij I+ , 12, lm ij I− , 12, lm ij I+ , lm rend I , 12, lm ij I+ , 12, lm ij I− , 12, lm ij I+ , 12, lm ij I− , lm zref I , ,1 2 lm ij I− .. , ,1 2 lm ij I+ , ,1 2 lm ij I+ , lm zend I , ,1 2 lm ij I+ , ,1 2 lm ij I+ , ,1 2 lm ij I− , ,1 2 lm ij I− ref r 12 i r− 12 i r+ 12 i r− 12 i r+ end r 12 i r+ 12 i r− 12 i r+ 12 i r− Индекс p , ij
2.6. МДО на неструктурированной сетке 163 Табл.2.4. Квадратурные веса и направления для SN квадратуры в первом октанте SN№ Ординаты Веса m m µ m ξ m η m ω S2 1 0.5773503 0.5773503 0.5773503 1.5707963 S4 1 0.2958759 0.2958759 0.9082483 0.5235987 2 0.9082483 0.2958759 0.2958759 0.5235987 3 0.2958759 0.9082483 0.2958759 0.5235987 S6 1 0.1838670 0.1838670 0.9656013 0.1609517 2 0.6950514 0.1838670 0.6950514 0.3626469 3 0.9656013 0.1838670 0.1838670 0.1609517 4 0.1838670 0.6950514 0.6950514 0.3626469 5 0.6950514 0.6950514 0.1838670 0.3626469 6 0.1838670 0.9656013 0.1838670 0.1609517 S8 1 0.1422555 0.1422555 0.9795543 0.1712359 2 0.5773503 0.1422555 0.8040087 0.0992284 3 0.8040087 0.1422555 0.5773503 0.0992284 4 0.9795543 0.1422555 0.1422555 0.1712359 5 0.1422555 0.5773503 0.8040087 0.0992284 6 0.5773503 0.5773503 0.5773503 0.4617179 7 0.8040087 0.5773503 0.1422555 0.0992284 8 0.1422555 0.8040087 0.5773503 0.0992284 9 0.5773503 0.8040087 0.1422555 0.0992284 10 0.1422555 0.9795543 0.1422555 0.1712359 Табл.2.5. S16 квадратура µ ξ η ω S16 0.0888835 0.0888835 0.9920683 0.0646451 0.0888835 0.3838901 0.9190909 0.0426656 0.0888835 0.5355772 0.8397957 0.0181417 0.0888835 0.6529274 0.7521872 0.0460718 0.3838901 0.3838901 0.8397957 0.1717172 0.3838901 0.5355772 0.7521872 0.0090480 0.3838901 0.6529274 0.6529274 0.0459260 0.5355772 0.5355772 0.6529274 0.0948796
164 ГЛАВА 3 РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ В АТМОСФЕРЕ МАРСА 3.1. Введение Среди задач компьютерной аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов имеется класс задач, в которых особое значение имеет аккуратное предсказание всего поля течения, а не только в пограничном слое у обтекаемой поверхности. Учитывая сложность формы многих космических аппаратов и малоизученную до настоящего времени пространственную структуру течения (включая области ламинарно-турбулентного перехода и отрывных течений), а также ограниченные возможности современных компьютеров, становится понятной сложность такой задачи. К этому же классу задач относится проблема расчета радиационно- конвективного нагрева поверхности космических аппаратов, а также предсказания спектральной излучательной способности, которая может быть измерена орбитальным космическим аппаратом, наблюдающим за входом посадочного модуля в плотные слои атмосферы [135-137]. К этому же классу относятся задачи наблюдательной астрономии метеоров [138-140]. В указанных случаях суть проблемы состоит в правильном предсказании распределений концентраций химических компонент, ионов и электронов во всем пространстве возмущенного газового потока с целью интерпретации их спектрального излучения. В данном разделе решается задача радиационно-конвективного теплообмена космического аппарата (КА) простейшей (сферической) формы в марсианской атмосфере [76]. Основной целью является сопоставление конвективного и радиационного нагрева КА для типичных условий входа космических аппаратов в атмосферу Марса. 3.2. Постановка задачи и метод решения Аэротермодинамика спускаемого космического аппарата сферической формы исследуется в рамках уравнений Навье − Стокса в приближении ламинарного характера течения. Учитываются неравновесные химические реакции и два предельных случая каталитических свойств поверхности: некаталитическая и псевдо каталитическая. В последнем случае концентрации частиц вблизи поверхности полагаются равными в набегающем потоке. Для решения системы уравнений движения вязкого, теплопроводного, химически реагирующего, селективно излучающего и поглощающего газа используется метод расщепления по физическим процессам, главным элементом которого является решение уравнения,
3.2. Постановка задачи и метод решения 165 выражающего закон сохранения энергии в форме уравнения Фурье − Кирхгоффа. Причем, поскольку для решения уравнений диффузии компонент, также как и для решения уравнения Фурье − Кирхгоффа, используется неявный конечно-разностный метод, то указанные уравнения также формулируются в неконсервативном (недивергентном) виде. Таким образом, система решаемых уравнений формулируется в виде двух групп уравнений. Первую группу составляют уравнения неразрывности и Навье − Стокса, формулируемые в ортогональной осесимметричной системе координат. Вторую группу составляют уравнение сохранения энергии поступательного движения частиц, система уравнений сохранения энергии в отдельных колебательных модах и система уравнений диффузии химических компонент смеси. Подробно расчетная модель изложена в Главе 1. Для численного интегрирования сформулированной системы уравнений используется упрощенная кинетическая схема, приведенная в таблице М.1 (см. Приложение). Как видно из этой таблицы используются усредненные значения констант скоростей реакций диссоциации при столкновении молекул CO2 с другими частицами. Ранее допустимость использования такой модели была доказана в работе [141] (для указанных точек траектории входа КА в марсианскую атмосферу). Расчеты проводились в рамках модели локального термодинамического равновесия. Спектральные и групповые свойства высокотемпературной смеси газов сложного состава рассчитывались с использованием компьютерного кода ASTEROID [18,79]. Спектральный коэффициент поглощения представлялся в виде 97-ми групповой модели в спектральном диапазоне волновых чисел 1000 150000 ∆Ω= ÷ см−1. При формировании групповых спектральных характеристик объемный спектральный коэффициент поглощения усреднялся по вращательной структуре в диапазоне 20 ∆= ω см−1. В спектральном диапазоне ∆Ω учитывались колебательно-вращательные полосы поглощения молекул CO2, CO, электронно-колебательные полосы молекул CO, O2, процессы фотодиссоциации молекул CO, O2. В силу малости ионизации радиационные процессы с участием электронов не учитывались. Для расчета плотности интегрального по спектру радиационного теплового потока к поверхности применялся метод дискретных направлений (Ray-tracing method). В каждой спектральной группе выполнялось интегрирование уравнения переноса теплового излучения вдоль каждого из 160 лучей, испускаемых с заданной точки поверхности. Конечно-разностная сетка вдоль каждого из лучей строилась методом регулярной выборки [56]. Далее подробно будет рассмотрено обтекание сферы чистым углекислым газом. В работе [56] было показано, что в рассматриваемых условиях входа в атмосферу Марса присутствие в атмосферном газе молекулярного азота ( ~3% по массе) не сказывается заметно на уровне радиационных потоков к поверхности. При этом, нельзя забывать, что спектральная излучательная
