Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов. Многотемпературные модели - Суржиков С.Т.

Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов. Многотемпературные модели. М.: ИПМех РАН, 2013
Глава 1. Двумерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
1.3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений
1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе координат
1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики
1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках с использованием схемы AUSM
1.8. Тестирование компьютерных моделей в двухмерном случае на структурированных сетках
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
2.3. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода полумоментов
2.4. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник для двухмерной осесимметричной криволинейной геометрии на структурированной сетке
2.5. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода сферических гармоник на неструктурированной сетке
Глава 3. Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов сферической формы в атмосфере Марса
3.2. Постановка задачи и метод решения
3.3. Результаты методических исследований
3.4. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферического КА в атмосфере двуокиси углерода
3.5. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота
3.6. Результаты численного моделирования радиационной аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода в условиях сильной неравновесности
Глава 4. Радиационно-газодинамическая модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO
4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
4.4. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Exomars
4.5. Расчет радиационной газовой динамики спускаемого космического аппарата Exomars с использованием трехблочной сетки
Глава 5. Двухмерная радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Orion в атмосфере Земли
5.2. Радиационная газовая динамика космического аппарата Orion в осесимметричной постановке
5.3. Результаты расчетов радиационной аэротермодинамики СА Orion с использованием различных кинетических моделей и моделей неравновесной диссоциации
6.1. Введение
6.2. Интегральные результаты радиационно-газодинамического расчета движения сегментально-конического спускаемого аппарата по траекториям орбитального и сверхорбитального входа
6.3. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в условиях орбитального входа СККА
6.4. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в условиях сверхорбитального входа СККА
6.5. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в окрестности СККА с использованием трехмерной вычислительной модели
6.6. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в окрестности СККА с использованием кинетической модели ЦНИИмаш
ЧАСТЬ 2. Трехмерная аэротермодинамика спускаемых космических аппаратов
7.3. Модели химической кинетики, релаксации, теплофизических и переносных свойств
Глава 8. Пространственная радиационная газовая динамика марсианских спускаемых аппаратов
8.2. Общие закономерности радиационной газовой динамики марсианских аппаратов
8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева некоторых марсианских зондов
8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
8.6. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Exomars
8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
Глава 9. Пространственная радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Orion
9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion. Сравнение с результатами экспериментального исследования гиперзвуковой аэродинамической трубе AEDC NASA
9.3. Результаты численного моделирования аэротермодинамики космического аппарата Orion под углом атаки 250
9.4. Результаты трехмерного численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
10.3. Систематическое исследование радиационной аэротермодинамики в широком диапазоне чисел Маха и высот полета
Глава 11. Пространственная радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Союз
11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Союз
Глава 12. Численное моделирования радиационной аэротермодинамики космического аппарата Stardust в трехмерной постановке
12.2. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА Stardust под углом атаки 8
12.3. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА Stardust под углом атаки 16
Приложение 2. Параметры потенциала Ленарда-Джонса, используемые при расчете свойств переноса
Приложение 3. Энтальпия образования при Т=0 К
Приложение 4. Электронные и колебательные полосы двухатомных молекул, учитываемые при радиационно-газодинамических расчетах
Приложение 5. Спектральная излучательная способность равновесного высокотемпературного воздуха в спектральном диапазоне 2000-8000 A
Приложение 6. Анализ некоторых кинетических моделей, используемых в аэрофизике спускаемых космических аппаратов
Приложение 7. Модели химической кинетики, использованные при решении задач аэротермодинамики входа космических аппаратов в атмосферу Земли
Приложение 8. Модели химической кинетики, использованные при решении задач аэротермодинамики марсианского входа космических аппаратов
Приложение 9. Уравнения механики сплошной среды, используемые в расчетных кодах NERAT
П.9.2. Система уравнений Навье-Стокса в ортогональной криволинейной системе координат
П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
Author: Суржиков С.Т.
Tags: аэродинамика теория полёта механика газовая динамика аэрокосмическая техника радиационная динамика
ISBN: 978-5-91741-088-3
Year: 2013
Similar
Оптические свойства газов и плазмы (Компьютерные модели физической механики)
Гиперзвуковая аэродинамика и теплообмен спускаемых космических аппаратов и планетных зондов
Тепловое излучение газов и плазмы (Компьютерные модели физической механики)
Газовая динамика
Text
                    РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН
С.Т. Суржиков
РАДИАЦИОННАЯ ГАЗ О ВА Я ДИНАМИКА
СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ.
МНОГОТЕМПЕРАТУРНЫЕ МОДЕЛИ
Москва, ИПМех РАН
2013

2
УДК 533.6
ББК 22.253.3
С90
Суржиков С.Т.
Радиационная газовая динамика спускаемых космических аппаратов.
Многотемпературные модели. --
М.: Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, 2013. -- 706 с.
ISBN 978-5-91741-088-3
Рассматриваются актуальные проблемы компьютерной радиационной
аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов, предназначенных
для исследования планет Солнечной системы и возвращения на Землю.
Изложены вычислительные модели радиационной газовой динамики,
положенные в основу двухмерного и трехмерного компьютерных кодов
NERAT (Non-Equilibrium Radiation Aero Thermodynamics), разработанных в
ИПМех РАН.
Обсуждаются особенности применения многотемпературных моделей
термически неравновесных гиперзвуковых потоков к решению
пространственных задач аэрофизики спускаемых космических аппаратов.
Особое внимание уделено проблемам расчета переноса селективного
теплового излучения в сжатых слоях газа, окружающих космический
аппарат, входящий в плотные слои атмосферы.
Представлены результаты систематических двухмерных и трехмерных
расчетов аэротермодинамики космических аппаратов разных классов,
предназначенных для возвращения на Землю и для полета на Марс.
Для студентов старших курсов физико-математических и
аэрокосмических специальностей, научных работников и инженеров в
области аэрокосмической техники.
Утверждено к печати Ученым советом Института проблем механики
им. А.Ю.Ишлинского РАН
Рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов базовой
кафедры МФТИ «Физическая и химическая механика»
Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, проф. С.А.Лосев
д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.П.Райзер
ISBN 978-5-91741-088-3
© С.Т.Суржиков, 2013
©
ИПМех РАН, 2013

3
Оглавление
Предисловие
8
ЧАСТЬ 1. Двухмерная радиационная аэротермодинамика
спускаемых космических аппаратов (СКА).............................. .... 11
Глава 1. Двумерная радиационно-газодинамическая модель
аэрофизики спускаемых космических аппаратов ............. ........... 12
1.1. Введение ..................................................................... ..... 12
1.2. Двухмерная вычислительная модель ........................................ 13
1.3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений ............ 19
1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе
координат ............................ ... ............................................... 25
1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики ............... 28
1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии ...... 31
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных
сетках с использованием схемы AUSM ........................................ 34
1.8. Тестирование компьютерных моделей в двухмерном случае на
структурированных сетках .................................... ... ................. 54
Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения .............. 61
2.1. Введение .................................... .................................... 61
2.2. Расчет переноса теплового излучения с использованием
метода дискретных направлений (Ray-Tracing method, RTM) ............ 61
2.3. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода
полумоментов ..................... ... ................................................ 64
2.4. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода
сферических гармоник для двухмерной осесимметричной
криволинейной геометрии на структурированной сетке .................... 68
2.5. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода
сферических гармоник на неструктурированной сетке ..................... 108
2.6. Решение уравнения переноса излучения методом дискретных
ординат (МДО) на неструктурированной сетке ............ ... ............... 124
Глава 3. Радиационная газовая динамика спускаемых космических
аппаратов сферической формы в атмосфере Марса ..................... 164
3.1. Введение ........................ ... .............................................. 164
3.2. Постановка задачи и метод решения ....................................... 164
3.3. Результаты методических исследований ... ............................... 166

Оглавление
4
3.4. Результаты численного моделирования радиационной
аэротермодинамики сферического КА в атмосфере двуокиси углерода... 170
3.5. Результаты численного моделирования радиационной
аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода и
молекулярного азота ............... ... .............................................. 184
3.6. Результаты численного моделирования радиационной
аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода в условиях
сильной неравновесности ........................ ... .............................. 192
Глава 4. Радиационно-газодинамическая модель аэрофизики
спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса ............. 201
4.1. Введение .................................... ... ................................. 201
4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического
аппарата MSRO .................................... ... ............................... 201
4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического
аппарата Pathfinder ............................................................ ... ... 206
4.4. Радиационная газовая динамика спускаемого космического
аппарата Exomars ...... ......................................................... ..... 219
4.5. Расчет радиационной газовой динамики спускаемого
космического аппарата Exomars с использованием трехблочной сетки . 222
Глава 5. Двухмерная радиационная газовая динамика спускаемого
аппарата Orion в атмосфере Земли ........................................... 225
5.1. Введение ........................ ... .............................................. 225
5.2. Радиационная газовая динамика космического аппарата Orion в
осесимметричной постановке ..................... ................................ 225
5.3. Результаты расчетов радиационной аэротермодинамики СА Orion с
использованием различных кинетических моделей и моделей
неравновесной диссоциации .................................... ... ............... 234
Глава 6. Радиационная газодинамика сегментально-конического
космического аппарата (СККА) ............................................... 247
6.1. Введение ........................ ... .............................................. 247
6.2. Интегральные результаты радиационно-газодинамического расчета
движения сегментально-конического спускаемого аппарата по
траекториям орбитального и сверх-орбитального входа .................... 247
6.3. Результаты численного моделирования осесимметричного течения
в условиях орбитального входа СККА ........................ ... ............... 263
6.4. Результаты численного моделирования осесимметричного течения
в условиях сверхорбитального входа СККА .................. ................ 292

Оглавление
5
6.5. Результаты численного моделирования осесимметричного течения
в окрестности СККА с использованием трехмерной вычислительной
модели ................................................................................. 314
6.6. Результаты численного моделирования осесимметричного течения
в окрестности СККА с использованием кинетической модели
ЦНИИмаш ............ ... ......................................................... ..... 326
Заключение к части 1 ............ ... .............................................. 337
Список литературы к части 1 .................................................. 338
ЧАСТЬ 2. Трехмерная аэротермодинамика спускаемых
космических аппаратов ...................................................... .... 351
Глава 7. Трехмерная радиационно-газодинамическая модель
аэрофизики спускаемых космических аппаратов ........................ 352
7.1. Введение ........................ ... .............................................. 352
7.2. Трехмерная вычислительная модель ....................................... 356
7.3. Модели химической кинетики, релаксации, теплофизических и
переносных свойств .................................................................. 359
Глава 8. Пространственная радиационная газовая динамика
марсианских спускаемых аппаратов .................................... ..... 366
8.1. Введение ........................ ... .............................................. 366
8.2. Общие закономерности радиационной газовой динамики
марсианских аппаратов .......................................... ... ................ 366
8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO с
использованием кодов NERAT(2D) и NERAT(3D) ........................... 372
8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
некоторых марсианских зондов ................................................... 382
8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder .. 400
8.6. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Exomars .... 418
8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL ......... 428
Глава 9. Пространственная радиационная газовая динамика
спускаемого космического аппарата Orion ............... ... ............... 460
9.1. Введение ........................ ... .............................................. 460
9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion.
Сравнение с результатами экспериментального исследования
гиперзвуковой аэродинамической трубе AEDC NASA .................. ... 460
9.3. Результаты численного моделирования аэротермодинамики

Оглавление
6
космического аппарата Orion под углом атаки 250 ........................... 472
9.4. Результаты трехмерного численного моделирования СА Orion
вдоль траектории входа ............ ... ............................................. 479
Глава 10. Пространственная (3D) радиационная газовая динамика
(РадГД) сегментально-конического спускаемого аппарата (СККА) с
использованием разных моделей физической и химической
кинетики .............................................................................. 498
10.1. Введение
498
10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
500
10.3. Систематическое исследование радиационной аэротермодинамики
в широком диапазоне чисел Маха и высот полета ............... ............ 518
Глава 11. Пространственная радиационная газовая динамика
спускаемого аппарата Союз ................................. ... ................ 552
11.1. Исходные данные для расчета КА Союз ................................. 552
11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Союз ...... 552
Глава 12. Численное моделирования радиационной
аэротермодинамики космического аппарата Stardust в трехмерной
постановке .......................................... ... .............................. 570
12.1. Космическая миссия Stardust .............................. ... .............. 570
12.2. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА
Stardust под углом атаки 80 ........................................................ 570
12.3. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА
Stardust под углом атаки 160 ....................................................... 592
Заключение к части 2 ............ ................................................ 603
Список литературы к части 2 .................................................. 605
Приложение 1. Константы колебаний двух и трехатомных молекул .. 617
Приложение 2. Параметры потенциала Ленарда-Джонса,
используемые при расчете свойств переноса ................................. 618
Приложение 3. Энтальпия образования при Т=0 К ........................ 619
Приложение 4. Электронные и колебательные полосы
двухатомных молекул, учитываемые при радиационно-
газодинамических расчетах ................................................ 620
Приложение 5. Спектральная излучательная способность
равновесного высокотемпературного воздуха в спектральном диапазоне
2000-8000 Å ........................................................................... 625

Оглавление
7
Приложение 6. Анализ некоторых кинетических моделей,
используемых в аэрофизике спускаемых космических аппаратов ........ 631
Приложение 7. Модели химической кинетики, использованные при
решении задач аэротермодинамики входа космических аппаратов в
атмосферу Земли ..................................................................... 658
Приложение 8. Модели химической кинетики, использованные при
решении задач аэротермодинамики марсианского входа космических
аппаратов ............................................................ ... ............... 668
Приложение 9. Уравнения механики сплошной среды, используемые в
расчетных кодах NERAT ........................ ... ................................ 682
П.9.1. Основные формы записи уравнений Навье-Стокса .................. 682
П.9.2. Система уравнений Навье-Стокса в ортогональной
криволинейной системе координат ............ ... ............................... 685
П.9.3. Криволинейные координаты .......................................... .... 688
П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе
координат ..............................................................................
Список литературы к приложениям ............................................. 693
704

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из наиболее актуальных фундаментальных теоретических проблем
физической механики последних двух десятилетий в мировом
аэрокосмическом сообществе является создание пространственных
вычислительных моделей аэротермодинамики спускаемых космических
аппаратов, предназначенных для входа в плотные слои атмосферы Земли и
планет Солнечной системы с орбитальными и сверхорбитальными
скоростями. В аэрокосмических агентствах создаются космические аппараты
и материалы нового поколения, планируются летные эксперименты, а также
активно изучаются результаты наземных и летных испытаний космических
аппаратов, выполненные недавно и в предшествующие годы. Развитие
компьютерной аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов
является важной составной частью научных программ изучения планет
Солнечной системы и возвращения на Землю.
Значительные усилия специалистов в области компьютерной
аэротермодинамики и теории сложного теплообмена в последние годы
сосредоточены на совершенствовании и тестировании используемых моделей
аэрофизики и компьютерных кодов (verification), а также на подтверждении
достоверности получаемых результатов (validation). Важной составной
частью этих усилий является создание пространственных компьютерных
кодов, ориентированных на использование суперкомпьютеров и
соответствующих вычислительных технологий.
Следует отметить, что теоретические основы современных моделей были
заложены в работах 60-80-х годов. Впечатляющие достижения в этой области
продемонстрированы значительным количеством успешных космических
миссий.
Тем не менее, анализ документов многочисленных международных
аэрокосмических конференций показывает, что к настоящему времени
модели физико-химической кинетики и радиационного переноса отработаны
для прогностических целей в недостаточной степени. Особенно это относится
к неравновесным условиям и к условиям сильного радиационно-
газодинамического взаимодействия, что обуславливает значительную
неопределенность в предсказании радиационных и конвективных тепловых
нагрузок спускаемых космических аппаратов. Традиционные
подходы
аэротермодинамики,
основанные
на
приближении
локального
термодинамического равновесия, становятся
неприемлемыми
в
неравновесных условиях, хотя опыт практической аэрофизики указывает на
то, что получаемые с их использованием результаты оказываются
непротиворечивыми.
В тоже время, современные концепции развития аэрокосмической техники
и космонавтики основываются на повышенных требованиях к
предсказательным компьютерным моделям, способным решать поставленные

Предисловие
9
задачи в широком диапазоне условий полета космических аппаратов.
Поэтому разработка достоверных моделей аэрофизики неравновесных
гиперзвуковых течений является в настоящее время одной из приоритетных.
Компьютерные коды семейства NERAT (Non-Equilibrium Radiative Aero
Thermodynamics), разрабатываемые автором в ИПМех РАН с целью
проведения пространственных аэротермодинамических расчетов спускаемых
космических аппаратов, основаны на базовых знаниях в области механики
сплошных сред, термодинамики, статистической физики, квантовой
механики и квантовой химии. Комплекс программ NERAT обладает
свойствами самотестирования, что достигается при параллельном
использовании кодов разной размерности, но включающих в себя модели
физической и химической кинетики, спектральных оптических свойств и
методов расчета переноса неравновесного теплового излучения разной
подробности.
Создаваемая структура вычислительных моделей, реализованных в
компьютерных кодах NERAT, отвечает современным тенденциям в развитии
методов компьютерной аэрофизики: от
моделей локального
термодинамического равновесия -- к радиационно-столкновительным
моделям, которые, к сожалению, пока являются чрезмерно трудоемкими для
их использования в пространственных моделях течения. Поэтому данная
книга посвящена опыту использования только многотемпературных моделей
радиационной аэротермодинамики -- первому и простейшему этапу перехода
к
неравновесному описанию
термической неравновесности
высокотемпературного газа. Тем не менее, в книге показано, что создаваемые
радиационно-газодинамические модели и компьютерные коды с успехом
применяются для тестирования и обоснования моделей физической и
химической кинетики колебательно и электронно-возбужденных газов.
Принципиальной особенностью компьютерных кодов NERAT является их
интеграция с авторским комплексом программ ASTEROID, в котором
реализованы
компьютерные модели
квантовой механики
и
квазиклассической физики, позволяющие предсказывать спектральные
оптические свойства нагретых газов и низкотемпературной плазмы (атомов,
ионов, двух- и многоатомных молекул) вплоть до температур ~ 100 000 К в
спектральном диапазоне от инфракрасной области (~20 мкм) до вакуумной
ультрафиолетовой области (~ 0.01 мкм).
Книга состоит из двух частей. В первой части даны разнообразные
примеры использования двухмерных моделей аэрофизики, а во второй части
-- пространственных трехмерных моделей. В начале каждой части приводится
описание компьютерной модели. Книга содержит большое количество
графических результатов численных исследований радиационной
аэротермодинамики космических аппаратов различных типов. Много
внимания уделяется сравнению с доступными экспериментальными и
расчетными данными других авторов.

Предисловие
10
Значительная часть полученных расчетных данных носит
прогностический характер. Приводятся и подробно анализируются расчетные
данные по аэротермодинамике марсианских космических аппаратов
сферической формы, Pathfinder, Mars Sample Return Orbiter (MSRO), Exomars,
Mars Science Laboratory (MSL). Важным элементом новизны представленных
данных по радиационной аэротермодинамике марсианского входа является
демонстрация важности расчета интегрального радиационного нагрева всей
поверхности спускаемых в атмосфере Марса космических аппаратов.
Аэротермодинамика космических аппаратов возвращаемых на Землю
исследуется на примере космического аппарата «
Союз», а также
проектируемых космических аппаратов Orion и перспективного
транспортного корабля сегментально-конической формы. Проблемы
сверхорбитального входа космических аппаратов, при котором начинается
заметное радиационно-конвективное взаимодействие, исследуются на
примере космического аппарата Stardust.
Изучение аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов в
условиях сильной неравновесности показало сильную чувствительность
рассчитываемых данных к используемым моделям химической кинетики и
неравновесной диссоциации, в особенности по интенсивности радиационного
нагрева обтекаемой поверхности, что является важным доводом к
дальнейшему развитию компьютерных моделей неравновесной аэрофизики.
В книге используется нумерация формул, рисунков и таблиц в пределах
каждой главы. Списки используемой литературы приведены отдельно для
первой и второй частей книги, а также для приложения, в котором приведены
полезные справочные данные.
Результаты работы, представленные в данной книге, были получены
автором примерно в десятилетний период исследований в области
компьютерной аэрофизики спускаемых космических аппаратов. На разных
этапах принципиально важной оказалась поддержка работы со стороны
Программ фундаментальных исследований РАН, а также грантами РФФИ
№№ 07-01-00133, 10-01-00544, 13-01-00537, 13-08-12033-ОФИм.
Чрезвычайно полезным и стимулирующим оказалось сотрудничество с
коллегами из Российских аэрокосмических организаций и Европейского
космического агентства, а также с коллегами из Американского Института по
Аэронавтике и Астронавтике (AIAA). Интересной и плодотворной была
совместная работа с сотрудниками Лаборатории радиационной газовой
динамики ИПМех РАН, с аспирантами и студентами базовой кафедры МФТИ
«Физической и химической механики». Результаты этого сотрудничества
частично отражены в списке литературы, используемой в книге.
Автор благодарит своих учителей, признателен своим коллегам и
ученикам за многолетнее плодотворное сотрудничество.

ЧАСТЬ 1
ДВУХМЕРНАЯ РАДИАЦИОННАЯ
АЭРОТЕРМОДИНАМИКА СПУСКАЕМЫХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ (СКА)

12
ГЛАВА 1
ДВУХМЕРНАЯ РАДИАЦИОННО-ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
АЭРОФИЗИКИ СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
1.1. Введение
Производительность
современных
компьютеров
и развитие
вычислительных методов решения задач аэрофизики позволяют
моделировать поле течения, теплофизические, термохимические и
радиационные процессы во всей возмущенной области вокруг летательных
аппаратов, входящих в плотные слои атмосферы: от фронта головной
ударной волны до дальнего следа. Актуальными проблемами компьютерной
аэрофизики сегодняшнего дня являются тестирование и аттестация
разрабатываемых расчетно-теоретических моделей и программных кодов,
повышение их вычислительной эффективности, а также дальнейшее развитие
методов численного моделирования и моделей физической и химической
механики, обеспечивающих математическое моделирование сложных
(трехмерных) элементов течения у поверхности летательных аппаратов
(отрывные течения и течения присоединения, ламинарно-турбулентный
переход, сложные ударно-волновые взаимодействия, явления гистерезиса и
бифуркации). Особое значение приобретает создание и тестирование новых
моделей физико-химических и радиационных процессов.
Важной особенностью современных моделей компьютерной аэрофизики
является увеличивающийся удельный вес ab-initio моделей (моделей
процессов, основанных на так называемых первых принципах). Такие модели
позволяют производить расчет элементарных физико-химических процессов,
теплофизических, переносных и спектральных оптических свойств веществ с
использованием систем уравнений формулируемых в квантовой механике,
физической и химической кинетике, в статистической физике. Интеграция
указанных моделей с феноменологическими подходами механики сплошных
и разреженных сред составляет основу так называемого интегрированного
или многоуровневого описания процессов и явлений. По мере расширения
областей применения аэрофизики в направлении анализа неравновесных и
неидеальных процессов интегрированные подходы становятся все более
необходимыми.
В данной главе излагается расчетно-теоретический метод, хорошо себя
зарекомендовавший в последние годы при исследовании аэротермодинамики
космических аппаратов, предназначенных для входа в плотные слои
атмосфер планет и возвращения на Землю [1, 2]. Особенностью указанного
метода является использование принципа расщепления полной системы
уравнений динамики вязкого и теплопроводного газа на две группы, а также
применение для интегрирования уравнений каждой из групп различных
подходов. Первую группу составляют уравнения Навье − Стокса, а вторую

1.1. Введение
13
группу составляют уравнения, описывающие энергетическое состояние газа
(уравнение сохранения внутренней энергии, уравнения диффузии химически
реагирующих газовых компонент, уравнения колебательной и электронной
релаксации).
Сам по себе принцип расщепления уже давно применяется в
вычислительной математике и аэродинамике [3−6]. Более того, подавляющее
большинство расчетных методик компьютерной физики используют в той
или иной степени этот принцип. Специфику различающихся методов и
расчетных подходов составляет алгоритмическое решение процедуры
расщепления. При этом хорошо известно, что при неудачном выборе такого
алгоритма, качество вычислительного процесса может даже ухудшиться.
Представленные в данной работе метод основан на использовании для
численного интегрирования уравнений Навье − Стокса AUSM (Advective
Upwind Splitting Method) [7] конечно-разностных схем и на применении
полностью неявных конечно-разностных схем для численного
интегрирования уравнения сохранения энергии и диффузии компонентов
смеси газов. При этом уравнение сохранения энергии формулируется в форме
уравнения Фурье − Кирхгофа,
т.е.
относительно
температуры
поступательного движения частиц.
Выбранный для численного интегрирования уравнений движения AUSM
метод является одним из приближенных методов решения задачи Римана о
распаде разрыва и может быть отнесен к классу приближенных методов
Годунова.
Изложенный метод реализован в компьютерном коде NERAT (Non-
Equilibrium Radiation Aero Thermodynamics), разработанном в ИПМех РАН и
предназначенном для численного моделирования аэротермодинамики
спускаемых космических аппаратов с учетом радиационного переноса
энергии и неравновесных физико-химических превращений. Показано, что
использование излагаемого подхода к решению указанных задач динамики
излучающего газа имеет ряд весомых преимуществ.
1.2. Двухмерная вычислительная модель
При решении задач радиационной газовой динамики спускаемых
космических аппаратов вычислительный код NERAT реализует численное
интегрирование уравнений движения вязкого теплопроводного химически
реагирующего излучающего газа методом установления. На каждом
временном итерационном слое интегрируются уравнения Навье − Стокса и
уравнение неразрывности, уравнение, выражающее закон сохранения
энергии, и система уравнений диффузии химических компонентов смеси,
уравнение переноса излучения и система уравнений колебательной кинетики.
Уравнения движения, физической и химической кинетики формулируются
в двумерной осесимметричной постановке (о формулировке уравнений см.
Приложение 9):

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
14
()
div
0
t
∂+=
∂
V
ρ
ρ
,
(
1
)
(),
div
x
up
uS
tx
∂∂
+=
−
+
∂∂
V
µ
ρ
ρ
,
(
2
)
(),
v div
r
pS
tr
∂∂
+=
−
+
∂∂
V
µ
ρ
ρv
,
(
3
)
div
div
,1,2,,
i
ii
i
s
wiN
t
∂+=
−
+
=
∂
VJ
&
K
ρ
ρ
,
(
4
)
()
grad div grad
grad
pp
vib
Tp
ccT T
pQ
tt
∂∂
+=+
+
+
Φ
+
−
∂∂
VV
µ
ρρ
λ
()
,
11
div
grad grad
ss
NN
Ri
ip
i
ii
ii
hw
cDYT
==
−−+
⋅
∑∑
q
&ρ
,
(
5
)
()
,
,,
div
,1,2,,
mm
mmm
V
e
ee
mN
t
∂+=
=
∂
V
v
vv
&
K
ρ
ρ
,
(
6
)
где
()
,21
div
2
3
x
uu
Sr
x
rr
xr
xx
⎡⎤
∂
∂∂
∂∂
∂
⎛⎞⎛
⎞
=−
+
+
+
⎜⎟⎜
⎟
⎢⎥
∂∂
∂
∂
∂
∂
⎝⎠⎝
⎠
⎣⎦
V
µ
µµµ
v
,
()
,2div
2
2
3
r
u
S
rx
x
r
r
r
r
r
⎡⎤
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎛⎞⎛
⎞⎛
⎞
=−
+
+
+
+
⎜⎟⎜
⎟⎜
⎟
⎢⎥
∂∂
∂
∂
∂
∂
∂
⎝⎠⎝
⎠⎝
⎠
⎣⎦
V
µ
µµ
µ
µ
vv
v
компоненты сил вязкого трения,
222 2
2
2
222
3
uu
u
rrx
x
rx
r
r
⎡⎤
∂∂
∂
∂∂
∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛
⎞
Φ=
+
+
++−++
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜
⎟⎜
⎟
∂∂∂∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠⎝
⎠
⎢⎥
⎣⎦
µµvv
v
v
v (7)
диссипативная функция; t − время; ,
x r -- ортогональные цилиндрические
координаты; u, v -- проекции скорости V на оси координат x и r; ,
pρ−
давление и плотность; T -- температура поступательного движения частиц;
,
µ λ − динамический коэффициент вязкости и коэффициент
теплопроводности; p
c − удельная теплоемкость смеси при постоянном
давлении;
,
s
N
pi
p
i
i
cY
c
=∑;i
Y − массовая доля i-го компонента смеси; , ,
pii
ch
−
удельная теплоемкость при постоянном давлении, энтальпия и плотность i-го
компонента смеси; i
w
&
− массовая скорость химических превращений для i-го
компонента смеси; i
D − эффективный коэффициент диффузии i-го
компонента смеси; i
J − плотность диффузионного потока i-го компонента;
grad
ii
i
DY
=−
Jρ
;s
N − число химических компонентов смеси газов; vib
Q−
объемная мощность тепловыделения, обусловленная процессами
колебательной релаксации в газовой смеси; V
N − число колебательных мод.

1.2. Двухмерная вычислительная модель
15
При исследовании движения смеси газов CO2-N2 учитываются V
N=6
колебательных мод: 1
m = для колебательной энергии N
2,
2
m= для
колебательной энергии O2, 3, 4, 5
m=
для колебательной энергии CO2
(симметричная, деформационная и несимметричная колебательные моды),
6
m = для колебательной энергии CO. В случае моделирования воздушной
смеси учитываются V
N =3 колебательные моды: 1
m = для колебательной
энергии N2, 2
m = для колебательной энергии O2, m=3 для колебательной
энергии NO. Скорость изменения удельной колебательной энергии в моде m
находится по следующей формуле:
0,,
,(
)
,
(
)
mm
mi
m
m
i
m
m
ee
ee
w
−
=−
vv
vv
&&
ρ
τ
,
(
8
)
()
0
,
()
,
exp
1
m
m
im
mVm
R
eMT
=
⎡
⎤
−
⎣
⎦
v
θ
θ
,
(
9
)
,m
ev
− удельная энергия колебательного движения в m-й колебательной моде
i-го компонента газовой смеси; ()
im
ρ − плотность i-го компонента газовой
смеси, обладающего m-й модой колебательного движения ( m
ρ − плотность
молекулярного компонента газовой смеси, обладающего m-й модой
колебательного движения); m
θ - характеристическая колебательная
температура m-ой моды; ( )
0,,
mm
V
ee
T
T
=
=
vv
− равновесная удельная энергия
колебательного движения в m-й колебательной моде i-го компонента;
7
0 8.314 10
R=×
эрг/(K⋅моль) -- универсальная газовая постоянная; ,
Vm
T−
колебательная температура, соответствующая m-й колебательной моде i-го
компонента. Константы колебаний молекул приведены в таблице П.1. (см
Приложение 1).
После нахождения удельной энергии колебательного движения в м-ой
колебательной моде, соответствующая ей колебательная температура
находится по формуле:
,
0
(),
ln1
m
Vm
m
im Vm
T
R
Me
θ
=⎛⎞
θ
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Уравнение переноса селективного теплового излучение формулируется в
общем виде:
()()() ()
,
,
J
Jj
∂
+=
∂
r
rr
r
r
ω
ωω
ω
κ
,
(
1
0
)
где ()
,
Jr
ω
− спектральная интенсивность излучения; ()
r
ω
κ
−
спектральный коэффициент поглощения; ( )
jr
ω
− спектральный

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
16
коэффициент испускания, который вычисляется с использованием закона
Кирхгоффа (в приближении локального термодинамического равновесия):
() ()(
)
,
b
jJ
=
rr
r
ωω
ω
κ
,
(
1
1
)
где ()
,
b
Jr
ω
− интенсивность излучения абсолютно черного тела (функция
Планка); r -- радиус-вектор рассматриваемой точки пространства; −
единичный вектор направления распространения излучения. Интегрирование
интенсивности излучения по направлениям (с весом ) и по волновому
числу излучения позволяет определить вектор плотности потока излучения:
()
()
4d,
d
tot
rad
rad
Jω
πω
ω
∆
==
Ω
∫∫
qqr
r.
(
1
2
)
Плотность спектрального, спектрально-группового и интегрального
радиационного теплового потока, достигающего поверхности с единичной
нормалью n определяется по формулам:
()()
,
4
,d
rad
qJ
ωω
π
=⋅
Ω
∫Ωnr ,
(
1
3
)
()()
,
4
1
,d
rad
qd
J
ωω
ωπ
ω
ω
∆
∆
=⋅
Ω
∆∫∫Ωnr
(
1
4
)
()()
max
min
4
,d
rad
qdJ
ω
ω
ωπ
ω
=⋅Ω
∫∫
Ωnr ,
(
1
5
)
где min
ω =1000 см-1,
max
ω =150 000 см-1.
В дальнейшем будет использоваться следующая система обозначений для
плотности радиационных тепловых потоков:
,
rad
q ω - плотность спектрального радиационного теплового потока в
критической точке обтекаемого космического аппарата (или в любой
заданной точке на поверхности),
,
rad
W ω - распределение плотности спектрального радиационного теплового
потока вдоль поверхности обтекаемого космического аппарата,
rad
Q - кумулятивная функция плотности спектрального радиационного
теплового потока в заданной точке на поверхности обтекаемого
космического аппарата, которая рассчитывается по формуле:
min
,
()
rad
rad
rad
QQ qd
ω
ω
ω
ω
ω
==
∫.
При расчете неравновесного излучения от релаксационной зоны ударной
волны и сжатого слоя спектральный коэффициент испускания рассчитывался
с учетом различия температур поступательного, колебательного и
электронного возбуждения. Температура вращательного движения
полагалась равной поступательной температуре.
Для того чтобы определить способ расчета массовой скорости химических
превращений i
w
& для i-го компонента смеси, используются базовые понятия

1.2. Двухмерная вычислительная модель
17
химической кинетики. Используя символическую формулу для n-й
химической реакции:
,,
11
,1
,
2
,
,
ss
NN
jnj j
nj
r
jj
aXbXnN
==
⎡⎤
⎡⎤
==
⎣⎦ ⎣⎦
∑∑K
,
(
1
6
)
скорость образования i-й компоненты в n-й химической реакции
записывается в виде:
() ()
,,
,,,
,,,
dd
ss
jn
jn
NN
ab
i
fninin
j
rninin
j
jj
n
Xk
b
aXk
b
aX
t
⎛⎞
=−
−
−
=
⎜⎟
⎝⎠
∏∏
()()
,,,,
ininfn
rn
baS S
=−
−,
(
1
7
)
где,,
in in
ab− стехиометрические коэффициенты n-й химической реакции; i
X
− объемно-мольная концентрация i-й компоненты; j
X
⎡⎤
⎣ ⎦ − химические
символы реагентов и продуктов химических реакций; r
N − число
химических реакций; ,
fn
k,
,
rn
k − константы скоростей прямых и обратных
реакций; ,
fn
S,
,
rn
S − скорости прямой и обратной реакции.
Тогда, скорость образования числа молей i-й компоненты в единице объема
определяется следующим образом:
()
()
,,,,
1
r
N
ii
n
i
n
f
n
r
n
n
Wb
a
S
S
=
=−
−
∑
(
1
8
)
Скорость образования i
W имеет размерность моль/(см3⋅с), поэтому массовая
скорость образования i-й компоненты может быть рассчитана следующим
образом:
ii
i
wM
W
=
&
,
(
1
9
)
где i
M − молекулярный вес i-й компоненты.
Из (17)−(19) следует, что для вычисления массовой скорости образования
i-й компоненты необходимо определить константы скоростей прямой и
обратной реакций для каждой из r
N реакций, которые аппроксимируются в
данной работе обобщенной аррениусовской зависимостью:
()
,
(),
(),
(),
exp
frn
n
frn
frn frn
E
kA
TkT
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
,
(
2
0
)
где (), (), (),
,,
frnfrnfrn
nE
A
− аппроксимирующие коэффициенты для констант
скоростей прямой ( f ) и обратной ( r ) химических реакций.
Константа равновесия для n-й химической реакции определяется следующим
образом:
,,
nf
n
r
n
Kkk
=
.
(
2
1
)
Константа равновесия
n
K и термодинамические свойства
индивидуальных химических компонентов (с индексом j) определяются с

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
18
использованием полиномиальной аппроксимации приведенной энергии
Гиббса следующего вида [8]:21
2
3
1,
2,
3,
4,
5,
6,
7,
ln
jjjjjjjj
x
xxx
xx
−−
Φ=+
+
+
++
+
ϕϕϕϕϕϕϕ,
(
2
2
)
()
21
23
2,
3,
4,
5,
6,
7,
d1
22
3
d
jjjjjj
j
xxxx x
x
x
−−
Φ
⎛⎞
=−
−+++
⎜⎟
⎝⎠ϕ
ϕϕϕϕϕ,
(23)
()
2
21
2
3
2,
3,
4,
6,
7,
2
2
d1
6226
d
jjjjj
j
xxxx
x
x
−−
⎛⎞
Φ=−+
+
+
+
⎜⎟
⎝⎠ϕϕϕϕϕ,
(24)
3
8,
d
10
d
jj
j
hx
Tx
Φ
⎛⎞
=+
×
⎜⎟
⎝⎠ϕ
, Дж/моль,
(
2
5
)
2
2
,
2
dd
2dd
pj
j
j
cxx
xx
⎛⎞
Φ
Φ
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
, Дж/моль⋅K
,
(
2
6
)
() ()
()
3
0,
,
8
,
1
0
1
ln
10
s
N
nj
n
j
n
j
j
j
Kpp
abT
RT=
=−
−
Φ
+
×
∑
ϕ
,
(
2
7
)
где 0 101325
p=
Pa,
4
10
xT−
=× . Константы аппроксимации в температурном
диапазоне 298 ÷ 20000 K представлены в [8]. В левой части (27) отношение
0
ppпоказывает функциональную зависимость n
K от давления.
Заметим, что при температурах в ударном слое выше ~ 10000 К
предпочтительнее использовать иную формулировку термодинамической
модели, разделив поступательную, электронную, колебательную и
вращательную составляющие полной и внутренней энергии, то есть
применив приближение Борна-Оппенгеймера.
Коэффициенты вязкости и теплопроводности вычисляются по следующим
аппроксимирующим соотношениям [9−11]:
()
1
1c
N
ii
iY
=
=∑
µ
µ,
()
11
1
1
2
cc
NN
ii
ii
ii
xx
==
⎡⎤
=+
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
λ
λλ
(
2
8
)
5
2(
2
,
2
)
2.67 10
i
i
ii
MT
−
∗
=×Ω
µ
σ
, г/см⋅с,
(
2
9
)
2(
2
,
2
)
1
8330
i
iii
T
M
∗
=
Ω
λ
σ
, эрг/см⋅K
,
(
3
0
)
где i
σ − эффективный диаметр столкновений, Å;
()
(2,2)
ii
fT
∗
Ω=
− интеграл
столкновений; ii
Tk
T
=ε;ik
ε
− параметр, характеризующий глубину
потенциальной энергии взаимодействия частиц i-го типа. Значения i
σиik
ε
приведены в таблице П.2 (приложение 2). Эффективный коэффициент
диффузии i-го компонента вычисляется по формуле Уилки [9]:

1.2. Двухмерная вычислительная модель
19
()
1
c
i
iN
jij
ji
x
D
xD
≠
−
=∑ , см2/с,
(
3
1
)
33
,
2(
1
,
1
)
,,
1
1.858 10
ij
ij
ij ijij
MM
DT
MMp
−
∗
+
=×
Ω
σ
(
3
2
)
В расчетах использовались другие аппроксимационные соотношения,
которые дают близкие результаты (кроме отдельных случаев, которые здесь
не рассматриваются).
Интегралы столкновений вычисляются
по аппроксимациям,
предложенным Н.А. Анфимовым [12]:
(2,2)
0.1472
(1,1)
0.1604
,,
1.157 ,
1.074
i
i
ij
ij
TT
∗− ∗−
Ω=
Ω=
,
(
3
3
)
Две работы [13,14], вышедшие в последнее время и содержащие
подробные таблицы интегралов столкновений, позволяют отказаться от
такого рода аппроксимаций в пользу более точных расчетных данных.
Функции, определяющие столкновения двух частиц, определяются по так
называемым комбинаторным формулам [15]:
()
,,
,
,
1
,,
2
ij
ijijij
ij
ij
kT
T==
=
+
ε
εεσ
σσ
ε
.
(
3
4
)
1.3. Алгоритм численного интегрирования системы уравнений
Система приведенных уравнений интегрировалась до сходимости
сеточных функций проекций скорости, температуры, давления, плотности и
концентраций химических компонентов с точностью
4
10−
. Погрешность
расчетов оценивалась по относительной ошибке расчета каждой функции по
всему полю течения. Уравнения газовой динамики (уравнение неразрывности
и два уравнения Навье − Стокса) интегрировались с применением AUSM
конечно-разностной схем первого и второго порядка точности без
использования дополнительных численных ограничителей решения и
искусственной вязкости [7]. Уравнение, выражающее закон сохранения
энергии, интегрировалось с использованием неявной конечно-разностной
схемы второго порядка точности по пространству и времени. Уравнения
диффузии химических компонентов (
уравнения сохранения массы
химических компонентов) интегрировалась также с использованием неявной
схемы второго порядка точности. Применение неявных конечно-разностных
схем к решению двух последних групп уравнений значительно повышало
эффективность вычислительной процедуры.
В большинстве случаев расчеты велись с параболическими числами
Куранта-Фридрихса-Леви (CFL) значительно превосходящими единицу.
Подавляющее число расчетов выполнено с гиперболическим числом

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
20
CFL=0.5. Причем, шаг по фиктивному времени рассчитывался по
минимальному пространственному шагу расчетной сетки и по максимальной
скорости (с учетом скорости звука) во всей расчетной области.
Расчет поля течения выполнялось с использованием многосеточной
технологии на нескольких блоках конечно-разностной сетки «О» или «C»-
типа. В каждом блоке сеток последовательно использовалось три типа
конечно-разностных сеток: начальная, промежуточная и конечная сетки.
Каждая последующая сетка рассчитывалась удвоением узлов предыдущей
сетки. Примеры использованных многоблочных сеток показаны на рис. 1.1-
1.5.
Рис.1.1. Пример использования многосеточной технологии для космического
аппарата (КА) MSRO. Сетка на правом рисунке получена удвоением сетки слева
Расчет теплообмена излучением проводился с использованием двух
методов. Для вычисления объемной плотности спектральной и интегральной
энергии теплового излучения внутри расчетной области применялось P1-
приближение метода сферических гармоник. Дивергенция вектора плотности
интегрального теплового потока излучения div R
q , рассчитанная таким
образом, использовалась в правой части уравнения сохранения энергии (5).
Плотность потока теплового излучения к поверхности космического аппарата
рассчитывалась методом дискретных направлений (так называемый «Ray-
tracing» метод) [16]. В работе [17] выполнен сравнительный анализ
результатов расчетов по двум методам: методом дискретных ординат (МДО)
и методом дискретных направлений. Указанное исследование позволило
найти оптимальные параметры численного моделирования методом
дискретных направлений (количество дискретных направлений, число узлов
расчетной сетки вдоль луча).

1.3. Алгоритм численного интегрирования систем уравнений
21
Рис.1.2. Трехблочная сетка, использованная для расчета аэротермодинамики КА
Pathfinder
Представленная система уравнений позволяет реализовать общую схему
задач радиационной газовой динамик (РадГД) применительно к проблемам
аэрофизики входа космических аппаратов (а также тел естественного
происхождения) в плотные слои атмосферы. Указанная схема показана на
Рис.1.2.
Как видно их данной схемы, полный цикл решения задач радиационной
газовой динамики включает в себя решение системы уравнений механики
сплошной среды (в нашем случае, − уравнений (1)−(3)), уравнения
сохранения энергии (5), системы уравнений химической кинетики ((4), (16),
(17)) и физической кинетики ((6), (8)−(9)), расчет переносных свойств
химически реагирующих газовых смесей ((28)−(32)) и решение уравнения
переноса селективного теплового излучения (10). В силу значительной
нелинейности всех решаемых уравнений, в пределах каждой обозначенной
группы необходимо производить итерационные процессы (локальные или
внутренние итерационные процессы) численного интегрирования. Для
сходимости решения всей задачи в целом необходимо реализовывать

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
22
глобальные итерационные процессы между отдельными группами уравнений
или между всеми уравнениями.
(а)
(б
)
Рис. 1.3. Первая (а) и вторая (б) конфигурация расчетной сетки для двухмерного
расчета КА Pathfinder и Exomars; x, y -- в см
Рис. 1.4. Пример использования многосеточной технологии при расчете КА
Pathfinder и Exomars: (а) сетка с удвоенным числом узлов по отношению к
показанной на рис. 1.3б, (б) Фрагмент неоднородной расчетной сетки (рис. 1.3б)
вблизи лобового щита КА

1.3. Алгоритм численного интегрирования систем уравнений
23
x, cm
y, cm
0
500
1000
1500
-500
0
500
Grid#1
x, cm
y, cm
0
500
1000
1500
-500
0
500
Grid#2
x, cm
y, cm
0
500
1000
1500
-500
0
500
Grid#3
Рис. 1.5. Пример использования
многосеточной технологии для расчета
аэротермодинамики сегментально-
конического космического аппарата
(СККА). Показаны результаты
двукратного измельчения сетки
Как видно из представленной схемы, отличительной особенностью задач
компьютерной аэрофизики от задач вычислительной механики (
в
общепринятом понимании этого термина) является необходимость учета
реальных свойств газов, элементарных физических и химических процессов.
Такой учет может быть выполнен на разных уровнях детализации
вычислительной процедуры. Один из наиболее широко распространенных
подходов -- это использование баз данных термодинамических, кинетических
и радиационных свойств среды. Однако по мере усложнения решаемых задач
и повышения требований к достоверности получаемым результатам,
возникает необходимость сопряжения компьютерных кодов расчета течения
газа с компьютерными кодами расчета указанных выше свойств (в
особенности, в условиях неравновесности процессов переноса энергии). В
этом случае говорят об интегрированных моделях компьютерной
аэрофизики. Частично такой подход реализован в данной работе, где в
единый расчетный цикл включен программный код ASTEROID [18,19], в

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
24
котором производится расчет спектральных оптических свойств от первых
принципов (ab-initio).
Рис.1.6. Блок-схема тематических разделов аэрофизики излучающего газа
Вычислительный код NERAT сопряжен с пятью локальными базами
данных (в данном случае понятие локальной базы данных используется для
того чтобы подчеркнуть, что они были сформированы из других более общих
баз данных в виде опубликованных таблиц, электронных баз данных или
библиотек программных модулей):
1) База данных термодинамических свойств индивидуальных веществ. Эта
база данных включает таблицу аппроксимационных коэффициентов полного
термодинамического потенциала (,
in
ϕ,
1, 2,
,8
i=
K ) для расчета
термодинамических свойств каждого n-го компонента (22)−(27). Эта
локальная база данных основана на табличных данных [8], и использовалась
для расчета энтальпии, удельной теплоемкости при постоянном давлении и
констант химического равновесия при температурах в ударном слое менее
10000 К.
2) База данных химической кинетики. Эта база данных содержит
аппроксимирующие коэффициенты констант скоростей прямых и обратных
химических реакций, заимствованных из различных литературных
источников (например, для атмосферы Марса − из работ [20−22]).
3) База данных
параметров
потенциалов
межмолекулярного
взаимодействия. Эта база данных используется для расчета свойств переноса
многокомпонентных высокотемпературных смесей газов. В нее включены
Химическая кинетика
Термодинамические и
переносные свойства
Радиационный перенос
Спектральные
оптические свойства
Физическая
кинетика
Механика сплошной среды
Базы
данных
Базы
данных
Базы
данных
Базы
данных

1.3. Алгоритм численного интегрирования систем уравнений
25
параметры потенциалов межмолекулярных взаимодействий i k
ε
иi
σ,
которые заимствовались из работы [15].
4) База данных физической кинетики. Эта база данных содержит
аппроксимационные коэффициенты для описания времен колебательной
релаксации в форме, предложенной в работе [23], а также времен жизни
возбужденных электронных состояний молекул. Времена колебательной
релаксации молекул N2 и O2 рассчитывались также с использованием метода
молекулярной динамики [24,25]. Заметим, что показанная в цитированных
работах принципиальная возможность ab-initio расчетов релаксационных
процессов и констант скоростей высокотемпературных химических реакций
позволяет планировать в ближайшем будущем создание кинетических
моделей (химической и физической кинетики) на основе ab-initio расчетов,
исключив, тем самым, использование экстраполяции данных физических
экспериментов.
5) База данных спектральных оптических свойств. Эта база данных
формируется с использованием компьютерного кода ASTEROID [18,19],
составные части которого, предназначенные для радиационно-
газодинамических расчетов, включены в расчетный код NERAT [19].
Еще одной особенностью компьютерной аэрофизики неравновесных
химически реагирующих газовых смесей является чувствительность решения
задачи в целом от используемых данных по всем разделам решаемой задачи
(переносные свойства, физическая и химическая кинетика, спектральные
оптические свойства, топология и подробность расчетных сеток). Это
объясняет то, что одной из актуальных задач компьютерной аэрофизики
является исследование степени этого влияния и получение наиболее
достоверных свойств.
Далее будут рассмотрены две кинетические модели гетерогенных
химических реакций на поверхности космического аппарата: модели
некаталитической и псевдо-каталитической поверхности. В последнем случае
концентрации химических компонентов на поверхности полагались равными
концентрациям в набегающем потоке. В специальной литературе для
указанной модели также используются термины абсолютно каталитической и
сверх-каталитической поверхности. Рекомендуется в каждом конкретном
случае уточнять специфику использования модели полной каталитичности.
1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе
координат
Для решения системы уравнений (1)−(6) воспользуемся методом
расщепления по физическим процессам: расчеты на каждом временном слое
будем проводить в два этапа. На первом этапе интегрируются уравнения
неразрывности и движения, а на втором этапе − уравнение сохранения
энергии, сохранения массы отдельных компонент и сохранения энергии в

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
26
колебательных модах. При необходимости организуются дополнительные
внутренние итерации между указанными двумя этапами.
Система уравнений Навье − Стокса (1)−(6) формулируется в произвольной
криволинейной системе координат: ( ) ( )
,,
,
xyx
y
==
ξξ ηη , которая вводится
для каждого блока расчетной сетки. Пример многоблочной сетки показан на
Рис.1.1. Тогда (1)−(3) представим в следующем виде:
vv
t
∂∂
∂∂∂
++=++
∂∂∂∂∂
EE
fEF
ξηξη,
(
3
5
)
1u
J
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
f
ρ
ρ
ρv
,
1
x
y
U
uUp
JUp
⎡⎤
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎢⎥
+
⎣⎦
E
ρ
ρξ
ρξ
v
,
1
x
y
V
uVp
JVp
⎡
⎤
⎢
⎥
=+
⎢
⎥
⎢
⎥
+
⎣
⎦
F
ρ
ρη
ρη
v
,
(36)
0
1
Rexxx
yxy
xxy
yyy
J
⎡
⎤
⎢
⎥
=+
⎢
⎥
⋅⎢
⎥
+
⎣
⎦
Ev
ξτξ
τ
ξτξ
τ
,
0
1
Rexxx
yxy
xxy
yyy
J
⎡
⎤
⎢
⎥
=+
⎢
⎥
⋅⎢
⎥
+
⎣
⎦
Fv
ητη
τ
ητη
τ
,
(
3
7
)
2
Re
2
Re
xy
yy
yJ
u
yJ
yJ
yJ
yJ yJ
⎡⎤
⎢⎥
−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂
⎢⎥
+−
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
⎣⎦
ρ
τρ
α
ξη
µρ
ξη
v
v
vv
v
,
(
3
8
)
где
,
x
yx
y
Uu Vu
=+
=+
ξξη
η
vv
,
2
2
3
xx
xx
uu UV
J
J
JJ
J
y
J
⎧⎫
⎡⎤
⎡
⎤
⎪⎪
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+
−
+
+
⎢⎥
⎢
⎥
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎝⎠ ⎢
⎥
⎢⎥
⎪⎪
⎣
⎦
⎣⎦
⎩⎭
ξη
ξη
ξη
τµ
α
v,
xy
UV
JJJ
∗∗
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=+
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
ξ
η
τµ
,
2
2
3
yy
yy
UV
J
J
JJ
J
y
J
⎧⎫
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞
⎪⎪
⎛⎞ ⎛⎞
=+
−
+
+
⎢⎥
⎢
⎥
⎨⎬
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎪⎪
⎣
⎦
⎣⎦
⎩⎭
ξη
ξη
ξη
τµ
α
vv
v,
,
y
xy
x
Uu Vu
∗∗
=+
=+
ξξη
η
vv
;
0
=
α для плоского случая, 1
=
α для осесимметричного случая; ()
,
xy
=
ξξ,
()
,
xy
=
ηη − криволинейные координаты, однозначно связанные с исходной

1.4. Формулировка системы уравнений в криволинейной системе координат
27
декартовой системой координат; ,
,
xxx
yy
y
τ ττ − компоненты тензора вязких
напряжений.
Уравнения (31)−(37) записаны в безразмерном виде,
0
Re VL
∞∞
∞
=ρ
µ−
число Рейнольдса, 0
L − характерный размер; индексом ∞ помечены
величины в невозмущенном потоке.
Однозначность преобразования систем координат гарантирует
неравенство нулю Якобиана преобразования
det xy
xyy
x
xy
J⎡⎤
==
−
⎢⎥
⎣⎦
ξξξηξ
η
ηη
,
где
,,,
xyx y
x
yxy
∂∂∂ ∂
=== =
∂∂∂∂
ξ
ξηη
ξξηη
.
Якобиан обратного преобразования
1detxx
J
xy yx
yy
−⎡⎤
==
−
⎢⎥
⎣⎦
ξηξηξ
η
ξη
позволяет рассчитать площадь в физическом пространстве для ячейки,
заданной в расчетной области (для двумерного случая).
В преобразованиях систем координат весьма полезны соотношения:
1
1,,
,
,
yyx
x
Jxxyy
J
JJJ
J
−
=
=
=−
=−
=
ξηξη
η
ξ
η
ξ.
Уравнение сохранения энергии (5) преобразуется к виду
p
pp
cTU
TV
T
cc
JtJ
J
∂∂∂
++=
∂∂∂
ρρρ
ξ
η
()()
22
22
11
Re Pr
Re Pr
xy
xy
TT
JJ
⎡
⎤⎡⎤
++
∂∂
∂∂
⎢
⎥⎢⎥
=++
∂∂
∂∂
⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦⎣⎦
ξξ
ηη
λλ
ξξ
ηη
()()
11
Re Pr
Re Pr
xx yy
xx yy
TT
JJ
⎡
⎤⎡⎤
++
∂∂
∂∂
⎢
⎥⎢⎥
+++
∂∂
∂∂
⎢
⎥⎢
⎥
⎣
⎦⎣⎦
ξη ξη
ξη ξη
λλ
ξη
ηξ
1
Re Pr
V
yyQ
TT
yJ
J
⎛⎞
∂∂
++
+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
λ
αξ
η
ξη
(
3
9
)
где Pr
p
c∞
∞
∞
=µ
λ − число Прандтля.
Функция в правой части включает в себя следующие составляющие:
p
V
rad
ch
vib
QQ
QQ
QQ
J JJJJJ
=+
+
++
µ
,
где
div
rad
R
Qq
=−
− объемная мощность тепловыделения, обусловленная
радиационными процессами;
grad
p
Qp
=V
− объемная мощность

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
28
тепловыделения, обусловленная работой сил давления; Q = Φ
µ
µ − объемная
мощность тепловыделения диссипативных процессов; ,
ch vib
QQ − объемное
тепловыделение, обусловленное химическими превращениями и процессами
колебательной релаксации.
Слагаемые p
Q и Qµ представляются в виде:
2
p
p
Q
V
Up Vp
J JJc
T
∞
∞
∞
⎛⎞
∂∂
=+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
ξη,
2
2
22
yy
xx
Q
uu
J
JJ
JJ
J
⎧
⎡
⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎪ ⎛⎞⎛⎞
=+
+
+
+
⎢
⎥
⎢⎥
⎨
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠ ⎢
⎥
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎪⎣⎦
⎣
⎦
⎩
µ
ξη ξη
ξη
ξη
µ
vv
2
2
2
2
2
2
3
Rep
UV UV
J
J
J
J
yJ
yJ
V
cT
ξη
ξη
αα
∞
∗∗
∞
∞
⎫
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
⎪
⎛⎞ ⎛⎞
++−+
++⋅
⎢⎥
⎢⎥
⎬
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎢⎥
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠
⎪
⎣⎦
⎣⎦
⎭
⋅
vv
1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики
Систему уравнений (35) для газодинамического этапа решения задачи
представим в виде:
VV
t
∂∂
∂∂
∂ ++=++
∂∂∂∂∂
EF
EF
f
µµ
ξηξη,
(
4
0
)
или
pp
UV
t
∂∂
∂∂
∂∂
∂
++++=++
∂∂∂∂∂∂∂
EF
EF
fffµµ
ξξηηξη,
(
4
1
)
где
00
111
,,
px px
yy
upp
JJJ
p
p
⎡⎤⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥
===
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣
⎦
fEF
ρ
ρξη
ρξη
v
.
(
4
2
)
Для численного интегрирования (41) используются конечно-разностная
схема AUSM [7].
Далее рассмотрим построения расчетных соотношений. Воспользуемся
конечно-разностной сеткой
{
}
1
, 1,2,..., ; , 1,2,..., ;
, 0,1, 2, ...
pp
ji
jN
J
iN
I
t
t
p
+
==
=
=
−
=
ϖξ
η
τ
(43)
и уравнение (41) проинтегрируем по площади заштрихованной ячейки
(Рис.1.7).

1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики
29
Рис.1.7. Расчетная ячейка
Воспользуемся следующей аппроксимацией производных конвективных
потоков через выделенную ячейку:
,1
2,1
2
12
12
ij
ij
jj
U
+−
+−
−
∂=
∂−
SS
fξξ
ξξξ,
(
4
4
)
12,
12,
12
12
ij ij
ii
V+−
+−
−
∂=
∂−
SS
fηη
ηηη,
(
4
5
)
где ()()
,12
,12
,12
,12
,12
,,
1
11
22
UU
UU
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
aJ
aJ
MMu
a
JMMu
a
J
aJ
aJ
++
+
+
+
+
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
+−
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
S
vv
ξ
ρρ
ρρ
ρρ
(46)
()()
,1
2
,1
2
,1
2
,1
2
,1
2
,1
,
11
22
UU
UU
ij
ij
ij
ij
ij
ij
ij
aJ
aJ
M
Mu
a
JM
Mu
a
J
aJ
aJ
−−
−
−
−
−
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
+−
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
S
vv
ξ
ρρ
ρρ
ρρ
(47)
()()
12,
12,
12,
12,
12,
,1
,
11
22
VV
VV
ij ijij
ij ij
ij
ij
aJ
aJ
MMu
a
JMMu
a
J
vaJ
vaJ
++
+
+
+
+
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
+−
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
Sη
ρρ
ρρ
ρρ
(48)
()()
12,
12,
12,
12,
12,
1,
,
11
22
VV
VV
ij ijij
ij ij
ij
i
j
aJ
aJ
M
Mu
a
JM
Mu
a
J
aJ
aJ
−−
−
−
−
−
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
+−
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
S
vv
η
ρρ
ρρ
ρρ
(49)
()
()
,1
2
,1
2
,1
2
UUU
ij
ij
ij
LR
MMM
+−
+++
=+,
(
5
0
)

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
30
()()
()
2
,,
,1
2
,,
,
1
1, при
1,
41
, при
1;
2
UU
ij
ij
U
ijL
UU
U
ij ij
ij
MM
M
MM
M
+
+
⎧+≤
⎪⎪
=⎨⎪ +>
⎪⎩
() ()
()
2
,1
,1
,1
2
,1
,1
,1
1
1, при
1,
4
1
, при
1;
2
UU
ij
ij
U
ijR
UU
U
ij
ij
ij
MM
M
MM
M
++
−
+
++
+
⎧−−
≤
⎪⎪
=⎨⎪
−>
⎪⎩
()
()
,1
2
,1
2
,1
2
UUU
ij
ij
ij
LR
MMM
+−
−−
−
=+,
(
5
1
)
()()
()
2
,1
,1
,1
2
,1
,1
,1
1
1,
при
1,
41
, при
1;
2
UU
ij
ij
U
ijL
UU
U
ij
ij
ij
MM
M
MM
M
−−
+
−
−−
−
⎧+≤
⎪⎪
=⎨⎪
+>
⎪⎩
() ()
()
2
,,
,1
2
,,
,
1
1, при
1,
4
1
, при
1;
2
UU
ij
ij
U
ijR
UU
U
ij ij
ij
MM
M
MM
M
−
−
⎧−−
≤
⎪⎪
=⎨⎪ −>
⎪⎩
,,
,,
,,
,
ij
ij
U
ij
ij
ij
ij
Up
Ma
a
==
γρ.
(
5
2
)
Конечно-разностные формулы для
12,
12,
,
,,
V
ijij i
j
M
+−
SS
ηη
записываются
аналогично.
Аппроксимация производных потоков импульса обусловленного
действием давления используется в виде
,,
,1
2,1
2
12
12
pp
ij
ij
p
jj
+−
+−
−
∂=
∂−
SS
E
ξξ
ξξξ,
(
5
3
)
,,
12,
12,
12
12
pp
ij ij
p
ii
+−
+−
−
∂=
∂−
SS
F
ηη
ηηη,
(
5
4
)
,
,1
2
,,
1
00
p
ij
Lx
Rx
yy
ij
ij
pJpJ
JJ
+−
+
+
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
Sξ
ξξ
ξξ
,
(
5
5
)
()
,,
,
,,
,,
,
11,
при
1,
2
1
, при
1;
2
UU
ij
ij
ij
UU
L
ij ij
U
ij
ij
U
ij
pM
M
p
MM
pM
M
+⎧ +≤
⎪⎪
=⎨
+
⎪
>
⎪⎩

1.5. Интегрирование системы уравнений газовой динамики
31
()
,1
,1
,1
,1
,1
,1
,1
,1
11,
при
1,
2
1
, при
1;
2
UU
ij
ij
ij
UU
R
ij
ij
U
ij
ij
U
ij
pM
M
p
MM
pM
M
++
+
−
++
++
+
⎧−≤
⎪⎪
=⎨
−
⎪
>
⎪⎩
,
,1
2
1,
,
00
p
ij
Lx
Rx
yy
ij
i
j
pJp
J
J
J
+−
−
−
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
⎢⎥⎢
⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
Sξ
ξξ
ξξ
,
(
5
6
)
()
,1
,1
,1
,1
,1
,1
,1
,1
11,
при
1,
2
1
, при
1;
2
UU
ij
ij
ij
UU
L
ij
ij
U
ij
ij
U
ij
pM
M
p
MM
pM
M
−−
−
+
−−
−−
−
⎧+≤
⎪⎪
=⎨
+
⎪
>
⎪⎩ ()
,,
,
,,
,,
,
11,
при
1,
2
1
, при
1.
2
UU
ij
ij
ij
UU
R
ij ij
U
ij
ij
U
ij
pM
M
p
MM
pM
M
−⎧ −≤
⎪⎪
=⎨
−
⎪
>
⎪⎩
Важным элементом вычислительной схемы является способ расчета
скорости звука, по которой определяется число Маха в разложениях вида
(46)−(56). Приведенные ниже соотношения позволяют несколько сгладить
решения на сильных разрывах
,1
2
(1)
,1
2
,1
2
ij
ij
ij
p
a
+
+
+
=γρ ,
(
5
7
)
где ()
,1
2
,
,1
1
2
ij
ij ij
pp
p
++
=+, ()
,1
2
,
,1
1
2
ij
ij ij
++
=+
ρρ
ρ
(
5
8
)
или ()
(2)
,1
2
,
,1
1
2
ij
ij ij
aa
a
++
=+.
(
5
9
)
Однако принципиального изменения получаемых численных решений как
правило не наблюдается.
1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии
За основу возьмем уравнение сохранения энергии в следующем виде:
1
ppp
T
TU
TV
T
ccc
R
JtJ
J
∂∂∂
++=
∂∂∂
ρρρ
ξη
,
(
6
0
)
где T
R включает все слагаемые в правой части (39).
Как уже отмечалось, в рассматриваемом случае уравнение сохранения
энергии интегрируется в неконсервативном виде. Имея в виду возможность

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
32
использования излагаемого алгоритма для задач сильного радиационно-
конвективного взаимодействия, для численного интегрирования (60)
построена неявная конечно-разностная схема.
Конечно-разностное соотношение получим для расчетной ячейки,
показанной на Рис.1.7. Ее объем равен:
()
()
12
12
12
12
,1
2
1
2
1
2
1
2
dd
ji
ji
ij
j
j
i
i
ij
Vol
pq
++
−−
+−+−
==
−
−
=
∫∫
ξη
ξη
ξηξξηη .
(
6
1
)
Тогда использование интегро-интерполяционного метода [3] дает:
12 12
12 12
dd
ji
ji
p
cT
I
J
++
−−
⎧⎫
∂
==
⎨⎬
∂
⎩⎭
∫∫
ξη
ξξη
ρξη
ξ
12
12
,
,1
2
,1
2
d
j
j
pp
p
ii
i
j
ij
ij
cUT
cUT
cU
pp
T
JJ
J
+
−
+−
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
∂
=−
−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
∂
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
∫ξ
ξ
ρρ
ρ
ξ
ξ
или
,,
1
,
1
,
pppp
iR
R
L
L
ij
ij
ij
ij
cccc
I
p
bTbTbTbT
JJJJ
+−+−
+−
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=+
−
−
−
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
ξ
ρρρρ
,
,,
1
,
1
,
pppp
iij R
R
L
L
ij
ij
ij
ij
cccc
pTb
b
b
b
JJJJ
+−+−
+−
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+
−
−
=
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
ρρρρ
,,
1
,
1
,1
,1
,1
,1
pp
p
p
ii
jL
R
i
jR
i
jL
ij
ij
ij
ij
cc
cc
pTb
b
Tb
Tb
JJJJ
+−
−
+
+−
−+
+
−
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎪⎪
=−
+
−
⎢⎥
⎨⎬
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
ρρρρ
,
где ()
,1
2,1
2
1
2
Ri
ji
j
bUU
±
++
=±, ()
,1
2,1
2
1
2
Li
ji
j
bUU
±
−−
=±,
()
,1
2
,
,1
1
2
ij
ij ij
UU
U
±±
=+.
Интегрирование в направлении η производится аналогично. В итоге
получается 5-ти точечная конечно-разностная схема:
11111
,1
,
,1
,
,,
1,,
1,,
,0
nnnnn
iji j iji j ijij ijij ijij ij
ATBTATBTCTF
+++++
−+ −+
+++−+
=
,
(
6
2
)
где ( )1,
,
Lpij h
ij
ii
i
ac
Ja
A
p
pp
+
−
−
−
=+
ρ
,()1,
,
Rpij h
ij
ii
i
ac
Ja
B
p
pp
−
+
+
+
=−
+
ρ
,
( ),1
,
Lpij
h
ij
j
jj
bc
Jb
A
qq
q
+
−
−
−
=+
ρ
,(),1
,
Rpij
h
ij
j
jj
bc
Jb
B
qq
q
−
+
+
+
=−
+
ρ
,

1.6. Конечно-разностная схема для уравнения сохранения энергии
33
,,,,,
,
1
p
ijijijijij
ij
c
CABAB J
⎛⎞
=++++
⎜⎟
⎝⎠
ρ
τ,
()
12,
12,
1
2
R
ij ij
aVV
±
++
=±, ()
12,
12,
1
2
Li
j
i
j
aVV
±
−−
=±,
()
,1
2
,
1
,
1
2
ij
ij ij
VV
V
±±
=+,
,,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
n
pij ij ij
ij
ijpijijx
yij ij
ij
cT
FQ
Q
Q
Q
Q
JT
Σ
∞
=+
+
+
+
+
µα
ρ
τ
,
()
5
,,
,,
,,
1
Re
ij ij
k
ij
ij
k
J
QQ
=
=∑
µµ
µ
,
()
2
,
,1,1 ,
,1,1
,1
,1
,
,1
,1
,
1,,
,1
,1
1
,
1
,
11
2
22
xij ij
xij ij
xijij xijij
ij
ij
ij
j
ij
ij
i
uu
uu
Q
J
Jq
JJp
++
−−
++
−−
+−
+−
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
=−+
−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
µξξηη,
()
2
,
,1,1 ,
,1,1
,1
,1
,
,1
,1
,
2,,
,1
,1
1,
1,
11
2
22
yij ij yij ij
yijij yijij
ij
ij
ij
j
ij
ij
i
Q
J
Jq
JJp
++
−−
++
−−
+−
+−
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
=−+
−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
µξξηη
vv
vv,
()
2
,
3,,
,,
2ij
ij
ij ij
Q
yJ
⎛⎞
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
µ
αv
,
()
2
,1 ,1
1
,
1
,
4,,
,1
,1
1,
1,
11
22
ij
ij
ij ij
ij
ij
ij
jijiji
UU VV
QJ
Jq
JJp
∗∗
∗∗
+−
+−
+−
+−
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
=−+
−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
µ
,
()
2
,1
,1
1,
1,
,
5,,
,1 ,1
1
,
1
,
,,
211
322
ij
ij
ij ij
ij
ij
ij
ij
jijiji
ij ij
UU VV
Q
JJq
JJ py
J
+−
+−
+−
+−
⎡
⎤
⎛⎞
⎛⎞
=−
−
+
−
+
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
µ
αv
,
,1 ,1
1
,
1
,
0
,,
,
,
,
22
ij ij
ij ij
pij
ij
ij
ji
i
j
p
ppppL
QU
V
qp
J
V
c
T
+− +−
∞∞∞
∞
⎛⎞
−−
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ρ
,
()()
11
1111,1 ,1 1
,
1
,
1,1
1,1
1,1
1,1
,,
,
2
44
ss
ssssij ij ij ij
ijijijij
x
yij ij
ij
ij
kkTT
TTTT
Qk
pq
pq
++
++++
+−
+−
++ −−
−+ +−
−−
−++
=+
+
()()
11
1,
1,
,1
,1
4
ss
ijiji
ji
j
ij
kkTT
pq
++
+− +−
−−
+
,()()
11
11
,,
,1 ,1
,,
1,
1,
,
,,
,,
1
Re Pr
2
2
ss
ss
yij ij ij
yijijij
ij
ij
ij ij
j
i
TT
TT
Q
yJ
q
p
++
++
+−
+−
⎡⎤
−−
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
α
ξη
λ
α
,

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
34
()
,,
,
,
Re Pr
xx yy
ij
ij
ij
ij
k
J
+
= ξηξη
λ
,
()
,,
,1,
1
2
hh
i
j
h
i
j
aa
a
±
±
=+, ()
,,
,,1
1
2
hh
i
j
h
i
j
bbb
±
±
=+,
()
22
,,
,
Re Pr
xy
ij
ij
h
ij
a
J
+
=
ηη
λ
,()
22
,,
,
Re Pr
xy
ij
ij
h
ij
b
J
+
=ξξ
λ
,
1
iii
p+
+
=−
ηη,
1
iii
p−
−
=−
ηη,
1
jjj
q+
+
=
−
ξξ,
1
jjj
q−
−
=−
ξξ,
0
,,
,,
rad
ch
vib
ij
pi
j
QQQ L
Q
JV
c
T
J
Σ
∞∞ ∞∞
⎛⎞
++
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
ρ
.
1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных
сетках с использованием схемы AUSM
Главной задачей данного раздела является обсуждение алгоритма
построения схемы AUSM, основанного на главной идее схемы Годунова о
целесообразности решения задачи о распаде произвольного разрыва.
Указанная задача решается на примере численного интегрирования
двумерных уравнений Навье-Стокса на треугольных неструктурированных
сетках. При расчетах используется как первый, так и второй порядок
точности пространственной аппроксимации. При вычислении потоков на
границах ячеек используется решение задачи распада разрыва по схеме
AUSM. Проводится сравнение решения, полученного с использованием
данного подхода с результатами, полученными при решении задачи о распаде
разрыва методом Годунова. Пример другого подхода к использованию
неструктурированных сеток можно найти в [24].
В качестве примера рассмотрим двумерную задачу о течении вязкого
теплопроводного газа в плоском канале, для чего воспользуемся уравнениями
Навье − Стокса, имеющими вид:
div div
t
∂+=
∂
wFG,
(
6
3
)
u
E
ρ
ρ
ρ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
v
w
,
2
2
() ()
u
upu
up
uEp
Ep
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
+
⎜⎟
⎜⎟
++
⎝⎠
⎝⎠
i
j
ρρ
ρρ
ρρ
v
v
vv
v
F
,

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
35
0
0
xy
xx
yy
yx
yx
yy
xx
yx
T
Tuv
uv
y
x
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟∂
∂⎜⎟
⎜⎟
++
++
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂
⎝⎠
⎝⎠
i
j
τ
τ
τ
τ
ττλ
ττλ
G
,
42
33
42
33
uu
xyy
x
uu
yx yx
µ
∂∂∂
∂
⎛⎞
−+
⎜⎟
∂∂∂
∂
⎜⎟
=∂∂∂∂
⎜⎟
+−
⎜⎟
∂∂∂∂
⎝⎠
vv
vv,
где w -- столбец консервативных переменных, F -- вектор конвективного
потока, G -- вектор вязкого потока, ρ -- плотность, p -- давление, u, v --
компоненты вектора скорости, E -- полная энергия в единице объема, T --
температура,
-- тензор вязких напряжений, µ -- коэффициент вязкости,
λ -- коэффициент теплопроводности.
Система (63) замыкается уравнением состояния идеального газа:
()() ()
22
1
11
2
pUE
u
γγρ
⎡⎤
=− =−
−+
⎢⎥
⎣⎦
v.
(
6
4
)
Здесь: U -- внутренняя энергия в единице объема,
;,
pp
cc cc
γ=
vv
-- удельные
теплоемкости при постоянном давлении и объеме соответственно. В данном
разделе температурная зависимость термодинамических величин не
учитывалась.
В соответствии с идеологией метода контрольного объема вся расчетная
область разбивается на конечное число непересекающихся элементов, в
данном случае -- треугольников.
Уравнения (63) можно записать относительно компонент векторных
величин F и G:
() ()0
fw gw
w
txy
∂∂
∂ ++=
∂∂∂,
(
6
5
)
где w -- любая из строк вектора-столбца консервативных переменных, f, g --
проекции соответствующих компонент вектора −
F Gнаосиxиy.
Проинтегрируем уравнение (65) по i-му треугольнику ABC (см. рис.1.9):
() ()()()
1
i
AB
BC
CA
i
wt
qtqtqt
tS
∂=−
+
+
⎡
⎤
⎣
⎦
∂
,
(
6
6
)

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
36
где Si -- площадь треугольника ABC, i
w -- осредненное по треугольнику
значение w, () ( )
dd
AB
AB
qt fyg
x
=−
∫ -- поток через грань треугольника.
Явная численная схема для треугольника ABC запишется очевидным
образом: () ()
1
() ()
pp
p
p
i
i
abba
abba
i
wwf
wy
yg
w
x
x
S
τ
+
⎡
=−
−−
−+
⎣
()()()()
()()()()
pppp
bc
cb
bc
cb
ca
a
c
ca
a
c
f wyyg
wxx f
wyy g
wxx
⎤
+−
−−
+−
−−
⎦.
где
,,
ab bc
ca
www -- значения консервативных переменных, вычисленные в
середине отрезков AB, ВС, СА соответственно, τ -- временной шаг, p и p+1--
индексы временных слоев.
Таким образом, для определения приращения консервативных
переменных w нужно определить ab
w , то есть фактически рассчитать потоки
массы, импульса и энергии через грани треугольника. Для этого, в
соответствии с идеей С.К.Годунова [25,26], используется автомодельное
решение задачи распада разрыва (задача Римана) на границе между двумя
соседними треугольниками. При этом решается одномерная задача Римана,
входными параметрами для которой служат проекции скоростей на нормаль к
грани, в то время как касательные скорости переносятся непосредственно на
грань с той стороны, откуда течет поток.
В ряде расчетов, проведенных в данном разделе, использовался первый
порядок пространственной аппроксимации. То есть при вычислении потоков
на грани считалось, что значение консервативных переменных внутри ячейки
постоянно и равно значению в центре ячейки. Для получения более высокого
порядка точности численного решения значения переменных можно
аппроксимировать линейными, квадратичными и т.д. зависимостями (в
вычислительной механике используется термин «восстановление» значений
переменных с более высоким порядком точности). Однако при этом для
сохранения монотонности численной схемы необходимо использовать
ограничители задаваемого распределения.
Один из возможных вариантов такой процедуры восстановления
параметров подробно описан в [33]. Его суть состоит в ограничении наклонов
линейного распределения параметров в ячейке, исходя из средних значений
параметров в соседних ячейках. Пусть в ячейке с центром в точке 00
(,)
xy
параметр f распределен линейно:
000
()
()
ffa
x
xb
yy
=+−+−,

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
37
где 0f соответствует значению в центре ячейки. Коэффициенты наклона этой
плоскости a и b можно определить из системы линейных уравнений:
2
00
0
0
0
2
00
0
00
() ()
( )()
()
,
()
()()()
()
.
ii
i
i
i
i
iii
i
ax
xbx
xyy ffx
x
axxyybyy ffyy
⎧
−+−
−
=−
−
⎪⎨ −−
+−
=−−
⎪⎩∑∑ ∑
∑∑
∑
Здесь суммирование ведется по всем соседним ячейкам. Теперь для расчета
значений в центрах граней ячеек cf введем ограничитель наклона плоскости
α:[
]
00
0
()
()
cf fa
x
x
b
y
y
α
=+ −+−
.
В качестве ограничителя наклона плоскости c
α выбирается минимальное
из значений коэффициента ограничения на каждой грани:
min( )i
α
α
=
,
00
0
0
00
0
0
0
max(,)
min 1,
,
;
min(,)
min 1,
,
;
1,
.
c
c
c
c
cc
c
c
fffff
ff
fffff
ff
ff
α
⎧⎛⎞
−
>
⎪⎜⎟
−
⎝⎠
⎪⎪ ⎛⎞
−
⎪
=<
⎨⎜⎟
−
⎝⎠
⎪⎪
=
⎪⎪⎩
1.7.1. Вычисление градиентов
Для расчета вязких слагаемых в (63) необходимо вычислить производные
скорости и температуры по пространству в центрах граней ячеек. Для этой
цели обычно используют усреднение производной по некоторому
контрольному объему. Такая схема является достаточно стабильной. Тем не
менее, она обладает рядом недостатков, один из которых -- трудоемкость
реализации применительно к граничным ячейкам. В связи с этим в данном
разделе использовался другой подход к вычислению производных, более
экономичный с точки зрения реализации и, возможно, вычислительных
затрат.
В пространстве (, , )
x yF в окрестности точки Q проводится плоскость
()
()
,
qq
Pab
xxc
yy
=+ − + − параметры b и c которой являются искомыми
производными и определяются из системы уравнений:

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
38
2
2
,
,
.
ii
ii
i
i
i
ii
ii
iii
iii
ii
iii
ii
iii
ab
x
c
yF
axbx cx
yx
F
ay bx
ycy y
F
ξξξξ
ξ
ξξξ
ξ
ξξξ
⎧ ++=
⎪
++=
⎨⎪
++
=
⎩
∑∑∑∑
∑∑∑ ∑
∑∑ ∑∑
(
6
7
)
Здесь: xi и yi -- координаты центра i-ой ячейки относительно точки Q.
Суммирование в (67) ведется по всем ячейкам, содержащим одну или обе
вершины грани, на которой лежит точка Q. Коэффициент iξ учитывает вклад
ячейки в зависимости от расстояния от ее центра для точки Q, обеспечивая
монотонность схемы. В данной работе этот коэффициент определялся
выражением
44
1/( )
ii
i
xy
ξ=+
. Отметим, что при использовании такой схемы
нет необходимости в использовании фиктивных ячеек.
1.7.2. Аппроксимация по времени
Система уравнений (66) представляет собой систему обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка. В данной работе она
интегрируется с помощью двухшагового метода Рунге − Кутта:
()
(1) (0)
(0)
wwt
R
w
=+
∆,
()
()
(2)
(0) (1)
(1)
1
22
t
ww
wR
w
∆
=+
+,
где R -- правая часть системы (66). Шаг по времени t
∆ выбирается
следующим образом:
()
2
min
min
CFL min
,
max max 2 max
ii
iii
i
iii
hh
t
cv
⎛⎞
⎜⎟
∆=
⎜⎟
+
⎝⎠
µρ,
где i -- номер ячейки, сi -- скорость звука в i-й ячейке, hi min -- минимальное
расстояние между центром ячейки и ее гранями, CFL -- число Куранта-
Фриндрихса-Леви, CFL<1. В расчетах, представленных ниже, число CFL
составляло 0,5.
Основная проблема, возникающая при решении газодинамических
уравнений -- это устойчивость численной схемы. Для того чтобы схема была
устойчивой, она должна быть построена «против потока». То есть на этапе
построения схемы необходимо определить, в каких направлениях каждая из
анализируемых групп волн распространяется по расчетной сетке. Для этого
необходимо иметь физическую модель взаимодействия расчетных ячеек. На
данный момент существует две модели такого взаимодействия.
В первой модели взаимодействие осуществляется посредством
дискретных волн, получаемых с помощью точного или приближенного

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
39
решения задачи о распаде произвольного разрыва, заданного на границе
между ячейками (задача Римана). К схемам такого типа относятся схемы
Годунова [25,26], Ошера [34], Роу [35].
Во второй модели взаимодействие между ячейками осуществляется через
группы частиц, перемещающихся между ячейками и имеющими заданное
распределение скоростей. Численные методы для различения групп частиц,
движущихся «вперед» и «назад», называются методами расщепления потока.
К схемам такого типа относятся схемы Ван-Лира [36], Лиу и Стефана [28].
Группа схем типа [28] получила название AUSM (Advection Upstream Splitting
Method).
Как уже было отмечено, итерационная процедура, позволяющая получить
«точное» решение задачи Римана является достаточно трудоемкой как с
точки зрения вычислительных затрат, так и в плане технической реализации.
В связи с этим, для расчета параметров на границе ячеек применялась вторая
модель, в частности, использовалась схема AUSM. Дополнительным
преимуществом использования этой модели является возможность
сравнительно просто построить неявную схему решения системы уравнений
(65).
На данный момент разработано множество модификаций AUSM [28,37-
43]. Первоначально метод был предложен Лио и Стефаном [28] для расчета
типичных аэродинамических задач и усовершенствован в работах [37,38] с
целью повышения точности метода. Позже метод был обобщен на все
скоростные режимы и на многофазные течения [39-41]. Также были
предложены модификации этих обобщений [42,43].
В данной работе в качестве основного метода расщепления потоков
использовался простой вариант, предложенный в [28]. В этом методе
расщепление проводится отдельно по числу Маха (с аппроксимацией
полиномом второго порядка) и давлению (с аппроксимацией полиномом
третьего порядка). Также для сравнения проводились расчеты с
использованием расщепления AUSM+ [42,43], в котором аппроксимация
числа Маха осуществлялась полиномом четвертого, а давления -- пятого
порядка.
Как отмечалось выше, для определения параметров на границе ячеек
достаточно решить одномерную задачу Римана. Поэтому в качестве исходной
задачи возьмем одномерные уравнения Эйлера:
0
wF
tx
∂∂
+=
∂∂,
u
E
ρ
ρ
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
w
,
2
()
u
up
uEp
ρ
ρ
⎛⎞
⎜⎟
=+
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
F
.
(68)
Первым шагом на пути к построению схемы AUSM является отделение
двух физически независимых процессов: распространения конвективных и
акустических волн:

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
40
CP
FFF
=+,
()
C
c
FMu
c
Epc
ρ
ρ
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
,
0
0
P
Fp
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠.
(
6
9
)
Здесь c -- скорость звука, M -- число Маха. Конвективный поток Fc выражен
через конвективное число Маха M и столбец «пассивных» величин. Они
получили такое название, поскольку «сносятся» через границы ячейки в
зависимости от скорости потока. Акустический поток Fp содержит только
одну величину -- давление.
Рассмотрим конвективный поток Fc. Обозначим индексом «L» величины
внутри ячейки слева, индексом «R» величины внутри ячейки справа, а
индексом «1/2» величины на границе этих ячеек. Конвективный поток на
границе ячеек запишем в виде:
1/2
1/2
/
()
C
LR
c
FMu
c
Ep
c
ρ
ρ
⎛⎞
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠
.
Основная идея подхода AUSM заключается в том, что все расщепление
потоков производится за счет числа 1/ 2
M , в то время как «пассивные»
величины переносятся из той ячейки, откуда направлен поток:
1/2
/
1/2
,0
,0
L
LR
RfM
ffM
≥
⎧
=⎨
<
⎩
.
Теперь вся задача состоит в том, чтобы правильно представить число
Маха
1/2
M . Эта проблема является определяющей для развития всего
семейства схем AUSM. Далее будем придерживаться логики схемы AUSM
[28].
Число 1/ 2
M будем расщеплять на вклад «слева» Lf + и «справа» Rf − :
1/2
L
R
Mff
+−
=+.
(
7
0
)
Будем искать функции ()
LfM
+
и()
RfM
−
, удовлетворяющие следующим
критериям:
1а.
LR
ffM
+−
+=;
2а.
0
Lf+≥и 0
Rf−≤ ;
3а. функции ()
LfM
+
и()
RfM
−
должны быть непрерывны и монотонно
возрастающие;
4а. функции ()
LfM
+
и()
RfM
−
должны быть непрерывно
дифференцируемы.

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
41
5а. () ()
LR
fM fM
+−
=−
−;
6а.
LfM
+=при1
M≥иRfM
−
=при1
M≤;
Физический смысл критериев (1а) -- (2а) очевиден. Критерий (3а)
обеспечивает выполнение неравенств
1
Lf+< и
1
Rf− >− при
1
M<.
Выполнение этих неравенств является необходимым, так как в противном
случае волны будут распространяться только в направлении потока даже при
дозвуковой скорости. Критерий (4а) обеспечивает гладкость полученного
решения. Критерий (5а) обеспечивает симметричность расщепления.
Критерий (6а) соответствует стандартной противопоточной схеме,
обеспечивая распространение сверхзвуковых волн только в направлении
потока. Из критерия (6а) следует, что искомая функция записывается в виде:
()
1
,1
2()
,1
MMM
fgMM
⎧±≥
⎪
=⎨⎪
<
⎩
.
Функцию расщепления g(M) будем искать в виде полинома наименьшей
степени из возможных полиномов.
Полином первого порядка:
ga
Mb
=+
;
(1) 0
,
(1) 1;
L
L
g
g
+
+
⎧−=
⎨=
⎩
(1) 1
,
(1) 0;
R
R
g
g
−
−
⎧−=
⎨=
⎩
()
11
2
gM
±=±
.
Отсюда согласно (70) число Маха на границе ячеек в дозвуковом случае
равно: ()
()
1/2 1
11
2LR
MMM
=+
+
−
⎡⎤
⎣⎦
.
Полученное выражение соответствует простому усреднению числа Маха.
Заметим, что здесь неявно используются собственные значения системы (68),
соответствующие распространению нелинейных волн:
1
M
λ=±
.
Использование собственных функций в качестве базиса для расщепления
потока является обычной практикой для противопоточных методов.
График всей функции f приведен на рис. 1.8. В точках 1
M = функция f
не дифференцируема, поэтому, чтобы удовлетворить критерию (4а), будем
искать решение в виде полинома второго порядка.

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
42
Рис. 1.8. Зависимость функции расщепления f ± от числа Маха: 1 -- линейная
зависимость, 2 -- параболическая зависимость, 3 -- полином 4-го порядка
Полином второго порядка. Применяя критерии (4а) и (6а) для получения
условий на производные в точках
1
M=± ,имеем:
2
ga
Mb
Mc
=+
+
;
(1) 0
,
(1) 1,
(1) 0
,
(1) 1,
L
L
L
L
g
g
g
g
+
+
+
+
⎧−=
⎪
=
⎪⎨′− =
⎪⎪ ′=
⎩
,
(1) 1
,
(1) 0,
(1) 1
,
(1) 0;
R
R
R
R
g
g
g
g
−
−
−
−
⎧−=
⎪=
⎪⎨′− =
⎪⎪ ′=
⎩
22
111 111
,
424 424
LR
gMMgMM
+−
=+
+=
−+
−
;
или: ()
2
11
4
gM
±=± ±.
Таким образом, полная функция f запишется в виде:
()
()
2
1
,1
21 1,
1
4
MM если M
f
M
если M
±⎧±
>
⎪⎪
= ⎨⎪±±
≤
⎪⎩
,
(
7
1
)
что удовлетворяет всем заданным выше критериям.

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
43
Такое расщепление было предложено ван-Лиром [36]. В работе [37]
предложена аппроксимация более высокого порядка, также удовлетворяющая
указанным критериям:
()
()()
2
2
2
1
,1
2
11
11
,1
48
MM если M
f
MMесли M
±⎧
±>
⎪⎪
= ⎨⎪±±
±−
≤
⎪⎩
.
(
7
2
)
Графики соответствующих функций приведены на рис.1.8.
Перейдем к расщеплению давления. По аналогии с числом Маха, число
1/2
p будем расщеплять на вклад «слева» L
ϕ+ и «справа» R
ϕ−:
1/2
L
R
pϕϕ
+−
=+.
(
7
3
)
Будем искать функции ()
LM
ϕ+
и()
RM
ϕ−
, удовлетворяющие следующим
критериям:
1б.
LRp
ϕϕ
+−
+=;
2б.
0
ϕ±≥ ;
3б. функция ()
LM
ϕ+
должна быть непрерывна и монотонно возрастать, а
()
RM
ϕ−
-- убывать;
4б. функции ()
LM
ϕ+
и()
RM
ϕ−
должны быть непрерывно
дифференцируемы.
5б. ()()
LR
M
M
ϕϕ
+−
=−;
6б.
Lp
ϕ+= при 1
M≥иRfp
−
=при1
M≤;
Смысл критериев для расщепления давления аналогичен смыслу
критериев для числа Маха. Отличие состоит в физическом ограничении на
давление, которое должно быть неотрицательной величиной. Это отличие
приводит к соответствующим изменениям в критериях (2б), (3б), (5б), (6б).
Из критерия (6б) следует, что искомая функция записывается в виде:
()
1(
)
,1
2()
,1
p signM M
pMM
ϕ
γ
⎧±≥
⎪
=⎨⎪
<
⎩
.
Функцию расщепления g(M) будем искать в виде полинома наименьшей
степени из возможных.
Полином первого порядка не подходит по тем же причинам, что и полином
для числа Маха.

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
44
Полином второго порядка. Применяя критерии (4б) и (6б) для получения
условий на производные в точках
1
M=± ,имеем:
2
aMbMc
γ=+
+
;
(1) 0
(1) 1
(1) 0
(1) 0
L
L
L
L
γ
γ
γ
γ
+
+
+
+
⎧−=
⎪
=
⎪⎨′− =
⎪⎪ ′=
⎩
,
(1) 1
(1) 0
(1) 0
(1) 0
R
R
R
R
γ
γ
γ
γ
−
−
−
−
⎧−=
⎪=
⎪⎨′− =
⎪⎪ ′=
⎩
.
Полученная система является несовместной, поэтому полином второго
порядка для расщепления давления не подходит.
Полином третьего порядка:
32
aMbMcMd
γ =++
+
;
(1) 0
(1) 1
(1) 0
(1) 0
L
L
L
L
γ
γ
γ
γ
+
+
+
+
⎧−=
⎪
=
⎪⎨′− =
⎪⎪ ′=
⎩
,
(1) 1
(1) 0
(1) 0
(1) 0
R
R
R
R
γ
γ
γ
γ
−
−
−
−
⎧−=
⎪=
⎪⎨′− =
⎪⎪ ′=
⎩
;
33
131 131
,
442 442
LR
MM
MM
γγ
+−
=−
++
=
−+;
или: ()
()
2
112
4M
M
γ±=±m .
Таким образом, полную функцию ϕ можно записать в виде:
()
()
()
2
/,
1
,
2
12,
1
.
4
p MMMесли M
pMM
если M
±⎧ ±>
⎪⎪
=⎨⎪ ±
≤
⎪⎩
m
ϕ
.
(
7
4
)
Аппроксимация более высоким порядком, предложенная в работе [37]:
()
()
() ()
2
2
2
/,
1
,
2
3
12
1,
1
.
41
6
p MMMесли M
pp
MM
M
M
если M
±⎧
±>
⎪⎪
=⎨⎪ ±
±−≤
⎪⎩
m
ϕ
(75)

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
45
Рис. 1.9. Зависимость функции расщепления ϕ ± от числа Маха: 1 -- линейная
зависимость, 2 -- полином 3-го порядка, 3 -- полином 5-го порядка
Графики соответствующих функций приведены на рис.1.9. В работе [37]
показано, что аппроксимация высоким порядком (72),(75) приводит к
устранению колебаний на фронте ударной волны, присущих решению с
низким порядком аппроксимации (71),(74). Впрочем, при практической
реализации данного метода в коде NERAT этого не замечено.
Рассмотрим некоторые результаты численных методических
экспериментов. В качестве рабочего варианта AUSM использовалось
расщепление по формулам (71),(74).
Для оценки эффективности этого алгоритма проводилось сравнение с
«точным» решением, полученным с помощью итерационной процедуры
Годунова. Сравнение проводилось на отдельной тестовой задаче (течение в
канале с сегментарным утолщением), в которой не учитывались
диссипативные слагаемые.
В результате вычислительные эксперименты показали, что скорость
расчета при использовании AUSM вырастает более чем в два раза по
сравнению с алгоритмом Годунова.
Для сравнения алгоритмов производился анализ невязки R полной энергии
E, определяемой по формуле:
()
()
,2
,1
,2
,1
ln max
/(
1)
ii ii
i
RE
E
E
E
=−
+
+
,
где ,1
i
Eи,2
i
E -- величины полной энергии в ячейке i на предыдущем и на
текущем шаге по времени соответственно. Графики невязки для обоих
алгоритмов показаны на рис.1.10. Здесь метод Годунова выходит на
константу вследствие ограничения по точности, до которой сходится
итерационная процедура [26]. На графике хорошо видно, что AUSM дает
более гладкую невязку.

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
46
Рис. 1.10. График невязки при решении задачи Римана: черный -- AUSM, серый --
алгоритм Годунова
В качестве сравнения решений на рис. 1.11 представлены профили
давления на верхнюю и нижнюю стенки канала, полученные двумя
алгоритмами. Отличия между схемами хорошо заметны только вблизи
локальных максимумов. Также из рисунка видно, что схема Годунова дает
более гладкое решение -- без осцилляций, заметных у AUSM. Однако в целом
решения, полученные двумя алгоритмами, совпадают с достаточно хорошей
точностью. Это позволяет считать схему AUSM более предпочтительной для
практического решения рассматриваемой задачи.
Рис.1.11. Давление на
стенках: черный -- AUSM,
серый -- алгоритм
Годунова
Также проводилось сравнение с вариантом расщепления по формулам
высокого порядка (формулы (72),(75)). Расчеты с использованием полиномов
более высокого порядка показали близость результатов, причем повышение
порядка не привело к уменьшению осцилляций. Таким образом, в данной
задаче нет необходимости в использовании полиномов более высокой
степени.

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
47
1.7.3. Результаты методических расчетов
Задача 1. Невязкое течение в канале с сегментарным утолщением.
Рассматривается задача течения невязкого совершенного газа в канале с
10%-ым утолщением сегментарной формы [44]. Входной поток направлен
параллельно стенкам канала. Использовалась однородная сетка из 10582
треугольников (
рис.1.12). Для сравнения использовались результаты
расчетов, полученные при помощи пакета FLUENT (версия 6.2.16) [48], а
также расчет на структурированной сетке со сгущением вблизи границы,
выполненный в [49].
На рис. 1.13 представлено распределение числа Маха по расчетной
области при числе Маха на входе в канал 0 1.6
M=
. Структура течения и
количественные характеристики практически точно соответствуют
приведенным работе [44]. Тем не менее, хорошо заметны колебания
изолиний особенно в окрестности ударных волн, что является типичным для
решений, полученных на неструктурированных сетках.
Рис.1.12. Расчетная сетка
Рис.1.13. Распределение числа Маха по расчетной области. Число Маха на входе 1.6

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
48
Рис.1.14. Число Маха на стенках: темные точки -- FLUENT, светлые точки -- [44],
сплошная линия -- расчеты данной работы. Число Маха на входе M = 1.6
На рис.1.14 представлено сравнение числа Маха на верхней и нижней
стенках, полученного в данной работе с решением из [44], а также показано
решение, полученное на той же неструктурированной сетке с помощью
пакета FLUENT. Видно, что в целом результаты расчетов оказались
достаточно близки. Расхождение в точке 2.0
x = см можно объяснить
различием в подробности расчетной сетки вблизи границы. Отметим также,
что результаты, полученные с помощью пакета FLUENT, оказались более
близкими к расчетам, проведенным в данной работе, чем в [44], что вероятнее
всего объясняется различием топологии и качества сеток.
Задача 2. Вязкое течение в канале.
В данной задаче рассматривалось течение вязкого газа в канале шириной
3,11 см. Расчеты проводились на двух типах сеток: на обычной
неструктурированной сетке (рис.15а) и на «
квазиструктурированной»
(рис.15,б). «Квазиструктурированной» сеткой здесь будем называть
неструктурированную сетку, полученную из двух сеток: структурированной
сетки вблизи границы и неструктурированной -- вдали от границы расчетной
области.
Стенки канала начинаются на расстоянии 1 см справа от входа в
расчетную область (рис.1.16). Условия в потоке на входе в канал: давление P
= 78.37 Па, температура T = 245 K, число Маха M = 5.
На рис.1.16 представлено сравнение расчетов на этих сетках. Видно, что
на«
квазиструктурированной» сетке результаты получаются менее
размытыми, а пограничный слой более узким, чем на обычной сетке. По
видимому, это говорит о меньшей сеточной вязкости, а следовательно, и
большей достоверности результатов расчетов, проведенных на
«квазиструктурированной» сетке.

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
49
(а)
(б)
Рис.1.15. Два типа расчетных сеток: а -- обычная неструктурированная, б --
«квазиструктурированная» сетка (представлены фрагменты сеток)
(а)
(б)
Рис. 1.16. Распределение числа Маха по расчетной области. Сравнение расчетов на
двух типах сеток: а -- на обычной неструктурированной, б -- на
«квазиструктурированной» сетке
На рис.1.17 представлено распределение давления по стенке канала. Здесь
особенно хорошо заметна гладкость решения, полученного при расчете на
«квазиструктурированной» сетке. Также на этом рисунке представлены
результаты расчетов [45], проведенные на гораздо более подробной сетке. На
этом же графике изображено поведение давления по асимптотической
теории. С точки зрения этой теории в точке, где начинается стенка ( 1
x= см),
давление бесконечно. К тому же очевидно, что в бесконечно малой
окрестности кромки пластины уравнения Навье − Стокса неприменимы. В
конечно-разностном представлении наблюдается скачок давления вблизи
указанной точки на некоторую большую величину, зависящую, прежде всего
от подробности сетки. При измельчении сетки в этой точке будет получаться
все большее давление. Данный вопрос анализировался, например, в работе
[45].

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
50
Рис.1.17. Давление на стенке канала: 1 -- расчет на «квазиструктурированной» сетке,
2 -- на обычной неструктурированной, 3 -- на структурированной [45], 4 --
асимптотическая теория
Задача 3. Вязкое течение в канале с выпуклостью.
В данной задаче рассматривалось течение как вязкого, так и невязкого газа
в канале толщиной 2 см и длиной 10 см. На одной из стенок канала
присутствовало утолщение сегментарной формы. Продольные координаты
криволинейного сегмента: 1 1
x=см, 25
x = см; высота сегмента: 0.2 см.
Параметры на входе в канал: давление P = 295.6 Па, температура T = 257 K,
число Маха M = 4.
Предварительные расчеты проводились на «
квазиструктурированной»
сетке из 23800 треугольников (рис.1.18). После получения результатов
производилось уточнение решения на сетке из 95200 треугольников.
Волновая структура вязкого течения в данной задаче является достаточно
сложной, так как присутствует взаимодействие ударных волн с пограничным
слоем. Для выявления всех существенных особенностей течения было
необходимо получить решение с достаточно высокой точностью. Поэтому
при расчетах использовалась процедура восстановления значений внутри
ячеек, описанная выше. Это позволило поднять уровень пространственной
аппроксимации до второго порядка.
Результаты расчетов представлены на рис. 1.19-1.21. В целом картины
распределений давления в невязком и вязком газе подобны. Однако в вязком
газе ударно-волновая структура оказывается более сложной (рис. 1.20). При
вязком течении появляются ударные волны, развивающиеся от входного
сечения в канал. Утолщение на нижней стенке порождает еще одну волну,
которая, интерферируя с первыми двумя волнами, изменяет свой наклон на
несколько градусов. Далее эта волна взаимодействует с пограничным слоем

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
51
на противоположной стенке. На рис.1.22 отчетливо видны две волны,
порождаемые этим взаимодействием: первая ударная волна появляется в
результате взаимодействия падающей волны с пограничным слоем, вторая
ударная волна отражается от стенки. Таким образом, от верхней стенки
отражаются две ударных волны. В невязком случае (Рис.1.21) от верхней
стенки отражается только одна волна, т.к. взаимодействие с пограничным
слоем отсутствует.
Рис. 1.18. Фрагмент расчетной сетки
Рис.1.19. Поле давления. Расчет по уравнениям Эйлера
Рис.1.20. Поле давления. Расчет по уравнениям Навье-Стокса

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
52
Рис.1.21. Число Маха. Расчет по уравнениям Навье-Стокса
На рис.1.24 и 1.25 показаны распределения давления вдоль нижней и
верхней стенок, полученные в численных экспериментах с вязким и невязким
газом. Для сравнения на рисунках приведены результаты, полученные на
структурированной сетке [45]. При расчетах вязкого газа виден резкий рост
давления на входе в канал. Этот эффект, связанный с неприменимостью
уравнений Навье-Стокса для расчета обтекания абсолютно тонкой стенки,
обсуждался в предыдущем параграфе.
Из рис.1.22,1.23 видно, что различия между расчетами на разных сетках
вполне закономерны: на более грубой сетке наблюдается уменьшение
амплитудных значений давления в месте падения ударной волны на
поверхность. Также, при внимательном рассмотрении, на решении,
полученном при расчете со вторым порядком аппроксимации, в некоторых
участках заметны малые колебания, характерные для схем с повышенным
порядком. Незначительные расхождения с расчетом на структурированной
сетке, особенно заметные в случае вязкого течения (рис.1.22), могут быть
связаны с тем, что расчет в работе [45] был произведен на очень подробной
сетке из 1301x201 узлов, что соответствует 523002 треугольникам.
Рис.1.22. Распределение давления вдоль стенок при невязком течении: 1 -- сетка из
23000 ячеек, первый порядок аппроксимации, 2 -- сетка из 95200 ячеек, второй
порядок аппроксимации, 3 -- расчет на структурированной сетке [45]

1.7. Расчет течений вязкого и невязкого газа на неструктурированных сетках
53
Рис.1.23. Распределение давления вдоль стенок при вязком течении: 1 -- сетка из
23000 ячеек, первый порядок аппроксимации, 2 -- сетка из 95200 ячеек, второй
порядок аппроксимации, 3 -- расчет на структурированной сетке [45]
Подводя итог выполненным методическим расчетам можно отметить, что
для получения гладкого решения может оказаться полезным строить «квази-
структурированную» сетку вблизи стенок расчетной области.
Проведено исследование влияния порядка пространственной
аппроксимации на качество численного решения на примере расчета вязкого
и невязкого течения в канале с сегментарным утолщением.. Исследование
показало, что повышение порядка аппроксимации позволяет получить
приемлемое решение, заметно снизив схемную вязкость. В проведенных
расчетах улучшение качества решения соответствовало примерно
четырехкратному измельчению сетки. Как и ожидалось, побочным эффектом
использования схемы второго порядка является присутствие малых
колебаний в некоторых участках расчетной области.
Результаты исследований, проведенных в данной работе, были применены
для расчета тепловых потоков к стенкам модельного прямоточного
воздушно-реактивного двигателя [49].
Таким образом, в данном разделе выполнен подробный анализ способа
конструирования AUSM конечно-разностной схемы, а также представлены
результаты методических экспериментов с ее использованием. Несмотря на
то, что данная схема относится к классу приближенных методов решения
задачи Римана о распаде разрыва, результаты решения тестовых задач
показали эффективность схемы AUSM при использовании в качестве
составной части вычислительной программы, реализующей численное
интегрирование уравнений Эйлера и Навье-Стокса.

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
54
1.8. Тестирование компьютерных моделей в двухмерном случае на
структурированных сетках
Важным этапом отработки компьютерных кодов является сравнение
предсказываемых ими аэротермодинамических данных с результатами
экспериментальных и расчетных работ других авторов, в особенности с
экспериментальными данными, многократно проверенными в других
работах. Тестирование компьютерного кода NERAT-2D выполнялось при
решении ряда задач, примеры расчетов которых представлены ниже.
1.8.1. Обтекание сферы совершенным газом
Компьютерный код NERAT тестировался сравнением с результатами
расчета параметров ударного слоя у сферы, обтекаемой сверхзвуковым
потоком, представленными в работах [4,131]. Результаты систематических
расчетов представлены в работе [131]. В качестве примера такого сравнения
на Рис.1.24а показано распределение чисел Маха ( M Va
∞
∞
=
, a∞ − скорость
звука) у поверхности сферы радиусом 66
R = см вязким теплопроводным
совершенным газом с показателем адиабаты 1.4
=
γ
при следующих
исходных данных:
7.6
p∞ = эрг/см3,
8
2.82 10−
∞=×
ρ
г/см3,
29
M Σ = г/моль,
297
T∞= K,V∞=
5
1.035 10
× см/с (здесь M Σ − суммарный молекулярный вес
газа). Приведенные данные отвечают одной из наиболее грубых из
использованных расчетных сеток ( 55
101
NI
NJ
= ×=,где NI −числоузлов
по нормальной к поверхности переменной (η )). Поэтому точность расчетов
газодинамических функций у обтекаемой сферы, в особенности вблизи
боковой и задней поверхности, является здесь весьма низкой. Тем не менее,
представленные на Рис.1.24а данные свидетельствуют о правильном
предсказании формы ударной волны и основных элементов течения вблизи
лобовой поверхности (развивающийся пограничный слой, местоположение
звуковой линии).
Распределение скорости u (Рис.1.24б), температуры T (Рис.1.25а) и
давления p (Рис.1.25б) вдоль передней критической линии тока при
различных числах Маха набегающего потока дано для разных расчетных
сеток. Маркеры на линиях отвечают реальному местоположению значений
сеточных функций.
Для одного из вариантов (M1
0
= ) сетка измельчалась в два раза.
Последствия этого хорошо видны на Рис.1.24б и Рис.1.25. При улучшении
сетки наблюдается некоторое увеличение отхода ударной волны от
поверхности тела и некоторое увеличение температуры в сжатом слое. На
Рис.1.24 и 1.25 показаны результаты расчета обтекания сферы при разных
числах Маха: M 3, 6,10, 20
=
. В работе [131] выполнено исследование
обтекания при разных условиях теплообмена у поверхности сферы −

1.8. Тестирование компьютерных моделей на структурированных сетках
55
охлаждаемой и теплоизолированной стенки. В случае теплоизолированной
стенки толщина ударного слоя увеличивается примерно на 1 см. Однако, при
этом следует иметь в виду, что в целом температура сжатого слоя при
M2
0
=
получается завышенной в силу использования предположения о
совершенном газе. В реальности, при таких скоростях движения уже заметно
проявляются реальные свойства газа.
(
а)
(
б)
Рис.1.24. (а) Изолинии числа Маха при M3
=,1.4
γ=
вблизи поверхности сферы;
кружками показаны результаты расчета [4] для положения ударной волны; x и y в см.
(б) Распределение продольной скорости вдоль критической линии тока Uu
V
∞
=
(
а)
(
б)
Рис.1.25. Распределение температуры Т, K (а) и давления
2
PpV
ρ∞∞
=
(б) вдоль
передней критической линии тока от поверхности сферы (слева) до границы
расчетной области вверх по потоку (справа) для разных чисел Маха; х в см
Влияние подробности расчетных сеток на результаты расчетов
распределения давления и плотности конвективных тепловых потоков по
поверхности сферы показаны на Рис.1.26. Приведенные данные

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
56
свидетельствует о сходимости численного решения на используемых сетках
«О» типа.
1.8.2. Обтекание модели сегментально-конического космического
аппарата
В данном параграфе представлены результаты расчетов поля течения и
плотностей конвективных тепловых потоков на подветренной стороне
модели космического аппарата сегментально-конической формы.
Эксперименты были выполнены на экспериментальных установках ЦАГИ
В.Я. Боровым и А.С. Скуратовым [132].
Рис.1.26. Распределение давления (а, в эрг/см3) и плотности конвективного
теплового потока (б, в Вт/см2) вдоль поверхности сферы для разных расчетных сеток
при M1
0
= ; 1 -- сетка 51×101, 2 -- 101×201, 3 -- 201×401
Расчеты проводились с использованием кода NERAT в расчетной области,
состоящей из двух блоков. Структура расчетной сетки показана на Рис.1.27.
Сетка «с»-типа была построена с применением аналитической методики
[55]. Заметим, что направления изменения узлов расчетной сетки в двух
блоках были различными (см. Рис.1.27).
Задавались следующие исходные данные, моделирующие условия
эксперимента:
1) Геометрия исследуемой модели (Рис.1.28)
− диаметр миделевого сечения
M
21
5
DR
=
= см,
− радиус кривизны лобовой поверхности 0 19.5
R=
см,
− радиус кривизны донной поверхности в окрестности задней критической
точки 1.2
r= см,
− центральный угол лобовой поверхности 24
5
=
°
ϕ,
угол раскрытия обратного конуса 27
0
=°
ψ.

1.8. Тестирование компьютерных моделей на структурированных сетках
57
X
Y
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
Block No.1
Block No.2
i=1
i=NI1 j=1
j=NJ1
i=1
j=1
i=NI2
j=NJ2
Рис.1.27. Исходная конечно-разностная сетка для расчетов обтекания
экспериментальной модели сегментально-конического КА
2) Термодинамические и переносные соотношения, использованные в
расчетах:
− молекулярный вес
28
M Σ = г/моль (для молекулярного азота) и 44 г/моль
(CO2),
− показатель адиабаты 1.4
=
γ (N2), 1.23 (CO2),
− динамический коэффициент вязкости и коэффициент теплопроводности
(см. табл.1.1) 32
0
0
0
CTT
CTT
⎛⎞
+
=
⎜⎟
+⎝⎠
µµ
, 0273
T= K,
3/2
0
0
0
CTT
CTT
⎛⎞
+
=
⎜⎟
+⎝⎠
λλ
,
0
R
pT
MΣ
=
ρ
,
Pr 0.7
=
,
Pr
p
c
=µ
λ
,
0
1
p
R
c
MΣ
=⋅
−
γ
γ
,
7
0 8.314 10
R=×
эрг/(K⋅моль)
(1
)p
p
cT
−
=γρ
γ
,
7
0 8.314 10
R=×
эрг/см3.
Целевой функцией проведения расчетов являлось определение
конвективного теплового потока на лобовой и донной поверхности
исследуемой модели в зависимости от параметров расчетной модели.
Поэтому анализировалось все поле течения вблизи исследуемой модели (в
передней и задней полусферах) и рассчитывались конвективные тепловые
потоки на поверхности.
Пример расчета структуры потока для варианта M 19.8
∞=
и
5
,
Re 210
D
∞
=× приведен на Рис.1.29. Использовалась модель ламинарного
течения. Представленная на этом рисунке скорость отнесена к V∞ . Отчетливо
видна зона отрыва потока от подветренной стороны модели и образование

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
58
крупномасштабного вихревого движения. Максимум скорости возвратного
течения вдоль задней критической линии тока достигает M0
.
8
5
=
. Именно
указанный поток создает область повышенного нагрева в окрестности задней
критической точки. Сравнение интенсивности конвективного нагрева,
предсказываемого расчетами, с экспериментальными данными ЦАГИ дано на
Рис.1.30.
Рис.1.28. Геометрия модели в экспериментах ЦАГИ
Таблица 1.1
Использованные коэффициенты в формуле Сазерленда
Газ
0
λ , В/(м⋅K) 0
µ , кг/(м⋅с) C, K
CO2
0.01444
1.384×10−5
274
N2
0.02486
1.667×10−5
114
Рис.1.29. Расчетные данные (код NERAT): осевая скорость x
Vu
=
.M1
9
.
8
∞=
. Угол
атаки 0
α=

1.8. Тестирование компьютерных моделей на структурированных сетках
59
0
0,3
0,6
0,9
1,2
1234
Experiment
Calc N-S
S/R
q, W/cm2
Рис.1.30. Конвективный поток на подветренной поверхности. M1
9
.
8
∞=
.
Угол атаки 0
=
α (кривая с точками − эксперимент; сплошная кривая − расчет).
Продольная координата поверхности (от передней критической точки) отнесена к
радиусу Миделя
M
RR
=
1.8.3. Обтекание модели КА Pathfinder химически реагирующими газами
Результаты экспериментальных исследований конвективного нагрева
модели КА Pathfinder представлены в работах [133,134]. Эксперименты
выполнены в разных газах (воздух, CO2) на модели, профиль которой показан
на рис.1.31. В работе [134] представлены результаты расчетов с
использованием программного кода LAURA (Langley Aerothermodynamic
Upwind Relaxation Algorithm). Исходные данные для проведения расчетов в
CO2 выбирались в соответствии с экспериментальными условиями:
4
1.187 10
p∞ =×
эрг/см3,
6
5.79 10−
∞=×
ρ
г/см3, 1088
T∞= K,
5
4.775 10
V∞ =×
см/с
Температура поверхности полагалась постоянной 300
w
T= K.
Для расчета химической кинетики использовалась кинетическая модель
Парка [20]. В учет были приняты 18 реакций, в которых учитывались
химические превращения следующих компонент: C, O, C2, O2, CO, CO2.
Результаты сравнения расчетных данных с экспериментальными данными
[133] показаны на Рис.1.32 ( b
R − радиус миделевого сечения; s −
координата вдоль поверхности модели). В целом можно отметить хорошее
согласие экспериментальных и расчетных данных. Однако следует учесть,
что в расчетах отмечалась высокая чувствительность результатов расчета
конвективного нагрева к свойствам конечно-разностных сеток.
Также были выполнены расчеты аэротермодинамики модели, показанной
на рис.1.31 для воздуха. Во всех расчетных случаях плотность конвективных
тепловых потоков на лобовой поверхности модели хорошо совпала с
экспериментальными данными.

Глава 1. Двухмерная радиационно-газодинамическая модель аэрофизики СКА
60
Рис.1.31. Предельная скорость x
Vu
= при обтекании модели КА Pathfinder в
экспериментах [133] (CO2)
ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ
Ι
ΙΙΙΙΙΙΙΙ ΙΙ ΙΙΙΙΙ ΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙΙ
S/Rb
Qw, W/cm^2
00
.
511
.
522
.
533
.
544
.
555
.
5
100
101
102
103
Рис.1.32. Распределение конвективных тепловых потоков вдоль поверхности модели
от передней критической точки; дискретные точки -- эксперимент [133,134] в
атмосфере CO2; сплошные кривые -- расчет данной работы (кружки показывают
местоположение узлов расчетной сетки вдоль поверхности модели)

61
ГЛАВА 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПЕРЕНОСА ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
2.1. Введение
В данной главе рассмотрены четыре метода расчета переноса теплового
излучения, которые использовались при решении задач аэрофизики
спускаемых космических аппаратов: метод дискретных направлений, метод
полумоментов, метод дискретных ординат и P
1-приближение метода
сферических гармоник. Расчет спектральных радиационных характеристик во
всех случаях производился с использованием многогруппового подхода [18].
2.2. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода
дискретных направлений (Ray-Tracing method, RTM)
Алгоритм метода дискретных направлений рассмотрим на примере
расчета радиационных потоков к поверхности космического аппарата
сложной формы, показанного на Рис.2.1. Для того чтобы рассчитать
плотности радиационного теплового потока, к элементу поверхности
вводится локальная сферическая система координат с нормалью n. В этой
системе координат каждый луч
определяется двумя угловыми
координатами: углом широты [0, 2]
∈
θπ
и азимутальным углом [0, 2 ]
∈
ϕπ.
Плотность спектрального радиационного потока на поверхности
определяется по формуле:
()2
2
00
d(
,
)
c
o
s
s
i
n
d
WJ
=∫∫
rr
π
πϕ
θθ
θ
,
(
1
)
где r − радиус-вектор точки на поверхности в лабораторной системе
координат; ( , )
Jr
− спектральная интенсивность излучения,
соответствующая лучу .
Рис.2.1. Схема космического аппарата

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
62
Введение расчетной сетки угловых направлений позволяет провести
интегрирование спектральной интенсивности излучения на поверхности по
пространству угловых переменных и найти спектральную плотность потока:
()( )()()
(
)
1
1
1,
1
11
11
1 sin cos
sin cos
2
N
N
mm
m
n
nn
nn
nn
mn
WJ
−
−
++
+
+
==
=−
+
−
∑∑
r
ϕ
θ
ϕϕθ
θ
θ
θ
θ
θ
(2)
или
()
()
(
)
22
1
1
1
1,
11
cos
cos
()
2
N
N
nn
mm
m
n
mn
WJ
−
−
+
+
==
−
=−
∑∑
r
ϕ
θ
θ
θ
ϕϕ
,
(
3
)
где ,
NN
ϕ θ − числа дискретных угловых направлений.
Направляющие косинусы вектора
()()()
,
,
min
,
mn
x
y
zmn
mn
=++
ijk
ωωω
рассчитываются по следующим формулам:
(),
z
n
mn=
ω
µ,
()2
,1c
o
s
x
nm
mn=− ⋅
ω
µϕ
,
()2
,1s
i
n
yn
m
mn=− ⋅
ω
µϕ
,
где ()
()
11
11
;c
o
s
,
;
22
nn
n
nn
nn
n
++
=+=
=+
µµ
µµθ
ϕϕ
ϕ
.
Ось z системы координат угловых направлений совпадает с локальной
нормалью к поверхности.
Для того чтобы определить величину ( ),
mn
J
, необходимо
проинтегрировать уравнение переноса вдоль неоднородного оптического
луча. Здесь целесообразно воспользоваться формальным решением
уравнения переноса следующего вида:
()()
0
()
e
xp
d
b
JJ
′′
′
=⎡
−
−
⎤
⎣⎦
∫τ
τ
ττ
τ
τ
,
(
4
)
где 0
s=иsL
= начальная (на поверхности) и конечная (на внешней
границе расчетной области) координаты отрезка луча
,
mn, вдоль которого
проводится интегрирование уравнения переноса излучения (1.10).
Конечно-разностная сетка по пространственной переменной s, с
использованием которой проводится численное интегрирование, находится
для каждого луча ,
mn. С этой целью отыскиваются координаты пересечения
в лабораторной системе координат луча
,
mn со всеми встречающимися на
его пути поверхностями конечно-разностной сетки, начиная от первой точки
(на поверхности, 0
s = ) и кончая последней точкой (на внешней границе
расчетной области или на сопряженной поверхности, s L
= ). Этот алгоритм
иллюстрируется графически на Рис.2.2 (луч а). Для определения координат

2.2. Метод дискретных направлений (Ray-Tracing method)
63
пересечения следует использовать соотношения аналитической геометрии.
Однако такой алгоритм оказывается неэкономичным применительно к
криволинейным (а особенно − неструктурированным) расчетным сеткам.
В работах [1,2] применен алгоритм квазислучайной выборки координат
расчетной сетки. Этот алгоритм состоит в следующем. Отрезок луча с
направляющим вектором
,
mn, заключенный между первой и последней
точками, делится на 1
s
N − одинаковых участков, как это показано на Рис.2.2
(луч b). Очевидно, что требование однородности расчетной сетки на участке
[]
0,
sL
∈
необязательно для используемого алгоритма. Хорошо работает
также алгоритм случайной выборки координат точек вдоль луча. Затем для
каждого узла расчетной сетки вдоль луча
,
mn отыскивается ближайший
узел пространственной расчетной сетки (или ячейка, которой принадлежит
этот узел), на которой заданы теплофизические и оптические свойства среды.
Температура и спектральный коэффициент поглощения найденного узла (или
ячейки) присваиваются текущему узлу расчетной сетки вдоль луча. Таким
образом, в каждом узле расчетной сетки вдоль луча
,
mn становятся
известными температура и оптические свойства газа.
sk
x
y
j
i
b
a
Рис.2.2. Два способа введения расчетной сетки вдоль луча
Численное интегрирование уравнения переноса (1.10) производится по
формуле:
()() ()( )
1
,,
1
1
,
exp
exp exp
1
S
S
N
NS mn
N
bk
k
k
k
k
JJ
−
+
=
⎧
⎫
⎪
=−
⎡−
−
⎤
⎨⎬
⎣
⎦
⎪
⎭
⎩∑%
τττ
τ
τ
,
()
,,
1
,
2
bk bk
bk JJ
J
+
+
=
%
,()()
1
1
1
12
l
ii
li
i
i
ss
−
+
+
=
+
=−
∑κκ
τ
,
1,..., S
lN
=
, (5)
где ,
bk
J%
− спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела,
рассчитанная по температуре отрезка
1
[,]
kk
ss+.
В заключение подчеркнем, что метод дискретных направлений выгодно
отличается от методов дискретных ординат, характеристических методов, n
S

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
64
и
n
DS -методов [16] возможностью численного интегрирования уравнения
переноса излучения в задачах с произвольной геометрией с учетом
линейчатой структуры спектра посредством статистических моделей. В
последнем случае, уравнение переноса излучения аналитически
интегрируется по спектру электромагнитного излучения в спектральных
группах вдоль каждого из выделенных направлений. Дополнительные
затраты компьютерного времени на расчеты по несколько усложненным
формулам [16] многократно окупаются тем, что вместо сотен и тысяч
спектральных точек внутри каждого спектрального диапазона, расчет
производится сразу для всего спектрального диапазона, то есть как бы для
одной спектральной точки.
2.3. Расчет переноса теплового излучения с использованием метода
полумоментов
В данном разделе приводится алгоритм решения уравнения методом
полумоментов, который используется в коде NERAT-2D для расчета
лучистого теплообмена в неоднородном плоском слое, которым
аппроксимируется сжатый слой у лобовой поверхности космического
аппарата. Уравнение переноса селективного излучения применительно к
плоскопараллельной геометрии без учета светорассеяния в приближении
локального термодинамического равновесия запишем относительно
спектральной интенсивности излучения Jω :
,
d
d
b
JJJ
x+=
ω
ωωω
ω
µκκ
,
(
6
)
где ,
b
J ω − планковская спектральная интенсивность; cos
=
µ θ,θ−угол
между направлением распространения излучения и положительным
направлением оси x, нормальной к рассматриваемому слою ( 1 0, H
x
xH
=
=
−
границы плоского слоя, рис.2.3).
Рис. 2.3. Схема переноса излучения в плоской геометрии
Введем спектральную оптическую толщину dd
x
=
ωω
τ κ . В соответствии с
методом полумоментов подействуем на (6) полумоментными операторами

2.3. Метод полумоментов
65
следующего вида:
1
0
2d
n
+
Λ= ∫π µµи
0
1
2d
n
−
−
Λ=∫π µµ
,
в результате чего получим
()
1,
,,
1,
,,
d
2
,0
,
1
,
2
,
d1
d
21,0,1,2,
d1
n
nb
n
n
nb
M
MJn
n
M
MJ
n
n
+
+
+
−
+
−
+=
=…
+
+=−
=…
+
ω
ωω
ω
ω
ωω
ω
π
τ
π
τ
(
7
)
где
10
,,
01
2,
2
nn
nn
M
JdM Jd
++−
−
−
==
∫∫
ωω
ωω
πµµ
πµµ
,
(
8
)
индексами «+» и «
−» у спектральной интенсивности фиксирована ее
принадлежность областям [0, 2]
∈
θπ
и[2
,]
∈
θππ
соответственно.
Для замыкания бесконечной системы уравнений необходимо
постулировать вид угловой зависимости интенсивности излучения, в каждом
из полупространств, например:
1
P
Pp
p
p
Ja
±±
−
=
=∑
ω
µ,
(
9
)
где Р − порядок приближения. Далее рассмотрим приближение второго
порядка 2
P = , в котором имеется линейная зависимость интенсивности от
12
:J aa
±±±
=+
ω
µµ
, что дает однозначную связь между полумоментными
характеристиками
2,
0,
1,
2,
0,
1,
6,
6
MMM
MMM
+++
−−
−
=−
+
=−
−
ω
ωω
ωωω
,
(
1
0
)
Подставляя (10) в (7) при 0, 1
n=
, получаем систему уравнений:
0,
0,
1,
,
d
66
d
b
M
MMJ
+
++
+−
=
ω
ω
ωω
ω
π
τ
,
(
1
1
)
1,
0,
,
d
2
d
b
MM
J
+
+
+=
ω
ω
ω
ω
π
τ
,
(
1
2
)
0,
0,
1,
,
d
666
d
b
M
MMJ
−
−−
−−=
−
ω
ω
ωω
ω
π
τ
,
(
1
3
)
1,
0,
,
d
2
d
b
MM
J
−
−
+=
ω
ω
ω
ω
π
τ
(
1
4
)
которая при граничных условиях вида
()()()()
1,
0,
1,
0,
00
0
Mx Mx MxHMx
H
++−
−
==
==
==
==
ωωω ω
,

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
66
имеет следующее решение: []
()
[]
,
21
,,
1
0
21
,,
1
()0
.
5
e
x
p()d,
()0
.
51
e
x
p()d,
H
n
nm
b
m
m
n
nm
b
m
m
MI
MI
+−
=
−−
=
=−
−
=−
−
−
∑∫
∑∫
ω
ω
ω
τ
ωω
ω
ω
τ
ωω
ω
ω
τ
τββ
τ
τ
τ
τ
ββ
τ
τ
τ(
1
5
)
где ,,
12
0
2, 33
,33
,0
,
1
;d
x
bb
IJ
n
x
==
+
=
−
=
=
∫
ωω
ω
ω
πββ
τκ
.
Если в постановке задачи учитываются потоки излучения, падающие на
границы
0
x=
иxH
=
, то соответствующие граничные условия
формулируются с использованием формул (8) и подходящей аппроксимации
угловой зависимости спектральной интенсивности излучения. Заметим, что,
несмотря на простоту соотношений (15), следует иметь в виду особенность
аппроксимации функции Планка на оптически толстых расчетных ячейках.
С целью применения статистического метода учета линейчатой
структуры, проинтегрируем по спектру соотношения (15) в пределах
спектрального диапазона ∆ω ()
22
11
11
() 0.
5
, ()0.
51
nn
nm
m
n
m
m
mm
MxI
M
xI
+−
+
−
−
−
==
==
−
∑∑
ββ
,
(
1
6
)
где () ()() ()
,
0
0,d
exp
dd
xx
mm
b
m
x
IIxxx
Ix
xx
++
′
∆
⎡
⎤
′′′
′
′
′
′
==
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫
∫
ωω
ω
ω
κβ
κ
ω
,
() ()()
()
,
,d
e
x
pd
d
Hx
mm
b
m
xx
IIx
Hxx
Ix
xx
′
−−
∆
⎡
⎤
′′′
′
′
′
′
==
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫∫
∫
ωω
ω
ω
κβ
κ
ω
.
Дальнейший анализ достаточно выполнить для одного из интегралов,
например ()
m
Ix
−
()
()
1
,d,
,d
d
H
m
mb
m
x
Wx
x
Ix
HI
x
x
−−
∆
′
′
=
′
∫ωβ
,
(
1
7
)
где ()
()
,1
e
x
pd
d
x
mm
x
Wx
x
xx
′
∆
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
′′
′
′
′
=−−
⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
∫∫
ω
ω
βκω
,
()
1
,,
d
bb
II
−
∆
∆
=∆∫
ωω
ω
ω
ω.
Введем конечно-разностную сетку { ,1
,
2
,
3
,
,
j
xj
==K
ϖ
δгде10
x=,
}
xH
=
δ
. Тогда для любого фиксированного узла сетки с индексом f имеем
() ()()
1
1
,,
1
,,
,
mf
m bjmfj mfj
jf
Ixx
I Wxx Wxx
−
−−
∆+
=
⎡⎤
=−
⎣⎦
∑
δ
δω
β
.
(
1
8
)

2.3. Метод полумоментов
67
Считая поглощение в атомных линиях ( )
dx
ω
κ
аддитивным с поглощением в
непрерывном спектре () ( )
cc
x
x
=
ω
κκ
,т.е. () () ()
dc
x
xx
=+
ωωω
κκκ
, получаем
()()
{
}()()
,1
e
x
p
e
x
p
,
cc
cc
mfj
mjf
mjfmfj
Wxx
Wxx
∗
⎡⎤
⎡⎤
=
−
−−∆
+
−−
⎣⎦
⎣⎦
βττ ω βττ
(19)
где
()
()
00
d,
d
jf
xx
cc
cc
jf
xxx
x
′′
′′
==
∫∫
τκ
τκ,
()
()
,1
e
x
pd
d
j
f
x
d
mfj
m
x
Wxx
xx
∗
∆
⎧⎫
⎡⎤
⎪⎪
′′
′′
⎢⎥
=−−
⎨⎬
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
∫∫
ω
ω
βκω
,
(
2
0
)
где ()
,
mfj
Wxx
∗
− эквивалентная ширина линий, попавших в спектральный
диапазон ∆ω .
Для определения эквивалентной ширины ( )
,
mfj
Wxx
∗
воспользуемся
статистической моделью спектра
(),,
,11
e
x
p
m
mfj m
m
g
g
Wxx A
T
D
∗
∆∆
⎧⎫
⎪⎪
⎡⎤
⎡⎤
= ∆=−∆∆=−
−∆∆
⎨⎬
⎣⎦ ⎣⎦
⎪⎪
⎩⎭
∏
ωω
ω
ωω
ω ω(21)
а среднее пропускание группы линий g, имеющих фойгтовский контур,
аппроксимируем следующей связью между пропусканием групп линий с
лоренцовским ,
m
Lg
D и доплеровским контуром ,
m
Dg
D:
()()()()
22
2
,,,
,
,
,
mm
m
m
m
g
f
jL
gD
gL
g
D
g
m
g
DxxDDDD
=+
+χ,
()()
,,
,
,
,
,1
4
mm
m
Lg
Lgfjmg
mg Lg
DDx
x
a
==
+
χχ,
(
2
2
)
()()
,,
,
,,
, 1.7 ln1
1.7
mm
m
m
Dg
Dgfj
Dg
mg
Dg
DDx
xa
a
⎡
⎤
==+
⎣
⎦
χ
.
Функции
,,,
,,
mm
mgLgDg
aa
χ
определяются в рамках приближения
Кертиса − Годсона для каждой g-й группы линий:
()
()(
)
,,
,d
j
f
x
mg mgfj
m
ag
x
xxN
F
T
x
x
′
′
==
∆
⎡
⎤
⎣⎦
∫
χχ βω
,
(
2
3
)
()
()() ()
2
,,
,
,
,d
j
f
x
mm
LgLgfj
m
mg
ag
eLg
x
aaxx
NFTxNGTx x
′
′′
==
∆⎡
⎤
⎡
⎤
⎣ ⎦⎣⎦
∫
βω
χ
(24)
()
()() ()
2
,,
,
,
,d
j
f
x
mm
DgDgfj
m
mg
ag
eDg
x
aa
x
x
N
F
T
x
N
GT
x
x
′
′′
==
∆⎡
⎤
⎡
⎤
⎣⎦⎣
⎦
∫
βω
χ
(25)
Введенные групповые функции
,
,
gL
g
FGи
,
Dg
G пропорциональны
суммарному интегральному поглощению всех линий g
N данной g-й группы,

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
68
сумме лоренцевских L
γ и доплеровских D
γ полуширин:
()
()
2
11
2
11
exp
gg
NN
ga
j
j
jj
jj
e
FTNSQf
gE
k
T
mc
−−
==
==
−
∑∑
π
,
(
2
6
)
()
()
()
17 16
4,
1
1
,,
1
16 12
4,
1
4.57 10
,
1.11 10
,
g
g
g
Naj
N
j
Lg
e
Lj
N
j
ij
j
TC
GTN
TC
−
=
−
=
−
=
⎧×
⎪⎪
==
⎨⎪×
⎪⎩
∑
∑
∑
γ
(
2
7
)
()7
,0
,
1
3.58 10
g
N
Dg
a
j
j
GT
T
M
−
=
=×∑ω,
(
2
8
)
где ,
ae
NN− концентрация поглощающих атомов и электронов; ,
jj
fg−сила
осциллятора в поглощении и статистический вес нижнего уровня с энергией
j
E , при переходе с которого образуется атомная линия; 4, 4,
,
ai
jj
CC−
константы квадратичного эффекта Штарка при уширении атомных (a) и
ионных (i) линий; 0, j
ω − волновое число центра j-й линии; j
S−
интегральный коэффициент поглощения в j-й линии; a
M −атомныйвес;Q−
статистическая сумма по состояниям:
1
exp
a
L
i
i
i
E
Qg kT
=⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑
,
(
2
9
)
где a
L − число энергетических состояний, учитываемых для данного атома,
k − постоянная Больцмана.
Обратим внимание на то, что в условиях локального термодинамического
равновесия групповые функции зависят только от температуры и не зависят
от заселенностей поглощающих уровней. Это означает, что при расчетах
переноса излучения они могут быть определены один раз заранее. При
практической численной реализации такого подхода температурные
зависимости в круглых скобках (27) можно включить в подынтегральные
выражения (24) и (25), тогда для каждой группы остается запомнить в памяти
компьютера лишь две постоянные, вычисляемые суммированием констант
квадратичного эффекта Штарка и волновых чисел центров линий.
2.4. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода
сферических гармоник (МСГ) для двухмерной осесимметричной
криволинейной геометрии на структурированной сетке [62-64]
Уравнение переноса излучения в нерассеивающей среде для двумерной
осесимметричной криволинейной геометрии представляется в виде
замкнутой системы из трех дифференциальных уравнений, связывающей
объемную плотность лучистой энергии и проекции плотности радиационного

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
69
потока на оси декартовой системы координат [16]. Данная система уравнений
приводится к одному эквивалентному уравнению относительно объемной
плотности энергии излучения, которое решается несколькими
альтернативными методами.
В данном разделе рассматривается решение задачи переноса теплового
излучения для трех типов геометрии: для цилиндрической, сферической, а
также для геометрии, соответствующей осесимметричному соплу модельного
реактивного двигателя (рис.2.4-2.6).
Изучается поведение вычисляемого поля объемной плотности энергии
излучения в зависимости от объемного коэффициента поглощения излучения
в среде. Проверяется асимптотическое поведение численного решения в
приближении оптически плотной и прозрачной среды.
Выясняется особенность получаемых результатов в зависимости от
способа численного интегрирования. Для различных сеток вычисляется
численная ошибка, вносимая в решения в окрестности оси симметрии.
В качестве примера применения метода выполняется многогрупповой
спектральный расчет плотности радиационного потока к поверхности
космического аппарата сферической формы для реального значения
коэффициента поглощения, соответствующего атмосфере Марса.
Полученные результаты сопоставляются с результатами, предсказываемыми
методом дискретных направлений (ray-tracing method, RTM). Спектральный
многогрупповой расчет выполнен для случая, когда коэффициент
поглощения излучения имеет полосы поглощения СО2 и CO.
Заметим, что из всего многообразия методов, позволяющих решить
уравнение переноса излучения, метод сферических гармоник выделяется как
относительно простой и экономичный для компьютерной реализации [16,50-
53]. Этот метод позволяет находить объемную мощность тепловыделения и
плотность потока излучения в объеме и рассчитывать потоки излучения и
рассчитывать потоки излучения к поверхности.
Однако, помимо указанных достоинств P1-приближения, хорошо известны
его недостатки, которые неоднократно обсуждались в литературе [50-53].
Среди этих недостатков следует указать в первую очередь низкую точность
метода вблизи границы расчетной области и при малой оптической толщине.
Несмотря на это, имеются веские доводы в его использовании для решения
многомерных задач переноса излучения в криволинейной геометрии. Это
является главной причиной дальнейшего изучения вычислительных свойств
P1-приближения применительно к ряду задач физической механики.
2.4.1.Формулировка уравнений P1-приближения метода сферических
гармоник для двумерной осесимметричной криволинейной геометрии
В данном разделе исследуется область применимости P1-приближения
метода сферических гармоник по коэффициенту объемного поглощения

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
70
излучения в среде, а также рассматривается влияние сильного искажения
геометрии расчетной области на получаемое решение.
Ниже приводятся типы двумерной цилиндрической геометрии,
используемых в расчетах.
Рис. 2.4. Цилиндрическая геометрия
Рис. 2.5. Геометрия модельного реактивного двигателя
Рис. 2.6. Геометрия, моделирующая перенос теплового излучения в окрестности
космического аппарата сферической формы
Во всех расчетных случаях уравнение переноса излучения в
нерассеивающей среде формулируется в цилиндрической системе координат
[16]:
2
(,, ,)
(,, ,)
(1)
2
1[
]
(,, ,) (,, ,)
em
v
Jrz
Jrz
J
rr
z
Jr
zJr
z
∂∂
∂
−
−++
+
∂∂
∂
=
νν
ν
νν
µγ
µγ
γ
µγ
µ
γ
κµ
γµ
γ
(
3
0
)

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
71
где : r, z -- оси декартовой системы координат, Jν
-
спектральная
интенсивность излучения, (, , , )
em
Jr
z
υ µ γ - излучательная способность
источников излучения, ()
s
υ
κ -спектральный коэффициент поглощения,
cos , cos
==
µθγϕ.
Полагаем справедливость приближения локального термодинамического
равновесия, так что
,
(,, ,)
em
vv
b
Jrz
J
=
υµγκ,где
,
vb
J - спектральная
интенсивность излучения абсолютно черного тела (функция Планка).
Обозначения переменных уравнения (30) пояснены на рис.2.7.
Граничные условия для уравнения (30) имеют вид:
0
0, 0:(,0, ,) (, ,),
zJ
rJ
r
+
=>
=
µ
µγ
µγ
0
,0
:
(
,
,
,
)(
,
,
)
,
zHJ
r
HJr
−
=<
=
µ
µγ
µγ
(31)
, 0:(,, ,) (, ,),
R
rRJ
R
zJz
−
=<
=
γ
µγ
µγ
где функции 0 (, ,)
Jr
+µγ,0(,,)
Jr
−µγ,(,,)
R
Jz
− µ γ являются внешними по
отношению к изучаемому объему источниками излучения.
Далее, кроме особо оговоренных случаев, спектральный индекс будет
опускаться.
Рис.2.7. Цилиндрическая геометрия
В методе сферических гармоник (МСГ) спектральная интенсивность
излучения разлагается в ряд по сферических функциям следующим образом
[16,50-53]:
0
,0
,
,
1
0
1 () ()(c
o
s
s
i
n)
2
m
ll
l
l
m
l
lm
m
l
PP mm
J
=
∞
=
⎤
⎡
+
⎥
⎢⎣
⎦
=+
∑
∑α µµ
α
ϕ
β
ϕ
,
(
3
2
)
где
,
,,lm
lmβ
α
- функции, зависимые от пространственных координат, ()
m
l
Pµ-
присоединенные полиномы Лежандра [54]. Далее, разложение (32)
подставляется в уравнение (30) и используется свойство ортогональности
полиномов Лежандра:

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
72
1
''
1
2()
!
21
()
!
mm
ll
l
l
lm
PPd ll
m
−
+
=+−
∫µ
δ,
(
3
3
)
где '
ll
δ - дельта-функция Дирака.
Для получения системы дифференциальных уравнений применяется
моментная процедура, заключающаяся в том, что интегральный оператор
{} {}
,,
,
21()(c
o
s
s
i
n)
01
m
lm
l
lm
lm
Pm
m
d
d
•=
Λ•+
∫∫
−
π
µαϕ
βϕ
ϕ
µ
применяется
к
уравнению (30) с учетом (32) и (33). Принимая во внимание то, что решаемая
задача обладает свойством аксиальной симметрии, можно положить
(,,,)(,,,)
Jrz
Jrz
=−
µϕµ
ϕ
, и, таким образом, , 0
lm=
β . Задача заключается в
нахождении коэффициентов
,
lm
α . Результат применения указанного
интегрального оператора к уравнению (30) имеет следующий вид [16]:
1
11
11
11
11
11
11
1
11
11
(1
)
(1
)
2(2 1)
2(2 1)
(1)()(1)
(1
)
2(2 1)
(1)()(1)
(1
)
2(2 1)
m
ll
mm
ll
mm
ll
mm
m
ll
FF FF
mm
lr
rlr r
FF
lm lm
m
lr
r
FF
lm lm
m
lr
r
+
−−
−−
−−
−−
++
++
+
++⎡
⎤
⎡⎤
∂
∂
++
⎢
⎥
⎢⎥
++
−
+++
+∂
+∂
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎣
⎦
⎡⎤
∂
+−+−⎢⎥
−−
−
+∂
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
∂
−++−⎢⎥
−−+
+∂
⎢⎥
⎣⎦
δδ
δ
δ
11
,0 ,0
1
4,
21 21
mm
m
ll
lb
l
m
FF
lm
lm
FJ
lz
lz
+−
∂∂
−+
+
++
=
+∂ +∂κπ
κ
δ
δ
(34)
где 0,
lN
≤≤
1
11
11
11
1
11
,0 ,0
1
(1
)
2(2 1)
(1
)
(
)
(
1
)(1
)
2(2 1)
1
4,
21 21
m
ll
mm
NN
m
mm
m
ll
lb
l
m
FF
m
lrr
FF
Nm Nm
m
lr
r
FF
lm
lm
FJ
lz
lz
+
−−
−−
−−
+
+−
⎡⎤
∂
+⎢⎥
−+
+
+
+∂
⎢⎥
⎣⎦
⎡⎤
∂
+−+−⎢⎥
−
−+
+∂
⎢⎥
⎣⎦
∂∂
−+
+
++
=
+∂ +∂
δ
δ
κπ
κ
δ
δ
(
3
5
)
где
,
lN
=
1
1
2
0 ()c
o
s
.
mm
ll
F
JP
mdd
−
= ∫∫π
µ ϕϕµ.