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 166 способность возмущенной области может изменяться весьма значительно при учете молекулярных полос, генерируемых молекулами N2, NO, CN. Уравнения Навье − Стокса интегрировались с использованием AUSM конечно-разностной схемы 1-го и 2-го порядка аппроксимации по пространственным переменным [42]. Использовались неоднородные регулярные конечно-разностные сетки "O"-типа [76]. Прежде, чем изучить особенности радиационной газовой динамики космического аппарата сферической формы в марсианской атмосфере, рассмотрим некоторые результаты тестирования разработанного вычислительного кода. 3.3. Результаты методических исследований С целью анализа согласованности и устойчивости используемой конечно- разностной модели были выполнены вычислительные эксперименты в рамках модели совершенного газа ( 1.4 = γ ) на последовательности разностных сеток: 51 101 ij NN =×= ,101 201 × , 201 401 × , 401 801 ×(i N − число узлов сетки по нормали к поверхности, j N − вдоль поверхности). Исходные данные этих расчетов приведены в таблице 3.1. Расчеты по соотношениям изоэнтропической теории одномерного потока совершенного газа показывают, что в рассматриваемом случае температура торможения составляет 0 T = 4710 К, а температура газа за фронтом ударной волны - 1 T =4570К. Таблица 3.1. Исходные данные для расчетов №п/п t,с p∞,эрг/см3 ρ∞,г/см3 T∞, K V∞ , км/с MΣ ,г/моль 1 Совершен- ный газ 0.120×105 0.184×10−4 227 3.00 29 2 52 15.56 5.760×10−8 143 7.364 44 3 66 89.41 2.800×10−7 169 6.596 44 Таблица 3.1. (продолжение) № п/п t,с µ∞ , г/см⋅с λ∞ , эрг/см⋅K , p C ∞ , эрг/K⋅моль 1 Совершенный газ 0.148×10−3 0.206×104 0.247×107 2 52 0.984×10−4 0.204×104 0.145×108 3 66 0.115×10−3 0.237×104 0.145×108
3.3. Результаты методических исследований 167 Таблица 3.1. (продолжение) № п/п t,с Re R,см Pr M∞ 1 Совершенный газ 0.247×107 66 0.72 9.94 2 52 0.285×105 66 0.7 41.8 3 66 1.060×105 66 0.7 34.4 На рис.3.1 показаны распределения температуры вдоль передней критической линии тока, полученные в расчетах на разных сетках по схемам AUSM с использованием разных аппроксимаций компонент градиента давления в уравнениях Навье − Стокса. Хорошо видно, что при аппроксимации производных давления полиномом первого порядка на двух достаточно подробных сетках (101х101 и 201х201), температура в сжатом слое оказывается заниженной примерно на 250 К. Использование полинома 3-ой степени обеспечивает хорошую точность расчета температуры в сжатом слое на любой сетке. При этом очевидно, что более подробные сетки обеспечивают более крутой фронт скачка температуры в ударной волне. Необходимо еще раз подчеркнуть, что уравнение сохранения энергии в форме уравнения Фурье-Кирхгоффа (4) интегрировалось во всех случаях по неявной схеме 2-го порядка аппроксимации. 051 0 1 5 0 1000 2000 3000 4000 5000 1 2 3 4 5 T,K х, см Рис.3.1. Распределение температуры вдоль критической линии тока для совершенного газа: 1 -- 1-й порядок аппроксимации, сетка 101х201, 2 -- 1-й порядок аппроксимации, сетка 201х401, 3 -- 2-й порядок аппроксимации, сетка 101х201, 4 -- 2-й порядок аппроксимации, сетка 201х401, 5 -- 2-й порядок аппроксимации, сетка 401х801
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 168 Для анализа различий в способах интегрирования уравнений Навье-Стокса по схеме AUSM [42] уточним используемую в данном разделе конечно- разностную схему, изложенную в Главе 1 (см. формулы (40)-(56)). Аппроксимация производных потоков импульса обусловленного действием давления используется в виде ,, ,1 2,1 2 12 12 pp ij ij p jj +− +− − ∂= ∂− SS E ξξ ξξξ, ( 1 ) ,, 12, 12, 12 12 pp ij ij p ii +− +− − ∂= ∂− SS F ηη ηηη, ( 2 ) , ,1 2 ,, 1 00 p ij Lx Rx yy ij ij pJpJ JJ +− + + ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ Sξ ξξ ξξ , ( 3 ) ( ),, ,, ,, , при 1, 1 при 1; 2 UU ij ij UU L ij ij U ij ij U ij MM p MM pM M + ⎧ℜ≤ ⎪⎪ =⎨ + > ⎪⎪⎩ ( 4 ) где:(а)- () () ,,, 11 2 UU ij ij ij Mp M ℜ=+ или(б)- () () () 2 ,, , , 1 12 4 UUU ij ij ij ij Mp MM ℜ= +− . () ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 при 1, 1 при 1; 2 UU ij ij UU R ij ij U ij ij U ij MM p MM pM M ++ − ++ ++ + ⎧ℜ≤ ⎪⎪ =⎨ − > ⎪⎪⎩ ( 5 ) где:(а) - () () ,1 ,1 ,1 11 2 UU ij ij ij Mp M +++ ℜ=− или(б)- () () () 2 ,1 ,1 ,1 ,1 1 12 4 UU U ij ij ij ij Mp MM ++ + + ℜ= − + , ,1 2 1, , 00 p ij Lx Rx yy ij i j pJp J J J +− − − ⎡⎤⎡ ⎤ ⎢⎥⎢ ⎥ =+ ⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣⎦⎣ ⎦ Sξ ξξ ξξ , ( 6 ) () ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 ,1 при 1, 1 при 1; 2 UU ij ij UU L ij ij U ij ij U ij MM p MM pM M −− + −− −− − ⎧ℜ≤ ⎪⎪ =⎨ + > ⎪⎪⎩ ( 7 )
3.3. Результаты методических исследований 169 где:(а) - () () ,1 ,1 ,1 11 2 UU ij ij ij Mp M −− − ℜ=+ или(б)- () () () 2 ,1 ,1 ,1 ,1 1 12 4 UU U ij ij ij ij Mp MM −− − − ℜ= + − ( ),, ,, ,, , при 1, 1 при 1. 2 UU ij ij UU R ij ij U ij ij U ij MM p MM pM M − ⎧ℜ≤ ⎪⎪ =⎨ − > ⎪⎪⎩ ( 8 ) где:(а) - () () ,,, 11 2 UU ij ij ij Mp M ℜ=− или(б)- () () () 2 ,, , , 1 12 4 UUU ij ij ij ij Mp MM ℜ= −+. В представленных соотношениях первый порядок полиномов отвечает формулам (а), а третий порядок -- формулам (б). В отдельных случаях (в зависимости от особенностей исследуемого течения) удается улучшить качество получаемых численных решений применением алгоритмов ограничения счетных потоков на гранях элементарных конечно-разностных объемов. Например, для ограничения возможных численных осцилляций величин U ij M, V ij M может быть использован MUSCL-алгоритм сглаживания (см., например, [44]). Если ввести обозначение U для любой из величин U ij M,V ij M ,то ()() 11 2 1 111 4 Rj j UU + + =− ⎡ − ∆ + + ∆ ⎤ ⎣⎦ κκ , ( 9 ) () () () () () () 211 11 1 min mod ; , min mod ; , jjj j j jj jj j UUU U UU UU +− −+ ⎡⎤ ∆= − − ⎣⎦ ⎡⎤ ∆= − − ⎣⎦ β β ( 1 0 ) где () () () () { } min mod , sign max 0, min sign ; sign xyx x y y x =×⎡ ⋅ ⋅⎤ ⎣ ⎦, 31 1, 13 − ≤≤ = − κ βκ κ . ( 1 1 ) По всей видимости, приоритет введения такой аппроксимации следует признать за работой В. П.Колгана [142], где она была сформулирована в виде () 11 1 min mod ; 2 Lj jjj j UU UUU U −+ =+ − −, ( 1 2 ) () 11 2 1 1 min mod ; 2 Rj jj jj UU UU UU ++ + + =− − −, ( 1 3 )
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 170 () () () () , при 0, , min mod , , при 0, , 0, при 0. aa ba b abb ab ab ab ⎧ >< ⎪ => ≥ ⎨⎪ < ⎩ ( 1 4 ) На рис.3.2 и 3.3 показаны распределения чисел Маха и температуры в расчетной области, полученные на сетке 401 801 ij NN = ×= , которые дают представление об основных особенностях течения совершенного газа. Среди этих особенностей отметим следующие: − высокотемпературный сжатый слой у лобовой поверхности; − высокотемпературный ближний след; − сверхзвуковое возвратное течение в окрестности задней критической линии; − относительно высокотемпературный сжатый слой у задней критической линии; − наличие участков сверхзвукового течения внутри зон вихревого движения вдали от оси симметрии. 3.4. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферического КА в атмосфере двуокиси углерода Обтекание и радиационно-конвективный нагрев сферы в марсианской атмосфере (CO2) рассчитаны для двух точек траектории марсианского космического аппарата Pathfinder, параметры которой даны в [75]. Исходные данные этих расчетов приведены в таблице 3.1. Результаты расчетов обтекания сферы радиусом 66 R= см двуокисью углерода показаны на рис.3.4−3.6. В рассматриваемом случае поверхность сферы полагалась некаталитической. На верхней части рис.3.4 дано распределение чисел Маха в диапазоне М=0.15-40, а на нижней -- конфигурация используемой конечно-разностной сетки. На рис.3.5 дано распределение температуры в расчетной области, а на рис.3.6 -- поле относительной массовой концентрации CO2. Как и при расчете динамики совершенного газа здесь наблюдаются аналогичные структурные элементы течения. Вместе с этим заметим, что при расчете движения реального газа распределение температуры в сжатом слое заметно отличается от случая совершенного газа (сравните рис.3.1 и 3.7). Профиль температуры, показанный на рис.3.7 является характерным для случая учета химических реакций в сжатом слое за ударной волной, когда ее резкий скачек на фронте ударной волны инициирует процессы диссоциации, которые требуют затрат энергии, что и приводит к падению температуры в объеме сжатого слоя. Падение температуры в пограничном слое вблизи поверхности обусловлено охлаждающим воздействием на поток обтекаемой поверхности, температура которой рассчитывается из условия равенства суммы плотностей конвективного и интегрального по спектру радиационного
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 171 потоков плотности потока радиационной энергии, высвечиваемой поверхностью со степенью черноты 0.8 = ε в окружающее пространство. Это так называемая равновесно-радиационная температура. Рис. 3.2. Распределение чисел Маха в области течения при М=9.94. Совершенный газ. Сетка 401х801 Рис.3.3. Распределение температуры в области течения при М=9.94. Совершенный газ. Сетка 401х801
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 172 Рис.3.4. Поле чисел Маха при обтекании сферы с некаталитической поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Расчетная сетка 121х281. Точка траектории t=52 с Рис.3.5. Температурное поле при обтекании сферы с некаталитической поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Расчетная сетка 121х281. Точка траектории t=52 с При расчете обтекания сферы радиусом 66 R = см в приближении каталитической поверхности значительных изменений в распределениях чисел Маха и температуры не наблюдаются, поэтому эти данные здесь не приводятся. Однако в распределениях массовых долей химических
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 173 компонент имеются существенные различия. На рис.3.8 показано поле весовых долей 2 CO Y для случая каталитической поверхности. Рис. 3.6. Относительная массовая концентрация СО2 при обтекании сферы с некаталитической поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Cетка 121х281. Точка траектории t=52 с S, cm 024681 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 T, Jc=0, 121x281 T, Jc=1, 121x281 T,K Рис. 3.7. Распределение температуры вдоль передней критической линии тока; 1 -- некаталитическая поверхность, 2 -- каталитическая поверхность. Точка траектории t=52 с Главное различие в распределениях 2 CO Y заключается в том (сравните рис.3.6 и 3.8), что в последнем случае вблизи обтекаемой поверхности наблюдается большая концентрация CO2. Сам этот факт не является
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 174 удивительным по причине использования приближения полной каталитичности поверхности. Значительный интерес представляет поле 2 CO Y во всей расчетной области, поскольку это распределение должно влиять на закономерности распространения теплового излучения во всей возмущенной области течения. Заметим также, что изменение каталитических свойств поверхности влечет за собой небольшое изменение расстояния отхода фронта ударной волны от обтекаемой поверхности (рис.3.7). На рис.3.9 и 3.10 показаны распределения плотностей конвективных и интегральных по спектру радиационных потоков вдоль поверхности обтекаемой сферы. В случае каталитической поверхности плотность конвективного теплового потока примерно вдвое превышает плотность потока для некаталитической поверхности вблизи передней критической линии тока. На этом же рисунке показаны две составляющие конвективного суммарного теплового потока, обусловленные теплопроводностью и диффузией частиц. В рассматриваемом случае основной вклад дает теплопроводностная составляющая теплового потока. Отметим две особенности в распределениях плотности конвективного теплового потока вдоль поверхности. Небольшая немонотонность вблизи передней критической линии тока обусловлена численными эффектами. Такие немонотонности часто наблюдаются в расчетах обтекания затупленных тел и могут быть убраны использованием специальных процедур сглаживания численного решения (монотонизаторов). В данной работе такие процедуры не применялись. Вторая особенность наблюдается в области взаимодействия с поверхностью возвратно-вихревого движения, возникающего в окрестности задней критической линии тока. Важно сравнить распределения абсолютных величин плотностей конвективных и радиационных тепловых потоков. Наибольшая плотность конвективного теплового потока наблюдается в окрестности передней критической линии тока. Еще один локальный максимум наблюдается в окрестности задней критической линии тока. Наличие этого максимума определяется отмеченным выше возвратным движением газа вдоль задней критической линии тока. Абсолютная величина этого локального максимума существенно меньше, чем для передней критической точки. Плотность интегрального радиационного теплового потока к поверхности в окрестности передней критической точки превосходит примерно вдвое плотность конвективных тепловых потоков. При отходе вдоль поверхности от передней критической точки плотность интегральных радиационных потоков падает быстрее, чем плотность конвективных тепловых потоков. На расстоянии ~ 30 см от передней критической точки конвективный нагрев поверхности превосходит радиационный. Вблизи задней критической точки плотности радиационных и конвективных тепловых потоков опять практически совпадают. Различие между плотностями радиационных
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 175 тепловых потоков для каталитической и некаталитической поверхностей не столь значительно. Рис. 3.8. Относительная массовая концентрация СО2 при обтекании сферы с каталитической поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Cетка 121х281. Точка траектории t=52 с 0 50 100 150 10-3 10-2 10-1 100 101 102 1 2 3 4 х, см Рис.3.9. Распределение плотностей конвективных тепловых потоков вдоль поверхности сферы от передней до задней критической линии тока; 1 -- некаталитическая поверхность, t=52 c, 2 -- плотность полного конвективного потока к каталитическая поверхности, t=52 с; 3 -- плотность диффузионной составляющей полного конвективного потока к каталитической поверхности, t=52 с; 4 -- плотность полного конвективного потока к каталитической поверхности, t=66 с
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 176 0 50 100 150 200 10-2 10-1 100 101 102 1 2 3 s, см Рис. 3.10. Распределение плотностей интегральных радиационных тепловых потоков вдоль поверхности сферы от передней до задней критической линии тока; 1 -- не каталитическая поверхность, t=52 c; 2 --каталитическая поверхность, t=52 с; 3 -- каталитическая поверхность, t=66 с 103 104 105 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 1 2 3 4 5 6 ω,см-1 Рис.3.11. Групповые спектральные радиационные потоки в шести точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 -- t sS =0;2-- t sS =0.0854;3-- t sS =0.256;4-- t sS =0.569;5-- t sS =0.863; 6-- t s S = 0.983. Точка траектории t=52 с Радиационный тепловой поток к лобовой поверхности сферы обусловлен высокотемпературным сжатым слоем. Поэтому значительная доля радиационного теплового потока приходится на ближнюю инфракрасную, видимую и даже ближнюю ультрафиолетовую часть спектра. Радиационный тепловой поток к задней поверхности обтекаемой сферы обусловлен в основном инфракрасным излучением в колебательных полосах CO2.