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
73
Полученная система дифференциальных уравнений является незамкнутой,
поэтому для ее замыкания используется предположение:
10
N
s
+
∂=
∂
α
,гдеs-
пространственная координата. Число N называется порядком приближения.
В данном разделе система уравнений (34) и (35) решается в
предположении 1
N = . Это и является P1-приближением метода сферических
гармоник. В этом случае система уравнений (34),(35) приобретает более
простой вид:
100
110
1
4,
b
rFFF
J
rrz
∂∂
++=
∂∂
κπ
κ
(
3
6
)
0
0
0
11,
3
F
F
z
∂
=−∂
κ
(
3
7
)
0
1
0
11.
3
F
F
r
∂
=−∂
κ
(
3
8
)
Функции m
l
F имеют простую связь с физическими характеристиками
теории радиационного переноса, в частности:
00
00
1
1
21
01
,
()2
F
dd
Jd cU
JP
−
−
−
=
==
∫
∫∫
π
µϕµπµ
(
3
9
)
00
11
21
01 ()c
o
s
z
F
mdd W
JP
−
=
=
∫∫
π
µϕ
ϕ
µ,
(
4
0
)
11
11
21
01 ()c
o
s
r
FJ
Pm
d
d
W
−
=
=
∫∫
π
µϕ
ϕ
µ
(
4
1
)
где
,
rz
WW - проекции плотности радиационного потока на оси
цилиндрической системы координат, U - объемная плотность энергии
излучения.
Принимая во внимание соотношения (39)-(41), систему уравнений (36)-
(38) можно переписать в виде
1
4,
rz
b
rWWсUJ
rrz
∂∂
++=
∂∂
κπ
κ
(
4
2
)
0,
3
r
cUW
r
∂+=
∂
κ
(
4
3
)
0.
3
z
cUW
z
∂+=
∂
κ
(
4
4
)
Можно свести систему уравнений (42)-(44) к одному эквивалентному
уравнению, выразив из уравнений (43) и (44) проекции r
Wиz
W , и подставив
их в уравнение (42):

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
74
3
1()
(),
3
b
crUc
U
cU cU
rr
rz
z
∂∂∂∂
++
=
∂∂
∂∂
κ
κκ
κ
(
4
5
)
где введено обозначение
4/
bb
UJ
c
=π
- объемная плотность излучения
абсолютно черного тела.
Граничные условия на оси симметрии имеют вид
0.
U
r
∂=
∂ На внешней границе zL
= граничное условие имеет асимптотический
вид:
() ().
b
LL
Ur Ur
=
Однако в случае, если внешняя граница является стенкой или образующей
цилиндра (
рис.2.7), то физическое граничное условие должно
формулироваться в виде условия Маршака [51,52]:
()()()
1
0
2
043
dU
c
MU
d
+
=
⎡⎤
==
−
⎢⎥
⎣⎦
τ
τ
ττ
πτ
,()() ()
1
2
43H
H
dU
c
MU
d
−
=
⎡⎤
==
+
⎢⎥
⎣⎦
ττ
τ
ττ
τ
πτ
,
где ()
1
1
0
,0
MJd
++
=>
∫µµµµ, ()
1
1
0
,0
MJd
−−
=
<
∫µµµµ.
В частности, граничное условие отсутствия потока будет выглядеть
следующим образом:
21
3
UU
n
∂=−
∂
κ
,
(
4
6
)
здесь n - нормаль к поверхности, к которой задается граничное условие.
Уравнение (45) решается не в декартовой системе координат, а в
криволинейной. Это делается для упрощения построения вычислительной
процедуры в области с криволинейными границами, в частности, для
выполнения расчетов на сложных многоблочных структурированных сетках.
Воспользуемся преобразованием координат
(,), (,)
rz
rz
==
ξξη
η
(
4
7
)
общего вида, наложив условие их взаимной однозначности.
Производные в уравнении (45) U
z
∂∂иU
r
∂∂ заменяются на
z
z
UU
∂
∂
+
∂∂
ξη
ξηи
rr
UU
∂∂
+
∂∂
ξη
ξ η соответственно, дифференциалы ()
z
∂•
∂ и()
r
∂•
∂ заменяются
на()()
z
z
∂∂
•+•
∂∂
ξ
η
ξη
и()()
rr
∂∂
•+•
∂∂
ξ
η
ξη
соответственно. Кроме этого,
используются соотношения
,
r
zJ
=
ξη
,
r
zJ
=−
ηξ
,
z
rJ
=−
ηξ
z
rJ
=−
ξη,где

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
75
det rz
rz
J⎛⎞
=⎜⎟
⎝⎠
ξξ
η η - якобиан преобразования (47). Заметим, что условие
взаимной однозначности преобразования координат гарантирует выполнения
условия 0
J ≠ . В криволинейной системе координат уравнение (45)
принимает вид:
22
22
()()()
()
1
.
rz
rz
r
r
z
z
rr zz
r
r
b
DDD
UUU
JJJ
DD
D
UU
U
cU cU
Jr
J
J
+++
∂∂
∂∂
∂∂
++
∂∂
∂∂
∂∂
+
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
+
∂∂
∂
∂
++
+
=
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
∂
∂
⎝⎠
⎝⎠
ξξ
ηη
ξ
ηξ
η
ξ
ξη
ηξ
η
ξη ξη
ξη
κκ
ηξ
ξ
η
(48)
Здесь, для краткости опущен аргумент и спектральный индекс у функции
(,)
Uξη.
2.4.2. Проекции вектора плотности радиационного потока
Проекции вектора плотности радиационного потока к произвольной
поверхности с единичной нормалью n вычисляется по следующей формуле:
,
3
сU
W
n
∂
=−∂
κ
(
4
9
)
где ()
U
U
n
∂=⋅
∇
∂n
, c - скорость света, κ - коэффициент поглощения
излучения в среде. Как известно,
,
rr
zz
UUUU UU
U rz⎛⎞
⎛⎞
∂∂∂∂ ∂∂
∇=+=
+
+
+
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂∂ ∂∂
⎝⎠
⎝⎠
rz
r
z
rz
r
z
ξη ξη
ξη ξη
поэтому,
rr
zz
UUU
UU
n
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
∂∂∂
∂∂
=+⋅
++⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
rz
rz
nn
rz
ξη
ξη
ξη
ξη.
(
5
0
)
Здесь r
nиz
n - компоненты единичного вектора нормали.
2.4.3. Мощность объемного тепловыделения
Дивергенция вектора плотности потока излучения является одной из
искомых функций теории радиационного переноса, которая широко
используется в физической механики и радиационной газовой динамике. В
[16] показано, что дивергенция плотности радиационного потока по
определению равна мощности объемного тепловыделения, обусловленного
радиационными процессами. В цилиндрической системе координат:
1()
()
33
cU cU
Qd
i
v
r
rr
rz
z
∂ ∂∂∂
==
+
∂
∂∂∂
W
κκ
(
5
1
)

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
76
Сравнивая (51) и левую часть уравнения (45) можно заключить, что
()
b
QcU U
=−
κ
.
(
5
2
)
Выражение (52) позволяет очень просто находить количество теплоты,
выделяемое в единицу времени, обусловленное радиационными процессами,
избегая численного дифференцирования "
напрямую" в соответствии с
формулой (51), а значит, избегая и дополнительной численной погрешности.
2.4.4. Конечно-разностная схема
Уравнение переноса излучения в P
1-приближении будет решаться
итерационным методом установления, поэтому искусственно модифицируем
(45) путем введения фиктивного времени:
4,
b
U div
сUJ
∂+
∂
+=
W
τ
κπ
κ
(
5
3
)
Для численного решения уравнения (53) применяется метод конечных
разностей. Интегрирование в этом случае ведется по элементарному
физическому объему 0
Vr
d
r
d
z
=
.
()
1/2
1/2 1/2
1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
.
1()
()
33
jj
i
jj
i
ji
ji
zz
r
zz
r
z
r
zr
b
U rdrdz
r
rdrdz
rdrdz
cU cU
rr
rz
z
cUU
++
+
−−
−
+
+
−−
∂
+
∂
=−
∂∂∂∂
+
=
∂∂
∂∂
∫∫
∫
∫∫
τ
κκ
κ
Введем обозначения: 01
/
21
/
2
jj
Pzz
+−
=
−
,
1/2
j
j
Pzz
++
=
−
,
1/2
jj
Pzz
−−
=−,
01
/
21
/
2
ii
Qrr
+−
=−,
1/2
ii
Qrr
++
=−
,
1/2
ii
Qrr
−−
=
−
,
,,
/3
ij
ij
Dc
=κ.
Тогда уравнение (53) в конечно-разностной формулировке примет вид
()
()
1
,,
1
,
,
,1
,
0 1/2, 1/2,
1/2, 1/2,
1
,1,
,
,1
22
1/2
1/2
, 1/2
, 1/2
,
,,
,
1
.
2
ss
pp
p
p
ij ij
ij ij
ij ij
ij
ij
ij
ij
s
pp
p
p
ij
ij
ij ij
p
i
i
ij
ij
ij bij ij
UU
UU
UU
PrD
rD
PP
UUU
U
rrD
D
UU
QQ
+
+−
++
−
−
+
+−
+−
+−+
−
+−
⎛⎞
+−
−
+−
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
−−
+−
−
=
−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
τ
κ
где
1,
,
1/ 2,
2
iji
j
ij
rr
r
±
±
+
=
,
,1.
,1
/
22
ij ij
ij
zz
z
±
±
+
=
.

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
77
Здесь: 1,
s+s-
верхний и нижний временной слой соответственно.
11
s
ss
tt
++
=−
τ
.Приps
= имеем явную схему, при
1
ps
= + имеем полностью
неявную схему. Далее везде полагается
1
ps
=+.
Деля на объем элементарной ячейки, получаем следующую неявную
конечно-разностную схему:
11
1
1
1
,,,
1
,
1
,
1
,
,
1
,
1
,,
,,
1
,
ss
s
s
s
ijijij
ij
ij
ij
ij ij
s
ij
ij
ij
ij
UCc
F
AUBUAUBU
++
+
+
+
−++ +
+
⎛⎞
++=
+
⎜⎟
⎝⎠
+++
κτ
(54)
где
0 1/2, 1/2,
0 1/2, 1/2,
,1/2,1/2
,1/2,1/2
,,,
,
00
,,
,
ijij
ijij
ij ij
ij ij
ij
ij
ij
ij
Pr
Pr
z
z
ABA
B
PP
Q
Q
Q
Q
−−
++
−−
++
−+−
+
===
=
λ
λλλ
, ,,,,
ijijijijij
CAABB
=+++,
1
,
,,
,1
s
ij
ij ijbij s
U
FcU +
+
=+
κ
τ.
Соотношения (54) назовем конечно-разностной схемой 1. Заметим, что
при получении конечно-разностных соотношений для уравнения переноса,
записанного в любой осесимметричной геометрии имеются два
математически различающихся подхода. В первом из них, уравнение
переноса интегрируется по элементарной расчетной ячейке цилиндрической
формы. Именно так была получена конечно-разностная схема 1.
Однако имеется другая возможность, состоящая во введении новой
функции Ur
Φ= путем умножения всего уравнения на радиус r . Очевидно,
что при этом должно быть изменено граничное условие на оси симметрии:
при 0
r=,0
Φ= . Если такой замены не сделать, то вблизи оси симметрии
может возникнуть численная неопределенность, обусловленная наличием
слагаемых вида 1 U
rr
∂∂ , поскольку вблизи оси симметрии должно выполняться
условие
0
U
r
∂=
∂ . Данная проблема отмечалась раннее в работах [51,52].
Различные аспекты этой проблемы будут рассмотрены ниже в данной работе.
Согласно сделанным замечаниям, рассмотрим вид уравнения переноса
излучения с введением новой функции: Ur
Φ=
. Тогда уравнение (53) примет
вид:
().
3
()()
33b
cU
r
cc
crU
rr
zz
∂Φ
∂⎛⎞
+−
Φ
−
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∂∂
Φ∂∂
Φ
+=
∂∂∂∂
τκ
κ
κκ
(55)
Аналогичную операцию замены переменной можно сделать в уравнении (48):

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
78
()() ()
22
22
() ()
()
1
()
//
.
rz
rz
rr zz
rr zz
rr
b
DD
JJ
D
J
J
D
J
rr
DD
cr
U
JJ
++
∂∂
Φ
∂∂
Φ
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
Φ
++
∂∂
⎛⎞
⎛⎞
∂Φ ⎜⎟
⎜⎟
++
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
+
∂∂
Φ
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎛∂
Φ∂
Φ⎞
=−
Φ
−
+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
ξξ
ηη
ξξ
ηη
ξη ξη
ξη
τ
ξη ξη
ηξ
ξη
κ
ξη
(56)
В правой части уравнения слагаемое ( ) ( )
//
rr
rr
DD
JJ
⎛∂
Φ∂
Φ⎞
+
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
ξη
ξη
заключает в себе отношение / r
Φ и, хотя на оси симметрии возникает
неопределенность вида []
0/0 , отношение / r
Φ остается конечной
величиной, т.к. / rU
Φ=
. Численное интегрирование уравнения (48)
приводит к интегралам , 1...5
n
In
=
:
()
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1
1/2
1/2
22
()
22
()
j
i
ij
j
j
rz
rz
ii
D
U
J
D
U
J
Id
d
d
+
+
−−
+
−
+−
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=+
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∫∫
∫
ξ
η
ηξ
ξ
ξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξη
ηηξ
() ,1
/
2
22
1/2
1/2
,1
/
2
22
22
11
11
()
() ().
2
ij
rz
ii
ij
ii rz
rz
ij
ij
D
U
J
DD
UU
JJ
+
+−
−
+−
+−
⎛⎞
+∂
=+
=
⎜⎟
∂
⎝⎠
⎛⎞
+
++
∂∂
⎜⎟
=−
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
ξξ
ηη
ξ
ηη ξξ
ξξ
ξξ
Интегрирование слагаемого
22
()
rz
D
U
J
+
∂∂
∂∂
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ηη
ηη
производится аналогично:
22
22
11
2
11
() ().
2
jj rz
rz
ij
ij
DD
UU
I
JJ
+−
+−
⎛⎞
+
++
∂∂
⎜⎟
=−
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
ξξ ηη
ηη
ηη
Слагаемые со смешанными производными интегрируются следующим
образом:
1/2
1/2
1/2
1/2
3
()
j
i
ij
rr zz
D
U
J
Id
d
+
+
−−
+
∂∂
∂∂
⎛⎞
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∫∫
ξ
η
ηξ
ξη ξη
ξη
ξη
()
()( )
()
,1 .1
1,1
1,1
1,1
1,1
,
,
,,
,1
,1
1,
1,
,1
,1
,
ri
ji
j
ijijijij
i
j
ij
ij ij
ijijijij
ij ij
UU
UUUU D
k
rJ
+−
++
−
−
+−
−+
+−
+−
+−
−
+−−
=+
−−
−
ξ
ξξηη
ξξ

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
79
()
() ()
()
1/2
1/2
1/2
1/2
4
,1 .1
1,1
1,1
1,1
1,1
,
,
,,
,1
,1
1,
1,
1,
1,
()
,
j
i
ij
rr zz
ri
ji
j
ijijijij
i
j
ij
ij ij
ijijijij
ij ij
D
U
J
Id
d
UU
UUUU D
k
rJ
+
+
−−
+−
++
−−
+−
−+
+−
+−
+−
+
∂∂
∂∂
⎛⎞
⎛⎞
==
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
−
+−−
=+
−−
−
∫∫
ξ
η
ηξ
ξη ξη
ηξ
ξη
η
ξξηη
ηη
1/2
1/2
1/2
1/2
5
,,
1
,
11
,
1
,
,,
1
()
()
.
22
j
i
ij
rr
ijrij
ij
rijij
ij ij
DD
UU
Id
d
rJJ
DU
UU
U
rJ
Q
P
+
+
−−
+−
+−
⎛⎞
∂∂
=+
=
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
−−
⎡⎤
=+
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
ξ
η
ηξ ξηξη
ξη
ξη
В итоге получается пятиточечная конечно-разностная схема вида
,
11
1
1
1
,
,
1,
1,
1,
,1
,
1
,,
,,
1
,
ij
ss
s
s
s
ij ij
ij
ij
ij
ij ij
s
ij
ij
ij
ij
c
UC
F
JJAUBUAUBU
+
++++
−++ +
+
⎛⎞
++=
+
⎜⎟
⎝⎠
+++
κ
τ
где
22
22
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
A
PP
J
PP
J
++
+
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ηη
ηη
(57.1)
22
22
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
B
PP
J
PP
J
−−
−
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ξξ
ξξ
(57.2)
22
22
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
AQQJ
QQJ
++
−
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ξξ
ξξ
(57.3)
22
22
,
,,
,,
,
,,
,,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
BQQJ
QQJ
−−
+
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ηη
ηη
(57.4)
,,
,,,
,
ij ij
ijijij
CABAB
=++ +
(
5
7
.
5
)
() ()
1,1
1,1
1,1
1,1
,,
1,
1,
,1
,
,1 ,1
1
,
1
,
1
,,
1
,
11
,
1
,
,,
1
,,
,,
2
4
44
()
().
22
ijijijij
ij ij
ij ij
ij ij
ij ij
ij ij
s
ijrijij
rijij
ijb
ijs
ij ij
ij
ij
UUUU
Fk
PQ
UU
UU
kk
kk
PQ
PQ
DU
UU
Uc
U
U
rJ
Q
P
JJ
++
−−
+−
−+
+−
+
+−
+−
+
+−
+−
+
+−−
=+
−−
+−
+−
+
−−
⎡⎤
++
+
+
⎢⎥
⎣⎦
ξηκ
τ
(57.6)

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
80
Здесь
,
,,
()
rr zzij
ij ij
kDJ
+
= ξηξ
η, ()
,1 ,1
1
,
2ij ij
Q+−
=−
ξξ ()
1,
1,
1
,
2ijij
P
+−
=−
ηη
()
,1,
1
2ij ij
Q+
+
=−
ξξ,()
1,
,
1
2iji
j
P+
+
=−
ηη,()
,,
1
1
2ijij
Q−
−
=−
ξξ, ()
,1
,
1
.
2ijij
P−
−
=−
ηη
Численную схему (57) назовем конечно-разностной схемой 2. Численное
интегрирование уравнения (56) приводит к интегралам , 1...5
n
Jn
=
:
22
22
,
,,
,,
,
,,
,,
11
1
,,
11
() ()
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ii
ij
ij
ij
ij
DD
J
JJ
+−
+−
⎛⎞
++
+
∂Φ
∂Φ
⎜⎟
=−
⎜∂∂
⎟
⎝⎠
ξξ
ξξ
ηη
ξξ
22
22
1
1,
,,
,,
,
,,
,,
2
,,
11
() ()
,
2
j j ijrij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
DD
J
JJ
+−
+−
⎛⎞
++
+
∂Φ
∂Φ
⎜⎟
=−
⎜∂
∂
⎟
⎝⎠
ξξ ηη
ηη
ηη
()
()( )
()
,1 .1
1,1
1,1
1,1
1,1
,
3,
,,
,1,11
,
1
,
,1 ,1
,
ri
ji
j
ijijijij
i
j
ij
ij ij
ijijijij
ij ij
UU
UUUU D
Jk
rJ
+−
++
−−
+−
−+
+−
+−
+−
−
+−−
=+
−−
−
ξ
ξξηη
ξξ
()
()( )
()
,1 .1
1,1
1,1
1,1
1,1
,
4,
,,
,1
,1
1,
1,
1,
1,
,
ri
ji
j
ijijijij
i
j
ij
ij ij
i
ji
jijij
ij ij
UU
UUUU D
Jk
rJ
+−
++
−−
+−
−+
+−
+−
+−
−
+−−
=+
−−
−
η
ξξηη
ηη
,,
,
,
1,
1,
,1
,1
,
5
,,
,
1,
1
1
,
1
,
.
22
ij rij ij
ij
rij ij ij
ij ij
ij
ij
ij ij
DU
U
JrJQr
r
Pr
r
++
+−
++
+−
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
ΦΦ
=−
+
−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
ξη
Конечно-разностная схема, соответствующая уравнению (56) имеет вид
22
22
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
A
PP
J
PP
J
++
+
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ηη
ηη
(58.1)
22
22
,
,,
,,
,
,,
,,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
B
PP
J
PP
J
−−
−
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ξξ
ξξ
(58.2)
22
22
,
,,
,,
,
,,
,,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
AQQJ
QQJ
++
−
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ξξ
ξξ
(58.3)
22
22
,,
,
,
,
,,
,
,
,
,
,,
1,
,
() ()
11
1
,
2
ij rij zij
ij rij zij
ij
ij
ij
ij
i
j
DD
BQQJ
QQJ
−−
+
⎡⎤
++
⎢⎥
=+
⎢⎥
⎣⎦
ηη
ηη
(58.4)

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
81
,,
,,,
,
ij ij
ijijij
CABAB
=++ +
(
5
8
.
5
)
() ()
1,1
1,1
1,1
1,1
,,
1,
1,
,1
,
,1 ,1
1
,
1
,
,
,1,1 ,1 ,
,1,1 ,1
,1
,1
,1
,1
,1
,
2
4
44
1
2
1
2
ijijijij
ij ij
ij ij
ij
ij
ij ij
ijij
rijijijrijijij
ij
ij
ij
ij
riji
UUUU
Fk
PQ
UU
UU
kk
kk
PQ
PQ
DU
DU
QJrJr
D
P
++
−−
+−
−+
+−
+
+−
+−
+++
−−
−
++−
−
+
+−−
=+
−−
+−
+−
+
⎛⎞
+−
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
+
ξξ
η
1
1,
1,
,1,
1,
1,
,
,
1
1,
1,
1,
1,
,
,
.
s
jij r
ijij ij i
jbi
j
s
ij ij
ij ij
i
ji
j
UD
U
c
U
U
JrJrJJ
+
++−
−−
+
++ −−
⎛⎞
−+
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ηκ
τ
(58.6)
Соотношения (58) назовем конечно-разностной схемой 3.
Подведем итоги построения трех конечно-разностных схем.
1. Конечно-разностная схема 1 отвечает интегрированию по элементарному
математическому объему rdrdz цилиндрической геометрии уравнения (45).
2. Конечно-разностная схема 2 отвечает интегрированию по элементарному
математическому объему dd
ξ η цилиндрической геометрии уравнения (51).
3. Конечно-разностная схема 3 отвечает интегрированию по элементарному
математическому объему dd
ξ η цилиндрической геометрии уравнения (56),
то есть уравнению для функции Φ .
Ключевой задачей проводимых ниже численных экспериментов является
выяснение, какую особенность в решение задач вносит присутствие
криволинейности и интегрирование уравнения переноса излучения по
физическому и математическому объему rdrdz и dd
ξ η соответственно.
2.4.5. Результаты вычислений. Сравнение плотности радиационного
потока, предсказываемого по P1-приближению с аналитическим
решением для плоского слоя
В случае P1-приближения выбирался цилиндр, с радиусом R H
>> ,где
H -- высота цилиндра (рис.2.8). В этом случае на оси симметрии цилиндра
имеем одномерную задачу переноса излучения в нерассеивающей среде. В
данном случае предполагается, что =1 см
H
,
=5 см
R
. На образующей
цилиндра граничное условие для объемной плотности энергии излучения
формулировалось в виде условия симметрии
0
U
r
∂=
∂.
На плоской границе 0
z=иzH
=
использовалось граничное условие
Маршака [52]. Температурное поле задавалось линейным распределением
вдоль оси z:
min
max
min
()
/
TTTTzH
=+−
. Здесь min 1000 K
T=
, max 10000 K
T=
.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
82
Разбиение пространства узлами сетки было равномерным вдоль обеих
осей. Размерность сетки составляла 500х100 узлов вдоль оси r и z
соответственно. Результаты расчетов показаны на рис. 2.9.
Аналитическое решение для z -компоненты плотности радиационного
потока плоского слоя взято из [16]. Согласно приведенным формулам, для
изотропной интенсивности внешнего излучения и нерассеивающей среды
имеем: ()(
)(
)()
32
0
()2
0
b
WJE
J
T
Ed
τ
τπτ τ
ττ
τ
τ
+
⎡⎤
′
′′
==
+
⎡
⎤
−
−
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∫
()
()(
)
()
32
2
H
HHb
J
EJ
T
E
d
τ
τ
π
ττ ττ
τ τττ
−
⎡⎤
′
′′
−=−
+
⎡
⎤
−
⎢⎥
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦
∫
,
(
5
9
)
здесь () 1
2
0
exp
n
n
x
Exd
−
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∫µµ
µ
- интегро-экспоненциальная функция,
введенная Чандрасекхаром [59]. В данном случае предполагалось, что
внешнее излучение отсутствует:
0
JJ
+−
=
=.
Рис.2.8. Цилиндрическая геометрии, моделирующая плоский слой
Рис. 2.9. Осевая компонента радиационной плотности потока,
2
Вт/см ,
=10
κ
см-1 и
=1
κ см-1 (справа). Сплошой кривой показан результат P1-приближения метода
сферических гармоник, пунктирной кривой -- аналитическое решение

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
83
Видно, что при оптической толщине излучающего слоя
10
H=
τ
результаты, предсказываемые P
1-приближением метода сферических
гармоник и аналитическим решением находятся в хорошем соответствии
друг с другом (рис.2.9). При уменьшении оптической толщины слоя
относительное различие увеличивается. Так, для
1
H=
τ (рис.2.9) оно
составляет 23%.
2.4.6. Результаты вычислений. Сравнение плотности радиационного
потока, предсказываемого по P1-приближению с аналитическим
решением для цилиндрической геометрии
В первую очередь код для решения уравнения переноса излучения в
нерассеивающей среде тестировался для объема цилиндрической геометрии,
в центре которого размещалась высокотемпературная область с резким
температурным градиентом. Такая модельная задача предложена и
исследована в [16]. Достоинства этой тестовой задачи для проведения
численных исследований конечно-разностных схем состоит в возможности
изучать свойства решения для наименее благоприятных ситуаций
излучающих областей с резкими температурными границами. Расчеты
проводились для конечно-разностных схем, соответствующим уравнениям
(45), (51) и (56). В рассматриваемом случае якобиан преобразования 1
J= ,то
есть реализуется тождественное преобразование координат. Для всех трех
схем проведены расчеты при различных "серых" коэффициентах поглощения
излучения (постоянных в пространстве и по частоте излучения), меняющихся
для разных вариантов в диапазоне
-31-1
10 -10 см
=
κ
. Для уравнений (51) и (56)
полагается
1,0,0,1
zrzr
====
ξ ξηη. Температурное поле задавалось
экспоненциальным
законом:
()
()4
min
max
0
exp /
TTT
RR
=+−
,
где
22
00
()
()
Rrrzz
=−+
−,
min 300
TK
=
, max 18000
TK
=
,
0 0см
r=
,05см
z=
(рис.2.10). Использовались следующие граничные условия для объемной
плотности энергии излучения. Вдоль прямых 0 см
z=
и 10см
z=
граничное
условие записывалось в виде
0
U
z
∂=
∂ , на прямой 0см
y=
соответственно
0
U
r
∂=
∂ , на прямой 3см
y=
соответственно
4b
J
Uc
= π . Распределение
объемной плотности энергии излучения показано на рис.2.11.
На рис.2.12-2.30 приведены результаты численного исследования. Для
каждого коэффициента поглощения представлена объемная плотность
энергии излучения (рис. 2.12 -- для
-1
0.1 см
=
κ
, в расчетах по схеме 1,
рис.2.16 -- для
-1
0.1 см
=
κ
в расчетах по схеме 3, рис.2.20 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в
расчетах по схеме 1, рис.22.24 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по схеме 3),

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
84
аксиальная проекция плотности потока излучения (
рис.2.13 -- для
-1
0.1 см
=
κ
, в расчетах по схеме 1, рис.2.17 -- для
-1
0.1 см
=
κ
в расчетах по
схеме 3, рис.2.21 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по схеме 1, рис.2.25 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по схеме 3), радиальная проекция плотности потока
излучения (рис.2.14 -- для
-1
0.1 см
=
κ
, в расчетах по схеме 1, рис.2.18 -- для
-1
0.1 см
=
κ
в расчетах по схеме 3, рис.2.22 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по
схеме 1, рис.2.26 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по схеме 3). Представлены
также результаты расчетов мощности тепловыделения, обусловленной
радиационными процессами (рис.2.15 -- для
-1
0.1 см
=
κ
, в расчетах по схеме
1, рис.2.19 -- для
-1
0.1 см
=
κ
в расчетах по схеме 3, рис.2.23 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по схеме 1, рис.2.27 -- для
-1
0.01 см
=
κ
в расчетах по
схеме 3). Двумерные поля объемной плотности энергии излучения,
аксиальной и радиальной составляющих плотности потока излучения, а
также мощность объемного тепловыделения, соответствующие конечно-
разностной схеме 2 здесь не приводится из-за отсутствия визуального
отличия от результатов конечно-разностной схемы 3.
На рис.2.28-2.31 показаны результаты сравнения рассчитанных разными
методами профилей радиальных проекция потока излучения и объемной
плотности энергии излучения в центре горячей области. Рис.2.28 и 2.30
соответствуют радиальной проекции плотности потока излучения для
коэффициента поглощения
-1
0.01 см
=
κ
и
-1
0.1 см
=
κ
соответственно, рис.
2.29 и 2.31 соответствуют объемной плотности энергии излучения для
коэффициента поглощения
-1
0.01 см
=
κ
и
-1
0.1 см
=
κ
соответственно.
Рис. 2.10. Температурное поле, К

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
85
Рис.2.11. Объемная плотность энергии излучения абсолютно черного тела,
соответствующая температурному полю, изображенному на рис.2.10
Рис.2.12. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.1 см
=
κ
, схема 1
Рис.2.13. Осевая проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см ,
-1
0.1 см
=
κ
, схема
1
Рис.2.14. Радиальная проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см ,
-1
0.1 см
=
κ
,
схема 1

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
86
Рис. 2.15. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
0.1 см
=
κ
, схема 1
Рис.2.16. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.1 см
=
κ
, схема 3
Рис.2.17. Радиальная проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см ,
-1
0.1 см
=
κ
,схема 3
Рис.2.18. Осевая проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см ,
-1
0.1 см
=
κ
, схема
3

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
87
Рис.2.19. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
0.1 см
=
κ
, схема 3
Рис. 2.20. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 1
Рис. 2.21. Аксиальная проекция плотности потока,
2
Вт/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 1
Рис. 2.22. Радиальная проекция плотности потока,
2
Вт/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 1

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
88
Рис. 2.23. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 1
Рис. 2.24. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 3
Рис. 2.25. Аксиальная проекция плотности потока,
2
Вт/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 3
Рис. 2.26. Радиальная проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см ,
-1
0.01 см
=
κ
,
схема 3

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
89
Рис. 2.27. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
0.01 см
=
κ
, схема 3
Y
Wy
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0E+00
1.0E+03
2.0E+03
3.0E+03
SCHEME 1
SCHEME 3
SURZIKOV
SCHEME 2
Y
U
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.01
0.02
0.03
0.04
SCHEME 1
SCHEME 3
SURZIKOV
SCHEME 2
Рис. 2.28. Радиальная проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см , и объемная
плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.01 см
=
κ
Квадраты -- численная схема 1,
ромбы -- численная схема 2, треугольники -- численная схема 3, окружности --
результаты из [16]
Y
Wy
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0.0E+00
5.0E+03
1.0E+04
1.5E+04
2.0E+04
2.5E+04
3.0E+04
3.5E+04
SCHEME 1
SCHEME 3
SURZIKOV
SCHEME 2
Y
U
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0
1
2
3
4
SCHEME 1
SCHEME 3
SURZIKOV
SCHEME 2
Рис. 2.29. Радиальная проекция плотности потока излучения,
2
Вт/см , и объемная
плотность энергии излучения,
3
эрг/см
-1
0.1 см
=
κ
Квадраты -- численная схема 1,
ромбы -- численная схема 2, треугольники -- численная схема 3, окружности --
результаты из [16]

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
90
Сравнивая указанные осевые распределения, приходим к выводу, что все
три схемы дают хорошо совпадающие между собой результаты при
коэффициентах поглощения
-1
0.1 см
=
κ
и
-1
0.01 см
=
κ
,атакжес
результатами расчетов из [16].
2.4.7. Результаты вычислений. Плотность радиационного потока,
предсказываемая по P1-приближению для соплового блока
В данном расчетном случае моделировался перенос излучения в сопле
модельного реактивного двигателя. Насколько известно авторам, задача в
подобной постановке решалась ранее в работе [60,61]. Верхняя граница сопла
задается двумя параболическими функциями. Геометрия профиля и
расчетная сетка показана на рис.2.5. Температурное поле задавалось в виде
тороида функцией (рис.2.30):
()
()
4
min
max
0
exp /
TTT
RR
=+−
, где
22
00
()( )
Rrrzz
=−+
−,
min 300 K
T=
, max 18000 K
T=
,00
r= ,05см
z=
, 0 4.5см
R=
.
Целью данного численного эксперимента является вычисление
нормальной составляющей плотности радиационного потока к образующей
сопла при использовании различных численных схем (конечно-разностные
схемы 2 и 3), а также выяснение влияния криволинейности расчетной сетки
на получаемое численное решение. Задача решается на сетках с различной
степенью густоты, чтобы проверить сходимость результатов.
Граничное условие на оси симметрии задавалось в виде
0
U
r
∂=
∂ .Налевой
и правой границе -
0
U
z
∂=
∂ , на образующей -- отсутствие потока:
3
Uc
U
n
∂=−
∂κ.
Расчетная сетка строилась аналитическим способом. Расчетная область
разбивалась на три подобласти по оси z , в каждой подобласти проводилось
сгущение узлов к границе подобласти с помощью сжимающей функции. В
данном случае сжимающей функций является тангенс. Более подробно об
аналитических способах построения сеток см. в [55].
Во всех расчетах значение объемной плотности энергии излучения
получено с относительной точностью 10-8 .
На рис.2.32 и 2.34 приведены поля объемной энергии излучения,
соответствующей коэффициенту поглощения
-1
1см
=
κ
для конечно-
разностных схем 2 и 3 соответственно, рис.2.33 и 2.35 приведены поля

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
91
объемной энергии излучения, соответствующей коэффициенту поглощения
-1
0.1 см
=
κ
для конечно-разностных схем 2 и 3 соответственно. Кроме этого
были проведены расчеты объемной мощности тепловыделения. Рис.2.33 и
2.35 соответствуют мощности тепловыделения, соответствующей
коэффициенту поглощения
-1
1см
=
κ
для конечно-разностных схем 2 и 3.
Рис.2.37 и 2.39 соответствуют мощности тепловыделения, соответствующей
коэффициенту поглощения
-1
0.1 см
=
κ
для конечно-разностных схем 2 и 3.
На рис.2.40-2.42 приведены сравнительные графики объемной плотности
энергии излучения и нормальной составляющей плотности радиационного
потока на внешнюю границу расчетной области для постоянного по
пространству коэффициента поглощения
-1
1см
=
κ
при использовании
расчетных сеток, различающихся по густоте: 75х35, 150х75 и 300х150 узлов,
откуда можно судить о хорошей сходимости решения на конечно-разностных
сетках.
Рис.2.30. Температурное поле, К
Рис.2.31. Объемная плотность энергии излучения абсолютно черного тела,
соответствующая температурному полю на рис. 32,
3
эрг/см
Рис.2.32. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
1см
κ=
,схема 2

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
92
Рис. 2.33. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
1см
κ=
, схема 2
Рис.2.34. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
1см
κ=
,
схема 3
Рис. 2.35. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
1см
κ=
, схема 3
Рис.2.36. Объемная плотность энергии излучения абсолютно,
3
эрг/см ,
-1
κ=0.1 см , схема 2

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
93
Рис.2.37. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
κ=0.1 см , схема 2
Рис.2.38. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
κ=0.1 см , схема 3
Рис.2.39. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
κ=0.1 см , схема 3
Рис.2.40. Распределение объемной плотности энергии излучения,
3
эрг/см , и
нормальная составляющая плотности радиационного потока,
2
Вт/см ,
-1
1см
κ=
,
сетка 75х35 узлов. Сплошная кривая с кругами -- схема 2, треугольники -- схема 3

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
94
Рис.2.41. Распределение объемной плотности энергии излучения,
3
эрг/см , и
нормальная составляющая плотности радиационного потока,
2
Вт/см ,
-1
1см
κ=
,
сетка 150х75 узлов. Сплошная кривая с кругами -- схема 2, треугольники -- схема 3
Рис.2.42. Распределение объемная плотности энергии излучения,
3
эрг/см , и
нормальная составляющая плотности радиационного потока,
2
Вт/см ,
-1
1см
κ=
,
сетка 300х150 узлов. Сплошная кривая с кругами -- схема 2, треугольники -- схема 3

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
95
Из-за криволинейности верхней границы в данном расчетном случае,
конечно-разностная схема 1 не применялась. Относительная ошибка конечно-
разностой схемы 2 по отношению конечно-разностой схемы 3 составила 5.6%
для сетки 75x35 узлов (рис.2.40), 2.4% для сетки 150x75 узлов (рис.2.41) и
0.2% для сетки 300x150 узлов (рис. 2.42) соответственно. Таким образом,
можно заключить, что конечно-разностные схемы 2 и 3 при наличии
криволинейности в схеме дают удовлетворительную относительную ошибку
только на подробных расчетных сетках. Более того, конечно-разностная
схема 3 в области стыков блоков сетки дает более гладкие результаты, чем
схема 3.
2.4.8. Результаты вычислений. Плотность радиационного потока,
предсказываемая по P1-приближению в сферической геометрии
Третий расчетный случай состоял в исследовании переноса излучения в
сферической геометрии. Целью данной задачи является расчет плотностей
радиационных потоков к поверхности космического аппарата сферической
формы и мощности радиационного тепловыделения при спуске аппарата в
атмосфере Марса. Сферическое тело имеет диаметр ~ 66 см. Поле объемной
плотности энергии излучения рассчитывалось в прилегающей сферической
области диаметром 10 м. Вычисления искомых функций проводится в два
этапа.
На первом этапе предполагается, что коэффициент поглощения в среде не
зависит от частоты излучения и является постоянной функцией по
пространству. Данное приближение позволяет проинтегрировать
спектральную интенсивность излучения по частоте, и в качестве
радиационной испускательной способности окружающей среды можно
принять
4/
b
UT
=%
σ π,где
()
52
4
5.67 10 /
эрг ссмК
σ
−
=×
⋅
⋅
%
- постоянная
Стефана-Больцмана. Такое предположение хоть и является грубым, но
позволяет за очень короткий промежуток времени (по сравнению, например,
с методом дискретных направлений), избегая спектрального расчета, оценить
порядок величины плотности радиационного потока и объемную мощность
тепловыделения, обусловленную радиационными процессами. В
дальнейшем, к задаче об интегральной по спектру спектральной
интенсивности излучения будет применяться термин интегральная задача
переноса излучения, или, короче, интегральная задача.
На втором этапе предполагается, что коэффициент поглощения в среде
зависит от состава среды и является функцией частоты излучения.
Температурное поле, поле скоростей, концентрации компонентов атмосферы
получены с помощью программного кода NERAT 2D [56]. Коэффициенты
объемного поглощения излучения в среде получены с помощью
программного кода ASTEROID [18]. Спектральный тип расчета является

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
96
весьма трудоемким, поскольку приходится решать интегральную задачу в
пределах каждой спектральной группы, число которых может исчисляться
сотнями. Однако этот метод позволяет предсказать реальные радиационные
плотности потоков более точно в широком спектральном диапазоне при
дальнейшем исследовании. В дальнейшем, задачу о переносе излучения с
учетом спектральных свойств среды будем называть спектральной задачей
переноса излучения, или, короче, спектральной задачей.
Расчетная схема строилась аналитическими методами и имела число узлов
61х141 узлов (см. рис.2.6).
Сначала рассмотрим результаты, полученные при решении интегральной
задачи. Плотность радиационного потока к поверхности сферы вычислялась в
широком диапазоне изменения "
серого" коэффициента поглощения
(-4
-1
κ=10 - 1 см ).Температурное поле для интегрального расчета показано на
рис.2.43. Результаты расчета по численным схемам 2 и 3 сравниваются по
полю объемной плотности энергии излучения, мощности тепловыделения в
объеме и плотности радиационного потока к поверхности сферы.
Плотности радиационного потока к поверхности сферы при "
сером"
коэффициенте поглощения, полученные в P
1-приближении метода
сферических гармоник сравниваются с решением, полученным методом
дискретных направлений (МДН). В методе дискретных направлений
количество лучей, выпущенных в полуплоскость с поверхности сферы
бралось равным 121, их распределение в телесном угле 2π было
равномерным. Количество точек интегрирования вдоль каждого луча было
одинаковым и бралось равным 100. Расчетное время при таких параметрах
составляло примерно 10 часов.
Коэффициенту поглощения излучения в среде
-1
κ<<1 см соответствует
большие значения коэффициента диффузии излучения в среде, поэтому поле
объемной плотности излучения легко диффундирует по пространству. При
таком поглощении выполняется соотношение
b
UU
<<.
На рис.2.44, 2.47 и 2.49 изображено поле объемной плотности энергии
излучения для коэффициентов поглощения излучения в среде
-1
=1 см
κ
,
-1
=0.1 см
κ
,
-1
=0.01 см
κ
соответственно. На рис.2.45 приведен график
сравнения плотности потока излучения к поверхности сферы, полученный по
результатов расчетов по схеме 2 и 3 для коэффициента поглощения
-1
=1 см
κ
.
Максимальное
относительное различие
между результатами,
соответствующим двум конечно-разностным схемам, составило 0.007%. При
уменьшении коэффициента поглощения излучения относительная ошибка
между результатами, соответствующим схемам 2 и 3 существенно не
изменяется, поэтому аналогичные сравнительные графики для меньших
коэффициентов поглощения излучения не приводятся. На рис.2.48 приведено
сравнение плотности радиационного потока к поверхности сферы для
коэффициента поглощения
-1
=0.1 см
κ
, рассчитанного двумя способами: по 3

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
97
конечно-разностной схеме P1-приближения метода сферических гармоник и
по методу дискретных направлений. Объемная мощность тепловыделения
при коэффициенте поглощения
-1
1см
=
κ
представлена на рис.2.46.
Рис. 2.43. Температурное поле, К
Рис.2.44. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
1см
κ=
, схема 3
Рис. 2.45. Плотность потока к поверхности,
2
Вт/см ,
-1
1см
κ=
. Сплошная кривая --
схема 2, треугольники -- схема 3

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
98
Рис. 2.46. Мощность тепловыделения,
3
Вт/см ,
-1
1см
κ=
Рис. 2.47. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.1 см
κ=
Рис. 2.48. Плотность радиационного потока к поверхности сферы.
-1
0.1 см
κ=
.
Сплошная кривая соответствует методу дискретных направлений,
пунктирная кривая -- схеме 3 P1-приближения МСГ

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
99
Рис. 2.49. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см ,
-1
0.01 см
κ=
Из рис.2.48 видно, что относительное различие в величине плотности
потока для передней критической точки на поверхности сферы составляет
17.6%. При дальнейшем уменьшении коэффициента поглощения стоит
принять в учет следующее. Плотность радиационного потока находится по
следующей формуле
3
c gradU
κ
=−
W
. Легко оценить порядок абсолютной
разности между значениями объемной плотности энергии излучения, скажем,
в передней критической точке и к ней соседней. Тогда формула плотности
потока преобразуется к простому виду
3
cU
x
κ
∆
=−∆
W
, где учтено, что луч,
исходящий из передней критической точки совпадает с осью х. Исходя из
геометрии заложенной сетки, находим, что
0.03 см
x
∆≈
,
3
1.5 эрг/см
U≈
,
2
2300 Вт/см
W≈
. В результате получаем
-4
3
5x10 эрг/см
U
∆≈
. Относительная
разность объемной плотности энергии излучения в двух соседних узлах
расчетной сетки вблизи критической точки составит
4
10
U
U−
∆≈
. Понятно,
что относительная ошибка итерации при задачи полностью неявным методом
должна составить величину порядка
1
,,6
,
10
nn
ij ij
n
ij
UU
U
+
−
−
=≈
ε
, чтобы обеспечить
точность нахождения плотности потока излучения величиной порядка 1%.
Было замечено, что относительная ошибка между соседними временными
слоями при использовании полностью неявной схемы при любом "сером"
коэффициенте поглощения излучения никогда не падает ниже величины
7
10−
.
Это обусловлено конечностью разрядности представления переменных в
памяти компьютера. В данном случае на каждую переменную типа real с
плавающей запятой отводилось 4 байта памяти. Соответственно, чтобы более
точно вычислить значения функции в узлах сетки, а, следовательно, и

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
100
абсолютную разность между ними в соседних узлах, использовалась двойная
точность. Поэтому код, работающий с переменными размером 4 байта,
назовем кодом с одинарной точностью, а код с переменными по 8 байт
назовем кодом с двойной точностью. Понятно, что использование двойной
точности будет тем актуальнее, чем меньше коэффициент поглощения.
На рис.2.50 и 2.51 приведены данные, сравнивающие плотности потока
излучения между кодами одинарной и двойной точности, а также - с методом
дискретных направлений для коэффициентов поглощения излучения
-1
0.01 см
=
κ
и
-1
0.001 см
=
κ
.
S
W
0
50
100
150
200
500
1000
1500
2000
2500
3000
W _double precise_10-6
W_single precise_10-6
W _double precise_10-9
R ay tracing method
Рис.2.50. Сравнение величины плотности радиационного потока к поверхности для
программ с различной ошибкой вычисления объемной плотности энергии излучения;
-1
0.01 см
κ=
Из рис.2.50 видно, что код с одинарной точностью и с двойной при
итерировании до относительной ошибки функции объемной плотности
энергии излучения 6
10− дают практически одинаковые результаты. Однако,
при уменьшении относительной ошибки до величины
9
10− (такую точно уже
не может обеспечить код с одинарной точностью переменных),
результирующая плотность потока меняется на 7%, что является
существенным отличием. Максимальное относительное отличие величины
плотности потока, предсказанного кодом с двойной точностью, от результата,
рассчитанного с помощью метода дискретных направлений составляет 11%.
Из рис.2.51 видно, что относительная разность в значении плотности
потока между решениями, полученными с относительной точностью
вычисления объемной плотности энергии излучения
6
10− и
9
10−
соответственно, достигает 15% в передней критической точке, относительное
различие с методом дискретных направлений для результата, вычисленного с
относительной точностью 9
10− составляет 60%.
Таким образом, выполненное численное исследование показало, что
численное отличие результатов расчетов P
1-приближения метода

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
101
сферических гармоник от результатов расчетов по методу дискретных
направлений тем больше, чем меньше коэффициент поглощения излучения в
среде. Для оптически толстой ( -1
1см
≥
κ ) и умеренно тонкой
(-1
-1
0.01 см
1см
≤≤
κ ) среды данное приближение дает удовлетворительно
согласующиеся результаты с погрешностью несколько десятков процентов.
Время интегрального расчета не распараллеленного кода на компьютере с
частотой процессора 2,33 ГГц составляет около одного часа при
коэффициенте поглощения
-1
0.1 см
κ<
.
Рис.2.51. Сравнение величины плотности радиационного потока к поверхности для
программ с различной ошибкой вычисления объемной плотности энергии излучения.
-1
0.001 см
=
κ
Для тонкой оптической среды
-1
-1
0.0001 см
0.01 см
≤≤
κ
время
интегрального расчета может достигать ~ 20 часов, а относительная
погрешность вычисления -- сотни процентов. Для такого рода оптической
среды созданный код расчета плотности радиационного потока неприменим.
Однако стоит отметить, что полученное пространственное поле значения
объемной плотности энергии излучения следует использовать не столько для
нахождения плотности радиационного потока, сколько для расчета мощности
тепловыделения в пространстве за счет радиационных процессов.
2.4.9. Об устойчивости конечно-разностной схемы
Конечно-разностная неявная схема одномерного уравнения переноса
излучения имеет вид
11
1
1
1
11
2
2
sssss
s
iiiii ib
UUUUU
D
cU cU
h
++
+
+
+
+−
−−
+
=+
+
κ
κ
τ
(
6
0
)
Аппроксимируя
гармоническое
возмущение
вида
()()
(,) exp exp
Utx
tix
=µ
ω , на равномерной пространственной и временной

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
102
сетках m
xmh
=иn
tn
= τ имеем
exp( )
nn
m
Ui
m
h
=λω
. Подставляя его в конечно-
разностную схему имеем
2
2
1
4
1s
i
n
2
Dh
c
h
=
⎛⎞
+−
⎜⎟
⎝⎠
λ
τωκτ
. Согласно критерию
Неймана, схема безусловно устойчива при
1
≤
λ . При отсутствии
испускательной способности среды
2
2
1
4
1s
i
n
2
D
h
h
=
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
λ
τω
, т.е. полностью
неявная схема является безусловно устойчивой в пределе 0
→
τ
и0
h→.
Здесь уместно ввести параболическое число CFLp= 2
2D
h
τ.Однако в
реальности необходимо сравнить порядок величин
2
4D
hτи cκτ.Для
сохранения безусловной устойчивости имеем 2
4Dc
h>
τ κτили,чтотоже
самое, 1h
<
κ
. Данное условие является весьма сильным ограничением на
недостаточно подробных сетках. На практике, при решении двумерного
уравнения переноса излучения с использованием неявной конечно-
разностной схемы, отсутствует практическая устойчивость при числе CFLp>1
1
П
k ≥ . Причем отмечено, что чем меньше число CFLp, тем медленнее
сходится итерационный процесс, однако и колебания относительной ошибки
ε при этом менее выражены.
2.4.10. Спектральная задача
Для учета оптических свойств среды необходимо заменить
проинтегрированную по всему спектру функцию Планка групповой
функцией интенсивности излучения абсолютно черного тела для
спектрального диапазона g
∆ω:
() ()
0
0,,
g
bb
JTJ
T
d
ωω
ω
ω
∆
=∫ ,гдеT -температура,вК, 0
ω - волновое число, h , k
-- постоянные Планка и Больцмана соответственно. Таким образом,
излучательная
способность
тела
в спектральном
интервале
[]
/2,
/2
−∆
+∆
ωωωω находится как
()
()
0
,,
gg
g
gb
g
b
UJ
T
d
J
T
ωω
ω
ω
κω
κ
∆∆
∆
=≈
∫
,
здесь
1
g
g
gd
∆
=∆∫ω
ω
κκ
ω
ω
- групповой коэффициент поглощения.

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
103
Предполагается, что спектральный коэффициент поглощения постоянен в
переделах каждой спектральной группы. Интегральная объемная плотность
энергии излучения находится суммированием спектральной плотности
энергии излучения по всем спектральным группам:
1
g
N
g
UU
ω
∆
=
=∑,
интегральная плотность радиационного потока находится аналогично:
1
.
3g
N
g
g
c
WU
ω
κ∆
=
=∑
На рис.2.52 показано значение максимума коэффициента поглощения
излучения по пространству в каждой спектральной группе. Пики поглощения
излучения в инфракрасном диапазоне соответствуют колебательным полосам
СО2, а в относительно коротковолновой части спектра - четвертой
положительной системе полос СО. Спектральный интервал волновых чисел в
диапазоне от 1400 см-1 до 100000 см-1 разбивается на 90 групп, в пределах
каждой из которых коэффициент поглощения излучения в объеме считается
постоянным.
Поскольку характерная величина объемной плотности энергии излучения
при малых значениях коэффициента поглощения в среде ( 4-
1
10 см
−
≤
κ
)
существенно меньше соответствующего значения в умеренно оптически
тонкой среде
0-
4
-
1
10
10 см
≤≤
κ
, вводилось ограничение коэффициента
поглощения излучения фиксированным значением коэффициента
поглощения во-избежании внесения больших арифметических погрешностей
при вычислении коэффициента диффузии излучения. Такое численное
приближение имеет также вычислительные достоинства.
Было замечено, что скорость сходимость итерационной процедуры резко
падает в оптически тонких слоях. Фактически, вычисления становятся
неэффективными во временном плане при коэффициентах поглощения
41
10 см
−−
≤
κ
. Поэтому, было решено провести две серии численного
эксперимента, ограничив снизу поле спектрального коэффициента
поглощения значениями
31
10 см
−
−
=
κ
и
21
10 см
−
−
=
κ
, и сравнить полученные
значения плотности радиационного потока к поверхности сферы с
результатом метода дискретных направлений.
При ограничении реального коэффициента поглощения какой-либо
конкретной величиной происходит искусственное завышение радиационных
потоков от спектральных групп, в которых коэффициент поглощения очень
мал. Понятно, что искусственное завышение коэффициента поглощения
некоторой величиной (например,
-2 -1
10 см ) сильно завысит реальный поток от
спектральных групп, в которых спектральный коэффициент поглощения
меньше, чем -2 -1
10 см . Однако, как показывают расчеты столь грубая оценка
является весьма выгодной не только в плане экономии машинного времени,
но и в плане точности.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
104
На рис.2.53 показано сравнение интегральной плотности потока,
вычисленной для пяти спектральных групп с коэффициентом поглощения
2
10
κ
−
> см1 с использованием P1 -- приближения МСГ.
Относительная отличие с МДН для передней критической точки
составила примерно 10%. Это меньше, чем дало аналогичное сравнение,
проведенное для серого коэффициента поглощения (рис.2.50). Уменьшение
относительной разницы может быть обусловлено тем, что отличие P1-
приближения от метода дискретных направлений компенсировалась учётом
пяти наиболее интенсивно светящих спектральных групп из всего
спектрального интервала. Объемная плотность энергии излучения,
соответствующая плотности потока излучения на рис.2.53 показана на рис.
2.54.
Рис. 2.52. Зависимость спектрального коэффициента поглощения от волнового числа
в диапазоне 1.5х103-105 см-1 для температурного поля, изображенного на рис.2.43.
Треугольниками помечены середина спектральной группы, в пределах которой
коэффициент поглощения считался постоянной величиной, по оси ординат отложено
максимальное по пространству значение коэффициента поглощения в
соответствующей спектральной группе
Сравнивая значения объемной плотности энергии излучения вдоль
критической линии тока с соответствующим значением интегральной
интенсивности излучения, приходим к выводу, что при малых поглощениях
функции мощность тепловыделения может быть легко оценена по формуле
()
4-4
bb
Qd
i
v
JJ
J
πκπ
κ
==
>
>
W
.
Также был проведен численный эксперимент при ограничении
коэффициента поглощения величиной -3 -1
10 см . Сравнение полученного
значения плотности радиационного потока в P
1-приближении и МДН
представлено на рис.2.55. Объемная плотность энергии излучения,

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
105
соответствующая минимальному коэффициенту поглощения в среде
-3 -1
10 см
=
κ
показана на рис.2.56.
Несмотря на то, что при аналогичном численном эксперименте с "серым"
коэффициентом поглощения (рис.2.51) достигается значительно большее
численное различие с плотности радиационного потока, предсказанного
разными методами, при решении спектральной задачи относительная ошибка
составила примерно 8% для передней критической точки, что является очень
хорошим результатом. Хорошее согласование значения плотности потока для
передней критической точки в этом случае можно объяснить также, как и в
случае с ограничением минимального коэффициента поглощения величиной
2-
1
10 см
− (рис.2.53).
Рис.2.53. Сравнение P1-приближения МСГ и МДН (Ray-tracing method, RTM).
Потоки по МСГ посчитаны и просуммированы только для спектральных групп с
коэффициентом поглощения
-2 -1
10 см
κ≥
Рис. 2.54. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см . Расчет произведен для
спектральных групп с
-2 -1
10 см
κ≥

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
106
Рис.2.55. Плотность потока, посчитанная в P1-приближении МСГ. Учтены
спектральные группы с коэффициентом поглощения
-3 -1
10 см
κ≥
. Сплошная кривая
соответствует методу сферических гармоник, пунктирная кривая -- методу
дискретных направлений
Рис.2.56. Объемная плотность энергии излучения,
3
эрг/см . Учтены спектральные
группы с коэффициентом поглощения
-3 -1
10 см
κ≥
Таким образом, в данном разделе показаны результаты расчетов переноса
излучения для объемов трех разных геометрий, которые показали сильную
зависимость от способа составления конечно-разностной схемы. При
интегрировании по элементарному объему уравнения переноса излучения в
полу дивергентном виде (уравнение (51) и (45)): скорость изменения
скалярной величины в некотором физическом объеме (в нашем случае это

2.4. P1-приближение МСГ на структурированной сетке
107
цилиндрический объем rdrdz ) есть сумма излучения, производимого внутри
этого объема и излучения, проникающего через границу.
При переходе от цилиндрических координат (, )
rz к криволинейным
координатам (,)
ξ η объем rdrdz переходит в объем Jdd
ξ η . Интегрирование
уравнения (56) по объему Jdd
ξ η показывает, что наиболее точным
способом аппроксимации подынтегральных выражений является вынесение
якобиана преобразования за интеграл с последующим его сокращением во
всем уравнении, что эквивалентно интегрированию уравнения по
криволинейному объему dd
ξ η , для которого физический смысл переноса
излучения через границу, сформулированный ранее, может не сохраняться.
Сравнение результатов расчетов для переноса излучения в
цилиндрической области без криволинейности показывают, что численные
схемы, соответствующие различным объемам интегрирования (физическому
и криволинейному) дают хорошее согласование результатов для
коэффициентов поглощение больших
-1
0.1 см , т.е. для оптически плотной
среды. Тестирование кода для геометрии, имеющей сильную
криволинейность, показало, что в областях, где якобиан преобразования
наиболее сильно отличается от 1, наблюдается сильное расхождение
результатов между численными схемами, использующими дивергентный и
недивергентный вид уравнения переноса излучения.
Установлено, что предсказываемые по P
1-приближению плотности
спектральных потоков имеют некоторое расхождение с результатами,
полученными по методу дискретных направлений. Это расхождение
оказалось тем больше, чем меньше коэффициент поглощения излучения в
среде. При коэффициентах поглощения
-1
~1 см
κ
различие составляет
примерно 51
5
%
−
, что является достаточно хорошим совпадением. Однако в
более тонких оптических слоях ( -3 -1
~10 см
κ
) различие интегральной
плотности потока может достигать сотни процентов. Кроме этого, было
отмечено, что время расчета интегральной задачи при реальных
коэффициентах поглощения до необходимой относительной точности
(8
~10
ε
− ) при малых коэффициентах поглощения излучения существенно
возрастает по сравнению с оптически плотными слоями, доходя до
нескольких суток.
С целью уменьшения расчетного времени применялся следующий подход:
реальное поле коэффициента поглощения в каждой спектральной группе
ограничивалось снизу наперед заданной величиной. Спектральные группы,
имеющие коэффициент поглощения меньше заданной величины не
рассчитывались вообще. Это позволило сократить количество ощутимо
излучающих спектральных групп на порядок и, в то же время, получить
приемлемую точность расчета плотности радиационного потока, так как
погрешность приближения вносилась существенно меньшим количеством
спектральных групп.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
108
2.5. Решение уравнения переноса излучения в P1-приближении метода
сферических гармоник на неструктурированной сетке
В данном разделе исследуется возможность использования P1-
приближения метода сферических гармоник для расчета лучистого
теплообмена в неоднородных объемах сложной геометрии на
неструктурированных сетках.
Уже отмечалось, что среди большого количества методов решения
уравнения переноса излучения можно выделить метод сферических гармоник
(МСГ). Наиболее простая реализация МСГ называется P1-приближением, в
котором интенсивность излучения представляется в виде суммы двух
полиномов Лежандра. P1-приближение МСГ является широко
распространенным методом расчета переноса излучения в силу простоты
реализации для объемов сложных геометрий и хорошей точности в оптически
плотной и умеренно тонкой среде (см. предыдущий раздел).
Недостатки P1-приближения МСГ в теории переноса теплового излучения
хорошо известны и неоднократно обсуждались в литературе: понижение
точности расчетов в оптически прозрачной среде, около границ расчетной
области и в среде с сильными градиентами оптических и газодинамических
переменных. Аналогичные проблемы отмечались физике защиты ядерных
реакторов.
Несмотря на отмеченные недостатки, P1-приближение представляет собой
мощный и эффективный инструмент расчета спектрального радиационного
нагрева в теории теплообмена излучением и радиационной газовой
динамики. Трудоемкость P1-приближения не увеличивается слишком сильно
при увеличении размерности задачи и при использовании
неструктурированных сеток, а учет и алгоритмическая компенсация
недостатков данного метода позволяет достичь точности расчетов,
сопоставимых с общей точностью получаемых при решении радиационно-
газодинамической задачи результатов. Это является мотивацией для
исследования свойств метода применительно к задачам переноса излучения в
сжатом слое и следе входящих в плотные слои атмосферы космических
аппаратов.
Кроме этого, опыт вычисления объемной плотности энергии излучения и
дивергенции вектора плотности потока, задающей объемную мощность
тепловыделения, обусловленного радиационными процессами, показывает,
что данные физические величины вычисляются с применением P1-
приближения заметно точнее, чем плотность потока изучения, на
ограничивающих объем поверхностях.
В данном разделе обсуждаются некоторые алгоритмические способы
решения уравнения переноса селективного теплового излучения,
сформулированного в P1-приближении МСГ, позволяющие получить
распределение спектральных потоков вдоль поверхности КА для оптически
тонких слоев с удовлетворительной точностью по сравнению с

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
109
асимптотически точным методом решения уравнения переноса излучения
(метод дискретных направлений -- Ray-Tracing Method). Предлагаемые
алгоритмы обладают высокой вычислительной эффективностью по
сравнению с другими альтернативными способами решения уравнения
переноса излучения. Материал данного раздела основан на работах [66-68].
2.5.1. Постановка задачи и система уравнений
В качестве примера рассмотрим перенос селективного излучения к
поверхности тела сложной формы в марсианской атмосфере. Геометрия
задачи является двумерной осесимметричной. Рассматриваются две
геометрии КА: сферической формы и формы, подобной аппарату Pathfinder.
Такая форма также рассматривается как одна из возможных при создании
тепловой защиты спускаемого аппарата в Европейском проекте EXOMARS
[65]. Геометрия этих форм представлена на рис.2.57.
Рис. 2.57. Неструктурированная сетка для сферического КА и
для КА формы Pathfinder.
Уравнение переноса излучения в P1-приближении МСГ решается на
неструктурированных треугольных сетках. Ориентированность на
неструктурированные сетки обусловлена желанием исследовать данный
расчетный метод для решения задач теплообмена излучением в объемах
произвольной геометрии. К преимуществу данного подхода также относится
возможность использовать в расчетах подробные адаптивные сетки при
относительно небольших усилиях, прилагаемых к их построению.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
110
В данном разделе используется центрированная в объеме схема первого
порядка точности. Для вычисления и интегрирования потока по граням
расчетной ячейки применяется метод наименьших квадратов [66].
Верификация расчетов производится с помощью альтернативного метода
расчета переноса излучения -- метода дискретных направлений (МДН) [16].
Этот метод представляет собой прямое интегрирование по угловым
переменным формального решения уравнения переноса излучения, поэтому
он является чрезвычайно трудоемким для двумерной и трехмерной
геометрий. Однако данный метод позволяет получить асимптотическую
сходимость при одной и той же спектральной оптической модели к точному
решению уравнения переноса излучения в пределе бесконечно большого
количества лучей, испущенных для интегрирования уравнения переноса
излучения.
Вывод системы уравнений P1-приближения МСГ для уравнения переноса
излучения в двумерной цилиндрической осесимметричной геометрии дан в
работе [16]. Здесь приводится результирующая система уравнений P1-
приближения, называемая также "диффузионным" приближением уравнения
переноса излучения в силу ее эквивалентности феноменологически
вводимому уравнению диффузии теплового излучения:
,
div
,
4
vv
v
v
bv
сUJ
+=
Wκπ
κ
(
6
1
)
grad ,
vvv
DU
=−
W
(
6
2
)
где v
U -- объемная спектральная плотность энергии излучения,
v
W -- вектор
плотности спектрального потока, v
κ -- спектральный объемный коэффициент
поглощения излучения,
,
bv
J -- интенсивность спектрального излучения
абсолютно черного тела (функция Планка), c -- скорость света,
v
D--
коэффициент диффузии спектрального излучения,
1/3
vv
D=κ,v--
спектральный индекс.
Система уравнений (61) и (62) сводится к одному уравнению
относительно функции объемной плотности энергии излучения v
U.В
цилиндрической осесимметричной геометрии уравнение переноса излучения
в P1-приближении МСГ имеет вид:
,
4
1
,
bv
vv
vv
v
v
J
UU
Dr
D
U
rr
rz
z
c
⎛⎞
∂∂
∂∂
⎛⎞
⎛⎞
+=
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
π
κ
(
6
3
)
где r и z -- цилиндрические координаты. Спектральный индекс далее будет
опускаться для краткости, кроме особо оговоренных случаев.

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
111
Для решения уравнения переноса теплового излучения в форме (63)
необходимо в каждом узле расчетной сетки (или в каждом элементарном
объеме), показанной на рис.2.57, задать температуру и концентрации
химических компонент, с использованием которых затем рассчитывается
спектральный коэффициент поглощения и спектральная интенсивность
излучения абсолютно черного тела.
Указанные величины находились при численном интегрировании системы
уравнений движения вязкого, теплопроводного, химически неравновесного
газа [56,69,72]. В указанных расчетах принимался в учет неравновесный
характер кинетических процессов в смеси газов CO2, CO, C, O, O2, C2, N, N2,
CN, NO, а также различие поступательных и колебательных температур в
релаксационной зоне сжатого слоя и в следе. Особенностью используемой
вычислительной модели является ее сопряженность с электронными базами
данных химической и физической кинетики, термодинамических,
теплофизических и оптических свойств.
Газодинамическая система уравнений и уравнение переноса излучения
решаются в рамках модели слабого радиационно-газодинамического
взаимодействия. Правомерность такого приближения определяется
отношением радиационной энергии налетающего потока к его полной
энергии:
rad3
4.
q
V
∞∞
Γ=ρ
Здесь: rad
q -- плотность потока интегрального по спектру излучения в
передней критической точке,
∞
ρ и V∞ -- плотность и скорость налетающего
невозмущенного потока. Число Γ называется числом Гуларда и вводится в
работе [73]. Предположение о малости влияния процессов переноса
излучения на пространственное распределение газодинамических
переменных справедливо при
2
10−
Γ≤.
Параметры налетающего потока, используемые для расчета нагрева
сферы, следующие: p∞ =2.462×100 эрг/см3,
∞
ρ = 1.01×10-8 г/см3, T∞ = 129 K,
V∞ =7.49×105 см/с. Такие параметры соответствуют 42-й секунде полета
MSRO [74]. Параметры налетающего потока для аппарата формы Pathfinder
следующие: p∞ =3.528×102 эрг/см3,
∞
ρ = 1.186×10-6 г/см3, T∞ = 155.3 K,
V∞ =3.842×105 см/с [75]. Такие параметры соответствуют высоте 50 км. Число
Гуларда для обеих точек траектории не превышает 10-3. Это означает, что
радиационные процессы оказывают слабое влияние на пространственное
распределение газодинамических параметров.
2.5.2. Постановка задачи и система уравнений
Для интегрирования (63) использован конечно-объемный метод первого
порядка точности. Предполагается, что объемная плотность энергии

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
112
излучения Uν постоянна в каждом элементарном объеме и ее значение
приписывается центру масс элементарного объема. Плотность потока
излучения рассчитывается в центре границы элементарного объема и
предполагается также постоянной для каждой отдельной границы данного
элементарного объема. Конечно-объемная запись уравнения имеет
следующий вид:
()
,
,
v
vv
b
v
v
sV
U
dU
U
d
V
κ
τ
∂+=
−
−
∂∫∫
Ws
(
6
4
)
где V -- элементарный объем; S -- поверхность, ограничивающая
элементарный объем V ; ν
W -- вектор спектральной плотности потока через
поверхность элементарного объема. В (64) введено фиктивное временное
слагаемое для решения задачи методом установления. В данной работе
реализован итерационный метод нижней релаксации.
Для вычисления компонент вектора плотности потока через поверхность
элементарного объема использовался метод наименьших квадратов.
Для геометрического центра каждой грани элементарного объема
находились и запоминались номера соседних элементарных объемов,
которым принадлежат один или несколько узлов, образующих данную грань.
Данная процедура является весьма трудоемкой в силу необходимости
полного перебора всех элементов и граней расчетной сетки, поэтому
представляется целесообразным провести такого рода поиск один раз и
записать таблицу соседних элементов в файл.
Предполагается, что значение объемной плотности энергии излучения в
интересующей точке (а именно, в центре грани текущего элементарного
объема) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности центра соседнего
элементарного объема, удержав члены первого порядка малости:
,,
00
0
() ()
vv
vi
v
i
i
UU
UUyy z
z
yz
∂∂
=+
−+
−
∂∂
.
(
6
5
)
Из соотношения вида (65), записанного для каждого соседнего объема,
составляется нормальная система уравнений:
ˆ
,
A=
XF
(
6
6
)
где
() ()
()()()
()
() ()
() ()
00
2
000
0
2
00
00
ˆ
,
ii
ii
i
ii
i
ii
ii
iii
iii
iiiii
ii
ii
i
yy
zz
Ay
y
y
y
y
y
z
z
zz
yyzz
zz
ξξξ
ξ
ξξ
ξξ
ξ
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−
−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
−−
−
−
⎜⎟
⎝⎠
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
113
,0
0
0
/,
/
v
v
v
U
Uy
Uz
⎛⎞
⎜⎟
=∂∂
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
X
()
()
,
0,
0,
.
vii
i
iv
i
i
i
iv
i
i
i
U
yyU
zzU
ξ
ξ
ξ
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑∑
F
Коэффициенты матрицы А зависят только от геометрических свойств
сетки, поэтому эффективным способом решения системы (66) является метод
LU-разложения, поскольку матрицу А можно разложить на верхнюю и
нижнюю треугольные матрицы один раз и запомнить это разложение.
Весовые коэффициенты iξ вводятся с целью уменьшения влияния
элементарных объемов, далеко отстоящих от центра грани текущего
элементарного объема при нахождении величины
,0
v
U и ее частных
производных. Хорошо зарекомендовал себя следующий способ задания
весов:()
()
()
1
44
00
ii
i
yy zz
−
=−+
−
ξ
.
Вектор спектрального потока v
W через грань элементарного объема
вычисляется следующим образом:
0
0
3
vv
vy
z
v
UU
c
yz
κ⎛⎞
∂∂
=−
+
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
Wn
n
.
2.5.3. Расчетные сетки и граничные условия
Для выполнения расчетов используются двумерные треугольные
неструктурированные сетки. Расчетные сетки для сферического тела и КА
формы Pathfinder представлены на рис.2.57 и содержат 9000 и 15000
элементов соответственно. Сетки имеют адаптивное сгущение в
предполагаемой области больших градиентов газодинамических величин.
Проблема определения граничных условий для уравнений переноса изучения,
сформулированных в приближении МСГ, состоит в том, что объемная
плотность энергии излучения находится в результате интегрирования
интенсивности излучения по полному телесному углу, однако на границе
расчетной области угловое распределение интенсивности излучения может
быть задано только в половине телесного угла. Принципиальная
невозможность сформулировать точные граничные условия приводит к
необходимости использовать различного рода приближения. В данной работе
используется граничное условие Маршака [16], полученное в результате
усреднения интенсивности излучения с помощью моментной процедуры.
Указанное условие, применяемое на поверхности КА, имеет вид:

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
114
,
4
2
,
3
bw
J
UUc
∇+=
n
π
κκ
где n -- единичный вектор нормали,
,
bw
J -- спектральная интенсивность
излучения абсолютно черного тела при температуре поверхности.
Предполагается, что граница тела излучает как абсолютно черное тело со
степенью черноты ε = 1.
2.5.4. Газовая динамика и химическая кинетика
Поля температуры, давления и концентрации химически активных
компонент смеси рассчитывались с помощью программного комплекса
NERAT-2D [56]. Для сферического тела марсианская атмосфера
моделировалась шестикомпонентой смесью (CO2, CO, C, O, O2, C2) и 18
химическими реакциями [76]. Использованная кинетическая модель
приведена в [77].
Для КА формы Pathfinder в химическую модель системы добавляется
молекулярный азот. Такая модель атмосферы содержит 10 химических
соединений (CO2, CO, C, O, O2, C2, N, N2, CN, NO) и включает в себя 79
химических реакций. Использованная кинетическая модель приведена в [77].
Учет молекулярного азота в химической модели марсианской атмосферы не
приводит к существенному увеличению плотности интегрального
радиационного потока [77,78], несмотря на большое сечение испускания CN
по сравнению с сечениями испускания молекул CO2 и CO. Это объясняется
двумя причинами: относительной малостью доли молекулярного азота в
набегающем потоке и малым вкладом излучения молекул азота и азотистых
соединений в интегральный радиационный поток.
Пространственные распределения
температуры
и давления,
использованные в расчетах переноса излучения, показаны на рис.2.58 и 2.59
для сферического тела и КА формы Pathfinder. Рассчитанная концентрация
оптически активных компонент CO и CO2 показана на рис.2.60 и 2.61 для тех
же геометрий.
Оптические свойства среды рассчитаны с помощью программы
ASTEROID [18,79]. Использовалась многогрупповая модель переноса
излучения. Диапазон волновых чисел ∆ω = 1400--100000 см-1 разбивался на
90 неоднородных по спектру групп, в каждой из которых проведено
усреднение коэффициента поглощения по вращательной структуре. В
спектральном диапазоне ∆ω учитывались колебательно-вращательные
полосы поглощения молекул CO2, CO, электронно-колебательные полосы
молекул CO, O2, процессы фотодиссоциации молекул CO, O2. В силу малости
ионизации радиационные процессы с участием электронов не учитывались.

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
115
Рис. 2.58. Поля температуры в К и давления для сферического КА; давление
нормировано на величину 5666.11 эрг/см3
Рис. 2.59. Поля температуры в К и давления для КА формы Pathfinder; давление
нормировано на величину 175065 эрг/см3

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
116
Рис.2.60. Концентрация CO и CO2, массовая доля; давление нормировано на
величину 5666.11 эрг/см3
Рис.2.61. Концентрация CO и CO2, массовая доля; давление нормировано на
величину 175065 эрг/см3
На рис.2.62 изображен пространственный максимум коэффициента
поглощения в зависимости от волнового числа в каждой спектральной группе
для сферического тела и тела формы Pathfinder соответственно. Указанная

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
117
величина находилась в результате поиска максимальной величины
коэффициента поглощения в заданной спектральной группе v по всей
расчетной области:
{}
max
,
max
,
vv
k
k∈Ω
=
κκ
где Ω -- сеточное пространство, покрывающее всю расчетную область; k --
номер элементарного расчетного объема. Пунктирная кривая соответствует
сферическому КА, сплошная кривая -- КА формы Pathfinder.
Хорошо идентифицируются колебательно-вращательные полосы
поглощения CO2 (1, 2) и электронные полосы CO (2--4) в ультрафиолетовой и
инфракрасной частях спектра. Вся остальная часть спектра имеет
относительно малый коэффициент поглощения. Основываясь на такой
зависимости коэффициента поглощения от волнового числа, можно сделать
предположение о том, что основная часть радиационного потока
обуславливается именно полосами поглощения CO2 и CO, что
подтверждается анализом кумулятивных функций интегральных
радиационных потоков, выполненным в [78].
Как известно, P1-приближение принципиально неприменимо для описания
переноса излучения в оптически прозрачных средах. Причем это
утверждение касается как физического аспекта проблемы, так и сложности
интегрирования уравнения (63).
Однако преимущества P1-приближения МСГ в контексте проблемы
построения эффективного алгоритма решения задачи радиационной газовой
динамики космических аппаратов стимулируют поиск путей получения
приемлемого приближенного решения указанной проблемы без заметного
усложнения вычислительной процедуры. Напрашивается, по крайней мере,
два простейших пути решения этой проблемы.
Первый путь состоит в отбрасывании спектральных групп с малой
оптической толщиной. Недостатком такого подхода является отсутствие
априорных знаний о величине указанного предельного уровня.
Второй путь состоит в учете всех спектральных групп, но такой
модификацией (ограничением) коэффициента поглощения в группах с малой
оптической толщиной, чтобы, с одной стороны, эта модификация позволила
эффективно интегрировать уравнение (63), а с другой стороны, не искажала
правильное решение.
Очевидно, что оба указанных подхода подразумевают необходимость
проведения априорных оценок. Алгоритмическая реализация такой оценки
может быть различной. Задача данной работы показать практическую
реализацию такого подхода. При этом заметим, что суть проблемы состоит в
поиске оптимального уровня ограничения коэффициента поглощения.
Большая величина min
κ приведет к увеличению погрешности, связанной с
нефизическим увеличением коэффициента поглощения и испускания газа.
Чрезмерно малая величина min
κ
приведет к увеличению погрешности

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
118
решения уравнения переноса из-за искусственно завышаемой роли диффузии
излучения.
Для сферического тела вводится два уровня ограничения коэффициента
поглощения: 10-2 см-1 и 10-3 см-1. Ограничение коэффициента поглощения min
κ
= 10-2 см-1 означает, что в расчет принимаются только те спектральные
группы, максимальный по пространству коэффициент поглощения которых
max
min
v>
κκ
= 10-2 см-1 (лежит выше соответствующей пунктирной прямой на
рис.2.62). Далее в выбранных группах расчет ведется с коэффициентом
поглощения k
κ% , который определяется по формуле
()
min
max ,
kk
κκ
κ
=
%
.
Аналогичные действия проводятся с ограничением коэффициента
поглощения 10-3 см-1.
Для второй формы КА процедура ограничения поглощения проводится
несколько по-другому. Выбираются следующие три уровня ограничения
поглощения: min
κ = 10-1, 10-2 и 10-3 см-1. Для каждого уровня ограничения
поглощения проводится аналогичный выбор спектральных групп с
максимальным по пространству коэффициентом поглощения, большим, чем
ограничитель поглощения. Но ограничения поглощения в пределах группы
по пространству не производится. Таким образом, расчет переноса излучения
для спектральных групп с достаточным коэффициентом поглощения сделан
для реального коэффициента поглощения. Для каждой такой выборки
спектральных групп проводится расчет плотности потока излучения к
поверхности КА.
Плотность потока излучения на поверхности КА. Рассчитываемая
спектральная и интегральная по спектру плотность потока излучения вдоль
поверхности КА сравнивалась с принятыми за эталон результатами расчетов
по методу дискретных направлений.
На рис.2.63 показано распределение интегральных плотностей
радиационного потока вдоль поверхности сферического тела, полученные с
использованием трех моделей переноса излучения. Кривая 1 соответствует
расчету методом дискретных направлений для всех спектральных групп,
кривая 2 -- расчету в P1-приближении МСГ с ограничением коэффициента
поглощения 10-2 см-1, кривая 3 -- расчету в P1-приближении МСГ с
ограничением коэффициента поглощения 10-3 см-1.
Как и следовало ожидать, расчет плотности потока излучения к
поверхности сферы демонстрирует зависимость величины плотности потока
от принятого уровня ограничения поглощения. Ограничение поглощения 10-2
см-1 дает значение интегральной плотности потока излучения, различающееся
от МДН на 3% для передней критической точки. Выбор ограничения
поглощения 10-3 см-1 приводит к существенному завышению значения
плотности потока. Представленные данные иллюстрируют пример неверного

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
119
решения уравнения переноса излучения, связанного с завышением
коэффициента диффузии излучения ,
,
1
3
gk
gk
D=κ.
Рис.2.62. Групповой коэффициент поглощения. Штрихпунктирные кривые -- уровни
ограничения коэффициента поглощения, принятые в расчетах; 1, 2 -- колебательно-
вращательные полосы CO2; 3, 4 -- электронные полосы CO
Рис.2.63. Интегральная по спектру плотность потока излучения вдоль поверхности
сферического КА

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
120
Распределение интегральной по спектру плотности радиационного потока
для КА формы Pathfinder показано на рис.2.64. Кривая 1 -- расчет методом
дискретных направлений для всех спектральных групп, кривые 2--4 -- расчет в
P1-приближении МСГ для спектральных групп, соответствующих первому
алгоритму решения уравнения переноса: из групповой модели исключаются
спектральные группы с малым коэффициентом поглощения. Кривые 2--4
соответствуют ограничению коэффициента поглощения min
κ = 10-3, 10-2 и 10-1
см-1. Кривая 5, иллюстрирующая результат расчета по второму пути
модификации коэффициента поглощения, свидетельствует о неверном
решении уравнения (63) для мажорированного по пространству величиной
{}
min
max ,
kk
k∈Ω
=
κκ
κ
коэффициента поглощения.
Кривая 4 на рис.2.64 представляет расчет переноса излучения в 13
спектральных группах, кривая 3 -- в 30 группах, кривая 2 -- в 36 группах.
Плотность потока предсказывается с точностью 20% для передней
критической точки (кривая 1 и 2) и с точностью 30% для кромки КА (кривая
1 и 2). Для задней поверхности КА наблюдается худшее согласие результатов
P1-приближения и МДН. Лучшее согласование результатов с МДН можно
видеть для кривой 4 (P1-приближения с выборкой групп 10-1 см-1).
Рис.2.64. Интегральная плотность потока излучения вдоль поверхности КА формы
Pathfinder: 1 -- метод дискретных направлений; 2 -- P1-приближение МСГ, первый
подход, min
κ =10-3 см-1, 3 -- min
κ =10-2 см-1, 4 -- min
κ =10-1 см-1; 5 -- P1-приближение МСГ,
второй подход, min
κ =10-2 см-1

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
121
Учет спектральных групп с меньшим коэффициентом поглощения
приводит к предсказанию завышенного значения интегральной плотности
потока излучения на задней поверхности КА вследствие существенно
большего коэффициента диффузии в следе КА по сравнению с областью,
прилежащей к лобовой поверхности.
Отсюда следует важный вывод: расчет радиационного нагрева задней
поверхности КА в P1-приближении МСГ следует проводить с
осторожностью, принимая во внимание существенную физическую
погрешность P1-приближения для среды с малой оптической толщиной.
Искусственное ограничение поглощения на уровне 10-2 см-1 по
пространству внутри каждой группы приводит к существенному завышению
значения плотности потока (кривая 5) по сравнению с аналогичным расчетом
без ограничения поглощения внутри каждой группы (кривая 3). Завышение
плотности потока происходит вдоль всей поверхности КА: так, для передней
критической точки происходит увеличение интегрального потока с 8 до 15
Вт/см2. Аналогичная ситуация наблюдалась и при расчете сферического тела
(кривые 1 и 3, рис. 2.63).
Рис.2.64 демонстрирует увеличение плотности потока излучения вдоль
поверхности КА для его передней области. Это объясняется отходом ударной
волны от поверхности КА около кромки и увеличением излучающей области.
Кроме этого, расчеты в P1-приближении и МДН предсказывают
существенный нагрев задней поверхности КА на уровне 2--4 Вт/см2, что
подтверждают выводы работы [80].
Кумулятивная функция плотности потока излучения для передней и
задней критических точек КА формы Pathfinder представлена на рис.2.65а и б
соответственно. Кривая 1 -- расчет в P1-приближении при выборке групп с
ограничением 10-1 см-1, кривая 2 -- 10-2 см-1, кривая 3 -- 10-3 см-1. Диапазон
волновых чисел, представленных на рис.2.65а и 2.65б соответствует
инфракрасной части спектра. Ультрафиолетовая часть спектра вносит менее
0.5% в величину интегрального потока как для передней, так и для задней
критических точек. 99.5% интегрального потока обусловлены
инфракрасными полосами поглощения CO2 и CO (рис.2.62).
Необходимо заметить, что расчет переноса излучения без модификации
коэффициента поглощения по пространству для выборки спектральных групп
с ограничением поглощения 10-1 см-1 не отображает вклад электронной
полосы поглощения CO 2 на рис.2.62 как в передней, так и в задней
критических точках КА, поскольку максимальное значение коэффициента
поглощения в этой полосе меньше 10-1 см-1. Плотность потока, обусловленная
первой полосой поглощения, составляет 76% для передней критической
точки и 50% для задней критической точки от полного значения
интегрального потока.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
122
(а)
(б)
Рис.2.65. Кумулятивная функция интегральной по спектру плотности потока
излучения для КА формы Pathfinder;
передняя (а) и задняя (б) критические точки; P1-приближение МСГ, первый подход:
1-- min
κ =10-1 см-1, 2 -- min
κ =10-2 см-1, 3 -- min
κ =10-3 см-1
2.5.5. Оценка экономичности расчета с использованием P1-приближения
Время работы МДН и P1-приближения для различных уровней
ограничения коэффициента поглощения представлено в таблице 2.1.
Следует отметить, что МДН представляет собой принципиально другую
модель решения переноса излучения в отличие от метода сферических
гармоник. Целью сравнения временной эффективности P1-приближения и
МДН является демонстрация того факта, что, несмотря на отмеченные
недостатки P1-приближения МСГ, можно предсказать радиационную
плотность потока излучения с удовлетворительной точностью за
существенно более короткое время.
Таблица Время расчетов с использованнием МДН и P1-приближения
Форма КА МДН P1, 10-1 см-1 P1, 10-2 см-1 P1, 10-3 см-1
Сфера
16ч
-
42 мин
2.5 ч
Форма
Pathfinder 21 ч
20 мин
50 мин
3.2 ч
Из таблицы 2.1 следует увеличение времени работы P1-приближения при
уменьшении уровня ограничения коэффициента поглощения. Это
объясняется увеличением количества спектральных групп, требующих

2.5. P1-приближение МСГ на неструктурированной сетке
123
расчета, а также увеличением коэффициента диффузии в ячейках с малым
коэффициентом поглощения. Для расчета сферического тела P1-приближение
с ограничением поглощения 10-2 см-1 требует в 22 раза меньше времени, чем
МДН. Аналогичную эффективность демонстрирует расчет КА формы
Pathfinder.
Таким образом, в данном разделе предложены алгоритмические способы
использования метода сферических гармоник применительно к задачам
радиационного нагрева КА сложной формы. Разработаны различные способы
последовательного
ограничения
коэффициента
поглощения
в
многогрупповой спектральной модели и обсуждена правомерность
полученных результатов.
Введенные способы ограничения коэффициента поглощения позволяют
проводить расчеты спектрального радиационного нагрева поверхности КА в
умеренно прозрачной оптической среде с сохранением приемлемой точности
результатов и высокой временной эффективности расчетов.
Проведены расчеты спектральной и интегральной плотности потока
излучения к поверхности КА сферической формы и формы КА Pathfinder для
наиболее теплонапряженных участков траектории спуска тела в атмосфере
Марса. Расчеты
проведены
с
использованием
треугольных
неструктурированных сеток.
Показано, что с уменьшением оптической толщины возрастает не только
физическая погрешность, но и резко увеличивается время, необходимое для
получения конечного решения. Говоря о точках траектории и параметрах
налетающего потока, представленных в данной работе, можно сделать вывод
о нецелесообразности применения P1-приближения МСГ для спектральных
групп с максимальным коэффициентом поглощения 10-3 см-1 и ниже.
Выполнен анализ спектрального нагрева в области передней и задней
критических точек КА формы Pathfinder. Выяснено, что радиационный
нагрев как передней, так и задней критических точек обусловлен
колебательно-вращательными полосами поглощения CO2 и электронными
полосами поглощения CO, лежащими в инфракрасном диапазоне длин волн.
Радиационный нагрев, обусловленный излучением в ультрафиолетовой части
спектра, мал настолько (< 0.5%), что при дальнейших аналогичных расчетах
спектральные группы, лежащие в интервале волновых чисел, больших 7×104
см-1, могут быть опущены для сокращения времени расчета.
Остается открытым вопрос о степени чувствительности полученных
значений плотности радиационного потока в зависимости от подробности
расчетной сетки. В разделе представлена явная реализация метода конечного
объема, поэтому время, затрачиваемое на получение численного решения,
увеличивается пропорционально квадрату минимального размера ячейки при
фиксированном значении числа Куранта--Фридрихса--Леви. Для сеток с очень
подробной детализацией разработанная методика теряет свою временную
эффективность.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
124
2.6. Решение уравнения переноса излучения методом дискретных
ординат (МДО) на неструктурированной сетке
В данном разделе дается анализ еще одного эффективного метода решения
уравнения переноса теплового излучения в области сложной геометрии --
метода дискретных ординат (МДО). Представлен обзор работ по применению
метода дискретных ординат к расчету переноса теплового излучения в
однородных и неоднородных светорассеивающих средах. Анализируются
различные варианты метода применительно к одно-, двух- и трехмерной
геометрии. Обсуждается мотивация использования метода в задачах
аэрофизики.
Дана формулировка метода дискретных ординат, ориентированного на
интегрирование уравнения переноса излучения в двух- и трехмерных
объемах с использованием ортогональных конечно-разностных сеток. Особое
внимание уделяется решению задач переноса в осесимметричной постановке.
Обсуждается проблема расчета угловых ординат. Представлены результаты
расчетов квадратур высоких порядков.
Приведены результаты расчетов плотностей радиационных тепловых
потоков на поверхности космического аппарата сложной геометрии.
2.6.1. История развития метода дискретных ординат и современное
состояние
Для решения плоскопараллельных задач переноса излучения в
астрофизике С. Чандрасекаром [59] было предложено заменить угловой
интеграл рассеяния квадратурным разложением, по причине чего такой
подход получил название метода дискретных ординат. При дальнейшей
разработке метода наметились два основных пути. В первом случае
использовалась интегро-дифференциальная форма уравнения переноса
излучения для получения балансных соотношений для ячейки конечного
объема (SN-метод, метод конечного объема). Во втором случае
использовалось формальное решение уравнения переноса вдоль
характеристик (метод характеристик, метод характеристик с интерполяцией).
Подробное описание методов дискретных ординат для решения уравнения
переноса излучения применительно к простейшим типам геометрии можно
найти в работе Л.П. Басса и др. [81].
Первые разработки SN метода связаны с именами ученых, внесших
определяющий вклад в его формулировку и развитие: Б. Карлсона,
В.Я.Гольдина, В.Н. Морозова, Е.С. Кузнецова.
В работе [82] Карлсон и др. описывает вывод балансных соотношений
метода дискретных ординат для переноса нейтронных ансамблей в реакторе.
В основе лежат принципы физики переноса нейтронов. Приведены точные

2.6. МДО на неструктурированной сетке
125
соотношения баланса частиц для конечной ячейки, записанные в различных
ортогональных системах координат. Уравнение переноса для ортогональной
ячейки, записанное в разностном виде, связывает средние интегральные
функции распределения нейтронов на гранях ячейки со средней интегральной
функцией распределения по объему. Полученная разностная схема имеет
больше неизвестных параметров, чем необходимо для решения задачи,
поэтому из соображений непрерывности решения в ячейке вводятся
аппроксимирующие формулы, связывающие средние величины на гранях со
средней величиной функции распределения в объеме. При учете рассеяния,
решение предполагается искать итерационными методами, последовательно
учитывая вклад интеграла по столкновениям в суммарном балансе
переносимой энергии. Также в этой работе даны рекомендации по выбору
дискретных направлений, с целью повышения точности расчета баланса
частиц в расчетной ячейке.
Теория и вычислительные алгоритмы метода дискретных ординат
наиболее детально разработаны для плоскопараллельной геометрии. Это
связано с простотой записи одномерного уравнения переноса излучения. В
этой геометрии уравнение в частных производных сводится к
дифференциальному виду, что упрощает структуру решения и позволяет
создать ряд специализированных и высокоэффективных алгоритмов. В [81]
подробно рассматривается ряд алгоритмов для плоскопараллельной
геометрии. Наряду с традиционными (так называемыми, характеристической,
алмазной и т.п.) обсуждаются схемы повышенного порядка точности. В
работе [83] производился расчет методом дискретных ординат для плоской
одномерной геометрии. Среда предполагалась излучающей, поглощающей и
рассеивающей. При расчете использовались Гауссовы и SN квадратуры.
Установлено, что SN квадратура дает более точное решение, чем квадратура
Гаусса того же порядка.
В работе [84] Файвлэнд применил метод дискретных ординат для расчета
поглощающей, излучающей и изотропно-рассеивающей среды ограниченной
двумерной полостью с диффузно-отражающими стенками. Для
аппроксимации интегралов по направлениям распространения излучения
использовались квадратуры разных порядков. При сравнении суммарных
потоков на стенку граничной области, полученных в Р3 приближении метода
сферических гармоник, зональным методом и точным решением
установлено, что метод дискретных ординат дает достаточно точное решение
при меньших вычислительных затратах по сравнению с остальными
методами.
При моделировании переноса излучения от неравномерно нагретых сред
или локально нагретых ограничивающих стенок в методе дискретных
ординат возникает погрешность, названная «эффектом луча». В результате
этого лучевого эффекта часто наблюдаются осцилляции решения, которые не
могут быть убраны сгущением пространственной или угловой сеток. В

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
126
работах [85], [86] предложен способ, позволяющий устранить лучевой
эффект от локально нагретой стенки без использования угловых сеток
высоких порядков. Учитывая линейность уравнения переноса излучения,
интенсивность представляется в виде суммы двух компонент, а решаемое
уравнение переноса представляется в виде системы двух уравнений.
Первое уравнение описывает перенос излучения от стенок внутри
холодной среды без учета излучения, которое рассеивается в направлении
распространения. Решение для указанной компоненты интенсивности
излучения может быть найдено точно. Второе уравнение решается методом
дискретных ординат при нулевых граничных условиях. Интеграл рассеяния
от первой компоненты, который учитывается при решении второго
уравнения, можно взять с большой точностью, используя численные методы.
Такой подход, когда одна из компонент находится с высокой точностью,
позволил значительно уменьшить лучевой эффект. Этот метод особенно
эффективен, когда область ограничена локально нагретой поверхностью.
Данный подход реализован для нахождения потоков падающих на стенку
параллелепипеда ограничивающего среду с рассеянием в работе [85]. В [86]
метод распространен на трехмерную геометрию.
В [87] с помощью метода дискретных ординат проведен расчет
радиационного теплопереноса в объеме трехмерной геометрии. Уравнения
дискретных ординат получены для среды с поглощением, анизотропным
рассеянием и переизлучением, ограниченной серыми стенками. Обсуждается
стратегия решения и приводятся условия вычислительной устойчивости.
Проведено моделирование нескольких тестовых задач. Получены результаты
для S2, S4, S6, и S8- аппроксимаций, соответствующих 8, 24, 48 и 80 потокам
(угловым направлениям), и проведено их сравнение с точными зональными
решениями и разностной аппроксимацией Р3. Получены решения для
условий, моделирующих поглощающие среды, а также среды с изотропным
рассеянием. Для различных потоковых приближений обсуждается точность
решения и сходимость. Сравнение с другими методами показало, что S4, S6 и
S8- аппроксимации дают удовлетворительную точность. Эти решения могут
использоваться при прогнозировании интенсивности излучения, падающей
энергии и потока тепла через поверхность.
Радиационный теплоперенос в двумерной цилиндрической геометрии
исследован с помощью метода дискретных ординат в работе [88]. Численное
решение уравнения переноса излучения получено при использовании SN-
аппроксимации, а также при помощи итерационного алгоритма
первоначально разработанного для переноса нейтронов [82]. Для
демонстрации точности изложенного метода рассчитан радиационный
теплоперенос для двух одномерных объемов с поглощением и рассеянием.
Произведено сравнение с ранее опубликованными точными и
экспериментальными данными, измеренными для реальных топок паровых
котлов.

2.6. МДО на неструктурированной сетке
127
В вычислительном коде [89] использовались S
2, S4 квадратурные
аппроксимации для решения уравнения переноса в цилиндрической
осесимметричной геометрии. Сравнение с точным решением и данными,
полученными экспериментально, показало приемлемую точность указанных
аппроксимаций. Разработанный код использовался для расчета переноса
тепла излучением в топках паровых котлов с частицами угля. Показана
высокая чувствительность разработанного метода к температуре и плотности
числа частиц.
Первая попытка моделирования переноса излучения методом дискретных
ординат в трехмерной цилиндрической геометрии предпринята в [90]. Для
трехмерных цилиндрических областей отсутствуют экспериментальные
данные или результаты, полученные с привлечением высокоточных методов
(Монте-Карло, зональный метод). По этой причине производилось сравнение
численных результатов зонального метода для трехмерной прямоугольной
области с методом дискретных ординат, примененным в трехмерном
цилиндрическом аналоге. Оценка модели показала, что метод дискретных
ординат дает приемлемую точность при нахождении решения для
несимметричных цилиндрических областей.
В [91] применен SN- метод дискретных ординат для излучающей,
поглощающей и анизотропно-рассеивающей среды заключенной в
цилиндрическую полость с диффузно отражающими стенками. Функция
рассеяния разлагалась в ряд по полиномам Лежандра, все расчеты
производились с использованием S14 угловой квадратуры. Применение
квадратур такого высокого порядка точности оправдано при расчете сред с
высокой степенью анизотропии рассеяния. В работе исследуется влияние
функции рассеяния на поток излучения падающего на стенку
ограничивающей объем области.
В работе [92] использована стандартная формулировка SN- метода
дискретных ординат для описания переноса излучения плазмы дугового
разряда в аргоне при атмосферном давлении. Распределение поля температур
в дуге считается известным и взято из ранее опубликованных работ.
Спектральный коэффициент поглощения аргона рассчитывался по
специализированному коду NASA. Для определения температурной
зависимости спектрального коэффициента поглощения в условиях резкой
температурной использовалась экспоненциальная интерполяция. Расчет
производился в многогрупповом приближении. В работе исследовалась
зависимость характеристик поля излучения плазмы от пространственных и
угловых сеток, от температуры и количества спектральных групп.
В работе [93] произведено сравнение радиационных потоков в
цилиндрических топках для различных угловых аппроксимаций низких
порядков с точным решением. Сравнение показало, что полностью
симметричное угловое распределение дает более точное решение, чем
квадратура, основанная на кусочно-постоянном угловом распределении.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
128
Также произведено исследование чувствительности решения к изменению
коэффициента поглощения.
В основе работы [94] лежит вывод уравнения переноса излучения в
формулировке метода дискретных ординат применительно к криволинейной
ортогональной системе координат. Решена задача сложного теплообмена и
найдена температура в среде заключенной между двумя бесконечными
эллиптическими цилиндрами. В [95] применен аналогичный подход для
определения температурного поля в изогнутых симметричных пластинах.
Результаты получены для эллиптических, гиперболических и параболических
профилей.
Как уже отмечалось, успешным развитием метода дискретных ординат
оказался метод характеристик. В методе характеристик численное
интегрирование производится вдоль направления полета фотонов.
В простейшем случае плоского слоя интегрирование вдоль
характеристики проводится с использованием формального решения
уравнения переноса. В прямоугольной декартовой системе координат
характеристики являются прямыми линиями. Сложнее использовать метод
характеристик в криволинейных системах координат. Владимировым В.С.
был предложен алгоритм, в котором уравнение переноса в одномерной
сферической геометрии интегрируется вдоль направления характеристики.
Причем все характеристики проводятся параллельно некоторому
направлению. Число угловых точек на каждом радиусе определяется числом
пересечения окружности этого радиуса с характеристиками.
Решение, полученное таким способом, сходится к точному решению
уравнения переноса при уменьшении шага расчетной сетки по радиусы.
Каждая характеристика может рассчитываться независимо от других, что
делает данный алгоритм удобным для расчета на многопроцессорных ЭВМ.
Однако, наличие жесткой связи между пространственной и угловой сеткой
делает алгоритм Владимирова В.С. не экономичным. Часто для численного
решения задач переноса излучения требуется значительно менее подробная
сетка по углу, чем по пространственной переменной. Геометрия сетки такова,
что на радиусах, удаленных от центра шара, располагается значительное
число угловых точек сетки, а вблизи центра их число мало.
В многомерных задачах узлы пространственной сетки могут не
пересекаться характеристиками. В методе характеристик с интерполяцией
для нахождения интенсивности в узле ячейки уравнение переноса
интегрируют вдоль характеристики от грани ячейки до узла, в котором
ищется интенсивность. Интенсивность на грани ячейки отыскивается
интерполяцией через известные значения интенсивностей в узлах ячейки
принадлежащих грани. В работе [96] предложен один из методов
интерполяции, позволяющий упростить логическую схему счета. Для
криволинейных ячеек производится спрямление границ. Приведены
расчетные формулы для разных типов геометрии. В сравнении со

2.6. МДО на неструктурированной сетке
129
стандартным SN- методом метод характеристик с интерполяцией потребляет
времени на 10-20% больше, зато имеет запас точности на более грубых
сетках и не дает осциллирующего решения, чего нельзя сказать о SN- методе.
Для двумерных областей в работе [97] применен метод характеристик с
интерполяцией. Получены соотношения в предположении, что функция
источника линейно изменяется вдоль характеристики. В работе применена
линейная и кубическая интерполяция. Для параллелепипеда произведенное
сравнение со стандартным методом дискретных ординат и с методом
конечного объема показало более высокую точность метода характеристик.
Причем при использовании кубической интерполяции ошибка расчета ниже,
чем у линейной. В этой же работе выполнены расчеты для сред изотропно-
рассеивающих и без рассеяния для разных оптических длин. Данный метод
позволяет вести расчет на криволинейных сетках.
В работе [98] использовался SN- метод для исследования переноса
излучения в нерассеивающей среде (пары воды) в одномерной геометрии,
ограниченной черными нерассеивающими стенками. Одномерная
формулировка задачи позволила использовать метод характеристик для
нахождения интенсивностей на гранях ячеек. Вычислялся полный тепловой
поток на стенку при разных профилях температуры внутри области.
Представлены результаты расчетов и произведено сравнение с результатами
полученными методом потоков. Работа [99] является логическим
продолжением работы [98], выполнена теми же авторами. Разработанный
подход распространен на излучающую, поглощающую среду ограниченную
диффузно-отражающими стенками. В работе установлено, что для
используемых параметров среды (пары воды) для достижения высокой
точности решения хватает двукратного учета отражения на стенке. В случае
оптически тонких сред необходимо учитывать большее число отражений от
стенок.
Интегрирование уравнения переноса излучения в формулировке метода
дискретных ординат позволяет связать среднюю интенсивность по объему
ячейки со средними интенсивностями на гранях. В SN- методе указанные
уравнения связи выбираются из условия непрерывности решения в ячейки.
В работе [100] применялся метод характеристик для нахождения
неизвестных интенсивностей на гранях через известные. В расчетной
двумерной области вводится произвольная треугольная сетка. Внутри каждой
ячейки характеристики среды считаются постоянными. В работе
рассматривается задача переноса излучения с теплопроводностью для
двумерных областей. Рассеивающая среда ограничена равномерно нагретыми
диффузно отражающими стенками. Приведены радиационные потоки на
поверхностях и температурные профили внутри параллелепипедов, круглых
и эллиптических бесконечных цилиндров. Данный метод не имеет
ограничений на форму области, так как все расчетные формулы записаны в

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
130
декартовой системе координат. Авторы [100] утверждают, что метод не дает
осцилляций решений.
В последующей работе тех же авторов [101] применен метод [85],
позволяющий заметно повысить точность расчета сред с рассеянием,
ограниченных локально нагретыми стенками. Если в работе [85] применялась
двумерная ортогональная сетка, то в данной работе уменьшение лучевого
эффекта стало возможным в двумерных областях произвольной формы. В
работе [102] приведены соотношения для трехмерной геометрии, используя
подход развитый ранее в [100]. При численном сравнении с расчетными
данными, даваемыми зональным методом для параллелепипеда содержащего
нерассеивающую среду, метод с использованием характеристик дает более
точное решение, чем стандартный метод дискретных ординат [87]. В работе
приведены численные результаты его применения для расчета радиационных
полей сред ограниченных стенками произвольной геометрии.
В работе [103] предложена схема численного решения задач переноса
излучения в произвольных осесимметричных областях, которые могут
содержать внутренние границы, разделяющие среды с различными
показателями преломления, а также зеркально отражающие границы. Область
разбивается на трехмерные пространственные ячейки, и уравнение переноса
излучения интегрируется вдоль характеристик от одной грани ячейки до
другой. Решение ищется во всей трехмерной области для лучей
параллельных плоскости, которая содержит ось симметрии исследуемого
объема и одну из главных координатных осей. Приводятся результаты для
нерассеивающих сред, однако предлагаемая схема достаточно легко
обобщается на случай изотропного и анизотропного рассеяния.
Низкая точность стандартного SN- метода дискретных ординат для
расчета поля излучения в областях, содержащих вакуумные полости,
выдвигает необходимость разработки специальных методов нахождения
решения. Тот факт, что в вакууме уравнение переноса излучения имеет
аналитическое решение, позволил разработать специализированный VAC
алгоритм [104]. В вакууме излучение распространяется без изменения вдоль
характеристик. Алгоритм является локальным, то есть при расчете каждой
расчетной ячейки производится геометрический анализ только соседних
ячеек. Благодаря своей локальности алгоритм VAC может рассчитывать
вакуум произвольной формы и легко включается в цикл расчета по
разностной сетке. Таким образом, область с пустотами рассчитывается
следующим образом: плотная среда рассчитывается каким-либо вариантом
метода дискретных ординат, а вакуумные полости VAC алгоритмом.
В работах [105]-[107] приведен метод выбора весовых коэффициентов с
помощью метода характеристик для SN- метода дискретных ординат. В
работах [105], [107] исследованы балансные уравнения метода дискретных
ординат на предмет возникновения нефизических осцилляций
интенсивности. С помощью метода характеристик находится решение в

2.6. МДО на неструктурированной сетке
131
ячейке [106]. Это решение используется для нахождения весов в балансном
уравнении переноса излучения метода дискретных ординат. В [106]
приведены характеристические поверхности для расчетной ячейки в
цилиндрической системе координат.
Другой способ решения уравнения переноса излучения называется
методом конечного объема [108]. В этом методе узлы расчетной сетки
окружаются непересекающимися объемами. Уравнение интегрируется по
конечному объему и по элементу телесного угла около направления
распространения фотонов. При переходе от объемного интеграла к
поверхностному получается балансное уравнение связи средней объемной
интенсивности и потоков излучения через грани. Неизвестные потоки на
гранях находятся с использованием метода характеристик с интерполяцией.
В работе представлены результаты решения одномерной задачи.
Рассматривалась рассеивающая среда, заключенная между двумя
бесконечными параллельными пластинами. В этой же работе выполнен
двумерный расчет переноса излучения на ортогональной сетке в
параллелепипеде. Хотя данная формулировка метода конечного объема
позволяет производить вычисления на произвольных не ортогональных
сетках, представленные результаты получены на ортогональных сетках.
В работе [109] приведены расчеты для произвольных двумерных областей
с использованием не ортогональных сеток. Так как при использовании
криволинейных сеток необходимо производить анализ, в каком порядке
производить расчет ячеек, в работе предложено использовать ранее
созданный файл, содержащий номера ячеек в порядке расчета криволинейной
области. В работе [110] метод конечного объема применен для расчета
трехмерного поля излучения для цилиндрической области содержащей
излучающую, поглощающую и рассеивающую среду, ограниченную
диффузно отражающими стенками.
При сравнении метода конечного объема и метода дискретных ординат,
полученного посредством преобразования координат, установлено, что метод
конечного объема является более точным [111], причем потребление
машинного времени практически одинаково у обоих методов. В работе
представлены результаты пяти тестовых случаев в двумерной и трехмерной
геометрии для излучающих, поглощающих и рассеивающих сред
находящиеся в областях сложной формы.
Известно, что уравнение переноса излучения удается сформулировать в
разных формах. При выводе уравнения переноса излучения в частных
производных второго порядка вводятся две функции. Первая является
суммой интенсивностей в противоположных направлениях, вторая -- их
разностью. Уравнение переноса, записанное через сумму интенсивностей в
противоположных направлениях, решается только в половине угловых
направлений. В работе [112] сделан вывод уравнения второго порядка и
предложены способы аппроксимации. В этой работе произведено

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
132
исследование разных видов аппроксимации уравнения и граничных условий
на ортогональной сетке для параллелепипеда, содержащего нерассеивающую
изотермическую среду. Приведены зависимости ошибок расчета для разных
оптических толщин.
В криволинейных системах координат произведено сравнение решения
уравнения полученного преобразованием координат для стандартного
уравнения дискретных ординат и для уравнения переноса второго порядка
[113]. Для исследования точности решения использовалось пять тестовых
случаев для двумерных и трехмерных сред с рассеянием. Для более точного
решения уравнения второго порядка требуется сгущение сетки у стенок,
ограничивающих среду. Исследование показало, что решение уравнения
второго порядка требует больше машинного времени из-за увеличения
количества итераций, особенно при расчете оптически тонких сред.
В работе [114] применен метод конечного объема, основанный на методе
конечных элементов, к решению уравнения переноса излучения первого и
второго порядков в двумерной геометрии для поглощающих, изотропно-
рассеивающих и излучающих сред, окруженных серыми стенками.
Сравнение потоков на поверхности параллелепипеда с точным решением
позволяет заключить, что решение уравнения первого порядка имеет
меньшую ошибку.
В работе [115] уравнение второго порядка решалось методом конечного
объема. Кубическая область, заполненная излучающим и поглощающим
газом, располагалась в пространстве произвольным образом. После
преобразования координат радиационные потоки, падающие на стенки
области, находились методом конечного объема. Повышение точности
решения требовало увеличения порядка используемой квадратуры, что в
свою очередь приводило к большим потерям процессорного времени.
Сравнение радиационных потоков на стенку ограничивающей области с
результатами, полученными в [84], [108], показало приемлемую точность
данного метода.
2.6.2. Типичные формулировки уравнения переноса теплового излучения
Энергия излучения в направлении Ω в телесном угле d Ω в элементарном
объеме (рис.2.66), заполненном поглощающей, излучающей и рассеивающей
средой, увеличивается за счет излучения среды и за счет рассеяния
излучения, приходящего с направления ′
Ω , в направление Ω , и уменьшается
за счет поглощения среды и рассеяния с направления Ω в направление ′
Ω.
Стационарное уравнение переноса излучения имеет следующий вид:
()()( )( )
,,
II
λλ
λ
λ
κσ
∇=
−
++
ΩrΩ
rΩ
() ()
()
4
()
,
4
b
IT
I
d
λ
λλ
λ
π
σ
κ
π
′′
′
++Φ
→
Ω
∫
rr
ΩΩΩ ,
(
6
7
)

2.6. МДО на неструктурированной сетке
133
где()
,
Iλ r Ω -- спектральная интенсивность излучения в точке с координатами
r , в направлении единичного вектора Ω ; ( )
b
I λ r -- спектральная
интенсивность излучения абсолютно черного тела при температуре среды в
точке с координатами r ; λ
κиλ
σ -- спектральные коэффициенты поглощения
и рассеяния; ()
′
Φ→
ΩΩ
-- индикатриса рассеяния излучения, то есть
вероятность того, что излучение пришедшее в элементарный объем с
направления ′
Ω рассеется в направлении Ω . При ( ) 1
′
Φ→=
ΩΩ среда
считается изотропно-рассеивающей. В чистых газах без примесей частиц
(углерод, пыль, капли воды и т.д.) среда считается нерассеивающей и λ
σ =0.
Граничные условия формулируются для различных оптических свойств
поверхностей. Так, если область, содержащая среду, ограничена дифузно
отражающими стенками Γ , тогда излучение покидающее стенку выражается
следующем образом:
() ()
()
0
,(
),
b
II
T
I
d
λλ
λ
ρ
ε
π′<
′
′′
=+
Ω
∫nΩ
rΩ
rn
ΩrΩ,
∈Γ
r,
(
6
8
)
где ε -- степень черноты стенок, ρ -- коэффициент отражения стенки и n --
единичная нормаль к границе Γ в точке r принадлежащей границе.
Излучение, покидающее стенку, состоит из излучения самой стенки и доли
отраженного стенкой лучистого потока.
Рис.2.66. Перенос излучения в элементарном объеме
Одной из сложностей решения системы уравнений (67), (68) является
зависимость коэффициентов поглощения и рассеяния от длины волны, а в
общем случае может возникнуть спектральная зависимость для индикатрисы
рассеяния, а также для степени черноты стенок и для коэффициента
отражения. По этой причине решают задачу в многогрупповом приближении.
Оптический диапазон разбивается
на спектральные группы
(12
1
1
...
...
ii
N
++
<<<< <<
λλλ
λλ
), внутри которых спектральные параметры
считают постоянными:
1
1
1g
g
g
ggd
+
+
=
−∫λ
λ
λ
κκ
λ
λλ,
1
1
1g
g
g
ggd
+
+
=
−∫λ
λ
λ
σ
σλ
λλ,
(
6
9
)

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
134
где g -- номер спектральной группы. Точность решения задачи зависит от
степени аппроксимации спектральных коэффициентов групповыми, то есть
от количества спектральных групп N .
Система уравнений (67), (68) в многогрупповом приближении имеет
следующий вид:
()()( )()
,,
gg
g
g
II
κσ
∇=
−
++
ΩrΩ
rΩ
() ()
()
4
()
,
4g
gb
g
g
IT
I
d
π
σ
κ
π
′′
′
++Φ
→
Ω
∫
rr
ΩΩΩ ,
(
7
0
)
() ()
()
0
,(
),
gb
g
g
II
T
I
d
ρ
ε
π′<
′
′′
=+
Ω
∫nΩ
rΩ
rn
Ω nΩ ,r∈Γ
r
,
где ()
()
11
2
5
11
11
2
()
()
exp
1
gg
gg
bg
b
gg
gg
hc
IT
ITd
d
hc
kT
λλ
λ
λλ
λ
λ
λλ
λλλ
λ
++
++
==
−−
⎡⎤
⎛⎞
−
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∫∫
rr
;
h , k -- постоянные Планка и Больцмана, c -- скорость света, T -- температура
среды в точке r . В дальнейшем при формулировке системы уравнений (70) в
разных координатных системах индекс g будем опускать.
Трехмерная геометрия. Дифференциальный оператор в (70) для
трехмерной декартовой системы координат (
рис.2.67) имеет вид:
xyz
∂∂∂
++
∂∂∂
ηµξ, где ,,
η µξ-- координаты единичного вектора Ω
r
(направляющие косинусы), тогда (70) в трехмерной декартовой системе
координат примет вид:() 4
4
b
IIIIII
d
xyz
∂∂∂
′
++=
−
++
+Φ
Ω
∂∂∂
∫π
σ
ηµξ κ
σκπ
,
(
7
1
)
где()
,
II
=rΩ,()
′
Φ=Φ →
ΩΩ
,()
()
bb
II
T
=
r.
Двумерная геометрия. В задачах, где применяется двумерная
ортогональная система координат (решение ищется в плоскости xy ), в (71)
производная по оси z равна нулю. Тогда (70) будет иметь более простую
форму: () 4
4
b
IIIII
d
xy
∂∂
′
+=
−
++
+Φ
Ω
∂∂
∫π
σ
ηµκ
σκπ
.
(
7
2
)
Цилиндрическая геометрия. Часто бывает удобным решать (70) в
цилиндрической системе координат. Цилиндрические координаты ()
,,
rz
θ
связаны с декартовыми координатами ( )
,,
x yz , следующими соотношениями
22
rxy
=+
,tgx
y
=
θ,zz
= или
cos
xr
=θ,
sin
yr
= θ . Производные в

2.6. МДО на неструктурированной сетке
135
декартовых координатах при переходе к цилиндрической системе координат
преобразуются с использованием указанных выше соотношений:
r
rz
xxxx x
rz
z
xyz yyyyy
rz
zzzz z
∂
⎛⎞
⎜⎟
∂
⎜⎟
∂
′
⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂∂∂∂ ∂
⎜⎟
⎜⎟
∂
′
⎛⎞
∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂
⎜⎟
⎜⎟
==
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂
∂∂∂ ∂∂∂∂ ∂
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
∂
′
∂∂∂∂∂
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎜⎟
∂∂∂∂ ∂
⎝⎠
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
′
∂
⎝⎠
θψ
ϕ
θ
θψ
ϕ
θψ
ϕ
ψ
ϕ
11
sin
cos00 cos
11
cos
sin00 sin
00
1
0
0
r
rr
z
rr
∂
⎛⎞
⎜⎟
∂
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎝⎠
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎜⎟
′
∂
⎝⎠
θθ
θ
θ
θθθ
ψ
ϕ
.
(
7
3
)
Направляющие косинусы в декартовой системе координат
sin sin
=
ηϕψ
,
cos sin
=
µϕψ
,
cos
=
ξ ψ выражаются через направляющие косинусы
sin sin
′′
=
ηϕψ
,
cos sin
′′
=
µϕψ
,
cos
′=
ξ ψ в цилиндрической системе
координат (см. рис.1.3)
()
cos
sin 0
sin cos 0
00
1
′
⎛⎞
⎛
⎞
⎜⎟
⎜
⎟
′
=−
⎜⎟
⎜
⎟
⎜⎟
⎜
⎟
′
⎝⎠
⎝
⎠
θθη
ηµξθθµ
ξ.
(
7
4
)
Используя (73), (74) выразим оператор градиента в направлении
единичного вектора Ω :
()xyzr
rz
r
η
η
ηµξµ ξ
θ
ϕ
′
′
∂∂∂∂∂∂∂
′′
∇=++=+
+−
′
∂∂∂∂∂∂∂
Ω
.
В итоге, уравнение (70) в цилиндрической системе координат имеет вид:

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
136
()4
4
b
IIII II I
d
rr
zr
∂∂∂∂
′
++− =
−
+
+
+Φ
Ω
∂∂∂∂
∫π
η
ησ
µξκ
σ
κ
θϕ
π
.
(
7
5
)
При записи (75) штрихи при направляющих косинусах и при угле между
направлением Ω и осью µ в цилиндрической геометрии, которые были
введены для удобства вывода формулы, опущены. Для осесимметричной
постановки задачи в (75) производная по углу θ равна нулю:
()4
4
b
IIIIII
d
rr
z
∂∂∂
′
−+=
−
+
+
+Φ
Ω
∂∂∂
∫π
η
σ
µξ
κ
σ
κ
ϕπ
.
(
7
6
)
Уравнение (76) удобно записать в дивергентной форме:
()4
1
4
b
rI
II
III
d
rrr
z
∂∂∂
′
−+
=
−
+
+
+Φ
Ω
∂∂∂
∫π
µ
ησ
ξκ
σ
κ
ϕπ
.
(
7
7
)
(а)
(б)
Рис. 2.67. К расчету переноса излучения в сферической (а) и цилиндрической (б)
системах координат
Сферическая геометрия. Приведем уравнение (70) в центрально-
симметричной сферической системе координат в консервативной форме:
()()
2
2
2
4
1
1
4
b
I
rI
III
d
rrr
∂−
∂
′
+=
−
+
+
+
Φ
Ω
∂∂
∫π
µ
µσ
κσκ
µπ
.
(
7
8
)
2.6.3. Метод дискретных ординат на ортогональных сетках
Точное решение уравнения (70) применительно к широкому кругу задач
радиационного теплопереноса является трудоемким, а порой даже
невозможным. Поэтому для нахождения решения уравнения переноса
используют различные приближения метода. Как уже отмечалось, к
настоящему времени разработана серия таких методов, но здесь будет
рассмотрен только метод решения уравнения переноса в формулировке

2.6. МДО на неструктурированной сетке
137
дискретных ординат на ортогональных сетках. Идея этого метода
заключается в выборе конечного числа дискретных направлений и
установлении связи между интенсивностями излучения, рассчитанными в
указанных направлениях. Все интегралы по угловым переменным
разлагаются в квадратурные формулы по конечному числу выбранных
направлений. Таким образом, интегро-дифференциальная краевая задача (70)
преобразуется в систему уравнений в частных производных, зависящих
только от пространственных переменных.
Разобьем область угловых направлений Ω на конечное число единичных
векторов m
Ω (где m -- номер дискретного направления, общим числом M ) и
каждому направлению присвоим некоторое весовое значение m
ω.Для
лучшего понимания, представим точки m на поверхности сферы единичного
радиуса, каждой точке соответствует некоторая площадь поверхности сферы.
Сумма всех весов равняется площади поверхности сферы, то есть
14
M
m
m=
=
∑ω
π.
Направляющие векторы имеют координаты ( )
,,
mmmm
ηµξ
Ω
, где
,,
mmm
η µξ-- направляющие косинусы вектора m
Ω . Способу выбора угловых
направлений (используется также термин угловых квадратур) посвящен
отдельный раздел данной работы. Тогда уравнение (70) можно записать в
виде системы уравнений переноса излучения для каждого направления m
Ω:
() ()
'
1
4
M
mm
m
m
m
mb
m
m
II
II
σ
κσκ
ω
π
′
′
=
∇=
−
+++
Φ
∑
Ω
,
(
7
9
)
'
0
m
mm
bW
m
m
II
I
ρ
εω
π′
′′
<
=+∑
nΩ
nΩ ,r∈Γ
r
,
где ()
,
mg
m
II
=rΩ,()
mm
mm
′
′
′
Φ=
Φ→
ΩΩ
,()
bWbW
II
T
=
,W
T -- температура
границы области, n -- нормаль к границе в точке r при ∈ Γ
r.
Интеграл рассеяния в правой части уравнения переноса заменяется
квадратурной суммой. Индикатриса рассеяния (в случае анизотропии среды)
разлагается по полиномам Лежандра. В дальнейшем будем рассматривать
(79) применительно к изотропно-рассеивающей среде (1
Φ≡ ).
Введем пространственную сетку. Для этого всю расчетную область
разобьем на прямоугольные ячейки рис.2.68. Центр ячейки имеет
координаты ( )
,,
ijk
xyz
r
,гдеиндекс( )
1,
iI
X
∈
означает разбиение по оси x ,
()
1,
jJ
Y
∈
--поосиy,()
1,
kK
Z
∈
-- по оси z . Координаты грани ячейки
обозначаются смещением соответствующего индекса на половину. Таким
образом, объем ячейки с координатами ( )
,,
ijk
xyz
r
равняется
()()()
,,
12
12
12
12
12
12
ijk
i
i
j
j
k
k
ijkp
Vxxyyzz x
y
z
V
+−+−+−
=−
−
−=
∆
∆
∆
=
. Индекс p

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
138
будет в дальнейшем означать, что величина относится к центру ячейки.
Будем считать коэффициенты поглощения и рассеяния постоянными внутри
каждой ячейки и равными p
κиp
σ соответственно.
Трехмерная геометрия
В работах [82], [86], [87] описан метод дискретных ординат
применительно к трехмерной декартовой системе координат.
Проинтегрируем (79) для случая изотропно-рассеивающей среды по объему
элементарной ячейки ,,
ijk
V()p
V с координатами ( )
,,
ijk
x yz:
121212
121212
ijk
ijk
xyz
mmm
mmm
xyz
III
dxdydz
xyz
+++
−−
−
⎛⎞
∂∂∂
++
=
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∫∫∫ηµξ
()
121212
121212
1
4
ijk
ijk
xyz
M
mm
bm
m
xyz
II
I
d
x
d
y
d
z
+++
−−
−
′
′
′=
⎛⎞
=−
+
+
+
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫∫∫
σ
κσκ
ω
π
,
(
8
0
)
()()()
12
12,
12
12,
12
12,
mm
mm
mm
mi
ij
kmjji
kmkki
j
IIA IIB IIC
+−
+−
+−
−+−+− =
ηµξ
(),
1
4
M
pp
mm
pp
p
pp
b
p
p
m
p
m
V
IV IV
I′
′
′=
=−+
+
+∑
σ
κσ
κ
ω
π
,
(
8
1
)
где ,j kj
k
Ay
z
=∆∆,
,
ik
ik
Bxz
=∆∆,
,
ij ij
Cx
y
=∆∆;
()
12 12
12 12
12
12
,,,
jk
jk
yz
im
yz
m
i
jk
Ixyzd
y
d
z
I
yz
++
−−
+
+
Ω
=
∆∆
∫∫
,
()
12 12
12 12
12
12
,,,
jk
jk
yz
im
yz
m
i
jk
Ixyzd
y
d
z
I
yz
++
−−
−
−
Ω
=
∆∆
∫∫
,
()
12 12
12 12
12
12
,,
,
ik
ik
xz
jm
xz
mj
ik
Ixy z dxdz
I
xz
++
−−
+
+
Ω
=
∆∆
∫∫
,
()
12 12
12 12
12
12
,,
,
ik
ik
xz
jm
xz
mj
ik
Ixyzd
x
d
z
I
xz
++
−−
−
−
Ω
=
∆∆
∫∫
,
()
12 12
12 12
12
12
,,
,
ji
ji
yx
km
yx
m
k
ji
Ixyz
dydx
I
yx
++
−−
+
+
Ω
=
∆∆
∫∫
,
()
12 12
12 12
12
12
,,
,
ji
ji
yx
km
yx
m
k
ji
Ixyz
dydx
I
yx
++
−−
−
−
Ω
=
∆∆
∫∫
,
()
121212
121212
,,,
jik
jik
yxz
m
yxz
m
p
jik
Ixyz dydxdz
I
yxz
+++
−−
−
Ω
=
∆∆∆
∫∫∫
,
()
121212
121212
,
,,
jik
jik
yxz
b
yxz
bp
jik
I xyzdydxdz
I
yxz
+++
−−
−
=
∆∆∆
∫∫∫
.
Аналогично запишем уравнения для граничных условий:

2.6. МДО на неструктурированной сетке
139
12
1,,
0
m
mm
ib
Wm
m
i
j
k
m
II
I
′
′
′′
==
′
<
=+∑
η
ρ
εω
η
π
,
(
8
2
a)
12
,,
0
m
mm
iI
X
b
W
mmiI
Xjk
m
II
I
′
′
′′
=+
=
′
>
=+∑
η
ρ
εω
η
π
,
(
8
2
b)
12
,1,
0
m
mm
j
bW
m
mijk
m
II
I
′
′
′′
==
′
<
=+∑
µ
ρ
εω
µ
π
,
(
8
2
c)
12
,
,
0
m
mm
jJY
bW
m
m ijJYk
m
II
I
′
′
′′
=+
=
′
>
=+∑
µ
ρ
εω
µ
π
,
(
8
2
d)
12
,,1
0
m
mm
kb
Wm
m
i
j
k
m
II
I
′
′
′′
==
′
<
=+∑
ξ
ρ
εω
ξ
π
,
(
8
2
e)
12
,,
0
m
mm
kK
Z
b
W
mmijkK
Z
m
II
I
′
′
′′
=+
=
′
>
=+∑
ξ
ρ
εω
ξ
π
.
(
8
2
f)
В (82) второе слагаемое в правой части описывает диффузное отражение
стенки. Граничные условия зависят от потока лучистой энергии падающей на
стенку. Подчеркнем, что в правой части уравнения (81), сумма по
интенсивностям рассеянного излучения зависит от решения. Это
обстоятельство означает необходимость организации итерационного
процесса нахождения решения.
В левой части (81) из шести средних интенсивностей на гранях ячейки
только три могут быть определены при помощи граничных условий (2.4). В
правой части (81) в сумму входят интенсивности, полученные с предыдущей
итерации. Исходя из предположения о неразрывности решения, введем
аппроксимационные формулы, связывающие средние интенсивности на
гранях ячейки со средней интенсивностью в центре ячейки:
()
()
()
111
mm
mm
mm
m
i iref i iend
j jref j jend
k kref k kend
p
II II
III
−+=
−+=
−+=
γγγγγγ.(83)
Здесь: γ -- весовая функция, принимающая значения 0.5 1
≤≤
γ . Индекс при
весовой функции обозначает номер и координату ячейки. Средняя
интенсивность на опорной (reference) грани ячейки обозначается индексом
ref , а на конечной -- end . Выбор опорных и конечных граней зависит от
направления излучения m
Ω . Грань считается опорной, если она излучает и
конечной, если излучение падает на эту грань. Наглядный пример приведен
на рис.2.68.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
140
Рис.2.68. Разбиение трехмерной расчетной области на элементарные объемы. Справа
дано пояснение обозначения опорных и конечных граней
Уравнения (81)--(83) составляют систему уравнений. Для положительных
направляющих косинусов
,,0
mmm
>
η µξ формула (81) может быть
представлена в виде
()
,1
2
,1
2
,1
2,
1
,,
,
4
M
pp
mmm
m
mmm
jki
ikj
ijk
pbp p
mp
m
ijk
m
p
mm
m
jk
ik
ijppp
ijk
V
AI
BI
CI
IV
I
I
ABC V
′
′
−−
−
′=
+++
+
=
+++
+
∑
σ
ηµξκω
γγγ
π
ηµξ κσ
γγγ
. (84)
Запишем уравнение (84) в общем виде для произвольных направляющих
косинусов, то есть выразим интенсивность в центре ячейки через известные
интенсивности на опорных гранях. В табл.2.2 приведена полная расшифровка
индексов для опорных и конечных граней ячейки.
()
,,,
,1
,,,
4
M
pp
mmm
mmm
m
jk iref
ik jref
ijkref pbpp
mp
m
ijk
m
p
mm
m
jk
ik
ijppp
ijk
V
AI
BI
CI IV
I
I
ABC V
′
′
′=
+++
+
=
+++
+
∑
σ
ηµξκω
γγγ
π
ηµξκσ
γγγ
. (85)
Решение (85) для каждого направления m
Ω отыскивается посредством
итераций, поскольку граничные условия и аппроксимация интеграла
рассеяния зависят от неизвестных интенсивностей. Для примера покажем
алгоритм вычисления на первом шаге итераций в одном групповом
спектральном диапазоне.
Для того, чтобы начать вычисления полагают, что стенки расчетной
области являются абсолютно черными, а коэффициент рассеяния равен нулю.
В направлении
m
Ω с положительными направляющими косинусами
вычисления начинаются с ячейки с координатами ( , , ) (1,1,1)
ijk =
. Именно
для этого элементарного объема все три интенсивности на опорных гранях
ячейки известны из граничных условий. С помощью (85) вычисляется
интенсивность в центре ячейке. Используя (83) вычисляются интенсивности
на конечных гранях, эти конечные грани являются опорными для граничащих
ячеек. Таким образом, для соседних граней становится известными все три
величины необходимые для решения (85). Процесс продолжается, пока

2.6. МДО на неструктурированной сетке
141
интенсивности в каждой ячейке во всей расчетной области ни будут найдены.
Для другого дискретного направления выбирается ячейка, в которой все три
интенсивности на опорных гранях известны из граничных условий. Первая
итерация заканчивается, когда все направления будут просканированы. На
втором итерационном шаге расчетный алгоритм аналогичен приведенному
выше, отличаясь только тем, что в граничных условиях (82), в слагаемом
дающим вклад от отражения, и в уравнении (85), в аппроксимации интеграла
рассеяния, неизвестные интенсивности берутся с предыдущей итерации.
Итерации прекращаются при достижении заданной точности решения.
Итерационный процесс может и не иметь сходимости. Это происходит,
когда интенсивности, найденные экстраполяцией на концевых гранях ячейки,
становятся отрицательными, что является физически невозможным. Иногда
отрицательные интенсивности приравнивают нулю и вычисления
продолжают. Однако в этом случае могут возникать осцилляции решения.
Эта проблема решается подбором весов γ . Сходимость и точность решения
зависит от выбора весовых функций γ , которые в свою очередь могут
зависеть от координатной и угловой сеток [82], [87], [116], [117]. В работах
[82], [118] обсуждаются пути решения проблемы ускорения итерационного
процесса.
Двумерная геометрия
Работы [84], [104] посвящены решению уравнения переноса излучения в
двумерной геометрии c применением метода дискретных ординат. Запишем
(79) для изотропно-рассеивающей среды в прямоугольной декартовой
системе координат для двумерного случая:
()1
4
mm
M
mm
mm
bm
m
II II
I
xy
′
′
′=
∂∂
+=
−
+
+
+
∂∂
∑
σ
ηµκ
σ
κω
π
.
(
8
6
)
После интегрирования (86) по объему p
V прямоугольной ячейки с
координатами центра ()
,
ij
x y ячейки, получим:
()()
12
12
12
12
mm
mm
mi
ijmjji
IIA IIB
+−
+−
−+ −=
ηµ
(),
1
4
M
pp
mm
pp
p
pp
b
p
p
m
p
m
V
IV IV
I′
′
′=
=−+
+
+∑
σ
κσ
κ
ω
π
,
(
8
7
)
где()()
,1
2
1
2
1
2
1
2
pi
jiijj
ij
VVxxyyx
y
+−+−
==−
−
=
∆
∆
,
12
12
j jjj
Ayyy
+−
=
−=
∆
,
12
12
iii
i
Bxxx
+−
=−=
∆
. Средние интенсивности на гранях ячейки и в объеме
равны: ()
12
12
12
12
1
,,
j
j
y
m
ii
m
jy
II
x
y
d
y
y
+
−
++
=Ω
∆∫
,
()
12
12
12
12
1
,,
j
j
y
m
ii
m
jy
II
x
y
d
y
y
+
−
−−
=Ω
∆∫
,

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
142
()
12
12
12
12
1
,,
i
i
x
mjj
m
ix
II
x
y
d
x
x
+
−
++
=Ω
∆∫
,
()
12
12
12
12
1
,,
i
i
x
mjj
m
ix
II
x
y
d
x
x
+
−
−−
=Ω
∆∫
,
()
12 12
12 12
1
,,
ji
ji
yx
m
pm
ji
yx
I
Ixy dydx
yx
++
−−
=Ω
∆∆ ∫∫
,
()
12 12
12 12
,
1
,
ji
ji
yx
bp
b
ji
yx
II
x
y
d
y
d
x
yx
++
−−
=∆∆∫∫ .
Граничные условия запишутся в следующем виде:
12
1,
0
m
mm
ib
Wm
m
i
j
m
II
I
′
′
′′
==
′
<
=+∑
η
ρ
εω
η
π
,
(
8
8
a)
12
,
0
m
mm
iI
X
b
W
mmiI
Xj
m
II
I
′
′
′′
=+
=
′
>
=+∑
η
ρ
εω
η
π
,
(
8
8
b)
12
,1
0
m
mm
j
bW
m
mij
m
II
I
′
′
′′
==
′
<
=+∑
µ
ρ
εω
µ
π
,
(
8
8
c)
12
,
0
m
mm
jJY
bW
m
m ijJY
m
II
I
′
′
′′
=+
=
′
>
=+∑
µ
ρ
εω
µ
π
.
(
8
8
d)
Добавим к системе уравнений (87), (88) аппроксимационные формулы,
связывающие средние интенсивности на гранях ячейки с интенсивностью в
центре:
() ()
11
mm
mm
m
i iref i iend
j jref j jend
p
II III
−+=
−+=
γγγγ.
(
8
9
)
Выразим интенсивность в центре ячейки, через интенсивности на опорных
гранях (см. табл.2.2):
()
,
1
4
M
pp
mm
mm
m
ji
r
e
f
ij
r
e
f pbpp
mp
m
ij
m
p
mm
ji
p
p
p
ij
V
AI
BI
IV
I
I
ABV
′
′
′=
++
+
=
++
+
∑
σ
ηµκω
γγ
π
ηµκσ
γγ
.
(
9
0
)
Итерационный алгоритм нахождения решения внутри спектральной
группы аналогичен нахождению решения в трехмерной геометрии.
Находятся интенсивности при положительных направляющих косинусах ξ
(или при отрицательных ξ ). В силу симметрии оси z эти интенсивности
приравниваются соответствующим интенсивностям при отрицательных ξ
(или при положительных ξ ).

2.6. МДО на неструктурированной сетке
143
Цилиндрическая геометрия
Ряд работ [88-93], [105-107] посвящен решению задачи переноса
излучения в цилиндрической ортогональной системе координат. Разобьем
расчетную область на элементарные объемы с координатами центров ячеек в
точках i
rиj
z . Индексы изменяются в пределах ( )
1,
iI
X
∈
,()
1,
jJ
Z
∈
.
Увеличение или уменьшение индекса на половину соответствует грани
ячейки. Запишем осесимметричное уравнение (90) для излучающей,
поглощающей и изотропно-рассеивающей среды в представлении метода
дискретных ординат:
()1
1
4
m
mm
M
mm
mm
mb
m
m
I
rI
I
II
I
rrr
z
′
′
′=
∂
∂∂
−+
=
−
+
+
+
∂∂∂
∑
µη
σ
ξκ
σ
κω
ϕπ
.
(91)
Пусть среда ограничена диффузно-отражающими стенками со степенью
черноты ε и коэффициентом отражения ρ при температуре
ограничивающей поверхности W
T . Тогда граничные условия на стенке
запишем в виде:
'
0
m
mm
bW
m
m
II
I
ρ
εω
π′
′′
<
=+∑
nΩ
nΩ.
(
9
2
)
Умножим (91) на 2 rdrdz
π
и проинтегрируем по объему элементарной
ячейки:
()
12 12
12 12
12 12
12 12
22
ij
ij
rz
m
mm
m
mii
iij
rz
rI rdrdz
rIrIz
rr
++
−−
++ −−
∂
=−
∆
∂
∫∫µ
ππ
µ,
(
9
3
a)
()
12 12
12 12
12
12
22
ij
ij
rz
m
mm
mm
j
j
i
i
rz
I rdrdz
IIrr
z
++
−−
+−
∂
=−
∆
∂
∫∫
πξπ
ξ
,
(
9
3
b)
()(
)
12 12
12 12
12
12
12
12
1
22
ij
ij
rz
mm
n
mm
p
m
p
ij
m
rz
II
I
rdrdz
rz
r
++
−−
+−
+−
∂−
=∆
∆
∂
∫∫ ηη
η
ππ
ϕω
,
(93c)
()
()
12 12
12 12
22
ij
ij
rz
mm
bp
p
p
p
b
p
i
i
j
rz
I I rdrdz
I
Irrz
++
−−
⎡⎤
⎡⎤
−++
=−++∆
∆
⎣⎦
⎣⎦
∫∫
πκ
σ
κπ
κ
σ
κ , (93d)
12 12
12 12
11
22
44
ij
ij
rz
MM
p
mm
mm
p
i
i
j
mm
rz
I rdrdz
Irrz
++
−−
′′
′′
′′
==
=∆
∆
∑∑
∫∫
σ
σ
πωπ
ω
ππ
,
(
9
3
e
)
где
12
12
iii
rrr
+−
∆=
−
,
12
12
jjj
zzz
+−
∆=
− ; интенсивности 12
m
i
I±,
12
mj
I ± являются
средними интенсивностями на соответствующих гранях ячейки. Индекс p ,
как и прежде, означает середину ячейки. Все величины с индексом p

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
144
являются средними величинами, усредненными по объему элементарной
ячейки. Направляющие косинусы, которые входят в (93) для единичного
вектора направления m
Ω имеют координаты
cos
mm
=
ξψ,
cos sin
mm
m
=
µ
ϕψ
и
12
12
sin
sin
mm
m
±±
=
η
ϕψ
. Для того чтобы получить производную по углу (93c) в
конечно-разностном виде, проинтегрируем производную в пределах углового
диапазона
12
12
mmm
+−
∆=
−
ϕϕϕ
:
12
12
12
12
m
m
mm
IdI I
+
−
+−
∂=−
∂
∫ϕ
ϕ
ηϕηη
ϕ
.
(
9
4
a
)
С другой стороны этот интеграл можно выразить через квадратурные
формулы:
12
12
m
m
m
m
II
d
+
−
∂∂
=
∂∂
∫ϕ
ϕ
ηη
ϕ
ω
ϕϕ
,
(
9
4
b)
где m
ω -- весовой коэффициент квадратурного разложения соответствующего
направления с номером m . Приравнивая (2.16a) и (2.16b) получим
производную в конечно-разностном виде:
() ()
12
12
mm
m
m
II
I
+−
−
∂=
∂
ηη
η
ϕω
.
Уравнение (91) примет вид:
()
()
(
)
12
12
12
12
12 12
12 12
12
12
mm
mpmpi
j
mm
m
m
mii
iijmjjii
m
II
r
z
rIrIzIIr
r
+−
+−
++ −−
+−
−∆
∆
−∆
+−
∆
−
=
ηη
µξω
()
1
4
M
p
mm
ppp
iij p
b
p
iij
m
p
iij
m
Irrz I rrz
Irrz
′
′
′=
=−+
∆∆+ ∆∆+
∆∆
∑
σ
κσ
κ
ω
π
.
(
9
5
)
Граничные условия для (91) с использованием условия симметрии на оси
z запишем в виде:
,1
2
,1
2
0
m
mm
ij
b
W
mmij
m
II
I
′
′
′′
==
′
<
=+∑
ξ
ρ
εω
ξ
π
,
(
9
6
a)
12
,12
0
m
mm
jJ
Z
b
W
mmijJ
Z
m
II
I
′
′
′′
=+
=+
′
>
=+∑
ξ
ρ
εω
ξ
π
,
(
9
6
b)
12
12
mm
ii
II
′
==
=
,при 0
m′<
µ,
mm
′=−
µµ,
(
9
6
c)
12
12,
0
m
mm
iI
X
b
W
mmiI
Xj
m
II
I
′
′
′′
=+
=+
′
>
=+∑
µ
ρ
εω
ξ
π
.
(
9
6
b)
До настоящего времени не обсуждался вопрос о свойствах используемых
квадратур. Из (95) следует, что точки на единичной сфере для направляющих

2.6. МДО на неструктурированной сетке
145
косинусов µ и η должны лежать на окружностях образованных сферой
222
1
++=
µξη и плоскостями
const
=
ξ.
Граничное условие (96c) также накладывает ограничение на
использование квадратур. Дискретные ординаты η и µ должны быть
симметричны относительно оси ξ , рис.2.69.
Используемая квадратура должна позволять точно вычислять интеграл
4
0
d
ΩΩ=
∫π
. Этому условию удовлетворяют квадратуры с направлениями
симметричными относительно нуля. Учитывая осевую симметрию
рассматриваемой задачи, решение можно искать только для положительных
(отрицательных) значений η .
В двух и трехмерной геометрии уравнение переноса излучения
распадается на систему уравнений по независимым направлениям. Каждое
такое уравнение может быть решено отдельно для конкретного выбранного
направления. В цилиндрической геометрии в записи уравнения переноса
излучения входит дифференциальный оператор, который имеет угловую
зависимость. Это означает, что каждое уравнение системы, на которую
распадается уравнение переноса излучения, уже не может быть решено
независимо для каждого направления. В выведенном разностном уравнении
(95) используются половинные углы (то есть в явном виде присутствует
зависимость одного уравнения системы от другого), что делает данное
уравнение не очень пригодным для его дальнейшего использования, так как
при вводе угловых направлений их нумерация бралась произвольной.
Для более понятной записи введем индексы l и n при помощи которых
будут нумероваться направляющие косинусы. Индекс l соответствует
номеру дискретного уровня для направления m
Ω по оси ξ , n соответствует
номеру проекции направления m
Ω на ось µ . Количество проекций на ось µ
может произвольным образом зависеть от номера уровня lξ . Направление
m
Ω имеет координаты
22
,
1lnl
−−
µξ,
,
ln
µ,lξ.
Индексы для косинусов изменяются в пределах [ ]
1,
lL
∈
и[]
1,l
nN
∈
,
количество проекций l
N по оси µ произвольным образом зависит от
количества разбиений L по оси ξ . Данная запись означает, что в плоскости
выбранного фиксированного дискретного направления lξ существует l
N
проекций ,
ln
ηили,
ln
µ.
К примеру, для трехмерной геометрии это условие может не выполняться,
так как в дифференциальный оператор в декартовой системе координат не
входит производная по углу, и выбор направлений, грубо говоря, может быть
произвольным.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
146
Рис.2.69. Половинные значения направляющих косинусов (
точки означают
направления дискретных ординат, штрихи-- половинные направления)
После введения двух индексов для обозначения направления
распространения излучения вместо одного, перепишем уравнение (95) в виде:
(
)()
,,
,
,
,1
2
1
21
2
1
2
1
21
2
ln
ln
ln
ln
lni i
ii
jlj
jii
rIrIzIIr
r
++ −−
+−
−
∆+
−∆−
µξ
(
)
,1
2
,1
2
,1
2
,1
2
,
ln
ln
lnp
lnp
ij
ln
II
r
z
+−
+−
−∆
∆
−=
ηη
ω
()
,,
,
11
2
4
l
N
L
p
ln
ln
ppp
iij p
b
p
iij
l
n
piij
ln
I rrz Irrz
I rrz
′′
′′
′′
==
=−+
∆∆+ ∆∆+
∆∆
∑∑
σ
κσ
κ
ω
π
. (97)
Определим половинные направления η , входящие в (97). Для этого
запишем (97) для газа имеющего постоянную температуру во всей области,
излучающего как абсолютно черное тело. Излучение по всем направлениям
одинаково. Сократим интенсивность в (97) и используем свойство весов
дискретных направлений
,
11
1
24
l
N
ML
ml
n
ml
n
==
=
==
∑∑
∑
ω
ωπ
. Двойка перед двойной
суммой возникает из-за того, что суммирование ведется только для
положительных или только для отрицательных значений η . В Результате
получим рекуррентную формулу для половинных направлений:
,1
2,1
2,,
ln
ln
ln ln
+−
=+
η
ηµ
ω
, при
l
const
=
=
ξ
ξ.
(
9
8
)
Просуммируем (97) по углу ϕ в диапазоне [ ]
0, π для среды с изотропным
абсолютно черным излучением. Получим следующее выражение для
половинных направлений:
()
,1
2
,1
2
,1
2
,
1
2
,12
,12
,12
,12
1
0
l
l
l
N
lN
ln
ln
l
lnp
lnp
lN
p
lp
n
II II
+
+−
+−+
=
−=−
=
∑ηηηη.
(
9
9
)

2.6. МДО на неструктурированной сетке
147
Для выполнения этого равенства положим ,1 2 0
l=
η
, так как интенсивность
не равна нулю. Из симметрии проекций направлений на ось µ следует
,1
20
l
lN+ =
η
.
Аналогично трехмерному случаю (83), введем уравнения связи средних
интенсивностей на гранях со средней интенсивностью в центре ячейки:
()()()
,,
,,
,
1
2
,
1
2
,
111
ln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
r
rref r rend
z
zref z zend
p
p
p
II II III
−+
−+=
−+=
−+=
ϕϕ
γγγγγγ,(100)
где0.5,,1
rz
≤≤
ϕ
γγγ.
Учитывая направление распространения излучения (рис.2.68), выразим
излучение в центре ячейки, через интенсивности на опорных гранях, для чего
подставим (100) в (98) и найдем ,
ln
p
I:
()
,,
,
,
1
2
,
,
,
11
,
,
,
2
4
l
N
L
p
lm
lm
ln ln
ln
lnprreflpzrefpp
pbp
lnp
p
ln
lm
p
ln
lnplp
p
ppp
AI
BI CI
I
ID
I
aABcC
D
′′
−
′′
′′
==
⎛⎞
+−+
+
⎜⎟
⎝⎠
=
+−+
+∑∑
σ
µξ
κ
ω
π
µξκ
σ
,(101)
1r
pe
n
d
r
e
f
j
r
A
rrz
⎛⎞
−
=+
∆
⎜⎟
⎝⎠
γ
γ
,
end j
p
r
rz
aA
∆
=γ,
ii
p
z
rr
B∆
=γ,
,
,1
2,1
2
,
1
ij
ln
pl
n
l
n
ln
rz
C
+−
⎛⎞
∆∆−
=−
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ϕ
ϕ
γηη
ωγ
,
,1
2
,
,
ln
ln
pi
j
ln
cC
rz
+
=
∆∆
ϕ
η
γω
,pi
ij
D rrz
=∆∆.
Граничные условия (96) запишутся в виде:
/2
,,
,1
2
,
,1
2
11
2l
N
L
ln
ln
ij
bW
lnlij
ln
II
I
′′
′′′
==
′′
==
=+∑∑
ρ
εω
ξ
π
,
(
1
0
2
a)
,,
,1
2
,
,1
2
/21
2l
N
L
ln
ln
ijJ
Z
b
W
lnlijJ
Z
lLn
II
I
′′
′′′
=+
=+
′′
==
=+∑∑
ρ
εω
ξ
π
,
(
1
0
2
b)
,
,12
12
l
lNn
ln
ii
II
−
==
=
,при,0
ln>
µ,
(
1
0
2
c)
,,
12,
,
,
12,
1/
2
2l
l
N
L
ln
ln
iI
Xjb
W
lnlniI
Xj
ln
N
II
I
′′
′′
′′
=+
=+
′′
==
=+∑∑
ρ
εω
µ
π
.
(
1
0
2
d)
В (102) множитель двойка перед знаком суммы появляется в силу осевой
симметрии рассматриваемой задачи. Индексы для опорных и конечных
граней приведены в табл.2.3.
Так как граничные условия (102) зависят от искомого решения в случае
диффузно-отражающих поверхностей, а газ предполагается рассеивающим--
интенсивность излучения в направлении ,
ln
Ω зависит от интенсивностей в
остальных направлениях. Поэтому процедура поиска решения задачи (101),
(102) является итеративной. Первая итерация производится в предположении,

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
148
что рассеяние отсутствует (0
p=
σ ), стенки считаются абсолютно черными и
не рассеивающими (1
,0
==
ε ρ ). На последующих итерациях в уравнении
(101) и в граничных условиях (102) используются интенсивности с
предыдущей итерации.
Для начала счета при каждой итерации ищется интенсивность в
половинном направлении ,1 2
lp
I для каждого уровня lξ . В уравнении (101)
пренебрегают угловой зависимостью решения, то есть коэффициенты
,
ln
p
cC,
,
ln
p
C полагают равными нулю и ищут решение в направлении
()
2
0,1,
ll
Ω−
−
ξ ξ . Используя известные средние интенсивности на гранях
ячейки, находят среднюю интенсивность в объеме ячейки по (101). После
этого выполняют расчет неизвестных интенсивностей на конечных гранях с
использованием (100). Половинные направления вычисляются один раз по
рекуррентной формуле (98) вначале работы программы. Далее используя
найденные интенсивности в половинных направлениях ,1 2
lp
I , граничные
условия (102), уравнение (101) и уравнения связи на гранях ячейки (100)
находят интенсивности для направлений 0
<
µ . Применив граничное условие
(102с) на оси симметрии аналогичным образом продолжают счет для
направлений 0
>
µ . Итерации прекращаются при достижении желаемой
точности. Погрешность расчетов определяется по формуле
,,
,
,
ln ln
pp
ln
p
ln
p
II
I
−
=
%
α
,
где ,
ln
p
I%
-- интенсивность с предыдущей итерации. Если ( ),6
max
10
ln
p
−
<=
αε ,то
вычисления прекращают.
Как уже отмечалось выше, при решении системы уравнений (100)-(102)
могут появляться отрицательные интенсивности, что противоречит
физическому смыслу. Положительность решения можно обеспечить при
правильном подборе весовых γ функций. В работах [92], [105-107]
приведены способы подбора весовых функций.
2.6.4. Квадратуры на поверхности сферы
После описания алгоритма решения уравнения переноса излучения
методом дискретных ординат, осталось определить используемые угловые
ординаты и соответствующие им веса. Методы расчета угловых ординат
обсуждаются в работах [119-125] приведены квадратурные разложения.
Напомним, что в уравнение переноса излучения входит интеграл рассеяния
по телесному углу 4π , в граничные условия входит интеграл диффузного
отражения стенки по половине телесного угла 2π . Некоторые

2.6. МДО на неструктурированной сетке
149
характеристики поля излучения находятся также путем интегрирования по
сфере (например, поток лучистой энергии в направлении r
Ω , плотность
лучистой энергии). Поэтому, естественным является использование одного
набора направлений для аппроксимации интегралов следующих типов:
()
4
,
Ird
ΩΩ
∫π
,()
4
,
Ird
ΩΩΩ
∫π
,()()
2
,
r
Ir
d
ΩΩΩΩ
∫π
.
(103)
Теперь задача сводится к нахождению точек на сфере и присвоению им
соответствующих весов, чтобы как можно точнее брались интегралы (103).
Согласно методу дискретных ординат [123] разложим интенсивность в ряд по
ортогональным сферическим функциям ( ) ( )
,
l
ll
i
l
nn
n
YC
P
e
=
ϕ
ψϕ
ψ:
() ()() ()()()
01
,,
Nn
n
ll
llN
nn
nn
nln
n
Nln
Ir
ArY
ArY Ir
∞
==
−
=+=
−
Ω=
Ω+
Ω= Ω+
∑∑
∑∑
ε ,(3.2) (104)
где N -- порядок аппроксимации интенсивности сферическими функциями;
ε -- ошибка аппроксимации.
Подставим (104) в (103), тогда интегрирование интенсивности сведется к
интегрированию сферических функций. Для того чтобы уменьшить
погрешность расчета интегралов (103) потребуем точного интегрирования
сферических функций до порядка аппроксимации N включительно
квадратурными рядами порядка M . То есть, для всех nN
≤ ,ln
≤ потребуем
точного выполнения равенств:
() ()
1
4
M
ll
mnm
n
mYY
d
=
Ω= ΩΩ
∑∫π
ω
,
(
1
0
5
a)
() ()
/2
1
2
M
ll
mnm
n
mYY
d
=
Ω= ΩΩ
∑∫π
ω
.
(
1
0
5
b)
Для нахождения интегралов удобно записать сферические функции, через
их тригонометрические представления:
() ()() ()() ()()
2
02
sin
, cos
, cos
,
nl
nl
ll
n
nl
P
anl
anl
anl
−−
−
−
⎡
⎤
=+
+
+
⎣
⎦
K
ψψ
ψ
ψ
, (106a)
()
1
011
cos
cos
sin
01
l
il
l
ll
ei
i−
⎛⎞ ⎛⎞
=+
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
ϕ
ϕ
ϕϕ
()
2
22
cos
sin
sin
2l
ll
ll
ii
l
−
⎛⎞
⎛⎞
++
+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
K
ϕϕϕ
,
(
1
0
6
b)
()()
2
02
,,
nl
nl
ll
nn
nl
YC
a
aa
−−
−
−
=+
+
+
×
K
ηµξξξ
01
1
1
2
2
2
012
ll
ll
l
lll
l
iii
i
l
−−
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
×+++
+
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
K
µ
µη
µη
η.
(
1
0
6
c)
Подставляя (106c) в (105) получим условие точного интегрирования
разложения интенсивности в ряд с порядком аппроксимации N
квадратурным рядом порядка M :

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
150
33
12
12
1
4
M
ll
ll
ll
m
m
d
=
=
Ω
∑∫π
ωηµξ ηµξ ,
(
1
0
7
a)
33
12
12
/2
1
2
M
ll
ll
ll
m
m
d
=
=
Ω
∑∫π
ωηµξ ηµξ ,
(
1
0
7
b)
где 123
lll N
++≤ .
Сформулируем некоторые основные свойства квадратур.
Направления
m
Ω представлены точками на сфере единичного
радиуса, 222
1
++=
ηµξ . Направления m
Ω должны не зависеть от выбора
пространственного базиса, т.е. при любом вращении на 900 вокруг
координатных осей квадратурные формулы не должны изменяться. Все веса
должны быть положительными.
Рис.2.70. Расположение дискретных направлений в T5 квадратуре.
Обычно на сфере в первом октанте выбирают направление (, ,)
mαβγ
Ω
, при
последовательном вращении получают точки в первом октанте (, ,)
αβγ,
(,, )
αγβ,(, ,)
βαγ,(, ,)
βγα,(, ,)
γαβ,(, ,)
γ βα , веса этих направлений
должны быть одинаковыми.
Существует три способа задания симметричных направлений. Когда все
три координаты различны, возможны шесть направлений с идентичными
весами. Для случая, когда две координаты вектора совпадают, получается три
направления с одинаковыми весами. И когда вектор имеет все три
одинаковые координаты, возможен только один случай. В остальных
октантах получают направления, используя первый октант, путем вращения
сферы на 900 вокруг главных осей.
Например, в работе [124] рассмотрена так называемая TN квадратура
(рис.2.70). Она получается путем разбиения плоскости
1
++=
η µξ в первом
октанте на одинаковые треугольники. В записи TN, индекс N означает на

2.6. МДО на неструктурированной сетке
151
сколько частей разбивается сторона главного треугольника. Центральные
точки треугольников соответствуют дискретным направлениям. Проекции
данных треугольников на сферу единичного радиуса образует TN квадратуру.
Веса такой квадратуры находят, как площади проекций треугольников на
сфере.
В работе [82] предложен выбор дискретных направлений, которые лежат
на широтах сферы. Этот способ выбора направлений называется S
N
квадратурой, где N означает количество проекций на ось. На рис.2.71
представлена S8 квадратура. В одном октанте всего четыре проекции
направлений m
Ω на ось. В силу симметрии относительно вращения, всего
восемь проекций. Координаты на поверхности сферы даны формулой [82]:
()
()
()
22
1
2
1
1,
213
2.
i
i
N
⎧=+
−∆
⎪⎨∆=
−
−
⎪⎩
µµ
µ
(108)
От выбора первого направляющего косинуса 1
µ зависит распределение
направлений по сфере. При малых 2
1
µ направления расположены ближе к
осям. При больших значениях
2
11
3
<
µ , направляющие косинусы
группируются ближе к направлению (
)
131313.
Для нахождения весов квадратуры используют систему уравнений (107b).
В силу симметрии (107a) будет выполняться автоматически. Для записи
системы уравнений (107b), выберем половину сферы 0
>
ξ . Из симметрии
относительно вращения вокруг оси ξ следует, что интегралы с нечетными
степенями 1l , 2
l при направляющих косинусах η и µ будут равняться нулю.
Значения интегралов полученных перестановкой степеней имеют одни и те
же значения.
Рассмотрим пример расчета весов. Так как мы используем симметричные
направления относительно вращений вокруг координатных осей, интегралы
можно брать в первом октанте. В S8 квадратуре в первом октанте всего три
вектора направления: ( )
1111
,,
Ωαβγ,( )
2222
,,
Ωααγ,( )
3333
,,
Ω α αα . Остальные
направления получаются после вращения. Используя обозначения,
приведенные на рис.2.71 запишем систему уравнений для нахождения весов:
(
)
3333
12
12
12
12
33
12
12
2111 111 111 111
111 111
llll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ll
ωαβγ αγβ βαγ βγα
γαβ γβα
+
+++
+++
()
333
3
12
12
12
12
1222 222 222 3
333
lll l
ll
ll
ll
ll
++
+
+=
ωααβ αβα βαα ω
ααα

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
152
()
()
(
)
12
3
22
00
sin sin
cos sin
cos sin
ll
l
dd
==
∫∫ππ
ϕψϕ
ψψ
ψ
ψ
ϕ
()() ()
()
12
3
1
2
22
1
00
sin
cos
sin
cos
ll
l
l
l
dd
++
=∫∫
ππ
ψ
ψψϕϕϕ
.
(109)
Вычислим интегралы в (109) для набора степеней 12 3
,,
lll ()
0,0,0 ,
()
0,0,1 ,()
0, 0, 2 . Из (109) получим систему уравнений относительно
неизвестных весов:
12
3
362
++
=
π
ωωω ,
()
()
11421233
2
22
2
24
++ +++=
π
ωµµωµµµω
µ,
(110)
()
()
22
222 2
11421233
2
22
2
26
++ +++=
π
ωµµωµµµω
µ.
При первом направляющем косинусе 1
µ , равном 0.1422555, и остальных
проекциях направлений, вычисленных при помощи (108), решением системы
(110) будут веса 1
ω =0.1712359, 2
ω =0.0992284, 3
ω =0.4617179.
Рис.2.71. S8 квадратура
В табл.2.4 приведены направляющие косинусы и соответствующие им
веса для квадратур различных порядков. В таблице даны направления только
для первого октанта, взятые из [87].
В остальных октантах искомые направления получаются путем вращения
вокруг главных осей на углы кратные 900. В табл.2.5 приведены некоторые

2.6. МДО на неструктурированной сетке
153
дискретные ординаты и веса. Остальные направления получаются в первом
октанте при вращении на 1200 приведенных ординат вокруг оси проходящей
через начало координат и точку 111
,,
333
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
В работах [123-125] приведены оценки точности для наиболее часто
используемых квадратур. Для расчетов в методе дискретных ординат можно
брать направления, получаемые при делении направляющих углов ψ и ϕ на
целое количество интервалов. Однако это может привести к ошибкам при
вычислении потоков. Ясно, что ошибка будет уменьшаться при увеличении
количества разбиений, что в свою очередь повысит время расчета. В [126]
исследованы величины ошибок в зависимости от количества направлений.
Использование квадратурных формул в методе дискретных ординат
повышает точность расчета и понижает время счета.
2.6.5. Расчет радиационных потоков к поверхности космического
аппарата с помощью метода дискретных ординат
В работе [92] МДО использовался для нахождения спектральных
характеристик поля теплового излучения плазмы дугового осесимметричного
разряда в атмосфере аргона. Радиационный нагрев внутренней поверхности
воздушного и водородного лазерного плазменного генератора с
использованием МДО исследован в [127,128].
Помимо математических аспектов разработки МДО отметим ряд
решенных задач физической механики. В работе [16] дан анализ других
методов, которые также можно использовать: метод сферических гармоник,
метод дискретных направлений ("Ray-tracing" метод), метод имитационного
моделирования Монте-Карло. В этом ряду МДО обладает рядом
преимуществ (
вычислительная экономичность, точность), которые
целесообразно использовать при решении поставленной задачи. Однако на
пути применения МДО еще имеется ряд нерешенных проблем. К основной
следует отнести сложность использования МДО для решения уравнения
переноса теплового излучения в произвольных объемах сложной геометрии.
В работе [87] предложена модификация стандартного МДО, которая
позволяет решить уравнение переноса излучения на неструктурированных
тетраэдральных сетках. Использование МДО на тетраэдральных сетках
позволяет значительно расширить круг решаемых задач теории переноса
теплового излучения, снимая ограничение на используемую геометрию. В
данном разделе применен алгоритм [87], который развивается для
нахождения радиационных потоков к поверхности космического аппарата
типа MSRO (Mars Sampler Return Orbiter) Европейского космического
агентства.

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
154
Метод дискретных ординат в произвольной трехмерной геометрии
формулируется для расчетной области, в которой введена
неструктурированная сетка, содержащая конечное число непересекающихся
тетраэдров. Уравнение переноса излучения в представлении МДО имеет вид:
()
b,
mmm
m
mmm
IIIII
xyz
∂∂∂
++=−
∂∂∂
λλλ
λλλ
ηµξκ
(111)
где
m
Iλ -- спектральная интенсивность излучения, зависящая от
пространственных координат ,,
x yzи единичного вектора направления Ωm ;
b,
I λ -- спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела при
температуре среды; λ
κ -- спектральный коэффициент поглощения среды;
,,
mmm
η µξ-- направляющие косинусы единичного вектора Ωm ; λ -- длина
волны.
Задание излучения ,0
m
Iλ на границе вычислительного объема Γ позволяет
сформулировать граничное условие вида:
,0
mm
II
=
λ
λ.
(112)
Заменим спектральные величины групповыми и проинтегрируем
уравнение (1) по объему тетраэдральной ячейки:
() ()
4
b,
1Ωmm
imi
ip
ppp
i
SIVII
=
⋅=−
∑n
κ
,
(113)
где
1
i
mm
i
iS
II
d
S
S
= ∫ -- усредненная групповая интенсивность по площади i -ой
грани тетраэдральной ячейки;
1
p
mm
p
pV
II
d
V
V
= ∫ -- средняя групповая
интенсивность в объеме ячейки; i
S -- площадь i -ой грани ячейки; p
V -- объем
ячейки; i
n -- вектор нормали к грани с номером i ; p
κ -- групповой
коэффициент поглощения в ячейке; b, p
I -- групповое излучение абсолютно
черного тела при температуре среды в ячейке с номером p . Групповые
характеристики находятся по формуле 1
f
fd
λ
λλ
λ∆
= ∆ ∫ , где fλ -- спектральная
величина; f -- групповая величина; λ -- длина волны; λ
∆ -- групповой
диапазон усреднения.
Выразив из (113) групповую интенсивность в центре ячейки через средние
групповые интенсивности на гранях ячейки, получим:
()
4
b,
1
1
mm
pp
i
m
i
i
i
pp
II
S
I
V=
=−
⋅
∑nΩ
κ
.
(114)

2.6. МДО на неструктурированной сетке
155
Для решения уравнения (114) необходимо сформулировать уравнения
связи между средними интенсивностями на гранях тетраэдральной ячейки.
На рис.2.72 представлены три возможных случая распространения излучения
внутри ячейки.
Рис.2.72. Три возможных варианта распространения излучения в тетраэдральной
ячейке: (а)-- одна грань получает излучение от трех остальных; (б)-- две грани
получают излучение от двух других; (в)-- три грани получают излучение от четвертой
Если одна грань получает излучение от трех остальных (рис.2.72а), то
средняя интенсивность на принимающей грани 4 зависит от интенсивностей
на остальных следующим образом: ()
34
14
24
41
2
3b
,
444
1
mm
m
m
ppp
S
SS
IIIII
SSS
⎛⎞
=+
++
−
⎜⎟
⎝⎠
χ
χ.
(115)
Во втором случае (рис.2.72б), когда две грани получают излучение от двух
остальных, интенсивность на принимающих гранях
()
32
12
21
3b
,
22
1
mm
m
ppp
S
S
IIII
SS
⎛⎞
=++
−
⎜⎟
⎝⎠
χ
χ,
(116)
()
34
14
41
3b
,
44
1
mm
m
ppp
S
S
IIII
SS
⎛⎞
=++
−
⎜⎟
⎝⎠
χ
χ.
(117)
Третий случай (рис.2.72в) описывает ситуацию, когда три грани получают
излучение от четвертой. Интенсивности на гранях, получающих излучение от
грани с номером 4: ( )
1234 b
,
1
mmmm
ppp
IIII I
===+−
χ
χ.
(118)
В уравнения (115)--(118) входит весовая функция p
χ , которая выражается
следующим образом:( )
1e
x
p
21
p
p
pp
⎛⎞
−−
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎝⎠
τ
χττ
,
(119)
где p
τ -- максимальная оптическая длина в ячейке p в направлении
распространения излучения Ωm .

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
156
Поскольку расчет переноса излучения тесно связан с задачей определения
распределений газодинамических функций, часто целесообразно
использовать одни и те же расчетные сетки. Наибольшей общностью для
пространственных трехмерных задач обладают неструктурированные
тетраэдральные сетки.
При решении пространственной задачи трехмерная шестигранная ячейка,
использовавшаяся для газодинамических расчетов, разбивается на шесть
тетраэдров ABCF , AFDE , FCDA , DEGH , GEFD , GFCD (рис.2.73а). Если
область имеет осевую симметрию, то сетка в цилиндрической системе
координат содержит трехмерные пятигранные ячейки, граничащие с осью z ,
которые разбиваются на три тетраэдра ABCD , BCEF , CDEB (рис. 2.73б). На
рис. 2.74а представлено поперечное сечение тетраэдральной сетки,
полученной разбиением цилиндрической сетки на тетраэдры.
Если постановка задачи подразумевает осесимметричное задание
параметров среды, то иногда предпочтительно использовать
квазиравномерное распределение ячеек в цилиндрическом объеме. Пример
поперечного сечения квазиравномерной сетки представлен на рис.2.74б.
Рис. 2.73. Разбиение ячейки на тетраэдры: (а)-- разбиение шестигранной ячейки; (б)--
разбиение ячейки граничащей с осью z
Рис. 2.74. Поперечное сечение цилиндрической сетки разбитой на тетраэдры (a).
Поперечное сечение цилиндрического объема с квазиравномерной сеткой (б)
Наряду с пространственной дискретизацией вводится также сетка по
направлениям полного телесного угла. При наличии процесса рассеяния в

2.6. МДО на неструктурированной сетке
157
уравнении переноса теплового излучения интеграл рассеяния по телесному
углу в МДО заменяется квадратурным разложением по дискретным
направлениям. Точность аппроксимации интеграла рассеяния определяется
точностью разложения интеграла по квадратурным формулам. Уравнение
переноса теплового излучения решается для каждого конкретного углового
направления. При отсутствии рассеяния эти направления могут быть
выбраны произвольным образом. Однако при нахождении характеристик
поля теплового излучения (например, тепловых радиационных потоков)
возникает необходимость интегрирования интенсивности по углу. В свою
очередь эти интегралы могут быть вычислены при помощи разложения по
квадратурным формулам. Поэтому целесообразно ввести угловую сетку,
совпадающую с направлениями квадратурной формулы.
Для повышения точности расчетов в теории МДО доказывается
предпочтительность того, чтобы выбранная квадратурная схема позволяла
находить с наименьшей погрешностью первые моменты и была инвариантна
относительно вращения на 90° вокруг главных координатных осей. В данном
разделе использовалась S
N квадратура, которая удовлетворяет
перечисленным требованиям. Количество дискретных направлений в SN
квадратуре определяется формулой (+
2
)
NN и зависит от ее порядка N.
Применялся следующий порядок вычислений. Чтобы вычислить среднюю
интенсивность в объеме ячейки с помощью уравнения (114), необходимо
знать интенсивности на гранях. Для решения задачи переноса излучения был
разработан алгоритм распознавания пространственной взаимной ориентации
ячейки и направления распространения излучения Ωm . Данный алгоритм
позволяет осуществить выбор соответствующего характеристического
уравнения (115)--(118) для случая, соответствующего варианту
распространения излучения в ячейке. Если интенсивность на излучающих
гранях известна, то алгоритм, записанный в виде компьютерного кода,
производит расчет интенсивностей на принимающих гранях. С помощью
уравнения (114) может быть определена средняя объемная интенсивность в
центре ячейки. Последовательно производится расчет во всей трехмерной
области.
При использовании неструктурированных сеток последовательность
прохождения ячеек для каждого выбранного направления не является
очевидной. Поэтому для уменьшения затрат машинного времени полезно до
начала счета создать карту прохождения ячеек в порядке их вычислений.
Новую карту последовательности вовлечения ячеек в процесс счета
необходимо создавать заново при изменении угловой или пространственной
сетки.
С использованием разработанного метода выполнены расчеты плотностей
радиационных тепловых потоков к поверхности космического аппарата,
выбранного в Европейском космическом агентстве в качестве базового, для
сравнительной оценки различных расчетных методик аэротермодинамики

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
158
спускаемых в атмосферу космических аппаратов. Предполагается, что
атмосфера Марса состоит из 97% CO2 и 3% N2 (массовые доли). Оптический
диапазон, в котором осуществляется основной перенос тепла излучением,
выбран равным 1970--4000 см-1. Этот оптический диапазон впоследствии
делится на количество спектральных групп равное GR, и решается уравнение
переноса излучения в каждой группе. Распределение температуры (рис.2.75)
и массовых концентраций компонент высокотемпературной смеси газов
вблизи поверхности космического аппарата взяты из [72,129,130].
Групповые коэффициенты поглощения рассчитывались при помощи
компьютерного кода ASTEROID. Граничные условия формулируются для
абсолютно черной поверхности космического корабля при температуре 500
К; газ на границе расчетной области является холодным и не излучающим;
при расчете полей газодинамических функций на выходе из расчетной
области вниз по потоку вдоль координатных линий задавались граничные
условия второго рода.
Рис. 2.75. Температурное распределение за космическим кораблем (поступательная
температура в К)
Газодинамические расчеты проводились на последовательности
криволинейных неортогональных структурированных сеток. Начальная
наиболее грубая сетка, использованная при радиационных расчетах, показана
на рис.2.76.
Местоположения каждой элементарной расчетной ячейки в декартовой
системе координат может быть определено осевой координатой z и
радиусом
22
rxy
=+
, а так же угловой координатой []
0,2
∈
θπ,
определяющей разворот плоскости r -- z вокруг оси z . Тетраэдральная сетка
создавалась из указанной цилиндрической сетки путем разбиения
цилиндрических ячеек на тетраэдры, как это показано на рис.2.73.
На рис.2.76б показан порядок расположения точек на поверхности
космического корабля, в которых приводятся радиационные потоки.
Интегральные радиационные потоки на поверхности космического корабля
зависят от количества спектральных диапазонов (GR), от порядка

2.6. МДО на неструктурированной сетке
159
применяемой квадратуры (SN), а также от порядка углового разбиения по
углу θ (NK).
Рис. 2.76. Вычислительная сетка и расположение координатных точек N на задней
поверхности космического аппарата
На рис.2.77 показано распределение плотности интегральных
радиационных потоков вдоль задней поверхности космического корабля в
зависимости от углового разбиения по углу θ . При увеличении NK углового
разбиения по θ , наблюдается сходимость решения уравнения переноса
излучения. Для дальнейших вычислений было выбрано NK=30.
На точность решения весьма заметно влияет выбор порядка квадратуры.
Распределения плотностей интегральных радиационных потоков вдоль
задней поверхности космического корабля, с использованием квадратур
разных порядков приведены на рис.2.77б. Расчет представлен для 10
групповой оптической модели. На рис.2.78 показана зависимость
распределения плотностей интегральных радиационных потоков для S6
аппроксимации в зависимости от числа оптических групп.
Еще раз подчеркнем, что приведенные распределения плотностей
радиационных тепловых потоков были получены МДО на криволинейных
неструктурированных сетках.
Для тестирования полученных результатов аналогичные расчеты были
выполнены с помощью стандартного МДО [84,85] в ортогональном цилиндре
радиусом 600
R=
см и высотой цилиндра 900
Z=
см. Вычислительная
область разбита на неравномерную сетку по r и z на 171 и 91
соответственно. Поверхность космического корабля моделировалась
ячейками с высоким коэффициентом поглощения ( 5
10 см-1) и с температурой
500 К. Распределение температуры (рис.2.75) и массовых концентраций
компонент высокотемпературной смеси газов вблизи поверхности
космического аппарата на цилиндрической сетке вычислялись методом
интерполяции с газодинамической сетки (рис.2.76).

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
160
Рис. 2.77. Слева: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности
космического аппарата для S6 аппроксимации и GR=10 в зависимости от порядка
угловой дискретизации по углу θ NK=8; 16; 20; 30 и 60 -- 1--5 соответственно
Справа: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического
аппарата при NK=30 и GR=10 в зависимости от порядка применяемой квадратуры SN:
S6, S8, S10, S12, S16 -- 1--5 соответственно
Рис. 2.78. Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности
космического аппарата при NK=30 и S6 квадратуре в зависимости от числа
спектральных групп GR=10; 30; 50; 200 -- 1--4 соответственно
На рис.2.79 приведены распределения плотностей интегральных
радиационных потоков вдоль задней поверхности космического аппарата,
полученные при использовании квадратур разных порядков, здесь
применялась 200 групповая оптическая модель. Зависимость численного
решения от количества учитываемых спектральных групп также

2.6. МДО на неструктурированной сетке
161
иллюстрируется на рис.2.79. В данном случае решение находилось с
использованием S16 квадратуры.
На рис.2.80 показаны распределения интегральных радиационных
потоков, полученные для одинаковых квадратур (S16) и числа спектральных
групп (NG=200) при расчетах на структурированных и неструктурированных
сетках.
Итак, отметим, что преимуществом МДО является то, что этот метод
позволяет достаточно просто находить распределения характеристик поля
излучения во всей расчетной области, а не только вдоль поверхности.
Рис.2.79. Слева: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности
космического аппарата полученный стандартным МДО при GR=200 в зависимости
от порядка применяемой квадратуры SN: S6, S8, S10, S12, S16 -- 1--5 соответственно
Справа: Интегральный радиационный поток вдоль задней поверхности космического
аппарата полученный стандартным МДО для S16 квадратуры в зависимости от числа
групп спектральных групп GR=10; 30; 50; 200 -- 1--4 соответственно
Рис.2.80. Сравнение интегральных
потоков вдоль задней поверхности
космического аппарата полученные 1 --
стандартным МДО при GR=200 и S16
квадратуре; 2 -- МДО на тетраэдральных
сетках при GR=200, S16 квадратуре и
NK=30

Глава 2. Методы расчета переноса теплового излучения
162
Табл.2.2. Расшифровка индексов опорных и конечных граней
0
>
η
0
<
η
0
>
µ
0
<
µ
0
>
µ
0
<
µ
0
>
ξ
0
<
ξ
0
>
ξ
0
<
ξ
0
>
ξ
0
<
ξ
0
>
ξ
0
<
ξ
m
iref
I
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I+
m
iend
I
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I+
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I−
12, ,
m
ij
k
I−
mjref
I
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I+
mjend
I
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I+
,1
2
,
m
ijk
I−
,1
2
,
m
ijk
I−
m
kref
I
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
m
kend
I
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
,, 12
m
ijk
I+
,, 12
m
ijk
I−
Индекс
p
,,
ijk
Табл.2.3. Расшифровка индексов для опорных и конечных граней в ячейке
0
l>
ξ
0
l<
ξ
,0
lm>
µ
,0
lm<
µ
,0
lm>
µ
,0
lm<
µ
,
lm
rref
I
, 12,
ln
ij
I−
, 12,
ln
ij
I+
, 12,
lm
ij
I−
, 12,
lm
ij
I+
,
lm
rend
I
, 12,
lm
ij
I+
, 12,
lm
ij
I−
, 12,
lm
ij
I+
, 12,
lm
ij
I−
,
lm
zref
I
,
,1
2
lm
ij
I−
..
,
,1
2
lm
ij
I+
,
,1
2
lm
ij
I+
,
lm
zend
I
,
,1
2
lm
ij
I+
,
,1
2
lm
ij
I+
,
,1
2
lm
ij
I−
,
,1
2
lm
ij
I−
ref
r
12
i
r−
12
i
r+
12
i
r−
12
i
r+
end
r
12
i
r+
12
i
r−
12
i
r+
12
i
r−
Индекс p ,
ij

2.6. МДО на неструктурированной сетке
163
Табл.2.4. Квадратурные веса и направления для SN квадратуры
в первом октанте
SN№
Ординаты
Веса
m
m
µ
m
ξ
m
η
m
ω
S2 1 0.5773503 0.5773503 0.5773503 1.5707963
S4 1 0.2958759 0.2958759 0.9082483 0.5235987
2 0.9082483 0.2958759 0.2958759 0.5235987
3 0.2958759 0.9082483 0.2958759 0.5235987
S6 1 0.1838670 0.1838670 0.9656013 0.1609517
2 0.6950514 0.1838670 0.6950514 0.3626469
3 0.9656013 0.1838670 0.1838670 0.1609517
4 0.1838670 0.6950514 0.6950514 0.3626469
5 0.6950514 0.6950514 0.1838670 0.3626469
6 0.1838670 0.9656013 0.1838670 0.1609517
S8 1 0.1422555 0.1422555 0.9795543 0.1712359
2 0.5773503 0.1422555 0.8040087 0.0992284
3 0.8040087 0.1422555 0.5773503 0.0992284
4 0.9795543 0.1422555 0.1422555 0.1712359
5 0.1422555 0.5773503 0.8040087 0.0992284
6 0.5773503 0.5773503 0.5773503 0.4617179
7 0.8040087 0.5773503 0.1422555 0.0992284
8 0.1422555 0.8040087 0.5773503 0.0992284
9 0.5773503 0.8040087 0.1422555 0.0992284
10 0.1422555 0.9795543 0.1422555 0.1712359
Табл.2.5. S16 квадратура
µ
ξ
η
ω
S16 0.0888835 0.0888835 0.9920683 0.0646451
0.0888835 0.3838901 0.9190909 0.0426656
0.0888835 0.5355772 0.8397957 0.0181417
0.0888835 0.6529274 0.7521872 0.0460718
0.3838901 0.3838901 0.8397957 0.1717172
0.3838901 0.5355772 0.7521872 0.0090480
0.3838901 0.6529274 0.6529274 0.0459260
0.5355772 0.5355772 0.6529274 0.0948796

164
ГЛАВА 3
РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА СПУСКАЕМЫХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ СФЕРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ В
АТМОСФЕРЕ МАРСА
3.1. Введение
Среди задач компьютерной аэротермодинамики спускаемых космических
аппаратов имеется класс задач, в которых особое значение имеет аккуратное
предсказание всего поля течения, а не только в пограничном слое у
обтекаемой поверхности. Учитывая сложность формы многих космических
аппаратов и малоизученную до настоящего времени пространственную
структуру течения (включая области ламинарно-турбулентного перехода и
отрывных течений), а также ограниченные возможности современных
компьютеров, становится понятной сложность такой задачи.
К этому же классу задач относится проблема расчета радиационно-
конвективного нагрева поверхности космических аппаратов, а также
предсказания спектральной излучательной способности, которая может быть
измерена орбитальным космическим аппаратом, наблюдающим за входом
посадочного модуля в плотные слои атмосферы [135-137]. К этому же классу
относятся задачи наблюдательной астрономии метеоров [138-140].
В указанных случаях суть проблемы состоит в правильном предсказании
распределений концентраций химических компонент, ионов и электронов во
всем пространстве возмущенного газового потока с целью интерпретации их
спектрального излучения.
В данном разделе решается задача радиационно-конвективного
теплообмена космического аппарата (КА) простейшей (сферической) формы
в марсианской атмосфере [76]. Основной целью является сопоставление
конвективного и радиационного нагрева КА для типичных условий входа
космических аппаратов в атмосферу Марса.
3.2. Постановка задачи и метод решения
Аэротермодинамика спускаемого космического аппарата сферической
формы исследуется в рамках уравнений Навье − Стокса в приближении
ламинарного характера течения. Учитываются неравновесные химические
реакции и два предельных случая каталитических свойств поверхности:
некаталитическая и псевдо каталитическая. В последнем случае
концентрации частиц вблизи поверхности полагаются равными в
набегающем потоке. Для решения системы уравнений движения вязкого,
теплопроводного, химически реагирующего, селективно излучающего и
поглощающего газа используется метод расщепления по физическим
процессам, главным элементом которого является решение уравнения,

3.2. Постановка задачи и метод решения
165
выражающего закон сохранения энергии в форме уравнения
Фурье − Кирхгоффа. Причем, поскольку для решения уравнений диффузии
компонент, также как и для решения уравнения Фурье − Кирхгоффа,
используется неявный конечно-разностный метод, то указанные уравнения
также формулируются в неконсервативном (недивергентном) виде.
Таким образом, система решаемых уравнений формулируется в виде двух
групп уравнений. Первую группу составляют уравнения неразрывности и
Навье − Стокса, формулируемые в ортогональной осесимметричной системе
координат. Вторую группу составляют уравнение сохранения энергии
поступательного движения частиц, система уравнений сохранения энергии в
отдельных колебательных модах и система уравнений диффузии химических
компонент смеси. Подробно расчетная модель изложена в Главе 1.
Для численного интегрирования сформулированной системы уравнений
используется упрощенная кинетическая схема, приведенная в таблице М.1
(см. Приложение). Как видно из этой таблицы используются усредненные
значения констант скоростей реакций диссоциации при столкновении
молекул CO2 с другими частицами. Ранее допустимость использования такой
модели была доказана в работе [141] (для указанных точек траектории входа
КА в марсианскую атмосферу). Расчеты проводились в рамках модели
локального термодинамического равновесия.
Спектральные и групповые свойства высокотемпературной смеси газов
сложного состава рассчитывались с использованием компьютерного кода
ASTEROID [18,79]. Спектральный коэффициент поглощения представлялся в
виде 97-ми групповой модели в спектральном диапазоне волновых чисел
1000 150000
∆Ω=
÷
см−1. При формировании групповых спектральных
характеристик объемный спектральный коэффициент поглощения усреднялся
по вращательной структуре в диапазоне
20
∆=
ω
см−1. В спектральном
диапазоне ∆Ω учитывались колебательно-вращательные полосы поглощения
молекул CO2, CO, электронно-колебательные полосы молекул CO, O2,
процессы фотодиссоциации молекул CO, O2. В силу малости ионизации
радиационные процессы с участием электронов не учитывались. Для расчета
плотности интегрального по спектру радиационного теплового потока к
поверхности применялся метод дискретных направлений (Ray-tracing
method). В каждой спектральной группе выполнялось интегрирование
уравнения переноса теплового излучения вдоль каждого из 160 лучей,
испускаемых с заданной точки поверхности. Конечно-разностная сетка вдоль
каждого из лучей строилась методом регулярной выборки [56].
Далее подробно будет рассмотрено обтекание сферы чистым углекислым
газом. В работе [56] было показано, что в рассматриваемых условиях входа в
атмосферу Марса присутствие в атмосферном газе молекулярного азота
( ~3% по массе) не сказывается заметно на уровне радиационных потоков к
поверхности. При этом, нельзя забывать, что спектральная излучательная

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
166
способность возмущенной области может изменяться весьма значительно при
учете молекулярных полос, генерируемых молекулами N2, NO, CN.
Уравнения Навье − Стокса интегрировались с использованием AUSM
конечно-разностной схемы 1-го и 2-го порядка аппроксимации по
пространственным переменным [42]. Использовались неоднородные
регулярные конечно-разностные сетки "O"-типа [76].
Прежде, чем изучить особенности радиационной газовой динамики
космического аппарата сферической формы в марсианской атмосфере,
рассмотрим некоторые результаты тестирования разработанного
вычислительного кода.
3.3. Результаты методических исследований
С целью анализа согласованности и устойчивости используемой конечно-
разностной модели были выполнены вычислительные эксперименты в рамках
модели совершенного газа ( 1.4
=
γ ) на последовательности разностных сеток:
51
101
ij
NN
=×= ,101 201
×
, 201 401
×
, 401 801
×(i
N − число узлов сетки по
нормали к поверхности, j
N − вдоль поверхности). Исходные данные этих
расчетов приведены в таблице 3.1. Расчеты по соотношениям
изоэнтропической теории одномерного потока совершенного газа
показывают, что в рассматриваемом случае температура торможения
составляет 0
T = 4710 К, а температура газа за фронтом ударной волны -
1
T =4570К.
Таблица 3.1. Исходные данные для расчетов
№п/п t,с p∞,эрг/см3 ρ∞,г/см3 T∞,
K V∞ , км/с MΣ ,г/моль
1 Совершен-
ный газ 0.120×105 0.184×10−4 227 3.00
29
2
52
15.56 5.760×10−8 143 7.364
44
3
66
89.41 2.800×10−7 169 6.596
44
Таблица 3.1. (продолжение)
№ п/п
t,с
µ∞ , г/см⋅с λ∞ , эрг/см⋅K ,
p
C ∞ , эрг/K⋅моль
1 Совершенный газ 0.148×10−3 0.206×104
0.247×107
2
52
0.984×10−4 0.204×104
0.145×108
3
66
0.115×10−3 0.237×104
0.145×108

3.3. Результаты методических исследований
167
Таблица 3.1. (продолжение)
№ п/п
t,с
Re
R,см Pr M∞
1 Совершенный газ 0.247×107 66 0.72 9.94
2
52
0.285×105 66 0.7 41.8
3
66
1.060×105 66 0.7 34.4
На рис.3.1 показаны распределения температуры вдоль передней
критической линии тока, полученные в расчетах на разных сетках по схемам
AUSM с использованием разных аппроксимаций компонент градиента
давления в уравнениях Навье − Стокса. Хорошо видно, что при
аппроксимации производных давления полиномом первого порядка на двух
достаточно подробных сетках (101х101 и 201х201), температура в сжатом
слое оказывается заниженной примерно на 250 К. Использование полинома
3-ой степени обеспечивает хорошую точность расчета температуры в сжатом
слое на любой сетке. При этом очевидно, что более подробные сетки
обеспечивают более крутой фронт скачка температуры в ударной волне.
Необходимо еще раз подчеркнуть, что уравнение сохранения энергии в
форме уравнения Фурье-Кирхгоффа (4) интегрировалось во всех случаях по
неявной схеме 2-го порядка аппроксимации.
051
0
1
5
0
1000
2000
3000
4000
5000
1
2
3
4
5
T,K
х, см
Рис.3.1. Распределение температуры вдоль критической линии тока для
совершенного газа:
1 -- 1-й порядок аппроксимации, сетка 101х201,
2 -- 1-й порядок аппроксимации, сетка 201х401,
3 -- 2-й порядок аппроксимации, сетка 101х201,
4 -- 2-й порядок аппроксимации, сетка 201х401,
5 -- 2-й порядок аппроксимации, сетка 401х801

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
168
Для анализа различий в способах интегрирования уравнений Навье-Стокса
по схеме AUSM [42] уточним используемую в данном разделе конечно-
разностную схему, изложенную в Главе 1 (см. формулы (40)-(56)).
Аппроксимация производных потоков импульса обусловленного
действием давления используется в виде
,,
,1
2,1
2
12
12
pp
ij
ij
p
jj
+−
+−
−
∂=
∂−
SS
E
ξξ
ξξξ,
(
1
)
,,
12,
12,
12
12
pp
ij ij
p
ii
+−
+−
−
∂=
∂−
SS
F
ηη
ηηη,
(
2
)
,
,1
2
,,
1
00
p
ij
Lx
Rx
yy
ij
ij
pJpJ
JJ
+−
+
+
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
Sξ
ξξ
ξξ
,
(
3
)
( ),,
,,
,,
,
при
1,
1
при
1;
2
UU
ij
ij
UU
L
ij ij
U
ij
ij
U
ij
MM
p
MM
pM
M
+ ⎧ℜ≤
⎪⎪
=⎨
+
>
⎪⎪⎩
(
4
)
где:(а)- () ()
,,,
11
2
UU
ij
ij
ij
Mp
M
ℜ=+
или(б)- () ()
()
2
,,
,
,
1
12
4
UUU
ij
ij ij
ij
Mp
MM
ℜ= +−
.
()
,1
,1
,1
,1
,1
,1
,1
при
1,
1
при
1;
2
UU
ij
ij
UU
R
ij
ij
U
ij
ij
U
ij
MM
p
MM
pM
M
++
−
++
++
+
⎧ℜ≤
⎪⎪
=⎨
−
>
⎪⎪⎩
(
5
)
где:(а) - () ()
,1
,1
,1
11
2
UU
ij
ij
ij
Mp
M
+++
ℜ=−
или(б)- () ()
()
2
,1
,1 ,1
,1
1
12
4
UU
U
ij
ij ij
ij
Mp
MM
++
+
+
ℜ=
−
+
,
,1
2
1,
,
00
p
ij
Lx
Rx
yy
ij
i
j
pJp
J
J
J
+−
−
−
⎡⎤⎡
⎤
⎢⎥⎢
⎥
=+
⎢⎥⎢
⎥
⎢
⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣
⎦
Sξ
ξξ
ξξ
,
(
6
)
()
,1
,1
,1
,1
,1
,1
,1
при
1,
1
при
1;
2
UU
ij
ij
UU
L
ij
ij
U
ij
ij
U
ij
MM
p
MM
pM
M
−−
+
−−
−−
−
⎧ℜ≤
⎪⎪
=⎨
+
>
⎪⎪⎩
(
7
)

3.3. Результаты методических исследований
169
где:(а) - () ()
,1
,1
,1
11
2
UU
ij
ij
ij
Mp
M
−−
−
ℜ=+
или(б)- () ()
()
2
,1
,1 ,1
,1
1
12
4
UU
U
ij
ij ij
ij
Mp
MM
−−
−
−
ℜ=
+
−
( ),,
,,
,,
,
при
1,
1
при
1.
2
UU
ij
ij
UU
R
ij ij
U
ij
ij
U
ij
MM
p
MM
pM
M
− ⎧ℜ≤
⎪⎪
=⎨
−
>
⎪⎪⎩
(
8
)
где:(а) - () ()
,,,
11
2
UU
ij
ij
ij
Mp
M
ℜ=−
или(б)- () ()
()
2
,,
,
,
1
12
4
UUU
ij
ij ij
ij
Mp
MM
ℜ=
−+.
В представленных соотношениях первый порядок полиномов отвечает
формулам (а), а третий порядок -- формулам (б).
В отдельных случаях (в зависимости от особенностей исследуемого
течения) удается улучшить качество получаемых численных решений
применением алгоритмов ограничения счетных потоков на гранях
элементарных конечно-разностных объемов. Например, для ограничения
возможных численных осцилляций величин
U
ij
M,
V
ij
M может быть
использован MUSCL-алгоритм сглаживания (см., например, [44]). Если
ввести обозначение U для любой из величин U
ij
M,V
ij
M ,то
()()
11
2
1
111
4
Rj
j
UU
+
+
=−
⎡
−
∆
+
+
∆
⎤
⎣⎦
κκ
,
(
9
)
() ()
()
() ()
()
211
11
1
min mod
;
,
min mod
;
,
jjj
j
j
jj jj
j
UUU
U
UU UU
+−
−+
⎡⎤
∆=
−
−
⎣⎦
⎡⎤
∆=
−
−
⎣⎦
β
β
(
1
0
)
где () ()
() ()
{
}
min mod ,
sign
max 0, min sign ; sign
xyx
x
y
y
x
=×⎡
⋅
⋅⎤
⎣
⎦,
31
1,
13
−
≤≤
=
−
κ
βκ
κ
.
(
1
1
)
По всей видимости, приоритет введения такой аппроксимации следует
признать за работой В. П.Колгана [142], где она была сформулирована в виде
()
11
1 min mod
;
2
Lj
jjj j
UU
UUU U
−+
=+
−
−,
(
1
2
)
()
11
2
1
1 min mod
;
2
Rj
jj
jj
UU
UU
UU
++
+
+
=−
−
−,
(
1
3
)

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
170
() ()
()
()
, при
0,
,
min mod ,
, при
0,
,
0, при
0.
aa
ba
b
abb
ab
ab
ab
⎧
><
⎪
=>
≥
⎨⎪
<
⎩
(
1
4
)
На рис.3.2 и 3.3 показаны распределения чисел Маха и температуры в
расчетной области, полученные на сетке 401
801
ij
NN
=
×= , которые дают
представление об основных особенностях течения совершенного газа. Среди
этих особенностей отметим следующие:
− высокотемпературный сжатый слой у лобовой поверхности;
− высокотемпературный ближний след;
− сверхзвуковое возвратное течение в окрестности задней критической
линии;
− относительно высокотемпературный сжатый слой у задней критической
линии;
− наличие участков сверхзвукового течения внутри зон вихревого движения
вдали от оси симметрии.
3.4. Результаты численного моделирования радиационной
аэротермодинамики сферического КА в атмосфере двуокиси углерода
Обтекание и радиационно-конвективный нагрев сферы в марсианской
атмосфере (CO2) рассчитаны для двух точек траектории марсианского
космического аппарата Pathfinder, параметры которой даны в [75]. Исходные
данные этих расчетов приведены в таблице 3.1.
Результаты расчетов обтекания сферы радиусом 66
R=
см двуокисью
углерода показаны на рис.3.4−3.6. В рассматриваемом случае поверхность
сферы полагалась некаталитической. На верхней части рис.3.4 дано
распределение чисел Маха в диапазоне М=0.15-40, а на нижней --
конфигурация используемой конечно-разностной сетки. На рис.3.5 дано
распределение температуры в расчетной области, а на рис.3.6 -- поле
относительной массовой концентрации CO2.
Как и при расчете динамики совершенного газа здесь наблюдаются
аналогичные структурные элементы течения. Вместе с этим заметим, что при
расчете движения реального газа распределение температуры в сжатом слое
заметно отличается от случая совершенного газа (сравните рис.3.1 и 3.7).
Профиль температуры, показанный на рис.3.7 является характерным для
случая учета химических реакций в сжатом слое за ударной волной, когда ее
резкий скачек на фронте ударной волны инициирует процессы диссоциации,
которые требуют затрат энергии, что и приводит к падению температуры в
объеме сжатого слоя. Падение температуры в пограничном слое вблизи
поверхности обусловлено охлаждающим воздействием на поток обтекаемой
поверхности, температура которой рассчитывается из условия равенства
суммы плотностей конвективного и интегрального по спектру радиационного

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
171
потоков плотности потока радиационной энергии, высвечиваемой
поверхностью со степенью черноты 0.8
=
ε
в окружающее пространство. Это
так называемая равновесно-радиационная температура.
Рис. 3.2. Распределение чисел Маха в области течения при М=9.94. Совершенный
газ. Сетка 401х801
Рис.3.3. Распределение температуры в области течения при М=9.94. Совершенный
газ. Сетка 401х801

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
172
Рис.3.4. Поле чисел Маха при обтекании сферы с некаталитической поверхностью
двуокисью углерода при М=41.8 . Расчетная сетка 121х281.
Точка траектории t=52 с
Рис.3.5. Температурное поле при обтекании сферы с некаталитической
поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Расчетная сетка 121х281.
Точка траектории t=52 с
При расчете обтекания сферы радиусом 66
R = см в приближении
каталитической поверхности значительных изменений в распределениях
чисел Маха и температуры не наблюдаются, поэтому эти данные здесь не
приводятся. Однако в распределениях массовых долей химических

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
173
компонент имеются существенные различия. На рис.3.8 показано поле
весовых долей 2
CO
Y для случая каталитической поверхности.
Рис. 3.6. Относительная массовая концентрация СО2 при обтекании сферы с
некаталитической поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Cетка 121х281.
Точка траектории t=52 с
S, cm
024681
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T, Jc=0, 121x281
T, Jc=1, 121x281
T,K
Рис. 3.7. Распределение температуры вдоль передней критической линии тока; 1 --
некаталитическая поверхность, 2 -- каталитическая поверхность.
Точка траектории t=52 с
Главное различие в распределениях
2
CO
Y заключается в том (сравните
рис.3.6 и 3.8), что в последнем случае вблизи обтекаемой поверхности
наблюдается большая концентрация CO2. Сам этот факт не является

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
174
удивительным по причине использования приближения полной
каталитичности поверхности. Значительный интерес представляет поле 2
CO
Y
во всей расчетной области, поскольку это распределение должно влиять на
закономерности распространения теплового излучения во всей возмущенной
области течения. Заметим также, что изменение каталитических свойств
поверхности влечет за собой небольшое изменение расстояния отхода фронта
ударной волны от обтекаемой поверхности (рис.3.7).
На рис.3.9 и 3.10 показаны распределения плотностей конвективных и
интегральных по спектру радиационных потоков вдоль поверхности
обтекаемой сферы. В случае каталитической поверхности плотность
конвективного теплового потока примерно вдвое превышает плотность
потока для некаталитической поверхности вблизи передней критической
линии тока. На этом же рисунке показаны две составляющие конвективного
суммарного теплового потока, обусловленные теплопроводностью и
диффузией частиц. В рассматриваемом случае основной вклад дает
теплопроводностная составляющая теплового потока.
Отметим две особенности в распределениях плотности конвективного
теплового потока вдоль поверхности. Небольшая немонотонность вблизи
передней критической линии тока обусловлена численными эффектами.
Такие немонотонности часто наблюдаются в расчетах обтекания затупленных
тел и могут быть убраны использованием специальных процедур
сглаживания численного решения (монотонизаторов). В данной работе такие
процедуры не применялись.
Вторая особенность наблюдается в области взаимодействия с
поверхностью возвратно-вихревого движения, возникающего в окрестности
задней критической линии тока.
Важно сравнить распределения абсолютных величин плотностей
конвективных и радиационных тепловых потоков. Наибольшая плотность
конвективного теплового потока наблюдается в окрестности передней
критической линии тока. Еще один локальный максимум наблюдается в
окрестности задней критической линии тока. Наличие этого максимума
определяется отмеченным выше возвратным движением газа вдоль задней
критической линии тока. Абсолютная величина этого локального максимума
существенно меньше, чем для передней критической точки.
Плотность интегрального радиационного теплового потока к поверхности
в окрестности передней критической точки превосходит примерно вдвое
плотность конвективных тепловых потоков. При отходе вдоль поверхности
от передней критической точки плотность интегральных радиационных
потоков падает быстрее, чем плотность конвективных тепловых потоков. На
расстоянии ~ 30 см от передней критической точки конвективный нагрев
поверхности превосходит радиационный. Вблизи задней критической точки
плотности радиационных и конвективных тепловых потоков опять
практически совпадают. Различие между плотностями радиационных

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
175
тепловых потоков для каталитической и некаталитической поверхностей не
столь значительно.
Рис. 3.8. Относительная массовая концентрация СО2 при обтекании сферы с
каталитической поверхностью двуокисью углерода при М=41.8 . Cетка 121х281.
Точка траектории t=52 с
0
50
100
150
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
х, см
Рис.3.9. Распределение плотностей конвективных тепловых потоков вдоль
поверхности сферы от передней до задней критической линии тока;
1 -- некаталитическая поверхность, t=52 c,
2 -- плотность полного конвективного потока к каталитическая поверхности, t=52 с;
3 -- плотность диффузионной составляющей полного конвективного потока к
каталитической поверхности, t=52 с;
4 -- плотность полного конвективного потока к каталитической поверхности, t=66 с

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
176
0
50
100
150
200
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
s, см
Рис. 3.10. Распределение плотностей интегральных радиационных тепловых потоков
вдоль поверхности сферы от передней до задней критической линии тока;
1 -- не каталитическая поверхность, t=52 c; 2 --каталитическая поверхность, t=52 с;
3 -- каталитическая поверхность, t=66 с
103
104
105
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
ω,см-1
Рис.3.11. Групповые спектральные радиационные потоки в шести точках на
поверхности обтекаемой сферы: 1 --
t
sS =0;2--
t
sS =0.0854;3--
t
sS =0.256;4--
t
sS =0.569;5--
t
sS =0.863; 6--
t
s S = 0.983. Точка траектории t=52 с
Радиационный тепловой поток к лобовой поверхности сферы обусловлен
высокотемпературным сжатым слоем. Поэтому значительная доля
радиационного теплового потока приходится на ближнюю инфракрасную,
видимую и даже ближнюю ультрафиолетовую часть спектра. Радиационный
тепловой поток к задней поверхности обтекаемой сферы обусловлен в
основном инфракрасным излучением в колебательных полосах CO2.

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
177
Спектральное распределение плотностей радиационных тепловых потоков
показано на рис.3.11.
Для того чтобы объяснить закономерности радиационного нагрева
поверхности необходимо учесть, что абсолютная величина плотности
радиационного теплового потока определяется двумя факторами:
распределением по спектру и в пространстве спектральных коэффициентов
поглощения и испускания. В условиях локального термодинамического
равновесия необходимо анализировать поля спектрального коэффициента
поглощения и спектральной функции излучения абсолютно черного тела
(функции Планка).
На рис. 12,а показано распределение спектрального коэффициента
поглощения в области сжатого слоя вдоль передней критической линии тока,
а на рис. 12,б -- вдоль задней критической линии тока.
Поглощение вблизи лобовой поверхности обусловлено в основном двумя
электронно-колебательными полосами: CO ( 11
AX+
Π −Σ- 4-я положительная
система полос) в спектральном диапазоне волновых чисел =
ω 30000-80000
1/см (см. полосы поглощения «2» на рис.12,а) и СО (
1
BX
+
+
′Σ −Σ- полосы
Хопфильда-Берджа) в спектральном диапазоне волновых чисел
=
ω 74000-
100000 1/см (см. полосы поглощения «1»). Незаметность поглощения в
колебательно-вращательных полосах CO2 в инфракрасной части спектра
объясняется малой концентрацией этих молекул в сжатом слое у
некаталитической поверхности, что хорошо видно из рис.3.13,а. На рис.3.12,а
также хорошо видно, что поглощение в видимой и ультрафиолетовой
областях спектра наблюдается только в сжатом слое.
В следе за обтекаемым телом распределение концентраций и температуры
таковы, что поглощение в полосах CO ( 11
AX+
Π−Σ
,
1
BX
+
+
′Σ −Σ
) оказывается
важным практически во всей возмущенной области.
На рис.3.14 показаны распределения спектральной излучательной
способности jω в ударном слое (рис.3.14,а) и вдоль задней критической
линии тока (рис.3.14,б). Напомним, что в условиях ЛТР
,b
jJ
=
ω
ωω
κ
. Поэтому
в ударном слое излучательная способность имеет максимум внутри ударного
слоя ближе к фронту ударной волны, поскольку здесь достаточно велика
поглощательная способность и высока температура (а значит, велика и
функция Планка). Вблизи поверхности падение температуры приводит к
резкому падению функции Планка.
Иная ситуация наблюдается вдоль задней критической линии тока.
Распределение температуры здесь таково, что максимум функции Планка
смещается в инфракрасную область спектра согласно закону смещения Вина.
Несмотря на то, что на фоне более сильных электронно-колебательных полос
поглощения, расположенных в видимой и ультрафиолетовой областях
спектра, коэффициент поглощения в инфракрасной области был практически
незаметен (см. рис.3.12,а), излучательная способность здесь оказывается
максимальной.

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
178
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11 E-0 1
2.04 E-0 1
1.97 E-0 1
1.90 E-0 1
1.83 E-0 1
1.76 E-0 1
1.69 E-0 1
1.62 E-0 1
1.55 E-0 1
1.48 E-0 1
1.41 E-0 1
1.33 E-0 1
1.26 E-0 1
1.19 E-0 1
1.12 E-0 1
1.05 E-0 1
9.84 E-0 2
9.13 E-0 2
8.43 E-0 2
7.73 E-0 2
7.03 E-0 2
6.32 E-0 2
5.62 E-0 2
4.92 E-0 2
4.22 E-0 2
3.51 E-0 2
2.81 E-0 2
2.11 E-0 2
1.41 E-0 2
7.03 E-0 3
1
2
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
(
а)
(
б)
Рис. 3.12. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у
некаталитичной поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии
тока; Y - относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см,
max =
ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового
потока,
max
/
Xxx
=
,
max
x =10см(а), max
x =857 см (б). Точка траектории t=52 с
Y
Y
24681
0
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
C
O
C2
O2
CO
CO2
(а)
24681
0
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
C
O
C2
O2
CO
CO2
(б)
x
,
см
x
,
см
Рис.3.13. Распределение относительных массовых концентраций вдоль передней
критической линии тока при обтекании некаталитической (а) и каталитической (б)
поверхности. Точка траектории t=52 с
На рис.3.15 и 3.16 показаны распределения спектральных коэффициентов
поглощения и излучательной способности вдоль передней и задней
критических линий тока для полностью каталитической поверхности, на
которой CO2 восстанавливается до своего значения в набегающем потоке.

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
179
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
3
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
3
(а)
(
б)
Рис.3.14. Распределение спектрального коэффициента испускания в сжатом слое у
некаталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии
тока; Y - относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см,
max =
ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового
потока,
max
/
Xxx
=
,
max
x =10см(а), max
x =857 см (б). Точка траектории t=52 с
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11 E-0 1
2.04 E-0 1
1.97 E-0 1
1.90 E-0 1
1.83 E-0 1
1.76 E-0 1
1.69 E-0 1
1.62 E-0 1
1.55 E-0 1
1.48 E-0 1
1.41 E-0 1
1.33 E-0 1
1.26 E-0 1
1.19 E-0 1
1.12 E-0 1
1.05 E-0 1
9.84 E-0 2
9.13 E-0 2
8.43 E-0 2
7.73 E-0 2
7.03 E-0 2
6.32 E-0 2
5.62 E-0 2
4.92 E-0 2
4.22 E-0 2
3.51 E-0 2
2.81 E-0 2
2.11 E-0 2
1.41 E-0 2
7.03 E-0 3
1
2
3
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
3
(а)
(
б)
Рис. 3.15. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у
каталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии
тока; Y - относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см,
max =
ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового
потока,
max
/
Xxx
=
,
max
x =10см(а), max
x =857 см (б). Точка траектории t=52 с

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
180
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
3
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
3
(а)
(
б)
Рис. 3.16. Распределение спектрального коэффициента испускания в сжатом слое у
некаталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии
тока; Y - относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см,
max =
ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового
потока,
max
/
Xxx
=
,
max
x =10см(а), max
x =857 см (б). Точка траектории t=52 с
Большая концентрация молекул CO2 в непосредственной близи от
поверхности приводит к заметному поглощению здесь в колебательно-
вращательных полосах CO2 (см. полосы «3» на рис.3.15,а и 3.15,б). Немного
отступя от поверхности появляется много молекул СО (см. рис.3.13,б).
Следствием этого является заметное поглощение в полосах СО («2» и «3» на
рис. 15,а). Роль поглощения и испускания излучения в полосах Шумана-
Рунге О2 ( 33
ug
BX
−−
Σ−Σ
), которые расположены в спектральном диапазоне
=
ω 22000-57000 1/см оказывается в рассматриваемых условиях
незначительной.
Концентрация молекул О2 также мала и в следе, поэтому на рис.3.15,б не
заметно поглощение в полосах Шумана-Рунге и в фотодиссоционном
континууме О2. Значительные концентрации СО и СО2 в следе являются
причиной сильного поглощения в колебательно-вращательных полосах СО2
(«3» на рис.3.15,б), расположенных в инфракрасной области и электронных
полосах СО (11
AX+
Π− Σ ), расположенных в видимой и ближней
ультрафиолетовой областях спектра («2» на рис.3.15,б). Поглощение в
полосах CO Хопфильда-Берджа незначительно.
Отмеченные выше закономерности в распределениях спектральных
излучательных способностей остаются справедливыми при обтекании
каталитической поверхности (см. рис.3.16). Однако большая концентрация
молекул СО2 вблизи поверхности приводит к заметным локальным

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
181
максимумам излучательной способности вблизи поверхности в инфракрасной
области спектра (см. полосы испускания «3»).
В свете рассмотренных закономерностей в распределениях
поглощательной и излучательной способностей становится понятными
распределения так называемых кумулятивных функций интегральных
радиационных потоков в различных точках обтекаемой поверхности,
показанных на рис.3.17. В точках поверхности 1-3 (координаты этих точек
приведены в подрисуночной подписи) интегральный радиационный тепловой
поток формируется в инфракрасной и ультрафиолетовой областях спектра. В
точках поверхности 4-6 интегральный радиационный тепловой поток
формируется только в инфракрасной области спектра.
По расчетам работы [75] наибольшая плотность конвективного потока к
поверхности достигается в точке траектории t=66 с. Результаты расчетов,
выполненных для указанной точки траектории и каталитической поверхности
(см. исходные данные в таблице 3.1) приведены на рис.3.9, 3.10, 3.18, 3.19.
Заметим, что в данном случае интенсивность конвективного нагрева
поверхности везде выше, чем радиационного. Тем не менее, плотность
радиационных тепловых потоков и здесь оказывается весьма высокой.
Основные закономерности спектрального распределения радиационных
потоков и кумулятивной функции интегральных радиационных потоков
остаются прежними.
R
q , Вт/см2
103
104
105
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
ω,см-1
Рис. 3.17. Кумулятивная функция интегрального радиационного потока в шести
точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 --
t
sS =0;2--
t
s S = 0.0854;
3--
t
sS =0.256;4--
t
sS =0.569;5--
t
sS =0.863;6--
t
sS =0.983.
Точка траектории t=52 с

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
182
,
R
q ∆ω , Вт·см/см2
103
104
105
10-10
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
ω,см-1
Рис. 3.18. Групповые спектральные радиационные потоки в шести точках на
поверхности обтекаемой сферы: 1 --
t
sS =0;2--
t
sS =0.0854;3--
t
sS =0.256;
4--
t
sS =0.569;5--
t
sS =0.863;6--
t
sS =0.983.
Точка траектории t=66 с
R
q , Вт/см2
103
104
105
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
ω,см-1
Рис. 3.19. Кумулятивная функция интегрального радиационного потока в шести
точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 --
t
sS =0;2--
t
s S = 0.0854;
3--
t
sS =0.256;4--
t
sS =0.569;5--
t
sS =0.863;6--
t
sS =0.983.
Точка траектории t=66 с

3.4. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода
183
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
3
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
3
(а)
(
б)
Рис. 3.20. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у
каталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока
при t=66 с; Y - относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см,
max =
ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового
потока,
max
/
Xxx
=
,
max
x =10см(а), max
x =857 см (б)
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
1
2
3
X
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Y
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
Y
Z
2.11E-01
2.04E-01
1.97E-01
1.90E-01
1.83E-01
1.76E-01
1.69E-01
1.62E-01
1.55E-01
1.48E-01
1.41E-01
1.33E-01
1.26E-01
1.19E-01
1.12E-01
1.05E-01
9.84E-02
9.13E-02
8.43E-02
7.73E-02
7.03E-02
6.32E-02
5.62E-02
4.92E-02
4.22E-02
3.51E-02
2.81E-02
2.11E-02
1.41E-02
7.03E-03
3
(а)
(
б)
Рис.3.21. Распределение спектрального коэффициента испускания в сжатом слое у
каталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии тока
при t=66 с; Y - относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см,
max =
ω 100000 1/см; X - относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу (а) и вдоль (б) набегающего газового
потока,
max
/
Xxx
=
,
max
x =10см(а), max
x =857 см (б)
Таким образом, выполненный в данном разделе расчетно-теоретический
анализ радиационно-конвективного теплообмена космического аппарата

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
184
сферической формы в марсианской атмосфере для типичной траектории
космического аппарата Pathfinder показал на важность учета спектральных
характеристик радиационного нагрева поверхности космического аппарата.
Выполнен анализ спектральных характеристик радиационных тепловых
потоков, достигающих обтекаемой поверхности. С этой целью изучено
распределение поглощательной и излучательной способности в ударном слое
вблизи передней критической линии тока и в следе за обтекаемым телом.
Показано, что радиационный нагрев поверхности в рассматриваемых
условиях обусловлен испусканием излучения в электронных полосах СО
(четвертая положительная система полос и полосы Хопфильда-Берджа), а
также в колебательно-вращательных полосах СО2.
Показано также влияние выбора конечно-разностной схемы из
разнообразия AUSM схем на распределение температуры в ударном слое при
использовании алгоритма распределения по физическим процессам, при
котором решение уравнений Навье − Стокса и уравнений сохранения энергии
и массы реагирующих компонент разделены и реализуются разными
численными методами.
Полученные распределения плотностей радиационного и конвективного
тепловых потоков вдоль поверхности космического аппарата сферической
формы радиусом 66
R = см в двух точках траектории входа в атмосферу
Марса могут служить в качестве оценок указанных величин при
последующем анализе радиационной аэротермодинамики космических
аппаратов реальной формы. Однако подчеркнем, что в данном разделе
расчеты были выполнены в рамках модели локального термодинамического
равновесия.
3.5. Результаты численного моделирования радиационной
аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода и
молекулярного азота
В работе [78] выполнено исследование аэротермодинамики космического
аппарата сферической формы в смеси газов СO2−N2 (97%−3% в объемных
долях), которыми моделируется атмосфера Марса. Спектральные и
групповые свойства высокотемпературной смеси газов сложного состава
рассчитывались, так же как и при расчете чистой двуокиси углерода, с
использованием компьютерного кода ASTEROID [18,79].
Спектральный коэффициент поглощения представлялся в виде 97-
групповой модели в спектральном диапазоне волновых чисел
∆Ω = 1000 ÷ 150000 см−1. При формировании групповых спектральных
характеристик объемный спектральный коэффициент поглощения усреднялся
по вращательной структуре в диапазоне
20
∆=
ω
см−1. Приняты в учет
электронные полосы двухатомных молекул приведены в Приложении 4. Там

3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота
185
же показаны спектральные зависимости коэффициента поглощения в
учитываемых молекулярных полосах при температуре Т=7000 К.
В силу малости ионизации радиационные процессы с участием электронов
не учитывались. Как отмечалось выше, точка траектории 52
t = с занимает
промежуточное положение по степени неравновесности (см. Табл. 3.1).. Эта
точка выбрана для дальнейшего анализа также в связи с тем, что она близка к
части траектории с наибольшей тепловой нагрузкой. Используемая расчетная
сетка и линии тока для второй траекторной точки показаны на рис.3.22,а, а на
рис.3.22,б приведены поле скорости x
V и поступательной температуры.
Видны основные структурные особенности поля течения: головная ударная
волна, возвратно-вихревое течение в окрестности задней критической линии
тока, ближняя и дальняя области следа.
Осевые распределения температуры вдоль передней критической линии
тока показаны на рис.3.23. На рис.3.23,а,б,в показаны температурные
распределения для трех последовательно измельчаемых расчетных сеток
(31
71
NI
NJ
=×=,где ,
NI NJ − число узлов сетки О-типа вдоль радиальной
координаты (нормальной к поверхности) и вдоль поверхности). На каждом из
рисунков показаны поступательная температура и шесть колебательных
температур, характеризующих колебательные движения молекул N2, O2, CO2
(деформационная, симметричная и ассиметричная моды), CO. На рис.3.23,г
сравниваются поступательные температуры для трех расчетных сеток.
Представленные данные свидетельствуют о хорошей сходимости результатов
на последовательности сеток для критической линии тока.
(
а)
(
б)
Рис.3.22. Линии тока (а), поле продольной скорости x
Vu
V
∞
= (б, сверху) и
температуры при обтекании сферы смесью углекислого газа и азота в точке
траектории 52
t = с. Сетка 61×141

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
186
(а)
(
б)
(
в)
(
г)
Рис.3.23. Распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока при обтекании сферы смесью углекислого газа и
азота в точке траектории 52
t = с. Сетка (а) − 31×71, (б) -- 61×141, (в) -- 121×281.
Сопоставление профилей поступательной температуры на разных сетках (г)
Однако, как видно из рис.3.22,а, подробность расчетной сетки у
обтекаемой поверхности становится все ниже по мере отхода от передней
критической линии тока. Очевидно, что это с неизбежностью приводит к
более грубому описанию поля течения в непосредственной близости от
подветренной стороны. Это иллюстрируется рис.3.24, где показано
распределение конвективных тепловых потоков вдоль обтекаемой
поверхности от передней до задней критической линии тока.
Видно, что по мере увеличения подробности расчетной сетки,
распределения конвективных тепловых потоков вдоль передней полусферы
изменяются незначительно, а в окрестности задней критической линии тока
интенсивность конвективного нагрева увеличивается более чем на порядок.
Чувствительность распределений интегральных радиационных потоков вдоль
поверхности к подробности расчетных сеток оказывается значительно
меньше (рис.18).

3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота
187
(а)
(
б)
(в)
Рис.3.24. Распределение плотностей
конвективных
и
интегральных
радиационных тепловых потоков вдоль
поверхности сферы от передней до
задней критической линии тока при
обтекании сферы смесью углекислого
газа и азота в точке траектории 52
t= с.
Сетки: 1 − 31×71, 2 -- 61×141, 3 --
121×281.
Штриховые линии --
теплопроводностная и диффузионная
составляющие
Из рис.3.24 следует, как и в ранее, важный вывод о соизмеримости
плотностей радиационных и конвективных тепловых потоков к поверхности.
Это характерно для условий входа космических аппаратов в атмосферы
планет, содержащих двуокись углерода (Марс, Венера).
Рассматриваемая траекторная точка характеризуется значительной
степенью неравновесности физико-химических процессов и структурой
сжатого слоя с соизмеримыми размерами пограничного слоя и
релаксационной зоны за фронтом головной ударной волны. Центральная
часть сжатого слоя с небольшим увеличением температуры от ~ 8500 до 9500
K занимает больше половины всей области сжатого слоя. Толщина
пограничного слоя достигает примерно 1 см, а толщина релаксационной зоны
~ 0.5 см. Поэтому расчет переноса теплового излучения в возмущенной
области течения приходится делать с использованием модели частичного
термодинамического равновесия, в которой модели локального
термодинамического равновесия могут применяться по отдельности для
поступательно-вращательных и колебательных температур двух- и
трехатомных молекул.

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
188
Распределение спектральных радиационных потоков в шести точках на
поверхности обтекаемой сферы показаны на рис.3.25. Координаты точек
вдоль поверхности отнесены к полной длине образующей полусферы
207
t
S=
см.
Плотность спектрального радиационного потока, Вт⋅см/см2
103
104
105
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
4
5
6
6
5
Волновое число, 1/см
Рис. 3.25. Групповые спектральные радиационные потоки в шести точках на
поверхности обтекаемой сферы: 1 --
t
sS =0;2--
t
sS =0.0854;3--
t
sS =0.256;4--
t
sS =0.569;5--
t
sS =0.863;6--
t
sS =0.983
Кумулятивные функции радиационных потоков в указанных точках
показаны на рис.3.26. Хорошо видно, как по мере отхода от передней
критической линии тока изменяется спектральный состав излучения
достигающего поверхности. Если вблизи передней критической линии тока
(кривые 1−3 на рис.3.25) наибольший вклад в интегральный радиационный
поток вносит излучение в видимой и ближней ультрафиолетовой области
спектра ( [
]
40000 80000
∈÷
ω
см−1), то в точках 4−6 поверхность нагревается
исключительно инфракрасным излучением CO2 и СО. Об этом же
свидетельствуют распределения кумулятивных функций. Для передней
критической точки вклад инфракрасного излучения в интегральный поток
(<
ω 20000 см−1) составляет менее одного процента (рис.3.26). При этом,
более 50 % интегрального радиационного потока формируется при
( 40000
>
ω
см−1). По мере отхода от передней критической точки вклад
видимой и ультрафиолетовой областей спектра снижается, и в точках 4−6
практически 100 % интегрального потока формируется при ( 2300
<
ω
см−1).
Распределение массовых долей компонент смеси газов вдоль передней
критической линии тока показано на рис.3.27.

3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота
189
Плотность интегрального радиационного потока, Вт/см2
103
104
105
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
1
2
3
45
6
Волновое число, 1/см
Рис.3.26. Кумулятивная функция интегрального радиационного потока в шести
точках на поверхности обтекаемой сферы: 1 --
t
sS=0;2--
t
sS =0.0854;3--
t
sS =0.256;4--
t
sS =0.569;5--
t
sS =0.863; 6--
t
sS =0.983
Рис.3.27. Распределение массовых долей компонент при обтекании сферы смесью
углекислого газа и азота в точке траектории 52
t = с. Сетка 121×281
Обратим внимание на значительные концентрации молекул СО и N2 в
сжатом слое, а также на значительный уровень концентраций радикалов CN и

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
190
NO, которые, как известно, имеют серию весьма интенсивных электронно-
колебательных полос.
Спектральное распределение потоков излучения на поверхности
обтекаемого космического аппарата определяется полями спектральной
испускательной и поглощательной способности, а также закономерностями
собственно процесса переноса излучения, который носит нелокальный
характер.
В соответствии с законом Кирхгоффа излучательная способность
определяется локальным значением поглощательной способности и функции
Планка. На рис.3.28 показано распределение по спектру коэффициента
поглощения в сжатом слое у передней (а) и задней (б) критической линии
тока. На разных участках спектра испускают излучение молекулы N2 − (1),
N2, СО, NO, CN -- (2), СО2, СО -- (3). На рис.3.28,а видно, что наибольшая
поглощательная способность наблюдается в пограничном слое у обтекаемой
поверхности. В частности, пик коэффициента поглощения (3) обусловлен
поглощением в молекулах СО2. В окрестности задней критической линии
тока заметное поглощение наблюдается во всей области следа от ближней до
дальней зоны.
(а)
(б)
Рис.3.28. Распределение спектрального коэффициента поглощения в сжатом слое у
некаталитической поверхности вдоль передней (а) и задней (б) критической линии
тока; Y − относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=
−
ω
ωω
,
min =
ω 1500 1/см, max =
ω 100000 1/см; X − относительная физическая координата,
отсчитываемая от поверхности навстречу набегающему газовому потоку (а) или
вдоль него (б);
max
Xxx
=
,
max
x =10 см (а), max
x =800 см (б). Значения
коэффициента поглощения (ось z) нормированы на наибольшее значение
Однако, если рассмотреть излучательную способность, показанную на
рис.3.29 для области сжатого слоя (а) и в следе (б), то становится ясным, что в
сжатом слое заметная испускательная способность наблюдается лишь в

3.5. Аэротермодинамика КА в атмосфере двуокиси углерода и молекулярного азота
191
видимой и ближней УФ области, а в следе излучают только инфракрасные
колебательные полосы СО2. В данном случае важным оказывается испускание
молекулN2 −(1),N2,СО,NO,CN--(2),С2,СN--(3),СО2,СО--(4).
Отмеченные закономерности становятся хорошо понятными если принять в
учет закон смещения Вина, в соответствии с которым имеется однозначная
связь между положением на шкале длин волн максимума функции Планка и
температурой: max 2898
T=
λ
мкм·K.
Завершая рассмотрение задач радиационной газовой динамики
космического аппарата сферической формы в углерод содержащих
атмосферах обсудим некоторые вопросы концептуального характера.
Известно, что расчет обтекания космических аппаратов в рамках уравнений
Навье − Стокса становится все более сложным по мере увеличения расчетной
области.
(а)
(б)
Рис. 3.29. Распределение спектрального коэффициента испускания излучения в
сжатом у некаталитической поверхности слое вдоль передней (а) и задней (б)
критической линии тока; Y − относительное волновое число излучения,
max
min
max
()
Y=−
ω
ωω
, min=
ω 1500 1/см, max =
ω 100000 1/см; X − относительная
физическая координата, отсчитываемая от поверхности навстречу набегающему
газовому потоку (а) или вдоль него (б);
max
Xxx
=
,
max
x =10 см (а), max
x =800 см
(б). Значения коэффициента испускания (ось z) нормированы на наибольшее
значение
Даже при рассмотрении режимов течения, отвечающих лишь
ламинарному характеру течения, наблюдаются такие свойства получаемых
численных результатов, как зависимость от подробности расчетных сеток и
от их топологии. Иногда наблюдается ухудшение качества получаемого
решения при переходе на более подробные сетки (само собой разумеется, что
при сохранении контроля над устойчивостью получаемых решений). Поэтому
получаемые решения каждый раз должны подвергаться тщательной
методической проверке (сходимость результатов на последовательности

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
192
сеток, устойчивость результатов к искусственным и счетным возмущениям,
сходимость на разных топологиях сеток).
Отмечая в целом удовлетворительную сходимость на сетках, заметим, что
наименее достоверным следует признать данные по распределению
конвективных тепловых потоков в задней полусфере. Повышение точности
расчетов здесь требует построения специальных сеток вблизи задней
поверхности.
В целом анализ расчетных данных для трех последовательных точек
траектории показывает постепенный переход условий от сильно
неравновесных ( 42
t = с) к почти равновесным ( 66
t= с). При этом
максимальный конвективный нагрев наблюдается для «околоравновесной»
точки ( 66
t = с). Смещение максимума радиационного нагрева на участки
траектории со значительной степенью неравновесности (5
2
t<
% с) выдвигает
требование более детального изучения переноса излучения в неравновесных
условиях.
Таким образом, расчетно-теоретический анализ радиационно-
конвективного теплообмена космического аппарата сферической формы в
атмосфере двуокиси углерода и в атмосфере моделирующей атмосферу
Марса (СO2−N2 , 97%−3% в объемных долях) для теплонапряженных точек
траектории космического аппарата Pathfinder позволяет изучить
закономерности распределения плотностей радиационного и конвективного
тепловых потоков вдоль поверхности космического аппарата. На отдельных
участках входа космического аппарата в атмосферу CO2 и СO2−N2
радиационный тепловой нагрев некоторых элементов поверхности
космического аппарата может превышать конвективный тепловой нагрев, что
подтверждает выводы более ранних исследований [80]. Еще раз показана
также необходимость анализа уровня радиационных тепловых потоков на
всей поверхности марсианского космического аппарата, а не только на его
лобовой поверхности.
Важно подчеркнуть, что рассмотренные результаты расчетов выполнены в
рамках модели локального термодинамического равновесия. Значительная
часть траектории торможения марсианского КА приходится на участок
разреженной атмосферы, поэтому при дальнейшем совершенствовании
расчетных кодов аэротермодинамики марсианских аппаратов должны быть
учтены эффекты неравновесности.
3.6. Результаты численного моделирования радиационной
аэротермодинамики сферы в атмосфере двуокиси углерода в условиях
сильной неравновесности
В данном разделе обтекание и радиационно-конвективный нагрев сферы в
атмосфере углекислого газа рассчитаны для траекторной точки космического

3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности
193
аппарата Pathfinder t=42 с. Параметры набегающего потока для указанной
точки траектории приведены в Таблице 4.3.
В продолжение исследований, начатых выше, в данном случае выполнен
анализ условий обтекания сферы углекислым газом при отсутствии равновесия
между поступательными и колебательными степенями свободы CO2 и
двухатомных молекул CO, O2. Проведены дополнительные исследования по
влиянию топологии и подробности расчетных сеток на результаты
интегрирования уравнений химически неравновесного газа.
Во всех расчетных случаях получены распределения спектральных
радиационных потоков вдоль поверхности обтекаемой сферы и выполнено
сопоставление с конвективными тепловыми потоками.
Осевые распределения температуры вдоль передней критической линии
тока показаны на рис.3.30, 3.31. На этих рисунках показаны температурные
распределения для трех последовательно измельчаемых расчетных сеток
(31
71
NI
NJ
=×=,где ,
NI NJ − число узлов сетки О-типа вдоль радиальной
координаты нормальной к поверхности и вдоль поверхности).
x, cm
T,K
0246
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T
Tv(O2)
Tv(CO2-1)
Tv(CO2-2)
Tv(CO2-3)
Tv(CO)
x, cm
T,K
0246
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T
Tv(O2)
Tv(CO2-1)
Tv(CO2-2)
Tv(CO2-3)
Tv(CO)
Рис.3.30. Распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока при обтекании сферы углекислым газом в точке
траектории 42
t = с; (а) - сетка 31×71, (б) -- сетка 61×141.
На каждом из рисунков показаны поступательная температура и пять колебательных
температур, характеризующих колебательные движения молекул O2, CO2
(деформационная, симметричная и ассиметричная моды) и СО
Представленные данные свидетельствуют о хорошей сходимости
результатов на последовательности сеток. Заметим, что в рассматриваемой
точке траектории ударная волна является размытой, плавно переходящей в
пограничный слой у обтекаемой поверхности. Такая структура сжатого слоя
является характерной для обтекания космического аппарата на больших
высотах. Для контроля расчетных данных в указанных областях течения
необходимо проводить сравнение с данными численного моделирования с
использованием других методов, например − методов Монте-Карло.

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
194
Используемая расчетная сетка и линии тока для данного варианта
показаны на рис.3.32. На рис.3.32−3.35 приведены поле поперечной скорости
y
V , числа Маха, продольной скорости x
V , поступательной температуры,
массовых долей CO2 и CO. Осевое распределение массовых долей
химических компонент вдоль передней критической линии тока показано на
рис. 3.36.
На рис.3.37-3.41 показаны поля колебательных температур молекул N2,
x, cm
T,K
0246
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T
Tv(O2)
Tv(CO2-1)
Tv(CO2-2)
Tv(CO2-3)
Tv(CO)
x, cm
T,K
0246
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
123
(
а)
(
б)
Рис.3.31. Распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока при обтекании сферы углекислым газом в точке
траектории 42
t = с; (а) - сетка 121×281,
(б) - разные расчетные сетки: 1 − 31×71, 2 − 61×141, 3 − 121×281
Рис. 3.32. Линии тока при обтекании сферы углекислым газом в точке траектории
42
t = с (вверху) и расчетная сетка 121×281

3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности
195
Рис. 3.33. Поле y-й компоненты скорости y
VV
∞
= v (сверху) и чисел Маха (снизу)
при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории 42
t= с;
расчетная сетка 121×281
Рис. 3.34. Поле продольной скорости x
Vu
V
∞
= (сверху) и поступательной
температуры (снизу, в К) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории
42
t = с; расчетная сетка 121×281

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
196
Рис. 3.35. Поле массовой доли молекулы CO2 (сверху) и CO (снизу) при обтекании
углекислым газом сферы в точке траектории 42
t = с; расчетная сетка 121×281
X, cm
Yspecies
246
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
C
O
O2
CO
CO2
Рис. 3.36. Распределение массовых долей компонент при обтекании углекислым
газом сферы в точке траектории 42
t = с; расчетная сетка 121×281

3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности
197
Рис. 3.37. Поле колебательной температуры N2 (сверху) и поступательной
температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории
42
t = с; расчетная сетка 121×281
Рис. 3.38. Поле колебательной температуры симметричной колебательной моды CO2
(сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым
газом сферы в точке траектории 42
t = с; расчетная сетка 121×281

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
198
Рис. 3.39. Поле колебательной температуры деформационной колебательной моды
CO2 (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым
газом сферы в точке траектории 42
t = с; расчетная сетка 121×281
Рис. 3.40. Поле колебательной температуры антисимметричной колебательной моды
CO2 (сверху) и поступательной температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым
газом сферы в точке траектории 42
t = с; расчетная сетка 121×281

3.6. Аэротермодинамика сферы в условиях сильной неравновесности
199
Рис. 3.41. Поле колебательной температуры CO (сверху) и поступательной
температуры (снизу, в K) при обтекании углекислым газом сферы в точке траектории
42
t = с; расчетная сетка 121×281
CO2 (в трех колебательных модах)и СО в сравнении с температурой
поступательного движения. Как уже отмечалось, в рассматриваемых
условиях наблюдаются значительное различие в поступательных и
колебательных температурах. Из рис.3.31 видно, что примерно четверть
толщины сжатого слоя занимает неравновесная зона, где поступательная
температура значительно превышает колебательную.
В задней полусфере обтекаемого тела, в области течения разряжения,
наоборот − колебательные температуры возбужденных степеней свободы
оказываются заметно выше поступательной температуры. Это
иллюстрируется на рис.3.37--3.41. Хорошо видно, что колебательные
температуры здесь превосходят поступательную температуру примерно на
1000 K. Это оказывается чрезвычайно важным для предсказания
радиационного нагрева.
Однако следует подчеркнуть, что полученные расчетные данные следует
считать лишь оценочными. Причиной этого является то, что используемые
времена колебательной релаксации в данных расчетных случаях выбиралась
из экспериментов за фронтом ударной волны [143], в то время, как
релаксационные процессы в течениях расширения имеют свои особенности
[144]. Необходимо также отметить приближенность описания диффузии
энергии колебательного возбуждения. Указанные два обстоятельства
указывают на необходимость проведения дополнительного исследования в
этой области.
Соотношение между конвективным и радиационным нагревом при
расчете радиационных процессов по колебательной температуре показано на
рис.3.42.

Глава 3. РадГД СКА сферической формы в атмосфере Марса
200
s, cm
Qw, W/cm**2
0
50
100
150
200
10-3
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,d
Qw,tot
Qw,rad
Рис. 3.42. Распределение плотностей конвективных и интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль поверхности сферы от передней до задней критической
линии тока в точке траектории 42
t = с; сетка 121×281. Штриховые линии --
теплопроводностная и диффузионная составляющие
Обратим внимание также на то, что основной вклад в конвективный
нагрев поверхности вносит в данном случае теплопроводностный нагрев. На
отдельных участках поверхности плотность радиационного теплового потока
превосходит конвективный нагрев.
Таким образом, подводя итог рассмотрению результатов численного
моделирования аэротермодинамики космического аппарата сферической
формы в атмосфере двуокиси углерода, можно отметить ряд специфических
особенностей входа космического аппарата в атмосферы планет Марс и
Венера.
К ним, в первую очередь, относятся высокая степень термической
неравновесности течения в сжатом слое и в следе, а также большая роль
инфракрасного излучения генерируемого колебательными полосами молекул
CO2 и CO в лучистом нагреве поверхности космического аппарата. Показано,
что в условиях гиперзвукового полета в атмосфере углекислого газа
радиационный поток к некоторым участкам поверхности может
превосходить конвективный.
В последующих главах указанные выводы будут подтверждены при
аэротермодинамическом анализе марсианских спускаемых аппаратов
реальной формы.

201
ГЛАВА 4
РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА СПУСКАЕМЫХ
КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ В АТМОСФЕРЕ МАРСА
4.1. Введение
Начиная с 2003 г. в Европейском космическом агентстве проводятся
работы по созданию и тестированию программных кодов, предназначенных
для анализа аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов, в
первую очередь для исследования планеты Марс. К концу 2007 г. было
проведено несколько научных конференций (Workshops on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry), в трудах которых [141,145-153]
отражены основные достижения Европейских научных групп.
Рабочая группа Европейского космического агентства по излучению
высокотемпературных газов разработала серию тестовых задач, на примере
которых проводится тестирование программных кодов. Одна из таких
тестовых задач (TC3 -- Test Case №3) предусматривает численное
интегрирование уравнений движения вязкого, теплопроводного, химически
неравновесного и излучающего газа (CO2, CO2+N2) в окрестности модели
космического аппарата MSRO (Mars Sample Return Orbiter).
4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического
аппарата MSRO
Геометрия модельного космического аппарата MSRO была разработана в
Европейском космическом агентстве [152] (Рис.4.1).
Рис.4.1. Геометрия модели космического аппарата Mars Sampler Return Orbiter
(MSRO) [21]; все размеры -- в мм

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
202
Были также определены контрольные точки траектории входа
космического аппарата в атмосферу Марса (см. табл.4.1). Предполагалось,
что фиксация геометрии и точек траектории позволит провести сравнение
результатов расчетов конвективного и радиационного нагрева поверхности
космического аппарата, получаемого разными исследовательскими группами
Мира, что и было реализовано в ходе научных конференций-семинаров,
организованных Европейским космическим агентством [145-153].
Таблица 4.1. Параметры траектории
№
траекторной
точки
Время,
с
∞
ρ,
г/см3
p∞,
эрг/см3 V∞ ,
м/с
T∞,
K
1
70
8
3.14 10−
×
8.40 5687 140
2
115
7
2.93 10−
×
78.7 5223 140
3
175
7
3.07 10−
×
82.3 3998 140
4
270
8
2.82 10−
×
7.60 3536 140
Компьютерный код NERAT использовался для расчета поля течения,
конвективного и радиационного нагрева MSRO в заданных точках
траектории (
см. Табл.4.1) в предположениях каталитической и
некаталитической поверхности.
Результаты расчетов двух траекторных точек показаны на Рис.4.2, 4.3
(некаталитическая поверхность MSRO) и на Рис.4.4,4.5 (каталитическая
поверхность).
Из сравнения Рис.4.2 и 4.4 видно, что для разных каталитических
способностей поверхности поле скоростей получается весьма близким, хотя и
имеются некоторые различия в ближнем следе. Это же относится и к
распределению поступательной температуры. Что касается распределений
концентраций CO2 и CO, то в них наблюдается вполне закономерное отличие,
связанное с каталитической способностью (Рис.4.3 и 4.5.). В случае
каталитической поверхности в ближнем следе образуется повышенное
содержание СО2, а для некаталитической поверхности -- СО.
На Рис.4.5,а показано распределение плотностей конвективных тепловых
потоков вдоль поверхности MSRO, а на Рис.4.5,б - распределение
интегральных радиационных тепловых потоков. В распределениях
плотностей конвективных тепловых потоков наблюдается примерно
двукратное превышение потока к каталитической поверхностью по
сравнению с некаталитической поверхностью.
В распределении плотности радиационного теплового потока отметим две
важные особенности. На наветренной поверхности тормозного
аэродинамического щита MSRO наблюдается возрастание плотности
интегрального радиационного потока от передней критической линии тока к

4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO
203
боковой кромке. Это связано с заметным утолщением ударного слоя вниз по
потоку и тем, что основная доля потока приходится на инфракрасную область
спектра (излучают молекулы CO2 и CO).
Рис.4.2. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и поступательная температура; 2-я точка
траектории MSRO; некаталитическая поверхность
Рис.4.3. Относительная мольная концентрация СО2 и СО; 2-я точка траектории
MSRO; некаталитическая поверхность
Наибольшее значение интегрального радиационного потока на
подветренной стороне MSRO наблюдается в окрестности донной
поверхности. Здесь радиационный нагрев обусловлен инфракрасным
излучением большого объема газа (десятки кубических метров; см. Рис.4.2 и

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
204
4.4) и плотность радиационного теплового потока соизмерима с плотностью
конвективного потока (Рис.4.6).
В данном случае расчет переноса теплового излучения производился с
использованием довольно грубой 37-ми групповой оптической модели
Рис.4.4. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и поступательная температура;2-я точка
траектории MSRO; каталитическая поверхность
Рис.4.5. Относительная мольная концентрация СО2 и СО; 2-я точка траектории
MSRO; каталитическая поверхность
спектральных оптических свойств. Учитывалась спектральная область
теплового излучения от 10 до 0.05 мкм.
Представленные данные аэротермодинамического анализа MSRO
отвечают модели локального термодинамического равновесия. Пример учета

4.2. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата MSRO
205
колебательной неравновесности (см. Рис.4.6в) показывает на необходимость
проведения численного моделирования радиационной аэротермодинамики с
более детальным учетом физической и химической кинетики. Однако это
потребует создание и исследование более детальных моделей
релаксационных процессов колебательных степеней свободы двух- и
трехатомных молекул.
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
Point number
Qrad, W/cm2
50
100
150
200
0
0.5
1
1.5
2
2.5
(
а)
(
б)
x, cm
T,K
024681
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(CO2-1)
Tv(CO2-2)
Tv(CO2-3)
Tv(CO)
(в)
Рис.4.6. (а) Распределение плотности конвективного теплового потока вдоль
наветренной поверхности MSRO (левые сплошные кривые), вдоль подветренной
поверхности аэродинамического щита (пунктир), вдоль донной поверхности (правые
сплошные кривые); 1 - каталитическая поверхность, 2 -- некаталитическая
поверхность. (б) Распределение плотности интегрального радиационного теплового
потока вдоль поверхности MSRO; номера точек 0-90 отвечают лобовой поверхности,
91-146 - подветренной стороне аэродинамического щита, 147-185 -- боковой
цилиндрической поверхности, 186- 210 -- донной поверхности
На рис (в) дано распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока для второй точки траектории MSRO; учитывались
колебательные моды молекул N2, O2, CO и три колебательных моды CO2

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
206
4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического
аппарата Pathfinder
Выполнены расчеты поля течения и конвективного нагрева поверхности
космического аппарата Pathfinder в некоторых точках траектории,
допускающих сравнение с имеющимися расчетными данными других
авторов [74,75,154].
В работе [154] представлена вычислительная модель аэротермодинамики
лобового тормозного щита космического аппарата Pathfinder, основанная на
модели вязкого ударного слоя (ВУС). Выполнены сравнения конвективных
тепловых потоков на поверхности космического аппарата Pathfinder с
результатами работы [74], где также использовалась вычислительная модель
ВУС. В работах [74,154] выполнено систематическое численное
исследование аэротермодинамики лобовой поверхности КА Pathfinder в
точках траектории, приведенных в табл.4.2.
Таблица 4.2. Параметры набегающего потока в работах [74,154]
№
траекторной
точки
H, км
∞
ρ,
г/см3
Т,K
p∞,
эрг/см3 V∞ ,
см/с
1
74.28 0.497×10−8 139
1.3 7.66×105
2
59.97 0.359×10−7 144
8.8 7.58×105
3
42.27 0.153×10−6 155 44.2 7.17×105
4
40.70 0.323×10−6 162 100.9 6.59×105
5
36.87 0.501×10−6 166 151.5 6.01×105
6
29.43 0.105×10−5 176 349.8 4.24×105
7
24.54 0.171×10−5 182 591.2 2.77×105
8
21.23 0.236×10−5 186 834.8 1.84×105
На Рис.4.7 показано распределение конвективных тепловых потоков для
каталитической и некаталитической поверхностей, полученное в расчетах с
использованием кода NERAT в четвертой траекторной точке табл.4.2. Из
Рис.4.7 видно хорошее совпадение с данными [74,154].
На Рис.4.8-4.10 показаны результаты расчетов аэротермодинамики КА
Pathfinder для траекторных условий, исследовавшихся в [75]. В указанной
работе анализировались летные данные и результаты расчетов с
использованием компьютерного кода GIANTS. Из представленных на рис.
4.7 следует хорошее соответствие расчетных данных NERAT и GIANTS [75].
Параметры марсианской атмосферы [75], для которых производились
расчеты с использованием кода NERAT приведены в табл.4.3.

4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
207
Представленные на Рис.4.8-4.10 результаты расчетов относятся к точке
траектории наиболее интенсивного конвективного нагрева. На Рис.4.9
показаны расчетные данные для некаталитической поверхности, а на Рис.4.10
Таблица 4.3. Параметры набегающего потока в работе [75]
№
траекторной
точки
t,с V∞,см/с H,км Т,K ∞
ρ , г/см3
1
40 7.504×105 85.000 105 6.74×10−10
2
42 7.490×105 68.469 129 1.01×10−8
3
45 7.472×105 64.599 112 2.10×10−8
4
52 7.364×105 56.026 143 5.76×10−8
5
56 7.242×105 51.445 157 9.28×10−8
6
66 6.596×105 41.204 169 2.80×10−7
7
76 5.333×105 33.082 170 6.68×10−7
8
80 4.717×105 30.484 175 8.53×10−7
s, cm
Qw, W/cm**2
0
50
100
150
200
250
300
10-1
100
101
102
103
1
2
3
Рис.4.7. Распределение конвективных тепловых потоков вдоль наветренной и
подветренной поверхности КА Pathfinder; 1 -- каталитическая поверхность, 42
t= c;
сплошная кривая -- результаты расчетов данной работы, точки ( ∆ ) -- расчеты [154]; 2
-- каталитическая поверхность, 66
t = c; штрих-пунктир -- результаты расчетов
данной работы, точки ( ∇ ) -- расчеты [154], точки ( ) -- расчеты [74], точки ( )
расчеты [75]; 3 -- некаталитическая поверхность, 66
t = c, штриховая кривая -- данная
работа, кружки -- [154], точки ( ) -- [74], точки ( ) -- [75]

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
208
показаны результаты для каталитической поверхности. Хорошо видна
сложная много вихревая структура течения вблизи подветренной стороны
космического аппарата (Рис.4.8) и значительные различия в распределениях
концентраций CO2 и CO для разных каталитических свойств поверхности.
Заметим, что на Рис.4.8-4.10 тонкими линиями показаны границы трех
расчетных блоков.
Сравнительный анализ различных кинетических моделей используемых
при численном исследовании аэротермодинамики марсианских космических
аппаратов выполнен в [153]. Предполагалось, что ионизация газа в сжатом
слое несущественна, поэтому принимались в учет только нейтральные
компоненты смеси газов: C, N, O, C2, N2, O2, CN, CO, NO, CO2. В расчетах
использовалась модель псевдо каталитической поверхности.
x, cm
y, cm
0
200 400 600 800 1000
-600
-400
-200
0
200
400
600
Vx
9 .80 E-01
9 .53 E-01
9 .27 E-01
9 .00 E-01
8 .74 E-01
8 .47 E-01
8 .21 E-01
7 .94 E-01
7 .68 E-01
7 .41 E-01
7 .15 E-01
6 .88 E-01
6 .62 E-01
6 .35 E-01
6 .09 E-01
5 .82 E-01
5 .56 E-01
5 .29 E-01
5 .03 E-01
4 .76 E-01
4 .50 E-01
4 .23 E-01
3 .97 E-01
3 .70 E-01
3 .44 E-01
3 .17 E-01
2 .91 E-01
2 .64 E-01
2 .38 E-01
2 .11 E-01
1 .85 E-01
1 .58 E-01
1 .32 E-01
1 .05 E-01
7 .86 E-02
5 .21 E-02
2 .56 E-02
-9.30E-04
-2.74E-02
-5.40E-02
-8.05E-02
-1.07E-01
-1.33E-01
-1.60E-01
Рис.4.8. Поле продольной скорости; некаталитическая поверхность;
66
t = с (условия табл. 4.3)
Рис.4.9. Объемно-мольная концентрация CO2 и СО; некаталитическая поверхность;
66
t = с (условия табл.4.3)

4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
209
x, cm
y, cm
0
200 400 600 800 1000
-600
-400
-200
0
200
400
600
CO
0.50
0.49
0.47
0.46
0.45
0.44
0.42
0.41
0.40
0.39
0.37
0.36
0.35
0.34
0.32
0.31
0.30
0.29
0.27
0.26
0.25
0.24
0.22
0.21
0.20
0.19
0.17
0.16
0.15
0.14
0.12
0.11
0.10
0.09
0.07
0.06
0.05
0.04
0.02
0.01
Xi
Рис.4.10. Объемно-мольная концентрация CO2 и СО; каталитическая поверхность;
66
t = с (условия табл.4.3)
Радиационная аэротермодинамика с расчетом радиационного нагрева
поверхности КА Pathfinder была исследована для четырех точек траектории
(№№ 2,4,6,8) из таблицы 4.3. Первая точка траектории из таблицы 4.3
соответствует
наиболее
неравновесным условиям
полета.
Аэротермодинамика СА в этой точке исследовалась в работе [155].
На рис. 4.11a, 4.14а, 4.17а и 4.20а показаны радиальная и осевая проекции
скорости для траекторных точек t=42, 52, 66, 80 s. Сравнение полей
радиальной и осевой проекции позволяет идентифицировать отрывные
течения вблизи подветренной поверхности спускаемого аппарата.
Особенностью этого отрывного течения является значительная термическая
неравновесность. Поступательная и колебательная температуры (для одной
из колебательных мод) показаны на рис. 4.11b, 4.14b, 4.17b и 4.20b.
Сильная неравновесность наблюдается также в сжатом слое у лобовой
поверхности. На рис. 4.11e, 4.14e, 4.17e и 4.20e показаны температурные
распределения вдоль передней критической линии тока. Используемая
модель неравновесного теплового излучения предполагает, что заселенность
электронных состояний молекул определяется больцмановским
распределением с электронной температурой, определяемой взвешенной с
мольными концентрациями температурами колебательного возбуждения.
Поэтому фактически распределения колебательных температур в сжатом
слое в значительной степени определяют его излучательную способность.
В рассмотренных случаях доминирующими оптически активными
молекулярными компонентами являются CO2, CO, CN, N2 и O2 (см. рис. 4.11,
4.14, 4.17 и 4.20). Поля массовых долей отдельных оптически активных
компонент приведены на рис. 4.11c,d, 4.14c,d, 4.17c,d и 4.20c,d.