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 177 Спектральное распределение плотностей радиационных тепловых потоков показано на рис.3.11. Для того чтобы объяснить закономерности радиационного нагрева поверхности необходимо учесть, что абсолютная величина плотности радиационного теплового потока определяется двумя факторами: распределением по спектру и в пространстве спектральных коэффициентов поглощения и испускания. В условиях локального термодинамического равновесия необходимо анализировать поля спектрального коэффициента поглощения и спектральной функции излучения абсолютно черного тела (функции Планка). На рис. 12,а показано распределение спектрального коэффициента поглощения в области сжатого слоя вдоль передней критической линии тока, а на рис. 12,б -- вдоль задней критической линии тока. Поглощение вблизи лобовой поверхности обусловлено в основном двумя электронно-колебательными полосами: CO ( 11 AX+ Π −Σ- 4-я положительная система полос) в спектральном диапазоне волновых чисел = ω 30000-80000 1/см (см. полосы поглощения «2» на рис.12,а) и СО ( 1 BX + + ′Σ −Σ- полосы Хопфильда-Берджа) в спектральном диапазоне волновых чисел = ω 74000- 100000 1/см (см. полосы поглощения «1»). Незаметность поглощения в колебательно-вращательных полосах CO2 в инфракрасной части спектра объясняется малой концентрацией этих молекул в сжатом слое у некаталитической поверхности, что хорошо видно из рис.3.13,а. На рис.3.12,а также хорошо видно, что поглощение в видимой и ультрафиолетовой областях спектра наблюдается только в сжатом слое. В следе за обтекаемым телом распределение концентраций и температуры таковы, что поглощение в полосах CO ( 11 AX+ Π−Σ , 1 BX + + ′Σ −Σ ) оказывается важным практически во всей возмущенной области. На рис.3.14 показаны распределения спектральной излучательной способности jω в ударном слое (рис.3.14,а) и вдоль задней критической линии тока (рис.3.14,б). Напомним, что в условиях ЛТР ,b jJ = ω ωω κ . Поэтому в ударном слое излучательная способность имеет максимум внутри ударного слоя ближе к фронту ударной волны, поскольку здесь достаточно велика поглощательная способность и высока температура (а значит, велика и функция Планка). Вблизи поверхности падение температуры приводит к резкому падению функции Планка. Иная ситуация наблюдается вдоль задней критической линии тока. Распределение температуры здесь таково, что максимум функции Планка смещается в инфракрасную область спектра согласно закону смещения Вина. Несмотря на то, что на фоне более сильных электронно-колебательных полос поглощения, расположенных в видимой и ультрафиолетовой областях спектра, коэффициент поглощения в инфракрасной области был практически незаметен (см. рис.3.12,а), излучательная способность здесь оказывается максимальной.
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 178 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11 E-0 1 2.04 E-0 1 1.97 E-0 1 1.90 E-0 1 1.83 E-0 1 1.76 E-0 1 1.69 E-0 1 1.62 E-0 1 1.55 E-0 1 1.48 E-0 1 1.41 E-0 1 1.33 E-0 1 1.26 E-0 1 1.19 E-0 1 1.12 E-0 1 1.05 E-0 1 9.84 E-0 2 9.13 E-0 2 8.43 E-0 2 7.73 E-0 2 7.03 E-0 2 6.32 E-0 2 5.62 E-0 2 4.92 E-0 2 4.22 E-0 2 3.51 E-0 2 2.81 E-0 2 2.11 E-0 2 1.41 E-0 2 7.03 E-0 3 1 2 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 ( а) ( б) Рис. 3.12. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у некаталитичной поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока; Y - относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового потока, max / Xxx = , max x =10см(а), max x =857 см (б). Точка траектории t=52 с Y Y 24681 0 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 C O C2 O2 CO CO2 (а) 24681 0 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 C O C2 O2 CO CO2 (б) x , см x , см Рис.3.13. Распределение относительных массовых концентраций вдоль передней критической линии тока при обтекании некаталитической (а) и каталитической (б) поверхности. Точка траектории t=52 с На рис.3.15 и 3.16 показаны распределения спектральных коэффициентов поглощения и излучательной способности вдоль передней и задней критических линий тока для полностью каталитической поверхности, на которой CO2 восстанавливается до своего значения в набегающем потоке.