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
210
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Рис.4.11. Продольная скорость uV∞ , радиальная скорость V∞
v , поступательная и
вращательные температуры (симметричная мода колебаний CO2), массовые доли
CO2, CO, N2 and CN; распределения поступательной и колебательных температур и
массовых долей компонент при t=42 с. Каталитическая поверхность

4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
211
Распределения плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков вдоль поверхности КА Pathfinder даны на рис.4.12, 4.15, 4.18 и 4.21.
Видно, что на некоторых участках поверхности плотности радиационных
тепловых потоков превосходят плотности конвективных тепловых потоков.
Плотности спектральных радиационных тепловых потоков в отдельных
точках на поверхности показаны на рис. 4.13, 4.16, 4.19 и 4.22. Здесь
показаны не только спектральные радиационные тепловые потоки , но и
соответствующие кумулятивные функции в шести точках. Координаты
указанных точек, отсчитываемые от передней критической точки вдоль
меридиональной поверхности, приведены в подписях к рисункам.
Рис. 4.12 Плотностей конвективных и радиационных тепловых потоков на
каталитической поверхности КА Pathfinder при t=42 с
Рис. 4.13. Плотность спектральных радиационных тепловых потоков и
соответствующие кумулятивные функции в шести точках, расположенных на
поверхности в меридиональной плоскости при t=42 с:1: S1/Ssurf= 0., 2: S2/Ssurf=
0.188, 3: S3/Ssurf= 0.441, 4: S4/Ssurf= 0.575, 5: S5/Ssurf= 0.796, 6: S6/Ssurf= 0.989

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
212
(a)
(b)
(c)
(d)
(e
(f)
Рис.4.14. Продольная скорость uV∞ , радиальная скорость V∞
v , поступательная и
вращательные температуры (симметричная мода колебаний CO2), массовые доли
CO2, CO, N2 and CN; распределения поступательной и колебательных температур и
массовых долей компонент при t=52 с. Каталитическая поверхность

4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
213
Представленные данные показывают доминирующий вклад видимого и
ультрафиолетового излучения в интегральный радиационный поток на
лобовой поверхности и определяющий вклад инфракрасного излучения
колебательных полос CO2 и CO в нагрев подветренной поверхности
космического аппарата.
Рис. 4.15. Плотность конвективных и радиационных тепловых потоков на
каталитической поверхности КА Pathfinder при t=52 с. Расчет радиационного нагрева
с использованием поступательной (T) и колебательной (Tv) температуры
Рис. 4.16. Плотность спектральных радиационных тепловых потоков и
соответствующие кумулятивные функции в шести точках, расположенных на
поверхности в меридиональной плоскости при t=52 с:1: S1/Ssurf= 0., 2: S2/Ssurf=
0.188, 3: S3/Ssurf= 0.441, 4: S4/Ssurf= 0.575, 5: S5/Ssurf= 0.796, 6: S6/Ssurf= 0.989.
Использованы колебательные температуры

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
214
(а)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Рис.4.17. Продольная скорость uV∞ , радиальная скорость V∞
v , поступательная и
вращательные температуры (симметричная мода колебаний CO2), массовые доли
CO2, CO, N2 and CN; распределения поступательной и колебательных температур и
массовых долей компонент при t=66 с. Каталитическая поверхность

4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
215
Рис. 4.18. Плотность конвективных и радиационных тепловых потоков на
каталитической поверхности КА Pathfinder при t=66 с
Рис. 4.19. Плотность спектральных радиационных тепловых потоков и
соответствующие кумулятивные функции в шести точках, расположенных на
поверхности в меридиональной плоскости при t=66 с:1: S1/Ssurf= 0., 2: S2/Ssurf=
0.188, 3: S3/Ssurf= 0.441, 4: S4/Ssurf= 0.575, 5: S5/Ssurf= 0.796, 6: S6/Ssurf= 0.989.
Использованы колебательные температуры
Распределения спектральных коэффициентов поглощения и испускания
вдоль передней и задней критических линий торможения показаны на рис.16
и 17 для момента времени t=52 s. Эти данные иллюстрируют особенность
переноса селективного теплового излучения в многокомпонентных
неоднородных газовых слоях, которое тесно связано с оптическими
свойствами индивидуальных компонент газовой смеси, с распределением
концентраций компонент в неоднородном слое и с заселенностями
внутренних энергетических состояний, с распределением поступательных и
колебательных температур и соответствующих функций излучения
абсолютно черного тела.

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
216
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Рис.4.20. Продольная скорость uV∞ , радиальная скорость V∞
v , поступательная и
вращательные температуры (симметричная мода колебаний CO2), массовые доли
CO2, CO, N2 and CN; распределения поступательной и колебательных температур и
массовых долей компонент при t=80 с. Каталитическая поверхность

4.3. Радиационная газовая динамика спускаемого космического аппарата Pathfinder
217
Рис. 4.21. Плотность конвективных и радиационных тепловых потоков на
каталитической поверхности КА Pathfinder при t=80 с
Рис. 4.22. Плотность спектральных радиационных тепловых потоков и
соответствующие кумулятивные функции в шести точках, расположенных на
поверхности в меридиональной плоскости при t=80 s:1: S1/Ssurf= 0., 2: S2/Ssurf=
0.188, 3: S3/Ssurf= 0.441, 4: S4/Ssurf= 0.575, 5: S5/Ssurf= 0.796, 6: S6/Ssurf= 0.989.
Использованы колебательные температуры
Напомним, что основное различие в распределениях спектральных
коэффициентов поглощения и испускания в сжатом слое и в следе (на
рисунках 4.23 и 4.24 показаны распределения этих функций вдоль передней и
задней критических линий тока) состоит в том, что при анализе
распределения спектрального коэффициента испускания следует принимать в
учет соответствующее распределение спектральной интенсивности
излучения абсолютно черного тела (
при соответствующей данной
электронно-колебательной полосе температуре).

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
218
Рис. 4.23. Спектральный коэффициент поглощения в сжатом слое вблизи передней
(слева) и задней (справа) критической линии тока при t=52 с:
max
min
max
()
Yω
ωω
=
−
,
min
ω = 1500 см-1,
max
ω = 100000 см-1;
max
Xxx
=
; max
x =10см и100см--размеры
расчетных областей вдоль передней и задней критической линии
Рис. 4.24. Спектральный коэффициент излучения в сжатом слое вблизи передней
(слева) и задней (справа) критической линии тока при t=52 с:
max
min
max
()
Yω
ωω
=
−
,
min
ω = 1500 см-1,
max
ω = 100000 см-1;
max
Xxx
=
; max
x =10см и100см--размеры
расчетных областей вдоль передней и задней критической линии

4.4. РадГД СКА Exomars
219
4.4. Радиационная газовая динамика спускаемого космического
аппарата Exomars
В данном разделе радиационная аэротермодинамика КА Exomars
исследована для трех траекторных точек приведенных в таблице 4.4: SC.1,
SD.1, SD.2. Другие расчетные точки были исследованы в [155,156]. Расчеты
были выполнены с использованием 4-х блочной расчетной сетки размером
61x89, 61x69, 61x109, 49x109. Конфигурация сетки показана на рис. 1.3,б.
Таблица 4.4. Траекторные точки для КА EXOMARS [155]
№
траекторной
точки
∞
ρ, г/см3 p∞,эрг/см3 V∞,км/с T∞,K
SC.1
7
6.838 10−
×
200.3 4.922 195
SC.2
6
1.069 10−
×
324.6 4.474 194
SD.1
7
3.708 10−
×
137.4
4.878 158
SD.2
7
5.534 10−
×
205.9 4.489 153
Cold 94.1
6
1.186 10−
×
352.8 3.842 155
Storm90.1
7
1.911 10−
×
77.3
5.268 211
Данные приведенные на рис.4.25 и 4.26 позволяют сравнить температуру,
скорость, массовые доли, а также осевые распределения вдоль критической
линии тока последовательно для трех траекторных точек. На рис.4.26
приведены осевые распределения поступательных и колебательных
температур вдоль передней критической линии тока, а также распределения
плотностей конвективных и радиационных тепловых потоков вдоль
поверхности космического аппарата.
Радиационный нагрев поверхности КА Exomars рассчитывался с
использованием двух расчетных методов. Радиационный нагрев поверхности
лобового аэродинамического щита выполнялся с использованием метода
полумоментов, то есть использовалось приближение локально плоского
неоднородного слоя. Плотность интегральных радиационных потоков на всей
поверхности, включая подветренную часть проводился с использованием
метода дискретных направлений (Ray-tracing method - RTM). На рис.4.26
дано сопоставление плотностей интегральных радиационных потоков,
полученных с использованием указанных двух методов. Заметим также, что
расчет с использованием RTM оказался весьма трудоемким, т.к.
использовалось более 400 лучей, испускаемых с каждой контрольной точки
поверхности, вдоль которых проводилось интегрирование уравнения
переноса излучения на неоднородной сетке по пространству и по частоте
электромагнитного излучения.

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
220
(a)
(b)
(c)
Рис.4.25. Поступательная температура, продольная скорость и массовые доли CO2
and CO вблизи поверхности Exomars для трех точек траектории: SC.1 (a), SD1 (b) and
SD2 (c). Каталитическая поверхность

4.4. РадГД СКА Exomars
221
(a)
(b)
(c)
Рис.4.26. Поступательная и колебательные температуры вдоль критической линии
тока (слева); распределение плотностей конвективных и интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль каталитической поверхности КА Exomars для трех точек
траектории: SC.1 (a), SD1 (b) and SD2 (c):
,
wc
Q теплопроводностная часть конвективного нагрева,
,
wd
Q диффузионная часть
конвективного нагрева; ,,
,
wtot
wc
wd
QQQ
=
+;,
wrad
Q - плотность интегрального
радиационного теплового потока, полученная с использованием метода
полумоментов; ,,
w rad ray tracing
Q−
- плотность интегрального радиационного теплового
потока, полученная с использованием метода дискретных направлений

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
222
4.5. Расчет радиационной газовой динамики спускаемого космического
аппарата Exomars с использованием трехблочной сетки
В работе [157] выполнен расчет обтекания космического аппарата Exomars
в двух тестовых точках траектории спуска в атмосфере Марса, определенных
в Европейском космическом агентстве для сравнительного анализа
аэротермодинамики космических аппаратов [155]:
а) SD1: V∞ =4.878 км/с, ∞
ρ=
7
3.708 10−
×
г/см3, p∞ =137.4 эрг/см3, T∞ =158.4 K;
б) SC1: V∞ =4.920 км/с, ∞
ρ=
7
6.838 10−
×
г/см3, p∞ =200.3 эрг/см3, T∞ =194.7 K.
Особенностью решения задачи в указанной работе было использование
трехблочной топологии расчетной сетки, конфигурация которых показана на
рис.1.3,а. Недостатком использованной сетки являлось то, что в случае
протяженного возвратно-вихревого движения газа в ближнем следе за
подветренной стороной космического аппарата возникала необходимость
увеличения радиального размера второго блока (см рис. 1.3,а). В остальном
эта топология расчетной области оказалась весьма удачной для расчетов
обтекания КА Exomars.
Ниже представлены данные по конвективному и радиационному нагреву в
осесимметричной постановке в первой точке траектории (SD1) при
моделировании марсианской атмосферы двуокисью углерода.
Расчеты выполнены для каталитической и некаталитической
поверхностей. Температура поверхности задавалась постоянной: w
T =1000 K
на наветренной стороне, и w
T =500 K на подветренной стороне космического
аппарата.
Результаты расчетов обтекания некаталитической поверхности КА
показаны на рис.4.27, а каталитической поверхности на рис.4.28. Напомним,
что если в первом случае диффузионные потоки к поверхности отсутствуют
(граничные условия для массовых долей имеют вид условий Неймана), то во
втором случае концентрации химических компонент на поверхности
практически совпадают с концентрациями компонент в набегающем
невозмущенном потоке газа. Для обоих случаев представлены поля
продольной скорости и поступательной температуры, а также массовых
концентраций CO2 и СО.
Распределение температур вдоль передней критической линии тока
(рис.4.29,а) позволяет оценить степень неравновесности течения в заданной
траекторной точке. В рассматриваемом случае релаксационная зона за
фронтом головной ударной волны оказывается порядка 0.5 см. Толщина
неравновесной зоны зависит в основном от плотности набегающего потока
(высота полета) и от скорости. Для типичных траекторий полета толщина
неравновесной зоны возрастает с ростом высоты.
Распределение плотности конвективного и интегрального по спектру
радиационного теплового потока вдоль поверхности космического аппарата
(координата s) от передней критической линии тока до задней критической

4.5. РадГД СКА Exomars с использованием трехблочной сетки
223
линии тока (рис.4.29,б) позволяет сделать выводы о заметном превосходстве
конвективного нагрева над радиационным нагревом вдоль всей поверхности
лобового аэродинамического щита. При этом подтверждается хорошо
известный факт, что конвективные тепловые потоки к каталитической
поверхности (см. сплошную кривую) превосходят потоки к некаталитической
поверхности более чем в два раза.
(а)
(б)
Рис. 4.27. Exomars: продольная скорость x
Vu
V
∞
= (верхняя половина рисунка) и
температура (а), массовые доли СО2 (верхняя половина рисунка) и СО (б) для точки
траектории SD1; некаталитическая поверхность; х, y -- в см
(а)
(б)
Рис. 4.28. Exomars: продольная скорость x
Vu
V
∞
= (верхняя половина рисунка) и
температура (а), массовые доли СО2 (верхняя половина рисунка) и СО (б) для точки
траектории SD1; каталитическая поверхность; х, y -- в см
Плотность радиационных тепловых потоков на лобовой поверхности
аэродинамического щита оказывается относительно малой ~
r
q 1-3 Вт/см2, и
эта величина заметно меньше плотности конвективного теплового потока
~
c
q 20-50 Вт/см2.

Глава 4. РадГД спускаемых космических аппаратов в атмосфере Марса
224
На подветренной стороне космического аппарата соотношение между
плотностями конвективного и радиационного потока изменяется. Как видно
рис.4.29б практически на всей задней поверхности КА радиационный нагрев
(~
r
q 1-3 Вт/см2) превосходит интенсивность конвективного нагрева
(~
c
q 0.1-0.7 Вт/см2). И только в окрестности задней критической линии тока
плотность конвективного теплового потока ( ~
c
q 3.0-4.0 Вт/см2) опять
превосходит плотность радиационного потока тепла. Указанное локальное
возрастание конвективного нагрева связано с наличием интенсивного
возвратного течения в ближнем следе КА, где скорость потока может
достигать скорости звука (в данных расчетах максимальная скорость
возвратного течения достигает М=1.4, однако это требует дополнительных
исследований).
Т,К
q
,
Вт/см2
(а)
(б)
Рис.4.29. Exomars: распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока в случае каталитической поверхности (а);
распределение конвективных тепловых потоков (кривые без маркеров) и
интегральных радиационных тепловых потоков (б) вдоль каталитической (сплошные
кривые) и некаталитической (штриховые кривые) поверхности космического
аппарата (х и s - в см) для точки траектории SD1
Указанное соотношение между конвективными и радиационными
потоками тепла в значительной степени присущи именно марсианской
атмосфере, состоящей в основном из молекул СО2, которые интенсивно
излучают в колебательно-вращательных полосах, расположенных в ближней
инфракрасной области спектра (в диапазонах волновых чисел ω =3000-3770 и
2000-2395 см-1), где достигается максимум функции Планка при
относительно низких температурах (~1000 К). Заметная интенсивность
излучения сжатого слоя у лобовой поверхности КА (характерная температура
~4000-5000 К) обусловлена, в рассматриваемом случае, электронно-
колебательными полосами молекулы СО, которая образуется здесь в
значительных количествах.

225
ГЛАВА 5
ДВУХМЕРНАЯ РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
СПУСКАЕМОГО АППАРАТА ORION В АТМОСФЕРЕ ЗЕМЛИ
5.1. Введение
Одним из направлений развития современной пилотируемой
космонавтики является изучение перспектив создание крупномасштабных
спускаемых космических аппаратов (КА), рассчитанных на экипаж до шести
космонавтов. Примерами таких программ являются проект NASA создания
КА Orion и проект РКК «
Энергия» им. С.П.Королева российского
спускаемого аппарата нового поколения ПТК НП [158-161]. В указанных
научных программах проводится аэротермодинамический, весовой и
траекторный анализ семейства космических аппаратов имеющих схожие
очертания с КА типа «Союз» и «Апполон» .
В работе [162] показано, что аэротермодинамика крупномасштабных
спускаемых космических аппаратов имеет свои отличительные особенности
связанные, в первую очередь, с увеличенными размерами сжатого слоя, что
при типичных траекториях входа таких космических аппаратов в плотные
слои атмосферы Земли может приводить к соизмеримости радиационного и
конвективного нагрева на отдельных участках поверхности даже при
орбитальных скоростях входа в условиях сильно неравновесного течения в
сжатом слое. Однако, этот вопрос требует более тщательного исследования.
Таким образом, если до настоящего времени теоретическая и
вычислительная аэротермодинамика космических аппаратов развивались в
основном в части совершенствования моделей конвективного нагрева
космических аппаратов, то при исследовании аэротермодинамики
крупномасштабных КА возникает необходимость решения задач
радиационной газовой динамики.
5.2. Радиационная газовая динамика космического аппарата Orion в
осесимметричной постановке
В работе [162] приводятся результаты двухмерных расчетов радиационной
газовой динамики КА Orion [158] с учетом неравновесных физико-
химических процессов и переноса селективного теплового излучения. Для
численных экспериментов применялся компьютерный код NERAT-2D.
Анализировались расчетные случаи, в которых проявляется радиационно-
газодинамическое взаимодействие, когда процесс переноса теплового
излучения оказывает влияние на распределение температуры и других
газодинамических функций в сжатом слое. Поскольку в проекте [158]
рассматривается несколько вариантов КА Orion, в работе [162] выбран
предназначенный для спуска с международной космической станции -- ISS

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
226
CEV (International Space Station Crew Exploration Vehicle). Геометрия
космического аппарата показана на рис.5.1.
x, cm
y, cm
0
500
1000
1500
-1000
-500
0
500
1000
1
2
3
4
Рис. 5.1. Геометрия космического аппарата ISS CEV и топология начальной сетки;
цифрами показаны номера блоков расчетной сетки
Таблица 5.1. Параметры траектории ISS CEV и результаты расчетов плотностей
конвективных и радиационных потоков. Для сравнения приведены результаты
расчетов плотностей конвективных потоков по формуле Фэя и Риддела [163]
Точка
траекто-
рии
t,c H,
км V∞,
км/
с
p∞,
эрг/
см3
ρ∞,
г/см3 T∞,
Kc
q,
Вт/
см2
c
q,
Вт/
см2
[163]
r
q,
Вт/
см2
CEV01 200 78.2 7.7 14.2 0.245×10-7 202 18 25 43
CEV02 300 65.6 7.0 100. 0.151×10-6 232 29 47 24
CEV03 400 65.6 6.2 100. 0.151×10-6 232 20 32 20
CEV04 500 57.1 5.2 324. 0.443×10-6 255 18 30 17
CEV05 600 42.8 3.0 1980 0.267×10-5 258 6 13 0.23
Траекторные параметры представлены на рис.5.2. Здесь показаны пять
точек, для которых выполнены расчеты. Исходные данные и результаты
расчетов конвективного и радиационного нагрева приведены в таблице 5.1.
Первая из указанных траекторных точек относится к участку торможения
в сильно неравновесных условиях. Величина плотности радиационного
теплового потока, полученного в [162] для этих условий представляется
несколько завышенной. В более поздних работах (см., например, [164]) было
показано, что выбор другой кинетической модели, другой модели
неравновесной диссоциации или учет радиационно-конвективного
взаимодействия, что обычно не делается для условий орбитального входа,

5.2. РадГД КА Orion в осесимметричной постановке
227
значительно изменяют оценку радиационных тепловых потоков в указанных
неравновесных условиях (к сожалению, не всегда в сторону уменьшения).
H,км
V∞,м/с
(а)
(б)
t
,
с
t
,
с
Рис. 5.2. Траектория спуска космического аппарата ISS CEV:
(а) - высота, (б) -- скорость
Распределение плотности конвективного и радиационного теплового
потока в двух точках траектории, первая из которых (CEV01) отвечает
неравновесным условиям течения, а вторая (CEV04) -- равновесным условиям
течения, показаны на рис.5.3.
Распределения температуры вдоль критической линии тока для этих двух
точек показано на рис.5.4. Здесь же приведены распределения
поступательной температуры, полученные в расчетах без учета радиационно-
газодинамического взаимодействия. В рассматриваемых условиях толщина
сжатого слоя составляет 30-40 см. Учет радиационных процессов приводит к
уменьшению толщины сжатого слоя примерно на 2 см в точке CEV01 и на ~
1 см в точке CEV04. Указанные температурные распределения хорошо
иллюстрируют постепенный переход от неравновесного течения с заметной
релаксационной зоной за фронтом ударной волны в точке CEV01 к
практически равновесному течению в точке CEV04.
Релаксационная зона толщиной ~ 2 см на расстоянии ~ 30 см от
поверхности (рис.53а) оказывается важной для расчета радиационных
тепловых потоков к поверхности. Это связано с тем, что в данном случае
основными излучателями в сжатом слое являются двухатомные молекулы
при электронно-колебательных квантовых переходах из возбужденных
состояний. Поэтому чрезвычайно важным оказывается правильное
определение температур колебательного возбуждения молекул N2, O2, NO.
Так что предсказываемые плотности радиационных тепловых к поверхности
напрямую зависит от величины колебательных температур в зоне сжатого
слоя ~ 26-32 см от поверхности, которые, в свою очередь, зависят от

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
228
используемых моделей колебательной релаксации и неравновесной
диссоциации. К этому следует добавить, что, несмотря на значительную
толщину сжатого слоя, он в рассматриваемых условиях остается оптически
тонким. Это означает, что излучение, испускаемое слоем
низкотемпературной плазмы толщиной 3-4 см, расположенного на
расстоянии ~ 30 см от поверхности космического аппарата, дает
существенный вклад в плотность интегральных радиационных тепловых
потоков.
,
wR
qq, Вт/см2
,
wR
qq, Вт/см2
(а)
(б)
s
,см
s, см
Рис.5.3. Распределения плотностей конвективных и интегральных радиационных
потоков вдоль поверхности КА CEV в первой (а) и четвертой (б) точках траектории
T,K
01
02
03
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
(а)
T,K
01
02
03
04
05
0
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
(б)
x, см
x, см
Рис.5.4. Распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока КА CEV в первой (а) и четвертой (б) точках траектории;
штриховая кривая -- распределение температуры в сжатом слое без учета
радиационно-газодинамического взаимодействия

5.2. РадГД КА Orion в осесимметричной постановке
229
На рис.5.2 представлены параметры траектории и показаны расчетные
траекторные точки, которые выбирались из условия наибольшей тепловой
нагрузки.
Наибольшая плотность конвективного теплового потока к поверхности
КА достигается в точке траектории CEV02 (t=300 с). На участке t=200-500 с
максимальная величина плотности конвективного теплового потока
составляет величину порядка w
Q ~ 20-30 Вт/см2. Предсказываемая величина
плотности конвективного теплового потока находится в удовлетворительном
согласии с другими полуэмпирическими оценками, в первую очередь с
известной зависимостью Фея-Риддела [163]. Заметим, что на лобовой
поверхности вклад теплопроводностной и диффузионной составляющих
теплового потока оказываются близкими.
Важной особенностью рассмотренных условий входа КА в плотные слои
атмосферы является относительно большая величина плотностей
интегральных радиационных тепловых потоков r
q ~20-40 Вт/см2. Следует
подчеркнуть, что большая величина плотности интегрального радиационного
потока не является удивительной для рассматриваемых траекторных
параметров. Этому есть две причины.
Первая причина заключается в необычно большом размере космического
аппарата. В рассмотренных условиях типичная толщина сжатого слоя
достигала ~ 30-40 см. Вторая причина заключается в высокой скорости КА в
достаточно плотных атмосферных слоях. Очевидно, что при типичных
температурах 5000-7000 К в сжатом слое толщиной такой толщины у
поверхности имеется мощный источник теплового излучения в широкой
спектральной области, от инфракрасной -- до ближней ультрафиолетовой.
Важно, что мощность теплового излучения очень сильно зависит от давления
газа в сжатом слое. При низких давлениях (~0.015 атм), что соответствует
движению КА на относительно больших высотах (в нашем случае при t ~ 200
с), испускательная способность образующейся у поверхности
низкотемпературной плазмы оказывается весьма низкой. Однако имеются
две причины, которые заставляют более внимательно исследовать данные
траекторные точки. Во-первых, при низких давлениях возрастает роль
неравновесных физико-химических процессов в сжатом слое. А это означает
резкое возрастание неопределенности в предсказании плотностей
радиационных тепловых потоков, поскольку до настоящего времени физика и
химия неравновесного излучения изучены не достаточно. Во-вторых, при
низких давлениях в сжатом слое его оптическая толщина становится
маленькой, поэтому излучение, рожденное в области относительно высоких
температур за фронтом ударной волны, может без препятствия достигать
обтекаемой поверхности.
На рис.5.5,а показана поступательная температура (в К) и продольная
скорость газа x
Vu
V
∞
=
. В распределении температуры хорошо виден
высокотемпературный сжатый слой (с температурой ~7000 К) и области

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
230
нагретого газа за фронтом головной ударной волны и в следе. Области
нагретого газа за космическим аппаратом могут оказаться важными при
определении радиационных тепловых потоков на подветренную сторону КА
(как это оказывается важным для марсианских космических аппаратов).
В распределении продольной скорости отметим две важные особенности.
Хорошо видна область торможения за фронтом ударной волны у лобового
аэродинамического щита. Вблизи передней критической линии тока имеется
область дозвукового движения газа. Именно в этой области (
при
осесимметричном обтекании) достигается наибольшая плотность
конвективного теплового нагрева поверхности.
В окрестности задней критической линии тока наблюдается
высокоскоростной поток газа, направленный к поверхности, то есть
противоположно направлению набегающего потока. Причиной
возникновения этого потока является отрывное течение, формирующееся на
подветренной стороне КА. Сам же поток приводит к локальному
возрастанию конвективного теплового потока к задней поверхности КА (рис.
5.2). Заметим, что расчетная сетка вблизи задней поверхности КА была
слишком грубой, поэтому значения конвективных тепловых потоков в этой
области следует трактовать как приближенную оценку.
На рис.5.5,б показаны поля массовых долей молекул N2 и О2. Из этих
рисунков хорошо видна высокая степень диссоциации молекул О2 и
несколько меньшая степень диссоциации молекул N2. Заметим, что в
рассматриваемом случае использовалось приближения каталитической
поверхности, поэтому на поверхности КА наблюдаются высокие
концентрации молекул N2 и О2.
y
,см
y
,см
1.00E+03
3.00 E+03
7.00E+03
2.00E+0 3
3.00E+03
-4.96E-02
1.76E-01
4.01E-01
6.26E-01
8.51E-01
9.04E-01
0
500
1000
1500
-1000
-500
0
500
1000
T
7.00E+03
6.00E+03
5.00E+03
4.00E+03
3.00E+03
2.00E+03
1.00E+03
Vx
9.04E-01
8.51E-01
6.26E-01
4.01E-01
1.76E-01
-4.96E-02
-2.75E-01
-5.00E-01
(а)
4.25E-01 3.17E-0 1
3.17E-01
3.17E-01
7.50E-01
6.42E-01
2.08E-01
6.42E-01
3.41E-02
6.69E-03 1.32 E-035.09E-05 1.00E-0 5
2.59E-04
6.69E-03
3.41E-02
1.7 8E-01
0
500
1000
1500
-1000
-500
0
500
1000
N2
7.50E-01
6.42E-01
5.33E-01
4.25E-01
3.17E-01
2.08E-01
1.00E-01
O2
1.78E-01
3.41E-02
6.69E-03
1.32E-03
2.59E-04
5.09E-05
1.00E-05
(б)
x
,см
x
,см
Рис.5.5. Поля поступательной температуры (вверху, а), продольной скорости
x
Vu
V
∞
= (внизу, а), массовых долей молекул N2 (верху, б) и O2 (внизу, б).
Точка траектории CEV01

5.2. РадГД КА Orion в осесимметричной постановке
231
Обратим внимание на результаты расчетов радиационных потоков к
поверхности с использованием метода полумоментов (только у лобового
аэродинамического щита) и метода дискретных направлений (Ray-tracing
method). В последнем случае расчеты были проведены для всей поверхности
КА. Как видно, плотность радиационных тепловых потоков к боковой
поверхности КА оказывается весьма высокой ( r
Q ~ 1-10 Вт/см2).
Особенности вычислительной реализации этих методов обсуждаются в [46].
Заметим, что величина плотности радиационных тепловых потоков,
предсказываемая
локально-одномерным
приближением (
метод
полумоментов) здесь и далее оказывается несколько выше, чем та, что
получается при использовании метода дискретных направлений. Этому
имеется две причины. Первая из них заключается в том, что в приближении
плоского неоднородного слоя излучающий объем несколько увеличивается
по сравнению с реальным слоем. Во-вторых, выполненные расчеты по
методу дискретных направлений отвечают 49 дискретным направлениям.
Вычислительный опыт показывает, что увеличение числа дискретных
направлений до 200-400 может увеличить получаемую величину на 10-20% .
Однако при этом существенно возрастет расчетное время (до ~ 20 часов на
один вариант). В представленных здесь данных принят известный
компромисс между абсолютной точностью расчетов и их скоростью. При
этом заметим, что попытка достичь высокой точности вычислений только в
одном из расчетных направлений представляется не оптимальной.
Распределение односторонних и полного интегрального радиационных
потоков вдоль передней критической линии тока показано на рис.5.6.
r
q , Вт/см2
01
02
03
0
-100
-50
0
50
100
150
1
3
2
x, см
Рис.5.6. Распределение односторонних интегральных радиационных потоков (в
Вт/см2) в сжатом слое вдоль передней критической линии тока: 1- 1
M + - плотность
интегрального потока излучения в направлении от поверхности (навстречу
набегающему потоку), 2- 1
M−
- плотность интегрального потока излучения в
направлении к поверхности (вдоль набегающего потока), 3 -- суммарный
интегральный поток излучения

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
232
Величина интегрального радиационного потока, достигающего
поверхности ( 1
M − ) формируется практически на первой половине сжатого
слоя (от ударной волны). Радиационный поток, исходящий с поверхности
незначительно усиливается в сжатом слое ( 1
M + ), формируя значительный
радиационный тепловой поток, направленный от ударной волны в сторону
невозмущенного газа. Степень взаимодействия этого излучения с
набегающим потоком во многом определяется его спектральными
свойствами и составом набегающего газового потока (в нашем случае --
воздуха).
На рис. 5.7 показано распределение спектральных радиационных
тепловых потоков достигающих поверхности в окрестности передней
критической линии тока, а также для других трех точек, расположенных на
разных расстояниях от критической точки.
Хорошо видно, что основная энергия теплового излучения переносится к
поверхности в видимой и ультрафиолетовой частях спектра. Анализ
основных излучателей в высокотемпературной части сжатого слоя
показывает, что к ним следует отнести молекулярные полосы. Наиболее
значимые электронно-колебательные полосы двухатомных молекул горячего
воздуха в сжатом слое, которые необходимо учитывать в данном случае
исследовались в [18].
()
r
q ω , Вт·см/см2
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
ω,см-1
Рис. 5.7. Спектральное распределение плотностей радиационных потоков в разных
точках на поверхности. Расчеты выполнены с использованием метода дискретных
направлений, Вт·см/см2; 1: max
sS =0,2-0.187,3-0.398,4-0.642; max
S =852 см

5.2. РадГД КА Orion в осесимметричной постановке
233
r
I , Вт·см/см2
103
104
105
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
ω,см-1
Рис. 5.8. Кумулятивные функции спектральных плотностей радиационных потоков в
разных точках на поверхности (см. координаты точек на рис.8)
По мере отхода от передней критической точки уменьшается
интенсивность излучения в ультрафиолетовой области. Отметим также общее
снижение интенсивности излучения, что связано с тем, что в поле зрения,
открывающегося из данной точки на поверхности видны все менее и менее
высокотемпературные слои. Количественную характеристику изменения
спектрального состава радиационного теплового потока достигающего
поверхности дают кумулятивные функции плотности потока теплового
излучения в разных точках на поверхности КА, представленные на рис.5.8.
Таким образом, выполненное расчетное исследование аэротермодинамики
крупномасштабного космического аппарата Orion в осесимметричной
двумерной постановке, при его входе в атмосферу Земли по траектории
спуска с международной космической станции показало, что для типичной
траектории входа в плотные слои атмосферы плотность радиационных
тепловых потоков к поверхности КА может оказаться соизмеримой и даже
превзойти плотность конвективных тепловых потоков. Однако, отмеченные
высокие значения плотностей радиационных тепловых потоков к
поверхности спускаемого аппарата отвечают неравновесным условиям
обтекания, для численного моделирования которого использована много
температурная модель, допустимость использования которой для расчета
неравновесного теплового излучения требует дополнительного исследования
и обоснования.

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
234
5.3. Результаты расчетов радиационной аэротермодинамики СА Orion с
использованием различных кинетических моделей и моделей
неравновесной диссоциации
В данном разделе представлены результаты расчетного исследования
радиационной аэротермодинамики спускаемого аппарата Orion с
использованием различных моделей химической кинетики и моделей
неравновесной диссоциации [164]. Проводился анализ распределений
поступательных и колебательных температур, а также распределений
интегральных радиационных тепловых потоков вдоль критической линии
тока. Дано сравнение результатов, полученных для двух моделей химической
кинетики и четырех моделей неравновесной диссоциации.
Численное моделирование аэротермодинамики СА Orion было выполнено
для шести траекторных точек, параметры которых приведены в таблице 5.2.
В последних двух колонках этой таблицы даны давление в сжатом слое у
лобовой поверхности СА Orion и некоторая средняя температура в сжатом
слое (в рассмотренных случаях наблюдается значительное изменение
температуры в сжатом слое, поэтому в таблице приводится некоторая
характерная величина для каждого расчетного варианта).
Таблица 5.2. Траекторные параметры СА Orion
№
траекторной
точки
t,c H,км V∞,
км/с
p∞,
эрг/см3 T∞,
K
р,
эрг/см3 T,
K
1
150 83.0 7.7 3.37 187 3735. 9000
2
200 78.2 7.7 14.2 202 14526. 8000
3
300 65.6 7.0 100. 232 73990. 7000
4
400 65.6 6.2 100. 232 58232. 6700
5
500 57.1 5.2 324. 255 120250. 6000
6
600 42.8 3.0 1980. 258 240300. 3200
Примечание: 1атм = 106 эрг/см3
Геометрия данного спускаемого аппарата и пример используемых
конечно-разностных сеток показаны на рис.5.1.
Была реализована следующая последовательность вычислений. Сначала
выполнялось численное моделирование обтекания СА Orion в каждой из
траекторных точек (см. таблицу 5.2) с использованием модели химической
кинетики Данна и Канга [165] и двух моделей неравновесной диссоциации. В
первой модели (на графиках соответствующие данные обозначены меткой
JvKin=0) константы скоростей реакций диссоциации рассчитывались с
использованием поступательной температуры. Таким образом, фактически
модель локального термодинамического равновесия использовалась в данном

5.3. РадГД КА Orion с использованием разных кинетических моделей
235
случае. При этом, уравнения сохранения энергии в отдельных колебательных
модах молекул N2, O2 и NO интегрировались в общем вычислительном цикле.
Во второй модели неравновесной диссоциации (эти данные помечены
маркером JvKin=3) использовалась первая модель Тринора-Мэрроуна [166].
В данных расчетах не учитывалось радиационно-газодинамическое
взаимодействие. Результаты указанных расчетов показаны на рис. 5.9-5.11.
- На втором этапе численное интегрирование полной самосогласованной
системы уравнений в тех же точках траектории выполнялось с
использованием кинетической модели Парка [20,167] для пяти моделей
неравновесной диссоциации. Результаты расчетов по этим моделям
обозначены маркерами: JvKin=0 -- ЛТР модель, JvKin=1 -- эвристическая
модель Парка неравновесной диссоциации [168], JvKin=3 -- первая модель
Тринора-Мэрроуна [166]; JvKin=4 (3) -- вторая модель Тринора-Мэрроуна
[169] при U=3 (где U является фактически подгоночным параметром этой
модели), JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-Мэрроуна [169] при U=6.
- В этих расчетах радиационно-газодинамическое взаимодействие также не
учитывалось. Результаты этих расчетов показаны на рис. 10-15.
- На третьем этапе численное интегрирование проводилось с
использованием двух моделей химической кинетики для одной модели
неравновесной диссоциации (
первой модели Тринора-Мэрроуна [10],
JvKin=3). В этих расчетах принималось в учет радиационно-
газодинамическое взаимодействие. Результаты данной серии расчетов
показаны на рис.5.12-5.23. Поля продольной скорости и поступательной
температуры, полученные в этих расчетах, показаны на рис.5.24. Можно
отметить практическую эквивалентность полученных распределений. По
крайней мере, на представленных распределениях полей поступательной
температуры и продольной скорости они не различимы.
Представленные в данном разделе расчетные данные свидетельствуют о
высокой чувствительности результатов расчетов к используемым
кинетическим моделям. Рассмотрим основные закономерности этого влияния
более подробно.
Показанные на рис. 5.9-5.11 температурные распределения вдоль передней
критической линии тока характеризуют изменения условий в сжатом слое у
лобовой поверхности спускаемого аппарата в шести последовательно
расположенных точках траектории спуска. Расчеты выполнены с
использованием кинетической модели Данна и Канга. Хорошо видно, что по
мере снижения СА в плотных слоях атмосферы заметно уменьшается
релаксационная зона за фронтом головной ударной волны, так что можно
говорить о более полной термализации условий за фронтом ударной волны.
В первой траекторной точке релаксационная зона колебательного
возбуждения молекул O2 и NO имеет протяженность порядка 5 см, а
колебательное возбуждение молекул N2 протекает на расстояниях 20-30 см.
При этом для двух разных моделей неравновесной диссоциации (JvKin=0 и
JvKin=3) получены заметно различающиеся распределения колебательной

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
236
температуры молекулярного азота. Ниже будет неоднократно показано, что в
рассматриваемых условиях давление в сжатом слое оказывается настолько
малым (см., например, таблицу 5.2), что здесь с хорошей точностью
реализуются условия оптически тонкой среды. А это означает, что
радиационные тепловые потоки в направлении поверхности формируются
практически сразу за фронтом ударной волны, то есть в неравновесной зоне
течения.
Таким образом, в рассматриваемой точке траектории плотность
радиационных тепловых потоков, получаемая в результате расчета, во
многом определяется распределением температуры поступательного и
колебательного движения частиц (а также, что не менее важно --
распределением этих частиц по возбужденным электронным и
колебательным состояниям) именно в неравновесной релаксационной зоне.
По всей видимости, это и является главной причиной значительного разброса
данных по радиационному нагреву поверхности СА в неравновесных
условиях.
Из представленных данных также можно сделать вывод о том, что при
термализации температурных распределений в сжатом слое степень влияния
выбора модели неравновесной диссоциации снижается. Интересен также
факт относительного увеличения протяженности релаксационной зоны в
последнем из перечисленных вариантов, в условиях относительно слабой
интенсивности головной ударной волны. Впрочем, этот факт является
несущественным для конвективного и, тем более для радиационного нагрева.
На рис. 5.12-5.17 показаны результаты расчетов с использованием
кинетической модели Парка. Для каждой траекторной точки показаны
результаты расчетов, полученных по пяти моделям диссоциации (на рисунках
справа дано увеличение релаксационной зоны, где можно видеть
подробности температурных распределений за головной ударной волной).
Сразу заметим, что по мере термализации условий в сжатом слое по мере
снижения СА число расчетных точек для описания зоны химической
релаксации оказывается недостаточным. Однако, для наиболее
неравновесной точки траектории (рис.5.12) число расчетных точек можно
признать достаточным, хотя в целом условия в потоке приближаются к
режиму нарушения справедливости модели Навье-Стокса механики
сплошной среды.
Так же, как и ранее, представленные здесь данные свидетельствуют о
сильном влиянии используемой модели неравновесной диссоциации на
температурные распределения в релаксационной зоне, а значит -- на
величины генерируемых этой зоной радиационных тепловых потоков.
При сравнении температурных распределений, соответствующих
различным кинетическим моделям, следует отметить, что наименьшая
температура колебательного возбуждения наблюдается для модели
локального термодинамического равновесия (это фактически означает, что в
условиях ЛТР следует ожидать наименьших радиационных потоков).

5.3. РадГД КА Orion с использованием разных кинетических моделей
237
Весьма показательными являются данные представленные на рис. 5.18-
5.23. На каждом рисунке, отвечающем отдельной траекторной точке (от
первой - до последней, из табл. 5.2), приведены температурные
распределения вдоль передней критической линии тока, полученные с
использованием двух кинетических моделей (модели Данна и Канга [165] и
модели Парка [20,167], а также соответствующие распределения
односторонних радиационных тепловых потоков. Представленные
результаты получены с учетом радиационно-газодинамического
взаимодействия. Использование метода полумоментов позволяет изучить
закономерности распределения радиационных тепловых потоков от фронта
ударной волны к поверхности (функции 1
M−) и от поверхности -- по
направлению к набегающему потоку (функции 1
M + ). Здесь приведены
распределения интегрированных по спектру плотностей радиационных
тепловых потоков (размерности Вт/см2).
На примере первой траекторной точки отметим особенность
представленных данных (рис. 5.18). Во первых, обращает на себя внимание
различие температурных распределений, полученных для двух разных
кинетических моделей. Даже в почти термализованной области сжатого слоя
различие в температурах достигает почти двух тысяч градусов. При этом
отход головной ударной волны от поверхности СА изменяется примерно на 5
см. При использовании модели Парка наблюдается большая величина отхода
ударной волны и относительно более высокая температура в сжатом слое.
Для всех изученных траекторных точек основная часть радиационных
тепловых потоков в направлении поверхности формируется в
релаксационной зоне за фронтом ударной волны. Становится понятным, что
любые различия, получаемые в результате использования разных моделей
неравновесной диссоциации, становятся весьма значимыми для формируемой
величины радиационных тепловых потоков. В этом смысле, роль моделей
неравновесной диссоциации значительно возрастает при решении задач
радиационной газовой динамики. В рассматриваемом случае различие между
плотностями интегральных радиационных тепловых потоков в окрестности
критической точки достигает двух раз.
Интересны также закономерности формирования радиационных тепловых
потоков
1
M + , направленных в положительном направлении оси х. В
отдельных случаях, именно эта составляющая радиационного теплового
потока формирует так называемую прекурсорную неравновесную зону
сильных ударных волн. В рассматриваемом здесь случае величина 1
M+ при
х=0 отвечает испусканию нагретой поверхности СА со степенью черноты
ε =0.8.
Отметим также важный момент смены знака у полного интегрального
радиационного теплового потока внутри сжатого слоя.

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
238
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, JvKin=0
Tv(N2), JvKin=0
Tv(O2), JvKin=0
Tv(NO), JvKin=0
T, JvKin=3
Tv(N2), JvKin=3
Tv(O2), JvKin=3
Tv(NO), JvKin=3
ORION, t=150 s; D&K; No RadGD coupling
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, JvKin=0
Tv(N2), JvKin =0
Tv(O2), JvKin=0
Tv(NO), JvKin=0
T, JvKin=3
Tv(N2), JvKin =3
Tv(O2), JvKin=3
Tv(NO), JvKin=3
ORION,t=200s;D&K;NoRadGDcoupling
Рис.5.9. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока в двух точках траектории: t=150 с (слева) и t=200 с (справа);
JvKin=0 -- ЛТР, JvKin=3 --модель неравновесной диссоциации [166]
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, JvKin=0
Tv(N2), JvKin=0
Tv(O2), JvKin=0
Tv(NO), JvKin=0
T, JvKin=3
Tv(N2), JvKin=3
Tv(O2), JvKin=3
Tv(NO), JvKin=3
ORION, t=300 s; D&K; No RadGD coupling
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, JvKin=0
Tv(N2), JvKin=0
Tv(O2), JvKin=0
Tv(NO), JvKin=0
T, JvKin=3
Tv(N2), JvKin=3
Tv(O2), JvKin=3
Tv(NO), JvKin=3
ORION, t=400 s; D&K; No RadGD coupling
Рис.5.10. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока в двух точках траектории: t=300 с (слева) и t=400 с (справа);
JvKin=0 -- ЛТР, JvKin=3 --модель неравновесной диссоциации [166]

5.3. РадГД КА Orion с использованием разных кинетических моделей
239
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, JvKin=0
Tv(N2), JvKin=0
Tv(O2), JvKin=0
Tv(NO), JvKin=0
T, JvKin=3
Tv(N2), JvKin=3
Tv(O2), JvKin=3
Tv(NO), JvKin=3
ORION, t=500 s; D&K; No RadGD coupling
x, cm
T,K
02
04
06
08
0
0
5000
10000
15000
20000
T, JvKin=0
Tv(N2), JvKin=0
Tv(O2), JvKin=0
Tv(NO), JvKin=0
T, JvKin=3
Tv(N2), JvKin=3
Tv(O2), JvKin=3
Tv(NO), JvKin=3
ORION, t=600 s; D&K; No RadGD coupling
Рис. 5.11. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока в двух точках траектории: t=500 с (слева) и t=600 с (справа);
JvKin=0 -- ЛТР, JvKin=3 --модель неравновесной диссоциации [166]
x, cm
T,K
30
35
40
45
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=150 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6)
Рис.5.12. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=150 с; (a) JvKin=0 - ЛТР; (b) JvKin=1 -- модель Парка
[11]; (c) JvKin=3 -- первая модель Тринора-Мэрроуна [166]; (d) JvKin=4 (3) -- вторая
модель Тринора-Мэрроуна [23] при U=3; (e) JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-
Мэрроуна [23] при U=6. Справа дано увеличенное изображение температурных
распределений во фронте ударной волны

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
240
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=200 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6), No RadGD coupling
x, cm
T,K
25
30
35
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=200 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6)
Рис.5.13. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=200 с; (a) JvKin=0 - ЛТР; (b) JvKin=1 -- модель Парка
[11]; (c) JvKin=3 -- первая модель Тринора-Мэрроуна [166]; (d) JvKin=4 (3) -- вторая
модель Тринора-Мэрроуна [23] при U=3; (e) JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-
Мэрроуна [23] при U=6. Справа дано увеличенное изображение температурных
распределений во фронте ударной волны
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=300 s , JvKin=0,1,3,4(3),4(6), No RadGD coupling
x, cm
T,K
28
30
32
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=300 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6)
Рис.5.14. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=300 с; (a) JvKin=0 - ЛТР; (b) JvKin=1 -- модель Парка
[11]; (c) JvKin=3 -- первая модель Тринора-Мэрроуна [166]; (d) JvKin=4 (3) -- вторая
модель Тринора-Мэрроуна [23] при U=3; (e) JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-
Мэрроуна [23] при U=6. Справа дано увеличенное изображение температурных
распределений во фронте ударной волны

5.3. РадГД КА Orion с использованием разных кинетических моделей
241
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=400 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6), No RadGD c oupling
x, cm
T,K
30
31
32
33
34
35
36
37
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=400 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6)
Рис.5.15. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=400 с; (a) JvKin=0 - ЛТР; (b) JvKin=1 -- модель Парка
[11]; (c) JvKin=3 -- первая модель Тринора-Мэрроуна [166]; (d) JvKin=4 (3) -- вторая
модель Тринора-Мэрроуна [23] при U=3; (e) JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-
Мэрроуна [23] при U=6. Справа дано увеличенное изображение температурных
распределений во фронте ударной волны
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=500 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6), No RadGD coupling
x, cm
T,K
37
38
39
40
41
42
43
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=400 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6)
Рис.5.16. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=500 с; (a) JvKin=0 - ЛТР; (b) JvKin=1 -- модель Парка
[11]; (c) JvKin=3 -- первая модель Тринора-Мэрроуна [166]; (d) JvKin=4 (3) -- вторая
модель Тринора-Мэрроуна [23] при U=3; (e) JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-
Мэрроуна [23] при U=6. Справа дано увеличенное изображение температурных
распределений во фронте ударной волны

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
242
x, cm
T,K
02
04
06
08
0
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=600 s, JvKin=0,1,3,4(3),4(6), No RadGD coupling
x, cm
T,K
5758596061626364656667
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
ORION, t=600 s , JvKin=0,1,3,4(3),4(6)
Рис.5.17.Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=600 с; (a) JvKin=0 - ЛТР; (b) JvKin=1 -- модель Парка
[11]; (c) JvKin=3 -- первая модель Тринора-Мэрроуна [166]; (d) JvKin=4 (3) -- вторая
модель Тринора-Мэрроуна [23] при U=3; (e) JvKin=4 (6) -- вторая модель Тринора-
Мэрроуна [23] при U=6. Справа дано увеличенное изображение температурных
распределений во фронте ударной волны
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, D&K
Tv(N2), D&K
Tv(O2), D&K
Tv(NO), D&K
T, Park
Tv(N2), Park
Tv(O2), Park
Tv(NO), Park
ORION, t=150 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
0
-40
-20
0
20
40
60
Mo+
M1+
Mo-
M1-, D&K
Total flux
M1-, Park
ORION, t=150 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
Рис.5.18. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=150 с; D&K - кинетическая модель [165], Park --
кинетическая модель [20,167]. Первая модель неравновесной диссоциации Тринора-
Мэрроуна [166] использовалась в обоих случаях (JvKin=3). Учитывалось
радиационно-газодинамическое взаимодействие. Справа: осевые распределения
односторонних радиационных тепловых потоков вдоль критической линии тока; M1-
(D&K) -- плотность радиационных тепловых потоков, рассчитанная по кинетической
модели Данна и Канга [165]; M1-(Park) -- плотность радиационных тепловых потоков,
рассчитанная по кинетической модели Парка [20,167]

5.3. РадГД КА Orion с использованием разных кинетических моделей
243
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, D&K
Tv(N2), D&K
Tv(O2), D&K
Tv(NO), D&K
T, Park
Tv(N2), Park
Tv(O2), Park
Tv(NO), Park
ORION, t=200 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
0
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Mo+
M1+
Mo-
M1-, D&K
Total flux
M1-, Park
ORION, t=200 s , JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
Рис.5.19. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=200 с; D&K - кинетическая модель [165], Park --
кинетическая модель [20,167]. Первая модель неравновесной диссоциации Тринора-
Мэрроуна [166] использовалась в обоих случаях (JvKin=3). Учитывалось
радиационно-газодинамическое взаимодействие. Справа: осевые распределения
односторонних радиационных тепловых потоков вдоль критической линии тока; M1-
(D&K) -- плотность радиационных тепловых потоков, рассчитанная по кинетической
модели Данна и Канга [165]; M1-(Park) -- плотность радиационных тепловых потоков,
рассчитанная по кинетической модели Парка [20,167]
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, D&K
Tv(N2), D&K
Tv(O2), D&K
Tv(NO), D&K
T, Park
Tv(N2), Park
Tv(O2), Park
Tv(NO), Park
ORION, t=300 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
0
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Mo+
M1+
Mo-
M1-, D&K
Total flu x
M1-, Park
ORION, t=300 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
Рис.5.20. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=300 с; D&K - кинетическая модель [165], Park --
кинетическая модель [20,167]. Первая модель неравновесной диссоциации Тринора-
Мэрроуна [166] использовалась в обоих случаях (JvKin=3). Учитывалось
радиационно-газодинамическое взаимодействие. Справа: осевые распределения
односторонних радиационных тепловых потоков вдоль критической линии тока; M1-
(D&K) -- плотность радиационных тепловых потоков, рассчитанная по кинетической
модели Данна и Канга [165]; M1-(Park) -- плотность радиационных тепловых потоков,
рассчитанная по кинетической модели Парка [20,167]

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
244
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, D&K
Tv(N2), D&K
Tv(O2), D&K
Tv(NO), D&K
T, Park
Tv(N2), Park
Tv(O2), Park
Tv(NO), Park
ORION, t=400 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
0
-50
0
50
100
150
200
Mo+
M1+
Mo-
M1-, D&K
Total flux
M1-, Park
ORION, t=400 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
Рис.5.21. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=400 с; D&K - кинетическая модель [165], Park --
кинетическая модель [20,167]. Первая модель неравновесной диссоциации Тринора-
Мэрроуна [166] использовалась в обоих случаях (JvKin=3). Учитывалось
радиационно-газодинамическое взаимодействие. Справа: осевые распределения
односторонних радиационных тепловых потоков вдоль критической линии тока; M1-
(D&K) -- плотность радиационных тепловых потоков, рассчитанная по кинетической
модели Данна и Канга [165]; M1-(Park) -- плотность радиационных тепловых потоков,
рассчитанная по кинетической модели Парка [20,167]
x, cm
T,K
05101520253035404550
0
5000
10000
15000
20000
T, D&K
Tv(N2), D&K
Tv(O2), D&K
Tv(NO), D&K
T, Park
Tv(N2), Park
Tv(O2), Park
Tv(NO), Park
ORION, t=500 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
0
-50
0
50
100
150
200
Mo+
M1+
Mo-
M1-, D&K
Total flux
M1-, Park
ORION, t=500 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
Рис.5.22. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=500 с; D&K - кинетическая модель [165], Park --
кинетическая модель [20,167]. Первая модель неравновесной диссоциации Тринора-
Мэрроуна [166] использовалась в обоих случаях (JvKin=3). Учитывалось
радиационно-газодинамическое взаимодействие. Справа: осевые распределения
односторонних радиационных тепловых потоков вдоль критической линии тока; M1-
(D&K) -- плотность радиационных тепловых потоков, рассчитанная по кинетической
модели Данна и Канга [165]; M1-(Park) -- плотность радиационных тепловых потоков,
рассчитанная по кинетической модели Парка [20,167]

5.3. РадГД КА Orion с использованием разных кинетических моделей
245
x, cm
T,K
02
04
06
08
0
0
5000
10000
15000
20000
T, D&K
Tv(N2), D&K
Tv(O2), D&K
Tv(NO), D&K
T, Park
Tv(N2), Park
Tv(O2), Park
Tv(NO), Park
ORION, t=600 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Mo+
M1+
Mo-
M1-, D&K
Total flux
M1-, Park
ORION, t=600 s, JvKin=3, D&K and Park; RadGD coupling
Рис.5.23. Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при t=600 с; D&K - кинетическая модель [165], Park --
кинетическая модель [20,167]. Первая модель неравновесной диссоциации Тринора-
Мэрроуна [166] использовалась в обоих случаях (JvKin=3). Учитывалось
радиационно-газодинамическое взаимодействие. Справа: осевые распределения
односторонних радиационных тепловых потоков вдоль критической линии тока; M1-
(D&K) -- плотность радиационных тепловых потоков, рассчитанная по кинетической
модели Данна и Канга [165]; M1-(Park) -- плотность радиационных тепловых потоков,
рассчитанная по кинетической модели Парка [20,167]
Талица 3. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков в критической точке СА Orion по разным кинетическим моделям
t,с H,
км V∞,
км/с
p∞,
эрг/см3 T∞,
K
w
Q,
Вт/
см2
rad
Q,
Вт/
см2
w
Q,
Вт/
см2
rad
Q,
Вт/
см2
2D: модель D&K 2D: модель Парка
150 83 7.7 3.37 187 7.2 12.7 7.32 19.9
200 78 7.7 14.2 202 16.8 20.8 16.75 28.5
300 66 7.0 100. 232 31.4 39.1 30.5 11.7
400 66 6.2 100. 232 19.6 50.4 21.9 7.9
500 57 5.2 324. 255 17.9 23.2 19.7 3.1
600 43 3.0 1980. 258 4.2 0.03 4.56 0.028

Глава 5. Двухмерная РадГД спускаемого аппарата ORION в атмосфере Земли
246
Рис.5.24. Продольная скорость и поступательная температура в расчетах с учетом
радиационно-газодинамического взаимодействия при t=150 с, полученные с
использованием кинетической модели Парка [20,167] (слева) и
Данна и Канга [165] (справа)

247
ГЛАВА 6
РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОДИНАМИКА СЕГМЕНТАЛЬНО-
КОНИЧЕСКОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА (СККА)
6.1. Введение
Траекторные параметры, использованные при расчете аэротермодинамики
сегментально-конического космического аппарата (СККА) представлены на
рис.6.1. Конкретная исследованная конфигурация спускаемого аппарата
отвечает перспективному транспортному кораблю нового поколения (ПТК
НП) [161,170,171]. Сравнение форм спускаемых аппаратов «Союз», Orion и
ПТК НП дано в [172] на основе [159-161].
6.2. Интегральные результаты радиационно-газодинамического расчета
движения сегментально-конического спускаемого аппарата по
траекториям орбитального и сверхорбитального входа
Выбранные для расчета траекторные точки и соответствующие исходные
данные представлены в таблицах 6.1 и 6.2. Условные номера траекторных
точек будут впоследствии использоваться для фиксации условий в
набегающем потоке. Отметим, что характерная скорость орбитального входа
составляла V∞ =7.6 км/с, а для сверхорбитального входа - V∞ =10.6 км/с На
рис. 6.2 показаны значения давления торможения в рассчитанных
траекторных точках орбитального и сверхорбитального входа. Приведенные
данные важны для интерпретации результатов расчетов теплообмена
излучением и радиационного нагрева поверхности СККА. Заметим, что в
первой рассчитанной точке орбитального входа давление в сжатом слое не
превышает 0.002 атм, и лишь для точек 5 и 6 давление достигает величины
порядка 0.2 атм. При сверхорбитальном входе давление в сжатом слое
достигает 0.4 атм. Последняя из рассчитанных точек сверхорбитального
входа отвечает участку траектории рикошетирующего увеличения высоты.
Расчеты выполнены на расчетной сетке, конфигурация у которой показана
на рис. 6.3. Дискретные точки на поле рисунка используются как опорные
точки при аналитическом построении расчетной сетки. Использовался
компьютерный код NERAT-2D, то есть вычисления производились в
осесимметричной постановке (т.е. для входа СККА в атмосферу под нулевым
углом атаки). Двухмерные расчеты являются неотъемлемой частью
математической технологии повышения достоверности численного решения
задач радиационной аэротермодинамики. Как уже отмечалось, главной
проблемой численного моделирования пространственной аэрофизики
является отсутствие экспериментальных и летных данных для спускаемых
космических аппаратов реальных размеров. Поэтому получение расчетных
данных с использованием различных моделей и программных кодов - один из

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
248
возможных путей повышения достоверности численного моделирования. В
рассматриваемом здесь случае преимущества двухмерных расчетов состоят в
том, что они допускают более подробные расчетные сетки и более
корректное тестирование численных результатов на последовательности
измельчаемых сеток.
t,s
H, km
0
500
1000
1500
2000
2500
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Trajectory from Moon
Orbital entry
Orbital entry ORION
t,s
V, m/s
0
500
1000
1500
2000
2500
2000
4000
6000
8000
10000
12000
PTV: Reentry from Moon
PTV: Orbital Re-entry
ORION: Orbital Re-entry
(а)
(
б)
Altitude, km
Velocity, m/s
20
40
60
80
100
120
2000
4000
6000
8000
10000
12000
PTV: Reentry from Moon
PTV: ISS Orbital R eentry
Trajectory from Moon, 2011
Orbital entry, 201 1
ORION Earth entry, 2005
St ardust
Fire-II
(в)
Рис.6.1. (а) Зависимость высоты полета от времени для траекторий орбитального и
сверхорбитального входа. (б) Зависимость скорости полета от времени для
траекторий орбитального и сверхорбитального входа. (в) Зависимость скорости
полета от высоты для траекторий орбитального и сверхорбитального входа.
Квадратики и кружки обозначают рассчитанные в отчете точки орбитального и
сверхорбитального входа СККА (на рисунке используется обозначение PTV). Для
сравнения представлены траекторные точки орбитального входа КА Orion [158],
сверхорбитального космического аппарата Stardust [181] и летного эксперимента
Fire-II [176] по сверхорбитальному входу.

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
249
На рис. 6.4-6.19 представлены одни из главных интегральных результатов
выполненного расчетного исследования. Здесь приведены зависимости
плотностей конвективных и интегральных радиационных тепловых потоков в
критической точке осесимметричного обтекания СККА для траекторий
орбитального и сверх орбитального входа. Указанные расчеты выполнены с
использованием двух разных кинетических моделей (модели Парка [20,167] и
модели Данна и Канга [165]).
Для каждой кинетической модели расчеты выполнялись с использованием
модели локального термодинамического равновесия (ЛТР) и для модели
неравновесной диссоциации. В случае применения модели ЛТР при расчете
констант скоростей диссоциации колебательная температура полагалась
равной поступательной температуре, однако система уравнений сохранения
энергии в колебательных модах все равно интегрировалась с целью
получения распределений колебательных температур.
H, km
Po, atm
40
50
60
70
80
90
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
(а)
H, km
Po, atm
50
60
70
80
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
7
8
9
10 (б)
Рис. 6.2. Давление торможения для траектории орбитального (а) и сверх
орбитального (б) входа СККА. Квадратиками показаны рассчитанные траекторные
точки из таблиц 6.1 и 6.2
Таблица 6.1. Параметры орбитального входа сегментально-конического
космического аппарата
Номер расчетной точки
1
2
3
4
5
6
∞
ρ , g/cm3 2.8×10-9 3.0×10-8 2.0×10-7 2.6×10-7 8.2×10-7 2.4×10-6
p∞ ,erg/cm3 1.5
20.3
137
178
630 1800
0
p ,erg/cm3 1626 19775 98772 96197 204480 199480
T∞,K
187
206
238
243
269
260
H, км
91
76
63
62
52
44
V∞ , км/с
7.6
7.6
7.0
6.1
5.0
2.9
α,град
22
24
22
21
21
20

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
250
x, cm
y, cm
0
500
1000
1500
-500
0
500
A1
B1
C1 D1
E1
F1
H1
A2
B2
C2
D2
F2
A3
B3
C3
D3
x, cm
y, cm
60 80 100 120 140
200
250
B1
C1 D1
Рис.6.3. Двухмерная (осесимметричная) геометрия космического аппарата и
конфигурация многоблочной конечно-разностной сетки
Таблица 6.2. Параметры сверхорбитального входа сегментально-конического
космического аппарата
Номер расчетной точки
7
8
9
10
∞
ρ , g/cm3 2.1×10-8 4.2×10-7 5.6×10-7 5.9×10-8
p∞ , erg/cm3 12.2 303
414 36.6
0
p , erg/cm3 23797 399120 413830 32024
T∞,K
200
254
260
252
H, км
79
58
55
72
V∞ , км/с
10.6
9.8
8.6
7.3
α,град
23
18
19
21
Исследованы несколько моделей неравновесной диссоциации. Для каждой
из кинетических моделей и для каждой модели неравновесной диссоциации
исследовались две модели радиационного переноса: с учетом и без учета
атомных линий. И, наконец, численное моделирование каждой расчетной
точки выполнялось дважды - с учетом и без учета радиационно-
газодинамического
взаимодействия. Связь радиационных
и
газодинамических процессов учитывалась только в сжатом слое над лобовым
аэродинамическим щитом, где для решения задачи радиационного

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
251
теплопереноса использовалась модель неоднородного плоского слоя и
расчетный метод полумоментов.
На рис.6.6 показаны результаты расчетов плотности конвективных и
интегральных радиационных тепловых потоков в окрестности критической
точки СККА, выполненных с использованием модели Парка [20,167], при
орбитальном входе. Плотность конвективного теплового потока достигает 40
Вт/см2 и приходится на время полета t~2200 с. Расчет с использованием
кинетической модели Данна и Канга [165] дает примерно такую же плотность
конвективного теплового потока (см. рис.6.5). Однако распределения
интегральных радиационных тепловых потоков получаются весьма
различными. Природа такого различия была выяснена ранее, при анализе
радиационной аэротермодинамики СА Orion.
При использовании модели ЛТР с учетом и без учета радиационно-
конвективного взаимодействия получается достаточно низкий уровень
плотностей интегральных радиационных потоков (рис.6.4). Плотность потока
на начальном участке траектории не превосходит величины 10 Вт/см2, а на
участке максимального конвективного нагрева составляет величину ~ 2
Вт/см2, что соответствует примерно 5% от плотности конвективных тепловых
потоков. Это привычное соотношение между плотностями радиационных и
конвективных тепловых потоков при орбитальном входе спускаемого
аппарата.
Аномально высокая плотность интегральных радиационных потоков на
начальном участке траектории предсказывается моделью неравновесной
диссоциации двухатомных молекул [166] в расчетах без учета радиационно-
конвективного
взаимодействия. Однако учет радиационно-
газодинамического взаимодействия приводит к существенно более
реалистичной зависимости плотности интегрального радиационного
теплового потока от времени полета. В этом случае наибольшая величина
плотности радиационного потока достигает величины 20 Вт/см2, что
составляет ~50% от максимальной интенсивности конвективного нагрева.
Тем не менее, указанная величина также представляется несколько
завышенной, по все видимости -- в 2-3 раза. В рассматриваемых случаях
вклад атомных линий в радиационный нагрев поверхности оказывается
несущественным.
Однако, в настоящее время не представляется возможным сделать
окончательный вывод об уровне такого завышения. Во первых, сложившаяся
парадигма о соотношении радиационных и конвективных тепловых потоков
к поверхности спускаемого аппарата при орбитальном входе базируется на
более ранних расчетах, основанных на модели ЛТР, которая на начальном
участке траектории не может быть применена в принципе. Во-вторых, в
настоящее время имеется чрезвычайно мало данных о радиационном нагреве
в реальных
летных экспериментах. Единственными
хорошо
документированными данными летного эксперимента по радиационно-
конвективному нагреву спускаемого аппарата являются данные по

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
252
эксперименту Fire-II [173-175]. При этом заметим, что хотя численное
восстановление данных летного эксперимента с использованием
компьютерной платформы NERAT+ASTEROID [176] показало неплохое
соответствие в экспериментальными данными летного эксперимента, в том
числе на участке неравновесного течения, наличие ряда неопределенностей в
интерпретации летных данных (см., например, [175]) не позволяет
использовать и эти летные данные для полной валидации расчетных данных.
Из представленных здесь данных примечателен еще один факт, а именно о
слабой роли атомных линий в лучистом нагреве поверхности спускаемого
аппарата, в то время, как для летного эксперимента Fire-II атомные линии
обеспечивают более 50% общего радиационного нагрева поверхности.
Таким образом, на основе представленных данных по радиационной
аэротермодинамике орбитального входа крупномасштабного космического
аппарата можно сделать следующие выводы:
1. При использовании приближения ЛТР и кинетической модели Парка
(рис.6.4) уровень радиационных тепловых потоков не превышает 5-10%
плотности конвективных тепловых потоков.
2. Учет процессов неравновесной диссоциации (по модели Тринора-
Мэрроуна) приводит к чрезмерному завышению плотности радиационных
тепловых потоков на поверхности. Однако, если одновременно учесть
радиационно-конвективное взаимодействие, то плотность радиационного
нагрева снижается до уровня 50% конвективного нагрева. По всей
видимости, отмеченный факт нуждается в дальнейшем исследовании и
подтверждении, поскольку ранее он не отмечался для условий
орбитального входа.
3. В условиях термализации сжатого слоя (участок траектории при t>2200 с)
различие между используемыми моделями физической кинетики
становятся несущественными.
4. Влияние атомных линий на радиационный нагрев оказывается
незначительным.
5. При использовании кинетической модели Данна и Канга (рис.6.5)
плотность радиационных тепловых потоков, полученных с
использованием приближения ЛТР достигает 70% от плотности
конвективного теплового потока. При использовании модели
неравновесной диссоциации [169] плотность радиационных тепловых
потоков оказывается завышенной на ~40% по сравнению с конвективным
нагревом.
Прежде чем подвергать сомнениям целесообразность использования
кинетической модели Данна-Канга [165], как это обычно делается при выборе
рекомендуемой кинетической модели, приведем некоторые доводы в пользу
необходимости проведения дополнительных исследований:
- Несмотря на действительно высокий уровень предсказываемых
радиационных тепловых потоков, отметим, что уровень суммарной тепловой
нагрузки остается в пределах неопределенности знания конвективного

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
253
нагрева (с учетом каталитичности, точности расчетов теплопроводностной и
диффузионной составляющих конвективного теплового потока к реальным
спускаемым аппаратам, турбулентности и т.п.). Так что наверняка
утверждать, что данный уровень плотностей радиационных тепловых
потоков является ошибочным, нельзя.
- Использованная кинетическая модель Данна-Канга [165] дает
удовлетворительное совпадение с данными летного эксперимента Fire-II, а
также с данными летного эксперимента по определению электронной
концентрации в сжатом слое (RAM-C-II, [165]).
- Опыт расчетно-теоретических исследований показывает, что ни одну из
кинетических моделей нельзя считать правдивой во всем диапазоне
исследованных условий полета. Отсюда следует два важных вывода:
1. Все полученные расчетные данные следует воспринимать как некий
диапазон возможных значений искомых величин,
2. Требуется продолжение исследований отмеченных здесь проблем, включая
необходимость формулировки задачи постановки летного эксперимента для
реальных условий полета реальных спускаемых аппаратов.
Еще одним доводом в пользу необходимости проведения дополнительных
исследований является специфика задач радиационной газовой динамики
крупномасштабных спускаемых аппаратов. В условиях орбитального входа
типичная толщина сжатого слоя достигала ~ 25-35 см. Известно, что
мощность теплового излучения очень сильно зависит от давления газа в
сжатом слое. При низких давлениях (~0.01 атм), что соответствует движению
КА на относительно больших высотах с не очень большой скоростью (в
нашем случае при t ~ 2000-2150 с), испускательная способность
образующейся у поверхности низкотемпературной плазмы оказывается
весьма низкой. Однако размер неравновесной зоны оказывается весьма
значительной. Например, при t=2028 с релаксационная зона составляет δ~10
см (!), а при t=2097 с − ~5 см. В зоне релаксации колебательная температура
достигает максимальной величины порядка 8000-120000 К. Необходимо
подчеркнуть, что указанные температурные распределения являются весьма
чувствительными к моделям физической и химической кинетики,
используемым для описания релаксационной зоны (другими словами,
достоверность их расчета весьма низкая). Заметим также, что в указанных
условиях реализуется низкая оптическая толщина сжатого слоя, поэтому
излучение, рожденное в указанной области относительно высоких
температур за фронтом ударной волны, может без препятствия достигать
обтекаемой поверхности.
На рис. 6.6-6.9 выполнено сопоставление результатов расчетов плотностей
конвективного и радиационного нагрева критической точки спускаемого
аппарата с использованием разных моделей химической и физической
кинетики с данными упрощенных аналитических аппроксимаций,
рекомендуемых в литературе. Следует иметь в виду, что все указанные

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
254
аппроксимации были получены на основе моделей ЛТР. Использовались
следующие аппроксимационные модели:
- модель Фэя и Риддела конвективного нагрева [163],
- формула Дэтра-Кэмпа-Риделла (цитируется по [177]),
- формула Фэнстера [178],
- формула Стулова, Мирского и Вислого [139] для воздуха,
- формула Таубера и Саттона [179].
Подробный анализ областей применимости данных формул приведен в [180].
Из представленных данных хорошо видно, что расчетные данные кода
NERAT по конвективному нагреву критической точки спускаемого аппарата
находятся в хорошем согласии с предсказаниями корреляционных
соотношений. Впрочем, если учесть, что речь идет о предсказании
плотностей конвективных тепловых потоков, то согласие ~20-30% нельзя
признать совсем хорошим. Тем не менее, учитывая использование различных
газодинамических, теплофизических и кинетических моделей, а также
использование корреляционных соотношений для не вполне традиционных
условий обтекания (большой радиус затупления) такое расхождение не
вызывает удивления, а лишь является свидетельством необходимости
дальнейшего развития расчетных моделей.
Что касается распределений плотностей радиационных тепловых потоков,
то здесь, как и следовало ожидать, наблюдается весьма значительное
различие в расчетных данных. Отчасти это связано с использованием
корреляционных соотношений вне области определения (что, по понятным
причинам, делать просто бессмысленно), а также применением различных
кинетических моделей и моделей спектральных оптических свойств.
Важным результатом, следующим из сопоставления данных на рис. 6.6 и
6.7 (кинетическая модель Парка) и на рис. 6.8, 6.9 (кинетическая модель
Данна и Канга) является вывод о малом влиянии атомных линий на
суммарный радиационный нагрев поверхности (на рис. 6.6 и 6.8 даны
результаты расчетов без учета атомных линий, а на рис. 6.7 и 6.9 -- с учетом
атомных линий).
Еще один важный результат, следующий из сопоставлений рис.6.6 и 6.7, а
также 6.8 и 6.9 состоит в слабом влиянии эффекта радиационно-
газодинамического взаимодействия при учете кинетической модели Данна и
Канга и о значительном влиянии этого эффекта на результаты расчетов по
модели Парка для неравновесного участка траектории.
Следующая серия рисунков (
Рис.6.10-6.17) относится к режиму
сверхорбитального входа СККА. На рис. 6.10, 6.11 и 6.12, 6.13 даны
результатов расчетов по кинетическим моделям Парка (первые два рисунка)
и модели Данна и Канга с использованием разных моделей неравновесной
диссоциации. Здесь показаны результаты расчетов, полученных по модели
ЛТР (JvKin=0) и по модели неравновесной диссоциации [166] (JvKin=3).
Для кинетической модели Парка наблюдается значительное влияние и
учета атомных линий, и выбора модели неравновесной диссоциации

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
255
(сравните рис.6.10 и 6.11). Атомные линии дают примерно двухкратное
увеличение плотности радиационных тепловых потоков. При использовании
модели Данна и Канга эффект использования разных моделей физической
кинетики относительно слабый. Учет атомных линий также дает увеличение
плотности радиационных тепловых потоков примерно в два раза.
Сопоставление результатов расчетов по компьютерной платформе
NERAT+ASTEROID с данными корреляционных соотношений приводят к
выводам аналогичным тем, которые были сделаны для условий орбитального
входа:
- разброс по плотностям конвективных тепловых потоков составляет ~ 30%,
- при использовании кинетической модели Парка наблюдается заметный
эффект радиационно-газодинамического взаимодействия на участке
неравновесного течения при относительно малых скоростях (при начале
второго входа в плотные слои атмосферы).
На рис. 6.18 и 6.19 показаны результаты расчетов плотностей
конвективных тепловых потоков вдоль траектории орбитального и
сверхорбитального входа. Хорошо видно, что влияние различных моделей
химической кинетики и моделей неравновесной диссоциации оказывается
относительно малым. Примечательно, что в условиях сверхорбитального
входа диффузионная составляющая полного конвективного потока является
преобладающей над теплопроводностной.
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
0
20
40
60
80
100
120
140
Qw, Park, JvKin=0, N
Qrad, Park, JvKin=0, N
Qrad, Park, JvKin=0, Y
Qrad, Park, JvKin=3, N
Qrad, Park, JvKin=3, Y
PTV, Orbital, Park, No atomic lines
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
0
20
40
60
80
100
120
140
Qw, Park, JvKin=0, N
Qrad, Park, JvKin=0, N
Qrad, Park, JvKin=0, Y
Qrad, Park, JvKin=3, N
Qrad, Park, JvKin=3, Y
PTV, Orbital, Park, Atomic lines
Рис. 6.4. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков вдоль траектории орбитального входа с использованием компьютерной
платформы NERAT(2D)+ASTEROID. Расчеты переноса излучения без учета (а) и с
учетом (а) атомных линий. Кинетическая модель Парка [20,167]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
256
t,s
Qw, Qrad, W/cm* *2
2000
2100
2200
2300
2400
2500
0
20
40
60
Qw, D&K , JvKin= 0, N
Qrad, D&K, JvKin=0, N
Qrad, D&K, JvKin=3, N
PTV Orbital, D&K, No atomic lines
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
2500
0
20
40
60
Qw, D&K , JvKin=0, N
Qrad, D&K, JvKin=0, N
Qrad, D&K, JvKin=3, N
PTV Orbital, D&K, Atomic lines
Рис.6.5. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков вдоль траектории орбитального входа с использованием компьютерной
платформы NERAT(2D)+ASTEROID. Расчеты переноса излучения без учета (а) и с
учетом (б) атомных линий. Кинетическая модель Данна и Канга [165]
t,s
Qw, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
20
40
60
80
100
120
F-R, Martin
DKR
Fenste r
Qr, Tauber-Satton
Qr, Stulov
Qw,NERAT-2D, Park,JvKin=0,N
ASTEROID, Park, JvKin=0, N
ASTEROID, Park, JvKin=0, Y
ASTEROID, Park, JvKin=3, N
ASTEROID, Park, JvKin=3, Y
PTV, Orbital, Park, No At Lines
Рис. 6.6. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (без учета атомных линий) вдоль траектории орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Парка [20,167]

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
257
t,s
Qw, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
20
40
60
80
100
120
F-R, Martin
DKR
Fenster
Qr, Taube r-Satton
Qr, Stulov
Qw, NERAT-2D, Park, JvKin=0, N
ASTEROID, Park, JvKin=0, N
ASTEROID, Park, JvKin=0, Y
ASTEROID, Park, JvKin=3, N
ASTEROID, Park, JvKin=3, Y
PTV, Orbital, Park, At Lines
Рис. 6.7. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (с учетом атомных линий) вдоль траектории орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Парка [20,167]
t,s
Qw, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
2500
0
20
40
60
F-R, Martin
DKR
Fenster
Qr, Tauber-Satton
Qr, Stulov
Qw, NERAT-2D, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, Y
ASTEROID, D&K, JvKin=3, N
ASTEROID, D&K, JvKin=3, Y
PTV, Orbital, D&K, No Atomic Lines
Рис. 6.8. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (без учета атомных линий) вдоль траектории орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Данна и Канга [165]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
258
t,s
Qw, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
2500
0
20
40
60
F-R, Martin
DKR
Fenster
Qr, Tauber-Satton
Qr, Stulov
Qw, NERAT-2D, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, Y
ASTEROID, D&K, JvKin=3, N
ASTEROID, D&K, JvKin=3, Y
PTV, Orbital, D&K, Atomic Lines
Рис. 6.9. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (с учетом атомных линий) вдоль траектории орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Данна и Канга [165]
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
500
550
600
650
700
750
0
20
40
60
80
100
120
140
Qw, Park, JvKin=0, N
Qrad, Park, JvKin=0, N
Qrad, Park, JvKin=3, N
Moon, NERAT-2D, Park, No atomic lines
Рис. 6.10. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков вдоль траектории сверхорбитального входа с использованием компьютерной
платформы NERAT(2D)+ASTEROID. Расчеты переноса излучения без учета атомных
линий. Кинетическая модель Парка [20,167]

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
259
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
500
550
600
650
700
750
0
20
40
60
80
100
120
140
Qw, Park, JvKin=0, N
Qrad, Pa rk, JvKin=0, N
Qrad, Pa rk, JvKin=3, N
Moon, NERAT-2D, Park, With atomic lines
Рис. 6.11. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков вдоль траектории сверхорбитального входа с использованием компьютерной
платформы NERAT(2D)+ASTEROID. Расчеты переноса излучения с учетом атомных
линий. Кинетическая модель Парка [20,167]
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
500
550
600
650
700
750
0
20
40
60
80
100
120
140
Qw,D&K,JvKin=0,N
Qrad, D&K, JvKin=0, N
Qrad, D&K, JvKin=3, N
PTV, Moon, D&K, No atomic lines
Рис. 6.12. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков вдоль траектории сверх орбитального входа с использованием
компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID. Расчеты переноса излучения без
учета атомных линий. Кинетическая модель Данна и Канга [165]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
260
t,s
Qw, Qrad, W/cm**2
500
550
600
650
700
750
0
20
40
60
80
100
120
140
Qw, D&K, JvKin=0, N
Qrad, D&K, JvKin=0, N
Qrad, D&K, JvKin=3, N
PTV, Moon, D&K, Atomic Lines
Рис. 6.13. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (с учетом атомных линий) вдоль траектории сверх орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID. Расчеты
переноса излучения с учетом атомных линий.
Кинетическая модель Данна и Канга [165]
t,s
Qw, W/cm**2
550
600
650
700
0
50
100
150
200
250
F-R, Martin
DKR
Fenster
Qr , Tauber -Satton
Qr, Stulov
Qw, NERAT-2D, Park, JvKin=0, N
ASTEROID, Park, JvKin=0, N
ASTEROID, Park, JvKin=0, Y
ASTEROID, Park, JvKin=3, N
ASTEROID, Park, JvKin=3, Y
PTV, Moon, Park, No Atomic Lines
Рис. 6.14. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (без учета атомных линий) вдоль траектории сверхорбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Парка [20,167]

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
261
t,s
Qw, W/cm**2
550
600
650
700
0
50
100
150
200
250
F-R, Martin
DKR
Fenster
Qr, Tauber -Satton
Qr, Stulov
Qw,NERAT-2D,Park,JvKin=0,N
ASTEROID, Park, JvKin=0, N
ASTEROID, Park, JvKin=0, Y
ASTEROID, Park, JvKin=3, N
ASTEROID, Park, JvKin=3, Y
PTV, Moon, Park, Atomic Lines
Рис. 6.15. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (с учетом атомных линий) вдоль траектории сверхорбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Парка [20,167]
t,s
Qw, W/cm**2
550
600
650
700
0
100
200
F-R, Martin
DKR
Fenste r
Qr, Tauber-Satton
Qr, Stulov
Qw, NERAT-2D, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, Y
ASTEROID, D&K, JvKin=3, N
ASTEROID, D&K, JvKin=3, Y
PTV, Moon, D&K, No Atomic Lines
Рис. 6.16. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (без учета атомных линий) вдоль траектории сверх орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Данна и Канга [165]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
262
t,s
Qw, W/cm**2
550
600
650
700
0
100
200
F-R, Ma rtin
DKR
Fenster
Qr, Tauber-Satton
Qr, Stulov
Qw, NERAT-2D, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, N
ASTEROID, D&K, JvKin=0, Y
ASTEROID, D&K, JvKin=3, N
ASTEROID, D&K, JvKin=3, Y
PTV, Moon, D&K, Atomic Lines
Рис. 6.17. Результаты расчетов плотностей конвективных и радиационных тепловых
потоков (с учетом атомных линий) вдоль траектории сверх орбитального входа с
использованием компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и по
корелляционным соотношениям. Кинетическая модель Данна и Канга [165]
t,s
Qw,conv; Qw,diff; Qw,total, W/cm**2
2000
2100
2200
2300
2400
0
20
40
60
Qw,conv; Park, JvKin=0
Qw,diff; Park, JvKin=0
Qw,total; Park, JvKin=0
Qw,conv; Park, JvKin=3
Qw,diff; Park, JvKin=3
Qw,total; Park, JvKin=3
Qw,c onv; D&K, JvKin=0
Qw,diff; D&K, JvKin=0
Qw,total; D&K, JvKin=0
Qw,c onv; D&K, JvKin=3
Qw,diff; D&K, JvKin=3
Qw,total; D&K, JvKin=3
Рис.6.18. Конвективный нагрев ПТК вдоль траектории орбитального входа.
Плотность конвективного теплового потока рассчитана с использованием различных
моделей физико-химической кинетики для кинетических моделей Парка [20,167] и
Данна-Канга [165]. На рисунке показаны теплопроводностная и диффузионная
составляющие полного конвективного потока

6.2. Интегральные результаты РадГД расчета СККА
263
t,s
Qw,conv;Qw,diff;Qw,total,W/cm*
*2
540
560
580
600
620
640
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Qw,conv; Park, JvKin=0
Qw,diff; Park, JvKin=0
Qw,total; Park, JvKin=0
Qw,conv; Park, JvKin=3
Qw,diff; Park, JvKin=3
Qw,total; Park, JvKin=3
Qw,conv; D&K, JvKin=0
Qw,diff; D&K, JvKin=0
Qw,total; D&K, JvKin=0
Qw,conv; D&K, JvKin=3
Qw,diff; D&K, JvKin=3
Qw,total; D&K, JvKin=3
Рис.6.19. Конвективный нагрев ПТК вдоль траектории сверхорбитального входа.
Плотность конвективного теплового потока рассчитана с использованием различных
моделей физико-химической кинетики для кинетических моделей Парка [20,167] и
Данна-Канга [165].На рисунке показаны теплопроводностная и диффузионная
составляющие полного конвективного потока
6.3. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в
условиях орбитального входа СККА
В данном разделе более подробно рассмотрим расчетные данные по
орбитальному входу СККА, обращая особое внимание на структуру течения
и характеристики радиационного нагрева.
Результаты расчетов, показанные на рисунках, представлены в виде
нескольких групп данных. Это двухмерные поля газодинамических функций,
осевые распределения температур и концентраций вдоль передней
критической линии тока, плотности конвективных и интегральных
радиационных тепловых потоков на обтекаемой поверхности, спектральный
состав радиационных тепловых потоков, а также сравнение результатов
расчетов, полученных с использованием разных кинетических моделей.
На рисунках 6.20-6.66 показаны рассчитанные поля газодинамических
функций, полученных с использованием компьютерной платформы
NERAT(2D)+ASTEROID. Расчетные данные для каждой точки траектории
приведены в следующей последовательности:
1) продольная скорость газа
*
x
Vu
V
=
и линии тока;

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
264
2) поступательная Т и колебательная температуры N2 (в K);
3) массовые доли N2 и N;
4) массовые доли O2 и O;
5) массовые доли NO и NO+;
6) давление и плотность;
7) осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока (в К), рассчитанные с использованием
кинетической модели Парка [20,167];
8) осевое распределение массовых долей химических компонент вдоль
передней критической линии тока, рассчитанные с использованием
кинетической модели Парка [20,167];
9) распределение плотностей конвективных тепловых потоков
(,,
,
,,
wtot wc wd
QQQ) и интегральных радиационных тепловых потоков ( ,
wrad
Q),
рассчитанных с использованием метода полумоментов вдоль поверхности
космического аппарата, Вт/см2 ;
10) распределение односторонних интегральных радиационных потоков в
сжатом слое вдоль передней критической линии тока:
1
M + - плотность интегрального потока излучения в направлении от
поверхности (навстречу набегающему потоку), Вт/см2;
1
M−
- плотность интегрального потока излучения в направлении к
поверхности (вдоль набегающего потока), Вт/см2;
Total flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2;
11) спектральное распределение плотностей радиационных потоков в
окрестности передней критической линии тока, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов,
Вт·см/см2;
12) кумулятивные функции спектральных плотностей радиационных потоков
в разных точках на поверхности. Расчеты выполнены с использованием
метода полумоментов, Вт·см/см2;
13) сравнение осевых распределений поступательной и колебательных
температур вдоль передней критической линии тока (в К), рассчитанных с
использованием кинетической модели Парка [20,167] и Данна и Канга [165];
14) осевое распределение массовых долей химических компонент вдоль
передней критической линии тока, рассчитанные с использованием
кинетической модели Данна и Канга [165];
15) сравнение распределений односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока, полученных
при расчетах с использованием моделей Данна и Канга [165] и Парка
[20,167];
16) сравнение спектральных плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в
локально-одномерном приближении с использованием метода полумоментов

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
265
по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167].
Расчетные данные, приведенные на рисунках, получены с использованием
кинетической модели Парка [20,167], кроме особо оговоренных случаев.
Каждый из упомянутых рисунков снабжен достаточно подробной
подрисуночной подписью, позволяющей однозначно идентифицировать
данные на рисунке и условия, для которых выполнен расчет.
Ниже представлены основные выводы, которые следуют из анализа
представленных данных.
Поля скоростей для всех исследованных условий обтекания СККА имеют
общие характерные особенности, которые изменяются в незначительной
степени по мере уменьшения высоты и скорости полета (см. последовательно
рис. 6.20, 6.36, 6.44, 6.52 и 6.60). Толщина сжатого слоя в процессе
торможения спускаемого аппарата изменяется нелинейно. Сначала, в первой
точке, отход ударной волны от лобового аэродинамического щита составляет
величину δ~35 см. Указанная точка траектории отвечает сильно
разреженному набегающему потоку (см. Табл. 6.1), поэтому зона химической
и колебательной релаксации очень протяженна (δ~30 см) и сам фронт
ударной волны выражен не вполне четко. Особенно хорошо отмеченные
характеристики сжатого слоя видны на рисунке, показывающем
распределение поступательной и колебательных температур вдоль передней
критической линии тока (рис. 6.23).
Затем, отход фронта ударной волны последовательно уменьшается: δ~26
см (рис.6.31) и δ~25.5 см (рис.6.39). При дальнейшем погружении в
атмосферу происходит опять увеличение отхода ударной волны: δ~28.5см
(рис.6.47), δ~34 см (рис.6.55) и δ~50 см (рис.6.63).
Общим для всех рассчитанных вариантов является образование
крупномасштабного возвратно-вихревого движения за подветренной
стороной поверхности. Для некоторых их исследованных вариантов скорость
газа, движущегося против направления набегающего потока вдоль задней
критической линии тока, превышает скорость звука.
Кроме этого, на всех двухмерных распределениях продольной скорости
газового потока хорошо идентифицируется течение разрежения за кромкой
лобового аэродинамического щита. Известно, что течение разрежения, также
как и течение за фронтом сильных ударных волн, является весьма
благоприятным для развития релаксационных физико-химических процессов
термализации внутренних степеней свободы.
В рассматриваемом случае закономерности процесса термализации за
фронтом головной ударной волны хорошо проявляются при анализе
распределений температуры вдоль передней критической линии тока
(рис.6.23, 6.31, 6.39, 6.47, 6.55 и 6.63).
Сравнение двухмерных распределений поступательной и колебательной
температуры (рис.6.20, 6.28, 6.36, 6.44, 6.52 и 6.60) показывает на
значительный отрыв поступательной температуры от колебательной

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
266
температуры молекулы N2 как раз в области течения разрежения и ближнего
следа.
Поля массовых долей компонент газовой смеси N2, N, O2 и O (рис.6.21,
6.29, 6.37, 6.45, 6.53 и 6.61), а также NO и NO+ (рис.6.22, 6.30, 6.38, 6.46, 6.54
и 6.62) характеризуют степень диссоциации и ионизации в сжатом слое, а
также закономерности формирования состава газовой смеси в следе.
Использовалось приближение полностью каталитической поверхности,
поэтому в распределениях
концентраций компонент
видны
концентрационные пограничные слои молекул N2 и O2 вблизи обтекаемой
поверхности. Указанные пограничные слои отчетливо видны на
распределениях мольных долей компонент смеси на рис.6.23, 6.31, 6.39, 6.47,
6.55 и 6.63.
Существование указанных пограничных слоев сказывается также на
формирование полей концентраций в приосевых областях ближнего следа.
Результаты расчетов подтверждают установленный ранее факт об
относительно малой степени ионизации газа в сжатом слое в условиях
орбитального входа. Осевые распределения концентраций компонент
высокотемпературного воздуха показывают, что мольные доли электронов не
превышают в сжатом слое величины нескольких долей процента.
Наибольшей мольной концентрацией обладают ионы NO+, что говорит об
ассоциативной ионизации, как преимущественном механизме ионизации в
рассматриваемых условиях орбитального входа.
Двухмерные распределения массовых долей NO и NO+ (рис.6.22, 6.30,
6.38, 6.46, 6.54 и 6.62) показывают, что наибольшая степень ионизации
(концентрации NO+) формируется в сжатом слое над лобовым
аэродинамическим щитом. В первой изученной точке траектории шлейф
концентрации NO+ наблюдается вблизи ударной волны, отходящей от
лобовой поверхности космического аппарата и, частично, в течении
разрежения над подветренной стороной поверхности.
Для второй точки траектории ионизация в отрывной зоне течения
выражена уже значительно меньше. В последующих точках траектории
ионизация наблюдается практически лишь только у лобового щита.
Однако, следует иметь в виду, что полученные распределения
концентраций заряженных частиц весьма чувствительны к используемой
кинетической модели. Выше обсуждались результаты расчетов,
выполненных с использованием кинетической модели Парка.
Для сравнения, на рис.6.26, 6.34, 6.42, 6.50 и 6.58 приведены осевые
распределения мольных долей, рассчитанные с использованием
кинетических моделей Данна и Канга. Главным отличием является то, что в
модели Данна и Канга ионизация в первых двух точках траектории (рис. 6.26
и 6.34) определяется ударным механизмом
2
NeNe
−
+−
+→+.

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
267
В третьей точке траектории вблизи фронта ударной волны превалирование
ударного механизма сохраняется, а во второй половине сжатого слоя
концентрация NO+ значительно превосходит другие концентрации
положительно заряженных частиц (рис.6.42). В последующих траекторных
точках основным механизмом ионизации является ассоциативная ионизация.
Из представленных данных хорошо видно, что разные кинетические
модели приводят к вполне ожидаемым различиям не только в распределениях
концентраций компонент высокотемпературного воздуха, но и в
распределениях поступательной и колебательных температур.
На рис.6.26, 6.34, 6.42, 6.50, 6.58 и 6.66 приведено сопоставление
поступательных и колебательных температур, полученных с использованием
двух кинетических моделей. Важно отметить, что вблизи обтекаемой
поверхности температурные распределения оказываются близкими, что
частично объясняет относительно слабую зависимость плотностей
конвективных тепловых потоков от двух исследованных моделей. Однако,
отмеченные отличия в температурных распределениях в ударной волне и в
сжатом слое должны с неизбежностью приводить к заметным различиям в
плотностях радиационных тепловых потоков.
Сравнение распределений плотностей односторонних радиационных
тепловых потоков в сжатом слое, полученных при использовании разных
кинетических моделей дано на рис.6.26, 6.34, 6.42, 6.50 и 6.58. Следует
отметить весьма сильное различие в плотностях интегральных радиационных
тепловых потоков, достигающих поверхности (следует сравнивать профили
направленных к поверхности радиационных тепловых потоков
1
M−,
рассчитанных по моделям Парка и Данна-Канга).
Важной особенностью, общей для двух использованных кинетических
моделей, является то, что основная часть радиационного теплового потока
формируется в области сжатого слоя, непосредственно примыкающего к
головной ударной волне. В толще сжатого слоя, вследствие его
незначительной оптической толщины, излучение практически не
поглощается. Большое различие в плотностях интегральных радиационных
тепловых потоков на поверхности иллюстрируется также сравнением
плотностей спектральных радиационных тепловых потоков, которое
демонстрируется на тех же рисунках.
Усредненные по спектральным группам плотности радиационных
тепловых потоков рассчитывались по формуле
,,
1
g
g
rad
R
g
Wq
d
ωω
ω
ω
ω
∆
∆
= ∆ ∫ , Вт·см/см2.
Из этих распределений хорошо видно, что по мере торможения и
уменьшения температуры в релаксационной зоне ударной волны и в сжатом
слое заметно уменьшается ультрафиолетовая часть спектра излучения.

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
268
На рис.6.25, 6.33, 6.41, 6.49, 6.57 и 6.65 показаны кумулятивные функции
плотности интегрального радиационного теплового потока в критической
точке СККА по мере его торможения в плотных слоях атмосферы при
орбитальном входе. Кумулятивная функция вычислялась по следующее
формуле
min
,
()R
Qq
d
ω
ω
ω
ω
ω
= ∫ , Вт/см2.
Кумулятивная функция позволяет установить спектральные диапазоны, на
которых формируется основной вклад в интегральный радиационный
тепловой поток, а следовательно -- определить и основные радиационные
процессы, дающие основной вклад в радиационный нагрев. Эта функция
содержит информацию не только о спектральных оптических свойствах, но и
составе газовой смеси, о заселенностях возбужденных состояний атомов и
молекул, а также о распределениях температур. Совместный анализ
распределения температур, концентраций частиц, спектрального состава
плотности радиационного теплового потока, достигающего поверхности,
позволяет объяснить все закономерности изменения кумулятивных функций
в разных точках траектории входа.
В качестве примера, рассмотрим кумулятивные функции, отвечающие
трем точкам траектории: №1 (рис. 6.25), №3 (рис. 6.41) и №6 (рис.6.65). В
этих траекторных точках последовательно снижается температура в сжатом
слое, увеличивается давление и соответственно изменяется состав газа. На
указанных рисунках хорошо прослеживается тенденция снижения вклада
ультрафиолетового излучения ( 60000
ω>
см-1) в интегральный
радиационный тепловой поток.
Возвращаясь к анализу расчетных данных по конвективному и
радиационному нагреву поверхности СККА при орбитальном входе,
полученным с использованием кинетической модели Парка, следует отметить
весьма высокий уровень радиационных тепловых потоков, причина чего
обсуждалась выше.
Распределение плотностей потоков вдоль лобовой поверхности является
достаточно монотонным. Это объясняется спецификой рассматриваемых
расчетных случаев обтекания сферического сегмента большого размера.
Результаты расчета полей газодинамических функций показывают
фактически эквидистантность формы головной ударной волны форме
обтекаемой поверхности.

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
269
Рис. 6.20. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.21. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
270
Рис. 6.22. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0510152025303540455055
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
X species
01
02
03
04
05
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.23. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
271
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.24. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.25. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
272
x, cm
T,K
0
5
10
15
20 25
30
35
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X, cm
X species
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.26. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-5
0
5
10
15
20
Mo+
M1+
Mo-
M1-
To tal flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.27. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2;
Total flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
273
Рис. 6.28. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.29. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
274
Рис. 6.30. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
101520253035
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
Xspecies
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.31. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
275
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
60
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.32. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.33. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
276
x, cm
T,K
0
5
101520253035
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Pa rk)
X, cm
Xspecies
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.34. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-20
0
20
40
60
80
100
Mo+
M1+
Mo-
M1-
To tal flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Pa rk
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.35. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
277
Рис. 6.36. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.37. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
278
Рис. 6.38. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
10 15
20 25
30 35
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
Xspecies
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.39. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
279
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
60
80
100
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.40. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.41. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
280
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Pa rk)
X, cm
X species
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.42. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.43. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
281
Рис. 6.44. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.45. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
282
Рис. 6.46. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
35
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
Xspecies
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.47. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
283
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
60
80
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.48. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.49. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
284
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X, cm
Xspecies
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.50. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
50
100
150
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+
M1-
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.51. Расчетная точка № 4: V∞ =6.1 км/с, H=62 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
285
Рис. 6.52. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.53. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
286
Рис. 6.54. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
101520253035
0
2000
4000
6000
8000
10000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
X species
01
02
03
04
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.55. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
287
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
0
0
20
40
60
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.56. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.57. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
288
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
35
0
2000
4000
6000
8000
10000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X, cm
X species
01
02
03
04
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.58. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
0
0
20
40
60
80
100
120
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+
M1-
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.59. Расчетная точка № 5: V∞ =5.0 км/с, H=52 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
289
Рис. 6.60. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
, поступательная и
колебательная температура N2
Рис. 6.61. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
290
Рис. 6.62. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
01
02
03
04
05
06
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
X species
01
02
03
04
05
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.63. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

6.3. Осесимметричное течение в условиях орбитального входа СККА
291
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
Рис. 6.64. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км. Распределение плотностей
конвективных тепловых потоков и интегральных радиационных тепловых потоков
( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата, Вт/см2 (а); ,
wtot
Q - полный
конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и диффузионная
составляющие теплового потока.
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.65. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
292
x, cm
T,K
01
02
03
04
05
06
0
0
1000
2000
3000
4000
5000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
Рис. 6.66. Расчетная точка № 6: V∞ =2.9 км/с, H=44 км.
Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль передней
критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165],
квадратики - кинетическая модель Парка [20,167]
6.4. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в
условиях сверхорбитального входа СККА
На рис. 6.1 представлены параметры траектории и показаны расчетные
траекторные точки, которые выбирались из условия наибольшей тепловой
нагрузки. На рис.6.2 приведены значения давления в сжатом слое, что
позволяет сделать предварительные выводы относительно степени
термализации внутренних степеней свободы атомов и молекул.
В разделе 6.1. дан анализ плотностей конвективных и радиационных
тепловых потоков в критической точке осесимметричного обтекания вдоль
траектории сверх орбитального входа с использованием компьютерной
платформы NERAT(2D)+ASTEROID.
Результаты двухмерных расчетов аэротермодинамики СККА при
сверхорбитальном входе даны на рис. 6.67-6.98. Порядок представления
расчетных данных такой же, как в предыдущем разделе.

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
293
Анализ интегральных по траектории сверхорбитального входа СККА
данных позволяет сделать следующие выводы:
1) Наибольшая плотность конвективного теплового потока к поверхности
КА достигается в диапазоне t=550-650 с (рис.6.1а,б), то есть длиться около
двух минут. На этом участке траектории максимальная величина плотности
конвективного теплового потока составляет величину порядка w
Q ~140
Вт/см2 (
см. рис. 6.10-6.13). Предсказываемая величина плотности
конвективного теплового потока находится в удовлетворительном согласии с
другими полуэмпирическими оценками, в первую очередь с известной
зависимостью Фэя-Риддела [163].
2) Как и для условий орбитального входа, важным результатом
выполненного расчетно-теоретического исследования является установление
факта сильного влияния моделей химической кинетики и физической
кинетики неравновесной диссоциации двухатомных молекул на плотность
интегральных по спектру радиационных тепловых потоков в условиях
сверхорбитального входа. Тем не менее, есть основания полагать, что
достоверность данных по радиационному нагреву при сверхорбитальном
входе может оказаться более высокой, чем для орбитального входа.
Основанием этому может служить то, что на участке интенсивного теплового
нагрева (в нашем случае - на участке траектории t=550-650 с) давление в
сжатом слое оказывается в несколько раз выше, чем для условий
орбитального входа. Тем самым, в сжатом слое создаются термические
условия ближе к равновесным, где точность расчета радиационных
характеристик повышается. Как результат − сравнение результатов расчетов
плотностей радиационного нагрева с использованием двух кинетических
моделей (модели Парка [20,167] и модели Данна-Канга [165]), показанных на
рис. 6.10-6.13, показывает на их близость. Заметим, что в рассматриваемых
условиях в большей степени проявляется влияние выбора модели
неравновесной диссоциации на величины радиационных тепловых потоков к
поверхности.
3) Из рис.6.10, 6.11 хорошо видно, что при сверх орбитальном входе ПТК
значительный вклад в радиационный нагрев поверхности вносят атомные
линии.
4) На рис. 6.10 красными кривыми с треугольными маркерами показаны
результаты расчетов плотностей конвективных тепловых потоков,
наибольшая плотность которых достигает 140 Вт/см2. Наибольшая величина
интегрального радиационного потока, рассчитанная по модели Парка с
учетом атомных линий, составляет 120 Вт/см2.
5) Сопоставление результатов расчетов плотностей конвективных и
интегральных радиационных потоков с данными, которые дают
корреляционные соотношения, показывает, как и в условиях орбитального
входа, на хорошее согласие плотностей конвективных тепловых потоков. Тем
не менее, разброс данных по радиационным тепловым потокам остается
весьма значительным.

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
294
6) На рис. 6.19 показано, что вариация моделей физической и химической
кинетики оказывает слабое влияние на величины конвективных тепловых
потоков к поверхности ПТК.
Далее рассмотрим ряд специфических особенностей, присущих
сверхорбитальному входу СККА.
Одной из основных характерных черт сверхорбитального входа является
относительно высокий уровень температур в сжатом слое. Из рис.6.78, 6.78
следует, что температура в сжатом слое достигает и превосходит Т=10 000 К.
Приведенным траекторным точкам отвечают скорости V∞ =10.6 и 9.8 км/с на
высотах Н=79 и 58 км соответственно. В этих условиях наблюдается
достаточно быстрая термализация поступательных и колебательных степеней
свободы. Так, в первой из расчетных точек сверхорбитального входа (точка
№7 из табл. 6.2) длина релаксационной зоны за фронтом ударной волны не
превосходит 5 см, а во второй точке (точка №8 из табл.6.2) длина
релаксационной зоны уменьшается до 1 см. Возросшая оптическая толщина
сжатого слоя (по сравнению с условиями орбитального входа) приводит к
тому, что интегральный радиационный тепловой поток, направленный к
поверхности формируется по всей толщине сжатого слоя (см. рис. 6.71 и
6.79), а не в релаксационной зоне, как это наблюдалось для исследованных
траекторных точек орбитального входа.
В точке траектории №9 скорость падает до V∞ =8.6 км/с и спускаемый
аппарат достигает уже достаточно плотных слоев атмосферы на высоте 55
км. Температура в сжатом слое составляет ~ 7000 К, а давление возрастает до
~ 0.4 атм, поэтому термализация сжатого слоя происходит очень быстро.
Толщина релаксационного слоя за фронтом ударной волны не превосходит
сантиметра (рис.6.86) и радиационный тепловой поток к поверхности
формируется во всей толще сжатого слоя (рис.6.87).
В последней из рассмотренных точек, №10 из табл.6.2, СККА снова
поднимается на высоту 72 км (см. траекторные параметры на рис.6.1).
Условия в набегающем потоке способствуют образованию более
протяженной области релаксации и возникновению менее монотонного
температурного распределения в сжатом слое, характерном для
неравновесного течения (рис. 6.94). Увеличение зоны химической релаксации
приводит к наличию области с относительно высокой температурой на
расстоянии нескольких сантиметров от переднего фронта. Давление в сжатом
слое падает до величины 0.025 атм и, как следствие, радиационный тепловой
поток, формируется в основном в высокотемпературной релаксационной
зоне.
Вследствие достаточно высоких температур в сжатом слое во всех
рассмотренных траекторных точках повышается уровень ионизации сжатого
слоя. В расчетной точке №7 мольные концентрации заряженных частиц
достигают величины 0.1, при этом основными ионами являются N+. Это
означает, что наиболее вероятным процессом ионизации является электрон-

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
295
атомные столкновения. В точке №8 относительные мольные концентрации
N+ по-прежнему значительно превышают концентрации O+.
При дальнейшем торможении (и падении температуры в сжатом слое)
концентрации ионов NO+ уже превосходит концентрации O+, хотя еще
остаются меньше, чем N
+.(рис. 6.86). Такое же соотношение между
концентрациями заряженных частиц остается и при повторном подъеме на
высоту 72 км (рис.6.94).
Таким образом, при использовании модели Парка для расчета
аэротермодинамики сверхорбитального входа, наблюдается значительная
ионизация атомов в сжатом слое, а основным механизмом ионизации
является ударный механизм при столкновении электронов с атомами N и O.
Использование кинетической модели Данна и Канга влечет за собой
заметные изменения в распределениях температуры и концентраций частиц в
сжатом слое. На рис. 6.73, 6.81, 6.89 и 6.97 выполнено сравнение
температурных распределений вдоль передней критической линии тока для
четырех последовательных точек №№7-10 (см. табл.6.2), а также
представлены распределения мольных концентраций частиц в сжатом слое,
рассчитанные по кинетической модели Данна и Канга (эти распределения
следует сравнивать с концентрациями, полученными по модели Парка и
показанными на рис. 6.70, 6.78, 6.86 и 6.94).
Примечательно, что в первой траекторной точке сверхорбитального входа
использование модели Данна и Канга приводит к увеличению расстояния
отхода ударной волны от поверхности и к общему повышению температуры
в сжатом слое. Температура остается на уровне ~ 10 000 К, но кинетика
ионизации протекает по-другому: концентрации ионов атомов N+ и O+
оказываются близкими.
Во второй траекторной точке ситуация с температурными
распределениями меняется: в части ударного слоя температура рассчитанная
по модели Парка оказывается более высокой. Концентрации ионов атомов N+
и O+ остаются весьма близкими. В точке наибольшей степени термализации
(№9) температурные распределения, рассчитанные по разным кинетическим
моделям оказываются близкими. Здесь подтверждаются выводы работы,
выполненной с использованием заметно более грубых расчетных точек.
В последней из рассчитанных траекторных точек опять проявляется
особенность моделирования сильно неравновесных условий. Различия между
температурными распределениями,
предсказываемыми разными
кинетическими моделями становятся сильно различающимися (рис. 6.97).
На рис. 6.71, 6.79, 6.87 и 6.95 показаны распределения плотностей
конвективных и интегральных радиационных тепловых потоков вдоль
поверхности СККА и распределения односторонних радиационных тепловых
потоков вдоль передней критической линии тока. На рис. 6.72, 6.80, 6.88 и
6.96 показаны распределения плотностей спектральных радиационных
тепловых потоков в критической точке обтекания лобового
аэродинамического щита.

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
296
Важной особенностью радиационно-конвективного теплообмена вдоль
траектории сверхорбитального входа является значительная роль
радиационного переноса энергии в ультрафиолетовой части спектра.
Кумулятивные функции интегральных радиационных тепловых потоков в
критической точке СККА свидетельствуют о том, что на спектральную
область вакуумного ультрафиолета (ω>85000 см-1) приходится более, чем
двукратное увеличение радиационного нагрева (
рис.6.72). По мере
погружения в атмосферу и торможения СККА доля ультрафиолетовой части
в суммарном радиационном нагреве уменьшается (см. последовательно рис.
6.80 и 6.88).На высоте 55 км основной вклад в радиационный нагрев вносит
видимая область спектра (рис.6.86). Как уже отмечалось выше, повторный
выход спускаемого космического аппарата в разреженные слои атмосферы
(траекторная точка №10) приводит к отходу от условий полной термализации
и в суммарном радиационном нагреве появляется значительный вклад
ультрафиолетового излучения (рис.6.96).
Характеризуя расчеты радиационной аэротермодинамики СККА
необходимо отметить, что они оказываются более трудоемкими, чем
аналогичные расчеты условий орбитального входа. Вероятно, что одной из
основных причин этого является важная роль ударно-столкновительной
ионизационной кинетика, которая приводит к заметному увеличению
«жесткости» решаемой системы кинетических уравнений. На осевых
распределениях
поступательной и
колебательных
температур,
анализированных выше, отчетливо выделяются большие градиенты
наблюдаемых распределений. Очевидно, что этот факт совместно с
возрастающей ролью нелинейного радиационно-газодинамического
взаимодействия приводит к сильной зависимости получаемых результатов от
структуры используемых конечно-разностных сеток. Вычислительный опыт
показывает, что результаты расчетов газодинамических, кинетических и
радиационных функций сильно зависит от конфигурации и подробности
используемых расчетных сеток. Важным, и до конца не исследованным
вычислительным фактом является достаточно устойчивая сходимость
итерационного процесса решения полной системы радиационно-
газодинамической и кинетических уравнений на разных сетках к достаточно
близким, но не идентичным результатам. В части расчетных вариантов
отсутствует сходимость итерационного процесса. Невязки по итерируемым
газодинамическим функциям порядка не падают меньше 1% , в то время, как
при сходимости итерационного процесса указанная невязка устанавливается
на уровне ~0.001%.
Указанные проблемы численного моделирования проявляются, в
частности, в некоторой немонотонности распределения плотностей
конвективных и интегральных радиационных тепловых потоков вдоль
лобовой поверхности (см. рис.6.71, 6.79, 6.87 и 6.95). Обратим внимание на
еще одну особенность полученных решений. Для двух первых точек
сверхорбитального входа наблюдается немонотонное соотношение между

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
297
кондуктивной и диффузионной составляющими полного конвективного
теплового потока.
Выше отмечалось, что использование разных моделей химической
кинетики приводит к заметным различиям в распределениях температуры и
концентраций частиц в сжатом слое. Не удивительно, что различия в
распределениях радиационных тепловых потоков в сжатом слое и в
плотностях радиационных тепловых потоках на поверхности СККА также
оказываются весьма значительными.
На рис. 6.74, 6.82, 6.90 и 6.98 представлено сравнение распределений
односторонних интегральных радиационных тепловых потоков и
спектрального распределения плотностей потока лучистого потока в
критической точке для четырех траекторных точек, полученных при
использовании кинетических моделей Парка и Данна-Канга. Видно, что
двукратное различие в плотностях интегральных радиационных тепловых
потоков является вполне типичным. Имеются также закономерные различия
и в спектральных распределениях. На отдельных участках спектра различие в
плотностях спектральных радиационных тепловых потоков достигает
порядка величины.
В заключение анализа результатов аэротермодинамических расчетов
сверхорбитального входа отметим некоторые особенности, наблюдаемые на
двухмерных полях газодинамических функций.
Распределения продольной скорости, поступательной и колебательной
температуры молекул N2, массовых долей компонент высокотемпературной
смеси N2, N, O2, O, NO, NO+, давления и плотности в меридиональной
плотности течения показаны на рис.6.67-6.69 для траекторной точки №7, на
рис. 6.75-6.77 для траекторной точки №8, рис. 6.83-6.85 для траекторной
точки №9 и на рис. 6.91-6.93 для траекторной точки №10.
Указанные распределения схожи между собой и с двухмерными полями,
полученными при расчете орбитального входа. Их особенности обсуждались
выше. Однако имеются сомнения в правильности предсказания
распределения колебательной температуры в следе.
Предварительные численные эксперименты показали, что сильное
влияние на указанные распределения оказывают кинетические константы,
задающие закономерности релаксационных процессов и вариация
коэффициентов диффузии колебательного возбуждения. Данный вопрос
требует дальнейшего исследования.

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
298
Рис. 6.67. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.68. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
299
Рис. 6.69. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
X species
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.70. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
300
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
0
0
50
100
150
200
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.71. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.72. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
301
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
5000
10000
15000
20000
25000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X, cm
X species
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.73. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
0
-50
0
50
100
150
200
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.74. Расчетная точка № 7: V∞ =10.6 км/с, H=79 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2;
Total flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
302
Рис. 6.75. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.76. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
303
Рис. 6.77. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X,cm
X species
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.78. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
304
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
0
-100
0
100
200
300
400
500
600
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.79. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-5
10-4
10-3
10-2 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.80. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
305
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X,cm
Xspecies
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.81. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
0
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
Mo+
M1+
Mo-
M1-
To tal flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-5
10-4
10-3
10-2 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.82. Расчетная точка № 8: V∞ =9.8 км/с, H=58 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
306
Рис. 6.83. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.84. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
307
Рис. 6.85. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
X species
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.86. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
308
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
0
0
100
200
300
400
500
600
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.87. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.88. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
309
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X, cm
Xspecies
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.89. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-5
10-4
10-3
10-2
D&K
Pa rk
Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.90. Расчетная точка № 9: V∞ =8.6 км/с, H=55 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
310
Рис. 6.91. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
,
поступательная и колебательная температура N2
Рис. 6.92. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Слева: массовые доли N2 и N. Справа: массовые доли O2 и O

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
311
Рис. 6.93. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Слева: массовые доли NO и NO+.
Справа: давление
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ ,иплотность, / ∞
ρρ
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
X, cm
X species
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.94. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Слева: осевое распределение поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, К. Справа: осевые распределения массовых долей
химических компонентов, рассчитанных по кинетической модели Парка [20,167]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
312
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
0
0
20
40
60
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
Рис. 6.95. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Слева: распределение плотностей конвективных тепловых потоков и интегральных
радиационных тепловых потоков ( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата,
Вт/см2; ,
wtot
Q - полный конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и
диффузионная составляющие теплового потока. Справа: распределения
односторонних интегральных радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней
критической линии тока от поверхности ( 1
M+)икповерхности( 1
M − ), Вт/см2; Total
flux -- суммарный интегральный поток излучения, Вт/см2
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.96. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Слева: спектральное распределение плотностей усредненных по группам
радиационных потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-
одномерном приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
Справа: кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в
точке торможения, Вт/см2

6.4. Осесимметричное течение в условиях сверхорбитального входа СККА
313
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
X, cm
X species
01
02
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
Рис. 6.97. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Слева: осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для двух кинетических моделей:
кружочки - кинетическая модель Данна и Канга [165], квадратики - кинетическая
модель Парка [20,167]. Справа: осевые распределения массовых долей химических
компонент, рассчитанных для кинетической модели Данна и Канга [165]
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-50
0
50
100
150
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
Рис. 6.98. Расчетная точка № 10: V∞ =7.3 км/с, H=72 км.
Результаты расчетов по разным кинетическим моделям: модели Данна и Канга [165]
и модели Парка [20,167]. Слева: распределение односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока,
рассчитанных для двух кинетических моделей: модели Данна и Канга [165] и модели
Парка [20,167]. Справа: распределения односторонних интегральных радиационных
потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от поверхности ( 1
M+)
и к поверхности ( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный интегральный поток
излучения, Вт/см2

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
314
6.5. Результаты численного моделирования осесимметричного течения в
окрестности СККА с использованием трехмерной вычислительной
модели
Решение задач осесимметричного обтекания спускаемых аппаратов с
использованием трехмерной расчетной методики и компьютерного кода
NERAT-3D является составной частью их тестирования. При этом
исследуются и отрабатываются технологические свойства вычислительного
кода. Учитывая то, что экспериментальные и расчетные данные по
радиационному нагреву поверхности спускаемых космических аппаратов
отсутствуют, расчеты осесимметричного обтекания с использованием
трехмерной модели позволяют выполнить сравнение с соответствующими
двухмерными расчетами, а также проверить практическое выполнение
свойств симметрии вычислительного кода.
Расчеты выполнены для шести характерных точек орбитального и
сверхорбитального входа в плотные слои атмосферы Земли. Для каждой из
двух высот полета, Н=60 и 80 км, расчеты выполнялись для трех чисел Маха:
М=10, 20 и 30.
Полученные в трехмерных расчетах данные для каждой точки траектории
приведены в следующей последовательности:
1) Трехмерные изображения поля поступательной температуры, в К; и
продольной скорости газа
*
x
Vu
V
=
.
2) Трехмерные изображения полей колебательной температуры N2 и O2 в К.
3) Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
поперечной к сжатому слою координатной линии, соответствующей первой
точке в первом сеточном блоке, а также осевые распределения массовых
долей химических компонент вдоль той же координатной линии,
рассчитанные с использованием кинетической модели Парка [20,167].
На полученных пространственных распределениях газодинамических
функций хорошо идентифицируются все основные элементы
пространственного обтекания космического аппарата: высокотемпературный
сжатый слой у лобовой поверхности, отрывное возвратно-вихревое течение
за подветренной поверхностью, термически неравновесные распределения
поступательной и колебательных температур.
На осевых распределениях поступательной и колебательной температур
хорошо видна высокая степень термической неравновесности при малых
числах Маха (рис.6.101 и 6.110). С увеличением числа Маха термализация в
сжатом слое наступает гораздо быстрее. Различие между поступательной
температурой непосредственно за фронтом ударной волны и с основном
объеме сжатого слоя становится все больше, что является следствием
интенсификации диссоционных процессов (см. последовательно рисунки
6.101, 6.104 и 6.107 для высоты Н=60 км и рисунки 6.110, 6.113 и 6.116 для
высоты Н=80 км). На этих рисунках хорошо видна связь температурных

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
315
распределений в сжатом слое и распределений концентраций химически
реагирующего газа в сжатом слое.
В распределениях колебательных температур хорошо прослеживается
закономерность более длительной релаксации колебаний молекул N2. При
высоких числах Маха на малой и большой высоте наблюдается термализация
колебательного движения в приосевых областях ближнего и дальнего следа.
Как отмечалось выше, указанный процесс должен быть более подробно
исследован, поскольку численными экспериментами установлена высокая
чувствительность получаемых результатов от используемой модели
уравнения сохранения колебательной энергии по отдельным модам.
Полученные в трехмерных расчетах результаты неоднократно
сравнивались соответствующими распределениями газодинамических
функций, полученных в двухмерных осесимметричных расчетах. Указанные
сравнения показали на хорошее соответствие результатов, что служит
дополнительным фактором успешного тестирования трехмерной
вычислительной модели.
Большой интерес представляет анализ результатов пространственных
расчетов плотностей интегральных радиационных тепловых потоков. На
рис.6.117 представлены плотности конвективного и радиационного тепловых
потоков на поверхности СККА в плоскости симметрии для всех
исследованных траекторных точек. Получены вполне ожидаемые результаты
о превосходстве конвективного нагрева над радиационным для малых чисел
Маха. При числах Маха М=30 плотность радиационных тепловых потоков
становится сравнимой с плотностью конвективных тепловых потоков.
Представленные результаты расчетов свидетельствуют о хорошей
симметрии получаемых результатов, что позволяет надеяться на отсутствие
погрешностей, связанных с численной реализацией пространственной модели
переноса селективного теплового излучения. Небольшая немонотонность
плотности конвективного теплового потока в окрестности передней
критической точки обтекания является одним из проблемных вопросов
изменения топологии геометрии в окрестности оси симметрии космического
аппарата, решение которого пока не найдено. Однако заметим, что при
анализе расчетных данных на рис.6.117 следует учесть, что координата вдоль
поверхности космического аппарата отсчитывается не от оси симметрии, а от
нижней границы первого расчетного блока (см. рис.10.1), поэтому
распределения плотностей потоков вдоль поверхности СККА имеют
некоторую ассиметрию, связанную со смещением точки отсчета.
В целом, завершая анализ результатов трехмерных расчетов радиационной
аэротермодинамики обтекания спускаемого аппарата под нулевым углом
атаки следует подчеркнуть, что результаты трехмерных расчетов хорошо
коррелируют с результатами двухмерных осесимметричных расчетов, что
позволяет с уверенностью использовать отлаженные для двухмерного случая
кинетические, теплофизические и радиационные модели в трехмерных
расчетах.

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
316
Рис. 6.99. Температура поступательного движения и продольная скорость x
Vu
V
∞
=;
h=60 км, М=10
Рис. 6.100. Колебательная температура N2 и O2; h=60 км, М=10

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
317
x, cm
T,Tv,K
02
04
06
08
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=60 km, M=10, Alpha=0
x, cm
Ys
02
04
06
08
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=60 km, M=10, Alpha=0
Рис. 6.101. Слева: распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока ПТК. Справа: распределения массовых долей воздушных
компонент вдоль критической линии тока ПТК; h=60 км, М=10. Кинетическая модель
Парка [20,167]
Рис. 6.102. Температура поступательного движения и продольная скорость
x
Vu
V
∞
= ; h=60 км, М=20

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
318
Рис. 6.103. Колебательная температура N2 и O2; h=60 км, М=20
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=60 km, M=20, Alpha=0
x, cm
Ys
02
04
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=60 km, M=20, Alpha=0
Рис. 6.104. Слева: распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока ПТК. Справа: распределения массовых долей воздушных
компонент вдоль критической линии тока ПТК; h=60 км, М=20. Кинетическая модель
Парка [20,167]

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
319
Рис. 6.105. Температура поступательного движения и продольная скорость
x
Vu
V
∞
= ; h=60 км, М=30
Рис. 6.106. Колебательная температура N2 и O2; h=60 км, М=30

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
320
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=60 km, M=30, Alpha=0
x, cm
Ys
0
510152025303540
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=60 km, M=30, Alpha=0
Рис. 6.107. Распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока ПТК. Справа: распределения массовых долей воздушных
компонент вдоль критической линии тока ПТК; h=60 км, М=30. Кинетическая модель
Парка [20,167]
Рис. 6.108. Температура поступательного движения продольная скорость x
Vu
V
∞
=;
h=80 км, М=10

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
321
Рис. 6.109. Колебательная температура N2 и O2; h=80 км, М=10
x, cm
T,Tv,K
02
04
06
08
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=80 km, M=10, Alpha=0
x, cm
Ys
02
04
06
08
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=80 km, M=10, Alpha=0
Рис. 6.110. Слева: Распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока ПТК. Справа: распределения массовых долей воздушных
компонент вдоль критической линии тока ПТК; h=80 км, М=10. Кинетическая модель
Парка [20,167]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
322
Рис. 6.111. Температура поступательного движения и продольная скорость
x
Vu
V
∞
= ; h=80 км, М=20
Рис. 6.112. Колебательная температура N2 и O2; h=80 км, М=20

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
323
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=80 km, M=20, Alpha=0
x, cm
Ys
02
04
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=80 km, M=20, Alpha=0
Рис. 6.113. Слева: распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока ПТК. Справа: распределения массовых долей воздушных
компонент вдоль критической линии тока ПТК; h=80 км, М=20. Кинетическая модель
Парка [20,167]
Рис. 6.114. Температура поступательного движения и продольная скорость
x
Vu
V
∞
= ; h=80 км, М=30

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
324
Рис. 6.115. Колебательная температура N2 и O2; h=80 км, М=30
x, cm
T,Tv,K
0
5
101520253035
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=80 km, M=30, Alpha=0
x, cm
Ys
0
510152025303540
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=80 km, M=30, Alpha=0
Рис. 6.116. Рис. 80/30/00-20 Слева: распределения поступательной и колебательных
температур вдоль критической линии тока ПТК. Справа: распределения массовых
долей воздушных компонент вдоль критической линии тока ПТК; h=80 км, М=30.
Кинетическая модель Парка [20,167]

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
325
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
PTV-L: H=60 km, M=10, Alpha=0
Qw
Qrad
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-2
10-1
100
101
102
PTV-L: H=60 km, M=30, Alpha=0
Qw
Qrad
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-2
10-1
100
101
102
PTV-L: H=80 km, M=30, Alpha=0
Qw
Qrad
Рис. 6.117. Плотность конвективного и радиационного теплового потока на
поверхности ПТК в плоскости симметрии для последовательности расчетных
точек:h=60 км, М=10; h=80 км, М=10; h=60 км, М=20; h=80 км, М=20; h=60 км,
М=30;h=80 км, М=30

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
326
6.6. Результаты численного моделирования осесимметричного
течения в окрестности СККА с использованием кинетической
модели ЦНИИмаш
В данном разделе представлены результаты расчетов радиационной
аэротермодинамики СККА для трех первых траекторных точек,
представленных в табл. 6.1. Расчеты выполнены с использованием
компьютерной платформы NERAT(2D)+ASTEROID и кинетической модели
[183].
Расчетные данные представлены в таком же порядке, который
использовался в разделах 6.2 и 6.3 при анализе орбитального и
сверхорбитального входа. Поэтому данные, отвечающие первой траекторной
точке орбитального входа и представленные на рис. 6.118-6.123, следует
сравнивать с данными, показанными на рис. 6.20-6.27. Для второй
траекторной точки сравнению подлежат рис. 6.124-6.129 и рис.6.28-6.35, а
для третьей траекторной точки -- рис.6.130-6.134 и рис.6.36-6.43.
Двумерные распределения продольной скорости, поступательной и
колебательных температур, давления и плотности, а также массовых долей
компонент высокотемпературной воздушной смеси получаются качественно
близкими по разным кинетическим моделям, что является типичным для
результатов расчетов по разным кинетическим моделям. Использование
разных кинетических моделей приводит к количественным различиям
распределений концентраций химических компонент, поступательной и
колебательных температур и, как следствие, к различиям в распределениях
интенсивности конвективного и радиационного теплового нагрева.
Рассмотрим характер указанных различий для трех анализируемых
траекторных точек.
Первая траекторная точка характеризуется высокой степенью
неравновесности за фронтом ударной волны и в сжатом слое. Распределения
поступательной и колебательных температур достаточно близки тем, которые
получаются с использованием моделей Парка и Данна-Канга. Концентрация
молекул NO в сжатом слое выше, чем дается кинетической моделью Парка и
ближе к концентрации, даваемой моделью Данна-Канга. По-видимости, это
является одной из причин, по которой в расчетах с использованием
кинетической модели [183] наблюдается относительно более высокая
плотность радиационного теплового потока к поверхности за счет
увеличения доли излучения, приходящего от электронных полос NO (см
рис.6.121, где показано распределение конвективного и радиационного
теплового потока вдоль поверхности и в критической точке
осесимметричного обтекания).
Во второй траекторной точки, как и прежде, наблюдается уже заметная
термализация газа в сжатом слое (рис.6.129). Распределения температур и
мольных долей оказывается ближе к тем, которые даются моделью Парка.
Однако концентрация электронов оказывается завышенной в несколько раз.

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
327
При этом концентрация ионов N+ значительно превосходит концентрацию
NO+. Как и для первой точки, плотность радиационного теплового потока к
поверхности оказывается несколько завышенной при использовании
кинетической модели Парка.
Примечательно, что в третьей траекторной точке, где во всей области
сжатого слоя наблюдается практически полная термализация, распределения
газодинамических функций в сжатом слое получаются весьма сильно
различающимися с соответствующими распределениями, полученными по
модели Парка и Данна-Канга. Сравнивая рис. 6.134 и 6.42 и 6.39 делаем
выводы о снижении температуры в сжатом слое примерно на 1000 К и, как
следствие увеличения плотности -- наблюдаем рост отхода фронта ударной
волны. Концентрация молекул NO оказывается выше, чем в моделях Парка и
Данна-Канга. Это приводит к возрастанию радиационного теплового потока к
поверхности в спектральном диапазоне ω~35000-60000 см-1 и, как следствие,
к незначительному увеличению интегрального радиационного теплового
потока (на фоне сниженной температуры в сжатом слое).
Подводя итог исследованию результатов использования кинетической
модели ЦНИИмаш [183] можно отметить в целом хорошее согласие
расчетных данных с полученными по моделям Парка и Данна-Канга. Что
касается отмеченных различий, то следует признать, а точнее -- подтвердить,
проблему общего характера, состоящую в высокой чувствительности
результатов расчетов радиационной аэротермодинамики спускаемых
космических аппаратов к используемым в вычислительных моделях данных
по физической и химической кинетике.
Рис. 6.118. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
, поступательная и
колебательная температура N2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
328
Рис. 6.119. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Верхняя половина рисунка (а): массовая доля N2, нижняя половина рисунка: массовая
доля N; верхняя половина рисунка (б): массовая доля O2, нижняя половина рисунка:
массовая доля O. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]
Рис. 6.120. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Верхняя половина рисунка (а): массовая доля NO, нижняя половина рисунка:
массовая доля NO+; верхняя половина рисунка (б): давление,
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ,
нижняя половина рисунка: плотность, / ∞
ρρ.
Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
329
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
#01, TSNIIMASH, M1- , M1+
Рис. 6.121. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км. Распределение плотностей
конвективных тепловых потоков и интегральных радиационных тепловых потоков
( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата, Вт/см2 (а); ,
wtot
Q - полный
конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и диффузионная
составляющие теплового потока. Распределения односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от
поверхности ( 1
M+)ик поверхности( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный
интегральный поток излучения, Вт/см2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2) #01, TSNIIMASH
Рис. 6.122. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
(а) Спектральное распределение плотностей усредненных по группам радиационных
потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-одномерном
приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
(б) Кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в точке
торможения, Вт/см2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
330
x, cm
T,K
0510152025303540455055
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
#01, TSNIIMAS
X,cm
X species
01
02
03
04
05
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
#01, TSNIIMASH
Рис. 6.123. Расчетная точка № 1: V∞ =7.6 км/с, H=91 км.
Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль передней
критической линии тока, рассчитанных для кинетической модели ЦНИИМаш [183].
Осевые распределения массовых долей химических компонент
Рис. 6.124. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
, поступательная и
колебательная температура N2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
331
Рис. 6.125. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
Верхняя половина рисунка (а): массовая доля N2, нижняя половина рисунка:
массовая доля N; верхняя половина рисунка (б): массовая доля O2, нижняя половина
рисунка: массовая доля O. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]
Рис. 6.126. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км. Верхняя половина рисунка
(а): массовая доля NO, нижняя половина рисунка: массовая доля NO+; верхняя
половина рисунка (б): давление,
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
= ρ , нижняя половина рисунка:
плотность, / ∞
ρ ρ . Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
332
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
#02, TSNIIMASH, M1- , M1+
Рис. 6.127. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км. Распределение плотностей
конвективных тепловых потоков и интегральных радиационных тепловых потоков
( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата, Вт/см2 (а); ,
wtot
Q - полный
конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и диффузионная
составляющие теплового потока. Распределения односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от
поверхности ( 1
M+)ик поверхности( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный
интегральный поток излучения, Вт/см2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2) #02, TSNIIMASH
Рис. 6.128. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
(а) Спектральное распределение плотностей усредненных по группам радиационных
потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-одномерном
приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2
(б) Кумулятивная функция спектральной плотности радиационных потоков в точке
торможения, Вт/см2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
333
x, cm
T,K
0
5
101520253035
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
#02, TSNIIMAS
X, cm
X species
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
#02, TSNIIMASH
Рис. 6.129. Расчетная точка № 2: V∞ =7.6 км/с, H=76 км.
(а) Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока,
рассчитанных для кинетической модели ЦНИИМаш [183] .
(б) Осевые распределения массовых долей химических компонент.
Рис. 6.130. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Линии тока и поле продольной скорости газа x
Vu
V
∞
=
, поступательная и
колебательная температура N2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
334
Рис. 6.131. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Верхняя половина рисунка (а): массовая доля N2, нижняя половина рисунка: массовая
доля N; верхняя половина рисунка (б): массовая доля O2, нижняя половина рисунка:
массовая доля O. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]
Рис. 6.132. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
Верхняя половина рисунка (а): массовая доля NO, нижняя половина рисунка:
массовая доля NO+; верхняя половина рисунка (б): давление,
0
/
pp,
2
0
pV
∞∞
=ρ,
нижняя половина рисунка: плотность, / ∞
ρ ρ . Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

6.5. Расчет осесимметричного обтекания СККА с использованием 3D модели
335
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
Mo+
M1+
Mo-
M1-
To tal flux
#03, TSNIIMASH, M1-, M1+
Рис. 6.133. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км. Распределение плотностей
конвективных тепловых потоков и интегральных радиационных тепловых потоков
( rad
Q ) вдоль поверхности космического аппарата, Вт/см2 (а); ,
wtot
Q - полный
конвективный поток,
,
wc
Q,
,
wd
Q - теплопроводностная и диффузионная
составляющие теплового потока. Распределения односторонних интегральных
радиационных потоков в сжатом слое вдоль передней критической линии тока от
поверхности ( 1
M+)ик поверхности( 1
M − ), Вт/см2; Total flux -- суммарный
интегральный поток излучения, Вт/см2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2) #03, TSNIIMASH
Рис. 6.133. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
(а) Спектральное распределение плотностей усредненных по группам радиационных
потоков в передней критической точке, рассчитанных в локально-одномерном
приближении с использованием метода полумоментов, Вт⋅см/см2; (б) Кумулятивная
функция спектральной плотности радиационных потоков в точке торможения,
Вт/см2. Кинетическая модель ЦНИИмаш [183]

Глава 6. РадГД сегментально-конического космического аппарата
336
x, cm
T,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
#03, TSNIIMAS
X, cm
Xspecies
01
02
03
04
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
#03, TSNIIMASH
Рис. 6.134. Расчетная точка № 3: V∞ =7.0 км/с, H=63 км.
(а) Осевые распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока, рассчитанных для кинетической модели
ЦНИИмаш [183]; (б) Осевые распределения массовых долей химических компонент

337
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ЧАСТИ 1
В первой части книги рассмотрены двумерные задачи (2D) компьютерной
радиационной аэротермодинамики спускаемых в атмосфере Земли и Марса
космических аппаратов.
В первых двух главах представлены методы компьютерной физики,
использованные при создании компьютерного кода NERAT-2D, а также
предназначенные для развития этого кода применительно к
неструктурированным расчетным сеткам.
Радиационная аэротермодинамика входа в плотные слои атмосферы
Марса исследована на примерах космических аппаратов сферической формы,
MSRO, Pathfinder и Exomars. Показано, что важными особенностями
марсианского входа являются значительная роль теплового излучения в
инфракрасной области спектра, обусловленная колебательно-вращательными
полосами молекул CO2 и CO, и значительная термическая неравновесность
поля течения, обусловленная разреженностью атмосферы. Много внимания
уделено анализу влияния используемых моделей химической кинетики и
расчетных сеток на получаемые расчетные данные.
Двумерная радиационная аэротермодинамика возвращаемых на Землю
космических аппаратов изучена на примере двух крупномасштабных
космических аппаратов нового поколения: американского возвращаемого
аппарата Orion и российского сегментально-конического транспортного
корабля.
Показано, что на участках траекторий входа, где в сжатом слое не
достигается термическое равновесие, результаты расчетов радиационного
нагрева поверхности космических аппаратов оказываются весьма
чувствительными к используемым моделям химической кинетики,
неравновесной диссоциации и моделям возбуждения электронных уровней
энергии молекулярных компонент высокотемпературной смеси газов. Также
велика чувствительность результатов расчета к учету или не учету
радиационного газодинамического взаимодействия, даже для орбитального
входа, где роль радиационного нагрева не слишком велика.
Показана
важность учета радиационно-газодинамического
взаимодействия и радиационного нагрева поверхности космического
аппарата при сверхорбитальных скоростях входа в плотные слои атмосферы
Земли.
Важным
итогом
исследований двухмерной радиационной
аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов является
практическая реализация совмещения в едином расчетном комплексе
модулей интегрирования уравнений вязкого теплопроводного газа, расчета
неравновесной физической и химической кинетики, расчета спектральных
оптических и переносных свойств высокотемпературных газов, а также
расчета переноса селективного теплового излучения в многогрупповом
приближении.

338
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ 1
1. Surzhikov S.T. 2D CFD/RGD Model of Space Vehicles//Proc. of the Int.
Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry.
October 2003, Lisbon, Portugal. European Space Agency. SP-533. 2003.
P.95−102.
2. Surzhikov S.T. Numerical Simulation of Heat Radiation Generated by
Entering Space Vehicle // AIAA 2004-2379. 2004. 11 p.
3. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач
газовой динамики. М.: Наука. 1980. 352 с.
4. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных
сред. М.: Наука. 1984. 519 с.
5. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука. 1988. 263 с.
6. Ковеня В.М., Яненко Н.Н. Метод расщепления в задачах газовой
динамики. Новосибирск: Изд-во «Наука». 1981. 304 с.
7. Edwards, J.R., Liou, M.-S. Low-Diffusion Flux-Splitting Methods for Flow
at all Speeds // AIAA Journal. 1998. V.36. № 9. P.1610−1617.
8. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические
свойства индивидуальных веществ. М.: Наука. 1978. 495 с.
9. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Изд-во
«Химия». 1974. 687 с.
10. Гардинер У., мл. (ред.). Химия горения. М.: Мир. 1988. 461 с.
11. Гинзбург И.П. Трение и теплопередача при движении смеси газов. Л.:
Изд-во ЛГУ. 1975. 278 с.
12. Анфимов Н.А. Ламинарный пограничный слой в многокомпонентной
смеси газов. Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 1.
С.25−31.
13. Capitelli M., Gorse C., Longo S., Giordano D. Collision Integrals of High-
Temperature Air Species//Journal of Thermophysics and Heat Transfer.
2000. Vol.14. No.2. P.259-268.
14. Levin E., Wright M.J. Collision Integrals for Ion-Neutral Interactions of
Nitrogen and Oxygen//Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 2004.
Vol.18. No.1. P.143-154.
15. Svehla R.A. "Estimated Viscosities and Thermal Conductivities of Gases at
High Temperatures". NASA TR-R-132. 1962. 26 p.
16. Суржиков С.Т. Тепловое излучение газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э.Баумана. 2004. 543 с.
17. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Расчет радиационных потоков к
поверхности космического аппарата с помощью метода дискретных
ординат // ИФЖ. 2007. Т.80. № 1.
18. Суржиков С.Т. Оптические свойства газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э.Баумана. 2004. 575 с.
19. Surzhikov S.T. Computing System for Solving Radiative Gasdynamic
Problems of Entry and Re-Entry Space Vehicles// Proceedings of the 1st

Список литературы к части 1
339
International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in
Atmospheric Entry. 8−10 October 2003, Lisbon, Portugal. ESA-533.
December 2003. P.111−117.
20. Park C., Howe, J.T., Jaffe R.L. and Candler, G.V. Review of Chemical-
Kinetic Problems of Future NASA Missions, II: Mars Entries// J. of
Thermophysics and Heat Transfer. 1994. Vol.8. No.1. P.9−23.
21. Ibragimova L.B. The Recommended Values of Gas-Phase Chemical
Reactions Rate Constants in the Atomic System N-C-O. Part I and II//
Preprint No. 29-97 and 30-97. Institute of Mechanics of the Moscow State
University. 1997.
22. McKenzie R.L. An Estimate of the Chemical Kinetics Behind Normal Shock
Wave in Mixtures of Carbon Dioxide and Nitrogen for Candidates Typical
of Mars Entry// NASA TN D-3287. Jan. 1966.
23. Marrone P.V., Treanor C.E. Chemical Relaxation with Preferential
Dissociation from Excited Vibrational Levels// The Physics of Fluids. 1963.
Vol. 6, No.9. P.1215−1221.
24. Сакович В.С., Сорокин А.М. Применение неструктурированных сеток
для расчета вязкого обтекания многоэлементных профилей // Выч. мат.
и мат. физ. 1997. Т. 37. № 10. С. 1269-1280.
25. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных
решений гидродинамики // Матем. сб. 1959. Т. 47(89). № 3. С. 271-306.
26. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н, Прокопов Г.П.
Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука.
1976. 400 c.
27. Сафронов А.В. Разностный метод для уравнений газодинамики из
соотношений на разрывах // Матем. Моделирование. 2008. Т.20. №2. С.
76-84.
28. Liou M.-S., Steffen C. A new flux splitting scheme // J. Comput. Phys. 1993.
Vol. 107. Р. 23-39.
29. Shang J.S. Three decades of accomplishments in computational fluid
dynamics // Progress in Aerospace Sciences. 2004. Vol. 40. P. 173-197.
30. John C. Tannehill, Dale A. Anderson, Richard H. Pletcher. Computational
fluid mechanics and heat transfer. Taylor & Frances. 1997. 792 p.
31. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Моделирование крупных вихрей в
расчетах турбулентных течений. М.: Физматлит. 2008. 368 с.
32. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Течения и теплообмен в каналах и
вращающихся полостях. М.: Физматлит. 2010. 488 с.
33. Боровиков С.Н., Иванов И.Э., Крюков И.А. Моделирование
пространственных течений идеального газа с использованием
тетраэдральных сеток // Математическое Моделирование. 2006. Т.18.
№8. С. 37-48.
34. Osher S. Riemann solvers, the entropy condition, and difference
approximation // SIAM J. Numer. Analys. 1984. Vol. 21. No. 2. P. 217-235.

Список литературы к части 1
340
35. Roe P.L. Approximate Riemann solvers, parameter vectors, and difference
schemes // J. Comput. Phys. 1981. Vol. 43. P. 357--372.
36. Van Leer B. Flux-vector splitting for the Euler equations // 8th Int. Conf. on
Num. Meth. in Fluid Dyn. Lecture Notes in Physics. Berlin: Springer. 1982.
Vol. 170. P. 507-512.
37. Liou M.-S. A Sequel to AUSM: AUSM+ // J. Comput. Phys. 1996. Vol. 129.
P. 364-382.
38. Wada Y., Liou M.-S. An accurate and robust flux splitting scheme for shock
and contact discontinuities // SIAM J. Scientific Computing. 1997. Vol. 18.
P. 633-657.
39. Liou M.-S. A Sequel to AUSM, Part II: AUSM+-up // J. Comput. Phys.
2006. Vol. 214. P. 137-170.
40. Edwards J. R., Franklin R., Liou M.-S. Low-Diffusion Flux-Splitting
Methods for Real Fluid Flows with Phase Transitions // AIAA J. 2000. Vol.
38, No. 9. P. 1624-1633.
41. Chang C.-H., Liou M.-S. A New approach to the simulation of compressible
multifluid flows with AUSM+ scheme // 16th AIAA CFD Conference.
Orlando, FL. June 23-26, 2003. AIAA Paper 2003-4107.
42. Edwards J. R., Liou M.-S. Low-diffusion flux-splitting methods for flows at
all speeds // AIAA J. 1998. Vol. 36. No.9. P. 1610-1617.
43. Kim K.H., Kim C., Rho O. Methods for the accurate computations of
hypersonic flows: I. AUSMPW+ scheme // J. Comput. Phys. -- 2001. -- V.
174, N. 1. -- P. 38-80.
44. Issa R.I., Javareshkian M.H. Pressure-based compressible calculation
method utilizing total variation diminishing schemes // AIAA J. -- 1998. -- V.
36, N. 9. -- P. 1652-1657.
45. Суржиков С.Т., Шенг Дж.С. Вязкое взаимодействие на плоской
пластине с поверхностным разрядом в магнитном поле // Теплофизика
высоких температур. 2005. Т. 43. № 1. С. 21-31.
46. Хейз У.Д., Пробстин Р.Ф. Теория гиперзвуковых течений. М.: Изд-во
ИЛ. 1962. 607 с.
47. Суржиков С.Т. Взаимодействие тлеющего разряда с разреженным
гиперзвуковым потоком в криволинейном канале // Хим. Физика. 2009.
Т. 28. № 5. С. 56-63.
48. http://www.fluent.com (15.07.2010)
49. Котов Д.В., Суржиков С.Т. Расчет гиперзвукового течения и излучения
вязкого химически реагирующего газа в канале, моделирующем
участок ГПВРД. М.: Препринт ИПМех РАН №940. 2010. 32 с.
50. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат. 1960. 520с.
51. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат.
1961. 667с.
52. Гринспен Х., Келбер К., Окрент Д.-М. (ред) Вычислительные методы в
физике реакторов. М.: Атомиздат. 1972. 370с.

Список литературы к части 1
341
53. Сушкевич Т.А. Математические модели переноса излучения. М.: Бином.
Лаборатория знаний. 2006. 661с.
54. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической
физики. М.: Наука. 1984. 343 с.
55. Суржиков С.Т.
"Аналитические методы построения конечно-
разностных сеток для расчета аэротермодинамики спускаемых
космических аппаратом// Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2004. 2(55).
С.24-50.
56. Суржиков С.Т. Двумерная радиационно-газодинамическая модель
аэрофизики спускаемых космических аппаратов// В кн.: Актуальные
проблемы механики. Механика жидкости, газа и плазмы. М.: Наука.
2008. С.20-59.
57. Anderson, D. A., Tannehill, J.C., Pletcher, R.H., Computational Fluid
mechanics and heat transfer// Hemisphere Pub. Corp. 1984. Vol. 1. pp 297-
300.
58. Andrienko, D.A., Surzhikov, S.T., Two dimensional radiation heat transfer to
Martian spherical space// Proceedings of third workshop Radiation of high
temperature gases. Iraklion, Greece. September 30 -- October 4. 2008. (on CD)
59. Чандрасекхар С. Перенос лучистой знергии. М.: Изд-во иностранной
литературы. 1953. 432с.
60. Суржиков С.Т. Математические модели дозвуковых сопел Лаваля
лазерно-плазменных ускорителей// Теплофизика высоких температур.
1995. Т.33. №3. С.437-451.
61. Суржиков С.Т., Мирабо Л., Райзер Ю.П. Лазерные волны горения в
соплах Лаваля//Теплофизика высоких температур. 1995. Т.33. №1.
С.13−23
62. Андриенко Д. Суржиков С.Т. Решение уравнения переноса излучения в
нерассеивающей среде методом сферических гармоник в Р1
приближении// Сборник научных трудов 2-й Всероссийской школы-
семинара "
Аэрофизика и физическая механика классических и
квантовых систем» (АФМ-2008). М.: ИПМех РАН. 2009.С.264-270.
63. Андриенко Д.А., Суржиков С.Т. Сравнение решений уравнения
переноса излучения методом сферических гармоник и методом
дискретных направлений для сложной криволинейной геометрии//
Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Машиностроение. 2010. №4. С.3-
15.
64. Андриенко Д.А., Суржиков С.Т. Решение уравнения переноса
излучения в P1- приближении метода сферических гармоник для
двумерной осесимметричной криволинейной геометрии. М.: ИПМех
РАН, Препринт №930. 68 с. (ISBN 978-5-91741-009-8).
65. Omaly P., Surzhikov S. 3D Model of Aerothermodynamics of Descent
Space Vehicles// Proceedings of the 3rd International Workshop "Radiation
of High Temperature Gases in Atmospheric Entry". 30 Sept-3 Oct 2008.
ESA SP-667. 8 p.

Список литературы к части 1
342
66. Андриенко Д.А. , Суржиков С.Т. Расчет переноса селективного
теплового излучения
в
потоках смесей CO2-N2 на
неструктурированных двумерных сетках // Теплофиз. Высоких
Температур. 2012. Т.50. № 4. С.585-595.
67. Andrienko D.A., Surzhikov S.T. P1 Approximation Applied to the Radiative
Heating of Descent Spacecraft// Journal of Spacecraft and Rockets. 2012.
Vol.49. No.6. P.1088-1098.
68. Andrienko D.A., Surzhikov S.T., Shang J.S. Three-Dimensional Radiative
Heating of Descent Space Vehicle Based on Spherical Harmonics Method
with Unstructured Grid// AIAA paper 2012-0653. 2012. 20 p.
69. Суржиков С.Т. Трехмерная радиационно-газодинамическая модель
аэрофизики спускаемых космических аппаратов. В кн.: Актуальные
проблемы механики. Физико-химическая механика жидкостей и газов.
Под ред. С.Т.Суржикова. М.: Наука. 2010. С. 25-124.
70. Andrienko D.A., Surzhikov S.T. Radiative Heating of Martian Space
Vehicle at Crucial Points of Trajectory// AIAA Paper 2011-0246. 2011.
71. Andrienko D., Surzhikov S. Time-Efficient Calculation of High Temperature
Mixture Radiation of Complex Geometry// Proceedings of the 4th European
Workshop on High Temperature Gas Radiation at Atmospheric Entry. 12-15
October. Lausanne, Switzerland. Available on CD and www-page of
European Space Agency.
72. Surzhikov S.T. Radiative Gasdynamic Model of a Martian Descent Space
Vehicle//AIAA Paper 2004-1355. 2004. 11 p.
73. Goulard R. The Coupling of Radiation and Convection in Detached Shock
Layers// JQSRT. 1961. Vol.1. No.1. P.249.
74. Gupta R.N., Lee K.P. An Aerothermal Study of MESUR Pathfinder
Aeroshell//AIAA Paper 94-2025. 1994. 41 p.
75. Milos F.S., Chen Y.K., Gongdon W.M., et al. Mars Pathfinder Entry
Temperature Data, Aerothermal Heating, and Heatshield Material Response
// Journal of Spacecraft and Rockets. 1999. Vol.36. No.3. P.380−391.
76. Суржиков С.Т. Радиационно-конвективный теплообмен космического
аппарата сферической формы в углекислом газе// Теплофиз. Высоких
Температур. 2011. Т.49. № 1. С.92-107.
77. Surzhikov S.T., Omaly P. MSRO convective and radiative heating //AIAA
Paper 08-1274. 2008. 43 p.
78. Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика сферы в Марсианской
атмосфере// В кн.: Проблемы и достижения прикладной математики и
механики. Новосибирск: ИТПМ СО РАН. 2010. С.270-283.
79. Surzhikov S.T. Computing System for Mathematical Simulation of Selective
Radiation Transfer//AIAA Paper № 00-2369. 2000. 15 p.
80. Gromov V.G., Surzhikov S.T., Charbonnier J.-M. Convective and Radiative
Heating of a Martian Space Vehicle Base Surface. Proceeding of the 4th
European Symposium on Aerothermodynamics for Space Vehicles. 15-18
Oct. 2001. Capua, Italy. ESA SP-487. 2002. P. 265-269.

Список литературы к части 1
343
81. Басс Л.П., Волощенко А.М., Гермогенова Т.А. Методы дискретных
ординат в задачах о переносе излучения// Монография ИПМ им. М.В.
Келдыша РАН, 1986.
82. Карлсон Б., Латроп К. Теория переноса. Метод дискретных ординат. В
сб.: Вычислительные методы в физике реакторов. Под ред. Х.
Гринпсена, К. Келбера и Д. Окрента. М., Атомиздат. 1972. стр. 102-157.
83. Fiveland W.A. Discrete Ordinate methods for Radiative Heat Transfer in
Isotropically and Anisotropically Scattering Media// ASME J. Heat Transfer
1987. Vol.109. P. 809--812.
84. Fivelend W.A. Discrete- Ordinates Solutions of the Radiative Transport
Equation for Rectangular Enclosures// J. Heat Transfer. 1984. Vol.106. P.
699-706.
85. Ramankutty M.A., Crosbie A.L. Modified Discrete- Ordinates Solution of
Radiative Transfer in Two- Dimensional Rectangular Enclosures// JQSRT.
1997. Vol.57. P. 107-140.
86. Ramankutty M.A., Crosbie A.L. Modified Discrete- Ordinates Solution of
Radiative Transfer in Three- Dimensional Rectangular Enclosures// JQSRT.
1998. Vol.60. P. 103-134.
87. Fivelend W.A. Three- Dimensional Radiative Heat- Transfer Solutions by
the Discrete- Ordinates Method// J. of Thermophysics and Heat Transfer.
1988. Vol. 2. P. 309-316.
88. Fivelend W.A. A Discrete Ordinates Method for Predicting Radiative Heat
Transfer in Axisymmetric Enclosures// ASME Paper 82-HT-20.
89. Jamaluddin A.S., Smith P.J. Predicting Radiative Transfer in Axisymmetric
Cylindrical Enclosures Using the Discrete Ordinates Method// Combust. Sci.
and Tech. 1988. Vol.62. P. 173-186.
90. Jamaluddin A.S., Smith P.J. Discrete-Ordinates Solution of Radiative
Transfer Equation in Nonaxisymmetric Cylindrical Enclosures// J. of
Thermophysics and Heat Transfer. 1992. Vol.6. P. 242-245.
91. Jendoubi S., Lee H.S., Kim T.K. Discrete Ordinates Solutions for
Radiatively Participating Media in a Cylindrical Enclosure//J. of
Thermophysics and Heat Transfer. 1993. Vol.7. P. 213-219.
92. Menart J. Radiative Transport in a Two- Dimensional Axisymmetric
Thermal Plasma Using the S-N Discrete Ordinates Method on a Line-by-
Line Basis// JQSRT. 2000. Vol.67. P. 273-291.
93. Selçuk N., Kayakol N. Assessment of Discrete Ordinates Method for
Radiative Transfer in Cylindrical Furnaces// Proceedings of the Second
International Symposium on Radiation Transfer. Kusadasi, Turkey. July,
1997. M. Pinar Mengüç Editor. Begell House. P. 221-236.
94. Vaillon R., Lallamand M., Lemonnier D. Radiative Heat Transfer in
Orthogonal Curvilinear Coordinates Using The Discrete Ordinates Method//
JQSRT. 1996. Vol.55. P. 7-17.
95. Vaillon R., Lallamand M., Lemonnier D. Radiative Equilibrium in
Axisymmetric Semi-Transparent Gray Shells Using the Discrete Ordinates

Список литературы к части 1
344
Method// Proceedings of the First International Symposium on Radiation
Transfer. Kusadasi, Turkey. August 13-18, 1995. M. Pinar Mengüç Editor.
Begell House. P. 62-74.
96. Басс Л.П. О решении уравнения переноса методом характеристик,
препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 13. 1969.
97. Cheong K.B., Song T.H. An Alternative Discrete Ordinates Method with
Interpolation and Source Differencing for Two-Dimensional Radiative
Transfer Problems// Numerical Heat Transfer. Part B. 1997. Vol.32. P.107-
125.
98. Kim T.K., Menart J.A., Lee H.S. Nongray Radiative Gas Analyses Using the
S-N Discrete Ordinates Method// J. Heat Transfer. 1991. Vol.113. P.946-
952.
99. Menart J.A., Lee H.S., Kim T.K. Discrete Ordinates Solutions of Nongray
Radiative Transfer With Diffusely Reflecting Walls// J. Heat Transfer. 1993.
Vol.115. P. 184-193.
100. Sakami S., Charette A., V. Le Dez Application of the Discrete Ordinates
Method to Combined Conductive and Radiative Heat Transfer in a Two-
Dimensional Complex Geometry// JQSRT. 1996. Vol. 56. P. 517-533.
101. Sakami S., Charette A. Application of a modified discrete ordinates method
to Two-Dimensional Enclosures of Irregular Geometry// JQSRT. 2000. Vol.
64. P. 275-298.
102. Sakami S., Charette A., V. Le Dez Analysis of Radiative Heat Transfer in
Enclosures of Complex Geometry Using the Discrete Ordinates Method//
Proc. of the Second International Symposium on Radiation Transfer.
Kusadasi, Turkey. July, 1997. M. Pinar Mengüç Editor. Begell House. P.
253-270.
103. Руколайне С.А., Юферев В.С., Васильев М.Г., Колесникова Э.Н.
Численное решение осесимметричных задач переноса излучения
методом характеристик// Вопросы математической физики и
прикладной математики. К 100-летию Г.А. Гринберга. С.-Пб.: Изд-во
ФТИ им. А.Ф. Иоффе. 2001. с. 263-277.
104. Басс Л.П., Николаева О.В. Решение уравнения переноса излучения в
средах с пустотами. Специализированный алгоритм в {x,y} геометрии//
Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН № 130. 1995.
105. Басс Л.П., Николаева О.В. Положительная схема для уравнения
переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах, часть I//
Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №1. 1997.
106. Басс Л.П., Николаева О.В. Положительная схема для уравнения
переноса излучения в сильно гетерогенных средах и пустотах, часть II//
Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН №2. 1997.
107. Басс Л.П., Николаева О.В. Улучшенная схема расчета переноса
излучения в сильно гетерогенных средах с пустотами// Математическое
Моделирование. 1997. Т. 9. № 10. С. 63-72.

Список литературы к части 1
345
108. Rathby G.D., Chui E.H. A Finite-Volume Method for Predicting a Radiant
Heat Transfer in Enclosures with Participating Media// Journal of Heat
Transfer. 1990. Vol.112. P. 415-423.
109. Rathby G.D., Chui E.H. Computation of Radiant Heat Transfer on a
Nonorthogonal Mesh Using Finite-Volume Method// Numerical Heat
Transfer, Part B. 1993. Vol.23. P.269-288.
110. Rathby G.D., Chui E.H., Hughes P.M.J. Prediction of Radiative Transfer in
Cylindrical Enclosures with the Finite Volume Method// J. of
Thermophysics and Heat Transfer. 1992. Vol.6. P. 605-611.
111. Liu J., Shang H.M., Chen Y.S., Wang T.S. Prediction of Radiative Transfer
in General Body-Fitted Coordinates// Numerical Heat Transfer, Part B.
1997. Vol.31. P. 423-439.
112. Cheong K.B., Song T.H. Examination of Solution Methods for the Second-
Order Discrete Ordinate Formulation// Numerical Heat Transfer, Part B.
1995. Vol.27. P.155-173.
113. Liu J., Chen Y.S. Examination of Conventional and Even-Parity
Formulations of Discrete Ordinates Method in Body-Fitted Coordinate
System// JQSRT. 1999. Vol.61. P. 417-431.
114. Fiveland W.A., Jessee J.P. Comparisons of Discrete Ordinate Formulations
for Radiative Heat Transfer in Multidimensional Geometries// ASME HTD.
1994. Vol.276. P. 49-56.
115. Koch R., Krebs W., Wittig S., Viskanta R. A Parabolic Formulation of the
Discrete Ordinates Method for the Treatment of Complex Geometries,
Proceedings of the First International Symposium on Radiation Transfer.
Kusadasi, Turkey. August 13-18, 1995. M. Pinar Mengüç Editor. Begell
House. P. 43-61.
116. Chai J. C., Patankar S. V., Lee H. S. Evaluation of Spatial Differencing
Practices for the Discrete-Ordinates Method// Journal of Thermophysics and
Heat Transfer. 1994. Vol.8. P.140-144.
117. Lathrop K. D. Spatial Differencing of the Transport Equation Positivity vs.
Accuracy// Journal of Computational Physics. 1969. Vol.4. P. 475-498.
118. Fiveland W. A., Jessee J. P. Acceleration Schemes for the Discrete Ordinates
Method// Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1996. Vol.10. P.445-
451.
119. Соболев С.Л. О формулах механических кубатур на поверхности
сферы// Сибирский математический журнал. 1962. Т.III. №5. С.769-796.
120. Лебедев В.И. Квадратурные формулы для сферы 25--29-го порядка
точности// Сибирский математический журнал. 1977. Том XVIII, №1, С.
132-142.
121. Лебедев В.И. Значения узлов и весов квадратурных формул типа
Гаусса-Маркова для сферы от 9-го до 17-го порядка точности,
инвариантных относительно группы октаэдра с инверсией// Журнал
вычислительной математики и математической физики. 1975. Т.15. №1.
С. 48-54.

Список литературы к части 1
346
122. Лебедев В.И. О квадратурах на сфере// Журнал вычислительной
математики и математической физики. 1976. Т.16. №2. С. 293-306.
123. Koch R., Krebs W., Wittig, S. and Viskanta, R. Discrete Ordinates
Quadrature Schemes for Multidimensional Radiative Transfer// JQSRT.
1995. Vol.53. P.353-372.
124. Thurgood C.P., Pollard A., Becker H.A. The TN Quadrature Set for the
Discrete Ordinates Method// Journal of Heat Transfer. 1995. Vol.117. P.
1068-1070.
125. Rukolaine S.A., Yuferev V.S. Discrete Ordinates Quadrature Schemes Based
on the Angular Interpolation of Radiation Intensity// JQSRT. 2001. Vol.69.
P. 257-275.
126. Flemming M.B. Andersen. Comparison of Numerical Quadrature Schemes
Applied in the Method of Discrete Transfer// Journal of Thermophysics,
Technical Notes. 1996. Vol.10. P.549-551.
127. Filipskiy M., Mokrov M., Surzhikov S., Capitelli M. and Colonna G.
Prediction of Radiative Heating of Internal Surfaces of Hydrogen and Air
Laser Plasma Generators Intended for Aerospace Applications// 1st Intern.
Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry;
8--10 October 2003. Lisbon, Portugal. ESA SP-533. December 2003. P. 11--
18.
128. Filipskii M. V., Surzhikov S. T. Numerical Simulation of Radiation Heat
Transfer in Laser Plasma Generators// AIAA Paper 04-0988. 2004. Reno,
NV. P. 11.
129. Surzhikov S. T. 2D CFD/RGD Model of Space Vehicles// 1st Internat.
Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry.
8--10 October 2003. Lisbon, Portugal. ESA SP-533. December 2003. P. 95--
102.
130. Surzhikov S.T. Computing System for Solving Radiative Gasdynamic
Problems of Entry and Re-Entry Space Vehicles// 1st Internat. Workshop on
Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8--10 October
2003. Lisbon, Portugal. ESA SP-533. December 2003. P. 111--118.
131. Суржиков С.Т. Метод расчета сверхзвукового обтекания сферы на
основе AUSM конечно-разностного метода//Вестник МГТУ. Сер.
Машиностроение. 2005. №3. С.7−33.
132. Borovoi, V.Ya., Skuratov, A.S., Surzhikov, S.T. Study of convective heating
of segmental-conical Martian Descent Vehicle in shock wind tunnel// AIAA
Paper 04-2634. 2004. 11p.
133. Hollis B.R., Perkins J.N. High-Enthalpy Aerothermodynamics of a Mars
Entry Vehicle. Part 1: Experimental Results // Journal of Spacecraft and
Rockets. 1997. Vol.34. No.4. P.449−456.
134. Hollis B.R., Perkins J.N. High-Enthalpy Aerothermodynamics of a Mars
Entry Vehicle. Part 2: Computational Results // Journal of Spacecraft and
Rockets. 1997. Vol.34. No.4. pp.457−463.

Список литературы к части 1
347
135. Анфимов Н.А., Демьянов Ю.А., Заверняев Ю.А, Залогин Г.Н.,
Каменщиков В.А., Пластинин Ю.А., Суржиков С.Т., Хмелинин Б.А. Об
измерении некоторых параметров атмосфер планет по излучению,
сопровождающему полет спускаемых аппаратов на участке
торможения//Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. №1. 1981. C.
36-45.
136. Surzhikov S.T., Gorelov V.A., Kireev A.Yu. Determination of trajectory
parameters and some parameters of planetary atmospheres by means of
spectral heat radiation generated by entering space vehicle//Proceedings of
International Workshop "Planetary Probe Atmospheric Entry and Descent
Trajectory Analysis and Sciences". 6-9 October 2003. European Space
Agency. 2004. SP-544. C. 93-100.
137. Surzhikov S.T. Numerical simulation of heat radiation generated by entering
space vehicle// AIAA Paper 04-2379. 2009. 11 p.
138. Бронштэн В.А. Физика метеорных явлений. М.: Наука. 1981. 416 с.
139. Стулов В.П., Мирский В.Н., Вислый А.И. Аэродинамика болидов. М.:
Наука, 1995. 236 с.
140. Смирнов В.А. Спектры кратковременных атмосферных световых
явлений: Метеоры. М.: Физматлит. 1994. 204 с.
141. Surzhikov S.T. TC3: Convective and Radiative Heating of MSRO for
Simplest Kinetic Models//Proceedings of the International Workshop on
Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry. Part II. 30
Sept.-1 Oct., 2005. Porquerolles, France. ESA SP-583. May 2005. P.55-62.
142. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений
производной к построению конечноразностных схем для расчета
разрывных решений газовой динамики// Ученые записки ЦАГИ. 1972.
Т.3. № 6. С. 68-77.
143. Millikan R.C., and White D.R. Systematic of Vibrational Relaxation// J. of
Chemical Physics. 1963. Vol.39. No.12. P.3209−3212.
144. Авдуевский В.С., Ашратов Э.А., Иванов А.В., Пирумов У.Г.
Сверхзвуковые неизобарические струи газа. М.: Машиностроение. 1985.
248 с.
145. Dieudonne W., Spel M., Charbonnier J.M. Modeling Sensitivity Analysis for
TC3// Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.161-170.
146. Rini P., Magin T., Degrez G., Fletcher D. Numerical Simulation Of Non
Equilibrium Hypersonic CO2 Flows For Mars Entry Applications//
Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.171-180.
147. Rouzaud O., Hylkema J., Verant J.-L., Tesse L. Development of the
PARAON Platform And ONERA Numerical Solvers For Gas Radiation//
Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High

Список литературы к части 1
348
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.181-188.
148. Riviere P., Soufiani A., Perrin M.-Y. Line By Line Statistical Narrow-Band
Calculations Of Radiative Transfer In Some Atmosphere Entry Problems//
Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.189-196.
149. Rouzaud O., Soubre T., Tesse L., et al. ONERA Activity On Testcase TC3//
Proceedings of the International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. Part II. 30 Sept.-1 Oct. 2005.
Porquerolles, France. ESA SP-583. May 2005. P.75-80)
150. Omaly P., Dieudonne W., Spel M. Synthesis And Analysis For Test Case 3
Second International Workshop On Radiation Of High Temperature Gas In
Planetary Atmosphere Entry// Proceedings of the International Workshop on
Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry. Part II. 30
Sept.-1 Oct. 2005. Porquerolles, France. ESA SP-583. May 2005. P.81-89.
151. Babou Y., Ph. Riviere, Perrin M.-Y., Soufiani A. Prediction of Radiative
Flux Distribution Over The Front Shield Of A Vehicle Entering Martian
Atmosphere.
-- Contribution To Test Case 3//Proceedings of the Second
International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in
Atmospheric Entry. 6-8 Sept., 2006. Rome, Italy. ESA SP-629. November
2006. (on CD).
152. Rouzaud O., Omaly P. ONERA-CNES Activities On TC3 Test Case 3//
Proceedings of the Second International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 6-8 Sept., 2006. Rome, Italy. ESA
SP-629. November 2006. (on CD).
153. Surzhikov S.T. TC3: Convective and Radiative Heating Of MSRO,
Predicted by Different Kinetic Models// Proceedings of the Second
International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in
Atmospheric Entry. 6-8 Sept., 2006. Rome, Italy. ESA SP-629. November
2006. (on CD).
154. Афонина Н.Е., Громов В.Г. Исследование на основе модели вязкого
ударного слоя течения в области торможения при входе космического
аппарата в марсианскую атмосферу// Институт Механики МГУ им.
М.В. Ломоносова. Препринт № 31-97. М. 1997. 73 с.
155. Surzhikov S., Omaly P. Two-Dimensional Radiative Gasdynamics of One of
Possible Shapes of the Exomars Space Vehicles// Proceedings of the 4th
European Workshop on High Temperature Gas Radiation at Atmospheric
Entry. 12-15 October. Lausanne, Switzerland. Available on CD and www-
page of European Space Agency.
156. Surzhikov S., Omaly P. Radiative Gasdynamics of Exomars at Angle of
Attack// Proceedings of the 4th European Workshop on High Temperature
Gas Radiation at Atmospheric Entry. 12-15 October. Lausanne, Switzerland.
Available on CD and www-page of European Space Agency.

Список литературы к части 1
349
157. Суржиков С.Т. Пространственная компьютерная модель неравновесной
аэрофизики спускаемых марсианских космических аппаратов//Журнал
«Вычислительная Механика Сплошных Сред». 2010. Т.4. № 4.
158. NASA's Exploration Systems Architecture. Final Report. NASA-TM-2005-
214062. November 2005. 758 p.
159. Новости космонавтики. 2008. Т.18. №9 (308). С.8-12.
160. Новости космонавтики. 2006. Т.16. №10 (285). С.12-13.
161. Новости космонавтики. 2010. Т.20. №9 (332). С.25.
162. Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика спускаемых
космических аппаратов больших размеров// Теплофиз. Высоких
Температур. 2010. Т.48. №6. С.956-964.
163. Фей Ж., Риддел Ф. Теоретический анализ теплообмена в передней
критической точке, омываемой диссоциированным воздухом// В кн.
Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. М.:
Изд-во Иностранной литературы. 1962. С. 190-228. (JAS. 1958. Vol.25.
No.2. P.73-85).
164. Surzhikov S.T. Non-Equilibrium Radiative Gas Dynamics of ORION Space
Vehicle// AIAA Paper 13-0231. 51st Aerospace Sciences Meeting including
the New Horizons Forum and Aerospace Exposition. 07-10 January 2013.
Grapevine (Dallas/ Ft. Worth Region), Texas, USA. 30 p. DOI:
10.2514/6.2013-66.
165. Dunn M.G. and Kang S.W. Theoretical and Experimental Studies of Reentry
Plasmas// NASA CR 2232. April 1973.
166. Treanor C.E., Marrone P.V. Effect of Dissociation on the Rate of Vibrational
Relaxation// Phys. of Fluids. 1962. Vol. 5. No.9 . P. 1022-1026.
167. Park C. Review of Chemical-Kinetic Problems of Future NASA Missions, I:
Earth Entries// Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1993. Vol.15.
No.3. P.385-398.
168. Park C. Nonequilibrium Hypersonic Aerothermodynamics. Willey-Intersc.
Publication, J. Wiley & Sons. New-York (1990).
169. Marrone P.V., Treanor C.E. Chemical Relaxation with Preferential
Dissociation from Excited Vibrational Levels// The Physics of Fluids. 1963
Vol. 6. No.9. pp.1215−1221.
170. Djadkin A., Beloshitsky A., Shuvalov M., Surzhikov S. Nonequilibrium
Radiative Gasdynamics of Segmental-Conical Space Vehicle of Large Size//
AIAA Paper 2011- 0453. 2011. 29 p.
171. Djadkin A., Beloshitsky A., Shuvalov M., Surzhikov S. Uncertainties in
Heating Predictions of Segmental-Conical Space Vehicle Resulting From
Data on Chemical and Physical Kinetics// AIAA Paper 2013-1056. 51st
Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and
Aerospace Exposition 07-10 January 2013. Grapevine (Dallas/ Ft. Worth
Region), Texas, USA. 43 p. DOI: 10.2514/6.2013-1056.
172. Власов В.И., Залогин Г.Н., Ковалев Р.В., Чураков Д.А. Лучисто-
конвективный теплообмен спускаемого аппарата с разрушаемой

Список литературы к части 1
350
тепловой защитой// Электорнный журнал «
Физико-химическая
кинетика в газовой динамике». 2012. 17 с.
173. Cauchon D.L. Radiative Heating Results From the FIRE II Flight
Experiment at Reentry velocity of 11.4 km/s// NASA TM X-1402.
174. Olynick D.R., Henline W.D., Hartung L.C., and Candler G.V. Comparison
of Coupled Radiative Flow Solutions with Project Fire-II Flight Data//
JTHT. 1995. Vol.9. No.4. P. 586-594.
175. Johnston C.O., Hollis B.R., Sutton K. Nonequilibrium Stagnation-Line
Radiative Heating for Fire-II// JSR. 2008. Vol. 45. No.6. P.1185-1195.
176. Surzhikov S.T., Shang J.S. Numerical Rebuilding of Fire-II Flight Data With
the Use of Different Physical-Chemical Kinetics and Radiation Models//
AIAA Paper 2013-0190. 51st Aerospace Sciences Meeting including the
New Horizons Forum and Aerospace Exposition 07-10 January 2013.
Grapevine (Dallas/ Ft. Worth Region), Texas, USA. 19 p. DOI:
10.2514/6.2013-190.
177. Агафонов В.П., Вертушкин В.К., Гладков А.А., Поляков О.Ю.
Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М.:
Машиностроение. 1972. С. 226.
178. Fenster S.J. Stagnation-Point Heat Transfer for a New Binary Air Model
Including Dissociation and Ionization // AIAA J. 1965. Vol. 3. No.12. P.
2189.
179. Tauber M.E., Sutton K. Stagnation-Point Radiative Heating Relations for
Earth and Mars Entries // J. Spacecraft. 1991. Vol. 28. No.1. P. 40.
180. Суржиков С.Т., Шувалов М.П. Тестирование расчетных данных по
радиационному и конвективному нагреву спускаемых космических
аппаратов нового поколения// Теплофиз. Высоких Температур. 2013.
Т.51. №3. С.456-470.
181. Surzhikov S.T., Shang J.S. Coupled Radiation-Gasdynamic Model for
Stardust Earth Entry Simulation// Journal of Spacecraft and Rockets. 2012.
Vol. 49. No.5. pp.875-888.
182. Суржиков С.Т. Исследование влияния кинетических моделей на
результаты расчетов радиационно-конвективного нагрева космического
аппарата в летном эксперименте FIRE-II// Химическая Физика. 2008.
Т.27. №10. 14. С.63-76.
183. Землянский Б.А., Лунев В.В., Власов В.И., Горшков А.Б., Залогин Г.Н.,
Ковалев Р.В., Маринин В.П., Мурзинов И.Н. Конвективный
теплообмен изделий РКТ. Руководство для конструкторов. - Королев:
ЦНИИМАШ. 210. 397 с.

ЧАСТЬ 2
ТРЕХМЕРНАЯ АЭРОТЕРМОДИНАМИКА
СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ

352
ГЛАВА 7
ТРЕХМЕРНАЯ (3D) РАДИАЦИОННО-ГАЗОДИНАМИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ АЭРОФИЗИКИ СПУСКАЕМЫХ КОСМИЧЕСКИХ
АППАРАТОВ
7.1. Введение
В данной главе представлена трехмерная радиационно-газодинамическая
модель спускаемых космических аппаратов, предназначенных для
исследования планет Солнечной системы и возвращения на Землю. Модель
основана на системе уравнений Навье-Стокса, уравнении сохранения энергии
в форме уравнения Фурье-Кирхгоффа для поступательной температуры,
системе уравнений сохранения энергии колебательных мод двух- и
трехатомных молекул и уравнения переноса селективного теплового
излучения в многогрупповом спектральном приближении.
Даны результаты двумерных и трехмерных расчетов неравновесного поля
течения, конвективного и радиационного нагрева поверхности космических
аппаратов различного назначения.
Расчеты выполнены с использованием компьютерных кодов NERAT-2D и
NERAT-3D, разработанных в ИПМех РАН, на регулярных многоблочных
криволинейных сетках.
Как уже отмечалось в первой части книги, создание вычислительных
моделей аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов (КА)
является важной составной частью научных программ изучения планет
Солнечной системы и возвращения на Землю. Значительные усилия
специалистов в области аэротермодинамики в последние годы сосредоточены
на совершенствовании и тестировании используемых моделей аэрофизики и
компьютерных кодов (verification), а также на подтверждении достоверности
получаемых результатов (validation). Важной составной частью этих усилий
является создание пространственных компьютерных кодов, ориентированных
на использование суперкомпьютеров и соответствующих вычислительных
технологий. Впечатляющие достижения последних лет в этой области
продемонстрированы в [1-11]. Теоретические основы современных моделей
были заложены в работах 60-80-х годов [12-27] (см. обширную
библиографию в этих работах).
Вместе с тем, следует подчеркнуть, что к настоящему времени модели
физико-химической кинетики и радиационного переноса отработаны для
прогностических целей в недостаточной степени. Особенно это относится к
неравновесным условиям и к условиям сильного радиационно-
газодинамического взаимодействия, что обуславливает значительную
неопределенность в предсказании радиационных и конвективных тепловых
нагрузок спускаемых космических аппаратов.

7.1 Введение
353
Компьютерные коды семейства NERAT (Non-Equilibrium Radiative Aero
Thermodynamics), разрабатываемые в ИПМех РАН с целью проведения
одномерных (1D), двумерных (2D) и
трехмерных (3D)
аэротермодинамических расчетов спускаемых космических аппаратов
подвергались многоуровневому тестированию, результаты которого
представлены в работах [1,28-42].
Одно из направлений современных исследований в аэрофизике
спускаемых аппаратов состоит в использовании указанных радиационно-
газодинамических кодов для тестирования и обоснования моделей
физической и химической кинетики колебательно и электронно-
возбужденных газов [43,44].
Одномерная
модель радиационно-газодинамических
процессов,
используемая для исследования неравновесного излучения ударных волн [28-
31,45] основана на уравнениях одномерной стационарной газодинамики, в
которых фронт ударной волны представляется в виде разрыва
газодинамических функций. Отличительной особенностью данной модели
является детальный учет многообразия физико-химических и радиационных
процессов за фронтом ударной волны. Как отмечалось, основная область
применения данной модели -- интерпретация экспериментов на ударных
трубах по неравновесной излучательной способности сильных ударных.
Однако, важной областью применения данной одномерной модели является
исследование различных физико-химических и радиационных элементарных
процессов, оказывающих влияние на излучательную способность ударных
волн.
Двумерные и трехмерные модели основаны на уравнениях Навье-Стокса,
(при необходимости учета особенностей турбулентного движения, трения и
теплообмена - усредненных по Рейнольдсу), системе уравнений диффузии
химических компонент в многокомпонентной смеси газов с учетом
неравновесных химических реакций, системе уравнений сохранения
колебательной энергии молекул (в многомодовом приближении), а также на
уравнении сохранения энергии поступательного движения в форме
уравнения Фурье-Кирхгофа и уравнении переноса селективного теплового
излучения. В работе [1] дано подробное изложение радиационно-
газодинамической модели, положенной в основу двумерных компьютерных
кодов NERAT(2D).
Система уравнений движения вязкого теплопроводного химически и
физически неравновесного газа была дополнена в [1] уравнением переноса
селективного теплового излучения, которая решалась в приближении слабого
радиационно-газодинамического взаимодействия, в котором предполагается,
что перенос теплового излучения не оказывает заметного влияния на
распределение температуры и поля скоростей. Это означает, что
радиационный нагрев поверхности космического аппарата может быть
рассчитан после решения аэротермодинамической части задачи. Уравнение

Глава 7. 3D РадГД модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
354
переноса теплового селективного теплового излучения решается с
использованием метода дискретных направлений (Ray-tracing method) [46] и
метода дискретных ординат [41]. Такое приближение оказывается вполне
обоснованным при решении задач о входе космических аппаратов в плотные
слои атмосферы Марса, однако, как будет показано ниже, актуальными
являются задачи, когда необходимо учитывать радиационно-
газодинамическое взаимодействие.
Отметим еще одно приближение, которое использовалось в более ранних
моделях. Термодинамические свойства газовой смеси рассчитывались с
использованием аппроксимаций, предложенных в [47]. Это означает, что
составляющая теплоемкости двух- и трехатомных молекул, обусловленная
колебательной энергией, рассчитывается в равновесном (больцмановском)
приближении для единой температуры поступательного и колебательного
движения, определяемой из условия локального термодинамического
равновесия. Тем не менее, колебательные температуры молекул N2, O2, NО,
CO2 (в последнем случае учитываются симметричная, деформационная и
несимметричная колебательная моды), CO находятся из решения уравнений
релаксации колебательной энергии [10,25,32,35,42,78,79]. В силу логической
противоречивости такой модели, пределы ее применения требуют
дополнительного исследования. Однако, анализ различных кинетических
моделей, выполненный в работе [35,36] показал, что учет разных
кинетических моделей и моделей неравновесной диссоциации в условиях
входа космических аппаратов Mars Sampler Return Orbiter (MSRO) и
Pathfinder не приводят к заметному расхождению расчетных данных.
Расчет свойств переноса многокомпонентных газовых смесей при
отсутствии ионизации выполнялся в рамках 1-го приближения теории
Чепмена-Энскога [48,49] с использованием простейших аппроксимационных
соотношений вида Уилки и Мейсона-Саксены [50]. Учет ионизации газа в
сжатом слое требует привлечения дополнительных моделей межчастичного
взаимодействия, а также повышения порядка приближения теории Чепмена-
Энскога. Недавно опубликованные данные по интегралам столкновений
частиц в ионизованных и диссоциированных газах [51,52] позволяют
проводить расчеты переносных свойств с хорошей точностью. Однако
заметим, что упрощенные модели, предложенные и исследованные в работах
[24,53] позволяют также получить хорошие результаты в двумерных и
трехмерных моделях.
Спектральная оптическая модель рассчитывалась с использованием
компьютерного кода ASTEROID [54-57], в котором реализованы
компьютерные модели квантовой механики и квазиклассической физики,
позволяющие предсказывать спектральные оптические свойства нагретых
газов и низкотемпературной плазмы (атомов, ионов, двух- и многоатомных
молекул) вплоть до температур ~ 100 000 К в спектральном диапазоне от
инфракрасной области (~20 мкм) до вакуумной ультрафиолетовой области (~
0.01 мкм).

7.1 Введение
355
Уже обсуждалось, что важным направлением современных исследований
является тестирование компьютерных моделей аэрофизики, при котором
изучаются свойства численных решений исследуемой системы уравнений,
особенности используемых численных алгоритмов, адекватность моделей
физической и химической кинетики, а также совместимость решений
уравнений систем уравнений, моделирующих процессы различной природы.
Так, значительная часть работы [1] посвящена обсуждению проблем
тестирования двухмерных расчетных кодов NERAT-2D. Даны результаты
расчета сферы радиусом 66 см вязким совершенным газом в широком
диапазоне чисел Маха. Выполнен анализ экспериментальных данных по
обтеканию модели сегментально-конического аппарата и модели аппарата
Pathfinder в импульсных аэродинамических трубах при ламинарном режиме
обтекания. С использованием полной модели химически и физически
неравновесного газа выполнены расчеты КА Pathfinder. Дано сопоставление с
расчетными данными других авторов [4,58,59]. Распределения плотностей
конвективных и радиационных тепловых потоков вдоль поверхности КА
MSRO проанализированы в предельных случаях каталитической и
некаталитической поверхности.
В работах [33,35,36,60] представлены результаты анализа влияния
конфигурации и подробности (число узлов, области сгущения и разряжения)
используемых конечно-разностных сеток на распределение конвективных
тепловых потоков вдоль поверхности КА MSRO.
Первые трехмерные расчеты обтекания космических аппаратов Exomars и
MSRO в приближении совершенного газа приведены в [39,40,60-62], а
трехмерные расчеты обтекания космического аппарата Fire-II под углом
атаки приведены в работе [7].
Основными этапами дальнейшего развития и исследования возможностей
компьютерных кодов семейства NERAT были следующие:
- Изучение особенностей неравновесной радиационной газовой динамики
марсианских космических аппаратов (сферической формы и КА Exomars)
[63-66],
- Радиационная газовая динамика крупномасштабных космических аппаратов
типа Orion [67],
- Задачи трехмерной радиационной газовой динамики космических
аппаратов, предназначенных для полета на Марс [63],
- Задачи двух- и трехмерной радиационной газовой динамики космических
аппаратов в атмосфере Земли [68-70].
Ниже представлены основные результаты реализации указанной
программы исследований. Сначала дается краткое описание используемой
компьютерной модели и замыкающих соотношений. Затем даются сведения
об используемых численных алгоритмах. Отдельно обсуждаются проблемы
выбора оптимальной топологии расчетных сеток.

Глава 7. 3D РадГД модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
356
Представлены результаты численного моделирования неравновесной
радиационной аэротермодинамики космических аппаратов с использованием
компьютерных кодов NERAT-2D и NERAT-3D.
Решены следующие задачи:
- О радиационно-конвективном нагреве космического аппарата простейшей
сферической формы в марсианской атмосфере, а также поверхности
разрабатываемого в Европейском космическом агентстве совместно с NASA
(США) космического аппарата Exomars;
- Приводятся результаты трехмерных расчетов обтекания химически и
физически неравновесным потоком излучающего газа космического аппарата
Exomars под углом атаки;
- Даны результаты расчетов крупномасштабных космических аппаратов
нового поколения в осесимметричных условиях обтекания и под углом атаки;
- Приводятся результаты трехмерных расчетов неравновесного обтекания
космических аппаратов при возвращении в атмосферу Земли в условиях
сверхорбитального входа.
7.2. Трехмерная вычислительная модель
Вычислительный код NERAT(3D), созданный для проведения
пространственных радиационно-газодинамических расчетов, реализует метод
установления. На каждом шаге фиктивного времени, являющегося по
существу итерационным параметром, интегрируются следующие группы
уравнений: уравнения неразрывности и Навье-Стокса, уравнения диффузии,
уравнение сохранения энергии совместно с уравнениями сохранения
колебательной энергии и уравнениями радиационного переноса в
многогрупповом приближении. Указанные уравнения имеют следующий вид
в трехмерном случае (анализ уравнений для двумерного случая дан в работе
[1]):
()
div
0
t
ρ
ρ
∂+=
∂
V,
(
1
)
() ()
2
div
div 2
3
up
u
u
tx
x
x
x
ρ
ρµ
µ
∂∂
∂
∂
∂
⎛⎞
+=
−
−++
⎜⎟
∂∂
∂
∂
∂
⎝⎠
VV
uw
u
yx
yzx
z
µµ
⎡⎤
⎛⎞
⎡⎤
∂∂
∂ ∂∂∂
⎛⎞
++
++
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
∂∂
∂∂∂
∂
⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠
⎣⎦
v
,
(
2
)
() ()
2
div
div 2
3
p
ty
y
y
y
ρ
ρµ
µ
⎛⎞
∂∂
∂
∂
∂
+=
−
−++
⎜⎟
∂∂
∂
∂
∂
⎝⎠
VV
vv
v
uw
x
xyzyz
µµ
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞ ⎛⎞
∂∂
∂ ∂∂∂
++
++
⎢⎥
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂
∂∂∂
∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎣⎦
⎣⎦
vv
,
(
3
)

7.2. 3D вычислительная модель
357
() ()
2
div
div 2
3
wp
w
w
tz
z
z
z
ρ
ρµ
µ
∂∂
∂
∂
∂
⎛⎞
+=
−
−++
⎜⎟
∂∂
∂
∂
∂
⎝⎠
VV
wu
w
x
xzyyz
µµ
⎡⎤
⎛⎞
⎡⎤
∂∂∂ ∂∂∂
⎛⎞
++
++
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
∂∂
∂∂∂
∂
⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠
⎣⎦
v,
(
4
)
()
grad div grad
grad
pp
Tp
ccT T
p
tt
ρρ
λ
∂∂
+=+
+
+
∂∂
VV
()
,
11
div
grad grad
ss
NN
vib
R
ii
pii
i
ii
Qh
c
D
Y
T
µ
ϖρ
==
+Φ+ −
−
+
⋅
∑∑
q
&
,
(
5
)
div
div
,1,2,,
i
ii
i
s
iN
t
ρ
ρϖ
∂+=
−
+
=
∂
VJ
&
K
(
6
)
()
,
,,
div
,1,2,,
mm
mmm
V
e
ee
mN
t
ρ
ρ
∂+=
=
∂
V
v
vv
&
K
,
(
7
)
()()() ()
,
,
J
Jj
ω
ωω
ω
κ
∂
+=
∂
r
rr
r
r
,
(
8
)
где
22
22
222
uw
u
xyz
x
y
µµ⎡
⎛⎞
⎛⎞
∂∂∂∂
∂
⎛⎞
⎛⎞
Φ=
+
+
+++
⎢
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂
∂
⎝⎠
⎝⎠
⎢
⎝⎠
⎝⎠
⎣
vv
22
22
3
wu
w
u
w
yz zx
xyz⎤
⎛⎞
⎛⎞
∂∂ ∂∂ ∂∂∂
⎛⎞
++++−+
+⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂ ∂∂ ∂∂∂
⎝⎠
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎦
vv
.
(
9
)
диссипативная функция; t - время; u, v, w -- проекции скорости V на оси x, y,
z;,
p ρ - давление и плотность; T -- поступательная температура; ,
µλ-
коэффициенты вязкости и теплопроводности; p
c - удельная теплоемкость
смеси газов при постоянном давлении;
,
s
N
pi
p
i
i
cY
c
=∑;
i
i
Yρ
ρ
=
- относительная
массовая концентрация компоненты i; , ,
pii
ch- удельная теплоемкость при
постоянном давлении и энтальпия i - ой компоненты; i
ϖ&
- массовая скорость
образования i -- ой компоненты в единице объема; i
D - эффективный
коэффициент диффузии i -- ой компоненты в смеси газов; ,
ii
ρ J - плотность и
массовый диффузионный поток i-ой компоненты;
grad
ii
i
DY
ρ
=−
J
;s
N-
число химических компонент в смеси газов; ,m
ev - удельная колебательная
энергия m-ой колебательной моды (все колебательные моды общим числом
V
N перенумерованы единым списком, так что m
ρ - плотность молекул, для
которых учитывается m-я колебательная мода); ,m
ev
&
- скорость изменения
удельной колебательной энергии m-ой колебательной моды за счет процессов
колебательно-поступательного (VT) энергообмена и за счет диссоционных и

Глава 7. 3D РадГД модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
358
рекомбинационных процессов; ( )
,
Jω r - спектральная интенсивность
излучения; - единичный вектор направления распространения излучения;
xyz
=++
ri j k- радиус-вектор точки в пространстве, в которой определена
спектральная интенсивность излучения,
,,
ijk- единичные орты
соответствующих осей прямоугольной декартовой системы координат,
()
ω
κ r - спектральный объемный коэффициент поглощения, ( )
jωr-
спектральный
объемный
коэффициент
испускания,
0
4 (,)
RdJd
ω
π
ω
∞
=Ω
∫∫
qr
ΩΩ - вектор плотности интегрального радиационного
потока. Заметим, что уравнение переноса селективного теплового излучения
записано для нерассеивающей среды, и в дальнейшем при расчете переноса
излучения будет предполагаться справедливой модель локального
термодинамического равновесия, так что, в соответствии с законом
Кирхгоффа:
() (),
b
jJ
ω
ωω
κ
=
rr
,
(
1
0
)
где ,
b
J ω - спектральная интенсивность излучения абсолютно черного тела
(функция Планка).
Используется упрощенная модель колебательной релаксации (
см.
уравнение (7)), в которой принимается в учет только поступательно-
колебательное взаимодействие и рождение (гибель) колебательных квантов в
процессах диссоциации-рекомбинации, а также считается незначительной
роль диффузионных процессов энергии колебательного возбуждения:
0,,
,(
)
,
(
)
mm
mi
m
m
i
m
m
ee
ee
ρϖ
τ
−
=−
vv
vv
&&
,
(
1
1
)
()
0
,
()
,
exp
1
m
m
im
m
m
R
eMT
θ
θ
=
⎡⎤
−
⎣⎦
v
V
,
(
1
2
)
где: 0,m
ev
- удельная колебательная энергия m-ой колебательной моды в
условиях равновесия, то есть ,
Vm
TT
=;,
Vm
T - колебательная температура m-ой
колебательной моды; m
θ,
()
im
M - характеристическая колебательная
температура m-ой колебательной моды и молекулярный вес молекулы, для
которой определена эта мода (см. таблицу П.1); ()
im
ϖ&
- массовая скорость
образования i-ой молекулы, для которой определена m-я колебательная мода.
Заметим, что соотношение (12) служит для определения колебательной

7.2. 3D вычислительная модель
359
температуры после нахождения парциальной колебательной энергии из
решения системы уравнений (1)-(7), (11),(12).
Граничные условия для приведенной системы уравнений отвечают
условиям невозмущенного газа в набегающем потоке и условиям прилипания
на поверхности космического аппарата. На границах расчетной области в
области возмущенного газового потока (всегда область сверхзвукового
течения) задавались граничные условия второго рода вдоль координатных
линий криволинейной системы координат, которые подстраивались к
характеру течения. Поверхность КА принималась либо каталитической, либо
некаталитической. На поверхности космического аппарата и в
невозмущенном газовом потоке колебательная температура во всех модах
полагалась равной температуре поступательного движения. Температура
поверхности определялась из условия плотностей потока радиационной
энергии, отходящей от серой поверхности со степенью черноты ε =0.8 , и
конвективного теплового потока, включающего теплопроводностную и
диффузионную составляющие.
7.3. Модели химической кинетики, релаксации, теплофизических и
переносных свойств
Константы равновесия химических реакций n
K (n=1,2,..., r
N;r
N - число
химических реакций, включенных в кинетическую модель) рассчитывались
по термодинамическим данным [47].
Модели химической кинетики и их сравнительный анализ при
использовании в компьютерных кодах неравновесной аэрофизики
космических аппаратов представлены в [42]. Во всех кинетических моделях
константы скоростей обратных химических реакций ,
rn
k были рассчитаны
по константам скоростей прямых реакций ,
fn
k:
,,
rn fn
n
kkK
=
.
(
1
3
)
Для этой цели использовался специально разработанный в ИПМех РАН
компьютерный код FERC (Forward-Equilibrium-Reverse-Constants). В
указанном компьютерном коде реализован алгоритм расчета констант
скоростей обратных химических реакций ,
rn
k , в котором исключается
возможность получения отрицательных энергий активации при пересчете по
формуле (13). Этот алгоритм состоял в следующем. Если при использовании
соотношения (13), где константы равновесия, а также скоростей n-ой прямой
и обратной реакции аппроксимируются обобщенной формулой Аррениуса
следующего вида:
exp
n
n
n
nnE
KA
TkT
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
,
()
,
(),
(),
(),
exp
frn
n
frn
frn frn
E
kA
TkT
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
,
(
1
4
)

Глава 7. 3D РадГД модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
360
не выполнялось условие , 0
rn
E > , то аппроксимирующие константы скорости
прямой реакции модифицировались так, чтобы
,0
rn
E=
. При этом
аппроксимационные коэффициенты константы равновесия считались
неизменными. Заметим, что такой пересчет можно сделать неединственным
образом. В рассматриваемом здесь случае незначительно модифицировались
энергии активации прямых реакций.
Использованные в расчетах модели химической кинетики двуокиси
углерода, смесей газов CO2-N2 и воздуха приведены в приложении.
Термодинамические функции вычислялись с использованием
аппроксимационных полиномов [47], общий вид которых приведен в разделе
1.2.При решении системы уравнений сохранения колебательной энергии для
каждой колебательной моды (7) учитывались процессы колебательно-
поступательной (VT) релаксации и изменения удельной колебательной
энергии за счет химических реакций (VC- процессы):
,,
,
(VT) (VC)
mm
m
ee
e
=+
vv
v
&&
&
.
(
1
5
)
Релаксационное изменение энергии в каждой колебательной моде
рассчитывалось по приближенной теории Ландау-Теллера [25,169]:
0,,
,(
)
(VT)
mm
mi
m
m
ee
e
ρ
τ
−
=
vv
v
&
,
(
1
6
)
()
0
v,
v,V
mm
ee
TT
==
− равновесная удельная энергия колебательного движения
в m-й колебательной моде i-го компонента; m
τ - характерное время
релаксации m-ой колебательной моды.
В соответствии с адиабатической теорией характерное время
столкновений частиц c
τ должно заметно превышать характерный период
колебаний молекул V
τ . Однако, в работе [25] показано, что при высоких
температурах (T>10 000 K) это условие не выполняется, поскольку время
между столкновениями становится настолько малым, что
V
c
ττ~1.
Отклонение от условий адиабатической теории приводит к неверному
занижению времени колебательной релаксации. Это явилось причиной
введения Парком [105] ограничения снизу на время VT-релаксации. Поэтому
время VT-релаксации m
τ рассчитывалось по рекомендациям Милликена и
Вайта [169] с поправкой Парка [105], ограничивающей величину m
τ снизу:
() ()
2
VT,( )
,()
,()
,()
()
1
,
50000
8
mi
m
i
mi
m
ti
m
i
m
T
Nk
T
M
ττ
σσ
σπ
′
=+
=
vv
v
, (17)
()
13
VT,( )
,()
,()
exp
18.42
im
VTim
VTim
pA
T
B
τ
−
⎡
⎤
=−
−
⎣
⎦,
(
1
8
)

7.3. Модели химической кинетики, релаксации и теплофизических свойств
361
0.5 1.333
VT,( )
()
0.00116
im
imm
A
ηθ
=
,
0.25
VT, ( ) 0.015
im
m
B
η
=
,
(
1
9
)
m
η - приведенная масса двухатомной молекулы, ()
im
M - масса молекулы i-го
компонента; t
N - полная концентрация всех молекул при заданных
температуре T и давлении р; ,( )
im
σv
- сечение столкновения колебательно-
возбужденной частицы.
Изменение колебательной энергии за счет протекания химических
реакций учитывалось по модели:
()
,
,
() ()
1
(VC) 2
m
m
im
im
ee
w
w
=−
vv
&&
,
(
2
0
)
где предполагалось, что уменьшение колебательной энергии в m-ой моде в
1см3 за 1 с пропорционально объемной скорости исчезновения молекул,
имеющих эту колебательную моду.
Диффузионный перенос энергии колебательного возбуждения молекул
учитывался за счет их диффузии, то есть плотность потока колебательной
энергии за счет диффузии определялась по формуле:
, V,() V,
V,( )grad
mi
m
mi
mi
ee
D
Y
ρ
=−
J
v
,
(
2
1
)
где V,()
im
D - эффективный коэффициент диффузии энергии колебательного
возбуждения, который принимался равным определенному выше
эффективному коэффициенту диффузии.
Как уже отмечалось, используемые в расчетах константы скоростей
диссоциации f D
kk
=
подвергались модификации с целью учесть
термическую неравновесность молекул. В первой их использованных
моделей неравновесной диссоциации, эвристической модели Парка [105] --
температура a
T , используемая в формуле (20) раздела 1.2, рассчитывалась
для каждой из колебательных мод по формуле:
,,
am
Vm
TT
T
=
,
(
2
2
)
где T - поступательная температура,
,
Vm
T - колебательная температура в m-ой
колебательной моде.
В других моделях неравновесной диссоциации использовалось следующее
представление констант скоростей диссоциации:
(,) ()(,)
D
VD
V
kTT kTZTT
=⋅
.
(
2
3
)

Глава 7. 3D РадГД модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
362
Фактор неравновесности (, )
V
Z TT рассчитывался с использованием трех
моделей: первой модели Тринора-Мэрроуна [146] и второй модели
Мэрроуна-Тринора [170] (с разными параметрами U, определяющими
закономерности диссоциации из возбужденных состояний).
В первой из указанных моделей:
()()( )
,,
,
DVD
T
V
m
kT
T kTZQQQ
=
,
(
2
4
)
()
()()
()
,,
m
TVm
V
QT QT
ZQQQ QT N
=
,
(
2
5
)
где N − число колебательных уровней, рассчитываемое как
0
V
D
NE
⎡⎤
=⎢⎥
∆
⎣⎦
,
где
V
E
∆ − разница энергии между двумя последовательными уровнями
(остается постоянной в рамках модели гармонического осциллятора).
Статистические суммы рассчитываются по соотношениям:
()
()
()
0
1e
x
p
exp 2,
,
1e
x
p
TV
V
V
DT
QT
T
T
T
T
θ
θ
∗
∗
∗∗
∗
−−
=−
=
−−
,
(
2
6
)
()
()
(),
0
0
,
1e
x
p
exp2,
1e
x
p
Vm
m
V
mV
m
m
Vm
V
m
TT
DT
QT
T
DT
T
T
θ
θ
θ
⋅
−−
=−
=
−−
−
.
(
2
7
)
В модели Тринора-Мэрроуна полагается, что вероятность диссоциации
молекул одинакова со всех колебательных состояний. В работе [170] была
предложена модификация рассмотренной выше модели неравновесной
диссоциации (т.н. вторая модель Мэрроуна-Тринора). В основу указанной
модификации было положено соображение, высказанное в более ранних
работах, о том, что вероятность диссоциации с более высоко расположенных
уровней энергии должна быть выше, чем с нижних уровней энергии. В
частности, этот факт учитывается в β-модели [171] и в модели Кузнецова
[172].
В работе [170] введена вероятность ( )
F V диссоциации с уровня V в
молекулярных столкновениях. Считается, что указанная вероятность
определяется структурой колебательных уровней молекулы и не зависит от
энергии столкновения. В этой модели Мэрроуна − Тринора [170] фактор
неравновесности задается в виде:
() ()
()()
()( )
()
()
()( )
()
,
exp
,
exp
fe
qVV
F
V
fe
q
V
V
V
kp
V
QT
EkT QTQT
ZTT kQ
T
p
VE
k
TQ
T
Q
U
−
==
=
−
−
.
(28)

7.3. Модели химической кинетики, релаксации и теплофизических свойств
363
где: 1111
FV
TTTU
=−
−
,
()1
exp
V
N
V
V
V
V
E
QT
kT
−⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑
,()1
0
exp
V
N
V
F
V
F
E
QT
kT
−
=⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
∑
,
U − подгоночный параметр, имеющий размерность температуры (изменяется
в пределах U=3-6).
В качестве контроля адекватности получаемых расчетных данных
использовалась модель Кузнецова [172].
Свойства переноса, а именно коэффициенты вязкости и теплопроводности
смеси газов вычисляются по следующим приближенными формулам [49,50]:
()
()
11
1
1
1, 1;
2
cc
c
NN
N
ii
i
i
ii
ii
i
Yx
x
µµ
λ
λλ
==
=
⎡⎤
==
+
⎢⎥
⎣⎦
∑∑
∑
(
2
9
)
()
5
2(
2
,
2
)
2,2
2
51
2.67 10
16
i
i
i
ii
ii
MT
kTm
µ
πσ
σ
−
∗
∗
==
×
Ω
Ω
, г/см⋅с,
(
3
0
)
()
3
2(
2
,
2
)
2,2
2
75
1
1
8330
64
i
ii
i
i
ii
kT
T
mM
λ
πσ
σ
∗
∗
==
Ω
Ω
, эрг/см⋅К,
(
3
1
)
где i
σ - эффективный диаметр столкновения, A;
()
(2,2)
ii
fT
∗
Ω=
- интеграл
столкновений; ii
Tk
T
ε
=
;,
ii
mM - масса частицы i-го сорта и ее
молекулярная масс; i
σ,i
ε - константы, характеризующие используемый
потенциал межчастичного взаимодействия Ленарда-Джонса [74].
Использованные в расчетах константы приведены в приложении.
Эффективный коэффициент диффузии i--ой компоненты рассчитывался по
формуле Уилки [49,50]:
()
1
c
i
iN
jij
ji
x
D
xD
≠
−
=∑ , см2/с,
(
3
2
)
а коэффициент диффузии парного взаимодействия определялся в первом
приближении теории Чепмена-Энскога [48]:
33
,
2(
1
,
1
)
,,
1
1.858 10
ij
ij
ij ijij
MM
DT
MM pσ
−
∗
+
=×
Ω.
(
3
3
)
Использовались также альтернативные комбинаторные соотношения
Уилке [50]:

Глава 7. 3D РадГД модель аэрофизики спускаемых космических аппаратов
364
,
1
s
s
N
i
N
i
kik
ki
x
x
µ
µ
=
=
Φ
∑∑,
,
1
s
s
N
i
N
i
kik
ki
x
x
λ
λ
=
=
Φ
∑∑,
2
1/4
,
1
221
ik
ki
ik
i
k
M
M
M
M
µ
µ
⎡
⎤
⎛⎞
⎢
⎥
+⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎣
⎦
Φ=
+
, (33)
однако заметного различия в распределениях концентраций компонент не
было обнаружено.
Интегралы столкновений рассчитывались по аппроксимационным
формулам следующего вида:
12
(1,1)
(2,2)
,1
,
2
,
ij
iji
i
TT
β
β
αα
−−
∗∗
Ω= Ω=
,
(
3
4
)
где:
()
,,
,
,
1
,,
2
ij
ijijij
ij
ij
kT
T
ε
εεσ
σσ
ε
==
=
+
,
1212
,,,
α αββ- аппроксимирующие константы, рекомендации по выбору
которых обсуждаются в работе [49,75].
В работах [51,52] представлены результаты недавних расчетов интегралов
столкновений, которые рекомендуются к использованию в практических
задачах аэрофизики.
В случае частично ионизованных газовых смесей вполне приемлемой
оказывается упрощенная модель, основанная на работах [24,53]. Для расчета
взаимодействия нейтральных частиц между собой используется потенциал
Ленарда − Джонса, а интегралы столкновений аппроксимируются в
соответствии с работой [75]:
()
()
0.1604
0.1615
(1,1)
(2,2)
1.074
,
1.157
ij
ij
ij
ij
TT
−−
∗∗
∗∗
Ω=
Ω=
.
(
3
5
)
Взаимодействие нейтральных частиц с заряженными описывается
моделью твердых сфер:
,
(1,1)
(2,2)
,,
,
1,
in
in
in
inQ
σ
π
∗∗
Ω=
Ω=
=
,
(
3
6
)
где
12 0.4
, 1.08 10
in
QT
−−
=×
см2, для взаимодействия ионов с нейтральными
частицами;
16
,91
0
en
Q
−
=× см2, для взаимодействия электронов с
нейтральными частицами.
При взаимодействии заряженных частиц между собой используется
искусственное ограничение радиуса действия сил:

7.3. Модели химической кинетики, релаксации и теплофизических свойств
365
()
()
2
2
2
(1,1)
(2,2)
2
4
ln14 14
1,
ln14
ij
ij
ij
ij
ij
ij
Y
Y
Y
Y
∗∗
+−
+
Ω=Ω =
+
,
(
3
7
)
{}
0
2,,
m
a
x
,
ij
e
i
i
e
D
ij
kT
YL
q
z
e
Lr
l
qq
==
=,
(
3
8
)
где e − заряд электрона; i
z − заряд иона (для положительных ионов
1, 2,
i
z=
K , для электрона
1
e
z=−);
2
8
De
rk
T
e
n
π
=
− радиус Дебая;
3
012
e
ln
=
− среднее расстояние между электронами.
Используя для числовых значений констант систему единиц СГСЭ, где
10
10
4.810СГС4.810Фр
e
−−
=×
≡×
,
16
1.38 10 ,эрг K
k
−
=×
, получим:
[]3
K
4.88 см
D
e
T
r
n
−
=
⎡⎤
⎣⎦
, см,
[][]
1198 K см
ij
YT
L
=
.
(
3
9
)
Эффективный радиус взаимодействия определяется по формуле:
() []()
24
2
ln14 8.3510
ln1 4
2K
ij
ij
ij
ij
ij
qq
zz
YY
kT
T
σ=+
=
×+
,
Å
.
(
4
0
)
В последующих главах приводятся и обсуждаются результаты трехмерных
расчетов обтекания марсианских космических аппаратов под углом атаки,
выполненных с изложенной здесь вычислительной моделью.

366
ГЛАВА 8
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
МАРСИАНСКИХ СПУСКАЕМЫХ АППАРАТОВ
8.1. Введение
В данной главе обсуждаются расчетные данные по конвективному и
радиационному нагреву космических аппаратов (КА) Pathfinder, Exomars,
Mars Science Return Orbiter (MSRO) и Mars Science Laboratory (MSL) при
входе в атмосферу Марса под углом атаки. Выполнено сравнение с
результатами аналогичных расчетов конвективного и радиационного нагрева
лобовой и подветренной поверхности КА в осесимметричной постановке.
Данные по радиационному нагреву ряда космических аппаратов получены
впервые, поэтому еще предстоит длительное тестирование представленных
расчетных данных. Выполнен анализ спектрального состава теплового
излучения достигающего поверхности марсианского космического аппарата,
который позволяет отметить смену режимов радиационного нагрева.
8.2. Общие закономерности радиационной газовой динамики
марсианских аппаратов
Применительно к атмосферам Марса и Венеры задачи радиационно-
конвективного теплообмена спускаемых КА решались ранее (начиная с 60-х
годов прошлого века) только для лобовой поверхности [17,21,80,81] с
использованием упрощенных уравнений динамики излучающего газа.
Необходимость в получении и анализе новых расчетных данных для всей
поверхности КА диктуется повышенными требованиями, предъявляемыми в
настоящее время к аэротермодинамическому проектированию спускаемых
КА. Реализация актуальных задач компьютерной аэрофизики обеспечивается
возможностью современных компьютеров и новых компьютерных
технологий, а так же развитием интегрированных моделей физической
механики [1].
В работах [1,17,21,80,81,82] расчетно-теоретическим путем были
получены важные данные об особенностях радиационно-конвективного
теплообмена КА в атмосферах состоящих из CO2 и N2 (атмосферы Марса и
Венеры, в разных процентных соотношениях). Среди примеров анализа
конвективного и радиационного нагрева всей поверхности КА сложной
формы укажем работы [1,32,35,83,84].
В данной главе суммируются указанные и полученные недавно данные по
конвективному и радиационному нагреву космических аппаратов при входе в
атмосферу Марса под углом атаки. Представленный расчетно-теоретический
анализ имеет ряд особенностей. Первой особенностью является расчет

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
367
конвективного и радиационного нагрева всей поверхности космического
аппарата, при его движении под углом атаки. Выполняется сравнение с
результатами расчетов конвективного и радиационного нагрева поверхности
марсианских космических аппаратов в осесимметричной постановке.
Ко второй особенности следует отнести представленный анализ
спектрального состава теплового излучения достигающего поверхности
космического аппарата, который позволяет отметить смену режимов
радиационного нагрева. На начальном участке траектории входа
радиационный нагрев происходит в видимой и ультрафиолетовой (УФ)
областях спектра, где излучают электронно-колебательные полосы
двухатомных молекул. По мере торможения КА максимум радиационного
нагрева смещается в инфракрасную (
ИК) область, где излучают
колебательно-вращательные полосы CO2.
В данной главе в трехмерной постановке решена система уравнений
движения вязкого, теплопроводного, химически неравновесного, селективно
излучающего и поглощающего газа. Для численного интегрирования
уравнений Навье − Стокса применяется AUSM (Advective Upwind Splitting
Method) конечно-разностная схема [76]. Полностью неявные конечно-
разностные схемы второго порядка точности применяются для численного
интегрирования уравнения сохранения энергии и диффузии компонентов
смеси газов, а также системы уравнений сохранения колебательной энергии
двух- и трехатомных молекул в модовом приближении. Указанные системы
уравнений интегрируются с использованием многоблочной многосеточной
технологии.
Численный метод реализован в компьютерной платформе NERAT-
ASTEROID,
предназначенной для
численного
моделирования
аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов с учетом
радиационного переноса энергии и неравновесных физико-химических
превращений [66]. Расчеты скоростей химических реакций и переноса
селективного теплового излучения проводились в рамках модели локального
термодинамического равновесия, т.к. в [1] показано, что для наиболее
теплонапряженных участков траектории марсианского входа влияние
процессов колебательной релаксации на конвективный нагрев КА
незначительно. Решение уравнений колебательной кинетики проводилось с
целью оценки степени неравновесности.
Спектральные и групповые свойства высокотемпературной смеси газов
сложного химического состава рассчитывались с использованием
компьютерного кода ASTEROID [55]. Спектральный коэффициент
поглощения представлялся в виде 97-ми групповой модели в спектральном
диапазоне волновых чисел ∆Ω 1000 150000
=
÷
см−1. При формировании
групповых спектральных характеристик объемный спектральный
коэффициент поглощения в молекулярных полосах усреднялся по
вращательной структуре в диапазоне
20
∆=
ω
см−1. В спектральном
диапазоне ∆Ω учитывались колебательно-вращательные полосы поглощения

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
368
молекул CO2, CO, электронно-колебательные полосы молекул CO, O2,
процессы фотодиссоциации молекул CO, O2. В силу малости ионизации
радиационные процессы с участием электронов не учитывались. Для расчета
плотности интегрального по спектру радиационного теплового потока к
поверхности применялся метод дискретных направлений (Ray-tracing
method). В каждой спектральной группе выполнялось интегрирование
уравнения переноса теплового излучения вдоль 160 лучей, испускаемых с
заданной точки поверхности. Конечно-разностная сетка вдоль луча строилась
методом регулярной выборки [1]. Спектральные коэффициенты поглощения
в колебательных полосах CO2 рассчитывались с использованием данных [85].
В предыдущих работах [32,35] было показано, что для оценки радиационного
и конвективного нагрева марсианских КА достаточно моделировать
атмосферу чистой двуокисью углерода.
Прежде чем приступить к подробному анализу данных по радиационной
аэротермодинамике марсианского входа различных космических аппаратов в
качестве примера приведем показательные результаты расчета двух точек
траектории КА Pathfinder. Траекторные данные (скорость полета V∞ ,
плотность ∞
ρ и давление p∞ на заданной высоте) приведены в [82].
Результаты расчетов температурного поля при обтекании КА Pathfinder в
точке траектории t=52 c (V∞ =7.36 км/с,
∞
ρ =5.76·10-8 г/см3, p∞ =15.56 эрг/см3)
показаны на рис.8.1 Расчеты проводились в полупространстве (z>0). Угол
атаки α =150 отсчитывался от положительного направления оси x против
часовой стрелки. Поверхность КА полагалась каталитической.
Представленные данные типичны для теплонапряженного участка
траектории входа КА. Вблизи лобовой поверхности КА образуется
высокотемпературный сжатый слой, профиль температуры в котором
является характерным для случая учета химических реакций в сжатом слое за
ударной волной. Быстрое возрастание на фронте ударной волны инициирует
процессы диссоциации, которые требуют затрат энергии, что приводит к
падению температуры в объеме сжатого слоя. Падение температуры в
пограничном слое вблизи поверхности обусловлено охлаждающим
воздействием на поток обтекаемой поверхности, температура которой
рассчитывается из условия равенства суммы плотностей конвективного и
интегрального по спектру радиационного потока энергии достигающего
поверхность и высвечиваемой поверхностью со степенью черноты ε в
окружающее пространство. Это так называемая равновесно-радиационная
температура. Температура поверхности в рассматриваемом случае -- T~ 1500
K, 0.8
=
ε
.
На рис.8.2 показаны распределения плотностей конвективных и
интегральных по спектру радиационных потоков вдоль поверхности КА для
двух точек траектории t=52 и 80 c (V∞ =4.72 км/с,
∞
ρ =8.53·10-7 г/см3, p∞ =282
эрг/см3). Наибольшая плотность конвективного теплового потока
w
q
наблюдается в вблизи передней критической линии тока (см. локальные

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
369
максимумы w
q на интервале продольной меридиональной координаты S < 20
см, отсчитываемой от точки 1 показанной на рис.8.1, по часовой стрелке).
Представленные данные по конвективному нагреву находятся в
удовлетворительном согласии с данными двухмерных расчетов [1,82].
Наблюдается также серия локальных максимумов конвективного нагрева в
окрестности задней критической линии тока, что определяется сложным
движением газа в области отрывного течения, образующегося за
подветренной стороной КА. Абсолютные величины этих локальных
максимумов существенно меньше, чем для лобовой поверхности.
Расчеты показывают, что для траекторной точки t=52 с температура в
сжатом слое у наветренной стороны поверхности достигает T ~ 7000 K.
Толщина сжатого слоя превосходит δ ~ 4 см, поэтому, несмотря на заметную
разреженность марсианской атмосферы, двуокись углерода успевает
полностью диссоциировать. В сжатом слое присутствуют в основном
продукты диссоциации двуокиси углерода: CO (~70%) и O (~30%). Высокая
температура в сжатом слое и значительное количество окиси углерода
являются причиной интенсивного высвечивания в видимой и ближней УФ
области спектра: в электронно-колебательных полосах CO ( 11
AX+
Π −Σ- 4-я
положительная система) в спектральном диапазоне волновых чисел
∆=
ω 30000-80000 см-1 и СО ( 1
BX
+
+
′Σ −Σ- полосы Хопфильда-Берджа) в
спектральном диапазоне ∆=
ω 74000-100000 см-1 [65].
Плотность интегрального по спектру радиационного теплового потока к
наветренной поверхности переднего аэродинамического щита при t=52 c
оказывается соизмеримой с плотностью конвективного теплового потока (см.
участок поверхности с продольными координатами 500 < S < 600 см).
Радиационный нагрев подветренной стороны поверхности КА оказывается
значительно меньше, но, тем не менее, превосходящим конвективный нагрев
(рис.8.2).
Температура вблизи подветренной стороны КА ниже ~ 500 K. Отрывное
течение за кромкой лобового щита приводит к резкому падению температуры
газа (рис.8.1), и, как следствие уровень радиационных тепловых потоков
здесь оказывается низким. Однако, как видно из рис.8.1, в области следа
сохраняется достаточно высокий уровень поступательной температуры T ~
2000 K. Расчеты показывают, что в этой области отсутствует
термодинамическое равновесие и температуры колебательного возбуждения
молекул CO2, CO и O2 отличаются от поступательной температуры. Большие
объемы нагретой смеси газов CO2 и CO являются причиной значительных
радиационных тепловых потоков к подветренной стороне КА в ИК области
спектра: в колебательно-вращательных полосах СО2, расположенных в
инфракрасной области (∆ω =2000-2395 см-1, ∆ω =3000-3765 см-1) и
колебательно-вращательных полосах СО ( ∆ω =1625-2350 см-1).
По мере торможения КА, например, в точке траектории t=80 с, V∞ =4.7
км/с, температура в сжатом слое падает до величины T~ 4000 К. При этом

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
370
существенно снижается степень диссоциации CO2. Следствием падения
температуры, увеличения концентрации CO2 и снижения концентрации CO
является снижение более чем на порядок плотности тепловых радиационных
потоков к наветренной стороне аэродинамического щита. Важно, что в
ближней и дальней частях следа плотность нагретой до T ~ 2000 К двуокиси
углерода увеличивается, что приводит к заметному увеличению
радиационного нагрева подветренной стороны поверхности КА в ИК области
спектра.
В свете рассмотренных закономерностей становятся понятными
распределения спектральных потоков излучения в разных точках на
поверхности КА (6 таких точек показаны на рис.8.1) и так называемых
кумулятивных функций интегральных радиационных потоков, показанных на
рис.8.3 и 8.4 для точек траектории t=53 с и 80 с. Кумулятивная функция
рассчитывалась по формуле:
min
,
Rr
Qq
d
=∫ω
ω
ω
ω,
где ,
r
q ω - плотность потока спектрального излучения к поверхности,
Вт·см/см2,
min
ω =1000 см-1.
В точках поверхности 1, 5 и 6, находящихся на наветренной стороне
лобового аэродинамического щита (см. координаты этих точек на рис.8.1),
интегральный радиационный тепловой поток формируется в УФ области
спектра. В точках поверхности 3 и 4 интегральный радиационный тепловой
поток формируется только в инфракрасной области спектра. В точке 2,
расположенной на подветренной стороне лобового аэродинамического щита,
радиационный нагрев осуществляется в ИК, видимой и УФ областях спектра.
Таким образом, в данной работе показано, что радиационный нагрев
лобовой поверхности КА Pathfinder обусловлен в основном испусканием
излучения в электронных полосах СО (четвертая положительная система
полос и полосы Хопфильда-Берджа), а подветренной стороны КА --
испусканием излучения в колебательно-вращательных полосах CO и СО2.
Выполненное сопоставление результатов расчета конвективного нагрева
поверхности КА с ранее полученными результатами [1,82] показало на
удовлетворительное согласие двухмерных и трехмерных расчетов. Однако
следует иметь в виду, что ограниченные компьютерные ресурсы не
позволяют создавать расчетные сетки необходимой подробности вдоль всей
поверхности КА. Так что следует ожидать некоторого занижения (до ~ 30%)
рассчитанной в трехмерном случае плотности конвективного теплового
потока по мере отхода от окрестностей критической линии тока к боковой
кромке лобового аэродинамического щита. Полученные плотности
конвективных потоков к подветренной стороны поверхности следует
рассматривать как оценочные.

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
371
Важно подчеркнуть, что проанализированные расчеты выполнены в
рамках модели локального термодинамического равновесия. Значительная
часть (
менее теплонапряженного участка) траектории торможения
марсианского КА приходится на участок разреженной атмосферы, поэтому
при дальнейшем совершенствовании расчетных кодов аэротермодинамики
марсианских аппаратов должны быть учтены эффекты неравновесности.
Рис. 8.1. Поле поступательной
температуры в точке
траектории КА Pathfinder
t=52 с и распределение узлов
поверхностной сетки в
меридиональной плоскости КА
(показаны выборочные точки).
Отдельно показано
местоположения 6-ти точек, в
которых рассчитывалась
спектральная плотность потока
радиационных тепловых
потоков и соответствующие
кумулятивные функции; x, y, z
- всм,Т--вК
,
wr
qq
, Вт/см2
S, см
Рис.8.2. Плотность
конвективных (сплошные
кривые) и радиационных
(пунктирные кривые)
тепловых потоков на
поверхности КА Pathfinder при
угле атаки α =150.
Продольная координата S
вдоль поверхности в
меридиональной плоскости
отсчитывается от точки «1»
(см. рис.8.1) по часовой
стрелке

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
372
,,
rr
qQ
ω
ω,см-1
Рис.8.3. Плотность спектральных радиационных потоков в 6-ти точках на
поверхности КА (серия кривых 1) и кумулятивные функции плотностей
радиационных потоков в этих же точках (серия кривых 2) для траекторной точки t=52
с. Маркеры различают номера точек на поверхности, местоположение которых
показано на рис.8.1
,,
rr
qQ
ω
ω,см-1
Рис.8.4. Плотность спектральных радиационных потоков в 6-ти точках на
поверхности КА (серия кривых 1) и кумулятивные функции плотностей
радиационных потоков в этих же точках (серия кривых 2) для траекторной точки t=80
с. Маркеры различают номера точек на поверхности, местоположение которых
показано на рис. 8.1

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
373
8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO с
использованием кодов NERAT(2D) и NERAT(3D)
Аэротермодинамика модели космического аппарата Mars Sampler Return
Orbiter (MSRO) изучается с использованием двумерного и трехмерного
компьютерных кодов NERAT(2D) и NERAT(3D). Выполнен анализ влияния
конфигурации многоблочных двумерных сеток на топологию поля течения в
двумерном случае. Представлены результаты сравнения расчетных данных
по конвективному нагреву поверхности модели MSRO с имеющимися
экспериментальными данными ЦАГИ. Приведены результаты исследования
влияния химических реакций в CO2 на конвективный нагрев этой модели для
условий эксперимента. Представлены и обсуждаются результаты
трехмерного численного моделирования по обтеканию модели MSRO под
углом атаки 15
=
°
α
.
Аэротермодинамика модели космического аппарата Mars Sample Return
Orbiter (MSRO, рис.1) исследовалась несколькими группами специалистов по
компьютерному моделированию [32,35,36,83-95]. В частности, в ряде
указанных работ было предсказано распределение конвективного и
радиационного теплового потока по поверхности данной модели. После
нескольких лет совместных усилий было достигнуто приемлемое согласие
этих результатов. Однако до настоящего времени остается ряд нерешенных
задач, что тормозит достоверное предсказание аэротермодинамики
космических аппаратов в новых условиях полета.
Недавно в ЦАГИ (в сотрудничестве с CNES) были выполнены
экспериментальные исследования конвективного нагрева модели
космического аппарата MSRO, что дает возможность дополнительного
тестирования существующих программных кодов. Пример такого
исследования показан на рис.8.6,8.7 (данные результаты опубликованы в
трудах 3-го Европейской конференции по излучению высокотемпературных
газов).
В данном разделе представлены некоторые результаты такого
тестирования компьютерных кодов NERAT(2D) и NERAT(3D). Исходные
данные таких расчетов отвечают условиям экспериментальных данных.
Компьютерные коды NERAT(2D) и NERAT(3D) использовались для
восстановления экспериментальных данных. Как уже отмечалось, исходные
данные расчетов отвечают условиям выполненных экспериментов:
5
, 1.907 10
x
V∞ =×
cm/s,
6
1.03 10
ρ
−
∞ =× g/cm3, 110
T∞= K,
214.0
p∞=
erg/cm3,
1.21
γ=
, 12.07
M=
,
5
Re 2.8 10
∞ =×.
Экспериментальные данные ЦАГИ позволяют получить представление о
конфигурации поля течения для различных углов атаки (см., например,
рис.8.6). В экспериментах измерен продольный размер области возвратного

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
374
течения в следе, распределение конвективных потоков вдоль всей поверхности
модели MSRO. Некоторые из этих данных показаны на рис.8.7 и 8.8.
На первом этапе было выполнено исследование влияния используемых
расчетных сеток на конфигурацию течения и на конвективный поток к
поверхности. Размеры космического аппарата MSRO показаны на рис.8.5.
Эти размеры были уменьшены в 28.33 раз по сравнению с реальным
исходным размером, так что радиус Миделя модели составлял m
R =6cm.
Рис. 8.5. Геометрия космического аппарата Mars Sample Return Orbiter
На втором этапе рассчитанные конвективные потоки к поверхности
сравнивались с экспериментальными данными.
Затем анализировалось влияние химических реакций в исследованном газе
(CO2) на поле течения и на величину конвективных тепловых потоков.
Типичная конфигурация расчетной сетки для двумерного случая показана
на рис.8.9 (слева).
На рис.8.9 и 8.10 показаны конфигурации поля течения (продольная
скорость x
V ) для трех, последовательно измельченных расчетных сеток.
Распределения плотностей конвективного теплового потока, полученные для
соответствующих сеток, показаны на рис.8.11 (слева). Представленные
данные демонстрируют хорошую сходимость сеточных функций на сетках
разной подробности.
На рис.8.12 и 8.13 показаны распределения чисел Маха, продольной
скорости и некоторых линий тока. С использованием этих данных несложно
оценить осевой размер зоны возвратного движения за задней поверхностью
модели космического аппарата. В рассматриваемом случае точка разделения
потока на оси симметрии имеет координату 9.5 см от основания модели.
На рис.11 (справа) показаны осевые распределения температуры вдоль
передней критической линии тока на разных расчетных сетках.

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
375
Рис. 8.6. Конфигурация поля течения в экспериментах ЦАГИ (В.Я.Боровой,
А.С.Скуратов)
-40
-20
0
20
40
0
5
10
15
q, w/cm2
S, mm
-S, mm
Рис.8.7. Распределение конвективных тепловых потоков вдоль наветренной стороны
модели MSRO. Экспериментальные данные ЦАГИ (В.Я.Боровой, А.С.Скуратов)
Сравнение распределений конвективных тепловых потоков, измеренных
на опыте (рис.8.7 и 8.8) и рассчитанных по компьютерному коду NERAT-2D,
можно выполнить, сопоставив рис. 8.7, 8.8 и 8.11. На наветренной стороне
модели вблизи критической линии тока совпадение вполне хорошее. В тоже
время, уровень конвективных тепловых потоков, предсказываемый расчетом

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
376
вблизи задней критической линии тока, превосходит экспериментально
измеренную величину в 2−3 раза. Одна из возможных причин такого
различия может быть связана с несовершенством расчетной сетки в донной
области модели. Другая причина может состоять в отсутствии симметрии
потока на задней поверхности в реальных условиях обтекания.
80
100
120
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
q, w/cm2
Base of heatshield Cylinder generatrix
140
160
180
Sensor 29
S, mm
Cylinder base
Рис.8.8. Распределение конвективных тепловых потоков вдоль подветренной
стороны модели MSRO. Экспериментальные данные ЦАГИ (В.Я.Боровой,
А.С.Скуратов)
Как уже отмечалось выше, расчеты обтекания модели MSRO в условиях
проведения эксперимента проводились не только в приближении
совершенного газа, но также с учетом протекания химических реакций. Были
учтены 18 химических реакций в СО2. Сопоставление результатов таких
расчетов, представленных на рис.8.9, 8.10 и 8.13, а также на рис.8.11 и 8.13,
свидетельствует о слабом влиянии химических превращений в данных
условиях.
Трехмерные расчеты с использованием компьютерного кода NERAT(3D)
сначала проводились для условий аналогичных двумерной осесимметричной
задачи (угол атаки 0
α =°). После этого проводились расчеты обтекания
модели под углом атаки 15
α=°
.
На рис. 8.14 показаны примеры конфигураций трехмерных сеток, которые
использовались в расчетах (в плоскости x−y). Поле продольной скорости,
полученное с использованием кода NERAT-3D при нулевом угле атаки,
показано на рис.8.15.
Как видно, расчетные сетки, использовавшиеся в двухмерном и
трехмерном случаях, были весьма различными. Тем не менее, рассчитанные
поля функций по кодам NERAT(2D) и NERAT(3D) весьма близки (сравните
рис.8.9 и рис.8.15). Отметим также, что размеры области возвратного течения
в следе за моделью остались практически неизменными. Вместе с тем,

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
377
x, cm
r, cm
05101520253035
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Vx
9.5E-01
9.2E-01
8.9E-01
8.6E-01
8.3E-01
8.0E-01
7.7E-01
7.4E-01
7.1E-01
6.8E-01
6.6E-01
6.3E-01
6.0E-01
5.7E-01
5.4E-01
5.1E-01
4.8E-01
4.5E-01
4.2E-01
3.9E-01
3.6E-01
3.3E-01
3.0E-01
2.7E-01
2.4E-01
2.1E-01
1.8E-01
1.5E-01
1.2E-01
9.5E-02
6.5E-02
3.6E-02
6.4E-03
-2.3E-02
-5.3E-02
-8.2E-02
-1.1E-01
-1.4E-01
-1.7E-01
-2.0E-01
Рис. 8.9.. Расчетная сетка (показана наиболее грубая сетка из 41×61х91, 81х121х181,
161х241х361). Продольная скорость x
V для сетки 41х61х91
Рис. 8.10. Продольная скорость x
V для сетках 81х21х181 и 161х241х361

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
378
S, cm
Qw, W/cm**2
0
5
10
15
10-3
10-2
10-1
100
101
102
S, cm
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
500
1000
1500
T,K
Рис.8.11. Распределения конвективного теплового потока вдоль поверхности модели
MSRO (41x61x91 (сплошная линия), 81x121x181 (длинные штрихи), 161x241x361).
Распределение температуры вдоль передней критической линии тока (41x61x91,
81x121x181, 161x241x361). Совершенный газ
Рис.8.12. Распределение чисел Маха и линии тока на сетке 41x61x91. Отчетливо
видны области малых чисел Маха, где направление потока меняет свое направление.
Эти области разграничивают подобласти вихревого движения

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
379
S, cm
Qw, W/cm**2
0
5
10
15
10-3
10-2
10-1
100
101
102
Рис.8.13. Слева: продольная скорость x
V на сетке 41x61x91. Справа: распределение
конвективных тепловых потоков вдоль поверхности модели (сетка 41x61x91).
Реальный газ
Рис.8.14. Примеры расчетных сеток, использовавшихся при трехмерном расчете MSRO (в
плоскости x−y).

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
380
Рис.8.15. Результаты пространственных расчетов продольной скорости x
V.
имеются и отличия в распределении сеточных функций, которые
объясняются, в первую очередь, различиями в используемых сетках.
На рис.18−21 показаны линии тока (рис.8.16, слева), температура
(рис.8.16, справа), продольная скорость (рис.8.17, слева), и чисел Маха
(рис.8.17, справа) при обтекании модели MSRO под углом атаки 15
α=°
.
На рис.8.18б показано векторное поле скоростей в донной области
течения. Из рис. 8.16-8.19 видно, насколько усложняется поле течения за
моделью сложной формы при ее обтекании под углом атаки. Этот факт
необходимо принимать в учет при интерпретации имеющихся
экспериментальных данных. В частности, несложно себе представить, что
державка модели вносит заметное искажение поля течения в этой области.
На рис.8.18а и 8.19 показаны распределения газодинамических функций в
двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
Важно отметить, что проведение специальных вычислительных
экспериментов на последовательностях измельчаемых расчетных сетках
показал, что на более подробных расчетных сетках возможно возникновение
дополнительных вихревых структур по сравнению с теми, которые
наблюдаются на более грубых сетках. Еще одним следствием измельчения
расчетных сеток являлось возникновение нестационарности получаемого
решения. В зоне отрывного и ближнего следа сходимости результатов к
стационарному решению не наблюдалось. Численные значения
определяемых газодинамических функций испытывали незатухающие
колебания.

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
381
Рис.8.16. Продольная скорость x
V ,линии тока и температура при 15
α=°
Рис.8.17. Продольная скорость x
V и числа Маха при 15
α=°

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
382
(а)
(б)
Рис.8.18. Продольная скорость x
V (а) и векторное поле скоростей в зоне отрывного
возвратно-вихревого движения (б) при 15
α=°
(а)
(б)
Рис.8.19. Температура (а) и давление (б) при 15
α=°

8.3. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
383
В целом можно констатировать, что выполненные численные
эксперименты
по
исследованию
особенностей распределения
газодинамических функций при обтекании модели космического аппарата
MSRO показали на хорошее соответствие результатов двухмерного и
трехмерного моделирования и на принципиальное усложнение поля течения
при обтекании MSRO под углом атаки. Показано, что компьютерные коды
NERAT(2D) и NERAT(3D) обеспечивают приемлемый для таких расчетов
уровень подробности описания аэротермодинамики модели космического
аппарата под разными углами атаки.
Расчеты аэротермодинамики модели MSRO выполнены также для
условий, реализованных в экспериментах ЦАГИ. Обнаружен ряд различий
между расчетными и экспериментальными данными.
Представленные в работе результаты расчетов поля течения под углом
атаки 15
α=°
дают общее представление об особенностях обтекания модели
сложной формы под углом атаки, по всей видимости, и включая
возникновение нестационарного течения.
Результаты предварительных расчетов показывают необходимость
дальнейшего детального исследования закономерностей пространственного
обтекания космических аппаратов сложной формы, подобной КА MSRO.
8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
некоторых марсианских зондов
В данном разделе анализируется радиационная аэротермодинамика
марсианских космических аппаратов Pathfinder, Exomars и Mars Science
Laboratory (MSL). Главным результатом этого исследования является
сопоставление типичных радиационно-газодинамических характеристик
спускаемых аппаратов различного класса и установление того
принципиального для марсианского атмосферного входа факта, что
интегральный радиационный нагрев подветренной поверхности указанных
спускаемых аппаратов превосходит соответствующий конвективный нагрев и
составляет величину порядка нескольких Вт/см2.
В продолжение краткого литературного обзора, представленного в разделе
8.1, ниже дан более детальный обзор работ, посвященных проблеме
аэротермодинамики космических аппаратов, предназначенных для
исследования Марса и Венеры.
Современные модели вычислительной аэрофизики спускаемых
космических аппаратов, входящих в плотные слои атмосферы с орбитальной
или сверхорбитальной скоростью основаны на моделях газовой динамики
термически и химически неравновесных газов [96]. Используются уравнения
Навье-Стокса (NS) или усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-
Стокса (RANS) в одномерной, двухмерной или трехмерной постановках.
Учитываются также процессы переноса селективного теплового излучения,

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
384
неравновесные процессы физической и химической кинетики, а также
различные модели турбулентного смешения. Как правило, такие модели
реализуются на многоблочных неоднородных конечно-разностных сетках
или на неструктурированных сетках разной топологии. Используемые модели
химической кинетики достаточно часто сопрягаются с моделями
гетерогенных химических процессов на твердых поверхностях или с
кинетикой процессов испарения и плавления. Важным компонентом
указанных вычислительных моделей являются электронные базы данных
физико-химической кинетики, термодинамических и переносных свойств, а
также спектральных оптических свойств.
Развитие таких вычислительных моделей и реализующих их
компьютерных кодов, их тестирование и аттестация применительно к
наземной аэротермодинамической отработке моделей спускаемых
космических аппаратов и предсказания нагрева спускаемых космических
аппаратов вдоль траектории входа являются важной составной частью
научных и инженерных программ реализуемых в различных космических
агентствах.
Аэрофизика марсианского входа имеет ряд специфических особенностей
по сравнению со входом в атмосферу Земли. Среди них:
- относительно низкая скорость атмосферного входа (~6-7 км/с),
- относительно более разреженная атмосфера,
- значительная роль радиационных процессов не только в ультрафиолетовой
(УФ) части спектра, связанных, как правило, с испусканием излучения в
электронно-колебательных полосах CO (полоса 4+), но и в инфракрасной
(ИК) области спектра, что связано с наличием интенсивных колебательных
полос CO2 и CO.
Следует отметить, что теоретический базис используемых в настоящее
время газодинамических моделей был заложен более 50 лет назад [23,97-107].
Условно прошедший период времени можно разделить на три части.
Первые исследования были посвящены экспериментальным измерениям
реальных теплофизических и оптических свойств смесей газов CO2-N2 [97-
108]. Первые теоретические исследования были выполнены также в 60-е −70-
е годы прошлого столетия [23,101,102,105].
С начала 90-х годов значительное число исследований опубликованных а
журналах Американского института по аэронавтике и астронавтике (AIAA)
были связаны с исследовательскими программами NASA, направленные на
исследование Марса [106-117].
Значительное число полученных экспериментальных и теоретических
данных [2,118-123] позволили сформировать достаточно полное
представление об аэротермодинамике марсианского входа. Эти данные были
использованы при успешной реализации марсианских программ NASA.
Быстрый рост производительности компьютеров и накопленный опыт
численного моделирования задач аэрофизики создал предпосылки нового
периода развития радиационной аэротермодинамики. Среди недавно

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
385
опубликованных работ автора книги на указанную тему отметим
[32,35,36,42,83,124-126]. Эти статьи представляют расчетные данные в двух-
и трехмерной постановках. Расчетные данные по конвективному нагреву
лобового аэродинамического щита и подветренной поверхности марсианских
зондов [2,117-123] были использованы для тестирования компьютерных
кодов NERAT, разработанных для решения данного класса задач [32].
Главной задачей данной работы является сопоставление расчетных
данных по радиационному и конвективному нагреву поверхностей
марсианских космических аппаратов Pathfinder, Exomars и MSL при их
движении по типичным для каждого аппарата траекториям.
Расчеты плотностей радиационных тепловых расчетов вдоль всей
поверхности космического аппарата выдвигают необходимость нахождения
полей газодинамических функций не только в сжатом слое, но и в области
возвратных отрывных течений и следа.
Важным этапом тестирования и аттестации (verification and validation)
радиационно-аэротермодинамических моделей и компьютерных кодов
является
сопоставление
получаемых расчетных данных
с
экспериментальными данными, а также расчетными данными других
авторов. [2,120-123]. К сожалению, число экспериментальных данных весьма
мало. Поэтому сравнительный анализ расчетных данных также является
одним из элементов процедуры тестирования собственных результатов.
Использованный в данной работе компьютерный код NERAT(3D),
включенный в компьютерную платформу NERAT+ASTEROID, использует
метод установления интегрирования уравнений механики сплошной среды на
неоднородных структурированных многоблочных сетках. На каждом шаге
вычислительной процедуры (аналог шага по времени при нестационарном
решении системы уравнений) последовательно решаются уравнения: Навье-
Стокса (или усредненных по Рейнольдсу уравнениях Навье-Стокса),
неразпывности, уравнения сохранения массы отдельных компонент смеси
газов, уравнение сохранения энергии поступательного движения смеси газов,
уравнения сохранения энергии в колебательных модах, а также уравнение
переноса селективного теплового излучения в многогрупповой постановке.
Уравнение сохранения энергии поступательного движения компонент смеси
газов решается в форме уравнения Фурье-Кирхгоффа.
Для расчета радиационного нагрева поверхности использовалось
несколько моделей. Уравнение переноса селективного теплового излучения
решалось в многогрупповом приближении [46]. Вычислительная реализация
многогруппового метода позволяет производить так называемые "line-by-
line" расчеты, что фактически означает, что рассматривается очень большое
число групп, достаточное для того, чтобы описать контуры отдельных
атомных линий и, при желании, отдельных вращательных линий. Число
спектральных групп в этом случае может достигать несколько миллионов. В
данной работе использовались модели усреднения молекулярного спектра по
вращательной структуре [46], что позволило ввести 99 неоднородных по

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
386
спектру групп, которые, тем не менее, достаточно подробно описывают
колебательную структуру спектра основных молекулярных компонент CO2,
CO, NO, N2.
Для расчета переноса излучения в неоднородном объеме вблизи лобовой
поверхности использовался метод полумоментов [46], отличительной
особенностью которого является возможность использования статистических
моделей атомного спектра совместно с процедурой интегрирования
уравнения переноса излучения по угловым переменным [127].
Использовалось следующее допущение относительно учета радиационно-
газодинамического взаимодействия в сжатом слое. Итерационное уточнение
поля температур и поля тепловых источников, обусловленных переносом
теплового излучения, проводилось только для области сжатого слоя у
лобового аэродинамического щита. В области отрывного течения и в следе
взаимосвязь температурного поля с радиационными характеристиками не
учитывалось. Неоднородный излучающий и поглощающий слой у лобовой
поверхности с хорошей точностью аппроксимируется моделью плоского
бесконечного слоя, так что метод полумоментов вполне адекватно подходит к
решению данной задачи. Впрочем, условия входа марсианских космических
аппаратов, рассматриваемых в данной работе, отвечают условиям слабого
радиационно-газодинамического взаимодействия.
После сходимости результатов расчета газодинамических полей для
определения плотности радиационного теплового потока на обтекаемой
поверхности применялся метод дискретных направлений (Ray-tracing method)
[1,66]. В рамках этого метода с элементарных площадок расположенных на
поверхности испускается конечное число лучей, пронизывающих весь
излучающий объем. Вдоль каждого из этих лучей решается уравнение
переноса излучений в пределах каждой спектральной группы.
Необходимость решения уравнения переноса теплового излучения во всей
возмущенной области образуемой спускаемым аппаратом в атмосфере
Марса, включая области ближнего и дальнего следа, состоит в том, что
испускание нагретой до температур 1000-2000 К смеси газов CO2, CO, N2
оказывается весьма заметным в суммарной тепловой нагрузке на
космический аппарат.
8.4.1. Начальные условия численного моделирования
Предварительные результаты численного исследования радиационной
аэротермодинамики марсианских космических аппаратов были получены в
работах [32,35,36,42,83,124-127]. Различные типы спускаемых аппаратов и
условий в набегающем потоке газа были проанализированы с целью
определения конвективной и радиационной тепловой нагрузки вдоль
траектории спуска. Исследованные условия в набегающем потоке
представлены в таблицах 8.1-8.4. Первая ссылка в списках литературы в
заголовках таблиц задают оригинальные литературные источники для этих

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
387
данных, а последующие ссылки -- указывают на работы, в которых приведены
результаты численного моделирования.
Численные результаты, полученные с использованием двухмерного кода
NERAT(2D) для четырех траекторных точек космического аппарата
Pathfinder (t=42 с, 52 с, 66 с, и 80 с) приведены в [124]. Было получено, что
лобовой аэродинамический щит нагревается в основном ультрафиолетовым
излучением с потоком R
q ~ 100 В/см2, в то время, как подветренная сторона
космического аппарата Pathfinder нагревается в основном инфракрасным
излучением, главным образом, за счет интенсивного испускания молекул CO2
в колебательно-вращательных полосах с типичной плотностью потока
излучения R
q ~ 2-5 В/см2. Плотности потоков спектрального теплового
излучения рассчитаны в шести точках на поверхности космического аппарата
в меридиональной плоскости (от передней до задней критической точек).
Для космического аппарата Exomars в двухмерной осесимметричной
постановке исследовались три траекторных точки, приведенных в таблице 2
(SC.1, SD.1, SD.2 [124]). Было показано, что благодаря относительно низкой
скорости входа Exomars подвергается относительно низкому радиационному
нагреву ( R
q ~50-60 Вт/см2). Однако, подветренная сторона поверхности
данного космического аппарата подвергается радиационному нагреву,
соизмеримому с нагревом подветренной поверхности КА Pathfinder ( R
q ~2-5
Вт/см2). Важным эффектом радиационного нагрева космических аппаратов в
атмосфере Марса является также возрастание плотности радиационного
теплового потока от критической точки к боковой кромке лобового щита
примерно в 2-3 раза.
Результаты некоторых трехмерных расчетов аэротермодинамики
космического аппарата Exomars представлены в [124] для одной траекторной
точки (SC.1). Конвективный и радиационный нагрев космического аппарата
Exomars под углом атаки α=150 рассчитан для каталитической и
некаталитической поверхностей. Было показано, что каталитические свойства
обтекаемой поверхности весьма важны для формирования конвективного
теплового потока и не столь значительны для формирования радиационных
тепловых потоков (в рассмотренных условиях).
Исследование указанных двух космических аппаратов было продолжено в
[133,134], где были рассмотрены сильно неравновесные условия полета
космического аппарата Pathfinder (t=40s) и две траекторные точки Exomars в
условиях близким к равновесным. В указанных статьях также
анализировались специфика конвективного нагрева в турбулентном потоке,
образующемся на поверхности КА Exomars.
Сравнительный анализ нагрева трех космических аппаратов,
предназначенных для посадки на Марс (Pathfinder, Exomars и одна из
конфигураций КА Mars Sample Return Orbiter (MSRO)) представлены в [134].
Изученные траекторные точки приведены в таблице 8.4. В указанной статье
содержатся данные по радиационному и конвективному нагреву MSRO под

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
388
углом атаки α=150 и скорости V∝=5.2 км/с. Эти расчетные данные
сравниваются с данными, полученными для КА Pathfinder (t=52 s, α=00 и
V∝=7.49 км/с), и для КА Exomars (траекторная точка SC.1, α=150 и V∝=4.22
км/с). Все указанные расчеты подтверждают вывод о весьма высоком уровне
радиационных тепловых потоков к подветренной стороне КА, в основном из-
за интенсивного излучения молекул CO2 . Типичная плотность
радиационного теплового потока достигает уровня R
q ~1-5 Вт/см2.
Многочисленные методические исследования, направленные на
совершенствование компьютерных моделей аэротермодинамики марсианских
КА были выполнены в работе [126]. В этой статье изучались различные
конфигурации расчетных сеток, а также выполнено сопоставление
двухмерных и трехмерных расчетов КА Exomars для траекторной точки SD.1.
Первые сопоставления конвективного и радиационного нагрева в
двухмерном и трехмерном расчетных случаях для КА Pathfinder (точка
траектории t=66 с, примерно соответствующая условиям максимального
нагрева) и MSL (точка траектории t=89 s) приведены в работе [135]. Как и
прежде, расчеты конвективного и радиационного нагрева выполнялись вдоль
всей поверхности КА (в меридиональной плоскости). И опять, было показано,
что радиационный нагрев подветренной стороны поверхности КА
превосходит конвективный нагрев.
Ниже представлены результаты расчетов, которые не анализировались
ранее, а также подводится итог данной стадии исследования радиационной
аэротермодинамики марсианских космических аппаратов.
8.4.2. Радиационная газовая динамика КА Pathfinder
На рис. 8.20 показано поле течения вблизи космического аппарата
Pathfinder под углом атаки 15
=
°
α
для исходных данных, приведенных в
табл.8.1. Расчеты были выполнены для полностью каталитической
поверхности. Отметим основные особенности данного режима обтекания.
Наблюдается ассиметричные распределения продольной скорости потока
(a), мольных долей CO (b) и CO2 (c), поступательной температуры (d), и анти-
симметричной колебательной температуры молекулы CO2 (
e), что
обусловлено полетом под углом атаки 15
=°
α
.
За кромкой лобового аэродинамического щита наблюдается развитое
отрывное течение, а также образование возвратно-вихревого движения в
верхней полусфере области над подветренной поверхностью КА.
Вследствие абсолютной каталитичности обтекаемой поверхности, в
сжатом слое над лобовым аэродинамическим щитом, а также в области
отрывного течения над подветренной частью поверхности наблюдается
возрастание массовых долей молекул CO2 и снижение массовых долей СО
(Рис.8.20c). За фронтом головной ударной волны высокая концентрация
молекул CO наблюдается из-за термической диссоциации молекул CO2.

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
389
Не обнаружено заметного влияния каталитических свойств обтекаемой
поверхности на плотность спектральных и интегральных радиационных
тепловых потоков к поверхности. Конвективный тепловой поток к абсолютно
каталитической поверхности превосходит примерно в два раза поток к
некаталитической поверхности.
Интегральный радиационный тепловой поток к подветренной поверхности
КА Pathfinder составляет величину порядка 1 Вт/см2 (рис.8.21а), поскольку
эта поверхность освещается инфракрасным излучением, порождаемым
колебательно-вращательными полосами молекул CO2 и CO от большого
объема нагретого газа. К счастью, в этой области течения формируется не
слишком большое давление. Тем не менее, колебательные полосы молекул
CO2 и CO хорошо идентифицируются на рис. 8.22а и б.
Кумулятивные функции интегральных радиационных тепловых потоков,
показанные на рис.8.22б показывают, что два спектральных диапазона дают
основной вклад в интегральный радиационный поток. Это диапазоны:
2000 3000
∆=÷
ω
см−1 и 50000 70000
÷
см−1. Колебательные полосы молекул
CO2 расположены в первом спектральном диапазоне, а электронная полоса
CO расположена во втором спектральном диапазоне.
Для определения местоположения контрольных точек, в которых
определяются кумулятивные функции, можно определить с использованием
рис. 8.21б (см. номера точек 1,36,71,106,141,171).
8.4.3. Радиационная газовая динамика КА Exomars
В этой части приводятся результаты трехмерных расчетов радиационной
аэротермодинамики КА Exomars в точке траектории SC.1 для угла атаки
α=150 (см. табл. 8.2). Анализ результатов двухмерных и трехмерных расчетов
для других траекторных точек, выполненных как в двухмерной
осесимметричной постановке, так и для трехмерного расчетного случая,
обсуждаются в [124,125]. Рисунок 8.23 показывает поля продольной
скорости, поступательной и одной из колебательных температур (для анти-
симметричной колебательной моды CO2), а также массовые доли CO2 и CO в
расчетной области.
Сравнение газодинамических полей в двухмерном (см. раздел 4.3 и 4.4) и
трехмерном расчетных случаях, показывает закономерное различие
результатов полученных при расчете обтекания космических аппаратов под
нулевым и ненулевым углом атаки.
Прежде всего, следует отметить следующие особенности поля течения у
космического аппарата под углом атаки:
− Торможение набегающего пока наблюдается, как и следовало ожидать,
вблизи нижней полусферы лобового аэродинамического щита и нижней его
кромки. Хорошо видно утолщение сжатого слоя в этой области течения;
− Крупномасштабное отрывное вихревое течение над подветренной
поверхностью космического аппарата смещается в верхнюю полусферу,

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
390
отслеживая направление потока, обтекающего космический аппарат.
Сравнивая полученную конфигурацию поля течения в трехмерном случае с
соответствующими осесимметричными полями, становится очевидной
усложнение структуры поля течения;
− В ближнем и дальнем следе наблюдаются флуктуации поля течения. В
расчетах это проявляется в отсутствии сходимости результатов
газодинамических расчетов именно в этой области течения. Если проследить
за эволюцией поля течения в следе, то легко обнаруживается периодичность
флуктуаций газодинамических функций, в то время, как в области сжатого
слоя у лобового аэродинамического щита и в непосредственной вблизи к
подветренной стороне поверхности наблюдается абсолютная сходимость
численных результатов;
− Рисунки 8.23г,д иллюстрируют степень температурной неравновесности в
рассмотренных условиях. Здесь показана только одна колебательная
температура, отвечающая анти - симметричной моде колебаний CO2. Другие
колебательные температуры отличаются от поступательной температуры
примерно в такой же степени. Подчеркнем, что до настоящего времени в
литературе отсутствуют сведения о неравновесном излучении, испускаемом
нагретой смесью марсианских атмосферных газов. Этот вопрос еще
предстоит исследовать;
− Рисунки 8.23b,c показывают распределение массовых долей CO и CO2 во
всей расчетной области. Отчетливо видно увеличение массовых долей CO2 и
уменьшение массовых долей CO вблизи поверхности, что соответствует
использованию приближения абсолютно каталитической поверхности;
− Подробное исследование влияния каталитических свойств поверхности
на ее радиационный нагрев предстоит исследовать в будущем. Физические
основания такого влияния очевидны: в зависимости от каталитических
свойств поверхности изменяются концентрации компонент смеси газов
вблизи нее, то при определенных условиях может оказать несомненное
влияние на распределение радиационных потоков вблизи поверхности. В
данной работе приведены только предварительные результаты этого
исследования. В нашем случае влияние каталитичности оказывается
практически незаметным, что объясняется тем, что при низких давлениях в
зоне отрывного течения в рассматриваемых условиях марсианского входа,
смесь газов оказывается оптически тонкой, и поток теплового излучения,
сформировавшийся в следе достигает поверхности практически без
изменения;
− На рис. 8.24a показано распределение конвективного и интегрального
радиационного теплового потока вдоль поверхности КА Exomars, при обходе
его поверхности в плоскости z=0. Координата вдоль поверхности
отсчитывается от точки №1, показанной на рис.8.24б, по часовой стрелке. Эта
точка расположена на нижней границе первого расчетного блока.
Приведенные данные демонстрируют факт превосходства конвективного
теплового потока над радиационным
на лобовой поверхности

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
391
аэродинамического щита и, наоборот, превосходство радиационного
теплового потока над конвективным на подветренной стороне КА. При этом
заметим, что абсолютные величины плотностей тепловых потоков сильно
зависят от траекторной точки (от условий в набегающем газовом потоке);
− В рассматриваемом расчетном случае основной вклад в интегральный
радиационный поток к поверхности вносит инфракрасный спектральный
участок. На рис.8.25а показаны спектральные радиационные тепловые
потоки, достигающие поверхности КА в шести точках, расположенных на
лобовой и задней поверхностях. Координаты этих точек устанавливаются с
использованием рис.8.24б. Хорошо видно из рис.8.25b, что инфракрасное
излучение порождаемое колебательными полосами CO2 и CO превосходит
все другие источники теплового излучения. В видимой и ближней
ультрафиолетовой областях спектра имеется незначительный вклад
излучения на лобовой поверхности КА.
8.4.4. Радиационная газовая динамика MSL
Космический аппарат MSL имеет наибольшие размеры из всех
исследованных ранее. Подробное исследование конвективного нагрева
космического аппарата MSL представлено в [120]. Трехмерный расчетный
код LAURA (Langley Aerothermodynamic Upwind Relaxation Algorithm) [137]
использовался в [120] для прогностических расчетов конвективного нагрева.
Для марсианских условий входа в компьютерном коде LAURA было принято
в учет 8 компонент газовой смеси (CO2, CO, N2, O2, NO, C, N, O).
Использовалась модель неравновесной химической кинетики предложенной
Парком в 1994 г. [138]. В этом коде используется конечно-объемный
алгоритм на структурированной сетке для решения уравнений Навье-Стокса.
Модель Роу используется для приближенного решения задачи о распаде
разрыва при расчете невязких потоков через границы расчетных ячеек
совместно с TVD схемой, разработанной Йее.
На границе использовались условия сверх каталитичности (абсолютной
каталитичности), т.е. задавались концентрации газовых компонент CO2 и N2
как в набегающем потоке: 0.97 и 0.03, соответственно. Такие граничные
условия обеспечивают наибольшую плотность конвективного теплового
потока к поверхности. Температура поверхности рассчитывалась из условия
равенства плотности конвективного потока, нагревающего поверхность w
q,
радиационному потоку, покидающему поверхность, то есть
4,
ww
r
a
d
e
q
u
i
l
qT
−
=εσ
,
где 0.9
=
ε
полусферическая степень черноты поверхности.
В [120] было подчеркнуто, что приводимая плотность теплового нагрева
поверхности отвечает только конвективному нагреву, а плотность
радиационных тепловых потоков полагалась пренебрежимо малой.
Расчетные данные, полученные в [120] были использованы для верификации
результатов трехмерных расчетов, выполненных в данной работе, которые

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
392
оказались весьма близкими. Однако, результаты данной работы показывают,
что пренебрегать радиационным тепловым потоком к подветренной части
поверхности нельзя, хотя плотность этих потоков является не слишком
большой (~ 1-3 Вт/см2).
На рис.8.26 показано рассчитанное поле течения при обтекании
космического аппарата MSL с абсолютно каталитической поверхностью под
углом атаки 11
=°
α
. Как и прежде, рысканьем космического аппарата
пренебрегалось, поэтому расчеты проводились в полупространстве z>0.
Представленные двумерные распределения построены в плоскости
симметрии Y0X. Отметим важные особенности полученных результатов.
Очевидная асимметрия в распределениях газодинамических функций
(продольная скорость (a), массовые доли химических компонент (б,в),
поступательная температуры (
г)) наблюдается благодаря полету
космического аппарата под углом атаки 11
=
°
α
.
Как и для других космических аппаратов, в рассматриваемом случае
наблюдается обширная область возвратно-вихревого движения над
подветренной стороной поверхности MSL. В зависимости от подробности
используемых расчетных сеток в этой области течения наблюдаются много
вихревые течения.
Наблюдаются значительные различия в распределениях массовых долей
химических компонент при использовании разных моделей поверхностной
каталитичности. При использовании предположения о некаталитической
поверхности вблизи нее наблюдается повышенная концентрация молекул CO
и малая массовая доля молекул CO2. В случае абсолютной каталитичности
поверхности наблюдается противоположная ситуация: большая массовая
доля CO2 и практически полное отсутствие молекул CO (Рис.8.26б,в).
Конвективный нагрев абсолютно каталитической поверхности примерно в
два раза превосходит нагрев некаталитической поверхности. Это типичный
разброс нагрева каталитической и некаталитической поверхностей.
Как и для космических аппаратов Pathfinder и Exomars в расчетах
радиационной аэротермодинамики MSL не обнаружено заметного влияния
каталитичности поверхности на плотность радиационных потоков к ней.
Причиной этому, как и ранее, является малая оптическая толщина газовой
смеси вблизи поверхности.
Несмотря на то, что скорость входа космического аппарата MSL
значительно меньше, чем у КА Pathfinder, радиационный нагрев его
поверхности превосходит нагрев поверхности Pathfinder. Типичная величина
плотности радиационных тепловых потоков к подветренной стороне
поверхности MSL составляет ~ 2-3 Вт/см2. Эта часть поверхности облучается
тепловым излучением, порождаемым колебательно-вращательными
полосами молекул CO2 и CO от большого объема нагретого газа.