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 179 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 3 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 3 (а) ( б) Рис.3.14. Распределение спектрального коэффициента испускания в сжатом слое у некаталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока; Y - относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового потока, max / Xxx = , max x =10см(а), max x =857 см (б). Точка траектории t=52 с X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11 E-0 1 2.04 E-0 1 1.97 E-0 1 1.90 E-0 1 1.83 E-0 1 1.76 E-0 1 1.69 E-0 1 1.62 E-0 1 1.55 E-0 1 1.48 E-0 1 1.41 E-0 1 1.33 E-0 1 1.26 E-0 1 1.19 E-0 1 1.12 E-0 1 1.05 E-0 1 9.84 E-0 2 9.13 E-0 2 8.43 E-0 2 7.73 E-0 2 7.03 E-0 2 6.32 E-0 2 5.62 E-0 2 4.92 E-0 2 4.22 E-0 2 3.51 E-0 2 2.81 E-0 2 2.11 E-0 2 1.41 E-0 2 7.03 E-0 3 1 2 3 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 3 (а) ( б) Рис. 3.15. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у каталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока; Y - относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового потока, max / Xxx = , max x =10см(а), max x =857 см (б). Точка траектории t=52 с
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 180 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 3 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 3 (а) ( б) Рис. 3.16. Распределение спектрального коэффициента испускания в сжатом слое у некаталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока; Y - относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового потока, max / Xxx = , max x =10см(а), max x =857 см (б). Точка траектории t=52 с Большая концентрация молекул CO2 в непосредственной близи от поверхности приводит к заметному поглощению здесь в колебательно- вращательных полосах CO2 (см. полосы «3» на рис.3.15,а и 3.15,б). Немного отступя от поверхности появляется много молекул СО (см. рис.3.13,б). Следствием этого является заметное поглощение в полосах СО («2» и «3» на рис. 15,а). Роль поглощения и испускания излучения в полосах Шумана- Рунге О2 ( 33 ug BX −− Σ−Σ ), которые расположены в спектральном диапазоне = ω 22000-57000 1/см оказывается в рассматриваемых условиях незначительной. Концентрация молекул О2 также мала и в следе, поэтому на рис.3.15,б не заметно поглощение в полосах Шумана-Рунге и в фотодиссоционном континууме О2. Значительные концентрации СО и СО2 в следе являются причиной сильного поглощения в колебательно-вращательных полосах СО2 («3» на рис.3.15,б), расположенных в инфракрасной области и электронных полосах СО (11 AX+ Π− Σ ), расположенных в видимой и ближней ультрафиолетовой областях спектра («2» на рис.3.15,б). Поглощение в полосах CO Хопфильда-Берджа незначительно. Отмеченные выше закономерности в распределениях спектральных излучательных способностей остаются справедливыми при обтекании каталитической поверхности (см. рис.3.16). Однако большая концентрация молекул СО2 вблизи поверхности приводит к заметным локальным
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 181 максимумам излучательной способности вблизи поверхности в инфракрасной области спектра (см. полосы испускания «3»). В свете рассмотренных закономерностей в распределениях поглощательной и излучательной способностей становится понятными распределения так называемых кумулятивных функций интегральных радиационных потоков в различных точках обтекаемой поверхности, показанных на рис.3.17. В точках поверхности 1-3 (координаты этих точек приведены в подрисуночной подписи) интегральный радиационный тепловой поток формируется в инфракрасной и ультрафиолетовой областях спектра. В точках поверхности 4-6 интегральный радиационный тепловой поток формируется только в инфракрасной области спектра. По расчетам работы [75] наибольшая плотность конвективного потока к поверхности достигается в точке траектории t=66 с. Результаты расчетов, выполненных для указанной точки траектории и каталитической поверхности (см. исходные данные в таблице 3.1) приведены на рис.3.9, 3.10, 3.18, 3.19. Заметим, что в данном случае интенсивность конвективного нагрева поверхности везде выше, чем радиационного. Тем не менее, плотность радиационных тепловых потоков и здесь оказывается весьма высокой. Основные закономерности спектрального распределения радиационных потоков и кумулятивной функции интегральных радиационных потоков остаются прежними. R q , Вт/см2 103 104 105 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 1 2 3 4 5 6 ω,см-1 Рис. 3.17. Кумулятивная функция интегрального радиационного потока в шести точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 -- t sS =0;2-- t s S = 0.0854; 3-- t sS =0.256;4-- t sS =0.569;5-- t sS =0.863;6-- t sS =0.983. Точка траектории t=52 с
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 182 , R q ∆ω , Вт·см/см2 103 104 105 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 1 2 3 4 5 6 ω,см-1 Рис. 3.18. Групповые спектральные радиационные потоки в шести точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 -- t sS =0;2-- t sS =0.0854;3-- t sS =0.256; 4-- t sS =0.569;5-- t sS =0.863;6-- t sS =0.983. Точка траектории t=66 с R q , Вт/см2 103 104 105 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 1 2 3 4 5 6 ω,см-1 Рис. 3.19. Кумулятивная функция интегрального радиационного потока в шести точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 -- t sS =0;2-- t s S = 0.0854; 3-- t sS =0.256;4-- t sS =0.569;5-- t sS =0.863;6-- t sS =0.983. Точка траектории t=66 с
3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода 183 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 3 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 3 (а) ( б) Рис. 3.20. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у каталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока при t=66 с; Y - относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового потока, max / Xxx = , max x =10см(а), max x =857 см (б) X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 1 2 3 X 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 X Y Z 2.11E-01 2.04E-01 1.97E-01 1.90E-01 1.83E-01 1.76E-01 1.69E-01 1.62E-01 1.55E-01 1.48E-01 1.41E-01 1.33E-01 1.26E-01 1.19E-01 1.12E-01 1.05E-01 9.84E-02 9.13E-02 8.43E-02 7.73E-02 7.03E-02 6.32E-02 5.62E-02 4.92E-02 4.22E-02 3.51E-02 2.81E-02 2.11E-02 1.41E-02 7.03E-03 3 (а) ( б) Рис.3.21. Распределение спектрального коэффициента испускания в сжатом слое у каталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока при t=66 с; Y - относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового потока, max / Xxx = , max x =10см(а), max x =857 см (б) Таким образом, выполненный в данном разделе расчетно-теоретический анализ радиационно-конвективного теплообмена космического аппарата
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 184 сферической формы в марсианской атмосфере для типичной траектории космического аппарата Pathfinder показал на важность учета спектральных характеристик радиационного нагрева поверхности космического аппарата. Выполнен анализ спектральных характеристик радиационных тепловых потоков, достигающих обтекаемой поверхности. С этой целью изучено распределение поглощательной и излучательной способности в ударном слое вблизи передней критической линии тока и в следе за обтекаемым телом. Показано, что радиационный нагрев поверхности в рассматриваемых условиях обусловлен испусканием излучения в электронных полосах СО (четвертая положительная система полос и полосы Хопфильда-Берджа), а также в колебательно-вращательных полосах СО2. Показано также влияние выбора конечно-разностной схемы из разнообразия AUSM схем на распределение температуры в ударном слое при использовании алгоритма распределения по физическим процессам, при котором решение уравнений Навье − Стокса и уравнений сохранения энергии и массы реагирующих компонент разделены и реализуются разными численными методами. Полученные распределения плотностей радиационного и конвективного тепловых потоков вдоль поверхности космического аппарата сферической формы радиусом 66 R = см в двух точках траектории входа в атмосферу Марса могут служить в качестве оценок указанных величин при последующем анализе радиационной аэротермодинамики космических аппаратов реальной формы. Однако подчеркнем, что в данном разделе расчеты были выполнены в рамках модели локального термодинамического равновесия. 3.5. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота В работе [78] выполнено исследование аэротермодинамики космического аппарата сферической формы в смеси газов СO2−N2 (97%−3% в объемных долях), которыми моделируется атмосфера Марса. Спектральные и групповые свойства высокотемпературной смеси газов сложного состава рассчитывались, так же как и при расчете чистой двуокиси углерода, с использованием компьютерного кода ASTEROID [18,79]. Спектральный коэффициент поглощения представлялся в виде 97- групповой модели в спектральном диапазоне волновых чисел ∆Ω = 1000 ÷ 150000 см−1. При формировании групповых спектральных характеристик объемный спектральный коэффициент поглощения усреднялся по вращательной структуре в диапазоне 20 ∆= ω см−1. Приняты в учет электронные полосы двухатомных молекул приведены в Приложении 4. Там
3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота 185 же показаны спектральные зависимости коэффициента поглощения в учитываемых молекулярных полосах при температуре Т=7000 К. В силу малости ионизации радиационные процессы с участием электронов не учитывались. Как отмечалось выше, точка траектории 52 t = с занимает промежуточное положение по степени неравновесности (см. Табл. 3.1).. Эта точка выбрана для дальнейшего анализа также в связи с тем, что она близка к части траектории с наибольшей тепловой нагрузкой. Используемая расчетная сетка и линии тока для второй траекторной точки показаны на рис.3.22,а, а на рис.3.22,б приведены поле скорости x V и поступательной температуры. Видны основные структурные особенности поля течения: головная ударная волна, возвратно-вихревое течение в окрестности задней критической линии тока, ближняя и дальняя области следа. Осевые распределения температуры вдоль передней критической линии тока показаны на рис.3.23. На рис.3.23,а,б,в показаны температурные распределения для трех последовательно измельчаемых расчетных сеток (31 71 NI NJ =×=,где , NI NJ − число узлов сетки О-типа вдоль радиальной координаты (нормальной к поверхности) и вдоль поверхности). На каждом из рисунков показаны поступательная температура и шесть колебательных температур, характеризующих колебательные движения молекул N2, O2, CO2 (деформационная, симметричная и ассиметричная моды), CO. На рис.3.23,г сравниваются поступательные температуры для трех расчетных сеток. Представленные данные свидетельствуют о хорошей сходимости результатов на последовательности сеток для критической линии тока. ( а) ( б) Рис.3.22. Линии тока (а), поле продольной скорости x Vu V ∞ = (б, сверху) и температуры при обтекании сферы смесью углекислого газа и азота в точке траектории 52 t = с. Сетка 61×141
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 186 (а) ( б) ( в) ( г) Рис.3.23. Распределение поступательной и колебательных температур вдоль передней критической линии тока при обтекании сферы смесью углекислого газа и азота в точке траектории 52 t = с. Сетка (а) − 31×71, (б) -- 61×141, (в) -- 121×281. Сопоставление профилей поступательной температуры на разных сетках (г) Однако, как видно из рис.3.22,а, подробность расчетной сетки у обтекаемой поверхности становится все ниже по мере отхода от передней критической линии тока. Очевидно, что это с неизбежностью приводит к более грубому описанию поля течения в непосредственной близости от подветренной стороны. Это иллюстрируется рис.3.24, где показано распределение конвективных тепловых потоков вдоль обтекаемой поверхности от передней до задней критической линии тока. Видно, что по мере увеличения подробности расчетной сетки, распределения конвективных тепловых потоков вдоль передней полусферы изменяются незначительно, а в окрестности задней критической линии тока интенсивность конвективного нагрева увеличивается более чем на порядок. Чувствительность распределений интегральных радиационных потоков вдоль поверхности к подробности расчетных сеток оказывается значительно меньше (рис.18).