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
393
(
a
)
(
б)
(
в)
(
г)
Рис.8.20. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α = ° (траекторная точка
66
t = с): a -- продольная скорость, молярная доля CO (b) и CO2 (c) для
каталитической поверхности; (г) -- поступательная температура, К

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
394
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
10-3
10-2
10-1
100
101
102
(
а)
(
б)
Рис. 8.21. Плотность конвективного теплового потока (квадратные маркеры) и
радиационного теплового потока (кружки) на каталитической поверхности КА
Pathfinder (траекторная точка 66
t = с) (a); б -- местоположение контрольных точек на
поверхности
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
N= 1: Npnt1= 1, S1/Ssurf= 0.000E+00
N= 36: Npnt2= 8, S2/Ssurf= 0.168E+00
N= 71: Npnt3= 15, S3/Ssurf= 0.378E+00
N=106: Npnt4= 22, S4/Ssurf= 0.538E+00
N=141: Npnt5= 29, S5/Ssurf= 0.787E+00
N=171: Npnt6= 35, S6/Ssurf= 0.980E+00
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
0
0.5
1
1.5
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
N= 1: Npnt1= 1, S1/Ssurf= 0.000E+00
N= 36: Npnt2= 8, S2/Ssurf= 0.168E+00
N= 71: Npnt3= 15, S3/Ssurf= 0.378E+00
N=106: Npnt4= 22, S4/Ssurf= 0.538E+00
N=141: Npnt5= 29, S5/Ssurf= 0.787E+00
N=171: Npnt6= 35, S6/Ssurf= 0.980E+00
(
а)
(
б)
Рис. 8.22: Плотность спектральных радиационных тепловых потоков (b) и
кумулятивная функция (c) для шести контрольных точек на каталитической
поверхности КА Pathfinder. Угол атаки 15
α=°
Излучение этих колебательных полос хорошо идентифицируется на рис.
8.28а,б, где приведены спектральные плотности потока излучения к отдельным
элементарным площадкам на поверхности MSL, а также кумулятивные
функции распределения плотностей спектральных радиационных потоков в
отдельных точках на поверхности спускаемого аппарата. Местоположение
этих точек на поверхности устанавливается с помощью рис.8.27б

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
395
(a)
(
б)
(
в)
(
г)
(
д)
Рис.8.23: Поле течения у КА Exomars под углом атаки 15
α = ° (траекторная точка
SC.1): a -- продольная скорость, молярная доля CO (б) и CO2 (в) для каталитической
поверхности, г -- поступательная температура, д -- колебательная температура анти-
симметричной моды колебаний CO2

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
396
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
103
1
18
25
29
33
37
41
51
60
64
68
72
76
80
85
94
106
112
116
120
124
128
132
138
151
155
159
163
167
172
x, cm
y, cm
0
100
200
-150
-100
-50
0
50
100
150
(
а)
(
б)
Рис. 8.24: Плотность конвективного теплового потока (квадратные маркеры) и
радиационного теплового потока (кружки) на каталитической поверхности КА
Exomars (траекторная точка SC.1) Угол атаки 15
α = ° (а); б -- местоположение
контрольных точек на поверхности
Wavenumber , 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
N= 1: Npnt1= 1, S1/Ssurf= 0.000E+00
N= 36: Npnt2= 8, S2/Ssurf= 0.166E+00
N= 71: Npnt3= 15, S3/Ssurf= 0.374E+00
N=106: Npnt4= 22, S4/Ssurf= 0.539E+00
N=141: Npnt5= 29, S5/Ssurf= 0.784E+00
N=171: Npnt6= 35, S6/Ssurf= 0.983E+00
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
0
1
2
3
4
5
6
123456
Integral Radiation Flux, W/cm**2
N= 1: Npnt1= 1, S1/Ss urf= 0.000E+00
N= 36: Npnt2= 8, S2/Ssurf= 0.166E+00
N= 71: Npnt3= 15, S3/Ssurf= 0.374E+00
N=106: Npnt4= 22, S4/Ssurf= 0.539E+00
N=141: Npnt5= 29, S5/Ssurf= 0.784E+00
N=171: Npnt6= 35, S6/Ssurf= 0.983E+00
(
а)
(
б)
Рис. 8.25. Плотность спектральных радиационных тепловых потоков (а) и
кумулятивная функция (б) для шести контрольных точек на каталитической
поверхности КА Exomars. Угол атаки 15
α=°
В заключение данного раздела отметим, что в результате систематических
радиационно-газодинамических расчетов установлено, что радиационный
нагрев подветренной части поверхности марсианских космических аппаратов
оказывается весьма заметным в суммарном энергетическом балансе.
Типичная плотность радиационных тепловых потоков к подветренной
стороне поверхности достигает 1-5 Вт/см2.
Полученные в данной работе величины плотностей конвективных
тепловых потоков хорошо совпадают с расчетными данными для КА
Pathfinder [117,118] и Mars Science Laboratory [119].

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
397
(
a
)
(
b
)
(
c
)
(
d
)
Рис. 8.26: Поле течения у КА MSL под углом атаки 11
=
°
α (траекторная точка t=80
с): a -- продольная скорость, молярная доля CO (b) и CO2 (c) для каталитической
поверхности, d -- поступательная температура, e -- колебательная температура CO2
для анти-симметричной моды; f -- местоположения контрольных точек на
поверхности

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
398
S, cm
Q, W/cm2
0 100 200 300 400 500 600 700 800
10-2
10-1
100
101
102
1-Qw,t=50s
2-Qr,t=50s
3-Qw,t=89s
4-Qr,t=89s
5-Qw,t=113s
6-Qr,t=113s
(
а)
(
б)
Рис. 8.27. Плотность конвективного теплового потока (квадратные маркеры) и
радиационного теплового потока (кружки) на каталитической поверхности КА MSL
(траекторная точка t=80 с) (a). Угол атаки 11
=
°
α
. (б) -- местоположение
контрольных точек на поверхности
Wavenumber , 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
N= 1: Npnt1= 1, S1/Ssurf= 0.000E+00
N= 51: Npnt2= 6, S2/Ssurf= 0.102E+00
N=101: Npnt3= 11, S3/Ssurf= 0.284E+00
N=151: Npnt4= 16, S4/Ssurf= 0.527E+00
N=201: Npnt5= 21, S5/Ssurf= 0.803E+00
N=241: Npnt6= 25, S6/Ssurf= 0.968E+00
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
0
1
2
3
4
5
123456
Integral Radiation Flux, W/cm* *2
N= 1: Npnt1= 1, S1/Ssurf= 0.000E+00
N= 51: Npnt2= 6, S2/Ssurf= 0.102E+00
N=101: Npnt3= 11, S3/Ssu rf= 0.284E+00
N=151: Npnt4= 16, S4/Ss urf= 0.527E+00
N=201: Npnt5= 21, S5/Ssurf= 0.803E+00
N=241:Npnt6=25,S6/Ssurf=0.968E+00
(
а)
(
б)
Рис. 8.28. Плотность спектральных радиационных тепловых потоков (а) и
кумулятивная функция (б) для шести контрольных точек на каталитической
поверхности КА MSL. Угол атаки 11
=
°
α

8.4. Сравнительный анализ радиационно-конвективного нагрева
399
Таблица 8.1. Траекторные точки для КА Pathfinder [109,124]
Время, с
∞
ρ, г/см3 p∞,эрг/см3 V∞,км/с T∞,K
40
8
0.724 10−
×
1.660
7.496
122
42
8
1.01 10−
×
2.462
7.490
129
52
8
5.76 10−
×
15.56
7.364
143
66
7
2.80 10−
×
89.41
6.596
169
80
7
8.54 10−
×
282.0
4.717
175
Таблица 8.2. Траекторные точки для КА Exomars [124,125]
∞
ρ, г/см3 p∞,эрг/см3V∞,км/сT∞,K
SC.1
7
6.838 10−
×
200.3 4.922 195
SC.2
6
1.069 10−
×
324.6 4.474 194
SD.1
7
3.708 10−
×
137.4 4.878 158
SD.2
7
5.534 10−
×
205.9 4.489 153
Cold 94.1
6
1.186 10−
×
352.8 3.842 155
Storm90.1
7
1.911 10−
×
77.3 5.268 211
Таблица 8.3. Траекторные точки для КА MSRO [35,36,43]
№ Время,с ∞
ρ, г/см3 p∞,эрг/см3V∞,км/с T∞,K
170
8
3.14 10−
×
8.4
5687 140
2 115
7
2.93 10−
×
78.7
5223 140
3 175
7
3.07 10−
×
82.3
3998 140
4 270
8
2.82 10−
×
7.6
3536 140
Таблица 8.4. Исходные данные для расчетов КА MSL [119,125]
Время,сh,км ∞
ρ, г/см3p∞,эрг/см3V∞,км/с T∞,K
50 68.3 4.71×10-9 1.29
5.54 145
70 47.7 7.63×10-8 21.5
5.48 149
80 38.3 2.10×10-7 64.3
5.31 162
89 31.0 4.74×10-7 150.
4.98 179
103 22.3 1.05×10-6 377.
4.10 189
109 19.6 1.44×10-6 517.
3.63 190
113 18.0 1.48×10-6 534.
3.32 191
137 14.2 2.43×10-6 886.
1.95 193

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
400
8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
Для исследования радиационной аэротермодинамики космического
аппарата Pathfinder, использовались различные многоблочные конечно-
разностные сетки "O"- и "C"- типов. Примеры расчетных сеток,
использованных в двухмерных расчетах даны в разделе 1.3. Методические
рекомендации по способам и проблемам построения двухмерных и
трехмерных сеток подобного типа приведено в работе [138].
Все расчеты проводились с применением многосеточной технологии, в
соответствии с которой решение находилось на последовательных трех
сетках. На предварительной (
наиболее грубой) сетке получалось
сходящееся решение, которое уточнялось на промежуточной сетке.
Анализ динамики погрешностей расчета отдельных функций на двух
указанных сетках давал информацию о необходимости дополнительного
расчета на итоговой подробной сетке. Каждая последующая сетка
получалась удвоением числа узлов предыдущей сетки вдоль каждого
координатного направления.
Пример одной из предварительных двухмерных сеток показан на
рис. 1.2. Здесь показана одна из двух простейших используемых
топологий конечно-разностной сетки, состоящей из трех блоков. Первый
блок
конечно-разностной сетки расположен у переднего
аэродинамического щита. В этом блоке имеется три подобласти (см.
рис.1.2): вблизи сферического затупления у критической линии тока (1.1),
над конической поверхностью (1.2) и вблизи боковой торообразной
границы плавного сопряжения передней и задней конических
поверхностей (1.3). Второй блок конечно-разностной сетки состоит из
двух подобластей -- вблизи задней конической поверхности (2.1) и над
задним днищем космического аппарата (2.2). И, наконец, третий блок --
замыкает расчетную область, позволяя численно исследовать течение в
дальнем следе. Заметим, что в каждом блоке и в каждой подобласти
используются неоднородные конечно-разностные сетки с требуемым
сгущением вблизи поверхности или границы блоков.
В трехмерном случае использовалась аналогичная топология расчетной
сетки с той разницей, что для описания геометрии осесимметричных
космических аппаратов, вводились дополнительные расчетные блоки,
включающие в себя ось симметрии. Первая (девятиблочная) конфигурация
трехмерной сетки в плоскости симметрии z=0 показана на рис.8.29а. А на
рис.8.30 показана сетка на передней и задней поверхностях космического
аппарата. Введение дополнительного блока позволяло избежать
особенностей решения при приближении к оси симметрии в случаях
обтекания космического аппарата под углом атаки.

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
401
(а)
(
б)
Рис. 8.29. Первая и вторая конфигурация расчетной сетки для трехмерного
моделирования КА Pathfinder и Exomars; x, y -- в см
(а)
(б)
Рис.8.30. Поверхностная сетка на лобовой и задней поверхностях при трехмерных
расчетах;x,y,z--всм
Вторая конфигурация расчетных сеток показана на рис.1.3б в
двухмерном случае и на рис. 8.29б в трехмерном случае. Сетки второй
конфигурации также допускают адаптацию областей сгущения узлов к
форме ударной волны. Типичное число узлов в двухмерном случае для

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
402
начальной сетки составляло 7000-25000, а в трехмерном случае ~ 105
узлов.
Отметим преимущества и недостатки указанных типов расчетных
сеток. К преимуществам многоблочных конечно-разностных сеток
относится аккуратное описание областей течения, связанных с
локальными особенностями обтекаемых поверхностей. Использование
аналитических методов построения сеток в таких блоках оказывается
весьма простым и легко программируемым. Очевидно, что чем меньше
искажаются координатные линии в отдельно взятом блоке, тем более
однородным (следовательно - с меньшими численными погрешностями)
удается построить якобиан преобразования от исходной системы
координат к преобразованной расчетной системе координат. Для блоков
простейшей формы удается применять аналитические преобразования.
Введение группы примерно одинаковых по числу узлов расчетной сетки
блоков позволяет с высокой эффективностью использовать
многопроцессорные компьютеры.
К недостаткам использования многоблочных конечно-разностных
сеток относятся, в первую очередь, сложность реализации граничных
условий на стыках блоков, что с неизбежностью приводит к
дополнительным погрешностям определения здесь искомых функций.
Формулировка граничных условий на стыках трудно формализуема, в
особенности в трехмерном случае, что приводит к усложнению
соответствующих
программных
модулей.
Трудоемкость
программирования в этом случае заметно возрастает.
Ниже представлены результаты пространственных расчетов
радиационной аэротермодинамики КА Pathfinder под углом атаки.
Атмосфера Марса моделировалась чистой двуокисью углерода.
Использованная кинетическая модель приведена в приложении 8.
Главной задачей данного раздела является анализ типичных
результатов
пространственных
расчетов
радиационной
аэротермодинамики марсианского космического аппарата под углом атаки
и изучение влияния каталитических свойств поверхности на
интенсивность конвективного и радиационного нагрева.
На рис.8.31-8.36, 8.37-8.42 и 8.43-8.48 приведены результаты расчетов
газодинамических функций и массовых концентраций, поступательной и
колебательных температур, а также массовых долей молекул CO2 и CO
для траекторных точек t=52 c, 66 c и 80 c соответственно. Траекторные
параметры в этих точках даны в табл.8.1. Распределения массовых
концентраций молекул CO2 и CO приведены для некаталитической и
каталитической поверхности.
Выполненные численные эксперименты показали, что влияние
каталитичности
обтекаемой поверхности
на распределения
газодинамических функций незначительно. Поэтому здесь приведены

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
403
поля чисел Маха и трех проекций скорости только для случая
некаталитической поверхности.
Влияние каталитичности поверхности на температурные распределения
несколько проявляется в области пограничного слоя, поэтому на
пространственных распределениях, показанных на рисунках, это влияние
идентифицируется также слабо.
Что касается полей массовых концентраций CO2 и CO, то влияние
каталитичности хорошо видно на рис. 8.35 и 8.36, 8.41 и 8.42, а также 8.47
и 8.48. В случае некаталитической поверхности в следе за обтекаемым
космическим аппаратом наблюдается повышенная концентрация молекул
CO, которые являются основными продуктами диссоциации двуокиси
углерода. В случае каталитической поверхности вблизи поверхности
наблюдается восстановление двуокиси углерода, а возвратно-вихревое
движение газа над подветренной стороной поверхности обеспечивает
повышенную концентрацию CO2 во всей области отрывного движения.
Распределения трех проекций скорости дают представление о
пространственной структуре обтекания космического аппарата под углом
атаки. На распределениях продольной скорости хорошо видна ассиметрия
течения, обусловленная углом атаки, а также область возвратно-вихревого
движения. На y-ой и z-ой проекциях скорости газового потока хорошо
видно преимущественное направление движения газа в окрестности
ударной волны и в области отрывного движения.
Представленные на рисунках распределения чисел Маха также
позволяют хорошо представить себе пространственную структуру
возвратно-вихревого движения за подветренной стороной поверхности.
Область малых чисел Маха (хорошо видна на пространственных
распределениях) разделяет подобласти вихревых движений с
противоположными направлениями скорости. Примечательно, что именно
в области малых чисел Маха в расчетах в наибольшей степени
наблюдалось проявление нестационарности получаемого решения.
Профили поступательной и колебательных температур CO2 (для анти-
симметричной, деформационной и симметричной колебательных мод)
наглядно дают представление о термализации внутренних степеней
свободы по мере торможения космического аппарата. Если на рис. 8.33 и
8.34 различие в поступательной и колебательных температурах хорошо
идентифицируется, то на рис. 8.39 и 8.40, а также на рис. 8.45 и 8.46
разница в распределениях этих температур практически не видна.
Представленные поля газодинамических функций позволяют получить
качественное представление о характере течения в окрестности
космического аппарата под углом атаки. Рисунки 8.49-8.51 дают
количественную информацию о распределениях плотностей конвективных
и интегральных радиационных тепловых потоков вдоль обтекаемой
поверхности. Отсчет поверхностной координаты ведется от нижней
границы первого расчетного блока, поэтому на представленных рисунках

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
404
наблюдается некоторая ассиметрия распределений плотностей потоков
вдоль поверхности, связанная именно с началом отсчета. На рис.8.58
показана схема отсчета поверхностной координаты по часовой стрелке. На
этом же рисунке показаны отдельные контрольные точки, в которых
рассчитывались плотности спектрально-групповых радиационных
тепловых потоков с использованием формулы усреднения по
спектральным группам
()()
,
4
1
,d
g
g
R
g
qd
J
ωω
ωπ
ω
ω
∆
∆
=⋅
Ω
∆∫∫
Ω nr , Вт·см/см2,
где
g
ω
∆ - спектральная группа, в пределах которой проводится
усреднение спектральной плотности радиационного теплового потока.
На рис. 8.55-8.57 показаны кумулятивные функции спектральной
зависимости плотностей спектрально-групповых радиационных потоков.
Из представленных на рис. 8.49-8.51 распределений плотностей
конвективных тепловых потоков хорошо видно, что в случае
каталитической поверхности плотность конвективного теплового потока
оказывается примерно в два раза выше, чем для некаталитической
поверхности. Этот факт хорошо известен из предшествующих
исследований других авторов. Представляет интерес поведение
численного решения в окрестности боковой кромки лобового
аэродинамического щита. При некаталитической поверхности на этой
кромке наблюдается резкое возрастание плотности теплопроводностной
составляющей конвективного теплового потока. Численными
экспериментами установлено, что вариация расчетной сетки в данной
области расчетной области позволяет избежать столь сильной
зависимости. Так что приведенное распределение следует признать в
значительной степени численным эффектом. Для каталитической
поверхности, когда в учет принимается не только теплопроводностная но
и диффузионная составляющая полного конвективного теплового потока
достаточно плавное распределение плотности полного конвективного
теплового потока. На представленных распределениях плотностей
конвективных тепловых потоков также хорошо идентифицируется область
возрастания конвективного теплового потока на подветренной стороне.
Специальные вычислительные эксперименты показали, что для надежной
сходимости результатов по плотностям конвективных тепловых потоков
на последовательности расчетных сеток необходима очень подробная
сетка вблизи задней поверхности.
Сравнение распределений плотностей конвективных и интегральных
радиационных тепловых потоков позволяет сделать вывод о близости
интенсивности конвективных и радиационных тепловых потоков на
лобовой поверхности для первой траекторной точки. Анализ
спектральных радиационных потоков и соответствующих кумулятивных

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
405
(а)
(
б)
Рис.8.31. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=52с):a--числа
Маха, б -- продольная скорость x
V . Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.32. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=52с):a,б--
компоненты скорости ,
yz
VV
. Некаталитическая поверхность

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
406
(а)
(
б)
Рис.8.33. Поступательная (а) и колебательная (б) температуры (анти-
симметричная мода) вблизи КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=52с).
Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.34. Колебательные температуры (деформационная (а) и симметричная (б)
моды) вблизи КА Pathfinder под углом атаки 15
α = ° (t=52 с). Некаталитическая
поверхность

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
407
(а)
(
б)
Рис.8.35. Массовые доли CO2 и CO вблизи КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=52 с). Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.36. Массовые доли CO2 и CO вблизи КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=52 с). Каталитическая поверхность

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
408
(а)
(
б)
Рис.8.37. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α= °(t=66с):a--числа
Маха, б -- продольная скорость x
V . Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.38. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=66с):a,б--
компоненты скорости ,
yz
VV
. Некаталитическая поверхность

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
409
(а)
(
б)
Рис.8.39. Поступательная (а) и колебательная (б) температуры (анти-
симметричная мода) вблизи КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=66с).
Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.40. Колебательные температуры (деформационная (а) и симметричная (б)
моды) вблизи КА Pathfinder под углом атаки 15
α = ° (t=66 с). Некаталитическая
поверхность

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
410
(а)
(
б)
Рис.8.41. Массовые доли CO2 и CO вблизи КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=66 с). Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.42. Массовые доли CO2 и CO вблизи КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=66 с). Каталитическая поверхность

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
411
(а)
(
б)
Рис.8.43. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α= °(t=80с):a--числа
Маха, б -- продольная скорость x
V . Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.44. Поле течения у КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=80с):a,б--
компоненты скорости ,
yz
VV
. Некаталитическая поверхность

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
412
(а)
(
б)
Рис.8.45. Поступательная (а) и колебательная (б) температуры (анти-
симметричная мода) вблизи КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=80с).
Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.46. Колебательные температуры (деформационная (а) и симметричная (б)
моды) вблизи КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=80с).
Некаталитическая поверхность

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
413
(а)
(
б)
Рис.8.47. Массовые доли CO2 и CO вблизи КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=80 с). Некаталитическая поверхность
(а)
(
б)
Рис.8.48. Массовые доли CO2 и CO вблизи КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=80 с). Каталитическая поверхность

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
414
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
103
Qw,c
Qw,r
Stardust, Alfa=8, t=54 s, Chem, Jcat=0
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
103
Qw,c
Qw,r
Stardust, Alfa=8, t=54 s, Chem, Jcat=1
Рис.8.49. Распределение конвективных и интегральных радиационных тепловых
потоков вдоль поверхности КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=52с).
Некаталитическая (слева) и каталитическая поверхность
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
103
Qw,c
Qw,r
Stardust, Alfa=8, t=66 s, Chem, Jcat=0
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
103
Qw,c
Qw,r
Stardust, Alfa=8, t=66 s, Chem, Jcat=1
Рис.8.50. Распределение конвективных и интегральных радиационных тепловых
потоков вдоль поверхности КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=66с).
Некаталитическая (слева) и каталитическая поверхность
функций показывает, что определяющий вклад в радиационный тепловой
поток вносит ультрафиолетовая область спектра, в которой интенсивно
испускают электронно-колебательные полосы CO.
В двух последующих точках, t=66 c и 80 с, плотность радиационного
теплового потока к задней поверхности космического аппарата становится
значительно выше плотности конвективного потока. При этом,
определяющий вклад в радиационный нагрев вносят инфракрасные
колебательные полосы CO2 и CO. Особенно хорошо это видно из анализа
кумулятивных функций, представленных на рис. 8.56 и 8.57.

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
415
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Stardust, Alfa=8, t=80 s, Chem, Jcat=0
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
Qw ,c
Qw ,r
Stardust, Alfa=8, t=80 s, Chem, Jcat=0
Рис.8.51. Распределение конвективных и интегральных радиационных тепловых
потоков вдоль поверхности КА Pathfinder под углом атаки 15
α = °(t=80с).
Некаталитическая (слева) и каталитическая поверхность
Wavenumber , 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
123456
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
123456
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис.8.52. Спектральная плотность радиационных тепловых потоков в 6-ти точках
на поверхности КА Pathfinder под углом атаки 15
α = ° (t=52 с). Некаталитическая
(слева) и каталитическая поверхность
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
123456
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radia tion flux, W*cm/cm**2
Рис.8.53. Спектральная плотность радиационных тепловых потоков в 6-ти точках
на поверхности КА Pathfinder под углом атаки 15
α = ° (t=66 с). Некаталитическая
(слева) и каталитическая поверхность

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
416
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W* cm/cm**2
Рис.8.54. Спектральная плотность радиационных тепловых потоков в 6-ти точках
на поверхности КА Pathfinder под углом атаки 15
α = ° (t=80 с). Некаталитическая
(слева) и каталитическая поверхность
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
102
123456
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис.8.55. Кумулятивные функции спектральной плотности радиационных
тепловых потоков в 6-ти точках на поверхности КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=52 с). Некаталитическая (слева) и каталитическая поверхность
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
102
123456
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm* *2
Рис.8.56. Кумулятивные функции спектральной плотности радиационных
тепловых потоков в 6-ти точках на поверхности КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=66 с). Некаталитическая (слева) и каталитическая поверхность

8.5. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Pathfinder
417
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
102
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис.8.57. Кумулятивные функции спектральной плотности радиационных
тепловых потоков в 6-ти точках на поверхности КА Pathfinder под углом атаки
15
α=°
(t=80 с). Некаталитическая (слева) и каталитическая поверхность
1
12
18
22
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43 55
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
85
89
101
106
110
113
115
117
119
121
123
125
127
129
131
133
135
147
151
153
155
157
159
161
163
165
167
169
173
x, cm
y, cm
0
50
100
150
-100
-50
0
50
100
===========================
1: Npnt1= 1 Npnt1Tot= 1
2: Npnt2= 8 Npnt2Tot= 36
3: Npnt3= 15 Npnt3Tot= 71
4: Npnt4= 22 Npnt4Tot=106
5: Npnt5= 29 Npnt5Tot=141
6: Npnt6= 35 Npnt6Tot=171
---------------------------
Nsurf1=176
JFxPnt= 5
===========================
1:1
2: 36
3: 71
4: 106
5: 141
6: 171
α
Рис.8.58. Распределение контрольных точек на поверхности КА Pathfinder

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
418
8.6. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата Exomars
В данном разделе рассматриваются результаты расчета обтекания
космического аппарата Exomars в одной из тестовых точек траектории спуска
в атмосфере Марса, определенных в Европейском космическом агентстве для
сравнительного анализа аэротермодинамики космических аппаратов:
V∞ =4.878 км/с,
∞
ρ=
7
3.708 10−
×
г/см3, p∞ =137.4 эрг/см3, T∞ =158.4 K.
Представлены также данные по конвективному и радиационному нагреву в
указанной точке траектории. Заметим, что исследуемая скорость входа
заметно меньше, чем в почти аналогичной точке по высоте полета КА
Pathfinder, в то время, как геометрия КА Exomars весьма близка геометрии
КА Pathfinder.
Первая серия расчетов выполнена на сетках, конфигурация которых
показана на рис. 8.29а. Число узлов итоговой расчетной сетки равнялось
(1) (1)
ij
NN
×
=35×55 в первом блоке и (2) (2)
ij
NN
×
=35×75 во втором блоке
(первая цифра указывает число узлов по нормали к поверхности). В третьем
расчетном блоке - (3) (3)
ij
NN
×
=15×75. Расчеты выполнены для двух
противоположных предположений относительно каталитических свойств
поверхности. Температура поверхности задавалась постоянной: w
T =1000 K
на наветренной стороне, и w
T =500 K на подветренной стороне космического
аппарата.
Результаты двухмерных расчетов представлены в разделах 4.4 и 4.5.
Расчеты осесимметричного обтекания КА под нулевым углом атаки с
использованием трехмерного расчетного кода NERAT(3D) позволили
провести тестовое сопоставление с расчетными данными, полученными при
использовании двумерного кода NERAT(2D), которые неоднократно
тестировались ранее с имеющимися экспериментальными данными и
результатами других авторов [1]. В трехмерных расчетах использовалась
расчетная сетка, параметры которой даны в таблице 8.5. Сравнивая
распределения продольной скорости течения (рис.8.59 и 4.27) и осевых
распределений температуры вдоль передней критической линии тока можно
сделать заключение об их удовлетворительной близости. При этом надо
иметь в виду, что трехмерные расчеты проводились на заметно более грубых
расчетных сетках.
Результаты расчетов аэротермодинамики космического аппарата Exomars,
обтекаемого под углом атаки 15
=°
α
, указывают на значительные изменения
в поле течения. На рис.8.60 показаны поля продольной скорости и давления, а
на рис.8.61 -- поступательной температуры. Распределение продольной
скорости ( x
V ) в двух взаимно перпендикулярных плоскостях ( x y
−иxz
−)
показано на рис.8.62. Главной особенностью обтекания космического
аппарата под углом атаки является потеря симметрии в конфигурации
сжатого слоя у лобового аэродинамического щита, что приводит к смещению

8.6. РадГД спускаемого аппарата Exomars
419
области наиболее интенсивного конвективного нагрева от передней
критической линии тока, совпадающей в симметричном случае с осью
симметрии КА, к боковой поверхности аэродинамического щита,
наветренной набегающему потоку. В рассматриваемом здесь расчетном
случае отчетливо видно увеличение толщины сжатого слоя на наветренной
стороне. Из рис.8.60 видно, что вихревое движение в следе за космическим
аппаратом становится также несимметричным и его структура заметно
усложняется. В отличие от случая осесимметричного обтекания зона
возвратно-вихревого сечения приобретает серпообразную форму (
в
плоскости, перпендикулярной оси x), изучение структуры которой
представляет особый интерес для исследования условий устойчивости
движения газа.
(а)
(б)
Рис. 8.59. Продольная скорость (а) и температура (б) в плоскости z=0 в трехмерных
расчетах для траекторной точки SD1; х, y - в см
Ниже рассмотрим результаты расчетов другой траекторной точки (SC1,
табл. 8.2) :
7
6.838 10−
∞=×
ρ
г/см3,
200.3
p∞=
эрг/см3,
5
4.922 10
V
+
∞=×
см/с,
153
T∞ = K. Анализировались распределения поступательной температуры и
продольной скорости, колебательных температур молекул СО2 и O
2,
распределения весовых долей молекул СО2, O2, СО и атомов С, O. Анализ
указанных данных позволяет получить полное представление о
закономерностях обтекания космического аппарата в рассматриваемых
условиях. Структура течения в сжатом слое оказывается важной для
предсказания радиационно-конвективного нагрева наветренной поверхности.
Поле течения в отрывной зоне и в ближнем следе оказывается чрезвычайно

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
420
важным для предсказания радиационного и конвективного нагрева
подветренной поверхности космического аппарата. Обратим внимание, что в
данном случае использовалась расчетная сетка второй конфигурации (см.
рис.8.29).
X
Y
0
200 400 600 800
-600
-400
-200
0
200
400
600
Vx
1.00E+00
9.72E-01
9.44E-01
9.15E-01
8.87E-01
8.59E-01
8.31E-01
8.03E-01
7.74E-01
7.46E-01
7.18E-01
6.90E-01
6.62E-01
6.33E-01
6.05E-01
5.77E-01
5.49E-01
5.21E-01
4.92E-01
4.64E-01
4.36E-01
4.08E-01
3.79E-01
3.51E-01
3.23E-01
2.95E-01
2.67E-01
2.38E-01
2.10E-01
1.82E-01
1.54E-01
1.26E-01
9.74E-02
6.92E-02
4.10E-02
1.28E-02
-1.54E-02
-4.36E-02
-7.18E-02
-1.00E-01
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
3
4
5
678
9
10
11
12
X
Y
0
200 400 600 800
-600
-400
-200
0
200
400
600
Pres
1.70E+00
1.45E+00
1.25E+00
1.07E+00
9.12E-01
7.81E-01
6.68E-01
5.72E-01
4.89E-01
4.19E-01
3.59E-01
3.07E-01
2.63E-01
2.25E-01
1.92E-01
1.65E-01
1.41E-01
1.21E-01
1.03E-01
8.84E-02
7.56E-02
6.47E-02
5.54E-02
4.74E-02
4.06E-02
3.47E-02
2.97E-02
2.54E-02
2.18E-02
1.86E-02
1.60E-02
1.37E-02
1.17E-02
1.00E-02
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
3
4
5
678
9
10
11
12
Рис.8.60. Продольная скорость и давление в плоскости (x-y). Точка траектории SD.1.
Трехмерные расчеты обтекания космического аппарата Exomars под углом атаки
15
=°
α
. Цифрами показаны номера блоков сетки на поверхности и в объеме
X
Y
0
200 400 600 800
-600
-400
-200
0
200
400
600
T
6.80E+03
6.60E+03
6.40E+03
6.20E+03
6.00E+03
5.80E+03
5.60E+03
5.40E+03
5.20E+03
5.00E+03
4.80E+03
4.60E+03
4.40E+03
4.20E+03
4.00E+03
3.80E+03
3.60E+03
3.40E+03
3.20E+03
3.00E+03
2.80E+03
2.60E+03
2.40E+03
2.20E+03
2.00E+03
1.80E+03
1.60E+03
1.40E+03
1.20E+03
1.00E+03
8.00E+02
6.00E+02
4.00E+02
2.00E+02
1
2
3
4
5
6
7
8
9
12
3
4
5
678
9
10
11
12
Рис. 8.61. Температура в плоскостях (x-y) и (y-z). Точка траектории SD.1. Трехмерные
расчеты обтекания космического аппарата Exomars под углом атаки 15
=°
α

8.6. РадГД спускаемого аппарата Exomars
421
Таблица 8.5. Параметры конечно-разностной сетки в трехмерных расчетах
№
блока Количество узлов сетки вдоль
границ двумерных объемов блоков
j
N
k
N
1
9
j
N /2+1
2
9
2k
N-2+ 1j
N
3
45
2
k
N
4
25
2
k
N
5
51
2
k
N
6
56
22
kk
NN
−
+
1k
N
7
21
2
k
N
8
13
2
k
N
9
6j
N
6
k
N
10
57
1
kk
NN
+−
2
k
N
№
блока Количество узлов сетки вдоль границ
трехмерных объемов блоков
I
N
J
N
K
N
1
41
1j
N
1k
N
2
41
2j
N
2
k
N
3
41
3j
N
2
k
N
4
41
4j
N
2
k
N
5
41
5j
N
2
k
N
6
41
6j
N
6
k
N
7
41
7j
N
2
k
N
8
8j
N
6j
N
6
k
N
9
8j
N
10
j
N
2
k
N
На рис.8.62-8.64 показано распределения скорости, поступательной и
колебательных температур для указанной точки траектории. Обратим
внимание на два важных факта:

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
422
− сложность структуры возвратно-вихревого движения в ближнем следе (см.
рис. 8.62);
− в отрывном течении наблюдается температурная неравновесность (см.
рис.8.64 и 8.65), что может сказаться на плотности радиационных тепловых
потоков к подветренной поверхности космического аппарата. При входе в
атмосферу Марса это оказывается особенно важным из-за специфики
оптических свойств двуокиси углерода.
(
а)
(
б)
Рис.8.62. Продольная скорость в окрестности КА Exomars под углом атаки 15
=°
α
.
Точка траектории SC.1
Рис. 8.63. Поле проекций скорости на оси х и y ( x
Vu
V
∞
= (слева) и y
VV
∞
=v )при
обтекании космического аппарата Exomars под углом атаки 15
=
°
α

8.6. РадГД спускаемого аппарата Exomars
423
Рис. 8.64. Поле температуры поступательного движения частиц и колебательной
температуры молекул О2 при обтекании космического аппарата Exomars
под углом атаки 15
=°
α
С целью анализа излучательных свойств сжатого слоя у наветренной и
вблизи подветренной поверхности космического аппарата необходимо
знание распределений концентраций атомарных и молекулярных компонент
в возмущенной области течения. На рис.8.66 показаны массовые
концентрации компонент смеси газов во всем поле течения. Расчеты
выполнены в приближении каталитической поверхности. Совместное
рассмотрение полей молекул CO2, СО и распределений колебательных
температур в возмущенной области течения объясняет факт весьма высокого
уровня плотностей радиационных тепловых потоков к подветренной
поверхности космического аппарата. Результаты расчета конвективного и
радиационного нагрева поверхности космического аппарата в сечении 0
z=
показаны на рис.8.67.
Представленные данные позволяют объяснить закономерности изменения
плотности спектрально-групповых радиационных потоков
,g
R
qω
∆
при
движении вдоль поверхности по часовой стрелке, как это показано на
рис.8.69. Способ расчета
,g
R
qω
∆ дан в предыдущем разделе. Указанные
распределения показаны на рис.8.68, где также даны кумулятивные функции
плотностей интегральных радиационных потоков в каждой из рассмотренных
точек. Эти функции рассчитываются по формуле
() ()
min
,,
d
g
Rc
u
m
R
Qq
ω
ω
ω
ω
ωω
∆
=∫,

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
424
где min
ω − минимальное значение волнового числа спектрального диапазона,
в котором исследуется перенос лучистой энергии (в рассматриваемом случае
min 1400
=
ω
см−1,
max 100000
=
ω
см−1).
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.8.65. Поле колебательных температур молекул СО2 (анти-симметричная (а),
деформационная (б) и симметричная (в) моды) и СО при обтекании космического
аппарата Exomars под углом атаки 15
α=°

8.6. РадГД спускаемого аппарата Exomars
425
Заметим, что если спектральные распределения плотностей радиационных
тепловых потоков позволяют получить информацию об основных
механизмах излучения, вносящих вклад в радиационный нагрев поверхности,
то кумулятивные функции дают информацию о том, в какой части спектра
формируется основная часть радиационных потоков к поверхности.
Очевидно, что величина
,m
a
x
()
Rc
u
m
Qω
задает значение интегрального по
спектру радиационного потока к рассматриваемой точке поверхности.
Из рис.8.68 видно, что в рассматриваемых условиях главными
радиационными процессами, формирующими радиационный тепловой поток
к поверхности КА являются колебательно-вращательные полосы молекул
СО2 и СО.
На рис.8.70 показано распределение конвективного теплового потока на
лобовой поверхности КА Exomars, входящего в атмосферу Марса под углом
атаки 15
=°
α
. Наблюдается смещение области максимального конвективного
нагрева от оси симметрии в сторону набегающего потока. При дальнейшем
увеличении угла атаки максимальный нагрев смещается к нижней кромке КА
с заметным возрастанием абсолютной величины, поскольку эффективный
радиус затупления кромки меньше, чем радиус затупления в передней
критической точке при осесимметричном обтекании.
Рис. 8.66. Поле массовых долей молекул СО2 и CО при обтекании космического
аппарата Exomars под углом атаки 15
α = ° . Каталитическая поверхность
Таким образом, в данном разделе более подробно, чем в разделе 8.3.3,
решена пространственная задача обтекания космического аппарата типа
Exomars химически неравновесным и релаксирующим потоком двуокиси
углерода, моделирующей атмосферу Марса. Получены распределения

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
426
конвективных тепловых потоков на всей поверхности космического
аппарата, включая его донную область.
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
103
S, cm
Qrad, W/cm2
0
200
400
600
800
0
1
2
3
4
5
6
7
Рис.8.67. Распределение плотностей конвективных (слева) и радиационных тепловых
потоков вдоль поверхности космического аппарата; S -- координата вдоль
поверхности, отсчитываемая от точки 1 (см. рис.8.69)
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
12
3
4
56
2
16
2
5
5
6
1
2
3
4
Spectral radiation flux, W*cm/cm* *2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm* *2
Рис.8.68. Плотность спектральных потоков теплового излучения ()
r
Qω вшести
точках на поверхности космического аппарата. Номера точек соответствуют
следующим координатам вдоль поверхности, отсчитываемым от первой точки
расположенной на нижней границе 1-го блока расчетной сетки (см. рис.8.69). Справа
− кумулятивная функция плотности. спектральных потоков теплового излучения
,()
rc
u
m
Q ω в шести точках на поверхности космического аппарата

8.6. РадГД спускаемого аппарата Exomars
427
Рис.8.69. Обозначение
номеров узлов сетки на
поверхности
Рис.8.70.. Плотность конвективного теплового потока
на лобовой поверхности КА Exomars
под углом атаки 15
α= °,Вт/см2
Представлены результаты трехмерных расчетов плотностей спектральных
и интегральных радиационных тепловых потоков к поверхности
космического аппарата, движущегося под углом атаки 15
=
°
α
. Показано, что
на части подветренной стороны поверхности космического аппарата
радиационные тепловые потоки превосходят конвективные тепловые потоки.
Основными источниками излучения в рассмотренных условиях входа
являются колебательно-вращательные полосы молекул СО2 и СО. Как и
следовало ожидать, заметные различия (
до 30%) наблюдаются в
рассчитанных значениях плотностей конвективных тепловых потоков для
двухмерного и трехмерного случаев.
Как и следовало ожидать, заметные различия наблюдаются в
рассчитанных значениях плотностей конвективных тепловых потоков для
двухмерного и трехмерного случаев. Расчетами установлено, что это связано
не только с подробностью используемых сеток, но также с их топологией.
Здесь следует
подчеркнуть,
что исследование особенностей
пространственных течений находится лишь на начальной стадии. Предстоят
систематические сравнительные исследования получаемых результатов не
только с данными двумерных расчетов, но также с данными
экспериментальных исследований и расчетных данных других авторов.

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
428
8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
В данном разделе более подробно, чем в подразделе 8.3.4, представлены
результаты трехмерных расчетов радиационной аэротермодинамики
спускаемого космического аппарата MSL под углом атаки, которые
выполнены с использованием компьютерного кода NERAT(3D).
В настоящее время возможности подробного исследования
аэротермодинамики космических аппаратов в трехмерной постановке весьма
ограничены. Компьютерные коды, предназначенные для трехмерных
расчетов, требуют для своего использования наиболее мощные современные
компьютеры, так что фактически расчеты проводятся на пределе
современных вычислительных возможностей. Кроме этого, практически
отсутствуют экспериментальные данные, позволяющие тестировать такие
компьютерные коды.
За последние 20 лет интенсивного развития фундаментальных научных
направлений аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов в
научных центрах США была выполнена серия хорошо документированных
экспериментальных исследований в двухмерной постановке. В последнее
время аналогичные экспериментальные исследования были проведены в
трехмерной постановке (
см., например, [121,122]). Указанные
экспериментальные исследования проводились, в том числе, в обеспечение
развития компьютерных кодов и предсказательных инженерных методик,
Указанные работы были в значительной степени стимулированы научными
программами исследования планет Солнечной системы (в первую очередь,
Марса), стартовавшими в США в начале 90-х годов прошлого века,
В указанных условиях приходится использовать специальные методики
повышения достоверности расчетных данных, получаемых в
пространственных (трехмерных) расчетах. Сюда можно отнести всестороннее
тестирование расчетных кодов с использованием методов вычислительной
аэродинамики, тестирование получаемых результатов сравнением с
результатами одномерных и двумерных вычислений, независимое
тестирование моделей физической и химической кинетики на примере
ударно-волновых задач.
В работе [1,66] проводилось тестирование компьютерного кода
NERAT(3D) на примерах сопоставления с результатами двумерных
осесимметричных расчетов аэротермодинамики космических аппаратов типа
Pathfinder, Mars Sample Return Orbiter (MSRO). Проводилось расчетное
исследование экспериментальных данных по аэротермодинамике модели
сегментально-конического аппарата, которые были выполнены в ЦАГИ
(В.Я.Боровой, А.С.Скуратов) [138].
В данном разделе представлены результаты тестирования трехмерного
расчетного кода на примере экспериментальных данных аппарата Mars
Science Laboratory (MSL) [121,122]. Ниже подробно рассмотрены результаты
указанных тестовых расчетов.

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
429
Условия проведения экспериментальных исследований приведены в
работе [121] и в таблице 8.6.
Таблица 8.6. Исходные данные, используемые в расчете трехмерной
аэротермодинамики модели космического аппарата MSL
№
эксперимента M ∞
p∞,
эрг/см3 ρ∞ ,
г/см3 T∞,К V∞,м/с α,
град
Run-3020 9.56 2851 0.0000165 58.1 1486.3 16
Run-3021 9.47 1679 0.0000103 54.8 1428.0 16
Run-3022 9.80 6561 0.0000406 54.4 1474.9 16
Run-3023 10.03 10683 0.0000694 51.9 1472.5 16
Рассмотрим результаты тестирования компьютерного кода NERAT-3D на
примере двух экспериментальных точек. На рис.8.71 показаны результаты
расчетов поля течения в окрестности экспериментальной модели
космического аппарата MSL для условий эксперимента Run-3020, а на рис.
8.72 и 8.73 представлено распределение плотности конвективных тепловых
потоков на лобовой поверхности модели и сравнение результатов расчетов с
экспериментальными данными [121].
Аналогичные результаты расчетов и сравнение с экспериментальными
данными для условий эксперимента Run-3021 представлены на рис. 38-41.
Были выполнены расчеты и других экспериментальных точек для условий
ламинарного обтекания.
Сопоставление полученных расчетных данных с результатами
эксперимента показало на хорошее совпадение этих данных. Расчеты
обтекания экспериментальной модели под углом атаки 160 показали на
заметное возрастание плотности конвективного теплового потока на
подветренной поверхности лобового аэродинамического щита.
К особенностям исследованных условий обтекания следует отнести
образование относительно толстого сжатого слоя у лобовой поверхности
переднего аэродинамического щита, а также возникновение отрывного
возвратно-вихревого течения над подветренной стороной обтекаемой
поверхности. Обращает на себя внимание неравномерность нагрева сжатого
слоя в азимутальном направлении у лобового щита. Об этом можно судить по
изменению температуры в нижнем и верхнем сечении сжатого слоя у
лобовой поверхности. Примечательна также достаточно высокая температура
в следе за обтекаемой моделью.
Установлено, что результаты расчетов плотностей конвективного
теплового потока на поверхности космического аппарата оказываются весьма
чувствительными не только к подробности конечно-разностных сеток, но
также и к их топологии.

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
430
Рис. 8.71. Поле течения в окрестности экспериментальной модели космического
аппарата MSL. Номер эксперимента Run-3020. Продольная скорость газа
*
x
Vu
V
=
,
где *
V =0.149E+06 см/с (слева) и поступательная температура (справа)
Рис. 8.72. Поле течения в окрестности экспериментальной модели космического
аппарата MSL. Номер эксперимента Run-3020 [121]. Распределение плотности
конвективного теплового потока на поверхности космического аппарата, Вт/см2

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
431
x/R
Qw, W/cm**2
-1
-0.5
0
0.5
1
0
5
10
15
20
25
30
Рис. 8.73. Распределение плотности конвективного теплового потока вдоль лобового
аэродинамического щита экспериментальной модели космического аппарата MSL.
Сравнение экспериментальных данных (диапазон изменения экспериментальных
данных показан кружками) с результатами расчетов. Эксперимент Run-3020 [121]
Рис. 8.74. Поле течения в окрестности экспериментальной модели космического
аппарата MSL. Номер эксперимента Run-3021 [121]. Продольная скорость газа
*
x
Vu
V
=
,где *
V =0.143E+06 см/с (слева) и поступательная температура (справа)

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
432
Рис. 8.75. Поле течения в окрестности экспериментальной модели космического
аппарата MSL. Номер эксперимента Run-3021 [121]. Распределение плотности
конвективного теплового потока на поверхности космического аппарата, Вт/см2
x/R
Qw, W/cm**2
-1
-0.5
0
0.5
1
0
5
10
15
20
25
30
Рис. 8.76. Распределение плотности конвективного теплового потока вдоль лобового
аэродинамического щита экспериментальной модели космического аппарата MSL.
Сравнение экспериментальных данных (диапазон изменения экспериментальных
данных показан кружками) с результатами расчетов.
Номер эксперимента Run-3021 [121]
Представляет значительный практический интерес проследить о
закономерностях изменения полей газодинамических функций при обтекании
полномасштабной модели MSL по мере движения КА вдоль траектории. С

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
433
этой целью в [125] было выполнено систематическое исследование
радиационной аэротермодинамики КА MSL, в том числе с расчетом
интенсивности конвективного и радиационного нагрева поверхности.
Исследованные траекторные точки представлены в таблице 8.4.
Пространственные распределения
газодинамических функций,
представленные на рис.8.77-8.108, отвечают обтеканию каталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 в последовательные моменты
времени движения по траектории.
На рис.8.77-8.80 показаны распределения продольной скорости x
Vu
V
∞
=
.
Видно, что сначала область возвратно-вихревого движения возрастает (см.
последовательно траекторные точки t=50 с, 70 с и 80 с на рис.8.77 и 8.78).
Заметим, что по мере уменьшения высоты полета и скорости космического
аппарата, эта область уменьшается. Это также хорошо видно на
распределениях полей чисел Маха, рис.8.81-8.84. На пространственных
распределениях здесь четко проявляются области исчезающе малых чисел
Маха. Фактически, на этих рисунках видны границы, разделяющие области
течения с противоположными направлениями скорости. Из рис.8.82 следует,
что указанные области достигают продольных размеров порядка 5 м.
Распределения поступательной температуры показаны на рис.8.85-8.88.
Характерная температура в сжатом слое на начальном участке траектории
составляет величину порядка 4000-6000 К. Осевые распределения
поступательных температур приведены на рис. 8.109. На этих же рисунках
показаны колебательные температуры молекул O2 и CO2 (две колебательные
моды: деформационная и антисимметричная). В следе за космическим
аппаратом газ нагревается до температур порядка 3000 К.
Как уже отмечалось, это является принципиально важным для
формирования потока теплового излучения в направлении задней
поверхности марсианского космического аппарата. Расположение
колебательных молекулярных полос в инфракрасной области спектра и
расположение максимума функции Планка в этом же спектральном
диапазоне (благодаря уровню температур ~ 2000 -- 3000 К) является тем
важным стечением обстоятельством, благодаря которому и формируется
достаточно интенсивное инфракрасное излучение нагретой двуокиси
кремния в следе марсианских КА.
По мере торможения космического аппарата температура в сжатом слое
падает, но все же остается весьма высокой: ~ 2000 -- 3000 К. Это относится
как к распределениям температуры в сжатом слое (см. рис. 8.109), так и в
следе (рис. 8.85-8.88).
Распределения колебательных температур в трех колебательных модах
CO2 (
антисимметричная, рис.8.89-8.92; деформационная, рис.8.93-8.96;
симметричная, рис.8.97-8.100). показывают, с одной стороны, на высокий
уровень колебательных температур, а с другой стороны, на заметную
температурную неравновесность.

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
434
Очевидно, что температурные распределения сильно влияют на
спектральную и интегральную излучательную способность. Вторым важным
фактором является распределение концентраций оптически активных
компонент, в первую очередь -- молекул CO2. Распределения массовых долей
CO2 показаны на рис. 8.101-8.104. На рис.8.105-8.108 приведены массовые
доли молекул CO, которые позволяют, в совокупности с данными по
концентрациям CO2, определить степень диссоциации двуокиси углерода. На
представленных распределениях хорошо видно, что по мере входа в плотные
слои атмосферы степень диссоциации сначала возрастает, а затем падает.
На рис. 8.110-8.113 представлены распределения вдоль поверхности КА
MSL плотностей конвективных и интегральных радиационных тепловых
потоков для случая некаталитической поверхности, а на рис.8.114-8.117 -- для
каталитической поверхности. Наблюдается закономерное возрастание
конвективного теплового потока на первой половине траектории и его
падение на второй половине активного участка торможения.
Так же, как и для космических аппаратов других типов, плотность
конвективного теплового потока к каталитической поверхности превосходит
соответствующие плотности конвективных тепловых потоков на
некаталитической поверхности примерно в два раза. В окрестности первого
блока расчетной сетки и на боковой поверхности лобового щита наблюдается
немонотонность, которая несколько снижается для каталитической
поверхности.
Важным интегральным результатом численного моделирования является
то, что на лобовой поверхности аэродинамического щита конвективный
поток примерно на порядок превосходит интегральный радиационный
тепловой поток. При этом, уровень плотности этого радиационного
теплового потока изменяется не сильно, и остается на уровне нескольких
Вт/см2. Примечательно также, что каталитичность поверхности оказывает
незначительное влияние на плотность радиационного теплового потока.
Распределения спектральных радиационных тепловых потоков в
отдельных точках на поверхности КА MSL (рис.8.119-8.125) и
соответствующих кумулятивных функций (рис.8.126-1.132) свидетельствуют
о том, что основной вклад в радиационный нагрев поверхности дают
инфракрасные колебательные полосы молекул CO2. На рис.8.118 показано
распределение контрольных точек на поверхности КА MSL.
Таким образом, важным выводом, который следует из анализа
радиационной аэротермодинамики космического аппарата MSL, размеры
которого превышают размеры других марсианских космических аппаратов,
изученных в предыдущих разделах, в исследованных здесь условиях
марсианского атмосферного входа, является установление факта важной роли
инфракрасного теплового излучения, генерируемого колебательными
полосами молекул CO2 и CO. Расчетное исследование показало, что уровень
радиационного теплового нагрева всей поверхности КА MSL оказывается
однородным, включая наветренную и подветренную стороны поверхности.

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
435
Рис. 8.77. Поле продольной скорости в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.78. Поле продольной скорости в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
436
Рис. 8.79. Поле продольной скорости в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.80. Поле продольной скорости в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
437
Рис. 8.81. Поле чисел Маха в окрестности каталитической поверхности MSL под
углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.82. Поле чисел Маха в окрестности каталитической поверхности MSL под
углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
438
Рис. 8.83. Поле чисел Маха в окрестности каталитической поверхности MSL под
углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.84. Поле чисел Маха в окрестности каталитической поверхности MSL под
углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
439
Рис. 8.85. Поле поступательной температуры в окрестности каталитической
поверхности MSL под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.86. Поле поступательной температуры в окрестности каталитической
поверхности MSL под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
440
Рис. 8.87. Поле поступательной температуры в окрестности каталитической
поверхности MSL под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.88. Поле поступательной температуры в окрестности каталитической
поверхности MSL под углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
441
Рис. 8.89. Поле колебательной температуры (антисимметричная мода колебаний
CO2) в окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.90. Поле колебательной температуры (антисимметричная мода колебаний
CO2) в окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
442
Рис. 8.91. Поле колебательной температуры (антисимметричная мода колебаний
CO2) в окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.92. Поле колебательной температуры (антисимметричная мода колебаний
CO2) в окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
443
Рис. 8.93. Поле колебательной температуры (деформационная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.94. Поле колебательной температуры (деформационная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
444
Рис. 8.95. Поле колебательной температуры (деформационная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.96. Поле колебательной температуры (деформационная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
445
Рис. 8.97. Поле колебательной температуры (симметричная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.98. Поле колебательной температуры (симметричная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
446
Рис. 8.99. Поле колебательной температуры (симметричная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL
под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.100. Поле колебательной температуры (симметричная мода колебаний CO2) в
окрестности каталитической поверхности MSL под углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
447
Рис. 8.101. Поле массовых долей CO2 в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.102. Поле массовых долей CO2 в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
448
Рис. 8.103. Поле массовых долей CO2 в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.104. Поле массовых долей CO2 в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=113 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
449
Рис. 8.105. Поле массовых долей CO в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=50 с, t=70 с
Рис. 8.106. Поле массовых долей CO в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=80 с, t=89 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
450
Рис. 8.107. Поле массовых долей CO в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=103 с, t=109 с
Рис. 8.108. Поле массовых долей CO в окрестности каталитической поверхности
MSL под углом атаки α=110: t=113 с, t=109 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
451
x, cm
T,Tv,K
0
5
10
15
0
2000
4000
6000
8000
Ttr
Tv(O2)
Tv(CO2def)
Tv(CO2as)
MSL, Alpha=11, t=50 s , Jv cat=1
x, cm
T,Tv,K
051
0
1
5
0
2000
4000
6000
8000
Ttr
Tv(O2)
Tv(CO2def)
Tv(CO2as)
MSL, Alpha=11, t=70 s, Jvcat=1
x, cm
T,Tv,K
0
5
10
15
0
2000
4000
6000
8000
Ttr
Tv(O2)
Tv(CO2def)
Tv(CO2as)
MSL, Alpha=11, t=80 s, Jvcat=1
x, cm
T,Tv,K
0
5
10
15
0
2000
4000
6000
8000
Ttr
Tv(O2)
Tv(CO2def)
Tv(CO2as)
MSL, Alpha=11, t=89 s, Jvcat=1
x, cm
T,Tv,K
0
5
10
15
0
2000
4000
6000
8000
Ttr
Tv(O2)
Tv(CO2def)
Tv(CO2as)
MSL, Alpha=11, t=103 s, Jvcat=1
x, cm
T,Tv,K
051
0
1
5
0
2000
4000
6000
8000
Ttr
Tv(O2)
Tv(CO2def)
Tv(CO2a s)
MSL, Alpha=11, t=113 s, Jvcat=1
Рис. 8.109. Распределения поступательной и колебательных температур вдоль
критической линии тока при обтекании КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные
точкиt=50с,70с,80с,89с,103си113с)

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
452
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
Qw,c
Qw,r
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Рис. 8.110. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на некаталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=50 с и t=70 с)
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Рис. 8.111. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на некаталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=80 с и t=89 с)
Scm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw ,c
Qw ,r
Рис. 8.112. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на некаталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=103 с и t=109 с)

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
453
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Рис. 8.113. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на некаталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=113 с)
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
Qw,c
Qw,r
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Рис. 8.114. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на каталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=50 с и t=70 с)
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Рис. 8.115. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на каталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=80 с и t=89 с)

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
454
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
Рис. 8.116. Плотность конвективного (круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока (квадратные маркеры) на каталитической
поверхности КА MSL под углом атаки α=110 (траекторные точки t=103 с и t=109 с)
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
800
10-2
10-1
100
101
102
Qw,c
Qw,r
MSL, Alfa=11, t=89 s, Chem, Jcat=0
19
31
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80
87 100
102
104
106
108
111
114
117
120
123
127
131
152
158
162
165
168
171
174
177
180
182
184
186
193
205
209
213
217
221
225
229
233
237
241
245
252
261
X, cm
Y, cm
050100150200250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
1:1
2: 51
3: 101
4: 151
5: 201
6: 241
Рис. 8.117. Плотность конвективного
(круглые маркеры) и интегрального
радиационного теплового потока
(квадратные маркеры) на каталитической
поверхности КА MSL под углом атаки
α=110 (траекторные точки t=113 с)
Рис. 8.118. Расположение
контрольных точек на
поверхности КА MSL.

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
455
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис. 8.119. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных точках
на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110 при t=50 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm **2
Рис. 8.120. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных точках
на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110 при t=70 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис. 8.121. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных
точках на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110 при t=80 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
456
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис. 8.122. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных
точках на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110
при t=89 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис. 8.123. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных
точках на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110
при t=103 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис. 8.124. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных
точках на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110
при t=109 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
457
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1
2
3
4
5
6
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Рис. 8.125. Плотность
спектрально-групповых
радиационных тепловых
потоков в контрольных точках
на каталитической
поверхности КА MSL под
углом атаки α=110
при t=113 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-3
10-2
10-1
100
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис. 8.126. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА
MSL под углом атаки α=110
при t=50 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис. 8.127. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА MSL
под углом атаки α=110
при t=70 с

Глава 8. Пространственная РадГД марсианских спускаемых аппаратов
458
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис. 8.128. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА MSL
под углом атаки α=110
при t=80 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис. 8.129. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА MSL
под углом атаки α=110
при t=89 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm* *2
Рис. 8.130. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА MSL
под углом атаки α=110
при t=103 с

8.7. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата MSL
459
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис. 8.131. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА MSL
под углом атаки α=110
при t=109 с
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Рис. 8.132. Кумулятивная функция
плотности спектрально-групповых
радиационных тепловых потоков в
контрольных точках на
каталитической поверхности КА
MSL под углом атаки α=110
при t=113 с

460
ГЛАВА 9
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
СПУСКАЕМОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ORION
9.1. Введение
В данной и последующих главах будут исследованы задачи
пространственной радиационной аэротермодинамики
спускаемых
космических аппаратов, входящих в атмосферу Земли. Как и прежде,
повышенное внимание будет уделяться проблемам верификации и валидации
используемого для численных исследований компьютерного кода
NERAT(3D).
9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion.
Сравнение с результатами экспериментального исследования на
гиперзвуковой аэродинамической трубе AEDC NASA
В данном разделе проводятся результаты тестирования компьютерного
кода NERAT(3D) на примерах сопоставления с результатами
экспериментальных исследований в аэродинамической трубе модели
космического аппарата нового поколения Orion [139]. Аналогичная
программа экспериментальных исследований в этой же аэродинамической
трубе была выполнена для исследования аэродинамики космического
аппарата MSL (см. предыдущую главу и [121,122]).
Условия проведения экспериментальных исследований приведены в
работе [139] и в таблице 9.1. В первых трех колонках даны исходные данные,
соответствующие тестовым случаям Run-3057, Run-3058 и Run-3060.
Обозначения тестовых случаев заимствованы из работы [139]. В отмеченных
условиях экспериментов на обтекаемой модели наблюдался ламинарный
характер течения. В последнем из рассмотренных случаев (Run-3062) в
экспериментах наблюдался ламинарно-турбулентный переход.
Расчеты проводились с использованием компьютерного кода NERAT(3D)
на сетке, фрагмент которой показан на рис. 9.1. Очевидно, что даже после
двукратного сгущения сеток, их подробности не достаточно для достоверного
описания интенсивности конвективного нагрева подветренной стороны
поверхности. Поэтому эти данные следует воспринимать, как оценочные.
На рис.9.2-9.4 показаны результаты расчетов поля течения в окрестности
экспериментальной модели космического аппарата Orion для условий
эксперимента Run-3057, на рис.9.5-9.7 − для условий экспериментов Run-
3058, а на рис.9.8-9.10 − Run-3062. На каждом рисунке показаны температура
(в К), продольная скорость x
Vu
V
∞
=
, а также линии тока (с целью
идентификации отрывного течения за подветренной стороной).

9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion
461
Последовательность трех рисунков (рис.9.2-9.4, рис. 9.5-9.7, рис. 9.8-9.10)
позволяет оценить изменение в структуре поля течения при увеличении угла
атаки, соответственно =
α 160, 240 и 320. Общей закономерностью для всех
экспериментальных случаев является заметное смещение критической линии
тока в набегающем потоке в сжатом слое в нижнюю часть лобового
аэродинамического щита, а также смещение центральной области отрывного
вихревого движения вверх вдоль подветренной поверхности обтекаемой
модели. Указанное смещение отрывного вихревого движения является
причиной относительного увеличения плотности конвективного теплового
потока в верхней части подветренной поверхности.
Распределения плотностей конвективных тепловых потоков вдоль
поверхности модели при разных углах атаки показаны на рис. 9.10 для
тестового случая Run-3057, на рис. 9.11 для теста Run-3058, на рис. 9.12 для
теста Run-3058 и на рис. 9.13 для теста Run-3060. Следом за
представленными расчетными данными приводятся рисунки, заимствованные
из работы [139]. На этих же рисунках, рядом с расчетными данными,
приведены экспериментальные данные по конвективному нагреву модели КА
Orion. На рисунках с экспериментальными данными [139] показаны
результаты расчета, выполненного в [139], с использованием наиболее
авторитетного компьютерного кода NASA − по программе LAURA (авт.
P.Gnoffo).
Плотность конвективных тепловых потоков, данная на указанных
рисунках, представлена в виде критериальной зависимости следующего вида:
1/2
,
Re
w
Dq
VD
St
VH
ρ
ρµ
∞∞
∞
∞∞
∞
⎛⎞
×=×
⎜⎟
∆⎝⎠
,
где
()2
0
2
wp
p
w
V
HHH c
Tc
T
∞
∞
⎛⎞
∆=
−
=+−
⎜⎟
⎝⎠
,
w
q - плотность конвективного теплового потока, Вт/см2; D - диметр
миделевого сечения модели, см; , V
ρ∞
∞ - плотность и скорость набегающего
газового потока, в г/см3 и см/с; p
c - удельная теплоемкость при постоянном
давлении (полагалась равной удельной теплоемкости набегающего газа),
эрг/г·К; , w
TT
∞
- температура набегающего потока и обтекаемой поверхности,
К. Все необходимые числовые данные приведены в таблице 9.1. Заметим, что
в представленном соотношении явно выделены критерии Стантона и
Рейнольдса.
Примечательно, что практически все сопоставления экспериментальных и
расчетных данных свидетельствуют о некотором занижении расчетных
значений (полученные по коду LAURA). Тем не менее, результаты данного
сопоставления следует признать успешными.

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
462
x, cm
y, cm
0
5101520
-20
-10
0
10
20
X
5
10
15
Y
-10
-5
0
5
10
Z
-10
-5
0
5
10
X
Y
Z
5
10
15
Y
-10
-5
0
5
10
Z
-10
-5
0
5
10
X
Y
Z
Рис. 9.1. Расчетная сетка для тестовых расчетов [139]
Расчетные данные, полученные по коду NERAT(3D) также
демонстрируют хорошее описание экспериментальных данных. Однако,
вблизи кромок лобового щита наблюдается завышение плотностей
конвективных потоков, а вверху лобового аэродинамического щита −
небольшое занижение плотности конвективного теплового потока. Как

9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion
463
показывают вычислительные эксперименты, оба указанных расчетных факта
могут быть объяснены несовершенством расчетных сеток. Данный вопрос
требует дополнительного исследования с целью повышения
предсказательной достоверности численных результатов.
На рис. 9.14 показаны результаты расчетов плотности конвективного
теплового потока для теста Run-3062, где в эксперименте наблюдался
ламинарно-турбулентный переход. В данной работе расчеты плотности
турбулентного конвективного теплового потока выполнены с
использованием эмпирической модели [140]. В целом следует отметить
удовлетворительное расчетное описание экспериментальных данных, в том
числе − уровень конвективных тепловых потоков в области турбулентного
режима течения. Область ламинарно-турбулентного перехода описывается
неудовлетворительно. Отметим также, что код LAURA также
неудовлетворительно предсказывает область ламинарно-турбулентного
перехода.
В целом, по результатам сопоставления наших расчетных данных с
экспериментальными данными [139] можно сделать вывод об
удовлетворительном
описании
экспериментальных данных
по
аэротермодинамике модели КА Orion в численных экспериментах.
К основным результатам указанного исследования следует также отнести
следующие выводы:
1. Расчеты обтекания экспериментальной модели под углами атаки показали
на заметное возрастание плотности конвективного теплового потока на
подветренной поверхности лобового аэродинамического щита;
2. Результаты расчетов плотностей плотности конвективного теплового
потока на поверхности космического аппарата оказываются весьма
чувствительными не только к подробности конечно-разностных сеток, но
также и к их топологии.
Таблица 9.1. Исходные данные тестовых расчетов
для условий экспериментов [139]
Run-3057 Run-3058 Run-3060 Run-3062
p∞ , эрг/см3 2.601×103 6.167×103 1.114×104 2.213×104
∞
ρ , г/см3 1.654×10-5 3.927×10-5 7.161×10-5 1.532×10-4
T∞,К
59.97
52.91
52.46
48.68
V∞
1.432×105 1.465×105 1.492×105 1.478×105
w
T
250.
250.
250.
250.
α
160, 240,320 160, 240, 320 160, 240,320
280

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
464
Рис.9.2. Температура и продольная скорость: Run-3057, α =160
Рис.9.3. Температура и продольная скорость: Run-3057, α =240

9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion
465
Рис.9.4. Температура и продольная скорость: Run-3057, α =320
Рис.9.5. Температура и продольная скорость: Run-3058, α =160

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
466
Рис.9.6. Температура и продольная скорость: Run-3058, α =240
Рис.9.7. Температура и продольная скорость: Run-3058, α =320

9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion
467
Рис. 9.8. Температура и продольная скорость: Run-3060, α =160
Рис.9.9. Температура и продольная скорость: Run-3060, α =240

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
468
Рис.9.10. Температура и продольная скорость: Run-3060, α =320
s, cm
St*Sqrt(Re)
01
02
03
04
0
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
Alpha=16
Alpha=20
Alpha=24
Alpha=28
Alpha=32
Run 3057
(а)
(
б)
Рис.9.11. Рассчитанные значения плотности конвективного теплового потока на
поверхности модели КА (а). Экспериментальные данные и расчеты [139],
выполненные с использованием компьютерного кода LAURA, для
экспериментальной точки Run-3057 при α =160 (б)

9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion
469
(в)
(
г)
Рис.9.11. (продолжение) Экспериментальные данные и расчеты [139], выполненные с
использованием компьютерного кода LAURA, для экспериментальной точки Run-
3057при α =240(в)и320(г)
s, cm
St*Sqrt(Re)
01
02
03
04
0
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
Alpha=16
Alpha=20
Alpha=24
Alpha=28
Alpha=32
Run 3058
(а)
(
б)
Рис.9.12. Рассчитанные значения плотности конвективного теплового потока на
поверхности модели КА (а). Экспериментальные данные и расчеты [139],
выполненные с использованием компьютерного кода LAURA, для
экспериментальной точки Run-3058 при α =160 (б)

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
470
(в)
(
г)
Рис.9.12. (продолжение) Экспериментальные данные и расчеты [139], выполненные с
использованием компьютерного кода LAURA, для экспериментальной точки Run-
3058 при α =240 (в) и 320 (г)
s, cm
St*Sqrt(Re)
01
02
03
04
0
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
Alpha=16
Alpha=20
Alpha=24
Alpha=28
Alpha=32
Run 3060
(а)
(
б)
Рис.9.13. Рассчитанные значения плотности конвективного теплового потока на
поверхности модели КА (а). Экспериментальные данные и расчеты [139],
выполненные с использованием компьютерного кода LAURA, для
экспериментальной точки Run-3060 при α =240 (б)

9.2. Конвективный нагрев модели спускаемого аппарата Orion
471
(в)
Рис.9.13. (продолжение) Экспериментальные данные и расчеты [139], выполненные с
использованием компьютерного кода LAURA, для экспериментальной точки Run-
3060при α =320(в)
s, cm
St*SQRT(Re)
051015202530354045
10-3
10-2
10-1
100
101
102
Run-3062, Alpha=28
Рис.9.14. Плотность конвективного теплового потока на поверхности модели КА.
Расчет и экспериментальные данные Run-3062 при α =320 [139]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
472
9.3. Результаты численного моделирования аэротермодинамики
космического аппарата Orion под углом атаки 250
В данном разделе представлены результаты аэротермодинамических
расчетов КА Orion реальной конфигурации. В отличие от математического
моделирования модели космического аппарата с характерными размерами ~ 10
см, в данном случае предстоит попытка сделать численную оценку
радиационных и аэротермодинамических характеристик космического аппарата
с характерным масштабом ~500 см. Сложность решаемой задачи состоит в том,
что пропорциональное увеличение характеристик сеточного пространства пока
не представляется возможным.
В данном случае эта проблема решается следующим образом. Сгущение
сетки у лобовой поверхности КА обеспечивает удовлетворительное описание
теплообмена и трения в ламинарном пограничном слое у поверхности.
Численными экспериментами было установлено, что плотность конвективного
теплового потока, предсказываемая в трехмерных расчетах, находится в
хорошем согласии с соответствующими результатами, полученными в
одномерном и двухмерном приближении. Наиболее грубые сетки
использовались для расчетов течения и теплообмена вблизи подветренной
стороны поверхности. Поэтому полученные величины плотности конвективного
теплового потока на подветренной стороне поверхности следует рассматривать
как оценочные.
Что касается точности расчетов плотностей радиационных тепловых потоков,
то в силу оптической прозрачности расчетных ячеек по всей области течения,
нет необходимости в чрезмерной подробности расчетных сеток. Однако, к
сожалению, на точность расчета интенсивности радиационного нагрева большое
влияние может оказать качество описания газодинамических функций вблизи
фронта ударной волны. Поскольку в данной работе используется расчетная
методика без выделения фронта ударной волны, это накладывает повышенные
требования к детализации сеточного пространства вблизи фронта ударной
волны в достаточно большой расчетной области.
Частичного решения данной проблемы удалось достичь использованием
численного алгоритма адаптации расчетной сетки к форме ударной волны.
Однако, в рассматриваемом трехмерном случае решения задачи, применение
такого алгоритма приводило к возникновению дополнительных осцилляций
всего поля течения, поэтому подстройка расчетной сетки применялась только на
начальных этапах решения задачи. Результатом применения такой методики
явилось наблюдение в части расчетных вариантов «
пятнистости»
температурного распределения вдоль фронта ударной волны, что немедленно
сказывалось на возникновении неоднородности в распределении плотности
радиационного теплового потока на поверхности.
Примеры трехмерных расчетов обтекания космического аппарата Orion с
каталитической поверхностью для условий орбитального входа (в момент
времени t=200 с, см. Таблицу 5.1 с траекторными параметрами) даны на рис.

9.3. Аэротермодинамика космического аппарата Orion под углом атаки 250
473
9.15-9.22. Из представленных рисунков хорошо видно заметное усложнение
поля течения при полете космического аппарата под углом атаки, по сравнению
с тем, которое наблюдалось в двухмерных расчетах (см. разделы 5.1 и 5.2).
На рис. 9.15 показано поле продольной скорости и поле чисел Маха. Отметим
две важных особенности рассматриваемого пространственного течения.
Образующаяся двух вихревая структура течения в ближнем следе разделена
областью с очень малым числом Маха (M<0.1), которая в плоскости
перпендикулярной оси x имеет серпообразную структуру. При численном
моделировании в этой подобласти течения наблюдаются периодические
колебания газодинамических функций. Заметим, что никаких способов
сглаживания решения в данном случае не использовалось. Пример указанных
колебаний продольной скорости и чисел Маха в плоскости z=0 показан на
указанном рисунке. Примечательно, что при анализе расчетных данных в
разных точках траектории было установлено, что колебания поля течения в
отрывной зоне и ближнем следе наблюдаются не для всех точек. Существуют
условия, в которых решение получается гладким. Подчеркнем, что указанные
колебания поля течения не оказывают заметного влияния на распределения
конвективных тепловых потоков вдоль поверхности, а течение вблизи
поверхности остается в высокой степени стационарным.
На рис.9.21, 9.22 показаны изоповерхности поля продольной скорости. На
этих рисунках хорошо видны осцилляции поля скорости в зоне ближнего следа.
На рис.9.16 показано поле поступательной температуры и колебательных
температур молекул N2, O2 и NO. Термическая неравновесность наблюдается в
ближнем следе. Однако, факт заметного отрыва колебательных температур от
поступательной температуры не является принципиальным в рассматриваемых
условиях для конвективного нагрева поверхности космического аппарата. В
принципе, это может оказаться важным при интерпретации излучательных
характеристик возмущенной области течения, как это было отмечено ранее для
марсианской атмосферы, однако для воздушной атмосферы для этого нет
видимых причин.
На рис. 9.17-9.19 показаны поля массовых долей молекул N2, O2 и атомов N,
O , а также молекулярного иона NO+. Представленные данные свидетельствуют
о высокой степени диссоциации не только в высокотемпературном сжатом слое,
но также в ближнем и дальнем следе, что объясняется разреженностью газа в
указанных областях течения. Также хорошо видно, что расчет в приближении
каталитической поверхности дает пространственное распределение весовых
долей химических компонент в ближнем следе, которое хорошо коррелирует со
структурой возвратно-вихревого движения газа. Заметим, что значения полей
концентраций во всей области течения позволяет решать задачи о спектральной
диагностике траектории полета КА.
Важные для целей настоящей работы расчетные данные приведены на
рис.9.20, где показано распределение плотности конвективного теплового
потока на поверхности обтекаемого под углом атаки 250 космического аппарата
Orion. Видно, что на нижней боковой поверхности лобового аэродинамического

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
474
щита плотность конвективного теплового потока достигает значений ~ 220
Вт/см2. Если сравнить эти данные с распределением конвективных тепловых
потоков на лобовом аэродинамическом щите для условий полета с нулевым
углом атаки (см. рис.5.3), можно сделать заключение о возрастании плотности
конвективного теплового потока в несколько раз.
Рис. 9.15. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c. Линии тока и
продольная скорость газа x
Vu
V
∞
=
и числа Маха

9.3. Аэротермодинамика космического аппарата Orion под углом атаки 250
475
Рис. 9.16. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c. Поступательная
температура, колебательная температура N2, O2 , NO, в К

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
476
Рис. 9.17. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c.
Массовая доля N2 , O2
Рис. 9.18. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c.
Массовая доля N, O

9.3. Аэротермодинамика космического аппарата Orion под углом атаки 250
477
Рис. 9.19. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c.
Массовая доля NO+
Рис. 9.20. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c.
Распределение плотности конвективного теплового потока
на поверхности космического аппарата, Вт/см2

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
478
Рис. 9.21. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью V∞ =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c.
Линии тока и продольная скорость газа x
Vu
V
∞
=
.
Поверхности уровня 0.1 и 0.2 продольной скорости
Рис. 9.22. Поле течения в окрестности космического аппарата при входе в атмосферу
Земли с начальной скоростью ini
V =7.7 км/с. Точка траектории t=200 c.
Линии тока и продольная скорость газа x
Vu
V
∞
=
.
Поверхности уровня 0.3 и 0.45 продольной скорости

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
479
9.4. Результаты трехмерного численного моделирования СА Orion вдоль
траектории входа
В данном разделе рассмотрены результаты пространственных расчетов
радиационной аэротермодинамики КА Orion под углом атаки α =250 вдоль
траектории входа в плотные слои атмосферы. Интегральные результаты
трехмерного численного моделирования приведены в таблице 9.2. Эта таблица
содержит исходные данные для каждой точки траектории (в моменты времени
t=150 с - 500 с), а также полученные расчетные данные по конвективному и
радиационному нагреву лобового аэродинамического щита (в трехмерном
случае приводятся некоторые средние величины). Расчет конвективного и
радиационного нагрева спускаемого аппарата рассчитаны с использованием
модели Парка [141]. Эти результаты сравниваются с расчетными данными,
полученными в двухмерном расчетном случае для критической точки обтекания
с использованием двух кинетических моделей [141,142].
Распределения газодинамических функций в трехмерном случае показаны на
рис. 9.23-9.38. Пример используемых расчетных сеток дан на рис. 9.39 и 9.40.
Еще раз напомним, что для изучения аэротермодинамики космических
аппаратов больших размеров необходимо анализировать поле течения не только
вблизи лобового аэродинамического щита, но и вблизи боковых кромок и
подветренной стороны поверхности, а также в ближнем и дальнем следе. Важно,
что для определения радиационного и конвективного нагрева необходимо
правильно рассчитывать не только температурные распределения, но также
объемные распределения концентраций химических компонент, в первую
очередь таких оптически активных компонент, как: N2, O2, NO, N, O, N2+, N+, O+.
Каждый расчетный вариант, отвечающий отдельной траекторной точке,
иллюстрируется серией подобных графиков. Первая серия показывает такие
газодинамические функции, как продольная скорость ( x
Vu
V
∞
= ), числа Маха,
поступательную температуру (в К), температуры возбуждения колебательных
степеней свободы N2 и O2 (в K), массовые доли молекул N2 и O2, концентрации
электронов. Эти данные показаны на рис.9.23, 9.24 (t=150 с), 9.27, 9.28 (t=200 с),
9.30, 9.31 (t=300 с), 9.33, 9.34 (t=400 с), 9.36, 9.37 (t=500 с).
Вторая серия графиков (рис. 9.25, 9.29, 9.32, 9.35, 9.38) показывает
распределения плотностей конвективных ( w
Q ) и радиационных ( rad
Q ) тепловых
потоков вдоль поверхности на меридиональной плоскости. В шести точках
вдоль поверхности показаны плотности спектральных радиационных тепловых
потоков, а также соответствующие кумулятивные функции, которые позволяют
указать наиболее важные элементарные радиационные процессы в каждом из
расчетных случаев. Точки поверхности, для которых приведены указанные
спектральные характеристики показаны на рис.9.25.
Сравнение расчетных данных, полученных в двумерном (см. разделы 5.1 и
5.2) и трехмерном случаях позволяет сделать вывод об удовлетворительном их
согласии. Тем не менее, следует подчеркнуть, что в расчетах использовались не

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
480
достаточно подробные расчетные сетки, что не позволяет пока говорить о
высокой надежности полученных результатов для трехмерного случая. В
особенности указанная проблема проявляется при расчете радиационно-
конвективного нагрева как раз спускаемых аппаратов больших размеров.
Данными расчетами установлено, что радиационный нагрев поверхности
космического аппарата Orion может быть сопоставим для некоторых
траекторных точек (t=150 с, рис.9.25, и t=200 с, рис.9.29). Здесь необходимо
напомнить, что при расчетах тепловой нагрузки на спускаемый аппарат с
орбитальной скоростью входа можно, как правило, пренебречь радиационным
нагревом, который составляет величину порядка 10% от интенсивности
конвективного нагрева. Однако, как уже обсуждалось при анализе результатов
двухмерных расчетов, результаты расчетов неравновесного излучения требуют
дальнейшего тестирования в силу значительной неопределенности
используемых вероятностей заселения электронно-возбужденных молекулярных
состояний и вероятностей других элементарных физико-химических процессов.
В рассматриваемом случае орбитального входа большого космического
аппарата необходимо принимать в учет следующие особенности. На участках
возрастания интенсивности теплового нагрева спускаемый аппарат движется в
условиях отсутствия термического равновесия в сжатом слое. В частности,
релаксационная зона за фронтом головной ударной волны оказывается весьма
протяженной (см., например, рис.5.9).
Недавние исследования показали [129,143,144], что предсказываемый
радиационный нагрев от неравновесной зоны весьма чувствителен к выбору
кинетической модели химических превращений за фронтом ударной волны и в
сжатом слое, модели неравновесной диссоциации и кинетических констант,
определяющих рассчитываемую величину заселенностей электронно
возбужденных состояний.
Это означает, что использование как модового приближения колебательного
возбуждения, так и радиационно-столкновительных моделей, оказывается пока
недостаточно надежным для решения поставленной задачи. В первом случае --
более детального обоснования требует модель, основанная на введении
колебательных температур для отдельных колебательных состояний, и на
последующем расчете заселенности электронно возбужденных состояний с
использованием предположения об установлении равновесия в распределениях
электронно-возбужденных состояний и электронного газа с электронной
температурой, определяемой процессами колебательной релаксации за фронтом
ударной волны.
Во втором случае, радиационно-столкновительной модели -- то есть,
практически, поуровневой кинетической модели, большие проблемы возникают
в связи с заданием вероятностей возбуждения и дезактивации отдельных
электронно-возбужденных состояний, уровень знания кинетических констант
которых оказывается пока недостаточно высоким для достоверного решения
поставленной задачи.

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
481
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.23. Орион: поле течения при t=150 с: а) продольная скорость, x
Vu
V
∞
=
,б)
число Маха, в) Поступательная температура, K, г) Колебательная температура N2, K.
Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
482
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.24. Орион: поле течения при t=150 с: Колебательная температура О2, K (а),
массовые доли N2 (б), O2 (в) и электронов (г). Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
483
1
6
11
16
20
24
28
32
424952555861646770
74
78
82
87
92
96
100
103
106
109
112
115
118
121
124
130
141
145
149
153
157
162
X, cm
Y, cm
0
100
200
300
400
500
-300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
300
(а)
(
б)
Рис.9.25. Распределение плотности конвективного ( w
Q ) и интегрального радиационного
( rad
Q ) тепловых потоков вдоль поверхности СА Orion при t=150 с (a). Распределение
контрольных точек вдоль поверхности СА (б). Кинетическая модель Парка [141]
(а)
(
б)
Рис.9.26. Плотности спектральных радиационных тепловых потоков в шести
контрольных точках на поверхности СО Orion (а) и соответствующие кумулятивные
функции (б) при t=150 с. Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
484
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.9.27. Орион: поле течения при t=200 с: а) продольная скорость, x
Vu
V
∞
=
, б) число
Маха, в) Поступательная температура, K, г) Колебательная температура N2, K.
Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
485
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.9.28. Орион: поле течения при t=200 с: Колебательная температура О2, K (а),
массовые доли N2 (б), O2 (в) и электронов (г). Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
486
(а)
(б)
(
в)
Рис.9.29. Распределение плотности конвективного ( w
Q ) и интегрального радиационного
( rad
Q ) тепловых потоков вдоль поверхности СА Orion при t=200 с (a). Плотности
спектральных радиационных тепловых потоков в шести контрольных точках на
поверхности СО Orion (б) и соответствующие кумулятивные функции (в) при t=200 с.
Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
487
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.30. Орион: поле течения при t=300 с: а) продольная скорость, x
Vu
V
∞
=
,б)
число Маха, в) Поступательная температура, K, г) Колебательная температура N2, K.
Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
488
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.31. Орион: поле течения при t=300 с: Колебательная температура О2, K (а),
массовые доли N2 (б), O2 (в) и электронов (г). Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
489
(а)
(а)
(
б)
Рис.9.32. Распределение плотности конвективного ( w
Q ) и интегрального радиационного
( rad
Q ) тепловых потоков вдоль поверхности СА Orion при t=300 с (a). Плотности
спектральных радиационных тепловых потоков в шести контрольных точках на
поверхности СО Orion (б) и соответствующие кумулятивные функции (в) при t=300 с.
Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
490
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.33. Орион: поле течения при t=400 с: а) продольная скорость, x
Vu
V
∞
=
,б)
число Маха, в) Поступательная температура, K, г) Колебательная температура N2, K.
Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
491
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.34. Орион: поле течения при t=400 с: Колебательная температура О2, K (а),
массовые доли N2 (б), O2 (в) и электронов (г). Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
492
(а)
(а)
(
б)
Рис.9.35. Распределение плотности конвективного ( w
Q ) и интегрального радиационного
( rad
Q ) тепловых потоков вдоль поверхности СА Orion при t=400 с (a). Плотности
спектральных радиационных тепловых потоков в шести контрольных точках на
поверхности СО Orion (б) и соответствующие кумулятивные функции (в) при t=400 с.
Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
493
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.36. Орион: поле течения при t=500 с: а) продольная скорость, x
Vu
V
∞
=
,б)
число Маха, в) Поступательная температура, K, г) Колебательная температура N2, K.
Кинетическая модель Парка [141]

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
494
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 9.37. Орион: поле течения при t=500 с: Колебательная температура О2, K (а),
массовые доли N2 (б), O2 (в) и электронов (г). Кинетическая модель Парка [141]

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
495
(а)
(а)
(
б)
Рис.9.38. Распределение плотности конвективного ( w
Q ) и интегрального радиационного
( rad
Q ) тепловых потоков вдоль поверхности СА Orion при t=500 с (a). Плотности
спектральных радиационных тепловых потоков в шести контрольных точках на
поверхности СО Orion (б) и соответствующие кумулятивные функции (в) при t=500 с.
Кинетическая модель Парка [141]
В заключение отметим, что выполненные трехмерные расчеты
аэротермодинамики спускаемого космического аппарата Orion демонстрируют
высокую степень неоднородности нагрева лобового аэродинамического щита
при полете под углом атаки.

Глава 9. Пространственная РадГД спускаемого космического аппарата Orion
496
Наибольшему нагреву подвергается наветренная кромка переднего
аэродинамического щита. Характерным для полета под углом атаки является
образование крупномасштабных вихревых отрывных течений, которые
оказывают значительное влияние на распределение конвективных тепловых
потоков к СА на подветренной стороне СА и, как правило, являются
нестационарными.
Показано, что большие размеры спускаемого аппарата приводят к
образованию протяженных зон релаксационных процессов за головной ударной
волной, распределение заселенностей молекул по электронным состояниям в
которых может оказывать существенное влияние на неравновесное излучение
испускаемое из этих зон.
Особо обращается внимание на то, что предсказываемая плотность
радиационных тепловых потоков к поверхности СА оказывается весьма
чувствительной к используемой кинетической модели, что в условиях
значительной неопределенности в знании кинетических констант и отсутствия
адекватных кинетических моделей снижает достоверность предсказываемых
данных. Это должно служит обоснованием необходимости дальнейшего
развития теории неравновесных радиационных физико-химических процессов в
сжатом слое у крупномасштабных спускаемых космических аппаратов.
Рис.9.39. Конфигурация расчетной сетки

9.4. Результаты 3D численного моделирования СА Orion вдоль траектории входа
497
x, cm
y, cm
0 100 200 300 400 500 600 700
-300
-200
-100
0
100
200
300
1
2
3
4
5
6
7
Рис. 9.40. Топология сетки вблизи космического аппарата
(показаны номера расчетных блоков)
Таблица 9.2. Траекторные точки СА Orion. Характерная величина плотности
конвективного и радиационного теплового потока на переднем аэродинамическом щите
в трехмерных расчетах
№
точки t,с H,км V∞,
км/с
p∞,
эрг/см3 T∞, K
w
Q
rad
Q
Вт/см2
1
150 83.0 7.7 3.37 187
10.
10.
2
200 78.2 7.7 14.2 202
12.
10.
3 300 65.6 7.0 100. 232
20.
7.
4
400 65.6 6.2 100. 232
15.
5.
5
500 57.1 5.2 324. 255
13.
1.7

498
ГЛАВА 10
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ (3D) РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ
ДИНАМИКА (РадГД) СЕГМЕНТАЛЬНО-КОНИЧЕСКОГО
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА (СККА)
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗНЫХ МОДЕЛЕЙ ФИЗИЧЕСКОЙ
И ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ
10.1. Введение
В данной главе продолжены исследования конвективного и
радиационного нагрева сегментально-конического космического аппарата
большого размера типа Orion, который для краткости будем называть
сегментально-конический космический аппарат (СККА). Это исследование
было начато в [145].
Для данного численного исследования использовалась компьютерная
платформа NERAT(3D)+ASTEROID с различными моделями физической и
химической кинетики ионизационных процессов в воздухе.
В компьютерном коде NERAT интегрируется система уравнений,
представленная в главе 7. Все уравнения формулируются в криволинейной
геометрии, подходящей для описания поверхности космического аппарата. В
расчетах используется многоблочная и многосеточная технология.
Спектральные оптические свойства газов сложного химического состава
определяются с использованием компьютерного кода ASTEROID.
Подробное описание используемых расчетных алгоритмов, систем
уравнений и граничных условий приведено в [144,145].
На рис. 6.1 показаны типичные траектории входа различных космических
аппаратов в плотные слои атмосферы Земли. В частности, приведены
траектории КА СККА, Orion, Fire-II и Stardust.
Некоторые из показанных точек траектории СККА исследуются в данной
главе. Все расчеты разделены на две серии.
Первую расчетную серию представляют расчеты трех траекторных точек,
показанных на рис.6.1. Исходные данные этих расчетов приведены в таблице
10.1. Первая из этих точек соответствует неравновесному режиму обтекания.
Вторая точка соответствует условиям максимальной тепловой нагрузки на
космический аппарат. Третья точка отвечает квазиравновесным условиям в
сжатом слое.
Расчеты поля течения в окрестности космического аппарата, так же как и
расчеты конвективного и радиационного нагрева его поверхности,
выполнены с использованием двухмерного и трехмерного кодов NERAT(2D)
и NERAT(3D). Представленные в данной главе расчетные данные позволяют
получить представление об особенностях обтекания и аэротермодинамики
спускаемых космических аппаратов больших размеров в неравновесных
условиях и в условиях близких к равновесию. Представлены поля течения

10.1. Введение
499
при нулевом и ненулевом угле атаки, распределения поступательных и
колебательных температур, массовых долей химических компонент.
Представленные осевые распределение температур и концентраций
позволяют наглядно оценить влияние использованных моделей химической
кинетики и кинетики неравновесной диссоциации.
Таблица 10.1. Параметры расчета в первой расчетной серии
Точка траектории
1
2
3
ρ∞ , г/см3
0.279×10-8 0.201×10-6
0.815×10-6
p∞ , эрг/см3
1.5
137
630
0
p , эрг/см3
1626
98772
204480
T∞ ,K
187
238
269
H, км
91
63
52
V∞ , км/с
7.634
7.010
5.009
α,град
22
30
21
Для всех расчетных точек приведено распределение односторонних
интегральных радиационных потоков вдоль передней критической линии.
Даны распределения спектральных радиационных тепловых потоков в
критической точке и распределения соответствующих кумулятивных
функций. Кумулятивные функции позволяют ответить на вопрос о наиболее
значительных радиационных процессах, дающих итоговый вклад в
интегральный радиационный нагрев поверхности.
Во второй расчетной серии представлены зависимости основных
газодинамических функций от скорости полета (числа Маха) и от высоты
полета (см. табл. 10.2). Эти расчетные данные дают общее представление об
основных закономерностях обтекания исследуемого КА.
Таблица 10.2. Начальные условия для второй серии расчетов
H, км
50
60
80
ρ∞ , г/см3 0.103×10-5 0.310×10-6 0.185×10-7
p∞ , эрг/см3 0.798×103 0.220×103 0.105×102
T∞ ,К
247
247
199
V∞ , км/с
M=10 3.300×105 3.150×105 2.830×105
M=20 6.520×105 6.300×105 5.660×105
M=30 9.880×105 9.450×105 8.490×105

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
500
10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
Двух- и трехмерная радиационная аэротермодинамика СККА была
исследована для трех траекторных точек траектории орбитального входа,
представленных в таблице 10.1. Как уже отмечалось, эти точки
соответствуют условиям неравновесного течения, области максимального
теплового нагружения и квазиравновесным условиям в сжатом слое.
Трехмерные расчеты проводились на двух типах сеток, показанных на рис.
10.1. Использование сетки второй топологии было обусловлено стремлением
более корректного описания поля течения в зоне возвратно-вихревого
движения в непосредственной близости от плоского дна СККА. На рис. 10.2
и 10.3 показаны поверхностные сетки, использовавшиеся в первом и втором
случаях. Общее представление о пространственной структуре используемых
сеток дает рис. 10.4. В расчетах осесимметричного течения применялась
сетка, показанная на рис.10.5.
Все расчеты выполнены для псевдо каталитической поверхности
(концентрации компонент смеси газов на поверхности в точности равны
соответствующим концентрациям в набегающем потоке).
Рисунки 10.6 и 10.7 демонстрируют продольную скорость (верхняя часть
рис.10.6a), поступательную температуру (нижняя часть рис. 10.6a), давление
и плотность (Рис. 10.6б), а также массовые доли компонент N2, N, O2, O (Рис.
10.7a,б) в расчетной области для случая осесимметричного течения (под
нулевым углом атаки).
На представленных двумерных распределениях хорошо видна область
высокотемпературного сжатого слоя, а также ближнего и дальнего следа.
Температура поступательного движения частиц газа в сжатом слое за
фронтом головной ударной волны достигает порядка 8000 К.Во фронте
ударной волны эта температура составляет примерно 18000 К (при расчетах
по разным кинетическим моделям).
Рассматриваемый случай отвечает сильно неравновесным условиям
течения. Фронт ударной волны оказывается размазанным из-за значительной
разреженности атмосферы. Тем не менее, по положению наибольшей
температуры можно идентифицировать толщину сжатого слоя δ ~33 см.
Толщина релаксационной зоны, измеряемая по относительному поведению
осевых распределений поступательной и колебательных температур,
оказывается весьма значительной -- порядка 10 см, то есть занимает около
трети всего сжатого слоя.
На рис.10.16 видны две характерные области течения разряжения: за
кромкой лобового аэродинамического щита и за задней границей усеченного
конуса. В первой области наблюдается классическое течение разряжения (см.
линии тока на рис.10.16а). За задним уступом усеченного конуса образуется
отрывное возвратно-вихревое движение. Падение поступательной
температуры в указанных двух областях наблюдается на рис.10.16а (снизу).

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
501
На рис.10.8a,б показано распределение конвективного теплового потока
вдоль поверхности СККА и распределение одностороннего интегрального
радиационного потока вдоль критической линии тока. В данных расчетах
использовалась модель Парка [141]. Отдельно дано сопоставление с
результатами расчетов по модели Данна и Канга [142].
Спектральная структура радиационных тепловых потоков в критической
точке иллюстрируется на рис. 10.9a,б, где показана спектрально-групповая
плотность потока излучения и соответствующая кумулятивная функция. По
определению, значение кумулятивной функции при max
ω =100000 см-1
отвечает полной величине интегрального радиационного потока.
На рис.10.10 показаны распределения поступательных и колебательных
температур вдоль критической линии тока для двух кинетических моделей
(Парка [141] и Данна-Канга [142]). Различия в распределениях объясняются
использованием различных кинетических моделей. Модель химической
кинетики [141] обеспечивает более эффективный процесс диссоциации и это
отвечает факту относительно большего снижения температуры в сжатом
слое.
Заметим, что испускательная способность сжатого слоя в используемой
нами модели определяется колебательной температурой. Многими расчетами
установлено, что температура электронов близка колебательной температуре.
Используемое предположение о распределении электронно-возбужденных
состояний по распределению Больцмана с электронной температурой
позволяет рассчитать заселенность этих возбужденных состояний. Отсюда
следует, что различия в распределениях колебательных температур
фактически влечет за собой различия в заселенностях электронно-
возбужденных состояний, которые фактически и определяют
испускательную способность сжатого слоя.
На рис.10.11а,б показано распределение концентраций химических
компонент вдоль линии торможения для двух упомянутых кинетических
моделей. Основными оптически активными компонентами являются N2, O2,
NO,
2
N+ . Для используемой здесь модели псевдо-каталитической
поверхности наибольшие концентрации у поверхности имеют молекулярные
компоненты N2 и O2 , а атомарные компоненты практически отсутствуют.
Представленные распределения поступательной и колебательных
температур, а также распределения концентраций, позволяют легко
объяснить различия в интегральных (Рис.10.12a) и спектральных (Рис.10.12б)
радиационных тепловых потоках, которые были получены по двум моделям.
Распределения плотностей конвективных и интегральных радиационных
потоков вдоль поверхности СККА (см. Рис.10.8) показывают не только
количественное соотношение между ними, но и фиксируют превосходство
радиационных тепловых потоков над конвективными для некоторых
участков поверхности. В частности, лобовой щит КА подвергается нагреву

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
502
тепловой радиацией с плотностью ~ 3 Вт/см2, что лишь вдвое ниже плотности
конвективного нагрева.
Выше обсуждались результаты двухмерных расчетов (под нулевым углом
атаки). Следующие рисунки, рис.10.13-10.15, дают представление о
пространственном распределении газодинамических функций.
Поступательная температура и продольная скорость в сжатом слое и в
следе за СККА под углом атаки α =220 для первой траекторной точки (см.
таблицу 10.1) показаны на рис. 10.13a,б. В рассматриваемых условиях
наблюдается значительная неоднородность нагрева лобового щита (рис.
10.14a), и несимметричное распределение плотностей конвективных и
радиационных тепловых потоков вдоль поверхности (рис. 10.14б).
В рассматриваемых условиях конвективный нагрев является
доминирующим. Но на некоторых участках поверхности уровень плотности
радиационного теплового потока приближается к плотности конвективного
теплового потока.
Последние два рисунка этой расчетной серии (рис. 10.15), где дано осевое
распределение поступательной и колебательных температур, а также
концентраций химических компонент, полученные в трехмерных расчетах,
позволяют сравнить эти результаты с данными двухмерных расчетов (рис.
10.10, 10.11).
Рисунки 10.16-10.25 (для точки №2, Табл.10.1) и рис. 10.26-10.35 (для
точки №3, Табл. 10.2) повторяют данные описанные выше для
предшествующей траекторной точки. Следует заметить, что отмеченные
газодинамические функции и теплофизические свойства в основном
формируются под воздействием двух факторов снижением скорости полета и
увеличением плотности атмосферы по мере спуска в атмосфере. Скорость на
первом участке траектории (t< 2150 с) изменяется незначительно, а плотность
увеличивается на порядок величины. На втором участке траектории
возрастание плотности сопровождается значительным торможением КА.
Сравнение расчетных данных для последовательных точек траектории
позволяет сделать следующие заключения относительно общих
закономерностей аэротермодинамики спускаемых аппаратов.
1. Температурные распределения вдоль линии торможения для
последовательных точек траектории демонстрируют постепенную
термализацию условий в сжатом слое, которая сопровождается уменьшением
продольного размера областей релаксации за фронтом ударной волны. Если
при t=2048 с размер зоны релаксации составляет порядка ~5 см (при решении
задачи с учетом радиационно-газодинамического взаимодействия), то при
t=2287 с этот размер уменьшается до ~ 1 см.
2. Указанная термализация наблюдается не только в области передней
критической линии тока, но и в значительной области сжатого слоя и даже
следа.
3. Плотность конвективного теплового потока возрастает на первом участке
траектории и снижается на втором.

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
503
x, cm
y, cm
0
200
400
600
800
-400
-200
0
200
400
S=0
α
(а)
x, cm
y, cm
0
200
400
600
800
-400
-200
0
200
400
S=0
α
(б)
Рис. 10.1. Две топологии трехмерной расчетной сетки (в плоскости симметрии x-y):
(a) 7-ми блочная сетка, (б) 8-ми блочная сетка
X
50
100
150
200
250
300
Y
-200
-100
0
100
200
Z
0
50
100
150
200
X
Y
Z
X
50
100
150
200
250
300
Y
-2 00
-100
0
100
200
Z
0
50
100
150
200
X
Y
Z
Рис. 10.2. Поверхностная сетка при использовании 7-ми блочной сетки
X
100
200
300
400
Y
-200
-100
0
100
200
Z
-200 -150 -100
-50 0
50 100
150
200
X
Y
Z
Рис. 10.3. Поверхностная сетка при использовании 8-ми блочной сетки

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
504
Рис. 10.4. Поверхностная сетка и фрагменты трехмерной пространственной сетки
x, cm
y, cm
0
500
1000
1500
-500
0
500
Grid#2
Рис. 10.5. Расчетная сетка для решения задачи в двухмерной осесимметричной
постановке

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
505
(а)
(
б)
Рис.10.6. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a, наверху), поступательная
температура (a, снизу), давление
00
, 1626
pp p=
эрг/см3 (б, сверху), и плотность
ρ ρ∞ (б, снизу) для траекторной точки №1 (Табл.10.1)
(а)
(
б)
Рис. 10.7. Массовые доли N2, N (a) и O2, O (б) для траекторной точки №1 (Табл.10.1)

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
506
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-06
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
PTV-06
(а)
(
б)
Рис. 10.8. Слева (a): Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для траекторной
точки №1 (Табл. 10.1). Справа (б): Распределение плотностей интегральных
радиационных тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны
односторонние потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный
тепловой поток к поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от
поверхности, 00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
(а)
(
б)
Рис. 10.9. Спектральный радиационный поток (a) и соответствующая кумулятивная
функция (б) в точке торможения для траекторной точки №1 (Табл.10.1)

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
507
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
35
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
Рис. 10.10. Осевое распределение
поступательной и колебательных
температур вдоль передней
критической линии тока тля
траекторной точки №1 (Табл. 10.1),
полученные с использованием
моделей Парка [141]
и Данна-Канга [142]
X, cm
X species
01
02
03
04
05
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(a)
X, cm
X species
01
02
03
04
05
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(б)
Рис. 10.11. Осевые распределения мольных долей вдоль критической линии тока для
траекторной точки №1 (Табл.10.1), полученные с использованием моделей Парка
[141] (а) и Данна-Канга [142] (б)
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-5
0
5
10
15
20
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
(a)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
(б)
Рис.10.12. Слева (a): Распределения интегральных радиационных потоков вдоль
критической линии тока, предсказанные кинетическими моделями [141] и [142]..
Показаны односторонние потоки излучения: 1
M−
- радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - радиационный тепловой поток от поверхности, 00
,
MM
+−
-
характеризуют объемную плотность лучистой энергии (см. [46]).
Справа (б): Спектральные тепловые потоки в критической точке для траекторной
точки №1 (см. Табл. 10.1), предсказанные кинетическими моделями [141] и [142]

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
508
(а)
(
б)
Рис.10.13. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (a) и
продольной скорости (б) для траекторной точки №1 (см. Табл.10.1);
угол атаки α =220
(а)
(
б)
Рис.10.14. Конвективный нагрев лобового щита СККА (a) и распределение
плотностей конвективного и радиационного тепловых потоков вдоль поверхности
СККА в меридианальной плоскости (б) для траекторной точки №1 (см. Табл.10.1);
угол атаки α =220

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
509
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
x, cm
Ys
05101520253035404550
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(а)
(
б)
Рис.10.15. Осевое распределение поступательной и колебательных температур (a), а
также массовых долей компонент (б) вдоль передней линии торможения для
траекторной точки №1 (см. Табл.10.1), полученные с использованием кинетической
модели [141] в трехмерных расчетах
(а)
(
б)
Рис.10.16. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a, сверху), поступательная
температура (a, снизу), давление
00
, 98772
pp p=
эрг/см3 (б, сверху), плотность
ρ ρ∞ (b) для траекторной точки №2 (см. Табл.10.1)

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
510
(а)
(
б)
Рис.10.17. Массовые доли N2, N (слева) и O2, O (справа) для траекторной точки №2
(см. Табл.10.1)
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qr ad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
0
20
40
60
80
100
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
(а)
(
б)
Рис.10.18. Слева (a): Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для траекторной
точки №2 (см. Табл.10.1). Справа (б): Распределение плотностей интегральных
радиационных тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны
односторонние потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный
тепловой поток к поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от
поверхности, 00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
511
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2)
(а)
(
б)
Рис.10.19. Плотность спектральных радиационных потоков (a) и соответствующая
кумулятивная функция (б) в точке торможения для траекторной точки №2
(см. Табл. 10.1)
x, cm
T,K
0
5
101520253035
0
5000
10000
15000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Pa rk)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
Рис.10.20. Осевое распределение
поступательной и колебательных
температур вдоль передней
критической линии тока тля
траекторной точки №2 (Табл.10.1),
полученные с использованием
моделей Парка [141]
и Данна-Канга [142]
X, cm
X species
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
X, cm
X species
01
02
03
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(а)
(
б)
Рис.10.21. Осевые распределения мольных долей вдоль критической линии тока для
траекторной точки №2 (Табл.10.1), полученные с использованием
моделей Парка [141] (а) и Данна-Канга [142] (б)

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
512
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
0
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+ (Park)
M1- (Park)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2)
(а)
(
б)
Рис.10.22. Слева (a): Распределения интегральных радиационных потоков вдоль
критической линии тока, предсказанные кинетическими моделями [141] и [142]..
Показаны односторонние потоки излучения: 1
M−
- радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - радиационный тепловой поток от поверхности, 00
,
MM
+−
-
характеризуют объемную плотность лучистой энергии (см. [46]).
Справа (б): Спектральные тепловые потоки в критической точке для траекторной
точки №2 (Табл. 10.1), предсказанные кинетическими моделями [141] и [142]
(а)
(
б)
Рис.10.23. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (a) и
продольной скорости (б) для траекторной точки №2 (см. Табл. 10.1);
угол атаки α =300

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
513
(а)
(
б)
Рис.10.24. Конвективный нагрев лобового щита СККА (a) и распределение
плотностей конвективного и радиационного тепловых потоков вдоль поверхности
СККА в меридианальной плоскости (б) для траекторной точки №2 (см. Табл. 10.1);
угол атаки α =300
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
x, cm
Ys
05101520253035404550
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(а)
(
б)
Рис.10.25. Осевое распределение поступательной и колебательных температур (a), а
также массовых долей компонент (б) вдоль передней линии торможения для
траекторной точки №2 (см. Табл. 10.1), полученные с использованием кинетической
модели [141] в трехмерных расчетах

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
514
(а)
(
б)
Рис.10.26. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a, сверху), поступательная
температура (a, снизу), давление
00
, 204480
pp p=
эрг/см3 (б, сверху), плотность
ρ ρ∞ (б) для траекторной точки №3 (см. Табл. 10.1)
(а)
(
б)
Рис.10.27 Массовые доли N2, N (a) и O2, O (б) для траекторной точки №3
(см. Табл. 10.1)

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
515
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
0
0
20
40
60
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
(а)
(
б)
Рис.10.28. Слева (a): Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для траекторной
точки №3 (Табл. 10.1). Справа (б): Распределение плотностей интегральных
радиационных тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны
односторонние потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный
тепловой поток к поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от
поверхности, 00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4 Wrad, W*cm/(cm**2)
(а)
(
б)
Рис.10.29. Плотность спектральных радиационных потоков (a) и соответствующая
кумулятивная функция (б) в точке торможения для траекторной точки №3
(см. Табл. 10.1)

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
516
x, cm
T,K
0
5
10
15
20
25
30
35
0
2000
4000
6000
8000
10000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T(Park)
Tv(N2) (Park)
Tv(O2) (Park)
Tv(NO) (Park)
Рис.10.30. Осевое распределение
поступательной и колебательных
температур вдоль передней
критической линии тока тля
траекторной точки №3 (Табл. 10.1),
полученные с использованием
моделей Парка [141]
и Данна-Канга [142]
X, cm
X species
01
02
03
04
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(a)
X, cm
X species
01
02
03
04
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(б)
Рис.10.31. Осевые распределения мольных долей вдоль критической линии тока для
траекторной точки №3 (Табл. 10.1), полученные с использованием моделей Парка
[141] (а) и Данна-Канга [142] (б)
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
0
0
20
40
60
80
100
120
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
M1+
M1-
PTV-03, D&K
(a)
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
D&K
Park
Wrad, W*cm/(cm**2) PTV-03, D&K
(б)
Рис.10.32. Слева (a): Распределения интегральных радиационных потоков вдоль
критической линии тока, предсказанные кинетическими моделями [141] и [142]..
Показаны односторонние потоки излучения: 1
M−
- радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - радиационный тепловой поток от поверхности, 00
,
MM
+−
-
характеризуют объемную плотность лучистой энергии (см. [46]).
Справа (б): Спектральные тепловые потоки в критической точке для траекторной
точки №3 (Табл. 10.1), предсказанные кинетическими моделями [141] и [142]

10.2. Радиационная газовая динамика СККА при орбитальном входе
517
(а)
(
б)
Рис.10.33. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (a) и
продольной скорости (б) для траекторной точки №3 (см. Табл. 10.1); угол атаки
α =210
(а)
(
б)
Рис.10.34. Конвективный нагрев лобового щита СККА (a) и распределение
плотностей конвективного и радиационного тепловых потоков вдоль поверхности
СККА в меридианальной плоскости (б) для траекторной точки №3 (см. Табл. 10.1);
угол атаки α =210

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
518
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
(a)
x, cm
Ys
05101520253035404550
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(б
)
Рис.10.35. Осевое распределение поступательной и колебательных температур (a), а
также массовых долей компонент (б) вдоль передней линии торможения для
траекторной точки №3 (см. Табл. 10.1), полученные с использованием кинетической
модели [141] в трехмерных расчетах
4. Спектральные распределения спектрально-групповых плотностей
радиационных тепловых потоков в критической точке обтекания показывают
закономерное смещение в красную область спектра по мере торможения
СККА. При этом наблюдается большое различие в указанных спектральных
распределениях для разных кинетических моделей.
5. Во всех расчетных случаях главная часть плотности интегрального
радиационного теплового потока , направленного к поверхности,
формируется в релаксационной зоне за фронтом головной ударной волны
(см. рис. 10.8б, 10.18б и 10.28б).
В заключение заметим, что осевые распределения функций, полученные в
двухмерных и трехмерных расчетах, демонстрируют разумное согласие.
10.3. Систематическое исследование радиационной газовой динамики
(РадГД) в широком диапазоне чисел Маха и высот полета
Вторая расчетная
серия была
посвящена
исследованию
аэротермодинамики сегментально-конического космического аппарата в
широком диапазоне изменения высоты полета (H=50 км - H=80 км)и в
широком диапазоне скорости полета (M=10 - M=30).
Численное исследование было выполнено для девяти траекторных точек
представленных в табл. 10.2, где также даны условия в набегающем потоке.
Полученные расчетные данные представлены в следующем порядке:
Рис. 10.36-10.45: H=50 км, M=10;
Рис. 10.46-10.55: H=60 км, M=10;
Рис. 10.56-10.63: H=80 км, M=10;

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
519
Рис. 10.64-10.73: H=50 км, M=30;
Рис. 10.74-10.82: H=60 км, M=30;
Рис. 10.83-10.91: H=80 км, M=30.
Каждая из рассчитанных точек представлена двумя группами данных.
Сначала показаны результаты двухмерных расчетов с использованием
двухмерного кода NERAT(2D). Первые четыре рисунка показывают
распределения скорости, поступательной температуры, давления, плотности
и массовых долей N2, N, O2, O. Эта группа рисунков завершается данными по
осевому распределению температур и мольных концентраций, а также
распределения плотностей конвективных и радиационных тепловых потоков
вдоль поверхности СККА. Данные по спектральному составу радиационных
тепловых потоков и соответствующих кумулятивных функций завершает
описание результатов двухмерных расчетов.
Вторая группа расчетных данных показывает результаты трехмерных
расчетов. Представлены распределения поступательной температуры,
продольной скорости, чисел Маха, давления и массовых долей N2 и O2.
Интегральные результаты трехмерных расчетов представлены в форме
распределений конвективных и радиационных тепловых потоков вдоль
поверхности СККА.
Представлены также осевые распределения поступательной и
колебательной температур и распределения концентрации компонент смеси
газов вдоль передней критической линии тока. Эти данные позволяют
проанализировать основные закономерности изменения свойств потока с
изменением высоты и скорости полета, а также произвести сравнение с
осевыми распределениями, полученными в двухмерном случае.
Первая из исследованных траекторных точек характеризуется низкой
степенью диссоциации воздуха в сжатом слое и практически полном
отсутствии ионизации. Из рис.10.37 видно, что наблюдается лишь
незначительное изменение температуры в сжатом слое по сравнению с тем,
которое получается для совершенного газа (без учета химических реакций). В
сжатом слое видна незначительная диссоциация молекул N2 и O2. В объеме
сжатого слоя массовая доля атомов O составляет примерно 0.1, а атомов N --
примерно 10-4. Наблюдается достаточно высокая концентрация молекул NO.
Пространственные распределения
массовых долей хорошо
идентифицируются на рис.10.36в,г. Вблизи поверхности СККА наблюдаются
концентрационные пограничные слои молекул N
2 и O2, что является
следствием каталитичности поверхности.
На распределениях продольной скорости и чисел Маха (рис.10.36а,б)
хорошо видны области сжатого слоя у лобовой поверхности СККА и область
отрывного возвратно-вихревого движения за задней плоской поверхностью
космического аппарата. На поле чисел Маха в указанной области возвратно-
вихревого движения в приосевой области видна зона с числами Маха порядка
единицы, в которой газ движется по направлению к поверхности.

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
520
Из представленных распределений следует, что температура в сжатом
слое не превышает ~ 4000 К, так что плотность интегральных радиационных
тепловых потоков оказывается на 2 порядка меньше, чем плотность
конвективных тепловых потоков, достигающих величины ~ 6 Вт/см2
(рис.10.38а). Основной вклад в конвективный тепловой поток вносит
теплопроводностный механизм передачи тепла.
Плотность спектрально-группового радиационного теплового потока и
соответствующая кумулятивная функция (рис.10.39) свидетельствуют о
наличии высвечивания молекул N
2 и NO в спектральном диапазоне
ω
∆=
30000-45000 см-1.
Пространственные поля рассчитанных функций показаны на рис.10.40-
10.42 свидетельствуют о заметном изменении поля течения вследствие
полета под углом атаки α = 300. Наблюдается закономерная деформация поля
течения в направлении набегающего потока. Также как и в двухмерных
расчетах, плотность интегральных радиационных тепловых потоков
пренебрежимо мала. Распределение плотности конвективного теплового
потока вдоль поверхности в меридиональной плоскости (показано на
рис.10.43) отражает закономерности нагрева лобового аэродинамического
щита, отмеченные в наземных экспериментальных аэродинамических
исследованиях (см. главу 9).
Распределения поступательной и колебательных температур, а также
массовых долей компонент смеси газов, вдоль критической линии тока,
полученные в пространственных расчетах и показанные на рис.10.44,
находятся в разумном согласии с результатами двухмерных расчетов.
На рис.10.45 показаны пространственные поля поступательной
температуры и чисел Маха при промежуточном угле атаки, α =100. На рис.
10.55 аналогичные данные приведены для высоты H=60 км и М=10.
Сравнение данных, показанных на рис. 10.40 и 10.45, а также на рис. 10.50 и
10.55, дает хорошее представление об общей деформации поля течения при
изменении угла атаки.
Следующие две группы данных показывают изменения газодинамических,
термических и радиационных характеристик с увеличением высоты полета
при той же скорости, то есть при M=10 (рис.10.46-10.55 -- для Н=60 км и
рис.10.56-10.63 -- для Н=80 км).
Наблюдается заметное увеличение толщины сжатого слоя у лобовой
поверхности (сравните рис.10.37, 10.47 и 10.57). Уровень поступательной
температуры остается примерно тем же, но по мере увеличения высоты
значительно увеличивается степень термической неравновесности. Падает и
доля диссоциированных молекул O2.
Основные элементы поля течения (сжатый слой, течение разрежения за
кромкой лобового аэродинамического щита, возвратно-вихревое движение за
задней поверхностью космического аппарата) лишь незначительно
модифицируются по мере подъема на высоту. Почти на порядок снижается
плотность конвективного теплового потока, при этом отмеченные

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
521
особенности обтекания под углом атаки остаются прежними: наветренная
сторона лобового аэродинамического щита греется сильнее (сравните
рис.10.43, 10.53 и 10.62).
Для радиационной газовой динамики наибольший интерес представляет
серия расчетов с M=30. Прежде, чем анализировать результаты расчетов этой
серии отметим, что при увеличении числа Маха всегда происходило
замедление скорости сходимости итерационного решения задачи в целом.
Наиболее вероятные причины этого кроются в необходимости интегрировать
систему кинетических уравнений электронной кинетики, которая, как
известно, обладает большей жесткостью, чем система уравнений
диссоционной кинетики, а также заметное влияние радиационных процессов,
так как их учет означает, что в правой части уравнения сохранения энергии
появляется слагаемое пропорциональное T4.
На рис.10.65 и 10.72, 10.75 и 10.82, а также 10.84 и 10.91 показаны осевые
распределения колебательных и поступательных температур, полученные в
двухмерных и трехмерных расчетах при M=30 на трех высотах H=50, 60 и 80
км соответственно.
По мере увеличения высоты полета наблюдается возрастание степени
термической неравновесности. На высотах H=50 и 60 км в сжатом слое
наблюдается почти неизменная температура по всей толщине сжатого слоя.
Релаксационная зона за фронтом ударной волны оказывается очень малой,
практически неразрешимой на используемых сетках. На высоте H=80 км
релаксационная зона уже вполне различима и ее ширина составляет
примерно 5 см.
На рис.10.65, 10.75 и 10.84 приведены осевые температурные
распределения, полученные на двух сетках разной подробности. Необходимо
обратить внимание на следующие особенности представленных
распределений. Очевидна неприемлемость описания зоны фронта ударной
волны на грубых сетках. Особенно это проявляется на относительно меньших
высотах, где зона химической и колебательной релаксации наименьшая (см.
рис. 10.65). Из рис.10.75 следует еще одно «
неприятное» последствие
использования грубой сетки. Здесь неверно рассчитывается не только
величина отхода фронта ударной волны от поверхности, но и уровень
температуры в сжатом слое. Полученные данные показывают возможные
нежелательные расчетные эффекты связанные с взаимодействием
итерационных процессов поиска совместного решения системы нелинейных
функций.
Отмеченные здесь последствия использования разных сеток (и разных
сеточных топологий) проявляются как при анализе распределения
газодинамических функций, полученных в двухмерных расчетах (рис. 10.65,
10.75 и 10.84), так и в трехмерных расчетах (рис.10.72, 10.82 и 10.91).
Решение указанных проблем относится к одной из первоочередных задач
настоящего этапа развития компьютерной аэрофизики спускаемых
космических аппаратов.

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
522
(a)
(б)
(в)
(г)
Рис.10.36. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a), поступательная
температураи числа Маха (б), массовые доли N2 и N (в), массовые доли O2 и O (г) при
H=50 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов
x, cm
T,K
01
02
03
04
05
06
0
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=50 km, M=10
X, cm
X species
01
02
03
04
05
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=50 km, M=10
Рис.10.37. Осевые распределения поступательной и колебательных
температур (слева), массовые доли компонент вдоль линии торможения (справа) для
H=50 км и M=10 (см. Табл.2). Результаты двухмерных расчетов

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
523
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-L: H=50 km, M=10
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
06
0
0
2
4
6
8
10
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
PTV-L: H=50 km, M=10
Рис.10.38. Слева: Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для H=50 км и M=10
(Табл. 10.2). Справа: Распределение плотностей интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны односторонние
потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от поверхности,
00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-6
10-5
10-4
10-3 Wrad, W*cm/(cm**2) PTV-L: H=50 km, M=10
Рис.10.39. Плотность спектрального радиационного потока и соответствующая
кумулятивная функция в критической точке для H=50 км и M=10 (см. Табл. 10.2).
Результаты двухмерных расчетов

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
524
Рис.10.40. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
продольной скорости (справа) для H=50 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Угол атаки
α =300
Рис.10.41. Результаты трехмерных расчетов чисел Маха (слева) и давления
2
PrespV
ρ∞∞
=
(справа) для H=50 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
525
Рис.10.42. Результаты трехмерных расчетов колебательной температурычисел N2
(слева) и колебательной температуры O2 (справа) для H=50 км и M=10
(см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
PTV-L: H=50 km, M=10, Alpha=30
Qw
Qrad
Рис.10.43. Распределение плотностей конвективного и интегрального радиационного
тепловых потоков вдоль поверхности в экваториальной плоскости для H=50 км и
M=10 (см, Табл. 10.2). Угол атаки α =300. Результаты трехмерных расчетов

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
526
x, cm
T,Tv,K
02
04
06
08
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=50 km, M=10, Alpha=30
x, cm
Ys
02
04
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=50 km, M=10, Alpha=30
Рис.10.44. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=50 км и M=10
(см. Табл. 10.2). Результаты трехмерных расчетов использованием модели Парка.
Угол атаки α =300
Рис.10.45. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
чисел Маха (справа) для H=50 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =100

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
527
(a)
(б)
(в)
(г)
Рис.10.46. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a), поступательная
температураи числа Маха (б), массовые доли N2 и N (в), массовые доли O2 и O (г) при
H=60 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов
x, cm
T,K
01
02
03
04
05
06
0
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=60 km, M=10
X,cm
X species
01
02
03
04
05
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=60 km, M=10
Рис.10.47. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=60 км и M=10
(см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
528
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-L: H=60 km, M=10
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
06
0
0
2
4
6
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
PTV-L: H=60 km, M=10
Рис.10.48. Слева: Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для H=60 км и M=10
(Табл. 10.2). Справа: Распределение плотностей интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны односторонние
потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от поверхности,
00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения (подробное
описание дано в [46])
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-8
10-7
10-6 Wrad, W*cm/(cm**2) PTV-L: H=60 km, M=10
Рис.10.49. Плотность спектрального радиационного потока и соответствующая
кумулятивная функция в критической точке для H=60 км и M=10 (см. Табл. 10.2).
Результаты двухмерных расчетов

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
529
Рис.10.50. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
продольной скорости (справа) для H=60 км и M=10 (см. Табл. 10.2).
Угол атаки α =300
Рис.10.51. Результаты трехмерных расчетов чисел Маха (слева) и давления
2
PrespV
ρ∞∞
=
(справа) для H=60 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
530
Рис.10.52. Результаты трехмерных расчетов колебательной температурычисел N2
(слева) и колебательной температуры O2 (справа) для H=60 км и M=10 (см. Табл.
10.2). Угол атаки α =300
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
PTV-L: H=60 km, M=10, Alpha=30
Qw
Qrad
Рис.10.53. Распределение плотностей конвективного и интегрального радиационного
тепловых потоков вдоль поверхности в экваториальной плоскости для H=60 км и
M=10 (см, Табл. 10.2). Угол атаки α =300. Результаты трехмерных расчетов

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
531
x, cm
T,Tv,K
02
04
06
08
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=60 km , M=10, Alpha=30
x, cm
Ys
02
04
06
08
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=60 km, M=10, Alpha=30
Рис.10.54. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=60 км и M=10
(см. Табл. 10.2). Результаты трехмерных расчетов использованием модели Парка.
Угол атаки α =300
Рис.10.55. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
чисел Маха (справа) для H=60 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =100

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
532
(a)
(б)
(в)
(г)
Рис.10.56. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a), поступательная
температураи числа Маха (б), массовые доли N2 и N (в), массовые доли O2 и O (г) при
H=80 км и M=10 (см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов
x, cm
T,K
01
02
03
04
05
06
0
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=80 km, M=10
X,cm
X species
01
02
03
04
05
06
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=80 km, M=10
Рис.10.57. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=80 км и M=10
(см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов. Показаны осевые распределения
для двух сеток (число узлов по нормали к поверхности: 61 и 121)

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
533
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-L: H=80 km, M=10
Рис.10.58. Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток) вдоль
каталитической поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для
H=80 км и M=10 (Табл. 10.2)
Рис.10.59. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
продольной скорости (справа) для H=80 км и M=10 (см. Табл. 10.2).
Угол атаки α =300.

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
534
Рис.10.60. Результаты трехмерных расчетов чисел Маха (слева) и давления
2
PrespV
ρ∞∞
=
(справа) для H=80 км и M=10 (см. Табл.10.2). Угол атаки α =300
Рис.10.61. Результаты трехмерных расчетов колебательной температурычисел N2
(слева) и колебательной температуры O2 (справа) для H=80 км и M=10
(см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
535
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-9
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
PTV-L: H=80 km, M=10, Alpha=30
Qw
Qrad
Рис.10.62. Распределение плотностей конвективного и интегрального радиационного
тепловых потоков вдоль поверхности в экваториальной плоскости для H=80 км и
M=10 (см, Табл. 10.2). Угол атаки α =300. Результаты трехмерных расчетов
x, cm
T,Tv,K
02
04
06
08
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=80 km, M=10, Alpha=30
x, cm
Ys
02
04
06
08
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=80 km, M=10, Alpha=30
Рис.10.63. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=80 км и M=10.
Результаты трехмерных расчетов использованием модели Парка. Угол атаки α =300

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
536
(a)
(б)
(в)
(г)
Рис.10.64. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a), поступательная
температураи числа Маха (б), массовые доли N2 и N (в), массовые доли O2 и O (г) при
H=50 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов
x, cm
T,K
01
02
03
0
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
2D PTV-L: H=50, M=30
X, cm
Yspecies
0
5
10
15
20
25
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
2D PTV-L: H=50, M=30
Рис.10.65. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=50 км и M=30
(см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов. Показаны осевые распределения
для двух сеток (число узлов по нормали к поверхности: 61 и 121)

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
537
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-L: H=50 km, M=30
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
06
0
0
100
200
300
400
500
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
PTV-L: H=50 km, M=30
Рис.10.66. Слева: Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для H=50 км и M=30
(Табл. 10.2). Справа: Распределение плотностей интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны односторонние
потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от поверхности,
00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-5
10-4
10-3
10-2 Wrad, W*cm/(cm**2) PTV-L: H=50 km , M=30
Рис.10.67. Плотность спектрального радиационного потока и соответствующая
кумулятивная функция в критической точке для H=50 км и M=30 (см. Табл. 10.2).
2D результаты

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
538
Рис.10.68. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
продольной скорости (справа) для H=50 км и M=30 (см. Табл. 10.2).
Угол атаки α =300
Рис.10.69. Результаты трехмерных расчетов чисел Маха (слева) и давления
2
PrespV
ρ∞∞
=
(справа) для H=50 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
539
Рис.10.70. Результаты трехмерных расчетов колебательной температурычисел N2
(слева) и колебательной температуры O2 (справа) для H=50 км и M=30 (см. Табл.
10.2). Угол атаки α =300
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
PTV-L: H=50 km, M=30, Alpha=30
Qw
Qrad
Рис.10.71. Распределение плотностей конвективного и интегрального радиационного
тепловых потоков вдоль поверхности в экваториальной плоскости для H=50 км и
M=30 (см, Табл. 10.2). Угол атаки α =300. Результаты трехмерных расчетов

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
540
x, cm
T,Tv,K
0
510152025303540
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=50 km, M=30, Alpha=30
x, cm
Ys
0
510152025303540
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=50 km, M=30, Alpha=30
Рис.10.72. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=50 км и M=30
(см. Табл. 10.2). Результаты трехмерных расчетов использованием модели Парка.
Угол атаки α =300
Рис.10.73. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
чисел Маха (справа) для H=50 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =100

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
541
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.10.74. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a), поступательная
температураи числа Маха (б), массовые доли N2 и N (в), массовые доли O2 и O (г) при
H=60 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
542
x, cm
T,K
01
02
03
04
0
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
2D PTV-L: h=60 km, M=30
X,cm
Yspecies
0
5101520253035
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
2D PTV-L: H=60, M=30
Рис.10.75. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=60 км и M=30
(см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов. Показаны осевые распределения
для двух сеток (число узлов по нормали к поверхности: 61 и 121)
S, cm
Qw, W/cm**2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-L: H=60 km, M=30
x, cm
Wrad, W/cm**2
01
02
03
04
05
06
0
0
100
200
300
400
500
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
PTV-L: H=60 km, M=30
Рис.10.76. Слева: Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для H=60 км и M=30
(Табл. 10.2). Справа: Распределение плотностей интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны односторонние
потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от поверхности,
00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
543
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-5
10-4
10-3
10-2 Wrad, W*cm/(cm**2) PTV-L: H=60 km, M=30
Рис.10.77. Плотность спектрального радиационного потока и соответствующая
кумулятивная функция в критической точке для H=60 км и M=30 (см. Табл. 10.2).
2D результаты
Рис.10.78. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
продольной скорости (справа) для H=60 км и M=30 (см. Табл. 10.2).
Угол атаки α =300

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
544
Рис.10.79. Результаты трехмерных расчетов чисел Маха (слева) и давления
2
PrespV
ρ∞∞
=
(справа) для H=60 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300
Рис.10.80. Результаты трехмерных расчетов колебательной температурычисел N2
(слева) и колебательной температуры O2 (справа) для H=60 км и M=30
(см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
545
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-3
10-2
10-1
100
101
102
PTV-L: H=60 km, M=30, Alpha=30
Qw
Qrad
Рис.10.81. Распределение плотностей конвективного и интегрального радиационного
тепловых потоков вдоль поверхности в экваториальной плоскости для H=60 км и
M=30 (см, Табл. 10.2). Угол атаки α =300.
Результаты трехмерных расчетов
x, cm
T,Tv,K
0
510152025303540
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=60 km, M=30, Alpha=30
x, cm
Ys
0
510152025303540
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=60 km, M=30, Alpha=30
Рис.10.82. Осевое распределение поступательной и колебательной температур
(слева) и массовые доли компонент для H=60 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Угол атаки
α =300. Использовалась кинетическая модель Парка

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
546
(a)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.10.83. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока (a), поступательная
температураи числа Маха (б), массовые доли N2 и N (в), массовые доли O2 и O (г) при
H=80 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Результаты двухмерных расчетов

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
547
x, cm
T,K
01
02
03
04
0
0
5000
10000
15000
20000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
2D PTV-L: H=80, M=30
X,cm
Yspecies
0
5101520253035
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
2D PTV-L: H=80, M=30
Рис.10.84. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=80 км и M=30
(см. Табл.2). Результаты двухмерных расчетов. Распределения температур даны для
двух расчетных сеток (число узлов по нормали к поверхности: 61 и 121)
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
100
200
300
400
500
10-2
10-1
100
101
102
Qrad
Qw,c
Qw,dif
Qw, tot
PTV-L: H=80 km, M=30
x, cm
Wrad, W/cm**2
10
20
30
40
0
10
20
30
40
50
60
Mo+
M1+
Mo-
M1-
Total flux
PTV-L: H=80 km, M=30
Рис.10.85. Слева: Распределение конвективных потоков ( ,,
,
wtot
wc
wdif
QQQ
=
+
,
,
wc
Q-
кондуктивный тепловой поток,
,
wdif
Q - диффузионный тепловой поток), и плотность
интегрального радиационного теплового потока ( rad
Q ) вдоль каталитической
поверхности СККА (от передней до задней критической точки) для H=80 км и M=30
(Табл. 10.2). Справа: Распределение плотностей интегральных радиационных
тепловых потоков вдоль передней линии торможения. Показаны односторонние
потоки теплового излучения: 1
M−
- интегральный радиационный тепловой поток к
поверхности, 1
M + - интегральный радиационный тепловой поток от поверхности,
00
,
MM
+−
- характеризуют объемную плотность теплового излучения
(подробное описание дано в [46])

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
548
Wavenumber, 1/cm
20000
40000
60000
80000
100000
10-5
10-4
10-3
10-2 Wrad, W*cm/(cm**2) PTV-L: H=80 km, M=30
Рис.10.86. Плотность спектрального радиационного потока и соответствующая
кумулятивная функция в критической точке для H=80 км и M=30 (см. Табл. 10.2).
2D результаты
Рис.10.87. Результаты трехмерных расчетов поступательной температуры (слева) и
продольной скорости (справа) для H=80 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Угол атаки
α =300

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
549
Рис.10.88. Результаты трехмерных расчетов чисел Маха (слева) и давления
2
PrespV
ρ∞∞
=
(справа) для H=80 км и M=30 (см. Табл. 10.2). Угол атаки α =300
Рис.10.89. Результаты трехмерных расчетов колебательной температурычисел N2
(слева) и колебательной температуры O2 (справа) для H=80 км и M=30 (см. Табл. 10.
2). Угол атаки α =300

Глава 10. 3D РадГД СККА с использованием разных кинетических моделей
550
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200 400 600 800 1000 1200
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
PTV-L: H=80 km, M=30, Alpha=30
Qw
Qrad
Рис.10.90. Распределение плотностей конвективного и интегрального радиационного
тепловых потоков вдоль поверхности в экваториальной плоскости для H=80 км и
M=30 (см, Табл. 10.2). Угол атаки α =300. Результаты трехмерных расчетов
x, cm
T,Tv,K
01
02
03
04
05
06
07
0
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
PTV-L: H=80 km, M=30, Alpha=30
x, cm
Ys
01
02
03
04
05
06
07
0
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
PTV-L: H=80 km, M=30, Alpha=30
Рис.10. 91. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
(слева) и массовые доли компонент вдоль линии торможения для H=80 км и M=30
(см. Табл. 10.2). Результаты трехмерных расчетов использованием модели Парка.
Угол атаки α =300

10.3. Систематическое исследование РадГД в широком диапазоне чисел Маха
551
В данном разделе представлены результаты численного исследования
радиационной аэротермодинамики сегментально-конического космического
аппарата большого размера при различных скоростях входа КА на различных
высотах в атмосфере Земли. Применялись две компьютерные программы
(коды) NERAT(2D) и NERAT(3D), с использованием которых выполнены
расчеты радиационной аэротермодинамики под нулевым углом атаки, а
также под углами атаки α = 300 и 100.
Полученные численные результаты свидетельствуют о высокой степени
чувствительности результатов расчета интегральных радиационных потоков
к поверхности КА в зависимости от топологии конечно-разностных сеток, от
используемых моделей физической и химической кинетики, а также от
использования
или
не использования
модели радиационно-
газодинамического взаимодействия.
Вместе с эти подчеркнем, что, несмотря на указанную чувствительность,
применение технологии совместных двухмерных и трехмерных расчетов на
модифицируемых расчетных сетках с последующим сравнительным
анализом расчетных данных, получаемых с использованием различных
кинетических моделей, позволяет повысить достоверность результатов
вычислительных экспериментов.

552
ГЛАВА 11
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РАДИАЦИОННАЯ ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА
(РадГД) СПУСКАЕМОГО АППАРАТА «СОЮЗ»
11.1. Исходные данные для расчета КА «Союз»
В данной главе выполнено численное исследование радиационной
аэротермодинамики спускаемого аппарата (СА) «Союз». Создана целая серия
указанных космических аппаратов, поэтому в данной главе рассмотрена
некоторая базовая конфигурация, выбранная по работам [147,148]. Некоторая
вариация размеров и конструктивных особенностей реальных модификаций
данного космического аппарата является не принципиальной для решаемой
здесь задачи оценки соотношения радиационного и конвективного нагрева.
Сопоставление конфигураций различных космических аппаратов можно
выполнить на основе работ [149-151].
11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
Трехмерные расчеты аэротермодинамики спускаемого аппарата «Союз»,
входящего в плотные слои атмосферы под углом атаки α =260 проводились с
использованием компьютерного кода NERAT-3D и кинетической модели
Парка. Исследованные точки траектории являются типичными для
орбитального входа, и они приведены в таблице 11.1.
Таблица 11.1. Исходные данные для расчета СА «Союз»
H, км
71
60
51
T∞,К
217
247
271
p∞ , эрг/см3
44.8
220.
670.
∞
ρ,,г/см3
0.720⋅10-7
0.310⋅10-6
0.863⋅10-6
а, см/с
29500.
31500.
33000.
М
25.1
21.6
14.6
V∞ , см/с
7.040⋅105
6.804⋅105
4.818⋅105
Заметим, что в настоящее время возможности подробного исследования
аэротермодинамики реальных космических аппаратов весьма ограничены.
Компьютерные коды типа NERAT-3D требуют для своего использования
наиболее мощные современные компьютеры, так что фактически расчеты
проводятся на пределе современных вычислительных возможностей. Кроме
этого, практически отсутствуют экспериментальные данные, позволяющие
тестировать такие компьютерные коды.

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
553
За последнюю четверть века интенсивного развития компьютерной
аэротермодинамики в США в научных центрах NASA было выполнено ряд
экспериментальных исследований в двумерной постановке в обеспечение
развития компьютерных кодов и предсказательных инженерных методик. Это
в значительной степени было стимулировано научными программами
исследования планет Солнечной системы (в первую очередь, Марса),
стартовавшими в конце 80-х годов прошлого века. Аналогичные
экспериментальные исследования в трехмерной постановке появились только
в последние годы (см., например, [121,139]). Даже наиболее авторитетное
российское издание [140], отражающее и резюмирующее опыт российских
научных коллективов по исследованию конвективного нагрева спускаемых
аппаратов различного назначения, демонстрирует целый ряд проблем,
подлежащих настоятельному решению в будущем. Проблемы радиационно-
конвективного теплообмена спускаемых аппаратов и неравновесной
аэрофизики, остававшиеся без пристального внимания при решении текущих
задач (в силу относительно меньшей значимости), за прошедшие годы
исследовались в еще меньшей степени.
В указанных условиях приходится использовать специальные методики
повышения достоверности расчетных данных, получаемых в
пространственных (трехмерных) расчетах. Сюда можно отнести всестороннее
тестирование расчетных кодов с использованием методов вычислительной
аэродинамики, тестирование получаемых результатов сравнением с
результатами одномерных и двумерных вычислений, независимое
тестирование моделей физической и химической кинетики на примере
ударно-волновых задач.
Представленные в данном разделе результаты расчетов радиационной
газовой динамики спускаемого аппарата «Союз» также преследуют цель
последующего сопоставления с данными других расчетов, и, может быть, с
отдельными опытными данными. Ниже будет показано, что
предсказываемый уровень плотностей радиационных тепловых потоков, как
и ожидалось, не превышает плотности конвективных тепловых потоков. Так
что с учетом известной неопределенности в предсказании конвективного
нагрева поверхности реального спускаемого аппарата, неопределенность в
предсказании радиационного нагрева не является критической.
Результаты расчетов, обсуждаемые в данной главе, получены с
использованием компьютерной программы, которая базируется на весьма
подробных моделях термической неравновесности многокомпонентного газа
и неравновесного теплового излучения. Эти модели неоднократно и успешно
тестировались сопоставлением с имеющимися экспериментальными данными
и летным экспериментом, что дает основание для обоснованной постановки
задач более детального исследования радиационно-газодинамических
гиперзвуковых течений в условиях заметной неравновесности.
На рис. 11.1,11.2 показана многоблочная конечно-разностная сетка,
которая использовалась для проведения указанных расчетов. Здесь показаны

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
554
только первоначальные расчетные сетки,
которые зачастую
модифицировались при проведении расчетов. Шести блочная расчетная
сетка, с использованием которой проводились радиационно-
газодинамические расчеты (рис.11.2) не позволяет получить хорошие
результаты по конвективному нагреву задней поверхности спускаемого
аппарата даже при использовании дополнительного удвоения узлов
расчетной сетки. Так что эти данные следует трактовать как оценочные.
Сетка вблизи обтекаемой поверхности СА в рассматриваемых случаях не
сильно влияет на плотность интегральных радиационных тепловых потоков.
На рис.11.2,11.3 показано распределение номеров поверхностных точек,
которые будут использоваться при описании результатов плотностей
спектральных радиационных потоков.
Полные радиационно-газодинамические расчеты были выполнены для
трех траекторных точек СА «Союз». Первая из указанных точек (вариант №1)
относится к неравновесному участку траектории. Вторую точку (вариант 2)
отнесем к промежуточному случаю, а третья (вариант 3) - соответствует
практически равновесным термическим условиям в сжатом слое. Такая
классификация хорошо подтверждается осевыми распределениями
поступательной и колебательных температур вдоль координатной линии,
отвечающей 1-й расчетной точке на поверхности первого блока
вычислительной области (см. рис.11.2). Данная координатная линия проходит
несколько выше критической линии тока. Эти распределения показаны на
рис.11.4.
Заметим, что здесь и в некоторых аналогичных распределениях
температуры вдоль критической линии тока, представленных выше, в силу
ограниченности расчетной сетки не всегда с хорошей точностью
определялась максимальная поступательная температура за фронтом ударной
волны.
Дополнительные вычислительные эксперименты с модификацией сетки
позволяют получить достаточно надежные значения этой величины. Однако,
как правило, в вычислительной практике систематических численных
исследований в этом нет настоятельной необходимости, так как в рамках
кинетических моделей, применяемых в данной работе, принципиально
важным являются распределения колебательных температур, которые
описываются с достаточно хорошей точностью. Кроме этого, хорошей
оценкой для максимальной поступательной температуры за фронтом ударной
волны является температура адиабатического торможения.
Далее рисунки, показывающие результаты расчетов, представлены в виде
трех групп, соответственно для каждого варианта.
На рис. 11.5-11.15 даны результаты расчетов 1-го варианта. На рис.11.5
показано поле скоростей в плоскости симметрии, где отчетливо видны все
характерные особенности обтекания спускаемого аппарата под углом атаки,
среди которых в первую очередь следует отметить утолщение сжатого слоя у

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
555
лобового аэродинамического щита и возникновение возвратно-вихревого
движения за подветренной стороной аппарата.
На рис.11.6 показаны аксонометрические изображения полей
поступательной температуры и чисел Маха. Видно температурное
распределение в сжатом слое (с резким повышением температуры за фронтом
головной ударной волны), а также нагрев газа в следе. На поле чисел Маха
можно различить область дозвукового движения над задней (подветренной)
поверхностью СА.
На рис. 11.7 приведены распределения колебательных температур
22
,,
,
VN VO
TT
в плоскости симметрии, а на рис.11.8 -- колебательной
температуры ,
VNO
T и давления. Сравнение поступательной и колебательных
температур во всей расчетной области течения (в ударном слое - см., также,
рис.11.4) показывает на существование пространственных областей
значительной термической неравновесности.
На рис. 11.9-11.11 показаны распределения в плоскости симметрии
массовых долей химических компонент N2, O2, N, O, e-
. Аксонометрические
изображения массовых долей ионов N+, O+ и NO+ даны на рис. 11.11-11.12.
Использовалась модель полностью каталитической поверхности, поэтому у
поверхности спускаемого аппарата на всех рисунках видны
концентрационные пограничные слои. Хотя следует признать, что их
разрешение еще, к сожалению, не вполне достаточное.
Из представленных рисунков лучше всего виден многокомпонентный
характер следа за спускаемым аппаратом. Напомним, что распределения
массовых долей оптически активных атомных и молекулярных компонент
важны для предсказания радиационного нагрева поверхности, а
распределения концентраций заряженных компонент важны для правильного
описания кинетических процессов возбуждения атомных и молекулярных
электронных состояний, а также для решения задач радиосвязи со
спускаемым аппаратом.
На рис. 11.13 показано распределение плотностей конвективных тепловых
потоков на каталитической поверхности спускаемого аппарата, а также
распределение линий тока вблизи обтекаемой поверхности, которые дают
представление о структуре течения вблизи критической линии тока и на
боковой поверхности.
На рис.11.14 приведено сопоставление плотностей конвективных
тепловых потоков вдоль каталитической и некаталитической поверхностей
СА «Союз» в плоскости симметрии. Отметим, что как и в ряде предыдущих
расчетных случаев, на кромке лобового щита наблюдается чрезмерный
скачек плотности конвективного теплового потока для некаталитической
поверхности, что в значительной степени связано с низкой разрешающей
способностью трехмерной расчетной сетки. Как известно рассчитываемая
величина конвективного теплового потока связанная с теплопроводностной

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
556
составляющей является более чувствительной к сетке во внутренней зоне
пограничного слоя.
На рис.11.14 и 11.15 представлены результаты расчетов плотностей
интегральных и спектральных радиационных тепловых потоков в разных
точках на поверхности спускаемого аппарата. На рис.11.15 слева показаны
плотности спектральных радиационных потоков, а на рис.11.15 справа -
соответствующие кумулятивные функции. Первая, пятая и шестая точки
расположены на лобовой поверхности вблизи критической точки обтекания.
Следствием этому является близость плотностей спектральных
радиационных потоков, поскольку они определяются распределением
температуры, давления и концентраций химических компонент в
излучающем слое, а для обозначенных точек - они близки. Третья точка
расположена сразу за верхней кромкой лобового аэродинамического щита на
подветренной боковой поверхности. Фактически эта точка греется
излучением течения разряжения за верхней кромкой. Как следствие -
заметное падение уровня плотностей потоков. Точки 4 и 5 расположены на
задней поверхности спускаемого аппарата. Здесь уровень плотностей
радиационных потоков очень низкий. Заметим, что как показали
исследования последних лет - это справедливо лишь для воздушной
атмосферы. При марсианском входе плотности радиационных тепловых
потоков к задней поверхности оказываются также весьма заметными (за счет
инфракрасного излучения CO2 и СO, см. главу 8).
Представленные на рис.11.15 кумулятивные функции показывают, что
основной вклад в интегральный радиационный тепловой поток вносят
спектральные диапазоны в видимой и ультрафиолетовой областях спектра
ω > 30000 см-1. Это осложняет дальнейший анализ радиационных процессов
в рассматриваемых задачах. Главными источниками излучения здесь
являются электронные полосы двухатомных молекул, кинетика заселения
которых известна недостаточно хорошо. Не исключено, что высокий уровень
интегральных радиационных тепловых потоков на лобовой поверхности
(рис.11.14 справа) связан, как раз, с использованием недостаточно
корректной модели возбуждения электронных состояний молекул N2, O2, NO
и NO+. Здесь требуется проведение дополнительных исследований в
области аэрофизики, физической и химической кинетики электронно-
возбужденных молекул.
На рис.11.16-11.25 в такой же последовательности показаны результаты
расчетов для варианта 2, а на рис.11.26-11.34 - для варианта 3.
Как уже отмечалось, по мере спуска в атмосфере реализуются все более и
более термически равновесные условия. Для второго расчетного случая
сохраняется заметный уровень ионизации, а для третьего случая - ионизация
весьма мала и заметно падает диссоциация молекул N2, O2. Уровень
плотности конвективных тепловых потоков для второго варианта возрастает
(сравните рис. 11.14 11.24), а интегральных радиационных тепловых потоков
-- падает. Во многом это связано с термализацией внутренних состояний

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
557
молекулярных компонент, то есть более быстрой релаксацией колебательных
состояний к энергии поступательного движения (рис.11.4) Хорошо видна
тенденция смещения спектрального распределения
плотностей
радиационных тепловых потоков, достигающих поверхности, в красную
сторону.
Последняя из рассчитанных траекторных точек отвечает наименьшей
скорости (V∞ =4.8 км/с, М~15) и наибольшей плотности набегающего потока.
Течение в ударном слое у лобовой поверхности характеризуется малой
степенью диссоциации молекул N2, хотя диссоциация O2 еще вполне
значительна.
Ионизация в этих условиях мала, по крайней мере, с точки зрения
радиационно-аэротермодинамического
нагрева
поверхности.
Местоположение области наибольшего нагрева, как и для предыдущих
расчетных вариантов, соответствует критической линии торможения при
полете спускаемого аппарата под углом атаки (рис.11.32). Плотность
конвективного теплового потока для каталитической поверхности, как и
прежде, более чем в два раза превосходит плотность потока для
некаталитической поверхности (
рис.11.33). Плотность интегральных
тепловых потоков составляет всего лишь несколько процентов от плотности
конвективного теплового потока.
Спектральное распределение радиационных тепловых потоков еще более
смещается в красную сторону (рис.11.34). Основной вклад в радиационный
нагрев вносит спектральный диапазон ω
∆ =20000-40000 см-1, где находятся
электронно-колебательные полосы молекул N2, O2, NO.
В целом, по результатам радиационно-газодинамических расчетов СА
«Союз» можно сделать следующие выводы:
1. Плотность тепловых потоков к лобовой поверхности СА «Союз» достигает
на некоторых элементах поверхности ~100 Вт/см2.
2. Неоднородность распределения плотностей тепловых потоков на переднем
аэродинамическом щите при угле атаки α =260 достигает примерно трех раз.
3. Плотность радиационных тепловых потоков остается заметно ниже
плотностей конвективных тепловых потоков. Однако, в некоторых точках
обтекаемой под углом атаки поверхности, плотность радиационных тепловых
потоков может приближаться к плотности конвективных тепловых потоков
(рис.11.14). Это наблюдается для сильно неравновесного участка траектории,
где достоверность предсказания радиационного нагрева существенно ниже,
чем в условиях близких к равновесным. Для повышения достоверности
предсказательных расчетов в указанных условиях требуется проведение
дополнительных
экспериментальных
и расчетно-теоретических
исследований.
4. Полученный в данных расчетах радиационный нагрев лобового
аэродинамического щита в условиях близких к равновесным вполне
соответствует сложившейся парадигме о возможности пренебречь
радиационным нагревом по сравнению с конвективным (см. рис. 11.24 и, в

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
558
особенности - рис.11.33). Однако, как видно из рис.11.24 (2-й вариант), вдоль
обтекаемой поверхности можно отыскать ряд участков, на которых
конвективный и радиационный нагревы становятся соизмеримыми. Они
расположены за кромкой лобового аэродинамического щита. Этот факт еще
раз ставит вопрос о возможном дополнительном радиационном нагреве,
связанном с термодеструкцией теплозащитного материала и влиянием
оптически активных химических компонент - продуктов разрушения на
радиационный нагрев в указанных зонах.
X
100
200
Y
-100
-50
0
50
100
Z
-100
-50
0
50
100
X
Y
Z
X
100
200
Y
-100
-50
0
50
100
Z
-100
-50
0
50
100
X
Y
Z
Рис.11.1. Поверхностная сетка расчетной модели СА «Союз»
6
11
15
19
26
36
45
56
67
72
77
82
87
92 96
100
104
108
112
116
120
127
132
136
140
144
148
152
156
161
166
171
176
181
189
202
211
221
229
233
237
x, cm
r,cm
0
50
100
150
200
250
-100
-50
0
50
100
Surface grid for calculation of radiation transfer
Рис.11.2. Расчетная сетка в плоскости симметрии. Номера точек вдоль поверхности
для расчета плотности радиационного теплового потока

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
559
12
2334455667
78
89
100
111
122
133
144
155
166
177
188 199 210 221
232
Number of point on the surface
S, cm
50
100
150
200
0
100
200
300
400
500
600
700
173247
54
56
58
60
62
72
88
93
96
100
104
109
116 130
138
143
147
151
154
157 171
185
187
189
191
193
199 214 229
x, cm
X-directional cosines
50
100
150
200
-1
-0.5
0
0.5
Surface cosines for calculation of radiation transfer
Рис.11.3. Связь номера точки с координатой, отсчитываемой вдоль поверхности.
Значения направляющих косинусов x
ω от номера точки
x, cm
T,Tv,K
0
5
10
15
20
25
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
SOJUZ-01, Catalytic surface
x, cm
T,Tv,K
0
5
10
15
20
25
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
SOJUZ-02, Catalytic surface
x, cm
T,Tv,K
051015202530354045
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
SOJUZ-03, Catalytic s urface
Рис.11.4. Осевые распределения поступательной и колебательных температур
для 1-й, 2-й и 3-й траекторных точек (см. Табл. 11.1)

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
560
Рис.11.5. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока в плоскости симметрии.
Вариант 1
Рис.11.6. Поступательная температура (в К) и числа Маха в плоскости симметрии и
в двух плоскостях перпендикулярных оси х. Вариант 1
Рис.11.7. Колебательная температура
2
()
V
TNи
2
()
V
TO (в К) в плоскости
симметрии. Вариант 1

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
561
Рис.11.8. Колебательная температура ()
V
TN
O(в К) и давления в плоскости
симметрии. Вариант 1
Рис.11.9. Массовая доля 2
Nи2
O в плоскости симметрии. Вариант 1
Рис.11.10. Массовая доля атомов N и О в плоскости симметрии.
Вариант 1

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
562
Рис.11.11. Массовая доля e− b N + в плоскости симметрии. Вариант 1
Рис.11.12. Массовая доля O+ b NO+ в плоскости симметрии и в двух плоскостях
перпендикулярных оси х. Вариант 1
Рис.11.13. Плотность конвективного теплового потока на поверхности СА "Союз".
Вариант 1

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
563
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
Рис.11.14. Слева: Распределение плотностей конвективных и радиационных потоков
вдоль поверхности СА "Союз". Справа: Распределение плотностей конвективных
тепловых потоков вдоль каталитической (сплошные линии) и некаталитической
(штриховые линии) поверхностей СА "Союз" . Вариант 1
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
123456
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
1: Npnt1= 1 S1/Ssurf = 0.000E+00
2: Npnt2= 5 S2/Ss urf= 0.150E+00
3: Npnt3= 10 S3/Ssu rf= 0.344E+00
4: Npnt4= 15 S4/Ssu rf= 0.634E+00
5: Npnt5= 20 S5/Ssurf= 0.8 91E+00
6: Npnt6= 23 S6/Ssurf= 0.961E+ 00
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
1
2
3
4
5
6
Cumulative function of the spectral radiation flux, W/cm**2
1: Npnt1= 1 S1/Ssurf= 0.000E+00
2: Npnt2= 5 S2/Ssurf= 0.150E+00
3: Npnt3= 10 S3/Ssurf= 0.344E+00
4: Npnt4= 15 S4/Ssurf= 0.634E+00
5: Npnt5= 20 S5/Ssurf= 0.891E+00
6: Npnt6= 2 3 S6/Ssurf= 0.961E+00
Рис.11.15. Распределение спектральных плотностей радиационных потоков и
соответствующие кумулятивные функции (справа) в пяти точках на поверхности
СА "Союз". Вариант 1
Рис.11.16. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока в плоскости симметрии.
Вариант 2

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
564
Рис.11.17. Поступательная температура (в К) и числа Маха в плоскости симметрии и
в двух плоскостях перпендикулярных оси х. Вариант 2
Рис.11.18. Колебательная температура
2
()
V
TNи
2
()
V
TO (в К) в плоскости
симметрии. Вариант 2
Рис.11.19. Колебательная температура ()
V
TN
O(в К) и давления в плоскости
симметрии. Вариант 2

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
565
Рис.11.20. Массовая доля 2
Nи2
O в плоскости симметрии. Вариант 2
Рис.11.21. Массовая доля атомов N и O в плоскости симметрии. Вариант 2
Рис.11.22. Массовая доля N + и NO+ в плоскости симметрии. Вариант 2

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
566
Рис.11.23. Плотность конвективного теплового потока на поверхности СА "Союз".
Вариант 2
S, cm
Qw, W/cm**2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
Рис.11.24. Слева: Распределение плотностей конвективных и радиационных потоков
вдоль поверхности СА "Союз". Справа: Распределение плотностей конвективных
тепловых потоков вдоль каталитической (сплошные линии) и некаталитической
(штриховые линии) поверхностей СА "Союз". Вариант 2
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-12
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
123456
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
1: Npnt1= 1 S1/Ssurf = 0.000E+00
2: Npnt2= 5 S2/Ssurf= 0.150E+00
3: Npnt3= 10 S3/Ssurf= 0.344E+00
4: Npnt4= 15 S4/Ssurf= 0.634E+00
5: Npnt5= 20 S5/Ssurf= 0.891E+00
6: Npnt6= 23 S6/Ssurf= 0.961E+00
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
123456
Cumulative function of the spectral radiation flux, W/cm**2
1: Npnt 1= 1 S1/Ssurf= 0.000E+00
2: Npnt2= 5 S2/Ssurf= 0.150E+00
3: Np nt 3= 10 S3/Ssurf = 0.344E+00
4: Np nt 4= 15 S4/Ssurf = 0.634E+00
5: Np nt 5= 20 S5/Ssurf= 0 .8 91E+00
6: Np nt 6= 23 S6/Ssurf= 0 .9 61E+00
Рис.11.25. Распределение спектральных плотностей радиационных потоков и
соответствующие кумулятивные функции в пяти точках на поверхности СА "Союз".
Вариант 2

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
567
Рис.11.26. Продольная скорость x
Vu
V
∞
=
и линии тока в плоскости симметрии.
Вариант 3
Рис.11.27. Поступательная температура (в К) и числа Маха в плоскости симметрии и
в двух плоскостях перпендикулярных оси х. Вариант 3
Рис.11.28. Колебательная температура
2
()
V
TNи
2
()
V
TO (в К) в плоскости
симметрии. Вариант 3

Глава 11. Пространственная РадГД спускаемого аппарата «Союз»
568
Рис.11.29. Колебательная температура ()
V
TN
O(в К) и давления в плоскости
симметрии. Вар. 3
Рис.11.30. Массовая доля 2
Nи2
O в плоскости симметрии. Вариант 3
Рис.11.31. Массовая доля атомов N O в плоскости симметрии. Вариант 3

11.2. Радиационная газовая динамика спускаемого аппарата «Союз»
569
Рис.11.32. Плотность конвективного теплового потока на поверхности СА "Союз".
Вариант 3
S, cm
Qw, W/cm* *2
0
200
400
600
10-2
10-1
100
101
102
Рис.11.33. Слева: Распределение плотностей конвективных и радиационных потоков
вдоль поверхности СА "Союз". Справа: Распределение плотностей конвективных
тепловых потоков вдоль каталитической (сплошные линии) и некаталитической
(штриховые линии) поверхностей СА "Союз" . Вариант 3
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-1 2
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
123456
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
1: Npnt1= 1 S1/Ssurf= 0.000E+00
2 : Npnt2= 5 S2/Ssurf= 0.150E+00
3: Npnt3= 10 S3/Ssurf= 0.344E+00
4: Npnt4= 15 S4/Ssurf= 0.634E+00
5: Npnt5= 20 S5/Ssurf= 0 .891E+ 00
6: Npnt6= 23 S6/Ssurf= 0 .961E+00
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-8
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
123456
Cumulative function of the spectral radiation flux, W/cm**2
1: Npnt1= 1 S1/Ssurf = 0.000E+00
2: Npnt2= 5 S2/Ssurf= 0.150E+00
3: Npnt3= 10 S3/Ssurf = 0.344E+00
4: Npnt4= 15 S4/Ssurf = 0.634E+00
5: Npnt5= 20 S5/Ssurf= 0.891 E+00
6: Npnt6= 23 S6/Ssurf= 0.961E+00
Рис.11.34. Распределение спектральных плотностей радиационных потоков и соот-
ветствующих кумулятивных функций в пяти точках на поверхности СА "Союз".
Вариант 3

570
ГЛАВА 12
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ РАДИАЦИОННОЙ
АЭРОТЕРМОДИНАМИКИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА STARDUST
В ТРЕХМЕРНОЙ ПОСТАНОВКЕ
12.1. Космическая миссия Stardust
Активная часть исследовательской программы NASA под названием
Stardust была начата 7 февраля 1999 года запуском космического аппарата
(КА) с тем же названием для исследования кометы Wild-2. Космический
аппарат выполнил пролет через тело кометы на расстоянии 149 км от ее ядра.
В процессе полета космический аппарат осуществлял забор проб вещества из
тела кометы в ее газопылевой области. Кроме захвата материала кометы
проводилось накопленные пылевой компоненты космического пространства
на протяжении всех 7 лет полета. Обзор исследовательской миссии Stardust
представлен в работах [3,153,154].
Возвращение КА Stardust с образцами пыли межпланетного пространства
и кометы на Землю произошло 15 января 2006 г. Спускаемый КА
приземлился с использованием парашютной системы на базе ВВС США в
штате Юта. Подробности выбора сценария посадки, включая данные по
траектории торможения КА Stardust, приведены в [155]. В процессе входа в
плотные слои атмосферы были получены экспериментальные данные по
уносу тепловой защиты спускаемого аппарата. Обзор полученных данных
представлен в работах [3,156-167]. В недавно выполненных работах [165-166]
приведены данные по сопоставлению расчетных данных разных авторов.
12.2. Численное моделирования радиационной газовой динамики КА
Stardust под углом атаки 80
В данном разделе представлены расчетные данные, полученные с
использованием компьютерного кода NERAT-3D. Решение задачи
радиационной газовой динамики космического аппарата Stardust проводилось
в два этапа.
На первом этапе решалась задача обтекания космического аппарата
Stardust под углом атаки α =80. Разрушение тепловой защиты не
учитывалось, т.к. в работе [165] было показано, что принципиальных
изменений в поле течения при учете абляции теплозащитного покрытия не
происходило.
На втором этапе проводился трехмерный расчет распределения
плотностей интегральных и спектральных радиационных тепловых потоков

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
571
вдоль поверхности космического аппарата. Параметры траектории входа КА
Stardust в плотные слои атмосферы Земли представлены в таблице 12.1.
Расчеты проводились на трех топологиях сеток. Во всех расчетных
случаях применялись аналитические методы построения сеток в блоках
расчетной сетки, что позволяло легко адаптировать расчетную сетку к
решению [168]. Заметим, что расчетные сетки с малым числом блоков
позволяют проводить расчеты на рабочих станциях с малым числом
процессоров (4-16).
Топология №1 (рис.12.1) основана на использовании трехблочной сетки
«О» и «С» типа. Преимуществом данной сетки является удобство описания
ближней отрывной зоны за подветренной поверхностью космического
аппарата. К недостаткам следует отнести сильную неоднородность первого
блока, в котором значения якобиана преобразования координат сильно
отличается от единицы (что с неизбежностью ведет к ухудшению точности
расчетов), а также проблемы стыковки газодинамических функций на стыке
первого и второго расчетных блоков (линия DF, рис.12.1б). Еще один
недостаток сетки данной топологии был обнаружен в процессе численных
исследований. Для условий течения с протяженными отрывными зонами
оказалось важными выбирать радиус поверхности A-B-C (см. рис.12.1б),
поскольку зона возвратно-вихревого движения должна вмещаться полностью
во вторую область.
Таблица 12.1. Исследованные траекторные точки КА Stardust [3]
Время,
с
Высота,
км
ρ∞,
г/см3
p∞,
эрг/см3 V∞ ,
км/с
T∞,
K
42
71.92
8
4.16 10−
×
26.41 12.4 221.42
48
65.44
7
1.54 10−
×
103. 12.0 229.00
54
59.77
7
2.34 10−
×
160. 11.1 238.47
60
55.02
7
4.39 10−
×
312.7 9.7 248.48
66
51.19
7
8.86 10−
×
688. 7.96 255.50
76
46.51
5
1.600 10−
×
1230. 5.18 255.99
На сетках второй топологии (рис.12.2) частично решены проблемы с
первым расчетным блоком (что, впрочем, частично можно было сделать и на
сетках первой топологии). Проблема с зоной возвратно-вихревого движения
решена полностью. К недостатку данной топологии следует отнести
оставшуюся значительную неоднородность первого расчетного блока. Это
оказывается важным при расчете распределения плотности конвективного
теплового потока вдоль наветренной поверхности космического аппарата.
Проблемы с первым расчетным блоком решены в топологии сетки №3. Из
рис.12.3 видно, что внешняя граница расчетной области на участке G1-H1

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
572
является эквидистантной форме наветренной поверхности космического
аппарата.
Для трехмерных расчетов была использована топология сетки № 4 ,
которая показана на рис.12.4 и 12.5. Заметим, что следствием использования
конечно разностного метода решения данной задачи явилась необходимость
введения двух дополнительных блоков (№№ 1 и 6) в окрестности оси
симметрии космического аппарата (см. рис.12.5б).
x, cm
y, cm
0
100
200
300
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
2
3
1
A
B
C
D
x, cm
0
50
100
0
50
100
A
B
C
D
E
F
G
H
P
GYF1
1
2
3
(а)
(
б)
Рис.12.1. Двумерная конечно-разностная сетка первой топологии
x, cm
y, cm
050100150200250300
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
12
3
4
B3
A3
C3
D3
A4
B4
C4
D4
x, cm
y, cm
02
04
06
0
0
20
40
60
80
1
2
B3
A3
C3
D3
A1
B1C1
D1
E1
F1
H1
Рис.12.2. Двумерная конечно-разностная сетка второй топологии

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
573
x, cm
y, cm
0
50
100 150 200 250 300
-150
-100
-50
0
50
100
150
1
2
3
4
x, cm
0
50
100
-50
0
50
A1
B1
C1
D1 E1
F1
H1
A2
B2
C2
D2
E2
F2
D3
A3
C3
G1
B3
A4
B4
C4
D4
(а)
(
б)
Рис.12.3. Двумерная конечно-разностная сетка третьей топологии
X
10
20
30
40
50
Y
-40
-20
0
20
40
Z
0
10
20
30
40
X
Y
Z
X
10
20
30
40
50
-40
-20
0
20
4
Z
0
10
20
30
40
Z
Рис.12.4. Расчетная сетка на поверхности КА Stardust

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
574
x, cm
y, cm
050100150200
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
3
4
5
6
7
8
(a)
(b)
Рис. 12.5. Трехмерная расчетная сетка в плоскости симметрии (а). Правая часть
рисунка показывает номера точек на поверхности, которые используются при
расчете плотностей радиационного потока на поверхности
На рис.12.6 и 12.7 показаны результаты расчетов осесимметричной
двумерной задачи на трех топологиях сеток для точки траектории t= 54 s.
Хорошо видно, что при изменении топологии сетки наблюдается
закономерное изменение полей газодинамических функций. Расчетами
подтверждена высокая чувствительность расчета конвективных и
радиационных тепловых потоков к топологии и подробности конечно-
разностных сеток. На рис.12.8 показано типичное распределение плотностей
конвективного теплового потока (а также диффузионной и конвективной
составляющих) вдоль всей поверхности космического аппарата, а также
распределение радиационных тепловых потоков вдоль наветренной
поверхности. Общие закономерности расчета плотностей конвективных
тепловых потоков вдоль поверхности таковы:
- Плотность конвективных тепловых потоков предсказывается с высокой
степенью стабильности в окрестности критической линии тока практически
на любой топологии сеток;
- Распределение плотностей тепловых потоков вдоль наветренной
поверхности космического аппарата в значительной степени зависит от
топологии расчетной сетки; вовсе не обязательно получение хороших
расчетных результатов на чрезмерно подробных сетках;
- Распределение плотностей конвективных тепловых потоков вдоль
подветренной стороны КА в значительной степени зависит от топологии и
подробности расчетных сеток.
На рис.12.8б и 12.9 дано распределение температуры вдоль передней
критической линии тока для трех точек траектории t=42, 48, 54 с , которые

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
575
характеризуются высокой степенью неравновесности процессов в сжатом
слое за фронтом ударной волны. Штриховой кривой показано распределение
поступательной температуры, полученное без учета радиационно-
газодинамического взаимодействия. Показанные на рисунках распределения
колебательных температур молекул N2, O2 и NO получены в расчетах с
учетом радиационно-газодинамического взаимодействия. Представленные
данные свидетельствуют о том, что в рассмотренном случае радиационно-
газодинамическое взаимодействие в наибольшей степени сказывается для
точек траектории, в которых наблюдается большая степень неравновесности
в сжатом слое.
Рис. 12.6. Результаты расчета поля течения в окрестности КА Stardust at t=54 с
использованием вычислительных сеток первой и второй топологии
Рис. 12.7. Результаты расчета поля течения в окрестности КА Stardust at t=54 с
использованием вычислительных сеток третьей топологии

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
576
s, cm
q, W/cm**2
02
04
06
08
01
0
0
10-2
10-1
100
101
102
103
1
4
3
5
2
x, cm
T,K
00
.
511
.
522
.
5
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
T
Tv(N 2)
Tv(O2)
Tv(N O)
T no RadGD interaction
STARDUST, t=42s
(а)
(
б)
Рис. 12.8. Распределение плотностей конвективных тепловых потоков вдоль
поверхности КА Stardust для t=54 c (а). Показаны результаты расчетов плотностей
радиационных тепловых потоков и результаты расчетов [3].
Справа показаны распределения поступательной и колебательных температур вдоль
передней критической линии тока при t=42 s. Сплошная кривая -- поступательная
температура с учетом радиационно-газодинамического взаимодействия, штриховая
кривая -- без учета радиационно-газодинамического взаимодействия
Отметим главные закономерности радиационно-газодинамического
взаимодействия: температура в высокотемпературной части сжатого слоя
снижается, а в области пограничного слоя -- возрастает. Снижение
температуры сжатого слоя приводит к заметному смещению фронта ударной
волны к поверхности -- толщина сжатого слоя уменьшается.
Перечисленные факторы могут влиять на радиационно-конвективный
теплообмен по-разному, в зависимости от смеси газов и от условий
обтекания. Так, учет высвечивания из сжатого слоя приводит к падению
температуры в нем, однако при этом реабсорбция излучения в сжатом слое
может приводить к увеличению температурных градиентов у поверхности,
что приведет к увеличению конвективного нагрева.
Заметим, что рассматриваемые траекторные условия космического
аппарата Stardust соответствуют не очень сильному радиационно-
газодинамическому взаимодействию. Отмеченные выше эффекты
взаимодействия теплового излучения с полем течения будут проявляться
значительно сильнее при увеличении скорости полета до 12-15 км/с и выше.

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
577
x, cm
T,K
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T no RadGD interactio n
STARDUST, t=48 s, G=0.0064 g/(cm2*s)
x, cm
T,K
00
.
511
.
522
.
5
0
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
T
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
T no RadGD interactio n
STARDUST, t=54s, G=0.0064 g/(cm2*s)
Рис. 12.9. Распределение температуры вдоль передней критической линии тока при
t=48 с (слева) и при t=54 с. Сплошные кривые -- поступательная температура с
учетом радиационно-газодинамического взаимодействия, штриховые кривые -- без
учета радиационно-газодинамического взаимодействия
Расчеты трехмерного обтекания космического аппарата Stardust под углом
атаки α = 80 выполнены для условий в набегающем потоке, приведенным в
таблице 12.1. Для каждой из расчетных точек траектории анализировались
распределения поступательной температуры и продольной скорости,
колебательных температур молекул N2, O2 и NO, распределения массовых
долей молекул N2 , O2 и атомов N, O.
Анализ указанных данных позволяет получить полное представление о
закономерностях обтекания космического аппарата в рассматриваемых
условиях. Структура течения в сжатом слое оказывается важной для
предсказания радиационно-конвективного нагрева наветренной поверхности.
Поле течения в отрывной зоне и в ближнем следе оказывается чрезвычайно
важным для предсказания радиационного и конвективного нагрева
подветренной поверхности космического аппарата. В случае движения
космического аппарата под углом атаки (в особенности при углах атаки ~20-
300 ) ситуация значительно усложняется, поскольку область максимального
конвективного нагрева смещается к окрестности нижней обтекаемой кромки
КА, имеющей, как правило, относительно малый радиус затупления, что в
еще большей степени увеличивает здесь конвективный тепловой поток.
Предсказание радиационного нагрева поверхности в трехмерном случае
становится еще более сложной задачей, поскольку радиационный перенос
энергии является нелокальным и кривизна излучающей области оказывает
сильное влияние на процесс радиационного переноса. Анализ осевых
распределений поступательной и колебательных температур вдоль оси
симметрии космического аппарата (находится вблизи критической линии
тока при α = 80) позволяет наглядно представить факт уменьшения

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
578
неравновесной зоны ударной волны по мере движения вдоль траектории
баллистического спуска.
На рис.12.10 показаны осевые распределения температур в разных точках
траектории. Хорошо видно, что по мере увеличения времени полета (при
торможении космического аппарата) уменьшается зона неравновесности.
Некоторым недостатком представленных данных является небольшое число
расчетных точек поперек сжатого слоя (в данном случае 25). На рис.12.11
показаны распределения массовых долей газовых компонент в сжатом слое
для тех же траекторных точек. Поверхность космического аппарата
полагалась каталитической, поэтому на всех рисунках наблюдается
возрастание весовых долей N2 и O2 вблизи поверхности. Также хорошо видно,
что вплоть до 60-й секунды полета в сжатом слое присутствуют в основном
атомы и атомарные ионы. В силу использования условия
квазинейтральности, здесь также велика концентрации электронов. На
рисунках показаны весовые доли, поэтому электронная концентрация
относительно мала.
Весьма полное представление о закономерностях аэротермодинамики
обтекания космического аппарата под углом атаки можно получить из
анализа рис.12.12-12.19. На рис.12.12, 12.14, 12.16 и 12.18 показано
распределения скорости, поступательной и колебательных температур для
четырех последовательных точек траектории. Обратим внимание на два
важных факта:
- По мере движения вдоль траектории изменяется структура течения в
отрывной зоне, которая является исключительно сложной для анализа. Тем
не менее, хорошо видно, что на участке траектории t=42-60 c наблюдается
закономерный переход от двух вихревой структуры к одно вихревой, с
подавлением верхнего вихревого движения. Впрочем, расчеты в будущем на
более подробных сетках могут показать существование более сложной
вихревой структуры. На это указывает вычислительный опыт специального
исследования отрывных зон течения.
- В отрывном течении наблюдается значительная температурная
неравновесность. Этот факт может оказаться весьма важным для
предсказания плотности радиационных тепловых потоков к подветренной
поверхности космического аппарата (при входе в атмосферу Марса это
оказывается особенно важным из-за специфики оптических свойств двуокиси
углерода).
С целью анализа излучательных свойств сжатого слоя у наветренной и
вблизи подветренной поверхности космического аппарата необходимо знание
распределений концентраций атомарных и молекулярных компонент в
возмущенной области течения. На рис.12.13, 12.15, 12.17 и 12.19 показаны
поля массовых долей основных компонент: молекул N2, O2 и атомов N, O.
Представленные данные позволяют объяснить закономерности изменения
спектральных радиационных потоков при движении вдоль поверхности по
часовой стрелке, как это показано на рис.12.5б. Указанные распределения

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
579
показаны на рис. 12.20, а на рис.12.21 представлены кумулятивные функции
плотностей интегральных радиационных потоков в каждой из рассмотренных
точек. Эти функции рассчитываются по следующей формуле:
,
min
() ()
rc
um
r
QQ
d
ω
ω
ω
ωω
=∫,
где ()
r
Q ω - плотность спектрального радиационного потока к поверхности,
представленная на рис.12.20,
min
ω - минимальное значение волнового числа
спектрального диапазона, в котором исследуется перенос лучистой энергии (в
данном случае min
ω =1000 см-1, min
ω =180000 см-1).
Заметим, что если спектральные распределения плотностей радиационных
тепловых потоков позволяют получить информацию об основных
механизмах излучения, вносящих вклад в радиационный нагрев поверхности,
то кумулятивные функции дают информацию о том, в какой части спектра
формируется основная часть радиационных потоков к поверхности.
Анализируя кумулятивные функции распределения интегральных
радиационных потоков для разных точек траектории (рис.12.21) удается
установить, что в окрестности критической линии тока (точка №1 на
поверхности космического аппарата) интегральные радиационные потоки к
поверхности сначала возрастают от r
Q =40 Вт/см2 (t=42 c) до r
Q =280 Вт/см2
(t=54 c), а затем падают до r
Q =60 Вт/см2 (t=60 c). Указанные значения
интегральных потоков определяются как предельные значения кумулятивных
функций при
max
ωω
=
.
Если рассмотреть одну точку траектории, например t=54 c, то видно, что
на верхней кромке поверхности космического аппарата (точка №40)
интегральный поток теплового излучения упал до r
Q =100 Вт/см2, в точке
№75 (верхняя часть плоской подветренной поверхности) -- до r
Q =1 Вт/см2, в
точке №110 (нижняя часть плоской подветренной поверхности) -- до r
Q =0.12
Вт/см2. В точках №5 и №6 интегральный радиационный поток опять
возрастает. Это объясняется тем, что точка №5 находится на нижней кромке
космического аппарата, обращенной к набегающему потоку. Последняя из
фиксированных точек, №6, расположена вблизи критической линии тока,
поэтому не удивительно, что кумулятивные функции, отвечающие 1-й и 6-й
точкам близки для всех точек траектории.
Ранее было показано, что наибольшая температура в сжатом слое
достигается в окрестности передней критической линии тока. Это находит
свое отражение на спектральных распределениях кумулятивных функций.
Для всех траекторных точек основная часть интегрального теплового потока
формируется в ближней ультрафиолетовой части спектра. По мере обхода
поверхности, до задней критической линии тока, спектральная область, в
которой в основном формируется интегральный поток, смещается в видимую
область спектра.

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
580
Из рис. 12.20 видно, что в разных участках спектра определяющими
оказываются разные радиационные процессы. В рассматриваемых условиях
главными радиационными процессами, формирующими радиационный
x, cm
T,Tv,K
00
.
511
.
522
.
5
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
STARDUST, Alpha=8, t=42 s, Chem
x, cm
T,Tv,K
00
.
511
.
522
.
5
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
STARDUST,Alpha=8,t=48s,Chem
(а)
(
б)
x, cm
T,Tv,K
00
.
511
.
522
.
5
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
STARDUST,Alpha=8,t=54s,Chem
x, cm
T,Tv,K
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
18000
20000
22000
Ttr
Tv(N2)
Tv(O2)
Tv(NO)
STARDUST, t=60 s, Chem
(в)
(
г)
Рис. 12.10. Осевые распределения температур в точках траектории
t=42с,48с,54си60с.Уголатакиα=80
тепловой поток к поверхности являются электронно-колебательные полосы
двухатомных молекул и молекулярных ионов N2, O2, NO, N2+ . Значительный
вклад дают также фото рекомбинационное излучение O2.
В высокотемпературной области сжатого слоя, где присутствует много
атомарных ионов N+ и O+ важным оказываются тормозное взаимодействие
электронов с ионами (см. инфракрасную область спектра на рис.12.20),
однако вклад этих процессов в интегральные радиационные потоки
оказывается малым. На рис. 12.20 хорошо также видно, что по мере отхода от
передней критической линии тока (для любой точки траектории) уровень

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
581
спектральных радиационных тепловых потоков падает, а максимальные
значения смещаются в область видимого и ближнего инфракрасного
излучения. Это находится в хорошем соответствии с законом смещения Вина.
На рис.12.22а показаны распределения плотностей интегральных
радиационных потоков вдоль поверхности космического аппарата. Расчеты
интегральных радиационных потоков проводилось на подробных расчетных
сетках: вдоль каждого луча учитывалось col
N =100 точек, в которых
определялись спектральные оптические свойства. Из каждой точки на
поверхности космического аппарата испускались 121 лучей. Численными
экспериментами было проверено, что этого вполне достаточно для
сходимости численных результатов по угловым расчетным сеткам.
x, cm
Ys
0.5
1
1.5
2
2.5
3
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
x, cm
Ys
0.5
1
1.5
2
2.5
3
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(а)
(
б)
x, cm
Ys
0.5
1
1.5
2
2.5
3
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
x, cm
Ys
0.5
1
1.5
2
2.5
3
10-7
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
N
O
E-
N2
O2
NO
N2+
O2+
NO+
N+
O+
(в)
(
г)
Рис.12.11. Осевое распределение массовых долей газовых компонент сжатого слоя
при t=42, 48, 54 и 60 с. Угол атаки α =80

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
582
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.12. Поле продольной скорости, поступательная и колебательные
температурыN2иO2приt=42с.Уголатакиα=80.XиY--всм

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
583
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.13. Поля массовых долей газовых компонент N2, O2 и N, O при t=42 с. Угол
атакиα=80.XиY--всм

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
584
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.14. Поле продольной скорости, поступательная и колебательные
температурыN2иO2приt=48с.Уголатакиα=80.XиY--всм

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
585
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.15. Поля массовых долей газовых компонент N2, O2 и N, O при t=48 с.
Уголатакиα=80.XиY--всм

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
586
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.16. Поле продольной скорости, поступательная и колебательные
температурыN2иO2приt=54с.Уголатакиα=80.XиY--всм

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
587
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.17. Поля массовых долей газовых компонент N2, O2 и N, O при t=54 с.
Уголатакиα=80.XиY--всм

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
588
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.18. Поле продольной скорости, поступательная и колебательные
температурыN2иO2приt=60с.Уголатакиα=80.XиY--всм

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
589
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис. 12.19. Поля массовых долей газовых компонент N2, O2 и N, O при t=60 с.
Уголатакиα=80.XиY--всм

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
590
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1-point#1
2 - point #40
3 - point #75
4 - point #110
5 - point #145
6 - point #175
Spe ctral radiation flux, W*cm/cm* *2
1
2
3
4
5
6
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1-point#1
2-point#40
3-point#75
4-point#110
5-point#145
6-point#175
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
1
2
3
4
5
6
(а)
(
б)
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1-point#1
2 - point #40
3 - point #75
4 - point #110
5 - point #145
6 - point #175
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
1
2
3
4
5
6
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1-point#1
2 - point #40
3 - point #75
4 - point #110
5 - point #145
6 - point #175
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
1
2
3
4
5
6
(в)
(
г)
Рис. 12.20. Плотность спектральных потоков теплового излучения в шести точках на
поверхности КА Stardust при t=42 с, 48 с, 54 с и 60 с. Угол атаки α =80
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm* *2
1
2
3
4
5
6
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W/cm**2
1
2
3
4
5
6
(а)
(
б)

12.2. РадГД КА Stardust под углом атаки α=80
591
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1
2
3
4
5
6
Integral Radiation Flux, W /cm* *2
1
2
3
4
5
6
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
123456
Integral Radiation Flux, W/cm**2
1
2
3
4
5
6
(в)
(
г)
Рис. 12.21. Кумулятивная функция плотности интегральных потоков теплового
излучения в пяти точках на поверхности КА Stardust при t=42 с, 48 с, 54 с и 60 с. .
Угол атаки α =80.
R
q , Вт/см2
R
q , Вт/см2
Qrad, W/cm2
20406080100120140160
10-2
10-1
100
101
102
103
t=42 s
t=48 s
t=54 s
t=60 s
Номер точки на поверхности
(а)
(
б)
Рис. 12.22. Распределение интегральных радиационных тепловых потоков вдоль
поверхности космического аппарата Stardust под углом атаки α = 80 (а) и 160 (б);
результат расчета на сетке col
NN
N
θϕ
× × =200x11x11.
Таким образом, при решении задачи радиационной газовой динамики
космического аппарата Stardust в двухмерной постановке, а также под углом
атаки α =80, показано, что радиационно-газодинамическое взаимодействие в
сжатом слое проявляется, в основном, для начальных точек траектории входа
в плотные слои атмосферы, которые расположены на большой высоте (выше
60-ти км). В этих точках течение в значительной степени является

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
592
неравновесным. Установлено,
что радиационно-газодинамическое
взаимодействие приводит к уменьшению расстояния отхода головной
ударной волны от поверхности космического аппарата, некоторому
снижению температуры в сжатом слое (за счет высвечивания теплового
излучения) и увеличения температуры в пограничном слое (за счет
поглощения здесь теплового излучения идущего от ударной волны и сжатого
слоя).
Показано, что на части подветренной стороны поверхности космического
аппарата радиационные тепловые потоки превосходят конвективные
тепловые потоки.
При проведении численных экспериментов стало очевидным, что для
повышения точности расчета радиационных тепловых потоков к поверхности
необходимо более тщательно исследовать модели колебательной релаксации
за фронтом ударной волны и неравновесной диссоциации молекул
набегающего потока, поскольку именно электронно-возбужденные
молекулярные компоненты определяют основную долю радиационных
тепловых потоков к поверхности.
12.3. Численное моделирования радиационной газовой динамики
КА Stardust под углом атаки 160
Расчеты обтекания космического корабля Stardust под углом атаки α =160
проводились для условий полета данных в таблице 12.1. Исходя прогнозной
программы полета и его послеполетного исследования, делается вывод о
малой вероятности движения КА Stardust под большим углом атаки [154].
Тем не менее, оценка влияния угла атаки на параметры радиационно-
газодинамического взаимодействия представляется весьма полезным для
изучения общих закономерностей.
На рис.12.23 представлены поля поступательной температуры,
формируемые у поверхности КА Stardust при полете под углом атаки α =160
в четыре последовательных момента времени. На последующих рисунках
показаны соответствующие распределения колебательных температур 2
,
VN
T
(рис.12.24), продольной скорости x
Vu
V
∞
= (рис.12.25), а также массовых
концентраций молекул N2 (рис.12.26) и O2 (рис.12.27) и атомов N (рис.12.28)
и О (рис.12.29).
Принципиальные качественные отличия от случая обтекания под углом
атаки α =80 отсутствуют. Все характерные особенности течения остаются
прежними, лишь в большей степени проявляется асимметрия течения,
связанная с увеличением угла атаки.
На распределениях поступательной температуры (рис.12.23) хорошо
идентифицируются области с повышенной поступательной температурой в

12.3. РадГД КА Stardust под углом атаки α=160
593
сжатом слое, в отошедшей головной ударной волне и в центральной части
слоя смешения, где рождается хвостовая ударная волна (хвостовой скачек) и
образуется вязкое ядро внутреннего следа. Однако общую картину сильно
усложняет несимметричный характер течения.
Сравнение распределений поступательных температур с колебательными
температурами
2
,
VN
T позволяет сделать вывод о значительной термической
неравновесности в области следа.
Так же, как и при меньших углах атаки хорошо идентифицируются
области возвратного движения в донной области (рис.12.25).
Распределения массовых долей молекул и атомов (рис.12.26-12.29)
показывают сильную неоднородность химического состава во всей области
следа и хорошо коррелируют с используемым приближением полностью
каталитической поверхности.
На рис.12.22 дано сопоставление распределений плотностей интегральных
радиационных тепловых потоков вдоль поверхности космического аппарата в
меридиональной плоскости для углов атаки α =80 (а) и α =160 (б) в разные
моменты времени. Напомним, что номера контрольных точек на поверхности
меньше 40 задают координаты точек от критической точки вверх по лобовой
поверхности, а номера точек больше 150 -- наветренной стороне лобовой
поверхности. В целом, распределения для указанных двух углов атаки
подобны, хотя увеличение угла атаки на 80 находит закономерное отражение
на обсуждаемых распределениях.
Спектрально-групповые распределения и кумулятивные функции также
изменяются незначительно при увеличении угла атаки.
Таким образом, выполненное численное исследование радиационной
аэротермодинамики космического аппарата Stardust при сверхорбитальном
входе в плотные слои атмосферы продемонстрировало закономерное
изменения поля течения, температур и массовых концентраций компонент
газа, а также распределений плотностей интегральных и спектральных
радиационных тепловых потоков по поверхности КА по мере его торможения
в плотных слоях атмосферы Земли.
Сравнение полученных результатов с данными осесимметричных расчетов
других авторов [3,161,163] показывает их хорошее соответствие. Такое
сопоставление выполнено в работах [165,166]
При реализации пространственных расчетов радиационной газовой
динамики космического аппарата, как и прежде, отмечается затруднение
получения решения самосогласованной задачи в точках траектории,
отвечающих большим скоростям на относительно поздних участках
траектории.

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
594
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.23. (окончание) Поле поступательной температуры при обтекании КА Stardust
под углом атаки 160 в траекторных точках t=42 с, 48 с 54 с, 60 с

12.3. РадГД КА Stardust под углом атаки α=160
595
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.24. Поле колебательной температуры N2 при обтекании КА Stardust под
углом атаки 160 в траекторных точках t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
596
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.25 . Поле продольной скорости при обтекании КА Stardust под углом атаки
160 в траекторных точках t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

12.3. РадГД КА Stardust под углом атаки α=160
597
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.26. Поле массовых долей N2 при обтекании КА Stardust под углом атаки 160 в
траекторных точках t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
598
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.27. Поле массовых долей О2 при обтекании КА Stardust под углом атаки 160 в
траекторных точках t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

12.3. РадГД КА Stardust под углом атаки α=160
599
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.28. Поле массовых долей N при обтекании КА Stardust под углом атаки 160 в
траекторных точках t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
600
(а)
(
б)
(в)
(
г)
Рис.12.29. Поле массовых долей О при обтекании КА Stardust под углом атаки 160 в
траекторных точках t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

12.3. РадГД КА Stardust под углом атаки α=160
601
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=42 s
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=48 s
(а)
(
б)
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=54 s
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Spectral radiation flux, W*cm/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=60 s
(в)
(
г)
Рис.12.30. Плотность спектральных потоков теплового излучения в шести точках на
поверхности КА Stardust под углом атаки 160 при t=42 с, 48 с, 54 с, 60 с

Глава 12. Численное моделирования РадГД КА Stardust в трехмерной постановке
602
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=42 s
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=48 s
(а)
(
б)
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=54 s
Wavenumber, 1/cm
103
104
105
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
1: Point #0
2: Point #36
3: Point #71
4: Point #106
5: Point #141
6: Point #171
Integral Radiation Flux, W/cm**2
Stardust, Alpha=16 deg., t=60 s
(в)
(
г)
Рис. 12.31. Кумулятивные функции плотности интегральных потоков теплового
излучения в шести точках на поверхности КА Stardust
подугломатаки160приt=42с,48с,54с,60с

603
ЗАКЛЮЧЕНИЕ К ЧАСТИ 2
Во второй части книги рассмотрены пространственные трехмерные задачи
(3D) компьютерной радиационной аэротермодинамики спускаемых в
атмосфере Земли и Марса космических аппаратов.
В первой главе второй части представлены методы компьютерной физики,
использованные при создании компьютерного кода NERAT-3D.
Радиационная аэротермодинамика входа в плотные слои атмосферы
Марса исследована на примерах космических аппаратов MSRO, Pathfinder, и
Exomars и MSL. Выполнено численное восстановление экспериментальных
данных по пространственному нагреву космического аппарата Mars Science
Laboratory (MSL), полученных при испытаниях в аэродинамической трубе
исследовательского Центра НАСА (Arnold Engineering Development Center
Tunnel 9, NASA).
Впервые выполнены трехмерные расчеты радиационного нагрева всей
поверхности космического аппарата, входящего в плотные слои атмосферы
под углом атаки. Показано, что важными особенностями марсианского входа
являются значительная роль теплового излучения в инфракрасной области
спектра, обусловленная колебательно-вращательными полосами молекул CO2
и CO, и значительная термическая неравновесность поля течения,
обусловленная разреженностью атмосферы. В высокотемпературном сжатом
слое у лобовой поверхности космического аппарата важным оказывается
испускание теплового излучения в ультрафиолетовой части спектра в
электронно-колебательных полосах (в первую очередь, в 4-й положительной
системе полос молекулы CO). Много внимания уделено анализу влияния
используемых моделей химической кинетики и расчетных сеток на
получаемые расчетные данные.
Трехмерная радиационная аэротермодинамика возвращаемых на Землю
космических аппаратов изучена на примере космического аппарата «Союз» и
двух крупномасштабных космических аппаратов нового поколения:
американского возвращаемого аппарата Orion и российского сегментально-
конического транспортного корабля. Проблемы сильного радиационно-
газодинамического взаимодействия в задачах пространственной
аэротермодинамики рассмотрены на примере космического аппарата Stardust,
совершившего вход в плотные слои атмосферы со скоростью 12.4 км/с.
Показано, что на участках траекторий входа, где в сжатом слое не
достигается термического равновесия, результаты расчетов радиационного
нагрева поверхности космических аппаратов оказываются весьма
чувствительными к используемым моделям химической кинетики,
неравновесной диссоциации и моделям возбуждения электронных уровней
энергии молекулярных компонент высокотемпературной смеси газов. Также
велика чувствительность результатов расчета к учету или не учету
радиационного газодинамического взаимодействия, даже для орбитального
входа, где роль радиационного нагрева не слишком велика.

Заключение к части 2
604
Показана
важность учета радиационно-газодинамического
взаимодействия и радиационного нагрева поверхности космического
аппарата при сверхорбитальных скоростях входа в плотные слои атмосферы
Земли.
Важным итогом работ в области трехмерной радиационной
аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов является
практическая реализация в компьютерном коде NERAT-3D интеграции
компьютерных модулей численного решения трехмерных уравнений вязкого
теплопроводного газа (в рамках уравнений Навье-Стокса), неравновесной
физической и химической кинетики, а также расчета теплофизических и
переносных свойств высокотемпературных газов. Принципиальным шагом в
развитии компьютерной аэрофизики космических аппаратов явилось
создание пространственной модели расчета переноса селективного теплового
излучения в многогрупповом приближении, с одновременным вычислением
по всему полю течения термически неравновесных смесей газов
спектральных оптических свойств.
Создание указанного программного комплекса является необходимым
этапом на пути создания пространственных моделей компьютерной
радиационной аэротермодинамики, сопряженной с радиационно-
столкновительными
моделями
термически
неравновесного
высокотемпературного газа, основанными на ab-initio моделях элементарных
физико-химических и радиационных моделях.
Очевидно, что здесь предстоит пройти большой путь по созданию
достоверных моделей физической и химической кинетики, а также моделей
элементарных процессов в газах и плазме, ориентированных на
использование в задачах неравновесной аэрофизики. Значительная работа
предстоит по совершенствованию сеточных генераторов и средств
распараллеливания
вычислительных
алгоритмов. В задачах
пространственной радиационной газовой динамики требует своего решения
проблема радиационно-газодинамического взаимодействия в неравновесных
условиях с учетом тонкой линейчатой структуры спектра поглощения и
излучения многокомпонентных смесей газов, включая продукты абляции
теплозащитных материалов.

605
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ЧАСТИ 2
1. Суржиков С.Т. Двумерная радиационно-газодинамическая модель
аэрофизики спускаемых космических аппаратов// В кн.: Актуальные
проблемы механики. Механика жидкости, газа и плазмы. М.: Наука,
2008. С. 20.
2. Milos F.S., Chen Y.-K., Gongdon W.M., Thornton J.M. Mars Pathfinder
Enter Temperature Data, Aerothermal Heating, and Heatshield Material
Response // Journal of Spacecraft and Rockets. 1999. V. 36. №.3. P.380-391.
3. Olynick D., Chen Y.-K., Tauber M.E. Aerothermodynamics of the Sturdust
Sample Return Capsule// J. Spacecraft and Rockets. 1999. Vol. 36. No. 3.
P.442-462.
4. Афонина Н.Е., Громов В.Г. Исследование на основе модели вязкого
ударного слоя течения в области торможения при входе космического
аппарата в марсианскую атмосферу// Институт Механики МГУ им.
М.В. Ломоносова. Препринт № 31-97. М. 1997. 73 с.
5. Головачев Ю.П. Численное моделирование течений вязкого газа в
ударном слое. М.: Наука. Физматлит. 1996. 375 с.
6. Железнякова А.Л., Суржиков С.Т. Численное моделирование
гиперзвукового обтекания модели летательного аппарата X-43//
Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. Сер. Машиностроение. 2010. №1. С.3-
19.
7. Железнякова А.Л., Суржиков С.Т. Численное моделирование поля
течения при входе в атмосферу Земли спускаемого космического
аппарата с аэродинамическим качеством// Вестник МГТУ им.
Н.Э.Баумана. 2009. №2. С.3-25.
8. Gorelov V.A., Kireev A.Yu., Shilenkov S., Surzhikov S.T. Prediction of
Nonequilibrium Ionization and Emission at Superorbital Flight in Air//AIAA
Paper № 04-2380. 2004. 11 p.
9. Surzhikov S.T., Gorelov V.A., Kireev A.Yu. Determination of Trajectory
Parameters and Some Parameters of Planetary Atmospheres by Means of
Spectral Heat Radiation Generated by Entering Space Vehicle // Proc. Int.
Workshop "Planetary Probe Atmospheric Entry and Descent Trajectory
Analysis and Sciences". SP-544. 2004. C. 93.
10. Surzhikov S.T. Numerical Simulation of Heat Radiation Generated by
Entering Space Vehicle // AIAA Paper 2004-2379, 2004. -- 11 p.
11. Горшков А.Б. Излучение в ближнем ультрафиолете при входе
космического аппарата в атмосферу Земли// Математическое
Моделирование. 2009. Т.21. № 6. С.79-88.
12. Биберман Л.М., Бронин С.Я., Лагарьков А.Н. Радиационно-
конвективный теплообмен при гиперзвуковом обтекании затупленного
тела// МЖГ. 1967. №6. С.46-57.

Список литературы к части 2
606
13. Хошизаки Ш., Уилсон Л. Конвективный и лучистый теплообмен при
входе со сверхорбитальной скоростью// Ракетная техника и
космонавтика. 1967. Т.5. №1. С.29-42.
14. Анфимов Н.А., Шари В.П. Решение системы уравнений движения
селективно излучающего газа в ударном слое// МЖГ. 1968. №3. С. 18-
25.
15. Коньков А.А, Нейланд В.Я., Николаев В.М. и др. Проблемы лучистого
теплообмена в гиперзвуковой аэродинамике// ТВТ. 1969. Т.7. №1.
С.140-161.
16. Белоцерковский О.М., Биберман Л.М., Бронин С.Я. и др. Обтекание и
нагрев затупленных тел гиперзвуковым потоком газа с учетом переноса
излучения//ТВТ. 1969. Т.7. №3. С.529-541.
17. Гулард Р., Бугнер Р.Е., Бернс Р.К., Нелсон Г.Ф. Течение излучающего
газа в условиях входа в атмосферы планет // ТВТ. 1969. Т. 7. № 3.
С.542.
18. Биберман Л.М., Воробьев В.С., Лагарьков А.Н., Стулов В.П., Теленин
Г.Ф., Шапиро Е.Г., Якубов И.Т. Течение воздуха за фронтом сильной
ударной волны с учетом неравновесной ионизации и излучения// МЖГ.
1967. №6. С.46-57.
19. Биберман Л.М., Мнацаканян А.Х., Якубов И.Т. Ионизационная
релаксация за сильными ударными волнами в газах// УФН. 1970. Т.102.
Вып. 3. С.431-462.
20. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой
динамике. М.: Наука. Главная редакция физико-математической
литературы. 1982. 391 с.
21. Карасев А.Б., Лях А.Н. Исследование радиационного и конвективного
теплообмена при обтекании критической точки излучающей смесью
углекислого газа и азота // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. №2. С.39.
22. Костузик А.А., Румынский А.Н. Лучистый теплообмен в ударном слое
при пространственном обтекании затупленных тел// ЖВМ и МФ.
1984. Т.24. №3. С.435-441.
23. Мартин Дж. Вход в атмосферу. Введение в теорию и практику. М.:
Мир. 1969. 320 с. (John J. Martin Atmospheric Reentry. An Introduction to
its Science and Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Gliffs N.J.)
24. Овсянников В.М., Тирский Г.А. Разрушение осесимметричного тела
вращения из материала сложного химического состава в потоке
частично ионизованного воздуха//МЖГ. 1968. № 5. С. 100−110.
25. Ступоченко Е.В., Лосев С.А., Осипов А.И. Релаксационные процессы в
ударных волнах. М.: Наука. 1965. 484 с.
26. Фей Ж., Риддел Ф. Теретический анализ теплообмена в передней
критической точке, омываемой диссоциированным воздухом// В кн.
Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. М.:
Изд-во Иностранной литературы. 1962. С. 190-228. (JAS. 1958. Vol.25.
No.2. P.73-85).

Список литературы к части 2
607
27. Кокошинская Н.С., Павлов Б.М., Пасконов В.М. Численное
исследование сверхзвукового обтекания тел вязким газом. М.: Изд-во
МГУ. 1980.
28. Kuznetsova L.A., Surzhikov S.T. Spectral Radiation of Shock Waves and
Radiative Models of Diatomic Molecules//AIAA Paper 97-2564. 1997. 11 p.
29. Залогин Г.Н., Козлов П.Н., Кузнецова Л.А., Лосев С.А., Макаров В.Н.,
Романенко Ю.В., Суржиков С.Т. Излучение смеси CО2 -N2-Ar в
ударных волнах: экперимент и теория//ЖТФ. 2001. Т. 71. № 6. С.10-16.
30. Kudryavtsev N.N., Kuznetsova L.A., Surzhikov S.T. Kinetics and
Nonequilibrium Radiation of CO2-N2 Shock Waves//AIAA Paper 01-2728.
2001. 11 p.
31. Surzhikov S.T. Spectral Emissivity of Shock Waves in Martian and Titan
Atmospheres// AIAA Paper 2010-4527. 2010. 32 p.
32. Surzhikov S.T. 2D CFD/RGD Model of Space Vehicles// Proceedings of the
1st International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in
Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon, Portugal. ESA-533.
December 2003. P.95-102.
33. Surzhikov S.T. Radiative-Gasdynamic Model of a Martian Space Vehicle//
AIAA paper 2004-1355. 2004. 11 p.
34. Surzhikov S.T. Prediction of Nonequilibrium Radiation From CO2--N2 Shock
Waves // Proc. 1st Int. Workshop on Radiation of High Temperature Gases
in Atmospheric Entry. ESA SP-533. Lisbon, Portugal. 2003. P. 29.
35. Surzhikov S.T. TC3: Convective and Radiative Heating Of MSRO For
Simplest Kinetic Models// Proceedings of the International Workshop on
Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry. Part II. 30
Sept.-1 Oct., 2005. Porquerolles, France. (ESA SP-583, May 2005,
pp.55−62).
36. Surzhikov S.T. TC3: Convective and Radiative Heating of MSRO, Predicted
by Different Kinetic Models// Proceedings of the Second International
Workshop on Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry.
6-8 Sept., 2006. Rome, Italy.(ESA SP-629, November 2006, on CD).
37. Железнякова А.Л., Кузенов В.В., Петрусов А.С., Суржиков С.Т.
Численный анализ конвективного нагрева двух моделей спускаемых
космических аппаратов// Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2009. 3(76).
С.3-14.
38. Суржиков С.Т. Исследование влияния кинетических моделей на
результаты расчетов радиационно-конвективного нагрева космического
аппарата в летном эксперименте Fire-II.// Журнал химической физики.
2008. Т.27. № 10. С.63-76.
39. Суржиков С.Т. Расчет обтекания модели космического аппарата MSRO
c использованием кодов NERAT-2D и NERAD-3D// Сборник научных
трудов 2-й Всероссийской школы-семинара "Аэрофизика и физическая
механика классических и квантовых систем» (АФМ-2008). М.: ИПМех
РАН. 2009.С.22-29. (см. также: Физико-химическая кинетика в газовой

Список литературы к части 2
608
динамике. 2010. Том 9. №1. http:// www.chemphys.edu.ru/pdf/2010-01-12-
003.pdf).
40. Суржиков С.Т. Трехмерная
вычислительная
модель
аэротермодинамики спускаемых космических аппаратов// В кн.: Труды
Всероссийской школы-семинара «Аэрофизика и физическая механика
классических и квантовых систем». М.: ИПМех РАН. 2008. С.11-21.
(см. также Физико-химическая кинетика в газовой динамике. 2010. Том
9. №1. http:// www.chemphys.edu.ru/pdf/2010-01-12-002.pdf).
41. Филипский М.В., Суржиков С.Т. Расчет радиационных потоков к
поверхности космического аппарата с помощью метода дискретных
ординат// ИФЖ. 2007. Т.80. №2. С.71−78.
42. Surzhikov S.T., Omaly P. MSRO convective and radiative heating //AIAA
Paper 08-1274. 2008. 43 p.
43. Суржиков С.Т. Анализ моделей ионизационной кинетики при
гиперзвуковом обтекании цилиндра// Журнал химической физики.
2010. Т.29. №7. С.1-14.
44. Surzhikov S.T. Radiation. Modeling and Spectral Data. Lecture series 2002-
07: Physico-Chemical Models for High Enthalpy and Plasma Flows//Von
Karman Institute for Fluid Dynamics. 75 p.
45. Суржиков С.Т. Анализ спектральной излучательной способности
сильных ударных волн в атмосфере Марса и Титана// ICMAR. 2010. (on
CD)
46. Суржиков С.Т. Тепловое излучение газов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана. 2004. 543 с.
47. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические
свойства индивидуальных веществ. М.: Наука, 1978. 495 с.
48. Гиршфельдер Дж., Кертис Ч. и Берд Р. Молекулярная теория газов и
жидкостей. М.: Изд-во иностранной литературы. 1961. 929 с.
49. Гинзбург И.П. Трение и теплопередача при движении смеси газов. Л.:
Изд-во ЛГУ. 1975. 278 с.
50. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М.: Изд-во
«Химия». 1974. 687 с.
51. Capitelli M., Gorse C., Longo S., Giordano D. Collision Integrals of High-
Temperature Air Species// Journal of Thermophysics and Heat Transfer.
2000. Vol.14. No. 2. P.259−268.
52. Levin E., Wright M.J. Collision Integrals for Ion-Neutral Interactions of
Nitrogen and Oxygen// Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 2004.
Vol.18. No.1. P.143−147.
53. Пэн Цзай-чэн, Пиндрох А.Л.. Уточненный расчет свойств воздуха при
высоких температурах// Вопросы ракетной техники. 1962. № 12.
54. Суржиков С.Т. Вычислительный эксперимент в построении
радиационных моделей механики излучающего газа. М.: Наука. 1992.
157 c.

Список литературы к части 2
609
55. Суржиков С.Т. Оптические свойства азов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана. 2004. 575 с.
56. Surzhikov S.T. Computing System for Solving Radiative Gasdynamic
Problems of Entry and Re-Entry Space Vehicles// Proceedings of the 1st
International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in
Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon, Portugal. ESA-533.
December 2003. P.111−117.
57. Surzhikov S.T. Computing System for Mathematical Simulation of Selective
Radiation Transfer// AIAA Paper 00-2369. 2000. 15 p.
58. Gupta R.N., Lee K.P. An Aerothermal Study of MESUR Pathfinder
Aeroshell// AIAA Paper 94-2025. 1994. 41 p.
59. Paterna D., Monti R., et.al. Experimental and Numerical Investigation of
Martian Atmosphere Entry // Journal of Spacecraft and Rockets. 2002. V.39.
No.2. P.227-236.
60. Суржиков С.Т. Перспективы многоуровневого подхода к задачам
компьютерной аэрофизики// Сборник научных трудов 1-й
Всероссийской школы-семинара "Аэрофизика и физическая механика
классических и квантовых систем» (АФМ-2007). М.: ИПМех РАН.
2007. С.13-22.
61. Omaly P., Surzhikov S. 3D Model of Aerothermodynamics of Descent
Space Vehicles// Proceedings of the 3rd International Workshop "Radiation
of High Temperature Gases in Atmospheric Entry". 30 Sept-3 Oct 2008.
ESA SP-667. 8 p.
62. Omaly P., Surzhikov S. Prediction of Flow Field Around Model of MSRO
by NERAT-2D and NERAT-3D codes// Proceedings of the 3rd International
Workshop "Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry".
30 Sept-3 Oct 2008. ESA SP-667. 8 p.
63. Суржиков С.Т. Пространственная компьютерная модель неравновесной
аэрофизики спускаемых марсианских космических аппаратов// Журнал
Вычислительной Механики Сплошных Сред. 2010. 15 с.
64. Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика сферы в марсианской
атмосфере// В кн. Проблемы механики. К 70-летию академика
В.М.Фомина. 2010. С.270-283.
65. Суржиков С.Т. Радиационно-конвективный теплообмен космического
аппарата сферической формы в углекислом газе// Теплофизика высоких
температур. 2011. Т.49. № 1. С.92-107.
66. Суржиков С.Т. Трехмерная радиационно-газодинамическая модель
аэрофизики спускаемых космических аппаратов// В кн.: Актуальные
проблемы механики. Физико-химическая механика жидкостей и газов.
Под ред. С.Т.Суржикова. М.: Наука. 2010. С. 25-124.
67. Суржиков С.Т. Радиационная газовая динамика спускаемых
космических аппаратов больших размеров// ТВТ. 2010. №6. С.956-964.
68. Surzhikov S.T., Shang J.S. Coupled Radiation-Gasdynamic Model for
Stardust Aerothermodynamic data// AIAA Paper 2010-4521. 2010. 31 p.

Список литературы к части 2
610
69. Shang J.S., Surzhikov S.T. Simulating Ablation Phenomenon for Earth
Reentry// AIAA Paper 2010-0983. 2010. 11 p.
70. Shang J.S., Surzhikov S.T. Study Physical-Chemical Kinetic Models for
Simulating Stardust Earth Entry// AIAA Paper 2010-4455. 2010. 15 p.
71. Герцберг Г. Электронные спектры и строение многоатомных молекул.
М.: Мир. 1963. 772 с.
72. Радциг А.А., Смрнов Б.М. Справочник по атомной и молекулярной
физике. М.: Атомиздат. 1980. 240 с.
73. Khristenko S.V., Maslov A.I., Shevelko V.P. Molecules and Their
Spectroscopic Properties. Springer Series on Atoms + Plasmas 21. Berlin.
Springer. 212 p.
74. Svehla R.A. Estimated Viscosities and Thermal Conductivities of Gases at
High Temperatures// NASA TR-R-132, 1962, 26 P.
75. Анфимов Н.А. Ламинарный пограничный слой в многокомпонентной
смеси газов // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. 1962. № 1.
С.25.
76. Edwards J.R., Liou M.-S. Low-Diffusion Flux-Splitting Methods for Flow at
all Speeds // AIAA J. 1998. V.36. № 9. P.1610-1617.
77. Суржиков С.Т. Физическая механика газовых разрядов. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2006. 640 с.
78. Малкин О.А. Релаксационные процессы в газах. М.: Атомиздат. 1971.
С.199.
79. Осипов А.И., Панченко В.Я. Тепловые эффекты при взаимодействии
лазерного излучения с молекулярными газами. М.: Изд-во Московского
университета. 1983. 117 с.
80. Page W.A., Woodward H.T. Radiative and Convective Heating during
Venus Entry// AIAA J. Vol.10. No. 10. P.1379-1381.
81. Головачев Ю.П. Теплообмен в передней критической точке
затупленного тела при обтекании излучающими смесями углекислого
газа и азота//ТВТ. Т.13. №5. С.1029-1033.
82. Milos F.S., Chen Y.-K., Gongdon W.M., Thornton J.M. Mars Pathfinder
Enter Temperature Data, Aerothermal Heating, and Heatshield Material
Response// Journal of Spacecraft and Rockets. 1999. V.36. No.3. P.380-391.
83. Gromov V.G., Surzhikov S.T., Charbonnier J.-M. Convective and Radiative
Heating of a Martian Space Vehicle Base Surface//4th European Symp. On
Aerothermodynamics for Space Vehicles. Caserta. Italy. 2001. 5 p.
84. Rouzaud O., Tesse L., Soubre T., Soufiani A., Riviere P., Zeitoun D.
Influence of Radiative Heating on a Martian Orbiter// Journal of
Thermophysics and Heat Transfer. 2008. Vol.22. No.1. pp. 10-19.
85. Ludwig C.B., Malkmus W., Walker J. et al. The Standard Infrared Radiation
Model// AIAA Paper 81-1051. 1981. 11 p.
86. Charbonnier J.-M., Omaly P. TC3: Update of the axially symmetric testcase
for high temperature gas radiation prediction in Mars atmosphere entry//
DCT/TV/PR NT-2004-564. 2004.

Список литературы к части 2
611
87. Charbonnier J.M. Analysis of the Results for TC3 Presented at the 1st
International Workshop on Radiation of High Temperature Gas in Planetary
Atmosphere Entry// Proceedings of the 1st International Workshop on
Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October
2003. Lisbon, Portugal. ESA- 533. December 2003. P.145-159.
88. Dieudonne W., Spel M., Charbonnier J.M. Modeling Sensitivity Analysis for
TC3// Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.161−170.
89. Rini P., Magin T., Degrez G., Fletcher D. Numerical Simulation Of Non
Equilibrium Hypersonic CO2 Flows For Mars Entry Applications//
Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.171−180.
90. Rouzaud O., Hylkema J., Verant J.-L., Tesse L. Development of the
PARAON Platform And ONERA Numerical Solvers For Gas Radiation//
Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.181−188.
91. Riviere P., Soufiani A., Perrin M.-Y. Line By Line Statistical Narrow-Band
Calculations of Radiative Transfer In Some Atmosphere Entry Problems//
Proceedings of the 1st International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 8−10 October 2003. Lisbon,
Portugal. ESA- 533. December 2003. P.189−196.
92. Rouzaud O., Soubre T., Tesse L., Longueteau ONERA Activity On Test
Case TC3// Proceedings of the International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. Part II. 30 Sept.-1 Oct., 2005.
Porquerolles. France. (ESA SP-583, May 2005, P.75−80).
93. Omaly P., Dieudonne W., Spel M. Synthesis And Analysis For Test Case 3
Second International Workshop on Radiation of High Temperature Gas In
Planetary Atmosphere Entry// Proceedings of the International Workshop on
Radiation of High Temperature Gases in Atmospheric Entry. Part II. 30
Sept.-1 Oct., 2005. Porquerolles. France. (ESA SP-583, May 2005,
P.81−89).
94. Babou Y., Ph. Riviere, Perrin M.-Y., Soufiani A. Prediction of Radiative
Flux Distribution Over The Front Shield Of A Vehicle Entering Martian
Atmosphere.
-- Contribution To Test Case 3// Proceedings of the Second
International Workshop on Radiation of High Temperature Gases in
Atmospheric Entry. 6-8 Sept., 2006. Rome, Italy.(ESA SP-629, November
2006, on CD).
95. Rouzaud O., Omaly P. ONERA-CNES Activities on TC3 Test Case III//
Proceedings of the Second International Workshop on Radiation of High
Temperature Gases in Atmospheric Entry. 6-8 Sept., 2006. Rome,

Список литературы к части 2
612
Italy.(ESA SP-629, November 2006, on CD).
96. Shang J.S., Surzhikov S.T. Nonequilibrium radiative hypersonic flow
simulation// Progress in Aerospace Sciences. 2012. Vol. 53. P.46-65.
97. Gruszczynski J.S., Warren W.R. W.R.,Jr. Experimental Heat-Transfer
Studies of Hypervelocity Flight in Planetary Atmospheres// AIAA J. 1964.
Vol.2. No. 9. P.1542-1550.
98. James C.S. Experimental Study of Radiative Transport from Hot Gases
Simulating in Composition the Atmospheres of Mars and Venus// AIAA J.
1964. Vol.2. No. 3. P.470-475.
99. Faibairn A.R. Spectrum of Shock-Heated Gases Simulating the Venus
Atmosphere// AIAA J. 1964. Vol.2. No. 6. P.1004-1007.
100. Thomas G.M., Menard W.A. Experimental Measurements of
Nonequilibrium and Equilibrium Radiation from Planetary Atmospheres//
AIAA J. 1966. Vol.4. No.2. P.227-237.
101. Freeman G.N., Oliver C.C. High-Temperature Thermodynamic and
Transport Properties of Planetary CO2-N2 Atmospheres// AIAA J. 1970.
Vol.8. No.9. P.1687-1693.
102. Kirk D.B., Intrieri P.F., Seiff A. Aerodynamic Behaviour of the Viking
Entry Vehicle: Ground Test and Flight Results// J. Spacecraft. 1978. Vol.15.
No.4. P.208-212.
103. Chen Y.K., Henline W.D., Stewart D.A., Candler G.V. Navier-Stokes
Solutions with Surface Catalysis for Martian Atmosphere Entry// JSR. 1993.
Vol.30. No.1. P.32-42.
104. Tauber M.E., Yang L., Paterson J. Flat Surface Heat-Transfer Correlations
for Martian Entry// JSR. 1993. Vol.30. No.2. P.164-169.
105. Park,C., Nonequilibrium Hypersonic Aerothermodynamics. Willey-
Interscience Publication, J. Wiley & Sons. New-York, 1990.
106. Tauber M., Sutton K. Stagnation-Point Radiative Heating Relations for Earth
and Mars Entries// J. Spacecraft. 1991. Vol.28. No.1. P.40−42.
107. Hassan B., Candler G., Olynick D. Thermo-Chemical Nonequilibrium
Effects on the Aerothermodynamics of Aerobraking Vehicles// JSR. 1993.
Vol.30. No.6. P.647−655.
108. Tauber M., Palmer G., Earth Atmospheric Entry Studies for Manned Mars
Mission// JTHT. 1992. Vol.6. No.2. P.193−199.
109. Chen Y.K., Henline W.D., Tauber M.E. Mart Pathfinder Trajectory Based
Heating and Ablation Calculations// JSR. 1995. Vol.32. No.2. P.225-230.
110. Hartung L. Development of a Nonequilibrium Radiative Heating Prediction
Method for Coupled Flowfield Solutions// JTHT. 1992. Vol.6. No.6.
P.618−625.
111. Park C., Yoon S. Fully Coupled Implicit Method for Thermochemical
Nonequilibrium Air at Suborbital Flight Speeds// J.Spacecraft. 1992. Vol.
28. No.1. P.31−39.

Список литературы к части 2
613
112. Henline W., Tauber M. Trajectory-Based Heating Analysis for the European
Space Agency/Rosetta Earth Return Vehicle// JSR. 1994. Vol.31. No.3.
P.421−428.
113. Greendyke R., Gnoffo P., Wes Lawrence R. Calculated Electron Number
Density Profiles for Aeroassist Flight Experiment// JSR. 1992. Vol.29. No.5.
P.621−626.
114. Gnoffo P., Price J., Braun R. Computation of Near-Wake, Aerobrake
Flowfields// JSR. 1992. Vol.29. No.2. P.182−189.
115. Gupta R., Lee K., Moss J., Sutton K. Viscous Shock-Layer Solution with
Coupled Radiation and Ablation for Earth Entry// JSR. 1992. Vol.29. No.2.
P.173−181.
116. Walter R. Recent Advances in Computational Analysis of Hypersonic
Vehicles// Combustion, Explosion, and Shock Waves. 1993. Vol.29. No.3.
P.316−319.
117. Mitcheltree R.A., Gnoffo P.A. Wake Flow About the Mart Pathfinder Entry
Vehicle// Journal of Spacecraft and Rockets (JSR). 1995. Vol.32. No.5.
P.771-775.
118. Paterna D., Monti R., et al. Experimental and numerical investigation of
martian atmosphere entry// JSR. 2002. Vol. 39, No. 2. P. 227-236.
119. Edquist K.T. Afterbody Heating Predictions for a Mars Science Laboratory
Entry Vehicle// AIAA Paper 2005-4817. 2005. 12 p.
120. Bose D., Wright M. Uncertainty Analysis of Laminar Aeroheating
Predictions for Mars Entries// AIAA Paper 2005-4682. 2005. 11 p.
121. Hollis B.R., Collier A.S. Turbulent Aeroheating Testing of Mars Science
Laboratory Entry Vehicle in Perfect-Gas Nitrogen// AIAA Paper 2007-1208.
2007. 20 p.
122. Hollis B.R., Collier A.S. Turbulent Aeroheating Testing of Mars Science
Laboratory Entry Vehicle// JSR. 2008. Vol. 45. No.3. P.417-427.
123. Grinstead J.H., Wright M.J., Bogdanoff D.W., Allen G.A. Shock Radiation
Measurements for Mars Aerocapture Radiation Heating Analysis// JTHT.
2009. Vol.23. No.2. P.249-255.
124. Surzhikov S.T., Omaly P. Radiative Gas Dynamics of Martian Space
Vehicles// AIAA Paper 2011- 0452. 2011. 28 p.
125. Surzhikov S.T. Comparative Analysis of Radiative Aerothermodynamics of
Martian Entry Probes// AIAA Paper 2012-2867. 2012. 38 p.
126. Surzhikov S.T. Three-Dimensional Computer Model of Nonequilibrium
Aerophysics of the Spacecraft Entering in the Martian Atmosphere// Fluid
Dynamics. 2011. Vol. 46. No.3. P.490-403.
127. Surzhikov S.T. Random models of Atomic Lines for Calculation of
Radiative Heat Transfer in Laser Supported Waves// AIAA Paper 97-2367.
1997. 11 p.
128. Gurvich L.V., Veitc I.V., Medvedev V.A. et al. Thermodynamic Properties
of Individual Substances. HandBook. Vols.1-4. Moscow: Nauka. 1978.

Список литературы к части 2
614
129. Surzhikov S.T. The Effect of Non-Equilibrium Dissociation on Radiative
Heating of Entering Space Vehicle// AIAA Paper 2012-0146. 2012. 21 p.
130. Bird R., Stewart W., Lightfoot E. Transport Phenomena. John Wiley &
Sons. Inc. 1965.
131. Wilke C.R. Diffusional Properties of Multicomponent Gases// Chem. Engn.
Progr. 1950. Vol.46. P.95-104.
132. Svehla R.A. Estimated Viscosities and Thermal Conductivities of Gases at
High Temperatures// NASA TR-R-132. 1962. 26 p.
133. Surzhikov S., Omaly P. Radiative Gasdynamics of Exomars at Angle of
Attack// Proc. of the 4th European HTGR Workshop. 12-15 October.
Lausanne, Switzerland. Available on CD and www-page of European Space
Agency.
134. Surzhikov S.T., Shang J.S. Radiative Aerothermodynamics of Entry Probes
in Martian and Earth Atmospheres// 7th European Aerothermodynamics
Symposium on Space Vehicles. 9-12 May 2011. Bruges, Belgium. 8 p.
135. Surzhikov S.T. Convective and Radiative Heating of Martian Space
Vehicles// 4th European Conference for Aerospace Sciences (EUCASS).
2011. 8 p. (Proceedings on CD).
136. Chatwood F.M., Gnoffo P.A. User's Manual for the Langley
Aerothermodynamic Upwind Algorithm (LAURA). NASA TM-4674, Apr.
1996.
137. Park C., Howe J.T., Jaffe R.L. and Candler G.V. Review of Chemical-
Kinetic Problems of Future NASA Missions, II: Mars Entries// J. of
Thermophysics and Heat Transfer. 1994. Vol.8, No.1. P.9−23.
138. Borovoi V.Ya., Skuratov A.S., Surzhikov S.T. Study of convective heating
of segmental-conical Martian Descent Vehicle in shock wind tunnel//AIAA
Paper №04-2634. 2004. 11 p.
139. Hollis B.R., Horvath T.J., Berger K.T., Lillard R.P., Kirk B.S., Coblish J.J.,
Norris J.D. Experimental Investigation of Project Orion Crew Exploration
Vehicle Aeroheating in AEDC Tunnel 9// NASA- TP-2008-215547. 2008.
157 p.
140. Землянский Б.А., Лунев В.В., Власов В.И., Горшков А.Б., Залогин Г.Н.,
Ковалев Р.В., Маринин В.П., Мурзинов И.Н. Конвективный
теплообмен изделий РКТ. Руководство для конструкторов. - Королев:
ЦНИИМАШ. 210. 397 с.
141. Park C. Review of Chemical-Kinetic Problems of Future NASA Missions, I:
Earth Entries// Journal of Thermophysics and Heat Transfer. 1993. Vol.15.
No.3. P.385-398.
142. Dunn M.G. and Kang S.W. Theoretical and Experimental Studies of Reentry
Plasmas// NASA CR 2232, April 1973.
143. Surzhikov S.T. Non-Equilibrium Radiative Gas Dynamics of ORION Space
Vehicle// AIAA Paper 13-0231. 51st Aerospace Sciences Meeting including
the New Horizons Forum and Aerospace Exposition 07-10 January 2013.
Grapevine (Dallas/ Ft. Worth Region), Texas, USA. 30 p. DOI:

Список литературы к части 2
615
10.2514/6.2013-66.
144. Djadkin A., Beloshitsky A., Shuvalov M., Surzhikov S. Uncertainties in
Heating Predictions of Segmental-Conical Space Vehicle Resulting From
Data on Chemical and Physical Kinetics// AIAA Paper 2013-1056, 51st
Aerospace Sciences Meeting including the New Horizons Forum and
Aerospace Exposition 07-10 January 2013. Grapevine (Dallas/ Ft. Worth
Region), Texas, USA. 43 p. DOI: 10.2514/6.2013-1056.
145. Djadkin A., Beloshitsky A., Shuvalov M., Surzhikov S. Nonequilibrium
Radiative Gasdynamics of Segmental-Conical Space Vehicle of Large Size//
AIAA Paper 2011- 0453. 2011. 29 p.
146. Treanor C.E., Marrone P.V. Effect of Dissociation on the Rate of Vibrational
Relaxation// Phys. of Fluids. 1962. Vol. 5. No.9 . P. 1022-1026.
147. Космические аппараты/Под общ. ред. К. П. Феоктистова. М.:
Воениздат. 1983. 319 с.
148. Гущин В.Н., Панкратов Б.М., Родионов А.Д. Основы устройства и
конструирования космических аппаратов. М.: Машиностроение. 1992.
256 с.
149. Новости космонавтики. 2008. Т.18. №9 (308). С.8-12.
150. Новости космонавтики. 2006. Т.16. №10 (285). С.12-13.
151. Новости космонавтики. 2010. Т.20. №9 (332). С.25.
152. Zhan H., Chen B., Liu Z., Zhou W. Parametric Study on Aerodynamic
Characteristics of Re-Entry Capsules// Proceedings of Int. Astronaut.
Congress, 2012. IAC-12-A3.2D.38. 7 p.
153. Mitcheltree R.A., Wilmoth R.G., Cheatwood F.M., Brauckmann G.J.,
Greene F.A. Aerodynamics of Stardust Sample Return Capsule// J. of
Spacecraft and Rockets. 1999. Vol.36. No.3. P.429-435.
154. Desai P.N., Mitcheltree R.A., Cheatwood F.M. Entry Dispersion Analysis
for the Stardust Comet Sample Return Capsule// J. of Spacecraft and
Rockets. 1999. Vol.36. No.3. P.463-469.
155. Desai P.N., Qualls G.D. Stardust Entry Reconstruction// J. of Spacecraft and
Rockets. 2008. Vol.47. No.5. P.736-740.
156. Beerman A.F., Lewis M.J., Starkey R.P., Cymyk B.Z. Significance of
Nonequilibrium Surface Interactions in Stardust Return Capsule Ablation
Modeling// J. of Thermophysics and Heat Transfer. 2009. Vol.23. No.3.
P.425-432.
157. Boyd I.D., Zhong J., Levin D.A. Flow and Radiation Analysis for Stardust
Entry at High Altitudes// AIAA Paper 2008-1215. 2008. 34 p.
158. Desai P.N., Lyons D.T., Tooley J., Kangas J. Entry, Descent, and Landing
Operations Analysis for the Stardust Entry Capsule// J. of Spacecraft and
Rockets. 2008. Vol.45. No.6. P.1262-1268.
159. Helfrich C., Bhat R., Kangas J., Wilson R., Wong M., Potts C, Williams K.
Maneuver Analysis and Targeting Strategy for the Stardust Re-Entry
Capsule// AIAA Paper 2006-6406. 2006.

Список литературы к части 2
616
160. Kontinos D.A., Wright M.J. Introduction: Atmospheric Entry of the Stardyst
Sample Return Capsule// J. of Spacecraft and Rockets. 2008. Vol.47. No.5.
P.705-707.
161. Boid I.D., Trumble K.A., Wright M.J. Modeling of Stardust Entry at High
Altitude, Part 1: Flowfield Analysis// J. of Spacecraft and Rockets. 2008.
Vol.47. No.5. P.709-717.
162. Jenniskens P. Observation of the Stardust Sample Return Capsule Entry with
a Stitless Echelle Spectrograph// J. of Spacecraft and Rockets. 2008. Vol.47.
No.5. P.718-735.
163. Liu Y., Prabhu D., Trumble K.A., Saunders D., Jenniskens P. Radiation
Modeling for the Reentry of the Stardust Sample Return Capsule// J. of
Spacecraft and Rockets. 2008. Vol.47. No.5. P.741-752.
164. Trumble K.A., Cozmuta I., Stepka S., Jenniskens P., Winter M. Postflight
Aerothermal Analysis of Stardust Sample Return Capsule// J. of Spacecraft
and Rockets. 2008. Vol.47. No.5. P.765-774.
165. Shang J.S., Surzhikov S.T. Simulating Stardust Earth Reentry with Radiation
Heat Transfer// J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Vol.48. No.3. P.385-396.
166. Surzhikov S.T., Shang J.S. Coupled Radiation-Gasdynamic Model for
Stardust Earth Entry Simulation// J. of Spacecraft and Rockets. 2012. Vol.
49. No.5. P.875-888.
167. Feldick A.M., Modest M.F., Levin D.A., Gnoffo P., Johnston C.O.
Examination of Coupled Continuum Fluid Dynamics and Radiation in
Hypersonic Simulation// AIAA Paper 2009-0475. 2009. 12 p.
168. Суржиков С.Т. Аналитические методы построения конечно-разностных
сеток для расчета аэротермодинамики спускаемых космических
аппаратом// Вестник МГТУ им. Н.Э.Баумана. 2004. 2(55). C.24−50.
169. Millikan R.C., White D.R. Systematics of vibrational relaxation// J. of
Chemical Physics. 1963. Vol.39. No.12. P.3209.
170. Marrone P.V., Treanor C.E. Chemical Relaxation with Preferential
Dissociation from Excited Vibrational Levels// The Physics of Fluids, 1963.
Vol. 6. No.9. P.1215−1221.
171. Лосев С.А., Генералов Н.А. К исследованию явлений возбуждения
колебаний и распада молекул кислорода при высоких температурах//
Доклады АН СССР. 1961. Т.141. №5. С.1072.
172. Кузнецов Н.М. Кинетика мономолекулярных реакций. М.: Наука. 1982.
221 c.

617
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица П.1. Константы колебаний двух и трехатомных молекул
Характеристики колебательных мод двух- и трехатомных молекул (энергия
диссоциации, характеристическая колебательная температура и частота
колебаний, вырождение) заимствованы из работ [1-6]
Молекула i
D,K θv,K
e
ω,см-1 g
N2
113200. 3396.
2359. 1
O2
59380. 2275.
1580. 1
NO
75500. 2742.
1904. 1
CO
129000. 3124.
2170. 1
CN
92679. 3005.
2087. 1
C2
73035. 2671.
1855. 1
H2
52487. 6337.
4401. 1
CO2
65930. 961. (симметричная мода)
1998. (деформационная мода)
3383. (анти-симметричная мода)
667.
1388.
2349.
121
H2O
5266. (симметричная мода)
2297. (деформационная мода)
5409. (анти-симметричная мода)
3657.
1595.
3756.
121
HCN
62357. 4768. (симметричная мода)
1025. (деформационная мода)
2935. (анти-симметричная мода)
3311.
712.
2097.
121
C3
62357. 1763. (симметричная мода)
91. (деформационная мода)
2938. (анти-симметричная мода)
1224.
63.
2040
121
Замечание.
Характеристическая колебательная температура рассчитывается по формуле
1
27[] 10[/]
16
,[]
[]
6.6251 10
31
01
.
4
4,
1.38 10 эрг с
vv
смс
v
vсм
эрг K
hcK
k
−
−
⋅
−
×
θ=
ω=
ω
×
≈ω
×

618
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица П.2. Параметры потенциала Ленарда-Джонса, используемые при
расчете свойств переноса [7]
Частица
σ,Å
k
ε,К
σ,Å
k
ε,К
C
3.385 30.6
NH
3.312 65.3
CH
3.370 68.6
NH3
2.900 558.3
CH4
3.758 148.6 NO
3.492 116.7
CN
3.856 75.0
N2
3.798 71.4
CO
3.690 91.7
N2O
3.828 232.4
CO2
3.941 195.2 O
3.050 106.7
C2
3.913 78.8
OH
3.147 79.8
C2H2
4.033 231.8 O2
3,467 106.7
H
2.708 37.0
Si
2.910 3036.
HCN 3.630 569.1 SiH4
4.880 171.9
H2
2.827 59.7
SiO
3.374 569.
H2O
2.641 809.1 SiO2
3.706 2954.
H2O2
4.196 289.3 Si2
3.280 3036.
He
2.551 10.22 Ar
3.408 119.9
N
3.298 71.4
Xe
4.047 231.6

619
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Таблица П.3. Энтальпия образования при Т=0 К, кДж/моль [8]
ho
H
216.034
HCN 132.384
HCO 41.636
H2
0.
H2O -238.913
H2O2 129.880
Н+
1528.083
Н-
143.264
Н2+
1488.360
HNO 105.000
НО2 5.000
НО2-
-122.905
H2O+ 978.300
ho
N
470.818
NH
338.852
NH3
-38.950
NO
90.761
N2
0.
N2O 85.029
N+
1873.145
N2+
1503.310
NO+ 984.611
NO2 37.000
NH+ 1062.852
NH2 192.865
h0
C
711.185
CH
594.019
CH4
-66.630
CN
437.000
CO
-113.812
CO2
-393.142
C2
0.
C2H2 227.959
CH2 390.000
CH3 149.687
C2H 531.000
C2H3 264.519
C2H4 60.921
C+
1797.639
C2+
1992.000
C3
831.000
CO+ 1238.315
CO2+ 937.658
CH+ 1621.019
CN+ 1791.000
ho
O
246.783
OH
39.097
O2
0.
О+
1560.726
О-
105.583
О2+
1165.00
О2-
-42.500
O3
144.457
ОН+ 1283.097
ОН-
-137.033
ho
He
0.
Ar
0.
Xe
0.
He+
2372.324
Ar+
1520.527
Xe+
1170.355
ho
Si
445.667
SiH4 44.318
SiO
-100.000
SiO2
-320.717
Si2
0.
Si+
1232.182
SiH
366.941
SiH2 247.000
SiH3 215.000

620
ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Таблица П.4. Электронные и колебательные полосы двухатомных молекул,
учитываемые в радиационно-газодинамических
расчетах [9,10]
№
Молекула, электронный переход,
имя перехода
Спектральный
диапазон, см−1
Диапазон
колебательных
квантов
u
′≡
vv
l
′′≡
vv
Molecule С2
1 C2, A1Πu − X1Σ+g , The Phillips system
100 ÷ 27000 15 15
2 C2, b3Σ−g − a3Πu , The Ballik − Ramsay system 100 ÷ 20000 12 12
3 C2,C1Πg−A1Πu ,
Deslandres − D'Azambuja band
8000 ÷ 42000 10 15
4 C2, d3Πg − a3Πu , The Swan system
3500 ÷ 35000 12 15
5 C2, D1Σ+u − X1Σ+g , The Milliken system
38000 ÷ 48000 15 15
6 C2, E1Σ+g − A1Πu
28000 ÷ 60000 10 15
7 C2, e3Πg − a3Πu , The Fox − Herzberg system 21000 ÷ 48500 10 12
Molecule CN
8 CN, A2Π − X2Σ+ , Red system
1000 ÷ 24000 15 15
9 CN,B2Σ+ −A2Π
1000 ÷ 45000 15 15
10 CN, B2Σ+ − X2Σ+ , Violet system
17000 ÷ 37000 15 15
11 CN, X2Σ+ − X2Σ+
1000 ÷ 10000 25 25
Molecule CO
12 CO, a′3Σ+ − a3Π , The Asundy bands
100 ÷ 20000 12 12
13 CO, A1Π − X1Σ+ , The Fourth Positive system 30000 ÷ 85000 20 29
14 CO, B1Σ+ − X1Σ+ ,The Hopfield − Birge system 74000 ÷ 100000 15 25
15 CO, b3Σ+ − a3Π , The third positive bands 16000 ÷ 51000 10 21
16 CO, d3∆ − a3Π , The triplet bands
100÷28000 15 12
17 CO, e3Σ−
− a3Π , The Herman system
100 ÷ 30000 15 12
18 CO, X1Σ+ − X1Σ+
100÷8000 25 25
Molecule CO+
19 CO+, A2Π − X2Σ+ , The Comet-tail system
100 ÷ 50000 20 20
20 CO+, B2Σ+ − A2Π , The Baldet − Johnson
system
5000 ÷ 46000 15 20
21 CO+, B2Σ+ − X2Σ+ , The First negative system 11000 ÷ 60000 15 20
22 CO+, X2Σ+ − X2Σ+
10÷10000 15 15

Приложение 4
621
Таблица П.4 (окончание)
№
Молекула, электронный переход,
имя перехода
Спектральный
диапазон, см−1 Диапазон
колебательных
квантов
u
′≡
vv
l
′′≡
vv
Molecule N2
23 N2, A3Σ+u − X1Σ+g , The Vegard − Kaplan
bands
1000 ÷ 75000 21 21
24 N2, b1Πu − X1Σ+g , The Birge − Hopfield 1 74000 ÷ 105000 1 12
25 N2, B3Πg − A3Σ+u , The First positive system 1000 ÷ 25000 21 21
26 N2, b′1Σ+u − X1Σ+g , The Birge − Hopfield 2 54000 ÷ 1200000 25 25
27 N2, C3Πu − B3Πg , The Second positive
system
10000 ÷ 40000 4 19
28 N2, D3Σ+u − B3Πg , The Forth positive system 28500 ÷ 50000 0 10
Molecule NO
29 NO,A2Σ+ −X2Π, γ-system
16000 ÷ 62000 8 22
30 NO,B2Π−X2Π, β-system
16000 ÷ 60000 15 22
31 NO,B′2∆−X2Π, β′ -system
35000 ÷ 68000 7 22
32 NO, C2Π − A2Σ+
1000 ÷ 20000 4
8
33 NO,C2Π−X2Π, δ-system
20000 ÷ 65000 4 22
34 NO, D2Σ+ − A2Σ+
3500 ÷ 15000 4
8
35 NO,D2Σ+−X2Π, ε-system
20000 ÷ 65000 4 22
36 NO,X2Π−X2Π
100 ÷ 15000 25 25
Molecule NO+
37 NO+, A1Π − X1Σ+
39000 ÷ 90000 15 22
Molecule 2
O
38 O2, B3Σ−
u − X3Σ−g,The Schumann − Runge
system
22000 ÷ 57000 14 21
Molecule 2
O+
392
O+ , A2Πu − X2Πg , The Second negative
system
8000 ÷ 52700 21 21
402
O+ , b4Σ−g − a4Πu The First negative system 1000 ÷ 30500 15 20
Molecule 2
N+
412
N + , A2Πu − X2Σ+g , Meinel's auroral system 1000 ÷ 38000 20 20
422
N + , B2Σ+u − X2Σ+g , The First negative
system
7000 ÷ 40000 10 20
432
N + , C2Σ+u − X2Σ+g , The Second negative
system
27000 ÷ 95000 15 20

Приложение 4
622
Рисунки к таблице П.4. Сечения поглощения электронно-колебательных и
колебательных полос при температуре T= 7000 K
(σ, 1018 cm2)
Рис.П.4.1. Сечения поглощения молекулярных полос молекулы С2
Рис.П.4.2. Сечения поглощения молекулярных полос молекул СN и CO

Приложение 4
623
Рис.П.4.3. Сечения поглощения молекулярных полос молекул N2 и CO+
Рис.П.4.4. Сечения поглощения молекулярных полос молекулы NO

Приложение 4
624
Рис.П.4.5. Сечения поглощения молекулярных полос молекул NO+, O2, O2+, N2+
Примечания к Приложению 4:
1. Спектральный диапазон, в котором наблюдаются молекулярные полосы
даны в 3-й колонке таблицы П.4.
2. Число верхних ( ′
v)инижних(′′
v ) колебательных квантовых состояний,
учтенных в расчете сечений поглощения каждой полосы, дано в колонках №
4 и 5 таблицы П.4.
3. Номера кривых на рис.П.4.1-П.4.5 соответствуют номерам молекулярных
полос в таблице П.4 (первая колонка).

625
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Спектральная излучательная способность равновесного
высокотемпературного воздуха в спектральном диапазоне 2000-8000 Å
С начала работы рабочей группы Европейского космического агентства по
излучению высокотемпературных газов (2003 г.) была достигнута
договоренность о формулировке ряда тестовых задач, на примере которых
научные группы из разных стран Европы, Азии и США, Канады и Австралии
получили возможность согласовывать свои данные.
Первой тестовой задачей (так называемый Test Case #1 (TC1)) была
определена задача расчета спектральной излучательной способности струи
высокочастотного плазмотрона в ограниченном спектральном диапазоне при
заданном распределении температуры вдоль оптического луча и при
атмосферном давлении.
Тестовая задача №1 предназначена для тестирования спектральных баз
данных в диапазоне длин волн ∆λ =2000-8000 Å. Экспериментальные данные
получены в [11,12] на примере анализа спектральной излучательной
способности струи высокочастотного индукционного плазмотрона при
атмосферном давлении. Многочисленные эксперименты показали, что
химическое и термическое состояние высокотемпературного воздуха можно
принять равновесным.
Измерения спектральной излучательной способности были выполнены
вдоль оптического пути нормального оси струи. Аппаратная функция может
аппроксимироваться трапецией с основаниями 3.42 Å и 1.7 Å, что
соответствует ширине входной и выходной щели 80 мкм и 240 мкм
соответственно (линейная дисперсия монохроматора принята 10.7 Å/мм при
λ =6328 Å).
Измеренная спектральная излучательная способность отвечает излучению,
испущенному всеми слоями горячего газа вдоль неоднородного оптического
пути. Поэтому в расчетах необходимо провести интегрирование формального
решения уравнения переноса излучения вдоль неоднородной оптической
трассы. Особенностью предложенной тестовой задачи является задание
температурного профиля вдоль оптического луча и распределений
концентраций частиц высокотемпературного воздуха. Рекомендуемые
численные значения приведены в таблице П.5.1. Первая колонка содержит
радиальные координаты (в см), вторая равновесную температуру (в К), а
последующие колонки -- относительные мольные концентрации компонент.
Результаты тестовых расчетов, выполненных с использованием
компьютерного кода ASTEROID [9], и соответствующие экспериментальные
данные показаны на рис.П.5.1−П.5.3. Рисунки П.5.4 и П.5.5 показывают
примеры расчетов тонкой вращательной структуры спектра излучательной
способности. Эти расчеты выполнены с целью дать представление о реальной

Приложение 5
626
структуре спектра, усреднение которого выполняется при сопоставлении
экспериментальных и расчетных данных. В расчетах усредненной по
вращательной структуре излучательной способности использовалась модель
Q-ветви [9]. Использовалось предположение о синглетной структуре.
Лоренцевская и допплеровская полуширины полагались равными.
Представленные на рис. П.5.1− П.5.3 данные свидетельствуют о хорошем
согласии расчетных и экспериментальных данных. Увеличение числа
спектральных групп (см. последовательно рис. П.5.1− П.5.3) не приводит к
заметному изменению расчетных данных. Установлено незначительное
увеличение спектральной излучательной способности в узких спектральных
диапазонов в окрестности центров колебательных полос.
Следует подчеркнуть, что выполненное сопоставление расчетных и
экспериментальных данных свидетельствует лишь о правильности
используемых соотношений по спектральной излучательной способности при
заданной температуре, а также об адекватности используемой базы данных
по коэффициентам Эйнштейна молекулярных полос, расположенных в
заданном спектральном диапазоне.
К сожалению, данное сопоставление не дает гарантий правильного
расчета спектральных оптических свойств, требуемых для решения задач
радиационной газовой динамики в силу ограниченности начальных условий
проведенных тестовых расчетов и ограниченного спектрального диапазона.

627
Таблица П.5. Профили температуры и относительных мольных концентраций,
задаваемые в тестовой задаче №1 [11]
__________________________________________________________________________________________________________________________
r,см T,К
N
2
O2
NO
N
O
C
N2+
N+
O+
CN
E-
__________________________________________________________________________________________________________________________
0.0 1700. 7.796E-01 2.077E-01 3.079E-03 2.612E-12 1.986E-05 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 5.762E-15
0.1 1700. 7.796E-01 2.077E-01 3.079E-03 2.612E-12 1.986E-05 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 5.672E-15
0.2 2800. 7.549E-01 1.781E-01 3.463E-02 3.003E-06 2.275E-02 3.905E-16 6.735E-18 1.000E-20 1.453E-16 5.780E-14 6.090E-09
0.3 3700. 6.778E-01 6.376E-02 5.004E-02 4.424E-04 1.993E-01 1.253E-11 4.323E-13 5.332E-15 1.227E-11 8.146E-11 1.093E-06
0.4 4260. 6.466E-01 1.515E-02 3.483E-02 3.465E-03 2.928E-01 1.031E-09 6.262E-11 5.088E-12 1.110E-09 2.544E-09 7.276E-06
0.5 4621. 6.367E-01 5.635E-03 2.552E-02 9.983E-03 3.138E-01 1.064E-08 8.308E-10 1.567E-10 1.027E-08 1.169E-08 1.858E-05
0.6 4961. 6.245E-01 2.365E-03 1.914E-02 2.362E-02 3.224E-01 7.375E-08 6.993E-09 2.599E-09 6.238E-08 4.907E-08 3.894E-05
0.7 5310. 6.023E-01 1.050E-03 1.436E-02 5.059E-02 3.238E-01 4.204E-07 4.704E-08 3.195E-08 3.128E-07 1.763E-07 7.488E-05
0.8 5513. 5.822E-01 6.734E-04 1.216E-02 7.499E-02 3.219E-01 1.051E-06 1.273E-07 1.193E-07 7.288E-07 3.439E-07 1.050E-04
0.9 5728. 5.541E-01 4.300E-04 1.016E-02 1.096E-01 3.181E-01 2.580E-06 3.370E-07 4.386E-07 1.677E-06 6.559E-07 1.457E-04
1.0 5937. 5.186E-01 2.830E-04 8.489E-03 1.522E-01 3.118E-01 5.738E-06 7.937E-07 1.398E-06 3.540E-06 1.152E-06 1.947E-04
1.1 6133. 4.802E-01 1.930E-04 7.133E-03 2.033E-01 3.063E-01 1.144E-05 1.678E-06 3.890E-06 6.843E-06 1.847E-06 2.506E-04
1.2 6315. 4.374E-01 1.361E-04 6.002E-03 2.577E-01 2.989E-01 2.048E-05 3.149E-06 9.404E-06 1.213E-05 2.701E-06 3.116E-04
1.3 6484. 3.919E-01 9.915E-05 5.053E-03 3.122E-01 2.898E-01 3.322E-05 5.342E-06 2.018E-05 1.995E-05 3.623E-06 3.774E-04
1.4 6642. 3.475E-01 7.427E-05 4.270E-03 3.662E-01 2.811E-01 4.921E-05 8.310E-06 0.911E-05 3.078E-05 4.482E-06 4.489E-04
1.5 6789. 3.054E-01 5.711E-05 3.625E-03 4.172E-01 2.727E-01 6.703E-05 1.197E-05 6.922E-05 4.485E-05 5.147E-06 5.270E-04
1.6 6924. 2.668E-01 4.507E-05 3.097E-03 4.639E-01 2.649E-01 8.464E-05 1.611E-05 1.129E-04 6.206E-05 5.534E-06 6.124E-04
1.7 7048. 2.327E-01 3.650E-05 2.667E-03 5.052E-01 2.580E-01 1.005E-04 2.041E-05 1.711E-04 8.196E-05 5.653E-06 7.059E-04
1.8 7161. 2.034E-01 3.031E-05 2.322E-03 5.406E-01 2.520E-01 1.137E-04 2.458E-05 2.427E-04 1.038E-04 5.564E-06 8.067E-04
1.9 7263. 1.788E-01 2.580E-05 2.046E-03 5.703E-01 2.470E-01 1.242E-04 2.836E-05 3.249E-04 1.266E-04 5.346E-06 9.127E-04
2.0 7352. 1.587E-01 2.249E-05 1.829E-03 5.946E-01 2.429E-01 1.321E-04 3.162E-05 4.130E-04 1.493E-04 5.072E-06 1.020E-03
2.1 7428. 1.427E-01 2.007E-05 1.661E-03 6.138E-01 2.396E-01 1.379E-04 3.428E-05 5.014E-04 1.709E-04 4.796E-06 1.125E-03
2.2 7491. 1.305E-01 1.833E-05 1.534E-03 6.284E-01 2.371E-01 1.420E-04 3.634E-05 5.836E-04 1.902E-04 4.551E-06 1.220E-03
2.3 7539. 1.216E-01 1.712E-05 1.443E-03 6.390E-01 2.353E-01 1.447E-04 3.785E-05 6.531E-04 2.060E-04 4.356E-06 1.300E-03
2.4 7571. 1.159E-01 1.637E-05 1.385E-03 6.458E-01 2.341E-01 1.464E-04 3.881E-05 7.027E-04 2.171E-04 4.225E-06 1.357E-03
2.5 7584. 1.137E-01 1.608E-05 1.363E-03 6.484E-01 2.337E-01 1.470E-04 3.918E-05 7.233E-04 2.216E-04 4.172E-06 1.380E-03
2.6 7571. 1.159E-01 1.637E-05 1.385E-03 6.458E-01 2.341E-01 1.464E-04 3.881E-05 7.027E-04 2.171E-04 4.225E-06 1.357E-03
__________________________________________________________________________________________________________________________

628
Таблица П.5. (окончание)
__________________________________________________________________________________________________________________________
r,см T,К N2
O2
NO
N
O
C
N2+
N+
O+
CN
E-
__________________________________________________________________________________________________________________________
2.7 7539. 1.216E-01 1.712E-05 1.443E-03 6.390E-01 2.353E-01 1.447E-04 3.785E-05 6.531E-04 2.060E-04 4.356E-06 1.300E-03
2.8 7491. 1.305E-01 1.833E-05 1.534E-03 6.284E-01 2.371E-01 1.420E-04 3.634E-05 5.836E-04 1.902E-04 4.551E-06 1.220E-03
2.9 7428. 1.427E-01 2.007E-05 1.661E-03 6.138E-01 2.396E-01 1.379E-04 3.428E-05 5.014E-04 1.709E-04 4.796E-06 1.125E-03
3.0 7352. 1.587E-01 2.249E-05 1.829E-03 5.946E-01 2.429E-01 1.321E-04 3.162E-05 4.130E-04 1.493E-04 5.072E-06 1.020E-03
3.1 7263. 1.788E-01 2.580E-05 2.046E-03 5.703E-01 2.470E-01 1.242E-04 2.836E-05 3.249E-04 1.266E-04 5.346E-06 9.127E-04
3.2 7161. 2.034E-01 3.031E-05 2.322E-03 5.406E-01 2.520E-01 1.137E-04 2.458E-05 2.427E-04 1.038E-04 5.564E-06 8.067E-04
3.3 7048. 2.327E-01 3.650E-05 2.667E-03 5.052E-01 2.580E-01 1.005E-04 2.041E-05 1.711E-04 8.196E-05 5.653E-06 7.059E-04
3.4 6924. 2.668E-01 4.507E-05 3.097E-03 4.639E-01 2.649E-01 8.464E-05 1.611E-05 1.129E-04 6.206E-05 5.534E-06 6.124E-04
3.5 6789. 3.054E-01 5.711E-05 3.625E-03 4.172E-01 2.727E-01 6.703E-05 1.197E-05 6.922E-05 4.485E-05 5.147E-06 5.270E-04
3.6 6642. 3.475E-01 7.427E-05 4.270E-03 3.662E-01 2.811E-01 4.921E-05 8.310E-06 0.911E-05 3.078E-05 4.482E-06 4.489E-04
3.7 6484. 3.919E-01 9.915E-05 5.053E-03 3.122E-01 2.898E-01 3.322E-05 5.342E-06 2.018E-05 1.995E-05 3.623E-06 3.774E-04
3.8 6315. 4.374E-01 1.361E-04 6.002E-03 2.577E-01 2.989E-01 2.048E-05 3.149E-06 9.404E-06 1.213E-05 2.701E-06 3.116E-04
3.9 6133. 4.802E-01 1.930E-04 7.133E-03 2.033E-01 3.063E-01 1.144E-05 1.678E-06 3.890E-06 6.843E-06 1.847E-06 2.506E-04
4.0 5937. 5.186E-01 2.830E-04 8.489E-03 1.522E-01 3.118E-01 5.738E-06 7.937E-07 1.398E-06 3.540E-06 1.152E-06 1.947E-04
4.1 5728. 5.541E-01 4.300E-04 1.016E-02 1.096E-01 3.181E-01 2.580E-06 3.370E-07 4.386E-07 1.677E-06 6.559E-07 1.457E-04
4.2 5513. 5.822E-01 6.734E-04 1.216E-02 7.499E-02 3.219E-01 1.051E-06 1.273E-07 1.193E-07 7.288E-07 3.439E-07 1.050E-04
4.3 5310. 6.023E-01 1.050E-03 1.436E-02 5.059E-02 3.238E-01 4.204E-07 4.704E-08 3.195E-08 3.128E-07 1.763E-07 7.488E-05
4.4 4961. 6.245E-01 2.365E-03 1.914E-02 2.362E-02 3.224E-01 7.375E-08 6.993E-09 2.599E-09 6.238E-08 4.907E-08 3.894E-05
4.5 4621. 6.367E-01 5.635E-03 2.552E-02 9.983E-03 3.138E-01 1.064E-08 8.308E-10 1.567E-10 1.027E-08 1.169E-08 1.858E-05
4.6 4260. 6.466E-01 1.515E-02 3.483E-02 3.465E-03 2.928E-01 1.031E-09 6.262E-11 5.088E-12 1.110E-09 2.544E-09 7.276E-06
4.7 3700. 6.778E-01 6.376E-02 5.004E-02 4.424E-04 1.993E-01 1.253E-11 4.323E-13 5.332E-15 1.227E-11 8.146E-11 1.093E-06
4.8 2800. 7.549E-01 1.781E-01 3.463E-02 3.003E-06 2.275E-02 3.905E-16 6.735E-18 1.000E-20 1.453E-16 5.780E-14 6.090E-09
4.9 1700. 7.796E-01 2.077E-01 3.079E-03 2.612E-12 1.986E-05 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 5.672E-15
5.0 1700. 7.796E-01 2.077E-01 3.079E-03 2.612E-12 1.986E-05 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 1.000E-20 5.762E-15
__________________________________________________________________________________________________________________________

Приложение 5
629
Wavelength, A
Emission, mW/(cm**2 sr)
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0
1
2
3
4
5
Q-branc h ASTEROID +RayTracing
Laux Experiment (TC1)
Рис. П.5.1.Спектральная излучательная способность высокотемпературного
воздуха при р= 1 атм. Число расчетных спектральных групп Ngroup=500
Wavelength, A
Emission, mW/(cm**2 sr)
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0
1
2
3
4
5
Q-branch ASTEROID+RayTracing
Laux Experime nt (TC1)
Рис. П.5.2.Спектральная излучательная способность высокотемпературного
воздуха при р= 1 атм. Число расчетных спектральных групп Ngroup=1000

Приложение 5
630
Wavelength, A
Emission, mW/(cm**2 sr)
2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0
1
2
3
4
5
Q-branch ASTEROID+RayTracing
Laux Experiment (TC1)
Рис. П.5.3.Спектральная излучательная способность высокотемпературного
воздуха при р= 1 атм. Число расчетных спектральных групп Ngroup=10000
Wavelength, A
Emission, mW/(cm**2*mcm*sr)
3820 3840 3860 3880 3900
5
10
15
Wavelength, A
Emission, mW/(cm**2*mcm*sr)
3
8
8
73
8
8
83
8
8
93
8
9
03
8
9
13
8
9
2
5
10
15
(
а)
(
б)
Рис. П.5.4. Спектральная испускательная способность в диапазоне длин волн
3800-3920 Å с разрешение вращательной структуры спектра (Ngroup=100000)
(а) и в диапазоне длин волн 3887-3892.4 Å с разрешение вращательной
структуры спектра (Ngroup=100000) (б)

631
ПРИЛОЖЕНИЕ 6
Анализ некоторых кинетических моделей, используемых в аэрофизике
спускаемых космических аппаратов
Первая часть данного приложения посвящена сравнению методов расчета
констант равновесия в широком диапазоне температур: T = 1000 -- 50000 K,
что необходимо для решения задач аэрофизики орбитального и
сверхорбитального входа космических аппаратов в плотные слои атмосферы.
В данной работе за основу выбраны термодинамические данные [8]. Поэтому
в области температур более 20000 К используется экстраполяция
термодинамических данных.
Рассматриваются два метода расчета констант равновесия: пяти
параметрическая аппроксимация, предложенная в работе [13], и
аппроксимация в виде обобщенной формулы Аррениуса, полученная в работе
[14] на основе термодинамических данных [8]. Необходимость выполнения
указанного сопоставления состоит в том, что множество результатов
расчетов, публикуемые в мировом аэрокосмическом сообществе основаны на
термодинамических данных [13].
Во второй части приложения дан сравнительный анализ некоторых
кинетических моделей, используемых в компьютерной аэрофизике. Расчет
констант прямых скоростей реакций проводится с использованием
аппроксимационных соотношений, рекомендованных в работах [13] и [15], а
также по классической теории соударений с поправкой на увеличение
эффективного радиуса частиц при высоких температурах [6,16,17].
Материал данного приложения основан на работе [14].
П.6.1. Расчет констант равновесия
Прежде всего уточним систему единиц, в которой производились расчеты
констант равновесия.
Для реакций диссоциации двухатомных молекул при тепловых
столкновениях с третьей частицей
AB+M=A+B+M
константа равновесия имеет вид:
[][][ ]
(
)
eq
eq
KA
B
A
B
ρ
=
(
1
)
Здесь ρ - плотность газовой смеси, выражена в г/см³, [X] -- удельная мольная
концентрация вещества в моль/г. Константа равновесия имеет размерность
моль/см3.

Приложение 6
632
Для реакций обмена
A+B=C+D
константа равновесия является безразмерной величиной и имеет вид:
[][][][]
()
eq
eq
KC
D
A
B
ρ
=
(
2
)
Константы равновесия, рекомендованные в [13], имеют указанные
размерности, а таблицы работы [8] составлены для расчета констант
равновесия, выраженных через безразмерные давления.
Для реакций с увеличением количества частиц:
,
AB
eq
AB eq
pp
p
K⎛⎞
⋅
⎜⎟
⎝⎠
=
%%
%
где
*
,
X
Xp
pp
=
%
X
p - парциальное давление, эрг/см3, *
p = 106 эрг/см3.
Для реакций без изменения количества частиц расчет по таблицам из [8]
дает величину
,
AB
eq
CD
eq
pp
pp
K⎛⎞
⋅
⎜⎟
⋅
⎝⎠
=
%%
%%
которая совпадает по значению с (2).
Таким образом, для реакций с увеличением количества частиц при
переводе к размерности (1) данные, рассчитанные на основе таблиц из
работы [8], следует умножить на коэффициент *0
/
pR
T
.
Здесь
7
0 8,314 10
R=⋅
эрг/(К·моль), T -- температура в К, *
p = 106 эрг/см3.
Для реакций без изменения количества частиц перевод в другие единицы
не требуется.
Расчет констант равновесия по аппроксимациям работы [13]
В работе [13] рассматриваются 24 реакции, содержащие атомы N, O, C, H.
Аппроксимация константы равновесия сделана на основе значений
константы равновесия при температурах 3000, 6000, 9000, 12000 и 15000 К, и
включает в себя 5 параметров.
Константа равновесия рассчитывается по аппроксимационной формуле
2
12
34
5
exp /
ln( )
,
10000 /
eq
KA
Z
A
A
Z
A
Z
A
Z
ZT
⎡⎤
=+
+
+
+
⎣⎦
=
(
3
)
Здесь: T -- температура в К, A1 -- A5 -- параметры, представленные в Таблице
П.6.1.
Использованные исходные термодинамические данные основаны на
работке [28].