3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота 187 (а) ( б) (в) Рис.3.24. Распределение плотностей конвективных и интегральных радиационных тепловых потоков вдоль поверхности сферы от передней до задней критической линии тока при обтекании сферы смесью углекислого газа и азота в точке траектории 52 t= с. Сетки: 1 − 31×71, 2 -- 61×141, 3 -- 121×281. Штриховые линии -- теплопроводностная и диффузионная составляющие Из рис.3.24 следует, как и в ранее, важный вывод о соизмеримости плотностей радиационных и конвективных тепловых потоков к поверхности. Это характерно для условий входа космических аппаратов в атмосферы планет, содержащих двуокись углерода (Марс, Венера). Рассматриваемая траекторная точка характеризуется значительной степенью неравновесности физико-химических процессов и структурой сжатого слоя с соизмеримыми размерами пограничного слоя и релаксационной зоны за фронтом головной ударной волны. Центральная часть сжатого слоя с небольшим увеличением температуры от ~ 8500 до 9500 K занимает больше половины всей области сжатого слоя. Толщина пограничного слоя достигает примерно 1 см, а толщина релаксационной зоны ~ 0.5 см. Поэтому расчет переноса теплового излучения в возмущенной области течения приходится делать с использованием модели частичного термодинамического равновесия, в которой модели локального термодинамического равновесия могут применяться по отдельности для поступательно-вращательных и колебательных температур двух- и трехатомных молекул.
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 188 Распределение спектральных радиационных потоков в шести точках на поверхности обтекаемой сферы показаны на рис.3.25. Координаты точек вдоль поверхности отнесены к полной длине образующей полусферы 207 t S= см. Плотность спектрального радиационного потока, Вт⋅см/см2 103 104 105 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 4 5 6 6 5 Волновое число, 1/см Рис. 3.25. Групповые спектральные радиационные потоки в шести точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 -- t sS =0;2-- t sS =0.0854;3-- t sS =0.256;4-- t sS =0.569;5-- t sS =0.863;6-- t sS =0.983 Кумулятивные функции радиационных потоков в указанных точках показаны на рис.3.26. Хорошо видно, как по мере отхода от передней критической линии тока изменяется спектральный состав излучения достигающего поверхности. Если вблизи передней критической линии тока (кривые 1−3 на рис.3.25) наибольший вклад в интегральный радиационный поток вносит излучение в видимой и ближней ультрафиолетовой области спектра ( [ ] 40000 80000 ∈÷ ω см−1), то в точках 4−6 поверхность нагревается исключительно инфракрасным излучением CO2 и СО. Об этом же свидетельствуют распределения кумулятивных функций. Для передней критической точки вклад инфракрасного излучения в интегральный поток (< ω 20000 см−1) составляет менее одного процента (рис.3.26). При этом, более 50 % интегрального радиационного потока формируется при ( 40000 > ω см−1). По мере отхода от передней критической точки вклад видимой и ультрафиолетовой областей спектра снижается, и в точках 4−6 практически 100 % интегрального потока формируется при ( 2300 < ω см−1). Распределение массовых долей компонент смеси газов вдоль передней критической линии тока показано на рис.3.27.
3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота 189 Плотность интегрального радиационного потока, Вт/см2 103 104 105 10-4 10-3 10-2 10-1 100 101 102 1 2 3 4 5 6 1 2 3 45 6 Волновое число, 1/см Рис.3.26. Кумулятивная функция интегрального радиационного потока в шести точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 -- t sS=0;2-- t sS =0.0854;3-- t sS =0.256;4-- t sS =0.569;5-- t sS =0.863; 6-- t sS =0.983 Рис.3.27. Распределение массовых долей компонент при обтекании сферы смесью углекислого газа и азота в точке траектории 52 t = с. Сетка 121×281 Обратим внимание на значительные концентрации молекул СО и N2 в сжатом слое, а также на значительный уровень концентраций радикалов CN и
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 190 NO, которые, как известно, имеют серию весьма интенсивных электронно- колебательных полос. Спектральное распределение потоков излучения на поверхности обтекаемого космического аппарата определяется полями спектральной испускательной и поглощательной способности, а также закономерностями собственно процесса переноса излучения, который носит нелокальный характер. В соответствии с законом Кирхгоффа излучательная способность определяется локальным значением поглощательной способности и функции Планка. На рис.3.28 показано распределение по спектру коэффициента поглощения в сжатом слое у передней (а) и задней (б) критической линии тока. На разных участках спектра испускают излучение молекулы N2 − (1), N2, СО, NO, CN -- (2), СО2, СО -- (3). На рис.3.28,а видно, что наибольшая поглощательная способность наблюдается в пограничном слое у обтекаемой поверхности. В частности, пик коэффициента поглощения (3) обусловлен поглощением в молекулах СО2. В окрестности задней критической линии тока заметное поглощение наблюдается во всей области следа от ближней до дальней зоны. (а) (б) Рис.3.28. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у некаталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока; Y − относительное волновое число излучения, max min max () Y= − ω ωω , min = ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X − относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу набегающему газовому потоку (а) или вдоль него (б); max Xxx = , max x =10 см (а), max x =800 см (б). Значения коэффициента поглощения (ось z) нормированы на наибольшее значение Однако, если рассмотреть излучательную способность, показанную на рис.3.29 для области сжатого слоя (а) и в следе (б), то становится ясным, что в сжатом слое заметная испускательная способность наблюдается лишь в
3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота 191 видимой и ближней УФ области, а в следе излучают только инфракрасные колебательные полосы СО2. В данном случае важным оказывается испускание молекулN2 −(1),N2,СО,NO,CN--(2),С2,СN--(3),СО2,СО--(4). Отмеченные закономерности становятся хорошо понятными если принять в учет закон смещения Вина, в соответствии с которым имеется однозначная связь между положением на шкале длин волн максимума функции Планка и температурой: max 2898 T= λ мкм·K. Завершая рассмотрение задач радиационной газовой динамики космического аппарата сферической формы в углерод содержащих атмосферах обсудим некоторые вопросы концептуального характера. Известно, что расчет обтекания космических аппаратов в рамках уравнений Навье − Стокса становится все более сложным по мере увеличения расчетной области. (а) (б) Рис. 3.29. Распределение спектрального коэффициента испускания излучения в сжатом у некаталитической поверхности слое вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока; Y − относительное волновое число излучения, max min max () Y=− ω ωω , min= ω 1500 1/см, max = ω 100000 1/см; X − относительная физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу набегающему газовому потоку (а) или вдоль него (б); max Xxx = , max x =10 см (а), max x =800 см (б). Значения коэффициента испускания (ось z) нормированы на наибольшее значение Даже при рассмотрении режимов течения, отвечающих лишь ламинарному характеру течения, наблюдаются такие свойства получаемых численных результатов, как зависимость от подробности расчетных сеток и от их топологии. Иногда наблюдается ухудшение качества получаемого решения при переходе на более подробные сетки (само собой разумеется, что при сохранении контроля над устойчивостью получаемых решений). Поэтому получаемые решения каждый раз должны подвергаться тщательной методической проверке (сходимость результатов на последовательности