П.6.1. Расчет констант равновесия
633
Аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса
Данная аппроксимация основана на таблицах термодинамических данных,
представленных в [8], и на предположении, что обобщенная формула
Аррениуса удовлетворительно описывает температурную зависимость
константы равновесия:
exp
eq
n
eq
eq
eq
E
KA
TT
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
(
4
)
Параметры A
eq, neq, Eeq представлены в Таблице П.6.2. Здесь
предэкспоненциальный множитель Aeq имеет ту же размерность, что и
константа равновесия, а энергия активации Eeq имеет размерность
температуры.
Константы Aeq, neq, Eeq были получены путем аппроксимации табличных
данных [8] с использованием программы Origin методом наименьших
квадратов. Графики, на которых показаны табличные данные [8] и
соответствующие аппроксимирующие кривые, представлены в разделе П.6.3
на рис.П.6.1-П.6.8.
Рассмотрены реакции, присутствующие в кинетической модели в работе
[13], кроме реакции C2H + H = C2 + H2. Для этой реакции нет данных в [8],
однако, как показано в работе [13], концентрация C2H при температуре выше
4000 К очень незначительна по сравнению с другими типами частиц, и
влияние этой реакции мало.
Так как реакции 11, 12, 16, 19, 20, 21 не были представлены в таблицах [8],
параметры для них получены из простых реакций. В Таблице П.6.2 они
приведены под основной реакцией.
Результаты расчетов по аппроксимациям (3) и (4), а также их сравнение
представлены в разделе П.6.4 на рис.П.6.9-П.6.20. По оси Х графиков
отложена обратная температура в единицах 10000/Т. По оси Y -- натуральный
логарифм константы равновесия, рассчитываемой в [8]. На графиках
показана область температур с 1000 до 50000 К.
П.6.2. Расчет констант скоростей прямых реакций
Кинетическая модель [13]
Выражение для константы скорости прямой реакции в работе [13]
получено путем аппроксимации экспериментальных данных в диапазоне
температур от 3000 до 15000 К. Оно имеет вид:
()
exp
n
fr
kA
TT
T
=−
(
5
)

Приложение 6
634
где Tr -- энергия активации реакции, выраженная в К; T -- температура,
контролирующая реакцию, А -- параметр аппроксимации. Значения
параметров приведены в Таблице П.6.3. Величины A и kf имеют размерность
см3/(моль·с).
Кинетическая модель [15]
Вид аппроксимации в работе [15] такой же, как в работе [13]:
()
exp
n
fr
kA
TT
T
=−
.
Здесь: Tr -- энергия активации реакции, выраженная в К; T -- температура.
Значения параметров приведены в Таблице П.6.4.
Для сравнения двух аппроксимаций [13] и [15] были выбраны реакции,
общие для обеих работ. Таких реакций 16. В Таблице П.6.5 сведены
аппроксимационные параметры для этих реакций.
Расчет по классической теории соударений [4 ,5]
Расчет проводился с иcпользованием теории активных соударений:
()
2
12
*
8expA
fA
E
RT
kNr
rM
RT
π
π⎛⎞
=+
−
⎜⎟
⎝⎠
(
6
)
где ri -- газодинамический радиус частицы, NА -- число Авогадро, R --
универсальная газовая постоянная, EА -- энергия активации реакции,
*
M--
приведенная масса сталкивающейся пары частиц.
Энергия активации, в К, была взята из работы [13]. Ее значения приведены
в Таблице П.6.5. Газодинамические радиусы атомов и молекул приведены в
Таблице П.6.6. В Таблице П.6.7 представлены значения приведенных масс
для каждой пары частиц.
Сравнение экспериментальных данных c расчетами констант скоростей
реакций по данным из [13] и по теории столкновений для большинства
реакций показало, что классический расчет по теории столкновений для
реакций диссоциации занижает значение скорости реакции.
Для более точного расчета для этого типа реакций была использована
гипотеза, сделанная Н. Бором [6]: при высоких температурах эффективные
радиусы атомов увеличиваются из-за электронного возбуждения
пропорционально квадрату главного квантового числа Rэфф ~ n²
В данной работе было принято Rэфф = 3.5 r, где r -- газодинамический
радиус атома или молекулы, Rэфф -- радиус, принятый в расчете по теории
соударений.
Результаты расчета на основе данных из Таблиц П.6.5 и П.6.6 и сравнение
расчетов констант скоростей прямых реакций тремя изложенными методами,

П.6.2. Расчет констант скоростей прямых реакций
635
а также области экспериментальных данных приведены в разделе П.6.5 на
рис.П.6.21-П.6.34. По оси Х графиков отложена обратная температура в
единицах 10000/Т. По оси Y -- константа скорости реакции в
логарифмической шкале.
Таким образом, проведенное сравнительное исследование результатов
расчета констант равновесия двумя методами, на основе работы [13] и с
использованием таблиц данных из работы [8], показало, что оба метода дают
хорошее согласие при высоких (выше 3000 К) температурах.
Очевидно, что использование аппроксимаций констант равновесия в виде
обобщенной формулы Аррениуса представляется предпочтительным.
Проведен расчет прямых скоростей реакций по данным работ [13] и [15], а
также по классической теории соударений. Выполнено сравнение с
экспериментальными данными в области температур до 8000 К. Так как
классическая теория соударений дала заниженную оценку констант
скоростей прямых реакций диссоциации, она была модифицирована для
лучшего согласия с экспериментальными данными.
П.6.3. Получение параметров аппроксимации данных из таблиц [2] в
виде обобщенной формулы Аррениуса
По оси Х графиков отложена обратная температура в единицах 1000/Т. По
оси Y -- натуральный логарифм константы равновесия, выраженной в
единицах, используемых в работе [8].
Рис. П.6.1. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииN2+M=N+N+MиреакцииO2+M=O+O+Mввиде
обобщенной формулы Аррениуса

Приложение 6
636
Рис. П.6.2. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииC2+M=C+C+M иCN+M=C+N+Mввиде
обобщенной формулы Аррениуса
Рис. П.6.3. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииH2+M=H+H+MиN2+e=N+N+eввидеобобщенной
формулы Аррениуса
Рис. П.6.4. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииO+e=O++e+eиN+e=N++e+eввидеобобщенной
формулы Аррениуса

П.6.3. Константы равновесия в форме обобщенной зависимости Аррениуса
637
Рис. П.6.5. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииC+e=C++e+eиH+e=H++e+eввидеобобщенной
формулы Аррениуса
Рис. П.6.6. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииNO+O2=N+O+O2иCO+M=C+O+Mввиде
обобщенной формулы Аррениуса
Рис. П.6.7. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе[8]дляреакцииC3+N=C2+C+NиO+N=NO++eввидеобобщенной
формулы Аррениуса

Приложение 6
638
Рис. П.6.8. Аппроксимация значений константы равновесия, взятых из таблицы в
работе [8] для реакции N + N = N2+ + e в виде обобщенной формулы Аррениуса
П.6.4. Сравнение результатов расчетов констант равновесия при
температурах 1000-50000 К по аппроксимациям Парка [13] и на основе
обобщенной формулы Аррениуса, аппроксимирующей данные таблиц [8]
По оси Х графиков отложена обратная температура в единицах 10000/Т.
По оси Y -- натуральный логарифм константы равновесия.
Рис.П.6.9. Зависимость констант равновесия реакции N2 + M = N + N + M и O2 + M =
O + O + M от температуры; сплошная кривая-- аппроксимация [13], штриховая кривая
-- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с использованием [8]

П.6.4. Сравнение результатов расчетов констант равновесия
639
Рис.П.6.10. Зависимость констант равновесия реакции и реакции C2 + M = C + C + M
и CN + M = C + N + M температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]
Рис.П.6.11. Зависимость констант равновесия реакции и реакции H2 + M = H + H +
M и N2 + e = N + N + e от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]

Приложение 6
640
Рис.П.6.12. Зависимость констант равновесия реакции и реакции O + e = O+ + e + e и
N + e = N+ + e + e от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]
Рис.П.6.13. Зависимость констант равновесия реакции и реакции C + e = C+ + e + e и
H + e = H+ + e + e от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]

П.6.4. Сравнение результатов расчетов констант равновесия
641
Рис.П.6.14. Зависимость констант равновесия реакции и реакции N2 + O = NO + N и
NO + O = O2 + N от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]
Рис.П.6.15. Зависимость констант равновесия реакции и реакции CO + C = C2 + O и
CO + O = O2 + C от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая
кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]

Приложение 6
642
Рис.П.6.16. Зависимость констант равновесия реакции и реакции CO + N = CN + O и
N2 + C = CN + N от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая
кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]
Рис.П.6.17. Зависимость констант равновесия реакции и реакции CN + O = NO + C и
CN + C = C2 + N от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]

П.6.4. Сравнение результатов расчетов констант равновесия
643
Рис.П.6.18. Зависимость констант равновесия реакции и реакции CO + C2 = C3 + O и
C3 + N = CN + C2 от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]
Рис.П.6.19. Зависимость констант равновесия реакции и реакции C3 + C = C2 + C2 и O
+ N = NO+ + e от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая
кривая -- аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с
использованием [8]

Приложение 6
644
Рис.П.6.20. Зависимость констант равновесия реакции и равновесия реакции N + N =
N2+ + e от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация на основе обобщенной формулы Аррениуса с использованием [8]
П.6.5. Сравнение результатов расчетов констант скоростей прямых
реакций при температурах 1000-50000 К по аппроксимациям Парка [13],
Канга и Данна [15] и по теории активных соударений
По оси Х графиков отложена обратная температура в единицах 10000/Т.
По оси Y -- натуральный логарифм константы скорости реакции.
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.21. Зависимость прямой скорости реакции O2 + N = O + O + N от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных

П.6.5. Сравнение результатов расчетов констант скоростей прямых процессов
645
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.22. Зависимость прямой скорости реакции O2 + NO = O + O + NO от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.23. Зависимость прямой скорости реакции N2 + O = N + N + O от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных

Приложение 6
646
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.24. Зависимость прямой скорости реакции N2 + NO = N + N + NO от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.25. Зависимость прямой скорости реакции N2 + O2 = N + N + O2 от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных

П.6.5. Сравнение результатов расчетов констант скоростей прямых процессов
647
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
5
6
7
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.26. Зависимость прямой скорости реакции O + NO = N + O2 от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
Рис.П.6.27. Зависимость прямой скорости реакции O + N2 = N + NO и
O + N = NO+ + e от температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая
кривая -- аппроксимация [15], квадратные маркеры - расчет по теории соударений,
кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений

Приложение 6
648
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.28. Зависимость прямой скорости реакции N + N2 = N + N + N от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных
10000/T
kf
2
4
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
2
4
10-26
10-16
10-6
104
1014
Рис.П.6.29. Зависимость прямой скорости реакции O + e = O+ + e + e и
N + e = N+ + e + e от температуры. Сплошная кривая -- аппроксимация [13],
штриховая кривая -- аппроксимация [15], квадратные маркеры - расчет по теории
соударений, кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений

П.6.5. Сравнение результатов расчетов констант скоростей прямых процессов
649
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
Рис.П.6.30. Зависимость прямой скорости реакции N + N = N2+ + e от температуры.
Сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая -- аппроксимация [15],
квадратные маркеры - расчет по теории соударений, кривая «точка-тире» - расчет по
модифицированной теории соударений
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-2 6
10-1 6
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.31. Зависимость прямой скорости реакции O2 + O = O + O + O от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], квадратные маркеры и тонкая кривая «точка-тире» - расчет по
теории соударений, жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной
теории соударений, замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных
данных

Приложение 6
650
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.32. Зависимость прямой скорости реакции O2 + O2 = O + O + O2 от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], тонкая кривая «точка-тире» - расчет по теории соударений,
жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной теории соударений,
замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных данных
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-2 6
10-1 6
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.33. Зависимость прямой скорости реакции O2 + N2 = O + O + N2 от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], квадратные маркеры и тонкая кривая «точка-тире» - расчет по
теории соударений, жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной
теории соударений, замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных
данных

П.6.5. Сравнение результатов расчетов констант скоростей прямых процессов
651
10000/T
kf
2
4
6
8
10
10-26
10-16
10-6
104
1014
10000/T
kf
1
2
3
4
105
106
107
108
109
1010
1011
1012
1013
1014
Рис.П.6.34. Зависимость прямой скорости реакции N2 + N2 = N + N + N2 от
температуры; сплошная кривая -- аппроксимация [13], штриховая кривая --
аппроксимация [15], квадратные маркеры и тонкая кривая «точка-тире» - расчет по
теории соударений, жирная кривая «точка-тире» - расчет по модифицированной
теории соударений, замкнутая кривая «точка-тире» - область экспериментальных
данных.

652
Таблица П.6.1. Параметры аппроксимации для расчета константы равновесия в модели [13]
№
Реакция
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
1
N2+M=
N+N+M
-3,293682E+00 9,989980E-01 -8,237028E+00 -5,526183E+00
2
O2+M=
O+O+M
1,578640E+00 2,688744E+00 4,215573E+00 -8,091354E+00
3
C2+M=
C+C+M
2,538863E+00 1,782394E+00 5,753987E+00 -10,296164E+00
4
CN+M=
C+N+M
1,360714E+00 9,589300E-01 2,726324E+00 -9,879787E+00
5
H2+M=
H+H+M
1,817328E+00 1,202335E+00 4,427498E+00 -7,574115E+00
6
N2+e=
N+N+e
-3,293682E+00 9,989980E-01 -8,237028E+00 -5,526183E+00
7
O+e=
O++e+e
6,141240E-01 -6,755241E+00 -7,743190E-01 -16,003456E+00
8
N+e=
N++e+e
2,005880E-01 -3,965871E+00 -4,173100E-02 -18,063001E+00
9C
+
e
=C
++e+e
-2,836800E-01 -6,040219E+00 -1,824398E+00 -12,789612E+00
10
H+e=
H++e+e
-1,920970E-01 -6,276289E+00 -1,903784E+00 -15,510915E+00
11
N2+O=
NO+N
-3,032189E+00 7,846800E-02 -7,693047E+00 1,411299E+00
12
NO+O=
O2+N
-1,840133E+00 -1,768215E+00 -4,759554E+00 1,153872E+00
13
CO+C=
C2+O
-2,294357E+00 1,852541E+00 -5,069929E+00 -2,926134E+00
14
CO+O=
O2+C
-1,224134E+00 9,461910E-01 -3,531516E+00 -5,130943E+00
15
CO+N=
CN+O
-1,116209E+00 2,676006E+00 -2,042267E+00 -3,342510E+00
16
N2+C=
CN+N
-4,654396E+00 4,006800E-02 -1,096335E+01 4,353604E+00
17
CN+O=
NO+C
1,622207E+00 3,840100E-02 3,270306E+00 -2,942305E+00
18
CN+C=
C2+N
-1,178148E+00 -8,234650E-01 -3,027662E+00 4,163770E-01
19
CO+C2=C
3+O
3,948366E+00 -2,399632E+00 1,776403E+00 -4,373308E+00
20
C3+N=
CN+C2
-5,899394E+00 5,259174E+00 -5,060829E+00 1,734790E+00
21
C3+C=
C2+C2
-4,340555E+00 4,842954E+00 -2,825133E+00 -1,197910E+00
22
С2Н+Н=
С2+Н2
0,254801E+01 -0,102037E+01 0,342570E+01 -0,186418E+01
23
O+N=
NO++e
3,429239E+00 -7,431449E+00 6,012721E+00 -8,276563E+00
24
N+N=
N2++e
-6,252300E-02 -5,822935E+00 -9,240520E-01 -8,136642E+00

Приложение 6
653
Таблица П.6.2. Параметры аппроксимации данных из [8] для расчета константы
равновесия по обобщенной формуле Аррениуса.
Под реакциями 11, 12, 16, 19, 20, 21 приведены простые реакции, с помощью
которых рассчитывается константа равновесия для указанных реакций
№
Реакция
Aeq,
(см3/моль)n-m
neq
E
eq, K
1
N2+M=
N+N+M
0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
2 O2+M=
O+O+M
0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
3 C2+M=
C+C+M
0.31666E+05 -0.10E+01 0.72579E+05
4 CN+M=
C+N+M
0.29158E+05 -0.10E+01 0.90245E+05
5
H2+M=
H+H+M
0.31666E+05 -0.10E+01 0.72579E+05
6
N2+e=
N+N+e
0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
7
O+e=
O++e+e
0.18752E+02 -0.10E+01 0.16108E+06
8
N+e=
N++e+e
0.76176E+02 -0.10E+01 0.17175E+06
9
C+e=
C++e+e
0.23681E+02 -0.10E+01 0.13367E+06
10
H+e=
H++e+e
0.20058E+02 -0.10E+01 0.16055E+06
11 N2+O=
NO+N
0.48634E+01 0.00E+00 0.37898E+05
NO+O2= N+O+O2
0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
N
2+O=
N+N+O
0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
12 NO+O=
O2+N
0.25871E+00 0.00E+00 0.15972E+05
O
2+O2=
O+O+O2
0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
NO+O2= N+O+O2
0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
13 CO+C=
C2+O
0.56240E+01 0.00E+00 0.57067E+05
14 CO+O=
O2+C
0.23780E+01 0.00E+00 0.69596E+05
15 CO+N=
CN+O
0.61079E+01 0.00E+00 0.39401E+05
16 N2+C=
CN+N
0.32317E+01 0.00E+00 0.23675E+05
CN+C=
C+N+C
0.29158E+05 -0.10E+01 0.90245E+05
N
2+O=
N+N+O
0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
17 CN+O=
NO+C
0.15049E+01 0.00E+00 0.14223E+05
18 CN+C=
C2+N
0.92077E+00 0.00E+00 0.17667E+05
19 CO+C2=
C3+O
0.14789E+01 0.00E+00 0.44443E+05
C
3+N=
C2+C+N
0.12042E+06 -0.10E+01 0.85203E+05
C
2+C=
C+C+C
0.31666E+05 -0.10E+01 0.72579E+05
CO+C=
C2+O
0.56240E+01 0.00E+00 0.57067E+05
20 C3+N=
CN+C2
0.41299E+01 0.00E+00 -0.50420E+04
CN+C=
C+N+C
0.29158E+05 -0.10E+01 0.90245E+05
C
3+N=
C2+C+N
0.12042E+06 -0.10E+01 0.85203E+05
21 C3+C=
C2+C2
0.38028E+01 0.00E+00 0.12624E+05
C
2+C=
C+C+C
0.31666E+05 -0.10E+01 0.72579E+05
C
3+C=
C2+C+C
0.12042E+06 -0.10E+01 0.85203E+05
22 O+N=
NO++e
0.23786E-03 0.00E+00 0.33633E+05
23
N+N=
N2++e
0.91583E-03 0.00E+00 0.69355E+05
В таблице использованы обозначения: n -- число реагирующих частиц в прямой
реакции, m -- число реагирующих частиц в обратной реакции.

Приложение 6
654
Таблица П.6.3. Аппроксимирующие коэффициенты для расчета констант прямых
реакций в модели [13]
№
Реакция
A,
(см3/моль)n-1/с
n
Tr, K
1
N2+A= N+N+A
3,0E+22
-1,60 1,13E+05
1а
N
2+M= N+N+M
7,0E+21
-1,60 1,13E+05
2
O2+A= O+O+A
1,0E+22
-1,50 5,95E+04
2а
O
2+M= O+O+M
2,0E+21
-1,50 5,95E+04
3
C2+M= C+C+M
3,7E+14
0,00 6,99E+04
4
CN+M= C+N+M
2,5E+14
0,00 8,77E+04
5
H2+M= H+H+M
2,2E+14
0,00 4,83E+04
5а
H
2+H2= H+H+H2
5,5E+14
0,00 4,83E+04
6
N2+e= N+N+e
3,0E+24
-1,60 1,13E+05
7
O+e= O++e+e
3,9E+33
-3,78 1,59E+05
8
N+e=
N++e+e
2,5E+34
-3,82 1,69E+05
9
C+e= C++e+e
3,7E+31
-3,00 1,31E+05
10
H+e=
H++e+e
2,2E+30
-2,80 1,58E+05
11
N2+O=
NO+N
5,7E+12
0,42 4,29E+04
12
NO+O=
O2+N
8,4E+12
0,00 1,95E+04
13
CO+C=
C2+O
2,0E+17
-1,00 5,80E+04
14
CO+O=
O2+C
3,9E+13
-0,18 6,92E+04
15
CO+N= CN+O
1,0E+14
0,00 3,86E+04
16
N2+C=
CN+N
1,1E+14
-0,11 2,32E+04
17
CN+O=
NO+C
1,6E+13
0,10 1,46E+01
18
CN+C=
C2+N
5,0E+13
0,00 1,30E+01
19
CO+C2= C3+O
1,0E+12
0,00 4,12E+01
20
C3+N= CN+C2
1,0E+12
0,00 3,42E+01
21
C3+C=
C2+C2
1,0E+12
0,00 1,64E+01
22
С2Н+Н= С2+Н2
1,0E+12
0,00 1,68E+01
23
O+N=
NO++e
5,3E+12
0,00 3,19E+04
24
N+N=
N2++e
4,4E+07
1,50 6,75E+04
В реакциях 1, 1а, 2, 2а введено обозначение: А -- атомарная частица,
М -- молекула или ион.

Приложение 6
655
Таблица П.6.4. Аппроксимирующие коэффициенты для расчета констант прямых
реакций в модели [15]
№
Реакция
A,
(см3/моль)n-1/с
n
Tr, K
1
O2+NO
=O+O+NO
3,60E+18
-1,00 5,95E+04
2
O2+N
=O+O+N
3,60E+18
-1,00 5,95E+04
3
N2+O2
=N+N+O2
1,90E+17 -0,50 1,13E+05
4
N2+NO
=N+N+NO
1,90E+17 -0,50 1,13E+05
5
N2+O
=N+N+O
1,90E+17 -0,50 1,13E+05
6
NO+N2
=N+O+N2
3,90E+20
-1,50 7,55E+04
7
NO+O2
=N+O+O2
3,90E+20
-1,50 7,55E+04
8
NO+O
=O2+N
3,20E+09
1,00 1,97E+04
9
N2+O
=NO+N
7,00E+13
0,00 3,84E+04
10
N2+N
=N+N+N
4,09E+22
-1,50 1,13E+05
11
N+O
=NO++e
1,40E+07
1,50 3,19E+04
12
O+e
=O++e+e
3,60E+31
-2,91 1,58E+05
13
N+e
=N++e+e
1,10E+32
-3,14 1,69E+05
14
O+O
=O2++e
1,60E+18
-0,98 8,08E+04
15
O+O2+
=O++O2
2,92E+18
-1,11 2,80E+04
16
N2+N+
=N2++N
2,02E+11
0,81 1,30E+04
17
N+N
=N2++e
1,40E+13
0,00 6,78E+04
18
N2+O2
=NO+NO++e
1,38E+20
-1,84 1,41E+05
19
NO+N2
=N2+NO++e
2,20E+15
-0,35 1,08E+05
20
O+NO+
=O++NO
3,63E+15
-0,69 5,08E+04
21
N2+O+
=N2++O
3,40E+19 -2,00 2,30E+04
22
N+NO+
=N++NO
1,00E+19 -0,93 6,10E+04
23
O2+NO+
=O2++NO
1,80E+15
0,17 3,30E+04
24
O+NO+
=N++O2
1,34E+13
0,31 7,73E+04
25
NO+O2
=O2+NO++e
8,80E+15
-0,35 1,08E+05
26
O2+O
=O+O+O
9,00E+19 -1,00 5,95E+04
27
O2+O2
=O+O+O2
3,24E+19 -1,00 5,95E+04
28
O2+N2
=O+O+N2
7,20E+18
-1,00 5,95E+04
29
N2+N2
=N+N+N2
4,70E+17 -0,50 1,13E+05
30
NO+O
=N+O+O
7,80E+20
-1,50 7,55E+04
31
NO+NO
=N+O+NO
7,80E+20 -1,50 7,55E+04
32
NO+N
=N+O+N
7,80E+20
-1,50 7,55E+04

656
Таблица П.6.5. Параметры аппроксимации для расчета констант прямых реакций,
общих для моделей [13] и [15]
№
Реакция
Модель работы [13]
Модель работы [15]
A,
(см3/моль)n-1/с
n
Tr, К
A,
(см3/моль)n-1/с
n
Tr, K
1 O2+N =O+O+N
1,00E+22 -1,50 5,94E+04
3,60E+18 -1,00 5,95E+04
2 O2+NO =O+O+NO
2,00E+21 -1,50 5,94E+04
3,60E+18 -1,00 5,95E+04
3 N2+O =N+N+O
3,00E+22 -1,60 1,13E+05
1,90E+17 -0,50 1,13E+05
4 N2+NO =N+N+NO
7,00E+21 -1,60 1,13E+05
1,90E+17 -0,50 1,13E+05
5 N2+O2
=N+N+O2
7,00E+21 -1,60 1,13E+05
1,90E+17 -0,50 1,13E+05
6 O+NO =N+O2
8,40E+12 0,00 1,94E+04
3,20E+09
1,00 1,97E+04
7 O+N2
=N+NO
5,70E+12 0,42 4,29E+04
7,00E+13
0,00 3,80E+04
8 N+N2
=N+N+N
3,00E+22 -1,60 1,13E+05
4,09E+22 -1,50 1,13E+05
9 O+N
=NO++e
5,30E+12 0,00 3,19E+04
1,40E+06
1,50 3,19E+04
10 O+e
=O++e+e
3,90E+33 -3,78 1,59E+05
3,60E+31 -2,91 1,58E+05
11 N+e
=N++e+e
2,50E+34 -3,82 1,68E+05
1,10E+32 -3,14 1,69E+05
12 N+N
=N2++e
4,40E+07 1,50 6,75E+04
1,40E+13
0,00 6,78E+04
13 O2+O =O+O+O
1,00E+22 -1,50 5,94E+04
9,00E+19 -1,00 5,95E+04
14 O2+O2
=O+O+O2
2,00E+21 -1,50 5,94E+04
3,24E+19 -1,00 5,95E+04
15 O2+N2
=N+N+N2
2,00E+21 -1,50 5,94E+04
7,20E+18 -1,00 5,95E+04
16 N2+N2
=N+N+N2
2,50E+14 0,00 8,77E+04
7,80E+20 -1,50 7,55E+04

Приложение 6
657
Таблица П.6.6. Значения газодинамических радиусов, принятых при расчете
Частица
радиус, м
N2
1,10E-10
O2
1,21E-10
NO
1,15E-10
O
6,60E-11
N
7,40E-11
Таблица П.6.7. Значения приведенных масс для рассматриваемых пар частиц
Реакция
Приведенная масса, кг/моль
O2+N =O+O+N
0,141E-03
O2+NO=O+O+NO
0,224E-03
N2+O =N+N+O
0,147E-03
N2+NO=N+N+NO
0,210E-03
N2+O2 =N+N+O2
0,210E-03
O+NO=N+O2
0,151E-03
O+N2 =N+NO
0,147E-03
N+N2 =N+N+N
0,135E-03
O+N =NO++e
0,108E-03
O+e =O++e+e
0,232E-03
N+e =N++e+e
0,203E-03
N+N =N2++e
0,405E-03
O2+O =O+O+O
0,154E-03
O2+O2 =O+O+O2
0,927E-03
O2+N2 =N+N+N2
0,216E-03
N2+N2 =N+N+N2
0,405E-03

658
ПРИЛОЖЕНИЕ 7
Модели химической кинетики, использованные при решении задач
аэротермодинамики входа космических аппаратов в атмосферу Земли
Таблица П.7.1. Кинетическая модель Парка с константами скоростей обратных реакций,
рассчитанных с использованием аппроксимаций вида (П.6.4) [14],
полученных на основе табличных данных [13]
№
f
A,
(см3/моль)n-1/с
f
n
f
E,K
r
A,
(см3/моль)m-1/с
r
n
r
E,K
1O
2 +O2 ↔ O + O + O2 0.20000E+22 -0.15E+01 0.60050E+05 0.26705E+17 -0.50E+00 0.00000E+00
2O
2 +NO↔ O + O + NO 0.20000E+22 -0.15E+01 0.60050E+05 0.26705E+17 -0.50E+00 0.00000E+00
3O
2 +N2 ↔ O + O + N2 0.20000E+22 -0.15E+01 0.60050E+05 0.26705E+17 -0.50E+00 0.00000E+00
4O
2 +O↔ O + O + O 0.10000E+23 -0.15E+01 0.60050E+05 0.13353E+18 -0.50E+00 0.00000E+00
5O
2 +N↔ O + O + N 0.10000E+23 -0.15E+01 0.60050E+05 0.13353E+18 -0.50E+00 0.00000E+00
6O
2 +N+ ↔ O +O+N+ 0.10000E+23 -0.15E+01 0.60050E+05 0.13353E+18 -0.50E+00 0.00000E+00
7O
2 +O+ ↔ O +O+O+ 0.10000E+23 -0.15E+01 0.60050E+05 0.13353E+18 -0.50E+00 0.00000E+00
8O
2 +N2+ ↔ O + O + N2+ 0.20000E+22 -0.15E+01 0.60050E+05 0.26705E+17 -0.50E+00 0.00000E+00
9O
2 +O2+ ↔ O + O + O2+ 0.20000E+22 -0.15E+01 0.60050E+05 0.26705E+17 -0.50E+00 0.00000E+00
10 O2 +NO+ ↔ O + O + NO+ 0.20000E+22 -0.15E+01 0.60050E+05 0.26705E+17 -0.50E+00 0.00000E+00
11 NO + O2 ↔ N + O + O2 0.50000E+16 0.00E+00 0.76022E+05 0.25807E+12 0.10E+01 0.00000E+00
12 NO + NO ↔ N + O + NO 0.11000E+18 0.00E+00 0.76022E+05 0.56774E+13 0.10E+01 0.00000E+00
13 NO + N2 ↔ N + O + N2 0.50000E+16 0.00E+00 0.76022E+05 0.25807E+12 0.10E+01 0.00000E+00
14 NO + O ↔ N + O + O 0.11000E+18 0.00E+00 0.76022E+05 0.56774E+13 0.10E+01 0.00000E+00

659
15 NO + N ↔ N + O + N 0.11000E+18 0.00E+00 0.76022E+05 0.56774E+13 0.10E+01 0.00000E+00
16 NO + N+ ↔ N +O+N+ 0.11000E+18 0.00E+00 0.76022E+05 0.56774E+13 0.10E+01 0.00000E+00
17 NO + O+ ↔ N +O+O+ 0.11000E+18 0.00E+00 0.76022E+05 0.56774E+13 0.10E+01 0.00000E+00
18 NO + N2+ ↔ N + O + N2+ 0.50000E+16 0.00E+00 0.76022E+05 0.25807E+12 0.10E+01 0.00000E+00
19 NO + O2+ ↔ N + O + O2+ 0.50000E+16 0.00E+00 0.76022E+05 0.25807E+12 0.10E+01 0.00000E+00
20 NO + NO+ ↔ N + O + NO+ 0.50000E+16 0.00E+00 0.76022E+05 0.25807E+12 0.10E+01 0.00000E+00
21 N2 +O2 ↔ N + N + O2 0.70000E+22 -0.16E+01 0.11392E+06 0.74287E+17 -0.60E+00 0.00000E+00
22 N2 +NO↔ N + N + NO 0.70000E+22 -0.16E+01 0.11392E+06 0.74287E+17 -0.60E+00 0.00000E+00
23 N2 +N2 ↔ N + N + N2 0.70000E+22 -0.16E+01 0.11392E+06 0.74287E+17 -0.60E+00 0.00000E+00
24 N2 +O↔ N + N + O 0.30000E+23 -0.16E+01 0.11392E+06 0.31837E+18 -0.60E+00 0.00000E+00
25 N2 +N↔ N + N + N 0.30000E+23 -0.16E+01 0.11392E+06 0.31837E+18 -0.60E+00 0.00000E+00
26 N2 +N+ ↔ N +N+N+ 0.30000E+23 -0.16E+01 0.11392E+06 0.31837E+18 -0.60E+00 0.00000E+00
27 N2 +O+ ↔ N +N+O+ 0.30000E+23 -0.16E+01 0.11392E+06 0.31837E+18 -0.60E+00 0.00000E+00
28 N2 +N2+ ↔ N + N + N2+ 0.70000E+22 -0.16E+01 0.11392E+06 0.74287E+17 -0.60E+00 0.00000E+00
29 N2 +O2+ ↔ N + N + O2+ 0.70000E+22 -0.16E+01 0.11392E+06 0.74287E+17 -0.60E+00 0.00000E+00
30 N2 +NO+ ↔ N + N + NO+ 0.70000E+22 -0.16E+01 0.11392E+06 0.74287E+17 -0.60E+00 0.00000E+00
31N2+O↔NO+N
0.64000E+18 -0.10E+01 0.38400E+05 0.13159E+18 -0.10E+01 4.9744E+02
32NO+O↔O2+N
0.84000E+13 0.00E+00 0.19450E+05 0.32469E+14 0.00E+00 3.4780E+03
33N+O↔NO++E−
0.88000E+09 0.10E+01 0.33633E+05 0.36997E+13 0.10E+01 0.00000E+00
34N+N↔N2++E−
0.44000E+08 0.15E+01 0.69355E+05 0.48044E+11 0.15E+01 0.00000E+00
35O+O↔O2++E−
0.71000E+03 0.27E+01 0.82471E+05 0.21358E+07 0.27E+01 0.00000E+00
36 O + E− ↔ O+ + E− + E− 0.39000E+34 -3.78E+00 0.16108E+06 0.20798E+33 -2.78E+00 0.00000E+00
37 N + E− ↔ N+ + E− + E− 0.25000E+35 -3.82E+00 0.17175E+06 0.10557E+34 -2.82E+00 0.00000E+00
38 O +NO+↔ N+ +O2
0.10000E+13 0.50E+00 0.78067E+05 0.23385E+12 0.50E+00 0.00000E+00
39N+O2+↔N++O2
0.87000E+14 0.14E+00 0.29229E+05 0.28434E+14 0.14E+00 0.00000E+00
40NO+ O+ ↔ N+ +O2
0.14000E+06 0.19E+01 0.26644E+05 0.13322E+06 0.19E+01 0.00000E+00
41N2+O2+↔N2++O2
0.99000E+13 0.00E+00 0.40759E+05 0.28561E+13 0.00E+00 0.00000E+00

660
42O+O2+↔O+ +O2
0.40000E+13 -0.90E-01 0.18557E+05 0.53106E+13 -0.90E-01 0.00000E+00
43 N +NO+↔ O+ +N2
0.34000E+14 -1.08E+00 0.13520E+05 0.40638E+14 -1.08E+00 0.00000E+00
44O2+NO+↔O2+ +NO
0.24000E+14 0.41E+00 0.32866E+05 0.44426E+13 0.41E+00 0.00000E+00
45O+NO+↔O2++N
0.72000E+13 0.29E+00 0.48838E+05 0.51518E+13 0.29E+00 0.00000E+00
46N2+O+↔N2++O
0.91000E+12 0.36E+00 0.22800E+05 0.19774E+12 0.36E+00 0.59851E+03
47N+NO+↔N2++O
0.72000E+14 0.00E+00 0.35722E+05 0.18700E+14 0.00E+00 0.00000E+00
48 N2 + E− ↔ N + N + E− 0.12000E+26 -0.16E+01 0.11392E+06 0.12735E+21 -0.60E+00 0.00000E+00
Таблица П.7.2. Кинетическая модель Данна и Канга [15]
№
f
A,
(см3/моль)n-1/с f
n
f
E,K
r
A,
(см3/моль)m-1/с
r
n
r
E,K
1N
2 +N2 ↔ N+N+ N2 3.80E+19 -1.0E+00 0.1132E+06 2.50E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
2N
2 +O2 ↔ N+N+ O2 1.90E+19 -1.0E+00 0.1132E+06 1.00E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
3N
2 +NO↔ N + N + NO 1.90E+19 -1.0E+00 0.1132E+06 1.00E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
4N
2 +N↔ N + N + N 1.30E+20 -1.0E+00 0.1132E+06 7.00E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
5N
2 +O↔ N + N + O 1.90E+19 -1.0E+00 0.1132E+06 1.00E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
6O
2 +N2 ↔ O+O+ N2 2.30E+18 -1.0E+00 0.594E+05 1.90E+16 -0.5E+00 +0.000E+00
7O
2 +O2 ↔ O+O+ O2 2.30E+18 -1.0E+00 0.594E+05 1.90E+16 -0.5E+00 +0.000E+00
8O
2 +NO↔ O + O + NO 3.00E+18 -1.0E+00 0.594E+05 2.50E+15 -0.5E+00 +0.000E+00
9O
2 +N↔ O + O + N 3.00E+18 -1.0E+00 0.594E+05 2.50E+15 -0.5E+00 +0.000E+00
10 O2 +O↔ O + O + O 8.50E+18 -1.0E+00 0.594E+05 7.10E+16 -0.5E+00 +0.000E+00
11 NO + N2 ↔ N+O+ N2 2.40E+17 -0.5E+00 0.755E+05 3.20E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
12 NO + O2 ↔ N+O+ O2 2.40E+17 -0.5E+00 0.755E+05 3.20E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
13 NO + NO ↔ N + O + NO 2.40E+17 -0.5E+00 0.755E+05 3.20E+18 -1.0E+00 +0.000E+00

661
№
f
A,
(см3/моль)n-1/с f
n
f
E,K
r
A,
(см3/моль)m-1/с
r
n
r
E,K
15 NO + O ↔ N + O + O 2.40E+17 -0.5E+00 0.755E+05 3.20E+18 -1.0E+00 +0.00E+00
14 NO + N ↔ N + O + N 2.40E+17 -0.5E+00 0.755E+05 3.20E+18 -1.0E+00 +0.000E+00
16O2 +N2↔NO+NO
2.00E+14 0.0E+00 0.616E+05 1.00E+13 0.0E+00 +0.40E+05
17N2+O↔NO+N
6.80E+13 0.0E+00 0.3775E+05 1.50E+13 +0.0E+00 +0.00E+00
18NO+O↔O2 +N
4.30E+07 1.5E+00 0.191E+05 1.80E+08 +1.5E+00 +0.33E+04
19N+O↔NO++E−
1.30E+08 1.0E+00 0.319E+05 2.00E+19 -1.0E+00 +0.00E+00
20O+O↔O2++E−
6.00E+08 +0.5E+00 0.808E+05 5.00E+19 -1.0E+00 +0.00E+00
21N+N↔N2++E−
8.50E+09 +1.0E+00 0.677E+05 5.00E+18 -0.5E+00 +0.00E+00
22 N + E- ↔ N+ + E− + E− 2.70E+13 0.5E+00 0.1686E+06 5.30E+20 -1.0E+00 +0.00E+00
23 O + E- ↔ O+ + E− + E− 1.64E+13 0.5E+00 0.1578E+06 2.80E+20 -1.0E+00 +0.00E+00
24 NO + E- ↔ NO+ + E− + E− 2.50E+13 0.5E+00 0.1073E+06 2.00E+24 -1.5E+00 +0.00E+00
25 O2 +N2 ↔ O2+ +N2 + E− 5.00E+04 1.5E+00 0.1400E+06 2.00E+15 -1.5E+00 +0.00E+00
Примечание. В таблице: n -- число реагирующих частиц в прямом кинетическом процессе,
m -- число реагирующих частиц в обратном кинетическом процессе
Таблица П.7.3. Кинетическая модель Данна и Канга [15] для констант реакций прямых
процессов. Аппроксимация констант равновесия по [8]
№
f
A,
(см3/моль)n-1/с
f
n
f
E,K
eq
A,
(см3/моль)m-1/с
eq
n
eq
E,K
1N2 +N2 ↔ N+N+ N2 0.38E+20 -0.10E+01 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
2N2 +O2 ↔ N+N+ O2 0.19E+20 -0.10E+01 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
3N2 +NO↔ N + N + NO 0.19E+20 -0.10E+01 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
4N2 +N↔ N + N + N 0.13E+21 -0.10E+01 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06

662
5N
2 +O↔ N + N + O 0.19E+20 -0.10E+01 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
6O
2 +N2 ↔ O + O + N2 0.23E+19 -0.10E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
7O
2 +O2 ↔ O + O + O2 0.30E+19 -0.10E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
8O
2 +NO↔ O + O + NO 0.30E+19 -0.10E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
9O
2 +N↔ O + O + N 0.30E+19 -0.10E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
10 O2 +O↔ O + O + O 0.85E+19 -0.10E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
11 NO + N2 ↔ N + O + N2 0.24E+18 -0.50E+00 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
12 NO + O2 ↔ N + O + O2 0.24E+18 -0.50E+00 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
13 NO + NO ↔ N + O + NO 0.24E+18 -0.50E+00 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
14 NO + N ↔ N + O + N 0.24E+18 -0.50E+00 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
15 NO + O ↔ N + O + O 0.24E+18 -0.50E+00 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
16O2+N2↔NO+NO
0.20E+15 0.00E+00 0.61600E+05 0.18799E+02 0.00E+00 0.21931E+05
17N2+O↔NO+N
0.68E+14 0.00E+00 0.37903E+05 0.48634E+01 0.00E+00 0.37903E+05
18NO+O↔O2+N
0.43E+08 0.15E+01 0.19100E+05 0.25870E+00 0.00E+00 0.15972E+05
19N+O↔NO++E−
0.13E+09 0.10E+01 0.33633E+05 0.23786E-03 0.00E+00 0.33633E+05
20O+O↔O2++E−
0.60E+09 0.50E+00 0.82471E+05 0.33242E-03 0.00E+00 0.82471E+05
21N+N↔N2++E−
0.85E+10 0.10E+01 0.69355E+05 0.91583E-03 0.00E+00 0.69355E+05
22 N + E- ↔ N+ + E− + E− 0.27E+14 0.50E+00 0.17175E+06 0.23681E+02 -0.10E+01 0.17175E+06
23 O + E- ↔ O+ + E− + E− 0.16E+14 0.50E+00 0.16108E+06 0.18752E+02 -0.10E+01 0.16108E+06
24 NO + E- ↔ NO+ + E− + E− 0.25E+14 0.50E+00 0.10966E+06 0.46085E+01 -0.10E+01 0.10966E+06
25 O2 +N2 ↔ O2+ +N2 + E− 0.50E+05 0.15E+01 0.14252E+06 0.24896E+02 -0.10E+01 0.14252E+06

663
Таблица П.7.4. Модель Мартина − Бортнера для констант скоростей прямых процессов [18,19]
№
f
A,
(см3/моль)n-1/с
f
n
f
E,K
r
A,
(см3/моль)m-1/с
r
n
r
E,K
1 N2 +N2 ↔ N + N + N2 4.700E+17 -0.500E+00 0.113E+06 2.728E+16 -0.500E+00 +0.000E+00
2 N2 +O2 ↔ N + N + O2 1.900E+17 -0.500E+00 0.113E+06 1.100E+16 -0.500E+00 +0.000E+00
3 N2 +NO↔ N + N + NO 1.900E+17 -0.500E+00 0.113E+06 1.100E+16 -0.500E+00 +0.000E+00
4 N2 +N↔ N + N + N 4.085E+22 -0.150E+01 0.113E+06 2.276E+21 -0.150E+01 +0.000E+00
5 N2 +O↔ N + N + O 1.900E+17 -0.500E+00 0.113E+06 1.100E+16 -0.500E+00 +0.000E+00
6 O2 +N2 ↔ O + O + N2 7.200E+18 -0.100E+01 0.595E+05 6.000E+15 -0.500E+00 +0.000E+00
7 O2 +O2 ↔ O + O + O2 3.240E+19 -0.100E+01 0.595E+05 2.700E+16 -0.500E+00 +0.000E+00
8 O2 +NO↔ O + O + NO 3.600E+18 -0.100E+01 0.595E+05 3.000E+15 -0.500E+00 +0.000E+00
9 O2 +N↔ O + O + N 3.600E+18 -0.100E+01 0.595E+05 3.000E+15 -0.500E+00 +0.000E+00
10 O2 +O↔ O + O + O 9.000E+19 -0.100E+01 0.595E+05 7.500E+16 -0.500E+00 +0.000E+00
11 NO + N2 ↔ N + O + N2 3.900E+20 -1.500E+00 0.755E+05 1.000E+20 -0.150E+01 +0.000E+00
12 NO + O2 ↔ N + O + O2 3.900E+20 -1.500E+00 0.755E+05 1.000E+20 -0.150E+01 +0.000E+00
13 NO + NO ↔ N + O + NO 7.800E+20 -1.500E+00 0.755E+05 2.000E+20 -0.150E+01 +0.000E+00
14 NO + N ↔ N + O + N 7.800E+20 -1.500E+00 0.755E+05 2.000E+20 -0.150E+01 +0.000E+00
15 NO + O ↔ N + O + O 7.800E+20 -1.500E+00 0.755E+05 2.000E+20 -0.150E+01 +0.000E+00
16N2+O↔NO+ N
7.000E+13 0.000E+00 0.384E+05 1.560E+13 +0.000E+00 +0.000E+00
17NO+O↔O2+N
3.200E+09 0.100E+01 0.197E+05 0.130E+10 +1.000E+00 +0.358E+04
18N+O↔NO++E−
1.400E+07 0.150E+01 0.319E+05 6.700E+21 -1.500E+00 +0.000E+00
19O+O↔O2++E−
1.600E+18 -0.980E+00 0.808E+05 8.023E+21 -1.500E+00 +0.000E+00
20N+N↔N2++E−
1.400E+13 0.000E+00 0.678E+05 1.500E+22 -1.500E+00 +0.000E+00
21N+E-↔N++E−
- + E− 1.100E+32 -0.314E+01 0.1686E+06 2.200E+40 -4.500E+00 +0.000E+00
22 O + E- ↔ O+ + E− + E− 3.600E+31 -0.291E+01 0.158E+06 2.200E+40 -4.500E+00 +0.000E+00

664
23 O +NO+↔ N+ +O2
1.340E+13 0.310E+00 0.7727E+05 1.000E+14 +0.000E+00 +0.000E+00
24O+O2+↔O++O2
2.920E+18 -1.110E+00 0.280E+05 7.800E+11 +0.500E+00 +0.000E+00
25N2+N+↔N2++N
2.020E+11 0.810E+00 0.130E+05 7.800E+11 +0.500E+00 +0.000E+00
26O2+NO+↔O2++NO
1.800E+15 0.170E+00 0.330E+05 1.800E+13 +0.500E+00 +0.000E+00
27N2+O+↔N2++O
3.400E+19 -2.000E+00 0.230E+05 2.480E+19 -2.200E+00 +0.000E+00
28 N+NO+↔N++NO
1.000E+19 -0.930E+00 0.610E+05 4.800E+14 +0.000E+00 +0.000E+00
29 O+NO+↔O++NO
3.630E+15 -0.690E+00 0.508E+05 1.500E+13 +0.000E+00 +0.000E+00
30 N2 +O2 ↔ NO + NO+ + E− 1.380E+20 -1.840E+00 0.141E+06 1.000E+18 -2.500E+00 +0.000E+00
31 NO + O2 ↔ O2 +NO+ + E− 8.800E+15 -0.350E+00 0.108E+06 8.800E+20 -2.500E+00 +0.000E+00
32 NO + N2 ↔ N2 +NO+ + E− 2.200E+15 -0.350E+00 0.108E+06 2.200E+20 -2.500E+00 +0.000E+00
Примечание. В таблице: n -- число реагирующих частиц в прямом кинетическом процессе,
m -- число реагирующих частиц в обратном кинетическом процессе
Таблица П.7.5. Модель Мартина − Бортнера для констант скоростей прямых процессов [18,19].
Константы равновесия рассчитаны по [8]
№
f
A,
(см3/моль)n-1/с
f
n
f
E,K
eq
A,
(см3/моль)m-1/с
eq
n
eq
E,K
1 N2 +N2 ↔ N + N + N2 0.470E+18 -0.500E+00 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
2 N2 +O2 ↔ N + N + O2 0.190E+18 -0.500E+00 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
3 N2 +NO↔ N + N + NO 0.190E+18 -0.500E+00 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
4 N2 +N↔ N + N + N 0.409E+23 -0.150E+01 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
5 N2 +O↔ N + N + O 0.190E+18 -0.500E+00 0.11392E+06 0.94229E+05 -0.10E+01 0.11392E+06
6 O2 +N2 ↔ O + O + N2 0.720E+19 -0.100E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
7 O2 +O2 ↔ O + O + O2 0.324E+20 -0.100E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
8 O2 +NO↔ O + O + NO 0.360E+19 -0.100E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
9 O2 +N↔ O + O + N 0.360E+19 -0.100E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05

665
10 O2 +O↔ O + O + O 0.900E+20 -0.100E+01 0.60050E+05 0.74892E+05 -0.10E+01 0.60050E+05
11 NO + N2 ↔ N + O + N2 0.390E+21 -0.150E+01 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
12 NO + O2 ↔ N + O + O2 0.390E+21 -0.150E+01 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
13 NO + NO ↔ N + O + NO 0.780E+21 -0.150E+01 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
14 NO + N ↔ N + O + N 0.780E+21 -0.150E+01 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
15 NO + O ↔ N + O + O 0.780E+21 -0.150E+01 0.76022E+05 0.19375E+05 -0.10E+01 0.76022E+05
16N2+O↔NO+ N
0.700E+14 0.000E+00 0.38400E+05 0.48634E+01 0.00E+00 0.37903E+05
17NO+O↔O2+N
0.320E+10 0.100E+01 0.19700E+05 0.25870E+00 0.00E+00 0.15972E+05
18N+O↔NO++E−
0.140E+08 0.150E+01 0.33633E+05 0.23786E-03 0.00E+00 0.33633E+05
19O+O↔O2++E−
0.160E+19 -0.980E+00 0.82471E+05 0.33242E-03 0.00E+00 0.82471E+05
20N+N↔N2++E−
0.140E+14 0.000E+00 0.69355E+05 0.91583E-03 0.00E+00 0.69355E+05
21N+E-↔N++E−
- + E− 0.110E+33 -0.314E+01 0.17175E+06 0.23681E+02 -0.10E+01 0.17175E+06
22 O + E- ↔ O+ + E− + E− 0.360E+32 -0.291E+01 0.16108E+06 0.18752E+02 -0.10E+01 0.16108E+06
23 O +NO+↔ N+ +O2
0.134E+14 0.310E+00 0.78067E+05 0.42763E+01 0.00E+00 0.78067E+05
24O+O2+↔O++O2
0.292E+19 -0.111E+01 0.28000E+05 0.75321E+00 0.00E+00 0.18557E+05
25N2+N+↔N2++N
0.202E+12 0.810E+00 0.13000E+05 0.11329E+01 0.00E+00 0.11530E+05
26O2+NO+↔O2++NO
0.180E+16 0.170E+00 0.33000E+05 0.54022E+01 0.00E+00 0.32866E+05
27N2+O+↔N2++O
0.340E+20 -0.200E+01 0.23000E+05 0.46020E+01 0.00E+00 0.22201E+05
28 N+NO+↔N++NO
0.100E+20 -0.930E+00 0.62095E+05 0.16529E+02 0.00E+00 0.62095E+05
29 O+NO+↔O++NO
0.363E+16 -0.690E+00 0.51423E+05 0.40690E+01 0.00E+00 0.51423E+05
30 N2 +O2 ↔ NO + NO+ + E− 0.138E+21 -0.184E+01 0.14100E+06 0.86636E+02 -0.10E+01 0.13159E+06
31 NO + O2 ↔ O2 +NO+ + E− 0.880E+16 -0.350E+00 0.10966E+06 0.46085E+01 -0.10E+01 0.10966E+06
32 NO + N2 ↔ N2 +NO+ + E− 0.220E+16 -0.350E+00 0.10966E+06 0.46085E+01 -0.10E+01 0.10966E+06
Примечание. В таблице: n -- число реагирующих частиц в прямом кинетическом процессе,
m -- число реагирующих частиц в обратном кинетическом процессе

666
Таблица П.7.6. Кинетическая модель ЦНИИмаш [20]
No.
f
A,
(см3/моль)n-1/с
f
n
f
E,K
r
A,
(см3/моль)m-1/с
r
n
r
E,K
1 O2 +N2 ↔ O + O + N2 0.90000E+19 -0.10000E+01 0.59400E+05 0.78000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
2 O2 +O2 ↔ O + O + O2 3.60000E+19 -0.10000E+01 0.59400E+05 3.12000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
3 O2 +NO↔ O + O + NO 0.90000E+19 -0.10000E+01 0.59400E+05 0.78000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
4 O2 +N↔ O + O + N 0.90000E+19 -0.10000E+01 0.59400E+05 0.78000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
5 O2 +O↔ O + O + O 0.90000E+20 -0.10000E+01 0.59400E+05 7.80000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
6 N2 +N2 ↔ N + N + N2 5.80000E+17 -0.50000E+00 0.11320E+06 3.08000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
7 N2 +O2 ↔ N + N + O2 2.90000E+17 -0.50000E+00 0.11320E+06 1.54000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
8 N2 +NO↔ N + N + NO 2.90000E+17 -0.50000E+00 0.11320E+06 1.54000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
9 N2 +N↔ N + N + N 2.32000E+18 -0.50000E+00 0.11320E+06 1.23000E+17 -0.50000E+00 0.00000E+00
10 N2 +O↔ N + N + O 2.90000E+17 -0.50000E+00 0.11320E+06 1.54000E+16 -0.50000E+00 0.00000E+00
11 NO + N2 ↔ N + O + N2 1.20000E+19 -1.00000E+00 0.75500E+05 2.90000E+18 -0.10000E+01 0.00000E+00
12 NO + O2 ↔ N + O + O2 1.20000E+19 -1.00000E+00 0.75500E+05 2.90000E+18 -0.10000E+01 0.00000E+00
13 NO + NO ↔ N + O + NO 2.40000E+20 -1.00000E+00 0.75500E+05 5.80000E+19 -0.10000E+01 0.00000E+00
14 NO + N ↔ N + O + N 2.40000E+20 -1.00000E+00 0.75500E+05 5.80000E+19 -0.10000E+01 0.00000E+00
15 NO + O ↔ N + O + O 2.40000E+20 -1.00000E+00 0.75500E+05 5.80000E+19 -0.10000E+01 0.00000E+00
16 N2 +O↔ N + NO 2.00000E+12 0.50000E+00 0.38000E+05 4.40000E+11 0.50000E+00 0.00000E+00
17NO+O↔O2+N
2.80000E+09 1.00000E+00 0.20000E+05 1.10000E+10 1.00000E+00 4.00000E+03
18N+O↔NO++E-
2.56000E+12 0.00000E+00 0.32200E+05 6.70000E+21 -1.50000E+00 0.00000E+00
19N+N↔N2++E-
4.44000E+10 0.70000E+00 0.67500E+05 1.50000E+22 -1.50000E+00 0.00000E+00

667
Таблица П.7.6 (окончание)
20 O + O ↔ O2+ +E- 1.20000E+10 0.65000E+00 0.80600E+05 8.00000E+21 -1.50000E+00 0.00000E+00
21 O + O2+ ↔ O+ +O2 4.50000E+11 0.50000E+00 0.18500E+05 7.80000E+11 0.50000E+00 0.00000E+00
22 N2 +N+ ↔ N2+ + N 1.70000E+08 1.50000E+00 0.12100E+06 7.80000E+11 0.50000E+00 0.00000E+00
23 N + O2+ ↔ N+ +O2 8.70000E+13 0.15000E+00 0.28600E+05 5.80000E+11 0.60000E+00 0.00000E+00
24 O2 +NO+ ↔ O2+ + NO 2.40000E+13 0.40000E+00 0.32300E+05 2.25000E+13 0.25000E+00 0.00000E+00
25 O + NO+ ↔ O2+ + N 7.20000E+12 0.30000E+00 0.48400E+05 1.84000E+15 -0.35000E+00 0.00000E+00
26 N2 +O+ ↔ N2+ + O 9.00000E+11 0.35000E+00 0.22200E+05 9.80000E+12 -0.15000E+00 0.00000E+00
27 N + NO+ ↔ N2+ + O 7.20000E+13 0.00000E+00 0.35500E+05 9.29000E+15 -0.70000E+00 0.00000E+00
Примечание. В таблице: n -- число реагирующих частиц в прямом кинетическом процессе,
m-- число реагирующих частиц в обратном кинетическом процессе

668
ПРИЛОЖЕНИЕ 8
Модели химической кинетики, использованные при решении задач
аэротермодинамики марсианского входа космических аппаратов
Таблица П.8.1. Кинетическая модель Парка и др. [21] Константы скоростей обратных реакций рассчитаны
с использованием компьютерного кода FERC
№
f
A,
cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
1C2+C ↔C+C+C
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
2C2+N ↔C+C+N
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
3C2+O ↔C+C+O
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
4C2+C2 ↔C+C+C2
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
5C2+N2 ↔C+C+N2
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
6C2+O2 ↔C+C+O2
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
7C2+CN↔C+C+CN
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
8C2+CO↔C+C+CO
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
9C2+NO↔C+C+NO
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
10 C2 +CO2 ↔C +C +CO2
0.37E+15 0.00E+00 0.726E+05 0.115E+11 0.10E+01 0.00E+00
11N2+C ↔N+N+C
0.30E+23 -0.16E+01 0.114E+06 0.314E+18 -0.60E+00 0.00E+00
12N2+N ↔N+N+N
0.30E+23 -0.16E+01 0.114E+06 0.314E+18 -0.60E+00 0.00E+00
13N2+O ↔N+N+O
0.30E+23 -0.16E+01 0.114E+06 0.314E+18 -0.60E+00 0.00E+00
14N2+C2 ↔N+N+C2
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00
15N2+N2 ↔N+N+N2
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00
16N2+O2 ↔N+N+O2
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00
17N2+CN↔N+N+CN
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00

669
Таблица П.8.1. (продолжение)
f
A,
cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
18N2+CO↔N+N+CO
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00
19N2+NO↔N+N+NO
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00
20 N2 +CO2 ↔N +N +CO2
0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.734E+17 -0.60E+00 0.00E+00
21O2+C ↔O+O+C
0.10E+23 -0.15E+01 0.600E+05 0.132E+18 -0.50E+00 0.00E+00
22O2+N ↔O+O+N
0.10E+23 -0.15E+01 0.600E+05 0.132E+18 -0.50E+00 0.00E+00
23O2+O ↔O+O+O
0.10E+23 -0.15E+01 0.600E+05 0.132E+18 -0.50E+00 0.00E+00
24O2+C2 ↔O+O+C2
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
25O2+N2 ↔O+O+N2
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
26O2+O2 ↔O+O+O2
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
27O2+CN↔O+O+CN
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
28O2+CO↔O+O+CO
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
29O2+NO↔O+O+NO
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
30 O2 +CO2 ↔O +O +CO2
0.20E+22 -0.15E+01 0.600E+05 0.264E+17 -0.50E+00 0.00E+00
31CN+C ↔C+N+C
0.25E+15 0.00E+00 0.903E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
32CN+N ↔C+N+N
0.25E+15 0.00E+00 0.903E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
33CN+O ↔C+N+O
0.25E+15 0.00E+00 0.903E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
34CN+C2 ↔C+N+C2
0.25E+15 0.00E+00 0.903E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
35CN+N2 ↔C+N+N2
0.25E+15 0.00E+00 0.903E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
36CN+O2 ↔C+N+O2
0.25E+15 0.00E+00 0.903E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
37CN+CN ↔C+N+CN
0.25E+15 0.00E+00 0.90229E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00

670
Таблица П.8.1. (продолжение)
f
A,
cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
38CN+CO ↔C+N+CO
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
39CN+NO ↔C+N+NO
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
40 CN +CO2 ↔C +N +CO2
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.847E+10 0.10E+01 0.00E+00
41CO+C ↔C+O+C
0.34E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.189E+16 0.00E+00 0.00E+00
42CO+N ↔C+O+N
0.34E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.189E+16 0.00E+00 0.00E+00
43CO+O ↔C+O+O
0.34E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.189E+16 0.00E+00 0.00E+00
44CO+C2 ↔C+O+C2
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
45CO+N2 ↔C+O+N2
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
46CO+O2 ↔C+O+O2
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
47CO+CN ↔C+O+CN
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
48CO+CO ↔C+O+CO
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
49CO+NO ↔C+O+NO
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
50 CO+CO2 ↔C +O +CO2
0.23E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.128E+16 0.00E+00 0.00E+00
51NO+C ↔N+O+C
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.560E+13 0.10E+01 0.00E+00
52NO+N ↔N+O+N
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.560E+13 0.10E+01 0.00E+00
53NO+O ↔N+O+O
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.560E+13 0.10E+01 0.00E+00
54 NO+C2 ↔N+O+C2
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.255E+12 0.10E+01 0.00E+00
55 NO+N2 ↔N+O+N2
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.255E+12 0.10E+01 0.00E+00
56 NO+O2 ↔N+O+O2
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.255E+12 0.10E+01 0.00E+00
57NO+CN ↔N+O+CN
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.255E+12 0.10E+01 0.00E+00
58 NO+CO ↔N+O+CO
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.255E+12 0.10E+01 0.000E+00

671
Таблица П.8.1. (окончание)
f
A,
cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
59NO+NO ↔N+O+NO
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.560E+13 0.10E+01 0.000E+00
60 NO +CO2 ↔N +O +CO2
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.560E+13 0.10E+01 0.000E+00
61 CO2+C ↔CO+O +C
0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.284E+17 -0.50E+00 0.000E+00
62 CO2+N ↔CO+O +N
0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.284E+17 -0.50E+00 0.000E+00
63 CO2+O ↔CO+O +O
0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.284E+17 -0.50E+00 0.000E+00
64 CO2+C2 ↔CO+O +C2
0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
65 CO2+N2 ↔CO +O +N2
0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
66 CO2+O2 ↔CO +O +O2
0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
67 CO2 +CN ↔ CO +O +CN 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
68 CO2 +CO ↔ CO +O +CO 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
69 CO2 +NO ↔ CO +O +NO 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
70 CO2 +CO2 ↔ CO +O +CO2 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.140E+17 -0.50E+00 0.000E+00
71 NO+O ↔O2+N
0.84E+13 0.00E+00 0.195E+05 0.325E+14 0.00E+00 0.348E+04
72 N2+O ↔NO+N
0.64E+18 -0.10E+01 0.3837E+05 0.132E+18 -0.10E+01 0.474E+03
73CO+O ↔O2+C
0.39E+14 -0.18E+00 0.696E+05 0.164E+14 -0.18E+00 0.000E+00
74CO+C ↔C2+O
0.20E+18 -0.10E+01 0.580E+05 0.356E+17 -0.10E+01 0.943E+03
75CO+N ↔CN+O
0.10E+15 0.00E+00 0.394E+05 0.164E+14 0.00E+00 0.000E+00
76N2+C
↔CN +N
0.11E+15 -0.11E+00 0.237E+05 0.340E+14 -0.11E+00 0.000E+00
77CN+O ↔NO+C
0.16E+14 0.10E+00 0.146E+05 0.106E+14 0.10E+00 0.380E+03
78CN+C ↔C2+N
0.50E+14 0.00E+00 0.17664E+05 0.543E+14 0.00E+00 0.00E+00
79 CO2+O ↔CO+O2
0.210E+14 0.000E+00 0.278E+05 0.322E+13 0.000E+00 0.240E+05

672
Таблица П.8.2. Кинетическая модель Парка и др. [21] с учетом дополнительных химических реакций,
предложенных в [22]. Константы скоростей обратных реакций рассчитаны с
использованием компьютерного кода FERC
№
f
A,
cm3/(mole⋅s)
f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s)
r
n
r
E,K
1C2+C ↔C+C+C
0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
2C2+N ↔C+C+N
0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
3C2+O ↔C+C+O
0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
4 C2 +C2 ↔C +C +C2 0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
5C2+N2 ↔C+C+N2
0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
6C2+O2 ↔C+C+O2
0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
7 C2 +CN ↔C +C +CN 0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
8 C2 +CO ↔C +C +CO 0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
9 C2 +NO ↔C +C +NO 0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
10 C2 +CO2 ↔ C +C +CO2 0.37E+15
0.00E+00 0.726E+05 0.117E+11 0.10E+01 0.00E+00
11N2+C ↔N+N+C
0.31E+23
-0.16E+01 0.114E+06 0.329E+18 -0.60E+00 0.00E+00
12N2+N ↔N+N+N
0.31E+23
-0.16E+01 0.114E+06 0.329E+18 -0.60E+00 0.00E+00
13N2+O ↔N+N+O
0.31E+23
-0.16E+01 0.114E+06 0.329E+18 -0.60E+00 0.00E+00
14N2+C2 ↔N+N+C2
0.70E+22
-0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00
15 N2 +N2 ↔ N +N +N2 0.70E+22
-0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00
16 N2 +O2 ↔ N +N +O2 0.70E+22
-0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00
17 N2 +CN ↔ N +N +CN 0.70E+22
-0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00

673
Таблица П.8.2. (продолжение)
№
f
A,
cm3/(mole⋅s)
f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s)
r
n
r
E,K
18 N2 +CO ↔ N +N +CO 0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00
19 N2 +NO ↔ N +N +NO 0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00
20 N2 +CO2 ↔ N +N +CO2 0.70E+22 -0.16E+01 0.114E+06 0.743E+17 -0.60E+00 0.00E+00
21O2+C ↔O+O+C
0.10E+23 -0.15E+01 0.601E+05 0.134E+18 -0.50E+00 0.00E+00
22O2+N ↔O+O+N
0.10E+23 -0.15E+01 0.601E+05 0.134E+18 -0.50E+00 0.00E+00
23O2+O ↔O+O+O
0.10E+23 -0.15E+01 0.601E+05 0.134E+18 -0.50E+00 0.00E+00
24O2+C2 ↔O+O+C2
0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
25 O2 +N2 ↔ O +O +N2 0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
26 O2 +O2 ↔ O +O +O2 0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
27 O2 +CN ↔ O +O +CN 0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
28 O2 +CO ↔ O +O +CO 0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
29 O2 +NO ↔ O +O +NO 0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
30 O2 +CO2 ↔ O +O +CO2 0.20E+22 -0.15E+01 0.601E+05 0.267E+17 -0.50E+00 0.00E+00
31CN+C ↔C+N+C
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
32CN+N ↔C+N+N
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
33CN+O ↔C+N+O
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
34CN+C2 ↔C+N+C2
0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
35 CN +N2 ↔ C +N +N2 0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
36 CN +O2 ↔ C +N +O2 0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00

674
Таблица П.8.2. (продолжение)
№
f
A,
cm3/(mole⋅s)
f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s)
r
n
r
E,K
37 CN +CN ↔ C +N +CN 0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
38 CN +CO ↔ C +N +CO 0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
39 CN +NO ↔ C +N +NO 0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
40 CN +CO2 ↔ C +N +CO2 0.25E+15 0.00E+00 0.902E+05 0.857E+10 0.10E+01 0.00E+00
41 CO +C ↔ C +O +C 0.34E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.191E+16 0.00E+00 0.00E+00
42 CO +N ↔ C +O +N 0.34E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.191E+16 0.00E+00 0.00E+00
43 CO +O ↔ C +O +O 0.34E+21 -0.10E+01 0.130E+06 0.191E+16 0.00E+00 0.00E+00
44 CO +C2 ↔ C +O +C2 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
45 CO +N2 ↔ C +O +N2 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
46 CO +O2 ↔ C +O +O2 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
47 CO +CN ↔ C +O +CN 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
48 CO +CO ↔ C +O +CO 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
49 CO +NO ↔ C +O +NO 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
50 CO +CO2 ↔ C +O +CO2 0.23E+20 -0.10E+01 0.130E+06 0.129E+15 0.00E+00 0.00E+00
51 NO +C ↔ N +O +C 0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.568E+13 0.10E+01 0.00E+00
52 NO+N
↔ N +O +N 0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.568E+13 0.10E+01 0.00E+00
53 NO+O
↔ N +O +O 0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.568E+13 0.10E+01 0.00E+00
54 NO +C2
↔ N +O +C2 0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.258E+12 0.10E+01 0.00E+00
55 NO +N2
↔ N +O +N2 0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.258E+12 0.10E+01 0.00E+00

675
Таблица П.8.2. (продолжение)
№
f
A,
cm3/(mole⋅s)
f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s)
r
n
r
E,K
56 NO+O2 ↔N+O+O2
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.258E+12 0.10E+01 0.00E+00
57 NO+CN ↔N+O+CN
0.50E+16 0.00E+00 0.760E+05 0.258E+12 0.10E+01 0.00E+00
58 NO+CO ↔N+O+CO
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.568E+13 0.10E+01 0.00E+00
59 NO+NO ↔N+O+NO
0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.568E+13 0.10E+01 0.00E+00
60 NO +CO2 ↔ N +O +CO2 0.11E+18 0.00E+00 0.760E+05 0.568E+13 0.10E+01 0.00E+00
61 CO2+C ↔CO +O +C
0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.287E+17 -0.50E+00 0.00E+00
62 CO2+N ↔CO+O +N
0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.287E+17 -0.50E+00 0.00E+00
63 CO2+O ↔CO+O +O
0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.287E+17 -0.50E+00 0.00E+00
64 CO2+C2 ↔CO +O +C2
0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
65 CO2+N2 ↔CO+O +N2
0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
66 CO2+O2 ↔CO+O +O2
0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
67 CO2 +CN ↔ CO +O +CN 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
68 CO2 +CO ↔ CO +O +CO 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
69 CO2 +NO ↔ CO +O +NO 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
70 CO2 +CO2 ↔ CO +O +CO2 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.141E+17 -0.50E+00 0.00E+00
71 NO+O ↔O2+N
0.84E+13 0.00E+00 0.195E+05 0.325E+14 0.00E+00 0.348E+04
72N2+O
↔NO+N
0.64E+18 -0.10E+01 0.384E+05 0.132E+18 -0.10E+01 0.467E+03
73 CO+N ↔CN+O
0.10E+15 0.00E+00 0.394E+05 0.164E+14 0.00E+00 0.00E+00

676
Таблица П.8.2. (окончание)
74 CO+N ↔NO+C
0.29E+12 0.50E+00 0.536E+05 0.316E+11 0.50E+00 0.640E+01
75 CO+O ↔O2+C
0.39E+14 -0.18E+00 0.696E+05 0.164E+14 -0.18E+00 0.00E+00
76 CO+C ↔C2+O
0.20E+18 -0.10E+01 0.580E+05 0.356E+17 -0.10E+01 0.933E+03
77 CO2+O ↔CO +O2
0.21E+14 0.00E+00 0.278E+05 0.323E+13 0.00E+00 0.240E+05
78 CO +NO ↔CO2+N
0.46E+09 0.50E+00 0.121E+05 0.116E+11 0.50E+00 0.00E+00
79N2+C
↔CN +N
0.11E+15 -0.11E+00 0.237E+05 0.340E+14 -0.11E+00 0.00E+00
80 CN+C
↔C2 +N
0.50E+14 0.00E+00 0.1767E+05 0.543E+14 0.00E+00 0.00E+00
81 CN+O ↔NO+C
0.16E+14 0.10E+00 0.146E+05 0.106E+14 0.10E+00 0.377E+03
82 CN +CO ↔C2 +NO
0.12E+15 -0.10E+01 0.713E+05 0.142E+14 -0.10E+01 0.00E+00
83 CO +CO ↔CO2+C
0.23E+10 0.50E+00 0.658E+05 0.630E+10 0.50E+00 0.00E+00

677
Таблица П.8.3. Кинетическая модель Мак Кензи [23]. Первые десять реакций заимствованы из
модели Парка и др. [21]. Константы скоростей обратных реакций рассчитаны
с использованием компьютерного кода FERC [14]
№
f
A,
cm3/(mole⋅s)
f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
1 CO2 +C ↔ CO +O +C 0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.284E+17 -0.50E+00 0.00E+00
2 CO2 +N ↔ CO +O +N 0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.284E+17 -0.50E+00 0.00E+00
3 CO2 +O ↔ CO +O +O 0.14E+23 -0.15E+01 0.639E+05 0.284E+17 -0.50E+00 0.00E+00
4 CO2 +C2 ↔ CO +O +C2 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
5 CO2 +N2 ↔ CO +O +N2 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
6 CO2 +O2 ↔ CO +O +O2 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
7 CO2 +CN ↔ CO +O +CN 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
8 CO2 +CO ↔ CO +O +CO 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
9 CO2 +NO ↔ CO +O +NO 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
10 CO2 +CO2 ↔ CO +O +CO2 0.69E+22 -0.15E+01 0.639E+05 0.139E+17 -0.50E+00 0.00E+00
11 CO +C ↔ C +O +C 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
12CO+N ↔C+O+N
0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
13 CO +O ↔ C +O +O 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
14 CO +C2 ↔ C +O +C2 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
15 CO +N2 ↔ C +O +N2 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
16 CO +O2 ↔ C +O +O2 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
17 CO +CN ↔ C +O +CN 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06 0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00

678
Таблица П.8.3. (продолжение)
№
f
A , cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A , cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
18 CO+CO ↔C+O+CO
0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06
0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
19 CO +NO ↔ C +O +NO 0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06
0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
20 CO +CO2 ↔C +O +CO2
0.448E+20 -0.10E+01 0.129E+06
0.10E+19 -0.10E+01 0.00E+00
21N2+C ↔N+N+C
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
22N2+N ↔N+N+N
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
23N2+O ↔N+N+O
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
24N2+C2 ↔N+N+C2
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
25N2+N2 ↔N+N+N2
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
26N2+O2 ↔N+N+O2
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
27N2+CN ↔N+N+CN
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
28N2+CO ↔N+N+CO
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
29N2+NO ↔N+N+NO
0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
30 N2 +CO2 ↔ N +N +CO2 0.246E+20 -0.10E+01 0.113E+06
0.15E+19 -0.10E+01 0.00E+00
31O2+C ↔O+O+C
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16 -0.50E+00 0.00E+00
32O2+N ↔O+O+N
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16 -0.50E+00 0.00E+00
33O2+O ↔O+O+O
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16 -0.50E+00 0.00E+00
34O2+C2 ↔O+O+C2
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16 -0.50E+00 0.00E+00
35O2+N2 ↔O+O+N2
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16 -0.50E+00 0.00E+00
36O2+O2 ↔O+O+O2
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16 -0.50E+00 0.00E+00

679
Таблица П.8.3. (продолжение)
№
f
A , cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A , cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
37O2+CN ↔O+O+CN
0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16
-0.50E+00 0.00E+00
38 O2 +CO ↔ O +O +CO 0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16
-0.50E+00 0.00E+00
39 O2 +NO ↔ O +O +NO 0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16
-0.50E+00 0.00E+00
40 O2 +CO2 ↔ O +O +CO2 0.905E+19 -0.10E+01 0.594E+05
0.90E+16
-0.50E+00 0.00E+00
41NO+C ↔N+O+C
0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
42NO+N ↔N+O+N
0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
43NO+O ↔N+O+O
0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
44NO+C2 ↔N+O+C2
0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
45NO+N2 ↔N+O+N2
0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
46NO+O2 ↔N+O+O2
0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
47 NO +CN ↔ N +O +CN 0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
48 NO +CO ↔ N +O +CO 0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
49 NO +NO ↔ N +O +NO 0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
50 NO +CO2 ↔ N +O +CO2 0.409E+19 -0.10E+01 0.753E+05
0.35E+19 -0.10E+01 0.00E+00
51CO+N ↔NO+C
0.286E+12 0.50E+00 0.536E+05
0.26E+11
0.50E+00 0.00E+00
52 CO +CO ↔CO2+C
0.233E+10 0.50E+00 0.657E+05
0.46E+13
-0.25E+00 0.00E+00
53CO+O ↔O2+C
0.273E+13 0.50E+00 0.695E+05
0.94E+13
0.25E+00 0.00E+00
54N2+O ↔NO+N
0.735E+12 0.50E+00 0.379E+05
0.16E+12
0.50E+00 0.00E+00

680
Таблица П.8.3. (окончание)
№
f
A , cm3/(mole⋅s) f
n
f
E,K
r
A , cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
55 NO +CO ↔CO2+N
0.495E+09 0.50E+00 0.120E+05
0.99E+13
-0.25E+00 0.00E+00
56NO+O ↔O2+N
0.298E+12 0.50E+00 0.1946E+05
0.95E+10
0.10E+01 0.00E+00
57 CO2+O ↔CO+O2
0.254E+12 0.50E+00 0.2768E+05
0.50E+09
0.10E+01 0.239E+05
Таблица П.8.4. Сокращенная кинетическая модель Парка [21], рекомендованная для сравнительных
расчетов в Европейском космическом агентстве. Константы скоростей обратных реакций
рассчитаны с использованием компьютерного кода FERC [14]
№
f
A,
cm3/(mole⋅s)
f
n
f
E,K
r
A,
cm3(6)/(mole⋅s) r
n
r
E,K
1 CO2+O2 ↔CO+O +O2
0.69E+22 -0.15E+01 0.633E+05 0.114E+18 -0.75E+00 0.535E+03
2 CO2+O ↔CO+O +O
0.14E+23 -0.15E+01 0.633E+05 0.228E+18 -0.75E+00 0.535E+03
3 CO2+C ↔CO+O +C
0.14E+23 -0.15E+01 0.633E+05 0.228E+18 -0.75E+00 0.535E+03
4 CO2 +CO ↔ CO +O +CO 0.69E+22 -0.15E+01 0.633E+05 0.114E+18 -0.75E+00 0.535E+03
5 CO2 +CO2 ↔ CO +O +CO2 0.69E+22 -0.15E+01 0.633E+05 0.114E+18 -0.75E+00 0.535E+03
6 CO+O2 ↔C+O+O2
0.23E+21 -0.10E+01 0.129E+06 0.513E+19 -0.1E+01 0.000E+00
7 CO+O ↔C+O+O
0.34E+21 -0.10E+01 0.129E+06 0.759E+19 -0.1E+01 0.000E+00
8 CO+C ↔C+O+C
0.34E+21 -0.10E+01 0.129E+06 0.759E+19 -0.1E+01 0.000E+00
9 CO +CO ↔ C +O +CO 0.23E+21 -0.10E+01 0.129E+06 0.513E+19 -0.1E+01 0.000E+00
10 CO +CO2 ↔ C +O +CO2 0.23E+21 -0.10E+01 0.129E+06 0.513E+19 -0.1E+01 0.000E+00
11O2+C ↔O+O+C
0.1E+23 -0.15E+01 0.595E+05 0.100E+20 -0.1E+01 0.000E+00

681
Таблица П.8.4. (окончание)
12 O2 +CO ↔ O +O +CO 0.2E+22 -0.15E+01 0.595E+05 0.200E+19 -0.1E+01 0.000E+00
13 O2 +CO2 ↔ O +O +CO2 0.2E+22 -0.15E+01 0.595E+05 0.200E+19 -0.1E+01 0.000E+00
14 CO+CO ↔CO2+C
0.233E+10 0.50E+00 0.657E+05 0.460E+13 -0.25E+00 0.000E+00
15 CO+O ↔O2+C
0.39E+14 -0.18E+00 0.692E+05 0.134E+15 -0.43E+00 0.000E+00
16 CO2+O ↔CO +O2
0.21E+14 0.00E+00 0.278E+05 0.411E+11 0.5E+00 0.238E+05
17 O2 +O2
↔O +O +O2
0.2E+22 -0.15E+01 0.595E+05 0.200E+19 -0.1E+01 0.000E+00
18O2+O ↔O+O+O
0.1E+23 -0.15E+01 0.595E+05 0.100E+20 -0.1E+01 0.000E+00
Таблица П.8.5. Упрощенная кинетическая модель Парка [21]
f
A,
n-1
3
см1
моль с
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠f
n
f
E,К
r
A,
m-1
3
см1
моль с
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠r
n
r
E,К
CO2+M ↔CO+O+M
0.14E+23
-1.50 0.633E+05
0.228E+18
-0.75 0.535E+03
CO+M ↔C+O+M
0.34E+21
-1.00 0.129E+06
0.759E+19
-1.0 0.000E+00
O2+M ↔O+O+M
0.10E+23
-1.50 0.595E+05
0.100E+20
-1.0 0.000E+00
CO+CO ↔CO2+C
0.23E+10
+0.50 0.657E+05
0.460E+13
-0.25 0.000E+00
CO+O ↔O2+C
0.39E+14
-0.18 0.692E+05
0.134E+15
-0.43 0.000E+00
CO2+O ↔CO+O2
0.21E+14
+0.00 0.278E+05
0.411E+11
0.50 0.238E+05
O2+O2 ↔ O+O+O2
0.20E+22
-1.50 0.595E+05
0.200E+19
-1.0 0.000E+00
O2+O ↔ O+O+O
0.10E+23
-1.50 0.595E+05
0.100E+20
-1.0 0.000E+00

681

682
ПРИЛОЖЕНИЕ 9
Уравнения механики сплошной среды, используемые в расчетных
кодах NERAT
П.9.1. Основные формы записи уравнений Навье-Стокса
В качестве исходной формы уравнений Навье-Стокса примем широко
распространенную в газодинамике векторную форму уравнений [1] в трех
измерениях прямоугольной декартовой системы координат (рис. П.9.1),
совместно с уравнением сохранения энергии, сформулированным
относительно полной энергии единицы объема:
txyz
∂ ∂∂∂
∂∂∂∂
+++=
WE FGR
(
1
)
u
v
w
E
ρ
ρ
ρ
ρ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
W
,
0
x
y
z
fff
Q
ρ
ρ
ρ
Σ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
R
,
(
2
)
2
0
()
xx
xy
xz
xxx
yx
z
x
u
up
u
uw
uw
Ep
uq
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ττ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
++
++ ⎣⎦
⎣⎦
Ev
v
,
(
3
)
2
0
()
yx
yy
yz
yx
yy
yz
y
u
p
w
uw
Epq
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ττ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=−
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
++
++ ⎣⎦
⎣⎦
F
v
v
v
v
v
v
,
(
4
)
2
0
()
zx
zy
zz
zxz
yz
z
z
w
uw
w
wp
uw
Ep
wq
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ττ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=−
⎢⎥
⎢⎥
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
++
++
⎣⎦
⎣⎦
Gv
v
,
(
5
)

П.9.1. Формы записи уравнений Навье-Стокса
683
где: ,,
uw
v - проекции скорости Vr на координатные оси 12 3
,,
xxxyxz
=
==
;
,p
ρ - плотность и давление;
2
(2
)
Ee
V
ρ
=+ - полная внутренняя энергия
единицы объема; e - удельная внутренняя энергия; ,
,
xyz
f ff- массовые
объемные силы; ,
,
xyz
qqq - проекции вектора плотности теплового потока
q на координатные оси; ij
τ - компоненты тензора вязких напряжений,
являющиеся составными частями компонентов тензора напряжений:
ij
ij ij
p
Π=
−+
δτ,
(
6
)
где ij
δ - дельта-символ Кронекера (1
ij=
δ ,еслиij
=;0
ij=
δ ,еслиij
≠);
2
,,
,1
,
2
,
3
3
j
ik
ij
ij
ji
k
u
uu
ijk
xx
x
⎡⎤
⎛⎞
=+
−
=
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∂
∂∂
τµ
δ
∂∂∂
,
(
7
)
по повторяющимся индексам ( k ) подразумевается суммирование.
В формуле (2) величина мощности энерговыделения, обусловленного
внешними источниками энергии, обозначена QΣ . Например, это может быть
Джоулево тепловыделение в ионизованном газе вследствие протекания
электрического тока.
Далее будет предполагаться, что тепловой поток, характеризуемый
вектором q , включает в себя кондуктивную ( c
q ), диффузионную ( d
q)и
радиационную составляющие rad
q:
cdr
a
d
=++
qqqq,
(а)
(
б)
(
в)
Рис. П.9.1. Ортогональные системы координат, используемые для формулировки
уравнений механики сплошной среды: прямоугольная декартова система координат
(а), цилиндрическая система координат (б), сферическая система координат (в)
В большом числе численных алгоритмов используется следующая
математически эквивалентная форма, в которой уравнение сохранения
энергии сформулировано относительно удельной внутренней энергии (при

Приложение П.9
684
численном интегрировании этой системы уравнений теряется свойство
полной консервативности полной энергии):
txyz
∂ ∂∂∂
∂∂∂∂
+++=
WE FGR
(
8
)
u
v
w
e
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
W
,
0
div
x
y
z
fff
pQ
ρ
ρ
ρ
Σ
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
Φ−
⋅
+
⎣⎦
R
V
,
(
9
)
2
0
0
xx
xy
xz
x
u
up
u
uw
ueq
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
ρ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢
⎥
+
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
=−
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢⎥
+⎣⎦
⎣⎦
Ev
,
(
1
0
)
2
0
0
yx
yy
yz
y
u
p
w
q
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
ρ
⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
=−
+
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
+⎣⎦
⎣⎦
F
v
v
v
v
ve
,
(
1
1
)
2
0
0
zx
zy
zz
z
w
uw
w
wp
weq
ρ
τ
ρ
τ
ρ
τ
ρ
ρ
⎡⎤
⎡
⎤
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
=−
⎢⎥
⎢
⎥
+
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
+
⎣⎦
⎣
⎦
Gv
,
(
1
2
)
()
()
i
ij
ij
ij
j
u
x
µ∂
Φ
=
=
∇
⋅⋅
−
∇
⋅⋅
∂
ττ
V
τ V - диссипативная функция
или
222 2
22
2
222
2
,
3
uw
u
xyz
x
y
wu
w
u
w
yz zx
xyz
µ
∂∂∂∂
∂
µ ∂∂∂∂
∂
∂∂ ∂∂ ∂∂∂
∂∂ ∂∂ ∂∂∂
⎡⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
Φ=⎢ +
+
+++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎣
⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
++++−+
+⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎦
vv
vv(
1
3
)

П.9.2. Уравнения Навье-Стокса в ортогональной криволинейной системе координат
685
П.9.2. Система уравнений Навье-Стокса в ортогональной
криволинейной системе координат
Чаще всего используются два вида ортогональных криволинейных систем
координат: цилиндрическая (рис. П.9.1а) и сферическая (рис. П.9.1б).
Для получения уравнений Навье-Стокса в криволинейной ортогональной
системе координат удобно использовать следующую векторную форму
записи уравнений неразрывности, Навте-Стокса и сохранения энергии:
()
0
t
∂ρ
ρ
∂ +∇⋅
=
V,
(
1
4
)
() ˆij
t
∂ρ
ρρ
∂ +∇⋅
= +∇⋅
V
VVfΠ,
(
1
5
)
div
e
eQ
p
t
µ
∂ρρ
∂
Σ
+∇=
−∇+Φ−
⋅
VqV
.
(
1
6
)
Если дивергенцию тензора ρ VV представить в следующем виде
()
ρρρ
∇⋅
=
⋅∇+∇⋅
VVVVVV,
то с учетом уравнения неразрывности уравнение (7) можно записать в
несколько иной форме:
(),
ˆij
t
∂
ρρρ
∂+⋅
∇=+
∇
⋅
V VVfΠ
(
1
7
)
При покомпонентной записи уравнения (17) в произвольной
ортогональной системе координат используются следующие соотношения:
()
()
3
12
112233
112233
2
2
32
33
3
11 21
11
21
122
1
1122331
221
331
211
31
3
12 22
21
22
2
1122331
2
u
uu
uuu
hhh
uu
uu
h
uu uu
uu
uh
huh
hhhh
hh
hh
hh
h
u
uu uu
uu
uh
hhhh
h
∂∂∂
∂ξ∂ξ∂ξ
∂
∂∂∂∂∂∂
∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ
∂∂∂ ∂
∂ξ∂ξ∂ξ∂
⎛⎞
⋅∇=
+
+
++=
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
=+
+
++−
−+
⎜⎟
⎝⎠
++
+
+
VV
iii
i
i
2
2
23
33
211
12
3
31
2
22
3
2
22
33
3
3
1
3
3
2
3
3
12
11 22
3
1122331
312
321
332
33
.
uu
uh
huh
hhhhhh
uu
u
u
u
u
h
u
u
h
uu
uh uh
hhhh
hh
hh
hh
h
∂
∂∂
ξ∂
ξ∂
ξ∂
ξ
∂∂∂∂∂∂∂
∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ∂ξ
⎛⎞
+
−−+
⎜⎟
⎝⎠
⎛⎞
++
+
++−
−
⎜⎟
⎝⎠
i
(18)
Компоненты вектора
ˆij
∇⋅Π имеют следующий вид, соответственно
координатным осям:
1
ξ : ()()()
12
12
13
23
13
12
123 1
2
3
1
ˆˆˆ
hh
hh
hh
hhh
ξξ
ξξ
ξξ
∂∂∂
∂ξ
∂ξ
∂ξ
⎡⎤
+++
⎢⎥
⎣⎦
ΠΠΠ
12
13
22
33
3
112
122
133
121
131
1111
ˆˆˆˆ
,
h
hhh
hh
hh
hh
hh
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ∂
∂
∂∂
∂ξ∂
ξ∂
ξ∂
ξ
++−
−
ΠΠΠΠ
(
1
9
)

Приложение П.9
686
2
ξ : ()()()
12
22
23
23
13
12
1
2
3
123
1
ˆˆˆ
hh
hh
hh
hhh
ξξ
ξξ
ξξ
∂∂∂
∂ξ
∂ξ
∂ξ
⎡⎤
+++
⎢⎥
⎣⎦
ΠΠΠ
23
12
33
11
3
22
1
233
121
232
122
1111
ˆˆ
ˆˆ
,
h
hh
h
hh
hh
hh
hh
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
∂
∂
∂∂
∂ξ∂
ξ∂
ξ∂
ξ
++− −
ΠΠΠΠ
(20)
3
ξ : ()()()
13
23
33
23
13
12
1
2
3
123
1
ˆˆˆ
hh
hh
hh
hhh
ξξ
ξξ
ξξ
∂∂∂
∂ξ
∂ξ
∂ξ
⎡⎤
+++
⎢⎥
⎣⎦
ΠΠΠ
13
23
11
22
3312
131
232
133
233
1111
ˆˆ ˆˆ
.
hhhh
hh
hh
hh
hh
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
∂
∂
∂
∂
∂ξ∂
ξ∂
ξ∂
ξ
++− −
ΠΠ ΠΠ
(
2
1
)
Компоненты тензора напряжений ˆ ij
Π определяются по следующим
формулам: ()
11
11
22
33
2
ˆ
2,
3
pe
e
e
ξξ
ξξξξξξ
µ
=−+
−
−
Π
(
2
2
)
()
22
22
11
33
2
ˆ
2,
3
pe
e
e
ξξ
ξξξξξξ
µ
=−+
−
−
Π
(
2
3
)
()
33
33
11
22
2
ˆ
2,
3
pe
e
e
ξξ
ξξξξξξ
µ
=−+
−
−
Π
(
2
4
)
23
32
23
ˆˆ
,
e
ξξξ
ξξ
ξ
µ
==
ΠΠ
(
2
5
)
13
31
13
ˆˆ
,
e
ξξξ
ξξ
ξ
µ
==
ΠΠ
(
2
6
)
12
21
12
ˆˆ
,
e
ξξξ
ξξ
ξ
µ
==
ΠΠ
(
2
7
)
Компоненты тензора скоростей деформации ij
e определяются по формулам:
11
3
12
1
1
111
221
33
1
,
u
uuh h
ehh
hh
h
=++
ξξ∂
∂∂
∂ξ∂
ξ∂
ξ
(
2
8
)
22
3
22
1
2
222
331
21
1
,
u
uh
u
h
ehh
hh
h
=++
ξξ∂
∂∂
∂ξ∂
ξ∂
ξ
(
2
9
)
33
333
12
331
312
32
1
,
uhh
uu
ehh
hh
h
=++
ξξ∂
∂∂
∂ξ∂
ξ∂
ξ
(
3
0
)
23
33
22
223 332
,
hu
hu
ehh
hh
⎛⎞ ⎛⎞
=+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
ξξ ∂∂
∂ξ
∂ξ
(
3
1
)
13
33
11
331 113
,
hu
hu
ehh
hh
⎛⎞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
ξξ ∂∂
∂ξ
∂ξ
(
3
2
)
12
22
11
112 221
,
hu
hu
ehh
hh
⎛⎞ ⎛⎞
=+
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
ξξ ∂∂
∂ξ
∂ξ
(
3
3
)
Диссипативная функция в произвольной ортогональной системе координат
имеет следующий вид:

П.9.2. Уравнения Навье-Стокса в ортогональной криволинейной системе координат
687
() ()
11
22
33
23
13
12
11
22
33
2
222 2222
2.
3
eee eee eee
µξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξξ
ξ
µ⎡⎤
Φ
=
++ +++− ++
⎢⎥
⎣⎦
(34)
С использованием формул (18) - (33) уравнение Навье-Стокса (15) в
покомпонентной записи для трехмерной цилиндрической системы координат
приобретает следующий вид:
()
3
11
,
xu
uu
ur
uu
wpf S
tx
r
r
r
x
∂ρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂∂∂∂
ϕ∂
+++=
−
+
+
v
(
3
5
)
()
2
3
11
,
rv
ur
w
wp
fS
tx
r
r
rrr
∂ρ∂ρ∂ρ∂ρρ
∂ρ
∂∂∂∂
ϕ
∂
+++−
=
−
+
+
vvv
vv
(
3
6
)
()
3
11
1,
w
wu
wr
wwwpfS
tx
r
r
r
r
rϕ
∂ρ ∂ρ
∂ρ
∂ρρ
∂ρ
∂∂∂∂
ϕ∂∂
ϕ
++++=
−
+
+
vv
v
(
3
7
)
где компоненты импульса, обусловленные вязким трением, определяются по
следующим формулам:
()
3
21
1
2
3
11,
u
uvw
v
vu
Sr
xx
r
r
r
r
r
x
r
uw
rrx
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
µµ
∂∂
∂
∂
ϕ∂
∂
∂
∂∂
∂
µ
∂ϕ ∂ϕ∂
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞
⎛
⎞
=−
−
−
++
+
⎢⎥
⎢
⎥
⎜⎟
⎜
⎟
⎝⎠
⎝
⎠
⎣⎦
⎣
⎦
⎡⎤
⎛⎞
++
⎢⎥
⎜⎟
⎝⎠
⎣⎦
(
3
8
)
()
3
121
2
3
11
2
2
2,
3
v
uw
u
Sr
xx
r
r
r
r
rr
x
ww
u
r
rr
r
rr
r
r
r
x
∂∂
∂∂∂∂∂
µµ
∂∂
∂∂ ∂∂
ϕ∂
∂∂ ∂µ
∂∂
∂
µ
∂ϕ∂
∂ϕ
∂ϕ
∂∂
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞⎛
⎞
=+
+
−
−
−
+
⎢⎥
⎢
⎥
⎜⎟⎜
⎟
⎝⎠⎝
⎠
⎣⎦
⎣
⎦
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎞
⎪⎪
⎛⎞
++
−
+
−
−
⎨⎬
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎪⎪
⎣⎦
⎝⎠
⎩⎭
vv
v
vv
v (39)
()
3
111
121
1
2.
3
w
uw
w
Sr
r
xr xr
rr
rr
wuw
r
rr
r
r
x
r
r
r
r
∂∂
∂∂∂ ∂
µµ
∂∂
ϕ
∂∂∂ ∂
ϕ
∂∂
∂
∂
µ
∂
∂
µ
∂ϕ∂
ϕ
∂
∂∂∂
ϕ
⎡⎤
⎧
⎫
⎛⎞⎡ ⎤
⎪⎪
⎛⎞
=+
+
+
+
⎨⎬
⎢⎥
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎪⎪
⎝⎠⎣ ⎦
⎣⎦
⎩⎭
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
⎪⎪
⎛⎞
++
−
+
+
+
⎨⎬
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
v
vv
v (40)
Уравнение неразрывности имеет следующий вид:
110.
urw
tx
r
r
r
∂ρ∂ρ ∂ρ ∂ρ
∂∂∂∂
ϕ
+++=
v
(
4
1
)
В вычислительной практике решения задач физико-химической механики
широкое распространение имеют двумерные модели, в которых
предполагается азимутальная симметрия. В этом случае система уравнений
(27)-(33) заметно упрощается:
()
2
1
,
xu
uu
ur
upfS
tx
r
rx
∂ρ ∂ρ
∂ρ
∂ρ
∂∂∂∂
++=
−
+
+
v
(
4
2
)

Приложение П.9
688
()
2
2
1
,
rv
ur wp
fS
tx
r
rrr
∂ρ∂ρ∂ρρ
∂ρ
∂∂∂
∂
++−
=
−
+
+
vvv
v
(
4
3
)
()
2
1
,
w
wu
wr
w
v
wfS
tx
r
rrϕ
∂ρ ∂ρ
∂ρρρ
∂∂∂
+++
=
+
v
(
4
4
)
1
0,
ur
tx
r
r
∂ρ∂ρ ∂ρ
∂∂∂
++=
v
(
4
5
)
где
()
2
21
2
3
21
2d
i
v
,
3
u
uu
Sr
xx
r
r
r
r
x
r
uu
Vr
xx
x
r
rx
r
∂∂
∂∂
∂
∂
µµ
∂∂
∂∂
∂
∂
∂∂∂
∂∂
∂
µµµ
∂∂∂
∂∂
∂
⎡⎤
⎡
⎤
⎛⎞
⎛
⎞
=−
−
++
=
⎢⎥
⎢
⎥
⎜⎟
⎜
⎟
⎝⎠⎝
⎠
⎣⎦
⎣
⎦
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
=−++
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
r
vv
v
v
(
4
6
)
()
2
2
12
2
2
22
33
12
2d
i
v
2
,
3
v
uuu
Sr
x
xrr
r
rx
rr
rrx
u
rV
rr
rr
xxr
r
∂∂
∂∂∂
∂µ∂
∂
µµ
∂∂∂∂∂∂
∂∂
∂∂
∂
∂∂
∂
µµµ µ
∂∂
∂
∂∂
∂
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
⎡⎤
=−
+
−
−
−
−
−
=
⎢⎥
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟
⎢
⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎡⎤
=−+
+
−
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎢⎥
⎣⎦
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
r
vv
v
v
v
vv
v
(
4
7
)
()
2
2
1
.
w
ww
w
Sr
x
xr
rr
r
r
r
⎛⎞⎡ ⎤
⎛⎞ ⎛⎞
=+
+
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠⎣ ⎦
∂∂∂∂ ∂
µµ
µ
∂∂∂∂ ∂
(
4
8
)
П.9.3. Криволинейные координат
Рассмотрим связь между координатами точки в произвольной
криволинейной системе координат
{
}
123
123
,,
==
==
==
ξ ξξηξξϕξξ
(
4
9
)
и в прямоугольной декартовой системе координат
{
}
123
123
,,
x xxyxxzxx
==
==
==.
(
5
0
)
Эти координаты должны быть связаны следующей системой взаимно
однозначных соотношений:
()
()
()
()
()
()
,,
,,
,,
,,
,,
,,
xxx
y
z
yy
x
y
z
zz
x
y
z
ξηζ ξξ
ξηζ ηη
ξηζ ζζ
⎧=⎫⎧=⎫
⎪⎪
⎪⎪
=⇔
=
⎨⎬
⎨⎬
⎪⎪
⎪⎪
==
⎩⎭
⎩⎭
(
5
1
)

П.9.3. Криволинейные координаты
689
Связь между дифференциалами в прямоугольной декартовой системе
координат { }
,,
x yz и в криволинейных координатах { }
,,
ξ η ζ устанавливается
путем введения метрических коэффициентов, исходя из общих выражений
для дифференциалов сложных функций:
,
,
.
xxx
yyy
zzz
xxxx
yyyy
zzzz
ξηζξηζ
ξηζξηζ
ξηζξη ζ
ξηζξηζ
ξηζξη ζ
ξηζξηζ
∂∂∂∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂
=++ =++
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂
=++=++
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂
=++ =++
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂∂
(
5
2
)
Получим эти коэффициенты.
С одной стороны:
ddd
+
d
xxxx
ξη
ϕ
ξηϕ
=+
,
ddd
+
d
yyyy
ξη
ϕ
ξηϕ
=+
,
(
5
3
)
ddd
+
d
zzzz
ξη
ϕ
ξηϕ
=+
,
где
x
x∂
=∂
ξξ,
x
x∂
=∂
ηη,
x
xϕζ
∂
=∂,
.
.
.
(
5
4
)
В дальнейшем, исходя из удобства и наглядности записи, будет
использоваться тот или иной вид обозначения частных производных (54).
С другой стороны:
ddd
+
d
xyz
xyz
=+
ξ ξξξ,
ddd
+
d
xyz
xyz
=+
η ηηη
,
(
5
5
)
ddd
+
d
xyz
xyz
ζζζζ
=+
,
где
xx
∂
=∂ξ
ξ,yy
∂
=∂ξ
ξ,
z
z
∂
=∂ξ
ξ ,...
Запишем соотношения (53) и (55) в матричном виде:
dd
dd
dd
x xxx
y yyy
z zzz
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
(
5
6
)

Приложение П.9
690
и
dd
dd
dd
xyz
xyz
xyz
x
y
z
ξ ξξξ
ηη
η
η
ζζζζ
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
.
(
5
7
)
Сравнивая (55) и (56) заключаем, что:
xyz
xyz
xyz
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
ξξξ
ηηη
ϕϕϕ
=
1
xxx
yyy
zzz
ξηζ
ξηζ
ξηζ
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
(
5
8
)
Введем обозначение для левой матрицы J:
()
() ()
()
()
()
()
1
,,111
,,
,,
,,
1
xyz
xyz
xyz
J
xyz
xyz J
xxx
yyy
zzz
xy
zy
zxy
zy
zxy
zy
z
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξη
ζζ
ηηξ
ζζ
ξζξ
ηη
ξ
ξξξ ξηζ
ηηη
ϕϕϕ
ξηζ
−
⎛⎞
∂
⎜⎟
==
=
=
==
⎜⎟∂
∂
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠∂
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
−−
−+−
(59)
а для правой матрицы 1
J−:
()
()
1
,,
,,
xxx
xyz
J yyy
zzz
ξηζ
ξηζ
ξηζ ξηζ
−⎛⎞
∂
⎜⎟
==
⎜⎟
∂
⎜⎟
⎝⎠
Матрица J называется якобианом преобразования.
Выполним операцию транспонирования матрицы 1
J − и разделим все
элементы транспонированной матрицы на детерминант:
()()()()
1
detJ xy
zy
zxy
zy
zxy
zy
z
ξηζζηηξζζξζξηηξ
−=−
−
−
+−
.
(60)
В результате получим искомую связь между элементами матриц:
()
1
det
xyzyz
J
ηζζ
η
ξ
−
−
=
,
()
1
det
y
xzx
z
J
ηζζ
η
ξ
−
−
=−
,()
1
det
z
xyx
y
J
ηζζ
η
ξ
−
−
=
,
(61)
()
1
det
xyzyz
J
ξζζ
ξ
η
−
−
=−
,()
1
det
y
xzx
z
J
ξζζ
ξ
η
−
−
=
,
()
1
det
z
xyx
y
J
ξζζ
ξ
η
−
−
=−
,
(62)
()
1
det
xyzyz
J−
−
=ξηη
ξ
ϕ
,
()
1
det
y
xzx
z
J−
−
=−ξηη
ξ
ϕ
,()
1
det
z
xyx
y
J−
−
=ξηη
ξ
ϕ
,
(63)

П.9.3. Криволинейные координаты
691
Теперь получим формулу для длины элемента произвольной дуги в
криволинейной системе координат. Для этого воспользуемся
соответствующей формулой для прямоугольной декартовой системы
координат:
()()()()
2222
dddd
lxy z
=++
(
6
4
)
И перейдем к более удобным тензорным обозначениям:
()3
2
=1
dd
d
d
d
kk
ij
i
j
ij
ij
k
xx
lg
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
==
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
∑ξ
ξξ
ξ
ξξ
,
(
6
5
)
где
3
=1
kk
ij
ij
k
x
x
g⎛⎞
∂∂
=⋅
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
∑ ξ ξ − компоненты метрического тензора G, по
повторяющимся индексам i и j в (64) подразумевается суммирование.
Матричный тензор G имеет следующий вид
()
(
)(
)
()
()
()
()
()
()
222
222
222
xyz
xxyyzz
xxyyzz
Gx
x
y
y
z
zxy
zx
xy
yz
z
xxyyzz
xxyyzz
xyz
ξξξ
ξ
ηξ
ηξ
ηξ
ζξ
ζξ
ζ
ξηξηξη
ηηη
ηζηζηζ
ξζξζξζηζηζηζ
ζζζ
⎡⎤
++
++
++
⎢⎥
⎢⎥
=+
+
+
+
+
+
⎢⎥
⎢⎥
++
++
+
+
⎣⎦
(66)
Таким образом, при использовании ортогональной криволинейной
системы координат { }
123
,,
ξ ξξ длине элемента дуги в прямоугольной
декартовой систем координат () () () ()
2222
dddd
lxy z
=++ ставится в
соответствие величина
()( )()( )
222
2
112233
dddd
lhhh
=++
ξξξ
,
(
6
7
)
где метрические коэффициенты 123
,,
hh h вычисляются по следующим
формулам:
222
22
2
2
1
111
xyz
hx
yz
ξξξ
ξξξ
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
∂∂∂
=++ =
+
+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
,
(
6
8
)
222
22
2
2
2
222
xyz
hx
yz
η
ηη
ξξξ
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
∂∂∂
=++ =
+
+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
,
(
6
9
)
222
22
2
2
3
333
xyz
hx
yz
ζζζ
ξξξ
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
∂∂∂
=++ =
+
+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
(
7
0
)

Приложение П.9
692
Значения метрических коэффициентов для трех систем координат
приведено в таблице П.9.1. В этой же таблице приведены обозначения
компонент векторной функции
112233
uuu
=++
Viii
,
где 123
,,
ii i − единичные орты выбранной ортогональной системы координат.
Таблица П.9.1. Метрические коэффициенты для трех ортогональных
систем координат
Прямоугольная
декартова система
координат
Цилиндрическая
система
координат
Сферическая
система
координат
1
ξ
x
r
r
2
ξ
y
θ
θ
3
ξ
z
z
ϕ
1
h
1
1
1
2
h
1
r
r
3
h
1
1
sin
rθ
1
u
u
r
u
=
v
r
uu
=
2
u
v
wu
=θ
u
=θ
v
3
u
w
z
uu
=
wu
=ϕ
В заключение данного раздела приведем формулы для определения
основных дифференциальных операторов теории поля в произвольной
ортогональной системе координат, для чего воспользуемся обозначениями:
S − произвольная скалярная функция,
112233
VVV
=++
Viii
− произвольный
вектор.
Тогда:
123
112233
111
SSS
S hhh
ξξξ
∂∂∂
∇⋅=
+
+
∂∂∂
iii
r
,
(
7
1
)
()()()
231
132
123
123
1
2
3
1
hhV
hhV
hhV
hhh ξξξ
⎡⎤
∂∂∂
∇⋅
=
+
+
⎢⎥
∂∂∂
⎢⎥
⎣⎦
V
r
,
(
7
2
)

П.9.3. Криволинейные координаты
693
() ()
() ()
() ()
13
32
2
1
123
2
3
21
13
3
2
31
32
21
1
3
12
1hh
Vh
V
hhh
hh
Vh
V
hh
Vh
V
ξξ
ξξ
ξξ
⎧⎡⎤
∂∂
⎪
∇⋅
=
−
+
⎢⎥
⎨∂∂
⎢⎥
⎪⎣⎦
⎩⎡⎤
∂∂
+−+
⎢⎥
∂∂
⎢⎥
⎣⎦
⎫
⎡⎤
∂∂⎪
+−
⎢⎥
⎬
∂∂
⎢⎥
⎪
⎣⎦
⎭
Vi
i
i
r
(
7
3
)
2
23
13
12
123
111
222
1
333
1
hh
hh
hh
SSS
S hhh
h
h
h
⎡⎤
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
∂∂∂∂
∇⋅=
+
+
⎢⎥
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
∂∂
∂∂
⎢⎥
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎣⎦
r
ξξ
ξξ
ξξ
, (74)
П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе
координат
Применяя обобщенные преобразования системы координат к уравнению
(1), получаем очевидное соотношение:
,
xxxyyy
zzz
t
∂∂∂∂∂∂∂
ξηζξηζ
∂
∂ξ∂η∂ζ∂ξ∂η∂ζ
∂∂∂
ξηζ
∂ξ∂η∂ζ
+++++++
+++=
WEEEFFF
GGG
R
(
7
5
)
Поделив (73) на J и выполняя дифференцирование по частям, получаем:
xyz
xyz
xyz
yyy
xxx
zz
tJ
J
J
J
JJJ JJJ
JJ
ξξξ ηηη
∂∂ξ
η
ζζζ
ζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ ξηζ
ξη
ξη
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
⎛⎞
+++
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+−
⎜⎟
∂⎝⎠
⎡
⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎡⎤
∂∂∂ ∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+
+−+
+−
⎢
⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
∂∂∂ ∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣
⎦
∂∂
⎛⎞ ⎛⎞
−+
+
⎜⎟ ⎜⎟
∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
EFG EFG
W
EFG
EF
G
.
z
JJ
ζ
ζ
⎡⎤
∂ ⎛⎞=
⎜⎟
⎢⎥
∂⎝⎠
⎣⎦
R
(76)
Учитывая однозначность преобразования (51) и используя определения
якобиана преобразования, можно показать, что слагаемые в квадратных
скобках равны нулю, поэтому:

Приложение П.9
694
.
xyz
xyz
xyz
tJ
J
J
J
J
ξξξ
∂∂ξ
ηηη
η ζζζ
ζ
++
⎛⎞
∂
⎛⎞
++
⎜⎟
⎜⎟∂
⎝⎠ ⎝⎠
++
⎛⎞
∂
++
⎜⎟
∂⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+=
⎜⎟
∂⎝⎠
EFG
W
EFG
EFGR
(
7
7
)
Введем обозначения:
,,
J
J
==
WR
WR
%%
,,
xyz
xyz
xyz
JJJ
ξξξηηηζζζ
++
++
++
===
EFG EFG EFG
EFG
%
%%
(78)
Теперь система уравнений механики сплошной среды представляется
почти в исходном виде:
t
∂∂∂∂
∂∂
ξ∂
η
∂
ζ
+++=
WE FGR
%
%%%
%,
(
7
9
)
но уже относительно новых криволинейных координат.
Рассмотрим покомпонентную запись уравнений механики сплошной
среды в криволинейных координатах.
Уравнение неразрывности
0,
xyz
xyz
xyz
uw
uw
tJ
J
J
uw
J
ξρξρξρ
ηρηρηρ
∂ρ
∂ξ
η
ζρζρζρ
ζ
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
⎛⎞
+++
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟∂∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+=
⎜⎟
∂⎝⎠
vv
v
(80)
или, вводя компоненты скорости вдоль координатных линий криволинейной
системы координат:
,,,
xyz
xyz
xyz
Uu
w
Vu
w
Wu
w
ξξξηηηζζζ
=++ =++ =++
vv v(
8
1
)
получаем компактную запись уравнения неразрывности
0
UVW
tJ
J
J
J
∂ρρ
ρ
ρ
∂ξηζ
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
(
8
2
)

П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
695
Уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекции на ось x
00
00
00
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
xyz
uu
u
uw
u
tJ
J
uu
u
uw
J
uu
u
uw
J
pp
JJ
p
J
ξρξρξρ
∂ρ
∂ξ
ηρηρηρ
ηζρζρζρ
ζξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
++
⎛⎞
∂
⎛⎞
++
⎜⎟
⎜⎟∂
⎝⎠ ⎝⎠
++
⎛⎞
∂
++
⎜⎟
∂⎝⎠
++
⎛⎞
∂
++
⎜⎟
∂⎝⎠
+⋅
+⋅
+⋅
+⋅
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
+++
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
+⋅
+⋅
⎛⎞
∂
+=
⎜⎟
∂⎝⎠
v
v
v
yy
xx
zz
xx
xy
xz
xx
xy
xz
y
x
z
xx
xy
xz
JJJ JJJ
JJJ
ξη
ξη
ξη
τττ
τττ
ξη
ζ
ζ
ζ
τττ
ζ
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
++
+
++
+
+
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
∂
++
+
⎜⎟
∂⎝⎠
(83)
или
xxx
uu
Uu
Vu
W
tJ
J
J
J
ppp
JJJ
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
ξηζ
ξηζ
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ +
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
xx
xyx
yzx
z
xx
xyx
yzx
z
xx
xyx
yzx
z
J
J
J
ξτξτξτ
ξητ ητ ητ
ηζτζτζτ
ζ
++
⎛⎞
∂
++
⎜⎟
∂⎝⎠
++
⎛⎞
∂
++
⎜⎟
∂⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+⎜⎟
∂⎝⎠
(
8
4
)
Уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекции на ось y
yyy
UVW
tJ
J
J
J
ppp
JJJ
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
ξηζ
ξηζ
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ +
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
∂∂∂
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
vvvv

Приложение П.9
696
.
xyx
yyy
zyz
xyx
yyy
zyz
xy
xyy
yzy
z
JJ
J
ξτξτξτ
ητητητ
ξη
ζτζτζτ
ζ
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
=++
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+⎜⎟
∂⎝⎠
(85)
Уравнение, выражающее закон сохранения импульса в проекции на ось z
zzz
ww
Uw
Vw
W
tJ
J
J
J
ppp
JJJ
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
ξηζ
ξηζ
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ +
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
xzx
yzy
zzz
xzx
yzy
zzz
xz
xyz
yzz
z
JJ
J
ξτξτξτ
ητητητ
ξη
ζτζτζτ
ζ
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
+++
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+⎜⎟
∂⎝⎠
(86)
Уравнение, выражающее закон сохранения полной энергии
в единице объема
222 2
222 2
UVW
eee e
tJ
J
J
J
ppp
UVW
JJJ
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
ξηζ
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
∂∂∂
++
++
++
++
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
www w
.
xxyyzz
xxyyzz
xxyyzz
QQQ QQQ
JJ
QQQ
J
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
+++
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
+⎜⎟
∂⎝⎠
(87)
где: 222 2
uw
=++
wv
,
xx
xx
yx
zxxx
TTT
Qu
w
ττ τλ
ξηζ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=+++ ++
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
v
,
(
8
8
)
yy
xy
yy
zyyy
TTT
Qu
w
ττ τλ
ξηζ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=+++ ++
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
v
,
(
8
9
)
zz
xz
yz
zzz
z
TTT
Qu
w
ττ τλ
ξηζ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=+++ ++
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
v
.
(
9
0
)
Компоненты тензора вязких напряжений в криволинейной системе
координат получаются очевидным образом:

П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
697
2
2d
i
v
3
xx
x
x
x
uuu
τµ
ξηζ µ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=+
+
−
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
V,
(
9
1
)
2
2d
i
v
3
yy
y
y
y
τµ
ξηζ µ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=+
+
−
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
V
vvv
,
(
9
2
)
2
2d
i
v
3
zz
z
z
z
www
τµ
ξηζ µ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=+
+
−
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
V,
(
9
3
)
xy
y
y
y
x
x
x
uuu
τµ
ξηζξηζ
ξ ηζξηζ
⎛⎞
∂∂∂∂∂∂
=+
+
+
+
+
⎜⎟
∂∂∂∂∂∂
⎝⎠
vvv
,
(
9
4
)
xz
z
z
z
x
x
x
uu uwww
τµ
ξηζξηζ
ξηζξηζ
⎛⎞
∂∂∂∂∂∂
=+
+
+
+
+
⎜⎟
∂∂∂∂∂∂
⎝⎠
,
(
9
5
)
z
yyy yzz z
www
τµ
ξηζξηζ
ξηζξηζ
⎛⎞
∂∂ ∂∂∂∂
=+
+
+
+
+
⎜⎟
∂∂∂∂∂∂
⎝⎠
vvv
,
(
9
6
)
div
xxxyyyzzz
uuu
www
ξηζξηζξηζ
ξ ηζξηζξηζ
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
=++++++++
∂∂∂∂∂∂∂∂∂
V
vvv
(
9
7
)
Уравнение, выражающее закон сохранения внутренней энергии
в единице объема
Исходное уравнение в прямоугольной декартовой системе координат
следует из (16)
() ()()()
()()() div
,
xyz
eu
eew
e
txyz
qqq pQ
xyz µ
∂ρρρρ
∂
Σ
∂∂∂
+++ =
∂∂∂
∂∂∂
=−
−
−
+Φ−
⋅
+
∂∂∂
V
v
(
9
8
)
Это уравнение в криволинейной системе координат получается, при
преобразовании уравнения (77) для пятой строчки в системе уравнений (9)-
(12):
()
()()
()
()
()
()
()
()
div
xx
yy
zz
xx
yy
zz
xx
yy
zz
ueq
eq
weq
e
tJ
J
ueq
eq
weq
J
ueq
eq
weq
J
pQ
J
µ
ξρξρξρ
∂ρ
∂ξ
ηρ
ηρ
ηρ
η
ζρζρζρ
ζ
Σ
⎛⎞
+++++
∂
⎛⎞ ⎜⎟
++
⎜⎟ ⎜⎟
∂
⎝⎠ ⎝⎠
⎛⎞
+++++
∂⎜⎟
++
⎜⎟
∂⎝⎠
⎛⎞
+++++
∂⎜⎟
+=
⎜⎟
∂⎝⎠
Φ−⋅+
=
V
v
v
v
(99)

Приложение П.9
698
или, с учетом (81),
div
.
xxyyzz
xxyyzz
xxyyzz
eUVW
eee
tJ
J
J
J
qqq qqq
JJ
qqq
J
pQ
J
µ
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
Σ
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
−+
⎜⎟
∂⎝⎠
Φ−⋅+
+
V
(100)
Диссипативная функция (13), входящая в (100), рассчитывается
очевидным образом, с учетом вида частных производных компонент
скорости:
,
,
,
xxx
yyy
zzz
uuu u
x
uuu u
y
uuu u
z
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
∂∂∂ ∂
=++
∂∂∂∂
∂∂∂ ∂
=++
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
=++
∂∂∂ ∂
,
,
,
xxx
yyy
zzz
x
y
z
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
∂ ∂∂∂
=++
∂ ∂∂∂
∂ ∂∂∂
=++
∂ ∂∂∂
∂ ∂∂∂
=++
∂ ∂∂∂
vvv v
vvv v
vvv v
,
,
.
xxx
yyy
zzz
www w
x
www w
y
www w
z
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
ξηζ
∂∂∂ ∂
=++
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
=++
∂∂∂ ∂
∂∂∂ ∂
=++
∂∂∂ ∂
Для завершения формулировки уравнения сохранения энергии
осталось записать в явном виде компоненты вектора теплового потока,
обусловленного теплопроводностью и диффузией, а также дать
математическую формулировку скорости выделения тепла, связанной с
процессами физической и химической кинетики, а также переноса
тепла излучением.
Для определения векторов теплопроводностного и диффузионного
тепловых потоков воспользуемся законами Фурье и Фика
соответственно:
c
T
λ
=−
qg
r
a
d
,
(101)
ss
NN
di
ii
ii
ii
hh
D
Y
ρ
==
−
∑∑
q
J
grad ,
(102)

П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
699
где:
ii
i
DY
ρ
=−
Jg
r
a
d
,
(103)
λ - коэффициент теплопроводности,
i
D - эффективный коэффициент диффузии i-й компоненты смеси газов,
ii
Yρρ
=
- относительная массовая концентрация (массовая доля) i-й
компоненты смеси газов,
s
N - число компонент газовой смеси.
В криволинейных координатах компоненты этих векторов имеют
вид:
,
,
,
,
,
,
cx
x
x
x
cy
y
y
y
cz
z
z
z
TTT
q
TTT
q
TTT
q
λξηζ
ξηζ
λξηζ
ξηζ
λξηζ
ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
=−
+
+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
⎛⎞
∂∂∂
=−
+
+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
⎛⎞
∂∂∂
=−
+
+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
(104)
,
,
,
,
,
.
s
s
s
N
iii
dx
iix
x
x
i
N
iii
dy
iid
d
d
i
N
iii
dz
iiz
z
z
i
YYY
qh
D
YYY
qh
D
YYY
qh
D
ρξηζ
ξηζ
ρξηζ
ξηζ
ρξ
ηζ
ξηζ
∂∂∂
⎛⎞
=−
+
+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∂∂∂
⎛⎞
=−
+
+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∂∂∂
⎛⎞
=−
+
+
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
∑
∑
∑
(105)
Для дальнейшего преобразования уравнения сохранения энергии
необходимо определить составляющие внутренней энергии газа. Для
этого воспользуемся приближением Борна-Оппенгеймера о
допустимости представления внутренней энергии в виде суммы ее
составляющих, отвечающих поступательным t
e , электронным e
e,
колебательным V
e и вращательным r
e степеням свободы атомов и
молекул:
0
trV e
l
eeeeee
=++++,
(106)
где 0
e суммарная энергия образования компонент газовой смеси.
Заметим, что для высокотемпературных газовых смесей,
находящихся в условиях сильной неравновесности (
отсутствия
термализации внутренних степеней свободы) справедливость
приближения Борна-Оппенгеймера подвергается ревизии, поскольку
становится очевидным необходимость учета нелинейного
взаимодействия вращательных, колебательных и электронных

Приложение П.9
700
степеней свободы. Тем не менее, в данной работе используются
многотемпературные модели, основанные на указанном приближении.
Учитывая многокомпонентный состав смеси газов, включающий, в
общем случае, атомы, молекулы, ионы и электроны, исходное
соотношение (105) перепишем в виде:
0
,
ss
s
s
s
NN
N
N
N
tr
V
e
l
ivi
ii
ii
ii
ii
ii
i
i
i
ec
Teeeh
ρ
ρρρρ
=+
+
+
+
∑∑∑∑∑
,
(107)
где: ,
t
vi
c - удельная теплоемкость при постоянном объеме,
соответствующая поступательному движению частиц; ,,
rVe
l
iii
eee
удельная внутренняя энергия для вращательных, колебательных и
электронных степеней свободы; 0
i
h - энтальпия образования i-ой
компоненты.
Подставляя (106) в (100), получим:
t
ttt
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+++ +
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
r
rrr
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+++++
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
V
VVV
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+++++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
el
el
el
el
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
++++=
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
(108)
div
.
xxyyzz
xxyyzz
xxyyzz
qqq qqq
JJ
qqq
J
pQ
J
µ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
Σ
++
++
⎛⎞
⎛⎞
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
∂
−+
⎜⎟
∂⎝⎠
Φ−⋅+
+
V
Для интегрирования уравнения (108) можно воспользоваться
принципом расщепления по физическим процессам, который может
быть реализован многими способами.
Один из возможных способов состоит в дальнейшем развитии
принципа Борна-Оппенгеймера, состоящий в предположении, что
основной обмен энергией реализуется по отдельным энергетическим

П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
701
каналам (в пределах поступательных, вращательных, колебательных и
электронных степеней свободы).
По аналогии с феноменологической формулировкой уравнения
сохранения энергии, изменение удельной энергии в пределах каждого
энергетического канала происходит за счет конвективного движения
массы газа, за счет диффузии данного вида энергии (связанного с
физической диффузией компонент газовой смеси, включающей
концентрационную диффузию, термодиффузию и бародиффузию), а
также за счет источниковых слагаемых в уравнении сохранения
энергии заданного типа.
Указанные источниковые слагаемые связаны с обменом энергии
между отдельными степенями свободы, формулировкой которых
делается попытка преодолеть недостатки исходного приближения
Борна-Оппенгеймера о независимости энергетического обмена в
пределах отдельных энергетических каналов. Теоретические основы
формулировки многотемпературных уравнений, в основе которых
лежит указанное приближение Борна-Оппенгеймера, изложены в [27].
Запишем в общем виде такую систему уравнений:
t
ttt
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+++ +
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
()
,,
div
,
V
ttt
ttt
xxyyzz
xxyyzz
ttt
xxyyzz
N
t
Tr
TVm
CVm
Te
m
qqq qqq
JJ
qqq
J
QQ
QQ
pQ
JJ
µ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
Σ
⎛⎞
⎛⎞
++
++
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
++
∂
−+
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
++
+
Φ−⋅+
++
∑
V
(109)
r
rrr
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+++ =
⎜⎟ ⎜⎟⎜⎟⎜ ⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
,
,
V
rrr
rrr
xxyyzz
xxyyzz
N
rrr
rT
rVm
re
xxyyzz
m
qqq qqq
JJ
QQQ
qqq
JJ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
⎛⎞
⎛⎞
++
++
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
++
∂
−+
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
∑
(110)
V
VVV
mm
m
m
m
mmm
eUVW
eee
tJ
J
J
J
ρρρρ
∂
∂ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠

Приложение П.9
702
,,,
,,,
,,,
,,'
,
,
,
,
Vm
Vm
Vm
Vm
Vm
Vm
xx
yy
zz
xx
yy
zz
Vm
Vm
Vm
xx
yy
zz
V
T
mV
C
mV
V
mV
e
mV
r
m
qqq qqq
JJ
qqqQQQ QQ
JJ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
⎛⎞
⎛⎞
++
++
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
++
++ ++
∂
−+
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
(111)
1,2,..., V
mN
=
el
el
el
el
eUVW
eee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛ ⎞
+++ =
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
⎝⎠
,
1
.
V
el
el
el
el
el
el
xxyyzz
xxyyzz
N
el
el
el
eT
eVm
er
xxyyzz
m
qqq qqq
JJ
QQQ
qqq
JJ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
=
⎛⎞
⎛⎞
++
++
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
++
⎛⎞
++
∂
−+
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
∑
(112)
Слагаемые, учитывающие обмен между разными энергетическими
каналами, обладают следующим свойством симметрии:
,,
,
,
Tr
rT
TV
VT Te
eT
Vr
rV
Ve
eV
QQQ Q
QQ
QQQQ
=−
=−
=−
=−
=−
(113)
поэтому при сложении уравнений (109)-(112) в итоговом уравнении
(108) они отсутствуют.
В многотемпературных моделях, применяемых в данной работе,
используются следующие упрощения:
- температура вращательных степеней свободы совпадает с
температурой поступательного движения частиц газа,
- температура электронного газа совпадает со средневзвешенной
температурой колебательных степеней свободы,
- роль колебательно-колебательного обмена мала.
Подчеркнем, что существуют условия, в которых указанные
упрощения оказываются чрезмерно грубыми. Их использование в
многомерных моделях данной работы основано на анализе физико-
химических и радиационных процессов за фронтом сильных ударных
волн в воздухе и смеси газов CO2-N2 [24,26]. С учетом этих
допущений:
tre
tre
tre
tre
UVW
eeee
tJ
J
J
J
∂ρ
ρ
ρ
ρ
∂ξηζ
∂∂∂
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠

П.9.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейной системе координат
703
,,
div
,
V
ttt
ttt
xxyyzz
xxyyzz
ttt
xxyyzz
tNTVm
CVm
m
qqq qqq
JJ
qqq
J
pQ
QQ
JJ
µ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
Σ
⎛⎞
⎛⎞
++
++
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
++
∂
−+
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
Φ−⋅+
+
++
∑
V
(114)
V
VVV
mm
m
m
m
mmm
eUVW
eee
tJ
J
J
J
ρρρρ
∂
∂ξηζ
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
,,,
,,,
,,,
,,
,
Vm
Vm
Vm
Vm
Vm
Vm
xx
yy
zz
xx
yy
zz
Vm
Vm
Vm
xx
yy
zz
VTm
VCm
qqq qqq
JJ
qqqQQ
JJ
ξξξ ηηη
ξη
ζζζ
ζ
⎛⎞
⎛⎞
++
++
∂∂
=−
−
−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎛⎞
++
+
∂
−+
⎜⎟
⎜⎟
∂⎝⎠
(115)
где tre
t
r
e
ee
e
e
=+ + - удельная внутренняя энергия трех каналов
энергообмена.
При решении уравнения (115) для каждой колебательной моды
диффузионная и теплопроводностная составляющие плотности потока
колебательной энергии не учитывались, поэтому решалась следующая
система уравнений сохранения энергии в колебательных модах:
,,
V
VTm
VCm
VVV
mm
m
m
m
mmm
QQ
eUVW
eee
tJ
J
J
J
J
ρρρρ
∂
∂ξηζ +
⎛⎞
∂∂∂
⎛⎞
⎛⎞
⎛⎞
+++ =
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
∂∂∂
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
⎝⎠
1,2,..., V
mN
=
В заключение заметим, что в задачах, решаемых в данной работе,
слагаемое QΣ в правой части (107) содержит дивергенцию вектора
плотности интегрального радиационного теплового потока div rad
QΣ=q.
Это слагаемое традиционно включается в уравнение сохранения энергии
объединенной энергетической моды (поступательного и вращательного
движения, и электронной степени свободы). Однако, учитывая физику
процессов испускания и поглощения теплового излучения это слагаемое
также необходимо представить в виде суммы слагаемых, отвечающих разным
видам радиационных процессов. Некоторые модели такого расщепления
предполагается привести во втором томе данной книги.

704
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ПРИЛОЖЕНИЯМ
1. Герцберг Г. Электронные спектры и строение многоатомных молекул.
М.: Мир. 1963. 772 с.
2. Радциг А.А., Смрнов Б.М. Справочник по атомной и молекулярной
физике. М.: Атомиздат. 1980. 240 с.
3. Khristenko S.V., Maslov A.I., Shevelko V.P. Molecules and Their
Spectroscopic Properties. Springer Series on Atoms + Plasmas 21. Berlin.
Springer. 212 p.
4. Хьюбер К.П., Герцберг Г. Константы двухатомных молекул. Часть
1. Молекулы Ag2-MoO М.: «Мир», 1984. 408 с. Часть 2. Молекулы N2-
ZrO. М.: «Мир», 1984. 366 с.
5. Герцберг Г. Спектры и строение простых свободных радикалов. М.:
«Мир». 1974. 208 с.
6. Ельяшевич М.А. Атомная и молекулярная спектроскопия..Изд. 2-е. М.:
Эдиториал УРСС. 2001. 896 с.
7. Svehla R.A. Estimated Viscosities and Thermal Conductivities of Gases at
High Temperatures// NASA TR-R-132, 1962, 26 p.
8. Гурвич Л.В., Вейц И.В., Медведев В.А. и др. Термодинамические
свойства индивидуальных веществ. М.: Наука. 1978. 495 с.
9. Суржиков С.Т. Оптические свойства азов и плазмы. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана. 2004. 575 с.
10. Surzhikov S.T. Radiative-Collisional Models of Non-Equilibrium
Aerothermodynamics of Entry Probes// J. of Heat Transfer -- ASME Tr.
March 2012. Vol. 134. / 031002-1. 11 p.
11. Laux C. O. Optical Diagnostics and Radiative Emission of Air Plasmas//
HTGL Report No. T-288. 1993.
12. Laux C.O., Gessman R.J., Hilbert B., Kruger C.H. Experimental
Study and Modeling of Infrared Air Plasma Radiation//AIAA Paper
95-2124. 30th AIAA Thermophysics Conference. June 19-22, 1995.
San Diego, CA.
13. Park C., Jaffe R.L., Partridge H. Chemical-Kinetic Parameters of Hyperbolic
Earth Entry// J. of Thermophysics and Heat Transfer. 2001. Vol.15. No.1. P.
76-90.
14. Староверова И.В., Суржиков С.Т. Анализ некоторых кинетических
моделей, используемых в аэрофизике. М.: ИПМех РАН. Препринт №
975. 2011. С.50.
15. Kang S.-W., Jones W.L., Dunn M.G. Theoretical and measured electron-
density distribution at high altitudes//. AIAA Journal. 1973. Vol.11. No.2. P.
141-149.
16. Эйринг Г., Лин С.Г., Лин С.М. Основы химической кинетики. М.: Мир.
1983. 527 с.
17. Эммануэль Н.М., Кнорре Д.Г. Курс химической кинетики. М.: Высшая
школа. 1974.

Список литературы к приложению
705
18. Мартин Дж. Вход в атмосферу. Введение в теорию и практику. М.:
Мир. 1969. 320 с. (John J. Martin Atmospheric Reentry. An Introduction to
its Science and Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Gliffs N.J.)
19. Bortner M.H. Chemical Kinetics in Reentry Flow Field. R63SD63, King of
Prussia, Pennsylvania, General Electric Space Sciences Laboratory. Missile
and Space Division. 1963.
20. Землянский Б.А., Лунев В.В., Власов В.И., Горшков А.Б., Залогин Г.Н.,
Ковалев Р.В., Маринин В.П., Мурзинов И.Н. Конвективный
теплообмен изделий РКТ. Руководство для конструкторов. Королев:
ЦНИИМАШ. 210. 397 с.
21. Park C., Howe J.T., Jaffe R.L. and Candler G.V. Review of Chemical-
Kinetic Problems of Future NASA Missions, II: Mars Entries// J. of
Thermophysics and Heat Transfer. 1994. Vol.8. No.1. P.9−23.
22. Ibragimova L.B. The Recommended Values of Gas-Phase Chemical
Reactions Rate Constants in the Atomic System N-C-O. Part I and II//
Preprint No. 29-97 and 30-97. Institute of Mechanics in Moscow State
University. 1997.
23. McKenzie R.L. An Estimate of the Chemical Kinetics Behind Normal Shock
Wave in Mixtures of Carbon Dioxide and Nitrogen for Candidates Typical
of Mars Entry// NASA TN D-3287. Jan., 1966.
24. Дикалюк А.С., Суржиков С.Т. Расчетное исследование модели
неравновесного излучения за фронтом ударных волн в марсианской
атмосфере// МЖГ. 2013. № 1. С.141-160.
25. Surzhikov S.T. Spectral Emissivity of Shock Waves in Martian and Titan
Atmospheres// AIAA Paper 2010-4527. 2010. 32 p.
26. Surzhikov S.T., Sharikov I.V., Capitelli M., Colonna G. Kinetic models of
non-equilibrium radiation of strong air shock waves//AIAA Paper 06-0586.
2006. 11 p.
27. Галкин В.С., Лосев С.А. Уравнения релаксационной газодинамики// Эл.
Журнал «
Физико-химическая кинетика в газовой динамике» .
www.chemphys.edu.ru/pdf/2008-02-01-001.pdf. 27 с.
28. JANAF Thermochemical Tables. Third Edition. M.W.Chase Jr., Davies
C.A., Downey J.R.m Jr., Fririp D.J., Mc Donald R.A., and Syverud A.N.// J.
Pjys. Chem. Ref. Data. 1985. Vol.14. Suppl.1.

706
Научное издание
СУРЖИКОВ Сергей Тимофеевич
Радиационная газовая динамика спускаемых ко с м и че ск и х
аппаратов. Многотемпературные модели
Типография МГУ
119991, ГСП-1, г. Москва,
Ленинские Горы, д.1, стр.15
Заказ №1083. Тираж 200 экз.
Усл.печ.л. 44,25. Уч.-изд. л. 44,25