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 192 сеток, устойчивость результатов к искусственным и счетным возмущениям, сходимость на разных топологиях сеток). Отмечая в целом удовлетворительную сходимость на сетках, заметим, что наименее достоверным следует признать данные по распределению конвективных тепловых потоков в задней полусфере. Повышение точности расчетов здесь требует построения специальных сеток вблизи задней поверхности. В целом анализ расчетных данных для трех последовательных точек траектории показывает постепенный переход условий от сильно неравновесных ( 42 t = с) к почти равновесным ( 66 t= с). При этом максимальный конвективный нагрев наблюдается для «околоравновесной» точки ( 66 t = с). Смещение максимума радиационного нагрева на участки траектории со значительной степенью неравновесности (5 2 t< % с) выдвигает требование более детального изучения переноса излучения в неравновесных условиях. Таким образом, расчетно-теоретический анализ радиационно- конвективного теплообмена космического аппарата сферической формы в атмосфере двуокиси углерода и в атмосфере моделирующей атмосферу Марса (СO2−N2 , 97%−3% в объемных долях) для теплонапряженных точек траектории космического аппарата Pathfinder позволяет изучить закономерности распределения плотностей радиационного и конвективного тепловых потоков вдоль поверхности космического аппарата. На отдельных участках входа космического аппарата в атмосферу CO2 и СO2−N2 радиационный тепловой нагрев некоторых элементов поверхности космического аппарата может превышать конвективный тепловой нагрев, что подтверждает выводы более ранних исследований [80]. Еще раз показана также необходимость анализа уровня радиационных тепловых потоков на всей поверхности марсианского космического аппарата, а не только на его лобовой поверхности. Важно подчеркнуть, что рассмотренные результаты расчетов выполнены в рамках модели локального термодинамического равновесия. Значительная часть траектории торможения марсианского КА приходится на участок разреженной атмосферы, поэтому при дальнейшем совершенствовании расчетных кодов аэротермодинамики марсианских аппаратов должны быть учтены эффекты неравновесности. 3.6. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода в условиях сильной неравновесности В данном разделе обтекание и радиационно-конвективный нагрев сферы в атмосфере углекислого газа рассчитаны для траекторной точки космического
3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности 193 аппарата Pathfinder t=42 с. Параметры набегающего потока для указанной точки траектории приведены в Таблице 4.3. В продолжение исследований, начатых выше, в данном случае выполнен анализ условий обтекания сферы углекислым газом при отсутствии равновесия между поступательными и колебательными степенями свободы CO2 и двухатомных молекул CO, O2. Проведены дополнительные исследования по влиянию топологии и подробности расчетных сеток на результаты интегрирования уравнений химически неравновесного газа. Во всех расчетных случаях получены распределения спектральных радиационных потоков вдоль поверхности обтекаемой сферы и выполнено сопоставление с конвективными тепловыми потоками. Осевые распределения температуры вдоль передней критической линии тока показаны на рис.3.30, 3.31. На этих рисунках показаны температурные распределения для трех последовательно измельчаемых расчетных сеток (31 71 NI NJ =×=,где , NI NJ − число узлов сетки О-типа вдоль радиальной координаты нормальной к поверхности и вдоль поверхности). x, cm T,K 0246 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 T Tv(O2) Tv(CO2-1) Tv(CO2-2) Tv(CO2-3) Tv(CO) x, cm T,K 0246 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 T Tv(O2) Tv(CO2-1) Tv(CO2-2) Tv(CO2-3) Tv(CO) Рис.3.30. Распределение поступательной и колебательных температур вдоль передней критической линии тока при обтекании сферы углекислым газом в точке траектории 42 t = с; (а) - сетка 31×71, (б) -- сетка 61×141. На каждом из рисунков показаны поступательная температура и пять колебательных температур, характеризующих колебательные движения молекул O2, CO2 (деформационная, симметричная и ассиметричная моды) и СО Представленные данные свидетельствуют о хорошей сходимости результатов на последовательности сеток. Заметим, что в рассматриваемой точке траектории ударная волна является размытой, плавно переходящей в пограничный слой у обтекаемой поверхности. Такая структура сжатого слоя является характерной для обтекания космического аппарата на больших высотах. Для контроля расчетных данных в указанных областях течения необходимо проводить сравнение с данными численного моделирования с использованием других методов, например − методов Монте-Карло.
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 194 Используемая расчетная сетка и линии тока для данного варианта показаны на рис.3.32. На рис.3.32−3.35 приведены поле поперечной скорости y V , числа Маха, продольной скорости x V , поступательной температуры, массовых долей CO2 и CO. Осевое распределение массовых долей химических компонент вдоль передней критической линии тока показано на рис. 3.36. На рис.3.37-3.41 показаны поля колебательных температур молекул N2, x, cm T,K 0246 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 T Tv(O2) Tv(CO2-1) Tv(CO2-2) Tv(CO2-3) Tv(CO) x, cm T,K 0246 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 123 ( а) ( б) Рис.3.31. Распределение поступательной и колебательных температур вдоль передней критической линии тока при обтекании сферы углекислым газом в точке траектории 42 t = с; (а) - сетка 121×281, (б) - разные расчетные сетки: 1 − 31×71, 2 − 61×141, 3 − 121×281 Рис. 3.32. Линии тока при обтекании сферы углекислым газом в точке траектории 42 t = с (вверху) и расчетная сетка 121×281
3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности 195 Рис. 3.33. Поле y-й компоненты скорости y VV ∞ = v (сверху) и чисел Маха (снизу) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t= с; расчетная сетка 121×281 Рис. 3.34. Поле продольной скорости x Vu V ∞ = (сверху) и поступательной температуры (снизу, в К) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 196 Рис. 3.35. Поле массовой доли молекулы CO2 (сверху) и CO (снизу) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281 X, cm Yspecies 246 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 C O O2 CO CO2 Рис. 3.36. Распределение массовых долей компонент при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281
3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности 197 Рис. 3.37. Поле колебательной температуры N2 (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281 Рис. 3.38. Поле колебательной температуры симметричной колебательной моды CO2 (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 198 Рис. 3.39. Поле колебательной температуры деформационной колебательной моды CO2 (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281 Рис. 3.40. Поле колебательной температуры антисимметричной колебательной моды CO2 (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281
3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности 199 Рис. 3.41. Поле колебательной температуры CO (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42 t = с; расчетная сетка 121×281 CO2 (в трех колебательных модах)и СО в сравнении с температурой поступательного движения. Как уже отмечалось, в рассматриваемых условиях наблюдаются значительное различие в поступательных и колебательных температурах. Из рис.3.31 видно, что примерно четверть толщины сжатого слоя занимает неравновесная зона, где поступательная температура значительно превышает колебательную. В задней полусфере обтекаемого тела, в области течения разряжения, наоборот − колебательные температуры возбужденных степеней свободы оказываются заметно выше поступательной температуры. Это иллюстрируется на рис.3.37--3.41. Хорошо видно, что колебательные температуры здесь превосходят поступательную температуру примерно на 1000 K. Это оказывается чрезвычайно важным для предсказания радиационного нагрева. Однако следует подчеркнуть, что полученные расчетные данные следует считать лишь оценочными. Причиной этого является то, что используемые времена колебательной релаксации в данных расчетных случаях выбиралась из экспериментов за фронтом ударной волны [143], в то время, как релаксационные процессы в течениях расширения имеют свои особенности [144]. Необходимо также отметить приближенность описания диффузии энергии колебательного возбуждения. Указанные два обстоятельства указывают на необходимость проведения дополнительного исследования в этой области. Соотношение между конвективным и радиационным нагревом при расчете радиационных процессов по колебательной температуре показано на рис.3.42.
Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса 200 s, cm Qw, W/cm**2 0 50 100 150 200 10-3 10-2 10-1 100 101 102 Qw,c Qw,d Qw,tot Qw,rad Рис. 3.42. Распределение плотностей конвективных и интегральных радиационных тепловых потоков вдоль поверхности сферы от передней до задней критической линии тока в точке траектории 42 t = с; сетка 121×281. Штриховые линии -- теплопроводностная и диффузионная составляющие Обратим внимание также на то, что основной вклад в конвективный нагрев поверхности вносит в данном случае теплопроводностный нагрев. На отдельных участках поверхности плотность радиационного теплового потока превосходит конвективный нагрев. Таким образом, подводя итог рассмотрению результатов численного моделирования аэротермодинамики космического аппарата сферической формы в атмосфере двуокиси углерода, можно отметить ряд специфических особенностей входа космического аппарата в атмосферы планет Марс и Венера. К ним, в первую очередь, относятся высокая степень термической неравновесности течения в сжатом слое и в следе, а также большая роль инфракрасного излучения генерируемого колебательными полосами молекул CO2 и CO в лучистом нагреве поверхности космического аппарата. Показано, что в условиях гиперзвукового полета в атмосфере углекислого газа радиационный поток к некоторым участкам поверхности может превосходить конвективный. В последующих главах указанные выводы будут подтверждены при аэротермодинамическом анализе марсианских спускаемых аппаратов реальной формы.
201 ГЛАВА 4 РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ МАРСА 4.1. Введение Начиная с 2003 г. в Европейском космическом агентстве проводятся работы по созданию и тестированию программных кодов, предназначенных для анализа аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов, в первую очередь для исследования планеты Марс. К концу 2007 г. было проведено несколько научных конференций (Workshops on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry), в трудах которых [141,145-153] отражены основные достижения Европейских научных групп. Рабочая группа Европейского космического агентства по излучению высокотемпературных газов разработала серию тестовых задач, на примере которых проводится тестирование программных кодов. Одна из таких тестовых задач (TC3 -- Test Case №3) предусматривает численное интегрирование уравнений движения вязкого, теплопроводного, химически неравновесного и излучающего газа (CO2, CO2+N2) в окрестности модели космического аппарата MSRO (Mars Sample Return Orbiter). 4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO Геометрия модельного космического аппарата MSRO была разработана в Европейском космическом агентстве [152] (Рис.4.1). Рис.4.1. Геометрия модели космического аппарата Mars Sampler Return Orbiter (MSRO) [21]; все размеры -- в мм
Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса 202 Были также определены контрольные точки траектории входа космического аппарата в атмосферу Марса (см. табл.4.1). Предполагалось, что фиксация геометрии и точек траектории позволит провести сравнение результатов расчетов конвективного и радиационного нагрева поверхности космического аппарата, получаемого разными исследовательскими группами Мира, что и было реализовано в ходе научных конференций-семинаров, организованных Европейским космическим агентством [145-153]. Таблица 4.1. Параметры траектории № траекторной точки Время, с ∞ ρ, г/см3 p∞, эрг/см3 V∞ , м/с T∞, K 1 70 8 3.14 10− × 8.40 5687 140 2 115 7 2.93 10− × 78.7 5223 140 3 175 7 3.07 10− × 82.3 3998 140 4 270 8 2.82 10− × 7.60 3536 140 Компьютерный код NERAT использовался для расчета поля течения, конвективного и радиационного нагрева MSRO в заданных точках траектории ( см. Табл.4.1) в предположениях каталитической и некаталитической поверхности. Результаты расчетов двух траекторных точек показаны на Рис.4.2, 4.3 (некаталитическая поверхность MSRO) и на Рис.4.4,4.5 (каталитическая поверхность). Из сравнения Рис.4.2 и 4.4 видно, что для разных каталитических способностей поверхности поле скоростей получается весьма близким, хотя и имеются некоторые различия в ближнем следе. Это же относится и к распределению поступательной температуры. Что касается распределений концентраций CO2 и CO, то в них наблюдается вполне закономерное отличие, связанное с каталитической способностью (Рис.4.3 и 4.5.). В случае каталитической поверхности в ближнем следе образуется повышенное содержание СО2, а для некаталитической поверхности -- СО. На Рис.4.5,а показано распределение плотностей конвективных тепловых потоков вдоль поверхности MSRO, а на Рис.4.5,б - распределение интегральных радиационных тепловых потоков. В распределениях плотностей конвективных тепловых потоков наблюдается примерно двукратное превышение потока к каталитической поверхностью по сравнению с некаталитической поверхностью. В распределении плотности радиационного теплового потока отметим две важные особенности. На наветренной поверхности тормозного аэродинамического щита MSRO наблюдается возрастание плотности интегрального радиационного потока от передней критической линии тока к
4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO 203 боковой кромке. Это связано с заметным утолщением ударного слоя вниз по потоку и тем, что основная доля потока приходится на инфракрасную область спектра (излучают молекулы CO2 и CO). Рис.4.2. Продольная скорость x Vu V ∞ = и поступательная температура; 2-я точка траектории MSRO; некаталитическая поверхность Рис.4.3. Относительная мольная концентрация СО2 и СО; 2-я точка траектории MSRO; некаталитическая поверхность Наибольшее значение интегрального радиационного потока на подветренной стороне MSRO наблюдается в окрестности донной поверхности. Здесь радиационный нагрев обусловлен инфракрасным излучением большого объема газа (десятки кубических метров; см. Рис.4.2 и
Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса 204 4.4) и плотность радиационного теплового потока соизмерима с плотностью конвективного потока (Рис.4.6). В данном случае расчет переноса теплового излучения производился с использованием довольно грубой 37-ми групповой оптической модели Рис.4.4. Продольная скорость x Vu V ∞ = и поступательная температура;2-я точка траектории MSRO; каталитическая поверхность Рис.4.5. Относительная мольная концентрация СО2 и СО; 2-я точка траектории MSRO; каталитическая поверхность спектральных оптических свойств. Учитывалась спектральная